Tuyển tập đề thi thử THPT Quốc gia 2018 môn Toán Các trường THPT Cả nước (Lần 10) [DC17012018] (MA TRẬN + GIẢI CHI TIẾT)

Tuyển tập đề thi thử THPT Quốc gia 2018 môn Toán 

Các trường THPT Cả nước (Lần 10) 

[DC17012018] (MA TRẬN + GIẢI CHI TIẾT) 

1# 

THPT Sóc Sơn- Kiên Giang- Đề thi HK1- Có ma trận- Có lời giải 

2# 

3# 

THPT Hà Trung- Thanh Hóa- Đề THPT 2018- Lần 1- Có ma trận- Có lời 

giải 

THPT chuyên Bắc Ninh- Đề THPT 2018- Lần 2- Có ma trận- Có lời giải 

4# 

5# 

6# 

THPT chuyên Lam Sơn- Thanh Hóa- Đề THPT 2018- Lần 1- Có ma trận- 

Có lời giải 

THPT Nguyễn Huệ- Ninh Bình- Đề THPT 2018- Lần 1- Có ma trận- Có lời 

giải 

THPT Cổ Loa- Hà Nội- Đề KSCL- Lần 1- Có ma trận- Có lời giải 

7# 

8# 

9# 

10# 

Trung tâm luyện thi Diệu Hiền- Cần Thơ- Đề THPT 2018- Lần 2- Có ma 

trận- Có lời giải 

Trung tâm luyện thi Diệu Hiền- Cần Thơ- Đề THPT 2018- Lần 3- Có ma 

trận- Có lời giải 

THPT Kim Sơn A- Ninh Bình- Đề THPT 2018- Lần 1- Có ma trận- Có lời 

giải 

THPT Triệu Sơn 1- Thanh Hóa- Đề THPT 2018- Lần 1- Có ma trận- Có lời 

giải

https://twitter.com/daykemquynhon 

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 

BỘ ĐỀ 2018 

MÔN TOÁN 

www.facebook.com/daykem.quynhon 

https://daykemquynhon.blogspot.com 

ĐỀ THI HỌC KÌ 1 

THPT SÓC SƠN- KIÊN GIANG 

Thời gian làm bài: 90 phút; 

(50 câu trắc nghiệm) 

http://daykemquynhon.ucoz.com 

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / 

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định 

Lớp 12 

(...%) 

Lớp 11 

(...%) 

STT 

Các chủ đề 

1 Hàm số và các bài toán 

liên quan 

MA TRẬN 

Nhận 

biết 

Trang 1 

Mức độ kiến thức đánh giá 

Thông 

hiểu 

Vận 

dụng 

Vận dụng 

cao 

Tổng số 

câu hỏi 

8 5 4 2 19 

2 Mũ và Lôgarit 1 5 4 2 12 

3 Nguyên hàm – Tích 

phân và ứng dụng 

4 Số phức 

5 Thể tích khối đa diện 3 3 3 1 10 

6 Khối tròn xoay 0 1 3 1 5 

7 Phương pháp tọa độ 

trong không gian 

1 Hàm số lượng giác và 

phương trình lượng giác 

2 Tổ hợp-Xác suất 

3 Dãy số. Cấp số cộng. 

Cấp số nhân 

4 Giới hạn 

5 Đạo hàm 1 2 0 0 3 

6 Phép dời hình và phép 

đồng dạng trong mặt 

phẳng 

DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN 

7 Đường thẳng và mặt 

phẳng trong không gian 

Email Order-PDF ebook: daykemquynhonbusiness@gmail.com 

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú 

www.facebook.com/daykemquynhonofficial 

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial





Quan hệ song song 

8 Vectơ trong không gian 

Quan hệ vuông góc 





1 Bài toán thực tế 0 0 1 0 1 

Tổng Số câu 13 16 15 6 50 

Tỷ lệ 26% 32% 30% 12% 





Trang 2 







MÔN TOÁN 










Câu 1: Cho mặt cầu tâm O. Đường thẳng d cắt mặt cầu này tại hai điểm M, N. Biết rằng MN = 24 và 

khoảng cách từ O đến d bằng 5. Tính diện tích S của hình cầu đã cho 

A. S = 100π B. S = 48π C. S = 52π D. S = 676π 

Câu 2: Số giao điểm của đồ thị hàm số 

x + 6 

y = và đường thẳng y = x là 

x + 2 

A. 2 B. 0 C. 3 D. 1 

Câu 3: Đồ thị dưới đây là đồ thị của hàm số nào? 

A. 

= − + B. 

3 

y x 3x 2 

= − C. 

3 

y x 2 

= − + + D. 

3 

y x 2x 1 

= + + 

3 

y x x 2 

3x − 2 

Câu 4: Tiếp tuyến ∆ của đồ thị hàm số y = tại điểm có hoành độ x 0 

= − 3 . Khi đó ∆ có hệ số góc 

x + 2 

k là 

A. k = 9 

B. k = 10 

C. k = 11 

D. k = 8 

3x − 3 

Câu 5: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = là điểm I có tọa độ 

x + 1 

A. I( 3; − 1) 

B. I( 1; − 1) 

C. I( − 1;3 ) 

D. I( −1; − 3) 

Câu 6: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A 'B'C'D' có A 'C = 13, AC = 5 . Tính diện tích xung quanh S 

xq 

của hình trụ có hai đường tròn đáy là hai đường tròn ngoại tiếp hai hình chữ nhật ABCD và A 'B'C'D ' 

S = 120π B. Sxq 

= 130π C. Sxq 

= 30π D. Sxq 

= 60π 

A. 

xq 

Câu 7: Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AC = 6a. SA vuông góc với đáy và 

SA = 8a. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABC 

A. R = 10a 

B. R = 12a 

C. R = 5a 

D. R = 2a 


Câu 8: Cho a, b, c là các số thực dương khác 1. Biết loga c 2,log 

b 

c 3. 

= = Tính P = log ( ab) 

c 




Trang 3 











A. 

5 

P = B. P = 1 

C. 

6 

Câu 9: Cho hàm số 

1 

4 

= − + − có đồ thị ( ) 

4 2 

y x 2x 1 

Trang 4 

2 

P = D. 

3 

1 

P = 2 

C . Khẳng định nào sau đây sai? 

A. Đồ thị ( C) 

có trục đối xứng là trục Oy B. Đồ thị ( C ) không có tiệm cận 

C. Đồ thị ( C) 

có trục đối xứng là trục Ox D. Đồ thị ( ) 

Câu 10: Cho hàm số 

1 

3 

= + − đồ thị ( ) 

3 

y x 4x 3 

C có 3 điểm cực trị 

C .Khẳng định nào sau đây đúng? 

A. Đồ thị ( C ) có 3 điểm cực trị B. Đồ thị ( ) 

C. Đồ thị ( C) 

không có điểm cực trị D. Đồ thị ( ) 



Câu 11: Cho a, b là hai số thực dương và m, n là hai số thực tùy ý. Khẳng định nào sau đây sai? 

A. 

a 

b 

m 

m 

⎛ a ⎞ 

= ⎜ ⎟ 

⎝ b ⎠ 

m 

B. a .a 

m 

= a C. ( ) n m.n ⎛ 1 ⎞ 

a = a D. ⎜ ⎟ 

⎝ b ⎠ 

m n m.n 

Câu 12: Cho khối tứ diện ABCD. M, N lần lượt là trung điểm của BC và BD. Mặt phẳng ( ) 

khối tứ diện ABCD thành 

A. Một khối tứ diện và một khối chóp tứ giác B. Hai khối tứ diện 

C. Hai khối tứ diện và một khối chóp tứ giác D. Hai khối chóp tứ giác 

−n 

= b 

n 

AMN chia 

3 2 

Câu 13: Cho hàm số y = x − 2x + 3x − 6 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm 

của đồ thị hàm số với trục hoành. 

A. y = 7x − 14 B. y = 7x + 14 C. y = 7x + 2 D. y = 7x 

y = 1+ 3x là 

Câu 14: Đạo hàm của hàm số ( ) 1 3 

A. 

y ' = 

1 

( + ) 2 

3 

3 1 3x 

B. 

y ' = − 

3 

1 

( 1+ 

3x) 2 

C. 

y ' = 

3 

1 

( 1+ 

3x) 2 

D. 

y ' = 

3 

3 

( 1+ 

3x) 2 

Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . SA vuông góc với đáy. Góc giữa cạnh 

bên SB và mặt đáy bằng 60 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SC và SD . Tính thể tích của khối chóp 

S. AMN. 

A. 

V 

S.AMN 

3 

a 3 

= B. V 

12 

Câu 16: Rút gọn biểu thức 

A. 

3 3 

P = a − b B. 

S.AMN 

3 

a 3 

= C. V 

24 

( ) 2 

2− 

2 

a . ab 

P = 

a .b 

1− 

2 −1 

3 3 

P = a .b 

C. 

S.AMN 

3 

a 3 

= D. V 

3 

3 

a 

P = D. 

b 

3 

S.AMN 

= 

3 3 

P = a + b 

3 

a 3 


6 









Câu 17: Thể tích của khối cầu có bán kính 

1 

r = là 

2 






A. 

π 2 

V = B. 

3 

Câu 18: Đạo hàm của hàm số y log ( 2x) 

A. 

2 

y ' = B. 

x ln10 

π 2 

V = C. V = π 2 D. V 

4 

= là 

1 

y ' = C. 

x ln10 

2x 

y ' = D. 

ln10 

log x + 4 + 2log 14 − x = 4 là 

Câu 19: Tập nghiệm của phương trình ( ) ( ) 

3 9 

π 

= 

2 

2 

x 

y ' = 

2ln10 

A. S = { 5} 

B. S = { 2} 

C. S = { 3} 

D. S = { 4} 

Câu 20: Một người gửi 15triệu đồng với lãi suất 8,4% / năm và lãi suất hàng năm được nhập vào vốn. 

Hỏi theo cách đó thì bao nhiêu năm người đó thu được tổng số tiền 28 triệu đồng (biết rằng lãi suất 

không thay đồi) 

A. 10 năm B. 8 năm C. 9 năm D. 7 năm 

Câu 21: Cho hàm số y = f ( x) 

liên tục trên K có đạo hàm f '( x ). Đồ thị của hàm số ( ) 

bên. Tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số f ( x ) ? 

A. 3 B. 1 C. 0 D. 2 

f ' x như hình vẽ 

3 

Câu 22: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình − x + 3x − 4m + 6 = 0 có ba nghiệm 

phân biệt 

A. 0 < m < 3 B. m < 2 

C. 1 < m < 2 D. − 2 < m < − 1 

Câu 23: Cho đồ thị hàm số 

x 

y a , y logb 

x 

= = (như hình vẽ). Khẳng định nào sau đây đúng? 

A. 0 1và b > 1 D. 0 < a < 1và 0 


Câu 24: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 

2x + 4 

y = 

x −1 

A. x = 2 

B. x = − 2 

C. x = − 1 

D. x = 1 




Trang 5 








Câu 25: Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a. SA vuông góc với 

đáy. Thể tích của khối chóp S. ABC bằng 

A. h = 3a 2 B. h = a 2 C. 

3 

a 

2 . Tính chiều cao h của khối chóp đã cho 

a 

h = D. h = 2a 3 

2 




Câu 26: Cho 0 < a ≠ 1. Tính giá trị của biểu thức Q = log 

A. 

a 

a . a 

3 3 2 

19 

19 

19 

19 

Q = B. Q = C. Q = D. Q = 

5 

7 

4 

6 

Câu 27: Cho hình nón có độ dài đường sinh bằng đường kính đáy. Gọi r là bán kính đáy thì thể tích V 

khối nón đã cho theo r là 

3 

r 3 

3 

r 3 

a 

3 

r 3 

π 

π 

π 

A. V = B. V = C. V = D. 

3 

2 

4 

3 

V r 3 

Câu 28: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 

60 . Tính thể tích V của khối chóp đã cho 

3 

a 6 

3 

a 3 

3 

a 3 

A. V = B. V = C. V = D. V = 

6 

6 

2 

⎛ x ⎞ 

Câu 29: Tập xác định của hàm số log 

1 ⎜ ⎟ 

⎝ 2 − x ⎠ là 

2 

= π 

3 

a 3 

A. D = [ 0;2) 

B. D = ( 0;2) 

C. D = ( −∞;0) ∪ ( 2; +∞ ) D. D = R \{ 2} 

Câu 30: Cho hình nón có bán kính đáy r = 2 và độ dài đường sinh l = 3 . Tính diện tích xung quanh 

S của hình nón đã cho 

xq 

S = 6π 2 B. Sxq 

= 3π 2 C. Sxq 

= 6π D. Sxq 

= 2π 

A. 

xq 

D ;1 ? 

Câu 31: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào có tập xác định = ( −∞ ) 

A. y = ( 1− x) 2 

B. y ( 1 x) e 

= − C. y 1 x 

18 

= − D. y = ( 1− 

x) −2 

2x −1 

Câu 32: Cho hàm số y = có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm khẳng định đúng trong các 

cx + d 

khẳng định sau 





A. c = d < 0 B. c = d > 0 C. 0 < c < d D. 0 < d < c 

Trang 6 








Câu 33: Đạo hàm của hàm số 

x 

e 

y = 3 là 

A. 

x 

e 

y' = 3 .ln 3 B. 

x 

y ' = e .ln 3 C. 

x 

x e 

y' e .3 .ln 3 

= D. 

x 

x e 

y' = e .3 




Câu 34: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 

SA = 3. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC 

A. V = 3 

B. 

Câu 35: Hàm số 

4 2 

y x 8x 3 

3 

V = C. 

2 

= − + − đạt cực đại tại 

3 2 

V = D. 

4 

2. SA vuông góc với đáy và 

1 

V = 2 

A. x = − 3 

B. x = 13 

C. x = 0 

D. x = ± 2 

Câu 36: Khi đặt 

A. 

t 2 

2 

t 3t 7 0 


x 

= , phương trình 

− − = B. 

2 

4t 12t 7 0 

3 2 

y x 2x 3x 2 

x+ 1 x−2 

4 12.2 7 0 

− − = trở thành phương trình nào sau đây? 

− − = C. 

2 

4t 3t 7 0 

− − = D. 

1 

= − + − đồng biến trên khoảng nào? 

3 

A. ( 1;+∞ ) 

B.( −∞ ;1) và ( 3; +∞ ) C. ( −∞ ;3) 

D. ( 1;3 ) 

2 

t −12t − 7 = 0 

Câu 38: Trong một chiếc hộp hình trụ, người ta bỏ vào ba quả banh tenis, biết đáy của hình trụ bằng hình 

tròn lớn trên quả banh và chiều cao của hình trụ bằng 3 lần đường kính của quả banh. Gọi S 

1 

là tổng diện 

S1 

tích của 3 quả banh vàS 2 

là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số bằng 

S 

S1 

A. 2 

S = B. S1 

4 

S = C. S1 

1 

S = D. S1 

3 

S = 

2 

2 

2 

Câu 39: Phương trình log x + 4log x − 1 = 0 có hai nghiệm x 

1, x 

2 

. Khi đó K = 2x1x 2 

− 3 bằng 

2 1 

4 

A. K = 4 

B. K = 5 

C. K = 6 

D. K = 7 

Câu 40: Giá trị nhỏ nhất m của hàm số 

3 2 

y x 6x 3 

2 

= + − trên đoạn [ 2; 2] 

2 

− là 

A. m = 29 

B. m = 13 

C. m = − 3 

D. m = − 4 

Câu 41: Đồ thị dưới đây là đồ thị của hàm số nào? 


A. 

4 2 

y = x − 2x − 1 B. 

4 2 

y = x − 2x + 1 C. 

4 2 

y = x + 2x D. 

2 

4 2 

y = x − 2x 




Trang 7 











Câu 42: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A 'B'C' có đáy là tam giác vuông cân tại C có 

a 3 

BC = 2a,CC' = . Tính thể tích V khối lăng trụ đã cho. 

2 

A. 

3 

V = 2a 3 B. 

3 

V = a 3 C. 

3 

V = a 2 D. 

3 

a 3 

V = 

2 

1 3 2 

Câu 43: Cho hàm số y = − x + x − 3x + m (m là tham số thực) thỏa mãn giá trị lớn nhất của hàm số 

3 

0;3 bằng − 7. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 

trên đoạn [ ] 

A. m > 5 

B. m < − 5 

C. m = 2 

D. − 4 < m ≤ 4 

Câu 44: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B có AB = 2a, SB = 3a. Hình chiếu 

vuông góc của S trên mặt phẳng đáy là trung điểm H của AB. Tính khoảng cách d từ điểm H đến MP 

SBC 

( ) 

A. 

a 2 

2a 2 

4a 2 

d = B. d = C. d = D. d = a 2 

3 

3 

3 

Câu 45: Đồ thị hàm số nào sau đây có tiệm cận đứng? 

2 

x − 4 

A. y = 

x − 2 

Câu 46: Cho hàm số ( ) 

2 

B. y = 

2 

x − 2x + 2 

C. 

2 

2 

y = D. y = 

2 

x 

x + 2 

f x liên tục trên R và có bảng xét dấu đạo hàm dưới đây: 

x −∞ − 3 

3 +∞ 

( ) 

f ' x + 0 0 0 - 

Khẳng định nào sau đây đúng? 

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; − 3) 

B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0;3 ) 

C. . Hàm số đồng biến trên khoảng ( 3;+∞ ) D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0;3 ) 

x+ log3 2 x+ 

log3 

2 

Câu 47: Số nghiệm của phương trình 9 − 2 = 3 là 

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 

Câu 48: Nghiệm của phương trình 

2 

2 

x x 2 1 

− + ⎛ ⎞ 

= ⎜ ⎟ 

⎝ 4 ⎠ 

2x−1 

A. x = − 4 

B. x = 0; x = − 3 C. x = 0; x = 3 D. x = 0 


1 

Câu 49: Nếu loga x = loga 25 + loga 3− 2loga 

2 với 0 < a ≠ 1 thì x bằng 

2 




Trang 8 








A. x = 27 

B. x = 30 

C. 

45 

x = D. 

2 

15 

x = 

4 




Câu 50: Cho hình trụ có bán kính đáy r 

A. 

3 

πa 

V = B. 

3 

= 2a và chiều cao 

3 

5πa 

V = C. 

3 

a 

h = . Tính thể tích V của khối trụ đã cho 

3 

3 

2πa 

V = D. 

3 

--- HẾT --- 

4πa 

V = 

3 


3 




Trang 9 












MÔN TOÁN 





BẢNG ĐÁP ÁN 

1-D 2-A 3-C 4-D 5-C 6-D 7-C 8-A 9-C 10-C 

11-B 12-A 13-A 14-C 15-B 16-B 17-A 18-B 19-A 20-B 

21-B 22-C 23-B 24-D 25-A 26-D 27-A 28-B 29-B 30-B 

31-B 32-B 33-C 34-D 35-D 36-C 37-B 38-C 39-B 40-C 

41-D 42-B 43-B 44-B 45-C 46-B 47-B 48-B 49-D 50-D 





Trang 10 







MÔN TOÁN 










Câu 1: Đáp án D 

2 

LỜI GIẢI CHI TIẾT 

2 ⎛ MN ⎞ 

2 2 

Ta có: R = d + ⎜ ⎟ = 25 + 12 = 13 ⇒ S = 4π R = 676 π. 

⎝ 2 ⎠ 

Câu 2: Đáp án A 

x + 6 ⎧x ≠ 2 ⎧x ≠ − 2 ⎡x = 2 

Phương trình hoành độ giao điểm là: = x ⇔ ⎨ 2 ⇔ ⎨ 2 ⇔ 

x + 2 

⎢ 

⎩x + 2x = x + 6 ⎩x + x − 6 = 0 ⎣x = −3 

Câu 3: Đáp án C 

Ta có: 

lim y = −∞ ⇒ a < 0 . 

x→+∞ 


Ta có: 

8 

y ' = ⇒ k = y ' − 3 = 8. 

( x + 2) 


2 

0 

( ) 

Tâm đối xứng là giao điểm 2 tiệm cận. 


2 2 

AC 5 

Chiều cao hình hộp h = A 'C − AC = 12. Bán kính đáy của hình trụ là: r = = 

2 2 

Khi đó Sxq 

= 2π rh = 60 π . 


Ta có: Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 


1 1 1 1 5 

P = logc ab = logc a + logc 

b = + = + = . 

log c log c 2 3 6 

Ta có: ( ) 


Đồ thị (C) có trục đối xứng là trục Oy. 

Câu 10: Đáp án C 

a 

b 

2 

AC 

SA 2 

R 

d 

= = 3a ⇒ R = + R 

d 

= 5a. 

2 4 





Trang 11 






= + > ∀ ∈R . 

2 

Ta có: y' x 4 0( x ) 



Câu 11: Đáp án B 






y' = 3x − 4x + 3 ⇒ y' 2 = 7. Suy ra 

Gọi A( 0;2 ) là giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành.Ta có 

2 

( ) 

PTTT tại A( 0;2) 

là y = 7( x − 2) 

+ 0 ⇔ y = 7x − 14 


1 1 

y = 1+ 3x ⇒ 1+ 3x .3 = 

1 2 

− 

3 3 

3 3 

1 3x 

( ) ( ) 


( + ) 

Ta có: SBA = 60 

 

⇒ SA = AB tan 60 = a 3 

2 3 

1 1 a a 3 

ACD 

VA.ACD 

= SA.S = .a 3. = 

3 3 2 6 

Lại có: 

3 

VS.AMN 

SM SN 1 a 3 

= . = ⇒ VS.AMN 

= 

VS.ACD 

SC SD 4 24 


( ) 

2− 

2 4− 

2 3 

a . ab a .b 

Ta có: P = = = a b 

1− 2 −1 1− 

2 

a .b a 


V 

4 π 2 

r 

3 3 

3 

= π = 


3 3 

2 





Trang 12 











2 1 

y ' = = 

2x ln10 x ln10 


⎧ x + 4 > 0 

⎪ ⎪⎧ − 4 < x < 14 ⎧− 4 < x < 14 

PT ⇔ ⎨14 − x > 0 ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇒ x = 5 ⇔ S = 5 

⎪ 

⎪⎩ 

( x + 4)( 14 − x) 

= 81 ⎩x = 5 

⎩ 

log3 

⎡⎣ 

( x + 4)( 14 − x) 

⎤⎦ 

= 4 


Gọi 

* 

n ∈ N là số năm cần gửi. 

15 1+ 8,4% = 28 ⇔ n ≈ 7,74 ⇒ cần gửi 8 năm để được 28 triệu đồng. 

Suy ra ( ) n 


f '( x ) đổi dấu 1 lần , suy ra đồ thị hàm số ( ) 


3 

PT x 3x 4m 6. 

f x có 1 điểm cực trị. 

⇔ − + = − Suy ra PT là PT hoành độ giao điểm 

của đường thẳng y = 4m − 6 và đồ thị hàm số 

3 

y = − x + 3x. 

PT có 3 nghiệm phân biệt ⇔ 2 đồ thị có 3giao điểm. Ta có đồ thị hàm số 

3 

y = − x + 3x như hình bên. 2 đồ thị có 3 giao điểm 

⇔ − 2 > 4m − 6 < 2 ⇔ 1 < m < 2. 


Dựa vào hình vẽ ta có hàm số 



y 

a 

x 

= nghịch biến và hàm số 

b 

BA.BC 2 3V 

Diện tích đáy là: Sd 

= = a ⇒ h = = 3a 2 . 

2 S 


3 3 2 3 3 2 1 19 

a . a a .a ⎛ 3+ − 

Ta có 

3 2 

⎞ 

6 

19 

Q = loga = loga = log 

1 

a ⎜a ⎟ = loga 

a = . 

a 

6 

2 

a ⎝ ⎠ 


3 

2 2 1 2 πr 3 

Ta có: l = 2r ⇒ h = l − r = r 3 ⇒ V = π r h = . 

3 3 


2 

{ } 

y = log x đồng biến nên 0 < a < 1 < b. 





Trang 13 











Dựng OH ⊥ CD;CD ⊥ SO (với O là tâm hình vuông ABCD). 

CD ⊥ SHO ⇒ SHO = 60 

Do đó ( ) 

 

AD a a 3 

Ta có: OH = = ⇒ SO = OH tan 60 = . 

2 2 2 

Khi đó 

3 

1 a 3 

ABCD 

VS.ABCD 

= SO.S = . 

3 6 


x 

2 − x 

Hàm số xác định ⇔ > 0 ⇔ 0 < x < 2 ⇒ D = ( 0;2) 


Ta có: Sxq 

= π rl = 3π 2 . 


Hàm số y ( 1 x) e 


Tiệm cân đứng 


 

= − có e∉Z nên nó xác định khi 1− x > 0 ⇔ x < 1. 

x 

Ta có: ( ) 

d 

⎛ 1 ⎞ −1 

x = − = −1⇒ d = c Đồ thị hàm số đi qua điểm ⎜ 0; − ⎟ ⇒ < 0 ⇒ d > 0. 

c 

⎝ d ⎠ d 

x 

e x x e 

y ' = 3 .ln 3 e ' = e .3 ln 3 


2 

Ta có: SABC = AB 3 = 3 ⇒ V 1 1 

S.ABC 

= .SA.S 

ABC 

= . 

4 2 3 2 


3 ⎡x = 0 

Ta có: y ' = − 4x + 16x = 0 ⇔ ⎢ Hàm số có a < 0 ⇒ hàm số đạt cực đại tại x = ± 2 . 

⎣x = ± 2 


x 

x 

t 2 

Ta có: 

x + 1 x − 

2 

4 12.2 2 7 0 4.4 x = 

− − = ⇔ −12. − 7 = 0 ⎯⎯⎯→ 4.t 2 − 3t − 7 = 0 

4 


Ta có: 

2 ⎡x > 3 

y ' = x − 4x + 3 > 0 ⇔ ⎢ 

⎣x < 1 


. 

.Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( −∞ ;1) 

và ( ) 

3;+∞ . 





Trang 14 









Bán kính đáy của hình trụ là r, chiều cao hình trụ h = 3. ( 2r) 

= 6r . Ta có: 

S 

S = 3.4r = 12π r ;S = 2π h = 2π r.6r = 12πr ⇒ = 1. 

2 2 2 1 

1 2 

S2 


2 2 

Ta có: PT ⇔ log x + 4log 2 x − 1 = 0 ⇔ log x − 2log x − 1 = 0 

2 − 

2 

2 2 

ac < 0 nên PT này có 2 nghiệm x 

1, x 

2 

thỏa mãn 

( ) 

log x + log x = 2(Vi − et) ⇒ log x x = 2 ⇒ x x = 4 Khi đó K = 2x1x 2 

− 3 = 5. 

2 1 2 2 2 1 2 1 2 


Ta có: 

⎡x = 0 

2 

y ' = 3x + 12 = 0 ⇔ ⎢ 

⎣x 

= −4 loai 

Lại có: ( ) ( ) ( ) 

( ) 

f − 2 = 13;f 0 = − 3;f 2 = 29. Vậy min y = m = − 3 

[ − 1;2] 


Ta có: 

lim y = +∞ ⇒ a > 0 , đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ. 

x 

→+∞ 


A A '.AC.BC 1 a 3 

V = A A '.S 

∆ABC 

= = . 2a . = a 3 

2 2 2 

Thể tích khối lăng trụ là ( ) 2 3 


Ta có: 

2 

y ' x 2x 3 0 


= − + − < ⇒ hàm số nghịch biến trên đoạn [ ] 

0;3 Do đó Max y = y 0 = m = − 7 

Tam giác ABC vuông cân tại ⇒ AB = BC = 2a. Tam giác SHB vuông tại H, có 

= − = .Kẻ HK SB ( K SB) 

⊥ ( ) ⇒ ⊥ ( ) 

2 2 

SH SB HB 2a 2 

BC SAB HK SBC 

Suy ra 

( 2a 2 ) 2 

⊥ ∈ mà 

1 1 1 1 1 9 2a 2 

= + = + = ⇒ HK = 

HK 2 SH 2 BH 2 a 2 8a 2 

3 

Vậy khoảng cách từ H mp( SBC) 


Ta có: 

2a 2 

→ là d = . 

3 

2 

x − 4 2 

y = = x + 2;lim = ∞ ⇒ x = 0 là TCĐ của đồ thị hàm số 

x − 2 x→0 

x 





[ 0;3] 

2 

y = . 

x 


( ) 




Trang 15 








x+ log3 2 x+ 

log3 2 x log3 2 x log3 

2 

x x 

Ta có: 9 − 2 = 3 ⇔ 9 .9 − 2 = 3 .3 ⇔ 4.9 − 2.3 − 2 = 0 




x 

⎡ t = 3 = 1 

x 

t= 

3 2 

⎯⎯⎯→ 4t − 2t − 2 = 0 ⇔ ⎢ 

x 0 

x 1 ⇔ = 

⎢ t = 3 = − 

⎢⎣ 2 


2x−1 

x − x+ 2 1 

x − x+ 2 −2 2x−1 

− 4x+ 2 2 2 ⎡x = 0 

2 ⎛ ⎞ 

2 

Ta có: ( ) 

2 = ⎜ ⎟ ⇔ 2 = 2 = 2 ⇔ x − x + 2 = − 4x + 2 ⇔ x + 3x = 0 ⇔ 

4 

⎢ 

⎝ ⎠ ⎣x = −3 


1 15 15 

loga x = loga 25 + loga 3 − 2loga 2 = loga 5 + loga 3 − loga 4 = loga 

⇔ x = . 

2 4 4 


3 

3 2 a 4 a 

π 

V = π r h = π . 2a . = 3 3 

Thể tích khối trụ là ( ) 

----- HẾT ----- 





Trang 16 











Lớp 12 

(...%) 

Lớp 11 

(...%) 


MÔN TOÁN 

STT 



liên quan 

ĐỀ THI THỬ THPT QG 2018 

THPT HÀ TRUNG- THANH HÓA- LẦN 1 




Nhận 

biết 


Thông 

hiểu 

Vận 

dụng 

Vận dụng 

cao 

Tổng số 

câu hỏi 

6 6 4 2 18 




4 Số phức 

5 Thể tích khối đa diện 2 4 4 2 12 

6 Khối tròn xoay 





0 0 2 0 2 

2 Tổ hợp-Xác suất 0 1 3 2 6 



0 0 2 1 3 

4 Giới hạn 0 2 1 0 3 

5 Đạo hàm 0 1 0 0 1 




1 0 1 0 2 




Trang 1 








phẳng 










1 0 0 0 1 

Tổng Số câu 11 14 18 7 50 

Tỷ lệ 22% 28% 36% 14% 





Trang 2 












MÔN TOÁN 





Câu 1: Trong các chữ cái “H, A, T, R, U, N, G” có bao nhiêu chữ cái có trục đối xứng. 

A. 4 B. 3 C. 5 D. 2 


4 2 

hàm số. 

A. S = 2 

B. 

f x = x − 2x 

+ 3. Tính diện tích S tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của đồ thị 

1 

S = C. S = 4 

D. S = 1 

2 

Câu 3: Cho tứ diện ABCD và ba điểm M, N,P lần lượt nằm trên các cạnh AB, AC, AD mà không trùng 

MNP là: 

với các đỉnh của tứ diện. Thiết diện của hình tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng ( ) 

A. Một tam giác B. Một ngũ giác C. Một đoạn thẳng D. Một tứ giác 

Câu 4: Cho biểu thức 

23 

5 3 3 2 

P x x x 

= với x > 0. Mệnh đề nào sau đây đúng? 

37 

A. P = x 30 

B. P = x 15 

C. P = x 30 

D. P = x 10 

Câu 5: Cho tứ diện đều cạnh a, điểm I nằm trong tứ diện. Tính tổng khoảng cách từ I đến tất cả các mặt 

của tứ diện. 

A. 

a 6 

3 

B. 

Câu 6: Tính giá trị cực tiểu của hàm số 

a 

2 

C. 

3 2 

= − + 

a 3 

3 

y x 3x 

1. 

53 

D. 

a 34 

3 

A. y = 0 

B. y = 1 

C. y = − 3 D. y = 2 

CT 

Câu 7: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 

CT 

CT 

CT 

3 

= 2 + 4 + 2. tại điểm có hoành độ bằng 0 

y x x 

A. y = 4x 

B. y = 4x 

+ 2 C. y = 2x 

D. y = 2x 

+ 2 

Câu 8: Giải bóng chuyền VTV cup gồm 9 đội bóng trong đó có 6 đội nước ngoài và 3 đội của Việt Nam. 

Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành 3 bảng A, B, C và mỗi bảng có ba đội. Tính xác suất 

để 3 đội bóng của Việt Nam ở 3 bảng khác nhau. 


A. 19 

28 

B. 9 28 

C. 3 

56 

D. 53 

56 

⎛ π ⎞ 

Câu 9: Trong khoảng ⎜ 0; ⎟ 

⎝ 2 ⎠ phương trình 2 2 

sin 4x + 3sin 4cos 4x − 4cos 4x 

= 0 có bao nhiêu nghiệm? 

31 




Trang 3 








A. 1 B. 3 C. 2 D. 4 




Câu 10: Cho ba số thực dương x, y, 

z theo thứ tự lập thành một cấp số nhân, đồng thời với mỗi số thực 

dương ( 1) 

a a ≠ thì log x,log y,log 

3 z theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Tính giá trị biểu thức 

1959x 2019y 60 z 

P = + + . 

y z x 

A. 2019 

2 

Câu 11: Tìm m để hàm số 

A. m ≤ 1 

B. 

a a a 

B. 60 C. 2019 D. 4038 

2cos x + 1 

y = 

cos x − m 

1 

m ≥ − C. 

2 

đồng biến trên khoảng ( 0;π ) 

1 x 

Câu 12: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = − 

. 

x + 2 

1 

m > D. m ≥ 1 

2 

A. x = − 2 

B. y = − 1 

C. y = 1 

D. x = 1 

Câu 13: Cho ba đường thẳng đôi một chéo nhau. Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau? 

A. Không có đường thẳng nào cắt cả ba đường thẳng đã cho. 

B. Có đúng hai đường thẳng cắt cả ba đường thẳng đã cho. 

C. Có vô số đường thẳng cắt cả ba đường thẳng đã cho. 

D. Có duy nhất một đường thẳng cắt cả ba đường thẳng đã cho. 

3 2 

Câu 14: Cho f ( x) = x − 2x 

+ 5, tính f ( ) 

'' 1 . 

A. f ''( 1) 

= − 3. B. f ''( 1) 

= 2. C. f ''( 1) 

= 4. D. ( ) 

f '' 1 = − 1. 

cos x + 2sin x + 3 

Câu 15: Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 

Tính M,m. 

2cos x − sin x + 4 

A. 4 

11 . B. 3 4 

C. 1 2 

D. 20 

11 . 

Câu 16: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 lập được bao nhiêu số có năm chữ số khác nhau từng đôi một? 

A. 2500 B. 3125 C. 96 D. 120 

Câu 17: Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình vẽ? 





Trang 4 








A. 

4 2 

= + 2 + 1. B. 

y x x 

4 2 

= − 2 + 1. C. 

y x x 

4 2 

= − − 2 + 1. D. 

y x x 

= + 3 + 1. 

3 

y x x 




( ) 2 

1+ 2x 

−1 

Câu 18: Tìm giới hạn lim . 

x→0 

x 

A. 4 B. 0 C. 2 D. 1 


xác định trên R \{ 2} 

, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến 

thiên như hình vẽ sau. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình 

f x = m có ba nghiệm phân biệt. 

( ) 

x −∞ 2 3 +∞ 

y ' 

− || + 0 − 

y +∞ 3 

2 −∞ −∞ 

A. m∈ [ 2;3) 

B. m∈ ( 2;3] 

C. m∉∈ [ 2;3] 

D. m∈ ( 2;3) 

Câu 20: Trung điểm của tất cả các cạnh của hình tứ diện đều là các đỉnh của khối đa diện nào? 

A. Hình hộp chữ nhật B. Hình bát diện đều C. Hình lập phương D. Hình tứ diện đều 

Câu 21: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho đường tròn ( ) 

2 2 

2 2 

( C ) x + y + x − y = . Phép đồng dạng F tỉ số k biến ( ) 

2 

: 12 16 0 

A. 

C1 : x + y − 2x − 2y 

− 2 = 0 và 

C thành( C ) . Tìm k? 

1 

k = B. k = − 6 

C. k = 2 

D. k = 5 

5 

Câu 22: Cho cấp số nhân( u ) có u 

1 

= 2 và công bội q = 3. Tính u . 3 

n 

A. u 

3 

= 8. 

B. u 

3 

= 18. 

C. u 

3 

= 5. 

D. u 

3 

= 6. 

Câu 23: Khai triển ( ) 10 

1 + x + x + x = a + a x + ... + a x . Tính tổng S = a1 + 2 a2 + ... + 30 a30. 

2 3 30 

0 1 30 

10 

A. 5.2 B. 0. C. 

1 


4 . D. 

Câu 24: Cho tứ diện ABCD gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và AD . Biết 

a 3 

AB = CD = a, 

MN = . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD . 

2 


A. 45° B. 30° C. 60° D. 90° 

2 


2 . 





y = sin x đồng biến trên khoảng nào sau đây? 

Trang 5 











⎛ 15π 

⎞ 

A. ⎜ 7 π; ⎟. 

⎝ 2 ⎠ 

⎛ 7 π ⎞ 

B. ⎜ − ; − 3 π ⎟ . 

⎝ 2 ⎠ 

⎛19 π ⎞ 

C. ⎜ ;10 π ⎟ . 

⎝ 2 ⎠ 

D. ( − π − π ) 

6 ; 5 . 


có đồ thị như hình vẽ. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm 

số y f ( x m) 

= + có 5 điểm cực trị. 

A. m < 2. 

B. m > 2. 

C. m > − 2. 

D. m < − 2. 

Câu 27: Cho tập hợp { } 

nào là hai số tự nhiên liên tiếp? 

A = 1;2;...;20 . Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 5 số từ tập A sao cho không có hai số 

5 

A. C B. C 5 

C. C 5 

D. C 5 

17 . 

15 . 

Câu 28: Cho lăng trụ ABC. A' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2 a. 

Biết lăng trụ 

3 

có thể tích V = 2a 

tính khoảng cách d giữa hai đáy của lăng trụ theo a . 

A. d = 3 a. 

B. d = a. 

C. d = 6 a. 

D. d = 2 a. 

⎛ ⎞ 

Câu 29: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển ⎜ x + ⎟ 

⎝ x ⎠ với x ≠ 0 

A. 2 C . 

B. 2 C . 

C. 

4 2 

6 

Câu 30: Cho hàm số f ( x) 

A. 

2 2 

6 

18 . 

2 2 

4 4 

6 

6 

− 2 C . 

D. 

16 . 

− 2 C . 

2 

⎧ x 

⎪ khi x ≤1 = ⎨ 2 

. Tìm a để hàm số liên tục tại x = 1 

⎪ 

⎩ax 

+ 1 khi x > 1 

1 

a = B. a = − 1 

C. 

2 

Câu 31: Hình lập phương thuộc loại khối đa diện đều nào? 

2 4 

6 

1 

a = − D. a = 1 

2 

A. { 5;3 } 

B. { 3;4 } 

C. { 4;3 } 

D. { 3;5 } 

Câu 32: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD,AB//CD, AB=2AD. M là một điểm thuộc 

, 

SAB Biết diện tích thiết diện của hình 

cạnh AD ( α ) là mặt phẳng qua M và song song với mặt phẳng ( ) 


chóp cắt bởi mặt phẳng ( ) α bằng 2 3 

diện tích tam giác SAB . Tính tỉ số k = 

MA . 

MD 




Trang 6 











A. 

1 

k = B. k = 1 

C. 

2 

y = 1− 

2 x . 

Câu 33: Tìm tập xác định của hàm số ( ) 1 3 

D = 0; +∞ . B. 

A. ( ) 

D 1 

= ⎛ ⎜ −∞; ⎞ 

⎟. 

⎝ 2 ⎠ 

C. 

3 

k = D. 

2 

D 1 

= ⎜ 

⎛ −∞; ⎤ 

⎝ 2 ⎥ 

⎦ 

2 

k = 

3 

D. D = R 

Câu 34: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình cos 2x − 4cos x − m = 0 có nghiệm. 

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 

Câu 35: Cho hình chóp S.ABC, G là trọng tâm tam giác ABC, A’, B’, C’ lần lượt là ảnh của A, B, C, qua 

1 VS . A' B' C ' 

phép vị tự tâm G tỉ số k = − . Tính . 

2 V 

A. 1 4 

Câu 36: Cho dãy số ( ) 

B. 1 8 

S. 

ABC 

⎧u 

u 

n 

xác định bởi ⎨ 

⎩u 

1 

n+ 

1 

C. 1 2 

D. 2 3 

= 1 

. Tính số hạng thứ 2018 của dãy. 

= 2u 

+ 5 


2017 



A. u 


= 3.2 + 5 B. u 


= 3.2 + 1 C. u 


= 6.2 − 5 D. u 


= 6.2 − 5 

Câu 37: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên tập xác định? 

A. 

⎛ 1 ⎞ 

y = ⎜ ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

− x 

2 

n 

x 

B. y = log x C. y = ln x 

D. y = π 

2 

Câu 38: Cho hình chóp S.ABCD có SD = x , tất cả các cạnh còn lại của hình chóp đều bằng a . Biết góc 

ABCD bằng 30° . Tìm x . 

giữa SD và măt phẳng ( ) 

A. x = a 2. B. 

Câu 39: Đồ thị hai hàm số 

a 3 

x = . C. x = a 5. D. x = a 3. 

2 

x − 3 

y = và y = 1− x cắt nhau tại hai điểm A, B . Tính độ dài đoạn thẳng AB . 

x − 1 

A. AB = 8 2. B. AB = 3 2. C. AB = 4 2. D. AB = 6 2. 

Câu 40: Cho hình chóp S. 

ABC có SA = a, SB = 2 a, SC = 3 a. 

Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp 

S. 

ABC . 

3 

A. 3 2 a . 

B. 

3 

2 . 

2 

n − n + 3 

Câu 41: Tính giới hạn lim 2 

2 

n + n + 1 

a C. 

a 3 . 

D. 


4 3 

. 

3 a 




Trang 7 











A. 0 B. +∞ C. 3 D. 1 2 

Câu 42: Tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD 

A. a 3 

B. 

a 3 

2 

C. 

a 2 

2 

Câu 43: Đặt a = log2 3; b = log3 

5. Biểu diễn log20 

12 theo a, b. 

ab + 1 

log 12 = . 

b − 2 

A. 

20 

a + b 

a + 2 

log 12 = . C. log20 

12 = . 

b + 2 

ab + 2 

B. 

20 

Trang 8 

D. a 

1 

log 12 = a + 

. 

b − 2 

D. 

20 

Câu 44: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với đáy 

( ABCD ). Biết AB = a, AB = 3 a, SA = 2a 

Tính thể tích V của khối chóp S. ABCD . 

3 

3 

3 

A. V = 3a 

B. V = 2a 

C. V = a 

D. V = 6a 

Câu 45: Cho tứ diện ABCD có thể tích V . Gọi A1 B1C 1D1 

là tứ diện với các đỉnh lần lượt là trọng tâm tam 

giác BCD, CDA, DAB, 

ABC và có thể tích V 

1 

. Gọi A2 B2C2D2 

là tứ diện với các đỉnh lần lượt là trọng tâm 

tam giác B 1 

C 1 

D 1 

, C 1 

D 1 

A 1 

, D 1 

A 1 

B 1 

, A 1 

B 1 

C 1 

và có thể tíchV 2 

… cứ như vậy cho tứ diện An BnCn Dn 

có thể tích 

V với n là số tự nhiên lớn hơn 1. Tính giá trị của biểu thức P = ( V + V + + V ) 

n 

lim ... . 

n→+∞ 

A. 27 

26 V B. 1 27 V C. 9 82 

V D. 

8 81 V 

Câu 46: Trong các hàm số sau 

số có tập xác định là R ? 

2 

3 4 2 3 

2 3 

x + 

; 3 2; 3 ; 

x + 

y y x x y x x y 

x − 

= = − + = − = 

x − 1 x + 1 

A. 1 B. 3 C. 2 D. 4 

Câu 47: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 

tiệm cận đứng ? 

A. ( −∞; −12) ∪ ( 0; +∞) 

B. ( ) 

0;+∞ C. 

⎡1 1 ⎤ 

⎢ ; 

⎣4 2⎥ 

⎦ 

y = 

1 

n 

3 

1+ x + 1 

2 

x − mx − 3m 

⎛ 1 ⎤ 

D. ⎜ 0; 

⎝ 2 ⎥ 

⎦ 

Câu 48: Cho khai triển ( ) ( )( ) ( ) 

2017 

2 2 2 

thức T = a2 

+ ( + + + ) 

⎛ 2016.2017 ⎞ 

A. ⎜ ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

0 1 2017 

có bao nhiêu hàm 

có đúng hai 

P x = 1+ x 1+ 2 x ... 1+ 2017 x = a + a x + ... + a x Tính giá trị biểu 

1 1 2 ... 2017 . 

2 

Câu 49: Hàm số y f ( x) 

2 

⎛ 2017.2018 ⎞ 

B. ⎜ ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

2 

C. 

1 ⎛ 2016.2017 ⎞ 

. ⎜ ⎟ 

2 ⎝ 2 ⎠ 

2 

D. 

1 ⎛ 2017.2018 ⎞ 

. ⎜ ⎟ 

2 ⎝ 2 ⎠ 


= có đạo hàm trên khoảng( a; 

b ) Mệnh đề nào sau đây là sai ? 

A. Nếu f '( x ) = 0 với mọi x thuộc ( a; 

b) 

thì hàm số y f ( x) 

= không đổi trên khoảng( a; 

b ) 

2 











B. Nếu f '( x) 

≥ 0 với mọi x thuộc ( a; 

b) 

thì hàm số y f ( x) 

C. Nếu hàm số y f ( x) 

= không đổi trên khoảng( ; ) 

= đồng biến trên khoảng( a; 

b ) 

a b thì f '( x ) = 0 với mọi x thuộc ( a; 

b ) 




D. Nếu hàm số y f ( x) 

Câu 50: Tính giới hạn 

= đồng biến trên khoảng( ; ) 

2x 

+ 1 

lim 

x→+∞ 

x −1 

a b f '( x) 

≥ 0 với mọi x thuộc ( a; 

b ) 

A. 2 B. 3 C. D. 1 

--- HẾT --- 





Trang 9 












MÔN TOÁN 






1-A 2-D 3-A 4-A 5-A 6-C 7-B 8-B 9-D 10-D 

11-D 12-B 13-C 14-B 15-A 16-C 17-A 18-A 19-D 20-B 

21-D 22-B 23-B 24-C 25-C 26-D 27-D 28-D 29-A 30-C 

31-C 32-A 33-B 34-D 35-A 36-D 37-B 38-D 39-B 40-C 

41-D 42-C 43-C 44-B 45-A 46-C 47-D 48-D 49-B 50-A 

















MÔN TOÁN 







Các chữ cái có trục đối xứng là : H, A,T, U ⇒ có tất cả 4 chữ cái có trục đối xứng 


3 2 ⎡x 

= 0 

Ta có y f '( x) 4x 4x 4x( x 1) 

= = − = − ⇔ ⎢ 

⎣x 

= ± 1 

A B C − ⇒ ∆ ABC cân tại 

⇒ Các điểm cực trị là ( 0;3 ), ( 1;2 ), ( 1;2 ) 

( ) ( ) 

2 2 

A; BC = 1+ 1 + 2 − 2 = 2 

BC ⇒ I 0;2 ⇒ AI = h = 1 

Gọi I là trung điểm của ( ) 

Ta có: 

1 

S = AI. BC = 1 

2 

Cách 2: Áp dụng CT giải nhanh: 


Thiết diện là ∆ MNP 


Ta có: 

2 

b −b 

S = . = 1 

4a 

2a 

1 5 

5 23 23 

5 5 

3 

3 

2 3 

3 5 

3 

5 

2 2 

6 6 30 

P = x x . x = x x = x x = x = x 






Trang 11 








Gọi H là hình chiếu của A xuống ( ABCD ) , Ta có: 




a 3 ⎛ 

2 a 3 ⎞ a 6 

BH = ⇒ AH = a − 3 ⎜ 

= 

3 ⎟ 

⎝ ⎠ 3 

2 

Gọi S là diện tích 1 đáy và d là tổng khoảng cách từ I đến tất cả các mặt của tứ diện. 

1 1 a 6 

Ta có: VABCD 

= AH. S = d.S ⇔ d = AH = . 

3 3 3 


2 ⎡x 

= 0 

Ta có : y x x x( x ) 

' = 3 − 6 = 0 ⇔ 3 − 2 = 0 ⇔ ⎢ 

⎣x 

= 2 

= − ( ) = > ⇒ = là điểm cực tiểu y y ( ) 

y '' 6x 1, y '' 2 11 0 x 2 


Ta có 

y 

2 

' 6 4 

⇒ = 2 = − 3. 

= x + ⇒ hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 0 là k = y '( 0) 

= 4 

y = k x − 0 + y 0 = 4x 

+ 2 

Phương trình tiếp tuyến là ( ) ( ) 


3 3 3 

Số cách sắp ngẫu nhiên là C9C6C 3 

= 1680 (cách) 

2 1 2 1 2 2 

Số cách sắp để ba đội của Việt Nam ở 3 bảng khác nhau là ( )( )( ) 

Xác suất để 3 đội bóng của Việt Nam ở 3 bảng khác nhau là: 540 = 

9 

1680 28 


CT 

C C C C C C = (cách) 

6 3 4 2 2 1 

540 

2 

Ta thấy cos 4x = 0 không thỏa mãn phương trình ⇒ chia cả 2 vế của phương trình cho cos 4 x , ta được 

⎡ π kπ 

⎡ π 

x = + 

4 4 

2 ⎡tan 4x 

= 1 x = x = + kπ 

⎢ 16 4 

tan 4x + 3tan 4x − 4 = 0 ⇔ ⎢ 

⎢ ⇔ 4 ⇔ ⎢ 

, k ∈Z 

⎣ tan 4x 

= −4 ⎢ 

arctan 

( ) 

( 4) 

4x arctan 4 kπ 

⎢ − kπ 

⎢⎣ = − + 

⎢ 

x = + 

⎣ 4 4 

⎝ ⎠ nên ⎧ 5 ( ) π ( ) 

x ∈ ⎨ ; ; ; 

16 16 4 4 

⎛ π ⎞ 

Vì x ∈ ⎜ 0; ⎟ 2 

Câu 10: Đáp án B 

π π arctan − 4 + arctan − 4 + 2 π ⎫ 

⎬ 

⎩ 

⎭ 

Vì x, y, z > 0 theo thứ tự lập thành 1 CSN nên z = qy = q x 


Vì log x,log y,log 

3 z theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên 2log y = log x + log 3 z 

a a a 

2 . 

a 

a 

a 




Trang 12 











2 4 4 3 3 

( ) ( ) ( ) ( ) 

⇔ 4log y = log x + 3log z ⇔ 4log qx = log x + 3log q x ⇔ log q x = log xq x 

a a a a a a a a 

4 4 6 4 

⇔ q x = q x ⇒ q = 1⇒ x = y = z ⇒ P = 1959 + 2019 + 60 = 4038 


2t 

+ 1 

= ⇒ ∈ − ⇒ = = 

t − m 

Đặt t cos x t ( 1;1) y f ( t) 

Ta có '( ) 

2m 

+ 1 

f t = sin x 

( t − m) 2 

Hàm số đồng biến trên khoảng ( π ) 



⎧ 1 

m > − 

⎧ f '( t) 0 ( 2m 

1) 

sinx 0 ⎪ > ⎧⎪ + > ⎪ 2 

0; ⇒ ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇒ m ≥1 

⎪⎩ t − m ≠ 0 ⎪⎩ m ≠ t 

⎡m 

≥ 1 

⎪ 

⎪ ⎢ 

⎩⎣m 

≤ −1 

Lấy 1 điểm bất kỳ thuộc a và M ta dựng 2 mặt phẳng ( M ; b) ;( ; ) 

M c ⇒ là giao tuyến của 2 mặt phẳng 

trên đi qua M và 2 điểm thuộc b và c. Vậy có vô số đường thẳng cắt cả ba đường thẳng đã cho. 


' = 3 − 4 ⇒ '' = 6 − 4 ⇒ '' 1 = 2 

Ta có f ( x) x 2 x f ( x) x f ( ) 


cos x + 2sin x + 3 

y = ⇒ y 2cos x − sin x + 4 = cos x + 2sin x + 3 

2cos x − sin x + 4 

Ta có ( ) 

( 2 y) sin x ( 1 2y) cos x 4y 

3 ( 1) 

⇔ + + − = − 

PT (1) có nghiệm ( ) ( ) ( ) 

⎧M 

= 2 

⎪ 

4 

Suy ra ⎨ 2 ⇒ M. 

m = 

⎪m 

= 

11 

⎩ 11 

2 2 2 2 2 

⇔ 2 + y + 1− 2y ≥ 4y − 3 ⇔ 11y − 24y + 4 ≤ 0 ⇔ ≤ y ≤ 2 

11 


 

Gọi abcde là số thỏa mãn đề bài, ta có 


+) a có 4 cách chọn 

+) b có 4 cách chọn 

+) e có 3 cách chọn 




Trang 13 











+) d có 2 cách chọn 

+) e có 1 cách chọn 

Suy ra có 4.4.3.2.1 = 96 cách chọn 



2 

( ) ( )( ) 

1+ 2x − 1 1+ 2x − 1 1+ 2x 

+ 1 

Ta có lim = lim = lim ⎡2( 2x 

+ 2) 

⎤ = 4 

x → 0 x 

x → 0 x 

x → 0 

⎣ ⎦ 




2 2 2 2 

1 1 2 2 

C : x − 1 + y − 1 = 4 ⇒ R = 2; C : x + 6 + y − 8 = 100 ⇒ R = 10 

Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 

k 

R 

R 

1 

= = = 

2 


2 

5 


u = u . q = 2 3 = 18 

3 1 

2 

Ta có ( ) 2 



' 

' 9 

Ta có ⎡ 

2 3 30 2 3 2 3 

( 1 + x + x − x ) 

⎤ = ( a0 + a1x + ... + a30x ) ⇔ 10( 1+ x + x − x ) ( 1+ x + x − x ) 

⎢⎣ 

⎥⎦ 

( ) 9 

a + 2 a x + ... + 30a x ⇔ 10 1+ x + x − x a + 2 a x + ... + 30a x 

29 2 3 29 

1 2 30 1 2 30 

x = 1⇒ 10 1+ 1+ 1− 1 .0 = a + 2 a x + ... + 30a ⇔ S = 0 

Chọn ( ) 9 1 2 30 


Gọi P là trung điểm của AC. 

Ta có PN / / CD, MP / / AB ⇒ ( AB; CD) = ( MP; 

PN ) 

a a 3 1 

PN = MP = , MN = ⇒ cos MPN = − ⇒ MPN = 120° 

2 2 2 


⇒ 

; = 60° 

( AB CD ) 





Trang 14 








Hàm số 

y = sin x đồng biến khi y ' = cos x > 0 ⇔ x thuộc góc phần tư thứ 1 và 4 





f x = x + 3x 

− 1 

Dựa vào đồ thị hàm số, dễ thấy hàm số ( ) 

3 2 

Xét hàm số f ( x m) ( x m) 3 

( x m) 

+ = + + 3 + −1với x ∈ R 

2 

2x 

x 

Chú ý : Cực trị là điểm làm y ' đổi dấu và f ( x) = x = x ⇒ f '( x) 

= = 

2 

2 x x 

Do đó f ( x m) ( x m) ⎡( x m) 

+ = 3 + 2 ⎤. x 

⎣ 

+ + 

⎦ x 

⎡ x + m = 0 

⎢ 

có 4 nghiệm phân biệt 

⎢⎣ x + m + 2 = 0 

Cách 2: Đồ thị hàm số y f ( x m) 

= + = có 5 điểm cực trị 

. Khi đó y f ( x m) 

⎡ x = −m 

⎧− m > 0 

⎢ có 4 nghiệm ⎨ ⇔ m < −2 

⎢⎣ x = −2 

− m 

⎩ − 2 − m > 0 

= + được suy ra từ 

( ) ( ) ( ) 

y = f x → y = f x + m → y = f x + m Đồ thị hàm số muốn có 5 điểm cực trị khi ở bước thứ 1ta 

dịch chuyển đồ thị sang phải nhiều hơn 2 đơn vị m < − 2 


Nếu A = { 1;2;....9 } thì chỉ có duy nhất 1 cách là { } 

Nếu { 1;2;3...10 } 

A = thì có 

1;3;5;7;9 khi đó số cách bằng C 

{ } { } { } { } { } { } 

5 5 

5 

= C9 − 4 

5 

1;3;5;7;9 ; 1;4;6;8;10 ; 1;3;6;8;10 ; 1;3;5;8;10 ; 1;3;5;7;10 ; 2;4;6;8;10 có 6 cách bằng 6 = C 6 

. 

5 

Như vậy đáp án sẽ là C 


3 

1 2 V 2a 

S 

ABC 

= a.2a = a ⇒ d = = = 2a 

2 

2 

S a 


16 

6 6 k 6 

6 k k 12−3k 

⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ 

⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ 

2 k 2 

− 

k 

Ta có ⎜ x + ⎟ = ∑C6 ( x ) ⎜ ⎟ = ∑ C6 

( 2) ( x) 

Số hạng không chứa 


k −0 k −0 

x = 12 − 3k = 0 ⇔ k = 4 ⇒ a = C 2 . 

4 4 

4 6 

2 

= x 1 1 

2 = 2 = + = + = 2 

Ta có lim f ( x) lim , lim f ( x) lim ( ax 1) a 1, f ( 1) 


− − + + 

x→1 x→1 x→1 x→1 

1 1 

x = 1 ⇔ lim f x = f 1 = lim f x ⇒ a + 1 = ⇔ a = − 

− + 

x→1 x→1 

2 2 

Hàm số liên tục tại ( ) ( ) ( ) 




Trang 15 













Để làm bài toán tổng quát như này. Ta đặc biệt hóa 

Giả sử SA ⊥ ( ABCD); SA = AB = AD = 2; CD = 1 

AD ⊥ AB và DM = x 

Khi đó 

EF SF AM 2 − x 

SSAB 

= 2; MF = x; 

= = = 

1 SD AD 2 

x DM x 

Do đó EF = 1 − ; MN = ME + EN = CD + = 1+ 

2 2 2 

CE 

(Chú ý tỷ số 2; CE DM x 

EN = = = ) 

Khi đó: 

x x 

1− + 1+ 

2 2 2 4 

SMNEF 

= x = .2 ⇔ x = 

2 3 3 

MA 2 − x 1 

Suy ra k = = = 

MD x 2 


1 

Hàm số xác định khi 1− 2x 

> 0 ⇔ x < 

2 


Ta có 2 t−cos 

x 

PT ⇔ 2cos x −1− 4cos x = m ⎯⎯⎯→ f ( t) = 2t 2 − 4t − 1 = m( t ∈[ − 1;1] 

) 

Khi đó ( ) 

f ' t = 4t − 4 = 0 ⇔ t = 1 

Lại có f ( 1) = 5; f ( 1) 

= − 3 do đó PT đã cho có nghiệm m [ 3;5] 


Do ∆A' B ' C ' là ảnh của ∆ABC 

qua phép V 

1 

Do đó 

⎛ − ⎞ 

⎜G; 

K = ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

S 

2 

( ;( )) 

' ' ' 

' ' ' 

1 . 

A B C 

A B C 

V d S 

A' B' C ' 

S ABC 1 

= k = ⇒ = = 

S 4 V d . S 4 

ABC ABC ( S ;( ABC) 

) ABC 


Ta có ( u ) 

n 

⎧u1 

= 1 ⎧⎪ 

u1 

= 1 

: ⎨ 

⇒ ⎨ 

⎩un− 1 

= 2un + 5 ⎪⎩ 

un+ 

1 

+ 5 = 2 un 

+ 5 

( ) ( ) 

⇔ ∈ − ⇒ có 9 giá trị nguyên của m 





Trang 16 








Đặt: 

⎧v1 = 6 

2017 2017 2017 

vn 

= un 

+ 5 ⇒ ⎨ ⇒ v2018 = 2 . v1 = 6.2 ⇒ u2018 

= 6.2 − 5 

⎩vn−1 

= 2vn 





Hàm số y log x 

2 


= nghich biến trên khoảng ( 0;+∞ ) 

2 

Do S. 

ABC là hình chóp có SA = SB = SC nên hình chiếu vuông góc của 

ABC trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp O của (O 

đỉnh S xuống mặt đáy ( ) 

. ∆ , ⊥ ⇒ = 30° 

thuộc trung trực BD). ABC SO ( ABC) SDO 

∆ BCA = ∆SAC c − c − c ⇒ SI = BI 

Ta có ( ) 

1 

Do đó SI = BD ⇒ ∆ SBD vuông tại S 

2 

Khi đó x tan 30° = SB = a ⇒ x = a 3 


x − 3 ⎧x 

≠ 1 ⎧x 

≠ 1 

Phương trình hoành độ giao điểm là = 1− 

x ⇔ ⎨ 

2 ⇔ ⎨ 2 

x −1 ⎩x − 3 = − x + 2x −1 ⎩x − x − 2 = 0 

⎡x 

= −1⇒ y = 2 

⇔ ⎢ 

⇒ A( −1;2 ); B ( 2; −1) 

⇒ AB = 3 2 

⎣x 

= 2 ⇒ y = −1 


1 

SSAB 

= SA. SBsin ≤ SA. SB; 

d ( Cl ( SAB) 

) ≤ SC 

2 

Khối chóp S. 

ABC có thể tích lớn nhất 


1 

SA ⊥ SB ⊥ SC ⇒ Vmax 

= SA. SB. 

SC = a 

6 

2 ⎛ 1 3 ⎞ 

2 

n 1− + 

1 3 

2 1− + 

n − n + 3 

⎜ ⎟ 

n n 

2 1 

Ta có lim = lim 

⎝ ⎠ 

= lim n n = 

2 

2n 

+ n + 1 2 ⎛ 1 1 ⎞ 1 1 

2 

2 

n ⎜ 2 + + 

2 ⎟ + + 

2 

⎝ n n ⎠ n n 



Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, 

CD 

Ta có ∆ BCD = ∆ACD ⇔ BN = AN ⇒ ∆ABN 

cân ⇒ MN ⊥ AB 

3 




Trang 17 








Tương tự, ta chứng minh được MN ⊥ CD ⇒ MN là đoạn vuông chung của AB và CD 

Xét tam giác ABN có 

a 3 

AN = BN = ; AB = a 

2 




2 

2 2 

2 2 2 AB ⎛ a 3 ⎞ a a 2 

MN = AN − AM = AN − = 4 ⎜ 

− = 

2 ⎟ 

⎝ ⎠ 4 2 

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, 

CD là 


( ) 

( ) 

2 

log2 12 log 

2 

2 .3 2 + log2 

3 

Ta có log20 12 = = = 

2 

log 20 log 2 .5 2 + log 5 

2 2 

2 

a + 2 

Mặt khác log2 3.log3 

5 = ab . Suy ra log20 

12 = 

ab + 2 


a 2 

2 

1 1 

Thể tích khối chóp S. 

ABCD là VABCD 

= SA. S 

ABCD 

= 2 a.3a = 2a 

3 3 


Gọi M là trung điểm của AC và đặt độ dài AB = x 

MD1 MB1 2 

B , D là trọng tâm tam giác ABC, 

ACD ⇒ MB 

= MD 

= 3 

Vì 

1 1 

1 1 1 1 

1 

Suy ra B1D 

1 

/ / BD ⇒ B D M D B BD 

1D1 

BD 

= MB 

= 3 ⇒ = 3 

2 3 

Tương tự, ta được A1 B1C 1D 1 

là tứ diện đều cạnh x ⇒ V = 27 ⇔ V 

V 

1 

= 

3 

3 V 

3 

V1 

V V V 

Khi đó V2 = = ; V 

3 3.3 4 

= →V 

3.4 n 

− 

3 

3 3 3 3 

⎛ 1 1 1 1 ⎞ 

Suy ra V + V1 + ... + Vn 

= V ⎜1 + + + + ... + V. 

S 

3 6 9 3n 

⎟ = 

⎝ 3 3 3 3 ⎠ 

n 

⎛ 1 ⎞ 

1− 1 

⎜ ⎟ 

27 27. 1− 

27 

Tống S là tổng của cấp số nhân với u1 

= 1; q = ⇒ S = 

⎝ ⎠ 

= 

27 1 

1− 

26 

27 

n 

1 

−n 

( ) 





Trang 18 








Vậy 

−n 

( − ) 

V.27 1 27 27 

P = lim 

= V vì 

x→∞ 

26 26 

−n 

1 

lim 27 = lim = 0 

x→+∞ 

x→+∞ 

n 

27 





Các hàm số xác định trên R là 


4 2 3 

y = x − 3x + 2; y = x − 3x 

⎧x 

≥ −1 

Đồ thị hàm số có 2 tiềm cận đứng ⇔ ⎨ 

có 2 nghiệm phân biệt. 

2 

⎩x − mx − 3m 

= 0 

⎧⎪ x ≥ −1 

⇔ ⎨ 

⎪⎩ 

⎧x 

≥ −1 

⎪ 

⇔ ⎨ x 

x có 2 nghiệm phân biệt 

⎪ 

⎩ x + 3 x + 3 

2 2 

2 

x = m x + m = → f x = 

( 3) ( ) 

x 

x 

2 

Xét hàm số f ( x) 

= trên [ − 1; +∞ ), có ( ) 

+ 

3 

Tính cách giác trị f ( − 1 ) = ; f ( 0) 

= 0 và lim f ( x) 

Khi đó, yêu cầu ( ) 


1 

2 

x( x + 6) 

2 

( x + 3) 

( ) 

f ' x = ; f ' x = 0 ⇔ x = 0 

x→+∞ 

= +∞ 

1 

* ⇔ m∈ ⎛ 0; ⎤ 

⎜ . 

⎝ 2⎥ 

⎦ . Vậy m 1 

∈ ⎛ 0; ⎤ 

⎜ 

⎝ 2 ⎥ 

là giá trị cần tìm 

⎦ 

( )( ) 

( ) 

2 2 2 2 

n n + 1 2n 

+ 1 

n n + 

Ta có 1 + 2 + 3 + ... + n = và 1+ 2 + 3 + ... + n = 

6 

2 

Xét ( 1 x)( 1 2 x) ...( 1 nx) 

+ + + ⇒ Hệ số của 

2 

x là 

( ) ( ) ( ) 

a2 = 1. 2 + 3 + ... + n + 2. 3 + 4 + ... + n + ... + n − 1 n 

2 

1 

( n) ( n) ( ) ( n ) ( n) ( n ) 

= 1. ⎡⎣ 1+ 2 + ... + − 1⎤⎦ + 2. ⎡⎣ 1+ 2 + ... + − 1+ 2 ⎤⎦ + ... + − 1 . ⎡⎣ 1+ 2 + ... + − 1+ 2 + ... + −1 

⎤⎦ 

( + ) k ( k + ) 

n 

n 

⎡n n 1 1 ⎤ 1 

2 2 

= ∑ k × ⎢ − ⎥ = ∑ k × ⎡( n + n) − ( k + k ) ⎤ 

k = 1 2 2 2 ⎣ ⎦ 

⎣ 

⎦ k = 1 

2 2 2 

( n 2 + n) ( n 2 + n) n( n + 1)( 2n + 1 

⎤ 

) ( n 2 + n) n( n + 1)( 2n 

+ 1) 

n 

⎡ 

1 2 3 2 1 

= ∑ ⎡( n n) k ( k k ) ⎤ ⎢ 

⎥ 

2 ⎣ 

+ − + 

⎦ 

= − − = − 

k = 1 

2 ⎢ 2 4 6 ⎥ 8 12 

⎣ 

⎦ 

2 

( ) ( ) 

2 

n + n 

n−2017 2017.2018 1 ⎛ 2017.2018 ⎞ 

Vậy T = ⎯⎯⎯→ T = = ⎜ ⎟ 

8 8 2 ⎝ 2 ⎠ 


2 2 





Trang 19 











Câu B thiếu dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm 


Ta có 

1 

2 + 

2x 

+ 1 

lim = lim x = 2 

x→+∞ 

x −1 

x→+∞ 

1 

1− 

x 

----- HẾT ----- 





Trang 20 











Lớp 12 

(...%) 

Lớp 11 

(...%) 


MÔN TOÁN 

STT 



liên quan 


THPT CHUYÊN BẮC NINH- LẦN 2 




Nhận 

biết 


Thông 

hiểu 

Vận 

dụng 

Vận dụng 

cao 

Tổng số 

câu hỏi 

7 6 4 1 18 




4 Số phức 







1 1 1 0 3 





1 1 0 0 2 

5 Đạo hàm 1 0 0 0 1 







Trang 1 








phẳng 










1 0 0 0 1 


Tổng Số câu 14 14 14 8 50 

Tỷ lệ 28% 28% 28% 16% 





Trang 2 












MÔN TOÁN 





Câu 1: Cho hình nón có bán kính đáy là r = 3 và độ dài đường sinh l = 4 .Tính diện tích xung quanh S 

của hình nón đã cho. 

A. S = 8 3π B. S = 24π C. S = 16 3π D. S = 4 3π 

Câu 2: Lớp 11B có 25 đoàn viên trong đó 10 nam và 15 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 đoàn viên trong lớp để 

tham dự hội trại ngày 26 tháng 3. Tính xác suất để 3 đoàn viên được chọn có 2 nam và 1 nữ 

A. 

7 

920 

B. 27 

92 

3 

C. 

115 

D. 9 92 

Câu 3: Mỗi hình sau gồm một số hữu hạn đa giác phẳng, tìm hình không là hình đa diện 

A. Hình 2. B. Hình 4. C. Hình 1. D. Hình 3. 

Câu 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng 

(SAD) và (SBC). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? 

A. d qua S và song song với BD. B. d qua S và song song với BC. 

C. d qua S và song song với AB. D. d qua S và song song với DC. 

Câu 5: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 

A. 

[ − 3;2] 

= − − trên đoạn [ − ] 

4 2 

y x 2x 15 

3;2 . 

max y = 54 B. max y = 7 C. max y = 48 D. max y = 16 

[ − 3;2] 

[ − 3;2] 

[ − 3;2] 

Câu 6: Tìm tập xác định D của hàn số y = ( x + ) 

log 3 . 

A. D = ( − 3; +∞ ) B. D = ( −3; − 2) 

C. D = [ − 3; +∞ ) D. D = ( −3; − 2] 


A. Hàm số nghịch biến trên R { } 

0,3 

= x − 2 

y . . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? 

x − 1 

\ 1 . 


B. Hàm số đồng biến trên R \{ 1 }. 

C. Hàm số đơn điệu trên R 




Trang 3 











D. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞ ;1) 

và ( 1;+∞ ) 

Câu 8: Hai xạ thủ cùng bắn, mỗi người một viên đạn vào bia một cách độc lập với nhau. Xác suất bắn 

trúng bia của hai xạ thủ lần lượt là 1 2 và 1 . Tính xác suất của biến cố có ít nhất một xạ thủ không bắn 

3 

trúng bia. 

A. 1 3 

Câu 9: Đồ thị hàm số 

đoạn AB. 

B. 1 6 

C. 1 2 

3 

y = x + 2x −1cắt đồ thị hàm số 

D. 2 3 

2 

y = x − 3x + 1 tại hai điểm phân biệt. Tình độ dài 

A. AB = 3 

B. AB = 2 2 C. AB = 1 

D. AB = 2 

x + 1 2 

Câu 10: Trong bốn hàm số ; 3 

x 

y = y = ; y = log 

3 

x ; y = x + x + 1 − x . . Có mấy hàm số mà đồ thị của 

x − 2 

nó có đường tiệm cận. 

A. 4 B. 3 C. 1 D. 2 

Câu 11: Cho hàm số ( ) = −1 

f x x . Khẳng định nào sau đây là sai? 

A. f ( 1) 

= 0 

B. ( ) 

f x liên tục tại = 1 

C. ( ) 

x D. ( ) 

f x có đạo hàm tại x = 1 

f x đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 1 

Câu 12: Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1 và AD = 2 . Gọi M, N lần lượt là trung 

điểm của AB và CD. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN, ta được một hình trụ. Tính thể tích V 

của khối trụ tạo bởi hình trụ đó. 

A. 2 

π 

Câu 13: Giải phương trình ( ) 

A. 

B. π C. 2π D. 4π 

log 13 + 3 = log 16 

2017 2017 

1 

x = 

B. x = 1 

C. x = 0 

D. x = 2 

2 

2 

Câu 14: Tìm nghiệm của phương trình lượng giác cos x − cos x = 0 thỏa mãn điều kiện 0 < x < π 

A. 

π 

x = 

2 

B. x = 0 

C. x = π D. x = 2 

Câu 15: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a để biểu thức B = log ( 2 − ) 

3 

a có nghĩa 

A. a > 2 

B. a = 3 

C. a ≤ 2 

D. a < 2 


Câu 16: Tìm tập nghiệm S của phương trình ⎡x( x ) 

log6 

⎣ 5 − ⎤⎦ 

= 1 

A. S = { 2; −6} 

B. S = { 2;3;4} 

C. S = { 2;3} 

D. S = { 2;3; −1} 




Trang 4 











Câu 17: Phương trình nào sau đây vô nghiệm? 

A. tan x + 3 = 0 

B. sin x + 3 = 0 

C. 3sin x − 2 = 0 

D. 

Trang 5 

2 

2cos − cos − 1 = 0 

x x 

Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, , AB = a; AD = 2a , cạnh bên SA vuông 

góc với đáy và thể tích khối chóp S.ABCD bằng 

phẳng (ABCD). 

2 

3 

3 

a . Tính số đo góc giữa đường thẳng SB với mặt 

A. 30° B. 60° C. 45° D. 75° 

8 9 10 11 12 

Câu 19: Cho đa thức ( ) = ( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + ) ( + ) 

p x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x . Khai triển và rút gọn ta 

P x = a0 + a1x + a2x + ... + a12 

x . Tìm hệ số a 

8 

được đa thức: ( ) 

2 12 

A. 720 B. 700 C. 715 D. 730 


1 3 2 

y = x − x + x + 1có mấy điểm cực trị? 

3 

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 

Câu 21: Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm? 

A. u 

n 

2n 

+ 1 

= 

n −1 

3 

2 

B. u = n −1 C. u = n D. u = 2n 

Câu 22: Cho ba điểm A( 1; −3 ); B( −2;6) 

và C ( 4; −9) 

 

u = MA + MB + MC có độ dài nhỏ nhất. 

n 

n 

. Tìm tọa độ điểm M trên trục Ox sao cho véc tơ 

A. M ( 2;0) 

B. M ( 4;0) 

C. M ( 3;0) 

D. M ( 1;0 ) 

Câu 23: Tìm giá trị cực tiểu yCT 

của hàm số 

4 2 

y = x − 2x 

− 3 

A. y = 4 

B. y = −3 

C. y = 3 

D. y = −4 

CT 

CT 

Câu 24: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và tam giác ABC vuông tại C. Gọi H là hình chiếu 

vuông góc của S lên mp (ABC). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? 

A. H là trung điểm cạnh AB B. H là trọng tâm tam giác ABC 

C. H là trực tâm tam giác ABC D. H là trung điểm cạnh AC. 

Câu 25: Cho hình trụ có hai đáy là hình tròn (O) và (O’), chiều cao R 3, bán kính R và hình nón có 

đỉnh là O’, đáy là hình tròn ( O ;R) 

quanh của hình nón. 

CT 

. Tính tỉ số giữa diện tích xung quanh của hình trụ và diện tích xung 


A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 

Câu 26: Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = a; SB = a 2, SC = a 3 . Tính 

khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC). 

n 

CT 











A. 11 a 

6 

B. 

a 66 

6 

C. 6 a 

11 

Câu 27: Đồ thị hàm số nào sau đây nằm phía dưới trục hoành? 

D. 

a 66 

11 




A. 

C. 

4 2 

y = −x − 4x + 1 

B. 

4 2 

y = − x + 2x − 2 

D. 

2 

Câu 28: Tính đạo hàm của hàm số y = 

5 ( x + ) 

A. 

y ' = 

1 

2 

( x + ) 

2 ln 5 

B. 

y ' = 

2x 

2 

( x + 2) 

log 2 . 

C. 

4 2 

y = x + 5x 

−1 

3 2 

y = −x − 7x − x −1 

y ' = 

Câu 29: Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số bị chặn? 

A. u 

n 

2n 

+ 1 

= 

n + 1 

B. = 2 + sin ( ) 

n 

2x 

ln 5 

2 

( x + 2) 

D. 

y ' = 

2x 

2 

( x + ) 

2 

3 

u n n C. u = n D. u = n −1 

Câu 30: Hàm số nào trong bốn hàm số sau có bảng biến thiên như 

hình vẽ bên? 

A. 

B. 

C. 

D. 

3 

y = x − 3x 

+ 2 

3 

y = − x + 3x 

−1 

3 2 

y = x − 3x 

+ 2 

3 2 

y = x + 3x 

−1 

1 


3 

phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. 

n 

n 

2 ln 5 

3 2 

y = x − 3x + x + 1 có đồ thị (C). Trong các tiếp tuyến với đồ thị (C), hãy tìm 

A. y = −8x −19 

B. y = x −19 

C. y = − 8x + 10 D. y = − x + 19 

Câu 32: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Tính tỉ số giữa khối đa diện A’B’C’BC và khối lăng 

trụ ABC.A’B’C’. 

A. 2 3 

B. 1 2 

Câu 33: Tìm tập xác định D của hàm số 

⎛ 1 ⎞ 

y = ⎜ ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

x 

C. 5 6 

D. 1 3 

A. D = ( 1; +∞) 

B. D = ( −∞ ; +∞) 

C. D = ( 0; +∞) 

D. D = ( 0;1) 


Câu 34: Cho đa thức ( ) = ( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + ) ( + ) 

đa thức: ( ) 

2 12 

p x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x . Khai triển và rút gọn ta được 

P x = a + a x + a x + ... + a x . Tính tổng các hệ số a , i = 0,1, 2,...,12 

0 1 2 12 

A. 5 B. 7936 C. 0 D. 7920 

i 

x −∞ 0 2 +∞ 

y ' + 0 − 0 + 

y 2 +∞ 

−∞ − 2 





Trang 6 








x 

x 

Câu 35: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 4 − 2 m.2 + m + 2 = 0 có 2 nghiệm 

phân biệt. 

A. − 2 < m < 2 B. m > −2 

C. m > 2 

D. m < 2 




2 

Câu 36: Cho tấm tôn hình nón có bán kính đáy là r = , độ dài đường 

3 

sinh l = 2. Người ta cắt theo một đường sinh và trải phẳng ra được một 

hình quạt. Gọi M, N thứ tự là trung điểm OA và OB. Hỏi khi cắt hình 

quạt theo hình chữ nhật MNPQ (hình vẽ) và tạo thành hình trụ đường 

sinh PN trùng MQ (2 đáy làm riêng) thì được khối trụ có thể tích bằng 

bao nhiêu? 

A. 

( − ) 

3π 

13 1 

8 

B. 

( − ) 

3 13 1 

4π 

C. 

( − ) 

5 13 1 

12π 

π 

D. 

( 13 −1) 

2x 

+ y + 1 

Câu 37: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn log3 

= x + 2 y. 

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 

x + y 

1 2 

thứcT 

= + 

x y 

A. 3 + 3 

B. 4 C. 3 + 2 3 

D. 6 

Câu 38: Giải phương trình 

A. 

π 

x = − + kπ B. 

3 


3 2 

2 

2sin + 3 sin 2 = 3 

x x 

π 

x = + kπ C. 

3 

2π 

x = + kπ D. 

3 

9 

5π 

x = + kπ 

3 

f x = x − 3x + 2 có đồ thị là đường cong trong hình 

3 2 

x − 3x + 2 − 3 x − 3x + 2 + 2 = 0 có bao nhiêu 

3 2 3 2 

bên. Hỏi phương trình ( ) ( ) 

nghiệm thực dương phân biệt? 

A. 3 B. 5 

C. 7 D. 1 

3 

Câu 40: Một người bán gạo muốn đóng một thùng tôn đựng gạo có thể tích không đổi bằng8 m , thùng 

tôn hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông, không nắp. Trên thị trường, giá tôn làm đáy thùng là 

2 

2 

100.000 / m và giá tôn làm thành xung quanh thùng là 50.000 / m . Hỏi người bán gạo đó cần đóng 

thùng đựng gạo với cạnh đáy bằng bao nhiêu để chi phí mua nguyên liệu là nhỏ nhất ? 

A. 3 m B. 1,5 m C. 2 m D. 1 m 

Câu 41: Một màn ảnh hình chữ nhật cao 1,4m được đặt ở độ cao 1,8m so với tầm mắt (tính đầu mép dưới 

của màn hình). 





Trang 7 











Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng cách màn ảnh bao nhiêu sao cho góc nhìn lớn nhất. Hãy xác 

định khoảng cách đó. 

A. 2,4 m B. 2,42 m 

C. 2,46 m D. 2,21 m 

Câu 42: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Điểm M di động trên cạnh SC, đặt 

MC 

= k . Mặt phẳng qua A, M song song với BD cắt SB, SD thứ tự tại N, P. Thể tích khối chóp C.APMN 

MS 

lớn nhất khi 

A. k = 3. 

B. k = 1. 

C. k = 2. 

D. k = 2. 


với đạo hàm f '( ) 

Hàm số ( ) ( ) 

A. x = −1. 

B. x = 1. 

C. x = 0. 

D. x = 2. 

x có đồ thị như hình vẽ. 

3 

x 2 

g x = f x − + x − x + 2 đạt cực đại tại điểm nào ? 

3 

Câu 44: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích V. Gọi E là điểm trên 

cạnh SC sao cho EC = 2ES. Gọi ( α ) là mặt phẳng chứa đường thẳng AE và song song với đường thẳng 

BD,( α ) cắt hai cạnh SB, SD lần lượt tại hai điểm M, N. Tính theo V thể tích khối chóp S.AMEN. 

V 

A. . 

6 

V 

B. . 

27 

Câu 45: Cho hàm số ( ) ( ) 

f '( x ) > 0, ∀ x ∈ R 

V 

C. . 

9 

V 

D. . 

12 

3 2 

f x = x + m + 1 x + 3x + 2. Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m để 


A. ( −∞; −2) ∪ ( 4; +∞ ). 

B. [ − 2;4] 

C. ( −∞; −2) ∪ [ 4; +∞ ). 

D. ( − 2;4) 




Trang 8 











2 2017 

Câu 46: Cho hàm số y = f ( x ) liên trục trên R và có đạo hàm ( ) = ( − )( − ) ( − ) 

định nào sau đây là khẳng định đúng ? 

A. Hàm số đồng biến trên các khoảng( 1;2 ) và ( 3;+∞ ) 

B. Hàm số có ba điểm cực trị. 

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng( 1;3 ) 

D. Hàm số đạt cực đại tại x = 2 , đạt cực tiểu tại x = 1 và x = 3 

Câu 47: Gọi M ( a; 

b ) là điểm trên đồ thị hàm số 

d : y = 3x + 6 nhỏ nhất. Khi đó 

f ' x x 1 x 2 x 3 . Khẳng 

2x 

+ 1 

y = mà có khoảng cách đến đường thẳng 

x + 2 

A. a + 2b = 1 B. a + b = 2 C. a + b = −2 

D. a + 2b 

= 3 

Câu 48: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số = mx +1 

y có giá trị lớn nhất trên đoạn [2;3] 

+ 2 

x m 

bằng 5 . 

6 

A. 

⎡m 

= 3 

⎢ 

2 . 

⎢ m = 

⎣ 5 

B. 

⎡m 

= 2 

⎢ 

2 . 

⎢ m = 

⎣ 5 

C. 

⎡m 

= 3 

⎢ 

⎢ 

3. 

m = 

⎣ 5 

Câu 49: Đặt a = log12 6, b = log2 

7 . Hãy biểu diễn log 

2 

7 theo a và b. 

b 

A. . 

a +1 

b 

B. . 

1− a 

a 

C. . 

b −1 

D. m = 3 

a 

D. . 

b +1 

Câu 50: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, BC = a . Cạnh bên SA vuông góc 

với mặt phẳng (ABC). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC. Tính thể tích của 

khối cầu tạo bởi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.HKB. 

A. 

3 

π a 

π B. . 

6 

3 

2 a . 

3 

π a 

C. . 

2 

--- HẾT --- 

D. 

3 

2π a 

. 

3 





Trang 9 












MÔN TOÁN 






1-D 2-B 3-B 4-B 5-C 6-D 7-D 8-D 9-C 10-A 

11-B 12-A 13-B 14-A 15-D 16-C 17-B 18-C 19-C 20-A 

21-A 22-D 23-D 24-A 25-D 26-D 27-C 28-D 29-A 30-C 

31-C 32-A 33-B 34-B 35-C 36-A 37-D 38-B 39-C 40-C 

41-A 42-D 43-B 44-A 45-D 46-C 47-C 48-A 49-B 50-D 

















MÔN TOÁN 







Phương pháp: Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình nón: S = π Rl. 

Cách giải: Áp dụng công thức ta có: S = π 3.4 = 4 3π (đvdt). 


Phương pháp: Công thức tính xác suất của biến cố A là: P ( A) 

Cách giải: 

3 

Chọn 3 đoàn viên trong 25 đoàn viên nên n = C = 

Ω 25 

2300. 

Gọi biến cố A: “Chọn 3 đoàn viên trong đó có 2 nam và 1 nữ”. 

1 2 

Khi đó ta có: n = C . C = 675. 

A 

25 10 

Vậy xác suất cần tìm là: P ( A) 


Phương pháp: 

n A 

675 27 

= = = . 

n 2300 92 

Ω 

n 

n 

= A 

Khái niệm: Hình đa diện gồm một số hữu hạn đa giác phẳng thỏa mãn hai điều kiện: 

a) Hai đa giác bất kì hoặc không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung. 

b) Mỗi cạnh của một đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác. 

Hình đa diện chia không gian thành hai phần (phần bên trong và phần bên ngoài). Hình đa diện cùng với 

phần bên trong của nó gọi là khối đa diện. 


Theo khái niệm hình đa diện ta chỉ thấy hình 4 không là hình đa diện. 


Ω 

xq 





Trang 11 












+) Chứng minh hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là hai mặt phẳng có chứa hai 

đường thẳng song song. 

+) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng có chứa hai đường thẳng song song. 


Tứ giác ABCD là hình bình hành ⇒ AD / / BC . 

Điểm S thuộc cả 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC) 

⇒ Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là đường thẳng d đi qua S và song song với AD, BC. 



Cách 1: Tính đạo hàm của hàm số và khảo sát tính đơn điệu của hàm số trên [ −3;2] 

nhất cẩu hàm số. 

Cách 2: Sử dụng máy tính để giải nhanh: 

+) Bước 1: Nhấn MODE 7, nhập hàm số = ( ) 

và đưa ra giá trị lớn 

( ) 

2 − − 3 

y f x vào máy tính với Start: -3; End : 2; Step: . 

19 

+) Bước 2: Với các giá trị trên đoạn đó nhận xét và kết luận giá trị lớn nhất của hàm số. 

3 2 

Cách giải: Ta có: ( ) 

[ ] 

[ ] 

[ ] 

⎡ x = 0∈ −3;2 

⎢ 

y ' = 4x − 4 x ⇒ y ' = 0 ⇔ 4x x − 1 = 0 ⇔ ⎢x 

= 1∈ −3;2 

⎢ 

⎣x 

= −1∈ −3;2 

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 

f − 3 = 48; f − 1 = − 16; f 0 = − 15; f 1 = − 16; f 2 = −7. 

Như vậy max = 48. 

[ − 3;2] 



y = f x : f x ≥ 0. . 

+) Tìm ĐKXĐ của hàm số: ( ) ( ) 

+) Điều kiện xác định của hàm logarit: 

⎧0 < a ≠ 1 

y = log 

a 

b : ⎨ 

⎩b 

> 0 

+) Áp dụng các phương pháp giải bất phương trình logarit để giải tìm điều kiện của x. 



⎧ ⎪x + 3 > 0 ⎧⎪ 

x > −3 

⎧x > − 3 ⎧x 

> −3 

ĐKXĐ: ⎨ 0 ⇔ ⎨ ⇔ 3 2. 

0 ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ − < x ≤ − 

⎩⎪ log0,3 

( x + 3) ≥ ⎩⎪ ( x + 3) ≤ 0,3 ⎩x + 3 ≤ 1 ⎩x 

≤ −2 




Trang 12 













Hàm số dạng 

ax + b 

y = luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó. 

cx + d 

Cách giải: Tập xác định: D = R \{ 1} 

Ta có: 

− 1+ 

2 1 

y ' = = > 0 ∀x 

∈ R 

( x −1) ( x −1) 

2 2 

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞ ;1) 

và ( 1;+∞ ) 

Chú ý và sai lầm : Khi kết luận từng khoảng đồng biến hay nghịch chú ý không được dùng kí hiệu hợp 

(( −∞ ;1) ∪ (1; +∞ )) mà phải sử dụng chữ và. 



A, B là các biến cố độc lập thì P( A. B) = P( 

A) . P( 

B ) 

Chia bài toán thành các trường hợp: 

- Một người bắn trúng và một người bắn không trúng, 

- Cả hai người cùng bắn không trúng. 

Sau đó áp dụng quy tắc cộng. 


1 1 

Xác suất để xạ thủ thứ nhất bắn không trúng bia là: 1 − = . 

2 2 

1 2 

Xác suất để xạ thủ thứ nhất bắn không trúng bia là: 1 − = . 

3 3 

Gọi biến cố A:”Có ít nhất một xạ thủ không bắn trúng bia ”. 

Khi đó biến cố A có 3 khả năng xảy ra: 

+) Xác suất người thứ nhất bắn trúng bia, người thứ hai không bắn trúng bia: 1 . 2 = 

1 . 

2 3 3 

+) Xác suất người thứ nhất không bắn trúng bia, người thứ hai bắn trúng bia: 1 . 1 = 

1 . 

2 3 6 

+) Xác suất cả hai người đều bắn không trúng bia: 

Khi đó 

1 2 1 1 1 1 2 

P( A ) = . + . + . = . 

2 3 2 3 2 3 3 






Trang 13 












+) Giải phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị tìm tọa độ giao điểm A và B. 

2 2 

+) Công thức tính độ dài đoạn thẳng AB: AB = ( x − x ) + ( y − y ) 


 

A B B A 

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là: 

3 2 2 

x − 3x + 2x − 1 = x − 3x 

+ 1 

⎡ ⎧x 

= 2 

⎢⎨ ⇒ A 2; −1 

⎡x 

= 2 ⎩ = −1 

x 4x 5x 

2 0 ⇔ ⇒ ⎢ y 

⎢ 

⎣x 

= 1 ⎢⎧x 

= 1 

⎢⎨ 

⇒ B ( 1; −1) 

⎢⎩ ⎣ y = − 1 

3 2 

⇔ − + − = 

( ) 

 

2 2 

= 1− 2 + − 1+ 1 = 1. 

Khi đó độ dài đoạn thẳng AB là: AB ( ) ( ) 

Câu 10: Đáp án A 


+) Ta có: lim ( ) 

x→±∞ 

+) lim ( ) 

x→±∞ 


f x = ±∞ thì đường thẳng x = a là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. 

f x = b thì đường thẳng y = b là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. 

1 

+) Xét hàm số: = x + 

y có tiệm cận đứng là: x = 2 và tiệm cận ngang là: y = 1. 

x − 2 

+) Xét hàm số: y = 3 

x có tiệm cận ngang là y = 0. 

+) Xét hàm số: = log ( > 0) 

+) Xét hàm số: 

TXĐ : D = R. Ta có 

y x x có tiệm cận đứng là x = 0 . 

3 

2 

y = x + x + − x 

1 

y x x x 

2 

= + + 1 − = 

x→+∞ x→+∞ 2 

x→+∞ 

x + 1 

2 

x + x + + x 

1 

1+ 

x + 1 1 

lim y = lim = lim x = 

x + x + 1 + x 1 1 2 

1+ + + 1 

2 

x x 

1 

1+ 

x + 1 

lim y = lim = lim x = +∞ 

x + x + 1 + x 

1 1 

− 1+ + + 1 

2 

x x 

x→−∞ x→−∞ 2 

x→−∞ 

1 


. 




Trang 14 








⇒ Hàm số có 1 đường tiệm cận ngang 

2 

y = x + x + − x 

1 




Vậy cả bốn đồ thị hàm số đã cho đều có đường tiệm cận. 



Chuyển hàm ( ) 

số liên 

f ( x) = x − 1 = x −1 

f x về dạng ( ) 2 

tục, tìm GTLN, GTNN của hàm số và kết luận. 


Đáp án A: f (1) = 1− 1 = 0 (đúng) 

Đáp án B: Cách 1: ( f ( ))' ( x 1) 

Đáp án B: Cách 2: Ta có: 

2 x −1 

( ) 

( x −1) 

Vậy hàm số không có đạo hàm tại x = 1 


x = − = xác định với x > 1 

⎧ ⎪x −1, x ≥1 ⎧1 x > 1 

y = x − 1 = ⎨ 

⇒ y ' = ⎨ 

⎪⎩ 

−( x − 1 ), x < 1 ⎩− 1, x < 1 

2 

. Sau đó áp dụng các công thức tính đạo hàm, hàm 

2 

Phương pháp: Công thức tính thể tích khối trụ là V = π r h trong đó h là chiều cao của hình trụ, r là bán 

kính đáy. 

Cách giải: Ta có: chiều cao h của khối trụ là AD hoặc BC nên h = 2 

AB 1 

Bán kính đáy là r = = 

2 2 

2 1 π 

Khi đó ta có thể tích khối trụ cần tìm là V = π r h = π . .2 = 

4 2 


Phương pháp: loga 

f ( x) = loga 

g ( x) ⇔ f ( x) = g ( x) ( 0 < a ≠ 1; f ( x) g ( x ) > 0) 

Cách giải: Điều kiện: 

( x ) 

2017 2017 

−3 

x > 

13 

log 13 + 3 = log 16 

⇔ 13x 

+ 3 = 16 


⇔ x =1( tm ) 

Vậy phương trình có nghiệm x = 1. 




Trang 15 












Phương pháp: Giải phương trình lượng giác sau đó kết hợp vào điều kiện của đầu bài để tìm ra nghiệm 

thỏa mãn. 


2 

cos − cos = 0 

x x 

⎡ π 

⎡cos x = 0 

⇔ cos x( cos x − 1) 

= 0 ⇔ ⎢ 

x = + kπ 

⎢ ⇔ 2 , k ∈Z 

⎣cos x = 1 ⎢ 

⎣x 

= 2kπ 

+) Với: 

π π π π 1 1 

x = + kπ : 0 < x < π ⇔ 0 < + kπ < π ⇔ − < k2π 

< ⇔ − < k < 

2 2 2 2 4 4 

Mà k ∈Z nên k = 0 khi đó ta có 

+) Với: 

π 

x = 

2 

1 

x = 2 kπ : 0 < x < π ⇔ 0 < 2kπ < π ⇔ 0 < k < 

2 

Mà k ∈Z nên không có giá trị k nào thỏa mãn. 

Sai lầm và chú ý: Đối với những bài toán giải phương trình lượng giác thỏa mãn điều kiện cho trước, ta 

cần tìm được x sau đó cho x thỏa mãn điều kiện đầu bài và cô lập được k khi đó ta sẽ tìm được giá trị 

nguyên k thỏa mãn và sẽ tìm đc x. 


Phương pháp: Biểu thức log a 

b có nghĩa khi 0 < a ≠ 1; b > 0 

Cách giải: Biểu thức = log ( 2 − ) 

B a có nghĩa khi 2 − a > 0 ⇔ a < 2 

3 

Sai lầm và chú ý: Ở bài toán này ta chỉ cần chú ý đến điều kiện có nghĩa của hàm số logarit và giải bất 

phương trình để tìm x. 


Phương pháp: Cách giải phương trình log f ( x ) = b ⇔ f ( x ) = a b 

( 0 < a a 

≠ 1; f ( x ) > 0) 

Cách giải: Điều kiện: ( ) 

x 5 − x > 0 ⇔ 0 < x < 5 

⎡x 

= 2 

log6 

⎣⎡ x 5 x ⎤⎦ 

1 x 5 x 6 x 5x 6 0 ⎢ tm 

⎣x 

= 3 

2 

( − ) = ⇔ ( − ) = ⇔ − + = ⇔ ( ) 

Vậy S = { 2;3} 




Giải từng phương trình ra và kết luận phương trình vô nghiệm. 

Chú ý tập giá trị của hàm sin và hàm cos : −1≤ sin x ≤1; −1≤ cos x ≤1 

Trang 16 














Cách giải: Xét đáp án B ta có sin x + 3 = 0 ⇔ sin x = −3. 

Phương trình vô nghiệm 


Phương pháp: Thể tích khối chóp V 

1 

S . h : h là chiều cao của khối chóp, S là diện tích đáy. 

3 

= 

d 

Phương pháp xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng chính là 

góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng. 


Ta có: ( ) ( ;( )) ( , ) 

SA ⊥ ABCD ⇒ SB ABCD = SA AB = SBA 

3 

2a 

3. 

1 3V 

Ta có: V = SA. 

S ⇒ = = 3 

ABCD 

SA = a 

3 S a.2a 

ABCD 

Trong tam giác SAB vuông tại A ta có: 

SA 

tan SBA = = 1⇒ SBA = 45° 

AB 


Phương pháp: Áp dụng công thức khai triển tổng quát: ( ) 

Đối với bài toán này ta áp dụng công thức ( ) 

2 12 

( ) = + + + ... + 

P x a0 a1x a2x a2x ta tìm được hệ số 

8 


( ) 

8 

8 8− 

8 

∑ k k k 

8 8 8 

k = 0 

+ ) 1 + x = C .1 . x ⇒ a = C 

( ) 

9 

9 9− 

8 

∑ k k k 

9 8 9 

k = 0 

+ ) 1 + x = C .1 . x ⇒ a = C 

( ) 


10 10 8 

∑ k −k 

k 

10 8 10 

k = 0 

+ ) 1 + x = C .1 . x ⇒ a = C 

( ) 

11 

11 11 8 

∑ k −k 

k 

11 8 11 

k = 0 

+ ) 1 + x = C .1 . x ⇒ a = C 

( ) 

12 

12 12 8 

∑ k −k 

k 

12 8 12 

k = 0 

+ ) 1 + x = C .1 . x ⇒ a = C 

k = 0 

n k n k k 

n 

k = 0 

− 

+ = ∑ n 

a b C . a . b 

− 

1 + = ∑ n 

x n C k .1 n k . x k . Sau đó dựa vào khai triền bài toán cho 

n 

a (đi theo 


8 8 8 8 8 

Vậy Hệ số cần tìm là: a8 = C8 + C9 + C10 + C11 + C 

12 

= 1+ 9 + 45 + 165 + 495 = 715 


8 

x ) 




Trang 17 











Phương pháp: Quy tác tìm cực trị của hàm số y = f ( x ) ta có 2 quy tắc sau: 

Quy tắc 1: Áp dụng định lý 2: 

Bước 1: Tìm f '( x ) 

Bước 2: Giải phương trình ( ) 

xác định. 

f ' x = 0 tìm các nghiệm x1, x2, x3... 

và những điểm tại đó đạo hàm không 

Bước 3: Lập bảng biến thiên xét dấu của f '( x ) . Nếu f '( ) 

trị tại điểm x 

i 

Quy tắc 2: Áp dụng định lý 3 

Bước 1: Tìm f '( x ) 

Bước 2: Giải phương trình ( ) 

f ' x = 0 tìm các nghiệm x1, x2, x 

3... 

Bước 3: Tính f ''( x ) . Với mỗi nghiệm x ( i =1, 2,3) 

+) Nếu ( ) 

+) Nếu ( ) 

f '' x < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x 

i 

f '' x > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 

i 

Cách giải: Thực hiện tìm cực trị theo quy tắc 2: 

i 

ta xét: 

1 3 2 2 

y = x − x + x + 1 ⇒ y ' = x − 2x + 1; y ' = 0 ⇔ ( x − 1) 2 

= 0 ⇔ x = 1; 

3 

( ) 

y '' = 2x − 2 ⇒ y '' 1 = 0 

Vậy hàm số đã cho không có cực trị 

Sai lầm và chú ý: Nếu ( ) 



- Định nghĩa dãy số giảm: Dãy ( ) 

f '' x = 0 thì hàm số không đạt cực trị tại điểm x 

i 

i 

x đổi dấu khi x qua điểm x 

i 

thì hàm số đạt cực 

un 

được gọi là dãy số giảm nếu < * 

+ 1 ( ∈ N 

n n ) 

u u n . 

* 

- Có thể giải bài toán bằng cách xét các hàm số ở từng đáp án trên tập N (Dãy số cũng là một hàm số). 

* 

- Hàm số nào nghịch biến trên N thì dãy số đó là dãy số giảm. 


Đáp án A: ( ) 

−3 

u ' n = < 0, ∀ n > 1, n∈ 

N 

( n −1) 

2 * 

Đáp án B: u '( n) = 3n > 0, ∀n ∈ N nên dãy ( u ) 

2 

* 

nên dãy ( u ) 


n 

là dãy số tăng. 

n 

là dãy số giảm. 




Trang 18 











* 

Đáp án C: u '( n) = 2n > 0, ∀, 

n ∈ N nên dãy ( u ) 

* 

Đáp án D u '( n) = 2 > 0, ∀, 

n ∈ N nên dãy ( u ) 



M m;0 ∈Ox . 

- Gọi điểm ( ) 

n 

n 



 

- Tính tọa độ các véc tơ MA, MB, MC ⇒ u = MA + MB + MC . 

 

- Sử dụng công thức: a = ( x ; y ); b = ( x ; y ) ⇒ a + b = ( x + x ; y + y ) 

1 1 2 2 1 2 1 2 

- Tìm GTNN của biểu thức ở trên, từ đó suy ra m ⇒ M . 

Cách giải: Gọi M ( m ) 

;0 ∈Ox , ta có: 

 

MA = − m − MB = − − m MC = − m − 

( 1 ; 3 ); ( 2 ;6); ( 4 ; 9) 

 

⇒ MA + MB + MC = − m − 

( 3 3 ; 6) 

 

2 2 2 

⇒ MA + MB + MC = 3 − 3m + − 6 = 3m 

− 3 + 36 

( ) ( ) ( ) 

 

 

⇒ MA + MB + MC = 3m − 3 + 36 ≥ 36 ⇒ MA + MB + MC ≥ 6 

 

Do đó min = 6 



( ) 2 

u khi 3m − 3 = 0 ⇔ m = 1⇒ 

m ( 1;0 ) 

Cách tìm cực trị của hàm số đa thức: 

- Tính y '. 

- Tìm các nghiệm của y ' = 0 . 

- Tính các giá trị của hàm số tại các điểm làm cho y ' = 0 và so sánh, rút ra kết luận. 


⎡x 

= 0 ⇒ y = −3 

y ' = 4x − 4x = 0 ⇔ 4x x − 1 = 0 ⇔ 

⎢ 

⎢ 

x = 1⇒ y = −4 

⎢ ⎣x 

= −1⇒ y = −4 

3 2 

Ta có: ( ) 

Từ đó suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = ± 1và y = −4 




CT 




Trang 19 











Gọi M là trung điểm của AB, chứng minh SM ⊥ ( ) 

đáy. 

Cách giải: Gọi M là trung điểm của AB. 

Vì ∆ABC vuông tại C nên MA = MB = MC . . 

Mà SA = SB = SC nên SM là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 

Suy ra SM ⊥ ( ABC ). 

Vậy 

H ≡ M là trung điểm của AB. 

ABC bằng cách sử dụng tính chất của trục đường tròn 

Chú ý khi giải: Cần tránh nhầm lẫn với trường hợp chóp tam giác đều: HS dễ nhầm lẫn khi nghĩ rằng 

SA = SB = SC thì hình chiếu vuông góc của S sẽ là trọng tâm tam giác dẫn đến chọn nhầm đáp án B. 



Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ: S = 2π Rh . 

Công thức tính diện tích xung quanh hình nón: S = π Rl 


2 

Diện tích xung quanh hình trụ là: S1 = 2π Rh = 2π RR 3 = 2π R 3. . 

2 2 2 2 

Độ dài đường sinh của hình nón: l = R + h = R + 3R = 2R 

Diện tích xung quanh hình nón: 

Vậy 

S 

S 

1 

2 

2 

2π 

R 3 

= = 

2 

2π 

R 

3 

xq 

xq 

S2 = π Rl = π R.2R = 2π 

R 

Chú ý khi giải: Khi áp dụng công thức tính diện tích xung quanh hình nón, HS thường nhầm công thức 

S = π Rh dẫn đến tính nhầm tỉ số thể tích bằng 2 và chọn đáp án A là sai. 

xq 



- Gọi H là trực tâm tam giác, chứng minh SH ⊥ ( ) 

2 

ABC bằng cách sử dụng định lý: “Đường thẳng vuông 

góc với hai đường thẳng cắt nhau thì nó vuông góc với mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó”. 

- Tính độ dài SH bằng cách sử dụng hệ thức lượng giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông. 

Cách giải: Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. 

Ta sẽ chứng minh SH là đường cao của hình chóp. 


Gọi E, D lần lượt là hình chiếu của B,A lên AC,BC. 

Khi đó BE ⊥ AC, 

AD ⊥ BC . 




Trang 20 











SB ⊥ SA; SB ⊥ SC ⇒ SB ⊥ SAC ⇒ SB ⊥ AC . 

Ta có: ( ) 

⇒ AC ⊥ ( SBE) 

⇒ AC ⊥ SH . 

Chứng minh tương tự ta cũng được BC ⊥ SH .. 

Do đó SH là đường cao của hình chóp. 

SB SAC nên SB ⊥ SE ⇒ ∆SBE vuông tại S. 

Vì ⊥ ( ) 

1 1 1 

Lại có ∆SAC vuông tại S nên = + 

2 2 2 

SE SA SC 

1 1 1 1 1 1 

= + = + 

SH SE SB SA SC SB 

2 2 2 2 2 2 

1 1 1 11 

+ + = 

2 2 2 2 

a 2a 3a 6a 

2 

2 6a a 6 a 66 

⇒ SH = ⇒ SH = = 

11 11 11 

66 

d S ABC = SH = a 

11 

Vậy ( ,( )) 

Chú ý khi giải: Từ nay về sau, các em có thể ghi nhớ hệ thức liên hệ giữa đường cao và cạnh trong hình 

1 1 1 1 

chóp S.ABC mà có SA, SB, SC đôi một vuông góc, đó là = + 

2 2 2 2 

SH SA SB SC 



- Sử dụng dáng điệu các hàm số, sự tương giao đồ thị để loại trừ đáp án. 

- Đồ thị hàm số y = f ( x) 

xác định trên D, luôn nằm dưới trục hoành khi và chỉ khi ( ) 0, 


Đáp án A: Xét phương trình 

t < 0 < t . 

1 2 

2 

− − + = 

f x < ∀x ∈ D . 

t 4t 1 0 có ac = − 1.1 = − 1 < 0 nên có hai nghiệm t 1 

, t 2 

thỏa mãn 

2 

Do đó, phương trình −t − 4t + 1 = 0 có hai nghiệm x1,2 = ± t 

2 

. Loại A. 

Đáp án B: Xét phương trình 

t < 0 < t . 

1 2 

t 5t 1 0 có ac = − 1.1 = − 1 < 0 nên có hai nghiệm t 1 

, t 2 

thỏa mãn 

2 

− + − = 


2 

Do đó, phương trình − t + 5t − 1 = 0 có hai nghiệm x1,2 = ± t 

2 

. Loại B. 

y = − x + 2x − 2 = − x − 2x + 2 = − x − 2x + 1+ 1 = −1− x −1 ≤ − 1 < 0, ∀x 

∈ R 

4 2 4 2 4 2 2 

Đáp án C: ( ) ( ) ( ) 2 




Trang 21 








Do đó đồ thị hàm số 

4 2 

y = − x + 2x − 2 luôn nằm dưới trục hoành. 




Đáp án D: Đồ thị hàm số bậc ba luôn cắt trục hoành tại ít nhất 1 điểm nên loại D. 


Phương pháp: Áp dụng công thức tính đạo hàm hàm số logarit ( ) 

Cách giải: Ta có: 

2 

( x + 2 )' 2x 

2 2 

( x + ) ( x + ) 

y ' = = 

2 ln 5 2 ln 5 

Chú ý khi giải: HS thường quên tính u ' dẫn đến chọn nhầm đáp án A. 



- Dãy số ( ) 

n 

u' 

log u ' = . 

a 

u ln a 

u được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới, nghĩa là: tồn tại số m, M sao 

cho m ≤ u ≤ M , ∀n 

∈ N 

n 

* 

Chú ý: Nếu lim u = ±∞ thì ta kết luận ngay dãy không bị chặn. 


n 

( ) * 

nên ( u ) 

2n 

+ 1 2 n + 1 −1 

1 

Đáp án A: 0 < un 

= = = 2 − < 2, ∀n 

∈ N 

n + 1 n + 1 n + 1 

Đáp án B, C, D: lim u = +∞ nên các dãy số này đều không là dãy bị chặn. 



n 

n 

là dãy bị chặn. 

Quan sát bảng biến thiên, tìm các điểm mà đồ thị hàm số đi qua rồi rút ra kết luận. 

Cách giải: Từ bảng biến thiên ta thấy: 

- Đồ thị hàm số đi qua điểm ( ) 

- Đồ thị hàm số đi qua điểm ( 2; 2) 

Đáp án A: 

Đáp án C: 

0;2 nên loại B, D. 

3 

y = 2 − 3.2 + 2 = 4 ≠ −2 

nên loại A. 

y = − + = − 

3 2 

2 3.2 2 2 

− nên thay x = 2 vào hi hàm số A và C ta được: 

nên đáp án C đúng. 

Chú ý khi giải: Có nhiều cách làm cho bài toán này, HS cũng có thể xét từng hàm số, lập bảng biến thiên 

và đối chiếu kết quả nhưng sẽ mất nhiều thời gian hơn. Cần chú ý sử dụng phối hợp nhiều phương pháp 

để giải bài toán nhanh nhất. 



Phương pháp : 




Trang 22 











Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x) 

tại điểm có hoành độ x 

0 

có hệ số góc là '( 0 ) 

có phương trình y = f '( x )( x − x ) + y 

Cách giải : 

0 0 0 

2 

Ta có ( ) ( ) 2 

0 0 0 0 

y x và 

y ' = x − 6x + 1 ⇒ y ' x = x − 6x + 1 = x − 3 −8 ≥ −8 

là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị 

hàm số tại điểm có hoành độ x 

0 

, khi đó hệ số góc nhỏ nhất bằng − 8 khi và chỉ khi x 

0 

= 3. 

Tại x 

0 

= 3 ta có y 

0 

= −14 

. 

Vậy phương tình tiếp tuyến cần tìm là ( ) 


y = −8 x − 3 − 14 = − 8x 

+ 10 

1 

Phương pháp : Hình chóp và lăng trụ có cùng chiều cao và diện tích đáy thì V = V 

choùp 

3 

Cách giải: Dễ thấy mặt phẳng (A’BC) chia khối lăng trụ thành 2 phần là khối đa diện A’B’C’BC và 

chóp A’.ABC. 

⇒ V = V + V 

ABC. A' B' C ' A' B' C ' BC A' 

ABC 

V = 1 V ⇒ V + 

2 V 

3 3 

Mà 

A' ABC ABC. A' B' C ' A' B' C ' BC ABC. A' B ' C ' 


Phương pháp: Hàm số mũ y = a x có tập xác định D = R . 

x 

⎛ 1 ⎞ 

Cách giải: Hàm số y = ⎜ ⎟ là hàm số mũ nên có TXĐ D = R . 

⎝ 2 ⎠ 

Chú ý khi giải : Tránh nhầm lẫn với hàm số lũy thừa, một số bạn sẽ chọn nhầm đáp án C. 



Sử dụng công thức tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân 

Áp dụng khai triển nhị thức Newton ( ) 2 k = 0 

Sử dụng tổng ( ) 2 k = 0 


∑ n k n 

n 

1+ 1 = C = 2 

a b C a b 

− 

+ = ∑ n k k n k 

n 

( ) = ( 1+ ) + ( 1+ ) + ( 1+ ) + ( 1+ ) + ( 1+ 

) 


p x x x x x x 

S 

n 

u 

= 

n 

( q − ) 

1 

1 


q −1 

laêng truï 

. 




Trang 23 











( 1+ x) 8 ⎡( 1+ 5) 5 

− 1⎤ 

( 1+ x) − ( 1+ x) ( 1+ x) ( 1+ 

x) 

13 8 13 8 

= 

⎣ ⎦ 

= = − 

1+ x −1 

x x x 

13 8 

m m n n 

∑C13 x ∑C8 x 

13 8 

m= 0 n= 

0 

m m−1 n n−1 

∑C13 x ∑C13 

x 

x x m= 0 n= 

0 

= = = − 

( ) ( ) ( ) 

⇒ a + a + a + ... + a = C − C + C − C + ... + C − C + C + ... + C 

1 1 2 2 8 8 9 13 

0 1 2 12 13 8 13 8 13 8 13 13 

13 8 

a 

b 

∑C13 −∑C 

8 

a= 1 b= 

1 

Xét tổng ( ) 2 k 0 

∑ n k n 

n 

= 

1+ 1 = C = 2 

⇒ a + a + a + + a = − − + = 

13 

8 0 8 

∑C a 

13 

C 

8 

a= 

1 

⇒ = 2 − = 2 −1 

13 8 

0 1 2 

... 

12 

2 1 2 1 7936 



x 

Đặt 2 = t ( t > 0) 

, đưa về phương trình bậc 2 ẩn t, tìm điều kiện của phương trình bậc 2 ẩn t để phương 

trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt. 

x 

2 

Cách giải: Đặt 2 = t ( t > 0) 

khi đó phương trình trở thành t − 2mt + m + 2 = 0 (*) 

Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân biệt. 

Khi đó: 

⎧ > 2 

⎡m 

2 

⎪⎢ 

⎧∆ ' > 0 ⎧m 

− m − 2 > 0 

⎣m 

⎪ ⎪ 

⎪ 

⎨ ⎨ ⎨ 

⎪ ⎪ ⎪ 

⎩P ⎩m m 

⎪ 

⎪⎩ 

< −1 

S > 0 ⇔ 2m > 0 ⇔ m > 0 ⇒ m > 2 

> 0 + 2 > 0 > −2 

Chú ý và sai lầm: Rất nhiều học sinh sau khi đặt ẩn phụ thì quên mất điều kiệnt 

> 0 , dẫn đến việc chỉ đi 

tìm điều kiện đề phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt. 



Tính độ dài các đoạn thẳng MN và MQ sau đó áp dụng công thức tình thể 

2 

tích hình trụ V = π r h . 


Độ dài cung AB là chu vi đường tròn đáy nên 

lAB 

2 4π 

= 2 π. r = 2π 

= 3 3 





Trang 24 











4π 

lAB 

2 

Ta có độ dài cung AB là = ⇒ = = 3 π 

lAB 

αOA α 

= = AOB 

OA 2 3 

Áp dụng định lí cosin trong tam giác OAB có 

2 2 2π 

2 2 2 ⎛ 1 ⎞ 

AB = OA + OB − 2 OAOB . .cos = 2 + 2 − 2.2 ⎜ − ⎟ = 2 3 

3 ⎝ 2 ⎠ 

1 1 3 

MN = AB = 3 = PQ ⇒ MH = MN = 

2 2 2 

Hạ OD ⊥ MN ta có OD là tia phân giác của AOB ⇒ AOD = 60 ° , OD cắt AQ tại E. 

1 1 

Xét tam giác vuông OMH có OH = OM .cos60 = 1. = 2 2 

2 2 2 

OP + OQ − PQ 4 + 4 − 3 5 

Xét tam giác OPQ có cos POQ = = = 

2.OP.OQ 2.2.2 8 

Mà ( ) 

2 5 13 

cos POQ = cos 2DOQ = 2cos DOQ − 1 = ⇒ cos DOQ = 

8 4 

Xét tam giác DOQ có QD = OQ + OD − 2OQ.ODcos DOQ = 4 + 4 − 2.2.2. = 8 − 2 13 

4 

Xét tam giác vuông DQF có: 

2 2 2 13 

2 2 2 3 29 29 −8 13 16 − 2.4. 13 + 13 4 − 13 

DF = QD − QF = 8 − 2 13 + = − 2 13 ⇔ DF = = = 

4 4 2 2 2 

1 4 − 13 4 −1− 4 + 13 13 −1 

⇒ HF = OD − OH − DF = 2 − − = = = MQ 

2 2 2 2 

Khi đó thể tích khối trụ tạo ra bởi hình chữ nhật MNPQ là: 

2 

V .MH .MQ . 

2 

( − ) 

⎛ 3 ⎞ 13 −1 

3π 

13 1 

= π = π ⎜ 

= 

2 ⎟ 

⎝ ⎠ 2 8 

Chú ý khi giải: Có thể tính độ dài MQ bằng cách như sau: 

Xét tam giác OAE có: 

2 

( ) ( ) 

EA = OA + OE − 2OA.OE cos AOE = 4 + 2 + DE − 2.2. 2 + DE . 2 

2 2 2 1 

2 2 

EA DE 2DE 4 

⇒ = + + 


Gọi F là giao điểm của ED với đường tròn tâm O bán kính OA = 2. 

Khi đó theo tính chất hai cát tuyến EQA, EDF ta có 




Trang 25 











1 

= ⇒ = + ⇔ = + 

2 

( ) ( ) 

2 2 2 

EQ.EA ED.EF EA ED ED 4 EA 2ED 8ED 2 

Từ (1),(2) suy ra 

2 2 2 

DE + 2DE + 4 = 2DE + 8DE ⇔ DE + 6DE − 4 = 0 ⇔ DE = 13 − 3 

1 13 −1 

Do đó OE = OD + DE = 2 + 13 − 3 = 13 −1⇒ MQ = OE = 

2 2 

Vậy MQ = 

13 −1 

2 


Phương pháp giải: 

Sử dụng phương pháp hàm đặc trưng để từ giả thiết suy ra mối liên hệ giữa hai biến, sau đó sử dụng 

phương pháp thể và khảo sát hàm số tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức 

Lời giải: 

2x 

+ y + 1 = + 2 ⇔ log3 2 + + 1 − log3 

+ = 3 + − 2 + + 1 + 1 

x + y 

Ta có x y x y ( x y) ( x y) ( x y ) 

( x + y + ) ⎡ ( x + y ) ⎤ ( x + y ) ( ) 

log3 2 1 +2x+y+1=log 

3 ⎣3 ⎦ +3 * . 

Xét hàm số f ( t) = log3 

t + t trên khoảng ( 0;+∞) ⇒ f ( t ) là hàm số đồng biến trên ( 0;+∞ ) 

* ⇔ f 2x + y + 1 = f 3x + 3y ⇔ 2x + y + 1 = 3x + 3y ⇔ x + 2y 

= 1. 

Mà ( ) ( ) ( ) 

Đặt a = y > 0 ⇔ y = a ⇔ x = 1− 2y = 1− 2a > 0 ⇔ 0 < a < 

T = g a = 1 + 

2 . 1− 

2a 

a 

Khi đó ( ) 

2 

Xét hàm số g ( a) 2 

Xét ( ) 

3 

2 2 1 

= 1 + 

2 

1− 

2a a trên khoảng ⎛ 1 ⎞ 

⎜ 0; ⎟ 

2 

⎛ 1 ⎞ 

h a = 2a − 2a −1 

trên ⎜ 0; ⎟ 

⎝ 2 ⎠ có 

2 

3 

⎝ ⎠ , có ( ) 2( 2a −1)( 2a − 2a 

−1) 

g ' a = − 

2 2 

2 

a ( 2a 

−1) 

2 2 1 ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 

h '( a) = 6a − 2 = 2( 3a − 1) = 0 ⇔ a = ± ⇒ h '( a) 

< 0, ∀a 

∈⎜ − ; ⎟ ⊃ ⎜ 0; ⎟ 

3 ⎝ 3 3 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 

Do đó h( a ) nghịch biến trên 0; ⇒ h ( a ) < h ( 0) 

= − 1 < 0, ∀ a ∈ 0; nên phương trình h ( a ) = 0 


⎛ 1 ⎞ 

vô nghiệm trên ⎜ 0; ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 




Trang 26 











1 

2 

⎛ 1 ⎞ 

⎜ ⎟ = = +∞ = +∞ 

2 x→0 

⎝ ⎠ 

Phương trình g '( a) 

= 0 ⇔ a = . Tính các giá trị g 6;lim g ( a) ; lim g ( a ) 

⎛ 1 ⎞ 

min g a = g ⎜ ⎟ = 6 . Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là T 

min 

= 6 

⎝ 2 ⎠ 

Suy ra ( ) 

⎛ 1 ⎞ 

⎜ 0; ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 



Sử dụng phương pháp giải phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với sin và cos bằng cách chia cả 2 vế phương 

2 

trình cho cos x . 

2 2 

2sin + 3 sin 2 = 3 ⇔ 2sin + 3 sin cos = 3 

x x x x x 

π 

2 

TH1: cos x = 0 ⇔ x = + kπ 

( k ∈Z) 

1 

a→ 

2 

2 

, khi đó ta có sin x = 1⇒ 2.1 = 3 (vô nghiệm). 

TH2: cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ π 

2 

+ kπ chia cả 2 vế phương trình cho cos x ta được 

2 

( ) 

2 tan 2 x + 2 3 tan x = 3 1+ 

tan 

2 x 

⇔ − + = 

2 

tan 2 3 tan 3 0 

x x ( ) 2 



Đặt = 3 − 3 2 + 2 = ( ) 

π 

⇔ tan − 3 = 0 ⇔ tan x = 3 ⇔ x = + kπ 

k ∈Z tm 

3 

x ( )( ) 

t x x f x , dựa vào đồ thị hàm số đã cho tìm ra các nghiệm t . 

Xét các phương trình 

( ) 

( ) = i 

f x t , số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số 

y = f x và đường thẳng y = t i 

song song với trục hoành. 


t x x f x khi đó phương trình trở thành 3 − 3 2 + 2 = 0 

Đặt = 3 − 3 2 + 2 = ( ) 

hình dáng y như trên. Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy f ( t) 

Với = + ⇒ ( ) = + ( ) 

t t và hàm số ( ) 

3 2 

⎡ t = 1− 

3 

⎢ 

= ⎢t 

= 1 

⎢ 

⎣t 

= 1 + 3 

i 

f t = t − 3t + 2có 

t 1 3 f x 1 3 1 . Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm 

( ) 

y = f x và đường thẳng y = 1+ 

3 song song với trục hoành. 


Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng = 1+ 

3 

phương trình (1) có 1 nghiệm duy nhất. 

y cắt đồ thị hàm số = ( ) 

y f x tại 1 điểm duy nhất nên 




Trang 27 











t 1 f t 1 2 . Lập luận tương tự như trên ta thấy phương trình (2) có 3 nghiệm phân biệt. 

Với = ⇒ ( ) = ( ) 

t 1 3 f t 1 3 3 . Phương trình 3 có 3 nghiệm phân biệt. 

Với = − ⇒ ( ) = − ( ) 

Vậy phương trình ban đầu có 7 nghiệm phân biệt. 

Chú ý và sai lầm: Sau khi đặt ẩn phụ và tìm ra được 3 nghiệm t, nhiều học sinh kết luận sai lầm phương 

trình có 3 nghiệm phân biệt và chọn đáp án A. Số nghiệm của phương trình là số nghiệm x chứ không 

phải số nghiệm t. 


Phương pháp: Lập hàm số chi phí theo một ẩn sau đó tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số đó. 

Cách giải: Gọi a là chiều dài cạnh đáy hình vuông của hình hộp chữ nhật và b là chiều cao của hình hộp 

a b = a b > ⇒ ab = 

a 

chữ nhật ta có 8 ( , 0) 

Diện tích đáy hình hộp là 

2 8 

2 

a và diện tích xung quanh là 4ab nên chi phí để làm thùng tôn là 

8 1600 16 

⎜ ⎟ (nghìn đồng) 

a a ⎝ a ⎠ 

2 2 2 2 2 

100a + 50.4ab = 100a + 200ab = 100a = 100. = 100a + = 100 ⎛ a + 

⎞ 

2 16 2 8 8 2 8 8 

Áp dụng BĐT Cauchy ta có a + = a + + ≥ 33 

a + + = 3.4 = 12 

a a a a a 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 

a 

+ ⇔ a = 2. 

a 

2 8 

Vậy chi phí nhỏ nhất bằng 1200000 đồng khi và chỉ khi cạnh đáy hình hộp bằng 2m. 


Phương pháp giải: Dựa vào hệ thức lượng trong tam giác và công thức lượng giác xác định độ lớn của 

góc cần tính thông qua khoảng cách. Khảo sát hàm số tìm min – max 

Lời giải: Với bài toán này, ta cần xác định OA để góc BOC lớn nhất. Điều này xảy ra ⇔ tan BOC lớn 

nhất. 

OA x m với x > 0 . Ta có: 

Đặt = ( ) 

AC AB 1,4 

− 

tan AOC − tan AOB 1, 4x 

tan BOC = tan ( AOC − AOB) = = OA OA = x = . 

2 

1+ tan AOC.tan AOB AC. AB 3,2.1,8 

1+ 1+ 

x + 5,76 

2 2 

OA x 

Xét hàm số ( ) 

2 

f 

x 

2 

( x 5,76) 

1,4 x 

= 

x + 5,76 

0;+∞ , có: 

trên ( ) 

2 

− 1, 4x 

+ 1,4.5,76 

⎧x 

> 0 

f '( x) 

= ; f ' 

2 

( x) 

= 0 ⇔ ⎨ ⇔ x = 2,4 

2 

+ ⎩x 

= 5,76 





Trang 28 











Tính cách giá trị f ( 0) = 0; f ( 2, 4 ) = ; lim f ( x ) = 0 suy ra f 

( ) 

( x ) 

Vậy khoảng cách OA cần tìm là 2,4 m. 



7 

24 x →+∞ 

7 

max = . 

0; +∞ 24 

Dùng định lí Thalet, định lý Menelaus và phương pháp tỉ số thể tích để tính thể tích khối chóp theo tham 

số k. 

Khảo sát hàm số chứa biến k để tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất 

Lời giải: 

Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD và I = SO ∩ AM . 

Ba điểm M,A,I thẳng hàng nên áp dụng định lý Menelaus cho tam giác SOC ta có: 

SM CA OI OI k 

. . = 1⇒ = 1 = . 

MC AO IS SI 2 

Vì 

SP SI SN 2 

NP / / BD ⇒ = = = (định lí Thalet). 

SD SO SB k + 2 

( ) 

Và d ( P; ( ABCD) 

) d ( N; ( ABCD) 

) d ( S; 

( ABCD) 

) 

= = DP 

SD 

k 

k 

= . d S; ANCD ⇒ V = V = . V 

k + 2 2k 

+ 4 

( ( )) . . . 

P ACD N ABC S ABCD 

VS . AMP 

SM SP 1 1 2 

Ta có = . = . ⇒ VS ANMP 

= 

. V 

V SC SD k + 1 k + 2 k + 1 k + 2 

S. 

ACD 

( )( ) 

. S. 

ABCD 

⎡ 2 k ⎤ 

2k 

Vậy V = V −V −V − V = ⎢1 − − ⎥. V = . V 

2 

⎣ ( k + 1)( k + 2) 

k + 2⎦ 

k + 3k 

+ 2 

C. ANMP S. ABCD S. ANMP P. ACD N . ABC S. ABCD S. 

ABCD 

Để { V } f ( k ) 

⇔ = 

k 

C. ANMP max 

2 

f k 

= 

k 


2 

( ) 

2 2 

( k + 3k 

+ 2 ) 

k 

+ 3k 

+ 2 

k 

đạt giá trị lớn nhất. 

+ 3k 

+ 2 

0;+∞ có: 

trên khoảng ( ) 

2 

− k + 2 

f ' k = = 0 ⇔ k = 2 (vì k > 0 ) 

( 0; +∞) 

( ) ( ) 

⇒ max f k = f 2 = 3− 

2 2. 


Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi k = 2. Vậy khi k = 2 thì thể tích khối chóp C. 

ANMP lớn nhất. 


Phương pháp giải: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số để kết luận điểm cực trị 




Trang 29 











Lời giải: 

3 

x 

3 

g '( ) = f ' x − x + 2x −1; ∀x 

∈ R. 

2 

2 

Xét hàm số g( x) = f ( x) 

− + x − x + 2, có x ( ) 

2 

Ta có: g '( x ) = 0 ⇔ f '( x) = ( x −1 ) (*) 

Từ đồ thị hàm số f '( x ) ta thấy: '( 0) = 1 = ( 0 −1) 2 

( ) ( ) 2 

f ' 1 = 0 = 1−1 ⇒ x = 1là một nghiệm của g '( x ). 

( ) ( ) 2 

f ' 2 = 1 = 2 −1 ⇒ x = 2 là một nghiệm của g '( x ). 

f nên x = 0 là một nghiệm của g '( x ). 

Vậy phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt x1 = 0, x2 = 1, x 

3 

= 2. 

Vẽ đồ thị hàm số = ( −1) 2 

y x trên cùng mặt phẳng tọa độ với y = f '( 

x) 

ta thấy: 

Trong khoảng (0;1) thì đồ thị hàm số = '( 

) 

g '( x) < 0, ∀x 

∈( 0;1) 

Trong khoảng (1;2) thì đồ thị hàm số = '( 

) 

g '( x) < 0, ∀x ∈( 1;2) 

. 

Vậy x = 1 là điểm cực đại của hàm số y = g( x ). 



y f x nằm phía trên đồ thị hàm số = ( −1) 2 

y x nên 

y f x nằm phía dưới đồ thị hàm số = ( −1) 2 

Dùng định lí Thalet và phương pháp tỉ số thể tích để tính thể tích khối chóp cần tìm 

Lời giải: 

Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD và I = SO ∩ AE . . 

Ba điểm E, A, I thẳng hàng nên áp dụng định lý Menelaus cho tam giác SOC ta 

SE CA OI OI SI 1 

có: . . = 1⇒ = 1 ⇒ = . 

EC AO IS SI SO 2 

Vì 

SM SN SI 1 

MN / / BD ⇒ = = = (định lí Thalet). 

SB SD SO 2 

VS . AME 

SM SN 1 1 1 V 

Do đó = . = . = ⇒ VS . AME 

= ; 

V SB SD 2 3 6 12 

S. 

ABC 

V 

V V V 

Tương tự, ta có V 

S. AME 

= . Vậy VS. AMEN 

= VS. AME 

+ V 

S. ANE 

= + = . 

12 

12 12 6 



y x nên 





Trang 30 











Dựa vào dấu của tam thức bậc hai để xét nghiệm của bất phương trình bậc hai chứa tham số 

f ' x = 3x + 2 m − 1 x + 3. 

2 

Lời giải: Ta có ( ) ( ) 

f ' x > 0, ∀x ∈ ⇔ 3x + 2 m − 1 x + 3 > 0, ∀x 

∈ R 

2 

Để ( ) R ( ) 

( ) 2 2 

⇔ ∆ ' = m −1 − 9 < 0 ⇔ m − 2m − 8 < 0 ⇔ − 2 < m < 4. 


Dựa vào phương trình đạo hàm bằng 0. Lập bảng biến thiên của hàm số, từ đó kết luận tính đơn điệu 

cũng như điểm cực trị của hàm số 

2 2017 2 2016 

Lời giải: Ta có f '( x) = ( x −1)( x − 2) ( x − 3) = ( x −1)( x − 3 ).( x − 2) ( x − 3) 

Suy ra f ( x) 

⎡x 

> 3 

' > 0 ⇔ ⎢ 

⎣x 

< 1 

và '( ) < 0 ⇔ ∈( 1;3 ) 

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( ) 



f x x , đồng thời x = 2 không là điểm cực trị của hàm số. 

1;3 . 

Sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, đưa về khảo sát hàm số để tìm giá trị nhỏ 

nhất – giá trị lớn nhất. 

Lời giải: 

2a 

+ 1 

3a 

− + 6 

⎛ ⎞ 

a + 2 

; ∈ ⇒ ⎜ ; ⎟ ⇒ ; = = . 

⎝ a + 2 ⎠ 

10 10 a + 2 

Điểm M ( a b) ( H ) M a d ( M ( d )) 

Xét hàm số f ( a) 

= 

2 

3a 

+ 10a 

+ 11 

a + 2 

2 

2a + 1 1 3a + 10a 

+ 11 

với ≠ −2, 

a có f ( a) 

2 

( ) 

3 a + 4a + 3 ⎡a 

= −1 

' = = 0 ⇔ 

2 ⎢ 

+ ⎣a 

= −3 

( a 2) 

Tính các giá trị f ( − 1) = 4; f ( − 3) 

= −8 

và lim f ( a) ;lim f ( a ) 

Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) 

⎧a 

= −1 

Vậy ⎨ ⇒ a + b = −2 

⎩b 

= − 1 



x→−2 

= ∞ = ∞ 

x→∞ 

f a bằng 4 ⇔ a = −1 


Xét các trường hợp của tham số, lập bảng biến thiên để tìm max – min trên đoạn 

Lời giải: 




Trang 31 








Xét hàm số = mx +1 

y + 2 

x m 


3 

m −1 

' = ; ∀x 

∈ 2;3 

2;3 có y 

2 

( x + m ) 

[ ] 




TH1: Với 

TH2: Với 

3 

m − 1 > 0 ⇔ m > 1, khi đó [ ] 

3 

m − 1< 0 ⇔ m < 1, khi đó [ ] 

2 

Vậy có hai giá trị cần tìm là m1 = 3; m 

2 

= . 

5 



3m 

+ 1 5 

y ' > 0; ∀x ∈ 2;3 ⇒ max y = y ( 3) = = ⇒ m = 3. 

2 

[ 2;3] 

3 + m 6 

2m 

+ 1 5 2 

y ' < 0; ∀x ∈ 2;3 ⇒ max y = y ( 2 ) = = ⇒ m = . 

2 

[ 2;3] 

2 + m 6 5 

Biểu diễn số theo hai giá trị của giả thiết qua các công thức thường sử dụng 

Lời giải: 

12 

log12 

7 b 

Ta có log12 6 = log12 = 1− log12 2 = a ⇒ log12 

2 = 1− 

a Vậy log12 

7 = = 

2 

log 2 1 − a 



Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp đi qua các đỉnh của khối chóp bằng phương pháp dựng hình, từ đó dựa 

vào tính toán xác định bán kính – thể tích mặt cầu 

Lời giải: 

Theo giả thiết, ta có ABC = 90° 

và ABC = 90° 

(1). 

Do 

⎧⎪ AH ⊥ SB 

⎨ 

⎪⎩ 

BC ⊥ AH BC SAB 

( ⊥ ( )) 

( ) 

⇒ AH ⊥ SBC ⇒ AH ⊥ HC 

Từ (1), (2) ⇒ ba điểm B, H, K cùng nhìn xuống AC dưới một góc 90 ° . 

Nên hình chóp A.HKCB nội tiếp mặt cầu tâm I là trung điểm AC. 

3 

AC AB 2 a 2 

4 3 2π 

a 

⇒ R = = = . Vậy thể tích khối cầu V = π R = . 

2 2 2 

3 3 

(2). 

----- HẾT ----- 


12 




Trang 32 











Lớp 12 

(...%) 

Lớp 11 

(...%) 


MÔN TOÁN 

STT 



liên quan 


THPT CHUYÊN LAM SƠN- THANH HÓA- LẦN 1 




Nhận 

biết 


Thông 

hiểu 

Vận 

dụng 

Vận dụng 

cao 

Tổng số 

câu hỏi 

6 6 5 3 20 




4 Số phức 







0 1 0 0 1 




1 0 0 0 1 

4 Giới hạn 0 1 1 0 2 

5 Đạo hàm 1 0 0 0 1 




0 1 0 0 1 




Trang 1 








phẳng 










1 0 0 0 1 


Tổng Số câu 14 13 13 10 50 

Tỷ lệ 28% 26% 26% 20% 





Trang 2 












MÔN TOÁN 

Câu 1: Tìm số mặt của hình đa diện ở hình vẽ bên: 

A. 11 B. 10 

C. 12 D. 9 

Câu 2: Tìm hệ số h của số hạng chứa 





5 

x trong khai triển 

⎛ 

⎜ x 

⎝ 

2 2 

7 

⎞ 

+ ⎟ 

x ⎠ 

A. h = 84 

B. h = 672 

C. h = 560 

D. h = 280 

Câu 3: Cho { u } là cấp số cộng có công sai là d, { } 

n 

n 

I ) u = d + u ∀n ≥ 2, n ∈ N 

II ) vn 

= q v1∀n ≥ 2, n ∈ N 

n 

n−1 

un 

1 

+ un 

1 

III) un 

= − + ∀n ≥ 2, n ∈ N 

2 

Có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định trên? 

n 

? 

v là cấp số nhân có công bội là q và các khẳng định 

IV ) v v = v ∀ ≥ − − 

2, n ∈ N 

2 

n 1 n n 1 

A. 4 B. 2 C. 3 D. 5 

Câu 4: Biết phương trình 2log 

2 

x + 3log 2 = 7 có hai nghiệm thực x1 < x2 

. Tính giá trị của biểu thức 

T = 

x 

( x ) 2 

1 

x 

A. T = 64 

B. T = 32 

C. T = 8 

D. T = 16 

Câu 5: Cho hàm số y f ( x) 

= xác định, liên tục trên R và có đồ thị như hình bên: 

y = f x + ? 

Đồ thị nào dưới đây là đồ thị hàm số ( ) 1 





Trang 3 











A. (III) B. (II) C. (IV) D. (I) 

Câu 6: Tính thể tích V của khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ biết độ dài cạnh đáy bằng 2 đồng 

thời góc tạo bởi A’C và đáy (ABCD) bằng30° ? 

8 6 

8 6 

A. V = B. V = 24 6 C. V = 8 6 D. V = 

3 

9 

Câu 7: Tìm cặp điểm thuộc đồ thị (C) của hàm số 

x + 2 

y = đối xứng nhau qua gốc tọa độ. 

x + 1 

A. ( 2; 2 ) và ( − 2; − 2 ) 

B. ( 3; − 2 ) và ( − 3; 2 ) 

C. ( 2; − 2 ) và ( 2; 2 ) 

− D. ( 2; −2) 

và ( − 2;2) 

Câu 8: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, tìm tọa độ điểm M’ là ảnh của điểm M(2 ; 1) qua phép đối 

xứng tâm I(3 ;-2). 

A. M’(1 ;-3) B. M’ (-5 ; 4) C. M’(4 ;-5) D. M’(1 ;5) 

Câu 9: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0? 

A. 

u n 

⎛ 2 ⎞ 

= ⎜ − ⎟ 

⎝ 3 ⎠ 

n 

B. 

u n 

n 

⎛ 6 ⎞ 

= ⎜ ⎟ 

⎝ 5 ⎠ 

C. u 

n 

3 

n − 3n 

= 

n + 1 

2 

D. u = n − 4n 

Câu 10: Môt người gửi 75 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 5,4%/năm. Biết rằng nếu không rút 

tiền ra khỏi ngân hằng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi được nhập vào gốc để tình lãi cho năm tiếp theo. 

Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó nhận được số tiền nhiều hơn 100 triệu đồng bao gồm cả gốc và 

lãi? Giả định suốt trong thời gian gửi, lãi suất không đổi và người đó không rút tiền ra. 

A. 7 năm B. 4 năm C. 6 năm D. 5 năm 

2 

Câu 11: Tìm tập xác định D của hàm số ( ) 2 − 3 

y = x − 2x 

− 3 

A. D = ( −∞; −3] ∪ [ 1; +∞ ) 

B. D = ( −∞; −1) ∪ ( 3; +∞ ) 


C. D = ( −∞; −3) ∪ ( 1; +∞ ) 

D. D = ( −∞; −1] ∪ [ 3; +∞ ) 

Câu 12: Tính thể tích V của khối trụ có bán kính đáy và chiều cao bằng 2. 

n 




Trang 4 











A. V = 4π 

B. V = 12π 

C. V = 16π 

D. V = 8π 

Câu 13: Cho 0 < a < 1. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau : 

A. log x < a 

1 khi 0 < x < a 

B. Đồ thị hàm số y = log a 

x nhận trục Oy làm tiệm cận đứng. 

C. Nếu 0 < x1 < x2 

thì log x1 < log x2 

D. log x > a 

0 khi x > 1 

a 

⎛ 5π 

⎞ 

Câu 14: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng ⎜ 0; ⎟? 

⎝ 6 ⎠ 

⎛ π ⎞ 

A. y = sin x B. y = cos x C. y = sin ⎜ x − ⎟ 

⎝ 3 ⎠ 

Câu 15: Hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt đối xứng? 

a 

A. 5 B. 6 C. 3 D. 4 

⎛ π ⎞ 

D. y = sin ⎜ x + ⎟ 

⎝ 3 ⎠ 

Câu 16: Tính thể tích V của khối cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện đều ABCD cạnh bằng 1. 

2π 

2π 

2π 

A. V = B. V = C. V = D. V = 

24 

12 

8 

Câu 17: Cho hàm số f ( x) 

A. 

5 

a = − B. 

2 

3 2 

⎧ x − x + 

2π 

3 

4 3 khi x ≠ 1 

⎪ 

= 

x −1 

⎨ . Xác định a để hàm số liên tục trên R. 

⎪ 5 

ax + khi x=1 

⎪⎩ 2 

5 

a = C. 

2 

2 

Câu 18: Cho phương trình: ( 7 4 3) ( 2 3) 

sau: 

x + x−1 x−2 

15 

a = D. 

2 

15 

a = 

2 

+ = + Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định 

A. Phương trình có hai nghiệm không dương. B. Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt. 

C. Phương trình có hai nghiệm trái dấu. D. Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt. 


= − 6 + 9 − 1 và các mệnh đề sau: 

3 2 

y x x x 

x −∞ 1 3 +∞ 

y ' + 0 − 0 + 

y 3 +∞ 





Trang 5 








(1) Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞;1) 

và ( 3;+∞ ) , nghịch 

−∞ − 1 




biến trên khoảng ( 1;3 ) 

(2) Hàm số đạt cực đại tại x = 3và x = 1 

(3) Hàm số có y + 3y 

= 0 

CD 

CT 

(4) Hàm số có bảng biến thiên và đồ thị như hình vẽ. 

Tìm số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên. 

A. 1 B. 4 C. 2 D. 3 

Câu 20: Cho hàm số có bảng biến thiên: 

Xét các mệnh đề: 

(1) c = 1 

(2) c = 2 

(3) Hàm số đồng biến trên ( −∞; −1) ∪( − 1; +∞ ) 

(4) Nếu 

y ' = 

1 

( x + 1) 2 

thì b = 1 

Tìm số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên. 

A. 3 B. 4 C. 1 D. 2 

Câu 21: Với 0 < a ≠ 1, biểu thức nào sau đây có giá trị dương? 

A. 

1 

⎛ ⎛ ⎞⎞ 

loga 

log2 

2 

⎜ ⎜ 

a 

⎟ 

⎟ 

⎝ ⎝ ⎠⎠ 

B. log 

a 

⎛ 1 ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ log10 ⎠ 

⎛ 

C. log a ⎜ 

⎝ 

Câu 22: Viết phương trình tiếp tuyến của( ) 

3 2 

phương trình y '' = 0. 

A. 

7 

y = − 3 x + . B. 

3 

1 

y = −x 

− . C. 

3 

1 ⎞ 

⎟ 

a ⎠ 

4 

D. log2 

( log 4 a 

a ) 

1 

C y = x + x − 2 tại điểm có hoành độ là nghiệm của 

3 

7 

y = −x 

− . D. 

3 

11 

y = − x + . 

3 

Câu 23: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng 

đáy và SA = 2 a. 

Gọi M là trung điểm của SC. Tính cosin của gócα là góc giữa đường thẳng BM và mặt 

phẳng (ABC). 

A. 

7 

2 7 

5 

cosα = B. cosα = C. cosα = D. cosα = 

14 

7 

7 


. Hàm số y f '( x) 

= có đồ thị như hình vẽ: 

x −∞ − 1 +∞ 

y ' + + 

y +∞ 2 

2 −∞ 


21 

7 




Trang 6 











Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: 

A. Hàm số y = f ( x) 

đồng biến trên ( −∞ ;1) 

B. Hàm số y f ( x) 

= đạt cực đại tại x = 1. 

C. Đồ thị hàm số y f ( x) 

D. Đồ thị hàm số y f ( x) 


= có một điểm cực tiểu 

= có hai điểm cực trị. 

y x 3x 

2 

3 2 

= − − + có đồ thị hàm số như hình vẽ bên. 

Tìm tập hợp S tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình 

phân biệt. 

3 2 

A. S = ∅ B. S = [ − 2;2] 

C. S = ( − 2;1) 

D. S = ( − 2;2) 

Câu 26: Nghiệm của phương trình 2sin x = 1 có dạng nào sau đây? 

⎡ π 

⎢ 

x = + k2π 

3 

⎢ 2π 

x = + k2π 

⎢⎣ 3 

⎡ π 

⎢ 

x = + k2π 

6 

⎢ 5π 

x = + k2π 

⎢⎣ 3 

A. ⎢ 

( k ∈ R ) 

B. ⎢ 

( k ∈ R ) 

⎡ π 

⎢ 

x = + k2π 

6 

⎢ 5π 

x = + k2π 

⎢⎣ 6 

⎡ π 

⎢ 

x = + k2π 

6 

⎢ π 

x = − + k2π 

⎢⎣ 6 

C. ⎢ 

( k ∈Z ) 

D. ⎢ 

( k ∈Z 

) 

3 2 

−x − x + = m có 3 nghiệm 





x − 1 + 1 

Câu 27: Đồ thị hàm số y = 

2 

x − 4x 

− 5 

có tổng số bao nhiêu tiệm cận ngang và tiệm cận đứng? 

Trang 7 











A. 1 B. 2 C. 4 D. 3 

3 

x 

y = + mx + 2m + 3 x + 1 đồng 

3 

2 

Câu 28: Tìm tập hợp S tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số ( ) 

biến trên R. 

A. S = ( −∞;3) ∪ ( 1; +∞ ) 

B. S = [ − 1;3] 

C. S = ( −∞; −1] ∪ [ 3; +∞ ) 

D. S = ( − 1;3 ) 

Câu 29: Lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau chọn từ tập { 1;2;3;4;5 } 

số lập được có mặt chữ số . 

A. 72 B. 36 C. 32 D. 48 


2 

Hàm số y f ( x) 

y = f x = x − 2x 

− 4 có đồ thị như hình vẽ. 

= có bao nhiêu cực trị? 

A. 1 B. 3 

C. 4 D. 2 

A = sao cho mỗi 


ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy( ABC ) . 

Biết góc tạo bởi hai mặt phẳng ( SBC ) và ( ) 

ABC bằng 60°, tính thể tích của khối chóp . 

3 

3 

3 

3 

a 3 

3a 

3 

a 3 

a 3 

A. V = B. V = C. V = D. V = 

24 

8 

8 

12 


định nào sau đây sai? 

A. Phương trình ( ) 5 0 

= có bảng biến thiên như hình vẽ. Khẳng 

f x − = có hai nghiệm thực. 

B. Đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 

C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞ ;1) 

x −∞ − 1 +∞ 

y ' + + 

y +∞ 2 


2 −∞ 




Trang 8 








D. 

[ 3;10] 

( ) = ( ) 

max f x f 10 

x∈ 




Câu 33: Tính thể tích V của khối nón có đáy là hình tròn bán kính 2, diện tích xung quanh của nón là 

12π . 

16 2π 

16 2π 

4 2π 

A. V = B. V = C. V = 16 2π 

D. V = 

3 

9 

3 


thẳng d : y x m 1 

2x 

+ 1 

y = 

x + 1 

= + − cắt ( ) 

có đồ thị ( ) 

C . Tìm tất cả các giá trị thực của tham m số sao cho đường 

C tại hai điểm phân biệt AB thỏa mãn AB = 2 3 

A. m = 2 ± 10 B. m = 4 ± 10 C. m = 4 ± 3 D. m = 2 ± 3 

Câu 35: Tính đạo hàm của hàm số 

A. 

y 

2 x+ 

2 

' 2 ln 4 

= B. 

y 

y = 

2 3 

2 x + 

x+ 

2 

' 4 ln 4 

= C. 

y 

2x+ 

2 

' 2 ln16 

= D. 

y 

2x+ 

3 

' = 2 ln 2 

Câu 36: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, gọi I là trung điểm của cạnh 

SC. Mệnh đề nào sau đây sai? 

A. IO / / ( SAB ) 

B. IO / / ( SAD ) 

C. Mặt phẳng (IBD) cắt hình chóp SABCD theo thiết diện là một tứ giác. 

IBD SAC = IO 

D. ( ) / / ( ) 

Câu 37: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BB’, CC’. Mặt 

phẳng (A’MN) chia khối lăng trụ thành hai phần, V1 

là thể tích của phần đa diện chứa điểm B, V2 

là phần 

V1 

đa diện còn lại. Tính tỉ số 

V 

2 

V1 

7 

A. 

V = 2 

B. V1 

2 

V = C. V1 

3 

V = D. V1 

5 

V = 2 

2 

Câu 38: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây: 

2 

A. Cho đường thẳng a ⊥ ( α ) , mọi mặt phẳng β chứa a thì ( β ) ⊥ ( α ) 

B. Cho hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau, nếu mặt phẳng α chứa a và mặt phẳng β chứa b 

thì ( α ) ⊥ ( β ) 

C. Cho hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau, mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì 

song song với đường thẳng kia 


D. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b, luôn có mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với 

đường thẳng kia. 

2 

2 




Trang 9 











Câu 39: Biết hàm y = f ( x) 

có đồ thị đối xứng với đồ thị hàm y = 3 x qua 

đường thẳng x = − 1. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau 

1 

3.3 x 

A. f ( x ) = B. ( ) 

1 1 

x 

3 2 

f x = 

C. f ( x ) = − D. ( ) 

1 

9.3 x 

1 

f x = − 2 + 3 

x 

Câu 40: Một con thỏ di chuyển từ địa điểm A đến địa điểm B bằng 

cách qua các điểm nút (trong lưới cho ở hình vẽ) thì chỉ di chuyển sang 

phải hoặc đi lên (mỗi cách di chuyển như vậy xem là 1 cách đi). Biết 

nếu thỏ di chuyển đến nút C thì bị cáo ăn thịt, tính xác suất để thỏ đến 

được vị trí B. 

A. 1 2 

B. 2 3 

C. 3 4 

D. 5 

12 

Câu 41: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có mặt đáy ABC là tam giác đều, độ dài cạnh AB = 2a 

. Hình 

chiếu vuông góc của A’ lên (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh AB. Biết góc giữa cạnh bên và mặt 

đáy bằng 60°, tính theo a khoảng cách h từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’). 

A. 

39a 

h = B. 

13 

2 15a 

h = C. 

5 

2 21a 

h = D. h = 

7 

Câu 42: Một kênh dẫn nước theo vuông góc có bề rộng 3,0 m như hình vẽ. 

m 

3m 

Cho 4 cây luồng (thẳng) có độ dài là 6,2m ; 8,3m ; 8,4m ; 9,0m trôi tự do trên kênh. Hỏi số cây luồng có 

thể trôi tự do qua góc kênh là bao nhiêu ? 

A. 1 B. 4 

C. 3 D. 2 


12 + 4x 

− x 

y = 

− + 

2 


2 

x 6x 2m 

để ( Cm 

) có đúng hai tiệm cận đứng. 

3m 

15a 

5 

có đồ thị ( C 

m ) . Tìm tập S tất cả các giá trị của tham số thực m 















A. S = [ 8;9) 

B. 


Tìm số điểm cực trị của hàm số 

A. 6 B. 5 

C. 4 D. 3 

⎡ 9 ⎞ 

S = 

⎢ 

4; ⎟ C. 

⎣ 2 ⎠ 

f ( x) f ( x) 

y = 2 − 3 

⎛ 9 ⎞ 

S = ⎜ 4; ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

D. S = ( 0;9] 

y = f ( x) 

có đồ thị như hình vẽ bên 

3 

f x − 20 

6 f x + 5 − 5 

Câu 45: Cho là đa thức thỏa mãn lim = 10 . Tính lim . 

x→2 

2 

x − 2 

x→2 

x + x − 6 

( ) 

12 4 4 6 

A. T = . 

B. T = . 

C. T = . 

D. T = . 

25 

25 

25 

25 


ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy 

ABCD và SA = 3a 

Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S. 

ABCD 

( ) 

A. 

a 3 

R = B. 

3 

a 5 

R = C. 

3 

( ) 

5a 

R = D. 

3 

4a 

R = 

3 

Câu 47: Cắt một khối trụ cho trước thành hai phần thì được hai khối trụ mới có tổng diện tích toàn phần 

2 

nhiều hơn diện tích toàn phần của khối trụ ban đầu32 π dm . Biết chiều cao của khối trụ ban đầu là 

7dm .Tính tổng diện tích toàn phần S của hai khối trụ mới. 

A. 

S 

2 

= 176 π dm B. 

S 

2 

= 144 π dm C. 

Câu 48: Cho phương trình ( )( ) 

2 

⎛ π ⎞ 

số m để phương trình có nghiệm trên khoảng ⎜ 0; ⎟ 

⎝ 6 ⎠ 

A. 

⎛ 3 ⎞ 

S = ⎜ 

0; 2 ⎟ 

⎝ ⎠ 

S 

2 

= 288 π dm D. 

S = 256 π dm 

sin x + 1 sin 2x − msin x = mcos 

x . Tìm tập tất cả các giá trị thực của tham 

S = C. 

B. ( 0;1) 

⎛ 1 ⎞ 

S = ⎜ 0; ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

D. 

⎛ 3 ⎞ 

S = ⎜ 

−1; 2 ⎟ 

⎝ ⎠ 

4 2 2 4 

Câu 49: Tìm tập hợp S tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x − 2m x + m + 3 có ba 

điểm cực trị đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ O tạo thành tứ giác nội tiếp. 


2 




Trang 11 








A. 

⎧ 

S = ⎨− 

1 1 ⎫ 

;0; ⎬ 

3 3 

⎩ ⎭ B. { 1;1} 

S = − C. ⎧ 1 1 ⎫ 

S = ⎨− 

; ⎬ 

⎩ 3 3 ⎭ 

D. 

⎧ 

S = ⎨− 

⎩ 

1 1 

; 

2 2 

⎫ 

⎬ 

⎭ 




Câu 50: Cho , 

xy 

3 5 

x y x 

xy 

3 5 

x+ x y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 2 y − x− 

5 1 3 2 y 

+ + + = + + ( − 2) 

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = x + y . 

A. T 

min 

= 2 + 3 2 B. T 

min 

= 3 + 2 3 C. T 

min 

= 1+ 5 D. T 

min 

= 5 + 3 2 

--- HẾT --- 





Trang 12 












MÔN TOÁN 






1-D 2-D 3-B 4-D 5-D 6-A 7-A 8-C 9-A 10-C 

11-B 12-D 13-B 14-C 15-A 16-A 17-D 18-A 19-D 20-A 

21-D 22-C 23-D 24-C 25-D 26-C 27-B 28-B 29-B 30-B 

31-C 32-A 33-A 34-B 35-C 36-C 37-B 38-A 39-B 40-A 

41-B 42-C 43-B 44-D 45-B 46-C 47- 48-A 49-C 50-B 





Trang 13 












MÔN TOÁN 


Phương pháp: Quan sát hình vẽ và đếm. 

Cách giải: Hình đa diện trên có 9 mặt. 







Phương pháp: Sử dụng khai triển nhị thức Newton: ( ) 2 k = 0 

7 7 

2 k k 14−3k 

⎛ 2 ⎞ 

Cách giải: Ta có: ⎜ x + ⎟ = ∑ C7 

2 x 

⎝ x ⎠ k = 0 

Hệ số của 

3 3 

Vậy h = C 2 = 280 

7 


⇔ 14 − 3 = 5 ⇔ = 3 

5 

x k k 

a b C a b 

− 

+ = ∑ n k k n k 

n 

Phương pháp: Dựa vào định nghĩa và các tính chất của các số cộng và cấp số nhân. 


Khẳng định I) đúng theo định nghĩa. 

n−1 

Khẳng định II) sai vì v 2, 

n 

= q v1 ∀n ≥ n ∈ N 

Khẳng định III) đúng theo tính chất của cấp số cộng. 

Khẳng định IV) sai. Ta có: 

v 

− 

v = v . q . v . q = v . q 

n−2 n−1 2 2n−3 

n 1 n 1 1 1 

n 

( ) 2 

v = v q = 2 

+ 

v q ⇒ vn vn ≠ vn 

2 2 2 . 2n 

n 1 1 1 

Khẳng định V) sai vì: 

v 

v + v + ... + v = 

1 2 

n 

1 

n−1 

( 1− 

q ) 

1− 

q 

− 1 + 1 

n 

( ) ( − 1 n−1 

+ 

1 

+ 

1 ) 1 ( + ) 

n v1 

v n 

n v v q v n nq 

= = 

2 2 2 


( + v ) 

n v1 

⇒ v1 + v2 + ... + vn 

≠ 

2 

n 




Trang 14 











Vậy có hai khẳng định đúng. 


1 

Phương pháp: Sử dụng công thức . log 

x 

2 = 

log x 

Cách giải: Đk 0 < x ≠ 1 

3 

2log2 

x + 3log 

x 

2 = 7 ⇔ 2log 

2 

x + = 7 

log x 

2 

2 

2 

x 

8 

2 

⇔ 2log2 x − 7 log2 

x + 3 = 0 ⎢ 

1 

T ( x1 

) 

⎢ 

⎢ 

( ) 

log2 x = x1 

= 2 


2 

⎡ log x = 3 

⎡x 

8 

⇔ ⇔ = 

⇔ = = 2 = 16 

⎣ 2 

⎢⎣ 

Phương pháp: Đồ thị hàm số y = f ( x) + 1 là ảnh của đồ thị hàm số y f ( x) 

0;1 . 

vector ( ) 

Cách giải: Đồ thị hàm số y = f ( x) + 1là ảnh của đồ thị hàm số y f ( x) 

( ) 

0;1 .Ta thấy chỉ có đáp án (I) đúng. 

= qua phép tịnh tiến theo 

= qua phép tịnh tiến theo vector 



Lăng trụ tứ giác đều là lăng trụ đứng có đáy là hình vuông. 

Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt 

phẳng đó. 

Áp dụng công thức tính thể tích khối lăng trụ V = B. 

h trong đó h là chiều cao và B là diện tích đáy lăng 

trụ. 


Ta có: A là hình chiếu của A’ trên (ABCD) nên ( ( )) ( ) 

ABCD là hình vuông cạnh 2 nên AC = 2 2 

Xét tam giác vuông A’CA có 

Vậy VABCD. A' B' C ' D ' 

3 2 6 

A' A = AC tan 30 = 2 2. = 2 3 

2 6 8 6 

= A' A. S 

ABCD 

= .4 = . 

3 3 


Phương pháp: Tham số hóa điểm thuộc đồ thị hàm số (C). 

A' C; ABCD = A' C; AC = A' CA = 30° . 


Lấy điểm đối xứng với điểm đó qua O (Điểm ( a; 

b) 

đối xứng với điểm ( a b) 

− ; − . qua gốc tọa độ O). 




Trang 15 











Cho điểm đối xứng vừa xác định thuộc (C). 


⎛ 

⎜ 

⎝ 

a + 2 ⎞ 

⎟ ∈ 

a + 1 ⎠ 

a + 2 ⎞ 

⎟ 

a + 1 ⎠ 

Gọi A a; 

( C) 

. Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua gốc tọa độ O ⇒ A' 

−a; 

− ∈( C) 

a + 2 − a + 2 ⎧a 

≠ ± 1 ⎧a 

≠ ± 1 ⎧⎪ 

a ≠ ± 1 

⇒ − = ⇔ ⎨ ⇔ 

2 2 ⎨ ⇔ 

2 ⎨ 

a + 1 − a + 1 ⎩a + a − 2 = − a + a + 2 ⎩2a 

= 4 ⎪⎩ 

a ≠ ± 2 ( tm) 

a = thì A( 2; 2 ) ∈( C) ; A' ( − 2; − 2 ) 

Khi 2 

Khi 2 

a = − thì A( − 2; − 2 ) ∈ ( C) ; A' ( 2; 2 ) 

Chú ý và sai lầm : Có thể thử trực tiếp từng đáp án và suy ra kết quả. 


Phương pháp: M và M’ đối xứng qua I nên I là trung điểm của MM’. 

Cách giải: M và M’ đối xứng qua I nên I là trung điểm của MM’. 

⎧x = 2x − x ⎧x 

= 4 

⎨ 

⎨ 

⎩yM ' 

= 2yI − yM ⎩yM 

' 

= −7 

M ' I M M ' 

Ta có ⇔ ⇒ M '( 4; −5) 


Phương pháp: Tính lim u hoặc lim u 

n→+∞ 

n 

n→−∞ 

2 ⎛ 2 ⎞ 

Cách giải: Ta thấy − < 0 ⇒ lim ⎜ − ⎟ = 0. 

3 n→+∞⎝ 

3 ⎠ 


Áp dụng công thức lãi kép: A = A( 1+ 

r) 

Với 

A 

n 

y 

M ' 

A là tiền gốc. 

n là số năm gửi. 

r là lãi suất hằng năm. 


n 

n 

và kết luận. 

= là số tiền nhận được sau n năm (cả gốc và lãi). 

Sau n năm người đó nhận được 

n 

n 

n 

⎛ 5,4 ⎞ 

An 

= 75⎜1+ ⎟ > 100 ⇔ n > 5,47 

⎝ 100 ⎠ 

Vậy sau ít nhất 6 năm người đó nhận được số tiền nhiều hơn 100 triệu đồng. 



Phương pháp: Hàm số lũy thừa 

D 

= R khi n là số nguyên dương. 

y 

n 

= x có TXĐ 

⎛ 

⎜ 

⎝ 




Trang 16 











D = R \{ 0} 

khi n là số nguyên âm. 

D = 

( 0; ) 


+∞ khi n không nguyên. 

Ta có 2 − 3 ∉ Z, 

, khi đó hàm số trên xác định khi và chỉ khi x 

Vậy D = ( −∞; −1) ∪ ( 3; +∞ ) 


2 ⎡x 

> 3 

− 2x 

− 3 > 0 ⇔ ⎢ 

⎣x 

< − 1 

2 

Phương pháp: Thể tích của khối trụ có chiều cao h và bán kính đáy r là V = π r h 

2 2 

Cách giải: V = π r h = π 2 .2 = 8π 


Phương pháp: log 


a 

⎡ ⎧a 

> 1 

⎢⎨ 

x > y 

x > loga 

y ⇔ ⎢⎩ 

⎢ ⎧0 < a < 1 

⎢⎨ 

⎢⎩ ⎣ x < y 

⎧0 < a < 1 

loga 

x < 1 = log 

a 

a ⇔ ⎨ , khẳng định A sai. 

⎩x 

> a > 0 

Hàm số 

y 

⎧0 

< x < x 

⎨ 

⎩0 < a < 1 

1 2 

= cóTXĐ D = ( 0; ) 

log a 

x 

⇔ log x > log x ⇒ C sai. 

a 

1 a 2 

⎧0 < a < 1 

loga 

x > 0 = log 

a 

1 ⇔ ⎨ ⇒ D sai. 

⎩0 < x < 1 


+∞ , nhận trục Oy làm tiệm cận đứng. B đúng. 

⎛ 5π 

⎞ ⎛ 5π 

⎞ 

Phương pháp: Hàm số đồng biến trên⎜ 0; ⎟ ⇔ y ' > 0 ∀x 

∈⎜0; 

⎟ 

⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠ 


+) Xét hàm số: y = sin x ta có: y ' = cos x 

⎡ π π ⎤ ⎛ π 5π 

⎞ 

Ta có: cos x ≥ 0 ∀x ∈ 

⎢ 

− ; cos x 0 x ; 

2 2 ⎥ 

⇒ < ∀ ∈⎜ 

⎟ ⇒ loại đáp án A. 

⎣ ⎦ ⎝ 2 6 ⎠ 


+) Xét hàm số y = cos x ta có: y = − sin x . 




Trang 17 











⎛ 5π 

⎞ 

sin x ≥ 0 ∀x ∈ 0; ⇒ −sin x ≤ 0 ∀x ∈ 0; ⇒ −sin x ≤ 0 ∀x 

∈⎜ 

0; ⎟ ⇒ loại đáp án B. 

⎝ 6 ⎠ 

Ta có [ π ] [ π ] 

+) Xét hàm số: y = sin x ta có: y ' = cos x 

⎛ 5 

Ta có: x 0; π ⎞ 

x π ⎛ π ; π ⎞ ⎛ 

,cos x π ⎞ ⎛ 

0 x 

π ; 

π ⎞ 

∀ ∈⎜ ⎟ ⇒ − ∈⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟ > ⇔ ∈⎜ − ⎟ ⇒ đáp án C đúng. 

⎝ 6 ⎠ 3 ⎝ 3 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 2 ⎠ 


Phương pháp: Lăng trụ tam giác đều là lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều. 


Lăng trụ tam giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng. 


Phương pháp: Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp tam giác đều. 

B1: Xác định hai trục của hai mặt phẳng bất kì (đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và 

vuông góc với đáy). 

B2: Xác định giao điểm I của hai trục đó. Khi đó I là tâm mặt cầu cần tìm. 

Cách giải: Gọi O và O’ lần lượt là tâm tam giác đều ABC và ACD thì 

( ); ' ( ) 

DO ⊥ ABC BO ⊥ ACD 

Gọi 

I = DO ∩ BO ', ta dễ dạng chứng minh được I là tâm mặt cầu tiếp xúc 

với các cạnh của tứ diện đều. 

Và R = IF là bán kính mặt cầu đó. 

Kẻ BB’ qua I và song song với BD. 

Ta có: OO’ // BD nên 

OO ' 1 ' ' 1 ' 1 

= FO = = O I ⇒ O I = = ID ⇒ ID ' = BD = 

a 

BD FD 3 IB O ' B 4 BD 4 4 

O ' I 1 1 

O ' D ' O ' D 

O ' B = 4 ⇒ = 4 

FO ' OO ' 1 1 

= = ⇒ FO ' = FD 

FD BD 3 3 

Ta có: 

1 

O ' D 

O ' D ' O ' D ' 4 1 1 

= = = ⇒ O ' D ' = FD 

FD 3 3 

O ' D O ' D 

6 6 

2 2 

1 1 1 1 3 3 

FD ' = FO ' + O ' D ' = FD + FD = FD = . = 

3 6 2 2 2 4 





Xét tam giác vuông EID’ có 

2 2 

t t 2 

FI = FD − ID = = R 

4 

Trang 18 








Vậy V 

4 4 2 2π 

3 3 32 24 

2 

= π R = π = 





Phương pháp: Hàm số f ( x ) liên tục trên R khi và chỉ khi f ( x ) = f ( x) = f ( x) 

Cách giải: Ta có: ( 1) 

5 5 

f = a.1+ = a + 2 2 

x 

lim f x lim f x lim f x = lim 

( ) = ( ) = ( ) 

+ − 

x→1 x→1 

x→1 x→1 

2 

( x −1)( x − 3x 

− 3) 

2 

( x x ) 

− 4x 

+ 3 

x −1 

3 2 

lim = lim − 3 − 3 = 1− 3 − 3 = −5 

x→1 x −1 

x→1 

⇒ Hàm số liên tục 



5 15 

⇔ a + = −5 ⇔ a = − . 

2 2 

0 

lim lim 

+ − 

x→x0 x→x0 

+) Biến đổi phương trình đã cho bằng công thức hằng đẳng thức của căn bậc hai và sử dụng các công 

thức lũy thừa. 

+) Ta có: m n 

a = a ⇔ m = n. 

2 2 

Cách giải: Ta có: 7 + 4 3 = 4 + 2.2 3 + ( 3) = ( 2 + 3) 

2 

2x 

+ 2x 

2 

2 

x + x−1 

x−2 

Pt ⇔ 

⎡( 2 + 3 

⎤ 

( 2 + 3) 

) = ( 2 + 3 

⎢ ⎥ 

) ⇔ = 

2 ( 2 + 3) 

⎣ ⎦ 

( 2 + 3) 

( ) 2 2 

+ 

2 3 2 

( 2 3) 

⇔ + = + 

x x x 

2 

⇔ 2 + 2 = 

⎡x 

= 0 

⇔ x( 2x 

+ 1) 

= 0 ⇔ ⎢ 

⎢ 

1 

x = − 

⎣ 2 

2 

x x x ⇔ 2x 

+ x = 0 

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt không dương. 


Phương pháp: +) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số. 

+) Hàm số đạt cực trị tại điểm x x y ( x ) 

+) Hàm số đạt cực trị tại điểm x x0 


0 0 

x−2 

= ⇔ ' = 0 và x = x0 

được gọi là điểm cực trị. 


= thì y ( x ) 

0 

là giá trị cực trị. 




Trang 19 








Ta có: 

2 2 ⎡x 

= 1 

y ' = 3x − 12x + 9 ⇒ y ' = 0 ⇔ 3x − 12x 

+ 9 = 0 ⇔ ⎢ 

⎣x 

= 3 




Bảng biến thiên: 

⇒ Mệnh đề (4) đúng. 

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞;1) 

và ( ) 

biến trên khoảng ( 1;3 ) ⇒ Mệnh đề (1) đúng. 

3; +∞ , nghịch 

Hàm số đạt cực đại tại x = 1⇒ y CD 

= 3; hàm số đạt cực tiểu tại 

x = 3; y CT 

= −1⇒ Mệnh đề (2) sai. 

+ 3 = 3+ 3. − 1 = 0 ⇒ Mệnh đề (3) đúng. 

Ta có: y y ( ) 

CD 

CT 

Như vậy có 3 mệnh đề đúng. 

Chú ý: Học sinh thường giá trị cực trị và điểm cực trị nên có thể chọn sai mệnh dề (2) đúng. 


Phương pháp: Dựa vào BBT để kết luận tính đơn điệu của hàm số và suy ra các giá trị a, c tương ứng. 

Cách giải: TXĐ: 

Ta có: y ' = 

a − bc 

( cx + 1) 2 

Ta thấy đồ thị có TCĐ 

⎧ 1⎫ 

D = R \ ⎨− 

⎬ 

⎩ c ⎭ 

1 

x = −1⇒ − = −1⇒ c = 1⇒ Mệnh đề (1) đúng. 

c 

a 

Hàm số có TCN y = 2 ⇒ = 2 ⇔ a = 2c 

= 2 ⇒ Mệnh đề (2) đúng. 

c 

Theo BBT ta thấy hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của hàm số. 

y ' 0 a bc 0 

> ⇔ − > (do ( ) 2 

cx + 1 > 0 ∀x ∈ D ) 

Hàm số đồng biến trên ( −∞; −1) 

và ( − 1; ) 

Nếu 

1 a − bc 1 

y ' = ⇒ = 

( x + 1) ( cx + 1) ( x + 1) 

( x + 1) ( x + 1) 

2 2 

2 2 2 

2 − b 1 

⇔ = ⇔ 2 − b = 1 ⇔ b = 1 

⇒ Mệnh đề (4) đúng. 

Như vậy có 3 mệnh đề đúng. 

x −∞ 1 3 +∞ 

y ' + 0 − 0 + 

y 3 +∞ 

−∞ − 1 

+∞ ⇒Mệnh đề (3) sử dụng kí hiệu hợp nên sai. 


Chú ý: Học sinh rất dễ nhầm lẫn và sai ở mệnh đề (3). Chú ý khi kết luận khoảng đồng biến và nghịch 

biến ta dùng và chứ không dùng kí hiệu hợp. 




Trang 20 













+) Biến đổi các công thức trong các đáp án bằng các công thức của hàm logarit. 

+) Với 0 a 1 


< ≠ ta có hàm số log ( ) > 0 ⇔ ( ) < 1 và ( ) ( ) 

a f x f x 

log f x < 0 ⇔ f x > 1 . 

a 

1 

⎛ ⎛ ⎞⎞ 

1 1 

a 

⎛ ⎞ 

+) Xét đáp án A: loga log2 ⎜ 2 ⎟ = loga ⎜ log2 

2⎟ 

− loga 

= − 1< 0 ⇒ loại đáp án A. 

⎜ ⎟ 

⎝ ⎝ ⎠⎠ 

⎝ a ⎠ a 

⎛ 1 ⎞ ⎛1⎞ 

+) Xét đáp án B: loga 

⎜ ⎟ = loga 

⎜ ⎟ = log11 = 0 ⇒ loại đáp án B. 

⎝ log10 ⎠ ⎝1⎠ 

1 

⎛ 1 ⎞ ⎛ ⎞ 1 1 

4 

+) Xét đáp án C: loga ⎜ log log 0 

4 ⎟ = 

a ⎜ a ⎟ = 

a 

a = − < ⇒ loại đáp án C. 

⎝ a ⎠ ⎝ ⎠ 4 4 

⎛ ⎞ 

log2 log = log2 log log2 4log 

a 

log2 

4 2 0 

a ⎜ ⎟ = = = > ⇒ chọn đáp án D. 

⎝ a 4 

⎠ 

+) Xét đáp án D: ( 4 a) 1 a ( a) 



+) Giải phương trình y '' = 0 ta được nghiệm x x0 

= . Khi đó ta tìm được y ( x = x ) = y ⇒ M ( x ; y ) 

0 0 0 0 

+) Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M ( x ; y ) là '( )( ) 


Ta có: 

Với 1 

2 

' = + 2 ⇒ '' = 2 + 2 ⇒ '' = 0 ⇔ 2 + 2 = 0 ⇔ = − 1 

y x x y x y x x 

x = − ta có: ( ) 

y 4 4 

− 1 = − ⇒ 1; . 

3 M ⎛ ⎞ 

⎜ − ⎟ 

⎝ 3 ⎠ 

Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M là: 

4 4 7 

y = y '( − 1)( x + 1) − = − ( x + 1) 

− = −x 

− 

3 3 3 


0 0 

y = y x x − x + y 

0 0 0 

Phương pháp: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên 


mặt phẳng đó. 




Trang 21 











Cách giải: Gọi H là trung điểm của AC ta có HM // SA nên HM ⊥ ( ABC ) 

( ;( )) ( ; ) 

MB ABC = MB HB = MBH 

Ta có : 

SC = a + a = a = SB 

Xét tam giác SBC có 

MB 

2 2 

4 5 

SB 2 2 2 2 2 2 2 

2 + BC SC 5 a + a 5 a 7 a a 7 

= − = − = ⇔ BM = 

2 4 2 4 4 2 

Tam giác ABC đều cạnh a nên 

a 3 

BH = 

2 

a 3 

BH 

Xét tam giác vuông BHM có: cos MBH = = 2 = 

BM a 7 

2 


Dựa vào đồ thị hàm số y = f '( x) 

để nhận xét tính đơn điệu của hàm số y f ( x) 

hàm số. 


Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: ( ) 

A sai. 

f ' x ≥ 0 khi 3 

Tại x = 1ta thấy f '( x ) = 0 nhưng tại đây hàm y f '( x) 

của hàm số y = f ( x) 

⇒ Đáp án B sai. 

Tại x = 3ta thấy f '( x ) = 0 và tại đây đây hàm y f '( x) 

cực tiểu của hàm số y = f ( x) 

⇒ Đáp án C đúng. 

Như vậy hàm số y f ( x) 


21 

7 

= có 1 điểm cực trị ⇒ Đáp án D sai. 

, khi đó 

= và các điểm cực trị của 

x ≥ ⇒ hàm số y = f ( x) 

đồng biến trên ( ) 

3;+∞ ⇒ Đáp án 

= không đổi dấu nên x = 1không là điểm cực trị 

= có đổi dấu từ âm sang dương nên x = 3là điểm 

3 2 

Phương pháp: +) Số nghiệm của phương trình −x − 3x + 2 = m m là số giao điểm của đồ thị hàm số 

3 2 

y = −x − 3x 

+ 2 và đường thẳng y = m . 

+) Dựa vào đồ thị hàm số để biện luận số nghiệm. 


Phương trình 

3 2 

−x − 3x + 2 = m có 3 nghiệm phân biệt ⇔ đường thẳng y m 

3 2 

= − − 3 + 2 tại 3 điểm phân biệt. 

y x x 

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng y 

biệt ⇔ − 2 < m < 2. 

= m cắt đồ thị hàm số 

= cắt đồ thị hàm số 


3 2 

= − − 3 + 2 tại 3 điểm phân 

y x x 




Trang 22 












⎡x 

= α + k2π 

⎢ 

⎣x 

= π − α + kαπ 

Phương pháp: Giải phương trình: sinα 

⇔ 

( k ∈Z 

) 

1 

π 

Cách giải: Ta có phương trình: sin x = ⇔ sin x = sin 

2 6 

⎡ π 

⎡ π 

⎢ 

x = + k2π 

x k2 

6 ⎢ 

= + π 

6 

⎢ 

⇔ ⎢ 

⎢ π 

5π 

x = π − + k2π ⎢x = + k2π 

⎣⎢ 

6 ⎣⎢ 

6 

( k ∈Z 

) 

Chú ý: Học sinh có thể nhầm lẫn khi chọn đáp án B với k ∈ R 



= là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f ( x) 

y y 0 

= nếu 

( ) 

⎡ lim f x = y 

x→+∞ 

⎢ 

⎢ lim f ( x) 

= y 

⎣ x→−∞ 

y = m là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f ( x) 

nếu thỏa mãn ít nhất 

Cách giải: ĐKXĐ: x ≥1, x ≠ 5 . Ta có: 

x − 1 + 1 

+) lim 0 

x 

2 = nên y = 0là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. 

→+∞ x − 4x 

− 5 

0 

0 

⎡ lim f 

− 

x→x 

⎢ 

0 

⎢ lim f 

− 

⎢ x→x0 

⎢ 

lim f 

⎢ + 

x→x0 

⎢ 

⎢ lim f 

+ 

⎣ x→x0 

x − 1 + 1 

+) lim y = lim = +∞ nên x = 5 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. 

x→5 x→5 

2 

x − 4x 

− 5 

Vậy đồ thị hàm số đã cho chỉ có 2 tiệm cận. 


Phương pháp: Hàm số bậc ba y f ( x) 

điểm. 

Cách giải: Ta có . 

2 

' = + 2 + 2 + 3 

y x mx m 

Để hàm số đồng biến trên R thì 

( x) 

( x) 

( x) 

( x) 

= +∞ 

= −∞ 

= +∞ 

= −∞ 

= đồng biến trên R ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ R. 

Và chỉ bằng 0 tại hữu hạn 

⎧a 

> 0 

y ' ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ⎨ 

⎩ ∆ ' ≤ 0 





Trang 23 











⎧⎪ 1 > 0 

2 

⇔ ⎨ 

⇔ m − 2m − 3 ≤ 0 ⇔ −1≤ m ≤ 3 

2 

⎪⎩ m − ( 2m 

+ 3) 

≤ 0 

Vậy m ∈[ − 1;3 ]. 

Chú ý khi giải: 

Cần chú ý: HS thường bỏ quên hai giá trị m = − 1; m = 3 và chọn nhầm đáp án D mà không chú ý khi thay 

hai giá trị này vào ta vẫn được hàm số đồng biến trên R 


Phương pháp: Xét từng trường hợp a = 3; b = 3; c = 3 rồi cộng các kết quả ta được số các số cần tìm. 

Cách giải: Gọi số có ba chữ số là abc . 

- TH1: a = 3. 

Có 4 cách chọn b và 3 cách chọn c nên có 4.3 = 12 số. 

- TH2: b = 3 

Có 4 cách chọn a và 3 cách chọn c nên có 4.3 = 12 số. 

- TH3: c = 3. 

Có 4 cách chọn a và 3 cách chọn b nên có 4.3 = 12 số. 

Vậy có tất cả 12 + 12 + 12 = 36 số. 


Phương pháp: Quan sát đồ thị hàm số đã cho và nhận xét. 

Cách giải: Quan sát hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số y f ( x) 

hàm số có cực trị. 


- Nhiều HS sẽ nhầm lẫn hàm số ( ) 

2 

= có hai điểm cực tiểu và điểm cực đại nên 

y = f x = x − 2x 

− 4 và chọn nhầm đáp án A là 1 cực trị. 

- Một số bạn sẽ không tính hai điểm nằm trên trục hoành là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho nên sẽ 

chọn nhầm đáp án A. 



- Xác định góc giữa hai mặt phẳng( SBC ),( ) 

đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng mà cùng vuông góc với 

tuyến. 

1 

- Tính thể tích khối chóp theo công thức V = Sh 

3 

ABC bởi định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai 


giao 




Trang 24 












Gọi E là trung điểm của BC 

Dễ thấy y = f ( x) 

nên y f ( x) 

= cân tại S. 

Do đó y = f ( x) 

, ta có: y = f ( x) 

Tam giác ABC đều cạnh a nên . y = f ( x) 

Tam giác vuông SAE có y = f ( x) 

nên: y = f ( x) 

Vậy y = f ( x) 


Phương pháp: Xét tính đúng sai của các đáp án dựa vào sự tương giao giữa hai đồ thị, sự đồng biến, 

nghịch biến của hàm số, 

tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số,… 


Đáp án A: Đồ thị hàm số y f ( x) 

sai. 

= cắt đường thẳng y = 5 tại 1 điểm duy nhất có hoành độ x < 2 nên A 

Đáp án B: x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số vì lim y = +∞ ; lim y = −∞ nên B đúng. 

− + 

x→2 x→2 

Đáp án C: Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;2) 

nên cũng đồng biến trên ( ;1) ( ;2) 

Đáp án D: Hàm số đồng biến trên trên ( 2;+∞) 

nên đồng biến trên [ ] 

D đúng. 


3;10 , do đó 

Phương pháp: - Công thức tính diện tích xung quanh hình nón Sxq 

= π rl 

1 2 

- Công thức tính thể tích khối nón V = π r h 

3 


S = π rl = πl = π ⇒ l = ⇒ h = l − r = − = 

V 

xq 

2 2 2 2 

2 12 6 6 2 4 2 

1 1 16 2π 

3 3 3 

2 2 

= π r h = π.2 .4 2 = 

−∞ ⊂ −∞ nên C đúng. 

[ 3;10] 

( ) ( ) 

max f x = f 10 nên 

Chú ý khi giải: HS thường nhầm lẫn công thức tính diện tích xung quanh hình nón S = π rh dẫn đến tính 

sai chiếu cao hình nón. 



x∈ 




Trang 25 











Phương pháp: Xét phương trình hoành độ giao điểm, đưa phương trình về phương trình bậc hai và sử 

dụng công thức tính khoảng cách, định lý Vi-et cho phương trình bậc hai để tìm m 

Cách giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm: 

2x 

+ 1 = x + m − 1 x ≠ − 1 

x + 1 

( ) 

Đường thẳng d cắt( ) 

( 2) 2 0 (*) 

2 

⇔ x + m − x + m − = 

C tại hai điểm phân biệt ⇔ phương trình có hai nghiệm phân biệt khác − 1. 

2 

⎪ ( ) ( ) ⎪( )( ) 

2 

( − 1) + ( m − 2 ).( − 1) 

+ m − 2 ≠ 0 ⎪⎩ 

1 ≠ 0 

⎪⎩ 

Khi đó d cắt ( C) 

tại A( x ; x + m − 1 ), B( x ; x + m − 1) 

⎧∆ = m − 2 − 4 m − 2 > 0 ⎧ m − 2 m − 6 > 0 ⎡m 

> 6 

⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ ⎢ 

⎣m 

< 2 

( ) ( ) 

2 2 

1 1 2 2 

AB = x2 − x1 + x2 − x1 = 2 3 

2 2 

( ) ( ) 

2 2 

2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 

⇔ 2 x − x = 12 ⇔ x − 2x x + x = 6 ⇔ x + x − 4x x = 6 . 

⎧x1 + x2 

= − m + 2 

Áp dụng định lý Vi-et ⎨ 

ta có: 

⎩x1x2 

= m − 2 

2 

⎡m 

− 2 = 2 + 10 ⎡m 

= 4 + 10 

− 2 − 4 − 2 − 6 = 0 ⇔ ⎢ 

⇔ ⎢ (TMĐK) 

⎢⎣ 

m − 2 = 2 − 10 ⎢⎣ 

m = 4 − 10 

( m ) ( m ) 

Vậy m = 4 ± 10 


Phương pháp: Công thức tính đạo hàm hàm hợp: . f '( u ( x) 

) = u '( x) . f '( u) 

x 

x 

Công thức tính đạo hàm hàm số mũ y = a ⇒ y ' = a ln a 

Cách giải: Ta có: y y ( x ) ' 



2x+ 3 2x+ 3 2x+ 3 2x+ 

2 

2 ' 2 3 2 ln 2 2.2 ln 2 2 ln16 

= ⇒ = + = = 

+) Sử dụng phương án loại trừ để giải bài toán. 

+) Ta có: a ⊂ ( α ); b / / a ⇒ b / / ( α ) 


Ta có: O là trung điểm của AC, I là trung điểm của SC 

⇒ OI / / SA (OI là đường trung bình của tam giác SAC). 


( ) 

⇒ OI / / SAB ⇒ A đúng. 

⇒ OI SAD ⇒ B đúng. 

Tương tự / / ( ) 




Trang 26 











Ta có: I ∈ SC ⇒ I ∈( SAC ); 

O ∈ AC ⇒ O ∈ ( SAC ) 

O ∈ BD ⇒ O ∈ ( IBD) 

⇒ ( IBD) ∩ ( SAC ) = IO ⇒ D D đúng. 


Phương pháp: Sử dụng công thức tính thể tích của khối chóp và tỉ lệ thể tích để làm bài toán. 

Cách giải: Vì M , N lần lượt là trung điểm của BB ', CC '. 

1 1 1 

2 2 2 

Suy ra S = S ⇒ V = V = ( V − V ) 

MNC ' B' A'. BCC ' B' A' MNC ' B' BCC ' B' ABC. A' B' C ' A'. 

ABC 

1 1 ⎛ 1 ⎞ 1 

⎜ 

⎟ 

3 2 ⎝ 3 ⎠ 3 

Mà VA'. ABC 

= VABC. A' B' C ' 

⇒ VA' MNC ' B' = VABC. A' B' C ' 

− VABC. A' B' C ' 

= VABC. A' B' C ' 

V 

Vậy tỉ số 

V 

V 

V 

ABC. A' B' C ' ABC. A' B' C ' 

1 A' 

MNABC 

= = = 

2 A'. MNC ' B' 


V 

1 

V 

3 

1 

− V 

3 2 

ABC. A' B' C ' 

Phương pháp: +) Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc là: Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và 

chỉ khi một trong hai mặt phẳng đó chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng còn lại. 

⎧⎪ a ⊂ 

Cách giải: ⎨ 

⎪⎩ a ⊥ 

( P) 

( Q) 

⇔ 

( P) ⊥ ( Q) 

Theo điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc thì đáp án A đúng. 


x 

Phương pháp: Lấy điểm A(0;1) thuộc đồ thị hàm số y = 3 , tìm điểm đối xứng với A qua đường thẳng 

1 

y = f x 

x = − và cho điểm đó thuộc đồ thị hàm số ( ) 


x 

Lấy A( 0;1) 

thuộc đồ thị hàm số y 3 , A’ ( −2; 

1) 

đồ thị hàm số y = f ( x) 

Loại A, C và D 

= đối xứng với A qua đường thẳng x = − 1 nên A’ thuộc 


Phương pháp: Chia đường đi của thỏ thành 2 giai đoạn, tính số phần tử của không gian mẫu và số phần 

tử của biến cố A « thỏ đến được vị trí B » . 



Từ A đến B nhất định phải đi qua D, ta chia làm 2 giai đoạn A → D 




Trang 27 











và D → B 

Từ A → D có 9 cách. 

Từ D 

→ B có 6 cách tính cả đi qua C và có 3 cách không đi qua C. 

Không gian mẫu n Ω 

= 9.6 = 54 

Gọi A là biến cố « thỏ đến được vị trí B » thì n = 9.3 = 27 

Vậy P ( A) 

n A 

n Ω 

27 1 

= = = 

54 2 


Phương pháp: Nhận xét 

( ;( ' ')) 

( ;( ACC ' A' 

)) 

d B ACC A BA 

= = 2 ⇒ d B; ACC ' A' = 2 d H; ACC ' A' 

d H 

BH 

Xác định khoảng cách từ H đến (ACC’A’). 


A 

( ( )) ( ( )) 

Ta có A' 

H ⊥ ( ABC ) nên ( ( )) ( ) 

d A' A; ABC = A' A; HA = A' AH = 60° 

Gọi D là trung điểm của AC thì BD ⊥ AC , kẻ HE // AC suy ra HE ⊥ AC 

⎧AH 

⊥ AC 

⎨ 

⎩HE 

⊥ AC 

Ta có ⇒ AC ⊥ ( AHE) 

Trong (AHE) kẻ ( ' ') ( ;( ' ')) 

Mà 

Ta có 

( ;( ' ')) 

( ;( ACC ' A' 

)) 

HK ⊥ AE ⇒ HK ⊥ AC ⇒ HK ⊥ ACC A ⇒ d H ACC A = HK 

d B ACC A BA 

= = 2 ⇒ d ( B; ( ACC ' A' )) = 2 d ( H; ( ACC ' A' )) 

= 2HK 

d H 

BH 

2a 

3 1 a 3 

BD = = a 3 ⇒ HE = BD = 

2 2 2 

Xét tam giác vuông A’AH có A' H = AH.tan 60 = a 3 

Xét tam giác vuông A’HE có 

HK 

2 

2 

2 3a 

2 2 3 a . 

2 

= A' H . HE 4 3a a 15 

HK 

2 2 

2 

A' H + HE 

= 2 3a 

= 5 ⇒ = 5 

3a 

+ 

4 

2a 

15 

⇒ d ( B; ( ACC ' A' 

)) 

= 

5 



Phương pháp: Phân tích đề bài và tìm giá trị lớn nhất của cây luồng để có thể trôi qua khúc sông. 




Trang 28 












Để cây luồng có thể trôi qua khúc sông thì độ dài cây luồng không được vượt 

quá độ dài đoạn thẳng CD với CD là đoạn thẳng đi qua B và vuông góc với AB 

như hình vẽ. 

Xét tam giác vuông ABH ta dễ dàng tính được . AB = 3 2 

Tam giác ACD vuông tại A và có AB là phân giác đồng thời là đường cao nên 

∆ACD 

cân tại B 

⇒ AB là trung tuyến ứng với cạnh huyền. 

1 

⇒ AB = CD ⇒ CD = 2AB 

= 6 2 ≈ 8,48 

2 

Vậy trong 4 cây luồng trên chỉ có cây luồng dài 9m không trôi qua được khúc sông. 


Phương pháp: Hàm số có hai tiệm cận đứng ⇔ phương trình MS = 0 có hai nghiệm phân biệt không 

trùng với nghiệm của tử số và thỏa mãn ĐKXĐ. 


⎧0 ≤ x ≤ 4 

ĐKXĐ: ⎨ 2 

⎩x − 6x + 2m 

> 0 

2 

Ta có 12 4x x 0 x 

+ − ≠ ∀ nên để ( C ) 

m 

có hai tiệm cận đứng thì phương trình 

− 6 + 2 = 0 ⇔ − 6 + 2 = 0 (*) 

có hai nghiệm phân biệt thuộc[ ] 

2 2 

x x m x x m 

Đế phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì 

9 

∆ ' = 9 − 2m 

> 0 ⇔ m < 

2 

⎧x1 + x2 

= 6 

Gọi 2 nghiệm phân biệt của (*) là x1 < x2 

ta có 0 ≤ x1 < x2 

≤ 4 . Theo định lí Vi-et ta có ⎨ 

⎩x1. x2 

= 2m 

Khi đó 

0;4 . 

x1x2 ≥ 0 x1x2 

≥ 0 ⎧2m 

0 

x1 x2 x1 x2 

m 

⎧ ⎧ ≥ 

⎪ 

0 

⎪ 

0 ⎪ + ≥ ⎪ + ≥ ⎪6 ≥ 0 ⎧ ≥ 0 

⎨ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ m ≥ 4 

⎪( x1 − 4)( x2 − 4) 

≥ 0 

⎪ 

x1x2 − 4( x1 + x2 

) + 16 ≥ 0 

⎪2m − 24 + 16 ≥ 0 ⎩2m 

−8 ≥ 0 

⎪( x1 4) ( x2 4) 

0 ⎪( x1 x2 

) 8 0 

⎪ 

⎩ − + − ≥ ⎩ + − ≤ ⎩6 −8 ≤ 0 

9 

Kết hợp nghiệm ta có 4 ≤ m ≤ 

2 







Trang 29 











Tính đạo hàm của hàm số và tìm nghiệm của phương trình y ' = 0 dựa vào bài toán tương giao và đồ thị 

hàm số y = f ( x) 

⇒ Số điểm cực trị của hàm số cần tìm. 

Lời giải: 


Ta có g ( x) 

( ) ( ) 

( ) 

f ( x) f ( x) 

f ( x) 

f ( x) 

g x = 2 − 3 ⇒ g ' x = f ' x 2 .ln 2 − f ' x .3 .ln 3; ∀x 

∈ R 

( x) 

⎡ f '( x) 

= 0 ⎡ f '( x) = 0 ( 1) 

. 

( ) log 

2 ( 2 

⎢ = 

) 

3 ln 2 ⎢ ⎣ ⎝ ⎠ 

⎣ 

ln 2 

3 

⎡ f ' = 0 

⎢ 

' 0 

f ( x) 

⎢ 

= ⇔ ⎢ ⇔ ln 3 

f ( x) f ( x) 

⎢⎛ 2 ⎞ ln 3 ⇔ 

⎢ 

⎢⎣ 2 .ln 2 = 3 .ln 3 ⎜ ⎟ 

f x = 

Dựa vào đồ thị hàm số y f ( x) 

= , ta thấy: 

Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt (vì hàm số y f ( x) 

= có 3 điểm cực trị). 

ln 3 

Phương trình (2) vô nghiệm vì đường thẳng y = log 

2 

< − 1 không cắt ĐTHS. 

ln 2 

Vậy phương trình ( ) 



3 

g ' x = 0 có 3 nghiệm phân biệt hay hàm số đã cho có 3 điểm cực trị. 

Sử dụng phương pháp tính giới hạn vô định ∞ với biểu thức chứa căn ta làm mất nhân tử của tử và mẫu 

∞ 

bằng cách nhân liên hợp, tạo hằng đẳng thức. 

Lời giải: 

Đặt 

3 

( ) ( ) 

( x) 

3 3 

P − 5 6 ⎡ f − 20⎤ 

P = P x = 6 f x + 5 ⇒ P − 5 = = 

⎣ ⎦ 

2 2 

P + 5P + 25 P + 5P 

+ 25 

( ) 

f x − 20 

Vì lim = 10 

x→2 

x − 2 

Khi đó lim 

3 

f x − 20 = 0 ⇒ f x = 20 ⇒ P = 5 

nên ( ) ( ) 

( ) ( ) 

6 f x + 5 − 5 6 ⎡ f x 20 ⎡ f x 20 6 ⎤ 

= lim 

⎣ − ⎤⎦ 

− 

= lim ⎢ . 

⎥ 

x + x − 6 ( x − 2)( x − 3)( P + 5P + 25) 

⎢ x − 2 

⎣ 

( x − 3)( P + 5P 

+ 25) 

⎥⎦ 

x → 2 

2 

x → 2 2 x → 2 

2 

( ) 

f x − 20 6 6 4 

Suy ra T = lim .lim = 10. = 

x→2 2 

2 

x − 2 x→ x − 3 P + 5P 

+ 25 

5.75 25 



( )( ) 


Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy, xác định đường cao của khối chóp từ đó dựng hình, tính 

toán để tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp 

Lời giải: 

( ) 




Trang 30 











Vì ABCD là hình thoi cạnh a và ABC = 60° ⇒ AB = AC = AD = a 

Suy ra A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCD 

Gọi M là trung điểm SC; của đường thẳng ( d ) đi qua M vuông góc SA tại 

I ⇒ IS = IB = IC = ID ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S. 

BCD 

2 2 2 

Đặt IS = IC = x ⇒ IA = 3a − x mà IA + AC = IC suy ra 

( ) 2 2 2 2 5a 

5 

3a − x + a = x ⇔ 6ax = 10a ⇔ x = ⇒ R = 

Câu 47: Đáp án 


a 

3 3 

Sử dụng công thức liên quan đến hình trụ : Diện tích xung quanh, diện tích đáy và diện tích toàn phần 

Lời giải: 

Gọi R, h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của khối trụ ban đầu ( T ) 

h ; h lần lượt là chiều cao của 2 khối trụ mới ( T ),( T ). 

Và 

1 2 

T là 

Diện tích toàn phần khối trụ ( ) 

Diện tích toàn phần khối trụ ( T ) 

Diện tích toàn phần khối trụ ( T ) 

1 2 1 2 

( ) 

2 

⇒ S + S = 2π R h + h + 4π 

R 

1 

2 

là 

là 

S = 2π 

Rh + 2π 

R 

1 1 

1 2 

S = 2π Rh + 2π 

R 

S = 2π Rh + 2π 

R 

2 2 

2 2 

Theo bài ra, ta có S + S = S + 32π ⇔ 2π Rh + 4π R = 2π Rh + 2π R + 32π ⇒ R = 4 

1 2 

Vậy S + S = 2π Rh + 4π R = 2 π .4.7 + 4 π .4 = 120π 

dm 

1 2 



2 2 2 

2 

Biến đổi công thức lượng giác, đưa phương trình bài cho về dạng phương trình cơ bản, kết hợp với điều 

kiện nghiệm để tìm giá trị của tham số m 

Lời giải: 

⎛ π ⎞ 

Với x ∈ ⎜ 0; ⎟ 

⎝ 6 ⎠ suy ra ⎛ 1 ⎞ 

t = sin x ∈ ⎜ 0; ⎟ 

⎝ 2 ⎠ (vì là hàm số đồng biến trên khoảng ⎛ 

0; π ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ 6 ⎠ ). 

Ta có ( sin x + 1)( sin 2x − msin x) = mcos 2 x ⇔ ( sin x + 1)( sin 2x − msin x) = m( 1− sin x)( 1+ 

sin x) 

( ) ( ) 

⇔ sin 2x − msin x = m 1− sin x ⇔ sin 2x − msin x = m − msin x ⇔ m = f x = sin 2x 

Xét hàm số f ( x) sin 2x 

⎛ π ⎞ 

= trên khoảng x ∈ ⎜ 0; ⎟ 6 

2 

2 


⎧min 

f ( x) f ( ) 

⎝ ⎠ suy ra ⎪ 

⎨ 

⎛ 

x f ( x) 

f 2 

Trang 31 

= 0 = 0 

π ⎞ 3 

⎪ma = ⎜ . ⎟ = 

⎩ 

⎝ 6 ⎠ 2 














Do đó, để phương trình m f ( x) 



3 

= có nghiệm ⇔ 0 < m < Vậy 

2 

⎛ 3 ⎞ 

S = ⎜ 

0; 2 ⎟ 

⎝ ⎠ 

Tìm tọa độ các điểm cực trị của hàm số trùng phương sau đó dựa vào tính chất của tứ giác nội tiếp đường 

tròn để tìm được tham số m 

Lời giải: 

⎡x 

= 0 

' = 4 − 4 = 0 ⇔ − = 0 ⇔ ⎢ 

⎣x 

= m 

3 2 2 2 

Ta có y x m x x( x m ) 

Để hàm số có 3 điểm cực trị m 0 

y y y 

Vì 

A B C 

2 2 

(*) 

⇔ ≠ . Khi đó, gọi A( 0; m 4 3 ), B ( m;3 ), C ( m;3) 

> = nên yêu cầu bài toán ⇔ Tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn ( C ) 

⎧AB = AC 

Và ⎨ suy ra OA là đường trung trực của đoạn thẳng BC. 

⎩OB 

− OC 

 

OA 

C ⇒ OB. AB = 0 1 

⇒ là đường kính của đường tròn ( ) ( ) 

 

 

Mà AB = ( m; − m 4 

), OB = ( m;3) 



+ − là ba điểm cực trị. 

suy ra ( ) 

4 2 1 1 

1 ⇔ m. m − 3m = 0 ⇔ m = ⇔ m = ± 

3 3 

Sử dụng phương pháp hàm đặc trưng từ phương trình giả thiết để tìm mối liên hệ giữa x, 

y sau đó thế 

x theo y vào biểu thức bài cho, khảo sát hàm số đã tìm GTNN – GTLN. 

Lời giải: 

3 3 3 3 

3 3 3 3 

x 2 y xy 1 x 2 y xy 1 

Giả thiết ⇒ 5 + + + x + 1 = 5 − + + xy − 2 y ⇔ 5 + − + x + 2 y = 5 − + + xy − 1 (*) 

xy x+ 2 y x+ 2 y xy−1 

1 

t 

3 

t 

Xét hàm số f ( t) 

= 5 − + t với t ∈ R có ( ) 

' 5 t 

−t 

f t = .ln 5 + 3 .ln 3 + 1 > 0; ∀t 

∈ R 

Suy ra f ( t) 

là hàm số đồng biến trên R mà ( ) ( ) ( ) 

* ⇔ f x + 2y = f xy −1 ⇔ x + 2y = xy − 1 

2 

2y 

+ 1 

x( y − 1) 

= 2y + 1 ⇔ x = 

y −1 

với x > 0 ⇒ y > 1 Khi đó 2y + 1 y + y + 1 

T = x + y = + y = 

y −1 y −1 

Xét hàm số f ( y) 

2 

y + y + 1 

= trên khoảng( ) 

y −1 

Tính các giá trị ( 1 3) 

3 2 3 

1;+∞ có ( ) 

f + = + và lim f ( y) lim f ( y) 

y→1 

2 

y − 2y 

− 2 

f ' y = = 0 ⇔ y = 1+ 

3 


= = +∞ 

y→+∞ 

( y −1) 

2 




Trang 32 








Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số là 3 + 2 3 Vậy T 

min 

= 3 + 2 3 




----- HẾT ----- 





Trang 33 











Lớp 12 

(...%) 

Lớp 11 

(...%) 


MÔN TOÁN 

STT 



liên quan 


THPT NGUYỄN HUỆ- NINH BÌNH- LẦN 1 




Nhận 

biết 


Thông 

hiểu 

Vận 

dụng 

Vận dụng 

cao 

Tổng số 

câu hỏi 

6 6 6 2 20 




4 Số phức 







0 0 1 0 1 





5 Đạo hàm 0 1 0 0 1 




0 1 0 0 1 




Trang 1 








phẳng 










Lớp 10 1 Phương trình 0 1 1 0 2 


Tổng Số câu 7 15 20 8 50 

Tỷ lệ 14% 30% 40% 16% 





Trang 2 












MÔN TOÁN 





Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2 a, BC = a . Các cạnh bên của hình 

chóp bằng nhau và bằng a 2 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. K là điểm trên 

cạnh AD sao cho KD = 2KA . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SK. 

3a 

A. 2 

B. 

a 2 

3 

C. 

a 3 

7 

Câu 2: Phương trình msin x + 3cos x = 5có nghiệm khi và chỉ khi: 

D. 

a 21 

7 

A. m ≤ 2 

B. m ≥ 4 

C. m ≤ 4 

D. m ≥ 2 

Câu 3: Một người gửi số tiền 100 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 7, 4% / năm. Biết rằng nếu 

không rút tiền ra khỏi ngan hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền sẽ được nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi 

đó là lãi kép). Để lãnh được số tiền ít nhất 250 triệu thì người đó cần gửi trong khoảng thời gian bao 

nhiêu năm? (nếu trong khoảng thời gian này không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi) 

A. 13 năm B. 12 năm C. 14 năm D. 15 năm 

Câu 4: Tính đạo hàm của hàm số sau: f ( x) = ln ( x 

2 + 1) 

A. 

2 

f '( x) = ln ( x + 1) 

B. ( ) 

1 

f ' x = ln 2x C. f '( x) = 

2 

x + 1 

2 

Câu 5: Cho phương trình: 1 log ( 2) 2 

4( ) 

1 1 

2 2 

D. f '( x) = 

2 

2x 

x + 1 

1 

( m− ) x − + m − 5 log + 4m 

− 4 = 0 (với m là tham số). Gọi 

x − 2 

S = [ a; b ] là tập các giá trị của m để phương trình có nghiệm trên đoạn 

A. 7 3 

B. 

⎡5 ⎤ 

⎢ ;4 

⎣2 

⎥ 

⎦ . Tính a + b . 

2 

− C. − 3 

D. 1034 

3 

237 

3 2 

Câu 6: Cho hàm số ( C ) : y = x + mx −9 x −9 m. 

Tìm m ( C ) 

m 

m 

để tiếp xúc với Ox: 

A. m = ± 3 

B. m = ± 4 

C. m = ± 1 

D. m = ± 2 

Câu 7: Một cái bồn chứa nước gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ (như 

hình vẽ). Đường sinh của hình trụ (như hình vẽ). Đường sinh của hình trụ 


bằng hai lần đường kính của hình cầu. Biết thể tích của bồn chứa nước là 

128 

3 

π m 

3 

( ) 

.Tính diện tích xung quanh của cái bồn chứa nước theo đơn vị 




Trang 3 











m 

2 . 

2 

2 

2 

2 

A. 48π ( m ) B. 40π ( m ) C. 64π ( m ) D. 50π ( m ) 


xác định và có đạo hàm y = f '( x ) . Đồ thị của hàm số = '( ) 

dưới đây. Khẳng định nào sau đây là đúng? 

A. Hàm số = ( ) 

B. Hàm số = ( ) 

y f x có ba điểm cực trị. 

y f x đồng biến trên khoảng( −∞ ;2) 

C. Hàm số y = f ( x) 

nghịch biến trên khoảng ( 0;1 ) 

D. Hàm số y = f ( x) 

đồng biến trên khoảng ( −∞; − 1) 

y f x như hình 

Câu 9: Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a .. Hai mặt (ABC) và (ASC) cùng vuông góc với 

(SBC). Tính thể tích hình chóp. 

A. 

3 

a 3 

4 

B. 

3 

a 3 

12 

C. 

3 

a 2 

12 

D. 

3 

a 3 

6 

Câu 10: Cho lăng trụ đứng có ABC. A' B ' C ' có AB = AC = BB ' = a, BAC = 120° 

. Gọi I là trung điểm 

của CC ' . Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng( ABC ) và ( AB ' I ). 

A. 

2 

2 

Câu 11: Đồ thị hàm số 

y = 

B. 3 5 

12 

x 

2 

− x + 2 − 2 

2 

x −1 

C. 

30 


D. 

3 

2 

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? 

A. 0 B. 2 C. 3 D. 1 

Câu 12: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

4 4 2 2 

a b ⎛ a b ⎞ a b 

F = + − + + + 

4 4 ⎜ 2 2 ⎟ với a, b ≠ 0 

b a ⎝ b a ⎠ b a 

A. MinF = 10 B. MinF = 2 C. MinF = −2 

D. F không có GTNN 

Câu 13: Cho tập A có 20 phần tử. Hỏi tập A có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng mà có số phần tử chẵn 

A. 

20 

2 1 

+ B. 


số góc nhỏ nhất. 

20 

2 C. 

3 2 

= − + − 

20 

2 

1 

2 − D. 19 

2 

y x 3x 5x 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ 

A. y = 2x − 2 B. y = 2x −1 

C. y = −2x D. y = − 2x 

+ 1 


Câu 15: Cho một hình trụ (T) có chiều cao và bán kính đều bằng 3a. Một hình vuông ABCD có hai cạnh 

AB, CD lần lượt là hai dây cung của hai đường tròn đáy, cạnh AD, BC không phải là đường sinh của 

hình trụ (T). Tính cạnh của hình vuông này. 




Trang 4 











A. 3a 5 

B. 6a C. 3 a 10 

2 

D. 3a 

Câu 16: Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng đi qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác 

vuông cân có cạnh huyền bằng a, diện tích xung quanh của hình nón là: 

A. 

2 

π a 2 

S 

xq 

= 

B. 

4 

2 

π a 2 

S 

xq 

= 

C. 

2 

2 

Sxq 

= π a 2 D. 

3 2 

Câu 17: Cho hàm số ( C) : y = x + 3x + 1.Đường thẳng đi qua điểm ( −3;1) 

Xác định k để đường thẳng đó cắt đồ thị tại 3 điểm khác nhau 

S 

xq 

= π a 

A và có hệ số góc bằng k. 

A. 0 < k < 1 B. k > 0 

C. 0 < k ≠ 9 D. 1 < k < 9 

3x 

Câu 18: Cho hàm số y = . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ? 

1 + 2x A. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là 

3 

y = . B. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 3 

2 

C. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 1 D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận. 

x − x 

Câu 19: Cho 9 + 9 = 23. Khi đó biểu thức 

giá trị bằng: 

x − x 

5 + 3 + 3 a 

A = = 

x −x 

1− 

3 − 3 b với a tối giản và , ∈Z 

b a b . Tích a. 

b có 

A. 8 B. 10 C. − 8 

D. − 10 

1 

Câu 20: Cho a, b, 

c là ba số thực dương, khác 1 và abc ≠ 1. Biết log 3 = 2,log 3 = 

4 

Khi đó, giá trị của log 3 bằng bao nhiêu? 

A. 

c 

a b 

và 

1 

1 

logc 3 = B. logc 3 = C. logc 3 = 3 D. logc 3 = 2 

3 

2 

Câu 21: Đường cong trong hình dưới là đồ thị của một hàm số trong bốn 

được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số 

A. 

C. 

4 2 

y = −x − 2x + 2 B. 

3 2 

y = − x + 3x + 1 D. 

y = −x − 2x 

4 2 

4 2 

y = − x + 2x 

+ 2 

Câu 22: Giá trị lớn nhất của hàm số y = x( 2 − ln x) 


A. 

[ 2;3] 

2;3 là 

2 

2 

logabc 

3 = . 

15 

max y = 4 − 2ln 2 B. max y = 1 C. max y = e D. max y = − 2 + 2ln 2 

[ 2;3] 

[ 2;3] 

[ 2;3] 

Câu 23: Cho n là số nguyên dương, tìm n sao cho: 

n 

2 2 2 2 2 

1 loga 

2019 + 2 log 2019 + ... + log n 2019 = 1010 × 2019 loga 

2019 

a 

a 

A. 2019 B. 2018 C. 2017 D. 2016 

hàm số 

nào? 





Trang 5 











3 2 

Câu 24: Cho hàm số y = ax + bx + cx + d có đồ thị như hình bên. Khẳng định nào 

sau đây đúng? 

A. a, d > 0; b, c < 0 B. a, b, d > 0; c < 0 

C. a, c, d > 0; b < 0 D. a, b, c < 0; b ,d > 0 

2 2 

Câu 25: Tìm tổng các nghiệm của phương trình sau log 4 ( x − 2x − 3) = 2log2 

( x − 2x 

− 4) 

A. 0 B. − 1 

C. 2 D. 3 

Câu 26: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông góc đáy ABCD và 

mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 60° , M là trung điểm của BC. Tính thể tích hình chóp S.ABMD 

A. 

3 

a 3 

4 

B. 

3 

a 3 

6 

C. 

Trang 6 

5 

3 

a 3 

3 

3 2 

Câu 27: Tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số ( ) ( ) 

A. m > 1 

B. 

⎡m 

< 1 

⎢ 

⎣m 

> 3 

D. 

a 

1 

y = x − m − 1 x + 2 m −1 x − 2 luôn tăng trên R 

3 

C. 2 ≤ m ≤ 3 D. −1 ≤ m ≤ 3 

Câu 28: Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên khoảng ( 0; 2 ) 

A. 

x 

y = 

2 

+ x −1 

x −1 

Câu 29: Phương trình: 

A. 

B. 

1 

0 ≤ m ≤ 

B. 

3 

2x 

− 5 

y = 

x + 1 

C. 

1 

2 

4 2 

y = x − 2x + 3 D. 

3 

4 2 

x − 1 + m m + 1 = 2 x −1 

có nghiệm x khi: 

1 

− 1< 

m ≤ C. 

3 

1 

m ≥ 

D. 

3 


xác định, liên tục và có đạo hàm trên đoạn [ ] 

1. Hàm số ( ) 

f x đồng biến trên( ; ) 

a b thì f '( x) > 0, ∀x ∈( a; 

b ) 

2. Giả sử f ( a) > f ( c) > f ( b) , ∀x ∈( a; 

b ) suy ra hàm số nghịch biến trên ( a; 

b ) 

3. Giả sử phương trình ( ) 

f ' x = 0 có nghiệm là = 

thì hàm số y = f ( x) 

nghịch biến trên ( a , m) 

4. Nếu f '( x) ≥ 0, ∀x ∈( a; 

b ) , thì hàm số đồng biến trên ( a; 

b ) 

Số khẳng định đúng trong các khẳng định trên là 

3 

3 

3 3 2 

y = x − 4x + 6x 

+ 9 

2 

1 

−1≤ 

m ≤ 

3 

a, b . Xét các khẳng định sau: 

x m khi đó nếu hàm số y = f ( x) 

đồng biến trên ( m; 

b ) 


A. 1 B. 0 C. 3 D. 2 

Câu 31: Người ta chế tạo ra một món đồ chơi cho trẻ em theo các công đoạn 

như sau: Trước tiên cho trẻ em theo các công đoạn như sau: Trước tiên, chế 

tạo ra một mặt nón tròn xoay có góc ở đỉnh là 2β = 60° bằng thủy tinh có bán 














kính lớn, nhỏ khác nhau sao cho 2 mặt cầu tiếp xúc với nhau và đều tiếp xúc với mặt nón. Quả cầu lớn 

tiếp xúc với cả mặt đáy của mặt nó. Cho biết chiều cao của mặt nón bằng 9cm. Bỏ qua bề dày của những 

lớp vỏ thủy tinh, hãy tính tổng thể tích của hai khối cầu. 

25 3 

A. ( ) 

3 π cm B. 112 3 

( ) 

3 π cm C. 40 3 

( ) 

3 π cm D. 10 3 

( ) 

3 π cm 

Câu 32: Cho khối chóp S.ABC có thể tích là 

từ C đến mặt phẳng (SAB). 

A. d = a B. 

3 

a . Tam giác SAB có diện tích là 

2 

3 

2 

d = a 

C. d = 2a D. 

3 

d = a 

2 

2a . Tính khoảng cách d 

Câu 33: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và một điểm C thay đổi trên nửa đường tròn đó, đặt 

CAB = α và gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB. Tìm α sao cho thể tích của vật thể tròn xoay 

tạo thành khi xoay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn nhất: 

1 

A. α = 60° B. α = 45° C. α = arctan D. α = 30° 

2 

Câu 34: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 

( )( ) 

3 + x + 6 − x − 3+ x 6 − x = m 

A. 0 ≤ m ≤ 6 B. 3 ≤ m ≤ 3 2 C. 

1 

9 

− ≤ m ≤ 3 2 D. 3 2 − ≤ m ≤ 3 

2 

2 

Câu 35: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a, BC = 2 a . Tính thể tích khối nón nhận được khi quay 

tam giác ABC quanh trục BC. 

π a 

A. 

2 

3 

3 

3 

B. π a 3 

C. 3π a D. π a 

Câu 36: Một cốc nước có dạng hình trụ chiều cao là 15cm, đường kính đáy là 6cm, lượng nước ban đầu 

trong cốc cao 10cm. Thả vào cốc nước 5 viên bị hình cầu có cùng đường kính là 2cm. Hỏi sau khi thả 5 

viên bị, mực nước trong cốc cách miệng cốc bao nhiêu cm? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). 

A. 4,25 cm B. 4,26 cm C. 3,52 cm D. 4,81 cm 

 

2 2 

v 3;3 và đường tròn ( C) : x + y − 2x + 4y − 4 = 0. . Ảnh của (C) qua 

v 

Câu 37: Cho ( ) 

2 2 

A. ( x + 4) + ( y + 1) 

= 9 

B. ( x ) ( y ) 

C. 

2 2 

− 4 + − 1 = 4 

2 2 

2 2 

x + y + 8x + 2y − 4 = 0 

D. ( x ) ( y ) 

− 4 + − 1 = 9 

3 

T là ( C ) 

Câu 38: Hãy lập phương trình đường thẳng (d) đi qua các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số 

3 2 

y = x + 3mx − 3x 


A. = + 3 −1 

y mx m B. = ( 2 3 − 2) 

y m x C. 2( 1) 

y = − m + x + m D. y = − 2x + 2m 

' : 




Trang 7 











Câu 39: Cho khối chóp S.ABC có ⊥ ( ) 

tích khối chóp S.ABC biết rằng SB = a 5 

A. 

3 

a 2 

3 

B. 

3 

a 6 

6 

SA ABC , tam giác ABC vuông tại B, AB = a, AC = a 3. Tính thể 

C. 

3 

a 6 

4 

Câu 40: Bên cạnh con đường trước khi vào thành phố người ta xây một ngọn 

tháp đèn lộng lẫy. Ngọn tháp hình tứ giác đều S.ABCD cạnh bên SA = 600 

mét, ASB = 15° 

. Do sự cố đường dây điện tại điểm Q (là trung điểm của SA) 

bị hỏng, người ta tạo ra một con đường từ A đến Q gồm bốn đoạn thẳng: AM, 

MN, NP, PQ (hình vẽ). Để tiết kiệm kinh phí, kỹ sư đã nghiên cứu và nó được 

chiều dài con đường từ A đến Q ngắn nhất. 

AM + MN 

Tính tỷ số k = 

NP + PQ 

A. k = 2 

B. 

4 

k = 

C. 

3 

D. 

3 

k = 

D. 

2 

a 

3 

15 

6 

5 

k = 

3 

3 2 2 

Câu 41: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x − 2mx + m x + 2 đạt cực tiểu tại x = 1 

A. m = 3 

B. m = 1∨ m = 3 C. m = −1 

D. m = 1 

Câu 42: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), 

SA = a, AB = a, AC = 2 a, BAC = 60° 

. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC 

3 

20 5π 

a 

5 5 3 

A. V = 

B. 

3 

V = 6 π a C. 5 5π 

3 

5 

V = a D. 

2 

V = 6 π a 

Câu 43: Cho 3 đồ thị hàm số sau (như hình vẽ). Khẳng định nào sau đây đúng? 

A. a 

C. b < a < c D. b < c < a 

Câu 44: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a, 

biết SA vuông góc 

với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60° . Tính thể tích hình chóp. 

A. 

3 

a 6 

48 

B. 

3 

a 6 

24 

C. 

3 

a 6 

8 

Câu 45: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: 

trị M + m bằng: 

D. 

3 

a 3 

24 


3 

2 

y = 2sin x − cos x + 1. Giá 




Trang 8 








A. 0 B. 2 C. 25 

8 

D. 41 

8 


có đồ thị như hình bên. Xác định tất cả các giá trị của tham số m để 




phương trình ( ) 

2 

A. 

f x = 2m − m + 3có 6 nghiệm thực phân biệt. 

1 

1 

− < m < 0 B. 2 0 < m < 

2 

2 

⎡1 

C. 1 1 

1 

2 < m < D. ⎢ 

< m < 

2 

⎢ 

⎢ 1 − < m < 0 

⎢⎣ 2 

2 

Câu 47: Tập xác định của hàm số = ( 2 − ) 

⎛ 1 ⎞ 

A. ⎜ 0; ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

π 

y x x là: 

B. ( 0;2 ) 

C. ( −∞;0) ∪ ( 2; +∞ ) D. [ 0;2 ] 

Câu 48: Có 10 vị nguyên thủ Quốc gia được xếp ngồi vào một dãy ghế dài (Trong đó có ông Trum và 

ông Kim). Có bao nhiêu cách xếp sao cho hai vị ngày ngồi cạnh nhau? 

A. 9!.2 B. 10! − 2 

C. 8!.2 D. 8! 

Câu 49: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số 

A. 0 < m ≤1 

B. 


A. m = 2 

B. 

⎡m 

< 0 

⎢ 

⎣m 

> 1 

3 

mx 2 

y = − mx + x −1 

có cực đại và cực tiểu 

3 

C. 0 < m < 1 D. m < 0 

3 2 

y = x − 3mx + 6, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [ ] 

31 

m = 

C. 

27 

0;3 bằng 2 

3 

m > 

D. m = 1 

2 

--- HẾT --- 





Trang 9 












MÔN TOÁN 






1-D 2-B 3-A 4-D 5-B 6-A 7-A 8-A 9-B 10-C 

11-D 12-C 13-C 14-B 15-C 16-A 17-C 18-A 19-D 20-A 

21-C 22-C 23-A 24-A 25-C 26-A 27-D 28-C 29-B 30-A 

31-B 32-D 33-C 34-D 35-A 36-B 37-B 38-B 39-A 40-A 

41-D 42-B 43-D 44-B 45-C 46-C 47-B 48-A 49-B 50-D 

















MÔN TOÁN 








- Tìm một mặt phẳng chứa SK mà song song với MN , đó chính là mặt phẳng ( SAD ) 

SAD . 

- Từ đó ta chỉ cần tính khoảng cách từ MN đến ( ) 

Cách giải: Gọi I là trung điểm AD, AC cắt BD tại O. H là hình chiếu vuông góc của O trên SI. 

Ta có: MN / / ( SAD ) 

Suy ra: ( , ) ( ,( )) ( O, ( )) 

d MN SK = d MN SAD = d SAD = OH 

AB 

+) OI = = a ;; 

2 

+) 

+) 

1 1 2 2 1 2 2 5 

OI = BD = AB + AD = 4a + a = a 

2 2 2 2 

2 

2 2 2 5a 

a 21 

SO = SB − OB = 2a 

− = 

4 7 

Vậy d ( MN, 

SK ) 

21 

= a 

7 

Chú ý khi giải: HS thường không chú ý đến phương pháp tìm mặt phẳng song song mà chỉ tập trung đi 

tìm đường vuông góc chung dẫn đến sự phức tạp cho bài toán và không đi đến được đáp án. 


Phương pháp: Dạng bài này, ngoài cách rút m rồi xét hàm như thường lệ, ta có thể áp dụng điều kiện có 

nghiệm cho phương trình a sin x + b cos x = c là a ≤ a + b 

2 2 2 

2 2 2 2 

Cách giải: Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi 5 ≤ m + 3 ⇔ m ≥16 ⇔ m ≥ 4. 

Chú ý khi giải: HS thường nhầm lẫn điều kiện có nghiệm của phương trình trên a 2 + b 2 ≤ c là dẫn đến 

kết quả sai. 




Công thức lãi kép: ( 1 ) 

T = M + r n 

với: 




Trang 11 











T là số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn;M là số tiền gửi ban đầu; n là số kỳ hạn; r là lãi suất định kỳ, tính 

theo %. 

Cách giải: Gọi n là số năm cần gửi ít nhất để người đó có 250 triệu. 

Ta có: 250.10 6 = 100.10 6 

( 1+ 

7, 4) 

n 

6 

⎛ 250.10 ⎞ 

⇔ n = log1 + 7,4% ⎜ ≈12,8 ⇒ = 13 

6 ⎟ n (năm). 

⎝ 100.10 ⎠ 

Chú ý khi giải: HS sẽ phân vân khi chọn số năm cần gửi ít nhất vì n ∼ 12,8 nên có thể sẽ chọn đáp án sai 

là n = 12. . 



Công thức tính đạo hàm hàm hợp: ;( ( )) = '( ). '( ) 

Công thức tính đạo hàm: ( u) 

ln ' = u ' 

u 

Cách giải: Có: ( ) = ln ( 2 + 1) 

f x x f '( x) 

f u x u x f u . 

2 

( x + ) 

1 ' 2x 

⇒ = = 

2 2 

x + 1 x + 1 

Chú ý khi giải: HS thường nhầm lẫn: sử dụng công thức tính đạo hàm ( x) 

công thức tính đạo hàm hàm hợp. 



1 

ln ' = mà không chú ý đến 

x 

- Biến đổi phương trình về phương trình bậc hai đối với log ( x − 2) 

và đặt ẩn phụ = log ( − 2) 

[ ] 

t ∈ −1;1 

- Rút m theo t và xét hàm ( ) 

f t để tìm ra điều kiện của m. 

2 

2 

Cách giải: ( m −1) log ( x − 2) + 4( m − 5) log + 4m − 4 = 0( x > 2) 

1 1 

2 2 

2 

( ) ( ) ( ) ( ) 

2 2 

1 

x − 2 

m −1 log x − 2 + m − 5 log x − 2 + m + 1 = 0 

Đặt y = log ( x − 2 ) ⇒ x ∈ ;4 ⇒ t ∈[ −1;1] 

2 

⎡5 

⎢ 

⎣2 

2 

Phương trình đã cho trở thành:( ) ( ) 

( ) 

2 2 

⇔ m t + t + = t + t + 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

m − 1 t + m − 5 t + m + 1 = 0 

2 

t + 5t + 1 4t 

1 5 1 ⇔ = = 1+ 

2 2 

+ + 1 + + 1 

4t 

Xét hàm số: y = 1+ 

2 

t + t + 1 

2 

m vì t + t + 1 > 0∀t 

∈[ −1;1] 

t t t t 

trên [ − 1;1] 

2 

t x với 


2 




Trang 12 











Có: y '( t) 

( ) 

= 

2 

4t 

4 

− + 

2 

( t + t + 1) 

2 

2 

− 4t 

+ 4 

y ' x = 0 ⇔ = 0 ⇔ t = ± 1∈ −1;1 

2 

( t + t + 1) 

Ta có bảng biến thiên: 

⎛ 7 ⎞ 

2 

⇒ m∈⎜ 

−3; ⎟ ⇒ a + b = − . 

⎝ 3 ⎠ 

3 

2 

[ ] 

Chú ý khi giải: HS thường nhầm lẫn các công thức 

logarit dẫn đến kết quả sai, hoặc nhầm lẫn trong bước xét hàm ( ) 


f t để đi đến kết luận. 

biến đổi 

Phương pháp: Điều kiện để đồ thị hàm số bậc ba tiếp xúc với trục là phương trình hoành độ giao điểm 

phải có hai nghiệm phân biệt Ox 

Cách giải: Để đồ thị hàm số ( C ) 

hoành độ giao điểm phải có hai nghiệm phân biệt. 

Ta có: y = 0 ⇔ x 3 + mx 2 − 9x − 9m 

= 0( 1) 

2 ⎡x 

= −m 

⇔ ( x + m)( x − 9) 

= 0 ⇔ ⎢ 

⎣x 

= ± 3 

Để (1) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ m = ± 3 

m 

tiếp xúc với trục Ox thì phương trình 

Chú ý khi giải:HS cần xem lại các điều kiện để phương trình bậc ba có 1 nghiệm, hai nghiệm và ba 

nghiệm phân biệt. 



Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ: 

2 

Công thức tính thể tích khối trụ: V = π R h 

Công thức tính diện tích hình cầu: S = 4π R 

4 

Công thức tính thể tích khối cầu: V = 3 π R 

2 

3 

S 

xq 

= 2π Rh 

Cách giải: Gọi bán kính đáy của hình trụ là R ⇒ h = 4R . 

V = 2V1 + V2 

với 

1 

V là thể tích nửa khối cầu và V2 

là thể tích khối trụ. 

3 

2 3 2 16π 

R 128π 

= 2. π R + π R .4R = = ⇒ R = 2 

3 3 3 

t − 1 

1 

y '( t ) 0 + 0 

( ) 

y t 7 

3 


− 3 




Trang 13 











Vậy 

S = 4 2 

2 S + S = 1 2 

2. 2 .4 48 . 

2 π R + π R R = π 

Chú ý khi giải: HS thường hay nhầm lẫn các công thức tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, 

thể tích,… dẫn đến chọn sai đáp án. 


Phương pháp: Quan sát đồ thị hàm số y = f '( x ) để tìm khoảng dương, âm của f '( ) 

f x . 

khoảng đồng biến, nghịch biến của ( ) 


Từ đồ thị hàm số y = f '( x ) suy ra hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên ( −∞ − 1) 

và ( ) 

đồng biến trên( − 1;1) 

(làm y ' dương). 

Suy ra B, C, D sai và A đúng. 


HS có thể nhầm lẫn thành đồ thị hàm số = ( ) 


y f x do đọc không kĩ đề dẫn đến chọn sai đáp án. 

x , từ đó tìm được 

1;2 (làm y ' âm) và 

1 

Phương pháp: Công thức tính thể tích khối chóp V = S . h với S là diện tích đáy,h là chiều cao. 

3 

Chú ý tính chất hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc 

với mặt phẳng đó. 


⎧ 

⎪ 

⎨ 

⎪ 

⎩ 

( ABC ) ⊥ ( SBC) 

( ) ( ) 

( ) ( ) 

( ) 

SBC ⊥ SBC ⇒ AC ⊥ SBC 

ABC ∩ SAC = AC 

2 3 

1 1 a 3 a 3 

SBC. 

⇒ V = S AC = a = 

3 3 4 12 


Phương pháp: Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng: 

- Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng. 

- Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng và vuông góc với giao 

tuyến. 

Cách giải: Gọi E là giao điểm của B’I và BC. 

H ∈ BC sao cho EA ⊥ AH tại A 


K ∈ B ' I sao cho KH ⊥ CB tại H 

Có KH ⊥ CB ⇒ KH / / CC ' 




Trang 14 











⇒ KH ⊥ ( ABC ) tại H 

⇒ 

KH ⊥ EA mà EA ⊥ AH 

⇒ EA ⊥ ( AKH ) ⇒ EA ⊥ AK 

Hai mặt phẳng ( AIB ') 

và ( ) 

ACB có giao tuyến là EA 

mà AK ⊂ ( AIB '); AH ⊂ ( ACB) 

; EA ⊥ AK; 

EA ⊥ AH ⇒ hợp bởi hai mặt phẳng ( AIB ') 

và ( ) 

KAH 

Ta có: BC = 2a cos30° = a 3 

2 2 2 2 2 2 

AE EC AC AC EC ACE a a a a a AE a 

= + − 2 . .cos = 3 + − 2 . 3.cos150° = 7 ⇒ = 7 

2 2 2 2 2 2 

AE + EC − AC 7a + 3a − a 9 

Ta có: cos AEC = = = 

2 AC. 

EC 2a 

7. a 3 2 21 

⇒ 1 3 21 

tan AEC = − 1 = . ⇒ AH = AE.tan 

AEC = a 

2 

cos AEC 9 9 

EH HK EH. BB ' AE. BB ' a 7. a.2 21 7a 

Ta có: = ⇒ HK = = = = 

EB BB ' EB 2 BC.cos AEC 2a 

3.9 9 

AH AH a 21 30 

cos KAH = = = = 

AK 

2 2 2 2 

AH + HK 21a 49a 


9 + 

81 81 

Chú ý khi giải: Cần xác định đúng góc tạo bởi hai mặt phẳng để đi đến đáp số. 


Phương pháp: Số tiệm cận đứng của hàm phân thức y = f x 

g x 

nghiệm của tử. 

Cách giải: Ta thấy mẫu thức 

2 

x −1có 2 nghiệm = ± 1 

( ) 

( ) 

nghiệm của tử thức nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng x = −1. 

ACB là 

là số nghiệm của mẫu mà không là 

x và x = 1cũng là nghiệm của tử, x = −1 

không là 

Chú ý khi giải: HS thường mắc phải sai lầm: nhận thấy mẫu có hai nghiệm phân biệt vội vàng kết luận 

có 2 tiệm cận dẫn đến kết quả sai. 


Phương pháp: Thêm bớt hạng tử để được các hằng đẳng thức. 


Sử dụng kết quả 


2 2 

A + B + C ≥ C để tìm min F và chú ý tìm điều kiện để dấu “=” xảy ra. 2 

⎛ 

4 4 2 2 

a b a b a b 

F = + − + + + 

4 4 ⎜ 2 2 ⎟ 

b a b a b a 

⎝ 

⎞ 

⎠ 




Trang 15 











2 

2 

2 

2 2 

2 2 

⎛ a ⎞ ⎛ b ⎞ ⎛ a b ⎞ a b a + b 

⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ 

= − 1 + − 1 + + + + − 4 ≥ − 4 ≥ 2 − 4 = −2 

⎝ b ⎠ ⎝ a ⎠ ⎝ b a ⎠ b a ab 

Dấu “=” xảy ra ⇔ ( a; b ) = ( −1;1) 

hoặc ( a; b ) = ( 1; −1) 

Min tại ( a; b ) = ( −1;1) 

hoặc ( a; b ) = ( 1; −1) 

Vậy = −2 

y 


Phương pháp: Sử dụng công thức tổ hợp chập của phần tử trong khi chọn các tập hợp con có 

2,4,6,...., 20 phần tử. 


*TH1: A có 2 phần tử ⇒ có C 

*TH2: A có 4 phần tử ⇒ có C 

…. 

2 

20 

4 

20 

tập hợp con có 2 phần tử. 

tập hợp con có 4 phần tử. 

*TH10: A có 20 phần tử ⇒ cóC 20 tập hợp con có 20 phần tử. 

Suy ra tất cả có 


∑ 

i= 

1 

2 i 19 

20 

20 

C = 2 −1 

trường hợp. 

Phương pháp: Hệ số góc của tiếp tuyến là giá trị của đạo hàm tại tiếp điểm nên để có hệ số góc nhỏ nhất 

thì ta cần tìm GTNN của đạo hàm. 

Cách giải: Xét hàm số: 

2 

Có y x x ( x ) 2 

3 2 

y = x − 3x + 5x − 2 trên R 

' = 3 − 6 + 5 = 3 − 1 + 2 ≥ 2. 

Dấu “=” xảy ra x = 1 

Với x = 1⇒ y = 1 

y − 1 = 2 x −1 ⇔ y = 2x 

−1 

Vậy đường thẳng cần tìm là: ( ) 


Phương pháp: Gọi là tâm hình vuông 

⇒ I ∈OO ' . Sử dụng định lý Py-tago 

trong tam giác vuông để tính AB . 



⇒ AB = BI . 2 = a 

2 


2 

2 2 9a 

2 3a 

5 

IB = OI + OB = + 9a 

= 

4 2 


Phương pháp: Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón: 

Sxq 

= π Rl 




Trang 16 









Có 

2R 

a 2 

l = = 

2 2 




a a π a 

Sxq 

= π Rl = π. . = 

2 2 4 

2 

2 2 

Chú ý khi giải: HS thường nhầm lẫn công thức tính diện tích xung quanh hình nón là 

đường cao của hình nón. 



Viết phương trình đường thẳng đi qua A và có hệ số góc k . 

S 

xq 

= π Rh với h là 

Biện luận số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm để suy ra kết 

luận. 

Cách giải: Xét hàm số: = 3 + 3 2 + 1( ) 

Ta có: 

y x x C trên R 

2 2 ⎡x 

= 0 

y ' = 3x + 6 x; y ' = 0 ⇔ 3x + 6x 

= 0 ⇔ ⎢ 

⎣x 

= −2 

Ta có (C) là hàm số bậc 3 xác định trên R, đồ thị của nó có duy nhất 2 cực trị 

hoặc không có điểm cực trị nào. 

Ta có: = 1 > 0 → ( 0;1) 

a B là điểm cực tiểu của (C). 

 

AB = 3;0 ⇒ AB / / Ox 

Ta có: ( ) 

⇒ để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì điều kiện cần là k > 0 với k là hệ số góc đường thẳng cắt (C) tại 3 

điểm phân biệt 

Gọi d : y = kx + a với: k > 0; k, 

a ∈ R 

Ta lại có ( ) 

A −3;1 ∈d ⇒ 1 = − 3k + a ⇔ a = 1+ 

3k 

⇒ d : y = kx + 3k 

+ 1 

d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt ⇔ phương trình: + 3 + 1 = 3 + 3 2 + 1( 1) 

⎡x 

= −3 

1 ⇔ + 3 − = 0 ⇔ ⎢ 

⎣x = ± k vì k > 0 

2 

Phương trình ( ) ( x )( x k ) 

Để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇔ k ≠ 9 

Vậy k > 0; k ≠ 9 thỏa mãn yêu cầu của bài. 


kx k x x có 3 nghiệm phân biệt. 


HS cần chú ý cách viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có hệ số góc. 




Trang 17 











Liên hệ được mối liên hệ giữa số giao điểm và số nghiệm của phương trình để biện luận. 



Đường thẳng = 

0 

Đường thẳng = 

0 

y y là tiệm cận ngang của đths = ( ) 

x x là tiệm cận đứng của đths = ( ) 

3x 

3 

Cách giải: lim y = lim y = 

x→∞ 

x→∞ 

1 + 2 x 2 

Vậy tiệm cận ngang đồ thị hàm số 

y f x nếu lim y y0 

hoặc lim y y 

0 

x→−∞ 

= 

x→+∞ 

= 

y f x nếu lim 

+ 

y = ±∞ hoặc lim 

− 

y = ±∞ . 

x→x0 

3x 

y = 

1 + 2x là đường thẳng 3 

y = 

2 

Chú ý khi giải: HS thường nhầm lẫn giữa các điều kiện để một đường thẳng là tiệm cận của đồ thị hàm 

số dẫn đến chọn nhầm đáp án. 


Phương pháp: Biến đổi phương trình đã cho để tính 3 

x −x 

Cách giải: Ta có: 9 + 9 = 23 

x − x 

( ) 2 

x − x 

x −x 

⇔ 3 + 3 = 25 ⇔ 3 + 3 = 5 vì 3 + 3 > 0, ∀x 

∈ R 

x − x 

5 + 3 + 3 5 + 5 −5 

a 

⇒ A = = = = 

x − x 

1− 3 − 3 1− 

5 2 b 

Vậy ab = −10 


x 

+ 

3 − 

x→x0 

x , từ đó thay vào biểu thức A 

x 

HS thường phân vân ở chỗ tính 3 + 3 − x x −x 

vì đến đó các em không biết nhận xét 3 + 3 > 0, ∀x dẫn đến 

một số em có thể chọn nhầm đáp án. 


1 

log 

a 

b = ;loga bc = loga b + log 

a 

c 

log a 

Sử dụng các công thức biến đổi logarit như: ( ) 

2 

Cách giải: Ta có: logabc 

3 = 15 

15 

⇒ log3 

abc = 

2 

15 

⇔ log3 a + log3 b + log3 

c = ⇔ 1 + 1 + log 

15 

3 

c = 

2 log 3 log 3 2 

15 1 1 15 1 

1 

⇔ log = − − = − − 4 = 3 ⇔ log c = . 

3 

3 

c 

3 

2 loga 

3 logb 

3 2 2 

a 

b 


b 




Trang 18 











Chú ý khi giải: HS thường nhầm lẫn công thức logarit của một tích, hoặc đến bước cuối tính log c 

3 lại 

kết luận nhầm log3 

c = 3 dẫn đến chọn nhầm đáp án. 



Quan sát đồ thị hàm số đã cho và nhận xét dựa trên dáng đồ thị các hàm số đa thức bậc 3, bậc 4. 


Đồ thị hàm số nhận (0;0) là điểm cực tiểu nên loại A, B, D. 



- Tính đạo hàm và tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng . 0 

- Tính các giá trị của hàm số tại hai đầu mút và tại các nghiệm của đạo hàm. 

- Giá trị lớn nhất trong số những giá trị vừa tìm được là GTLN của hàm số trên đoạn [ a; 

b ] 


Xét hàm số: y = x( 2 − ln x) 

trên [ 2;3 ] 

y ' x = 2 − ln x − 1 = 1− 

ln x 

Có ( ) 

( ) = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ∈[ ] 

y ' x 0 1 ln x 0 ln x 1 x e 2;3 


Vậy 

[ ] 

( ) 

max y = y e = e 

2;3 


HS thường tính sai bước đạo hàm và nhầm lẫn khi xét dấu đọa hàm dẫn đến sai kết quả. 



Biến đổi VT để xuất hiện log 2019 

2 

Sử dụng công thức 1 + 2 + 3 + ... + n = n n + 

4 


a 

( ) 2 

3 3 3 3 

1 

2 2 2 

Ta có: VT = 1 .log 2019 + 2 log 2019 + ... n .log n 2019 

Vậy. 

a a a 

3 3 3 

1 .loga 2019 2 log 

a 

2019 ... n .loga 

2019 

= + + + 

3 3 3 

( n ) 

= 1 + 2 + ... + .loga 

2019 

2 2 

VT = 1010 .2019 .loga 

2019 

x 2 e 3 

y ' + 0 - 


y 

e 




Trang 19 











Có VT = VP 

( n ) 

3 3 3 2 2 

1 2 ... loga 

2019 1010 .2019 .loga 

2019 

⇔ + + + = 

( n + 1) 2 

2 

n 

⇔ = 1010 .2019 

4 

2 2 

2 

( n n ) ( 2020.2019) 

⇔ + = 

2 2 

2 

⇔ + = 2020.2019 

n n vì 

[ ) 

[ ) 

⎡ n = 2019∈ 0; +∞ 

⇔ ⎢ 

⎢⎣ n = −2020∉ 0; +∞ 

Vậy n = 2019 


+ > 0, ∀ > 0 

2 

n n n 

( ) 2 

HS thường không biết áp dụng công thức 1 + 2 + 3 + ... + n 

2 

= n n + 

4 

bài toán. 



Quan sát đồ thị và nhận xét. 


Ta có hàm số: 

2 2 

y = ax + bx + cx + d 

Từ chiều biến thiên của đồ thị ta có a > 0. 

y 0 = d > 0 

Có: ( ) 

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị ⇒ phương trình: 

x 

2 

. Chọn x1 < x 

2 

x < 0 < x ⇒ ac < 0 ⇔ c < 0 

Mà 

1 2 

3 3 3 3 

1 

Từ đồ thị ta có: x1 − 0 < x2 

− 0 ⇒ a + b < 0 ⇔ b < − a < 0 

Vậy: a, d > 0; b, c < 0 



dẫn đến không tìm ra kết quả 

2 

y = 3ax + 2bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 

và 


Biến đổi phương trình đã cho về 2log ( 2 ) ( 2 

5 

− 2 − 3 = log2 

− 2 − 4) 

5 

2 

( ) 

t = log x − 2x − 3 đưa về phương trình ẩn t. 

x x x x và đặt ẩn phụ 




Trang 20 











Xét hàm f ( t) 

và tìm nghiệm của ( ) = 0 


Phương trình (1): log ( x 2 − 2x − 3) = 2log ( 2 

2 

x − 2x 

− 4) 

2 

⎧⎪ 

x − 2x 

− 3 > 0 

2 

Điều kiện: ⎨ 

⇔ x − 2x 

− 4 > 0 

2 

⎪⎩ x − 2x 

− 4 > 0 

Vì 

2 2 

x − x− < x − x − ∀x ∈ R 

2 2 3, 

5 

( 1) ⇔ 2log ( x 2 − 2x − 3) = log ( x 2 − 2x 

− 4 )(*) 

5 2 

Đặt 

5 ( ) 

f t từ đó tìm ra nghiệm của phương trình. 

t = x − x − ⇒ x − x − = ⇒ x − x − = − > ⇔ t > 

2 2 t 2 

t 

log 2 3 2 3 5 2 4 5 1 0 0 

Phương trình (*) trở thành: t 

2 ( ) 

Xét hàm số ( ) = 5 t t 

y t − 4 −1trên ( 0;+∞ ) 

Có y ( t ) 

t 

t 

' = 5 ln 5 − 4 ln 4 

2 = log 5 t −1 ⇔ 5 t − 4 t − 1 = 0 

t t 

t t 

Vì 5 > 4 , ∀t ∈ [ 0; +∞ );ln 5 > ln 4 nên y ( t ) = 5 ln− 4 ln > 0, ∀t 

∈ ( 0; +∞) 

⇒ f ( t) 

đồng biến trên ( 0;+∞ ) 


Mà f ( t) = 0 ⇒ t = 1là nghiệm duy nhất phương trình f ( t ) = 0 

= 1⇒ log − 2 − 3 = 1 

2 

Với t 

5 ( x x ) 

2 2 

⇔ x − 2x − 3 = 5 ⇔ x − 2x 

− 8 = 0 

Theo định lý vi – et ta có tổng hai nghiệm phương trình (1) là: 

x + x = 

1 2 

2. 


HS cần chú ý sử dụng phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình. 



Chứng minh góc giữa hai mặt phẳng ( SCD ) và ( ) 

ABCD là SDA bằng cách sử dụng định nghĩa góc 

giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến. 

1 

Công thức tính thể tích khối chóp . V = S . h 

3 

Cách giải: Ta có: SA ⊥ ( ABCD) 

⇒ SA ⊥ CD 

x 0 +∞ 

'( ) 

y t 0 + 0 

y ( t ) 

+∞ 





Trang 21 











Mà AD ⊥ CD ⇒ CD ⊥ ( SAD) 

⇒ CD ⊥ SD . 

Vì 

( ) ( ) 

⎧ SCD ∩ ABCD = CD 

⎪ 

⎨AD 

⊥ CD 

⎪ 

⎩ 

SD ⊥ CD 

Ta có: h = a.tan 60° = a 3 

2 1 a 3a 

S 

ABMD 

= S 

ABCD 

− S∆ 

DCM 

= a − a . = 

2 2 4 

2 3 

1 1 3a 

a 3 

ABMD. . . 3 

⇒ VS . ABMD 

= S h = a = 

3 3 4 4 


nên góc giữa ( SCD) 

và ( ) 

2 

ABCD là SDA = 60° 

HS thường xác định sai góc giữa hai mặt phẳng dẫn đến đáp số sai. 



Tính 

y ' và tìm điều kiện của để y ' > 0, ∀ x ∈ R 

2 

⎧a 

> 0 

Điều kiện để tam thức bậc hai ax + bx + c > 0, ∀x ∈ R là ⎨ 

⎩ ∆ ≤ 0 


1 

y = x − m − 1 x + 2 m −1 x − 2 

3 

3 2 

Xét hàm số: ( ) ( ) 

Có y '( x) = x 2 − 2( m − 2) x + 2( m −1) 

Hàm số đã cho tăng trên ( ) 

2 

( ) ( ) 

R ⇔ y ' x > 0, ∀x ∈ R 

⇔ ∆ ' = m −1 − 2 m −1 ≤ 0 vì a = 1 > 0 

2 

⇔ − + ≤ 

m 4m 

3 0 

1 ≤ 0 ≤ 3 


HS thường nhầm lẫn điều kiện để tam thức bậc hai luôn âm, luôn dương dẫn đến chọn nhầm đáp án. 



Xét các hàm số ở từng đáp án, tìm khoảng nghịch biến của chúng và đối chiếu điều kiện đề bài. 



*TH1: Đáp án A: 




Trang 22 











Hàm số: 

x 

y = 

*TH2: Đáp án B: 

Xét hàm số: 

Có 

2 

( x + 1) 

+ x −1 

x −1 

2x 

− 5 

y = 

x + 1 

7 

y ' = , ∀x ∈ R \ 1 

⇒ Hàm số 

*TH3: Đáp án C: 

Hàm số 

2 

2x 

− 5 

y = 

x + 1 

xác định trên = \{ 1} 

xác định trên R \{ −1} 

{ } 

đồng biến trên \{ −1} 

D R nên loại A vì 1∈ 

( 0; 2 ) 

R (loại). 

1 4 2 

y = x − 2x + 3 liên tục trên ( 0; 2 ) 

2 

Có y '( x) = 2x ( ) 

3 − 6x < 0, ∀x 

∈ 0; 2 

⇒ Hàm số: 

*TH4: Đáp án D: 

Hàm số: 

Có ( ) 

1 4 2 

y = x − 2x + 3 nghịch biến trên ( 0; 2 ) 

2 

3 3 2 

y = x − 4x + 9x + 9 xác định trên R 

2 

2 

9 2 9 ⎛ 8 ⎞ 22 

' 8 6 0, 

y x = x − x + = ⎜ x − ⎟ + > ∀x ∈ R (loại). 

2 2 ⎝ 9 ⎠ 9 

Vậy đáp án C thỏa mãn yêu cầu đề bài. 


HS cần chú ý điều kiện để hàm số nghịch biến trên khoảng( ; ) 



- Chia cả hai vế của phương trình cho x + 1 > 0 và đặt ẩn phụ t = 

- Từ điều kiện x ≥1ta tìm được điều kiện của t là 0 ≤ t < 1 . 

- Từ phương trình ẩn t, rút − m = f ( t ) và xét hàm f ( t ) trên [ ) 


4 2 

Phương trình: 3 x − 1 + m x + 1 = 2 x −1 

(Điều kiện: x ≥1 

) 

( ) 

4 4 

3 x 1 m x 1 2 x 1. x 1 * 

− + + = − + 

a b là '( ) < 0, ∀ ∈( ; ) 

4 

4 

f x x a b . 

x −1 

. 

x + 1 

0;1 , từ đó suy ra điều kiện của 





Trang 23 











Ta có với x ≥1Chia hai vế phương trình (*) cho + 1 

4 

x −1 4 x −1 

Đặt t = ⇒ t = 

4 

x + 1 x + 1 

x −1 2 

4 

Với x ≥1 

thì hàm số 0 ≤ = 1− < 1⇒ 0 ≤ t < 1 ⇔ 0 ≤ t < 1 

x + 1 x + 1 

2 

Phương trình (1) trở thành: 3t − 2t + m = 0( 2) 

x − 

x − 

3 1 

4 

2 1 1 

4 

x ta có: + m = ( ) 

Phương trình (*) có nghiệm ⇔ phương trình (2) có nghiệm: 0 ≤ t < 1 

2 

Xét hàm y = f ( t) = 3t − 2t trên [ ) 

f ' t 6t 2 0 t 

1 0;1 

3 

( ) = − = ⇔ = ∈[ ) 


0;1 ta có: 

Từ bảng biến thiên ta thấy để phương trình 

nghiệm trong [ ) 

( ) 

2 

t − t + m = có 

2 

3 2 0 

0;1 thì đường thẳng y = −m phải cắt đồ thị hàm số 

y = f t = 3t − 2t tại ít nhất 1 điểm. 

1 1 

Do đó − ≤ − m < 1 ⇔ − 1 < m ≤ 

3 3 

1 

Vậy − 1< 

m ≤ thì phương trình đã cho có nghiệm. 

3 

Đáp án B. 


x + 1 x + 1 

- HS thường quên không tìm điều kiện của ẩn phụ hoặc tìm sai điều kiện (một số bạn chỉ đặt điều kiện sẽ 

dẫn đến kết quả sai) t t 0 

- Ở bước kết luận, một số bạn nhầm lẫn điều kiện để có nghiệm và có 2 nghiệm nên sẽ chọn để phương 

trình có 2 nghiệm cũng là một kết quả sai. 1 0 m 3 



Xét tính đúng sai của các đáp án dựa vào các kiến thức hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng xác 

định. 


*2 sai vì với 

1 

< 

2 

c c bất kỳ nằm trong ( a; 

b ) ta chưa thể so sánh được f ( c ) và ( ) 

*3 sai. Vì y ' bằng 0 tại điểm đó thì chưa chắc đã đổi dấu qua điểm đó. VD hàm số 

t 

'( ) 

1 

0 

f c . 

2 

y = x 

3 

1 

3 

f t - 0 + 

( ) 

f t 0 1 


1 

− 

3 

1 




Trang 24 











*4 sai: Vì thiếu điều kiện tại ( ) 

hằng. 


HS thường nhầm lẫn: 

f ' x = 0 hữu hạn điểm.VD hàm số y = 1999 có y ' = 0 ≥ 0 nhưng là hàm 

- Khẳng định số 4 vì không chú ý đến điều kiện bằng 0 tại hữu hạn điểm. 

- Khẳng định số 3 vì không chú ý đến điều kiện y ' đổi dấu qua nghiệm. 



Tính bán kính hai khối cầu dựa vào các mối quan hệ đường tròn nội tiếp tam giác. 

4 3 

Tính thể tích hai khối cầu đã cho theo công thức V = . 

3 π R và suy ra kết luận. 

Cách giải: Cắt món đồ chơi đó bằng mặt phẳng đứng đi qua trục hình nón. 

Gọi P, H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, I, J trên AB. 

Vì BAC = 2β 

= 60 ° , AM = 9 cm . 

⎪⎧ BM = MC = 3 3 

⇒ ⎨ 

⇒ ∆ABC 

đều. 

⎪⎩ AB = AC = 6 3 = BC 

Vì IM là bán kính mặt cầu nội tiếp tam giác đều ABC nên 

AM 

IH = IM = = 3 

3 

Gọi B ' C ' là tiếp tuyến chung của hai đường tròn. Vì ∆ABC đều 

nên dẫn đến ∆AB ' C ' đều. 

AG AM 

Suy ra bán kính đường tròn nội tiếp JK = JG = = = 1 

3 9 

4 3 4 3 112π 

Vậy tổng thể tích là: V1 + V2 

= π. IH + π. 

JK = 

3 3 3 


Cần chú ý vận dụng các mối quan hệ đường tròn nội, ngoại tiếp tam giác đều trong việc tính bán kính các 

khối cầu. 



Dựa vào công thức tính thể tích khối chóp 


Gọi khoảng cách từ C đến (SAB) là h. 

1 

= . 

3 

SAB . 

V S h để suy ra chiều cao hạ từ C đến mp ( ) 





Trang 25 











3 

1 1 2 a a 

Theo công thức thể tích khối chóp, ta có: V = h.S SAB 

= . h.2a = → h = 

3 3 3 2 


HS cần áp dụng đúng công thức tính thể tích. 



- Tính thể tích khối nón có được khi quay tam giác ACH quanh AB (hay AH) bằng công thức V 

với đáy là hình tròn tâm H bán kính CH và chiều cao là AH. 

- Tìm GTLN của thể tích dựa vào phương pháp xét hàm, từ đó tìm được AH. 

Cách giải: Thể tích khối nón khi quay ∆ACH quay quanh AB: 

1 1 2Rπ 

π 

V = AH. π. CH = AH. π. ( AH. AB − AH ) = . AH − AH 

3 3 3 3 

2 2 2 3 

2Rπ 

2 π 3 

Xét hàm số: y = . t − t với t = AH 

3 3 

4Rπ 

⇒ y ' = . t −πt 

3 

0( L) 

⎡t 

= 

y = 0 ⇔ ⎢ 

⎢ 4R 4R 

t = → AH = 

⎢⎣ 3 3 

2 

2 2 3 

⇒ = − = R R 

HB AB AH ⇒ CH = 

3 3 

CH 1 1 

⇒ tan CAB = = ⇒ CAB = arctan 

AH 2 2 


Ở bước kết luận nhiều HS sẽ kết luận sai gócα là góc 45°dẫn đến chọn sai đáp án. 



Phương trình đã cho có nghiệm ⇔ đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số 

= ( ) = 3 + + 6 − − ( 3 + )( 6 − ) 

kiện của m. 

y f x x x x x tại ít nhất 1 điểm nên ta xét hàm f ( ) 


Xét hàm số: f ( x) = 3 + x + 6 − x − ( 3 + x)( 6 − x) 

trên [ − 3;6] 

1 

S . h 

3 

= 

d 

x , từ đó tìm ra điều 





Trang 26 











⎡ 3 

3 − 2x 

[ 3;6] 

'( ) 0 6 3 2 3 0 ( 3 2 ) 0 

⎢ 

x = ∈ − 

f x = ⇔ − x − + x + x − = ⇔ − − x = ⇔ 2 

6 − x − 3+ 

x 

⎢ 

⎢⎣ 6 − x − 3 + x = 1 * 

( ) ( )( ) ( )( ) 

* ⇔ 9 + 2 6 − x 3 + x = 1 ⇔ 2 6 − x 3 + x = −8 

(loại) 


Vậy để phương trình f ( ) 



x có nghiệm thì: 

− 9 + 6 2 

≤ m ≤ 3 

2 

1 

Công thức tính thể tích khối nón: V = S . h với Slà diện tích hình 

3 

tròn đáy và h là đường cao. 


Gọi A’ đối xứng với A qua BC. Khi quay tam giác quanh trục BC ta sẽ được hai khối nón có đáy là hình 

tròn tâm H bán kính R và lần lượt có chiều cao là BH và CH. 

Ta có: 

AC BC AB 4a a a 3 

2 2 2 2 

= − = − = 

AB. AC a. a 3 a 3 

⇒ AH = = = 

BC 2a 

2 

2 

2 2 2 

π π π π ⎛ a ⎞ 

1 1 1 1 3 π a 

V = AH . BH + AH . CH = . AH . BC = .2 = 

3 3 3 3 ⎜ 2 ⎟ 

a 

⎝ ⎠ 2 


Nhiều HS thường xác định sai khối tròn xoay nhận được khi quay tam giác quanh BC dẫn đến đáp án sai. 



4 3 

Tính thể tích mỗi viên bi hình cầu: V = 5 

3 π R ⇒ viên có thể tích V 

1 

2 

Tính thể tích lượng nước ban đầu (cột nước hình trụ): V = V = π R h 

2 n 

. 

Tính tổng thể tích cả bi và nước lúc sau V = V1 + V 

2 

, từ đó suy ra chiều cao cột nước lúc sau và khoảng 

cách từ mặt nước đến miệng cốc. 


4 3 20π 

Ta có: V = 5. π R = 3 3 

1 

3 

x 

'( ) 

− 3 

3 

2 

y x - 0 + 

( ) 

( ) 

y x 3 3 

− 9 + 6 2 

2 


6 




Trang 27 











V π R h 

2 

2 

= = 90 

1 2 

π 

⇒ V = V + V = 

290π 

3 

V 290 290 115 

⇒ h = = ⇒ d = 15 − = 

2 

π R 27 27 27 


Các em có thể sẽ quên không tính thể tích của 5 viên bi, hoặc nhầm lẫn đường kính 6cm thành bán kinh 

6cm dẫn đến các thể tích bị sai. 


- Ảnh của đường tròn qua phép tịnh tiến là một đường tròn có cùng bán kính. 

- Xác định tâm đường tròn mới qua phép tịnh tiến rồi viết phương trình đường tròn mới có tâm vủa tìm 

được và bán kính là bán kính đường tròn đã cho. 

- Điểm I '( x '; y ') 

là ảnh của I ( x; 

y) 

qua phép tịnh tiến theo véc tơ v = ( ; ) 


2 2 

Ta có: ( C ) ( x ) ( y ) 

: − 1 + + 2 = 9 

Tọa độ tâm I của đường tròn (C) là: I ( 1; −2) 

Suy ra ảnh I’ của I qua 

v 

( C ) ( x ) ( y ) 

2 2 

T là ( 4;1) 

⇒ : − 4 + − 1 = 9 


I . 

 

⎧x ' = x + a 

a b nếu ⎨ 

⎩ y ' = y + a 

HS thường hay nhầm lẫn biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến dẫn đến tìm sai tọa độ điểm I’ 



- Gọi 

0 

x là một điểm cực trị của hàm số = ( ) 

( ) 

⎧ ⎪ y ' x0 

= 0 

y f x , khi đó ⎨ 

3 2 

⎪⎩ y = x + 3mx − 3x 

- Từ hệ trên ta tìm được phương trình đường thẳng đi qua ( ; ) 


3 2 2 

y x = x + 3mx − 3 x ⇒ y ' x = 3x + 6mx 

− 3 

Có: ( ) ( ) 

0 0 0 0 

x y . 

0 0 

Phương trình đường thẳng d đi qua 2 cực trị của (C) nên ( ) 

( x ) 

⎧ ⎪y 

' = 0 

⎨ 

⎪⎩ 

y x mx x 

0 

3 2 

0 

= 

0 

+ 3 

0 

− 3 

0 

⎧⎪ 

3x 

− 6mx 

− 3 = 0 

⇔ ⎨ 

⎪⎩ 

y x ( x mx ) x mx 

2 

0 

2 2 

0 

= 

0 0 

+ 2 

0 

− 3 

0 

+ 

0 

x ; y ∈ d thỏa mãn: 


0 0 




Trang 28 











2 

2 

⎧ ⎪x0 + 2mx0 

= 1 ⎧⎪ 

x0 = − 2mx0 

+ 1 

⎨ 

⇔ 

2 

⎨ 

⎪⎩ 

y0 = − 2x0 + mx0 

⎪⎩ 

y0 = − 2x0 + m − 2mx0 

+ 1 

2 

( ) 

⇒ y = − 2 m + 1 x + m 

0 0 


( ) 

Các em cũng có thể giải bài toán bằng cách khác: 

- Tính y ' . 

- Thực hiện phép chia y cho y ' ta sẽ tìm được đa thức dư là kết quả bài toán. 



1 

Công thức tính thể tích khối chóp . V = S . h 

3 


Ta có: 

Có 

BC AC AB a 

2 2 

= − = 

2 2 

SA = SB − AB = 2a 

3 

1 1 1 a 2 

. 

ABC 

.2 . . 2 

⇒ V = SA S = a a a = 

3 3 2 3 



2 

Trải 4 mặt của hình chóp ra mặt phẳng và tìm điều kiện để AM + MN + NP + PQ là nhỏ nhất. 


Ta “xếp” 4 mặt của hình chóp lên một mặt phẳng, được như hình bên: 

Như hình vẽ ta tháy, để tiết kiệm dây nhất thì các đoạn AM, MN, NP, PQ phải tạo thành một đoạn thẳng 

AQ. 

Lúc này, xét ∆SAQ có: 

ASM = MSN = NSP = PSQ = 15° 

SA = 600 m, SQ = 300m 

AM + MN AN SA 

⇒ k = = = = 2 

NP + PQ NQ SQ 

AN SA 

(Vì = do tính chất của đường phân giác SN). 

NQ SQ 







Trang 29 








Điểm = 

0 

y f x nếu 

x x là điểm cựa tiểu của hàm số bậc ba = ( ) 

( x0 

) 

( x ) 

⎧⎪ f ' = 0 

⎨ 

⎪⎩ f '' 

0 

> 0 





TXĐ: D = R 

Ta có: 

2 2 

y ' 3x 4 mx m y '' 6x 4m 

= − + → = − 

Để x = 1là điểm cực tiểu của hàm số bậc ba với hệ số 

⎧ '( 1 

2 1; 3 

) 0 

⎧ = = 

⎪ y = 

m m 

⎧m − 4m 

+ 3 = 0 ⎪ 

⎨ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ 3 ⇔ m = 1 

⎪⎩ 

y ''( 1) 

> 0 ⎩6 − 4m 

> 0 ⎪m 

< 

⎩ 2 


Nhiều HS sẽ nhầm lẫn điều kiện để điểm 

0 

sai 



3 

x dương thì: 

x là điểm cực tiểu là ( ) 

f '' x > 0 dẫn đến chọn đáp án m = 3 là 

- Chứng minh ∆ABC vuông tại B, tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy. 

- Sử dụng công thức 

R 

h 

= + r với R là bán kính hình cầu ngoại tiếp khối chóp, h là chiều cao, r là bán 

4 

2 

2 2 

kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. 


1 a 

AB 

Ta có: cos60° = = → cos BAC = 

2 2a 

AC 

⇒ ∆ABC vuông tại B. 

Gọi M là trung điểm AC. 

⇒ M là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC 

AC 

⇒ MA = MA = = a 

2 

Gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy. 

R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 

h là chiều cao hình chóp. 

Ta có công thức sau: 

2 2 

2 h 2 2 a 2 a 5 

R = + r ⇒ R = + a = 

4 4 2 


0 




Trang 30 











4 5 5 

π 

3 6 

3 

⇒ V = R = a 


HS cần linh hoạt trong việc chứng minh ∆ABC vuông tại B và biết sử dụng công thức liên hệ giữa R, r, 

h. 



Chọn điểm cụ thể x = 2 rồi suy ra logc 2 > loga 2 > logb 2 , từ đó chọn được đáp án. 


Theo như đồ thị hàm số, chọn x = 2 , ta có: 

1 1 1 

logc 2 > loga 2 > logb 

2 ⇒ < 0 < < ⇒ log2 b < 0 < log2 c < log2 

a ⇒ b < c < a 

log 2 log 2 log 2 



b c a 

Xác định góc 60° bằng phương pháp xá định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường 

thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng. 

1 

Thể tích khối chóp V = S . h 

3 


∆ABC vuông cân tại B có 

Mà ∆SAB vuông tại A có SBA = 60° 

AC = a ⇒ BC = BA = a 

2 

6 

⇒ = .tan = a a 

SA AB SBA tan 60° = 

2 2 

1 1 1 

V = SA. S 

ABC 

= SA. BC. 

BA 

3 3 2 

3 

1 6 1 6 

= . a . . a . 

a = 

a 

3 2 2 2 2 24 



Biến đổi hàm số về hàm số bậc hai đối với cos x , đặt cos x = t và tìm GTLN, GTNN của hàm số với chú 


ý 





Trang 31 











y = x − x + = − x − x + = − x − x + 

2 2 2 

2sin cos 1 2 1 cos cos 1 2cos cos 3 

Ta có: ( ) 

Đặt t = cos x( −1 ≤ t ≤1) 

2 

( ) ( ) 

y t = −2t − t + 3 ⇒ y ' t = −4t 

−1 

−1 

y ' 0 0 t 1;1 

4 

( ) = ⇔ = ∈[ − ] 

⎛ −1⎞ 

25 25 

⇒ M = max y = y ⎜ ⎟ = ; m = min y = y ( 1) 

= 0 ⇒ M + m = 

⎝ 4 ⎠ 8 8 


HS thường nhầm lẫn khi tìm GTLN, GTNN của hàm số, hoặc ở bước đặt ẩn phụ quên không đặt điều 

kiện cho ẩn mới. 



- Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) từ đồ thị hàm số = ( ) 

lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới qua trục hoành. 

- Điều kiện để phương trình ( ) 

2 

2 

y = 2m − m + 3 cắt đồ thị hàm số = ( ) 


y f x . 

Ta có đồ thị hàm số = ( ) 

Lúc này, để phương trình ( ) 

2 

đường thẳng 

biệt. 


y f x : giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục hoành và 

f x = 2m − m + 3có 6 nghiệm phân biệt là đường thẳng 

y f x tại 6 điểm phân biệt. 

f x = 2m − m + 3 có 6 nghiệm phân biệt thì 

2 

y = 2m − m + 3 cắt đồ thị hàm số = ( ) 

HS thường nhầm lẫn cách vẽ các đồ thị hàm số y = f ( x) 

và = ( ) 

trình kết hợp nghiệm sai dẫn đến chọn sai đáp án. 



y f x tại 6 điểm phân 

Điều kiện để hàm số lũy thừa với số mũ không nguyên là cơ số phải dương. 


Vì π là số vô tỉ nên điều kiện là cơ số lớn hơn 0. 

( ) 

2 

2x x 0 x 2 x 0;2 

⇒ − > ⇔ < ⇔ ∈ 


y f x , hoặc ở bước giải bất phương 





Trang 32 











HS rất hay nhầm lẫn khi tìm điều kiện xác định của hàm số lũy thừa, đó là cho cơ số có thể bằng 0 dẫn 

đến chọn nhầm đáp án D. 



- Coi hai ông Trum và Kim là một người thì bài toán trở thành xếp 9 người vào dãy ghế. 

- Lại có 2 cách đổi chỗ hai ông Trum và Kim nên từ đó suy ra đáp số. 


Kí hiệu 10 vị nguyên thủ là a, b, c, d, e, f, g, h, i, k. 

Và hai ông Trum, Kim lần lượt là a, b. 

Nếu ông Trum ngồi lên bên trái ông Kim, tương đương xếp ab, c, d, e, f , g, h, i, 

k vào 9 vị trí. Ta có 

A cách. 

9 

9 

Vậy tổng hợp lại, có 



9 9 

A + A = cách. 

9 9 

2.9! 

Điều kiện để hàm đa thức bậc ba có cực đại, cực tiểu là phương trình y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt. 


TH1: m = 0 → y = x −1. 

Hàm số không có cực trị. 

TH2: TXĐ: D = R 

Ta có: 

3 

mx 2 2 

y = − mx + x −1 ⇒ y ' = mx − 2mx 

+ 1 

3 

Để hàm số cho có cực đại, cực tiểu thì phương trình y ' = 0 phải có 2 nghiệm phân biệt 

2 ⎡m 

< 0 

∆ ' = m − m > 0 ⇔ ⎢ 

⎣m 

> 1 


Tính y’ và tìm nghiệm của y ' = 0 . 

- Biện luận các trường hợp điểm x = 3nằm trong, nằm ngoài khoảng 2 nghiệm để suy ra kết luận. Cách 

giải: 

TXĐ: D = R 

2 

y ' 3x 6mx 

= − 

⎡x 

= 0 → y = 6 

Ta có: y ' = 0 ⇔ ⎢ 

3 

⎣x = 2m → y = − 4m 

+ 6 


Xét TH1: m = 0. Hàm số đồng biến trên [ 0;3 ] . 

[ 0;3] 

( ) 

⇒ Min y = y 0 = 6 → loại. 




Trang 33 











Xét TH2: 

3 

≥ ⇒ 2 > 3 > 0 

2 

m m . Khi đó, hàm số nghịch biến trên[ 0;3] ⊂ [ 0;2m 

] 

31 3 

⇒ Min y = y ( 3) 

= 33− 27m = 2 → m = < (loại) 

[ 0;3] 

27 2 

Xét TH3: 3 0 3 2 0 

2 > > ⇒ > > 

là( 2 m, − 4m 

3 + 6 ). 

m m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại là ( ) 

3 

Khi đó , GTNN trên [ 0;3 ] là y ( m) m 

2 = − 4 + 6 

3 3 

⇒ − 4m + 6 = 2 ⇔ m = 1 ⇔ m = 1 (thỏa mãn) 

Xét TH4: m < 0 → ( 0;6) 

là điểm cực tiểu và trên [ ] 

⇒ y = → loại. 

min 

6 

Vậy m = 1là giá trị cần tìm. 

Đáp án D. 


0;3 hàm số đồng biến. 

0;6 và điểm cực tiểu 

31 

HS cần phải xét tất cả các trường hợp và chú ý loại nghiệm. nhiều em sai lầm kết luận m = mà không 

27 

3 

chú ý điều kiện của trường hợp đó là m ≥ 

2 

----- HẾT ----- 





Trang 34 







MÔN TOÁN 



ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG 

THPT CỔ LOA- HÀ NỘI- LẦN 1 






Lớp 12 

(...%) 

Lớp 11 

(...%) 

STT 



liên quan 


Nhận 

biết 


Thông 

hiểu 

Vận 

dụng 

Vận dụng 

cao 

Tổng số 

câu hỏi 

5 5 4 2 16 




4 Số phức 







2 Tổ hợp-Xác suất 




1 2 2 1 6 

5 Đạo hàm 1 1 2 




phẳng 




Trang 1 

















1 Bài toán thực tế 1 1 

Tổng Số câu 12 14 15 9 50 

Tỷ lệ 24% 22% 36% 18% 





Trang 2 







MÔN TOÁN 










Câu 1: Gọi l, h, 

r lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính mặt đáy của hình nón. Diện tích 

xung quanh S của hình nón là: 

xq 

A. Sxq 

= πrh 

. B. S = 2πrl 

. C. S 

xq 

xq 

x − 3 

Câu 2: Cho hàm số y = . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 

x − 2 

A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ) 

1;+∞ . 

B. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. 

C. Hàm số nghịch biến trên R . 

D. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. 

Câu 3: Tập xác định của hàm số y = tan x là: 

= πrl 

. D. S 

⎧ 

π 

⎫ 

A. R . B. R \ ⎪ 

⎨ + kπ, 

k ∈ Z ⎪ 

⎬. 

⎪⎩ 

2 

⎪⎭ 

⎧ 

π π ⎫ 

R Z . D. R \ ⎪ 

⎨ + k , k ∈ Z ⎪ 

⎬ . 

⎪⎩ 

2 2 

⎪⎭ 

C. \ { kπ, 

k ∈ } 

3 

Câu 4: Cho hàm số y = x + x + 2 có đồ thị ( ) 

C . Số giao điểm của ( ) 

A. 1. B. 0. C. 3. D. 2. 

Câu 5: Tập nghiệm S của phương trình ( ) 

log x + 4 = 4 là: 

2 

1 

3 

2 

= πr h . 

xq 

C và đường thẳng y = 2 là: 

A. S = { − 4,12} 

. B. S = { 4} 

. C. S = { 4, 8} 

. D. { 12} 

Câu 6: Cho a là số thực dương. Biểu thức a 

4 

7 

2 . 3 

S = . 

a được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là: 

3 

3 

3 

3 

A. a . B. a . C. a . D. a . 


= xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau: 


5 

2 




Trang 3 











Khẳng định nào sau đây đúng? 

A. Hàm số có đúng một cực trị. 

B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng 1. 

C. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 3. 

D. Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và đạt cực tiểu tại x = 3 . 

Câu 8: Có bao nhiêu loại khối đa diện đều? 

A. Vô số. B. 2. C. 3. D. 5. 

Câu 9: Tập xác định của hàm số ( ) 3 

A. ( −∞ ;5). B. \ { 5} 

y = x − 5 là: 

R . C. ⎡ 5; +∞ ⎢⎣ ) 

. D. ( ) 

5;+∞ . 

Câu 10: Cho hình chóp S. 

ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2 a, SA = 3a 

và SA vuông góc với mặt đáy. Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng ( ) 

ABCD là: 

A. SAD . B. ASD . C. SDA. D. BSD . 

2 2 

Câu 11: Cho a > 0, b > 0 thỏa mãn a + 9b = 10ab 

. Khẳng định nào sau đây đúng? 

a + 3b loga + logb 

log + 1 + logb 

= 1 . B. log = . 

4 2 

A. ( a ) 

C. 3 log( a + 3b ) = loga − logb 

. D. ( ) 

Câu 12: Nghiệm của phương trình 3 cos x + sin x = − 2 là: 

A. 

2 log a + 3b = 2 loga + logb 

. 

⎡ 5π 

⎢− + k2π 

6 5π 

, k ∈ Z . B. x = − + k2 π, 

k ∈ Z . 

π 

6 

⎢x 

= + k2π 

⎣ 6 

5π 

π 

C. x = ± + k2 π, 

k ∈ Z . D. x = − + k2 π, 

k ∈ Z . 

6 

2 

Câu 13: Phương trình tan( 3 30 ) 

x − = − có tập nghiệm là: 

3 

0 3 

0 

0 

0 

0 

A. { k180 , k ∈ Z } . B. { k60 , k ∈ Z } . C. { k360 , k ∈ Z } . D. { 90 , } 

k k ∈ Z . 

Câu 14: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn 

phương án A, B, C, 

D dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào? 





Trang 4 








y 




2 

-2 -1 0 1 

2x 

+ 1 

− 2x 

+ 5 

2x 

+ 3 

2x 

+ 5 

A. y = . B. y = . C. y = . D. y = . 

x + 1 

− x − 1 

x + 1 

x + 1 

Câu 15: Cho hình trụ ( ) 

T được sinh ra khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB . Biết 

AC = 2 3a 

và góc ACB = 45 

0 . Diện tích toàn phần 

tp 

S của hình trụ ( ) 

x 

T là: 

2 

2 

2 

2 

A. 12π a . B. 8π a . C. 24π a . D. 16π a . 

Câu 16: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a , góc giữa mặt 

phẳng ( A' 

BC ) và mặt phẳng ( ) 

A. 

3 

3 3a . B. 

0 

ABC bằng 60 . Thể tích khối lăng trụ ABC. A' B ' C ' tính theo a là: 

3 

3a . C. 

3 

3a . D. 

3 

2 3a . 


ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2 a, 

BC = a , SA vuông 

0 

góc với mặt đáy, cạnh SC hợp đáy một góc 30 . Thể tích khối chóp S. 

ABCD tính theo a là: 

A. 

2 15 

3 

3 

3 

a 15 

. B. 

Câu 18: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên R ? 

3 

3 

a 2 15a 15a . C. . D. . 

3 

9 

9 

4 2 

4 2 

A. y = − x + 2x 

− 2 . B. y = x − 3x 

+ 5 . 

3 2 

3 2 

C. y = − x + x − 2x 

− 1. D. y = −x − 3x 

+ 4 . 

3 2 

Câu 19: Tiếp tuyến với đồ thị ( ) : = − 3 − 2 song song với đường thẳng ( ) : 9 3 

phương trình là: 

C y x x 

A. y = 9x 

− 29 và y = 9x 

+ 3 . B. y = 9x 

− 29 . 

C. y = 9x 

− 25 . D. y = 9x 

− 25 và y = 9x 

+ 15 . 

Câu 20: Cho hàm số y ( x 1)( x 2 mx m) 

hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. 

d y = x + có 


= − + + . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị 




Trang 5 











A. 0 < m < 4 . B. 

⎡ m > 4 

1 

⎢ 1 . C. m > 4 . D. − ≠ m < 0 . 

⎢− 

⎢ 

≠ m < 0 

2 

⎣ 2 

Câu 21: Cho hình chóp đều S. 

ABC có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 3a . Thể tích khối chóp 

S. 

ABC tính theo a là: 

A. 

26 

12 

3 

3 

a 78 

. B. 

Câu 22: Cho hình chóp . 

AB = 2 a, AC = 3a 

, SA 4a 

3 

3 

a 26a 78a . C. . D. . 

12 

3 

3 

S ABC có đáy là tam giác vuông tạiA , biết SA ( ABC ) 

= . Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng ( ) 

SBC . 

12a 

61 

2a 

a 43 

6a 

29 

A. d = . B. d = . C. d = . D. d = . 

61 

11 

12 

29 

⊥ và 

Câu 23: Gọi M, 

N lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 2 . e −x trên đoạn ⎡−1;1⎤ 

⎢⎣ ⎥⎦ . 

Tính tổng M + N . 

A. M + N = 3e 

. B. M + N = e . C. M + N = 2e 

− 1. D. M + N = 2e 

+ 1. 

Câu 24: Giá trị lớn nhất của hàm số y = 

x + 1 

x 

2 

+ 1 

trên khoảng ( ; ) 

−∞ +∞ bằng: 

A. 2 2 . B. 1. C. 2 . D. 2 . 

Câu 25: Cho a = log 15, b = log 10 . Tính log 50 theo a và b. 

3 3 

A. log 50 = 2( a + b − 1) 

. B. log 50 4( a b 1) 

C. 

3 

log 50 a b 1 

3 

Câu 26: Phương trình 

đây đúng? 

3 

3 

= + + . 

= + − . D. log 50 3( a b 1) 

2x 

1 x 

3 4.3 1 0 

3 

= + + . 

+ − + = có hai nghiệm x , x trong đó x < x . Khẳng định nào sau 

1 2 

1 2 

A. x x = 2 . B. x + 2x 

= − 1. C. 2x 

+ x = − 1 . D. x + x = − 2 . 

1 2 1 2 

1 2 

1 2 

Câu 27: Đạo hàm của hàm số y = x + 1.ln x là: 

( ) 

x ln x + 2 x + 1 

1 

A. y ' = 

. B. y ' = . 

2x 

x + 1 

2x 

x + 1 

x + x + 1 

3x 

+ 2 

C. y ' = 

. D. y ' = . 

x x + 1 

2x 

x + 1 





Trang 6 









y 

ax −b 

bx 1 

= có đồ thị + 

( C ) . Nếu ( ) 

C có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2 và 




tiệm cận đứng là đường thẳng 

1 

x = thì các giá trị của a và b lần lượt là : 

3 

1 1 

1 1 

A. − và − . B. − 3 và − 6. C. − và − . D. − 6 và − 3 . 

2 6 

6 2 

Câu 29: Nghiệm của phương trình cos2x 

− 5 sin x − 3 = 0 là: 

A. 

⎡ 

π 

x = − + k2π 

6 , k ∈ Z . B. 

7π 

⎢x 

= + k2π 

⎣ 6 

⎡ 

π 

x = − + k2π 

3 , k ∈ Z . 

7π 

⎢x 

= + k2π 

⎣ 3 

⎡ π 

⎡ 

x = − + kπ 

π 

x = − + kπ 

C. 6 , k ∈ Z . D. 3 , k ∈ Z . 

7π 

7π 

⎢x 

= + kπ 

⎢x 

= + kπ 

⎣ 6 

⎣ 3 

2 

Câu 30: Thể tích của khối nón có độ dài đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh bằng 2π a là: 

A. 

a 

3 

3 

π . B. 

Câu 31: Số nghiệm của phương trình 

3 

3 

πa 3 

πa 3 

. C. . D. 

3 

6 

2 

4 x .cos 3x 

0 

− = là: 

A. 7 . B. 2 . C. 4 . D. 6. 


ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a . Gọi O là giao điểm của AC và 

BD. Biết hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng ( ) 

0 

( SD, ( ABCD )) 

= 60 . Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng ( SCD ) và ( ) 

A. 

4 15 

tan α = . B. 

9 

30 

tan α = . C. 

12 

3 

πa 

2 

3 

. 

ABCD là trung điểm H của đoạn OA và 

ABCD . Tính tan α . 


tan α = . D. 

3 

4 3 2 

Câu 33: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số f ( x) x x mx 

A. m ∈ ( 0; +∞ ). B. m ∈ ⎛ ⎜ 

− +∞ 

⎞ ⎟ { } 

⎜⎝ 

30 

tan α = . 

3 

= + − có 3 điểm cực trị? 

9 ; \ 0 

2 

⎠⎟ 

9 ; \ 0 

32 

⎟⎠ 

C. m ∈ ( −∞ ;0). D. m ∈ ⎜ 

⎛ − +∞ 

⎟ 

⎞ { } 

3 2 

Câu 34: Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y = x + 6mx + 6x 

− 6 đồng biến trên R ? 


A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. 

Câu 35: Cho hàm số y ( x 1 ). 

e 

3 

x 

= + . Hệ thức nào sau đây đúng? 

⎜⎝ 

. 

. 




Trang 7 









A. y '' + 6 y ' + 9y 

= 0 . B. y '' − 6 y ' + 9y 

= 0 . 

C. y '' + 6 y ' + 9y = 10xe 

x 

x 

. D. y '' − 6 y ' + 9y = e . 

Câu 36: Gọi n là số nguyên dương sao cho 

với mọi x dương. Tìm giá trị của biểu thức P = 2n 

+ 3 . 

1 1 1 1 210 

+ + + ... + = đúng 

log x log x log x log x log x 

3 2 3 

n 

3 3 3 

3 

A. P = 32. B. P = 40. C. P = 43. D. P = 23 . 

Câu 37: Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình 

mãn x + x = 3 ? 

1 2 

x x+ 

1 

4 m.2 2m 

0 

− + = có hai nghiệm x , x thỏa 

1 2 

A. 2 . B. 0 . C. 1. D. 3 . 


hàm số đã cho với mọi m ∈ R ? 

-2 

-1 -1/2 

mx + 1 

y = , với m là tham số. Các hình nào dưới đây không thể là đồ thị của 

x + m 

y 

2 

1 

1/2 

0 1 

x 

-2 

y 

2 

1 

-1 0 1 x 

-2 -1 0 1 x 

Hình (I) Hình (II) Hình (III) 

A. Hình (III). B. Hình (II). C. Hình (I) và (III). D. Hình (I). 

Câu 39: Cho hình lăng trụ ABC. A' B ' C ' có độ dài tất cả các cạnh bằng a và hình chiếu vuông góc của 

đỉnh C lên mặt phẳng ( ' ') 

ABC. A' B ' C ' tính theo a là: 

A. 

ABB A là tâm của hình bình hành ABB ' A '. Thể tích khối lăng trụ 

3 

3 

3 

a 2 

a 2 

3 

a 3 

. B. . C. a 3 . D. . 

4 

12 

4 

Câu 40: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = 1, đáy lớn CD = 3 , cạnh bên 

BC = DA = 2 . Cho hình thang đó quay quanh AB thì được vật tròn xoay có thể tích bằng: 


A. 4 3 π . B. 5 3 π . C. 2 3 π . D. 7 3 π . 



y 

2 

1 




Trang 8 












ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều, 

SC = SD = a 3 . Tính thể tích V của khối chóp S. 

ABCD theo a . 

3 

3 

a 2 

a 

A. V = . B. V = . C. V 

6 

6 

3 

= a 2 . D. 

3 

a 3 

V = . 

3 

1 

Câu 42: Cho a, 

b là các số thực dương thỏa mãn a ≠ 1, a ≠ và log 5 

a 

b 

b = . Tính log b 

P = . 

ab 

a 

11 − 3 5 

11 + 3 5 

11 − 2 5 

11 + 3 5 

A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 

4 

4 

4 

2 

Câu 43: Gọi M và N lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 

⎡ 

⎢( ) 

⎤ 

y = − 1 + 2cosx 2 − 3 sin x + cosx ⎥ trên R . Biểu thức M + N + 2 có giá trị bằng: 

⎣ 

⎦ 

A. 0 . B. 4 2 − 3 . C. 2 . D. 2 + 3 + 2 . 

Câu 44: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình: 

⎛ π ⎞ 

x ∈ 0; ⎜ 12 

⎜⎝ ⎠ ⎟ . 

1 

A. m ∈ ⎛ 0; ⎞ ⎜ 2 

⎜⎝ ⎠ ⎟ 

. B. 1 

m ∈ ⎛ ⎞ ;2 

⎜2 

⎟ 

⎜⎝ ⎠ . C. ( 0;1) 

2 2 

cos 4x = cos 3x + m sin x có nghiệm 

1 

m ∈ . D. m ∈ ⎛ −1; ⎞ ⎜ 4 

⎜⎝ ⎠ ⎟ 

. 

Câu 45: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = 2x + 2mx 

− 

4 2 3 

có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị này cùng với gốc tọa độ O tạo thành bốn đỉnh của một tứ 

giác nội tiếp được. Tính tổng tất cả các phần tử của S . 

A. 2 − 2 3 . B. −2 − 3 . C. − 1 . D. 0 . 


ABC có AB = BC = CA = a, SA = SB = SC = a 3 , M là điểm bất kì 

trong không gian. Gọi d là tổng các khoảng cách từ M đến tất cả các đường thẳng 

AB, BC, CA, SA, SB, 

SC . Giá trị nhỏ nhất của d bằng: 

a 6 

a 3 

A. d = 2a 

3 . B. . C. a 6 . D. . 

2 

2 

Câu 47: Ông Bình đặt thợ làm một bể cá, nguyên liệu bằng kính trong suốt, không có nắp đậy dạng hình 

3 

hộp chữ nhật có thể tích chứa được 220500cm nước. Biết tỉ lệ giữa chiều cao và chiều rộng của bể bằng 

3. Xác định diện tích đáy của bể cá để tiết kiệm được nguyên vật liệu nhất. 


A. 

2 

2220cm . B. 

2 

1880cm . C. 

2 

2100cm . D. 

Câu 48: Có bao nhiêu số nguyên dương a (a là tham số) để phương trình 

2 

2200cm . 

m 

2 




Trang 9 








⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ 

⎛9 ⎞ x 

2 − x 

3 + 12 + 15 log 2 − + 3 1 log ⎜1 2 log 2 log 

27 − + − = − + 

11 

9 11 

2 ⎝⎜ ⎟⎠ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝⎜ 

2 ⎟⎠ 

2 2 2 2 

( a a ) ( x x ) a a ⎟ ⎜ 

⎟ 

( x x ) 




có nghiệm duy nhất? 

A. 2 . B. 0 . C. Vô số. D. 1. 


ABC có độ dài các cạnh SA = BC = x, SB = AC = y, 

SC = AB = z 

2 2 2 

thỏa mãn x + y + z = 12 . Giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S. 

ABC là: 

2 2 

2 3 

2 

3 2 

A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 

3 

3 

3 

2 

Câu 50: Một khúc gỗ có dạng khối nón có bán kính đáy r = 30cm 

, chiều cao h = 120cm 

. Anh thợ mộc 

chế tác khúc gỗ đó thành một khúc gỗ có dạng khối trụ như hình vẽ. Gọi V là thể tích lớn nhất của khúc 

gỗ dạng khối trụ có thể chế tác được. Tính V . 

3 

3 

3 

3 

A. V = 0,16π 

( m ) . B. V = 0, 024π 

( m ) . C. V = 0, 36π 

( m ). D. V 0, 016π 

( m ) 

--- HẾT --- 

= . 

















MÔN TOÁN 






1-C 2-D 3-B 4-A 5-D 6-B 7-D 8-D 9-D 10-C 

11-B 12-B 13-B 14-D 15-C 16-C 17-C 18-C 19-B 20-B 

21-A 22-A 23-B 24-C 25-A 26-B 27-A 28-D 29-A 30-B 

31-D 32-D 33-D 34-A 35-B 36-C 37-C 38-B 39-A 40-D 

41-A 42-A 43-C 44-C 45-B 46-C 47-C 48-B 49-A 50-D 





Trang 11 







MÔN TOÁN 












Ta có: 

( x − 2) 2 


1 

y ' = > 0, ∀x 

≠ 2 ⇒ Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định 


π 

⎧π 

⎫ 

Điều kiện: cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ 

⇒ TXĐ: D = R \ ⎨ + kπ 

, k ∈Z 

⎬ 

2 

⎩ 2 ⎭ 


3 3 2 

Phương trình hoành độ giao điểm là: ( ) 




1 1 7 

2+ 

2 3 2 3 3 3 

a a = a . a = a = a 



⇔ x + = ⇔ x = − = 

4 

4 2 16 4 12 

x + x + 2 = 2 ⇔ x + x = 0 ⇔ x x + 1 = 0 ⇔ x = 0 

Có 5 loại khối đa diện đều: Tứ diện đều, lập phương, bát diện đầu, 12 mặt đều, 20 mặt đều 


− > ⇔ > ⇒ TXĐ: D = ( 5; +∞ ) 

Điều kiện x 5 0 x 5 


Vì SA ⊥ ( ABCD) 

nên ( SD; 

( ABCD) 

) = SDA 






Trang 12 











2 2 

( ) 2 a + 3b a + 3b log a + log b 

a + 9b = 10ab ⇔ a + 3b = 16ab ⇔ = ab ⇒ log = 

4 4 2 


3 1 ⎛ 

5 

PT cos x sin x 1 sin x π ⎞ 

⇔ + = − ⇔ ⎜ + ⎟ = −1 ⇔ x + π = − π + k2π 

⇔ x = − π + k2 π , k ∈Z 

2 2 ⎝ 3 ⎠ 

3 2 6 


( ) 

PT ⇔ 3x − 30° = − 30° + k180° ⇔ x = k60° k ∈Z 



Vì ABCD là hình chữ nhật và ACB = 45° nên ABCD là hình vuông. 

2. AB = 2 3a ⇔ AB = 6a 

2 

Ta có ( ) 2 

( ) ( ) 

2 2 

2 2 

S = 2π BC + 2 π. BC = 2 π. BC. AB = 2 π. 6a + 2 π. 6a = 24π 

a 

tp 


AI = 2a − a = a 3; AA' = AI tan 60° = a 3. 3 = 3a 

Ta có ( ) 2 2 

1 

V = AA'. S 

ABC 

= 3 a. 2a sin 60° = 3 3a 

2 

Thể tích lăng trụ là ( ) 2 3 



AC = 2a + a = a 5; SA = AC tan 30° 

Ta có ( ) 2 2 




Trang 13 











1 a 5 

= a 5. = 

3 3 

1 1 a 5 2 15a 

Thể tích khối chóp là: V = SA. SABCD 

= .2 a. 

a = 

3 3 3 9 



Gọi ∆ là tiếp tuyến với ( C ) tại ( ; ) 

Ta có ( ) 

M x y thỏa mãn đề bài. 

0 0 

y ' = 3x − 6 x ⇒ y ' x = 3x − 6x = k ∆ 

là hệ số góc của ∆ 

2 2 

0 0 0 

3 

( ) ( ) ( ) 

( ) ( ) 

⎡x 2 

0 

= −1 ⇒ ∆ : y = 9 x + 1 + y −1 ⇔ y = 9x + 3 loai 

∆ / / ( d ) ⇒ k∆ 

= 9 ⇔ 3x0 − 6x0 

= 9 ⇔ ⎢ 

⎢⎣ x0 

= 3 ⇒ ∆ : y = 9 x − 3 + y 3 ⇔ y = 9x 

− 29 


Đồ thị hàm số căt trục hoành tại ba điểm phân biệt ( x )( x 2 mx m) 

1+ m + m = 0 có hai nghiệm phân biệt x ≠ 1 

Suy ra 

⎧ m > 4 

2 

⎡ 

⎧m 

− 4m 

> 0 

⎧∆ > 0 ⎪ ⎪ 

⎪⎢ 

⎣m 

< 0 

⎨ ⇔ ⎨ 1 ⇔ ⎨ 

⎩1 + m + m ≠ 0 ⎪m 

≠ − ⎪ 1 

⎩ 2 

⎪ 

m ≠ − ⎩ 2 


Gọi H là hình chiếu của S lên ( ABCD ) 

2 

2 

2 ⎛ a ⎞ a 3 2 ⎛ a 3 ⎞ 26 

Ta có ; ( 3 ) 

AH = a − ⎜ ⎟ = SH = a − = a 

⎝ 2 ⎠ 3 ⎜ 3 ⎟ 

⎝ ⎠ 3 

− 1 + + = 0 có 3 nghiệm phân biệt 





Trang 14 








1 1 26 1 2 26a 

Thể tích khối chóp là V = SH. S 

ABCD 

= . a. a sin 60° = 

3 3 3 2 12 

3 





Gọi I, H lần lượt là hình chiếu của A lên BC và SI 

Ta có 

1 1 1 1 1 13 

= + = + = 

AI AB AC 36a 

( 2a) ( 3a) 

2 2 2 2 2 2 

1 1 1 1 1 61 12a 

= + = + = ⇒ AI = 

AH 2 SA 2 AI 2 36a 2 144a 

2 

61 

12a 

⇒ d = AI = 

61 


x 

Ta có ( ) 

( 4a) 2 

− 2 ⎡x 

= 0 

y ' = e 2 x − x ⇒ y ' = 0 ⇔ ⎢ 

⎣x 

= 2 

1 ⎧M 

= e 

y − = e y = y = ⇒ ⎨ ⇒ M + N = e 

e ⎩N 

= 0 

Suy ra ( 1 ) , ( 0) 0, ( 1) 






Trang 15 











x + 1 

2 

Ta có y = ⇒ y 2 ( x 2 + 1) = ( x + 1) ⇔ x 2 ( y 2 −1) − 2x + y 

2 − 1 = 0( 1) 

x 

2 

+ 1 

Ta có ( ) ( ) 2 

2 2 2 

' 1 1 1 0 1 1 1 2 2 max 2 

∆ = − y − ≥ ⇔ − ≤ y − ≤ ⇒ y ≤ ⇒ y ≤ ⇒ y = 


Ta có log 50 = 2( log 5 + log 10) = 2( log 15 + log 10 − 1) = 2( a + b − 1) 


3 

3 3 3 3 

x 

⎡ 3 = 1 

( ) 2 0 

1 

1 

x 

x 

⎡x 

= ⎧x 

= − 

PT ⇔ 3 3 − 4.3 + 1 = 0 ⇔ ⎢ 

1 ⇔ ⇒ ⇒ x1 + 2x2 

= −1 

⎢ x ⎢ ⎨ 

3 = ⎣x 

= − 1 ⎩x2 

= 0 

⎢⎣ 3 


( ) 

ln x x + 1 x ln x + 2 x + 1 

y ' = + = 

2 x + 1 x 2x x + 1 



⎡ 1 

sin x = − 

PT ⇔ − x − x − ⇔ x + x + = ⇔ ⎢ 

⎢ 

⎣sin x = −2 

2 2 

1 2sin 5sin 3 2sin 5sin 2 0 2 

⎡ π 

2 

1 ⎢ 

x = − + k π 

6 

⇒ sin x = − ⇔ ⎢ 

∈ 

2 ⎢ 7π 

x = + k2π 

⎢⎣ 6 


( k Z ) 

S π rl π a π r a π a r a 

2 2 

xq 

= = 2 ⇔ 2 = 2 ⇔ = . Chiều cao là ( ) 2 2 

3 

1 2 1 2 π a 3 

Thể tích khối nón là: V = π r h = π a . a 3 = 

3 3 3 


2 

Điều kiện: 4 − x ≥ 0 ⇔ −2 ≤ x ≤ 2 (*) 

Với điều kiện (*) thì phương trình đã cho 

h = 2a − a = a 3 





Trang 16 











x = ± 2 x = ± 2 

2 

⎡ 

⎡ 

⎡ 4 − x = 0 

⇔ ⎢ ⇔ ⎢ 

π ⇔ ⎢ 

π kπ 

cos3x 

0 ⎢ 3x 

kπ 

⎢ 

⎢⎣ = = + x = + , k ∈Z 

⎣ 2 ⎣ 6 3 

Từ điều kiện (*) ta có: k ∈{ −2; −1;0;1 

} ⇒ Phương trình có 6 nghiệm 


Gọi I ∈ CD sao cho HI / / AD 

Ta có 

HI CH CH 3 3a 

= ⇔ HI = AD. = 2 a. = 

AD CA CA 4 2 

2 

2 2 2 DO DO 5 

HD = DO + HO = DO + = 

4 2 

2 2 

2DO 4a DO a 2 

= ⇒ = 

2. 5 10 10 30 

⇒ HD = a = a ⇒ SH = HD tan 60 ° = a . 3 = 

a 

2 2 2 2 

a 30 

Khi đó SH 2 30 

α = SIH ⇒ tanα 

= = = 

HI 3a 

3 

2 


Ta có: y ' = 4x 3 + 3x 2 − 2mx = x( 4x 2 + 3x − 2m) 





Để hàm số có 3 điểm cực trị thì phương trình 

2 

4 3 2 0 

x + x − m = có 2 nghiệm phân biệt khác 0 

Trang 17 











⎧∆ = 9 + 32m 

> 0 ⎛ 9 ⎞ 

⇔ ⎨ ⇔ m∈⎜ − ; +∞⎟ 

\ 0 

⎩−2m 

≠ 0 ⎝ 32 ⎠ 


Ta có: 

{ } 

2 

y ' = 3x + 12mx 

+ 6 . Để hàm số đồng biến trên R thì y ' > 0, ∀x 

∈ R 

2 1 1 

∆ ' = 36m 

− 18 < 0 ⇔ − < m < Mà m∈Z nên m = 0 

2 2 


3 3 3 3 3 3 

Ta có: y ' = e x + 3( x + 1) e x = e x ( 3x + 4 ) ⇒ y '' = 3e x ( 3x + 4) + 3e x = 3e x 

( 3x 

+ 5) 

y '' − 6 y ' + 9y 

= 0 


Ta có: 

( + ) 

1 2 3 210 

+ + + ... + n = 

log x log x log x log x log x 

3 3 

3 3 3 3 3 

n n 1 210 

= ⇔ n( n + 1) 

= 420 ⇔ n = 20 ⇒ P = 2.20 + 3 = 43 

2log x log x 


t = > . Khi đó phương trình đã cho trở thành t 2 − 2mt + 2m = 0, t > 0( 1) 

x 

Đặt 2 0 

Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm x1, 

x2 

thỏa mãn x1 + x2 

thì (1) có 2 nghiệm t > 0 và thỏa mãn 

t t = = = 

x1 x2 3 

1 2 

2 2 2 8 

2 

⎧∆ ' = m − 2m 

≥ 0 

⎪ 

Khi đó ta có ⎨S = 2m > 0 ⇔ m = 4 Vậy có 1 giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài cho 

⎪ ⎩P 

= 2m 

= 8 > 0 


mx + 1 

x + m 

Ta có y = ( C) 

có tiệm cận đứng x = − m ,TCN y = m (với m ≠ − 1) 

⎛ 1 ⎞ 

Giao điểm với trục hoành ⎜ − ;0 ⎟ 

⎝ m ⎠ , giao điểm với trục tung ⎛ 1 ⎞ 

⎜ 0; ⎟ 

⎝ m ⎠ 


Hình (I) ứng với 

1 

m = 

2 

Hình (II) với m = 2 thõa mãn tiệm cận khi đó đồ thị hàm số không cắt Ox (loại) 




Trang 18 








Hình (II) ứng với m = 2 


Gọi H là tâm của hình bình hành AA' B ' B 




Khi đó CH ⊥ ( ABB ' A' 

) 

Do H là tâm của hình bình hành nên các tam giác CA' B; CAB ' là các 

tam giác cân tại C (Do trung tuyến đồng thời là đường cao) 

Khi đó CB = CA' = a; CA = CB ' = a 

Suy ra CC ' A' B ' là tứ diện đều cạnh a 

Tính nhanh ta có V 


Ta có: AE = BF = 1 

Khi đó 

3 3 

a 2 a 2 

= ⇒ V = 

12 4 

CC ' A' B ' ABC. A' B ' C ' 

2 2 

= − = 

DE AD AE 

1 

Khi quay hình chữ nhật DEFC quanh trục AB ta được hình trụ có thể tích là: 

V 

2 2 

1 

= DE . DC = .1 .3 = 3 

π π π 

Khi quay tam giác AED quanh trục AB ta được hình nón có thể tích là: 

V 

1 1 π 

3 3 3 

2 2 

2 

= π DE . AE = π.1 .1 = 

Do đó thể tích vận tròn xoay tạo thành khi cho hình 

thang quay quanh AB là 

7π 

V = V1 − 2V 

2 

= 

3 






Trang 19 








S 




Gọi M, N lần lược là trung điểm của AB, 

CD ⇒ ( SMN ) ⊥ ( ABCD) 

a 3 

Tam giác SAB đều ⇒ SM = ; tam giác SCD cân 

2 

Kẻ SH ⊥ MN ( H ∈ MN ) ⇒ SH ⊥ ( ABCD) 

Mặc khác 

2 

a 2 2S∆ 

SMN 

a 2 

S∆ SMN 

= ⇒ SH = = 

4 MN 2 

a 11 

SN = 

2 

3 

1 1 a 2 2 a 2 

Vậy thể tích khối chóp S. 

ABCD là V = . SH. SABCD 

= . . a = 

3 3 2 6 


⎛ 1 1 ⎞ 

P = log = 2logab = 2 logab b − logab a = 2⎜ 

− logab 

a ⎟ 

a a 

⎝ logb 

ab 2 ⎠ 

b b 

Ta có 

ab 

( ) 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

⎛ 1 1 1 ⎞ ⎜ 1 1 1 ⎟ ⎜ 1 1 1 ⎟ 11− 

3 5 

= 2 ⎜ − . ⎟ = 2 ⎜ − . ⎟ = 2 ⎜ − . ⎟ = 

⎝1+ log 2 log 1 2 1 log 1 

b 

a 

a 

ab ⎠ 1 

+ 

a 

b 

1 

2 1+ 

5 

4 

⎜ 

+ + 

loga 

b 

⎟ ⎜ 

⎟ 

⎝ 

⎠ ⎝ 5 ⎠ 


B 

M 

A 


H 

C 

N 

D 




Trang 20 






2 

Ta có ( ) ( ) 

y = − 1+ 2 − 3 .2sin x cos x + 2cos x = 2 − 3 .sin 2x + cos 2x 






Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, có 

2 2 

2 2 2 

( − ) x + 2x ⎡( 2 3) 1 

⎤ 

( x x) 

⎡ 2 3 .sin 2 cos ⎤ ≤ − + . sin 2 + cos 2 = 8 − 4 3 

⎣ ⎦ ⎣⎢ 

⎥⎦ 

Suy ra 

y 

2 


≤ 8 − 4 3 ⇔ − 8 − 4 3 ≤ y ≤ 8 − 4 3 .Vậy M + N + 2 = 2 

3 

2 1 cos6x 4cos 2x 3cos 2x 

1 

Ta có cos 3x + − + 

2 

= và cos 4x 

= 2cos 2x 

− 1 

2 2 

3 

2 4cos 2x − 3cos 2x + 1 1− 

cos 2x 

Khi đó, phương trình đã cho ⇔ 2cos 2x 

− 1 = + m 

2 2 

( ) 

2 3 

⇔ 4cos 2x − 2 = 4cos 2x − 3cos 2x + 1+ 1− 

cos 2x m 

( ) 

3 2 

⇔ cos 2x − 1 m = 4cos 2x − 4cos 2x − 3cos 2x 

+ 3 

Đặt t = cos 2 x, 

với 

f t 


2 

⎛ π ⎞ ⎛ 3 ⎞ 

x ∈⎜ 0; ⎟ → t ∈⎜ ;1 

⎝ 12 ⎠ 

⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ 

do đó ( ) 

⎛ 3 ⎞ ⎧⎪ 

min f t = 0 

= 4t 

− 3 trên khoảng 

⎜ ;1 

2 ⎟ 

→ ⎨ 

⎝ ⎠ ⎪⎩ 

max f ( t) 

= 1 

Vậy để phương trình m = f ( t) 

có nghiệm khi và chỉ khi m∈ ( 0;1) 


Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị y ' 4x( 2x 2 m) 

Khi đó, gọi 

Vì yA yB yC 

Vì 

2 

⎛ 3m ⎞ m m 3m 

A B ⎛ − − ⎞ 

3 2 

4t − 4t − 3t 

+ 3 2 

* ⇔ = 4 − 3 

m 

( ) 

t −1 

⇔ = + đổi dấu 3 lần ⇔ m < 0 

2 

3 

⎜ 0; − ⎟, − ; 

và C ⎛ m − 

; 

m − m 

⎝ 2 ⎠ ⎜ 2 2 ⎟ 

⎞ 

⎜ 

− − 

⎝ ⎠ 

2 2 ⎟ 

là 3 điểm cực trị 

⎝ 

⎠ 

> = nên yêu cầu bài toán ⇔ Tứ giác ABOC nội tiếp ( I ) 

⎧AB 

= AC 

⎨ → OA là đường trung trực của đoạn thẳng BC 

⎩OB 

= OC 


Suy ra OA là đường kính của ( I ) 

 

2 2 

m m m + 3m 

⎡m 

= −1 

⇒ OB. AB = 0 ⇔ − + . = 0 ⇔ ⎢ 

2 2 2 ⎣m 

= −1− 

3 

t 




Trang 21 











Vậy tổng các giá trị của tham số m là −2 − 3 


Gọi E và F là trung điểm của BC và AB và O là trọng tâm tam giác 

ABC ta có SO ⊥ ( ABC ) 

⎧AE 

= BC 

⎨ 

⎩SO 

= BC 

Do ⇒ BC ⊥ ( SAE) 

. Dựng EK ⊥ A suy ra EK là đoạn 

vuông góc cung của SA và BC. Tương tự dựng FI; RL là các đoạn 

vuông góc chung của 2 cạnh đối diện. Do tính chất đối xứng ta dễ 

dàng suy ra EK, FI, RL đồng quy tại điểm M 

Như vậy d ≥ EK + FI + RL = 3EK 

a 

Mặc khác OA = 3 ⇒ cos SAO = 1 ⇒ sin SAO = 

2 2 

3 3 3 

Do đó 

a 3 2 2 a 6 

KE = AE sin A = − = 

2 3 3 

Do vậy dmin = a 6 


Gọi a, b, 

h lần lượt là chiều rộng, chiều dài đáy và chiều cao của hình hộp chữ nhật 

h 

Theo bài ra, ta có 3 h 3a 

a = ⇔ = và thể tích 2 

73500 

V = abh = 220500 ⇒ a b = 73500 ⇔ b = 

2 

a 

73500 73500 

Diện tích cần làm bể là S = ab + 2ah + 2 bh = a. + 2 a.3a + 2. .3a 

2 2 

a 

a 

514500 257250 257250 257250 257250 

= a + = a + + ≥ a + + = 

a a a a a 

2 2 3 2 

6 6 3 6 7350 

Dấu “=” xảy ra 


2 257250 

⇔ 6a = ⇔ a = 35 → b = 60 Vậy 

a 

⎧ − > 

⎨ ⎪ ⎩ − > 

⎪2x 

x 

2 0 

Điều kiện ⇔ 0 < x < 2 ⇒ D = ( 0; 2 ) 


2 

2 x 0 

S = a. b = 2100 cm 


2 




Trang 22 











2 2 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

2 2 2 x 

2 

x 

⇔ ( a + 4a + 5) log3 ( 2x − x ) + ( 9a − 6a + 2) log11 ⎜1− ⎟ = log3 ( 2x − x ) + log11 

⎜1− 

⎟ 

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 

( ) 

2 2 

⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ 

( ) ( 2 4 4) log ( 2 ) ( 2 ) ( 2 

3 

2 9 6 2 log11 ⎜1 ⎟ log3 2 ) log11 

⎜1 ⎟ 0 ( 0; 2 ) 

⇔ f x = a + a + x − x + a − a + − = x − x + − = x ∈ 

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 

2 

2 2 

2 ⎛ x ⎞ 

⇔ f ( x) = ( a + 2) log3 ( 2x − x ) + ( 3a 

−1) 

log11 

⎜1− ⎟ = 0 

⎝ 2 ⎠ 

2 2 − 2x 

2 1− 

x 

f ' x = a + 2 . + ( 3a − 1 ) . = 0 ⇔ x = 1 

2 

2 

( 2x 

− x ) ln 3 ⎛ x ⎞ 

⎜1 = ⎟ln11 

⎝ 2 ⎠ 

Ta có ( ) ( ) 

Ta có lim f ( x) ; f ( 1) ( 3a 1) 2 

log 2; lim f ( x) 

= −∞ = − − = −∞ ⇒ phương trình đã cho có nghiệm duy 

11 

x→0 x→ 

2 

1 

− 3a 

− 1 log 2 = 0 ⇔ a = ∉Z 

3 

nhất khi ( ) 2 11 


Thể tích khối chóp . 

Mà 

2 . 

12 

2 2 2 2 2 2 2 2 2 

S ABC là VS. 

ABC 

= ( x + y − z )( y + z − x )( x + z − y ) 

2 2 2 2 2 2 2 2 2 

( x y z )( y z x )( x z y ) 

Suy ra 

( x 2 + y 2 − z 2 + y 2 + z 2 − x 2 + x 2 + z 2 − y 2 ) ( x 2 + y 2 + z 

2 

) 3 

+ − + − + − ≤ = 

27 27 

( x + y + z ) 

2 2 2 3 

2 2 12 2 2 

2 2 

S. ABC ≤ . = . = Vậy V 

max 

= 

12 27 12 27 3 

3 


Gọi r 0 

; h 0 

lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của khối trụ. 

0 0 0 0 

Theo giả thuyết, ta có r h − h 120 − 

= ⇔ r0 

= 30. h = 30 − 

h 

r h 

120 4 

( ) 2 

2 0 0 

2 ⎛ h0 

⎞ 120 − h . h 

Suy ra thể tích khối trụ là V = π r0 . h0 = π ⎜30 − ⎟ . h0 

= π. 

⎝ 4 ⎠ 

16 


Xét hàm số f ( t) = t ( 120 − t) 2 

với t ∈( 0;120) 

suy ra 

( ) 

( ) 

max f t = 256000 

0;120 




Trang 23 








Vậy thể tích lớn nhất của khối trụ là V 

256000 1 

= π . = 0,016 π cm 

16 100 

max 3 

3 




----- HẾT ----- 





Trang 24 











Lớp 12 

(94%) 

Lớp 11 

(6%) 


MÔN TOÁN 

STT 



liên quan 


TRUNG TÂM LTĐH DIỆU HIỀN- CẦN THƠ- LẦN 

2 




Nhận biết 


Thông 

hiểu 

Vận dụng 

Vận dụng 

cao 

Tổng 

số câu 

hỏi 

1 5 6 3 15 




4 Số phức 2 3 5 

5 Thể tích khối đa diện 2 2 4 

6 Khối tròn xoay 1 1 2 





1 2 3 3 9 

2 Tổ hợp-Xác suất 0 



4 Giới hạn 0 

5 Đạo hàm 1 1 2 




phẳng 

0 

0 

0 

0 




Trang 1 











0 







1 1 

Tổng Số câu 4 16 21 9 50 

Tỷ lệ 8% 32% 42% 18% 100% 





Trang 2 












MÔN TOÁN 

Câu 1: Đồ thị sau đây là của hàm số nào ? 

A. 

3 

y x 3x 1 

= − − B. 

3 

y x 3x 1 



2 



= − + + C. 

3 

y x 3x 1 

= − + D. 

Câu 2: Đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 

1− 

2x 

y = là: − x + 2 

3 

y = −x − 3x − 1 

A. x = − 2; y = − 2 B. x = 2; y = − 2 C. x = − 2; y = 2 D. x = 2; y = 2 


x + 1 

y = . Khẳng định nào sau đây đúng: 

2 − x 

A. Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. 

B. Hàm số đã cho nghịch biến trên R 

C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( −∞;2) ∪ ( 2; +∞ ) 

D. Hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó. 

m 

Câu 4: Cho ( 2 1) ( 2 1) 

− < − . Khi đó: 

n 

A. m > n B. m < n C. m = n D. m ≤ n 

x x 1 

Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình 2 > 3 + là: 

⎛ ⎞ 

A. ∅ B. ⎜ −∞;log 2 

3⎟ 

⎝ 

3 ⎠ 

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 

Câu 6: Nghiệm của bất phương trình ⎜ ⎟ ≥ ⎜ ⎟ 

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 

C. ( ;log 3] 

2 

9x − 17x+ 11 7−5x 

−∞ 

2 

D. ⎜ 2 

3 

là 

⎛ ⎞ 

log 3; +∞ ⎟ 

⎝ ⎠ 

2 

2 

2 

2 

A. x = B. x > C. x ≠ D. x < 

3 

3 

3 

3 

 

Câu 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a = − i + 2 j − 3k . Tọa độ của vectơ a là: 





Trang 3 











A. ( 2; −1; − 3) 

B. ( −3;2; − 1) 

C. ( 2; −3; − 1) 

D. ( −1;2; − 3) 

Câu 8: Trong các hàm số sau, hàm số nào không đồng biến trên tập số thực? 

A. y = 4x − 3sin x + cos x 

B. 

C. 

3 

y = 4x − D. 

x 

3 2 

y = 3x − x + 2x − 7 

= + 

3 

y x x 

Câu 9: Cho số phức z = 3 − 2i . Tìm phần thực và phần ảo của z . 

A. Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2i . 

B. Phần thực bằng – 3 và Phần ảo bằng – 2 . 

C. Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2 . 

D. Phần thực bằng – 3 và Phần ảo bằng – 2i 

Câu 10: Gọi a, b, c lần lượt là ba kích thước của một khối hộp chữ nhật ( ) 

hộp chữ nhật ( ) 

H . Khi đó V được tính bởi công thức: 

A. V = abc B. 

1 

V = abc C. 

3 

1 

V = abc D. V = 3abc 

2 

H và V là thể tích của khối 

Câu 11: Cho hai số thực x, y thỏa mãn phương trình x + 2i = 3+ 4yi . Khi đó, giá trị của x và y là: 

A. x = 3; y = 2 B. 

1 

x = 3i; y = C. 

2 

x − 5x+ 

6 

Câu 12: Tập nghiệm của phương trình 2 = 1 là: 

2 

1 

x = 3; y = D. 

2 

A. { −6; − 1} 

B. { 2;3 } 

C. { 1;6 } 

D. { 1;2 } 

Câu 13: Phần thực và phần ảo của số phức z = 1+ 2i lần lượt là: 

A. 2 và 1 B. 1 và 2i C. 1 và 2 D. 1 và i 

Câu 14: Cho mặt phẳng (P) đi qua các điểm A ( 2;0;0 ), B( 0;3;0 ), C( 0;0; 3) 

góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau? 

1 

x = 3; y = − 

2 

− − . Mặt phẳng (P) vuông 

A. x + y + z + 1 = 0 B. x − 2y − z − 3 = 0 C. 2x + 2y − z − 1 = 0 D. 3x − 2y + 2z + 6 = 0 

Câu 15: Hệ phương trình 

⎧x + y = 6 

⎨ 

có nghiệm là 

⎩log2 x + log2 

y = 3 

A. ( 1;5 ) và ( 5;1 ) B. ( 2;4 ) và ( 5;1 ) C. ( 4;2 ) và ( 2;4 ) D. ( 3;3 ) và ( 4;2 ) 

Câu 16: Phương trình 

x x 

4 2 3 0 

− − = có bao nhiêu nghiệm? 

A. 0 B. 3 C. 2 D. 1 


Câu 17: Tìm giá trị cực tiểu y 

CT 

của hàm số 

3 2 

y = x − 3x + 2 

A. yCT 

= 4 

B. yCT 

= 1 

C. yCT 

= 0 

D. yCT 

= − 2 




Trang 4 












1 

3 

= + − , có đồ thị ( C ) . Phương trình tiếp tuyến của ( ) 

3 2 

y x x 2 

hoành độ là nghiệm của phương trình y ''( x) 

= 0 là: 

A. 

7 

y = −x 

− B. 

3 

7 

y = x − C. 

3 

7 

y = − x + D. 

3 

Câu 19: Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau (với a, b, c, d là các hằng số). 

(I): Giá trị cực đại của hàm số y f ( x) 

4 

(II): Hàm số y a bx c( a 0) 

= luôn lớn hơn giá trị cực tiểu của nó. 

= + + ≠ luôn có ít nhất một cực trị 

(III): Giá trị cực đại của hàm số y f ( x) 

ax + b 

cx + d 

(IV): Hàm số y = ( c ≠ 0; ad − bc ≠ 0) 

Số mệnh đề đúng là 

7 

y = x 

3 

C tại điểm có 

= luôn lớn hơn mọi giá trị của hàm số đó trên tập xác định. 

không có cực trị. 

A. 1 B. 4 C. 3 D. 2 

Câu 20: Cho hình chóp đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy là 60° . Tính 

SCD . 

khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( ) 

A. a 4 

B. a 3 

4 

Câu 21: Tìm m để phương trình 

2 

2 x + 2 

C. a 3 

2 

4x − 2 + 6 = m có đúng 3 nghiệm 

D. a 2 

A. m = 3 

B. m = 2 

C. m > 3 

D. 2 < m < 3 

Câu 22: Biết đường thẳng y = x − 2 cắt đồ thị 

lượt x 

A, x 

B 

hãy tính tổng xA 

+ x 

B 

2x + 1 

y = tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ lần 

x −1 

A. B. C. D. 

Câu 23: Tìm tất cả giá trị của tham số thực m để đường thẳng d : y = x + m cắt đồ thị hàm số 

tại hai điểm phân biệt A, B. 

A. m < 0 

B. m ∈ R C. m > 1 

D. m = 5 

x+ 1 x x+ 

1 

Câu 24: Phương trình 9 − 13.6 + 4 = 0 có 2 nghiệm x 

1, x 

2 

. Phát biểu nào sao đây đúng. 

A. Phương trình có 2 nghiệm nguyên. B. Phương trình có 2 nghiệm vô tỉ. 

C. Phương trình có 1 nghiệm dương. D. Phương trình có 2 nghiệm dương. 

− x + 1 

y = 

2x −1 


Câu 25: Cho số phức z thỏa mãn ( 1+ i) 

z = − 1+ 3i . Hỏi điểm biểu diễn của z là điểm nào trong các điểm 

M, N, P, Q ở hình bên? 




Trang 5 











A. Điểm Q B. Điểm P C. Điểm M D. Điểm N 

Câu 26: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 

x 

= + − có hệ số góc k = 9 , có phương trình là: 

3 

3 

2 

y 3x 2 

A. y + 16 = − 9( x + 3) 

B. y − 16 = −9( x − 3) 

C. y − 16 = − 9( x + 3) 

D. y = − 9( x + 3) 

2log x −1 ≤ log 5 − x + 1 là 

Câu 27: Tập nghiệm của bất phương trình ( ) ( ) 

2 2 

A. ( 1;5 ) 

B. ( 1;3 ] 

C. [ 1;3 ] 

D. [ 3;5 ] 

2 

Câu 28: Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức G ( x) 0,025x ( 30 x) 

= − . Trong 

đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân (đơn vị miligam). Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho 

bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất. 

A. 15mg B. 30mg C. 25mg D. 20mg 

Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm 

( ) ( ) ( ) ( ) 

A 1;0;2 , B −2;1;3 , C 3;2;4 , D 6;9; − 5 . Hãy tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện ABCD? 

A. ( 2;3; − 1) 

B. ( 2; − 3;1) 

C. ( 2;3;1 ) 

D. ( − 2;3;1) 

Câu 30: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = 2a , cạnh 

bên SA vuông góc với mặt đáy và SA = a . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC . 

3 

a 

A. V = B. V 

2 

3 

= a 

C. 

3 

a 

V = D. 

4 

3 

a 

V = 3 

Câu 31: Cho các số phức z thỏa mãn z − i = 5. Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn số phức w = iz + 1− i là 

đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó. 

A. r = 22 

B. r = 10 

C. r = 4 

D. r = 5 

Câu 32: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A ( 1;1;2 ),B( 1;3; 9) 

thuộc Oy sao cho ∆ ABM vuông tại M . 

A. 

( ) 

( − ) 

⎡ M 0;1+ 

2 5;0 

⎢ 

⎢ 

M 0;1 2 5;0 

⎢⎣ 

B. 

( ) 

( − ) 

⎡ M 0;2 + 2 5;0 

⎢ 

⎢ 

M 0;2 2 5;0 

⎢⎣ 

C. 

( ) 

( − ) 

⎡ M 0;1+ 

5;0 

⎢ 

⎢ 

M 0;1 5;0 

⎢⎣ 

− − .Tìm tọa độ điểm M 

D. 

( ) 

( − ) 

⎡ M 0;2 + 5;0 

⎢ 

⎢ 

M 0;2 5;0 

⎢⎣ 





Trang 6 











Câu 33: Cho ba số thực dương a, b, c ( a 1, b 1, c 1) 

a + 2b + 3c = 48 . Khi đó P = abc bằng bao nhiêu? 

≠ ≠ ≠ thỏa mãn loga b = 2logb c = 4logc 

a và 

A. 324 B. 243 C. 521 D. 512 

4 2 

y x 2 m 1 x m 


= − + + có đồ thị (C), m là tham số. (C) có ba điểm cực trị A, B, C 

sao cho OA = OB; trong đó O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung khi: 

A. m = 0 hoặc m = 2 B. m = 2 ± 2 2 C. m = 3 ± 3 3 D. m = 5 ± 5 5 

Câu 35: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, có tất cả bao nhiêu số tự nhiên của tham số m để 

2 2 2 2 

x y z 2 m 2 y 2 m 3 z 3m 7 0 

+ + + − − + + + = là phương trình của một mặt 

phương phương trình ( ) ( ) 

cầu. 

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 

x 

⎛ 5.2 − 8 ⎞ 

log2 

4x 

Câu 36: Cho x thỏa mãn phương trình log2 ⎜ = 3− 

x 

x ⎟ . Giá trị của biểu thức P = x là: 

⎝ 2 + 2 ⎠ 

A. P = 4 

B. P = 8 

C. P = 2 

D. P = 1 

x + 3 

x + 1 

Câu 37: Cho hàm số y = ( C) 

MN nhỏ nhất khi 

. Đường thẳng d : y = 2x + m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M, N và 

A. m = − 1 

B. m = 3 

C. m = 2 

D. m = 1 

x y 

x y 

Câu 38: Cho các số thực x, y thỏa mãn 2 = 3; 3 = 4 . Tính giá trị biểu thức P = 8 + 9 . 

3 2 

A. 43 B. 17 C. 24 D. log 3 + log 4 

2 3 

Câu 39: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng a . Tính thể tích V của khối lăng trụ 

ABC.A'B'C'. 

3 

3 

3 

a 3 

a 

a 3 

A. V = B. V = C. V = D. V = 

18 

2 3 

9 

3 

a 3 

Câu 40: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, 0 

AB = a, ACB = 60 cạnh 

bên SA vuông góc với mặt đáy và SB tạo với mặt đáy một góc 45°. Tính thể tích V của khối chóp 

S.ABC . 

3 

3 

3 

a 3 

a 

a 3 

A. V = B. V = C. V = D. V = 

18 

2 3 

9 

6 

3 

a 3 

Câu 41: Một hình lập phương có cạnh bằng 2a vừa nội tiếp hình trụ (T) vừa nội tiếp mặt cầu (C) và hai 


đáy của hình lập phương nằm trên 2 đáy của hình trụ. Tính tỉ số thể tích 

giới hạn bởi (C) và (T) ? 

V 

V 

( C) 

( T) 

6 

giữa khối cầu và khối trụ 




Trang 7 








A. 

V( C) 

2 

= B. 

V 2 

( T) 

V 

( C) 

3 

V = C. ( C) 

( T) 

( T) 

V 

2 

V = D. V( C) 

3 

= 

V 2 

( T) 




Câu 42: Người ta bỏ ba quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp hình trụ có đáy bằng 

hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng ba lần đường kính bóng bàn. Gọi S 

1 

là tổng diện tích 

S1 

của ba quả bóng bàn, S 

2 

là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số 

S 

Trang 8 

2 

bằng: 

A. 1 B. 1,2 C. 2 D. 1,5 


có đồ thị hàm số f '( x ) như hình vẽ. Biết ( ) 

( ) 

y = f x cắt trục hoành tại nhiều nhất bao nhiêu điểm? 

A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 

f a > 0 , hỏi đồ thị hàm số 

Câu 44: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( 1; 2;2 ), B( 5;6;4 ), C( 0;1; 2) 

đường phân giác trong của góc A của ∆ ABC là: 

A. 3 74 

2 

B. 

3 

2 74 

C. 

2 

2 74 

Câu 45: Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số 

y = 

− − − . Độ dài 

2 

x 2 

+ 

4 

mx + 3 

D. 2 74 

3 

A. m < 0 

B. m > 3 

C. m = 0 

D. m > 0 

Câu 46: Cho đường thẳng 

x + 1 y x + 1 

: 

2 3 1 

∆ = = và hai điểm A ( 1;2; 1 ), B( 3; 1; 5) 

− 

có hai đường tiệm cận ngang. 

− − − . Gọi d là đường 

thẳng đi qua điểm A và cắt đường thẳng ∆ sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d là lớn nhất. 

Phương trình của d là: 

A. x − 3 y z + 

= = 5 B. x y + 

= 2 = 

z 

2 2 − 1 −1 3 4 

C. x + 2 y z − 

= = 1 D. x − 1 y − 2 z + 

= = 1 

3 1 − 1 1 2 − 1 


Câu 47: Thầy Tâm cần xây một hồ chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 

500 m 

3 

. Đáy hồ là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây hồ là 

3 











2 

500.000 đồng/ m . Khi đó, kích thước của hồ nước như thể nào để chi phí thuê nhân công mà thầy Tâm 

phải trả thấp nhất: 




A. Chiều dài 20m, chiều rộng 15m và chiều cao 20 m 

3 

B. Chiều dài 20m, chiều rộng 10m và chiều cao 5 m 6 

C. Chiều dài 10m, chiều rộng 5m và chiều cao 10 m 

3 

D. Chiều dài 30m, chiều rộng 15m và chiều cao 10 m 

27 

Câu 48: Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có A trùng với gốc 

B m;0;0 , D 0;m;0 , A ' 0;0;n với m,n > 0 và m + n = 4 . Gọi M là trung điểm 

tọa độ O, các đỉnh ( ) ( ) ( ) 

của cạnh CC'. Khi đó thể tích tứ diện BDA'M đạt giá trị lớn nhất bằng: 

A. 245 

108 

B. 9 4 

C. 64 

27 

D. 75 

32 

Câu 49: Nghiệm của bất phương trình: log2 ( 3x 1 6) 1 log2 

( 7 10 x ) 

369 

A. 1 ≤ x ≤ B. 

49 

+ + − ≥ − − là: 

369 

x > C. x ≤ 1 

D. 

49 

Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình 

( ) ( ) ( ) 

là 

2 2 2 

369 

x ≤ 

49 

x − 1 + y − 2 + z + 1 = 1, phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục hoành và tiếp xúc với mặt cầu (S) 

A. ( ) 

Q : 4y 3z 0 

+ = B. ( ) 

Q : 4y 3z 1 0 

+ + = C. ( ) 

Q : 4y 3z 1 0 

--- HẾT --- 

− + = D. ( ) 

Q : 4y − 3z = 0 





Trang 9 












MÔN TOÁN 



2 




1-C 2-D 3-A 4-A 5-B 6-A 7-D 8-C 9-C 10-A 

11-C 12-B 13-C 14-C 15-C 16-D 17-D 18-A 19-D 20-C 

21-A 22-B 23-B 24-A 25-C 26-C 27-B 28-D 29-C 30-D 

31-D 32-B 33-B 34-B 35-C 36-B 37-B 38-A 39-D 40-A 

41-B 42-A 43-B 44-D 45-D 46-D 47-C 48-C 49-A 50-A 

















MÔN TOÁN 

Câu 1: Đáp án là C. 

+ Đồ thị hàm số bậc 3 có a > 0. Loại B,D. 

+ x = 0 ⇒ y = 1. Loại A. 

Câu 2: Đáp án là D. 



2 




Đồ thị có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là: x = 2; y = 2. 

Câu 3: Đáp án là A. 

3 

+ y′ = > 0, ∀x 

≠ 2 nên hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. 

( 2 − x) 2 


Ta thấy 0 < 2 − 1< 1 ⇒ m > n. 

Câu 5: Đáp án là B. 

⎛ 2 ⎞ 

Phương trình tương đương: ⎜ ⎟ > 3 ⇔ x < log 

2 

3. 

⎝ 3 ⎠ 


x 

Phương trình tương đương: 9x − 17x + 11 ≤ 7 − 5x ⇔ 9x − 12x + 4 ≤ 0 ⇔ x = . 

3 


 

Ta có: a = ( − − ) 


1;2; 3 . 

+ Xét lần lượt các đáp án, ta được đáp án C. 


3 

2 2 2 


z = 3 + 2 i. 

Phần thực và phần ảo của z lần lượt là: 3& 2. 

Câu 10: Đáp án là A. 




Trang 11 











Lý thuyết 


Phương trình tương đương 


x 

2 ⎡x 

= 2 

− 5x 

+ 6 = 0 ⇔ ⎢ 

⎣x 

= 3 


⎧x 

= 3 

⎪ 

⎨ 1 

⎪ y = 

⎩ 2 

Phần thực và phần ảo của z lần lượt 1& 2. 


+ VTPT của ( ) 

 

P là: 

 

n P 

⎛ 1 1 1 ⎞ 

= ⎜ − ; ; − ⎟ 

⎝ 2 3 3 ⎠ 

+ Ta thấy nP . n3 = 0, ( n3 

= ( 2;2; −1) 

) 


+ Điều kiện x, y > 0 

 

⎧ ⎪y = 6 − x ⎧y = 6 − x ⎡x = 4 ⇒ y = 2 

+ ⎨ ⇔ 

2 ⎨ ⇔ 

2 

log2 

( 6x x ) 3 

⎢ 

⎪⎩ 

− = ⎩− x + 6x 

− 8 = 0 ⎣x = 2 ⇒ y = 4 


2 x x 

+ 2 − 2 − 3 = 0 ( 1) 

+ Ta thấy (1) có ( ) 


+ 

1. − 3 < 0 nên (1) có 2 nghiệm. 

2 ⎡x 

= 0 ⇒ y = 2 

y′ = 3x − 6 x, cho y′ 

= 0 ⇔ ⎢ 

⎣x 

= 2 ⇒ y = −2 

+ Xét dấu y′ , ta được y = − 2 


CT 

+ y′ x 2 x y′′ x x y′ 

( ) 

= + 2 ⇒ = 2 + 2 = 0 ⇔ = −1⇒ − 1 = − 1 

+ Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại 


(thoả mãn điều kiện) 


⎛ 4 ⎞ 

⎜ −1; 

− ⎟ 

⎝ 3 ⎠ là: ( ) 4 7 

y = − x + − = −x 

− 

3 3 

1 1 . 




Trang 12 








Ta thấy (II) và (IV) là mệnh đề đúng. 





B 

+ ( ) ( ) 

M 

A 

0 

( SCD ; ABCD ) = SNO = 60 . 

+ AB CD AB ( SCD) d ( B ( SCD) 

) d ( M ( SCD) 

) 

S 

O 

// ⇒ // ⇒ ; = ; ; ( M là trung điểm AB ). 

a 3 1 1 1 16 a 3 

= = = + = ⇒ = = 

0 

+ SO ON.tan 60 ; OK d ( O; 

( SCD) 

) 

+ ( ( )) ( ( )) 

C 

2 2 2 2 

2 OK OS ON 3a 

4 

a 3 

d M ; SCD = 2 d O; SCD = 2 OK = . 

2 


+ PT 

2 2 

2x 

x 

⇔ 2 − 4.3 + 6 = m (1). 

2 

Đặt 2 x = t , vì 

2 

2 x 0 

K 

60 0 

x ≥ 0, ∀ x ⇒ 2 ≥ 2 = 1, ∀ x ⇒ t ≥ 1. 

Phương trình trở thành: t 2 − 4t + 6 = m . 

= − + ∈ +∞ : 

Xét f ( t) t 2 4t 6, t [ 1; ) 

( ) 2 4 2 

f ′ t = t − ⇔ t = . 


x 

f'(t) 

f(t) 

-∞ 1 

2 

+∞ 

_ 0 + 

3 

+∞ 


Với t = 1⇒ PT (1) có 1 nghiệm x = 0 . 

2 

N 

D 




Trang 13 








Với mỗi nghiệm t > 1 sẽ sinh ra 2 nghiệm phân biệt khác 0 của phương trình (1). 

Để pt (1) có đúng 3 nghiệm m = 3 . 





+ Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: ( x − 2)( x − 1) = 2x + 1 ⇔ x 2 − 5x 

+ 1 = 0( 1) 

+ x ; x là nghiệm của phương trình (1) nên x + x = 5. 


A 

B 

Phương trình hoàng độ giao điểm của ( ) ( )( ) 

( C) & 

A 

B 

⎛ 1 ⎞ 

C & d : x + m 2x − 1 = − x + 1; ⎜ x ≠ ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

2 

⇔ 2x + 2mx − m − 1 = 0 (1) 

d cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 

2 

và khác 1 ⎧ m + 2m 

+ 2 > 0 

. 

2 Khi đó: ⎪ 

⎨ 1 

⇔ m ∈ R . 

⎪ − ≠ 0 

⎩ 2 


x 

⎡ ⎛ 3 ⎞ 

2x 

x ⎢⎜ ⎟ = 1 

x x x ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ 2 x 0 

+ 9.9 13.6 4.4 0 9 13 4 0 ⎢⎝ ⎠ ⎡ = 

− + = ⇔ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ + = ⇔ ⇔ 

x 

2 2 

⎢ 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ 

3 4 ⎣x 

= −2 

⎢ 

⎛ ⎞ 

⎜ ⎟ = 

⎢⎝ ⎣ 2 ⎠ 9 


− 1+ 

3i 

z = = 1+ 

2i 

. Điểm biểu diễn là M . 

1+ 

i 


+ 

′ = + 6 = −9 ⇔ = − 3 

2 

y x x x 

+ Phương trình tiếp tuyến tại ( − 3;16) 

là: y ( x ) 


+ Điều kiện: 1 < x < 5. 

2 2 

+ Bpt ( ) ( ) 

= − 9 + 3 + 16. 

⇔ x −1 ≤ 2 5 − x ⇔ x − 9 ≤ 0 ⇔ −3 ≤ x ≤ 3 


+ So với điều kiện, ta được 1 < x ≤ 3. 





Trang 14 











3 1 3 3 ⎡x 

= 

G x = x 0 

2 − x 3 ⇒ G x = x − x 

2 = 0 ⇔ 

4 40 2 40 ⎢ 

⎣x 

= 20 

+ ( ) ′( ) 

+ Vì x > 0 nên x = 20 mg. 


Toạ độ trọng tâm của tứ diện 


Ta có: V 

S. 

ABC 


S 

a 

A 

a 

B 

⎧ xA + xB + xC + xD 

⎪x 

= = 2 

4 

⎪ yA + yB + yC + yD 

ABCD : ⎨y 

= = 3 

⎪ 4 

⎪ zA + zB + zC + zD 

⎪z 

= = 1 

⎩ 4 

2a 

3 

1 

a 

= AB. AC. SA = . 

6 3 

Ta có w i i ( z i) w i i z i 5. 

bán kính r = 5. 


Gọi ( 0; ;0) 

C 

+ = − ⇒ + = − = Vậy các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn có 

M y ∈ Oy . 

 

= −1; −1; − 2 ; = 1; − 3;9 ; . = − 1+ −1 − 3 −18 

Ta có: AM ( y ) BM ( y ) AM BM ( y )( y ) 


Tam giác ABM vuông tại 


⎡ 

2 

y = 2 + 2 5 

A ⇔ y − 4y 

− 16 = 0 ⇔ ⎢ . Chọn 

⎢⎣ y = 2 − 2 5 

Trang 15 














⎧log 

⎨ 

⎩log 

a 

b 

2 3 

+ ⇒ log c = log b ⇔ log c = 1 ⇔ c = b, ( 1) 

b 

b = 2log c 

c = 2log a 

+ log c.log c = 2, ( 2) 

b 

a 

2 

Từ (1) và (2) ⇒ c = a ( ) 

c 

3 . 

b c b 

+ Thay (1);(2) và (3) vào a + 2b + 3c = 48 ⇒ a = 3; b = c = 9 

Vậy P = abc = 243. 


+ Hàm số có 3 cực trị khi ( m ) 

+ ( ) 

− 2 + 1 < 0 ⇔ m > − 1. (1) 

⎡x 

= 0 

3 

y′ = 4x − 4 m + 1 x = 0 ⇔ ⎢ 

⎣x 

= ± m + 1 

Các điểm cực trị A ; B; 

C của đồ thị là: 

A( 0; m ); 

B ( m + 1; −m 2 − m −1 ); C ( − m + 1; −m 2 − m − 1) 

2 

+ OA = BC ⇔ m = 2 m + 1 ⇔ m − 4m − 4 = 0 ⇔ m = 2 ± 2 2. 


+ Để phương trình đã cho là phương trình mặt cầu thì : 

= − + 2 + 6 > 0 ⇔ 1− 7 < < 1+ 7 ; mà m ∈ N ⇒ m∈{ 0;1;2;3 }. 

2 

R m m m 


+ Pt 

x 

x 8 

⎧ 

⎧ 

5.2 − 8 > 0 2 > 

⎧ 

⎪ ⎪ 5 

⎪x 

> log 

⇔ x 

⎨5.2 − 8 ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ 

3−x 

⎪ 2 

8 

x = ⎪ 

2 2 

( ) 

⎪ 

⎩ + ⎩ 

⎪⎩ 2 

log2 4x 

log2 

8 

+ 

P = x = 2 = 8. 


x x 2x x 

5.2 − 8 = 2 + 2 5.2 −16.2 − 16 = 0 

x 

2 

8 

5 

⎧ 8 

⎪ 

x > log2 

5 8 

⎧ 

⎪ 

log 

x ⎪x 

> 

2 

⇔ ⎨⎡ 2 = 4 ⇔ ⎨ 5 ⇒ x = 2. 

⎪⎢ 

4 

⎪ x = 2 

x 

⎪ ⎢ 

⎩ 

2 = − 

⎪⎣ ⎩⎢ 

5 


+ Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị 2x 2 

( m 1) x m 3 0; ( x 1) 

+ Gọi M ( x ;2 x m) ; N ( x ;2x m) 

1 1 2 2 

+ + + − = ≠ − (1) 

+ + , trong đó x1; 

x 

2 

là nghiệm phương trình (1) 




Trang 16 











m + 1 m − 3 

Ta có: x1 x2 ; x1. 

x2 

2 2 

2 5 

2 

= 5⎡ 1 

+ 

2 

− 4 ⎤ 

1 2 

= ⎡ − 3 + 16⎤ 

≥ 2 5 

⎣ ⎦ 4 ⎣ ⎦ 

+ = = ; MN ( x x ) x x ( m ) 

+ min MN = 2 5 ⇔ m = 3. 


2 log3 

4 

Ta có x = log 3; y = log 4 ⇒ P = 8 log 3 + 9 = 3 3 + 4 2 = 43. 


V 

ABC. 

A B C 


2 3 

2 3 

a 3 a 3 

′ ′ ′ = a. = . 

4 4 

S 

A 

45 

a 

0 

AB a 

+ Ta có: BC = = 

0 

tan 60 3 

B 

2 3 3 

1 1 a a a 3 

+ VS . ABC 

= SA. S 

ABC 

= . a. = = . 

3 6 3 6 3 18 


4 

3 3 

+ Ta có: R( ) 

= a 3 ⇒ V( ) 

= π.3 3a = 4π 

a 3. 

C 

C 

3 

+ 

( T ) ( T ) 

R = a 2 ⇒ V = 2 a.. π 2a = 4π 

a 

V( C) 

Vậy 

V = 

( T ) 

3. 


C 

2 3 

Giả sử bán kính của quả bóng bàn là r 


Tổng diện tích của ba quả bóng bàn là S1 = 3.4πr = 12π 

r 

2 2 

Diện tích xung quanh của hình trụ là S2 = 2π rh = 2 πr.6r = 12π 

r 

2 




Trang 17 








Do đó ta có 

S 

S 

1 

2 

2 

12π 

r 

= = 1 . 

2 

12π 

r 





+ Từ đồ thị ta có bảng biến thiên: 

x 

y' 

y 


-∞ a b 

c +∞ 

_ 

0 + 0 

_ 

0 + 

+ ∞ f(b) 

+ ∞ 

Ta thấy: 0 f ( a) f ( b) 

+ Gọi ( ; ; ) 

Ta có: 


Ta có 

f(a) 

f(c) 

< < nên đồ thị cắt trục hoành nhiều nhất 2 điểm. 

H x y z là chân đường phân giác trong góc A của ∆ ABC. 

 

HB AB ⎛ 5 8 ⎞ 2 74 

= − = −2 ⇔ HB = −2 HC ⇒ H ⎜ − ; ;0 ⎟ ⇒ AH = . 

HC AC 

⎝ 3 3 ⎠ 3 

2 

2 1+ 

x + 2 2 1 

lim = x = . Đồ thị có tiệm cận ngang thì m > 0. 

3 3 m 

x x 

x→±∞ 

2 

x m + m + 

4 4 

* Ghi chú: Đề ra có 2 tiệm cận ngang là không tìm được m . Do đó sửa đề lại như sau: Tìm tất cả 

các giá trị của m để đồ thị đã cho có tiệm cận ngang. 


+ Gọi M = ∆ ∩ d ⇒ M ( − 1+ 2 t;3 t; −1− 

t) 

Ta có: 

 

 

BA = − 2;3;4 ; AM = 2t − 2;3t − 2; −t 

+ ( ) ( ) 

+ 

+ 

 

⎡BA AM ⎤ 

⎣ ⎦ 

= t − t + 

2 

; 405 576 228 

 

AM = t − t + 

+ d ( B; 

d ) 

2 

14 20 8 


= 

2 

405t 

− 5766t 

+ 228 

2 

14t 

− 20t 

+ 8 




Trang 18 











2 2 

405t − 576t + 228 − 36t + 96t 

− 48 

2 

2 

14 20 8 14 20 8 

Xét f ( t) f ′( t) 

= ⇒ = 

t − t + t − t + 

⎡t 

= 2 

f ′( t) 

= 0 ⇔ ⎢ 

⎢ 

2 

t = 

⎣ 3 

. Vậy ( ) ( ) 

2 

( ) 

max f t = f 2 ⇒ t = 2 

 

+ Đường thẳng d đi qua A( 1;2; − 1) 

và có VTCP AM = ( 2;4; − 2) = 2( 1;2; −1) 


Gọi x là chiều rộng của đáy hình chữ nhật và y là chiều cao của khối hộp chữ nhật. 

Để tốn ít nguyên vật liệu nhất, ta cần thiết kế sao cho diện tích toàn phần của khối hộp là lớn nhất. 

2 2 

S = 2x + 2xy + 2 2xy = 2x + 6 xy 

Ta có ( ) 

xq 

2 V 

Do V = 2x y ⇒ y = 

2x 

2 

⇒ V V 

S( x) 

= x + x x 

x 

= + 3 

2 2 6 2 

2 

2 

2 

x 

Do S,x phải luôn dương nên ta tìm giá trị nhỏ nhất của S trên ( ;+∞) 

3V 

3V 

S' x = 4x − ,S' x = 0 ⇔ x = 3 

2 

x 

4 

Ta có : ( ) ( ) 

Lại có S'' ( x ) = + > , ∀x ∈ ( ; +∞) 

0 . 

6 

V V 

4 0 0 . Do đó minS = S ⎛ 3 ⎞ 

3 = 3 

9 3 

3 

x 

⎜ ⎟ 

⎝ 

4 

⎠ 

2 

V V 16V 

Và khi đó chiều cao là y = = = 2 3 

2 

2x 

2 

9V 

9 

2 

3 

16 

Vậy: yêu cầu bài toán tương đương với chiều rộng đáy hình hộp là 5m, chiều dài là 10 m, chiều 

cao hình hộp là 10 3 m. 


⎛ n ⎞ 

+ Tìm được M ⎜ m; m; ⎟. 

⎝ 2 ⎠ 

⎛ n ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

+ Ta có BM = 0; m; ; BD = ( − m; m;0 ); BA′ 

= ( −m;0; 

n) 


⎛ mn mn ⎞ 3 

⎡ ; ⎤ = ⎜ − ; − ; ⎟; ⎡ ; ⎤ ′ 

⎣ ⎦ 

= 

⎝ 2 2 ⎠ 

⎣ ⎦ 2 

2 2 

BM BD m BM BD BA m n 

2 




Trang 19 








1 

⎡ ⎤ 

1 

′ 

′ 

6 ⎣ ⎦ 4 

2 

VBMDA 

= BM ; BD BA = m n 




+ ( ) 

3 2 

mà n = 4 − m ⇒ V = − m + m = f ( m) 

2 

f m m m 


BMDA′ 

1 

4 

( loai) 

⎡m 

= 0 

3 

′ = − + 2 = 0 ⇔ ⎢ 

8 64 

4 

⎢ m = ⇒ f ( m) 

= 

⎢⎣ 3 27 

3x 

+ 1 + 6 

Pt ⇔ ≥ 7 − 10 − x ⇔ 3x + 1 + 2 10 − x ≥ 8 

2 


( )( ) 

+ Mặt phẳng chứa Ox có dạng By + Cz = 0 

+ Do mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng nên 

Vậy mặt phẳng cần tìm 4y 

+ 3z 

= 0 

⇔ 4 3x + 1 10 − x ≥ x + 23 

⎡ ⎧x 

< −23 

⎢⎪ 

⎢ ⎨ 1 

x 10 

⎧x 

≥ −23 

⎪− ≤ ≤ ⎪ 

369 

⇔ ⎢⎩ 3 ⇔ ⎨ 369 ⇔ 1 ≤ x ≤ . 

⎢ 

1 x 

49 

x 23 ⎪ ≤ ≤ 

⎢⎧ 

≥ − 

⎩ 49 

⎢ 

⎨ 2 

⎣⎩49x 

− 418x 

+ 369 ≤ 0 

2B 

−C 

⎡B 

= 0 

= 1 ⇔ 

2 2 ⎢ 

B + C ⎣B 

= 4, C = 3 

----- HẾT ----- 





Trang 20 











Lớp 12 

(..98.%) 

Lớp 11 

(.2..%) 


MÔN TOÁN 

STT 



lien quan 



3 




Nhận biết 


Thông 

hiểu 

Vận 

dụng 

Vận 

dụng 

cao 

Tổng số 

câu hỏi 

1 3 6 1 11 




0 2 1 0 5 

4 Số phức 1 2 5 0 9 







0 2 2 1 5 

0 0 0 0 0 




0 0 0 0 0 

4 Giới hạn 0 0 0 0 0 


5 Đạo hàm 0 0 0 0 0 



0 0 0 0 0 




Trang 1 








phẳng 










0 0 1 0 1 

0 0 0 0 0 

Tổng Số câu 3 17 25 5 50 

Tỷ lệ 6% 34% 50% 10% 





Trang 2 












MÔN TOÁN 

x + 1 

Câu 1: Cho hàm số y = . Khẳng định nào sau đây đúng: 

2 − x 

A. Hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó. 

B. Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định của nó 

−∞;2 ∪ 2; +∞ 

C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( ) ( ) 

D. Hàm số đã cho nghịch biến trên R 

z = 1+ 2i i là: 

Câu 2: Phần thực và phần ảo số phức ( ) 



3 



A. 1 và 2 B. − 2 và 1 C. 1 và − 2 

D. 2 và 1 

= 

f x đồng 


có đồ thị như hình vẽ. Khi đó ( ) 

biến trên các khoảng: 

; 1 , 1; 

A. ( −∞ − ) ( +∞ ) B. ( −∞; −1 ),( − 1;0 ) 

C. ( − 1;0 ),( 1; +∞ ) D. ( − 1;0 ),( 0;1) 

Câu 4: Nguyên hàm của hàm số y = x − 3x 

+ là: 

x 

3 2 

3 2 

x 3x 

x 3x 

1 

3 2 

A. − − ln x + C B. − + + C C. x − 3x + ln x + C 

2 

3 2 

3 2 x 

3 2 

x 3x 

D. − + ln x + C 

3 2 

1 

Câu 5: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = 

2 

x + 1 

là: 

A. 1 B. 2 C. 4 D. 3 

2 1 

Câu 6: Tập nghiệm của ( x 2 x ) x ( x ) 

log − − 6 + = log + 2 + 4 là: 

A. { 1 } 

B. { 4 } 

C. { 3 } 

D. { 2 } 

Câu 7: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? 

A. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh bằng số đỉnh 

B. Số đỉnh và số mặt của một hình đa diện luôn luôn bằng nhau 

C. Tồn tại hình đa diện có số cạnh và số mặt bằng nhau 

D. Tồn tại một hình đa diện có số đỉnh và số mặt bằng nhau 

3 2 

Câu 8: Hàm số y = x − 3x + 3x 

− 4 có bao nhiêu cực trị? 

A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 

2 

Câu 9: Gọi z 

1 

là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z + 2z 

+ 3 = 0 . Tọa độ điểm M biểu diễn 


số phức z1 

là 

M − − B. M ( − 1;2 ) C. ( 1; 2) 

A. ( 1; 2 ) 

Câu 10: Trong các hàm số sau: 

M − − D. M ( −1; − 2i) 




Trang 3 











2 

cos x 

g x = x ? 

2 

(I). f ( x) = tan x + 2 (II). f ( x) = (III) ( ) 2 

2 

Hàm số nào có nguyên hàm là hàm số ( ) tan 

Trang 4 

f x = tan x + 1 

A. Chỉ (II) B. Chỉ (III) C. Chỉ (II),(III) D. (I), (II), (III) 

x 

Câu 11: Cho phương trình 3 = m + 1. Chọn phát biểu đúng: 

A. Phương trình có nghiệm dương nếu m > 0 

B. Phương trình luôn có nghiệm với mọi m 

x = log m + 1 

C. Phương trình luôn có nghiệm duy nhất ( ) 

D. Phương trình có nghiệm với m ≥ − 1 

Câu 12: Điểm biểu diễn của các số phức z = 7 + bi với b ∈ R , nằm trên đường thẳng có phương trình là: 

A. y = 7 

B. x = 7 

C. y = x + 7 D. y = x 

2 

− 

Câu 13: Hàm số y ( 4x 

1) 4 

0;+∞ B. 

A. ( ] 

= − có tập xác định là: 

1 1 

R \ ⎧ ⎨− 

; 

⎫ ⎬ 

⎩ 2 2⎭ 

2 

x x 

⎧⎪ y 

Câu 14: Gọi ( x; 

y) 

là nghiệm của hệ phương trình ⎨ 

⎪⎩ xy = 15 

A. 16 B. 75 C. 23 

2 

x −1 

Câu 15: Cho hàm số y = có đồ thị ( ) 

x + 2 

có phương trình là: 

3 

⎛ 1 1 ⎞ 

C. R D. ⎜ − ; ⎟ 

⎝ 2 2 ⎠ 

5 − 51 + 10 

A. y = 3x 

B. y = x − 3 C. y 3x 

3 

Câu 16: Cho hình ( ) 

. Khi đó x + y bằng 

D. − 14 

H . Tiếp tuyến của ( H ) tại giao điểm của ( ) 

= − D. y = ( x − 1) 

3 

2 

= − + 2 , trục hoành. Quay hình ( ) 

1 

H với trục hoành 

H giới hạn bởi các đường y x x 

H quanh trục 

Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là: 

A. 496 π 

B. 32 π 

C. 4 π 

D. 16 π 

15 

15 

15 

15 

x − 1 y + 2 z − 3 

Câu 17: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 

: = = và 

1 1 − 1 

x − 3 y −1 z − 5 

d2 

: = = . Phương trình mặt phẳng chứa d1 

và d 

2 

là: 

1 2 3 

A. 5x − 4y − z − 16 = 0 B. 5x − 4y + z + 16 = 0 C. 5x − 4y + z − 16 = 0 D. 5x + 4y + z − 16 = 0 

x 

Câu 18: Phương trình ( 2 3) ( 2 3) 

x 

+ + − = m có nghiệm khi: 

A. m∈( −∞ ;5) 

B. m ∈ ( 2; +∞ ) C. m ∈( −∞ 5] 

D. m∈ [ 2; +∞ ) 

x 1 x 

Câu 19: Số nghiệm của phương trình 3 − 3 − = 2 là: 

A. 3 B. 1 C. 2 D. 0 

2 

Câu 20: Tích các nghiệm của phương trình log 

x ( 125x) log25 

x = 1bằng 


A. 7 B. 630 

1 

C. 

D. 630 

25 

625 

125 

x x 

Câu 21: Phương trình 9 − 3.3 + 2 = 0 có hai nghiệm x1, 

x2 

với x1 < x2 

. Giá trị 2x1 + 3x2 

là: 














A. 3log3 

2 B. 1 C. 4log3 

2 D. 2log2 

3 

Câu 22: Cho số phức z thỏa z = 3 . Biết rằng tập hợp số phức w = z + i là một đường tròn. Tìm tâm của 

đường tròn đó. 

A. I ( 0;1) 

B. I ( 0; − 1) 

C. I ( − 1;0 ) D. I ( 1;0 ) 

3 

Câu 23: Giá trị của tham số m để phương trình x − 3x = 2m 

+ 1có ba nghiệm phân biệt là : 

− 3 1 

A. m 

− 3 1 

< < B. − 2 < m < 2 C. ≤ m ≤ D. − 2 ≤ m ≤ 2 

2 2 

2 2 

Câu 24: Cho số phức z thỏa mãn 

z − 

( 1− 

3i 

) 3 

1− 

i 

Tìm mô đun của z + iz 

A. 4 2 B. 4 C. 8 2 D. 8 

2 

Câu 25: Cho I = ∫ f ( x) 

dx Khi đó ⎡ ( ) 

0 

2 

I = ∫ ⎣4 f x − 3⎤⎦ 

dx bằng 

0 

A. 2 B. 6 C. 8 D. 4 

1 


ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; AB = BC = AD = a . 

2 

Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S. 

ABCD 

3 

3 

3 

3 

a 

a 

a 2 

a 3 

A. V 

S. 

ACD 

= B. V 

S. 

ACD 

= C. V 

S. 

ACD 

= D. V 

S. 

ACD 

= 

2 

3 

6 

6 

1; 2;1 N 0;1;3 . Phương trình đường 

Câu 27: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho M ( − ) và ( ) 

thẳng qua hai điểm M, N là: 

1 2 1 

A. 

x + y − z + 

= = B. 

x + 1 y − 3 z − 2 x y −1 z − 3 x y −1 z − 3 

= = C. = = D. = = 

−1 3 2 −1 −2 1 −1 3 2 1 −2 1 

5 

Câu 28: Phương trình log 

x 

2 + log2 

x = 

2 

A. Có hai nghiệm dương B. Vô nghiệm 

C. Có một nghiệm âm D. Có một nghiệm âm và một nghiệm dương 

Câu 29: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ( )( ) 

z − 2z 

+ 1 

1+ i z − i + 2z = 2i 

. Mô đun của số phức w = là: 

2 

z 

A. 10 B. 8 C. − 10 

D. − 8 


ABCD có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác SAC . Mặt 

phẳng chứa AB và đi qua G cắt các cạnh SC, 

SD lần lượt tại M và N. Biết mặt bên của hình chóp tạo với 

đáy một góc bằng 60°. Thể tích khối chóp S. 

AVMN bằng: 

A. 

a B. a C. a D. 3a 

4 

8 

16 

16 

H giới hạn bởi các đường y = x 2 , y = 2x 

. Thể tích của khối tròn xoay được 

3 3 

Câu 31: Cho hình phẳng ( ) 

tạo thành khi quay ( ) 

3 3 

H xung quanh trục Ox bằng: 

3 3 

A. 32 π 

B. 64 π 

C. 21 π 

D. 16 π 

15 

15 

15 

15 

Câu 32: Khối cầu nội tiếp hình tứ diện đều có canh bằng a thì thể tích khối cầu là 


A. 

6 

216 

3 

a π 

B. 

3 

144 

3 

a π 

C. 

3 

a π 

Trang 5 

3 

96 

D. 

3 

a π 

3 3 

6 

124 














2 2 

Câu 33: Giá trị nào của m để phương trình log x + log x + 1 − 2m 

− 1 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc 

3 3 

3 

đoạn ⎡1;3 

⎤ 

⎣ ⎦ 

A. 1 ≤ m ≤ 16 B. 4 ≤ m ≤ 8 C. 3 ≤ m ≤ 8 D. 0 ≤ m ≤ 2 

Câu 34: Số tiền mà An để dành hàng ngày là x (đơn vị nghìn đồng, với x > 0, x ∈Z ) biết x là nghiệm của 

phương trình ( ) ( ) 2 

log x − 2 + log x − 4 = 0.Tổng số tiền mà An để dành được sau 1 tuần (7 ngày) là: 

3 

3 

A. 7 B. 21 C. 24 D. 14 

x − 1 y + 1 z 

Câu 35: Cho điểm M ( 2;1;0 ) và đường thẳng ∆ : = = . Gọi d là đường thẳng đi qua M, cắt 

2 1 − 1 

và vuông góc với ∆ . Vectơ chỉ phương của d là: 

 

 

 

 

u = −3;0;2 u = 0;3;1 

u = 2; −1;2 

u = 1; −4; −2 

A. ( ) 

B. ( ) 

C. ( ) 

D. ( ) 

Câu 36: Cho lăng trụ ABCD. A' B ' C ' D có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, biết A' 

ABC là hình chóp đều 

và A' 

D hợp với mặt đáy 1 góc 45°. Thể tích khối lăng trụ ABCD. A' B ' C ' D là: 

3 

3 

3 

a 6 

3 

a 6 

A. a B. 

C. a 3 

D. 

12 

3 

2x 

+ 3 

Câu 37: Cho đường cong ( C) 

: y = và M là một điểm nằm trên ( ) 

x −1 

C Giả sử d1, 

d2 

tương ứng với 

cách khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của ( C) 

khi đó d1, 

d2 

bằng: 

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 

Câu 38: Bác Năm làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều 

rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Vậy số tiền bác Năm phải 

trả là: 

A. 33750000 đồng B. 3750000 đồng C. 12750000 đồng D. 6750000 đồng 

x + − 

2x 

+ 3 

C tại x = 1thì tích m. 

n là 

2 

4x 

3 

Câu 39: Cho hàm số y = 

( C) 

. Gọi m là số tiệm cận của đồ thị hàm số ( ) 

hàm số ( ) 

A. 6 5 

Câu 40: Cho hình chóp . 

AB 1 cm, BC 2cm 

B. 14 5 

= = . Mặt bên ( ) 

C. 3 5 

S ABC có đáy là tam giác vuông tại ( ) 

SBC hợp với mặt đáy góc bằng: 

D. 2 

15 

B, SA ⊥ ABC , SA = 3 cm, 

C và n là giá trị của 

A. 30° B. 90° C. 60° D. 45° 

f x = x + ax + bx + c và đường thẳng AB đi 

Câu 41: Giả sử A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số ( ) 

3 2 

qua gốc tọa độ. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = abc + ab + c 

16 

25 

A. − B. − 9 

C. − D. 1 

25 

9 

Câu 42: Cho z là số phức có mô đun bằng 2017 và w là số phức thỏa mãn 1 + 1 = 1 . Mô đun của số 

z w z + w 

phức w là: 

A. 2015 B. 0 C. 1 D. 2017 

Câu 43: Trong các nghiệm ( x; 

y) 

thỏa mãn bất phương trình log 2 2 ( 2x + y) 

≥ 1. Giá trị lớn nhatts của 

x + y 


biểu thức T = 2x + y bằng: 

2 




Trang 6 








A. 9 4 

B. 9 2 

C. 9 8 

D. 9 




Câu 44: Cho một miếng tôn hình tròn có bán kính 50cm. Biết hình nón có thể tích lớn nhất khi diện tích 

toàn phần của hình nón bằng diện tích miếng tôn ở trên. Khi đó hình nón có bán kính đáy là: 

A. 10 2cm B. 50 2cm C. 20cm D. 25cm 

x − 2 y + 1 z 

Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : = = hai điểm 

1 2 3 

4 4 

A( 2;0;3) 

và B( 2; −2; − 3) 

. Biết điểm M ( x0; y0; 

z0 

) thuộc d thỏa mãn MA + MB nhỏ nhất. Tìm x 

0 

A. x 

0 

= 1 

B. x 

0 

= 3 

C. x 

0 

= 0 

D. x 

0 

= 2 

x y − z 

Câu 46: Cho x, y, 

z là các số thực thỏa mãn 2 = 3 = 6 . Giá trị biểu thức M = xy + yz + xz là: 

A. 0 B. 6 C. 3 D. 1 

Câu 47: Cho số phức z thỏa mãn z − 2 − 2i 

= 2 . Khi đó, biểu thức P = z −1− i + z − 5 − 2i 

có giá trị nhỏ 

nhất là 

A. 1+ 10 

B. 4 C. 17 D. 5 

Câu 48: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho tám điểm A( 2; 2;0 ), B( 3; 2;0 ), C ( 3;3;0 ) 

D( 2;3;0 ), M ( 2; 2;5 ), P( 3; 2;5 ), Q( 2;3;5 ) 

− − − . 

− − − − − Hỏi hình đa diện tạo bởi tám điểm đã choc so bao nhiêu 

mặt đối xứng? 

A. 3 B. 9 C. 8 D. 6 

y = f x . Khi đó độ dài đoạn thẳng 

Câu 49: Hai điểm M, N lần lượt thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số ( ) 

MN ngắn nhất bằng 

A. 8 2 B. 2017 C. 8 D. 4 

x; 

y thỏa mãn log 2 2 

x + y + 

( 4x + 4y 

− 4) 

≥ 1và 

Câu 50: Tìm m để tồn tại duy nhất cặp ( ) 

+ + 2 − 2 + 2 − = 0 

2 2 

x y x y m 

10 − 2 

B. 10 − 2 và 10 + 2 

A. ( ) 2 

10 2 

C. ( − ) 2 

và ( ) 2 

10 + 2 

D. 10 − 2 

--- HẾT --- 


2 




Trang 7 












MÔN TOÁN 



3 




1-B 2-B 3-C 4-C 5-B 6-B 7-D 8-C 9-A 10-B 

11-A 12-B 13-B 14-A 15-D 16-D 17-C 18-D 19-B 20-C 

21-A 22-A 23-A 24-C 25-B 26-D 27-C 28-A 29-A 30-C 

31-D 32-A 33-A 34-B 35-D 36-A 37-C 38-D 39-A 40-C 

41-C 42-D 43-B 44-D 45-C 46-A 47-C 48-B 49-C 50-A 





Trang 8 












MÔN TOÁN 


Với 

x + 1 

y = ta có 

2 − x 

3 

y ' = > 0∀x ∈ D 

( 2 − x) 2 



3 




Nên hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó 


z = 1+ 2i i ⇔ z = − 2 + i 

Ta có ( ) 

Nên số phức có phần thực là − 2 và phần ảo là 1 


Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy : hàm số đi lên khi x thuộc ( − 1;0 ) và ( 1;+∞ ) 

Nên hàm số đồng biến trên ( − 1;0 ) và ( 1;+∞ ) 


Với 

y = x − 3x 

+ ta có 

x 

2 1 


Với 

y = 

∫ 

3 2 

x 3x 

y = − + ln x + C 

3 2 

x 

ta có lim y = 1 và lim y = − 1 

2 

x→+∞ 

x→−∞ 

x + 1 

Nên hàm số có hai đường tiệm cận ngang y = 1 và y = − 1 


Phương trình: ( x 2 x ) x ( x ) 

log − − 6 + = log + 2 + 4 có điều kiện x > 3. 

Nhập phương trình ( x 2 x ) x ( x ) 

phương trình có tập nghiêm:{ 4 } 

Câu 7 : Đáp án D 

Ví dụ : tứ diện có 4 đỉnh và 4 mặt. 

log − − 6 + = log + 2 + 4 vào máy và CALC, ta thấy x = 4 thoả mãn nên 





Trang 9 











Câu 8 : Đáp án C 

Ta đã biết : hàm số bậc ba về cực trị chỉ có 2 trường hợp là có 2 cực trị hoặc không có cực trị. 

3 2 

2 

2 

Ta có : y = x − 3x + 3x 

− 4 có y′ = 3x − 6x 

+ 3 ; y′ = 0 ⇔ 3x − 6x + 3 = 0 ⇔ x = 1, đạo hàm y’ có 1 

nghiệm nên hàm số không có cực trị. 


2 2 2 

( ) ( ) ( ) 2 ⎡ z = − 1+ 

i 2 

z + 2z + 3 = 0 ⇔ z + 1 = −2 ⇔ z + 1 = i 2 ⇔ ⎢ 

⎢ ⎣z 

= − 1 − i 2 

Theo giả thiết, ta có z1 = −1− i 2 do đó, toạ độ điểm biểu diễn cho 

1 


tan x ′ = 1 + tan x nên tan x là một nguyên hàm của 

2 

1+ 

tan x 

Ta có ( ) 

2 


z là M1 ( −1; − 2 ) 

x 

Vì 3 > 0; ∀x 

∈ R nên điều kiện cần và đủ để phương trình có nghiệm là m + 1 > 0 ⇔ m > − 1 khi ấy 

nghiệm của phương trình là: x = log3 

( m + 1) 

. Khi m > 0, ta có x = log3 ( m + 1) 

> log31 = 0 nên mệnh đề 

A đúng. 


Điểm biểu diễn cho số phức z = 7 + bi là M ( 7; b ) . Rõ ràng M thuộc đường thẳng x = 7 . 


2 

Điều kiện xác định: 4x −1 ≠ 0 ⇔ 

Vậy tập xác định của hàm số 


Điều kiện: ( ; ) 

Ta có : 

y 

1 

x ≠ ± 

2 

⎧ 1 1 ⎫ 

D = ϒ \ ⎨− 

; ⎬. 

⎩ 2 2⎭ 

x y là nghiệm nguyên của hệ phương trình 

2 

5x 

− 51x+ 


Vậy x + y = 16 . 


= 1 ⇔ 

2 

⎧ 

5x 

− 51x+ 


= 

⎪ y 

⎨ 

⎪⎩ xy = 15 

⎡ 

⎡ 

3 

⎢ 

⎢ 

x = 10 ⇒ y = l 

2 

2 

⎢ ⎢ 5x 

− 51x 

+ 10 = 0 ⇔ ⎢ 

1 

x ( l 

⎢ 

⎢ ) 

⎢⎣ 

= 5 

⎢ 

⎣ y = 1⇒ x = 15 


( ) 

1 












Phương trình hoành độ giao điểm của ( H ) và trục hoành là 

Phương trình tiếp tuyến của ( H ) tại điểm ( 1;0 ) có dạng: 

x − 1 = 0 

x + 2 

⇔ 1 

x = ⇒ ( ) 

y 1 = 0 . 




= '( 1 ).( − 1) 

+ 0 ⇔ y ( x 1) 

y y x 


1 

= − . 

3 

Phương trình hoành độ giao điểm của ( ) 

Thể tích khối tròn xoay tạo bởi ( ) 


υυρ 

u = 1;1; −1 

Ta có : ( ) 

d1 

υυυρ 

và u = ( 1;2;3 ) 

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng chứa ( d ) và ( ) 

Phương trình mặt phẳng chứa ( d ) và ( ) 

d2 

( ) ( ) ( ) 

2 

H và Ox là − x + 2x 

= 0 ⇔ 

⎡x 

= 0 

⎢ 

⎣x 

= 2 

2 

2 16 

∫ π . 

15 

0 

2 

H quay quanh trục hoành là π ( 2 ) 

1 

1 

2 

2 

d có dạng : 

5 x −1 − 4 y + 2 + 1 z − 3 = 0 ⇔ 5x − 4y + z − 16 = 0 


Đặt ( 2 3 ) t, ( t 0) 

ρ 

V = − x + x dx = 

υυρ υυυρ 

⎣ d1 d2 

⎦ 

1 −1 −1 1 1 1 

d là : n = ⎡u , u ⎤ = ( ; ; ) = ( 5; −4;1) 

x 

1 

+ = > . Phương trình trở thành t + = m ⇔ t 

2 mt 1 0 

t 

x 

Phương trình ( 2 3) ( 2 3) 

⇔ 

x 

2 3 3 1 1 2 

− + = (*) 

+ + − = m có nghiệm khi và chỉ khi (*) 

có nghiệm dương 

2 

⎧∆ ≥ 0 ⎧m 

− 4 ≥ 0 

⎪ ⎪ 

⎨S > 0 ⇒ ⎨m > 0 ⇔ m ≥ 2 . 

⎪P 

0 ⎪ 

⎩ > ⎩1 > 0 


x 

x 1 x x 3 

⎡ 

− 2x x 

3 = −1(L) 

− = ⇔ − = ⇔ − − = ⇔ 

x 

⎢ 

x 

3 3 = 3(N) 

3 3 2 3 2 3 2.3 3 0 

x 

* 3 = 3 ⇔ x = 1 


⎣ 


. 




Trang 11 











( ) ( ) ( ) 

2 2 

x 25 x 25 

log 125x . log x = 1 ⇔ log 125 + 1 log x = 1 


x x 2x x 

9 3.3 2 0 3 3.3 2 0 

⎛ 1 ⎞ 1 2 

⇔ ⎜3 + 1 ⎟. .log5 

x = 1 

⎝ log5 

x ⎠ 4 

1 2 3 

⇔ log5 x + log5 

x − 1 = 0 

4 4 

⎡log5 

x = 1⇒ x = 5 

⇔ ⎢ 

⎢ 

1 

log5 

x = −4 ⇒ x = 

⎢⎣ 

125 

x 

⎡ 3 = 1⇒ x = 0 

− + = ⇔ − + = ⇔ ⎢ 

x 

⎢⎣ 3 = 2 ⇒ x = log3 

2 

ta có x1 < x 

2 

vậy 2x1 + 3x 

2 

= 3log3 

2 


Đặt w = x + yi 

z = w − i 

z = w − i 

3 = x + (y −1)i 

( ) 2 

⇒ + − = 

2 

x y 1 9 


Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số 

3 1 

Ta có : − 2 < 2m + 1 < 2 ⇔ − < m < 

2 2 


( − ) 3 

1 3i −8 

z = = = −4 − 4i 

1− i 1− 

i 

( ) 

w = z + iz = −4 − 4i + i − 4 + 4i = −8 − 8i 

w = 8 2 


2 2 2 

∫ ∫ ∫ 

Có ⎡ ( ) ⎤ ( ) 

I = ⎣4 f x − 3⎦dx = 4 f x dx − 3dx 

= 4.3 − 2.3 = 6 

0 0 0 

3 

y x 3x 

= − và đường thẳng y = 2m + 1 . 





Trang 12 












H 

A 

B 

Có ∆ SAB đều cạnh a nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, kẻ đường cao SH thì 

( ) ( ) 

SH ⊥ ABCD ⇒ SH ⊥ ACD và 

3a 

SH = . 

2 

Xét ∆ ABC có AB = BC = a, B = 90° 

suy ra BAC = 45 ° , AC = 2a 

Từ đó có CAD = 45° 

2 2 2 

Xét tam giác ACD có CD = AC + AD − 2 AC. AD.cos 

CAD 

2 2 

CD 2a 4a 2. 2 a.2. a.cos 45 2a 

⇒ = + − ° = . 

Vậy tam giác ACD cân tại C và có CAD = 45° nên ACD = 90° . 

1 1 3a 

1 3a 

Vậy VS . ACD 

= . SH. S 

ACD 

= . . . 2 a. 2a 

= 

3 3 2 2 6 

Câu 27: Đáp án C. 

Đường thẳng đi qua 2 điểm M ( 1; − 2;1) 

và ( 0;1;3 ) 

3 

C 

S 

D 

N nên có phương trình là : 

x − 1 y + 2 x −1 

x − 1 y + 2 z −1 

x −1 −y − 2 1− 

z 

= = ⇔ = = ⇔ = = . 

1− 0 −2 −1 1− 

3 1 −3 −2 

1 3 2 

Hoặc : 

Vậy chọn C 

x − 0 y −1 z − 3 

= = 

0 −1 1− −2 3 −1 

Câu 28: Đáp án A. 

( ) 

x y −1 z − 3 

⇔ = = . 

−1 3 2 





Trang 13 








Ta có 

5 1 5 

2 log 2 

x 

+ = ⇔ + = ( ) 2 

2 x 

x 

log 

x 

log2 log 

x 2 

2 

5 x 

⇔ log2 − log 

2 

+ 1 = 0 

2 

⎡ = ⎡ x = 

⎢ 

1 ⇔ ⎢ 

⎢ 

⎢⎣ 2 ⎣x 

x 

log 

2 

2 

2 2 

1 

x 

log 

2 

= ⎢ 2 

= 2 

. 




Câu 29: Đáp án A. 

1+ i z − i + 2z = 2i ⇔ z 3+ i − i − i = 2i 

Từ ( )( ) ( ) 

2 

3i 

−1 

⇔ z ( 3 + i) 

= 3i −1 

⇔ z = = i 

3 + i 

z − 2z + 1 −i − 2i 

+ 1 

Do đó có : w = = = 

2 2 3 i − 1 

z i 

3 + − 1 = 10 

2 

Có môđun là ( ) 2 


B 

K 

Do S. 

ABCD đều ,có trọng tâm G của tam giác SAC cũng là trọng tâm của SBD . 

Nên M , N lần lượt là trung điểm của SC, 

SD . 

⎧MN // DC ⇔ MN // AB 

⎪ 

Do đó ⎨ 1 

⎪MN 

= AB 

⎩ 2 

Gọi K là trung điểm của AB , O = AC ∩ BD do . 

ABCD là hình vuông nên có SKO = 60° . 

Xét tam giác SKO vuông tại O có 

A 

S 

G 

O 

M 

N 

C 

D 

S ABCD đều nên SO ( ABCD) 

a 

KO = và SKO = 60°suy ra : 

2 

⊥ . 





SO = SK.sin 60° = 

3a 

2 

Trang 14 











VS . AMN 

SA SM SN 1 1 1 

V 

. 

Có = . . = 1. . = suy ra V 

S. 

AMN 

= 

V SA SC SD 2 2 4 

4 

S. 

ACD 

V 

. 

Và 

V 

S ABM 

S. 

ABC 

S ACD 

SA SB SM 1 1 1 

V 

. 

= . . = 1. . = suy ra V 

S. 

ABM 

= 

SA SB SC 1 2 2 

2 

V V 

VS. ABMN 

= VS. ABM 

+ VS . AMN 

= + 

2 4 

S. ABC S. 

ACD 

S ABC 

1 1 1 1 1 1 3 

⇔ VS . ABMN 

= . . SO. . OB. AC + . . SO. . OD. 

AC = a 

2 3 2 4 3 2 16 


Phương trình hoành độ giao điểm 

2 

( ) 2 

2 

∫ 2 

16 

V = π x − x dx = π 

15 

0 


Gọi F là trung điểm BC. 

E là trọng tâm tam giác ABC 

4EI=DE 

Suy ra I là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện. 

Bán kính mặt cầu =IE 

2 a 3 

AE = AF = 

3 3 

1 1 2 2 6 

IE = DE = ( AD − AE ) = a 

4 4 12 

3 

4 3 a 6 

V = π r = π 

3 216 


Đặt 

t = log x + 1 ⇒ t − 1 = log x 

2 2 

3 3 

x 

2 ⎡x 

= 0 

= 2x 

⇔ ⎢ 

⎣x 

= 2 

Phương trình trở thành: t 2 + t − 2m − 2 = 0 ⇔ t 2 + t = 2m 

+ 2 


x ∈ ⎡ 

⎣ 

⎤ ⇒ t ∈ 

⎦ 

[ ] 

3 

1;3 1;2 

A 

3 

I 

E 

D 

B 

F 

C 




Ta có 

2 

f t = t + t 

( ) 

Trang 15 








Suy ra 2 ≤ f ( x) ≤ 6 ⇒ 2 ≤ 2m 

+ 2 ≤ 6 ⇔ 0 ≤ m ≤ 2 





ĐK: x >2 

3 

( x ) ( x ) 

log − 2 + log − 4 = 0 

( x ) ( x ) 

⇔ 2log − 2 + log − 4 = 0 

( x ) ( x ) 

( x ) ( x ) 

( x ) ( x ) 

( x )( x ) 

( x )( x ) 

3 

3 3 

3 3 

3 

2 2 

2 

⎡x 

− x + = 

2 

2 2 

⇔ log − 2 + log − 4 = 0 

2 2 

⇔ log − 4 − 2 = 0 

⇔ − 4 − 2 = 1 

⎡ − 4 − 2 = 1 

⇔ ⎢ 

⎢⎣ − 4 − 2 = −1 

⇔ ⎢ 

⎢⎣ x 

6 7 0 

− 6x 

+ 9 = 0 

2 

2 

Giải phương trình ta có x=3 thỏa nên số tiền để giành là 21 nghìn 


u 

là véc tơ chỉ phương của d khi u ⊥ ∆ ⇔ u. u∆ = 0 

 

Mà u ∆ = ( 2;1; −1) 

 

u = 1; −4; −2 

Vậy ( ) 

Câu 36. Đáp án A 

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, O là tâm của hình thoi ABCD 

Từ giả thiết có A’ABC là hình chóp tam giác đều, nên có 

a 3 

AB = BC = AC = a , khi đó BO = ; BD = a 3 

2 

Và A' G ⊥ ( ABC ) , khi đó góc giữa A’D và mp (ABCD) 

là góc giữa A’D và GD 

Xét tam giác vuông A’GD, có 

2 

2a 

3 a 3 

⇒ V = .2. = a 

3 4 


3 

2a 

3 

DG = = A' 

G 

3 





Gọi 

2xo 

+ 3 

M ( xo; ) ∈( C) 

x −1 

o 

Trang 16 











Tiệm cận đứng của đồ thị (C) là ∆ : − 1 = 0 

1 

Tiệm cận ngang của đồ thị (C) là ∆ : − 2 = 0 

2 

⇒ d . d = 5 

1 2 


Cửa nhà hình parabol có pt là 

Diện tích cần thuê là 

3 

2 

⎛ 

2 

2 ⎞ 

2. 

S 9 9 9 

= ∫⎜ 

− x + ⎟ = = 

⎝ 4 dx 

⎠ 4 2 

0 

y = − x + 

4 

⇒ d = d( M , ∆ ) = x −1 

x 1 1 

d 

y 2 2 

2 9 

Vậy số tiền bác Năm phải trả là 9 .1500000 = 6750000 

2 


2 

+) có n = f (1) = 

5 

+) các đường tiệm cận của đồ thị hàm số là 

6 

Vậy m. 

n = 

5 


Vì SA ⊥ ( ABC) 

⇒ SA ⊥ BC 

Lại có 

BC ⊥ AB 

⇒ BC ⊥ ( SAB ) 

o 

2xo 

+ 3 5 

= d( M , ∆ ) = − 2 = 

x −1 x −1 

3 3 1 

x = − ; y = ; y = - ⇒ m = 3 

2 2 2 

Vậy góc giữa (SBC) và (ABC) là góc giữa AB và SB và là góc 

SBA 

Xét tam giác SAB, có SA 

tan SBA = = 3 ⇒ SBA = 60 

AB 


2 

⎛ 1 a ⎞ ⎛ 2b a ⎞ ab 

Ta có: y = ⎜ x + ⎟. y’ + ⎜ − ⎟ x + c − 

⎝ 3 9 ⎠ ⎝ 3 9 ⎠ 9 

o 


o 

nên đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị A, B là: 

o 

3m 

2.25m 




Trang 17 











2 

⎛ 2b a ⎞ ab 

y = ⎜ − ⎟ x + c − . Do đường thẳng này đi qua O(0;0) nên: 

⎝ 3 9 ⎠ 9 

ab 

2 ⎛ 5 ⎞ 25 25 

c − = 0 ⇔ ab = 9c ⇒ P = 9c + 10c = ⎜3c 

+ ⎟ − ≥ − 

9 ⎝ 3 ⎠ 9 9 


Điều kiện tương đương với: ( ) 

-1± i 3 -1± 

i 3 

w = z ⇒ w = . z = 2017 

2 2 


2 2 

• Với 0 < x + 2y 

< 1 ta có 

• Với 

x 

+ 2y 

> 1 ta có 

2 2 

2 

2 2 2 ⎛ w ⎞ w w -1± 

i 3 

w+z = wz ⇔ w + wz + z = 0 ⇔ ⎜ ⎟ + + 1 = 0 ⇔ = 

⎝ z ⎠ z z 2 

2 2 

⇔ 2x + ≤ + 2 < 1 . Suy ra MaxT = 2x + y < 1 

Bpt y x y 

2 2 

⇔ 2x + ≥ + 2 > 1 . Mà ta có : 

Bpt y x y 

1 9 

+ 2 ≤ 2x + ≤ ⎜ 4 + ⎟ + 2 ⇒ + 2 − + 2 ≤ 0 

⎝ 2 ⎠ 

2 

9 81 9 9 

2 ax 

2 4 2 2 

2 2 

( ) 2 ( ) 2 ⎛ ⎞ 2 2 2 2 

( ) ( ) 2 2 2 

x y y x y x y ( x y ) 

2 2 2 

⇒ x + y ≤ ⇒ T ≤ ⇒ T ≤ ⇒ M T = 


2 2 

2 

2 2500 − r 1 2 1 2 2 2 1 2 ⎛ 2500 − r ⎞ 2 

Stp 

= π rl + π r = 2500π ⇒ l = ⇒ V = π r h = πr l − r = πr ⎜ ⎟ − r 

r 3 3 3 ⎝ r ⎠ 

50 

2 4 

= π 2500r 

− 2r 

3 

Xét hàm số f(r) = 2500r 2 2r 4 , r ( 0; 

50) 


− ∈ ta có maxf(r) đạt được trên khoảng (0 ; 50) khi r =25cm 

⎧x = 2 ⎧x = 2 + t' 

⎪ 

⎪ 

Ta có các PT đt AB : ⎨ y = t ; ∆ : ⎨ y = − 1+ 

2t' 

. 

⎪z 3 3t ⎪ 

⎩ = + ⎩z = 3t' 

⎧2 = 2 + t' 

⎪ ⎧t 

= −1 

Giả sử I là giao điểm của AB và ∆, ta có hpt: ⎨t = − 1 + 2t' ⇔ ⎨ ⇒ I( 2; − 1; 0 ) . 

⎪ t' = 0 

3 + 3t 

= 3t' 

⎩ 

⎩ 

 

⎧ ⎪IA = ( 0; 1; 3 ) 

Vậy AB và ∆ đồng phẳng, Mà: ⎨ 

⇒ IB = −IA 

. Nên I là trung điểm của AB. 

⎪⎩ IB = ( 0; −1; −3 

) 


Suy ra IA + IB = AB. Khi đó: 

2 




Trang 18 








2 

4 4 1 2 2 

2 1 1 2 1 4 1 

4 

⎛ 

⎞ 

( ) ( ) ( ) 

MA + MB ≥ MA + MB ≥ ⎜ MA + MB ⎟ ≥ AB ≥ IA + IB 

2 2 ⎝ 2 ⎠ 8 8 

nhất khi M ≡ I( 2; − 1; 0 ) 

. Suy ra 

MA 

+ MB nhỏ 

4 4 





⎧ x = log2 

t 

x y − z ⎪ 

Đặt 2 = 3 = 6 = t ⇒ ⎨y 

= log3 

t 

⎪ z = log 

1 

t 

⎪ 

⎩ 6 

Chọn t = 5 bấm máy tính tìm x, y,z rồi thay vào biểu thức M = xy + yz + xz 

Ta được kết quả M = xy + yz + xz = 0 


Giả sử z = x + yi, x, 

y ∈R 

2 2 2 2 

Ta có: x + yi − 2 − 2i 

= 2 ( 1) 

( x ) ( y ) ( x ) ( y ) 

⇔ − 2 + − 2 = 2 ⇔ − 2 + − 2 = 4 

Tập hợp các số phức z thỏa mãn (1) nằm trên đường tròn( ) 

C tâm ( ) 

I 2;2 , R = 2 

2 2 2 2 

Mặt khác: P = z −1− i + z − 5 − 2i = ( x − 1) + ( y − 1) + ( x − 5) + ( y − 2) 

Giả sử M ( x; y) ∈ ( C) , A( 1;1 ), B( 5;2) 

Khi đó: P = MA + MB 

Để P đạt giá trị nhỏ nhất thì ( MA MB) 

M ( x; 

y) ∈( C) 

để( MA MB) 

Mà: IA 2, IB 3 

+ nhỏ nhất hay bài toán trở thành tìm 

+ đạt giá trị nhỏ nhất. 

= = nên A ( C) , B ( C) 

A, 

B .Khi đó P = MA + MB = AB = 17 

∈ ∉ nên ( MA + MB)min ⇔ M , A, 

B thẳng hàng và M nằm giữa 


 

⎧ ⎪AB 

= DC 

Ta có : AB ( 5;0;0 ), DC ( 5;0;0 ), AD ( 0;5;0 ) ⇒ ⎨ nên ABCD là hình vuông. 

⎪⎩ AB. AD = 0 

 

⎧ ⎪MP 

= QN 

Ta có : MP ( 5;0;0 ), QN ( 5;0;0 ), PN ( 0;5;0) 

⇒ ⎨ nên MPNQ là hình vuông. 

⎪⎩ MP. PN = 0 

 

 

⎪⎧ AP. AD = 0 

Mà AP ( 5;0;5) 

nên⇒ ⎨ nên 8 đỉnh đó là hình lập phương nên có 9 mặt phẳng đối xứng. 

⎪⎩ AP. AB = 0 





Trang 19 












Tập xác định D = R \{ 3} 

. Tiệm cận đứng x = 3 

⎛ 8 ⎞ ⎛ 8 ⎞ 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ 

3x 

−1 

y = 

x − 3 

Giả sử M 3 − a;3 − , N 3 + b;3 + , ( a > 0, b > 0) 

Ta có 

2 

2 

2 ⎛ 8 8 ⎞ 

2 

MN a b a b 

( ) ( ) 

( a + b) 

= + + ⎜ + ⎟ = + + 64. 

2 2 

⎝ b a ⎠ 

a b 

2 ⎛ 64 ⎞ ⎛ 64 ⎞ 256 

= ( a + b) 

⎜1+ 4ab 1 4ab 

2 4.256 64 

2 2 ⎟ ≥ ⎜ + 

2 2 ⎟ = + ≥ = 

⎝ a b ⎠ ⎝ a b ⎠ ab 

⇒ MN ≥ 64 = 8 


Điều kiện : x + y − 1 > 0 

Ta có : 

2 

là hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thi hàm số 

2 2 

2 2 

( ) ⎧ x + y − 4x − 4y 

+ 6 ≤ 0 ⎧( ) ( ) ( 1) 

⇔ 

⇔ 

( ) ( ) ( ) ( I ) 

2 2 2 2 

2 2 2 0 ⎪x + y + 2x − 2y + 2 − m = 0 1 1 

log 2 2 4 4 4 1 2 2 2 

+ + 2 

⎪⎧ x + y − ≥ x − + y − ≤ C 

x y ⎪ ⎪ 

⎨ ⎨ ⎨ 

⎪⎩ 

⎩ ⎪⎩ 

: m < 0 phương trình( C ) vô nghiệm 

2 2 

x + y + x − y + − m = x + + y − = m C2 

TH 2 : m = 0 thì hệ (I) vô nghiệm 

TH 3 : 0 

m > thì ( C ) 

2 

2 

là pt đường tròn 

( ) ( ) ( ) ( ) 

C : I 2;2 , R = 2, C : I − 1;1 , R = m 

1 1 1 2 2 2 

Để có duy nhất cặp ( ; ) 

x y thỏa mãn (I) thì hai phương trình đường tròn trên phải tiếp xúc nhau hay 

( ) 

( ) 

⎡ 

I1I 2 

= R1 + R2 

⇔ 10 = 2 + m ⇔ m = 10 − 2 

⎢ 

⎢ 

⎢I1I 2 

= R2 − R1 

⇔ 10 = m − 2 ⇔ m = 10 + 2 

⎣ 

Vì hình tròn ( ) 

C luôn nằm trong miền nghiệm của bất phương x y 1 0 

hai giá trị m thỏa mãn yêu cầu. 

1 

2 

2 

----- HẾT ----- 

+ − > . Với mọi ( x; y) 

∈( C ) 

1 

TH 1 

nên có 





Trang 20 











Lớp 

12 

(48 

%) 

Lớp 

11 

(52 

%) 


MÔN TOÁN 

STT 


1 Hàm số và các bài 

toán liên quan 


THPT KIM SƠN A- NINH BÌNH- LẦN 1 





Nhận 

biết 

Thông 

hiểu 

Vận 

dụng 

Vận 

dụng cao 

Tổng số câu hỏi 

1 4 6 2 13 




4 Số phức 

5 Thể tích khối đa diện 2 4 2 8 

6 Khối tròn xoay 1 4 2 7 



1 Hàm số lượng giác 

và phương trình 

lượng giác 

1 2 1 4 

2 Tổ hợp-Xác suất 2 2 4 

3 Dãy số. Cấp số 

cộng. Cấp số nhân 


5 Đạo hàm 

6 Phép dời hình và 

phép đồng dạng 

trong mặt phẳng 

1 1 


1 1 




Trang 1 












phẳng trong không 

gian Quan hệ song 

song 

8 Vectơ trong không 

gian Quan hệ vuông 

góc trong không 

gian 

1 1 2 

1 1 

Tổng Số câu 3 16 22 9 50 

Tỷ lệ% 6 32 44 18 100 





Trang 2 












MÔN TOÁN 





Câu 1: Một hình nón có bán kính hình tròn đáy là R và chiều cao bằng 2R. Diện tích xung quanh của 

hình nón bằng 

A. π R 2 ( 1+ 

5) 

B. π 2 ( 1+ 

3) 

2 

R C. π R 3 

D. π R 

Câu 2: Một hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông cạnh 2a. Thể tích khối trụ tương ứng bằng 

3 

3 

8π a 

A. 2π a B. π a C. 

3 


ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau, bằng a. Góc giữa hai đường thẳng 

SD và BC bằng 

A. 45° B. 90° C. 30° D. 60° 

x x 

Câu 4: Tổng lập phương các nghiệm của phương trình 2 + 2.3 − 6 = 2 bằng 

A. 2 2 B. 1 C. 7 D. 25 

Câu 5: Nghiệm của phương trình 2sin x − 2 = 0 được biểu diễn trên đường tròn lượng giác ở hình bên 

là những điểm nào? 

A. Điểm C, điểm E 

B. Điểm F, điểm E 

C. Điểm C, điểm D 

D. Điểm C, điểm F 


Câu 6: Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn 

phương án A, B, C, D dưới đây. 

x 

3 

D. 

2 

2π a 

3 

3 

5 




Trang 3 











Hỏi hàm số đó là hàm số nào? 

A. y = log ( x + 1) 

B. y = log3 

x + 1 

C. y = log ( x + 1) 

3 

2 

D. y = log2 

x 

Câu 7: Hình hộp chữ nhật với ba kích thước phân biệt có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? 

A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 

Câu 8: Cho tứ diện đều ABCD , gọi M là trung điểm của AB. Mặt phẳng ( ) 

và BD. Thiết diện của tứ diện ABCD với mặt phẳng ( P ) là 

A. Hình chữ nhật không vuông B. Hình vuông 

C. Hình tam giác D. Hình ngũ giác 

Câu 9: Tịnh tiến đồ thị hàm số 

P qua M, song song với AC 

π 

y = sin x sang bên trái đơn vị được đồ thị hàm số nào dưới đây? 

2 

A. Đồ thị hàm số y = cot x B. Đồ thị hàm số y = cos x 

C. Đồ thị hàm số y = sin x D. Đồ thị hàm số y = tan x 

Câu 10: Đặt a = ln 3, b = ln 5 Tính 

3 4 5 124 

I = ln + ln + ln + ... + ln theo a và b. 

4 5 6 125 

A. I = a + 3b B. I = a − 2b C. I = a + 2b D. I = a − 3b 

Câu 11: Cho y = f ( x ) và = ( ) 

A. Hàm số = ( ) + ( ) 

y f x là hai hàm số liên tục tại điểm x 

0 

Mệnh đề nào dưới đây sai? 

y f x g x liên tục tại điểm x 

0 

y f x g x liên tục tại điểm x 

0 

B. Hàm số = ( ). 

( ) 


C. Hàm số 

( ) 

( ) 

y = f x 

g x 

liên tục tại điểm x 

0 




Trang 4 











D. Hàm số y = f ( x) − g ( x ) liên tục tại điểm x 

0 

Câu 12: Các hàm số dưới đây, hàm số nào đồng biến trên ( −∞ ; +∞ ) ? 

A. y = x B. y = − 2x + 1 C. 

2 

y = x D. 

Câu 13: Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào nghịch biến trên ( x ) 

A. 

x 

y B. ( ) 

⎛ 2 ⎞ 

= ⎜ ⎟ 

⎝ π ⎠ 


y = π x 

C. 

x 

⎛ π ⎞ 

y = ⎜ ⎟ D. 

⎝ 2 ⎠ 

2x 

− 5 

= = . Mệnh đề nào sau đây đúng? 

x − 2 

A. Hàm số u = f ( x) 

nghịch biến trên ( −∞;2) ∪ ( 2; +∞ ) 

B. Hàm số u = f ( x) 

nghịch biến trên ( −∞;2) 

và ( 2;+∞ ) 

C. Hàm số u = f ( x) 

đồng biến trên ( −∞;2) ∪ ( 2; +∞ ) 

D. Hàm số u = f ( x) 

đồng biến trên ( −∞;2) 

và ( 2;+∞ ) 

n 

3 

y = x +1 

⎛ π ⎞ 

y = ⎜ ⎟ 

⎝ 3 ⎠ 


ABCD có cạnh SA vuông góc với đáy, đáy là hình vuông cạnh bằng 2 tam 

giác SAC vuông cân tại A. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng 

A. 8 2 

3 

B. 2 2 C. 4 2 D. 8 2 

2 

Câu 16: Tìm tập xác định D của hàm số ( ) 2 − 1 

y = x + x 

A. D = ( − 1; +∞) \{ 0} 

B. D = ( −∞ ; +∞) 

C. D = ( −∞; −1) ∪ ( 0; +∞) 

D. D = ( −1;0 ) 


xác định và liên tục trên đoạn [ − 1;2 ], có đồ thị của hàm số y = f '( x ) 

như hình sau. 


Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x ) trên đoạn [ − 1;2 ] 

. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 

x 




Trang 5 








A. 

⎛ 1 ⎞ 

= ⎜ ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

M f B. M = max{ f ( −1 ); f ( 1 ); f ( 2) 

} 




C. = ( 0) 

M f D. 

⎛ 3 ⎞ 

M = f ⎜ ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

Câu 18: Gọi M, N là các giao điểm của đường thẳng y = x − 4 với đồ thị của hàm số 

tọa độ trung điểm I của MN? 

A. I ( 2; −2) 

B. I ( 1; −3) 

C. I ( 3; −1) 

D. I ( −2;2) 

− 2x 

+ 5 

y = . Tìm 

x − 2 

2 

Câu 19: Lăng trụ tứ giác đều có độ dài tất cả các cạnh bằng nhau và có diện tích toàn phần bằng 6a . 

Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng 

3 

A. 8a B. 

3 

a 

3 

Câu 20: Biết log 

2 

x = a , tính theo a giá trị biểu thức 

C. 

8a 

3 

3 

P = log 4x 

A. P = 2 + a B. P = 4 + 2a C. P = 4 + a D. P = 2 + 2a 

Câu 21: Hình dưới đây là đồ thị của hàm số = '( ) 

Hỏi hàm số = ( ) 

y f x có bao nhiêu điểm cực trị? 

A. 0 B. 1 

C. 3 D. 2 

Câu 22: Cho hai hàm số = ( ), 

= ( ) 

y f x . 

2 

y f x y g x , có đạo hàm trên khoảng K. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 

2 

A. ⎡ f ( x) + g ( x) ⎤ ' = f '( x) + g '( x ) B. ⎡( g ( x) 

) ⎤ ' = 2 g '( x ) 

C. 

⎣ 

( ) 

( ) 

' 

⎦ 

( ) 

( ) 

⎡ f x ⎤ f ' x 

⎢ ⎥ = 

⎣ g x ⎦ g ' x 

⎣ 


⎦ 

2 

D. 

D. ⎡ f ( x) . g ( x) ⎤ ' = f '( x) . g '( x ) 

⎣ 

⎦ 

a 

3 




Trang 6 











Câu 23: Số cách chọn 3 học sinh trong 6 học sinh và xếp thành một hàng dọc bằng 

A. 720 B. 120 C. 20 D. 40 

Câu 24: Cho một hình lập phương có bán kính mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp và mặt cầu tiếp xúc 

với tất cả các cạnh của hình lập phương lần lượt là R1 , R2 , R 

3 

. Mệnh đề nào sau đây đúng? 

A. 

1 

> 

3 

> 

2 

R R R B. R1 > R2 > R 

3 

C. R3 > R1 > R 

2 

D. R2 > R1 > R 

3 

Câu 25: Các mệnh đề dưới đây mệnh đề nào sai, trong không gian 

A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song hoặc cắt nhau. 

B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song hoặc cắt nhau. 

C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song hoặc cắt nhau. 

D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song hoặc cắt nhau. 

Câu 26: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm ( −2;1) 

phép quay tâm O góc 90° 

M . Xác định tọa độ điểm M ' là ảnh của M qua 

A. M '( 1;2 ) B. M '( 1; −2) 

C. M '( −1; −2) 

D. M '( −1;2 

) 

Câu 27: Số hạng chứa 

2 

x trong khai triển 

⎛ 1 ⎞ 

⎜ x + ⎟ 

⎝ x ⎠ 

5 2 

3 

8 

A. C x B. C C. C D. C x 

12 

Câu 28: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 

và một tiệm cận ngang? 

12 

12 

là 

12 

y = 

2 

x − x − m 

x 

2 

− 4 

5 3 

12 

A. ∀m ∈ R \{ 2;6} 

B. ∀m ∈ R \{ −2;2} 

C. m ∈ R \{ −2;2} 

D. m ∈ R \{ 2;6} 

Câu 29: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên R và có đồ thị f '( ) 

Biết f ( a) . f ( b ) < 0 hỏi đồ thị hàm số = ( ) 

x như hình vẽ bên. 

y f x cắt trục hoành tại ít nhất bao nhiêu điểm? 

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 

có đúng một tiệm cận đứng 





Trang 7 








Câu 30: Một con đường được xây dựng giữa hai thành phố A và B, hai thành phố này bị ngăn cách một 

con sông có chiều rộng r. Người ta cần xây một cây cầu bắt qua sông, biết rằng hai thành phố A và B lần 

lượt cách con sông một khoảng bằng = BD = b a ≤ b , như hình vẽ bên. 

AC a và ( ) 




Hãy xác định vị trí xây cầu để tổng khoảng cách giữa các thành phố là nhỏ nhất? 

A. Cách C là 

ap 

a + b 

B. Cách D là 

p 

a + b 

C. Cách C là 

a 

a + b 

D. Cách C là 

ap 

2 + 

( a b) 

Câu 31: Cho tứ diện ABCD có AB = 2; CD = 4 và các cạnh còn lại cùng bằng 6. Tính diện tích mặt cầu 

ngoại tiếp tứ diện S. 

ABCD 

A. 1156 π 

31 

B. 1156 π 

93 

C. 47π D. 1280 π 

93 

Câu 32: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BD. Gọi 

PB 2018 

P là điểm trên cạnh AB sao cho = . Tính thể tích V của khối tứ diện PMNC 

PA 2017 

A. 27. 2 

12 

B. 9.2018. 2 

16.2017 

Câu 33: Tổng các nghiệm của phương trình 

A. π B. 6 

π 

Câu 34: Cho mặt cầu ( ) 

S có tâm I , bán kính = 5 

C. 9. 2 

16 

1 1 3 

+ = 

cos x sin x.cos x sin 2x là 

C. 5 π 

6 

D. 9.2017. 2 

16.2018 

D. 2 π 

3 

R . Một đường thẳng d cắt ( ) 

S tại hai điểm M, N phân 

biệt nhưng không đi qua I. Đặt MN = 2m Với giá trị nào của m thì diện tích tam giác IMN lớn nhất? 

A. 

5 

m = 

B. 

2 

5 2 

m = ± 

C. 

2 

5 2 

m = 

D. 

2 


Câu 35: Cho khối nón đỉnh S, trục SI (I là tâm của đáy). Mặt phẳng trung trực của SI chứa khối chóp 

V1 

thành hai phần. Gọi V 

1 

là thể tích cảu phần chứa S và V 

2 

là thể tích của phần còn lại. Tính 

V ? 

m = 


2 

2 




Trang 8 








V1 

A. 

V 

2 

1 

= 

4 

V1 

B. 

V 

2 

1 

= 

8 

V1 

C. 

V 

2 

1 

= 

7 

V1 

D. 

V 

2 

1 

= 

2 




x + 1 

= = 

x − 1 


có đồ thị ( C ). Giả sử A, B là hai điểm nằm trên ( C ) đồng thời 

đối xứng nhau qua điểm I là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị ( ) 

Tìm diện tích nhỏ nhất S 

min 

của hình vuông đó. 

A. S 

min 

= 8 2 B. S 

min 

= 4 2 C. S 

min 

= 4 

D. S 

min 

= 8 

C . Dựng hình vuông AEBD . 

3 3 

x 3 x x 

Câu 37: Tính tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình ( 4 − 16) + ( 16 − 4) = ( 16 + 4 − 20) 

A. 3 B. 5 2 

Câu 38: Cho cấp số cộng ( ) 

C. 4 D. 9 2 

2 2 2 

un 

có công sai d = −3 

và u2 + u3 + u 

4 

đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng S 


của 

100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó. 

A. S 


= −14400. 

B. S 


= −14250. 

C. S 


= −15480. 

D. S 


= −14650. 

Câu 39: Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn ( O ) và ( ') 

mặt phẳng ( P ) đi qua trung điểm của ( OO ') 

và tạo với ' 

cung . Tính độ dài day cung đó theo R 

A. 4 R 3 

3 

B. 2 R 6 

3 

Câu 40: Từ tập = { 1;2;3;4;5;6;7;8;9 } 

chữ số phân biệt 

C. 2 R 

3 

O , chiều cao bằng 2R và bán kính đáy R. 

OO một góc 30° cắt đường tròn dáy theo dây 

D. 2 R 3 

3 

A có thể lập được tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 3 và ba 


A. 45 B. 99 C. 150 D. 180 




Trang 9 











Câu 41: Đội dự tuyển học sinh giỏi Toán của tỉnh A có n học sinh n = 9 trong đó có 2 học sinh nữ, thma 

gia kì thi để chọn đội tuyển chính thức gồm 4 người. Biết xác suất trong đội tuyển chính thức cả 2 học 

sinh nữ gấp 2 lần xác suất trong đội tuyển chính thức không có học sinh nữ nào. Tìm n? 

A. n = 9 

B. n = 7 

C. n = 5 

D. n = 11 

Câu 42: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số 

bằng 1 

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 

cos x + m.sin x + 1 

y = 

có giá trị lớn nhất 

cos x + 2 

Câu 43: Ba anh em Tháng, Mười, Hai cùng vay tiền ở một ngân hàng với lãi xuất 0,7%/tháng với tổng 

số tiền vay là 1 tỉ đồng. Giả sử mỗi tháng ba người đều trả cho ngân hàng một số tiền như nhau để trừ vào 

tiền góc và lãi. Để trả hết gốc và lãi cho ngân hàng thì Tháng cần 10 tháng. Mười cần 15 tháng và Hai 

cần 25 tháng. Hỏi tổng số tiền mà ba an hem trả ở tháng thứ nhất cho ngân hàng là bao nhiêu ( làm tròn 

đến hàng đơn vị)? 

A. 46712413 đồng B. 63271317 đồng C. 64268185 đồng D. 45672181 đồng 

Câu 44: Cho hai số thực a, 

b thỏa mãn điều kiện 3a − 4 > b > 0 và biểu thức 

3 

⎛ a ⎞ 3 ⎛ ⎞ 

P = loga 

⎜ ⎟ + ⎜log 

3a 

a ⎟ 

⎝ 4b 

⎠ 16 ⎝ 4+ 

b ⎠ 

A. S = 8 

B. 

2 

có giá trị nhỏ nhất. Tính tổng S = 3a + b 

13 

S = 

C. 

2 

25 

S = 

D. S = 14 

2 

Câu 45: Cho khối đa diện đều n mặt có thể tích V và diện tích mỗi mặt của nó bằng S. Khi đó tổng các 

khoảng cách từ một điểm bất kì bên trong khối đa diện đó đến các mặt của nó bằng 

A. 

V 

n. 

S 

V 

B. 3 S 

C. 3V S 

Câu 46: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng ( 9;12) 

− +∞ ? 

đồng biến trên khoảng ( 6; ) 

D. nV S 

A. 14 B. 16 C. 7 D. 6 

− sao cho hàm số 

mx + 9 

y = 

x + m 


ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, góc ABC bằng 60° . Cạnh bên SA 

ABCD bằng 45°. Biết khoảng 

vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABCD ) , góc giữa SO và mặt phẳng ( ) 

cách từ điểm A đến ( ) 

SCD bằng 

a 6 

. Tính độ dài AB. 

4 

A. AB = 2a B. AB = a 2 C. 

a 30 

AB = D. AB = a 

4 


Câu 48: Cho hình chóp tứ diện đều S. 

ABCD có canh đáy a, cạnh bên hợp với đáy một góc 60° . Gọi M 

là điểm đối xứng với C qua D, N là trung điểm của SC, mặt phẳng ( BMN ) chia khối chóp S. 

ABCD 

thành 2 phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó. 












A. 7 5 

B. 7 3 

C. 1 7 

D. 1 5 




Câu 49: Cho lăng trụ tam giác ABC. A' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh AB = 2a 2 . Biết 

AC ' = 8a và tạo với mặt phẳng đáy một góc 45°. Tính thể tích V của khối đa diện ABCC ' B ' 

A. 

3 

8 3 

a 

3 

3 

16a 

3 

B. 

3 

3 

16a 

6 

C. 

3 

D. 

3 

8 6 

Câu 50: Trên đường thẳng y = 2x + 1 có bao nhiêu điểm mà từ đó kẻ được đúng một tiếp tuyến đến đồ 

thị của hàm số 

= x + 3 

y 

x − 1 

A. 2 B. 4 C. 1 D. 3 

--- HẾT --- 


a 

3 




Trang 11 












MÔN TOÁN 






1-D 2-A 3-D 4-B 5-C 6-A 7-C 8-B 9-B 10-D 

11-C 12-D 13-A 14-D 15-A 16-C 17-B 18-A 19-D 20-D 

21-D 22-A 23-B 24-A 25-D 26-C 27-A 28-D 29-A 30-A 

31-C 32-C 33-A 34-C 35-C 36-D 37-B 38-B 39-D 40-D 

41-B 42-B 43-C 44-A 45-C 46-D 47-C 48-A 49-C 50-A 





Trang 12 












MÔN TOÁN 


l = R + h = R + 2R = R 5 . 

2 2 2 

Hình nón có ( ) 2 

Vậy 

S π Rl π R 

5 

2 

xq 

= = . 







2 2 3 

Hình trụ có bán kính đáy bằng a và chiều cao là 2a . Vậy V = π R h = π. a .2a = 2π 

a . 


D 

SD, BC = SA, AD = 60 . 

Ta có ( ) ( ) 

0 


x x x x x x x x 

PT ( ) ( ) ( )( ) 

A 

⇔ 2 − 6 + 2.3 − 2 = 0 ⇔ 2 1− 3 − 2 1− 3 = 0 ⇔ 2 − 2 1− 3 = 0 ⇔ x = 1∨ x = 0. 

Vậy tổng lập phương các nghiệm của PT trên bằng 1. 

l 

S 

h 


C 

B 




Trang 13 












2 π 

3π 

Ta có 2sin x − 2 = 0 ⇔ sin x = ⇔ x = + k2π 

∨ x = + k2 π. 

2 4 4 

Vậy nghiệm được biểu diễn bởi các điểm C, 

D . 


Dễ thấy x = 0 ⇒ y = 0 và x = 2 ⇒ y = 1 nên chọn A. 


Hình hộp ABCD. 

A′ B′ C′ D′ có 3 mặt phẳng đối xứng, là các mặt phẳng trung trực của các cạnh 

AB, AD, AA′ . 


B 

Q 

M 

Gọi N, P, 

Q lần lượt là trung điểm của AD, CD, 

BC . 

Ta có BD ( AHC ) 

C 

⊥ nên BD ⊥ AC . Do đó MN ⊥ NP . Mà MNPQ là hình bình hành. 

Thiết diện là hình vuông MNPQ . 

Câu 9: Đáp án B. 

Câu 10: Đáp án D 

Ta có I = ln 3 − ln 4 + ln 4 − ln 5 + ln 5 − ln 6 + ... + ln124 − ln125 = ln 3− 3ln 5 = a − 3b 

. 

Câu 11: Chọn C. 


′ = > ∀ ∈ −∞ +∞ . 

Ta có y 3x 2 0 x ( ; ) 


A 

H 


P 

N 

D 




Trang 14 








Ta có 

x 

2 2 

y′ ⎛ ⎞ 

= ⎜ ⎟ ln < 0 

⎝ π ⎠ π 

với mọi x ∈ R . 





Ta có 

( x − ) − ( x − ) 

( x − 2) ( x − 2) 

2 2 2 5 1 

y′ = = > 0 ∀x 

≠ 2 . 


Ta có 

2 2 

D 

S 

A 

1 8 2 

SA = AC = 2 2 ⇒ V = .4.2 2 = . 

3 3 


+ > ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞ . 

ĐK x 2 x 0 x ( ; 1) ( 0; ) 


f ( x ) đạt giá trị lớn nhất tại f ( − 1 ); f ( 2) 

hoặc f ( x ) mà ( ) 0 


− 2x 

+ 5 

x − 2 

i 

C 

f ′ x i 

= . 

Hoành độ giao điểm là nghiệm của PT x − 4 = ⇔ x 2 − 6x + 8 = − 2x + 5 ( x ≠ 2) 

2 

⇔ − 4 − 13 = 0 . Vậy trung điểm I của MN có hoành độ 2 2 

x 

x 


Lăng trụ đó chính là hình lập phương. Ta có 

3 

Vậy V = a . 


S 

B 

x = ⇒ y = − . 

2 

tp 

= 6a 

⇒ cạnh hình lập phương là a. 





Trang 15 








Ta có 

P = log 4x = log 4 + log x = 2 + 2log x = 2 + 2a 

. 

2 2 

2 2 2 2 





f 

′( x) = 0 có 2 nghiệm. Vậy hàm số y f ( x) 



3 

+) B1: Chọn 3 HS trong 6 HS có C 

6 

= 20 (cách) 

+) B2: Xếp 3 HS thành 1 hàng dọc có 3! = 6 (cách) 

Vậy có 120 cách. 


A 

= có 2 điểm cực trị. 

Ta có R1 = IA, R2 = IO, R3 

= IK. 

Mà IA > IK > IO nên R1 > R3 > R2 

. 


K 

Trong KG, 2 đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với 1 đường thẳng có thể cắt nhau hoặc chéo nhau 

hoặc song song. 


O 

I 





Trang 16 












12 12 12 

k 12 k k 12−2k 

⎛ 1 ⎞ 1 k 

− ⎛ ⎞ 

Ta có ⎜ x + ⎟ = C12 x ⎜ ⎟ = C12 

x 

⎝ x ⎠ k = 0 ⎝ x ⎠ k = 0 

Số hạng chứa 

2 

x là 


∑ ∑ . Xét 12 2k 

2 k 5 

C x . 

5 2 

12 

Dễ thấy hàm số có 1 TCN y = 1. 

Để hàm số có 1 TCĐ thì PT 

Vậy { 2;6} 

m∈ . 



2 

x x m 

− = ⇔ = . 

− − = 0 phải có 1 nghiệm x = 2 hoặc x = − 2. 

Giả sử vị trí cây cầu cách C 1 đoạn là x . Ta có tổng khoảng cách giữa các thành phố là 

( ) 2 

2 2 2 

d AF FE EB a x r b p x 

= + + = + + + + − . 

a = b ⇔ ap − ax = bx ⇔ ap = a + b x ⇔ x = 

ap 

x p − x a + b 

. 

Do đó d nhỏ nhât khi ( ) 

Câu 31: Đán án C 





Trang 17 








A 




B 

E 

Gọi G là trung điểm của EF thì G chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. 

2 2 2 2 2 2 

2 CB + CA AB 6 + 6 2 

Ta có CE = − = − = 35 , 

2 4 2 4 

31 31 47 

GF R GC GF CF 4 

2 4 2 

2 2 

⇒ = ⇒ = = + = + = . 

Vậy diện tích mặt cầu cần tính là 


C 

G 

F 

2 47 

S = 4π R = 4 π. = 47π 

. 

4 

D 

2 2 2 2 

EF = CE − CF = 35 − 2 = 31. 





Trang 18 








A 




B 

P 

C 

Gọi H là trọng tâm ∆ BCD thì AH ⊥ ( BCD) 

. 

Ta có 

Do đó V 

N 

H 

2 3 3 

BH = = ⇒ AH = AB − BH = − = 

3 2 

ABCD 

Trang 19 

M 

2 2 

. 3 9 3 6 

2 

1 1 3 3 9 2 

. AH. SBCD 

. 6. 

= = = . 

3 3 4 4 

1 

d ( C, ( ABD) 

). 

S 

V 

MNP 

C. 

MNP 

1 2017 1 1 2018 1 

Lại có 3 SMNP SABD − SSPM − SDMN − SBPN 

= = = = 1 − . − − . = 

V 1 

C. 

ABD d 

2 4035 4 2 4035 4 

( C, ( ABD) 

). 

S 

S 

ABD 

S 

ABD 

ABD 

3 

1 9 2 9 2 

Vậy V 

C. 

MNP 

= . = . 

4 4 16 


ĐK sin 2x ≠ 0 . Ta có 


⎡ π 

2 

1 ⎢ 

x = + k π 

3 

PT ⇔ 2sin x + 2 = 3 ⇔ sin x = ⇔ ⎢ . 

2 ⎢ 2π 

x = + k2π 

⎢⎣ 3 

1 

Ta có 1 2 

S . . .sin .5 .sin 

IMN 

= IM IN MIN = MIN . 

2 2 


Vậy 

IMN 

S lớn nhất 0 2 2 2 5 2 

⇔ sin MIN = 1 ⇔ MIN = 90 ⇔ MN = IM + IN ⇔ m = 

2 


D 














V 

Ta có 

V 

1 2 

π . SI′ . I′ 

M 

1 3 

1 V1 

1 

1 2 8 V2 

7 

= == ⇒ = . 

π. SI. 

IA 

3 


1 1 

S AB. 

DE AB 

2 2 

đường tiệm cận. Phương trình AB : y = x . Hoành độ A, 

B là nghiệm của phương trình 

2 

= = . Do đó hình vuông có diện tích nhỏ nhất khi AB là phân giác của góc giữa 2 

( 1 2;1 2 ) 

( ) 

⎧ 

x + 1 

A − − 

2 

⎪ 

= x ⇔⇔ x − 2x − 1 = 0 ⇒ ⎨ 

⇒ AB = 4 . 

x − 1 ⎪B 

1+ 2;1+ 

2 

⎩ 

Vậy 

1 .4 

2 8 

S 

min 

= = . 

2 


x 

x 

Đặt a = 4 − 16, b = 16 − 4 . 

3 

Ta có ( ) ( ) 

PT ⇔ a + b = a + b ⇔ 3ab a + b = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0 ⇒ x = 2 ∨ x = 

2 

3 3 2 2 1 

Vậy tổng tất cả các nghiệm thực của PT là 


1 5 

2 + = . 2 2 

2 2 2 2 2 2 2 

2 3 4 1 1 1 1 1 

S = u + u + u = u − 3 + u − 6 + u − 9 = 3u − 36u 

+ 126 . 

Ta có ( ) ( ) ( ) 

Do đó S đạt GTNN khi u 

1 

= 6 . 

100.99 

S 


= 100.6 + . − 3 = − 14250 . 

2 

Vậy ( ) 


R 

R 

Ta có OH = IO.tan 30 = ⇒ HA = OA − OH = . Vậy 

3 

3 


0 2 2 6 

2R 

6 

AB = 

3 

Ta có bộ 3 số có tổng chia hết cho 3 là: {1;2;3}, {1;2;6}, {1;2;9}, {1;3;5}, {1;3;8}, {1;4;7}, 

{1;5;6},{1;5;9}, {1;6;8}, {1;8;9}, {2;3;4}, {2;3;7}, {2;4;6}, {2;4;9}, {2;5;8}, {2;6;7}, {2;7;9}, {3;4;5}, 

{3;4;8}, {3;5;7}, {3;6;9}, {3;7;8}, {4;5;6}, {4;5;9}, {4;6;8}, {5;6;7}, {6;7;8}, {7;8;9}. 


Mỗi bộ số ta lập được 3! = 6 số. 

Vậy có 30.6=180 số. 





Trang 20 








The đề bài ta có 

C 

C 

C 

= 2 ⇔ n = 7 . 

2 4 

n−2 n−2 

4 4 

n 

Cn 





Ta có: 

m + 2mcosx− 

sinx 

y ' = 

2 

(cosx+ 

2) 

sinx 

y ' = 0 => m + 2m cosx− sinx = 0 => m = 

2cosx+ 

1 

Với 

2 

sinx 

m = 

2cosx+ 1 

=> cos x + 3cos x + 2 

y = 

2 

2cos x + 5cos x + 2 

GTLN của y=1 =>cosx=0 

=> sinx = ± 1 

Do GTLN của y=1 =>sinx = -1 

=> Có 1 giá trị của m thỏa mãn điều kiện 


Giả sử số tiền vay của 3 anh em Tháng, Mười, Hai lần lượt là x, y, 

z đồng. 

Số tiền Tháng phải trả vào hàng tháng để sau 10 tháng hết nợ là 

Số tiền Mười phải trả vào hàng tháng để sau 15 tháng hết nợ là 

Số tiền Hai phải trả vào hàng tháng để sau 25 tháng hết nợ là 

Theo đề bài ta có 


( − ) y 

15 

( 1,007 −1) 

−10 25 

( − ) 

15 

( 1,007 −1) 


( + ) 

( ) 

x 1 0,007 .0,007 

A1 = 

. 


1+ 0,007 −1 

A 

15 

( + ) 

( ) 

y 1 0,007 .0,007 

= 

. 

1+ 0,007 −1 

2 15 

25 

( + ) 

( ) 

z 1 0,007 .0,007 

A3 = 

25 

1+ 0,007 −1 

⎧ 1,007 1,007 1 

⎪ x = 

⎪ 

A1 = A2 = A3 

⇒ ⎨ 

. Lại có x + y + z = 1000000000 

⎪ 1,007 1,007 1 y 

⎪z 

= 

⎪⎩ 

15 

304037610,4.1,007 .0,007 

1 2 3 2 15 

⇒ y = 304037610.4 ⇒ A + A + A = 3A 

= 3. = 64268158 

1,007 −1 






Trang 21 











Giá trị nhỏ nhất đạt được khi a = b = 2 . Vậy S = 3a + b = 8 . 


Nối điểm đó với đỉnh của đa diện ta được n hình đa diện có thể tích bằng nhau. Khoảng cách từ điểm đó 

đến các mặt của đa diện bằng nhau và bằng h . 

Ta có 1 1 . 

3 nS 

V = h S ⇒ h = . 

n 3 V 

Vậy tổng của n khoảng cách là 3V S . 


Ta có 

2 

( + ) − ( + 9) 

− 9 

( x + m) ( x + m) 

m x m mx m 

y′ = = 

2 2 

Hàm số đồng biến trên khoảng ( ) 

Vậy các giá trị nguyên của m thuộc khoảng ( 9;12) 


. 

( ) 

( 6; ) 

⎧ 0, 6; 

2 

⎪y′ ≥ ∀x ∈ − +∞ ⎧m 

− 9 ≥ 0 

− 6; +∞ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ m ≥ 6 

⎪⎩ 

− m ∈ − +∞ ⎩ − m ≤ − 6 

D 

H 

Ta có ∆ ABC đều. Giả sử AB = x ⇒ AC = x . 

x 

SO ABCD = SO AO = SOA = ⇒ SA = AO = . 

2 

Ta có ( ( )) 

( ) 

0 

, , 45 

Lại có 

2 

1 1 1 4 1 5 2 30a 

a 30 

= + = + = ⇒ x = ⇒ x = . 

2 2 2 2 2 2 

AH SA AD x x x 16 4 

S 

− thỏa mãn yêu cầu bài toán là 6 ;7 ;8 ;9 ;10 ;11. 

A 

O 


C 

B 




Trang 22 












M 

Áp dụng định lí Menelaus cho ∆ SCD ta có 

V 

Ta có 

V 

V 

V 

P. 

BQDC 

S. 

ABCD 

P. NCB P. 

NCB 

S. ABCD D. 

SCB 

D 

P 

Q 

A 

S 

N 

C 

NS 1 1 

. MC . PD = 1⇒ PD = ⇒ PD = . 

NC MD PS PS 2 SD 3 

1 . d ( P , ( ABCD) 

) . SBCDQ 

1 3 1 1 

= 3 = . = ⇒ VP. BQDC 

= VS . ABCD 

. 

1 

. d 

3 4 4 4 

( S, ( ABCD) 

). 

S 

ABCD 

3 

1 . d ( P , ( SCB) 

) . S∆ 

NCB 

1 2 1 1 1 

V 

= = 3 = . . = ⇒ VP. NCB 

= VS . ABCD. 

2. V 1 

2. . d 

2 3 2 6 6 

( D, ( SCB) 

). 

S∆ 

SCB 

3 

5 

Do đó VPQD. NBC 

= VP. BQDC 

+ VP. NCB 

= VS . ABCD 

. 

12 

Vậy tỉ số thể tích của 2 phần cần tìm là 7 5 . 



B 




Trang 23 








A' 

B' 




A 

C 

Gọi H là hình chiếu của C′ trên ( ) ( ( )) 

( ) 

0 

ABC ⇒ AC′ , ABC = AC ', AH = C′ 

AH = 45 

0 

⇒ C′ H = C′ 

A.sin 45 = 4a 

2 . 

2a 2 3 3 

1 2a 2 3 16a 

6 

Ta có VABCC′ B′ = VABC. A′ B′ C′ − VA . A′ B′ C′ 

= .4a 2 − . .4a 

2 = . 

4 3 4 3 


Ta có 

1 ( x 3) 

4 

( x −1) ( x −1) 

x − − + − 

y′ = = 

2 2 

x + 3 ⎞ 

0 

Tiếp tuyến tại M x ; ( C) 

⎛ 

⎜ 0 ⎟∈ 

x0 

−1 

Tiếp tuyến đi qua ( ;2 1) 

⎝ 

⎠ 

. 

C' 

H 

B 

( ) ( ) 

là 

2 2 

−4 x + 3 −4x 

x + 6x 

− 3 

y = x − x + = + 

. 

2 

0 0 0 

2 2 2 

( ) ( ) 0 

x −1 x0 

−1 

( x −1) ( x −1) 

0 0 0 

2 

−4x1 

x0 + 6x0 

− 3 

M x1 x 

1 

+ nên 2x1 + 1 = + 

2 2 

x −1 x −1 

( ) ( ) 

0 0 

2 2 2 

( )( ) ( ) ( ) 

⇔ 2x + 1 x − 2x + 1 = x + 6x − 3− 4x ⇔ 2x −1 x − 4 x + 2 x + 6x 

+ 4 = 0 (*) 

1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 

Qua M ( x ;2x + 1) 

kẻ được đúng một tiếp tuyến đến đồ thị hàm số ( ) 

1 1 

2 2 

7 ± 209 

⇔ ∆ ′ = 4( x1 + 2) − ( 2x1 − 1)( 6x1 + 4) 

= 0 ⇔ − 4x1 + 7x1 + 10 = 0 ⇔ x1 

= . 

8 

Vậy có 2 điểm từ đó kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến đồ thị hàm số. 

C nên (*) có nghiệm duy nhất 





Trang 24 








----- HẾT ----- 








Trang 25 











Lớp 12 

(78%) 


MÔN TOÁN 

STT 



liên quan 


THPT TRIỆU SƠN 1- THANH HÓA- LẦN 1 




Nhận 

biết 


Thông 

hiểu 

Vận 

dụng 

Vận dụng 

cao 

Tổng số 

câu hỏi 

5 5 3 3 16 




4 Số phức 







2 1 3 

2 Tổ hợp-Xác suất 2 1 3 







Trang 1 












Lớp 11 

(22.%) 

5 Đạo hàm 1 1 1 1 4 



phẳng 







1 1 

Tổng Số câu 13 17 12 8 50 

Tỷ lệ 26% 34% 24% 16% 





Trang 2 












MÔN TOÁN 

Câu 1: Tập xác định của hàm số y ln ( x 2 5x 

6) 





= − + − là 

A. ( −∞;2) ∪ ( 3; +∞ ). B. ( 2;3 ). C. ( −∞;2] ∪ [ 3; +∞ ) . D. [ ] 

−∞ +∞ ? 

Câu 2: Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng ( ; ) 

A. 

⎛ 3 + 2 ⎞ 

y = ⎜ 

4 ⎟ 

⎝ ⎠ 

Câu 3: Đạo hàm của hàm số 

A. 

x 

. B. ( ) 

+ 0 − 

+ 

Trang 3 

2;3 . 

y = 3 − 2 x 

⎛ 2 ⎞ 

x 

. C. y = ⎜ ⎟ 

⎝ e ⎠ . D. ⎛ 3 + 2 ⎞ 

y = ⎜ 

3 ⎟ 

. 

⎝ ⎠ 

y x ln x 

0;+∞ là 

= trên khoảng ( ) 

1 

y ' = . B. y' = ln x . C. y' = 1. D. y' = ln x + 1. 

x 

Câu 4: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm ( ) 

4 2 

y = f x = x − 2x 

+ 1 trên đoạn ⎡ 

⎣ 

0;2 ⎤ 

⎦ 

. 

A. M = 1. 

B. M = 0. 

C. M = 10. 

D. M = 9. 

log + 4 + log 2 + 3 = 0 là 

2 

Câu 5: Số nghiệm của phương trình ( x x) ( x ) 

3 1 

3 

A. 3. B. 2. C. 1. D. 0. 

Câu 6: Hình đa diện nào dưới đây không có tâm đối xứng? 

A. Bát diện đều. B. Tứ diện đều. 

C. Lăng trụ lục giác đều. D. Hình lập phương. 

Câu 7: Hàm số nào sau đây không đồng biến trên khoảng ( ; ) 

3 

A. y = x + 1. B. y = x + 1. C. y = 

Câu 8: Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số 

dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào? 

A. 

B. 

C. 

3 2 

y = x − 3x 

+ 2. 

y = 

x + 2 . 

x + 1 

3 2 

y = − x + 3x 

+ 2. 


có bảng biến thiên như sau: 

f ' 

( x) 

−∞ +∞ ? 

x − 2 . 

x − 1 

x −∞ +∞ 

1 − 2 

2 

2 

O 

5 3 

D. y = x + x − 10. 



y 

+∞ 


www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial 

x 

x 



DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN








Mệnh đề nào dưới đây là sai? 

A. Hàm số không đạt cực tiểu tại điểm x = 2. B. Hàm số đạt cực đại tại điểm x = − 1. 

C. Điểm cực đại của đồ thị hàm số là ( ) 

Câu 10: Đường tiệm ngang của đồ thị hàm số 

− 1;2 . D. Giá trị cực đại của hàm số là y = 2 

2x 

− 6 

y = 

x − 2 

A. x − 3 = 0. B. y − 2 = 0. C. y − 3 = 0. D. x − 2 = 0. 

2 

Câu 11: Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y = x + và đường thẳng y = 2 x. 

x − 1 

A. 2. B. 0. C. 1. D. 3. 

Câu 12: Trong không gian cho bốn điểm không đồng phẳng. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng 

phân biệt từ các điểm đã cho? 

A. 6 B. 4. C. 3. D. 2. 

Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2 a, BC = a, SA = a 3 và SA 

vuông góc với mặt đáy (ABCD). Thể tích V của khối chóp S.ABCD bằng 

3 

3 

3 

2a 

3 3 

a 3 

A. V = 2a 

3. B. V = . C. V = a 3. D. V = . 

3 

3 

− 

Câu 14: Tập xác định của hàm số y ( x 2) 2 

= + là 

A. ( − 2; +∞ ) . B. R . C. [ − 2; +∞ ) . D. \{ −2} 

Câu 15: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau 

A. Hàm số 

B. Hàm số 

y 

y 

C. Đồ thị hàm số 

x 

= a ( 1) 

a > nghịch biến trên R . 

x 

= a ( 0 a 1) 

y 

D. Đồ thị các hàm số 

< < đồng biến trên R . 

x 

= a ( 0 a 1) 

y 

< ≠ luôn đi qua điểm có toạ độ ( 1) 

x 

= a và 

1 x 

⎛ ⎞ 

y = ⎜ ⎟ 

a 

( ) 

⎝ ⎠ 0 a 1 

là 

a; . 

R . 

< ≠ đối xứng với nhau qua trục tung. 





Câu 16: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số 

y 

= 

x 

x 

2 

2 

− 4 

− 1 

là 

Trang 4 











A. 3. B. 2. C. 4. D. 1. 

⎡ π π ⎤ 

Câu 17: Số nghiệm nằm trong đoạn 

⎢ 

− ; 

⎣ 2 2 ⎥ 

⎦ 

của phương trình sin 5 x + sin 3 x = sin 4 x là 

A. 5. B. 7. C. 9. D. 3. 

Câu 18: Giá trị của tham số m để phương trình 

x 

+ x = là 

1 2 

3 

− m + m = có hai nghiệm x1, 

x 

2 

thoả mãn 

x x+ 

1 

4 .2 2 0 

A. m = 2 . B. m = 3 . C. m = 4 . D. m = 1. 

Câu 19: Cho hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a . Khi đó thể tích V của khối lăng 

trụ trên là 

3 

3 

3 

3 

a 3 a 

a 3 a 3 

A. V = . B. V = . 

C. V = . D. V = . 

4 

4 

12 

12 

Câu 20: Đạo hàm của hàm số y = cos 2 x bằng 

A. 

sin 2x 

y ' = . B. 

2 cos 2x 

−sin 2x 

y ' = . C. 

cos 2x 

sin 2x 

y ' = . D. 

cos 2x 


liên tục trên khoảng ( a; 

b ) và x ∈ ( a b) 

trong các mệnh đề sau 

1) Hàm số đạt cực trị tại điểm 

0 

2) Nếu hàm số y f ( x) 

' = '' = 0 thì điểm 

0 0 

0 

kiện f ( x ) f ( x ) 

3) Nếu ' ( ) 

x khi và chỉ khi ( ) 

f ' x = 0 . 

0 

0 

; 

-sin 2x 

y ' = . 

2 cos 2x 

. Có bao nhiêu mệnh đề đúng 

= có đạo hàm và có đạo hàm cấp hai tại điểm x thoả mãn điều 

0 

f x đổi dấu khi x qua điểm x thì điểm 

0 

0 

4) Nếu hàm số y f ( x) 

( ) ( ) 

f ' x = 0, f '' x > 0 thì điểm 

0 0 

0 

x không phải là điểm cực trị của hàm số y f ( x) 

= . 

x là điểm cực tiểu của hàm số y f ( x) 

= . 

= có đạo hàm và có đạo hàm cấp hai tại điểm x thoả mãn điều kiện 

0 

x là điểm cực đại của hàm số y f ( x) 

= . 

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 

Câu 22: Hàm số y = cos x là hoàn tuần hoàn với chu kì là 

π 

A. . 

2 

π 

B. . 

4 

Câu 23: Giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số 

C. 0 . D. π . 

y = x − ln x trên đoạn 

⎡1 ; 

2 e ⎤ 

⎢ 

⎣ 

⎥ 

theo thứ tự là 

⎦ 


A. 1 và e − 1. B. 1 ln 2 

2 + và e − 1 . C. 1 và e . 

D. 1 và 1 ln 2 

2 + . 




Trang 5 











Câu 24: Một hình trụ có bán kính đáy bằng r và có thiết diện qua trục là một hình vuông. Khi đó diện 

tích toàn phần của hình trụ đó là 

A. 

π r 

B. 

2 

6 . 

2 

π r 

C. 8 π r . 

D. 

2 

2 . 

Câu 25: Phép biến hình nào sau đây không là phép dời hình? 

π r 

2 

4 . 

A. Phép tịnh tiến. B. Phép đối xứng tâm. C. Phép đối xứng trục. D. Phép vị tự. 

Câu 26: Bà Hoa gửi 100 triệu đồng vào tài khoản định kỳ tính lãi kép với lãi suất 8%/năm. Sau 5 năm bà 

rút toàn bộ tiền và dùng một nửa để sửa nhà, số tiền còn lại bà tiếp tục gửi vào ngân hàng. Tính số tiền lãi 

thu được sau 10 năm. 

A. 81,413 triệu. B. 107,946 triệu. C. 34,480 triệu. D. 46,933 triệu. 

Câu 27: Cho hai điểm A, B phân biệt. Tập hợp tâm những mặt cầu đi qua hai điểm A và B là 

A. Mặt phẳng song song với đường thẳng AB. B. Trung điểm của đoạn thẳng AB. 

C. Đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB. D. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. 

Câu 28: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có sáu chữ số và thoả 

mãn điều kiện: sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và chữ số hàng nghìn lớn hơn 2? 

A. 720 số. B. 360 số. C. 288 số. D. 240 số. 

ax + b 

Câu 29: Cho hàm số y = có đồ thị như hình vẽ bên. 

x − c 

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau 

A. a < 0, b > 0, c > 0. 

B. a > 0, b < 0, c > 0. 

C. a > 0, b > 0, c < 0. 

Câu 30: Cho log12 

27 = a . Tính T = log36 

24 theo a . 

9 − a 

9 − a 

9 + a 

9 + a 

A. T = . B. T = . C. T = . D. T = . 

6 − 2a 

6 + 2a 

6 + 2a 

6 − 2a 

Câu 31: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A, AB = AC = a , 0 

BAC = 120 . Mặt bên SAB là 

tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Thể tích V của khối chóp S.ABC là 

3 

a 

A. V = . 

B. V a 3 a 

= . 

C. V = . 

D. V 

8 

2 

3 

O 

y 

3 

= 2 a . 


x 




Trang 6 











Câu 32: Một xưởng in có 8 máy in, mỗi máy in được 3600 bản in trong một giờ. Chi phí để vận hành 

một máy trong mỗi lần in là 50 nghìn đồng. Chi phí cho n máy chạy trong một giờ là 10( 6n + 10) 

nghìn 

đồng. Hỏi nếu in 50000 tờ quảng cáo thì phải sử dụng bao nhiêu máy để được lãi nhiều nhất? 

A. 4 máy. B. 6 máy. C. 5 máy. D. 7 máy. 

Câu 33: Xác suất bắn trúng mục tiêu của một vận động viên khi bắn một viên đạn là 0,6. Người đó bắn 

hai viên đạn một cách độc lập. Xác suất để một viên trúng mục tiêu và một viên trượt mục tiêu là 

A. 0,45. B. 0,4. C. 0,48. D. 0,24. 

Câu 34: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA = a và SA vuông góc 

với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC. 

Thể tích V của khối chóp A. 

BCMN bằng 

A. 

3 

a 3 . 

12 

B. 

3 

a 3 . 

48 

Câu 35: Tập các giá trị của tham số m để phương trình 

đoạn 

⎡1;3 

⎣ 

3 

⎤ 

⎦ là 

C. 

3 

a 3 . 

24 

A. m∈( −∞;0] ∪ [ 2; +∞ ) . B. [ 0;2] 

2 2 

3 3 

D. 

3 

a 3 . 

16 

log x + log x + 1 − 2m 

− 1 = 0 có nghiệm trên 

m∈ . 

C. m∈ ( 0;2) 

. D. ( ;0) ( 2; ) 


y = 

x − 3 

x 1 

m∈ −∞ ∪ +∞ . 

( C ) và điểm M ( a; 

b ) thuộc đồ thị ( ) 

+ 

C . Đặt T = 3( a + b) + 2 ab , khi đó 

để tổng khoảng cách từ điểm M đến hai trục toạ độ là nhỏ nhất thì mệnh đề nào sau đây là đúng? 

A. − 3 < T < − 1. B. − 1 < T < 1. C. 1 < T < 3. D. 2 < T < 4. 

Câu 37: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt 

đáy (ABCD) và SA = a . Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Mặt cầu đi qua bốn điểm S, A, B, E có bán 

kính là 

A. 

a 41 . 

8 

B. 

a 41 . 

24 

C. 

a 41 . 

16 

x x 

2 

Câu 38: Cho hai đường cong ( ) ( ) 

tiếp xúc nhau thì giá trị của tham số m bằng 

A. 

5 − 2 10 

m = . B. 

3 

C1 : y 3 3 m 2 m 3m 

D. 

a 2 . 

16 

x 

= − + + − và ( C ) y = + . Để ( C ) và ( C ) 

5 + 3 2 

m = . C. 

3 

Câu 39: Giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số 

2 

: 3 1 

5 + 2 10 

m = . D. 

3 

sin x + 2 cos x + 1 

y = 

sin x + cos x + 2 là 

1 

5 − 3 2 

m = . 

3 


2 




Trang 7 











A. 

1 

m = − ;M = 1. 

B. m = 1 ;M = 2. 

2 

C. m = − 2 ;M = 1. 

D. m = − 1 ;M = 2. 

Câu 40: Một ôtô đang chạy với vận tốc 20m/s thì người lái xe đạp phanh. Sau khi đạp phanh, ôtô chuyển 

động chậm dần đều với vận tốc v ( t) 4t 

20 

= − + (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể 

từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ôtô còn di chuyển được bao nhiêu mét? 

A. 150 mét. B. 5 mét. C. 50 mét. D. 100 mét 


2x 

+ 1 

y = 

x 1 

( C ) , gọi I là tâm đối xứng của đồ thị ( C ) và ( ; ) 

+ 

thuộc đồ thị. Tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M cắt hai tiệm cận của đồ thị ( ) 

M a b là một điểm 

C lần lượt tại hai điểm 

A và B . Để tam giác IAB có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất thì tổng a + b gần nhất với số nào 

sau đây? 

A. -3. B. 0. C. 3. D. 5. 

Câu 42: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2 a . Gọi M, N lần lượt là trung điểm 

của các cạnh AB, AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH = 3 a và vuông góc với mặt đáy (ABCD). 

Khoảng cách giữa hai đường thẳng MD và SC là 

A. 12 a 15 . 

61 

B. 

a 61 . 

61 

C. 12 a 61 . 

61 

D. 6 a 61 . 

61 

Câu 43: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2 a , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 

0 

60 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh cạnh SD, DC. Thể tích khối tứ diện ACMN là 

A. 

3 

a 2 . 

4 

B. 

Câu 44: Xét các mệnh đề sau 

3 

a 

. 

8 

C. 

3 

a 3 . 

6 

2 

1) ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) 

log − 1 + 2log + 1 = 6 ⇔ 2 log − 1 + 2 log + 1 = 6 . 

2 2 2 2 

log x + 1 ≥ 1 + log x ; ∀x 

∈ R . 

2 

2) ( ) 

3) 

2 2 

ln y ln x 

x = y ; ∀ x > y > 2 . 

4) ( ) 

log 2x − 4 log x − 4 = 0 ⇔ log x − 4 log x − 3 = 0 . 

2 2 

2 2 2 2 

Số mệnh đề đúng là 

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 

D. 

3 

a 2 . 

2 


Câu 45: Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3 m − x + 2x 

− 3 = 2 có ba nghiệm phân biệt 

là 




Trang 8 











A. 0 . B. 1. C. 2. D. 3. 

Câu 46: Cho khai triển ( ) 

2 n 

2 2 n 

0 1 2 2n 

1 + x + x = a + a x + a x + ... + a x , với n ≥ 2 và a , a , a ,..., a là 

0 1 2 2n 

a a 

3 4 

các hệ số. Biết rằng = khi đó tổng S = a + a + a + ... + a bằng 

0 1 2 2n 

14 41 

A. 


3 . 

S = B. 

11 

3 . 

S = C. 

12 

3 . 

S = D. 

Câu 47: Cho tứ diện ABCD có AB = AD = a 2 , BC = BD = a và CA = CD = x . Khoảng cách từ B đến 

mặt phẳng (ACD) bằng 

và (BCD) là 

A. 

0 

60 . B. 

a 3 

. Biết thể tích của khối tứ diện bằng 

2 

0 

0 

3 

S = 

13 

3 . 

a 3 

. Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) 

12 

45 . C. 90 . D. 120 . 

Câu 48: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2 a . Mặt bên của hình chóp tạo với mặt 

đáy một góc 

0 

60 . Mặt phẳng (P) chứa AB và đi qua trọng tâm G của tam giác SAC cắt SC, SD lần lượt tại 

M và N. Thể tích khối chóp S.ABMN là 

A. 

3 

a 3 

2 

B. 

3 

a 3 . 

4 

C. 

3 

a 3 . 

3 


có đạo hàm f ' ( x) x 2 

( x 1) ( 13x 

15) 3 

⎛ 5x 

⎞ 

số y = f ⎜ 2 ⎟ là 

⎝ x + 4 ⎠ 

D. 

= − − . Khi đó số cực trị của hàm 

A. 5. B. 3. C. 2. D. 6. 

Câu 50: Một bình đựng nước dạng hình nón (không có 

đáy), đựng đầy nước. Người ta thả vào đó một khối cầu 

không thấm nước, có đường kính bằng chiều cao của 

bình nước và đo được thể ch nước tràn ra ngoài là V . 

Biết rằng khối cầu ếp xúc với tất cả các đường sinh của 

hình nón và đúng một nửa của khối cầu chìm trong 

nước (hình bên). Tính thể ch nước còn lại trong bình. 

A. 1 V 6 

B. 1 V. 

3 

C. V 


D. 1 V. 

π 

--- HẾT --- 

a 

3 

0 

3. 




Trang 9 












MÔN TOÁN 






1-B 2-D 3-D 4-D 5-C 6-B 7-C 8-A 9-A 10-B 

11-A 12-B 13-B 14-D 15-D 16-D 17-B 18-C 19-A 20-B 

21-A 22-D 23-A 24-A 25-D 26-A 27-D 28-D 29-D 30-B 

31-A 32-C 33-C 34-D 35-B 36-A 37-A 38-C 39-C 40-C 

41-B 42-C 43-C 44-B 45-C 46-A 47-C 48-A 49-D 50-B 

















MÔN TOÁN 







Tập xác định của hàm số là tập các giá trị của x thỏa mãn: 

\ 

2 

− x + 5x − 6 > 0 ⇒ 2 < x < 3 hay x ∈ ( 2;3) 


Hàm số 

y 

x 

= a đồng biến trên ( ; ) 

Kiểm tra các giá trị của cơ số chỉ có 


Áp dụng quy tắc đạo hàm của một tích ta có: 

( ) ( ) ( ) 

y ' = x ln x ' = x 'ln x + x ln x ' = ln x + 1 


−∞ +∞ khi a > 1 và nghịch biến khi 0 < a < 1 

3 + 2 

⎛ 

> 1 nên hàm số 

3 

⎜ 

⎝ 

= − = − = − + f ( x) 

Ta có f '( x) 4x 3 4x 4x( x 2 1) 4x( x 1)( x 1) 

Trang 11 

3 + 2 ⎞ 

3 ⎟ 

⎠ 

⎡x 

= 0 

⇒ ' = 0 ⇔ ⎢ 

⎣x 

= ± 1 

x 

−∞ +∞ . 

đồng biến trên ( ; ) 

Ta tính các giá trị tại các điểm cực trị của f ( x ) trong [ 0;2 ] và các điểm biên của [ ] 

⎧ f 

⎪ 

như sau: ⎨ f 

⎪ 

⎩ f 

( ) 

( ) 

( ) 

0 = 1 

1 = 0 

2 = 9 

0;2 được kết quả 

khi đó giá trị lớn nhất trong các giá trị trên là GTLN của hàm số trên [ ] 

vậy hàm số đã cho đạt GTLN bằng 9 khi 2 


log + 4 + log 2 + 3 = 0 

2 

PT ( x x) ( x ) 

3 1 

3 

0;2 . 

x = trên [ ] 

0;2 . Như 












2 

( x x) ( x ) 

⇔ log + 4 = log 2 + 3 

3 3 




2 

2 ⎧ x + 2x 

− 3 = 0 

⎧ x + 4x = 2x 

+ 3 ⎪ 

⇔ ⎨ ⇔ ⎨ −3 

⇒ x = 1 Vậy phương trình đã cho có một nghiệm. 

⎩2x 

+ 3 > 0 ⎪x 

> ⎩ 2 


Trong các hình đã cho thì hình tứ diện đều không có tâm đối xứng. 


Để hàm số đồng biến trên ( −∞ +∞) 

Như vậy ta chọn đáp án C vì tập xác định của hàm số 


; thì điều kiện trước tiên là tập xác định của hàm số là R 

y = 

x − 2 

x − 

1 là R \{ 1} 

Nhìn trên đồ thị ta thấy hàm số có hai cực trị nên có dạng đồ thị của hàm số bậc 3 ta loại đáp án B và 

chọn đáp án D. 

Khi x → +∞ ta thấy y → +∞ nên hệ số a của 


3 

x lớn hơn 0 nên ta loại đáp án C chọn đáp án A. 

Dựa trên bảng biến thiên ta thấy hàm số có hai cực trị. Đồ thị hàm số có một điểm cực đại có tọa độ 

( 1; − 2) 

, một điểm cực tiểu có tọa độ ( 2; 1) 

x = 2 . 


ax + b 

cx + d 

Hàm số bậc nhất trên bậc nhất y = ;( c ≠ 0) 

− vậy ta chọn đáp án A vì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại 

luôn có duy nhất một tiệm cận ngang 

2x 

− 6 

Như vậy hàm số đã cho y = có tiệm cận ngang là 2 2 0 

x − 2 y = ⇔ y − = 



a 

y = 

c 




Trang 12 











2 

Số giao điểm của đồ thị hàm số y = x + 

x − 1 

2 

= −1 

2 ⎧x 

− x − 2 = 0 ⎡x 

x + = 2x 

⇔ ⎨ 

⇔ 

x −1 ⎢ 

⎩x 

≠ 1 ⎣x 

= 2 


và đường thẳng y = 2 x là số nghiệm của PT 

⇒ Có hai giao điểm. 

Cứ ba điểm không thẳng hàng xác định được một mặt phẳng. Với bốn điểm không đồng phẳng có thể xác 

3 

định được C = mặt phẳng. Có thể thấy đáp án bài này qua hình tứ diện. 

4 

4 


a 3 

A 

Do SA ⊥ ( ABCD) 


S 

D 

2a 

B 

a 

C 

3 

1 1 1 2a 

3 

. 

ABCD 

. . 3.2 . 

⇒ VSABCD 

= SA dt = SA AB BC = a a a = . 

3 3 3 3 

− 

Hàm số y = ( x + 2) 2 

có số mũ nguyên âm nên tập xác định là R \{ −2} 


Đáp án A sai vì hàm số 

Đáp án B sai vì hàm số 

y 

y 

x 

= a ( 1) 

x 

= a ( 1) 

a > đồng biến trên R . 


a < nghịch biến trên R . 




Đáp án C sai vì đồ thị hàm số 

y 

x 

= a ( 0 a 1) 

< ≠ luôn đi qua điểm ( 0;1 ) 

Trang 13 









Tập xác định của hàm số là x ∈( −∞; −2) ∪ ( 2; +∞ ) 




2 

x − 1= 0 ⇔ x = ± 1 nên hàm số không có tiệm cận đứng. 

Ta có 

1 4 

2 − − 

x − 4 

2 4 

lim lim 0 

x 

2 = 

x x = ; 

→−∞ x −1 

x→−∞ 

1 

1− 

2 

x 

một tiệm cận ngang là y = 0. Vậy hàm số đã cho có một tiệm cận. 


1 4 

2 − 

x − 4 

2 4 

lim lim 0 

2 = 

x x = nên đồ thị hàm số đã cho có 

x→+∞ 

x −1 

x→+∞ 

1 

1− 

2 

x 

PT: x x x x x x x( x ) 

sin 5 + sin 3 = sin 4 ⇔ 2sin 4 cos − sin 4 = 0 ⇔ sin 4 2cos − 1 = 0 

⎡ kπ 

⎢ 

x = ( 1) 

4 

⎡sin 4x 

= 0 ⎢ 

π 

⇔ ⎢ 

1 ⇔ ⎢x 

= − + 2kπ 

2 

⎢ cos x = ⎢ 3 

⎣ 2 ⎢ 

⎢ 

π 

x = + 2kπ 

( 3) 

⎢⎣ 3 

( 1 ) là 5 ứng với k ∈ { 0; ± 1; ± 2} 

,( ) 

⎡ π π ⎤ 

nghiệm trong đoạn 

⎢ 

− ; 

⎣ 2 2 ⎥ 

⎦ . 


( ) 

2 là 1 ứng với 0 

⎡ π π ⎤ 

Trong đoạn 

⎢ 

− ; 

⎣ 2 2 ⎥ 

thì số nghiệm của 

⎦ 

k = , ( ) 

Đặt 2 x = t PT đã cho với ẩn số t là: t 2 − 2mt + 2m 

= 0 

x1 x2 x1 + x2 3 

Điều kiện x1 + x2 = 3 ⇒ 2m 

= 2 .2 = 2 = 2 = 8 ⇒ m = 4 


3 là 1 ứng với k = 0 . Như vậy PT đã cho có 7 





Trang 14 








a 

a 

a 




a 

Diện tích của tam giác đều cạnh a là 

2 3 

a 3 a 3 

thể tích của lăng trụ đã cho V = a. 

= 

4 4 


2 

a 3 

. Lăng trụ tam giác đều các cạnh bên vuông góc với đáy nên 

4 

1 1 −sin 2x 

Đạo hàm của hàm số y = cos 2 x là y ' = .( cos 2 x) ' = .( − 2sin 2x) 

= 

2 cos 2x 2 cos 2x cos 2x 


Mệnh đề 1) sai vì ( ) 

f ' x = 0 chỉ là điều kiện cần chưa là điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị tại x 

0 

Mệnh đề 2) Sai vì khi f ( x ) f ( x ) 

x . 

0 

Mệnh đề 3) sai vì f ( x) 

hàm số. 

0 

' = '' = 0 có thể hàm số có thể đạt cực trị hoặc không đạt cực trị tại 

0 0 

' đổi dấu qua điểm x 

0 

thì điểm x 

0 

có thể là điểm cực đại hoặc điểm cực tiểu của 

Mệnh đề 4) Sai vì trong trường hợp này x 

0 

là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. 



Hàm số 

y = cos x tuần hoàn với chu kỳ π vì 




Trang 15 











+) ( π ) 

cos x + = − cos x = cos x 

+) Nếu tồn tại 0 

T > sao cho với cos( ) 

x + T = cos x 

( ) 

2 2 1+ cos 2x + 2T 1+ 

cos 2x 

⇔ ⎡⎣ cos( x + T ) ⎤⎦ 

= ( cos x) 

⇔ = 

2 2 

( ) 

⇔ cos 2x + 2T = cos 2x ⇒ 2T = 2kπ 

⇒ T = kπ 

⇒ π là giá trị nhỏ nhất của T . 


Ta có: 

1 x −1 

y ' = 1 − = ⇒ y ' = 0 ⇒ x = 1 

x x 

Ta tính các giá trị của hàm số tại điểm cực trị và các điểm biên 

⎧ ⎛ 1 ⎞ 1 

⎪ f ⎜ ⎟ = + ln 2 ≈1,15 

2 2 

⎝ ⎠ 

⎪ 

⎨ f ( 1) 

= 1 

⎪ 

⎪ 

f ( e) 

= e −1 ≈1,72 

⎪⎩ 

Lần lượt là 1 và e − 1. 


Chu vi hình tròn đáy: C = 2π 

r 

So sánh các giá trị ta kết luận hàm số đạt GTNN và GTLN trên 

Thiết diện qua đáy là hình vuông nên chiều cao của hình trụ là 2r 

r 

⎡1 ; 

2 e ⎤ 

⎢ 

⎣ 

⎥ 

⎦ 





Trang 16 








Vậy diện tích toàn phần của hình trụ là 

S = S + S = 2 π r.2r + 2π r = 6π 

r 

xq 

d 

2 2 





Phép vị tự không phải phép dời hình, do nó không bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kì trên hình khi 

tỉ số khác ± 1. 


Sau 5 năm đầu bà Hoa thu được số tiền lãi từ ngân hàng là 

n 

( ) ( ) 5 

T = a 1+ r − 100 = 100 1+ 0,08 − 100 = 46,932 (triệu) 

Sau 5 năm tiếp theo bà Hoa thu được số tiền lãi tiếp theo theo là 

( ) ( ) 


T ' = 50 1+ 0,08 − 50 1+ 0,08 = 34,479 (triệu) 

Vậy số tiền lãi thu được sau 10 năm là T + T ' = 46,932 + 34, 479 = 81, 411(triệu) 


Tập hợp tâm I của những mặt cầu đi qua hai điểm A, 

B cho trước là tập hợp điểm thỏa mãn IA = IB do 

đó tập hợp này là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB . 


Ta xét hai trường hợp chữ số hàng đơn vị bằng 2 và khác 2. 

+) Chữ số hàng đơn vị là 2 

Số hàng nghìn lớn hơn 2 nên có 4 cách chọn (3, 4, 5, 6). Còn 4 chữ số sắp xếp vào 4 vị trí còn lại có 

4 

A = = cách sắp xếp. 

4 

4! 24 

Như vật tổng số chữ số thỏa mãn bài toán trong trường hợp này là N 

1 

= 4.24 = 96 (số) 

+) Chữ số hàng đơn vị khác 2 nên có thể bằng 4 hoặc 6 

Số hàng nghìn lớn hơn 2 nên có 3 cách chọn (3, 5 và 6 hoặc 4). Còn 4 chữ số sắp xếp vào 4 vị trí còn lại 

có 

4 

A = = cách sắp xếp. 

4 

4! 24 

Như vật tổng số chữ số thỏa mãn bài toán trong trường hợp này là N 

2 

= 2.3.24 = 144 (số) 


⇒ Tổng số các chữ số thỏa mãn bài toán N = N1 + N2 = 96 + 144 = 240 (số). 




Trang 17 












Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = a ⇒ a > 0 . 

Ta có c < 0 do đồ thị hàm số có tiệp cận đứng x = c . 

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ − b < 0 ⇒ b < 0 . 

c 


3 3 2a 

Ta có: a = log12 27 = 3log12 3 = = ⇒ log2 

3 = 

log 12 2log 2 + 1 3 − a 

Vậy: ( ) 

3 3 

1 1 1 1 

T = log36 24 = log 

6 

4 + 1 = + log6 

2 = + 

2 2 2 log 6 

1 1 1 1 1 3 − a 9 − a 

= + = + = + = . 

2 1+ log 2 

2 

3 2 a 

1+ 2 3 + a 6 + a 

3 − a 


C 

a 

A 

120° 

Gọi M là trung điểm AB khi đó SM ⊥ AB ⇒ SM ⊥ ( ABC ) 

Ta có 

a 3 

1 3 

SM = (độ dài đường cao trong tam giác đều); dtABC 

= AB. AC.sin120 

= a 

2 

2 4 

S 

a 

M 


2 

B 

0 2 




Trang 18 








Vậy thể tích của khối chop là V 

S. 

ABC 

2 3 

1 1 a 3 a 3 a 

= SM . dtABC 

= = 

3 3 2 4 8 





Gọi f ( n ) là hàm chi phí in 50000 tờ quảng cáo ( 0 < n ≤ 8; n∈ N ) . Ta cần tìm n để f ( ) 

nhất. Theo giả thiết f ( ) 

n có giá trị thấp 

n bao gồm chi phí vận hành cho n máy là 50n nghìn đồng. Và chi phí chạy 

50000 2500 

3600n 

9n 

máy sản xuất 50000 tờ quảng cáo là 10( 6n 

+ 10) = ( 3n 

+ 5) 

2500 ⎛ 

50 3 5 50 

250 ⎞ 

n + n + = ⎜ n + ⎟ + 

2500 

9n 

⎝ 9n 

⎠ 3 

Vậy f ( n ) = ( ) 

Đến đây ta có thể khảo sát hàm f ( ) 

đáp án và được kết quả thấp nhất với n = 5. 


Gọi A 

1 

là biến cố viên thứ nhất trúng mục tiêu 

Gọi A 

2 

là biến cố viên thứ hai trúng mục tiêu 

Do 

1 2 

n với n nguyên để tìm chi phí thấp nhất hoặc kiểm tra trực tiếp bốn 

A , A là hai biến cố độc lập nên xác suất để có một viên trúng mục tiêu và một viên trượt mục tiêu là 

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 

p = p A1 A2 + p A1 A2 = p A1 p A2 + p A1 p A2 = 0,6.0, 4 + 0, 4.0,6 = 4,8 . 


A 

S 

N 

M 

B 

C 





Trang 19 











Do ∆SAB, 

∆ SAC cân nên M , N là trung điểm SB, 

SC 

VS . AMN 

SM SN 1 1 1 VA. 

BCMN 

3 

Ta có = = = ⇒ = 

V SB SC 2 2 4 V 4 

S. ABC 

S. 

ABC 

2 3 

3 1 1 a 3 a 3 

A. BCMN S. 

ABC 

. 

ABC 

. 

⇒ V = V = SA dt = a = 

4 4 4 4 16 


Đặt 

t = log x + 1 thay vào PT log 2 x + log 2 x + 1 − 2m 

− 1 = 0( 1) 

phương trình đã cho trở thành 

2 

3 

3 3 

+ − 2 − 2 = 0 ⇔ + − 2 = 2 ( 2) 

Để phương trình ( ) 

2 2 

t t m t t m 

nghiệm trên [ 1;2 ] 

1 có nghiệm trên đoạn 

Xét hàm số f '( t) = 2t + 1 ⇒ f '( t) 

= 0 ⇔ t = ta có BBT của ( ) 

t 

'( ) 

−∞ 

−1 

2 

f t như sau 

1 

− 1 2 +∞ 

2 

f t − 0 + + + 

( ) 

f t 

+∞ +∞ 

5 

− 

4 

Qua BBT ta thấy để PT ( 2 ) có nghiệm trên [ ] 

0 

4 

1;2 ⇔ 0 ≤ 2m 

≤ 4 ⇔ 0 ≤ m ≤ 2 

⎡ 

3 

1;3 ⎤ 

⎣ ⎦ 

thì PT ( ) 


2 có 




Trang 20 












Điểm M ( a; 

b ) thuộc đồ thị ( C ) ⇒ 

a 3 

b = − 

a + 1 

a−3 4 4 4 

⇒ a + b = a + = a + −1 ≥ a + 1+ −2 ≥ a + 1+ −2 ≥ 4− 2 = 2 

a + 1 a + 1 a + 1 a + 1 

⎧ a = 1 

Như vậy tổng khoảng cách từ M tới hai trục tọa độ nhỏ nhất bằng 2 ⇔ 

⎪⎪ 

⎨ ⇒ T = −2 

⎪ ⎪⎩ b = −1 


D 

a 

a 

A 

S 

E 

Hình chóp SABE có cạnh bên SA ⊥ đáy ( ) 

dạng này là 

2 

⎛h⎞ R = R 

d 

+ ⎜ ⎜⎝ 2⎠⎟ 

2 

C 

B 

ABE ta có công thức tính bán kính mặt cầu của hình chóp 

( với R 

d 

là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy và h là chiều cao hình 


chóp ) 

a 

D 

A 

H 

E 

B 

C 




Trang 21 








Ta có h = SA = a ; dt 

ABE 

2 

1 a 

= EH. 

AB = 

2 2 

2 

2 a a 5 

AE = BE = a + = 

4 2 




R 

d 

2 

5a 

a. 

= AB. AE. BE 4 a 5 

2 

4dt 

= ABE 

a 

= 8 

vậy 

4. 2 


2 2 

25a a a 41 

R = + = . 

64 4 8 

Đặt 3 x = t( t > 0) 

thì PT của ( C ) t 2 

( t − m + ) + m − m và PT của ( ) 

1 : 2 3 

Trang 22 

C2 : t + 1 

Để ( C ) và ( C ) tiếp xúc nhau thì PT ( ) ( ) 

1 

2 

t > ( ) 2 ( 2 

) 

có nghiệm kép 0 ⇒ ∆ = m−1 −4 m −3m 

− 1 = 0 

nghiệm kép t < 0 . 


x 

Đặt t = tan ta có 2 

t t − m + + m − m = t + ⇔ t − m− t + m − m− = 

2 2 2 

2 3 1 1 3 1 0 

2 5+ 


⇔ 3m −10m− 5 = 0 ⇒ m = ta không lấy nghiệm 

3 

2 

2t 

1−t 

+ 2 + 1 

y = = = 

sin x + 2cos x + 1 

2 2 

2 

1+ t 1+ 

t − t + 2t 

+ 3 

sin x + cos x + 2 

2 2 

2t 

1−t 

t + 2t 

+ 3 

+ + 2 

2 2 

1+ t 1+ 

t 

5−2 10 

m = vì khi đó 

3 

2 

− t + 2t 

+ 3 

= ⇔ + 1 + 2 − 1 + 3 − 1 = 0 

2 

t + 2t 

+ 3 

Tập các giá trị của y là tập các giá tri làm cho PT y ( y ) t ( y ) t ( y ) 

có nghiệm với ẩn t 

( ) ( )( ) 

2 2 

⇒ ∆ ' = y −1 − 3 y + 1 y − 1 = −2y − 2y + 4 ≥ 0 ⇒ −2 ≤ y ≤1⇒ m = − 2, M = 1 


Ta có v ( t ) t a v ( t) 

= − 4 + 20 ⇒ = ' = − 4 Ta thấy sau 5 giây thì xe dừng lại nên quãng đường ô tô 

1 1 . 4 5 50 

2 2 

2 2 

chuyển động từ khi đạp phanh đến khi dừng lại hẳn là: S = − at = − ( − ) = ( ) 



Tâm đối xứng của đồ thị ( C ) là giao điểm hai đường tiệm cận. ( C ) có tiệm cận đứng là x = − 1, tiệm 

cận ngang là 2 

y = ⇒ I ( − 1;2) 

m . 











B(2a+1;2) 




Ta có 

x=-1 

y=2 

1 

y ' = ⇒ 

( x + 1) 2 

I(-1;2) 

giao điểm của PTTT tại ( ; ) 

A(-1; 2a 

a+1 ) 

PTTT tại điểm ( ; ) 

Độ dài các cạnh của ∆ IAB như sau 

M a b là 

1 2a 

+ 1 

y = x − a + . Từ đây ta xác định được 

a + 1 

( ) ( ) 

2 

a + 1 

M a b và hai tiệm cận x = − 1, 2 

⎛ 2a 

⎞ ⎜− + 

⎜⎝ a + 1⎠⎟ 

y = là A 1; , B( 2a 

1;2 ) 

⎧⎪ 

2a 

2 

IA = − 2 = 

a + 1 a + 1 

⎪ 1 IA+ IB + AB 1 1 

⎨IB = 2a + 1+ 1 = 2 a + 1 ⇒ SIAB 

= IA. IB = 2; P = = + a + 1 + + a + 1 

2 

2 2 a + 1 ( a + 1) 

1 

2 

AB = 2 + 

2 

( a + 1) 

⎪ 

⎪⎩ 

( a + 1) 

⎡ a = 0 ⇒ b = 1 

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có p ≥ 2 + 2 đạt được ⇔ a + 1 = 1⇔ ⇒ a + b = 1 

⎢ 

⎣a 

= −2 ⇒ b = 3 


. 

( ) 2 





Trang 23 








S 




C 

K 

D 

Rễ thấy ∆ CDN = ∆DAM ⇒ DCN = ADM 

mà 

3a 

H 

B 

N 

0 0 

CDH + MDH = 90 ⇒ CDH + DCH = 90 ⇒ CH ⊥ DH mà CH ⊥ SH do SH ⊥ ( ABCD) 

( SCH ) 

M 

⇒ DH ⊥ . Như vậy kẻ HK ⊥ SC thì HK là đường vuông góc chung của DM và SC hay HK 

là khoảng cách cần xác định. 

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: 

2 

CD CH. 

CN CH 

2 2 2 

CD CD 4a 2a 

= ⇒ = = = = 

CN 

2 2 2 2 

CD + DN 4a + a 

1 1 1 1 5 61 12a 

61 

= + = + = ⇒ HK = . 

2 2 2 2 2 2 

HK SH CH 9a 16s 144a 

61 



A 

5 

C 

D 

H 

N 

A 

M 

B 




Trang 24 








S 




D 

2a 

M 

H 

N 

A 

60° 

O 

0 

Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 0 0 

60 ⇒ SNO = 60 ⇒ SO = NO.tan 60 = a 3 

Kẻ MH song song với 

2a 

C 

1 a 3 

SO MH SO 

2 2 

⇒ = = và MH ⊥ ( ANC) 

3 

1 1 2 1 1 a 3 2 a 3 

Ta có dtANC = AD. NC = 2 a. a = a ⇒ VAMNC = MH. dtANC 

= . a = 

2 2 3 3 2 6 


Mệnh đề 1) sai vì ( x ) 

2 

log − 1 = 2 log x − 1 

2 2 

Mệnh đề 2) sai vì khi x = 0 biểu thức vế trái không xác định. 

Mệnh đề 3) đúng vì với x > y > 2 ta luôn có ln x.ln y = ln y.ln x ⇔ ln x = ln y ⇔ x = y 

Mệnh đề 4) sai vì 

( ) ( ) 

2 

B 

2a 

A 

D 

a 

2a 

N 

O 

ln y ln x ln y ln x 

2 2 

log 2x − 4 log x − 4 = 0 ⇔ 1 + log x − 4 log x − 4 = 0 ⇔ log x − 2 log x − 3 = 0 . 

2 2 2 2 2 2 



Điều kiện 

3 

x ≥ 

2 

a 

B 

C 




Trang 25 








3 3 

Ta có PT m − x + 2x − 3 = 2 ⇔ m − x = 2 − 2x 

− 3 




Xét hàm số 

( 2 2 3 ) ( 2 2 3 ) 

3 3 

⇔ m − x = − x − ⇔ m = x + − x − 

( ) = + ( 2 − 2 − 3 ) 

f x x x 

3 

( ) ( ) 

2 2 

2 −1 

2x−3 −3 2− 2x−3 2x−3 −2−3 2− 2x− 3 + 2 

⇒ f '( x) = 1+ 3( 2− 2x− 3 ) . = = 

2x−3 2x−3 2x−3 

⎡ 

2 

t = 1⇒ x = 6 

− 3t 

+ t + 2 

2 −3 − 2 = ≥−2 ⇒ ' = ⇒ ' = 0 ⇔ −2 43 

t − 2 

t = ⇒ x = 

⎢ ⎣ 3 18 

Đặt x t( t ) f ( t) f ( t) 

Ta có BBT của f ( ) 

x như sau: 

x 

( x) 

3 

2 

43 

18 

6 +∞ 

f ' − 0 + 0 − 

f 

( x ) 


2,4 +∞ 

Dựa vào BBT ta thấy để PT đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì 2,4 m 5 


< < với m nguyên ⇒ m ∈ { 3;4} 





Trang 26 











n 

k 

n 

⎛ 

k 

⎞ 

n k k k k k 

+ x + x = + x + x = C x + x = C x C x 

⎣ ⎦ ∑ k ∑ n ⎜∑ 

j ⎟ 

k = 0 k = 0 ⎝ j= 

0 ⎠ 

n 

n 

2 

Ta có ( 1 ) ⎡1 ( 1 ) ⎤ 

( 1 ) 

⎛ k ⎞ 

n k k k 

⇒ Tk + 1 

= Ck x C 

j 

x 

⎜ 

∑ Ta tính các số hạng như sau: 

⎜⎝ ⎟ 

j= 

0 ⎠ 

1 2 1 1 2 2 0 2 2 1 3 2 2 4 

T = ; T = C C x + C C x = nx; T = C C x + C C x + C C x ,.... 

0 

1 

Như vậy ta có: 

Theo giả thiết 

1 n n n 1 2 n n n 2 n 2 

a = C C + C C ; a = C C + C C + C C 

2 1 3 0 2 2 3 1 4 0 

3 n 2 n 2 4 n 2 n 3 n 4 

a a C C + C C C C + C C + C C 

= ⇒ = 

14 41 14 41 

2 1 3 0 2 2 3 1 4 0 

3 4 n 2 n 2 n 2 n 3 n 4 

( −1) ( −1)( −2) ( −1) 3 ( −1)( −2) ( −1)( −2)( −3) 

n n n n n n n n n n n n n n 

2. + + + 

⇔ 2! 3! = 2! 3! 4! 

14 41 

2 

⇔ 21n −99n− 1110 = 0 ⇒ n = 10 

Trong khai triển ( ) 

S = a + a + a + ... + a = 3 

0 1 2 20 



2 2 20 

1 + x + x = a + a x + a x + ... + a x cho x = 1 ta được 

x 

C 

D 

a 


a 

0 1 2 20 

a 2 

x 

M 

a 2 

A 





B 

Trang 27 











Gọi h là khoảng cách từ ( ) 

Gọi M là trung điểm AD 

C ⇒ CA = CD = a . 

B → ACD 

3 

a 3 

3 

2 

a 3 3V 

ABCD 12 a 

⇒ h = ⇒ S∆ 

ACD 

= = = 

2 h a 3 2 

2 

2 

a 

2 

2. 

⇒ S 

ACD 2 a 2 1 

CM ⊥ AD ⇒ CM = AD ACD 

AD 

= a 2 

= 2 = 2 

⇒ ∆ vuông tại 

⎧AC 

⊥ CD 

∆ CAD = ∆CBA C C C ⇒ ACD = ACB = ⇒ 

⎪⎪ 

⎨ ⇒ AC ⊥ BCD ⇒ ACD ⊥ BCD 

⎪⎪⎩ 

AC ⊥ CB 

0 

( . . ) 90 

( ) ( ) ( ) 

Hay góc giữa hai mặt phẳng bằng 90 


D 

2a 

N 

A 

K 

60° 

Do AB song song với ( ) 

SC ⇒ N là trung điểm SD . 

0 

H 

S 

G 

M 

C 

B 

CD ⊂ SDC ⇒ MN CD . Do G là trọng tâm ∆SAC ⇒ M là trung điểm 

Gọi K là trung điểm CD ⇒ SKH là góc giữa mặt bên và 

3 

1 1 0 1 1 2 4a 

3 

đáy. HK = AD = 2 a = a ⇒ SH = HK.tan 60 = a 3 ⇒ VSABCD 

= SH. dtABCD 

= a 3.4a 

= 

2 2 3 3 3 





Trang 28 








Ta có 

V 1 ⎛ 

SABMN 

VSAMN V ⎞ 1 ⎛ 

SABM 

SM SN SM ⎞ 1 ⎛1 1 1⎞ 

3 

= + = + = + = 

V 2 ⎜ V V ⎝ 

⎟⎠ 

2⎜⎝ SC SD SC ⎟⎠ 2 ⎝⎜ 

2 2 2⎟⎠ 

8 

SABCD SACD SABC 




3 3 

3 3 4a 

3 a 3 

VSABCD 

⇒ VSABMN 

= = = 

8 8 3 2 


2 

Hàm số y = f ( x) 

có đạo hàm f ' ( x) = x ( x − 1) ( 13x 

− 15) 

2 

3 ' 

⎛ 5x ⎞ 25x ⎛ 5x ⎞⎛ 5x ⎞ ⎛ 5x 

⎞ 

⎜ 2 ⎟ 2 ⎟ 2 ⎟ 2 

⎝ ⎠ ⎜⎝ ⎠⎝ ⎜ ⎠ ⎝⎜ 

⎠⎟ 

⇒ f ' = −1 13 −15 . 

4 + x 4+ x 4 + x 4+ 

x 

2 

2 

( 4 + x ) 

( − − )( − + )( − ) 

2 

6 

( 4 + x ) 

25x x 5x 4 15x 65x 60 20 5x 

= 

2 2 2 2 

⎛ 5x 

Dễ thấy PT f ' ⎞ ⎛ 

5x 

⎞ 

⎜ = 0 

2 

⎜⎝ 4 + x ⎟ 

có 6 nghiệm làm cho f ' 

2 

⎠ 

⎜ 

⎜⎝ 4 x ⎟ 

đổi dấu nên hàm số 

+ ⎠ 

cực trị. 


h 

O 

S 

h 

2 

R 

3 

H 

A 

⎛ 5x 

⎞ 

y = f ⎜ 

x 2 ⎟ có 6 

⎝ + 4 ⎠ 





Trang 29 











Thể tích nước tràn ra là 1 3 3 

2 thể tích quả cầu 1 4 ⎛h⎞ πh 

3 

⇒ V = π 

⎜ = ⇒ πh = 12V 

2 3 ⎜⎝ 2⎠⎟ 

12 

Gọi R là bán kính đáy hình nón. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SOA ta có 

1 1 1 4 1 1 h 

2 

= + ⇔ = + ⇒ R = từ đây ta tính được thể tích hình nón là 

2 2 2 2 2 

OH SO OA h h R 3 

2 3 

1 2 1 h πh 12V 

4 

Vn 

= πR h = π h = = = V 

3 3 3 9 9 3 

4 V 

Vậy thể tích nước còn lại là: V = V − V = . 

3 3 

----- HẾT ----- 





Trang 30

Tuyển tập đề thi thử THPT Quốc gia 2018 môn Toán Các trường THPT Cả nước (Lần 10) [DC17012018] (MA TRẬN + GIẢI CHI TIẾT)

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?