100 Preguntas Test Probabilidad Combinatoria y Variables ...

35. Calculemos las diferentes posibilidades:
46. (b).
36. (a).
P(X = n − 1) = P(blanca de A & negra de B) 47. (c).
= m n
N N = mn
N 2
P(X = n + 1) = P(negra de A & blanca de B)
= n m
N N = nm
N 2
P(X = n) = 1 − P(X ∈ {n − 1, n + 1})
= 1 − 2mn
N 2 (d),
37. (d).
o también,
P(X = n) = P(blanca de A & blanca de B)
+ P(negra de A & negra de B)
= m2 + n 2
N 2
= 1 − 2mn
N 2
= (m + n)2 − 2mn
N 2
(d).
38. Consideremos los sucesos B, N (bola blanca o
negra de la primera caja) y nB (n bolas blancas
de la segunda caja). Aplicando la fórmula de
Bayes,
P(N|nB) =
=
=
P(nB|N)P(N)
P(nB|B)P(B) + P(nB|N)P(N)
n n−1
2n+1 2n · · · 1 1
n+1 2
n+1 n
2n+1 2n · · · 2 1
n+1 2 + n n−1
2n+1 2n · · · 1
n!
(n + 1)! + n! = 1
n + 2 ≈ 0 (b).
1
n+1 2
48. Como f T (t) = α (constante) y ∫ b
0 f T (t) dt = 1,
resulta que f T (t) = 1/b para todo t ∈ (0, b) y
f T (t) = 0 en otro caso; con lo cual m = E(T ) =
b/2. Por tanto, la tasa de fallo es
49. (c).
50. (b).
P(t < T ≤ t + ∆t)
β(t) = lim
∆t→∞ P(T > t)
=
=
∫ b
f T (t)
t f T (τ) dτ
1/b 1
=
(1/b) dτ b − t
∫ b
t
de donde se obtiene β(b/2) = 2 b
(0 < t < b),
(a).
51. La función de probabilidad de X es P X (k) =
pq k−1 , k ≥ 1. Entonces, aplicando la fórmula de
la probabilidad condicionada, y suponiendo que
k ≥ r, obtenemos:
P X|X≥r (k) = P(X = k | X ≥ r)
=
=
=
P(X = k, X ≥ r)
P(X ≥ r)
P(X = k)
P(X ≥ r) =
pq k−1
p ∑ ∞
κ=r q κ−1
q k−1
(q r−1 )/(1 − q) = pqk−r (c).
39. (b).
40. (c).
41. El valor de α tiene que ser positivo porque, de
lo contrario, F X (+∞) ≠ 1. Además, P (X =
a) = F X (a + ) − F X (a − ) = 1 − e αa . Por tanto, la
respuesta correcta es (d).
42. (d).
43. Notar que F X (1 − ) = F X (1 + ) = 1. Por tanto
P (X = 1) = 0, y la afirmación falsa es (c).
44. (a).
45. (c).
52. A partir de la fórmula de la probabilidad total,
la probabilidad de error es:
P(ɛ) = P(ɛ| − 1)p(−1) + P(ɛ|1)p(1)
donde
= P(N > 1)p(−1) + P(N < −1)p(1),
P(N > 1) =
∫ 2
1
f N (n) dn = 1 4
y, análogamente, P(N < −1) = 1 4
. Por tanto, el
cálculo anterior da
P(ɛ) =
p(−1) + p(1)
4
= 1 4
(a).
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