Diez lecciones sobre Sistemas Hamiltonianos, Integrabilidad y ...

9.2. Reticulo de Toda II : Sistema de n = 3 partículas 99
(a) Ecuaciones diagonales
d
dt b1 = 2a 2 1 ,
(b) Ecuaciones no diagonales
Esto conduce a
(a) Ecuaciones diagonales
(b) Ecuaciones no diagonales
Se comprueba fácilmente que
d
dt a1 = a1(b2 − b1) ,
d
dt b2 = 2(a 2 2 − a 2 1) ,
d
dt b3 = − 2a 2 2 .
d
dt a2 = a2(b3 − b2) .
d
dt v1 = k 2 e q21 ,
d
dt v2 = k 2 (e q32 − e q21 ) ,
d
dt v3 = − k 2 e q32 ,
d 1
e
dt
d 1
e
dt
2 q21 = 1
2
2 q32 = 1
2
e 1
2 q21 (v2 − v1) ,
e 1
2 q32 (v3 − v2) ,
• Las ecuaciones (a) son las ecuaciones de E-L del Lagrangiano
• Las ecuaciones (b) son identidades.
L = 1
2 (v2 1 + v 2 2 + v 2 3) − k 2 (e q21 + e q32 )
Los valores propios de la matriz A o, alternativamente, las trazas de las potencias de la
matriz A, que vienen dadas por,
tr A = b1 + b2 + b3 ,
tr A 2 = b 2 1 + b 2 2 + b 2 3 + 2(a 2 1 + a 2 2) ,
tr A 3 = b 3 1 + b 3 2 + b 3 3 + 3a 2 1(b1 + b2) + 3a 2 2(b2 + b3) ,
son constantes del movimiento.
Finalmente, podemos afirmar que el retículo de Toda tridimensional, cuyo potencial viene
dado por
V (q1, q2, q3) = k 2 (e q21 + e q32 )