Diez lecciones sobre Sistemas Hamiltonianos, Integrabilidad y ...

More documents

Recommendations

Info

Capítulo 1 Simetrías y Constantes del movimiento 1. Constantes del movimiento 2. Transformaciones puntuales y coordinadas cíclicas 3. Grupos uni-paramétricos de transformaciones 4. Teorema de Noether I 5. Teorema de Noether II 6. Lagrangianos alternativos y constantes del movimiento 1.1 Constantes del movimiento Consideremos un sistema de n grados de libertad caracterizado por un Lagrangiano L. Es conocido que las soluciones de las ecuaciones de Lagrange d dt ∂L ∂ ˙qi − ∂L ∂qi = 0 , i = 1, 2, . . . , n, se pueden interpretar geométricamente como las ecuaciones paraméricas qi = qi(t) de una familia de curvas en el espacio de configuración Q y análogamente el par qi = qi(t), vi = vi(t), como las ecuaciones de una familia de curvas en el espacio de fases T Q. Digamos que una constante del movimiento es una función que satisface cierta propiedad que pueden ser caracterizada de forma nalítica o de forma geométrica. 2
1.1. Constantes del movimiento 3 (i) Analíticamente: La función F = F (q, v, t) es constante del movimiento para un Lagrangiano L si se cumple d dt ∂F F = ∂qj j vj + ∂F j ∂vj dvj dt + ∂F ∂t = 0 , donde dvj/dt son las aceleraciones cuyo valor se deduce de las ecuaciones de Lagrange de L. (ii) Geométricamente: La función F = F (q, v, t) es constante del movimiento para un Lagrangiano L si se mantiene invariante a lo largo de todas las curvas integrales que representan geométricamente las soluciones de las ecuaciones de Lagrange de L. En el caso (i) la letra t representa el tiempo y en el caso (ii) tiene un significado geométrico y representa el parámetro de las curvas. Supongamos que las m funciones F1(q, v, t), F2(q, v, t), . . . , Fm(q, v, t), son m constantes del movimiento distintas entre sí para un Lagrangiano L. Entonces toda función G = G(q, v, t) que se pueda reescribir como funcón de las Fs, s = 1, 2, . . . , m, también es constante del movimiento dG dt G(F1, F2, . . . , Fm) ∂G dFs = ∂Fs dt s En este caso, en el que G es funcionalmente dependiente de las funciones F1, F2, . . . , Fm, la constante del movimiento G no debe ser considerada realmente como una nueva constante sino como una consecuencia de las anteriores. Si consideramos que una constante del movimiento ofrece información <strong>sobre</strong> el sistema Lagrangiano, resulta que G no ofrece realmente nueva información. Consecuencia: Es conveniente trabajar con funciones que sean funcionalmente independientes y prescindir de todas aquellas constantes que no ofrezcan nueva información. Esta situación plantea tres problemas: (i) Caracterizar la independencia funcional de un conjunto de m constantes del movimiento. (ii) Estudiar si el número de cantidades conservadas independientes es un número finito y estudiar si las propiedades de un sistema Lagrangiano dependen del número máximo de constantes del movimiento que posee. (iii) Obtener un método que permita obtener explícitamente las constantes del movimiento que posee un Lagrangiano L. = 0 .
Page 1 and 2: Diez lecciones sobre Sistemas Hamil
Page 3 and 4: 3.3 Variables acción-ángulo . . .
Page 5: Bibliografía 1 Bibliografía [AbrM
Page 9 and 10: 1.2. Transformaciones puntuales y c
Page 11 and 12: 1.3. Grupos uni-paramétricos de tr
Page 13 and 14: 1.4. Teorema de Noether I 9 y denot
Page 15 and 16: 1.4. Teorema de Noether I 11 1.4.2
Page 17 and 18: 1.5. Teorema de Noether II 13 Simet
Page 19 and 20: 1.5. Teorema de Noether II 15 1.5.2
Page 21 and 22: 1.6. Lagrangianos alternativos y co
Page 27 and 28: Capítulo 2 Ec. Dif. de Hamilton-Ja
Page 29 and 30: 2.2. Ecuación de Hamilton-Jacobi 2
Page 31 and 32: 2.3. Sistemas con un grado de liber
Page 33 and 34: 2.3. Sistemas con un grado de liber
Page 35 and 36: 3.2. Separabilidad 31 3.2 Separabil
Page 37 and 38: 3.2. Separabilidad 33 El resultado
Page 39 and 40: 3.3. Variables acción-ángulo 35 L
Page 41 and 42: 3.4. Geometría del espacio de fase
Page 43 and 44: 3.4. Geometría del espacio de fase
Page 45 and 46: Capítulo 4 El problema de Kepler y
Page 47 and 48: 4.1. Órbitas cerradas y potenciale
Page 49 and 50: 4.2. El problema de Kepler y el vec
Page 51 and 52: 4.3. El oscilador armónico y el te
Page 53 and 54: 4.4. La hodógrafa 49 de tal forma
Page 55 and 56: Bibliografía 51 Bibliografía [Be1
Page 57 and 58:
5.2. Potenciales separables en dos
Page 59 and 60:
5.2. Potenciales separables en dos
Page 61 and 62:
5.3. Coordenadas Ortogonales 57 y e
Page 63 and 64:
5.3. Coordenadas Ortogonales 59 5.3
Page 65 and 66:
5.4. La Ec. de H-J de nuevo 61 ento
Page 67 and 68:
5.5. Sistema de Hénon-Heiles 63 en
Page 69 and 70:
5.6. Sistemas Integrables con const
Page 71 and 72:
Capítulo 6 Sistemas Separables II
Page 73 and 74:
6.2. Sistemas de Liouville 69 son t
Page 75 and 76:
6.4. Condición de Levi-Civita 71 P
Page 77 and 78:
6.5. Webs, vectores de Killing y te
Page 79 and 80:
Page 81 and 82:
Page 83 and 84:
Capítulo 7 Sistemas super-Integrab
Page 85 and 86:
7.2. Sistemas super-separables en e
Page 87 and 88:
Page 89 and 90:
Page 91 and 92:
7.3. Super-integrabilidad del oscil
Page 93 and 94:
Capítulo 8 Ecuaciones de Lax 1. Ec
Page 95 and 96:
8.2. Ecuaciones de Lax y evolucione
Page 97 and 98:
8.3. Ecuación de Yang-Baxter 93 do
Page 99 and 100:
Bibliografía 95 Proposición 17 La
Page 101 and 102:
Capítulo 9 Retículo de Toda 1. Re
Page 103 and 104:
9.2. Reticulo de Toda II : Sistema
Page 105 and 106:
9.3. Reticulo de Toda III : Sistema
Page 107 and 108:
Capítulo 10 Sistema de Calogero-Mo
Page 109 and 110:
10.2. Sistema de Calogero-Moser II
Page 111 and 112:
10.3. Sistema de Calogero-Moser III
Page 113 and 114:
10.4. Sistemas de tipo Calogero-Mos
Page 115:
Bibliografía 111 [Ca83] F. Caloger
show all

Diez lecciones sobre Sistemas Hamiltonianos, Integrabilidad y ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?