02-Marche_Delta

L'interprétation physique de la fonction d'onde (amplitude de probabilité) nous
empêche d'accepter des solutions dont l'intégrale diverge. On impose donc B =
0.
ψ I (x) = Ae kx .
2.2.2 Solution dans la région II (x > 0)
L'équation à résoudre est la même que dans la région I. La solution générique
dans la région II s'écrit donc :
ψ II (x) = Ce kx + De −kx
Pour les mêmes raisons que ci-dessus, il faut imposer C = 0.
2.2.3 Conditions de raccord
ψ II (x) = De −kx .
Condition de raccord de la fonction d'onde et de sa dérivée :
⎧
⎨ ψ I (0) = ψ II (0)
Explicitement :
⎩
− ¯h2
2m [ψ′ II(0) − ψ ′ I(0)] + aψ I (0) = 0
A = D
(¯h 2 )
k
m + a A = 0
Si A = D = 0, on obtient la solution banale (et non physique) : ψ(x) = 0
partout. On est intéressés par des solutions qui soient normalisables, donc avec
A ≠ 0. Une telle solution existe seulement si
¯h 2 k
m + a = 0,
c'est à dire si a < 0 et si
k = − am
¯h . 2
(k est toujours positif). En termes de l'énergie :
E = − ma2
2¯h 2 .
Celle-ci est la seule valeur négative de l'énergie pour laquelle l'équation de Schrôdinger
avec a < 0 admet une solution normalisable. L'énergie est donc quantiée.
On appelle la solution
ψ(x) = A e −k|x|
un (le seul) état lié du système.
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