Diez lecciones sobre Sistemas Hamiltonianos, Integrabilidad y ...

3.4. Geometría del espacio de fases 37
Consideremos una función diferenciable (variable dinámica) G(q, p). Esta función determina
una foliación y un campo vectorial en T ∗ Q de la siguiente forma:
(i) Cada valor c ∈ R(G) (donde R(G) ⊂ IR es el recorrido de G) determina una subvariedad
Mc = G −1 (c) de T ∗ Q de dimensión 2n − 1 (codimensión 1). La colección de todas las
subvariedades Mc cuando c toma todos los posibles valores
ΣG = { Mc }c∈IR , Mc = { x ∈ T ∗ Q/ G(x) = c } ,
constituye una foliación en el espacio de fases, esto es, una familia de subvariedades disjuntas
de tal forma que por cada punto de T ∗ Q pasa una única subvariedad. Cada una de estas Mc se
denomina hoja de la foliación y todas tienen la misma dimensión.
(ii) El campo vectorial XG en T ∗ Q viene dado por
XG = (∇pG, −∇qG)
o, utilizando otra notación, por
XG =
( ∂G
∂
de tal forma que
j
∂pj
∂qj
−
∂G
∂
∂qj ∂pj
(a) El campo vectorial XG es tangente a cada una de las hojas de la foliación ΣG. Esto
significa que las curvas integrales de XG están totalmente contenidas o confinadas en las
subvariedades de la foliación.
(b) La modificación δR que sufre una función R(q, p) a lo largo de las curvas integrales de XG
viene dada por la acción XG(R) de XG sobre R
XG(R) =
( ∂G ∂R
−
∂pj ∂qj
∂G ∂R
,
∂qj ∂pj
que resulta ser el paréntesis de Poisson de R con G
j
j
δR = {R, G} .
Un caso particular es cuando la función G es el propio Hamiltoniano H. En este caso el
campo vectorial XH es el campo dinámico y las hojas de la foliación son las hipersuperficies de
energía constante.
Consideremos dos funciones F y G y supongamos que son funcionalmente independientes;
esto significa que sus diferenciales son independientes lo que se refleja en la siguiente propiedad
dF ∧ dG = 0 .
Por otra parte F y G determinan, además de las dos foliaciones ΣF y ΣG, una nueva foliación
ΣF G definida como la intersección ΣF G = ΣF ∩ ΣG. La independencia de F y G implica que la
dimensión de la foliación ΣF G es 2n−2. Por ejemplo, consideremos f = f(x, y, z) y g = g(x, y, z)
de tal forma que Σf y Σg son foliaciones bi-dimensionales de IR 3 . En este caso la independencia
de f y g significa que las subvariedades de Σfg son uni-dimensionales (curvas en IR 3 ).
j