Bộ chuyên đề đột phá lấy điểm 8,9,10 môn Toán - Đại Số Và Giải Tích - Ôn thi THPTQG từ lớp 10, 11, 12

daykemquynhon

https://app.box.com/s/35k6ng5zkuudl31d4ggzekgf133mtzey

CHƯƠNG 1: MỆNH ĐỀ, TẬP HỢP, HÀM SỐ

PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Mệnh đề

Định nghĩa:

CHUYÊN ĐỀ 1: MỆNH ĐỀ, TẬP HỢP

• Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai.

• Một mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai.

Mệnh đề phủ định

Cho mệnh đề P, mệnh đề “không phải P” được gọi là mệnh đề phủ định của P và kí hiệu là

đúng thì P sai, nếu P sai thì P đúng.

Mệnh đề kéo theo

Cho mệnh đề P và Q. Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là

ra Q). Mệnh đề

Chú ý:

P Q

chỉ sai khi P đúng và Q sai.

P.

Nếu P

P Q , (P suy

Các định lí toán học thường có dạng

P Q . Khi đó:

P là giả thiết, Q là kết luận, P là điều kiện đủ để có Q, Q là điều kiện cần để có P.

Mệnh đề đảo

• Cho mệnh đề kéo theo P Q . Mệnh đề Q P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P Q .

• Cho mệnh đề P và Q. Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” được gọi là mệnh đề tương đương và kí hiệu là

P Q . Mệnh đề P Q đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh đề P Q và Q P đều đúng.

Chú ý:

Nếu mệnh đề P Q là 1 định lí thì ta nói P là điều kiện cần và đủ để có Q.

Kí hiệu và :

Cho mệnh đề chứa biến P (x). Khi đó:

“Với mọi x thuộc X để P (x) đúng” được ký hiệu là: “ x

X,P x ” hoặc “ x

X : P x ”.

“Tồn tại x thuộc X để P (x) đúng” được ký hiệu là “ x

X,P x ” hoặc “ x

X : P x ”

• Mệnh đề phủ định của mệnh đề “ x

X, P x ” là “ x

X,P x ”.

• Mệnh đề phủ định của mệnh đề “ x

X, P x ” là “ x

X,P x ”.









2. Tập hợp

Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa.

Các xác định tập hợp

Liệt kê các phân từ: Viết các phần tử của tập hợp trong hai dấu móc { ; ; }.

Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.

Tập rỗng: là tập hợp không chứa phần tử nào, kí hiệu .

Tập hợp con: A B x A x B .



Trang 1


A A, A.

A, A.

A B, B C A C.

Tập hợp bằng nhau:

Chú ý:

A

B

A B

B

A

Nếu tập hợp có n phần tử thì có 2 n tập con.

3. Một số tập hợp con của tập hợp số thực

*


.

* : là tập hợp số tự nhiên không có số 0. : là tập hợp số tự nhiên.

: là tập hợp số nguyên. : là tập hợp số hữu tỉ.

;

:

Khoảng

là tập hợp số thực.


a;b x | a x b :


a; x | a x :


;b x | x b :

Đoạn:

Nửa khoảng:

a;b x | a x b :


a;b x | a x b :


a;b x | a x b :


a; x | a x :


;b x | x b :

4. Các phép toán trên tập hợp

Giao của hai tập hợp A B { x|x A và x B }.

Hợp của hai tập hợp A B { x | x A hoặc x B }.

Hiệu của hai tập hợp: A \ B { x | x A và x B }.

Phần bù: Cho

B A

thì

CAB A \ B.

5. Số gần đúng

Sai số tuyệt đối

Nếu a là số gần đúng của số đúng a thì a a a gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a.

Độ chính xác của một số gần đúng

Nếu a a a d thì a d a a d . Ta nói a là số gần đúng của a với độ chính xác d và qui

ước viết gọn là a a d.

Trang 2


Sai số tương đối

a

Sai số tương đối của số gần đúng a là tỉ số giữa sai số tuyệt đối và a , kí hiệu a . a

càng

a

nhỏ thì độ chính xác của phép đo đạc hoặc tính toán càng lớn.

Ta thường viết

a

Quy tròn số gần đúng

dưới dạng phần trăm.

Nếu chữ số ngay sau hàng qui tròn nhỏ hơn 5 thì ta chỉ việc thay thế chữ số đó và các chữ số bên

phải nó bởi số 0.

Nếu chữ số ngay sau hàng qui tròn lớn hơn hay bằng 5 thì ta thay thế chữ số đó và các chữ số bên

phải nó bởi số 0 và cộng thêm một đơn vị vào chữ số ở hàng qui tròn.

Chữ số chắc

Cho số gần đúng a của số a với độ chính xác d. Trong số a, một chữ số gọi là chữ số chắc (hay

đáng tin) nếu d không vượt quá nửa đơn vị của hàng có chữ số đó.

Nhận xét: Tất cả các chữ số đứng bên trái chữ số chắc đều là chữ số chắc. Tất cả các chữ số đứng bên

phải chữ số không chắc đều là chữ số không chắc.

PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Mệnh đề

1. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Các câu sau đây, có bao nhiêu câu là mệnh đề đúng?

(1) Chạy ngay đi!

2

(2) Phương trình x 3x 1 0 vô nghiệm.

(3) 16 không là số nguyên tố.

2

2

(4) Hai phương trình x 4x 3 0 và x x 3 1 0 có nghiệm chung.

(5) Ba giờ sáng anh còn chưa ngủ, tương tư về em biết bao nhiêu cho đủ?

(6) U23 Việt Nam đoạt giải chơi đẹp nhất U23 Châu Á.

(7) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau.

(8) Một tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vuông góc với nhau.

A. 4. B. 6. C. 7. D. 5.

Hướng dẫn

Câu (1) và (5) không là mệnh đề (vì là câu đầu khiến, câu nghi vấn).

Các câu (3), (4), (6), (8) là những mệnh đề đúng.

Câu (2) và (7) là những mệnh đề sai.

Chọn A.

Ví dụ 2: Mệnh đề


2

P x :" x , x x 7 0" . Phủ định của mệnh đề P là

2

A. x , x x 7 0.

B.

2

C. x , x x 7 0.

D.


2

x , x x 7 0.


2

x ,

x x 7 0.

Trang 3


Phủ định của mệnh đề P là

2

Chọn D.

Hướng dẫn

P x : " x , x x 7 0".

Ví dụ 3: Mệnh đề nào sau đây là phủ định của mệnh đề: “Mọi động vật đều di chuyển”?

A. Mọi động vật đều không di chuyển.

B. Mọi động vật đều đứng yên.

C. Có ít nhất một động vật không di chuyển.

D. Có ít nhất một động vật di chuyển.

Phủ định của mệnh đề

" x K, Px "

Hướng dẫn

là mệnh đề " x K, Px ".

Do đó, phủ định của mệnh đề: “Mọi động vật đều di chuyển” là mệnh đề: “Có ít nhất một động vật không

di chuyển”.

Chọn C.

2. Bài tập tự luyện

Câu 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?

A. Tổng của hai số tự nhiên là một số chẵn khi và chỉ khi cả hai số đều là số chẵn.

B. Tích của hai số tự nhiên là một số chẵn khi và chỉ khi cả hai số đều là số chẵn.

C. Tổng của hai số tự nhiên là một số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều là số lẻ.

D. Tích của hai số tự nhiên là một số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều là số lẻ.

Câu 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai?

A. “ABC là tam giác đều khi và chỉ khi tam giác ABC cân”.

B. “ABC là tam giác đều khi và chỉ khi tam giác ABC cân và có một góc 60 ”.

C. “ABC là tam giác đều khi và chỉ khi ABC là tam giác có ba cạnh bằng nhau”.

D. “ABC là tam giác đều khi và chỉ khi tam giác ABC có hai góc bằng 60 ”.

Câu 3. Cho mệnh đề


2

P x :" x , x x 1 0". Mệnh đề phủ định của mệnh đề P (x) là

2

A. " x , x x 1

0".

B.

2

" x , x x 1

0".

2

C. " x , x x 1 0".

2

D. " x , x x 1 0".

Câu 4. Lập mệnh đề phủ định của mệnh đề: “Số 6 chia hết cho 2 và 3”.

A. Số 6 chia hết cho 2 hoặc 3. B. Số 6 không chia hết cho 2 và 3.

C. Số 6 không chia hết cho 2 hoặc 3. D. Số 6 không chia hết cho 2, chia hết cho 3.

Đáp án:

1 – D 2 – A 3 – C 4 – C

Dạng 2: Tập hợp và các phép toán trên tập hợp

1. Ví dụ minh họa

Trang 4


Ví dụ 1: Hãy liệt kê các phần tử của tập

2

X x | 2x 5x 3 0 .

3

A. X 0 .

B. X 1 .

C. X .

D.

2

Ta có

Vậy

x 1



x

2

2

2x 5x 3 0 3

X 1 .

Chọn B.

Ví dụ 2: Cho


X 0;1;2;3;4;8;9;7 .


Hướng dẫn

Tập X có bao nhiêu tập hợp con?

A. 8. B. 128. C. 256. D. 64.

Nếu tập hợp có n phần tử thì có 2 n tập hợp con.

Tập X có 8 phần tử nên có

Chọn C.

Ví dụ 3: Cho tập hợp

8

2 256



tập hợp con.

Hướng dẫn

X 1;2;3;4 . Câu nào sau đây đúng?

3

X 1; .

2

A. Số tập con của X là 16. B. Số tập con của X gồm có 2 phần tử là 8.

C. Số tập con của X chứa số 1 là 6. D. Số tập con của X gồm có 3 phần tử là 2.

Số tập con của tập hợp X là:

4

2 16.

Số tập con có 2 phần tử của tập hợp X là:

2

C4

6.

Hướng dẫn

Số tập con của tập hợp X chứa số 1 là: 8, bao gồm:

1 , 1;2 , 1;3 , 1;4 , 1;2;3 , 1;2;4 , 1;3;4 , 1;2;3;4 .

Số tập con có 3 phần tử của tập hợp X là:

Chọn A.

3

C4

4.


Ví dụ 4: Cho A 0;1;2;3;4 ; B 2;3;4;5;6 . Tập hợp A \ B B \ A bằng

A. {0;1;5;6}. B. {1;2}. C. {5}. D. .



A \ B 0;1

Ta có

A \ B B \ A

.

B \ A 5;6

Chọn D.

Hướng dẫn

Ví dụ 5: Lớp 12A có 7 học sinh giỏi Toán, 5 học sinh giỏi Lý. 6 học sinh giỏi Hóa, 3 học sinh giỏi cả

Toán và Lý, 4 học sinh giỏi cả Toán và Hóa, 2 học sinh giỏi cả Lý và Hóa, 1 học sinh giỏi cả 3 môn Toán,

Lý, Hóa. Số học sinh giỏi ít nhất một môn (Toán, Lý, Hóa) của lớp 12A là

Trang 5


A. 9. B. 10. C. 18. D. 28.

Có 1 học sinh giỏi cả 3 môn học. Ta có:

Hướng dẫn

4 học sinh giỏi cả Toán và Hóa, do đó số học sinh chỉ giỏi Toán, Hóa, không giỏi Lý là 4 1 3 (học

sinh).

2 học sinh giỏi cả Lý và Hóa, do đó số học sinh chỉ giỏi Lý và Hóa, không giỏi Toán là 2 1 1

(học

sinh).

3 học sinh giỏi cả Lý và Toán, do đó số học sinh chỉ giỏi Lý và Toán, không giỏi Hóa là 3 1 2 (học

sinh).

Số học sinh chỉ giỏi Toán, không giỏi Lý, Hóa là

Số học sinh chỉ giỏi Hóa, không giỏi Lý, Toán

Số học sinh chỉ giỏi Lý, không giỏi Toán, Hóa là

Từ đó lập biểu đồ Ven ta được:

7 1 2 3 1

6 11

3 1

5 11

2 1

(học sinh).

(học sinh).

(học sinh).

Theo biểu đồ, số học sinh giỏi ít nhất 1 trong 3 môn là:

Chọn B.

1 2 1 3 111 10


Ví dụ 6: Cho A ; 2 ; B 3; ; C 0;4 . Khi đó A B C là

A. B. C. ; 2 3; D.

(học sinh).

3;4

3;4


; 2 3;


Hướng dẫn

Ta có A B ; 23; A B C 3;4

Chọn B


Ví dụ 7: Cho hai tập hợp A 4;7 và B ; 2 3; . Khi đó A B là


; 2 3;


A. ; 2 3; B. 4; 2 3;7 C. 4; 2 3;7 D.

Hướng dẫn

Ta có A B 1;7 ; 2 3; 4; 2 3;7

Trang 6


Chọn B

2. Bài tập tự luyện

Câu 1. Trong các tập hợp sau, tập hợp nào rỗng?




2

2

A. A x | x 4 0 .

B. B x | x 2x 3 0 .




2

2

C. C x | x 5 0 .

D. D x | x x 12 0 .


Câu 2. Cho 2 tập hợp: X 1;3;5;8 ; Y 3;5;7;9 . Tập hợp X Y bằng tập hợp nào sau đây?

3;5 . 1;3;5;7;8;9 . 1;7;9 .

A. B. C. D.

Câu 3. Cho


A 0;1;2;3;4 ; B 2;3;4;5;6 .

Tập hợp A \ B bằng

A. B. C. D.

1;3;5 .

0 . 0;1 . 1;2 .


Câu 4. Cho A 1;4 ; B 2;6 ; C 1;2 . Khi đó, A B C là

1;6 . 2;4 .

A. B. C. 1;2 . D. .

Câu 5. Cho



A 0;2;4;6 . Tập A có bao nhiêu tập con có 2 phần tử?

A. 4. B. 6. C. 7. D. 8.

1;5 .

Đáp án:

1 – B 2 – B 3 – B 4 – D 5 – B

Dạng 3: Số gần đúng và sai số

1. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho giá trị gần đúng của

9

16

là 0,56. Sai số tuyệt đối của số là 0,56 là

A. 0,0025. B. 0,002. C. 0,003. D. 0,0075.

Ta có

9

16 0,5625

nên sai số tuyệt đối của 0,56 là:

9

0,56 0,5625 0,56 0,0025.

16

Chọn A.

Hướng dẫn

Ví dụ 2: Độ dài các cạnh của một mảnh vườn hình chữ nhật là: x 7,1m 7cm và y 25,6m 4cm. Số

đo chu vi của mảnh vườn dưới dạng chuẩn là

A. 66m 12cm.

B. 67m 11cm.

C. 66m 11cm.

D. 65m 22cm.

Hướng dẫn

Trang 7


Ta có x 7,1m 7cm 7,03m x 7,17 m và y 25,6m 4cm 25,56m y 25,64m . Do đó chu

vi hình chữ nhật là P 2x y65,18;65,62

P 65, 4m 22cm.


1

d 22cm 0, 22m 0,5 nên 5 là chữ số chắc. Do đó dạng chuẩn của chu vi là 65m 22cm.

2

Chọn D.

2. Bài tập tự luyện

Câu 1. Cho số gần đúng a 23748023 với độ chính xác d 101.

Hãy viết số quy tròn của số a.

A. 23749000. B. 23748000. C. 23746000. D. 23747000.

Câu 2. Cho giá trị gần đúng của

17

40

là 0,42. Sai số tuyệt đối của số 0,42 là

A. 0,001 B. 0,002 C. 0,004 D. 0,005

Câu 3. Một miếng đất hình chữ nhật có chiều rộng x 43m 0,5m và chiều dài y 63m 0,5m. Tính

chu vi P của miếng đất đã cho.

A. P 212m 4m. B. P 212m 2m. C. P 212m 0,5m. D. P 212m 1m.

Đáp án:

1 – B 2 – D 3 – B

PHẦN 3: CÁC DẠNG BÀI TẬP

Câu 1. Cách viết nào sau đây là đúng





A. a a;b .

B. a a;b . C. a a;b . D. a a;b .

10

Câu 2. Cho giá trị gần đúng của là a 3,141592653589 với độ chính xác 10 . Hãy viết số quy tròn

của số a.

A. 3,141592654. B. 3,1415926536. C. 3,141592653. D. 3,1415926535.

Câu 3. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng

*

*

A. \ .

B. .

C. .

D.


Câu 4. Cho X 7;2;8;4;9;12 ; Y 1;3;7;4 . Tập nào sau đây bằng tập X Y ?

1;2;3;4;12 . 2;8;9;12 . 4;7 .

A. B. C. D.


*


* .

1;3 .

Câu 5. Cho hai tập hợp A 2;4;6;9 và B 1;2;3;4 . Tập hợp A\ B bằng tập nào sau đây?


1;3;6;9 .

A. A 1;2;3;5 . B. C. 6;9 . D. .


Câu 6. Cho A 0;1;2;3;4 , B 2;3;4;5;6 . Tập hợp A \ B B \ A bằng ?

0;1;5;6 . 1;2 . 2;3;4 .

A. B. C. D.

Câu 7. Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều dài là

Tính diện tích S của thửa ruộng đã cho.

5;6 .

x 23m 0,01m và chiều rộng là y 15m 0,01m.

Trang 8


A. S 345m 0,001m.

B. S 345m 0,38m.

C. S 345m 0,01m.

D. S 345m 0,3801m.

Câu 8. Cho tập hợp C A



3; 8 và CB 5;2 3; 11 .

Tập CR

A B






A. 3; 3 .

B. . C. 5; 11 .

D.

Câu 9. Số các tập con 2 phần tử của

B


a;b;c;d;e;f

A. 15. B. 16. C. 22. D. 25.


Câu 10. Cho A x | x 2 0 , B x | 5 x 0 . Khi đó A B là




2;


A. 2;5 .

B. 2;6 .

C. 5;2 .

D.



3;2 3; 8 .

Đáp án:

1 – B 2 – A 3 – D 4 – C 5 – C 6 – A 7 – B 8 – C 9 – A 10 – A

Trang 9


CHƯƠNG 1: MỆNH ĐỀ, TẬP HỢP, HÀM SỐ

CHUYÊN ĐỀ 3: HÀM SỐ BẬC NHẤT, HÀM SỐ BẬC HAI

PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Hàm số bậc nhất y ax b a 0 .

Tập xác định: D .

Chiều biến thiên:

Với

Với

a 0 hàm số đồng biến trên .

a 0 hàm số nghịch biến trên .

Bảng biến thiên:

X

Y





a 0

a 0



x

y





Đồ thị:

Đường thẳng này luôn song song với đường thẳng y ax (nếu b 0 ) và đi qua hai điểm

b

B ;0 .

a

a 0

a 0

A 0;b ,


Chú ý:

• Hàm số hằng y b : Đồ thị hàm số y b là một đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành và

cắt trục tung tại điểm

• Đối với hàm số

Trường hợp

a 0



0;b . Đường thẳng này gọi là đường thẳng y b.

y ax b , a 0


ta làm tương tự.


thì ta có:


b

ax b khi x


a

y ax b

a 0

b

ax b

khi x


a


Trang 1


Do đó để vẽ hàm số y ax b , ta sẽ vẽ hai đường thẳng y ax b và y ax b , rồi xóa đi phần

đường thẳng nằm phía dưới trục hoành Ox.

• Cho hai đường thẳng d: y ax b và d : y ax b

. Khi đó:

d // d

a a

và b b .

d d

a.a

1.

d d

a a

và b b .

d d

a a .

• Phương trình đường thẳng d qua

Ax ; y và có hệ số góc k có dạng: y k. x x y

A

A

A A.

2. Hàm số bậc hai y ax 2 bx c a 0

Tập xác định: D .

Bảng biến thiên:

X

Y



a 0

a 0

b


2a

x


y


b


2a



4a




4a

2

b

• Nếu a 0 thì hàm số y ax bx c nghịch biến trên khoảng ; ,

đồng biến trên khoảng

2a




b ;

2a




.

2

b

• Nếu a 0 thì hàm số y ax bx c đồng biến trên khoảng ; ,

nghịch biến trên khoảng

2a




b ;

2a




.

Đồ thị của hàm số bậc hai:

2

b

Đồ thị của hàm số y ax bx c a 0

là một đường parabol có đỉnh là điểm I ; ,

có trục

2a 4a

đối xứng là đường thẳng x b . Parabol này quay bề lõm lên trên nếu a 0, xuống dưới nếu a 0.

2a



Trang 2


Chú ý:

2

Đồ thị hàm y f x ax bx c , a 0

Đồ thị hàm y f x ax 2 b x c, a 0

2

• Bước 1: Vẽ P : y ax bx c.

• Bước 2:Do





f x khi f x 0

y f x


f x khi f x 0


đồ thị hàm số y f x

được vẽ như sau

Giữ nguyên phần (P) phía trên Ox.

Lấy đối xứng phần (P) dưới Ox qua Ox.


Đồ thị y f x

là hợp của hai phần trên.

nên

• Bước 1: Vẽ (P):

• Bước 2: Do

2

y ax bx c


y f x


là hàm chẵn nên đồ thị đối

xứng nhau qua trục Oy, đồ thị hàm số được vẽ như

sau:

Giữ nguyên phần (P) bên phải Oy.

Lấy đối xứng phần này qua Oy.

Đồ thị


y f x


là hợp của hai phần trên.

PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Khảo sát hàm số bậc nhất, bậc hai

1. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm m để hàm số

y mx 2 x 2m 1

nghịch biến trên .

1

A. m 2.

B. m .

C. m 1.

D.

2

Hướng dẫn

y mx 2 x 2m 1 mx 2m x 2m 1 1 m

x 2m.

Hàm số bậc nhất

Chọn C.

y ax b nghịch biến a 0 1 m 0 m 1.

Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn



y m 2 x 2m đồng biến trên ?


1

m .

2

2019;2019

A. 2022. B. 2019. C. Vô số D. 2017.

Hàm số bậc nhất

Hướng dẫn

y ax b đồng biến khi và chỉ khi a 0 m 2 0 m 2.

Mà m , thuộc đoạn 2019;2019 nên m 3;4;5;...;2019 .

Vậy có


2019 31 2017

giá trị nguyên của m cần tìm.


để hàm số

Trang 3


Chọn D.

Ví dụ 3: Cho hàm số

2

y 2x 4x 1.

Chọn đáp án đúng.




A. Hàm số đồng biến trên khoảng ; 2 và nghịch biến trên khoảng

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 2 và đồng biến trên khoảng

2; .




C. Hàm số đồng biến trên khoảng ; 1 và nghịch biến trên khoảng

2; .




D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 1 và đồng biến trên khoảng

1; .




Hướng dẫn

1; .

2

b

Áp dụng: Hàm số y ax bx c với a 0 đồng biến trên khoảng ;

, nghịch biến trên khoảng

2a

b

; .

2a

b

Ta có 1.

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng ; 1

và đồng biến trên khoảng

2a

Chọn D.

Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

khoảng 1;2 .




2

y x m 1 x 2

A. m 5.

B. m 5.

C. m 3.

D. m 3.

Hàm số có

b m 1

a 1 0;

2a 2

Hướng dẫn

m 1

hàm số nghịch biến trên khoảng ;

.

2

m 1 m 1

Vậy để hàm số nghịch biến trên khoảng (1;2) thì 1;2 ;

1 m 3.

2 2

Chọn C.

Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số

2

y f x x 3x

9

9

9

A. M 0;m . B. M ;m 0. C. M 2;m . D.

4

4

4

Hướng dẫn

2

Cách 1: Hàm số y x 3x có a 1 0 nên bề lõm hướng lên.

x b 3 0;2 .

2a 2

Hoành độ đỉnh

3 9

f ;f 0 0;f 2 2.

2 4

Ta có:

Vậy:

3 9

m min y f ;M max y f 0

0.

2 4

Cách 2: Sử dụng máy tính Fx 570 VN PLUS


1; .

nghịch biến trên

trên đoạn 0;2 .

9

M 2;m .

4

Trang 4


2

Bước 1: Sử dụng Mode 7. Nhập hàm số

Start 0 End 2 Step 0.2

F x X 3X

Bước 2: Quan sát giá trị của cột F(x), giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của cột F(x) xấp xỉ giá trị M và m cần

tìm.

Chọn A.

2. Bài tập tự luyện

Câu 1. Cho hàm số


f x 4 3x. Khẳng định nào sau đây đúng?

4

4

A. Hàm số đồng biến trên khoảng ; .

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ;

.

3

3

C. Hàm số đồng biến trên .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng

3

;

.

4

2


Câu 2. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số f x x 4x 5 trên khoảng ;2 và trên

khoảng


2;


. Khẳng định nào sau đây đúng?



A. Hàm số nghịch biến trên ;2 , đồng biến trên 2; .



B. Hàm số đồng biến trên ;2 , nghịch biến trên 2; .


C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;2 và 2; .


D. Hàm số đồng biến trên các khoảng ;2 và 2; .

Câu 3. Tìm giá trị nhỏ nhất

y min

của hàm số

2

y x 4x 5.

A. y 0.

B. y 2.

C. y 2.

D.

min

min

min

ymin

1.

Đáp án:

1 – B 2 – A 3 – D

Dạng 2: Xác định hàm số

1. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng

đường thẳng y x 1.



2

y m 3 x 2m 3

A. m 2.

B. m 2.

C. m 2

D. m 1



Hướng dẫn

2

Để đường thẳng y m 3 x 2m 3 song song với đường thẳng y x 1

khi và chỉ khi

2

m 3 1

m 2

m 2.

2m

3 1 m 2

song song với

a


b

a

1 2

b

1 2

Trang 5


Chọn C.

Ví dụ 2: Tìm a và b để đồ thị hàm số

y ax b đi qua các điểm A2;1 , B1; 2 .

A. a 2, b 1.

B. a 2, b 1.

C. a 1, b 1.

D. a 1, b 1.

Đồ thị hàm số đi qua các điểm

Chọn D.



A 2;1 , B 1; 2


Hướng dẫn


nên ta có hệ phương trình:


1 a. 2 b a 1 .


2 a.1

b b 1

Ví dụ 3: Biết rằng đồ thị hàm số y ax b đi qua các điểm N 4; 1

và vuông góc với đường thẳng

4x y 1 0. Tính tích P ab.


1

1

A. P 0. B. P .

C. P .

D.

4

4

Đồ thị hàm số đi qua điểm



N 4; 1

nên

Mặt khác, đồ thị hàm số vuông góc với đường

Hướng dẫn


1 a.4 b. 1

y 4x 1 nên

4.a 1 2

1

P .

2

Từ (1) và (2), ta có hệ

Chọn A.

1

1 a.4 b a


4 P ab 0.

4.a 1


b 0

2

1

Ví dụ 4: Biết rằng P : y ax bx 2 a 1

đi qua điểm M 1;6

và có tung độ đỉnh bằng . Tính

4

tích T ab.

A. T 3.

B. T 2.

C. T 192.

D. T 28.

Hướng dẫn

1

Vì (P) đi qua điểm M 1;6

và có tung độ đỉnh bằng nên ta có hệ phương trình:

4

a 16

a b 2 6


a b 4 a 4 b a 4 b b 12

1

2

2


2

b 4.2a a b 84 b


4 b b 9b 36 0

a 1

4a 4


b 3

a 16 Do a 1

nên . Suy ra T ab 16.12 192

.

b 12

Chọn C.

Ví dụ 5: Xác định phương trình parabol (P):

B1; 3

và O0;0 .

2

y ax bx c, biết rằng (P) đi qua ba điểm A1;1 ,

Trang 6


2

2

2

A. y x 2x. B. y x 2x. C. y x 2x. D.

2

y x 2x.

Hướng dẫn

A1;1 ,

Cách 1: Vì (P) đi qua ba điểm B 1; 3 , O 0;0 nên ta có hệ phương trình:

a b c 1 a 1



a b c 3 b 2 .

c 0


c 0

Vậy phương trình của (P):

2

y x 2x.

Cách 2: Thay tọa độ ba điểm vào các đáp án xem đáp án nào chứa cả 3 điểm A, B và O.

Chọn C.

2

Ví dụ 6: Xác định phương trình parabol (P): y ax bx c, biết rằng (P) có đỉnh I 2; 1

và cắt trục

tung tại điểm có tung độ bằng 3.


2

1 2

1 2

A. y x 2x 3. B. y x 2x 3. C. y x 2x 3. D.

2

2

Vì (P) có đỉnh

Hướng dẫn

b

2

2a b

4a

I2; 1

nên ta có

1

2

b 4ac 4a

1

4a

Gọi A là giao điểm của (P) với Oy tại điểm có tung độ bằng

Theo giả thiết,


A 0; 3

Từ (1) và (2), ta có hệ

Vậy phương trình của (P):

Chọn B.


thuộc (P) nên

b 4a a 0 loai

2


16a 8a 0 b 0

c 3



c 3

1

2

2

y x 2x 3.

3.

Suy ra A0; 3 .

a.0 b.0 c 3 c 3. 2



1


a

2


hoặc b 2

c 3



2

y x 2x 3.

2. Bài tập tự luyện

Câu 1. Biết rằng đồ thị hàm số y ax b đi qua điểm M 1;4 và song song với đường thẳng

y 2x

1.

Tính tổng S a b.


A. S 4.

B. S 2.

C. S 0.

D. S 4.

Câu 2. Biết rằng đồ thị hàm số y ax b đi qua hai điểm M 1;3 và N 1;2 . Tính tổng S a b.


1

A. S .

B. S 3.

C. S 2.

D.

2

5

S .

2

Trang 7


Câu 3. Xác định phương trình của parabol (P):

hoành độ lần lượt là

2

y ax bx c,

1

và 2, cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng 2.

2

2

1 2

A. y 2x x 2. B. y x x 2. C. y x x 2. D.

2

biết rằng (P) cắt trục Ox tại 2 điểm

2

y x x 2.

Đáp án:

1 – A 2 – C 3 – D

Dạng 3: Sự tương giao của hàm số

1. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số

hoành độ bằng 3.

y 2x

m 1.

Tìm giá trị thực của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm

A. m 7.

B. m 3.

C. m 7.

D. m 7.

Hướng dẫn

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 A 3;0

Thay

x 3, y 0 vào hàm số ta được 0 2.3 m 1 m 7.

Chọn C.

Ví dụ 2: Cho hàm số bậc nhất

y ax b



thuộc đồ thị hàm số.

. Tìm a và b, biết rằng đồ thị hàm số cắt đường thẳng

: y 2x

5 tại điểm có hoành độ bằng 2

1

và cắt đường thẳng : y 3x

4

2

tại điểm có tung độ

bằng 2 .

3 1

3 1

3 1

A. a ; b . B. a ; b . C. a ; b . D.

4 2

4 2

4 2

Hướng dẫn

3 1

a ; b .

4 2

Với x 2

thay vào y 2x

5 , ta được y 1. Đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại điểm có hoành độ

bằng

2

nên đi qua điểm A2;1 .

Do đó ta có 1 a. 2 b. 1


1

Với y 2

thay vào y 3x

4, ta được x 2. Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y 3x

4 tại điểm

tung độ bằng 2

nên đi qua điểm B2; 2 .

Do đó ta có


2 a.2 b 2

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

Chọn C.

3

a

1 a. 2



b 2a

b 1 4

.

2 a.2 b 2a

b 2 1

b

2

Ví dụ 3: Tìm giá trị thực của tham số m để ba đường thẳng y 2x, y x 3 và y mx

5 phân biệt

và đồng quy.

Trang 8


A. m 7.

B. m 5.

C. m 5.

D. m 7.

Hướng dẫn

Tọa độ giao điểm A của hai đường thẳng y 2x và y x 3 là nghiệm của hệ:

y 2x

x

1

A1; 2 .

y x 3 y 2

Để ba đường thẳng đồng quy thì

Chọn D.

y mx

5 đi qua A 2 1.m 5 m 7.

Ví dụ 4: Tìm phương trình đường thẳng d: y ax b. Biết đường thẳng d đi qua điểm I 1;2 và tạo với

hai tia Ox, Oy một tam giác có diện tích bằng 4.


A. y 2x

4. B. y 2x 4. C. y 2x

4. D. y 2x 4.

Đường thẳng d:

Hướng dẫn

y ax b đi qua điểm I1;2 2 a b 1

b

d Ox A ;0 ; d Oy B 0;b .

a

Ta có

b b

Suy ra OA và (do A, B thuộc hai tia Ox, Oy).

a

a

OB b b

Tam giác OAB vuông tại O.

1 1 b

2

Do đó, ta có S

ABC

OA.OB 4 . .b 4 b 8a

2

2 2 a

Từ (1) suy ra

b 2 a

. Thay vào (2), ta được:

2 2 2

2 a 8a a 4a 4 8a a 4a

4 0 a 2.

Với a 2 b 4. Vậy đường thẳng cần tìm là d: y 2x

4.

Chọn B.

Ví dụ 5: Cho parabol (P):

điểm phân biệt có hoành độ dương.

2

y x 2x

m 1.


Tìm tất cả các giá trị thực của m để parabol cắt Ox tại hai

A. 1 m 2.

B. m 2.

C. m 2.

D. m 1.

Hướng dẫn

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và trục Ox là

x

2


2x

m 1 0. 1

Để parabol cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm dương do

đó:


2 m 0

m 2

S 2 0 1 m 2.

m 1

P m 1 0



Chọn A.

2

Ví dụ 6: Cho parabol (P): y x 4x

3 và đường thẳng d: y mx

3. Tìm giá trị thực của tham số m

để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ

x1, x2

thỏa mãn

x x 8.

3 3

1 2

Trang 9


A. m 2.

B. m 2.

C. m 4.

D. m 1.

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d là:

x 0

x

x m 4

0

x m 4

Hướng dẫn

2

x 4x

3 mx

3.

Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi 4 m 0 m 4.

x x 8 0 4 m 8 4 m 2 m 2.

3 3

Khi đó, ta có 3

Chọn B.

1 2

2. Bài tập tự luyện

1

3x

x

Câu 1. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y và y

1


4 3

1

A. 0; 1 .

B. 2; 3 .

C. 0; .

D.

4



3; 2 .

Câu 2. Tìm giá trị thực của m để hai đường thẳng d: y mx

3 và : y x m cắt nhau tại một điểm

nằm trên trục tung.

A. m 3.

B. m 3.

C. m 3.

D. m 0.

Câu 3. Tìm giá trị thực của tham số m để ba đường thẳng y 5 x 1 , y mx

3 và y 3x

m phân

biệt và đồng quy.

A. m 3.

B. m 13.

C. m 13.

D. m 3.

Câu 4. Parabol (P):

2

y x 4x

4

có số điểm chung với trục hoành là

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Câu 5. Cho parabol (P):

2

y x 2x

m 1.



Tìm tất cả các giá trị thực của m để parabol không cắt Ox.

A. m 2.

B. m 2.

C. m 2.

D. m 2.

Đáp án:

1 – D 2 – A 3 – C 4 – B 5 – B

Dạng 4: Đồ thị hàm số

1. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Hình sau đây là đồ thị của hàm số nào?

A. y x 1.

B. y x 2.

C. y 2x 1.

D. y x 1.

Hướng dẫn

Trang 10


Đồ thị đi xuống từ trái sang phải nên hệ số góc a 0. Loại đáp án A và C.

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm 0;1 .

Thay x 0; y 1

vào ta thấy hàm số y x 1

thỏa mãn.

Chọn D.

Ví dụ 2: Hình bên là đồ thị của hàm số nào?

A. y x .

B. y x 1.

C. y 1 x .

D. y x 1.

Hướng dẫn

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là 0;1 . Loại đáp án A và D.



Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là


1;0

và 1;0 .

Thay vào hai đáp án còn lại ta thấy

Chọn C.

y 1

x

thỏa mãn.

Ví dụ 3: Hình sau đây là đồ thị của hàm số nào?

A.

B.

C.

D.

2

y x 4x 1.

2

y 2x 4x 1.

2

y 2x 4x 1.

2

y 2x 4x 1.

Hướng dẫn

• Parabol có bề lõm hướng lên hoặc góc bên phải ngoài cùng hướng lên trên, nên a 0 .

Loại C.

• Đồ thị cắt Oy tại điểm có tung độ là 1

nên c 1.

Loại D.

• Đỉnh của parabol là điểm

Do đó hàm số trên là

Chọn B.

Ví dụ 4: Cho hàm số


1; 3

2

y 2x 4x 1.


2

y ax bx c

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. a 0, b 0, c 0.

B. a 0, b 0, c 0.

C. a 0, b 0, c 0.

D. a 0, b 0, c 0.

. Thay vào A và B, ta thấy B thỏa mãn.

có đồ thị như hình dưới đây.

Hướng dẫn

Bề lõm hướng lên hoặc góc ngoài cùng bên phải hướng lên trên nên a 0.

Trang 11


Hoành độ đỉnh parabol x 0, mà nên

2a

a 0 b 0.

Parabol cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên c 0.

Chọn B.

Ví dụ 5: Cho hàm số

thì phương trình

A. 0 m 1.

B. m 3.

f x

C. m 1, m 3.

D. 1 m 0.

2

f x ax bx c

m

có đồ thị như hình dưới đây. Với giá trị nào của tham số thực m

có đúng 4 nghiệm phân biệt.

Hướng dẫn


Cách vẽ đồ thị hàm số (C) từ đồ thị hàm số y f x

Giữ nguyên đồ thị


y f x

Lấy đối xứng phần đồ thị

phía trên trục hoành.


y f x

như sau:

phía dưới trục hoành qua trục hoành (bỏ phần dưới).


Kết hợp hai phần ta được đồ thị hàm số y f x

Phương trình


f x

m

như hình vẽ.

là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm

số y f x và đường thẳng y m (song song hoặc trùng với trục hoành).

Dựa vào đồ thị, với 0 m 1 thì phương trình f x m có đúng bốn

nghiệm phân biệt.

Chọn A.

Ví dụ 6: Cho hàm số

thì phương trình

A. m 1

B. m 1

C. m 2

D. m 2



2

f x ax bx c


f x 1 m

Cách vẽ đồ thị hàm số (C) từ đồ thị hàm số

• Giữ nguyên đồ thị


y f x

• Lấy đối xứng phần đồ thị

trục tung.

có đồ thị như hình dưới đây. Với giá trị nào của tham số thực m

có đúng 3 nghiệm phân biệt.

Hướng dẫn


y f x

phía bên phải trục tung.


y f x

Kết hợp hai phần ta được đồ thị hàm số

như sau:

phía bên phải trục tung qua


y f x

như hình vẽ.

Trang 12


Phương trình



f x 1 m f x m 1

y f x và đường thẳng y m 1

(song song hoặc trùng với trục hoành).

Dựa vào đồ thị, theo yêu cầu bài toán thì m 1 3 m 2.

Chọn C.

là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số

2. Bài tập tự luyện

Câu 1. Cho hàm số y ax b có đồ thị là hình bên. Tìm a và b.

3

A. a 2

và b 3. B. a và b 2.

2

3

C. a 3

và b 3. D. a và b 3.

2

Câu 2. Hình sau đây là đồ thị của hàm số nào?

A.

2

y x 3x

1.

B.

2

y 2x 3x

1.

C.

D.

2

y 2x 3x 1.

2

y x 3x 1.

Câu 3. Cho hàm số

A. a 0, b 0, c 0.

B. a 0, b 0, c 0.

C. a 0, b 0, c 0.

D. a 0, b 0, c 0.

2

y ax bx c

có đồ thị như hình bên. Khẳng định nào sau đây đúng?

Đáp án:

1 – D 2 – C 3 – C

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP

Câu 1. Tìm giá trị thực của tham số m để parabol (P):

đường thẳng y 3x 1.

2

y mx

2mx

3m 2

m 0

A. m 1.

B. m 1.

C. m 6.

D. m 6.

Câu 2. Cho hàm số

định nào sau đây đúng?

A. a 0, b 0, c 0.

B. a 0, b 0, c 0.

C. a 0, b 0, c 0.

D. a 0, b 0, c 0.

2

y ax bx c

có đồ thị như hình bên. Khẳng

có đỉnh thuộc

Trang 13


2

Câu 3. Biết rằng (P): y ax bx c , đi qua điểm và có đỉnh I 1;2 . Tính tổng

A2;3


A. S 2.

B. S 4.

C. S 6.

D. S 14.

Câu 4. Xác định phương trình của parabol (P):

và đi qua hai điểm M 0;1 , N2;1

.

2 2 2

S a b c .

2

y ax bx c , biết rằng (P) có đỉnh thuộc trục hoành

2

2

2

A. y x 2x

1.

B. y x 3x

1.

C. y x 2x

1.

D.

Câu 5. Hình bên là đồ thị của hàm số nào?

A. y 2x

3 .

B. y 2x

3 1.

C. y x 2 .

D. y 3x 2 1.

2

y x 3x 1.

Câu 6. Đường thẳng d: x y 1, a 0; b 0 đi qua điểm M 1;6

tạo với các tia Ox, Oy một tam

a b

giác có diện tích bằng 4. Tính S a 2b.

38

5 7 7

A. S .

B. S . C. S 10.

D. S 6.

3

3

Câu 7. Hình sau đây là đồ thị của hàm số nào?

A.

B.

C.

D.

y x 2 x .

2

2 3

1 5

2 2

2

y x x .

2

y x 2x.

1 2

3 3 x

2

y x 1.

2

Câu 8. Cho parabol (P): y ax bx c a 0 . Xét dấu hệ số a và biệt thức của phương trình


parabol (P) khi cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và có đỉnh nằm phía trên trục hoành.

A. a 0, 0. B. a 0, 0. C. a 0, 0. D. a 0, 0.

Đáp án:

1 – B 2 – A 3 – D 4 – A 5 – B 6 – C 7 – D 8 – D

Trang 14


PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Đại cương về phương trình

Phương trình một ẩn

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH,

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT

Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có



dạng f x g x (1).

Trong đó: f(x) và g(x) là những biểu thức của x

x gọi là ẩn.

Nếu có số thực x 0 sao cho

g x


f x

0 0

mệnh đề đúng thì x 0 được gọi là một nghiệm của

phương trình (1).

Ta nói: f(x) là vế trái của phương trình (1),

g(x) là vế phải của phương trình (1).

Ta có: f(x) và g(x) xác định lần lượt trên D f

và D g . Khi đó D D D gọi là tập xác định của

phương trình.

f

Tập hợp chứa tất cả các nghiệm của

phương trình (1) được gọi là tập nghiệm của

phương trình (1).

Phương trình nhiều ẩn:

Ví dụ:

3x 4y 5 9x 1: phương trình hai ẩn x và y.

2

4x y z 6 :

Phương trình chứa tham số

g

phương trình ba ẩn x; y; z.

Ví dụ: 5x m 1 0: phương trình một ẩn x,

tham số m.

y, tham số m.

2 3

4x y 2 m : phương trình hai ẩn x và

Chú ý: Than sốm trong phương trình đóng vai trò

như một hằng số.

2. Phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn


VÀ BẬC HAI MỘT ẨN

Phương trình tương đương

Hai phương trình được gọi là tương đương

khi chúng có cùng tập nghiệm.

Nếu phương trình

với phương trình


1 1


f x


f x g x

.

f x g x f x g x

1 1

Cho phương trình


f x


g x

thì ta viết


g x

tương đương

xác định trên

D và h(x) xác định trên D. Khi đó, ta có:

f x g x f x h x g x h x



f x g x f x .h x g x .h x ; h x 0 .

Phương trình hệ quả

Nếu mọi nghiệm của phương trình

g x đều là nghiệm của phương trình

f x

f x

g x

thì phương trình f x g x

được

1 1


1 1

gọi là phương trình hệ quả của phương trình

g x .

f x

Ta viết

f x g x f x g x .

1 1

2 2

f x g x f x g x

.

Ta có

Chú ý:

Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng: ax b 0 a 0 .

2

Phương trình bậc hai một ẩn có dạng: ax bx c 0 a 0 .


Nếu hai vế của một phương trình luôn cùng

dấu thì khi bình phương hai vế của nó, ta được một

phương trình tương đương.

Nếu phép biến đổi tương đương dẫn đến

phương trình hệ quả, ta phải thử lại các nghiệm tìm

được vào phương trình ban đầu rồi mới kết luận

nghiệm.





Trang 1


2

Ta có: b 4ac và ' b ' ac, trong đó

Định lí Vi-ét: Phương trình

Nếu u và v có

2

2

ax bx c 0 a 0



b

b ' .

2

có hai nghiệm x 1 ; x 2 thì:

u v S

thì u và v là các nghiệm của phương trình

uv

P

3. Một số phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai

Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Phương trình chứa ẩn ở mẫu.

Phương trình chứa dấu căn.

Phương trình bậc ba.

Phương trình bậc bốn trùng phương.

PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình

1. Phương pháp giải

Một số cách xác định điều kiện:

Đa thức xác định với mọi giá trị thuộc .



f x

Phân thức xác định khi g x

0 .

g x

Căn thức

Phân thức

Phân thức

f x



f x

g x


2

f x

g x

2. Ví dụ minh họa

xác định khi

xác định khi

xác định khi

f x

0.

g x

0

g x

0

Ví dụ 1: Tập xác định của phương trình

Chú ý:

2

x Sx P 0

b

S x1 x2



a


c

P x

1.x

2

a

Ta cần phân biệt điều kiện xác định và tập xác

định.



x 2 1 2

x 2 x x x 2

Điều kiện xác định là điều kiện nào đó của

ẩn.

Tập xác định là tập hợp

Ví dụ: phương trình

x 0

là x 0 , có tập xác định là D 0; .





có điều kiện xác định





A. \ 2;0 . B. \ 2; . C. \ ; 2

. D. \ 2;0;2

.

Hướng dẫn

x 2 0 x 2


Cách 1: Phương trình có điều kiện xác định : x 0 x 0

x 2 0

x 2

Vậy tập xác định của phương trình là \ 2;0;2

.

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS



Trang 2


Thử các đáp án:

Thay x 2 vào phương trình , ta thấy máy tính hiện MATH ERROR, do đó x 2 không thuộc

tập xác định. Nên loại đáp án B.

Thay x 2

vào phương trình, ta thấy máy tính hiện MATH ERROR, do đó x 2

không thuộc

tập xác định. Nên loại đáp án A và C.

Chọn D.

Ví dụ 2: Tập xác định của phương trình

3x 2 4 3x 1

4

2 4

2 4

2 4

A. \ . B. ; . C. ; . D. .

3

3 3


3 3

\ ;


3 3

Cách 1: Phương trình có điều kiện xác định :

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS

Thử các đáp án:

Hướng dẫn


2

x

3x 2 0 3 2 4

x ; .

4 3x 0 4 3 3

x



3

Thay 4

4

x vào phương trình , ta thấy máy tính hiện 1

2 , do đó x thuộc tập xác định. Nên loại

3

3

đáp án A, B và D.

Chọn C.

3x 1

Ví dụ 3: Tìm tập xác định của phương trình 4 .

2 2

x 2 3x 5

A. D .

B. D \ 2

C. D \ 3

D.


Phương trình có điều kiện xác định:

Vậy tập xác định của phương trình là D .

Chọn A.

Ví dụ 4: Cho phương trình


Hướng dẫn

2


x 2 0

(luôn đúng).

2

3x 5 0

2x 1 7x 6x 4


2 2 2

x 5x 6 x 6x 8 x 7x 12


D \ 5

,

tập xác định của phương trình trên

4;



A. . B. \ 2;3;4 . C. . D. \ 4 .

Hướng dẫn

2

x 5x 6 0 x 2


2


Phương trình có điều kiện xác định : x 6x 8 0 x 3

2

x 7x 12 0


x 4


Vậy tập xác định của phương trình trên là \ 2;3;4 ..



Trang 3


Chọn B.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. (ID:31923) Tập xác định của phương trình

1 3 4


2

x 2 x 2 x 4

2;



A. . B. \ 2;2

. C. 2; . D. .

Câu 2. (ID: 31924) Tập xác định của phương trình

2x 1 6 5x


3 x 2x 1 3x 2

1 2

A. 3; . B. 3;

. C. \ ;3; . D.

2 3

Câu 3. (ID: 31925) Điều kiện xác định của phương trình

1

x

2

x 1 0




1 3

\ ;3; .

2 2

2

2

A. x 0 . B. x 0 . C. x 0; x 1

0 . D. x 0; x 1 0 .

Đáp án:

1 - B 2 - C 3 - C

Dạng 2: Phương trình tương đương, phương trình hệ quả

1. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

A. 3x x 2 x 2 x 2 3x x

2 . B.

2

10x 1 3x 10x 1 9x .

C. 3x x 2 x 2 3x x 2 x 2 . D. Cả A, B, C đều sai.

Hướng dẫn

Đáp án A và B: Ta thấy hai phương trình này không có cùng tập nghiệm. Từ đó suy ra hai phương trình

đó không tương đương với nhau.

Đáp án C: chuyển vế các hạng tử của phương trình thì ta được phương trình tương đương

Chọn C

Ví dụ 2: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?

A. x 3 2 x 3 4 . B. x 2 x 2 .



x x 3

C. 2 x 2 . D. x 2 3 2 x x 2 0 .

x 3

Hướng dẫn

Đáp án A: Ta bình phương hai vế thì được phương trình hệ quả.

Đáp án B: Vì

Chọn B.

x 2 x 2.

Nên đáp án B sai.

Ví dụ 3: Phương trình

x 4 2

x 2

là phương trình hệ quả của phương trình nào?

A. x 2 x 4 . B. x 4 x 2 . C. x 4 x 2 . D. x 4 x 2 .

Hướng dẫn

Trang 4


Đáp án A: Ta có x 2 x 4 x 2 x 4 2

.

Chọn A.

Ví dụ 4: Cho phương trình


2

x 3 x 1 x 1 0. Phương trình đã cho tương đương với phương trình

2

A. x 1 0 . B. x 1 0 . C. x 1 0 . D. x 1 x 1 0.

Phương trình đã cho có nghiệm x 1

hoặc x 1.

Hướng dẫn

Đáp án A: phương trình có nghiệm x 1. Loại đáp án A.

Đáp án B: phương trình vô nghiệm . Loại đáp án B.

Đáp án C: phương trình có nghiệm x 1. Loại đáp án C.

Đáp án D: phương trình có nghiệm x 1

hoặc x 1. Chọn đáp án D.

Chọn D.


2

Ví dụ 5: Cho hai phương trình x x 1 01

và 2 x 1 72 .

Chọn khẳng định đúng nhất

x 2

trong các khẳng định sau.

A . Phương trình (1) và (2) tương đương

B. Phương trình (2) là phương trình hệ quả của phương trình (1).

C. Phương trình (1) là phương trình hệ quả của phương trình (2).

D. Cả A, B, C đều đúng.

Hướng dẫn

Giải phương trình (1), ta thấy phương trình (1) vô nghiệm.

2 x 0

Giải phương trình (2), ta có điều kiện x .

nên phương trình (2) vô nghiệm .

x 2 0

Nên đáp án A, B, C đều đúng.

Chọn D.

Ví dụ 6: Tập nghiệm của phương trình

2 2

x 5x 5x x




A. T 0 . B. T 0;5 . C. T \ 0;5 . D. T 5 .

Phương trình có điều kiện xác định:

Hướng dẫn

2

x 5x 0

2

x 0

x 5x 0

2


5x x 0

x 5







Thay x 0 và x 5 vào phương trình, ta thấy thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là T 0;5 .

Chọn B.

2. Bài tập tự luyện



Câu 1.(ID:32)Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình 3x 5 0 ?

A. 5x 3 2x 9 B. 4x 7 x 8

C. 6x 3 3x 9 D. 7x 9 x 1


Trang 5


Câu 2. ID: 38) Phương trình

2x 1 3x 1

nhận phương trình nào sau đây là phương trình hệ quả?

2

3

2

A. x 2x 1 0 B. x 8 0

C. x 5x 6 0 D. x 2 0

Câu 3. (ID: 31) Hai phương trình 2x 1 0 và 2m 4 x 2m 5 0 tương đương khi


A. m là số nguyên tố. B. m 0 . C. m 1. D. m 0 .

Đáp án:

1 - D 2 - C 3 - C

Dạng 3: Giải và biện luận phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn

1. Phương pháp giải

Giải và biện luận phương trình dạng

Trường hợp 1:

a 0;b 0

trình (1) nghiệm đúng với mọi x.

Trường hợp 2:

trình (1) vô nghiệm.

a 0


b 0

a 0

a 0;b 0

suy ra phương trình

(1)

Là phương trình bậc nhất một ẩn.




(1)

b

Có nghiệm duy nhất x .

a

Chú ý:

Phương trình (1) vô nghiệm khi


ax b 0 1

suy ra phương

suy ra phương

a 0


b 0

Phương trình (1) có vô số nghiệm khi

Phương trình (1) có nghiệm khi a 0 .

Khi tìm điều kiện để phương trình (1) có

nghiệm (hoặc vô nghiệm), ta có thể tìm điều kiện

để phương trình (1) vô nghiệm (hoặc có nghiệm),

sau đó lấy kết quả ngược lại.

Giải và biện luận phương trình dạng


2

ax bx c 0 2

Trường hợp 1: a 0 . Ta có:

2

bx c 0

Trường hợp 2 :

trình bậc hai một ẩn có

(Đưa về dạng trên).

a 0 . Ta có : (2) là phương


2

b

4ac

0 , phương trình (2) vô nghiệm.

0 , phương trình (2) có nghiệm kép

b

x .

2a

0,

b


biệt x1,2

.

2a

Chú ý:

phương trình (2) có hai nghiệm phân

Phương trình (2) vô nghiệm khi

a b 0 a 0

hoặc .

c 0 0

Phương trình (2) có nghiệm duy nhất khi

a 0 a 0

hoặc .

b 0 0

a 0

khi .

0

Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Phương trình



a 3 x b 2

vô nghiệm khi giá trị a, b là

A. a 3 ; b tùy ý. B. a tùy ý; b 2 . C. a 3 ; b 2 . D. a 3 ; b 2 .

Ta có : a 3 x b 2 a 3

x 2 b

Hướng dẫn

Trang 6


Phương trình vô nghiệm khi

Chọn C.

a 3 0 a 3

.

2 b 0 b 2

2

2

Ví dụ 2: Với m a thì phương trình m 9 x 3m m 3 có nghiệm duy nhất. Giá trị của a 2 là


A. 7. B. 11. C. -11. D. -2.

Để phương trình

Vậy

2 2

a 9 a 2 7.

Chọn A.

Ví dụ 3: Phương trình

m 2

9 x 3m m 3



Hướng dẫn

có nghiệm duy nhất thì

2 2

m 4m 3 x m 3m 2

có vô số nghiệm khi

2

m 9 0 m 3.

A. m 3 . B. m 2 . C. m 1

và m 3 . D. m 1.

Hướng dẫn

m 1

2



m 4m 3 0 m 3

Phương trình trên có vô số nghiệm khi

m 1.

2



m 3m 2 0 m 1


m 2

Chọn D.

Ví dụ 4: Với điều kiện nào của a thì phương trình

nghiệm âm ?

a 2 2

x 4 4x a

có nghiệm duy nhất và là

A. 0 a 4 . B. a 4 . C. 0 a . D. a 0;a 4 .

2 2

Ta có

a 2 x 4 4x a a 4a x 4 a.

Phương trình có nghiệm duy nhất khi

Hướng dẫn

2 a 0

a 4a 0

a 4

4 a 1

Khi đó phương trình có nghiệm x

2

a 4a a

Phương trình có nghiệm âm khi x 1 0 a 0 .

a

Kết hợp các điều kiện trên, ta có 0 a 4 .

Chọn A.

Ví dụ 5: Cho phương trình

nghiệm ?


2

x 2 m 2 x 2m 1 0 1

. Giá trị nào của m thì phương trình (1) có

A. m 5

hoặc m 1. B. m 5

hoặc m 1.

C. 5 m 1. D. m 1

hoặc m 5 .

Trang 7


Phương trình trên có nghiệm khi:

Hướng dẫn

2 2



0

2 m 2 4.1. 2m 1 0 4 m 2 4 2m 1 0



m 5

2 2

m 1

m 2 2m 1 0 m 6m 5 0 .

Chọn B.

Ví dụ 6: Với giá trị nào của tham số m thì phương trình

biệt?


2

mx 2 m 2 x m 3 0


có hai nghiệm phân

A. m 4.

B. m 0 . C. m 4 . D. m 4 và m 0 .

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi :

Hướng dẫn

m 0

m 0

m 0

m 0 m 0

2 2


0

2m 2 4mm 3 0

m 2 mm 3

0 m 4 0 m 4


Chọn D.

3. Bài tập tự luyện

2

Câu 1. (ID: 20) Để phương trình mx 2 3x 2m có nghiệm duy nhất thì m m phải khác số nào?

A. 3. B. 1. C. 12. D. 5.

Câu 2.(ID: 24) Tìm tập hợp m để phương trình


mx m 0

vô nghiệm.


A. . B. 0 . C. . D. .

2

Câu 3. (ID: 31947) Phương trình x m 0 có nghiệm khi và chỉ khi :

A. m 0 . B. m 0 . C. m 0 . D. m 0 .

Câu 4. (ID: 31948) Cho phương trình

định nào sai ?

A. Nếu m 4 thì phương trình vô nghiệm.


2

mx 2 m 2 x m 3 0.


Trong các khẳng định sau, khẳng

m 2 4 m m 2 4 m

B. Nếu 0 m 4 thì phương trình có nghiệm x

, x

.

m

m

3

C. Nếu m 0 thì phương trình có nghiệm x .

4

3

D. Nếu m 4 thì phương trình có nghiệm kép x .

4

Câu 5. (ID: 31949) Cho phương trình

khi

2


x 1 x 4mx 4 0.

Phương trình có ba nghiệm phân biệt

3

3

A. m .

B. m . C. m . D. m 0 .

4

4

Câu 6. (ID: 311950) Cho phương trình

của m thì phương trình (1) có nghiệm kép ?

2


m 1 x 6 m 1 x 2m 3 0

(1). Với giá trị nào sau đây

Trang 8


7

6

6

A. m . B. m . C. m . D. m 1.

6

7

7

Đáp án:

1 - C 2 - A 3 - C 4 - D 5 - B 6 - C

Dạng 4: Ứng dụng của định lí Vi -ét

1. Phương pháp giải

Cho phương trình bậc hai


2

ax bx c 0 a 0 1

Phương trình (1) có hai nghiệm x 1 ; x 2 . Khi đó ta có:

b

S x1 x2



a


c

P x

1.x

2

a

Chú ý:

Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi ac 0 .

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho phương trình



Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt dương

0


khi S 0 .


P 0

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt âm khi

0


S 0 .


P 0

2

3 1 x 2 5 x 2 3 0. Chọn khẳng định đúng

A. Phương trình vô nghiệm. B. Phương trình có hai nghiệm dương.

C. Phương trình có hai nghiệm âm. D. Phương trình có hai nghiệm trái dấu.

ac 3 1 2 3

0

Chọn D.

Hướng dẫn

nên phương trình có hai nghiệm trái dấu.

Ví dụ 2: Hai số 1 2 và 1

2 là các nghiệm của phương trình

2

2

2

A. x 2x 1 0 B. x 2x 1 0

C. x 2x 1 0 D.

S x1 x2

2

Đặt x1 1

2; x2

1

2. Ta có .

P x

1.x 2 1

Suy ra phương trình nhận x 1 ; x 2 là nghiệm là

Chọn B.

Ví dụ 3: Cho phương trình

biệt là



Hướng dẫn

2 2

x Sx P 0 x 2x 1 0.

2

x 2x 1 0

x 4 m 1 x 2 m 2 0. Giá trị của m để phương trình có ba nghiệm phân

A. m 2 . B. m 1. C. m 2 . D. m không dương.

Hướng dẫn

2

2

Đặt t x 0, khi đó phương trình đã cho trở thành t m 1 t m 2 01

Trang 9


Để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt thì phương trình (1) có một nghiệm

dương.

2

Thay t 0 vào (1) ta được: 0 m 1

0 m 2 0 m 2 0 m 2.

Với

Vậy với

m 2 , phương trình (1) trở thành

m 2

Chọn A.

phương trình ban đầu có ba nghiệm.

2

2 t 0 x 0 x 0

t t 0 .

2


t 1

x 1

x 1

t 0

và một nghiệm

2

Ví dụ 4: Phương trình x mx m 1 0 (với m là tham số) luôn có nghiệm với mọi m. Gọi x 1 , x 2 là hai

nghiệm của phương trình. Tìm hệ thức liên hệ giữa x 1 , x 2 không chứa m.

A. x

1.x 2

2x1 x2

1. B. x

1.x 2

x1 x2

1.

C. x

1.x 2

x1 x2

2

. D. x

1.x 2

x1 x2

2 .

Áp dụng định lí Vi-ét có

Hướng dẫn

x1 x2 m m x1 x2



x1x2 m 1 x1x2 x1 x2

1

Vậy hệ thức liên hệ giữa x 1 ; x 2 không chứa m là x1x2 x1 x2

1

Chọn B.

2

Ví dụ 5: Cho phương trình x 7x 260 0 có một nghiệm x1

13.

Tìm x 2 .

A. -20. B. -27. C. 20. D. 8.

Ta có x1 x2 7 x2 7 x1

20.

Chọn A.

Hướng dẫn

Ví dụ 6: Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình

x x 1?

2 2

1 2

2

2x 3x m 0

có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức

A. vô số. B. 1. C.0. D. 2.

Hướng dẫn

Phương trình có hai nghiệm khi 2

9

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có

3

x1 x2


2


m

x1x2


2

0 3 4.2.m 0 9 8m 0 m .

8

Ta có

2 2

2

3 m 5

x1 x2 1 x1 x2 2x1x2

1 2. 1 m

2 2 4

Vậy không có giá trị của m thỏa mãn.

Chọn C.

2

(loại).

Trang 10


Ví dụ 7: Cho phương trình



2

x m 2 x m 1 0.

Tổng bình phương các giá trị của m bằng bao nhiêu

để phương trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia?

5

A. 1. B. C.2. D.

4

2

Ta có:

x m 2 x m 1 0.

Hướng dẫn

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi 2 2

m 2 4m 4 m 0 m 0.

1 .

4

Theo định lí Vi-ét và giả thiết ta có

m 2


x2


3

x1 x2 m 2

2 m 1

m 2

x1x2

m 1 2. m 1

1


3 m


x 2x

2

1 2

x1 2x2



2 1

5

Vậy tổng bình phương các giá trị m thỏa mãn là 1 .

2 4

Chọn B.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. (ID: 229) Biết phương trình

m. Tìm m để x x 2x x 2 0 .

1 2 1 2

2 2

x 2mx m 1 0

A. m 1

hoặc m 2

. B. m 0 .

C. m 2 . D. m 3 .

Câu 2. (ID: 231) Xét phương trình

không dương là

2

ax bx c 0.

2

luôn có hai nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 với mọi

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt

a 0

a 0

0

0



0

A.

B. ab 0

C.

D.

ab 0


ab 0

ac 0



ac 0



ac 0

Câu 3. (ID: 288) Cho phương trình

phân biệt sao cho

A x x 3x x

2 2

1 2 1 2



x 2 2 m 1 x m 2 3 0.

đạt giá trị lớn nhất.

a 0

0


ab 0


ac 0

Tìm m để phương trình có hai nghiệm

A. m 4

. B. m 2

. C. m 8

. D. m 0 .



Câu 4. (ID: 291) Cho phương trình 3x 2 4 m 1 x m 2 4m 1 0. Có bao nhiêu giá trị của m để

1 1 1 x

1 x

2 ?

x x 2

phương trình có hai nghiệm x 1 ; x 2 thỏa mãn

1 2

A. 0. B. 2. C. 1. D. 3.

Đáp án:

1 - A 2 - D 3 - A 4 - B

Trang 11


Dạng 5: Một số phương trình quy về phương trình một ẩn

1. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tập nghiệm của phương trình

x 2 3x 5

là tập hợp nào sau đây?

7 3

3 7

3 7

7 3

A.

; . B.

; . C. ; . D.

; .

4 2

2 4

2 4

4 2

Hướng dẫn

3

x

x 2 3x 5 2x 3 2

Ta có x 2 3x 5


x 2 5 3x


4x 7 7

x

4

Chọn C.

Ví dụ 2: Phương trình

2x 4 x 6 0

có bao nhiêu nghiệm?

A. 2. B. 1. C.0. D. Vô số.

Điều kiện xác định : x 6

Ta có

Hướng dẫn

x 10

2x 4 x 6 0 x 10 0

2x 4 x 6 0

2

2x 4 x 6 0


3x 2 0 x


3

Vậy phương trình vô nghiệm.

Chọn C.

(loại).

Ví dụ 3: Tập nghiệm của phương trình


2

x 5x 4

2x 4

2x 4



A. S 2 . B. S 1 . C. S 0;1 . D. S 7 .

Điều kiện xác định : x 2.

Ta có

2

x 5x 4

Hướng dẫn

x 0


2x 4


Vậy S 7 .

Chọn D.

2 2

2x 4 x 5x 4 2x 4 x 7x 0

Ví dụ 4: Số nghiệm của phương trình


2

x 1 x 3x 2 0





x 7

A. 0. B. 2. C.1. D. 3.

Điều kiện xác định: x 1.

Hướng dẫn

(loại

)

(thỏa mãn)


Trang 12


Ta có



x 1

x 1 0

(thỏa mãn).

x 3x 2 0




x 2

2

x 1 x 3x 2 0

x 1

2

Vậy phương trình có ba nghiệm.

Chọn D.

Ví dụ 5: Phương trình nào sau đây có bao nhiều nghiệm âm

6 3

x 2019x 2018 0?

A. 0. B. 1. C.2. D.6.

Hướng dẫn

Phương trình x 6 2019x 3 2018 0

(1)

3

2

Đặt x t, khi đó phương trình (1) trở thành t 2019t 2018 0

(2)



Ta thấy: vì 1. 2018 0 suy ra phương trình (2) có nghiệm t trái dấu.

Với nghiệm t âm ta có một nghiệm x âm.

Vậy phương trình (1) có một nghiệm âm.

Chọn B.

Ví dụ 6: Phương trình



4 2

x 2 2 1 x 3 2 2 0

có bao nhiêu nghiệm?

A. 2. B. 3. C. 4. D. 0


Hướng dẫn

4 2

Phương trình x 2 2 1 x 3 2 2 0

(1)



2

2

Đặt t x t 0 , khi đó phương trình (1) trở thành t 2 2 1 t 3 2 2 0 (2)

Phương trình (2) có a.c 13 2 2 0

Suy ra phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu.

Suy ra phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Chọn A.

2. Bài tập tự luyện

Câu 1. (ID: 730) Tổng bình phương tất cả các nghiệm của

2

x x 6

x 2 0

x 2

41

1

25

81

A. . B. . C. . D. .

4

4

4

4

Câu 2. (ID :745) Phương trình

x m


x 1 x 1

có nghiệm khi

A. m 1. B. m 1. C. m 1. D. m 1.

Câu 3. (ID: 755) Cho phương trình

phương trình trên là

2 2 2

x x 4 x x 1 2x 2x 9.

A. 1. B. -1. C. 0. D. 2.

Đáp án:


Tổng các nghiệm của

Trang 13


1 - C 2 - A 3 - B

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP

Câu 1. (ID: 22) Với

a 0;b 0 thì phương trình ax b 0

A. Có nghiệm duy nhất. B. Có vô số nghiệm.

C. Vô nghiệm . D. Có hai nghiệm phân biệt.

Câu 2. (ID: 27) Cho phương trình

phương trình có tập nghiệm là ?



2 2

m 3m 2 x m 4m 5 0. Có bao nhiêu giá trị của m để

A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số.

Câu 3. (ID: 37) Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm duy nhất?



A. 3x 2 x 1 2 2x . B. 2 2

x 1 x 2 .



3

C. x 1 3x 2x 1

. D. x 3x 0 .

Câu 4. (ID: 66) Tổng các giá trị của m để phương trình

2x 3m x 2

3

x 2 x 1

vô nghiệm là

7

4

11

A. . B. . C. 0. D. .

3

3

3

Câu 5. (ID: 682) Tập xác định của phương trình

1 x

x 2

2

x 1 5 x

2;5




A. . B. 2;5 \ 1 . C. 2;5 \ 1 . D. 2;5 \ 1

.


Câu 6. (ID: 690) Phương trình


2 2

x 4 1 x x 16

tương đương với phương trình nào dưới đây?

2

1 x 0


x 4 0


2

1 x x 4




A.

B. x 4 0 C. D.

2

x 4 0

1 x x 4

2


2

1 x x 4 1 x 0

Câu 7. (ID: 711) Tổng bình phương các giá trị của m để phương trình

là:


x 4 0




2

1 x x 4

2

2 m 1 x 5 3

A. 1. B. 2. C. 0. D. 29.


2 2

Câu 8. (ID: 726) Phương trình 9x 1 3x 1 2 5x 1 0 có bao nhiêu nghiệm ?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 9. (ID: 759) Phương trình



2 3

2 x 2 5 x 1

có nghiệm x 1 ; x 2 . Tính x1 x

2

.

5 37

A. 5. B. 37 . C. 5 37 . D. .

2

Câu 10. (ID: 761) Số nghiệm của phương trình


2 3

2 x 3x 2 3 x 8

A. 1. B. 2. C. 0. D. 3.



vô nghiệm

Trang 14


1 - C 2 - A 3 - B 4 - D 5 - D 6 - B 7 - B 8 - A 9 – B 10 - B

Trang 15


CHƯƠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

Các hệ phương trình cơ bản:

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

a1x b1y c1


a x b y c

2 2 2

.

Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn

a1x b1y c1z d1


a x b y c z d


a x b y c z d

2 2 2 2

3 3 3 3

PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP

.

Dạng 1: Hệ phương trình bậc nhất hai, ba ẩn

1. Phương pháp giải

Một số phương pháp giải hệ phương trình

Chú ý:

Phương pháp thế

Phương pháp đại số

Đặt ẩn phụ

CHUYÊN ĐỀ 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT

Ta có thể sử dụng máy tính để tìm nghiệm của một

số hệ phương trình đơn giản. Sử dụng máy tính

CASIO fx 570VN PLUS: MODE 5 1




Nếu máy tính hiện No – Solution thì hệ

phương trình vô nghiệm.

Nếu máy tính hiện Infinite – Sol thì hệ phương

trình có vô số nghiệm.

Nếu hệ phương trình có nghiệm, máy tính sẽ

cho kết quả x, y.

Biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

a1x b1y c1


a x b y c

2 2 2

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Nghiệm của hệ phương trình


3x y 1


4x 3y 2

VÀ BẬC HAI HAI ẨN

Các hệ phương trình đặc biệt:

Hệ phương trình đối xứng loại 1.

Hệ phương trình đối xứng loại 2.

Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2.

Hệ có nghiệm duy nhất khi a1b2 a

2b1

0.

Khi đó hệ có nghiệm

c b c b a c a c

x ; y

a b a b a b a b

1 2 2 1 1 2 2 1

1 2 2 1 1 2 2 1


.


a1b2 a

2b1

0

Hệ vô nghiệm khi

hoặc

c1b2 c2b1

0

a1b2 a

2b1

0


.

a1c2 a

2c1

0



A. 2 3;4 2 3 . B. 2 3;4 2 3 .

a1b2 a

2b1

0


Hệ có vô số nghiệm khi c1b2 c2b1

0 .


a1c2 a

2c1

0


Trang 1


2 3;4 2 3

C. 2 3;4 2 3 . D.

Cách 1: Từ phương trình đầu ta được




Hướng dẫn

y 1

3x.

4x 3 1 3x 2 4x 3 3x 2 x 2 3

Suy ra y 1 3 2 3 4 2 3 .

Cách 2: Sử dụng máy tính fx 570VN PLUS


Nhập MODE 5 1, sau đó nhập lần lượt các hệ số của hệ phương trình

nghiệm là đáp án B.

→ Chọn B.

Ví dụ 2: Hệ phương trình nào sau đây có duy nhất một nghiệm?

Thế vào phương trình thứ hai ta được:

5x y 3

x y 3

x y 1

A.

B.

C. D.

10x 2y 1

2x 2y 6

x 2y 0

Hướng dẫn

3 1 1

. Ta nhận được

4 3 2


3x y 1


6x 2y 0

Bấm nghiệm của các hệ phương trình này, ta thấy hệ phương trình ở đáp án C có nghiệm duy nhất.

→ Chọn C.

2x y 4


Ví dụ 3: Hệ phương trình x 2z 1 2 2 có nghiệm là a;b;c

. Giá trị của a b c là


y z 2 2

A. 3 2

B. 3 2

C. 3 2

D. 3 2

Cách 1: Từ phương trình đầu ta có

y 4 2x

4 2x z 2 2 2x z 2 2.

Hướng dẫn

Kết hợp với phương trình thứ hai, ta có hệ phương trình:

, thế vào phương trình thứ ba ta được:

2x z 2 2 2x z 2 2

2x z 2 2


x 2z 1 2 2 2x 4z 2 4 2

5z 5 2


2x 2 2 2

x 1


y 2.


z 2


z 2

Suy ra nghiệm của hệ phương trình là 1;2; 2 .

Tức là

a 1;b 2;c 2. Vậy a b c 1 2 2 3 2.

Cách 2: Sử dụng máy tính fx 570VN PLUS

Nhập MODE 5 2, sau đó nhập lần lượt các hệ số của hệ phương trình:



Trang 2


2 1 0 4

1 0 2 1 2 2 . Ta nhận được nghiệm của hệ phương trình là 1;2; 2 .

0 1 1 2 2

Vậy a b c 1 2 2 3 2.

→ Chọn C.

Ví dụ 4: Cho hệ phương trình

ax 2y a 1

. Với giá trị nào của tham số a thì hệ có nghiệm duy nhất?

2x ay 2a 1

A. a 2

. B. a 2 . C. a 3

. D. a 2

.

Hệ có nghiệm duy nhất thì

→ Chọn D.

a b a b 0, tức là

1 2 2 1

Hướng dẫn

2

a.a 2.2 0 a 4 0 a 2.

2 2


Ví dụ 5: Hệ phương trình x 4y 8

có nghiệm x; y. Giá trị của 3x 2y là

x 2y 4

A. -1. B.4. C.3. D.2.

Hướng dẫn

2 2

x 4y 8

x 4 2y x 4 2y x 2

Ta có: 2

3x 2y 4.

2

x 2y 4

4 2y

4y 8 y 1 y 1

Chọn B.

2x y 5

Ví dụ 6: Cho hệ phương trình

. Tìm a để hệ có nghiệm x; ysao cho biểu thức của

2y x 10a 5

x

y

2 2

đạt giá trị nhỏ nhất.

1

3

A. a

B. a C. a 1

D.

2

2

Ta có

Hướng dẫn

2x y 5 2x y 5 5y 20a 15 y 4a 3


2y x 10a 5 2x 4y 20a 10 2x y 5 x 1

2a


2 2 2 2 2 2

x y 4a 3 1 2a 16a 24a 9 1 4a 4a

2

2 2 1 2 1 1 1 1

20a 20a 10 20 a a 20 a 2a 20 a 5 5, a .


2 2 4 4 2

1

Dấu bằng xảy ra khi a .

2

→ Chọn A.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. (ID: 352) Hệ phương trình nào sau đây có nghiệm là 1;1 .





1

a

2

Trang 3


x y 2

2x y 1

x y 0

A. B. C. D.

x 2y 0

4x 2

x 2y 3

4x y 3


y 7

2

ax y a

Câu 2. (ID: 382) Với a m thì hệ phương trình có nghiệm. Tổng lập phương các giá trị của

x ay 1

m là

A. 0. B. 1. C. 2. D. -1.

x y 5


Câu 3. (ID: 380) Hệ phương trình y z 1 có nghiệm a;b;c

. Khi đó a c b bằng


z x 2

A. 3. B. 7. C. 1. D. 9.

Đáp án:

1 - C 2 – D 3 - B

Dạng 2: Hệ phương trình đối xứng loại 1, loại 2.

1. Phương pháp giải

Hệ đối xứng loại 1

Dấu hiệu: Khi thay đổi vị trí của x và y cho

nhau thì hệ phương trình không thay đổi và trật tự

các phương trình cũng không thay đổi.

Phương pháp:

Biến đổi về dạng tổng và tích hai biến. Đặt

S x y,P xy .

Giải hệ với ẩn S và P với điều kiện có nghiệm


x; y



2

S

4P

Ta có x; y là các nghiệm của phương trình

2

t St P 0.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hệ phương trình

Hệ đối xứng loại 2

Dấu hiện: Khi thay đổi vị trí của x và y cho

nhau thì hệ không thay đổi và trật tự các phương

trình thay đổi (phương trình này thành phương trình

kia).

Phương pháp:

x.y x y 11

Khẳng định nào đúng?

2 2 .

x y xy 30

Lấy vế trừ vế và phân tích thành nhân tử, chú ý ta

luôn nhận được x y .

Chú ý: Ta có thể thử đáp án với các bài tập hỏi

nghiệm.

5;6

2;1


A. Hệ có một nghiệm là . B. Hệ có hai nghiệm và 3;5 .

2;3

1;5

2;3

3;2 , 1;5

C. Hệ có hai nghiệm và D. Hệ có bốn nghiệm , , 5;1 .

Đây là hệ phương trình đối xứng loại 1.

Ta có:

Hướng dẫn

x.y x y 11


x.y x y 11

2



. Đặt

2 2

S x y, P xy S 4P 0 .

x y xy 30

xyx y

30

Khi đó, hệ phương trình tương đương với hệ sau:

Trang 4


S 11

P

S P 11

S 11 P S 11

P

S 6;P 5

P 5

.

2



SP 30 11 P P 30


P 11P 30 0

S 5;P 6

P 6

Trường hợp 1: S 6 và P 5 , x; y là nghiệm của phương trình

x 1

x 5

Suy ra hoặc . Nên hệ phương trình có nghiệm 1;5 , 5;1

.

y 5 y 1

Trường hợp 2: S 5 và P 6, x; y là nghiệm của phương trình

x 2 x 3

Suy ra hoặc . Nên hệ phương trình có nghiệm 2;3 , 3;2

.

y 3 y 2

2;3 , 3;2


Vậy hệ phương trình có nghiệm , 1;5 , 5;1 .

2 t 1

t 6t 5 0

t 5

2 t 2

t 5t 6 0

t 3

→ Chọn D.

2 2


Ví dụ 2: Hệ phương trình x xy y 4

có bao nhiêu cặp nghiệm x; y?

x xy y 2

A. 3. B. 2. C. 4. D. 1.

Hướng dẫn

Đây là hệ phương trình đối xứng loại 1.

2

2 2 2 2

x xy y 4 x 2xy y xy 4

x y xy 4

Ta có

.

x xy y 2 x y xy 2

x y xy 2


2

Đặt S x y, P xy S 4P 0 . Khi đó ta thu được:


2 2 2

2

S P 4 S P 4

S 2 S 4 S S 6 0


S P 2 P 2 S

P 2 S

P 2 S

S 2

S 2;P 0



S 3


S 3;P 5

P 2 S

Trường hợp 1: S 2 và P 0, ta có x; y là nghiệm của phương trình :



2 t 0

t 2t 0

t 2

x 0 x 2

hoặc . Nên hệ phương trình có hai nghiệm.

y 2 y 0

2

Trường hợp 2: S 3

và P 5 , ta có x; y là nghiệm của phương trình : t 3t 5 0 (vô nghiệm).

Nên hệ phương trình có nghiệm.

Vậy hệ phương trình có hai cặp nghiệm x; y .

→ Chọn B.



Trang 5


Ví dụ 3: Hệ phương trình





3

x 2x 3y

3

y 2y 3x

có số cặp nghiệm là

A. 2. B. 4. C. 1. D. 3.

Hướng dẫn

Đây là hệ phương trình đối xứng loại 2. Trừ hai vế của hai phương trình ta được:

3 3

x y 2x 2y 3y 3x

3 3

x y x y 0

2 2


x y x xy y 1 0

x y 0



2 2

x xy y 1 0

2 2

Vì x xy y 1 0, x, y. Nên ta có được x y .

Thay

x y

vào phương trình thứ nhất ta có

x 0

3 3

x 2x 3x x 5x 0 .

x 5


Vậy nghiệm của hệ phương trình trên là 0;0 , 5; 5 , 5; 5 .

Chọn D.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. (ID: 392) Hệ phương trình

2 2


x y xy 7


có số cặp nghiệm là

2 2

x y xy 3

A. 2. B. 4. C. 6. D. 8.

2 2


Câu 2. (ID: 381) Có bao nhiêu giá trị của m để hệ phương trình x y xy 2m

có nghiệm duy nhất ?

x y 4

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Câu 3.(ID: 31997) Hệ phương trình

x y xy 5



2 2

x y xy 7

có cặp nghiệm là

1;2 2;1


A. hoặc . B. 2; 3 hoặc 3; 2

;

2;3

3;2


C. hoặc ; D. 1; 2 hoặc 2; 1

.

2


2x 9x 5y

Câu 4. (ID: 31998) Cặp nghiệm x; y , x 0, y 0 của hệ phương trình


2

2y 9y 5x

3;3

1;1 2;2

2;2

2;2


A. . B. , . C. . D. , 3;3 .

2


x 7y 15

Câu 5. (ID: 31999) Hệ phương trình

có bao nhiêu nghiệm ?

2

y 7x 15

A. 6. B. 4. C. 2. D. 0.

Đáp án:

(vô nghiệm)

Trang 6


1 - B 2 - B 3 - A 4 - C 5 -D

Dạng 3: Hệ phương trình đẳng cấp

1. Phương pháp giải

Dạng tổng quát

Phương pháp:

Ta có:

2 2


a1x b1xy c1y d1


a x b xy c y d

2 2

2 2 2 2

2 2


a1x b1xy c1y d1


a x b xy c y d

2 2

2 2 2 2


2 2



2


2




d2 a1x b1xy c1y d

1.d 2

1



d1 a

2x b2xy c2y d

1.d 2

2

Lấy (1) - (2) ta sẽ thu được một phương trình đẳng

cấp bậc 2, từ đó ta tìm được mối liên hệ giữa x và

y.

Chú ý:

Ta có thể thử đáp án với các bài tập hỏi nghiệm.

2. Ví dụ minh họa



Ví dụ 1: Hệ phương trình

2 2

y x 16

2 2

3x 4xy 2y 17

có bao nhiêu nghiệm?

A. 4. B. 3. C. 2. D. 0.

Hướng dẫn


2 2

3x 4xy 2y 17


2 2 2 2

Ta có

163x 4xy 2y 17y x


2 2

y x 16



2 2

65x 64xy 15y 0 13x 5y 5x 3y 0

5

x y

13

3

hay x y .

5

Trường hợp 1: Với

13 5


y x

3 3


13 5

y x

3 3

5

x y , ta có

13

2

2

2 2

5 144 169

y y

16 y 16 y

13 169 9

2

2 3 16 2 2

3

Trường hợp 2: Với x y , ta có y y

16 y 16 y 25

5

5 25

y 5 x 3


y 5 x 3

Vậy hệ phương trình có bốn cặp nghiệm.

→ Chọn A.

2 2


3x 5xy 4y 3

Ví dụ 2: Nghiệm của hệ phương trình

2 2

9x 11xy 8y 6


Trang 7


2; 2 ,

2; 2

A. 3; 3 , 3; 3

B.


C. 3; 3 ,

1 1 1 1

3; 3

D. ; , ;

2 2 2 2


2 2

3x 5xy 4y 3

Hướng dẫn


2 2 2 2

Ta có:

63x 5xy 4y 39x 11xy 8y



2 2

9x 11xy 8y 6



2 2

45x 3xy 48y 0 3 x y 15x 16y 0

x y

hay

Trường hợp 1: Với

16

x y.

15

x y,

ta có:

9x 11x 8x 6 12x 6 x

2

2 2 2 2 2 1

1 1


x thì y=

2 2


1 1


x thì y

2 2

Trường hợp 2 : Với

16

x y,

15

ta có

2

16 16 2 256 2 176 2 2

9 y 11 y y 8y 6 y y 8y 6


15 15

25 15


712 y

2

6

75

(phương trình vô nghiệm).

1 1 1 1

Vậy nghiệm của hệ phương trình là ; , ;

2 2 2 2

Chọn D.

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP

Câu 1. (ID: 357) Hệ phương trình nào sau đây vô nghiệm ?

x y 1

x y 0

4x 3y 1

A. B.

C. D.

x 2y 0

2x 2y 6

x 2y 0

Câu 2. (ID: 365) Hệ phương trình

x my 0


có nghiệm duy nhất khi

mx y m 1

x y 3


x y 3

A. m 1. B. m 1. C. m 0 . D. m 1.

Câu 3. (ID: 32005) Hệ phương trình

x y 9

có nghiệm là

x.y 90

15;6 , 6;15


A. . B. 15; 6 , 6; 15

.


15;6 , 6;15


C. 15;6 , 6; 15 . D. , 15; 6 , 6; 15

.

Trang 8


Câu 4. (ID: 384) Cho một tam giác vuông. Khi ta tăng mỗi cạnh góc vuông lên 2cm thì diện tích tam giác

tăng thêm 17cm 2 . Nếu ta giảm mỗi cạnh góc vuông lần lượt đi 3cm và 1cm thì diện tích tam giác giảm

11cm 2 . Tính diện tích tam giác ban đầu.

A. 50cm 2 . B. 25 cm 2 2

. C. 50 5cm .

D.

Câu 5. (ID: 32002) Hệ phương trình

2 2

2x y 1

có đúng một nghiệm khi và chỉ khi

y x m

2

50 2cm .

6

6

6

A. m . B. m . C. m . D. m tùy ý.

2

2

2

Câu 6. (ID: 385) Một công ty Taxi có 85 xe chở khách gồm hai loại, xe bốn chỗ và xe 7 chỗ. Dùng tất cả

xe đó, tối đa mỗi lần công ty chở được 445 khách. Hỏi công ty có bao nhiêu xe mỗi loại?

A. 50 xe 7 chỗ và 35 xe 4 chỗ. B. 35 xe 7 chỗ và 50 xe 4 chỗ.

C. 45 xe 4 chỗ và 40 xe 7 chỗ. D. 40 xe 4 chỗ và 45 xe 7 chỗ.

Câu 7. (ID: 32003) Hệ phương trình

2x y 4


x 2z 1 2 2


y z 2 2

có nghiệm là

1;2;2 2

1;2; 2



A. . B. . C. 1;6; 2 . D. 2;0; 2 .

Câu 8. (ID: 387) Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 250m. Tìm chiều dài và chiều rộng của thửa

ruộng biết rằng khi ta giảm chiều dài 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thì chu vi thửa ruộng không đổi.

A. 32m và 25m. B. 50m và 45m.

C. 75m và 50m. D. 60m và 40m.

Câu 9. (ID: 32004) Hệ phương trình


x 1 y 0


2x y 5

có bao nhiêu cặp nghiệm?

A. 0. B. 1. C. 3. D. 4.

Câu 10. (ID: 32006) Cho hệ phương trình

phương trình nào sau đây?

2 2

x y 3x 2y 0

. Từ hệ phương trình này ta thu được

x y 4

A. 10x 24 0 . B. 16x 5 0 . C. 3x 2 0 . D. Một kết quả khác.

Câu 11.(ID: 32007) Hệ phương trình

2 3 13

x y


3 2 12

x y

có nghiệm là

A. 1 1

1 1

1 1

x ; y . B. x ; y . C. x ; y . D. Hệ vô nghiệm.

2 3

2 3

2 3

2 2


2x y 3xy 12

Câu 12. (ID: 32008) Hệ phương trình

có các cặp nghiệm với giá trị của x và

2 x; y

2

2x y

y 14

y thỏa mãn

x 0; y 0


Trang 9


2 2 1 2

A. . B. 2;1 , 3; 3 . C. ;3 , 3; . D. .

3

;1 , ; 3

3 2

3


1;2 , 2; 2

Câu 13.(ID: 32009) Hệ phương trình

x y 10



2 2

x y 58

có nghiệm là

x 3

x 7

x 3 x 7

A.

B.

C. ,

D. Một đáp số khác.

y 7

y 3

y 7 y 3

Câu 14. (ID :32010) Hệ phương trình




6 6

x y 27

3 3

x 3x y 3y

có bao nhiêu nghiệm?

A. 2. B. 0. C. 3. D. 1.

Câu 15. (ID: 320011) Hệ phương trình




3 x y 2 x y 17


x y 2 x y 5

có nghiệm là

1 7

1 7

1 7

1 7

A. ; . B. ; . C. ; . D. ; .

2 2

2 2

2 2

2 2

Câu 16. (ID: 359) Hệ phương trình nào sau đây có vô số nghiệm ?

x y 1

2x y 1

3x y 1

A. B. C. D.

x 2y 0

4x 2y 2 x 2y 0

Câu 17. (ID: 368) Cho hệ phương trình

mx 2y m 1


2x my 2m 5

1. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi m 2.

2. Hệ phương trình có vô số nghiệm khi m 2

.

3. Hệ vô nghiệm khi m 2 .

Các mệnh đề đúng là

và các mệnh đề sau

4x y 3


x 2y 7

A. Chỉ 1. B. Chỉ 2. C. Chỉ 2 và 3. D. Cả 1, 2, 3.

Đáp án:

1 - B 2 - D 3 - C 4 - B 5 -A 6 – B 7 – B 8 – C 9 – B 10 - D

11 – B 12 – A 13 – C 14 – A 15 – D 16 – B 17 - C

Trang 10


CHƯƠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Khái niệm

CHUYÊN ĐỀ 3: BẤT ĐẲNG THỨC

Các mệnh đề dạng "a b" hoặc "a b" được gọi là bất đẳng thức.

Nếu mệnh đề "a b c d" đúng thì bất đẳng thức c < d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a 0, ta có

1

a 2.

2

a b;b c a c

a b ac bc(c 0)

a b;c d ac bd(a 0;c 0)

2n 2n

a b a b (n *,a 0, b 0)

3 3

a b a b

1 1

a b (ab 0)

a b

Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y.

(Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất).

Nếu x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y.

(Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất).

4. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

x 0, x x, x x

a b a b a b

Với a > 0:

x a a x a

x a x a hoặc x a

PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP

1. Phương pháp giải

Áp dụng các công thức ở phần lý thuyết.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Mệnh đề nào sau đây là đúng?

2

2

A. x , x 2 x 4.

B. x , x 4 x 2.

2

2

C. x , x 2 x 4.

C. x ,

x 4 x 2.

Trang 1


Ta có mệnh đề tương đương

→Chọn C.

2 x 2

x 4 ,

x 2

Hướng dẫn

Ví dụ 2: Cho số x > 6, số nào trong các số sau đây là nhỏ nhất?

nên chỉ có mệnh đề ở đáp án C là đúng.

6 6

A. .

B. 1.

C. D.

x

x 6 1.

x x .

6

Hướng dẫn

Ta có 6 6 6

6

1 1.

Để tìm số nhỏ nhất, ta so sánh 1 và

x x x

x


6 6 1 1 1 1 0

x

x

x 6

x 1

6

Suy ra 6 1

x .

x 6

x

6

Vậy số nhỏ nhất trong các số trên là

→Chọn C.

6 1.

x

2

Ví dụ 3: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 8x 12

với x là

A. – 8. B. – 4. C. – 5. D. – 3.

Ta có

Hướng dẫn

2 2 2

P x 8x 12 x 2x.4 16 4 (x 4) 4.

2 2

(x 4) 0 (x 4) 4 4

P 4.

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng – 4 khi x 4 0 x 4.

→Chọn B.

Ví dụ 4: Cho biểu thức

f (x) 1

x

2

. Kết luận nào sau đây đúng?

A. Hàm số f (x) chỉ có giá trị lớn nhất, không có giá trị nhỏ nhất.

B. Hàm số f (x) chỉ có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất.

C. Hàm số f (x) chỉ có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất.

D. Hàm số f (x) không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất.

Hướng dẫn

2 2 2

2

Ta có f (x) 0 và f(1) = 0. Vì x 0 x 0 1 x 1.

Mà 1

x 0

2 2

Suy ra 0 1 x 1 1 x 1 f (x) 1

và f(0) = 1.

Vậy hàm số f(x) có giá trị nhỏ nhất bằng 0 và giá trị lớn nhất bằng 1.

→Chọn C.

Trang 2


2

Ví dụ 5: Cho biểu thức T x 3x 1

với x 1

, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là

A. 5. B. 6. C. 7. D. 8.

Hướng dẫn

Ta có

2 2 3 9 5 3 5

T x 3x 1 x 2x. x .

2 4 4 2 4

2


2 2 2

3 3 5 3 5 25 3 5 25 5

x 1 x 1 x x 5.

2 2 2 2 2 4 2 4 4 4

T 5. Vậy T đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5 khi x = 1.

→Chọn A.

Ví dụ 6: Với hai số x, y dương thỏa mãn

xy 36,

bất đẳng thức nào sau đây đúng?

2 2

A. 4xy x y . B. x y 2xy 72. C. x y 2 xy 12.

D.

Hướng dẫn

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm x, y ta có:

x y 2 xy 2 36 12.

→Chọn C.

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP

Câu 1. Nếu

a 2c b 2c

thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?

2

x y

xy 36.

2

2 2

1 1

A. 3a 3b.

B. a b .

C. 2a 2b.

D. .

a b

Câu 2. Nếu

0 a 1

thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?

1

A. a.

B. C. D.

a 1

a .

a a.

a

2

Câu 3. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f (x) x với x > 1.

x 1

3 2

a a .

A. m 1 2 2. B. m 1 2 2. C. m 1 2. D. m 1

2.

Câu 4. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

0 a b a b

A. .

B.

0 c d c d

a b a b

C. .

D.

c d c d

a b 0 a b

.

c d 0 c d

a b 0 a d

.

c d 0 b c

2

x 2x 2

Câu 5. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f (x)

với x > - 1

x 1

A. m = 0. B. m = 1. C. m = 2. D. m 2.

Đáp án:

1 - C 2 - A 3 - B 4 - D 5 - C

Trang 3


Trang 4


CHƯƠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

CHUYÊN ĐỀ 4: BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Định nghĩa bất phương trình một ẩn

Cho hai hàm số y f (x) và y g(x) có tập xác định lần lượt là D và . Đặt D D D . Mệnh đề

chứa biến có một trong các dạng

f (x) g(x), f(x) g(x),f(x) (x),f (x) g(x)

f

Dg

f g

trình một ẩn; x được gọi là ẩn số (hay ẩn) và D gọi là tập xác định của bất phương trình.

nghiệm của bất phương trình f (x) g(x) nếu f (x ) g(x ) là mệnh đề đúng.


0 0

2. Bất phương trình tương đương, biến đổi tương đương các bất phương trình.

Định nghĩa:

Hai bất phương trình (cùng ẩn) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Ký hiệu:

Nếu f (x) g (x) tương đương với f (x) g (x) thì ta viết f (x) g (x) f (x) g (x)

1


1

2


2

1


1


2


2

được gọi là bất phương

Phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của bất phương trình gọi là phép biến đổi tương đương.

Định lý:

x0

D

là một

Cho bất phương trình f (x) g(x) có tập xác định D; y h(x) là hàm số xác định trên D. Khi đó trên

D, bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình sau:

1) f (x) h(x) g(x) h(x).

2) f(x).h(x) g(x).h(x) nếu h(x) 0 với mọi x D

3) f(x).h(x) g(x).h(x) nếu h(x) 0 với mọi x D

Hệ quả:

Cho bất phương trình

f (x) g(x)

3 3

1) f (x) g(x) f (x) g (x).

có tập xác định D. Khi đó:

2 2

2) f (x) g(x) f (x) g (x) với f (x) 0,g(x) 0, x D.

PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất.

1. Phương pháp giải

Giải bất phương trình dạng ax b 0 (1)

Nếu a = 0 thì bất phương trình có dạng 0.x + b 0 thì (1)

Nếu a < 0 thì (1)

Các bất phương trình dạng

b

b

x suy ra tập nghiệm là S ; .

a

a

b

b

x suy ra tập nghiệm là S ; .

a

a

ax b 0,ax b 0,ax b 0

được giải tương tự.

Trang 1


Chú ý: Để giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ta giải từng bất phương trình của hệ bất phương trình.

Khi đó tập nghiệm của hệ bất phương trình là giao của các tập nghiệm từng bất phương trình.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Chi nhị thức bậc nhất

f (x) 5x 20

. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. f (x) 0 với x .

B. f (x) 0 với x ; 4 .


C. f (x) 0 với x ;4 .

D. f (x) 0 với x 4; .


5x 20 0 5x 20 x 4.

Vậy

f (x) 0 với x ;4 .

→Chọn C.

Ví dụ 2: Tập nghiệm của bất phương trình



Hướng dẫn

3

2 x 1



A. 1;2 .

B. (0; ).

C. ( ;4).

D. ( ; 1) (2; ).

Cách 1: Ta có

Hướng dẫn

3 3 3 2 x 1

x

1 1 0 0 0.

2 x 2 x 2 x 2 x

Khi đó ta có bảng xét dấu sau:

x -1 -2

1 + x - 0 + 0 +

2 – x + | + 0 -

f(x) - 0 + || -

Nhìn vào bảng xét dấu ta thấy tập nghiệm của bất phương trình là ( ; 1) (2; ).

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO Fx570 VNPLUS

Bước 1: Nhập hàm số

3

2 X 1

Bước 2: Sử dụng phím CALC. Chọn các giá trị của x thuộc đáp án này những không thuộc đáp án kia để

loại bỏ đáp án làm biểu thức không âm.

1

Chọn x = 0, nhập CALC 0 = ta được kết quả là do đó loại các đáp án chứa x = 0, loại A và C.

2 0,

Chọn x = 1, nhập CALC 1= ta được kết quả là 2 > 0, do đó loại các đáp án chứa x = 1, loại B.

→ Chọn D.

Ví dụ 3: Tìm giá trị nào của m để phương trình

2

(m 2)x 2(m1) x

4


vô nghiệm.

1

5 3

A. 0 m . B. m = 1. C. m . D. Không tồn tại m.

2

6 2

2 2

(m 2)x 2(m1) x 4 (m 2m 4)x 4 0

Hướng dẫn

Trang 2


Để bất phương trình vô nghiệm thì

2

m 2m 4 0


4 0 (lu«n §óng)

Hệ phương trình vô nghiệm nên không tồn tại m thỏa mãn.

→ Chọn D.

Ví dụ 4: Tìm m để bất phương trình

2

m x m(x1) 2(x 1) 0 nghiệm đúng với mọi x 2;1

3

3

A. 0 m . B. m 0.

C. m .

D.

2

2

m 0



3

m .

2

Đặt

2

f(x) (m m 2)x m 2.

Hướng dẫn

Bất phương trình nghiệm đúng với mọi x 2;1

3 2 m

2


0 m

2


m 2m 0 m 2 2


m 0

→ Chọn A.

2m

2 m 6 0 3

Ví dụ 5: Giải hệ bất phương trình






2x 1 3x 4


5x 4 8x 9

2

f( 2) 0 (m m 2)( 2) m 2 0

2

f(1) 0 (m m 2)(1) m 2 0

13

13

A. x .

B. 3 x . C. x 3.

D. x 3.

3

3

Hướng dẫn

x 3

2x 1 3x 4 x 3


13 x 3.

5x 4 8x 9 3x 13 x

3

→ Chọn C.

Ví dụ 6: Với giá trị nào của m thì hệ sau có nghiệm:

x 2m 2x m


3x 1 x 3

A. m 1.

B. m > 1. C. m = 1. D. m < -1.

x 2m 2x m x m



3x 1 x 3 x 1

Để phương trình có nghiệm thì m > 1.

→ Chọn B.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Tìm m để bất phương trình

Hướng dẫn

x m 1 có tập nghiệm S 3;



Trang 3


A. m = -3. B. m = 4. C. m = - 2. D. m = 1.

Câu 2. Tập nghiệm của bất phương trình

1

x 2

1

1

A. ( ;0)

; B. C. D.

2

(0; ).

( ; )


2

Câu 3. Giải bất phương trình: x 1 x 2 x

3 1

x

2 3 4 2


1

(0; ).

2

11

11

6

4

A. S

; . B. C. D.

7 S

;5 .


7


S

; .


7 S

; .


9


Câu 4. Tìm m để bất phương trình

2

m x 3 mx 4

có nghiệm.

A. m = 1. B. m = 0. C. m = 3. D. x .

Đáp án:

1 - B 2 - D 3 - A 4 - D

Dạng 2: Bất phương trình bậc hai và hệ bất phương trình bậc hai một ẩn

1. Phương pháp giải

Tam thức bậc hai (đối với x) là biểu thức dạng

a 0.

Nghiệm của phương trình

2 2

f(x) ax bx c; b 4ac

tam thức bậc hai

2

ax bx c 0


2

f(x) ax bx c.


2

' b' ac

2

ax bx c.

Dấu của tam thức bậc hai được thể hiện trong bảng sau:

Trong đó a, b, c là những số cho trước với

được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai

theo thứ tự được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của

2

f(x) ax bx c,(a 0)

0 a.f(x) 0, x


0

0

b

a.f(x) 0, x \


2a

a.f(x) 0, x ( ;x 1) (x 2; )

a.f(x) 0, x (x ;x )

1 2

2

Bất phương trình bậc hai (ẩn x) là bất phương trình có một trong các dạng ax bx c 0 ,

2

ax bx c 0,

2

ax bx c 0,

2

Chú ý: Cho tam thức bậc hai ax bx c



2

ax bx c 0,

2 a 0

ax bx c 0, x


0

2 a 0

ax bx c, x


0

2

trong đó ax bx c làm tam thức bậc hai.



2 a 0

ax bx c 0, x


0

2 a 0

ax bx c 0, x


0

Cách giải: Để giải bất phương trình bậc hai, ta áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai.

2. Ví dụ minh họa

Trang 4


Ví dụ 1: Tìm tập nghiệm của bất phương trình sau:

2

5x 4x 12 0.

6

2

6

A. ;2 .

B. C. D.

2


; (2; ).


5


; 8; .


5



Hướng dẫn

2

6

Tam thức bậc hai: f(x) 5x 4x 12 có hai nghiệm x và x = 2.

5

Bảng xét dấu:

x


6


5

f(x) - 0 + 0 -

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:

→ Chọn D.




2

6

; 2; .

5




6

; 2; .

5



Ví dụ 2: Tìm m để

2

f(x) x 2(2m 3)x 4m 3 0, x


3

3

3 3

A. m .

B. m .

C. m . D. 1 m 3.

2

4

4 2

Hướng dẫn

2

2 0 4m 16m 12 0

f(x) x 2(2m 3)x 4m 3 0, x khi

1 m 3.

a 0 1 0 lu«n §óng

→ Chọn D.

Ví dụ 3: Tìm nghiệm của hệ bất phương trình sau

x 8

2x 4

x 2



2

x 3x 4 0

4 x 1

0 x 1

A. 4 x 1. B.

7

C.

7

D.

x 2

x 2

2

2

7

x 2.

2

Ta có:

Hướng dẫn


x 8 (2x 4)(x 2)(x 8) 2x 7x x 2

2x 4 0 0 2

x 2 x 2 x 2

x 0

2

x 3x 4 0 (x 1)(x 4) 0 4 x 1.

2

7

Kết hợp nghiệm ta được, hệ bất phương trình có nghiệm là

→ Chọn C.

0 x 1


7

x 2

2

Trang 5


Ví dụ 4: Hệ bất phương trình

2

x 1 0

có nghiệm khi:

x m 0

A. m 1.

B. m 1.

C. m 1.

D. m 1.

Ta có

2

x 1 0 1 x 1


x m 0 x

m

Để bất phương trình có nghiệm thì m 1.

→ Chọn C.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Tìm các giá trị của m để

Hướng dẫn

2

f(x) (m 4)x (m 1)x 2m 1

luôn âm.

3

3

3

A. m .

B. m .

C. m .

D.

7

7

7

Câu 2. Tìm giá trị của m để bất phương trình sau

2

(m 2)x 2(m 1)x 4

vô nghiệm.

3

m .

7

1

5 1

A. 0 m . B. m 1.

C. m . D. Không tồn tại m.

2

6 2

Câu 3. Bất phương trình có tập nghiệm (2;10) là

2

2

2

A. x 12x 20 0. B. x 3x 2 0. C. x 12 20 0. D.

Câu 4. Hệ bất phương trình

(x 3)(4 x) 0


x m 1

vô nghiệm khi:

A. m 4.

B. m 2.

C. m 5.

D. m 2.

Đáp án:

1 - A 2 - D 3 - C 4 - D

Dạng 3: Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Phương pháp giải

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là bất phương trình có một trong các dạng:

ax by c 0,ax by c 0,ax by c 0,ax by c 0

b không đồng thời bằng 0; x và y là các ẩn số.

2

(x 2) 10 x 0.

trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và

Mỗi cặp số (x

0;y 0) sao cho ax0 by0

c 0 gọi là một nghiệm của bất phương trình ax by c 0 .

Cách xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn ax by c 0 :

Chú ý:

Bước 1: Vẽ đường thẳng d: ax by c 0

Bước 2: Xét một điểm M(x

0;y 0)

không nằm trên d.

Nếu

ax0 by0

c 0

bất phương trình ax by c 0 .

Nếu

ax0 by0

c 0

bất phương trình ax by c 0 .

thì nửa mặt phẳng (không kể bờ d) chứa điểm M là miền nghiệm của

thì nửa mặt phẳng (không kể bờ d) chứa điểm M là miền nghiệm của

Trang 6


Đối với các bất phương trình dạng ax by c 0 hoặc ax by c 0 thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng

kể cả bờ.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Miền nghiệm của bất phương trình

4(x 1) 5(y 3) 2x 9

là nửa mặt phẳng chứa điểm:

A. (0;0). B. (1;1). C. (- 1; 1). D. (2;5).

Hướng dẫn

Ta có: 4(x 1) 5(y 3) 2x 9 4 x 4 5y15 2x 9 2x 5y 10 0

Thay tọa độ điểm (2;5) vào bất phương trình ta có: 2.2 + 5.5 -10 > 0 (đúng).

→ Chọn D.

Ví dụ 2: Phần không gạch chéo ở hình sau đây là biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào?

y 0

y 0

x 0

A.

B.

C.

D.

3x 2y 6

3x 2y 6

3x 2y 6

Hướng dẫn

x 0


3x 2y 6

Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị gồm hai đường thẳng (d

1) : y 0 và đường thẳng (d

2) : 3x

2 y 6

Miền nghiệm gồm phần y nhận giá trị dương

Lại có (0;1) thỏa mãn bất phương trình 3x 2y 6

→ Chọn A.

0 y 4

x 0

Ví dụ 3: Giá trị lớn nhất của biểu thức F(x;y) x 2y với điều kiện là

x y 1 0


x 2y 10 0

A. 6. B. 8. C. 10. D. 12.

Hướng dẫn

Vẽ đường thẳng d : x y 1 0, đường thẳng d 1 qua hai điểm (0; -1) và (1;0).

1

Vẽ đường thẳng d : x 2y 10 0, đường thẳng d 2 qua hai điểm (0;5) và (2;4).

Vẽ đường thẳng d

3

: y 4.

2

Trang 7


Miền nghiệm là ngũ giác ABCOD với A(4;3), B(2;4), C(0,4), D(1,0).

Ta có: F(4;3) = 10, F(2;4) = 10, F(0;4) = 8, F(1;0) = 1, F(0;0) = 0.

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức F(x;y) = x+ 2y bằng 10.

→ Chọn C.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. CHo hệ

2x 3y 5 (1)


3 . Gọi S 1 là tập nghiệm của bất phương trình (1), S 1 là tập nghiệm của

x y 5 (2)

2

bất phương trình (2) và S là tập nghiệm của hệ thì

A. S S .

B. S S .

C. S S

D. S S.

1


2

2


1

2


1

Câu 2. Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24 gam hương liệu, 9 lít nước và

210 gam đường để pha chế nước cam và nước táo. Để pha chế 1 lít nước cam cần 30 gam đường, 1 lít

nước và 1 gam hương liệu; pha chế 1 lít nước táo cần 10 gam đường, 1 lít nước và 4 gam hương liệu.

Mỗi lít nước cam nhận 60 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận 80 điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao

nhiêu lít nước trái cây mỗi loại để đạt được số điểm thưởng cao nhất?

A. 4 lít nước cam và 4 lít nước táo. B. 5 lít nước cam và 5 lít nước táo.

C. 5 lít nước cam và 4 lít nước táo. D. 4 lít nước cam và 5 lít nước táo.

Đáp án:

1 - B 2 - D

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP

Câu 1. Giải hệ bất phương trình

3 x 0


x 2 0

A. 2 x 1. B. 1 x 3.

C. 2 x 3.

D. 2 x 0.

Câu 2. Hàm số có bảng xét dấu như sau là hàm số nào?

x 1 2 3

f(x) - 0 + 0 - 0 +

2

A. f(x) (x 3)(x 3x 2).

B.


2

f(x) (1 x)(x 5x 6).

2

C. f(x) (x 2)( x 4x 3).

D. f(x) (1 x)(2 x)(3 x).

Câu 3. Bất phương trình

x 1

2

x x 3

0

có nghiệm là

Trang 8


1

A. x > 1. B. x < 1. C. x .

D. x > 0.

2

2

Câu 4. Tìm m để f(x) mx 2(m 1)x 4m luôn dương với mọi x .

1

1

1

A. 1; .

B. C. D.

3


; 1

; .


3

(0; ).

; .


3



Câu 5. Giải bất phương trình

2

x 9x 14

2

x 5x 4

A. ( ;1) (2;6) (8; ).

B. ( ;1) (2;4) (7; ).

C. ( ;1) (3;4) (7; ).

D. ( ;1) (2;4) (6; ).

0

Câu 6. Giải bất phương trình x 2 x 5 x 8 x


11

89 86 83 80

A. x < -1. B. x < -9. C. x < -91. D. x < -90.

Câu 7. Giải hệ bất phương trình:


(1 x) 5 3x x



2 2

2 2

(x 2) 2x 7x 13

4

4

4

A. x

B. x

C. x

D.

5

5

5

Câu 8. Với giá trị nào của m thì hệ sau có nghiệm:

x 2m 2x m


3x 1 x 3

4

x

5

A. m 1.

B. m 1.

C. m 1.

D. m 1.

Đáp án:

1 - C 2 - A 3 - A 4 - D 5 - B 6- C 7 - B 8 - B

Trang 9


CHƯƠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

CHUYÊN ĐỀ 5: MỘT SỐ BẤT PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP

PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

Một số bất phương trình quy về bất phương trình bậc hai:

Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Bất phương trình chứa căn

Chú ý: Ta có thể sử dụng máy tính để tìm đáp án đúng.

PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

1. Phương pháp giải

Bước 1: Đặt điều kiện cho x để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Bước 2: Giải bất phương trình với từng điều kiện của x.

Bước 3: Kết hợp kết quả giải được với điều kiện ban đầu.

Bước 4: Kết luận tập nghiệm của bất phương trình.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tập nghiệm của bất phương trình



A. S ;3 . B. S ;3 4; .



C. S 6; . D. S ;3 6; .

2

x 8x x 3 15

Hướng dẫn

2

Cách 1: Bất phương trình x 8x x 3 15

(1)

Trường hợp 1: Nếu

x 3 0 x 3,

2 2 x 4

x 8x x 3 15 x 7x 12 0

x 3

Kết hợp với điều kiện x 3, ta được x > 4.

Trường hợp 2: Nếu

x 3 0 x 3,

2 2 x 6

x 8x (x 3) 15 x 9x 18 0

x 3

Kết hợp với điều kiện x < 3, ta được x < 3.

khi đó bất phương trình (1) trở thành:

khi đó bất phương trình (1) trở thành:

Vậy tập nghiệp của bất phương trình là S ;3 4; .

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS

Thay x = 5 vào bất phương trình (1), ta thấy thỏa mãn bất phương trình (1).

Nên loại đáp án A, C và D.

→Chọn B.


Ví dụ 2: Điều kiện nào của x thõa mãn bất phương trình

2

2x 4 x 5x 6?

Trang 1


7 57 7 57

7 57

A. 2 x . B. x 2. C. x 5. D.

2

2

2

Hướng dẫn

Cách 1: Bất phương trình 2x 4 x 2 5x 6 (1)

7 57

2

x 5.

Trường hợp 1: Nếu

2x 4 0 x 2,

khi đó bất phương trình (1) trở thành:

2 2

2x 4 x 5x 6 x 3x 10 0 2 x 5.

Kết hợp với điều kiện

Trường hợp 2: Nếu

x 2 , ta được 2 x 5.

2x 4 0 x 2,

khi đó bất phương trình (1) trở thành:

2 2 7 57 7 57

2x 4 x 5x 6 x 7x 2 0 x


2 2

Kết hợp với điều kiện x < 2, ta được 7 57 x 2.

2

Kết hợp hai trường hợp 1 và 2 ta được điều kiện của x là 7 57 x 5.

2

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS

Thay x = 2 vào bất phương trình (1), ta thấy thỏa mãn bất phương trình (1).

Nên loại đáp án B.

7 57

Thay x vào bất phương trình (1), ta thấy thỏa mãn bất phương trình (1).

2

Nên loại đáp án A và D.

→Chọn B.

1 2 1

Ví dụ 3: Tìm m để 4x 2m x 2x m đúng với mọi x.

2 2

Để

3

3

A. m .

B. m .

C. m > 3. D. -2 < m < 3.

2

2

Ta có:

1 1

2 2

2

4x 2m x 2x m

→Chọn A.

x 2x m 0, x

khi

2

2 1

Dạng 2: Bất phương trình chứa dấu căn

1. Ví dụ minh họa

Hướng dẫn

đúng với mọi x thì

x 2x m 0, x


2

2 1

2 1

3

2 4( 1) m

0 4 2 4m 0 m .

2

2

Ví dụ 1: Tập nghiệm của bất phương trình

2x 1 2x 3

5

5

5

A. ; .

B. C. D.

2

; .

;

.


2

2

Hướng dẫn


5

; .

2


Trang 2


Cách 1: Ta có

1


x

2x 1 0

2


3

2x 1 2x 3 2x 3 0 x



2

2

2x 1 (2x 3)





3

x

3 3 2

x

x


2 2


5 5


x x



x 1

2 2

4x 14x 10 0 4x 14x 10 0 2 2

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS

Thay

5

x

2

Nên loại đáp án B và C.

2

2x 1 4x 12x 9

vào bất phương trình ban đầu, ta thấy thỏa mãn bất phương trình.

Thay x = 3 vào bất phương trình ban đầu, ta thấy thỏa mãn bất phương trình.

Nên loại đáp án A.

→Chọn D.

Ví dụ 2: Tập nghiệm của bất phương trình:



2 2

x x 2 2x 1 0

là:

5 13

A.

1; 2; .

B.

2


2 2

C.

2;

;1 .

D.

2 2


9

4; 5; .

2

17

; 5


5; 3 .

5



Hướng dẫn

2

x


2


2

2 2 2x 1 0

Cách 1: Ta có x x 2

2x 1 0


2


2


x x 2 0 x


2

2 x 1

2 2

x

2;

;1 .

2 2


Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS

Thay x = 5 vào bất phương trình ban đầu, ta thấy không thỏa mãn bất phương trình.

Nên loại đáp án A và D.

Thay x = -4 vào bất phương trình ban đầu, ta thấy không thỏa mãn bất phương trình.

Nên loại đáp án B.

→Chọn C.

Trang 3


Ví dụ 3: Bất phương trình:

4 2 2

x 2x 3 x 5

có bao nhiêu nghiệm nguyên?

A. 0. B. 1. C. 2. D. Nhiều hơn 2.

Hướng dẫn

Bất phương trình x 4 2x 2 3 x 2 5 (1)

Đặt

2

t x (t 0),

khi đó (1) trở thành

2

t 2t 3 t 5.

2 t 1

Nếu t 2t 3 0 , ta suy ra t

t 3

Nếu

2

t 2t 3 0 1 t 3

Kết hợp với điều kiện

thì ta có

1 t 3 , ta suy ra t

Vậy bất phương trình (1) vô nghiệm.

→Chọn A.

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP

Câu 1. Tập nghiệm của bất phương trình

1

33

t


2

1 33

t


2

2

t t 8 0


x 1(x 2) 0



A. S 1 2; .

B. S 1 ;2 .

C. S .

D. S .

Câu 2. Cho bất phương trình:

giá trị thích hợp của tham số m là:

2 2

x 2 x m 2mx 3m 3m 1 0.


Để bất phương trình có nghiệm, các

1

1

1

1

A. 1 m . B. 1 m . C. m 1.

D. m 1.

2

2

2

2

Câu 3. Bất phương trình

2x 1 3 x

có tập nghiệm là

1

A.

;4 2 2 . B. C. D.

2

(3;4 2 2).

(4 2 2;3).

(4 2 2; ).



Câu 4. Bất phương trình

2

x 6x 5 8 2x

có nghiệm là

A. 3 x 5.

B. 2 x 3.

C. 5 x 3.

D. 3 x 2.

Đáp án:

1 - A 2 - D 3 - A 4 - A

Trang 4


CHƯƠNG 3: LƯỢNG GIÁC

CHUYÊN ĐỀ 1. CUNG VÀ GÓC, CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Đơn vị đo góc và cung tròn, độ dài cung tròn

Cung tròn bán kính R có số đo 0 2

, có số đo

Độ dài là I của cung tròn là


0

a 0 a 360

πa

I = Rα = R .

180

a

Quan hệ giữa số đo độ và số đo rađian .

180

180

0

Đặc biệt: 1 rad ,1 rad.

180

2. Đường tròn lượng giác

0

* Đường tròn lượng giác là đường tròn đơn vị, định hướng (quy ước

chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ) và trên đó chọn điểm

A làm gốc.

M x y

OA,

OM

* Điểm ; trên đường tròn lượng giác sao cho


được gọi là điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung (góc)

lượng giác có số đo

Trục Ox được gọi là trục giá trị của cos.

Trục Oy được gọi là trục giá trị của sin.

Trục At gốc A cùng hướng với trục Oy được gọi là trục giá trị của

tang.

Trục Bs gốc B cùng hướng với trục Ox được gọi là trục giá trị của cotang.

* Giá trị lượng giác sin, côsin, tang và cotang:

sin OH y,

cos OK x

sin


tan AT k


cos

2

3. Dấu của các giá trị lượng giác

Giá trị

lượng giác

Phần tư

I II III IV

cos + - - +

sin + + - -

tan + - + -

cot + - + -

cos

cot BS k


sin

Trang 1


4. Cung liên kết

Góc đối nhau

Góc bù nhau

Góc phụ nhau

Góc hơn kém

(cos đối)

(sin bù)

(phụ chéo)

(khác pi tan)

cos




cos

sin



sin


sin


cos

2

sin



sin

sin

tan

cot


sin

cos


tan

tan


cot

cot

5. Công thức lượng giác cơ bản

2 2

sin x cos x 1

tan x.cot x 1


cos

cos

sin

2


tan

tan cot

2


cot

cot tan

2

sin x

tan x

cos x

1 tan

2

x

1

2

cos x

cos


tan

cot


cos



tan



cot

cos x

cot x

sin x

1

cot

2

1

x

2

sin x

6. Công thức cộng 7. Công thức nhân đôi, hạ bậc







,



sin 2a 2sin a.cos

a

b


tan a


tan b




sin a

a

tan a tan b

b


1 tan a.tan

b

cos a b cos a.cosb sin a.sin

b

cos a b cos a.cosb sin a.sin

b

sin a b sin a.cosb cos a.sin

b

sin a b sin a.cosb cos a.sin

b

tan

tan

a

a

1 tan a.tan

b

2 tan a

tan 2a


1 tan a


2

cos 2 2cos 1 1 2sin cos sin

2 2 2 2

a a a a a

2 1 cos 2 2 1

cos 2a

,cos a

2 2

3 3 3cos a cos3a

cos3a 4cos a 3cos a cos a

4

3 3 3sin a sin 3a

sin 3a 3sin a 4sin a sin a

4

8. Công thức biến đổi tổng thành tích 9. Công thức biến đổi tích thành tổng

a b a b

cos a cosb

2cos cos

2 2

a b a b

cos a cosb

2sin sin

2 2

a b a b

sin a sin b 2sin cos

2 2

a b a b

sin a sin b 2cos sin

2 2

1

cos a cosb cos cos

2

a b a b

1

sin asin b cosa b cosa b

2


1

sin a cosb sin a b sin a b

2



Trang 2


PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Góc và cung lượng giác

1. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Góc có số đo 108 o đổi ra radian là

A. 3

.

5


B. .

10

C.

Hướng dẫn

3 .

5

a 108 3

Áp dụng công thức đổi từ độ sang rad ta có: .

180 180 5

→ Chọn A.

Ví dụ 2: Góc có số đo

2

5

đổi sang độ là

1

D. .

10

A. 240 .

B. 135 .

C. 72 .

D. 270 .

Áp dụng công thức đổi từ độ sang rad ta có:

→ Chọn C.

Hướng dẫn

.180 2 .180

a

72 .


5


Ví dụ 3: trong 20 giây bánh xe của xe gắn máy quay được 60 vòng. Tính độ dài quãng đường xe gắn máy

đã đi được trong vòng 3 phút, biết rằng bán kính bánh xe gắn máy bằng 6,5 cm (lấy 3,1416 ).

A. 22054 cm. B. 22063 cm. C. 22054 mm. D. 22044 cm.

Hướng dẫn

Độ dài quãng đường bánh xe lăn được một vòng là I R 6,5.2 13

Trong 20s, bánh xe quay được 60 vòng.

Trong 3 phút = 3.60 = 180s, bánh xe quay được

60.180

540

20

vòng

Vậy độ dài quãng đường xe gắn máy đã đi được là S 540.13

22054 (cm)

→ Chọn A.

Ví dụ 4: Góc

k

x , k

4 3

được biểu diễn bởi bao nhiêu điểm trên đường tròn lượng giác?

A. 12. B. 4. C. 3. D. 6.

Hướng dẫn

k2

Áp dụng góc x , k được biểu diễn bởi n điểm trên đường tròn lượng giác, do đó góc

n

k k2

x được biểu diễn bởi 6 điểm trên đường tròn lượng giác.

3 3 3 6

→ Chọn D.

2. Bài tập tự luyện

Trang 3


Câu 1. Góc có số đo


9

đổi sang độ là

A. 15 .

B. 18 .

C. 20 .

D. 25 .

Câu 2. Góc có số đo 120 đổi sang rađian là góc

A. .

B. 3

C. .

.

D.

2 .

10

2

4

3

Câu 3. Một đường tròn có bán kính R = 10cm. Độ dài cung

40 trên đường tròn gần bằng

A. 7cm. B. 9cm. C. 11cm. D. 13cm.

Câu 4. Một bánh xe có 72 răng. Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển 10 răng là

A. 30 .

B. 40 .

C. 50 .

D. 60 .

Đáp án:

1 - C 2 - D 3 - A 4 - C

Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức lượng giác

1. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: tính giá trị của A cos10 .cos30 .cos50 .cos 70

A. 1 .

16

B. 1 .

8

1

2


Hướng dẫn

C. 3 .

16

Cách 1: Áp dụng công thức: cos a.cosb cosa b cosa b

1 1

A cos10 .cos30 . cos120 cos 20 cos30 . cos10 .cos120 cos10 .cos 20

2 2


cos30


D. 1 .

4


3 1

,cos120

2 2

nên ta có:

3 1 cos10 3 cos10 cos30 cos10 3 cos30

A . cos10 .cos 20 .

2 2 2 4 2 2 4 2


3 3 3

. .

4 4 16

Cách 2: Sử dụng máy tính Casio fx 570 VN Plus

Bước 1: Thiết lập môi trường tính theo độ: SHIFT MODE 3.

Bước 2: nhập

→ Chọn C.

cos10 x cos30 x cos50 x cos70

3

Ví dụ 2: Cho sin và .

Giá trị của cos là

5 2

ta có kết quả là

3 .

16

A. 4 .

5

B.

4

.

C.

5

4

.

D. 16 .

5

25

Trang 4


Cách 1: Vì cos

0.

2

Ta có:

2 2 2 2

sin cos 1 cos 1 sin 1

Hướng dẫn

4

cos

9 16

5


25 25 4

cos


5

4

Kết hợp điều kiện ta có: cos .

5

Cách 2: Sử dụng máy tính Casio fx 570 VN PLUS

Bước 1: thiết lập môi trường tính theo rađian: SHIFT MODE 4.


Bước 2: xác định dấu của cos : chọn một giá trị bất kì của α thỏa mãn .

2


Bước 3: Sử dụng SHIFT sin để tìm góc : sin , ta được kết quả là 0,6435011.

5

4

Bước 4: Nhập cos

Ans

ta được kết quả là , theo bước 2, ta thấy cos 0 , do đó

5

1 3

4

cos

5

Chú ý: Phải xác định trước dấu của giá trị lượng giác cần tính, nếu không sẽ dẫn tới kết luận kết quả là

4

.

5

→ Chọn B.

3sin

cos

Ví dụ 3: Cho tan 2. Giá trị của A


sin

cos

A. 5.

B. 5 .

3

Cách 1: Chia cả tử và mẫu của A cho

cosx

3sin

cos


cos cos 3tan 1 3.2 1

A

7

sin cos

tan

1 2 1

cos

cos

Hướng dẫn

ta được:

Cách 2: Sử dụng máy tính Casio fx 570 VN PLUS

C. 7.

Bước 1: thiết lập môi trường tính theo rađian: SHIFT MODE 4

1

Bước 2: sử dụng SHIFT tan để tìm góc : tan 2 , ta được kết quả là 1,1071487.




3sin Ans cos Ans

Bước 3: nhập ta được kết quả là A = 7.

sin Ans cos Ans

→ Chọn C.

D. 7 .

3

3

cot

2 tan

Ví dụ 4: Cho sin và 90 180

. Giá trị của biểu thức E


5

tan

3cot

Trang 5


2

A. .

57

Cách 1: Vì 90 180 cos

0 , ta có:

B.

2 2 2 2

sin cos 1 cos 1 sin 1

2

.

C. 4 .

57

57

Hướng dẫn

4

cos

9 16

5


25 25 4

cos


5

4

sin

3

Kết hợp điều kiện cos

, do đó tan


5

cos

4

4 3

2.

cot

2 tan


3 4 2

E


.

tan

3cot

3 4 57

3.

4 3

Cách 2: Sử dụng máy tính Casio fx 570 VN PLUS

Bước 1: Thiết lập môi trường tính theo độ: SHIFT MODE 3

D.

1 4

cot .

tan

3

Bước 2: Xác định dấu của tan : chọn một giá trị bất kì của α thỏa mãn 90 180

Ta chọn 100 , nhập tan 100 ta được kết quả là -5,671 < 0 do đó tan 0



Bước 3: Sử dụng SHIFT sin để tìm góc : sin , ta được kết quả là 36.869897

5

1 3

4

.

57

3

3

Bước 4: nhập tan(Ans) ta được kết quả , theo bước 2 ta thấy tan 0 nên tan và

4

4

1 4

cot

, thay vào E ta được giá trị cần tính.

tan

3

→ chọn B.

2. Bài tập tự luyện

Câu 1. Giá trị của biểu thức

2 4 6

cos cos cos


7 7 7

bằng

1

1

1 1

A. . B. . C. .

D. .

2

2

4

4

Câu 2. Giá trị của biểu thức

cos 750 sin 420

A

sin 330 cos 390


bằng

2 3

1

3

A. 3 3 . B. 2 3 3 . C. . D. .

3 1

3

sin

Câu 3. Cho tan 2 . Giá trị biểu thức A

bằng

3 3

sin 3cos

11 10 10

A. .

B. .

C. .

D.

10

11

11

Câu 4. Biết tan 2 và 180 270. Giá trị của cos

sin

bằng

11

.

10

Trang 6


3 5 3 5

A. .

B. 1

5.

C. .

D.

5

2

Đáp án:

1 - B 2 - A 3 - B 4 - A

Dạng 3: Rút gọn biểu thức lượng giác

1. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Đơn giản biểu thức

A.

A

Cách 1:

2

sin x.

B.

A

2 2 2

1 sin .cot 1 cot

A x x x

2

cos x.

C.

Hướng dẫn

A

. Ta có

1 sin 2 cot 2 1 cot 2 cot 2 sin 2 .cot 2 1 cot

2


A x x x x x x x

2

sin x.

D.

2

2 2 cos x

2 2 2 2 2 2

cot x sin x. 1 cot x cot x cos x 1 cot x 1 cos x sin x

2

sin x

Cách 2: Sử dụng máy tính Casio fx 570 VN PLUS

Bước 1: thiết lập môi trường tính theo rađian: SHIFT MODE 4.

Bước 2: Chọn một giá trị x bất kỳ thay vào biểu thức A. Chú ý

Ta chọn

Bước 3: thay

Đáp án A, ta có

→ Chọn A.

x 1, thay vào ta được

cot

2

1

x

2

tan x

2 1 1

A 1 sin 1 . 1 0,7080734

2 2

tan 1

tan 1



x 1 vào bốn đáp án, đáp án nào ra kết quả như bước 2 thì chọn.

sin 1 2

0,7080734

do đó đáp án A là đáp án đúng.

5 1 .

2

A

2

cos x.

Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức A sin 6 x cos 6 x 3sin 2 x cos

2 x .

A. A 1.

B. A 1.

C. A 4

D. A 4.

Cách 1: Áp dụng hằng đẳng thức

Hướng dẫn

3

3

3 3

a b a b ab a b


3


ta được:

6 6 2 2 2

3

2

3

2 2

A sin x cos x 3sin x cos x sin x cos x 3sin x cos x

2 2 2 2 2 2 2 2

sin x cos x 3sin x.cos x sin x cos x 3sin x cos x


2 2 2 2

1 3sin x.cos x 3sin x.cos x 1

Cách 2: Sử dụng máy tính Casio fx 570 VN PLUS

Bước 1: Thiết lập môi trường tính theo rađian: SHIFT MODE 4.

Bước 2: Chọn một giá trị x bất kì thay vào Biểu thức A

6 6 2 2

A sin 1 cos 1 3sin 1 x cos 1 1

Ta chọn x = 1, thay vào ta được

→ Chọn B.

Trang 7


Ví dụ 3: Nếu 5sin 3sin 2

thì giá trị của tan bằng.

A. 2 tan .

B. 3tan .

C. 4 tan .

D. 5tan .

Hướng dẫn



sin sin



cos cos

5sin 3sin 2 5sin 3sin

5sin cos 5cos sin 3sin cos 3cos sin

2sin cos 8cos sin 4 tan 4 tan

→ Chọn C.

2. Bài tập tự luyện

Câu 1. Biểu thức



3 3

2 2 2

A cos x cos x cos x

không phụ thuộc x và có giá trị bằng

3 4 3

A. .

B. .

C. .

D.

4

3

2

Câu 2. Biểu thức

2 2 2 2 2

D cos x.cot x 3cos x cot x 2sin x

có giá trị là

A. 2. B. -2. C. 3. D. -3.

Câu 3. Rút gọn biểu thức

cos 120 x cos 120 x cos x

A. 0. B. –cos x. C. -2cosx. D. sinx – cosx.

Đáp án:

1 - C 2 - A 3 - C


2 .

3

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP

Câu 1. Cho 4


cos với 0 . Tính sin .

5

2

1

1

3

A. sin .

B. sin . C. sin .

D.

5

5

5

10


Câu 2. Một đường tròn có bán kính R cm . Tìm độ dài của cung trên đường tròn.


2

3

sin .

5

2

20


A. 10 cm. B. 5 cm. C. cm.

D.

2


20 cm.

Câu 3. Một đồng hồ treo tường có kim giờ dài 10,57cm và kim phút dài 13,34cm. Trong 30 phút, mũi

kim giờ vạch lên cung tròn có độ dài là

A. 2,77 cm. B. 2,9 cm. C. 2,76 cm. D. 2,8 cm.

1 1

Câu 4. Cho hai góc nhọn a và b. Biết cos a ,cos b . Giá trị cos a b.cosa b

bằng

3 4

113 115 117

A. .

B. .

C. .

D.

144

144

144

119

.

144

Trang 8


Câu 5. Giá trị của biểu thức

2 2 3 2 5 2 7

A sin sin sin sin bằng

8 8 8 8

A. 2. B. -2. C. 1. D. 0.

Câu 6. Gía trị đúng của biểu thức

tan 30 tan 40 tan 50 tan 60

A

cos 20

bằng bao nhiêu?

2 4 6

A. .

B. .

C. .

D.

3

3

3

Câu 7. Cho tam giác ABC và các mệnh đề

(I) cos

B C sin

A

A B C

(II) tan .tan 1

(III) cos A B C

cos 2C

0

2 2

2 2

Mệnh đề đúng là:

A. Chỉ (I). B. (II) và (III). C. (I) và (II). D. Chỉ (III).



Câu 8. Cho cot 3 2 với .

Khi đó giá trị tan cot bằng

2

2 2

A. 2 19. B. 2 19.

C. 19.

D. 19.

Câu 9. Rút gọn biểu thức:

cos 120 x cos 120 x cos x

A. 0. B. cos x.

C. 2cos x.

D. sin x cos x.

Câu 10. Cho A, B, C là các góc nhọn và

1 1 1

tan A ; tan B , tan C .

2 5 8

8 .

3

Tổng A + B + C bằng





A. .

B. .

C. .

D. .

6

5

4

3

Câu 11. Cho A, B, C là ba góc của một tam giác. Hãy chỉ ra hệ thức sai

A B C

A. cos sin .

B. cos A B 2C cos C.

2 2



B. sin A C sin B.

D. cos A B cos C.

3 3

Câu 12. Cho tan a cot a m . Khi đó cot a tan a có giá trị bằng

3

3

3

3

A. m 3 m.

B. m 3 m.

C. 3 m m.

D. 3 m m.

Đáp án:

1 – C 2 – B 3 – A 4 – D 5 – A 6 – D 7 – C 8 – A 9 – C

10 – C 11 – C 12 – B

Trang 9


PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Hàm số y = sinx

* Tập xác định: .

* Tập giá trị: 1;1 .

* Hàm số tuần hoàn với chu kì T 2 .

CHƯƠNG 3

CHUYÊN ĐỀ 2: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC


* Đồng biến trên k2 ; k2

và nghịch

2 2


biến trên 2 ; 3

k k2 ,

k .

2 2

* Hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O là

tâm đối xứng.

2. Hàm số y = cosx

* Tập xác định: .

* Tập giá trị: 1;1 .

* Hàm số tuần hoàn với chu kì T 2 .


* Đồng biến trên k2 ; k2

và nghịch biến


trên k2 ; k2 , k .


* Hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy là

tâm đối xứng.


3. Hàm số y = tanx

* Tập giá trị: .



* Tập xác định: D \ k

, k

2

* Hàm số tuần hoàn với chu kì T .

* Hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O là tâm

đối xứng.


* Hàm đồng biến trên k; k

,

k

2 2

Hàm số

lượng giác


* Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x k

, k

2

làm một đường tiệm cận.

4. Hàm số y = cotx

* Tập giá trị: .

* Tập xác định: D \ k

, k

* Hàm số tuần hoàn với chu kì T .

* Hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O là

tâm đối xứng.

* Hàm nghịch biến trên

k ; k , k

* Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x k

, k làm

một đường tiệm cận.

PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Tập xác định của hàm số lượng giác

1. Phương pháp giải



f x

y xác định khi 0,

g x

y 2 n f x , n xác định khi f x 0.

g x

*

Trang 1


u x

y sin


xác định khi u x xác định, y cos u x xác định khi u x xác định.


y tan u x xác định khi u x

xác định và cos u x 0 u x

k

, k

2


y cot u x xác định khi u x

xác định và sin u x 0 u x

k

, k

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: tìm tập xác định D của hàm số



A. D \ k

, k

2

C. D \ k

, k

2019

y

sin x

Hướng dẫn



B. D \ k2


3

D. D

Cách 1: Hàm số xác định khi và chỉ khi sin x 0 x k

, k .

Vậy tập xác định D \ k

, k

.


Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO Fx 570 VN PLUS

Bước 1: Thiết lập chế độ rađian SHIFT MODE 4

Bước 2: Nhập hàm số 2019

sin(X)


Bước 3: Sử dụng phím gán giá trị CALC, thử các giá trị không thuộc các đáp án, đáp án nào cho giá trị

báo lỗi Math ERROR là đáp án đúng

Đáp án A: Ấn CALC, nhập X

, ta được kết quả là 2019, loại A.

2

Đáp án B: Ấn CALC, nhập X

, ta được kết quả là 2331,34, loại B.

3

Đáp án C: Ấn CALC, nhập X 0 , ta được Math ERROR, chọn C.

→ Chọn C.

Ví dụ 2: Tìm tập xác định của hàm số

A. D 2;2 .

B.

1

y cos

2x

x

D 1;1 \ 0 . C. .

D D.

D \ 0 .

Hàm số đã cho xác định khi

Hướng dẫn

1

cos xác định khi và chỉ khi x 0.

x

→ Chọn D.

Ví dụ 3: Điều kiện xác định của hàm số y tan 2x

k


k


A. x , k .

B. x k

, k .

C. x , k .

D. x k

, k .

3 2

2

4 2

4

Trang 2


Điều kiện xác định của hàm số

sin 2x

y tan 2x


cos 2x

k

cos 2x 0 2 x k

x , k

2 4 2

→ Chọn C.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Tập xác định của hàm số

y cot x


Hướng dẫn




A. x k

, k . B. x k

, k . C. x k , k . D. x k

, k .

2

4

8 2


Câu 2. Tập xác định của hàm số y tan 2x


3





A. D \ k , k .

B. D \ k , k .

3 2

4 2




C. D \ k , k .

D. D \ k , k .

12 2

8 2

Câu 3. Tập xác định của hàm số

y cos



A. D 0;2 . B. D 0; . C. D .

D.

Đáp án:

1 – D 2 – C 3 - B

x

là:

là:

D \ 0 .

Dạng 2: Tính đơn điệu của hàm số lượng giác

1. Phương pháp giải


Hàm số y sin x đồng biến trên mỗi khoảng k2 ; k2

k


, nghịch biến trên mỗi khoảng

2 2

3


k2 ; k2

k


2 2


Hàm số y cos x nghịch biến trên mỗi khoảng k2 ; k2

k , đồng biến trên mỗi khoảng


k2 ; k2

k


.


Hàm số y tan x đồng biến trên mỗi khoảng k;

k

k


.

2 2

Hàm số y cot x nghịch biến trên mỗi khoảng k;

k

k .

2. Ví dụ minh họa


Ví dụ 1: Xét hàm số y sin x trên đoạn ;0 . Khẳng định nào sau đây là đúng?


Trang 3


A. Hàm số đồng biến trên các khoảng

; và ;0

.

2 2



B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

; ; nghịch biến trên khoảng ;0

.

2

2



C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng

; ; đồng biến trên khoảng ;0

.

2

2


D. Hàm số nghịch biến trên khoảng

; và ;0

.

2 2

Hướng dẫn

Cách 1: Hàm số y sin x đồng biến trên mỗi khoảng ;0 k2 ; k2


k


nghịch

2 2 2

3


2 2 2

biến trên mỗi khoảng ; k2 ; k2

k


Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO Fx 570 VN PLUS: sử dụng phím

Bước 1: Thiết lập chế độ rađian SHIFT MODE 4.

d

dx


x


2

Bước 2: Chọn một giá trị bất kì thuộc khoảng

; , ta chọn x , nhập

2

3


được kết quả là 0,5 > 0, do đó hàm số đồng biến trên khoảng ;0

.

2

→ Chọn C.

Ví dụ 2: Hàm số y cos 2x

nghịch biến trên khoảng nào sau đây?





; .

2

A. k

k

k




2




C. k;

k

k






2 2

d

dx

sin

X




B. k2 ; k2

k


3


2 2




D. k2 ; k2

k


Hướng dẫn


Hàm số y cos 2x

nghịch biến khi k2 2x k2 k x k

, k

2

Hay hàm số y

→ chọn A.


cos 2x

nghịch biến trên khoảng k; k

k


2

Ví dụ 3: Xét các mệnh đề sau:

3


1

(I): x

; : hàm số y nghịch biến

2

sin x

3


1

(II): x

; : hàm số y nghịch biến

2

cos x


x

3

Trang 4


Hãy chọn mệnh đề đúng:

A. Chỉ (I) đúng. B. Chỉ (II) đúng. C. Cả hai đúng. D. Cả hai sai.

Hướng dẫn

3


1

Cách 1: x

; : hàm y sin x nghịch biến, suy ra y đồng biến, do đó (I) sai.

2

sin x

3


1

x

; : hàm y cos x đồng biến suy ra hàm y nghịch biến, do đó (II) đúng.

2

cos x

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO Fx 570 VN PLUS

Sử dụng phím

d

dx


x

Bước 1: Thiết lập chế độ rađian SHIFT MODE 4

3


6

Bước 2: Chọn một giá trị bất kì thuộc khoảng ; , ta chọn x 1, 2

, nhập

2

5

d 1 6

1

x , được kết quả là 2,3416 > 0, do đó hàm số đồng biến biến trên khoảng

dx


sin X

y

5

sin x

3


; .

2

d

Bước 3: Nhập 1 6

1

x , được kết quả là -0,898 < 0, do đó hàm số nghịch biến

dx


cos

X

y

5

cos x

3


biến trên khoảng ; .

2

→ Chọn B.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Hàm số

y sin 2x

đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?



3


3

A. 0; .

B. ; .

C. ; .

D. ;2 .

4

2

2

2

Câu 2. Xét hàm số y cos x trên đoạn ; . Khẳng định nào sau đây là đúng?



A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;0 và 0; .



B. Hàm số đồng biến trên khoảng ;0 và nghịch biến trên khoảng 0; .



C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ;0 và đồng biến trên khoảng 0; .


D. Hàm số luôn đồng biến trên các khoảng ;0 và 0; .

Câu 3. Với

31

33


x ; , mệnh đề nào sau đây là đúng?

4 4

A. Hàm số y cot x nghịch biến. B. Hàm số y tan x nghịch biến.

C. Hàm số y sin x đồng biến. D. Hàm số y cos x nghịch biến

Trang 5


Đáp án:

1 – A 2 – B 3 - C

Dạng 3: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

1. Phương pháp giải

Áp dụng các bất đẳng thức sau:

1 sin x 1

1 cos x 1

0 sin x 1

0 cos x 1

0 sin x 1

0 cos x 1

2. Ví dụ minh họa

1 sin ax

b

1

ax

b

1 sin 1

0 sin ax

b

1

ax

b

0 cos 1

0 sin ax

b

1

ax

b


Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau y 1

3sin 2x


4

A. max y 2, min y 4.

C. max y 2, min y 3.

Hướng dẫn

B. max y 2, min y 4.

D. max y 4,min y 2.


Cách 1: Vì 1 sin 2x 1 3 3sin 2x 3 1 3 1 3sin 2x

1

3

4 4 4


2 1 3sin 2x

4

4

Vậy max y 4, min y 2

.

hay

2 y 4

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO Fx 570 VN PLUS

Bước 1: Thiết lập chế độ rađian SHIFT MODE 4

Bước 2: Sử dụng MODE 7, nhập hàm số f x 1

3sin

2X


ấn =

4

2

End Start

Start ? 0 End ? 2 Step ? (ta thường chọn Step

)

15

15


0 cos 1

Bước 3: Quan sát giá trị cột F x , ta tìm được xấp xỉ giá trị lớn nhất là 3,963 4 và xấp xỉ giá trị nhỏ

nhất là 1,995 2.

→ Chọn D.

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y cos 2x 4sin x

A. -5. B. 3. C. 4. D. 5.

Hướng dẫn

Cách 1: y cos 2x 4sin x 1 2sin 2 x 4sin x 2sin 2 x 2sin x 1 3 3 2sin x 1 2

2 2

Ta có x x x x

1 sin 1 2 sin 1 0 4 sin 1 0 8 2 sin 1 0

Trang 6


x 2

38 3 2 sin 1 3 0 5 y 3.


Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 3 khi và chỉ khi sin x 1 x k2 , k

2

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO Fx 570 VN PLUS

Bước 1: Thiết lập chế độ rađian SHIFT MODE 4


Bước 2: Sử dụng MODE 7, nhập hàm số f x cos 2X 4sin X , ấn =

2

End Start

Start ? 0 End ? 2 Step ? (ta thường chọn Step

)

15

15

Bước 3: Quan sát giá trị cột

→ Chọn B.

F x

, ta tìm được xấp xỉ giá trị lớn nhất là 2,999 3.

Ví dụ 3: Hàm số

y 1

2cos

2

x

đạt giá trị nhỏ nhất khi x bằng bao nhiêu?

A. x k2 , k .

C. x k2 , k .


B. x k

, k .

2

D. x k

, k .

Ta có

Hướng dẫn


2 2

1 cos x 1 0 cos x 1 1 1 2cos x 3 1 y 3


Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 1 khi và chỉ khi cos x 0 x k

, k .

2

→ chọn B.

3. Bài tập tự luyện


Câu 1. Tìm tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 2sin x

3

A. 4. B. 2. C. 0. D. -2.

2

Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y 1

4cos 2x

A. min y 2;max y 1.

B. min y 3;max y 5.

C. min y 5;max y 1.

D. min y 3;max y 1.

Câu 3. Hàm số

6 6

y sin x cos x

đạt giá trị nhỏ nhất khi x bằng bao nhiêu?

k

k3

k

k

A. x .

B. x . C. x .

D. x .

4 3

4 2

3 3

4 2

Đáp án:

1 – C 2 – D 3 - D

Dạng 4: Tính chẵn lẻ của hàm số

1. Phương pháp giải

Hàm số

y f x

x D thi x D

với tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu:

f x f x

Trang 7


Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

Hàm số

y f x

với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu:

Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

A. y 2cos x.

B. y 2sin x.

Cách 1: xét đáp án y 2cos x.

Do tập xác định

D nên x

x

.

Ta có f x x x f x

Vậy hàm số

2cos 2cos .

y 2cos

x

x D thi x D


f x f x

C. y x

làm hàm số chẵn.

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO Fx 570 VN PLUS

Bước 1: Thiết lập chế độ rađian SHIFT MODE 4

Bước 2: Sử dụng CALC để thử trường hợp x và -x.

Đáp án A: Nhập vào màn hình hàm số

Hướng dẫn


2cos X


2sin . D. y sin x cos x.

sử dụng CALC với trường hợp x = 1 và trường hợp

1 đều đưa kết quả giống nhau. Vì f x f x hàm số chẵn, chọn A.

x

→ Chọn A.

Ví dụ 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?

A. y cos 2 x.

B. y sin x 16.

C. y

Hướng dẫn

2

sin 2 x.

D.

y

3

sin 3 x.

Đáp án A: y cos 2x

là hàm số chẵn, do có tập xác định là D , với mọi x D thì x D và


f x cos 2x cos 2 x f x .

Đáp án B: y sin x 16 là hàm số không chẵn không lẻ, do có tập xác định là 16; , không phải tập

đối xứng.


2

Đáp án C: y sin 2x

là hàm số lẻ, do có tập xác định là D , với mọi x D thì x D và

3 3


f x sin 3x sin 2 x f x .

→ Chọn D.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Trong các hàm số sau hàm số nào là hàm số không chẵn không lẻ?

A. y sin x.cos3x

B. y sin x cos x C. y cos

x

D.

Câu 2. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

A. y sin 2x

B. y x.cos

x C. y cos x.cot

x D. y

Đáp án:

2

y cos x sin x

tan

sin

x

x

Trang 8


1 – B 2 – D

Dạng 5: Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác

1. Phương pháp giải

Định nghĩa tính tuần hoàn của hàm số.


Hàm số y f x xác định trên tập D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số T 0 , sao cho x D .

Khi đó:

x T D và f x T f x.

Nếu có số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là hàm số tuần hoàn với

chu kì T.

Chú ý:

2

Các hàm số y sin ax b, y cosax b

tuần hoàn với chu kỳ T .

a


Các hàm số y tan ax b, y cot ax b

tuần hoàn với chu kỳ T .

a

2. Ví dụ minh họa


Ví dụ 1: tìm chu kì T của hàm số y sin 5x

.

4

A.

T

2

B.

5

T

5

C.

2

T


D.

2

T



8

Hướng dẫn

Hàm số

y ax b

sin

tuần hoàn với chu kì

T

2


a


Do đó hàm số y sin 5x

có a 5 tuần hoàn với chu kì

4

T


2

5

→ Chọn A.

x

Ví dụ 2: tìm chu kì T của hàm số y cot sin 2x

.

3

A. T 4

B. T

C. T 3

D.

T



3

Hướng dẫn

x 1


Hàm số y cot có a1

tuần hoàn với chu kì T1

3

3 3

a

1

2

Hàm số y sin 2x

có a2 2 tuần hoàn với chu kì T2


a

2

Suy ra hàm số

x

y cot sin 2x

tuần hoàn với chu kì T2 3

3

→ Chọn C.

Trang 9


Ví dụ 3: Nếu chu kì T của hàm số

x

y sin 2

a

là 8 thì a nhận giá trị nào dưới đây?

A. 2.

B. 4.

C. 4. D. 8.

Chu kì của hàm số

→ Chọn B.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Chu kỳ của hàm số

x

y sin 2

a

x

y sin 2

Hướng dẫn

2

là T 8 2 a 8 a 4 a 4


a

là:


A. . B. 2. C. . D. 4.

2

Câu 2. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. Hàm số y sin x tuần hoàn với chu kì 2 .

B. Hàm số y cos x tuần hoàn với chu kì 2 .

C. Hàm số y tan x tuần hoàn với chu kì 2 .

D. Hàm số y cot x tuần hoàn với chu kì .

Câu 3. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

sin x

2

A. y . B. y tan x x C. y x 1. D. y cot x

x

Đáp án:

1 – D 2 – C 3 - D

Dạng 6: Đồ thị hàm số lượng giác

1. Phương pháp giải

2

Đồ thị hàm số y msin ax b, y mcosax b

có chu kỳ T , biên độ:

a

Cho hàm số

y f x

có đồ thị là (C), với p > 0, ta có:

* Tịnh tiến (C) lên trên p đơn vị thì được đồ thị hàm số y f x p.

m

* Tịnh tiến (C) xuống dưới p đơn vị thì được đồ thị hàm số y f x p.

* Tịnh tiến (C) sang trái p đơn vị thì được đồ thị hàm số y f x p.

* Tịnh tiến (C) sang phải p đơn vị thì được đồ thị hàm số y f x p.

2. Ví dụ minh họa

x

Ví dụ 1: Khẳng định nào sau đây là đúng về đồ thị hàm số y 3cos ? 2

Trang 10


A. Biên độ là 3, chu kì là 4

C. Biên độ là 3, chu kì là 2

Hướng dẫn

B. Biên độ là -3, chu kì là 180

D. Biên độ là 3, chu kì là

x

2

2

Hàm số y 3cos có m = -3 do đó có biên độ là m 3 , chu kì là T 4

2 a 1

2

→ Chọn A.

Ví dụ 2: Đồ thị của hàm số nào dưới đây là đồ thị của hàm số

trên 2 ?

A. y cos x 2

y cos x

B. y cos x 2

C. y cos x 2


Đồ thị của hàm số


y f x

Hướng dẫn

dịch theo phương thẳng đứng lên

D. y cos x 2

dịch theo phương thẳng đứng lên trên a đơn vị trở thành đồ thị hàm số

y f x a . Do đó, đồ thị của hàm số y cos x dịch theo phương thẳng đứng lên trên 2 trở thành đồ

thị hàm số y cos x 2

→ Chọn D.

Ví dụ 3: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

A. sin 2

x

B. cos 2

x

Tại x = 0 thì y = 0 do đó loại B và C vì cos 0 1

Hướng dẫn

C. cos 4

x


x

D. sin

2

x

Tại x thì y 1. Thay x vào hai đáp án còn lại chỉ có sin sin 1

thỏa mãn.

2 2

→ Chọn D.

Ví dụ 4: Hình vẽ dưới đây thuộc đồ thị của hàm số nào?

A. y 3cos x

B. y 2cos

x

C. y 2sin

x

D. y 3sin

x

Hướng dẫn

Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số có biên độ là 2 nên ta loại đáp án A và D.

Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O, thay x = 0 vào hai đáp án còn lại.

Trang 11


y 2cos

x 2cos .0 2



do đó ta loại B.

y 2sin

x 0 do đó đồ thị hàm số y 2sin

x đi qua gốc tọa độ O.

Vậy hình vẽ là đồ thị của hàm số y 2sin

x

→ Chọn C

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị hàm số nào?


3




A. sin x

B. cos

x C. 2 sin x D. cos

x

4

4

4

4

Câu 2. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có biên độ 3 và chu kỳ 4 ?

x

1 x

1 x

A. y 3cos B. y cos

C. y cos

D.

2 3 2

3 4

Câu 3. Đồ thị hàm số y sin x suy ra từ đồ thị y cos x 1

C bằng cách:



A. Tịnh tiến (C) qua trái một đoạn có độ dài là và lên trên 1 đơn vị.

2


B. Tịnh tiến (C) qua phải một đoạn có độ dài là và lên trên 1 đơn vị.

2


C. Tịnh tiến (C) qua trên một đoạn có độ dài là và xuống dưới 1 đơn vị.

2


D. Tịnh tiến (C) qua trái một đoạn có độ dài là và xuống dưới 1 đơn vị.

2

Đáp án:

1 – A 2 – A 3 - D

x

y 3cos 4

PHẦN 3. BÀI TẬP TỔNG HỢP

1

sin x

Câu 1. Tập xác định của hàm số y là

sin x 1


3

A. x k2

B. x k2

C. x k2

D. x k2

2

2


Câu 2. Trong khoảng 0; , hàm số y sin x cos x là hàm số:

2

A. Đồng biến. B. Nghịch biến.

C. Không đổi. D. Vừa đồng biến vừa nghịch biến.

Trang 12


Câu 3. Tập xác định của hàm số


y tan 2x


3

k

5


A. x

B. x k

C. x k

D.

6 2

12

2

Câu 4. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

A. y sin 2x

B. y x cos x

C. y cos x.cot

x D. y

Câu 5. Tìm tập giá trị của hàm số y 3cos 2x

5



2;8

5;8

A. 1;1

B. 1;11

C. D.

Câu 6. Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung?

A. y sin x.cos 2x

B.

tan x

C. y

D.

2

tan x 1

Câu 7. Hai hàm số nào sau đây có chu kì khác nhau?


3

y cos x.sin

x




3

y sin x.cos

x



2

x

A. y cos x và y cot B. y sin x và y tan 2x

2

x x

C. y sin và y cos D. y tan 2x

và y cot 2x

2 2

x

Câu 8. Tìm chu kì T của hàm số y cos

2019

2

A. T 4

B. T 2

C. T 2

D. T

Đáp án:

5


x k

12 2

1 – C 2 – A 3 – D 4 – D 5 – C 6 – D 7 – B 8 – A

tan

sin

x

x

Trang 13


PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Phương trình lượng giác cơ bản

x

k2

sin x sin

,k

x

k2

CHƯƠNG 3 LƯỢNG GIÁC

CHUYÊN ĐỀ 3 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

cos x cos x k2 ,k


tan x tan x k , k cot x cot x k ,k


2. Các trường hợp đặc biệt


cos x 0 x k ,k


2

cos x 1 x k2 , k

cos x 1 x k2 , k

3. Một vài phép biến đổi đặc biệt hay gặp

sin x 0 x k , k


sin x 1 x k2 , k

2


sin x 1 x k2 , k

2

1 sin 2x sin x cos x 2

1 sin 2x sin x cos x 2

x x

1 sin x sin cos

2 2

1

2

4 4 2

sin x cos x 1

sin 2x

2

x x

1 sin x sin cos

2 2

3

4

6 6 2

sin x cos x 1

sin 2x

2

PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Phương trình lượng giác cơ bản

1. Phương pháp giải

Nếu u, v là các hàm theo biến x

u v k2

sin u sin v

,k

u v k2

tan u tan v u v k , k

cos u cos v u v k2 ,k


cot u cot v u v k , k

2. Ví dụ minh họa

2x

Ví dụ 1: Giải phương trình sin 0

3 3



x k


A. x k k

B.


C. x k k


D.

3

2

k3

3 2

k3

2 2

x k


Trang 1


Hướng dẫn

2x 2x 2x k3


3 3 3 3 3 3 2 2

Cách 1: sin 0 k k x k


Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570 VN PLUS

Bước 1: Thiết lập môi trường radian: SHIFT MODE 4

2X

Bước 2: Nhập biểu thức sin vào máy tính.

3 3

Bước 3: Sử dụng phím CALC (phím gán giá trị) để kiểm tra bốn đáp án.

Đối với đáp án A, ta thay x = π: Nhập CALC π ta được kết quả là

3

, loại A

2 0

2

2

Đối với đáp án B, ta thay x : Nhập CALC ta được kết quả là 0,342 0, loại B.

3

3



Đối với đáp án B, ta thay x : Nhập CALC ta được kết quả là -0,342 0, loại C.

3

3



Đối với đáp án D, ta thay x : Nhập CALC ta được kết quả là 0.

2

2

→ Chọn D.

Ví dụ 2: Số nghiệm của phương trình sin 2x

3

2

trong khoảng (0; 3π) là:

A. 1 B. 2 C. 6 D. 4

Hướng dẫn


2x k2 x k

3 3 6

Cách 1: sin 2 x sin 2x sin

, k

2 3 2


2x k2 x k


3

3

Với

Với



1 17

x k ta có: 0 k 3 k k 0;1;2


6

6 6 6



1 8

x k ta có: 0 k 3 k k 0;1;2


3

3 3 3

Mỗi họ nghiệm có 3 nghiệm thuộc (0;3π) nên phương trình có 6 nghiệm thuộc (0;3π).

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS

Bước 1: Thiết lập môi trường tính theo radian: SHIFT MODE 4.

Bước 2: Sử dụng công cụ TABLE: MODE 7

Nhập hàm số f x sin 2X


3

2

3

Start? 0 = End? 3π = Step?

= (Ta thường lấy Step bằng

End Start

15

15

Ta được bảng giá trị gồm hai cột x và f (x).

Trang 2


Bước 3: Ta tìm số nghiệm của phương trình dựa vào tính chất đổi dấu, quan sát cột f (x) xem có bao

nhiêu lần đổi dấu từ âm sang dương và từ dương sang âm, ta thấy có 6 lần đổi dấu, do đó phương trình có

6 nghiệm trong khoảng (0; 3π).

→ Chọn C

Ví dụ 3: Gọi S là tập hợp cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình

nghiệm. Tính tổng T của các phần tử trong S.


cos

2x m 2 có

3

A. T = 6 B. T = 3 C. T = -2 D. T = -6


cos 2x m 2 cos 2x m 2

3 3


Hướng dẫn


1 cos

2x 1

nên để phương trình có nghiệm thì:

3

1 m 2 1 3 m 1


Vậy tập các số nguyên m thỏa mãn là S 3; 2; 1 . Tổng T 3 2 1 6

→ Chọn D


a

Ví dụ 4: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình cos3x cos x 0 có dạng , trong đó a; b hai

3

b

số nguyên tố cùng nhau. Tính a + b

A. 4 B. 3 C. 5 D. 4

Hướng dẫn



3 3 3

Cách 1: cos 3x cos x 0 cos 3x cos x cos 3x cosx



2


3x x k2 x k

3


3



k


k

3x x

k2 x



3

6 2

Với k = 0, phương trình có nghiệm dương là:

Với k = 1, phương trình có hai nghiệm dương là:

2

x

3

Vậy nghiệm dương bé nhất của phương trình là: x


5

2


x

3 3


2

x

6 2 3 3



3

Do a; b là hai số nguyên tố cùng nhau nên a = 1; b = 3 → a + b = 4

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS

Bước 1: Thiết lập môi trường tính theo độ: SHIFT Mode 3.

Bước 2: Sử dụng công cụ TABLE: MODE 7

Trang 3


3

Nhập hàm f x cos 3X cosX

Start? 0 = → End? 180 = → Step? 10 =

Ta được bảng giá trị gồm hai cột x và f (x)




Bước 3: Nhìn vào giá trị cột f (x), xem giá trị nào f (x) = 0 đầu tiên, ứng với f (x) = 0, ta thấy x = 60.

Do đó nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là x = 60 0 , ứng với x

→ Chọn D.

Ví dụ 5: Nghiệm của phương trình

3 3tan x 0


A. x k k


B.

3

x k2k



C. x k k


D.

6

x kk




2


2

Hướng dẫn

3


3 6 6



3

Cách 1: 3 3tan x 0 tan x tan x x kk


Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS

Bước 1: Thiết lập môi trường radian: SHIFT MODE 4

Bước 2: Nhập biểu thức


3 3tan X


vào máy tính.

Bước 3: Sử dụng phím CALC (phím gán giá trị) để kiểm tra bốn đáp án.



Đối với đáp án A, ta thay x . Nhập CALC ta được kết quả là 4 3 0 , loại A.

3

3



Đối với đáp án B, ta thay x . Nhập CALC ta được kết quả là Math error, loại B và D

2

2



Đối với đáp án C, ta thay x . Nhập CALC ta được kết quả là 0

6

6

→ Chọn C

2. Bài tập tự luyện

Câu 1. Nghiệm của phương trình đặc biệt nào sau đây là sai?


A. sin x 1 x k2 B. sin x 0 x k

2


C. sin x 0 x k2 D. sin x 1 x k2

2

Câu 2. Nghiệm của phương trình sinx . cosx = 0 là:


k


A. x k2

B. x C. x k2 D. x k2

2

2

6



Câu 3. Phương trình 2sin 2x 40 o 3 có số nghiệm thuộc o o

180 ;180 là:

A. 2 B. 4 C. 6 D. 7

Trang 4


Câu 4. Phương trình cosx = m + 1 có nghiệm khi m là:

A. 1 m 1

B. m 0

C. m 2

D. 2 m 0

Câu 5. Nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình

là:

sin 4x cos5x 0


2



A. x ; x B. x ; x C. x ; x D. x ; x

18 6

18 9

18 2

18 3

Đáp án:

1 – C 2 – B 3 – B 4 – D 5 – A

theo thứ tự

Dạng 2: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

1. Phương pháp giải

Dạng phương trình:

2

a sin x bsin x c 0

2

a cos x bcosx c 0

2

a tan x b tan x c 0

2

a cot x bcot x c 0

Ta đặt ẩn phụ t rồi giải phương trình bậc hai đổi với

t là:

Cụ thể:

2

at bt c 0

2

a sin x bsin x c 0

Đặt t sin x 1 t 1

2

acos x b cos x c 0

Đặt t cos x 1 t 1

2

a tan x b tan x c 0

Điều kiện xác định cosx 0. Đặt t = tanx.

2

a cot x bcot x c 0

Điều kiện xác định sinx 0. Đặt t = cotx

Ví dụ: Tìm họ nghiệm của phương trình

2

sin x 3sin x 4 0


A. x k2 ,k


2

B. x k2 , k

C. x k , k


D. x k ,k


2

Hướng dẫn

Đặt


t sinx 1 t 1

t 1

2

t 3t 4 0


t 4

I

Với t = 1, ta có:




sin x 1 x k2k


2

→ Chọn A

, phương trình trở thành:


2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Phương trình

2

2cos x 3cos x 1 0

có nghiệm là:




A. x k2 , x k2 , x k2 B. x k , x k , x k

3 3

3 3



C. x k2 , x k , x k2 D. x k2 , x k2 , x k

3

2 3

Hướng dẫn

Cách 1: Đặt


t cos x 1 t 1


. Phương trình trở thành:

Trang 5


t 1


t

2

2

2t 3t 1 0 1

(thỏa mãn điều kiện)

Với t = 1 cos x 1 x k2k



x

k2

1 1 3

2 2 3

x k2

3

Với t cos x cos x cos

k




3 3

Vậy họ nghiệm của phương trình: x k2 , x k2 , x k2k


Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS

Bước 1: Thiết lập môi trường radian: SHIFT Mode 4

2

Bước 2: Nhập biểu thức

2cos X 3cos X 1

Bước 3: Sử dụng phím CALC (phím gán giá trị) để kiểm tra bốn đáp án:

Ta thay x = 2π thuộc họ nghiệm x = k2π được 0, do đó nghiệm x = 2π thỏa mãn

Ta thay x = π thuộc họ nghiệm x = kπ được 6, do đó nghiệm x = π không phải nghiệm của phương trình

nên loại các đáp án chứa x = kπ là đáp án B và C.




Ta thay x thuộc họ nghiệm x k2 , được 1, do đó nghiệm x k2

không phải nghiệm của

2

2

2

phương trình nên loại đáp án D.

→ Chọn A

Ví dụ 2: Nghiệm dương bé nhất của phương trình

2

5 5sin x 2cos x 0




A. B.

C. D.

4

2

2

Hướng dẫn

2 2

Cách 1:

5 5sin x 2cos x 0 5 5sin x 2 1 sin x 0

là:


sin x 1

2

2sin x 5sin x 7 0


7

sin x

2

7

Với sin x 1, phương trình vô nghiệm.

2



Với sin x 1 x k2 , k , nghiệm dương bé nhất của phương trình là .

2

2

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS

Bước 1: Thiết lập môi trường radian: SHIFT Mode 4

2

Bước 2: Nhập biểu thức 5 5sin X 2cos X

Bước 3: Sử dụng phím CALC (Phím gán giá trị) để kiểm tra bốn đáp án, xem đáp án nào làm biểu thức

bằng 0 và có giá trị nhỏ nhất.

Trang 6


→ Chọn C


Ví dụ 3: Tìm m để phương trình cos 2x 2m 1 cos x m 1 0 *

có đúng hai nghiệm x

; :

2 2


A. 1 m 0

B. 0 m 1

C. 0 m 1

D. 1 m 1

Hướng dẫn

1

cos x

cos 2x 2m 1 cos x m 1 0 2cos x 2m 1 cos x m 0 2

cos x m

2

Cách 1:


1

Vì x

; nên . Do đó (loại)

2 2

0 cos x 1

cos x


2

Vậy để phương trình có đúng hai nghiệm


x

;

2 2


Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS

Bước 1: Thiết lập môi trường tính theo radian: SHIFT Mode 4

Bước 2: Sử dụng công cụ TABLE: MODE 7

thì

0 cos x 1 0 m 1

Thay m = -1 thuộc đáp án A vào (*). Phương trình (*) trở thành: cos 2x 3cos x 2 0


Nhập giá trị hàm f x cos 2X 3cos X 2 vào ô f (x) =


Start ? End? Step?

2 2 15

Ta được bảng giá trị gồm hai cột x và f (x).

Ta tìm số nghiệm của phương trình dựa vào tính chất đổi dấu, quan sát cột f(x) xem có bao nhiêu lần đổi

dấu từ âm sang dương và từ dương sang âm, ta thấy không có lần đổi dấu nào, do đó phương trình không

có nghiệm với m = -1. Ta loại đáp án A và D.

Thay m = 1 thuộc đáp án C. Phương trình trở thành: cos 2 x

cosx 0


Nhập giá trị hàm f x cos 2x 3cos x 2 vào ô f (x) =


Start ? End? Step?

2 2 15

Ta được bảng giá trị gồm cột x và f (x).

Ta tìm số nghiệm của phương trình dựa vào tính chất đổi dấu, quan sát cột f (x) xem có bao nhiêu lần đổi

dấu từ âm sang dương và từ dương sang âm, ta thấy không có lần đổi dấu nào, do đó phương trình không

có nghiệm với m = -1. Ta loại đáp án C

→ Chọn B

3. Bài tập tự luyện

Câu Nghiệm dương bé nhất của phương trình:

2

2sin x 5sin x 3 0 là:



3

A. x

B. x

C. x

D.

6

2

2

2

Câu 2 Nghiệm của phương trình sin x sin x 0 thỏa mãn điều kiện 0 x là:

5

x

2

Trang 7


A. x B. x C. x 0

D. x

2

2

Câu 3 Nghiệm của phương trình

2

cos x sin x 1 0 là:





A. x k2 B. x k2 C. x k D. x k2

2

2

2

2

2

Câu 4 Họ nghiệm của phương trình sin 2x 2sin 2x 1 0 là:



A. k B. k

C.


k2 D. k2

4

4

4

4

Câu 5 Tìm m để phương trình

2


2sin x 2m 1sin x m 0 có nghiệm x ;0

2

A. 1 m 0

B. 1 < m < 2 C. -1 < m < 0 D. 0 < m < 1

2

Đáp án

1 – A 2 – A 3 – A 4 – B 5 – C

Dạng 3: Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

1. Phương pháp giải

* Dạng phương trình: asinx + bcosx = c

* Điều kiện để phương trình có nghiệm là

a b c

2 2 2

Bước 1: Kiểm tra điều kiện để phương trình có

nghiệm

2 2 2

Nếu a b c , ta kết luận phương trình vô

nghiệm

Nếu a 2 b 2 c

2 , ta thực hiện bước 2

Bước 2: Chia cả hai vế của phương trình cho

a

Đặt

b

2 2

ta được:

a b c

sin x cos x

a b a b a b

thành:

2 2 2 2 2 2

a

cos

2 2

a b


b

sin

2 2

a b

cos sin x sin cos x

sin x

c


2 2

a

b

, khi đó phương trình trở

a

c

b

2 2

Ví dụ: Tìm họ nghiệm của phương trình

sin x 3 cos x 2

A.

B.

C.

D.

5

x k2 ; x k2

12 12

3

x k2 ; x k2

4 4

2

x k2 ; x k2

3 3


5

x k2 ; x k2

4 4

Hướng dẫn

Phương trình có a = 1; b = 3 ; c = 2

2 2 2

a b 4 c 2

Chia cả hai vế của phương trình cho

2

2 2 2

a b 1 3 0 2

1 3 2

sin x cos x

2 2 2

1


cos

2 3

Đặt

3

sin

2 3

ta được:

, khi đó phương trình trở thành:

Trang 8


Chú ý: Ta có kết quả như sau:

2

cos .sin x sin .cosx

3 3 2


x k2

3 4

sin x sin

3 4 3

x k2

3 4



x k2

12


k


5

x k2

12

→ Chọn A.

2 2 2 2

a b a sin x bcos x a b


, kết quả đó ứng dụng khi ta gặp

các bài toàn về tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số

a sin x bcos x

f x

a sin x bcos x,f x


csin x d cos x

Một vài công thức hay dùng:


sin x cos x 2 sin x 2 cos x

4 4


sin x 3 cos x 2cos x 2sin x

6 3


sin x cos x 2 sin x 2 cos x

4 4


sin x 3 cos x 2cos x 2sin x

6 3


3 sin x cos x 2sin x 2cos x

6 3

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Phương trình nào sau đây vô nghiệm?

A. 2sin x cos x 3

B. 3sin x cos x 1

C. 3 sin 2x cos 2x 2

D. 3sin x 4cos x 5

Hướng dẫn

Điều kiện để phương trình asinx + bcosx = c vô nghiệm là

Đáp án A có a = 2; b = -1; c = 3, ta có: 2

Do đó phương trình 2sinx – cosx = 3 vô nghiệm.

→ Chọn A.

Ví dụ 2: Với giá trị nào của m thì phương trình


3 sin x cos x 2sin x 2cos x

6 3

a b c

2 2 2

a b 2 1 5 3 9 c

2 2 2 2 2



m 1 sin x cos x 5

m 1

A. 3 m 1

B. 0 m 2 C.

D.

m 3

Cách 1: Điều kiện để phương trình có nghiệm là:

Hướng dẫn

a b c

2 2 2

có nghiệm?

2 m 2

Trang 9


Phương trình:



m 1 sin x cos x 5 có a m 1;b 1;c 5

Để phương trình có nghiệm thì:

2 2 2 2 2 m 1 2 m 1


a b c m 1 1 5 m 1 4

m 1 2


m 3

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS

Sử dụng phím SHIFT SOLVE và thay giá trị của m thuộc các khoảng để kiểm tra tính có nghiệm của

phương trình. Đáp án nào ra kết quả là Can’t Solve, tức là giá trị của m làm phương trình vô nghiệm.

Từ đáp án A, ta thay m = 0 vào phương trình ta được sin x cos x 5 . Nhập sin X cos X 5


Ấn SHIFT SOLVE, ta được kết quả là Can’t Solve, tức là với m = 0, phương trình vô nghiệm, ta loại đáp

án chứa m = 0 là đáp án A, B, D.

→ Chọn C

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình

A. m 1;2

B.



msin x m 1 cos x 1

vô nghiệm



m ; 1 0;



m ; 1 0;


C. m 1;0

D.

Cách 1: Điều kiện để phương trình vô nghiệm là

Ta có a = m, b = m + 1, c = 1

Để phương trình vô nghiệm thì:

2

a b c

2 2 2

2 2

m m 1 1 m m 0 1 m 0

Vậy với


m 1;0


Hướng dẫn

a b c

2 2 2

thì phương trình ban đầu vô nghiệm.

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS

Sử dụng phím SHIFT SOLVE và thay giá trị của m thuộc các khoảng để kiểm tra tính có nghiệm của

phương trình.

3

3 3

Từ đáp án A, ta thay m vào phương trình, nhập sin X 1cosX

1

2

2 2

Ấn SHIFT SOLVE, ta được kết quả là một số, tức là với

3

chứa m là đáp án A, B, D.

2

→ Chọn C

Ví dụ 4: Hàm số

a – 6b là:

y 3sin x 4cos x 7

3

m 2

, phương trình có nghiệm, ta loại đáp án

đạt giá trị lớn nhất bằng a và giá trị nhỏ nhất bằng b. Giá trị của

A. 0 B. 10 C. 12 D. 20

Hướng dẫn

Áp dụng kết quả

2 2 2 2

a b a sin x bcos x a b

ta có:

Trang 10


2 2

3 4 3sin x 4cos x 3 4 5 3sin x 4cos x 5

2 2

Ta có

5 7 3sin x 4cos x 7 5 7 2 y 12

Vậy a = max y = 12, b = min y = 2

Do đó a – 6b = 12 – 6.2 = 0

→ Chọn A.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1 Điều kiện để phương trình asin5x + bcos5x = c có nghiệm là:

A. 2 2 2

2 2 2

2 2 2

a b c

B. a b c

C. a b c

D. a b c

Câu 2 Nghiệm của phương trình

sin x 3 cos x 0

là:

2 2 2





A. x k2 B. x k2 C. x k D. x k

6

3

6

3

Câu 3 Số nghiệm của phương trình sinx + cosx = 1 trên khoảng (0; π) là:

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Câu 4 Điều kiện để phương trình msinx + 8cosx = 10 vô nghiệm là:

m 6

A. m > 6 B.

C. m < -6 D. -6 < m < 6

m 6

Câu 5 Điều kiện để phương trình 12sinx + mcosx = 13 có nghiệm là:

m 5

A. m > 5 B.

C. m < -5 D. -5 < m < 5

m 5

Đáp án

1 – C 2 – D 3 – B 4 – D 5 – B

Dạng 4: Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

1. Phương pháp giải

Dạng phương trình:

2 2

a.sin x b.sin x.cos x c.cos x d

Trường hợp 1: Với cosx = 0. Thế vào phương trình

thử nghiệm.

Ví dụ: Họ nghiệm của phương trình

2 2

6sin x 14 3 sin x.cos x 8cos x 6



x k

2

A.

B.


x k

6



x k

8

C.

D.


x k

12

Trường hợp 1: với cosx = 0

trình trở thành:

là:



x k

4



x k

3

3


x k

4


2

x k

3


x k

2

2 2 2

6sin x 6 sin x 1 cos x 0

phương

Trang 11


Trường hợp 2: Với cos x 0 x k2

2

Chia cả hai vế của phương trình cho cos 2 x ta được:

2

sin x sin x d

2

cos x cos x

2

cos x

a. b. c 0


2 2

a.tan x b.tan x c d 1 tan x 0


2

a d .tan x b.tan x c d 0

Đặt t = tanx, đưa phương trình về phương trình bậc

hai ẩn t:

2

a d t bt c d 0

Giải phương trình theo ẩn t, sau đó suy ra nghiệm

của phương trình lượng giác.

Bước 3. Kết luận họ nghiệm của phương trình

Chú ý: Công thức

1

2

tan x 1 x k

2


cos x 2

2. Ví dụ minh họa










cos x 0 x k

2


Trường hợp 2: Với cos x 0 x k

2

Chia cả hai vế của phương trình cho cos 2 x ta được:

2

6 tan x 14 3 tan x 8


6

2

cos x


2 2

6 tan x 14 3 tan x 8 6 1 tan x

14 30 tan x 14 tan x


x k

6

Vậy phương trình có nghiệm là:


x k , x k

2 6

→ Chọn A


1

3


Ví dụ 1: Phương trình

2 2

3cos 4x 5sin 4x 2 2 3 sin 4 x cos 4 x



A. x k ,k

B. x k ,k

6

12 2



C. x k , k D. x k , k

18 3

24 4

Hướng dẫn

Cách 1:

Trường hợp 1: Với

5sin 4x 2 sin 4x

5

2 2 2

có nghiệm là:

k

cos 4x 0 4x k x , thay vào phương trình ta có:

2 8 4

2 2

(mâu thuẫn vì cos x 0 sin x 1 cos x 1)

k

2

Trường hợp 2: Với cos 4x 0 x chia cả hai vế cho cos 4x ta được:

8 4

2 2

2 2

3 5tan 4x 2 3 tan 4x 3 5 tan 4x 2

2

1 tan 4x

2 3 tan 4x

cos 4x

2 3 k

3tan 4x 2 3 tan 4x 1 0 tan 4x 4x k x

3 6 24 4

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS

Bước 1: Thiết lập môi trường radian: SHIFT Mode 4

Trang 12


Bước 2: Nhập biểu thức 3cos4X 2 5sin 4X 2

2 2 3 sin 4Xcos4X

Bước 3: Sử dụng phím CALC (phím gán giá trị) để kiểm tra bốn đáp án:


Đáp án A: Ta thay x vào được kết quả khác 0, loại A.

6


Đáp án B: Ta thay x vào được kết quả khác 0, loại B.

12


Đáp án C: Ta thay x vào được kết quả khác 0, loại C.

18

→ Chọn D.

Ví dụ 2: Cho phương trình

phương trình trên.

3 3

sin x cos x sin x cos x

. Tính tổng các nghiệm dương nhỏ hơn 2π của

5

A. B. π C. 2π D.

2

Cách 1: Trường hợp 1:

Hướng dẫn


cos x 0 x k

, phương trình trở thành:

2


sin x 1

(thỏa mãn). Do đó x k

là một nghiệm của phương trình

2

Trường hợp 2:

cos x 0 . Chia hai vế của phương trình cho cos 2 x ta được:



tan 3 x 1 tan x 1 tan 2 x 1 tan 2 x tan 2 x tan x 2 0

Theo đề bài ta có:


1 3

0 x k 2 k nên k 0;1

2 2 2


3

Với k = 0 ta có: x . Với k = 1 ta có: x .

2

2 2

3

Do đó phương trình có các nghiệm dương nhỏ hơn 2π là ;

2 2

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là

3


2 2

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS

Bước 1: Thiết lập môi trường tính theo độ: SHIFT Mode 3

Bước 2: Sử dụng công cụ TABLE: MODE 7

Vì khoảng xét quá lớn nên ta chia nhỏ thành bốn khoảng xét.

(phương trình vô nghiệm)

Chuyển vế phải sang vế trái. Nhập hàm số f x sin X 3 cosX 3

sin X cosX

Start? 0 = → End? 180 = → Step? 10 =

Ta được bảng giá trị gồm hai cột x và f (x).

Kiểm tra cột f (x), xét các giá trị f (x) = 0, ta được một giá trị x = 90

Bấm AC. Giữ nguyên hàm f (x) .

Start? 180 = → End? 360 = → Step? 10 =


2

Trang 13


Ta được bảng giá trị gồm hai cột x và f (x).

Kiểm tra cột f (x), xét các giá trị f (x) = 0, ta được một giá trị x = 270

Bước 3: Do đó tổng các nghiệm là 90 + 270 = 360

Đổi sang radian ta được 360 2

180

→ Chọn C.


Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sin 2 x 2m 2 sin x cos x 1 m cos 2 x m 1

có nghiệm.

A. m 2 m 2

B. m

C. 2 m 2

D. 2 m 1

Hướng dẫn

Cách 1: Nếu cosx = 0 là nghiệm của (1), thì từ (1) suy ra:

2 m 1

cos x 0


sin x 1



2

2 2

sin x m sin x m x k ,k



Nếu m 1 thì cosx = 0 không là nghiệm của (1), khi đó chia hai vế cho cos 2 x được:


2 2 2

tan x 2m 2 tan x m 1 m 1 tan x m 1 tan x 2 m 1 tan x 2m 1 0

Đặt t = tanx, phương trình (1) có dạng: m 1 t 2 2m 1 t 2m 1 02

Phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi

Vậy với

2 m 1

thì phương trình (1) có nghiệm.

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570 VN PLUS

2



2

0 m m 2 0


2 m 1


m 1 m 1

Sử dụng phím SHIFT SOLVE và thay giá trị của m thuộc các khoảng để kiểm tra tính có nghiệm của

phương trình.

Từ đáp án A, ta thay m = 4 vào phương trình, nhập phương trình:


2 2

sin X 2.4 2 sin X cos X 1 4 cos X 4

Ấn SHIFT SOLVE, ta được kết quả là Can’t solve, tức là với m = 4, phương trình vô nghiệm, ta loại đáp

án A và B.

Từ đáp án C và D, ta thay m = 2 vào phương trình, nhập phương trình:


2 2

sin X 2.2 2 sin X cos X 1 2 cos X 2

Ấn SHIFT SOLVE, ta được kết quả là Can’t solve, tức là với m = 2, phương trình vô nghiệm, do đó ta

loại đáp án có chứa m = 2, tức là đáp án C.

→ Chọn D.

Ví dụ 4: Cho phương trình

phương trình.

3

6sin x 2cos x 5sin 2x cos x . Tìm số nghiệm dương nhỏ hơn 3π của

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Hướng dẫn

3 3 2

6sin x 2cos x 5sin 2x cos x 6sin x 2cos x 10sin

x cos x 1


Trang 14


Trường hợp 1: Với

Trường hợp 2: Với

cos x 0 sin x 1: 1

6 0

(vô lý)

cos x 0 . Chia hai vế của (1) cho cos 3 x được:

3 2

sin x cos x sin x cos x

2

6 2 10 6 tan x

3 3 3

1 tan x

2 10 tan x

cos x cos x cos x

3

3tan x 2 tan x 1 0 tan x 1 x k ,k


Ta có:


1 13

0 k 3 k

4 4 4



Do đó k 1;2;3 nên phương trình có ba nghiệm dương nhỏ hơn 3π.

→ Chọn C

3. Bài tập tự luyện

Câu Một họ nghiệm của phương trình


4

2 2

3sin x 4sin x cos x 5sos x 2



3 A. k2 B. k

C. k

D. k2

4

4

4

4

Câu 2 Phương trình

2 2

cos x 3 sin 2 x 1

sin x có nghiệm là:

1

2

x

k2


x k

A.

2

x k 3


B.

C.

D.

x

k2

1

2

3

x k

x k

3 2

3 3

Đáp án:

1 – B 1 – D

Dạng 5: Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx

1. Phương pháp giải

Dạng phương trình:



a sin x cos x bsin x.cos x c 0

Đặt ẩn phụ t sin x cos x, t 2

2

2 t 1

t 1 2sin x.cos x sin x.cos x

thế vào

2

phương trình ta được phương trình bậc hai đối với

t, giải ra t, sau đó tìm nghiệm của phương trình.

là:

x

k




x k

3

Ví dụ: Tìm họ nghiệm của phương trình

sin x cos x sin x cos x 1 0


A.

x k2

2 k

B.


x

k


C.

x k2

2 k

D.


x

k2

Hướng dẫn

Đặt t sin x cos x, t 2


x k


x

k

4 k



x k2


x

k2

3 k


2

2 t 1

t 1 2sin x.cos x sin x.cos x

Thay vào phương trình ta được:

2

Trang 15


Chú ý:


sin x cos x 2 sin x 2 cos x

4 4


sin x cos x 2 sin x 2 cos x

4 4

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Họ nghiệm của phương trình sin 2 x 4 sin x cos x 4 là.


A.

x k

2 k


B.


x

k


k



2

t 1

2

t 1 0 t 2t 3 0 t 1

2

Với t = 1 thỏa mãn điều kiện, ta có:


x k2

4 4

2 cos

x 1


4

x k2

4 4


x k2

2 ,k


x

k2

→ Chọn C.

k2


x

2 3

k2

x

3

k


x

2 2

C. k

D.

k

x

2

2 k




x k2


x

k2

Hướng dẫn

2 2

Đặt t sin x cos x, t 2; 2



, ta có t 1 2sin x.cos x 2sin x.cos x 1

t

Thay vào phương trình ta được: 1 t 2 4t 4 t 2 4t 3 0 t 1

(thỏa mãn)


1

x k2


4 2

x

k2

Với t = 1 ta có sin x cos x 1 sin x 2 k


→ Chọn D.

Ví dụ 2: Số nghiệm dương nhỏ hơn 7π của phương trình 2 2 sin x cos x 3 sin 2x

A. 2 B. 3 C. 4 D. 1

Hướng dẫn

Đặt 2

t sin x cos x t 2 t sin x cos x sin 2x 1

t

Phương trình trở thành:

2 2



2 2

2 2 3 1 t t 2 2t 2 0 t 2


Với t 2 ta có: 2 sin x 2 sin x 1 x k2

4 4 4 2

3

x k2k


4




(thỏa mãn)


Trang 16


3

4

Nghiệm của phương trình: x k2 , k


Vì 0 < x < 7π nên

3

3 25

0 k2 7 k . Do k nguyên nên

4 8 8

k 0;1;2;3


Do đó có bốn nghiệm dương của phương trình nhỏ hơn 7π

→ Chọn C.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1 Phương trình sin2x – 12 (sinx – cosx) + 12 = 0 có họ nghiệm là:


A. x k , x k2 k


B.

2


k2

2 3

x k2 , x k


k k2

C. x , x k


D.

2 3 3

x k2 , x k2k


Câu 2 Phương trình



2 sin x cos x tan x cot x có họ nghiệm là:


k

k2

A. x k , k


B. x k


C. x k

D.

4

4 2

4 3

Đáp án:

1 – D 2 – D


2

x k2k



4

Phần 3: Bài tập tổng hợp

Câu 1 Cho biết


x k2

3

là họ nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. 2cos x 3 0 B. 2cos x 1 0 C. 2sinx + 1 = 0 D. 2sin x 3 0

Câu 2 Phương trình sin 2 x – 3cosx – 4 = 0 có nghiệm?



A. x k2 B. x k2 C. x k

D. Vô nghiệm

2

6

Câu 3 Với giá trị nào của m thì phương trình 2sinx – m = 0 vô nghiệm?

A. 2 m 2

B. m < - 1 C. m > 1 D. m < -2 hoặc m > 2

Câu 4 Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình (sinx + 2cosx + 3) m = 1 + cosx có nghiệm?

A. 0 B. 2 C. 1 D. 4

Câu 5 Một họ nghiệm của phương trình

2

2 3 cos x 6sin x cos x 3 3

3

A. k2 k

B.


k k C. k k D.

4

4

4

Câu 6 Phương trình cos 2 x + 2cosx – 3 = 0 có nghiệm là


k2k



A. x k2k


B. x = 0 C. x k2k


D. Vô nghiệm

2

Câu 7 Tìm điều kiện để phương trình msinx + 12cosx = -13 vô nghiệm.

m 5

A. m > 5 B.

C. m < -5 D. -5 < m < 5

m

5


4

Trang 17


Câu 8 Phương trình tan 4x tan 2x 0 có bao nhiêu nghiệm dương nhỏ hơn π?

3 6

A. 6 B. 4 C. 3 D. 2

Câu 9 Cho phương trình (m 2 + 2) cos 2 x – 2msin2x + 1 = 0. Để phương trình có nghiệm thì giá trị thích

hợp của tham số m là:

1 1

1 1

A. 1 m 1

B. m

C. m D. m 1

2 2

4 4

Đáp án:

1 – B 2 – D 3 – D 4 – C 5 – B 6 – A 7 – D 8 – A 9 – D

Trang 18


CHƯƠNG 4: TỔ HỢP, XÁC SUẤT

CHUYÊN ĐỀ 1: HAI QUY TẮC ĐẾM, HOÁN VỊ, TỔ HỢP, CHỈNH HỢP

PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Quy tắc cộng 2. Quy tắc nhân

Một công việc nào đó có thể được thực hiện theo

một trong hai phương án A hoặc B. Nếu phương án

A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực

hiện và không trùng với bất kì cách nào trong

phương án A thì công việc đó có m n cách thực

hiện.

Một công việc nào đó có thể bao gồm hai công

đoạn A và B. Nếu công đoạn A có m cách thực

hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện

công đoạn B thì công việc đó có m.n cách thực

hiện.

Mở rộng: Một công việc được hoàn thành bởi một

trong m phương án, trong đó:

• Phương án 1 có n 1 cách thực hiện.

• Phương án 2 có n 2 cách thực hiện.

• …

• Phương án m có n m cách thực hiện.

Khi đó công việc có

hiện.

Chú ý:

n1 n

2

... nm

cách thực

Mở rộng: Một công việc được hoàn thành bởi m

công đoạn liên tiếp, trong đó:

• Công đoạn 1 có n 1 cách thực hiện.

• Công đoạn 2 có n 2 cách thực hiện.

• …

• Công đoạn m có n m cách thực hiện.

Khi đó công việc có n 1 n 2 … n m cách thực hiện.

• Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn bất kì thì n A B n A n B n A B .

• Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn không giao nhau thì n A B n A n B .

• Nếu

A

1,A 2,...,Am

là các tập hợp hữu hạn tùy ý, đôi một không giao nhau thì:


n A A ... A n A n A ... n A

1 2 m 1 2 m

Định nghĩa:

3. Hoán vị 4. Chỉnh hợp 5. Tổ hợp

Một tập hợp gồm n phần tử



n 1 . Mỗi cách sắp xếp n phần

tử này theo một thứ tự nào đó

được gọi là một hoán vị của n

phần tử.

Định nghĩa:

Cho tập hợp A gồm n phần tử.

Mỗi cách sắp xếp k phần tử của

tập hợp A theo một thứ tự nào đó

được gọi là một chỉnh hợp chập k

của n phần tử của tập A.

Định nghĩa:

Số các hoán vị: Số các chỉnh hợp: Số các tổ hợp:

Cho tập hợp A gồm n phần tử.

Mỗi tập con gồm k 1 k n

phần tử của A được gọi là một tổ

hợp chập k của n phần tử.

Trang 1


Số các hoán vị của n phần tử

được kí hiệu là P n

:

n


P n! n n 1 ...2.1

Dấu hiệu phân biệt:


• Lấy ra n phần tử trong n phần

tử.

• Có sự sắp xếp theo thứ tự.

Số các chỉnh hợp chập k của n

phần tử



k

A n

, ta có:

1 k n

A

k

n


Quy ước: 0! 1

0

n


A 1 n 0

n

A P n! .

n

n

Dấu hiệu phân biệt:




n!

n k !

được kí hiệu

• Lấy ra k phần tử trong n phần

tử.

• Có sự sắp xếp theo thứ tự.


Số các tổ hợp chập k của n phần



C n

k

tử 1 k n được kí hiệu là ,

ta có:

C

Tính chất:

0 n

n n

k

n

n!


k! n k !

C C 1 n 0

C C 0 k n

k

n

nk

n



C C C 1 k n

k1 k k

n1 n1 n



Dấu hiệu phân biệt:

• Lấy ra k phần tử trong n phần

tử.

• Không có sự sắp xếp theo thứ

tự.





PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Hai quy tắc đếm cơ bản

1. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Phương Anh có 6 postcard SNSD, 4 postcard TVXQ và 10 postcard EXO. Phương Anh cần

chọn một postcard để tặng bạn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

A. 20 cách. B. 240 cách. C. 30 cách. D. 42 cách.

Hướng dẫn

Trường hợp 1: Phương Anh chọn 1 trong 6 postcard SNSD

Trường hợp 2: Phương Anh chọn 1 trong 4 postcard SNSD

Trường hợp 3: Phương Anh chọn 1 trong 10 postcard SNSD

Theo quy tắc cộng, có tổng cộng

Chọn A.

6 4 10 20 cách chọn




Có 6 cách chọn.

Có 4 cách chọn.

10 cách chọn.

Ví dụ 2: Từ tỉnh A tới tỉnh B có thể đi bằng ô tô, tàu hỏa, tàu thủy hoặc máy bay. Từ tỉnh B tới tỉnh C có

thể đi bằng ô tô hoặc tàu hỏa. Muốn đi từ tỉnh A đến tỉnh C bắt buộc phải đi qua tỉnh B. Số cách đi từ tỉnh

A đến tỉnh C là:

A. 4 cách. B. 2 cách. C. 6 cách. D. 8 cách.

Hướng dẫn

Giai đoạn 1: Để đi từ tỉnh A đến tỉnh B có 4 cách chọn phương tiện di chuyển.

Giai đoạn 2: Để đi từ tỉnh B đến tỉnh C có 2 cách chọn phương tiện di chuyển.

Theo quy tắc nhân có 4.2 8 cách di chuyển từ A đến C.

Chọn D.

Ví dụ 3: Trong một tuần, bạn A dự định mỗi ngày đi thăm một người bạn trong 12 người bạn của mình.

Trang 2


Hỏi bạn A có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn của mình (biết rằng A có thể thăm một bạn

nhiều lần)?

A. 7!. B. 35831808. C. 12!. D. 3991680.

Hướng dẫn

o thứ 2: A có 12 cách chọn 1 trong 12 người bạn để đi thăm.

o thứ 3: A có 12 cách chọn 1 trong 12 người bạn để đi thăm.

o thứ 4: A có 12 cách chọn 1 trong 12 người bạn để đi thăm.

o thứ 5: A có 12 cách chọn 1 trong 12 người bạn để đi thăm.

o thứ 6: A có 12 cách chọn 1 trong 12 người bạn để đi thăm.

o thứ 7: A có 12 cách chọn 1 trong 12 người bạn để đi thăm.

o chủ nhật: A có 12 cách chọn 1 trong 12 người bạn để đi thăm.

Theo quy tắc nhân có

Chọn B.

7

12 35831808

kế hoạch đi thăm bạn.

2. Bài tập tự luyện

Câu 1. Một lớp học có 18 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Nếu muốn chọn một học sinh nam và một

học sinh nữ đi dự một cuộc thi nào đó thì số cách chọn là:

A. 38. B. 18. C. 20. D. 360.

Câu 2. Có bao nhiêu cách xếp 4 người A, B, C, D lên 3 toa tàu? Biết mỗi toa có thể chứa 4 người

A. 81. B. 68. C. 42. D. 98.

Đáp án:

1 – D 2 – A

Dạng 2: Bài toán đếm số

1. Phương pháp giải

Khi lập một số tự nhiên x a ...a , a 0,1, 2,...,9 và a 0, ta cần lưu ý:


1 n

i


1

• x là số chẵn là số chẵn. • x là số lẻ a là số lẻ.

a n

• x chia hết cho 3 a a ... a chia hết cho 3.

1 2 n

• x chia hết cho 4 hai số tận cùng của x chia hết cho 4.

• x chia hết cho 5 a 0;5 .

n

• x chia hết cho 6 x là số chẵn và chia hết cho 3.


• x chia hết cho 8 ba số tận cùng của x chia hết cho 8.

• x chia hết cho 9 a a ... a chia hết cho 9.

• x chia hết cho 11

cho 11.



1 2 n

tổng các chữ số ở hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số ở hàng chẵn là một số chia hết

• x chia hết cho 25 hai chữ số tận cùng là 00, 25, 50, 75.

n

Trang 3


2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tập hợp M có 10 phần tử. Số tập con gồm 2 phần tử của M là:

8

2

2

2

A. A .

B. A .

C. C .

D. 10 .

10

Lấy 2 trong 10 phần tử, có

Chọn C.

2

C 10

10

Hướng dẫn

cách. Vậy số tập con gồm 2 phần tử của M là

Ví dụ 2: Từ 7 chữ số 1,2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau?

10

2

C

10.

A. 804. B. 408. C. 480. D. 840.

Hướng dẫn

Ta chọn 4 số trong 7 chữ số và sắp xếp để lập thành số cỏ 4 chữ số, nên số có 4 chữ số lập được là:

A 840 số.

4

7

Chọn D.

Ví dụ 3: Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số?

A. 5040. B. 9000. C. 720. D. 1440.

Gọi số tự nhiên có bốn chữ số là

Hướng dẫn

abcd , trong đó a 0; a, b,c,d 0;1;2;...;9

1;2;...;9 .

a có 9 cách chọn trong tập b, c, d đều cso 10 cách chọn trong tập 0;1;2;...;9 .

3

Vậy số tự nhiên có bốn chữ số là: 9.10.10.10 9.10 9000 số.

Chọn B.

Ví dụ 4: Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm hai chữ số khác nhau được lập từ tập hợp A 0;1;2;3;4;5


?

A. 5. B. 15. C. 13. D. 22.

Hướng dẫn

Số tự nhiên thỏa mãn có dạng , trong đó: a 1;2;...;9 , b 0;2;4 do số cần lập là số chẵn.

Trường hợp 1: Với

ab


b 0 a 1;2;3;4;5 , lập được 5 số.

Trường hợp 2: Với b 0 b có 2 cách chọn là 2, 4.

Theo quy tắc cộng, có:

Chọn C.

8 5 13


a có 4 cách chọn.

số

Ví dụ 5: Có bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số sao cho chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước?

Gọi

A. 84. B. 60480. C. 84600. D. 75600.

Hướng dẫn

a1a 2a3a 4a5a6

là số có 6 chữ số và a1 a

2

a3 a

4

a5 a

6.

Do đó có 2.4 8 số

Trang 4


Ta có ai

0 nên ai

E 1;2;3;4;5;6;7;8;9 .

6

* Lấy 6 chữ số thuộc E có C 9

cách.

* Mỗi bộ 6 chữ số trên lập được đúng 1 số thỏa yêu cầu bài toán.

Vậy số các số lập được là

Chọn A.

6

C9

84

số.

Ví dụ 6: Tìm số các ước số dương của số 490000?

A. 260. B. 32. C. 25. D. 75.

2 4 4 4 2

B 490000 7 .10 2 .5 .7

Hướng dẫn

Vì các ước số dương của B có dạng m n p


Ta có: m có 5 cách chọn (từ 0 tới 4);

n có 5 cách chọn (từ 0 tới 4);

p có 3 cách chọn (từ 0 tới 2).

Vậy có 5.5.3 75 ước số dương của B.

Chọn D.

Chú ý: Công thức tổng quát tìm ước số dương của một số X:

U 2 .5 .7 m,n,p ; 0 m 4, 0 n 4, 0 p 2 .

Phân tích X về thừa số nguyên tố: Giả sử X A a B b C c D d E

e (A, B, C, D, E là các số nguyên tố, a, b, c, d,

e 0;1;2;...;9

). Tổng tất cả các ước số của X là: a 1b 1c 1d 1e 1 .

Ví dụ 7: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm sáu chữ số khác nhau đôi một trong đó có chữ số 0 nhưng không

có chữ số 1?

Gọi

A. 12000. B. 23300. C. 33600. D. 6720.

Hướng dẫn

a a a a a a là số có sáu chữ số khác nhau cần lập, a a , i j, a 0;1;2;...;9 , a 0.

1 2 3 4 5 6

Xếp số 0 vào một trong năm vị trí từ tới a có 5 cách xếp.


a

2 6

i j i 1

5

Chọn 5 số thuộc tập hợp 2;3;4;5;6;7;8;9 và xếp vào 5 vị trí còn lại có cách.

Vậy ta có

Chọn C.

5

5.A8

33600

số.


Ví dụ 8: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bảy chữ số trong đó chữ số 2 xuất hiện đúng hai lần, chữ số 3 xuất

hiện đúng ba lần và các chữ số còn lại xuất hiện không quá một lần?

A. 12900. B. 23300. C. 11280. D. 13440.

Hướng dẫn

a1a 2a3a 4a5a6a7


Gọi là số có bảy chữ số cần lập a 0;1;2;...;9 , a 0 .

i 1

Ta tìm số các số cần lập bằng cách tìm số các số lập được (bao gồm cả trường hợp số 0 đứng đầu) trừ đi

số các số có số 0 đứng đầu.

Chọn hai vị trí để xếp hai số 2: có

2

C 7

cách;


A 8

Trang 5


Chọn ba vị trí để xếp ba số 3: có

3

C 5

cách;

Chọn hai số (khác 2 và 3) xếp vào hai vị trí còn lại: có

2

A 8

cách;

2 3 2

Có C .C .A 11760

số (tính cả các số có số 0 đứng đầu).

7 5 8

a 1

C 6

2

3

* Khi số 0 đứng ở vị trí : có cách xếp hai số 2; có cách xếp ba số 3; có 8 cách xếp số vào ô còn

lại;

2 3

Có C .C .7 420 số mà chữ số 0 đứng đầu.

6 4

Vậy số các số lập được là 11760 420 11340.

Chọn C.

Ví dụ 9: Tính tổng của tất cả các số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau đôi một được thành lập từ các số

1, 3, 4, 5, 7, 9.

A. 38666280. B. 18666480. C. 3260400. D. 3732960.

Từ 6 chữ số trên ta lập được

5

A6

720

C 4

Hướng dẫn

số có 5 chữ số khác nhau. Ta có:

Số có dạng abcd1: lấy bốn trong năm số còn lại xếp vào năm vị trí, có

A 5

4

Số có dạng abcd3 : có số;

A 5

4

Số có dạng abcd4 : có số;

4

Số có dạng abcd5 : số;

4

Số có dạng abcd7 : số;

A5

a 0; a, b,c,d 0;1;2;...;9

A 5

A 5

4

Số có dạng abcd9 : số;

4

A 5

số. Tương tự:

4

Tổng các chữ số ở hàng đơn vị của 720 số trên là : 1 3 4 5 7 9 A 3480

Tương tự ta cũng có:


4

Tổng các chữ số hàng chục của 720 số trên là: 1 3 4 5 7 9 A 3480 .


4

Tổng các chữ số hàng trăm của 720 số trên là: 1 3 4 5 7 9 A 3480 .


4

Tổng các chữ số hàng ngàn của 720 số trên là: 1 3 4 5 7 9 A 3480 .


4

Tổng các chữ số hàng chục ngàn của 720 số trên là: 1 3 4 5 7 9 A 3480 .

2 3 4

Vậy tổng của 720 số lập được là

Chọn A.

S 3480 110 10 10 10 38666280.

5

5

5

5

5

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số?

A. 899. B. 900. C. 901. D. 999

Câu 2. Có bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5?

4

A. P

4. B. P

5.

C. D.

A 5

4

C 5

Trang 6


Câu 3. Cho các chữ số 0, 1, 4, 6, 8, 9. Số các số tự nhiên chẵn có bốn chữ số khác nhau lập thành từ các

chữ số trên là:

A. 240. B. 204. C. 402. D. 420.

Câu 4. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau đôi một, trong đó nhất thiết phải có mặt hai

chữ số 1 và 3?

A. 6216. B. 2688. C. 6598. D. 8123.

Đáp án:

1 – B 2 – C 3 – B 4 – A

Dạng 3: Sắp xếp vị trí, phân công công việc

1. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong một tuần bạn A dự định mỗi ngày đi thăm một người bạn trong 12 người bạn của mình.

Hỏi bạn A có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn của mình (thăm một bạn không quá một lần)?

A. 3991680. B. 12!. C. 35831808. D. 7!.

Hướng dẫn

Chọn 7 người trong 12 người xếp vào 7 ngày để lên kế hoạch, có

Chọn A.

7

A12

3991680

Ví dụ 2: Một hộp có 14 quả đỏ, 12 quả vàng, 9 quả xanh. Số cách lấy ra 4 quả sao cho 4 quả lấy ra có đủ

ba màu là:

cách.

A. 24912. B. 24192. C. 29412. D. 29124.

Hướng dẫn

Trường hợp 1: Lấy 1 quả đỏ, 1 quả vàng và 2 quả xanh có:

Trường hợp 2: Lấy 1 quả đỏ, 2 quả vàng và 1 quả xanh có:

Trường hợp 3: Lấy 2 quả đỏ, 1 quả vàng và 1 quả xanh có:

Vậy số cách lấy ra 4 quả đủ ba màu là:

Chọn B.

6048 8316 9828 24192

1 1 2

C

14.C 12.C9

6048

1 2 1

C

14.C 12.C9

8316

2 1 1

C

14.C 12.C9

9828

Ví dụ 3: Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân

công đội thanh niên tình nguyện đó về ba tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ?

cách.

cách.

cách.

cách.

A. 2037131. B. 3912363. C. 207900. D. 213930.

Hướng dẫn

Chọn 4 nam trong 12 nam và 1 nữ trong 3 nữ phân công về tỉnh 1, có

4 1

C

12.C3

Chọn 4 nam trong 8 nam và 1 nữ trong 2 nữ còn lại phân công về tỉnh 2, có

Chọn 4 nam trong 4 nam và 1 nữ trong 1 nữ còn lại phân công về tỉnh 3, có

cách.

4 1

C

8.C

2

4 1

C

4.C1

4 1 4 1

Vậy số cách phân công thỏa mãn yêu cầu bài toán là: C .C . C .C . C .C 207900.

Chọn C.

12 3

8 2

4 1

4 1

cách.

cách.

Trang 7


Ví dụ 4: Có một hộp đựng 5 viên bi xanh, 6 viên bi đỏ và 4 viên bi vàng, có bao nhiêu cách lấy ra 9 viên

bi có đủ ba màu?

A. 4560. B. 1240. C. 4939. D. 5005.

Lấy ra 9 viên bi trong 15 viên bi bất kỳ, có

9

C 15

Hướng dẫn

cách.

Ta tìm số cách lấy ra 9 viên bi không có đủ 3 màu:

Trường hợp 1: lấy 9 viên bi chỉ có 2 màu là xanh và đỏ, có

Trường hợp 2: lấy 9 viên bi chỉ có 2 màu là xanh và vàng, có

Trường hợp 3: lấy ra 9 viên bi chỉ có màu đỏ và vàng, có

Vậy có :

Chọn C.


C C C C 4939

9 9 9 9

15 11 9 10


cách.

9

C 11

9

C 10

9

C 9

cách.

cách.

cách

2. Bài tập tự luyện

Câu 1. Một liên đoàn bóng đá có 10 đội, mỗi đội phải đá 4 trận với mỗi đội khác, 2 trận ở sân nhà và 2

trận ở sân khách, số trận đấu được sắp xếp là:

A. 180. B. 160. C. 90. D. 45.

Câu 2. Có hai hộp đựng bóng. Hộp thứ nhất chứa 3 quả màu đỏ và 2 quả màu xanh. Hộp thứ hai chứa 4

quả màu đỏ và 6 quả màu xanh. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả bóng mà có cả hai màu?

A. 364. B. 349. C. 934. D. 943.

Câu 3. Có 12 học sinh giỏi gồm 3 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao

nhiêu cách chọn ra 6 học sinh trong số học sinh giỏi đó sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh?

A. 85. B. 58. C. 508. D. 805.

Câu 4. Đội học sinh giỏi cấp trường môn Toán của trường THPT Thanh Oai B theo từng khối như sau:

khối 10 có 5 học sinh, khối 11 có 5 học sinh và khối 12 có 5 học sinh. Nhà trường cần chọn một đội tuyển

gồm 10 học sinh tham gia thi học sinh giỏi. Tính số cách lập đội tuyển sao cho có học sinh cả ba khối và

có nhiều nhất 2 học sinh khối 10.

A. 50. B. 500. C. 502. D. 501.

Đáp án:

1 – A 2 – A 3 – D 4 – B

Dạng 4: Bài toán sắp xếp vị trí theo hàng

1. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Có bao nhiêu cách xếp khác nhau cho 5 người ngồi vào một bàn dài?

A. 120. B. 5. C. 20. D. 25.

Hướng dẫn

Trang 8


Số cách sắp xếp khác nhau cho 5 người ngồi vào một bàn dài là một hoán vị của 5 phần tử nên có

5! 120

cách.

Chọn A.

Ví dụ 2: Một nhóm học sinh có 7 bạn nam và 3 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 bạn này trên một

hàng ngang biết hai vị trí đầu và cuối hàng là các bạn nam và không có 2 bạn nữ nào ngồi cạnh nhau?

A. 344000. B. 100800. C. 604800. D. 120120.

Hướng dẫn

Bước 1: Xếp 7 bạn nam thành một hàng ngang, có 7! cách xếp.

Bước 2: Xem các bạn nam là những vách ngăn, giữa 7 bạn nam có sáu vị trí để xếp 3 bạn nữ. Chọn 3 vị

trí trong sáu vị trí để xếp 3 bạn nữ có

Theo quy tắc nhân có:

Chọn C.

3

7!.A

6

604800

3

A 6

cách.

cách.

Ví dụ 3: Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6

học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp biết bất cứ 2 học

sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường với nhau?

A. 1036800. B. 1202540. C. 136000. D. 518400.

Hướng dẫn

Giai đoạn 1: Xếp chỗ ngồi cho hai nhóm học sinh, có 2 cách xếp:

A B A B A B B A B A B A

B A B A B A A B A B A B

Giai đoạn 2: Trong nhóm học sinh của trường A, có 6! cách xếp các học sinh vào 6 chỗ. Tương tự, có 6!

cách xếp 6 học sinh trường B vào 6 chỗ.

Vậy có

Chọn A.

2.6!.6! 1036800

cách

Ví dụ 4: Có 10 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách để sắp xếp 10 học sinh này ngồi vào một bàn tròn 10

ghế?

A. 10!. B. 9!. C. 2.10!. D. 2.9!.

Hướng dẫn

Với một bàn tròn, người ta không phân biệt vị trí chỗ ngồi, tức là các kết quả có được do đổi chỗ vòng

tròn sẽ không coi là khác nhau. Do đó để làm bài toán “bàn tròn”, ta thường cố định một người ngồi ở vị

trí đầu tiên.

Lấy cố định người đầu tiên vào bàn tròn, còn 9 người để sắp xếp vào 9 vị trí còn lại.

Do đó ta có 9! cách sắp xếp 10 người vào một bàn tròn.

Chọn B.

Ví dụ 5: Có 4 bạn nữ và 4 bạn nam cùng ngồi quanh một bàn tròn có 8 chỗ ngồi. Số cách sắp xếp các bạn

nam và nữ ngồi xen kẽ nhau là:

A. 142. B. 143. C. 144. D. 145.

Hướng dẫn

Trang 9


Cố định 1 bạn nam vào vị trí đầu tiên, xếp 3 bạn nam ngồi vào bàn tròn có 3! cách.

Giữa các bạn nam tạo ra 4 khoảng trống, xếp 4 bạn nữ vào 4 chỗ trống có 4! cách.

Do đó có

Chọn C.

3!.4! 144

cách xếp.

2. Bài tập tự luyện

Câu 1. Số cách sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có 10 chỗ ngồi là:

A. 6!4!. B. 10!. C. 6! 4!.

D. 6! 4!.

Câu 2. Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi, số cách

sắp xếp sao cho bạn Chi luôn ngồi chính giữa là:

A. 24. B. 120. C. 60. D. 16.

Câu 3. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 6 cặp vợ chồng ngồi xung quanh một chiếc bàn tròn, sao cho nam và

nữ ngồi xen kẽ nhau?

A. 3600. B. 720. C. 68400. D. 86400.

Câu 4. Có 7 nam, 5 nữ xếp thành một hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho hai vị trí đầu và

cuối là nam và không có 2 nữ nào đứng cạnh nhau?

A. 118540800. B. 152409600. C. 12700800. D. 3628800.

Đáp án:

1 – B 2 – A 3 – D 4 – D

Dạng 5: Các bài toán liên quan đến hình học

1. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng song song d 1 ,d 2 . Trên đường thẳng d 1 lấy 10 điểm phân biệt, trên d 2 lấy 15

điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được chọn từ 25 điểm vừa nói trên?

A. 675. B. 1050. C. 1725. D. 708750.

Hướng dẫn

Trường hợp 1: Tam giác gồm hai đỉnh thuộc d 1 và một đỉnh thuộc d 2 .

2

Số cách chọn bộ hai điểm trong 10 điểm thuộc d 1 là: C 10

.

1

Số cách chọn một điểm trong 15 điểm thuộc d 2 là: C 15

.

C 10

C 15

2 1

Theo quy tắc nhân, có: . tam giác.

Trường hợp 2: Tam giác gồm một đỉnh thuộc d 1 và hai đỉnh thuộc d 2

1

Số cách chọn một điểm trong 10 điểm thuộc d 1 là: C 10

.

2

Số cách chọn bộ hai điểm trong 15 điểm thuộc d 2 là: C 15

.

C 10

C 15

1 2

Theo quy tắc nhân, có . tam giác.

Vậy có

Chọn C.

C C C C 1725

2 1 1 2

10 15 10 15

tam giác thỏa yêu cầu bài toán.

Trang 10


Ví dụ 2: Trong mặt phẳng, cho 6 điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi lập được

bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập hợp điểm đã cho?

A. 15. B. 20. C. 60. D. 120.

Hướng dẫn

Cứ 3 điểm phân biệt không thẳng hàng tạo thành một tam giác.

Lấy 3 điểm bất kỳ trong 6 điểm

Chọn B.

3

C6

20

tam giác được tạo thành.

Ví dụ 3: Cho đa giác đều 12 cạnh. Hỏi đa giác có bao nhiêu đường chéo?

A. 121. B. 66. C. 132. D. 54.

Hướng dẫn

Cứ 2 đỉnh của đa giác sẽ tạo thành một đoạn thẳng. Khi đó có

giác và đường chéo).

Vậy số đường chéo là: 66 12 54.

Chọn D.

2

C12

66

đoạn thẳng (bao gồm cả cạnh đa

Ví dụ 4: Một đa giác đều có số đường chéo gấp đôi số cạnh. Hỏi đa giác đều đó có bao nhiêu cạnh?

A. 5. B. 6. C. 7. D. 8.



Hướng dẫn

2

Đa giác có n cạnh n , n 3 . Lấy 2 cạnh bất kì tạo thành 1 đoạn thẳng, khi đó có đoạn thẳng

(bao gồm cả cạnh đa giác và đường chéo).

Số đường chéo trong đa giác là:

Ta có:

Chọn C.

2

Cn

n.

2

n!

n 7

Cn

n 2n 3n n n 1

6n n 7.

n 2 !.2!


n 0

C n

2. Bài tập tự luyện

Câu 1. 12 đường thẳng có nhiều nhất bao nhiêu giao điểm?

A. 12. B. 66. C. 132. D. 144.

Câu 2. Trong mặt phẳng cho 2010 điểm phân biệt sao cho ba điểm bất kì không thẳng hàng. Hỏi có bao

nhiêu véctơ (khác véctơ không) có điểm đầu và điểm cuối thuộc 2010 điểm đã cho?

A. 4039137. B. 4038090. C. 4167114. D. 167541284.

Câu 3. Số tam giác xác định bởi các đỉnh của một đa giác đều 10 cạnh là:

A. 35. B. 120. C. 240. D. 720.

Câu 4. Cho hai đường thẳng d 1 và d 2 song song với nhau. Trên d 1 có 10 điểm phân biệt, trên d 2 có n điểm



phân biệt n 2 . Biết có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm nói trên. Tìm n.

A. 20. B. 21. C. 30. D. 32.

Đáp án:

Trang 11


1 – B 2 – B 3 – B 4 – A

Dạng 6: Phương trình, bất phương trình hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

1. Ví dụ minh họa

2 2

Ví dụ 1: Có bao nhiêu số tự nhiên x thỏa mãn: 3A A 42 0.

A. 0. B. 1. C. 2. D. 6.

Điều kiện:

x 2 và x .

x

2x

Hướng dẫn

2 2

x! 2x !

Ta có 3A x

A 2x

42 0 3. 42 0

x 2 ! 2x 2 !




x 7

lo¹i

2

3. x 1 .x 2x 1 .2x 42 0 x x 42 0

x 6 tháa m·n





Do đó có 1 số tự nhiên x thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chọn B.

Ví dụ 2: Tìm tổng các giá trị

n

thỏa mãn



C 3C C .

1 2 3

n1 n2 n1

A. 12. B. 10. C. 16. D. 10.

Điều kiện:

Ta có

n 2 và n .

Hướng dẫn

n 1 ! n 2 ! n 1 !


1 2 3

Cn 1

3Cn 2 Cn

1

3.

1!.n! 2!.n! 3!. n 2 !


n 1 . n 2 n 1 .n. n 1 n 2 n 1 .n

n 1 3. 1 3.

2 6 2 6

n 2

lo¹i

2 2

6 9n 18 n n n 10n 24 0

n 12

tháa m·n

Do đó tổng các giá trị n thỏa mãn đẳng thức là 12.

Chọn A.

Ví dụ 3: Giải bất phương trình

C 1 .

A

n3

n1


4

n1 14P3

A. n 6.

B. 3 n 9.

C. n 11.

D. 3 n 5.

Điều kiện: n 3, n .









n 1 !



Hướng dẫn



n3

Cn 1

1 n 3 !2! n 1 !


1 1 1 1


4

A n 1 !

n 1

14P

3

14.3! 2 n 1 ! 84 2n n 1 84

n 3 !





Trang 12


2 n 6


n n 1 42 n n 42 0

n 7

Kết hợp với điều kiện ta được n 6.

Chọn A.

2. Bài tập tự luyện

Câu 1. Tính tổng S của tất cả các giá trị của x thỏa mãn P .x P .x 8.

2

2 3

A. S 4.

B. S 1.

C. S 4.

D. S 3.

Câu 2. Cho đẳng thức

A A 9A

10 9 8

x x x

. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. x là số chính phương. B. x là số nguyên tố.

C. x là số chẵn. D. x là số chia hết cho 3.

3 2

Câu 3. Có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn A 5A

2 n 15

?

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

x x2 x1

Câu 4. Tính tích P của tất cả các giá trị x thỏa mãn C C 2C .

n

n



14 14 14

A. P 4.

B. P 32.

C. P 32.

D. P 12.

Đáp án:

1 – D 2 – B 3 – B 4 – B

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP

Câu 1. Một đội văn nghệ gồm 20 người, trong đó có 10 nam và 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5

người, sao cho có đúng 2 nam trong 5 người đó?

A. 1203. B. 3600. C. 5400. D. 4768.

Câu 2. Một bài thi trắc nghiệm khách quan gồm 10 câu, mỗi câu có 4 phương án trả lời. Hỏi bài thi đó có

bao nhiêu phương án trả lời?

10

A. 400. B. 4 .

C. 100. D.

Câu 3. Có hai dãy ghế, mỗl dãy 5 ghế. xếp 5 nam, 5 nữ vào hai dãy ghế trên. Có bao nhiêu cách nếu nam

và nữ được xếp tùy ý?

4

10 .

A. 340980. B. 3628800. C. 120. D. 210.

Câu 4. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau?

A. 27216. B. 72216. C. 22716. D. 62721.

Câu 5. Một đội văn nghệ gồm 20 người, trong đó có 10 nam, 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5

người, sao cho có ít nhất hai nam, ít nhất một nữ?

A. 10800. B. 7500. C. 12900. D. 47010.

Câu 6. Xếp 6 học sinh A, B, C, D, E, F vào một ghế dài. Có bao nhiêu cách sắp xếp nếu A và F luôn ngồi

ở hai đầu ghế?

A. 36. B. 24. C. 96. D. 48.

Trang 13


Câu 7. Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn 5 học sinh

lập thành một đoàn đại biểu để tham gia tổ chức lễ khai giảng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 học

sinh, trong đó có không quá 3 nữ?

A. 378000. B. 567750. C. 620880. D. 567750.

Câu 8. Cho các số 1,2,4,5,7. Có bao nhiêu cách tạo ra một số chẵn gồm 3 chữ số khác nhau từ năm chữ

số đã cho?

A. 120. B. 256. C. 24. D. 36.

Câu 9. Từ các chữ số 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau và chia hết cho

25?

A. 36. B. 60. C. 52. D. 38.

Câu 10. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau từ tập hợp

đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 chữ số sau 1 đơn vị?

A. 104. B. 106. C. 108. D. 112.

Câu 11. Nếu một đa giác đều có 44 đường chéo, thì số cạnh của đa giác là:

A. 11. B. 10. C. 9. D. 8.

1 1 7

Câu 12. Tính tổng S của tất cả các giá trị của n thỏa mãn

1 2 1

C C 6C

n n1 n4

.


A 1;2;3;4;5;6

A. S 8.

B. S 11.

C. S 12.

D. S 15.

Câu 13. Giải hệ phương trình





y y

2Ax

5Cx

90

y y .

5Ax

2Cx

80

x 5 x 20 x 2

A. .

B. .

C. .

D.

y 2

y 10

y 5

x 6

.

y 3


, trong

Đáp án:

1 – C 2 – B 3 – B 4 – A 5 – C 6 – D 7 – C 8 – C 9 – C 10 – C

11 – A 12 – B 13 – A

Trang 14


CHƯƠNG 4: TỔ HỢP XÁC SUẤT

CHUYÊN ĐỀ 2: NHỊ THỨC NIU-TƠN

PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Công thức nhị thức Niu-tơn



n

n

k n k k 0 n 1 n 1 k n k k n



n n n n n

n

k0

a b C a b C a C a b ... C a b ... C b

2. Tính chất

Số các số hạng của khai triển bằng n 1.

Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n. Số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng

dần từ 0 đến n.

Số hạng tổng quát thứ k 1 có dạng: T C a b , 1 k n .

k nk k



k1

n

k n k

Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau: C C .

n

n

3. Một số công thức khai triển hay sử dụng

n


n

n

k n n 1 0

n


n


n


n

k0

2 1 1 C C C ... C

n

n k k 0 1 n n


n n n n

k0


0 11 1 C C C ... 1 C



n

n

k n k 0 n 1 n1 n

n n n n

0

k0

1 x C x C x C x ... C x

n

n

n k k 0 0 1 1 n n


n n n n

n

k0



1 x 1 C x C x C x ... 1 C x

n

n

k k n k 0 n 1 n 1 n n


n n n n

0

k0





x 1 1 C x C x C x ... 1 C x

4. Tam giác Pascal

Trong công thức nhị thức Niu-tơn, cho

Pa-xcan.

n 0;1;...

và sắp xếp các hệ số thành dòng, ta nhận được tam giác

n 1

0

C 1

1

C 1

n 2

0

C 2

1

C 2

2

C 2

n 3

0

C 3

1

C

3 +

2

C 3

3

C 3

n 4

0

C 4

1 3

C4

2 C

C 4

4

4

C 4

n 5

0

C 5

1

C 5

2

C 5

3

C 5

4

C 5

5

C 5

n 6

0

C 6

1

C 6

2

C 6

3

C 6

4

C 6

5

C 6

6

C 6

Trang 1


PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Khai triển nhị thức Niu-tơn

1. Phương pháp giải

n

n

k n k k 0 n 1 n 1 k n k k n

n n n n n

n

k0

Khai triển nhị thức Niu-tơn: a b

C a b C a C a b ... C a b ... C b

Số các số hạng của khai triển bằng n 1.

Số hạng tổng quát thứ

k 1

có dạng:

T C a b

k1

k nk k

n

k nk k

• Nếu n chẵn, số hạng chính giữa trong khai triển a b là C a b với


n

n

n

k

2

k1 nk1 k1 k2 nk2 k2

• Nếu n lẻ, hai số hạng chính giữa trong khai triển a b là C a b ,C a b với

k

n 1 , k

n


1

2 2

1 2


n

n

n

2. Ví dụ minh họa

5

Ví dụ 1: Biểu thức nào là khai triển của biểu thức x 2y ?

A.

B.

C.

D.

5 4 3 2 2 3 4 5

x 10x y 40x y 80x y 80xy 32y .

5 4 3 2 2 3 4 5

x 10x y 40x y 90x y 80xy 12y 4.

5 4 3 2 2 3 4 5

x 10x y 40x y 90x y 80xy 10y .

5 4 3 2 2 3 4 5

x 10x y 40x y 90x y 80xy 10y .

Cách 1:

Hướng dẫn

5

5 k 2 3 4 5


k 5 k 0 5 1 4 2 3 3 2 4 5

x 2y C x

2y C x C x . 2y C x . 2y C x . 2y C x. 2y C 2y

k0

5 5 5 5 5 5 5


5 4 3 2 2 3 4 5

x 10x y 40x y 80x y 80xy 32y .

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO Fx 570 VNPLUS

Bước 1: Khai triển


Bước 2: Sử dụng MODE 7.

5X

Nhập f X 5CX

2

5 5

5 k 5 k k

k k 5k k

5 5

k0 k0

x 2y C x 2y C .2 .x .y

Start? 0 End? 5 Step? 1

Bước 3: Nhìn vào cột F(X), cột F(X) chính là các hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn

x

F(X)

0 1

1 10

Trang 2


2 40

3 80

4 80

5 32

Chọn A.

n6


Ví dụ 2: Trong khai triển nhị thức x 3 , n có tất cả 18 số hạng. Tìm n.

A. 17. B. 11. C. 10. D. 12.

n6


Hướng dẫn

Khai triển x 3 , n có tất cả n 6 1 n 7 số hạng.

Do đó n 7 18 n 11.

Chọn B.

Ví dụ 3: Trong khai triển

0,2 0,8 5

, số hạng thứ ba là:

A. 0,0064. B. 0,4096. C. 0,0512. D. 0,2048.

5

5 5 k k

k

Khai triển 0,2 0,8 C 0,2 . 0,8


k0

5

Hướng dẫn



5 k k

k

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là C 0,2 . 0,8 .

Vậy số hạng thứ ba ứng với

Chọn C.

Ví dụ 4: Trong khai triển,

5

2 3 2

k 2 là C 0, 2 . 0,8

0,0512.

10

5

3x 2 y , hệ số của số hạng chính giữa là bao nhiêu?

4 4

4 4

5 5

A. 3 .C .

B. 3 .C .

C. 3 .C .

D.

10

10

Hướng dẫn

10

10

10 k

10

2 k 2 k k 10 k k 303k k



Khai triển x 10 x 10


3 y C 3 y C .3 . 1 x .y .

k0 k0

k 10k

Hệ số của số hạng tổng quát trong khai triển trên là C .3 . 1 k


n 10

chẵn nên số hạng chính giữa ứng với

10

10

n 10

k 5.

2 2

Vậy hệ số của số hạng chính giữa trong khai triển là:

5

Chọn D.

C .3 . 1 3 .C .

Ví dụ 5: Tìm số hạng là số nguyên trong khai triển 3 3

2 ?

5 5 5 5

10 10

9

5 5

3 .C

10.

A. 1203. B. 3600. C. 4768. D. 4544.

Hướng dẫn

Trang 3


1

9k

1

k

9 9 9 9 k k

9 9 k k


3 k 3 k


2 3 k 2 3

9 9 9

k0 k0 k0


Cách 1: Khai triển

Để có số hạng chứa số nguyên thì


k3


0 k 9

nên

3 2 C 3 2 C 3 2 C 3 2




k 0;3;6;9 .



9 k 2


k3



0 k 9

k 0 3 6 9

9 – k 9 6 3 0


Loại vì


9 k 2

Vậy số hạng nguyên trong khai triển là

3 3 9 3

9 9

Thỏa mãn

C 3 2 C 2 4544.

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO Fx 570 VNPLUS

9

k

Bước 1: Khai triển 3

3 2 C 3

9

3

2

Bước 2: Sử dụng MODE 7.

9 9 k k

k0



9 X X


Loại vì


9 k 2

3

Nhập f X 9CX

3 2 Start? 0 End? 9 Step? 1

Thỏa mãn

Bước 3: Nhìn vào cột F(X) là các hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn, nhìn xem có hệ số nào là hệ số

nguyên.

Tại x 3 ta thấy f X 4536 .

Tại


x 9 ta thấy f X

8.

Vậy số hạng nguyên trong khai triển là 4536 8 4544.

Chọn D.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Số hạng tử trong khai triển

2x 1 15

A. 14. B. 15. C. 16. D. 17.


Câu 2. Trong khai triển a




b

2 1

7

là:

, số hạng thứ năm là:

6 4

6 4

4 5

4

A. 35.a .b .

B. 35.a .b . C. 35.a .b .

D. 35.a .b.

Câu 3. Trong khai triển

1

30 20

với số mũ tăng dần, hệ số của số hạng đứng chính giữa là:

9 9

12 12

11 11

A. 3 C .

B. 3 C .

C. 3 C .

D.

20

Câu 4. Tìm số hạng là số nguyên trong khai triển 3 15 6

.

20

20

10 10

3 C

20.

Trang 4


A. 1020. B. 7500. C. 15552. D. 4700.

Đáp án:

1 – C 2 – A 3 – D 4 – C

Dạng 2: Xác định hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn

1. Phương pháp giải

n


n

n n k k

n

p q k p q k nk k nppkqk

n

k0 k0

ax bx C ax bx C a b x

m

Số hạng chứa x ứng với giá trị k thỏa mãn: np pk qk m. Từ đó

.

m np

k p q .

p q


m k nk k

Vậy hệ số của số hạng chứa x là: C a .b với giá trị k đã tìm được ở trên.

n

m

Nếu k không nguyên hoặc k n thì trong khai triển không chứa x , hệ số phải tìm bằng 0.

Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niu-tơn. Ta làm như sau:

* Tính hệ số a k

theo k và n;

* Giải bất phương trình a a với ẩn số k;

k1

k

* Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thỏa mãn bất phương trình trên.

Các công thức mũ thường sử dụng:

a .a


mn

a a 0

b 0

m n m n

a

a

m

n

a

a

m

m

n

n m n

m.n

a

a a a

m

n


a 0


a


b

m

1


n

a

a

b

m

m


n

a a 0


m m m

ab a b

a. b ab

n n n


a,b 0


2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm hệ số của

101 99

x y trong khai triển 2x 3y 200

.

99

99

99

C 102 2 101

3 99

98 101

A. C 2 3 B. C 99 2 101 3 C. C 100 2 101 3 D.

200

200

Hướng dẫn

200 200

200 k 200k k k 200k k 200k k

200 200

k0 k0

200

Ta có x x

x


2 3y 2 3y C 2 3y C 2 3 x y .

101 99 200 k 101

Để có hệ số của x y thì

k 99 (thỏa mãn)

k 99

Vậy hệ số của

Chọn B.

101 99

x y là C 99 2 101

3 99

200

200

200

Trang 5


Ví dụ 2: Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển x .

x

C 15

C 15

2 1

8

1

5

A. B. C. D.

Hướng dẫn

15 k

2 1 k 2 1

k 302k k k 303k

15 15 15

x k0 x k0 k0

15 15 15

15k


Ta có

x C x C x .x C x .


Để có số hạng không chứa x thì 30 3k 0 k 10.

Vậy hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển là

Chọn C.

C 15

C C .

10 5

15 15

2

3

Ví dụ 3: Trong khai triển x x 0 ,

hệ số của x là:

x

6

A. 60. B. 80. C. 160. D. 240.

Hướng dẫn

6 k 1

k

3k

6

2 2

6 6 6

2 k 6k

2

k k 6k

k k

Khai triển x C 6. x . C 6.2 .x . x C 6.2 .x

x k0 x k0 k0

15

11

C 15

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là

Hệ số của

3

x

nên

Khi đó hệ số của

Chọn D.

3k

6 3 k 4.

2

3

x

là:

4 4

C

6.2 240.

k k

6

3k

2

6

C .2 .x

n

1

Ví dụ 4: Trong khai triển x x 0 ,

hệ số số hạng thứ ba lớn hơn hệ số số hạng hai là 35. Tính số

x

hạng không chứa x.

A. 252. B. 720. C. 124. D. 210.

n

n

n

1 k nk 1

k n2k

Khai triển x Cnx Cnx

.

x k0 x k0

k n 2k

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là C x .

Hệ số của số hạng thứ hai là

1

C

n.

k

n

Hướng dẫn

Hệ số của số hạng thứ ba là

2

C

n.

2 1 2

n 10

(chän)

Từ giả thiết suy ra Cn

Cn

35 n 3n 70 0 .

n 7

(lo¹i)

k 10 2k

Với n 10,

số hạng C x không phụ thuộc x khi 10 2k 0 k 5.

10

Vậy số hạng ấy là

Chọn A.

5

C10

252.

Trang 6


Ví dụ 5: Cho đa thức


6 7 8 10 10 9

10 9 0

P x 1 x 1 x 1 x ... 1 x a x a x ... a .

Tính hệ số

a 8

A. 60. B. 16. C. 42. D. 55.

n

n k k

Khai triển 1

x

Cnx

a 8

k0

Hướng dẫn

8

Vì là hệ số của số hạng chứa , hệ số của trong khai triển 1

x là

8

Hệ số của trong 1

x là

x 8

8

Hệ số của trong 1

x là

x 9

8

Hệ số của trong 1

x là

Vậy

x 10

a C C C 55.

8 8 8

8 8 9 10

Chọn D.

8

C

8.

8

C

9.

x

8

8

C

10.

a n

5 10

5

2

Ví dụ 6: Tìm hệ số của trong khai triển: P x 1 3x

x 1

2x

.

x

A. 1200. B. 1365. C. 1480. D. 405.

Hướng dẫn

5 10

5 10 k m

2 k 2 m

Ta có P x 1 3x x 1 2x x C 3x x C 2x

Để có hệ số của

Vậy hệ số của

Chọn B.


5 10

k k k1 m m m2

C5 3 x C10

2

x

k0 m0


5

x

thì

Ví dụ 7: Cho đa thức

k 1 5 k 4

.

m 2 5 m 3

5

4 4 3

x là

3

5 5 10


5 10

k0 m0

a C 3 C 2 1365.

12

P x 1 2x

8

C

n.

. Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niu-tơn.

A. 126720. B. 421785. C. 112640. D. 101376.

Cách 1: x x

Hướng dẫn

12 12

12 k k

k k k 2 12

12 12 0 1 2 12

k0 k0

P x 1 2 C 2 C 2 x a a x a x ... a x

Hệ số của số hạng tổng quát

k k

a

k

C12

2 .

Ta có

a a C .2 C .2 .

k k k1 k1

k k1 12 12

12! 12! 1 2 23

.2 k

k! 12 k ! k 1 ! 11 k ! 12 k k 1 3


Tức là với mọi k 8, ta có a hay a a a a a .


k

a

k 1 8


9


10


11


12

Trang 7


Tương tự, ta có

a a C .2 C .2

k k k1 k1

k k1 12 12

12! 12! 1 2 23

.2 k

k! 12 k ! k 1 ! 11 k ! 12 k k 1 3


Tức là với mọi k 7, ta có a hay a a a a a a a a a .


k

a

k 1 0


1


2


3


4


5


6


7


8

Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển là:

a C .2 126720

8 8

8 12

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO Fx 570 VNPLUS

12 12

12 k k

k k k

12 12

k0 k0

Bước 1: Khai triển x

Bước 2: Sử dụng MODE 7.


X

1 2 C 2x C 2 x

Nhập f X 12CX

2 Start? 0 End? 12 Step? 1

Bước 3: Nhìn vào cột F(X), cột F(X) chính là các hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn, nhìn xem có hệ

số nào là hệ số lớn nhất.

Tại 8 ta thấy f X 126720

là hệ số lớn nhất trong khai triển.

x

Chọn A.


n1 n2

Ví dụ 8: Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển x , biết rằng Cn

Cn

78 với x 0.

x

3 2

A. 112643.

B. 112640. C. 112640.

D. 112643.

Ta có:


Hướng dẫn

n1 n2

n! n!

Cn

Cn

78 78

n 1 !1! n 2 !2!

2

n n 1

n 78 n n 156 0 n 12.

2

12 12

3 2

k k 364k

12

x k0


x C 2 x


Khi đó:


Số hạng không chứa x ứng với giá trị k thỏa mãn 36 4k 0 k 9.

Vậy số hạng không chứa x là: 9 9

Chọn C.

2 C 112640.

8

2 3

Ví dụ 9: Tìm hệ số của trong khai triển 1

x x .

12

x 8

A. 190. B. 230. C. 238. D. 70.

Hướng dẫn

8 8 k

2 3 k 2 3 k m 2


3

Ta có 1 x x C8 x x C8 Ck

x x



8 k


k0 m0


k m m 2k m

8 k



C C 1 x

8 k k m m

k0 k0 m0

n

Trang 8


2k m 8

8 m 0

Để có hệ số của x thì 0 m k 8 hoặc


k 4

m, k



Vậy hệ số của

Chọn C.

8

x


a C C C C 238.

4 0 3 2

8 8 4 8 3

m 2

.

k 3

3. Bài tập tự luyện

8

5 3

Câu 1. Trong khai triển 2x 5y , hệ số của số hạng chứa x .y là:

A. 224000.

B. 40000.

C. 8960.

D. 4000.

8

Câu 2. Trong khai triển x , số hạng không chứa x là:

2

x

9

A. 4308. B. 86016. C. 84. D. 43008.

Câu 3. Tìm hệ số của số hạng chứa

8

x


trong khai triển nhị thức 2 x ; x 0.

x

4 2

A. 1090. B. 4480.

C. 8960. D. 4480.

9 2 9

Câu 4. Xét khai triển 3 2 a a x a x ... a x . Tìm max a ,a ,...,a .

x

0 1 x 9

7

1 2 9

A. 314928. B. 489888. C. 326592. D. 1134008.

Đáp án:

1 – A 2 – D 3 – D 4 – B

Dạng 3: Sử dụng nhị thức Niu-tơn chứng minh các đẳng thức tổ hợp

1. Phương pháp giải

Ta thường sử dụng các kết quả sau với giá trị thích hợp của x:

n 0 1 2 2 n n

1 x C C x C x ... C x

n n n n

n



0 0 1 1 n n n

n n n

1 x C x C x ... 1 C x

n




0 n 1 n 1 n n 0

n n n

x 1 C x C x ... 1 C x

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức

S C C ... C .

1 2 n

1 n n n

n

n

A. 0. B. 2 . C. 2 1.

D.

Ta có 1 x n C 0 C 1 x C 2 x 2 ... C n x n

*


n n n n

Hướng dẫn

Chọn x 1

thay vào (*) ta được: n 0 1 2 n

11 C C C ... C .

n n n n

n

2 1.

Trang 9


n 0 1 2 n

hay 2 C C C ... C .

n n n n

1 2 n n 0 n

Vậy S C C ... C 2 C 2 1.

Chọn C.

1 n n n n

0 1 2 2 2019 2019

Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức S C 2C 2 C ... 2 C .

2019 2019 2019 2019

2019

A. 3 .

2019

B. 3 1.

2020

C. 3 .

D. 0.

Hướng dẫn

Ta có 1 x 2019 C 0 C 1 x C 2 x 2 ... C 2019 x 2019

*


2019 2019 2019 2019

Chọn

x 2, thay vào (*) ta được: 2019 0 1 2 2 2019 2019

1 2 C 2C 2 C ... 2 C

2019 2019 2019 2019

hay

3 C 2C 2 C ... 2 C S

2019 0 1 2 2 2019 2019

2019 2019 2019 2019

2019

Vậy S 3 .

Chọn A.

Ví dụ 3: Tìm số nguyên dương n sao cho: C 2C 4C ... 2 C 243.

0 1 2 n n

n n n n

A. 4. B. 5. C. 6. D. 7.

Hướng dẫn

Ta có: 1 x n C 0 C 1 x C 2 x 2 ... C n x n

*


n n n n

Thay

x 1

vào hai vế của (*) ta được:

C 2C 4C ... 2 C 3

0 1 2 n n n

n n n n

Theo đề bài có

Chọn B.

n

3 243 n 5.

Ví dụ 4: Tính tổng

S C 2 C ... 2 C .

0 2 2 2010 2010

2 2011 2011 2011

2011

211

2011

3 1 3 1 3 12 A. .

B. .

C. .

D.

2

2

2

Hướng dẫn

Ta có 1 x 2011 C 0 xC 1 x 2 C 2 ... x 2010 C 2010 x 2011 C 2011

*


Thay x 2 vào hai vế của (*) ta được:

Thay x 2 vào hai vế của (*) ta được:

2011 2011 2011 2011 2011

3 C 2.C 2 C ... 2 C 2 C

2011 0 1 2 2 2010 2010 2011 2011

2011 2011 2011 2011 2011

1 C 2.C 2 C ... 2 C 2 C

0 1 2 2 2010 2010 2011 2011

2011 2011 2011 2011 2011

0 2 2 2010 2010 2011

Lấy (1) + (2) ta có: 2C2011 2 C

2011

... 2 C2011

3 1

2011

0 2 2 2010 2010 3 1

Suy ra: S2 C2011 2 C

2011

... 2 C

2011

.

2

Chọn D.

(1)

(2)

2011

3 1 .

2

Trang 10


26

1 7

Ví dụ 5: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Niu tơn của x , biết rằng

4

x

C C ... C 2 1.

1 2 n 20

2n1 2n1 2n1

A. 612. B. 230. C. 210. D. 310.

Hướng dẫn

Từ giả thiết suy ra:

C C C ... C 2 1

0 1 2 n 20

2n1 2n1 2n1 2n1

n


k 2n1

k

C C , k, 0 k 2n 1

nên:

2n1 2n1

C C C ... C C C ... C

0 1 2 n n 1 n 2 2n 1

2n1 2n1 2n1 2n1 2n1 2n1 2n1

1

Do đó: 0 1 2 n

0 1 2n

C 1

2n1 C2n 1

C

2n1 ... C2n 1

C2n 1

C

2n1 ... C2n

1

.

2

1

2

20 0 1 2n1 0 1 2n1 21

Hay: 2 C C ... C C C ... C 2 1

2n1 2n1 2n1 2n1 2n1 2n1

Ta có: 1 x 2n1 C 0 C 1 x C 2 x 2 ... C 2n1 x 2n1

*


Thay

2n1 2n1 2n1 2n1

x 1

vào hai vế của (*) ta được:

0 1 2 2n

C C C ... C 1 1 1 2n1

2n

2 1

2

Từ (1), (2) suy ra:

1

x

2n 1 21

2 2 2n 1 21 n 10.




• Ta có: 4

Số hạng chứa

Vậy hệ số của

Chọn C.

2n1 2n1 2n1 2n1

10 10 10

7 k 4

10 k

7

k

k 11k40

10 10

k0 k0

x C x x C x


26

x ứng với giá trị k thỏa mãn 11k 40 26 k 6.

26

x


6

C10

210.

1 2 n

Ví dụ 6: Tính tổng S C 2C ... nC .

n n n

n1

n1

n1

n1

A. 2n.2 .

B. n.2 .

C. 2n.2 .

D. n.2 .

n 0 1 2 2 n n

Hướng dẫn

Ta có: 1 x C C x C x ... C x (*)

n n n n

Lấy đạo hàm theo x hai vế của (*) ta được:

n

1 1 2 3 2 n n1



n 1 x C 2C x 3C x ... nC x **

n n n n

Thay

x 1

vào hai vế của (**) ta được: n 1 1 2 n

n 11 C 2C ... nC


n n n

Hay:

n.2 C 2C ... nC S.

Chọn D.

n 1 1 2 n

n n n

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Giá trị của tổng

S C C ... C

0 1 6

6 6 6

bằng

A. 100. B. 48. C. 72. D. 64.

Trang 11


Câu 2. Tính giá trị biểu thức

S C 10C 10 C ... 10 C .

0 1 2 2 n n

n n n n

n

n

n1

A. 11 .

B. 11 1.

C. 11 .

D. 0.

n 0 n 1 1 n 2 2 n

Câu 3. Tính giá trị biểu thức S 2 C 2


C 2 C ... C .

n n n n

n

n

n

A. 3 1.

B. 3 .

C. 2 .

D.

n

2 1.

Đáp án:

1 – D 2 – A 3 – B

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP

7

4 3

Câu 1. Trong khai triển 3x y , số hạng chứa x y là

4 3

4 3

4 3

A. 2835x

y . B. 2835x

y .

C. 945x

y .

D.


4 3

945x

y .

0 1 5

Câu 2. Tính tổng S C C ... C .

5 5 5

A. 64. B. 32. C. 1. D. 12.

Câu 3. Tìm số hạng thứ 6 trong khai triển x 2y 13

.

6 6

8 6

6 6

A. 2x

y .

B. 4100x y .

C. 41184x y . D.

8 5

41184x y .

Câu 4. Tìm hệ số của

9

x 19

trong khai triển

2 x .

10 11

8 9

9 10

A. C 2 .

B. C 2 .

C. C 2 .

D.

19

Câu 5. Trong khai triển

19

x y 16

,

tổng hai số hạng cuối là

19

10 11

C19

2 .

15 8

15 4

15 4

15 8

A. 16x

y y . B. 16x

y y . C. 16xy y . D. 16xy y .

8

Câu 6. Trong khai triển x , số hạng không chứa x là

2

x

9

A. 4308. B. 86016. C. 84. D. 43008.

Câu 7. Trong khai triển của nhị thức

2 2

n


x ,

x

triển trên bằng 97. Tìm hệ số của số hạng có chứa

cho biết tổng hệ số của 3 hạng đầu tiên trong khai

A. 1120. B. 600. C. 1220. D. 70.

Câu 8. Tìm hệ số của

5

x

x x x x

x 4 .

trong khai triển của biểu thức sau thành đa thức

4 5 6 7

f x 2 1 2 1 2 1 2 1 .

A. 1020. B. 280. C. 896. D. 964.

Câu 9. Tìm

n

sao cho:

C C C ... C 256.

0 2 4 2n

4n2 4n2 4n2 4n2

A. 6. B. 2. C. 12. D. 9.

Trang 12


30

2 30

Câu 10. Khai triển 1

3x thành đa thức: a a x a x ... a x . Tìm hệ số lớn nhất của các hệ số

a

0;a 1;a 2;...;a 30.

0 1 2 30

23 23

23 24

22 22

A. C 3 .

B. C 3 .

C. C 3 .

D.

30

Câu 11. Số hạng chính giữa trong khai triển

30

3x 2y 4

2 2 2

2 2 2

A. B. 6 3x

2y C. 6C x y

D.

C x y .

4

2 2

2 1

Câu 12. Tìm số hạng không chứa x trong triển khai x .

4

x

12

9

3

A. C .

B. C .

C. C .

D.

12

12


30

12

4

12

20 29

C303 .

2 2 2

36C4x y

8

1 5

Câu 13. Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của x , biết rằng:

3

x



n1

n

C C 7 n 3 (n nguyên dương, x 0 ).

n4 n3

4

C

12.

A. 424. B. 280. C. 495. D. 322.

8

2 5

Câu 14. Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển biểu thức x x 0

. Biết số nguyên

3

x

dương n thỏa mãn:

C C ... C 4095.

1 2 n

n n n

A. 7920. B. 1400. C. 6590. D. 8120.

n

n

Đáp án:

1 – A 2 – B 3 – D 4 – C 5 – A 6 – D 7 – A 8 – C 9 – B 10 – A

11 – B 12 – D 13 – C 14 – A

Trang 13


PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Biến cố

Phép thử và không gian mẫu

CHƯƠNG 4: TỔ HỢP XÁC SUẤT

CHUYÊN ĐỀ 3: XÁC SUẤT

Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay một hành động mà:

• Kết quả của nó không đoán trước được.

• Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó.

Tập hợp mọi kết quả của một phép thử T được gọi là không gian mẫu của T và được kí hiệu là

phần tử của không gian mẫu được kí hiệu là n hay .

Biến cố



. Số

• Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của A tùy thuộc vào kết

quả của T.

• Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra được gọi là một kết quả thuận lợi cho A.

• Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu là n(A) hay A

.

2. Xác suất

Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử. là không gian mẫu của phép thử đó. Xác suất của biến

cố A, kí hiệu là P(A), được xác định bởi công thức:

Trong đó:

• A

hay n(A) là số phần tử của biến cố A.


P A

• hay n

là số phần tử của không gian mẫu.

Tính chất


P 0, P 1.

• Với mọi biến cố A,

0 P A 1.




n A


n





A


.

3. Quy tắc cộng xác suất

Biến cố hợp

Cho hai biến cố A và B. Biến cố “A hoặc B xảy ra”, kí hiệu là

gọi là hợp của hai biến cố A và B. Khi đó: A B .

Biến cố xung khắc

A B

được

Cho hai biến cố A và B. Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu biến

cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra. Khi đó: A B .

Quy tắc cộng xác suất hai biến cố xung khắc:

Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì xác suất biến cố A B là P A B P A P B .


Trang 1


Cho n biến cố A 1 , A 2 ,...., A n đôi một xung khắc với nhau. Khi đó:


P A A ... A P A P A ... P A .

1 2 n 1 2 n

Biến cố đối

Cho A là một biến cố. Khi đó biến cố “không A”, kí hiệu là A ,

được gọi là biến cố đối của A. Ta nói A và A

của nhau.


Khi đó: \ A

P A 1

P A .

A

là hai biến cố đối

4. Quy tắc nhân xác suất

Giao hai biến cố A và B. Biến cố “A và B cùng xảy ra”, kí hiệu

A B (hay AB), gọi là giao của hai biến cố A và B.

Hai biến cố độc lập

Hai biến cố được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không

xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng xác suất xảy ra của

biến cố kia.

Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì A và B , A và B, A và B cũng là độc lập.

Quy tắc nhân xác suất hai biến cố độc lập


Nếu A và B là hai biến cố độc lập với nhau thì ta luôn có P AB P A .P B .

Cho n biến cố A 1 , A 2 , ……, A n độc lập với nhau từng đôi một. Khi đó:

.

P A ,A ,..., A P A P A ...P A

1 2 n 1 2 n

PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Biến cố và xác suất của biến cố

1. Phương pháp giải

Bước 1: Tìm số phần tử của không gian mẫu n

hay .

Bước 2: Gọi tên biến cố là A (người ta thường sử

dụng chữ cái in hoa để gọi tên biến cố).

Tìm kết quả thuận lợi của biến cố A là n(A)hay

A

dựa vào các quy tắc đếm và các công thức

hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp, hoặc sử dụng phương

pháp liệt kê.

Ví dụ: Gieo hai đồng xu cân đối một cách độc lập.

Tính xác suất để cả hai đồng xu đều sấp.

1 3 1

A. B. C. D.

4 4 2

Hướng dẫn

Không gian mẫu: Gieo hai đồng xu một cách cân

đối, độc lập, mỗi đồng xu ra các khả năng sấp (S)

hoặc ngửa (N), các phần tử của không gian mẫu là



3

8

S;S ; S; N ; N;S ; N; N 4. .

Gọi A là các biến cố “cả hai đồng xu đều sấp” .

Các phần tử của biến cố A là


A

A S;S 1.

Xác suất của biến cố A là:

Trang 2


Bước 3: Tính xác suất của biến cố A.


P A




n A


n





A


A 1

PA .

4

Chọn A.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người

được chọn đều là nữ.

1 7 8

A. .

B. .

C. .

D.

15

15

15

Hướng dẫn

Không gian mẫu: Chọn ngẫu nhiên 2 người trong 10 người, có

Gọi A là biến cố “2 người được chọn đều là nữ”.

2

C 10

cách

1 .

5

2

C

10.

2

2

Kết quả thuận lợi của biến cố A: Chọn 2 học sinh nữ có cách C . .

Vậy xác suất của biến cố A là:

Chọn A.

C 1

P A .

C 15

2

A 3

2

10

C 3

A 3

Ví dụ 2: Một hộp chứa 11 quả cầu gồm 5 quả cầu màu xanh và 6 quả cầu màu đỏ. Chọn ngẫu nhiên đồng

thời 2 quả cầu từ hộp đó. Xác suất để 2 quả cầu chọn ra cùng màu bằng:

5 6 5

A. .

B. .

C. .

D.

22

11

11

Hướng dẫn

2

2

Không gian mẫu: Chọn ngẫu nhiên 2 quả từ 11 quả nên có cách C 55 cách.

Gọi A là biến cố “Chọn được hai quả cầu cùng màu”.

Kết quả thuận lợi của biến cố A:

Trường hợp 1: Chọn 2 quả cầu trong 5 quả cầu xanh, có

Trường hợp 2: Chọn 2 quả cầu trong 6 quả cầu đỏ, có

2

C 6

2

C 5

C 11

cách.

cách.

11

8 .

11

Suy ra

C C 25.

2 2

A 5 6

Vậy xác suất của biến cố A là

Chọn A.


A 25 5

P A .

55 11

Ví dụ 3: Từ một hộp có 13 bóng đèn, trong đỏ có 6 bóng hỏng. Lấy ngẫu nhiên 5 bóng ra khỏi hộp. Tính

xác suất sao cho có nhiều nhất 2 bóng hỏng.

427 61 63

A. .

B. .

C. .

D.

429

68

68

Hướng dẫn

84 .

143

Trang 3


C

5

5

Không gian mẫu: Chọn 5 bòng đèn trong 13 bóng có cách n C 13

.

Gọi A là biến cố “Chọn được 5 bóng và nhiều nhất 2 bóng hỏng”.

Kết quả thuận lợi của biến cố A là:

Trường hợp 1: Chọn được 2 bóng hỏng và 3 bỏng tốt có

Trường hợp 2: Chọn được 1 bóng hỏng và 4 bóng tốt có

Trường hợp 3: Chọn được 5 bóng đều tốt có

Số cách thuận lợi cho A là:

Xác suất của biến cố A là: PA

Chọn D.

5

C 7

cách.


2 3 1 4 5

6 7 6 7 7

13

2 3

C

6.C7

1 4

C

6.C7

n A C .C C .C C 756





n 756 84

n C 143

A


5


13

Ví dụ 4: Cho hai đường thẳng song song d 1 , d 2 . Trên d 1 có 6 điểm phân biệt được tô màu đỏ, trên d 2 có 4

điểm phân biệt được tô màu xanh. Xét tất cả các tam giác được tạo thành khi nối các điểm đó với nhau.

Chọn ngẫu nhiên một tam giác, khi đó xác suất để thu được tam giác có hai đỉnh màu đỏ là:

cách.

cách.

cách.

2 3 5

A. .

B. .

C. .

D.

9

8

9

Hướng dẫn

Không gian mẫu: Trường hợp 1: Lấy 2 điểm trên d 1 , 1 điểm trên d 2 có

Trường hợp 2: Lấy 1 điểm trên d 1 , 2 điểm trên d 2 có

C C C C 96

2 1 1 2

6 4 6 4

Gọi A là biến cố “tam giác có hai đỉnh màu đỏ”.

1 2

C6C4

cách.

Số phần tử thuận lợi của biến cố A là lấy 2 điểm trên d 1 ; 1 điểm trên d 2 có

C C 60

2 1

A 6 4

Xác suất của biến cố A là:

Chọn D.


A 5

P A .

8

2 1

C6C4

cách.

2 1

C6C4

Ví dụ 5: Xếp 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ vào một bàn tròn 10 ghế. Tính xác suất không có hai học

sinh nữ ngồi cạnh nhau.

37 5 5

A. .

B. .

C. .

D.

42

42

1008

Hướng dẫn

5 .

8

cách.

Không gian mẫu: Cố định 1 vị trí cho một học sinh nam (hoặc nữ), đánh dấu các ghế còn lại từ 1 đến 9.

Không gian mẫu là hoán vị 9 học sinh (còn lại không cố định) trên 9 ghế đánh dấu.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là 9! .

Gọi A là biến cố “không có hai học sinh nữ ngồi cạnh nhau”.

Ta mô tả khả năng thuận lợi của biến cố A như sau:

1 .

6

Trang 4


Đầu tiên, ta cố định 1 học sinh nam, 5 học sinh nam còn lại có 5! cách xếp.

Ta xem 6 học sinh nam như 6 vách ngăn trên vòng tròn, thì sẽ tạo ra 6 ô trống để ta xếp 4 học sinh nữ vào

(mỗi ô trống chỉ được xếp 1 học sinh nữ). Do đó có

Suy ra số phần tử của biến cố A là

Vậy xác suất cần tính

Chọn B.

4

A 5!.A

6.

4


A 5!.A

6

5

P A .

9! 42

4

A 6

Ví dụ 6: Một chiếc hộp đựng 6 bút màu xanh, 6 bút màu đen, 5 bút màu tím và 3 bút màu đỏ. Lấy ngẫu

nhiên ra 4 bút. Tính xác suất để lấy được ít nhất 2 bút cùng màu.

cách.

200 287 1

A. .

B. .

C. .

D.

323

323

2

Hướng dẫn

Không gian mẫu: Lấy 4 bút bất kì từ 20 bút đã cho có

Gọi A là biến cố “lấy được ít nhất hai bút cùng màu”.

A

4

C20

4845

là biến cố “lấy được 4 bút trong đó không có hai cái nào cùng màu”.

Số cách lấy được 4 bút trong đó không có hai cái nào cùng màu là:

Vậy xác suất lấy được 4 bút trong đó có ít nhất hai bút cùng màu là:

C .C .C .C 287

P A 1 P A 1 .

C 323


Chọn B.

1 1 1 1

6 6 5 3

4

20

1 .

6

cách C 4845.

4

20

1 1 1 1

A C

6.C 6.C 5.C 3.

Ví dụ 7: Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 5 học sinh lớp 12C

thành một hàng ngang. Xác suất để 10 học sinh trên không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau bằng:

11 1 1

A. .

B. .

C. .

D.

630

126

105

Hướng dẫn

Kí hiệu học sinh lớp 12A, 12B, 12C lần lượt là A, B, C.

Không gian mẫu: Số cách xếp 10 học sinh thành 1 hàng ngang là 10! (cách) 10!.

Gọi X là biến cố “trong 10 học sinh trên không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau”.

Ta xếp 5 học sinh lớp 12C trước, số cách xếp chia thành các trường hợp như sau:

Trường hợp 1:

5! cách xếp.

C C C C C

Xếp 5 học sinh còn lại vào 5 vị trí trống ta có 5! cách xếp.

Vậy trường hợp này có 5!.5! cách xếp.

Trường hợp 2:

Trường hợp 3:

1 .

42

(quy ước vị trí của – là vị trí trống), đổi chỗ 5 học sinh đó cho nhau ta có

C C C C C , tương tự như trường hợp 1 ta có 5!.5! cách.

C C C C C

, đổi chỗ 5 học sinh đó cho nhau ta có 5! cách xếp

Trang 5


Ta có 2 vị trí trống liền nhau, chọn 1 học sinh lớp 12A và 1 học sinh lớp 12B để xếp vào 2 vị trí trống đó,

1 1

2 học sinh này có thể đổi chỗ cho nhau nên có: C .C .2! 2.3.2 12

cách.

Xếp 3 học sinh còn lại vào 3 chỗ trống có 3! cách.

Vậy trường hợp này có 5!.12.3! cách.

Trường hợp 4: C C C C C ;

Trường hợp 5: C C C C C ;

Trường hợp 6: C C C C C ;

2 3

Ba trường hợp 4, 5, 6 có số cách xếp giống trường hợp 3.

Vậy có tất cả: 5!.5!.2 4.5!.12.3! 63360 cách xếp A 63360

Vậy xác suất của biến cố X là

Chọn A.


A 63360 11

P X .

10! 630

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Gieo hai đồng xu cân đối một cách độc lập. Tính xác suất để có đúng một đồng xu ngửa.

1 3 1

A. .

B. .

C. .

D.

4

4

2

Câu 2. Một bình đựng 6 viên bi khác màu, trong đó có 2 viên màu xanh, 2 viên màu vàng, 2 viên màu đỏ.

Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi. Tính xác suất để được 2 viên bi xanh.

1 1 1

A. .

B. .

C. .

D.

4

2

15

Câu 3. Một lô hàng có 100 sản phẩm, biết rằng trong đó có 8 sản phẩm hỏng. Người kiểm định lấy ra

ngẫu nhiên từ đó 5 sản phẩm. Tính xác suất của biến cố A: “ Người đó lấy được đúng 2 sản phẩm hỏng”.

2 229 1

A. .

B. .

C. .

D.

25

6402

50

3 .

8

1 .

5

1

.

2688840

Câu 4. Cho một hộp đựng 12 viên bi, trong đó có 7 viên bi màu đỏ, 5 viên bi màu xanh. Lấy ngẫu nhiên

mỗi lần 3 viên bi. Tính xác suất lấy được ít nhất 2 viên bi màu đỏ.

19 7 7

A. .

B. .

C. .

D.

220

11

44

21 .

44

Đáp án:

1 – C 2 – C 3 – B 4 – B

Dạng 2:

1. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Hai người độc lập nhau ném bóng vào rổ. Mỗi người ném vào rổ của mình một quả bóng. Biết

1 2

rằng xác suất ném bóng trúng vào rổ của từng người tương ứng là và . Gọi A là biến cố: “Cả hai

5 7

Trang 6


cùng ném bóng trúng vào rổ”. Khi đó, xác suất của biến cố A là bao nhiêu?

12 1 4

A. .

B. .

C. .

D.

35

25

49

Hướng dẫn

Gọi A là biến cố: “Cả hai cùng ném bóng trúng vào rổ.”

Gọi X là biên cố: “Người thứ nhất ném trúng rổ.” PX

Goi Y là biến cố: “Người thứ hai ném trúng rổ.” PY

Ta thấy biến cố X, Y là 2 biến cố độc lập nhau

Chọn D.

1


5

1


5

2 .

35

A X.Y , theo công thức nhân xác suất:

1 2 2

PA PX .P Y . .

5 7 35

Ví dụ 2: Ba người cùng bắn vào một bia. Xác suất để người thứ nhất, thứ hai, thứ ba bắn trúng đích lần

lượt là 0,8; 0,6; 0,5. Tính xác suất để có đúng hai người bắn trúng đích.

A. 0,24 B. 0,96 C. 0,46 D. 0,92.

Hướng dẫn

Gọi A 1 là biến cố người thứ nhất bắn trúng đích, ta có: PA1

0,8

A là biến cố người thứ nhất bắn trượt đích, ta có: PA 1 PA 1 0,8 0,2.

1

1 1

Gọi A 2 là biến cố người thứ hai bắn trúng đích, ta có: PA2

0,6

A là biến cố người thứ hai bắn trượt đích, ta có: PA 1 PA 1 0,6 0,4.

2

2 2

Gọi A 3 là biến cố người thứ ba bắn trúng đích, ta có: PA3

0,5

A là biến cố người thứ ba bắn trượt đích, ta có: PA 1 PA 1 0,5 0,5.

3

3 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3

Gọi B là biến cố: “Có đúng hai người bắn trúng đích”. B A A A A A A A A A .

Xác suất để có đúng hai người bắn trúng đích là:


P B P A P A P A P A P A P A P A P A P A 0, 46 .

Chọn C.

1 2 3 1 2 3 1 2 3

Ví dụ 3: Bài kiểm tra môn toán có 20 câu trắc nghiệm khách quan. Mỗi câu có 4 lựa chọn và chỉ có một

phương án đúng. Một học sinh không học bài nên làm bài bằng cách lựa chọn ngẫu nhiên một phương án

trả lời. Tính xác suất để học sinh đó trả lời sai cả 20 câu.

0,25 20

. 20

20

20

A. B. 1 0,75 . C. 1 0,25 . D.

Gọi A là biến cố: “Học sinh đó trả lời sai 20 câu.”

Hướng dẫn

0,75 .

Trong một câu, xác suất học sinh trả lời sai là: 3 0,75.

4

Trang 7


20

Vậy xác suất để học sinh đó trả lời sai 20 câu là PA 0,75

Chọn D.

Ví dụ 4: Hai xạ thủ A và B cùng bắn vào tấm bia mỗi người mỗi phát. Xác suất bắn trúng bia của xạ thủ

A là 0,7. Tìm xác suất bắn trúng bia của xạ thủ B biết xác suất có ít nhất một người bắn trúng bia là 0,94.

A. 0,25 B. 0,45 C. 0,8 D. 0,12

Hướng dẫn

Gọi xác suất bắn trúng bia của xạ thủ B là P B b với 0 b 1.


Gọi X là xác suất cả hai xạ thủ bắn trật. Có X A B và A , B là hai biến cố độc lập nên

PX PA B PA .P B 1 0,71

b 1


Gọi X là biến cố có ít nhất một xạ thủ bắn trúng bia, dễ dàng thấy X và X là hai biến cố đối nên

PX 1 PX

1 0,94 0,06

(2)

Từ (1) và (2) được 1 0,71 b

0,06 b 0,8.

Chọn C.

2. Bài tập tự luyện

Câu 1. Xác suất bắn trúng mục tiêu của một vận động viên khi bắn một viên đạn là 0,6. Người đó bắn

hai viên đạn một cách độc lập. Xác suất để một viên trúng mục tiêu và một viên trượt mục tiêu là:

A. 0,4 B. 0,6 C. 0,48 D. 0,24

Câu 2. Hai xạ thủ bắn mỗi người một viên đạn vào bia, biết xác suất bắn trúng vòng 10 của xạ thủ thứ

nhất là 0,75 và của xạ thủ thứ hai là 0,85. Tính xác suất để có ít nhất một viên trúng vòng 10.

A. 0,9625. B. 0,325. C. 0,6375. D. 0,0375.

Đáp án:

1 – C 2 – A

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP

Câu 1. Trong các thí nghiệm sau đây thí nghiệm nào không phải là phép thử ngẫu nhiên?

A. Gieo đồng tiền xem nó mặt ngửa hay mặt sấp.

B. Gieo 3 đồng tiền và xem có mấy đồng tiền lật ngửa.

C. Chọn bất kì 1 học sinh trong lớp và xem là nam hay nữ.

D. Bỏ 2 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ trong một chiếc hộp, sau đó lấy từng viên một để đếm xem có tất

cả bao nhiêu viên bi

Câu 2. Cho phép thử có không gian mẫu


Q 1,2,3,4,5,6

A. A 1 và B 2;3;4;5;6 .

B. và


. Các cặp biến cố không đối nhau là:


C1, 4,5

D 2;3;6


C. E 1;4;6 và F 2;3

D. và

Trang 8


Câu 3. Gieo hai đồng xu cân đối một cách độc lập. Tính xác suất để có ít nhất một đồng xu sấp.

1 3 1

A. .

B. .

C. .

D.

4

4

2

Câu 4. Một hộp chứa 10 quả cầu đỏ, 20 quả cầu xanh. Chọn ngẫu nhiên 1 quả cầu trong hộp. Tính xác

suất sao cho quả cầu được chọn màu đỏ.

1 1 1

A. .

B. .

C. .

D.

6

3

2

Câu 5. Từ 1 hộp chứa 4 bi xanh, 3 bi đỏ, 2 bi vàng, lấy ngẫu nhiên 2 bi. Tính xác suất các biến cố hai bi

cùng màu xanh.

1 1 1

A. .

B. .

C. .

D.

6

3

2

Câu 6. Trong một kì thi có 60% thí sinh đỗ. Hai bạn A, B cùng dự kì thi đó. Xác suất để chỉ có một bạn

thi đỗ là:

A. 0,24 B. 0,36 C. 0,16 D. 0,48

Câu 7. Gieo hai đồng xu A và B một cách độc lập. Đồng xu A chế tạo cân đối. Đồng xu B chế tạo không

cân đối nên xác suất xuất hiện mặt sấp gấp 3 lần xác suất xuất hiện mặt ngửa. Tính xác suất để khi gieo 2

đồng xu một lần thì cả hai đều ngửa.

1 3 1

A. .

B. .

C. .

D.

4

4

8

Câu 8. Một hộp chứa các quả cầu kích thước khác nhau gồm 3 quả cầu đỏ, 6 quả cầu xanh và 9 quả cầu

vàng. Chọn ngẫu nhiên 2 quả cầu. Tính xác suất để 2 quả cầu được chọn khác màu.

19 11 7

A. .

B. .

C. .

D.

765

17

765

Câu 9. Từ một hộp chứa 6 quả cầu trắng và 4 quả cầu đen, lấy ra ngẫu nhiên cùng một lúc ra 4 quả. Tính

xác suất sao cho có ít nhất một quả màu trắng.

19 8 209

A. .

B. .

C. .

D.

765

105

210

Câu 10. Có 2 hộp: hộp 1 chứa 5 bi đỏ, 4 bi trắng; hộp 2 chứa 3 bi đỏ, 6 bi trắng. Mỗi hộp chọn 1 bi. Tính

xác suất biến cố 2 bi màu đỏ.

5 13 14

A. .

B. .

C. .

D.

27

27

27

3 .

8

3 .

10

1 .

18

3 .

8

5 .

17

10 .

21

1 .

72

Đáp án:

1 – D 2 – C 3 – B 4 – B 5 – A 6 – D 7 – C 8 – B 9 – C 10 – A

Trang 9


PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

CHƯƠNG 5: DÃY SỐ, GIỚI HẠN, ĐẠO HÀM

CHUYÊN ĐỀ 1: DÃY SỐ. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

1. Phương pháp quy nạp toán học (Phương pháp quy nạp)

Phương pháp này thường để chứng minh mệnh đề liên quan đến số tự nhiên

n p mà không thể thử trực tiếp được.

Các bước giải:

2. Dãy số

Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = p.

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì

Chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

Bước 3: Kết luận mệnh đề đúng với mọi n p .

u n


Một dãy số thường được kí hiệu hoặc u hoặc u .

u là số hạng tổng quát thứ n của dãy số u n .


n

u 1

là số hạng đầu.

Dãy số tăng, dãy số giảm:


n


Dãy số u n tăng khi và chỉ khi un 1

un

, với mọi n


*

u u 0 , với mọi

n1

n

n

*

n

n k p

un

1

*

1, un

0 , với mọi n .

u

Dãy số u n giảm khi và chỉ khi un 1

un

, với mọi n

Dãy số bị chặn:

Chú ý:


n

*

u u 0 , với mọi

n1

n

*

n

un

1

*

1, un

0 , với mọi n .

u

*

Dãy số u n bị chặn trên nếu M : u M , n

.


*

Dãy số u n bị chặn dưới nếu m : u m , n

.

Dãy số

u n

n

n

n

bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên và vừa bị chặn dưới, tức là:

*

m,M : m u M ; n

.

Một dãy số có thể có số hạng tổng quát hoặc không có số hạng tổng quát.

Một dãy số có thể tăng hoặc giảm hoặc không tăng, không giảm.

Một dãy số có thể bị chặn trên hoặc bị chặn dưới hoặc bị chặn hoặc không bị chặn.

Dãy số không bị chặn là dãy số hoặc không bị chặn trên hoặc không bị chặn dưới.

3. Giới hạn của dãy số

n

*

n

(giả thiết quy nạp).

là đúng với mọi

Trang 1


Các loại giới hạn: Giới hạn hữu hạn lim un

lim un

a ; lum vn lim vn

a .

PHẦN 2: CÁC CÔNG THỨC

1

lim 0; .

n 1

lim 0

k

n


k

*

lim n , n .



n

n

Giới hạn vô cực lim un

lim un

; lim un lim un

.

n

n

lim q 0 nếu q 1.

n

lim q nếu q 1.

lim u v lim u lim v . lim u .v lim u .lim v .

n n n n



n n n n

n

lim c c

u

lim v

(c là hằng số).

lim u

n

n

lim vn

0

n lim v

n

.

lim un

a ; lim v .

un

lim 0 .

v


n


un

0 n

; lim un

a

a 0 ; lim un

a .

n

lim un



;

lim v a 0

lim unv n

,a 0


.

lim unv n ,a 0

Định lí kẹp:


n

un

v

n

, n

; lim vn 0 lim un

0 .

lim un

a 0 ; lim vn

0

u



u



n

lim ,a.vn

0

vn

n

lim ,a.vn

0

vn

PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Số hạng, công thức tổng quát của dãy số

1. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho dãy số có các số hạng đầu là:

1 1 1 1 1

; ; ; ; ;...

2 3 4 5

3 3 3 3 3

. Số hạng tổng quát của dãy số này là:

1 1

1

1

A. u

n

.

B. u

C. D.

n 1

2 3

n

u

n 1

3

n n

3

Hướng dẫn

1 1 1 1 1

Ta thấy năm số hạng đầu có dạng: ; ; ; ; ;...

2 3 4 5

3 3 3 3 3

1

Do đó số hạng tổng quát của dãy số trên là: un

.

n

3

Chọn C.

un

n 1

3

1

u1

3

Ví dụ 2: Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số u n

. Biết rằng .

un1

3u

n

n 1

A. u 3

n


B. u 1

3

C. u 3n

D.

n

n

n

u 3

n

n

Cách 1: Ta có

u1

3


un1

3u

n

nên suy ra:

Hướng dẫn

u 3u 3.3 9 3

2 1

2

Trang 2


u 3u 3.9 27 3

3 2

u 3u 3.27 81 3

4 3

u 3u 3.81 243 3

5 4

n

Ta dự đoán số hạng tổng quát có dạng: u 3 ; n 1

(1)

Ta chứng minh (1) bằng phương pháp quy nạp.

1

Với n = 1, ta có u 3 3 (đúng). Vậy (1) đúng với n = 1.

1

k

Giả sử (1) đúng với n = k, tức là ta có u 3 .

u n

k

k 1

Ta cần chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là ta phải chứng minh u 3 .

k k 1

Thật vậy ta có u k 1

3.u k

3.3 3


. Vậy (1) đúng với n = k + 1.

Kết luận (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx570VN PLUS

Ta bấm máy tính, tìm ra một vài số hạng đầu của dãy số là 3; 9; 27; 81; 243; …

Thử các đáp án: (Tìm một vài số hạng đầu của các dãy số ở các đáp án)

Đáp án A: Các số hạng đầu của dãy số

dãy số đề bài, nên loại đáp án A.

Đáp án B: Các số hạng đầu của dãy số

với dãy số đề bài, nên loại đáp án B.

Đáp án C: Các số hạng đầu của dãy số

số đề bài, nên loại đáp án C.

đề bài.

Chọn D.

Đáp án D: Các số hạng đầu của dãy số

n

un

n


n 1

3

u 1

3

un

3n

u 3

n

n

n

3

4

5

.

k1

là 9; 27; 81; 243; … . Ta thấy không trùng với

là 4; 10; 28; 82; 244; … . Ta thấy không trùng

là 3; 6; 9; 12; 15; … . Ta thấy không trùng với dãy

là 3; 9; 27; 81; 243; … . Ta thấy trùng với dãy số

u1

5

Ví dụ 3: Cho dãy số u n với

. Số hạng thứ n + 2 của dãy số u n

là:

un1

un

n


n 2 n 1

A. un2

5

B. un2

5

2


n 2 n 1

C. un2

5

D. un2

5

2

Ta có u1

5

u2

5 1

Hướng dẫn

u3

5 1 2

u4

5 1 2 3

u5

5 1 2 3 4 u6

5 1 2 3 4 5

n n 1

un

5 1 2 3 ... n 1 5

2



n 2n 1

2

n 2n 1


(Chứng minh bằng quy nạp).

3

Trang 3


n n 1

Do đó, số hạng tổng quát của dãy số trên là: un

5 .

2

n 2 n 2 1 n 2 n 1

Vậy số hạng thứ n + 2 của dãy số trên là: un2

5 5

.

2 2

Chọn A.

2. Bài tập tự luyện




Câu 1. Cho dãy số có các số hạng đầu là 8; 15; 22; 29; 36; … . Số hạng tổng quát của dãy số này là:

A. un

7n 7

B. un

7n

C. un

7n 1

D. un

không viết được dưới dạng công thức.

u1

3

Câu 2. Tìm công thức tính số hạng tổng quát u n

theo n của dãy số sau

.

un1

un

2

A. un

2n 1

B. un

n 2

C. un

n 4 D.

un

3n

Đáp án

1 – C 2 – A

Dạng 2: Dãy số tăng, giảm, bị chặn

1. Phương pháp giải

Cách 1: Sử dụng kiến thức phần lí thuyết trọng tâm.

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx570VN PLUS

Dãy số tăng, giảm:


Cho dãy số u f n .

Nhập MODE 7.



n

Nhập f X Start? 1 =

End? 10 = Step 1 =

Ta nhận được bảng giá trị của

với các số hạng của dãy số.

Nhìn vào bảng giá trị này:

Các giá trị tăng dần thì dãy số

Các giá trị giảm dần thì dãy số

Các trường hợp khác thì dãy số

không giảm.

u n


f X

u n

u n


tăng.

giảm.

, tương ứng

không tăng,

2n 1

Ví dụ: Cho dãy số un

.

n 3

Nhập MODE 7.

2X 1

Nhập f X

Start? 1 =

X 3

End? 10 = Step 1 =

Ta nhận được bảng giá trị của

các số hạng của dãy số là:

0,25; 0,6; 0,8333; 1; 1,125;


f X

1,2222; 1,3; 1,3636; 1,4166; 1,4615

Ta thấy các giá trị này tăng, nên dãy số

tăng.


, tương ứng với

u n

là dãy

Dãy số bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn:


Cho dãy số u f n .

Nhập MODE 7.

n

2n 1

Ví dụ: Cho dãy số un

.

n 3

Nhập MODE 7.

Trang 4


Nhập f X Start? 1 =

End? 20 = Step 1 =

Ta nhận được bảng giá trị của

với các số hạng của dãy số.

Nhìn vào bảng giá trị này:


f X


, tương ứng

Các giá trị nhỏ hơn một số M Dãy số u bị

chặn trên bởi M.

Các giá trị lớn hơn một số m Dãy số u bị

chặn dưới.

Các trường hợp khác Dãy số u không bị

chặn.

2. Ví dụ minh họa

n

n

n

2X 1

Nhập f X


X 3

Start? 1 =

End? 20 = Step 1 =

Ta nhận được bảng giá trị của f X

các số hạng của dãy số là:

0,25; 0,6; 0,8333; 1; 1,125;



tương ứng với

1,2222; 1,3; 1,3636; 1,4166; 1,4615;

1,5; 1,5333; 1,5625; 1,5882; 1,6111;

1,6315; 1,65; 1,6666; 1,6818; 1,6956

Ta thấy các giá trị này tăng và luôn lớn hơn 0 và

nhỏ hơn 2, nên dãy số

chặn trên bởi 2.

Ví dụ 1: Dãy số nào trong các dãy số sau là dãy số giảm?

n

n n

2n 4

6

A. un

1 5 2

B. un


C. un

D.

n 1

n 3

7

Hướng dẫn

1

Xét dãy số un

5 ta có:

n

1 1 1 1 1

*

un

1

un

5 5

0 ; x

.

n 1 n n 1 n n n 1

1

Vậy dãy số un

5 là dãy số giảm.

n

Chọn D.

Ví dụ 2: Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số tăng?

2

n

1

n n 1

A. un

3 2n B. un

2 C. un

D. u

2

2n

3n 2

Hướng dẫn

n

n 1

n

Xét dãy số un

3 2n ta có un 1

un

3



2n 1

3 2n


n n n

*

3.3 2n 2 3 2n 2.3 2 0 ; x

.

Vậy dãy số

n

un

3 2n

là một dãy số tăng.

Chọn A.

Ví dụ 3: Dãy số nào trong các dãy số sau là dãy số không bị chặn?



u n

bị chặn dưới bởi 0 và bị

1