Diez lecciones sobre Sistemas Hamiltonianos, Integrabilidad y ...

98 Capítulo 9. Retículo de Toda
La completa integrabilidad de este sistema fue probada por Henon [He74] y Flaschka [Fl74]
en 1974. Flaschka demostró, utilizando el método de Lax, la existencia de n constantes del
movimiento Im, m = 1, 2, . . . , n de carácter polinómico. Las dos primeras constantes del
movimiento son sencillas:
I1 = v1 + v2 + . . . + vn
es una función lineal en las velocidades asociada a una simetría exacta de Noether de L e I2 es
la energía Lagrangiana cuadrática (Hamiltoniano)
I2 = 1
2 (v2 1 + v 2 2 + · · · + v 2 n) + V (q) .
Las otras n − 2 funciones Ik, k = 3, 4, . . . , n, son polinomios de orden k = 3, 4, . . . , n, en las
velocidades. Estas funciones proceden de simetrías ocultas o generalizadas del Lagrangiano de
Toda.
Estudiaremos este sistema en dos pasos. Primero demostraremos que el sistema tridimensional
admite una representación de Lax y es integrable. Luego extenderemos los resultados al
caso n-dimensional.
9.2 Reticulo de Toda II : Sistema de n = 3 partículas
Consideremos las siguientes dos matrices
⎛
b1
A = ⎝
a1 0
⎞
⎠ ,
⎛
0
B = ⎝ − a1
a1
0
⎞
0
a2 ⎠ ,
0 − a2 0
a1 b2 a2
0 a2 b3
donde hemos utilizado la siguiente notación. Los coeficientes bi representan las velocidades
y los coeficientes ai vienen dados por
b1 = 1
2 v1 , b2 = 1
2 v2 , b3 = 1
2 v3 ,
a1 = 1
2 k e 1 2 q21 , a2 = 1
2 k e 1 2 q32 ,
La matriz A es simétrica y la matriz B es antisimétrica.
Entonces, si denotamos por C el conmutador C = [A, B], obtenemos
⎛
2a
C = ⎝
2 1 a1(b2 − b1) 0
a1(b2 − b1) 2(a2 2 − a21 ) a2(b3 − b2)
0 a2(b3 − b2) − 2a2 ⎞
⎠ .
2
La matriz C es simétrica.
Supongamos que A y B forman un par de Lax y consideremos la correspondiente ecuación
de Lax
d
A = [B, A]
dt
Se trata de una ecuación matricial y por consiguiente conduce a un total de 9 ecuaciones.
Distinguiremos entre ecuaciones no diagonales y ecuaciones diagonales.