You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
دروس<br />
الرياضيات في محوسبة<br />
توجيهي عشر الثاني<br />
الوحدة األولى : النهايات اإلتصال<br />
األستاذ : خضر عساف األردن<br />
- 2015 عمان –<br />
للتواصل tawjihi@jordan-math.com:<br />
االهداء،<br />
بسم اهلل الرمحن الرحيم<br />
واهلل ويل التوفيق<br />
1
الوحدة األولى : النهايات واإلتصال<br />
ق )س( = ل<br />
s<br />
)1 الرمز :<br />
أ(<br />
ب( س ←h: تعني أنها تقترب على خط األعداد<br />
ق )س( أي اقتران<br />
من جهة يمين العدد h) هذا يعني أن تختار أعداد حقيقية أكبر من ، وقريبة جدا من<br />
ثم من جهة يسار العدد h) هذا يعني أن تختار أعداد حقيقية أصغر من ، وقريبة جدا من<br />
مثال ذلك :<br />
وتقترب<br />
، كلها أعداد أكبر من لو أخذنا العدد )2(<br />
من جهة اليمين<br />
أعداد أصغر من 2 وتقترب من 2 من جهة اليساروبالرمز س ←2<br />
ج( العدد : ل عدد حقيقي<br />
، )h<br />
)h<br />
h<br />
h<br />
h<br />
2 , 00 1 ، 2 , 0 1 ، 2 , 1 :<br />
<br />
وبالرمز : س 2← . واألعداد : 9 ، 1 , 999 ، 1 , 99 ، 1 , كلها<br />
<br />
من 2<br />
2( النظريات : فهم النظريات بشكل جيد<br />
3( طرق إيجاد النهاية :<br />
أ( تكون النهاية موجودة إذا كان ناتج التعويض ( ل ) عددحقيقي<br />
األمثلة : جد نهاية كل مما يأتي<br />
15<br />
s5<br />
s3<br />
5<br />
s4<br />
s3<br />
1<br />
2<br />
6<br />
7<br />
s<br />
s<br />
)2<br />
)4<br />
3<br />
)س – 3س + 11 )<br />
2<br />
s<br />
s s<br />
s 1<br />
9 = 11 + 6 + 8 - = 11 + ) 2 - ( 3 –<br />
=<br />
0<br />
0 =<br />
2<br />
3<br />
7<br />
=<br />
=<br />
3<br />
7<br />
2<br />
0<br />
0 =<br />
6<br />
1 1<br />
<br />
2 2<br />
11<br />
=<br />
52<br />
1<br />
3<br />
2<br />
=<br />
=<br />
=<br />
4<br />
3<br />
)<br />
s<br />
)1<br />
)3<br />
الحل :<br />
2 - ( )1<br />
153 5<br />
33<br />
<br />
4 4<br />
1<br />
4<br />
1<br />
5<br />
<br />
4<br />
2<br />
<br />
1<br />
<br />
3<br />
2<br />
<br />
)2<br />
)3<br />
)4<br />
2
س6<br />
س3<br />
ب( تكون النهاية غير موجودة :<br />
1( إذا كان ق اقتران معرف على [ أ ، ب ] المغلقة ، فإن النهاية عند كل من أ ، ب<br />
غير موجودة ، ألن<br />
s<br />
ق )س( غير موجودة ،<br />
االقتران ينتهي عند يمين العدد أ ، وعند يسار العدد ب<br />
s<br />
ق )س( غير موجودة ، وسلوك<br />
أ(<br />
s<br />
2( إذا كان ناتج التعويض عدد حقيقي غير الصفر مقسوم على صفر<br />
مثال : جد نهاية كل مما يأتي<br />
4<br />
s<br />
2<br />
s<br />
الحل : أ( ناتج التعويض<br />
ب( ناتج التعويض<br />
3( إذا كان عند أ قفزة<br />
مثال : جد نهاية ما<br />
أ( إذا كان ق )س( =<br />
ب(<br />
2<br />
s 3<br />
s 21<br />
3<br />
s<br />
6<br />
0<br />
=<br />
42<br />
=<br />
22<br />
2<br />
<br />
3 3<br />
3<br />
21<br />
يأتي<br />
النهاية غير موجودة<br />
0<br />
=<br />
1 2 1<br />
2<br />
= النهاية غير موجودة<br />
ق<br />
عند س = 1 ( إن امكن )<br />
س < 1<br />
س = 1<br />
س > 1<br />
،<br />
،<br />
2 –<br />
، 2 +<br />
5<br />
2<br />
2<br />
2-<br />
1-<br />
1<br />
ب( من الرسم المجاور جد نهاية ما يأتي لالقتران<br />
ق )س( عند س =<br />
الحل : أ(<br />
1 2<br />
5 = 2 +<br />
2<br />
)1(<br />
× 3 (<br />
<br />
s<br />
2 ، 1 -<br />
، 4 = ) 2 – 1 × 6 (<br />
<br />
s<br />
س<br />
s<br />
ق )س( ،<br />
s<br />
ق )س( ≠<br />
s<br />
بما أن<br />
ق )س( غير موجودة<br />
ق )س( = 1<br />
s<br />
ق )س( = 2 ،<br />
s<br />
ب( من الرسم نالحظ أن<br />
s<br />
النهايتان غير متساويتان ،<br />
ق )س( غير موجودة<br />
.<br />
كما نالحظ من الرسم :<br />
،<br />
ق )س( = 1<br />
s<br />
(<br />
، من اليمين واليسار .<br />
ج( ال نسنطيع الحكم مباشرة إذا كان ناتج التعويض<br />
، ... ،<br />
0<br />
∞ × 0 ، ∞ ،<br />
0<br />
ناتج التعويض كمية غير معرفة )<br />
3
س3<br />
س6<br />
س5<br />
س5<br />
– 6 س5<br />
=<br />
4 1 <br />
<br />
2 <br />
4<br />
s 2s<br />
<br />
1 1 1 <br />
<br />
2<br />
s 2 s <br />
1 1 1 <br />
<br />
5<br />
s 5 s <br />
األمثلة : جد نهاية كل مما يأتي :<br />
∞ -<br />
s<br />
s<br />
s<br />
1( جمع الكسور: أ(<br />
ب(<br />
ج(<br />
الحل : أ( ناتج التعويض ∞<br />
في حالة هذا السؤال نجمع الكسور<br />
42s<br />
<br />
= 2 <br />
4<br />
s s<br />
2<br />
s <br />
<br />
2s2s<br />
<br />
<br />
<br />
=<br />
1 s 2<br />
<br />
2<br />
s s2 <br />
1<br />
25<br />
=<br />
1<br />
<br />
<br />
s5<br />
<br />
s<br />
s<br />
=<br />
s<br />
=<br />
4 1 <br />
<br />
2 <br />
4<br />
s 2s<br />
s<br />
2<br />
s <br />
<br />
2s2s<br />
<br />
s<br />
<br />
<br />
1 1 <br />
=<br />
4<br />
<br />
2<br />
s<br />
<br />
<br />
s<br />
=<br />
: ) ∞ × 0<br />
ب( ناتج التعويض (<br />
1 1<br />
<br />
= <br />
4 s2<br />
1 s 5<br />
<br />
5<br />
s s5 <br />
s<br />
s<br />
ج(<br />
2( التحليل إلى العوامل :<br />
يجب إتقان ما يأتي : حلل إلى العوامل ما يأتي:<br />
د( س + ص<br />
ج( س – ص بطريقتين مختلفتين ب( س أ( س ح( س<br />
ز( س و( س<br />
ه( س<br />
ك( 2س<br />
ي( 24س ط( 5س 2<br />
-<br />
– 4س 3+<br />
2<br />
6 –<br />
–<br />
3<br />
+<br />
2<br />
– 5س + 6<br />
2<br />
9 – –<br />
2<br />
3<br />
64 – 9 –<br />
+ 5س + 6<br />
2<br />
2 – –<br />
2<br />
2<br />
s<br />
2<br />
) س + 4س + 16 )<br />
– 3 ) ( س + 3 ) ب( ( س – 4<br />
،<br />
<br />
w<br />
s<br />
<br />
w<br />
s<br />
الحل : ا( ( س<br />
ج( <br />
يسمى كل قوس مرافق الثاني التربيعي<br />
مترافقان تكعيبيان<br />
3 3<br />
3<br />
2 3 2<br />
w w s s<br />
<br />
3 3<br />
3<br />
2 3 2<br />
w w s s<br />
<br />
<br />
w<br />
<br />
<br />
w<br />
3 3<br />
s<br />
<br />
3 3<br />
s<br />
د( <br />
مترافقان تكعيبيان<br />
ه( ( س + 2 ) ( س + 3 ) و( ( س - 2 ) ( س - 3 ) ز( ( س+ ) 6 ( س- ) 1<br />
ح( ( س- ) 6 ( س+ ) 1 ط( ( 5س + 2 ) ( س – )1 ي( ( 12س- ) 9 ( 2س )1+<br />
ك( هذه تحلل بأخذ الحد المطلق ( 3 ) نحلله ونعوض في المقدار حتى نحصل على الصفر<br />
4
س7 س2<br />
س = 1 : الناتج ( - 3 ) ، س = - 1 : الناتج = صفر← ( س – ( - 1 )) = س + 1<br />
2<br />
عوامل المقدار ، بالقسمة التركيبية أو القسمة الطويلة نحلل ( س + 1 ) ( – – 3 )<br />
المقدار الثاني يحلل على القانون : س =<br />
أحد<br />
2<br />
9<br />
3 s<br />
s<br />
2<br />
25<br />
1s2<br />
<br />
2<br />
s<br />
2 3 4<br />
3 s4 s3 s<br />
2<br />
1<br />
s<br />
2<br />
[h4 f f<br />
<br />
h2<br />
73 7<br />
)<br />
4<br />
s<br />
s<br />
s<br />
) ( س -<br />
2449 7<br />
4<br />
73 7<br />
) ( س -<br />
4<br />
س =<br />
التحليل ( س + 1<br />
األمثلة : جد نهاية كل مما يأتي :<br />
2<br />
6s s<br />
s2<br />
2<br />
s<br />
s<br />
2<br />
1<br />
s<br />
s18 s6<br />
s3 s2<br />
s<br />
أ(<br />
ج(<br />
ب(<br />
د(<br />
2 4<br />
3 2<br />
s<br />
s<br />
ه(<br />
و(<br />
الحل :<br />
أ(<br />
ناتج التعويض في كل سؤال من األسئلة السابقة =<br />
أو عدم وجودها<br />
0<br />
، ال نستطيع الحكم بوجود النهاية<br />
0<br />
=<br />
2s3 s<br />
= - ( س + 3 ) = - 5<br />
s s2<br />
3 3 s3 3 s<br />
= ( س + 6 ) = 6<br />
s<br />
s<br />
1 s 1<br />
ss<br />
= =<br />
2 1<br />
s<br />
s 1s 1s<br />
<br />
2s6 s2<br />
2 51<br />
s2 51<br />
s2<br />
=<br />
2<br />
s<br />
s 2<br />
s<br />
9 =<br />
<br />
<br />
2<br />
3 s 6<br />
s3 2<br />
s<br />
=<br />
( 2 2س + 6 ) = 20<br />
<br />
<br />
2 2<br />
3 s s6<br />
s3 2<br />
2<br />
s<br />
s<br />
s<br />
s<br />
s<br />
s<br />
s<br />
ب(<br />
ج(<br />
د(<br />
ه(<br />
5
s<br />
2 3<br />
3 s8 s4 s1<br />
s<br />
=<br />
1s 1s<br />
<br />
s<br />
2 3<br />
3 s8 s4 s<br />
8 =<br />
1<br />
s<br />
<br />
w<br />
s<br />
<br />
و(<br />
3( الضرب بالمرافق التربيعي :<br />
مرافق تربيعي<br />
والعكس صحيح<br />
s s 4<br />
s2<br />
s<br />
2<br />
s 8<br />
s<br />
s4<br />
s<br />
0<br />
)<br />
0<br />
2 2<br />
s2 1 s 1<br />
<br />
w<br />
s<br />
األمثلة : جد نهاية كل مما يأتي إن أمكن :<br />
s2 1 s 1<br />
2<br />
s<br />
3<br />
2s3 s<br />
22s<br />
2 2<br />
s<br />
<br />
<br />
أ(<br />
ج(<br />
الحل : الحظ أن ناتج التعويض في كل األمثلة =<br />
ب(<br />
د(<br />
( الضرب بالمرافق التربيعي<br />
=<br />
s2 1 s 1<br />
2 2<br />
×<br />
s2 1 s 1<br />
2<br />
s<br />
2 2<br />
s<br />
s<br />
أ(<br />
=<br />
<br />
2<br />
s s 4<br />
s<br />
=<br />
3<br />
2<br />
<br />
=<br />
s2 1<br />
s 1<br />
2 2<br />
s2 1 s 1 s<br />
2 2 2<br />
<br />
<br />
2<br />
s3<br />
s2 1 s 1 s<br />
2 2 2<br />
3<br />
s2 1 s 1<br />
2 2<br />
s s 4<br />
s s 4<br />
×<br />
s s 4<br />
s2<br />
s<br />
s2 4<br />
=<br />
=<br />
s<br />
s<br />
s s 4 s 2<br />
1 2<br />
=<br />
2 2 2<br />
<br />
<br />
<br />
s<br />
s<br />
=<br />
ب(<br />
6
=<br />
<br />
<br />
s<br />
s<br />
=<br />
3<br />
2s3 s<br />
× 2 2 s<br />
22s<br />
22s<br />
s<br />
22 s 1 s2 2 s 2<br />
s<br />
=<br />
ج(<br />
<br />
36 =<br />
42s<br />
2<br />
22 s 1 s2 s<br />
<br />
2<br />
s 8<br />
s<br />
2<br />
s 8<br />
s<br />
=<br />
×<br />
2<br />
s 8<br />
s s4<br />
2<br />
4<br />
16 s4 s4 ss<br />
s64 s<br />
=<br />
2<br />
s<br />
2<br />
s 8<br />
ss 4<br />
s 8<br />
ss 4<br />
3 3<br />
3<br />
2 3 2<br />
w w s s<br />
3 3<br />
3<br />
2 3 2<br />
w w s s<br />
3<br />
8 - =<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
w<br />
w<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
16 s4 s s<br />
<br />
2<br />
s 8<br />
s<br />
3 3<br />
s<br />
3 3<br />
s<br />
<br />
<br />
s<br />
د(<br />
s<br />
s<br />
المرافق التكعيبي :<br />
كل منهما مرافق تكعيبي لآلخر<br />
األمثلة : جد نهاية كل مما يأتي :<br />
3<br />
7s 2<br />
2s3 s<br />
3<br />
3<br />
3 s3 s<br />
26s<br />
0<br />
0<br />
3 3<br />
2<br />
3<br />
46 s 2 6<br />
s<br />
2s3 s<br />
=<br />
3 ×<br />
3 3<br />
2<br />
46 s 2 6<br />
s<br />
26s<br />
3 3<br />
2<br />
46 s 2 6 s<br />
1 s2 2 s2<br />
s<br />
=<br />
86s<br />
3 3<br />
2<br />
108 = 46 s 2 6 s<br />
1 s2 <br />
2 s<br />
=<br />
2<br />
2<br />
s<br />
أ(<br />
الحل : ناتج التعويض (<br />
أ(<br />
ب(<br />
) ، ظهور الجذر الثالث نفكر بالمرافق التكعيبي<br />
3 3<br />
7 s<br />
7 s 24<br />
3 ×<br />
3<br />
7 s<br />
7 s 24<br />
3<br />
7s 2<br />
3<br />
3 s3<br />
s<br />
s<br />
s<br />
s<br />
ب(<br />
7
108<br />
7s 8<br />
=<br />
<br />
3<br />
2<br />
3 2<br />
7 s<br />
7 s 241 s s1<br />
s3<br />
1<br />
1<br />
=<br />
3<br />
2<br />
3<br />
108<br />
2<br />
7 s<br />
7 s 24 1 s s 3<br />
<br />
األستبدال : يمكن إستعمال األستبدال في حاالت معينة<br />
األمثلة : جد نهاية كل مما يأتي :<br />
4<br />
3<br />
2s3 s<br />
3<br />
2<br />
s<br />
16<br />
s s 26s<br />
0<br />
)<br />
0<br />
3<br />
= 6 ص ← ص<br />
s<br />
2<br />
s<br />
× 5 =<br />
3<br />
26s<br />
4 w2 2 w2<br />
w<br />
s<br />
s<br />
s<br />
)4<br />
أ(<br />
ناتج<br />
ب(<br />
= س+6 ، س←2 ، ص ← 2 ( بالتعويض )<br />
3<br />
26<br />
w<br />
2<br />
w<br />
2<br />
( ص + 2ص + 4 ) =<br />
) 2 - ( ، )<br />
=<br />
4<br />
، ص = س ،<br />
=<br />
× 5 =<br />
2<br />
w<br />
s<br />
4<br />
16<br />
w<br />
2<br />
w<br />
2 w2 w4 <br />
2 w<br />
4<br />
التعويض (<br />
3<br />
2<br />
)س + 2س + 1 ) ×<br />
2<br />
w<br />
2<br />
s<br />
16<br />
s<br />
، نستبدل ص =<br />
4<br />
الحل :<br />
أ( نستبدل<br />
s<br />
× 5 =<br />
s<br />
ب(<br />
س ← 16 ، ص ← 2 ( بالتعويض ) :<br />
1<br />
32<br />
=<br />
=<br />
2<br />
w<br />
4 <br />
2 w4 <br />
2 w<br />
1<br />
2w4 <br />
2 w<br />
يمكن استخدام جمع مقدار معين وطرحه من البسط أو المقام حسب اللزوم<br />
sr<br />
s2<br />
1<br />
s<br />
s<br />
s3 1 7 s<br />
1<br />
s<br />
sr 2<br />
3 =<br />
1<br />
s<br />
0<br />
)<br />
0<br />
، جد<br />
3<br />
s<br />
أ(<br />
s<br />
ب( إذا كان<br />
)5<br />
مثال :<br />
الحظ أن ناتج التعويض (<br />
الحل: أ( ) في أي من الجذرين يكون الناتج في هذا السؤال إما ( 2<br />
نضيف للبسط )2 ) ونجمع في نفس الوقت للبسط )- 2 ) حتى ال تتغيرقيمته<br />
نعوض ( - 1<br />
8
، نكتب الكسر على صورة كسرين<br />
s3 1 227<br />
s<br />
1<br />
s<br />
3<br />
s<br />
، ثم نحل كل واحد على حدة<br />
s3 1 2<br />
1<br />
s<br />
0<br />
، الحظ أن ناتج التعويض ( )<br />
0<br />
s<br />
+<br />
27s<br />
1<br />
s<br />
بالضرب بالمرافق المنا سب لكل حالة<br />
27s<br />
×<br />
1<br />
s<br />
87s<br />
=<br />
<br />
3 3<br />
<br />
2<br />
47 s 2 7 s 1<br />
s <br />
1<br />
=<br />
3 2<br />
47 s 2 7<br />
s<br />
1<br />
الجواب األول<br />
12<br />
<br />
بالمرافق التكعيبي<br />
0<br />
بالمرافق التربيعي، الحظ أن ناتج التعويض ( ) =<br />
0<br />
1<br />
s3<br />
=<br />
s3 1 21<br />
s<br />
2<br />
3<br />
- =<br />
×<br />
3<br />
3<br />
3<br />
<br />
s3 1 2<br />
1<br />
s<br />
s3 1<br />
4<br />
=<br />
s3 1 21<br />
s<br />
3 3<br />
- =<br />
4 s3 1 2<br />
9 1 3 1<br />
= - = -<br />
12 12 4 12<br />
sr 22<br />
s2<br />
1<br />
s<br />
s<br />
ق )س( =<br />
الجواب الثاني<br />
8<br />
12<br />
-<br />
s<br />
s<br />
s<br />
s<br />
=<br />
s<br />
s<br />
s<br />
s<br />
s<br />
ب(<br />
كسرين مع تأكدنا أن النهاية موجودة لكل كسر منهما<br />
، الحظ جمعنا وطرحنا )2( للبسط ثم نجعل الكسر<br />
sr 2<br />
1<br />
s<br />
1 =<br />
s<br />
s<br />
s<br />
s<br />
+<br />
، 1 =<br />
2<br />
s2<br />
1<br />
s<br />
s<br />
s<br />
s<br />
5 = 3+2 = 3 + 2<br />
s<br />
s<br />
1<br />
s2<br />
= 3 +<br />
1<br />
s<br />
6( نهاية االقترانات الدائرية : ال بد من معرفة النظريتان<br />
حيث س بالتقدير الدائري ، يجب أن تعلم المتطابقان اآلتية :<br />
أ( جا س + جتا ب( 1+ ظا س = قا س ج( 1+ظتا<br />
2<br />
س = قتا س<br />
2<br />
2<br />
2<br />
س = 1<br />
2<br />
2<br />
s<br />
=<br />
9
س│<br />
s<br />
s<br />
1<br />
s<br />
1<br />
=<br />
s<br />
- س )<br />
2<br />
1<br />
s<br />
د( جا س = جتا (<br />
و( ظتا س =<br />
ز( قا س =<br />
ه( ظا س =<br />
ح( قتا س =<br />
1 –<br />
س =<br />
1<br />
s<br />
s<br />
s<br />
ط( جا )2س( = 2 جا س جتا س<br />
س<br />
س<br />
ي( جتا )2س( = جتا ل( + 1 جتا )2س( = 2 جتا<br />
س جتا )2س( = س( جا س = جا (<br />
ومنها نستنتج :<br />
2<br />
2<br />
س = 2 جتا<br />
2<br />
2 2<br />
– جا س = 1 - 2 جا<br />
2<br />
2 جا<br />
- س( = - جا ( + س( =<br />
- س( = - جا ( - س( = جا 2( + س(<br />
- جتا ( - س( = - جتا ( + س( =<br />
- س( = جتا ( - س( = جتا 2( + س(<br />
=<br />
ك( 1-<br />
- جا ( 2<br />
ع( جتا س =<br />
جتا ( 2<br />
وعندما نجد نهاية االقترانات الدائرية نتبع األسلوب السابق مضافا اليه إستخدام المتطابقات<br />
s2 1<br />
s2<br />
2<br />
s s2 1<br />
s4<br />
s<br />
s<br />
s 2 1<br />
s 2 1<br />
s<br />
2<br />
s<br />
s<br />
│<br />
=<br />
2 s<br />
s2 1<br />
s s<br />
11<br />
s2 44<br />
s s<br />
جد نهاية كل مما يأتي : تذكر جيدا<br />
s<br />
s 1<br />
s<br />
<br />
األمثلة :<br />
s<br />
أ(<br />
د(<br />
ه(<br />
ب(<br />
ج(<br />
و(<br />
4<br />
s<br />
s6 1<br />
1<br />
s8<br />
s<br />
s<br />
s<br />
2 s<br />
s2 1<br />
2<br />
s6<br />
2<br />
s<br />
s<br />
ز(<br />
ي(<br />
ح(<br />
ك(<br />
ط(<br />
ل(<br />
2<br />
s s8 1<br />
+<br />
)<br />
s10<br />
0<br />
0<br />
2<br />
s<br />
s<br />
s<br />
1<br />
s<br />
الحل : الحظ أن ناتج التعويض في كل األسئلة = (<br />
األسلوب األول : الضرب بالمرافق مع العلم أن س ←<br />
تكون الزاوية في الربع الثالث وهذا يعني أن جيب وجتا الزاوية سالبين .<br />
s<br />
2<br />
s 1<br />
s 1<br />
s<br />
<br />
s<br />
=<br />
s 1<br />
s 1<br />
×<br />
s 1<br />
s<br />
<br />
s<br />
أ(<br />
10
=<br />
=<br />
s<br />
2<br />
s<br />
s 2<br />
2<br />
s<br />
2<br />
2<br />
1 s<br />
- =<br />
<br />
s<br />
2<br />
<br />
<br />
=<br />
s<br />
<br />
موجب ) =<br />
s<br />
s<br />
s<br />
<br />
1 s<br />
2<br />
2<br />
s 1<br />
<br />
s<br />
s<br />
=<br />
2<br />
s s s<br />
2 2<br />
( الحظ أن التعويض في<br />
الجذرين ينتج عدد<br />
<br />
s<br />
1<br />
- =<br />
2<br />
<br />
s<br />
<br />
=<br />
s<br />
- =<br />
s<br />
1 s<br />
1<br />
s 1<br />
<br />
<br />
s<br />
s<br />
=<br />
اآلسلوب اآلخر المتطابقات : الحل<br />
s<br />
=<br />
s<br />
2<br />
s<br />
s2 1<br />
s s<br />
2<br />
s2 1<br />
s2 1 s s<br />
<br />
s<br />
s<br />
ب(<br />
( يمكن إستخدام أحد األسلوبين السابقين ) عند الضرب بالمرافق ينتج<br />
2<br />
s2<br />
=<br />
s s2<br />
s<br />
=<br />
<br />
<br />
s<br />
=<br />
=<br />
s 2<br />
s2<br />
s<br />
s<br />
s<br />
s<br />
=<br />
s<br />
×<br />
2<br />
s 2<br />
s2<br />
s2<br />
s2<br />
s<br />
=<br />
s2 s2<br />
s s2<br />
2 جتاس = 1 × 2 = 2<br />
s<br />
s2 1<br />
s2<br />
s 2<br />
s2<br />
s 2<br />
s2<br />
s2 1<br />
s2<br />
=<br />
s<br />
× 1<br />
s<br />
s<br />
ج(<br />
وهذا<br />
ق )س( )<br />
s<br />
( ألن جاس موجب في الربع األول ) = 1<br />
الربع الرابع ) = - 1<br />
ق )س( ≠<br />
( ألن جاس سالب في<br />
= غير موجودة ( ألن<br />
s<br />
<br />
<br />
s<br />
s<br />
s<br />
إما =<br />
أو =<br />
ومنها<br />
11
2<br />
-<br />
<br />
s<br />
<br />
<br />
2 <br />
s<br />
2<br />
2<br />
s<br />
=<br />
s<br />
2 s<br />
2<br />
s<br />
د(<br />
، نفرض ص = س<br />
=<br />
<br />
1 - =<br />
<br />
s 2 4<br />
s s<br />
2 1<br />
w<br />
s<br />
=<br />
=<br />
w<br />
1<br />
s2 1 4<br />
s s<br />
← صفر ،<br />
s<br />
=<br />
2<br />
11<br />
s2 44<br />
s s<br />
عندما س ←<br />
ه(<br />
ص<br />
s<br />
9<br />
16<br />
- =<br />
1 s s 1<br />
- = ×<br />
-<br />
2 s s s s 2<br />
2<br />
2<br />
s2 s 1<br />
s s2 1<br />
=<br />
=<br />
s4<br />
s s4<br />
s<br />
2<br />
s s s<br />
s s 2<br />
s<br />
=<br />
=<br />
s4<br />
s s4<br />
s<br />
1 1<br />
s<br />
× – 2 جتا س ) = × ( - 2 ) = -<br />
2 4<br />
s s4 s<br />
2<br />
2<br />
1 s 1<br />
s 2 s2 1<br />
=<br />
=<br />
=<br />
s<br />
2<br />
s<br />
2<br />
3<br />
<br />
s<br />
<br />
3 s6 s6 s<br />
<br />
2<br />
s3<br />
s3 s6 1<br />
<br />
=<br />
=<br />
2<br />
s4<br />
<br />
s s4<br />
s 1<br />
s8 s<br />
<br />
1<br />
s<br />
<br />
2<br />
2 s 2 1<br />
=<br />
=<br />
s 1<br />
s s 2 1<br />
s<br />
s<br />
<br />
4<br />
2<br />
4<br />
4<br />
2 <br />
1 1<br />
s<br />
<br />
s<br />
<br />
<br />
s <br />
<br />
2 <br />
4 2 4 2<br />
4 <br />
=<br />
=<br />
1 1<br />
s<br />
s<br />
<br />
s<br />
<br />
2<br />
<br />
s <br />
<br />
4 <br />
4 2 4 2<br />
4 <br />
2<br />
ز(<br />
و(<br />
ح(<br />
ط(<br />
( جا س<br />
12
س3<br />
=<br />
<br />
<br />
<br />
1 - =<br />
4<br />
<br />
s<br />
s <br />
1<br />
s<br />
- ظتا<br />
4<br />
s<br />
s<br />
=<br />
=<br />
4<br />
4 <br />
4<br />
<br />
<br />
s<br />
<br />
1<br />
s<br />
s<br />
s<br />
=<br />
1<br />
s<br />
<br />
<br />
4 2<br />
1<br />
s<br />
<br />
<br />
4 2<br />
s<br />
=<br />
s<br />
s<br />
1<br />
s<br />
<br />
4<br />
s<br />
s<br />
ي(<br />
1<br />
s<br />
<br />
s<br />
،<br />
3 5s<br />
2<br />
2<br />
s<br />
– 4س + )1<br />
) ] 5 +<br />
، نفرض ص =<br />
=<br />
=<br />
<br />
s<br />
1 16<br />
-<br />
5 5<br />
s2<br />
2<br />
s<br />
3 =<br />
2<br />
s<br />
<br />
s s<br />
s s <br />
=<br />
1<br />
s<br />
s 1<br />
s<br />
s<br />
=<br />
w ws<br />
2<br />
s4<br />
s s8 1<br />
=<br />
2<br />
s<br />
2<br />
s10<br />
s10<br />
2<br />
2<br />
s 1<br />
s4 1<br />
<br />
-<br />
s<br />
<br />
5 s<br />
<br />
s<br />
<br />
<br />
5<br />
s 2<br />
s<br />
=<br />
=<br />
s 2<br />
s<br />
s 2<br />
s<br />
2 2<br />
=<br />
0 ←<br />
1<br />
( س<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
1<br />
s<br />
1<br />
s<br />
– ص )<br />
– ص )<br />
- 1 = س ص <br />
نفرض أن ص = 2 + س ، س ← - 2<br />
s<br />
s<br />
s<br />
s<br />
س<br />
ك(<br />
ل(<br />
ص<br />
=<br />
w<br />
أمثلة أخرى على النهايات : تذكر أن :<br />
( س + ص ) جا<br />
1<br />
( س + ص ) جا<br />
2<br />
1<br />
2<br />
– جاص = 2جتا<br />
– جتا ص = - 2جا<br />
جا س<br />
=<br />
)7<br />
جتا س<br />
أ( جد<br />
ب( جد<br />
)س<br />
ج( جد<br />
(<br />
s<br />
s<br />
2<br />
1<br />
s<br />
1<br />
s<br />
ق ( 2س + 3 ) = 2 ، ق )5( = 3 ، جد<br />
s<br />
s<br />
د( إذا كان<br />
ه( إذا كان<br />
، فما قيمة<br />
)س( ق2<br />
s<br />
3<br />
[ + ) 1 –<br />
( ق (<br />
s<br />
ق )س( = 7<br />
s<br />
13
س3<br />
س3<br />
س3<br />
س3<br />
، ب<br />
s2 s2 i<br />
i<br />
h<br />
1 =<br />
2<br />
2sf2 sh<br />
1<br />
s<br />
s s i<br />
i<br />
0<br />
0<br />
s<br />
و( إذا كان<br />
ز( جد<br />
أ( الحظ أن ناتج التعويض = (<br />
مجال البسط س ≥ 1<br />
ح(<br />
، جد قيمة كل من<br />
) ، مع وجود الجذر الزوجي ( التربيعي ) ، هنا ال بد من الحذر<br />
<br />
، مجال المقام س ≥ 1 مجال الكسر س > 1<br />
s<br />
، س ≤ - 1<br />
غير موجودة ( ألن<br />
ق )س( غير موجودة<br />
2<br />
1<br />
s<br />
1<br />
s<br />
2<br />
1<br />
s<br />
1<br />
s<br />
s<br />
s<br />
ب(<br />
، هنا بحث المجال يختلف عن سابقه<br />
حيث إشارة البسط سالبة بين الجذرين ( ) فقط ، أما المقام فموجب عندما س > 1<br />
وسالبة عندما س < 1 ، وبقسمة إشارة البسط على المقام يكون مجال الكسر كله<br />
، من ذلك نالحظ أن االقتران معرف على يمين ويسار ( 1<br />
)<br />
2<br />
=<br />
1<br />
s<br />
1 ، 1 -<br />
s<br />
س > 1 ، - 1 ≤ س < 1<br />
1s 1s<br />
<br />
=<br />
1<br />
s<br />
3 5s<br />
2<br />
2<br />
s<br />
s<br />
s<br />
ج(<br />
0<br />
، الحظ أن ناتج التعويض ليس (<br />
) ، وعند التعويض في الجذر<br />
0<br />
يكون الناتج = صفر ، إذا هنا ال بد من الحذر والدراسة الجيدة ، بالتدقيق في السؤال نجد أن<br />
– 4س + )1<br />
s<br />
مجال الجذر التربيعي س ≥ 5 ، وهذا يعني أن<br />
ق )س( غير موجودة<br />
ق )س( غير موجودة ، إذا<br />
2<br />
(<br />
s<br />
ق ( 2س + 3 ) = 2 ، ق )5( = 3 ، جد<br />
s<br />
s<br />
د( إذا كان<br />
نفرض أن ص = 2س + 3<br />
ق2<br />
ص س<br />
)س(<br />
ق )ص( = 2<br />
( - 4س + 1 ) =<br />
=) ] 5 +<br />
s<br />
3<br />
1 –<br />
s<br />
[ + ) 1 –<br />
ق )ص( = 7<br />
5 ←<br />
)ص( +<br />
( ق (<br />
2<br />
(<br />
1 ←<br />
s<br />
– 4س + )1 =<br />
2<br />
)س( ق2<br />
ق2<br />
s<br />
+ 5 ] ) نفرض أن ص =<br />
s<br />
= ) 1 –<br />
ق )س( = 7<br />
(<br />
s<br />
5 = 1 + 4 – 8<br />
s<br />
ه( إذا كان<br />
، فما قيمة<br />
s<br />
3<br />
( ق (<br />
[<br />
s<br />
s<br />
+ ) 1 –<br />
ص 5 ←<br />
( ق (<br />
s<br />
س ← 2<br />
14
سh<br />
] ) مالحظة : نعوض العدد )2( في داخل القوس يكون الناتج إما<br />
عدد صحيح أو كسر ، فإذا كان عدد صحيح فإن النهاية من اليمين ≠ النهاية من اليسار<br />
أن النهاية غير موجودة ،وإما إذا كان ناتج التعويض في داخل القوس عدد كسري فإن النهاية<br />
2<br />
5 = ] 5 +<br />
3<br />
[ = ) ] 5 +<br />
h<br />
s<br />
3<br />
[<br />
s<br />
5 +<br />
s<br />
3<br />
موجودة = [ للعدد الناتج من التعويض ] <br />
1 =<br />
2<br />
2sf2 sh<br />
1<br />
s<br />
[<br />
s<br />
المطلوب = 7 + 5 = 12<br />
s<br />
و( إذا كان<br />
، جد قيمة كل من<br />
، ب ، بما أن البسط<br />
كثير حدود ونهاية الكسر موجودة ،وناتج التعويض في المقام = صفرهذا يعني<br />
s<br />
) أحد عوامل البسط 2(<br />
البسط = صفر ومنها<br />
+ 2ب + 2 = صفر ......... ( 1 )<br />
h<br />
+ 2ب س + 2 ) = صفر <br />
2<br />
)1 ( س – 1<br />
( سh<br />
s<br />
2 –<br />
2sh1 s<br />
=<br />
1<br />
s<br />
1 = 2 -h 1 = )2 –<br />
5<br />
2<br />
( سh<br />
s<br />
1 =<br />
2<br />
2sf2 sh<br />
1<br />
s<br />
... ( 2 ) 2ب + 3 + 2 = صفر ب = -<br />
s s i<br />
i<br />
s<br />
3 =h <br />
ز( جد<br />
=<br />
i 1 s2 i<br />
1<br />
2 2 s s i<br />
=<br />
i<br />
i<br />
1<br />
i<br />
1<br />
= 2 2 جتاس ×<br />
2 جتاس ×<br />
2 i<br />
= جتا س<br />
=<br />
i 1 s4 i<br />
1 2<br />
2 2<br />
i<br />
=<br />
s2 s2 i<br />
i<br />
ح(<br />
15
س4<br />
=<br />
1<br />
2<br />
= - 2 جا 2س ×<br />
1<br />
i 2<br />
i<br />
- 2 جا 2س ×<br />
- جا 2س<br />
8( اإلتصال عند نقطة<br />
مالحظة : إذا كان االقتران ق معرف على الفترة ]h، ب ] ، يجب التمييز بين أن النقطة<br />
تكون طرفا أو داخل الفترة ، وهذا يعني التمييز بين س = ، س = ب من جهة و س = ج<br />
حيث ج<br />
يجب أن نعرف عن االقتران أنه يكون غير متصل عند أي نقطة إذا تحقق واحد من الثالثة اآلتية<br />
1( االقتران ق غير معرف عند تلك النقطة 2( نهاية االقتران عند تلك النقطة غير موجودة<br />
3( صورة االقتران عند تلك النقطة ≠ نهاية االقتران عند تلك النقطة<br />
فإذا لم يتحقق أي شرط من الشروط السابقة يكون االقتران متصل عند تلك النقطة<br />
لذلك أي اقتران معرف على فترة مغلقة يكون هذا االقتران غير متصل عند األطراف ولكن<br />
.<br />
h<br />
، ب )<br />
h<br />
(<br />
إذا كانت ق )h<br />
= )<br />
ق )س( نقول أن ق)س( متصل على يمين العدد<br />
h<br />
وإذا كانت ق )ب( =<br />
ق )س( نقول أن ق)س( متصل على يسار العدد ب<br />
وهذا يعني أن ق متصل عند س = ح <br />
ق )ح(=<br />
s<br />
ق )س(<br />
أما اإلتصال على فترة فنبحث اإلتصال عند األطراف ، ثم نبحث اإلتصال عند نقاط التشعيب بعد<br />
إعادة التعريف إذا لزم األمر ، ثم عند الفترات الداخلية ، نظريات األتصال كلها مبرهنة وبسيطة<br />
ابحث في اتصال ق على<br />
] 3 ، 2 - [<br />
، ≤2- س < 0<br />
، 0 ≤ س < 3<br />
+<br />
األمثلة :<br />
)1<br />
إذاكان ق )س( =<br />
، س = 3<br />
6<br />
، ابحث في اتصال ق على<br />
] 2 ، 1 - [<br />
س < 0<br />
س ≤ 2<br />
≤1-<br />
[ س ] + س ،<br />
2<br />
س + س ، 0 ≤<br />
)2<br />
إذا كان ق )س( =<br />
3( إذا كان ق )س( =<br />
، س < 0 ابحث في اتصال ق على ح<br />
، 0 ≤ س < 2<br />
س + 2<br />
[ س + 2 ]<br />
- 7 + س ، س ≥ 2<br />
اقترانا متصال عند س = 1<br />
جد قيمة كل من أ ، ب<br />
2 ،<br />
4( إذا كان ق )س( =<br />
أ س<br />
س3<br />
أ ب س<br />
– ب ، س ≤ 1<br />
2 < 1 ،<br />
2<br />
- ، س ≥ 2<br />
س><br />
، س ≠ 3<br />
، س = 3<br />
16<br />
2 -
5( إذا كان ق )س( =<br />
متصال عند س = 3 ، فجد قيمة ج<br />
1( كثير الحدود متصل عند أي نقطة من نقاطه<br />
2( اقتران القيمة المطلقة متصل عند أي نقطة من نقاطه<br />
3( االقتران النسبي متصل عند أي نقطه من نقاطه عدى أصفار المقام<br />
4( اقتراني الجيب والجتا متصلين عند أي نقطة من نقاطهما<br />
5( اقتران أكبر عدد صحيح يجب إعادة تعريفه قبل الحكم باتصاله أو عدمه<br />
مالحظات :<br />
متصل عندها ألن<br />
ق )س( غير موجودة<br />
الحل : )1 عند س = - 2 ، غير<br />
) 1 -<br />
ق )3( = 6 ،<br />
4 = ق )س( <br />
ق )س( = 1 ≠<br />
)<br />
s<br />
، نالحظ أن<br />
عند س = 3<br />
ق )س( غير متصل على يسار العدد ( 3<br />
ق )س( = - 1 ،<br />
ق )س( إذا ق )س( غير متصل عند س = 0<br />
s<br />
s<br />
عند س = 0 ،<br />
ق )س( ≠<br />
3 ، 0 ( ، ) 0 ، 2 -<br />
s<br />
على الفترات (<br />
ق)س( = ق )ل( لكل ل<br />
) متصل عند أي نقطة من نقاطه ألن<br />
) 3 ، 0 ( ، ) 0 ، 2 - (<br />
}3 0، 2-{ – ]2،3-<br />
s<br />
إذا ق متصل [<br />
2( ق )س( = بعد إعادة التعريف<br />
س<br />
- 2 ق منصل على يمين العدد (<br />
ق )س( = 4<br />
،<br />
s<br />
ق )س( =<br />
s<br />
s<br />
الحل : ق ( - 1 ) = - 2 ،<br />
ألن ق ( - 1 ) =<br />
غير متصل عند س = 0 ألن<br />
ق )س(<br />
، النهاية غير<br />
س < 0<br />
س ≤ 2<br />
ق )س( = - 1<br />
موجودة ، ق غير متصل عند س = 0 ، غير متصل عند س = 2 ألنه طرف فترة ، النهاية من<br />
، 2( متصل عند أي نقطة من نقاطه ألن<br />
اليمين غيرموجودة على الفترات (<br />
}2 ،0{ – ]1،2-<br />
≤1-<br />
≤ 0 ،<br />
0 ( ، ) 0 ، 1 -<br />
) 2 ، 0 ( ، ) 0 ، 1 - (<br />
- 1 + س ،<br />
2<br />
s<br />
س +<br />
ق)س( = ق )ل( لكل ل<br />
s<br />
إذا ق متصل [<br />
، س < 0 إعادة تعريف االقتران<br />
، 0 ≤ س < 1<br />
، 1 ≤ س < 2<br />
، س17≤ 2<br />
س + 2<br />
2<br />
3<br />
س - 7 +
3( إذا كان ق )س( =<br />
s<br />
ق )س( =<br />
s<br />
ق )س( =<br />
s<br />
بما أن ق )0( =<br />
ق )س( متصل عند س = 0<br />
ق )س( <br />
ق )س( غير موجودة<br />
ق )س( غير موجودة<br />
s<br />
s<br />
2 = ق )س( <br />
3 = ق )س( <br />
s<br />
،<br />
ق )س( = 3 ≠<br />
s<br />
بما أن<br />
إذا ق )س( غير متصل عند س = 1<br />
s<br />
ق )س( = - 3 ≠<br />
s<br />
بما أن<br />
الحل :<br />
إذا ق )س( غير متصل عند س = 2<br />
على الفترات (<br />
، ∞( متصل عند أي نقطة من نقاطه<br />
} 2 ، 1{ –<br />
2 ( ، )2 ، 1( ، ) 1 ، 0 ( ، ) 0 ، ∞ -<br />
s<br />
ألن<br />
ق)س( = ق )ل( لكل ل كل فترة على حدة ، ق متصل على ح<br />
ق )س( - ب = 3 ... )1(<br />
)2( ... 6 = h- ق )س( <br />
6 = 3 = 3 -<br />
h<br />
s<br />
ق )س( =<br />
s<br />
4( ق متصل عند س = 1 <br />
ق متصل عند س = 2 <br />
ب4<br />
h<br />
h<br />
ق )س( =<br />
s<br />
<br />
s<br />
، 2 ينتج : 3 ب = 9 ب = 3 ،<br />
بجمع معادلة 1<br />
s<br />
5( بما أن ق متصل عند س = 3 ق )3( =<br />
بسطه كثير حدود وناتج تعويض مقامه = صفر <br />
ق )س( ، بما أن النهاية موجودة لكسر<br />
=<br />
[2 s3 s<br />
3<br />
s<br />
s<br />
7<br />
2<br />
ق )3( = 10 = 3 + 2ج ج =<br />
18
وال تنسى أنه من أهم أسس النجاح رضى الوالدين .....<br />
وَاخْفِضْ لَهُمَا جَنَاحَ الذُّلِّ مِنَ الرَّحْمَةِ وَقُل<br />
رَّبِّ ارْحَمْهُمَا كَمَا رَبَّيَانِي صَغِيرًا )24(<br />
صدق هللا العظيم<br />
19
Change language