9 Đề kiểm tra chất lượng định kỳ - Lần 1-9 - THPT QG 2018 - Môn Toán - Gv Hứa Lâm Phong - Có lời giải chi tiết [Ship Pdf - Mailbox - nguyenthanhtuteacher@hotmail.com]

GV: HỨA LÂM PHONG 

Group : Toán 3K 

ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ĐỊNH KỲ 

LẦN 1 

Câu 1: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: 

Môn : Toán học 

Năm học:2017-2018 

giây và S được tính bằng mét. Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t 

2 

S = t − 2t + 3, trong đó t được tính bằng 

= 2s là: 

A. 2 m s B. 5m s C. 1m s D. 3m s 

Câu 2: Cho hàm số y f ( x) 

đây là đúng ? 

( ) − ( ) 

f x f 3 

= xác định trên R thỏa mãn lim = 1. Khẳng định nào sau 

x→3 

x − 3 

A. f '( x) 

= 1 B. f '( 1) 

= 3 C. f '( x) 

= 3 D. ( ) 

Câu 3: Cho các kết quả tính giới hạn sau: 

1 

i .lim . 

( ) 

n = −∞ ( ) n 

1 

ii .lim q = 0,q < 1. ( iii ).lim x → 0 x 

Hỏi có bao nhiêu kết quả đúng trong các kết quả trên? 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 

Câu 4: Đạo hàm cấp hai của hàm số 

A. 

2 

x − 2x − 2 

( x −1) 

2 

6 

B. 

( ) 

3 

x −1 

y = 

2 

x − 3x + 5 

x −1 

Câu 5: Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai 

C. 

− 

6 

( x −1) 3 

A. Mỗi cạnh của khối đa diện là cạnh chung của đúng 2 mặt của khối đa diện. 

B. Hai mặt bất kì của khối đa diện luôn có ít nhất một điểm chung. 

C. Mỗi đỉnh của khối đa diện là đỉnh chung của ít nhất 3 mặt. 

D. Mỗi mặt của khối đa diện có ít nhất ba cạnh. 

Câu 6: Cho hàm số 

∆ y = 2 2x + ∆ x 

∆x 

A. ( ) 2 

∆y 

= − Tính của hàm số theo x và x 

∆x 

∆ 

2 

y 2x 2015. 

∆ y = + ∆ 

∆x 

B. 2( 2x x) 

∆ y = − ∆ 

∆x 

C. 2( 2x x) 

3 

⎧ x + 8 

⎪ , x ≠ −2 Câu 7: Cho hàm số ⎨4x + 8 . Khẳng định nào sau đây là đúng? 

⎪ 

⎩3 , x = 2 

= ∞ 

D. 

f ' 3 = 1 

2 

x − x − 2 

( x −1) 

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 

A. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = − 2 

B. Hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc R 

D. ( ) 2 

2 

∆ y = 2 2x − ∆ x 

∆x 

Trang 1

C. Hàm số không liên tục trên R 

D. Hàm số chỉ liên tục tại điểm x = − 2 

Câu 8: Cho hình chóp S.ABC có các cạnh bên bằng nhau. Biết rằng ABC là tam giác cân tại A có 

∡ BAC = 120 ° . Khi đó hình chiếu vuông góc của S lên mặt đáy ABC là 

A. Trung điểm cạnh BC B. Đỉnh A của ∆ ABC 

C. Đỉnh D của hình thoi ABDC D. Tâm đường tròn nội tiếp ∆ ABC 

3 2 

Câu 9: Cho hàm số y = f ( x) = x − 3x + 3 có đồ thị ( C ). Số tiếp tuyến của đồ thị ( C) 

song 

song với đường thẳng ∆ : y = − 9x + 24 = 0 là 

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 

5 4 

Câu 10: Cho phương trình ( ) 

2x − 5x + 4x − 1 = 0 1 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng 

A. Phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng ( 4;5 ) 

B. Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng ( − 1;1) 

C. Phương trình (1) có ít nhất 3 nghiệm trong khoảng ( 0;5 ) 

D. Phương trình (1) chỉ có 1 nghiệm trong khoảng ( 0;5 ) 

Câu 11: Cho hàm số y = f ( x) 

có đồ thị ( C ) như hình vẽ. Tính A = f '( 1) − f '( 2) − f '( 3) 

A. A = 6 

B. A = − 6 

C. A = 0 

D. A = − 12 

Câu 12: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, góc 

∡ BCA = 60 ° . Góc giữa B’C và mặt phẳng (AA’C’C) bằng 30 ° . Tính theo a, độ dài AC' 

A. AC' = a 

B. AC' = 3a C. AC' = a 3 D. AC' = 3a 3 

Câu 13: Cho f là hàm đa thức và có đạo hàm là ( ) 

( ) 


f ' x Khẳng định nào dưới đây là đúng? 

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0;1 ) 

B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 2;+∞ ) 

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −2; − 1) 

f ' x biết rằng hình vẽ bên là đồ thị của 

Trang 2

D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 2;1+ 

3) 

Câu 14: Tiến hành phân chia khối lập phương ABCD.A'B'C'D', hỏi có bao nhiêu cách phân 

chia đúng trong các phương án sau: 

i. Khối lăng trụ ABC.A'B'C', khối tứ diện AA'D'C' và khối chóp A.CDD'C' 

ii. Khối tứ diện AA' B' D', khối tứ diện CC'D'B', khối chóp B'.ABCD 

iii. Khối tứ diện A.A'B'C', khối chóp A.BCC'B' , khối lăng trụ ADC.A'D'C' 

iv. Khối tứ diện AA'B'D', khối tứ diện C'CDB , khối chóp A.BDD'B', khối chóp C'.BDD'B' 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 

Câu 15: Cho hình chóp S.ABC có SBC và ABC đều là tam giác đều cạnh a. Cho 

Khoảng cách từ S đến mặt phẳng ( ABC ) bằng: 

A. a 3 

3 

B. a C. 3a 4 

D. a 3 

2 

a 3 

SA = . 

2 

x + 3m 

Câu 16: Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m để hàmsố y = nghịch biến trên 

x + m 

khoảng ( −∞; − 5 ). 

Khẳng định nào dưới đây là đúng? 

A. S = ( 0; +∞ ) B. S = ( 0;5] 

C. S = [ − 5;0) 

D. S = [ − 5;5 ] \{ 0} 

Câu 17: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi ( P) 

là mặt phẳng đi qua trung điểm của AC’ 

và vuông góc với BB’. Ảnh của tứ giác ADC’B’ qua phép đối xứng mặt phẳng ( P) 

là: 

A. Tứ giác ADC’B’ B. Tứ giác A’B’C’D’ C. Tứ giác ABC’D’ D. Tứ giác A’D’CB 

Câu 18: Cho hàm số ( ) 

( ≥ ) 

tục tại x0 

= 9. Tính giá trị của P = a + b. 

A. 

⎧12 x 9 

⎪ 

f x = ⎨ax − 2b −12 

. Biết rằng a, b là giá trị thực để hàm số liên 

⎪ 

( x < 9) 

3 

⎩ x −1 − 2 

1 

P = B. P = 5 

C. P = 17 

D. 

2 

1 

P = − 

2 



vẽ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị ( C ). 

4 2 

y = x − 4x + 3 có đồ thị ( C ). Có bao nhiêu điểm trên trục tung từ đó có thể 

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 

Trang 3

Câu 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, AB = a 3, SA vuông góc với mặt 

phẳng đáy. Biết rằng khoảng cách giữa BD và SC bằng a 3 . 

2 

phẳng ( SCD ) 

Tính khoảng cách d từ B đến mặt 

a 6 

a 6 

2a 3 

A. d = B. d = C. a 2 D. d = 

4 

2 

3 


Trang 4

Đáp án 

1-A 2-D 3-D 4-B 5-B 6-C 7-B 8-C 9-B 10-C 

11-D 12-B 13-C 14-C 15-C 16-B 17-D 18-D 19-C 20-C 

Câu 1: Đáp án A 

Ta có v( t) = s '( t) = 2t − 2 ⇒ v( 2) 

= 2.2 − 2 = 2 

Câu 2: Đáp án D 

LỜI GIẢI CHI TIẾT 

( ) ( ) 

f x − f 3 

Ta có định nghĩa đạo hàm tại một điểm lim = 1 ⇔ f '( 3) 

= 1 

x→3 

x − 3 

Câu 3: Đáp án B 

Lý thuyết SGK. 


2 2 

x 3x 5 x 2x-2 6 

− + − 

y = ⇒ y ' = ⇒ y '' = − ∀x ≠ 1 

2 3 

x −1 x −1 x −1 


( ) ( ) 

Dựa vào định nghĩa về hình đa diện ta có hai mặt bất kì của khối đa diện hoặc không có điểm 

chung, hoặc có 1 đỉnh chung, hoặc có 1 cạnh chung 

Câu 6: Đáp án C 

Ta có: ∆ y = f ( x + ∆x) − f ( x ) = 2( x + ∆x) − 2x 2 = 4x ∆ x + 2∆ x 2 = 2∆x ( 2x − ∆ x) 

Suy ra 

0 0 0 0 0 

( − ∆ ) 

∆ y 2∆x 2x x 

= = 2 2x − ∆ x 

∆x 

∆x 


Ta có ( ) 

( ) 

2 

( x + 2)( x − 2x + 4) 

3 2 

x + 8 x − 2x + 4 4 + 4 + 4 

lim f x = lim = lim = lim = = 3 

4x + 8 4 x + 2 4 4 

( ) 

x→−2 x→−2 x→−2 x→−2 

Do đó lim f ( x) f ( 2) 

x→−2 

Đồng thời x 2 : f ( x) 

= − nên Hàm số liên tục tại x = − 2 



2 

x − 2x + 4 

∀ ≠ − = liên tục trên R nên hàm số liên tục trên R 

4 

Kẻ SH ⊥ ( ABCD ), 

Ta cóSA = SB = SC ⇒ ∆ SAH = ∆ SBH = ∆ SCH 

Suy ra HA = HB = HC ⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 

Do ABC là tam giác cân tại A có ∡BAC = 120° ⇒ H là đỉnh thứ 4 của hình thoi ABDC 

Trang 5


Gọi x 

0 

là hoành độ tiếp điểm, 

∆ tiếp tuyến f '( x ) 

Do / / 

( ) 

2 

⎧ ⎪f ' x0 = 3x0 − 6x 

0 

⎨ là hệ số góc của tiếp tuyến 

⎪⎩ y = 9x − 24 ⇒ k 

A = 9 

⇒ = k (dấu suy ra nên phải thử lại) 

0 A 

( C) 

0 0 

( C) 

0 0 

( ) 

( ) ( ) 

⎡ x = −1⎯⎯→ y = −1 

⎡TT : y = 9 x + 1 −1 

2 

⇔ 3x0 − 6x0 

= 9 ⇔ ⎢ 

⇒ ⎢ 

⎢⎣ 

x = 3 ⎯⎯→ y = 3 ⎢⎣ TT : y = 9 x − 3 + 3 = 9x − 24 ≡ ∆ loai 

Do đó chỉ có 1 tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán. 


5 4 

f ( x) = 2x − 5x + 4x − 1 = 0 là hàm đa thức nên liên tục trên [ 0;5 ] 

( ) 

⎧f 0,2 ≈ −0,2736 

⎪ 

⎧f ( 0, 2 ),f ( 0,8) < 0 ⇒ ∃c1 ∈ ( 0,2;0,8 ) : f ( c1 

) = 0 

⎪f ( 0,8) 

≈ 0,8074 ⎪ 

Xét ⎨ 

⇒ ⎨f ( 0,8 ),f ( 1, 2) < 0 ⇒ ∃c2 ∈ ( 0,8;1,2 ) : f ( c2 

) = 0 

⎪f ( 1,2 ) ≈ −1,5914 

⎪ 

⎪ 

⎩f ( 1,2 ),f ( 2,4) < 0 ⇒ ∃c3 ∈ ( 1,2;2,4 ) : f ( c3 

) = 0 

⎩f ( 2, 4) 

≈1,9645 


Ta có hệ số tiếp tiếp tuyến của (C) tại M ( 1;0 ), N ( 2; −2 ),P( 3;2) 

là các giá trị cần tìm. 

( ) 

⎧d 1 

: y = −3 x −1 

⎪ 

Ta có ⎨d 2 

: y = −2 ⇒ f '( 1) − f '( 2) − f '( 3) 

= −3 − 9 = −12 

⎪ 

⎩d 3 

: y = 9( x − 3) 

+ 2 


Ta có 

BA 

tan ∡ BCA = ⇒ BA = b 3 

AC 

⎧B'A ' ⊥ A 'C' 

⎨ 

⎩B'A ' ⊥ AA ' 

Đồng thời ⇒ B'A ' ⊥ ( A 'C'CA) 

Nên ( ( )) 

∡ B'C; AA 'C'C = ∡ B'CA = 30° 

∆ B'AC vuông tại A’ có 

B'A ' a 3 

tan ∡ B'CA ' = ⇒ CA ' = = 3a 

CA ' 3 

3 


Lại có CA ' = AC' = 3a 


Theo hình vẽ, đồ thị đạo hàm cắt trục hoành tại ba điểm là1− 3;1;1 + 3 và qua ba điểm này đồ thị 

nằm về hai phía đối với trục hoành. Cụ thể hơn, trên các khoảng( −∞;1− 3 );( 1;1 + 3) 

đồ thị nằm 

Trang 6

phía dưới trục hoành, nghĩa là f '( x ) nhận giá trị âm. Suy ra hàm f nghịch biến trên hai 

khoảng( −∞;1− 3 );( 1;1 + 3) 

Tương tự, trên các khoảng( 1− 3;1 );( 1+ 3; +∞) 

đồ thị nằm phía trên trục hoành, nghĩa là 

f '( x) 

nhận giá trị dương. Suy ra hàm f đồng biến trên hai khoảng ( 1− 3;1 );( 1+ 3; +∞ ) 

Mà ( −2; −1 ) ⊂ ( −∞;1− 

3) 


Có 3 phương án đúng: i, iii, iv. 


Gọi I là trung điểm BC. Ta chứng minh được hai mặt phẳng ( SAI ),( ABC ) 

cùng vuông góc với nhau. Gọi O là hình chiếu của S lên AI suy ra SO ⊥ ( ABC) 

a 3 

3 3 

Ta có AI = SI = = SA ⇒ ∆ SAI đều ⇒ SO = SA a = a 

2 

2 4 


−2 

D = R \ − m ;y' = Yêu cầu bài toán suy ra 

Tâp xác định { } 

( x + m) 2 

⎧ ⎪y' < 0 ⎧− m < 0 ⎧m > 0 

⎨ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇒ S = 

( ) 

( 0;5⎤ 

−m ∉ −∞; −5 −m ≥ −5 m ≤ 5 

⎦ 

⎪⎩ 

⎩ ⎩ 


Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của BB’, AA’, DD’, CC’ 

Khi đó mặt phẳng (P) thỏa yêu cầu bài toán chính là mặt phẳng 

( MNPQ ) 


Qua phép đối xứng của mặt phẳng (P) thì tứ giác ADC'B' biến 

thành A'D'CB 


Trang 7

Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 

f 9 = 12, lim f x = lim ax − 2b = 9x − 2b, ycbt ⇒ lim f x = f 9 ⇔ 9a − 2b = 12 

− − − 

x→9 x→9 x→9 

− − 

x 9 x 9 3 

− 

→ → x→9 

( ) ⎡ 3 3 

ax 2b 12 x 1 2 x 1 4⎤ 

ax − 2b −12 

− − − + − + ⎧ a = 1 

lim f ( x) 

= lim = lim 

⎣ ⎦ 

= 12 ⇒ ⎨ 

Suy 

x −1 − 2 

x − 9 ⎩−2b − 12 = −9 

3 

1 

ra a = 1,b = − . Nên P = a + b = − 

2 

2 


Ta có điểm M( 0;a) 

∈ Oy. Tiếp tuyến ∆ qua M có dạng y = kx + a 

4 2 

⎧⎪ 

x − 4x + 3 = kx + a 

Điều kiện tiếp xúc ⎨ 

3 

⎪⎩ 4x − 8x = k 

4 2 3 

Suy ra ( ) 

có 3 nghiệm phân biệt 

x − 4x + 3 = 4x − 8x x + a có 3 nghiệm phân biệt 

4 2 

3x 4x a 3 0 

⇔ − + − = có 3 nghiệm phân biệt ⇒ a − 3 = 0 ⇔ a = 3 (nên có 1 giá trị thỏa) 


Gọi O = AC ∩ BD. Kẻ OK SC. 

a 3 

= OK = 

2 

∆ SAC đồng dạng ∆OKC( g − g) 

Do đó d ( BD;SC) 

SA SC x x + 12a 

⇒ = ⇔ = 

OK OC a 3 a 3 

2 

BD ⊥ SAC hstl ⇒ BD ⊥ OK 

⊥ Do ( )( ) 

2 2 

2 2 

x 6a x a 6 SA a 6 

⇒ = ⇒ = ⇔ = 

CD⊥( SAD)( hstl) 

Khi đó: Kẻ AH ⊥ SD ⎯⎯⎯⎯⎯→ AH ⊥ ( SCD) ⇒ AH = d ( A; ( SCD) 

) 

Lại có AB / /CD ⇒ AB / / ( SCD ) ⇒ d B; ( SCD ) = d A; SCD = AH 

( ) ( ( )) 

1 1 1 

∆ SAD vuông tạI A có: = + ⇒ AH = a 2 

2 2 2 

AH AS AD 


Trang 8




Lần 2 



Câu 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Mặt phẳng ( BCA 'D') 

chia khối lập phương 

trên thành hai khối đa diện có tên là 

A. lăng trụ đều. B. chóp tam giác đều. 

C. lăng trụ đứng. D. chóp tứ giác đều. 

2x −1 

Câu 2: Cho hàm số y = xác định ∀x ≠ − 1. Khẳng định nào sau đây là đúng? 

x + 1 

A. 1+ y' + ( x + 1) 

y'' = 0 

B. ( ) 

2y' − x + 1 y'' = 0 

C. 2y' + ( x + 1) 

y'' = 0 

D. ( ) 2 

Câu 3: Khẳng định nào sau đây là sai về khối đa diện lồi? 

y' + x + 1 y'' = 0 

A. Miền trong của khối đa diện lồi luôn nằm về một phía đối với mặt phẳng chứa một mặt 

của khối đa diện lồi đó. 

B. Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi. 

C. Khối đa diện được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của đa diện 

luôn thuộc đa diện. 

D. Khối đa diện lồi là khối đa diện mà mỗi mặt của nó là các đa giác đều. 

Câu 4: Trong các hàm số sau hàm số nào đồng biến trên R 

A. 

x −1 

y = B. 

x + 1 

= − + C. 

2 

y x 3x 2 

4 2 

y x x 1 

= + + D. 

3 

y = x + 5x + 13 

⎛ π ⎞ 

x 2sin ⎜20 t ⎟ cm , thời 

⎝ 4 ⎠ 

Câu 5: Một con lắc lò xo dao động với phương trình li độ là = π + ( ) 

gian được tính bằng s và li độ x được tính bằng cm. Tại thời điểm t = 10s con lắc dao động với 

vận tốc là: 


A. − 20 2 ( cm s) 

B. 20 2 ( cm s ) C. 20π 2 ( cm s) 

D. −20π 

2 ( cm s) 

Trang 1


= có bảng biến thiên như sau 

x −∞ − 4 

3 +∞ 

f '( x ) 

0 0 

f ( x ) 

+∞ 

Và các khẳng định sau đây: 

(1). Hàm số đồng biến trên ( 3;4 ) 

(3). Hàm số giảm trên ( ; 4) ( 3; ) 

Tìm số khẳng định sai trong các khẳng định trên? 

3 

319 

6 

−∞ 

⎛ 319 ⎞ 

− (2). Hàm số tăng trên ⎜3; 

⎟ 

⎝ 6 ⎠ 

−∞ − ∪ +∞ (4). Hàm số giảm trên ⎡ 

⎣ 3; +∞) 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 

Câu 7: Số mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là bao nhiêu? 

A. 4 B. 5 C. 9 D. 3 

Câu 8: Cho các phát biểu sau: 

(1). Hai đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia. 

(2). Hai đa giác phân biệt của một hình đa diện chỉ có thể có thể hoặc không có điểm chung, 

hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc một cạnh chung. 

(3). Mỗi cạnh của đa giác nào của một hình đa diện cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác. 

Số phát biểu đúng là 

A. 0 B. 1 C. 3 D. 2 

2 3 

f ' x x x 5 9 x . 


liên tục trên R và có đạo hàm là ( ) = ( − ) ( − ) 



A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 2;6 ) B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 10;+∞ ) 

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0;3 ) D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 3;7 ) 

2 

⎡ π⎤ 

Câu 10: Cho hàm số y = cos 2x. Số nghiệm của phương trình y' = 0 trên ⎢0; 2 

⎥ 

⎣ ⎦ 

A. 8 B. 4 C. 2 D. 3 

Trang 2

Câu 11: Biết rằng m là giá trị của m để 

0 

là đúng? 

2 

2x − mx + 9 

lim = 2 2. Khẳng định nào sau đây 

x→−∞ 

x + 1 

A. m ∈ ( 1;2 ) B. m ∈ ( 2;3) 

C. m ∈ ( 0;1) 

D. m ∈ ( 3;4 ) 

0 

0 

Câu 12: Có bao nhiêu lưới đa giác trong số các lưới dưới đây có thể gấp lại tạo thành mô hình 

một khối lập phương? 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 


x + b 

y = 

ax − 2 

tuyến của ( C ) tại điểm M( 1; 2) 

của a + b bằng: 

có đồ thị là ( ) 

0 

C . Biết rằng a và b là các giá trị thỏa mãn tiếp 

− song song với đường thẳng 3x + y − 4 = 0. Khi đó tổng giá trị 

A. 2 B. 1 C. − 1 

D. 0 

Câu 14: Cho hình bát diện đều SABCDS'. Lấy các điểm M,N,O,P,Q,R,T,U lần lượt là trung 

điểm các cạnh bên SA,SB,SC,SD,S'A,S'B,S'C,S'D. Hỏi là hình gì? 

A. Hình lăng trụ xiên B. Hình lăng trụ đứng. 

C. Hình lập phương D. Hình bát diện đều 

Câu 15: Gọi 

0 

m là giá trị nhỏ nhất của tham số thực m để hàm số y ( m 1) cos( 2017x) 

biến trên tập xác định. Giá trị 

đồng biến trên tập xác định. Giá trị P = 

5 

m + 1 gần nhất với số nào dưới đây? 

A. 0 B. 1 C. 5 D. 6 

Câu 16: Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 

hai khoảng ( 1;+∞ ) và ( ) 

0 

−∞; − 2 . Khẳng định nào dưới đây là đúng? 

0 

= + đồng 


x − m 

y = đồng biến trên 

x + m 

A. S = ⎡ ⎣ 1;2 ⎤ ⎦ B. S = ( 0;2⎤ 

⎦ C. S = ⎡ 

⎣ 1; +∞) 

D. S = ⎡ 

⎣ 2; +∞) 

Trang 3

Câu 17: Tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạn bằng 56, còn tổng các bình phương 

của các số hạng của nó bằng 448. Số hạng đầu u của cấp số nhân thuộc khoảng nào sau đây? 

1 

A. u ⎡115;120 

⎤ 

1 

∈ ⎣ ⎦ B. u ∈ ( 100;115) 

C. u ( 10;15) 

1 

1 

∈ D. u ∈ ⎡5;10⎤ 

1 ⎣ ⎦ 

Câu 18: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a. Tính theo a khoảng cách giữa BC’ 

và CD’ là: 

A. a 6 B. a 3 

3 

Câu 19: Cho hàm số ( ) = ⎨ ( x −1) 

C. 

a 

6 

D. a 3 

3 2 

⎧ 2x + ax − 4x + b 

⎪ 

2 khi x ≠ 1 

f x . Biết rằng a, b, c là giá trị thực để 

⎪ 

⎩3c + 1 khi x = 1 

hàm số liên tục tại x = 1. Giá trị c thuộc khoảng nào sau đây? 

0 

∈ B. c ⎡1;2 

⎤ 

A. c ( 0;1) 

∈ ⎣ ⎦ C. c ( 2;3) 

∈ D. c∈ ⎡ ⎣ 3;4⎤ 

⎦ 

Câu 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B. Hình chiếu vuông góc 

của S trên đáy ABCD trùng với trung điểm AB. Biết AB = a,BC = 2a,BD = a 10. Góc giữa hai 

mặt phẳng (SBD) và đáy là 60 ° . Tính d là khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SCD ) 

gần với giá trị nào nhất trong các giá trị sau đây ? 

A. 0,80a B. 0,85a C. 0,95a D. 0,98a 


Trang 4

Đáp án 

1-C 2-C 3-D 4-D 5-C 6-C 7-B 8-C 9-A 10-D 

11-C 12-D 13-A 14-B 15-D 16-B 17-C 18-B 19-B 20-B 



(Xin dành cho bạn đọc) 


2x −1 

y = ⇒ x + 1 y = 2x −1 ⇔ y + x + 1 y' = 2 ⇔ 2y' + x + 1 y'' = 0 

x + 1 

Trong ( ) ( ) ( ) 


Xem lý thuyết SGK 


Nhận xét hàm trùng phương 

Hàm số 

2 

y x 3x 2 

4 2 

y x x 1 

= − + (phương án B) và 

= + + (phương án C) không đơn điệu trên R 

x −1 

y = không xác định trên R nên không đơn 

x + 1 

3 2 

điệu trên R . Hàm số y = x + 5x + 13 ⇒ y' = 3x + 5 > 0, ∀x 

∈ R nên hàm số đồng biến trên R 


Hàm số biểu thị sự thay đổi của vận tốc theo thời gian chính là đạo hàm của hàm 

⎛ π ⎞ 

số biểu thị sự thay đổi của ly độ theo thời gian, nên ta có v = x' = 40πcos⎜20π t + ⎟.t = 10s thì 

⎝ 4 ⎠ 

π ⎞ 

⎟ 

4 ⎠ 

vận tốc của con lắc sẽ là v = 40πcos 20 π .10 + = 20π 

2 ( cm s) 


Các khẳng định sai là 

(1). Sai vì x = 3∈( − 3;4 ) thì ( ) 

0 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

f ' x đổi dấu. 


(2). Sai vì nhầm giữa hoành độ và tung độ. 

(3). Sai vì hàm số không đơn điệu trên các khoảng hợp. 


Giả sử ta có tứ diện đều ABCD, mặt phẳng đối xứng của tứ diện ABCD chính là các mặt phẳng 

trung trực ứng với từng cạnh của tứ diện ấy. 

Trang 5


Xem lý thuyết SGK. 


Ta có bảng xét dấu của đạo hàm như sau: 

x −∞ 0 5 9 +∞ 

f '( x ) 

− 0 + 0 + 0 − 


2 y' = 0 

kπ 

( ) 

y = cos 2x ⇒ y' = − 4sin 2x.cos2x = 2sin 4x ⎯⎯⎯→ sin 4x = 0 ⇔ 4x = kπ ⇔ x = k ∈Z 

4 

π π π 

0 x 0 k 0 k 2 k 0;1;2 . Nên có 3 nghiệm thỏa mãn 

2 4 2 

k∈Z 

Do ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⎯⎯⎯→ ∈{ } 


Ta có: 

9 9 

2x − x m + 2 − m + 

2x mx 9 

lim lim 

x 

lim 

x 

2 m 

x + 1 ⎛ 1 ⎞ 

1 

x⎜ 

x + 

x + 

x 

⎟ 

⎝ ⎠ 

x 

2 

− + 

2 2 

= = = + 

x→−∞ x→−∞ x→−∞ 

Ta có: 2 + m = 2 2 ⇒ m = 2 2 − 2 ⇒ m = 12 − 8 2 ≈ 0,686 ∈ ( 0;1) 



Cả 4 hình trên đều lắp ghép ra được khối lập phương. 


Ta có 

⎧ 1+ 

b 

M ( C) 

2 

⎧ ∈ ⇒ = − 

b = − 2a + 3 

⎪ a − 2 

∆ // y=−3x−4 

⎪ ⎧ 

2 a 

b 1 

( 3 2a 

= 

⎨ − − − ) 

−2 − ab 

⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎨ ⇒ ⇒ a + b = 2 

y' 

3 

( 1 ) ,( a 2 

= − 

⎨ 

⎪ = ≠ ) 

⎪ 

2 ⎩a = 1 

2 

⎪ ( a − 2) 

⎪⎩ 

( a − 2) 

⎩ 

Trang 6


Ta có hình vẽ như bên: Cho độ dài các cạnh của bát diện đều là a thì 

SS' = a 2 

Dễ dàng thấy được MNOPQRTU là 1 hình lăng trụ đứng. Ta có thể chọn 

ngay đáp án B 

ở đây chúng ta chứng minh được ( MNOP );( QRTU ) song song với 

( ABCD ) 

và 

PU //MQ //NR// OT //SS',PU 

1 a 

MN=NQ=QP=MP=QR= RT=TU=UQ = AB= 

2 2 

1 a 2 

⊥ ( MNOP) 

và PU =MQ =NR= OT= SS'= 

2 2 

Do đó MNOPQRTU là hình hộp chữ nhật chứ không phải là hình lập phương. Và hiễn nhiên 

hình hộp chữ nhật là một lăng trụ đứng 


Tập xác định R ( ) ( ) 

D = .y = m + 1 cos 2017x ⇒ y' = m + 1− 

2017sin 2017x 

Hàm số đồng biến trên R nghĩa là 

y' = m + 1− 2017sin 2017x ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ m + 1 ≥ 2017sin 2017x, ∀x ∈ R , mà 

2017sin 2017x ≤ 2017, ∀x 

∈ R suy ra ta cần m + 1 ≥ 2017 ⇒ m ≥ 2016 ⇒ m = 2016 

0 


⎧ 2m 

⎪y' = > 0 

2 

⎪ ( x + m) 

⎧ m > 0 

⎪ 

⎪ 

⎨−m ∉ ( 1; +∞) 

⇔ ⎨m ≥ −1 ⇔ 0 < m ≤ 2 

⎪ ⎪ 

m ( ; 2) 

m ≤ 2 

⎪ − ∉ −∞ − ⎩ 

⎪ 

⎩ 


⎧ u1 

S 56 ⎧ 

⎪ = = 

1 ( ) 

n ⎪ 

u = 56 1− 

q 

2 1 

Ta có: ⎨ 1− q ⇔ ⎨ 

⇒ u = 448 

2 2 4 2n−2... 

1 2 

⎪ 2 2 2 u1 

( 1 q q ... q ) 448 1 q 

u u ... u ... 449 

⎪ + + + + = − 

⎩ + + + = 

1 2 n ⎩ 

Suy ra 

( − ) 

2 

56 1 q 3 


( ) 

= 448 ⇔ q = ⇒ u = 14∈ 

10;15 

1 

1+ 

q 4 

Ta có: BC'/ /AD' ⇒ BC'/ / ( CAD' ) 

mặt 

khác: 


Trang 7

Suy ra d ( BC';CD' ) / /d ( BC'; ( CAD' )) = d ( B; ( CAD' )) 

Lại có 

( ( )) 

( ( )) 

d B; CAD' BO 

= = 1 với O = AC ∩ BD 

d D; CAD' DO 

Do đó ( ) ( ( )) 

d BC';CD' = d D; CAD' = h 

1 1 1 1 

Mặt khác = + + (phần chứng minh xin dành cho bạn đọc) 

2 2 2 2 

h DD' DC DA 

2 

2 a a 3 a 3 

( ) 

⇒ h = ⇒ h = ⇒ d BC';CD' = 

3 3 3 


Để hàm số liên tục tại x = 1 ⇔ lim f ( x) = f ( 1) 

Xét 

+ − + 

3 2 

2x ax 4x b 

( x −1) 

2 

0 

x→1 

và bảng horner của tử thức 

2 a − 4 

1 2 2 + a − 2 + a 

1 2 4 + a 

2 

+ 2a 

0 

b 

− 2 + a + b 

3 2 

2x + ax − 4x + b 2x + 4 + a x −1 

Khi đó ta có lim 

2 = lim 

2 = lim ( 2x + 4 + a) 

= 6 + a 

x → 1 x 1 x 1 

x −1 → x −1 

→ 

( ) 

( )( ) 

( ) 

⎧ 

⎧− 2 + a + b = 0 ⎪a = −1 

⎪ 

⎪ 

Yêu cầu bài toán ⇔ ⎨2 + 2a = 0 ⇔ ⎨b = 3 ⇒ c∈ ⎡ 

⎣1;2 

⎤ 

⎦ 

⎪6 a 3c 1 ⎪ 

⎩ + = + 4 

⎪ c = 

⎩ 3 



2 2 

Ta có AD BD AB 3a. 

= − = Gọi H là trung điểm AB, ta có SH ⊥ ( ABCD) 

2 

0 

Trang 8

BD SH 

Kẻ ( ) ( ) ( ) 

⊥ 

HK ⊥ BD ⎯⎯⎯→ BD ⊥ SHK ⇒ BD ⊥ SK ⇒ ∡ ⎡ SBD ; ABCD ⎤ 

⎣ 

⎦ 

= ∡ SKH = 60° 

AE ⊥ BD ⇒ 1 = 1 + 1 = 1 + 1 ⇒ AE = 3 ⇒ HK = 

3 

AE AB AD a 9a 10 2 10 

Kẻ 

2 2 2 2 2 

3 3 3a 3 

Trong ∆ SHK ta có SH = HK.tan 60 = = 

2 10 20 

Khi đó gọi O = AB∩ CD,L là trung điểm CD và AQ ⊥ PD,HF ⊥ PD. Ta có 

AD + BC 5a 

HL = = 

2 2 

Xét 

5a 

PH HL 2 5 

PA AD 3a 6 

= = = và AB∩ ( SCD) = { P} 

Ta có tỉ số khoảng cách 

( ( )) 

( ( )) 

d A; SCD 6 

d H; SCD = 5 

CD⊂( SCD) 

HF ⊥ CD ⎯⎯⎯→ CD ⊥ SHF ⎯⎯⎯⎯→ SHF ⊥ SCD theo giao tuyến SF 

CD⊥SH 

Ta có ( ) 

Kẻ ( ( )) 

( ) ( ) 

HR ⊥ SF ⇒ HR = d H; SCD . Nhận xét ∡ ACD = 45° ⇒ ∆HLP 

vuông cân tại H 

Ta có HF 

= = và 1 1 1 a 675 

( ( ) 

2 2 2 

) 

HL 2 5a 2 

2 4 

= + ⇒ HR = ⇒ d A; SCD ≈ 0,75a 

HR HF HS 1216 


Trang 9






ĐỀ ÔN SỐ 3 

Đề ôn gồm 20 câu (0,5 điểm / câu) 

Câu 1: Cho các khối đa diện đều như hình vẽ sau đây. Khối đa diện đều loại { } 

A. Hình 4 B. Hình 1 C. Hình 2 D. Hình 3 

Câu 2: Hình chóp là tứ giác đều có mấy trục đối xứng? 

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 

Câu 3: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên ( −∞ ; +∞ ) 

A. y = x 

B. 


1 

y = C. y = x 

D. 

x 

1 

y = . Khẳng định nào dưới đây là đúng? 

x 

3;5 là hình nào? 

1 

y = 

x 

2 

2 

3 

A. y ''. y + 2( y ') = 0. B. y". y = 2( y ') . C. y". y = 2. D. y y + = 

3 

". 2 0. 

Câu 5: Cho hàm f có tập xác định là K ⊂ R , đồng thời f có đạo hàm f '( x ) trên K . Xét hai phát 

biểu sau: 

(1) Nếu f '( x0) ≠ 0 thì x 

0 

không là điểm cực trị của hàm f trên K. 

(2) Nếu qua x 

0 

mà f '( x ) có sự đổi dấu thì x 

0 

là điểm cực trị của hàm f . 

Chọn khẳng định đúng. 


A. (1), (2) đều đúng. B. (1),(2) đều sai. C. (1) sai, (2) đúng. D. (1) đúng, (2) sai 

Câu 6: Cực tiểu của hàm số 

3 2 

= ( ) = 3 − 3 + 4 là: 

y f x x x 

A. 0 B. 1 C. 3 D. 4 

Câu 7: Cho hàm số y = f ( x) = sin x + x xác định trên R . Hàm số trên đạt cực đại tại: 

A. x = π + k2 π. 

B. x = k2 π. 

C. y = π + k2 π. 

D. x∈∅ . 

Trang 1

Câu 8: Người ta trồng 3003 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng thứ hai 

trồng 2 cây, hàng thứ 3 trồng 3 cây, ..., hàng thứ k trồng k cây. Hỏi người ta đã trồng bao nhiêu hàng cây 

? 

A. 77 B. 78 C. 76 D. 75 


m 

y f x x m x m x 

3 

3 2 2 

= ( ) = − + ( + 1) + 3. Định m để hàm số trên có tiếp tuyến tại điểm 

M (0, 3) vuông góc với đường thẳng y = 2x 

+ 10. 

A. 

3 

m = − . B. m = 3 

C. m∈R . 

D. m = 1 

2 

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD vuông tại A và D, có AB = 

2AD = 2CD , tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy. Gọi I là trung điểm AD, biết 

khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SBC) bằng 1(cm). Tính diện tích S hình thang ABCD. 

A. 

10 ( 2 

cm ). 

S = B. 

3 


20 ( 2 

cm ) 

S = C. 

3 

200 ( 2 

cm ). 

S = D. 

27 

2 

y = 2sin x − 5 x. 

Mệnh đề nào dưới đây đúng? 

A. Hàm số nghịch biến trên ( −∞ ;0) và đồng biến trên (0; +∞ ) . 

B. Hàm số đồng biến trên R 

C. Hàm số nghịch biến trên R 

D. Hàm số chỉ đồng biến trên ( −∞ ;0) và nghịch biến trên (0; +∞ ) 

Câu 12: Gọi S là tập hợp các hoành độ của điểm M chạy trên parabol 

S = 

3 

5 ( 2 

cm ). 

2 

( P) : y x 2x 

3 

= + + , theo hướng 

tăng của x thỏa mãn nếu đứng quan sát từ điểm K(1;3) thì ta sẽ thấy điểm M. Biết rằng 

[ ] 

S = a; b , a, b∈ R . Tính 

2 2 

P a b ab. 

= + + 

A. P = 4 

B. P = 6 

C. P = 4 + 2 3 D. P = 4 − 2 3. 


mệnh đề sau có bao nhiêu mệnh đề đúng. 

f x xác định trên = [ 0;10 ) \{ 1} 

D có bảng biến thiên như hình vẽ, trong các 

x −∞ 0 1 3 10 +∞ 

'( ) 

f x + - 0 + 


f 

( x ) 

12 

10 10 

1 

-6 

i. Hàm số có cực tiểu là 3. 

ii. Hàm số đạt cực đại tại x=1 . 

Trang 2

iii. Hàm số có giá trị cực đại là 12. 

iv. Hàm số có cực tiểu là -6 . 

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 

Câu 14: Hình bát diện đều thuộc loại khối đa diện đều nào sau đây ? 

A. { 3;4 } 

B. { 4;3 }. C. { 3;5 }. D. { 5;3 }. 

Câu 15: Cho khối đa diện có tất cả các mặt đều là tam giác và các mệnh đề nào sau đây: 

(1). Số mặt của khối đa diện luôn là số chẵn. (2). Số cạnh của khối đa diện luôn là số lẻ. 

Khẳng định nào sau đây là đúng ? 

A. Chỉ có (1) đúng B. Cả (1) và (2) sai. C. Chỉ có (2) đúng. D. Cả (1) và (2) đúng. 

Câu 16: Tìm tất cả các giá trị a để phương trình y = f '( x) 

có nghiệm biết 

rằng f ( x) = a cos x + 5 sin x − 3x 

+ 1 . 

A. − 2 < a < 2 B. 

⎡a 

≤ −2 

⎢ 

⎣a 

≥ 2 

C. −2 ≤ a ≤ 2 D. 

⎡ π π ⎤ 

Câu 17: Một cực đại của hàm số y = 2x + cos 4x 

trên đoạn 

⎢ 

− ; 

⎣ 2 2 ⎥ 

là: 

⎦ 

π 

A. 24 

B. 

Câu 18: Tổng S các giá trị cực trị của hàm số 

A. 

40 

S = − . B. 

27 


7 π 

− . 

C. 5 π − 6 3 

24 

12 

2 

S = C. 

3 

3 2 

y x x 1 5x 

= − − − là: 

41 

S = − . D. 

27 

⎡a 

< −2 

⎢ 

⎣a 

> 2 

D. 6 3 − 11 π 

12 

5 

S = . 

3 

2 

⎧ 2x 

+ 5x 

− 7 

⎪ 

( x > 1) 

x −1 

⎪ 

f ( x) = ⎨a + b( x = 1) . Biết rằng a, 

b là giá trị để hàm số liên tục tại x = 1. 

⎪ 2 

⎪ 

x + 2bx + 3 a( x < 1) 

⎪⎩ 

Tính giá trị của P = a − b 

A. P = − 9. 

B. P = 9. 

C. P = − 29. D. P = 29. 

Câu 20: Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 

nửa khoảng [ 3;+∞ ) . Biết rằng S có dạng ( ;a] 

nguyên? 


2 2 

−∞ ∈R . Trên ( ;2018 ) 

2 

y x mx 

A. 1816 B. 1815 C. 1914 D. 1913 

= + 1 − đồng biến trên 

a a có tất cả bao nhiêu giá trị 

Trang 3

Đáp án 

1-A 2-B 3-C 4-A 5-D 6-C 7-D 8-A 9-D 10-A 

11-C 12-B 13-B 14-A 15-A 16-B 17-D 18-A 19-C 20-A 

21- 22- 23- 24- 25- 26- 27- 28- 29- 30- 

31- 32- 33- 34- 35- 36- 37- 38- 39- 40- 

41- 42- 43- 44- 45- 46- 47- 48- 49- 50- 





Ba hàm số ở phương án A, B, D có tập xác định không phải là R nên loại. 

Kiểm tra lại phương án C: Tập xác định D= R . Và y ' = 1 > 0 . 


1 1 2 2 

y = ⇒ y = − ⇒ y = ⇒ y y = = − y ⇒ y y + y = 

x x x x 


2 2 

' " ". 2( ') ". 2( ') 0 

2 3 4 

(2) sai vì xảy ra trường hợp 

0 


2 ⎡x 

= 0 ⇒ y = 4 

y ' = 6x − 6x 

= 0 ⇒ ⎢ . 

⎣x 

= 1⇒ y = 3 

y" = 12 − 5; y"(0) = − 6 < 0; y"(1) = 6 > 0 . 

1 

y = f x = 

x 

x không thuộc K . Ví dụ hàm ( ) 

2 

Suy ra hàm số có điểm cực đại là 0 và cực đại bằng 4 , điểm cực tiểu là 1 và cực tiểu là 3. 

Phương án nhiễu. 

A. Nhầm giữa cực đại và cực tiểu. 


B. Nhầm lẫn giữa điểm cực trị ( x) 

và giá trị cực trị (gọi tắt là cực trị) ( y ) . 

C.Kết hợp sai giữa A và B. 


TXĐ: D∈ . y ' = cos x + 1 ≥ 0, ∀x 

∈ R . Suy ra hàm số không có cực trị. 


Trang 4

Đây là một dãy cấp số cộng với 


Ta có 

2 2 

y mx m x x 

⎧uk 

= k k 

77 

2 ⎡k 

= 

⎨ ⇒ Sk 

= ( k + 1) ⇔ k + k − 6006 = 0 ⇔ 

d 1 2 

⎢ 

⎩ = ⎣k 

= −78 

= − 2 + ( + 1) . Để tiếp tuyến tại M vuông góc với d 

1 3 

⇒ y '(0). kd 

= −1 ⇔ m + 1 = − ⇔ m = − . 

2 2 


Đặt AB = x > 0 ⇒ AB = 2 x, CD = x, BC = x 2. 

Vẽ IH vuông góc BC, IK vuông góc SH. 

Suy ra: d( I ( SBC)) = IK . 

2 

3x 

1 3x 

2 

SIBC = SABCD − SIAB − SICD 

= = IH. 

BC = 

4 2 4 

Ta có: 1 = 1 = 1 ⇒ x = 

2 5 . 

2 2 2 

IK IS IH 3 

AD AB + 

S = = 

2 3 

( CD) 10 ( 

2 

cm ). 


TXĐ: D= R . Biến đổi 

y = x − x = − x − x 

2 

2sin 5 1 cos 2 5 . 

Ta có y ' = 2sin 2x − 5 < 0, ∀x 

∈R. 

Vậy hàm số nghịch biến trên R . 


Nếu qua K vẽ được hai tiếp tuyến đến (P) và hai tiếp điểm là A & B, xA 

< xB 

thì vùng nhìn thấy chính là 

những điểm có hoành độ thuộc đoạn [ ; ] 

x x . 

Gọi T ( x 0 

; y 0 

) là tiếp điểm ứng tiếp tuyến d qua K. 

Phương trình tiếp tuyến d là : 

d : y = y'( x )( x − x ) + y 

0 0 0 

⇒ y = (2x + 2)( x − x ) + x + 2x 

+ 3 

2 

0 0 0 0 

Mà d qua K(1; 3) suy ra: 

− x + 2x + 2 = 0 ⇒ x = 1− 3; x = 1+ 

3 

2 

0 0 0 0 

Do đó, S = ⎡1 3;1 3⎤ 

⎣ 

− + 

⎦ 

⇒ a = 1− 3; b = 1+ 3 ⇒ P = 6 


A 

B 


Trang 5


Lý thuyết SGK. Chọn A 


Nếu số mặt là 6 dễ thấy số cạnh là 9, nếu số mặt là 4 thì số cạnh là 6 do đó (2) sai. 


Ta có ( ) 

f '( x) 

= 0 

f ' x = − asin x + 5 cos x − 3 ⎯⎯⎯→ asin x − 5 cos x = −3 

2 2 

Để phương trình có nghiệm a + 5 ≥ 3 ⇒ a ≤ −2 ∨ a ≥ 2 


⎡ π 

⎢ 

x = + k2π 

24 

y ' = 2 − 4sin 4x 

= 0 ⇒ ⎢ mà 

⎢ 5π 

x = + k2π 

⎢⎣ 24 

y '' = − 16cos 4 x. 

Thấy rằng 

Nghĩa là hàm số đạt 

2 

⎡ π π ⎤ π −11π −7π 

x ∈ 

⎢ 

− ; ⇒ x = ; x = ; x = . 

⎣ 2 2 ⎦ 

⎥ 24 24 24 

⎛ π ⎞ ⎛ −11π ⎞ ⎛ 5π ⎞ ⎛ −7π 

⎞ 

y" ⎜ ⎟ < 0; y" ⎜ ⎟ < 0; y" ⎜ ⎟ > 0; y" ⎜ ⎟ > 0 

⎝ 24 ⎠ ⎝ 24 ⎠ ⎝ 24 ⎠ ⎝ 24 ⎠ 

π 

x = và cực đại là 

24 

Tương tự, hàm số đạt cực đại tại 


y ⎛ 3 

⎜ 

π ⎞ ⎟ = π + . 

⎝ 24 ⎠ 12 2 

−11π 

x = và cực đại là 

24 

A Nhầm giữa điểm cực đại và cực đại (giá trị cực đại) 

⎛ −11π 

⎞ 11π 

3 

y ⎜ ⎟ = − + . 

⎝ 24 ⎠ 12 2 

B Nhầm giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu cũng như điểm cực trị và cực trị 

C Bấm máy tính thấy giá trị lớn hơn D nhưng không kiểm tra rằng đó là cực tiểu. 


TH1. x 

2 

−1 ≥ 0 ⇔ x ≤ −1 ≥ 1. 

( ) 

y = x = x −1 − 5x = x − x − 5x + 1; y ' = 3x − 2x − 5 = 0 ⇒ x = − 1; x = . 

3 

BBT1. 


3 2 3 2 2 5 

x −∞ -1 1 5/3 +∞ 

y ' 

+ 0 − − 0 + 

Trang 6

y 

TH2. 

x 

2 

− 1 < 0 ⇔ − 1 < x < 1. 

( ) 

y = x − 1− x − 5x = x + x − 5x − 1; y ' = 3x + 2x − 5 = 0 ⇒ x = 1 ∀ x = − . 

3 

BBT2. 

3 2 3 2 2 5 

x −∞ -5/3 -1 1 

+∞ 

y ' 

+ 0 − − 0 + 

y 

Hợp hai BBT trên ta được BBT của hàm ban đầu như sau: 

x −∞ − 1 

1 5/3 +∞ 

y' + 0 − 0 − 0 + 

y 

Suy ra: Hàm số đạt cực đại x = − 1 và giá trị cực đại y = 4 

Hàm số đạt cực tiểu tại 


Ta có: ( x) 

5 

x = và giá trị cực tiểu tại 

3 

2 

2x 

+ 5x 

− 7 

( x − 1)( 2x 

+ 7) 

148 

y = − . Vậy 

27 

( x ) 

40 

S = − . 

27 

lim = lim = lim = lim 2 − 7 = 9 

x→1 + x→1 + x −1 x→1 + x −1 

x→1 

+ 

2 

lim f x = lim x + 2 bx + 3 a = 1 + 2 b + 3 a và ( ) ⎧a + b = 9 ⎧a 

= −10 

f 1 ⇔ ⎨ 

⇔ ⎨ 

− 

− 

x→1 x→1 

⎩1 + 2b + 3a = 9 ⎩b 

= 19 


Và ( ) ( ) 

Suy ra P = a − b = − 29 


Trang 7

x 

x 

y ' = − m ≥ 0, ∈ 3; +∞ ⇔ m ≤ g x = , ∈ 3; +∞ 

2 2 

x + 1 x + 1 

1 

g ' = > 0 

( x) 

BBT 

2 

( x + 1) 

3 

[ ) ( ) [ ) 

x −∞ 3 +∞ 

g '( x ) 

+ + 

( ) 

g x 

3 3 

Từ BBT, suy ra m ≤ ⇒ a = . 

10 10 

( 3) 

g = 


3 

10 

Trang 8


Trang 9








Câu 1: Hàm số nào dưới đây không liên tục trên R ? 

A. 

y 

4 

= x − 2018 B. 

y = 

x 

2 

2 

2x 

+ x + 3 

C. y = x + 1 D. 

x + 1 

Câu 2: Cho hàm số y = . Khẳng định nào dưới đây là đúng? 

x − 1 

A. Hàm số đồng biến trên ( −∞; −1) ∪ ( −1; 

∞ ) 

B. Hàm số nghịch biến trên ( −∞; −1) ∪ ( 1; ∞ ) 

C. Hàm số đồng biến trên ( −∞; − 1) 

và ( −1; 

∞ ) 

D. Hamg số nghịch biến trên ( −∞ ;1) 

và ( 1;+∞ ) 

Câu 3: Đạo hàm của hàm số 

A. 

y ' = 

2 

2 + + 2 

x 

x 

2 

2 + 1 

x 

B. 

2 

= + 1 là: 

y x x 

y ' = 

2 

2 + 1 

x 

x 

2 

+ 1 

Câu 4: Cho khối đa diện đều ( H ) loại { ; } 

A. Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh 

B. Mỗi mặt của nó là một đa giác đều q cạnh 

C. Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p + q cạnh 

D. Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p − q cạnh 


2 

C. 

y ' = 

2 

3 + 1 

x 

x 

2 

+ 1 

D. 

2 

y = 

sin 2x 

+ 3 

y ' = 

p q . Khẳng định nào dưới đây là đúng? 

f x = 9 − x . Khẳng định nào dưới đây là sai? 

A. Hàm số liên tục trên đoạn[ − 3;3] 

B. Hàm số liên tục trên khoảng ( − 3;3) 


C. Hàm số liên tục tại x = 3 

D. Hàm số liên tục tại x = − 2 

Câu 6: Cho hàm f xác định trên R, biết rằng f ( x) f ( x) 

i. f ( x) 

x→1 

+ − 

x→1 x→1 

lim = 2 

ii. Hàm f liên tục tại 1. 


x 

x 

2 

+ 1 

lim = lim = 2 . Xét các phát biểu sau: 

Trang 1

A. ( i) 

sai, ( ii ) đúngB. ( i) 

đúng, ( ii) 

saiC. ( i ) , ( ii ) đều đúng D. ( i ) , ( ii ) đều sai 

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a cạnh bên SA vuông góc 

mặt đáy và SA 

= a . Gọi ϕ là góc tạo bởi SB và mặt( ABCD ) . Xác định cotϕ 

A. cotϕ = 2 B. 


A. Điểm cực trị của hàm số là điểm x0 

B. Điểm cực trị của hàm số là điểm x0 

1 

cotϕ = C. cotϕ = 2 2 D. cotϕ = 

2 

= xác định trên tập D ⊂ R . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 

2 

4 

∈ R mà khi đi qua nó, đạo hàm f '( x ) đổi dấu 

∈ D sao cho f '( x ) = 0 

C. Điểm cực trị của hàm số là điểm x0 

∈ D thỏa mãn hàm số đổi chiều biến thiên khi 

đi qua nó 

D. Điểm cực trị của hàm số là điểm x0 

nhất của hàm số trên tập D . 

Câu 9: Tìm tất cả các điểm cực tiểu của hàm số 

kπ 

= ∈ B. 

2 

A. x , ( k Z ) 

kπ 

= ∈ D. 

4 

C. x ( k Z ) 

0 

∈ D sao cho f ( x ) là giá trị lớn nhất hoặc nhỏ 

0 

2 

y = sin 2x 

: 

( 2k 

+ 1) 

π 

x = k ∈ Z 

4 

( 2k 

+ 1) 

Câu 10: Cho tứ diện ABCD và một điểm G nằm bên trong khối 

( ) 

π 

x = k ∈ Z 

2 

tứ diện như hình vẽ bên. Khẳng định nào dưới đây là đúng về cách 

phân chia khối tứ diện trên? 

( ) 

A. Khối tứ diện ABCD được phân chia thành 2 khối là B.AGC và D.AGC 

B. Khối tứ diện ABCD được phân chia thành 3 khối là G.ABD; G.ABC; G.ACD 

C. Khối tứ diện ABCD được phân chia thành 3 khối là G.BCD; G.ABC; G.ACD 

D. Khối tứ diện ABCD được phân chia thành 4 khối là A.DGB; G.ABC; A.GCD; G.BCD 


có đạo hàm cấp hai trên và có bảng biến thiên của đạo hàm cấp 

một như sau: 

x −∞ 0 +∞ 

y’ + 0 − 

y 


+∞ 

0 

Trang 2

−∞ 

A. Hàm số nghịch biến trên R 

B. Hàm số nghịch biến trên ( −∞ ;0) 

và( 0;+∞ ) 

C. Hàm số đồng biến trên ( −∞ ;0) 

và nghịch biến trên ( 0;+∞ ) 

D. Hàm số đồng biến trên ( 0;+∞) 

và nghịch biến trên ( −∞ ;0) 

Câu 12: Cho hàm số f ( x) = − sin x . Khẳng định nào dưới đây là đúng? 

A. Nếu f ( x ) = thì ( ) 

1 

0 

B. Hàm số f '( ) 

C. Hàm số f '( ) 

f ' x = − 1 

D. Nếu f ( x ) = thì ( ) 

1 

0 

1 

x có đồ thị đối xứng qua trục tung 

x có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ. 

f ' x = 1 

1 

Câu 13: Cho chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a và tam giác SAD đều đồng 

thời nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy. Tính khoảng cách d từ tâm đường tròn nội tiếp tam 

giác SAD đến mặt phẳng ( SBC ) theo a 

A. 

2a 

21 

d = B. 

7 

4a 

57 

d = C. 

57 

2a 

21 

d = D. 

21 

Câu 14: Khối chóp tứ giác đều có tất cả bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? 

A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 

4a 

21 

d = 

21 

mx + 1 

Câu 15: Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của m để hàm số y = đồng biến trên khoảng 

x + m 

( 2;+∞ ) . Khẳng định nào dưới đây là đúng? 

A. S = ( −2; −1) ∪ ( 1; +∞ ) 

B. S = ( −∞; −1) ∪ ( 2; +∞ ) 

C. S = ( −∞; −1) ∪ ( 1;2 ] 

D. S = [ −2; −1) ∪ ( 1; +∞ ) 

Câu 16: Biết rằng a, b là hai giá trị thực để hàm số 

⎧ x + 2 − ax 

⎪ , x > 2 

f ( x) 

= ⎨ ⎪ x − 2 

ax + b , x ≤ 

liên tục tại 

⎩ 

2 


x = 2 . Tính giá trị biểu thức P = a + 4b 

A. − 10 

B. 6 C. 2 D. − 6 


xác định trên và có đồ thị của y f '( x) 

Trang 3 

= như sau:

A. Hàm số có điểm cực đại là 0 B. Hàm số có hai cực trị thuộc đoạn [ − 1;2 ] 

C. Cực tiểu của hàm số có giá trị âm D. Hàm số có điểm cực đại là − 1 

Câu 18: Cho hàm số y = 3 sin 2x − cos 2x 

có đồ thị( ) 

C . Gọi M ( x ; y ) và ( ; ) 

1 1 1 

M x y là 

2 2 2 

= + , 

hai điểm trên ( C ) mà tại đó tiếp tuyến của ( C) 

song song với đường thẳng ( d ) : y 4x 

2 

với ; ( 0;4) 

x1 x2 

∈ Hỏi tổng x1 x2 

+ có giá trị gần với số nào nhất sau đây: 

A. 3,62 B. 3,52 C. 3, 42 D. 3,32 

Câu 19: Gọi m 

0 

là giá trị nhỏ nhất của tham số thực m thỏa mãn hàm số 

x 

= + + + nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 2. Tính gần đúng 

3 

3 

2 

y mx 3mx m 

3 5 

P m0 m0 

= + 2 + 1 . Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm. 

A. P ≈ 6,30 B. P ≈ 1,01 C. P ≈ 0,73 D. P ≈ 7,37 

Câu 20: Cho ba hàm số 

số 

f , g , h liên tục và có đạo hàm trên R.Biết rằng đồ thị của ba hàm 

f , g , h theo thứ tự là đường cong màu xanh lá, màu đỏ và màu xanh dương (xem 

hình bên dưới). Khẳng định nào dưới đây là đúng? 

A. g = f ', h = g ' B. f = g ', h = f ' C. g = h', f = g ' D. h = g ', f = h ' 


Trang 4

Đáp án 

1-C 2-D 3-B 4-A 5-C 6-B 7-A 8-C 9-A 10-D 

11-C 12-B 13-D 14-C 15-D 16-A 17-D 18-A 19-C 20-D 



Các hàm số trên đều là hàm sơ cấp nên xác định trên khoảng nào sẽ liên tục ở đó. Tập xác định 

của hàm số y x 1 D = 0; +∞ nên nó không liên tục trên R. 



= + là [ ) 

+ 

y = x x + 1 ⇒ y ' = x + 1 + x. = x + 1 + = 

x + x + x + 

2 2 

2 2 2x 2 x 2x 

1 


+ 1 ' = 

A. Đạo hàm sai ( 

2 

x ) 

+ 1 ' = 

B. Đạo hàm sai ( 

2 

x ) 

2 2 2 

2 1 1 1 

1 

+ 

2 

2 x 1 

2x 

x 

2 

+ 1 

C. Đạo hàm sai ( x 2 + 1 ) ' = x '. ( x 

2 + 1 ) 



Tập xác định D = [ − 3;3] 

mà f là hàm sơ cấp, suy ra f liên tục trên khoảng ( 3;3) 

liên tục tại x = −2 ∈ ( − 3;3) 

Mặt khác, lim f ( x) = f ( − 3 ); lim f ( x) = f ( 3) 

nên f liên tục trên đoạn [ 3;3] 

+ − 

x→3 x→3 

− nên f cũng 

− . Do đó, chỉ có 

+ 

phương án C là sai. Thật vậy, không tồn tại giới hạn khi x → 3 nên cũng không tồn tại giới hạn 

khi x → 3 . 



Hiển nhiên ( i ) đúng, ( ii ) sai vì chưa chắc f ( 1) 

= 2 . Ví dụ ( ) 


⎧1, x > 1 

⎪ 

f x = ⎨0, x = 1 

⎪ 

⎩1, x < 1 

Trang 5

Ta có: B là hình chiếu của B lên( ABCD ) . 

A là hình chiếu của S lên( ABCD ) . 

Suy ra góc tạo bởi ( ) 


Phương án nhiễu 

A. Điểm x R 

ABCD là gócϕ = ∠ SBA. Do đó, cotϕ = AB = 2 

SA 

1 

= 

x 

∈ chưa chắc thuộc tập xác định D . Ví dụ: ( ) 

2 

B. Phản ví dụ: Hàm số y = x không có đạo hàm tại điểm x 

0 

= 0 nhưng lại đạt cực tiểu tại đó 

C. Cực trị của hàm số không nhất thiết phải là giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trên của hàm số trên 

tập xác định. 


y ' = sin 2 x ' = 4sin 2 x.cos 2 x = 2sin 4 x 

2 

Ta có: ( ) 

kπ 

y ' = 0 ⇔ sin 4x = 0 ⇔ 4x = kπ 

k ∈ Z ⇔ x = k ∈ Z 

4 

Ta có: y" = 8cos 4x 

+ Với x y ( kπ 

) 

+Với 

( ) ( ) 

2kπ kπ ⎛ kπ 

⎞ 

= = : " ⎜ ⎟ = 8cos 2 = 8 > 0 . Suy ra 

4 2 ⎝ 2 ⎠ 

( 2k 

+ 1) π ⎛ ( 2k 

+ 1) 

π ⎞ 

x = : y" ⎜ ⎟ = 8cos( ( 2k 

+ 1) 

π ) = − 8 < 0 . Suy ra 

4 ⎝ 4 ⎠ 

những điểm cực đại 



Theo BBT, f '( x ) > 0, ∀x ∈ ( −∞;0) 

và f '( x) 0, x ( 0; ) 

( −∞ ;0) 

và nghịch biến trên ( 0;+∞ ) 


( ) ( ) 

f x = −sin x ⇒ f ' x = − cos x . 

f x = − cos x xác định với mọi x R 

Hàm '( ) 

( ) '( ) 

f 

x 

kπ 

x = là những điểm cực tiểu 

2 

( 2k 

+ 1) 

π 

x = là 

4 

< ∀ ∈ +∞ . Tức là hàm số đồng biến trên 


∈ (đạo hàm ( ) 

f ' − x = f x ) nên có đồ thị đối xứng qua trục tung. 

= 0 ⇒ sin = 0 ⇒ cos ⇒ cos = ± 1 ⇒ ' = ± 1 

2 

Giả sử f ( x ) x x x f ( x) 

1 1 1 1 

f " x = sin x ); là hàm số chẵn (do 

Trang 6


Gọi H, I , theo thứ tự là trung điểm AD,BC 

G là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đều 

SAD nên G cũng là trọng tâm tam giác SAD. 

Vẽ ( ;( )) 

HK ⊥ SI ⇒ d H SBC = HK 

2a 

3 2a 

21 

Ta có: HI = 2 a; SH = = a 3 ⇒ HK = 

2 7 

2 2 4a 

d = d ( G; ( SBC) 

) = d ( H; 

( SBC )) 

= HK = 

3 3 21 



2 

⎧⎪ 

y ' > 0 ⎧m 

− 1 > 0 

Ycbt suy ra ⎨ 

⇔ ⎨ ⇔ −2 ≤ m < −1∨ m > 1 

⎪⎩ 

−m 

∉ ( 2; +∞) 

⎩−m 

≤ 2 


( 2) = 2 + ; lim ( ) = 2 + . Đặt ( ) 2 

f a b f x a b 

Trang 7 

− 

x→2 

Muốn có giới hạn hữu hạn khi x 2 

Với 

g x = x + − ax 

+ 

→ thì g ( ) 

( x 1) 

x + 2 − x − + 3 

a = 1, lim = lim = − 

+ + 

x→2 x − 2 x→2 

x + 2 + 2 4 

2 = 0 ⇒ a = 1 

−3 11 

Kết hợp với giả thiết, ta có 2a + b = ⇒ b = − ⇒ P = a + 4b 

= − 10 

4 4 

Phương án nhiễu 

−3 

D. Nhầm thành a + b = 

4 


Đồ thị trên là đồ thị của hàm f '( x ) 

Nhìn vào đồ thị ta thấy rằng: 

+ '( ) 


f x đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua điểm x = − 1 , suy ra x = − 1 là điểm cực đại. 

+ f '( x ) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm x = 2 , suy ra x = 2 là điểm cực tiểu. 

Ta còn thấy f '( 0) 

= 0 , nhưng qua điểm x = 0 đạo hàm không đổi dấu nên x = 0 không là điểm 

cực trị của hàm số. 

Phương án nhiễu

A. Nhầm lẫn đồ thị đề cho với đồ thị của hàm y = f ( x) 

B. Do các hàm số dạng y = f ( x) + C, 

C ∈ R , đều có đạo hàm là y f '( x) 

cực trị) phụ thuộc vào C . Nên phương án B sai 

Trang 8 

= nên cực trị (giá trị 

C. Nhầm lẫn đồ thị đề cho với đồ thị của hàm y = f ( x) 

, dựa vào đồ thị hàm f '( ) 

biết điểm cực trị chứ chưa biết được giá trị cực trị của hàm số y = f ( x) 


y ' = 2 3 cos 2x + 2sin 2x 

x ta mới chỉ 

Do tiếp tuyến tại M 

1 

và M 

2 

song song với đường thẳng y = 4x 

+ 2 , nên hệ số góc tiếp 

tuyến tại hai điểm này bằng 4. Vậy ta giải phương trình: 

3 1 

π 

π 

2 3 cos 2x + 2sin 2x = 4 ⇔ cos 2x + sin 2x = 1 ⇔ sin cos 2x + cos sin 2x 

= 1 

2 2 3 3 

⎛ π ⎞ π π π 

sin⎜ 

+ 2x⎟ 

= 1 ⇔ + 2x = + k2π ⇔ x = + kπ 

⎝ 3 ⎠ 3 2 12 

Do x , x ∈ ( 0;4) 

nên ta chỉ nhận hai nghiệm thuộc khoảng ( ) 

1 2 

0;4 của phương trình trên, tức là 

π 13 π và . Vậy M 

⎛ π 

12 12 

;0 

1 ⎜ 

⎞ 

⎟ 

⎝12 

⎠ và ⎛13 π ⎞ 

M 

2 ⎜ ;0 ⎟ , thử lại ta thấy rằng cả hai điểm này đều không 

⎝ 12 ⎠ 

thuộc đường thẳng( d ) : y = 4x 

+ 2 , nên tiếp tuyến tại chúng song song với ( d ) . 

7π 

Tổng x1 + x2 

= ≈ 3,67 

6 


2 

y ' x 2mx 3m 

g x = x + 2mx + 3 m; ∆ = m − 3m 

= + + . Đặt ( ) 

2 2 

TH1: ∆ ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 3 . Khi đó y ' ≥ 0, ∀x ∈ R . Nên 0 ≤ m ≤ 3 không thỏa. 

g 

TH2: ∆ 

g 

> 0 ⇔ m < 0 ∨ m > 3. Khi đó ' 0 

nghịch biến trên đoạn [ ; ] 

Yêu cầu bài toán suy ra 

g 

y = có hai nghiệm phân x , x ( x x ) 

x1 x 

2 

. Theo định lý Vi-et ta có: 

1 2 1 2 

1 2 1 2 

x + x = − 2 m; x x = 3m 

( ) 2 2 

3 ± 13 

x2 − x1 = 2 ⇒ x1 + x2 − 4x1 x2 

= 4 ⇔ 4m −12m − 4 = 0 ⇔ m = 

2 

So điều kiện nhận 3 − 13 3 + 

; 13 3 − 

m = m = ⇒ m 

13 

0 

= ≈ 0,73 

2 2 2 


< và hàm số 

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Giải quyết bài toán bằng kiến thức cực trị. 

Quan sát điểm x = 0 , tại đó đường cong màu đỏ (đồ thị hàm g) đạt cực tiểu và nhận giá trị 

dương, đường cong màu xanh lá (đồ thị hàm f ) đạt cực đại và nhận giá trị dương, đường cong 

màu xanh dương (đồ thị hàm h ) đi từ dưới trục hoành lên trục hoành khi qua điểm x = 0, tức là 

giá trị hàm chuyển từ âm sang dương. Do đó, ta chọn D. 


Trang 9






Trang 1 



Câu 1: Tìm đạo hàm của hàm số y = sin ( x 2 + 2x + 1) 

2 

A. y ' = ( 2x + 1) cos( x + 2x + 1) 

B. y ' = ( 2x + 2) cos( x 2 + 2x + 1) 

2 

C. y ' = − ( 2x + 1) cos( x + 2x + 1) 

D. y ' = − ( 2x + 2) cos( x 2 + 2x + 1) 

ax + b 

Câu 2: Đường cong ở hình dưới là đồ thị của hàm số y = , với a, b, c, d là các số thực 

cx + d 

Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 

A. y ' < 0, ∀x ≠ 2 B. y ' < 0, ∀x ≠ 1 C. y ' > 0, ∀x ≠ 2 D. y ' > 0, ∀x ≠ 1 

Câu 3: Điểm cực tiểu của hàm số 

2 

y x 2x 3 

= + + là: 

A. 2 B. 1 C. − 2 

D. − 1 

Câu 4: Trong các khối đa diện đều, đa diện nào có các mặt là các hình ngũ giác đều? 

A. bát diện đều B. lập phương C. mười hai mặt đều D. Hai mươi mặt đều 

1 

i : y = x; ii : y = x + 1 ; iii : y = 1+ 

sin 2x 

Câu 5: Cho các hàm số ( ) ( ) ( ) 

Có tất cả bao nhiêu hàm số có đạo hàm trên tập xác định của chúng? 

A. 0 B. 2 C. 1 D. 3 


Câu 6: Hàm số y = tan x liên tục trên khoảng nào sau đây: 

⎛ 5π 

7π 

⎞ 

A. ⎜ ; ⎟ 

⎝ 4 4 ⎠ 

⎛ π π ⎞ 

B. ⎜ − ; ⎟ 

⎝ 6 3 ⎠ 

⎛ π ⎞ 

C. ⎜ −π; ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

⎛ π 5π 

⎞ 

D. ⎜ ; ⎟ 

⎝ 3 6 ⎠ 

mx + 5m − 6 

Câu 7: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = 

nghịch biến trên các 

x + 5 

khoảng ( −∞; − 5) 

và ( − 5; +∞ )

A. m ∈ R B. 

3 

m < C. 

5 

3 

m ≤ D. m ∈∅ 

5 

Câu 8: Cho hình chóp ( S.ABCD ) có đáy là hình vuông tâm O, SA vuông góc với mặt đáy. 

Hỏi mệnh đề nào sau đây là sai? 

A. d( B, ( SCD) 

) = 2d( O, ( SCD) 

) 

B. d ( A, ( SBD) 

) = d ( B, ( SAC) 

) 

C. d ( C, ( SAB) 

) = d ( C, ( SAD) 

) 

D. d( S, ( ABCD) 

) 

Câu 9: Khối chóp có đáy là đa giác n cạnh thì có số cạnh là: 

A. n + 1 

B. 2n C. n − 1 

Câu 10: Cho các hàm số 

3 4 2 

( ) ( ) ( ) ( ) 

= SA 

i : y = x + 3x + 1; ii : y = x + 2x + 1; iii : y = 1− 2x ; iv : y = x + sin 2x 

Có tất cả bao nhiêu hàm số không có cực đại? 

D. n 

A. 2 B. 1 C. 4 D. 3 

Câu 11: Hình bát diện đều có mấy mặt phẳng đối xứng? 

A. 12 B. 6 C. 9 D. 3 

Câu 12: Cho hàm số: 

để hàm số liên tục tại x = 3 là: 

A. 3 2 


0 

2 2 

⎧x − mx − 6m 

⎪ 

khi x ≠ 3 

⎨ x − 3 

⎪ 

⎩2m + 3 khi x = 3 

B. 1 2 

C. 

với m là tham số thực. Tổng các giá trị của m 

1 

− D. 1 

2 

1 1 

3 2 

3 2 

y = x − m + 1 x + mx + 1 

m là giá trị nhỏ nhất của tham số thực m để hàm số ( ) 

nghịch biến trên khoảng ( 2;3 ). Khẳng định nào dưới đây là đúng về 

A. P ∈ [ 20;30] 

B. P ∈ [ 10;19] 

C. P ∈ [ 31;40] 

D. P ∈ [ 0;9] 

m 

P = ? 

m + 1 


Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có AB = 6a;AC = 4a;SA = SB = SC = BC = 5a. Tính thể tích 

V khối chóp S.ABC theo a 

5 

0 

2 

0 

A. 

3 

5a 111 

V = B. 

4 

3 

15a 111 

V = C. 

4 

3 

5a 111 

V = D. 

12 

3 

45a 111 

V = 

4 

Trang 2

3 2 

Câu 15: Tích P giá trị tung độ các điểm thuộc đường cong ( C ) : y = − x + 3x − 2 mà tại đó tiếp 

tuyến của ( C ) song song đường thẳng ( ∆ ) : y + 2 = 0 là: 

A. P = 0 

B. P = − 4 

C. P = 2 

D. P = 4 

Câu 16: Gọi m0 

là giá trị lớn nhất của tham số thực m để hàm số 

y = 

+ + 

x + m 

2 

x mx 1 

đạt cực đại 

tại x = 2. Tính gần đúng giá trị 

= + + Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm. 

3 2 3 

P 2m0 m0 

9. 

A. P ≈ 5,24 B. P ≈ 2,15 C. P ≈ 2,54 D. P ≈ 5,12 

Câu 17: Biết rằng khi tham số thực m 1 

≠ − thì các đường cong ( C ) 

m 

: y = 

( ) 

2 

2x + 1+ m x + 1+ 

m 

m − x 

luôn tiếp xúc một và chỉ một đường thẳng ( ∆ ) cố định. Tính khoảng cách d từ điểm K ( 2;5 ) đến 

( ∆ ) 

A. d = 2 

B. d = 3 2 C. d = 2 2 D. d = 7 2 

2x + x ≤ x + 2 2x + 5 . Biết 

3 

Câu 18: Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình ( ) 

S = [ a;b ],a,b ∈ R . Giá trị 

M 

a b 

3 2 

= của gần nhất với số nào sau đây: 

A. 0,12 B. 2,42 C. 2,12 D. 1,12 


0 

là giá trị nhỏ nhất của tham số thực m để đồ thị của hàm số 

4 2 4 

y = x − 2mx + 2m + m có điểm cực đại là A, hai điểm cực tiểu B, C và tam giác ABC có góc 

∠ BAC = 30 ° . Tính gần đúng 

m + 2 

P = . Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm. 

m + 5 

5 

0 

5 

0 

A. P ≈ 0,39 B. P ≈ 0, 40 C. P ≈ 7,66 D. P ≈ 6,77 

Câu 20: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD, gọi ( α) 

mặt phẳng qua A và vuông góc SC. 

Biết rằng diện tích thiết diện tạo bởi ( α) 

à hình chóp bằng nửa diện tích đáy ABCD. Tính 

góc ϕ tạo bởi cạnh bên SC và mặt đáy. 

A. 


1+ 

33 

33 −1 

1+ 

29 

ϕ = arcsin B. ϕ = arcsin C. ϕ = arcsin D. ϕ = arcsin 

8 

8 

8 

29 −1 

8 

Trang 3

Đáp án 

1-B 2-A 3-D 4-C 5-C 6-B 7-D 8-B 9-B 10-A 

11-C 12-D 13-A 14-A 15-C 16-A 17-B 18-C 19-C 20-A 


Tự làm 



Hàm y là hàm bậc nhất trên bậc nhất, nên sẽ không xác định tại một điểm x 

0 

là nghiệm của 

mẫu. Nhìn đồ thị, ta thấy rằng hàm số không xác định tại điểm x = 2, nên tập xác định là 

D = R \{ 2} 

Do đồ thị có chiều hướng đi xuống trên các khoảng ( −∞;2) 

và ( 2;+∞ ) nên suy ra hàm số nghịch 

biến trên hai khoảng xác định này, nghĩa là y ' < 0, ∀x ≠ 2 


B. Hiểu lầm hàm số không xác định tại x = 1 

C. Nhận định sai rằng hàm y đồng biến trên từng khoảng xác định. 

D. Nhận định sai rằng hàm y đồng biến trên từng khoảng xác định; 

Hiểu lầm hàm số không xác định tại x = 1 


Tập xác định: D = R 

x + 1 

y ' = = 0 ⇒ x = −1. 

Lập BBT ta suy có điểm cực tiểu của hàm số là − 1 

2 

x + 2x + 3 


Tự làm 


1 

y = x có tập xác định là D = [ 0; +∞ ); y ' = nên hàm không có đạo hàm tại x = 0 

2 x 


y = x + 1 có tập xác định là D = R . Dùng định nghĩa đạo hàm kiểm tra ta thấy hàm số không 

có đạo hàm tại x = − 1 

1 

y = có tập xác định là 

1 + sin 2x 

hàm trên tập xác định. 

Trang 4 

⎧ π ⎫ −2cos 2x 

D = R \ ⎨− + k π, k ∈ Z ⎬, y ' = 

nên hàm có đạo 

⎩ 4 ⎭ 1+ 

sin 2x 

( ) 2


⎧π 

⎫ 

Hàm số y = tan x liên tục trên tập xác định D = R \ ⎨ + k π, k ∈Z ⎬, 

tức liên tục tại những điểm 

⎩ 2 ⎭ 

x 

π 

≠ + kπ 

2 


⎛ 5 π 7π ⎞ 

A. Khoảng ⎜ ; ⎟ 

⎝ 4 4 ⎠ có chứa điểm 3π 

x = không thuộc tập xác định. 

2 

⎛ π ⎞ 

C. Khoảng ⎜ −π; ⎟ 

⎝ 2 ⎠ có chứa điểm x π 

= − không thuộc tập xác định. 

2 

⎛ π 5π 

⎞ 

D. Khoảng ⎜ ; ⎟ 

⎝ 3 6 ⎠ có chứa điểm x π 

= không thuộc tập xác định. 

2 


Tập xác định: D = R \{ −5} 

Trang 5 

− ( − ) 

( x + 5) ( x + 5) 

5m 5m 6 6 

Tính đạo hàm: y ' = = , ∀x ∈ D, suy ra y luôn đồng biến trên các khoảng 

( −∞; − 5) 

và ( − 5; ) 

2 2 

+∞ với mọi giá trị của m 

Vậy không có giá trị nào của m để hàm số nghịch biến trên hai khoảng xác định 


A. Đọc không kĩ đề, hiểu lầm đề yêu cầu tìm m sao cho hàm số đồng biến. 

B. Tính sai đạo hàm: 

C. Tính sai đạo hàm: 

thành y ' ≤ 0, ∀x ∈ D, 


+ ( − ) − 

( x + 5) ( x + 5) 

5m 5m 6 10m 6 3 

= = < ⇔ < 

y ' 0 m 

2 2 

5 

+ ( − ) − 

( x + 5) ( x + 5) 

5m 5m 6 10m 6 

y ' = = < 0 và giải sai điều kiện nghịch biến của hàm 

2 2 


Cách 1: SA ⊥ ( ABCD) 

tại A d ( S, ( ABCD) 

) 

BO cắt mặt phẳng ( SCD ) tại D nên 

⇒ = SA (D đúng) 

( ( )) 

( ( )) 

d B, SCD DB 

= = 2 (A đúng) 

d O, SCD DO 

Chứng minh được rằng CB ⊥ ( SAB) 

và CD ⊥ ( SAD) 

( ( )) 

( ( )) 

⎧ 

⎪d C, SAB = CB 

⇒ ⎨ 

⎪⎩ 

d C, SAD = CD

( ( )) d ( C, ( SAD) 

) 

d C, SAB 

= (C đúng) 

Cách 2: Chứng minh được rằng BD ⊥ ( SAC) 

tại O nên ( ( )) 

Trong ( SAC ) dựng AH 

d B, SCD = BO = AO 

⊥ SO tại H. Chứng minh được rằng AH ⊥ ( SBD) 

tại 

H nên d ( A, ( SBD) 

) = AH < AO, suy ra d ( A, ( SBD) 

) = d ( B, ( SAC) 

) 


Tự làm 


3 2 

y = x + 3x + 1⇒ y ' = 3x + 3 > 0 ⇒ hàm số không có cực đại. 

4 3 

y = x + 2x + 1⇒ y ' = 4x + 2;BBT ⇒ hàm số chỉ có cực tiểu, không có cực đại. 

2 

⎡ −1 1 ⎤ 

y = 1− 2x tập xác định là D = ⎢ ; , 

2 2 ⎥ có y ' = 

⎣ ⎦ 

tại 0 

−2x 

1− 

2x 

2 

lập BBT suy ra hàm số đạt cực đại 

π 

y = x + sin 2x ⇒ y ' = 1+ 2cos 2x = 0 ⇒ x = ± + k π ; y '' = −4sin 2x. Kiểm tra thấy hàm số đạt cực 

3 

π 

đại tại x = + kπ . Vậy có hai hàm số không có cực đại. 

3 


Tự làm 


Ta có: f ( 3) 

= 2m + 3 . lim f ( x) 

Để hàm số liên tục tại x 3 

giá trị của lim f ( x) 

x→3 

lim x mx 6m 0 

2 2 

Nếu ( ) 

x→3 

x→3 x→3 

x − mx − 6m 

= lim 

x − 3 

2 2 

= thì cần phải có ( ) ( ) 

f 3 = lim f x , nên trước hết ta cần tìm m sao cho 

x→3 

là một số thực (không phải là ±∞ ) 

− − ≠ thì lim f ( x) 

x→3 

là giới hạn dạng c 0 

có giá trị là −∞ hoặc +∞ . Khi đó thì hàm số sẽ không liên tục tại x = 3 

2 2 

Vậy ta phải có ( ) 

Do 

x→3 

hàm 

lim x − mx − 6m = 0 

x→3 

( ) 

với c ≠ 0, và giới hạn này chắc chắn 


2 2 

x − mx − 6m là hàm sơ cấp liên tục trên tập xác định D = R nên: 

2 2 2 

lim x − mx − 6m = 9 − 3m − 6m . 

Trang 6

2 2 2 

lim x mx 6m 0 9 3m 6m 0 3 

x→3 

Khi đó: ( ) 

Với ( ) 

⎡m = 1 

− − = ⇔ − − = ⇔ ⎢ 

⎢ m = − 

⎣ 2 

( x − 3)( x + 2) 

2 2 

x − mx − 6m 

m = 1: lim f x = lim = lim = lim( x + 2) 

= 5 

x→3 x→3 x − 3 x→3 x − 3 

x→3 

f ( 3) 

= 2.1+ 3 = 5 ⇒ Hàm số liên tục tại x = 3. Nhận m = 1 

2 3 27 

⎛ 9 ⎞ 

x + x − ( x − 3) 

x 

3 

⎜ + ⎟ 

2 2 

2 ⎛ 9 ⎞ 15 

m = − : lim f x = lim = lim 

⎝ ⎠ 

= lim⎜ 

x + ⎟ = 

2 x→3 x→3 x − 3 x→3 x − 3 x→3 

⎝ 2 ⎠ 2 

Với ( ) 

⎛ 3 ⎞ 

3 

f ( 3) 

= 2. ⎜ − ⎟ + 3 = 0 ⇒ Hàm số không liên tục tại x = 3. Loại m = − 

⎝ 2 ⎠ 

2 


3 

C. Không loại bỏ m = − 

2 


2 2 

2 

2 

Cách 1. y = x − ( m + 1) 

x + m ⇒ ∆ = ( m + 1) − 4m = m − 2m + 1 = ( m − 1) 

TH1: ∆ ≤ 0 ⇔ ( m −1) 2 

≤ 0 ⇔ m = 1. y ' ≥ 0, ∀x 

∈ R ∆ ≤ 0 a = 1 > 0), R , ( 2;3 ) 

TH2 : ∆ > 0 ⇔ ( m − 1) 2 

> 0 ⇔ m −1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1. y ' ≥ 0, ∀x 

∈ R ∆ ≤ 0 a = 1 > 0), R , ( 2;3 ) 

hoặc: 

x −∞ m 1 +∞ 

y’ + 0 _ 0 + 

y 

x −∞ 1 m +∞ 

y’ + 0 _ 0 + 


y 

Ta thấy rằng hàm số sẽ nghịch biến trên khoảng ( 1;m ) hoặc ( m;1 ). Vậy để hàm số nghịch biến 

trên khoảng ( 2;3 ) thì: 

Trang 7

243 

10 

( 2;3) ⊂ ( 1;m ) ⇔ m ≥ 3; hoặc ( 2;3) ⊂ ( m;1) 

(vô lý). P = = 24,3∈ 

[ 20;30] 

Cách 2: y nghịch biến trên khoảng ( 2;3 ) ⇔ y ' ≤ 0, ∀x ∈ ( 2;3) 

( ) ( ) ( ) ( ) 

⇔ − + + ≤ ∀ ∈ ⇔ − + − ≤ ∀ ∈ 

2 2 

x m 1 x m 0, x 2;3 x x m 1 x 0, x 2;3 

2 

2 x − x 

( ) ( ) ( )( ( ) 

) 

⇔ m x −1 ≥ x − x, ∀x ∈ 2;3 ⇔ m ≥ , ∀x ∈ 2;3 vôùi x ∈ 2;3 thì x − 1 > 0 

x −1 

( ) 

⇔ m ≥ x, ∀x ∈ 2;3 ⇔ m ≥ 3 


D. Nhầm x0 

= 2 


Gọi H là hình chiếu của S lên ( ABC ) suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 

Áp dụng công thức Hê – rông, tính được S 

ABC 

= 

2 

15a 7 

AB.BC.CA 8a 7 a 777 

Lại có SABC 

= ⇒ HA = ⇒ SH = 

4HA 7 7 

2 3 

1 15a 7 a 777 5a 111 

Thể tích khối chóp: V = . . = 

3 4 7 4 


B. Chưa nhân 1/3. 


2 ⎡a = 0 ⇒ b = −2 

Từ giả thiết ta có: 3a + 6a = 0 ⇒ ⎢ 

⎣a = 2 ⇒ b = 2 

Với M ( 0; − 2) 

thì tiếp tuyến là y 2 ( ) 

= − ≡ ∆ ⇒ loại 

Với M ( 0;2) 

thì tiếp tuyến là y = 2 ⇒ nhận 

Vậy 

2 2 

P = 2 + 2.2 + 2 = 12 


B. Chưa loại M ( 0; − 2) 


4 


Tập xác định d = \{ −m} 

R . 

2 

x + mx + 1 1 1 1 

y = = x + ⇒ y' = 1− ⇒ y'' = 

x + m x + m x + m x + m 

( ) ( ) 

2 3 

Trang 8

Hàm số đạt cực đại tại 

Vậy P ≈ 5,24 


B. Nhầm x0 

= − 1 


Trang 9 

⎧ 1 

= 1 

2 

⎪⎧ y '( 2) 

= 0 ⎪( 2 + m) 

⎧m = −1∨ m = −3 

x = 2 ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ 

⇔ m = −3 

⎩ ⎪y ''( 2) 

< 0 ⎪ 2 m < −2 

< 0 ⎩ 

3 

⎪ 

⎩( 2 + m) 

Gọi M ( x 

0; y 

0 ) là điểm cố định mà họ đường cong ( m ) 

( ) 

2 

2x0 + 1+ m x0 

+ 1+ 

m 

y 

0 

= , ∀m ≠ −1 

m − x 

0 

( ) ( ) 

2 

⎧ ⎪m x0 + y0 −1 − 2x0 + x0 + x0y0 

+ 1 = 0 

Ta có: ⎨ 

, ∀ m ≠ − 1 

⎪⎩ m ≠ x0 

⎧ x0 + y0 − 1 = 0 ⎧x0 

= −1 

⎪ 2 

⎪ 

⇔ ⎨2x0 + x0 + x0y0 + 1 = 0, ∀m ≠ −1 ⇔ ⎨y0 

= 2 

⎪m x ⎪ 

⎩ ≠ 

0 

⎩m ≠ −1 

Tức là ( Cm 

) luôn đi qua M ( 1;2 ) 

( ) 

− ∀m ≠ − 1 

( 1 m) 

( ) 

2 2 

2 

2x 4mx m 2m 1 

− + 

2 

( ) 

2 

− + − + + 

y ' = ⇒ y ' − 1 = = −1 

− x + m 1+ 

m 

C đi qua∀m ≠ − 1 

Phương trình tiếp tuyến của ( Cm 

) tại ( ) ( ) 

Vậy ( Cm 

) luôn tiếp xúc đường thẳng cố định 


∀m ≠ − 1 

M : ∆ : y − 2 = − 1 x + 1 ⇔ y = − x + 1 ⇔ x + y − 1 = 0 

2 + 5 −1 

x + y − 1 = 0 ⇒ d = = 3 2 

2 2 

1 + 1 

3 

Xét phương trình 2x + x ≤ x + 2 ( 2x + 5 ) ( 1 ) . ĐKXĐ x ≥ − 2 

2 2 

( 1) ⇔ x( 2x + 1) ≤ x + 2 ( 2x + 5) ⇔ x( 2x + 1) ≤ x + 2 ( 2( x + 2) 

+ 1 ) ( 2) 


2 

Xét hàm số f ( t) t ( 2t 1) 

khoảng [ − 2; +∞ ) 

= + (với t 2) 

≥ − có đạo hàm ( ) 

2 

f ' t = 6t + 1 > 0, nên đồng biến trên 

Khi đó: ( 2) ⇔ f ( x) ≤ f ( x + 2 ) (với x ≥ − 2 và x + 2 ≥ 0 > −2) ⇔ x ≤ x + 2

⎧x ≤ 0 ⎧x > 0 ⎧x ≤ 0 

⇔ ⎨ hoặc ⎨ ⇔ 

⎩x + 2 ≥ 

2 ⎨ 

0 ⎩x ≤ x + 2 ⎩x ≥ − 2 

Vậy tập nghiệm S = [ − 2;2 ], 

suy ra M = 2 


⎧x > 0 

hoặc ⎨ 2 

⎩x − x − 2 ≤ 0 

⎡−2 ≤ x ≤ 0 

⇔ ⎢ ⇔ −2 ≤ x ≤ 2 

⎣0 < x ≤ 2 

⎧x ≥ 0 ⎧x ≥ 0 

A. Giải sai bất phương trình x ≤ x + 2 ⇔ ⎨ ⇔ 0 x 2, 

2 ⎨ ⇔ ≤ ≤ suy ra tập 

⎩x ≤ x + 2 ⎩ − 1 ≤ x ≤ 2 

nghiệm S = [ 0;2 ], 

M = 0 


Tập xác định D = R 

⎡x = 0 

= − = ⇔ ⎢ 

⎣ 

3 

y ' 4x 4mx; y ' 0 

( ) 

2 

x = m * 

biệt và 'y đổi dấu khi x qua các nghiệm đó. 

Tương đương (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ m > 0 

Khi đó, 

⎡ x = 0 ⇒ y = 2m + m 

y ' = 0 ⇔ ⎢ 

⎢⎣ 

4 2 

x = ± m ⇒ y = m − m + 2m 

. Hàm số có cực đại, cực tiểu tức là y ' = 0 có ba nghiệm phân 

4 

Như vậy, đồ thị hàm số có điểm cực đại là ( ) 

( − 4 − 2 + ) ( 4 − 2 + ) 

 

2 2 

= ( − − ) = ( − ) 

B m;m m 2m ;C m;m m 2m 

 

AB m; m ;AC m; m Theo giả thiết, ta có: 

4 

m m 3 3 3 3 3 3 

4 

( ) 

0 

4 

A 0;m + 2m , hai điểm cực tiểu là 

− + 

= cos30° = ⇔ m − 1 = m + 1 ⇔ m = 7 + 4 3 ⇒ m = 7 + 4 3 

m + m 2 2 

Suy ra P ≈ 7,66 


3 

A. Đóng trị tuyệt đối khi tính cosin và nhầm sang góc bù với BAC ứng với m = 7 − 4 3 

B. Nhầm mo 

= 0 



Đặt cạnh hình vuông là a > 0. Dễ thấy 

a 

ϕ = ∠ SCO;SO = OC.tgϕ = tgϕ 

2 

Gọi O là tâm của đáy. Vẽ AH ⊥ SC tại, H, AH cắt SO tại I thì ∠ AIO = ϕ . 

Lại có BD ⊥ ( SAC) 

⇒ SC ⊥ DB 

0 

Trang 10

Qua I vẽ đường thẳng song song DB cắt SD, SB theo thứ tự tại K, L. Thiết diện chính là tứ giác 

1 

ALHK và tứ giác này có hai đường chéo AH ⊥ KL. Suy ra Std = SALHK 

= AH.KL 

2 

a SI SO − IO IO 

2 

Ta có: OI = OA.cot ϕ = cot ϕ ; = = 1− = 1− cot ϕ 

2 SO SO SO 

KL SI 

AH = AC.sin ϕ = a 2 sin ϕ . KL a 2 1 cot 

BD 

= SO 

⇒ = − ϕ 

2 

( ) 

1 2 1 2 1 2 2 1 

S = ALHK 

a a 2 sin .a 2 1 cot a 4 0 

2 

2 ⇔ 2 ϕ − ϕ = 2 ⇔ sin ϕ 

+ sin ϕ 

− = 

Theo giả thiết, ( ) 

4 1+ 

33 

1+ 

33 

sin , sin 0 . Suy ra ϕ = arcsin 

33 −1 

8 

8 

Giải được ϕ = = ( ϕ > ) 


Trang 11






Ngày thi: 18/08/2017 – ĐỀ ÔN SỐ 6 


2 

Câu 1: Hàm số y = ( x + 1) x + 1 có đạo hàm là: 

A. 

C. 

y ' = 

y ' = 

2 

2x + 3 

2 

x + 1 

2 

2x + x + 3 

2 

x 1 

+ 


A. Hàm số nghịch biến trên R \{ 3} 

B. 

D. 

y ' = 

y ' = 

2 

3x + x + 3 

2 

x 1 

+ 

2 

2x + 3 

2 

2 x + 1 

x + 2 

y = . Khẳng định nào dưới đây là đúng? 

3 − x 

B. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. 

C. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định 

D. Hàm số đồng biến trên R \{ 3} 

Câu 3: Hình lăng trụ tam giác đều không có tính chất nào sau đây 

A. Các cạnh bên bằng nhau và hai đáy là tam giác đều. 

B. Cạnh bên vuông góc với hai đáy và hai đáy là tam giác đều 

C. Tất cả các cạnh đều bằng nhau. 

D. Các mặt bên là các hình chữ nhật. 


A. Nếu hàm số đạt cực trị tại điểm 

0 

B. Nếu tại điểm 

0 

C. Nếu ( 0 ( 0 )) 

với trục hoành. 

= xác định và liên tục trên R . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 

x mà có ( ) 

0 

x thì f '( x ) = 0 hoặc không tồn tại f '( x ) 

0 

f '' x < 0 thì x0 

là điểm cực tiểu của hàm số. 


A x ;f x là một điểm cực trị của đồ thị hàm số thì tiếp tuyến của đồ thị tại A song song 

D. Nếu tại điểm 0 

x mà có ( ) 

f '' x < 0 thì là điểm x0 

là cực đại của hàm số. 

0 


liên tục và nghịch biến trên đoạn [ ] 

A. Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = a 

B. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = b 

a;b .Tìm khẳng định sai 

0 

Trang 1

C. Hàm số không đạt giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất trong khoảng ( a;b ) 

D. Hàm số không đạt giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất tại x = a hoặc x = b 

2 

Câu 6: Cho hàm số y = f ( x) = x − 1 cùng các phát biểu sau: 

( i ) Hàm số liên tục trên ( −∞; − 1] 

và [ 1;+∞ ) 

( ii ) Hàm số liên tục trên ( −∞; − 1) 

và ( 1;+∞ ) 

( iii ) Hàm số không liên tục tại − 1 và 1 

Hỏi có tất cả bao nhiêu phát biểu sai? 

A. 2 B. 1 C. 0 D. 3 

Câu 7: Hàm số y = cos x có tính chất nào sau đây: 

A. y '' + y = 2y 

B. y ' − y = y − y '' 

2 

C. 1 y ( y '') 2 

− = D. y + y '' = 0 

Câu 8: Cho hàm f liên tục trên R và hình dưới đây là đồ thị của hàm y = f '( x) 

Tìm các khoảng đồng biến của hàm f 

A. ( −∞ ;0);( 3; +∞ ) 

B. ( −∞; − 1 );( 3; +∞ ) 

C. ( − 1;1 );( 3; +∞ ) 

D. ( − 1;0 );( 1;3 ) 

Câu 9: Cho đường thẳng d chứa hai điểm A, B và cắt một mặt phẳng ( P ) tại M như sau: 


Biết rằng A’, B’ là hình chiếu của A, B trên ( P) 

và MA ' = 3, A 'B' = 1 

( ( )) 

( ( )) 

( ( )) 

( ( )) 

d A, P 2 d A, P 1 

A. = B. = C. 

d B, P 3 d B, P 3 

d( B, ( P) 

) 3 ( ( )) 

d ( A, ( P )) 

= 4 

D. ( ( )) 

d B, P 4 

d A, P = 3 

Trang 2

Câu 10: Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau, biết rằng 

AB = a,AC = a 2,AD = a 3, ( a > 0 ). 

Thể tích V của khối tứ diện ABCD là: 

A. 

1 

= B. 

3 

3 

V a 6 

Câu 11: Hàm số y f ( x) 

đây là sai? 

1 

= C. 

6 

3 

V a 6 

1 

= D. 

2 

3 

V a 6 

1 

= 

9 

3 

V a 6 

= xác định trên R có bảng biến thiên như hình vẽ. Khẳng định nào sau 

x −∞ − 1 

1 +∞ 

y’ + 0 − 0 + 

y 3 1 

− 5 

− 2 

A. Giá trị lớn nhất của hàm số là 3 

B. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là − 5 

C. Giá trị cực đại của hàm số là 3. 

D. Giá trị cực tiểu của hàm số là − 2 

Câu 12: Biết rằng M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 

3 2 

y x 3x 9x 

= − − trên [ ] 

− 4;6 . Tính M − m 

A. 81 B. 130 C. 10 D. 32 


xác định trên [ ) { } 

( ) 

y = f x 

D = − 1; +∞ \ 1 . Dưới đây là một phần đồ thị của 


Hỏi trong các mệnh đề sau, có bao nhiêu mệnh đề đúng: 

(I) Số điểm cực đại của hàm số trên tập xác định là 1. 

(II) Hàm số có cực tiểu là − 2 tại x = 1 

(III) Hàm số đạt cực đại tại x = 2 

(IV) Hàm số đạt cực đại tại x = − 1 

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 

Trang 3

Câu 14: Gọi a, b là hai giá trị thực để hàm số ( ) 

rằng 

m 

b = ;m ∈Z,n 

∈ N và m n 

n 

Trang 4 

⎧ 3 2 

+ − 

⎪ 

f x 

2 

x 1 

2x 6 ax , x ≠ 1 

= ⎨ − 

⎪ 

⎩( a + b) 

x + 2, x = 1 

là phân số tối giản. Tính P = m + 2n 

A. P = − 17 B. P = − 5 

C. P = − 23 D. P = − 13 


trục tung? 

y = 

2 

x + 2x + 1 

x + 2 

có đồ thị ( C ). Hỏi ( ) 

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 

liên tục tại x = 1. Biết 

C có bao nhiêu tiếp tuyến vuông góc với 

3 2 


0 

là giá trị nhỏ nhất của tham số thực m để hàm số y = x + 3x + mx + m nghịch 

biến trên một đoạn có độ dài bằng 1. Biết rằng 

P = ab + a − b 

a 

m 

0 

= ,a ∈ N,b 

∈ 

b 

* 

N và a b 

A. P = 49 

B. P = 41 

C. P = 47 

D. P = 36 

Câu 17: Lăng trụ tam giác đều có mấy mặt phẳng đối xứng 

A. 4 B. 6 C. 9 D. 3 

3 2 


đạt cực trị tại x = − 1 

là phân số tối giản. Tính 

y = x + 3x + 3 m −1 x − 3m − 1 với m là tham số thực. Tìm m để hàm số 

A. m = 4 

B. m = 2 

C. m = − 2 

D. m = ∅ 

Câu 19: Trên nửa khoảng ( 0;3 ]. Kết luận nào đúng cho hàm số 

A. Hàm số có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. 

B. Hàm số không có giá trị lớn nhất và có giá trị nhỏ nhất 

C. Hàm số có giá trị lớn nhất và không giá trị nhỏ nhất. 

D. Hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. 

Câu 20: Gọi ( C ) là đồ thị của hàm số 

C ? 

tiếp tuyến đến ( ) 

3 2 

y x 3x 1. 

1 

y = x − ? 

x 

= − + Qua điểm nào sau đây ta có thể vẽ được 3 

A. ( 2; − 2) 

B. ( 1; − 2) 

C. ( 2;1 ) 

D. ( 3; − 3) 

Câu 21: Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 

6 4 3 3 2 

x + 3x − m x + 4x − mx + 2 ≥ 0 có nghiệm với mọi x . 

P = 2b − 3a 


∈ R Biết rằng [ ] 

A. P = 5 

B. P = 10 

C. P = 15 

D. P = 0 

S = a;b ,a,b ∈ R . Tính

Câu 22: Biết rằng m ;m ( m m ) 

( ) 

f x 

− + + 

= 

x + 1 

2 

x m m 

1 2 1 2 

trên đoạn [ ] 

< là các giá trị của tham số thực m để giá trị lớn nhất của hàm số 

0;2 bằng 6. Tính P = 2m1 − m2 

A. P = − 8 

B. P = 7 

C. P = − 14 D. P = 13 

Câu 23: Cho hình đa diện ABCDEF như sau: 

Biết rằng ∆ ABC là tam giác đều cạnh a, ( DEF ) cân tại E; các cạnh AD, BE, CF vuông góc với mặt 

phẳng ( DEF ); tứ giác ADFC là hình chữ nhật; 

( ABC ) và ( DEF ) có giá trị gần nhất với: 

3 

AD = CF = a,BE = a. Góc giữa mặt phẳng 

2 

A. 34° B. 35° C. 36° D. 37° 

Câu 24: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, thể tích nhỏ nhất của khối chóp là bao nhiêu nếu như 

khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và DB là 2 3 ( cm ) 

16 3 cm 

3 

3 

3 

3 

3 

A. 72( cm ) B. 9( cm ) 

C. 8 3 ( cm ) D. ( ) 

3 2 

y x m 2 x 5mx 6m. 


hàm số có hai cực trị trái dấu với nhau? 

A. 

1 2 3 

= − + + − Với những giá trị nào sau đây của m thì 

−5 

− 5 

m = − 3;m = ;m = 2 

B. m1 = − 4;m 

2 

= ;m3 

= − 6 

3 

2 

−4 33 

7 

= − = = D. m1 = − 2018;m 

2 

= ;m3 

= 2017 

5 2 

3 

C. m1 5;m 

2 

;m3 


Trang 5

Đáp án 

1-C 2-C 3-C 4-A 5-D 6-C 7-D 8-C 9-D 10-B 

11-B 12-B 13-B 14-A 15-C 16-B 17-A 18-D 19-C 20-D 

21-B 22-A 23-B 24-A 25-C 

Câu 1: 

Ta có: 


2 2 

2 2 2 2x 2 x + x 2x + x + 1 

( ) ( )( ) ( ) 

y ' = x + 1 ' x + 1 + x + 1 x + 1 ' = x + 1 + x + 1 = x + 1 + = 


D. Đạo hàm sai ( 

2 

x ) 

+ 1 ' = 

1 

2 

2 x + 1 

Câu 2: Tập xác định: D = R \{ 3} 

. 


2 2 2 

2 x + 1 x + 1 x + 1 

x + 2 x + 2 5 

y = = ⇒ y ' = > 0, ∀x ∈ D. 

3− x − x + 3 − x + 3 

( ) 2 

A. Đạo hàm và hiểu sai khi kết luận khoảng biến thiên của hàm số. 

B. Đạo hàm sai. 

C. Hiểu sai khi kết luận khoảng biến thiên của hàm số. 

Câu 3: C 

Câu 4: 

Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0, hoặc tại đó hàm số 

không có đạo hàm (ví dụ như hàm y = x đạt cực tiểu tại x = 0 nhưng lại không có đạo hàm tại 

điểm này) 

Nếu tại điểm 

0 

x mà có f '( x ) = 0 và ( ) 

Ý C sai vì có khi tiếp tuyến trùng trục hoành. 

Câu 5: 

0 

Hàm số y = f ( x) 

liên tục và nghịch biến trên đoạn [ a;b] 

Câu 6: 

f '' x0 

< 0 thì x0 

là điểm cực đại của của x0 

⇒ B, D sai. 


Tập xác định: D = R \ ( −1;1) 

⎧max f x 

⎪ [ a;b] 

⇒ ⎨ 

⎪min f x 

⎩ [ a;b] 

( ) = f ( a) 

( ) = f ( b) 

Trang 6

Hàm số đề bài là hàm sơ cấp, xác định trên D suy ra liên tục trên ( −∞; − 1) 

và ( 1;+∞ ) Do đó, ( ii ) 

đúng. Lại có lim f ( x) = f ( − 1 ); lim f ( x) = f ( 1) 

nên ( ) 

− + 

x→−1 x→1 

Mặt khác, không tồn tại lim f ( x ); lim f ( x) 

Câu 7: 

Ta có: y ' = − sin x; y '' = − cos x 

Câu 8: 

+ − 

x→−1 x→1 

Theo hình vẽ f '( x) 

> 0 khi x ∈( −1;1 ); x ∈ ( 3; +∞ ) 


A. Nhầm sang đồ thị của hàm f 

Câu 9: 

Theo định lý, ta có: 


( ( )) 

( ( )) 

d B, P 

d A, P 

C. Nhìn nhàm phương án thành 

i đúng. 

nên ( iii ) đúng 

( ( )) 

( ( )) 

MA MA ' MA ' 3 3 d B, P 4 

= = = = = ⇒ = 

MB MB' MA ' + A 'B' 3 + 1 4 d A, P 3 

( ( )) 

( ( )) 

d A, P 3 

= 

d B, P 4 

1 1 1 1 3 

Câu 10: V = AB.S 

ACD 

= .a. .a. 2a. 3 = a 6 

3 3 2 6 


A. Sai vì 2 cách: một là thấy số 1 3 cứ chọn, hai là trong công thức thể tích thiếu 1 2 diện 

tích đáy. 

C. Sai vì thiếu 1 3 

trong công thức thể tích. 

⎧yCD 

= 3 

Câu 11: Dựa vào bảng biến thiên, ta có ⎨ 

⎩xCD 

= −1 

( ) 

⎧yCT 

= 1 

và ⎨ (phương án C và D đúng) 

⎩xCT 

= −2 


⎧⎪ 

Ta thấy 

∀ x ∈ R : f x ≤ 3 

⎨ ⇒ max f ( x) 

= 3 ⇔ x = −1 

(phương án A đúng). 

⎪⎩ ∃ x = − 1: f ( − 1) 

= 3 

Phương án B sai vì ∃ ∈ R ( ) 

x : f x = −5 

Câu 12: Hàm số liên tục trên [ − 4;6 ]. 

Ta có 

2 

y ' = 3x − 6x − 9 và 

[ ] 

[ ] 

⎡ x = −1∈ −4;6 

y ' = 0 ⇔ ⎢ 

⎢⎣ x = 3∈ −4;6 

Trang 7

( ) 

⎧f − 4 = −76 

⎪ 

f ( 1) 

5 

⎧M = max f ( x) = f ( 6) 

= 54 

⎪ − = ⎪ [ −4;6] 

Xét ⎨ 

⇒ ⎨ 

⇒ M − m = 130 

⎪f ( 3) 

= − 27 ⎪m = min f ( x) = f ( − 4) 

= −76 

[ −4;6] 

⎪ 

⎩ 

⎩f ( 6) 

= 54 

Câu 13: 

Do không tồn tại một khoảng ( a;b) 

⊂ D sao cho x0 

= −1∈ ( a;b) 

nên điểm x0 

= − 1 không thể là 

một điểm cực trị của hàm số (chiếu theo định nghĩa của cực trị hàm số) ⇒ ( IV) 

sai. 

Hình ảnh trên là một phần đồ thị của y trên tập xác định. Ta thấy rằng hàm số đạt cực đại tại x = 2, 

nhưng không chắc rằng có còn điểm cực đại nào khác trên những khoảng rộng hơn hay không (I) 

sai, (III) đúng. 

Hàm số không xác định tại x = 1 nên không thể đạt cực tiểu tại điểm này ⇒ (II) sai. 

Câu 14: f ( 1) 

= a + b + 2 

3 2 

g x 2x 6 ax, 

Đặt ( ) 

lim 

= + − muốn f có giới hạn hữu hạn khi x 1 

2x + 6 − ax − 8x + 2x + 6 

= lim 

x −1 

( x − 1 

⎡ 

) 2x + 6 + 2x 2x + 6 + 4x 

⎤ 

⎢⎣ 

⎥⎦ 

3 2 3 2 

x→1 2 

x→1 2 

2 3 2 3 2 2 

2 

( − − − ) 

8x 6x 6 5 

= lim 

= − 

x→1 

2 

3 2 3 2 2 6 

( x + 1 

⎡ 

) 2x + 6 + 2x 2x + 6 + 4x 

⎤ 

⎢⎣ 

⎥⎦ 

Để f liên tục tại x 1, 

= nghĩa là: ( ) ( ) 

Vậy P = m + 2n = − 29 + 2.6 = − 17 

Câu 15: Hàm số có tập xác định = { − } 

→ thì ( ) 

g 1 = 0 ⇒ a = 2. Khi đó, 

5 29 

lim f x = f 1 ⇔ − = a + b + 2 ⇔ b = − ⇒ m = − 29,n = 6 

x→1 

6 6 

D R \ 2 , đạo hàm y ' = 

2 

x + 4x + 3 

( x + 2) 

Gọi M ( x 

0; y 

0 ) là điểm thuộc ( C) 

mà tại đó tiếp tuyến vuông góc với trục tung (song song hoặc 

trùng với trục hoành) 


x + 4x + 3 

⎡x0 

= −1 

⇔ y '( x ) = 0 ⇔ = 0 ⇔ x + 4x + 3 = 0 ⇔ ⎢ 

+ ⎣x0 

= −3 

2 

0 0 

2 

0 2 

0 0 

( x0 

2) 

Vậy tại M ( − 1;0 ) và M ( 3; 4 ),( C) 

1 

Câu 16: Tập xác định D = R 

2 

y ' 3x 6x m, 

= + + đặt ( ) 

2 

2 

− − có tiếp tuyến vuông góc với trục tung 

g x = 3x + 6x + m; ∆ ' = 9 − 3m 

g 

2 

Trang 8

TH1: ∆ ' 

g 

≤ 0 ⇔ m ≥ 3, khi đó y ' ≥ 0, ∀x 

∈ R nên hàm số luôn đồng biến trên R Do đó, loại m ≥ 3 

g 

( ) 

TH1: ∆ ' > 0 ⇔ m < 3 * , khi đó y ' 0 

nghịch biến trên đoạn [ ] 1 2 

Yêu cầu bài toán suy ra 

= có hai nghiệm phân biệt x , x ( x x ) 

m 

x , x . Theo định lý Vi-et, x1 + x 

2 

= − 2; x1x2 

= 

3 

1 2 1 2 

2 2 

4m 9 

x2 − x1 = 1⇒ ( x 

2 

− x1) = 1 ⇔ ( x2 + x1) 

− 4x1x 2 

= 1 ⇔ 4 − = 1 ⇔ m = thỏa (*) 

3 4 

Suy ra a = 9, b = 4 ⇒ P = ab + a − b = 9.4 + 9 − 4 = 41 


A. Nhầm thành P = ab + a + b 

D. Nhầm a = 4, b = 9 

Câu 17: A 

Câu 18: Ta có: y ' = 3x 2 + 6x + 3( m − 1) 

< và hàm số 

Hàm số có cực trị ⇔ Phương trình y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt và y’đổi dấu khi x qua hai 

nghiệm đó ⇔ ∆ ' > 0 ⇔ 9 − 9( m − 1) > 0 ⇔ − 9m + 18 > 0 ⇔ m < 2 (*) 

Khi đó, hàm số đạt cực trị tại x = − 1 

2 

( ) ( ) ( ) ( ) 

⇔ y ' − 1 = 0 ⇔ 3 − 1 + 6 − 1 + 3 m − 1 = 0 ⇔ 3m − 6 = 0 ⇔ m = 2 (không thỏa (*)). 


B. Giải tìm m thỏa y '( − 1) 

= 0 mà không xét điểu kiện của m để hàm số có cực trị. 

Câu 19: 

1 

y = x − liên tục trên ( ] 

x 

Lập bảng biến thiên, ta có max f 

( ) 

( x) f ( 3) 

0;3 

1 

2 

x 

0;3 . Ta có y ' = 1+ > 0, ∀x ∈ ( 0;3) 

và f ( 3) 

8 

= 

3 

8 

= = và hàm số không có giá trị nhỏ nhất 

3 

Câu 20: Nhận xét: Qua điểm M ( a;b ) vẽ được 3 tiếp tuyến đến ( C ) 

⇔ Có 3 tiếp tuyến của ( C ) đi qua M 


⇔ Có 3 điểm phân biệt trên ( ) 

C mà tiếp tuyến tại đó đi qua M 

3 2 

Gọi ∆ là tiếp tuyến của ( C ) : y = x − 3x + 1 tại điểm có hoành độ x 

0 

và đi qua M ( a;b) 

∆ có 

y = y' x x − x + y x ⇔ 3x − 6x x − x + x − 3x + 1 

phương trình là: ( )( ) ( ) ( )( ) 

Tiếp tuyến ∆ đi qua M ( a;b ) 

2 3 2 

0 0 0 0 0 0 0 0 

2 3 2 3 2 

( 0 0 )( 0 ) 0 0 0 ( ) 0 0 

( ) 

⇔ b = 3x − 6x a − x + x − 3x + 1 ⇔ − 2x + 3a + 3 x − 6ax + 1− b = 0 1 

Trang 9

Vậy để có 3 tiếp tuyến của ( C ) đi qua M( a;b ) phương trình (1) (theo ẩn x 

0) phải có 3 nghiệm 

phân biệt. 

Thay các cặp ( a;b ) trong đáp án vào phương trình (1), ta bấm máy tính kiểm tra xem với cặp 

( a;b ) nào thì phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt. 

Câu 21: 

6 4 3 3 2 6 4 2 3 3 

x 3x m x 4x mx 2 0 x 3x 4x m x mx 

+ − + − + ≥ ⇔ + + ≥ + 

3 3 

( x 2 + 1) + ( x 2 + 1) ≥ ( mx) + mx (*) 

3 2 

f t t t;f ' t 3t 1 0, t 

Đặt ( ) ( ) 

Trang 10 

= + = + > ∀ ∈ R suy ra f đồng biến trên R 

2 2 

2 

(*) ⇔ x + 1≥ mx ⇔ x − mx + 1≥ 0, đặt ( ) 

⎧a = 1 > 0 

⎨ 

⎩ ∆ 

g ≤ 0 

g x = x − mx + 1 

2 

Yêu cầu bài toán tương đương ⇔ m − 4 ≤ 0 ⇔ −2 ≤ m ≤ 2 ⇒ S = [ −2;2] 

Suy ra P = 2b − 3a = 10 

Câu 22: 

− + + 

y = 

x + 1 

2 

x m m 

liên tục trên [ ] 

0;2 . Ta có 

2 

m1 m2 1 

Do đó 

[ ] 

( ) ( ) 

2 

−m − m −1 

y = < 0, ∀x ∈ 0;2 , ∀x 

∈ R 

( x + 1) 

2 

( ) 

m 3 

< ⎡ = − 

max f x = f 0 ⇔ 6 = m + m ⎯⎯⎯→ ⎢ ⇒ P = 2m1 − m2 

= −8 

0;2 

⎣m2 

= 2 

m 

1 2 1 

2 

m < m ⎡ = 

B. ycbt ⇔ ... ⎯⎯⎯→ ⎢ ⇒ P = 2m1 − m2 

= 7 

⎣m2 

= −3 

2 

m + m − 2 

1 

max f x = f 2 ⇔ 6 = ⎯⎯⎯→ P 2m1 m2 

14 

0;2 

3 

⎢ ⇒ = − = − 

m2 

= 4 

m1 m2 

C. 

[ ] 

( ) ( ) 

m1 m2 

D. 

[ ] 

( ) ( ) 

m = −5 

< ⎡ 

2 

m + m − 2 m1 

4 

< ⎡ = 

max f x = f 2 ⇔ 6 = ⎯⎯⎯→ P 2m1 m2 

13 

0;2 

3 

⎢ ⇒ = − = 

m2 

= −5 

Câu 23: 

Góc giữa mặt phẳng ( ABC ) và ( DEF ) bằng với góc giữa 2 mặt phẳng ( ABC ) và ( ) 

mặt phẳng ( BIK ) song song với ( DEF ) 

Tính được 

a 

AI = CK = 2 

Vẽ đường cao BH của tam giác đều ABC, suy ra H là trung điểm AC và 

⎣ 

⎣ 


BH = 

Gọi M là trung điểm IK. Khi đó HM là đường trung bình của hình chữ nhật AIKC 

3 

a 

2 

BIK trong đó

a 

HM = AI = và HM song song với AI⇒ HM ⊥ AC và AC HM 

2 

Trong mặt phẳng ( BHM ), vẽ MG 

⊥ BH tại G 

Do MG ⊥ BH và AC MG AC ( BHM) 

⊥ ( ⊥ ) nên MG ⊥ ( ABC ) ( 2) 

⊥ nên AC ⊥ ( BHM) 

( 1 ),( 2) 

⇒ góc giữa 2 mặt phẳng ( ABC ) và ( BIK ) bằng góc giữa MG với HM, tức góc HMG 

Trong 

HM 3 

∆ BHM vuông tại M, ta có: sin HMG = sin BHM = ⇒ HMG ≈ 35,26° 

BH 3 

Câu 24: Gọi O là tâm của đáy. Gọi a > 0 là khoảng cách giữa SA và DB. 

Đặt AB = x > 0 . Vẽ OH SA 

Suy ra d( SA,DB) 

= OH = a 

Mặt khác, 

DB ⊥ SO,DB ⊥ AC ⇒ DB ⊥ SAC ⇒ DB ⊥ OH 

⊥ ta có ( ) 

1 1 1 x a 

OH SO OA x − 2a 

2 2 

2 

= + ⇒ SO = 

2 2 2 2 2 

1 2 1 xa 2 3 

V 

S.ABCD 

= .SO.AB = .x ⇒ min V 

2 2 

S.ABCD 

= a 3 khi x = a 3 

3 3 x − 2a 

3 

Áp dụng a = 2 3 ⇒ min VS.ABCD 

= 72( cm ) 

Câu 25: Hàm số có hai cực trị trái dấu khi đồ thị hàm số cắt trục tại ba điểm phân biệt, 

Tức là phương trình ( ) 

3 2 

x m 2 x 5mx 6m 0 

− + + − = có ba nghiệm phân biệt. 

x − m + 2 x + 5mx − 6m = 0 ⇔ x − 2 x − mx + 3m = 0 

3 2 2 

Ta có: ( ) ( )( ) 

2 

Đặt g( x) = x − mx + 3m. Yêu cầu bài toán suy ra g( x) 

= 0 có hai nghiệm phân biệt khác 2 

Tương đương 

( ) 

⎪⎧ g 2 ≠ 0 ⎧4 − 2m + 3m ≠ 0 ⎧m ≠ −4 

⎨ ⇔ ⎨ ⇔ 

2 

⎨ 

⎪⎩ 

∆ 

g 

> 0 ⎩m − 4.3m > 0 ⎩m < 0 ∨ m > 12 


Trang 11






Trang 1 


Đề ôn gồm 25 câu ( 0,4 điểm / câu) 

Câu 1: Hình đa diện nào sau đây không có tâm đối xứng? 

A. Tứ diện đều. B. Bát diện đều. C. Lục diện đều. D. Thập nhị diện đều. 

Câu 2. Tìm tổng số đỉnh và cạnh của hình bát diện đều. 

A. 14. B. 20. C. 18. D. 26. 

Câu 3: Hàm số 

1 

= − − + 15 + 9 dồng biến trên khoảng nào sau đây: 

3 

3 2 

y x x x 

A. ( − 10;0) 

B. ( 3;4 ) 

C. ( − 3;5) 

D. ( − 4;1) 

Câu 4: Cho một cấp số cộng có các số hạng thứ 3 và thứ 7 lần lượt là u3 = − 5, u7 

= 3 Công sai d và 

số hạng đầu u1 

của cấp số cộng này là: 

A. 

⎧d 

= −2 

⎨ 

⎩u1 

= −1 

B. 

⎧ d = 2 

⎨ 

⎩u1 

= −9 

Câu 5: Nhận định nào dưới đây là đúng? 

A. Hàm số bậc ba có tối đa ba điểm cực trị. 

C. 

⎧ d = 2 

⎨ 

⎩u1 

= −7 

B. Hàm số bậc ba có thể có một cực trị, hai cực trị hoặc không có cực trị nào. 

C. Hàm số bậc ba có thể hai cực trị hoặc không có cực trị nào. 

D. Hàm số bậc ba có thể có một hoặc ba cực trị. 

Câu 6: Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng 2a là: 

A. 

3a 

4 

2 

B. 

2 3a 

3 

3 

C. 

D. 

3 

2 3a D. 

⎧d 

= −9 

⎨ 

⎩ u1 

= 2 

3 

a 3 

2 


xác định và liên tục trên R , có đồ thị của đạo hàm y f '( x) 

Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 

A. Hàm số y = f ( x) 

nghịch biến trên khoảng ( − 1;0 ) 

B. Hàm số y = f '( x) 

có f '( 1) = f ( 0) 

C. Hàm số y = f ( x) 

đồng biến trên khoảng ( − 1;0 ) 

D. Hàm số y = f ( x) 

đồng biến trên khoảng ( − 1; +∞ ) 

= như sau. 


Câu 8: Cho hình chóp . 

B, SA ⊥ ABC , SA = 3 a, 

S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại ( ) 

AB = a 2, BC = 2a 

. Gọi E là trung điểm BC . Tính góc giữa đường thẳng SE và mặt phẳng 

( ABC ). 

A. 60° . B. 45° . C. 30° . D. 55° . 

Câu 9: (VDT) Cho tứ diện ( ABCD ) có các cạnh AB, AC, 

AD đôi một vuông góc với nhau, 

AB = 6 a,AC = 7 a, AD = 8 a. 

. Gọi M , N, 

P lần lượt là trung điểm của BC, CD, BD . Thể tích khối tứ 

diện AMNP là: 

2 

A. 14a . B. 

2 

28a . C. 

2 

42a . D. 

Câu 10: Cho bài toán : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 

Dưới đây là lời giải của một học sinh. 

3 

Bước 1: Tập xác định D = R . y ' = 8x −8x 

Bước 2. Cho y ' = 0 tìm x = 0; x = − 1; x = 1 

Bước 3. Tính được y ( ) y ( ) y ( ) 

2 

7a . 

y = x − x + 

4 2 

2 4 3 

0 = 3; − 1 = 1; 1 = 1. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 3 , và giá trị nhỏ 

nhất là 1. Lời giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì lời giải sai từ bước mấy? 

A. Bước 2. B. Lời giải đúng. C. Bước 3. D. Bước 1. 

Câu 11: Cho hàm số f ( x) 

⎧1− 

1− 

x , khi x ≠ 0 

⎪ 

= 

x 

⎨ 

⎪ 1 

, khi x = 0 

⎪⎩ 2 

1 

' 0 

8 

.Tìm đạo hàm (nếu có) của ( ) 

A. f '( 0) 

= 0 B. f ( ) = C. f '( 0) 

= D. f '( 0) 

1 

4 

f x tại điểm x=0 

không tồn tại. 

3 

x 2 2 

Câu 12: Cho hàm số y = − x + ( m − m + 1) 

x + 1 với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trịcủa 

3 

tham số m để hàm số đạt cực trị tại ? 

A. 2 B. 1 C. 0 D. 3 

Câu 13: Hàm số nào sau đây gián đoạn tại điểm x 

0 

= 1? 

2 

⎧ x −1 ⎪ , khi x ≠ 1 

f x = ⎨ x −1 

⎪ 

⎩2 , khi x = 1 

A. ( ) 

B. g ( x) 

4 

⎧ x −1 ⎪ , khi x ≠ 1 

= ⎨ x −1 

⎪ 

⎩4 , khi x = 1 


C. h( x) 

⎧ x −1 , khi x ≠ 1 

⎪ 

= 

x −1 

⎨ 

⎪ 1 

, khi x = 1 

⎪⎩ 2 

D. k ( x) 

3 

⎧ x −1 ⎪ , khi x ≠ 1 

= ⎨ x −1 

⎪ 

⎩3 , khi x = 1 

Trang 2

Câu 14: giá trị của biểu thức 

Trang 3 

1 3 1 . 

2 

2 

P = 1+ 3+ 9 + 27 + ... + 3 n tính theo n là: 

1 1 3 . 

2 

1 3.3 1 . 

2 

1 1 3 . 

2 

2n 

n 

2n 

2n 

A. P = − ( − ) B. P = − ( − ) C. P = − ( − ) D. P = − ( − ) 

y = f x = m − 1 x + 2mx − 3x + m với m là tham số thực. Hỏi có bao 

Câu 15: Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 

nhiêu giá trị nguyên của m trong khoảng( 5;5) 

( < ) sao cho f ( x ) > f ( x ) 

x , x x x 

1 2 1 2 

1 2 

? 

− để hàm số f ( ) 

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 

x đạt cực trị tại hai điểm 

Câu 16: Cho tứ diện ABCD có BC = CD = BD = 2 a, AC = AD = a 2, AB = a . Góc giữa hai mặt 

phẳng ( ACD ) và ( BCD) 

có số đo là: 

A. 90° . B. 60° . C. 45 ° . 

D. 30° . 

x + 2m 

− 3 

Câu 17: Gọi S là tập hợp tất cả giá trị nguyên của m để hàm số y = đồng biến trên 

2 

x − m 

khoảng ( 5;+∞ ) . Số phần tử của S là: 

A. 3. B. 2. C. 4. D. Vô số. 

Câu 18: Gọi M m , theo thứ tự là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm 

số y = sinx+ cos 2x + sin 3x 

trên đoạn [ ] 

A. 

16 

P = B. 

27 

0;π . Tính P = M + m. 

19 13 13 

P = − + C. 

27 

Câu 19: Tại điểm M = ( −2; −4) 

thuộc đồ thị hàm số 

đường thẳng 7x 

− y + 5 = 0. Tính tích ab 

19 13 13 

P = − − D. 

27 

16 

P = 

− 

27 

ax + 2 

y = tiếp tuyến của đồ thị song song với 

bx + 3 

A. ab = 2 

B. ab = − 2 

C. ab = 3 

D. ab = − 3 

Câu 20: (VDC) Cho khối chóp S. 

ABCD có đáy là hình vuông. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của 

SA, 

SB . Tính tỉ số 

A. 5 . 

8 

V 

V 


NBCMAD 

S. 

ABCD 


B. 1 . 

2 

C. 3 . 

4 

D. 5 . 

4 

4 2 

x x 

y = − + m với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để 

4 2 

hàm số có ba điểm cực trị là A, B, C, O (với O là gốc tọa độ) cùng thuộc một đường tròn. 

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 

Câu 22: Cho mô hình sau:

Giả sử một người muốn đi từ A đến C buộc phải đi từ A đến một điểm M nào đó trên đoạn 

BC, (M khác B và khác C) sau đó lại đi tiếp từ M đến C. Biết rằng vận tốc của người đó trên 

quãng đường AM là 6 km/h, trên quãng đường MC là 8 km/h. Tính gần đúng tổng thời gian 

T người đó di chuyển từ A đến C là ngắn nhất. Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm. 

A. T ≈ 2,5 

B. T ≈ 2,7 

C. T ≈ 2,9 

D. T ≈ 3,1 

Câu 23: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có khoảng cách giữa A'C và C'D' là 1 cm. Thể 

tích khối lập phương ABCD.A'B'C'D' là: 

3 

A. 8 cm . B. 

3 

2 2cm . C. 

3 

3 

3 3cm . D. 27 cm . 

Câu 24: Cho hình chóp S. 

ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B AB = A, BC = A 3. Biết rằng 

SA vuông góc với mặt phẳng đáy và diện tích xung quanh của khối chóp S. 

ABC bằng 

Tính theo a khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SBC) gần với giá trị nào nhất sau đây ? 

A. 0,72a B. 0,90a C. 0,80a D. 1,12a 

Câu 25: Cho phương trình 

thực ? 

x 

5 

2 

5 3 

a 

2 

x 

+ − 2017 = 0 (*). Hỏi phương trình (*) có bao nhiêu nghiệm 

2 

x − 2 

A. 1 B. 2 C. 0 D. vô số 


. 

Trang 4

Đáp án 

1-a 2-c 3-d 4-b 5-c 6-c 7-c 8-a 9-a 10-c 

11-b 12-b 13-d 14-c 15-a 16-d 17-a 18-b 19-c 20-a 

21-c 22-c 23-b 24-b 25-b 



Bát diện đều có 6 đỉnh, 8 mặt, 12 cạnh. 


Tập xác định: D = R . Ta có 

Trang 5 

2 ⎡x 

= −5 

y ' = 0 ⇔ −x − 2x 

+ 15 = 0 ⇔ ⎢ 

⎣ x = 3 

Bảng biến thiên: 

y 


2 

' = − x − 2 = 15 

x −∞ -5 3 +∞ 

y ' 

− 0 + 0 − 

y +∞ 

148 

− 

3 

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( 5;3 ), 

Chọn D. 


u7 = u3 + 7 − 3 d ⇔ 3 = − 5 + 4d ⇔ 4d = 8 ⇔ d = 2 

Ta có ( ) 

u = u + 3−1 d ⇔ − 5 = u + 22 ⇔ u = − 9 

Và: ( ) 

3 1 1 1 


3 2 2 

' ax 0 ' 3ax 2 

Xét ( ) 

x 

36 

+∞ 

− nên cũng sẽ đồng biến trên khoảng con của khoảng( − 5;3 ). 


y = + bx + cx + d a ≠ ⇒ y = + bx + c . Dựa vào sự đổi dấu của y’ ta suy ra hàm số bậc 

ba chỉ có thể có hai cực trị hoặc không có cực trị nào. 


Khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng 2a,

nên cạnh đáy và cạnh bên đều có độ dài bằng 2a. 

Diện tích đáy tam giác đều: 

S = 

( 2a) 2 3 

2 

Chiều cao bằng với độ dài cạnh bên: h = 2a 


4 

Đồ thị cho ở trên là đồ thị của hàm f '( x ). 

Trên những khoảng nào mà ( ) 

trục hoành) thì trên khoảng đó f ( x) 

đồng biến. Trên những khoảng nào mà ( ) 

dưới trục hoành) thì trên khoảng đó f ( x) 

nghịch biến. 

a 

3. 

f ' x > 0 (đồ thị nằm phía trên 

f ' x > 0 (đồ thị nằm phía 

Trên khoảng ( − 1;1) 

, ta thấy f '( x ) có giá trị dương và âm, nên( −1;0 

) 

khoảng ( −1;1) 

⇒ A sai. 

Trên khoảng ( − 1;0 ) , ta thấy f '( x ) > 0 nên f ( x) 

đồng biến trên khoảng ( − 1;0 ) 

trên R nên f ( x) 

đồng biến trên đoạn[ − 1;0 ], suy ra f ( 1) f ( 0) 

đúng. 

Trên khoảng ( 1;+∞ ) , ta thấy f '( x ) có giá trị âm, nên f ( x) 

không đồng biến trên khoảng ( −1;0 

) 

sai. 


Do SA ( ABC ) 

⊥ tại A nên A là hình chiếu của S lênmặt phẳng ( ABC ), kéo 

theo AE là hình chiếu của SE lên mặt phẳng 

⇒ SE ABC = SE, 

AE = SEA . Áp dụng định lý Py-ta-go trong 

( ABC ) ( ( )) ( ) 

∆ SAE vuông tại B , ta có: 

( ) 2 

= + = 2 + = 3 ⇒ = 3. Trong ∆ SAE vuông tại 

2 2 2 2 2 

AE AB BE a a a AE a 

SA 3a 

⊥ nên SA ⊥ AE , ta có: tan SEA = 3 SEA 60 . 

AE 

= a 3 

= ⇒ = ° 

A SA ( ABC ) 


( ( )) 

( ( )) 

V d A, MNP .S 

AMNP 

MNP SMNP 

1 

Ta có: = = = 

V d A, BCD .S S 4 

ABCD 

BCD 

BCD 

1 ⎛ 1 ⎞ 1 

VABCD 

= . AB. ⎜ AC. AD ⎟ = .6a7a8a = 56a 

3 ⎝ 2 ⎠ 6 

1 1 3 3 

Suy ra: VAMNP 

= VABCD 

= .56 a = 14 a . 

4 4 

3 

không nghịch biến trên toàn 

, mà hàm số liên tục 

− > (định nghĩa đồng biến) ⇒ B sai, C 



Lưu ý: Đề không cho tìm max – min trên đoạn nên ta không thể so sánh các giá trị như vậy 

⇒ D 

Trang 6

Cách giải: Lập BBT và ở đây kết luận được giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1 , nhưng hàm số không 

có giá trị lớn nhất. 


1− 1− x 1 

f ( x) − f ( 0) 

− 

2 2 1 1 1 

Ta xét lim lim x 2 − x − − x 

= = lim = lim 

= 

x→0 0 0 

2 

x − 0 x→ x x→ 2x x→0 

2 2 − x + 2 1− 

x 8 

1 

f = 

8 

Do đó '( 0) 


TXĐ: 

Trang 7 

2 2 

= , ' = − 2 + − + 1 và '' = 2 − 2 

D R y x mx m m 

Ta có hàm số đạt cực trị tại 

y x m 

Với HS luôn đồng biến trên nên không có cực trị (loại) 

Với hàm số đạt cực đại tại (thỏa mãn nên nhận) 


(phần kiểm tra sự liên tục của các hàm f, g, h tại x = 1xin dành cho bạn đọc) 

3 

x −1 

1 = 3,lim = lim = lim = − − 1 = −3 

x→1 x→1 1− 

x x→1 

2 

Xét phương án D. Ta có f ( ) f ( x) ( x x ) 

Do lim f ( x) f ( 1) 

x→1 


≠ nên hàm số gián đoạn tại x = 1 

( ) 

2 

Ta có dãy số 1+ 3 + 9 + 27 + ... + 3 n lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu u 

1 

= 1 và công bội 

q = 3. 

Khi đó, P chính là tổng của 2n + 1 số hạng đầu của cấp số nhân trên (từ 

2n+ 1 2n+ 

1 2n 

n + số hạng). Vậy: P = ( − q ) = ( − − ) = ( − ) 

2 1 


Tập xác định ( ) 

2 

u1 1 1 

1 1 3 1 3.3 1 . 

1− 

q 

1− 

3 2 

D = R , y ' = 3 m − 1 x + 4mx 

− 3 

⎧ 

3 

⎧∆ ' > 0 ⎪m 

< −3 

hay m > 

YCĐB ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ 

4 ⇔ m > 1 

⎩m 

− 1 > 0 ⎪ 

⎩m 

> 1 

Vậy trong ( −5;5) 

chỉ có 2;3;4 là thỏa mãn yêu cầu 


Do BC = CD = BD = 2a 

nên ∆BCD 

là tam giác đều. 

1 3 

0 

= đến 

2 

3 n có 


Do AC = AD = A 2 và CD = 2a 

, nên theo định lý Py-ta-go đảo, ta có ∆ ACD vuông cân tại A . 

Khi đó, gọi M là trung điểm CD thì: AM ⊥ CD và BM ⊥ CD. 

Ta có: 

( ) ( ) 

( ) 

( ) : 

⎧ ACD ∩ BCD = CD 

⎪ 

⎨Trong ACD : AM ⊥ CD ⇒ (( ACD) ,( BCD) 

) = ( AM , BM ), 

⎪ 

⎩ Trong BCD BM ⊥ CD 

∆ BCD đều có đường cao 

3 

BM = 2 a. = a 3 

2 

∆ACD 

vuông cân tại A nên trung tuyến 

CD 2a 

AM = = = a 

2 2 

2 2 2 2 2 2 

AM + BM − AB a + 3a − a 3 

Áp dụng định lý hàm cos trong ∆ AMB , ta có: cos AMB = = = 

2 AM. BM 2 a. a 3 2 

( AM BM ) 

AMB = 30 ° ⇒ , = 30 ° . 

Vậy góc giữa hai mặt phẳng( ACD ) và ( BCD) 

có số đo bằng 30 ° . 


Tập xác định: D \{ m 

2 

} 

= R . Ta có: 

2 

−m 

− 2m 

+ 3 

y ' = 

. 

2 

( x − m ) 

y đồng biến trên khoảng ( 4;+∞ ) ⇔ y ' > 0, ∀x 

∈ ( 4; +∞ ) 

2 

⎧ ⎧− < m < − < m < 

⎪−m 

− 2m 

+ 3 > 0 3 1 ⎧ 3 1 

⇔ ⎨ ⇔ 2 m 1 

2 

⎨ ⇔ 

2 ⎨ ⇔ − ≤ < 

⎩⎪ 

m ∉ ( 4; +∞) 

⎩ m ≤ 4 ⎩−2 ≤ m ≤ 2 

Vậy có ba giá trị nguyên của m để y đồng biến trên khoảng ( 4;+∞ ) là –2, –1 và 0. 


y = x + cox x + x = − x − x + x + 

3 2 

sin 2 sin 3 4sin 2sin 4sin 1 

Đặt t = sin x ∈[ 0;1 ];( x ∈ [ 0; π ]) 

3 2 2 

Ta có: y = −4t − 2t + 4t + 1 ⇒ y ' = −12t − 4t 

+ 4 

2 


Trang 8

⎡ − 1+ 

13 

⎢t 

= ∈[ 0;1] 

6 

⎛ − 1+ 13 ⎞ 8 + 13 3 

y ' = 0 ⇒ ⎢ 

. y ( 0) = 1; y( 1) 

= − 1; y 

= 

⎢ ⎜ 

1 13 

6 ⎟ 

− − ⎝ ⎠ 27 

⎢t 

= ∉[ 0;1] 

⎣ 6 

Suy ra 

8 + 13 3 − 19 + 13 3 

M = ; m = −1 ⇒ P = . 

27 27 


− 2a 

+ 2 

M −2;4 ∈ C ⇒ − 4 = ⇔ a = 7 − 4b 

(1) 

− 2b 

+ 3 

Ta có: ( ) ( ) 

Lại có tiếp tuyến tại M song song với y x f ( ) 

Thay (1) vào (2) ta được: 

( − a) 

− b − b + 

( − 2b 

+ 3) ( − 2b 

+ 3) 

3a 

− 2b 

= 7 + 5 ⇒ ' − 2 = 7 ⇔ = 7 (2) 

( − 2b 

+ 3) 2 

3 

3 7 4 2 14 21 b≠ 

1 

2 

( 1) 

= 7 ⇔ = 7 ⎯⎯⎯→ = 1 ⇔ b = 1⎯⎯→ a = 3. 

2 2 

− 2b 

+ 3 

Thử lại ta thấy thỏa mãn. Vậy ab = 3. 


⎧ VSMNCD + VMNABCD = VSABCD 

⎪ 

⎪ 

VSMNCD = VSMCD + VSMNC 

⎪ VSMCD 

SM 1 1 5 

Xét: ⎨ = = ⇒ V = V ⇒ V = V 

. 

⎪ VSACD 

SA 2 4 8 

⎪VSMNC 

SN SM 1 1 

⎪ = . = ⇒ VSMNC 

= VSABCD 

⎩VSABC 

SB SA 4 8 


SMCD SABCD MNABCD S ABCD 

Ta có ab = 3. 

TH1: O ≡ A ⇒ m = 0 (thỏa yêu cầu bài toán) 

TH2: O ≠ A ta có OA là đường kính của đường tròn đi qua 4 điểm. 

1 ⎛ −1 ⎞ 17 

Khi đó . AB. OB = 0 ⇔ 1.1 − . ⎜ + m⎟ 

= 0 ⇒ m = . 

4 ⎝ 4 ⎠ 4 



Đặt 

2 

= > 0 ⇒ = 15 − ; = + 81 và 15 0 15. 

MB x MC x MA x 

2 

x + 81 15 − x 

Tổng thời gian di chuyển từ A đến C là: T = + 

6 8 

Trang 9 

− x > ⇒ x < Vậy 0 < x < 15

2 

x + 81 15 − x x 1 f '( x) 

= 0 2 4x 

' 81 

6 8 

2 

8 3 

f x = + ⇒ f x = − ⎯⎯⎯→ x + = 

6 x + 81 

2 

2 16x 

x∈( 0;15) 

27 

⇔ x + 81 = ⎯⎯⎯⎯→ x = ≈ 10,21. 

9 7 

Đặt ( ) ( ) 

Lập bảng biến thiên, ta thấy giá trị nhỏ nhất của f là 15 + 3 7 ≈ 2,867 khi x = 

8 


Gọi M là trung điểm C’D’. Đặt x là cạnh của hình lập phương 

A' 

B' 

⊂( ABCD) 

Ta có A' B '/ / C ' D ' ⎯⎯⎯⎯⎯→ C ' D '/ / A' B ' CD 

( ) 

d ( C ' D '; A' C) = d ( C ' D '; ( A' B ' CD) 

) = d ( M ;( A' B ' CD) 

) 

Gọi O là trung điểm A’C. Dễ dàng chứng minh MO ⊥ ( A' 

B ' CD) 

x 2 

Suy ra d ( M ;( A' B ' CD) 

) = MO = = 1 ⇔ x = 2 . VậyV 

2 


HDG: đặt x = SA > 0 và AC = 2a 

Dễ dàng chứng minh ∆ SBC vuông tại B 

1 1 1 

Ta có: Sxq = SSAC + SSBC + SSAB 

= SA. AC + SA. AB + SB. 

BC 

2 2 2 

1 1 1 

x a + x a + x + a a 

2 2 2 

2 2 

.2 . . 3 

⎧ 

⎪ 

5a 

− x 3 ≥ 0 

⇔ ⎨ 

2 2 

⎪x + a = a − x 

⎩ 

( 5 3) 2 

2 2 

⇒ x + a = 5a − x 3 

27 . 

7 

(xin dành cho bạn đọc). 

3 

lapphuong 

= x = 

2 2 

⎧ 

⎧ 5a 

⎪ 

5a 

x ≤ 

x ≤ 

⎪ 

⎪ 

3 

3 ⎪ 

⇔ ⎨ ⇔ ⎨ 3 3 

3 

2 2 

⎡ 

⇒ x = a ⇒ SA = a 

x = a ( tm 

⎪ 

) 

− 2x + ( 10a 3) 

x − 24a 

= 0 ⎪⎢ 

⎪ ⎪ x = 4a 3 ( ktm 

⎩ 

⎩ ⎢ ⎣ 

) 

Ta có ( SAB) ⊥ ( SBC ) theo giao tuyến SB. Kẻ ( ) ( ;( )) 

( ) 

x1 ∈ 2; 3 . 


AH ⊥ SB ⇒ AH ⊥ SBC ⇒ d A SBC = AH 


⎛ 

2 

4 1 ⎞ 

Điều kiện x > 2 hơn nữa từ ⇔ x⎜ 

x + ⎟ = 2017 ⇒ x > 0. Vậy điều kiện nghiệm là x > 2 

2 

⎝ x − 2 ⎠ 

5 x 

Xét f ( x) = x + − 2017 

2 

x − 2 

Trang 10

f ' x 5x 

Đồng thời: ( ) 

4 

= − 

1 

2 

( x − 2) 

Vì f ''( x ) = 0 vô nghiệm nên ( ) 

3 

3x 

f x x x 

và ( ) 

Suy ra f ( x ) = 0 có nhiều nhất hai nghiệm. 

⎧ 

⎪ lim f ( x) 

= +∞ 

x→+∞ 

⎪ 

Măt khác ⎨ lim f ( x) 

= +∞ ⇒ f ( x) 

= 0 

+ 

x→( 2 

⎪ ) 

⎪ 

f ( 3) 

< 0 

⎪⎩ 

3 

'' = 20 + > 0, ∀ > 2 

5 

2 

( x − 2) 

f ' x = 0 có nhiều nhất một nghiệm 

có hai nghiệm 

1 ( 2; 3) 

x ∈ và x1 ∈ ( 3; +∞ ) 


Trang 11






Câu 1: Mặt phẳng ( ' ') 

Trang 1 



AB C chia khối lăng trụ ABC. A' B' C ' thành các khối đa diện nào? 

A. Một khối chóp tam giác và một khối chóp ngũ giác. 

B. Một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác 

C. Hai khối chóp tam giác 

D. Hai khối chóp tứ giác 

Câu 2: Cho f ( x) = sin x và 

sin x 

lim = −1. Khẳng định nào dưới đây là đúng? 

x→π x −π 

A. f '( 1) 

= π . B. f '( π ) = 1. C. f '( π ) = − 1. D. f ( ) 

' − 1 = π. 

Câu 3: Cho cấp số nhân ( u 

n ) , biết u 

2 

= 4 và tổng hai số hạng đầu bằng 3. Tìm công bội q của 

cấp số nhân trên. 

A. q = 4 

B. 

1 

a = − . C. q = − 4 

D. 

4 

1 

q = . 

4 

Câu 4: Trọng tâm các mặt của một hình tứ diện đều tạo thành một hình đa diện mới có tên là gì 

A. Tứ diện đều B. lập phương C. nhị thập diện đều D. bát diện đều 

Câu 5: Cho khối lăng trụ đứng có chiều cao là h, đáy là tam giác vuông. Nếu tăng mỗi cạnh góc 

vuông lên k lần thì thể tích của khối lăng trụ tăng lên bao nhiêu lần? 

A. 


2 

3k B. 

Câu 6: Số điểm cực trị của hàm số 

2 

4k C. 

2 

= + 2 + 1 là: 

y x x 

2 

2 k . 

D. 

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 

k 

2 .

2 

Câu 7: Cho bài toán: “Xét tính đơn điệu của hàm số y = x + 2x 

− 3 ” Một bạn học sinh đã làm 

bài như sau: 

\ 3;1 . 

• Bước 1: Tập xác định: D = R ( − ) 

• Bước 2: Tìm đạo hàm: 

2 

( ) 

x + 2x − 3 ' x + 1 

y ' = = 

. 

2 2 

2 x + 2x − 3 x + 2x 

− 3 

⎧x 

= −1 

⎧x 

+ 1 = 0 ⎪ 

• Bước 3: y ' = 0 ⇔ ⎨ ⇔ x 3 x . 

2 

⎨⎡ < − ⇔ ∈∅ 

⎩x 

+ 2x 

− 3 > 0 ⎪ ⎢ 

⎩⎣x 

> 1 

• Bước 4: Bảng biến thiên: 

x −∞ − 3 

1 

−∞ 

y ' − + 

y +∞ 

0 

• Bước 5: Kết luận: 

Vậy hàm số nghịch biến trên nửa khoảng ( −∞; − 3] 

, đồng biến trên nửa khoảng [ ) 

Hỏi bài làm trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào? 

A. Bài làm đúng. B. Sai từ bước 3. C. Sai từ bước 4. D. Sai từ bước 5 

Câu 8: Cho số thực 0 

Xét 2 phát biểu sau: 

a ≠ và hàm số f ( x) 

⎧ 

⎪ 

3 

2x 

−1 −1 , x ≠ 1 

x −1 

3 

= ⎨ 

⎪ 2 6111 2 

x − x + + a x = 

⎪⎩ 

2 , 1 

5000 

(i). Hàm số chắc chắn liên tục từng khoảng ( −∞ ;1] 

và ( ) 

1;+∞ . 

(ii). Tồn tại số thực a để hàm số liên tục trên R . 


A. (i), (ii) đều đúng B. (i) sai, (ii) đúng C. (i) đúng, (ii) sai D. (i), (ii) đều sai 

+∞ 

0 

1;+∞ . 


Trang 2


liên tục trên R , có đồ thị của đạo hàm f '( ) 

Hỏi mệnh đề nào sau đây là đúng? 

x như sau: 

1;+∞ . 

A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ) 

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; 1) 

−∞ − . 

C. Hàm số đồng biển trên khoảng ( −∞ − ) 

D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( − ) 

; 3 . 

1;1 . 


liên tục trên R , có đồ thị của đạo hàm f '( ) 

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? 

A. f đạt cực tiểu tại x = 0 

B. f đạt cực tiểu tại x = − 2. 

x như sau: 

C. f đạt cực đại tại x = − 2. 

D. Cực tiểu của f nhỏ hơn cực đại 

Câu 11: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 

A. 

[ 0;4] 

3 2 

x x 

y = − − 6x 

trên [ 0;4 ] . 

3 2 

max y = 0 . B. max y = . C. max y = − . D. max y = . 

[ ] 3 

[ ] 2 

[ ] 2 

0;4 

22 

0;4 

27 

0;4 

32 

Câu 12: Cho hình chóp tứ giác đều S. 

ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a, gọi ϕ là góc giữa 

hai mặt phẳng ( SAB) &( CSD ). 

Tính cos ϕ . 

A. 


1 

cos ϕ = . B. 

2 

1 

ϕ = C. 

cos . 

6 

1 

ϕ = D. 

cos . 

3 

1 

cos ϕ = . 

4 

Câu 13: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC, OD đôi một vuông góc nhau, biết rằng 

OA = 2OB = 3OC = 3a . Tính khoảng cách d từ O đến mặt phẳng ( ABC ) . 

Trang 3

A. 

2 a 

d = . B. 

14 

3 a 

d = . C. 

13 

3 a 

d = . D. 

11 

d = 

3 a . 

10 

Câu 14: Gọi a là giá trị thực để hàm số ( ) 

⎧ 

3 

cos x − cos x 

⎪ 

khi x ≠ 0 

= ⎨ 

⎪ 

⎩a 

+ 1 khi x ≠ 0 

f x 

2 

sin x 

liên tục tại x = 0 . 

Gía trị 

P 

4 

= 2 + 11 gần với số nào nhất dưới đây? 

a 

A. 3,32. B. 3,31 C. 3,61 D. 3,92 

Câu 15: Gọi ( ∆ ) là tiếp tuyến của đường cong ( C ) 

( − 1;0 ) . Tính khoảng cách d từ điểm M ( 1; − 1) 

đến ( ∆ ) 

A. 

2 

d = . 

B. 

5 

2 

x − x + 1 

: y = . 

x + 1 

Biết rằng ( ) 

1 

d = . 

C. d = 1. 

D. d = 2. 

5 

∆ qua điểm 

Câu 16: Cho hình lập phương ABCD. A' B ' C ' D ' có cạnh là a. Tính thể tích khối tứ diện 

ABC ' D ' theo a? 

A. 

2 

a 

. 

6 

B. 

3 

a 

. 

2 

Câu 17: Biết rằng mức lương của một kỹ sư ở công ty X trong quý I năm 2017 (3 tháng đầu tiên 

của năm 2017) là S 

0 

(triệu đồng), kể từ quý II mức lương sẽ được tăng thêm 0,5 triệu đồng mỗi 

quý. Tổng lương của kỹ sư đó tính từ quý I năm 2017 đến hết quý IV năm 2022 là 1002 (triệu 

đồng). Tính tổng lương S (triệu đồng) của kỹ sư tính từ quý I năm 2017 đến hết quý IV năm 

2015. 

C. 

3 

a 

. 

4 

D. 

3 

a 

. 

3 

A. S = 1611 B. S = 342 

C. S = 324 

D. S = 1911 

Câu 18: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB = a, AC = a 3, tam giác 

SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy. Gọi a (độ) là bởi cạnh SB và mặt phẳng (SAB). 

Gía trị a gần với số nào nhất dưới đây? 

A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 

Câu 19: Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau; 


AB = 3 a, AC = 4 a, AD = 5a 

. Gọi M, N, P lần lượt là trọng tâm của tam giác DAB, DBC, DCA. 

Tính thể tích của khối chóp DMNA theo a. 

3 

3 

3 

10a 

80a 

20a 

A. V = B. V = C. V = D. V = 

27 

27 

27 

40a 

27 

3 

Trang 4

Câu 20: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = 

của hình chóp S.ABCD. Tính khoảng cách d giữa SA và CD theo a & α 

a , gọi α là góc giữa mặt bên và mặt đáy 

A. d = a cosα B. d = asinα C. d = asin 2α D. d = a cos 2α 

1 

y = x − mx + m − 4 x + 3 . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên 

3 

3 2 2 


của M để hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1;4 ) . Số phần tử của S là: 

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 

Câu 22: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. I là trung điểm BB’. Mặt phẳng (DIC’) chia 

khối lập phương thành 2 phần có tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn bằng: 

A. 1:3 B. 7:17 C. 4:14 D. 1:2 

b 

f x = ax − x + 3 

a 

Câu 23: Xét các hàm số ( ) 

2 

2 

và g ( x) = x − 4x + 6 trên đoạn [ ] 

1;5 . Biết trên 

đoạn [ 1;5 ] thì giá trị lớn nhất của f ( x ) bằng giá trị nhỏ nhất của g ( x ) và đạt tại cùng một 

điểm . Tính S là tổng các giá trị a, b thoả mãn yêu cầu bài toán . 

A. S = 0 

B. S = −1 

C. 

Câu 24: Cho hàm số 3 3( 1) 

1 

S = 

D. không tồn tại S 

2 

y = x 3 − mx 2 + m 2 − x − m 3 với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất 

cả các giá trị của m sao cho đồ thị hàm số có hai điểm cực trị. Biết rằng khi m thay đổi trong S, 

các điểm cực đại của đồ thị hàm số cũng thay đổi nhưng luôn nằm trên một đường thẳng ( d ) cố 

định . Hỏi ( d ) song song với đường thẳng nào sau đây: 

A. y = 2x + 4 B. y = −3x −1 

C. y = − 3x + 5 D. y = −2x 

Câu 25: Một nhà địa chất học đang ở tại điểm A trên sa mạc. Anh ta muốn đến điểm B và cách 

A một đoạn là 70 km. Trong sa mạc thì xe anh ta chỉ có thể di chuyển với vận tốc là 30 km/h. 

Nhà địa chất ấy phải đến được điểm B sau 2 giờ. Vì vậy, nếu anh ta đi thẳng từ A đến B sẽ 

không thể đến đúng giờ. May mắn thay, có một con đường nhựa song song với đường nối A và 

B và cách AB một đoạn 10 km. Trên đường nhựa này thì xe của nhà địa chất học này có thể di 


chuyển với vận tốc 50 km/h. Tìm thời gian ngắn nhất mà nhà địa chất học có thể đi từ A đến B 

(đảm bảo trong khung giờ cho phép). 

Trang 5

A. 1,83 giờ B. 1,93 giờ C. 1,73 giờ D. 1,86 giờ 


Trang 6

Đáp án 

1-B 2-C 3-C 4-A 5-D 6-B 7-A 8-A 9-C 10-B 

11-A 12-C 13-A 14-C 15-D 16-A 17-C 18-A 19-C 20-B 

21-D 22-A 23-C 24-C 25-B 26-C 27-B 28-D 29-C 30-B 




( ) − ( π ) 

sin x 

f x f 

lim = −1 ⇔ lim = −1 ⇒ f '( π ) = −1. 

x→π 

x −π 

x→π 

x −π 


⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 

Theo giả thiết, ta cóu 1 

+ u 2 

= 3 ⇔ u 2 ⎜ + 1⎟ = 3 ⇔ 4⎜ + 1⎟ 

= 3 ⇔ q = −4. 

⎝ q ⎠ ⎝ q ⎠ 



Gỉa sử khố lăng trụ đứng có đáy là ABC vuông tại A. 

2 2 

Ta có V = h. AB. AC ⇒ V ' = h. k AB. 

AC = k V 

LT 


2x 

Tập xác định: D = R . y ' = 1 + . 

2 

2x 

+ 1 

x 0 

2 2x 

0 

⎧ ≤ 

x 

⎧− 

≥ ⎪ 

2 

y x x x 

2x 

+ 1 

⎩4x 

= 2x 

+ 1 ⎪x 

= 

2 

⎩ 2 

2 

' = 0 ⇔ 1+ = 0 ⇔ − 2 = 2 + 1 ⇔ ⎨ 

⇔ . 

2 

2 2 ⎨ 2 1 ⇔ = − 

Bảng biến thiên: 

LT 


Trang 7

x 

2 

−∞ 

− +∞ 

2 

y ' 

− 0 + 

y +∞ +∞ 

Vậy hàm số có 1 điểm cực trị. 


Bài làm đúng từ bước 1 đến bước 4. 

Xét dấu của 

Trang 8 

y ' , ta thấy ' 0 

f ⎛ 

⎜ 

− 

⎝ 

y > , ∀x 

∈ ( 1; +∞ ) nên hàm số đồng biến trên khoảng ( ) 

2 

2 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

1;+∞ , kết hợp 

với hàm số liên tục trên nửa khoảng [ 1;+∞ ) , ta có hàm số đồng biến trên nửa khoảng [ 1;+∞ ) . 

Tương tự ta có hàm số nghịch biến trên nửa khoảng ( −∞; − 3] 

. Vậy bước 5 đúng. 


Hiển nhiên (i) đúng. Ta kiểm tra (ii); f ( 1) 

1111 

= + a 

5000 

3 

2x 

−1 −1 2( x −1) 

lim f ( x) 

= lim = lim 

x −1 

⎡ ⎤ 

⎢⎣ 

⎥⎦ 

2 

3 3 

( 2x − 1) + 2x − 1.1 + 1 ( x − 1)( x + x + 1) 

x→1 x→1 3 

x→1 2 

2 2 

2 2 

= lim 

= 

x→1 ⎡ 3 

( ) 2 3 

2 2 

2x − 1 + 2x − 1.1+ 1 

⎤ 

9 

( x + x + 1 

⎢ 

⎥ 

) 

⎣ 

⎦ 

2 1111 1 

lim f x = f 1 ⇔ = + a ⇔ a = ± Suy ra (ii) đúng. 

x→1 

9 5000 150 2 

Để f liên tục tại x=1 thì ( ) ( ) 

2 


Đồ thị trên là của đạo hàm f '( x ) . 

f ( x ) sẽ đồng biến trên khoảng mà f '( x) 

≥ 0 (đồ thị của f '( ) 

là khoảng ( −∞; − 3) 

và ( ) 

1;+∞ . 

f ( x ) sẽ nghịch biến trên các khoảng mà f '( x) 

≤ 0 (đồ thị của f '( ) 

x nằm phía trên trục hoành), đó 


hoành), đó là khoảng (-3; 1). 


Nhìn đồ thị, ta thấy 

x nằm phía dưới trục 

f ' đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua điểm x = − 2, do đó x = − 2 là điểm

cực đại của hàm f ⇒ C đúng, B sai. 

Tương tự, f’ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm x = 0 , do đó x = 0 là điểm cực tiểu của 

hàm f ⇒ A đúng. 

Ta có f '( x) < 0, ∀x 

∈( − 2;0 ), 

nên f nghịch biến trên khoảng ( 2;0) 

đoạn [ − 2;0 ], 

suy ra f nghịch biến trên đoạn [ − 2;0] 

( 2) ( 0) 


D = 0;4 , y ' = x − x − 6 và 

Ta có: [ ] 

2 

⎧ 

⎪ y ( 0) 

= 0 

⎪ 27 

Ta có: ⎨ y ( 3) 

= − ⇒ max y = y ( 0) 

= 0 

2 [ 0;4] 

⎪ 

⎪ 32 

⎪ y ( 1) 

= − 

⎩ 2 


Giao tuyến giữa ( SAB) &( ) 

⎡x 

= −2 

y ' = 0 ⇔ ⎢ ⇒ x = 3. 

⎣x 

= 3 

− , kết hợp với liên tục trên 

⇒ f − > f ⇒ D đúng. 

CSD là đường thằng d qua S và song 

song AB, 

CD . Gọi I, 

J theo thứ tự là trung điểm AB, 

CD . Suy ra 

SI. 

SJ cùng vuông góc với d tại S. Do đó ϕ = ∠ ( SI; 

SJ ) 

Ta có: 

a 3 

SI = SJ = ; IJ = a 

2 

Áp dụng định lý cosin trong tam giác ISJ : 

IJ = SI + SJ − 2 SI. SJ.cosϕ ⇒ cos ϕ = . 

3 

2 2 2 1 


Gọi I là hình chiếu của O trên BC, H là hình chiếu của O trên AI. 

Suy ra d = OH. 

3a 

OA = 2OB = 3OC = 3a ⇒ OA = 3 a; OB = ; OC = a. 

2 


3a 

13 3a 

14 

Tính được OI = ⇒ d = OH = . 

13 14 

Câu 14: Đáp án c 

Trang 9

3 

( x − ) 

3 

cos x − cos x cos x −1− 

cos 1 

lim f ( x) 

= lim = lim 

x→0 x→0 2 

sin x x→0 

1 cos x 1 cos x 

( − )( + ) 

cos x −1 cos x −1 

− 

3 2 

cos x + 1 

3 

1 1 1 1 

lim 

cos x cos x 1 

⎛ − 

− ⎞ 

= 

+ + 

= lim ⎜ − ⎟ = 

x→0 3 

( 1− cos x)( 1+ cos x) x→0 ( 1+ cos x) 

2 2 3 

⎝ cos x + 1 cos x + cos x + 1⎠ 

2 

Để f liên tục tại 0 


2 

x + 2x 

y ' = . 

( x + 1) 

2 

1 13 

lim f x ⇔ − = a + 1 ⇔ a = − . Suy ra P = 3,71 

x→0 

12 12 

x = thì ( ) 

Gọi T ( a; 

b ) là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến ( ) 

2 2 

a + a + 1 a + 2a 

( ) ( ) ( ) qua điểm 

2 

( 1;0 ) 

y − = ∆ 

a + 1 a + 1 x − a 

Phương trình tiếp tuyến ( ) 


Ta có: V 

Nhận xét: 

B'. 

ABCD 

1 

= V 

3 

HH 

V 

⇒ V 

= V 

= V 

= V 

= V 

= V 

= V 

1 

= v 

2 

1 

= V 

6 

3 

1 a 

⇒ VACB' D' = VHH − 4 VA' D ' AB' 

= VHH 

= . 

3 3 

. 

− suy ra a=1. 

∆ là: 3x 

− 4 y + 3 = 0. Từ đó d = 2 . 

A' D ' AB' D ' DAC B; ACB CC ' D' B' B'. ABCD ' 

A' D' AB ' D' DAC B ' ACB CC ' D' B' 

HH 

Cách khác: 

( ) ( ) ( ) 

∆ là: 

2 

3 

1 1 

a 

VACB' 

D' 

= AC. B ' D 'sin AC; B ' D ' . d AC; B ' D ' = a 2 .sin 90. a = . 

6 6 3. 



Từ quý I năm 2017 đến hết quý IV năm 2022 là 24 quý. 

Tổng lương chính là tổng của cấp ố cộng với u1 = S0 

, công sai d=0,5. 

( ( ) ) 

24 2S0 

+ 24 −1 0,5 

Theo giả thiết, ta có: 1002 = ⇔ S0 

= 36 

2 

Từ quý I năm 2017 đến hết quý IV năm 2015 là 36 quý. 

Trang 10

( + ( − ) ) 

36 2.36 36 1 0,5 

S = = 1611. 

2 


Gọi H là trung điểm AB ⇒ SH ⊥ ( ABC) 

Vẽ HI ⊥ AC, I ∈ AC; 

HK ⊥ SI 

Suy ra K là hình chiếu từ H trên (SAC) 

Do đó, nếu gọi L là hình chiếu từ B lên (SAC) thì BL=2HK. 

AB = a; NB = a 3 ⇒ ∠ BAC = 60° 

Từ đó, tính được 

Ta có: 

a 3 a 3 

HI = HA.sin 60 ° = . = . 

2 2 4 

a 3 a 15 a 15 

SH = ⇒ HK = ⇒ BL = 

2 10 5 

BL 15 

sinα = sin LSB = = ⇒ a ≈ 50,77° 

SB 5 


Gọi E,F,G lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, AC. 

VDMNP 

DM DN DP 8 

Khi đó: = . . = 

V DE DF DG 27 

DEFG 

1 5 

Lại có VDEFG 

= VDABC 

= a 

4 2 

3 

20a 

Suy ra V 

DMNP 

= . 

27 


3 

Ta có, CD song song mặt phẳng ( SAB ) chứa SA nên khoảng cách giữa SA và CD chính là 

khoảng cách từ CD đến ( SAB ) . 

Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm AB, CD thì: 


⎧⎪ ∠ SIK = α 

⎨ 

⎪⎩ 

d = d ( K; ( SAB) 

) = KH = IK.sinα 

= asinα 

Trong đó H là hình chiếu từ K lên SI. 


2 2 

' = − 2 + − 4 

y x mx m 

Trang 11

2 2 2 2 ⎡x 

= m + 2 

( ) ( ) 

y ' = 0 ⇔ x − 2mx + m − 4 = 0 ⇔ x − m − 4 = 0 ⇔ x − m = 4 ⇔ ⎢ 

⎣x 

= m − 2 

Vậy y' có hai nghiệm phân biệt là − m + 2 và − m + 2 

Xét dấu y' , ta thấy rằng ' < 0 

khoảng này. 

y trên khoảng ( − 2; + 2) 

Vậy để hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1;4 ) , ta phải có 

⎧m 

≤ 3 

1;4 ⊂ m − 2; m + 2 ⇔ m − 2 ≤ 1 < 4 ≤ m + 2 ⇔ ⎨ ⇔ 2 ≤ m ≤ 3 

⎩m 

≥ 2 

( ) ( ) 

Trong đoạn [ 2;3 ] có hai số nguyên là 3 và 2. 


Trong ( ' ') 

BCC B gọi = ' ∩ 

I IC BC . Trong ( ) 

m m , nghĩa là hàm số nghịch biến trên 

ABCD , gọi M = DP ∩ AB 

Dễ dàng chứng minh B, M lần lượt là trung điểm PC và AB 

⎧VCB . IMDC ' 

= VPDC ' C 

−VPMIB 

⎪ 

Xét ⎨ VPBMI 

PB PI PM 1 7 7 7 1 1 7 

⎪ 

= . . = ⇒ VBC. IMDC ' 

= VPCDC ' 

= VC ' DCP 

= . a. a.2a = a 

⎩VPCDC 

' 

PC PC ' PD 8 8 8 8 3 2 24 

3 7 VBC. IMDC ' 

7 

Lại có Vlap phuong 

= a ⇒ VBC. IMDC ' 

= Vlap phuong 

⇒ = 

24 V 17 


2 

Ta có g ( x) = x − 4x + 6 với x ∈[ 1;5] 

( x) 

[ 1;5 ] 

⎪⎧ g ' = 0 

⇒ ⎨ 

⎪⎩ x ∈ 

2b 

⇒ min g ( x) = g ( 2) 

= 2 ⇒ max f x = f 2 = 4a 

− + 3 = 2 * 

[ 1;5] 

[ 1;5] 

a 

lon 


( ) ( ) ( ) 

( ) 

2 

2a . Nếu [ ] [ 1;5] 

f ' x = 0 ⇔ x = b 

b 

⎛ b ⎞ 

x = ∉ 1;5 ⇔ max f 

2 

( x) = f ( 2) 

= f ⎜ = 2 

2 ⎟ 

2a 

⎝ 2a 

⎠ 

3 

Trang 12

⎧ 2b 

4a 

− + 3 = 2 

⎪ a ⎧4a 

− 8a 

= −1 1 

⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ a = ⇒ loại ⇒ không tồn tại S 

= 

2 

⎪ b 4 

4 

= 2 ⎩b a 

2 

⎪⎩ 2a 


( ) 

2 2 

' = 3 − 6 + 3 −1 

y x mx m 

2 2 2 2 ⎡x − m = 1 ⎡x = m + 1 

( ) ( ) 

y ' = 0 ⇔ x − 2mx + m − 1 = 0 ⇔ x − m − 1 = 0 ⇔ x − m = 1 ⇔ ⎢ ⇔ 

= = − 1 

⎢ 

⎣x m ⎣x = m −1 

Vậy y' luôn có hai nghiệm phân biệt là m −1 

và m + 1, ∀m ∈ R . Khi đó, đồ thị hàm số có hai 

điểm cực trị, vậy 

S = R . 

Xét dấu y' , ta thấy rằng hàm số đạt cực đại tại x = m −1 

3 2 2 3 

⇒ yCD 

= ( m −1) − 3m( m − 1) + 3( m −1)( m −1) 

− m = − 3m 

+ 2 

Vậy điểm cực đại của đồ thị hàm số là ( −1; − 3 + 2) = ( −1; −3( −1) 

−1) 

CD 

m m m m . 

Đường thẳng cố định luôn đi qua điểm cực đại của đồ thị hàm số là ( d ) : y = −3x 

−1 


Phân tích: 

● Ta có thể mô tả bài toán trên bằng hình vẽ sau: 

● Như đã phân tích ở trên, nếu đi trực tiếp từ A đến B trên sa mạc với vận tốc và khoảng cách 

hiện có thì nhà địa chất học không thể đến đúng thời gian quy định 

● Vì vậy cần thiết phải chia quãng đường đi được thành 3 giai đoạn: 

Giai đoạn 1: đi từ A đến C (từ sa mạc đến đường nhựa song song) 

Giai đoạn 2: đi từ C đến D (một quãng đường nào đó trên đường nhựa) 

Giai đoạn 3: đi từ D đến B (từ điểm kết thúc D trên đường nhựa đi tiếp đến B băng qua sa mạc). 

Goi H, K, C, D là các điểm như hình vẽ. 


Khi đó gọi HC = x( 0 < x < 70) 

và DK = y ( 0 < y < 70) 

Trang 13

Quãng đường đi từ A đến C là 

AC x t 

AC 

2 2 

= 10 + ⇒ 

1 

= = 

vsahara 

10 + x 

30 

2 2 

Quãng đường đi từ D đến B là 

DB 

2 2 

= 10 + ⇒ 

2 

= = 

vsahara 

DB y t 

Và quãng đường đi C đến D là 10 ( ) 

10 

2 2 

30 

+ y 

( x y) 

CD 70 − + 

CD = − x + y ⇒ t3 

= = 

v 50 

Vậy tổng thời gian mà nhà địa chất học đi từ A đến B là T = t1 + t2 + t 

3 

( x y) 

2 2 2 

10 + x 10 + y 70 − + 

⇒ T ( x; 

y ) = + + 

30 30 50 

Đây là một biểu thức có dạng đối xứng 2 biến x và y ta cần tìm min T ( x; 

y ) 

+ x − x 10 + y − y 

30 50 30 50 

2 2 

2 2 

10 35 35 

Ta có T ( x; 

y) = + + + = f ( x) + f ( y ) 

Khi đó ta xét ( ) 

2 2 

10 + u 35 − u 

f u = + , 0 

30 50 

u 1 5u 

15 

f ' u = − , f ' u = 0 ⇔ 10 + u = > 0 ⇔ u = 

2 2 

30 10 + u 50 3 2 

Xét ( ) ( ) 

2 2 

Lập bảng biến thiên ta có 

min 

u∈( 0;70) 

Do đó ta có T ( x y) f ( x) f ( y ) 

Dấu “=” xảy ra khi 

⎛15 ⎞ 29 

f ( u) 

= f ⎜ ⎟ = 

⎝ 2 ⎠ 30 

29 29 29 

; = + ≥ + = ≈1,93 

30 30 15 

x = y = 

15 

2 


street 

Trang 14






Trang 1 

ĐỀ ÔN SỐ 9 (SỐ ĐẶC BIỆT) 


Câu 1: Trong các dãy số sau, có bao nhiêu dãy là cấp số cộng: 

a) Dãy số ( ) n 

b) Dãy số ( ) n 

c) Dãy số ( ) 

d) Dãy số ( ) n 

u với u = 3n 

v với v = sin nπ 

n 

n 

n 

w n 

với , với w 

n 

= − 2 , với n ≤ 10 

5 

t với t = 2 − n 

n 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 

1 

x 

Câu 2: Cho hàm số f ( x) = . Hỏi đồ thị 

2 

( C ) của hàm số y f '( x) 

= đi qua điểm nào sau đây: 

A. M ( 1;2 ) 

B. N ( − 1;1) 

C. P( 1; − 1) 

D. Q ( − 1;2 ) 

Câu 3: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên từng khoảng xác định? 

A. 

y x x 

4 2 

= − B. 

y x x 

y = x − D. 

3 2 

= − + 3 C. 2 sinx 

2 4 

3 

Câu 4: Cho hàm f có đạo hàm trên R và có f '( x) x ( x 1) ( 2 x) 

f là: 

1 

y = x − 

x − 2 

= − − . Số điểm cực đại của hàm 

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 

Câu 5: Giá trị lớn nhất của hàm số 

5 3 

= 3 − 5 + 2 trên đoạn 

y x x 

⎡ 3 1 ⎤ 

⎢ 

− ; 

⎣ 2 2⎥ 

⎦ là: 

A. 4 B. 6 C. 2 D. 47 

32 

Câu 6: Cho khối chóp có đáy là tam giác đều. Nếu tăng độ dài của ba cạnh đáy lên m lần và giảm 

độ dài chiều cao m lần thì thể tích khối chóp khi đó sẽ thay đổi như thế nào so với ban đầu ? 

A. tăng m lần B. tăng 

2 

m lần 

C. giảm 

2 

m lần 

D. không thay đổi 

Câu 7: Một khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy lần lượt là 6cm , 8cm và 10cm , cạnh bên 14cm và 

góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 

A. 


3 

112cm B. 

0 

30 . Tính thể tích của khối đó. 

3 

56 3 cm C. 

3 

112 3 cm D. 

3 

168cm

Câu 8: Cho hàm số f ( x ) xác định, liên tục trên \ { 1} 

R − và có bảng biến thiên như sau. 

x −∞ − 1 

1 +∞ 

y’ + − 0 + 

y 

2 +∞ 2 

−∞ 0 

Tìm tất cả số đường tiệm cận của đồ thị hàm số có bảng biến thiên trên. 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 

Câu 9: Cho hình bát diện đều. Biết rằng các điểm là tâm các mặt của bát diện đều tạo thành một 

hình đa diện đều. Tên của hình đa diện đó là 

A. tứ diện đều B. lập phương C. bát diện đều D. mười hai mặt đều. 

Câu 10: Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 

Câu 11: Tìm số giá trị của m để đồ thị hàm số 

qua điểm A( − 1;2 ) 

y = 

( ) 

2 

x − 3x + m 

y = 

x 

10 − 2x 

2 

+ 2x 

− 35 

m + 3 x − m − 5 

có một đường tiệm cận đi 

A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số 

Câu 12: Có bao nhiêu điểm M thuộc đồ thị ( C) 

đường thẳng ( d ) : x − y − 1 = 0 ? 

x − 2 

: y = mà tại đó có tiếp tuyến song song với 

x + 2 

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 



1; 

2 

2 2 

x x là hai nghiệm phân biệt của phương trình: Px . Ax 72 6( Ax 2Px 

) 

x1 x2 

tập hợp tất cả các giá trị của biểu thức P = C + 

7 

+ 2017 . Tìm tập S. 

+ = + . Gọi S là 

A. S = { 2024} 

B. S = { 2018;2024} 

C. S = { 2019} 

D. S = { 2018} 

Trang 2

Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và AB = 2 a, 

BC = a . Các cạnh 

bên của hình chóp bằng nhau và bằng a 2 . Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD; K 

là điểm bất kỳ trên BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng EF và SK là: 

A. 

a 3 

3 

B. 

a 6 

3 

C. 

a 15 

5 

D. 

a 21 

7 


tại x = 2 . Giá trị của 

2 2 

⎧ x − mx + m − 3m ⎪ 

, khi x ≠ 2 

y = ⎨ x − 2 

. Biết rằng m = m0 

thì hàm số liên tục 

⎪ 

⎩4m 

− 1 , khi x = 2 

4 

P m 0 

2017 

= + gần với giá trị nào nhất sau đây ? 

A. 47,68 B. 42,49 C. 44,92 D. 49,42 

Câu 16: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈[ − 2017;2017] 

để hàm số 

y = x − x + x + m + m + > ∀x ∈ R 

4 3 2 2 

sin sin sin 4 3 0, 

A. 4033 B. 4034 C. 2018 D. 4032 

Câu 17: Cho khối lăng trụ đứng ABC.DEF có đáy là tam giác vuông tại A với 

0 

BC = 4 a, ∡ ACB = 60 . Biết ∆ BCD có chu vi bằng( 9 + 17 ) a . Thể tích khối lăng trụ ABC.DEF 

là 

A. 

3 

a 39 

B. 

3 

6 39 

a C. 

3 

2 39 

a D. 

3 

26 3 

Câu 18: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m để đồ thị của hàm số 

3 2 

x x 

y = − ( m + 2) 

+ 2mx 

+ 1 có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu đồng thời chúng nằm về 

3 2 

cùng một phía so với đường thẳng ( d ) : x + y − 1 = 0 

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 

Câu 19: Cho hình chóp S.ABC . có đáy ABC là tam giác vuông tại B . Các mặt bên ( SAC );( SAB ) 

13 

cùng vuông góc với đáy, AC = ; BC = 3; SC = 2 . Gọiα là góc hợp bởi hai mặt 

2 


phẳng( SBC );( ) 

α 2 3 α 

ABC . Giá trị biểu thức T = 2sin + cos 

2 3 2 

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 

a 

Trang 3

0 

Câu 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a và có góc ∡ BAD = 60 . Đường 

thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy ( ) 

phẳng( SBC ) là: 

A. 

a 3 

2 

B. 3 a 

2 

ABCD và SO = 

C. 2 a 

3 

3a 

4 

. Khoảng cách từ A đến mặt 

D. 3 a 

4 

Câu 21: Cho hình lập phương ABCD.A' B'C' D' cạnh bằng a và K là một điểm nằm trên cạnh CC’ 

sao cho 

2a 

3 

CK = . Mặt phẳng ( ) 

hai phần có thể tích V , V ( V V ) 

A. 

V 

1 

1 2 1 2 

1 

V = 2 

4 

B. 1 

2 

α qua A, K và song song với BD chia khối lập phương thành 

V 

< . Tính tỉ số 

V 

1 

2 

V 1 

V = 2 

C. V1 

2 

V = 3 

D. V1 

1 

V = 3 

Câu 22: Gọi M, m theo thứ tự là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 

y x x x x 

2 

= 2 − + 2 2 + + 4 4 − + 3 + 1 . Tính P = M + m 

A. P = 8 

B. P = 8 + 2 5 C. P = 11+ 2 5 D. P = 11 

Câu 23: Hai người cùng chơi trò chơi phóng phi tiêu, mỗi người đứng cách một tấm bảng hình 

vuông ABCD có kích thước là 4x4 

2 

dm một khoảng cách nhất định. Mỗi người sẽ phóng một cây 

phi tiêu vào tấm bảng hình vuông ABCD (như hình vẽ). Nếu phi tiêu cắm vào hình tròn tô màu 

hồng thì người đó sẽ được 10 điểm. Xét phép thử là hai người lần lượt phóng 1 cây phi tiêu vào 

tấm bảng hình vuông ABCD (phép thử này đảm bảo khi phóng là trúng và dính vào tấm bảng hình 

vuông, không rơi ra ngoài). Tính xác suất để có đúng một trong hai người phóng phi tiêu được 10 

điểm.( kết quả cuối cùng làm tròn số đến 4 chữ số thập phân) 


2 

A. 0, 2331 B. 0, 2330 C. 0, 2333 D. 0, 2332 


liên tục trên R và có đồ thị là hình vẽ dưới đây. 

Trang 4

Gọi M, m theo thứ tự là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 

3 2 

= ( ) − 2 − 3( ( ) − 2) 

+ 5 trên đoạn [ 1;3] 

y f x f x 

− . Tính P = M. 

m . 

A. P = 3 

B. P = 2 

C. P = 54 

D. P = 55 

Câu 25: Một thợ thủ công muốn vẽ trang trí trên một hình vuông kích thước 4m x 4m , bằng cách 

vẽ một hình vuông mới với các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông ban đầu, và tô kín 

màu lên hai tam giác đối diện ( như hình vẽ). Quá trình vẽ và tô theo qui luật đó được lặp lại 5 lần. 

Tính số tiền nước sơn để người thợ thủ công đó hoàn thành trang trí hình vuông như trên?. Biết 

2 

tiền nước sơn để sơn 1m là 50.000đ. 

A. 378500 B. 375000 C. 399609 D. 387500 


Trang 5

Đáp án 

1-D 2-D 3-D 4-A 5-A 6-A 7-D 8-B 9-B 10-C 

11-A 12-B 13-D 14-D 15-C 16-D 17-C 18-C 19-C 20-D 

21-B 22-B 23-D 24-D 25-D 


Trang 6 


Các dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) với số hạng tổng quát có dạng an + b ( a, b là hằng số) đều 

là một cấp số cộng với công sai d a. 

Xét dãy số( υ 

n ) , ta có: ( ) 

= ⇒ Các dãy số ( u ),( ),( t ) 

ω đều là cấp số cộng. 

n n n 

υ − n 1 

υ = n 

sin n + 1 π − + 

sin nπ 

= 0 − 0 = 0 . 

Vậy dãy( υ 

n ) cũng là một cấp số cộng, công sai d = 0 . 


Ta có: f '( x) 

Với 1 

2 

( x ) 

' 2x 

2 

= − = − = − 

4 4 3 

x x x 

x = − , ta có f '( − 1) 

= 2 nên ( C ) đi qua điểm Q ( − 1;2 ) 


−1 

y ' = , ∀x 

≠ 2 . 

( x − 2) 2 


Xét f '( x) 

= 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 1∨ x = 2 . Ta có bảng xét dấu của '( ) 

f x như sau : 

x −∞ 0 1 2 +∞ 

f '( x ) 

- 0 + 0 + 0 + 

Từ đó, ta thấy rằng hàm số chỉ có đúng một điểm cực trị và đó là điểm cực tiểu. Chọn A 



4 2 

' = 15 − 15 = 0 ⇒ = 0; = − 1; = 1 

y x x x x x 

Kiểm tra thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất trên đoạn 


⎡ 3 1 ⎤ 

⎢ 

− ; 

⎣ 2 2⎥ 

⎦ 

bằng 4 tại x = − 1 . 

2 2 2 

1 a 3 a ' = ma 1 1 h a m 3 

Ta có V = h. ⎯⎯⎯→ 

h 

V ' = h ' S ' = . = mV ⇒ tăng m lần. Chọn A 

3 4 h ' = 3 3 m 4 

m


Giả sử hình lăng trụ là ABC.A’B’C’ 

1 

Ta có: ∆ABC vuong ⇒ S ∆ABC 

= .6.8 = 24 . Chiều cao 

2 

3 

= . 

∆ABC 

= 7.24 = 168 . 

V h S cm 

h = sin 30 AA ' = .14 = 7 

2 

0 1 


HDG: Dựa vào bảng biến thiên ta có 

Và lim y = 2 ⇒ y = 2 là TCN. 

x→+∞ 



Tập xác định: D = ( −∞; −7) ∪ ( 5; +∞ ) 

Tìm tiệm cận ngang: Ta có: 

lim y = +∞ ⇒ x = − 1 là TCĐ 

x→( −1) 

10 − 2x 

10 − 2x 

• lim y = lim = lim = −2 

x→+∞ x→+∞ 2 

x→+∞ 

x + 2x 

− 35 

2 35 

x 1+ − 

2 

x x 

10 − 2x 

10 − 2x 

• lim y = lim = lim = 2 

x→−∞ x→−∞ 2 

x→−∞ 

x + 2x 

− 35 

2 35 

x 1+ − 

2 

x x 

Vậy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là y = − 2 và y = 2 

Tìm tiệm cận đứng: Ta có: 

(Do 

• lim y = lim 

10 − 2x 

= +∞ 

− 

− 

x→7 x→7 

2 

x + 2x 

− 35 

+ − = + − > và ( x) 

x x x x 

lim 

2 

2 35 0, 

2 

2 35 0 

− 

x→7 

+ 


lim 10 − 2 = 34 > 0 ) 

− 

x→7 

Trang 7

( ) 

( )( ) 

10 − 2x 

−2 x − 5 −2 x − 5 

• lim y = lim = lim = lim = 0 

x→5 + x→5 + 2 

x→5 x 5 

x 2x 

35 

+ → 

+ − 

x − 5 x + 7 

+ 

x + 7 

Vậy đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng là x = − 7 

Lưu ý: HS có thể sử dụng MTCT để tính nhanh các bài toán tìm lim trên (tuy nhiên nên xem lại 

cách giải tự luận này khi gặp những bài toán không dùng MTCT được nữa). 


Ta có: lim y = lim y = 0 (do bậc tử bé hơn bậc mẫu), nên đồ thị hàm số luôn có đúng một tiệm 

x→+∞ 

x→−∞ 

cận ngang là 0 

y = , với mọi giá trị của m. Tiệm cận ngang này không đi qua điểm A( − 1;2 ) 

phải tìm m sao cho đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng đi qua điểm A( − 1;2 ), đó là x = 1 

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 1 

2 

( ) ( ) 

⇒ lim x − 3x + m = 0 ⇒ lim 4 + m = 0.. ⇒ m = − 4 

Với 

x→1 x→1 

− ( x + 1) 

− 

( x + )( x + ) ( x + ) 

−x 

−1 1 1 

m = − 4 : lim y = lim = lim = lim = − ≠ ±∞ 

2 

x→1 + x→1 + x − 3x 

− 4 x→1 + 1 4 x→1 

+ 

4 3 

Tương tự 

1 

lim y = − ± ∞ 

3 

− 

x→1 

Vậy không tồn tại giá trị của m để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = − 1. 


( d ) : x − y − 1 = 0 ⇔ y = x − 1 

Gọi M ( x ; y ) ( C) 

0 0 

∈ là điểm cần tìm. 

Tiếp tuyến tại M song song với đường thẳng ( d ) 

Hệ số góc tiếp tuyến tại M bằng 1 và M ∉ ( d ) 

2 

⎧ ⎡x0 

= 0 

⎧ 4 ⎧ 

( ) 

1 ( x0 

+ 2) 

= 4 

y ' x0 1 

⎪⎢ 

⎪⎧ 

= ⎪ = 

2 ⎪ 

x0 

= −3 

⇔ ( x0 2 

⎪⎣ 

⎨ ⇔ ⎨ + ) ⇔ ⎨ x0 

− 2 ⇔ ⎨ 

⇔ x0 

= −3 

⎪⎩ M ( x0; y0 ) ∉ d ⎪ x0 

1 x0 

2 

y0 x0 1 

⎪ ≠ − ⎪ − 

⎩ ≠ − ⎩ x0 

+ 2 

≠ x0 

−1 

⎪ 

⎩ x0 

+ 2 

Vậy có một điểm là ( 3;5) 


Đk: 2 ≤ x ∈ N (*) 

M − . 

.Vậy ta 


Phương trình đã cho tương đương với 

Trang 8

⎡x! = 6 

(*) 

⎡x 

= 3 

− − = − ⇔ ⎢ 

←⎯→ 

2 

⎢ 

⎣x 

− x − 12 = 0 ⎣x 

= 4 

( x 1 ). x. ( x! 6) 12 ( x! 6) 


x1 x2 

. Do đó C + 7 

+ 2017 = 2018. 

Gọi O = AC ∩ BD , I là trung điểm cạnh đáy BC. Do SA SB SC SD 

Trang 9 

= = = nên SO ⊥ ( ABCD) 

Từ đó ta chứng minh được BC ⊥ ( SOI ) ⇒ OH ⊥ ( SBC) 

(với OH ⊥ BC tại SI ) 

Do 

{ EF / / ( SBC ) 

nên ( EF,SK ) ( ,( )) 

SK ⊂ ( SBC ) 

⎧⎪ 

⎨ 

⎪⎩ 

d = d EF SBC = OH 

1 a 5 a 3 

Tính được OC = AC = ⇒ SO = 

2 2 2 

SO. OI a 21 

= = = . 

SO + OI 7 

Suy ra d ( EF, 

SK ) OH 

2 2 


Ta có: f ( ) m f ( x) 

2 2 

x − mx + m − 3m 

x→2 x→2 

2 = 4 − 3;lim = lim 

x − 2 

Hàm số liên tục tại 2 khi và chỉ khi lim f ( x) = f ( 2) 

suy ra lim ( ) 

Điều kiện cần là 

( ) 

x→2 

→2 

x 

f x 

lim 

2 

x mx 

2 

m 3m 0 4 2m 2 

m 3m 0 

2 

m 5m 

4 0 

x→2 

là một số thực (khác ±∞ ). 

⎡m 

= 1 

− + − = ⇔ − + − = ⇔ − + = ⇔ ⎢ 

⎣m 

= 4 

Với ( ) ( ) 

( x + 1)( x − 2) 

2 

x − x − 2 

m = 1: f 2 = 4.1− 1 = 3;lim f x = lim = lim = lim ( x + 1) 

= 3 

x→2 x→2 x − 2 x→2 x − 2 

x→2 

x→2 

( ) ( ) 

⇒ lim f x = f 2 

Với ( ) ( ) 

( x − 2) 

2 

x − 4x 

+ 4 

m = 4 : f 2 = 4.4 − 1 = 15;lim f x = lim = lim = lim ( x − 2) 

= 0 

x→2 x→2 x − 2 x→2 x − 2 x→2 

x→2 


( ) ( ) 

⇒ lim f x ≠ f 2 

Vậy với m = 1thì hàm số liên tục tại x = 2 , suy ra m 0 

= 1 và 

2 

4 

P m 0 

2017 44,92 

= + ≈ .


Đặt t sin x [ 1;1] 

= ∈ − ta có 

= − + 2 + + 4 + 3 

4 3 2 2 

y t t t m m 

[ ] 

3 2 

y ' = 0, t∈ −1;1 

= − + ⎯⎯⎯⎯⎯→ = . Lập bảng biến thiên, ta suy ra 

y ' 4t 3t 4t t 0 

[ 1;1] 

( ) 

2 

min y = y 0 = m + 4m 

+ 3 

t∈ − 

Theo yêu cầu bài toán ta có m 

2 ⎡m 

< −3 

+ 4m 

+ 3 > 0 ⇔ ⎢ 

⎣m 

> −1 

Lại có: m [ 2017;2017] m { 2017; 2016;... 4;0;...;2016;2017} 

thỏa mãn 


∆ABC 

vuông 

∈ − ⇒ ∈ − − − nên có 4032 là giá trị 

A ⇒ AC = BC = a Ab = BC = a 

1 1 

⇒ S 

ABC 

= AB AC = a a = a 

2 2 

2 

. . .2 .2 3 2 3 

• Đặt x = AD ( x > 0) 

• ∆ ABD vuông tại a 

• ∆ ACD vuông tại 

0 0 

.cos 60 2 , .sin 60 2 3 

A ⇒ BD = Ab + AD = 4a + x 

2 2 2 2 

A ⇒ DC = AC + AD = 12a + x 

• Theo giả thiết, chu vi BCD 

2 2 2 2 

∆ bằng ( 9 17 ) 

( ) 

2 2 2 2 

4 12 4 9 17 

a + x + a + x + a = + a 

Giải phương trình trên, ta tìm được x = AD = a 13 

2 3 

• VABC. DEF 

= AD. S 

ABC 

= a 13.2a 3 = 2a 

39 . 


D = R y ' = x − m + 2 x + 2m 

. 

2 

tập xác định ( ) 

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi 

⎡ 

1 

⎢ 

x = 2 ⇒⇒ y = 2m 

− 

3 

Khi đó y ' = 0 ⇔ ⎢ . Đặt 

3 

⎢ m 2 

x = m ⇒ y = − + m + 1 

⎢⎣ 

6 

y ' đổi dấu 2 lần ⇔ ( m + 2) 2 

− 8m > 0 ⇔ m ≠ 2 

+ ta có phương trình: 

3 

⎛ 1 ⎞ ⎛ m 2 ⎞ 

A⎜ 

2;2 m − ⎟, B⎜ 

m; − + m + 1⎟ 

⎝ 3 ⎠ ⎝ 6 ⎠ 


: + − 1 = 0 ⇔ + − 1 + − 1 > 0 

A, B nằm cùng phía với ( d ) x y ( x y )( x y ) 

A A B B 

Trang 10

3 3 

⎡ 1 

⎛ 1 ⎞⎛ m 

3 15 

2 ⎞ ⎛ 2 ⎞⎛ m 2 ⎞ − < m < − 

⇔ 2 2m 1 m m 1 1 0 2m m m 0 

⎢ 

⎜ + − − ⎟⎜ − + + − ⎟ > ⇔ ⎜ + ⎟⎜ − + + ⎟ > ⇔ 

3 

⎝ 3 ⎠⎝ 6 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎝ 6 ⎠ 

⎢ 

⎢⎣ 0 < m < 3 + 15 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

1 ⎞ 

⎟ 

3 ⎠ 

So điều kiện, ta có: m ∈ 3 − 15; − ∪ ( 0;3 + 15 ) \ { 2} ⇒ m ∈{ 1;3;4;5;6 } 

nguyên. 


SA ⊥ ABC , BC ⊥ SAB ; α = SBA 

Ta dễ suy ra ( ) ( ) 

Ta có 

Lại có 

1 2 2 3 1 2 2 3 

S∆ 

ABC 

= BC. AC − BC = ; S∆ 

SBC 

= . BC. 

SC − BC = 

2 4 2 2 

1 

0 

S∆ 

ABC 

= S∆SBC 

.cosα ⇒ cosα = ⇒ α = 60 ⇒ T = 2 . Chọn C . 

2 


* Ta có ∆ ABD và ∆ BCD đều cạnh a . 

. Vậy có 5 giá trị 

AC cắt ( SBC ) tại C , O là trung điểm AC ⇒ khoảng cách d ( A, ( SBC) 

) = d ( O, 

( SBC) 

) 

* Trong ( ABCD) 

dựngOH 

OK 

⊥ ( SBC ) ⇒ khoảng cách ( ,( )) 

⊥ BC , trong ( SOH ) dựng OK ⊥ SH ta chứng minh được 

d O SBC = OK 

1 1 1 

∆ OBC vuông tại O có OH đường cao⇒ = + 

2 2 2 , ∆ SOH vuông tại O có OK đường cao 

OH OB OC 

1 1 1 1 1 1 3a 

OK 

2 2 2 2 2 2 

OK OH SO OB OC SO 8 

⇒ = + = + + ⇒ = . Vậy d ( A ( SBC )) 

1 

2 

3a 

, = 2OK 

= 

4 



Gọi tâm O, O’ lần lượt là tâm của ABCD, A’B’C’D’. Ta có 

I = AK ∩ OO ' 

Trang 11

Qua I ta kẻ đường thẳng d song song BD cắt BB', DD' lần lượt tại M, N . Mặt phẳng ( α ) chính là 

mặt phẳng ( KMAN ) chia khối lập phương thành 2 phần. 

Ta có 2 phần khối đa diện đối xứng qua ( ' ' ) 

như sau: V AB BC ( KC MB) 

A. 

BMKC 


Tập xác định D = [ − 2;2] 

AA C C nên ta chỉ cần xét một nửa thể tích của mỗi phần 

3 

= 1 1 . ' ' ' . 1 2 

. 2 

3 2 + = a VABC A B C 

VA BMKC 

V 

6 = 3 ⇒ V 

= 2 

⇒ V 

= . 

1 1 t ' = 0 6 

Đặt t = 2 − x + 2 2 + x ⇒ t ' = − + ⎯⎯⎯→ x = 

2 2 − x 2 + x 

5 

⎧ 

⎪ t ( − 2) 

= 2 

⎪ 

Ta có ⎨t ( 2) 

= 4 ⇒ min t ≤ t ≤ max t ⇔ 2 ≤ t ≤ 2 5 ⇒ t ∈ ⎡2;2 5⎤ 

[ −2;2] [ −2;2] 

⎣ ⎦ 

⎪ 

⎪ ⎛ 6 ⎞ 

t = 2 5 

⎪ 

⎜ ⎟ 

⎩ ⎝ 5 ⎠ 

Lại có t 2 = 3x + 10 + 4 4 − x 2 ⇒ 3x + 4 − x 2 = t 

2 − 10 

Từ đó, 

2 

y t t 9 y ' 2t 1 0, t ⎡2;2 5⎤ 

= + − ⇒ = + > ∀ ∈ ⎣ ⎦ 

⎧ = 2 5 = 11+ 

2 5 

⎨ 

⇒ P = 8 + 2 5 

⎪⎩ m = y ( 2) 

= −3 

⎪M 

y ( ) 

suy ra 


Gọi 

i 

A là biến cố người thứ i phóng phi tiêu được 10 điểm. ( i = 1,2 ) 

Gọi A là biến cố thỏa yêu cầu bài toán. 

Dễ thấy A ( A1 A2 ) ( A1 A2 

) 

P A 

S 

= P A = . 

S 

= ∩ ∪ ∩ . Ta có ( ) ( ) 

1 

1 2 

AKM . A ' B ' C ' 1 


AC − AD 

⎜ ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

⎛ ⎞ 

2 

2 

Trong đó S1 = π. = π. ( 2 2 − 2) ( dm ) 

2 

là diện tích hình tròn màu hồng 

Trang 12

2 

( ) 

S = 4x4 = 16 fm là diện tích hình vuông ABCD. 

⎛ S ⎞⎛ S ⎞ 

= 2. ⎜1− ≈ 0,2332 

S 

⎟⎜ 

S 

⎟ 

⎝ ⎠⎝ ⎠ 

Vậy ( ) 

1 1 

P A 


HDG: Trên [ − 1;3] 

, ta có: f ( x) f ( x) f ( x) 

1 ≤ ≤ 7 ⇔ −1 ≤ − 2 ≤ 5 ⇒ 0 ≤ − 2 ≤ 5 

Do đó, đặt ( ) [ ] 

3 2 2 

t = f x − 2 ⇒ t ∈ 0;5 y = t − 3t + 5 ⇒ y ' = 3t − 6t = 0 ⇒ t = 0; t = 2 

( ) ( ) ( ) 

y 0 = 5; y 2 = 1; y 5 = 55 . Suy ra M = 55; m = 1 ⇒ P = 55 


Gọi 

i 

S là tổng diện tích tam giác được tô sơn màu ở lần vẽ hình vuông thứ i ( 1 i 5; i N ) 

diện tích hình vuông ban đầu. 

Ta có: S 1 ⎛ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 

1 

. . ; 

2 

. . ; 

2 3 

. . ; 

3 4 

. . ; 

4 5 

. . 

5 

2 2 S ⎞ S ⎛ 

2 2 S ⎞ S ⎛ 

2 2 S ⎞ S ⎛ 

2 2 S ⎞ S ⎛ 

2 2 

S ⎞ 

= ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

Tổng diện tích các tam giác được tô sơn sau 5 lần là: 

Số tiền nước sơn cần tô sơn là 31 .50000 = 387500 . 

5 

5 5 

2 

∑ Si 

. S. ∑ .4 . . 

i 

i= 1 i= 

1 2 

≤ ≤ ∈ và S là 

⎛ 1 ⎞ 

1− 1 1 1 1 ⎜ ⎟ 

2 31 

= = 

⎝ ⎠ 

= 

2 2 2 1 4 

1− 

2 


5 

Trang 13

9 Đề kiểm tra chất lượng định kỳ - Lần 1-9 - THPT QG 2018 - Môn Toán - Gv Hứa Lâm Phong - Có lời giải chi tiết [Ship Pdf - Mailbox - nguyenthanhtuteacher@hotmail.com]

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?