Sterowanie Procesami Ciągłymi
Sterowanie ze sprzezeniem od stanu
Sterowanie ze sprzezeniem od stanu
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
<strong>Sterowanie</strong> <strong>Procesami</strong> <strong>Ciągłymi</strong><br />
<strong>Sterowanie</strong> ze sprzężeniem od stanu<br />
prof. dr hab. inż. Mieczysław Brdyś<br />
25.10.2010, Gdańsk<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Sterowalność<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Sterowalność<br />
Definicja<br />
Obiekt dynamiczny<br />
ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)<br />
jest sterowalny jeżeli dla dowolnych stanów x 0 i x f istnieje<br />
sygnał sterujący u(t), który przemieści stan obiektu ze stanu<br />
x 0 do stanu x f w skończonym czasie.<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Sterowalność<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
x f<br />
x 3<br />
x 2<br />
x 0<br />
x 1<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Sterowalność<br />
Przykład 1<br />
Sterowalny.<br />
Przykład 2<br />
Sterowalny?<br />
ẋ 1 = −x 1 + u 1<br />
ẋ 2 = −x 2 + u 2<br />
ẋ 1 = −x 2<br />
ẋ 2 = −x 2 + u<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Sterowalność<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Sterowalność<br />
Przykład 3<br />
Sterowalny - nie.<br />
ẋ 1 = −x 1<br />
ẋ 2 = −x 2 + u<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Sterowalność<br />
Kryterium sterowalności<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Macierz sterowalności<br />
[<br />
C B AB A 2 B . . . A n−1 B<br />
n = dimẋ<br />
System jest sterowalny kiedy rankC = n.<br />
]<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Sterowalność<br />
Przykład 4<br />
Rozważny układ z przykładu 1.<br />
ẋ 1 = −x 1 + u 1<br />
A =<br />
[<br />
−1 0<br />
0 −1<br />
Stąd macierz sterowalności<br />
[ ]<br />
C = B AB =<br />
ẋ 2 = −x 2 + u 2<br />
∣<br />
]<br />
1 0<br />
0 1<br />
; B =<br />
[<br />
1 0<br />
0 1<br />
]<br />
[<br />
1 0 −1 0<br />
0 1 0 −1<br />
∣ = 1<br />
Czyli rankC = 2, czyli system jest sterowalny.<br />
]<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Sterowalność<br />
Przykład 5<br />
Rozważny układ z przykładu 2.<br />
ẋ 1 = −x 2<br />
ẋ 2 = −x 2 + u<br />
A =<br />
[<br />
0 −1<br />
0 −1<br />
Stąd macierz sterowalności<br />
[ ]<br />
C = B AB =<br />
]<br />
; B =<br />
|C| = 1 ≠ 0<br />
[<br />
0<br />
1<br />
[<br />
0 −1<br />
1 −1<br />
Czyli rankC = 2, czyli system jest sterowalny.<br />
]<br />
]<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Sterowalność<br />
Przykład 6<br />
Rozważny układ z przykładu 3.<br />
ẋ 1 = −x 1<br />
ẋ 2 = −x 2 + u<br />
A =<br />
[<br />
−1 0<br />
0 −1<br />
Stąd macierz sterowalności<br />
[ ]<br />
C = B AB =<br />
]<br />
|C| = 0<br />
; B =<br />
[<br />
0<br />
1<br />
[<br />
0 0<br />
1 −1<br />
Czyli rankC < 2, czyli system nie jest sterowalny.<br />
]<br />
]<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Sterowalność<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Sterowalność<br />
Związek pomiędzy sterowalnością a lokowaniem<br />
biegunów<br />
rozwiązanie zadania alokacji biegunów (ang. pole placement)<br />
istnieje dla dowolnego zadanego położenia biegunów ⇔<br />
system jest sterowalny.<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Równania stanu w postaci kanonicznej względem<br />
sterowania<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
Zostanie pokazane, że dla reprezentacji dynamiki obiektu w<br />
CCF (Control Canonical Form) obliczanie wzmocnień dla<br />
prawa sterowania ze sprzężeniem od stanu, lokującego<br />
bieguny układu zamkniętego w zadane położenia, nie jest<br />
pracochłonne.<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Control Canonical Form<br />
Przykład 7<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Niech<br />
[<br />
x =<br />
x 1 x 2 x 3<br />
] T<br />
∈ R 3 oraz u ∈ R 1<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
ẋ 1 = −7x 1 − 12x 2 + u<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
A =<br />
ẋ 2 = x 1<br />
y = x 1 + 2x 2<br />
[<br />
−7 −12<br />
1 0<br />
]<br />
; B =<br />
[<br />
0<br />
1<br />
]<br />
[<br />
; C =<br />
1 2<br />
]<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Reprezentacja tego obiektu jest w CCF<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Control Canonical Form<br />
Ogólnie<br />
⎡<br />
A =<br />
⎢<br />
⎣<br />
ẋ = Ax + Bu<br />
y = Cx<br />
−a 1 −a 2 . . . −a n−2 −a n−1 −a n<br />
1 0 . . . 0 0 0<br />
0 1 . . . 0 0 0<br />
. .<br />
. .. . . .<br />
0 0 . . . 1 0 0<br />
0 0 . . . 0 1 0<br />
[<br />
]<br />
C = b 1 b 2 . . . b n−1 b n<br />
⎤<br />
⎡<br />
; B =<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎥<br />
⎦<br />
1<br />
0<br />
.<br />
0<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Control Canonical Form<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Od transmitancji do równań stanu w CCF i na odwrót<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
u<br />
G(s)<br />
x<br />
y<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Wówczas<br />
G(s) =<br />
b 1s n−1 + b 2 s n−2 + . . . + b n<br />
s n + a 1 s n−1 + . . . + a n−1 + a n<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Control Canonical Form<br />
Przykład 8<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Niech<br />
Stąd,<br />
A =<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
G(s) = Y (s)<br />
U(s) = 3s 2 + 2s + 4<br />
2s 3 + 11s 2 + 6s + 3 =<br />
=<br />
− 11 2<br />
−6 −3<br />
1 0 0<br />
0 1 0<br />
3<br />
2 s + s + 2<br />
s 3 + 11 2 s2 + 6s + 3<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ ; B =<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
1<br />
0<br />
0<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ ; C =<br />
[ ]<br />
3<br />
2<br />
1 2<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Control Canonical Form<br />
Przykład 8<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Równania stanu w CCF<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
Równanie wyjścia<br />
ẋ 1 =<br />
ẋ 2 = x 1<br />
ẋ 3 = x 2<br />
− 11 2 x 1 − 6x 2 − 3x 3 + u<br />
y = 3 2 x 1 + x 2 + 2x 3<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Lokowanie biegunów w CCF<br />
⎡<br />
−a 1 − F 1 . . . −a n−1 − F n−1 −a n − F n<br />
1 . . . 0 0<br />
A c = A−BF =<br />
⎢<br />
.<br />
⎣ . .. .<br />
.<br />
0 . . . 1 0<br />
R. char. dla układu opisanego taką macierzą stanu:<br />
s n + (a 1 + F 1 )s n−1 + . . . + a n + F n = 0<br />
Pożądane r. char. ma postać:<br />
s n + α 1 s n−1 + . . . + α n = 0<br />
Stąd,<br />
a 1 + F 1 = α 1 → F 1 = α 1 − a 1<br />
.<br />
a n + F n = α n → F n = α n − a n<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
State feedback - observer controller<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Często nie wszystkie współrzędne stanu są dostępne<br />
pomiarowo. Można je wówczas estymować na podstawie<br />
modeli matematycznych wiążących wielkości estymowane i<br />
mierzone.<br />
Estymator stanu dostarcza estymat,<br />
ˆx(t)<br />
wielkości rzeczywistych,<br />
x(t).<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
State feedback - observer controller<br />
Prawo sterowania<br />
u(t) = u zad − Fx(t)<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
zastępujemy<br />
u(t) = u zad − F ˆx(t)<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
c zad (t)<br />
F r<br />
u zad (t)<br />
u(t)<br />
Obiekt<br />
c(t)<br />
y(t)<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
-F<br />
ˆx(t)<br />
obserwator<br />
stanu<br />
twarde<br />
pomiary<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Obserwator stanu<br />
Przykład 1<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
A<br />
R<br />
u(t)<br />
i(t)<br />
Chcemy poznać u(t) ale dysponujemy jedynie<br />
amperomierzem.<br />
Związek pomiędzy pomiarem i(t) a napiecięm u(t)<br />
u(t) = ˆRi(t) - model wielkości estymowanej<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Obserwator stanu<br />
Przykład 2<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
i(t)<br />
R<br />
u(t)<br />
V<br />
u p (t)<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
W tym przypadku sytuacja jest odwrotna, chcemy poznać<br />
wartość i(t) a możemy jedynie zmierzyć u(t).<br />
Model wielkości estymowanej:<br />
i(t) = u(t)<br />
1ˆR<br />
î(t) = 1ˆR u p (t)<br />
u p (t) pomiar napięcia<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Obserwator stanu<br />
Przykład 2<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
Jeśli, R ≠ ˆR lub/i u p (t) ≠ u(t) np. z uwagi na błąd<br />
pomiarowy, wtedy<br />
î(t) ≠ i(t)<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Obserwator bez sprzężenia zwrotnego<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
Niech<br />
ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)<br />
y(t) = Cx(t)<br />
r. stanu<br />
r. pomiarowe<br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
x(t 0 ) = x 0<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Macierze A, B, C są znane dokładnie.<br />
Obserwator bez sprzężenia zwrotnego(open<br />
loop observer)<br />
Założenie A - stabilna.<br />
Obserwator:<br />
˙ˆx(t) = Aˆx(t) + Bu(t)<br />
ˆx(t 0 ) = ˆx 0 estymata nieznanego x 0<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Obserwator bez sprzężenia zwrotnego<br />
Czego można sie spodziewac?<br />
Ponieważ A stabilna, więc nieznane warunki początkowe<br />
rozładują się po jakimś czasie.<br />
Dla t > ¯t, x(t) ≡ ˆx(t)<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
x<br />
ˆx 0<br />
x 0 = x(t 0 )<br />
ˆx 0<br />
t 0<br />
¯t<br />
x(t)<br />
t<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Obserwator bez sprzężenia zwrotnego<br />
Przykład 3<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
OLO:<br />
ẋ 1 = −2x 1 + x 2 + 3x 3 + u 1<br />
ẋ 2 = x 1 + x 2 + u 2<br />
r. stanu<br />
ẋ 3 = −x 1 − 2x 3<br />
y 1 = x 1 + 2x 2 − x 3<br />
r. pomiarowe<br />
y 2 = 2x 1 − x 2 + x 3<br />
˙ˆx 1 = −2ˆx 1 + ˆx 2 + 3ˆx 3 + u 1<br />
˙ˆx 2 = ˆx 1 + ˆx 2 + u 2<br />
˙ˆx 3 = −ˆx 1 − 2ˆx 3<br />
ˆx(t 0 ) = ˆx 0<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Obserwator bez sprzężenia zwrotnego<br />
Wnioski<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
Jeśli chwila ¯t jest zbyt odległa od chwili t 0 to Open Loop<br />
Observer jest bezużyteczny. Dokładna informacja o stanie<br />
obiektu pozyskiwana jest zbyt późno!<br />
Rozwiązaniem tego problemu jest obserwator ze sprzężeniem<br />
zwrotnym od obiektu.<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Obserwator ze sprzężeniem zwrotnym od obiektu<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Wprowadzimy sprzężenie zwrotne od obiektu do Open Loop<br />
Observera aby zmniejszyć t oraz po to aby móc estymować<br />
stan obiektu, który nie jest stabilny (dla takiego przypadku<br />
¯t = ∞).<br />
Sygnał sprzężenia zwrotnego<br />
Rozważmy<br />
e(t) = x(t) − ˆx(t) błąd estymacji (1)<br />
Jest to najlepszy możliwe wybór ale nie jest on możliwy do<br />
realizacji ponieważ x(t) nie jest mierzalny!<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Obserwator ze sprzężeniem zwrotnym od obiektu<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Sygnał sprzężenia zwrotnego<br />
Inna propozycja, już realizowała, to<br />
ê(t) y(t) − ŷ(t)<br />
Gdzie ŷ(t) = C ˆx(t) jest estymatą pomiaru.<br />
Zachodzi:<br />
ˆx(t) = x(t) → ŷ(t) = C ˆx(t) = Cx(t) = y(t)<br />
Jednakże,<br />
ê(t) = y(t) − C ˆx(t) = Cx(t) − C ˆx(t) = C[x(t) − ˆx(t)]<br />
= Ce(t)<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Obserwator ze sprzężeniem zwrotnym od obiektu<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
W zależności od rzędu macierzy C, może się zdarzyć, że<br />
ê(t) = 0 a x(t) − ˆx(t) ≠ 0<br />
wówczas wielkość ê(t) zwana również błędem predykcji<br />
pomiaru w t nie wykrywa błędu estymaty stanu.<br />
Ponieważ dynamika stanu jest liniowa więc sygnał sprzężenia<br />
zwrotnego projektujemy jako liniową funkcje błędu predykcji<br />
pomiaru<br />
Kê(t) = K[y(t) − C ˆx(t)]<br />
Gdzie K jest wzmocnieniem obserwatora oraz uwzględniamy<br />
addtywywnie w równaniu obserwatora.<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Obserwator ze sprzężeniem zwrotnym od obiektu<br />
Closed Loop Observer (CLO)<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
dˆx(t)<br />
dt<br />
= Aˆx(t) + Bu(t)<br />
} {{ }<br />
+ K [y(t) − C ˆx(t)]<br />
} {{ }<br />
cześć predykcyjna otwarta częśc korekcyjna zamknięta<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
ˆx(t 0 ) = ˆx 0<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
ˆx 0<br />
u [t0 ,t]<br />
y [t0 ,t]<br />
Closed<br />
Loop<br />
Observer<br />
ˆx(t)<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Obserwator ze sprzężeniem zwrotnym od obiektu<br />
Przykład 4<br />
Dla przykładu 3 CLO:<br />
Błąd predykcji pomiaru y 1 : y 1 − ˆx 1 − 2ˆx 2 + ˆx 3<br />
Błąd predykcji pomiaru y 2 : y 2 − 2ˆx 1 + ˆx 2 − ˆx 3<br />
CLO<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
dˆx 1<br />
dt<br />
dˆx 2<br />
dt<br />
dˆx 3<br />
dt<br />
= −2ˆx 1 + ˆx 2 + 3ˆx 3 + u 1 +K 11 [y 1 − ˆx 1 − 2ˆx 2 + ˆx 3 ]<br />
+K 12 [y 2 − 2ˆx 1 + ˆx 2 − ˆx 3 ]<br />
= ˆx 1 + ˆx 2 + ˆx 3 + u 2 +K 21 [y 1 − ˆx 1 − 2ˆx 2 + ˆx 3 ]<br />
+K 22 [y 2 − 2ˆx 1 + ˆx 2 − ˆx 3 ]<br />
= −ˆx 2 − 2ˆx 3 +K 31 [y 1 − ˆx 1 − 2ˆx 2 + ˆx 3 ]<br />
+K 32 [y 2 − 2ˆx 1 + ˆx 2 − ˆx 3 ]<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności<br />
ˆx(t 0 ) = ˆx 0
Obserwator ze sprzężeniem zwrotnym od obiektu<br />
Przykład 4<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Sterowalność<br />
Macierz wzmocnień obserwatora<br />
⎡<br />
⎤<br />
K 11 K 12<br />
⎢<br />
⎥<br />
K = ⎣ K 21 K 22 ⎦<br />
K 31 K 32<br />
◮ pierwszy wiersz macierzy K, sprzeżenia korekcyjne ˆx 1<br />
◮ drugi wiersz macierzy K, sprzeżenia korekcyjne ˆx 2<br />
◮ trzecie wiersz macierzy K, sprzeżenia korekcyjne ˆx 3<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Obserwator ze sprzężeniem zwrotnym od obiektu<br />
Własności CLO<br />
Dynamika błędu estymacji<br />
dˆx<br />
dt<br />
= Aˆx + Bu + K(y − C ˆx) =<br />
= Aˆx + Bu + KCx − KC ˆx =<br />
= (A − KC)ˆx + Bu + KCx<br />
} {{ }<br />
sygnały zewnętrzne<br />
Dynamika wewnętrzne CLO:<br />
dˆx<br />
= (A − KC)ˆx<br />
dt<br />
Manipulując K można lokować bieguny CLO tak aby był on<br />
szybszy od obiektu.<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Obserwator ze sprzężeniem zwrotnym od obiektu<br />
Własności CLO<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
x(t 0 )<br />
ˆx(t 0 )<br />
x(t)<br />
ˆx ol (t)<br />
ˆx cl (t)<br />
t 0<br />
¯t cl ¯t ol<br />
t<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności<br />
¯t cl ≪ ¯t ol
Obserwator ze sprzężeniem zwrotnym od obiektu<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Sterowalność<br />
Zachodzi<br />
de<br />
dt = dx<br />
dt − dˆx<br />
dt<br />
= Ax + Bu − Aˆx − Bu − KCx − KC ˆx<br />
= A(x − ˆx) − KC(x − ˆx) =<br />
= Ae − KCe = (A − KC)e<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Obserwator ze sprzężeniem zwrotnym od obiektu<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Dynamika błędu estymacji CLO<br />
de(t)<br />
dt<br />
= (A − KC)e(t)<br />
Wybierając K tak aby bieguny obserwatora były w lewej<br />
półpłaszczyźnie, to znaczy, żeby CLO był stabilny<br />
otrzymujemy:<br />
e(t) −−−→<br />
t→∞ 0 ∀e(t 0) (2)<br />
przy czym szybkość zbieżności regulujemy przez wybór K.<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Obserwator ze sprzężeniem zwrotnym od obiektu<br />
Przykład 5<br />
CLO<br />
dx<br />
dt = x + 5 - obiekt niestabilny<br />
y = 2x - r. pomiarowe<br />
dˆx<br />
dt<br />
A = 1, B = 5, C = 2<br />
= ˆx + 5u + K(y − 2xˆx) =<br />
= (1 − 2K) ˆx + 5u + Ky<br />
} {{ }<br />
A − KC<br />
Dynamika błędu estymacji<br />
de<br />
= (1 − 2K)e<br />
dt<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Obserwator ze sprzężeniem zwrotnym od obiektu<br />
Przykład 5<br />
K = 1<br />
ė = −e,<br />
biegun:s 1 = −1<br />
e(t) = e(t 0 )e −(t−t 0)<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
e(t)<br />
e(t 0 )<br />
e(t 0 )<br />
t 0<br />
t<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Obserwator ze sprzężeniem zwrotnym od obiektu<br />
Przykład 5<br />
K = 5<br />
ė = −9e,<br />
biegun:s 1 = −9<br />
e(t) = e(t 0 )e −9(t−t 0)<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
e(t)<br />
e(t 0 )<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
t 0<br />
t<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności<br />
Większe wzmocnienie CLO szybsze zanikanie błędu
Obserwowalność<br />
Wartości własne macierzy dynamiki błędu estymacji CLO<br />
A − KC<br />
można ulokować w dowolnym położeniu jeżeli stan obiektu<br />
jest obserwowalny.<br />
Kryterium obserwowalności<br />
⎡<br />
Q =<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎤<br />
C<br />
CA<br />
CA 2<br />
⎥<br />
. ⎦<br />
CA n−1<br />
Gdzie n = dim x<br />
Stan jest obserwowalny jeżeli rank Q = n<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Obserwowalność<br />
Przykład 6<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Q =<br />
[<br />
C<br />
CA<br />
dx 1<br />
dt = −x 1 + u 1<br />
dx 2<br />
dt = x 2 + u 2<br />
y = x 1 + x 2<br />
[ ]<br />
−1 0<br />
[ ]<br />
A =<br />
; C = 1 1<br />
0 −1<br />
]<br />
=<br />
Stan jest obserwowalny.<br />
[<br />
1 1<br />
−1 1<br />
]<br />
, det Q = 1 + 1 = 2 ≠ 0<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Obserwowalność<br />
Przykład 7<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Q =<br />
[<br />
C<br />
CA<br />
A =<br />
]<br />
=<br />
dx 1<br />
dt = −x 2<br />
dx 2<br />
dt = x 2 + u<br />
y = x 2<br />
[<br />
0 −1<br />
0 1<br />
[<br />
0 1<br />
0 1<br />
]<br />
[ ]<br />
; C = 0 1<br />
]<br />
, det Q = 0 + 0 = 0 ≠ 0<br />
rankQ < 2 stąd wynika, że stan nie jest obserwowalny. Stan<br />
jest obserwowalny.<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Obserwowalność<br />
Przykład 7<br />
Rozpatrywany obiekt<br />
dx 1<br />
dt = −x 2<br />
dx 2<br />
dt = x 2 + u<br />
y = x 2<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Przeanalizujmy strukturę problemu aby zrozumieć, dlaczego<br />
stan nie jest obserwowalny. Z równania stanu wynika, że x 1<br />
nie ma wpływu na x 2 (x 1 jest “sterowane” przez x 2 ).<br />
Z równania pomiarowego wynika, że w pomiarze zawarta jest<br />
jedynie informacja o x 2 .<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Obserwowalność<br />
Przykład 8<br />
Rozpatrywany obiekt<br />
dx 1<br />
dt = −x 2<br />
dx 2<br />
dt = x 2 + u<br />
y = x 1<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Ponieważ w y zawarta jest informacja o x 1 zaś x 1 zależy od<br />
x 2 (pierwsze równanie stanu), więc w y zawarta jest<br />
informacja zarówno o x 1 jak i o x 2 . Jest ona ’pomieszana’ ale<br />
się tam znajduje.<br />
Czy CLO potrafi sobie z tym poradzić?<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Obserwowalność<br />
Przykład 8<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Q =<br />
A =<br />
[<br />
C<br />
CA<br />
]<br />
[<br />
0 −1<br />
0 1<br />
=<br />
[<br />
1 0<br />
0 −1<br />
]<br />
[ ]<br />
; C = 1 0<br />
Czyli rankQ = 2, układ jest obserwowalny!<br />
Uwaga<br />
]<br />
, det Q = −1 ≠ 0<br />
Przykład 8 pokazuje jak ważny jest wybór wielkości<br />
mierzonych.<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Projektowanie obserwatora<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
Obiekt:<br />
Pomiary:<br />
dx 1<br />
dt = −7x 1 + x 2 + u<br />
dx 2<br />
dt = −12x 1 + 2u<br />
y = x 1<br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
u<br />
OBIEKT<br />
x<br />
y<br />
pomiar<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Projektowanie obserwatora<br />
Należy zaprojektować obserwator stanu obiektu, którego<br />
jakość działania wymaga biegunów,<br />
λ zad<br />
1,2 = −10 ± 2j<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
Im<br />
2j<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
-10<br />
-2j<br />
Re<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Rysunek 1: Wymagane położenie biegunów obserwatora stanu<br />
Zasada<br />
separowalności
Projektowanie obserwatora<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Bieguny obiektu<br />
[ ]<br />
−7 1<br />
A =<br />
−12 0<br />
[ ]<br />
−7 − λ 1<br />
|A − λI | =<br />
= λ 2 + 7λ + 12 = 0<br />
−12 −λ<br />
Stąd:<br />
λ 1 = −3, λ 2 = −4<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Projektowanie obserwatora<br />
Struktura obserwatora stanu<br />
ˆx 1 , ˆx 2 - estymaty x 1 , x 2<br />
C ˆx - predykcja pomiaru<br />
y − C ˆx = y − ˆx 1 - błąd predykcji<br />
Równania obserwatora<br />
dˆx 1<br />
dt<br />
dˆx 2<br />
dt<br />
= −7ˆx 1 + ˆx 2 + u +<br />
} {{ }<br />
K 1 (y − ˆx 1 )<br />
} {{ }<br />
Open loop człon korekcyjny<br />
= −12ˆx 1 + 2u + K 2 (y − ˆx 1 )<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Projektowanie obserwatora<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Równania obserwatora<br />
Przekształcając równania obserwatora,<br />
dˆx 1<br />
dt<br />
dˆx 2<br />
dt<br />
= (−7 − K 1 )ˆx 1 + ˆx 2<br />
} {{ }<br />
Dynamika wewnętrzna<br />
= (−12 − K 2 )ˆx 1 + 2u + K 2 y<br />
+ u + K 1 y<br />
} {{ }<br />
wejście<br />
Dynamika stanu obserwatora [ ogólnie: A − KC ]<br />
−7 − K1 1<br />
A − KC =<br />
−12 − K 2 0<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Projektowanie obserwatora<br />
Wyznaczanie pożądanych wzmocnień<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Sterowalność<br />
K 1 , K 2 należy wybrać tak aby,<br />
λ o 1(K 1 , K 2 ) = λ zad<br />
1 (K 1 , K 2 ) = −10 + 2j<br />
Czy jest to możliwe?<br />
λ o 2(K 1 , K 2 ) = λ zad<br />
2 (K 1 , K 2 ) = −10 − 2j<br />
Q =<br />
[<br />
C<br />
CA<br />
]<br />
=<br />
[<br />
1 0<br />
−7 1<br />
|Q| = 1, zatem rząd macierzy Q wynosi 2, czyli odpowiada<br />
wymiarowi x. Układ jest obserwowalny.<br />
]<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Projektowanie obserwatora<br />
Wyznaczanie wzmocnień<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Sterowalność<br />
R. charakterystyczne obserwatora<br />
|A − KC − λI | =<br />
∣<br />
−7 − K 1 − λ 1<br />
−12 − K 2 −λ<br />
∣ =<br />
= λ 2 + λK 1 + 7λ + 12 + K 2 =<br />
= λ 2 + (7 + K 1 )λ + 12 + K 2<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Projektowanie obserwatora<br />
Wyznaczanie wzmocnień<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Pożądane równanie charakterystyczne obserwatora<br />
(λ − λ zad<br />
1 )(λ − λ z 2ad) = 0<br />
(λ − (−10 + 2j))(λ − (−10 − 2j)) = 0<br />
λ 2 + 20λ + 104 = 0<br />
Porównując wspołczynniki otrzymamy:<br />
7 + K 1 = 20 → K 1 = 13<br />
12 + K 2 = 104 → K 2 = 92<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Projektowanie obserwatora<br />
Wyznaczanie wzmocnień<br />
Obserwator<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
dˆx 1<br />
dt<br />
dˆx 2<br />
dt<br />
= −7ˆx 1 + ˆx 2 + u + 13(y − ˆx 1 )<br />
= −12ˆx 1 + 2u + 92(y − ˆx 1 )<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
u(t)<br />
Obiekt<br />
y(t)<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
ˆx 1 (t)<br />
obserwator<br />
ˆx 2 (t)<br />
stanu<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Wybór położenia biegunów obserwatora<br />
dla systemu statefeedback - observer<br />
Użytkownik podaje wymagania odnośnie układu sterowania<br />
w dziedzinie czasu,<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Te wymagania przenosimy na zadane położenie biegunów<br />
układu zamkniętego przez prawo sterowania ze sprzężeniem<br />
od stanu<br />
u(t) = u zad (t) − Fx(t)<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Wybór położenia biegunów obserwatora<br />
dla systemu statefeedback - observer<br />
Jeśli stan obiektu nie jest mierzalny to wprowadzamy<br />
obserwator, prawo sterowania przyjmuje wtedy postać<br />
u(t) = u zad (t) − F ˆx(t)<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
c zad (t)<br />
F r<br />
u zad (t)<br />
u(t)<br />
Obiekt<br />
c(t)<br />
y(t)<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
-F<br />
ˆx(t)<br />
obserwator<br />
stanu<br />
twarde<br />
pomiary<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Wybór położenia biegunów obserwatora<br />
dla systemu statefeedback - observer<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
Po to aby system z obserwatorem działał poprawnie<br />
x(t) ≈ ˆx(t), dla każdego t.<br />
Znaczy to, że estymata x(t) musi być dostarczana przez<br />
obserwator szybko!<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Wybór położenia biegunów obserwatora<br />
dla systemu statefeedback - observer<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Im<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
aλ 3<br />
a > 1<br />
λ 3<br />
λ 1<br />
Re<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
λ 2<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
bieguny<br />
obserwatora<br />
bieguny układu<br />
zamkniętego<br />
Zasada<br />
separowalności
Wybór położenia biegunów obserwatora<br />
dla systemu statefeedback - observer<br />
◮ najwolniejszy biegun obserwatora powinien być zatem a<br />
razy szybszy od najszybszego bieguna układu<br />
zamkniętego ze sprzężeniem od stanu,<br />
Na przykład<br />
a > 1<br />
część rzeczywista najszybszego bieguna układu zamkniętego<br />
sprzężeniem od stanu wynosi −4,<br />
Jeżeli założymy a = 4,<br />
to część rzeczywista najwolniejszego bieguna obserwatora<br />
powinna wynosić −16.<br />
Wtedy czas realizacji ˆx(t) ≈ x(t), będzie pomijalny.<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Wybór położenia biegunów obserwatora<br />
dla systemu statefeedback - observer<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Im<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
-18 -16<br />
4<br />
−4<br />
Re<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
bieguny<br />
obserwatora<br />
bieguny ukłdu<br />
zamkniętego<br />
Zasada<br />
separowalności
Zasada separowalności<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Bieguny state-feedback<br />
Λ(A − BF ) wartości własne macierzy A − BF<br />
Bieguny obserwatora<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Λ(A − KC)<br />
wartości własne macierzy A − KC<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Zasada separowalności<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Sterowalność<br />
Problem<br />
Czy wprowadzenie obserwatora do układu<br />
u(t) = u zad (t) − Fx(t)<br />
nie zmieni biegunów układu zamkniętego przez sprzężenie od<br />
stanu, to znaczy<br />
Λ(A − BF )<br />
Odpowiedź na to pytanie daje zasada separowalności<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Zasada separowalności<br />
Dynamika układu zamkniętego, złożonego z obiektu,<br />
sprzężenia od stanu i obserwatora składa się z:<br />
◮ dynamiki obiektu ze sprzężeniem od stanu uzyskanego z<br />
obserwatora,<br />
dx<br />
dt = Ax + Bu| u=−F ˆx<br />
= Ax − BF ˆx<br />
◮ dynamiki obserwatora,<br />
dˆx<br />
dt = Aˆx + Bu + K(y − C ˆx)| u=−F ˆx<br />
= (A − BF − KC)ˆx + KCx<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Zasada separowalności<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Sterowalność<br />
Teraz stan układu zamkniętego[ można ] zapisać jako:<br />
x z = xˆx<br />
dx z<br />
dt<br />
[ ]<br />
A −BF<br />
=<br />
x z<br />
KC A − BF − KC<br />
uzyskana powyżej macierz stanu układu zamkniętego<br />
sugeruje interacje biegunów.<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Zasada separowalności<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Sterowalność<br />
Spójrzmy jednak na dynamikę układu zamkniętego w<br />
przypadku inaczej wybranych [ ] zmiennych stanu,<br />
x z x<br />
= ; e = x − ˆx<br />
e<br />
Należy pamiętać że bieguny nie zależą od reprezentacji w<br />
przestrzeni stanu!<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Zasada separowalności<br />
W nowych współrzędnych stanu<br />
dx<br />
dt<br />
ponadto,<br />
stąd<br />
Λ<br />
= Ax − BF ˆx = Ax − BF (x − e) = (A − BF )x + BFe<br />
dx z<br />
dt<br />
de<br />
dt<br />
([<br />
A − BF BF<br />
0 A − KC<br />
= (A − KC)e<br />
[ ]<br />
A − BF BF<br />
=<br />
x z<br />
0 A − KC<br />
])<br />
= Λ(A − BF ) ∪ Λ(A − KC)<br />
Bieguny układu zamkniętego składają się wyłącznie z<br />
biegunów układu zamkniętego przez sprzężenie od stanu oraz<br />
obserwatora.<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Zasada separowalności<br />
Zasada separowalności umożliwia następującą procedurę<br />
syntezy sterowania s.f - ob.<br />
1. najpierw wyznaczamy F , tak aby spełnić wymagania na<br />
jakość sterowania pętli sprzężenia od stanu<br />
2. później oddzielnie wyznaczamy K tak aby obserwator<br />
był odpowiednio szybki<br />
3. następnie integrujemy s.s. z ob.<br />
u = −Fx −−−−−−→ u = −F ˆx<br />
ˆx(t)→x(t)<br />
Uwaga<br />
Zasada separowalności nie zachodzi dla układów<br />
nieliniowych!<br />
<strong>Sterowanie</strong><br />
<strong>Procesami</strong><br />
<strong>Ciągłymi</strong><br />
prof. dr hab. inż.<br />
Mieczysław Brdyś<br />
Sterowalność<br />
Postać kanoniczna<br />
równań stanu<br />
State feedback -<br />
observer controller<br />
Obserwator bez<br />
sprzężenia<br />
zwrotnego<br />
Obserwator ze<br />
sprzężeniem<br />
zwrotnym<br />
Obserwowalność<br />
Projektowanie<br />
obserwatora<br />
Wybór położenia<br />
biegunów<br />
obserwatora<br />
Zasada<br />
separowalności
Change language