7

1
x tan
1
u tan
x
du 1
dx 2
1
x
dv
x
dx
2
x
V
2
x
2
x 1
tan
2
dx
x
2
x 1
dx
2 2
1
x
(b) (i)
2
Q 16. (a) Evaluate
dx
x
e 1
let y = e x
dy x
(ii)
e
dx
dy
dxdx
y
y
1
(b) Find (i)
(ii)
x sec x dx
3
x
dx
2
1
x
Solution
(a)
dx
x
e 1
dx 1 dy
x y
e
2
x
tan
2
2
x
tan
2
1
1
1
x
x
y
1
dy
y -1
1 1
2 1 x
x
tan
2
y
1
2
dx
x C
291
y
Let
1
1
1 Ay B
B 1
A B
y y 1
y
ln
and
y 1
u = x
du
1
dx
dv
sec
dx
v tan x
A 1
2
dx
2
x
ln e 1
x
e 1
1
1
x
x
2
e
1
ln e
1 2
1
1.854587 0.541325 1
0.3133 (4dps)
2
sec x
dx
2
x
2
1
= x tan x – (- ln cos x) + C
= x tan x + ln cos x + C.
3
x
dx
2
1 x
Let x = sin u
dx = cos u du
3
sin u
cos
u du
2
1
sin u
sin 3 u
cos u du
cos u
sin 3 u du
sin 2 u sin
u du
dy
y 1 y
1 1
dy
y 1 y
ln y 1 ln y
x
x
e 1 ln e C
ln
x sec 2 x dx x tanx tan x . 1 dx