Diez lecciones sobre Sistemas Hamiltonianos, Integrabilidad y ...

32 Capítulo 3. Ec. Dif. de Hamilton-Jacobi II
La función H1 (situada a la izquierda) depende únicamente de q1 y la función H∗ 1 (situada a la
derecha) depende de las otras n − 1 variables. Estas dos expresiones pueden ser iguales una a
la otra solo si su valor común permanece constante. Este razonamiento permite introducir una
constante de separción α2 y conduce a las siguientes ecuaciones
H1(q1, ∂W1
, α1) = α2 [1a]
∂q1
H ∗ 1 (q2, . . . , qn, ∂W2
∂q2
, . . . , ∂Wn
, α1) = α2 [1b]
∂qn
La Ec. Dif. [1a] es una Ec. Dif. ordinaria. Se puede interpretar como la Ec. de H-J para un
sistema con un único grado de libertad y, en principio, puede ser resuelta
[1a] → W1 = W1(q1, α1, α2) .
(2) Consideremos ahora la ecuación [1b] y supongamos que admite una descomposición en suma
de dos sumandos de tal forma que se obtiene
H2(q2, ∂W2
∂q2
, α1, α2) = H ∗ 2 (q3, . . . , qn, ∂W3
∂q3
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, . . . , ∂Wn
, α1, α2) .
∂qn
La función H2 (situada a la izquierda) depende únicamente de q2 y la función H∗ 2 (situada a
la derecha) depende de las otras n − 2 variables. Hemos obtenido una separación de variables
similar a la del punto (1) y esto permite introducir una nueva constante de separación α3 y
conduce a las siguientes dos ecuaciones
H2(q2, ∂W2
, α1, α2) = α3 [2a]
∂q2
H ∗ 2 (q3, . . . , qn, ∂W3
∂q3
, . . . , ∂Wn
, α1, α2) = α3 [2b]
∂qn
La Ec. Dif. [2a] es una Ec. Dif. ordinaria. Se puede interpretar como la Ec. de H-J para un
sistema con un único grado de libertad y, en principio, puede ser resuelta
[2a] → W2 = W2(q2, α1, α2, α3) .
(n) Repitiendo este procedimiento de separación de variables de forma reiterada se llega finalmente
a las ecuaciones para Wn−1 y Wn
Hn−1(qn−1, ∂Wn−1
, α1, . . . , αn−1) = αn [n − 1]
∂qn−1
Hn(qn, ∂Wn
, α1, . . . , αn−1) = αn [n]
∂qn
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