Bộ chuyên đề đột phá lấy điểm 8,9,10 môn Toán - Đại Số Và Giải Tích - Ôn thi THPTQG từ lớp 10, 11, 12

CHƯƠNG 1: MỆNH ĐỀ, TẬP HỢP, HÀM SỐ
PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Mệnh đề
Định nghĩa:
CHUYÊN ĐỀ 1: MỆNH ĐỀ, TẬP HỢP
• Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai.
• Một mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai.
Mệnh đề phủ định
Cho mệnh đề P, mệnh đề “không phải P” được gọi là mệnh đề phủ định của P và kí hiệu là
đúng thì P sai, nếu P sai thì P đúng.
Mệnh đề kéo theo
Cho mệnh đề P và Q. Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là
ra Q). Mệnh đề
Chú ý:
P Q
chỉ sai khi P đúng và Q sai.
P.
Nếu P
P Q , (P suy
Các định lí toán học thường có dạng
P Q . Khi đó:
P là giả thiết, Q là kết luận, P là điều kiện đủ để có Q, Q là điều kiện cần để có P.
Mệnh đề đảo
• Cho mệnh đề kéo theo P Q . Mệnh đề Q P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P Q .
• Cho mệnh đề P và Q. Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” được gọi là mệnh đề tương đương và kí hiệu là
P Q . Mệnh đề P Q đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh đề P Q và Q P đều đúng.
Chú ý:
Nếu mệnh đề P Q là 1 định lí thì ta nói P là điều kiện cần và đủ để có Q.
Kí hiệu và :
Cho mệnh đề chứa biến P (x). Khi đó:
“Với mọi x thuộc X để P (x) đúng” được ký hiệu là: “ x
X,P x ” hoặc “ x
X : P x ”.
“Tồn tại x thuộc X để P (x) đúng” được ký hiệu là “ x
X,P x ” hoặc “ x
X : P x ”
• Mệnh đề phủ định của mệnh đề “ x
X, P x ” là “ x
X,P x ”.
• Mệnh đề phủ định của mệnh đề “ x
X, P x ” là “ x
X,P x ”.
2. Tập hợp
Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa.
Các xác định tập hợp
Liệt kê các phân từ: Viết các phần tử của tập hợp trong hai dấu móc { ; ; }.
Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.
Tập rỗng: là tập hợp không chứa phần tử nào, kí hiệu .
Tập hợp con: A B x A x B .
Trang 1

A A, A.
A, A.
A B, B C A C.
Tập hợp bằng nhau:
Chú ý:
A
B
A B
B
A
Nếu tập hợp có n phần tử thì có 2 n tập con.
3. Một số tập hợp con của tập hợp số thực
*
.
* : là tập hợp số tự nhiên không có số 0. : là tập hợp số tự nhiên.
: là tập hợp số nguyên. : là tập hợp số hữu tỉ.
;
:
Khoảng
là tập hợp số thực.
a;b x | a x b :
a; x | a x :
;b x | x b :
Đoạn:
Nửa khoảng:
a;b x | a x b :
a;b x | a x b :
a;b x | a x b :
a; x | a x :
;b x | x b :
4. Các phép toán trên tập hợp
Giao của hai tập hợp A B { x|x A và x B }.
Hợp của hai tập hợp A B { x | x A hoặc x B }.
Hiệu của hai tập hợp: A \ B { x | x A và x B }.
Phần bù: Cho
B A
thì
CAB A \ B.
5. Số gần đúng
Sai số tuyệt đối
Nếu a là số gần đúng của số đúng a thì a a a gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a.
Độ chính xác của một số gần đúng
Nếu a a a d thì a d a a d . Ta nói a là số gần đúng của a với độ chính xác d và qui
ước viết gọn là a a d.
Trang 2

Sai số tương đối
a
Sai số tương đối của số gần đúng a là tỉ số giữa sai số tuyệt đối và a , kí hiệu a . a
càng
a
nhỏ thì độ chính xác của phép đo đạc hoặc tính toán càng lớn.
Ta thường viết
a
Quy tròn số gần đúng
dưới dạng phần trăm.
Nếu chữ số ngay sau hàng qui tròn nhỏ hơn 5 thì ta chỉ việc thay thế chữ số đó và các chữ số bên
phải nó bởi số 0.
Nếu chữ số ngay sau hàng qui tròn lớn hơn hay bằng 5 thì ta thay thế chữ số đó và các chữ số bên
phải nó bởi số 0 và cộng thêm một đơn vị vào chữ số ở hàng qui tròn.
Chữ số chắc
Cho số gần đúng a của số a với độ chính xác d. Trong số a, một chữ số gọi là chữ số chắc (hay
đáng tin) nếu d không vượt quá nửa đơn vị của hàng có chữ số đó.
Nhận xét: Tất cả các chữ số đứng bên trái chữ số chắc đều là chữ số chắc. Tất cả các chữ số đứng bên
phải chữ số không chắc đều là chữ số không chắc.
PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Mệnh đề
1. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Các câu sau đây, có bao nhiêu câu là mệnh đề đúng?
(1) Chạy ngay đi!
2
(2) Phương trình x 3x 1 0 vô nghiệm.
(3) 16 không là số nguyên tố.
2
2
(4) Hai phương trình x 4x 3 0 và x x 3 1 0 có nghiệm chung.
(5) Ba giờ sáng anh còn chưa ngủ, tương tư về em biết bao nhiêu cho đủ?
(6) U23 Việt Nam đoạt giải chơi đẹp nhất U23 Châu Á.
(7) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau.
(8) Một tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vuông góc với nhau.
A. 4. B. 6. C. 7. D. 5.
Hướng dẫn
Câu (1) và (5) không là mệnh đề (vì là câu đầu khiến, câu nghi vấn).
Các câu (3), (4), (6), (8) là những mệnh đề đúng.
Câu (2) và (7) là những mệnh đề sai.
Chọn A.
Ví dụ 2: Mệnh đề
2
P x :" x , x x 7 0" . Phủ định của mệnh đề P là
2
A. x , x x 7 0.
B.
2
C. x , x x 7 0.
D.
2
x , x x 7 0.
2
x ,
x x 7 0.
Trang 3

Phủ định của mệnh đề P là
2
Chọn D.
Hướng dẫn
P x : " x , x x 7 0".
Ví dụ 3: Mệnh đề nào sau đây là phủ định của mệnh đề: “Mọi động vật đều di chuyển”?
A. Mọi động vật đều không di chuyển.
B. Mọi động vật đều đứng yên.
C. Có ít nhất một động vật không di chuyển.
D. Có ít nhất một động vật di chuyển.
Phủ định của mệnh đề
" x K, Px "
Hướng dẫn
là mệnh đề " x K, Px ".
Do đó, phủ định của mệnh đề: “Mọi động vật đều di chuyển” là mệnh đề: “Có ít nhất một động vật không
di chuyển”.
Chọn C.
2. Bài tập tự luyện
Câu 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
A. Tổng của hai số tự nhiên là một số chẵn khi và chỉ khi cả hai số đều là số chẵn.
B. Tích của hai số tự nhiên là một số chẵn khi và chỉ khi cả hai số đều là số chẵn.
C. Tổng của hai số tự nhiên là một số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều là số lẻ.
D. Tích của hai số tự nhiên là một số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều là số lẻ.
Câu 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai?
A. “ABC là tam giác đều khi và chỉ khi tam giác ABC cân”.
B. “ABC là tam giác đều khi và chỉ khi tam giác ABC cân và có một góc 60 ”.
C. “ABC là tam giác đều khi và chỉ khi ABC là tam giác có ba cạnh bằng nhau”.
D. “ABC là tam giác đều khi và chỉ khi tam giác ABC có hai góc bằng 60 ”.
Câu 3. Cho mệnh đề
2
P x :" x , x x 1 0". Mệnh đề phủ định của mệnh đề P (x) là
2
A. " x , x x 1
0".
B.
2
" x , x x 1
0".
2
C. " x , x x 1 0".
2
D. " x , x x 1 0".
Câu 4. Lập mệnh đề phủ định của mệnh đề: “Số 6 chia hết cho 2 và 3”.
A. Số 6 chia hết cho 2 hoặc 3. B. Số 6 không chia hết cho 2 và 3.
C. Số 6 không chia hết cho 2 hoặc 3. D. Số 6 không chia hết cho 2, chia hết cho 3.
Đáp án:
1 – D 2 – A 3 – C 4 – C
Dạng 2: Tập hợp và các phép toán trên tập hợp
1. Ví dụ minh họa
Trang 4

Ví dụ 1: Hãy liệt kê các phần tử của tập
2
X x | 2x 5x 3 0 .
3
A. X 0 .
B. X 1 .
C. X .
D.
2
Ta có
Vậy
x 1
x
2
2
2x 5x 3 0 3
X 1 .
Chọn B.
Ví dụ 2: Cho
X 0;1;2;3;4;8;9;7 .
Hướng dẫn
Tập X có bao nhiêu tập hợp con?
A. 8. B. 128. C. 256. D. 64.
Nếu tập hợp có n phần tử thì có 2 n tập hợp con.
Tập X có 8 phần tử nên có
Chọn C.
Ví dụ 3: Cho tập hợp
8
2 256
tập hợp con.
Hướng dẫn
X 1;2;3;4 . Câu nào sau đây đúng?
3
X 1; .
2
A. Số tập con của X là 16. B. Số tập con của X gồm có 2 phần tử là 8.
C. Số tập con của X chứa số 1 là 6. D. Số tập con của X gồm có 3 phần tử là 2.
Số tập con của tập hợp X là:
4
2 16.
Số tập con có 2 phần tử của tập hợp X là:
2
C4
6.
Hướng dẫn
Số tập con của tập hợp X chứa số 1 là: 8, bao gồm:
1 , 1;2 , 1;3 , 1;4 , 1;2;3 , 1;2;4 , 1;3;4 , 1;2;3;4 .
Số tập con có 3 phần tử của tập hợp X là:
Chọn A.
3
C4
4.
Ví dụ 4: Cho A 0;1;2;3;4 ; B 2;3;4;5;6 . Tập hợp A \ B B \ A bằng
A. {0;1;5;6}. B. {1;2}. C. {5}. D. .
A \ B 0;1
Ta có
A \ B B \ A
.
B \ A 5;6
Chọn D.
Hướng dẫn
Ví dụ 5: Lớp 12A có 7 học sinh giỏi Toán, 5 học sinh giỏi Lý. 6 học sinh giỏi Hóa, 3 học sinh giỏi cả
Toán và Lý, 4 học sinh giỏi cả Toán và Hóa, 2 học sinh giỏi cả Lý và Hóa, 1 học sinh giỏi cả 3 môn Toán,
Lý, Hóa. Số học sinh giỏi ít nhất một môn (Toán, Lý, Hóa) của lớp 12A là
Trang 5

A. 9. B. 10. C. 18. D. 28.
Có 1 học sinh giỏi cả 3 môn học. Ta có:
Hướng dẫn
4 học sinh giỏi cả Toán và Hóa, do đó số học sinh chỉ giỏi Toán, Hóa, không giỏi Lý là 4 1 3 (học
sinh).
2 học sinh giỏi cả Lý và Hóa, do đó số học sinh chỉ giỏi Lý và Hóa, không giỏi Toán là 2 1 1
(học
sinh).
3 học sinh giỏi cả Lý và Toán, do đó số học sinh chỉ giỏi Lý và Toán, không giỏi Hóa là 3 1 2 (học
sinh).
Số học sinh chỉ giỏi Toán, không giỏi Lý, Hóa là
Số học sinh chỉ giỏi Hóa, không giỏi Lý, Toán là
Số học sinh chỉ giỏi Lý, không giỏi Toán, Hóa là
Từ đó lập biểu đồ Ven ta được:
7 1 2 3 1
6 11
3 1
5 11
2 1
(học sinh).
(học sinh).
(học sinh).
Theo biểu đồ, số học sinh giỏi ít nhất 1 trong 3 môn là:
Chọn B.
1 2 1 3 111 10
Ví dụ 6: Cho A ; 2 ; B 3; ; C 0;4 . Khi đó A B C là
A. B. C. ; 2 3; D.
(học sinh).
3;4
3;4
; 2 3;
Hướng dẫn
Ta có A B ; 23; A B C 3;4
Chọn B
Ví dụ 7: Cho hai tập hợp A 4;7 và B ; 2 3; . Khi đó A B là
; 2 3;
A. ; 2 3; B. 4; 2 3;7 C. 4; 2 3;7 D.
Hướng dẫn
Ta có A B 1;7 ; 2 3; 4; 2 3;7
Trang 6

Chọn B
2. Bài tập tự luyện
Câu 1. Trong các tập hợp sau, tập hợp nào rỗng?
2
2
A. A x | x 4 0 .
B. B x | x 2x 3 0 .
2
2
C. C x | x 5 0 .
D. D x | x x 12 0 .
Câu 2. Cho 2 tập hợp: X 1;3;5;8 ; Y 3;5;7;9 . Tập hợp X Y bằng tập hợp nào sau đây?
3;5 . 1;3;5;7;8;9 . 1;7;9 .
A. B. C. D.
Câu 3. Cho
A 0;1;2;3;4 ; B 2;3;4;5;6 .
Tập hợp A \ B bằng
A. B. C. D.
1;3;5 .
0 . 0;1 . 1;2 .
Câu 4. Cho A 1;4 ; B 2;6 ; C 1;2 . Khi đó, A B C là
1;6 . 2;4 .
A. B. C. 1;2 . D. .
Câu 5. Cho
A 0;2;4;6 . Tập A có bao nhiêu tập con có 2 phần tử?
A. 4. B. 6. C. 7. D. 8.
1;5 .
Đáp án:
1 – B 2 – B 3 – B 4 – D 5 – B
Dạng 3: Số gần đúng và sai số
1. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho giá trị gần đúng của
9
16
là 0,56. Sai số tuyệt đối của số là 0,56 là
A. 0,0025. B. 0,002. C. 0,003. D. 0,0075.
Ta có
9
16 0,5625
nên sai số tuyệt đối của 0,56 là:
9
0,56 0,5625 0,56 0,0025.
16
Chọn A.
Hướng dẫn
Ví dụ 2: Độ dài các cạnh của một mảnh vườn hình chữ nhật là: x 7,1m 7cm và y 25,6m 4cm. Số
đo chu vi của mảnh vườn dưới dạng chuẩn là
A. 66m 12cm.
B. 67m 11cm.
C. 66m 11cm.
D. 65m 22cm.
Hướng dẫn
Trang 7

Ta có x 7,1m 7cm 7,03m x 7,17 m và y 25,6m 4cm 25,56m y 25,64m . Do đó chu
vi hình chữ nhật là P 2x y65,18;65,62
P 65, 4m 22cm.
Vì
1
d 22cm 0, 22m 0,5 nên 5 là chữ số chắc. Do đó dạng chuẩn của chu vi là 65m 22cm.
2
Chọn D.
2. Bài tập tự luyện
Câu 1. Cho số gần đúng a 23748023 với độ chính xác d 101.
Hãy viết số quy tròn của số a.
A. 23749000. B. 23748000. C. 23746000. D. 23747000.
Câu 2. Cho giá trị gần đúng của
17
40
là 0,42. Sai số tuyệt đối của số 0,42 là
A. 0,001 B. 0,002 C. 0,004 D. 0,005
Câu 3. Một miếng đất hình chữ nhật có chiều rộng x 43m 0,5m và chiều dài y 63m 0,5m. Tính
chu vi P của miếng đất đã cho.
A. P 212m 4m. B. P 212m 2m. C. P 212m 0,5m. D. P 212m 1m.
Đáp án:
1 – B 2 – D 3 – B
PHẦN 3: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Câu 1. Cách viết nào sau đây là đúng
A. a a;b .
B. a a;b . C. a a;b . D. a a;b .
10
Câu 2. Cho giá trị gần đúng của là a 3,141592653589 với độ chính xác 10 . Hãy viết số quy tròn
của số a.
A. 3,141592654. B. 3,1415926536. C. 3,141592653. D. 3,1415926535.
Câu 3. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng
*
*
A. \ .
B. .
C. .
D.
Câu 4. Cho X 7;2;8;4;9;12 ; Y 1;3;7;4 . Tập nào sau đây bằng tập X Y ?
1;2;3;4;12 . 2;8;9;12 . 4;7 .
A. B. C. D.
*
* .
1;3 .
Câu 5. Cho hai tập hợp A 2;4;6;9 và B 1;2;3;4 . Tập hợp A\ B bằng tập nào sau đây?
1;3;6;9 .
A. A 1;2;3;5 . B. C. 6;9 . D. .
Câu 6. Cho A 0;1;2;3;4 , B 2;3;4;5;6 . Tập hợp A \ B B \ A bằng ?
0;1;5;6 . 1;2 . 2;3;4 .
A. B. C. D.
Câu 7. Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều dài là
Tính diện tích S của thửa ruộng đã cho.
5;6 .
x 23m 0,01m và chiều rộng là y 15m 0,01m.
Trang 8

A. S 345m 0,001m.
B. S 345m 0,38m.
C. S 345m 0,01m.
D. S 345m 0,3801m.
Câu 8. Cho tập hợp C A
3; 8 và CB 5;2 3; 11 .
Tập CR
A B
là
A. 3; 3 .
B. . C. 5; 11 .
D.
Câu 9. Số các tập con 2 phần tử của
B
a;b;c;d;e;f
A. 15. B. 16. C. 22. D. 25.
Câu 10. Cho A x | x 2 0 , B x | 5 x 0 . Khi đó A B là
2;
A. 2;5 .
B. 2;6 .
C. 5;2 .
D.
là
3;2 3; 8 .
Đáp án:
1 – B 2 – A 3 – D 4 – C 5 – C 6 – A 7 – B 8 – C 9 – A 10 – A
Trang 9

CHƯƠNG 1: MỆNH ĐỀ, TẬP HỢP, HÀM SỐ
CHUYÊN ĐỀ 3: HÀM SỐ BẬC NHẤT, HÀM SỐ BẬC HAI
PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Hàm số bậc nhất y ax b a 0 .
Tập xác định: D .
Chiều biến thiên:
Với
Với
a 0 hàm số đồng biến trên .
a 0 hàm số nghịch biến trên .
Bảng biến thiên:
X
Y
a 0
a 0
x
y
Đồ thị:
Đường thẳng này luôn song song với đường thẳng y ax (nếu b 0 ) và đi qua hai điểm
b
B ;0 .
a
a 0
a 0
A 0;b ,
Chú ý:
• Hàm số hằng y b : Đồ thị hàm số y b là một đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành và
cắt trục tung tại điểm
• Đối với hàm số
Trường hợp
a 0
0;b . Đường thẳng này gọi là đường thẳng y b.
y ax b , a 0
ta làm tương tự.
thì ta có:
b
ax b khi x
a
y ax b
a 0
b
ax b
khi x
a
Trang 1

Do đó để vẽ hàm số y ax b , ta sẽ vẽ hai đường thẳng y ax b và y ax b , rồi xóa đi phần
đường thẳng nằm phía dưới trục hoành Ox.
• Cho hai đường thẳng d: y ax b và d : y ax b
. Khi đó:
d // d
a a
và b b .
d d
a.a
1.
d d
a a
và b b .
d d
a a .
• Phương trình đường thẳng d qua
Ax ; y và có hệ số góc k có dạng: y k. x x y
A
A
A A.
2. Hàm số bậc hai y ax 2 bx c a 0
Tập xác định: D .
Bảng biến thiên:
X
Y
a 0
a 0
b
2a
x
y
b
2a
4a
4a
2
b
• Nếu a 0 thì hàm số y ax bx c nghịch biến trên khoảng ; ,
đồng biến trên khoảng
2a
b ;
2a
.
2
b
• Nếu a 0 thì hàm số y ax bx c đồng biến trên khoảng ; ,
nghịch biến trên khoảng
2a
b ;
2a
.
Đồ thị của hàm số bậc hai:
2
b
Đồ thị của hàm số y ax bx c a 0
là một đường parabol có đỉnh là điểm I ; ,
có trục
2a 4a
đối xứng là đường thẳng x b . Parabol này quay bề lõm lên trên nếu a 0, xuống dưới nếu a 0.
2a
Trang 2

Chú ý:
2
Đồ thị hàm y f x ax bx c , a 0
Đồ thị hàm y f x ax 2 b x c, a 0
2
• Bước 1: Vẽ P : y ax bx c.
• Bước 2:Do
f x khi f x 0
y f x
f x khi f x 0
đồ thị hàm số y f x
được vẽ như sau
Giữ nguyên phần (P) phía trên Ox.
Lấy đối xứng phần (P) dưới Ox qua Ox.
Đồ thị y f x
là hợp của hai phần trên.
nên
• Bước 1: Vẽ (P):
• Bước 2: Do
2
y ax bx c
y f x
là hàm chẵn nên đồ thị đối
xứng nhau qua trục Oy, đồ thị hàm số được vẽ như
sau:
Giữ nguyên phần (P) bên phải Oy.
Lấy đối xứng phần này qua Oy.
Đồ thị
y f x
là hợp của hai phần trên.
PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Khảo sát hàm số bậc nhất, bậc hai
1. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm m để hàm số
y mx 2 x 2m 1
nghịch biến trên .
1
A. m 2.
B. m .
C. m 1.
D.
2
Hướng dẫn
y mx 2 x 2m 1 mx 2m x 2m 1 1 m
x 2m.
Hàm số bậc nhất
Chọn C.
y ax b nghịch biến a 0 1 m 0 m 1.
Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn
y m 2 x 2m đồng biến trên ?
1
m .
2
2019;2019
A. 2022. B. 2019. C. Vô số D. 2017.
Hàm số bậc nhất
Hướng dẫn
y ax b đồng biến khi và chỉ khi a 0 m 2 0 m 2.
Mà m , thuộc đoạn 2019;2019 nên m 3;4;5;...;2019 .
Vậy có
2019 31 2017
giá trị nguyên của m cần tìm.
để hàm số
Trang 3

Chọn D.
Ví dụ 3: Cho hàm số
2
y 2x 4x 1.
Chọn đáp án đúng.
A. Hàm số đồng biến trên khoảng ; 2 và nghịch biến trên khoảng
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 2 và đồng biến trên khoảng
2; .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng ; 1 và nghịch biến trên khoảng
2; .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 1 và đồng biến trên khoảng
1; .
Hướng dẫn
1; .
2
b
Áp dụng: Hàm số y ax bx c với a 0 đồng biến trên khoảng ;
, nghịch biến trên khoảng
2a
b
; .
2a
b
Ta có 1.
Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng ; 1
và đồng biến trên khoảng
2a
Chọn D.
Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
khoảng 1;2 .
2
y x m 1 x 2
A. m 5.
B. m 5.
C. m 3.
D. m 3.
Hàm số có
b m 1
a 1 0;
2a 2
Hướng dẫn
m 1
hàm số nghịch biến trên khoảng ;
.
2
m 1 m 1
Vậy để hàm số nghịch biến trên khoảng (1;2) thì 1;2 ;
1 m 3.
2 2
Chọn C.
Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số
2
y f x x 3x
9
9
9
A. M 0;m . B. M ;m 0. C. M 2;m . D.
4
4
4
Hướng dẫn
2
Cách 1: Hàm số y x 3x có a 1 0 nên bề lõm hướng lên.
x b 3 0;2 .
2a 2
Hoành độ đỉnh
3 9
f ;f 0 0;f 2 2.
2 4
Ta có:
Vậy:
3 9
m min y f ;M max y f 0
0.
2 4
Cách 2: Sử dụng máy tính Fx 570 VN PLUS
1; .
nghịch biến trên
trên đoạn 0;2 .
9
M 2;m .
4
Trang 4

2
Bước 1: Sử dụng Mode 7. Nhập hàm số
Start 0 End 2 Step 0.2
F x X 3X
Bước 2: Quan sát giá trị của cột F(x), giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của cột F(x) xấp xỉ giá trị M và m cần
tìm.
Chọn A.
2. Bài tập tự luyện
Câu 1. Cho hàm số
f x 4 3x. Khẳng định nào sau đây đúng?
4
4
A. Hàm số đồng biến trên khoảng ; .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ;
.
3
3
C. Hàm số đồng biến trên .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng
3
;
.
4
2
Câu 2. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số f x x 4x 5 trên khoảng ;2 và trên
khoảng
2;
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên ;2 , đồng biến trên 2; .
B. Hàm số đồng biến trên ;2 , nghịch biến trên 2; .
C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;2 và 2; .
D. Hàm số đồng biến trên các khoảng ;2 và 2; .
Câu 3. Tìm giá trị nhỏ nhất
y min
của hàm số
2
y x 4x 5.
A. y 0.
B. y 2.
C. y 2.
D.
min
min
min
ymin
1.
Đáp án:
1 – B 2 – A 3 – D
Dạng 2: Xác định hàm số
1. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng
đường thẳng y x 1.
2
y m 3 x 2m 3
A. m 2.
B. m 2.
C. m 2
D. m 1
Hướng dẫn
2
Để đường thẳng y m 3 x 2m 3 song song với đường thẳng y x 1
khi và chỉ khi
2
m 3 1
m 2
m 2.
2m
3 1 m 2
song song với
a
b
a
1 2
b
1 2
Trang 5

Chọn C.
Ví dụ 2: Tìm a và b để đồ thị hàm số
y ax b đi qua các điểm A2;1 , B1; 2 .
A. a 2, b 1.
B. a 2, b 1.
C. a 1, b 1.
D. a 1, b 1.
Đồ thị hàm số đi qua các điểm
Chọn D.
A 2;1 , B 1; 2
Hướng dẫn
nên ta có hệ phương trình:
1 a. 2 b a 1 .
2 a.1
b b 1
Ví dụ 3: Biết rằng đồ thị hàm số y ax b đi qua các điểm N 4; 1
và vuông góc với đường thẳng
4x y 1 0. Tính tích P ab.
1
1
A. P 0. B. P .
C. P .
D.
4
4
Đồ thị hàm số đi qua điểm
N 4; 1
nên
Mặt khác, đồ thị hàm số vuông góc với đường
Hướng dẫn
1 a.4 b. 1
y 4x 1 nên
4.a 1 2
1
P .
2
Từ (1) và (2), ta có hệ
Chọn A.
1
1 a.4 b a
4 P ab 0.
4.a 1
b 0
2
1
Ví dụ 4: Biết rằng P : y ax bx 2 a 1
đi qua điểm M 1;6
và có tung độ đỉnh bằng . Tính
4
tích T ab.
A. T 3.
B. T 2.
C. T 192.
D. T 28.
Hướng dẫn
1
Vì (P) đi qua điểm M 1;6
và có tung độ đỉnh bằng nên ta có hệ phương trình:
4
a 16
a b 2 6
a b 4 a 4 b a 4 b b 12
1
2
2
2
b 4.2a a b 84 b
4 b b 9b 36 0
a 1
4a 4
b 3
a 16 Do a 1
nên . Suy ra T ab 16.12 192
.
b 12
Chọn C.
Ví dụ 5: Xác định phương trình parabol (P):
B1; 3
và O0;0 .
2
y ax bx c, biết rằng (P) đi qua ba điểm A1;1 ,
Trang 6

2
2
2
A. y x 2x. B. y x 2x. C. y x 2x. D.
2
y x 2x.
Hướng dẫn
A1;1 ,
Cách 1: Vì (P) đi qua ba điểm B 1; 3 , O 0;0 nên ta có hệ phương trình:
a b c 1 a 1
a b c 3 b 2 .
c 0
c 0
Vậy phương trình của (P):
2
y x 2x.
Cách 2: Thay tọa độ ba điểm vào các đáp án xem đáp án nào chứa cả 3 điểm A, B và O.
Chọn C.
2
Ví dụ 6: Xác định phương trình parabol (P): y ax bx c, biết rằng (P) có đỉnh I 2; 1
và cắt trục
tung tại điểm có tung độ bằng 3.
2
1 2
1 2
A. y x 2x 3. B. y x 2x 3. C. y x 2x 3. D.
2
2
Vì (P) có đỉnh
Hướng dẫn
b
2
2a b
4a
I2; 1
nên ta có
1
2
b 4ac 4a
1
4a
Gọi A là giao điểm của (P) với Oy tại điểm có tung độ bằng
Theo giả thiết,
A 0; 3
Từ (1) và (2), ta có hệ
Vậy phương trình của (P):
Chọn B.
thuộc (P) nên
b 4a a 0 loai
2
16a 8a 0 b 0
c 3
c 3
1
2
2
y x 2x 3.
3.
Suy ra A0; 3 .
a.0 b.0 c 3 c 3. 2
1
a
2
hoặc b 2
c 3
2
y x 2x 3.
2. Bài tập tự luyện
Câu 1. Biết rằng đồ thị hàm số y ax b đi qua điểm M 1;4 và song song với đường thẳng
y 2x
1.
Tính tổng S a b.
A. S 4.
B. S 2.
C. S 0.
D. S 4.
Câu 2. Biết rằng đồ thị hàm số y ax b đi qua hai điểm M 1;3 và N 1;2 . Tính tổng S a b.
1
A. S .
B. S 3.
C. S 2.
D.
2
5
S .
2
Trang 7

Câu 3. Xác định phương trình của parabol (P):
hoành độ lần lượt là
2
y ax bx c,
1
và 2, cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng 2.
2
2
1 2
A. y 2x x 2. B. y x x 2. C. y x x 2. D.
2
biết rằng (P) cắt trục Ox tại 2 điểm có
2
y x x 2.
Đáp án:
1 – A 2 – C 3 – D
Dạng 3: Sự tương giao của hàm số
1. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hàm số
hoành độ bằng 3.
y 2x
m 1.
Tìm giá trị thực của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có
A. m 7.
B. m 3.
C. m 7.
D. m 7.
Hướng dẫn
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 A 3;0
Thay
x 3, y 0 vào hàm số ta được 0 2.3 m 1 m 7.
Chọn C.
Ví dụ 2: Cho hàm số bậc nhất
y ax b
thuộc đồ thị hàm số.
. Tìm a và b, biết rằng đồ thị hàm số cắt đường thẳng
: y 2x
5 tại điểm có hoành độ bằng 2
1
và cắt đường thẳng : y 3x
4
2
tại điểm có tung độ
bằng 2 .
3 1
3 1
3 1
A. a ; b . B. a ; b . C. a ; b . D.
4 2
4 2
4 2
Hướng dẫn
3 1
a ; b .
4 2
Với x 2
thay vào y 2x
5 , ta được y 1. Đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại điểm có hoành độ
bằng
2
nên đi qua điểm A2;1 .
Do đó ta có 1 a. 2 b. 1
1
Với y 2
thay vào y 3x
4, ta được x 2. Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y 3x
4 tại điểm có
tung độ bằng 2
nên đi qua điểm B2; 2 .
Do đó ta có
2 a.2 b 2
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:
Chọn C.
3
a
1 a. 2
b 2a
b 1 4
.
2 a.2 b 2a
b 2 1
b
2
Ví dụ 3: Tìm giá trị thực của tham số m để ba đường thẳng y 2x, y x 3 và y mx
5 phân biệt
và đồng quy.
Trang 8

A. m 7.
B. m 5.
C. m 5.
D. m 7.
Hướng dẫn
Tọa độ giao điểm A của hai đường thẳng y 2x và y x 3 là nghiệm của hệ:
y 2x
x
1
A1; 2 .
y x 3 y 2
Để ba đường thẳng đồng quy thì
Chọn D.
y mx
5 đi qua A 2 1.m 5 m 7.
Ví dụ 4: Tìm phương trình đường thẳng d: y ax b. Biết đường thẳng d đi qua điểm I 1;2 và tạo với
hai tia Ox, Oy một tam giác có diện tích bằng 4.
A. y 2x
4. B. y 2x 4. C. y 2x
4. D. y 2x 4.
Đường thẳng d:
Hướng dẫn
y ax b đi qua điểm I1;2 2 a b 1
b
d Ox A ;0 ; d Oy B 0;b .
a
Ta có
b b
Suy ra OA và (do A, B thuộc hai tia Ox, Oy).
a
a
OB b b
Tam giác OAB vuông tại O.
1 1 b
2
Do đó, ta có S
ABC
OA.OB 4 . .b 4 b 8a
2
2 2 a
Từ (1) suy ra
b 2 a
. Thay vào (2), ta được:
2 2 2
2 a 8a a 4a 4 8a a 4a
4 0 a 2.
Với a 2 b 4. Vậy đường thẳng cần tìm là d: y 2x
4.
Chọn B.
Ví dụ 5: Cho parabol (P):
điểm phân biệt có hoành độ dương.
2
y x 2x
m 1.
Tìm tất cả các giá trị thực của m để parabol cắt Ox tại hai
A. 1 m 2.
B. m 2.
C. m 2.
D. m 1.
Hướng dẫn
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và trục Ox là
x
2
2x
m 1 0. 1
Để parabol cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm dương do
đó:
2 m 0
m 2
S 2 0 1 m 2.
m 1
P m 1 0
Chọn A.
2
Ví dụ 6: Cho parabol (P): y x 4x
3 và đường thẳng d: y mx
3. Tìm giá trị thực của tham số m
để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ
x1, x2
thỏa mãn
x x 8.
3 3
1 2
Trang 9

A. m 2.
B. m 2.
C. m 4.
D. m 1.
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d là:
x 0
x
x m 4
0
x m 4
Hướng dẫn
2
x 4x
3 mx
3.
Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi 4 m 0 m 4.
x x 8 0 4 m 8 4 m 2 m 2.
3 3
Khi đó, ta có 3
Chọn B.
1 2
2. Bài tập tự luyện
1
3x
x
Câu 1. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y và y
1
là
4 3
1
A. 0; 1 .
B. 2; 3 .
C. 0; .
D.
4
3; 2 .
Câu 2. Tìm giá trị thực của m để hai đường thẳng d: y mx
3 và : y x m cắt nhau tại một điểm
nằm trên trục tung.
A. m 3.
B. m 3.
C. m 3.
D. m 0.
Câu 3. Tìm giá trị thực của tham số m để ba đường thẳng y 5 x 1 , y mx
3 và y 3x
m phân
biệt và đồng quy.
A. m 3.
B. m 13.
C. m 13.
D. m 3.
Câu 4. Parabol (P):
2
y x 4x
4
có số điểm chung với trục hoành là
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 5. Cho parabol (P):
2
y x 2x
m 1.
Tìm tất cả các giá trị thực của m để parabol không cắt Ox.
A. m 2.
B. m 2.
C. m 2.
D. m 2.
Đáp án:
1 – D 2 – A 3 – C 4 – B 5 – B
Dạng 4: Đồ thị hàm số
1. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Hình sau đây là đồ thị của hàm số nào?
A. y x 1.
B. y x 2.
C. y 2x 1.
D. y x 1.
Hướng dẫn
Trang 10

Đồ thị đi xuống từ trái sang phải nên hệ số góc a 0. Loại đáp án A và C.
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm 0;1 .
Thay x 0; y 1
vào ta thấy hàm số y x 1
thỏa mãn.
Chọn D.
Ví dụ 2: Hình bên là đồ thị của hàm số nào?
A. y x .
B. y x 1.
C. y 1 x .
D. y x 1.
Hướng dẫn
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là 0;1 . Loại đáp án A và D.
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là
1;0
và 1;0 .
Thay vào hai đáp án còn lại ta thấy
Chọn C.
y 1
x
thỏa mãn.
Ví dụ 3: Hình sau đây là đồ thị của hàm số nào?
A.
B.
C.
D.
2
y x 4x 1.
2
y 2x 4x 1.
2
y 2x 4x 1.
2
y 2x 4x 1.
Hướng dẫn
• Parabol có bề lõm hướng lên hoặc góc bên phải ngoài cùng hướng lên trên, nên a 0 .
Loại C.
• Đồ thị cắt Oy tại điểm có tung độ là 1
nên c 1.
Loại D.
• Đỉnh của parabol là điểm
Do đó hàm số trên là
Chọn B.
Ví dụ 4: Cho hàm số
1; 3
2
y 2x 4x 1.
2
y ax bx c
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. a 0, b 0, c 0.
B. a 0, b 0, c 0.
C. a 0, b 0, c 0.
D. a 0, b 0, c 0.
. Thay vào A và B, ta thấy B thỏa mãn.
có đồ thị như hình dưới đây.
Hướng dẫn
Bề lõm hướng lên hoặc góc ngoài cùng bên phải hướng lên trên nên a 0.
Trang 11

Hoành độ đỉnh parabol x 0, mà nên
2a
a 0 b 0.
Parabol cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên c 0.
Chọn B.
Ví dụ 5: Cho hàm số
thì phương trình
A. 0 m 1.
B. m 3.
f x
C. m 1, m 3.
D. 1 m 0.
2
f x ax bx c
m
có đồ thị như hình dưới đây. Với giá trị nào của tham số thực m
có đúng 4 nghiệm phân biệt.
Hướng dẫn
Cách vẽ đồ thị hàm số (C) từ đồ thị hàm số y f x
Giữ nguyên đồ thị
y f x
Lấy đối xứng phần đồ thị
phía trên trục hoành.
y f x
như sau:
phía dưới trục hoành qua trục hoành (bỏ phần dưới).
Kết hợp hai phần ta được đồ thị hàm số y f x
Phương trình
f x
m
như hình vẽ.
là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm
số y f x và đường thẳng y m (song song hoặc trùng với trục hoành).
Dựa vào đồ thị, với 0 m 1 thì phương trình f x m có đúng bốn
nghiệm phân biệt.
Chọn A.
Ví dụ 6: Cho hàm số
thì phương trình
A. m 1
B. m 1
C. m 2
D. m 2
2
f x ax bx c
f x 1 m
Cách vẽ đồ thị hàm số (C) từ đồ thị hàm số
• Giữ nguyên đồ thị
y f x
• Lấy đối xứng phần đồ thị
trục tung.
có đồ thị như hình dưới đây. Với giá trị nào của tham số thực m
có đúng 3 nghiệm phân biệt.
Hướng dẫn
y f x
phía bên phải trục tung.
y f x
Kết hợp hai phần ta được đồ thị hàm số
như sau:
phía bên phải trục tung qua
y f x
như hình vẽ.
Trang 12

Phương trình
f x 1 m f x m 1
y f x và đường thẳng y m 1
(song song hoặc trùng với trục hoành).
Dựa vào đồ thị, theo yêu cầu bài toán thì m 1 3 m 2.
Chọn C.
là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
2. Bài tập tự luyện
Câu 1. Cho hàm số y ax b có đồ thị là hình bên. Tìm a và b.
3
A. a 2
và b 3. B. a và b 2.
2
3
C. a 3
và b 3. D. a và b 3.
2
Câu 2. Hình sau đây là đồ thị của hàm số nào?
A.
2
y x 3x
1.
B.
2
y 2x 3x
1.
C.
D.
2
y 2x 3x 1.
2
y x 3x 1.
Câu 3. Cho hàm số
A. a 0, b 0, c 0.
B. a 0, b 0, c 0.
C. a 0, b 0, c 0.
D. a 0, b 0, c 0.
2
y ax bx c
có đồ thị như hình bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
Đáp án:
1 – D 2 – C 3 – C
PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP
Câu 1. Tìm giá trị thực của tham số m để parabol (P):
đường thẳng y 3x 1.
2
y mx
2mx
3m 2
m 0
A. m 1.
B. m 1.
C. m 6.
D. m 6.
Câu 2. Cho hàm số
định nào sau đây đúng?
A. a 0, b 0, c 0.
B. a 0, b 0, c 0.
C. a 0, b 0, c 0.
D. a 0, b 0, c 0.
2
y ax bx c
có đồ thị như hình bên. Khẳng
có đỉnh thuộc
Trang 13

2
Câu 3. Biết rằng (P): y ax bx c , đi qua điểm và có đỉnh I 1;2 . Tính tổng
A2;3
A. S 2.
B. S 4.
C. S 6.
D. S 14.
Câu 4. Xác định phương trình của parabol (P):
và đi qua hai điểm M 0;1 , N2;1
.
2 2 2
S a b c .
2
y ax bx c , biết rằng (P) có đỉnh thuộc trục hoành
2
2
2
A. y x 2x
1.
B. y x 3x
1.
C. y x 2x
1.
D.
Câu 5. Hình bên là đồ thị của hàm số nào?
A. y 2x
3 .
B. y 2x
3 1.
C. y x 2 .
D. y 3x 2 1.
2
y x 3x 1.
Câu 6. Đường thẳng d: x y 1, a 0; b 0 đi qua điểm M 1;6
tạo với các tia Ox, Oy một tam
a b
giác có diện tích bằng 4. Tính S a 2b.
38
5 7 7
A. S .
B. S . C. S 10.
D. S 6.
3
3
Câu 7. Hình sau đây là đồ thị của hàm số nào?
A.
B.
C.
D.
y x 2 x .
2
2 3
1 5
2 2
2
y x x .
2
y x 2x.
1 2
3 3 x
2
y x 1.
2
Câu 8. Cho parabol (P): y ax bx c a 0 . Xét dấu hệ số a và biệt thức của phương trình
parabol (P) khi cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và có đỉnh nằm phía trên trục hoành.
A. a 0, 0. B. a 0, 0. C. a 0, 0. D. a 0, 0.
Đáp án:
1 – B 2 – A 3 – D 4 – A 5 – B 6 – C 7 – D 8 – D
Trang 14

PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Đại cương về phương trình
Phương trình một ẩn
CHƯƠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH,
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có
dạng f x g x (1).
Trong đó: f(x) và g(x) là những biểu thức của x
x gọi là ẩn.
Nếu có số thực x 0 sao cho
g x
f x
0 0
mệnh đề đúng thì x 0 được gọi là một nghiệm của
phương trình (1).
Ta nói: f(x) là vế trái của phương trình (1),
g(x) là vế phải của phương trình (1).
Ta có: f(x) và g(x) xác định lần lượt trên D f
và D g . Khi đó D D D gọi là tập xác định của
phương trình.
f
Tập hợp chứa tất cả các nghiệm của
phương trình (1) được gọi là tập nghiệm của
phương trình (1).
Phương trình nhiều ẩn:
Ví dụ:
3x 4y 5 9x 1: phương trình hai ẩn x và y.
2
4x y z 6 :
Phương trình chứa tham số
g
phương trình ba ẩn x; y; z.
Ví dụ: 5x m 1 0: phương trình một ẩn x,
tham số m.
y, tham số m.
2 3
4x y 2 m : phương trình hai ẩn x và
Chú ý: Than sốm trong phương trình đóng vai trò
như một hằng số.
2. Phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn
là
VÀ BẬC HAI MỘT ẨN
Phương trình tương đương
Hai phương trình được gọi là tương đương
khi chúng có cùng tập nghiệm.
Nếu phương trình
với phương trình
1 1
f x
f x g x
.
f x g x f x g x
1 1
Cho phương trình
f x
g x
thì ta viết
g x
tương đương
xác định trên
D và h(x) xác định trên D. Khi đó, ta có:
f x g x f x h x g x h x
và
f x g x f x .h x g x .h x ; h x 0 .
Phương trình hệ quả
Nếu mọi nghiệm của phương trình
g x đều là nghiệm của phương trình
f x
f x
g x
thì phương trình f x g x
được
1 1
1 1
gọi là phương trình hệ quả của phương trình
g x .
f x
Ta viết
f x g x f x g x .
1 1
2 2
f x g x f x g x
.
Ta có
Chú ý:
Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng: ax b 0 a 0 .
2
Phương trình bậc hai một ẩn có dạng: ax bx c 0 a 0 .
Nếu hai vế của một phương trình luôn cùng
dấu thì khi bình phương hai vế của nó, ta được một
phương trình tương đương.
Nếu phép biến đổi tương đương dẫn đến
phương trình hệ quả, ta phải thử lại các nghiệm tìm
được vào phương trình ban đầu rồi mới kết luận
nghiệm.
Trang 1

2
Ta có: b 4ac và ' b ' ac, trong đó
Định lí Vi-ét: Phương trình
Nếu u và v có
2
2
ax bx c 0 a 0
b
b ' .
2
có hai nghiệm x 1 ; x 2 thì:
u v S
thì u và v là các nghiệm của phương trình
uv
P
3. Một số phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai
Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Phương trình chứa ẩn ở mẫu.
Phương trình chứa dấu căn.
Phương trình bậc ba.
Phương trình bậc bốn trùng phương.
PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình
1. Phương pháp giải
Một số cách xác định điều kiện:
Đa thức xác định với mọi giá trị thuộc .
f x
Phân thức xác định khi g x
0 .
g x
Căn thức
Phân thức
Phân thức
f x
f x
g x
2
f x
g x
2. Ví dụ minh họa
xác định khi
xác định khi
xác định khi
f x
0.
g x
0
g x
0
Ví dụ 1: Tập xác định của phương trình
Chú ý:
2
x Sx P 0
b
S x1 x2
a
c
P x
1.x
2
a
Ta cần phân biệt điều kiện xác định và tập xác
định.
x 2 1 2
x 2 x x x 2
Điều kiện xác định là điều kiện nào đó của
ẩn.
Tập xác định là tập hợp
Ví dụ: phương trình
x 0
là x 0 , có tập xác định là D 0; .
là
có điều kiện xác định
A. \ 2;0 . B. \ 2; . C. \ ; 2
. D. \ 2;0;2
.
Hướng dẫn
x 2 0 x 2
Cách 1: Phương trình có điều kiện xác định : x 0 x 0
x 2 0
x 2
Vậy tập xác định của phương trình là \ 2;0;2
.
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS
Trang 2

Thử các đáp án:
Thay x 2 vào phương trình , ta thấy máy tính hiện MATH ERROR, do đó x 2 không thuộc
tập xác định. Nên loại đáp án B.
Thay x 2
vào phương trình, ta thấy máy tính hiện MATH ERROR, do đó x 2
không thuộc
tập xác định. Nên loại đáp án A và C.
Chọn D.
Ví dụ 2: Tập xác định của phương trình
3x 2 4 3x 1
4
2 4
2 4
2 4
A. \ . B. ; . C. ; . D. .
3
3 3
3 3
\ ;
3 3
Cách 1: Phương trình có điều kiện xác định :
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS
Thử các đáp án:
Hướng dẫn
là
2
x
3x 2 0 3 2 4
x ; .
4 3x 0 4 3 3
x
3
Thay 4
4
x vào phương trình , ta thấy máy tính hiện 1
2 , do đó x thuộc tập xác định. Nên loại
3
3
đáp án A, B và D.
Chọn C.
3x 1
Ví dụ 3: Tìm tập xác định của phương trình 4 .
2 2
x 2 3x 5
A. D .
B. D \ 2
C. D \ 3
D.
Phương trình có điều kiện xác định:
Vậy tập xác định của phương trình là D .
Chọn A.
Ví dụ 4: Cho phương trình
là
Hướng dẫn
2
x 2 0
(luôn đúng).
2
3x 5 0
2x 1 7x 6x 4
2 2 2
x 5x 6 x 6x 8 x 7x 12
D \ 5
,
tập xác định của phương trình trên
4;
A. . B. \ 2;3;4 . C. . D. \ 4 .
Hướng dẫn
2
x 5x 6 0 x 2
2
Phương trình có điều kiện xác định : x 6x 8 0 x 3
2
x 7x 12 0
x 4
Vậy tập xác định của phương trình trên là \ 2;3;4 ..
Trang 3

Chọn B.
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. (ID:31923) Tập xác định của phương trình
1 3 4
2
x 2 x 2 x 4
2;
A. . B. \ 2;2
. C. 2; . D. .
Câu 2. (ID: 31924) Tập xác định của phương trình
2x 1 6 5x
3 x 2x 1 3x 2
1 2
A. 3; . B. 3;
. C. \ ;3; . D.
2 3
Câu 3. (ID: 31925) Điều kiện xác định của phương trình
1
x
2
x 1 0
là
là
là
1 3
\ ;3; .
2 2
2
2
A. x 0 . B. x 0 . C. x 0; x 1
0 . D. x 0; x 1 0 .
Đáp án:
1 - B 2 - C 3 - C
Dạng 2: Phương trình tương đương, phương trình hệ quả
1. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
A. 3x x 2 x 2 x 2 3x x
2 . B.
2
10x 1 3x 10x 1 9x .
C. 3x x 2 x 2 3x x 2 x 2 . D. Cả A, B, C đều sai.
Hướng dẫn
Đáp án A và B: Ta thấy hai phương trình này không có cùng tập nghiệm. Từ đó suy ra hai phương trình
đó không tương đương với nhau.
Đáp án C: chuyển vế các hạng tử của phương trình thì ta được phương trình tương đương
Chọn C
Ví dụ 2: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?
A. x 3 2 x 3 4 . B. x 2 x 2 .
x x 3
C. 2 x 2 . D. x 2 3 2 x x 2 0 .
x 3
Hướng dẫn
Đáp án A: Ta bình phương hai vế thì được phương trình hệ quả.
Đáp án B: Vì
Chọn B.
x 2 x 2.
Nên đáp án B sai.
Ví dụ 3: Phương trình
x 4 2
x 2
là phương trình hệ quả của phương trình nào?
A. x 2 x 4 . B. x 4 x 2 . C. x 4 x 2 . D. x 4 x 2 .
Hướng dẫn
Trang 4

Đáp án A: Ta có x 2 x 4 x 2 x 4 2
.
Chọn A.
Ví dụ 4: Cho phương trình
2
x 3 x 1 x 1 0. Phương trình đã cho tương đương với phương trình
2
A. x 1 0 . B. x 1 0 . C. x 1 0 . D. x 1 x 1 0.
Phương trình đã cho có nghiệm x 1
hoặc x 1.
Hướng dẫn
Đáp án A: phương trình có nghiệm x 1. Loại đáp án A.
Đáp án B: phương trình vô nghiệm . Loại đáp án B.
Đáp án C: phương trình có nghiệm x 1. Loại đáp án C.
Đáp án D: phương trình có nghiệm x 1
hoặc x 1. Chọn đáp án D.
Chọn D.
2
Ví dụ 5: Cho hai phương trình x x 1 01
và 2 x 1 72 .
Chọn khẳng định đúng nhất
x 2
trong các khẳng định sau.
A . Phương trình (1) và (2) tương đương
B. Phương trình (2) là phương trình hệ quả của phương trình (1).
C. Phương trình (1) là phương trình hệ quả của phương trình (2).
D. Cả A, B, C đều đúng.
Hướng dẫn
Giải phương trình (1), ta thấy phương trình (1) vô nghiệm.
2 x 0
Giải phương trình (2), ta có điều kiện x .
nên phương trình (2) vô nghiệm .
x 2 0
Nên đáp án A, B, C đều đúng.
Chọn D.
Ví dụ 6: Tập nghiệm của phương trình
2 2
x 5x 5x x
A. T 0 . B. T 0;5 . C. T \ 0;5 . D. T 5 .
Phương trình có điều kiện xác định:
Hướng dẫn
2
x 5x 0
2
x 0
x 5x 0
2
5x x 0
x 5
là
Thay x 0 và x 5 vào phương trình, ta thấy thỏa mãn.
Vậy tập nghiệm của phương trình là T 0;5 .
Chọn B.
2. Bài tập tự luyện
Câu 1.(ID:32)Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình 3x 5 0 ?
A. 5x 3 2x 9 B. 4x 7 x 8
C. 6x 3 3x 9 D. 7x 9 x 1
Trang 5

Câu 2. ID: 38) Phương trình
2x 1 3x 1
nhận phương trình nào sau đây là phương trình hệ quả?
2
3
2
A. x 2x 1 0 B. x 8 0
C. x 5x 6 0 D. x 2 0
Câu 3. (ID: 31) Hai phương trình 2x 1 0 và 2m 4 x 2m 5 0 tương đương khi
A. m là số nguyên tố. B. m 0 . C. m 1. D. m 0 .
Đáp án:
1 - D 2 - C 3 - C
Dạng 3: Giải và biện luận phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn
1. Phương pháp giải
Giải và biện luận phương trình dạng
Trường hợp 1:
a 0;b 0
trình (1) nghiệm đúng với mọi x.
Trường hợp 2:
trình (1) vô nghiệm.
a 0
b 0
a 0
a 0;b 0
suy ra phương trình
(1)
Là phương trình bậc nhất một ẩn.
(1)
b
Có nghiệm duy nhất x .
a
Chú ý:
Phương trình (1) vô nghiệm khi
ax b 0 1
suy ra phương
suy ra phương
a 0
b 0
Phương trình (1) có vô số nghiệm khi
Phương trình (1) có nghiệm khi a 0 .
Khi tìm điều kiện để phương trình (1) có
nghiệm (hoặc vô nghiệm), ta có thể tìm điều kiện
để phương trình (1) vô nghiệm (hoặc có nghiệm),
sau đó lấy kết quả ngược lại.
Giải và biện luận phương trình dạng
2
ax bx c 0 2
Trường hợp 1: a 0 . Ta có:
2
bx c 0
Trường hợp 2 :
trình bậc hai một ẩn có
(Đưa về dạng trên).
a 0 . Ta có : (2) là phương
2
b
4ac
0 , phương trình (2) vô nghiệm.
0 , phương trình (2) có nghiệm kép
b
x .
2a
0,
b
biệt x1,2
.
2a
Chú ý:
phương trình (2) có hai nghiệm phân
Phương trình (2) vô nghiệm khi
a b 0 a 0
hoặc .
c 0 0
Phương trình (2) có nghiệm duy nhất khi
a 0 a 0
hoặc .
b 0 0
a 0
khi .
0
Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Phương trình
a 3 x b 2
vô nghiệm khi giá trị a, b là
A. a 3 ; b tùy ý. B. a tùy ý; b 2 . C. a 3 ; b 2 . D. a 3 ; b 2 .
Ta có : a 3 x b 2 a 3
x 2 b
Hướng dẫn
Trang 6

Phương trình vô nghiệm khi
Chọn C.
a 3 0 a 3
.
2 b 0 b 2
2
2
Ví dụ 2: Với m a thì phương trình m 9 x 3m m 3 có nghiệm duy nhất. Giá trị của a 2 là
A. 7. B. 11. C. -11. D. -2.
Để phương trình
Vậy
2 2
a 9 a 2 7.
Chọn A.
Ví dụ 3: Phương trình
m 2
9 x 3m m 3
Hướng dẫn
có nghiệm duy nhất thì
2 2
m 4m 3 x m 3m 2
có vô số nghiệm khi
2
m 9 0 m 3.
A. m 3 . B. m 2 . C. m 1
và m 3 . D. m 1.
Hướng dẫn
m 1
2
m 4m 3 0 m 3
Phương trình trên có vô số nghiệm khi
m 1.
2
m 3m 2 0 m 1
m 2
Chọn D.
Ví dụ 4: Với điều kiện nào của a thì phương trình
nghiệm âm ?
a 2 2
x 4 4x a
có nghiệm duy nhất và là
A. 0 a 4 . B. a 4 . C. 0 a . D. a 0;a 4 .
2 2
Ta có
a 2 x 4 4x a a 4a x 4 a.
Phương trình có nghiệm duy nhất khi
Hướng dẫn
2 a 0
a 4a 0
a 4
4 a 1
Khi đó phương trình có nghiệm x
2
a 4a a
Phương trình có nghiệm âm khi x 1 0 a 0 .
a
Kết hợp các điều kiện trên, ta có 0 a 4 .
Chọn A.
Ví dụ 5: Cho phương trình
nghiệm ?
2
x 2 m 2 x 2m 1 0 1
. Giá trị nào của m thì phương trình (1) có
A. m 5
hoặc m 1. B. m 5
hoặc m 1.
C. 5 m 1. D. m 1
hoặc m 5 .
Trang 7

Phương trình trên có nghiệm khi:
Hướng dẫn
2 2
0
2 m 2 4.1. 2m 1 0 4 m 2 4 2m 1 0
m 5
2 2
m 1
m 2 2m 1 0 m 6m 5 0 .
Chọn B.
Ví dụ 6: Với giá trị nào của tham số m thì phương trình
biệt?
2
mx 2 m 2 x m 3 0
có hai nghiệm phân
A. m 4.
B. m 0 . C. m 4 . D. m 4 và m 0 .
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi :
Hướng dẫn
m 0
m 0
m 0
m 0 m 0
2 2
0
2m 2 4mm 3 0
m 2 mm 3
0 m 4 0 m 4
Chọn D.
3. Bài tập tự luyện
2
Câu 1. (ID: 20) Để phương trình mx 2 3x 2m có nghiệm duy nhất thì m m phải khác số nào?
A. 3. B. 1. C. 12. D. 5.
Câu 2.(ID: 24) Tìm tập hợp m để phương trình
mx m 0
vô nghiệm.
A. . B. 0 . C. . D. .
2
Câu 3. (ID: 31947) Phương trình x m 0 có nghiệm khi và chỉ khi :
A. m 0 . B. m 0 . C. m 0 . D. m 0 .
Câu 4. (ID: 31948) Cho phương trình
định nào sai ?
A. Nếu m 4 thì phương trình vô nghiệm.
2
mx 2 m 2 x m 3 0.
Trong các khẳng định sau, khẳng
m 2 4 m m 2 4 m
B. Nếu 0 m 4 thì phương trình có nghiệm x
, x
.
m
m
3
C. Nếu m 0 thì phương trình có nghiệm x .
4
3
D. Nếu m 4 thì phương trình có nghiệm kép x .
4
Câu 5. (ID: 31949) Cho phương trình
khi
2
x 1 x 4mx 4 0.
Phương trình có ba nghiệm phân biệt
3
3
A. m .
B. m . C. m . D. m 0 .
4
4
Câu 6. (ID: 311950) Cho phương trình
của m thì phương trình (1) có nghiệm kép ?
2
m 1 x 6 m 1 x 2m 3 0
(1). Với giá trị nào sau đây
Trang 8

7
6
6
A. m . B. m . C. m . D. m 1.
6
7
7
Đáp án:
1 - C 2 - A 3 - C 4 - D 5 - B 6 - C
Dạng 4: Ứng dụng của định lí Vi -ét
1. Phương pháp giải
Cho phương trình bậc hai
2
ax bx c 0 a 0 1
Phương trình (1) có hai nghiệm x 1 ; x 2 . Khi đó ta có:
b
S x1 x2
a
c
P x
1.x
2
a
Chú ý:
Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi ac 0 .
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho phương trình
Vì
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt dương
0
khi S 0 .
P 0
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt âm khi
0
S 0 .
P 0
2
3 1 x 2 5 x 2 3 0. Chọn khẳng định đúng
A. Phương trình vô nghiệm. B. Phương trình có hai nghiệm dương.
C. Phương trình có hai nghiệm âm. D. Phương trình có hai nghiệm trái dấu.
ac 3 1 2 3
0
Chọn D.
Hướng dẫn
nên phương trình có hai nghiệm trái dấu.
Ví dụ 2: Hai số 1 2 và 1
2 là các nghiệm của phương trình
2
2
2
A. x 2x 1 0 B. x 2x 1 0
C. x 2x 1 0 D.
S x1 x2
2
Đặt x1 1
2; x2
1
2. Ta có .
P x
1.x 2 1
Suy ra phương trình nhận x 1 ; x 2 là nghiệm là
Chọn B.
Ví dụ 3: Cho phương trình
biệt là
Hướng dẫn
2 2
x Sx P 0 x 2x 1 0.
2
x 2x 1 0
x 4 m 1 x 2 m 2 0. Giá trị của m để phương trình có ba nghiệm phân
A. m 2 . B. m 1. C. m 2 . D. m không dương.
Hướng dẫn
2
2
Đặt t x 0, khi đó phương trình đã cho trở thành t m 1 t m 2 01
Trang 9

Để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt thì phương trình (1) có một nghiệm
dương.
2
Thay t 0 vào (1) ta được: 0 m 1
0 m 2 0 m 2 0 m 2.
Với
Vậy với
m 2 , phương trình (1) trở thành
m 2
Chọn A.
phương trình ban đầu có ba nghiệm.
2
2 t 0 x 0 x 0
t t 0 .
2
t 1
x 1
x 1
t 0
và một nghiệm
2
Ví dụ 4: Phương trình x mx m 1 0 (với m là tham số) luôn có nghiệm với mọi m. Gọi x 1 , x 2 là hai
nghiệm của phương trình. Tìm hệ thức liên hệ giữa x 1 , x 2 không chứa m.
A. x
1.x 2
2x1 x2
1. B. x
1.x 2
x1 x2
1.
C. x
1.x 2
x1 x2
2
. D. x
1.x 2
x1 x2
2 .
Áp dụng định lí Vi-ét có
Hướng dẫn
x1 x2 m m x1 x2
x1x2 m 1 x1x2 x1 x2
1
Vậy hệ thức liên hệ giữa x 1 ; x 2 không chứa m là x1x2 x1 x2
1
Chọn B.
2
Ví dụ 5: Cho phương trình x 7x 260 0 có một nghiệm x1
13.
Tìm x 2 .
A. -20. B. -27. C. 20. D. 8.
Ta có x1 x2 7 x2 7 x1
20.
Chọn A.
Hướng dẫn
Ví dụ 6: Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình
x x 1?
2 2
1 2
2
2x 3x m 0
có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức
A. vô số. B. 1. C.0. D. 2.
Hướng dẫn
Phương trình có hai nghiệm khi 2
9
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có
3
x1 x2
2
m
x1x2
2
0 3 4.2.m 0 9 8m 0 m .
8
Ta có
2 2
2
3 m 5
x1 x2 1 x1 x2 2x1x2
1 2. 1 m
2 2 4
Vậy không có giá trị của m thỏa mãn.
Chọn C.
2
(loại).
Trang 10

Ví dụ 7: Cho phương trình
2
x m 2 x m 1 0.
Tổng bình phương các giá trị của m bằng bao nhiêu
để phương trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia?
5
A. 1. B. C.2. D.
4
2
Ta có:
x m 2 x m 1 0.
Hướng dẫn
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi 2 2
m 2 4m 4 m 0 m 0.
1 .
4
Theo định lí Vi-ét và giả thiết ta có
m 2
x2
3
x1 x2 m 2
2 m 1
m 2
x1x2
m 1 2. m 1
1
3 m
x 2x
2
1 2
x1 2x2
2 1
5
Vậy tổng bình phương các giá trị m thỏa mãn là 1 .
2 4
Chọn B.
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. (ID: 229) Biết phương trình
m. Tìm m để x x 2x x 2 0 .
1 2 1 2
2 2
x 2mx m 1 0
A. m 1
hoặc m 2
. B. m 0 .
C. m 2 . D. m 3 .
Câu 2. (ID: 231) Xét phương trình
không dương là
2
ax bx c 0.
2
luôn có hai nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 với mọi
Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt
a 0
a 0
0
0
0
A.
B. ab 0
C.
D.
ab 0
ab 0
ac 0
ac 0
ac 0
Câu 3. (ID: 288) Cho phương trình
phân biệt sao cho
A x x 3x x
2 2
1 2 1 2
x 2 2 m 1 x m 2 3 0.
đạt giá trị lớn nhất.
a 0
0
ab 0
ac 0
Tìm m để phương trình có hai nghiệm
A. m 4
. B. m 2
. C. m 8
. D. m 0 .
Câu 4. (ID: 291) Cho phương trình 3x 2 4 m 1 x m 2 4m 1 0. Có bao nhiêu giá trị của m để
1 1 1 x
1 x
2 ?
x x 2
phương trình có hai nghiệm x 1 ; x 2 thỏa mãn
1 2
A. 0. B. 2. C. 1. D. 3.
Đáp án:
1 - A 2 - D 3 - A 4 - B
Trang 11

Dạng 5: Một số phương trình quy về phương trình một ẩn
1. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tập nghiệm của phương trình
x 2 3x 5
là tập hợp nào sau đây?
7 3
3 7
3 7
7 3
A.
; . B.
; . C. ; . D.
; .
4 2
2 4
2 4
4 2
Hướng dẫn
3
x
x 2 3x 5 2x 3 2
Ta có x 2 3x 5
x 2 5 3x
4x 7 7
x
4
Chọn C.
Ví dụ 2: Phương trình
2x 4 x 6 0
có bao nhiêu nghiệm?
A. 2. B. 1. C.0. D. Vô số.
Điều kiện xác định : x 6
Ta có
Hướng dẫn
x 10
2x 4 x 6 0 x 10 0
2x 4 x 6 0
2
2x 4 x 6 0
3x 2 0 x
3
Vậy phương trình vô nghiệm.
Chọn C.
(loại).
Ví dụ 3: Tập nghiệm của phương trình
2
x 5x 4
2x 4
2x 4
A. S 2 . B. S 1 . C. S 0;1 . D. S 7 .
Điều kiện xác định : x 2.
Ta có
2
x 5x 4
Hướng dẫn
x 0
2x 4
Vậy S 7 .
Chọn D.
2 2
2x 4 x 5x 4 2x 4 x 7x 0
Ví dụ 4: Số nghiệm của phương trình
2
x 1 x 3x 2 0
là
là
x 7
A. 0. B. 2. C.1. D. 3.
Điều kiện xác định: x 1.
Hướng dẫn
(loại
)
(thỏa mãn)
Trang 12

Ta có
x 1
x 1 0
(thỏa mãn).
x 3x 2 0
x 2
2
x 1 x 3x 2 0
x 1
2
Vậy phương trình có ba nghiệm.
Chọn D.
Ví dụ 5: Phương trình nào sau đây có bao nhiều nghiệm âm
6 3
x 2019x 2018 0?
A. 0. B. 1. C.2. D.6.
Hướng dẫn
Phương trình x 6 2019x 3 2018 0
(1)
3
2
Đặt x t, khi đó phương trình (1) trở thành t 2019t 2018 0
(2)
Ta thấy: vì 1. 2018 0 suy ra phương trình (2) có nghiệm t trái dấu.
Với nghiệm t âm ta có một nghiệm x âm.
Vậy phương trình (1) có một nghiệm âm.
Chọn B.
Ví dụ 6: Phương trình
4 2
x 2 2 1 x 3 2 2 0
có bao nhiêu nghiệm?
A. 2. B. 3. C. 4. D. 0
Hướng dẫn
4 2
Phương trình x 2 2 1 x 3 2 2 0
(1)
2
2
Đặt t x t 0 , khi đó phương trình (1) trở thành t 2 2 1 t 3 2 2 0 (2)
Phương trình (2) có a.c 13 2 2 0
Suy ra phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu.
Suy ra phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Chọn A.
2. Bài tập tự luyện
Câu 1. (ID: 730) Tổng bình phương tất cả các nghiệm của
2
x x 6
x 2 0
x 2
41
1
25
81
A. . B. . C. . D. .
4
4
4
4
Câu 2. (ID :745) Phương trình
x m
x 1 x 1
có nghiệm khi
A. m 1. B. m 1. C. m 1. D. m 1.
Câu 3. (ID: 755) Cho phương trình
phương trình trên là
2 2 2
x x 4 x x 1 2x 2x 9.
A. 1. B. -1. C. 0. D. 2.
Đáp án:
là
Tổng các nghiệm của
Trang 13

1 - C 2 - A 3 - B
PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP
Câu 1. (ID: 22) Với
a 0;b 0 thì phương trình ax b 0
A. Có nghiệm duy nhất. B. Có vô số nghiệm.
C. Vô nghiệm . D. Có hai nghiệm phân biệt.
Câu 2. (ID: 27) Cho phương trình
phương trình có tập nghiệm là ?
2 2
m 3m 2 x m 4m 5 0. Có bao nhiêu giá trị của m để
A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số.
Câu 3. (ID: 37) Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm duy nhất?
A. 3x 2 x 1 2 2x . B. 2 2
x 1 x 2 .
3
C. x 1 3x 2x 1
. D. x 3x 0 .
Câu 4. (ID: 66) Tổng các giá trị của m để phương trình
2x 3m x 2
3
x 2 x 1
vô nghiệm là
7
4
11
A. . B. . C. 0. D. .
3
3
3
Câu 5. (ID: 682) Tập xác định của phương trình
1 x
x 2
2
x 1 5 x
2;5
A. . B. 2;5 \ 1 . C. 2;5 \ 1 . D. 2;5 \ 1
.
là
Câu 6. (ID: 690) Phương trình
2 2
x 4 1 x x 16
tương đương với phương trình nào dưới đây?
2
1 x 0
x 4 0
2
1 x x 4
A.
B. x 4 0 C. D.
2
x 4 0
1 x x 4
2
2
1 x x 4 1 x 0
Câu 7. (ID: 711) Tổng bình phương các giá trị của m để phương trình
là:
x 4 0
2
1 x x 4
2
2 m 1 x 5 3
A. 1. B. 2. C. 0. D. 29.
2 2
Câu 8. (ID: 726) Phương trình 9x 1 3x 1 2 5x 1 0 có bao nhiêu nghiệm ?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 9. (ID: 759) Phương trình
2 3
2 x 2 5 x 1
có nghiệm x 1 ; x 2 . Tính x1 x
2
.
5 37
A. 5. B. 37 . C. 5 37 . D. .
2
Câu 10. (ID: 761) Số nghiệm của phương trình
2 3
2 x 3x 2 3 x 8
A. 1. B. 2. C. 0. D. 3.
là
vô nghiệm
Trang 14

1 - C 2 - A 3 - B 4 - D 5 - D 6 - B 7 - B 8 - A 9 – B 10 - B
Trang 15

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Các hệ phương trình cơ bản:
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
a1x b1y c1
a x b y c
2 2 2
.
Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn
a1x b1y c1z d1
a x b y c z d
a x b y c z d
2 2 2 2
3 3 3 3
PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP
.
Dạng 1: Hệ phương trình bậc nhất hai, ba ẩn
1. Phương pháp giải
Một số phương pháp giải hệ phương trình
Chú ý:
Phương pháp thế
Phương pháp đại số
Đặt ẩn phụ
CHUYÊN ĐỀ 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
Ta có thể sử dụng máy tính để tìm nghiệm của một
số hệ phương trình đơn giản. Sử dụng máy tính
CASIO fx 570VN PLUS: MODE 5 1
Nếu máy tính hiện No – Solution thì hệ
phương trình vô nghiệm.
Nếu máy tính hiện Infinite – Sol thì hệ phương
trình có vô số nghiệm.
Nếu hệ phương trình có nghiệm, máy tính sẽ
cho kết quả x, y.
Biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
a1x b1y c1
a x b y c
2 2 2
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Nghiệm của hệ phương trình
3x y 1
4x 3y 2
VÀ BẬC HAI HAI ẨN
Các hệ phương trình đặc biệt:
Hệ phương trình đối xứng loại 1.
Hệ phương trình đối xứng loại 2.
Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2.
Hệ có nghiệm duy nhất khi a1b2 a
2b1
0.
Khi đó hệ có nghiệm
c b c b a c a c
x ; y
a b a b a b a b
1 2 2 1 1 2 2 1
1 2 2 1 1 2 2 1
.
a1b2 a
2b1
0
Hệ vô nghiệm khi
hoặc
c1b2 c2b1
0
a1b2 a
2b1
0
.
a1c2 a
2c1
0
A. 2 3;4 2 3 . B. 2 3;4 2 3 .
a1b2 a
2b1
0
Hệ có vô số nghiệm khi c1b2 c2b1
0 .
a1c2 a
2c1
0
là
Trang 1

2 3;4 2 3
C. 2 3;4 2 3 . D.
Cách 1: Từ phương trình đầu ta được
Hướng dẫn
y 1
3x.
4x 3 1 3x 2 4x 3 3x 2 x 2 3
Suy ra y 1 3 2 3 4 2 3 .
Cách 2: Sử dụng máy tính fx 570VN PLUS
Nhập MODE 5 1, sau đó nhập lần lượt các hệ số của hệ phương trình
nghiệm là đáp án B.
→ Chọn B.
Ví dụ 2: Hệ phương trình nào sau đây có duy nhất một nghiệm?
Thế vào phương trình thứ hai ta được:
5x y 3
x y 3
x y 1
A.
B.
C. D.
10x 2y 1
2x 2y 6
x 2y 0
Hướng dẫn
3 1 1
. Ta nhận được
4 3 2
3x y 1
6x 2y 0
Bấm nghiệm của các hệ phương trình này, ta thấy hệ phương trình ở đáp án C có nghiệm duy nhất.
→ Chọn C.
2x y 4
Ví dụ 3: Hệ phương trình x 2z 1 2 2 có nghiệm là a;b;c
. Giá trị của a b c là
y z 2 2
A. 3 2
B. 3 2
C. 3 2
D. 3 2
Cách 1: Từ phương trình đầu ta có
y 4 2x
4 2x z 2 2 2x z 2 2.
Hướng dẫn
Kết hợp với phương trình thứ hai, ta có hệ phương trình:
, thế vào phương trình thứ ba ta được:
2x z 2 2 2x z 2 2
2x z 2 2
x 2z 1 2 2 2x 4z 2 4 2
5z 5 2
2x 2 2 2
x 1
y 2.
z 2
z 2
Suy ra nghiệm của hệ phương trình là 1;2; 2 .
Tức là
a 1;b 2;c 2. Vậy a b c 1 2 2 3 2.
Cách 2: Sử dụng máy tính fx 570VN PLUS
Nhập MODE 5 2, sau đó nhập lần lượt các hệ số của hệ phương trình:
Trang 2

2 1 0 4
1 0 2 1 2 2 . Ta nhận được nghiệm của hệ phương trình là 1;2; 2 .
0 1 1 2 2
Vậy a b c 1 2 2 3 2.
→ Chọn C.
Ví dụ 4: Cho hệ phương trình
ax 2y a 1
. Với giá trị nào của tham số a thì hệ có nghiệm duy nhất?
2x ay 2a 1
A. a 2
. B. a 2 . C. a 3
. D. a 2
.
Hệ có nghiệm duy nhất thì
→ Chọn D.
a b a b 0, tức là
1 2 2 1
Hướng dẫn
2
a.a 2.2 0 a 4 0 a 2.
2 2
Ví dụ 5: Hệ phương trình x 4y 8
có nghiệm x; y. Giá trị của 3x 2y là
x 2y 4
A. -1. B.4. C.3. D.2.
Hướng dẫn
2 2
x 4y 8
x 4 2y x 4 2y x 2
Ta có: 2
3x 2y 4.
2
x 2y 4
4 2y
4y 8 y 1 y 1
Chọn B.
2x y 5
Ví dụ 6: Cho hệ phương trình
. Tìm a để hệ có nghiệm x; ysao cho biểu thức của
2y x 10a 5
x
y
2 2
đạt giá trị nhỏ nhất.
1
3
A. a
B. a C. a 1
D.
2
2
Ta có
Hướng dẫn
2x y 5 2x y 5 5y 20a 15 y 4a 3
2y x 10a 5 2x 4y 20a 10 2x y 5 x 1
2a
2 2 2 2 2 2
x y 4a 3 1 2a 16a 24a 9 1 4a 4a
2
2 2 1 2 1 1 1 1
20a 20a 10 20 a a 20 a 2a 20 a 5 5, a .
2 2 4 4 2
1
Dấu bằng xảy ra khi a .
2
→ Chọn A.
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. (ID: 352) Hệ phương trình nào sau đây có nghiệm là 1;1 .
1
a
2
Trang 3

x y 2
2x y 1
x y 0
A. B. C. D.
x 2y 0
4x 2
x 2y 3
4x y 3
y 7
2
ax y a
Câu 2. (ID: 382) Với a m thì hệ phương trình có nghiệm. Tổng lập phương các giá trị của
x ay 1
m là
A. 0. B. 1. C. 2. D. -1.
x y 5
Câu 3. (ID: 380) Hệ phương trình y z 1 có nghiệm a;b;c
. Khi đó a c b bằng
z x 2
A. 3. B. 7. C. 1. D. 9.
Đáp án:
1 - C 2 – D 3 - B
Dạng 2: Hệ phương trình đối xứng loại 1, loại 2.
1. Phương pháp giải
Hệ đối xứng loại 1
Dấu hiệu: Khi thay đổi vị trí của x và y cho
nhau thì hệ phương trình không thay đổi và trật tự
các phương trình cũng không thay đổi.
Phương pháp:
Biến đổi về dạng tổng và tích hai biến. Đặt
S x y,P xy .
Giải hệ với ẩn S và P với điều kiện có nghiệm
x; y
là
2
S
4P
Ta có x; y là các nghiệm của phương trình
2
t St P 0.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hệ phương trình
Hệ đối xứng loại 2
Dấu hiện: Khi thay đổi vị trí của x và y cho
nhau thì hệ không thay đổi và trật tự các phương
trình thay đổi (phương trình này thành phương trình
kia).
Phương pháp:
x.y x y 11
Khẳng định nào đúng?
2 2 .
x y xy 30
Lấy vế trừ vế và phân tích thành nhân tử, chú ý ta
luôn nhận được x y .
Chú ý: Ta có thể thử đáp án với các bài tập hỏi
nghiệm.
5;6
2;1
A. Hệ có một nghiệm là . B. Hệ có hai nghiệm và 3;5 .
2;3
1;5
2;3
3;2 , 1;5
C. Hệ có hai nghiệm và D. Hệ có bốn nghiệm , , 5;1 .
Đây là hệ phương trình đối xứng loại 1.
Ta có:
Hướng dẫn
x.y x y 11
x.y x y 11
2
. Đặt
2 2
S x y, P xy S 4P 0 .
x y xy 30
xyx y
30
Khi đó, hệ phương trình tương đương với hệ sau:
Trang 4

S 11
P
S P 11
S 11 P S 11
P
S 6;P 5
P 5
.
2
SP 30 11 P P 30
P 11P 30 0
S 5;P 6
P 6
Trường hợp 1: S 6 và P 5 , x; y là nghiệm của phương trình
x 1
x 5
Suy ra hoặc . Nên hệ phương trình có nghiệm 1;5 , 5;1
.
y 5 y 1
Trường hợp 2: S 5 và P 6, x; y là nghiệm của phương trình
x 2 x 3
Suy ra hoặc . Nên hệ phương trình có nghiệm 2;3 , 3;2
.
y 3 y 2
2;3 , 3;2
Vậy hệ phương trình có nghiệm , 1;5 , 5;1 .
2 t 1
t 6t 5 0
t 5
2 t 2
t 5t 6 0
t 3
→ Chọn D.
2 2
Ví dụ 2: Hệ phương trình x xy y 4
có bao nhiêu cặp nghiệm x; y?
x xy y 2
A. 3. B. 2. C. 4. D. 1.
Hướng dẫn
Đây là hệ phương trình đối xứng loại 1.
2
2 2 2 2
x xy y 4 x 2xy y xy 4
x y xy 4
Ta có
.
x xy y 2 x y xy 2
x y xy 2
2
Đặt S x y, P xy S 4P 0 . Khi đó ta thu được:
2 2 2
2
S P 4 S P 4
S 2 S 4 S S 6 0
S P 2 P 2 S
P 2 S
P 2 S
S 2
S 2;P 0
S 3
S 3;P 5
P 2 S
Trường hợp 1: S 2 và P 0, ta có x; y là nghiệm của phương trình :
2 t 0
t 2t 0
t 2
x 0 x 2
hoặc . Nên hệ phương trình có hai nghiệm.
y 2 y 0
2
Trường hợp 2: S 3
và P 5 , ta có x; y là nghiệm của phương trình : t 3t 5 0 (vô nghiệm).
Nên hệ phương trình có nghiệm.
Vậy hệ phương trình có hai cặp nghiệm x; y .
→ Chọn B.
Trang 5

Ví dụ 3: Hệ phương trình
3
x 2x 3y
3
y 2y 3x
có số cặp nghiệm là
A. 2. B. 4. C. 1. D. 3.
Hướng dẫn
Đây là hệ phương trình đối xứng loại 2. Trừ hai vế của hai phương trình ta được:
3 3
x y 2x 2y 3y 3x
3 3
x y x y 0
2 2
x y x xy y 1 0
x y 0
2 2
x xy y 1 0
2 2
Vì x xy y 1 0, x, y. Nên ta có được x y .
Thay
x y
vào phương trình thứ nhất ta có
x 0
3 3
x 2x 3x x 5x 0 .
x 5
Vậy nghiệm của hệ phương trình trên là 0;0 , 5; 5 , 5; 5 .
Chọn D.
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. (ID: 392) Hệ phương trình
2 2
x y xy 7
có số cặp nghiệm là
2 2
x y xy 3
A. 2. B. 4. C. 6. D. 8.
2 2
Câu 2. (ID: 381) Có bao nhiêu giá trị của m để hệ phương trình x y xy 2m
có nghiệm duy nhất ?
x y 4
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 3.(ID: 31997) Hệ phương trình
x y xy 5
2 2
x y xy 7
có cặp nghiệm là
1;2 2;1
A. hoặc . B. 2; 3 hoặc 3; 2
;
2;3
3;2
C. hoặc ; D. 1; 2 hoặc 2; 1
.
2
2x 9x 5y
Câu 4. (ID: 31998) Cặp nghiệm x; y , x 0, y 0 của hệ phương trình
là
2
2y 9y 5x
3;3
1;1 2;2
2;2
2;2
A. . B. , . C. . D. , 3;3 .
2
x 7y 15
Câu 5. (ID: 31999) Hệ phương trình
có bao nhiêu nghiệm ?
2
y 7x 15
A. 6. B. 4. C. 2. D. 0.
Đáp án:
(vô nghiệm)
Trang 6

1 - B 2 - B 3 - A 4 - C 5 -D
Dạng 3: Hệ phương trình đẳng cấp
1. Phương pháp giải
Dạng tổng quát
Phương pháp:
Ta có:
2 2
a1x b1xy c1y d1
a x b xy c y d
2 2
2 2 2 2
2 2
a1x b1xy c1y d1
a x b xy c y d
2 2
2 2 2 2
2 2
2
2
d2 a1x b1xy c1y d
1.d 2
1
d1 a
2x b2xy c2y d
1.d 2
2
Lấy (1) - (2) ta sẽ thu được một phương trình đẳng
cấp bậc 2, từ đó ta tìm được mối liên hệ giữa x và
y.
Chú ý:
Ta có thể thử đáp án với các bài tập hỏi nghiệm.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Hệ phương trình
2 2
y x 16
2 2
3x 4xy 2y 17
có bao nhiêu nghiệm?
A. 4. B. 3. C. 2. D. 0.
Hướng dẫn
2 2
3x 4xy 2y 17
2 2 2 2
Ta có
163x 4xy 2y 17y x
2 2
y x 16
2 2
65x 64xy 15y 0 13x 5y 5x 3y 0
5
x y
13
3
hay x y .
5
Trường hợp 1: Với
13 5
y x
3 3
13 5
y x
3 3
5
x y , ta có
13
2
2
2 2
5 144 169
y y
16 y 16 y
13 169 9
2
2 3 16 2 2
3
Trường hợp 2: Với x y , ta có y y
16 y 16 y 25
5
5 25
y 5 x 3
y 5 x 3
Vậy hệ phương trình có bốn cặp nghiệm.
→ Chọn A.
2 2
3x 5xy 4y 3
Ví dụ 2: Nghiệm của hệ phương trình
2 2
9x 11xy 8y 6
là
Trang 7

2; 2 ,
2; 2
A. 3; 3 , 3; 3
B.
C. 3; 3 ,
1 1 1 1
3; 3
D. ; , ;
2 2 2 2
2 2
3x 5xy 4y 3
Hướng dẫn
2 2 2 2
Ta có:
63x 5xy 4y 39x 11xy 8y
2 2
9x 11xy 8y 6
2 2
45x 3xy 48y 0 3 x y 15x 16y 0
x y
hay
Trường hợp 1: Với
16
x y.
15
x y,
ta có:
9x 11x 8x 6 12x 6 x
2
2 2 2 2 2 1
1 1
x thì y=
2 2
1 1
x thì y
2 2
Trường hợp 2 : Với
16
x y,
15
ta có
2
16 16 2 256 2 176 2 2
9 y 11 y y 8y 6 y y 8y 6
15 15
25 15
712 y
2
6
75
(phương trình vô nghiệm).
1 1 1 1
Vậy nghiệm của hệ phương trình là ; , ;
2 2 2 2
Chọn D.
PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP
Câu 1. (ID: 357) Hệ phương trình nào sau đây vô nghiệm ?
x y 1
x y 0
4x 3y 1
A. B.
C. D.
x 2y 0
2x 2y 6
x 2y 0
Câu 2. (ID: 365) Hệ phương trình
x my 0
có nghiệm duy nhất khi
mx y m 1
x y 3
x y 3
A. m 1. B. m 1. C. m 0 . D. m 1.
Câu 3. (ID: 32005) Hệ phương trình
x y 9
có nghiệm là
x.y 90
15;6 , 6;15
A. . B. 15; 6 , 6; 15
.
15;6 , 6;15
C. 15;6 , 6; 15 . D. , 15; 6 , 6; 15
.
Trang 8

Câu 4. (ID: 384) Cho một tam giác vuông. Khi ta tăng mỗi cạnh góc vuông lên 2cm thì diện tích tam giác
tăng thêm 17cm 2 . Nếu ta giảm mỗi cạnh góc vuông lần lượt đi 3cm và 1cm thì diện tích tam giác giảm
11cm 2 . Tính diện tích tam giác ban đầu.
A. 50cm 2 . B. 25 cm 2 2
. C. 50 5cm .
D.
Câu 5. (ID: 32002) Hệ phương trình
2 2
2x y 1
có đúng một nghiệm khi và chỉ khi
y x m
2
50 2cm .
6
6
6
A. m . B. m . C. m . D. m tùy ý.
2
2
2
Câu 6. (ID: 385) Một công ty Taxi có 85 xe chở khách gồm hai loại, xe bốn chỗ và xe 7 chỗ. Dùng tất cả
xe đó, tối đa mỗi lần công ty chở được 445 khách. Hỏi công ty có bao nhiêu xe mỗi loại?
A. 50 xe 7 chỗ và 35 xe 4 chỗ. B. 35 xe 7 chỗ và 50 xe 4 chỗ.
C. 45 xe 4 chỗ và 40 xe 7 chỗ. D. 40 xe 4 chỗ và 45 xe 7 chỗ.
Câu 7. (ID: 32003) Hệ phương trình
2x y 4
x 2z 1 2 2
y z 2 2
có nghiệm là
1;2;2 2
1;2; 2
A. . B. . C. 1;6; 2 . D. 2;0; 2 .
Câu 8. (ID: 387) Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 250m. Tìm chiều dài và chiều rộng của thửa
ruộng biết rằng khi ta giảm chiều dài 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thì chu vi thửa ruộng không đổi.
A. 32m và 25m. B. 50m và 45m.
C. 75m và 50m. D. 60m và 40m.
Câu 9. (ID: 32004) Hệ phương trình
x 1 y 0
2x y 5
có bao nhiêu cặp nghiệm?
A. 0. B. 1. C. 3. D. 4.
Câu 10. (ID: 32006) Cho hệ phương trình
phương trình nào sau đây?
2 2
x y 3x 2y 0
. Từ hệ phương trình này ta thu được
x y 4
A. 10x 24 0 . B. 16x 5 0 . C. 3x 2 0 . D. Một kết quả khác.
Câu 11.(ID: 32007) Hệ phương trình
2 3 13
x y
3 2 12
x y
có nghiệm là
A. 1 1
1 1
1 1
x ; y . B. x ; y . C. x ; y . D. Hệ vô nghiệm.
2 3
2 3
2 3
2 2
2x y 3xy 12
Câu 12. (ID: 32008) Hệ phương trình
có các cặp nghiệm với giá trị của x và
2 x; y
2
2x y
y 14
y thỏa mãn
x 0; y 0
là
Trang 9

2 2 1 2
A. . B. 2;1 , 3; 3 . C. ;3 , 3; . D. .
3
;1 , ; 3
3 2
3
1;2 , 2; 2
Câu 13.(ID: 32009) Hệ phương trình
x y 10
2 2
x y 58
có nghiệm là
x 3
x 7
x 3 x 7
A.
B.
C. ,
D. Một đáp số khác.
y 7
y 3
y 7 y 3
Câu 14. (ID :32010) Hệ phương trình
6 6
x y 27
3 3
x 3x y 3y
có bao nhiêu nghiệm?
A. 2. B. 0. C. 3. D. 1.
Câu 15. (ID: 320011) Hệ phương trình
3 x y 2 x y 17
x y 2 x y 5
có nghiệm là
1 7
1 7
1 7
1 7
A. ; . B. ; . C. ; . D. ; .
2 2
2 2
2 2
2 2
Câu 16. (ID: 359) Hệ phương trình nào sau đây có vô số nghiệm ?
x y 1
2x y 1
3x y 1
A. B. C. D.
x 2y 0
4x 2y 2 x 2y 0
Câu 17. (ID: 368) Cho hệ phương trình
mx 2y m 1
2x my 2m 5
1. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi m 2.
2. Hệ phương trình có vô số nghiệm khi m 2
.
3. Hệ vô nghiệm khi m 2 .
Các mệnh đề đúng là
và các mệnh đề sau
4x y 3
x 2y 7
A. Chỉ 1. B. Chỉ 2. C. Chỉ 2 và 3. D. Cả 1, 2, 3.
Đáp án:
1 - B 2 - D 3 - C 4 - B 5 -A 6 – B 7 – B 8 – C 9 – B 10 - D
11 – B 12 – A 13 – C 14 – A 15 – D 16 – B 17 - C
Trang 10

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Khái niệm
CHUYÊN ĐỀ 3: BẤT ĐẲNG THỨC
Các mệnh đề dạng "a b" hoặc "a b" được gọi là bất đẳng thức.
Nếu mệnh đề "a b c d" đúng thì bất đẳng thức c < d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a 0, ta có
1
a 2.
2
a b;b c a c
a b ac bc(c 0)
a b;c d ac bd(a 0;c 0)
2n 2n
a b a b (n *,a 0, b 0)
3 3
a b a b
1 1
a b (ab 0)
a b
Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y.
(Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất).
Nếu x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y.
(Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất).
4. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối
x 0, x x, x x
a b a b a b
Với a > 0:
x a a x a
x a x a hoặc x a
PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP
1. Phương pháp giải
Áp dụng các công thức ở phần lý thuyết.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Mệnh đề nào sau đây là đúng?
2
2
A. x , x 2 x 4.
B. x , x 4 x 2.
2
2
C. x , x 2 x 4.
C. x ,
x 4 x 2.
Trang 1

Ta có mệnh đề tương đương
→Chọn C.
2 x 2
x 4 ,
x 2
Hướng dẫn
Ví dụ 2: Cho số x > 6, số nào trong các số sau đây là nhỏ nhất?
nên chỉ có mệnh đề ở đáp án C là đúng.
6 6
A. .
B. 1.
C. D.
x
x 6 1.
x x .
6
Hướng dẫn
Ta có 6 6 6
6
1 1.
Để tìm số nhỏ nhất, ta so sánh 1 và
x x x
x
Vì
6 6 1 1 1 1 0
x
x
x 6
x 1
6
Suy ra 6 1
x .
x 6
x
6
Vậy số nhỏ nhất trong các số trên là
→Chọn C.
6 1.
x
2
Ví dụ 3: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 8x 12
với x là
A. – 8. B. – 4. C. – 5. D. – 3.
Ta có
Hướng dẫn
2 2 2
P x 8x 12 x 2x.4 16 4 (x 4) 4.
2 2
(x 4) 0 (x 4) 4 4
P 4.
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng – 4 khi x 4 0 x 4.
→Chọn B.
Ví dụ 4: Cho biểu thức
f (x) 1
x
2
. Kết luận nào sau đây đúng?
A. Hàm số f (x) chỉ có giá trị lớn nhất, không có giá trị nhỏ nhất.
B. Hàm số f (x) chỉ có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất.
C. Hàm số f (x) chỉ có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất.
D. Hàm số f (x) không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn
2 2 2
2
Ta có f (x) 0 và f(1) = 0. Vì x 0 x 0 1 x 1.
Mà 1
x 0
2 2
Suy ra 0 1 x 1 1 x 1 f (x) 1
và f(0) = 1.
Vậy hàm số f(x) có giá trị nhỏ nhất bằng 0 và giá trị lớn nhất bằng 1.
→Chọn C.
Trang 2

2
Ví dụ 5: Cho biểu thức T x 3x 1
với x 1
, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là
A. 5. B. 6. C. 7. D. 8.
Hướng dẫn
Ta có
2 2 3 9 5 3 5
T x 3x 1 x 2x. x .
2 4 4 2 4
2
Vì
2 2 2
3 3 5 3 5 25 3 5 25 5
x 1 x 1 x x 5.
2 2 2 2 2 4 2 4 4 4
T 5. Vậy T đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5 khi x = 1.
→Chọn A.
Ví dụ 6: Với hai số x, y dương thỏa mãn
xy 36,
bất đẳng thức nào sau đây đúng?
2 2
A. 4xy x y . B. x y 2xy 72. C. x y 2 xy 12.
D.
Hướng dẫn
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm x, y ta có:
x y 2 xy 2 36 12.
→Chọn C.
PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP
Câu 1. Nếu
a 2c b 2c
thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?
2
x y
xy 36.
2
2 2
1 1
A. 3a 3b.
B. a b .
C. 2a 2b.
D. .
a b
Câu 2. Nếu
0 a 1
thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?
1
A. a.
B. C. D.
a 1
a .
a a.
a
2
Câu 3. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f (x) x với x > 1.
x 1
3 2
a a .
A. m 1 2 2. B. m 1 2 2. C. m 1 2. D. m 1
2.
Câu 4. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
0 a b a b
A. .
B.
0 c d c d
a b a b
C. .
D.
c d c d
a b 0 a b
.
c d 0 c d
a b 0 a d
.
c d 0 b c
2
x 2x 2
Câu 5. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f (x)
với x > - 1
x 1
A. m = 0. B. m = 1. C. m = 2. D. m 2.
Đáp án:
1 - C 2 - A 3 - B 4 - D 5 - C
Trang 3

Trang 4

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
CHUYÊN ĐỀ 4: BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa bất phương trình một ẩn
Cho hai hàm số y f (x) và y g(x) có tập xác định lần lượt là D và . Đặt D D D . Mệnh đề
chứa biến có một trong các dạng
f (x) g(x), f(x) g(x),f(x) (x),f (x) g(x)
f
Dg
f g
trình một ẩn; x được gọi là ẩn số (hay ẩn) và D gọi là tập xác định của bất phương trình.
nghiệm của bất phương trình f (x) g(x) nếu f (x ) g(x ) là mệnh đề đúng.
0 0
2. Bất phương trình tương đương, biến đổi tương đương các bất phương trình.
Định nghĩa:
Hai bất phương trình (cùng ẩn) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
Ký hiệu:
Nếu f (x) g (x) tương đương với f (x) g (x) thì ta viết f (x) g (x) f (x) g (x)
1
1
2
2
1
1
2
2
được gọi là bất phương
Phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của bất phương trình gọi là phép biến đổi tương đương.
Định lý:
x0
D
là một
Cho bất phương trình f (x) g(x) có tập xác định D; y h(x) là hàm số xác định trên D. Khi đó trên
D, bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình sau:
1) f (x) h(x) g(x) h(x).
2) f(x).h(x) g(x).h(x) nếu h(x) 0 với mọi x D
3) f(x).h(x) g(x).h(x) nếu h(x) 0 với mọi x D
Hệ quả:
Cho bất phương trình
f (x) g(x)
3 3
1) f (x) g(x) f (x) g (x).
có tập xác định D. Khi đó:
2 2
2) f (x) g(x) f (x) g (x) với f (x) 0,g(x) 0, x D.
PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất.
1. Phương pháp giải
Giải bất phương trình dạng ax b 0 (1)
Nếu a = 0 thì bất phương trình có dạng 0.x + b 0 thì (1)
Nếu a < 0 thì (1)
Các bất phương trình dạng
b
b
x suy ra tập nghiệm là S ; .
a
a
b
b
x suy ra tập nghiệm là S ; .
a
a
ax b 0,ax b 0,ax b 0
được giải tương tự.
Trang 1

Chú ý: Để giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ta giải từng bất phương trình của hệ bất phương trình.
Khi đó tập nghiệm của hệ bất phương trình là giao của các tập nghiệm từng bất phương trình.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Chi nhị thức bậc nhất
f (x) 5x 20
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. f (x) 0 với x .
B. f (x) 0 với x ; 4 .
C. f (x) 0 với x ;4 .
D. f (x) 0 với x 4; .
5x 20 0 5x 20 x 4.
Vậy
f (x) 0 với x ;4 .
→Chọn C.
Ví dụ 2: Tập nghiệm của bất phương trình
Hướng dẫn
3
2 x 1
là
A. 1;2 .
B. (0; ).
C. ( ;4).
D. ( ; 1) (2; ).
Cách 1: Ta có
Hướng dẫn
3 3 3 2 x 1
x
1 1 0 0 0.
2 x 2 x 2 x 2 x
Khi đó ta có bảng xét dấu sau:
x -1 -2
1 + x - 0 + 0 +
2 – x + | + 0 -
f(x) - 0 + || -
Nhìn vào bảng xét dấu ta thấy tập nghiệm của bất phương trình là ( ; 1) (2; ).
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO Fx570 VNPLUS
Bước 1: Nhập hàm số
3
2 X 1
Bước 2: Sử dụng phím CALC. Chọn các giá trị của x thuộc đáp án này những không thuộc đáp án kia để
loại bỏ đáp án làm biểu thức không âm.
1
Chọn x = 0, nhập CALC 0 = ta được kết quả là do đó loại các đáp án chứa x = 0, loại A và C.
2 0,
Chọn x = 1, nhập CALC 1= ta được kết quả là 2 > 0, do đó loại các đáp án chứa x = 1, loại B.
→ Chọn D.
Ví dụ 3: Tìm giá trị nào của m để phương trình
2
(m 2)x 2(m1) x
4
vô nghiệm.
1
5 3
A. 0 m . B. m = 1. C. m . D. Không tồn tại m.
2
6 2
2 2
(m 2)x 2(m1) x 4 (m 2m 4)x 4 0
Hướng dẫn
Trang 2

Để bất phương trình vô nghiệm thì
2
m 2m 4 0
4 0 (lu«n §óng)
Hệ phương trình vô nghiệm nên không tồn tại m thỏa mãn.
→ Chọn D.
Ví dụ 4: Tìm m để bất phương trình
2
m x m(x1) 2(x 1) 0 nghiệm đúng với mọi x 2;1
3
3
A. 0 m . B. m 0.
C. m .
D.
2
2
m 0
3
m .
2
Đặt
2
f(x) (m m 2)x m 2.
Hướng dẫn
Bất phương trình nghiệm đúng với mọi x 2;1
3 2 m
2
0 m
2
m 2m 0 m 2 2
m 0
→ Chọn A.
2m
2 m 6 0 3
Ví dụ 5: Giải hệ bất phương trình
2x 1 3x 4
5x 4 8x 9
2
f( 2) 0 (m m 2)( 2) m 2 0
2
f(1) 0 (m m 2)(1) m 2 0
13
13
A. x .
B. 3 x . C. x 3.
D. x 3.
3
3
Hướng dẫn
x 3
2x 1 3x 4 x 3
13 x 3.
5x 4 8x 9 3x 13 x
3
→ Chọn C.
Ví dụ 6: Với giá trị nào của m thì hệ sau có nghiệm:
x 2m 2x m
3x 1 x 3
A. m 1.
B. m > 1. C. m = 1. D. m < -1.
x 2m 2x m x m
3x 1 x 3 x 1
Để phương trình có nghiệm thì m > 1.
→ Chọn B.
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Tìm m để bất phương trình
Hướng dẫn
x m 1 có tập nghiệm S 3;
Trang 3

A. m = -3. B. m = 4. C. m = - 2. D. m = 1.
Câu 2. Tập nghiệm của bất phương trình
1
x 2
1
1
A. ( ;0)
; B. C. D.
2
(0; ).
( ; )
2
Câu 3. Giải bất phương trình: x 1 x 2 x
3 1
x
2 3 4 2
là
1
(0; ).
2
11
11
6
4
A. S
; . B. C. D.
7 S
;5 .
7
S
; .
7 S
; .
9
Câu 4. Tìm m để bất phương trình
2
m x 3 mx 4
có nghiệm.
A. m = 1. B. m = 0. C. m = 3. D. x .
Đáp án:
1 - B 2 - D 3 - A 4 - D
Dạng 2: Bất phương trình bậc hai và hệ bất phương trình bậc hai một ẩn
1. Phương pháp giải
Tam thức bậc hai (đối với x) là biểu thức dạng
a 0.
Nghiệm của phương trình
2 2
f(x) ax bx c; b 4ac
tam thức bậc hai
2
ax bx c 0
và
2
f(x) ax bx c.
2
' b' ac
2
ax bx c.
Dấu của tam thức bậc hai được thể hiện trong bảng sau:
Trong đó a, b, c là những số cho trước với
được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai
theo thứ tự được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của
2
f(x) ax bx c,(a 0)
0 a.f(x) 0, x
0
0
b
a.f(x) 0, x \
2a
a.f(x) 0, x ( ;x 1) (x 2; )
a.f(x) 0, x (x ;x )
1 2
2
Bất phương trình bậc hai (ẩn x) là bất phương trình có một trong các dạng ax bx c 0 ,
2
ax bx c 0,
2
ax bx c 0,
2
Chú ý: Cho tam thức bậc hai ax bx c
2
ax bx c 0,
2 a 0
ax bx c 0, x
0
2 a 0
ax bx c, x
0
2
trong đó ax bx c làm tam thức bậc hai.
2 a 0
ax bx c 0, x
0
2 a 0
ax bx c 0, x
0
Cách giải: Để giải bất phương trình bậc hai, ta áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai.
2. Ví dụ minh họa
Trang 4

Ví dụ 1: Tìm tập nghiệm của bất phương trình sau:
2
5x 4x 12 0.
6
2
6
A. ;2 .
B. C. D.
2
; (2; ).
5
; 8; .
5
Hướng dẫn
2
6
Tam thức bậc hai: f(x) 5x 4x 12 có hai nghiệm x và x = 2.
5
Bảng xét dấu:
x
6
5
f(x) - 0 + 0 -
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:
→ Chọn D.
2
6
; 2; .
5
6
; 2; .
5
Ví dụ 2: Tìm m để
2
f(x) x 2(2m 3)x 4m 3 0, x
3
3
3 3
A. m .
B. m .
C. m . D. 1 m 3.
2
4
4 2
Hướng dẫn
2
2 0 4m 16m 12 0
f(x) x 2(2m 3)x 4m 3 0, x khi
1 m 3.
a 0 1 0 lu«n §óng
→ Chọn D.
Ví dụ 3: Tìm nghiệm của hệ bất phương trình sau
x 8
2x 4
x 2
2
x 3x 4 0
4 x 1
0 x 1
A. 4 x 1. B.
7
C.
7
D.
x 2
x 2
2
2
7
x 2.
2
Ta có:
Hướng dẫn
x 8 (2x 4)(x 2)(x 8) 2x 7x x 2
2x 4 0 0 2
x 2 x 2 x 2
x 0
2
x 3x 4 0 (x 1)(x 4) 0 4 x 1.
2
7
Kết hợp nghiệm ta được, hệ bất phương trình có nghiệm là
→ Chọn C.
0 x 1
7
x 2
2
Trang 5

Ví dụ 4: Hệ bất phương trình
2
x 1 0
có nghiệm khi:
x m 0
A. m 1.
B. m 1.
C. m 1.
D. m 1.
Ta có
2
x 1 0 1 x 1
x m 0 x
m
Để bất phương trình có nghiệm thì m 1.
→ Chọn C.
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Tìm các giá trị của m để
Hướng dẫn
2
f(x) (m 4)x (m 1)x 2m 1
luôn âm.
3
3
3
A. m .
B. m .
C. m .
D.
7
7
7
Câu 2. Tìm giá trị của m để bất phương trình sau
2
(m 2)x 2(m 1)x 4
vô nghiệm.
3
m .
7
1
5 1
A. 0 m . B. m 1.
C. m . D. Không tồn tại m.
2
6 2
Câu 3. Bất phương trình có tập nghiệm (2;10) là
2
2
2
A. x 12x 20 0. B. x 3x 2 0. C. x 12 20 0. D.
Câu 4. Hệ bất phương trình
(x 3)(4 x) 0
x m 1
vô nghiệm khi:
A. m 4.
B. m 2.
C. m 5.
D. m 2.
Đáp án:
1 - A 2 - D 3 - C 4 - D
Dạng 3: Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
1. Phương pháp giải
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là bất phương trình có một trong các dạng:
ax by c 0,ax by c 0,ax by c 0,ax by c 0
b không đồng thời bằng 0; x và y là các ẩn số.
2
(x 2) 10 x 0.
trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và
Mỗi cặp số (x
0;y 0) sao cho ax0 by0
c 0 gọi là một nghiệm của bất phương trình ax by c 0 .
Cách xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn ax by c 0 :
Chú ý:
Bước 1: Vẽ đường thẳng d: ax by c 0
Bước 2: Xét một điểm M(x
0;y 0)
không nằm trên d.
Nếu
ax0 by0
c 0
bất phương trình ax by c 0 .
Nếu
ax0 by0
c 0
bất phương trình ax by c 0 .
thì nửa mặt phẳng (không kể bờ d) chứa điểm M là miền nghiệm của
thì nửa mặt phẳng (không kể bờ d) chứa điểm M là miền nghiệm của
Trang 6

Đối với các bất phương trình dạng ax by c 0 hoặc ax by c 0 thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng
kể cả bờ.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Miền nghiệm của bất phương trình
4(x 1) 5(y 3) 2x 9
là nửa mặt phẳng chứa điểm:
A. (0;0). B. (1;1). C. (- 1; 1). D. (2;5).
Hướng dẫn
Ta có: 4(x 1) 5(y 3) 2x 9 4 x 4 5y15 2x 9 2x 5y 10 0
Thay tọa độ điểm (2;5) vào bất phương trình ta có: 2.2 + 5.5 -10 > 0 (đúng).
→ Chọn D.
Ví dụ 2: Phần không gạch chéo ở hình sau đây là biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào?
y 0
y 0
x 0
A.
B.
C.
D.
3x 2y 6
3x 2y 6
3x 2y 6
Hướng dẫn
x 0
3x 2y 6
Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị gồm hai đường thẳng (d
1) : y 0 và đường thẳng (d
2) : 3x
2 y 6
Miền nghiệm gồm phần y nhận giá trị dương
Lại có (0;1) thỏa mãn bất phương trình 3x 2y 6
→ Chọn A.
0 y 4
x 0
Ví dụ 3: Giá trị lớn nhất của biểu thức F(x;y) x 2y với điều kiện là
x y 1 0
x 2y 10 0
A. 6. B. 8. C. 10. D. 12.
Hướng dẫn
Vẽ đường thẳng d : x y 1 0, đường thẳng d 1 qua hai điểm (0; -1) và (1;0).
1
Vẽ đường thẳng d : x 2y 10 0, đường thẳng d 2 qua hai điểm (0;5) và (2;4).
Vẽ đường thẳng d
3
: y 4.
2
Trang 7

Miền nghiệm là ngũ giác ABCOD với A(4;3), B(2;4), C(0,4), D(1,0).
Ta có: F(4;3) = 10, F(2;4) = 10, F(0;4) = 8, F(1;0) = 1, F(0;0) = 0.
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức F(x;y) = x+ 2y bằng 10.
→ Chọn C.
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. CHo hệ
2x 3y 5 (1)
3 . Gọi S 1 là tập nghiệm của bất phương trình (1), S 1 là tập nghiệm của
x y 5 (2)
2
bất phương trình (2) và S là tập nghiệm của hệ thì
A. S S .
B. S S .
C. S S
D. S S.
1
2
2
1
2
1
Câu 2. Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24 gam hương liệu, 9 lít nước và
210 gam đường để pha chế nước cam và nước táo. Để pha chế 1 lít nước cam cần 30 gam đường, 1 lít
nước và 1 gam hương liệu; pha chế 1 lít nước táo cần 10 gam đường, 1 lít nước và 4 gam hương liệu.
Mỗi lít nước cam nhận 60 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận 80 điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao
nhiêu lít nước trái cây mỗi loại để đạt được số điểm thưởng cao nhất?
A. 4 lít nước cam và 4 lít nước táo. B. 5 lít nước cam và 5 lít nước táo.
C. 5 lít nước cam và 4 lít nước táo. D. 4 lít nước cam và 5 lít nước táo.
Đáp án:
1 - B 2 - D
PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP
Câu 1. Giải hệ bất phương trình
3 x 0
x 2 0
A. 2 x 1. B. 1 x 3.
C. 2 x 3.
D. 2 x 0.
Câu 2. Hàm số có bảng xét dấu như sau là hàm số nào?
x 1 2 3
f(x) - 0 + 0 - 0 +
2
A. f(x) (x 3)(x 3x 2).
B.
2
f(x) (1 x)(x 5x 6).
2
C. f(x) (x 2)( x 4x 3).
D. f(x) (1 x)(2 x)(3 x).
Câu 3. Bất phương trình
x 1
2
x x 3
0
có nghiệm là
Trang 8

1
A. x > 1. B. x < 1. C. x .
D. x > 0.
2
2
Câu 4. Tìm m để f(x) mx 2(m 1)x 4m luôn dương với mọi x .
1
1
1
A. 1; .
B. C. D.
3
; 1
; .
3
(0; ).
; .
3
Câu 5. Giải bất phương trình
2
x 9x 14
2
x 5x 4
A. ( ;1) (2;6) (8; ).
B. ( ;1) (2;4) (7; ).
C. ( ;1) (3;4) (7; ).
D. ( ;1) (2;4) (6; ).
0
Câu 6. Giải bất phương trình x 2 x 5 x 8 x
11
89 86 83 80
A. x < -1. B. x < -9. C. x < -91. D. x < -90.
Câu 7. Giải hệ bất phương trình:
(1 x) 5 3x x
2 2
2 2
(x 2) 2x 7x 13
4
4
4
A. x
B. x
C. x
D.
5
5
5
Câu 8. Với giá trị nào của m thì hệ sau có nghiệm:
x 2m 2x m
3x 1 x 3
4
x
5
A. m 1.
B. m 1.
C. m 1.
D. m 1.
Đáp án:
1 - C 2 - A 3 - A 4 - D 5 - B 6- C 7 - B 8 - B
Trang 9

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
CHUYÊN ĐỀ 5: MỘT SỐ BẤT PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP
PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Một số bất phương trình quy về bất phương trình bậc hai:
Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Bất phương trình chứa căn
Chú ý: Ta có thể sử dụng máy tính để tìm đáp án đúng.
PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
1. Phương pháp giải
Bước 1: Đặt điều kiện cho x để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
Bước 2: Giải bất phương trình với từng điều kiện của x.
Bước 3: Kết hợp kết quả giải được với điều kiện ban đầu.
Bước 4: Kết luận tập nghiệm của bất phương trình.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tập nghiệm của bất phương trình
A. S ;3 . B. S ;3 4; .
C. S 6; . D. S ;3 6; .
2
x 8x x 3 15
Hướng dẫn
2
Cách 1: Bất phương trình x 8x x 3 15
(1)
Trường hợp 1: Nếu
x 3 0 x 3,
2 2 x 4
x 8x x 3 15 x 7x 12 0
x 3
Kết hợp với điều kiện x 3, ta được x > 4.
Trường hợp 2: Nếu
x 3 0 x 3,
2 2 x 6
x 8x (x 3) 15 x 9x 18 0
x 3
Kết hợp với điều kiện x < 3, ta được x < 3.
khi đó bất phương trình (1) trở thành:
khi đó bất phương trình (1) trở thành:
Vậy tập nghiệp của bất phương trình là S ;3 4; .
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS
Thay x = 5 vào bất phương trình (1), ta thấy thỏa mãn bất phương trình (1).
Nên loại đáp án A, C và D.
→Chọn B.
là
Ví dụ 2: Điều kiện nào của x thõa mãn bất phương trình
2
2x 4 x 5x 6?
Trang 1

7 57 7 57
7 57
A. 2 x . B. x 2. C. x 5. D.
2
2
2
Hướng dẫn
Cách 1: Bất phương trình 2x 4 x 2 5x 6 (1)
7 57
2
x 5.
Trường hợp 1: Nếu
2x 4 0 x 2,
khi đó bất phương trình (1) trở thành:
2 2
2x 4 x 5x 6 x 3x 10 0 2 x 5.
Kết hợp với điều kiện
Trường hợp 2: Nếu
x 2 , ta được 2 x 5.
2x 4 0 x 2,
khi đó bất phương trình (1) trở thành:
2 2 7 57 7 57
2x 4 x 5x 6 x 7x 2 0 x
2 2
Kết hợp với điều kiện x < 2, ta được 7 57 x 2.
2
Kết hợp hai trường hợp 1 và 2 ta được điều kiện của x là 7 57 x 5.
2
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS
Thay x = 2 vào bất phương trình (1), ta thấy thỏa mãn bất phương trình (1).
Nên loại đáp án B.
7 57
Thay x vào bất phương trình (1), ta thấy thỏa mãn bất phương trình (1).
2
Nên loại đáp án A và D.
→Chọn B.
1 2 1
Ví dụ 3: Tìm m để 4x 2m x 2x m đúng với mọi x.
2 2
Để
3
3
A. m .
B. m .
C. m > 3. D. -2 < m < 3.
2
2
Ta có:
1 1
2 2
2
4x 2m x 2x m
→Chọn A.
x 2x m 0, x
khi
2
2 1
Dạng 2: Bất phương trình chứa dấu căn
1. Ví dụ minh họa
Hướng dẫn
đúng với mọi x thì
x 2x m 0, x
2
2 1
2 1
3
2 4( 1) m
0 4 2 4m 0 m .
2
2
Ví dụ 1: Tập nghiệm của bất phương trình
2x 1 2x 3
5
5
5
A. ; .
B. C. D.
2
; .
;
.
2
2
Hướng dẫn
là
5
; .
2
Trang 2

Cách 1: Ta có
1
x
2x 1 0
2
3
2x 1 2x 3 2x 3 0 x
2
2
2x 1 (2x 3)
3
x
3 3 2
x
x
2 2
5 5
x x
x 1
2 2
4x 14x 10 0 4x 14x 10 0 2 2
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS
Thay
5
x
2
Nên loại đáp án B và C.
2
2x 1 4x 12x 9
vào bất phương trình ban đầu, ta thấy thỏa mãn bất phương trình.
Thay x = 3 vào bất phương trình ban đầu, ta thấy thỏa mãn bất phương trình.
Nên loại đáp án A.
→Chọn D.
Ví dụ 2: Tập nghiệm của bất phương trình:
2 2
x x 2 2x 1 0
là:
5 13
A.
1; 2; .
B.
2
2 2
C.
2;
;1 .
D.
2 2
9
4; 5; .
2
17
; 5
5; 3 .
5
Hướng dẫn
2
x
2
2
2 2 2x 1 0
Cách 1: Ta có x x 2
2x 1 0
2
2
x x 2 0 x
2
2 x 1
2 2
x
2;
;1 .
2 2
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS
Thay x = 5 vào bất phương trình ban đầu, ta thấy không thỏa mãn bất phương trình.
Nên loại đáp án A và D.
Thay x = -4 vào bất phương trình ban đầu, ta thấy không thỏa mãn bất phương trình.
Nên loại đáp án B.
→Chọn C.
Trang 3

Ví dụ 3: Bất phương trình:
4 2 2
x 2x 3 x 5
có bao nhiêu nghiệm nguyên?
A. 0. B. 1. C. 2. D. Nhiều hơn 2.
Hướng dẫn
Bất phương trình x 4 2x 2 3 x 2 5 (1)
Đặt
2
t x (t 0),
khi đó (1) trở thành
2
t 2t 3 t 5.
2 t 1
Nếu t 2t 3 0 , ta suy ra t
t 3
Nếu
2
t 2t 3 0 1 t 3
Kết hợp với điều kiện
thì ta có
1 t 3 , ta suy ra t
Vậy bất phương trình (1) vô nghiệm.
→Chọn A.
PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP
Câu 1. Tập nghiệm của bất phương trình
1
33
t
2
1 33
t
2
2
t t 8 0
x 1(x 2) 0
A. S 1 2; .
B. S 1 ;2 .
C. S .
D. S .
Câu 2. Cho bất phương trình:
giá trị thích hợp của tham số m là:
2 2
x 2 x m 2mx 3m 3m 1 0.
là
Để bất phương trình có nghiệm, các
1
1
1
1
A. 1 m . B. 1 m . C. m 1.
D. m 1.
2
2
2
2
Câu 3. Bất phương trình
2x 1 3 x
có tập nghiệm là
1
A.
;4 2 2 . B. C. D.
2
(3;4 2 2).
(4 2 2;3).
(4 2 2; ).
Câu 4. Bất phương trình
2
x 6x 5 8 2x
có nghiệm là
A. 3 x 5.
B. 2 x 3.
C. 5 x 3.
D. 3 x 2.
Đáp án:
1 - A 2 - D 3 - A 4 - A
Trang 4

CHƯƠNG 3: LƯỢNG GIÁC
CHUYÊN ĐỀ 1. CUNG VÀ GÓC, CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Đơn vị đo góc và cung tròn, độ dài cung tròn
Cung tròn bán kính R có số đo 0 2
, có số đo
Độ dài là I của cung tròn là
0
a 0 a 360
πa
I = Rα = R .
180
a
Quan hệ giữa số đo độ và số đo rađian .
180
180
0
Đặc biệt: 1 rad ,1 rad.
180
2. Đường tròn lượng giác
0
* Đường tròn lượng giác là đường tròn đơn vị, định hướng (quy ước
chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ) và trên đó chọn điểm
A làm gốc.
M x y
OA,
OM
* Điểm ; trên đường tròn lượng giác sao cho
được gọi là điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung (góc)
lượng giác có số đo
Trục Ox được gọi là trục giá trị của cos.
Trục Oy được gọi là trục giá trị của sin.
Trục At gốc A cùng hướng với trục Oy được gọi là trục giá trị của
tang.
Trục Bs gốc B cùng hướng với trục Ox được gọi là trục giá trị của cotang.
* Giá trị lượng giác sin, côsin, tang và cotang:
sin OH y,
cos OK x
sin
tan AT k
cos
2
3. Dấu của các giá trị lượng giác
Giá trị
lượng giác
Phần tư
I II III IV
cos + - - +
sin + + - -
tan + - + -
cot + - + -
cos
cot BS k
sin
Trang 1

4. Cung liên kết
Góc đối nhau
Góc bù nhau
Góc phụ nhau
Góc hơn kém
(cos đối)
(sin bù)
(phụ chéo)
(khác pi tan)
cos
cos
sin
sin
sin
cos
2
sin
sin
sin
tan
cot
sin
cos
tan
tan
cot
cot
5. Công thức lượng giác cơ bản
2 2
sin x cos x 1
tan x.cot x 1
cos
cos
sin
2
tan
tan cot
2
cot
cot tan
2
sin x
tan x
cos x
1 tan
2
x
1
2
cos x
cos
tan
cot
cos
tan
cot
cos x
cot x
sin x
1
cot
2
1
x
2
sin x
6. Công thức cộng 7. Công thức nhân đôi, hạ bậc
,
sin 2a 2sin a.cos
a
b
tan a
tan b
sin a
a
tan a tan b
b
1 tan a.tan
b
cos a b cos a.cosb sin a.sin
b
cos a b cos a.cosb sin a.sin
b
sin a b sin a.cosb cos a.sin
b
sin a b sin a.cosb cos a.sin
b
tan
tan
a
a
1 tan a.tan
b
2 tan a
tan 2a
1 tan a
2
cos 2 2cos 1 1 2sin cos sin
2 2 2 2
a a a a a
2 1 cos 2 2 1
cos 2a
,cos a
2 2
3 3 3cos a cos3a
cos3a 4cos a 3cos a cos a
4
3 3 3sin a sin 3a
sin 3a 3sin a 4sin a sin a
4
8. Công thức biến đổi tổng thành tích 9. Công thức biến đổi tích thành tổng
a b a b
cos a cosb
2cos cos
2 2
a b a b
cos a cosb
2sin sin
2 2
a b a b
sin a sin b 2sin cos
2 2
a b a b
sin a sin b 2cos sin
2 2
1
cos a cosb cos cos
2
a b a b
1
sin asin b cosa b cosa b
2
1
sin a cosb sin a b sin a b
2
Trang 2

PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Góc và cung lượng giác
1. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Góc có số đo 108 o đổi ra radian là
A. 3
.
5
B. .
10
C.
Hướng dẫn
3 .
5
a 108 3
Áp dụng công thức đổi từ độ sang rad ta có: .
180 180 5
→ Chọn A.
Ví dụ 2: Góc có số đo
2
5
đổi sang độ là
1
D. .
10
A. 240 .
B. 135 .
C. 72 .
D. 270 .
Áp dụng công thức đổi từ độ sang rad ta có:
→ Chọn C.
Hướng dẫn
.180 2 .180
a
72 .
5
Ví dụ 3: trong 20 giây bánh xe của xe gắn máy quay được 60 vòng. Tính độ dài quãng đường xe gắn máy
đã đi được trong vòng 3 phút, biết rằng bán kính bánh xe gắn máy bằng 6,5 cm (lấy 3,1416 ).
A. 22054 cm. B. 22063 cm. C. 22054 mm. D. 22044 cm.
Hướng dẫn
Độ dài quãng đường bánh xe lăn được một vòng là I R 6,5.2 13
Trong 20s, bánh xe quay được 60 vòng.
Trong 3 phút = 3.60 = 180s, bánh xe quay được
60.180
540
20
vòng
Vậy độ dài quãng đường xe gắn máy đã đi được là S 540.13
22054 (cm)
→ Chọn A.
Ví dụ 4: Góc
k
x , k
4 3
được biểu diễn bởi bao nhiêu điểm trên đường tròn lượng giác?
A. 12. B. 4. C. 3. D. 6.
Hướng dẫn
k2
Áp dụng góc x , k được biểu diễn bởi n điểm trên đường tròn lượng giác, do đó góc
n
k k2
x được biểu diễn bởi 6 điểm trên đường tròn lượng giác.
3 3 3 6
→ Chọn D.
2. Bài tập tự luyện
Trang 3

Câu 1. Góc có số đo
9
đổi sang độ là
A. 15 .
B. 18 .
C. 20 .
D. 25 .
Câu 2. Góc có số đo 120 đổi sang rađian là góc
A. .
B. 3
C. .
.
D.
2 .
10
2
4
3
Câu 3. Một đường tròn có bán kính R = 10cm. Độ dài cung
40 trên đường tròn gần bằng
A. 7cm. B. 9cm. C. 11cm. D. 13cm.
Câu 4. Một bánh xe có 72 răng. Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển 10 răng là
A. 30 .
B. 40 .
C. 50 .
D. 60 .
Đáp án:
1 - C 2 - D 3 - A 4 - C
Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức lượng giác
1. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: tính giá trị của A cos10 .cos30 .cos50 .cos 70
A. 1 .
16
B. 1 .
8
1
2
Hướng dẫn
C. 3 .
16
Cách 1: Áp dụng công thức: cos a.cosb cosa b cosa b
1 1
A cos10 .cos30 . cos120 cos 20 cos30 . cos10 .cos120 cos10 .cos 20
2 2
Vì
cos30
D. 1 .
4
3 1
,cos120
2 2
nên ta có:
3 1 cos10 3 cos10 cos30 cos10 3 cos30
A . cos10 .cos 20 .
2 2 2 4 2 2 4 2
3 3 3
. .
4 4 16
Cách 2: Sử dụng máy tính Casio fx 570 VN Plus
Bước 1: Thiết lập môi trường tính theo độ: SHIFT MODE 3.
Bước 2: nhập
→ Chọn C.
cos10 x cos30 x cos50 x cos70
3
Ví dụ 2: Cho sin và .
Giá trị của cos là
5 2
ta có kết quả là
3 .
16
A. 4 .
5
B.
4
.
C.
5
4
.
D. 16 .
5
25
Trang 4

Cách 1: Vì cos
0.
2
Ta có:
2 2 2 2
sin cos 1 cos 1 sin 1
Hướng dẫn
4
cos
9 16
5
25 25 4
cos
5
4
Kết hợp điều kiện ta có: cos .
5
Cách 2: Sử dụng máy tính Casio fx 570 VN PLUS
Bước 1: thiết lập môi trường tính theo rađian: SHIFT MODE 4.
Bước 2: xác định dấu của cos : chọn một giá trị bất kì của α thỏa mãn .
2
Bước 3: Sử dụng SHIFT sin để tìm góc : sin , ta được kết quả là 0,6435011.
5
4
Bước 4: Nhập cos
Ans
ta được kết quả là , theo bước 2, ta thấy cos 0 , do đó
5
1 3
4
cos
5
Chú ý: Phải xác định trước dấu của giá trị lượng giác cần tính, nếu không sẽ dẫn tới kết luận kết quả là
4
.
5
→ Chọn B.
3sin
cos
Ví dụ 3: Cho tan 2. Giá trị của A
là
sin
cos
A. 5.
B. 5 .
3
Cách 1: Chia cả tử và mẫu của A cho
cosx
3sin
cos
cos cos 3tan 1 3.2 1
A
7
sin cos
tan
1 2 1
cos
cos
Hướng dẫn
ta được:
Cách 2: Sử dụng máy tính Casio fx 570 VN PLUS
C. 7.
Bước 1: thiết lập môi trường tính theo rađian: SHIFT MODE 4
1
Bước 2: sử dụng SHIFT tan để tìm góc : tan 2 , ta được kết quả là 1,1071487.
3sin Ans cos Ans
Bước 3: nhập ta được kết quả là A = 7.
sin Ans cos Ans
→ Chọn C.
D. 7 .
3
3
cot
2 tan
Ví dụ 4: Cho sin và 90 180
. Giá trị của biểu thức E
là
5
tan
3cot
Trang 5

2
A. .
57
Cách 1: Vì 90 180 cos
0 , ta có:
B.
2 2 2 2
sin cos 1 cos 1 sin 1
2
.
C. 4 .
57
57
Hướng dẫn
4
cos
9 16
5
25 25 4
cos
5
4
sin
3
Kết hợp điều kiện cos
, do đó tan
và
5
cos
4
4 3
2.
cot
2 tan
3 4 2
E
.
tan
3cot
3 4 57
3.
4 3
Cách 2: Sử dụng máy tính Casio fx 570 VN PLUS
Bước 1: Thiết lập môi trường tính theo độ: SHIFT MODE 3
D.
1 4
cot .
tan
3
Bước 2: Xác định dấu của tan : chọn một giá trị bất kì của α thỏa mãn 90 180
Ta chọn 100 , nhập tan 100 ta được kết quả là -5,671 < 0 do đó tan 0
Bước 3: Sử dụng SHIFT sin để tìm góc : sin , ta được kết quả là 36.869897
5
1 3
4
.
57
3
3
Bước 4: nhập tan(Ans) ta được kết quả , theo bước 2 ta thấy tan 0 nên tan và
4
4
1 4
cot
, thay vào E ta được giá trị cần tính.
tan
3
→ chọn B.
2. Bài tập tự luyện
Câu 1. Giá trị của biểu thức
2 4 6
cos cos cos
7 7 7
bằng
1
1
1 1
A. . B. . C. .
D. .
2
2
4
4
Câu 2. Giá trị của biểu thức
cos 750 sin 420
A
sin 330 cos 390
bằng
2 3
1
3
A. 3 3 . B. 2 3 3 . C. . D. .
3 1
3
sin
Câu 3. Cho tan 2 . Giá trị biểu thức A
bằng
3 3
sin 3cos
11 10 10
A. .
B. .
C. .
D.
10
11
11
Câu 4. Biết tan 2 và 180 270. Giá trị của cos
sin
bằng
11
.
10
Trang 6

3 5 3 5
A. .
B. 1
5.
C. .
D.
5
2
Đáp án:
1 - B 2 - A 3 - B 4 - A
Dạng 3: Rút gọn biểu thức lượng giác
1. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Đơn giản biểu thức
A.
A
Cách 1:
2
sin x.
B.
A
2 2 2
1 sin .cot 1 cot
A x x x
2
cos x.
C.
Hướng dẫn
A
. Ta có
1 sin 2 cot 2 1 cot 2 cot 2 sin 2 .cot 2 1 cot
2
A x x x x x x x
2
sin x.
D.
2
2 2 cos x
2 2 2 2 2 2
cot x sin x. 1 cot x cot x cos x 1 cot x 1 cos x sin x
2
sin x
Cách 2: Sử dụng máy tính Casio fx 570 VN PLUS
Bước 1: thiết lập môi trường tính theo rađian: SHIFT MODE 4.
Bước 2: Chọn một giá trị x bất kỳ thay vào biểu thức A. Chú ý
Ta chọn
Bước 3: thay
Đáp án A, ta có
→ Chọn A.
x 1, thay vào ta được
cot
2
1
x
2
tan x
2 1 1
A 1 sin 1 . 1 0,7080734
2 2
tan 1
tan 1
x 1 vào bốn đáp án, đáp án nào ra kết quả như bước 2 thì chọn.
sin 1 2
0,7080734
do đó đáp án A là đáp án đúng.
5 1 .
2
A
2
cos x.
Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức A sin 6 x cos 6 x 3sin 2 x cos
2 x .
A. A 1.
B. A 1.
C. A 4
D. A 4.
Cách 1: Áp dụng hằng đẳng thức
Hướng dẫn
3
3
3 3
a b a b ab a b
3
ta được:
6 6 2 2 2
3
2
3
2 2
A sin x cos x 3sin x cos x sin x cos x 3sin x cos x
2 2 2 2 2 2 2 2
sin x cos x 3sin x.cos x sin x cos x 3sin x cos x
2 2 2 2
1 3sin x.cos x 3sin x.cos x 1
Cách 2: Sử dụng máy tính Casio fx 570 VN PLUS
Bước 1: Thiết lập môi trường tính theo rađian: SHIFT MODE 4.
Bước 2: Chọn một giá trị x bất kì thay vào Biểu thức A
6 6 2 2
A sin 1 cos 1 3sin 1 x cos 1 1
Ta chọn x = 1, thay vào ta được
→ Chọn B.
Trang 7

Ví dụ 3: Nếu 5sin 3sin 2
thì giá trị của tan bằng.
A. 2 tan .
B. 3tan .
C. 4 tan .
D. 5tan .
Hướng dẫn
sin sin
cos cos
5sin 3sin 2 5sin 3sin
5sin cos 5cos sin 3sin cos 3cos sin
2sin cos 8cos sin 4 tan 4 tan
→ Chọn C.
2. Bài tập tự luyện
Câu 1. Biểu thức
3 3
2 2 2
A cos x cos x cos x
không phụ thuộc x và có giá trị bằng
3 4 3
A. .
B. .
C. .
D.
4
3
2
Câu 2. Biểu thức
2 2 2 2 2
D cos x.cot x 3cos x cot x 2sin x
có giá trị là
A. 2. B. -2. C. 3. D. -3.
Câu 3. Rút gọn biểu thức
cos 120 x cos 120 x cos x
A. 0. B. –cos x. C. -2cosx. D. sinx – cosx.
Đáp án:
1 - C 2 - A 3 - C
2 .
3
PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP
Câu 1. Cho 4
cos với 0 . Tính sin .
5
2
1
1
3
A. sin .
B. sin . C. sin .
D.
5
5
5
10
Câu 2. Một đường tròn có bán kính R cm . Tìm độ dài của cung trên đường tròn.
2
3
sin .
5
2
20
A. 10 cm. B. 5 cm. C. cm.
D.
2
20 cm.
Câu 3. Một đồng hồ treo tường có kim giờ dài 10,57cm và kim phút dài 13,34cm. Trong 30 phút, mũi
kim giờ vạch lên cung tròn có độ dài là
A. 2,77 cm. B. 2,9 cm. C. 2,76 cm. D. 2,8 cm.
1 1
Câu 4. Cho hai góc nhọn a và b. Biết cos a ,cos b . Giá trị cos a b.cosa b
bằng
3 4
113 115 117
A. .
B. .
C. .
D.
144
144
144
119
.
144
Trang 8

Câu 5. Giá trị của biểu thức
2 2 3 2 5 2 7
A sin sin sin sin bằng
8 8 8 8
A. 2. B. -2. C. 1. D. 0.
Câu 6. Gía trị đúng của biểu thức
tan 30 tan 40 tan 50 tan 60
A
cos 20
bằng bao nhiêu?
2 4 6
A. .
B. .
C. .
D.
3
3
3
Câu 7. Cho tam giác ABC và các mệnh đề
(I) cos
B C sin
A
A B C
(II) tan .tan 1
(III) cos A B C
cos 2C
0
2 2
2 2
Mệnh đề đúng là:
A. Chỉ (I). B. (II) và (III). C. (I) và (II). D. Chỉ (III).
Câu 8. Cho cot 3 2 với .
Khi đó giá trị tan cot bằng
2
2 2
A. 2 19. B. 2 19.
C. 19.
D. 19.
Câu 9. Rút gọn biểu thức:
cos 120 x cos 120 x cos x
A. 0. B. cos x.
C. 2cos x.
D. sin x cos x.
Câu 10. Cho A, B, C là các góc nhọn và
1 1 1
tan A ; tan B , tan C .
2 5 8
8 .
3
Tổng A + B + C bằng
A. .
B. .
C. .
D. .
6
5
4
3
Câu 11. Cho A, B, C là ba góc của một tam giác. Hãy chỉ ra hệ thức sai
A B C
A. cos sin .
B. cos A B 2C cos C.
2 2
B. sin A C sin B.
D. cos A B cos C.
3 3
Câu 12. Cho tan a cot a m . Khi đó cot a tan a có giá trị bằng
3
3
3
3
A. m 3 m.
B. m 3 m.
C. 3 m m.
D. 3 m m.
Đáp án:
1 – C 2 – B 3 – A 4 – D 5 – A 6 – D 7 – C 8 – A 9 – C
10 – C 11 – C 12 – B
Trang 9

PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Hàm số y = sinx
* Tập xác định: .
* Tập giá trị: 1;1 .
* Hàm số tuần hoàn với chu kì T 2 .
CHƯƠNG 3
CHUYÊN ĐỀ 2: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
* Đồng biến trên k2 ; k2
và nghịch
2 2
biến trên 2 ; 3
k k2 ,
k .
2 2
* Hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O là
tâm đối xứng.
2. Hàm số y = cosx
* Tập xác định: .
* Tập giá trị: 1;1 .
* Hàm số tuần hoàn với chu kì T 2 .
* Đồng biến trên k2 ; k2
và nghịch biến
trên k2 ; k2 , k .
* Hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy là
tâm đối xứng.
3. Hàm số y = tanx
* Tập giá trị: .
* Tập xác định: D \ k
, k
2
* Hàm số tuần hoàn với chu kì T .
* Hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O là tâm
đối xứng.
* Hàm đồng biến trên k; k
,
k
2 2
Hàm số
lượng giác
* Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x k
, k
2
làm một đường tiệm cận.
4. Hàm số y = cotx
* Tập giá trị: .
* Tập xác định: D \ k
, k
* Hàm số tuần hoàn với chu kì T .
* Hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O là
tâm đối xứng.
* Hàm nghịch biến trên
k ; k , k
* Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x k
, k làm
một đường tiệm cận.
PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tập xác định của hàm số lượng giác
1. Phương pháp giải
f x
y xác định khi 0,
g x
y 2 n f x , n xác định khi f x 0.
g x
*
Trang 1

u x
y sin
xác định khi u x xác định, y cos u x xác định khi u x xác định.
y tan u x xác định khi u x
xác định và cos u x 0 u x
k
, k
2
y cot u x xác định khi u x
xác định và sin u x 0 u x
k
, k
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: tìm tập xác định D của hàm số
A. D \ k
, k
2
C. D \ k
, k
2019
y
sin x
Hướng dẫn
B. D \ k2
3
D. D
Cách 1: Hàm số xác định khi và chỉ khi sin x 0 x k
, k .
Vậy tập xác định D \ k
, k
.
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO Fx 570 VN PLUS
Bước 1: Thiết lập chế độ rađian SHIFT MODE 4
Bước 2: Nhập hàm số 2019
sin(X)
Bước 3: Sử dụng phím gán giá trị CALC, thử các giá trị không thuộc các đáp án, đáp án nào cho giá trị
báo lỗi Math ERROR là đáp án đúng
Đáp án A: Ấn CALC, nhập X
, ta được kết quả là 2019, loại A.
2
Đáp án B: Ấn CALC, nhập X
, ta được kết quả là 2331,34, loại B.
3
Đáp án C: Ấn CALC, nhập X 0 , ta được Math ERROR, chọn C.
→ Chọn C.
Ví dụ 2: Tìm tập xác định của hàm số
A. D 2;2 .
B.
1
y cos
2x
x
D 1;1 \ 0 . C. .
D D.
D \ 0 .
Hàm số đã cho xác định khi
Hướng dẫn
1
cos xác định khi và chỉ khi x 0.
x
→ Chọn D.
Ví dụ 3: Điều kiện xác định của hàm số y tan 2x
k
k
A. x , k .
B. x k
, k .
C. x , k .
D. x k
, k .
3 2
2
4 2
4
Trang 2

Điều kiện xác định của hàm số
sin 2x
y tan 2x
cos 2x
k
cos 2x 0 2 x k
x , k
2 4 2
→ Chọn C.
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Tập xác định của hàm số
y cot x
là
Hướng dẫn
A. x k
, k . B. x k
, k . C. x k , k . D. x k
, k .
2
4
8 2
Câu 2. Tập xác định của hàm số y tan 2x
3
A. D \ k , k .
B. D \ k , k .
3 2
4 2
C. D \ k , k .
D. D \ k , k .
12 2
8 2
Câu 3. Tập xác định của hàm số
y cos
A. D 0;2 . B. D 0; . C. D .
D.
Đáp án:
1 – D 2 – C 3 - B
x
là:
là:
D \ 0 .
Dạng 2: Tính đơn điệu của hàm số lượng giác
1. Phương pháp giải
Hàm số y sin x đồng biến trên mỗi khoảng k2 ; k2
k
, nghịch biến trên mỗi khoảng
2 2
3
k2 ; k2
k
2 2
Hàm số y cos x nghịch biến trên mỗi khoảng k2 ; k2
k , đồng biến trên mỗi khoảng
k2 ; k2
k
.
Hàm số y tan x đồng biến trên mỗi khoảng k;
k
k
.
2 2
Hàm số y cot x nghịch biến trên mỗi khoảng k;
k
k .
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Xét hàm số y sin x trên đoạn ;0 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
Trang 3

A. Hàm số đồng biến trên các khoảng
; và ;0
.
2 2
B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
; ; nghịch biến trên khoảng ;0
.
2
2
C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
; ; đồng biến trên khoảng ;0
.
2
2
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng
; và ;0
.
2 2
Hướng dẫn
Cách 1: Hàm số y sin x đồng biến trên mỗi khoảng ;0 k2 ; k2
k
nghịch
2 2 2
3
2 2 2
biến trên mỗi khoảng ; k2 ; k2
k
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO Fx 570 VN PLUS: sử dụng phím
Bước 1: Thiết lập chế độ rađian SHIFT MODE 4.
d
dx
x
2
Bước 2: Chọn một giá trị bất kì thuộc khoảng
; , ta chọn x , nhập
2
3
được kết quả là 0,5 > 0, do đó hàm số đồng biến trên khoảng ;0
.
2
→ Chọn C.
Ví dụ 2: Hàm số y cos 2x
nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
; .
2
A. k
k
k
2
C. k;
k
k
2 2
d
dx
sin
X
B. k2 ; k2
k
3
2 2
D. k2 ; k2
k
Hướng dẫn
Hàm số y cos 2x
nghịch biến khi k2 2x k2 k x k
, k
2
Hay hàm số y
→ chọn A.
cos 2x
nghịch biến trên khoảng k; k
k
2
Ví dụ 3: Xét các mệnh đề sau:
3
1
(I): x
; : hàm số y nghịch biến
2
sin x
3
1
(II): x
; : hàm số y nghịch biến
2
cos x
x
3
Trang 4

Hãy chọn mệnh đề đúng:
A. Chỉ (I) đúng. B. Chỉ (II) đúng. C. Cả hai đúng. D. Cả hai sai.
Hướng dẫn
3
1
Cách 1: x
; : hàm y sin x nghịch biến, suy ra y đồng biến, do đó (I) sai.
2
sin x
3
1
x
; : hàm y cos x đồng biến suy ra hàm y nghịch biến, do đó (II) đúng.
2
cos x
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO Fx 570 VN PLUS
Sử dụng phím
d
dx
x
Bước 1: Thiết lập chế độ rađian SHIFT MODE 4
3
6
Bước 2: Chọn một giá trị bất kì thuộc khoảng ; , ta chọn x 1, 2
, nhập
2
5
d 1 6
1
x , được kết quả là 2,3416 > 0, do đó hàm số đồng biến biến trên khoảng
dx
sin X
y
5
sin x
3
; .
2
d
Bước 3: Nhập 1 6
1
x , được kết quả là -0,898 < 0, do đó hàm số nghịch biến
dx
cos
X
y
5
cos x
3
biến trên khoảng ; .
2
→ Chọn B.
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Hàm số
y sin 2x
đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
3
3
A. 0; .
B. ; .
C. ; .
D. ;2 .
4
2
2
2
Câu 2. Xét hàm số y cos x trên đoạn ; . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;0 và 0; .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng ;0 và nghịch biến trên khoảng 0; .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ;0 và đồng biến trên khoảng 0; .
D. Hàm số luôn đồng biến trên các khoảng ;0 và 0; .
Câu 3. Với
31
33
x ; , mệnh đề nào sau đây là đúng?
4 4
A. Hàm số y cot x nghịch biến. B. Hàm số y tan x nghịch biến.
C. Hàm số y sin x đồng biến. D. Hàm số y cos x nghịch biến
Trang 5

Đáp án:
1 – A 2 – B 3 - C
Dạng 3: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
1. Phương pháp giải
Áp dụng các bất đẳng thức sau:
1 sin x 1
1 cos x 1
0 sin x 1
0 cos x 1
0 sin x 1
0 cos x 1
2. Ví dụ minh họa
1 sin ax
b
1
ax
b
1 sin 1
0 sin ax
b
1
ax
b
0 cos 1
0 sin ax
b
1
ax
b
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau y 1
3sin 2x
4
A. max y 2, min y 4.
C. max y 2, min y 3.
Hướng dẫn
B. max y 2, min y 4.
D. max y 4,min y 2.
Cách 1: Vì 1 sin 2x 1 3 3sin 2x 3 1 3 1 3sin 2x
1
3
4 4 4
2 1 3sin 2x
4
4
Vậy max y 4, min y 2
.
hay
2 y 4
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO Fx 570 VN PLUS
Bước 1: Thiết lập chế độ rađian SHIFT MODE 4
Bước 2: Sử dụng MODE 7, nhập hàm số f x 1
3sin
2X
ấn =
4
2
End Start
Start ? 0 End ? 2 Step ? (ta thường chọn Step
)
15
15
0 cos 1
Bước 3: Quan sát giá trị cột F x , ta tìm được xấp xỉ giá trị lớn nhất là 3,963 4 và xấp xỉ giá trị nhỏ
nhất là 1,995 2.
→ Chọn D.
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y cos 2x 4sin x
A. -5. B. 3. C. 4. D. 5.
Hướng dẫn
Cách 1: y cos 2x 4sin x 1 2sin 2 x 4sin x 2sin 2 x 2sin x 1 3 3 2sin x 1 2
2 2
Ta có x x x x
1 sin 1 2 sin 1 0 4 sin 1 0 8 2 sin 1 0
Trang 6

x 2
38 3 2 sin 1 3 0 5 y 3.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 3 khi và chỉ khi sin x 1 x k2 , k
2
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO Fx 570 VN PLUS
Bước 1: Thiết lập chế độ rađian SHIFT MODE 4
Bước 2: Sử dụng MODE 7, nhập hàm số f x cos 2X 4sin X , ấn =
2
End Start
Start ? 0 End ? 2 Step ? (ta thường chọn Step
)
15
15
Bước 3: Quan sát giá trị cột
→ Chọn B.
F x
, ta tìm được xấp xỉ giá trị lớn nhất là 2,999 3.
Ví dụ 3: Hàm số
y 1
2cos
2
x
đạt giá trị nhỏ nhất khi x bằng bao nhiêu?
A. x k2 , k .
C. x k2 , k .
B. x k
, k .
2
D. x k
, k .
Ta có
Hướng dẫn
2 2
1 cos x 1 0 cos x 1 1 1 2cos x 3 1 y 3
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 1 khi và chỉ khi cos x 0 x k
, k .
2
→ chọn B.
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Tìm tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 2sin x
3
A. 4. B. 2. C. 0. D. -2.
2
Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y 1
4cos 2x
A. min y 2;max y 1.
B. min y 3;max y 5.
C. min y 5;max y 1.
D. min y 3;max y 1.
Câu 3. Hàm số
6 6
y sin x cos x
đạt giá trị nhỏ nhất khi x bằng bao nhiêu?
k
k3
k
k
A. x .
B. x . C. x .
D. x .
4 3
4 2
3 3
4 2
Đáp án:
1 – C 2 – D 3 - D
Dạng 4: Tính chẵn lẻ của hàm số
1. Phương pháp giải
Hàm số
y f x
x D thi x D
với tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu:
f x f x
Trang 7

Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
Hàm số
y f x
với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu:
Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
A. y 2cos x.
B. y 2sin x.
Cách 1: xét đáp án y 2cos x.
Do tập xác định
D nên x
x
.
Ta có f x x x f x
Vậy hàm số
2cos 2cos .
y 2cos
x
x D thi x D
f x f x
C. y x
làm hàm số chẵn.
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO Fx 570 VN PLUS
Bước 1: Thiết lập chế độ rađian SHIFT MODE 4
Bước 2: Sử dụng CALC để thử trường hợp x và -x.
Đáp án A: Nhập vào màn hình hàm số
Hướng dẫn
2cos X
2sin . D. y sin x cos x.
sử dụng CALC với trường hợp x = 1 và trường hợp
1 đều đưa kết quả giống nhau. Vì f x f x hàm số chẵn, chọn A.
x
→ Chọn A.
Ví dụ 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?
A. y cos 2 x.
B. y sin x 16.
C. y
Hướng dẫn
2
sin 2 x.
D.
y
3
sin 3 x.
Đáp án A: y cos 2x
là hàm số chẵn, do có tập xác định là D , với mọi x D thì x D và
f x cos 2x cos 2 x f x .
Đáp án B: y sin x 16 là hàm số không chẵn không lẻ, do có tập xác định là 16; , không phải tập
đối xứng.
2
Đáp án C: y sin 2x
là hàm số lẻ, do có tập xác định là D , với mọi x D thì x D và
3 3
f x sin 3x sin 2 x f x .
→ Chọn D.
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Trong các hàm số sau hàm số nào là hàm số không chẵn không lẻ?
A. y sin x.cos3x
B. y sin x cos x C. y cos
x
D.
Câu 2. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
A. y sin 2x
B. y x.cos
x C. y cos x.cot
x D. y
Đáp án:
2
y cos x sin x
tan
sin
x
x
Trang 8

1 – B 2 – D
Dạng 5: Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác
1. Phương pháp giải
Định nghĩa tính tuần hoàn của hàm số.
Hàm số y f x xác định trên tập D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số T 0 , sao cho x D .
Khi đó:
x T D và f x T f x.
Nếu có số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là hàm số tuần hoàn với
chu kì T.
Chú ý:
2
Các hàm số y sin ax b, y cosax b
tuần hoàn với chu kỳ T .
a
Các hàm số y tan ax b, y cot ax b
tuần hoàn với chu kỳ T .
a
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: tìm chu kì T của hàm số y sin 5x
.
4
A.
T
2
B.
5
T
5
C.
2
T
D.
2
T
8
Hướng dẫn
Hàm số
y ax b
sin
tuần hoàn với chu kì
T
2
a
Do đó hàm số y sin 5x
có a 5 tuần hoàn với chu kì
4
T
2
5
→ Chọn A.
x
Ví dụ 2: tìm chu kì T của hàm số y cot sin 2x
.
3
A. T 4
B. T
C. T 3
D.
T
3
Hướng dẫn
x 1
Hàm số y cot có a1
tuần hoàn với chu kì T1
3
3 3
a
1
2
Hàm số y sin 2x
có a2 2 tuần hoàn với chu kì T2
a
2
Suy ra hàm số
x
y cot sin 2x
tuần hoàn với chu kì T2 3
3
→ Chọn C.
Trang 9

Ví dụ 3: Nếu chu kì T của hàm số
x
y sin 2
a
là 8 thì a nhận giá trị nào dưới đây?
A. 2.
B. 4.
C. 4. D. 8.
Chu kì của hàm số
→ Chọn B.
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Chu kỳ của hàm số
x
y sin 2
a
x
y sin 2
Hướng dẫn
2
là T 8 2 a 8 a 4 a 4
a
là:
A. . B. 2. C. . D. 4.
2
Câu 2. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Hàm số y sin x tuần hoàn với chu kì 2 .
B. Hàm số y cos x tuần hoàn với chu kì 2 .
C. Hàm số y tan x tuần hoàn với chu kì 2 .
D. Hàm số y cot x tuần hoàn với chu kì .
Câu 3. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?
sin x
2
A. y . B. y tan x x C. y x 1. D. y cot x
x
Đáp án:
1 – D 2 – C 3 - D
Dạng 6: Đồ thị hàm số lượng giác
1. Phương pháp giải
2
Đồ thị hàm số y msin ax b, y mcosax b
có chu kỳ T , biên độ:
a
Cho hàm số
y f x
có đồ thị là (C), với p > 0, ta có:
* Tịnh tiến (C) lên trên p đơn vị thì được đồ thị hàm số y f x p.
m
* Tịnh tiến (C) xuống dưới p đơn vị thì được đồ thị hàm số y f x p.
* Tịnh tiến (C) sang trái p đơn vị thì được đồ thị hàm số y f x p.
* Tịnh tiến (C) sang phải p đơn vị thì được đồ thị hàm số y f x p.
2. Ví dụ minh họa
x
Ví dụ 1: Khẳng định nào sau đây là đúng về đồ thị hàm số y 3cos ? 2
Trang 10

A. Biên độ là 3, chu kì là 4
C. Biên độ là 3, chu kì là 2
Hướng dẫn
B. Biên độ là -3, chu kì là 180
D. Biên độ là 3, chu kì là
x
2
2
Hàm số y 3cos có m = -3 do đó có biên độ là m 3 , chu kì là T 4
2 a 1
2
→ Chọn A.
Ví dụ 2: Đồ thị của hàm số nào dưới đây là đồ thị của hàm số
trên 2 ?
A. y cos x 2
y cos x
B. y cos x 2
C. y cos x 2
Đồ thị của hàm số
y f x
Hướng dẫn
dịch theo phương thẳng đứng lên
D. y cos x 2
dịch theo phương thẳng đứng lên trên a đơn vị trở thành đồ thị hàm số
y f x a . Do đó, đồ thị của hàm số y cos x dịch theo phương thẳng đứng lên trên 2 trở thành đồ
thị hàm số y cos x 2
→ Chọn D.
Ví dụ 3: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào?
A. sin 2
x
B. cos 2
x
Tại x = 0 thì y = 0 do đó loại B và C vì cos 0 1
Hướng dẫn
C. cos 4
x
x
D. sin
2
x
Tại x thì y 1. Thay x vào hai đáp án còn lại chỉ có sin sin 1
thỏa mãn.
2 2
→ Chọn D.
Ví dụ 4: Hình vẽ dưới đây thuộc đồ thị của hàm số nào?
A. y 3cos x
B. y 2cos
x
C. y 2sin
x
D. y 3sin
x
Hướng dẫn
Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số có biên độ là 2 nên ta loại đáp án A và D.
Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O, thay x = 0 vào hai đáp án còn lại.
Trang 11

y 2cos
x 2cos .0 2
do đó ta loại B.
y 2sin
x 0 do đó đồ thị hàm số y 2sin
x đi qua gốc tọa độ O.
Vậy hình vẽ là đồ thị của hàm số y 2sin
x
→ Chọn C
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị hàm số nào?
3
A. sin x
B. cos
x C. 2 sin x D. cos
x
4
4
4
4
Câu 2. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có biên độ 3 và chu kỳ 4 ?
x
1 x
1 x
A. y 3cos B. y cos
C. y cos
D.
2 3 2
3 4
Câu 3. Đồ thị hàm số y sin x suy ra từ đồ thị y cos x 1
C bằng cách:
A. Tịnh tiến (C) qua trái một đoạn có độ dài là và lên trên 1 đơn vị.
2
B. Tịnh tiến (C) qua phải một đoạn có độ dài là và lên trên 1 đơn vị.
2
C. Tịnh tiến (C) qua trên một đoạn có độ dài là và xuống dưới 1 đơn vị.
2
D. Tịnh tiến (C) qua trái một đoạn có độ dài là và xuống dưới 1 đơn vị.
2
Đáp án:
1 – A 2 – A 3 - D
x
y 3cos 4
PHẦN 3. BÀI TẬP TỔNG HỢP
1
sin x
Câu 1. Tập xác định của hàm số y là
sin x 1
3
A. x k2
B. x k2
C. x k2
D. x k2
2
2
Câu 2. Trong khoảng 0; , hàm số y sin x cos x là hàm số:
2
A. Đồng biến. B. Nghịch biến.
C. Không đổi. D. Vừa đồng biến vừa nghịch biến.
Trang 12

Câu 3. Tập xác định của hàm số
y tan 2x
3
k
5
A. x
B. x k
C. x k
D.
6 2
12
2
Câu 4. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
A. y sin 2x
B. y x cos x
C. y cos x.cot
x D. y
Câu 5. Tìm tập giá trị của hàm số y 3cos 2x
5
2;8
5;8
A. 1;1
B. 1;11
C. D.
Câu 6. Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung?
A. y sin x.cos 2x
B.
tan x
C. y
D.
2
tan x 1
Câu 7. Hai hàm số nào sau đây có chu kì khác nhau?
là
3
y cos x.sin
x
3
y sin x.cos
x
2
x
A. y cos x và y cot B. y sin x và y tan 2x
2
x x
C. y sin và y cos D. y tan 2x
và y cot 2x
2 2
x
Câu 8. Tìm chu kì T của hàm số y cos
2019
2
A. T 4
B. T 2
C. T 2
D. T
Đáp án:
5
x k
12 2
1 – C 2 – A 3 – D 4 – D 5 – C 6 – D 7 – B 8 – A
tan
sin
x
x
Trang 13

PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Phương trình lượng giác cơ bản
x
k2
sin x sin
,k
x
k2
CHƯƠNG 3 LƯỢNG GIÁC
CHUYÊN ĐỀ 3 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
cos x cos x k2 ,k
tan x tan x k , k cot x cot x k ,k
2. Các trường hợp đặc biệt
cos x 0 x k ,k
2
cos x 1 x k2 , k
cos x 1 x k2 , k
3. Một vài phép biến đổi đặc biệt hay gặp
sin x 0 x k , k
sin x 1 x k2 , k
2
sin x 1 x k2 , k
2
1 sin 2x sin x cos x 2
1 sin 2x sin x cos x 2
x x
1 sin x sin cos
2 2
1
2
4 4 2
sin x cos x 1
sin 2x
2
x x
1 sin x sin cos
2 2
3
4
6 6 2
sin x cos x 1
sin 2x
2
PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Phương trình lượng giác cơ bản
1. Phương pháp giải
Nếu u, v là các hàm theo biến x
u v k2
sin u sin v
,k
u v k2
tan u tan v u v k , k
cos u cos v u v k2 ,k
cot u cot v u v k , k
2. Ví dụ minh họa
2x
Ví dụ 1: Giải phương trình sin 0
3 3
x k
A. x k k
B.
C. x k k
D.
3
2
k3
3 2
k3
2 2
x k
Trang 1

Hướng dẫn
2x 2x 2x k3
3 3 3 3 3 3 2 2
Cách 1: sin 0 k k x k
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570 VN PLUS
Bước 1: Thiết lập môi trường radian: SHIFT MODE 4
2X
Bước 2: Nhập biểu thức sin vào máy tính.
3 3
Bước 3: Sử dụng phím CALC (phím gán giá trị) để kiểm tra bốn đáp án.
Đối với đáp án A, ta thay x = π: Nhập CALC π ta được kết quả là
3
, loại A
2 0
2
2
Đối với đáp án B, ta thay x : Nhập CALC ta được kết quả là 0,342 0, loại B.
3
3
Đối với đáp án B, ta thay x : Nhập CALC ta được kết quả là -0,342 0, loại C.
3
3
Đối với đáp án D, ta thay x : Nhập CALC ta được kết quả là 0.
2
2
→ Chọn D.
Ví dụ 2: Số nghiệm của phương trình sin 2x
3
2
trong khoảng (0; 3π) là:
A. 1 B. 2 C. 6 D. 4
Hướng dẫn
2x k2 x k
3 3 6
Cách 1: sin 2 x sin 2x sin
, k
2 3 2
2x k2 x k
3
3
Với
Với
1 17
x k ta có: 0 k 3 k k 0;1;2
6
6 6 6
1 8
x k ta có: 0 k 3 k k 0;1;2
3
3 3 3
Mỗi họ nghiệm có 3 nghiệm thuộc (0;3π) nên phương trình có 6 nghiệm thuộc (0;3π).
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS
Bước 1: Thiết lập môi trường tính theo radian: SHIFT MODE 4.
Bước 2: Sử dụng công cụ TABLE: MODE 7
Nhập hàm số f x sin 2X
3
2
3
Start? 0 = End? 3π = Step?
= (Ta thường lấy Step bằng
End Start
15
15
Ta được bảng giá trị gồm hai cột x và f (x).
Trang 2

Bước 3: Ta tìm số nghiệm của phương trình dựa vào tính chất đổi dấu, quan sát cột f (x) xem có bao
nhiêu lần đổi dấu từ âm sang dương và từ dương sang âm, ta thấy có 6 lần đổi dấu, do đó phương trình có
6 nghiệm trong khoảng (0; 3π).
→ Chọn C
Ví dụ 3: Gọi S là tập hợp cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình
nghiệm. Tính tổng T của các phần tử trong S.
cos
2x m 2 có
3
A. T = 6 B. T = 3 C. T = -2 D. T = -6
cos 2x m 2 cos 2x m 2
3 3
Vì
Hướng dẫn
1 cos
2x 1
nên để phương trình có nghiệm thì:
3
1 m 2 1 3 m 1
Vậy tập các số nguyên m thỏa mãn là S 3; 2; 1 . Tổng T 3 2 1 6
→ Chọn D
a
Ví dụ 4: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình cos3x cos x 0 có dạng , trong đó a; b hai
3
b
số nguyên tố cùng nhau. Tính a + b
A. 4 B. 3 C. 5 D. 4
Hướng dẫn
3 3 3
Cách 1: cos 3x cos x 0 cos 3x cos x cos 3x cosx
2
3x x k2 x k
3
3
k
k
3x x
k2 x
3
6 2
Với k = 0, phương trình có nghiệm dương là:
Với k = 1, phương trình có hai nghiệm dương là:
2
x
3
Vậy nghiệm dương bé nhất của phương trình là: x
5
2
x
3 3
2
x
6 2 3 3
3
Do a; b là hai số nguyên tố cùng nhau nên a = 1; b = 3 → a + b = 4
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS
Bước 1: Thiết lập môi trường tính theo độ: SHIFT Mode 3.
Bước 2: Sử dụng công cụ TABLE: MODE 7
Trang 3

3
Nhập hàm f x cos 3X cosX
Start? 0 = → End? 180 = → Step? 10 =
Ta được bảng giá trị gồm hai cột x và f (x)
Bước 3: Nhìn vào giá trị cột f (x), xem giá trị nào f (x) = 0 đầu tiên, ứng với f (x) = 0, ta thấy x = 60.
Do đó nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là x = 60 0 , ứng với x
→ Chọn D.
Ví dụ 5: Nghiệm của phương trình
3 3tan x 0
A. x k k
B.
3
x k2k
C. x k k
D.
6
x kk
là
2
2
Hướng dẫn
3
3 6 6
3
Cách 1: 3 3tan x 0 tan x tan x x kk
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS
Bước 1: Thiết lập môi trường radian: SHIFT MODE 4
Bước 2: Nhập biểu thức
3 3tan X
vào máy tính.
Bước 3: Sử dụng phím CALC (phím gán giá trị) để kiểm tra bốn đáp án.
Đối với đáp án A, ta thay x . Nhập CALC ta được kết quả là 4 3 0 , loại A.
3
3
Đối với đáp án B, ta thay x . Nhập CALC ta được kết quả là Math error, loại B và D
2
2
Đối với đáp án C, ta thay x . Nhập CALC ta được kết quả là 0
6
6
→ Chọn C
2. Bài tập tự luyện
Câu 1. Nghiệm của phương trình đặc biệt nào sau đây là sai?
A. sin x 1 x k2 B. sin x 0 x k
2
C. sin x 0 x k2 D. sin x 1 x k2
2
Câu 2. Nghiệm của phương trình sinx . cosx = 0 là:
k
A. x k2
B. x C. x k2 D. x k2
2
2
6
Câu 3. Phương trình 2sin 2x 40 o 3 có số nghiệm thuộc o o
180 ;180 là:
A. 2 B. 4 C. 6 D. 7
Trang 4

Câu 4. Phương trình cosx = m + 1 có nghiệm khi m là:
A. 1 m 1
B. m 0
C. m 2
D. 2 m 0
Câu 5. Nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình
là:
sin 4x cos5x 0
2
A. x ; x B. x ; x C. x ; x D. x ; x
18 6
18 9
18 2
18 3
Đáp án:
1 – C 2 – B 3 – B 4 – D 5 – A
theo thứ tự
Dạng 2: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
1. Phương pháp giải
Dạng phương trình:
2
a sin x bsin x c 0
2
a cos x bcosx c 0
2
a tan x b tan x c 0
2
a cot x bcot x c 0
Ta đặt ẩn phụ t rồi giải phương trình bậc hai đổi với
t là:
Cụ thể:
2
at bt c 0
2
a sin x bsin x c 0
Đặt t sin x 1 t 1
2
acos x b cos x c 0
Đặt t cos x 1 t 1
2
a tan x b tan x c 0
Điều kiện xác định cosx 0. Đặt t = tanx.
2
a cot x bcot x c 0
Điều kiện xác định sinx 0. Đặt t = cotx
Ví dụ: Tìm họ nghiệm của phương trình
2
sin x 3sin x 4 0
A. x k2 ,k
2
B. x k2 , k
C. x k , k
D. x k ,k
2
Hướng dẫn
Đặt
t sinx 1 t 1
t 1
2
t 3t 4 0
t 4
I
Với t = 1, ta có:
sin x 1 x k2k
2
→ Chọn A
, phương trình trở thành:
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Phương trình
2
2cos x 3cos x 1 0
có nghiệm là:
A. x k2 , x k2 , x k2 B. x k , x k , x k
3 3
3 3
C. x k2 , x k , x k2 D. x k2 , x k2 , x k
3
2 3
Hướng dẫn
Cách 1: Đặt
t cos x 1 t 1
. Phương trình trở thành:
Trang 5

t 1
t
2
2
2t 3t 1 0 1
(thỏa mãn điều kiện)
Với t = 1 cos x 1 x k2k
x
k2
1 1 3
2 2 3
x k2
3
Với t cos x cos x cos
k
3 3
Vậy họ nghiệm của phương trình: x k2 , x k2 , x k2k
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS
Bước 1: Thiết lập môi trường radian: SHIFT Mode 4
2
Bước 2: Nhập biểu thức
2cos X 3cos X 1
Bước 3: Sử dụng phím CALC (phím gán giá trị) để kiểm tra bốn đáp án:
Ta thay x = 2π thuộc họ nghiệm x = k2π được 0, do đó nghiệm x = 2π thỏa mãn
Ta thay x = π thuộc họ nghiệm x = kπ được 6, do đó nghiệm x = π không phải nghiệm của phương trình
nên loại các đáp án chứa x = kπ là đáp án B và C.
Ta thay x thuộc họ nghiệm x k2 , được 1, do đó nghiệm x k2
không phải nghiệm của
2
2
2
phương trình nên loại đáp án D.
→ Chọn A
Ví dụ 2: Nghiệm dương bé nhất của phương trình
2
5 5sin x 2cos x 0
A. B.
C. D.
4
2
2
Hướng dẫn
2 2
Cách 1:
5 5sin x 2cos x 0 5 5sin x 2 1 sin x 0
là:
sin x 1
2
2sin x 5sin x 7 0
7
sin x
2
7
Với sin x 1, phương trình vô nghiệm.
2
Với sin x 1 x k2 , k , nghiệm dương bé nhất của phương trình là .
2
2
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS
Bước 1: Thiết lập môi trường radian: SHIFT Mode 4
2
Bước 2: Nhập biểu thức 5 5sin X 2cos X
Bước 3: Sử dụng phím CALC (Phím gán giá trị) để kiểm tra bốn đáp án, xem đáp án nào làm biểu thức
bằng 0 và có giá trị nhỏ nhất.
Trang 6

→ Chọn C
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình cos 2x 2m 1 cos x m 1 0 *
có đúng hai nghiệm x
; :
2 2
A. 1 m 0
B. 0 m 1
C. 0 m 1
D. 1 m 1
Hướng dẫn
1
cos x
cos 2x 2m 1 cos x m 1 0 2cos x 2m 1 cos x m 0 2
cos x m
2
Cách 1:
1
Vì x
; nên . Do đó (loại)
2 2
0 cos x 1
cos x
2
Vậy để phương trình có đúng hai nghiệm
x
;
2 2
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS
Bước 1: Thiết lập môi trường tính theo radian: SHIFT Mode 4
Bước 2: Sử dụng công cụ TABLE: MODE 7
thì
0 cos x 1 0 m 1
Thay m = -1 thuộc đáp án A vào (*). Phương trình (*) trở thành: cos 2x 3cos x 2 0
Nhập giá trị hàm f x cos 2X 3cos X 2 vào ô f (x) =
Start ? End? Step?
2 2 15
Ta được bảng giá trị gồm hai cột x và f (x).
Ta tìm số nghiệm của phương trình dựa vào tính chất đổi dấu, quan sát cột f(x) xem có bao nhiêu lần đổi
dấu từ âm sang dương và từ dương sang âm, ta thấy không có lần đổi dấu nào, do đó phương trình không
có nghiệm với m = -1. Ta loại đáp án A và D.
Thay m = 1 thuộc đáp án C. Phương trình trở thành: cos 2 x
cosx 0
Nhập giá trị hàm f x cos 2x 3cos x 2 vào ô f (x) =
Start ? End? Step?
2 2 15
Ta được bảng giá trị gồm cột x và f (x).
Ta tìm số nghiệm của phương trình dựa vào tính chất đổi dấu, quan sát cột f (x) xem có bao nhiêu lần đổi
dấu từ âm sang dương và từ dương sang âm, ta thấy không có lần đổi dấu nào, do đó phương trình không
có nghiệm với m = -1. Ta loại đáp án C
→ Chọn B
3. Bài tập tự luyện
Câu Nghiệm dương bé nhất của phương trình:
2
2sin x 5sin x 3 0 là:
3
A. x
B. x
C. x
D.
6
2
2
2
Câu 2 Nghiệm của phương trình sin x sin x 0 thỏa mãn điều kiện 0 x là:
5
x
2
Trang 7

A. x B. x C. x 0
D. x
2
2
Câu 3 Nghiệm của phương trình
2
cos x sin x 1 0 là:
A. x k2 B. x k2 C. x k D. x k2
2
2
2
2
2
Câu 4 Họ nghiệm của phương trình sin 2x 2sin 2x 1 0 là:
A. k B. k
C.
k2 D. k2
4
4
4
4
Câu 5 Tìm m để phương trình
2
2sin x 2m 1sin x m 0 có nghiệm x ;0
2
A. 1 m 0
B. 1 < m < 2 C. -1 < m < 0 D. 0 < m < 1
2
Đáp án
1 – A 2 – A 3 – A 4 – B 5 – C
Dạng 3: Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
1. Phương pháp giải
* Dạng phương trình: asinx + bcosx = c
* Điều kiện để phương trình có nghiệm là
a b c
2 2 2
Bước 1: Kiểm tra điều kiện để phương trình có
nghiệm
2 2 2
Nếu a b c , ta kết luận phương trình vô
nghiệm
Nếu a 2 b 2 c
2 , ta thực hiện bước 2
Bước 2: Chia cả hai vế của phương trình cho
a
Đặt
b
2 2
ta được:
a b c
sin x cos x
a b a b a b
thành:
2 2 2 2 2 2
a
cos
2 2
a b
b
sin
2 2
a b
cos sin x sin cos x
sin x
c
2 2
a
b
, khi đó phương trình trở
a
c
b
2 2
Ví dụ: Tìm họ nghiệm của phương trình
sin x 3 cos x 2
A.
B.
C.
D.
5
x k2 ; x k2
12 12
3
x k2 ; x k2
4 4
2
x k2 ; x k2
3 3
5
x k2 ; x k2
4 4
Hướng dẫn
Phương trình có a = 1; b = 3 ; c = 2
2 2 2
a b 4 c 2
Chia cả hai vế của phương trình cho
2
2 2 2
a b 1 3 0 2
1 3 2
sin x cos x
2 2 2
1
cos
2 3
Đặt
3
sin
2 3
ta được:
, khi đó phương trình trở thành:
Trang 8

Chú ý: Ta có kết quả như sau:
2
cos .sin x sin .cosx
3 3 2
x k2
3 4
sin x sin
3 4 3
x k2
3 4
x k2
12
k
5
x k2
12
→ Chọn A.
2 2 2 2
a b a sin x bcos x a b
, kết quả đó ứng dụng khi ta gặp
các bài toàn về tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số
a sin x bcos x
f x
a sin x bcos x,f x
csin x d cos x
Một vài công thức hay dùng:
sin x cos x 2 sin x 2 cos x
4 4
sin x 3 cos x 2cos x 2sin x
6 3
sin x cos x 2 sin x 2 cos x
4 4
sin x 3 cos x 2cos x 2sin x
6 3
3 sin x cos x 2sin x 2cos x
6 3
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
A. 2sin x cos x 3
B. 3sin x cos x 1
C. 3 sin 2x cos 2x 2
D. 3sin x 4cos x 5
Hướng dẫn
Điều kiện để phương trình asinx + bcosx = c vô nghiệm là
Đáp án A có a = 2; b = -1; c = 3, ta có: 2
Do đó phương trình 2sinx – cosx = 3 vô nghiệm.
→ Chọn A.
Ví dụ 2: Với giá trị nào của m thì phương trình
3 sin x cos x 2sin x 2cos x
6 3
a b c
2 2 2
a b 2 1 5 3 9 c
2 2 2 2 2
m 1 sin x cos x 5
m 1
A. 3 m 1
B. 0 m 2 C.
D.
m 3
Cách 1: Điều kiện để phương trình có nghiệm là:
Hướng dẫn
a b c
2 2 2
có nghiệm?
2 m 2
Trang 9

Phương trình:
m 1 sin x cos x 5 có a m 1;b 1;c 5
Để phương trình có nghiệm thì:
2 2 2 2 2 m 1 2 m 1
a b c m 1 1 5 m 1 4
m 1 2
m 3
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS
Sử dụng phím SHIFT SOLVE và thay giá trị của m thuộc các khoảng để kiểm tra tính có nghiệm của
phương trình. Đáp án nào ra kết quả là Can’t Solve, tức là giá trị của m làm phương trình vô nghiệm.
Từ đáp án A, ta thay m = 0 vào phương trình ta được sin x cos x 5 . Nhập sin X cos X 5
Ấn SHIFT SOLVE, ta được kết quả là Can’t Solve, tức là với m = 0, phương trình vô nghiệm, ta loại đáp
án chứa m = 0 là đáp án A, B, D.
→ Chọn C
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình
A. m 1;2
B.
msin x m 1 cos x 1
vô nghiệm
m ; 1 0;
m ; 1 0;
C. m 1;0
D.
Cách 1: Điều kiện để phương trình vô nghiệm là
Ta có a = m, b = m + 1, c = 1
Để phương trình vô nghiệm thì:
2
a b c
2 2 2
2 2
m m 1 1 m m 0 1 m 0
Vậy với
m 1;0
Hướng dẫn
a b c
2 2 2
thì phương trình ban đầu vô nghiệm.
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS
Sử dụng phím SHIFT SOLVE và thay giá trị của m thuộc các khoảng để kiểm tra tính có nghiệm của
phương trình.
3
3 3
Từ đáp án A, ta thay m vào phương trình, nhập sin X 1cosX
1
2
2 2
Ấn SHIFT SOLVE, ta được kết quả là một số, tức là với
3
chứa m là đáp án A, B, D.
2
→ Chọn C
Ví dụ 4: Hàm số
a – 6b là:
y 3sin x 4cos x 7
3
m 2
, phương trình có nghiệm, ta loại đáp án
đạt giá trị lớn nhất bằng a và giá trị nhỏ nhất bằng b. Giá trị của
A. 0 B. 10 C. 12 D. 20
Hướng dẫn
Áp dụng kết quả
2 2 2 2
a b a sin x bcos x a b
ta có:
Trang 10

2 2
3 4 3sin x 4cos x 3 4 5 3sin x 4cos x 5
2 2
Ta có
5 7 3sin x 4cos x 7 5 7 2 y 12
Vậy a = max y = 12, b = min y = 2
Do đó a – 6b = 12 – 6.2 = 0
→ Chọn A.
3. Bài tập tự luyện
Câu 1 Điều kiện để phương trình asin5x + bcos5x = c có nghiệm là:
A. 2 2 2
2 2 2
2 2 2
a b c
B. a b c
C. a b c
D. a b c
Câu 2 Nghiệm của phương trình
sin x 3 cos x 0
là:
2 2 2
A. x k2 B. x k2 C. x k D. x k
6
3
6
3
Câu 3 Số nghiệm của phương trình sinx + cosx = 1 trên khoảng (0; π) là:
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 4 Điều kiện để phương trình msinx + 8cosx = 10 vô nghiệm là:
m 6
A. m > 6 B.
C. m < -6 D. -6 < m < 6
m 6
Câu 5 Điều kiện để phương trình 12sinx + mcosx = 13 có nghiệm là:
m 5
A. m > 5 B.
C. m < -5 D. -5 < m < 5
m 5
Đáp án
1 – C 2 – D 3 – B 4 – D 5 – B
Dạng 4: Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
1. Phương pháp giải
Dạng phương trình:
2 2
a.sin x b.sin x.cos x c.cos x d
Trường hợp 1: Với cosx = 0. Thế vào phương trình
thử nghiệm.
Ví dụ: Họ nghiệm của phương trình
2 2
6sin x 14 3 sin x.cos x 8cos x 6
x k
2
A.
B.
x k
6
x k
8
C.
D.
x k
12
Trường hợp 1: với cosx = 0
trình trở thành:
là:
x k
4
x k
3
3
x k
4
2
x k
3
x k
2
2 2 2
6sin x 6 sin x 1 cos x 0
phương
Trang 11

Trường hợp 2: Với cos x 0 x k2
2
Chia cả hai vế của phương trình cho cos 2 x ta được:
2
sin x sin x d
2
cos x cos x
2
cos x
a. b. c 0
2 2
a.tan x b.tan x c d 1 tan x 0
2
a d .tan x b.tan x c d 0
Đặt t = tanx, đưa phương trình về phương trình bậc
hai ẩn t:
2
a d t bt c d 0
Giải phương trình theo ẩn t, sau đó suy ra nghiệm
của phương trình lượng giác.
Bước 3. Kết luận họ nghiệm của phương trình
Chú ý: Công thức
1
2
tan x 1 x k
2
cos x 2
2. Ví dụ minh họa
cos x 0 x k
2
Trường hợp 2: Với cos x 0 x k
2
Chia cả hai vế của phương trình cho cos 2 x ta được:
2
6 tan x 14 3 tan x 8
6
2
cos x
2 2
6 tan x 14 3 tan x 8 6 1 tan x
14 30 tan x 14 tan x
x k
6
Vậy phương trình có nghiệm là:
x k , x k
2 6
→ Chọn A
1
3
Ví dụ 1: Phương trình
2 2
3cos 4x 5sin 4x 2 2 3 sin 4 x cos 4 x
A. x k ,k
B. x k ,k
6
12 2
C. x k , k D. x k , k
18 3
24 4
Hướng dẫn
Cách 1:
Trường hợp 1: Với
5sin 4x 2 sin 4x
5
2 2 2
có nghiệm là:
k
cos 4x 0 4x k x , thay vào phương trình ta có:
2 8 4
2 2
(mâu thuẫn vì cos x 0 sin x 1 cos x 1)
k
2
Trường hợp 2: Với cos 4x 0 x chia cả hai vế cho cos 4x ta được:
8 4
2 2
2 2
3 5tan 4x 2 3 tan 4x 3 5 tan 4x 2
2
1 tan 4x
2 3 tan 4x
cos 4x
2 3 k
3tan 4x 2 3 tan 4x 1 0 tan 4x 4x k x
3 6 24 4
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS
Bước 1: Thiết lập môi trường radian: SHIFT Mode 4
Trang 12

Bước 2: Nhập biểu thức 3cos4X 2 5sin 4X 2
2 2 3 sin 4Xcos4X
Bước 3: Sử dụng phím CALC (phím gán giá trị) để kiểm tra bốn đáp án:
Đáp án A: Ta thay x vào được kết quả khác 0, loại A.
6
Đáp án B: Ta thay x vào được kết quả khác 0, loại B.
12
Đáp án C: Ta thay x vào được kết quả khác 0, loại C.
18
→ Chọn D.
Ví dụ 2: Cho phương trình
phương trình trên.
3 3
sin x cos x sin x cos x
. Tính tổng các nghiệm dương nhỏ hơn 2π của
5
A. B. π C. 2π D.
2
Cách 1: Trường hợp 1:
Hướng dẫn
cos x 0 x k
, phương trình trở thành:
2
sin x 1
(thỏa mãn). Do đó x k
là một nghiệm của phương trình
2
Trường hợp 2:
cos x 0 . Chia hai vế của phương trình cho cos 2 x ta được:
tan 3 x 1 tan x 1 tan 2 x 1 tan 2 x tan 2 x tan x 2 0
Theo đề bài ta có:
1 3
0 x k 2 k nên k 0;1
2 2 2
3
Với k = 0 ta có: x . Với k = 1 ta có: x .
2
2 2
3
Do đó phương trình có các nghiệm dương nhỏ hơn 2π là ;
2 2
Vậy tổng các nghiệm của phương trình là
3
2 2
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS
Bước 1: Thiết lập môi trường tính theo độ: SHIFT Mode 3
Bước 2: Sử dụng công cụ TABLE: MODE 7
Vì khoảng xét quá lớn nên ta chia nhỏ thành bốn khoảng xét.
(phương trình vô nghiệm)
Chuyển vế phải sang vế trái. Nhập hàm số f x sin X 3 cosX 3
sin X cosX
Start? 0 = → End? 180 = → Step? 10 =
Ta được bảng giá trị gồm hai cột x và f (x).
Kiểm tra cột f (x), xét các giá trị f (x) = 0, ta được một giá trị x = 90
Bấm AC. Giữ nguyên hàm f (x) .
Start? 180 = → End? 360 = → Step? 10 =
2
Trang 13

Ta được bảng giá trị gồm hai cột x và f (x).
Kiểm tra cột f (x), xét các giá trị f (x) = 0, ta được một giá trị x = 270
Bước 3: Do đó tổng các nghiệm là 90 + 270 = 360
Đổi sang radian ta được 360 2
180
→ Chọn C.
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sin 2 x 2m 2 sin x cos x 1 m cos 2 x m 1
có nghiệm.
A. m 2 m 2
B. m
C. 2 m 2
D. 2 m 1
Hướng dẫn
Cách 1: Nếu cosx = 0 là nghiệm của (1), thì từ (1) suy ra:
2 m 1
cos x 0
sin x 1
2
2 2
sin x m sin x m x k ,k
Nếu m 1 thì cosx = 0 không là nghiệm của (1), khi đó chia hai vế cho cos 2 x được:
2 2 2
tan x 2m 2 tan x m 1 m 1 tan x m 1 tan x 2 m 1 tan x 2m 1 0
Đặt t = tanx, phương trình (1) có dạng: m 1 t 2 2m 1 t 2m 1 02
Phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi
Vậy với
2 m 1
thì phương trình (1) có nghiệm.
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570 VN PLUS
2
2
0 m m 2 0
2 m 1
m 1 m 1
Sử dụng phím SHIFT SOLVE và thay giá trị của m thuộc các khoảng để kiểm tra tính có nghiệm của
phương trình.
Từ đáp án A, ta thay m = 4 vào phương trình, nhập phương trình:
2 2
sin X 2.4 2 sin X cos X 1 4 cos X 4
Ấn SHIFT SOLVE, ta được kết quả là Can’t solve, tức là với m = 4, phương trình vô nghiệm, ta loại đáp
án A và B.
Từ đáp án C và D, ta thay m = 2 vào phương trình, nhập phương trình:
2 2
sin X 2.2 2 sin X cos X 1 2 cos X 2
Ấn SHIFT SOLVE, ta được kết quả là Can’t solve, tức là với m = 2, phương trình vô nghiệm, do đó ta
loại đáp án có chứa m = 2, tức là đáp án C.
→ Chọn D.
Ví dụ 4: Cho phương trình
phương trình.
3
6sin x 2cos x 5sin 2x cos x . Tìm số nghiệm dương nhỏ hơn 3π của
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Hướng dẫn
3 3 2
6sin x 2cos x 5sin 2x cos x 6sin x 2cos x 10sin
x cos x 1
Trang 14

Trường hợp 1: Với
Trường hợp 2: Với
cos x 0 sin x 1: 1
6 0
(vô lý)
cos x 0 . Chia hai vế của (1) cho cos 3 x được:
3 2
sin x cos x sin x cos x
2
6 2 10 6 tan x
3 3 3
1 tan x
2 10 tan x
cos x cos x cos x
3
3tan x 2 tan x 1 0 tan x 1 x k ,k
Ta có:
1 13
0 k 3 k
4 4 4
Do đó k 1;2;3 nên phương trình có ba nghiệm dương nhỏ hơn 3π.
→ Chọn C
3. Bài tập tự luyện
Câu Một họ nghiệm của phương trình
4
2 2
3sin x 4sin x cos x 5sos x 2
3 A. k2 B. k
C. k
D. k2
4
4
4
4
Câu 2 Phương trình
2 2
cos x 3 sin 2 x 1
sin x có nghiệm là:
1
2
x
k2
x k
A.
2
x k 3
B.
C.
D.
x
k2
1
2
3
x k
x k
3 2
3 3
Đáp án:
1 – B 1 – D
Dạng 5: Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx
1. Phương pháp giải
Dạng phương trình:
a sin x cos x bsin x.cos x c 0
Đặt ẩn phụ t sin x cos x, t 2
2
2 t 1
t 1 2sin x.cos x sin x.cos x
thế vào
2
phương trình ta được phương trình bậc hai đối với
t, giải ra t, sau đó tìm nghiệm của phương trình.
là:
x
k
x k
3
Ví dụ: Tìm họ nghiệm của phương trình
sin x cos x sin x cos x 1 0
A.
x k2
2 k
B.
x
k
C.
x k2
2 k
D.
x
k2
Hướng dẫn
Đặt t sin x cos x, t 2
x k
x
k
4 k
x k2
x
k2
3 k
2
2 t 1
t 1 2sin x.cos x sin x.cos x
Thay vào phương trình ta được:
2
Trang 15

Chú ý:
sin x cos x 2 sin x 2 cos x
4 4
sin x cos x 2 sin x 2 cos x
4 4
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Họ nghiệm của phương trình sin 2 x 4 sin x cos x 4 là.
A.
x k
2 k
B.
x
k
k
2
t 1
2
t 1 0 t 2t 3 0 t 1
2
Với t = 1 thỏa mãn điều kiện, ta có:
x k2
4 4
2 cos
x 1
4
x k2
4 4
x k2
2 ,k
x
k2
→ Chọn C.
k2
x
2 3
k2
x
3
k
x
2 2
C. k
D.
k
x
2
2 k
x k2
x
k2
Hướng dẫn
2 2
Đặt t sin x cos x, t 2; 2
, ta có t 1 2sin x.cos x 2sin x.cos x 1
t
Thay vào phương trình ta được: 1 t 2 4t 4 t 2 4t 3 0 t 1
(thỏa mãn)
1
x k2
4 2
x
k2
Với t = 1 ta có sin x cos x 1 sin x 2 k
→ Chọn D.
Ví dụ 2: Số nghiệm dương nhỏ hơn 7π của phương trình 2 2 sin x cos x 3 sin 2x
A. 2 B. 3 C. 4 D. 1
Hướng dẫn
Đặt 2
t sin x cos x t 2 t sin x cos x sin 2x 1
t
Phương trình trở thành:
2 2
2 2
2 2 3 1 t t 2 2t 2 0 t 2
Với t 2 ta có: 2 sin x 2 sin x 1 x k2
4 4 4 2
3
x k2k
4
(thỏa mãn)
là
Trang 16

3
4
Nghiệm của phương trình: x k2 , k
Vì 0 < x < 7π nên
3
3 25
0 k2 7 k . Do k nguyên nên
4 8 8
k 0;1;2;3
Do đó có bốn nghiệm dương của phương trình nhỏ hơn 7π
→ Chọn C.
3. Bài tập tự luyện
Câu 1 Phương trình sin2x – 12 (sinx – cosx) + 12 = 0 có họ nghiệm là:
A. x k , x k2 k
B.
2
k2
2 3
x k2 , x k
k k2
C. x , x k
D.
2 3 3
x k2 , x k2k
Câu 2 Phương trình
2 sin x cos x tan x cot x có họ nghiệm là:
k
k2
A. x k , k
B. x k
C. x k
D.
4
4 2
4 3
Đáp án:
1 – D 2 – D
2
x k2k
4
Phần 3: Bài tập tổng hợp
Câu 1 Cho biết
x k2
3
là họ nghiệm của phương trình nào sau đây?
A. 2cos x 3 0 B. 2cos x 1 0 C. 2sinx + 1 = 0 D. 2sin x 3 0
Câu 2 Phương trình sin 2 x – 3cosx – 4 = 0 có nghiệm?
A. x k2 B. x k2 C. x k
D. Vô nghiệm
2
6
Câu 3 Với giá trị nào của m thì phương trình 2sinx – m = 0 vô nghiệm?
A. 2 m 2
B. m < - 1 C. m > 1 D. m < -2 hoặc m > 2
Câu 4 Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình (sinx + 2cosx + 3) m = 1 + cosx có nghiệm?
A. 0 B. 2 C. 1 D. 4
Câu 5 Một họ nghiệm của phương trình
2
2 3 cos x 6sin x cos x 3 3
3
A. k2 k
B.
k k C. k k D.
4
4
4
Câu 6 Phương trình cos 2 x + 2cosx – 3 = 0 có nghiệm là
là
k2k
A. x k2k
B. x = 0 C. x k2k
D. Vô nghiệm
2
Câu 7 Tìm điều kiện để phương trình msinx + 12cosx = -13 vô nghiệm.
m 5
A. m > 5 B.
C. m < -5 D. -5 < m < 5
m
5
4
Trang 17

Câu 8 Phương trình tan 4x tan 2x 0 có bao nhiêu nghiệm dương nhỏ hơn π?
3 6
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
Câu 9 Cho phương trình (m 2 + 2) cos 2 x – 2msin2x + 1 = 0. Để phương trình có nghiệm thì giá trị thích
hợp của tham số m là:
1 1
1 1
A. 1 m 1
B. m
C. m D. m 1
2 2
4 4
Đáp án:
1 – B 2 – D 3 – D 4 – C 5 – B 6 – A 7 – D 8 – A 9 – D
Trang 18

CHƯƠNG 4: TỔ HỢP, XÁC SUẤT
CHUYÊN ĐỀ 1: HAI QUY TẮC ĐẾM, HOÁN VỊ, TỔ HỢP, CHỈNH HỢP
PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Quy tắc cộng 2. Quy tắc nhân
Một công việc nào đó có thể được thực hiện theo
một trong hai phương án A hoặc B. Nếu phương án
A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực
hiện và không trùng với bất kì cách nào trong
phương án A thì công việc đó có m n cách thực
hiện.
Một công việc nào đó có thể bao gồm hai công
đoạn A và B. Nếu công đoạn A có m cách thực
hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện
công đoạn B thì công việc đó có m.n cách thực
hiện.
Mở rộng: Một công việc được hoàn thành bởi một
trong m phương án, trong đó:
• Phương án 1 có n 1 cách thực hiện.
• Phương án 2 có n 2 cách thực hiện.
• …
• Phương án m có n m cách thực hiện.
Khi đó công việc có
hiện.
Chú ý:
n1 n
2
... nm
cách thực
Mở rộng: Một công việc được hoàn thành bởi m
công đoạn liên tiếp, trong đó:
• Công đoạn 1 có n 1 cách thực hiện.
• Công đoạn 2 có n 2 cách thực hiện.
• …
• Công đoạn m có n m cách thực hiện.
Khi đó công việc có n 1 n 2 … n m cách thực hiện.
• Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn bất kì thì n A B n A n B n A B .
• Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn không giao nhau thì n A B n A n B .
• Nếu
A
1,A 2,...,Am
là các tập hợp hữu hạn tùy ý, đôi một không giao nhau thì:
n A A ... A n A n A ... n A
1 2 m 1 2 m
Định nghĩa:
3. Hoán vị 4. Chỉnh hợp 5. Tổ hợp
Một tập hợp gồm n phần tử
n 1 . Mỗi cách sắp xếp n phần
tử này theo một thứ tự nào đó
được gọi là một hoán vị của n
phần tử.
Định nghĩa:
Cho tập hợp A gồm n phần tử.
Mỗi cách sắp xếp k phần tử của
tập hợp A theo một thứ tự nào đó
được gọi là một chỉnh hợp chập k
của n phần tử của tập A.
Định nghĩa:
Số các hoán vị: Số các chỉnh hợp: Số các tổ hợp:
Cho tập hợp A gồm n phần tử.
Mỗi tập con gồm k 1 k n
phần tử của A được gọi là một tổ
hợp chập k của n phần tử.
Trang 1

Số các hoán vị của n phần tử
được kí hiệu là P n
:
n
P n! n n 1 ...2.1
Dấu hiệu phân biệt:
• Lấy ra n phần tử trong n phần
tử.
• Có sự sắp xếp theo thứ tự.
Số các chỉnh hợp chập k của n
phần tử
là
k
A n
, ta có:
1 k n
A
k
n
Quy ước: 0! 1
0
n
A 1 n 0
n
A P n! .
n
n
Dấu hiệu phân biệt:
n!
n k !
được kí hiệu
• Lấy ra k phần tử trong n phần
tử.
• Có sự sắp xếp theo thứ tự.
Số các tổ hợp chập k của n phần
C n
k
tử 1 k n được kí hiệu là ,
ta có:
C
Tính chất:
0 n
n n
k
n
n!
k! n k !
C C 1 n 0
C C 0 k n
k
n
nk
n
C C C 1 k n
k1 k k
n1 n1 n
Dấu hiệu phân biệt:
• Lấy ra k phần tử trong n phần
tử.
• Không có sự sắp xếp theo thứ
tự.
PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Hai quy tắc đếm cơ bản
1. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Phương Anh có 6 postcard SNSD, 4 postcard TVXQ và 10 postcard EXO. Phương Anh cần
chọn một postcard để tặng bạn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
A. 20 cách. B. 240 cách. C. 30 cách. D. 42 cách.
Hướng dẫn
Trường hợp 1: Phương Anh chọn 1 trong 6 postcard SNSD
Trường hợp 2: Phương Anh chọn 1 trong 4 postcard SNSD
Trường hợp 3: Phương Anh chọn 1 trong 10 postcard SNSD
Theo quy tắc cộng, có tổng cộng
Chọn A.
6 4 10 20 cách chọn
Có 6 cách chọn.
Có 4 cách chọn.
Có 10 cách chọn.
Ví dụ 2: Từ tỉnh A tới tỉnh B có thể đi bằng ô tô, tàu hỏa, tàu thủy hoặc máy bay. Từ tỉnh B tới tỉnh C có
thể đi bằng ô tô hoặc tàu hỏa. Muốn đi từ tỉnh A đến tỉnh C bắt buộc phải đi qua tỉnh B. Số cách đi từ tỉnh
A đến tỉnh C là:
A. 4 cách. B. 2 cách. C. 6 cách. D. 8 cách.
Hướng dẫn
Giai đoạn 1: Để đi từ tỉnh A đến tỉnh B có 4 cách chọn phương tiện di chuyển.
Giai đoạn 2: Để đi từ tỉnh B đến tỉnh C có 2 cách chọn phương tiện di chuyển.
Theo quy tắc nhân có 4.2 8 cách di chuyển từ A đến C.
Chọn D.
Ví dụ 3: Trong một tuần, bạn A dự định mỗi ngày đi thăm một người bạn trong 12 người bạn của mình.
Trang 2

Hỏi bạn A có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn của mình (biết rằng A có thể thăm một bạn
nhiều lần)?
A. 7!. B. 35831808. C. 12!. D. 3991680.
Hướng dẫn
Vào thứ 2: A có 12 cách chọn 1 trong 12 người bạn để đi thăm.
Vào thứ 3: A có 12 cách chọn 1 trong 12 người bạn để đi thăm.
Vào thứ 4: A có 12 cách chọn 1 trong 12 người bạn để đi thăm.
Vào thứ 5: A có 12 cách chọn 1 trong 12 người bạn để đi thăm.
Vào thứ 6: A có 12 cách chọn 1 trong 12 người bạn để đi thăm.
Vào thứ 7: A có 12 cách chọn 1 trong 12 người bạn để đi thăm.
Vào chủ nhật: A có 12 cách chọn 1 trong 12 người bạn để đi thăm.
Theo quy tắc nhân có
Chọn B.
7
12 35831808
kế hoạch đi thăm bạn.
2. Bài tập tự luyện
Câu 1. Một lớp học có 18 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Nếu muốn chọn một học sinh nam và một
học sinh nữ đi dự một cuộc thi nào đó thì số cách chọn là:
A. 38. B. 18. C. 20. D. 360.
Câu 2. Có bao nhiêu cách xếp 4 người A, B, C, D lên 3 toa tàu? Biết mỗi toa có thể chứa 4 người
A. 81. B. 68. C. 42. D. 98.
Đáp án:
1 – D 2 – A
Dạng 2: Bài toán đếm số
1. Phương pháp giải
Khi lập một số tự nhiên x a ...a , a 0,1, 2,...,9 và a 0, ta cần lưu ý:
1 n
i
1
• x là số chẵn là số chẵn. • x là số lẻ a là số lẻ.
a n
• x chia hết cho 3 a a ... a chia hết cho 3.
1 2 n
• x chia hết cho 4 hai số tận cùng của x chia hết cho 4.
• x chia hết cho 5 a 0;5 .
n
• x chia hết cho 6 x là số chẵn và chia hết cho 3.
• x chia hết cho 8 ba số tận cùng của x chia hết cho 8.
• x chia hết cho 9 a a ... a chia hết cho 9.
• x chia hết cho 11
cho 11.
1 2 n
tổng các chữ số ở hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số ở hàng chẵn là một số chia hết
• x chia hết cho 25 hai chữ số tận cùng là 00, 25, 50, 75.
n
Trang 3

2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tập hợp M có 10 phần tử. Số tập con gồm 2 phần tử của M là:
8
2
2
2
A. A .
B. A .
C. C .
D. 10 .
10
Lấy 2 trong 10 phần tử, có
Chọn C.
2
C 10
10
Hướng dẫn
cách. Vậy số tập con gồm 2 phần tử của M là
Ví dụ 2: Từ 7 chữ số 1,2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau?
10
2
C
10.
A. 804. B. 408. C. 480. D. 840.
Hướng dẫn
Ta chọn 4 số trong 7 chữ số và sắp xếp để lập thành số cỏ 4 chữ số, nên số có 4 chữ số lập được là:
A 840 số.
4
7
Chọn D.
Ví dụ 3: Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số?
A. 5040. B. 9000. C. 720. D. 1440.
Gọi số tự nhiên có bốn chữ số là
Hướng dẫn
abcd , trong đó a 0; a, b,c,d 0;1;2;...;9
1;2;...;9 .
a có 9 cách chọn trong tập b, c, d đều cso 10 cách chọn trong tập 0;1;2;...;9 .
3
Vậy số tự nhiên có bốn chữ số là: 9.10.10.10 9.10 9000 số.
Chọn B.
Ví dụ 4: Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm hai chữ số khác nhau được lập từ tập hợp A 0;1;2;3;4;5
?
A. 5. B. 15. C. 13. D. 22.
Hướng dẫn
Số tự nhiên thỏa mãn có dạng , trong đó: a 1;2;...;9 , b 0;2;4 do số cần lập là số chẵn.
Trường hợp 1: Với
ab
b 0 a 1;2;3;4;5 , lập được 5 số.
Trường hợp 2: Với b 0 b có 2 cách chọn là 2, 4.
Theo quy tắc cộng, có:
Chọn C.
8 5 13
a có 4 cách chọn.
số
Ví dụ 5: Có bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số sao cho chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước?
Gọi
A. 84. B. 60480. C. 84600. D. 75600.
Hướng dẫn
a1a 2a3a 4a5a6
là số có 6 chữ số và a1 a
2
a3 a
4
a5 a
6.
Do đó có 2.4 8 số
Trang 4

Ta có ai
0 nên ai
E 1;2;3;4;5;6;7;8;9 .
6
* Lấy 6 chữ số thuộc E có C 9
cách.
* Mỗi bộ 6 chữ số trên lập được đúng 1 số thỏa yêu cầu bài toán.
Vậy số các số lập được là
Chọn A.
6
C9
84
số.
Ví dụ 6: Tìm số các ước số dương của số 490000?
A. 260. B. 32. C. 25. D. 75.
2 4 4 4 2
B 490000 7 .10 2 .5 .7
Hướng dẫn
Vì các ước số dương của B có dạng m n p
Ta có: m có 5 cách chọn (từ 0 tới 4);
n có 5 cách chọn (từ 0 tới 4);
p có 3 cách chọn (từ 0 tới 2).
Vậy có 5.5.3 75 ước số dương của B.
Chọn D.
Chú ý: Công thức tổng quát tìm ước số dương của một số X:
U 2 .5 .7 m,n,p ; 0 m 4, 0 n 4, 0 p 2 .
Phân tích X về thừa số nguyên tố: Giả sử X A a B b C c D d E
e (A, B, C, D, E là các số nguyên tố, a, b, c, d,
e 0;1;2;...;9
). Tổng tất cả các ước số của X là: a 1b 1c 1d 1e 1 .
Ví dụ 7: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm sáu chữ số khác nhau đôi một trong đó có chữ số 0 nhưng không
có chữ số 1?
Gọi
A. 12000. B. 23300. C. 33600. D. 6720.
Hướng dẫn
a a a a a a là số có sáu chữ số khác nhau cần lập, a a , i j, a 0;1;2;...;9 , a 0.
1 2 3 4 5 6
Xếp số 0 vào một trong năm vị trí từ tới a có 5 cách xếp.
a
2 6
i j i 1
5
Chọn 5 số thuộc tập hợp 2;3;4;5;6;7;8;9 và xếp vào 5 vị trí còn lại có cách.
Vậy ta có
Chọn C.
5
5.A8
33600
số.
Ví dụ 8: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bảy chữ số trong đó chữ số 2 xuất hiện đúng hai lần, chữ số 3 xuất
hiện đúng ba lần và các chữ số còn lại xuất hiện không quá một lần?
A. 12900. B. 23300. C. 11280. D. 13440.
Hướng dẫn
a1a 2a3a 4a5a6a7
Gọi là số có bảy chữ số cần lập a 0;1;2;...;9 , a 0 .
i 1
Ta tìm số các số cần lập bằng cách tìm số các số lập được (bao gồm cả trường hợp số 0 đứng đầu) trừ đi
số các số có số 0 đứng đầu.
Chọn hai vị trí để xếp hai số 2: có
2
C 7
cách;
A 8
Trang 5

Chọn ba vị trí để xếp ba số 3: có
3
C 5
cách;
Chọn hai số (khác 2 và 3) xếp vào hai vị trí còn lại: có
2
A 8
cách;
2 3 2
Có C .C .A 11760
số (tính cả các số có số 0 đứng đầu).
7 5 8
a 1
C 6
2
3
* Khi số 0 đứng ở vị trí : có cách xếp hai số 2; có cách xếp ba số 3; có 8 cách xếp số vào ô còn
lại;
2 3
Có C .C .7 420 số mà chữ số 0 đứng đầu.
6 4
Vậy số các số lập được là 11760 420 11340.
Chọn C.
Ví dụ 9: Tính tổng của tất cả các số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau đôi một được thành lập từ các số
1, 3, 4, 5, 7, 9.
A. 38666280. B. 18666480. C. 3260400. D. 3732960.
Từ 6 chữ số trên ta lập được
5
A6
720
C 4
Hướng dẫn
số có 5 chữ số khác nhau. Ta có:
Số có dạng abcd1: lấy bốn trong năm số còn lại xếp vào năm vị trí, có
A 5
4
Số có dạng abcd3 : có số;
A 5
4
Số có dạng abcd4 : có số;
4
Số có dạng abcd5 : số;
4
Số có dạng abcd7 : số;
A5
a 0; a, b,c,d 0;1;2;...;9
A 5
A 5
4
Số có dạng abcd9 : số;
4
A 5
số. Tương tự:
4
Tổng các chữ số ở hàng đơn vị của 720 số trên là : 1 3 4 5 7 9 A 3480
Tương tự ta cũng có:
4
Tổng các chữ số hàng chục của 720 số trên là: 1 3 4 5 7 9 A 3480 .
4
Tổng các chữ số hàng trăm của 720 số trên là: 1 3 4 5 7 9 A 3480 .
4
Tổng các chữ số hàng ngàn của 720 số trên là: 1 3 4 5 7 9 A 3480 .
4
Tổng các chữ số hàng chục ngàn của 720 số trên là: 1 3 4 5 7 9 A 3480 .
2 3 4
Vậy tổng của 720 số lập được là
Chọn A.
S 3480 110 10 10 10 38666280.
5
5
5
5
5
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số?
A. 899. B. 900. C. 901. D. 999
Câu 2. Có bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5?
4
A. P
4. B. P
5.
C. D.
A 5
4
C 5
Trang 6

Câu 3. Cho các chữ số 0, 1, 4, 6, 8, 9. Số các số tự nhiên chẵn có bốn chữ số khác nhau lập thành từ các
chữ số trên là:
A. 240. B. 204. C. 402. D. 420.
Câu 4. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau đôi một, trong đó nhất thiết phải có mặt hai
chữ số 1 và 3?
A. 6216. B. 2688. C. 6598. D. 8123.
Đáp án:
1 – B 2 – C 3 – B 4 – A
Dạng 3: Sắp xếp vị trí, phân công công việc
1. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong một tuần bạn A dự định mỗi ngày đi thăm một người bạn trong 12 người bạn của mình.
Hỏi bạn A có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn của mình (thăm một bạn không quá một lần)?
A. 3991680. B. 12!. C. 35831808. D. 7!.
Hướng dẫn
Chọn 7 người trong 12 người xếp vào 7 ngày để lên kế hoạch, có
Chọn A.
7
A12
3991680
Ví dụ 2: Một hộp có 14 quả đỏ, 12 quả vàng, 9 quả xanh. Số cách lấy ra 4 quả sao cho 4 quả lấy ra có đủ
ba màu là:
cách.
A. 24912. B. 24192. C. 29412. D. 29124.
Hướng dẫn
Trường hợp 1: Lấy 1 quả đỏ, 1 quả vàng và 2 quả xanh có:
Trường hợp 2: Lấy 1 quả đỏ, 2 quả vàng và 1 quả xanh có:
Trường hợp 3: Lấy 2 quả đỏ, 1 quả vàng và 1 quả xanh có:
Vậy số cách lấy ra 4 quả đủ ba màu là:
Chọn B.
6048 8316 9828 24192
1 1 2
C
14.C 12.C9
6048
1 2 1
C
14.C 12.C9
8316
2 1 1
C
14.C 12.C9
9828
Ví dụ 3: Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân
công đội thanh niên tình nguyện đó về ba tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ?
cách.
cách.
cách.
cách.
A. 2037131. B. 3912363. C. 207900. D. 213930.
Hướng dẫn
Chọn 4 nam trong 12 nam và 1 nữ trong 3 nữ phân công về tỉnh 1, có
4 1
C
12.C3
Chọn 4 nam trong 8 nam và 1 nữ trong 2 nữ còn lại phân công về tỉnh 2, có
Chọn 4 nam trong 4 nam và 1 nữ trong 1 nữ còn lại phân công về tỉnh 3, có
cách.
4 1
C
8.C
2
4 1
C
4.C1
4 1 4 1
Vậy số cách phân công thỏa mãn yêu cầu bài toán là: C .C . C .C . C .C 207900.
Chọn C.
12 3
8 2
4 1
4 1
cách.
cách.
Trang 7

Ví dụ 4: Có một hộp đựng 5 viên bi xanh, 6 viên bi đỏ và 4 viên bi vàng, có bao nhiêu cách lấy ra 9 viên
bi có đủ ba màu?
A. 4560. B. 1240. C. 4939. D. 5005.
Lấy ra 9 viên bi trong 15 viên bi bất kỳ, có
9
C 15
Hướng dẫn
cách.
Ta tìm số cách lấy ra 9 viên bi không có đủ 3 màu:
Trường hợp 1: lấy 9 viên bi chỉ có 2 màu là xanh và đỏ, có
Trường hợp 2: lấy 9 viên bi chỉ có 2 màu là xanh và vàng, có
Trường hợp 3: lấy ra 9 viên bi chỉ có màu đỏ và vàng, có
Vậy có :
Chọn C.
C C C C 4939
9 9 9 9
15 11 9 10
cách.
9
C 11
9
C 10
9
C 9
cách.
cách.
cách
2. Bài tập tự luyện
Câu 1. Một liên đoàn bóng đá có 10 đội, mỗi đội phải đá 4 trận với mỗi đội khác, 2 trận ở sân nhà và 2
trận ở sân khách, số trận đấu được sắp xếp là:
A. 180. B. 160. C. 90. D. 45.
Câu 2. Có hai hộp đựng bóng. Hộp thứ nhất chứa 3 quả màu đỏ và 2 quả màu xanh. Hộp thứ hai chứa 4
quả màu đỏ và 6 quả màu xanh. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả bóng mà có cả hai màu?
A. 364. B. 349. C. 934. D. 943.
Câu 3. Có 12 học sinh giỏi gồm 3 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao
nhiêu cách chọn ra 6 học sinh trong số học sinh giỏi đó sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh?
A. 85. B. 58. C. 508. D. 805.
Câu 4. Đội học sinh giỏi cấp trường môn Toán của trường THPT Thanh Oai B theo từng khối như sau:
khối 10 có 5 học sinh, khối 11 có 5 học sinh và khối 12 có 5 học sinh. Nhà trường cần chọn một đội tuyển
gồm 10 học sinh tham gia thi học sinh giỏi. Tính số cách lập đội tuyển sao cho có học sinh cả ba khối và
có nhiều nhất 2 học sinh khối 10.
A. 50. B. 500. C. 502. D. 501.
Đáp án:
1 – A 2 – A 3 – D 4 – B
Dạng 4: Bài toán sắp xếp vị trí theo hàng
1. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Có bao nhiêu cách xếp khác nhau cho 5 người ngồi vào một bàn dài?
A. 120. B. 5. C. 20. D. 25.
Hướng dẫn
Trang 8

Số cách sắp xếp khác nhau cho 5 người ngồi vào một bàn dài là một hoán vị của 5 phần tử nên có
5! 120
cách.
Chọn A.
Ví dụ 2: Một nhóm học sinh có 7 bạn nam và 3 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 bạn này trên một
hàng ngang biết hai vị trí đầu và cuối hàng là các bạn nam và không có 2 bạn nữ nào ngồi cạnh nhau?
A. 344000. B. 100800. C. 604800. D. 120120.
Hướng dẫn
Bước 1: Xếp 7 bạn nam thành một hàng ngang, có 7! cách xếp.
Bước 2: Xem các bạn nam là những vách ngăn, giữa 7 bạn nam có sáu vị trí để xếp 3 bạn nữ. Chọn 3 vị
trí trong sáu vị trí để xếp 3 bạn nữ có
Theo quy tắc nhân có:
Chọn C.
3
7!.A
6
604800
3
A 6
cách.
cách.
Ví dụ 3: Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6
học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp biết bất cứ 2 học
sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường với nhau?
A. 1036800. B. 1202540. C. 136000. D. 518400.
Hướng dẫn
Giai đoạn 1: Xếp chỗ ngồi cho hai nhóm học sinh, có 2 cách xếp:
A B A B A B B A B A B A
B A B A B A A B A B A B
Giai đoạn 2: Trong nhóm học sinh của trường A, có 6! cách xếp các học sinh vào 6 chỗ. Tương tự, có 6!
cách xếp 6 học sinh trường B vào 6 chỗ.
Vậy có
Chọn A.
2.6!.6! 1036800
cách
Ví dụ 4: Có 10 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách để sắp xếp 10 học sinh này ngồi vào một bàn tròn 10
ghế?
A. 10!. B. 9!. C. 2.10!. D. 2.9!.
Hướng dẫn
Với một bàn tròn, người ta không phân biệt vị trí chỗ ngồi, tức là các kết quả có được do đổi chỗ vòng
tròn sẽ không coi là khác nhau. Do đó để làm bài toán “bàn tròn”, ta thường cố định một người ngồi ở vị
trí đầu tiên.
Lấy cố định người đầu tiên vào bàn tròn, còn 9 người để sắp xếp vào 9 vị trí còn lại.
Do đó ta có 9! cách sắp xếp 10 người vào một bàn tròn.
Chọn B.
Ví dụ 5: Có 4 bạn nữ và 4 bạn nam cùng ngồi quanh một bàn tròn có 8 chỗ ngồi. Số cách sắp xếp các bạn
nam và nữ ngồi xen kẽ nhau là:
A. 142. B. 143. C. 144. D. 145.
Hướng dẫn
Trang 9

Cố định 1 bạn nam vào vị trí đầu tiên, xếp 3 bạn nam ngồi vào bàn tròn có 3! cách.
Giữa các bạn nam tạo ra 4 khoảng trống, xếp 4 bạn nữ vào 4 chỗ trống có 4! cách.
Do đó có
Chọn C.
3!.4! 144
cách xếp.
2. Bài tập tự luyện
Câu 1. Số cách sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có 10 chỗ ngồi là:
A. 6!4!. B. 10!. C. 6! 4!.
D. 6! 4!.
Câu 2. Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi, số cách
sắp xếp sao cho bạn Chi luôn ngồi chính giữa là:
A. 24. B. 120. C. 60. D. 16.
Câu 3. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 6 cặp vợ chồng ngồi xung quanh một chiếc bàn tròn, sao cho nam và
nữ ngồi xen kẽ nhau?
A. 3600. B. 720. C. 68400. D. 86400.
Câu 4. Có 7 nam, 5 nữ xếp thành một hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho hai vị trí đầu và
cuối là nam và không có 2 nữ nào đứng cạnh nhau?
A. 118540800. B. 152409600. C. 12700800. D. 3628800.
Đáp án:
1 – B 2 – A 3 – D 4 – D
Dạng 5: Các bài toán liên quan đến hình học
1. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng song song d 1 ,d 2 . Trên đường thẳng d 1 lấy 10 điểm phân biệt, trên d 2 lấy 15
điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được chọn từ 25 điểm vừa nói trên?
A. 675. B. 1050. C. 1725. D. 708750.
Hướng dẫn
Trường hợp 1: Tam giác gồm hai đỉnh thuộc d 1 và một đỉnh thuộc d 2 .
2
Số cách chọn bộ hai điểm trong 10 điểm thuộc d 1 là: C 10
.
1
Số cách chọn một điểm trong 15 điểm thuộc d 2 là: C 15
.
C 10
C 15
2 1
Theo quy tắc nhân, có: . tam giác.
Trường hợp 2: Tam giác gồm một đỉnh thuộc d 1 và hai đỉnh thuộc d 2
1
Số cách chọn một điểm trong 10 điểm thuộc d 1 là: C 10
.
2
Số cách chọn bộ hai điểm trong 15 điểm thuộc d 2 là: C 15
.
C 10
C 15
1 2
Theo quy tắc nhân, có . tam giác.
Vậy có
Chọn C.
C C C C 1725
2 1 1 2
10 15 10 15
tam giác thỏa yêu cầu bài toán.
Trang 10

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng, cho 6 điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi lập được
bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập hợp điểm đã cho?
A. 15. B. 20. C. 60. D. 120.
Hướng dẫn
Cứ 3 điểm phân biệt không thẳng hàng tạo thành một tam giác.
Lấy 3 điểm bất kỳ trong 6 điểm có
Chọn B.
3
C6
20
tam giác được tạo thành.
Ví dụ 3: Cho đa giác đều 12 cạnh. Hỏi đa giác có bao nhiêu đường chéo?
A. 121. B. 66. C. 132. D. 54.
Hướng dẫn
Cứ 2 đỉnh của đa giác sẽ tạo thành một đoạn thẳng. Khi đó có
giác và đường chéo).
Vậy số đường chéo là: 66 12 54.
Chọn D.
2
C12
66
đoạn thẳng (bao gồm cả cạnh đa
Ví dụ 4: Một đa giác đều có số đường chéo gấp đôi số cạnh. Hỏi đa giác đều đó có bao nhiêu cạnh?
A. 5. B. 6. C. 7. D. 8.
Hướng dẫn
2
Đa giác có n cạnh n , n 3 . Lấy 2 cạnh bất kì tạo thành 1 đoạn thẳng, khi đó có đoạn thẳng
(bao gồm cả cạnh đa giác và đường chéo).
Số đường chéo trong đa giác là:
Ta có:
Chọn C.
2
Cn
n.
2
n!
n 7
Cn
n 2n 3n n n 1
6n n 7.
n 2 !.2!
n 0
C n
2. Bài tập tự luyện
Câu 1. 12 đường thẳng có nhiều nhất bao nhiêu giao điểm?
A. 12. B. 66. C. 132. D. 144.
Câu 2. Trong mặt phẳng cho 2010 điểm phân biệt sao cho ba điểm bất kì không thẳng hàng. Hỏi có bao
nhiêu véctơ (khác véctơ không) có điểm đầu và điểm cuối thuộc 2010 điểm đã cho?
A. 4039137. B. 4038090. C. 4167114. D. 167541284.
Câu 3. Số tam giác xác định bởi các đỉnh của một đa giác đều 10 cạnh là:
A. 35. B. 120. C. 240. D. 720.
Câu 4. Cho hai đường thẳng d 1 và d 2 song song với nhau. Trên d 1 có 10 điểm phân biệt, trên d 2 có n điểm
phân biệt n 2 . Biết có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm nói trên. Tìm n.
A. 20. B. 21. C. 30. D. 32.
Đáp án:
Trang 11

1 – B 2 – B 3 – B 4 – A
Dạng 6: Phương trình, bất phương trình hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
1. Ví dụ minh họa
2 2
Ví dụ 1: Có bao nhiêu số tự nhiên x thỏa mãn: 3A A 42 0.
A. 0. B. 1. C. 2. D. 6.
Điều kiện:
x 2 và x .
x
2x
Hướng dẫn
2 2
x! 2x !
Ta có 3A x
A 2x
42 0 3. 42 0
x 2 ! 2x 2 !
x 7
lo¹i
2
3. x 1 .x 2x 1 .2x 42 0 x x 42 0
x 6 tháa m·n
Do đó có 1 số tự nhiên x thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Chọn B.
Ví dụ 2: Tìm tổng các giá trị
n
thỏa mãn
C 3C C .
1 2 3
n1 n2 n1
A. 12. B. 10. C. 16. D. 10.
Điều kiện:
Ta có
n 2 và n .
Hướng dẫn
n 1 ! n 2 ! n 1 !
1 2 3
Cn 1
3Cn 2 Cn
1
3.
1!.n! 2!.n! 3!. n 2 !
n 1 . n 2 n 1 .n. n 1 n 2 n 1 .n
n 1 3. 1 3.
2 6 2 6
n 2
lo¹i
2 2
6 9n 18 n n n 10n 24 0
n 12
tháa m·n
Do đó tổng các giá trị n thỏa mãn đẳng thức là 12.
Chọn A.
Ví dụ 3: Giải bất phương trình
C 1 .
A
n3
n1
4
n1 14P3
A. n 6.
B. 3 n 9.
C. n 11.
D. 3 n 5.
Điều kiện: n 3, n .
n 1 !
Hướng dẫn
n3
Cn 1
1 n 3 !2! n 1 !
1 1 1 1
4
A n 1 !
n 1
14P
3
14.3! 2 n 1 ! 84 2n n 1 84
n 3 !
Trang 12

2 n 6
n n 1 42 n n 42 0
n 7
Kết hợp với điều kiện ta được n 6.
Chọn A.
2. Bài tập tự luyện
Câu 1. Tính tổng S của tất cả các giá trị của x thỏa mãn P .x P .x 8.
2
2 3
A. S 4.
B. S 1.
C. S 4.
D. S 3.
Câu 2. Cho đẳng thức
A A 9A
10 9 8
x x x
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. x là số chính phương. B. x là số nguyên tố.
C. x là số chẵn. D. x là số chia hết cho 3.
3 2
Câu 3. Có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn A 5A
2 n 15
?
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
x x2 x1
Câu 4. Tính tích P của tất cả các giá trị x thỏa mãn C C 2C .
n
n
14 14 14
A. P 4.
B. P 32.
C. P 32.
D. P 12.
Đáp án:
1 – D 2 – B 3 – B 4 – B
PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP
Câu 1. Một đội văn nghệ gồm 20 người, trong đó có 10 nam và 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5
người, sao cho có đúng 2 nam trong 5 người đó?
A. 1203. B. 3600. C. 5400. D. 4768.
Câu 2. Một bài thi trắc nghiệm khách quan gồm 10 câu, mỗi câu có 4 phương án trả lời. Hỏi bài thi đó có
bao nhiêu phương án trả lời?
10
A. 400. B. 4 .
C. 100. D.
Câu 3. Có hai dãy ghế, mỗl dãy 5 ghế. xếp 5 nam, 5 nữ vào hai dãy ghế trên. Có bao nhiêu cách nếu nam
và nữ được xếp tùy ý?
4
10 .
A. 340980. B. 3628800. C. 120. D. 210.
Câu 4. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau?
A. 27216. B. 72216. C. 22716. D. 62721.
Câu 5. Một đội văn nghệ gồm 20 người, trong đó có 10 nam, 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5
người, sao cho có ít nhất hai nam, ít nhất một nữ?
A. 10800. B. 7500. C. 12900. D. 47010.
Câu 6. Xếp 6 học sinh A, B, C, D, E, F vào một ghế dài. Có bao nhiêu cách sắp xếp nếu A và F luôn ngồi
ở hai đầu ghế?
A. 36. B. 24. C. 96. D. 48.
Trang 13

Câu 7. Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn 5 học sinh
lập thành một đoàn đại biểu để tham gia tổ chức lễ khai giảng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 học
sinh, trong đó có không quá 3 nữ?
A. 378000. B. 567750. C. 620880. D. 567750.
Câu 8. Cho các số 1,2,4,5,7. Có bao nhiêu cách tạo ra một số chẵn gồm 3 chữ số khác nhau từ năm chữ
số đã cho?
A. 120. B. 256. C. 24. D. 36.
Câu 9. Từ các chữ số 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau và chia hết cho
25?
A. 36. B. 60. C. 52. D. 38.
Câu 10. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau từ tập hợp
đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 chữ số sau 1 đơn vị?
A. 104. B. 106. C. 108. D. 112.
Câu 11. Nếu một đa giác đều có 44 đường chéo, thì số cạnh của đa giác là:
A. 11. B. 10. C. 9. D. 8.
1 1 7
Câu 12. Tính tổng S của tất cả các giá trị của n thỏa mãn
1 2 1
C C 6C
n n1 n4
.
A 1;2;3;4;5;6
A. S 8.
B. S 11.
C. S 12.
D. S 15.
Câu 13. Giải hệ phương trình
y y
2Ax
5Cx
90
y y .
5Ax
2Cx
80
x 5 x 20 x 2
A. .
B. .
C. .
D.
y 2
y 10
y 5
x 6
.
y 3
, trong
Đáp án:
1 – C 2 – B 3 – B 4 – A 5 – C 6 – D 7 – C 8 – C 9 – C 10 – C
11 – A 12 – B 13 – A
Trang 14

CHƯƠNG 4: TỔ HỢP XÁC SUẤT
CHUYÊN ĐỀ 2: NHỊ THỨC NIU-TƠN
PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Công thức nhị thức Niu-tơn
n
n
k n k k 0 n 1 n 1 k n k k n
n n n n n
n
k0
a b C a b C a C a b ... C a b ... C b
2. Tính chất
Số các số hạng của khai triển bằng n 1.
Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n. Số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng
dần từ 0 đến n.
Số hạng tổng quát thứ k 1 có dạng: T C a b , 1 k n .
k nk k
k1
n
k n k
Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau: C C .
n
n
3. Một số công thức khai triển hay sử dụng
n
n
n
k n n 1 0
n
n
n
n
k0
2 1 1 C C C ... C
n
n k k 0 1 n n
n n n n
k0
0 11 1 C C C ... 1 C
n
n
k n k 0 n 1 n1 n
n n n n
0
k0
1 x C x C x C x ... C x
n
n
n k k 0 0 1 1 n n
n n n n
n
k0
1 x 1 C x C x C x ... 1 C x
n
n
k k n k 0 n 1 n 1 n n
n n n n
0
k0
x 1 1 C x C x C x ... 1 C x
4. Tam giác Pascal
Trong công thức nhị thức Niu-tơn, cho
Pa-xcan.
n 0;1;...
và sắp xếp các hệ số thành dòng, ta nhận được tam giác
n 1
0
C 1
1
C 1
n 2
0
C 2
1
C 2
2
C 2
n 3
0
C 3
1
C
3 +
2
C 3
3
C 3
n 4
0
C 4
1 3
C4
2 C
C 4
4
4
C 4
n 5
0
C 5
1
C 5
2
C 5
3
C 5
4
C 5
5
C 5
n 6
0
C 6
1
C 6
2
C 6
3
C 6
4
C 6
5
C 6
6
C 6
Trang 1

PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Khai triển nhị thức Niu-tơn
1. Phương pháp giải
n
n
k n k k 0 n 1 n 1 k n k k n
n n n n n
n
k0
Khai triển nhị thức Niu-tơn: a b
C a b C a C a b ... C a b ... C b
• Số các số hạng của khai triển bằng n 1.
• Số hạng tổng quát thứ
k 1
có dạng:
T C a b
k1
k nk k
n
k nk k
• Nếu n chẵn, số hạng chính giữa trong khai triển a b là C a b với
n
n
n
k
2
k1 nk1 k1 k2 nk2 k2
• Nếu n lẻ, hai số hạng chính giữa trong khai triển a b là C a b ,C a b với
k
n 1 , k
n
1
2 2
1 2
n
n
n
2. Ví dụ minh họa
5
Ví dụ 1: Biểu thức nào là khai triển của biểu thức x 2y ?
A.
B.
C.
D.
5 4 3 2 2 3 4 5
x 10x y 40x y 80x y 80xy 32y .
5 4 3 2 2 3 4 5
x 10x y 40x y 90x y 80xy 12y 4.
5 4 3 2 2 3 4 5
x 10x y 40x y 90x y 80xy 10y .
5 4 3 2 2 3 4 5
x 10x y 40x y 90x y 80xy 10y .
Cách 1:
Hướng dẫn
5
5 k 2 3 4 5
k 5 k 0 5 1 4 2 3 3 2 4 5
x 2y C x
2y C x C x . 2y C x . 2y C x . 2y C x. 2y C 2y
k0
5 5 5 5 5 5 5
5 4 3 2 2 3 4 5
x 10x y 40x y 80x y 80xy 32y .
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO Fx 570 VNPLUS
Bước 1: Khai triển
Bước 2: Sử dụng MODE 7.
5X
Nhập f X 5CX
2
5 5
5 k 5 k k
k k 5k k
5 5
k0 k0
x 2y C x 2y C .2 .x .y
Start? 0 End? 5 Step? 1
Bước 3: Nhìn vào cột F(X), cột F(X) chính là các hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn
x
F(X)
0 1
1 10
Trang 2

2 40
3 80
4 80
5 32
Chọn A.
n6
Ví dụ 2: Trong khai triển nhị thức x 3 , n có tất cả 18 số hạng. Tìm n.
A. 17. B. 11. C. 10. D. 12.
n6
Hướng dẫn
Khai triển x 3 , n có tất cả n 6 1 n 7 số hạng.
Do đó n 7 18 n 11.
Chọn B.
Ví dụ 3: Trong khai triển
0,2 0,8 5
, số hạng thứ ba là:
A. 0,0064. B. 0,4096. C. 0,0512. D. 0,2048.
5
5 5 k k
k
Khai triển 0,2 0,8 C 0,2 . 0,8
k0
5
Hướng dẫn
5 k k
k
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là C 0,2 . 0,8 .
Vậy số hạng thứ ba ứng với
Chọn C.
Ví dụ 4: Trong khai triển,
5
2 3 2
k 2 là C 0, 2 . 0,8
0,0512.
10
5
3x 2 y , hệ số của số hạng chính giữa là bao nhiêu?
4 4
4 4
5 5
A. 3 .C .
B. 3 .C .
C. 3 .C .
D.
10
10
Hướng dẫn
10
10
10 k
10
2 k 2 k k 10 k k 303k k
Khai triển x 10 x 10
3 y C 3 y C .3 . 1 x .y .
k0 k0
k 10k
Hệ số của số hạng tổng quát trong khai triển trên là C .3 . 1 k
Vì
n 10
chẵn nên số hạng chính giữa ứng với
10
10
n 10
k 5.
2 2
Vậy hệ số của số hạng chính giữa trong khai triển là:
5
Chọn D.
C .3 . 1 3 .C .
Ví dụ 5: Tìm số hạng là số nguyên trong khai triển 3 3
2 ?
5 5 5 5
10 10
9
5 5
3 .C
10.
A. 1203. B. 3600. C. 4768. D. 4544.
Hướng dẫn
Trang 3

1
9k
1
k
9 9 9 9 k k
9 9 k k
3 k 3 k
2 3 k 2 3
9 9 9
k0 k0 k0
Cách 1: Khai triển
Để có số hạng chứa số nguyên thì
Vì
k3
0 k 9
nên
3 2 C 3 2 C 3 2 C 3 2
k 0;3;6;9 .
9 k 2
k3
0 k 9
k 0 3 6 9
9 – k 9 6 3 0
Loại vì
9 k 2
Vậy số hạng nguyên trong khai triển là
3 3 9 3
9 9
Thỏa mãn
C 3 2 C 2 4544.
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO Fx 570 VNPLUS
9
k
Bước 1: Khai triển 3
3 2 C 3
9
3
2
Bước 2: Sử dụng MODE 7.
9 9 k k
k0
9 X X
Loại vì
9 k 2
3
Nhập f X 9CX
3 2 Start? 0 End? 9 Step? 1
Thỏa mãn
Bước 3: Nhìn vào cột F(X) là các hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn, nhìn xem có hệ số nào là hệ số
nguyên.
Tại x 3 ta thấy f X 4536 .
Tại
x 9 ta thấy f X
8.
Vậy số hạng nguyên trong khai triển là 4536 8 4544.
Chọn D.
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Số hạng tử trong khai triển
2x 1 15
A. 14. B. 15. C. 16. D. 17.
Câu 2. Trong khai triển a
b
2 1
7
là:
, số hạng thứ năm là:
6 4
6 4
4 5
4
A. 35.a .b .
B. 35.a .b . C. 35.a .b .
D. 35.a .b.
Câu 3. Trong khai triển
1
30 20
với số mũ tăng dần, hệ số của số hạng đứng chính giữa là:
9 9
12 12
11 11
A. 3 C .
B. 3 C .
C. 3 C .
D.
20
Câu 4. Tìm số hạng là số nguyên trong khai triển 3 15 6
.
20
20
10 10
3 C
20.
Trang 4

A. 1020. B. 7500. C. 15552. D. 4700.
Đáp án:
1 – C 2 – A 3 – D 4 – C
Dạng 2: Xác định hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn
1. Phương pháp giải
n
n
n n k k
n
p q k p q k nk k nppkqk
n
k0 k0
ax bx C ax bx C a b x
m
Số hạng chứa x ứng với giá trị k thỏa mãn: np pk qk m. Từ đó
.
m np
k p q .
p q
m k nk k
Vậy hệ số của số hạng chứa x là: C a .b với giá trị k đã tìm được ở trên.
n
m
Nếu k không nguyên hoặc k n thì trong khai triển không chứa x , hệ số phải tìm bằng 0.
Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niu-tơn. Ta làm như sau:
* Tính hệ số a k
theo k và n;
* Giải bất phương trình a a với ẩn số k;
k1
k
* Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thỏa mãn bất phương trình trên.
Các công thức mũ thường sử dụng:
a .a
mn
a a 0
b 0
m n m n
a
a
m
n
a
a
m
m
n
n m n
m.n
a
a a a
m
n
a 0
a
b
m
1
n
a
a
b
m
m
n
a a 0
m m m
ab a b
a. b ab
n n n
a,b 0
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm hệ số của
101 99
x y trong khai triển 2x 3y 200
.
99
99
99
C 102 2 101
3 99
98 101
A. C 2 3 B. C 99 2 101 3 C. C 100 2 101 3 D.
200
200
Hướng dẫn
200 200
200 k 200k k k 200k k 200k k
200 200
k0 k0
200
Ta có x x
x
2 3y 2 3y C 2 3y C 2 3 x y .
101 99 200 k 101
Để có hệ số của x y thì
k 99 (thỏa mãn)
k 99
Vậy hệ số của
Chọn B.
101 99
x y là C 99 2 101
3 99
200
200
200
Trang 5

Ví dụ 2: Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển x .
x
C 15
C 15
2 1
8
1
5
A. B. C. D.
Hướng dẫn
15 k
2 1 k 2 1
k 302k k k 303k
15 15 15
x k0 x k0 k0
15 15 15
15k
Ta có
x C x C x .x C x .
Để có số hạng không chứa x thì 30 3k 0 k 10.
Vậy hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển là
Chọn C.
C 15
C C .
10 5
15 15
2
3
Ví dụ 3: Trong khai triển x x 0 ,
hệ số của x là:
x
6
A. 60. B. 80. C. 160. D. 240.
Hướng dẫn
6 k 1
k
3k
6
2 2
6 6 6
2 k 6k
2
k k 6k
k k
Khai triển x C 6. x . C 6.2 .x . x C 6.2 .x
x k0 x k0 k0
15
11
C 15
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là
Hệ số của
3
x
nên
Khi đó hệ số của
Chọn D.
3k
6 3 k 4.
2
3
x
là:
4 4
C
6.2 240.
k k
6
3k
2
6
C .2 .x
n
1
Ví dụ 4: Trong khai triển x x 0 ,
hệ số số hạng thứ ba lớn hơn hệ số số hạng hai là 35. Tính số
x
hạng không chứa x.
A. 252. B. 720. C. 124. D. 210.
n
n
n
1 k nk 1
k n2k
Khai triển x Cnx Cnx
.
x k0 x k0
k n 2k
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là C x .
Hệ số của số hạng thứ hai là
1
C
n.
k
n
Hướng dẫn
Hệ số của số hạng thứ ba là
2
C
n.
2 1 2
n 10
(chän)
Từ giả thiết suy ra Cn
Cn
35 n 3n 70 0 .
n 7
(lo¹i)
k 10 2k
Với n 10,
số hạng C x không phụ thuộc x khi 10 2k 0 k 5.
10
Vậy số hạng ấy là
Chọn A.
5
C10
252.
Trang 6

Ví dụ 5: Cho đa thức
6 7 8 10 10 9
10 9 0
P x 1 x 1 x 1 x ... 1 x a x a x ... a .
Tính hệ số
a 8
A. 60. B. 16. C. 42. D. 55.
n
n k k
Khai triển 1
x
Cnx
a 8
k0
Hướng dẫn
8
Vì là hệ số của số hạng chứa , hệ số của trong khai triển 1
x là
8
Hệ số của trong 1
x là
x 8
8
Hệ số của trong 1
x là
x 9
8
Hệ số của trong 1
x là
Vậy
x 10
a C C C 55.
8 8 8
8 8 9 10
Chọn D.
8
C
8.
8
C
9.
x
8
8
C
10.
a n
5 10
5
2
Ví dụ 6: Tìm hệ số của trong khai triển: P x 1 3x
x 1
2x
.
x
A. 1200. B. 1365. C. 1480. D. 405.
Hướng dẫn
5 10
5 10 k m
2 k 2 m
Ta có P x 1 3x x 1 2x x C 3x x C 2x
Để có hệ số của
Vậy hệ số của
Chọn B.
5 10
k k k1 m m m2
C5 3 x C10
2
x
k0 m0
5
x
thì
Ví dụ 7: Cho đa thức
k 1 5 k 4
.
m 2 5 m 3
5
4 4 3
x là
3
5 5 10
5 10
k0 m0
a C 3 C 2 1365.
12
P x 1 2x
8
C
n.
. Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niu-tơn.
A. 126720. B. 421785. C. 112640. D. 101376.
Cách 1: x x
Hướng dẫn
12 12
12 k k
k k k 2 12
12 12 0 1 2 12
k0 k0
P x 1 2 C 2 C 2 x a a x a x ... a x
Hệ số của số hạng tổng quát
k k
a
k
C12
2 .
Ta có
a a C .2 C .2 .
k k k1 k1
k k1 12 12
12! 12! 1 2 23
.2 k
k! 12 k ! k 1 ! 11 k ! 12 k k 1 3
Tức là với mọi k 8, ta có a hay a a a a a .
k
a
k 1 8
9
10
11
12
Trang 7

Tương tự, ta có
a a C .2 C .2
k k k1 k1
k k1 12 12
12! 12! 1 2 23
.2 k
k! 12 k ! k 1 ! 11 k ! 12 k k 1 3
Tức là với mọi k 7, ta có a hay a a a a a a a a a .
k
a
k 1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển là:
a C .2 126720
8 8
8 12
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO Fx 570 VNPLUS
12 12
12 k k
k k k
12 12
k0 k0
Bước 1: Khai triển x
Bước 2: Sử dụng MODE 7.
X
1 2 C 2x C 2 x
Nhập f X 12CX
2 Start? 0 End? 12 Step? 1
Bước 3: Nhìn vào cột F(X), cột F(X) chính là các hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn, nhìn xem có hệ
số nào là hệ số lớn nhất.
Tại 8 ta thấy f X 126720
là hệ số lớn nhất trong khai triển.
x
Chọn A.
n1 n2
Ví dụ 8: Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển x , biết rằng Cn
Cn
78 với x 0.
x
3 2
A. 112643.
B. 112640. C. 112640.
D. 112643.
Ta có:
Hướng dẫn
n1 n2
n! n!
Cn
Cn
78 78
n 1 !1! n 2 !2!
2
n n 1
n 78 n n 156 0 n 12.
2
12 12
3 2
k k 364k
12
x k0
x C 2 x
Khi đó:
Số hạng không chứa x ứng với giá trị k thỏa mãn 36 4k 0 k 9.
Vậy số hạng không chứa x là: 9 9
Chọn C.
2 C 112640.
8
2 3
Ví dụ 9: Tìm hệ số của trong khai triển 1
x x .
12
x 8
A. 190. B. 230. C. 238. D. 70.
Hướng dẫn
8 8 k
2 3 k 2 3 k m 2
3
Ta có 1 x x C8 x x C8 Ck
x x
8 k
k0 m0
k m m 2k m
8 k
C C 1 x
8 k k m m
k0 k0 m0
n
Trang 8

2k m 8
8 m 0
Để có hệ số của x thì 0 m k 8 hoặc
k 4
m, k
Vậy hệ số của
Chọn C.
8
x
là
a C C C C 238.
4 0 3 2
8 8 4 8 3
m 2
.
k 3
3. Bài tập tự luyện
8
5 3
Câu 1. Trong khai triển 2x 5y , hệ số của số hạng chứa x .y là:
A. 224000.
B. 40000.
C. 8960.
D. 4000.
8
Câu 2. Trong khai triển x , số hạng không chứa x là:
2
x
9
A. 4308. B. 86016. C. 84. D. 43008.
Câu 3. Tìm hệ số của số hạng chứa
8
x
trong khai triển nhị thức 2 x ; x 0.
x
4 2
A. 1090. B. 4480.
C. 8960. D. 4480.
9 2 9
Câu 4. Xét khai triển 3 2 a a x a x ... a x . Tìm max a ,a ,...,a .
x
0 1 x 9
7
1 2 9
A. 314928. B. 489888. C. 326592. D. 1134008.
Đáp án:
1 – A 2 – D 3 – D 4 – B
Dạng 3: Sử dụng nhị thức Niu-tơn chứng minh các đẳng thức tổ hợp
1. Phương pháp giải
Ta thường sử dụng các kết quả sau với giá trị thích hợp của x:
n 0 1 2 2 n n
1 x C C x C x ... C x
n n n n
n
0 0 1 1 n n n
n n n
1 x C x C x ... 1 C x
n
0 n 1 n 1 n n 0
n n n
x 1 C x C x ... 1 C x
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức
S C C ... C .
1 2 n
1 n n n
n
n
A. 0. B. 2 . C. 2 1.
D.
Ta có 1 x n C 0 C 1 x C 2 x 2 ... C n x n
*
n n n n
Hướng dẫn
Chọn x 1
thay vào (*) ta được: n 0 1 2 n
11 C C C ... C .
n n n n
n
2 1.
Trang 9

n 0 1 2 n
hay 2 C C C ... C .
n n n n
1 2 n n 0 n
Vậy S C C ... C 2 C 2 1.
Chọn C.
1 n n n n
0 1 2 2 2019 2019
Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức S C 2C 2 C ... 2 C .
2019 2019 2019 2019
2019
A. 3 .
2019
B. 3 1.
2020
C. 3 .
D. 0.
Hướng dẫn
Ta có 1 x 2019 C 0 C 1 x C 2 x 2 ... C 2019 x 2019
*
2019 2019 2019 2019
Chọn
x 2, thay vào (*) ta được: 2019 0 1 2 2 2019 2019
1 2 C 2C 2 C ... 2 C
2019 2019 2019 2019
hay
3 C 2C 2 C ... 2 C S
2019 0 1 2 2 2019 2019
2019 2019 2019 2019
2019
Vậy S 3 .
Chọn A.
Ví dụ 3: Tìm số nguyên dương n sao cho: C 2C 4C ... 2 C 243.
0 1 2 n n
n n n n
A. 4. B. 5. C. 6. D. 7.
Hướng dẫn
Ta có: 1 x n C 0 C 1 x C 2 x 2 ... C n x n
*
n n n n
Thay
x 1
vào hai vế của (*) ta được:
C 2C 4C ... 2 C 3
0 1 2 n n n
n n n n
Theo đề bài có
Chọn B.
n
3 243 n 5.
Ví dụ 4: Tính tổng
S C 2 C ... 2 C .
0 2 2 2010 2010
2 2011 2011 2011
2011
211
2011
3 1 3 1 3 12 A. .
B. .
C. .
D.
2
2
2
Hướng dẫn
Ta có 1 x 2011 C 0 xC 1 x 2 C 2 ... x 2010 C 2010 x 2011 C 2011
*
Thay x 2 vào hai vế của (*) ta được:
Thay x 2 vào hai vế của (*) ta được:
2011 2011 2011 2011 2011
3 C 2.C 2 C ... 2 C 2 C
2011 0 1 2 2 2010 2010 2011 2011
2011 2011 2011 2011 2011
1 C 2.C 2 C ... 2 C 2 C
0 1 2 2 2010 2010 2011 2011
2011 2011 2011 2011 2011
0 2 2 2010 2010 2011
Lấy (1) + (2) ta có: 2C2011 2 C
2011
... 2 C2011
3 1
2011
0 2 2 2010 2010 3 1
Suy ra: S2 C2011 2 C
2011
... 2 C
2011
.
2
Chọn D.
(1)
(2)
2011
3 1 .
2
Trang 10

26
1 7
Ví dụ 5: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Niu tơn của x , biết rằng
4
x
C C ... C 2 1.
1 2 n 20
2n1 2n1 2n1
A. 612. B. 230. C. 210. D. 310.
Hướng dẫn
Từ giả thiết suy ra:
C C C ... C 2 1
0 1 2 n 20
2n1 2n1 2n1 2n1
n
Vì
k 2n1
k
C C , k, 0 k 2n 1
nên:
2n1 2n1
C C C ... C C C ... C
0 1 2 n n 1 n 2 2n 1
2n1 2n1 2n1 2n1 2n1 2n1 2n1
1
Do đó: 0 1 2 n
0 1 2n
C 1
2n1 C2n 1
C
2n1 ... C2n 1
C2n 1
C
2n1 ... C2n
1
.
2
1
2
20 0 1 2n1 0 1 2n1 21
Hay: 2 C C ... C C C ... C 2 1
2n1 2n1 2n1 2n1 2n1 2n1
Ta có: 1 x 2n1 C 0 C 1 x C 2 x 2 ... C 2n1 x 2n1
*
Thay
2n1 2n1 2n1 2n1
x 1
vào hai vế của (*) ta được:
0 1 2 2n
C C C ... C 1 1 1 2n1
2n
2 1
2
Từ (1), (2) suy ra:
1
x
2n 1 21
2 2 2n 1 21 n 10.
• Ta có: 4
Số hạng chứa
Vậy hệ số của
Chọn C.
2n1 2n1 2n1 2n1
10 10 10
7 k 4
10 k
7
k
k 11k40
10 10
k0 k0
x C x x C x
26
x ứng với giá trị k thỏa mãn 11k 40 26 k 6.
26
x
là
6
C10
210.
1 2 n
Ví dụ 6: Tính tổng S C 2C ... nC .
n n n
n1
n1
n1
n1
A. 2n.2 .
B. n.2 .
C. 2n.2 .
D. n.2 .
n 0 1 2 2 n n
Hướng dẫn
Ta có: 1 x C C x C x ... C x (*)
n n n n
Lấy đạo hàm theo x hai vế của (*) ta được:
n
1 1 2 3 2 n n1
n 1 x C 2C x 3C x ... nC x **
n n n n
Thay
x 1
vào hai vế của (**) ta được: n 1 1 2 n
n 11 C 2C ... nC
n n n
Hay:
n.2 C 2C ... nC S.
Chọn D.
n 1 1 2 n
n n n
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Giá trị của tổng
S C C ... C
0 1 6
6 6 6
bằng
A. 100. B. 48. C. 72. D. 64.
Trang 11

Câu 2. Tính giá trị biểu thức
S C 10C 10 C ... 10 C .
0 1 2 2 n n
n n n n
n
n
n1
A. 11 .
B. 11 1.
C. 11 .
D. 0.
n 0 n 1 1 n 2 2 n
Câu 3. Tính giá trị biểu thức S 2 C 2
C 2 C ... C .
n n n n
n
n
n
A. 3 1.
B. 3 .
C. 2 .
D.
n
2 1.
Đáp án:
1 – D 2 – A 3 – B
PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP
7
4 3
Câu 1. Trong khai triển 3x y , số hạng chứa x y là
4 3
4 3
4 3
A. 2835x
y . B. 2835x
y .
C. 945x
y .
D.
4 3
945x
y .
0 1 5
Câu 2. Tính tổng S C C ... C .
5 5 5
A. 64. B. 32. C. 1. D. 12.
Câu 3. Tìm số hạng thứ 6 trong khai triển x 2y 13
.
6 6
8 6
6 6
A. 2x
y .
B. 4100x y .
C. 41184x y . D.
8 5
41184x y .
Câu 4. Tìm hệ số của
9
x 19
trong khai triển
2 x .
10 11
8 9
9 10
A. C 2 .
B. C 2 .
C. C 2 .
D.
19
Câu 5. Trong khai triển
19
x y 16
,
tổng hai số hạng cuối là
19
10 11
C19
2 .
15 8
15 4
15 4
15 8
A. 16x
y y . B. 16x
y y . C. 16xy y . D. 16xy y .
8
Câu 6. Trong khai triển x , số hạng không chứa x là
2
x
9
A. 4308. B. 86016. C. 84. D. 43008.
Câu 7. Trong khai triển của nhị thức
2 2
n
x ,
x
triển trên bằng 97. Tìm hệ số của số hạng có chứa
cho biết tổng hệ số của 3 hạng đầu tiên trong khai
A. 1120. B. 600. C. 1220. D. 70.
Câu 8. Tìm hệ số của
5
x
x x x x
x 4 .
trong khai triển của biểu thức sau thành đa thức
4 5 6 7
f x 2 1 2 1 2 1 2 1 .
A. 1020. B. 280. C. 896. D. 964.
Câu 9. Tìm
n
sao cho:
C C C ... C 256.
0 2 4 2n
4n2 4n2 4n2 4n2
A. 6. B. 2. C. 12. D. 9.
Trang 12

30
2 30
Câu 10. Khai triển 1
3x thành đa thức: a a x a x ... a x . Tìm hệ số lớn nhất của các hệ số
a
0;a 1;a 2;...;a 30.
0 1 2 30
23 23
23 24
22 22
A. C 3 .
B. C 3 .
C. C 3 .
D.
30
Câu 11. Số hạng chính giữa trong khai triển
30
3x 2y 4
2 2 2
2 2 2
A. B. 6 3x
2y C. 6C x y
D.
C x y .
4
2 2
2 1
Câu 12. Tìm số hạng không chứa x trong triển khai x .
4
x
12
9
3
A. C .
B. C .
C. C .
D.
12
12
là
30
12
4
12
20 29
C303 .
2 2 2
36C4x y
8
1 5
Câu 13. Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của x , biết rằng:
3
x
n1
n
C C 7 n 3 (n nguyên dương, x 0 ).
n4 n3
4
C
12.
A. 424. B. 280. C. 495. D. 322.
8
2 5
Câu 14. Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển biểu thức x x 0
. Biết số nguyên
3
x
dương n thỏa mãn:
C C ... C 4095.
1 2 n
n n n
A. 7920. B. 1400. C. 6590. D. 8120.
n
n
Đáp án:
1 – A 2 – B 3 – D 4 – C 5 – A 6 – D 7 – A 8 – C 9 – B 10 – A
11 – B 12 – D 13 – C 14 – A
Trang 13

PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Biến cố
Phép thử và không gian mẫu
CHƯƠNG 4: TỔ HỢP XÁC SUẤT
CHUYÊN ĐỀ 3: XÁC SUẤT
Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay một hành động mà:
• Kết quả của nó không đoán trước được.
• Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó.
Tập hợp mọi kết quả của một phép thử T được gọi là không gian mẫu của T và được kí hiệu là
phần tử của không gian mẫu được kí hiệu là n hay .
Biến cố
. Số
• Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của A tùy thuộc vào kết
quả của T.
• Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra được gọi là một kết quả thuận lợi cho A.
• Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu là n(A) hay A
.
2. Xác suất
Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử. là không gian mẫu của phép thử đó. Xác suất của biến
cố A, kí hiệu là P(A), được xác định bởi công thức:
Trong đó:
• A
hay n(A) là số phần tử của biến cố A.
P A
• hay n
là số phần tử của không gian mẫu.
Tính chất
•
P 0, P 1.
• Với mọi biến cố A,
0 P A 1.
n A
n
A
.
3. Quy tắc cộng xác suất
Biến cố hợp
Cho hai biến cố A và B. Biến cố “A hoặc B xảy ra”, kí hiệu là
gọi là hợp của hai biến cố A và B. Khi đó: A B .
Biến cố xung khắc
A B
được
Cho hai biến cố A và B. Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu biến
cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra. Khi đó: A B .
Quy tắc cộng xác suất hai biến cố xung khắc:
Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì xác suất biến cố A B là P A B P A P B .
Trang 1

Cho n biến cố A 1 , A 2 ,...., A n đôi một xung khắc với nhau. Khi đó:
P A A ... A P A P A ... P A .
1 2 n 1 2 n
Biến cố đối
Cho A là một biến cố. Khi đó biến cố “không A”, kí hiệu là A ,
được gọi là biến cố đối của A. Ta nói A và A
của nhau.
Khi đó: \ A
P A 1
P A .
A
là hai biến cố đối
4. Quy tắc nhân xác suất
Giao hai biến cố A và B. Biến cố “A và B cùng xảy ra”, kí hiệu
A B (hay AB), gọi là giao của hai biến cố A và B.
Hai biến cố độc lập
Hai biến cố được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không
xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng xác suất xảy ra của
biến cố kia.
Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì A và B , A và B, A và B cũng là độc lập.
Quy tắc nhân xác suất hai biến cố độc lập
Nếu A và B là hai biến cố độc lập với nhau thì ta luôn có P AB P A .P B .
Cho n biến cố A 1 , A 2 , ……, A n độc lập với nhau từng đôi một. Khi đó:
.
P A ,A ,..., A P A P A ...P A
1 2 n 1 2 n
PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Biến cố và xác suất của biến cố
1. Phương pháp giải
Bước 1: Tìm số phần tử của không gian mẫu n
hay .
Bước 2: Gọi tên biến cố là A (người ta thường sử
dụng chữ cái in hoa để gọi tên biến cố).
Tìm kết quả thuận lợi của biến cố A là n(A)hay
A
dựa vào các quy tắc đếm và các công thức
hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp, hoặc sử dụng phương
pháp liệt kê.
Ví dụ: Gieo hai đồng xu cân đối một cách độc lập.
Tính xác suất để cả hai đồng xu đều sấp.
1 3 1
A. B. C. D.
4 4 2
Hướng dẫn
Không gian mẫu: Gieo hai đồng xu một cách cân
đối, độc lập, mỗi đồng xu ra các khả năng sấp (S)
hoặc ngửa (N), các phần tử của không gian mẫu là
3
8
S;S ; S; N ; N;S ; N; N 4. .
Gọi A là các biến cố “cả hai đồng xu đều sấp” .
Các phần tử của biến cố A là
A
A S;S 1.
Xác suất của biến cố A là:
Trang 2

Bước 3: Tính xác suất của biến cố A.
P A
n A
n
A
A 1
PA .
4
Chọn A.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người
được chọn đều là nữ.
1 7 8
A. .
B. .
C. .
D.
15
15
15
Hướng dẫn
Không gian mẫu: Chọn ngẫu nhiên 2 người trong 10 người, có
Gọi A là biến cố “2 người được chọn đều là nữ”.
2
C 10
cách
1 .
5
2
C
10.
2
2
Kết quả thuận lợi của biến cố A: Chọn 2 học sinh nữ có cách C . .
Vậy xác suất của biến cố A là:
Chọn A.
C 1
P A .
C 15
2
A 3
2
10
C 3
A 3
Ví dụ 2: Một hộp chứa 11 quả cầu gồm 5 quả cầu màu xanh và 6 quả cầu màu đỏ. Chọn ngẫu nhiên đồng
thời 2 quả cầu từ hộp đó. Xác suất để 2 quả cầu chọn ra cùng màu bằng:
5 6 5
A. .
B. .
C. .
D.
22
11
11
Hướng dẫn
2
2
Không gian mẫu: Chọn ngẫu nhiên 2 quả từ 11 quả nên có cách C 55 cách.
Gọi A là biến cố “Chọn được hai quả cầu cùng màu”.
Kết quả thuận lợi của biến cố A:
Trường hợp 1: Chọn 2 quả cầu trong 5 quả cầu xanh, có
Trường hợp 2: Chọn 2 quả cầu trong 6 quả cầu đỏ, có
2
C 6
2
C 5
C 11
cách.
cách.
11
8 .
11
Suy ra
C C 25.
2 2
A 5 6
Vậy xác suất của biến cố A là
Chọn A.
A 25 5
P A .
55 11
Ví dụ 3: Từ một hộp có 13 bóng đèn, trong đỏ có 6 bóng hỏng. Lấy ngẫu nhiên 5 bóng ra khỏi hộp. Tính
xác suất sao cho có nhiều nhất 2 bóng hỏng.
427 61 63
A. .
B. .
C. .
D.
429
68
68
Hướng dẫn
84 .
143
Trang 3

C
5
5
Không gian mẫu: Chọn 5 bòng đèn trong 13 bóng có cách n C 13
.
Gọi A là biến cố “Chọn được 5 bóng và nhiều nhất 2 bóng hỏng”.
Kết quả thuận lợi của biến cố A là:
Trường hợp 1: Chọn được 2 bóng hỏng và 3 bỏng tốt có
Trường hợp 2: Chọn được 1 bóng hỏng và 4 bóng tốt có
Trường hợp 3: Chọn được 5 bóng đều tốt có
Số cách thuận lợi cho A là:
Xác suất của biến cố A là: PA
Chọn D.
5
C 7
cách.
2 3 1 4 5
6 7 6 7 7
13
2 3
C
6.C7
1 4
C
6.C7
n A C .C C .C C 756
n 756 84
n C 143
A
5
13
Ví dụ 4: Cho hai đường thẳng song song d 1 , d 2 . Trên d 1 có 6 điểm phân biệt được tô màu đỏ, trên d 2 có 4
điểm phân biệt được tô màu xanh. Xét tất cả các tam giác được tạo thành khi nối các điểm đó với nhau.
Chọn ngẫu nhiên một tam giác, khi đó xác suất để thu được tam giác có hai đỉnh màu đỏ là:
cách.
cách.
cách.
2 3 5
A. .
B. .
C. .
D.
9
8
9
Hướng dẫn
Không gian mẫu: Trường hợp 1: Lấy 2 điểm trên d 1 , 1 điểm trên d 2 có
Trường hợp 2: Lấy 1 điểm trên d 1 , 2 điểm trên d 2 có
C C C C 96
2 1 1 2
6 4 6 4
Gọi A là biến cố “tam giác có hai đỉnh màu đỏ”.
1 2
C6C4
cách.
Số phần tử thuận lợi của biến cố A là lấy 2 điểm trên d 1 ; 1 điểm trên d 2 có
C C 60
2 1
A 6 4
Xác suất của biến cố A là:
Chọn D.
A 5
P A .
8
2 1
C6C4
cách.
2 1
C6C4
Ví dụ 5: Xếp 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ vào một bàn tròn 10 ghế. Tính xác suất không có hai học
sinh nữ ngồi cạnh nhau.
37 5 5
A. .
B. .
C. .
D.
42
42
1008
Hướng dẫn
5 .
8
cách.
Không gian mẫu: Cố định 1 vị trí cho một học sinh nam (hoặc nữ), đánh dấu các ghế còn lại từ 1 đến 9.
Không gian mẫu là hoán vị 9 học sinh (còn lại không cố định) trên 9 ghế đánh dấu.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là 9! .
Gọi A là biến cố “không có hai học sinh nữ ngồi cạnh nhau”.
Ta mô tả khả năng thuận lợi của biến cố A như sau:
1 .
6
Trang 4

Đầu tiên, ta cố định 1 học sinh nam, 5 học sinh nam còn lại có 5! cách xếp.
Ta xem 6 học sinh nam như 6 vách ngăn trên vòng tròn, thì sẽ tạo ra 6 ô trống để ta xếp 4 học sinh nữ vào
(mỗi ô trống chỉ được xếp 1 học sinh nữ). Do đó có
Suy ra số phần tử của biến cố A là
Vậy xác suất cần tính
Chọn B.
4
A 5!.A
6.
4
A 5!.A
6
5
P A .
9! 42
4
A 6
Ví dụ 6: Một chiếc hộp đựng 6 bút màu xanh, 6 bút màu đen, 5 bút màu tím và 3 bút màu đỏ. Lấy ngẫu
nhiên ra 4 bút. Tính xác suất để lấy được ít nhất 2 bút cùng màu.
cách.
200 287 1
A. .
B. .
C. .
D.
323
323
2
Hướng dẫn
Không gian mẫu: Lấy 4 bút bất kì từ 20 bút đã cho có
Gọi A là biến cố “lấy được ít nhất hai bút cùng màu”.
A
4
C20
4845
là biến cố “lấy được 4 bút trong đó không có hai cái nào cùng màu”.
Số cách lấy được 4 bút trong đó không có hai cái nào cùng màu là:
Vậy xác suất lấy được 4 bút trong đó có ít nhất hai bút cùng màu là:
C .C .C .C 287
P A 1 P A 1 .
C 323
Chọn B.
1 1 1 1
6 6 5 3
4
20
1 .
6
cách C 4845.
4
20
1 1 1 1
A C
6.C 6.C 5.C 3.
Ví dụ 7: Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 5 học sinh lớp 12C
thành một hàng ngang. Xác suất để 10 học sinh trên không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau bằng:
11 1 1
A. .
B. .
C. .
D.
630
126
105
Hướng dẫn
Kí hiệu học sinh lớp 12A, 12B, 12C lần lượt là A, B, C.
Không gian mẫu: Số cách xếp 10 học sinh thành 1 hàng ngang là 10! (cách) 10!.
Gọi X là biến cố “trong 10 học sinh trên không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau”.
Ta xếp 5 học sinh lớp 12C trước, số cách xếp chia thành các trường hợp như sau:
Trường hợp 1:
5! cách xếp.
C C C C C
Xếp 5 học sinh còn lại vào 5 vị trí trống ta có 5! cách xếp.
Vậy trường hợp này có 5!.5! cách xếp.
Trường hợp 2:
Trường hợp 3:
1 .
42
(quy ước vị trí của – là vị trí trống), đổi chỗ 5 học sinh đó cho nhau ta có
C C C C C , tương tự như trường hợp 1 ta có 5!.5! cách.
C C C C C
, đổi chỗ 5 học sinh đó cho nhau ta có 5! cách xếp
Trang 5

Ta có 2 vị trí trống liền nhau, chọn 1 học sinh lớp 12A và 1 học sinh lớp 12B để xếp vào 2 vị trí trống đó,
1 1
2 học sinh này có thể đổi chỗ cho nhau nên có: C .C .2! 2.3.2 12
cách.
Xếp 3 học sinh còn lại vào 3 chỗ trống có 3! cách.
Vậy trường hợp này có 5!.12.3! cách.
Trường hợp 4: C C C C C ;
Trường hợp 5: C C C C C ;
Trường hợp 6: C C C C C ;
2 3
Ba trường hợp 4, 5, 6 có số cách xếp giống trường hợp 3.
Vậy có tất cả: 5!.5!.2 4.5!.12.3! 63360 cách xếp A 63360
Vậy xác suất của biến cố X là
Chọn A.
A 63360 11
P X .
10! 630
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Gieo hai đồng xu cân đối một cách độc lập. Tính xác suất để có đúng một đồng xu ngửa.
1 3 1
A. .
B. .
C. .
D.
4
4
2
Câu 2. Một bình đựng 6 viên bi khác màu, trong đó có 2 viên màu xanh, 2 viên màu vàng, 2 viên màu đỏ.
Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi. Tính xác suất để được 2 viên bi xanh.
1 1 1
A. .
B. .
C. .
D.
4
2
15
Câu 3. Một lô hàng có 100 sản phẩm, biết rằng trong đó có 8 sản phẩm hỏng. Người kiểm định lấy ra
ngẫu nhiên từ đó 5 sản phẩm. Tính xác suất của biến cố A: “ Người đó lấy được đúng 2 sản phẩm hỏng”.
2 229 1
A. .
B. .
C. .
D.
25
6402
50
3 .
8
1 .
5
1
.
2688840
Câu 4. Cho một hộp đựng 12 viên bi, trong đó có 7 viên bi màu đỏ, 5 viên bi màu xanh. Lấy ngẫu nhiên
mỗi lần 3 viên bi. Tính xác suất lấy được ít nhất 2 viên bi màu đỏ.
19 7 7
A. .
B. .
C. .
D.
220
11
44
21 .
44
Đáp án:
1 – C 2 – C 3 – B 4 – B
Dạng 2:
1. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Hai người độc lập nhau ném bóng vào rổ. Mỗi người ném vào rổ của mình một quả bóng. Biết
1 2
rằng xác suất ném bóng trúng vào rổ của từng người tương ứng là và . Gọi A là biến cố: “Cả hai
5 7
Trang 6

cùng ném bóng trúng vào rổ”. Khi đó, xác suất của biến cố A là bao nhiêu?
12 1 4
A. .
B. .
C. .
D.
35
25
49
Hướng dẫn
Gọi A là biến cố: “Cả hai cùng ném bóng trúng vào rổ.”
Gọi X là biên cố: “Người thứ nhất ném trúng rổ.” PX
Goi Y là biến cố: “Người thứ hai ném trúng rổ.” PY
Ta thấy biến cố X, Y là 2 biến cố độc lập nhau
Chọn D.
1
5
1
5
2 .
35
A X.Y , theo công thức nhân xác suất:
1 2 2
PA PX .P Y . .
5 7 35
Ví dụ 2: Ba người cùng bắn vào một bia. Xác suất để người thứ nhất, thứ hai, thứ ba bắn trúng đích lần
lượt là 0,8; 0,6; 0,5. Tính xác suất để có đúng hai người bắn trúng đích.
A. 0,24 B. 0,96 C. 0,46 D. 0,92.
Hướng dẫn
Gọi A 1 là biến cố người thứ nhất bắn trúng đích, ta có: PA1
0,8
A là biến cố người thứ nhất bắn trượt đích, ta có: PA 1 PA 1 0,8 0,2.
1
1 1
Gọi A 2 là biến cố người thứ hai bắn trúng đích, ta có: PA2
0,6
A là biến cố người thứ hai bắn trượt đích, ta có: PA 1 PA 1 0,6 0,4.
2
2 2
Gọi A 3 là biến cố người thứ ba bắn trúng đích, ta có: PA3
0,5
A là biến cố người thứ ba bắn trượt đích, ta có: PA 1 PA 1 0,5 0,5.
3
3 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
Gọi B là biến cố: “Có đúng hai người bắn trúng đích”. B A A A A A A A A A .
Xác suất để có đúng hai người bắn trúng đích là:
P B P A P A P A P A P A P A P A P A P A 0, 46 .
Chọn C.
1 2 3 1 2 3 1 2 3
Ví dụ 3: Bài kiểm tra môn toán có 20 câu trắc nghiệm khách quan. Mỗi câu có 4 lựa chọn và chỉ có một
phương án đúng. Một học sinh không học bài nên làm bài bằng cách lựa chọn ngẫu nhiên một phương án
trả lời. Tính xác suất để học sinh đó trả lời sai cả 20 câu.
0,25 20
. 20
20
20
A. B. 1 0,75 . C. 1 0,25 . D.
Gọi A là biến cố: “Học sinh đó trả lời sai 20 câu.”
Hướng dẫn
0,75 .
Trong một câu, xác suất học sinh trả lời sai là: 3 0,75.
4
Trang 7

20
Vậy xác suất để học sinh đó trả lời sai 20 câu là PA 0,75
Chọn D.
Ví dụ 4: Hai xạ thủ A và B cùng bắn vào tấm bia mỗi người mỗi phát. Xác suất bắn trúng bia của xạ thủ
A là 0,7. Tìm xác suất bắn trúng bia của xạ thủ B biết xác suất có ít nhất một người bắn trúng bia là 0,94.
A. 0,25 B. 0,45 C. 0,8 D. 0,12
Hướng dẫn
Gọi xác suất bắn trúng bia của xạ thủ B là P B b với 0 b 1.
Gọi X là xác suất cả hai xạ thủ bắn trật. Có X A B và A , B là hai biến cố độc lập nên
PX PA B PA .P B 1 0,71
b 1
Gọi X là biến cố có ít nhất một xạ thủ bắn trúng bia, dễ dàng thấy X và X là hai biến cố đối nên
PX 1 PX
1 0,94 0,06
(2)
Từ (1) và (2) được 1 0,71 b
0,06 b 0,8.
Chọn C.
2. Bài tập tự luyện
Câu 1. Xác suất bắn trúng mục tiêu của một vận động viên khi bắn một viên đạn là 0,6. Người đó bắn
hai viên đạn một cách độc lập. Xác suất để một viên trúng mục tiêu và một viên trượt mục tiêu là:
A. 0,4 B. 0,6 C. 0,48 D. 0,24
Câu 2. Hai xạ thủ bắn mỗi người một viên đạn vào bia, biết xác suất bắn trúng vòng 10 của xạ thủ thứ
nhất là 0,75 và của xạ thủ thứ hai là 0,85. Tính xác suất để có ít nhất một viên trúng vòng 10.
A. 0,9625. B. 0,325. C. 0,6375. D. 0,0375.
Đáp án:
1 – C 2 – A
PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP
Câu 1. Trong các thí nghiệm sau đây thí nghiệm nào không phải là phép thử ngẫu nhiên?
A. Gieo đồng tiền xem nó mặt ngửa hay mặt sấp.
B. Gieo 3 đồng tiền và xem có mấy đồng tiền lật ngửa.
C. Chọn bất kì 1 học sinh trong lớp và xem là nam hay nữ.
D. Bỏ 2 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ trong một chiếc hộp, sau đó lấy từng viên một để đếm xem có tất
cả bao nhiêu viên bi
Câu 2. Cho phép thử có không gian mẫu
Q 1,2,3,4,5,6
A. A 1 và B 2;3;4;5;6 .
B. và
. Các cặp biến cố không đối nhau là:
C1, 4,5
D 2;3;6
C. E 1;4;6 và F 2;3
D. và
Trang 8

Câu 3. Gieo hai đồng xu cân đối một cách độc lập. Tính xác suất để có ít nhất một đồng xu sấp.
1 3 1
A. .
B. .
C. .
D.
4
4
2
Câu 4. Một hộp chứa 10 quả cầu đỏ, 20 quả cầu xanh. Chọn ngẫu nhiên 1 quả cầu trong hộp. Tính xác
suất sao cho quả cầu được chọn màu đỏ.
1 1 1
A. .
B. .
C. .
D.
6
3
2
Câu 5. Từ 1 hộp chứa 4 bi xanh, 3 bi đỏ, 2 bi vàng, lấy ngẫu nhiên 2 bi. Tính xác suất các biến cố hai bi
cùng màu xanh.
1 1 1
A. .
B. .
C. .
D.
6
3
2
Câu 6. Trong một kì thi có 60% thí sinh đỗ. Hai bạn A, B cùng dự kì thi đó. Xác suất để chỉ có một bạn
thi đỗ là:
A. 0,24 B. 0,36 C. 0,16 D. 0,48
Câu 7. Gieo hai đồng xu A và B một cách độc lập. Đồng xu A chế tạo cân đối. Đồng xu B chế tạo không
cân đối nên xác suất xuất hiện mặt sấp gấp 3 lần xác suất xuất hiện mặt ngửa. Tính xác suất để khi gieo 2
đồng xu một lần thì cả hai đều ngửa.
1 3 1
A. .
B. .
C. .
D.
4
4
8
Câu 8. Một hộp chứa các quả cầu kích thước khác nhau gồm 3 quả cầu đỏ, 6 quả cầu xanh và 9 quả cầu
vàng. Chọn ngẫu nhiên 2 quả cầu. Tính xác suất để 2 quả cầu được chọn khác màu.
19 11 7
A. .
B. .
C. .
D.
765
17
765
Câu 9. Từ một hộp chứa 6 quả cầu trắng và 4 quả cầu đen, lấy ra ngẫu nhiên cùng một lúc ra 4 quả. Tính
xác suất sao cho có ít nhất một quả màu trắng.
19 8 209
A. .
B. .
C. .
D.
765
105
210
Câu 10. Có 2 hộp: hộp 1 chứa 5 bi đỏ, 4 bi trắng; hộp 2 chứa 3 bi đỏ, 6 bi trắng. Mỗi hộp chọn 1 bi. Tính
xác suất biến cố 2 bi màu đỏ.
5 13 14
A. .
B. .
C. .
D.
27
27
27
3 .
8
3 .
10
1 .
18
3 .
8
5 .
17
10 .
21
1 .
72
Đáp án:
1 – D 2 – C 3 – B 4 – B 5 – A 6 – D 7 – C 8 – B 9 – C 10 – A
Trang 9

PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
CHƯƠNG 5: DÃY SỐ, GIỚI HẠN, ĐẠO HÀM
CHUYÊN ĐỀ 1: DÃY SỐ. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
1. Phương pháp quy nạp toán học (Phương pháp quy nạp)
Phương pháp này thường để chứng minh mệnh đề liên quan đến số tự nhiên
n p mà không thể thử trực tiếp được.
Các bước giải:
2. Dãy số
Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = p.
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì
Chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.
Bước 3: Kết luận mệnh đề đúng với mọi n p .
u n
Một dãy số thường được kí hiệu hoặc u hoặc u .
u là số hạng tổng quát thứ n của dãy số u n .
n
u 1
là số hạng đầu.
Dãy số tăng, dãy số giảm:
n
Dãy số u n tăng khi và chỉ khi un 1
un
, với mọi n
*
u u 0 , với mọi
n1
n
n
*
n
n k p
un
1
*
1, un
0 , với mọi n .
u
Dãy số u n giảm khi và chỉ khi un 1
un
, với mọi n
Dãy số bị chặn:
Chú ý:
n
*
u u 0 , với mọi
n1
n
*
n
un
1
*
1, un
0 , với mọi n .
u
*
Dãy số u n bị chặn trên nếu M : u M , n
.
*
Dãy số u n bị chặn dưới nếu m : u m , n
.
Dãy số
u n
n
n
n
bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên và vừa bị chặn dưới, tức là:
*
m,M : m u M ; n
.
Một dãy số có thể có số hạng tổng quát hoặc không có số hạng tổng quát.
Một dãy số có thể tăng hoặc giảm hoặc không tăng, không giảm.
Một dãy số có thể bị chặn trên hoặc bị chặn dưới hoặc bị chặn hoặc không bị chặn.
Dãy số không bị chặn là dãy số hoặc không bị chặn trên hoặc không bị chặn dưới.
3. Giới hạn của dãy số
n
*
n
(giả thiết quy nạp).
là đúng với mọi
Trang 1

Các loại giới hạn: Giới hạn hữu hạn lim un
lim un
a ; lum vn lim vn
a .
PHẦN 2: CÁC CÔNG THỨC
1
lim 0; .
n 1
lim 0
k
n
k
*
lim n , n .
n
n
Giới hạn vô cực lim un
lim un
; lim un lim un
.
n
n
lim q 0 nếu q 1.
n
lim q nếu q 1.
lim u v lim u lim v . lim u .v lim u .lim v .
n n n n
n n n n
n
lim c c
u
lim v
(c là hằng số).
lim u
n
n
lim vn
0
n lim v
n
.
lim un
a ; lim v .
un
lim 0 .
v
n
un
0 n
; lim un
a
a 0 ; lim un
a .
n
lim un
;
lim v a 0
lim unv n
,a 0
.
lim unv n ,a 0
Định lí kẹp:
n
un
v
n
, n
; lim vn 0 lim un
0 .
lim un
a 0 ; lim vn
0
u
u
n
lim ,a.vn
0
vn
n
lim ,a.vn
0
vn
PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Số hạng, công thức tổng quát của dãy số
1. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho dãy số có các số hạng đầu là:
1 1 1 1 1
; ; ; ; ;...
2 3 4 5
3 3 3 3 3
. Số hạng tổng quát của dãy số này là:
1 1
1
1
A. u
n
.
B. u
C. D.
n 1
2 3
n
u
n 1
3
n n
3
Hướng dẫn
1 1 1 1 1
Ta thấy năm số hạng đầu có dạng: ; ; ; ; ;...
2 3 4 5
3 3 3 3 3
1
Do đó số hạng tổng quát của dãy số trên là: un
.
n
3
Chọn C.
un
n 1
3
1
u1
3
Ví dụ 2: Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số u n
. Biết rằng .
un1
3u
n
n 1
A. u 3
n
B. u 1
3
C. u 3n
D.
n
n
n
u 3
n
n
Cách 1: Ta có
u1
3
un1
3u
n
nên suy ra:
Hướng dẫn
u 3u 3.3 9 3
2 1
2
Trang 2

u 3u 3.9 27 3
3 2
u 3u 3.27 81 3
4 3
u 3u 3.81 243 3
5 4
n
Ta dự đoán số hạng tổng quát có dạng: u 3 ; n 1
(1)
Ta chứng minh (1) bằng phương pháp quy nạp.
1
Với n = 1, ta có u 3 3 (đúng). Vậy (1) đúng với n = 1.
1
k
Giả sử (1) đúng với n = k, tức là ta có u 3 .
u n
k
k 1
Ta cần chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là ta phải chứng minh u 3 .
k k 1
Thật vậy ta có u k 1
3.u k
3.3 3
. Vậy (1) đúng với n = k + 1.
Kết luận (1) đúng với mọi số nguyên dương n.
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx570VN PLUS
Ta bấm máy tính, tìm ra một vài số hạng đầu của dãy số là 3; 9; 27; 81; 243; …
Thử các đáp án: (Tìm một vài số hạng đầu của các dãy số ở các đáp án)
Đáp án A: Các số hạng đầu của dãy số
dãy số đề bài, nên loại đáp án A.
Đáp án B: Các số hạng đầu của dãy số
với dãy số đề bài, nên loại đáp án B.
Đáp án C: Các số hạng đầu của dãy số
số đề bài, nên loại đáp án C.
đề bài.
Chọn D.
Đáp án D: Các số hạng đầu của dãy số
n
un
n
n 1
3
u 1
3
un
3n
u 3
n
n
n
3
4
5
.
k1
là 9; 27; 81; 243; … . Ta thấy không trùng với
là 4; 10; 28; 82; 244; … . Ta thấy không trùng
là 3; 6; 9; 12; 15; … . Ta thấy không trùng với dãy
là 3; 9; 27; 81; 243; … . Ta thấy trùng với dãy số
u1
5
Ví dụ 3: Cho dãy số u n với
. Số hạng thứ n + 2 của dãy số u n
là:
un1
un
n
n 2 n 1
A. un2
5
B. un2
5
2
n 2 n 1
C. un2
5
D. un2
5
2
Ta có u1
5
u2
5 1
Hướng dẫn
u3
5 1 2
u4
5 1 2 3
u5
5 1 2 3 4 u6
5 1 2 3 4 5
n n 1
un
5 1 2 3 ... n 1 5
2
n 2n 1
2
n 2n 1
…
(Chứng minh bằng quy nạp).
3
Trang 3

n n 1
Do đó, số hạng tổng quát của dãy số trên là: un
5 .
2
n 2 n 2 1 n 2 n 1
Vậy số hạng thứ n + 2 của dãy số trên là: un2
5 5
.
2 2
Chọn A.
2. Bài tập tự luyện
Câu 1. Cho dãy số có các số hạng đầu là 8; 15; 22; 29; 36; … . Số hạng tổng quát của dãy số này là:
A. un
7n 7
B. un
7n
C. un
7n 1
D. un
không viết được dưới dạng công thức.
u1
3
Câu 2. Tìm công thức tính số hạng tổng quát u n
theo n của dãy số sau
.
un1
un
2
A. un
2n 1
B. un
n 2
C. un
n 4 D.
un
3n
Đáp án
1 – C 2 – A
Dạng 2: Dãy số tăng, giảm, bị chặn
1. Phương pháp giải
Cách 1: Sử dụng kiến thức phần lí thuyết trọng tâm.
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx570VN PLUS
Dãy số tăng, giảm:
Cho dãy số u f n .
Nhập MODE 7.
n
Nhập f X Start? 1 =
End? 10 = Step 1 =
Ta nhận được bảng giá trị của
với các số hạng của dãy số.
Nhìn vào bảng giá trị này:
Các giá trị tăng dần thì dãy số
Các giá trị giảm dần thì dãy số
Các trường hợp khác thì dãy số
không giảm.
u n
f X
u n
u n
tăng.
giảm.
, tương ứng
không tăng,
2n 1
Ví dụ: Cho dãy số un
.
n 3
Nhập MODE 7.
2X 1
Nhập f X
Start? 1 =
X 3
End? 10 = Step 1 =
Ta nhận được bảng giá trị của
các số hạng của dãy số là:
0,25; 0,6; 0,8333; 1; 1,125;
f X
1,2222; 1,3; 1,3636; 1,4166; 1,4615
Ta thấy các giá trị này tăng, nên dãy số
tăng.
, tương ứng với
u n
là dãy
Dãy số bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn:
Cho dãy số u f n .
Nhập MODE 7.
n
2n 1
Ví dụ: Cho dãy số un
.
n 3
Nhập MODE 7.
Trang 4

Nhập f X Start? 1 =
End? 20 = Step 1 =
Ta nhận được bảng giá trị của
với các số hạng của dãy số.
Nhìn vào bảng giá trị này:
f X
, tương ứng
Các giá trị nhỏ hơn một số M Dãy số u bị
chặn trên bởi M.
Các giá trị lớn hơn một số m Dãy số u bị
chặn dưới.
Các trường hợp khác Dãy số u không bị
chặn.
2. Ví dụ minh họa
n
n
n
2X 1
Nhập f X
X 3
Start? 1 =
End? 20 = Step 1 =
Ta nhận được bảng giá trị của f X
các số hạng của dãy số là:
0,25; 0,6; 0,8333; 1; 1,125;
tương ứng với
1,2222; 1,3; 1,3636; 1,4166; 1,4615;
1,5; 1,5333; 1,5625; 1,5882; 1,6111;
1,6315; 1,65; 1,6666; 1,6818; 1,6956
Ta thấy các giá trị này tăng và luôn lớn hơn 0 và
nhỏ hơn 2, nên dãy số
chặn trên bởi 2.
Ví dụ 1: Dãy số nào trong các dãy số sau là dãy số giảm?
n
n n
2n 4
6
A. un
1 5 2
B. un
C. un
D.
n 1
n 3
7
Hướng dẫn
1
Xét dãy số un
5 ta có:
n
1 1 1 1 1
*
un
1
un
5 5
0 ; x
.
n 1 n n 1 n n n 1
1
Vậy dãy số un
5 là dãy số giảm.
n
Chọn D.
Ví dụ 2: Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số tăng?
2
n
1
n n 1
A. un
3 2n B. un
2 C. un
D. u
2
2n
3n 2
Hướng dẫn
n
n 1
n
Xét dãy số un
3 2n ta có un 1
un
3
2n 1
3 2n
n n n
*
3.3 2n 2 3 2n 2.3 2 0 ; x
.
Vậy dãy số
n
un
3 2n
là một dãy số tăng.
Chọn A.
Ví dụ 3: Dãy số nào trong các dãy số sau là dãy số không bị chặn?
u n
bị chặn dưới bởi 0 và bị
1
un
5
n
n 2
n 1
n 2
8n 3
2
n 2
A. un
B. un
n 4n 3 C. un
D.
5n 7
5n 9
un
3 n
n
2
Trang 5

2
Hướng dẫn
2
Ta có: u n 4n 4 1 n 2 1 1, n 1.
n
Vậy dãy số bị chặn dưới, nhưng không bị chặn trên.
Chọn B.
Ví dụ 4: Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn?
7n 5
3
2
A. un
B. un
n 2 n 3 C. un
2n 4n 7 D.
5n 7
7n 5
7 24
Xét dãy số un
ta có: un
.
5n 7
5 5 5n 7
Hướng dẫn
1 1
24 2
Nhận xét 0 ; n 1
0
5n 7 12
5 5n 7 5
Suy ra:
7 7 24 7 2
5 5 5 5n 7 5 5
u
n
Chọn A.
7n 5
5n 7
3. Bài tập tự luyện
là một dãy số bị chặn.
7
1 un
.
5
Câu 1. Dãy số nào trong các dãy số sau là dãy số tăng?
n 2n
un
1 3 2
n n
1
2n 1
A. un
1 2 1
B. un
2
C. un
D.
n
n 3
Câu 2. Dãy số nào trong các dãy số sau là dãy số giảm?
u1
3
2un
un
1
3
u
n
n n
2
n 1
3
A. un
1 2 1
B. un
2n 4n 1
C. un
D. u
n 1
2
Câu 3. Cho dãy số
un
sin n
. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
n n 1
A. Dãy số âm. B. Dãy số giảm. C. Dãy số tăng. D. Dãy số bị chặn.
Đáp án
1 – C 2 – B 3 – D
n
Dạng 3: Giới hạn của dãy số
1. Phương pháp giải
Cách 1: Sử dụng công thức trong phần 2.
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx570VN PLUS
Tính giới hạn của dãy số u f n .
n
2n 1
Tính giới hạn của dãy số un
.
n 3
Trang 6

9
Nhập f X , CALC X 10
=
Ta nhận được kết quả gần với giá trị giới hạn của
dãy số.
2. Ví dụ minh họa
2X 1
9
Nhập , CALC X 10
=
X 3
Ta nhận được kết quả 1,99999.
Do đó giới hạn của dãy số u n
là 2.
2
3n n 2
Ví dụ 1: Tìm giới hạn của dãy số u n , biết un
.
2
4n 2n 3
3
1
A. B.
C. 0 D. 1
4
2
Hướng dẫn
2
2
Cách 1: Ta thấy n là lũy thừa cao nhất của tử và mẫu, nên chia cả tử và mẫu của u cho n được:
2
3n n 2 1 2
2
3
3n n 2 2 2
n n n 3
lim un lim lim .
2
2
4n 2n 3 4n 2n 3 2 3
4
4
2
n n
2
n
1
(Vì lim 0 ; ; ).
n 2
lim 0
2
n 3
lim 0
2
n
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx570VN PLUS
2
3X X 2
9
Ta nhập vào máy tính . Sau đó bấm nút CALC 10 0,750000.
2
4X 2X 3
Ta thấy kết quả gần với đáp án A.
Chọn A.
n n
2 7 a a
3 3
Ví dụ 2: Giới hạn của dãy số un là với là phân số tối giản, b > 0. Giá trị của a b là:
n n
7 4 b b
A. 1 B.
C. 0 D. 2
Ta có:
Hướng dẫn
n n n n
2 7 2 7 2
1
lim u lim lim lim 1
7 4 7 4 7 4 4 1
n n n 1 7 7 7
7
n n
2 7 n n n
7 7 7 7
1
n
n n
n n n n n
n
2 2 4 4
(Vì 1
lim
0 ; 1
lim
0 ).
7 7 7 7
3 3
Khi đó: a 1; b = 1 nên a b 0 .
Chọn C.
n
n
n
Trang 7

3
2
4n 1
1 1
Ví dụ 3: Cho giới hạn lim n n n a và lim b . Tính .
3
2 2
4 n
a b
9
9
A. B. C. 0 D.
16
2
2
Ta có:
Hướng dẫn
2 2
n n n n
lim n n n lim lim
2
n n n 1
n
n 1 1
lim lim a .
1 1 2
n 1
1
1
1
n
n
2
n 1
n
1
3 4
4n 1 3
Ta có: n
1 1 1 1 65
lim lim 4 b . Vậy .
3
2
4 n 4
1
a 2 b 2 1 4 2 16
3
n
2
Chọn D.
65
16
Ví dụ 4: Giá trị của giới hạn
3 3
lim 30 4n 5n
bằng:
A. 0 B. 1 C.
D.
Hướng dẫn
3 3
30 5
Cách 1: Ta có: lim 30 4n 5n lim 3 4 .
3 2
n n
30 5
Vì 3
3
3 3
lim 4 4 0 và lim n . Nên lim 30 4n 5n .
3 2
n n
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx570VN PLUS
3 3
9
Ta nhập vào máy tính 30 4X 5X . Sau đó bấm nút CALC 10 1587401052.
Ta thấy kết quả gần với đáp án C.
Chọn C.
Ví dụ 5: Trong các giới hạn sau, giới hạn nào có giá trị bằng ?
A. lim 2n 4 5n 3 7n
B. lim 1
5n 2n
3
C. lim 3n 2n 5
D.
3 3
lim 2n 2 cos n
2 3n
2
Hướng dẫn
4 3 4 5 7
2 5 7
Ta có: LA lim 2n 5n 7n lim n 2 lim n 2 .
3
3
n n
n n
5
Do lim 0 , nên và .
n 7
lim 0
3
n 5 7
2
lim 2 2 lim n
3
n n
Trang 8

Suy ra
LA
Ta có: 3 3 3 1 5 1 5
L 3
3
B
lim 1 5n 2n lim n 2 lim n. 2 .
3 2
3 2
n n
n n
1
Ta có lim 0 , nên và .
3
n 5
lim 0
2
n 1 5
3
3
lim
2 2
3 2
n n
lim n
Suy ra LB
.
3 3 2 5
Ta có: LC lim 3n 2n 5
lim n 3 . n
2 n
3
2
Do lim 0 và nên và .
2
n 5
lim 0
3
n 2 5
3
lim3 3
2 3 lim n
n n
Suy ra LC
.
2
2 2 3 3 cos n
Ta có LD
lim 2n cos n 3n lim n 2. 3
.
n
Chọn B.
2
2
cos n 1 1 1 cos n
Mà mà lim 0 lim 0 .
n n n n
n
2
cos n
3
Do đó lim
2. 3
3 , ngoài ra lim n . Suy ra có LD
.
n
3. Bài tập tự luyện
4
3n n
Câu 1. Giới hạn của dãy số u n , với un
là:
4n 5
3
A.
B.
C. D. 0
4
Câu 2. Tính lim 10
.
n 4 n 2 1
A.
B. 10 C. 0 D.
Câu 3. Trong các giới hạn sau, giới hạn nào có giá trị bằng 1?
2
1
A. lim B. lim 2n 3n 5
C. D.
n 2n 2
lim n 2
1
n 1
n n
3.2 5
Câu 4. Tìm giới hạn của dãy u n , biết un .
n n
5.4 6.5
1
A. B.
C. 0 D. 1
6
Đáp án 1 – A 2 – C 3 – C 4 – A
2
3n n 5
lim 2n
2
1
Trang 9

PHẦN 4: BÀI TẬP TỔNG HỢP
Câu 1. Dãy số nào trong các dãy số sau là dãy số tăng?
2
n n 1
1
n
n
A. un
B. u C. D.
2
n
2
un
3 n
un
2
2n 1
n
n 1
Câu 2. Dãy số nào trong các dãy số sau là dãy số giảm?
2
n n
n
n 1
3n 2n 1
A. un
1 2 1
B. un
C. u
D.
n
n
un
2
n 1
n 1
n
Câu 3. Cho dãy số Un
với Un
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
n 1
A. Năm số hạng đầu của dãy số là: 1 2 3 5 5
; ; ; ;
.
2 3 4 5 6
B. Năm số hạng đầu của dãy số là: 1 2 3 4 5
; ; ; ;
.
2 3 4 5 6
C. Là dãy số tăng.
D. Bị chặn trên bởi số 2 .
3 3 2 2 a a
Câu 4. Cho giới hạn lim 8n n 1 4n n 3 với là phân số tối giản, b > 0. Giá trị của
b b
a
b
3 3
là:
A. 26 B. 27 C. 28 D. 29
Câu 5. Cho giới hạn
lim
1
a . Giá trị a là nghiệm của phương trình nào dưới đây?
2 2
3n 2n 3n 1
2
2
2
A. x 3 0
B. x 4x 3 0 C. x 4 0
D.
n n
Câu 6. Tìm giới hạn của dãy số u n , biết lim 3 5.4
. 7 n 2 n
1
A. B. 1 C. 0 D.
6
Câu 7. Biết giới hạn
A. m 3 0
B. m
C. Giá trị của m là một số dương.
2
lim 3n 5 9n 1 m . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
2
D. Giá trị của m thỏa mãn bất phương trình 2x 6x 2 0 .
n
Câu 8. Cho dãy số un
. Tìm giá trị nghịch đảo giới hạn của dãy số u .
n
n
4
2
x 5x 6 0
1
A. B. 1 C. 4 D. Không xác định.
4
un
2
Câu 9. Tìm giới hạn của dãy số , biết lim n n n .
Trang 10

1
1
A. B. C. 0 D. 2
2
2
Đáp án:
1 - C 2 - B 3 - B 4 - A 5 - A 6 - C 7 - D 8 - D 9 - B
Trang 11

CHƯƠNG 5: DÃY SỐ, GIỚI HẠN, ĐẠO HÀM
CHUYÊN ĐỀ 2: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ, HÀM SỐ LIÊN TỤC
PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Giới hạn của hàm số
Giới hạn hữu hạn lim f x L hay f x L khi x x .
xx 0
Giới hạn bên phải lim f x L .
xx 0
Giới hạn bên trái lim f x L .
xx 0
0
Định lí
lim f x L lim f x lim f x L
xx
0 xx0 xx0
Giới hạn tại vô cực lim f x L hay f x L khi x ;
x
lim f x
x
L hay f x L khi x .
Giới hạn vô cực lim f x hay f x khi x ;
x
x
lim f x
x
lim f x
lim f x
x
hay f x khi x ;
hay f x khi x ;
hay f x khi x .
0
Các dạng giới hạn vô định của hàm số: ; ; ; 0. ; 1 .
0
2. Hàm số liên tục
Hàm số liên tục tại một điểm
Cho hàm số y f x xác định trên khoảng K và x K .
0
Hàm số y f x liên tục tại khi và chỉ khi lim f x f x .
0
Hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn
xb
y
y
f x
x
xx0
liên tục trên a;b khi và chỉ khi y f x liên tục tại mọi điểm x a;b .
f x
.
lim f b
Tính chất:
c
a;b
0
liên tục trên a;b khi và chỉ khi y f x liên tục trên a;b ; lim f a và
Các hàm số sơ cấp (đa thức, lượng giác, mũ, lôgarit) liên tục trên các khoảng của tập xác định.
a;b
Nếu hàm số y f x liên tục trên đoạn và f a .f b 0 thì tồn tại ít nhất một điểm
sao cho f c 0 .
a;b
Nói cách khác: Nếu hàm số y f x liên trục trên đoạn và f a .f b 0 thì phương trình
f x
0
có ít nhất một nghiệm c
a;b .
xa
Trang 1

Mở rộng: Nếu hàm số y f x liên tục trên đoạn a;b . Đặt m min f x , M max f x . Khi đó với
mọi T m;M luôn tồn tại ít nhất một số c
a;b sao cho f c T .
PHẦN 2: CÁC CÔNG THỨC
lim x x
xx0
0
;
(c là hằng số)
lim x k
x
xx 0
xx 0
lim c c
xx 0
lim f x
L
lim c c
x
(c là hằng số)
lim x k
x
lim x k
x
; k chẵn
; k lẻ
Giới hạn đặc biệt
lim c c
x
(c là hằng số)
1
lim ;
x0
x
1
lim x
x0
Định lí về giới hạn
xx 0
lim g x
lim f x .g x
lim f x g x L M
xx 0
f x 0 ; lim f x
L
L 0 và lim f x
L
xx 0
xx 0
M
L.M
a;b
f x
lim g x
xx 0
xx0 xx0
a;b
x
c
lim 0
k
x
1 1
lim lim
x x
x0 x0
L
M 0
M
lim f x L lim f x L
Quy tắc về giới hạn vô cực
xx 0
lim f x
lim f x .g x
lim g x
x x 0
x x 0
L > 0
L < 0
xx 0
lim f x
xx 0
lim g x
Dấu của
g x
xx 0
f x
lim g x
L Tùy ý 0
L > 0 0
L < 0 0
+
+
Trang 2

PHẦN 3: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tím giới hạn của hàm số
1. Phương pháp giải
Cách 1: Các cách khử dạng vô định:
Phân tích thành nhân tử.
Nhân liên hợp.
Chia cả tử và mẫu cho một biểu thức.
Thêm bớt số hoặc biểu thức.
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx570VN PLUS
Tính lim f x .
Nhập
xx 0
f X
, CALC
X x 10
9
0
Ta nhận được kết quả gần với giá trị giới hạn của
dãy số.
Tính lim f x .
Nhập
xx 0
f X
, CALC
X x 10
9
0
Ta nhận được kết quả gần với giá trị giới hạn của
dãy số.
Tính lim f x .
Nhập
xx 0
f X
, CALC
X x 10
9
0
Ta nhận được kết quả gần với giá trị giới hạn của
dãy số.
Tính lim f x .
x
Nhập
f X
, CALC
9
X 10
Ta nhận được kết quả gần với giá trị giới hạn của
dãy số.
2x 1
Tính lim .
x1
x 3
Nhập
2X 1
, CALC
X 3
X 110 9
Ta nhận được kết quả 0,25000.
2x 1 1
Do đó: lim 0,25 .
x1
x 3 4
2x 1
Tính lim .
x1
x 3
Nhập
2X 1
, CALC
X 3
X 110 9
Ta nhận được kết quả 0,25000.
2x 1 1
Do đó lim 0, 25 .
x1
x 3 4
2x 1
Tính lim .
x1
x 3
Nhập
2X 1
, CALC
X 3
X 110 9
Ta nhận được kết quả 0,24999.
2x 1 1
Do đó lim 0, 25 .
x1
x 3 4
2x 1
Tính lim .
x
x 3
Nhập
2X 1
, CALC
X 3
9
X 10
Ta nhận được kết quả 1,99999.
2x 1
Do đó lim 2 .
x
x 3
Trang 3

Tính lim f x .
x
Nhập
f X
, CALC
9
X 10
Ta nhận được kết quả gần với giá trị giới hạn của
dãy số.
2. Ví dụ minh họa
4 2
Ví dụ 1: Tính giới hạn lim 5x 2x 1
.
x
2x 1
Tính lim .
x
x 3
Nhập
2X 1
, CALC
X 3
9
X 10
Ta nhận được kết quả 2,000000.
2x 1
Do đó lim 2 .
x
x 3
A. 5 B.
C. 0 D.
Hướng dẫn
4 2 4 2 1
Ta có lim 5x 2x 1
lim x 5 .
x
x
x
2 x
4
Chọn B.
2
x 2x 5 1
Ví dụ 2: Cho giới hạn lim
L . Tính .
x1
2
3
x 1
L 2
A. 2 B. 1
C. 5
D. 1
Hướng dẫn
2 2
x 2x 5 1 2.1
5
1
Ta có lim lim 1 L . Vậy 2 1.
x1 2
x 1
2
x 1
3
1 1
L
Chọn D.
2
x x 6
Ví dụ 3: Cho giới hạn lim
L . Giá trị của bằng:
x 2
2
2
3L 4L 6
x x 2
5
23
A. B. 13 C. D. 21
3
3
Hướng dẫn
2
x x 6 x 3 x 2 x 3 5
Ta có lim lim lim L .
x2 2
x x 2 x2 x 2 x 1 x2
x 1 3
2 5 5 23
Vậy 3L 4L 6 3
4. 6 .
3 3 3
Chọn C.
2
x 2 2x
1
Ví dụ 4: Cho giới hạn lim
L . Giá trị của bằng:
x2
3
x 1 3
x
L 1
1
65
64
A.
B.
C.
D. 1
4
64
65
Trang 4

Ta có
lim
x2 x2
Hướng dẫn
x 2 2x x 1 3 x
x 2 2x
lim
x 1 3 x x 1 3 x x 2 2x
x 2 x 1 3 x x 1 3 x 1
lim
lim
.
x2 x2
2 x 2 x 2 2x 2 x 2 2x 4
1 1 64
Vậy L .
3
4 L 1 65
Chọn C.
2
x x 4 khi x 3
Ví dụ 5: Cho hàm số f x
2
x 4x 21 . Chọn kết quả đúng của lim f x
:
khi x 3
x3
x 3
A. 1 B. 18 C. 10 D. Không tồn tại.
Ta có lim f x lim x 2
x 4 10
;
x3 x3
Hướng dẫn
2
x 4x 21 x 7 x 3
lim f x
lim lim lim x 7
10.
x3 x3 x 3 x3 x 3 x3
Vì lim f x lim f x 10 nên lim f x 10
.
x3 x3
Chọn C.
x3
Ví dụ 6: Tìm giá trị dương của tham số m để hàm số
x 2 .
3
x 8
khi x 2
h x
x 2
có giới hạn tại
2 2
mx x m , khi x 2
A. m 2
B. m 2
C. m 2
D. m 2
Hướng dẫn
3
x 8
2
lim h x lim lim x 2x 4
12
x2 x2 x 2
Ta có x 2
.
2 2 2 2
lim h x lim mx x m 4m 2 m
x2 x2
Hàm số có giới hạn tại x 2 lim h x lim h x
Do m > 0 nên m 2 .
Chọn A.
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Tìm giới hạn lim 2x 1 x .
x
x2 x2
2 2 2 2
12 4m 2 m 5m 10 m 2 m 2
.
Trang 5

1
A. B.
C.
D. 1
2
x 3
Câu 2. Tìm giới hạn lim .
x3
5x 15
2
1
A. B. 1
C. D. 1
5
5
Câu 3. Cho hàm số
A.
lim f x 0
x1
B. lim f x 0 .
x1
f x
C. Hàm số đã cho không có giới hạn tại 1.
D. Hàm số có tập xác định là .
Câu 4. Kết quả đúng của
3
2x 2x, x 1
. Nhận xét nào sau đây là sai?
3
x 3x, x 1
2
x 2x 1
lim
x1
2x
3
2
là:
1
A.
B. 0 C. D.
2
Đáp án
Dạng 2: Hàm số liên tục
1. Phương pháp giải
Hàm số y f x liên tục tại điểm khi và chỉ khi lim f x lim f x f x .
0
Chú ý: Ta có thể tính giới hạn bằng cách sử dụng máy tính.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hàm số
f x
x
xx0 xx0
2 9 x khi 3 x 3
và các khẳng định:
0 khi x 3
(I) Hàm số f x xác định tại x = 6. (II) Hàm số f x không liên tục tại x = 2.
(III) lim f x 3. (IV) Hàm số f x liên tục tại x = 3.
x3
Chọn đáp án đúng.
A. Chỉ (I) đúng. B. Chỉ (I) và (IV) đúng. C. Chỉ (II) và (IV) sai. D. Tất cả đều đúng.
Vì hàm số
f x
xác định tại x = 6. Nên (I) đúng:
Hướng dẫn
Hàm số có các khoảng xác định là 3;3 và 3; .
Vì x = 2 thuộc các khoảng xác định của hàm số, do đó hàm số liên tục tại x = 2.
Nên (II) sai.
1 – B 2 – C 3 – A 4 – B
0
Trang 6

2
Mà lim f x lim 9 x 0 ; lim f x lim 0 0 ; f 3 9 3 2 0 .
Vậy
x3 x3
x3
lim f x 0
Vậy chỉ có (I) và (IV) là đúng.
Chọn B.
Ví dụ 2: Cho hàm số
x3 x3
và hàm số liên tục tại x = 3. Nên (III) sai, (IV) đúng.
2
3 x 5 2 khi x 2
y f x
x 4
. Nhận xét nào sau đây là đúng?
1
khi x 2
6
1
A. lim f x
. B. lim f x f 2.
x2
6
x2
C. Hàm số liên tục tại x 2
. D. Hàm số xác định tại x 2
.
Ta thấy hàm số không xác định tại
Hướng dẫn
x 2
. Nên đáp án D sai.
2 2
3 x 5 9 x 5 1 1
Ta có lim f x
lim lim lim .
x2 x2 2
x 4 x2 2 2
x2
2
x 4 3 x 5 3 x 5 6
Nên đáp án A sai.
Mà
1
f 2 lim f x f 2
6 x2
. Nên đáp án B sai.
1
Tương tự ta tìm được lim f x f 2
.
x2
6
Do đó hàm số liên tục tại x 2
.
Chọn C.
2
x 2x 3
khi x 3
Ví dụ 3: Giá trị nào của a thì hàm số f x
x 3
liên tục tại x = 3?
5a 6 khi x 3
A. 2 B. 1 C. 0 D. 3
Hướng dẫn
2
x 2x 3 x 1 x 3
Ta có lim f x
lim lim lim x 1
4 ;
x3 x3 x 3 x3 x 3 x3
lim 5a 6 5a 6 ; f 3 5a 6 .
x3
Để hàm số liên tục tại x = 3 thì 5a 6 4 a 2.
Chọn A.
Trang 7

Ví dụ 4: Cho hàm số
2
x 2x 3
khi x 1
y f x
x 3 2
. Khẳng định đúng là:
9x 7 khi 3 x 1
A. Hàm số liên tục tại điểm x 3
. B. Hàm số không liên tục tại điểm x = 1.
C. Hàm số liên tục tại điểm x 4
. D. Hàm số liên tục tại điểm x = 1.
Hướng dẫn
Hàm số có các khoảng xác định là 3;1 và 1; .
Vì x 3
và x 4
không thuộc các khoảng xác định của hàm số, do đó hàm số không liên tục tại
x 3
và x 4
. Nên đáp án A và C sai.
Ta có
2
x 2x 3
lim f x lim lim
x 3 2
x1 x1 x1
lim x 3 x 3 2 16 .
x1
x 1 x 3 x 3 2
x 3
4
Ta lại có lim f x lim 9x 7 16 ; f 1 9.1 7 16
.
Suy ra
x1
Chọn D.
x1 x1
lim f x f 1
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Cho hàm số
. Do đó, hàm số liên tục tại điểm x = 1. Nên đáp án D đúng.
2
x 3x 2
khi x 2
f x
x 2
. Chọn khẳng định sai.
1 khi x 2
A. lim f x 2 . B. Hàm số f x liên tục tại điểm x0
4.
x2
C. Hàm số liên tục tại x = 2. D. Hàm số có tập xác định .
Câu 2. Cho hàm số
f x
4 2
5x 6x x khi x 1
. Chọn khẳng định sai.
3
x 3x khi x 1
A. lim f x 0 . B. lim f x 2
.
x0
x1
C. Hàm số không liên tục tại x = 1. D. Hàm số có tập xác định .
2
2x 7x 6
khi x 2
Câu 3. Cho hàm số y f x
x 2
. Xác định a để hàm số f x
liên tục tại x0
2.
1
x
a khi x 2
2 x
3
1
A. B. C. 0 D. 2
4
2
Trang 8

a khi x 1
3
x 3x 2
Câu 4. Tìm a để hàm số f x
khi x 1
liên tục tại x .
2
0
1
x 6x 5
b khi x 1
3
3
1
A. B.
C. D. 1
4
4
6
Đáp án 1 – A 2 – C 3 – A 4 – B
PHẦN 4: BÀI TẬP TỔNG HỢP
3 2
x 2x 1
Câu 1. Tính giới hạn lim .
x1
2x
5
1
1
1
A. 2
B.
C. D. 2
2
2
x 3
Câu 2. Tìm giá trị đúng của lim .
x3
x 3
A. Không tồn tại. B. 0 C. 1 D.
3
x 8
Câu 3. Tìm giới hạn lim .
x2
x
2
11x 18
2
12
A. B. 1
C. D. 0
5
7
2
3x 2x 1
Câu 4. Tìm giới hạn lim .
x
5x 1 x
2
2x
1
6
A. B.
C. D. 1
2
5
3 2
1
2x 5x 4x 1
Câu 5. Tìm , với L là giới hạn của hàm số tại x 1.
3 2
L
x x x 1
1
A. B. 1
C. 0 D. 2
2
Câu 6. Cho hàm số
f x
4 2
5x 6x x khi x 1
. Nhận xét nào là sai?
3
x 3x khi x 1
A. lim f x 0 . B. Hàm số không có giới hạn tại x = 1.
x0
C. lim f x 2
. D. Hàm số có tập xác định là .
x1
3x 2 , khi x 3
4x 5
Câu 7. Tìm giơi hạn lim g x
với g x
.
x3
62
x , khi x 3
17
Trang 9

3
11
A. B. 1 C. D. Không tồn tại giới hạn
4
17
2
2 2
Câu 8. Biết lim ax bx 1 x 5 với a,b . Khi đó a ab b bằng:
x
A. 11 B. 101 C. 111 D. 110
2
3 x a 4
Câu 9. Biết lim x 1
. Tìm giá trị của a.
2
x1
x 1
5
1
A. a 2
B.
C. D. 4
6
Câu 10. Giá trị của giới hạn
lim
x1
2017
x 2017x 2016
x 1
2
A. Không tồn tại. B. 0 C. 2034000 D. 2033136
sin x sin 2x
Câu 11. Tìm giới hạn của hàm số y khi x tiến đến 0.
2 x
x 1
2sin
2
17
3
A.
B. C. 1
D. 1
4
16
2
x 3x 2
2 khi x 2
Câu 12. Tìm giá trị của tham số m để hàm số f x
x 2x
liên tục trên .
mx m 1 khi x 2
1
2
1
A.
B. m
C. Không tồn tại m. D. m .
6
3
6
tan x
khi x 0 x k ,k
Câu 13. Cho hàm số f x
x 2 . Hàm số y f x
liên tục trên các
0 khi x 0
khoảng nào sau đây?
A.
;0
B. ;
C. ;
D. 0;
4
4 6
2
1 khi x 3
2 2
a b
Câu 14. Cho hàm số f x
ax b khi 3 x 5 liên tục trên . Tính .
3
7 khi x 5
1
A.
B. 73 C. 1 D.
3
3
9 x
khi 0 x 9
x
Câu 15. Cho hàm số f x
m khi x 0 . Tìm m để f x
liên tục trên nửa khoảng
3
khi x 9
x
0;
.
là:
73
3
Trang 10

1
1
1
A. B. C. D. 1
3
2
6
sin x khi x
2
Câu 16. Cho hàm số f x
a sin x b khi x . Tìm giá trị của a để hàm số liên tục trên .
2 2
2 cos x khi x
2
3
2
1
A. B. C. D. 1
2
3
2
Đáp án:
1 - A 2 - A 3 - C 4 - C 5 - D 6 - B 7 - C 8 - C 9 - A 10 - D
11 - C 12 - A 13 - D 14 - D 15 - C 16 - A
Trang 11

PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Cấp số cộng
u n
là cấp số cộng khi và chỉ khi
d: công sai; d u u .
n1
n
CHƯƠNG 5 DÃY SỐ, GIỚI HẠN, ĐẠO HÀM
CHUYÊN ĐỀ 3: CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN
u u d, n
*
n1
n
u u
un u1
n 1 d,n 2;d
n 1
Số hạng tổng quát
n 1
uk
1
uk
1
Tính chất uk
hay uk
1
uk
1
2u
k,k 2 .
2
Tổng n số hạng đầu S u u u ... u .
2. Cấp số nhân
u n
n 1 2 3 n
là cấp số nhân khi và chỉ khi
un
1
q: công bội; q
u
n
S
n
n u u
2
n1
Số hạng tổng quát u u q , n 2 .
n 1
u
1 n
hay S
*
n1
un
q, n
2
Tính chất: u u u hay u u u ,k 2 .
k
k1 k1
k k1 k1
Tổng n số hạng đầu S u u u ... u .
n 1 2 3 n
*
• Nếu q 1
thì S nu ,n .
n 1
n
u1 1
q
*
• Nếu q 1 thì S
n
,n .
1
q
n
, d là hằng số.
n 2u n 1 d
, n
2
1 *
, q là hằng số.
Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội q thỏa mãn q 1.
u1
Tổng cấp số nhân lùi vô hạn Sn u1 u2 u
3
... un
1 q
Chú ý: Trong cuốn sách này, ta viết tắt cấp số cộng là CSC; viết tắt cấp số nhân là CSN.
PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tìm cấp số cộng, cấp số nhân
1. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho dãy số.
3 3 3 3
3; ; ; ; ;.... . Khẳng định nào sau đây là sai?
2 4 8 16
1
A. Dãy số này là cấp số nhân u1
3;q
.
2
3
B. Số hạng tổng quát un
.
n
2
Trang 1

3
C. Số hạng tổng quát u .
n n 1
2
D. Dãy số này là dãy số giảm.
Ta có:
Hướng dẫn
3 1 3 3 1 3 3 1 3 3 1
3. ; . ; . ; .
2 2 4 2 2 8 4 2 16 8 2
Vậy dãy số trên là cấp số nhân giảm với
Số hạng tổng quát của cấp số nhân trên là:
Chọn B.
u
1
1
3; q
2
Ví dụ 2: Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số cộng?
. Nên đáp án A và D đúng.
n1
n1
1 3
n
1
n1
u u .q 3
2 2
4
2
A. u 3n 4n 1. B. un
1 n 8n . C. u n n 1. D. un
5n 1
.
n
n
Cách 1: Xét dãy số u với u 5n 1.
Ta có:
n
n
Hướng dẫn
u u 5 n 1 1 5n 1 5n 5 1 5n 1 5.
n1
n
Vậy u là một cấp số cộng với công sai d 5.
n
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570 VN PLUS
Tìm một vài số hạng của từng dãy số trong các đáp án và kiểm tra xem dãy số nào là cấp số cộng.
Chọn D.
Ví dụ 3: Giữa các số –2 và –8192 ta đặt thêm ba số nữa để tạo thành một cấp số nhân. Ba số cần điền
thêm là:
A. 16; –128; 1024. B. –16; 128; –1024. C. 16; 128; 1024. D. –16; –128;1024.
Hướng dẫn
Cách 1: Theo đề bài ta được cấp số nhân có năm số hạng với số hạng đầu là –2 và số hạng cuối là –8192.
u1 2 u1
2
u1
2
4
u5 8192 u q 8
1q 8192
Với q 8
ba số cần điền thêm là 16; –128; 1024.
Với q 8 ba số cần điền thêm là –16; –128; –1024.
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS
Thử các đáp án và kiểm tra xem dãy số nào là cấp số nhân.
Chọn A.
1 2 3
Ví dụ 4: Biết C ;C ;C lập thành một cấp số cộng với n 3 . Khi đó giá trị của n là:
n n n
A. 5. B. 7. C. 9. D. 11.
Hướng dẫn
n
Trang 2

Cách 1: Điều kiện
*
n , n 3
Vì
1 2 3
C
n;C n;Cn
lập thành một cấp số cộng, nên ta có
C C 2C
1 3 2
n n n
n! n! n. n 1 . n 2
n 2. n n n 1
3!. n 3 ! 2!. n 2 ! 6
n 0 (Loaïi) n 7
2
n 9n 14 0
6 n 1 n 2 6 n 1
n 2 Loaïi
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS
Thử các đáp án với các giá trị n và kiểm tra xem dãy số
Chọn B.
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng?
1 2 3
C
n;C n;Cn
nào là cấp số cộng.
2
3
A. u 19n 5 . B. u 1 10n
. C. u n n 1. D. u 2n 1.
n
n
n
Câu 2. Viết ba số xen giữa các số 2 và 22 để được cấp số cộng có năm số hạng.
A. 7; 12; 17. B. 6; 10; 14. C. 8; 13; 18. D. 6; 12; 18.
Câu 3. Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?
u A. n
1
3
u1
2
u 1 10n
. B. u 3n 4 . C. . D. .
n
n
9
2
un
1
un
1
un
u
n
Câu 4. Hãy chọn cấp số nhân trong các dãy số được cho sau đây
1
1
2 1
2 1
A. un
. B. u . C. . D. .
n
n
u
n 2
4 1
4
n
n
un
n
4
4
Đáp án:
1–A 2–A 3–C 4–B
n
n
Dạng 2: Tìm công bội, công sai, số hạng thứ n của cấp số
1. Phương pháp giải
Sử dụng các công thức:
u u
d un
1
u
n;d ;un u1
n 1 d
n 1
n 1
Cấp số cộng:
Cấp số nhân:
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho cấp số nhân có
u
n1
n1
q ;un u1q
un
u 15; u 3645. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó.
2 7
A. u1
5;q 3. B. u1
5;d 3. C. u1
5;d 3
. D. u1
5;d 2
.
Hướng dẫn
Trang 3

u2
15 u 1.q 15
1 1
Ta có:
q 3 u1
5 .
6
5
u7 3645 u q 243
1.q 3645
Vậy u1
5;d 3
Chọn C.
Ví dụ 2: Tìm công sai của cấp số cộng sau
u3 u5 u9
9
u2 u7
26
A. 4. B. 3. C. 2. D. 5.
Hướng dẫn
u3 u5 u9 9
u1 2d u1 4d u1 8d 9 u1 2d 9 u1
1
Ta có: .
u2 u7 26
u 2u
1
d u1
6d 26
1
7d 26 d 4
Vậy công sai d 4 .
Chọn A.
u1 3u3 u6
2
Ví dụ 3: Cho cấp số cộng u n thỏa mãn
. Xác định số hạng tổng quát của cấp số
2u4 u3
4
cộng.
A. u 2 4 n 1 . B. u 2 4 n 1 . C. u 4 2 n 1 . D. u 4 2 n 1
.
n
n
Hướng dẫn
u1 3u3 u6 2
u1 3 u1 2d u1
5d 2
u1 d 2 u1
4
Ta có: .
2u4 u3 4 2u1 3d u1
2d
4
u1
4d 4 d 2
Vậy số hạng tổng quát của cấp số cộng là u 4 n 1 2 hay u 4 2 n 1
.
Chọn D.
Ví dụ 4: Cho cấp số nhân
cấp số nhân?
35
u2 u3 u4
2
u 1.u 5
25
u1
0i 1,.....,5
n
n
n
có công bội nguyên, số 320 là số hạng thứ bao nhiêu của
A. Số hạng thứ 6. B. Số hạng thứ 7. C. Số hạng thứ 8. D. Số hạng thứ 9.
Ta có:
Hướng dẫn
35
35
u q q q
2 2
4 2
2
u 1.u 5
25 u 1.u1q 25
u1q 25
2 3
2 3
u u1q u1q u1q
1
2
u3 u
4
2 3
35 q q q 7
u1
q q q
2 q 2
2 2
u1q 5
u1q
5 2
2 3
2
1
35
2
n
Trang 4

2
q 2
1 q q 7
2 2
Từ 1
và q 0 ta có: 21 q q 7q 2q 5q 2 0
1 .
q 2 q
2
5
Vì cấp số có công bội nguyên, nên chọn q 2 nên u1
.
4
5 n1
Suy ra số hạng tổng quát của cấp số nhân là u
n
.2 .
4
5 n1
Ta có 320 .2 n 9 . Vậy số 320 là số hạng thứ chín của cấp số nhân.
4
Chọn D.
Ví dụ 5: Cho cấp số cộng sau
u3 u5
14
. Số hạng thứ mười hai của cấp số này là
S12
129
A. 19. B. 15. C. 23. D. 38.
n u1 un 12. u1 u12
Ta có: Sn S12
129.
2 2
Hướng dẫn
6 u u 129 6 u u 11d 129 12u 66d 129
1 12 1 1 1
5
u1
u3 u5 14 u1 2d u1 4d 14 2u1
6d 14 2
Mà: .
S12
129
12u1 66d 129 12u1
66d 129 3
d
2
5 3
Suy ra số hạng tổng quát của cấp số trên là: un
n 1
.
2 2
5 3
Vậy số hạng thứ mười hai của cấp số trên là: u12
12 1
19
.
2 2
Chọn A.
Ví dụ 6: Cho ba số x; 3; y theo thứ tự lập thành cấp số nhân và
x xy 2y
2 2
.
4
x y 3
A. 88. B. 77. C. 66. D. 99.
Hướng dẫn
Vì ba số x; 3; y theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có
Nếu
4
x y 3
x 0 y 0
x; 3; y không tạo thành cấp số nhân (Loại).
9
4
Xét x 0, từ 1
ta có y . Thay vào x y 3 ta được:
x
4 9
5
x 3 x 9 3 x 3 y 3 3 .
x
2
xy 3 9 1
. Tính giá trị biểu thức
Trang 5

2
2 2
Vậy 2
x xy 2y 3 3.3 3 2 3 3 66
Chọn C.
3. Bài tập tự luyện
u2
6
Câu 1. Tìm công bội nguyên của cấp số nhân sau: .
S3
43
1
A. 2. B. . C. 6. D. 3.
2
u9 5u2
Câu 2. Tìm công sai của cấp số cộng sau:
.
u13 2u6
5
1
A. 2. B. 4. C. 3. D. .
2
Câu 3. Tìm số hạng đầu của cấp số nhân công bội nguyên sau:
u1 u2 u3
14
u 1.u 2.u 3
64
A. –7. B. –12. C. 2. D. 3.
Câu 4. Giữa các số 160 và 5, ta chèn vào bốn số nữa để tạo thành một cấp số nhân. Tìm số hạng thứ ba.
A. 40. B. 80. C. 20. D. 10.
u1 u3
3
Câu 5. Có bao nhiêu cấp số nhân thỏa mãn: ?
2 2
u u 5
1 3
A. 2. B. 1. C. 4. D. 3.
Câu 6. Tìm số hạng đầu tiên của cấp số cộng sau:
S12
34
S18
45
1
31
1
A. . B. . C. . D. 2.
9
9
9
Đáp án:
1–C 2–B 3–C 4–A 5–C 6–B
Dạng 3: Tính tổng của cấp số, tìm số số hạng của cấp số.
1. Phương pháp giải
Sử dụng các công thức:
n u1 u n 2u n
1
n 1 d
Cấp số cộng: S
n
;Sn
2 2
Cấp số nhân: q 1
Sn nu1
q 1
S
n
u1
1
q
1
q
n
Tổng cấp số nhân lùi vô hạn: S u1
1 q
Trang 6

2. Ví dụ minh họa
u1 u5
51
Ví dụ 1: Tìm tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân sau:
.
u2 u6
102
A. 3069. B. 3096. C. 3079. D. 3097.
Hướng dẫn
4
4
4
u 1
1 1 q 51
u 1 q 51
u1 u5 51 u1 u1q 51
q 2
Ta có: .
5
u
4
1 51
2
u6 102
u1q u1q 102 u1q 1
q 102
u1
3
q 102
10
3 1
2
Vậy tổng của 10 số hạng đầu tiên là: S10
3069
1
2
Chọn A.
Ví dụ 2: Cho một cấp số cộng có công sai âm, số hạng thứ tư bằng 11. Hiệu của số hạng thứ ba và số
hạng thứ sáu bằng 6. Hỏi 45 là tổng của bao nhiêu số hạng đầu tiên?
A. 12. B. 13. C. 14. D. 15.
Hướng dẫn
u4 11
u1
3d 11
u1 3d 11 u1
17
Theo đề bài ta có: .
u3 u6 6
u1 2d u1
5d
6 3d 6 d 2
Ta có:
n 2u1
n 1 d n 2.17 n 1 2 n 3
Sn
45
90 n 2n 36
2 2
n 15
Vậy 45 là tổng của 3 hoặc 15 số hạng đầu tiên.
Chọn D.
1
21845
Ví dụ 3: Cho cấp số nhân un
, biết u
2
;u5
16
và tổng Sn
. Cấp số nhân này có bao nhiêu
4
16
số hạng?
A. 9. B. 8. C. 7. D. 10.
Hướng dẫn
1 1
1 1 u1q u1q
1 1
u
2 1q
u
4 4 u1q
u1
Ta có: 4 4 4 16 .
q 1
1 1
4
u5 16 u1q 16
4 3
q 4
q 4
q 64 q 64
1 n
n
u
1
1
q 1 4
21845 n n
Ta có: S 16
n
65535 1 4 4 65536 n 8
1
q 16 1
4
Chọn B.
3. Bài tập tự luyện
Trang 7

1
Câu 1. Cho cấp số nhân có u1
3;q . Tính tổng của dãy số trên.
2
A. 9. B. 8. C. 7. D. 6.
u1
150
Câu 2. Cho dãy số u n xác định bởi
với mọi n 2 . Khi đó số 300 là tổng của bao
un un
1
3
nhiêu số hạng đầu tiên?
A. 100. B. 120. C. 150. D. 180.
Đáp án:
1–D 2–A
PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP
Câu 1. Cho cấp số nhân
1 1
;a; . Giá trị của a là:
5 125
1
1
1
A. a . B. a . C. a . D. a 5
.
5
25
5
2
Câu 2. Cho cấp số nhân có u1
3;q . Tính u5
.
3
27
16
16
27
A. u5
. B. u5
. C. u5
. D. u5
.
16
27
27
16
u1 u2 u3
7
Câu 3. Cấp số nhân
có công bội q và .Tổng bằng:
2 2 2
1
q2
q1 q2
u u u 21
1 2 3
19
5
1
A. . B. . C. 1. D. .
2
2
2
Câu 4. Tìm tích các số dương a và b sao cho
b 1 , ab 5, a 1
2 2
lập thành một cấp số nhân.
a, a 2b, 2a b
A. 12. B. 6. C. 18. D. 3.
lập thành một cấp số cộng và
2 96
Câu 5. Cho cấp số nhân có u1
3;q
. Số là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số này?
3 243
A. Thứ năm. B. Thứ sáu.
C. Thứ bảy. D. Không phải là số hạng của cấp số.
Câu 6. Cho cấp số nhân un
, biết u1 5;u
5
405 và tổng Sn
1820
. Cấp số nhân này có bao nhiêu số
hạng?
A. 8. B. 7. C. 6. D. 5.
Câu 7. Cho cấp số cộng u
1;u 2;u 3;... có công sai d. Biết u1 u4 u7 u10 u13 u16
147
. Tính
u1 u6 u11 u16
?
A. 34. B. 29. C. 98. D. 71.
Trang 8

u1 u5
51
Câu 8. Cho cấp số nhân u n có các số hạng thỏa mãn
. Hỏi số 12288 là số hạng thứ
u2 u6
102
mấy?
A. 20. B. 13. C. 7. D. 12.
1
Câu 9. Cho một cấp số cộng có u
1
;u8
26 . Tìm công sai d.
3
11
3
10
3
A. d . B. d . C. d . D. d .
3
11
3
10
2 2 2
u u u 155
1 2 3
Câu 10. Cấp số nhân
có công bội q1
và q2
. Tính tổng q1 q2
.
S3
21
A. 0.
17
5
B. . C. 1. D. .
4
4
S5
5
Câu 11. Tìm công sai của cấp số cộng sau
, biết công sai là một số dương.
u 1.u 2.u 3.u 4.u 5
45
A. 2. B. 3. C. 4. D.5.
u1 u2 u3
9
Câu 12. Cấp số cộng
có hai công sai d . Tính tổng .
2 2 2
1,d2
d1 d2
u u u 35
1 2 3
A. 2. B. 0. C. 4. D. 1.
Đáp án:
1–B 2–C 3–B 4–D 5–B 6–C 7–C 8–B 9–A 10–B
11–A 12–B
Trang 9

PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Khái niệm đạo hàm
CHƯƠNG 5 DÃY SỐ, GIỚI HẠN, ĐẠO HÀM
CHUYÊN ĐỀ 4: ĐẠO HÀM
Cho hàm số y f x xác định trên khoảng (a;b) và x a;b . Giới hạn hữu hạn nếu có của tỉ số
f x
f x
x x
0
Như vậy ta có:
0
0
khi x x 0
được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại
0
, kí hiệu f x 0
hay y
x 0
.
f x f x y
x x x
0
f x0
lim lim
xx0
x0
0
x x x , y f x x f x
Chú ý:
0 0 0
Nếu hàm số f x có đạo hàm tại điểm x0
thì f x liên tục tại x0
.
2. Các quy tắc tính đạo hàm
Giả sử
u u x ; v vx ; w w x
là các hàm số có đạo hàm, khi đó:
u v u v
ku
u v u v
x
ku , k
uv u v uv
u
uv uv
2
v v
3. Bảng đạo hàm của các hàm số cơ bản
Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm của hàm số hợp u
u x
C 0
(C là một số).
1
x
x , x
0 .
1
1
u
x x 0 .
2 x
u u u ,u 0 .
u u 0 .
2 u
1
1
2
x 0 .
x x
1
n
n
n 1
x 0 .
x x
1
u
2
u 0 .
u u
1
n .u n
n 1
u 0 .
u u
cosx.
sinx
tan x
1
1
2
tan x
cosx sinx.
2
cos x
sinu cosu.u .
cosu sinu.u .
u
tanu 1 tan u .u
2
2
cos u
Trang 1

x k , k .
2
1
2
cot x 1 co t x
2
sin x
x k ,k .
u k ,k .
2
u
cotu 1 co t u u
2
2
sin u
u k , k .
x x
a a .ln a.
u
u
x x
e e .
1
loga
x , x 0 .
x.ln a
1
ln x , x 0 .
x
4. Một số công thức tính đạo hàm nhanh
ax b
ad bc
u
a a .ln a.u .
u
e e .u .
u
loga
u , u 0 .
u.ln a
u
lnu , u 0 .
u
2 2
ax bx c adx 2aex be dc
cx d cx d 2
dx e dx e
2
2
ax bx c ae bd x 2 af dc x bf ec
2
2
2
dx ex f dx ex f
5. Vi phân
Cho hàm số y f x có đạo hàm tại x. Ta gọi tích f x . x là vi phân của hàm số f x tại điểm x ứng
với số gia
x
(gọi tắt là vi phân của f tại điểm x). Kí hiệu df x f x
x.
2
Nếu chọn hàm số y = x thì dy dx 1. x x.
Vì vậy ta thường kí hiệu x dx và dy f x dx.
Công thức tính gần đúng nhờ vi phân là: f
6. Đạo hàm cấp cao
f x x x f ' x . x.
0 0 0
Cho hàm số y f x có đạo hàm f x . Hàm số f x còn gọi là đạo hàm cấp 1 của hàm số f x .
Nếu hàm số f x có đạo hàm thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm cấp 2 của hàm số f x , kí hiệu là y"
hay f " x
.
Đạo hàm của đạo hàm cấp 2 được gọi là đạo hàm cấp 3 của hàm số , kí hiệu là hay f x .
f x
y
n
Tương tự, ta gọi đạo hàm của đạo hàm cấp (n – 1) là đạo hàm cấp n của hàm số f x , kí hiệu là y hay
n
f
x ,
n n 1
tức là ta có:
y y ; n N,n 1 .
Chú ý:
Vận tốc tức thời của chuyển động là đạo hàm của độ dời của chuyển động theo thời gian.
Gia tốc tức thời của chuyển động là đạo hàm của vận tốc thức thời của chuyển động theo thời gian.
Trang 2

Đạo hàm cấp 2 của độ dời là gia tốc tức thời của chuyền động tại thời điểm t.
PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Các quy tắc tính đạo hàm
1. Ví dụ minh họa
3 4 x x 0
Ví dụ 1: Cho hàm số f x
4
khi . Khi đó f 0
là kết quả nào sau đây?
1
x 0
4
1 1 1
A. .
B. .
C. .
D. Không tồn tại.
4
16
32
Hướng dẫn
3 4 x 1
f x
f 0
Ta có:
4 4 2 4 x
lim lim lim
x0 x 0 x0 x x0
4x
4x 2 4 x 4x 2 4 x 42 4 x
2 4 x 2 4 x x 1 1
lim lim lim .
x0 x0 x0
16
Chọn B.
2
x 1 khi x 0
Ví dụ 2: Tìm a, b để hàm số f x
có đạo hàm trên .
2
2x ax b khi x 0
A. a 10,b 11.
B. a 0, b 1.
C. a 0,b 1.
D. a 20, b 1.
Hướng dẫn
Ta thấy với x 0 thì f x luôn có đạo hàm. Do đó hàm số có đạo hàm trên khi và chỉ khi hàm có đạo
hàm tại x = 0.
lim f x lim x 1 1, lim f x lim 2x +ax b b
2 2
Ta có
x0 x0 x0 x0
Để hàm số liên tục tại x = 0 thì b = 1.
2
f x f 0 x 11
lim lim lim x 0;
x
x
x0 x0 x0
2
f x f 0 2x +ax
lim lim lim 2x a a
x0 x
x0 x x0
Để hàm số có đạo hàm tại x = 0 thì:
f x f 0 f x f 0
lim lim a 0.
x
x
x0 x0
Vậy a = 0, b = 1 là những giá trị cần tìm.
Chọn C.
Ví dụ 3: Đạo hàm của hàm số sau
7
2
y x x
là:
Trang 3

7 6
7
A. y 2 x x
B. y 7x 1 x 1 .
7 6
C. y 7x 7 x x 6 1 .
D. y 2 x x 7x 1 .
2
Hướng dẫn
7
1
Cách 1: y x x . Sử dụng công thức u
7
.u .u
(với u x x )
7 7 7 6
y 2 x x . x x 2 x x 7x 1
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570 VN PLUS
2
7
Bước 1: Sử dụng SHIFT , nhập hàm số y x x với x = 2 (hoặc một số chứa căn, nhập số càng
lẻ thì kết quả có tính chính xác càng cao).
d
dx
7
2
X X
x 2
ta được kết quả là 116740.
Bước 2: Thay x = 2 vào bốn đáp án, chọn đáp án có kết quả là 116740.
7 7
Với đáp án A, ta có y 2 x x 2 2 2 260. Không thỏa mãn, loại A.
7 6 7 6
Với đáp án B, ta có y 7x 1 x 1 2 2 2 1 8450. Không thỏa mãn, loại B.
7 6 7 6
Với đáp án C, ta có y 7x x x 1 7.2 2 2 1 58370. Không thỏa mãn, loại C.
7 6 7 6
Với đáp án D, ta có y 2 x x 7x 1 2 2 2 7.2 1 116740.
Thỏa mãn, chọn D.
Chọn D.
2
x 2x 5
Ví dụ 4: Cho f x . Tính f 1
.
x 1
A. 1. B. –3. C. –5. D. 0.
Cách 1: Ta có
Hướng dẫn
2
x 2x 5 4 4
f x x1 f x 1 f 1 0.
2
x 1 x 1 x 1
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570 VN PLUS
2
2
x 2x 5
d X 2X 5
Sử dụng SHIFT
, nhập hàm số f x
với x 1:
x 1
x 1
dx X 1
ta được kết quả là 0.
Chọn D.
Ví dụ 5: Đạo hàm của hàm số sau
1
y
2 2
cos x sin x
2sin 2x
2cos2x
cos2x
sin 2x
A. y . B. y . C. y . D. y .
2
2
2
2
cos 2x
cos 2x
cos 2x
cos 2x
là
Hướng dẫn
Trang 4

1 1
1
u
y
. Áp dụng
2 2
2
cos x sin x cos2x u u
cos2x
sin 2x. 2x
2sin 2x
y .
2 2 2
cos2x cos 2x cos 2x
Chọn A.
ta được:
2
2
2x 4x 1
ax bx c
Ví dụ 6: Đạo hàm của hàm số y
bằng Tính tổng a + b + c ?
2 .
x 3
x 3
A. 1. B. 4. C. 2. D. 10.
Hướng dẫn
Ta có
y
2 2
2x 4x 1
x 3 x 3
2x 4x 1
x 3
2
4x 4 x 3 2x 4x 1 2
2x 12x 11
x 3 x 3
2
2 2
Do đó: a = 2; b = –12; c = 11 nên a + b + c = 2 – 12 + 11 = 1.
Chọn A.
Ví dụ 7: Cho hàm số y x
2
1
x .
2
Tính 2 1
x .y .
A. 0. B. y. C. xy. D. 1.
Hướng dẫn
Cách 1: Áp dụng công thức
1
u .u
2 u
ta được:
2
2
1 2 1 1
2
y x 1 x . x 1 x 1 . 1
x
2 2
2 x 1 x 2 x 1
x 2 1
x
2 2
1 x 1 1 x x 1 x x
.
1 . .
2 2
2
2 2
2 x 1 x 1 x 2 x 1
x 1 x 2 1
x
2 2
Do đó: 2 1 x .y
2 1 x .
2
x 1
x
x
2
1 x y
2
2 1
x
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570 VN PLUS
Bước 1: Thay x 3 vào y x
2
1 x ta tính được y 3 1 3 1,931851653.
Bước 2: Tính giá trị
2
2 1 x .y 2 1 3.y 4y .
2
Sử dụng SHIFT , nhập hàm số y x 1 x với x 3.
Trang 5

d
dx
2
4. X 1 X x 3
ta được kết quả là 1,931851653 .
Do đó:
Chọn B.
2
2 1
x .y y.
Ví dụ 8: Cho hàm số
x
y cot . Hệ thức nào sau đây là đúng?
2
2
2
2
A. y 2y
0. B. y 2y
1 0. C. y 2y
2 0. D.
2
y 2y 1 0.
Cách 1: Ta có:
1 1 x
2sin
2
2
y 1 cot .
2 x
2 2
Hướng dẫn
Do đó:
2 2 x 1 2 x 2 x 2 x
y 2y
cot 2. 1 cot cot 1 cot 1
nên
2 2 2 2 2
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570 VN PLUS
Bước 1: Thiết lập môi trường SHIFT MODE 4.
Thay x = 1 vào
x
y cot 2
ta tính được
1 1
y cot 1,830487722.
2
1
tan 2
2
y 2y 1 0.
2
x
Bước 2: Tính giá trị y 2y .
Sử dụng SHIFT
, nhập hàm số y cot với x = 1. 2
1 d 1
2. x 1 ta được kết quả là –1.
2
dx X
tan 1
tan
2
2
Do đó:
Chọn B.
2
y 2y
1
hay
2. Bài tập tự luyện
Câu 1. Đạo hàm của hàm số sau
2
y 2y 1 0.
y xcosx là:
A. y cosx xsinx.
B. y xcosx sinx.
C. y cosx xsinx.
D. y xcosx sinx.
3 2
Câu 2. Tìm số gia của hàm số y f x x 3x 2 ứng với số gia x 0,1
của đối số x tại x 1.
0
A. 0,329. B. 0,178. C. 0,299. D. 0,198
Câu 3. Đạo hàm của hàm số sau
3 2
y x x x
2
x 3
6 1
6 1
A. y x.
B. y x.
3
3
x 2 x
x x
là:
Trang 6

6 1
6 1
C. y 2 x.
D. y x.
3
3
x x
x x
Câu 4. Cho hàm số y cos3x.sin2x. Giá trị của y bằng:
3
1
A. –1. B. 1. C. .
D.
2
Đáp án:
1–A 2–C 3–A 4–B
1 .
2
Dạng 2: Vi phân, đạo hàm cấp cao
1. Ví dụ minh họa
3 2
Ví dụ 1: Cho hàm số y x 2x 2. Tính vi phân của hàm số tại điểm x 1, ứng với số gia
0
x 0,02.
A. –0,02. B. 0,12. C. 0,03. D. –0,12.
Ta có :
2
y
f
x 3x 4x.
Hướng dẫn
Do đó vi phân của hàm số tại điểm x 1, ứng với số gia x 0,02 là:
2
df 1 f 1 . x 3.1 4.1 .0,02 0,02.
Chọn A.
Ví dụ 2: Cho hàm số
3 2
y x 9x 12x 5.
0
Vi phân của hàm số là:
2
2
2
2
A. dy 3x 18x 12 dx.
B. dy 3x 18x 12 dx.
C. dy 3x 18x 12 dx.
D. dy 3x 18x 12 dx.
Hướng dẫn
3 2
2
Ta có
Chọn A
dy x 9x 12x 5 dx 3x 18x 12 dx.
Ví dụ 3: Tính đạo hàm cấp 3 của hàm số sau
2
y cos x.
A. 2sin2x. B. 8sin2x. C. 4 sin2x. D. 2cos2x.
y cos x 1 cos2x y
sin 2x
2
Ta có:
2 1
Hướng dẫn
y
sin 2x 2cos2x y 2cos2x
4sin 2x.
Chọn C.
Trang 7

3
Ví dụ 4: Cho hàm số f x x 1 . Giá trị f " 0 bằng:
A. 3. B. 6. C. 12. D. 24.
Hướng dẫn
Cách 1: Vì: 2
f x 3 x 1 ,f x 6 x 1 f 0 6.
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570 VN PLUS
Sử dụng SHIFT
, nhập hàm số
d
d
X 1 3 x 0.0001 X 1 3
x 0
dx dx 60003
6.
0,0001
0 10000
Chú ý: Công thức bấm đạo hàm cấp 2 của hàm số
Chọn C.
d
dx
y f x
d
tại x = a là:
f x x a 0.0001 f x x a
dx
0,0001
*
Ví dụ 5: Tìm đạo hàm cấp n của hàm số
y sin x n ?
n
A. y sin
x .
B.
2
n
C. y sin
x n .
D.
2
Hướng dẫn
2
n
y cos x n .
2
n
y cos x .
Bước 1: Ta có: y
cosx sin x 1. ;y
sinx sin x 2
2 2
Dự đoán:
2
n
y sin x n ,
*
với n . 1
Bước 2: Chứng minh (1) bằng quy nạp:
* n = 1: (1) hiển nhiên đúng.
k
* Giả sử (1) đúng với n k 1 nghĩa là ta có: y sin
x k ta phải chứng minh (1) cũng đúng với
2
n k 1
nghĩa là ta phải chứng minh:
Thật vậy:
Vế trái
k 1
y sin
x k 1
2
2
2
2 2
k 1 k
2 y y sin x k cos x k sin x k 1
vế trái
2
Trang 8

2
Do đó luôn đúng, nghĩa là 1 đúng với n = k +1.
Bước 3: theo nguyên lí quy nạp suy ra
Chọn C.
2. Bài tập tự luyện
2
n *
y sin x n , n .
2
Câu 1. Cho hàm số y sin x . Vi phân của hàm số là:
A. dy sin 2xdx. B. dy sin 2xdx. C. dy sin xdx. D. dy 2cosxdx.
1
*
Câu 2. Tìm đạo hàm cấp n của hàm số
y n .
x 3
n n!
*
A. y , n .
B.
n 1
x 3
n 1 !
n *
C. y , n .
D.
n 1
x 3
2
Câu 3. Cho hàm số y cos 3x. Tính giá trị biểu thức 18 2y 1 y" .
n!
y 1 . , n .
n
n
*
n 1
x 3
1
y 1 . , n .
n
n
*
n 1
x 3
A. 0. B. 1. C. 9. D. 2.
Đáp án:
1–B 2–B 3–A
Dạng 2: Vi phân, đạo hàm cấp cao
1. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho
là:
2
3 2 3 x
f x
2x x 3,gx
x 3. Tập nghiệm của bất phương trình fx gx
2
0;1
A. ;0 1; . B. ;0
1; . C. ;1 1 2; . D.
Hướng dẫn
2
3 2
2 3 x
2
fx 2x x 3 6x 2x,gx
x 3 3x x.
2
2 2 2
f
x g x 6x 2x>3x x 3x 3x 0 x ;0 1; .
Chọn A.
60 64
Ví dụ 2: Cho f x 3x 5. Tổng các nghiệm của phương trình là:
3
x
x
f ' x 0
A. 0. B. 2. C. 1. D. 4.
Hướng dẫn
Trang 9

60 64
60 192
f x 3x 5 3 .
x x x x
Ta có :
3
2 4
60 192
1
fx
0 3 0 1 .
Đặt t khi đó ta có:
2 4
2
t 0 ,
x x
x
1
t
1 192t 60t 3 0 thoûa maõn .
1
t
16
2
4
1 1 1
4 x 4
2
Vôùi t thì x 4 x 2.
2
1 1 1
16 x 16
2
Vôùi t thì x 16 x 4.
2
f ' x
0
có 4 nghiệm x 2, x 4.
Do đó tổng các nghiệm của phương trình bằng 0.
1,2 3,4
Chọn A.
3 2
Ví dụ 3: Tìm m để các hàm số
y m 1 x 3 m 2 x 6 m 2 x 1 co ù y' 0, x .
A. m 3.
B. m 1.
C. m 4.
D. m .
2
Ta có :
y 3 m 1 x 2 m 2 x 2 m 2
.
Hướng dẫn
Do đó: y 0 m 1 x 2 2m 2 x 2m 2 0 1
Với m = 1 thì
1
6x 6 0 x 1
nên m = 1 (loại).
a m 1 0
m 1
Với m 1 thì 1
đúng với x
voâ nghieäm .
0
m. m 2 0
Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn.
Chọn D.
Ví dụ 4: Cho khai triển sau
S a 2a ... 30a
1 2 30
là:
10
1 x x x a a x ... a x .
2 3 30
0 1 30
Giá trị của tổng
10
10
A. 5.2 .
B. 0. C. 4 .
D.
Hướng dẫn
10
Ta có : 1 x x 2 x 3 a a x ... a x
30
0 1 30
9
10 1 x x x 1 x x x a 2a x ... 30a x
2 3 2 3 29
1 2 30
9
10 1 x x x 1 2x 3x a 2a x ... 30a x
2 3 2 29
1 2 30
10
2 .
Trang 10

Chọn .0
1 2
9
x 1 10 1111 a 2a x ... 30a S 0
Chọn B.
Ví dụ 5: Một chất điểm chuyển động thẳng theo phương trình
(s) và S được tính bằng mét (m). Gia tốc của chất điểm lúc t = 2s bằng:
30
3 2
S t 3t 4t,
2
2
2
2
A. 4m / s .
B. 6m / s .
C. 8m / s .
D. 12m / s .
Hướng dẫn
Vận tốc của chất điểm lúc t là:
3 2 2
v t S t 3t 4t 3t 6t 4.
a t v 3t 6t 4 6t 6.
2
Gia tốc của chất điểm lúc t là:
2
Do đó a2 6.2 6 6m / s .
Chọn B.
2. Bài tập tự luyện
3 2
Câu 1. Cho hàm số y x 3x 9x 5. Phương trình y' 0 có nghiệm là:
0;4 .
A. 1;2 .
B. 1;3 .
C. D.
3
mx 2
Câu 2. Tìm m để các hàm số y mx 3m 1
x 1
có y 0, x .
3
trong đó t tính bằng giây
1;2 .
A. m 2
B. m 2
C. m 0
D. m 0
Đáp án:
1–B 2–C
PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP
Câu 1. Đạo hàm của hàm số sau
3
y sin 2x 1
2
2
A. y 6sin 2x 1 cos 2x 1 .
B. y 3sin 2x 1 cos 2x 1 .
2
2
C. y 3cos 2x 1 cos 2x 1 .
D. y 3sin 2x 1 .
là:
1 4 2
Câu 2.Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S t 3t , trong đó t tính bằng giây (s)
2
và S được tính bằng mét (m). Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t = 4s bằng:
A. 280m/s. B. 232m/s. C. 140m/s. D. 116m/s.
cosx
Câu 3. Cho hàm số y . Giá tri của y bằng:
1 sinx
6
A. y
1. B. y
1.
C. y
2. D. y
2.
6
6
6
6
Trang 11

2
Câu 4. Cho hàm số y f x cos x với f x là hàm liên tục trên . Trong bốn biểu thức dưới đây,
biểu thức nào xác định hàm f x thỏa mãn y' 1 với mọi x ?
1
1
A. x cos2x. B. x cos2x. C. x sin 2x.
D. x sin 2x.
2
2
3 2
Câu 5. Đạo hàm của hàm số y x 2x 1 3x 2 bằng ax bx cx d. Tính tổng a b c d.
A. 18. B. 30. C. –30. D. –24.
Câu 6. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình
3 2
S t 3t 9t 27,
trong đó t tính bằng
giây (s) và S được tính bằng mét (m). Gia tốc của chuyển động tại thời điểm vận tốc triệt tiêu là:
2
2
2
2
A. 0 m / s .
B. 6 m / s .
C. 24 m / s .
D. 12 m / s .
Câu 7. Tính đạo hàm cấp n của hàm số
y cos2x
n
A. n
y 1 cos2x n .
B.
2
n
n 1
C. y 2 cos
2x n
.
D.
2
Câu 8. Cho hàm số:
là:
n
n
y 2 cos2x .
2
n
n
y 2 cos2x n .
2
x 3
2
y . Tính giá trị biểu thức 2
x
y' y 1 .y"?
4
7
A. 0. B. .
C. 9. D.
x 4
Đáp án:
14 .
2
x 4 3
1–A 2–D 3–C 4–A 5–A 6–D 7–D 8–A
Trang 12

CHƯƠNG 5 DÃY SỐ, GIỚI HẠN, ĐẠO HÀM
CHUYÊN ĐỀ 5 PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Phương trình tiếp tuyến của C : y f x tại điểm M x ; y có dạng:
Trong đó
k f x 0
y f x x x y
0 0 0
0 0
được gọi là hệ số góc của phương trình tiếp tuyến.
Điều kiện cần và đủ để hai đường C : y f x và C : y g x tiếp xúc nhau là hệ
có nghiệm
PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến biết tọa độ tiếp điểm
1. Phương pháp giải
Viết phương trình tiếp tuyến của
Bước 1: Tìm tập xác định. Tính f x .
Bước 2: Tính
k f x 0
1
C : y f x tại điểm M x ; y
Bước 3: Lập phương trình tiếp tuyến y f x x x y .
Chú ý:
x
Nếu đề bài cho hoành độ thì ta tính y f x .
0
0 0
0 0 0
2
0 0
Nếu đề bài cho tung độ thì giải phương trình y f x , tìm ra x .
y
0
0
0
0
f x g x
f x g x
Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị với trục tung thì cho x 0 .
Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị với trục hoành thì cho y 0 .
2. Ví dụ minh họa
2
x x 2
Ví dụ 1: Cho đường cong y C
. Viết phương trình tiếp tuyến của C
tại điểm M 2;4
.
x 1
A. y 2x . B. y x 2 . C. y 3x 10
. D. y x 6.
Hướng dẫn
Tập xác định: D \ 1 .
x
2
2x 1 x 1 x x 2
2 2 2
2x 3x 1 x x 2 x 2x 1
f
x 1 x 1 x 1
Ta có: x 2 f x f 2 1.
0 0
2 2 2
C
M 2;4
Phương trình tiếp tuyến của tại điểm là y 1 x 2 4 y x 6.
Chọn D.
0
0
Trang 1

2
Ví dụ 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x 1 x 2 tại điểm có hoành độ x 2 là:
A. y 8x 4 . B. y 9x 18
. C. y 4x 4. D. y 9x 18
.
Tập xác định:
Hướng dẫn
D . Ta có: y x 1 2 x 2
x 3 3x 2 y
3x
2 3
M x ; y
Gọi là tọa độ tiếp điểm. Ta có: x 2 y 0, f x f 2 9 .
0 0
0 0 0
Vậy phương trình tiếp tuyến là: y 9(x 2) 0 y 9x 18.
Chọn D.
Ví dụ 3: Tiếp tuyến của đồ thi hàm số
phương trình là:
y
2
x 3x 1
2x 1
tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung có
A. y x 1. B. y x 1. C. y x . D. y x
.
1
Tập xác định: D \ . Ta có: y
2
Hướng dẫn
2
2x 3 2x 1 2 x 3x 1 2
2x 2x 1
2x 1 2x 1
2 2
Giao điểm M của đồ thị với trục tung có hoành độ là: x 0 y 1.
Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là: k y
0 1.
0 0
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: y k x x y y x 1.
Chọn A.
0 0
2x 4
Ví dụ 4: Cho hàm số y
x 3
có đồ thị là H
. Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của H
với
trục hoành là:
A. y 2x 4 . B. y 3x 1. C. y 2x 4. D. y 2x .
Tập xác định:
Tung độ giao điểm của
D \ 3
. Ta có:
Ta có: f x f 2 2
.
0
y
2
x 3 2
Hướng dẫn
2x0
4
H
với trục hoành là y0 0 0 x0
2
x 3
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y 2 x 2 hay y 2x 4.
Chọn C.
Ví dụ 5: Cho hàm số
3x 1
y 1
x 1
1
đồ thị của hàm số tại điểm M 2;5
?
0
. Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến của
Trang 2

81
81
18
A. . B. 81. C. . D. .
4
2
2
Hướng dẫn
Tập xác định:
D \ 1
. Ta có:
2
y
y
2
2
2
x 1
d
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M 2;5 : y 2 x 2 5 y 2x 9
9
Gọi A là giao điểm của d
và trục hoành yA 0 xA
, nên
2
Gọi B là giao điểm của và trục tung x 0 y 9 , nên
d
B B
A0;9
1 1 9 81
Ta có tam giác OAB vuông tại O nên S
OAB
OA.OB 9
2 2 2 4
Chọn A.
3. Bài tập tự luyện
9
A ;0
2
3 2
Câu 1. Cho đường cong C : y f x x 3x . Viết phương trình tiếp tuyến của C tại điểm
0
M l; 2
.
A. y 3x
. B. y 3x 1
C. y 2x 1. D. y 3x 3.
2
Câu 2. Cho hàm số C : y l x x . Tìm phương trình tiếp tuyến với đồ thị C tại điểm có hoành
1
độ x0
.
2
3
9
1
A. y 2x
. B. y x . C. y x 1. D. y 2x .
2
2
2
3 2
Câu 3. Cho đường cong C : y f x x 3x . Viết phương trình tiếp tuyến của C tại giao điểm của
C
với trục hoành.
A. y x 1, y x 3 . B. y x, y 9x 27 . C. y 0, y 9x 27 . D. y 0, y 9x 27 .
Đáp án:
1–B 2–A 3–C
Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k cho trước
1. Phương pháp giải
0
Bước 1: Tìm tập xác định. Tính f x . Gọi x là hoành độ tiếp điểm.
Bước 2: Do phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k, giải phương trình k y
x 0
tìm x .
Bước 3: Tính y f x .
0 0
Bước 4: Lập phương trình tiếp tuyến y f x x x y .
Chú ý:
0 0 0
0
Trang 3

Hệ số góc
k y
x 0
Tiếp tuyến //d : y ax b k a .
1
Tiếp tuyến d : y ax b k .
a
của tiếp tuyến thường cho gián tiếp như sau:
Tiếp tuyến tạo với trục hoành góc k tan .
OB
Tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A và B k .
OA
k a
Tiếp tuyến tạo với d: y ax b góc tan .
1
k.a
2. Ví dụ minh họa
2
x x 2
Ví dụ 1: Cho đường cong y C
. Viết phương trình tiếp tuyến của C
biết tiếp tuyến có hệ
x 1
số góc k 1.
A. y x 6 . B. y x 10
.
C. Không tồn tại tiếp tuyến. D. y x 8
.
Hướng dẫn
2
x 2x 1
Tập xác định: D \ 1
. Ta có: f ' x
.
2
x 1
Gọi
x 0
là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị.
2
x0 2x0
1
Vì tiếp tuyến có hệ sô góc k 1
nên f x0 1 1 1 1
(vô lý)
2
x 1
Vậy không có tiếp tuyến nào có hệ số góc bằng 1.
Chọn C.
3x 1
Ví dụ 2: Cho đường cong C : y . Viết phương trình tiếp tuyến của C
biết tiếp tuyến song
1 x
song với đường thẳng d : x 4y 21 0.
A. 1 21
1 21 1 5
y x . B. y x , y x .
4 4
4 4 4 4
21
1 5
C. y x . D. y x .
4
4 4
0
Hướng dẫn
4
Tập xác định: D \ 1
. Ta có: y f ' x
.
1
x
1 21
d : x 4y 21 0 y x
4 4
có hệ số góc
2
1
a
4
Trang 4

1
Vì tiếp tuyến song song với d nên k a .
4
Gọi
Ta có:
0 0
M x , y
là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến.
4 1
2 x0
5
f ' x0 k x
2
0
1 16
1
x 4
x0
3
0
(thỏa mãn điều kiện)
Với x0 5 y0
4
, phương trình tiếp tuyến là: y 1 x 5
4 y 1 x
21 (loại, vì trùng với d).
4 4 4
Với x0 3 y0
2
, phương trình tiếp tuyến là: y 1 x 3
2 y 1 x
5 .
4 4 4
Chọn D.
Ví dụ 3: Trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số
nhỏ nhất bằng:
A. –3. B. 3. C. 4. D. 0.
Tập xác định: D .
y 3x 6x 3 x 1 3 3
2
Đạo hàm: 2
Hướng dẫn
3 2
y x 3x 2 , tiếp tuyến có hệ số góc
Vậy trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số đã cho, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất bằng –3.
Chọn A.
3x 1
Ví dụ 4: Cho đường cong C : y . Viết phương trình tiếp tuyến của C
biết tiếp tuyến vuông
1 x
góc với đường thẳng : 2x 2y 9 0 .
A. y x 3, y x 4 . B. y x 8, y x 4 .
C. y x 3, y x . D. y x 8, y x .
Hướng dẫn
4
Tập xác định: D \ 1
. Ta có: y f ' x
.
1
x
9
: 2x 2y 9 0 y x k
1
4
2
tt tt
Vì tiếp tuyến vuông góc với nên k .k 1
k 1 .
Gọi
0 0
N x , y
là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có
4
f ' x
2
0
k
tt
1 x0 1 4 x0 3 x0
1.
2
1
x
0
Với x 3 y 5 , phương trình tiếp tuyến là: y x 3 5 y x 8
.
0 0
Với x 1 y 1, phương trình tiếp tuyến là: y x 1 1 y x .
0 0
Chọn D.
Trang 5

3
Ví dụ 5: Cho hàm số y 3x 4 C . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C biết tiếp tuyến tạo
với đường thẳng
d : x 3y 6 0
góc
A. 14 10
1
y 3x , y 3x . B. y 3x 2, y x 2 .
3 3
3
C. 1 14
1 2
y x 2, y 3x . D. y 3x , y x .
3
3
2 3
0
30
Tập xác định:
D . Ta có:
y 3 3x
2
Hướng dẫn
3 3
d : 3y x 6 0 y x 2 3 kd
3 3
Vì tiếp tuyến tạo với đường thẳng d một góc
0
30
nên thỏa mãn:
k
tt
k
1
k k
tt
d
d
tan 30
0
3
2 2
k
tt
3 1 3 3
2
3 k
tt
1 k
tt
k
tt
3k
tt
0 k
tt
0 k
tt
3
3 3
3
3
1
k
tt
3
Gọi
x 0
là hoành độ tiếp điểm.
Với k 0 3 3x 2 0 x 0 y 4 .
tt 0 0 0
Phương trình tiếp tuyến tại điểm 0;4 : y 4 .
2 2 1 1
Với k
tt
3 3 3x0 3 x0 x0
.
3 3
Với x
Với x
1 y
13 , phương trình tiếp tuyến
3 3
0 0
1 y
11 , phương trình tiếp tuyến
3 3
0 0
Chọn A.
Ví dụ 6: Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị
lần lượt tại A và B sao cho AB 82.OB .
1 13 10
y 3 x y 3x
3 3 3
1 11 14
y 3 x y 3x
3 3 3
2x 1
C
: y , biết rằng tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy
x 1
A. 1 25 1 13
1 20 1 11
: y x , : y x . B. : y x , : y x .
9 9 9 9
3 9 3 9
C. 4 2 4 19
2 3 1 3
: y x , : y x . D. : y x , : y x .
9 9 3 2
3 8 8 8
Hướng dẫn
1
Tập xác định: D \ 1
. Ta có: f ' x
.
x 1
2
Trang 6

Tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy tại A, B: OAB vuông tại O và
OB
tạo với trục Ox một góc với k tan .
OA
AB 82.OB
2 2 OB 1
Ta có:
81.OB OA .
2 2 2
OA OB AB
OA 9
Hệ số góc tiếp tuyến được tính
1
k
OB 1
9
k tan .
OA 9 1
k
9
Với
Với
1 1
k
9 x 1
2
0
: phương trình vô nghiệm.
1 1
k x 1 9
2 0
x 4
2 0
9 x0
1
0
Vậy các phương trình tiếp tuyến là
Chọn A.
3. Bài tập tự luyện
x 2
1 25
: y x
9 9
(thỏa mãn điều kiện).
hoặc
1 13
: y x
9 9
3 2
Câu 1. Cho hàm số y x 3x 9x 5 C . Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị C , tìm tiếp tuyến
có hệ số góc nhỏ nhất.
A. y 14x 7 . B. y 18x 9 . C. y 2x 4. D. y 12x 4.
x 2
Câu 2. Cho hàm số y 1
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1
, biết tiếp tuyến
2x 3
đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.
A. y 2x
. B. y x 2. C. y 3x 2 . D. y x, y x 2 .
Câu 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
1
đường thẳng d: y x 1.
6
4 2
C : y x
x 6 , biết tiếp tuyến vuông góc với
A. : y 6x 10 . B. : y 6x 1. C. : y 6x 12 . D. : y 6x 9 .
Đáp án:
1–D 2–B 3–A
Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm A cho trước
1. Phương pháp giải
M x ; y
Bước 1: Gọi
0 0
là tiếp điểm. Tính y0 f x0
và k y
x 0
theo x .
0
M x ; y
Bước 2: Viết phương trình tiếp tuyến tại là : y k x x y .
0 0
Bước 3: Do A(x
A; y
A
) yA k(xA x
0) y0
. Giải phương trình ra x0
.
0 0
Trang 7

Bước 4: Tính y ,k f x . Lập phương trình tiếp tuyến y f x x x y .
2. Ví dụ minh họa
0 0
0 0 0
3 2
Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C : y x 3x biết nó đi qua điểm A 1; 4
.
A. y 4, y x 3 . B. y x 3, y 3x 1.
C. y 3x 1, y 9x 5 . D. y 4, y 9x 5 .
Hướng dẫn
2
Ta có: f x 3x 6x .
Gọi x ; y là tọa độ tiếp điểm của phương trình tiếp tuyến d đi qua điểm A.
0 0
3 2
2
Vì điểm x ; y C y x 3x
, và f x 3x 6x .
0 0 0 0 0
0 0 0
2 3 2
Phương trình d: y f x x x y y 3x 6x x x x 3x .
Vì
A 1; 4 d
nên:
0 0 0 0 0 0 0 0
2 3 2 3
(3x 6x )( 1 x ) x 3x 4 2x 6x 4 0 x 2 x 1.
0 0 0 0 0 0 0 0 0
Với x 2 y 4,f 2 0 , phương trình tiếp tuyến y 4
.
0 0
Với x 1 y 4,f 1 9 , phương trình tiếp tuyến y 9 x 1 4 y 9x 5 .
0 0
Chọn D.
Ví dụ 2: Cho hàm số
3 2
y x 3mx m 1 x 1, m là tham số thực. Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến
của đồ thị của hàm số tại điểm có hoành độ x 1 đi qua điểm A 1;2 ?
5
1
A. m . B. m 3 . C. m . D. m 2
.
8
2
Hướng dẫn
2
Tập xác định: D . Ta có: f x 3x 6mx m 1
Với x 1 y 2m 1,f 1 5m 4 .
0 0
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M 1;2m 1 : y 5m 4 x 1 2m 1 d .
5
Ta có A(1;2) (d) ( 5m 4).2 2m 1 2 m . 8
Chọn A.
2
Ví dụ 3: Cho hàm số y x 2 x 1 C . Tìm các điểm M thuộc đường thẳng d: y 2x 19
, biết
rằng tiếp tuyến của đồ thị C đi qua điểm M vuông góc với đường thẳng x 9y 8 0 .
1 207
1
A. M 3;13 ,M ; . B. M ;18 , M 1;17
.
11 11
2
1
1 207
C. M 3;13 ,M ;18
. D. M 1;17 , M ; .
2
11 11
Trang 8

Hướng dẫn
1 8
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x 9y 8 0 y x
nên k
tt.k
1 k
tt
9 .
9 9
Gọi tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến là I x ; y .
0 0
2
y (x ) k x 1 3 x 2 x 2
.
0 tt 0 0 0
Với x 2 y 4 , phương trình tiếp tuyến là d : y y
2 x 2 4 d : y 9x 14
.
0 0
1 1
y 9x 14
Suy ra M là giao điểm của d và d1
tọa độ điểm M là nghiệm của hệ M 3;13
.
y 2x 19
Với x0 2 y0
0 khi đó phương trình tiếp tuyến d
2
: y 9x 18
.
Suy ra M là giao điểm của d và
d 2
Vậy tọa độ điểm M cần tìm là M 3;13
Chọn A.
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Cho đồ thị hàm số
tuyến đi qua điểm M 1; 9
.
tọa độ điểm M là nghiệm của hệ
1 207
hoặc M ;
11 11
y 9x 18 1 207
M ;
y 2x 19
11 11
3 2
y 4x 6x 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp
A. y x 8
và y 4x 5 . B. y 24x 15
và y 4x 5 .
15 21
15 21
C. y x 8
và y x . D. y 24x 15
và y x .
4 4
4 4
Câu 2. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số
vuông góc với đường thẳng d : 2x y 3 0 .
4 5
y 2m 1 x m tại điểm có hoành độ x 1
4
3
1
7
9
A. . B. . C. . D. .
4
4
16
16
Đáp án:
1–D 2–D
PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP
1 3 2
Câu 1. Cho hàm số y x 3x 7x 2 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A0;2
.
3
A. y 7x 2 . B. y 7x 2 . C. y 7x 2 . D. y 7x 2.
2
Câu 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số y x 3 x tại điểm có hoành độ x 2 là
A. y 3x 8. B. y 3x 6 . C. y 3x 8
. D. y 3x 6 .
Câu 3. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị y tan x tại điểm có hoành độ x .
4
Trang 9

1
2
A. k 1. B. k . C. k . D. k 2 .
2
2
1 4 2 9
Câu 4. Cho đồ thị C : y x 2x . Viết phương trình tiếp tuyến của tại giao điểm của
4 4
với Ox.
A. y 15x 45, y 15x 45 . B. y 4x 12, y 4x 12
.
C. y 3x 15, y 3x 15
. D. y 10x 30, y 10x 30 .
C C
ax b
Câu 5. Cho hàm số y có đồ thị cắt trục tung tại A0; 1
, tiếp tuyến tại A có hệ số góc k 3
x 1
. Các giá trị của a và b là:
A. a 1, b 1. B. a 2, b 1. C. a 1, b 2 . D. a 2, b 2 .
3 2
Câu 6. Cho hàm số y x 3x 9x 5 C . Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị C , tiếp tuyến có
hệ số góc lớn nhất là:
A. y 12x 4 . B. y 10x 2. C. y 20x 7 . D. y 15x 20.
3m 1 x m
Câu 7. Cho đồ thị C
m : y
tiếp tuyến tại giao điểm của C m với Ox song song với
x m
đường thẳng d: y x 5 .
A. 1
1
1
1 1
m m 2
. B. m m 2
. C. m m 3
. D. m m .
6
3
3
6 2
2x 1
Câu 8. Gọi M C
: y có tung độ bằng 5. Tiếp tuyến của C
tại M cắt các trục tọa độ Ox,
x 1
Oy lần lượt tại A và B. Tính S OAB
.
121
121
121
121
A. . B. . C. . D. .
4
8
3
6
Đáp án:
1–C 2–A 3–D 4–A 5–B 6–A 7–D 8–D
Trang 10

CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
CHUYÊN ĐỀ: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Tính đơn điệu của hàm số
Định nghĩa:
Giả sử hàm số y f ( x)
= xác định trên I, với I là
Đồng biến
một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.
Hàm số y f ( x)
= được gọi là đồng biến trên I
nếu:
∀ ∈ < ⇔ f ( x ) f ( x )
x
1, x
2
I : x1 x2
< .
1 2
Hàm số y f ( x)
= được gọi là nghịch biến trên I
nếu:
∀ ∈ < ⇔ f ( x ) f ( x )
x
1, x
2
I : x1 x2
> .
1 2
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến được gọi
chung là hàm số đơn điệu trên I.
Hàm số y = f ( x)
= x có ( )
hàm số f ( x ) đồng biến trên R .
f ′ x = 1 > 0 , ∀x
∈ R thì
2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu
Giả sử hàm số y f ( x)
= có đạo hàm trên I. Khi đó:
Nghịch biến
Nếu hàm số y f ( x)
f ′( x)
≥ 0 , ∀x ∈ I .
= đồng biến trên I thì
Nếu hàm số y f ( x)
f ′( x)
≤ 0 , ∀x ∈ I .
= nghịch biến trên I thì
Hàm số y = f ( x)
= − x có ( )
thì hàm số f ( x ) nghịch biến trên R .
f ′ x = − 1< 0 , ∀x
∈ R
3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu
Giả sử hàm số y f ( x)
Khi đó:
= có đạo hàm trên khoảng I.
3
Xét các hàm số: y = f ( x) = x + x
y = g ( x)
= − 2x + 5
2
y = h ( x)
= −
3
Các hàm số trên có đạo hàm trên R .
Trang 1

Nếu f ′( x)
> 0 , ∀x ∈ I thì hàm số f ( x ) đồng
biến trên khoảng I.
Nếu f ′( x)
< 0 , ∀x ∈ I thì hàm số f ( x ) nghịch
biến trên khoảng I.
Nếu f ′( x)
= 0, ∀x ∈ I thì hàm số f ( x ) không
đổi trên khoảng I.
Định lí:
Giả sử hàm số y f ( x)
= có đạo hàm trên khoảng I.
f ′ x ≥ 0 ,
Hàm số y = f ( x)
đồng biến trên I thì ( )
∀x
∈ I và f ′( x)
= 0 chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm
của t.
f ′ x ≤ 0 ,
Hàm số y = f ( x)
nghịch biến trên I thì ( )
∀x
∈ I và f ′( x)
= 0 chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm
của t.
Chú ý:
Ta có thể thay khoảng I thành một đoạn hoặc một
nửa khoảng, khi đó ta cần bổ sung thêm giả thiết:
“Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.
2
Ta có f ′( x) = 3x + 1 > 0 , ∀x
∈ R nên hàm số
f ( x ) đồng biến trên R .
Ta có g′ ( x)
= − 2 < 0 , ∀x
∈ R nên hàm số g ( x )
nghịch biến trên R .
Ta có h′ ( x)
= 0 , ∀x
∈ R nên hàm số h ( x )
không đổi trên R .
2
Hàm số y = f ( x) = ( m − 1) x + x + 5 xác định trên
R .
Hàm số có f ′( x) = 2( m − 1)
x + 1.
Hàm số y f ( x)
= đồng biến trên R khi
f ′( x) = 2( m − 1)
x + 1≥ 0, ∀x
∈ R .
Hàm số y f ( x)
= nghịch biến trên R khi
f ′( x) = 2( m − 1)
x + 1≤ 0, ∀x
∈ R .
Một số công thức tính đạo hàm
u ± v ′ = u′ ± v′
( )
( ku)
( )
′ = ku′
uv ′ = u′ v + uv′
⎛ u ⎞
′ u′ v − uv′
⎜ ⎟ =
2
⎝ v ⎠ v
( x )
′ = nx −
n n 1
( x )
′ 1 =
2 x
⎛ ax + b ⎞
′ ad − bc
⎜ ⎟ =
⎝ cx + d ⎠ cx + d
( ) 2
PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số
1. Phương pháp giải
Bước 1: Tìm tập xác định D.
Bước 2: Tìm f ( x)
′( ) = và ( )
f x 0
i
′ . Tìm các điểm x
i
mà
f ′ x i
không xác định.
3
Xét hàm số y = f ( x) = x − 3x + 1.
Tập xác định D = R .
Ta có: ( )
′ = −
2
f x 3x 3
f ′( x)
= 0 ⇔ 3x 2 3 0
⎡
− = ⇔ x = 1
⎢
⎣x
= −1
Trang 2

Bước 3: Lập bảng biến thiên.
Bảng biến thiên
Thay x = −2 ∈( −∞; − 1)
⇒ f ′( x)
= 9 > 0
nên f ( x)
′ có dấu +
Thay x = 0∈( − 1;1)
⇒ f ′( x)
= − 3 < 0
nên f ( x)
′ có dấu -
x −∞ − 1 1 +∞
( x)
f ′ + 0 − 0 +
f ( x )
Bước 4: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến
của hàm số.
Kết luận:
Dấu +, mũi tên
đi lên, hàm số
đồng biến
Dấu − , mũi tên
đi xuống, hàm
số nghịch biến
Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞; − 1)
và
( 1;+∞ ).
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( − 1;1)
.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hàm số
4 2
y = x − 2x + 4. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞; − 1)
.
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; − 1)
và ( 1;+∞ ) .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; − 1)
và ( 0;1 ) .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( − 1;1)
.
Cách 1:
Hàm số có tập xác định: D = R .
Ta có
3
⎡
y′ = 4x − 4x khi đó y′ = 0 ⇔ x = 0
⎢
⎣x = ± 1
Bảng biến thiên:
Hướng dẫn
x −∞ − 1
0 1 +∞
( x)
f ′ − + − +
f ( x )
Trang 3

Vậy: Hàm số đồng biến trên khoảng ( − 1;0 ) và ( 1;+∞ ) .
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; − 1)
và ( 0;1 ) .
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570 VNPLUS
4 2
Nhập MODE 7, nhập f ( X) = X − 2X + 4 Start ? −5
→ End? 5 → Step? 1
Khi đó ta nhận được bảng giá trị:
X f ( X ) X f ( X )
− 5 579 0 4
− 4 228 1 -3
− 3 67 2 12
− 2 12 3 67
− 1 − 3 4 228
5 579
Nhìn vào bảng giá trị, ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; − 1)
và ( 0;1 ) .
→ Chọn C.
Ví dụ 2: Cho hàm số y f ( x)
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
= có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ sau:
x − 2 1 5 +∞
( x)
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1;+∞ ).
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 5;+∞ ) .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( − 2;2)
.
D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( − 2;5)
.
f ′ 0 + 0 − −
Hướng dẫn
Nhìn vào bảng xét dấu của đạo hàm, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng ( − 2;1)
, nghịch biến trên
khoảng ( 1;5 ) và ( 5;+∞ ) .
Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng( 5;+∞ ) .
→ Chọn B.
Ví dụ 3: Hàm số
− + −
y =
x − 2
2
x 2x 4
đồng biến trên:
Trang 4

A. ( 0;2 ) và ( 2;4 ) . B. ( 0;2 ) và ( 4;+∞ ) .
C. ( −∞ ;0)
và ( 4;+∞ ) . D. ( −∞ ;0)
và ( )
Tập xác định D = R \{ 2}
.
Ta có
( )( ) ( )
− + − − + − − +
y′ = =
Bảng biến thiên:
Hướng dẫn
2
2x 2 x 2 x 2x 4
2
x 4x
( x − 2) ( x − 2)
2 2
2;4 .
⎡
khi đó y′ = 0 ⇔ − x 2 + 4x = 0 ⇔ x = 0
⎢
⎣x = 4
x −∞ 0 2 4 +∞
( x)
f ′ − 0 + + 0 −
f ( x )
Vậy hàm số đồng biến trên ( 0;2 ) và ( 2;4 ) .
→ Chọn A.
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Cho hàm số
x + 1
y = . Phát biểu nào sau đây đúng?
1 − x
A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞ ;1)
.
B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞ ;1)
và ( 1;+∞ ) .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;1) ∩ ( 1; +∞ ) .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng R .
Câu 2. Cho hàm số
4
y = x + . Kết luận nào sau đây là đúng?
x
A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞ ;2)
. B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 2;+∞ ) .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( − 2;2)
. D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 2;2)
Đáp án 1 – B 2 – B
− .
Dạng 2: Điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu
1. Phương pháp giải
Hàm số
3 2
y = ax + bx + cx + d
Tập xác định: D = R .
2
y′ = 3ax + 2bx + c
Xét hàm số
Tập xác định D = R .
3
y = mx + x + 1
2
y′ = 3mx + 1
Để hàm số đồng biến trên R ⇔ y′ ≥ 0 , ∀x
∈ R .
Trang 5

Để hàm số đồng biến trên R thì:
y′ ≥ 0 , ∀x
∈ R .
⎧a > 0
Khi đó: ⎨
⎩ ∆ ≤ 0
Để hàm số nghịch biến trên R thì:
Hàm số
y′ ≤ 0 , ∀x
∈ R .
⎧a < 0
Khi đó: ⎨
⎩ ∆ ≤ 0
ax + b
y =
cx + d
⎧ d ⎫
Tập xác định: D = R \ ⎨−
⎬ .
⎩ c ⎭
y′ =
ad − bc
( cx + d) 2
Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định khi và
chỉ khi:
y′ > 0 , ∀x ∈ D ⇒ ad − bc > 0 .
Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi
và chỉ khi:
y′ < 0 , ∀x ∈ D ⇒ ad − bc < 0 .
+ Nếu m = 0 thì y′ = 1 > 0 (thỏa mãn)
+ Nếu m ≠ 0 :
⎧
y′ ≥ 0 , ∀x
∈ R ⇔ 3m >
⎨ 0 ⎩ ∆ = − 12m ≤ 0
⇔ m > 0 .
Vậy m ≥ 0 thì hàm số đồng biến trên R .
Hàm số nghịch biến trên R
2
y′ ≤ 0 , ∀x
∈ R ⇔ 3mx + 1≤ 0, ∀x
∈R
+ Nếu m = 0 thì y′ = 1 > 0 (loại)
+ Nếu m ≠ 0 :
⎧
⇔ y′ ≤ 0 , ∀x
∈ R ⇔ 3m <
⎨ 0 ⎩ ∆ = − 12m ≤ 0
⇔ m ∈∅
Vậy không có giá trị nào của m để hàm số nghịch
biến trên.
Xét hàm số
x + m
y =
x −1
Tập xác định: D = R \{ 1}
;
y′ =
−1−
m
( x −1) 2
Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định khi và
chỉ khi y′ > 0 , ∀x ∈ D
−1−
m
> 0
x −1
⇔
( )
2
, ∀x ∈ D
⇔ −1− m > 0 ⇔ m < − 1.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định
⇔ y′ < 0 , ∀x ∈ D
−1−
m
< 0
x −1
⇔
( )
2
, ∀x ∈ D
2. Ví dụ minh họa
⇔ −1− m < 0 ⇔ m > − 1.
Ví dụ 1: Tìm điều kiện của tham số m sao cho hàm số
x
= + − − luôn đồng biến trên R ?
3
3
2
y mx mx m
A. − 1< m < 0 B. − 1< m ≤ 0 C. −1 ≤ m ≤ 0 D. −1≤ m < 0
Tập xác định: D = R . Ta có
2
y′ = x + 2mx − m .
Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi:
Hướng dẫn
Trang 6

→ Chọn C.
⎧1 > 0
y′ ≥ 0 , ∀x
∈ R ⇔ ⎨ 2
⎩ ∆ = 4m + 4m ≤ 0
⇔ −1 ≤ m ≤ 0 .
x − m
Ví dụ 2: Giá trị của tham số m để hàm số y = nghịch biến trên các khoảng xác định là:
x − 2
A. m < 2 B. m ≥ 2
C. m > 2 D. m ≤ 2
Tập xác định: D = R \{ 2}
. Ta có
y′ =
− 2 + m
.
( x − 2) 2
Hướng dẫn
Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi và chỉ khi:
→ Chọn A.
y′ < 0 , x D
− 2 + m
< 0
x − 2
∀ ∈ ⇔
( )
2
⇒ − 2 + m < 0 ⇔ m < 2
, ∀x ∈ D .
mx + 4
Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = giảm trên các khoảng xác
x + m
định.
A. − 2 < m ≤ 2 B. −2 ≤ m ≤ − 1 C. −2 ≤ m ≤ 2 D. − 2 < m < 2
Tập xác định: D = R \{ −m}
. Ta có
y′ =
2
m − 4
( x + m)
Hướng dẫn
2
.
Hàm số giảm trên các khoảng xác định khi và chỉ khi hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của
nó. Khi đó:
→ Chọn D.
3. Bài tập tự luyện
y′ < 0 , ∀x ∈ D ⇔ m 2 − 4 < 0 ⇔ − 2 < m < 2.
x − m + 2
Câu 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = giảm trên các khoảng mà
x + 1
nó xác định.
A. m < − 3
B. m ≤ − 3
C. m ≤ 1
D. m < 1
1
y = − x − mx + 2m − 3 x − m + 2
3
3 2
Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số ( )
luôn nghịch biến trên R .
A. −3 ≤ m ≤ 1 B. m ≤ 1
C. − 3 < m < 1 D. m ≤ −3;m ≥ 1
y = 2x − 3 m + 2 x + 6 m + 1 x − 3m + 5 luôn
3 2
Câu 3. Tìm giá trị thực của tham số m sao cho hàm số ( ) ( )
đồng biến trên R .
A. 0 B. -1 C. 2 D. 1
Trang 7

Đáp án 1 – D 2 – A 3 – A
PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP
Câu 1. Cho hàm số
3 2
y = − x + 3x − 3x + 2 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số luôn nghịch biến trên R .
B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞ ;1)
và ( 1;+∞ ).
C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞ ;1)
và nghịch biến trên khoảng ( 1;+∞ ).
D. Hàm số luôn đồng biến trên R .
Câu 2. Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho hàm số
xác định của nó?
y =
( )
m + 3 x − 2
x + m
luôn nghịch biến trên các khoảng
A. m = − 1
B. m = − 2
C. m = 0 D. Không có m.
Câu 3. Hàm số
4 2
y = − x + 4x + 20 đồng biến trên khoảng nào?
A. ( −∞; − 2 ) B. ( −∞; − 2 );( − 2;0)
C. ( − 2;0 );( 2; +∞ ) D. ( − 2;0 );( 0; 2 )
Câu 4. Hỏi hàm số
3
= − + − đồng biến trên khoảng nào?
5
5 4 3
y x 3x 4x 2
A. ( −∞ ;0)
B. R C. ( 0;2 )
D. ( 2;+∞ )
3 2
y x 3 3 m x 2mx 2
Câu 5. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số ( )
định
A. − 3 < m < 3
B.
C. − 3 < m < 0
D. m > 3
3 2
Câu 6. Giá trị của m để hàm số ( ) ( )
= − + − − + nghịch biến trên tập xác
10 − 19 10 + 19
≤ m ≤
3 3
y = x − 3 m + 1 x + 3 m + 1 x + 7 đồng biến trên R là:
A. −1 ≤ m ≤ 0 B. − 1 < m < 0 C.
Câu 7. Cho hàm số
⎡m < −1
⎢
⎣m > 0
2 3
y = 3x − x . Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0;2 ) .
B. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞ ;0); ( 2;3 ).
C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞ ;0)
; ( 2;3 ).
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 2;3 ).
D.
⎡m ≤ −1
⎢
⎣m ≥ 0
Câu 8. Hàm số
2
x
y = đồng biến trên các khoảng nào?
x − 1
A. ( −∞ ;1)
; ( 1;2 ) B. ( −∞ ;0); ( 2;+∞ ) C. ( −∞; − 1)
; ( 1;+∞ ) D. ( 0;1 ) ; ( )
1;2 .
Trang 8

Câu 9. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
mx + 3
y =
3x + m
nghịch biến trên các khoảng xác định.
A. − 3 < m < 3 B. m < − 3
C. − 3 < m < 0 D. m > 3
x − m + 2
Câu 10. Tìm m để hàm số y = nghịch biến trên các khoảng xác định.
x + 1
A. m ≤ 1
B. m < 1
C. m ≤ 3
D. m < 3
Đáp án:
1 - A 2 - D 3 - A 4 - B 5 - B 6 - A 7 - B 8 - B 9 - A 10 - B
Trang 9

CHƯƠNG 1
CHUYÊN ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa
Cho hàm số y f x
xác định và liên tục trên
DD
. Nếu tồn tại a;b
D và x a;b
sao cho:
• f x f x
0
, x a;b \ x0
thì x0
được gọi
là điểm cực đại của hàm số y f x .
• f x f x
0
, x a;b \ x0
thì x0
được gọi
là điểm cực tiểu của hàm số y f x .
0
Chú ý: Hàm số có thể không có cực trị, một hay nhiều điểm cực trị.
2. Các định lí
Trang 1

Định lí 1:
Giả sử hàm số y f x đạt cực trị tại điểm x .
0
Khi đó, nếu y f x có đạo hàm tại x thì
f 0 0 .
0
3 2
2
Hàm số f x x 3x có f x 3x 6x .
Hàm số đạt cực trị tại điểm x 2.
Khi đó ta có f 2 0.
Định lí 2:
Giả sử hàm số y f x liên tục trên a;b chứa
x a; x
0
và có đạo hàm trên và x ;b . Khi đó:
• f x 0, x a; x ;f x 0, x x ;b thì
x 0
0
0 0
được gọi là điểm cực đại của hàm số.
• f x 0, x a; x ;f x 0, x x ;b thì
x 0
0 0
được gọi là điểm cực tiểu của hàm số.
0
Định lí 3:
Giả sử hàm số
y f x
khoảng a;b chứa x0
.
Khi đó:
có đạo hàm cấp hai trong
• f x0
0 và f x0
0 thì x0
là điểm cực tiểu
của hàm số.
• f x0
0 và f x0
0 thì x0
là điểm cực đại
của hàm số.
PHẦN 2: CÁC CÔNG THỨC TÍNH NHANH
3 2
Hàm số f x x 3x
Ta có
2
f x 3x 6x
và f x
6x 6
• Vì f 2 0 và f 2 6 0 nên x 2 là điểm
cực tiểu của hàm số.
• Vì f 0 0 và f 0 6 0 nên x 0 là điểm
cực đại của hàm số.
Đường thẳng qua điểm cực đại, điểm cực tiểu
Đưa y về dạng y h x .y
g x
: y g x
(Phần dư của phép chia y cho y )
Hàm số
3 2
y ax bx cx d
: y g x x d
3 9a 9a
y .y
: y g x 9ay
2
2
2c 2b bc
Trang 2

Đường thẳng qua điểm cực đại, điểm cực tiểu
Hàm số
y .y
: y g x y
3y
u x
u
x
y
: y (Đạo hàm tử chia đạo hàm mẫu)
v x
v x
Cực trị hàm số bậc ba:
3 2
y ax bx cx d
Không có cực trị
y
0
Có cực trị (chỉ có 2 cực trị) y
0
3
4e 16e
A, B là 2 điểm cực trị trên đồ thị AB
với
a
Đạt cực trị tại x
0
0
y
x 0
Cực đại
Cực tiểu
e
2
b
3ac
9a
y
x0
0
y x0
0
y
x0
0
y x0
0
Hai cực trị nằm về hai
phía trục tung Oy
ac 0
(trái dấu)
Hai cực trị nằm về cùng
một phía trục tung Oy
(cùng dấu)
ac 0
y
0
Cùng nằm bên phải
(cùng dấu dương)
Cùng nằm bên trái (cùng
dấu âm)
ac 0
ab 0
y
0
ac 0
ab 0
y
0
Cực trị hàm số bậc bốn trùng phương:
4 2
y ax bx c
có
2
b
4ac
Có 1 cực trị
ab 0
Cực trị là cực đại
Cực trị là cực tiểu
a 0
b 0
a 0
b 0
Có 3 cực trị ab 0
2 điểm cực đại, 1 điểm cực tiểu
a 0
b
0
Trang 3

Cực trị hàm số bậc bốn trùng phương:
4 2
y ax bx c
có
2
b
4ac
2 điểm cực tiểu, 1 điểm cực đại
a 0
b 0
Ba điểm cực trị trên đồ thị
Đạt cực trị tại
0
x
y x 0
0
b b
A0;c ;B
; ;C ;
2a 4a 2a 4a
A Oy ; B và C đối xứng nhau qua Oy
4
b b b
2
16a 2a 2a
AB AC ;BC 2
Cực đại
Cực tiểu
y
x0
0
y x0
0
y
x0
0
y x0
0
Đặt BAC
cot
2 8a
3
2 b
Điều kiện Công thức thỏa mãn ab 0
Tam giác vuông ABC cân tại A
3
b 8a 0
3
Tam giác ABC đều b 24a 0
Tam giác ABC có trọng tâm O
2
b
6ac
3
Tam giác ABC có trực tâm O b 8a 4ac 0
3
Tam giác ABC có O là tâm đường tròn nội tiếp b 8a 4abc 0
3
Tam giác ABC có O là tâm đường tròn ngoại tiếp b 8a 4abc 0
Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp R
3
b 8a
R
8 a b
Trang 4

Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội nội tiếp
r
Tam giác ABC có diện tích S
Đồ thị hàm số
4 2
C : y ax bx c
cắt trục
hoành tại 4 điểm phân biệt tạo thành cấp số cộng
PHẦN 3: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số
1. Phương pháp giải
r
2
b
3
b
4 a 1
1
8a
3 2 5
32a S b 0
2 100
b ac
9
Cách 1: Lập bảng biến thiên của hàm số để xác định cực trị của hàm số.
Cách 2: Sử dụng máy tính để xác định cực trị của hàm số.
2. Ví dụ minh họa
3 2
Ví dụ 1: Cho hàm số y x 3x 2 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại x 2 và đạt cực tiểu tại x 0 .
B. Hàm số đạt cực tiểu tại x 2 và đạt cực đại tại x 0 .
C. Hàm số đạt cực đại tại x 2
và đạt cực tiểu tại x 0 .
D. Hàm số đạt cực đại tại x 0 và đạt cực tiểu tại x 2
.
Hướng dẫn
2
Cách 1: Hàm số có tập xác định: D . Ta có y 3x 6x nên
Bảng biến thiên
x
x
0 2
f + 0 – 0 +
f x
x 0
y 0
x 2
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x 0 và đạt cực tiểu tại x 2.
Cách 2: Sử dụng máy tính fx 570 VNPLUS
3 2
Nhập MODE 7, nhập f X X 3X 2 Start? –5 End? 5 Step? 1
Khi đó ta nhận được bảng giá trị:
X
f X
X f X
–5 –198 0 2
–4 –110 1 0
–3 –52 2 –2
–2 –18 3 2
Trang 5

X
f X
X f X
–1 –2 4 18
5 52
Nhìn vào bảng giá trị, ta thấy hàm số đạt cực đại tại x 0 và đạt cực tiểu tại x 2.
Chọn B.
4 2
Ví dụ 2: Cho hàm số y x 2x 3 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số có ba điểm cực trị. B. Hàm số chỉ có đúng hai điểm cực trị.
C. Hàm số không có cực trị. D. Hàm số chỉ có đúng một điểm cực trị.
Hướng dẫn
Cách 1: Ta có
x 0
x 1
3
y 4x 4x 0 x 1
2
Ta có y 12x 4 y 0 4 0; y 1 8 0; y
1 8 0 .
Nên hàm số đạt cực đại tại x 0 và đạt cực tiểu tại x 1
và x 1.
Do đó hàm số có ba điểm cực trị.
Cách 2:
Ta chú ý, hàm số bậc bốn có thể có một cực trị hoặc 3 cực trị, nên loại đáp án B và C.
Mà hàm số này có ab 1. 2 2 0
Chọn A.
nên có ba cực trị.
Ví dụ 3: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số y f x có mấy điểm cực trị?
A. 2. B. 1. C. 0. D. 3.
Hướng dẫn
Nhìn vào đồ thị hàm số như hình vẽ, ta thấy hàm số đạt cực đại tại x 0 và cực tiểu tại x 2. Vậy hàm
số có hai cực trị.
Chọn A.
Ví dụ 3: Cho hàm số y f x . Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ:
Trang 6

Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Đồ thị hàm số y f x không có điểm cực trị.
B. Đồ thị hàm số y f x có hai điểm cực trị.
C. Đồ thị hàm số y f x có ba điểm cực trị.
D. Đồ thị hàm số y f x có một điểm cực trị.
Hướng dẫn
Nhìn vào đồ thị hàm số đạo hàm, ta có bảng biên thiên
x 1 2 3
x
f – 0 + 0 – 0 +
f x
Cực đại
Nhìn vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có ba điểm cực trị.
Chọn C.
3. Bài tập tự luyện
3 2
Câu 1. ho hàm số y x 17x 24x 8 . Kết luận nào sau đây là đúng?
2
A. x 1. B. x .
C. x 3.
D.
CÑ
CÑ
CÑ
3
4 2
Câu 2. Cho hàm số y 3x 6x 1. Kết luận nào sau đây là đúng?
A. y 2.
B. y 1.
C. y 1.
D.
CÑ
Câu 3. Cho hàm số
y f x
Cực tiểu
CÑ
có bảng biến thiên:
CÑ
Cực tiểu
x 12.
CÑ
y 2.
CÑ
Trang 7

x
x
2 4
f + 0 – 0 +
f x
Khẳng định nào sau đây là đúng?
3
A. Hàm số đạt cực đại tại x 2. B. Hàm số đạt cực đại tại x 3 .
C. Hàm số đạt cực đại tại x 4. D. Hàm số đạt cực đại tại x 2
.
3
Câu 4. Trong các hàm số sau, hàm số nào đạt cực đại tại x ?
2
1 4 3 2
A. y x x x 3x.
B.
2
2
C. y 4x 12x 8.
D.
Đáp án:
1–D 2–B 3–A 4–D
–2
x 1
y .
x 2
2
y x 3x 2.
Dạng 2: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu
1. Phương pháp giải
3 2
• Hàm số y ax bx cx d ;
g x
u x
• Hàm số y ;
v x
g x
phần dư của phép chia y cho
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hàm số bậc ba
đồ thị hàm số là:
đạo hàm tử : đạo hàm mẫu
y
3 2
y x 9x 15x 1. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của
A. x 8y 14 0. B. x 8y 14 0. C. 8x y 14 0. D. 8x y 14 0.
Cách 1: Hàm số
3 2
y x 9x 15x 1
có
Hướng dẫn
2 x 1
y 6
y 3x 18x 15 0 .
x 5 y 26
Suy ra hàm số có hai điểm cực trị trên đồ thị là A1;6 ; B5; 26 .
Đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số là đường thẳng có vectơ chỉ phương
AB 4; 32
nên có vectơ pháp tuyến là n 8;1 .
Vậy phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là 8x 1 1y 6
0 8x y 14 0
Trang 8

Cách 2: Hàm số có a 1; b 9; c 15; d 1.
Theo công thức giải nhanh, ta có phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là:
2
2
2c 2b bc 2.15 2. 9 9 .15
y g x
x d y x 1
3 9a 9a 3 9.1
9.1
y 8x 14 8x y 14 0
Chọn C.
Ví dụ 2: Phương trình đường thẳng qua ĐCĐ, ĐCT của đồ thị hàm số
y
2
2x x 1
x 1
A. x 4y 3 0. B. 4x y 1 0. C. y 4 x1.
D. y 4x 1.
Hướng dẫn
u x
2
Cách 1: Hàm số có dạng y với u x 2x x 1
và vx
x 1.
v x
Nên phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số là:
Chọn B.
Cách 2: Ta có
Khi đó:
y
u
x 4x 1
y 4x 1 4x y 1 0
v
x 1
2
4x 1 x 1 2x x 1 2
2x 4x
x 1 x 1
2 2
2 x 0 y 1
y 0 2x 4x 0
x 2 y 9
Hàm số có hai điểm cực trị trên đồ thị là: A0; 1 ; B2; 9 .
Phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số có vectơ chỉ phương
AB 2; 8
nên có vectơ pháp tuyến là n 4; 1
.
Vậy PT đường thẳng qua ĐCĐ, ĐCT của đồ thị là: 4x 0 1y 1
0 4x y 1 0.
Chọn B.
Ví dụ 3: Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng
3 2
thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x 3x 1.
d : y 3m 1
x 3
m
1
3
1
A. m .
B. m .
C. m .
D.
2
2
4
Hướng dẫn
3 2
Hàm số y x 3x 1
có a 1; b 3; c 0; d 1.
Phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị là:
2
là.
vuông góc với đường
3
m .
4
2
2c 2b bc 2.0 2. 3 3 .0
y g x
x d y x 1 y 2x 1 d
3 9a 9a 3 9.1
9.1
Trang 9

Đường thẳng
Chọn A.
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Biết đồ thị hàm số
AB là:
d vuông góc với đường thẳng
3
y x 3x 1
1
3m 1 . 2 1 m .
2
d
có hai điểm cực trị A, B. Khi đó phương trình đường thẳng
A. y x 2.
B. y 2x 1.
C. y 2x 1.
D. y x 2.
Câu 2 Cho hàm số
phương trình là:
y
2
3x 13x 19
x 3
. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tại của đồ thị hàm số có
A. y 6x 13.
B. y 3x 13.
C. 5x 2y 13 0. D. 2x 4y 1 0.
Đáp án:
1–C 2–A
Dạng 3: Cực trị hàm bậc ba
1. Ví dụ minh họa
3 2
y ax bx cx d
Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
.
3 2
y x mx 2m 3 x 3 đạt cực đại tại x 1
A. m 3.
B. m 3.
C. m 3.
D. m 3.
2
Ta có:
y 3x 2mx 2m 3 ; y
6x 2m
Hàm số đạt cực đại tại
Chọn B.
Hướng dẫn
2
y
1 3.1 2m.1 2m 3 0
x 1 m 3.
y 1 6.1 2m 0
3 2
Ví dụ 2: Cho hàm số y mx 3x m 1 x 3 . Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm
về cùng bên phải của trục Oy.
1
13
1
13
1
13
1
13
A. m 0 . B. m 0 . C. 0 m . D. 0 m .
2
2
2
2
Ta có 2
y 3mx 6x m 1 .
Hướng dẫn
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về cùng bên phải của trục Oy.
Trang 10

1
13 1
13
m
2 2
y
0 6 4.3m m 1
0
2 2
12m 12m 36 0
m 1
ac 0 3m m 1 0 mm 1
0
m 0
ab 0
3m.6 0
m 0
m 0
1
13
m 0
2
Chọn A.
Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48.
3 2 3
y x 3mx 3m
A. m 2;m 0 B. m 2
C. m 2
D. m 2
Ta có
2
y 3x 6mx 3x x 2m
nên
Hướng dẫn
x 0
y 0 .
x
2m
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi 2m 0 m 0.
(1)
Khi đó, các điểm cực trị của đồ thị hàm số là 0 3
3
A ;3m , B 2m; m .
Ta có: OA 0;3m 3 OA 3 m 3 .
(2)
Ta thấy A Oy OA Oy d B,OA d B,Oy 2 m .
(3)
1
S
OAB
.OA.d B,OA 3m .
2
Từ (2) và (3) suy ra
4
4
Do đó: S OAB
48 3m 48 m 2
(thỏa mãn (1 )).
Chọn D.
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
3
y x 3x
A. 4 5. B. 2. C. 2 5.
D. 4.
là:
có hai điểm cực
1 3 2
Câu 2. Cho hàm số y x mx 2m 1
x 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có
3
cực trị.
A. m 1.
B. m.
C. m 1.
D. m 1.
Câu 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số
cực trị A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O (với O là gốc tọa độ ).
3
1
A. m .
B. m .
C. m 1.
D.
2
2
3
y x 3mx 1
1
m .
2
có hai điểm
Trang 11

Câu 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
hai điểm cực tị có hoành độ
x , x sao cho x .x 2x x 1.
1 2
1 2 1 2
2
2
A. m 0.
B. m .
C. m .
D.
3
3
Đáp án:
1–C 2–A 3–D 4–C
2 2
3 3
3 2 2
y x mx 2 3m 1 x
1
m .
2
có
Dạng 4: Cực trị hàm bậc bốn trùng phương
1. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Hàm số
4 2
y ax bx c
y x 4 2 m 2 x 2 m 2 2m 3 có đúng một điểm cực trị thì giá trị của m là:
A. m 2.
B. m 2.
C. m 2.
D. m 2.
Hướng dẫn
Hàm trùng phương có một điểm cực trị khi và chỉ khi ab 0 m 2 0 m 2.
Chọn A.
Ví dụ 2: Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số
của một tam giác vuông cân.
4 2 2
y x 2m x 1
có ba điểm cực trị là ba đỉnh
A. m 1.
B. m 0.
C. m 1.
D. m 1.
Hướng dẫn
Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân khi và chỉ khi:
Chọn D.
3
3 2 6
b 8a 0 2m 8.1 0 8m 8 0 m 1.
Ví dụ 3: Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số:
ba đỉnh của một tam giác đều.
4 2 4
y x 2mx 2m m
m 0
A. Không tồn tại m. B. C. . D.
3
.
3
m 3
m 3.
m 3
Hướng dẫn
Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác đều
3 3 3
2m 24.1 0 m 3 m 3.
Chọn C.
Ví dụ 4: Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số
4 2 2
y x 8m x 1
ba điểm cực trị đó là ba đỉnh của một tam giác có diện tích bằng 64.
5
5
A. Không tồn tại m. B. m 2.
C. m 2.
D.
Hàm số có ba điểm cực trị khi:
2
ab 0 1.( 8m ) 0 m 0.
Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có diện tích bằng 64
có ba điểm cực trị là
có ba điểm cực trị, đồng thời
5
m 2.
Trang 12

2
4 2
b b
64m 8m
5
Ta có: S ABC
khi đó 64 m 2 (thỏa mãn).
4 a 2a
4 2
Chọn D.
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số:
ba đỉnh của một tam giác vuông cân.
y x 2 m 1 x m
4 2 2
m 0
A. Không tồn tại m. B. m 0.
C. .
D.
m 1
có ba điểm cực trị là
m 1.
4 2
Câu 2. Cho hàm số y x 2mx m 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số có
ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa độ O làm trực tâm.
A. m 4.
B. m 2.
C. m 3.
D. m 1.
Câu 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
không có cực đại.
4 2 3
m
1 x mx
y
2
A. m 1.
B. 1 m 0. C. m 1.
D. 1 m 0.
Câu 4. Cho hàm số
điểm cực trị.
chỉ có cực tiểu mà
y mx 4 m 2 9 x 2 10. Tìm tất các các giá trị của tham số m để hàm số có ba
0 m 3
A. . B. m 3.
C. 0 m 3.
D.
m 3
Đáp án:
1–B 2–D 3–B 4–A
0 m 3
.
m 3
PHẦN 4 BÀI TẬP TỒNG HỢP
2 3 4
y f x
Câu 1. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 1 x 2 x 3 x 5 . Hỏi hàm số
có mấy điểm cực trị?
A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số
3 2
y x 2x m 3 x 1
không có cực trị.
8
5
5
A. m .
B. m .
C. m .
D.
3
3
3
8
m .
3
1 3 2
Câu 3. Cho hàm số y x mx m 1
x 1
. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
3
đạt cực đại tại x 2
.
A. Không tồn tại m. B. –1. C. 2. D. 3.
Câu 4. Cho hàm số y x 3 3mx 2 3 m 2 l x m 3 m . Gọi x
1, x2
là hai điểm cực trị của hàm số.
2 2
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để x x x .x 7 .
1 2 1
A. m 2.
B. m 2.
C. m 0.
D. m 1.
2
Trang 13

Câu 5. Cho hàm số y f x . Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ:
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số y f x đạt cực đại tại x 1.
B. Đồ thị hàm số y f x có một điểm cực tiểu.
C. Hàm số y f x đồng biến trên khoảng ;1 .
D. Đồ thị hàm số y f x có hai điểm cực trị.
Câu 6. Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số
4 2
y x 2mx m 1
có ba điểm cực trị, đồng thời ba
điểm cực trị trên đồ thị đó là ba đỉnh của một tam giác có
bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.
m 1
m 1
A.
1 5 . B. C. D.
m
1 5
m
.
1
5
m . m 1.
2
2
2
2x 1
Câu 7. Hàm số y có số cực trị là :
3x 5
A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
Câu 8. Hàm số
3 2
y ax bx cx d a 0
có thể có số cực trị là:
A. 2. B. 0 hoặc 2. C. 1 hoặc 2. D. 0 hoặc 1 hoặc 2.
3 2
Câu 9. Cho hàm số y x 3x mx m 2 có đồ thị là . Xác định m để có các điểm cực
đại và cực tiểu nằm về hai phía của Ox.
C
A. m 4.
B. m 2.
C. m 3.
D. m 2.
Câu 10. Cho hàm số
hoành độ dương.
3 2
m
y m 2 x 3x mx 5 . Tìm giá trị của m để hàm số có các điểm cực trị có
A. 3 m 2.
B. m 2.
C. 3 m 2. D. m 2.
Câu 11. Cho hàm số y f x liên tục trên và có đạo hàm f x x 1 x 2 x 3 . Khẳng
định nào sau đây là đúng?
1;2
A. Hàm số đồng biến trên các khoảng và
B. Hàm số có ba điểm cực trị.
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;3 .
3; .
D. Hàm số đạt cực đại tại x 2, cực tiểu tại x 1
và x 3 .
Đáp án:
C m
2 2017
1–A 2–C 3–B 4–B 5–B 6–B 7–D 8–B 9–C 10–A 11–C
Trang 14

CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
CHUYÊN ĐỀ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Định nghĩa:
Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập M là giá trị
lớn nhất của hàm số trên D.
M
x D,f x M
max f x
xD
0
0
x D,f x M
Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập D. m là giá
trị nhỏ nhất của hàm số trên D.
m
x D,f x m
max f x
xD
0
0
x D,f x m
Chú ý: Trong sách này, ta viết tắt giá trị lớn nhất là GTLN, giá trị nhỏ nhất là GTNN. GTLN luôn lớn hơn
GTNN.
PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
1. Phương pháp giải
Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f (x) trên đoạn
[a; b].
Cách 1:
Bước 1: Tìm các điểm x i thuộc (a; b) mà f’(x i ) = 0
hoặc f’(x i ) không xác định.
Bước 2: Tính f a ,f x
,f b
i
Bước 3: Tím số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong
các số trên.
Ta có
M max f x ;m min f x
x
a;b x a;b Cách 2: Sử dụng máy tính fx 570 VNPLUS
Nhập Mode 7, nhập f (X) = …
Start? a = → End? b = → Step? α =
(α ta chọn tùy vào đoạn trong đề bài)
Ta nhận được bảng giá trị
X
f (X)
Từ bảng giá trị f (x), tìm GTLN, GTNN
Tìm GTLN, GTNN của hàm số
y f x x 3x trên đoạn [-1; 3].
3 2
2
Ta có
Ta thấy
f x 3x 6x
x1
0 1;3
f x
0
x2
2 1;3
Ta có a 1; x1
0; b 3
f ( 1) 2; f (0) 0; f (3) 54
Ta thấy f (3) = 54 là lớn nhất, f (0) = 0 là nhỏ nhất
Vậy
m max f x 54;min f x 0
x 1;3 x 1;3
3 2
Nhập MODE 7, nhập f X X 3X
Start? – 1 = End? 3 = Step? 0.5 =
Bảng giá trị
X
f (X)
- 1 2
- 0.5 0.625
0 0
Trang 1

2. Ví dụ minh họa
Từ bảng giá trị, ta thấy
f 0
0
Vậy
0.5 0.875
1 4
1.5 10.125
2 20
2.5 34.375
là GTNN
3 54
f 3
54
max f x 54;min f x 0
x 1;3 x 1;3
là GTLN,
Ví dụ 1: Giá trị nhỏ nhất của hàm số
3
y x 3x 5
trên đoạn [0; 2] là:
A. min y 0
B. min y 3
C. min y 5 D.
x
0;2
x
0;2
x
0;2
min y 7
x
0;2
3
Xét hàm số y x 3x 5 liên tục trên đoạn [0; 2].
Có
Hướng dẫn
x 1
0;2
2 2
y 3x 3 3 x 1 ; y
0
x 1
0;2
Ta có: y 1 3; y 0 5; y 2 7 . Do đó min y y 1 3
→ Chọn B.
Ví dụ 2: Giá trị lớn nhất của hàm số
x
0;2
x
0;2
4 2
f x x 2x 1
x
0;2
trên đoạn [0; 2] là:
A. max f x 64 B. max f x 1
C. max f x 0 D. max f x 9
Hướng dẫn
Xét hàm số f x x 2x 1
liên tục trên đoạn [0; 2]
4 2
x 0
0;2
3 2
Ta có f x 4x 4x 4x x 1 ;f x
0 x 1
0;2
x 1
0;2
Khi đó f 1 0;f 0 1;f 2 9 . Do đó max f x f 2 9
x
0;2
→ Chọn D
Ví dụ 3: Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
y 5 4x
A. max y 5 và min y 0
B. max y 1
và
x 1;1
x 1;1
x 1;1
C. max y 3 và min y 1
D. max y 0 và
x 1;1
Hướng dẫn
x 1;1
Hàm số có điều kiện xác định 5 4x 0 x
Xét hàm số y 5 4x liên tục trên đoạn [-1; 1]
x 1;1
x
0;2
trên đoạn [-1; 1] là:
min y 3
x 1;1
min y 5
x 1;1
x
0;2
5
. Suy ra hàm số xác định với x 1;1
4
Trang 2

2
Ta có y 0, x 1;1
5 4x
→ Chọn C
3. Bài tập tự luyện
. Do đó
x 1;1
x 1;1
max y y 1 3; min y y 1 1
1
Câu 1. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y x trên đoạn ;2
x
2
17
A. m = 5 B. m = 3 C. m
D. m = 10
4
Câu 2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2 2
y x 1 x 9
lần lượt là:
A. 2; 2 B. 4; 2 C. 4; 2 D. 4;2 2
Đáp án:
1 – B 2 - D
Dạng 2: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng
1. Phương pháp giải
Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f (x) trên tập
bất kì (khoảng, nửa khoảng)
Cách 1:
Bước 1: Lập bảng biến thiên của hàm số.
Bước 2: Từ bảng biến thiên, kết luận GTLN,
GTNN của hàm số.
Cách 2: Sử dụng máy tính fx 570 VNPLUS
Tìm GTLN, GTNN trong nửa khoảng [-1; 3) hàm
3 2
số y f x x 3x
Tập xác định:
Khi đó
2
D . Ta có: f x 3x 6x
x1
0 1;3
f x
0
x2
2 1;3
Bảng biến thiên (BBT)
x
x - - 2 - 1 0 3
f 0 - - 0 +
f x
2 54
Từ BBT, ta thấy 0 là GTLN của hàm số tại
x 0 1;3
x 3 1;3
, 54 là GTLN của hàm số tại
Do đó, hàm số không có GTLN có GTNN bằng 0
Ta có thể sử dụng máy tính như dạng 1. Nhưng cần chú ý chọn GTLN, GTNN.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Giá trị nhỏ nhất của hàm số
1
3
3 2
y x 2x 3x 4
8
10
A. B. C. -4 D.
3
3
Hàm số có tập xác định: D
Hướng dẫn
trên khoảng (1;5) là:
10
3
0
Trang 3

2 2
Ta có y
x 4x 3; y
0 x 4x 3 0 x 1
hoặc x = 3
Ta có bảng biến thiên
x 1 3 5
f’ (x) 0 - 0 +
f (x)
8
3
-4
Từ bảng biến thiên ta thấy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng (1;5) bằng -4.
→ Chọn C
8
3
2
x x 1
Ví dụ 1: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x
trên khoảng 1;
là:
x 1
A. min y 1
B. min y 3
C. min y 5 D.
x
1;
x
1;
x
1;
7
min y
x
1; 3
Hàm số xác định với x 1;
2
x x 1
Hướng dẫn
Xét hàm số f x liên tục trên khoảng 1;
x 1
2
1 1 x 2x
x 0
f x x f x 1 ; f
2 2
x
0
x 2
Ta có
x 1 x 1 x 1
Ta lại có lim f x
; lim f x
Bảng biến thiên
x x1
x 1 2
f’ (x) - 0 +
f (x)
3
Từ bảng biến thiên ta có:
→ Chọn B
x
1;
min f x f 2 3
3. Bài tập tự luyện
Câu 1: Cho hàm số y
2
x
2
3x 18x . GTNN của hàm số trên nửa khoảng 1; là:
A. 10 B. 22 C. 11 D. 21
6 8x
Câu 2: Cho hàm số y . GTLN của hàm số trên khoảng là:
2
;1
x 1
2
A. – 2 B. C. 8 D. 10
3
1
Câu 3 Cho hàm số y x . GTNN của hàm số trên khoảng 0;
là:
x
A. 0 B. 1 C. 2 D. 2
Đáp án:
Trang 4

1 – B 2 – C 3 - D
Dạng 3: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số chứa tham số
1. Ví dụ minh họa
x m
Ví dụ 1: Cho hàm số y (m là tham số thức) thỏa mãn min y 3. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
x 1
x
2;4
A. 3 < m 4 B. 1 m < 3 C. m > 4 D. m < -1
Hàm số có tập xác định:
D \ 1
. Ta có
Hướng dẫn
1
m
y
x 1
2
* Nếu m 1 y
0 Hàm số đồng biến trên các khoảng của TXĐ
Khi đó
2 m
min y y2
3 3 m 1
(loại)
x
2;4
2 1
* Nếu m 1 y
0 Hàm số nghịch biến trên các khoảng của TXĐ.
4 m
Khi đó min y y4
3 3 m 5 (thỏa mãn). Vậy m > 4
x
2;4
4 1
→ Chọn C
x m
16
Ví dụ 2: Cho hàm số y (m là tham số thực) thỏa mãn min y
max y . Mệnh đề nào dưới
x 1
x
1;2 x
1;2 3
đây đúng?
A. 0 < m 2 B. 2 m < 4 C. m ≤0 D. m > 4
Hàm số có tập xác định:
D \ 1
. Ta có
Hướng dẫn
y
1
m
x 1 2
* Nếu m 1 y
0 Hàm số đồng biến trên các khoảng của TXĐ
Khi đó
1 m 1 m 2 m 2 m
min y y1 ;max y y2
x
1;2 11 2 x
1;2 2 1 3
16 1
m 2 m 16
min y max y m 5
x
1;2 x 1;2 3 2 3 3
(loại vì m < 1)
* Nếu m 1 y
0 Hàm số nghịch biến trên các khoảng của TXĐ.
Khi đó
2 m 2 m 1 m 1
m
min y y2 ;max y y1
x
1;2 2 1 3 x
1;2 11 2
16 2 m 1
m 16
min y max y m 5 (thỏa mãn). Vậy m > 4
x
1;2 x
1;2 3 3 2 3
→ Chọn D
2. Bài tập tự luyện
2
Câu 1 Tìm m để hàm số y x mx 5x 4 đạt giá trị nhỏ nhất lớn hơn 1
A. m 5 2 3 B. 2 3 m 5 C. 5 m 5 2 3 D. 5 2 3 m 5 2 3
Đáp án: 1 – D
Trang 5

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP
3 2
Câu 1 Cho hàm số y x 3x 9x 35 . Gọi a, b lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên
đoạn [-4; 4]. Tính giá trị a + b
A. -1 B. 71 C. -2 D. 18
3 2
Câu 2 Cho hàm số y x 3x 18x . Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên 1; là:
A. 10 B. 22 C. 11 F. 21
1 3 2
Câu 3 Cho hàm số y x 2x 3x 4 . Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [-4; 0] là:
3
16
A.
B. 0 C. -4 D. 4
3
1
Câu 4 Giá trị nhỏ nhất của hàm số x trên khoảng 0;
là:
x
A. 0 B. 1 C. 2 D. 2
1
Câu 5 Giá trị nhỏ nhất của hàm số y x trên khoảng 0;
là:
x
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 6 Giá trị nhỏ nhất của hàm số
y sin x 1
cos x
trên [0; π] là:
A. 1 B. 0 C. 2 D. 3
2
Câu 7 Cho hàm số f x x cos x , với x
0; . Giá trị lớn nhất của hàm số là:
2
1
1
A. 0 B. C. D.
2 2
4 2
2
Câu Cho hàm số
– 3b là:
x 1
. Gọi a, b lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Giá trị của a
2
x x 1
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Đáp án:
1 – A 2 – B 3 – A 4 – D 5 – B 6 – B 7 – D 8 – B
Trang 6

PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa
Cho hàm số y = f(x) xác định trên D.
CHƯƠNG 1
CHUYÊN ĐỀ 4: TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Nếu lim f(x) y hoặc lim f(x) y thì đường
x
0
0
x
thẳng y = y 0 là tiệm cận ngang (TCN) của đồ thị
hàm số.
Nếu lim f(x) hoặc lim f(x) thì đường
xx 0
xx 0
thẳng x = x 0 là tiệm cận đứng (TCĐ) của đồ thị
hàm số.
2. Một số chú ý
Ta có thể tính giới hạn bằng cách sử dụng máy
tính.
Đồ thị hàm số đa thức không có tiệm cận.
Giá trị x 0 là giá trị mà tại đó hàm số không xác
định.
ax b
Đồ thị hàm số y luôn có tiệm cận khi và
cx d
c 0
chỉ khi: .
ad bc 0
x x 2 X X 2
lim Nhập
x2
x 2
X 2
CALC 2 + 10 -9
0.75001
x 2
Đồ thị hàm số y có TCĐ: x = 1, TCN: y = 1
x 1
Trang 1

Khi đó TCĐ là
d
x ; TCN là
c
a
y .
c
Hàm số xác định trên khoảng, đoạn không chứa
thì đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số
1. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hàm số
lần lượt là:
Hàm số
y 4 x
2
có TXĐ D = [-2;2] không chứa
nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
2x 3
y . Đồ thị của hàm số trên có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang
x 1
A. x = 1 và y = -3. B. x = 2 và y = 1
C. x = 1 và y = 2. D. x = -1 và y = 2
Cách 1: Tập xác định:
D \ 1 .
Hướng dẫn
2x 3
2x 3
Ta có: lim và , nên đồ thị hàm số có TXĐ là x = 1.
lim
x1
x 1
x1
x 1
2x 3
Ta lại có: lim 2 , nên đồ thị hàm số có TCN là y = 2.
x
x 1
Cách 2: Sử dụng máy tính fx 570VNPLUS
Nhập biểu thực 2x 3
x 1
Ấn CALC x 110 9 được kết quả bằng 999999998 nên
Ấn CALC x 110 9 được kết quả bằng -999999998 nên
Đồ thị hàm số có TCĐ là x = 1.
10
Ấn CALC x 10 được kết quả bằng 2 nên
Đồ thị hàm số có TCN là y = 2.
Chọn C.
Ví dụ 2: Đồ thị hàm số
2x 3
lim 2
x 1
x
2x 3
lim x 1
x1
2x 3
lim x 1
x1
2x 3
y có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là:
2
x 3x 2
A. x = 1, x = 2 và y = 0 B. x = 1, x = 2 và y = 2
C. x = 1 và y = 0 C. x = 1, x = 2 và y = -3
Hướng dẫn
2
Ta có x 3x 2 (x 1)(x 2) , nên hàm số không xác định tại x = 1 và x = 2
Sử dụng máy tính, ta tính được lim y và lim y ; lim y và lim y
x1
x1
x2
x2
Trang 2

Suy ra đồ thị hàm số có TCĐ là x = 1 và x = 2.
2x 3
Tương tự, ta tính được lim 0 , nên đồ thị hàm số có TCN là y = 0.
x
2
x 3x 2
Chọn A
x
Ví dụ 3: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y x là:
2
x 3x 4
A. 4 B. 3 C. 2 D. 5
Hướng dẫn
2
Ta có x 3x 4 (x 1)(x 4) , nên hàm số không xác định tại x = -1 và x = 4
Sử dụng máy tính, ta tính được lim y và lim y ; lim y và lim y
x ( 1)
Suy ra đồ thị hàm số có TCĐ là x = -1 và x = 4.
Tương tự, ta tính được
x
x ( 1)
x4
x4
x
lim x , nên đồ thị hàm số không có TCN.
2
x 3x 4
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là 2
Chọn C
Ví dụ 4: Đồ thị như hình vẽ là của hàm số nào sau đây:
x 1
3
x
A. y B. y
x 1
x 1
x 2
x 2
C. y D. y
x 1
x 1
Hướng dẫn
Từ đồ thị ta thấy:
Đồ thị hàm số có TCĐ là x = 1, nên loại đáp án A
Đồ thị hàm số có TCN là y = 1, nên loại đáp án B.
Ta thấy điểm (0;-2) thuộc đồ thị hàm số, nên loại đáp án D
Chọn C
Ví dụ 5: Đồ thị hàm số nào sau đây không có tiệm cận đứng?
3x 1
1
x 3
1
A. y
B. y C. y
D. y
2
2
x 1
x
x 2
x 2x 1
Hướng dẫn
Đáp án A: Hàm số xác định trên , nên đồ thị hàm số không có TCĐ.
Đáp án B: Hàm số có TCĐ là x = 0.
Đáp án C: Hàm số có TCĐ là x = -2.
Đáp án D: Hàm số có TCĐ là x = 1.
Chọn A
2. Bài tập tự luyện
Trang 3

1
3x
Câu 1. Đồ thị hàm số y có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là:
x 2
A. x = -2 và y = -3 B. x = -2 và y = 1 C. x = -2 và y = 3 D. x = 2 và y =1
Câu 2. Đồ thì hàm số nào sau đây có ba đường tiệm cận?
1
2x
1
x 3
x
A. y B. y C. y
D. y
1
2
x
4
2
x
5x 1
x x 9
Câu 3. Đồ thị hàm số nào sau đây không có tiệm cận ngang?
2x 3
3
3
A. y
B. y 1
C. y
D. y
2
x 1
x 2
x 1
Câu 4. Tìm tất cả các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y
x 3
2
x 1
A. y = 1 B. x = 1 C. y = 1 D. y = -1
Đáp án:
1 - A 2 - B 3 - D 4 - A
4 2
x 3x 7
2x 1
Dạng 2: Bài toán chứa tham số
1. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số
A. m = 4 B. m = -4 C. m 4 D. m -4
Đồ thị hàm số có TCĐ
Chọn C
Ví dụ 2: Với giá trị nào của m thì đồ thị (C):
Hướng dẫn
c 0 1 0
m 4
ad bc 0 2m 8 0
2
1
A. m B. m = 0 C. m D. m = 2
2
2
mx 8
y có tiệm cận đứng.
x 2
mx 1
y có tiệm cận đứng đi qua điểm
2x m
Hướng dẫn
c 0 2 0
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận dứng m
R
2
ad bc 0 m 2 0
Khi đó, đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là
Vậy để tiệm cận đứng đi qua điểm
Chọn D
M( t, 2) thì
m
x
2
m
1 m 2
2
M( t, 2)?
Trang 4

Ví dụ 3: Đồ thị hàm số
y
2
x x 1 mx
có đường tiệm cận đứng khi:
x 1
A. m 0 B. m
R C. m -1 D. m 1
Xét phương trình
2
x x 1 mx 0
Hướng dẫn
Nếu phương trình không có nghiệm x = 1 thì đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là x = 1.
Nếu phương trình có nghiệm x = 1, tức là
2
t 11 m.1 0 m 1
Khi đó xét giới hạn:
2
x x 1 x 1 1
lim
lim
x1 x 1 x1
2
2
x x 1 x
Do đó, đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng khi m -1
Chọn C
2. Bài tập tự luyện
Câu 1. Giá trị của m để đồ thị hàm số
x m
y không có tiệm cận đứng là
mx 1
A. m = 0; m = 1 B. m = -1 C. m = 1 D. m = 1
Câu 2. Cho hàm số
mx 9
y có đồ thị (C). Kết luận nào sau đây đúng?
x m
A. Khi m = 3 thì (C) không có đường tiệm cận đứng
B. Khi m = -3 thì (C) không có đường tiệm cận đứng
C. Khi m 3 thì (C) có tiệm cận đứng x = -m, tiệm cận ngang y = m
D. Khi m = 0 thì (C) không có tiệm cận ngang
Đáp án:
1 – A 2 - C
PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP
Câu 1. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
8x 1999
y là:
4x 6
25
A. y = 8 B. y = 3 C. y
D. y = 2
8
x
Câu 2. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y
2
x 3x
A. x = 0; x = 3 B. y = 3 C. y = 0 D. x = 3
Câu 3. Trong các hàm số sau, đồ thị hàm số nào có đường tiệm cận ngang?
3 2
A. y x 25x 8
B.
4 2
y x 8x 99
3x 1
C. y
D.
2
x 2
y
2
2x 1
x 2
Trang 5

Câu 4. Cho hàm số
y
x
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
2
x 9
A. Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là x = 3 và 2 đường tiệm cận ngang là y = 1
B. Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là x = 3 và 1 đường tiệm cận ngang là y = 1
C. Đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng là x = 3 và 1 đường tiệm cận ngang là y = 1
D. Đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng là x = 3 và không có đường tiệm cận ngang
Câu 5. Đồ thị hàm số nào sau đây có hai đường tiệm cận ngang?
2
x 1
x 1
x 2
A. y
B. y
C. y
D.
2
2x 3
x 2x 1
x 3
Câu 6.) Cho hàm số
y
2
x 1
. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là:
x 1
3 2
y x 3x 1
A. y = 1 B. y = -1 C. y = 1; y = -1 D. x = 1; x = -1
Câu 7. Đồ thị hàm số
x 1
y có bao nhiêu đường tiệm cận?
2
x 2x 3
A. 1 B. 3 C. 2 D. 0
mx n
Câu 8. Cho hàm số y có đồ thị (C). Biết đường tiệm cận của (C) đi qua điểm A(-1;2) và ta có
x 1
điểm I(2;1) thuộc (C). Khi đó giá trị của m+n là
A. m + n = -1 B. m + n = 1 C. m + n = -3 D. m + n = 3
Câu 9. Giá trị của m để đồ thị hàm số
x m
y không có tiệm cận đứng là
mx 1
A. m = 0; m = 1 B. m = -1 C. m = 1 D. m = 1
Đáp án:
1 – D 2 – D 3 - C 4 – A 5 – C 6 – C 7 – B 8 – A 9 – A
Trang 6

CHƯƠNG 5
CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Hàm số bậc ba
Hàm số bậc ba có dạng: y f x ax 3 bx 2 cx d a
0
* Tập xác định: D .
y
f x 3ax 2bx c
* Đạo hàm:
2
b b
* Điểm đối xứng I ; f .
3a
3a
* Giao điểm của đồ thị hàm số với Oy là (0;d).
a. Đồ thị
Trường hợp a > 0 a < 0
Phương trình
y 0
có hai
nghiệm phân biệt (Điều
kiện: ) 0
* Có 1 cực đại, 1 cực tiểu.
* Đồng biến trên các khoảng
(-∞;ĐCĐ); (ĐCT;+∞)
* Nghịch biến trên (ĐCĐ;
ĐCT)
* Có 1 cực đại, 1 cực tiểu
* Nghịch biến trên các khoảng
(-∞;ĐCĐ); (ĐCT;+∞)
* Đồng biến trên (ĐCĐ, ĐCT)
Phương trình
y 0
có
nghiệm kép (Điều kiện:
0 )
* Không có cực trị
* Luôn đồng biến trên
* Không có cực trị.
* Luôn nghịch biến trên
Phương trình
y 0
vô
nghiệm (Điều kiện: 0 )
b. Nhận dạng đồ thị
* Không có cực trị
* Luôn đồng biến trên
* Không có cực trị
* Nhánh cuối có hướng đi lên a 0 , nhánh cuối có hướng đi xuống a 0
* Giao điểm với trục tung suy ra dấu của d.
* Các cực trị, hoành độ tâm đối xứng suy ra dấu của b và c
* Luôn nghịch biến trên
Trang 1

2. Hàm số bậc bốn trùng phương
Hàm số bậc bốn trùng phương có dạng: y f x ax 4 bx 2 ca
0
* Tập xác định: D .
y
f x 4ax 2 bx.
* Đạo hàm:
3
* Trục đối xứng x = 0 (trục tung)
* Giao điểm của đồ thị hàm số với Oy là (0;c).
a. Đồ thị
Trường hợp a > 0 a < 0
Phương trình
y 0
có ba
nghiệm phân biệt (Điều
kiện: ) ab 0
* Có 1 cực đại, 2 cực tiểu.
* Đồng biến trên các khoảng
(ĐCĐ 1 ;ĐCĐ); (ĐCT 2 ;+∞)
* Nghịch biến trên các khoảng
(-∞;ĐCT 1 ); (ĐCĐ;ĐCT 2 )
* Có 1 cực đại, 1 cực tiểu
* Đồng biến trên các khoảng
(-∞;ĐCĐ 1 ); (ĐCT;ĐCĐ 2 )
* Nghịch biến trên các khoảng
(ĐCĐ 1 ;ĐCT); (ĐCĐ 2 ;+∞)
Phương trình
y 0
có một
nghiệm (Điều kiện: ab 0 )
b. Nhận dạng đồ thị
* Có 1 cực tiểu
* Đồng biến trên (ĐCT; +∞)
* Nghịch biến trên (-∞;ĐCT)
* Có 1 cực đại
* Nhánh cuối có hướng đi lên a 0 , nhánh cuối có hướng đi xuống a 0
* Giao điểm với trục tung suy ra dấu của c.
* Các cực trị suy ra dấu của b.
3. Hàm số bậc nhất trên bậc nhất
ax b
cx d
Hàm số bậc bốn trùng phương có dạng: y f x c 0; ad bc 0
* Đồng biến trên (-∞;ĐCĐ)
* Nghịch biến trên (ĐCĐ; +∞)
d
d a
* Tập xác định: D \
.
* Điểm đối xứng I
;
c
c c
ad bc
* Đạo hàm: y
f
b
x
* Giao với trục Ox (nếu có) tại điểm A ;0
cx d
a
2
d
a
* TCĐ: x ; TCN: y
* Giao với trục Oy tại điểm: B 0; b
c
c
d
* Hàm số không có cực trị.
Trang 2

a. Đồ thị
ad – bc > 0 ad – bc < 0
* Luôn đồng biến trên các khoảng
d d
; ; ;
c c
b. Nhận dạng đồ thị
* Luôn nghịch biến trên các khoảng
d d
; ; ;
c c
Dựa vào dấu các hệ số; sự đồng biến, nghịch biến; các đường tiệm cận; giao điểm của đồ thị với các trục
tọa đọ suy ra các tính chất.
PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Nhận dạng đồ thị hàm số
1. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau đây?
A.
4 2
y x 3x
1.
B.
C.
D.
4 2
y x 2 x .
4 2
y x 2 x .
4 2
y x 2 x .
Hướng dẫn
Từ đồ thị ta thấy đây là hàm số bậc bốn trùng phương
4 2
y ax bx c a 0 có a 0
Vì hàm số có ba cực trị nên ab 0 b 0 . Do đó loại đáp án B và D
Vì đồ thị đi qua điểm O(0;0) nên c = 0. Do đó loại đáp án A.
→ Chọn C.
x 2
Ví dụ 2. Hàm số y có đồ thị là hình vẽ nào sau đây?
x 1
A. B.
Trang 3

C. D.
Hướng dẫn
x 2
Cách 1: Hàm số y có TCĐ là x 1
và TCN là y 1. Do đó loại đáp án D.
x 1
x 2
Đồ thị hàm số y đi qua điểm (0;2) nên chọn đáp án A.
x 1
d x 2 1
x 2
Cách 2: ta có 0 , suy ra hàm số y đồng biến trên các khoảng xác định. Do
dx x 1 81
x 1
x10
đó loại đáp án B và D.
x 2
Đồ thị hàm số y đi qua điểm (0;2) nên chọn đáp án A.
x 1
→ Chọn A.
Ví dụ 3. Cho đồ thị hàm số
y f x
A. Đồ thị hàm số có TCĐ là x = -1, TCN là y = 2
B. Hàm số nghịch biến trong khoảng (-∞;-1) và (-1;+∞)
C. Hàm số có hai cực trị.
D. Hàm số đồng biến trong khoảng (-∞;+∞)
như hình bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hướng dẫn
Nhìn vào ta thấy đồ thị có tiệm cận đứng x = -1, tiệm cận ngang y = 2
→ Chọn A.
Ví dụ 4. Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào?
x 0 2
x
f + 0 - 0 +
f x
CĐ
CT
A.
3 2
y x 3x
2.
B.
3 2
y x 3x
2.
C.
3 2
y x 3x
2.
D.
3 2
y x 3x
2.
Hướng dẫn
Trang 4

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy nhánh cuối của đồ thị hàm số có hướng đi lên
Suy ra hệ số a > 0. Do đó loại đáp án A và D.
Ta có y 0 có hai nghiệm là x = 0 hoặc x = 2 nên chỉ có đáp án B là phù hợp
→ Chọn B.
Ví dụ 5. Hàm số
3 2
y ax bx cx d a
0
có đồ thị sau, xác định dấu của a và d
A. a > 0; d < 0
C. a > 0; d > 0.
B. a < 0; d > 0.
D. a < 0; d > 0.
Hướng dẫn
Nhìn vào đồ thị hàm số, ta thấy nhánh cuối cùng có hướng đi lên suy ra a > 0
Ta lại thấy đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương suy ra d > 0
Vậy hàm số có a > 0; d > 0.
→ Chọn C.
Ví dụ 6. Hàm số
3 2
y ax bx cx d
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a < 0, b > 0, c > 0, d < 0.
B. a < 0, b < 0, c > 0, d < 0.
C. a > 0, d < 0, c < 0, d > 0.
D. a < 0, b > 0, c < 0, d < 0.
có đồ thị như hình vẽ bên.
Hướng dẫn
Nhìn vào đồ thị hàm số, ta thấy nhánh cuối cùng của đồ thị có hướng đi xuống a 0
Nên loại đáp án C.
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm d 0
2
Ta có y 3ax 2bx c , phương trình y 0 có 2 nghiệm phân biệt x1;
x2
là hoành độ hai điểm cực
trị.
Từ đồ thị hàm số, ta thấy hai điểm cực trị của hàm số có hoành độ trái dấu
c
a0
x1. x2
0 0 c 0 . Nên loại đáp án D.
3a
Ta lại thấy, điểm đối xứng I của đồ thị hàm số có hoành độ dương
b
a0
x1 0 0 b 0. Nên loại đáp án B
3a
→ Chọn A.
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Cho hàm số
y f x
có bảng biến thiên sau. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Trang 5

x 1
x
f - -
f
x
-1
-1
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 1, tiệm cận ngang y = -1.
B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = -1, tiệm cận ngang y = 1.
C. Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng.
D. Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang.
Câu 2. Đồ thị hàm số
3
y x x
3 2
là hình nào trong bốn hình dưới đây?
Hình 1 Hình 2
Hình 3 Hình 4
A. Hình 1. B. Hình 2. C. Hình 3. D. Hình 4
Câu 3. Xác định a,b để hàm số
Chọn đáp án đúng
A. a = 1, b = -1.
B. a = 1, b = 1.
C. a = -1, b = 1.
D. a = -1, b = -1.
Câu 4. Cho đồ thị hàm số bậc ba
0
ax 1
y
x b
y f x
A. Phương trình f x có nghiệm là x = 0.
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (-2;1) và (1;2)
C. Hàm số không có cực trị.
D. Hàm số có hệ số a < 0
có đồ thị như hình vẽ.
như hình sau. Chọn đáp án đúng.
Trang 6

Đáp án:
1 - A 2 - A 3 - B 4 - A
Dạng 2: Bài toán chứa tham số
1. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Đồ thị hàm số
y x mx x
3 2
2 12 13
có hai điểm cực trị cách đều trục tung khi và chỉ khi:
A. m = -1. B. m = 0. C. m = -1; m = -2. D. m = -2.
Hàm số có
y x mx
2
6 2 12.
Để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị khi và chỉ khi
Gọi
Khi đó
x x là nghiệm của phương trình y 0
1,
2
x1,
x2
là hoành độ của hai điểm cực trị
Hướng dẫn
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị cách đều trục tung
x x x x
1 2 1 2
x1 x2 0 S 0 m 0
Vậy m = 0
→ Chọn B
2
0 m 72 0
Ví dụ 2: tìm các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số
phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ là:
(luôn đúng)
3 2
y x 3x m
A. 1 m 0.
B. m 0.
C. m 3.
D. m 0.
Gọi điểm m
M
x1;
y x1
M x ; y x C ; x 0.
0 0 0 0
Hướng dẫn
Gọi điểm là điểm đối xứng của M qua gốc tọa độ O.
Vì
M
đối xứng với M qua O, nên ta có
x0 x1
x0 x1
y x y x
y x y x
0 1 0 0
3 2 3 2
2
x0 3x0 m x0 3 x0 m
3x0
m m 0
→ Chọn D.
2. Bài tập tự luyện
C m
có hai điểm
Câu 1 Cho hàm số y x 3 3m 1 x 2 2mx m 1. Điều kiện của tham số m để đồ thị của hàm
số có ít nhất hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua trục Oy là:
A. m 0.
B. m 0.
C. m 2.
D. m 2.
Câu 2 Đồ thị hàm số
biểu thức P a 2 b c.
4 2
y ax bx c
có điểm cực tiểu là (0;3) và điểm cực đại là (1;5). Tìm giá trị của
A. 3. B. 6. C. 12. D. 9.
C m
Trang 7

Đáp án:
1 – B 2 – D
PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP
Câu 1 Cho hàm số
y f x
có bảng biến thiên dưới đây:
x -1 0
y - - +
y
-1 1
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.
B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;0 và
C. Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
0
0; .
D. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1 và giá trị nhỏ nhất bằng 0.
Câu 2 Đồ thị sau đây của hàm số nào?
A.
3 2
y x x x
6 9 .
B.
C.
D.
3 2
y x x x
6 9 .
3 2
y x x x
6 9 .
3 2
y x x x
6 9 1.
Câu 3 cho hàm số
điểm A1;9 .
3 2
y x x mx
5 3.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đi qua
2 2
A. m .
B. m .
C. m 2.
D. m
3
3
4 2
Câu 4 Cho hàm số y x 2x
3 có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu lần lượt là y1
và y2
. Khi đó
khẳng định nào sau đây là đúng?
A. y1 3y2
15.
B. 2y1 y2
5. C. y2 y1 2 3. D. y1 y2 12.
Câu 5 Số các giá trị thực của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số
bằng -2 là:
y
2
x m m
A. 2. B. 0. C. 3. D. 1.
x 1
2 3 2
3 .
2
trên đoạn
Câu 6 Cho hàm số y f x xác định trên M và có đạo hàm f x x 1 x 1
x . Số điểm cực trị
của hàm số là:
A. 1. B. 0. C. 2. D. 3.
Câu 7 Cho hàm số
ax b
y
cx d
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
có đồ thị như hình vẽ sau:
0;1
Trang 8

A. bc > 0; ad < 0. C. bd < 0; ad > 0.
B. ac > 0; bd > 0. D. ab < 0; cd < 0.
Câu 8 Đồ thị của hàm số
đường thẳng AB?
3 2
y x x x
3 9 2
có hai điểm cực trị A và B. Điểm nào dưới đây thuộc
P
M
Q
N
A. 1;3 .
B. 0;1 .
C. 3; 29 . D.
0;5 .
2
Câu 9 Cho hàm số y f x có đạo hàm f x 3x 2, x
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng 3; .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ;1 .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng ; .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ; .
1 2 3 2
Câu 10 Hàm số y m 1 x m 1
x 3x
5 đồng biến trên khi
3
m
1 A. m.
B. m 2.
C. .
D. m 1.
m
2
Đáp án:
1 -A 2 – A 3 – C 4 – B 5 – A 6 – A 7 – A 8 – D 9 – C 10 – C
Trang 9

CHƯƠNG 1
CHUYÊN ĐỀ 6 MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ
PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Tương giao của hai đồ thị hàm số
Cho hai hàm số f x và g x .
Xét phương trình hoành độ giao điểm f x g x .
Ta có:
• Số giao điểm của hai đồ thị = Số nghiệm của
phương trình.
• Hoành độ giao điểm = Nghiệm của phương trình.
Đồ thị có ba giao điểm
f x
x , x , x
g x
1 2 3 1 2 3
phương trình
có ba nghiệm. Hoành độ giao điểm
x , x , x là nghiệm của f x g x
.
2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại
một điểm
0 0
Cho hàm số y f x và điểm M x ;f x .
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm
M là:
y f x x x f x
0 0 0
3. Một Số phép biến đổi đồ thị
a. Tịnh tiến đồ thị hàm số
Cho hàm số y f x có đồ thị C ; p, q là 2 số dương tùy ý.
• Tịnh tiến C lên trên q đơn vị thì được đồ thị hàm số y f x q .
• Tịnh tiến C xuống dưới q đơn vị thì được đồ thị hàm số y f x q .
• Tịnh tiến sang trái p đơn vị thì được đồ thị hàm số y f x p .
C
C
• Tịnh tiến sang phải p đơn vị thì được đồ thị hàm số y f x p .
• Tịnh tiến theo vectơ u a;b thì được đồ thị hàm số y f x a b .
C
b. Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
Từ đồ thị
C : y f x suy ra đồ thị C : y f x
f x khi x 0
Ta có y f x
và y f x là hàm chẵn.
f x khi x 0
Nên đồ thị
C
nhận Oy làm trục đối xứng.
Trang 1

C
Cách vẽ từ C :
• Giữ nguyên phần đồ thị bên phải trục Oy của đồ thị
• Lấy đối xứng phần đồ thị bên phải trục Oy của đồ thị
C : y f x
C : y f x
(bỏ phần bên trái).
qua Oy.
Đồ thị C
Giữ nguyên phần bên phải Lấy đối xứng phần bên phải
Từ đồ thị
f x khi f x 0
Ta có y f x
.
f x khi f x
0
C
Cách vẽ từ C :
• Giữ nguyên phần đồ thị bên trên trục Ox của đồ thị
• Lấy đối xứng phần đồ thị bên dưới trục Ox của đồ thị
C : y f x suy ra đồ thị C : y f x
C : y f x
C : y f x
(bỏ phần bên dưới).
qua Ox.
Đồ thị C
Giữ nguyên phần bên trên Lấy đối xứng phần bên trên
PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tương giao của hai đồ thị
1. Phương pháp giải
Tương giao đồ thị hàm số
3 2
y ax bx cx d
và trục Ox
• Cắt nhau tại ba điểm khi và chỉ khi
0
y
.
y .y 0
CÑ CT
Trang 2

• Cắt nhau tại hai điểm khi và chỉ khi
0
y
.
y .y 0
CÑ CT
• Cắt nhau tại một điểm khi và chỉ khi
0
y
hoặc
0
y
.
y .y 0
CÑ CT
Tương giao đồ thị hàm số
Xét phương trình
3 2
C : y ax bx cx d và đường thẳng (d): y kx n
3 2
ax bx cx d kx n
1
• Nhẩm nghiệm rồi đưa về phương trình bậc hai.
• Cô lập tham số sau đó khảo sát hàm số.
Tương giao đồ thị hàm số
4 2
C : y ax bx c
và trục Ox
• Cắt nhau tại bốn điểm khi và chỉ khi
ab 0
.
y .y 0
CÑ CT
• Cắt nhau tại ba điểm khi và chỉ khi
Tương giao đồ thị hàm số
Xét phương trình
Đặt
2
t x t 0
• Cắt nhau tại bốn điểm
• Cắt nhau tại ba điểm
• Cắt nhau tại hai điểm
• Cắt nhau tại một điểm
• Không cắt nhau
ab 0
.
c 0
4 2
C : y ax bx c và đường thẳng (d): y k
4 2
ax bx c k
2
ta có phương trình
2
3
3
2
3
nghiệm t 0 .
2
3
2
3
2
at bt c k 0
3
có bốn nghiệm phân biệt.
có hai nghiệm dương phân biệt.
0
thỏa mãn P 0 .
S 0
có ba nghiệm phân biệt.
có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm dương và một
có hai nghiệm phân biệt
có nghiệm kép dương hoặc có hai nghiệm trái dấu.
có một nghiệm
có hai nghiệm phân biệt, trong đó t = 0 và một nghiệm âm hoặc
có nghiệm kép t 0 .
2
vô nghiệm
3
Trang 3

Tương giao đồ thị hàm số
Xét phương trình
3
ax b
y
bx c
vô nghiệm hoặc chỉ có nghiệm âm
C
và đường thẳng:
ax b
kx n d
cx d x
c
2
Ax Bx C 0
y kx n d
d
Cắt nhau tại hai điểm 4
có hai nghiệm phân biệt khác .
c
2. Ví dụ minh họa
4
Ví dụ 1: Tìm giao điểm của đồ thị
4 2
C : y x 2x 3
và trục hoành.
0;1
1;0
A. 1;0 . B. . C. 1;0 và . D. M 1;0 và 0;1 .
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
Hướng dẫn
C
Vậy đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm A 1;0 , B 1;0 .
Chọn C.
2
x 1 thoûa maõn
4 2
x 1
x 2x 3 0
2
x 1
x 1 3 loaïi
3 2
Ví dụ 2: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng y 2 2x với đồ thị hàm số y x 3x 2 .
M 0;2
A. M 1;4 . B. . C. M 4; 5 . D. M 3; 4
.
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
Hướng dẫn
3 2 3 2
x 3x 2 2 2x x 3x 2x 0
x 0 y 2
x 1 y 0
x 2 y 2
Vậy đồ thị hàm số bậc ba cắt đường thẳng tại ba điểm phân biệt A0;2 , B1;0 , C2; 2 .
Chọn B.
2x 1
Ví dụ 3: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị C : y và đường thẳng d: y x 2 .
2x 1
3 1
3 1
A. 1;3
. B. ; . C. 1; 3
. D. ; .
2 2
2 2
Hướng dẫn
Xét phương trình hoành độ giao điểm: 2x 1 x 2
2x 1
1
Trang 4

Điều kiện xác định:
3 1
x y
2 2
x 1 y 3
x
1
. Khi đó
2
3 1
Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là ; và
2 2
Chọn A.
2
1 2x 1 2x 1 x 2 2x x 3 0
1;3
3 2
Ví dụ 4: Cho hàm số y mx x 2x 8m có đồ thị là . Tìm m để đồ thị cắt trục hoành tại
ba điểm phân biệt.
C
1
A. m
1
1 1
1
0; . B. . C. . D. .
2
m ;0
6
m ;
m
0;
6 2
2
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
Hướng dẫn
x 2
3 2 2
mx x 2x 8m 0 x 2 mx 2m 1 x 4m 0
C
m
m
C m
2
mx 2m 1 x 4m 0 2
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi 2 có hai nghiệm phân biệt khác –2.
m 0
m 0 m 0
2
1 1
Khi đó: 12m 4m 1 0 m 1 1 .
6 2 m
12m 2 0
1
6 2
m
6
Vậy
1 1
m ; \ 0
6 2
Chọn D.
thỏa mãn.
Ví dụ 5: Cho hàm số y x 4 3m 2 x 2 3 m C . Tìm m để đường thẳng d: y 1 cắt đồ thị C tại
bốn điểm phân biệt có hoành độ đều nhỏ hơn 2?
1
1
A. m 0;1
. B. m 0;1
. C. m ;1 . D. m ;1 .
3
3
Hướng dẫn
Phương trình hoành độ giao điểm của C và d: y 1
là:
4 2 4 2
x 3m 2 x 3m 1 x 3m 2 x 3m 1 0
2
2
2
t 1 x 1
Đặt t x t 0
, ta có phương trình t 3m 2
t 3m 1 0
Theo yêu cầu bài toán thì m phải thỏa mãn hệ phương trình sau:
2
t 3m 1 x 3m 1
Trang 5

0 3m 1
4 1
m 1
và m 0 .
3m 1 1 3
1
Vậy m 1
và m 0 thỏa yêu cầu bài toán.
3
Chọn B.
2x 1
Ví dụ 6: Cho hàm số y có đồ thị là C
. Tìm m để đường thẳng (d): y
x 1
x m cắt đồ thị
tại hai điểm phân biệt.
C
A. m ;1 5; . B. m ;1 5; . C. m ;1 5; . D. m ;1 5; .
Hướng dẫn
Xét phương trình hoành độ giao điểm: 2x 1 x m
x 1
Điều kiện xác định:
d
x 1. Khi đó
1 2x 1 x mx 1
1
2
x m 1
m 1 0
2
Đường thẳng cắt C tại hai điểm phân biệt thì 1 phải có hai nghiệm phân biệt
2
có hai nghiệm phân biệt khác 1
2
m 6m 5 0 m ;1 5;
Vậy giá trị m cần tìm là m ;1 5;
Chọn A.
3. Bài tập tự luyện
2
m 1 4 m 1 0
1 m 1 .1 m 1
0
3 2
Câu 1. Cho hàm số y 2x 3mx m 1 x 1 có đồ thị C . Tìm tập giá trị của m để đường thẳng
d: y x 1 cắt đồ thị C tại ba điểm phân biệt.
8
8
8
8
A. ;0
;
. B. ;0
;
. C. ;0 ; . D. .
9
9
;0 ;
9
9
Câu 2. Tìm m để đồ thị hàm số
3
y x mx 2
cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.
A. m 3. B. m 3. C. m 3. D. m 3.
mx 1
Câu 3. Cho hàm số y có đồ thị là Cm
. Tìm m để đường thẳng
x 2
cắt đồ thị C tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB 10 .
m
A. m 9 . B. m 3. C. m 3. D. m 3 .
2
Câu 4. Cho hàm số: y x 1 x mx m
biệt?
d : y 2x 1
. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân
Trang 6

A. m 4 .
1
1
B. m 0 . C. 0 m 4 . D. m 0
2 .
2
m 4
Đáp án:
1–A 2–C 3–D 4–D
Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến
1. Ví dụ minh họa
x 1
Ví dụ 1: Cho hàm số y có đồ thị H
. Tiếp tuyến của H
tại giao điểm của H
với trục hoành
x 2
có phương trình là:
1
A. y 3x . B. y x 3 . C. y 3x 3. D. y x 1
.
3
Hướng dẫn
x 1
Phương trình hoành độ giao điểm của H
và trục hoành là 0 x 1 y1
0 .
x 2
H
Phương trình tiếp tuyến của tại điểm 1;0 có dạng:
Chọn D.
1
y y
1 . x 1 0 y x 1
3
3 2
Ví dụ 2: Cho hàm số y x 3x 2x 1. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với đường thẳng
d : 2x y 3 0
có phương trình là:
A. x 2y 19 0 . B. 2x y 19 0 . C. 2x y 2 0 . D. y 2x 1
.
2
Hàm số có y 3x 6x 2 .
Hướng dẫn
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với đường thẳng 2x y 3 0 y 2x 3
2 x 0
y
2 3x 6x 2 2 .
x 2
Với x 0 y 1 Phương trình tiếp tuyến: y 2x 1
hay 2x y 1 0 .
Với x 2 y 15 Phương trình tiếp tuyến: y 2 x 2 15
hay 2x y 19 0 .
Chọn B.
3 2
Ví dụ 3: Cho hàm số có đồ thị C : y 2x 3x 1. Tìm trên C có những điểm M sao cho tiếp tuyến
của C tại M cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 8.
M 0;8
M 1;0
A. . B. M 1; 4 . C. . D. M 1;8
.
Hướng dẫn
.
Trang 7

Ta có: M 0;8 C Loại đáp án A.
Ta có: M 1;8
C Loại đáp án D.
Xét đáp án B: M 1; 4
.
2
Hàm số có y
6x 6x y
1 12
.
Phương trình tiếp tuyến tại
M 1; 4
) có dạng y 12x 1 4 y 12x 8 d
d
Có đường thẳng cắt trục tung tại điểm M 0;8 (thỏa mãn yêu cầu đề bài).
Vậy điểm
Chọn B.
M 1; 4
là thỏa mãn.
C
Ví dụ 4: : Cho hàm số y x 4 2 m 1 x 2 m 2 có đồ thị . Gọi là tiếp tuyến đồ thị C tại
điểm có hoành độ bằng 1. Với giá trị nào của tham số m thì đường thẳng
1
d
: y x 2016?
4
A. m 1. B. m 0 . C. m 1. D. m 2 .
3
Hàm số có y
4x 4 m 1 x y
1 4m
.
Vì tiếp tuyến
vuông góc với đường thẳng
Tiếp tuyến có hệ số góc là k 4 .
Ta có y 1 k 4m 4 m 1
.
Chọn A.
2. Bài tập tự luyện
Hướng dẫn
1
d : y x 2016
4
vuông góc với đường thẳng
Câu 1. Cho hàm số y 2x 1
. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị sao cho tiếp tuyến đó cắt
x 1 C
C
trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A, B thỏa mãn OA 4OB là:
1
1
1 1
A. . B. . C. hoặc . D. 1.
4
4
4 4
Câu 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
4 2
y x 6x 5
tại điểm cực tiểu của nó.
A. y 5 . B. y 5
. C. y 0 . D. y x 5 .
Đáp án:
1–A 2–B
Dạng 3: Tịnh tiến đồ thị hàm số
1. Ví dụ minh họa
3 2
Ví dụ 1: Cho đồ thị hàm số C : y x 3x 4x 1. Tịnh tiến đồ thị C lên trên 3 đơn vị thì được đồ
thị của hàm số nào?
Trang 8

3 2
3 2
A. y x 3x 4x 2 . B. y x 3x 4x 2 .
3 2
3 2
C. y x 3x 4x 4 . D. y x 3x 4x 4 .
3 2
Ta có C : y f x x 3x 4x
1
.
Tịnh tiến
C
Hướng dẫn
lên trên 3 đơn vị thì ta được đồ thị hàm số
3 2 3 2
y x 3x 4x 1 3 y x 3x 4x 4 .
Chọn C.
Ví dụ 2: Cho hàm số
y f x
2
số trên để nhận được đồ thị của hàm số y x
. 1 x
y f x 3
2
x 4x 4
. Lựa chọn phép tịnh tiến song song với trục Oy đồ thị hàm
1
x
A. Tịnh tiến xuống dưới 4 đơn vị. B. Tịnh tiến lên trên 4 đơn vị.
C. Tịnh tiến sang phải 4 đơn vị. D. Tịnh tiến sang trái 4 đơn vị.
Hướng dẫn
Ta có phép tịnh tiến song song với trục Oy là phép tịnh tiến lên trên hoặc xuống dưới. Suy ra loại đáp án
C và D.
Do đó đồ thị hàm số nhận được có dạng y f x b .
Ở đó, nếu b 0 : đồ thị tịnh tiến lên trên; nếu b 0 : đồ thị tịnh tiến xuống dưới.
2 2 2
x x x 4x 4
f x
b b
1 x 1 x 1
x
x
2 2 2 2
x x 4x 4 b 1 x x x b 4 4 b
1 x 1 x 1 x 1
x
b 4 0
Đồng nhất hệ số, ta được b 4
.
b 4 0
Vậy đồ thị tịnh tiến xuống dưới 4 đơn vị.
Chọn A.
2
x x 1
Ví dụ 3: Cho hàm số y f x
. Tịnh tiến đồ thị hàm số trên theo vectơ u a;b
để nhận
x 1
2
x
được đồ thị của hàm số y . Biết rằng a 0; a;b
1. Giá trị của a b là
x 1
A. a b 2 . B. a b 5 . C. a b 1. D. a b 1.
Hướng dẫn
Tịnh tiến đồ thị hàm số y f x theo vectơ u a;b thì nhận được đồ thị hàm số
y f x a b . Suy ra
2
x
f x a b
x 1
Trang 9

Đồng nhất hệ số, ta được:
2
x 2 x a x a 1
b
x 1 x a 1
2 2
x 2 x 2xa a x a 1 b x a 1
x 1 x a 1
x 2 x 2 x 2a 1 b a 2 a 1 ab b
x 1 x a 1
2a 1
b 0
2
a 2
a a 1 ab b 0 . Suy ra vectơ u 2; 3
. Vậy
b 3
a 1 1
Chọn D.
2. Bài tập tự luyện
Câu 1. Tịnh tiến đồ thị hàm số
trong các hàm số sau:
1
2
2
y x 5x 7
a b 1
sang trái 8 đơn vị, ta được đồ thị của hàm số nào
1 2
1 2
1 2
1 2
A. y x 3x 1. B. y x 5x 1. C. y x 5x 1. D. y x 3x 1.
2
2
2
2
Câu 2. Cho hàm số
3 2
y f x x 3x 9x 5
3
hàm số trên để nhận được đồ thị của hàm số y x 12x 6 .
. Lựa chọn phép tịnh tiến song song với trục Ox đồ thị
A. Tịnh tiến sang phải 2 đơn vị. B. Tịnh tiến sang trái 2 đơn vị.
C. Tịnh tiến sang phải 1 đơn vị. D. Tịnh tiến sang trái 1 đơn vị.
Đáp án:
1–A 2–D
Dạng 4: Đồ thị hàm chứa dấu tuyệt đối
1. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hàm số
y x 2
. Chọn khẳng định đúng.
A. Hàm số đạt cực tiểu tại x 0 . B. Hàm số đạt cực tiểu tại x 2
.
C. Hàm số đạt cực đại tại x 2
. D. Hàm số không có cực trị.
Hướng dẫn
Ta có y x 2
2
(x 2) . Hàm số có đạo hàm y
x 2
nên y 0 x 2
.
x 2
2
Ta có y
0 x 2; ; y
0 x ; 2
, nên hàm số đạt cực tiểu tại x 2
.
Chọn B.
Ví dụ 2: Đồ thị của hàm số
4 2
y x 2x 1
là đồ thị nào trong các đồ thị sau?
Trang 10

A. B.
C. D.
Ta có cách vẽ đồ thị hàm số
4 2
Bước 1: Vẽ đồ thị y x 2x 1.
4 2
y x 2x 1
Hướng dẫn
như sau
Bước 2: Giữ nguyên phần đồ thị trên Ox (bỏ phần phía dưới Ox).
Bước 3: Lấy đối xứng phần đồ thị dưới Ox qua Ox.
Chọn A.
Ví dụ 3: Cho hàm số
3 2
y x 6x 9x
có đồ thị như Hình 1. Đồ thị Hình 2 là của hàm số nào dưới đây?
Trang 11

3 2
A. y x 6 x 9 x
B.
C. y x 3 6x 2 9x
D.
Hướng dẫn
3 2
y x 6x 9 x
3 2
y x 6x 9x
Nhìn vào Hình 2, ta thấy đồ thị Hình 2 đối xứng nhau qua trục Oy nên Hình 2 là đồ thị của hàm số có
dạng y f x . Do đó loại đáp án C và D.
Mặt khác, ta thấy đồ thị Hình 2 đi qua điểm 1;4 , 1;4
nên chọn đáp án B.
Chọn B.
Ví dụ 4: Hình vẽ sau là đồ thị của một hàm trùng phương. Giá trị của m để phương trình
bốn nghiệm phân biệt là:
f x
m
có
A. m 0;m 3. B. 1 m 3 . C. 3 m 1. D. m 0 .
Hướng dẫn
Từ đồ thị hàm số y f x , ta có đồ thị của hàm số y f x như hình bên.
Trang 12

Ta có, số nghiệm của phương trình f x m là số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đường
thẳng y m .
Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy phương trình
Chọn A.
2. Bài tập tự luyện
Câu 1. Cho hàm số
3 2
y x 3x 2
f x
m
có 4 nghiệm phân biệt
m 0
m 3
có đồ thị như Hình 1. Đồ thị Hình 2 là của hàm số nào dưới đây?
3 2
3 2
3 2
3 2
A. y x 3x 2 . B. y x 3 x 2 . C. y x 3x 2 . D. y x 3x 2 .
Câu 2. Đồ thị sau là của hàm số nào sau đây:
Trang 13

3 2
3 2
3 2
3 2
A. y x 3x 1
. B. y x 3x 1
. C. y x 3x 1
. D. x 3x 1.
Đáp án:
1–D 2–D
Dạng 5: Biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị hàm số
1. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình
4 2
x 2x m 3 0
có bốn nghiệm phân biệt.
A. m 2;3 . B. m 2;3 . C. m 2;3
D. m 2;3 .
Hướng dẫn
4 2 4 2
Phương trình x 2x m 3 0 x 2x 3 m .
1
4 2
Phương trình 1 là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị C : y x 2x 3 và đường thẳng
d : y
m Số nghiệm của 1
bằng số giao điểm của C
và d
.
4 2
Xét hàm số y x 2x 3 có tập xác định: D .
x 0
3
3
Đạo hàm y 4x 4x nên y 0 4x 4x 0
x 1
.
x 1
Bảng biến thiên:
x
–1 0 1
y – 0 + 0 – 0 +
y
3
2
2
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình 1 có bốn nghiệm phân biệt 2 m 3 .
Chọn B.
Ví dụ 2: Cho hàm số y f x liên tục trên và có bảng biến thiên dưới đây. Tìm tất cả các giá trị thực
của m để phương trình
f x
2m
có đúng hai nghiệm phân biệt.
Trang 14

x
–1 0 1
y + 0 – 0 + 0 –
y
0
–3
0
m 0
m 0
A. m 3. B. . C.
3
3 . D. m .
m 3
m
2
2
Hướng dẫn
Ta có số nghiệm của phương trình f x 2m là số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đường
thẳng
y 2m
song song với trục Oy.
Do đó, dựa vào bảng biến thiên của hàm số f x 2m , phương trình f x 2m có đúng hai nghiệm
m 0
2m 0
phân biệt
3 .
2m 3 m
2
Chọn C.
3
Ví dụ 3: Cho phương trình m x 2 2x 2x 2 4x 2 0 * . Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m để
phương trình trên có nghiệm thỏa mãn x 3?
A. 4. B. Không có giá tị nào của m.
C. Vô số giá trị của m. D. 6.
3
Hướng dẫn
2 2
Ta có phương trình * m x 2x 2 x 2x 2 0 .
Đặt
2
t x 2x , ta được phương trình:
2
Ta có
f x x 2x; x 3 f x 3 t 3; .
2 2
Ta lại có 1
m f t
với .
2 3
t
t
t 3;
3
mt 2t 2 0
1
Khi đó, bài toán trở thành: Tìm m để phương trình m f t có nghiệm trên nửa khoảng 3; .
2 2
Xét hàm số f t ; t 3;
có
2 3
t
t
4 6 3
f t f t 0 t
3 4
t t 2
Hàm số f t
nghịch biến trên nửa khoảng 3;
Xét trên nửa khoảng , ta có
3; f t f 3
4
Suy ra m Có vô số giá trị của m.
27
4
27
Trang 15

Chọn C.
2. Bài tập tự luyện
Câu 1. Tìm giá trị của tham số m để phương trình
3
x 3x 2m 1
có ba nghiệm phân biệt.
3 1
A. m . B. . C. 3 1
2 m 2
m . D. 2 m 2
2 2
2 2
Câu 2. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình
3 2
x 3x m m
có 3 nghiệm phân biệt.
A. 2 m 1. B. 1 m 2 . C. m 1. D. m 21.
Câu 3. Điều kiện của tham số m để phương trình
2 2
x x 2 m
có đúng 6 nghiệm thực phân biệt là:
A. 0 m 1. B. m 0 . C. m 1. D. m 0 .
Đáp án:
1–A 2–A 3–A
PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP
Câu 1. Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong các đáp án sau?
3
3
3
A. y x 3 x . B. y x 3x . C. y x 3 x . D. y x 3x .
4 2
Câu 2. Cho hàm số y x mx m 1 có đồ thị . Tọa độ các điểm cố định của là:
C
1;0 , 0;1
A. 1;0 , 1;0 . B. . C. 2;1 , 2;3 . D. 2;1 , 0;1 .
Câu 3. Cho hàm số
4 2
m
3
C : y x mx m 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm
số trên cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
m
m 1
A. . B. Không có m. C. m 1. D. m 2.
m 2
3 2
Câu 4. Cho hàm số y f x ax bx cx d với a 0 . Biết đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là
A1;1 , B1 ;3
. Tính f 4 .
A. f 4 14
. B. f 4 28 . C. f 4 28. D. f 4 14
.
C m
Câu 5. Tìm số giao điểm của đồ thị hai hàm số y x 3 và y x 1.
A. 2. B. 3. C. 1. D. 0.
Trang 16

Câu 6. Đồ thị của hàm số
độ là:
3 2
y x 3x mx m
(m là tham số) luôn đi qua một điểm M cố định có tọa
A. M 1;2 . B. M 1; 4 . C. M 1; 2 . D. M 1; 4
.
2x 1
Câu 7. Biết đồ thị hai hàm số y x 1
và y cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Tính độ dài
x 1
đoạn thẳng AB.
A. AB 2 . B. AB 4 . C. AB 2 2 . D. AB 3 2 .
2x 3
Câu 8. Cho đường cong C
: y và M là một điểm nằm trên C
. Giả sử d
1,d2
lần lượt là
x 1
khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của . Khi đó d .d bằng:
C
1 2
A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
x 2
Câu 9. Trên đồ thị C
của hàm số y có bao nhiêu điểm tọa độ nguyên?
2x 1
A. 4. B. 2. C. 1. D. 6.
x 1
Câu 10. Cho hàm số y C
. Đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng y 2x 3 tại 2 điểm
x 1
1 1 2 2
A x ; y ; B x ; y . Khi đó x1 x2
bằng:
A. 4. B. 8. C. 0. D. 6.
Câu 11. Tìm m để đồ thị hàm số
biệt, trong đó có 2 điểm có hoành độ âm.
3 2
y x 2m 1 x m 1 x m 1
cắt trục hoành tại ba điểm phân
A. m 1. B. m 1. C. m 1. D. m 1.
1
x
Câu 12. Cho hàm số y Tìm tham số m để đồ thị hàm số C
cắt đường thẳng d : y x m tại
2x 1
hai điểm phân biệt A, B sao cho AB 2 .
A. m 1. B. m 1. C. m 1. D. Không tồn tại m.
2x 3
Câu 13. Tìm tham số m để đường thẳng d : y x m 1
cắt đồ thị hàm số C
: y tại hai
x 1
2 4
điểm phân biệt A, B sao cho OAB có trọng tâm là điểm G ; .
3 3
A. m 4 . B. m 3 . C. m 2 . D. m 1
x 1
Câu 14. Cho hàm số y . Tìm m để đường thẳng d : y m x cắt đồ thị hàm số C
tại 2 điểm
x 1
phân biệt A, B sao cho các tiếp tuyến của
C
tại A và B song song với nhau.
A. m 1. B. m 0 . C. m 1. D. m 2
Đáp án:
1–A 2–A 3–A 4–B 5–C 6–B 7–C 8–C 9–A 10–C 11–A 12–B 13–A 14–B
Trang 17

CHƯƠNG 2: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
CHUYÊN ĐỀ 1: LŨY THỪA VÀ LÔGARIT
PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Lũy thừa
Lũy thừa với số mũ thực
số mũ
Lũy thừa a
cơ số
Đọc là: a mũ α.
Hoặc a lũy thừa α.
Hoặc Lũy thừa cơ số a số mũ α.
3
Ví dụ: Các lũy thừa 2 ; 2 1
4 ;
2
4
Số mũ α ĐK cơ số a Lũy thừa a
Nguyên
dương
α = n,
*
n a
n
a a.a. ... .a
n thõa sè a
0
Không α = 0 a 0 a 1
Nguyên âm n ,
Hữu tỉ
*
n
m
r , m , n , n 2
n
a 0 n
1
a
n
a
a > 0
m
r n n m
a a a
Vô tỉ lim r , r *
, n
a > 0 r n
a lim a
n
n
Chú ý: Chú ý điều kiện của cơ số a đối với từng dạng số mũ α.
0
Không tồn tại lũy thừa 0 .
n
n
Định nghĩa căn bậc n
Cho b và n ( n 2 )
n
Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu a b .
Ví dụ:
3
Số 2 được gọi là căn bậc 3 của số 8 vì 2 8 .
Số 3 được gọi là căn bậc 4 của số 81 vì
4
3 81.
Với n lẻ:
Có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu n
b .
Ví dụ:
Số 64
có một căn bậc 3 là số 4
.
Số 6 có một căn bậc 3 là số 3
6 .
5
Số -12 có một căn bậc 5 là số 12 .
Ví dụ:
Trang 1

Với n chẵn:
Nếu b > 0: có hai căn bậc n của b là hai số đối
nhau, kí hiệu là n
b 0 và n
b 0
Nếu b < 0: không tồn tại căn bậc n của b.
Nếu b = 0: có một căn bậc n của b là số 0.
Số 16 có hai căn bậc 4 là 2 và 2 .
Số 15 có hai căn bậc 2 là 15 và 15 .
2. Lôgarit
Lôgarit
loga
b
cơ số
Đọc là: Lôgarit cơ số a của b.
Nếu a = 10, ta có lôgarit thập phân:
Kí hiệu:
log10
b ; logb; lgb.
Nếu a = e, ta có lôgarit tự nhiên
Kí hiệu: (Lôga Nê-pe):
Định nghĩa:
Với a, b 0 , a 1, ta có
log b a b
a
log b ; lnb.
Chú ý: Để gọn, ta viết log b log b .
e
2 2
a
a
Ví dụ:
Lôgarit cơ số 2 của 3 là log2
3 .
Lôgarit cơ số 5 của 16 là log516
.
Ví dụ:
1
Lôgarit thập phân log16; log . 5
1
Lôga Nê-pe ln16; ln . 5
Ví dụ:
3 log2
8
4 log3
81
3
vì 2 8 .
1
4 1 1
vì 3
.
4
3 81
PHẦN 2: CÁC CÔNG THỨC
Các công thức lũy thừa
m
n
a
n
a 0
r n n m
a a a a 0
0
a 1 a 0
Với a,b > 0; ,
1
a
a a a 0
a .a
a
n n n
a. b ab
Nếu a > 1 thì a
a
a
a
a
ab
a b
n
a a
m n n m
a a
n
n
b b
*
a 0, n ,m
a a
b b
n m
a
nm
a
a 0,n, m
*
Nếu 0 < a < 1 thì a
a
Trang 2

Các công thức lôgarit
Với a,b > 0, a 1,
loga
1 0
loga
a 1
a
log a a
a
log b
b
Với a, b,c,b ,b 0 , a 1,
1 2
log b b log b log b
a 1 2 a 1 a 2
b
log log b log b
b loga b
loga
b
1
a a 1 a 2
2
1
log b log
a
a
b
0
log
a
1
loga
b
b
n
1
loga
b loga
b
n
n
*
logc
b
loga
b
log a
c 1
c
1
loga
b
log a
b 1
b
Nếu a > 1 thì loga b loga
c b c
Nếu 0 < a < 1 thì loga b loga
c b c
PHẦN 3: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Rút gọn biểu thức lũy thừa, lôgarit
1. Phương pháp giải
Sử dụng các công thức lũy thừa và công thức lôgarit.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị của x để biểu thức
2x
1 2
có nghĩa:
1
1
1
A. x
B. x
C. x ;2 D.
2
2
2
Hướng dẫn
Cách 1: Biểu thức 2x 1 2
có nghĩa khi và chỉ khi 2x 1 0 x
1 .
2
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx570VN PLUS
1
x
2
2
1 1
Đáp án A: Chọn x . Nhập 2. 1
, ta thấy máy tính hiện MATH ERROR, tức là biểu thức không
2 2
có nghĩa. Loại đáp án A.
Đáp án C: Chọn x = 2. Nhập 2.2 1 2
1
, ta thu được kết quả , tức là biểu thức có nghĩa. Loại đáp án
9
C.
2
Đáp án B: Chọn x = 0. Nhập 2.0 1
, ta thu được kết quả 1, tức là biểu thức có nghĩa. Loại đáp án B.
Chọn D.
3
2 4
m
Ví dụ 2: Viết biểu thức về dạng lũy thừa 2 ta được giá trị của m là:
0,75
16
Trang 3

13
13
5
A. B. C. D.
6
6
6
3 6 2 6 13
2 4 2. 2 2
6
Cách 1: Ta có 2 .
0,75 3 3
16 4 4
2
2
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx570VN PLUS
5
Hướng dẫn
3
2 4
Nhập vào máy tính biểu thức , ta thu được kết quả xấp xỉ 0,22272.
0,75
16
Thử các đáp án:
13
2
6
Đáp án A: Nhập , ta thu được kết quả xấp xỉ 0,22272.
Chọn A.
5
6
Ví dụ 3: Với giá trị nào của a thì biểu thức
6
log 2a a
2
xác định?
A. 0 < a < 2 B. a > 2 C. –1 < a < 1 D. a < 3
Hướng dẫn
2
2
Cách 1: Biểu thức log 2a a xác định khi 2a a 0 0 a 2 .
6
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx570VN PLUS
Chọn a = 1. Nhập log6
2.11
đáp án C.
2
, ta thu được kết quả 0, tức là biểu thức có nghĩa. Nên loại đáp án B và
Chọn a 1. Nhập log 2
6
2. 1 1
, ta thấy máy tính hiện MATH ERROR, tức là biểu thức không
có nghĩa. Nên loại đáp án D.
Chọn A.
3 3 2
a . a
Ví dụ 4: Cho 0 a 1. Rút gọn biểu thức Q loga
.
a
19
19
19
A. Q
B. Q
C. Q
D.
5
7
4
Hướng dẫn
3
2 1 19
a 3 . a 2 3
Cách 1: Ta có 3 2
6
19
Q loga loga a loga
a .
a
6
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx570VN PLUS
19
Q 6
3 3 2
2 . 2
19
Chọn a = 2. Nhập log2
, ta thu được kết quả .
2
6
Chọn D.
Trang 4

3. Bài tập tự luyện
Bài 1. Với giá trị nào của x để biểu thức
1
x 2 1
3
có nghĩa:
A. x ;1 1;
B. x ; 1 1;
C. x 1;1
D. x \ 1
Bài 2. Cho biểu thức
2017
2
2018
log 9 a 2a 3
. Giá trị nào của a để biểu thức trên xác định?
3
3 3
A. a ;3
B. a 3;3
C. a 3; ;3 D.
2
2 2
2 7
Bài 3. Rút gọn biểu thức P a. a : 24 a , a 0 .
a
3 4 1
1
A. P = a B. P a 2
C. P a 3
D.
Bài 4. Rút gọn biểu thức P 2log 12 3log 5 log 15 log 150 .
a a a a
A. P log 8
B. P log a
C. P log 8 D.
a
8
1
a
3 3
a 3;
;3
2 2
1
P a 5
P loga
6
Đáp án:
1 - B 2 - D 3 - B 4 – A
Dạng 2: Tính giá trị biểu thức lũy thừa, lôgarit
1. Phương pháp giải
Sử dụng các công thức lũy thừa và công thức lôgarit
2. Ví dụ minh họa
0,75
1 1
Ví dụ 1: Giá trị của biểu thức
16 8
4
3
bằng?
A. 12 B. 16 C. 18 D. 24
Hướng dẫn
4
0,75 3 4
1 1 3
4 3 3 4
Cách 1: 2
4
2 3 2 2 24 .
16 8
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx570VN PLUS
0,75
1 1
Nhập biểu thức
16 8
4
3
, ta thu được kết quả 24. Nên đáp án D đúng.
Chọn D.
Ví dụ 2: Cho Px
3 2
x x
. Khi đó P1,3
bằng:
6
x
A. 0,13 B. 1,3 C. 0,013 D. 13
Hướng dẫn
Trang 5

3 2 2 3
x x x .x
Cách 1: Vì x = 1,3 > 0 nên ta có: Px
x P .
6
1
1,3 1,3
x
6
x
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx570VN PLUS
3 2
x x
Nhập vào máy tính biểu thức Px
, nhập CALC X? 1.3, ta thu được kết quả 1.3.
6
x
Chọn B.
1
6
4
Ví dụ 3: Cho loga
8 . Giá trị của biểu thức log a log
1
a bằng:
2
2
A. 25 B. 26 C. 24 D. 23
1
2
Hướng dẫn
1
6 4 4 1 13
6
Cách 1: Ta có A log a log
1
a log 1 a log 1
a 2. log2 a 4log2 a log2
a .
2 2
2
6 3
1
Ta lại có loga
8 loga
2
2
13 13
A log a .6 26 .
3 3
2
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx570VN PLUS
1
1
2
2
Ta có loga
8 a 8 a 8 64 .
2
4
6
Nhập log 64 log 64 , ta thu được kết quả 26.
2
Chọn B.
1
2
3
2
2
1
1
3loga
2
2
2
log 2 1 log a 2
a 6
6
1 1 1 1 465
Ví dụ 4: Tìm n , biết: ...
luôn đúng với mọi x > 0 và
log x log x log x log x log x
x 1.
2 2 3 n
2 2 2
2
A. n = 31 B. n C. n = 30 D. n 31
Ta có
1 1 1 1
...
log x log x log x log x
2 2 3 n
2 2 2
log 2 log 2 log 2 ... log 2
2 3 n
x x x x
x
log 2.2 .2 ...2 log 2
Mặt khác
2 3 n 1 2 3 ... n
x
465
465.logx
2 logx
2
log x
2
465
Hướng dẫn
n
Suy ra:
2 n 30
1 2 3 ... n 465 n 1 465 n n 930 0 n 30.
2
n 31
Chọn C.
2
Trang 6

3. Bài tập tự luyện
12 5
3 4
Bài 1. Cho f x x x x . Khi đó f 2,7 bằng:
A. 0,027 B. 0,27 C. 2,7 D. 27
Bài 2. Giá trị của biểu thức
4
A log 4 16 2log 27 3
log2
3
3 3
2 1 log3
9
3
3
bằng:
17
3
3
A.
B.
C. D. 11
3
17
17
Đáp án 1 - C 2 - D
Dạng 3: So sánh biểu thức lũy thừa, lôgarit
1. Phương pháp giải
Nếu a > 1 thì a
a
Nếu 0 < a < 1 thì a
a
Nếu a > 1 thì loga b loga
c b c
Nếu 0 < a < 1 thì loga b loga
c b c
2. Ví dụ minh hoa
Ví dụ 1: Nếu
a 2
2 3 1 2 3 1
thì:
A. a 1
B. a < 1 C. a 1
D. a 1
Hướng dẫn
Cách 1: Ta có 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1
a 2 a 2 1
Mà do 2 3 1 1
nên a + 2 < 1 a 1.
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx570VN PLUS
Tính giá trị của 2 3 1 2.464.
1 2
Chọn a 1. Tính giá trị của 2 3 1 2.464. Nên loại đáp án D.
02
Chọn a = 0. Tính giá trị của 2 3 1 6.071 2 3 1 . Nên loại đáp án B và C.
Chọn A.
2pq
1
p2q
Ví dụ 2: Cho p, q là các số thực thỏa mãn m ; n e , biết m > n. So sánh hai giá trị p và q.
e
A. p q
B. p > q C. p q
D. q > p
Hướng dẫn
2pq
1
q2p
Ta có m e . Vì m > n và e > 1 nên q – 2p > p – 2q q > p.
e
Chọn D.
Trang 7

3 2
3 2
Ví dụ 3: Cho a a và log
3 b
log
4
b
. Kết luận nào sau đây là đúng?
4 5
A. 0 < a < 1; 0 < b < 1 B. 0 < a < 1; b > 1 C. a > 1; 0 < b < 1 D. a > 1; b > 1
3 2
3 2
3 2
Ta có a a , mà 0 a 1.
3 2
Ta lại có 3 4 3 4
logb
logb
, mà b 1.
4 5 4 5
Chọn B.
3. Bài tập tự luyện
Hướng dẫn
1
Bài 1. So sánh các số sau a log 2 và b log .
2
3
2
3
3
A. a b
B. a > b C. a b
D. a = b
Bài 2. Nếu 3 2 x
3 2 thì:
A. x
B. x < 1 C. x 1
D. x 1
Bài 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
(I):
(III):
3 5
0, 4 0,3
3 5
2 4
(II):
(IV):
5 3
5 3
3 5
5 3
A. (I) và (IV) B. (I) và (III) C. (IV) D. (II) và (IV)
Bài 4. So sánh A log n 1 và B log n 2 , với mọi số nguyên n > 1.
n
n1
A. A B
B. A < B C. A = B D. A > B
Đáp án
1 - B 2 - D 3 - C 4 – D
Dạng 4: Biểu diễn các biểu thức lôgarit
1. Phương pháp giải
Sử dụng các công thức lũy thừa và công thức lôgarit.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho log2 = a, log3 = b. Khi đó log15 theo a và b bằng:
A. b – a + 1 B. b + a + 1 C. 6a + b D. a – b + 1
Cách 1: Ta có
Hướng dẫn
10
a log 2 log log10 log5 1 log5 log 5 1
a
5
Mà log15 log 3.5 log3 log5 b 1
a .
Vậy đáp án A đúng.
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx570VN PLUS
Trang 8

Bước 1: Nhập log2 SHIFT STO A để gán giá trị log2 cho A: log2 A.
Bước 2: Nhập log3 SHIFT STO B để gán giá trị log3 cho B: log 3 B.
Bước 3: Nhập các đáp án và chọn đáp án có kết quả bằng 0.
Đáp án A, nhập log15 – (B – A +1) ta được kết quả bằng 0.
Chọn A.
Ví dụ 2: Đặt a log 3 và b log 3 . Hãy biểu diễn log 45 theo a và b?
2
5
6
2
a 2ab
2a 2ab
a 2ab
A. log6
45
B. log6
45 C. log6
45
D.
ab
ab
ab b
Hướng dẫn
1 2 1
Cách 1: Ta có log6 45 log6 9 log6 5 2log6
3
log 6 log 6 log 6
log3 2 log5
3 b
Vì log5
2 .
log 5 log 3 a
5 3 5
2 1 2 1 2a a a 2ab
.
1 log 1 b
3
2 log5 3 log5
2
1
b
a 1 ba 1
ab b
a a
3 2
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx570VN PLUS
Bước 1: Nhập log2
3 SHIFT STO A để gán giá trị log2
3 cho A: log2
3 A .
Bước 2: Nhập log5
3 SHIFT STO B để gán giá trị log5
3 cho B: log5
3 B .
Bước 3: Nhập các đáp án và chọn đáp án có kết quả bằng 0.
A 2AB
Đáp án A, nhập log6
45 ta được kết quả khác 0 nên loại đáp án A.
AB
2
2A 2AB
Đáp án B, nhập log6
45
ta được kết quá khác 0 nên loại đáp án B.
AB
A 2AB
Đáp án C, nhập log6
45 ta được kết quả bằng 0.
AB B
Chọn C.
3. Bài tập tự luyện
Bài 1. Biết a = ln2; b = ln5 thì ln400 tính theo a và b bằng:
A. 2a + 4b B. 4a + 2b C. 8ab D.
Bài 2. Cho a > 0, b > 0 thỏa điều kiện
1
A. 3log a b log a log b
B.
2
2 2
a b 7ab . Khẳng định nào sau đây đúng?
log a b log a log b
C. 2 log a log b log 7ab
D.
Đáp án
log log a log b
1 – B 2 - D
3
2
a b 1
3 2
2
2a 2ab
log6
45
ab b
b
a
2 4
PHẦN 4: BÀI TẬP TỔNG HỢP
Trang 9

Bài 1. Rút gọn biểu thức
2
2
2
a . ab
P
a .b
1
2 1
ta được:
3
3 3
3 3
a
A. P a b
B. P a .b
C. P
D.
b
3
2 3
Bài 2. Cho log x 2 . Giá trị của biểu thức P log x log x log x bằng:
2
2 1 4
2
P a b
3 3
11 2
2
A. B. 2
C. D. 3 2
2
2
Bài 3. Cho hai số thực a và b, với 1 < a < b. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. loga
b 1 logb
a B. 1 loga b logb
a C. logb a loga
b 1
D. logb a 1 loga
b
2 2
x
2 8
y
Bài 4. Viết biểu thức về dạng 2 và biểu thức về dạng 2 . Tính x
4
3
8
4
2017
11
53
A. B. C. D.
567
6
24
Bài 5. Nếu
2m 2
3 2 3 2
thì:
3
1
1
A. m
B. m
C. m
D.
2
2
2
1 1
4a 9a a 4 3a
Bài 6. Rút gọn biểu thức
với a > 0.
1 1 1 1
2 2 2 2
2a 3a a a
1
A. 9a 2
B. 9a C. 3a D.
Bài 7. Cho a + b = 1 thì
a
b
4 4
bằng:
a
b
4 2 4 2
2
y
2 2
A. 4 B. 2 C. 3 D. 1
Bài 8. Cho a > 0, a 1, biểu thức 2 2 2
A ln a log e ln a log e có giá trị bằng:
2
2
A. 2ln a 2
B. 4lna + 2 C. 2ln a 2
D.
Bài 9. Có bao nhiêu giá trị x thỏa mãn 5 2 5 2 ?
a
2
x 3x 2x2
A. 3
B. 3 C. 2 D. 1
Bài 10. Cho a > 0, b > 0, nếu viết
2
5 3 3
x y
log3 a b log3 a log3
b
5 15
a
thì x + y bằng:
A. 3 B. 5 C. 2 D. 4
Bài 11. Biết x x
x x
4 4 23 , tính giá trị của biểu thức P 2 2 .
A. 5 B. 27 C. 23
D. 25
2017
576
3
m 2
1
3a 2
2
ln a 2
Trang 10

Bài 12. Cho biểu thức
là:
P
4
a b a ab
, với các số thực dương a và b. Rút gọn P được kết quả
a b a b
4 4 4 4
A. 4 4 4
b B. a b
C. b – a D.
Bài 13. Cho
khẳng định nào đúng?
a log6 3 b log6 2 clog6
5 a
, với a,b và c là các số hữu tỷ. Trong các khẳng định sau,
A. c = a B. a = b C. a = b = c 0 D. b = c
3 2
Bài 14. Cho a > 0, a 1, biểu thức B 2ln a 3loga
e có giá trị bằng:
ln a log e
3
A. 4ln a 6loga
4 B. 4lna C. 3ln a
D.
log e
Đáp án
a
a
4
a
6loga
e
1 - B 2 - C 3 - D 4 - D 5 - C 6 - B 7 - D 8 - A 9 - C 10 - D
11 - A 12 - A 13 - B 14 - C
Trang 11

CHƯƠNG 2: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
CHUYÊN ĐỀ 2: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT
PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Hàm số lũy thừa
Hàm số lũy thừa có dạng y x ,
Tập xác định: Với α nguyên dương thì D = .
Đạo hàm: y x
x
.
Với α nguyên âm hoặc bằng 0 thì D \ 0 .
Với α không nguyên thì D 0; .
1
Khảo sát hàm số trên tập 0; :
Hàm số y x (α > 0)
Hàm số y x (α < 0)
Luôn đồng biến.
Không có tiệm cận.
Luôn đi qua điểm 1;1 .
Luôn nghịch biến.
Tiệm cận ngang là Ox.
Tiệm cận đứng là Oy.
Luôn đi qua điểm 1;1 .
Đồ thị: Luôn nằm trong góc phần tư thứ I
2. Hàm số mũ
x
Hàm số mũ có dạng y a , a 1
x
Ta có y a 0, x
.
Tập xác định: D = .
x
Đạo hàm:
x
y a a .ln a
Khảo sát hàm số với a > 0, a 1:
x
x
Hàm số y a (a > 1)
Hàm số y a (0 < a < 1)
Luôn đồng biến.
Tiệm cận ngang là Ox.
0;1
Luôn đi qua điểm ; 1;a .
Luôn nghịch biến.
Tiệm cận ngang là Ox.
0;1
Luôn đi qua điểm ; 1;a .
Trang 1

Đồ thị: Nằm phía trên trục Ox
Đồ thị: Nằm phía trên trục Ox
3. Hàm số lôgarit
Hàm số lôgarit có dạng y log x ; a > 0, a 1
Tập xác định: D 0; .
1
Đạo hàm: y loga
x
.
x.ln a
Khảo sát hàm số:
a
Hàm số y log x (a > 1)
Hàm số y log x (0 < a < 1)
a
a
Luôn đồng biến.
Tiệm cận đứng là Oy.
1;0
Luôn đi qua điểm ; a;1 .
Đồ thị: Nằm bên phải trục Oy
Luôn nghịch biến.
Tiệm cận đứng là Oy.
1;0
Luôn đi qua điểm ; a;1 .
Đồ thị: Nằm bên phải trục Oy
PHẦN 2: CÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM
Công thức đạo hàm
1
x
x
1
e
x
x
u
e
1
x
x
a
u
e e .u
u
u
ln x , x 0
ln u , u 0
log x , x 0
log u , u 0
a
1
x.ln a
a
u x .u
x
a .ln a
u
a
1
x
u
a .ln a.u
ln x x 0 ln u u 0
u
u.ln a
log x
x 0
log u
u 0
a
1
x.ln a
a
u
u
u
u.ln a
Trang 2

PHẦN 3: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tập xác định của hàm số
Ta có thể sử dụng máy tính để tìm tập xác định của hàm số như tìm điều kiện để biểu thức lũy thừa,
lôgarit xác định trong bài 1.
1. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Hàm số
Hướng dẫn
Hàm số 2
2
y x 2x 3 3
2 x 1
xác định khi x 2x 3 0 .
x 3
Chọn C.
Hướng dẫn
Hàm số y 3 x xác định khi x 1 0 x 1.
x 1
2x 2 1
Vậy tập xác định của hàm số là D \ 1 ;1 1; .
Chọn A.
Hướng dẫn
2
2
Hàm số y f x ln 4 x xác định khi 4 x 0 2 x 2 .
Chọn A.
3. Bài tập tự luyện
2
2 3
y x 2x 3
Bài 1. Tập xác định của hàm số
x
2
y 3 9
A. D =
B. D \ 2
C. D ;2 D.
Bài 2. Tập xác định của hàm số
là:
D ; 2
2
y x 3x 2 e
D 1;2
A. D ;1 2; B. D \ 1;2 C. D 0;
D.
Bài 3. Tập xác định của hàm số
y log
0;1
xác định khi:
A. x
B. Không tồn tại x. C. x > 1; x 3
D. 3 x 1
Ví dụ 2: Tập xác định của hàm số
y 3 x
x 1
2x 2 1
1;
0;
A. ;1 1; B. 1;1
C. D.
Ví dụ 3: Với giá trị nào của x thì hàm số
2
x 1
x
A. B. 1;
C. \ 0
D.
là:
là:
là:
2
y f x ln 4 x
xác định?
x \ 2;2
A. x 2;2
B. x 2;2
C. x \ 2;2
D.
;0 1;
Trang 3

Đáp án
1 - B 2 - A 3 - D
Dạng 2: Đạo hàm của các hàm số
1. Phương pháp giải
Sử dụng các công thức đạo hàm để tính toán.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Đạo hàm của hàm số
1
y x x 5
2
2 2x
1 2x
1 2x
1
2x
A. 2x 5 .ln 5 B. 2x 5 .ln 25 C. 2x 2.5 .ln 5 D.
4 x
4 x
2 x
là:
1
2x
2x 5 .ln 25
4 x
Cách 1: Ta có hàm số
1
y x x 5
2
2 2x
Hướng dẫn
1 1 2x 1 2x 1 2x
y 2x . 5 .ln 5.2 2x- 2.5 .ln 5 2x 5 .ln 25.
2 2 x 4 x 4 x
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx570VN PLUS
d
d 2 1
2X
Nhập SHIFT , khi đó máy tính hiện x
. Sau đó nhập ta được kết
X X 5
dx
dx 2 X1
quả 82.22.
Thử các đáp án:
1 2X
Đáp án A: Nhập 2X 5 .ln 5, CALC X = 1, kết quả là 41.99. Nên loại đáp án A.
4 X
1 2X
Đáp án B: Nhập 2X 5 .ln 25 , CALC X = 1, kết quả là 82.22.
4 X
Chọn B.
x
e 3 1
Ví dụ 2: Cho hàm số f x
x 2 . f 2
gần với giá trị nào trong các giá trị sau:
x 1 x
A. 11,1
B. 11,1 C. 10,11 D. 10,11
Cách 1: Ta có hàm số
Hướng dẫn
x
x
x
e 3 1
e x 1 e .1
2 1
f x x 2 f x
3x
2 2
x 1 x
x 1
x
2 2
e 2 1 e .1
2 1
f 2
3.2 10,11.
2 2
2 1
2
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx570VN PLUS
Trang 4

X
d
d e 3 1
Nhập SHIFT
, khi đó máy tính hiện x
. Sau đó nhập X 2 ta được kết
dx
dx X 1 X
quả xấp xỉ 10,11.
Chọn D.
1
Ví dụ 3: Cho hàm số f x log3
x x và biểu thức P f x 4x.f x 3.f 2 .f 1
1. Khi đó
x
biểu thức P là:
2 1
A. 4xlog3x 4x log3
8 6
B.
x
2 1
C. 4x log3 x 4x log3
8 6
D.
x
Hướng dẫn
3
3
Ta có hàm số f x log x x x 0 f 2 log 2 2 .
Đạo hàm: f x
1 1 f 1
1 1 1 1.
x ln 3 1.ln 3 ln 3
1
P f x 4x.f x 3.f 2 .f 1 1
2
Khi đó
Chọn D.
1 3 3
1
1 4x log x x 3. log 2 2 . 1
1
1
x ln 3 x ln 3
1 2
1 1
1 4x log3 x 4x 3log3
2 6 1
x ln 3 x ln 3 x
2 1
4x log3 x 4x log3
8 6 .
x
2 1
4x log3 x 4x log3
8 6
x
2 1
4x log3 x 4x log3
8 6
x
X2
Ví dụ 4: Cho hàm số
y x.e
'
Hướng dẫn
x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x
Cách 1: Ta có
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
y x .e x. e e x. xe e x e 1
x e .
2
x
2 2
Suy ra x.y x 1 x e 2 1
x y .
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx570VN PLUS
2
X
2
x
2
. Hệ thức nào đúng trong các hệ thức sau:
2
A. 2
2
2
xy 1 x y B. x.y 1 x .y C. xy 1 x .y D. xy 1 x .y
2
Chọn x = 2: Nhập X.e
, CALC X = 2, được kết quả, nhập SHIFT STO A.
Trang 5

Thử các đáp án:
Đáp án A: Nhập
Đáp án B: Nhập
Đáp án C: Nhập
Đáp án D: Nhập
Chọn D.
3. Bài tập tự luyện
2
X
d
2
Nhập X.e
, được kết quả, nhập SHIFT STO B.
dx
Bài 1. Đạo hàm của hàm số
2
X2
XY 1
X B , CALC X = 2; Y = A, được kết quả khác 0, nên loại.
2
X.B 1
X .Y , CALC X = 2; Y = A, được kết quả khác 0, nên loại.
2
XY 1
X .B , CALC X = 2; Y = A, được kết quả khác 0, nên loại.
2
X.B 1
X .Y , CALC X = 2; Y = A, được kết quả gần bằng 0, nên chọn.
y sin x log x
3
3
(x > 0) là:
3
3
1
1
A. y cos x B. y cos x C. y cos x D. y cos x
3
3
x ln 3
x ln 3
x ln 3
x ln 3
Bài 2. Cho hàm số y ex e x . Nghiệm của phương trình y 0 là
A. x = 0 B. x = 1 C. x 1
D. x = ln2
Bài 3. Cho hàm số
y 1
ln . Khẳng định nào sau đây là đúng?
x 1
y
y
y
A. xy 1 e
B. xy 1 e
C. xy 1 e
D.
Bài 4. Đạo hàm của hàm số
e
y
e
x
x
e
e
x
x
là:
2x
2x
2x
e
4e
2e
A. y
B. y
C. y
D. y
2x
2
2x
2
2x
2
e 1
e 1
e 1
y
xy 1 e
2x
e 1
3e
2x
2
Đáp án
1 - A 2 - C 3 - D 4 - B
Dạng 3: Đồ thị hàm số
1. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Hình bên là đồ thị của ba hàm số y log x , y log x , y log x ( 0 a, b,c 1) được vẽ trên
cùng một hệ trục tọa độ. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
a
b
c
A. b > c > a B. a > b > c C. b > a > c D. a > c > b
Trang 6

Hướng dẫn
Do y log x và y log x là hai hàm đồng biến nên a,b > 1.
Do
a
y log x
c
b
nghịch biến nên c < 1. Nên c nhỏ nhất.
m
loga x1 m
a x1
Lấy y = m, khi đó tồn tại x1, x2
> 0 để .
m
logb x2 m
b x2
m m
Dễ thấy x x a b a b . Vậy b > a > c.
Chọn C.
1 2
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f x x e trên đoạn 1;1 ?
Hướng dẫn
x 0 1;1
x 2 x x
Cách 1: Ta có f x 2x.e x .e xe x 2 f x
0
.
x 21;1
1
Ta lại có f 1
; f 0
0 ; f 1
e . Suy ra max f x
e .
e
x
1;1
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx570VN PLUS
Ta có thể sử dụng máy tính để tìm GTLN của hàm số như chương 1.
Chọn A.
2 x
1
A. e B. C. 2e D. 0
e
x x x
Ví dụ 3: Hình bên là đồ thị của ba hàm số y a , y b , y c ( 0 a,b,c 1) được vẽ trên cùng một hệ
trục tọa độ. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. a > b > c B. b > a > c C. a > c > b D. c > b > a
Hướng dẫn
x
x
Do y a và y b là hai hàm đồng biến nên a,b > 1.
Do
y c
x
nghịch biến nên c < 1. Nên c nhỏ nhất.
m
a y1
m m
Lấy x = m, khi đó tồn tại y1
, y2
> 0 để . Dễ thấy y .
m
1
y2
a b a b
b y2
Vậy b > a > c.
Chọn B.
Trang 7

2. Bài tập tự luyện
Bài 1. Tìm tất cả các giá trị thực của a để hàm số y log x ( 0 a 1) có đồ thị là hình bên.
a
1
A. a 2
B. a 2
C. a
D.
2
Bài 2. Cho hàm số
y x ln x 1 x 1
x
2 2
1
a
2
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
0;
0;
A. Hàm số xác định trên khoảng . B. Hàm số tăng trên khoảng 0; .
2
C. Hàm số giảm trên khoảng . D. Hàm số có đạo hàm y ln x 1
x .
x 1
x
2
Bài 3. Trong bốn hàm số y ; y 3 ; y log3
x ; y x x 1 x , có mấy hàm số mà đồ thị của
x 2
nó có đường tiệm cận?
A. 2 B. 3 C. 1 D. 4
Đáp án 1 - A 2 - C 3 – D
PHẦN 4: BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1. Với giá trị nào của x để hàm số
2
y log x x 12
có nghĩa?
x 4
A. x B. x 4;3
C.
D.
x 3
Bài 2. Tập xác định
y 2
2x 5x 2 ln x 2
1
A. D 1;2
B. D 1;2
C. D 1;1
D.
1
là:
x ; 4 3;
D 1;2
2
Bài 3. Tính đạo hàm của hàm số y log x 2 .
5
1
2x
2x ln 5
A. y
B. y
C. y
D. y
2
2
2
x 1 ln 5
x 2
x 2
2
Bài 4. Tính đạo hàm của hàm số y x 2 2x e x
.
2x
x 2 ln 5
x
A. y x 2 2 e x
2 x
B. y x 2 e C. y xe x
D. y 2x 2 e
Trang 8

Bài 5. Đồ thị sau của hàm số nào?
x
x
A. y 3
1
B. y
C. y 2
D.
2
Bài 6. Đồ thị hình bên là của hàm số nào?
x
1
y
3
x
A. y log2
x 1 B. y log2
x 1
C. y log3
x 1 D.
y log x 1
3
Đáp án: 1 - D 2 - A 3 - D 4 - A 5 - D 6 - D
Trang 9

CHƯƠNG 2: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
CHUYÊN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH MŨ
x
Phương trình mũ cơ bản có dạng a b , ( a 0,a 1)
Nếu
b 0 , phương trình vô nghiệm.
Nếu b > 0, phương trình có nghiệm duy nhất x log b .
Cách sử dụng máy tính CASIO fx570VN PLUS
a
Giải phương trình mũ f x 0 .
Nhập f X , SHIFT SOLVE = , máy tính hiện
X a
thì x = a là nghiệm.
L R 0
Nhập
f X
, SHIFT SOLVE = , máy tính hiện
X a 0
X b
thì x = b là nghiệm.
L R 0
Nhập
f X
X x X x
1 2
, SHIFT SOLVE = , máy
X c
tính hiện
, thì x =c là nghiệm của
L R 0
phương trình.
Cứ làm như vậy cho đến khi máy tính hiện
X m
; n 0 thì x=m không phải là nghiệm
L R n
của phương trình và ta dừng lại.
Ví dụ:
2x 1 x
Giải phương trình mũ 3 4.3 1 0
Nhập
hiện
trình.
Nhập
2x 1 x
3 4.3 1, SHIFT SOLVE = , máy tính
X 0
L R 0
, tức là x = 0 là nghiệm của phương
2x 1 x
3 4.3 1
, SHIFT SOLVE = , máy tính
X 0
X 1
hiện , tức là x 1
là nghiệm của
L R 0
phương trình.
Nhập
hiện
2x 1 x
3 4.3 1
, SHIFT SOLVE = , máy tính
X X 1
14
L R 1,896461.10 0 , nên dừng lại.
Vậy phương trình có nghiệm x = 0 và x 1.
PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Giải phương trình mũ bằng phương pháp đưa về cùng cơ số và lôgarit hóa
1. Phương pháp giải
a 0,a 1
f x
Phương trình a b b 0 .
f x
loga
b
f x
gx
a 0,a 1
Phương trình a a a 1
hoặc
.
f x
g x
Trang 1

f x g x f x g x
Phương trình a b log a log b f x g x .log b .
a a a
1 1
f x gx f x gx
a 0,a 1
Nếu a.b 1 b a a b a a a 1
hoặc
.
a
f x
g x
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho phương trình
2
x 3x4
4 64 , tổng các nghiệm thực của phương trình là:
A. 5 B. 3 C. 6 D. 2 5
Ta có
Hướng dẫn
3 5
x1
2
x 3x4
x
4 64 2 3x4 3 2 2
4 4 x 3x 4 3 x 3x 1 0 2
3 5
x2
2
x x 3.
1 2
Chọn B.
Ví dụ 2: Số nghiệm của phương trình mũ
2
2x 1 2x 1
x 7x 3x2
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Ta có
2
x 7x 3x2
2x 1 2x 1 2x 1 1
hoặc
Hướng dẫn
2x 1 0
2x 1 1
là:
2
x 7x 3x 2
1
1
x
2
x
2
x 1
x 1
hoặc x 1 x 1 hoặc x 1
.
2
x 4x 2 0
x 2 6
x 2 6
x 2 6 lo¹i
Chọn C.
Ví dụ 3: Cho phương trình:
2
3x 3 x1
2 32
A. Tích các nghiệm của phương trình là một số âm.
B. Tổng các nghiệm của phương trình là một số nguyên.
C. Nghiệm của phương trình là các số vô tỉ.
D. Phương trình vô nghiệm.
Hướng dẫn
Ta có
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
5x 5 0
2 2
3x 3 x1 3x 3 5x1
2 2
2 32 2 2 3x 3 5x 5 3x 3 5x 5
2
3x 3 5x 5
Trang 2

x 1
x 1
x 1
3
2
3x 5x 2 0
2
3x 5x 8 0
2
x lo¹i
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S 1 .
Chọn B.
3. Bài tập tự luyện
Bài 1. Nghiệm của phương trình
x 1
x 1
hoặc
x 1.
8
x
lo¹i
3
2 2 3 3
x x 1 x x1
2
A. x log B. x 1
C. x 0
D.
3
4
3
Bài 2. Cho phương trình
là
3
x log 4
3
2
32x 12x
e e 9 0 , khẳng định nào sau đây đúng?
A. Phương trình có một nghiệm. B. Phương trình vô nghiệm.
C. Phương trình có hai nghiệm dương. D. Phương trình có hai nghiệm âm.
Đáp án
1 – D 2 – A
Dạng 2: Giải phương trình mũ bằng phương pháp đặt ẩn phụ
1. Phương pháp giải
Phương trình có dạng 2x x
x
A.a B.a C 0. Đặt a t , t 0 .
Phương trình có dạng
2x x x 2x
A.a B.a .b C.b 0
2x
x
a a
a
A. B. C 0 . Đặt t , t 0
.
b b
b
Phương trình có dạng x x
A.a B.b C 0 với a.b = 1.
1 x 1
x B
Ta có a.b 1 b b . Khi đó phương trình có dạng A.a C 0 .
x
x
a a
a
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Phương trình
x
Đặt a t , t 0 .
x x1
25 5 6 0
có tổng các nghiệm là
A. log6
5 B. 1 C. log5
6 D. log2 5 log3
5
Hướng dẫn
x 2
x x1 2 x x x
Phương trình 25 5 6 0 5 5.5 6 0 5 5.5 6 0 (1)
t
2 tháa m·n
x
2
Đặt t 5 0 . Khi đó (1) t 5t 6 0
t 3 tháa m·n
x
Chọn C.
x
5 2 x log5
2
log5 2 log5 3 log5
6 .
x
5 3 x log5
3
Trang 3

x
2
Ví dụ 2: Phương trình 6 5 có hai nghiệm x1 x2
. Tính A x1 6x1x2
.
36
1 x 1
A. 0 B. 6log6
5 C. log6
5
D.
x
Hướng dẫn
1x 1 6 1
x x
2
x
2
x
Ta có 6 5 5 6.6 5. 6 1 5. 6 6.6 1 0 .
x
x
2
36 6 6
x
Đặt 6 t , t 0 . Khi đó phương trình trở thành
t
1 tháa m·n
2
5t 6t 1 0
1
t tháa m·n
5
x
6 1
x 0
. Vì nên ; .
x 1
1
x1 x2
x1 log6
5 x2
0
6
x log6 log6
5
5 5
2
2 2
Vậy A x 6x x log 5 6. log 5 .0 log 5.
Chọn D.
1 1 2 6 6 6
Ví dụ 3: Phương trình
x
x
4 2 3 1 3
6
có nghiệm thỏa mãn
2
log6
5
A. Lớn hơn 1. B. Nhỏ hơn 1. C. Lớn hơn 2. D. Nhỏ hơn 0.
Hướng dẫn
2
x x x x
Ta có 4 2 3 1 3 6 1 3
1 3 6 (1)
Đặt
t 1 3
x
t 0
. Khi đó phương trình (1) trở thành:
t 2
2
t t 6 0 x log 2 1 .
1
3
t
3 lo¹i
Chọn B.
3. Bài tập tự luyện
Bài 1. Tập nghiệm của phương trình
2x x2
2 3.2 32 0
2;3
4;8
2;8
3;4
A. B. C. D.
Bài 2. Tập nghiệm của phương trình
x x x
6.4 13.6 6.9 0
2 3
A. 1;1
B. ;
C. 1;0
D.
3 2
Bài 3. Tập nghiệm của phương trình
6x 3x
e 3e 2 0
là:
là:
là:
0;1
ln 2
ln 2
A. 0;ln 2
B. 0;
C. 1;
D.
3
3
Đáp án 1 – A 2 – A 3 – B
1;ln 2
Trang 4

Dạng 3: Giải phương trình mũ bằng các phương pháp khác
1. Phương pháp giải
Một số phương pháp khác để giải phương trình mũ là:
Đưa về dạng phương trình tích.
Phương pháp hàm số (thường sử dụng khi gặp phương trình mũ phức tạp).
2. Ví dụ minh họa
x x x1
Ví dụ 1: Tổng các nghiệm của phương trình 12.3 3.15 5 20 là:
A. log3
5 1
B. log3
5 C. log3
5 1
D. log5
3 1
Hướng dẫn
Sử dụng phương pháp đưa về dạng phương trình tích.
Ta có
x x x1
12.3 3.15 5 20
x x x
12.3 3.15 5.5 20 0
3.3 x 4 5 x 55 x 4
0
x
5 4 0
x
3.3 5 0
5
x log3 log3 5 log3 3 log3
5 1.
3
Chọn A.
Ví dụ 2: Phương trình
2
x 12
x
x
5 4 3.3 5 0 .
x
5 4 ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm
x 5
3
3
x2 8
4 5 141
có bao nhiêu nghiệm?
A. 2 B. 0 C. 1 D. 3
Sử dụng phương pháp hàm số.
Hướng dẫn
Phương trình có điều kiện xác định x 2 0 x 2 .
2
x 12
x2 8
Xét hàm số f x 4 5 xác định trên nửa khoảng 2; .
x 12
x2 1 x
8
Ta có f x
4 .ln 4. 5 .ln 5. .
2 x 2 4
2
Với x 2 f x 0 suy ra hàm số luôn đồng biến trên nửa khoảng 2; .
Mà ta thấy f 6 141
suy ra phương trình có nghiệm duy nhất x = 6.
Chọn C.
Dạng 4: Phương trình mũ chứa tham số
1. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Phương trình
2
x 4 2xm
2 8
có nghiệm duy nhất khi:
Trang 5

13
13
25
A. m
B. m
C. m D. m 3
3
3
12
2 2
Hướng dẫn
x 4 2xm x 4 6x3m 2 2
Cách 1: Ta có 2 8 2 2 x 4 6x 3m x 6x 4 3m 0 (1)
Phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm duy nhất.
13
Ta có:
0 9 4 3m 0 m .
3
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx570VN PLUS
Thử các đáp án + sử dụng máy tính để tìm nghiệm của phương trình.
Chọn m = 2. Thay vào phương trình, ta thấy có hai nghiệm phân biệt. Nên loại đáp án B và D.
Chọn
13
m . Thay vào phương trình, ta thấy có nghiệm duy nhất.
3
Chọn A.
Ví dụ 2: Phương trình
x1 x2 xm
2 2 2 10
có nghiệm nguyên khi:
A. m = 0 B. m = 1 C. m = 2 D. m = 5
Hướng dẫn
Ta có x 1 x 2 x
10
2 2 2 m 10 2.2 x 4.2 x 2 x .2 m 10 2 x 6 2 m 10 2
x .
m
6 2
Thử các đáp án, ta thấy khi m = 2 thì x = 0 là nghiệm nguyên của phương trình.
Chọn C.
Ví dụ 3: Cho phương trình
hai nghiệm phân biệt.
25 x 2.15 x m 2 9 x 0 . Tìm điều kiện của tham số m để phương trình có
m 2;3
A. m 2;3
B. m 2;3
C. m 2;3
D.
Hướng dẫn
Cách 1: Phương trình
x
x x x 2x x x 2x
25 2.15 m 2 9 0 5 2.5 .3 m 2 .3 0
2x
5 5
2. m 2 0.
3 3
5
2
Đặt t t 0
, khi đó ta có phương trình t 2t m 2 0 . (1)
3
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
dương.
1 m 2
0
0
2
m 3 0 m 3
Ta có: S 0 0 2 m 3.
1
m 2 0 m 2
P 0
m 2
0
1
x
Trang 6

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx570VN PLUS
Chọn m = 2. Thay vào phương trình, ta thấy phương trình không có hai nghiệm phân biệt dương. Nên loại
đáp án A và B.
Chọn m = 3. Thay vào phương trình, ta thấy phương trình không có hai nghiệm phân biệt dương.
Chọn C.
2. Bài tập tự luyện
Bài 1. Xác định tất cả các giá trị thực của m để phương trình
2x 1 2
2 m m 0
có nghiệm.
m 0
A. m < 0 B. 0 < m < 1 C.
D. m > 1
m 1
x x1
Bài 2. Phương trình 4 m.2 2m 0 có hai nghiệm x
1; x2
thỏa mãn x1 x2
3 khi:
A. m = 4 B. m = 2 C. m = 1 D. m = 3
Đáp án
1 – B 2 – A
PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1. Cho phương trình
8x 2 8x 2 5
1 x
2 .5 0,001. 10
. Tính tổng các nghiệm của phương trình.
A. 5 B. 7 C. 7
D. 5
2 2
x x1 x x2
Bài 2. Cho phương trình 9 10.3 1 0 . Tổng tất cả các nghiệm của phương trình là:
A. 2
B. 2 C. 1 D. 0
Bài 3. Phương trình
x1 x2
4 2 m 0 có nghiệm thì điều kiện của m là:
A. m 0
B. m 0
C. m 1
D. m 1
Bài 4. Phương trình
3 2 3 2 10
x x x
có tất cả bao nhiêu nghiệm thực?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Bài 5. Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số
x
y 2 3 và đường thẳng y = 11 là:
3;11
4;11
4;11
A. B. 3;11
C. D.
2x2
x
Bài 6. Số nghiệm của phương trình 9 9. 4 0 là:
3
2
1
A. 2 B. 4 C. 1 D. 0
2 2
sin x cos x
Bài 7. Phương trình 9 9 6 có họ nghiệm là:
k
k
k
A. x k
B. x k
C. x k
D.
4 2
2 2
6 2
Bài 8. Để phương trình
x
x
m 1 16 2 2m 3 4 6m 5 0
k
3 2
x k
có hai nghiệm trái dấu thì m có thể là:
3
A. Không tồn tại m. B. 4 m 1
C. 1 m
D.
2
5
1 m
6
x x1
Bài 9. Với giá trị nào của tham số m thì phương trình 4 m.2 2m 0 có hai nghiệm x
1, x2
thỏa mãn
x x 4 ?
1 2
Trang 7

A. m = 8 B. m = 2 C. m = 4 D. m = 3
2
x3 x 5x6
Bài 10. Phương trình 2 3 có hai nghiệm x
1, x2
, trrong đó x1 x2
, chọn phát biểu đúng?
A. 3x1 2x2 log3
8 B. 2x1 3x2 log3
8 C. 2x1 3x2 log3
54 D. 3x1 2x2 log3
54
Bài 11. Tổng lập phương các nghiệm của phương trình
x x x
2 2.3 6 2
A. 2 2
B. 25 C. 7 D. 1
x10 x5
x 10 x15
Bài 12. Tổng các nghiệm của phương trình 16 0,125.8
A. 0 B. 10 C. 20 D. 25
là:
là:
Đáp án:
1 – A 2 – A 3 – C 4 – A 5 – B 6 – A 7 – A 8 – B 9 – A 10 – A
11 – D 12 – C
Trang 8

CHƯƠNG 2: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
CHUYÊN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
b
Phương trình lôgarit cơ bản với a > 0; a 1 có dạng: log x b x a (điều kiện: x > 0)
Chú ý:
Khi giải phương trình lôgarit, phải đặt điều kiện cho ẩn:
mòlÎ
loga
f x ®iÒu kiÖn f x 0
mòch½n
loga
f x
®iÒu kiÖn f x
0
Kết luận nghiệm, phải so sánh nghiệm với điều kiện.
Ta cũng có thể bấm máy tính để giải phương trình lôgarit như giải phương trình mũ.
a
PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Giải phương trình lôgarit bằng phương pháp đưa về cùng cơ số và mũ hóa
1. Phương pháp giải
f x 0
Phương trình loga
f x
b , với mọi 0 a 1.
b
f x
a
f x 0
Phương trình loga
f x
loga
g x
, với mọi 0 a 1.
f x
g x
f x 0
Phương trình loga
f x
g x
.
gx
f x
a
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Phương trình
log 2x 3 2log 5.log x 1 1
có số nghiệm là:
3 9 5
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
Hướng dẫn
2x 3 0 3
Điều kiện: x .
x 1 0 2
Ta có
log 2x 3 2log 5.log x 1 1 log 2x 3 2log x 1 1
3 9 5 3 9
log3 2x 3 log3 x 1 1 log3
2x 3 x 1
1
1 2
2x 3 x 1 3 2x 2x 3x 3 3 0
x 2
2
2x x 6 0
3 . x
2
Kết hợp điều kiện, ta được nghiệm duy nhất x = 2.
Chọn A.
Trang 1

2
x 3x 2
Ví dụ 2: Cho phương trình log 0 có hai nghiệm x
1, x2
. Tích của hai nghiệm là số nào dưới
x
đây:
1
6
A. 4 B. 2 2
C. 2 D. 0
2
x 3x 2
Điều kiện: 0 .
x
Hướng dẫn
Ta có
2 2
x 3x 2 x 3x 2 1
log 0
x x 6
1
6
0
2
x 3x 2 x 2
1
2 2
1 x 4x 2 0 .
x x2
2 2
x
1, x2
1 2
Ta thấy hai nghiệm thỏa mãn điều kiện. Vậy x x 2 2 2 2 4 2 2 .
Chọn C.
Ví dụ 3: Cho phương trình
trình là:
2
log3 x.log9 x.log27 x.log81
x . Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương
3
80
A. 0 B. C. 9 D.
9
Điều kiện: x > 0.
Hướng dẫn
2 2
Ta có log3 x.log9 x.log27 x.log81 x log3 x.log 2 x.log 3 x.log 4 x
3 3 3
3 3
1 1 1 2
4 4
3
. . log3 x log3
x 16
2 3 4 3
3
1 82
x1 x2
9 . 9 9
Chọn D.
3. Bài tập tự luyện
Bài 1. Phương trình
2
x1
3 9 tháa m·n
log x 2
log x 2 2
1
x2
3 tháa m·n
9
log x log x 1 1
có tập nghiệm là:
2 2
1;3
2
1
A. 1;3
B. C. D.
Bài 2. Phương trình
log x 1 2
3
có bao nhiêu nghiệm?
A. 2 B. 0 C. 1 D. 3
x1
Bài 3. Phương trình 2log x 2
log 4 log x 4log3 có hai nghiệm là x
1, x2
, x1 x2
. Tỉ số khi
x
rút gọn là:
82
9
2
Trang 2

1
A. 4 B. C. 64 D.
4
Đáp án:
Dạng 2: Giải phương trình lôgarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ
1. Phương pháp giải
2
A.loga
x B.loga
x C 0
Phương trình có dạng
. Đặt log với x > 0.
3 2
a
x t
A.loga B.loga x C.loga
x D 0
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tập nghiệm của phương trình
log x 2 6log x 2 2 0
2
2 2
A. S 2;4
B. S 0;2
C. S 1;2
D. S 4;6
x 2 0
Điều kiện: x 2 .
x 2 0
Hướng dẫn
2 2
Ta có: log x 2 6log x 2 2 0 log x 2 3log x 2 2 0.
Đặt
2 2 2 2
2
t log x 2
2
t 3t 2 0
, khi đó phương trình trở thành:
t 1 log2
x 2 1
x 2 2 x
4 tháa m·n
t 2
log x 2 4
2
x 2 2 x 6 tháa m·n
Chọn D.
Ví dụ 2: Tìm nghiệm lớn nhất của phương trình
là:
3 2
log x 2log x log x 2
A. x = 10 B. x = 100 C. x = 1 D. x = 1000
Hướng dẫn
3 2
Phương trình log x 2log x log x 2 có điều kiện x > 0.
Đặt
log x t . Khi đó phương trình trở thành:
2
3 2 2 2
t 1 0
t 2t t 2 t t 2 t 2 0 t 1 t 2 0
t 1
x
10 tháa m·n
log x 1
log x 1
1
x tháa m·n
10
log x 2
x 100 tháa m·n
Chọn B.
1 – C 2 – A 3 – D
.
t 2 0
là:
.
t 1
t 2
1
64
Trang 3

Ví dụ 3: Số nghiệm của phương trình
log4 log2 x 1 log2 log4
x 1
3
A. 1 B. 2 C. 0 D. 3
x 1 0 x 1
Điều kiện log2 x 1
0 log2
x 1
0 .
log4 x 1
0 log4
x 1
0
Ta có
log4 log2 x 1 log2 log4
x 1
3
log 2 log2 x 1 log2
log 2 x 1 3
2 2
1 1
log2 log2 x 1 log2 log2
x 1
3.
2
2
Đặt
2
t log x 1
, khi đó phương trình trở thành:
Hướng dẫn
1 1 1 1
log2 t log2 t 3 log2 t log2 log2
t 3
2 2 2 2
1 log
8
2 t 1 3 log
2 t 8 t 2 256
2
256 256
log x 1 256 x 1 2 x 2 1
(thỏa mãn).
2
Chọn A.
3. Bài tập tự luyện
Bài 1. Số nghiệm của phương trình
log log x log log x 2
4 2 2 4
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
Bài 2. Phương trình
log x 1 6log x 1 2 0
2
2 2
là:
có tổng hai nghiệm là:
A. 3 B. 4 C. 10 D. 0
Bài 3. Nghiệm nhỏ nhất của phương trình
log x 2log x log x 2
3 2
2 2 2
1
A. x = 4 B. x
C. x = 2 D.
4
là:
là:
1
x
2
Bài 4. Gọi x
1, x2
là nghiệm của phương trình logx 2 log16
x 0 . Khi đó tích x
1.x
2
bằng:
A. 1
B. 1 C. 2 D. 2
Đáp án:
1 – A 2 – B 3 – D 4 – B
Dạng 3: Giải phương trình lôgarit bằng các phương pháp khác
1. Phương pháp giải
Một số phương pháp khác để giải phương trình lôgarit là:
Đưa về dạng phương trình tích.
Phương pháp hàm số (thường sử dụng khi gặp phương trình lôgarit phức tạp).
2. Ví dụ minh họa
Trang 4

Ví dụ 1: Gọi nghiệm của phương trình log2 x.log3 2x 1 2log2
x là x1 x2
. Khi đó, giá trị của
2x 5x 3 là:
1 2
A. 10
B. 15 C. 20
D. 30
Hướng dẫn
Sử dụng phương pháp đưa về dạng phương trình tích.
x 0 1
Điều kiện xác định: x .
2x 1 0 2
Ta có
log x.log 2x 1 2log x log x.log 2x 1 2log x 0
2 3 2 2 3 2
log2 x 0 log2
x 0
log2 x
log3
2x 1
2
0
log3 2x 1 2 0 log3
2x 1
2
0
x 2 1
x
1(tháa m·n)
.
2
2x 1 3 9 x
5(tháa m·n)
Vậy 2x 5x 3 2.1 5.5 3 20
.
1 2
Chọn C.
Ví dụ 2: Phương trình log x 2x 17 2log 5x 1 6
2
2 4
có nghiệm thỏa mãn:
A. Lớn hơn 0. B. Nhỏ hơn 1. C. Là số nguyên tố. D. Là số âm.
Hướng dẫn
Sử dụng phương pháp hàm số.
Điều kiện: 2
x 2x 17 0 1
x .
5x 1 0
5
2
1
Xét hàm số f x log2 x 2x 17 2log4
5x 1
với x .
5
Ta có f x 2x 2
2. 5
1
. Ta thấy f x
0 , x
.
ln 2. x
2
2x 17 ln 4. 5x 1
5
1
Nên hàm số f x
luôn đồng biến trên khoảng ;
.
5
Mà ta có
f 1 6 , nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình ban đầu.
Chọn A.
Dạng 4: Phương trình lôgarit chứa tham số
1. Ví dụ minh họa
2
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình log x m log x 1 0 có nghiệm duy nhất nhỏ hơn 1.
3 3
A. m = 2 B. Không tồn tại m. C. m 2
D. m 2
Điều kiện: x > 0.
Hướng dẫn
Trang 5

2
Phương trình log x m log x 1 0 . (1)
3 3
2
Đặt t log x , khi đó phương trình (1) trở thành t mt 1 0
(2)
3
Phương trình (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm duy nhất lớn hơn 0.
2 m 2
Khi phương trình (2) có nghiệm kép thì
0 m 4 0 .
2
m 2
2
Với m = 2 t 2t 1 0 t 1 log x 1 x 3 1
Với
2
m 2 t 2t 1 0 t 1 log x 1 x 1
3
Chọn C.
3
1
3
(loại)
(thỏa mãn)
2
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình log x log x m 0 có hai nghiệm x 0;1 .
2 2
1
1
1
A. 0 m
B. m
C. m D. m 0
4
4
4
Hướng dẫn
2
Phương trình log x log x m 0 (x > 0) (1)
2 2
2
Đặt t log x , khi đó phương trình (1) trở thành t t m 0 (2)
2
2
Vì x 0;1 log x 0 t 0 .
Phương trình (1) có hai nghiệm
x 0;1
2
0 1 4m 0
1
S 0 1 0 0 m .
4
P 0
m 0
Chọn A.
khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm âm khi:
Ví dụ 3: Cho phương trình
là:
2
log x 2log 2x m 1. Giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm
2 2
A. m 2
B. m C. m < 2 D. m 2
Điều kiện: x > 0.
Hướng dẫn
Ta có: log 2 x 2log 2x m 1 log 2 x 2 log 2 log x 1 m log 2 x 2log x 1 m .
2 2 2 2 2 2 2
2
Đặt t log x , khi đó phương trình có dạng: t 2t 1 m t 1 m 2 .
2
2
Nên phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m 2 0 m 2
.
Chọn D.
Ví dụ 4: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình
đoạn 2;5 .
log m 4x 2log x 2 0
1 2
2
có nghiệm trên
Trang 6

m 10;70
A. m 20;69
B. m 24;69 C. m 10;70 D.
Hướng dẫn
Ta có 2
log m 4x 2log x 2 0 log m 4x log x 2 0
1 2 2 2
2
2 2 2
2 2
log x 2 log m 4x x 2 m 4x m x 8x 4 .
2
Xét hàm số f x x 8x 4 trên đoạn 2;5 .
Ta có f x 2x 8 0 ; x 2;5 , do đó hàm số luôn đồng biến trên đoạn 2;5 .
Mặt khác, ta có f 2 24 ; f 5 69 nên 24 f x 69 .
Vậy với m 24;69 thì phương trình đã cho có nghiệm trên đoạn 2;5 .
Chọn B.
3. Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho phương trình
phương trình có nghiệm kép.
log x 1 log x 3 m . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để
3 3
A. m
B. m
C. m > 0 D.
Bài 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
nghiệm phân biệt.
2
4 4
13
13
13
A. m
B. m
C. m
D.
8
8
8
Bài 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
4
m
3
log x 3log x 2m 1 0
2
3 3
13
0 m 8
log x 2log x m 1 0
A. m < 2 B. m 2
C. m 2
D. m > 2
Bài 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
2
log2
mx x 2
m 4
A. m < 4 B. m 4
C.
D.
m 4
Đáp án:
PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1. Điều kiện xác định của phương trình
log 16 2
2x3
là:
vô nghiệm.
4 m 4
3
3
A. x \
;2 B. C. D.
2
x 2
x 2
2 3
x
2
Bài 2. Phương trình
log x 3 log x 1 log 5
2 2 2
có số nghiệm là:
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
có hai
có nghiệm.
2
Bài 3. Cho phương trình log 5x 3 log x 1 0 có 2 nghiệm x
1, x2
trong đó x1 x2
. Giá trị của
P 2x 3x
1 2
1 – A 2 – A 3 – B 4 – D
là:
3 1
3
Trang 7

A. 5 B. 14 C. 3 D. 13
Bài 4. Biết phương trình
trình là:
3
log2 log 1 x log2
x x 1
3
8
có nghiệm duy nhất. Nghiệm của phương
A. Số nguyên âm. B. Số chính phương. C. Số vô tỉ. D. Số nguyên tố.
Bài 5. Điều kiện xác định của phương trình
log
1
log2
2
2 x
0
2
x 1;1
A. x 1;1
B. x 1;0 0;1 C. x 1;1 2; D.
Bài 6. Phương trình
x 1 1
ln ln
x 8 x
có nghiệm là:
x 4
A. x 2
B.
C. x = 4 D. x = 1
x 2
Câu 7. Tập nghiệm của phương trình
1 log x 2
2
2 1 0 là:
2
0
1;0
A. B. 0; 4
C. 4
D.
Bài 8. Cho phương trình
phương trình là:
2 2 2
log x x 1 log x x 1 log x x 1
. Điều kiện xác định của
2 3 6
A. x 1
B. x 0; x 1 C. x 1
D. x 1
hoặc x 1
Bài 9. Phương trình
2
log2x3
3x 7x 3 2 0
có nghiệm là:
A. x = 2; x = 3 B. x = 1; x = 5 C. x = 2 D. x = 3
2
2
x
Bài 10. Phương trình log1 9x
log3
7 0 ta tìm được hai nghiệm là x
1, x2
. Khi đó tích x
1.x
2
3 81
là:
8
1
3
A. 3 B. C. 9
D.
3
9
Bài 11. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
hai nghiệm x
1, x2
thỏa mãn x
1.x 2
27 .
là:
6
3
2
3 3
log x m 2 log x 3m 1 0
A. m 2
B. m 1
C. m = 1 D. m = 2
Bài 12. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
nghiệm x 1
x
x
log 5 1 .log 2.5 2 m
2 4
m ;3
A. m 2;
B. m 3;
C. m ;2 D.
Đáp án:
1 – C 2 – A 3 – B 4 – D 5 – A 6 – C 7 – B 8 – C 9 – D 10 – B 11 – C 12 – B
có
có
Trang 8

CHƯƠNG 2: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT
CHUYÊN ĐỀ 5: CÁC BÀI TOÁN LÃI SUẤT
PHẦN 1: CÔNG THỨC TÍNH NHANH
Bài toán lãi đơn
Bài toán
S A 1
r.n
Công thức
Bài toán lãi kép S A1
r n
Bài toán tăng trưởng dân số
A
m
A .e
n
m n .r
k
Bài toán tăng lương
Gửi tiền đầu tháng
S Ak.
1 r 1
1
r n 1
S A. 1
r .
r
Rút tiền gửi hàng tháng
Vay vốn trả góp
PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Bài toán lãi đơn
1. Phương pháp giải
r
n
n 1
r 1
S A. 1 r X.
r
n
n 1
r 1
S A. 1 r X.
r
Số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra.
Công thức tính lãi đơn S A1
r.n
Trong đó:
2. Ví dụ minh họa
S là số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn.
A là tiền gửi ban đầu.
n là số kì hạn tính lãi.
r là lãi suất định kì tính theo %.
Ví dụ: Bà An gửi vào ngân hàng 10 triệu đồng với lãi suất đơn 7% một năm thì sau 5 năm số tiền bà An
nhận được cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu?
A.13,5 triệu đồng. B. 16 triệu đồng. C. 12 triệu đồng. D. 12,7 triệu đồng.
Hướng dẫn
Số tiền cả gốc lẫn lãi của bà An nhận được sau 5 năm là: S 10. 1 5.7% 13,5
(triệu đồng).
Chọn A.
Dạng 2: Bài toán lãi kép
1. Phương pháp giải
Số tiền lãi của kỳ hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau.
Trang 1

Công thức tính lãi kép S A1
r n
Trong đó:
2. Ví dụ minh họa
S là số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn.
A là tiền gửi ban đầu.
n là số kì hạn tính lãi.
r là lãi suất định kì tính theo %.
Ví dụ 1: Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 7,5% một năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi sau
bao nhiêu năm người đó thu được gấp đôi số tiền ban đầu?
A. 9 năm. B. 10 năm. C. 8 năm. D. 7 năm.
Gọi A là số tiền gửi ban đầu,
r 7,5%
Ta có công thức lãi kép S A 1
r
n
Hướng dẫn
/năm là lãi suất, n là số năm gửi.
là số tiền nhận được sau n năm.
n
n
Theo đề bài, ta có S 2A 2A A(1 r) (1 r) 2 n log1 r
2 log1,0752 9,584
Do kỳ hạn là 1 năm nên phải đúng hạn mới được nhận, nên người này cần 10 năm.
Chọn B.
Ví dụ 2: Ông A gửi tiết kiệm 75 triệu đồng vào ngân hàng theo kì hạn 3 tháng và lãi xuất 0,58% một
tháng. Nếu ông A không rút lãi ở tất cả các định kỳ thì sau 3 năm ông A nhận được số tiền là bao nhiêu?
A. 92576000 đồng. B. 80486000 đồng. C. 92690000 đồng. D. 90930000 đồng.
Hướng dẫn
Đây là bài toán lãi kép, chu kỳ một quý lãi suất là 3.0,59% 1,77%.
Sau 3 năm (12 quý), số tiền thu được cả gốc lẫn lãi là:
12
75 000 000 . 1
0,0177 92576000 (đồng).
Chọn A.
Ví dụ 3: Một người gửi 350 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi xuất 6,7% một năm. Biết rằng nếu
không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho năm
tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm, người đó nhận được số tiền hơn 800 triệu đồng bao gồm cả gốc
và lãi? Giả định trong suốt thời gian gửi, lãi xuất không đổi và người đó không rút tiền ra.
A. 13 năm. B. 14 năm. C. 11 năm. D. 10 năm.
Hướng dẫn
Gọi n là số năm ít nhất người đó gửi để nhận được số tiền hơn 800 triệu đồng bao gồm cả gốc và lãi.
Số tiền người đó nhận được sau n năm là:
n
800
S 350. 1 6,7% 800 n log 1 6,7%
n 12,747
350
Vậy sau ít nhất 13 năm thì người đó nhận được số tiền hơn 800 triệu đồng bao gồm gốc và lãi.
Chọn A.
Dạng 3: Bài toán tăng trưởng dân số
.
Trang 2

1. Phương pháp giải
Công thức tăng trưởng dân số
A
m
A .e
n
m n .r
Trong đó: A m
là dân số năm m.
A n
2. Ví dụ minh họa
là dân số năm n.
r là tỉ lệ tăng dân số từ năm n tới năm m tính theo %.
Ví dụ: Sự tăng trưởng dân số được ước tính theo công thức tăng trưởng mũ. Biết rằng tỉ lệ tăng dân số thế
giới hàng năm là 1,32%, năm 2003 dân số thế giới vào khoảng 7095 triệu người. Dự đoán dân số năm
2010?
A. 7781 triệu người. B. 7782 triệu người. C. 7783 triệu người. D. 7784 triệu người.
Hướng dẫn
Theo công thức tăng trưởng mũ thì dự đoán dân số năm 2010 là:
20102003 .1,32%
A2010 A
2003.e 7781,82
Chọn B.
Dạng 4: Bài toán tăng lương
1. Phương pháp giải
triệu người
Một người nhận lương khởi điểm là A đồng trên tháng. Cứ sau n tháng, người đó được tăng thêm r % một
tháng, số tiền người đó nhận được sau kn tháng là
2. Ví dụ minh họa
S A.k.
k
1
r 1
Ví dụ: Một người được lãnh lương khởi điểm là 3 triệu đồng/tháng. Cứ 3 tháng thì lương người đó được
tăng thêm 7% một tháng. Hỏi sau 36 tháng thì người đó nhận được lương tất cả là bao nhiêu?
A. 700 triệu đồng. B. 623 triệu đồng. C. 954 triệu đồng. D. 644 triệu đồng.
Hướng dẫn
Vì cứ 3 tháng, người đó được tăng lương một lần, nên số lần được tăng lương là 12 lần. Sau 36 tháng thì
người đó nhận được tiền lương là:
Chọn D.
Dạng 5: Gửi tiền hàng tháng
1. Phương pháp giải
12
1
7% 1
S 3.12. 643,98 triệu đồng.
7%
Mỗi tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi kép r % một tháng vào một thời gian cố
định thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n tháng là:
1
r n 1
S A. 1
r .
r
2. Ví dụ minh họa
r
Trang 3

Ví dụ 1: Một người mỗi tháng đều đặn gửi vào ngân hàng một khoản tiền A theo hình thức lãi kép với lãi
suất 0,6% mỗi tháng. Biết sau 15 tháng người đó có số tiền là 10 triệu đồng. Hỏi số tiền A gần với số tiền
nào nhất trong các số sau?
A. 535 000 đồng. B. 635 000 đồng. C. 613 000 đồng. D. 643 000 đồng.
Hướng dẫn
1
0,6% 1
10 000 000 A. 1
0,6% .
0,6%
Theo công thức gửi tiền hàng tháng, ta có: 15
Từ đó ta suy ra
Chọn B.
A 635 000
(đồng).
Ví dụ 2: Hàng tháng, anh A gửi vào ngân hàng 3 triệu đồng với lãi suất 0,6% mỗi tháng. Hỏi sau ít nhất
bao nhiêu tháng (khi ngân hàng đã tính lãi) thì anh A được số tiền cả lãi và gốc là 100 triệu trở lên?
A. 30 tháng. B. 35 tháng. C. 31 tháng. D. 40 tháng.
Hướng dẫn
1
0,6% 1
100 3. 1
0,6% .
0,6%
Theo công thức gửi tiền hàng tháng, ta có: n
n
1
0,6% 1 100 n 100.0,6%
1 0,6% 1
0,6% 3. 1
0,6% 3. 1
0,6%
n 100.0,6% 100.0,6%
1 0,6% 1 n log1 0,6%
1 30,3117
3. 1
0,6% 3. 1
0,6%
Vậy sau ít nhất 31 tháng thì anh A được số tiền cả lãi và gốc là 100 triệu trở lên.
Chọn C.
Dạng 6: Rút tiền gửi hàng tháng
1. Phương pháp giải
Gửi ngân hàng với số tiền là A đồng với lãi suất r% một tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút
ra số tiền X đồng.
Số tiền còn lại sau n tháng là
2. Ví dụ minh họa
n
n 1
r 1
S A. 1 r X.
r
Ví dụ: Mẹ Lam gửi ngân hàng 20 tỷ đồng với lãi suất 0,75% mỗi tháng. Hàng tháng vào ngày ngân hàng
tính lãi, mẹ Lam đến ngân hàng rút 300 triệu đồng để chi tiêu. Hỏi sau 2 năm số tiền còn lại trong ngân
hàng là bao nhiêu?
A. 11 tỷ đồng. B. 15 tỷ đồng. C. 13 tỷ đồng. D. 16 tỷ đồng.
Ta có 2 năm là 24 tháng.
Sau 2 năm số tiền còn lại trong ngân hàng là:
24
24 1 0,75% 1
S 20. 1 0,75% 0,3. 16,07
0,75%
Hướng dẫn
(tỷ đồng)
Trang 4

Chọn D.
Dạng 7: Vay vốn trả góp
1. Phương pháp giải
Vay ngân hàng với số tiền là A đồng với lãi suất r % một tháng. Sau đúng một tháng kể từ ngày vay bắt
đầu hoàn nợ số tiền là X đồng, hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng.
Số tiền còn nợ sau n tháng là
n
n 1
r 1
S A. 1 r X.
r
Ví dụ 1: Ông Minh vay ngắn hạn ngân hàng 200 triệu đồng, với lãi suất 12% một năm. Ông muốn hoàn
nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng kề từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ
liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết tiền nợ sau đúng 3
tháng kể từ ngày vay. Hỏi theo cách đó, số tiền mà ông Minh sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần
hoàn nợ là bao nhiêu? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông Minh hoàn nợ.
A. m 67 (triệu đồng). B. m 69 (triệu đồng). C. m 70 (triệu đồng). D. m 68 (triệu đồng).
Hướng dẫn
Theo đề bài ta thấy, ông Minh vay tiền ngân hàng theo hình thức “Vay vốn trả góp”.
Số tiền mà ông Minh còn phải trả sau n tháng với lãi suất 12% mỗi năm tức là 1% mỗi tháng là:
n
n
n 1 r 1
n 1 0,01 1
S A. 1 r
X. 200. 1 0,01
X.
r
0,01
Vì sau ba tháng ông Minh trả hết nợ nên:
3 3
3 3
1 0,01 1 1,01 1
0 200. 1 0,01
X. 200. 1,01
X.
0,01 0,01
2. 1,01
X 68.
3
1,01 1
Chọn D.
3
Ví dụ 2: Anh Ba vay trả góp ngân hàng số tiền 500 triệu đồng với lãi suất 0,9% một tháng, mỗi tháng trả
15 triệu đồng. Sau bao nhiêu tháng thì anh Ba trả hết nợ?
A. 40 tháng. B. 50 tháng. C. 45 tháng. D. 48 tháng.
Gọi n là số tháng anh Ba trả hết nợ.
Hướng dẫn
Theo công thức vay vốn trả góp, ta có số tiền còn lại sau n tháng là:
Vì sau n tháng anh Ba trả hết nợ, nên ta có
n 1
0,9% 1
S 500. 1 0,9% 15.
0,9%
S 0 , tức là:
n
n 1
0,9% 1
S 500. 1 0,9% 15. 0 . Từ đó suy ra n 39,809 .
0,9%
Vậy sau 40 tháng anh Ba sẽ trả hết nợ.
Chọn A.
n
Trang 5

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1. Anh B gửi 27 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép, kì hạn là một quý, với lãi suất 1,85%
một quý. Hỏi thời gian nhanh nhất là bao lâu để anh B có được ít nhất 36 triệu đồng tính cả vốn lẫn lãi?
A. 19 quý. B. 15 quý. C. 4 năm. D. 5 năm.
Bài 2. Đầu mỗi tháng chị N gửi vào ngân hàng số tiền 3 tỷ đồng. Sau 1 năm chị N nhận được số tiền cả
gốc và lãi là 40 tỷ đồng. Hỏi lãi suất ngân hàng là bao nhiêu phần trăm mỗi tháng?
A. 1,51%. B. 1,52%. C. 1,71%. D. 1,61%.
Bài 3. Bố Lan gửi ngân hàng 20 triệu đồng với lãi suất 0,7% mỗi tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân hàng
tính lãi, bố Lan rút một số tiền như nhau để chi tiêu. Hỏi số tiền mỗi tháng bố Lan rút ra là bao nhiêu để
sau 5 năm thì số tiền vừa hết?
A. 300 000 đồng. B. 450 000 đồng. C. 400 000 đồng. D. 409 000 đồng.
Bài 4. Mẹ Lê vay trả góp ngân hàng số tiền 50 triệu đồng với lãi suất 1,15% một tháng trong vòng 4 năm
thì mỗi tháng mẹ Lê phải trả bao nhiêu tiền thì hết nợ?
A. 1 362 000 đồng. B. 1 240 000 đồng. C. 1 154 000 đồng. D. 1 680 000 đồng.
Đáp án:
1–C 2-D 3-D 4-A
Trang 6

CHƯƠNG 2: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT
PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Bất phương trình mũ cơ bản có dạng
CHUYÊN ĐỀ: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LÔGARIT
x x x x
a b; a b ;a b; a b.
Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng log x b; log x b; log x b; log x b .
Chú ý:
a a a a
Ta có thể sử dụng máy tính để giải và thử đáp án cho các bài tập giải bất phương trình mũ và lôgarit như
các bài tập phương trình mũ và phương trình lôgarit.
PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Giải bất phương trình mũ và lôgarit bằng phương pháp đưa về cùng cơ số
1. Phương pháp giải
Bất phương trình mũ:
f x g x
• Nếu a 1
thì a a f x g x (cùng chiều nếu a 1)
f x g x
• Nếu 0 a 1
thì a a f x g x (ngược chiều nếu 0 a 1)
f x g x
• Nếu a chứa ẩn thì a a a 1 . f x g x 0 (Điều kiện a 0 )
Bất phương trình lôgarit:
g x 0
• Nếu a 1
thì logaf x logag
x
(cùng chiều nếu a 1)
f x
g x
f x 0
• Nếu 0 a 1
thì logaf x logag
x
(ngược chiều nếu 0 a 1)
f x
g x
• Nếu a chứa ẩn thì
2. Ví dụ minh họa
loga
f x 0 a 1 . f x 1 0
loga
f x
0 f x 1 g x 1
0
loga
g x
3 x 3
Ví dụ 1: Tập nghiệm của bất phương trình
14 14
1
1
1
1
A. 0; . B. 0; . C. . D. .
5
5
;
5
1
0; 0;
5
Điều kiện:
Vì
x 0. Ta có
1
x
3 3
14 14
5
Hướng dẫn
3
1 nên
14 1 1 1
5x 1
1 5 5 0 0 0 x
x x x 5
5
là:
1
Trang 1

1
Vây tập nghiệm của bất phương trình là S
0; .
5
Chọn B.
Ví dụ 2: Nghiệm lớn nhất của bất phương trình
2.3 2
x x2
x x
3 2
1
là:
3
A. x log 3 . B. x 0 . C. x 1. D. x log3
. 2
Ta có
3
2
Hướng dẫn
3 3
2. 4 2. 4
1 1 1 1 0
3 2 3 2 3 3
1 1
2 2
x x2 x x
2.3 2 2.3 4.2 2 2
x x x x
x
x
x
3
3
x
2
3
0 1 3 0 x log
3
3 .
x
3 2
2
1
2
Vậy nghiệm lớn nhất của bất phương trình là x log 3 .
Chọn A.
Ví dụ 3: Bất phương trình
x
3
2
2
log x x 2 log x 1 1
có tập nghiệm là:
2 0,5
A. ;1
2 . B.
1
2;
. C. ;1
2 . D.
1
2;
.
Hướng dẫn
2
x 1
x x 2 0
Bất phương trình có điều kiện xác định:
x 2 x 2 .
x 1 0
x 1
2 2
Ta có 1
log x x 2 log x 1 1 log x x 2 log x 1 1
2 0,5 2 2
2 2
log x x 2 log x 1 1 log x x 2 log x 1 1 0
2 2 2 2
2
x 2 x 2x 1
log2 x x 2 log2 x 1 log2 2 0 log2
0
2
2
x x 2x 1
2
3 2
2x 1
2
2
1 x x 2 x x x x 2x 2 2
x2
3 2 2 2
x 2x x 0 x x 2x 1 0 x 2x 1 0
x 1
2 Loaïi
x 1
2
x 1
2 Thoûa maõn
x
1
Trang 2

Chọn D.
Ví dụ 4: Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình
log log x log log x
3 27 9 3
A. 19863. B. 19683. C. 19638. D. 19836.
Điều kiện xác định:
Hướng dẫn
x 0
x 0
log27
x 0 x 1. Ta có
x 1
log3
x 0
1 1
3 2
1 log log 3x log
2 log
x log log x log log x
Đặt
t
3
3 3 3 3
3 3
3 3
log x . Khi đó bất phương trình trở thành:
là:
log log x log log x 1
3 27 9 3
1 1 1 1 1
2
log t log t log log t log t 0 log t 1 0 log t 2 t 3
3 3 3 3 3 3 3
9
3 2 3 2 2
9
log3
x 9 x 3 19683
Vậy nghiệm nhỏ nhất của bất phương trình là x 19683
.
Chọn B.
3. Bài tập tự luyện
Bài 1. Tập nghiệm của bất phương trình
x
1
4
16
x 2
A. . B. x 2
. C. 1 x 0 . D. 1 x 0 .
1 x 0
x6
Bài 2. Nghiệm nguyên dương của bất phương trình 11 11
A. S 6; 5; 4; 3; 2;0;1;2;3 . B. S 0;1;2;3 .
C. S 1;2 . D. S 1;2;3 .
2x
x1
Bài 3. Cho bất phương trình
trên là:
2
log l x log 1 x
3 1
3
là:
x
là:
. Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình
1
5
A. x . B. x 1. C. x 0 . D.
2
Bài 4. Bất phương trình
log x 5log x 6
2
0,2 0,2
có tập nghiệm là:
1
5
x
2
1 1
1
A. S 2;3
. B. S ; . C. S
0; .
125 25
25
D.
Đáp án:
1–A 2–D 3–C 4–B
Dạng 2: Giải bất phương trình mũ và lôgarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ
1. Ví dụ minh họa
S 0;3
Trang 3

x x
Ví dụ 1: Tập nghiệm của bất phương trình 16 4 6 0 là:
A. x 1. B. x log 3 . C. x log 3 . D. x 3 .
4
4
Hướng dẫn
x
Đặt t 4 t 0 , khi đó bất phương trình đã cho tương đương với:
t 0
2 x
t t 6 0 2 t 3 0 t 3 0 4 3 x log 3.
Chọn C.
x1 2x1 2
Ví dụ 2: Số chính phương nhỏ nhất là nghiệm của bất phương trình 3 2 12 0
A. x 16
. B. x 9 . C. x 4. D. x 1.
Hướng dẫn
x x x
x1 2x1 2 x 2x 2 x x 2
Ta có 3 2 12 0 3.3 2.2 12 0 3.3 2.4 12 0
x x
x
x
x x x 2
2 2
2
2
16 4 4 4
2 2 2
3.9 2.16 12 0 3 2. 0 3 2 0
9 3
3
3
4
Đặt
3
x
2
t; t 0 , khi đó bất phương trình trên trở thành:
t 1
t
2
2
3 2.t t 0 3
4
Từ đó, ta có
3
x
2
. Kết hợp với điều kiện t 0 , suy ra t 1.
1 x 2log 1 0
4
3
Vậy số chính phương nhỏ nhất là nghiệm của bất phương trình trên là 1.
Chọn D.
Ví dụ 3: Tập nghiệm nguyên của bất phương trình
x 1
x
2 2 1
A. S 1;0;1
. B. S 1 . C. S 0;1 . D. S 0 .
4
là:
x
là:
Điều kiện
x 0 . Ta có
Hướng dẫn
x 1
x x
2 2 1 2 1
x
x
Đặt t 2 . Do x 0 t 1, khi đó ta có:
2
2
2
2
2 t 1 t t 2 0 1 t 2 . Kết hợp với điều kiện t 1, ta có:
t
2
x
1 t 2 1 2 2 0 x 1 0 x 1.
Vậy tập nghiệm nguyên của bất phương trình là S 0 .
Chọn D.
3. Bài tập tự luyện
Trang 4

Bài 1. Cho bất phương trình
1 1
x1
x
5 1 5 5
. Tập nghiệm của bất phương trình là:
A. S 1;0 1; . B. S ;0 . C. S 1;0 1; . D. S ;0
.
Bài 2. Tập nghiệm của bất phương trình
x x
4 3.2 2 0
0;1
A. ;0 1; . B. ;1 2; . C. . D. 1;2 .
log2
x4
Bài 3. Cho bất phương trình x 32 . Tập nghiệm của bất phương trình là:
A. Một khoảng. B. Nửa khoảng. C. Một đoạn. D. Tập rỗng.
1 x
Bài 4. Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn bất phương trình 3 2 3 7 ?
A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số
Đáp án:
1–A 2–A 3–C 4–B
là:
2x
Dạng 3: Bất phương trình mũ và lôgarit chứa tham số
1. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để bất phương trình
log mx x log 4
2
1 1
5 5
m 4
A. 4 m 4. B. . C. m 4 . D. 4 m 4.
m 4
5
Hướng dẫn
1
Vì 1 nên log mx x log 4 mx x 4 x mx 4 0
2 2 2
1 1
5 5
Bất phương trình ban đầu vô nghiệm khi và chỉ khi bất phương trình
2
x mx 4 0
Chọn D.
vô nghiệm nên
2
x mx 4 0, x
2
m 16 0
4 m 4
Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đoạn
2 2
trình log x 1 log x 4x m 1
.
5 5
2;3
vô nghiệm.
thuộc tập nghiệm của bất phương
A. m 12;13 . B. m 12;13 . C. m 13;12 . D. m 13; 12
.
2 2
Ta có:
5
5
Hướng dẫn
2
x 1
log x 1 log x 4x m 1 5
2
x 4x m 0
2
x 4x m
Trang 5

2 2
5x 5 x 4x m
2
m 4x 4x 5 f x
2 2
x 4x m 0 m x 4x g x
m
min f x
2x3
Hệ trên thỏa mãn x 2;3
.
m max g x
2x3
Do đó:
min f x 13 khi x 2
2x3
max g x
12 khi x 2
2x3
Vậy điều kiện m cần tìm là 12 m 13
.
Chọn A.
Ví dụ 3: Cho bất phương trình
phương trình trên nghiệm đúng x 1.
x
x
9 m 1 .3 m 0 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất
3
3
A. m . B. m . C. m 3 2 2 . D. m 3 2 2 .
2
2
Hướng dẫn
x
Đặt t 3 . Vì x 1 t 3. Khi đó: 9 x m 1 .3 x m 0 1 t 2 m 1 .t m 0 2
Bất phương trình 1 nghiệm đúng x 1
khi và chỉ khi 2 nghiệm đúng t 3
nên
2
t t
m nghiệm đúng t 3
t 1
Suy ra
Xét hàm số
2
m min
t3
t 1
t
t
2
g t
t 2 ; t 3. Ta có
t 1
2
g t 1 0 ; t 3
t 1 2
3
Nên hàm số g t
đồng biến trên nửa khoảng 3;
và g 3
.
2
Vậy
2
t t 3 3
m min m m
t3
t 1 2 2
Chọn B.
3. Bài tập tự luyện
Bài 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình
đúng với mọi x .
2
log3
x 4x m 1
A. 4 m 7 . B. m 7 . C. m 4 . D. m 7 .
x
Bài 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log 5 l m có nghiệm x 1.
A. m 2 . B. m 2 . C. m 2 . D. m 2 .
Đáp án:
1–D 2–A
2
nghiệm
Trang 6

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1. Tập nghiệm của bất phương trình
1 1
x x1
3 5 3 1
A. 1 x 1. B. x 1. C. x 1. D. 1
x 2 .
Bài 2. Điều kiện xác định của bất phương trình
là:
log
1
log2
2
2 x
0
2
A. x 1;1 . B. x 1;0 0;1 . C. x 1;1 2; . D. x 1;1
.
Bài 3. Tập nghiệm của bất phương trình
x x x
2 4.5 4 10
x 0
A. x 2. B. x 0 . C. . D. 0 x 2 .
x 2
2 2 2
sin x cos x sin x
Bài 4. Cho bất phương trình 2 3 m.3
trình trên có nghiệm?
là:
là:
. Với giá trị thực nào của tham số m thì bất phương
A. m 4 . B. m 4 . C. m 1. D. m 1.
Bài 5. Tập nghiệm của bất phương trình
2
log x 6x 5 log x 1 0
1 3
3
A. S 1;6 . B. S 5;6 . C. S 5; . D. S 1; .
Bài 6. Cho bất phương trình
trình trên là:
log x log x 2 log 3 . Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương
0,2 5 0,2
A. x 6 . B. x 3 . C. x 5 . D. x 4.
Bài 7. Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình
là:
x1
log 4.3 2x 1
là:
A. x 3 . B. x 2. C. x 1. D. x 1.
Bài 8. Bất phương trình
x
log log 9 72 1
có tập nghiệm là:
x 3
A. S log3
73;2
. B. S log3
72;2 . C. S ;2
. D. S log3
73;2
.
Câu 9. Tập nghiệm của bất phương trình
3
3 2
logx 125x .log25 x log5
x
2
A. S 1; 5 . B. S 1; 5 . C. S 5;1 . D. S 5; 1
.
Bài 10. Tập nghiệm của bất phương trình
2
x x 1 x
1
0;
A. . B. ;0 . C. ; 1 . D. 0;1 .
Bài 11. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình
2 2
log 7x 7 log mx 4x m có nghiệm x
.
2 2
A. m 2;5 . B. m 2;5 . C. m 2;5 . D. m 2;5
.
Bài 12. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình
2 2
1 log x 1 log mx 4x m
5 5
là:
có nghiệm đúng với mọi x.
A. m 2;3 . B. m 2;3 . C. m 2;3 . D. m 2;3
.
là:
Trang 7

Đáp án:
1–A 2–D 3–C 4–A 5–B 6–D 7–C 8–D 9–A 10–C 11–B 12–A
Trang 8

PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Nguyên hàm
Định nghĩa:
Cho hàm số
y f x
CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN
CHUYÊN ĐỀ 1: NGUYÊN HÀM HÀM CƠ BẢN
xác định trên tập K (K là
khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số
được gọi là nguyên hàm của hàm số
trên K nếu F x f x x K.
Fx
y f x
Hàm số y 2x xác định trên . Ta có
x
2
2
2x
nên hàm số
F x
x
nguyên hàm của y 2x trên .
được gọi là
Định lí 1
Mọi hàm số
f x
nguyên hàm trên K.
Định lí 2
Nếu
f x
Fx
liên tục trên K đều có
là một nguyên hàm của hàm số
trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số
G x F x C
f x
trên K.
cũng là một nguyên hàm của
Ta có:
x
2
x 100 2x
Hàm số
2
2
2x
x 2 2x
2
2
x
F x
x C
2x
(C là hằng số)
được gọi là nguyên hàm
của y 2x trên thì với mỗi hằng số C, hàm
số
2
G x x C
của y 2x trên .
cũng là một nguyên hàm
Định lí 3
Nếu
f x
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
trên K thì mọi nguyên hàm của
trên K đều có dạng
Fx
C
f x
với C là hằng số.
Mọi nguyên hàm của hàm số
y 2x
trên
Kí hiệu: f x dx F x C .
đều có dạng
Kí hiệu:
2
x
C
2xdx
2
x
với C là hằng số.
C
Trang 1

2. Tính chất của nguyên hàm
f x dx f x C
với C là hằng số.
3x 2 dx x 3 dx x 3 C
f x g x dx f x dx g x dx
kf x dx k f x dx với k 0
Fx
có đạo hàm thì
d F x F x C
2 2
3x 2x dx 3x dx 2xdx
3 2
x x C
2
8xdx 4. 2x dx 4 2xdx 4x C
d x 2 x 2 C
PHẦN 2: CÔNG THỨC TÍNH NHANH
0dx C
dx x C
Nguyên hàm các hàm số thường gặp
x
n 1
n1
n
x dx C, n 1
1 1
dx C
2
x x
Nguyên hàm mở rộng
1 1 x a
dx ln C
x a x b a b x b
1 1 x
dx arctan C
2 2
x a a a
x
1
2 2
dx ln x x a C
2 2
a
1 1
dx C. a 0
2
ax
b a ax
b
1 dx ln x C
x
1 1
ax b a
dx ln ax b C. a 0
x x
e dx e C
1
a
axb
axb
e dx e C, a 0
x
a
ln a
mxn
a
m.ln a
x
mxn
a dx C0 a 1
a dx C, 0 a 1
cos xdx sin x C
sin xdx cos x C
1
2
cos x
dx tan x C
cos ax b dx 1 sin ax b C, a 0
a
sin ax b dx 1 cos ax b C, a 0
a
1 1
dx tan ax b C a 0
2
cos ax b a
Trang 2

Nguyên hàm các hàm số thường gặp
Nguyên hàm mở rộng
1
dx cot x C
2
2
sin x
1 1
dx cot ax b C a 0
sin ax b a
tan xdx
1
ln cos x C
tan ax bdx ln cosax b
C
a
cot xdx ln sin x C
cot ax bdx 1 ln sin ax b Ca 0
a
PHẦN 3: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Nguyên hàm cơ bản
1. Phương pháp giải
Cách 1: Áp dụng các công thức trong bảng nguyên hàm
cơ bản.
Ví dụ: Tính
2x
2
3
dx
2
x
3
2x 3
A. C . B. 2x 3
3 C .
3 2x
3 x
3 3
C. 2x C . D. 2x 3
3 C .
x
3 x
Hướng dẫn:
Cách 1: Áp dụng
x
n 1
n1
n
x dx C, n 1
1 1
dx C và
2
x x
ta có:
2 3
2 3
2x dx 2x dx dx
2
2
x
x
3
2 1 2x 3
2 x dx 3 dx C
2
x 3 x
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570 VNPLUS
Bước 1: Thay
y f x
x a
, ta được kết quả là f a
.
Bước 2: Sử dụng SHIFT
Nhập
d
dx
(các đáp án)
(a là một số bất kì) vào hàm số
d
dx
x a
x
Đáp án nào ra kết quả bằng với kết quả ở bước 1 là đáp
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570
VNPLUS
2 3
Thay x 2 vào hàm số f x 2x ta được
2
x
35
kết quả là .
4 8,75
Đáp án A: Nhập
3
d 2X 3
x 2
dx 3 2X
ta được
kết quả là 7,625, khác kết quả ở bước 1, đó đó
loại đáp án A.
Trang 3

án đúng.
Đáp án B: Nhập
dx 3 X
3
d 2X 3
x 2
quả là 8,75, bằng kết quả ở bước 1.
Chọn B.
ta được kết
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính nguyên hàm
1
3x1
e
2 x
dx
1 3x 1 1
A. e
3x 1 1
C . B. 3e
3x 1 1
1
C . C. 3e
3x 1 1
C . D. e
C .
3 x
x
x
3 x
Hướng dẫn
axb
1 axb
1 1
Áp dụng công thức e dx e C, a 0
và dx C ta có:
2
a
x x
3x1
3x1 1
3x1
1 e 1
2 2
e dx e dx dx C
x
x 3 x
Chọn D.
3 2
Ví dụ 2: Cho f x x 3x 2x . Một nguyên hàm F x của f x thỏa mãn F 1 2 là
4
4
x 3 2 1
x 3 2 1
A. Fx
x x . B. Fx
x x .
4 4
4 4
4
4
x 3 2 9
x 3 2 9
C. Fx
x x . D. Fx
x x .
4 4
4 4
Hướng dẫn
4
3 2 3 2 x 3 2
Fx x 3x 2xdx x dx 3 x dx 2
xdx x x C
4
4
1 3 2
9
F1
2 1 1 C 2 C .
4 4
Vậy
4
x 3 2 9
F x x x
4 4
Chọn C.
Ví dụ 3: Cho f x
sinx cosx . Một nguyên hàm Fx
của f x
thỏa mãn F
0 là
4
2
A. Fx
cos x sin x 2 . B. Fx
cos x sin x .
2
2
C. Fx
cos x sin x 2 . D. Fx
cos x sin x .
2
Hướng dẫn
Trang 4

F x sin x cos x dx sin xdx cos xdx cos x sin x C
F 0 cos sin C 0 C 2 .
4 4 4
Vậy
Fx
cos x sin x 2
Chọn A.
Ví dụ 4: Tìm m để hàm số
2
f x 3x 10x 10
.
3 2
F x mx 3m 2 x 10x 2018
là một nguyên hàm của hàm số
A. m 3 . B. m 0 . C. m 1. D. m 2 .
Hướng dẫn
3 2
2 x x
3 2
Ta có 3x 10x 10dx 3. 10. 10x C x 5x 10x C .
3 2
Để
3 2
F x mx 3m 2 x 10x 2018
2 m 1
f x 3x 10x 10 m 1
3m 2 5
Chọn C.
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau?
là một nguyên hàm của hàm số
A. kf x dx k f x dx, k . B. f x .g x dx f x dx. g x dx .
C. f x g x dx f x dx g x dx . D. f x dx f x C .
Câu 2. Họ nguyên hàm của hàm số
4 2
f x 5x 4x 6
5 4 3
3
3
5 4 3
A. x x 6x C. B. 20x 8x C . C. 20x 8x C . D. x x C .
3
3
1 4 4
Câu 3. Hàm số f x có nguyên hàm là F . Biết . Tìm .
2 3
x
F1
6 Fx
x x x
4 2
A. ln x 6 . B. . C. . D. .
2
x
x
4 2
ln x 4
x
x
4 2
ln x 12
2
x
x
4 2
ln x 6
2
x x
2
Câu 4. Tìm nguyên hàm của hàm số f x
cos3x
.
6
1
A. f xdx sin 3x C . B. f xdx sin 3x C .
3 6
6
1
1
C. f xdx sin 3x C
D. f xdx sin 3x C .
3 6
6 6
Đáp án:
là
Trang 5

1–B 2–A 3–C 4–A
Dạng 2: Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số
1. Phương pháp giải
Nếu f u du F u C và u u x có đạo hàm liên tục thì f
u x
.u x dx F u C .
Chú ý:
Công thức tính vi phân: f xdx d f x
dx d x 1 d x 2 ... d x n
1 1 1 1
dx d ax d ax 1 d ax 2 ... d ax n
a a a a
sin xdx d cos x d cos x
cos xdx d sin x
1 dx d ln x
x
x
x
e dx d e
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Nguyên hàm của hàm số
1
2x 2018 2
là
1
A. . B. . C. . D. .
4036 4x C
1
1
C
2x 2018 3
4x 4036 C
1
C
2x 2018
1
Cách 1: I
dx .
2x 2018
2
Hướng dẫn
Đặt
dt 1
2x 2018 t dt 2dx . Do đó: I
2
2t 2t
Trở lại phép đổi biến ta được:
Cách 2: Sử dụng vi phân
1 1
I C C
2 2x 2018 4036 4x
1 1 2018 1 2x 2018
I dx d x d
2 2
2
2
2
2x 2018 2x 2018 2x 2018
1 1 1 1 1
d
2
2x 2018 . C C
2
2x 2018
2 2x 2018 4036 4x
C
Cách 3: Sử dụng công thức tính nhanh
Chọn A.
1 1
dx
2
ax
b a ax
b
C
Trang 6

Ví dụ 2: Nguyên hàm của hàm số
f x
x
3
4
x 5
là
A. 1 x 4
5 . B. 1 4
C
4
x 5
1
x 5 C . C. C . D. .
8
4
2
4
8 x 5 C
Hướng dẫn
3
x
Cách 1: I dx .
4
x 5
Đặt x 5 t t 0 x 5 t 4x dx 2tdt x dx .
2
4 4 2 3 3 tdt
tdt dt t
Do đó: I C
2t
2 2
Trở lại phép đổi biến ta được: I
4
x 5
2
C
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570 VNPLUS
3
x
Bước 1: Thay x 2 vào hàm số f x
ta được kết quả là 1,7457.
4
x 5
d
Bước 2: Sử dụng SHIFT
dx
x
d 1 x
4
5 x 2
Đáp án A: Nhập
dx 8
án A.
d 1 4
Đáp án B: Nhập x 5 x 2
dx 4
án B.
ta được kết quả là 0,4364, khác kết quả của bước 1 do đó loại đáp
ta được kết quả là 0,8728, khác kết quả của bước 1 do đó loại đáp
4
d x 5
Đáp án C: Nhập x 2 ta được kết quả là 1,7457, bằng kết quả của bước 1.
dx 2
Chọn C.
dx
10
Ví dụ 3: Cho nguyên hàm sau I . Khi đặt t x 1
ta được
10
x x 1
dt
1 dt
1 dt
1 dt
A. I . B. I . C. . D. .
2
t t 1
10
I
3 2
t 1
10
I
2
t t
5
t 1
I
dx
9
x dx
10 10 10
x x 1 x x 1
Hướng dẫn
Đặt t x 1 t 0 t x 1 x t 110x dx 2tdt x dx
5
10 2 10 10 2 9 9 tdt
, ta có:
Trang 7

I
tdt 1 dt
2
5 t 1 t
Chọn D.
2
5 t 1
x 2
Ví dụ 4: Giả sử Fx
là một nguyên hàm của hàm số y . Biết F10
40 . Tính F2
.
x 1
10
32
20
A. . B. . C. . D. 4.
3
3
3
Hướng dẫn
2 2
Đặt x 1 t t 0 x 1 t x t 1 dx 2tdt
2
t 1 2 2tdt
3 3
2 t 2t
I 2t 3dt 2 3t C 6t C
t
3 3
Fx 2 x 1 3
6 x 1 C
3
2 2 32
F 10 40 9 6 9 C 40 C 4 F 2 6 4
3 3 3
3
Vì
Chọn B.
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Tìm nguyên hàm của hàm số f x 5 3x .
2
2
A. f xdx 5 3x
5 3x C . B. f xdx 5 3x
5 3x .
9
3
2
2
C. f xdx 5 3x
5 3x . D. f xdx 5 3x C .
9
3
1
2
Câu 2. Biết một nguyên hàm của hàm số f x
1
là hàm số Fx
thỏa mãn F1
. Khi
1
3x
3
đó
Fx
là hàm số nào sau đây?
2
2
A. Fx
x 1 3x 3 . B. Fx
x 1 3x 3 .
3
3
2
2
C. Fx
x 1 3x 1. D. Fx
4 1
3x .
3
3
Câu 3. Tìm nguyên hàm của hàm số f x
2x 1
x 1
2
2
A. f xdx 2x 1
1 x C . B. f xdx 2x 1
1 x C .
3
3
2
1
C. f xdx 2x 1
1 x C . D. f xdx 2 1 x C .
3
1
x
Câu 4. Hàm số f x x x 1 có một nguyên hàm là F x . Nếu F 0 2 thì F 3 bằng
Trang 8

886
116
146
105
A. . B. . C. . D. .
105
15
15
886
ax b
Câu 5. Biết hàm số Fx
x 1 2x 2018 là một nguyên hàm của hàm số f x
. Khi đó
1
2x
tổng của a và b là
A. 2. B. –2. C. 0. D. 1.
Đáp án:
1–A 2–B 3–A 4–C 5–A
Dạng 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần
1. Phương pháp giải
Nếu u và v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:
udv uv vdu
log lnx
2
Cách ưu tiên đặt u: nhất , nhì đa ax b; ax bx c , tam lượng , tứ mũ x x
e .a .
Ví dụ:
sin x;cos x
Đặt
ln xdx
x ln xdx
x sin xdx
x
xe dx
x
e .cos xdx
u ln x ln x x x
cos x
vdv dx xdx
sin xdx
x
e dx
x
e dx
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính nguyên hàm
Fx
x sin xdx
bằng
A. sin x x cos x C . B. x sin x cos x C . C. x cos x sin x C . D. x sin x cos x C .
Hướng dẫn
u x du dx
Cách 1: Đặt
.
dv sin xdx v cos x
I uv vdu x.cos x cos xdx x.cos x sin x C .
Cách 2: Sử dụng vi phân
x sin xdx xd cos x x.cos x cos xdx x.cos x sin x C
Chọn C.
Trang 9

Ví dụ 2: Tính nguyên hàm ln 4xdx
A. x x
ln 4x 1 C . B. ln 4x 1 C . C. x ln 4x 1
C . D. 2x ln 4x 1
C .
4
2
dx
u ln 4x du
Cách 1: Đặt x .
dv
dx
v
x
Hướng dẫn
1
Khi đó: ln 4xdx uv vdu x.ln 4x x. dx x.ln 4x 1dx x ln 4x 1
C .
x
Cách 2: Sử dụng vi phân
ln 4xdx x.ln 4x xd ln 4x
4
x.ln 4x
x. dx x.ln 4x 1dx x ln 4x x C x ln 4x 1
C
4x
Cách 3: Sử dụng máy tính CASIO fx 570 VNPLUS
Bước 1: Thay x 2 vào hàm số f x ln 4x ta được kết quả là 2,07944.
d
Bước 2: Sử dụng SHIFT
dx
Đáp án B: Nhập
loại đáp án A.
Đáp án B: Nhập
loại đáp án B.
x
d X
x ln 4X 1
x 2
dx 4
d X
x ln 4X 1
x 2
dx 2
ta được kết quả là 0,519, khác kết quả của bước 1, do đó
ta được kết quả là 1,039, khác kết quả của bước 1, do đó
Đáp án C: Nhập d X ln 4X 1
x 2 ta được kết quả là 2,07944, bằng kết quả của bước 1.
dx
Chọn C.
2x
Ví dụ 3: Cho F x là nguyên hàm của hàm số y x.e , biết F 0 1. Tìm F x .
1 2x 3 1 2x 1
1 2x 1 5
2x 1 3
A. e x 2
. B. e x . C. e x . D. 2e x .
2 4 2 2
2 2 4
2 4
Hướng dẫn
du dx
u x
2x
Cách 1: I x.e dx . Đặt .
2x 1 2x
dv
e dx v
e 2
2x 2x 2x 2x 2x
I uv vdu xe e dx xe e C e x C
1 1 1 1 1 1
2
2 2 4 2 2
Trang 10

1 0 1 1 5
F0 .e 0 C C 1 C . Do đó
2 2 4 4
Cách 2: Sử dụng vi phân
1 1 5
2 2 4
2x
F x e x
2x 2x 2x
2x e x.e e 1 2x 1 2x
I x.e dx xd
dx xe e dx
2 2
2 2 2
1 1 1 1
2 4 2 2
2x 2x 2x
xe e C e x C
1 0 1 1 5
F0 e 0 C C 1 C . Do đó
2 2 4 4
Chọn C.
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Tính
F x
x
3
xe dx . Chọn kết quả đúng.
1 1 5
2 2 4
2x
F x e x
x
x 3
3
A. Fx
e C . B. x 3
F x x 3 e C .
3
x
x 3
3
C. Fx
e C . D. x 3
F x 3 x 3 e C .
3
Câu 2. Tính
Fx
x sin 2xdx
. Chọn kết quả đúng.
1
1
A. Fx 2x cos 2x sin 2x
C . B. Fx 2x cos 2x sin 2x
C .
4
4
1
1
C. Fx 2x cos 2x sin 2x
C . D. Fx 2x cos 2x sin 2x
C .
4
4
Câu 3.
Fx
x sin x cos x 2017
là một nguyên hàm của hàm số nào?
A. f x x sin x . B. f x x cos x . C. f x x cos x . D. f x x sin x .
Đáp án:
1–D 2–A 3–B
PHẦN 4: BÀI TẬP TỔNG HỢP
Câu 1. Họ nguyên hàm của hàm số
x x
f x e 3 e
x
x x x
A. F x 3e x C . B. Fx 3e e ln e C .
x 1
x
C. Fx
3e C . D. F .
x
x 3e x C
e
Câu 2. Tính
1 1
dx
x 2
A. x x x
1 1
C . B. 2 x C . C. x C . D. .
2 2
2
2 x 2
2 x
C
x 2
là
Trang 11

Câu 3. Cho Fx
4 2
3
x x 3
là nguyên hàm của hàm số f x x x thỏa mãn F1 0, Fx
a b c
.
Tính S a 2b c .
A. 10. B. 12. C. 14. D. 16.
3
Câu 4. Cho hàm số y 3 x 4 x có nguyên hàm f x sao cho f 1 7 . Tính giá trị của biểu thức
f 0 f 64
.
A. 2018. B. 1792. C. 1945. D. 1794.
Câu 5. Tìm nguyên hàm của hàm số f x
x 2
x 1
2
A. f xdx x 4
x 1 C . B. f xdx x 4
x 1 C .
3
x
1
C. f xdx
C . D. f xdx x 1 C .
2 x 1 x 1
x 1
2
Câu 6. Tìm hàm số F x biết F x 3x 2x 1 và đồ thị hàm số y F x cắt trục tung tại điểm có
tung độ bằng 2.
3 2
3 2
A. F x x x x 2 . B. Fx x x x 2 .
3 2
C. F x 6x 2 . D. Fx x x x 2 .
Câu 7. Tính
5 9x 12
bằng
13
13
13
13
5 9x
5 9x
5 9x
5 9x
A. C . B. C . C. C . D. C .
13
117
117
9
Câu 8. Cho hàm số f x 2x sin x 2cos x . Một nguyên hàm F x của f x thỏa mãn F 0 1
là
2
A. x cos x 2sin x .
2
B. x cos x 2sin x 2 .
C. 2 cos x 2sin x .
2
D. x cos x 2sin x 2 .
1–A 2–B 3–B 4–D 5–A 6–B 7–C 8–B
Trang 12

CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN
CHUYÊN ĐỀ 3: TÍCH PHÂN
PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Khái niệm tích phân
Cho hàm số y f x liên tục trên K và a,b
K.
Nếu F x một nguyên hàm của y f x trên K
thì
F b
F a
từ a đến b và kí hiệu là
b
a
được gọi là tích phân của y f x
b
a
f x dx
f x dx F b F a
Trong đó: a là cận trên, b là cận dưới.
f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.
dx: gọi là vi phân của đối số.
f x dx : gọi là biểu thức dưới dấu tích phân.
Chú ý:
Tích phân xác định không phụ thuộc biến
2
x
F x
y f x 2x,
y f x 2x
là một nguyên hàm của hàm số
tích phân cận từ 1 tới 2 của hàm số
là:
b
a
b
f x dx f t dt F b F a
a
2 2 2
2x dx 2tdt 2udu 3
1 1 1
2. Tính chất của tích phân
0
1.
0
b
f x dx 0
2. f xdx
a
b
a
b
f x dx
3. kf xdx
k f xdx, k
a
b
a
b b b
4.
f x g x dx f x dx g x dx
a a a
5. Nếu f x 0, x a, b thì
b
a
f x dx 0, x a,b
1.
2.
3.
4.
0
0
2x dx 0
2 1
2x dx
1 2
2 2
1 1
2x dx
2x dx 2 x dx
2 2 2
2 2
2x x
dx 2x dx x dx
1 1 1
5. Với f x 2x 0, x 1, 2 , ta có:
2 2
f x dx 2x dx 3 0, x 1;2
1 1
PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tính tích phân bằng phương pháp phân tích
Trang 1

1. Phương pháp giải
Tính tích phân
b
f xdx.
Ví dụ: Tính tích phân
a
1
I x 1 dx.
0
2
Cách 1: Phân tích
f x
thành tổng, hiệu, tích,
thương của nhiều hàm số khác, mà ta có thể sử
dụng được trực tiếp bảng nguyên hàm cơ bản tìm
nguyên hàm của chúng. Sau đó tính tích phân theo
công thức sau:
b
a
f x dx F b F a
8 7
A. . B. 2. C. . D. 4.
3
3
Hướng dẫn
Cách 1:
1 1
2 2
I x 1 dx x 2x 1 dx
x
3
0 0
3
2
x
x
3 3
1 2 0 2
1 1 0 0
3 3
7
3
Cách 2: Sử dụng máy tính Casio fx 570 VN PLUS: Cách 2:
Sử dụng phím
Nhập
1 2
Chọn C.
1
0
X 1
dx, ta được kết quả là
0
7 .
3
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tích các giá trị của k để
0
k
2
6x 6x 2 dx 3
là
2 3
A. .
B. –1. C. .
D.
3
2
Hướng dẫn
0 3 2
0
0
2 6x 6x
3 2 3 2
Ta có
k
6x 6x 2 dx 2x 2x 3x 2x 2k 3k 2k.
k
3 2 k
3
.
2
Theo đề bài ta có
0
k
2
6x 6x 2 dx 3nên
3
k
2
k 1
3 2
2k 3k 2k 3 .
3 3
.1. 1 .
2 2
Do vậy tích các giá trị của k là
→ Chọn D.
Ví dụ 2: Tích phân
4
x 1
I dx 3
x 2
3
bằng
Trang 2

A. 1 3ln 2.
B. 2 3ln 2. C. 4ln 2. D. 1
3ln 2.
Cách 1:
4 4 4
3 3 3
Hướng dẫn
x 1 x 2 3 3
I dx dx 1
dx
x 2 x 2 x 2
4
= x 3ln x 2
4 3ln 2 3 ln1 1
3ln 2.
3
Cách 2: Sử dụng máy tính Casio fx 570 VN PLUS.
Bước 1: Sử dụng phím 4
X 1 . Nhập dx, ta được kết quả là 3,0794415.
X 2
3
Bước 2: Tính giá trị của bốn đáp án, đáp án nào có kết quả bằng kết quả bước 1 là đáp án đúng.
Ta thấy 1
3ln2 3,0974415.
→ Chọn D.
Ví dụ 3: Biết
4
dx
I a ln 4 bln 3 cln 5 với a, b, c là các số nguyên. Tính tổng S a b c.
2
x x
3
A. S = 6. B. S = 2. C. S = –2. D. S = 0.
Cách 1:
4 4 4 4
2
3 3 3 3
Hướng dẫn
dx dx x 1 x 1 1
I dx dx ln x ln x 1
x x x x 1 x x 1 x x 1
ln 4 ln 5 ln3 ln 4
2 ln 4 ln3 ln 5.
Suy ra: a 2, b 1, c –1 S a b c 0.
Cách 2: Áp dụng công thức tính nhanh
4 4
2
3 3
x ax b
1 1
dx ln x a ln x b
a b
dx dx 1
4
I ln x ln x 1 ln 4 ln 5 ln 3 ln 4
2ln 4 ln 3 ln 5
3
x x
x x 1 0 1
Suy ra: a 2, b 1, c –1 S a b c 0.
→ Chọn D.
Ví dụ 4: Để hàm số f x asin x b thỏa mãn f 1 2 và f x dx 4 thì a, b nhận giá trị là bao
nhiêu?
A. a ;b 0.
B. a ;b 2. C. a 2 ;b 2. D. a 2 ;b 3.
Ta có
f 1
2 asin b 2 b 2
1 1
0 0
suy ra:
Hướng dẫn
1
a
2a
f xdx asin x 2dx
cosx 2x
2.
0
1
0
4
3
Trang 3

Mà
1
0
2a
f xdx 4 2 4 a .
Vậy a ,b 2.
→ Chọn B.
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Tích phân
2
I
dx
2
sin x
4
bằng
A. 4. B. 3. C. 1. D. 2.
Câu 2. Biết rằng
5
1
1
dx ln a. Giá trị của a là
2x 1
A. 9. B. 3. C. 27. D. 81.
Câu 3. Để
k
1
k 4x dx 6 5k, thì giá trị của k là
A. k = 1. B. k = 2. C. k = 3. D. k = 4.
1
2x 3
Câu 4. Biết rằng dx aln 2 b với a;b .
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau
2 x
0
2 2
A. a 5
B. b 4
C. a b 50 D. a b 1
Đáp án:
1 – C 2 – B 3 – B 4 – C
Dạng 2: Tích phân bằng phương pháp đổi biến
1. Phương pháp giải
Để tính tích phân I f x dx, nếu
f x g
u x
.u' x ,
đổi biến như sau:
Bước 1: Đặt
b
a
ta có thể thực hiện phép
t u x dt u x dx.
Ví dụ: Tính tích phân
3
1
2000
I x 1 dx.
2000
2000
1 2
2
A. . B. . C. . D.
2001 2001 2001
Hướng dẫn
t x 1 dt x 1
dx dt dx
Đặt
2001
2
.
2001
Bước 2: Đổi cận:
x a b
t u(a) u(b)
Bước 3: Thay vào ta có
Đổi cận:
x 1 3
t 0 2
Trang 4

ub
b
I gtdt Gt .
a
ua
2 2001 2 2001
2000 t 2
I t dt
2001 2001
0
→ Chọn D.
0
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính tích phân
1
2
I x 1
x dx.
0
A. I 1.
1
B. I .
4
C. I 1.
D.
Hướng dẫn
Cách 1: Đặt
2 2 2
t 1 x t 0 t 1 x 2tdt 2xdx tdt xdx
1
I .
3
Đổi cận:
0 3
0
2 t 1
Khi đó: I t dt
3 3
1
1
x 0 1
t 1 0
Cách 2: Sử dụng máy tính Casio Fx570 VN Plus.
Sử dụng phím
Nhập hàm số
→ Chọn D.
1
X 1
X 2
dx
0
ta được kết quả là
1 .
3
dx
Ví dụ 2: Đổi biến x 2sin t, tích phân I trở thành:
2
4 x
1
0
6
6
6
1
A. tdt.
B. dt.
C. dt.
D.
t
0
0
0
3
0
dt.
Cách 1: Đặt x 2sin t dx 2 costdt.
Đổi cận:
Hướng dẫn
x 0 1
t 0
6
Khi đó:
6 6 6 6
I
2 costdt
2 costdt
costdt
4 4sin t 2 1
sin t cos t
2 2 2
0 0 0 0
dt.
Trang 5

Cách 2: Sử dụng máy tính Casio fx 570VN PLUS.
Bước 1: Thiết lập chế độ rađian SHIFT MODE 4.
Bước 2: Nhập tích phân
1
dx
I
ta được kết quả là
2
4 X
6
.
0
Bước 3: Tính tích phân của 4 đáp án, đáp án nào được kết quả như bước 1 thì chọn.
6
Đáp án A, nhập Xdx được kết quả là 0,137077, khác với kết quả bước 1, loại đáp án A.
0
6
Đáp án B, nhập dx ta được kết quả là , bằng với kết quả bước 1, chọn đáp án B.
6
→ Chọn B.
0
Ví dụ 3: Cho
1 3
x
I dx a b.ln 2,
4
x 1
0
trong đó a; b nguyên. Chọn phát biểu đúng.
3
1
1
A. a b .
B. a b .
C. a b .
D. a b.
4
4
2
Hướng dẫn
Cách 1: Đặt
u x 4 1 u 1 dx 4x 3 dx. Đổi cận x 0 u 1;x 1 u 2.
2
du 1 2 1 1 1
1
4u 4 4 4 4
1
I ln u ln 2 ln1 ln 2.
1
Do đó a 0;b nên
4
1
a b .
4
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO Fx 570VN PLUS.
1 3
X
Bước 1: Nhập tích phân I dx, được kết quả là 0,1732867951.
4
X 1
0
Bước 2: Gán giá trị kết quả cho A: SHIFT STO A.
Bước 3: Giải hệ phương trình hai ẩn.
a b ln 2 A
Đáp án A: Nhập hệ phương trình 3 được kết quả là nghiệm lẻ, loại.
a
b
4
a b ln 2 A
a 0
Đáp án B: Nhập hệ phương trình 1 được kết quả là 1 .
a
b
b
4
4
→ Chọn B.
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Tích phân
1
I x 3x 1dx
0
bằng
Trang 6

16 116 114
A. .
B. .
C. .
D.
135
135
135
Câu 2. Tích phân
I
3
2
x
2
x 1
dx
có giá trị là
14 .
135
A. 2 2. B. 2 2 3.
C. 2 2 3.
D. 3.
2
Câu 3. Cho tích phân I sinx 8 cosxdx. Đặt u 8 + cosx thì kết quả nào sau đây là đúng?
0
9
1
A. I 2
udu. B. I udu. C. D.
2
I udu.
8
1
3 2
Câu 4. Tính tích phân:
0
8
9
1000
I x 3x . x 1 dx.
8
9
9
I
8
udu.
1001
1001
1000
4
3
4
A. B. .
C. D.
3003
3000
3000
1001
3
.
3003
Đáp án:
1 – B 2 – B 3 – D 4 – A
Dạng 3: Tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần
1. Phương pháp giải
Cho hai hàm số u và v liên tục trên
a;b
và có đạo hàm liên tục trên
a;b
.Khi đó:
2. Ví dụ minh họa
b
a
udv uv vdu
b
a
b
a
Ví dụ 1: Tính tích phân
2
0
xcosxdx.
A. 1 1 1.
B. 1.
C. .
D. .
2
2
2
2
Hướng dẫn
u x du dx
Cách 1: Đặt
.
dv cosxdx v sin x
2
2 2
I xsinx sin xdx cosx 1.
2 2
Do đó
0 0
0
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO Fx 570VN PLUS.
Bước 1: Thiết lập chế độ rađian SHIFT MODE 4.
Trang 7

2
Bước 2: Sử dụng phím .
Nhập xcosxdx, ta được kết quả là 0,5707963.
0
Bước 3: Tính giá trị của bốn đáp án, đáp án nào có kết quả bằng kết quả bước 1 là đáp án đúng.
Ta thấy 1 0,5707963.
2
→ Chọn B.
1
2
2x
e a
Ví dụ 2: Tích phân x.e dx có giá trị bằng . Tính ab.
b
0
A. –3. B. –4. C. 3. D. 4.
Đặt
Do đó
u x
2x
dv e dx v
du
dx
2x
e .
2
Hướng dẫn
2x 1 2x 2 2x 2 2 0 2 2
xe 1 e e e 1 e e e e 1 e 1
I dx
0 0
2
2 2 4 2 4 4 4 4 4
0
Do đó a 1,b 4 ab 4.
→ Chọn D.
Ví dụ 3: Cho tích phân
2
I 4x 3 .ln xdx = aln2 + b. Tính giá tri của a 2b.
1
A. 1. B. –1. C. 2. D. 1 .
2
Cách 1: Đặt
Hướng dẫn
1
u ln x du dx
x .
dv 4x 3dx
2
v 2x 3x
2 2
2
2x 3x
I 2x 3x ln x dx 2.2 3.2 ln 2 2.1 3.1 ln1 2x 3 dx
1
x
2
2 2 2
Do đó
1 1
2
2
2 2
14 ln 2 0 x 3x 14 ln 2 0 2 3.2 1 3.1 14 ln 2 10 4 14 ln 2 6.
1
Do đó a 14;b 6 a 2b 14 26
2.
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO Fx 570VN PLUS.
2
Bước 1: Nhập tích phân 4X 3 .ln X dx, được kết quả là 3,704060528.
1
Bước 2: Gán giá trị kết quả cho A: SHIFT STO A.
Bước 3: Giải hệ phương trình hai ẩn.
Trang 8

Đáp án A: Nhập hệ phương trình aln 2 b A
được kết quả là nghiệm lẻ, loại.
a 2b 1
aln 2 b A
Đáp án B: Nhập hệ phương trình được kết quả là nghiệm lẻ, loại.
a 2b 1
Đáp án C: Nhập hệ phương trình
→ Chọn C.
3. Bài tập tự luyện
2
aln 2 b A
được kết quả là
a 2b 2
ln x
Câu 1. Cho tích phân I dx. Khẳng định nào sau đây đúng?
2
x
1
a 14
.
b 6
2
1 2 1
A. I ln x dx.
B.
1 2
x
x
2
1
2 1
C. I ln x dx.
D.
1
x
1
2
1 2 1
I ln x dx.
1 2
x
x
2 1
I ln x dx.
1
x
2
1
1
2
2x1
I x 2 e dx.
Câu 2. Tính tích phân:
0
5
5
5
5e e 5e e 5e e
A. .
B. .
C. .
D.
4
4
2
Câu 3. Tính tích phân
e
1
x ln xdx.
2
2
e 1
e 2
1
A. I
B. I
C. I
D.
4
2
2
5
5e e .
I
2
2
e 1
4
Đáp án:
1 – B 2 – A 3 – D
PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP
Câu 1. Tích phân
I
1
x 1
2
0
x 2x 5
dx
bằng
8
1 8
8
A. ln .
B. ln .
C. 2 ln .
D.
5
2 5
5
1
Câu 2. Tích phân I dx bằng
x
e
1
8
2 ln .
5
A. e. B. 1. C. –1. D. 1 .
e
Trang 9

10
99 2
Câu 3. Tính
I x 2x 1 dx.
0
100
100
100
100
10 2030
10 1970
10 1970
10 2030
A. I . B. I . C. I . D. I .
100 3
100 3
100 3
100 3
1
x 4
Câu 4. Biết I dx = aln2 + bln3. Tính P a.b.
2
x 3x 2
0
A. –10. B. 4. C. –15. D. 6.
1
2
x
cosx
Câu 5. Cho I dx và J dx, phát biểu nào sau đây đúng?
x 3
3sinx 12
0
0
1
A. I J.
B. I 2.
C. J ln 5.
D. I 2J.
3
Câu 6. Cho tích phân
các khẳng định
2 2
1
x 2x x 1
dx = a + bln3 + cln2 a;b;c
.
x 1
sau
Chọn khẳng định đúng trong
A. a 0.
B. c 0.
C. b 0.
D. a b c 0.
Câu 7. Tìm
a 0
sao cho
a
0
x
2
x.e dx 4.
1 1
A. 4. B. .
C. .
D. 2.
4
2
Câu 8. Có bao nhiêu số
a
0;20
sao cho
a
5
2
sin x.sin 2xdx .
A. 20. B. 19. C. 9. D. 10.
3
2
Câu 9. Tích phân I ln x x dx a.ln3 b. Tính a.
2
A. 3. B. 2. C. –2. D. –3.
Câu 10. Giá trị của
e
1
ln xdx
bằng
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
0
7
Đáp án:
1 – B 2 – B 3 – B 4 – A 5 – A 6 – D 7 – D 8 – D 9 – A 10 – A
Trang 10

CHƯƠNG 4
CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM ẨN
PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Tính chất của tích phân
0
0
b
a
f x dx 0
b
a
kf x dx k f x dx
b c b
f x dx f x dx f x dx
a a c
b
a
f x dx
a
b
f x dx
b b b
f x g x dx f x dx g x dx
a a a
b
a
b
f x dx f x f b f a
a
2. Tích phân xác định không phụ thuộc biến
PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Phép tính tích phân cơ bản
1. Ví dụ minh họa
4 8
b b b
f x dx f t dt f u du
a a a
Ví dụ 1: Cho f x dx 18, f x dx 14
. Biểu thức f x dx bằng
2 2
A. 44. B. 4. C. -4. D. -44
8
4
Hướng dẫn
8 4 8 8 8 4
Ta có f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx 14 18 4
.
→ Chọn C.
2 2 4 4 2 2
5
Ví dụ 2: Cho f x dx 10
. Khi đó 2 4f x
dx bằng
2
5
2
A. 32. B. 46. C. 36. D. 43.
5 5 5
2 2 2
2 4f x
dx 2dx 4 f x dx
5
5 5
Hướng dẫn
2x 4 f x dx 2 5 2 4 f x dx 6 4.10 46.
2
→ Chọn B.
2 2
f x
1;4
Ví dụ 3: Cho hàm số có đạo hàm trên đoạn và f 4 2, f 1 5 . Tính I f x dx
A. I 3. B. I 7 . C. I = 3. D. I 10
.
4
1
Trang 1

4
4
I f x dx f x f 4 f 1 2 5 3
.
1
→ Chọn C.
Ví dụ 4: Cho
1
Hướng dẫn
5 5
f x 3g x dx 10, 2f x g x dx 6. Tính f x g x
dx
1 1
A. 9. B. 7. C. 6. D. 8.
5 5 5
1 1 1
Hướng dẫn
f x 3g x dx 10 f x dx 3 g x dx 10
5 5 5
2f x g x dx 6 2 f x dx g x dx 6
1 1 1
Đặt
5 5
I f x dx, J g x dx , theo đề bài ta có
1 1
5 5 5
Ta có
→ Chọn C.
1 1 1
I 3J 10 I 4
2I J 6 J 2
f x g x dx f x dx g x dx I J 4 2 6
2. Bài tập tự luyện
Câu 1. Cho tích phân
1 3
f x dx 1, f x dx 5. Tính giá trị của biểu thức sau: I f xdx
0 0
A. 1. B. 6. C. 4. D. 5.
Câu 2. Cho biết
4
3 4 4
f x dx 2, f x dx 3, g x dx 7 . Khẳng định nào sau đây là sai?
1 1 1
A.
f x g x
dx 10
. B. f x dx 1.
1
3
C. f x dx 5
. D.
4
4
3
4
1
4f x 2g x
dx 2
f x
d
Câu 3. Cho hàm liên tục trên thỏa mãn f x dx 10, f x dx 8, f x dx 7 . Tính tích
c
phân I f x dx .
b
a
d
A. I 5
. B. I 7 . C. I 5. D. I 7
.
2
Câu 4. Cho biết
3f x dx 2g x
dx 1
và
2f x dx g x
dx 3
. Giá trị của f x dx bằng:
1
5
1
A. 1. B. 2. C. . D. .
7
2
2
1
b
5
1
c
a
3
1
2
1
Trang 2

Đáp án:
1 – B 2 – B 3 – C 4 – C
Dạng 2: Phương pháp đổi biến số
1. Ví dụ minh họa
2
0
4
0
2
Ví dụ 1: Cho I f x xdx 1. Tính giá trị của f x dx
A. I 2 . B. I 4 .
1
C. I .
2
D. I 1.
Hướng dẫn
Đặt
2
t x t 0 thì dt 2xdx
Đổi cận:
x 0 2
t 0 4
2
2
1 1 I
Khi đó tích phân f x
xdx
trở thành 1 f t . dt f tdt I 2.
2 2
2
→ Chọn A.
0
4 4
0 0
Ví dụ 2: Cho f x là hàm số chẵn và f x dx a . Chọn mệnh đề đúng.
0
3
3
A. f x dx a
. B. f x dx 2a . C. f x dx a . D.
0
3
3
3
3
0
3
f x dx a
Đặt t x dt dx
.
Đổi cận:
Hướng dẫn
x 0 -3
t 0 3
Khi đó:
0 0 3 3
f x dx f t dt f t dt f x dx
3 3 0 0
Vì
0 3 3
f x là hàm số chẵn nên f x f x f xdx f xdx f xdx a
3 0 0
3 0 3
Do đó f x dx f x dx f x dx a a 2a .
→ Chọn B.
3 3 0
Trang 3

1
Ví dụ 3: Cho xf x dx 3. Tính I f cos2x sin 4xdx .
0
4
0
A. I 2 . B. I 3. C. I 3
. D. I 4 .
Đặt t cos2x dt 2.sin 2xdx .
Đổi cận:
x 0
Hướng dẫn
4
t 1 0
4 4 4
I f cos2x .sin 4xdx f cos2x .2cos2x.sin 2xdx f cos2x .cos2x. 2 sin 2xdx
0 0 0
0 1 1
f t tdt f t tdt xf x dx 3.
1 0 0
→ Chọn B.
3
Ví dụ 4: Cho f 0 1 và
f x f 3 x
dx 5 . Tính f 3 .
0
9
A. f 3
3 . B. f 3
2 . C. f 3
. D. f 3
3.
2
Đặt t 3 x dt dx
.
Đổi cận:
3 0 3 3
Hướng dẫn
x 0 3
t 3 0
f 3 x dx f t dt f t dt f x dx
0 3 0 0
3 3 3 3
Do đó
5 f x f 3 x dx f x dx f x dx 2 f x dx
3
0 0 0 0
3
Suy ra
0
→ Chọn A.
5 5 5 1 5
f x dx f x f 3 f 0 f 3 f 3 3
2. Bài tập tự luyện
2020
0
2 2 2 2 2
Câu 1. Cho f x dx 8 . Khi đó giá trị của tích phân f 2x dx bằng:
0
A. 32. B. 8. C. 6. D. 4.
1010
0
Trang 4

f x
Câu 2. Cho hàm số là hàm chẵn, liên tục trên và f x dx 3 . Tính I f 3x 1 dx .
1
3
1
A. . B. . C. . D. 3.
3
2
2
f x
Câu 3. Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn f x 2.f x cos x . Tính tích phân
2
I f x dx .
2
2
4
1
A. I . B. I . C. I . D. I 1.
3
3
3
Đáp án:
1 – D 2 – C 3 – A
Dạng 3: Phép tính tích phân cơ bản
1. Phương pháp giải
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
b
a
b
a
b
a
2
2
udv uv vdu
1
1
3
2. Ví dụ minh họa
2
Ví dụ 1: Cho x 2 f x dx 7, f 0 1. Tính I f x dx .
0
A. I 6 . B. I 5
. C. I 7
. D. I 7 .
Hướng dẫn
Đặt
u x 2
du dx
dv f xdx
v f x
2 2
2
0
0 0
2
0
, áp dụng công thức tích phân từng phần ta có:
7 x 2 f x dx x 2 f x f x dx 2f 0 I 2 I I 5
→ Chọn C.
3
Ví dụ 2: Cho Fx
là là một nguyên hàm của f x
. Biết F
2 và . Tính giá trị của
3
xF x dx 1
3
2
I x f x dx .
0
2
2
2
2
2
2
2
A. I 2 . B. I 2 . C. I 2 . D. I 2 .
9
9
9
9
0
Trang 5

Đặt
Hướng dẫn
2
u x u 0
du 2xdx
, áp dụng công thức tích phân từng phần ta có:
dv f xdx
v Fx
3 3
2 2
2
I x f x dx x F x
2xF x dx F
2 2
9 3 9
2 2
. 3
0
0 0
→ Chọn A.
Ví dụ 3: Cho F x là là một nguyên hàm của f x . Biết F 3 2 , F x 1 dx 1
và. Tính giá trị của
3
I xf x dx .
0
A. I 10
. B. I 11. C. I 9. D. I 5.
Đặt t x 1 dt dx .
Đổi cận:
2 3 3
Suy ra
1 0 0
Hướng dẫn
x -1 2
t 0 3
F x 1 dx F t dt 1 F x dx 1
2
1
Đặt
u x
du dx
dv f xdx
v F x
3 3
3
I xf x dx x F x F x dx 3F 3 1 5
0
0 0
→ Chọn D.
3. Bài tập tự luyện
, áp dụng công thức tích phân từng phần ta có:
1
Câu 1. Cho f 1 2f 0 2 và f x dx 15
. Tính I 2 x f x dx
0
A. 13. B. 17. C. -13. D. 15.
1
Câu 2. Cho 2x 2 f x dx 6 và f 0 6 . Tính f x dx .
0
A. -3. B. -9. C. 3. D. 6.
Đáp án:
1 – B 2 – C
Phần 3. BÀI TẬP TỔNG HỢP
b
Câu 1. Giả sử f x dx 2 và f x dx 3 và a b c thì f x dx bằng
a
b
c
1
0
1
0
c
a
Trang 6

A. 5. B. 1. C. -1. D. -5.
1
Câu 2. Nếu f x dx 5 và f x dx 2 thì f x dx bằng.
0
1
2
A. 8. B. 2. C. 3. D. -3.
2
0
f x ,g x
3
2;6
Câu 3. Cho là các hàm số liên tục trên đoạn và thỏa mãn f x dx 3 ;
6 6
f x dx 7; g x dx 5 . Hãy tìm mệnh đề không đúng.
3 3
6
A.
3g x f x
dx 8. B. 3f x 4
dx 5 .
3
6
ln e
C.
2f x 1
dx 16
. D.
4f x 2g x
dx 16
.
2
5
Câu 4. Cho biết f x dx 15
. Tính giá trị của P f 5 3x 7
dx bằng.
3
2
6
ln e
3
1
A. 15. B. 37. C. 27. D. 19.
1
Câu 5. Giả sử f x dx 3 và f z dz 9 . Tổng f t dt f t dt bằng
0
5
0
2
0
3 5
1 3
A. 12. B. 5. C. 6. D. 3.
Câu 6. Cho y f x là hàm số chẵn, có đạo hàm trên đoạn 6;6
. Biết rằng f x dx 8 và
3
1
f 2x dx 3 . Tính f x dx .
6
1
A. I 11. B. I 5. C. I 2 . D. I 14
.
Câu 7. Cho f, g là hai hàm liên tục trên đoạn thỏa mãn: f x 3g x
dx 14
.
3
1
2f x g x
dx 0 . Tính f x g x
dx .
3
1
2
1
2
1;3
A. 8. B. 9. C. 6. D. 7.
b
Câu 8. Cho f x dx 2 và g x dx 3. Tích phân f x 2g x dx bằng
a
b
a
A. -4. B. 4. C. 6. D. 8.
f x
Câu 9. Cho hàm số liên tục trên khoảng thỏa mãn f x dx 10
; f x dx 3 . Khi đó
2 19
P f x dx f x dx
0 8
có giá trị là
b
a
19
0;19
A. 3. B. 4. C. 7. D. 13.
0
3
1
8
2
Trang 7

f x
0;3
Câu 10. Cho là hàm số liên tục trên đoạn và f x .f 3 x 1 với mọi x 0;3 . Tính
K
3
0
dx
1
f x
.
2
3
A. K . B. K 2 . C. K . 3
2
D. K 3.
Đáp án:
1 - C 2 - C 3 - D 4 - D 5 - C 6 - D 7 - C 8 - D 9 - C 10 - C
Trang 8

PHẦN 1: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Diện tích hình phẳng
1. Phương pháp giải
CHƯƠNG 5
CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN
a. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
Đồ thị C của hàm số y f x liên tục trên
đoạn a;b .
Trục hoành y 0 .
Hai đường thẳng x a, x b .
b
a
S f x dx
b. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
C
a;b
Đồ thị của hàm số y f x , y g x liên
tục trên đoạn .
Hai đường thẳng x a, x b .
b
a
S f x g x dx
c. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
C
a;b
Đồ thị của hàm số y f x , y g x liên
tục trên đoạn .
Trường hợp 1: Giải phương trình:
x
a
f x g x , a b
x
b
b
a
S f x g x dx
Trường hợp 2: Giải phương trình:
x
a
f x g x
x b, a b c
x c
b
a
S f x g x dx f x g x dx
d. Hình phẳng giới hạn bởi nhiều hơn hai đường
cong
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị
được chia thành nhiều phần diện tích, mà mỗi phần
c
b
Trang 1

ta có thể tích theo công thức:
Chú ý:
c
S f x h x dx g x h x dx
a
Bằng cách coi x là hàm của biến y, diện tích S của
hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số
x f y , x g y
liên tục trên đoạn a;b
và hai
đường thẳng y a , y b được tính theo công
thức:
b
b
c
S f y g y dy
a
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số
x 0 và đường thẳng x 4 là:
y
2
x 1 2
8
8
2
4
A. S . B. S . C. S . D. S .
5
5
25
25
Hướng dẫn
2dx 2 8
Diện tích hình phẳng cần tính là: S
2
x 1
x 1
5
→ Chọn B.
4
0 0
4
, trục hoành, đường thẳng
2
Ví dụ 2: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y x 3và y 4x . Xác định
mệnh đề đúng.
3
2
2
A. S x 4x 3 dx . B. S x 4x 3 dx .
1
3
2
2
C. S x 3 4x dx . D. S x 4x 3 dx .
1
Phương trình hoành độ giao điểm
3
2
Do đó ta có S x 4x 3 dx .
→ Chọn A.
1
Hướng dẫn
2 x 1
x 3 4x
x 3
3 2
Ví dụ 3: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị C của hàm số y 2x x x 5 và đồ thị
3
1
3
1
Trang 2

2
C của hàm số y x x 5 bằng
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Hướng dẫn
x 1
3 2 2
Ta có: 2x x x 5 x x 5
x 0
x 1
1 0 1
3 3 3
S 2x 2x dx 2x 2x dx 2x 2x dx
1 1 0
0 1
4 2 4 2
2x 2x 2x 2x
1
4 2 4 2
→ Chọn B.
1 0
Ví dụ 4: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x 2 2x 1, y x 1, x 0, x m, 0 m 3
bằng
3 2
3 2
m 3m
m 3m
A. . B. . C. m 3 2
m . D. m 3 2
2m
m 2m .
3 2
3 2
3 2
3 2
Hướng dẫn
Ta có:
2
x 3x 0, x 0;m vì 0 m 3
2 2
Do đó:
→ Chọn B.
m
m m 3 2 2 3
x 3x 3m m
S x 3x dx x 3x dx
3 2 2 3
0 0 0
2
Ví dụ 5: Cho H là hình phẳng giới hạn bởi parabol y 3x , cung
2
tròn có phương trình y 4 x (với 0 x 2 ) và trục hoành (phần
tô đen trong hình vẽ). Diện tích của
4 3
4 3
A. . B. .
12
6
4 2 3 3
5 3 2
C. . D. .
6
3
H
bằng
Ta có
Hướng dẫn
2 2 4 2 2 2 4 x 1 thoûa maõn
3x 4 x 3x x 4 0 x 1 x 0
3
x 1 loaïi
Do đó:
1 2 2 2
2 2 3 3
1
2 3
2
S 3x dx 4 x dx x 4 x dx 4 x dx
3 3
0
0 1 1 1
Trang 3

Ta tính:
Đặt
2
2
I 4 x dx
1
x 2sin t dx 2cos tdt
. Đổi cận:
1
x 1 sin t t
2 6
x 2 sin t 1 t
2
2 2 2 2
2 2 2
I 4 x dx 4 4sin t.2cos tdt 4cos tdt 2 cos 2t 1 dt
1
2
3
sin 2t
3 2
2 2
2t
6 6
6 6 6
3 2
3 4 3
Suy ra S
3 3 2 6
Chú ý: Ta có thể tính tích phân S bằng máy tính CASIO fx 570 VN PLUS, sau đó đối chiếu với bốn đáp
án.
→ Chọn B.
Ví dụ 6: Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời
gian t(h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh I (1;1) và trục đối
xứng song song như hình bên. Tính quãng đường S mà vật di chuyển được trong
4 giờ kể từ lúc xuất phát (tính theo km)
A. S 6km . B. S 8km .
46
40
C. S km . D. S km .
3
3
Gọi parabol
Hướng dẫn
P có dạng y at 2 bt c, a 0
P
M 0;2
Đồ thị đi qua điểm và đỉnh I 1;1 suy ra
Suy ra
→ Chọn D.
2
P :y t 2t 2 . Vậy quãng đường S cần tính là
a b c 1
a 1
b b 2
1; c 2
2a
c 2
2
4
0
40
t 2t 2 dt km
3
C
C
3 2
Ví dụ 7: Cho hàm số y f x ax bx cx d a,b,c , a 0 có đồ thị . Biết rằng đồ thị
tiếp xúc với đường thẳng y 4 tại điểm có hoành độ âm và đồ thị hàm số y f x cho bởi hình vẽ bên:
Trang 4

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
27
A. S 9 . B. S .
4
21
5
C. S . D. S .
4
4
C
và trục hoành.
2
Từ đồ thị suy ra f x 3x 3
2 3
f x f x dx 3x 3 dx x 3x C
Hướng dẫn
Do C tiếp xúc với đường thẳng y 4 tại điểm có hoành độ x âm nên
2
f x 0 3x 3 0 x 1
0 0 0
3
Suy ra f 1 4 C 2 C : y x 3x 2
Xét phương trình
3 x 2
x 3x 2 0
x 1
1
3
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
→ Chọn B.
2
0
27
x 3x 2 dx
4
Ví dụ 8: Cho hàm số y f x . Đồ thị của hàm số y f x như hình
2
bên. Đặt y f x như hình bên. Đặt h x 2f x x . Mệnh đề nào
dưới đây đúng?
A. h 4 h 2 h 2 .
B. h 4 h 2 h 2 .
C. h 2 h 4 h 2
.
D. h 2 h 2 h 4 .
Gọi
S
1,S2
Hướng dẫn
lần lượt là diện tích các hình phẳng như hình vẽ bên.
2
2 2
2
Ta có
2S 2 f x xdx 2f x x h x
1
2
2
2
h 2 h 2 0 h 2 h 2
4
2
Tương tự ta có 2S 2 x f xdx 2f x x h x
(1)
2 4
2
2
2
2
Trang 5

h 2 h 4 0 h 2 h 4
(2)
Nhìn đồ thị ta có S S 2S 2S h 2 h 2 h 2 h 4 h 4 h 2
(3)
1 2 1 2
Từ (1), (2), (3) suy ra h 2 h 4 h 2
→ Chọn C.
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
x ln 3, x ln8
nhận giá trị nào sau đây?
x
y e 1
, trục hoành và hai đường thẳng
2
3
3
3
A. S 2 ln . B. S 2 ln . C. S 3 ln . D. S 2 ln .
3
2
2
2
2
Câu 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 1 x , trục tung và đường thẳng x 1
là
1
2 2 1
2 2 1
A. S . B. S . C. S . D. S 2 2 1
.
3
3
3
x
Câu 3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y e x, y x 1
và x ln 5 là
A. S 5 ln 4 . B. S 5 ln 4 . C. S 4 ln 5 .. D. S 4 ln 5 .
Câu 4. . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
x e
y x ln x
trục hoành và đường thẳng
2
2
2
2
e 1
e 1
e 1
e 1
A. S . B. S . C. S . D. S .
4
6
8
2
Đáp án:
1 – B 2 – B 3 – D 4 – A
Dạng 2: Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay
1. Phương pháp giải
a. Thể tích vật thể:
Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng
vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b.
Sx
diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng
vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x
a x b . Sx
liên tục trên đoạn a;b
. Công
thức tính thể tích của B là
b
a
V S x dx
b. Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi các đường
C :y f x , trục hoành y 0 , hai đường thẳng
x a, x b a b
sinh ra khi quay quanh Ox là:
là
Trang 6

2
V f x dx
a
c. . Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi hai đường
, hai đường thẳng
y f x , y g x
x a, x b a b
sinh ra khi quay quanh Ox là:
b
2 2
V f x g x dx
a
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính thể tích vật thể nằm giữa hai mặt phẳng có phương trình x 0 và x 2, biết rằng thiết
diện của vật thể bị cắt bởi phần mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm có hoành độ
một phần tư đường tròn bán kính
2
2x , ta được kết quả nào?
16
A. V 32 . B. V 64
. C. V . D. V 8
.
5
Hướng dẫn
2
4
1 1 x
2
Diện tích của thiết diện là: Sx .Sr 2x
4 4 2
2 4 5 5
x x 2 16
Khi đó, thể tích cần tìm là: V dx
. . .
2 2 5 2 5 5
→ Chọn C.
0 0
2
x 0;2
Ví dụ 2: Thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình là x 0 và x 3 , có thiết
diện bị cắt bởi phần mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ
2
nhật có hai kích thước bằng x và 2 9 x bằng
x 0 x 3
A. V 3 . B. V 18. C. V 20 . D. V 22 .
Hướng dẫn
2
Diện tích của hình chữ nhật có hai cạnh là x và 2 9 x là 2x 9 x
Khi đó, thể tích của vật thể được xác định bằng công thức:
2 2 2
t 9 x t 0 t 9 x xdx tdt
Đặt
x 0 t 3
Đổi cận:
x
3 t 0
2
b 3
2
V S x dx 2x 9 x dx
a 0
là
là một hình chữ
Trang 7

Suy ra
→ Chọn B.
0 3
3
2 2t
V 2 t dt 18
3
3 0
Ví dụ 3: Khối tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh trục Ox hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị
2
P : y 2x x
và trục Ox có thể tích là
16
11
12
4
A. V . B. V . C. V . D. V .
15
15
15
15
Phương trình hoành độ giao điểm của
Thể tích khối tròn xoay:
P
và Ox là
Hướng dẫn
2 x 0
2x x 0
x 2
2 2 5 3
2
2
4 3 2 x 4 4x 16
V
2x x dx
x 4x 4x dx
x
5 3 15
→ Chọn A.
0 0 0
2
Ví dụ 4: Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi đồ thị hàm số y 1 x , y 0, x 0 và x 2 khi
quay quanh trục Ox bằng
8
2
46
A. . B. 2. C. . D. .
3
15 52
Hướng dẫn
2
Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi đồ thị hàm số y 1 x , y 0, x 0 và x 2 khi quay quanh
trục Ox là:
2 2 3 5
2
2
2 4 2x x 46
V
1 x dx
1 2x x dx
x .
3 5 15
→ Chọn C.
0 0 0
Ví dụ 5: Thể tích vật thể tròn xoay khi quay quanh hình phẳng giới hạn bởi các đường
a
a
quanh trục Ox có kết quả dạng a;b ;
là phân số tối giản. Khi đó a b có kết quả là
b b
A. 11. B. 17 . C. 31. D. 25 .
Ta có
2
1 x 0 x 1
2
Vậy
1
1
Hướng dẫn
2 16
V 1 x dx a 16,b 15 a b 31
15
→ Chọn C.
Ví dụ 6: Quay hình phẳng
H
như hình được tô đậm trong hình vẽ
bên quay quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là
2
2
2
y 1
x , y 0
Trang 8

A. V 4 3 . B. V 6 3
.
C. V 5 3 . D. V 2 3
.
Xét hệ phương trình:
Do
H
Hướng dẫn
2 2 2
x y 4 x 3
x 3
y 1 y 1 x 3
đối xứng nhau qua Oy nên:
3 3
2 2 2
V 2
4 x 1
dx 2 3
x dx
0 0
3
x
23x 4 3
3
→ Chọn A.
0
3
Ví dụ 7: Một cái chuông có dạng như hình vẽ. Giả sử khi cắt chuông
bởi mặt phẳng qua trục của chuông, được thiết diện có đường viền là
một phần parabol (hình vẽ). Biết chuông cao 4m, và bán kính miệng
chuông là
2 2 . Tính thể tích chuông
A. 6 . B. 12 .
3
C. 2 . D. 16 .
Hướng dẫn
Xét hệ trục như hình vẽ, dễ thấy parabol đi qua ba
điểm
x
2
y
2
0;0 , 4;2 2 , 4; 2 2
nên có phương trình
Thể tích của chuông là thể tích của khối tròn xoay tạo
bởi hình phẳng
Ox
y 2x, x 0, x 4
4
Do đó 4
2
→ Chọn D.
V 2xdx x 16
3. Bài tập tự luyện
0 0
quay quanh trục
Câu 1. Cho hình phẳng H
giới hạn bởi đồ thị hàm số y cosx, 0 x và hai trục tọa độ Ox,
2
Oy. Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay
H
xung quanh trục Ox bằng
A. . B. 1. C. . D. .
2
4
Trang 9

2
Câu 2. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y 2x x và y x quay quanh trục Ox tạo thành tích
khối tròn xoay có thể tích bằng
A. V . B. V . C. V . D. V .
3 4 5
Câu 3. Tính thể tích vật thể nằm giữa hai mặt phẳng
mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ
2 sinx
x 0; x , biết rằng thiết diện của vật thể với
x 0 x
A. 3 . B. . C. 2 3 . D. 2.
3
Câu 4. Kí hiệu
V
1, V2
là một tam giác đều có cạnh là
lần lượt là thể tích hình cầu bán kính đơn vị và thể tích khối tròn xoay sinh ra khi
2
quay hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y 2x 2 và đường cong y 2 1
x xung quanh trục Ox.
Hãy so sánh V
1,V2
A. V V . B. V V . C. V V . D.
1
2
1
2
1
2
V1 2V2
Câu 5. Hình phẳng
1
giới hạn bởi y f x , y 0, x a, x b a b quay quanh Ox có thể tích V1
.
S
Hình phẳng
2
giới hạn bởi y 2f x , y 0, x a, x b a b quay quanh Ox có thể tích V2
. Lựa
chọn phương án đúng
S
A. V 4V . B. V 8V . C. 2V V . D. 4V V .
Đáp án:
1
2
2
1
1
2
1 2
1 – A 2 – C 3 – C 4 – B 5 – D
Dạng 3: Ứng dụng của nguyên hàm tích phân trong các bài toán thực tế
1. Phương pháp giải
vt
t
Giả sử là vận tốc của vật tại thời điểm và s t là quãng đường vật đi được sau khoảng thời
gian t tính từ lúc bắt đầu chuyển động.
Mối liên hệ giữa s t và v t như sau:
Đạo hàm của quãng đường là vận tốc: st vt
Chú ý: Khi vật dừng hẳn thì v t 0
Nguyên hàm của vận tốc là quãng đường st
Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian
v t dt
b
t a;b là vtdt sb sa
Nếu gọi a t là gia tốc của vật thì ta có mối liên hệ giữa v t và a t như sau:
Đạo hàm của vận tốc là gia tốc: vt a t
Nguyên hàm của gia tốc là vận tốc vt
a t dt
a
Trang 10

2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc
chuyển động từ thời điểm
t 0 s
đến thời điểm mà vật dừng lại là
v t 160 10t m / s
A. 1028 m. B. 1280 m. C. 1308 m. D. 1380 m.
Khi vật dừng lại thì
vt
160 10t t 16
Quãng đường mà vật chuyển động từ thời điểm
16 16
0 0
Hướng dẫn
t 0 s
16
2 2
S v t dt 160 10t dt 160t 5t 160.16 5.16 1280m
→ Chọn B.
0
đến thời điểm mà vật dừng lại là
. Quãng đường mà vật
3
2
Ví dụ 2: Một chiếc ô tô chuyển động với vận tốc vt m / s
, có gia tốc a t vt m / s .
2t 1
Vận tốc của ô tô sau 10 giây (làm tròn đến hàng đơn vị) là
A. 4,6 m/s. B. 7,2 m/s. C. 1,5 m/s. D. 2,2 m/s.
Vận tốc của ô tô sau 10 giây là:
10 10
Hướng dẫn
3 3 3
v a t dt dt ln 2t 1 ln 21 4,6 m / s
2t 1 2 2
0 0 0
→ Chọn A.
10
Ví dụ 3: Một vật chuyển động với vận tốc10 m/s thì tăng tốc với gia tốc
vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc
2
a t 3t t
. Tính quãng đường
4300 430
A. m . B. 4300 m. C. 430 m. D. m .
3
3
Hướng dẫn
2 3
2 3t t
v t a t dt 3t t dt C
2 3
Hàm vận tốc
2 3
3t t
Lấy mốc thời gia lúc tăng tốc v0
10 C 10
. Ta được vt
10
2 3
Sau 10 giây, quãng đường vật đi được là:
10 2 3 3 4
3t t t t 4300
S 10dt 10t m
2 3 2 12 3
0 0
→ Chọn A.
Ví dụ 4: Gọi
10
1 3
h t cm
là mức nước trong bồn chứa sau khi bơm được t giây. Biết rằng ht t 8
5
Trang 11

và lúc đầu bồn không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây (chính xác đến 0,01
cm).
A. 2,67 cm. B. 2,66 cm. C. 2,65 cm. D. 2,68 cm.
1 3
5 20
3 3
h t t 8 t 8 t 8 C
Hàm
Lúc t = 0, bồn không chứa nước
Suy ra
Hướng dẫn
12 12
h 0
0 C 0 C . Vậy, hàm
5 5
h t 3 t 8 t 8
12
20 5
3
Mức nước trong bồn sau 6 giây là h 6 2,66 cm .
→ Chọn B.
4000
Ví dụ 5: Một đám vi trùng tại ngày thứ t có số lượng là Nt
. Biết rằng Nt
và lúc đầu đám
1 0,5t
vi trùng có 250000 con. Hỏi sau 10 ngày số lượng vi trùng gần với số nào sau đây nhất?
A. 251000 con. B. 264334 con. C. 261000 con. D. 274334 con.
4000
Nt
dt 8000.ln 1 0,5t C
1
0,5t
Lúc đầu có 250000 con, suy ra
Hướng dẫn
N0
250000 C 250000
Vậy Nt 8000.ln 1 0,5t 250000 N10
264334,0758
→ Chọn B.
3. Bài tập tự luyện
2
Câu 1. Một hạt prôtôn di chuyển trong điện trường có biểu thức gia tốc ( theo cm / s ) là
20
a t
( với t tính bằng giây). Tìm hàm vận tốc v theo t, biết rằng khi t 0 thì v 30cm / s
.
1
2t
2
A. 10
10
v . B. v 20. C. 3
20
v 1 2t 30 . D. v 30 .
1 2t
1
2t
1
2t
2
Câu 2. Một tia lửa được bắn thẳng đứng từ mặt đất với vận tốc 15 m/s. Hỏi sau 2,5 giây, tia lửa ấy
2
cách mặt đất bao nhiêu mét, biết gia tốc là 9,8m / s .
A. 30,625 m. B. 37,5 m. C. 68,125 m. D. 6,875 m.
Câu 3. Một vật chuyển động với vận tốc
vt 1
2sin 2t m / s
3
trong khoảng thời gian t 0s
đến thời điểm t s
là
4
. Quãng đường mà vật chuyển động
3
A. 1. B. 3 1
3 1
3 . C. . D. 1.
4
4
4
4
Trang 12

2
t 2
Câu 4. Một vật chuyển động với vận tốc v t 1,5 m / s . Quãng đường mà vật đó đi được
t 2
trong 4 giây đầu tiên bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
A. 12,60 m. B. 12,59 m. C. 0,83 m. D. 6,59 m.
Đáp án:
1 – B 2 – D 3 – A 4 – B
Phần 2. BÀI TẬP TỔNG HỢP
Câu 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
x x
y e , y e , x 1
2
2
2
2
e 2e 1
e 2e 1
e 2e 1
e 2e 1
A. . B. . C. . D. .
e
e
e
e
Câu 2. Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi đồ thị hàm số
trục Ox có kết quả là
y ln x, y 0, x 1, x 2
2
2
2
2
A. 2 ln 2 1 . B. 2 ln 2 1 . C. 2ln 2 1 . D. 2ln 2 1
.
Câu 3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
3x 1
y ,Ox, Oy
x 1
4
4
4
4
A. S 4ln 1. B. S 4ln . C. S 4ln 1. D. S 4ln 2 .
3
3
3
3
là
quay quanh
Câu 4. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn a;b . Gọi D là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ
thị C : y f x , trục hoành, hai đường thẳng x a, x b (như hình vẽ dưới đây).
Giả sử
S D
là diện tích hình phẳng D. Chọn công thức đúng
0 b
D
A. S f x dx f x dx . B. S f x dx f x dx .
D
a 0
0 b
0 b
a 0
D
C. S f x dx f x dx . D. S f x dx f x dx .
D
a 0
0 b
a 0
Câu 5. Một ô tô đang chạy với vận tốc 18m/s thì người lái hãm phanh. Sau khi hãm phanh, ô tô chuyển
động chậm dần đều với vận tốc
v t 36t 18 m / s
, trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây
kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Quãng đường ô tô di chuyển được kể từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn
là bao nhiêu mét?
A. 5,5 m B. 3,5 m C. 6,5 m D. 4,5 m
Trang 13

Câu 6. Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
trục Ox. Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng
1
y , y 0, x 0, x 1
1
4 3x
quay xung quanh
3
3
3
3
A. 4ln 1
. B. 6ln 1
. C. 9ln 1
. D. 6ln 1
.
6 2
4 2
6 2
9 2
Câu 7. Một ô tô đang chạy với vận tốc
động chậm dần đều với vận tốc
20m / s
v t 40t 20 m / s
thì người lái đạp phanh. Sau khi đạp phanh, ôtô chuyển
, trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây
kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?
A. 10m. B. 7m. C. 5m. D. 3m.
Câu 8. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
thẳng
x 1
là
x
y e x , trục hoành, trục tung và đường
1
1
A. S e . B. S e . C. S e 1. D. S e 1.
2
2
Câu 9. Cho đồ thị hàm số
y f x
. Diện tích hình phẳng (phần gạch trong hình) là
1 4
A. I f x dx f x dx . B. I f x dx f x dx .
3 1
4
0 0
3 4
C. I f x dx . D. I f x dx f x dx .
3
3 4
0 0
x
Câu 10. Cho hình thang cong H giới hạn bởi các đường y e , y 0, x 0, x ln 4 . Đường thẳng
x k 0 x ln 4
S
2S
1 2
2
A. k ln 4 . B. ln 2 .
3
8
C. ln . D. ln 3.
3
Câu 11 Trong hệ tọa độ Oxy, parabol
chia thành hai phần có diện tích là và S như hình vẽ bên. Tìm k để
H S1
2
y
2
x
2
chia đường tròn tâm O
(O là gốc tọa độ) bán kính r 2 2 thành 2 phần, diện tích phần nhỏ
bằng
4
4
4
3
A. 2 . B. . C. 2 . D. 2 .
3
3
3
4
Trang 14

Đáp án:
1 – B 2 – A 3 – C 4 – B 5 – D 6 – D 7 – C 8 – B 9 – B 10 – D
11 - A
Trang 15

PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa
Số phức có dạng
CHƯƠNG 4: SỐ PHỨC
CHUYÊN ĐỀ 1: CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ PHỨC
z a bi(a,b )
Xét số phức sau:
z 2 i
Phần thực Phần ảo Đơn vị ảo i 2 1
Phần thực là 2 Phần ảo là – 1
Nếu a = 0, số phức z là số thuần ảo.
Số thuần ảo z 3i 0 3i
Nếu b = 0, số phức z là số thực
Phần thực là 0 Phần ảo là 3
Số thực: z 3 3
0i
Phần thực là 3 Phần ảo là 0
Tập hợp các số phức là
Ta có: N
Chú ý:
Số 0 vừa là số thực, vừa là số ảo.
Số đối của số phức z a bi là z a bi .
Số đối của số phức z = 2 – i là – z = - 2 + i.
Số đối của số phức z = 3 là – z = -3.
Số đối của số phức z = 3i là – z = -3i.
2. Tính chất của đơn vị ảo i
2 Nhani 3 2 Nhani 4 3 x
i 1 i i .i i i i .i i.i 1 i ?
x
Để tính i ta thực hiện phép chia x cho 4.
Nếu số dư là 0, ta được kết quả là 1.
Nếu số dư là 1, ta được kết quả là i.
Nếu số dư là 2, ta được kết quả là -1.
Nếu số dư là 3, ta được kết quả là -i.
3. Số phức liên hợp
Số phức liên hợp của số phức
z a bi .
Chú ý:
z là số thực z z .
z là số ảo z z.
z a bi
là
Tính giá trị i 2018 .
Ta chia 2018 cho 4, được:
2018 504.4 2,
Do đó i 2018 1
dư 2.
Số phức liên hợp của
Số phức z = 2 – i là z 2 i
Số phức z = 3i là z 3i z.
Số phức z = 3 là z 3 z.
Trang 1

3. Môđun của số phức
Môđun của số phức
Chú ý:
z 0, a
z 0 z 0
z a bi
5. Hai số phức bằng nhau
là
z a b
2 2
Môđun của các số phức
z 2 i
z
3i
là
z = 3 là
là
2 2
z 2 ( 1) 5.
2 2
z 0 3 3.
2 2
z 3 0 3
Cho hai số phức
phức bằng nhau khi và chỉ khi:
a
b
a
1 2
b
1 2
z a b i,z a b i . Hai số
1 1 1 2 2 2
6. Các phép toán trên tập số phức
Cho hai số phức z1 a1 b1i, z2 a
2
b2i.
Tổng, hiệu hai số phức
z z a a b b i
1 2 1 2 1 2
z z a a b b i
1 2 1 2 1 2
Phép nhân hai số phức
z .z (a b i)(a b i)
1 2 1 1 2 2
a a a b i a b i b b i
2
1 2 1 2 2 1 1 2
a a a b i a b i b b
1 2 1 2 2 1 1 2
a a b b a b a b i
1 2 1 2 1 2 2 1
Phép chia hai số phức
Muốn chia hai số phức, ta nhân cả tử và mẫu với
liên hợp của mẫu.
Cho hai số phức
phức bằng nhau khi và chỉ khi:
a 3
b 2
z1 a 2i, z2
3 bi
Cho hai số phức z1 1
2i, z2
3 5i.
Tổng, hiệu hai số phức
z
z
1 2
(1 2i) ( 3 5i)
1 2i 3 5i
(1 3) ( 2 5)i
2 3i
z
z
1 2
(1 2i) ( 3 5i)
1 2i 3
5i
(1 3) ( 2 5)i
4 7i
Phép nhân hai số phức
z .z (1 2i)( 3 5i)
1 2
3 5i 6i 10i
3 11i 10
7 11i
Phép chia hai số phức
2
. Hai số
Trang 2

z1 a1 b1i
z a b i
2 2 2
(a1 b1i)(a 2
b2i)
(a b i)(a b i)
a a
2 2 2 2
a a b b (b a a b )i
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2
a
2
b2
b b
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2
a
2
b2 a
2
b2
b a a b i
z1
1
2i
z 3 5i
2
(1 2i)( 3 5i)
( 3 5i)( 3 5i)
3 5i 6i 10 13 i
2 2
( 3) 5 34
13 1
i
34 34
PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Các phép toán trên tập số phức
1. Phương pháp giải
Các phép tính về số phức: Sử dụng các công thức cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa số phức.
Tìm phần thực và phần ảo, số phức liên hợp, môđun của số phức: số phức z = a + bi có phần thực a, phần
ảo b, số phức liên hợp là
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho số phức
z a bi
và môđun là
z a b
2 2
z (2 7i)( 1
3i). Số phức liên hợp của z là:
A. z 2 7i
B. z 2 7i
C. z 2 7i
D. z 23
i
Cách 1:
Hướng dẫn
2
z (2 7i)( 1 3i) 2 6i 7i 21i 2 21 i(6 7) 23
i
Do đó số phức liên hợp của z là z 23 i
Cách 2: Sử dụng máy tính FX750VNPLUS
Bước 1: Thiết lập chế độ số phức: MODE 2.
Bước 2: Nhập (2+7i)(-1+3i) ta được kết quả là -23 – i.
Do đó số phức liên hợp của z là z 23 i
Chọn D
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn
là:
2
(3 2i)z (2 i) 20 3i . Hiệu phần thực và phần ảo của số phức z
A. 1 B. 0 C. 4 D. 6
Cách 1:
Hướng dẫn
2 2
(3 2i)z (2 i) 20 3i (3 2i)z 4 4i i 20 3i
17 7i (17 7i)(3 2i) 65 13i
(3 2i)z 17 7i z z 5 i
Có phần thực là 5, phần ảo là – 1.
Vậy hiệu phần thực và phẩn ảo của z bằng 5 – (-1) = 6.
Cách 2: Sử dụng máy tính fx 570 VNPLUS
Bước 1: Thiết lập chế độ sử dụng số phức: MODE 2
2 2
3 2i 3 2 13
Trang 3

2
20 3i (2 i)
Bước 2: Nhập ta được kết quả là 5 – i.
3
2i
Vậy hiệu phần thực và phẩn ảo của z bằng 5 – (-1) = 6.
Chọn D
Ví dụ 3: Cho số phức z = 3 – i. Tìm số phức
z i
w .
z i
6 3
6 3
6 3
A. w i
B. w i
C. w i
D.
5 5
5 5
5 5
Hướng dẫn
z i 3 i i 3 3(2 i) 6 3i 6 3
Cách 1: Ta có w i
2 2
z 1 3 i 1 2 i 2 ( 1) 5 5 5
Cách 2: Cách sử dụng máy tính fx 570 VNPLUS
Bước 1: Thiết lập chế độ sử dụng số phức: MODE 2
Bước 2: Nhập
Chọn A
3 i i
ta được kết quả là
3 i 1
6 3
w i
5 5
Ví dụ 4: Cho các số thực x, y thỏa mãn: 3x + y – 3xi = 2y – 1 + (x – y)i. Tính tổng x + y.
A. -3 B. 3 C. -1 D. 1
Hướng dẫn
3x y 2y 1 3x y 1 x 1
3x y 3xi 2y 1 (x y)i
3x x y 2x y 0 y 2
Do đó x + y = -3
Chọn A
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Cho hai số phức z1
3 i và z2
4 2i . Phần ảo của số phức w 2z1 3z2
là:
A. 4 B. 4i C. -6 D. -6i
Câu 2. Tìm môđun của số phức z thỏa mãn (1 i)z (2 i)(3 i)
A. 5 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 3. Cho số phức
z (4 2i)(2 3i) . Tìm phần ảo của số phức
2
z
w
z z
A. 10 B. 8 C. 3 D. 2
Câu 4. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Môđun của số phức z là một số thực không âm.
B. Môđun của số phức z là một số thực.
6 3
w i
5 5
C. Môđun của số phức z = a + bi là
z a b
2 2
D. Môđun của số phức z luôn luôn là một số thực dương.
Trang 4

Đáp án:
1 – A 2 – A 3 – B 4 – D
Dạng 2: Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước
1. Phương pháp giải
Để tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước, ta
làm theo các bước sau:
Bước 1: Gọi số phức cần tìm có dạng
z x yi(x, y ).
Bước 2: Thay số phức vào phương trình, khai triển
Bước 3: Chuyển về một vế, rút gọn và đưa về dạng
A + Bi = 0
Bước 4: Cho phần thực A bằng 0, phần ảo B bằng
0. Thiết lập hệ phương trình.
A 0
B 0
Bước 5: Giải hệ phương trình, tìm ra số phức z.
Ví dụ: Tìm phần thực của số phức z biết z thỏa mãn
z 2z 3 i.
A. 2 B. 1 C. 3 D. -1
Hướng dẫn
Gọi
z x yi(x, y ).
Ta có:
z 2z 3 i (x yi) 2(x yi) 3 i
x yi 2x 2yi 3 i
x yi 2x 2yi 3 i 0
(x 2x 3) i(y 2y 1) 0
(3x 3) i( y 1) 0
Ta có hệ:
3x 3 0 x 1
y 1 0 y 1
Vậy z = 1 – i có phần thực là 1
Chọn B
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn
(3 2i)z 111i (2 2i)z. Môđun của số phức z là:
A. 10 B. 8 C 5 D. 3
Cách 1: Gọi z x yi(x, y )
Hướng dẫn
Ta có: (3 2i)z 111i (2 2i)z
(3 2i)(x yi) 111i (2 2i)(x yi)
3x 3yi 2xi 2yi 111i 2x 2yi 2xi 2yi
2 2
3x 3yi 2xi 2y 111i 2x 2yi 2xi 2y 0
(3x 2y 1 2x 2y) ( 3x 2x 11 2y 2x)i 0
(x 1) ( 4x 5y 11)i 0
Ta có hệ:
x 1 0 x 1
4x 5y 11 y 3
Vậy z = 1 – 3i nên
2 2
z 3 ( 1) 10
Cách 2: Cách sử dụng máy tính fx 570 VNPLUS
Trang 5

Bước 1: Thiết lập chế độ sử dụng số phức: MODE 2
Bước 2: Nhập (3 2i)(X Yi) 111i (2 2i)(X Yi)
Bước 3: Gán giá trị X = 0, Y = 0: CACL X? 0 = Y ? 0, ta được kết quả là – 1 – 11i, điền vào giá trị cột c
trong bảng ở bước 7.
Bước 4: Nhập (3 2i)(X Yi) 111i (2 2i)(X Yi) ( 111i)
Bước 5: Gán giá trị X = 0, Y = 1 : CACL X? 0 = Y ? 1 =, ta được kết quả là -5i, điền vào giá trị cột b
trong bảng ở bước 7.
Bước 6: Gán giá trị X = 1, Y = 0 : CACL X? 1 = Y ? 0 =, ta được kết quả là 1 - 4i, điền vào giá trị cột b
trong bảng ở bước 7.
Bước 7: Ta có bảng
Bước 8: Giải hệ phương trình
a b C
1 0 1
-4 -5 -11
1x 0y 1 0 x 1
4x 5y 11 0 y 3
Do đó số phức z thỏa mãn yêu cầu đề bài là z = 1 – 3i. Vậy z 10
Chọn A
Chú ý:
Ta có thể tổng quát cách bấm máy tính của dạng bài tập này theo 8 bước như sau:
Bước 1: Thiết lập chế độ sử dụng số phức: MODE 2
Bước 2: Nhập biểu thực đề bài cho, chú ý chuyển tất cả sang vế trái..
Bước 3: Gán giá trị X = 0, Y = 0 : CACL X? 0 = Y ? 0 =, ta được kết quả là c1 c2i
Bước 4: Nhập biểu thức ở bước 1, trừ đi kết quả ở bước 2.
Bước 5: Gán giá trị X = 0, Y = 1 : CACL X? 0 = Y ? 1 =, ta được kết quả là b1 b2i
Bước 6: Gán giá trị X = 1, Y = 0 : CACL X? 1 = Y ? 0 =, ta được kết quả là a1 a
2i
Bước 7: Ta có bảng
Bước 8: Giải hệ phương trình
Ta được số phức z là z x1 y1i
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn:
a b c
a 1 b 1 c 1
a 2 b 2 c 2
a x b y c 0 x x
a x b y c 0 y y
1 1 1 1
2 2 2 1
z z 8 4i. Số phức liên hợp của z là:
A. 3 – 4i B. 3 + 4i C. -3 + 4i D. -3 – 4i
Hướng dẫn
Trang 6

Cách 1: Đặt
z x yi(x, y ) z x y
2 2
Khi đó:
2 2 2 2
z z 8 4i x yi x y 8 4i (x x y 8) (y 4)i 0
y 4 0
y 4
2 2 2 2
x x y 8 0 x x y 8
2
2 2
x 16 8 x x 16 64 16x x 16x 48 x 3
y 4
y 4
y 4 y 4
Vậy z = 3 – 4i z 3 4i
Cách 2: Thử trực tiếp đáp án
2 2
Đáp án A: z 3 4i z 3
4i , do đó z z 3 4i 3 4 8 4i, loại
2 2
Đáp án B: z 3 4i z 3
4i , do đó z z 3 4i 3 ( 4) 8 4i, thỏa mãn
Chọn B
Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn z.z 1và z 1 2. Xác định phần thực của số phức z.
A. 0 B. 1 C. -1 D. 2
Đặt:
z x yi(x, y )
. Suy ra z x yi
Hướng dẫn
Ta có:
2 2 2 2
z.z 1 (x yi)(x yi) 1 x (yi) 1 x y 1
2 2 2 2
z 1 (x 1) i( y) z 1 2 (x 1) ( y) 2 (x 1) y 4
Ta có hệ phương trình:
y 1 x
2 2
2 2
(x 1) y 4
(x 1) 1 x 4 2x 2 4 y 0
2 2 2 2 2 2
x y 1 y 1 x x 1
Vậy z = -1, có phần thực bằng -1, phần ảo bằng 0
Chọn C
Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn (1+2i)z là số thuần ảo và
2z z 13
. Môđun của số phức z là
A. 3 B. 7 C. 5 D. 13
Hướng dẫn
Giả sử z x yi(x, y ) , khi đó (1 2i)z (1 2i)(x yi) (x 2y) (2x y)i
Vì
(1 2i)z là số thuần ảo khi và chỉ khi x 2y 0 x 2y
2
2z z x 3yi 2y 3yi 13y 13 y 1
Với y = 1, ta có x = 2, số phức
Với y = -1, ta có x = -2, số phức
2 2
z 2 i z 2 1 5
2 2
z 2 i z ( 2) ( 1) 5
Chọn C
Trang 7

3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Cho số phức z thỏa mãn
z z 2 8i
. Tìm số phức liên hợp của z
A. -15 – 8i B. -15 + 6i C. -15 +2i D. -15+ 7i
Câu 2. Cho số phức z thỏa mãn hệ thức:
2
z 2z (1 5i) . Tính modun của z
A. 2 45 B. 41 C. 2 40 D. 2 41
Câu 3. Tìm số phức z biết:
là số dương
2
2
(z 1) z 1 10i z 3 . Tìm phần ảo của số phức z, biết z có phần thực
1
A. 2 B. 5 C.
D. 1
2
Đáp án:
1 – A 2 – D 3 - A
PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP
Câu 1. Modun của số phức
z 1
3i là
A. 3 B. 1 C. 2 D. 2
Câu 2. Phần thực của số phức
z (2 3i)(1 2i) là
A. 8 B. -1 C. 1 D. -8
Câu 3. Cho 2 số phức z1 1 3i,z
2
3 2i . Tính modun của số phức z1 2z2
A. 24 B. 7 C. 74
D. 74
Câu 4. Cho số phức
z 2 3i . Tìm số phức liên hợp của w biết w iz z
A. w 2 3i
B. w 1 i
C. w 1 i
D. w 1
i
1
i
2
Câu 5. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (2 i)z 5 i . Modun của số phức w 1
2z z có
1
i
giá trị là
A. 10 B. -10 C. 100 D. -100
Câu 6. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (2 i)z 1 3i 0 . Phần ảo của số phức w 1
iz z là
A. 1 B. 0 C. -2 D. -1
Câu 7. Cho số phức z thỏa mãn:
2
3z 2z (4 i) . Tổng phần thực và phần ảo của số phức z là
A. -11 B. 5 C. 11 D. -5
Câu 8. Số phức z thỏa mãn:
z (2 3i)z 1
9i . Modun của z là
A. 3 B. 5 C. 3 D. 5
Câu 9. Tìm modun của số phức z thỏa mãn hệ thức
z (2 i) 10 và z.z 25
A. 5 B. -5 C. 10
D. 10
Câu 10. Tìm hai số x, y. Biết x, y là các số thực thỏa mãn đẳng thức
2
x(3 5i) y(1 2i) 35 23i
Trang 8

A. (x;y) ( 3;4) B. (x;y) (3;4) C. (x;y) (3; 4) D. (x;y) ( 3; 4)
Câu 11. Giá trị của
i 105 i 23 i 20 i
38
là
A. 2 B. -2 C. 4 D. -4
Đáp án:
1 – C 2 – A 3 –C 4 – D 5 – A 6 – C 7 – D 8 – D 9 – A 10 - B 11 - A
Trang 9

PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
CHƯƠNG 4: SỐ PHỨC
CHUYÊN ĐỀ 2: TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC
1. Kiếm thức về hình học giải tích trong mặt phẳng
Tọa độ điểm:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm
A(x
A;y A
),B(x
B,y B
).
AB (x x ;y y ).
B A B A
2 2
Độ dài AB x x y y
B A B A
Phương trình đường thẳng:
Dạng tổng quát ax + by + c = 0.
Trong đó n (a;b) là vectơ pháp tuyến (VTPT) của
đường thẳng.
Phương trình đường tròn tâm I(a;b), bán kính R:
Phương trình
kiện
2 2 2
(x a) (y b) R
2 2
x y 2ax 2by c 0với điều
2 2
a b c 0 là phương trình đường tròn có
tâm I(a,b) và bán kính
Phương trình elip:
Với hai tiêu cự
x
a
2 2
R a b c
y
b
2 2
2 2
1
F ( c;0),F (c;0);F F
1 2 1 2
2c . Độ dài
trục lớn là 2a, độ dài trục bé là 2b và a b c
2 2 2
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm
A( 1;2),B(3; 4)
AB (3 ( 1); 4 2) (4; 6)
Độ dài
2 2
AB 4 ( 6) 2 13
Phương trình 3x – y + 2 = 0 là phương trình đường
thẳng có vectơ pháp tuyến là n (3; 1)
Phương trình
2 2
(x 1) (y 3) 9
đường tròn tâm I(-1;3), bán kính R = 3.
là phương trình
2 2
Phương trình x y 2x 6y 1 0 có
2 2
a 1;b 3;c 1;a b c 9 0
trình đường tròn tâm I(-1;3), bán kính R = 3
là
phương
2 2
x y
Phương trình đường elip 1có
25 9
2 2
a 5;b 3;c a b 4 .
Với hai tiêu cự
F ( 4;0),F (4;0),F F 8 . Độ dài
1 2 1 2
trục lớn là 10, độ dài trục bé là 6.
2. Biểu diễn hình học của số phức
Trong mặt phẳng phức Oxy, mỗi số phức
z a bi(a,b ) được biểu diễn bởi điểm M(a;b).
(Oy là trục ảo, Ox là trục thực)
Số phức
z 3 i
Số phức liên hợp của z là
bởi điểm B(3;-1).
được biểu diễn bởi điểm A(3;1)
z 3
i
được biểu diễn
Số đối của z là – z = - 3 – i được biểu diễn bởi điểm
C(-3;-1).
Trang 1

Chú ý:
Hai điểm biểu diễn số phức z và z
nhau qua trục Ox.
đối xứng với
Hai điểm biểu diễn số phức z và – z đối xứng với
nhau qua tâm O.
Ý nghĩa hình học của mođun:
Đồ dài của vecto OM
là mođun của số phức z
z OM OM
Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua Ox.
Hai điểm A và C đối xứng với nhau qua tâm O.
Độ dài OA 10 z
3. Tập hợp điểm biểu diễn số phức
Quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức
phương trình đường thẳng Ax + By + C = 0.
Quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức
phương trình đường tròn
đường tròn.
2 2 2
(x a) (y b) R
z x yi
z x yi
là đường thẳng nếu điểm M(x;y) thỏa mãn
là đường tròn nếu điểm M (x;y) thỏa mãn
. Trong đó I(a;b) là tâm đường tròn và R là bán kính
Quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z = x + yi là đường elip nếu điểm M(x;y) thỏa mãn
2 2
x y
phương trình đường elip (E) : 1, trong đó a, b là các bán kính trục lớn, trục nhỏ của elip.
2 2
a b
PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1:
1. Phương pháp giải
Số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a;b) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho số phức
z 1
2i . Điểm biểu diễn số phức liên hợp của z trong mặt phẳng phức là
A. M(-1;-2) B. M(-1;2) C. M(-2;1) D. M(2;-1)
Số phức liên hợp của z là
Chọn B
Hướng dẫn
z 1
2i nên có điểm biểu diễn là M(-1;2).
Ví dụ 2: Cho số phức z = -1 +3i. Điểm biểu diễn số phức
1
z
trong mặt phẳng phức là
1 3
1 3
1 3
A. M ;
B. C. D.
10 10
M ;
10 10
M ;
10 10
Ta có
Chọn A
Hướng dẫn
1 1 1
3i 1 3
có điểm biểu diễn là
2 2 i
z 1 3i ( 1) 3 10 10
1 3
M ;
10 10
1 3
M ;
10 10
Trang 2

Ví dụ 3: Điểm nào trong hình vẽ dưới đây là điểm
biểu diễn của số phức z = (1 + i)(3 – i)?
A. P
B. M
C. N
D. Q
Ta có
Chọn D
Hướng dẫn
2
z (1 i)(3 i) 3 i 3i i 3 2i 1 4 2i có điểm biểu diễn Q(4;2).
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Cho số phức z thỏa ( 1 2i)z 4 3i . Tìm tọa độ điểm M biểu diễn của số phức z trên mặt
phẳng phức
A. M( 2; 1)
B. M(2;1) C. M(2; 1)
D. M( 2;1)
Câu 2. Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z1
4 i và B là điểm biểu diễn của z2
4 i . Trong các
khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua trục tung
B. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O
C. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng y = x
D. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua trục hoành
Câu 3. Cho số phức z thỏa mãn
ở hình bên?
A. Điểm M B. Điểm N
C. Điểm P D. Điểm Q
Đáp án:
1 – D 2 – D 3 - C
(2 i)z 4 3i . Điểm biểu diễn của z là điểm
nào
Dạng 2: Tập hợp điểm biểu diễn số phức
1. Phương pháp giải
Giả sử số phức z =x + yi được biểu diễn bởi điểm M(x;y). Tìm tập hợp các điểm M là tìm hệ thức
giữa x và y thỏa mãn yêu cầu đề bài
Chú ý:
Tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện z (a bi) R,(R 0) là đường tròn có tâm I(a;b) và bán kính R.
Tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện
z ( a bi) R,( R 0) z ( a bi)
R là đường tròn có tâm
I( a; b) và có bán kính R.
Tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện
với A(a
1,b 1);B(a 2,b 2).
z (a1 b1i) z (a2 b2i)
là đường trung trục của đoạn thẳng AB
Trang 3

2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện
z i(2 i) 5 . Phát biểu nào sau đây là sai?
A. Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(-1;-2)
B. Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn có bán kính R = 5
C. Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn có đường kính bằng 10
D. Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn có tâm I(1;2)
Cách 1: Gọi
Hướng dẫn
z x yi,(x;y )
. Theo giả thiết, ta có:
2
z i(2 i) 5 x yi 2i i 5 x y 2i 1 5 (x 1) i(y 2) 5
2 2 2 2
x 1 y 2 5 (x 1) (y 2) 25
Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(-1;-2), bán kính R = 5
Cách 2:
2
z i(2 i) 5 x yi 2i i 5 z 2i 1 5 z ( 1 2i) 5
Do đó áp dụng “tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện
z (a bi) R,(R 0) là đường tròn có tâm I(a;b)
và bán kính R” ta được tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(-1;-2), bán kính R = 5
Chọn D
Ví dụ 2: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn
z 2 i 3 là
2 2
A. (x 2) (y 1) 9
B.
2 2
C. (x 2) (y 1) 4
D.
2 2
(x 2) (y 1) 9
2 2
(x 2) (y 1) 1
Hướng dẫn
Cách 1: Gọi z x yi,(x;y )
, khi đó z x yi . Theo bài ra ta có:
2 2 2 2
x yi 2 i 3 x 2 ( y 1) 3 (x 2) ( y 1) 3 (x 2) (y 1) 9
Cách 2: Áp dụng chú ý ở phần phương pháp giải ta có:
z 2 i 3 z (2 i) 3 z (2 i) 3
có tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm
I(2;-1), bán kính R=3.
Phương trình đường tròn tâm I(2;-1), bán kính R = 3 có dạng
Chọn A
2 2
(x 2) (y 1) 9
Ví dụ 3: Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn
z 3 i z 2i
là đường thẳng có phương
trình
A. 3x y 3 0 B. 3x y 3 0 C. 3x y 3 0 D. 3x y 3 0
Hướng dẫn
Cách 1: Gọi z x yi,(x;y )
, khi đó z x yi . Theo bài ra ta có:
Trang 4

x yi 3 i x yi 2i x 3 (y 1)i x (2 y)i (x 3) (y 1) x (2 y)
2 2 2 2
2 2 2 2
x 6x 9 y 2y 1 x y 4y 4 6x 2y 10 4y 4 6x 2y 6 0
Do đó tập hợp biểu diễn số phức z là đường thẳng 6x 2y 6 0 3x y 3 0
Cách 2: Sử dụng máy tính Casio fx 579 VNPLUS
Bước 1: Thiết lập chế độ sử dụng số phức: MODE 2
Bước 2: Sử dụng SHIFT 2 (CMPLX) 2 (Conjg) để nhập số phức liên hợp
Lấy điểm bất kì thuộc các đáp án, thửu vào xem có thỏa mãn
z 3 i z 2i
thì chọn
Đáp án A: Chọn x 1 y 6
ta được z = 1 – 6i, nhập 1 6i 3 i Conjg(1 6i) 2i được kết quả là
1 số khác 0 nên loại.
Đáp án B: Chọn x 1 y 66 ta được z = 1 + 6i, nhập 1 6i 3 i Conjg(166i) 2i được kết quả là
1 số khác 0 nên loại.
Đáp án C: Chọn x 2 y 3ta được z = 2 - 3i, nhập 2 3i 3 i Conjg(2 3i) 2i được kết quả là
1 số khác 0 nên loại.
Đáp án D: Chọn x 2 y 3ta được z = 2 + 3i, nhập 2 3i 3 i Conjg(2 3i) 2i được kết quả là
0.
Chọn D
Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa z 3. Biết rằng tập hợp số phức w z 2i là 1 đường tròn. Tâm của đường
tròn là
A. I(0;2) B. I(0;-2) C. I(-2;0) D. I(2;0)
Cách 1: Đặt
w x yi (x,y ),
ta có:
Hướng dẫn
z w 2i z x yi z x (y 2) z x (y 2)i
Theo đề suy ra
2 2
z 3 x (y 2)i 3 x (y 2) 9
Vậy tập hợp số phức cần tìm nằm trên đường tròn có tâm I(0;2)
Cách 2: w z 2i w 2i z w 2i z
Mà
z z 3 nên w 2 3 w (0 2i) 3
Do đó điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I(0;2), bán kính R = 3.
Chọn A
Ví dụ 5: Cho các số phưc z thỏa mãn
w 3 2i (2 i)z
z 8. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức
là 1 đường tròn. Bán kính R của đường tròn đó là:
A. 8 B. 8 5 C. 5 D. 13
Hướng dẫn
w 3 2i (2 i)z w 3 2i (2 i)z w 3 2i (2 i)z
Trang 5

Áp dụng công thức
z.z'
z . z' ta có:
2 2
w 3 2i 2 i.z 8 2 ( 1) 8 5
Do đó điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I(3;-2), bán kính R 8 5
Chọn B
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện
z 1 z i
là đường thẳng có phương trình là:
A. y = x B. x + y = 0 C. y = 2x +1 D. y – x + 1 = 0
Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện
z 3 4i 2 là
A. Đường thẳng qua gốc tọa độ B. Đường tròn bán kính 1
C. Đường tròn tâm I(3;-4), bán kính 2 D. Đường tròn tâm I(3;-4), bán kính 3
Câu 3. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ thỏa mãn điều kiện
là
A. Đường thẳng qua gốc tọa độ B. Đường thẳng x – y = 5
C. Đường tròn tâm I(5;0), bán kính 5 D. Đường tròn tâm I(-5;0), bán kính 5
2
z 5z 5z 0
Câu 4. Cho các số phức z thỏa mãn z 2 và số phức w thỏa mãn w ( 4 3i)z 2 . Biết rằng tập hợp
các điểm biểu diễn các số phức w là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó.
A. r = 5 B. r = 10 C. r = 14 D. r = 20
Đáp án:
1 – B 2 – C 3 – C 4 – B
Dạng 3: Cực trị số phức
1. Phương pháp giải
Áp dụng các bất đẳng thức z1 z2 z1 z2 z1 z2
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Số phức z thỏa mãn điều kiện z 4 3i 0 . Giá trị lớn nhất của z là
A. 3 B. 4 C. 5 D. 8
Hướng dẫn
Áp dụng công thức
z1 z2 z1 z2
ta có:
z z 4 3i 4 3i (z 4 3i) (4 3i) z 4 3i 4 3i 3 5 8
Do đó giá trị lớn nhất của z là 8.
Chọn D
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i 1. Giá trị lớn nhất của z 1
i là
A. 13 1
B. 4 C. 6 D. 13 2
Hướng dẫn
Trang 6

Áp dụng công thức
z1 z2 z1 z2
ta có:
z 2 3i 1 z ( 2 3i) 1 z ( 2 3i) 1 z ( 2 3i) 1 z 2 3i 1
Áp dụng công thức z z z z ta có:
1 2 1 2
2 2
z 1 i (z 2 3i) (3 2i) z 2 3i 3 2i 1 3 ( 2) 1
13
Do đó giá trí lớn nhất của
z 1 i là 1
13
Chọn A
Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn
z 1
2i 4
. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
z 2 i
. Tính S = M 2 + m 2
A. S = 34 B. S = 83 C. S = 68 D. S = 36
z 2 i z 1 2i 3 3i (z1 2 i) (3 3i)
z z z z z z :
1 2 1 2 1 2
Hướng dẫn
z 1 2i 3 3i (z 1 2i) (3 3i) z 1 2i 3 3i
4 3 2 (z 1 2i) (3 3i) 4 3 2
Hay m 4 3 2 z 2 i 4 3 2
. Áp dụng
Vậy S = M 2 + m 2 = 68
Chọn C
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Cho số phức z thỏa mãn z 2 2i 1. Giá trị nhỏ nhất của z i là
A. 5 1
B. 5 1
C. 5 2
D. 5 2
Câu 2. Cho các số phức z thỏa mãn z 3 4i 1. Giá trị lớn nhất của z là
A. 4 B. 3 C. 7 D. 6
Câu 3. Cho số phức z thỏa mãn z i 1. Giá trị lớn nhất của z 2 i là
A. 3 B. 5 1
C. 6 D. 5 1
Đáp án:
1 – A 2 – D 3 - A
PHẦN 2: BÀI TẬP TỔNG HỢP
Câu 1. Điểm biểu diễn số phức
(2 3i)(4 i)
z
có tọa độ là
3 2i
A. (1;-4) B. (-1;4) C. (1;4) D. (-1;-4)
Câu 2. Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn
zi (2 i) 2 là
Trang 7

2 2
A. (x 1) (y 2) 4
B.
2 2
(x 1) (y 2) 4
C. x + 2y – 1 = 0 D. 3x + 4y – 2 = 0
Câu 3. Cho các số phức z thỏa mãn
z 1 i z 1
2i
mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng. Đường thẳng đó có phương trình là
. Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z trên
A. 4x + 6y – 3 = 0 B. 4x – 6y – 3 = 0 C. 4x + 6y + 3 = 0 D. 4x – 6y + 3 = 0
Câu 4. Cho điểm A biểu diễn số phức 3 – 2i, điểm B biểu diễn số phức -1 + 6i. Gọi M là trung điểm của
AB. Khi đó điểm M biểu diễn số phức nào trong các số phức sau:
A. 1 – 2i B. 2 – 4i C. 2 + 4i D. 1 + 2i
Câu 5. Tập hợp biểu diễn của số phức z thỏa mãn
z 3z (2 3i) z
A. Là đường thẳng y 3x
B. Là đường thẳng y 3x
C. Là đường thẳng y = -3x D. Là đường thẳng y = 3x
Câu 6. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z 1
2i 1nằm trên đường tròn có tâm là
A. I(1;2) B. I(-1;2) C. I(1;-2) D. I(-1;-2)
Câu 7. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn tâm (a;b), sao cho
số thuần ảo là một đường tròn tâm I(a;b). Tổng a + b bằng
A. 2 B. 1 C. -2 D. 3
Câu 8. Cho số phức z 0 thỏa mãn
P
z i
z
bằng
là
z 2 3i
u
z i
là một
z 2 . Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Đáp án:
1 – D 2 – A 3 – B 4 – D 5 – A 6 – B 7 – C 8 - B
Trang 8

PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Căn bậc hai của số phức
CHƯƠNG 4 SỐ PHỨC
CHUYÊN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC
Số phức z = x + yi là căn bậc hai của số phức
w a bi
khi và chỉ khi
2
z
w
w = 0 có duy nhất một căn bậc hai là z = 0.
w 0 có hai căn bậc hai.
2. Phương trình bậc hai
2
Phương trình bậc hai az bz c 0 với a, b, c là
các số phức cho trước.
2
b 4ac có một căn bậc hai là , khi đó:
0 , phương trình có 2 nghiệm phân biệt là
b
z1,2
.
2a
b
0 , phương trình có nghiệm kép là z1 z2
2a
Cho
3. Hệ thức Viet đối với phương trình bậc hai với hệ số thực
2 2
z 1 2i,z (1 2i) 3 4i w
Ta nói số phức z = 1 + 2i là căn bậc hai của số phức
w 3 4i
2
Phương trình bậc hai z z 1 0 có a = 1; b = -1;
c = 1.
2 2 2
b 4ac 3 3i (i 3)
có một căn bậc hai là i 3
Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt là
z
1,2
1
i 3
2
Phương trình
phân biệt
z
1,z2
2
az bz c 0(a 0) có hai nghiệm
(thực hoặc phức)
b
S z1 z2
a
Ta có hệ thức Viet
c
P z
1.z
2
a
2
Phương trình bậc hai z z 1 0 có a = 1; b = -1;
c = 1.
b
S z1 z2
1
a
Ta có hệ thức Viet
c
P z
1.z2
1
a
PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tìm căn bậc hai của một số phức
1. Phương pháp giải
Tìm căn bậc hai của số phức w:
Trường hợp w là số thực: Nếu a là một số thực
a < 0, a có các căn bậc hai là i a .
a = 0, a có đúng một căn bậc hai là 0
a > 0, a có hai căn bậc hai là
Trường hợp w là số phức có dạng
w a bi(a,b ,b 0)
a
Số 9 có hai căn bậc hai là 9 3
Số -9 có hai căn bậc hai là 3i
Ví dụ: Số phức w = 8 – 6i có hai căn bậc hai. Tìm
phần thực của căn bậc hai có phần ảo là một số
dương.
A. -2 B. -3 C. 3 D. 2
Trang 1

Cách 1: Gọi
của w
Ta có:
z x yi(x,y )
là một căn bậc hai
2 2
z w (x yi) a bi
2 2
x 2xyi (yi) a bi
2 2
x y 2xyi a bi
2xy
b
2 2
x y a
Giải hệ phương trình ra nghiệm (x;y).
Mỗi cặp số thực (x;y) là nghiệm của hệ phương
trình trên cho ta một căn bậc hai z x yi của số
phức w = a + bi
Cách 2: Sử dụng casio fx-570 VNPLUS
Bước 1: Mode 1 (COMP).
Bước 2: Nhấn SHIFT + (pol), ta nhập Pol(a,b), ấn =
Bước3: Nhấn Shift – (Rec), t nhập Rec X, y : 2 ,
ta thu được kết quả X = x, Y = y.
Căn bậc hai cần tìm là x + yi và –x – yi.
Hướng dẫn
Cách 1: Gọi
của số phức w = 8 – 6i
Ta có:
z x yi(x,y )
là một căn bậc hai
2 2
z w ( x yi) 8 6i
2 2
x 2 xyi ( yi) 8 6i
2 2
x y 2xyi 8 6i
2 2
2 2 x
y
x
y 8
8
3
2xy
6
y
x
2 9
4 2
x 8 x 8x
9 0
2
x
3
3
y
y
x
x
2
x
9( tm)
x
3
2
x 1( loai)
y
1
3
x
3
y
x
y
1
Vậy w = 8 – 6i có căn bậc hai là:
z 3 i, z 3 i .
1 2
Cách 2: Sử dụng casio fx-570 VNPLUS
Mode 1 (COMP).
Nhấn SHIFT + (pol), ta nhập Pol(8,-6), ấn =.
Nhấn Shift – (Rec), ta nhập
được kết quả X = 3, Y = -1.
Rec X, y : 2
Vậy hai căn bậc hai cần tìm là 3 – i và -3 + i.
Chọn B
ta thu
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Một căn bậc hai của số phức w = 3 + 4i có dạng z = x + yi. Trong đó x, y là các số nguyên
dương, tổng x + y bằng
A. -3 B. 4 C. 3 D. 2
Hướng dẫn
Cách 1: Vì z x yi là căn bậc hai của số phức w 3
4i nên
2
z
w
x 2
2 2
x y 3 y 1
2xy 4 x 2
y 1
2 2 2
(x yi) 3 4i x y 2xyi 3 4i
Trang 2

Vì x, y là các số nguyên dương nên x = 2, y = 1 x + y = 3
Cách 2:
2 2 2
w 3 4i 4 4i 1 2 2.2i i (2 i)
Do đó một căn bậc hai của w = 3 +4i có phần thực, phần ảo là những số nguyên dương là z = 2 + i.
Cách 3: Sử dụng Casio fx-570VNPLUS
Bước 1: Mode 1 (COMP)
Bước 2: Nhấn Shift + (Pol), ta nhập Pol (3,4), ấn =.
Nhấn Shift – (Rec), ta nhập Rec X, Y : 2 , ấn =, ta thu được kết quả là X = 2, Y = 1
Vậy hai số phức cần tìm là 2 + i và – 2 – i
Chọn C
Ví dụ 2: z là căn bậc hai có phần ảo âm của số phức là 24 – 10i. Phần thực là z là
A. -1 B. 5 C. 4 D. -5
2 2 2
24 10i 25 2.5i 1 5 2.5i i (5 i)
Vì z có phần ảo âm nên z = 5 – i
Vậy phần thực của z là 5
Chọn B
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Căn bậc hai của
1
4 3i là
Hướng dẫn
A. 2 2 3i
B. 2 2 3i
C. (2 2 3i) D. (2 2 3i)
Câu 2. z là căn bậc hai có phần thực âm của số phức 35 – 12i. Phần ảo của z là
A. -1 B. i C. 1 D. -i
Đáp án:
1 – C 2 – C
Dạng 2: Phương trình trên tập số phức
1. Ví dụ minh họa
2
2 2
Ví dụ 1: Gọi z 1 và z 2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2z 10 0 . Giá trị của A z z là
A. 30 B. 10 C. 20 D. 50
Hướng dẫn
1 2
2
2 2
Cách 1: Phương trình z 2z 10 0 có ' ( 1) 10 9 (3i) nên phương trình có hai nghiệm phức
z 1
3i, z 1
3i
là
1 2
2 2 2 2 2 2
A (1 3i) (1 3i) 8 6i 8 6i ( 8) 6 ( 8) 6 20
Cách 2: Sử dụng Casio fx-570VNPLUS
Bước 1: Sử dụng chức năng giải phương trình bậc 2 MODE 5 3
Bước 2: Nhập các hệ số a = 1, b = 2, c = 10
Trang 3

Ta được hai nghiệm z1 1
3i, z2
1
3i
Bước 3: Sử dụng SHIFT hyp (abs) để bấm dấu môđun
Nhập
Chọn C
2 2
A (1 3i) (1 3i) 20
4 2
Ví dụ 2: Kí hiệu z 1 , z 2 , z 3 , z 4 là bốn nghiệm của phương trình z z 12 0 . Tổng
T z1 z2 z3 z4
bằng
A. 5 B. 26 C. 4 2 3
D. 10
Đặt z 2 = t, phương trình trở thành
z Với t = 4, z 2 1
2
= 4
z2
2
z Với t = 3, z 2 = -3 = 3i 2 1
i 3
z2
i 3
Hướng dẫn
2 t 4
t t 12 0
t 3
Vậy P z1 z2 z3 z4
2 2 i 3 i 3 4 2 3
Chọn C
2
Ví dụ 3: Phương trình z az b 0 có một nghiệm phức là z 3
2i . Tổng a + b bằng
A. 0 B. -3 C. 3 D. 7
Vì z = 3 + 2i là một nghiệm của phương trình
Hướng dẫn
2
z az b 0 nên ta có:
2
(3 2i) a(3 2i) b 0 5 12i 3a 2ai b 0 (3a b 5) (12 2a)i 0
3a b 5 0 a 6
12 2a 0 b 13
Do đó: a + b = -6 + 13 = 7
Chọn D
Ví dụ 4: Cho phương trình
nghiệm z 1 , z 2 thỏa mãn
2
z mz 2m 1 0 trong đó m là tham số phức. Để phương trình có hai
2 2
z z 1thì giá trị của m là
1 2
m 1
m 1
m 1
A.
B. C. D.
m 3
m 3
m 3
Hướng dẫn
2
Phương trình z mz 2m 1 0 có a = 1, b = -m, c = 2m – 1.
z z 1 (z z ) 2z z 1
2 2 2
1 2 1 2 1 2
m 1
m 3
Trang 4

Theo định lí Viet, ta có:
b
z1 z2
m
a
, thay vào ta được:
c
z
1.z 2
2m 1
a
2 2 m 1
m 2(2m 1) 1 m 4m 3 0
m 3
Chọn A
Ví dụ 5: Gọi z 1 , z 2 là hai nghiệm phứ ccủa phương trình
(i z )(i z ) 2017
1 2
là
2016
1008
1008
A. 2
B. 2
C. 2
D.
Ta có z 1 , z 2 là hai nghiệm của phương trình:
Hướng dẫn
2
z z 2 0 nên
2
z z 2 0 . Phần thực của số phức
z1 z2
1
z 1.z 2
2
2017
Ta có (i z
1)(i z
2)
z1z2 i(z1 z
2) i
(2 i 1) (1 i)
2017 2 2017 2017
2016 2
1008
1008 1008 1008
(1 i) (1 i)
(1 i)
(1 i) ( 2i) (1 i) 2 2 i
2017
Vậy phần thực của (i z )(i
z ) là -2 1008 .
Chọn B
2. Bài tập tự luyện
Câu 1. Phương trình
1 2
2016
2
2
z bz c 0 có một nghiệm phức là z = 1 – 2i. Tích của hai số b và c bằng
A. 3 B. -2 và 5 C. -10 D. 5
Câu 2. Trên tập hợp số phức, phương trình
z z z z
1 2 1 2
là
2
z 7z 15 0 có hai nghiệm z 1 , z 2 . Giá trị biểu thức
A. -7 B. 8 C. 15 D. 22
Câu 3. Kí hiệu z 1 , z 2 , z 3 , z 4 là bốn nghiệm của phương trình
là
4 2
z z 6 0 . Tổng P z1 z2 z3 z4
A. 2( 2 3) B. ( 2 3)
C. 3( 2 3) D. 4( 2 3)
Đáp án:
1 – C 2 – B 3 - A
3. Bài tập tổng hợp
z
Câu 1. Tập hợp các nghiệm của phương trình z là
z i
0
0;1
A. 0;1
i
B. C. 1 i
D.
Câu 2. Gọi z 1 , z 2 là các nghiệm phức của phương trình
biểu diễn số phức z 1 , z 2 . Độ dài đoạn AB là
2
z 2z 5 0 . Biết A, B lần lượt là các điểm
Trang 5

4
A. B. 3 C. 4 D.
3
Câu 3. Trên tập số phức C cho phương trình
là
2 2 2
(z 2z) 5(z 2z) 6 0 . Các nghiệm của phương trình
z 1
i
z 1
i
z 1
i
A. B. C. D.
z 1 i 2
z 1 i 2
z 1 i 2
Câu 4. Phương trình z 2 = 8 có bao nhiêu nghiệm phức với phần ảo âm?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
Câu 5. Phương trình
3
4
z 2 i
z 1 i 2
2
(2 i)z az b 0(a, b )
có hai nghiệm là 3 + I và 1 – 2i. Giá trị của a là
A. -9 – 2i B. 15 + 5i C. 9 + 2i D. 15 – 5i
Câu 6. Tìm số nguyên x, y sao cho số phức z = x + yi thỏa mãn z 3 = 18 + 26i.
x 3
x 3
x 3
A.
B.
C.
D.
y 1
y 1
y 1
Câu 7. Trên tập số phức, cho phương trình sau:
các nhận xét sau?
1. Phương trình vô nghiệm trên trường số thực
2. Phương trình vô nghiệm trên trường số phức
3. Phương trình không có nghiệm thuộc tập số thức
4. Phương trình có 4 nghiệm thuộc tập số phức
5. Phương trình chỉ có 2 nghiệm là số phức
6. Phương trình có 2 nghiệm là số thực
x 3
y 1
4 2
(z i) 4z 0 . Có bao nhiêu nhận xét đúng trong số
A. 0 B. 1 C. 3 D. 2
Câu 8. Phương trình
6 3
z 9z 8 0 có bao nhiêu nghiệm trên tập số phức?
A. 3 B. 4 C. 2 D. 6
2
Câu 9. Giả sử z 1 , z 2 là 2 nghiệm của phương trình z 2z 5 0 và A, B là các điểm biểu diễn của z 1 , z 2 .
Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là
A. I(1;1) B. I(-1;0) C. I(0;1) D. I(1;0)
Câu 10. Cho các số phức
z 1
2i,z 1
2i . Hỏi z 1 , z 2 là nghiệm của phương trình phức nào sau đây?
1 2
2
2
2
A. z 2z 5 0 B. z 2z 5 0 C. z 2z 5 0 D.
2
z 2z 5 0
2
Câu 11. Gọi z 1 , z 2 là các nghiệm của phương trình z (1 3i)z 2(1 i) 0. Khi đó w z z 3z z
là số phức có môđun là
A. 2 B. 13 C. 2 13 D. 20
Đáp án:
2 2
1 2 1 2
1 – A 2 – C 3 – A 4 – A 5 – A 6 – C 7 –D 8 – D 9 – D 10 –C 11 - D
Trang 6