Diez lecciones sobre Sistemas Hamiltonianos, Integrabilidad y ...

92 Capítulo 8. Ecuaciones de Lax
Esto significa que la evolución temporal de la matriz A es de la forma
A(t) = P A(0)P −1 ,
lo que significa que las matrices A(t) y A(0) son similares. Recordemos que las matrices similares
tienen el mismo polinomio característico. Por consiguiente la matriz A(t) y la matriz A(0)
tienen los mismos valores propios, o lo que es lo mismo, los valores propios λi, i = 1, 2, . . . , n, se
mantienen constantes a lo largo de la evolución temporal
d
dt λi = 0 , i = 1, 2, . . . , n.
En este caso decimos que la evolución temporal de la matriz A gobernada por una ecuación
de Lax es isoespectral, lo que significa que el espectro es preservado por la evolución temporal.
8.2.2 Propiedades y comentarios
(1) Un par de Lax no es único. Más concretamente, dado un par de Lax (A, B) siempre se puede
construir una familia asociada de pares de Lax.
Consideremos la ecuación
d
A = B A − A B ,
dt
y denotemos por Ag y Bg las matrices definidas de la siguiente forma
A ′ g = gAg −1 , Bg = gBg −1 + ˙gg −1 , (∗)
donde g es una matriz regular (invertible) definida en el espacio de fases. Entonces la siguiente
ecuación de Lax también es cierta
d
dt Ag = Bg Ag − Ag Bg .
Las matrices A y Ag son similares y posen los mismos valores propios.
La transformación (A, B) → (Ag, Bg), definida por (*), se denomina transformación ’gauge’
de la ecuación de Lax.
(2) Todo sistema Hamiltoniano que sea integrable en el sentido de Arnold-Liouville admite
una representación de Lax.
Supongamos que un sistema posee n constantes del movimiento en involución
F1, F2, . . . , Fn ,
d
dt Fj = 0 , {Fi , Fj} = 0 .
Entonces existe, al menos localmente, un sistema de coordenadas conjugadas,
(qi, pi) → (θi, Ii)