SOLUCION-DE-ARMADURAS-CON-MATRIZ-DE-RIGIDECES

Solución de 

armaduras con 

matriz de rigidez 

M.I. Ernesto Alejandro Ruiz Coello 

http:// www.alejandrocoello.com.mx http://www.facebook.com/alejandrocoel @CoelloAlejandro google.com/+AlejandroCoello87

Definición 

Armadura 

Cercha 

Celosía 

Es una estructura plana constituida por un conjunto de barras 

articuladas en forma triangulada que permite la rigidez de la estructura, 

cuyo sistema de carga esta integrado por fuerzas concentradas que 

actúan en las articulaciones, también llamadas nodos y que se ubican en 

el mismo plano de a armadura. En estas condiciones las barras de una 

armadura solo resistencias fuerzas axiales (normales). 

Reticulados 



Definición 

Al suponer que las cargas 

actúan en los nodos, al momento de hacer 

la bajada de cargas, el peso de cada una 

de las barras de la armadura, debe 

repartirse, por mitad, en cada uno de sus 

nodos extremos. 

Igualmente, al considerar que 

las barras están articuladas, la soldadura o 

los remaches deben ubicarse lo mas 

cercanos al nodo a fin de evitar que se 

presenten fuerzas internas que provoquen 

momentos flexionantes. 


Definición 


Nodo, unión o articulación 



Definicion 

Tipos de barras: 

a) Cuerda Superior: es el conjunto de barras que conforman la 

parte mas elevada de la estructura. Para solicitaciones de tipo 

gravitacional, normalmente, son piezas que trabajan a 

compresión. 

b) Cuerda Inferior: es el conjunto de barras que forman la parte 

mas baja de la estructura. Para solicitaciones gravitacionales 

generalmente trabajana tensión. 

c) Montantes: denominados así a las barras verticales de una 

armadura. 

d) Diagonales: son las piezas que, como su nombre lo indica, 

tienen posición inclinada. 


"Cometer errores es humano, pero para estropear realmente las cosas necesitas un ordenador“ 

El hundimiento del Hartford Coliseum (1978) 

-- Paul Ehrlich 

Coste: 70 millones de dólares, más otros 20 millones en daños a la 

economía local. 

Desastre: Sólo unas horas después de que miles de aficionados al 

hockey abandonaran el Hartford Coliseum, la estructura de acero 

de su techo se desplomaba debido al peso de la nieve. 

Causa: El desarrollador del software de diseño asistido (CAD) 

utilizado para diseñar el coliseo asumió incorrectamente que los 

soportes de acero del techo sólo debían aguantar la compresión 

de la propia estructura. Sin embargo, cuando uno de estos 

soportes se dobló debido al peso de la nieve, inició una reacción 

en cadena que hizo caer a las demás secciones del techo como si 

se tratara de piezas de dominó. 


Paso 1: establecer la matriz de rigidez para cada 

miembro 

y´ 

Y 

x´ 

K = AE L 

2 

λ x 

λ x λ y 

2 

−λ x 

−λ x λ y 

λ x λ y 

λ y 

2 

−λ x λ y 

−λ y 

2 

N x N y F x F y 

N x 

2 

−λ x 

−λ x λ y 

2 

λ x 

λ x λ y 

−λ x λ y 

−λ y 

2 

λ x λ y 

λ y 

2 

N y 

F x 

F y 

F(x F , y F ) 

Øy 

Øx 

Donde: 

λ x = Cos ∅ x = X F − X N 

L 

= 

X F − X N 

X F − X 2 N + Y F − Y 2 N 

N(x N , y N ) 

X 

λ y = Cos ∅ y = Y F − Y N 

L 

= 

Y F − Y N 

X F − X 2 N + Y F − Y 2 N 


Paso 1: establecer la matriz de rigidez para cada 

miembro (Ejemplo) 

λ x = Cos ∅ x = X F − X N 

L 

= 

3 − 0 

3 − 0 2 + 4 − 0 = 3 2 5 

Y 

λ y = Cos ∅ y = Y F − Y N 

L 

= 

4 − 0 

3 − 0 2 + 4 − 0 = 4 2 5 

F(3,4) 

Entonces: 

N(0,0) 

X 

K = AE L 

9/25 

12/25 

−9/25 

−12/25 

N x N y F x F y 

N x 

12/25 

16/25 

−12/25 

−16/25 

−9/25 

−12/25 

9/25 

12/25 

−12/25 

−16/25 

12/25 

16/25 

N y 

F x 

F y 


Paso 2: Ensamblar la matriz de rigidez global 

2 

y 

2 

1 

3 mts 

1 

6 

4 

1 

3 

5 

4 mts 

3 

(3,4) 

(0,0) (3,0) 

2 Ton 

λ2 

x 

λ x λ y −λ2 

x 

−λ x λ y 

K = AE λ x λ 2 y λ y −λ x λ 2 y −λ y 

L −λ2 

x 

−λ x λ y λ2 

x 

λ x λ y 

−λ x λ y 

2 

−λ y λ x λ y 

2 

λ y 

x 

Miembro 1: 

Longitud 3 mts 

Miembro 2: 

Longitud 5 mts 

K = AE 

K = AE 

λ x = 3 − 0 

3 

= 1 λ y = 0 − 0 

3 

1 2 3 4 

1/3 

0 

0 

0 

−1/3 

0 

0 

0 

−1/3 

0 

0 

0 

1/3 

0 

0 

0 

λ x = 3 − 0 

5 

= 3 5 

1 

2 

3 

4 

λ y = 4 − 0 

5 

= 0 

= 4 5 

1 2 5 6 

9/125 

12/125 

12/125 

16/125 

−9/125 

−12/125 

−12/125 

−16/125 

−9/125 

−12/125 

−12/125 

−16/125 

9/125 

12/125 

12/125 

16/125 

http:// www.alejandrocoello.com.mx http://www.facebook.com/alejandrocoel @CoelloAlejandro google.com/+AlejandroCoello87 

1 

2 

5 

6

Paso 2: Ensamblar la matriz de rigidez global 

K 1 = AE 

1 2 3 4 5 6 

1/3 0 −1/3 0 0 0 

0 0 0 0 0 0 

−1/3 0 1/3 0 0 0 

0 0 0 0 0 0 

0 0 0 0 0 0 

0 0 0 0 0 0 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

K Global = AE 

Entonces: 

K 1 + K 2 = K Global 

1 2 3 4 5 6 

152/375 12/125 −1/3 

12/125 16/125 0 

−1/3 0 1/3 

0 0 0 

−9/125 −12/125 0 

−12/125 −16/125 0 

0 −9/125 −12/125 

0 −12/125 −16/125 

0 0 0 

0 0 0 

0 9/125 12/125 

0 12/125 16/125 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

K 2 = AE 

1 2 3 4 5 6 

9/125 12/125 0 

12/125 16/125 0 

0 0 0 

0 0 0 

−9/125 −12/125 0 

−12/125 −16/125 0 

0 −9/125 −12/125 

0 −12/125 −16/125 

0 0 0 

0 0 0 

0 9/125 12/125 

0 12/125 16/125 


1 

2 

3 

4 

5 

6

Paso 3: Aplicación de la teoría del método de la Rigidez 

Q k 

Q u 

= K 11 K 12 

K 21 K 22 

D u 

D k 

Q k , D k = Se refiere a las cargas y los desplazamientos externos conocidos (Know); las cargas 

aquí sobre la armadura como parte del problema y los desplazamientos se especifican 

generalmente como iguales a cero debido a las restricciones de los apoyos. 

Q u , D u = Se refiere a las cargas y los desplazamientos externos Desconocidos (Unknow); las cargas 

representan a las reacciones en este caso y los desplazamientos en las nudos sin 

restricciones. 

Q k = k 11 D u + K 12 D k 

Q u = k 21 D u + K 22 D k 

Frecuentemente D k = 0; ya que en los apoyos restringen los desplazamientos (Según sea el tipo de apoyo) 

Q k = k 11 D u 

D u = (k 11 ) -1 Q k 

Lo que a su vez 

Permitirá calcular Qu, 

Que son los esfuerzos tension 

Y compresión de cada barra 

Q u = k 21 D u 


Paso 3: Aplicación de la teoría del método de la Rigidez 

Q k 

Q u 

= K 11 K 12 

K 21 K 22 

D u 

D k 

0 

−2 

Q 3 

Q 4 

Q 5 

Q 6 

= AE 

152/375 12/125 −1/3 

12/125 16/125 0 

−1/3 0 1/3 

0 0 0 

−9/125 −12/125 0 

−12/125 −16/125 0 

0 −9/125 −12/125 

0 −12/125 −16/125 

0 0 0 

0 0 0 

0 9/125 12/125 

0 12/125 16/125 

D 1 

D 2 

0 

0 

0 

0 


Paso 3.1: Calculo de desplazamientos en nodos libres 

Q k = k 11 D u 

152 12 

0 

−2 = AE 375 125 D 1 

12 16 D 2 

125 125 

Se propone resolver por método Gauss - Jordan 

152/375 15/125 0 

12/125 16/125 −2 

(2/19)D 2 = -2 

D 2 = -19 

(152/375)D 1 + (15/125)D 2 = 0 

(152/375) D 1 + (15/125)(-19) = 0 

(152/375) D 1 -228/125 = 0 

(152/375) D 1 = 228/125 

D 1 = 9/2 

Efectuar (-9/38)F1 +F2 

152/375 15/125 0 

0 2/19 −2 

Ya que se tiene una matriz escalonada, procedemos 

A realizar una sustitución regresiva 

Por tanto los desplazamientos desconocidos en 

El nodo 1 son: 

D u = 1 

AE 


9/2 

−19

Paso 3.2: Calculo de reacciones 

Q u = k 21 D u + K 22 D k 

Q 3 

Q 4 

Q 5 

Q 6 

= AE 

−1/3 

0 

−9/125 

−12/125 

0 

0 

−12/125 

−16/125 

1 

AE 

0 

9/2 

−19 + 0 

0 

0 

Q 3 

Q 4 

Q 5 

Q 6 

= (AE) 

1 

AE 

−1/3 9/2 + 0 −19 

0 9/2 + 0 −19 

−9/125 9/2 + −12/125 −19 

−12/125 9/2 + −16/125 −19 

= 

−3/2 

0 

3/2 

2 

Reacciones en los apoyos 

Q 3 −3/2 

Q 4 

= 

0 

Q 5 3/2 

Q 6 2 


Paso 4: Calculo de los esfuerzos en los miembros 

Usamos: 

q = AE L −λ x −λ y λ x λ y 

D Ny 

D Fx 

D Nx 

D Fy 

Miembro 1: 

λx = 1 

λy = 0 

L = 3 

q 1 = AE 3 −1 0 1 0 1 

AE 

9/2 

−19 

0 

0 

= AE 

3AE 

((-1)(9/2)+(0)(-19)+(1)(0)+(0)(0)) 

q 1 = (1/3)(-9/2) = -3/2 = -1.5 TON (compresión) 


Paso 4: Calculo de los esfuerzos en los miembros 

Miembro 2: 

λx = 3/5 

λy = 4/5 

L = 5 

q 2 = AE 5 

−3/5 −4/5 3/5 4/5 

1 

AE 

9/2 

−19 

0 

0 

= AE 

5AE ((-3/5)(9/2)+(-4/5)(-19)+(3/5)(0)+(4/5)(0)) 

q 2 = (1/5)(25/2) = 5/2 = 2.5 TON (tensión) 


Solución Final 

2 Ton 

3/2 Ton 

4.00 MTS 

9/2AE 

-19/AE 

3/2 Ton 

3.00 MTS 

2 Ton

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