Diez lecciones sobre Sistemas Hamiltonianos, Integrabilidad y ...

26 Capítulo 2. Ec. Dif. de Hamilton-Jacobi I
lo que significa que es posible resolver las funciones Qj = Qj(q, α) para qi y obtener qi = qi(β, α).
Una vez conocidos estas funciones, el grupo (i) permite obtener pi = pi(β, α). En definitiva
hemos obtenido las 2n funciones
qi = qi(β, α) , pi = pi(β, α) ,
que representan los valores de qi y pi en función del tiempo t, de las n constantes del movimiento
(cantidades conservadas) αi y las n constantes de integración βi.
Podemos pues afirmar la siguiente propiedad.
Proposición 3 La resolución de la ecuación de H-J equivale a la resolución del problema Hamiltoniano
Finalizaremos esta sección comentando una propiedad interesante de la función W .
Como W no depende explícitamente del tiempo, su derivada total con respecto al tiempo t
viene dada por
y por tanto
dW
dt
∂W
= ˙qi =
∂qi
pi ˙qi ,
i
W = pi ˙qi dt = pi dqi .
i
Esta expresión integral para W es interesante y aparentemente podría ser considerada como un
nuevo étodo alternativo para la obtención de W . Sin embargo carece de utilidad práctica ya
que, para calcular el valor de la integral, sería necesario conocer previamente las expresiones de
qi y pi como funciones del tiempo y eso significaría haber resuelto previamente las ecuaciones
del movimiento.
2.3 Sistemas con un grado de libertad
2.3.1 Ecuación de H-J
Cuando el sistema es de un grado de libertad la ecuación de H-J es relativamente fácil de resolver.
El Hamiltoniano inicial H es una función de una única coordenada q y un único momento p y
el nuevo Hamiltoniano H ′ es función del nuevo momento P que permanece constante
H(q, p) → H ′ (α) [ α es el nuevo momento ].
La idea es identificar la constante α con el valor constante del Hamiltoniano, esto es, H ′ = α (α
es, por supuesto, la energía del sistema). La ecuación de H-J resulta ser de la forma
H(q, ∂W
∂q
) = α .
i
i