( Toán cao cấp ) Bài tập ánh xạ tuyến tính, chuỗi số và chuỗi hàm, số phức, tích phân hàm mũ có lời giải

https://twitter.com/daykemquynhon 

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com 

www.facebook.com/daykem.quynhon 

https://daykemquynhon.blogspot.com 

Định nghĩa và tính chất của ánh xạ tuyến tính 

http://daykemquynhon.ucoz.com 

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / 

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định 

Bài 04.03.1.001 

DIỄN ĐÀN TOÁN - LÝ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM 

HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO) 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú 

www.facebook.com/daykemquynhonofficial 

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial









Chứng minh T là ánh xạ tuyến tính. 

Giải: 


f có là ánh xạ tuyến tính không? 


Giải: 















Giải: 
















Giải: 












































































Giải: 






























Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính. 

















Giải: 
















Giải: 








































































































Giải: 
















Giải: 

Ma trận biểu diễn của ánh xạ tuyến tính. 






























































Giải: 
















Giải: 




















































































































Bài 01.04.1.001.A.97 

tồn tại: 

Lời giải: 

ĐẠI SỐ 

Chuyên đề 1: Chuỗi số và chuỗi hàm 

Vẽ đồ thị hàm số và sử dụng chúng để xác định các giá trị mà hàm lim ( ) 

Với đồ thị hàm số : 

Chúng ta có thể thấy lim ( ) 

f x 

x → a 

f x tồn tại với mọi a ngoại trừ a = − 1 . Chú ý 

x → a 

rằng giới hạn bên trái và bên phải là khác tại điểm a = − 1. 






1 











tồn tại: 


Vẽ đồ thị hàm số và sử dụng chúng để xác định các giá trị mà hàm lim ( ) 

Từ đồ thị hàm số : 

ta có thể thấy lim ( ) 

f x 

x → a 

f x tồn tại với mọi a ngoại trừ a = π . Chú ý rằng giới 

x → a 

hạn bên trái và bên phải là các điểm khác a = π . 





2 












Sử dụng đồ thị hàm số f để tính giá trị của giới hạn, nếu nó tồn tại.Nếu nó 

không tồn tại giải thích tại sao. 

(a) lim f ( x) 

− 

x→0 

(b) lim f ( x) 

+ 

x→0 

(c) lim ( ) 


f x 

x →0 

(a) f ( x) 

lim = 1 

− 

x→0 

(b) f ( x) 

lim = 0 

+ 

x→0 

(c) lim ( ) 

f x 

x →0 

không tồn tại vì giới hạn trong phần (a) và (b) không bằng nhau 





3 












Sử dụng đồ thị hàm số f để tính giá trị của giới hạn, nếu nó tồn tại.Nếu nó 

không tồn tại giải thích tại sao. 

(a) lim f ( x) 

− 

x→0 

(b) lim f ( x) 

+ 

x→0 

(c) lim ( ) 


f x 

x →0 

(a) f ( x) 

lim = − 1 

− 

x→0 

(b) f ( x) 

lim = 1 

+ 

x→0 

(c) lim ( ) 

f x 

x →0 

không tồn tại vì giới hạn của (a ) và (b) không bằng nhau 





4 












nhất định: 


Vẽ đồ thị hàm số f sao cho đồ thị hàm số đó thỏa mãn tất cả các điều kiện 








5 




















6 
















Đoán giá trị của giới hạn ( nếu nó tồn tại ) bằng việc đánh giá hàm số tại các 

giá trị ( chính xác đến chữ số thập phân thứ 6 ) 





7 












Với: 

Ta thấy được rằng : 








8 












Với : 

Ta thấy rằng : 

⇒ Không tồn tại giới hạn từ : 








9 












Với: 









10 












Với 



Sử dụng bảng của giá trị để tính giá trị của giới hạn.Nếu có thiết bị đồ họa , 

sử dụng nó để xác nhận kết quả của bạn : 





11 












Với : 









12 












Với : 









13 












Với : 









14 












Với : 


9 

Sau đó ta có thể biểu diễn chính xác giá trị là: ln 5 


(a) Tính giá trị của : 

bằng cách dựa vào đồ thị hàm số : f ( x) ( sinx ) / ( sinπ 

x) 

xác đến hai chữ số thập phân. 

(b) Kiểm tra đáp án của phần (a) bằng cách đánh giá f ( ) 

x = 0 

= lấy giá trị chính 

x với giá trị tiệm cận 





15 












(a) 

(b) 

Từ đồ thị , ta thấy rằng : 

Sau đó ta có thể tính được chính xác giá trị là 


(a) Tìm các tiệm cận đứng của hàm : 


1 

π 




(b) 

Xác nhận câu trả lời của phần (a) bằng cách vẽ đồ thị hàm số 

16 












(a) 

(b) 

Các mẫu số của 

bằng 0 khi x = 0 và 

3 

x = 

2 

3 

⇒ x = 0 và x = là hai tiệm cận của hàm . 

2 


Xác định 

(a) bằng cách xác định f ( x) = 

3 

tiệm cận phải 

(b) 

từ phần (a) vẽ đồ thị hàm số 

1 

với giá trị tiệm cận 1 là tiệm cận trái và 

x −1 





17 












(a) f ( x) = 

3 

(b) 

1 

x −1 

Từ các tính toán ta có thể thấy rằng : 

và 





18 












(a) 

Dựa vào đồ thị hàm số 

f 

( x) 

tan 4x 

= 

x 

và zoom về phía các điểm mà đồ thị đi quá trục y. Tính giá trị của 

(b) Kiểm tra lại kết quả phần (a) bằng cách xác định f ( ) 

là 0. 


(a) 

Từ đồ thị hàm số, ta có thể thấy rằng : 

x với giá trị tiệm cận x 





19 











(b) 


(a) Tính giá trị của giới hạn : 

(b) 

tới năm chữ số thập phân. Giá trị này có quen thuộc không ? 

Minh họa phần (a) bằng cách vẽ đồ thị hàm số 





20 












(a) Lấy : 


⇒ đó là khoảng e 

(b) 





21 












(a) 

Tính giá trị của hàm 

với x = 1,0.8,0.6,0.4,0.2,0.1,0.05 và ước tính giá trị của : 

(b) Tính giá trị của ( ) 


(a) 

f x với x = 0.04,0.02,0.01,0.005,0.003,0.001 . 

Ước tính giá trị của giới hạn trên. 

Với : 






22 











(b) 






23 












Cho: 

tính các giới hạn tồn tại. Nếu giới hạn không tồn tại thì giải thích tại sao. 

(a) lim ⎡ f ( x) + 5g ( x) 

x→2 

⎣ 

(b) lim ⎡g ( x) ⎤ 

3 

x→2 

⎣ 

⎦ 

(c) lim f ( x) 

(d) 

(e) 

(f) 

x→2 

( ) 

( ) 

3 

lim 

f x 

x →2 

g x 

( ) 

( ) 

g x 

lim 

x →2 

h x 

x →2 

( ). 

( ) 

f ( x) 

g x h x 

lim 

⎤⎦ 





24 












(a) 

(b) 

(c) 





25 











(d) 

(e) Bởi vì giới hạn của mẫu số là 0, chúng ta không thể sử dụng định luật giới 

hạn 5. Cho nên : 

(f) 

( ) 

( ) 

g x 

lim 

x →2 

h x 

⇒ không có giới hạn 





26 












Tính giới hạn : 









27 




















28 





















29 


















30 













Tính giới hạn ( Nếu tồn tại ) 





31 












11. 

12. 

13. 

14. 

⇒ không tồn tại khi x − 5 → 0 , nhưng 

⇒ không tồn tại khi 


Tính giới hạn ( nếu tồn tại ) 

x 

2 

− 3x 

− 4 → 0 , nhưng 

− 5 + 6 → 6 ⇔ → 5 

2 

x x x 

− 4 → 5 ⇔ → − 1 

2 

x x x 





32 












15. 

16. 

17. 

18. 





33 














19. Bằng công thức cho tổng các hình khối , ta có: 

20. Ta sử dụng phương pháp bình phương cho tử số và sự khác biệt của các hình 

khối ở mẫu số : 







34 


















35 



















36 




















37 



















38 




















39 



















40 




















41 



















42 













dựa vào đồ thị hàm số 

(b) Lập 1 bảng giá trị của ( ) 

(c) 

f x khi x → 0 và dự đoán giới hạn của nó. 

Sử dụng các định luật giới hạn để chứng minh dự đoán chính xác. 





43 












(a) 

(b) 

Giới hạn khoảng 2 3 





44 











(c) 


(a) 

Sử dụng đồ thị hàm: 

để tính giá trị của lim ( ) 

f x 

x →0 

(b) Sử dụng bảng giá trị của f ( ) 

(c) 

phân 

đến 2 chữ số thập phân 

x để tính giá trị của giới hạn đến 4 chữ số thập 

Sử dụng định luật giới hạn để tính chính xác giá trị của giới hạn. 





45 












(a) 

(b) 

Giới hạn xấp xỉ 0.2887 





46 











(c) 


Nếu ta có : 


Với x ≥ 0 . Hãy tính: 

Ta có: 


Từ : x ≥ 0 





x→4 

( x) 

⇒ lim f = 7 

47 












Nếu ta có : 

Với mọi x . Hãy tính: 


Ta có : 

Từ : với mọi x, 

x→1 

( ) 

⇒ lim g x = 2 


Chứng minh rằng : 





48 












Từ : 





Từ : 






49 












Tìm giới hạn ( nếu tồn tại ). Nếu giới hạn không tồn tại thì giải thích 


Bởi vậy : 

và : 

Từ đó : 







50 












Chúng ta xem xét các giới hạn 1 chiều 

Ta thấy giới hạn trái và phải khác nhau : 

⇒ 


không tồn tại giới hạn 






51 












Bởi : 

Như vậy : 

với x ≤ 0.5 







52 












Từ : 




x 

= − x với x < 0 


Từ : 


x 

= − x với x < 0 

⇒ sẽ không tồn tại khi x → 0 





53 












Cho : 

(a) Tính lim − f ( x) 

và lim + f ( x) 

− 

x→1 

(b) lim ( ) 

(c) 


(a) 

(b) 

(c) 

f x 

x →1 

có tồn tại ? 

Vẽ đồ thị hàm số f 

+ 

x→1 

Ta thấy giới hạn trái và giới hạn phải của hàm số tại x= 1 không bằng nhau 

⇒ lim ( ) 

f x 

x →1 

không tồn tại. 





54 













Tính : 


Bằng việc sử dụng ε , δ và định nghĩa của giới hạn. Chứng minh : 





55 












Với ε > 0 , chúng ta cần δ > 0 

Như vậy nếu 0 < x − 1 < δ 

Nhưng : 

Bởi vậy nếu chúng ta chọn 

Như vậy : 


3 

δ = ε , sau đó 

4 






56 














Nhưng : 

Bởi vậy nếu chúng ta chọn 

Như vậy : 


5 

δ = ε , sau đó 0 < x − 10 < δ 

4 






57 














Nhưng : 

Bởi vậy nếu chúng ta chọn δ = ε , sau đó 0 < x − 2 < δ 

Như vậy : 







58 













Như vậy nếu 0 < x + 1.5 < δ 

Nhưng : 

Bởi vậy nếu chúng ta chọn δ = ε , sau đó 0 < x − 2 < δ 

Như vậy : 







59 













Như vậy nếu 0 < x − a < ε 

Bởi vậy δ = ε 



⇒ x − a < δ 



Như vậy nếu 0 < x − a < δ 

⇒ c − c < ε 

Nhưng c − c = 0 

Bởi vậy kết quả sẽ đúng với δ chúng ta chọn 







60 














Chọn δ = ε ta có : 

Bởi vậy 


theo định nghĩ giới hạn 






61 














3 

Chọn δ = ε ta có : 

Bởi vậy 

3 

lim x 0 

x→0 


= theo định nghĩa giới hạn 






62 














Nhưng 

Điều đó sẽ đúng khi chúng ta chọn δ = ε 

Bởi vậy 

lim x = 0 theo định nghĩa giới hạn 

x→0 







63 













Như vậy nếu 0 x ( 6) 

Nhưng 

Như vậy nếu ta chọn 

Bởi vậy 


< − − < δ 

8 

δ = ε 






64 














Như vậy nếu ta chọn δ = ε 

Bởi vậy 







65 














Nhưng 

Như vậy mục tiêu của chúng ta là làm cho x − 2 đủ nhỏ để phương trình 

x + 4 bé hơn ε 

Giả sử ta có điều kiện đầu tiên 

Từ đó ta có 





66 











Chọn 

Sau đó nếu 

Bởi vậy 

Như vậy 







Bây giờ 





67 








Nếu 




⎧ ε ⎫ 

Bởi vậy nếu ta đặt δ = ⎨1, ⎬ 

⎩ 19 ⎭ 

ta có 0 < x − 2 < δ 

Bởi vậy 


Xác minh , bởi một một lập luận hình học , là sự lụa chọn lớn nhất của δ 

cho thấy rằng 

là 






68 











Từ đồ thị hàm số , những lựa chọn cho δ là 

Như vậy 







69 












1. Dự đoán giá trị của δ 

Lấy ε > 0 ta tìm được 1 số δ > 0 để : 

khi 

Nhưng : 

Ta tìm thấy 1 hằng số C để : 

và ta có thể làm : 

bằng cách lấy 

Ta hạn chế x nằm trong khoảng : 

bởi vậy : 





70 











Như vậy 

1 

C = là phù hợp 

2 

⇒ ta nên chọn δ = min{ 1,2ε 

} 

2. Biểu diễn δ với phương trình 

Với 0 

Nếu : 

sau đó 

Lại có 

Như vậy 

ε > và lấy δ = min{ 1,2ε 

} 





71 













nếu 


1. Dự đoán giá trị của δ 

Lấy ε > 0 ta tìm được 1 số δ > 0 để : 

khi 

Nhưng : 

Ta tìm thấy 1 hằng số C để : 

Ta hạn chế x nằm trong khoảng tập trung của a. 





72 








Nếu 




Như vậy 

ta có: 

Như vậy ta chọn : 

2. Biểu diễn δ với phương trình 

Với : ε > 0 

Nếu : 

sau đó 

và lấy 

1 

C = a + a là phù hợp 

2 


Lại có 

73 














Như vậy 


Nếu hàm số f được xác định bởi 

( ) 0 

f x = nếu x hợp lí 

và f ( ) 1 


không tồn tại. 

x = nếu x không hợp lí 





74 












Giả sử rằng 

Cho 

1 

ε = , vậy tồn tại δ > 0 

2 

để cho: 

Lấy một vài giá trị r hợp lý với 

Sau đó 





75 








Lấy vài giá trị s không hợp lý với : 




sau đó : 

vậy 

Như vậy 

mâu thuẫn với trên. 



( ) 

lim f x 

x →∞ 

không tồn tại 

Làm thế nào khi tiến dần đến -3 chúng ta chọn x để : 





76 














Cho 

Ta cần 


để cho : 

bởi vậy lấy : 

sau đó : 

δ = 

4 

1 

M 





77 











Như vậy 


Giả sử rằng : 


với c là số thực. 


nếu c > 0 

nếu c < 0 





78 












(a) Lấy M tùy ý. 

Từ lim ( ) 

Từ đó : 

f x 

x → a 

để cho : 

sẽ tồn tại δ 

1 

> 0 

sẽ tồn tại δ 

2 

> 0 để cho : 

Lấy δ min { δ , δ } 

Bởi vậy : 

(b) Lấy M > 0 . 

Từ ( ) 

= ta có 

1 2 


lim g x = c > 0 tồn tại δ 

1 

> 0 

x→a MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM 



79 








để cho : 




Từ lim ( ) 

f x 

x → a 

để cho : 


Như vậy : 

(c) Lấy N < 0 . 

Từ ( ) 

= ∞ sẽ tồn tại δ 

2 

> 0 

= ta có : 

1 2 

lim g x = c < 0 sẽ tồn tại δ 

1 

> 0 

x→a DIỄN ĐÀN TOÁN - LÝ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN 

để cho : 




80 











Từ lim ( ) 

f x 

x → a 


Như vậy : 


đoạn. 

= ∞ sẽ tồn tại δ 

2 

> 0 

= ta có : 

1 2 

Vẽ đồ thì hàm số f liên tục từ phía cánh phải tại điểm 2 trừ những sự gián 





81 












Đồ thị của y = f ( x) 

phải có sự gián đoạn tại x = 2 

và biểu thị rằng : 


Vẽ đồ thì hàm số f liên tục từ phía cánh trái tại điểm -1 và cánh phải tại 

điểm 4 , và gián đoạn tại điểm -1 và 4. 





82 












Đồ thị của hàm y = f ( x) 

phải gián đoạn tại điểm x = − 1 và x = 4 

Điều đó biểu thị rằng : 



Vẽ đồ thì hàm số f tháo gián đoạn tại điểm 3 và nhảy gián đoạn tại điểm 5 





83 












Vẽ đồ thì hàm số f cả trái và phải đều không liên tục tại điểm -2, chỉ liên 

tục từ phái trái của 2 


Đồ thị hàm số y f ( x) 

Điều đó biểu thị rằng : 

= phải không liên tục tại điểm x = − 2 với 





84 













Giả sử rằng f và g là nhưng hàm liên tục như vậy : 

Tính . 

Nếu f và g là hàm số liên tục và 


Sử dụng các định nghĩa về tính liên tục và tính chất của giới hạn để cho thấy 

sự liên tục của hàm số tại điểm a cho trước : 





85 












Như vậy hàm số f liên tục tại điểm a = 2 






Như vậy hàm số f liên tục tại điểm a = − 1 

86 


















Như vậy hàm số h liên tục tại điểm a = 1 



rằng hàm số là liên tục trong khoảng: 





87 












Với a > 2 ta có : 

Như vậy hàm số f liên tục tại x = a với mọi a trong khoảng ( 2,∞ ) 


⇒ f liên tục trong khoảng ( 2,∞ ) 


rằng hàm số là liên tục trong khoảng: 





88 












Với a < 3 ta có : 

Như vậy hàm số f liên tục tại x = a với mọi a trong khoảng ( −∞ ,3) 


⇒ f liên tục trong khoảng ( −∞ ,3) 

Giải thích tại sao hàm số bị gián đoạn tại điểm a cho trước. 

Vẽ đồ thì hàm số 





89 












định. 

Hàm số f ( x) 

Đồ thị hàm số f 


= 1 

x + 2 

bị gián đoạn tịa điểm 2 

a = − vì ( 2) 



f − chưa xác 





90 












Hàm số : 

Ở đây ( ) 

nhưng 

f − 2 = 1 

Bởi vậy lim f ( x) 

x→−2 


không tồn tại và f gián đoạn tại -2 





91 
















Giới hạn bên trái của f tại a = 0 là : 

Giới hạn bên phải của f tại a = 0 là : 

Từ đó ta có giới hạn không giống nhau. 

( ) 

⇒ không tồn tại 

lim f x 

x →0 

⇒ hàm số f bị gián đoạn tại 0 





92 
















Hàm số 

ta có : 





93 








Nhưng : 






⇒ f bị gián đoạn tại 1 







94 














nhưng : ( ) 

f 0 = 0 ≠ 1 







95 





















96 











nhưng : f ( 3) 

= 6 




Chứng minh rằng hàm f liên tục tại 2 





97 












Từ : 

với x ≠ 2 

⇒ 

Vậy hàm số f liên tục tại 2. 


Chứng minh rằng hàm f liên tục tại 2 





98 












Từ : 

với x ≠ 2 

Vậy hàm số f liên tục tại 2. 


Sử dụng tính liên tục để đánh giá giới hạn 





99 












Bởi vì ta đang đánh giá với hàm số gốc 


Bởi vậy hàm số 

Từ đó ta thấy : 

5 x 


+ liên tục trên [ 0,∞ ) 

x + 5 liên tục trên [ −5, 

∞ ) 

⇒ liên tục trên đoạn [ 0,∞ ) 

f liên tục tại x = 4 






100 












Bởi vì : x liên tục trên R 

sinx liên tục trên R 

⇒ x + sin x liên tục trên R. 

Như vậy hàm số 

⇒ liên tục trên R 

Từ đó ta thấy : 







101 












Bởi vì : 


Ta thấy : 

2 

x 



− x liên tục trên R 

⇒ cũng liên tục trên R 


Bời vì hàm số arctan là hàm số liên tục , áp dụng định luật 8 ta có : 





102 













Chứng minh rằng f liên tục trên ( −∞, 

∞ ) 


bởi định luật 5 : 

bởi định luật 7 : 

Tại x = 1 : 

2 

( ) = trên ( −∞ ,1) 

f x x 

⇒ f liên tục trên đoạn ( −∞ ,1) 

( ) = trên ( 1,∞ ) 

f x x 

⇒ f liên tục trên đoạn ( 1,∞ ) 

Bởi vậy , hàm f liên tục tại điểm x = 1 

Như vậy ta có f liên tục trên ( −∞, 

∞ ) 





103 













Chứng minh rằng f liên tục trên ( −∞, 

∞ ) 


Theo định luật 7 


⎛ π ⎞ 

f ( x) = sin x trên ⎜ −∞, ⎟ 

⎝ 4 ⎠ 

⎛ π ⎞ 

f ( x) = cos x trên ⎜ , ∞⎟ 

⎝ 4 ⎠ 

⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ 

⇒ f liên tục trên ⎜ −∞, ⎟ ∪ ⎜ , ∞⎟ 

⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 

⇒ tính liên tục của hàm sin tại 4 

π 





104 











⇒ bởi tính liên tục của hàm cos tại 4 

π 

Như vậy tồn tại : 


⇒ hàm f liên tục tại 4 

π 

⇒ hàm f liên tục trên ( −∞, 

∞ ) 

Tìm những điểm mà tại đó f bị gián đoạn. Những điểm mà f liên tục bên 

phía phải , bên phía trái hoặc cả hai. 






105 













có f liên tục trên ( ,2),( 0,2) 


Bởi vậy : 

Từ ( ) 

Cũng có : 


f 0 = 1 : 

−∞ và( 2,∞ ) 

⇒ f liên tục bên trại tại 0 

⇒ f liên tục tại 2 

Như vậy f chỉ bị gián đoạn tại điểm 0 


Vẽ đồ thì hàm số f 




106 



















107 













có f liên tục trên ( ,1),( 1,3) 


Bởi vậy : 

Từ ( ) 


f 1 = 2 : 


⇒ f liên tục bên trại tại 1 





108 












⇒ f liên tục tại 3 nhưng nó liên tục từ bên phải tại 3. 

Như vậy f chỉ bị gián đoạn tại điểm 1 










109 













có f liên tục trên ( −∞,0 ),( 1, ) 


f liên tục trên ( ) 

Bởi vậy : 


∞ vì trên mỗi khoảng nó là một đa thức 

0,1 vì trên khoảng nó là một hàm mũ. 





110 











Từ f ( 0) 

= 1 : 


Từ f ( 1) 

⇒ f liên tục bên phải tại 0 

⇒ f gián đoạn tại 1. 

= e 

⇒ f liên tục bên trái tại 1 






111 













Tìm những giá trị của hằng số c để hàm số f liên tục trên ( −∞, 

∞ ) 


ta có : f liên tục trên đoạn ( ,2) 

Bởi vậy để f liên tục ta cần : 






112 











Như vậy : 

2 

3 



c = thì hàm f liên tục trên ( −∞, 

∞ ) 

Tìm những giá trị của a và b để hàm số f liên tục trên ( −∞, 

∞ ) 


Tại x = 2 : 





113 











Tại x = 3 : 

Lấy (1) + (2) ta có : 

Thay 

⇒ 4a 

− 2b 

+ 3 = 4 

( ) 

4a 

− 2b 

= 1 1 

⇒ 9a − 3b + 3 = 6 − a + b 

( ) 

10a 

− 4b 

= 3 2 

1 

⇒ a = 

2 


1 

a = vào (1) ta có : 

2 

114 














Như vậy 


1 

− 2b 

= −1⇒ b = 

2 

1 

a = b = thì hàm số f liên tục trên đoạn ( −∞, 

∞ ) 

2 

Hãy chỉ ra rằng hàm số f bị gián đoạn rời tại a. Nếu có sự gián đoạn rời đó , 

tìm hàm số g mà đồng dạng f với x ≠ a và liên tục tại a. 


(a) Ta có : 


với x ≠ 1 




115 











Sự gián đoạn rời và hàm ( ) 

3 3 

và liên tục trên R. 

(b) Ta có : 

trên R. 

với x ≠ 2 

Sự gián đoạn rời và hàm số ( ) 

2 

(c) Ta có : 

Bởi vậy : lim ( ) 

f x 

x →π 

g x = x + x + x + 1 đồng dạng hàm f với x ≠ 1 

g x = x + x đồng dạng f với x ≠ 2 và liên tục 


không tồn tại 




116 








⇒ hàm bị gián đoạn tại x 

= π và là gián đoạn nhảy. 






Nếu : 

hãy tìm số c để : 


Lại có : 

Từ đó : 

liên tục trên đoạn [ 31,32 ] 

Như vậy c nằm trong khoảng ( 31,32 ) để f ( c ) = 1000 


Sử dụng các định lý giá trị trung gian để chỉ ra rằng có 1 phương trình gốc 

trong khoảng cho trước : 





117 














liên tục trong khoảng [ 1,2 ] 

⇒ − 1< 0 < 15 

Như vậy có tồn tại 1 số c trong khoảng ( 1,2 ) để cho f ( c ) = 0 

Vậy có phương trình gốc của phương trình : 








118 















⇒ − 1< 0 < 1 

Như vậy tồn tại 1 số c trong ( 0,1 ) để f ( c ) = 0 

Vậy có tồn tại phương trình gốc của phương trình : 








119 














tương đương với phương trình : 

⇒ liên tục trong khoảng [ 0,1 ] 

⇒ − 2 < 0 < e − 1 










120 













tương đương với phương trình : 


⇒ liên tục trong khoảng [ 1,2 ] 

⇒ sin1 > 0 > sin 2 − 2 




(a) 

(b) 

Chứng minh phương trình có ít nhất một nghiệm thực 

Sừ dụng máy tính để tính 1 khoảng độ dài 0.01 chứa nghiệm thực 





121 















⇒ − 0.46 < 0 < 1 


Vậy có tồn tại nghiệm của phương trình : 


trong khoảng ( 0,1 ) 

Như vậy nghiệm thực nằm trong khoảng ( 0.86,0.87 ) 


(a) 

(b) 


Sừ dụng máy tính để tính 1 khoảng độ dài 0.01 chứa nghiệm thực 





122 















⇒ − 1< 0 < 1.7 





Như vậy nghiệm thực nằm trong khoảng ( 1.34,1.35 ) 





123 












(a) 


(b) Sừ dụng đồ thị của bạn để tính chính xác giá trị nghiệm thực đến 3 chữ số 

thập phân 











124 











(b) Đồ thị hàm số : 

Sử dụng đồ thị hàm số trên , ta có thể tính chính xác nghiệm thực của 

phương trình là : 


(a) 


(b) Sừ dụng đồ thị của bạn để tính chính xác giá trị nghiệm thực đến 3 chữ số 

thập phân 


. 




125 
















(b) Đồ thị hàm số : 










126 












Chứng minh rằng f liên tục tại a khi và chỉ khi : 


( ) 

⇒ Ta có : 

( ) 

suy ra : 

⇐ Ta lấy ε > 0 

Từ : 

nếu f liên tục tại a , dựa vào định luật 8 với ( ) 

⇒ tồn tại δ > 0 để cho : 

Bởi vậy nếu : 

g h = a + h 





127 












Như vậy : 

và bởi vậy f liên tục tại a 



Chứng minh rằng sine liên tục , chúng ta có : 


với mọi số thực a. Bằng ví dụ bài trên tương đương là : 





128 












Chứng minh rằng cosine liên tục . 


Như ví dụ trên , chúng ta phải biểu diễn : 

để chứng minh rằng cosine liên tục. 



Tìm giá trị của x để f liên tục 





129 













là liên tục 

Lấy số α và δ > 0 trong khoảng bao gồm cả những số 

không hợp lý và những số hợp lý. 

Từ đó : f ( a ) = 0 

Bởi vậy : 


( ) 1 

f a = 

⇒ có vô hạn số x với : 

Tìm giá trị của x để f liên tục 





130 













là liên tục tại 0 

Ta chú ý rằng : 

bởi vậy sử dụng định lý Squeeze ta có : 

Nhưng g cũng liên tục . 

bởi vậy nếu : a ≠ 0 

trong khoảng 

những số hợp lý. 

δ > 0 

Từ đó : g ( a ) = 0 

Bởi vậy : 

hoặc g ( a) 

= a 

⇒ có vô hạn số x với : 

bao gồm cả những số không hợp lý và 





131 













Nếu a và b là các số dương , chứng minh rằng phương trình : 

có ít nhất 1 nghiệm nằm trong khoảng ( − 1,1) 


Lấy ( ) 

p x biểu thị phía bên trái của phương trình. 

Từ đó p liên tục trong khoảng [ − 1,1] 


⇒ tồn tại 1 giá trị c trong khoảng ( − 1,1) 

để p( c ) = 0 

Như vậy x = c 





132 













Chúng minh hàm số : 

liên tục trên ( −∞, 

∞ ) 


lượng giác . 


ta có: 

vì : 

là liên tục trên ( ,0) ( 0, ) 

⇒ 

−∞ ∪ ∞ vì là tích của một đa thức và hàm 

⎛ 1 ⎞ = 

⎝ x ⎠ 

4 

lim⎜ 

x sin ⎟ 0 

x→0 


Như vậy hàm f liên tục tại 0 , cũng như trên ( −∞, 

∞ ) 

133 















(a) 

(b) 

(c) 

Chứng minh hàm giá trị tuyệt đối 

( ) 

F x 

là hàm liên tục. 

= 

x 

Chứng minh rằng nếu f là hàm số liên tục trong một khoảng thì đó là f 

Kết quả của phần (b) có luôn đúng không ? Trong trường hợp khác , nếu 

f là liên tục , điều đó có nghĩa là f liên tục hay không. Nếu không, hãy đưa ví 

dụ. 



( −∞, 

∞ ) 

nên : 

suy ra : F liên tục tại x = a nếu a = 0 

Với : a > 0 

Với : a < 0 


Như vậy : hàm f liên tục tại x = a , cũng có nghĩa là liên tục trên 

134 














(b) Giả sử f liên tục trên khoảng I. 

trong đó a ∈ I 

Như vậy : f liên tục trên I 

(c) 

không, nhận định đó là sai. 

Ví dụ : 

hàm số : 

nhưng : 


là không liên tục tại x = 0 

là hàm liên tục trên R 

(a) Đồ thị hàm y f ( x) 

Vẽ đồ thì phác họa. 

(b) Đồ thị hàm số y f ( x) 

Vẽ đồ thị phác họa 

= có thể cắt tiệm cận đứng ? Có thể cắt tiệm cận ngang ? 

= có thể có bao nhiêu tiệm cận ngang ? 





135 












(a) Đồ thị của 1 hàm số có thể cắt 1 tiệm cận đứng theo định nghĩa , và không 

vượt quá nó. 

Đồ thị của 1 hàm số có thể cắt 1 tiệm cận ngang. Nó thậm chí có thể cắt tiệm 

cận ngang của nó vô số lần. 





136 















137 











(b) 

Đồ thị của 1 hàm có thể có 0,1 hoặc 2 tiệm cậng ngang. 

Ví dụ minh họa như sau: 

1, Không có tiệm cận ngang nào 

2, có 1 tiệm cận ngang 





138 











3, có 2 tiệm cận ngang 





139 












Cho hàm số f như đồ thì dưới , hãy tìm : 

(e) Phương trình tiệm cận đứng. 





140 












(e) Theo chiều dọc : 

Tiệm cận ngang là : 





141 












Cho hàm số f như đồ thì dưới , hãy tìm : 

(f) Phương trình tiệm cận ngang. 





142 












(f) Theo chiều dọc : 

Tiệm cận ngang : 


Vẽ đồ thị hàm số f đáp ứng được tất cả những yêu cầu sau: 





143 













Như vậy đồ thị hàm số f : 







144 













Như vậy đồ thị hàm số f : 





145 















Như vậy đồ thị hàm số f 





146 




















147 




















148 




















149 












Dự đoán kết quả của giới hạn : 

bằng cách đánh giá hàm : 

với x = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,20,50,100 


Sau đó sử dụng đồ thị hàm số để hỗ trợ việc tính kết quả. 


Sử dụng máy tính ta có : 





150 











Như vậy : 


(a) 

Sử dụng đồ thị hàm số 


f x 

x →∞ 

(b) Sử dụng bảng giá trị của f ( ) 

phân. 

chính xác đến 2 chữ số thập phân. 

x để tính giới hạn chính xác đến 4 chữ số thập 





151 












(a) Từ đồ thị hàm số : 

(b) 

trong một cửa sổ của [ 0,10.000 ] với [ 0,0.2 ] 

Ta có thể tính toán được : 

Bảng giá trị 

Từ bảng giá trị , ta tính được : 


Đánh giá giới hạn và biện minh cho các bước bằng cách phân tích giới hạn 

bằng cách thích hợp : 





152 












Ta có: 


Đánh giá giới hạn và biện minh cho các bước bằng cách phân tích giới hạn 

bằng cách thích hợp : 





153 














Tìm giới hạn hoặc cho thấy rằng nó không tồn tại 





154 



















155 



















156 



















157 





















158 





















159 



















160 



















161 



















162 



















163 




















164 


















165 



















166 













lại thêm : 

Như vậy : 



2 

⇒ x + → ∞ 

1 




do tử số tăng mà không bị ràng buộc , còn mẫu số tiến dần đến 1 khi x → ∞ 

167 


















nhưng : 

Như vậy : 

⇒ không tồn tại. 

⇒ không tồn tại. 







168 













Vì : 







169 













do tử số tiến dần đến ∞ , còn mẫu số tiến dần đến 1 khi x → ∞ 




Ta chọn : 

Với : 


t = e 

x 

x → ∞ 

t → ∞ 


π 

= 

2 




170 














Chia cả từ và mẫu cho 


3x 

e : 






171 



















172 












Từ : 


Như ta biết : 

Bởi vậy theo định lý Squeeze : 







173 












Từ : 


Như chúng ta biết : 

Bởi vậy theo đinh lý Squeeze : 







174 












Lấy t = ln x 

Với x → 0 



+ 

t → −∞ 


bằng cách dựa vào đồ thị hàm sô 

(b) Sừ dụng bảng giá trị của f ( ) 

(c) 

π 

= − 

2 

Chứng minh kết quả dự đoán là chính xác. 

x để dự đoán giá trị của giới hạn 





175 












(a) Ta có đồ thị hàm số : 

Từ đồ thị hàm số ( ) 

lim 

x→−∞ 

f 

f x ta tính được : 

( x) 

(b) Bảng giá trị của ( ) 

f x : 

1 

= − 

2 

Dựa vào bảng giá trị trên, ta tính được kết quả của giới hạn 


lim 

x→−∞ 

f 

( x) 

1 

= − 

2 

176 















Chú ý rằng : x < 0 

⇒ = = − 

2 

x x x 

⇒ khi chia cho x với x < 0 ta có : 





177 












(a) Sử dụng đồ thị hàm số : 


x 

f x 

→∞ 

(b) Sử dụng bảng giá trị f ( ) 

(c) 


Tính chính xác giá trị của giới hạn. 

(a) Đồ thị của hàm số : 

Từ đồ thị hàm số ( ) 

tới 1 chữ số thập phân. 

x để tính giới hạn đến 4 chữ số thập phân. 

f x ta tính được : 

( x) 

lim f = 1.4 

x→∞ 

(b) Bảng giá trị của f ( x ) : 





178 











Từ bảng giá trị ta tính được : 


( x) 

lim f = 1.4434 

x→∞ 





179 












Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đường cong. Vẽ đồ thị hàm số , 

dựa vào đồ thị để ước lượng các tiệm cận. 







180 











Bởi vậy : y = 2 là tiệm cận ngang. 

Đồ thị hàm số : 


Mẫu số : x − 2 → 0 khi x = 2 

Tử số không bằng 0 

2x 

+ 1 

= = 

x − 2 

⇒ y f ( x) 

⇒ lim f 

− 

x→2 

lim 

+ 

x→2 

f 

( x) 

( x) 

= −∞ 

= ∞ 

Vậy : x = 2 là tiệm cận đứng. 





181 




















182 











Như vậy : 


1 

y = là tiệm cận ngang. 

2 

Đồ thị hàm số f ( x ) : 





183 












Như vậy : 


1 

⇒ x = − là tiệm cận đứng. 

2 

⇒ x = 2 là tiệm cận đúng. 

1 

x = − và x = 2 là hai tiệm cận đứng. 

2 







184 













Như vậy : y = 2 là tiệm cận ngang. 






185 








Đồ thị hàm số f ( x ) : 




Ta thấy : 

⇒ x = − 2 là tiệm cận đứng. 

⇒ x = 1 là tiệm cận đứng. 

Như vậy x = − 2 và x = 1 là hai tiệm cận đứng. 








186 













Như vậy y = − 1 là tiệm cận ngang. 






187 








Đồ thị hàm số f ( x ) là : 




Ta thấy : mẫu số tiến dần đến 0 khi x = 0, x = 1, x = − 1 

tử số thì khác 0 

Như vậy : x = 0, x = 1, x = − 1 là 3 tiệm cận đứng. 










188 











Đồ thị hàm số g giống đồ thị hàm số f với ngoại trừ điểm x = 1 


với x → ±∞ 

( ) 

g x → ±∞ 

⇒ Không có tiệm cận ngang. 

Ta thấy : mẫu số của g tiến dần đến 0 khi x = 5 


⇒ x = 5 là tiệm cận đứng. 







189 













lại có : 

⇒ y = 2 là tiệm cận ngang. 

⇒ y = 0 là tiệm cận ngang 

Như vậy : y = 2và y = 0 là hai tiệm cận ngang. 





190 








Đồ thị hàm số : 




Ta thấy : mẫu số tiến dần đến 0 khi 

Như vậy : 


x = ln5 là tiệm cận đứng . 

Tìm tiệm cận ngang của hàm số : 

x = ln5 

bằng cách dựa vào đồ thị hàm f với −10 ≤ x ≤ 10 

Sau đó tính toán phương trình tiệm cận bằng cách đánh giá giới hạn. 

Hãy giải thích về sự khác biệt . 





191 













Từ đồ thị hàm số , ta thấy y = 1 là tiệm cận ngang. 


⇒ y=3 là tiệm cận ngang. 





192 















193 








1.Biến đổi… 





Giải: 


Giải: 



Giải: 















Giải: 






























Giải: 













Giải: 





Giải: 


Giải: 
















Giải: 
















Giải: 
















Giải: 



Giải: 















Giải: 


Giải: 
















Giải: 


Giải: 






Giải: 












Giải: 
















Giải: 



Giải: 















Giải: 
















Giải: 













Giải: 





Giải: 


Giải: 
















Giải: 


Giải: 
















Giải: 


Giải: 
















Giải: 


Giải: 



Giải: 















Giải: 


Giải: 













Giải: 





Giải: 


Giải: 






Giải: 












Giải: 
















Giải: 


Giải: 
















Giải: 


Giải: 


Giải: 
















Giải: 


Giải: 


Giải: 













Giải: 





Giải: 


Giải: 
















Giải: 













Giải: 





Giải: 


Giải: 
















Giải: 


Giải: 
















Giải: 


Giải: 


Giải: 
















Giải: 


Giải: 


Giải: 


















Giải: 



















Giải: 















Giải: 


Giải: 
















Giải: 






























Giải: 

















Giải: 















Giải: 
















Giải: 














































Giải: 
















Giải: 
















Giải: 


Giải: 
















Giải: 
















Giải: 


Giải: 
















Giải: 


Giải: 
















Giải: 
















Giải: 
















Giải: 






Giải: 












Giải: 
















Giải: 
















Giải: 






























Giải: 
















Giải: 






























































































































Giải: 
















Giải: 


Giải: 
















Giải: 
















Giải: 
















Giải: 


Giải: 
















Giải: 
















Giải: 


Giải: 
















Giải: 


Giải: 
















Giải: 


Giải: 





























Giải: 





Giải: 
















Giải: 































































































































Giải: 





























































































Giải: 



















Giải: 































Giải: 














































Giải: 































Giải: 
































Giải: 














































Giải: 
















Giải: 


Giải: 
















Giải: 



Giải: 















Giải: 
















Giải: 


Giải: 
















Giải: 
















Giải: 


























































































2.Phương trình đại số 






Giải: 












Giải: 






Giải: 












Giải: 


Giải: 













































Giải: 





























Giải: 


Giải: 
















Giải: 
















Giải: 













Giải: 





Giải: 


Giải: 
















Giải: 


Giải: 













Giải: 





Giải: 
















Giải: 
















Giải: 


Giải: 
















Giải: 


Giải: 
















Giải: 



Giải: 















Giải: 
















Giải: 



Giải: 















Giải: 












































Giải: 







































Giải: 















Giải: 



Giải: 















Giải: 












































































































































































TÍCH PHÂN HÀM SỐ MŨ - LOGARIT 





Tính tích phân sau 












































































































































































































































































Tính các tích phân sau

( Toán cao cấp ) Bài tập ánh xạ tuyến tính, chuỗi số và chuỗi hàm, số phức, tích phân hàm mũ có lời giải

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?