Bộ tài liệu bài tập theo chuyên đề tách ra từ đề thi thử 2018 môn Toán - Lớp 12 - Oxyz (Có lời giải chi tiết)

H À N H T R A N G K I Ế N T H Ứ C
C H O K Ì T H I T H P T Q G
vectorstock.com/1636879
Ths Nguyễn Thanh Tú
Tuyển tập
Bộ tài liệu bài tập theo chuyên đề tách ra từ
đề thi thử 2018 môn Toán - Lớp 12 -
Oxyz (Có lời giải chi tiết)
PDF VERSION | 2019 EDITION
ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL
TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM
Tài liệu chuẩn tham khảo
Phát triển kênh bởi
Ths Nguyễn Thanh Tú
Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật :
Nguyen Thanh Tu Group
Hỗ trợ trực tuyến
Fb www.facebook.com/HoaHocQuyNhon
Mobi/Zalo 0905779594

Câu 1 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A
(2; 2; 1) . Tính độ dài đoạn thẳng OA
A. OA = 3. B. OA = 9. C. OA 5 D. OA = 5.
Đáp án A
2 2 2
OA 2 2 1 3
Câu 2 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình
nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng (Oyz) ?
A. y = 0. B. x = 0. C. y − z = 0. D. z = 0
Đáp án B
Câu 3. (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai
điểm A (4; 0; 1) và B ( − 2; 2; 3) . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng
trung trực của đoạn thẳng AB ?
A. 3x + y + z − 6 = 0. B. 3x − y − z = 0.
C. 6x − 2y − 2z − 1 = 0. D. 3x − y − z + 1 = 0
Đáp án B
Gọi I là trung điểm của AB I 2;1;2
Phương trình mặt phẳng trung trực của AB đi qua I và có vtpt AB( 6;2;2)
là :
(P) : 3x-y-z=0
Câu 4 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tất cả
các giá trị của m để phương trình
2 2 2
x y z 2x 2y 4z m 0
là phương trình của một
mặt cầu.
A. m 6
B. m > 6. C. m < 6. D. m 6
Đáp án C
2 2 2
Để phương trình có dạng x y z 2ax 2by 2cz d 0 là phương trình mặt cầu thì :
2 2 2
a b c d
Vậy để phương trình đã cho là phương trình mặt cầu thì m

Câu 6. (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A
(1; − 2; 3) và hai mặt phẳng (P): x + y + z + 1 = 0, (Q): x − y + z − 2 = 0. Phương trình
nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua A, song song với (P) và (Q)?
x 1
x 1
t x 1
2t x 1
t
A. y 2
B. y 2 C. y 2
D. y 2
z 3 2t
z 3 2t
z 3 2t
z 3 t
Đáp án D
Gọi n ,n lân lượt là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q)
P
Q
Phương trình đường phẳng đi qua A (1;-2;3) và song song với (P) và (Q) hay có vtcp
n P,n
Q
1;0; 1
là :
x 1
t
y 2
z 3 t
Câu 7: (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
2 2 2
(S) : x 1 y 1 z 2 2
và hai đường thẳng
x 2 y z1 x y z1
d : , : .Phương trình nào dưới đây là phương trình của một
1 2 1 1 1 1
mặt phẳng tiếp xúc với (S), song song với d và Δ ?
A. y + z + 3 = 0. B. x + z + 1 = 0.
C. x + y + 1 = 0. D. x + z − 1 = 0.
Đáp án B
Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm
vì (P) song song với d và nên (P) có vtpt là n u d.u
1;0; 1 1. 1;0;1
suy ra loại đáp án A và C
Vì (P) tiếp xúc với (S) nên chọn đáp án B
Câu 8. (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai
điểm A (4; 6; 2), B (2; − 2; 0) và mặt phẳng (P):x + y + z = 0. Xét đường thẳng d thay
đổi thuộc (P) và đi qua B, gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d . Biết rằng khi d thay
đổi thì H thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính R của đường tròn đó.
A. R=1 B. R= 6 C. R= 3
D.R=2
Đáp án B
Gọi I là trung điểm AB suy ra I (3 ;2;1)
IA 3 2
d I; P 2 3
Bán kính đường tròn cần tìm là :
2 2
cau
R R d I;(P) 18 12 6

Câu 9 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz
phẳng ( P) : x 2y z 5 0 . Điểm nào
dưới đây thuộc ( P)
?
cho mặt
Đáp án D
A. Q(2; 1;5) B. P(0;0; 5) C. N( 5;0;0) D. M (1;1;6)
Tọa độ điểm M (1;1;6) thỏa mãn phương trình của mặt phẳng (P) nên M thuộc (P)
Câu 10 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017)Trong không gian với hệ tọa độ
dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Ox yz)
?
Đáp án B
A. i (1;0;0) B. k (0;0;1) C. j (0;1;0) D.
Oxyz vectơ nào
m (1;1;1)
Ta có: Oz (Oxy) nên nhận vecto k
= (0, 0, 1) làm vecto pháp tuyến của (Oxy)
Câu 11 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz phương
trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm
x 1 y 2 z 3
đường thẳng : ?
3 2 1
Đáp án C
M (3; 1;1)
A. 3x 2y z 12 0
B. 3x 2y z 8 0
và vuông góc với
C. 3x 2y z 12 0
D. x 2y 3z
3 0
Mặt phẳng cần tìm vuông góc với nên nhận vecto chỉ phương của là (3; -2; 1) làm
vecto pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng cần tìm là: 3( x 3) 2( y 1) z 1 0 3x 2y z 12 0
Câu 12 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz phương
trình nào dưới đây là phương trình của
đường thẳng đi qua điểm A (2;3;0) và vuông góc với mặt phẳng ( P) : x 3y z 5 0 ?
x
1
3t
x
1
t
x
1
t
A. y
3t
B. y
3t
C. y
1 3t
D.
z
1 t
z
1 t
z
1 t
x
1
3t
y
3t
z
1 t
Đáp án B
Vì đường thẳng vuông góc với (P) nên nhận vecto pháp tuyến của (P) là (1; 3; -1) làm
vecto chỉ phương nên chỉ có đáp án B hoặc C

Thay điểm A (2;3;0) vào thì chỉ có đáp án B thỏa mãn
Câu 13: (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm
M (1; 2;3)
. Gọi I là hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox . Phương trình nào dưới
đây là phương trình của mặt cầu tâm I bán kính IM ?
2 2 2
A. ( x 1) y z 13
2 2 2
B. ( x 1) y z 13
C.
2 2 2
( x 1) y z 13
Đáp án A
I là hình chiếu của M lên Ox nên I Ox
I( a;0;0), MI ( a 1;2; 3)
D.
2 2 2
( x 1) y z 17
Ta có: IM Ox MI. u 0 a 1
, ( với u (1;0;0) là vecto chỉ phương của Ox )
I(1;0;0), MI 13
Ox
Ox
Vậy phương trình mặt cầu tâm I, bán kính IM là:
2 2 2
( x 1) y z 13
Câu 14 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017)Trong không gian với hệ tọa độ
M ( 1;1;3)
và hai đường thẳng
x 1 y 3 z 1 x 1
y z
3 2 1 1 3 2
'
: , :
dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua M vuông góc với và
'
Oxyz
cho điểm
. Phương trình nào
x
1
t x
t
x
1
t
A. y
1 t B. y
1 t C. y
1 t D.
z
1 3t
z
3 t
z
3 t
x
1
t
y
1 t
z
3 t
Đáp án D
Gọi u (3;2;1), u (1;3; 2)
lần lượt là vecto chỉ phương của đường thẳng và
1 2
Gọi d là đường thẳng cần tìm
'
Vì
d
d
'
nên vecto chỉ phương của d là:
u u1, u
2
( 7;7;7)
1
Chọn vecto ( 1;1;1)
7 u
làm vecto chỉ phương của d
x
1
t
phương trình tham số của d là: y
1 t
z
3 t

Câu 15 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai
x
1
3t
x 1 y 2 z
đường thẳng d1
: y 2 t và d2
: mặt phẳng ( P) : 2x 2y 3z
0 .
2 1 2
z
2
Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua giao điểm của d và ( P)
, đồng
thời vuông góc với ? d 2
Đáp án C
A. 2x y 2z
22 0
B. 2x y 2z
13 0
C. 2x y 2z
13 0
D. 2x y 2z
22 0
A. 7 B. 4 C. 6 D. 5
Gọi A d1 ( P)
thì tọa độ A có dạng: A(1 3 t; t 2;2)
2(1 3 t) 2( t 2) 3.2 0 t 1 A(4; 1;2)
Gọi (Q) là mặt phẳng cần tìm
1
( Q)
d2
(Q) nhận vecto chỉ phương của d2
làm vecto pháp tuyến và (Q) qua A
Vậy phương trình của (Q) là: 2( x 4) ( y 1) 2( z 2) 0 2x y 2z
13 0
Câu 16: (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017)Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz , cho mặt
2 2 2
cầu ( S) : x y z 9, điểm M (1;1;2) và mặt phẳng ( P) : x y z 4 0 . Gọi là
đường thẳng đi qua M, thuộc ( P ) và cắt ( S)
tại hai điểm A, B sao cho AB nhỏ nhất. Biết
rằng có một vecto chỉ phương là u(1; a; b)
, tính T a b
A. T 2
B. T 1
C. T 1
D. T 0
Đáp án C
H
A
M
B
Ta có: M ( P)

OM
6 R 9 M nằm trong mặt cầu
2 2
(P) cắt mặt cầu thành 1 hình tròn (C)
Gọi H là tâm hình tròn (C)
Để AB nhỏ nhất thì AB HM
Vì
AB
HM
AB
( P)
uAB
HM , n ( P)
O là tâm mặt cầu và O (0; 0; 0)
x
t
4
Phương trình OH: y
t H ( t; t; t) ( P)
t
3
z
t
( 3;3;0)
là một vecto chỉ phương của AB
u AB
4 4 4 1 1 2
H ; ; HM ; ;
3 3 3 3 3 3
Chọn
1
u (1; 1;0)
3 AB
là vecto chỉ phương của AB
Thì a 1; b 0 a b 1
Câu 17 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
. Tính độ dài đoạn thẳng OA.
A(2;2;1)
A. OA 3
B. OA 9 C. OA 5
D. OA 5
Chọn đáp án A
0A
2, 2,1
0A
4 4 1 3
Câu 18 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương
trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng ( Oyz)
?
A. y 0
B. x 0
C. y z 0
D. z 0
Chọn đáp án B
0yz là mặt phẳng x=0
Câu 19. (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tất cả
2 2 2
các giá trị m để phương trình x y z 2x 2y 4z m 0 là phương trình của một
mặt cầu.
A. m 6
B. m 6
C. m 6 . D. m 6
Chọn đáp án D
pt
2 2 2
x 1 y 1 z 2 m 6 0
6 m 0 m 6

Câu 20. (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba
điểm A(0; 1;3) , B (1;0;1) , C( 1;1;2)
. Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc
của đường thẳng đi qua A và song song với đường thẳng BC ?
x
2t
A. y
1 t
B. x 2y z 0
z
3 t
x y 1 z 3
x 1 y z 1
C.
D.
2 1 1
2 1 1
Đáp Án C
Veto chỉ phương BC 2,1,1
Đi qua A0, 1,3
Phương trình đường thẳng cần tìm có dạng:
x y 1 z 3
2 1 1
Câu 21 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
A (4;0;1) và B( 2;2;3)
. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng trung trực của
đoạn thẳng AB ?
A. 3x y z 0
B. 3x y z 6 0
C. 3x y z 1 0
D. 6x 2y 2z
1 0
Đáp Án A
Gọi M là trung điểm của AB
M 1;1;2
AB 6;2;2 n 3;1;1
Vecto pháp tuyến là
Phương trình đường thẳng cần tìm có dạng:
3( x 1) 1( y 1) 1( z 2) 0
3x y z 0
Câu 22. (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt
2 2 2
x 2 y z 1
cầu ( S) : ( x 1) ( y 1) ( z 2) 2 và hai đường thẳng d : ,
1 2 1
x y z 1
: . Phương trình nào dưới đây là phương trình của một mặt phẳng tiếp xúc với
1 1 1
( S) , song song với d và ?
A. x z 1 0
B. x y 1 0 C. y z 3 0 D. x z 1 0
Đáp Án B
Pt pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là n d,
1;0;1
Pt có dạng: x z D 0
Khoảng cách từ O (-1;1;-2) đến mp là 2
D 1
Pt có dạng : x z 1 0

Câu 23 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm
A(1; 2;3) và hai mặt phẳng ( P) : x y z 1 0 , ( Q) : x y z 2 0 . Phương trình nào
dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua A , song song với ( P ) và ( Q)
?
x
1
t
x
1
x
1
2t
A. y
2
B. y
2 C. y
2
D.
z
3 t
z
3 2t
z
3 2t
Đáp Án D
Pt đường thẳng d có vecto chỉ phươngu
nP. n
Q
1;0; 1
Dt đi qua A (1;-2;3)
Chọn đáp án D
x
1
t
y
2
z
3 t
Câu 24 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai
điểm A (4;6;2) và B(2; 2;0) và mặt phẳng ( P) : x y z 0 . Xét đường thẳng d thay đổi
thuộc ( P)
và đi qua B , gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d . Biết rằng khi d thay
đổi thì H thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính R của đường tròn đó.
A. R 6
B. R 2
C. R 1
D. R 3
Đáp Án A
Gọi O là hình chiếu của A lên mp (P)
x
4 t
ptA0 : y 6 t
Ta có
z
2 t
t 4 O 0;2; 2
HB AO; HB HA HB ( AHO)
Có
HB HO
Ta có B;O cố định
Suy ra H nằm trên đường tròng đường kính OB cố định
1
r OB 6
2
Câu 25 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt
phẳng
( ) : x y z 6 0
dưới đây không thuộc ( )
?
. Điểm nào
A. N (2;2;2) B. Q (3;3;0) C. P (1;2;3) D. M (1; 1;1)
Đáp án D
Dễ thấy tọa độ
M (1; 1;1) không thỏa mãn phương trình mặt phẳng ( )
Câu 26 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt
cầu
2 2 2
( S) : ( x 5) ( y 1) ( z 2) 9 . Tính bán kính R của (S)?
A. R=3 B. R=18 C. R=9 D. R=6
Đáp án A
Từ phương trình mặt cầu (S) bán kính R 9 3
Câu 27: (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai
điểm A(1; 2; 3), B( 1;4;1)
và

x 2 y 2 z 3
đường thẳng d : . Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường
1 1 2
thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và song song với d ?
x y 1 z 1
x y 2 z 2
A.
B.
1 1 2
1 1 2
x y 1 z 1
C.
D.
x 1 y 1 z 1
1 1 2
1 1 2
Đáp án C
Gọi C là trung điểm của AB C(0;1; 1)
phương trình đường thẳng qua C và song song
với AB là:
x y 1 z 1
1 1 2
Câu 28: (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm
M (3;-1;-2) và mặt phẳng ( ) : 3x y 2z
4 0 . Phương trình nào dưới đây là phương
trình mặt phẳng đi qua M và
song song với ( )
?
A. 3x y 2z
14 0
B. 3x y 2z
6 0
C. 3x y 2z
6 0
D. 3x y 2z
6 0
Đáp án C
Phương trình mặt phẳng qua M và song song với
3( x 3) ( y 1) 2( z 2) 0 3x y 2z
6 0
Câu 29: (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
I (1;2;3) và mặt phẳng ( P) : 2x 2y z 4 0. Mặt cầu tâm I tiếp xúc với (P) tại điểm H.
Tìm tọa độ H .
A. H ( 1;4;4) B. H ( 3;0; 2) C. H (3;0;2) D. H (1; 1;0)
Đáp án C
Mặt cầu tâm I tiếp xúc với (P) tại H IH ( P)
( )
nên IH nhận vecto pháp tuyến của (P) làm vecto chỉ phương
x
1
2t
phương trình của IH: y 2 2 t H (1 2 t;2 2 t;3 t) ( P)
z
3 t
2(1 2 t) 2(2 2 t) (3 t) 4 0 t 1 H (3;0;2)
Câu 30 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai
x
2 3t
x 4 y 1
z
đường thẳng d : y 3 t và d ': . Phương trình nào dưới đây là phương
3 1 2
z
4 2t
trình đường thẳng thuộc mặt phẳng chứa d và d’, đồng thời cách đều hai đường thẳng đó.
x 3 y 2 z 2
A. B.
x 3 y 2 z 2
3 1 2
3 1 2
là:

x 3 y 2 z 2
C. D.
x 3 y 2 z 2
3 1 2
3 1 2
Đáp án A
Vì hai đường thẳng d và d’ song song với nhau nên đường thẳng a cần tìm cũng song song
với 2 đường thẳng nên a nhận u (3;1; 2)
làm vecto chỉ phương.
Gọi
A(2; 3;4)
d
3x y 2z
5 0
Giao điểm H của (P) và d’ là
9 18 6
I
; ;
7 7 7
Thay tọa độ điểm I
phương trình mặt phẳng (P) qua A vuông góc với d là:
4 15 16
H
; ;
7 7 7
vào xem phương trình nào thỏa mãn.
. khi đó trung điểm của AH là
Câu 31: (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai
2 2 2
điểm A(3; 2;6), B(0;1;0)
và mặt cầu ( S) : ( x 1) ( y 2) ( z 3) 25 . Mặt phẳng
( P) : ax by cz 2 0
đi qua A và B và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính
nhỏ nhất. Tính T a b c
A. T 3
B. T 5
C. T 2
D. T 4
Đáp án A
Vì mặt phẳng (P) đi qua A, B nên
3a 2b 6c 2 0 a 2 2c
( P) : (2 2 c) x 2y cz 2 0
b
2 b
2
Khoảng cách từ tâm I (1;2;3) của (S) đến (P) là:
(2 2 c) 2.2 c.3 2 c 4
d I,( P)
2 2 2 2
(2 2 c) 2 c 5c 8c
8
Khi đó bán kính của đường tròn giao tuyến là:
2 2
25 ( c 4) 124c 208c
184
5 2 8 8 5 2
c c c 8 c 8
r
2
124t
208t
184
Để r đạt giá trị nhỏ nhất thì hàm số f ( t)
trên [1; )
phải nhỏ nhất
2
5t
8t
8
2
48t
144t
192
t
4
Ta có: f '( t) , f '( t) 0
2 2
(5t
8t
8)
t
1
t 1
f '( t ) +
f ( t)

Khi đó hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại t 1
c 1
Ta có: T a b c 2 2c 2 c 4 c 3
Câu 32 : (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai
vectơ a
(2;1;0) và b( 1;0; 2)
. Tính cos a,
b
2
2
A. cos a,
b
B. cos a,
b
25
5
2
2
C. cos a,
b
D. cos a,
b
25
5
Đáp án B
a. b 2
cos a,
b
a . b 5
Câu 33 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017).Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz, cho hai
điểm A (1;1;0), B (0;1;2) . Vecto nào dưới đây là 1 vecto chỉ phương của đường thẳng
AB?
A. a (-1;0;-2) B. b (-1;0;-2) C. c
(1;2;2) D.
d
(-1;1;2)
Đáp án B
AB
(-1,0,2)
Câu 34 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz, cho mặt
2 2 2
cầu (S) : x ( y 2) ( z 2) =8 . Tính bán kính R của (S)
A. R=8 B. R=2 2
C. R=4 D. R=64
Đáp án B
R= 2 2
Câu 35 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017). Trong không gian với hệ tọa độ
0xyz
cho ba
điểm M (2; 3; − 1), N (−1; 1; 1) và P (1; m − 1; 2). Tìm m để tam giác MNP
vuông tại N .
A. m=2 B. m=0 C. m=-4 D. m=-6
Đáp án B
MN( 3; 2;2)
PN( 2;2 m; 1)

Tam giác MNP vuông tại N khi MN. NP 0
6 2(2 m) 2 m 0
Câu 36. (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Trong không gian với hệ tọa độ
0xyz cho điểm
(1; 2; 3) . Gọi M lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các trục 0 x;0y
M M1;
2
. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng M1M
2
?
A. u3 (1;0;0) B. u4 ( 1;2;0)
C. u1 (0;2;0) D.
Đáp án B
M ( m;0;0)
M 1 2
(0; n ;0)
vtcp
của 0x
n
(1;0;0)
u2 (1;2;0)
vtcp của 0y
m (0;1;0)
M1
MM
là hình chiếu của m lên 0x khi
1
. n =0 m 1
suy ra
M1
(1;0;0)
M
là hình chiếu của m lên0y khi MM . m
0
2
2
n 2 suy ra
M
2
(0;2;0)
M1M
2
(-1;2;0) là vtcp của đt
M1M
2
Câu 37 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017). Trong không gian với hệ tọa độ
trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm M
vectơ pháp tuyến n (1; 2;3)
?
Đáp án A
A. x-2y+3z+12=0 B. x-2y+3z-12=0
C. x-2y-3z-6=0 D. x-2y-3z+6=0
0xyz
, phương
(1; 2; − 3) và có một
Ptmp
(x-1)-2 (y-2)+3 (z+3)=o
x 2y 3z
12 0
Câu 38. (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Trong không gian với hệ tọa độ
0xyz , phương
trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đi qua ba điểm M (2; 3; 3), N (2; − 1;
− 1),
P (− 2; − 1; 3) và có tâm thuộc mặt phẳng ( ) : 2x 3y z 2 0
2 2 2
2 2 2
A. x y z -2x + 2y - 2z - 10=0 B. x y z - 2x + 2y - 2 z - 2=0
2 2 2
2 2 2
C. x y z - 4x + 2y - 6z – 2 = 0 D. x y z + 4x - 2y + 6z + 2 = 0
Đáp án C
A (2;1;1) là trung điểm của MN ;B (0;-1;1) là trung điê,r của NP

Gọi I (a,b,2a+3b+2) suy ra AI( a 2; b 1;2a 3b
1)
BI( a; b 1;2 a 3b
1)
NP( 4;0;4)
MN(0; 4;4)
Vì M,N,P thuộc mặt cầu suy ra AI vg MN ;BI vg NP
AI MN 0 a 2b
2
BI. NP 0 b 1
suy ra a=2; b=-1 suy ra I (2;-1;3) suy ra IM 16
Vậy
2 2 2 2 2 2
( S) : ( x 2) ( y 1) ( z 3) 16 x y z 4x 2y 6z
2 0
Câu 39 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017). Trong không gian với hệ tọa
độ cho ba điểm
0xyz
A (− 2; 0; 0), B (0; − 2; 0) và C (0; 0; − 2) . Gọi D là điểm khác O sao cho
DA, DB,
DC đôi một vuông góc với nhau và I( a; b; c)
là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD . Tính S a b c
A. S= -3 B. S= -1
C. S= -2 D. S= -4
.Đáp án B
Vì DA, DB,DC đôi 1 vuông góc ,D khác O suy ra D đối xứng với O qua mp (ABC)
Mp (ABC) có dạng x+y+z+2=0
4
4
4
Suy ra D ( ; ; )
3 3 3
Trung điểm K (0;-1;-1) của BC
2 4 4
AD( ; ; )
3 3 3
x
t
suy ra đường thẳng đi qua K và song song với AD có y
1 2t
(d 1 )
z
1 2t
5 2 2
Trung điểm P ( ; ; ) của AD
3 3 3
4 1 1
DK( ; ; )
3 3 3
5
x 4 k
3
2
suy ra đường thẳng đi qua P và song song với DK có ptđt y
k (d 2 )
3
2
z
k
3

1 1 1
Tâm I là giao của d1,
d2
suy ra I ( ; ; ) suy ra S=a+b+c=-1
3 3 3

Câu 1: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz, cho đường thẳng điểm I(–1;–1;–1) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z = 0. Viết phương
trình mặt cầu (S) tâm I và tiếp xúc với (P)
2 2 2
A. (S):(x+1) (y 1) (z 1) 1 B.
2 2 2
C. (S):(x+1) (y 1) (z 1) 9 D.
Đáp án là A
2 2 2
(S):(x+1) (y 1) (z 1) 4
2 2 2
(S):(x+1) (y 1) (z 1) 3
Mặt cầu (S) tiếp xúc với (P) thì khoảng cách tâm I tới (P) bằng bán kính
2. 1 1 2. 1
2 2 2
d
1 PT
/
S : x 1 y 1 z 1
1
I P
2 2 2
2 1 2
R
của (S)
Câu 2: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz, cho hai điểm A(1;–1;2), B(–1;–4;0) và cho đường thẳng d có phương trình
x 1 y z 2
. Tìm tọa độ của điểm M thuộc d sao cho A là trung điểm BM.
2 1 1
A. M = (3;–2;4) B. M = (–3;2;4) C. M = (3;2;–4) D. M = (3;2;4)
Đáp án là D
Để A là trung điểm BM thì
xM 2xA xB
2.1 1 3
yM 2yA yB
2. 1 4 2
zM 2zA 2zB
2.2 0 4
Câu 3: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) : 2x + 3y – mz – 2 = 0 và (Q) : x + y + 2z + 1 = 0. Tìm m để hai
mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.
5
3
9
A. m
B. m
C. m
D.
2
2
2
7
m 2
Đáp án là A
Mặt phẳng (P) có VTPT n
Để
2,3, m
, mặt phẳng (Q) có VTPT
5
P Q n. n ' 0 2 3 2m 0 m
2
n ' 1,1, 2
Câu 4: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz, cho ba điểm A(3;0;0), B(0;–4;0), C(0;0;4). Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua ba
điểm A, B, C.
1

A. (R) : 4x – 3y + 3z – 12 = 0 B. (R) : 4x + 3y + 3z + 12 = 0
C. (R) : 3x – 4y + 4z – 12 = 0 D. (R) : 3x + 4y + 4z + 12 = 0.
Đáp án là A
x y z
(R) là mặt phẳng có phương trình đoạn chắn là 1 4x 3y 3z
12 0
3 4 4
Câu 5: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho điểm M (2;–1;3) và mặt phẳng (P) có phương trình x – 2y + z – 1 = 0. Tìm tọa độ hình chiếu
vuông góc H của M trên (P).
A. H = (1;–2;1) B. H = (1;1;2) C. H = (3;2;0) D. H = (4;–2;–3)
Đáp án là B
Phương trình đường thẳng d đi qua M vuông góc
với (P) nhậnvéc tơ pháp tuyến n 1; 2;1
của (P)
d
M
làm véc tơ chỉ phương là
x
2 t
y
1 2t
thay tọa độ tham số vào (P) ta được phương trình
z
3 t
2 t 2( 1 2 t) 3 t 1 0 6t 6 t 1 H 1;1;2
(P)
H
Câu 6: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Trong không gian với hệ tọa độ
x
Oxyz, cho hai đường thẳng d 1 và d 2 lần lượt có phương trình là 1 y 2 z 3
,
1 3 1
x 2 y 2 z 1
. Tìm tọa độ giao điểm M của d 1 và d.
2 1 3
A. M = (0;–1;4) B. M = (0;1;4) C. M = (–3;2;0) D. M = (3;0;5)
Đáp án là A
Phương trình tham số lần lượt của
d1,
d2
1 t 2 2 t ' t 2 t ' 1 t
1
2 3t 2 t ' 3 t t ' 4 t
' 1
là
x 1 t x 2 2 t '
y 2 3 t ; y 2 t '
z 3 t
z 1
3 t '
Giải hệ M 0; 1;4
Câu7 ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho hai điểm M 1; 1; 2 , N 3;5;7 .
Tính tọa độ của véc tơ MN .
A. MN 2;9;6 . B. MN 2;6;9 . C. MN 6;2;9 . D. MN 9;2;6 .
2

Đáp án B
Sử dụng công thức MN x x ; y y ; z z .
N M N M N M
Câu 8( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
x 1 y z 3 x 2 y 3 z 5
xét vị trí tương đối của hai đường thẳng 1
: và 2
:
1 2 1 2 4 2
A. Trùng nhau. B. Song song. C. Chéo nhau. D. Cắt nhau.
Đáp án B
đi qua M 1 1;0;3
1 và có VTCP u
1
1;2; 1
.
2
đi qua M
2 2;3;5
và có VTCP u1 2;4; 2
.
Ta có u 2 u u , u cùng phương.
2 1 1 2
Thay tọa độ điểm vào phương trình đường thẳng thấy không thỏa mãn.
Vậy / / .
1 2
M1
2
Câu 9: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1;2;1), B(–2;1;3), C(2;–1;1), D(0;3;1). Viết phương trình mặt
phẳng (P) chứa hai điểm A, B sao cho C, D nằm về hai phía khác nhau của (P) đồng thời C,
D cách đều (P)
A. (P) : 2x + 3z – 5 = 0 B. (P) : 4x + 2y + 7z – 15 = 0
C. (P) : 3y + z – 1 = 0 D. (P) : x – y + z – 5 = 0
Đáp án là A
(P) nằm giữa và cách đều C,D nên (P) đi qua trung điểm M
điểm A, B, M.
AB 3; 1;2 ; AM 0; 1;0 AB, AM
2;0;3
Ta có
Vậy PT (P) là
2 x 1 3 z 1 0 2x 3y
5 0
1;1;1
của CD vậy (P) đi qua ba
Câu 10: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Trong không gian Oxyz, cho ba
véc tơ a 5;7;2 , b 3;0;4 , c 6;1; 1
. Hãy tìm véc tơ n 3a 2b c .
A. n 3;22; 3
. B. n 3;22;3
. C. n 3; 22;3
. D. n 3; 22; 3
.
Đáp án A
n 3a 2b c 3(5;7;2) 2(3;0;4) ( 6;1; 1) (3;22; 3)
3

Câu 11: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Trong không gian Oxyz, cho tam
giác ABC trong đó A(1;0; 2)
, B(2;1; 1)
, C(1; 2;2)
. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam
giác ABC.
4 1 1
4 1 1
4 1 1
4 1 1
A. G ; ; . B. G ; ; . C. G ; ; . D. G ; ; .
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
Đáp án C
xA xB xC
4 1 1 4 1 1
xG , yG , zG
G( ; ; )
3 3 3 3 3 3 3
Câu 12: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Trong không gian Oxyz, cho hai
điểm A(2;0;1) , B( 1;2;3)
. Tính khoảng cách giữa hai điểm AB.
A. AB 17 . B. AB 13 . C. AB 14 . D. AB 19 .
Đáp án A
AB ( 3;2;2) AB 17
Câu 13: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Tìm trên Oz điểm M các đều điểm
A(2;3;4) và mặt phẳng (P) : 2x 3y z 17 0 .
Đáp án B
A. M(0;0; 3)
. B. M(0;0;3) . C. M(0;0; 4)
. D.
M Oz M (0;0; m)
AM m m
d( M ;( P))
2 2
4 9 ( 4) ( 4) 13
m 17
14
AM d M P m m
2
( ;( )) 17 14. ( 4) 13
2 2 2
( m 17) 14.[( m 4) 13] 13m 78m 117 0 m 3
M (0;0;3)
M(0;0;4)
Câu 15: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Viết phương trình mặt phẳng tiếp
2 2 2
xúc với mặt cầu (S) : (x 2) (y 1) (z 3) 9 tại điểm M(6; 2;3)
.
A. 4x y 26 0 B. 4x y 26 0 C. 4x y 26 0 D. 4x y 26 0
Đáp án A
4

I(2; 1;3), IM (4; 1;0)
M ( P)
( P) : 4( x 6) ( y 2) 0 4x y 26 0
VTPT : IM
Câu 16: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Trong không gian Oxyz, cho
đường thẳng
x 2 y z 1
d :
1 1 2
. Tìm m để d vuông góc với (P).
và mặt phẳng
2
(P) : (3m 1)x (m 1)y (1 3m )z 2 0
A. m 1. B. m 1. C. m 3 . D. m 3.
Đáp án A
x 2 y z 1
d : u 1; 1; 2
1 1 2
(P) : (3m 1)x (m 1)y (1 3m )z 2 0 n 3m 1; m 1; 1
3m
3m
1 k.1
d P n ku m 1 k. 1
m 1
1 3 m
2
k. 2
2 2
Câu 17: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Trong không gian với hệ tọa độ
x
Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và cho đường thẳng d có phương trình 2 y 2 z 3
. Tìm
2 1 1
tọa độ hình chiếu vuông góc H của A trên d.
A. H (0;1;2) . B. H (0; 1;2)
. C. H (1;1;1) . D. H ( 3;1;4)
.
Đáp án B
H d H t t t
AH. u 0 2 1 2t 1 4 t t 0 t 1 H 0; 1;2
2 2 ; 2 ;3 ; H là hình chiếu của A AH 1 2 t; 4 t; t u 2; 1;1
Câu 18: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Gọi d là đường thẳng đi qua điểm
A( 2; 1;1) và song song với mặt phẳng (P) : 2x y z 5 0 , cắt trục tung tại điểm B. Tìm
tọa độ của B.
A. B (0;4;0) . B. B (0; 2;0)
. C. B (0;2;0) . D. B (0; 4;0)
.
Đáp án D
5

Khoảng cách từ A tới (P) là
h
Khoảng cách từ B(0;b;0) tới (P) là
2. 2 11
5 9
2 2 2
2 1 1
6
h'
2.0 b 0 5 b 3
2 2 2
2 1 1
6
b
4
Do AB song song với (P) h h ' b 5 9 B 0; 4;0
b
14
Câu 19( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Trong không gian Oxyz, cho hai
x 1
t
x 3 y 1 z
đường thẳng d
1
: và d
2
: y 1 t . Viết phương trình mặt chứa d 2
và
1 2 1
z 2
song song với d 1
.
A. x y z 2 0 . B. x y z 2 0 . C. x y z 2 0. D. x y z 2 0 .
Đáp án B
u1( 1;2;1)
u2(1; 1;0)
n [ u , u2] (1;1; 1)
1
M (1; 1;2) d2
M ( P)
( P) : ( x 1) ( y 1) ( z 2) 0
VTPT n
( P) : x y z 2 0
Câu 20 ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Trong không gian Oxyz, cho
A(4;3; 1)
AH ngắn nhất.
và đường thẳng
x 1 y z 2
d : . Tìm điểm H thuộc đường thẳng d sao cho
2 1 2
5 1 8 5 1 8
A. H(3;4;1) . B. H(3;1;4) . C. H ; ; . D. H ; ; .
3 3 3 3 3 3
Đáp án D
AH AH d
min
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d
6

( P) : 2( x 4) ( y 3) 2( z 1) 0
( P) : 2x y 2z
9 0
H d ( P)
H d H (1 2 t; t;2 2 t)
1 5 1 8
H ( P) 2(1 2 t) t 2(2 2 t) 9 0 t H ( ; ; )
3 3 3 3
Câu 21: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Trong không gian Oxyz, cho 2 véc
tơ a 1; 5;2 , b 2; 4;0 .
Tính tích vô hướng của 2 véc tơ a
và b
.
A. ab 22 B. ab 22
C. ab 11
D. ab 11
Đáp án B
Ta có: a. b 1.2 ( 5).( 4) 2.0 22.
Câu 22: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng
x y z
là véc tơ nào dưới đây ?
1 2 3
A. n1 6;3;2
B. n2 6;2;3
C. n3 3;6;2
D.
P : 1
Đáp án A
1 1
1; ; / / ' 6;3;2 .
2 3
(P) có vecto chỉ phương là n n
n4 2;3;6
Câu 23: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Cho hai véc tơ
a 1;0; 3 , b 1; 2;0 . Tính tích có hướng của hai véc tơ a
và b
A. a, b
6;3; 2 .
B. a, b
6; 3; 2 .
C. a, b
6;2; 2 .
D. a, b
6; 2; 2 .
Đáp án A
0 3 3 1 1 0
Ta có a, b ; ; 6;3; 2
.
2 0 0 1 1 2
Câu 24: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H
của điểm M 1;2; 4
trên trục Oz.
A. H(0;2;0). B. H(1;0;0). C. H(0;0;–4). D. H(1;2;–4).
Đáp án C
7

Câu 25: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Trong không gian với hệ tọa độ
: 6 0
Oxyz, cho mặt phẳng P x y z m và cho đường thẳng d có phương trình
x 1 y 1 z 3
. Tìm m để d nằm trong (P).
2 4 1
A. m = –20. B. m = 20. C. m = 0. D. m = –10.
Đáp án A
Ta có u 2; 4; 1 , n 1; 1;6 u n d / / P d P .
d
P
d
Lấy M 1; 1;3 P . Để d P thì M P 1 ( 1) 6.3 m 0 m 20
.
P
Câu 26: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Viết phương trình mặt phẳng chứa
trục Ox và chứa điểm M
4; 1;2 .
A. 2y + z = 0. B. 4x + 3y = 0 C. 3x + z = 0 D. 2y – z = 0
Đáp án A
Mặt phẳng cần tìm đi qua O và có VTPT là i, OM 0; 2; 1
.
Phương trình mặt phẳng cần tìm là 2y
z 0 .
Câu 27. ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Trong không gian với hệ tọa độ
: 2 2 0
Oxyz, cho mặt phẳng P x y z m và điểm I 2;1;1 . Tìm m 0 để khoảng cách
từ I tới P bằng 1.
A. m 10.
B. m 5.
C. m 0.
D. m 1.
Đáp án C
m 3
d I, P 1 m 3 3 m 0
3
Ta có
Câu 28 ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Trong không gian với hệ tọa độ
A
B
Oxyz, cho hai điểm 1;2;3 và 1;4;1 . Viết phương trình mặt cầu S đường kính AB.
2 2
S x y z
2
A. S : x y 3 z 2 3.
B.
C. S : x 1 y 4 z 1 12. D.
8
2 2 2
: 1 2 3 12.
2 2
2
2
S x y z
2 2
: 3 2 12.

. Đáp án A
Ta có mặt cầu có tâm
I là trung điểm của AB I 0;3;2
R IA
3 .
Câu 29. ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz, cho hai điểm
A
B
4;3;2 , 0; 1;4 .
Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB.
A. 2x y z 3 0
B. 2x 2y z 3 0
C. x 2y z 3 0
D. 2x 2y z 3 0
Đáp án B
AB AB
Mặt phẳng trung trực của đi qua trung điểm của là I 2;1;3 và có VTPT là
AB 4; 4;2
Vậy PTMP cần tìm là
4 x 2 4 y 1 2 z 3 0 hay 2x 2y z 3 0
Câu 30 ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Trong không gian với hệ trục tọa độ
x
1
t
Oxyz , cho đường thẳng d : y 2 4 t . Hỏi d đi qua điểm nào dưới đây:
z
3 5t
0;6;8 .
A. B. 1;2;3 . C. 1; 4; 5 . D.
3;6;8 .
Đáp án A
Với x 0 ta có t 1
thay vào y, z ta có y 6 và z 8
Câu 31: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Trong không gian Oxyz, cho mặt
2 2 2
cầu S : x y z 10x 2y 26z
170 0 , tọa độ tâm của S là
A. 5; 1; 13 . B. 5;1;13 . C. 10; 2; 26 . D. 10;2;26 .
Đáp án A
S x y z x y z
2 2 2
: 10 2 26 170 0
x y z
2 2 2
5 1 13 25
Đáp án C
9

Câu 32: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x 2y z 9 0 và mặt cầu
2 2 2
(S) : (x 3) (y 2) (z 1) 100. Biết (P) cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn. Tìm
tọa độ tâm của đường tròn giao tuyến.
A. (3;2; 1) . B. ( 3;2; 1) . C. (3; 2;1) . D. ( 3;2;1)
.
Đáp án C
2 2 2
(S) : (x 3) (y 2) (z 1) 100
có tâm I 3; 2;1
Tâm O của đường tròn là hình chiếu của I nên (P) : 2x 2y z 9 0
Đường thẳng d đi qua I và vuông góc vói (P) có PTTS
x
3
2t
y
2 2t
z
1 t
Thay tọa độ tham số vào (P) ta được
Vậy O3; 2;1
2 3 2t 2 2 2t 1 t 9 0 t 0
Câu 33: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Trong không gian với hệ tọa độ
x 2 y 1 z
Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x y z 3 0 và đường thẳng : . Gọi I là
1 2 1
giao điểm của
với và MI 4 14 .
và (P). Tìm điểm M thuộc (P) có hoành độ dương sao cho MI vuông góc
A. M (5;9; 11)
. B. M (5; 9;11)
. C. M ( 5;9;11)
. D. M (5;9;11) .
Đáp án A
x 2 t
x 2 y 1 z
: PTTSy 1
2t
1 2 1
z
t
2 t 1 2t t 3 0 t 1
I 1;1;1
M x; y;z IM x 1; y 1;z 1
GS
(P) x y z 3 0 x y z 31
thay tọa độ tham số vào
M thuộc
IM IM x 1; y 1;z 1 .u 1; 2; 1 0 x 2y z 2 2
(P) : x y z 3 0
x y z 3 y 2x 1
1 , 2
3
x 2y z 2 z
4 3x
Từ
10

2 2 2
MI 4 14 x 1 y 1 z 1 224
x 1 4 x 5 y 9, z 11 M 5;9; 11
2 2 2 2
3 x 1 2x 2 3x 3 224 14 x 1 224
Câu 34 ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và cho đường thẳng d có phương trình
x 2 y 2 z 3
. Tìm
2 1 1
tọa độ của điểm B thuộc trục hoành sao cho AB vuông góc với d.
A. B 3
3
;0;0 . B. B 1;0;0 .
C. ;0;0 . D.
2
B
2
Đáp án C
Giả sử B m;0;0 AB m 1; 2; 3
.
3
Để AB d thì AB. ud
0 2m 1
2 3 0 m .
2
Vậy
3
B( ;0;0)
2
B 1;0;0 .
Câu 35: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz, cho hai điểm
A(0;0;3),M(1;2;0) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và cắt
Ox, Oy lần lượt tại B, C sao cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM.
A. (P) : 6x 3y 4z 12 0 . B. (P) : 6x 3y 4z 12 0 .
C. (P) : 6x 3y 4z 2 0 . D. (P) : 6x 3y 4z 2 0 .
Đáp án A
Tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM khi và chỉ khi trung điểm I của BC nằm
trên đường thẳng AM.
AM 1;2; 3
PTTS của AM là
x
t
y
2t
z
3 3t
Giả sử
b c
B b;0;0 , C 0; c;0 I ; ;0
. I thuộc đường thẳng AM nên ta có hệ PT
2 2
11

t
2 t
1
c
2t
b
2
2 c
4
3 3t
0
Vậy PT mặt phẳng (P) là
x y z
1 6x 3y 4z
12 0
2 4 3
Câu 36: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Viết phương trình mặt phẳng đi
qua điểm A(1;1;1) và vuông góc với hai mặt phẳng x y z 2 0, x y z 1 0.
A. x y z 3 0. B. y z 2 0. C. x z 2 0. D. x 2y z 0.
Đáp án B
x y z 2 0
n 1;1 1
1
x y z 1 0
n2
1; 1;1
n n n 0; 2; 2
1 2
Câu 37: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Trong không gian
Oxyz , cho
x 1 y 3 z 3
đường thẳng d và cho mặt phẳng P : 2x y 2z
9 0 . Tìm tọa độ
1 2 1
giao điểm của d và (P) .
0;1;4 .
A. 0; 1;4 . B. C. 0; 1; 4 . D.
Đáp án A
Gọi 1 ; 3 2 ;3
M t t t d
Vì
M P 2 1 t 3 2t 2 3 t 9 0 t 1
0;1; 4 .
Câu 38: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Viết phương trình đường thẳng đi
qua M
2;0; 3
và song song với đường thẳng
x 1 y 3 z
.
2 3 4
x 2 y z 3 x 2 y z 3 x 2 y z 3 x 2 y z 3
A. . B. . C. . D. .
2 3 4 3 2 4 2 3 4 2 3 4
Đáp án A
Câu 39.( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Cho u 3i
2
j mk
và v i
k
.
Tìm m để uv 2
12

A. m 0
B. m 1
C. m 2
D. m 3
Đáp án B
Ta có u. v 2 3 m 2 m 1.
Câu40 .( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Trong không gian Oxyz với hệ tọa
độ Oxyz, cho điểm
2 1 1 2
I 0; 2;1
và hai đường thẳng
1
: x y z
,
2
:
x y
d d
z
1 1 2 1 1 2
. Viết phương trình đường thẳng đi qua I cắt và vuông góc với d .
d1
2
x y 2 z 1 x y 2 z 1 x y 2 z 1 x y 2 z 1 A. . B. . C. . D. .
4 2 1 5 1 2 5 1 2 4 2 1
Đáp án A
1
d
Giả sử cắt tại A 2 t; t; 1
2t
.
Ta có u
IA 2 t;2
t;2t
2
.
Do d u . u 0 2 t 2 t 22t 2 0 t u 4;2; 1
2
d
2
2 2
3
3
Câu 41 ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Trong không gian với hệ tọa độ
: 3 0
Oxyz, cho mặt phẳng P x y z và cho điểm A 1;2;3 . Tìm tọa độ của điểm B đối
xứng với A qua P .
B
B
B B
A. 1;0;1 . B. 1; 1;0 . C. 1; 1; 1 . D.
Đáp án A
x
1
t
Đường thẳng d qua A và vuông góc với P
là y
2 t .
z
3 t
Giao điểm của d và (P) là H 0;1;2 .
Do H là trung điểm AB nên B1;0;1
.
1; 2;1 .
Câu 42( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) . Trong không gian với hệ tọa độ
x 1 y 1 z 2
Oxyz, cho mặt phẳng P : x y z 1 0 và cho đường thẳng d : , cho
2 1 3
A1;1; 2 . Viết phương trình đường thẳng đi qua A, song song với P
và vuông góc với d.
13

A. x 1 y 1 z 2 x 1 y 1
z
. B. . C. x 1 y 1 z 2
. D.
x 1 y 1 z 2
.
2 5 3 2 5 2 2 5 3
2 5 3
Đáp án D
Đường thẳng cần tìm có VTCP là u nP, u
d
2; 5;3
.
Câu 43( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Cho tam giác
ABC, A2;3; 1 ; B 4; 6; 2
và G 1;2; 3
là trọng tâm. Tìm tọa độ của C
C
C C
A. 5;5;0 B. 3; 9; 6 C. 3;9;6 D. C 3;9; 6
Đáp án D
xC 3xG xA xB
3
C
3
G A B
9 3;9; 6 .
zC 3zG zA zB
6
Ta có: y y y y C
Câu 44. ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Cho tứ diện
ABCD, A 0;1;1 , B 1;0;2 , C 1;1;0 , D 2;1; 2
. Tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh D .
5
5
10
A. B. C. D.
3
6
6
Đáp án B
Ta có: BA(1;1; 1); BC(0;1; 2) n BA; BC
( 1;2;1).
Mặt phẳng ( ABC)
đi qua A và có vectơ pháp tuyến n
nên có phương trình:
x 2y z 3 0.
2 2.1 2 3 5
d
;( )
D ABC
.
2 2 2
( 1) 2 1
6
5
6
Câu 45( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) . Viết phương trình đường thẳng đi
qua tâm của mặt cầu
S x y z
2 2 3
: 2 1 3 4
và song song với đường thẳng
x
1
3t
d : y t
z
2 t
x
2 2s
x
2 3s
x
2 2s
x
2 3s
A. y
1 s B. y
1 s C. y
1 s D. y
1 s
z
1 3s
z
3 s
z
1 3s
z
3 s
14

Đáp án B
Đường thẳng đi qua tâm I 2; 1;3
của (S) và song song với đường thẳng (d) nên có
x
2 3s
phương trình: ) y
1 s .
z
3 s
Câu 46( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Viết phương trình mặt phẳng
qua điểm M 1;2;3 và cắt các trục tọa độ lần lượt tại A, B,
C ở phần dương khác gốc O sao
cho tam giác
ABC đều
: 6 0
P : x y z 6 0
A. P x y z
B.
: 6 0
P : x y z 6 0
C. P x y z
D.
Đáp án A
Mặt phẳng (P) qua
x y z a ( a 0 ).
Aa;0;0 ; B0; a;0 ; C 0;0;
a
nên có phương trình:
Mà (P) qua M 1;2;3 nên a 1 2 3 6. Do đó, (P): x y z 6 0.
Câu 47: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Trong không gian với hệ trục tọa
độ Oxyz, cho ba điểm
hình bình hành là.
A(0;0;2),B(3;0;5),C(1;1;0).
Tọa độ của điểm D sao cho ABCD là
A. D (4;1;3). B. D( 4; 1; 3). C. D(2;1; 3). D. D( 2;1; 3).
Đáp án D
D( x, y, z)
AB(3;0;3)
DC(1 x;1 y; z)
x
2
AB DC y 1 D( 2;1; 3)
z
3
Câu 48: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Trong không gian Oxyz, cho mặt
2 2 2
phẳng ( P) : 2x y 2z
2 0 và cho mặt cầu ( S) : ( x 2) ( y 1) ( z 1) 10.
Bán kính
của đường tròn giao tuyến giữa (P) và (s)
A. 7. B. 10. C. 3. D. 1.
P
đi
15

Đáp án A
x 2 y 1
z
d : ; ud
(1;2;3)
1 2 3
M (2; 1;0) d AM (1; 3; 1)
n [ u , AM ] (7;4; 5)
d
d
( P) : 7( x 1) 4( y 2) 5( z 1) 0
( P) : 7x 4y 5z
10 0
Câu 49: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Trong không gian Oxyz, cho
x 2 y 1
z
A(1;2;1) và đường thẳng d : . Phương trình mặt thẳng chứa A và d là.
1 2 3
A. 7x 4y 5z
10 0. B. x 2y 3z
8 0. C. x 2y z 3 0. D. x 2y z 3 0.
Đáp án A
x 2 y 1
z
d : ; ud
(1;2;3)
1 2 3
M (2; 1;0) d AM (1; 3; 1)
n [ u , AM ] (7;4; 5)
d
d
( P) : 7( x 1) 4( y 2) 5( z 1) 0
( P) : 7x 4y 5z
10 0
Câu 50: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Trong không gian Oxyz, cho hai
mặt phẳng ( P) : x y z 5 0 và ( Q) : 2x 2y 2z
3 0. Khoảng cách giữa P và Q là.
2 7
A. .
B. 2.
C. .
D.
3
2
Đáp án D
( P) / /( Q) d(( P),( Q)) d( M ,( Q)), M ( P)
M ( 1; 1;3) ( P)
2 2 6 3 7 7 3
d( M ;( Q))
12 12 6
16
7 3 .
6
Câu 51: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Trong không gian với hệ trục tọa
độ Oxyz, cho đường thẳng
x 1 y 1 z 2
d :
1 2 3
Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
và cho mặt phẳng
P : x y z 4 0.
A. d cắt (P). B. d / /( P ). C. d ( P).
D. d ( P).
Đáp án C

M d M (1 t;1 2 t;2 3 t)
Thay tọa độ M vào (P) ta được:
1 t 1 2t 2 3t
4 0
0t
0
d ( P)
Câu 52: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Trên mặt phẳng
các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 z 2 6 là
Oxyz,
tập hợp
2 2
x y
A. Elíp 1.
B. Đường thẳng y 6
9 5
C. 0;2 , 0; 2 .
D. Đường tròn tâm 0;2 , bán kính bằng 6.
Đáp án A
Hình biểu diễn là elip với 2 tiêu cự là (0;-2) và (0;2)
Câu 53: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Trong không gian với hệ trục tọa
độ Oxyz, cho hai điểm A(3;3;1), B (0;2;1), và mặt phẳng ( P) : x y z 7 0. Phương trình
đường thẳng d nằm trong P sao cho mọi điểm nằm trên d luôn cách đều A, B là.
x y 7 z
A. d : .
B.
1 3 2
x y 7 z
C. d : .
D.
1 3 2
Đáp án A
A(3;3;1), B(0;2;1) AB( 3; 1;0)
3 5
I( ; ;1) là trung điểm của AB
2 2
Mặt phẳng trung trực của AB là:
3 5
( Q) : 3( x ) ( y ) 0
2 2
3x
y 7 0
d ( P) ( Q) u [ n , n ] ( 1;3; 2)
M (0;7;0) ( P) ( Q)
x y 7 z
d :
1 3 2
d p Q
x 1 y 7 z
d : .
1 3 2
x 1 y 7 z 4
d : .
1 3 2
17

Câu 54: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Trong không gian Oxyz, cho
A(1;2;1)
và đường thẳng
vuông góc với d là.
x 1 y 3 z 3
d : .
1 2 1
Phương trình đường thẳng đi qua A cắt và
x 1 y 2 z 1
x 1 y 2 z 1
A. d : .
B. d : .
4 5 10
4 7 10
x 1 y 2 z 1
C. d : .
D.
1 2 1
Đáp án B
x 1 y 3 z 3
d : , ud
( 1;2;1)
1 2 1
( )
là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d
( ) : ( x 1) 2( y 2) ( z 1) 0
x 2y z 4 0
B d ( )
B d B(1 t; 3 2 t;3 t)
4
B ( ) 1 t 2( 3 2 t) (3 t) 4 0 t
3
1 1 13
B( ; ; )
3 3 3
4 7 10
AB( ; ; ) ud
'(4;7; 10)
3 3 3
A(1;2;1) x 1 y 2 z 1
d ': d ':
VTCPu
4 7 10
d '(4;7; 10)
x 1 y 2 z 1
d : .
4 5 10
18

Câu 1 (Gv Lê Tuấn Anh 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng
P : x 2y 3z
5 0 .Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng P
?
A. 1;2;3 . B. n 1; 2; 3
. C. n 1;2; 3
. D. n 1;2; 3
.
n
Hướng dẫn: D
Từ phương trình tổng quát của mặt phẳng suy ra véctơ pháp tuyến của mặt phẳng P là
n 1;2; 3
.
P
Câu 2 (Gv Lê Tuấn Anh 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng
: x y z 1 0 và : 2x my 2z
2 0 . Tìm m để song song với
.
A. m 2 . B. m 5 . C. Không tồn tại. D. m 2
.
Hướng dẫn: C
2 M 2 2
Hai mặt phẳng đã cho song song nên do đó không tồn tại giá trị của tham
1 1 1 1
số m .
Câu 3 (Gv Lê Tuấn Anh 2018)Trong không gian với hệ tọa độ
x
3
t
x 2 y 1 z 3
d1
: , d2
: y 6 t . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
1 2 1
z
3
A. và chéo nhau. B. và d cắt nhau.
d1
d2
d1
2
C. và trùng nhau. D. song song với d .
d1
d2
d1
2
Oxyz , cho hai đường thẳng
Hướng dẫn: B
Đường thẳng d1
đi qua A2;1; 3
và có một vectơ chỉ phương là u1 1; 2; 1
Đường thẳng d2
đi qua 3;6; 3
và có một vectơ chỉ phương là u2 1;1;0
Ta có u1, u
2
1;1; 1
, AB 5;5;0
; u1, u
2
AB 0 . Vậy d1
và d2
cắt nhau.
Câu 4
B
(Gv Lê Tuấn Anh 2018) Có bao nhiêu mặt phẳng song song với mặt phẳng
2 2 2
: x y z 0
đồng thời tiếp xúc với mặt cầu S : x y z 2x 2y 2z
0 ?
A. 1. B. 0 . C. Vô số. D. 2 .
Hướng dẫn: A
S
Mặt cầu có tâm I 1;1;1 ; R 3
Mặt phẳng cần tìm có dạng P : x y z m 0m
0

Điều kiện tiếp xúc
m
3
d I P R m loaïi
3
Như vậy có một mặt phẳng thỏa mãn.
; 3 6 hay m=0
Câu 5 (Gv Lê Tuấn Anh 2018): Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz , cho ba đường
x
1
x
t2
x
1
thẳng d1
: y
1 , :
1
d2 y
, d3 : y t3
. Viết phương trình mặt phẳng đi qua M
z
t
1 z
0
z
0
1;2;3
và cắt ba đường thẳng d , d , d lần lượt tại A, B,
C sao cho M là trực tâm tam giác ABC .
1 2 3
A. x y z 6 0 . B. x z 2 0 . C. 2x 2y z 9 0 . D. Đáp án khác.
Hướng dẫn: D
+ Dễ thấy d ; d ; d đôi một vuông góc và đồng quy tại điểm
1 2 3
O1; 1;0
. Gọi M là trực tâm tam giác ABC .
CM
AB
+ Khi đó AB OM
, tương tự BC OM
O C AB
+ Suy ra O M ABC . Lại có OM
0;3;3
+ Khi đó qua M 1;2;3 và nhận OM
và VTPT có phương
ABC
trình là y z 5 0 .
Câu 6: (Gv Lê Tuấn Anh 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm
A( 1;2; 1) và mặt phẳng ( P)
có phương trình x y 2z
13 0 . Mặt cầu ( S)
đi qua A , tiếp
xúc với ( P ) và có bán kính nhỏ nhất. Điểm I( a; b;
c ) là tâm của ( S)
, tính giá trị của biểu
2 2 2
thức T a 2b 3c
.
A. T 25 . B. T 30 . C. T 20 . D. T 30 .
Hướng dẫn:
+ Gọi R là bán kính của ( S ) và giả sử ( S ) tiếp xúc với ( P)
tại B .
AH
+ Kẻ AH ( P)
tại H , ta có 2R IA IB AB AH R không đổi.
2
Dấu " =" xảy ra ( S)
là mặt cầu đường kính AH .
Khi đó I là trung điểm của cạnh AH .
+ Đường thẳng AH qua ( 1;2; 1) và nhận n 1;1;2 là một VTCP
A
P

x
1
t
AH : y 2 t H t 1; t 2;2t
1
z
1 2t
Điểm H ( P) ( t 1) ( t 2) 2( 2t 1) 13 0 6t 12 0 t 2 H ( 3;4;3)
I
2 2 2
+ Điểm là trung điểm của cạnh AH I 2;3;1 T a 2b 3c
25.
Câu 7 (Gv Lê Tuấn Anh 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm
A 3;2;1 , B 1; 1;2 , C 1;2; 1
. Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn OM 2AB AC .
M M M
A. 2;6; 4 . B. 2; 6;4 . C. 2; 6;4 . D. M 5;5;0 .
Chọn đáp án C
Ta có
AB 2; 3;1 2AB 4; 6;2 ; AC 2;0; 2
AC
2;0;2
OM 2; 6;4 M 2; 6;4
.
Câu 8: (Gv Lê Tuấn Anh 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S
có
tâm I nằm trên tia Ox bán kính bằng 3 và tiếp xúc với mặt phẳng Oyz
. Viết phương trình
mặt cầu S .
2
2
2 2
A. x y z 3 9 . B. x 2 y 2 z 3 9 .
2 2 2
C. x 3 y z 3 . D. 2 2 2
x 3 y z 9 .
Chọn đáp án D
Mặt cầu có tâm thuộc Ox bán kính 3 nên có tâm I 3;0;0 . Phương trình mặt cầu là
2 2 2
x 3 y z 9
.
R
Câu 9: (Gv Lê Tuấn Anh 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn vectơ
a 2,3,1 , b 5,7,0 , c 3, 2, 4 , d 4,12, 3
. Mệnh đề nào sau đây sai? 2,3,1 a
5,7,0 b 3, 2,4 c 4,12, 3 d
A. d a b c . B. a , b , c
là ba vectơ không đồng phẳng.
C. a b d c .
D. 2a 3b d 2c
.
Chọn đáp án D
Nhận thấy a, b . c 35 0 nên a , b , c
không đồng phẳng.

a
b 7,10,1
Ta có . Suy ra a b c d và d c a b d a b c
c d 7,10,1
Vậy chỉ có Câu 10là sai.
Câu 11: (Gv Lê Tuấn Anh 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng
P : 2x y z 3 0
d nằm trong mặt phẳng P
?
x
2 mt
và đường thẳng d : y n 3t
. Với giá trị nào của m , n thì đường thẳng
z
1 2t
5 5 5 5
A. m , n 6 . B. m , n 6 . C. m , n 6 . D. m , n 6 .
2
2
2
2
Chọn đáp án D
Đường thẳng d đi qua M 2; n;1
và có vectơ chỉ phương a m;3; 2
.
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến n 2;1; 1
.
P
5
a n a. n 0 2m
5 0 n
Ta có d P
2 .
M P
4 n 1 3 0 n
6
n
6
Câu 12: (Gv Lê Tuấn Anh 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm
1 1 3 1 2 2
A1;2;1
và hai đường thẳng
1
: x y z
,
2
:
x y z
d d . Viết phương
1 1 1 1 1 1
d : 2 3 4 6 0
trình đường thẳng song song với mặt phẳng P x y z , cắt đường thẳng d1
và d lần lượt tại M và N sao cho AM. AN 5 và điểm N có hoành độ nguyên.
2
x 2 y z 2
x 3 y 1 z 1
A. d : . B. d : .
1 2 1
1 2 2
x y 2 z 4
x 1 y 1 z 3
C. d : . D. d : .
3 2 3
4 4 1
Chọn đáp án B
Ta có
x
1
t
d1
: y 1 t t R
z
3 t
mà
M d1 M m 1; m 1;3
m
Lại có
x
1
t
d2
: y 2
tt R
z
2 t
mà
N d2 N n 1; n 2; n 2

Đường thẳng d nhận NM m n; m n 1;1
m n
là một VTCP
Mặt phẳng P
có một VTPT là n 2;3;4
Ta có d / / P NM. n 0 2m n 3m n 1 41 m n
0 m 9n
7
AM m; m 3;2 m 9n 7;9n 10;9 9 n, AN n; n 4; n 1
AM. AN 9n 7 n 9n 10 n 4 9 9n n 1 5
n
1
2
9n
53n
44 0
44
n
9
Bài ra xN
Z n 1
thỏa mãn m 2 M 3;1;1
và NM 1;2; 2
Đường thẳng qua 3;1;1 và nhận NM 1;2; 2
là một VTCP
x 3 y 1 z 1
d : .
1 2 2
d M
3Chọn Câu 13: (Gv Lê Tuấn Anh 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt
2 2
2
cầu S : x 1 y 2 z 1 3 ,và hai điểm A 1;0;4 , B 0;1;4 . Các mặt phẳng
P , P cùng chứa đường thẳng AB
1 2
S
1 2
H1H
2
.
và hai mặt phẳng này lần lượt tiếp xúc với mặt cầu
tại các điểm H , H . Điểm K nào trong số các điểm sau đây nằm trên đường thẳng
K
K
K
K 1;3 2
A. 1;4;2 . B. 1;3;2 . C. 1;5;3 . D.
đáp án A
S
Ta có có tâm I 1;2;1
và bán kính R 3
Đường thẳng đi qua hai điểm A,
B có phương trình
x
1
t
y
t
z
4
đi qua và vuông góc với nên có phương trình
1 2
IH H I AB x
y 3 0
H AB IH H H 1;2;4
Gọi là giao điểm của và . Khi đó
1 2
Gọi M là giao điểm của H1H 2
và IH . Khi đó H1M
IH
2
IM IM. IH R 1 1
Ta có nên IM IH . Do đó M
2 2
1;2;2
IH IH IH 3 3

1
H1H 2
vuông góc với IH , AB nên có vtcp u IH , AB
1;1;0
3
x
1
t
Phương trình H1H 2. y 2 t . Vậy khi t 2 ta được đáp án A.
z
2
Câu 14 (Gv Lê Tuấn Anh 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d
có vecto chỉ phương u 1;2;0 . Mặt phẳng P chứa đường thẳng d có vecto pháp tuyến là
2 2 2
n a; b;
c a b c 0 . Khi đó a, b thỏa mãn điều kiện nào sau đây?
A. a 2b
B. a 3b
C. a 2b
D. a 2b
Chọn đáp án D
Do P chứa đường thẳng d nên u. n 0 a 2b 0 a 2b
Câu 15 (Gv Lê Tuấn Anh 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác
MNP biết MN 2;1; 2
và NP 14;5;2 . Gọi NQ là đường phân giác trong của góc MNP.
Hệ thức nào sau đây là đúng?
A. QP 3QM
B. QP 5QM
C. QP 3QM
D. QP 5QM
Chọn đáp án B
MN 2;1; 2 MN 9 3
Ta có
NP 14;5;2 NP 15
QP NP 15
NP là đường phân giác trong của góc N 5 . Hay
QM
MN
3
QP 5QM
Câu 16:
(Gv Lê Tuấn Anh 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm
M 3;1;1, N 4;8; 3, P 2;9; 7 và mặt phẳng Q : x 2y z 6 0 . Đường thẳng d đi qua
trọng tâm G của tam giác MNP, vuông góc với Q. Tìm giao điểm A của mặt phẳng Q và
đường thẳng d
A
A A A1;2; 1
A. 1;2;1 B. 1; 2; 1
C. 1; 2; 1
D.
Chọn đáp án D
Tam giác MNP có trọng tâm G 3;6; 3
x 3
t
Đường thẳng d đi qua G, vuông góc với Q nên d : y 6 2t
z
3 t

x 3
t
Đường thẳng d cắt Q tại A có tọa độ thỏa mãn d : y 6 2t A 1;2; 1
z
3 t
Câu 17:
(Gv Lê Tuấn Anh 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
x z
3 y 2
d : và hai mặt phẳng ( P) : x 2y 2z 0,( Q) : x 2y
3z 5 0 . Mặt cầu
2 1 1
(S) có tâm I là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Mặt phẳng (Q) tiếp xúc
với mặt cầu (S). Viết phương trình của mặt cầu (S)
2 2 2 2
2 2 2 9
A. ( S) : x 2 y 4 z 3
B. ( S) : x 2 y 4 z 3
7
14
2 2 2 2
2 2 2 9
C. ( S) : x 2 y 4 z 3
D. ( S) : x 2 y 4 z 3
7
14
Chọn đáp án C
x 2t
+ Ta có d : y 3 t t I 2 ; t t 3; t 2
z
2 t
Mà I ( P) 2t 2( t 3) 2( t 2) 0 2t 2 0 t 1 I (2;4;3)
+ Gọi R là bán kính của (S), ta có (Q) tiếp xúc với
2 2.4 3.3 5 2
( S) d( I ;( Q))
R R
2 2 2
1 ( 2) 3 14
2 2 2 4
2
14 7
Kết hợp với (S) có tâm I (2;4;3) ( S) : x 2 y 4 z
3
Câu 18: (Gv Lê Tuấn Anh 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
( P) : x 4y 2z 6 0,( Q) : x 2y 4z 6 0 . Lập phương trình mặt phẳng ( )
chứa giao
tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) và cắt các tia 0x,0y,0z tại các điểm A, B, C sao cho hình
chóp O.ABC là hình chóp đều.
A. x y z 6 0 B. x y z 6 0 C. x y z 6 0 D. x y z 3 0
Chọn đáp án B
+ Chọn M(6;0;0), N(2;2;2)
thuộc giao tuyến của (P), (Q)
+ Gọi A( a;0;0), B(0; b;0), C(0;0; C ) lần lượt là giao điểm của ( )
với các trục Ox, Oy, Oz

6 1
x y z
( ) : 1( a, b, c );( ) chứa M, N
a
a b c
2 2 2 1
a b c
+ Hình chóp O.ABC là hình chóp đều OA OB OC a b c
Vậy phương trình x y z 6 0
Câu 19:
(Gv Lê Tuấn Anh 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm
A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(0;0;0)
( ABC ),( BCD ),( CDA),( DAB)
. Hỏi có bao nhiêu điểm P cách đều các mặt phẳng
A. 4 B. 10 C. 12 D. đáp án khác
Chọn đáp án D
+ Đặt P( a; b; c)
là tọa độ điểm cần tìm. Ta có
( ABC ) : x y z 1;( BCD ) ( Oxyz ),( CDA) ( Ozx ),( DAB) ( Oxy)
Khi đó ta cần có
x y z
x y z1 (* )
3
+ Ta có tất cả 8 trường hợp về dấu cả x, y, z là (dương, dương, dương), (dương, âm,
dương),... và trong mỗi trường hợp, hệ
mãn đề bài.
(*) đều có nghiệm. Do đó có tất cả 8 điểm P thỏa
Câu 20 (Gv Lê Tuấn Anh 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, số đo góc tạo bởi
hai mặt phẳng P : 2x y 2z 9 0 và Q : x y 6 0 là
0
0
A. 30
B. 45
C. 60
D.
Chọn đáp án B
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng P và Q lần lượt là: n1 2; 1; 2, n2
1; 1;0
Gọi góc giữa hai mặt phẳng P và Q là
Ta có
Câu 21
2.1 11 3 2
cos
45
2 2 2 2 2
2 1 2 1 1
3 2 2
(Gv Lê Tuấn Anh 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
0
0
0
90
2 2 2
S: x y z 2x 4y 6z
0
. Đường tròn giao tuyến của S với mặt phẳng Oxy có bán
kính là
A. r 5 B. r 2 C. r 6 D. r 4
Chọn đáp án A

Đường tròn giao tuyến của S với mặt phẳng Oxy có phương trình:
2 2 2
2 2
x 1 y 2 z 3 14 z1 y 2 5
z 0
z
0
Trong mặt phẳng Oxy có tâm
J 1;2;0 và bán kính r 5
Câu 22
(Gv Lê Tuấn Anh 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm
A 1;21, B 4;2; 2, C 1; 1; 2, D 5; 5;2
. Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt
phẳng ABC
A. d 3
B. d 2 3 C. d 3 3 D. d 4 3
Chọn đáp án D
Ta có AB 3;0; 3
AB; AC
9; 9;9 nABC
1;1; 1
AC 0; 3; 3
Phương trình mặt phẳng ABC là x 1 y 2 z1 0 x y z 0
Do đó, khoảng cách từ D đến mặt phẳng ABC bằng d D;
Câu 23:
ABC
5 5
2
2 2 2
1 1 1
4 3
(Gv Lê Tuấn Anh 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm
A 2;0;0, C 0;4;0 B a; b;
c . Để tứ giác OABC là hình chữ nhật thì tổng P a 4b c
bằng bao nhiêu?
A. P 12
B. P 14
C. P 14
D. P 12
Chọn đáp án C
Ta có OA 2;0;0, CB a; b; 4, OC 0;4;0, AB a
2; b;
c
Để tứ giác OABC là hình chữ nhật thì
Câu 24:
u 2; 1;2
a 2 a
2
OA CB
b 4 0 b 4 a 4b c 14
OA OC c 0
c
0
(Gv Lê Tuấn Anh 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vecto
và vecto
v có độ dài bằng 1 thỏa mãn u
v 4 . Độ dài của vecto u
v bằng
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
Chọn đáp án C
Theo giả thiết ta có
2
2
u 3 u u 9
. 1
2 2
v 1
v
v 1

2 2
Từ u
v 4 , suy ra 16 u v u v 2 uv. 2
Kết hợp 1 và 2, ta được
2 2
2
2
2uv u v u v 91 4 6
Khi đó
2 2 2
u v u v 2uv
91 6 4
. Vậy
u
v 2
Câu 25 (Gv Lê Tuấn Anh 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm
A(5;8; 11), B(3;5; 4), C(2;1; 6)
và mặt cầu ( S) : x 4 2 y 2 2 z1
2
9 . Gọi
M( xM ; yM ; zM
) là điểm trên mặt cầu (S) sao cho biểu thức MA
MB MC đạt giá trị
nhỏ nhất. Tính P 2 x 3 y
M
M
A. P 4
B. P 1
C. P 3
D. P 2
Chọn đáp án A
+ Gọi điểm G( x; y; z)
sao cho GA GB GC 0 BA GC G(0; 2;1)
2 2 2
+ Xét mặt cầu ( S) : x 4 y 2 z1 9 tâm I (4;2; 1)
và bán kính R=3
2 2 2
Ta có IG (4; 4;2) IG 4 ( 4) 2 6 R
G nằm ngoài mặt cầu (S)
Ta có MA MB MC MG GA GB GC MG MG MG nhỏ nhất I , M,
G
thẳng hàng.
Hay điểm M chính là trung điểm của
xM
2
IG M(2;0;0) P 4
yM
0
Câu 26 (Gv Lê Tuấn Anh) Trong không gian với hệ tọa độ O, i, j,
k cho 2 điểm A, B
thỏa mãn OA 2i j k và Ob i j 3k
. Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn AB
1
A. M
3
;0; 1 B. M
;0;
1
2
2
C. M 3;4; 2
D.
Chọn đáp án B
OA
3
2; 1;1 , OB
1;1; 3 M ;0; 1
2
1
M
;
1;2
2

Câu 27: (Gv Lê Tuấn Anh) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M 4;0;0
x
1
t
và đường thẳng : y
2 3t
. Gọi H a; b;
c
là hình chiếu của M lên . Tính a b c
z
2t
A. 5 B. -1 C. -3 D. 7
Chọn đáp án B
H là hình chiếu của M lên nên tọa độ của H có dạng: H 1 t; 2 3 t; 2t
và
MH , (với u
1;3; 2
là vecto chỉ phương của )
u
11 3 5 22
MH. u
0 14t 11 0 t H ; ;
14 14 14 14
a b c 1
Câu 28
(Gv Lê Tuấn Anh): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng
x 1 y z 3
P : 3x y
z 0 và đường thẳng d : . Gọi là đường thẳng nằm trong
1 2 2
P
, cắt và vuông góc với d. Phương trình nào là phương trình tham số của ?
x
2 4t
x
3 4t
x
1
4t
A. y
3 5t
B. y 5 5t
C. D.
z
3 7t
y
1 5t
z
4 7t
z
4 7t
Chọn đáp án B
+ nằm trong (P) và vuông góc với d nên có vecto chỉ phương là:
P d
x
3 4t
y
7 5t
z
2 7t
n , u 4; 5; 7
+ cắt d nên gọi A d thì
+ Vậy phương trình tham số của
A d P A1;0; 3
x 1
4t x 3 4t
: y 5t hay y 5 5t
z 3 7t
z 4 7t
Câu 29 (Gv Lê Tuấn Anh): Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho P là mặt
x 4 y z 4
phẳng chứa đường thẳng d : và tiếp xúc với mặt cầu
3 1 4
2 2
2
S : x 3 y 3 z 1 9 . Khi đó P song song với mặt phẳng nào sau đây?
A. 3x y 2z
0 B. 2x 2y z 4 0 C. x y z 0 D. đáp án khác
Chọn đáp án D
+ Véc tơ chỉ phương của
là u 3;1; 4
, véc tơ pháp tuyến của (P) là n

+ Mặt cầu (S) có tâm I (3; -3; 1) và bán kính R=3
+ Vì (P) chứa nên u. n 0 và (P) tiếp xúc với (S) nên d I, P
R 3
Ta chỉ xét những phương trình có u. n 0 . Lấy 2 điểm nằm trên đường thẳng d là M (4;0;-4)
và N (1;-1;0)
A. (Q) có phương trình: 3x – y + 2z =0
Nhưng điểm M, N không thuộc (Q) nên không thỏa mãn.
B. (Q) có phương trình: -2x + 2y – z + 4 =0 vì điểm M, N không thuộc (Q) kết hợp với
d I, Q 3 R nên (P) trùng (Q) không thỏa mãn.
C. (Q) có phương trình: x + y + z = 0. Nhưng điểm M, N không thuộc (Q) nên không
thỏa mãn.
D. Đáp án là D.
Câu 30
(Gv Lê Tuấn Anh): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
x y
3 z
2
d : và hai mặt phẳng P : x 2 y 2z 0. Q : x 2 y 3z 5 0 . Mặt cầu
2 1 1
(S) có tâm I là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Mặt phẳng (Q) tiếp xúc
với mặt cầu (S). Viết phương trình của mặt cầu (S).
2 2 2
2 2 2
A. S : x 2 y+ 4 z 3 1 B. S : x 2 y 4 z 3 6
2 2 2 2
C. S : x 2 y 4 z 3
D.
7
Chọn đáp án C
2 2 2
S : x 2 y+ 4 z 4 8
– Phương pháp: Sử dụng các dữ kiện của bài toán để tìm bán kính và tâm của mặt cầu
+ Tâm là giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
+ Bán kính là khoảng cách từ tâm tới mặt phẳng (Q) (do mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng)
– Cách giải: Id I2 t;3 t;2 t
IP 2 t 23 t 22 t 0 t 1
I2;4;3
Do (Q) tiếp xúc với mặt cầu
2 2.4 3.3
5 2
S nên R d I; Q
2 2
1
2 3 7
S : x 2 y 4 x 3
2 2 2
7

Câu 31:
(Gv Lê Tuấn Anh)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
x 3 y 2 z 1
d : , mặt phẳng P : x y z 2 0 . Gọi M là giao điểm của d và P
.
2 1 1
Gọi là đường thẳng nằm trong P
vuông góc với d và cách M một khoảng bằng 42 .
Phương trình đường thẳng
A. x 5 y 2 z 4
B.
2 3 1
là.
C. x 3 y 4 z 5
D. đáp án khác
2 3 1
Chọn đáp án D
+ Gọi M d P
x 1 y 1 z 1
2 3 1
3 2 ; 2 ; 1 ; 1 1; 3;0
M d M t t t M P t M
+ có vecttơ pháp tuyến n 1;1;1 . có vecttơ chỉ phương a 2;1; 1
. có vecttơ
P
P
d
chỉ phương a ad
, n
P
2; 3;1
. Gọi N x; y;
z
là hình chiếu vuông góc của M trên ,
khi đó MN x 1; y 3; z .
Ta có:
MN a
2x 3y z 11 0
N P
x y z 2 0
2 2 2
MN
42
x 1 y 3
z 42
N 5; 2; 5
và N 3; 4;5
d
. Giải hệ ta tìm được hai điểm
+ Với N 5; 2; 5
, ta có
+ Với N 3; 4;5
, ta có
x 5 y 2 z 5
:
2 3 1
x 3 y 4 z 5
:
2 3
1

Câu 1 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường
x
3t
x 1 y 3 z 3
thẳng d1
: và d2
: y 1 2 t t
.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
1 2 3
1
z
t
3
A. d chéo . 2
B. d cắt và vuông góc d . 2
1
d 1
C. d cắt và không vuông góc . 2
D. d song song d . 2
1
Đáp án B
1
d
1; 2; 3 , u 3;2;
1 d
2
3
u . u 0 suy ra vuông góc và cắt
Ta có: u
d1 d2
d 1
d
1
d 2
Câu 2 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018): Cho mặt phẳng P : x 2y 3z
5 0. Gọi n
là
vectơ pháp tuyến của P,
vectơ m
thỏa mãn hệ thức m 2n
có tọa độ là:
A. m 2;4;6 . B. m 2; 4; 6 . C. m 2;4;6 . D. m 2; 4; 6 .
Đáp án B
n 1;2;3
m 2; 4; 6
Ta có:
P
Câu 3: (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Giao tuyến của hai mặt phẳng P : 3x 4y z 1 0
và
Q : x 2y 2z
3 0
có vectơ chỉ phương là:
2;1;2 . 2;1;3 .
A. B. C. 2;1; 3 . D.
Đáp án D
n
3; 4;1 , n 1;2;2
Ta có:
P
u
n n
Q
,
10; 5;10 52;1; 2
P Q
2;1; 2
là một VTCP.
2;1; 2 .
Câu 4 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho A 1;3; 4 , B 1;2;2 . Phương trình mặt phẳng
trung trực của đoạn AB là:
A. 4x 2y 12z
17 0.
B. 4x 2y 12z
17 0.
C. 4x 2y 12z
17 0.
D. 4x 2y 12z
17 0.
Đáp án A

Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB qua trung điểm
VTPT
AB 2; 1;6
là:
5
I
0; ; 1
2
của AB có
5
2 x 0 y 6 z 1
0 4x 2y 12z
17 0
2
Câu 5 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018): Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
S tâm I 1;2;3
và mặt phẳng
P : 2x y 2z
12 0.
có chu vi
P
6 .
Biết mặt phẳng cắt mặt cầu S theo giao tuyến là đường tròn
Viết phương trình mặt cầu.
2 2
2
x y z
A. x 1 y 2 z 3 8.
B.
C. x 1 y 2 z 3 9. D.
Đáp án B
2 2 2
1 2 3 13.
2 2
2
x y z
Ta có: d I P
2 2 2.3 12
, 2
2 2 1
2 2 2
Bán kính của giao tuyến là:
2 2 2
Vậy S x y z
: 1 2 3 13
6
r
2
2 2
3 R 2 3 13
2 2 2
1 2 3 12.
Câu 6 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P : 3x 3y 2z
37 0
và các điểm A4;1;5 , B 3;0;1 , C 1;2;0 .
Tìm điểm M trên
P sao cho biểu thức S MA. MB MB. MC MC.
MA đạt giá trị nhỏ nhất.
A. 4;7; 2 . B. 3;6; 5 . C. 1;8; 8 . D.
Đáp án A
M x y z
Gọi ; ; . Do M P nên 3x 3y 2z
37 0.
MA 4 x;1 y;5 z , MB 3 x; y;1 z , MC 1 x;2 y; z
.
Có
Khi đó: S x y z
3 2 2 1 2 2 2
5 .
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có:
2;5; 8 .

2 2 2 2
2 2 2
x y z
x y z
3 2 3 1 2 2 3 3 2 2 1 2
S
3
2
44 22 5 S 249
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
x
4
x 2 y 1 z 2
y
7
3 3 2
z
2
Câu 7 (Gv Nguyễn Bá Tuấn)Phương trình đường thẳng
x 2 4t
d : y
6t . Đi qua điểm?
z 1 2t
2;0;1
A. 2; 6;1 B. 4; 6;2 C. 2; 6;3 D.
Với t 1 A2; 6;3
d
Chọn đáp án C.
Câu 8
(Gv Nguyễn Bá Tuấn). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
A3;3;2 và B5;1;4
. Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.
7 5
3
A. I ;3; .
B. I4;2;3 .
C. I
2; ; 1 .
D.
2 2
2
Chọn B.
3 5
x 4
2
3 1
I : y 2 I 4;2;3 .
2
2 4
z 3
2
Tọa độ trung điểm
Câu 9.
1
1 5
I
1; ; .
2 2
(Gv Nguyễn Bá Tuấn) Trong không gian với hệ toạn độ Oxyz, cho đường thẳng
x
t
d : y 2 t t
. Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của d?
z 4 t
A. u 0;2;4 . B. u 2; 1;0 . C. u 1; 1;1 . D. u 2;3;5 .
Chọn B.
1
1
1
x
t
d : y 2 t
z 4 t
có vectơ chỉ phương u 1; 1;1 .
1

Câu 10. (Gv Nguyễn Bá Tuấn) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
và đường thẳng có phương trình . Tọa độ hình chiếu vuông
M 1; 3;2
góc của điểm M trên đường thẳng là
x 1 y z 2
1 2 1
1;0;2
2;2;3
A. 0; 2;1
B. 1;1; 1 C. D.
Gọi H 1 t;2t;2 t là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng .
Ta có MH t;2t 3; t
và u 1;2;1
là VTCP của đường thẳng .
Vì MH MH.u 0 t 2 2t 3 t 0 6t 6 0 t 1
nên H 0; 2;1
Chọn đáp án A.
Câu 11 (Gv Nguyễn Bá Tuấn). Cho đường thẳng
khoảng cách từ gốc tọa độ tới
d m
là lớn nhất là.
d : y 1 m t , t
m
x 1
2t
z 2 mt
A. 4
B. 2
C. 1 D. 3
Đáp án C
Đường thẳng
x 1
2t
d
m
: y 1 m t
z 2 mt
đi qua điểm cố định M
1;0; 2
Vậy khoảng cách từ O tới dm
là h OM để khoảng cách này đạt giá trị lớn
OM 1;0; 2 u 2;1 m; m 2 2m 0 m 1
nhất bằng OM
. Giá trị m để
Câu 12 (Gv Nguyễn Bá Tuấn). Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm
và B 3;4;1 . Đặt P MA MB trong đó M x ; y ;z là một điểm nằm trên
A1;2;3
0 0 0
(Oxy) thỏa mãn
Pmin
. Khi đó, x0 y0 z0
7
A. 4 B. C. 6 D. 1
2
Đáp án C
P MA MB =2 MI với I 2;3;2 là trung điểm của AB.
Vậy ứng với là hình chiếu của nên
min
P M I Oxy M 2;3;0
Vậy x y z 5
0 0 0

Câu 13
(Gv Nguyễn Bá Tuấn). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
x 1 y z 1
: và mặt phẳng (P): 2x y 2z 1 0 . Mặt phẳng (Q) chưa và tạo
2 1 1
với (P) một góc nhỏ nhất, khi đó góc gần với giá trị nào nhất sau đây?
A. 6º B. 8º C. 10º D. 5º
Đáp án B
Gọi n a; b;
c
là VTPT của
n a; b; c . u 2;1; 1 0 2a b c 0 c 2a b
Q
n. n'
Khi đó góc giữa hai mặt phẳng P
và Q
nhỏ nhất khi cos = lớn nhất với
n n'
n' 2; 1;2
cos =P=
là VTPT của
P
ta có
n. n ' 2a b 2c 6a b
n n' 3 a b c 3 5a 4ab 2b
2 2 2 2 2
2 2 2
2 36 12 36 12 1
P t
a ab b t t a
9 5 4 2 9 5 4 2 b
2 2 2
a ab b t t
Xét hàm số
1
2 2
t
36t 12t 1 2(42t 67t
10) 6
f t
f ' t
0
2 2
2
95t 4t 2
95t 4t 2
10
t
7
Vậy GTLN của
10 53
P f 0,99 8
7 54
0
Câu 14 (Gv Nguyễn Bá Tuấn). Trong hệ trục tọa độ cho 4 điểm A 1;1; 2 , B 0;3; 2
,
C0;0;1 , I0;1;0
. D là một điểm bất kì thuộc mặt cầu tâm I, bán kính bằng 3. Khoảng cách
từ D đến mặt phẳng (ABC) có giá trị lớn nhất bằng.
3
A. 1 B. 6
C. D. 3
2
Đáp án D
Mặt phẳng
ABC
có VTPT n CA, CB
1;1; 3 , 0;3; 3
32;1;1
Suy ra PT ABC : 2x y z 1 0
Dễ thấy I ABC nên khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ABC) có giá trị lớn nhất bằng
bán kính và bằng 3.

Câu 15 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Đường thẳng nào sau đây vuông góc với đường thẳng
d
x 1 y 2 z 3
: ?
1 2 3
x 1 y 2 1 A. .
B.
1 2 1
x 1 y 1 z 1 .
2 1 1
x 1
y z
C. .
D.
x y 1
z .
1 2 1
2 1 1
Ta có: u 1;2;3 . Thử các VTCP từng đáp án ta có: 1.1 2. 2 3.1 0. Vậy chọn A.
d
Chú ý nên dùng CASIO nhập
A 2B 3 C CALC A , B ,
C
là các tọa độ của các VTCP
của các đáp án, ta thấy A 1, B 2, C 1
cho kết quả 0 (và thử các VTCP còn lại đều
khác 0). Chọn đáp án A.
Câu 16
2 2 2
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018): Mặt phẳng nào sau đây cắt mặt cầu
S : x y z 2x 2y 4z
3 0
theo thiết diện là một đường tròn?
A. x y z 0. B. x 2y 2z
6 0. C. x 2y 3z
3 0. D. Cả 3 đều sai.
S
Mặt cầu có tâm I 1;1;2 , R 3. Gọi P : ax by cz d 0 là mặt phẳng thỏa mãn
a b 2c d
R 3. Thay các đáp án ta được đáp án A.
2 2 2
a b c
Câu 17 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho 4 điểm A B C D
Thể tích hình tứ diện ABCD là:
6; 6;4 , 1;1;1 , 2;3;4 , 7;7;5 .
54 78 83
A. .
B. .
C. .
D.
5
3
3
1 83
AB 5;7; 3 , AC 4;9;0 , AD 1;13;1 .
Ta có: VABCD
AB, AC. AD .
6 3
Câu 18: (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Tọa độ điểm đối xứng của A 2;1;3 qua
P : 2x y z 3 0
là:
2;3;1 . 4;4;0 . 1;5;2 .
A. B. C. D.
Gọi H a; b;
c là hình chiếu của A lên
. Ta có: AH a 2; b 1; c 3 .
P
Ta có: 2a b c 3 0 và AH cùng phương n
nên
a 2 b 1 c 3
P
2 2 1
5 3
1; ; 4;4;0 .
2 2
'
Suy ra a b c A
92 .
7
2;1;1 .

Câu 19 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho đường thẳng
m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến
d m
là lớn nhất là:
x
1
2t
: 1 .
z
2 mt
d y mt t
m
Giá trị
A. 4.
B. 2.
C. 1. D. 3.
Đáp án C
x
1
2t
Đường thẳng dm
: y 1
mt
t
, có vectơ chỉ phương u 2;1 m;
m
và qua điểm
z
2 mt
M (1;0;-2). Do đó, khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng này là:
u; OM 2
2m 2; m 4; m 1
6m 2m
21
d
o;
d
2 .
m
u
2; m 1; m 2m 2m
5
Đặt
2
6m 2m 21 4m
6
3
2 2
2m 2m 5 2m 2m
5
A
Tìm GTLN của A theo cách tìm cực trị ta thấy A max=5 khi m=1
Vậy
d
max 5
o; d m
khi m=1.
Câu 20
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm
A1;0;0 , B 2;0;3 , M 0;0;1 , N 0;3;1 .
Mặt phẳng P
đi qua các điểm M, N sao cho
khoảng cách từ B đến P gấp hai lần khoảng cách từ A đến P.
Có bao nhiêu mặt phẳng
P
thỏa mãn đề bài?
A. Có hai mặt phẳng P.
B. Chỉ có một mặt phẳng P.
C. Không có mặt phẳng P nào. D. Có vô số mặt phẳng P.
Đáp án D
Gọi phương trình mặt phẳng cần tìm là: ( P) : Ax By Cz D 0.
+ (P) qua M, N nên
C D 0 B
0
3B C D 0 C D 0
+ Khoảng cách từ B đến (P) gấp 2 lần khoảng cách từ A đến (P) nên
1
4A 3C D 0
2A 3C D 2 A D
3C
3D
0
1

1
Từ và 2 thấy hệ vô số nghiệm. Do đó có vô số phặt phẳng (P) thỏa mãn bài toán.
: 2 3 0
Câu 21 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hai mặt phẳng P x y z và
Q : x y 3z
2 0.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. P song song .
B. P cắt Q.
Q
C. P trùng .
D. P vuông góc Q.
Q
Đáp án B Dễ thấy không song song mà n . n 4 nên P cắt Q.
Câu 22:
P
Q
P Q
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Khoảng cách giữa tâm mặt cầu
2 2 2
S : x y z 2x 2y 4z
3 0 và mặt phẳng P : x 2y z 3 0
6 7 2 2
A. .
B. .
C. .
D.
3
3
3
Đáp án A
S I
Mặt cầu có tâm 1; 1;2 . Khoảng cách giữa tâm mặt cầu và mặt phẳng P là:
1 2 2 3 6
d I, P
.
2 2 2
1 2 1
3
Câu 23: (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hai điểm A 1;2;3 , B 2;0;4 và đường thẳng
d
x 1 y 2 z 1
: . Mặt phẳng P
qua A, B và song song với d
có phương trình là:
1 1 2
A. x y z 6 0.
B. 2x y z 4 0.
C. x y z 6 0.
D. x y 2z
10 0.
Đáp án A
Ta có: n
AB, u
d
3;3;3 31;1;1 .
Vậy phương trình
P
là:
5 .
3
P : x y z 6 0.
Câu 24: (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Khoảng cách giữa điểm M 2; 1;0
và
x 1 y 3 z
:
2 1 1
là:
3 2 21
A. .
B. .
C. .
D.
2
3
3
Đáp án C
Áp dụng công thức
d M ,
u,
MA
với A1; 3;0 , u 2;1;1 .
u
3 .
4

Câu 25 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho phương
trình mặt cầu
2 2 2 2
x y z 2 m 1 x 4 m 1 y 2mz 7m
4 0.
tích bằng 36 thì giá trị của m bằng:
Đáp án A
A. 0. B. 3. C. 6. D. 4.
Để mặt cầu có diện
Để mặt cầu có diện tích 36 thì bán kính mặt cầu là R 3. Do đó, ta có phương trình:
2
2 2 2
( m 1) 2( m 1) m 7m
4 9
m
0
6
2
m
6m
0
m
Câu 26 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018): Cho các điểm
x 1 y 1 z 2
d : .
2 1 2
là:
Đáp án A
A2;3;0 , B 0; 1;2
và đường thẳng
Điểm M thuộc d sao cho diện tích tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất
11 18 36 38 63 63 9 13 33
A. M ; ; .
B. M ; ; .
C. M ; ; .
D. Đáp án khác.
25 25 25 25 25 25 50 25 50
Gọi M thuộc (d) có tọa độ M (2a 1; a 1;2 a 2).
x
2 2t
+ Đường thẳng AB có phương trình: y
3 4t
. Giả sử H là hình chiếu của M trên AB. Khi
z
2t
đó H (2b 2;4b 3; 2 b)
và MH (2b 2a 1;4b a 4; 2b 2a 2) AB( 2; 4;2).
Do đó:
2
2a 11 2 300a 168a
30
2a 12b 11 0 b MH
.
12 36
Do độ dài AB không đổi nên diện tích tam giác ABM nhỏ nhất khi độ dài
độ dài
2
MH
nhỏ nhất, nên:
7 11 18 36
a M ; ; .
25 25 25 25
Câu 27 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho
O đến hình chiếu của M trên các trục Ox, Oy, Oz. Khi đó
M
MH nhỏ nhất, hay
1;2;3 . Gọi a, b, c lần lượt là độ dài kẻ từ gốc
a b c
bằng:
A. 0. B. 3. C. 6. D. 9.
M m n p
Am
Đáp án C Vì ; ; chiếu lên Ox là ;0;0 , lên Oy là B 0; n;0 , lên Oz là
C 0;0; p nên a 1, b 2, c 3.

Câu 28 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018): Cho hai vectơ AB, AC,
đặt u AB, AC
. Mệnh đề
nào sau đây sai?
A. u AB. B. u AC. C. u AB. AC . D. A, B đúng.
Đáp án C Theo định nghĩa của u
thì u AB, u AC.
Câu 29: (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu?
2 2 2
A. 2x 2y 2z 2x 4y 6z
1 0. B.
2 2 2
C. x y z 2x y 6z
2 0. D.
2 2 2
x y z x y z
2 2 3 0.
2 2 2
x y z x y z
2 3 4 0.
Đáp án A
Ta có:
2x 2y 2z 2x 4y 6z 1 0 x y z x 2y 3z
0
2
1 9 1
1 4 0
4 4 2
2 2 2 2 2 2 1
nên là phương trình mặt cầu.
: 2 2 0
thỏa mãn
Câu 30: (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho mặt phẳng P x y z và đường
x 2017 y z 2017
thẳng d
: . Góc tạo bởi P
và d là . Giá trị của cot là:
1 2 1
5 11 13
A. .
B. .
C. .
D. Đáp án khác.
2
5
7
Đáp án B
n . u
P d 5 1 11
Ta có: n
1;1;2 , ud
1;2;1 .
Có sin
cot 1 .
P
2
n u 6 sin 5
Câu 31:
P
d
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 điểm
A0; 2; 1 , B 1; 2;2
và mặt phẳng P : x 2y 2z 1 0, AB P
N.
bằng:
3 5 1
A. .
B. .
C. .
D.
2
2
2
Đáp án B
x
t
Phương trình đường thẳng AB là y
2
z
1 3t
3 .
5
Khi đó
AN
BN
N là giao điểm của AB và (P) nên
5 8 AN 5 10 / 7 5
N ; 2; .
7 7 BN 2 10 / 7 2

Câu 32
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt
phẳng P : 1 m 2 2nx 4mny 1 m 2 1 n 2 z 4 m 2 n 2 m 2 n
2 1 0. Biết P luôn
tiếp xúc với mặt cầu cố định. Khi đó bán kính mặt cầu cố định đó là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Đáp án D
Gọi tâm mặt cầu cố định là
R d
R
R
I( x0; y0; z0).
Khi đó, bán kính mặt cầu là:
2 2 2 2 2 2 2
1 m 2nx0 4mny0 1 m 1 n z0
4m n m n 1
P
2 2
2 2
2n1 m 4mn 1 m 1
n
2 2 2 2 2 2 2
1 m 2nx0 4mny0 1 m 1 n z0
4m n m n 1
2 2 2 2
2
m n m n 1
2 2 2 2 2 2 2
1 m 2nx0 4mny0 1 m 1 n z0
4m n m n 1
I ;( ) 2 2
2 2 2 2
m n m n 1
Chọn x0 y0 z0 0. Khi đó ta có: R 4.
Câu 33 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Trong không gian Oxyz có 3 vectơ
a 0; 1; 1 , b 1;1;0 , c 1; 1;1 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. a 2. B. c 3. C. a b.
D. b c.
a
2 2 2 2 2
1 1 2, c 1 1 1 3
a. b 0 C sai ; c. b 0 c b đúng.
Câu 34
nên A, B đúng.
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018): Phương trình mặt phẳng cách đều hai mặt phẳng
P : x 2y 2z
3 0, Q : x 2y 2z
7
Vì
: 2 2 4 0.
R : x 2y 2z
4 0.
A. R x y z
B.
: 2 2 5 0.
R : x 2y 2z
5 0.
C. R x y z
D.
R
cách đều hai mặt phẳng nên R : x 2y 2z m 0
Gọi M 3;0;0 P, N 7;0;0 Q
Ta có:
d M , R d N, R m 5
là:

Câu 35: (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt
: 2 0,
phẳng P x y z Q : x 2y z 3 0 và điểm A 1;0;4 . Phương trình đường
thẳng qua A và cùng song song với và Q là:
P
x 1 y z 4
A. d : .
B.
3 2 1
x 1 y z 4
C. d : .
D.
3 1 1
x 1 y z 4
d : .
3 1 1
x 1 y z 4
d : .
3 2 1
Gọi u
là VTCP của d, n1 , n2
lần lượt là VTPT của
n 1;1;1 , n 1;2; 1 .
1 2
P Q
, .
d / / P
u n
1
Ta có: suy ra d có một VTCP u n1 , n
2
3;2;1
d / / Q
u
n2
x 3 y z 4
Vậy phương trình đường thẳng d : .
3 2 1
Câu 36: (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
I 1; 4;3 .
Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng Oyz
là:
2 2
2
x y z
A. x 1 y 4 z 3 4. B.
C. x 1 y 4 z 3 25. D.
2 2 2
1 4 3 10.
2 2
2
x y z
2 2 2
Bán kính mặt cầu bằng khoảng cách từ I đến mặt phẳng 1
2 2 2
Phương trình mặt cầu: x y z
1 4 3 1.
1 4 3 1.
Oyz : R x 1
Câu37:(GvNguyễnBáTuấn2018)Chocácđiểm A1; 1;1 , B 2;1; 2 , C 0;0;1 , H x ; y ; z
0 0 0
là trực tâm tam giác ABC. Khi đó
x y z
0 0 0
bằng:
A. 1. B. 1.
C. 0. D. 2.
Đáp án A
Mp( ABC)
có phương trình x y z 1 0 . Vì H mp( ABC)
nên x0 y0 z0 1.
Câu 38:
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho
x 1 y z 1
đường thẳng : và mặt phẳng P : 2x y 2z
1 0. Mặt phẳng Q
chứa
2 1 1
và tạo với P
một góc nhỏ nhất, khi đó góc gần với giá trị nào dưới đây?

A. 6 .
B. 8 .
C. 10 .
D. 5 .
Đáp án B
Gọi (d) là giao tuyến của (P) và (Q). Góc giữa (P) và (Q) nhỏ nhất khi và chỉ khi
( d) ( ).
Mà ( ) qua A(1;0; 1) và có vectơ chỉ phương là u(2;1; 1)
; (P) có vectơ pháp tuyến
n2; 1;2
nên ( d)
có vectơ chỉ phương là v u; n
1; 6; 4 .
Do (Q) chứa (d) và ( )
nên có vectơ pháp tuyến là w u; v
10;7; 13 .
Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là nhỏ nhất và bằng với:
n.w 53
0
cos
8 .
n . w 3 6
Câu 39 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Phương trình đường thẳng
điểm?
x
2 4t
d : y 6t
z
1 2t
A. 2; 6; 1 . B. 4; 6;2 . C. 2; 6;3 . D.
Đáp án C.
t 1 A 2; 6;3 d.
Với
Câu 40
A 3; 2;5
x
8 4t
y
5 2t
z
t
2;0;1 .
. Đi qua
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
và đường thẳng (d).
. Tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm (A) lên đường thẳng (d).
A. 4; 1;3 . B. 4;1; 3 . C. 4; 1; 3 . D.
4; 1; 3 .
Đáp án A.
Xét yếu tố vuông góc nhập
tung độ, cao độ của các đáp án.
Ta thấy chỉ có đáp án (4;-1;3) cho kết quả = 0.
A 3 4 2 B 2 C 5 CALC A , B ,
C
hoành độ,

2 2
2
Câu 41. (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho mặt cầu S : x 2 y z 1 14.
Mặt
S
B
cầu cắt trục Oy tại A B y y . Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu S tại B là.
,
A
A. 2x 3y z 9 0.
B. 2x 3y z 9 0.
C. x 3y 2z
9 0.
D. x 3y 2z
9 0.
Đáp án B
S : x 2 2 y 2 z 1 2
14 A0; 3;0 , B 0;3;0
Gọi I
2;0; 1
là tâm mặt cầu
P
Mặt phẳng tiếp xúc với S tại B có véc tơ pháp tuyến là
BI 2; 3; 1 P : 2x 3 y 3 z 0 2x 3y z 9 0
Câu 42. (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, giả sử mặt cầu
2 2 2 2
S : x y z 2mx 4my 2z 4m 6m
4 0
m
. Để tâm mặt cầu cách mp
x 2y 2z
2 0
một khoảng cách bằng 3 thì m bằng.
Đáp án C
m
A. 3. B. 3.
C. 3.
D. 1.
S x y z mx my z m m
2 2 2 2
: 2 4 2 4 6 4 0
2 2 2 2
x m y 2m z 1 m 6m 5 I m; 2 m;1
Điều kiện để tồn tại mặt cầu
Khoảng cách từ I tới x 2y 2z
2 0 là
Câu 43
S
là
2
m m m
6 5 0 1 5
m 4m
2 2
m
3 loai
d m 3
2 2 2
1 2 2
m
3
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018). Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt
phẳng x y 2z1
0 và hai điểm A (1;2;-1), B (2;3;0). Quỹ tích điểm M trên (P) để
diện tích tam giác MAB nhỏ nhất là:
A. x y 1 z1.
B. x 1 y 2 z 1 x 2 y z1 . C. . D.
1 2 3 2 1 1
x 1 y 2 z 2
.
1 2 1
Đáp án A
Ta có AB
1;1;1 , n 1;1; 2
AB.n 0 AB song song với mặt phẳng
P x y 2z
1
0

Diện tích MAB
nhỏ nhất khi khoảng các từ M tới AB nhỏ nhất hay M nằm trên hình
chiếu của đường thẳng AB lên mặt phẳng x y 2z1
0 .Đường thẳng này song song với
AB nên có VTCP dạng k 1;1;1
nên ta chọn được đáp án A
Câu 44
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A
2 2 2
(0;1;1), B (3;0;-1), C (0;21;-19) và mặt cầu S : x 1 y 1 z1 1. Điểm M
2 2 2
(a;b;c) thuộc mặt cầu (S) sao cho biểu thức T 3MA 2MB MC đạt giá trị nhỏ nhật.
Tính tổng a + b + c
Đáp án D
12
A. a b c 0. B. a b c 12. C. a b c . D.
5
Trước hết ta tìm điểm
z z z
I x; y;z
thỏa mãn 3IA 2IB IC 0
3x 2 3 x x 0 x
1
3 1 y 2y 21 y 0 y 4 I 1;4; 3
3 1 2 1 19 0 z
3
Khi đó ta có :
2 2 2
2 2 2
T 3MA 2MB MC T 3MA 2MB MC
2 2 2
3 2
2 2 2 2 2 2 2 2
6MI 3IA 2IB IC MI 3IA 2IB IC 6MI 3IA 2IB IC
MI IA MI IB MI IC
a b c
Vậy T nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất do vậy M nằm trên giao điểm của IO với
S : x 1 2 y 1 2 z1
2
1. trong đó O1;1;1
là tâm mặt cầu.
x
1
IO 0; 4;3
PT đường thẳng IO là y
1 4t
thay tọa độ tham số vào S
ta có
x
1 3t
1 1 8 9 2
5 5 5 5 5
2
25t 1 t M1 1; ; , M
2
1; ; M1I 4, M
2I
6
Vậy
a b c
14
5
Câu 45 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai
điểm A 1; 2;3 và B 5;4;7 . Phương trình mặt cầu nhận AB làm đường kính có tâm là
I3;1;5
A. . B. I 3; 1;5 . C. I 3; 1; 5 . D. I 3;1; 5
.
14 .
5

Gọi I là tâm mặt cầu nên I là trung điểm AB nên (S) có tâm I (3;1;5).
Câu 46.
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
x 3 y 1 z 3
d :
. Phương trình tham số của đường thẳng d là
2 1 1
x 3 2t x 3 2t
x 3 2t
x 3 2t
A. d : y 1 t . B. d : y 1 t . C. d : y 1 t . D. d : y 1 t .
z 3 t
z 3 t
z 3 t
z 3 t
x
3 2t
Ta có phương trình tham số của d : y
1 t .
z
3 t
Câu 47. (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho (S) là mặt cầu tâm I 3;0;0 và tiếp xúc với
mặt phẳng (P) có phương trình.
2x 2y z 3 0 . Khi đó, bán kính của (S) là.
A. 6 . B. 4. C. 2. D. 3.
Ta có bán kính bằng
Câu 48.
9
d I, P
3
9
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Tổng giá trị m, n để đường thẳng
x 3
4t
D : y 1 4t t nằm trong mặt phẳng P : m 1
x 2y 4z n 9 0 là
z t 3
A. 10 B. 10
C. 8
D. 7
(D) qua A 3;1; 3 và vectơ chỉ phương a = 4; 4;1
VTPT của
P : m 1;2; 4
a.n 0 m 4 m 4
D P m n 10
.
A P
3m n 2 n 14
x 2 t x 3
t'
Câu 49. (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho 2 đường thẳng d
1
: y 1 t và d
2
: y 2 t' .
z 2 t
z 5
Phương trình đường vuông góc chung ∆ của , d là.
d1
2
x 1
t''
x 1
t''
x 1
t'' x 1
t''
A. : y 2 t'' . B. : y 2 t'' . C. : y 2 t'' . D. : y 2 t'' .
z 3 2t''
z 3 2t''
z 3 2t''
z 3 2t''
Đáp án A

x 2 t
x 3
t'
giao với d : y 1 t là A2 t;1 t ';2 t
với d
2
: y 2 t' là B 3 t ';2 t ';5
z 2 t
z 5
AB 1 t ' t;1 t ' t;3
t
1
Khi dó
Ta
AB u1
1; 1; 1
1 t ' t 1 t ' t 3 t 0 t
1
A 1;2;3 , AB 1; 1;2
AB u2
1;1;0
1 t ' t 1 t ' t 0 t
' 1
có
1
Vậy PT là :
x
1
t''
d : y
2 t''
z
3 2t''
Câu 50 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018). Cho mặt phẳng P : x y z 1 0 và hai điểm
A2;2;2 , B4;4;0
. Gọi (S) là mặt cầu đi qua điểm A, B sao cho
d M; P
M
S
d M; P
d A, P
d B, P
. Khi đó phương trình S là.
2 2 2
2 2 2
A. x 3 y 3 z 1 3 . B. x 1 y 1 z 3 3.
2 2 2
2 2 2
C. x 1 y 1 z 3 9 . D. x 3 y 3 z 1 9 .
Đáp án A
Do AB 2;2; 2 P : 2x y z 3 0 nên mặt cầu S cần xác định có tâm là trung điểm
1 1 2 2 2 3
2 2
2 2
I 3;3;1
của AB và bán kính R AB
2
Vậy PT S
:
Câu 51
2 2 2
x 3 y 3 z 1 3
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d đi qua
điểm A 1; 1;2
, song song với P : 2x y z 3 0 , đồng thời tạo với đường thẳng
x 1 y 1 z
:
1 2 2
một góc lớn nhất. Phương trình đường thẳng d là.
x
A. 1 y 1 z 2
x
. B. 1 y 1 z 2
.
1 5 7
4 5
7

x
C. 1 y 1 z 2
x
. D. 1 y 1 z 2
.
4 5 7
1 5 7
Đáp án A
Đường thẳng d đi qua A1; 1;2
có vec tơ chỉ phương u a; b;
c
do d song song với
nên u a; b; c
n 2; 1; 1
u. n 0 2a b c 1
P : 2x y z 3 0
Đến đây ta kiểm tra chỉ có đáp án A là đường thẳng có véc tơ chỉ phương thỏa mãn
chọn đáp án A
1
nên ta
Câu 52. (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho mặt phẳng P : x y z 3 0 và hai điểm
A2;1;2
là.
, B 0;3;4 . Số các điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho tam giác ABM vuông tại M
A. 0. B. 1. C. 2. D. vô số điểm.
Đáp án B
Tập hợp các điểm M sao cho tam giác ABM vuông tại M là mặt cầu
S
đường kính AB. Có
tâm I là trung điểm của AB có tọa độ I 1;2;3 và có bán kính
AB
R
2 2
1 2
2 2
2 2
2 3
3
Khoảng cách h từ I 1;2;3
tới P : x y z 3 0 là h 3 = R
3
P
Như vậy tiếp xúc với mặt cầu nên có điểm chung duy nhất hay có 1 điểm M thuộc P .
Câu 53 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Trong không gian Oxyz, cho điểm
chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (Oyz) là điểm
A 3; 1;1
M 3;0;0
A. . B. N 0; 1;1 . C. P 0; 1;0 . D. Q 0;0;1 .
Đáp án B
Hình chiếu vuông góc của A 3; 1;1
lên Oyz là điểm N thuộc mặt phẳng Oyz x 0 .
Vậy hình chiếu của A 3; 1;1 lên Oyz là N 0; 1;1
.
Câu 54
. Hình
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Trong không gian Oxyz cho đường thẳng
x 2 y 1 z
d : . Đường thẳng d có một véctơ chỉ phương là
1 2 1
A. u1
1;2;1
. B. u2
2;1;0
. C. u3
2;1;1
. D. u4
1;2;0
.
u 1;2;1
. Đáp án A Véctơ chỉ phương của đường thẳng d là

Câu 55.
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm
M 2;0;0 , N0; 1;0 , P0;0;2
. Mặt phẳng (MNP) có phương trình là
A. x y z
x y z
x y z
x y z
0 . B. 1. C. 1. D. 1.
2 1 2
2 1 2
2 1 2
2 1 2
Đáp án D
x y z
Ta có phương trình đoạn chắn của 3 điểm M 2;0;0 , N0; 1;0 ,P0;0;2
là 1.
2 1 2
Câu 56. (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 1;2;1
và
B2;1;0
. Mặt phẳng qua A và vuông góc với AB có phương trình là
A. 3x y z 6 0 B. 3x y z 6 0 C. x 3y z 5 0 D. x 3y z 6 0
Đáp án B
Gọi
là mặt phẳng cần tìm. n
u AB 3; 1; 1
có véctơ chỉ phương 3; 1; 1
và đi qua điểm A1;2;1
là : 3x y z 6 0
Câu 57.
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng
x 3 y 3 z 2
d
1
:
x 5 y 1 z 2
; d
2
:
và mặt phẳng P : x 2y 3z 5 0.
1 2 1 1 2 1
Đường thẳng vuông góc với (P), cắt
d
1,d2
có phương trình là
x 1 y 1 z x
A. B. 2 y 3 z 1 x
C. 3 y 3 z 2 x 1 y 1 z
D.
1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 2 1
Cách 1.
Viết lại phương trình
x 3 t x 5 3t
d
1
: y 3 2t ,d
2
: y 1 2t , t, t
.
z 2 t
z 2 t
Giả sử đường thẳng cần tìm là
cắt hai đường thẳng d1
d
và lần lượt tại A 3 t;3 2t; 2 t và
2
B 5 3t ; 1 2t ;2 t
.
Một véctơ chỉ phương của là
u AB 2 3t t; 4 2t 2t;4 t
t .
Một véctơ pháp tuyến của là n 1;2;3 ta có u kn nên ta có hệ.
P
P

2 3t t k 3t t k 2 t
1
4 2t
2t 2k 2t
2t 2k 4 t 2 .
4 t t 3k t t 3k 4
k 1
Suy ra A1; 1;0 ,B2;1;3 ,u
1;2;3
, do đó x 1 y
: 1
z , đáp án A.
1 2 3
d 1
Cách 2. Gọi (Q) là mặt phẳng qua và vuông góc với (P). Gọi (Q) là mặt phẳng qua
d 2
và vuông góc với (P). Khi đó đường thẳng cần tìm là giao của (Q) và (R). Ta có
thể chỉ cần viết (Q) hoặc (R) sau đó lấy tọa độ điểm ở đáp án thay vào để loại dần.
Câu 58 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Trong không gian Oxyz, cho điểm
M 1;1;2
. Hỏi có
bao nhiêu mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục xOx, yOy,zOz
lần lượt tại các điểm
A,B,C sao cho OA OB OC 0?
A. 3 B. 1 C. 4 D. 8
Cách 1. Ta hình dung có một bát diện đều tâm O. Qua M vẽ các mặt song song với các mặt
của bát diện đều ra sẽ được các mặt thỏa mãn đề. Do các mặt đối xứng qua tâm O là song
song nên ta có 4 mặt qua M thỏa mãn đề. (Chú ý do các mặt có dạng x y z D 0;
x y z E 0; x y z F 0; x y z G 0 . Ta thay M vào thấy chỉ có F 0 nên
mặt phẳng
x y z 0
đi qua O và khi đó không thỏa mãn đề). Vậy có 3 mặt phẳng thỏa
mãn đề.
Cách 2. Do phương trình tổng quát mặt phẳng x y z 1
với a b c . Biện luận theo
a b c
dấu của a, b, c ta nhận được 3 mặt.
Câu 59 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018). Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
8 4 8
A2;2;1 , B ; ; . Đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp của tam giác OAB và
3 3 3
vuông góc với mặt phẳng (OAB) có phương trình là
x
A. 1 y 3 z 1
x
B.
1 y 8 z 4
1 2 2
1 2 2
1 5 11
2 2 5
x y z
x y z
C. 3 3 6
D. 9 9 9
1 2 2
1 2 2
Cách 1. Ta dùng hệ thức aIA bIB cIC 0 I 0;1;1 từ đó dễ có đáp án A. (I là tâm
đường tròn nội tiếp_là giao 3 đường phân giác)

Cách 2. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp ta tìm hai đường phân giác trong của tam giác rồi
cho giao với nhau.
tam giác trong không gian).
Câu 60
A1;2;1 , B3; 1;1
S 3
(chú ý ở đây có kĩ thuật viết phương trình đường phân giác trong của
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Trong không gian Oxyz, cho ba điểm
S
và C 1; 1;1 . Gọi là mặt cầu có tâm A, bán kính bằng 2, và
1
là hai mặt cầu có tâm lần lượt là B, C và bán kính đều bằng 1. Hỏi có bao nhiêu mặt
S S
phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu , ,
1
A. 5 B. 7 C. 6 D. 8
2
S 3
S 2
Ta dễ thấy ba điểm A, B, C thuộc mặt phẳng
phẳng tiếp xúc với hai mặt cầu thì sẽ có hai tình huống.
z 1, 3 mặt cầu là ở ngoài nhau. Mỗi mặt
1. Cả 3 mặt cầu ở cùng một nửa không gian chia bởi mặt phẳng tiếp xúc. Có 2 mặt phẳng như
vậy.
2. Mặt phẳng tiếp xúc chia 2 mặt cầu về một phía và phía còn lại chứa mặt cầu kia. Có 4 mặt
phẳng tiếp xúc chia mặt cầu lớn và mặt cầu nhỏ ở cùng một bên. Có một mặt phẳng tiếp xúc
chia 2 mặt cầu nhỏ về một bên (ở đây do R r d A,BC nên mới tồn tại 1 mặt phẳng
tiếp xúc theo yêu cầu, nếu
Câu 61
R r d A, BC
thì sẽ tồn tại 2 mặt phẳng tiếp xúc)
( Gv Nguyễn Bá Tuấn ). Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P : x 2y 3z 6 0 . Vectơ chỉ phương của đường thẳng d vuông góc với P là
A. ud
1; 2; 3
B. ud
1; 2;3
C. ud
1; 2;3
D. ud
1;2;3
Ta có VTCP P : n 1; 2;3
, do d vuông góc với nên u 1; 2;3
P
P
Câu 62 ( Gv Nguyễn Bá Tuấn ). Trong hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây không
phải là phương trình đường thẳng Ox?
x
t
x
t
x t 1
x
t
A. y 0
B. y 0
C. y 0
D. y 0
z 0
z 1
z 0
z 0
Đường thẳng qua trục Ox đi qua và nhận i 1;0;0 làm VTCP nên thử các phương án
ta chọn được đáp án B.
O0;0
d

Câu 63. ( Gv Nguyễn Bá Tuấn ) Trong hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng
P .x 2y 2z 11 0
và Q .x 2y 2z 2 0 . Khoảng cách giữa và Q là
P
A. 9 B. 3 C. 1 D. 13
Ta có M 11;0;0 P
Vì
P / / Q nên d P ; Q
d M; Q 3
Câu 64.
( Gv Nguyễn Bá Tuấn )Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
x 1 y 1 z 3
d : và mặt phẳng P
x 2y 2z 0 . Phương trình mặt cầu S
có tâm
2 3 1
Id , tiếp xúc và cách P một khoảng bằng 1
2 2 2
A. x 3 y 2 z 2 1
B.
C. x 3 y 2 z 2 2
D.
2 2 2
x 3 y 2 z 2 1
2 2 2
x 1
2t
x 1 y 1 z 3
d : PTTS: y 1 3t
2 3 1
x 3 t
Có
Với
gọi
2 2 2
x 3 y 2 z 2 2
I 1 2t; 1 3t;3 t
1 2t 2 1 3t 2 3 t 2
d IP
1 1 t ; t 1
3 5
t 1 ta có
I3;2;2
S
Vậy có I 3;2;2 và R 1
Chọn đáp án A
Cách 2: Từ dữ kiện mặt cầu
S
có tâm I thuộc d ta loại được đáp án B, D
Tiếp đến ta có d I; P 1 R nên chọn được đáp án A.
Câu 65 ( Gv Nguyễn Bá Tuấn ). Trong không gian Oxyz cho đường thẳng
x 1 y 2 z 3
d :
2 1 1
và mặt phẳng
P : 2x y z 1 0. Phương trình đường thẳng
qua giao điểm của đường thẳng d với P , nằm trên mặt phẳng P và vuông góc với
đường thẳng d là.
x 2 t
x 1
t
x 2 t
A. y 2 B. y 0
C. y 2 D.
z 3 2t
z 1 2t
z 4 2t
Đáp án D
x 3 t
y 4
z 1 2t

x 1 y 2 z 3
PTTS của d :
x
1
2t
là y
2 t thay tọa độ tham số vào P
ta được
2 1 1 z
3 t
21 2t 2 t 3 t 1 0 t 2 M 3;4;1
là giao điểm của d
và
Đường thảng đi qua M vuông góc với d và vuông góc với VTPT của P nên có VTCP
u ud
, n
2; 1;1 , 2;1;1 2;0;4 2 1;0; 2
Vậy PT đường thẳng cần tìm là
x 3 t
y 4
z 1 2t
Câu 66 ( Gv Nguyễn Bá Tuấn ) Cho A0;2; 2 , B3;1; 1 ,C4;m 1;0 ,D1;m 2;0
. Để A, B, C, D không là 4 đỉnh của tứ diện thì m thỏa mãn
A. m B. m 3
C. m 1
D. m 9
Đáp án D
Ta thấy C,
D mặt phẳng z 0 do A,
B không thuộc mặt phẳng z 0 nên để 4 điểm đã cho
P
không là 4 đỉnh tứ diện thì AB cắt CD hay giao điểm của AB với z 0 nằm trên
CD
x
3t
AB 3; 1;1
PTTS của AB là y
2 t giao với z 0 t 2 M 6;0;0
là giao
z
2 t
của AB với 0 Ta có CD 3;3;0
z
10
M CD MC kCD 10; m 1;0 k 3;3;0 k m 9
3
Vậy
Câu 67 ( Gv Nguyễn Bá Tuấn )Trong không gian Oxyz cho ba điểm
. Điểm M a;b;c
thuộc mặt phẳng : 2x y 2z 7 0
A 1;1;1 , B 1;2;0 ,C 3; 1;2
sao cho biểu thức
P 3MA 5MB 7MC
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính
a b c ?
A. 4 B. 5
C. 13 D. 7
Đáp án C
Trước hết ta xác định
I x; y;
z
sao cho
z z z
3 1 x 5 1 x 7 3 x 0 x
23
3IA 5IA 7IC 0 3 1 y 5 2 y 7 1 y 0 y
20 I 23;20; 11
3 1 5 7 2 0 z
11

P 3MA 5MB 7MC =
3 MI IA 5 MI IB 7 MI IC MI
Vậy P nhỏ nhất khi M là hình chiếu của của I lên : 2x y 2z 7 0
Đường thẳng d đi qua I và vuông góc với : 2x y 2z 7 0 có PT là
x 23 2t
y 20 t thay tọa độ tham số vào
z 11 2t
22t 23 20 t 211 2t 7 0 t 9 M 5;11;7 a b c 13
Câu 68 ( Gv Nguyễn Bá Tuấn )Cho A1;2;3 , B4;0;1 ,C4;8;1
và điểm
2 2 2
M S : x y z m m 0
CA. Khi đó, m nhỏ nhất là
thỏa mãn mặt cầu tâm M tiếp xúc với ba cạnh AB, BC,
A. 27 B. 1 C. 5
D. Đáp án khác
Đáp án D
Từ M dựng đường thẳng MI vuông góc với đáy
Vì tiếp xúc với 3 cạnh => I là tâm đường tròn nội tiếp ABC

aIA bIB cIC 0
aA bB cC
I (a 8;b 7,c 17)
a b c
I(...)
I
IM
u
[AB;AC]
M d(O; )
min
Tính toán ta ra được đáp án khác
Câu 69. (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường
1 2 3
thẳng d :
x
y
z . Vecto chỉ phương của d là.
5 8 7
A. u1 5;8;7
B. u2 1; 2;3
C.
3
5; 8;7
D. u4 7; 8;5
Đáp án A
u
2 2 2
Câu 70. (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho mặt cầu S : x y z 2x 6y 4z
5 0 .
Bán kính của mặt cầu
S
là.
A. 3 B. 2 C. 4 D. 6
Đáp án A
Ta có
2 2 2
R 1 3 2 5 3
Câu 71 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm
1;0;0 , 0; 2;0 , 0;0; 5
A B C
phẳng ABC ?
. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt
1 1 1 1 1 1
A. n1
1; ; B. n2
1; ; C.
3
1; ; D.
2 5
2 5 2 5
Đáp án B
Cách 1. Ta có
AB 1; 2;0
AB, AC
10, 5, 2
AC 1;0; 5
1 1 1
n AB, AC
1; ;
10
2 5
Cách 2.
n n4
x y z
1 2 5
1 1
1; ;
2 5
Theo công thức phương trình đoạn chắn ta có phương trình ABC : 1

Suy ra phương trình pháp tuyến của
Câu 72
ABC
là
n 1 1
1; ;
2 5
(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Khoảng cách giữa 2 đường thẳng
2 1
1
:
x
y
z
1 1
d và d2
:
x
y
z là.
2 1 3
1 1 2
10
15
20
A. B. C. D.
35
35
35
Đáp án B
1 2 d d1;
d2
Lấy M 2;0;1 d và N 1;0;1 d . Ta có
25
35
ud
, u
1 d2
MN 15
u
, 35
d
u
1 d2
Câu 73 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018). Phương trình mặt phẳng P qua 3 điểm
A0;2;1 , B 2;1;0 , C 1;1;1
là.
A. x y z 3 0 B. 2x y z 4 0 C. x y 2z 0 D. x 2y z 3 0
Đáp án A
Ta có n
AC, AB
1;1;1
. Phương trình là
P
P
x y z 3 0
Câu 74. (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho d là
đường thẳng đi qua gốc tọa độ O , vuông góc với trục Ox và vuông góc với đường thẳng
x
1
t
: y
2 t
z
1 3t
. Phương trình của d là.
x
t
x
t
x
x y z
A. y
3t
B. y
3t
C. D. y
03 t
z
t
1 3 1
z
t
z
t
Đáp án D
Ta có: uOx = ( 1;0;0 ); uD
= ( 1; -1; -3) Þ ud = éuD; u ù
ê Ox ú = ( 0; -3;1)
. Vậy phương trình đường thẳng
ë û
ì x = 0
( d ) là ( d)
: ï
íy = - 3t
ï
ïî z = t
Câu 75 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018). Cho lăng trụ tam giác ABC. A' B ' C ' có
a a 3
A ;0;0 , B 0; ;0
a 3
, , . Khi đó lăng trụ đã cho là
2
2
B ' 0; ;h
a
2
C
;0;0
2

A. Lăng trụ đứng (không đều) B. Lăng trụ đều
C. Không phải lăng trụ đứng D. Lăng trụ có đáy là tam giác vuông
Đáp án B
ì AB = a
Ta có: ï
íAC = a Þ DABC
đều.
ï
ïî BC = a
æ-a a 3 ö ìï
BB '. AC = 0
BB '( 0;0; h) ; AC( -a;0;0); AB ; ;0 ï
ç Þ í Þ BB ' ^( ABC)
.
2 2
çè ÷ ø ï
ïî BB '. AB = 0
Vậy
ABC. A' B' C '
là lăng trụ đều.
Câu 76 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng
2
: 3 5 1 4 20 0, 1;1. Biết rằng với mọi m1;1
thì mặt phẳng
m
mx m y mz m
S
R
m
tiếp xúc với một mặt cầu cố định. Tính bán kính mặt cầu S biết rằng tâm
của mặt cầu
S nằm trên mặt phẳng Oxz
A. R 4
B. R 5
C. R 3
D. R 2
Đáp án A
Gọi
I ( a;0; b)
; R
lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu. Ta có:
2
3ma 5 1 m .0 4mb 20 3a 4b m 20
R d
I
;
2 2 2
9m 25 25m 16m
5
20
Do đó: 3a + 4b = 0 Þ R = = 4.
5
là đại lượng không đổi
,"m.

Câu 1: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d và mặt
x 12 y 9 z 1
phẳng P
có phương trình: d : ; P : 3x 5y z 2 0. Tìm tọa độ
4 3 1
giao điểm.
0;0;1
0;0;2
A. B.
1;2; 2
C. 0;0; 2
D.
Đáp án C
Giả sử d và (P) cắt nhau tại A x ; y ;z ta có :
3x0 5y0 z0
2 0
x A0;0; 2
0
12 y0 9 z0
1
4 3 1
Vậy d cắt (P) và tọa độ giao điểm là A0;0; 2
0 0 0
Câu 2: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng
P : y 2z 0 ; điểm A 1;2;3 , B 1;1;1
. Tìm tổng tọa độ của điểm M trên P sao cho
chu vi tam giác MAB đạt giá trị bé nhất.
14
2
1
17
A. B. C. D.
55
5
5
5
Đáp án A
C AB const MABMin
MA MB
Ta có: MAB MA MB AB
Điều này xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm của
xứng của A qua (P)).
Dựa vào yếu tố vuông góc và trung điểm ta tính được
C
AB
x
110t
11 22
A
B 2; ; 10;11;22 AB : y 111t
5 5
z 1 22t
Min
với (P) (Với A’ là điểm đối
6 17
A
1; ;
5 5
Từ đây ta tìm được giao điểm:
5 2 1
M AB P
M ; ;
11 5 5

Câu 3: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Một cặp véc tơ chỉ phương của 2 phương trình 2
x 1 y z 2
đường phân giác tạo bởi 2 đường thẳng sau là d 1 : và
3 2 1
x 1 y z 2
d
2 :
2 3 1
1;5;0 ; 5;1;5
A. 1;5;0 ; 5; 1; 2
B.
1;5;0 ; 5;1; 5
C. 1;5;0 ; 5;1;2
D.
Đáp án A
Ta có d1 d2
A1;0;2
. Gọi vectơ đơn vị của d1
và d2
lần lượt là e 1
và e
2
ta có:
u
d u
1 d2
3 2 1 2 3 1
e
1
;e2 e
1
; ; ;e 2
; ; . Hai vectơ chỉ
ud
ud
14 14 14 14 14 14
1 2
phương của 2 đường phân giác lần lượt
1 5
ud e
1 1
e
2
; ;0
1;5;0
14 14
5 1 2
ud e
2 1
e
2
; ; 5; 1; 2
14 14 14
Câu 4: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác
A1;0;0 , B0;0;1
ABC có và C 2;1;1 . Tìm tổng tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.
A. 1 B. 2
C. 0 D. Không có điểm H
Đáp án A
- Cách 1: Giả sử H x; y;z là trực tâm của tam giác ABC, ta có điều kiện sau:
AH
BC
AH.BC 0
BH AC BH.AC 0
H ABC
AB, AC
.AH 0
Tọa độ điểm H thỏa mãn hệ điều kiện trên.
Do nhận xét được AB.AC 0 AB AC nên ta tìm được cách giải độc đáo sau:
- Cách 2: Vì tam giác ABC vuông tại A nên trực tâm H của tam giác ABC trùng với
điểm A
- Lời giải chi tiết cho cách 2: AB 1;0;1 ;AC 1;1;1
, nhìn nhanh thấy
AB.AC 0 AB AC nên tam giác ABC vuông tại A và A là trực tâm
- Lời giải chi tiết cho cách 1:

Ta có
AB 1;0;1 ;AC 1;1;1
AB, AC
1;2; 1
phẳng (ABC) là:
x 1 2y z 0 x 2y z 1 0
. Nên phương trình mặt
Gọi H x; y;z là trực tâm tam giác ABC, ta có
HC 2 x;1 y;1 z ,HC AB HC.AB 0 2 x 1 z 0 1
HB x; y;1 z ,HB AC HB.AC 0 x y z 1 0 2
Và
H
ABC
nên
x 2y z 1 03
Từ (1);(2); và (3) ta có x 1; y 0;z 0 . Vậy H 1;0;0 trùng với A
Câu 5(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng
x 1 y z 1
d : và điểm A1; 4;1
. Phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với
2 1 1
đường thẳng d có bán kính là:
A. 2 3 B. 12 C. 14
D. 14
Đáp án C
- Gọi H là hình chiếu A lên D.
Vì H d H1 2t; t; 1 t AH 2t; t 4; 2 t
- Gọi u 2;1; 1
là VTCP của D.
Vì AH d nên AH.u 0 2t.2 t 4 2 t 0 t 1 H 1; 1;0
- Gọi R là bán kính mặt cầu cần tìm.
R d AH;AH 2;3; 1 R AH 14
Do mặt cầu tiếp xúc với d nên
A,d
Câu 6(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm
A0;1;0 , B2; 1;2
. Phương trình mặt phẳng P đi qua các điểm A, B và cắt tia Ox, Oz
lần lượt tại M và N sao cho diện tích tam giác AMN nhỏ nhất. Điểm nào sau đây thuộc mặt
phẳng P
.
1;3;2
1;3; 2
A. B.
2;3; 6
C. 2;3; 2
D.
Đáp án C
Giả sử M m;0;0 , N0;0;n
do M,N thuộc các tia Ox, Oz nên m,n >0.
Mặt phẳng (P) đi qua A,M,N có phương trình là
x z
P : y 1.
m n

2 2
B 2; 1;2 P 1 1 m n mn.
m n
AM m; 1;0 , AN 0; 1;n AM,AN
n; mn; m .
Vì
Ta có
2 2 2 2
1 m n m n
Suy ra SAMN
AM,AN
.
2 2
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
mn m n mn m n mn mn
Do đó
2 2
2 4 4.
2 2 2 2 2 2
m n m n 2mn m n 24 SAMN
6.
x z
m n 2 P : y 1 P : x 2y z 2 0
2 2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Vậy mặt phẳng cần tìm là P : x 2y z 2 0
Câu 7 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Trong không gian Oxyz, cho vectơ
a x ;y ;z ,b x ;y ;z . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
1 1 1 2 2 2
x1 x2
0
A. a b y1 y2
0
B.
z1 z2
0
C. a b x x ;y y ;z z
D.
1 2 1 2 1 2
ka kx ;ky ;kz x
1 1 1
a.b x x y y z z
1 2 1 2 1 2
Đáp án D
Em có: a.b x1x 2
y1y2 z1z
2
Đáp án D sai, còn các đáp án A, B, C đều đúng
Câu 8 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz mặt cầu (S) có
phương trình
2 2 2
x y z 2x 4y 6z 2 0. Khi đó (S) có:
A. tâm I 2;4; 6
và bán kính 58 . B. tâm I 2; 4;6
và bán kính R 58 .
R
C. tâm I 1;2; 3
và bán kính 4 . D. tâm I 1; 2;3
và bán kính R 4 .
Đáp án D
R
2 2 2
Phương trình mặt cầu có dạng: 2 2 2 0 có tâm I a; b;
c , bán
x y z ax by cz d
2 2 2
kính R a b c d
2
2 2
I 1; 2;3 , R 1 2 3 2 16 4 .
Câu 9: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian Oxyz, cho điểm
độ của điểm M trên trục tung sao cho AM 5.
A 0;2;3
. Tìm tọa

M M
A. 0;6;0 , 0;2;0
B. M 0;6;0 , M 0; 2;0
M M
M 0; 6;0 , M 0;2;0
C. 0; 6;0 , 0; 2;0
D.
Đáp án B
Gọi M 0;b;0
Em có:
Oy
2
AB 5 AB 25
2 2 2 2 b 2 4 b 6
0 0 b 2 0 3 25 b 2
16
b 2 4
b 2
M 0;6;0
M 0; 2;0
Câu 10(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ
a 4;3; 2 ,b 6;5;1 ,c x;2x;3x
2
a b c
là:
. Để ba vectơ , , đồng phẳng thì giá trị của x
4
13
4
A.
B. C. D.
13
4
13
Đáp án C
Em có: a,b
13; 16;2
Ba vectơ a,b,c đồng phẳng thì
13x 32x 6x 4 0
13x 4
a,b
.c 0
Câu 11(GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
4
x
13
M 0;5; 3
và đường thẳng
song song của M trên (Oxz) theo phương d là:
13
4
x
t
d : y 3 t . Tổng tọa độ điểm M’ là hình chiếu
z 2
A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Đáp án A
Đường thẳng d có vtcp u 1; 1;0
.
Đường thẳng
d
x t
quaM 0;5; 3
: : y 5
t.
vtcpu
ud
1; 1;0
z 3
Em có M’ là hình chiếu song song của M trên (Oxz) M ' Oxz M ' 5;0; 3
.
Vậy tổng tọa độ của điểm M’ là 2.

Câu 12: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
M a;b;c , a 0
thuộc đường thẳng
y 2 z1
d : x 3 . Hình chiếu song song của điểm
1 2
x 3
t
M trên mặt phẳng P : x 5y 2 0 theo phương của đường thẳng : y 1
2t là điểm
z
3t
M’ sao cho MM ' 14 . Tính giá trị của biểu thức T a b
c là:
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Đáp án A
Vì M d
nên M t 3; t 2;2t 1 ,t
Đường thẳng có vtcp u
1;2; 3
.
quaM t 3; t 2;2t 1 x t 3 y t 2 z 2t 1
Đường thẳng d' :
d' : .
vtcpu
d'
u 1;2; 3
1 2 3
5 1 2
M’ là hình chiếu song song của M trên (P) M ' d' P
M ' t 2; t; t 2 .
9 9 3
Em có:
2 2 2
MM '
4 8 4
14 t 1 t 2 t 3
9
9
3
14
224 2 112
t t 14 14
81 9
Mà a 0 nên M 3; 2;1
.
9 3 5
t M ; ; 8
2 2 2
t 0
M 3; 2;1
Vậy T a b c 3 21
0.
Câu 13: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm
A 0;4;1 ,B 1;2; 1
x 1 y 1 z
và đường thẳng d : . Trên d lấy điểm M sao cho diện
2 1 3
tích tam giác ABM đạt giá trị nhỏ nhất. Gọi M’ là điểm đối xứng với điểm M qua đường
thẳng AB. Tổng tọa độ của điểm M’ là:
7
14
17
A. B.
C. D. 2
19
9
9
Đáp án B
M d M 2t 1; t 1;3t
.

AM 2t 1; t 3;3t 1
Em có:
AM,BM 8t 4; t 3;5t 5
.
BM 2t 2; t 1;3t 1
1 1 2 2 2 1 2
S
ABM
. AM,BM . 8t 4 t 3 5t 5 . 90t 120t 50
2 2 2
10
2 10
. 3t 2 1 t
.
2 2
2 1 5
Dấu “=” xảy ra khi t M ; ; 2 .
3
3 3
x
t
quaA 0;4;1
Đường thẳng AB:
AB: y 4
2t
vtcpu AB 1; 2; 2
z 1
2t
Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng AB.
1 7
Ht;4 2t;1 2t MH
t ;2t ;2t 3 .
3 3
Em có:
1 7
MH AB MH.AB 0 t 2. 2t 2. 2t 3
0 t 11
H 11 ; 14 ;
13
3
3
9
9 9 9
19 13 8
H là trung điểm của MM’ nên M ' ; ; .
9 9 9
14
Vậy tổng tọa độ của điểm M’ là: .
9
Câu 14(GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
. Gọi
là mặt phẳng chứa P và cách Q một khoảng dài nhất. Phương
P 2; 1;3 ,Q 3;2;1
trình mặt phẳng
là
A. 3x y z 2 0.
B. x 3y 2z 7 0.
C. x 2y 3z 18 0.
D. 6x 2y 3z 1
0.
Đáp án B
2 2 2
Mặt phẳng có phương trình dạng Ax By Cz D 0 (điều kiện A B C 0)
Vì P thuộc
nên 2A B 3C D 0 D 2A B
3C
Khoảng cách từ Q đến mặt phẳng
là
2
2 2 2 2 2
3A 2B C D A 3B 2C 1 3 2 . A B C
dQ,
14
2 2 2 2 2 2 2 2 2
A B C A B C A B C
A B C
Như vậy khoảng cách từ Q đến
lớn nhất d 14 khi .
1 3 2

Do A, B, C không đồng thời bằng 0 nên chọn A 1,B 3,C 2, D 7.
Phương trình mặt phẳng : x 3y 2z 7 0
Câu 15: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
A(1;1;0) và B(0;1;2). Vectơ nào dưới đây là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng AB?
A. b 1;0;2
B. c 1;2;2 C. d 1;1;2
D. a 1;0; 2
Đáp án A
Ta có AB xA x
B; yA y
B;zA zB
1;0;2 .
Vậy b 1;0;2
là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng AB.
Câu 16: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P : x 2y z 5 0.
Điểm nào dưới đây thuộc (P)?
A. Q 2; 1;5 . B. P 0;0; 5 . C. N 5;0;0 . D. M 1;1;6 .
Đáp án D
Ta thay tọa độ của từng điểm vào phương trình mặt phẳng (P):
2 2. 1 5 5 4 QP
0 0 5 5 10 P P
5 0 0 5 10 N P
1 2 6 5 0 M P .
Với Q 2; 1;5 :
Với P 0;0; 5 :
Với N 5;0;0 :
Với M 1;1;6 :
Câu 17: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
I(1;2;3) và mặt phẳng
tọa độ H.
P : 2x 2y z 4 0.
Mặt cầu tâm I tiếp xúc với (P) tại điểm H. Tìm
H3;0;2 .
A. H 1;4;4 . B. H 3;0; 2 . C. D. H 1; 1;0 .
Đáp án C
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n 2; 2; 1
Gọi u
là vectơ chỉ phương của đường thẳng IH
Vì IH P nên u n 2; 2; 1
Phương trình đường thẳng IH qua I(1;2;3) và có vectơ chỉ phương
u 2; 2; 1
Tọa độ của
x 1
2t
là y 2 2t
z 3 t
H IH là H1 2t;2 2t;3
t

Mặt cầu tâm I tiếp xúc với (P) tại điểm H nên H
P
Khi đó 21 2t 22 2t 3 t 4 0 t 1
H3;0;2
Câu 18(GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình
nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm
thẳng
x 1 y 2 z 3
: ?
3 2 1
M 3; 1;1
và vuông góc với đường
A. 3x 2y z 12 0. B. 3x 2y z 8 0. C. 3x 2y z 12 0. D. x 2y 3z 3 0.
Đáp án C
x 1 y 2 z 3
: có véc tơ chỉ phương là u 3; 2;1
3 2 1
Phương trình mặt phẳng cần tìm đi qua M và vuông góc với đường thẳng
x 1 y 2 z 3
: nên nhận u 3; 2;1
làm véc tơ pháp tuyến có phương trình là:
3 2 1
3x 3 2y 1 1z 1
0 3x 2y z 12 0
Câu 19(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
A2;0; 2 ,B3; 2; 4 ,C 2;2;0 .
Điểm D trong mặt phẳng Oyz
có tung độ dương và
cao độ âm sao cho thể tích của khối tứ diện ABCD bằng 2 và khoảng cách từ D đến mặt
phẳng
(Oxy)
bằng 1 có thể là:
D0;3; 1
A. D 0; 3; 1 B. D 0;1; 1 C. D 0;2; 1 D.
Đáp án D
D Oyz D 0; y ;z , điều kiện z0
0.
0 0
Phương trình 0 0
Oxy : z 0 d D, Oxy z z 1.
Suy ra
z0 1 D 0; y
0; 1 .
AB 1; 1; 2 ,AC 4;2;2 , AD 2; y ;1 .
Ta có
AB,AC 2;6; 2 AB,AC
.AD 6y 6
Suy ra 0
1
y0
3
6
y0
1
VABCD AB,AC .AD y0
1 2
Suy ra D 0;3; 1 hoặc D 0; 1; 1
(loại)
0

Câu 20(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 điểm
A0;2;4 , B1;2; 3
và mặt phẳng
P : x y z 0.
Xét đường thẳng d thay đổi thuộc (P)
và đi qua B, gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d. Biết rằng khi d thay đổi thì H thuộc
một đường tròn cố định. Bán kính R của đường tròn đó là:
38
3
1
A. R . B. R . C. R .
D.
2
2
2
Đáp án A
Gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (P).
n 1;1;1 .
Mặt phẳng (P) có vtpt là:
Đường thẳng
p
qua A 0;2;4
AK :
AK : x y 2 z 4.
uAK
np
1;1;1
Mà K AK P K 2;0;2 .
3 3
R .
2
Ta có:
AK
d
KH d KHB 90 .
AH
d
Vậy điểm H luôn thuộc đường tròn đường
kính BK cố định. Bán kính của đường tròn đó là:
BK 38
R .
2 2
Câu 21(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 đường
x 3 2t
z 3
thẳng d1
và d2
có phương trình: d
1
: y 2 t và d
2
: x 2 y 1 . Phương trình
2
z 1 t
mặt phẳng (P) chứa và tạo với d một góc lớn nhất là:
d1
2
A. 4x y 7z 3 0. B. 4x y 7z 3 0. C. 4x y 7z 3 0. D. 4x y 7z 3 0.
Đáp án B

Ta có: P ,d d ,d P ,d d ,d khi
1
là hình chiếu vuông góc của d
2 1 2 2 max 1 2
trên (P).
Đường thẳng d1
có vtcp u1
2;1;1 .
Đường thẳng có vtcp u 1;1;2 .
d
2
Ta có:
A d d A 1;0;1 .
1 2
Gọi (Q) là mặt phẳng chứa
Mặt phẳng
qua A 1;0;1
P :
nP n Q, u
1
4;1;7
Phương trình mặt phẳng
2
Q P
d1
và d2
nQ u 1,u
2
1; 3;1
P : 4x y 7z 3 0.
d
2
Câu 22GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Trong không gian Oxyz, cho vectơ a
2 2; 1;4 .
Vectơ b ngược hướng với a
và có b 10. Gọi (x, y, z) là tọa độ của b
. Lựa chọn phương
án đúng.
A. xyz 64 2. B. xyz 64 2. C. xyz 8 2. D. xyz 8 2.
Đáp án A
Do vectơ b ngược hướng với a
nên b k.a , k 0 . Suy ra: b k . a k a .
Em dễ dàng tính được: a 5 và b 10gt .
Từ đó suy ra: k 2 và b 4 2;2; 8
Câu 23: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 3;1;0 ,
. M là điểm trên trục Oy và MA MB . Lựa chọn phương án đúng.
B 2;4;1
11
11
11
A. M 0; ;0 .
B. M 0; ;0 .
C. M 0; ;0 .
D.
6
10
6
Đáp án A
11
M 0;0; .
2
Em cần nhớ điểm thuộc trục Oy có hoành độ và cao độ đều bằng 0. Do vậy em sẽ gọi
tọa độ điểm M là 0;m;0 .
Khi đó em có:
2 2 2 2
MA 3 0 1 m 0 0 m 2m 10
2 2 2 2
MB 2 0 4 m 1 0 m 8m 21

Do MA MB nên m 2m 10 m 8m 21 m .
6
Câu 24: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng
A0;1;1
2 2 11
hàng , B 1;0;2 , C 1;1;0
. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng
6
A. .
B.
5 3 2
2 5 3 2
2 6
C. .
D.
5 3 2
Đáp án A
6
6. 5 3 2 .
Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, 2p là chu vi của tam giác đó thì
S
ABC
S ABC
pr r .
p
Em có: BA 1;1; 1
, BC 0;1; 2
, CA 1;0;1 .
1 6
S
ABC
BA,BC ,2p AB BC AC 3 5 2.
2
2
Suy ra:
6
r
.
5 3 2
.
Câu 25(GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
là mặt
x 1 y 2 z 1
phẳng chứa hai đường thẳng d
1
:
x 12 3t
và d
2
: y
t . Phương trình mặt
3 1 2
z 10 2t
phẳng
là
A. 15x 11y 17z 54 0.
B. 15x 11y 17z 10 0.
C. 15x 11y 17z 24 0.
D. 15x 11y 17z 10 0.
Đáp án D
Đường thẳng d 1 đi qua M1
1; 2; 1
và có VTCP u1
3; 1;2 .
Đường thẳng d 2 đi qua M
2 12;0;10 và có VTCP u2
3;1; 2 .
Như vậy: u u ,M d
. Suy ra d 1 //d 2 .
1 2 1 2
Chú ý: Hai đường thẳng d 1 và d 2 song song nên em không thể lấy tích có hướng của hai
VTCP để tìm VTPT của mặt phẳng vì tích có hướng của hai vectơ cùng phương là vectơkhông.

Gọi n là một VTPT của mặt phẳng
thì vuông n
góc với hai vectơ không cùng
phương u1
3; 1;2
và M1M 2
11;2;11
. Chọn n u 1,M1M
2
15; 11;17 .
Vì vậy phương trình của
là:
15 x 1 11 y 2 17 z1
0 15x 11y 17z 10 0.
Câu 26(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian Oxyz, cho điểm
A 1;1; 2
và hai
mặt phẳng P : 3x y 1 0 , Q : x 2z 3 0 . Phương trình đường thẳng d qua điểm A
đồng thời song song với cả hai mặt phẳng (P), (Q) là
x 2 t
x 5 2t
x 1
2t
A. y 6 t. B. y 13 6t. C. y 1 6t . D.
z 1 2t
z
t
z 2 t
x 2 t
y 6 t .
z 1 2t
Đáp án B
Mặt phẳng (P) có VTPT nP
3; 1;0
, mặt phẳng (Q) có VTPT nQ
1;0; 2
.
n P,n
Q
2;6;1 .
Đường thẳng d cần tìm có một VTCP là: u n P,n
Q
2;6;1 .
x 1
2t
Vì A1;1; 2d
nên phương trình của đường thẳng d là: y 1 6t
z 2 t
Câu 27(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
2 2 2
S : x y z 2x 2y 4z 3 0
A. P : 2x y 2z 3 0.
B.
C. R : 3x 4y 10 0.
D.
Đáp án B
Mặt cầu (S) có tâm I 1; 1;2
và bán kính R 3 .
. Mặt phẳng nào dưới đây tiếp xúc mặt cầu (S)?
Q : 2x 2y z 7 0.
T : x 2y 5z 11 0.
Kiểm tra thấy tâm I thuộc hai mặt phẳng (P) và (T) Loại A, D.
Tính khoảng cách từ I đến hai mặt phẳng (Q) và (R) em được:
2.1 2. 1 2 7
d I, Q
3 R
2 2 2
2 2 1
d I, R
3.1
4. 1 10 11
R
2 2 2
3 4 0 5

Câu 28(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian Oxyz cho điểm A 1;0;0
và mặt cầu
2 2 2
S : x y z 2x 4y 3 0 . Có bao nhiêu tiếp tuyến của (S) biết đi qua điểm A
x 1 y z
và vuông góc với đường thẳng d :
2 1 1
A. 1 B. 0 C. 2 D. 3
Đáp án C
Để tìm đường thẳng đã cho trước hết ta cần xác định mặt phẳng (P) đi qua A và vuông
góc với d. Khi đó đường thẳng cần tìm nằm trên (P).
Mặt cầu (S) có tâm I 1;2;0 , bán kính R 2 .
Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương u 2;1;1
.
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d suy ra n u 2;1;1 .
và mặt cầu (S) là điểm M x;y;z
Phương trình mặt phẳng P : 2 x 1 y z 0 P : 2x y z 2 0.
Giả sử tiếp điểm
M
M
P
S
2 2 2
MA IA IM 2 2 2
Ta có hệ phương trình:
1
2x y z 2 0
x
x 1 5 M 1;1; 1
1 3
M ;1;
2 2 2
x 1
y z 2 z 1 3
z
5 5
5
2 2 2
x y z 2x 4y 3 0 y 1 y 1
.
x 1
+ TH1: Nếu M 1;1; 1 AM 0;1; 1 : y t .
z
t
1 3 4 3
x 1 y z
+ TH2: Nếu M ;1; AM ;1; : .
5 5
5 5
4 5 3
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là
x 1
: y t hoặc
z
t
x 1 y z
:
4 5 3
Câu 29: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Trong không gian Oxyz cho hai điểm
P
A 1;1;3
B 1;3; 1
và mặt phẳng (P) có phương trình x 2y z 1 0 . M là điểm trên mặt phẳng (P)
thỏa mãn MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất. Tọa độ điểm M là
và

3 1
3 5
A. M ;1; .
B. M ;1; .
C. M 1;1;0 .
D. Không có M.
2 2
2 2
Đáp án A
Thay tọa độ điểm A, B vào biểu thức vế trái của phương
trình
P: 1 2.1 311 2.3 11
0
A, B nằm cùng phía đối với (P).
Gọi
AA ' .
A ' x ';y';z'
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến
đối xứng A qua (P), K là trung điểm của
n 1; 2; 1
P
. Khi đó:
1 x' 1 y' 3
z'
2. 1 0 k 1
2 2 2
K P
x' 2
x ' 1 k
AA ' kn
y' 1
P
y' 1 2k
z' 2
z' 3 k
. Vậy A ' 2; 1;2
MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất khi M I là giao điểm của A 'B và (P).
Điểm
I x;y;z
thỏa mãn
x 2y z1
0
1
I P x 2 t 1 2
t
2
3 1
I ;1;
A 'I tA 'B y 1 t 3 1
3 1
2 2
x ;y 1;z
z 2 t 1
2
2 2
3 1
Vì M I M ;1;
2 2
Cách giải nhanh:
A P
Kiểm tra được AB / / P
.
AB.n
P
0
Do đó I là trung điểm của A 'B
Câu 30(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian với
x 2 y 1 z
hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng có phương trình và mặt phẳng
2 1 1
P : 2x y 2z 3 0 . Mặt phẳng (Q) chứa và tạo với (P) một góc nhỏ nhất, điểm nào
sau đây thuộc mặt phẳng (Q).
10
1
1
A. 1;1; B. 2;3; C. ;2;0 D.
13
10
13
Đáp án A
3
;1; 2
10

Đường thẳng có VTCP u 2;1;
1
.
Mặt phẳng (P) có VTPT n 2;1; 2
.
Gọi A P A 2;1;0 .
Gọi d P Q .
Lấy I , H là hình chiếu của I lên (P).
Dựng HE vuông góc với d.
Suy ra IEH là góc giữa (P) và (Q).
P
IH IH
Em có: tan . Dấu “=” xảy ra khi .
EH
AH
E A
Khi đó đường thẳng d vuông góc với tại A. Chọn ud
u ,n
P
1;6;4
.
Như vậy (Q) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau a và .
Do đó (Q) đi qua A và nhận vectơ uQ
u ,u
d
10; 7;13
.
Phương trình mặt phẳng Q :10x 2 7y 1
13z 0 10x 7y 13z 13 0
Câu 31(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho đường thẳng d có phương trình
khoảng cách từ điểm A 1;0;0 đến đường thẳng d?
1
2
A. 1 B. C. D.
2
3
Đáp án C.
x 1
y z . Tìm
1 1 1
Cách 1. Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
AM,U
d
= d
A,d
U
Lấy M 0;0;1
Cách 2.
thay vào công thức ta được khoảng cách
M 1;1;0
Để ý thấy d qua và N 0;0;1 nên tam giác AMN là tam giác vuông tại A, Và
khoảng cách cần tìm là đường cao của tam giác đó có hai cạnh góc vuông là 1 và
d
2
3
1
3
2 . Nên
2
khoảng cách là
3
Câu 32(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
M 2 1 ; ; 0
và mặt phẳng Q : 2x 2y z1
0. Viết phương trình mặt cầu (S) tâm M và
tiếp xúc với mặt phẳng (Q)

2 2
A. S : x 2 y 1
z
B.
3
2 7
C. S : x 2 y
2 2 49
2 1 z
D.
9
Đáp án C.
Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến n2; 2; 1
2 1
2 2
S : x y z
3
2 1
2 7
S : x 2 y 2 2 49
z
9
Mặt cầu (S) tâm M và tiếp xúc với mặt phẳng (Q) nên có bán kính
2.2 21 7
R dM,
Q
4
41
3
Phương trình mặt cầu 2
2 2 49
S : x 2 y 1
z
9
Câu 33(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P : x 6y z 2017 0 và điểm A 1; 2 1 ; . Phương trình đường thẳng đi qua A và vuông
góc với (P) là:
x
1
t
x
1
t
x
1
t
A. : y 2
6t
B. : y 2
6t
C. : y 6
2t
D.
z
1 t
z
1 t
z
1 t
Đáp án A.
Ta có vuông góc với VTCP của là 1; 6;1 .
P
0
x
1
t
: y 6
2t
z
1 t
x
1
t
Vậy : y 2
6t
z
1 t
Câu 34(GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm
x
1
t
M 2;1;4 . Điểm H thuộc đường thẳng : y 2 t t
sao cho đoạn MH ngắn nhất
có tọa độ là:
z
1 2t
2;3;2
3;2;3
3;3;2
2;3;3
A. B. C. D.
Đáp án D.
M 2;1;4 , H d H 1 ;2 t ;1 t 2t
MH 1 ;1 t ; t 3
2t
Mà: a 1;1;2
d

MH ngắn nhất . 0
MH d MH a d
1 t 1 t 6 4t 0 t 1
H 2;3;3
Bình luận: Nhận thấy ở các đáp án chỉ có điểm
d
H 2;3;3 .
Câu 35(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
2 2
2
S : x 2 y 1 z 1 và mặt phẳng Q
:2x 2y z1
0 . Viết phương trình mặt
S
Q
cầu S đối xứng với mặt cầu qua mặt phẳng
2 2 2
2 7 2
A. x y z 1 B.
3 3 3
2 2 2
2 7 2
x y z 1
3 3 3
2 2 2
2 2 2
2 7 2
2 7 2
C. x y z 1 D. x y z 1
3 3 3
3 3 3
Đáp án D.
S
Mặt cầu có tâm M 2;1;0 và có bán kính R 1
1
1
Gọi M là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (Q)
Ta có MM Q nên đường thẳng MM đi qua điểm M và nhận vectơ pháp tuyến của mặt
phẳng (Q) làm vectơ chỉ phương.
2 2
phương trình tham số đường thẳng MM :
x t
y
1 2 t , t
z
t
Vì M là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng Q M
MM
Q
tọa độ điểm M là nghiệm hệ phương trình:

1
t
3
2x 2y z1
0 22 t 21 2t t
1
0
4
x
x 2
2t x 2
2t
3
y 1
2t y 1
2t
5
y
z t z t
3
1
z
3
4 5 1
M
; ;
3 3 3
I x y z
S
Gọi ; ; là tâm của mặt cầu , do mặt cầu S đối xứng với mặt cầu S qua mặt
phẳng
Q I đối xứng với M qua mặt phẳng (Q)
I đối xứng với M qua mặt phẳng
M
M
là trung điểm của đường thẳng IM.
2
x 2xM
xM
3
7 2 7 2
y 2 y y I ; ;
M
M
3 3 3 3
2
z 2z z
M
M
3
2 7 2
Khi đó mặt cầu S
có tâm I
; ;
, bán kính R R 1 nên có phương trình:
3 3 3
2 2 2
2 7 2
x y z 1
3 3 3
Câu 36(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường
x 1 y 3 z
thẳng d : và điểm I 2;1; 1
. Tọa độ điểm M a; b;
c
có hoành độ nguyên
2 3 2
thuộc đường thẳng d sao cho IM 6 . Tính tổng S a 3b 2017c
. Chọn đáp án đúng
A. 2009 B. –8 C. 4 D. 2015
Đáp án B.
x
1
2t
d : y 3 3 t , t R M d M 1 2 ;3 t 3 ;2 t t IM 2t 1;2 3 ;2 t t 1
z
2t
Từ giả thiết: IM 6

2 2 2
2 2 2
t t t t t t t t t
2 1 2 3 2 1 6 4 4 1 412 9 4 4 1 6
t
0
2
17t
12t
0
12
t
17
12 41 15 24
Với t 0 M 1;3;0 ;
với t M ; ;
(loại)
1
17 17 17 17
Câu 37: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Trong không gian Oxyz, cho các điểm
M 0;0;1 , N0;1;0 , P1;0;0 ,Q3; 1;2 .
bằng:
Góc giữa hai đường thẳng MN và PQ có số đo
A. 30 B. 45 C. 60 D. 135
Đáp án B
Em có: MN 0;1; 1 ,PQ 2; 1;2
MN.PQ 0 1
2 1
MN . PQ 2.3 2
cosMN,PQ
cos MN,PQ
S
Câu 38: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Cho mặt cầu có tâm I 2;1; 1
và tiếp xúc với mặt
phẳng có phương trình 2x-2y-z +3 = 0. Bán kính mặt cầu S là
2
2
A. B. 2 C. D.
9
3
Đáp án B
Ta có: bán kính mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng
4
3
là khoảng cách từ I đến mặt
phẳng
2.2 2.1 ( 1) 3
R d I;
2
4 4 1
Câu 39: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
A1;2;3 ,B2;1;0 .
Tìm tọa độ điểm C đối xứng với điểm A qua B.
3;4;3
5;0;3
5;0; 3
A. 3;0; 3
B. C. D.
Đáp án D
Gọi Cx C; y
C;zC
Em có: C đối xứng với A qua B
B là trung điểm của AB

1
xC
2
2 x 5
2
zC
3
3 z
C
0
2
C
2 yC
1 yC
0 C 5;0; 3
Câu 40(GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Trong không gian Oxyz, cho điểm
A 4;2; 3
và hai
đường thẳng
x 1
2t
x y z
d
1
: ,d
2
: y 2 3t .
4 6 1
z 4 t
vuông góc với hai đường thẳng
d
1,d2
có phương trình là:
Đường thẳng d đi qua điểm A, đồng thời
x 3
4t
A. y 2 2t
B.
z 3 3t
x 4 2t
y 2 3t
z 3 t
x 4 3t
C. y 2 2t
D.
z 3
Đáp án D
Em có:
x 1
2t
d
1
: y 2 3t VTCP u1
2;3; 1
z 4 t
x y z
d
2
: VTCP u2
4;6; 1
4 6 1
u 1,u
2
3; 2;0
qua A 4;2; 3
d
VTCP u 3; 2;0
Đường thẳng d đi qua điểm A, đồng thời vuông góc với
x 4 3t
y 2 2t
z 3
x 4 3t
y 2 2t
z 3
d
1,d2
có phương trình là:
Câu 41: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm
A0;2;1 ,B3;0;1 ,C1;0;0 .
A. 2x + 3y – 4z + 2 = 0 B. 2x + 3y - 4z – 2 = 0

C. 2x – 3y – 4z + 1 = 0 D. 2x + 3y – 4z – 5 = 0
Đáp án B
Từ giả thiết suy ra
n 2; 3;4
Do đó,
AB 3; 2;0 ;CA 1;2;1 .
Tích có hướng của hai vecto này là
ABC
có phương trình 2x 1
3y 4z 0 2x 3y 4z 2 0
Câu 42: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường
x 1 y 3 z 3
thẳng d :
và mặt phẳng P : 2x y 2z 9 0. Tọa độ điểm I thuộc d
1 2 1
sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2 có dạng I a;b;c .
bằng
Giá trị của a + b + c
A. -3 hoặc 9. B. 1 hoặc 2. C. 3 hoặc -9. D. -1 hoặc 2.
Đáp án A
x 1
t
Phương trình tham số của d : y 3 2t
z 3 t
2t 2
Id I1 t; 3 2t;3 t ,d I, P
.
3
t 4
d I, P
2 1 t 3
t 2
Vậy có hai điểm I 3;5;7 ;I 3; 7;1
+) Nếu
1
1 2
I 3;5;7 a b c 9
+) Nếu
I 3; 7;1 a b c 3
2
Câu 43(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian Oxyz cho điểm
phẳng
P x y z 3 0. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) bằng
A 1;2;3
và mặt
A. 3 3. B. 4 3. C. 2 3. D. 3.
Đáp án A
Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng em có
1 2 3
3
dA, P
3 3.
2 2 2
1 1 1

Câu 44(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian với tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD
với
A 0;0;3 ,B0;0; 1 ,C1;0; 1 ,D0;1; 1
. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. AB BD B. AB BC C. AB AC D. AB CD
Đáp án C
Ta có: AB 0;0; 4 ; AC 1;0; 4 ; BC 1;0;0 , BD 0;1;0 , CD 1;1;0
AB. BD 0 AB BD AB BD
AB. BC 0 AB BC AB BC
AB. AC 16 Mệnh đề C sai.
Câu 45(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm
A 2; 1;1
góc với d là:
và đường thẳng
x 2
t
d : y
1 3t . Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông
z 2 2t
A. x 3y 2z 7 0.
B. x 3y 2z 7 0.
C. x 2y 2z 3 0.
D. x 3y 2z 7 0.
Đáp án B
Ta có: u
d 1; 3;2
Vì (P) vuông góc với d nên (P) nhận u 1; 3;2
làm vectơ pháp tuyến.
d
Mặt phẳng (P) đi qua A 2; 1;1 và nhận u 1; 3;2
làm vectơ pháp tuyến có phương
d
trình: 1x 2 3y 1 2z1
0 x 3y 2z 7 0
Câu 46(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian Oxyz, cho điểm
phẳng
A 1;3; 2
và mặt
Q : x 2y 2z 10 0. Gọi (P) là mặt phẳng qua A và song song với mặt phẳng
(Q). Phương trình của (P) là:
A. x 3y 2z 4 0 B. x 2y 2z 5 0 C. x 2y 2z 3 0 D. x 2y 2z 3 0
Đáp án D
Ta có n
(Q) 1; 2; 2
Vì (P) song song với (Q) nên (P) nhận n 1; 2; 2
làm vectơ pháp tuyến.
(Q)
Mặt phẳng (P) đi qua A 1;3; 2 và nhận n 1; 2; 2
làm vectơ pháp tuyến có
phương trình là:
1x 1 2y 3 2z 2
0 x 2y 2z 3 0
(Q)

Câu 47: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Trong Oxyz, cho d là đường thẳng đi
A 2;1;3 ,B3; 2;1. Phương trình chính tắc của d là:
x
A. 2 y 1 z 3
B.
1 3 2
x 1 y 3 z 2
2 1 3
x
C. 3 y 2 z 1
x
D.
3 y 2 z 1
1 3 2
3 2 1
Đáp án A
AB 1; 3; 2
Em có:
quaA 2;1;3
d
VTCPu
1;3;2
x
Phương trình chính tắc của d là: 2 y 1 z 3
.
1 3 2
Câu 48(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm
A a;0;0 ,B0; b;0 ,C0;0;c
với a, b, c là những số dương thay đổi sao cho
2 2 2
a b c 3. Khi khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) là lớn nhất, tổng a
b
c là
3
A. 1. B. 3. C. 2. D. .
2
Đáp án B
x y z
1
a b c 1 1 1
2 2 2
a b c
Em thấy ABC : 1 d O; ABC
Theo bất đẳng thức Cauchy:
1 1 1 1
3
a b c a b c
3
2 2 2 2 2 2
Em có: 1 1 1 3 1 1 1 3. d
1
2 2 2 2 2 2
a b c a b c 3
Dấu = xảy ra khi
2 2 2
a b c a b c 1
3
và 3 a b c 3 a b c
2 2 2 2 2 2
1
Vậy d lớn nhất bằng khi a b c 1.
3
Câu 49(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm
A 0;1;1 ,B3;0; 1 ,C0;21; 19
M a,b,c
2 2 2
và mặt cầu S : x 1 y 1 z 1 1.
là điểm thuộc mặt cầu (S) sao cho biểu thức
nhỏ nhất. Tính tổng a
b
c
2 2 2
T 3MA 2MB MC
đạt giá trị

A. 14
12
a b c B. a b c 0 C. a b c D. a b c 12
5
5
Đáp án A
Mặt cầu (S) có tâm . Gọi E là điểm thỏa 3EA 2EB EC 0 E 1;4; 3
.
I 1;1;1
2 2 2 2
T 6ME 3EA 2EB EC
T nhỏ nhất khi ME nhỏ nhất M là 1 trong 2 giao điểm của đường thẳng IE và mặt cầu
(S).
IE 0;3; 4 , EM a1; b 4; c
3
IE
, ME cùng phương
1 0
a a 1
EM kIE b 4 3k b 3k
4
3 4
c k c 4k
3
4
2 2
k
M
5
S 3k 3 4k
4
1
6
k
5
4 8 1
208
k M 1; ;
1 EM
1
5 5 5
5
6 2 9
k M 1; ; 6 (Loại)
2 EM EM
2 1
5 5 5
8 1
Vậy M 1; ;
5 5
Câu 50: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
M 3;2;4
và đường thẳng
góc của M trên trục Ox, Oy, Oz và
x 3 y 1
d : z 3. Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông
2 2
M ' a; b;c
là hình chiếu song song của điểm M theo
phương d lên mặt phẳng (ABC). Giá trị của biểu thức
1
T a 2b c
2
là:
17
15
A. T 3.
B. T .
C. T . D.
2
17
Đáp án D
3
T .
2
A 3;0;0
Vì A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox, Oy, Oz nên: B 0;2;0
C 0;0;4

Phương trình mặt phẳng (ABC) là: x y z 1 4x 6y 3z 12 0 .
3 2 4
Đường thẳng d có vtcp u 2; 2;1
.
d
x 3
2t
quaM 3;2;4
Đường thẳng : : y 2
2t .
vtcpu u
2; 2;1
d
z 4
t
Em có M’ là hình chiếu song song của M trên (ABC)
3 14 92
M ' ABC
M ' ; ; .
17 17 17
Vậy T a 2b 1 c
15 .
2 17

Câu 1 (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018)Trong không gian Oxyz, cho
điểm A 3; 1;1 . Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng Oyz là điểm
M 3;0;0
M 0;0;1
A. B. M 0; 1;1 C. M 0; 1;0 D.
Đáp án B
Câu 2 (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018)Trong không gian Oxyz, cho
x 2 y 1 z
đường thẳng d : . Đường thẳng d có một véc tơ chỉ phương là:
1 2 1
A. u 1;2;1
B. u 2;1;0 C. u 2;1;1 D. u 1;2;0
1
Đáp án A
Véc tơ chỉ phương của đường thẳng d là u 1;2;1
2
d
Câu 3 (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018)Trong không gian Oxyz, cho ba
điểm M 2;0;0 , N 0; 1;0 , P 0;0;2 . Mặt phẳng MNP có phương trình là:
A. x y z x y z x y z
0 B. 1
C. 1
D.
2 1 2 2 1 2 2 1 2
Đáp án D
x y z
Phương trình mặt phẳng MNP : 1.
2 1 2
3
4
x y z
1
2 1 2
Câu 4 (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018)Trong không gian Oxyz cho
A1;2;1
hai điểm và B 2;1;0 . Mặt phẳng qua A và vuông góc với AB có phương trình là
A. 3x y z 6 0 B. 3x y z 6 0 C. x 3y z 5 0 D. x 3y z 6 0
Đáp án B
Mặt phẳng đó có véc tơ pháp tuyến là n AB 3; 1; 1
Mà mặt phẳng đó qua A1;2;1 P : 3x y z 6 0.
P
Câu 5 (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018)Trong không gian Oxyz cho
hai đường thẳng
P : x 2y 3z 5 0.
x 3 y 3 z 2 x 5 y 1 z 2
d
1
: ,d
2
:
1 2 1 3 2 1
và mặt phẳng
Đường thẳng vuông góc với cắt và d có phương trình là
P d1
2
x 1 y 1 z
A.
B.
1 2 3
x 2 y 3 z 1
1 2 3

x
C. 3 y 3 z 2
x 1 y 1 z
D.
1 2 3
3 2 1
Đáp án A
Giả sử đường thẳng d cắt
d
1,d2
lần lượt tại
M, N M 3 t
1;3 2t
1; 2 t
1
, N 5 3t
2; 1 2t
2;2 t
2
Ta có MN t 3t 2;2t 2t 4; t t 4 và n 1;2;3
Mà d vuông góc với
Ta có
1 2 1 2 1 2
P
nên
x 1 y 1 z
MN 1;2;3 d :
1 2 3
P
t1 3t
2
2 k t1
2
M 1; 1;0
MN knP 2t1 2t
2
4 2k t 2
1
N2;1;3
t1 t
2
4 3k k 1
Câu 6 (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018)Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz, cho điểm M 1;1;2 . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng P đi qua M và cắt các trục x’Ox,
y’Oy, z’Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho OA OB OC 0 ?
A. 3 B. 1 C. 4 D. 8
Đáp án A
x y z
Phương trình mặt phẳng P
với 1,
với Aa;0;0 , B0;b;0 ,C0;0;c .
a b c
Ta có
OA OB OC a b c và M P 1 1 2 1 * .
a b c
a b c a b c Suy ra và , mà không thỏa mãn điều kiện (*).
a b c
a b c
a b c
Vậy có 3 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 7 (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018)Trong không gian với hệ tọa độ
8 4 8
Oxyz, cho hai điểm A2;2;1 ,B ; ; .
Đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp của
3 3 3
tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng
OAB
có phương trình là
x
A. 1 y 3 z 1
B.
1 2 2
1 5 11
x y z
C. 3 3 6
D.
1 2 2
x 1 y 8 z 4
1 2 2
2 2 5
x y z
9 9 9
1 2
2

Đáp án A
Ta có OA;OB
k 1; 2;2
Vec tơ chỉ phương của đường thẳng là
d u 1; 2;2
OA AE 3 3 12 12
Cách 1: Kẻ phân giác OE E
AB
suy ra AE AE E 0; ; .
OB BE 4 4 7 7
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp OAB I OE OI kOE, với k 0.
Tam giác OAB vuông tại O, có bán kính đường tròn nội tiếp r 1
IO 2.
15 3 12 2 12
7 5 7 7
Mà AE ;OA 3;cos OAB OE suy ra OE OI I0;1;1
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là
Cách 2: Chú ý: Với I là tâm đường tròn nội tiếp
véc tơ sau:
aIA bIB cIC 0
Tọa độ điểm I thỏa mãn hệ
x 1 y 3 z 1
d :
.
1 2 2
ABC , có các cạnh a,b,c ta có đẳng thức
x
y
Z
Khi đó, xét tam giác ABO=> Tâm nội tiếp của tam giác là I0;1;1
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là
Câu 8 (ĐỀ THI THỬ 2018): Cho điểm
A B C
1
BC CA AB
1
1
BC.x CA.x AB.x
BC.y CA.y AB.y
BC CA AB
BC.z CA.z AB.z
BC CA AB
x 1 y 3 z 1
d :
.
1 2 2
M 3;2;4
A B C
A B C
, gọi A,B,C lần lượt là hình chiếu của
M trên trục Ox, Oy, Oz. Trong các mặt phẳng sau, tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng
(ABC)
A. 6x 4y 3z 12 0
B. 3x 6y 4z 12 0
C. 4x 6y 3z 12 0
D. 4x 6y 3z 12 0
Đáp án D
A, B, C là hình chiếu của M trên trục Ox, Oy, Oz A3;0;0 , B0;2;0 , C0;0;4
Ta có AB 3;2;0 và AC 3;0;4 suy ra
Phương trình mặt phẳng (ABC) là 4x 6y 3z 12 0
AB;AC
8; 12; 6 n 4; 6; 3
ABC
Hoặc phương trình mặt phẳng (ABC) theo đoạn chắn, ta được (ABC): x y z 1
3
2 4

Vậy mặt phẳng có phương trình 4x 6y 3z 12 0 song song với mặt phẳng (ABC) 23:
Câu 9 (ĐỀ THI THỬ 2018)Cho mặt cầu
2 2 2
S : x 1 y 2 z 3 25
và mặt
phẳng
: 2x y 2z m 0 . Các giá trị của m để
và (S) không có điểm chung là:
A. m 9
hoặc m 21
B. m 9
hoặc m 21
C. 9 m 21
D. 9 m 21
Đáp án B
2 2 2
Xét S : x 1 y 2 z 3 25 I 1;2;3
và bán kính R = 5
Để (S) và
không có điểm chung khi
1.2 2 2.3 m
m 21
d I; P
R 5 m 6 15
m 9
2
2 2 1 2
Câu 10 (ĐỀ THI THỬ 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
2 2 2
S : x 2 y 1 z 3 9
. Mệnh đề nào đúng?
A. Mặt cầu (S) tiếp xúc với (Oxy)
B. Mặt cầu (S) không tiếp xúc với cả ba mặt Oxy , Oxz , Oyz
C. Mặt cầu (S) tiếp xúc với Oyz
D. Mặt cầu (S) tiếp xúc với Oxz
Đáp án A
2 2 2
Xét mặt cầu S : x 2 y 1 z 3 9 I 2; 1;3
và R = 3
Mặt phẳng
Có
Oxy , Oyz , Oxz có phương trình lần lượt là z 0; x 0; y 0
d I; Oxy 3; d I; Oyz 2; d I; Oxz 1
nên mặt cầu (S) tiếp xúc với (Oxy)
Câu 11: (ĐỀ THI THỬ 2018) Cho điểm
M 3;2;1
, Mặt phẳng (P) đi qua điểm M và cắt
các trục tọa độ Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho M là trực tâm tam giác ABC. Phương trình
mặt phẳng (P) là:
A. x y z
x y z
0 B. x y z 6 0 C. 3x 2y z 14 0 D. 1
3 2 1
3 2 1

Đáp án C
Mặt phẳng (P) cắt các trục tọa độ tại các điểm Aa;0;0 , B0;b;0 , C0;0;c
Nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng
3 2 1
M P
1 1
a b c
Ta có AM 3 a;2;1 , BM 3;2 b;1
Mặt khác M là trọng tâm
Từ (1) và (2) suy ra
Cách 2: Chứng minh được OM
x y z
1
mà
a b c
và
BC 0; b;c , AC a;0;c
AM.BC 0 c 2b 0
ABC 2
BM.AC 0 c 3a 0
14
a ; b 7; c 14 P : 3x 2y z 14 0
3
ABC
Ta có
OA
BC
BC OAM
BC OM , tương tự
AM
BC
Khi đó P : 3x 2y z 14 0
AB OM OM ABC
Câu 12: (ĐỀ THI THỬ 2018)Gọi I là tâm mặt cầu đi qua 4 điểm
M 1;0;0 , N0;1;0 , P0;0;1 , Q1;1;1
. Tìm tọa độ tâm I
1 1 1 2 2 2
1 1 1
1 1 1
A. ; ; B. ; ; C. ; ; D. ; ;
2 2 2 3 3 3
2 2 2
2 2 2
Đáp án C
1 1 1
Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MNPQ chính là trung điểm của OQ I ; ; . (Do dễ
2 2 2
thấy
MOQ, NOQ, POQ đều nhìn PQ dưới 1 góc vuông).
Cách 2: Dễ thấy MNPQ là tứ diện đều cạnh
tâm tứ diện. Khi đó
x x x x 1 1 1
4 2 2 2
M N P Q
G ;... ; ;
a 2 . Khi đó tâm mặt cầu tứ diện cũng là trọng
x 1
t
Cách 3. Viết ABC : x y z 1 0 suy ra tâm Id : y 1
t cho
z 1 t
1 1 1
IM IQ I ; ;
2 2 2

Câu 13: (ĐỀ THI THỬ 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P : 2x y 3z 2 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song và cách (P) một
khoảng bằng
11
2 14
A. 4x 2y 6z 7 0; 4x 2y 6z 15 0
B. 4x 2y 6z 7 0; 4x 2y 6z 5 0
C. 4x 2y 6z 5 0; 4x 2y 6z 15 0
D. 4x 2y 6z 3 0; 4x 2y 6z 15 0
Đáp án A
Mặt phẳng (Q) song song với (P) nên (Q) có dạng 2x y 3z m 0
Điểm
d M; Q
M 1;0;0 P
11
2 14
nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P), (Q) là
15
m
2 m 11 11 2 4x 2y 6z 7 0
m 2 Q :
2 2 2
2 1 3
2 14
2 7
4x 2y 6z 15 0
m
2
Câu 14 (ĐỀ THI THỬ 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho
Aa;0;0 , B0;b;0 , C0;0;c
Oz sao cho
với a, b, c dương. Biết A, B, C di động trên các tia Ox, Oy,
a b c 2 . Biết rằng khi a, b, c thay đổi thì quỹ tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ
diện OABC thuộc mặt phẳng (P) cố định. Tính khoảng cách từ M tói mặt phẳng (P)
2014
2016
2015
A. 2017 B. C. D.
3
3
3
Đáp án D
Gọi D, K lần lượt là trung điểm của AB, OC.
Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (OAB) và cắt mặt phẳng trung trực của OC
tại I
I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC suy ra
z1
a a b a b c
Tương tự DF x
1
; y1
I ; ;
2 2 2 2 2 2
Suy ra
a b c
x1 y2 z2
1 IP : x y z 1 0
2
c
2

2015
Vậy khoảng cách từ điểm M đến (P) bằng d
3
Câu 15: (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,
cho OA 2i 2j 2k, B 2;2;0
và C 4;1; 1
. Trên mặt phẳng (Oxz), điểm nào dưới đây
cách đều ba điểm A, B, C.
3 1
3 1
3 1
A. M ;0; B. N ;0; C. P ;0; D.
4 2
4 2 4 2
Đáp án C
3 1
Q ;0;
4 2
Ta có
A 2;2;2
và
3 21
PA PB PC
4
Câu 16: (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
x 2 y 1 z 1
mặt phẳng P : 2x y x 10 0 và đường thẳng d :
. Đường thẳng Δ
2 1 1
cắt (P) và d lần lượt tại M và N sao cho A (1;3;2) là trung điểm MN . Tính độ dài đoạn MN
.
A. MN 4 33 B. MN 2 26,5 C. MN 4 16,5 D. MN 2 33
Đáp án C
Vì N d nên N d , do đó
Mà
A 1;3;2
N2 2t;1 t;1
t
là trung điểm MN nên
xM 2xA x
N xM
4 2t
yM 2yA yN yM
5 t
zM 2zA z
N zM
3 t
Vì M P nên M P , do đó 2 4 2t 5 t 3 t 10 0 t 2
Suy ra
M 8;7;1
và N6; 1;3
Vậy M 2 66 4 16,5
Câu 17 (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018)Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho
ba điểm
A 1;2; 4 , B 1; 3;1 , C 2;2;3
điểm trên và có tâm nằm trên mặt phẳng (Oxy)
. Tính đường kính l của mặt cầu (S) đi qua ba
A. l 2 13 B. l 2 41 C. l 2 26 D. l 2 11
Đáp án C

Gọi tâm mặt cầu là Ix; y;0
IA
IB x 1 y 2 4 x 1 y 3
1
IA
IC
x 1 y 2 4 x 2 y 1
3
y 2 4 y 3 1
2 2 2 2
2 2
x 2x 116 x 4x 4 9
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
10y 10 x 2
2 2 2
l 2R 2 3 1
4 2 26
2x 4 y 1
Câu 18 (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
x 1 y 2 z 1
đường thẳng d : , A2;1;4 . Gọi Ha;b;c
là điểm thuộc d sao cho AH
1 1 2
có độ dài nhỏ nhất. Tính
3 3 3
T a b c
A. T 8
B. T 62
C. T 13
D. T 5
Đáp án B
x 1
t
z 1 2t
Phương trình tham số của đường thẳng d : y 2 t t
H d H 1 t;2 t;1
2t
2 2 2 2
AH t 1 t 1 2t 3 6t 12t 11 6 t 1 5 5
2
Độ dài
Độ dài AH nhỏ nhất bằng
5 khi t 1
H2;3;3
Vậy
3 3 3
a 2, b 3, c 3 a b c 62
Câu 19 (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
điểm M (3;2;1). Mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các
điểm A, B, C không trùng với gốc tọa độ sao cho M là trực tâm tam giác ABC. Trong các
mặt phẳng sau, tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng (P)
A. 3x 2y z 14 0 B. 2x y 3z 9 0 C. 2x 2y z 14 0 D. 2x y z 9 0
Đáp án D
Gọi Aa;0;0 ; B0;b;0 ; C0;0;c
x y z
a b c
Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: 1a.b.c 0

Vì (P) qua M nên
3 2 1 1 1
a b c
MA a 3; 2; 1 ; MB 3;b 2; 1 ; BC 0; b;c ; AC a;0;c
Ta có
Vì M là trực tâm của tam giác ABC nên
Từ (1) và (2) suy ra
MA.BC 0 2b c
MB.AC 0 3a
c
2
14 14
a ; b ; c 14
. Khi đó phương trình P : 3x 2y z 14 0
3 2
Vậy mặt phẳng song song với (P) là: 3x 2y z 14 0
Câu 20 (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018)Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho
2 2 2
mặt cầu S : x y z ax by cz d 0 có bán kính R 19 , đường thẳng
x 5 t
d : y 2 4t
z 1 4t
dưới đây, số nào thỏa mãn
và mặt phẳng P : 3x y 3z 1 0 . Trong các số a;b;c;d theo thứ tự
và (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P)?
a b c d 43 , đồng thời tâm I của (S) thuộc đường thẳng d
6;10;20;7
3;5;6;29
A. 6; 12; 14;75 B. C. 10;4;2;47 D.
Đáp án A
Ta có Id I5 t;2 4t; 1
4t
Do (S) tiếp xúc với (P) nên
t 0
d I; P
R 19 19 19t 19
t 2
a b c
Mặt khác S
có tâm I ; ; ; bán kính
2 2 2
Xét khi t 0 I5; 2; 1 a;b;c;d 10;4;2;47
Do
a b c
4
2 2 2
d 19
nên ta loại trường hợp này
Xét khi t 2 a;b;c;d 6; 12; 14;75
2 2 2
a b c
R d 19
4
Do
a b c
4
2 2 2
d 19
nên thỏa

Câu 21 (Toán Học Tuổi Trẻ): Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz , cho tam giác
với A 1;1;1 , B 1;1;0 , C 1;3;2 . Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác
ABC nhận vecto a
nào dưới đây làm một vecto chỉ phương?
ABC
A. a 1;1;0 . B. a 2;2;2 . C. a 1;2;1 . D. a 1;1;0 .
Đáp án D
Câu 22 (Toán Học Tuổi Trẻ)Trong không gian với hệ tọa độ
1 0
O
Oxyz , biết mặt phẳng
P :ax by cz
với 0 đi qua hai điểm A 0;1;0 , B 1;0;0 và tạo với mặt phẳng
c
y z một góc 60 . Khi đó giá trị a b c thuộc khoảng nào dưới đây?
Đáp án A
Phương trình mặt phẳng
yOz là x 0
Từ giả thiết có: b 1 0, c 2 a b c 2 2 0;3
Câu 23: (Toán Học Tuổi Trẻ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
2;4;1 , 1;1;3
A B và mặt phẳng P : x 3y
2z 5 0 . Một mặt phẳng (Q) đi qua hai
điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P) có dạng là
sau đây là đúng?
ax by cz 11 0 . Khẳng định nào
A. a b c. B. a b c 5. C. a b;
c . D. a b c.
Đáp án B
Ta có AB 3; 3;2
và mặt phẳng (P) có VTPT là nP
1; 3;2 ;
P Q
mặt phẳng
(Q) có VTPT là ,
n 4 Q
np AB
0;2;3 .
Phương trình mặt phẳng Q : 2y 3z
11 0 a b c 0 2 3 5.
Câu 24: (Toán Học Tuổi Trẻ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P : 2x
y z 10 0
đường thẳng
x
2 2t
điếm A 1;3;2 và đường thẳng d : y 1 t . Tìm phương trình
z
1 t
cắt (P) và d lần lượt tại hai điểm M, N sao cho A là trung điểm cạnh MN.
A. x 6 y 1 z 3
. B. x 6 y 1 z 3
.
7 4 1
7 4 1
x 6 y 1 z 3
C. . D. x 6 y 1 z 3
.
7 4 1
7 4 1

Đáp án B
2 2; 1; 1 .
N d N t t t
A
Theo giả thiết 1;3;2 là trung điểm của cạnh MN M 4 2 t;5 t; t 3 .
Mà M P t 2 N 6; 1;3 . Đường thẳng qua 6; 1;3 và
N NA 7;4; 1
x 6 y 1 z 3
là một VTCP, suy ra : .
7 4 1
Câu 25: (Toán Học Tuổi Trẻ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm
x 1 y 2 z 3
A0;1;0 , B 2;2;2 , C 2;3;1
và đường thẳng d : . Tìm điểm M thuộc d
2 1 2
để thể tích của tứ diện MABC bằng 3.
15 9 11 3 3 1
3 3 1 15 9 11
A. M ; ; ; M ; ; . B. M ; ; ; M ; ; .
2 4 2 2 4 2
5 4 2 2 4 2
3 3 1 15 9 11
C. M ; ; ; M ; ; . D.
2 4 2 2 4 2
3 3 1 15 9 11
M ; ; ; M ; ;
5 4 2 2 4 2
Đáp án A
M d M 2t 1; t 2;2t
3.
Phương trình mp ABC là: x 2y
2z 2 0 .
9
Diện tích tam giác ABC là: S
ABC
.
2
V 3 1 d M , ABC. S 3 ,
2
5
ABC
d M ABC t
3 4
17
Hoặc t .
4
Câu 26: (Toán Học Tuổi Trẻ) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
2 2 2
( P) : 2x
y 2z
m 0 và mặt cầu S : x y z 2x
4y
6z 2 0 . Có bao nhiêu giá
trị nguyên của m để mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (T) có
chu vi bằng 4
3 .
A. 3. B. 4. C. 2. D. 1.
Đáp án C
Gọi r là bán kính của đường tròn (T) theo giả thiết đường tròn (T) có chu vi bằng 4
3 .
Nên 4 3 2 r r=2 3 . Mặt cầu (S) có tâm I 1; 2;3
và bán kính r 4 . Khoảng cách
từ tâm I của mặt cầu (S) đến mặt phẳng (P) là:

2x1 y1 2z1 m 6
m m
0
2
3 3
m
12
Câu 27 (Toán Học Tuổi Trẻ)Trong không gian , cho điểm M 1;3; -1
và mặt phẳng
Oxyz ( )
( P): x- 2y + 2z
= 1. Gọi N là hình chiếu vuông góc của M trên ( P)
. Viết phương trình mặt
phẳng trung trực của đoạn MN
A. x- 2y + 2z
+ 3 = 0 B. x- 2y + 2z
+ 1= 0 C. x- 2y + 2z
- 3 = 0 D. x- 2y + 2z
+ 2 = 0
Đáp án B
Câu 28: (Toán Học Tuổi Trẻ) Trong không gian
Oxyz , cho hai đường thẳng cắt nhau
ì x = 2 + t
D
1
: ï
íy
= 2 + 2t
ï
ïî z = - 1 - t
;
ì x 1 t¢
= -
D
2
: ï
í y = -t
¢
ï
ïî
z = 2t¢
( t,
t¢ Î ). Viết phương trình đường phân giác của góc nhọn tạo bởi D1,
D2
x- 1 y z x- 1 y z x + 1 y z
A. = = B. = = C. = = D. Cả A,B,C đều sai
2 3 - 3 1 1 1 2 -3 3
Đáp án A
Ta có D1 ÇD
2
= M ( 1;0;0 ), u1
= ( 1;2; -1)
, và u
2
= (-1; -1;2)
là các VTCP của hai đường
thẳng đã cho, u . u = - 5 < 0, u = u = 6 , nên u = u1 - u2 = ( 2;3; -3)
là một VTCP của
1 2 1 2
D
1 2
đường phân giác của góc nhọn tạo bởi D , D .
Vậy
x-1
y z
D : = =
2 3 - 3
Câu 29: (Toán Học Tuổi Trẻ)Trong không gian Oxyz , cho hình nón đỉnh
có đường tròn đáy đi qua ba điểm
của hình nón đã cho
( ) ( ) ( )
17 11 17
S æ ç ;- ;
ö çè 18 9 18÷
ø
A 1;0;0 , B 0; -2;0 , C 0;0;1 . Tính độ dài đường sinh l
86
194
94
A. l =
B. l =
C. l =
D.
6
6
6
l =
5 2
6
Đáp án A
Độ dài đường sinh của hình nón là
l = SA = SB = SC =
86
6

Câu 30: (Toán Học Tuổi Trẻ) Trong không gian , cho điểm H 1;2; -2
, mặt phẳng
Oxyz ( )
( a )đi qua H và cắt các trục Ox, Oy,
Oz tại A,B,C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC.
Viết phương trình mặt cầu tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng ( a)
2 2 2
2 2 2
2 2 2
A. x + y + z = 81 B. x + y + z = 1 C. x + y + z = 9 D.
2 2 2
x + y + z = 25
Đáp án C
Bán kính mặt cầu R = OH = 3
Câu 31: (Toán Học Tuổi Trẻ) Cho hình bình hành ABCD. Qua A,B,C,D lần lượt vẽ các
nửa đường thẳng Ax, By, Cz,
Dt ở cùng phía so với mặt phẳng (ABCD), song song với nhau
và không nằm trong (ABCD). Một mặt phẳng P cắt Ax, By, Cz,
Dt tại A¢ , B¢ , C¢ , D¢
tương
ứng sao cho
( )
AA¢ = 3, BB¢ = 5, CC¢
= 4 . Tính DD¢
A. 4 B. 6 C. 2 D. 12
Đáp án C
AA¢ + CC¢ = BB¢ + DD¢
Câu 32 (Toán Học Tuổi Trẻ)Trong không gian , cho điểm M 2;0;1 . Gọi A,B lần
Oxyz ( )
lượt là hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox và trên mặt phẳng ( Oyz)
. Viết phương trình
mặt phẳng trung trực của đoạn AB
A. 4x-2z
- 3 = 0 B. 4x-2y
- 3 = 0 C. 4x- 2z
+ 3 = 0 D. 4x
+ 2z
+ 3 = 0
Đáp án A
Câu 33 (Toán Học Tuổi Trẻ)Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu
( )
S x y z x z
2 2 2
: + + - 2 + 2 + 1=
0
( P) ,( P¢ )
( )
và đường thẳng
x y -2
z
d : = = . Hai mặt phẳng
1 1 -1
chứa d và tiếp xúc với S tại T,
T ¢ . Tìm tọa độ trung điểm H của T,
T ¢
A. H æ 5 ; 1 ;
5ö
5 2 7
ç B. C. D.
çè 6 3 6÷
H æ ; ;
ö 5 1 5
- ø
ç çè 6 3 6÷
H æ ç- ; ;
ø
ç ö çè 6 3 6÷
ø
7 1 7
H æ ç- ç ; ;- ö çè 6 3 6÷
ø
Đáp án A
Câu 34: (Toán Học Tuổi Trẻ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho phương trình:
2 2 2 2
x y z 2( m 2) x 4my 2mz 5m
9 0
trình của một mặt cầu
. Tìm m để phương trình đó là phương

A. 5 m 1
B. m 5
hoặc m 1
C. m 5
D. m 1
Đáp án B
Điều kiện:
2 2 2 2
5m 9 ( m 2) 4m m 0
2
m 4m
5 0
m( ; 5) (1; )
Câu 35: (Toán Học Tuổi Trẻ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vecto
a(5;7;2), b(3;0;4), c( 6;1; 1)
. Tìm tọa độ của vecto m 3a 2b c
A. m (3;22; 3)
B. m (3;22;3) C. m ( 3;22; 3)
D.
Đáp án A
m 3a 2 b c (3;22; 3)
Câu 36: (Toán Học Tuổi Trẻ) Mặt phẳng cắt mặt cầu:
2 2 2
( S) : x y z 2x 2y 6z
1 0
có phương trình là
m (3; 22;3)
A. 2x 3y z 16 0 B. 2x 3y z 12 0 C. 2x 3y z 18 0 D. 2x 3y z 10 0
Đáp án D
Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu là: I(1; 1; 3); R 2 3
Tính khoảng cách d từ I đến các mặt phẳng và so sánh với R, khoảng cách
phẳng cắt mặt cầu
d R
thì mặt
Câu 37: (Toán Học Tuổi Trẻ)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;2; 1)
x
t
và đường thẳng d : y t
z
1 t
từ A đến (P) là lớn nhất.
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách
A. 2x y 3z
3 0 B. x 2y z 1 0 C. 3x 2y z 1 0 D. 2x y 3z
3 0
Đáp án A
Gọi H ( t; t;1 t)
d sao cho AH d
Có AH ( t 3; t 2; t 2)

AH d AH. ud
0 t 3 t 2 t 2 0 t 1
AH ( 2; 1;3)
Phương trình mặt phẳng cần tìm chứa d và nhận vecto
( P) : 2x y 3z
3 0
AH
là vecto pháp tuyến.
Câu 38: (Toán Học Tuổi Trẻ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2; 3)
và mặt phẳng ( P) : 2x 2y z 9 0 . Đường thẳng d đi qua A và có vecto chỉ phương
u (3;4; 4)
cắt (P) tại B. Điểm M thay đổi trong (P) sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới
góc
0
90 . Khi độ dài MB lớn nhất, đường thẳng MB đi qua điểm nào trong các điểm sau?
A. H ( 2; 1;3) B. I( 1; 2;3) C. K (3;0;15) D. J ( 3;2;7)
Đáp án B
Phương trình đường thẳng d là:
x
1
3t
y
2 4t
z
3 4t
Gọi tọa độ điểm B là: B(1 3 t;2 4 t; 3 4 t)
Vì B ( P) 2(1 3 t) 2(2 4 t) ( 3 4 t) 9 0
t 1 B ( 2; 2;1)
0
Ta có AMB 90 và M ( P)
quỹ tích điểm M là giao điểm của mặt cầu đường kính AB
và mặt phẳng (P)
Ta có trung điểm của AB là
1
K
;0; 1
2
1
x 2 t
2
Phương trình đường thẳng qua K và vuông góc với (P) là y
2t
z
1 t
Gọi
1
H 2 t ;2 t ; 1 t
D
2
trên mặt phẳng (P)
H
là hình chiếu vuông góc của K trên (P)

1
H 2 t ;2 t ; 1 t ( P ) t 1
2
5 1
H ; 2;0 HB ;0;1
2 2
MB lớn nhất khi M
BH
Gọi vecto chỉ phương đường thẳng BM là u
MB
x
2
t
uMB
(1;0;2) BM : y
2
z
1 2t
Vậy đáp án B. I( 1; 2;3)
BM
Câu 39 (Toán Học Tuổi Trẻ): Trong không gian với hệ trục tọa độ
x
1
t
từ điểm M 1;3;2
đến đường thẳng y
1 t là
z
t
Oxyz,
tính khoảng cách
A. 2 B. 2 C. 2 2
D. 3
Đáp án C.
Gọi đường thẳng đã cho là d và nhận
u 1;1; 1
làm một vecto chỉ phương.
Gọi H là một điểm nằm trên đường thẳng đã cho, ta có: H 1 t;1 t; t
, để H là hình chiếu
của M lên đường thẳng thì MH d hay MH. u 0 1 t 1 t 2 1 t 2 0 t 0
Khi đó
H 1;1;0
và d M , d MH 2 2.
Câu 40: (Toán Học Tuổi Trẻ) Trong không gian với hệ trục tọa độ
đường vuông góc chung của hai đường thẳng
x 1 y 4 z 4
d :
3 2 1
x 2 y 3 z 4
d : ;
2 3 5
Oxyz, viết phương trình
A. x 1
y
z
B.
1 1 1
C. x 2 y 2 z 3
D.
2 2 2
x 2 y 2 z 3
2 3 4
x y 2 z 3
2 3 1
Đáp án A.

Dễ thấy đáp án A có
đã cho.
U
1;1;1
cùng vuông góc với hai vecto chỉ phương của đường thẳng
Câu 41: (Toán Học Tuổi Trẻ) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,
cho ABC
có
2;4 , 5;1 , 1; 2 .
A B C Phép tịnh tiến T biến ABC thành ABC
.
Tìm tọa độ trọng
BC
tâm của ABC
.
4;2
4; 2
A. 4;2
B. C. 4; 2
D.
Đáp án D.
Ta có:
BC 6; 3 .
Với
A
B
C
2;4
5;1
1; 2
A 4;1
B
1; 2 G
ABC
4; 2 .
C
7; 5
Câu 42: (Toán Học Tuổi Trẻ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm
A 0; 2; 1 , B 2; 4;3 , C 1;3; 1
và mặt phẳng P : x y 2z
3 0. Tìm điểm
M P sao cho MA MB 2MC
đạt giá trị nhỏ nhất.
1 1
A. M
1 1
; ; 1 B. M
; ;1
C. 2;2; 4
D.
2 2
2 2
Đáp án A.
Gọi I là điểm thỏa mãn IA IB 2IC O I 0;0;0
Ta có:
MA MB 2MC 4MI MA MB 2MC 4MI
MA MB 2MC min MI min
1 1
M là hình chiếu của I trên P
M ; ;
1 .
2 2
M M 2; 2;4

Câu 43 (Toán Học Tuổi Trẻ): Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz, cho mặt phẳng
x 1 y z 2
P : x 2y z 4 0 và đường thẳng d : . Viết phương trình đường thẳng
2 1 3
nằm trong mặt phẳng P
, đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng d
A. x 1 y 1 z 1
B.
5 1 3
x 1 y 1 z 1
5 1 3
C. x 1 y 1 z 1
D.
x 1 y 3 z 1
5 1 2
5 1 3
Đáp án A.
Gọi A d P A 1;1;1 . Mặt khác cũng cắt đường thẳng d A .
Vì
P
u
ud
, n
5; 1; 3 .
P
d
Đường thẳng
qua A 1;1;1 x 1 y 1 z 1
: .
u
5; 1; 3
5 1 3
Câu 44: (Toán Học Tuổi Trẻ) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz,
xét đường thẳng
đi qua điểm A 0;0;1 và vuông góc với mặt phẳng Ozx.
Tính khoảng cách nhỏ nhất giữa
điểm B 0;4;0 tới điểm C trong đó C là điểm cách đều đường thẳng và trục Ox
1
A. B. 3 2 C. 6
D.
2
65
2
Đáp án C.
2 2
2
Gọi C a; b; c , ta có d C,
Ox b c và d C; a c 1 . Do đó
2 2
a b c
2 1.
2
2 2
BC b c b c
2 1 4 6
2
Câu 45: (Toán Học Tuổi Trẻ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm
0;0;2 , 3;4;1 .
A B Tìm giá trị nhỏ nhất của AX BY với X , Y là các điểm thuộc mặt
phẳng
Oxy sao cho XY 1
A. 3 B. 5 C. 2 17
D. 1
2 5

Đáp án B.
Đặt
; ;0 , ; ;0
X a b Y c d thì a c 2 b d
2
1.
Theo bất đẳng thức Minkowski, ta có:
2 2
2 2 2 2
a b c d c a d a
3 4 5
2 2
2 2
a b c d
3 4 4
Lại áp dụng bất đẳng thức Minkowski, ta được:
2 2
2 2
AX BY a b c d
4 3 4 1 5

Câu 1
(Gv Đặng Thành Nam 2018) Trong không gian Oxyz, một véctơ chỉ phương của
x
1
t
đường thẳng d : y 2 3t
là
z
1 t
A. u
1
(1;2; 1). B. u (1;2;1).
2
C. u (1;3;1).
3
D. u
4
(1; 3;1).
Đáp án D
Câu 2:
(Gv Đặng Thành Nam 2018 )Trong không gian Oxyz, mặt phẳng qua ba điểm
M ( 1;0;0), N(0;2;0), P(0;0; 3)
là
x y z
x y z
x y z
A. 1.
B. 1.
C. 1. D.
1 2 3
1 2 3
1 2 3
Đáp án C
Câu 3
x y z
1.
1 2 3
(Gv Đặng Thành Nam 2018): Trong không gian Oxyz, diện tích của mặt cầu
2 2 2
( S) : x y z 1 là
4
A. 4 .
B. .
C. 8 .
D.
3
Đáp án A
Câu 4
(Gv Đặng Thành Nam 2018)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình
mặt phẳng qua A(2;1;3)
và vuông góc với đường thẳng Δ : x
y
z là
1 2 3
A. x 2y 3z
14 0.
B. 2x y 3z
13 0.
C. x 2y 3z
13 0.
D. 2x y 3z
14 0.
Đáp án C
Câu 5
(Gv Đặng Thành Nam 2018)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm
A(1; 2;3) và hai mặt phẳng ( P) : x y z 1 0;( Q) : x y z 2 0. Phương trình nào
dưới đây là phương trình đường thẳng qua A, song song với (P) và (Q).
8 .
3
x
1
2t
x
1
t
x
1
A. y
2 . B. y
2 . C. y
2 . D.
z
3 2t
y
3 t
z
3 2t
Đáp án D
x
1
t
y
2 .
z
3 t

x
1
t
Có u nP, n
Q
(2;0; 2) : y
2 .
z
3 t
Câu 6
(Gv Đặng Thành Nam 2018)Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
x 2 y 1 z 1
A(1; 2;3), B( 3;0;1)
và đường thẳng d : . Điểm M ( a; b; c)
thuộc d sao
1 2 2
cho MA
2 MB
2 nhỏ nhất. Giá trị biểu thức a b c bằng
A. 1.
B. 2. C. 1. D. 2.
Đáp án A
Có M (2 t; 1 2 t; 1 2 t)
d
2 2 2 2 2 2 2 2
MA MB
( t 1) (2t 1) (2t 4)
( t 5) (2t 1) (2t
2)
2 2
18t 36t 48 18( t 1) 30 30.
Dấu bằng đạt tại t 1
khi đó a b c t 1.
Câu 7
(Gv Đặng Thành Nam 2018)Trong không gian Oxyz, cho ba điểm
A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3).
Mặt phẳng (P) chứa BC và cùng tạo với hai mặt phẳng
(ABC), (OBC) một góc 45 có một véctơ pháp tuyến n( a; b; c)
với a,b,c là các số
nguyên và c là một số nguyên tố. Giá trị biểu thức
ab bc ca
bằng
A. 1. B. 18. C. 4. D. 71.
Đáp án D
Tứ diện OABC là tứ diện vuông do đó góc nhị diện ABC , OBC 90
.
Mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng phân giác của góc nhị diện này có điểm O, A nằm khác phía
với (P).
x y z
ABC : 1; OBC : x 0.
1 2 3
Có
Vậy mặt phẳng phân giác của góc tạo bởi hai mặt phẳng này có phương trình:
x y z
1
1 2 3
2 2 2 2
1 1 1
1 2 3
x 13x 3y 2z
6 0
1 x 3y 2z
6 0
Đối chiếu điều kiện O, A nằm khác phía nhận P :13x 3y 2z
6 0
Vậy a 13, b 3, c 2 và ab bc ca 71.

Câu 8
(Gv Đặng Thành Nam 2018)Trong không gian Oxyz, cho ba điểm
A(0;0;4), B(3;2;6), C(3; 2;6).
Gọi M là điểm di động trên mặt cầu
trị lớn nhất của biểu thức MA MB MC bằng
Đáp án C
A. 24. B. 30. C. 22. D. 26.
2 2 2
( S) : x y z 4.
2 2 2
Với điểm M x; y;
z S thì x y z 4 0 và điểm I 0;0;6 là trung điểm BC và
MA MB MC MA 2 MI MA 2 MI.
3 3
Ta có OI OA MI MO MA MO
MO 3MA 2MI
.
2 2
Do đó
Đặt
Câu 9
2 2 2 2 2 2 2 2
MO 3MA 2MI 6IA 4 3MA 2MI 24 3MA 2MI
20 0
MA a,
MI b
có
a b MA MI IA 2
4
2 2
2 a b 2a
2 2
2b 3a 5 a b
3
3a
2b
20 0
P a 2b
3 11
P a 2b
P b 2b b 22
4 4
Trong đó b MI MO OI 2 6 8 . Dấu bằng đạt tại M 0;0; 2
.
(Gv Đặng Thành Nam 2018)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm
A( 1; 1;1).
Hình chiếu vuông góc của A lên trục Ox là ?
A. M (0; 1;1).
B. N ( 1; 1;0).
C. P (0; 1;0).
D. Q( 1;0;0).
Đáp án D
Câu 10 (Gv Đặng Thành Nam 2018)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng
( P) : 2x 2y z 5 0. . Mặt phẳng ( P)
có một véctơ pháp tuyến là
A. n1 (2; 2;1).
B. n2 (1;1;0). C. n3 (2; 2;5).
D. n4 ( 2;1;2).
Đáp án A
Câu 11
phẳng
(Gv Đặng Thành Nam 2018)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt
( P) : 2x y 2z 3 0,( Q) : x y z 3 0. Giao tuyến của hai mặt phẳng ( P),( Q)
là một đường thẳng đi qua điểm nào dưới đây ?
A. M (2; 1;0).
B. N (0; 3;0).
C. P (1;1;1). D. Q( 1;2; 3).
Giá
Đáp án C
Dễ thấy điểm
P(1;1;1)
thuộc cả hai mặt phẳng nên nó thuộc đường thẳng giao tuyến của hai
mặt phẳng này.

Câu 12 (Gv Đặng Thành Nam 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
A( 1;2;0), B(3; 2;2).
thẳng AB có phương trình là
Mặt phẳng cách đều hai điểm A, B và vuông góc với đường
A. 2x 2y z 6 0. B. x z 1 0. C. x z 5 0. D. 2x 2y z 3 0.
Đáp án D
Ta có AB (4; 4;2) //(2; 2;1)
và trung điểm đoạn thẳng AB là I(1;0;1).
Mặt phẳng cần tìm có phương trình 2( x 1) 2y 1( z 1) 0 2x 2y z 3 0.
Câu 13 (Gv Đặng Thành Nam 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường
1 1 1
thẳng
1
:
x
y
z 1 1
d và d
2
: x
y
z . Đường thẳng qua điểm M (1;1;1) và
1 1 1 2 1 2
MA
cắt d 1 , d 2 lần lượt tại A, B. Tính tỉ số .
MB
MA 3 MA
MA 1
A. . B. 2 C. . D.
MB 2
MB
MB 2
Đáp án B
Gọi A(1 a;1 a; 1 a) d1, B( 1 2 b;1 b;2 b) d2.
Ta có MA ( a; a; a 2), MB (2b 2; b;2b
1)
và điều kiện thẳng hàng
4
a
a k(2b
2) a 2kb 2k
0,
3
4
MA kMB a kb
a kb 0, kb
.
3
a 2 k(2b
1) 2 2
a kb k
k
2
MA
Khi đó k 2.
MB
Câu 14:
MA 2
.
MB 3
(Gv Đặng Thành Nam 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm
A(1; 2;1), B( 2;2;1), C(1; 2;2).
phẳng (Oyz) tại điểm nào dưới đây ?
Đường phân giác trong góc A của tam giác ABC cắt mặt
4 8
2 4
2 8
2 8
A. 0; ; .
B. 0; ; .
C. 0; ; .
D. 0; ; .
3 3
3 3
3 3
3 3
Đáp án C
Ta có véctơ chỉ phương của phân giác trong góc A là
1 1 1 1 3 4
u AB AC 3;4;0 (0;0;1) ; ;1
2 2 2 2 2 2
AB AC ( 3) 4 0 0 0 1
5 5

3
x 1
t 5 4 5 2 8
AM : y 2 t ( Oyz) : x 0 t M 0; ; .
5 3 3 3
z
1
t
Câu 15
(Gv Đặng Thành Nam 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm
A( a;0;0), B(1; b;0), C(1;0; c ), với a,b,c là các số thực thay đổi sao cho H (3;2;1) là trực tâm của
tam giác ABC. Tính S a b c.
A. S 2
B. S 19
C. S 11
D. S 9
Đáp án B
Ta có I(1;0;0) và tứ diện IABC vuông đỉnh I.
Do đó mặt phẳng ( ABC) IH ( ABC) : 2x 2y z 11 0.
Do đó
Vì vậy
Câu 16:
A 11 9
;0;0 , 1; ;0 , (1;0;9).
2 B 2
C
11 9
S 9 19.
2 2
(Gv Đặng Thành Nam 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt
phẳng ( P) : x y z 3 0 và hai điểm (1;1;1), ( 3; 3; 3).
Mặt cầu S đi qua A, B và
tiếp xúc với
đường tròn đó.
A B
(P) tại C. Biết rằng C luôn thuộc một đường tròn cố định. Tìm bán kính R của
2 33 2 11
A. R 4.
B. R . C. R . D. R 6.
3
3
Đáp án D
Gọi M AB ( P ), khi đó dễ có M (3;3;3). Gọi tâm mặt cầu là điểm I ta có
MA MB MI R MI IC MC MC
2 2 2 2 2
. 36 6.
Do đó C di động trên đường tròn (C) nằm trên mặt phẳng (P) có tâm M và bán kính
r 6.
Cách 2: Gọi C( a; b; c) ( P) a b c 3 0.
Phương trình đường thẳng
Mặt khác
x a t
IC ( P ) tại C là y b t I( a t; b t; c t).
z c t
IA IB I ( Q) : x y z 3 0
là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

Do đó ( a t) ( b t) ( c t) 3 0 t 3 a b c.
Mặt khác
IA IC R
nên
( a t 1) ( b t 1) ( c t 1) 3t
2 2 2 2
2 2 2
( a 1) ( b 1) ( c 1) 2
t a 1
b 1 c 1
0
2( 3 abc)
2
2 2 2
( a 1) ( b 1) ( c 1) 4(3 a b c) 0
2 2 2
( a 3) ( b 3) ( c 3) 36.
Vậy bán kính đường tròn giao tuyến là
3 3 3 3
r 36 6.
111
2
Câu 17 (Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;2;1).
Tính độ dài đoạn thẳng OA.
A. OA 5.
B. OA 3.
C. OA 9.
D. OA 5.
Đáp án B
Câu 18 (Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình nào
dưới đây là phương trình của mặt phẳng toạ độ (Oyz)?
A. x 0.
B. y z 0. C. y z 0. D. z 0.
Đáp án A
Câu 19
(Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm
A(1;2;1), B(2;3; 1).. Đường thẳng qua hai điểm A,B có phương trình là
x
1
3t
x
1
t
x
3 t
A. y
2 5t
B. y
2 t C. y
5 2t
D.
z
1
z
1- 2t
z
t
Đáp án B
x
1
t
Ta có: u AB(1;1; 2) AB : y 2 t
z
1 2t
Câu 20
thẳng cắt nhau
x
1
t
y
1 2t
z
-2 t
(Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường
chứa hai đường thẳng d1, d2.
d
1 1 3 1
: x y z , : x y z
d .
2 1 1 1 2 1
1 2
Viết phương trình mặt phẳng

A. 3x y 5z
4 0. B. 3x y 5z
4 0. C. 3x y 5z
4 0. D. 3x y 5z
4 0.
Đáp án A
Ta có A( 1;1;0) d1
A( P)
và nP
u1, u
2
(3; 1;5).
Vậy 3x y 5z
4 0.
Câu 21 (Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba đường thẳng
x
3
x y 1 z 1 x 1 y 1
z
d1 : ; d2 : ; d3
: y 1
3 t .
1 2 1 2 1 2
z
4t
Đường thẳng d có véctơ chỉ phương u( a; b; 2)
cắt d , d , d lần lượt tại A, B, C sao cho B là
trung điểm của đoạn thẳng AC. Tính T a b.
1 2 3
A. T 15.
B. T 8.
C. T 7.
D. T 13.
Đáp án A
a 3 2a 3c 2 a 4c
1
A a;1 2 a; 1 a d1, C 3;1 3 c;4 c d3
B ; ; .
2 2 2
Gọi
Vì
B d 2
nên
a 3 2a 3c 2 a 4c
1
1 1
2 2 2 7
a , c 0.
2 1 2 3
16 14 4
Do đó u//
AC ; ; / /(8;7; 2) a 8, b 7 T 15.
3 3 3
Câu 22:
(Gv Đặng Thành Nam) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, có bao nhiêu mặt
phẳng qua M ( 4; 9;12) và cắt các trục toạ độ xOx, yOy,
z Oz lần lượt tại A(2;0;0), B,
C
sao cho OB 1 OC.
A. 2. B. 1. C. 4. D. 3.
Đáp án A
Ta có
x y z
B(0; b;0), C(0;0; c ) và mặt phẳng ( P) : 1.
2
b
c
Theo giả thiết ta có
9 12
M
( P ) 1,
24
b c
OB
1
OC
b 1
c
4b
c
b 3
b 3, c 2
4b b 1
b 4 13, c 3 13
b 3
Vậy có tất cả hai mặt phẳng thoả mãn.

Câu 23
(Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng
( P) : x 2y z 4 0.
xúc với ba trục toạ độ xOx, yOy, zOz
?
Có tất cả bao nhiêu mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng
A. 8 mặt cầu. B. 4 mặt cầu. C. 3 mặt cầu. D. 1 mặt cầu.
(P) và tiếp
Đáp án C
Giả sử
I( x; y; z)
là tâm mặt cầu cần tìm; ta có hình chiếu vuông góc của I lên các trục toạ độ
lần lượt là
A( x;0;0), B(0; y;0), C(0;0; z)
và theo giả thiết, ta có:
I
( P)
x 2y z 4 0
IA IB IC R x y y z z x
2 2 2 2 2 2
x 2y z 4 0
x y z x 2, y z 2
x 2y z 4 0
x y z
x y z 1
x y z
x z y
x y 2, z 2
y z x
Vậy có tất cả 3 mặt cầu thoả mãn.
Câu 24
(Gv Đặng Thành Nam)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm
A(1;2; 1), M (2;4;1), N(1;5;3).
Tìm toạ độ điểm C nằm trên mặt phẳng ( P) : x z 27 0
sao cho tồn tại các điểm B,D tương ứng thuộc các tia AM, AN để tứ giác ABCD là hình thoi.
A. C(6; 17;21). B. C (20;15;7). C. C (6;21;21). D. C(18; 7;9).
Đáp án C
Theo giả thiết thì
1 1
AC AB AD//
AM AN
AM AN
1 1
(1;2;2) (0;3;4)
1 4 4 0 9 16
Nên
1 1 1 19 22
1;2;2 0;3;4 ; ; (5;19;22).
3 5 3 15 15
//
AC (5 t;19 t;22 t)
và suy ra điểm C 1 5 t;2 19 t; 1
22 t .
Mặt khác C ( P) : x z 27 0 27t 27 0 t 1 C(6;21;21).
Câu 25:
A
0;0; 2 , B 4;0;0
(Gv Đặng Thành Nam) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là
M N
P
0;2; 1
A. 0;4; 2 . B. 4;0; 2 . C. 2;0; 1 . D. Q

Đáp án C
Tam giác OAB vuông tại O nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cạnh AB, tức điểm
P(2;0; 1).
Câu 26:
(Gv Đặng Thành Nam) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
x 2 y 1
z
d : . Đường thẳng d đi qua điểm nào dưới đây ?
1 2 1
Đáp án D
Câu 27:
điểm
A
M N P
2;1;0
A. 1;2;1 . B. 2;1;1 . C. 2; 1;0 . D. Q
1;2;3
(Gv Đặng Thành Nam) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng qua
và song song với mặt phẳng toạ độ (Oxy) có phương trình là
A. x 1 0 . B. y 2 0 . C. z 3 0 . D. z 3 0 .
Đáp án D
Câu 28
(Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
M 3; 1;1
. Gọi M1M 2
lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các trục yOy,
zOz
.
Đường thẳng M1M
2
có véctơ chỉ phương nào dưới đây ?
A. u 0;1;1 1 . B. u
2 3;1;0
. C. u3 0; 1;1
.D. u4 3; 1;0
.
Đáp án A
Ta có M1(0; 1;0), M
2(0;0;1) M1M
2
(0;1;1).
Câu 29
(Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm
1;2;1 , 2;1;3 , 2; 1;3 , 0;3;1
: 10 0
A B C D
. Mặt phẳng P ax by cz đi qua hai
điểm A, B và cách đều hai điểm C, D và hai điểm C, D nằm khác phía so với mặt phẳng P
. Tính S a b c .
A. S 7 . B. S 15
. C. S 6 . D. S 13.
Đáp án A
Vì (P) cách đều hai điểm C,D và hai điểm C,D nằm khác phía so với mặt phẳng (P). Nên
(P) đi qua điểm
E(1;1;2)
là trung điểm của đoạn thẳng CD.
Vậy mặt phẳng (P) đi qua ba điểm
A(1;2;1), B( 2;1;3), E(1;1;2)
có phương trình là
x 3y 3z
10 0.
Do đó S 1 3 3 7.

Câu 30: (Gv Đặng Thành Nam) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A3;1;3
x 1
y z
, mặt phẳng P : x y z 7 0 và đường thẳng d
: . Mặt cầu (S) có tâm
2 1 3
I a; b;
c
thuộc P , bán kính 6 và tiếp xúc với d tại A với a,b,c là các số thực
dương. Giá trị của biểu thức
R
a 2b 3c
bằng
A. 11. B. 17. C. 16. D. 12.
Đáp án B
Vì (S) tiếp xúc (d) tại I nên IA R 6 và IA ( d).
Gọi (Δ) là đường thẳng qua A,
nằm trong (P) và vuông góc với (d). Khi đó (Δ)
uΔ nP, u
d
( 2;1;1)( nP (1;1;1), ud
(2;1;3)).
có véctơ chỉ phương
x
3 2u
Suy ra (Δ) có phương trình: y
1 u
z
3 u
( ), ( ) (Δ) 3 2 ;1 ;3 2 ; ; .
Vì I P IA d I I u u u AI
u u u
Suy ra
2 2
AI u u I I
6 6 1 (1;2;4), (5;0;2).
Đối chiếu điều kiện có a 1, b 2, c 4 và a 2b 3c
1 4 12 17.
Câu 31
(Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn đường
thẳng có phương trình
x 1 y 2 z x 2 y 2 z x y z 1 x 2 y z 1
d1 : , d2 : ; d3 : , d4
: .
1 2 2 2 4 4 2 1 1 2 2 1
Biết rằng đường thẳng có véctơ chỉ phương u 2; b;
c cắt cả bốn đường thẳng đã cho. Giá
trị của biểu thức
2a
3b
bằng
3
1
A. 5. B. 1. C. . D. .
2
2
Đáp án B
Ta có d // d . 1 2
Gọi (P) là mặt phẳng chứa d 1 ,d 2 ta có
A(1;2;0) d1, B(2;2;0) d2, A, B ( P)
và n( P) AB, u
1
(0;2;2).
Do đó ( P) : y z 2 0.
Tọa độ giao điểm
M d3 ( P)
là nghiệm của hệ

x y z 1
1 3 1 3
2 1 1 x 1, y , z M 1; ; .
2 2 2 2
y z 2 0
Toạ độ giao điểm
N d4 ( P)
là nghiệm của hệ
x 2 y z 1
2 2 1
x 4, y 2, z 0 N(4;2;0).
y
z 2 0
Đường thẳng cần tìm đi qua hai điểm M, N.
3 3
Do đó có véctơ chỉ phương là u// MN 3; ;
// (2;1; 1).
2 2
Vậy
Câu 32:
a 1, b 1
và 2a
3b
1.
P : x 2y 2z
3 0
(Gv Đặng Thành Nam) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
và hai điểm A1;2;3 , B 3;4;5
.Gọi M là một điểm di động trên
(P). Giá trị lớn nhất của biểu thức
MA 2 3
bằng
MB
A. 3 6 78 B. 3 3 78 . C. 54 6 78 . D. 3 3 .
Đáp án C
Theo giả thiết và hệ thức lượng cho tam giác, ta có
MA 2 3 MA AB 2Rsin B 2Rsin
M
P
MB MB 2Rsin
A
B M B M
2sin cos
sin B sin M
2 2
sin A
A A
2sin cos
2 2
B M
cos
2 1 1
54 6 78.
A A
sin sin
AB,( P)
2 2
sin
2

1.2 2.2 2.2 3 AB
,( P) 18 2 78
Trong đó sin( AB,( P)) sin
.
3.2 3 9
2
6
Câu 33
(Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
1;2; 1 . Hình chiếu vuông góc của A trên trục toạ độ là
A x Ox
M N
P
A. 0;2; 1 . B. 1;0;0 . C. 0;2;0 . D. Q 0;0; 1
.
Đáp án B
Câu 34
(Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
: x 2y 3z
6 0 . Hỏi điểm nào dưới đây thuộc mặt phẳng
?
M
N
P
A. 1;2;3 . B. 1;1;1 . C. 3;2;0 . D. Q 1;2;1 .
Đáp án B
Câu 35:
(Gv Đặng Thành Nam) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
x 1 y 1
z
d : . Hỏi d song song với mặt phẳng nào dưới đây ?
2 1 2
A. 2x y 2z
0 . B. x z 1 0. C. x 2y 2z
3 0 . D. 2y
z 0 .
Đáp án D
Đường thẳng d qua điểm A(1;1;0), u A
(2;1; 2).
Để / /( )
( P
d P )
u. nP
0
Câu 36
(Gv Đặng Thành Nam)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình
M
mặt phẳng đi qua điểm 1;1;1 và vuông góc với hai mặt phẳng Oxy , Ozx .
A. y 1 0 . B. x 1 0 . C. z 1 0 . D. x z 2 0 .
Đáp án B
n k (0;0;1)
( Oxy) : z 0,( Ozx) : y 0
n k , j ( 1;0;0) ( P) : x 1 0.
n j(0;1;0)
Câu 37:
M 1;1;3
(Gv Đặng Thành Nam) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
và hai đường thẳng
dưới đây là đường thẳng qua M và vuông góc với và
.
1 3 1 1
: x y z
, :
x
y z . Phương trình nào
3 2 1 1 3 2
A. x 1 y 1 z 1
x y 1 z 3
. B. .
1 1 3
1 1 1
C. x 1 y 1 z 3
. D. x 1 y 1 z 3
.
1 1 1
1 1 1
Đáp án D

Có u uΔ
, uΔ
( 7;7;7).
Vậy
Câu 38:
2;0;0 , 1;2;3
x
1
t
y
1 t
z
3 t
(Gv Đặng Thành Nam) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
A M . Có bao nhiêu mặt phẳng qua A, M và cắt các trục toạ độ yOy,
zOz
lần
lượt tại B,C khác gốc toạ độ O và toạ độ các điểm B và C là các số nguyên.
A. 8. B. 15. C. 13. D. 16.
Đáp án B
Gọi
Vì
x y z
B(0; b;0), C(0;0; c)
phương trình mặt phẳng là
1.
2
b
c
M (1;2;3)
thuộc mặt phẳng nên
Do đó b, c b 4 là ước của 24.
1 2 3 6b
24
1 c 6 .
2 b c b 4 b 4
Do đó b 4 24; 12; 8; 6; 4; 3; 2; 1
với chú ý b 0 b 4 4.
Vậy có tất cả 15 số nguyên b thoả mãn, tức có 15 mặt phẳng thoả mãn.
Câu 39:
(Gv Đặng Thành Nam) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
x
0
d : y t và điểm A0;4;0
. Gọi M là điểm cách đều đường thẳng d và trục xOx
. Khoảng
z
1
cách ngắn nhất giữa A và M bằng
1
65
A. . B. 3 2 . C. 6 . D. .
2
2
Đáp án C
2 2
Gọi M ( a; b; c)
có d( M , Ox)
b c và
d M d a c
2 2
( , ) ( 1) .
Vậy
d M Ox d M d b c a c a b c
2 2 2 2 2 2
( , ) ( , ) ( 1) 2 1.
Khi đó
AM a ( b 4) c b 2c 1 ( b 4) c
2 2 2 2 2 2
2 2
2( b 2) ( c 1) 6 6.
Dấu bằng đạt tại b 2, c 1, a 1.
Câu 40:
(Gv Đặng Thành Nam) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
H a; b;
c với a,b,c là các số thực thay đổi thoả mãn ab bc ca 1. Mặt phẳng qua

H và cắt các trục
cầu tâm O tiếp xúc với
Đáp án C
Ox, Oy,
Oz
lần lượt tại A, B,C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC. Mặt
có bán kính nhỏ nhất bằng
A. 1. B. 2. C. 2 . D. 3 .
Vì H là trực tâm tam giác ABC nên
OH
( ),
do đó
2 2
R OH a b c
2 .
Ta có
2 2 2 2 2
a b c a b c ab bc ca a b c R
( ) 2( ) ( ) 2 2 2.
Dấu bằng đạt tại a b c 0.
Câu 41 (Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, tìm một véctơ chỉ
x
2 t
phương của đường thẳng d : y 3 2t
z
1 t
A. u
1
(2;3; 1). B. u
( 1;2;1).
2
C. u (2;3;2).
3
D. u
1
( 1; 2;1).
Đáp án B
Câu 42 (Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt phẳng đi qua
ba điểm
A(1;0;0), B(0; 2;0); C(0;0;3)
là
x y z
x y z
x y z
x y z
A. 1.
B. 1.
C. 1.
D. 1.
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
Đáp án C
Câu 43 (Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt cầu tâm O và
tiếp xúc với mặt phẳng
( P) : x 2y 2z
18 0
có bán kính bằng
A. 2. B. 6. C. 18. D. 9.
Đáp án B
Có
18
R d( O,( P)) 6.
1
4 4
Câu 44:
( P) : x 3y 2z
2 0
(Gv Đặng Thành Nam) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng
và đường thẳng
x 1 y 1 z 4
d : .
2 1 1
Đường thẳng qua
A(1;2; 1)
và cắt (P), d lần lượt tại B và C( a; b; c)
sao cho C là trung điểm của AB. Giá trị của biểu
thức
a b c
bằng
A. 5.
B. 12.
C. 15.
D. 11.
Đáp án A
Giả sử C(1 2 t; 1 t;4 t) d.
vì C là trung điểm của AB nên B(4t 1; 2t 4;2t
9).

9 7 1
Mặt khác B ( P) (4t 1) 3( 2t 4) 2(2t 9) 2 0 t C( 8; ; ).
2 2 2
Do đó
Câu 45:
7 1
a b c 8 5.
2 2
(Gv Đặng Thành Nam) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm
A(6; 3;4), B( a; b; c).. Gọi M,N,P lần lượt là giao điểm của đường thẳng AB với các mặt
phẳng toạ độ (Oxy), (Oyz), (Ozx) sao cho M,N,P nằm giữa A và B thoả mãn
AM MN NP PB.. Giá trị của biểu thức a+b+c bằng
A. 17
B. 34
C. 19
D. 38
Đáp án A
Theo giả thiết có
Tương tự có
Và
1 9 a 9 b c
c
AM AB M ; ;3 ( Oxy) 3 0 c 12.
4 2 4 4 4 4
4
1 a 3 b c
a
AN AB N 3 ; ;2 ( Oyz) 3 0 a 6.
2 2 2 2 2
2
3 3 3a 3 3b 3c
3 3b
AP AB P
; ;1 ( Ozx) 0 b 1.
4 2 4 4 4 4
4 4
Khi đó a b c 17.
Câu 46: (Gv Đặng Thành Nam) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba mặt phẳng
( ) : x 2y z 1 0,( ) : 2x y z 3 0,( ) : ax by z 2 0
thẳng. Giá trị của biểu thức
Đáp án C
a b
A. 3. B. 0. C. 3. D. 6.
bằng
Ta tìm hai điểm thuộc giao tuyến của
( ),( )
qua một đường thẳng là hai điểm này thuộc ( ).
x 2y z 1 0
Xét hệ
cho x 0; x 1
ta có lần lượt hai điểm
2x y z 3 0
A(0; 2; 5), B(1; 1; 2) ( ) ( ).
Vậy
3
a
2b
5 2 0
A(0; 2; 5), B(1; 1; 2) ( )
2
.
a
b 2 2 0 3
b
2
Suy ra a b 3.
cùng đi qua một đường
và điều kiện để ba mặt phẳng này cắt cùng đi

Câu 47:
với
(Gv Đặng Thành Nam) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC
A(1; 2;1), B( 2;2;1), C(1; 2;2).
cắt mặt phẳng (Oyz) tại điểm nào sau đây ?
Hỏi đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC
4 8
2 4
2 8
2 8
A. 0; ; .
B. 0; ; .
C. 0; ; .
D. 0; ; .
3 3
3 3
3 3
3 3
Đáp án C
Ta có véctơ chỉ phương của phân giác trong góc A là
1 1 1 1 3 4
u AB AC 3;4;0 (0;0;1) ; ;1
AB AC
2 2 2 2 2 2
( 3) 4 0 0 0 1
5 5
3
x 1 t 5 4 5 2 8
AM : y 2 t ( Oyz) : x 0 t M 0; ; .
5 3 3 3
z 1 t
Câu 48
(Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, xét ba điểm
A( a;0;0), B(0; b;0), C(0;0; c)
với a,b,c là các số thực thay đổi thoả mãn
1 2 2
1.
a b c
2 2 2
rằng mặt cầu ( S) : ( x 2) y ( z 4) 25 cắt mặt phẳng (ABC) theo giao tuyến là một
đường tròn có bán kính bằng 4. Giá trị của biểu thức
a b c
bằng
A. 5. B. 1. C. 2. D. 4.
Đáp án C
Có ( ) : x y z 1 2 2
ABC 1
và 1 M (1; 2;2) ( ABC).
a b c a b c
Mặt cầu (S) có tâm
d I ABC R r
I
2;0;4 , R 5
2 2
( ,( )) 25 16 3.
và theo giả thiết có
Biết
Mặt khác
d I ABC IM
2 2 2
( ,( )) 1 2 2 3.
Điều đó chứng tỏ IM ( ABC) ( ABC) : x 2y 2z
1 0.
Do đó
1 1
A(1;0;0), B0; ;0 , C 0;0;
2 2
và
1
a 1, b c a b c 2.
2
Câu 49 (Gv Đặng Thành Nam) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm
M ( 2;1;3). Đường thẳng qua M và vuông góc với mặt phẳng ( ) : x 2y 2z
1 0 là

x
1
2t
x
2
t
x
2
t
x
1
t
A. y
2 t . B. y
1 2 t . C. y 1 2 t . D.
z
2 3t
z
3 2t
y
2 2 t .
z
3 2t
z
2 3t
Đáp án B
Câu 50 (Gv Đặng Thành Nam)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt phẳng qua ba
điểm
M (1;0;0), N(0; 2;0), P(0;0; 3)
là
y z
y z
y z
y z
A. x 1.
B. x 1. C. x 1. D. x 1.
2 3
2 3
2 3
2 3
Đáp án C
Câu 51:
(Gv Đặng Thành Nam) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đường thẳng nào
dưới đây song song với mặt phẳng ( ) : x y z 3 0.
x
1
2t
x 2 t
x
1
2t
A. y 1 t . B. y
1 t . C. y 1 t . D.
z 1
t
z
1
t
z 1
t
Đáp án C
Câu 52:
x
3 t
y 2 t .
z t
(Gv Đặng Thành Nam) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm
A(1;0;0), B(0;2;0), C (0;0;3). Mặt cầu tâm I(2;2;2)
tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) có bán
kính bằng
A. 4. B.
14 4 14 .
C. .
3
21
D.
Đáp án D
16 .
7
Có
2 2 2
1
x y z
1 2 3 16
( ABC) : 1 0 R d( I,( ABC)) .
1 2 3 2 2
1 1
7
1
2 3
Câu 53:
A( 3; 1;3)
(Gv Đặng Thành Nam) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm
và đường thẳng
x 1 y 1 z 5
d : , mặt phẳng ( P) : x 2y z 5 0.
3 2 2
Đường thẳng Δ qua A và cắt d tại điểm B( a; b; c)
và tạo với mặt phẳng (P) góc 30 . Tính
T a b c.
A. T 14.
B. T 0.
C. T 21.
D. T 7.
Đáp án D
Ta có B(1 3 t;1 2 t;5 2 t)
và AB(3t 4;2t 2;2t
2).

Theo giả thiết ta có
1(3t 4) 2(2t 2) 1(2t
2) 1
t 0.
2 2 2 2 2 2
1 2 1 (3t 4) (2t 2) (2t
2) 2
Vậy a 1, b 1, c 5 và T 7 .
Câu 54 (Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng
( P) : 2x z 2 0,( Q) : 4y 5z
8 0.
Có bao nhiêu mặt phẳng chứa giao tuyến của
(Q) và cắt các trục xOx,
zOz
lần lượt tại A, B thoả mãn OA OB 0.
A. 3. B. 4. C. 2. D. 1.
Đáp án C
Mặt phẳng cần tìm có phương trình
a(2x z 2) b(4y 5z 8) 0 2ax 4 by ( a 5 b) z 2a 8b
0.
Toạ độ các giao điểm với các trục Ox, Oz lần lượt là
Theo giả thiết có
Vậy có 2 mặt phẳng thoả mãn.
Câu 55
a 4b 2a 8b
0 a 5 b;3a 5 b.
a a 5b
a 4 b 2 8
A ;0;0 , B 0;0; a b
.
a a 5b
(Gv Đặng Thành Nam)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm
A(1;2;3), B (3;4;5) và mặt phẳng ( ) : x 2y 3z
14 0. Gọi Δ là đường thẳng thay đổi
nằm trong mặt phẳng (α), các điểm M,N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A,B trên Δ.
Biết rằng khi AM = BN thì trung điểm của MN luôn thuộc một đường thẳng cố định. Viết
phương trình đường thẳng cố định đó.
x 4 t x 5 t
x 2 t
A. y
5 2 t . B. y
3 2 t . C. y
1 2 t . D.
z 1
t
z 1
t
z 3 t
Đáp án B
Gọi I là trung điểm MN. Theo giả thiết có
Δ BNM Δ AMN( c g c) IA IB.
Do đó I thuộc mặt phẳng trung trực (Q) của AB. Mặt khác I thuộc (P).
Do đó
I d ( Q) ( P)
là đường thẳng cố định. Ta có:
x 4 t
y
5 2 t .
z t
(P),
x 5 t
( Q) : x y z 9 0 y 3
2 t.
z 1
t

Câu 56 (Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d
là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) : x my z 2m 1 0;( ) : mx y mz m 2 0.
Gọi Δ là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng
(Oxy). Biết rằng với mọi số thực m thay
đổi thì Δ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. Tính bán R của đường tròn đó.
A. 2. B. 1. C. 4. D. 3.
Đáp án A
Gọi (P) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với
x my z 2m 1 a mx y mz m 2 0
( Oxy) : z 0.
( ma 1) x ( a m) y (1 ma) z ma 2m 2a
1 0.
1
Theo điều kiện vuông góc có 1.(1 ma) 0 a .
m
Suy ra:
1 2
m m
2 2
( P) : 2x m y 2m 0 ( P) : 2 mx (1 m ) y 2m
2 0.
Phương trình của (P) là
Khi đó:
2 2
2 mx (1 m ) y 2( m 1) 0
:
( P) ( Oxy).
z 0
Trong mặt phẳng ( Oxy)
có d( O,Δ)
2
2( m 1)
2 Δ luôn tiếp xúc với đường
2 2 2
(2 m) (1 m )
tròn tâm O bán kính bằng 2 trong mặt phẳng toạ độ Oxy .
Câu 57: (Gv Đặng Thành Nam) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai véctơ
a(1;2; 2), b(2; 1;2).
Tính cos
a , b
.
2 4 2
A. .
B. .
C. .
D.
3
9
3
Đáp án D
a. b 2 2 4 4
Có cos a, b .
a b 3.3 9
4
.
9
Câu 58: (Gv Đặng Thành Nam) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm
A(2;3;4).. Khoảng cách từ A đến trục toạ độ Ox bằng
A. 2. B. 4. C. 3. D. 5.

Đáp án D
Hình chiếu vuông góc của A lên Ox là
H d A Ox AH
2 2
(2;0;0) ( , ) 3 4 5.
Câu 59
(Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm
A(0; 1;3), B(1;0;1), C( 1;1;2).
Phương trình đường thẳng qua A và song song với BC là
x 2t
x 2t
x 2
A. y
1 t . B. y
1 t . C. y 1 t . D.
z 3 t
z 3 t
z
1
3t
Đáp án A
Câu 60
x
1
2t
y t .
z 1
t
(Gv Đặng Thành Nam)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình mặt
phẳng trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm
A(2;1;3), B( 2;1; 1)
A. y z 2 0. B. x z 1 0. C. x z 2 0. D. x z 1 0.
Đáp án D
Câu 61 (Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A,B,C
lần lượt di động trên ba trục toạ độ Ox,Oy,Oz
1 1 1
1 .
2 2 2
OA OB OC 4
Tính bán kính của mặt cầu đó.
Biết mặt phẳng
là
(không trùng với gốc toạ độ O) sao cho
(ABC) luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định.
A. 4. B. 3. C. 1. D. 2.
Đáp án D
1 1 1 1 1
d( O,( ABC)) 2.
d ( O,( ABC))
OA OB OC 4
Có
2 2 2 2
luôn tiếp xúc với mặt cầu tâm O có bán kính bằng 2.
Câu 62
A(2;0;2), B(0;2; 2).
(Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm
Các điểm M, N lần lượt di động trên các đoạn thẳng OA, OB sao cho
MN chia tam giác OAB thành hai phần có diện tích bằng nhau. Khi MN ngắn nhất thì toạ độ
trọng tâm của tam giác OMN là
2 2 2 2 1 1
A.
; ;0 . B. C. D.
4 4
; ;0 .
3 3 ; ;0 .
3 3
Đáp án B
OM mOA(0 m 1) M (2 m;0;2 m) Có
.
ON nOB(0 n 1) N(0;2 n; 2 n)
1 1
; ;0 .
4 4

S
Theo giả thiết có
S
OMN
OAB
1 OM. ON 1 1
mn .
2 OAOB . 2 2
Khi đó
1 1
M 2 m;0;2 m, N 0; ;
m m
và
2
2 1 1
2 2 2 2
2 2 2
MN 4m 2m 8m 4 2 8 m . 4 2 3.
m m m m
0 m 1
1 1
Dấu bằng xảy ra khi 2 2 m n .
8m
2
2 2
m
Câu 63: (Gv Đặng Thành Nam)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm
A(1;1;0), B(0;1;1), C (2;1;2) và mặt phẳng ( P) : x y z 6 0. Điểm M ( a; b; c)
thuộc (P)
2 2 2
sao cho MA MB MC đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị biểu thức ab bc ca bằng
16 80 32
A. .
B. .
C. .
D.
3
9
3
Đáp án D
Gọi G(1;1;1) là trọng tâm tam giác ABC. Khi đó
2 2 2
2 2 2
MA MB MC GA GM GB GM GC GM
MG GA GB GC GM GA GB GC
2 2 2 2
3 2
32 .
9
2 2 2 2 2 2 2 2
3MG GA GB GC 3 d ( G,( P)) GA GB GC const.
Dấu bằng đạt tại M là hình chiếu của G lên (P), toạ độ là nghiệm của hệ
x y z 6 0
8 8 2
x 1 y 1 z 1
( x; y; z) ; ; .
3 3 3
1 1 1
Vậy
Câu 64
2
8 8 2 8 2 32
ab bc ca .
3 3 3 3 3 9
(Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm
A( 2;0;0), B(0; 2;0), C(0;0; 2).
cho
OA OB OC
OM ON OP
4
Các điểm M, N, P lần lượt trên ba cạnh OA, OB, OC sao
và khối tứ diện OMNP có thể tích nhỏ nhất. Mặt phẳng
( ) : ax by cz 1 0 đi qua ba điểm M, N, P. Tính S a b c.
A. S 9 . B. S 4.
C. S 2.
D. S 3.
2

Đáp án C
Ta có
3
OA OB OC OA OB OC V
3
4 33 OABC
. . 33
VOMNP
VOABC
.
OM ON OP OM ON OP VOMNP
4
OA OB OC 4 3 3 3
Dấu bằng đạt tại OM OA; ON OB; OP OC.
OM ON OP 3 4 4 4
3 3 3
x y z
Do đó M ;0;0 , N 0; ;0 , P0;0; ( MNP) : 1.
2 2 2
3 3 3
2 2 2
2 2 2
Do đó S 2.
3 3 3

Câu 1:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
a 0;3; 1 , b i 2 j 2k
. Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai:
A. a. b 4
B. a b 1;1; 3
C. a b 1;5;1 D.
Đáp án D.
a 0;3; 1 a 10
b 1;2;2 b 3 . Vậy D sai.
Câu 2:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
P : 2x 5y z 1 0
A
phương trình là:
a
b
và 1;2; 1 . Đường thẳng Δ qua A và vuông góc với P có
x
2 t
x
3 2t
x
1
2t
A. y
5 2t
B. y
3 5t
C. y
2 5t
D.
z
1 t
z
1 t
z
1 t
x
3
2t
y
3 5t
z
t
Đáp án D.
Đường thẳng Δ qua 1;2; 1
nhận n 2; 5;1
làm vecto pháp tuyến
x
1
2t
: y
2 5t
z
1 t
A
trùng với đường thẳng
P
x
3 2t
y
3 5t
z
t
Câu 3:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
2 2
2
S : x 1 y 2 z 3 9. Đường thẳng d cắt mặt cầu S tại hai điểm A và B biết
tiếp diện của
S
tại A và B vuông góc. Khi đó độ dài AB là:
9
A. B. 3 C. 3 2
D.
2
Đáp án C.
Cắt mặt cầu và 2 tiếp diện bằng một mặt phẳng qua tâm và đường thẳng d. Thiết diện như
hình vẽ bên.
ACIB là hình vuông (do IAC IBC ACB 90
và IA IB IC R 3
)
AB 3 2
3 2
2

Câu 4:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường
x 2 y 1 z 1
x 3 y 1 z 3
thẳng d : và :
. Viết phương trình mặt phẳng P
1 1 2 1 1 2
chứa d và tạo với tam giác một góc 30 . có dạng x ay bz c 0 với a, b,
c khi đó giá
trị
a b c
là
A. 8 B. ‒8 C. 7 D. ‒7
Đáp án B.
- Gọi vecto pháp tuyến của P
là n a; b; c
0
- d P n. ud
0 a b c 0 c a b (1)
- Δ có vecto chỉ phương u
1;1;2 , góc giữa Δ và P là 30° nên
n. u
1 a b 2c
sin 30
n u 2 a b c
Thế (1) vào (2)
2 2 2 2 2
.
. 1 1 4
3 a b 1
a b ab 2
2 2
6. 2 2 2
a 2 b 2 ab a 2 b 2 ab
4.9 2 6 2 2 2
2 2
24a 24b 60ab
0 2
P : x 2y z 5 0 .
1
a b
a
2
- Với b 2a c a b a . Chọn
(2)
b
2a
a
2b
a 1 n 1; 2; 1
P : x 2y z 5 0
- Với a 2b c b . Chọn b 1 n 2;1; 1
P : 2x y z 2 0
Câu 5:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt
: 2 2 3 0
phẳng P x y z và điểm M 1; 2;13
. Tính khoảng cách d từ điểm M đến mặt
phẳng P

4
7
10
4
A. d . B. d . C. d . D. d .
3
3
3
3
Đáp án A
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng
d M ; P
P
là:
2.1 2 2 13 3 4
.
2 2 2
2 2 1
3
Câu 6:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian Oxyz, cho các điểm A 2;1; 1
,
B 3;0;1
, C 2; 1;3
và điểm D nằm trên trục Oy sao cho thể tích khối tứ diện ABCD bằng
5. Tọa độ điểm D là
D
1; 7;0
D
0;7;0
A. D0; 7;0
. B. D0;8;0
. C. . D. .
D0;8;0
D0; 8;0
Đáp án C
Điểm D Oy nên 0; ;0
. Suy ra AD 2; y 1;1
.
D y
Ta có AB 1; 1;2 , AC 0; 2;4 AB, AC
0; 4; 2
.
1 1 2y
1
Khi đó VABCD
AB, AC. AD 4y
2 .
6 6 3
2y
1
y 8 D
0; 7;0
Từ giả thiết ta có VABCD
5 5 . Vậy .
3
y 7
D0;8;0
Tính tích có hướng AB,
AC
bằng MTCT:
Câu 7:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
2 2 2
phương trình là x y z 2x 4y 6z
9 0 . Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu
A. I 1;2;3 , R 5 . B. I 1; 2;3 , R 5 .
C. I 1; 2;3 , R 5. D. I 1;2; 3 , R 5 .
Đáp án B
S
có

2 2 2
Mặt cầu S : x y z 2x 4y 6z
9 0 có tâm I 1; 2;3
, bán kính
2
R
2 2
1 2 3 9 5
.
Câu 8:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt
: 4 2 0
phẳng có phương trình P x y z và Q : 2x 2z
7 0 . Góc giữa hai mặt
P
phẳng và Q là
0
A. 90 .
0
B. 45 .
0
C. 60 .
0
D. 30 .
Đáp án C
Mặt phẳng P
có vectơ pháp tuyến là n
1; 1;4
. Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến
P
Q
là n 2;0; 2
.
Q
Cách 1: Tư duy tự luận
P
Góc giữa hai mặt phẳng và Q được tính theo công thức:
n . n
P Q
1.2 1 .0 4. 2
cos P, Q cos n ,
n
P Q
n . n 1 1 4 . 2 0 2
P Q
0
1
. Vậy
, 60 .
2
P Q
cos P,
Q
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay
2 2 2 2 2 2
Nhập vào máy tính các vectơ: VctA 1; 2;4 , VctB 2;0; 2
.
Câu 9:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương
trình mặt cầu tâm I
3;2;4
và tiếp xúc với trục Oy
2 2 2
A. x y z 6x 4y 8z
3 0 .
2 2 2
B. x y z 6x 4y 8z
1 0 .
2 2 2
C. x y z 6x 4y 8z
2 0 .
2 2 2
D. x y z 6x 4y 8z
4 0 .
Đáp án D
Gọi M là hình chiếu của điểm 3;2;4 trên Oy, suy ra 0;2;0
. Khi đó IM 3;0; 4
.
I
M
Mặt cầu tâm I 3;2;4 tiếp xúc với trục Oy nên bán kính mặt cầu là R IM 5 .
Phương trình mặt cầu
S là x 3 2 y 2 2 z 4
2
25

2 2 2
x y z 6x 4y
8z 4 0 .
Câu 10:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt
x y z
phẳng P : 1. Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của P
?
3 2 1
A. n 6;3;2
. B. n
2;3;6
. C. 1 1
n 1; ; . D. n 3;2;1
.
2 3
Đáp án B
x y z
Ta có mặt phẳng P : 1 2x 2y
6z 6 0 . Suy ra mặt phẳng P
có vectơ
3 2 1
pháp tuyến là n 2;3;6 .
Câu 11:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các
điểm
phẳng
2;0;0 , 0;4;2 , 2;2; 2
A B C
ABC
. Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt
, S là điểm di động trên đường thẳng d, G và H lần lượt là trọng tâm của
ABC , trực tâm của SBC . Đường thẳng GH cắt đường thẳng d tại S '. Tính tích
SA. S ' A
3
9
A. SA. S ' A . B. SA. S ' A . C. SA. S ' A 12 . D. SA. S ' A 6 .
2
2
Đáp án C
Nhận thấy AB BC CA 2 6 nên ABC
đều. Do G là trọng tâm của ABC
nên
CG AB , mà CG SA CG SAB CG SB . Lại có CH SB (H
là trực tâm của SBC ) nên SB CHG . Suy ra SB GH .
Gọi M là trung điểm của BC.
BC S A, BC AM BC SAM BC GH.
Ta có
Như vậy
GH SBC GH SM hay S ' H SM SS ' H SMA .
Suy ra
AS '
AS ' G ∽ AMS
AM
AG
AS
2 2 AB 3 2 2 6. 3
AS '. AS AM. AG AM. AM . . 12.
3 3
2 3 2
‘
2

Câu 12( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm
A0;0;0 , B 0;1;1 , C 1;0;1
. Xét điểm D thuộc mặt phẳng Oxy sao cho tứ diện ABCD là
một tứ diện đều. Kí hiệu D x ; y ; z là tọa độ của điểm D. Tổng x0 y0
bằng
0 0 0
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Đáp án C.
Tính được AB BC CA 2 .
Do D Oxy D x ; y ;0
0 0
Yêu cầu bài toán
DA
2
DA DB DC 2 DB
2
DC 2
2 2
x 2 2
0
y0
2
x0 y0
2
2 2 2
2 x0
1
x0 y0 1
1 2 x0 y0 1
1 x0 y0
2 .
y
2
0
1
2 2
2
x
0
1
0
1
0
1 y0
1 2
x y
Câu 13( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương
trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm
B 3; 1;1
?
A. x 1 y 2 z 3
B.
2 3 4
C. x 1 y 2 z 3
D.
2 3 4
Đáp án C.
Đường thẳng AB đi qua điểm
Do đó có phương trình x 1 y 2 z 3
.
2 3 4
x 3 y 1 z 1
2 3 4
x 1 y 2 z 3
2 3 4
A1;2; 3
và có một VTCP là AB 2; 3;4
A 1;2; 3
Câu 14:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
A2; 1;1. Gọi M , N,
P lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các trục Ox, Oy, Oz. Mặt
phẳng đi qua A và song song với
MNP
có phương trình:
A. x 2y 2z
2 0 B. x 2y 2z
6 0 C. x 2y z 0 D.
x 2y 2z
4 0
Đáp án B.
Ta có M 2;0;0 , N 0; 1;0
, P 0;0;1
và

x y z
Phương trình mặt phẳng MNP : 1 x 2y 2z
2 0
2 1 1
Vậy phương trình mặt phẳng qua A và song song với
x 2y 2z
6 0
MNP
Câu 15:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết
x
t
phương trình đường thẳng
đi qua A2;1; 1
và cắt cả hai đường thẳng d :
1 y t và
z
2t
d
2
x 1 y 2 z 3
: .
3 4 5
x
2 t
x
1
t
x
2 3t
A. y
1 3t
B. y
2 t
C. D.
z
1 2t
y
1 t
z
1 2t
z
1 2t
x
2 t
y
1 2t
z
1 3t
Đáp án A.
Gọi B d B b b b
1
; ;2
C d2 C 1 3 c; 2 4 c; 3 5c
là:
Vì A, B, C thẳng hàng
AC 1; 3; 2
b 2 3kc k
5
b
AB k AC b 1 4kc 3k
4
2b 1 5kc 2k
c
0
Vậy phương trình đường thẳng
x
2 t
: y
1
3t
z
1 2t

Câu 16:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
2 2
A2;11; 5
và mặt phẳng P : 2mx m 1 y m 1
z 10 0 . Biết rằng khi m thay
đổi, tồn tại hai mặt cầu cố định tiếp xúc với
mặt cầu đó.
P
và cùng đi qua A. Tìm tổng bán kính của hai
A. 2 2 B. 5 2 C. 7 2 D. 12 2
Đáp án D.
Gọi
I a; b; c , r
r d I;
P
lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu
2
b c m ma b c
2 10
m
2
1 2
b c r
2
2 m 2ma b c r 2 10 0 1
b c r
2
2 m 2ma b c r 2 10 0 2
- Xét phương trình (1):
Do
P
luôn tiếp xúc với mặt cầu cố định với mọi m nên
b c r 2 0 b r 2 5
a 0 a 0 S : x y 5 r 2 z 5
r
b c r 2 10 0
c 5
2
2 2 2
A S 4 11 5 r 2 r r 12 2r
40 0
r
10 2
Do 2 2 2
r 2 2
- Xét phương trình (2): ta làm tương tự như trên không thỏa đề bài.
Vậy tổng bán kính 2 mặt cầu là 12 2 .
Câu 17( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai
A
điểm 2; 1;1
và B 1;1;3 . Đường thẳng AB nhận vectơ nào dưới đây làm vectơ chỉ
phương?
A. u1 1; 2; 2
. B. u2 3;0;4
. C. u3 1;0;2
. D. u4 1; 2;2
.
Đáp án A.
Đường thẳng AB nhận vectơ AB 1;2;2
làm một vectơ chỉ phương. Do đó đường thẳng
AB nhận vectơ u1 AB
1; 2; 2
làm vectơ chỉ phương.
Phân tích phương án nhiễu.
Phương án B: Sai do HS tìm sai tọa độ của vectơ AB
3;0;4 .

Phương án C: Sai do HS tìm sai tọa độ của vectơ AB 1;0;2 .
Phương án B: Sai do HS tìm sai tọa độ của vectơ AB
1; 2;2 .
Câu 18:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình
chóp có đỉnh S 2;3;5 và đáy là một đa giác nằm trong mặt phẳng P : 2x y 2z
3 0 ,
có diện tích bằng 12. Tính thể tích của khối chóp đó.
A. 4. B. 24. C. 8. D. 72.
Đáp án C.
Chiều cao của khối chóp có độ dài bằng d S, P 2 .
1
Suy ra thể tích khối chóp đã cho là V .12.2 8 .
3
Phân tích phương án nhiễu.
Phương án A: Sai do HS tính sai độ dài chiều cao của hình chóp. Cụ thể:
1
Suy ra thể tích khối chóp bằng V .12.1 4
3
2.2 3 2.5 3
h d S, P 1
2
2 2
2 1 2
Phương án B: Sai do HS tính đúng độ dài chiều cao nhưng thiếu
tích của khối chóp.
Phương án D: Sai do HS tính sai độ dài chiều cao của hình chóp và thiếu
tính thể tích của khối chóp.Cụ thể:
h 2.2 3 2.5 3
d S , P 6 và V S .
2 2 2
2 1 2
. h 72
1
3
trong công thức tính thể
1
3
trong công thức
Câu 19:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai
1 2
điểm A2;1; 3 , B 1;0; 1
và đường thẳng d :
x
y
z . Đường thẳng vuông góc
2 1 1
với cả hai đường thẳng AB và d thì có vectơ chỉ phương là vectơ nào trong các vectơ dưới
đây?
A. u1 1; 5;3
. B. u2 1;5;3
. C. u3 4;2;3
. D. u4 3;11;5
.
Đáp án B.
Ta có 1; 1;2
và đường thẳng
có vectơ chỉ phương là u
AB
d
2; 1;1 .

Ta có ,
AB u
1;5;3
là một vectơ chỉ phương của đường thẳng .
Phân tích phương án nhiễu.
Phương án A: Sai do HS tính sai
,
AB u
1; 5;3
công thức tính tích có hướng của hai vectơ.
do sắp xếp sai thứ tự trong
Phương án C: Sai do HS xác định sai vectơ chỉ phương của d nên tính sai tọa độ vectơ chỉ
phương của . Cụ thể : u 1;2;0
là một vectơ chỉ phương của d. Suy ra nhận vectơ
,
AB u
4;2;3
làm một vectơ chỉ phương.
Phương án D: Sai do HS xác định sai tọa độ của vecto AB 3;1; 4
nên tính sai tọa độ
vectơ chỉ phương của . Cụ thể nhận vecto ,
AB u
3;11;5
làm một vectơ chỉ
phương.
Câu 20:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt
: 2 2 3 0
phẳng và ba điểm A 0;1;2 , B 2; 2;1 , C 2;0;1
. Biết rằng tồn tại
P x y z
M a b c
điểm ; ; thuộc mặt phẳng P và cách đều ba điểm A,B,C. Tính giá trị của biểu thức
3 3 3
T a b c
.
A. T 308. B. T 378. C. T 308.
D. T 27.
Đáp án C
Ta có M ( P) 2a 2b c 3 0
1 2 2 2 1
2
2 2 2 2 2
a b c a b c
MA MB MC
a b c a b c
1 2 2 1
2 2 2 2 2
2
2a 3b c 2
2a b c 0
.
Do đó có hệ phương trình
2a 2b c 3 a
2
2a 3b c 2 b
3
2a b c 0
c
7
. Suy ra
T 308.
Phân tích phương án nhiễu
Phương án A: Sai do HS giải sai nghiệm của hệ phương trình a 2, b 3, c 7.
3 3 3
Phương án B: Sai do HS tính sai giá trị của T 2 3 7 378 .
Phương án D: Sai do HS biến đổi sai dẫn đến hệ phương trình

2a 2b c 3
2 2
a 2b 2 a; b; c
; ;3 .
3 3
a
b 0
Suy ra T = 27.
Câu 21:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam
giác ABC có
2;3;1 , 1;2;0 , 1;1; 2
A B C
ABC và vuông góc với mặt phẳng
ABC
. Đường thẳng d đi qua trực tâm của tam giác
có phương trình là
A. x 1 5 4
y
z .
B.
x 2
y 13
z 9 .
1 8 5
1 8 5
C. x 1 11 6
y
z .
D.
x 3
y 21
z 14
.
1 8 5
1 8 5
Đáp án B.
Ta có AB 3; 1; 1 , AC 1; 2; 3
AB, AC
1; 8;5 .
Suy ra (ABC) có phương trình là x 8y 5z
17 0.
nên mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến là
Gọi H(x;y;z) là trực tâm của tam giác ABC. Ta có:
CH x 1; y1; z 2 ; BH x 1; y
2; z .
Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên
BH AC BH. AC 0 x 2y 3z
3
2 29 1
CH AB CH. AB 0 3x y z 2 x; y; z
; ; .
15 15 3
H ABC
H ABC
x 8y 5z
17
Suy ra
2 29 1
H
; ;
.
15 15 3
Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên nhận
vectơ chỉ phương. Suy ra phương trình đường thẳng d là
AB, AC
1; 8;5
2 29 1
x y z
15 15 3 .
1 8 5
Dễ thấy điểm M(2; 13;9) thuộc đường thẳng d nên phương án đúng là B.
Phân tích phương án nhiễu.
Phương án A, C và D: Sai do HS tìm tọa độ trực tâm H thiếu điều kiện H ABC
kiểm tra hai điều kiện BH AC; CH AB.
làm một
và chỉ

Câu 22:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
59 32 2
; ;
9 9 9
M
2 2 2
và mặt cầu S có phương trình x y z 2x 4y 6z
11 0 . Từ
điểm M kẻ các tiếp tuyến , , đến mặt cầu S , trong đó A,B,C là các tiếp điểm.
MA MB MC
Mặt phẳng ABC có phương trình px qy z r 0 . Giá trị của biểu thức p q r
A. 4 . B. 4. C. 1. D. 36.
Đáp án B.
Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và bán kính R = 5.
50 50 25 25
Ta có IM ; ; IM .
9 9 9
3
Do đó
2 2 20
MA MB MC IM R .
3
Suy ra tọa độ của A, B, C thỏa mãn phương trình
2 2 2
59 32 2 400
x
9
y 9
z 9
9
2 2 2 118 64 4 101
x y z x y z 0.
9 9 9 9
Do vậy tọa độ của A, B, C thỏa mãn hệ phương trình
2 2 2 118 64 4 101
x y z x y z 0
9 9 9 9
2 2 2
x y z 2x 4y 6z
11 0
2x 2y z 4 0
.
2 2 2
x y z 2x 4y 6z11 0
Như vậy tọa độ của A, B, C thỏa mãn phương trình
(ABC) có phương trình là 2x 2y z 4 0.
Suy ra p 2; q 2; r 4. Vậy q p r 4.
2x 2y z 4 0
nên mặt phẳng
Phân tích phương án nhiễu.
Phương án A: Sai do HS viết được phương trình
p 2; q 2; r 4.
Phương án C: Sai do HS xác định p 2; q 2; r 1.
2x 2y z 4 0
nên suy ra
Phương án D: Sai do HS xác định sai hình chiếu vuông góc H của M trên mặt phẳng (ABC).
2
R 91 64 14
Cụ thể H được xác định dựa vào hệ thức vectơ IH IM nên H ; ; .
IM
9 9 9
Do đó viết được phương trình mặt phẳng (ABC) là 2x 2y z 36 0.

Suy ra p 2; q 2; r 36.
Câu 23:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho tam giác ABC có A 1;2 , B 5;4 , C 3; 2
.
Gọi ', ', ' lần lượt là ảnh của A, B, C qua phép vị tự tâm I 1;5 , tỉ số k 3. Bán kính
A B C
đường tròn ngoại tiếp tam giác
A' B ' C '
bằng
A. 3 10 . B. 6 10 . C. 2 5 . D. 3 5 .
Đáp án A.
Gọi K a;
b là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC
.
Ta có:
1 2 ; 5 4
2 2 2 2
2 2
AK a b BK a b
3 2
2
CK a 2 b
2
.
và
Từ
AK BK CK
2 2 2
, ta có
a 1 b 2 a 5 b
4
a 1 b 2 a 3 b
2
2 2 2 2
2 2 2 2
2a 4b 5 10a 8b 41 2a b 9 a
4
K
2a 4b 5 6a 4b 13 a 2b 2 b
1
4;1 .
2 2
Bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC là R AK 4 1 1 2 10 .
Gọi K ' là tâm đường tròn ngoại tiếp A' B ' C ', do V ABC A' B ' C ' nên
1, 3
V K K ' IK ' 3IK
. Mà V .
1, 3 1; 3 A
A' IA' 3.
IA
Suy ra ' ' 3 ' ' 3.
IA IK IA IK K A KA . Bán kính đường tròn ngoại tiếp A' B ' C '
là R ' K ' A' 3KA 3R
3 10 .
.
Câu 24:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian tọa độ
và v 3; 1;2
. Khi đó u.
v bằng
A. 10. B. 2. C. 3. D. 4.
Đáp án D.
Ta có u. v 1 . 3 3. 1 2.2 4 .
Oxyz , cho u 1;3;2
Câu 25:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho
x 1 y 2 z
đường thẳng d : . Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng d?
1 1 3
Q
N
P
A. 1;0;2 . B. 1; 2;0 . C. 1; 1;3 . D. M 1;2;0 .
Đáp án D.

Câu 26:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong khôn gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt
cầu
2 2
S : x y 4 z 5
. Tìm tọa độ điểm A thuộc trục Oy, biết rằng ba mặt phẳng
phân biệt qua A có các vec-tơ pháp tuyến lần lượt là các vec-tơ đơn vị của các trục tọa độ cắt
mặt cầu theo thiết diện là ba hình tròn có tổng diện tích là 11
A
0;2;0
A
0;0;0
A
0;0;0
A
0;2;0
A. . B. . C. . D. .
A0;6;0
A0;8;0
A0;6;0
A0;8;0
Đáp án A.
S
Mặt cầu có tâm O 0;4;0 và bán kính 5 .Điểm AOy A 0; b;0
. Khi đó ba
R
mặt phẳng theo giả thiết đi qua A và có phương trình tổng quát lần lượt là
: x 0,
: y b 0
1 2
và 3 : z 0 .
1 2 3
Nhận thấy d I; d I; d I; 0 nên mặt cầu S cắt các mặt phẳng
, theo giao tuyến là đường tròn lớn có tâm I, bán kính R 5 . Tổng diện tích của
1 3
2
hai hình tròn đó là S1 S3 2
R 10
.
S
2
Suy ra mặt cầu cắt theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích là
S3 S3 11 S1 S2
11 10 . Bán kính đường tròn này là r 1.
2 2
b
2 A
0;2;0
d I; 3
R r 2 4 b . Vậy .
b
6 A0;6;0
Câu 27:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng
P : ax by cz d 0, a 2 b 2 c
2 0 đi qua điểm B 1;0;2 , C 1; 1;0
và cách
A
2;5;3
một khoảng lớn nhất. Khi đó giá trị của biểu thức
a c
M b d
3
2
3
A. M 1. B. M . C. M . D. M .
4
7
2
Đáp án C.
x 1
2t
Ta có BC 2; 1; 2
nên phương trình đường thẳng BC là y t t
.
z
2 2t
Gọi I là hình chiếu vuông góc của A trên BC, H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng
P
P
. Khi đó AH d A;
P AI và AH đạt giá trị lớn nhất khi H I . Suy ra mặt phẳng
qua I và vuông góc với AI.
là

Từ I BC I 1 2 t; t;2 2t
AI 1 2 t; t 5; 1
2t
.
Lại
và
có
AI BC AI. BC 0 21 2t t 5 21 2t 0 t 1.
Mặt phẳng đi qua 3;1;4 và nhận VTPT là AI 1; 4;1
nên có phương trình tổng
P
I
quát là: x 4y z 3 0 .
11 2
Vậy a 1, b 4, c 1, d 3
M .
4 3 7
Câu 28:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian tọa độ
P : x z 1 0. Vectơ nào sau đây không là vectơ pháp tuyến của
P
A. n 1;0;1 B. n 1;0; 1
C. n 1; 1;1
D. n
Oxyz , cho
2;0; 2
Đáp án C.
Mặt phẳng P : x z 1 0 có VTPT là n 1;0; 1
không cùng phương với vec-tơ
P
n 1; 1;1 .
Câu 29:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz , cho đường
x
t
thẳng d : y
1 và 2 mặt phẳng P
, Q
lần lượt có phương trình
z
t
x 2y 2z 3 0; x 2y 2z
7 0 . Viết phương trình mặt cầu S có tâm I thuộc đường
P
thẳng d, tiếp xúc với hai mặt phẳng và Q .
x 3 y 1 z 3
2 2 2 4
A. x 3 y 1 z 3
B.
9
C. x 3 y 1 z 3
D.
9
2 2 2 4
9
x 3 y 1 z 3
Đáp án B.
2 2 2 4
2 2 2 4
9
S
P
Ta có I d I t; 1; t . Do mặt cầu tiếp xúc với hai mặt phẳng và Q nên ta
; ;
d I P d I Q
có

t 2 2t 3 t 2 2t
7
1 t 5 t t 3 I 3; 1; 3 .
3 3
2
Mặt cầu S có bán kính là R d I;
P
. Vậy phương trình mặt cầu S
là
3
x y z
2 2 2 4
3 1 3 .
9
Câu 30:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Viết
P
phương trình mặt phẳng đi qua điểm M 1;2;3 và cắt trục Ox , Oy , Oz lần lượt tại ba
điểm A, B,
C khác với gốc tọa độ O sao cho biểu thức 1
1
1 có đạt giá trị nhỏ
2 2 2
OA OB OC
nhất
: 2 3 14 0
P : x 2y 3z
11 0
A. P x y z
B.
: 2 14 0
P : x y 3z
14 0
C. P x y z
D.
Đáp án D.
Xét tứ diện vuông OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc nên hình chiếu của O lên mặt
phẳng ABC
chính là trực tâm H của tam giác ABC và d O;
ABC
h
1 1 1 1
Ta có , nên có giá trị nhỏ nhất khi
2 2 2 2
h OA OB 1 1 1
OC OA 2 OB 2 OC
2
lớn nhất.
d O;
ABC
Mặt khác d O; ABC OM , M P . Dấu " " xảy ra khi H M hay mặt phẳng
đi qua 1;2;3 và có vectơ pháp tuyến là OM 1;2;3 .
M
P :1 x 1 2 y 2 3 z 3 0 x 2y 3z
14 0.
Vậy
P
Câu 31:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba
A
B C
2 2 2
điểm 0;1;1 , 3;0; 1 , 0;21; 19 và hai mặt cầu S : x 1 y 1 z 1 1.
M a, b,
c
2 2 2
là điểm thuộc mặt cầu S sao cho biểu thức T 3MA 2MB MC đạt giá trị
nhỏ nhất. Tính tổng a b c
14
12
A. a b c B. a b c 0 C. a b c D. a b c 12
5
5
Đáp án A.
S
Mặt cầu có tâm I 1;1;1 và bán kính R 1. Gọi E là điểm thỏa mãn hệ thức
3EA 2EB EC 0 E 1;4; 3 .
2 2 2
2 2 2
Ta có T 3MA 2MB MC 3ME EA 2ME EB ME EC

ME EA EB EC ME EA EB EC
2 2 2 2
6 3 2 2 3 2
T 6ME 3EA 2EB EC
2 2 2 2
. Do EA, EB, EC không đổi nên T nhỏ nhất khi ME nhở
nhất M là một trong hai giao điểm của đường thẳng IE và mặt cầu S .
x
1
Ta có IE 0;3; 4
Phương trình IE : y 1 3t t
. Giao điểm của IE và mặt cầu
z
1 4t
S
thỏa mãn phương trình:
8 1
M1
1; ;
2 2 2 2 1 5 5
11 1 3t 1 1 4t 1 1 25t 1
t
5 2 9
M
2 1; ;
5 5
8 1 2 9
Ta có M1 1; ; M1E
4 và M
2 1; ; M
2E
6 . Vậy M1E
M
2E
và biểu thức
5 5
5 5
T 3MA 2MB MC
2 2 2
8 1
đạt giá trị nhỏ nhất khi M
1; ;
5 5
8 1 14
a 1, b , c a b c .
5 5 5
Câu 32:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
a ( 3;5;2)
, b (0; 1;3)
, c (1; 1;1)
thì tọa độ v 2a 3b 15c
là:
A. v (9;2;10) .
B. v (9; 2;10)
.
C. v ( 9;2;10)
.
D. v (9; 1;10)
.
Đáp án B.
Câu 33:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho
A(3; 1; 3) , B( 3;0; 1) , C( 1; 3;1) và mặt phẳng ( P) : 2x 4y 3z
19 0 . Tọa độ
M ( a, b, c)
thuộc (P) sao cho MA 2MB 5MC
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó a b c bằng:
A. 4. B. 5. C. 6. D. 7.
Đáp án C.
Gọi
I x; y;
z
I ( 1; 2;0)
3 2.( 3) 5.( 1)
x 1
8
1 2.0 5.( 3)
thỏa mãn IA 2IB 5IC 0 y
2
8
3 2.( 1) 5.1
z
0
8

Ta có MA 2MB 5MC MI IA 2MI 2IB 5MI 5IC
8MI IA 2IB 5IC 8MI
MA 2MB 5MC
min 8 MI
min M là hình chiếu của I lên (P)
Gọi là đường thẳng đi qua I 1;2;0
và vuông góc với
(P) : 2 x 4 y 3z19 0 có vectơ chỉ phương là 2;4;3
Thế vào (P) 2( 1 2 t) 4( 2 4 t) 3(3t) 19 t 1
x
1
2t
: y
2 4t
z
3t
x
1
y 2 M 1;2;3 a b c 6
z
3
Câu 34:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
2 2 2
( a) : 2x 2y z 14 0 , mặt cầu ( S) : x y z 2x 4y 6z
11 0 . Mặt phẳng (P)//(a)
cắt (S) theo thiết diện là một hình tròn có diện tích 16 . Khi đó phương trình mặt phẳng (P)
là:
A. 2x 2y z 14 0 . B. 2x 2y z 4 0 .
C. 2x 2y z 16 0 . D. 2x 2y z 4 0 .
Đáp án D.
(P )//( ) ( P) : 2x 2y z c 0 (c 14)
(S) có tâ,
I(1;2;3)
, bán kính R 5
Hình tròn thiết diện (C) có
Gọi H là hình chiếu của I lên (P)
IH d R r
2 2
( I ;( P)) 3
S 16
Bán kính r 4
H là tâm của (C)
2.1 2.2 3 c
c
14 (1)
3 c 5 9 ( P) : 2x 2y z 4 0
2 2 2
2 2 1
c
4
Câu 35:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường
x 1 3 y
thẳng d : z 1
. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình
2 1
tham số của đường thẳng d?

x
1
2t
x
1
2t
x
1
2t
A. y
3 t
B. y 3 t C. D.
y
3 t
z
1
z
1 t
z
1 t
x
1
2t
y
2 t
z
2 t
Đáp án D.
Chọn 1 Đường thẳng d đi qua điểm 1;2; 2
và có vecto chỉ phương u
t
2;1;1
Câu 36:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 4 điểm
A6;0;0 , B 0;6;0 , C 2;1;0
và D4;3; 2
. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng đi qua hai điểm
A, B và cách đều hai điểm C, D.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Đáp án B.
Kiểm tra ta được 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng nên tạo nên tứ diện.
- Một mặt phẳng đi qua A, B và song song với CD.
- Một mặt phẳng đi qua A, B và trung điểm CD.
Câu 37:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường
x 2 y 2 z
thẳng : và mặt phẳng P : x 2y 3z
4 0 . Đường thẳng d nằm trong
1 1 1
P
sao cho d cắt và vuông góc với
có phương trình là:
A. x 3 y 1 z 1
B.
1 1 2
C. x 3 y 1 z 1
D.
1 1 2
Đáp án D.
Đường thẳng có vecto chỉ phương u
1;1; 1
.
Một mặt phẳng có vecto pháp tuyến n 1;2;3
Gọi I
P
P
, tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình:
P
x 1 y 3 z 1
1 2 1
x 3 y 1 z 1
1 2 1
x 2 y 2 z
1 1 1
I
x 2y 3z
4 0
Do
d P
I d
d
3;1;1
d P
và
d

Đường thẳng d có một vecto chỉ phương ud
u, n
P
1;2;1
x 3 y 1 z 1
Vậy d : .
1 2 1
Câu 38:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt
: 2 4 5 2 0
phẳng x y z , : x 2y 2z
1 0 và : 4x my z n 0 . Để ba
mặt phẳng đó có chung giao tuyến thì tổng
m n
bằng
A. −4 B. 8 C. −8 D. 4
Đáp án A.
Nhìn vào phương trình , để tính m n ta cần có y 1.
Cho
: 2x 5z 2 0 x
1
y 1
: x 2z
1 0 z
0
Thay vào , ta được m n 4
.
Câu 39:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 4 điểm
A3;0;0 , B 0;2;0 , C 0;0;6 , D1;1;1
. Kí hiệu d là đường thẳng đi qua D sao cho tổng
khoảng cách từ các điểm A, B, C đến d là lớn nhất. Hỏi đường thẳng d đi qua điểm nào dưới
đây?
Q
M
N
A. 1; 2;1 B. 5;7;3
C. P 3;4;3
D.
7;13;5
Đáp án B.
Ta thấy D ABC : 2x 3y z 6 0
Ta có:
d A,
d AD
d B, d BD d A, d d B, d d C,
d AD BD CD
d C,
d CD
Dấu “=” xảy ra khi
x
1
2t
d ABC
tại điểm D d : y 1 3t N 5;7;3
d
z z t
Câu 40:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hai vectơ
u m v m
3; ;0 , 1;7 2 ;0
lượt là hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng song song khi đó giá trị của m là:
A. 2. B. 1. C. 0. D. 3.
Đáp án D.
lần

Thỏa mãn đề bài suy ra hai vectơ u
và v
phải cùng phương
3 m
21 6m m 7m 21 m 3
1 7 2m
Câu 41:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường
x y 1 z 1
thẳng : ?
2 3 1
A. u1 2;3; 1 .
B. u2 0;1; 1 .
C. u3 0; 1;1 .
D. u4 2;3; 1 .
Đáp án A.
Câu 42:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz , cho đường
x 2 y 2 z
thẳng : và mặt phẳng P : x 2y 3z
4 0. Đường thẳng d nằm trong
1 1 1
mặt phẳng P sao cho d cắt và vuông góc với thì d có phương trình là:
A. x 3 y 1 z 1 .
B.
1 1 2
C. x 3 y 1 z 1 .
D.
1 1 2
Đáp án D.
x 1 y 3 z 1 .
1 2 2
x 3 y 1 z 1 .
1 2 1
I P
thì I 3;1;1
Gọi u a; b;
c là vectơ chỉ phương của đường thẳng d . Ta có:
d P
u n p
3 at 21 bt 31 ct 4 0t
d u n
a b c 0
a 2b 3c 0 a c
u c;2 c;
c
a b c 0 b 2c
Phương trình
x 3 y 1 z 1
d :
1 2 1
hay u 1;2;1
Câu 43:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz , cho đường
x 1 y z 2
thẳng : và mặt phẳng P : x 2y z 0. Gọi C là giao điểm của và
2 1 1
P
, M là điểm thuộc . Tính khoảng cách từ M đến P , biết MC 6.
1
A. d M , P
6. B. d M , P
. C. ,
3. D.
6
Đáp án B.
1
d M , P .
3
d M P

x
1
2t
Phương trình : y
t . Tọa độ điểm C P
là C 1; 1; 1
z
2 t
2 2 2
Lấy điểm M t t t MC t t t
1 2 ; ; 2 6 2 2 1 1 6
1
t 0 M 1;0; 2 d M ; P
6
1
t 2 M 3; 2;0 d M ; P
6
Câu 44:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ
A B b C c
b c
Oxyz , cho các
điểm 1;0;0 , 0; ;0 , 0;0; . 0 , mặt phẳng P có phương trình: y z 1 0.
ABC
Biết mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng P và khoảng cách từ gốc O đến mặt
1
phẳng ABC
bằng . Tính
3
b c.
1
A. .
B. 2. C. 1. D.
2
Đáp án C.
Mặt phẳng
x y z
và
1
b
c
ABC P
ABC : 1
1 1
0 b c ABC
: bx y z b 0
b
c
1 b 1 1 1
d O; ABC b b 0
b c b c 1
3
2
b 2 3 2 2
Câu 45:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
A 1;0;2 , B 0; 1;1 , C 2; 1;0
. Điểm M thỏa mãn 3MA 4MB MC 0 thì điểm M có tọa
độ là:
5 1 5
A. M ; ;
5 1 5
B. M ; ;
5 1 5
C. M
; ;
D.
6 2 3
6 2 3
6 2 3
5 1 5
M
; ;
6 2 3
Đáp án B.
3 .
2

Gọi
3. 1 4.0 2 1
x
5
3 4 1
x
6
3.0 4. 1 1. 1
1 5 1 5
M x; y; z y y M ; ;
3 4 1 2 6 2 3
3.2 4.11.0
5
z
z
3 4 1
3
Câu 46:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
x
1
t
d1
: y
3
z
2 2t
đường thẳng và d .
x 3 y 1 z 4
và d2
: . Viết phương trình mặt phẳng P
cách đều hai
1 2 3
d1
2
: 2 2 1 0
P : 4x 5y 2z
11 0
A. P x y z
B.
:3 2 2 0
P :3x 2y z 6 0
C. P x y z
D.
Đáp án B.
Đường thẳng d1
có vecto chỉ phương u1 1;0; 2
và M
Đường thẳng d2
có vecto chỉ phương u2 1; 2;3
và N
I 1; 1; 1 ; u u 4; 5; 2
Trung điểm MN là
1 2
1; 3;2 d1
3;1; 4
d2
Mặt phẳng P cách đều 2 đường thẳng
1,
2
khi qua I 1; 1; 1
và có vecto pháp
tuyến n n1 u2
d d P
P : 4 x 1 5 y 1 2z z 1 0 4x 5y 2z
11 0
Câu 47:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt
: 2 2 3 0
phẳng P x y z và mặt cầu S : x 1 2 y 3 2 z
2 9 và đường thẳng
x y 2 z 1
d : . Cho các phát biểu sau đây:
2 1 2
I. Đường thẳng d cắt mặt cầu S tại 2 điểm phân biệt.
II. Mặt phẳng
P
tiếp xúc với mặt cầu S

P
III. Mặt phẳng và mặt cầu S không có điểm chung
IV. Đường thẳng d cắt mặt phẳng
Số phát biểu đúng là:
P
tại 1 điểm
A. 4 B. 1 C. 2 D. 3
Đáp án D.
S
Mặt cầu có tâm I 1; 3;0
và bán kính R 3
2 6 3 11
d
nên B sai.
,
R
I P 2 2
2 2 1
3
Đường thẳng d có vecto chỉ phương u 2;1;2
và
M
0; 2; 1
d
2 2
u, IM
3 0 2 1
10
IM 1;1; 1 dI ; d
R
2
u
2 2
2 1 2 3
d cắt S
tại hai điểm phân biệt.
Vecto chỉ phương của là n 2; 2;1
ku d cắt
Vậy I, III, IV đúng.
P
Câu 48:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
M 8;1;1
2 2 2
OA OB OC
. Mặt phẳng P qua M cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C thỏa mãn
đạt giá trị nhỏ nhất có dạng là P ax by cz . Khi đó a b c là:
: 12 0
A. 9 B. −9 C. 11 D. −11
Đáp án A.
Giả sử
P cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại a, b, c 0
P
x y z
8 1 1
P : 1
qua M 8;1;1 1
a b c
a b c
2 2 2 2 2 2 8 1 1
OA OB OC a b c 2x
2x
a b c
8x 8x x x x x
2 3 3
a b c 3 8x 3 x 3 x
a a b b c c
2 2 2 3
2 2
(Cô – si) (*)

2 8x
a
a
3
a 2 x
3
6
2 x
x
3
b
b x
b
a
12
Dấu “=” xảy ra khi 3
c x
2 x
b 6
c
c 4 1 1
1
c
6
3 3 3
8 1 1
x x x
0
a b c
x y z
12 6 6
P : 1 x 2y 2z
12 0
Bạn có thể thế x vào (*) để tìm min.
Câu 49:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt
: 3 3 6 0
2 2 2
phẳng P x y z và mặt cầu S : x 4 y 5 z 2 25. Mặt phẳng
P
cắt mặt cầu S
theo giao tuyến là một đường tròn. Đường tròn giao tuyến này có bán
kính r bằng:
A. r 6.
B. r 5.
C. r 6.
D. r 5.
Đáp án C
S
Mặt cầu có tâm I 4; 5; 2
, bán kính R 5
Ta có d I P
3.4 5 3. 2 6
;
19
2
2 2
3 1 3
2 2
Bán kính đường tròn giao tuyến là: r R d I P
; 25 19 6
Câu 50:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai
điểm A 2;1; 1 , B 0;3;1 và mặt phẳng P : x y z 3 0 . Tìm tọa độ điểm M thuộc
P sao cho 2MA MB có giá trị nhỏ nhất.
M M M
M
A. 4; 1;0 . B. 1; 4;0 . C. 4;1;0 . D.
Đáp án D
Gọi I a; b;
c
là điểm thỏa mãn 2IA
IB 0 , suy ra I 4; 1; 3
.
Ta có 2MA MB 2MI 2IA MI IB MI 2 MA MB MI MI.
Do đó 2MA MB nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu của I trên
P
1; 4;0 .
Đường thẳng đi qua I và vuông góc với
P
là
x 4 y 1 z 3
d :
1 1 1

Tọa độ hình chiếu M của I trên
x 4 y 1 z 3
P
thảo mãn: 1 1 1
M 1; 4;0
x y z 3 0
Câu 51:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường
x
1
2t
thẳng d có phương trình y
t và điểm A1;2;3
. Mặt phẳng chứa
z
1 t
lớn nhất. Khi đó tạo độ vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
A. B. 1; 1;1 . C. D.
P
là:
P d A;
P
1;2;3 .
1;1;1 .
Đáp án C
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên
lớn nhất bằng AH
Khi đó mặt phẳng P
nhận
AH làm vectơ pháp tuyến.
H d H 1 2 t; t;1 t AH 2 2 t; t 2; t 2
Vì
0;1;1 .
d d A;
P
AH (không đổi) d A;
P
AH ud
2;1;1 6t 0 t 0 H 1;0;1 AH 2;2;2
Vectơ pháp tuyến của P
cùng phương với
AH nên n 1;1;1
Câu 52:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để khoảng
cách từ điểm A 1;2;3
đến mặt phẳng P : 2x y 3z m 0 bằng 14 .
A. m 23, m 5.
B. m 5.
C. m 23.
D. m 23, m 5.
Đáp án A
p
2. 1 2 3.3
m
d A; P
14 14
4 1
9
m
9 14 m
23
m 9 14
m 9 14
m
5
Câu 53:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Mặt cầu
C 0;1;2 , D1;0; 1
có bán kính r là:
S
có tâm thuộc trục Oz và đi qua điểm
13 13 13
A. .
B. .
C. .
D.
2
4
4
Đáp án D
13 .
2

Gọi I 0;0; zOz IC ID 1 z 2 2 1 z 1
2
2 2 1 1
z 4z 5 z 2z 2 6z 3 z I 0;0;
2 2
1 9 13
r IC 1 2
1
2 4 2
2
Câu 54:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt
cầu (S) có phương trình:
Xác định tâm I và bán kính mặt cầu.
2 2 2
x y z x y z
2 4 6 2 0
I R I
A. 1;2;3 , 4. B. I 1; 2;3 , R 4. C. I 2; 4;6 , R 16. D.
Đáp án B.
2;4;6 , R 16.
2 2 2
x y z 2x 4y 6z 2 0 x 1 y 2 z 3 1 4 9 2 16
Câu 55:(
I 1; 2;3 , R 4.
2 2 2
GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;0;1),
B(1;2;3) và mặt phẳng (Q) có phương trình: x y z 0. Viết phương trình mặt phẳng (P).
A. 4x 3y z 1 0. B. 4x 3y z 1 0. C. 3y
z 1 0. D. 4x
3y
2 0.
Đáp án A.
Vectơ pháp tuyến
Nên
nP
AB, n
Q
4;3; 1
n
AB
1;2;2
P
vuông góc với hai vectơ
n 1;1; 1
qua A
Phương trình mặt phẳng (P) là:
4 x 0 3 y 0 1 z 1 0 4x 3y z 1 0.
Q
Câu 56:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm
A(0;1;3), B(–1;2;1), C(3; –1; –2). Điểm M nào dưới đây nằm trên cạnh BC để diện tích tam
giác AMB gấp đôi diện tích tam giác AMC?

A. M 6;0; 3 .
B. M 5
5 4
;0;1 . C. ; ; 1 . D.
3
M
5
;0; 1 .
3 3
M
3
Đáp án D.
Gọi M(x;y;z) thỏa mãn đề bài MB 2MC
MB 1 x;2 y;1 z ; MC 3 x; 1 y; 2
z
Có
1 x 2 3 x
Thỏa mãn MB 2MC 2 y 21
y
1 z 2
2 z
5
x
3x
5 3
5
y 0 y 0 M ;0; 1 .
3
3z
3
z 1
Câu 57:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường
x
1
thẳng d1
: y 2 t và đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng
2
z
2 t
: 2 2 0
d P : x y z 1 0
và Q x y z . Vị trí tương đối của hai đường thẳng d1,
d2
là:
A. song song B. cắt nhau. C. chéo nhau. D. trùng nhau.
Đáp án C.
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d 1 là u
1 0;1; 1
.
nP
1;1;1
Vectơ pháp tuyến của (P) và (Q) là
nQ
1; 2;1
Vectơ chỉ phương của d 2 là u2 nP, n
Q
3;0; 3
Ta thấy u 1
và u
2
không cùng phương, vậy d 1 và d 2 cắt nhau hoặc chéo nhau. Mặt khác thay x,
y, z của đường thẳng d 1 vào phương trình mặt phẳng (P) và (Q) giải thấy vô nghiệm d 1
và
không có điểm chung.
d 2
Vậy d 1 và d 2 chéo nhau
Câu 58:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm
A(1;2; –3), B(–1;1;2), C(0;–3;–5). Xác định điểm M trên mặt phẳng Oxy sao cho:
MA MB MC đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất đó là:

A. 0. B. 5.
C. 5. D. 6.
Đáp án D.
Gọi G là trọng tâm ABC
, ta có: G 0;0; 2 .
MA MB MC 3MG 3MG
nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của G trên (Oxy).
M 0;0;0 MG 2 3MG
6.
Câu 59:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
H(2; –1;2) là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O xuống mặt phẳng (P). Số đo góc giữa
mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) có phương trình – y + z = 0 là:
A. 90 0 . B. 60 0 . C. 45 0 . D. 30 0 .
Đáp án C.
nP
OH 2; 1;2 , nQ
0; 1;1
nP. nQ
3 1
0
cos
45 .
n . n 3 2 2
P
Q
Câu 60:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
M
1;2;3
. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng Oxy.
1;2;0 . 0;1;2 . 1;0;3 .
A. B. C. D.
Đáp án A.
0;0;3 .
Nếu M ' là hình chiếu vuông góc của M lên mp Oxy thì cao độ của điểm M ' bằng 0.
Câu 61:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường
x 2 y 1 z 2
thẳng d : và mặt phẳng : x 2y 2z
3 0 . Tìm tọa độ giao điểm M
1 1 2
của d và .
13 10 8
13 10 8
A. ; ; . B. 1; 1;2
. C. 2;1;2 .
D. ; ; .
3 3 3
3 3 3
Đáp án D.
Gọi
M d
x 2 y 1 z 2
khi đó tọa độ của M là nghiệm của hệ: 1 1 2
x
2y 2z
3 0

x 2 y 1
13
x
1 1
1 0
3
x
y
x 2 z 2 10
2x z 6
y
.
1 2 3
x 2y 2z
3
x 2y 2z
3 0
8
z
3
Vậy M
13 ; 10 ;
8
.
3 3 3
Câu 62:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ
2 2 2
Oxyz , cho mặt
cầu S : x y z 2x 4y 4z
16 0 và mặt phẳng P : 2x 2y z 3 0 . Phương
P
trình mặt phẳng song song với sao cho giao với S tạo thành đường tròn có
diện tích 16 là:
.
2x 2y z 1 0
A.
. B.
2x 2y z 3 0
2x 2y z 5 0
.
2x 2y z 13 0
2x 2y z 5 0
2x 2y z 5 0
C.
. D. .
2x 2y z 3 0
2x 2y z 13 0
Đáp án B.
S
Mặt cầu có tâm I 1;2; 2 , R 5.
Mặt phẳng song song với mặt phẳng P .
Nên : 2x 2y z D 0 D 3 đường tròn tạo bởi và S bán kính r thỏa mãn
r
2
16
r 4 .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên .
2 2
Khi đó ta có: d I; IH R r 3.
2 4 2 D
D
5
Mà d I;
3 D 4 9 .
4 4 1
D
13
2x 2y z 5 0
Vậy
:
.
2x
2y z 13 0

Câu 63:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt
x 2 y 1 z 1
phẳng P
có phương trình x y z 1 0 và đường thẳng d : . Khi đó
1 1 3
đường thẳng nằm trong P vuông góc với đường thăng d có vectơ chỉ phương là:
A. u
1;2;4 . B. u
1; 1;3
. C. u
2; 1;1
. D. u
0;3;3 .
Đáp án C.
Mặt phẳng
có VTPT n 1;1; 1
. Đường thẳng d có VTCP là ud
1; 1; 3
.
P
Vì P
và vuông góc với d nên có VTCP u
n; n
4;2; 2
hay u
.
2; 1;1
Câu 64:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
x 1
2t
thẳng d : y t cách A1;2;5
một khoảng lớn nhất có tọa độ là:
z
2 t
10;17;37
9;14;4
A. B. 9; 14;4 C. 10; 17;37 D.
Đáp án A.
chứa đường
Gọi , lần lượt là hình chiếu của A trên và d ta có
H K
;
;
lớn nhất bằng AK.
d A AH AK d A
Lập phương trình mặt phẳng chưa A và vuông góc với d n
u d
2;1; 1
qua A ta
có phương trình
2 x 1 1 y 2 1 z 5 0 2x y z 1 0 .
k d .
5
Giải phương trình: 21 2t t 2 t
1 0 6t 5 0 t .
6
10 2
x 1
6 3
5 2 5 7
y
; ; .
6 3 6 6
5 7
z
2
6 6

2 5 7 5 17 37 1
AK 1; 2; 5 ; ; 10;17;37
3 6 6 3 6 6 6
Câu 65:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
A1;2;3
. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A trên trục Ox, Oy. Khi đó độ dài đoạn MN là:
A. 14. B. 3. C. 5.
D. 3.
Đáp án C.
Ta có: M 1;0;0 , N 0;2;0 MN 5 .
Câu 66:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết
phương trình mặt phẳng đi qua điểm H 3; 4;1
và cắt các trục tọa độ tại các điểm M,
N, P sao cho H là trực tâm của MNP .
A. 3x 4y z 26 0 . B. 2x y z 1 0.
C. 4x 3y z 1 0.
D. x 2y z 6 0.
Đáp án A.
MN
PH
Ta có MN OPH MN OH .
MN
OP
Tương tự NP OH OH MNP mặt phẳng nhận vecto OH 3; 4;1
làm vecto
pháp tuyến ta có phương trình:
.
3 x 3 4 y 4 1 z 1 0 3x 4y z 26 0.
Câu 67:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
x 1 y 2 z
A1;2;3
và đường thẳng d : . Mặt phẳng P
chứa A và d. Phương trình
2 1 1
mặt cầu tâm O tiếp xúc với mặt phẳng
P
là:

A. 9 2 2 2 .
2 2 2
2 2 2
2 2 2 24
x y z B. x y z 3. C. x y z 6. D. x y z .
5
5
Đáp án A.
nP
ud
2; 1;1
np
ud
, AM 3; 6;0 3 1; 2;0
nP
AM 0;0; 3
3 3
P :1 x 1 2 y 2 0 x 2y 3 0; R d O;
P
1
4 5
Phương trình: x y z .
5
2 2 2 9
.
Câu 68:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt
cầu 2 2
2
x 2 y z 1
S : x 1 y 1 z 2 2 và hai đường thẳng d : ,
1 2 1
x y z 1
: . Phương trình nào dưới đây là phương trình của một mặt phẳng tiếp xúc với
1 1 1
S
, song song với d và ?
A. x y 1 0 . B. x z 1 0. C. y z 3 0 D. x z 1 0.
Đáp án B.
S
Mặt cầu có tâm I 1;1; 2
, bán kính R 2 .
Đường thẳng d có vecto chỉ phương u1 1;2; 1
.
Đường thẳng có vecto chỉ phương u2 1;1; 1
ta có u1; u
2
1;0; 1
.
Gọi P
là mặt phẳng cần tìm ta có nP
u1; u
2
1;0; 1
hay 1;0;1 P
có dạng
x z m 0 .
P
Vì tiếp xúc với mặt cầu S nên
1 2 m m
5
d I; P
R 2
2
m
1
.

x
z 5 0
P
: .
x
z 1 0

Câu 1 (Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian với hệ tọa độ
M 2;3; 2 , N2; 1;4 .
E.
Oxyz cho
Tìm tọa độ điểm E thuộc trục cao sao cho tam giác MNE cân tại
1
1
1
A. 0;0; B. 0;0; C. 0;0; D.
2
3
3
1
0;0;
2
Đáp án C
Gọi
E 0;0;a
theo giả thiết ta có:
2 2 1
EM EN 4 9 a 2 4 1 a 4 12a 4 a .
3
Câu 2: (Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian với hệ tọa độ
u 2;3;0 , v 2; 2;l , tọa độ của véc tơ w u 2v là
Oxyz cho
6;3;0
6;3;0
A. 6;7; 2 B. 6; 8;1
C. D.
Đáp án A
w u 2v 2;3;0 2 2; 2;1 6;7; 2 .
Ta có:
Câu 3 (Đặng Việt Hùng-2018)Trong không gian với hệ tọa độ
u 2;3;0 , v 2; 2;l , độ dài của véc tơ w u 2v là
Oxyz
cho
A. 3 B. 5 C. 2 D. 9
Đáp án A
Ta có: w u 2v 2;3;0 2 2; 2;1 2; 1;2
. Do đó
w 4 1 4 3.
Câu 4: (Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba vec tơ
a 1;m;2 ;b m 1;2;1 ;c 0;m 2;2 . Giá trị của m để a,b,c đồng phẳng là:
2
2
1
A. B.
C. D. 1
5
5
5
Đáp án A

2
Ta có: a;b
m 4;2m 1;2 m m
Để a,b,c đông phẳng thì
2
a;b
c 0 2m 1m 2 22 m m
0
2
3m 2 4 2m 0 m .
5
Câu 5: (Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian với hệ tọa độ
A2;3;0
. Tìm tọa độ điểm B trên trục hoành sao cho AB 5
Oxyz
cho điểm
D
D
D D6;0;0
A. 0;0;0 hoặc 6;0;0
B. 2;0;0 hoặc
D
D
D D6;0;0
C. 0;0;0 hoặc 2;0;0
D. 2;0;0 hoặc
Đáp án B
Gọi
2 2 2 t
6
B t;0;0
ta có: AB t 2 9 25 t
2
16
t
2
Câu 6: (Đặng Việt Hùng-2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai véc tơ
a 3;0;2 , c 1; 1;0 . Tìm tọa độ của véc tơ b
thỏa mãn biểu thức 2b a 4c 0
1 1
1
A. ; 2; 1 B. ;2;1 C. ; 2;1 D.
2 2
2
1
;2; 1
2
Đáp án B
1
a 4c 1;4;2 2b a 4c b ;2;1
2
Ta có
Câu 7: (Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba véc tơ
a 1;1;0 , b 1;1;0 ,c 1;1;1 . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
2
A. cosb,c
B. a.c 1
C. a và b
cùng phương D. a b c 0
6
Đáp án A
Dựa vào đáp án, ta có các nhận xét sau
a
và b
vuông góc với nhau
a 1;1;0 ,c 1;1;1 a.c 1 .11.1 0.1 0

a b c 1;3;1
và cosb,c
2
6
Câu 8 (Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng
P : x 2y 2z 2 0
và mặt cầu tâm I 1;4;1 bán kính R tiếp xúc với P . Bán kính R là:
A. R 7
B. R 3
C. R 1
D. R 9
3
Đáp án B
Mặt cầu tâm I 1;4;1 tiếp xúc với mặt phẳng P nên
x 2y 2z 2
1 1 1
R d I, P 3.
2 2 2
1 2 2
Câu 9 (Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm
A1;3;2 , B3;5; 4 .
Phương trình mặt phẳng trung trực của AB là:
x 3 y 5 z 4
A. x y 3z 9 0 B. x y 3z 2 0 C. D. x y 3z 9 0
1 1 3
Đáp án D
AB 2;2; 6
và I2;4; 1
là trung điểm của AB. Phương trình mặt phẳng trung trực của
AB nhận véc tơ n 1;1; 3
và đi qua điểm I là
1x 2 1y 4 3z 1
0 x y 3z 9 0.
Câu 10: (Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
x 4 y 2 z 1 x 2 y 1 z 1
A1; 1;3
và hai đường thẳng, d
1
: , d
2
: .
1 4 2 1 1 1
phương trình đường thẳng d đi qua A, vuông góc với đường thẳng
x 4 y 1 z 3
A. d :
B.
4 1 4
x 1 y 1 z 3
C. d :
D.
2 1 1
Đáp án C
Gọi
B2 t; 1 t;1 t AB 1 t; t; t 2
d
Cho
AB.u 0 t 1 4t 2t 4 0 t 1 AB 2; 1; 1
x 1 y 1 z 3
d :
2 1 3
x 1 y 1 z 3
d :
2 2 3
Viết
d1
và cắt đường thẳng d
2.
Khi đó
x 1 y 1 z 3
d :
.
2 1 1

Câu 11: (Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian với hệ tọa độ
A1;0;0 , B0;3;0 ,
C0;0;2 ,D1;3; 2 .
là gốc tọa độ )?
Oxyz , cho bốn điểm
Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng cách đều 5 điểm O, A, B, C, D (O
A. 5 mặt phẳng B. 4 mặt phẳng C. Có vô số mặt phẳng D. 7 mặt phẳng
Đáp án A
x y z
Phương trình mặt phẳng ABC
là 1
mà D1;3; 2 DABC .
1 3 2
Và ta thấy rằng AC 1;0;2 và BD 1;0;2
suy ra ABCD là hình bình hành.
Vậy O.ABCD là một hình chóp có đáy là hình bình hành, do đó có 5 mặt phẳng thỏa mãn yêu
cầu gồm:
Mặt phẳng đi qua trung điểm của AC,BD và song song với
Mặt phẳng đi qua trung điểm cuả AD,BC đồng thời song song với
Mặt phẳng đi qua trungđiểm của OA,OB,OC,OD.
SAD
hoặc SBC .
SAC
hoặc SBD .
Câu 12: (Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm
A0;1;1 , B3;0; 1 ,
M a;b;c
2 2 2
C 0;21; 19
và mặt cầu S : x 1 y 1 z 1
1.
2 2 2
là điểm thuộc mặt cầu S sao cho biểu thức T 3MA 2MB MC đạt giá trị
nhỏ nhất. Tính tổng a b c .
12
A. a b c 0 B. a b c 12
C. a b c D.
5
Đáp án D
Gọi điểm I x; y;z sao cho 3IA 2IB IC 0 suy ra điểm I 1;4; 3 .
2 2 2
Xét mặt cầu S : x 1 y 1 z 1 1 có tâm E 1;1;1 và bán kính R 1.
Suy ra
IE 0; 3;4 IE 5 R 1.
2 2 2
Ta có
2 2 2
T 3MA 2.MB MC 3. MI IA 2. MI IB MI IC
6.MI 2 2.MI. 3IA 2IB IC 3IA 2 2IB 2 IC 2 6MI 2 3IA 2 2IB 2 IC 2 .
15
a b c
4
Để tổng T đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất vì tổng
3IA 2IB IC
2 2 2
không
đổi. Suy ra M, E, I thẳng hàng mà IE 5 và EM 1
nên 5.EM EI.

a 1
14
Lại có EI 0;3; 4
và EM a 1;b 1;c 1
suy ra 5b 1
3 a b c .
5
5c 1
4
Câu 13: (Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm
A1;2; 4 , B1; 3;1 , C2;2;3 .
Tính đường kính l của mặt cầu S
đi qua ba điểm trên và
có tâm nằm trên mặt phẳng Oxy
A. l 2 13 B. l 2 41 C. l 2 26 D. l 2 11
Đáp án C
Gọi
I x; y;0
là tâm của mặt cầu
AI x 1; y 2;4
S AI x 1; y 3; 1
AI x 2; y 2; 3
Theo bài ra, ta có
2
x 1 y 2 4 x 1 y 3 1
2 2 2 2 2
IA IB
x 2
2 2 2 2 2
IA IC x 1 y 2 4 2 x 2 y 2 3
y 1
I 2;1;0 AI 3; 1;4 l 2.IA 2 16
Vậy
Câu 14: (Đặng Việt Hùng-2018) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn
2 2 2
2 2
C' : x y 2 m 2 y 6x 12 m 0 và C : x m y 2 5. Vectơ v
nào
dưới đây là vectơ của phép tịnh tiến biến C
thành C'
A. v 2;1 B. v 2;1
C. v 1;2
D. v 2; 1
Đáp án A
2 2
Xét C' : x 3 y m 2 1 4m có tâm I' 3;2 m , bán kính R ' 1
4m
2 2
Và đường tròn C : x m y 2 5. có tâm I m;2 , bán kính R 5
Vì (C’) là ảnh của (C ) qua
R R ' 1 4m 5
m 1
T
v 2;1
v
T
I I' v
v
II' I'
3 m; m

Câu 15
(Đặng Việt Hùng-2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
và mặt phẳng P : x 3y 2z 5 0. Viết phương trình mặt phẳng Q
A 2;4;1 ,B 1;1;3
đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng P .
A. Q : 2y 3z 1 0
B.
C. Q : 2x 3z 11 0
D.
Q : 2x 3z 12 0
Q : 2y 3z 11 0
Câu 16:
(Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt
x 1 y 1 z
phẳng P : x 2y 2z 1 0 và đường thẳng d : . Gọi I là giao điểm của d
2 2 1
và P , điểm M là điểm trên đường thẳng d sao cho IM 9 , tính khoảng cách từ điểm M đến
mặt phẳng P
.
A. d M; P 8 B. d M; P 2 2 C. d M; P 4 D. d M; P 3 2
Đáp án A
cosd; P
sin d; P
Câu 17:
M 2;1;0
2 4 2 8
suy ra d M; P sind; P 8
9 9
(Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
và đường thẳng
qua điểm M, căt và vuông góc với .
x 1 y 1 z
: .
2 1 1
x 2 y 1 z
A. d :
B.
1 4 1
x 2 y 1 z
C. d :
D.
2 4 1
Viết phương trình của đường thẳng đi d đi
x 2 y 1 z
d :
1 4 1
x 2 y 1 z
d :
1 4 2
Đáp án D
có véc tơ chỉ phương là u 2;1; 1 .
Gọi N là giao điểm của d và
Theo đề bài ta sẽ có:
Câu 18:
N 2t 1; t 1; t
2 1 4 2 x 2 y 1 z
u.MN 0 t MN ; ; d :
3 3 3 3 1 4 2
(Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Viết phương trình
mặt phẳng (P) đi qua điểm M 1;2;3 và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại ba điểm A, B,
C khác với gốc tọa độ O sao cho biểu thức
1 1 1
OA OB OC
2 2 2
có giá trị nhỏ nhất.

A. P : x 2y 3z 14 0
B.
C. P : x 2y z 8 0
D.
P : x 2y 3z 11 0
P : x y 3z 14 0
Đáp án A
Aa;0;0 ,B0;b;0 ,C0;0;c
Gọi phương trình mặt phẳng ABC là
x y z
1
a b c
Vì điểm
1 2 3
M 1;2;3 P
1,
ta có
1 2 3 2 2 2 1 1 1
1 2 3
2 2 2
a b c a b c a b c
2
Khi đó
1 1 1 1 1 1 1
Dâu bằng xảy ra khi và chỉ khi
2 2 2 2 2 2 .
a 2b 3c.
OA OB OC a b c 14
14
Suy ra a 14,b 7,c , vậy phương trình mặt phẳng P
là
3
x y 3z
1 x 2y 3z 14 0
14 7 14
Câu 19 (Đặng Việt Hùng-2018): Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P : x 2y 2z 18 0,
M là điểm di chuyển trên mặt phẳng P ;
N là điểm nằm trên tia
OM.ON 24 Tìm giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng
OM sao cho
(P).
A. min d N; P 6 B. min d N; P 4 C. min d N; P 2 D.
min d N; P 0
Đáp án C
Gọi H, K là hình chiếu của O, N lên mặt phẳng
P OH d O; P 6
NK MN MO NO 24 24
Ta có: 1 NK 6 1
2 2
OH MO MO MO MO
24
Mà OM OK 6 NK 61 2
2
MO
Câu 20 (Đặng Việt Hùng-2018) : Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho
a 2; 1;0 , biết b cùng chiều với a
và có a.b 10.
Chọn phương án đúng?
A. b 6;3;0 . B. b 4;2;0 . C. b 6; 3;0 . D. b 4; 2;0 .

Đáp án D.
b || a b
2k; k;0 , k 0 a.b 4k k 5k 5k 10 k 2 b 4; 2;0 .
Câu 21: (Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
2 2 2
S : x 2 y 1 z 3 9.
A. Mặt cầu (S) tiếp xúc với (Oxy).
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
B. Mặt cầu (S) không tiếp xúc với cả ba mặt (Oxy), (Oxz), (Oyz).
C. Mặt cầu (S) tiếp xúc với (Oyz).
D. Mặt cầu (S) tiếp xúc với (Oxz).
Đáp án A.
2 2 2
Xét mặt cầu (S): x 2 y 1 z 3 9 tâm I 2; 1;3
và R 3.
Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Oxz) có phương trình lần lượt là z 0; x 0; y 0.
Khi đó
d I; Oxy 3,d I; Oyz 2,d I; Oxz 1
nên mặt cầu (S) tiếp xúc với
(Oxy). Câu 22: (Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian với hệ trục Oxyz cho điểm
A 1;2;1
đoạn AB là:
và mặt phẳng
P : x 2y 2z 0.
Gọi B là điểm đối xứng với A qua (P). Độ dài
4 2
A. 2. B. .
C. .
D. 4.
3
3
Đáp án B.
4
AB 2d A, P
.
3
Câu 23: (Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm
A2; 3;7 , B0;4; 3 ,
C4;2;5 . Biết điểm M x 0; y
0;z0
nằm trên mặt phẳng (Oxy) sao
cho MA MB MC có giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị của tổng P x y z bằng
0 0 0
A. P 0.
B. P 6.
C. P 3.
D. P 3.
Đáp án C.
Gọi C là trọng tâm của tam giác ABC G 2;1;3 .
Khi đó
MA MB MC 3MG GA GB GC 3 MG 3MG
0

Suy ra MG M là hình chiếu của G trên mp (Oxy) M 2;1;0 .
min
Câu 24: (Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho
Aa;0;0 , B0;b;0 , C0;0;c
Oz sao cho
a b c 2.
với a, b, c dương. Biết A, B, C di động trên các tia Ox, Oy,
Biết rằng a, b, c thay đổi thì quỹ tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện
OABC thuộc mặt phẳng (P) cố định. Tính khoảng cách từ
(P).
M 2016;0;0
tới mặt phẳng
2014 2016
A. 2017. B. .
C. .
D.
3
3
2015 .
3
Đáp án D.
Gọi D, K lần lượt là trung điểm của AB, OC. Từ D kẻ đường
thẳng vuông góc với mặt phẳng (OAB). Và cắt mặt phẳng trung
trực của OC tại I I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC suy
c
ra z
1
.
2
1 1 1 b
Ta có S
OAD .S
OAB
.ab .DE.OA DE .
2 4 2 2
a a b a b c
Tương tự DF x
1
, y I ; ; .
2 2 2 2 2 2
a b c
Suy ra x1 y1 z1
1
2
I P : x y z1 0.
Vậy khoảng cách từ điểm M dến (P) bằng
2015
d .
3
Câu 25: (Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian với hệ trục Oxyz cho điểm A1;2;1
và đường thẳng có phương trình
và vuông góc với d.
x 1 y 2 z
d : .
1 1 1
Viết phương trình mặt phẳng chứa A
A. x y z 1 0. B. x y z 1 0. C. x y z 0. D. x y z 2 0.
Đáp án C.
Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm. Vì d P nên (P) nhận vecto chỉ phương của (d) là
u 1; 1;1
làm vecto pháp tuyến n 1; 1;1 . Khi đó:
d
P : x 1 y 2 z 1
0 x y z 0.
p

x 1 y 4 z 2
Câu 26 (Đặng Việt Hùng-2018): Cho đường thẳng d :
và mặt phẳng
2 2 1
P : x 2y z 6 0
cắt nhau tại I. Gọi M là điểm thuộc d sao cho IM 6. Tính khoảng
cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).
A. 6. B. 2 6. C. 30.
D.
6 .
2
Câu 27 (Đặng Việt Hùng-2018) Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng
x y 1 z 2
: 2x 3y z 2 0 và chứa đường thẳng d : .
1 2 1
A. x y z 3 0. B. 2x y z 3 0. C. x y z 1 0. D. 3x y z 3 0.
Đáp án C.
u
d
1;2; 1
Ta có: n 2; 3;1 ; d qua M 0; 1;2 và
d
Khi đó mặt phẳng (P) cần tìm có n n ;u 1;1;1 và đi qua M 0; 1;2
có phương
trình là x y z 1 0.
P
Câu 28: (Đặng Việt Hùng-2018)Cho đường thẳng
P : 2x y z 5 0.
Xét vị trí tương đối của (d) và (P).
x 1 y z 3
d :
1 2 4
và mặt phẳng
A. d nằm trên (P). B. d song song với (P).
C. d cắt và vuông góc với (P). D. d vuông góc với (P).
Đáp án A.
Ta có:
u .n 2 2 4 0
d
P
nên
P
d / / P
d
Mặt khác điểm A 1;0;3 d và A 1;0;3 P nên d nằm trên (P).
Câu 29 (Đặng Việt Hùng-2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường
x 3 y 1 z 2
thẳng d
1
:
x 5 y z 3
và d
2
: . Xét vị trí tương đối của
1
và d
2 1 1 2 1 1
A. và trùng nhau. B. và d song song.
d1
d2
d1
2
C. và cắt nhau. D. và d chéo nhau.
Đáp án A.
d1
d2
d1
2
d
2

Ta có u 2; 1;1
và u 2;1; 1
suy ra u u .
1
1
2
1 2
Mặt khác M 3;1;2 d và M d suy ra và d trùng nhau.
2
d1
2
Câu 30: (Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt
phẳng
P : mx 2y z 1 0
2 2 2
x 2 y 1 z 9
thực của tham số m.
(m là tam số). Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S):
theo một đường tròn có bán kính bằng 2. Tìm tất cả các giá trị
A. m 1
B. m 2 5 C. m 6 2 5 D. m 4
Đáp án C.
Mặt cầu (S) có tâm I 2;1;0 , bán kính R 3. Ta có
2 2
d I, P 3 2 5
2m 3
Do đó 2 2
2
m 5
5 2m 3 5m 25 m 6 2 5.
Câu 31 (Đặng Việt Hùng-2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng
x 1 y 2 z 1
d : , A2;1;4 . Gọi điểm Ha;b;c
là điểm thuộc d sao cho AH có độ
1 1 2
dài nhỏ nhất. Tính giá trị
2 2 2
T a b c .
A. T 8.
B. T 62.
C. T 13.
D. T 5.
Đáp án B.
Để AH H là hình chiếu của A trên d.
Gọi
min
là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d
n u 1;1;2 :1. x 2 2. y 1 2. z 4 0 x y 2z 11 0.
Suy ra d
a 2
H d H 2;3;3 T 62.
b c 3
Mặt khác
Câu 32: (Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
M 3;2;1 . Mặt phẳng (P) đi qua điểm M và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại
các điểm A, B, C không trùng với điểm gốc tọa độ sao cho M là trực tâm tam giác ABC.
Trong các mặt phẳng sau, tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng (P).
A. 3x 2y z 14 0. B. 2x y 3z 9 0. C. 3x 2y z 14 0. D. 2x y z 9 0.
Đáp án A.

Ta có AM BC OA BC OAM
BC OM
Tương tự ta cũng có OM AC OM P (P) nhận OM 3;2;1 là vecto pháp
tuyến.
Trong các đáp án, chọn đáp án mặt phẳng có vecto pháp tuyến có cùng giá với
chứa điểm M thì thỏa.
OM
và không
Câu 33: (Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
x 5 t
S : x y z ax by cz d 0 có bán kính R 19, đường thẳng d : y 2 4t và
z 1 4t
2 2 2
mặt phẳng P : 3x y 3z 1 0. Trong các số a,b,c,d theo thứ tự dưới đây, số nào thỏa
mãn
(P)?
a b c d 43,
đồng thời tâm I của (S) thuộc đường thẳng d và (S) tiếp xúc với
6,10,20,7 .
A. 6, 12, 14,75 . B. C. 10, 4, 2, 47 . D.
Đáp án A.
Ta có
Vì
2 2 2 2 2 2
a b c a b c
S : x y z d
2 2 2 4
có
a b c
I ; ;
2 2 2
Id I5 t; 2 4t; 1 4t
và (S) tiếp xúc với (P) nên d I, P
3. 5 t 2 4t 3. 1 4t 1 t 0
19 t 1 1 .
t 2
2 2 2
3 1 3
I 5; 2; 1 a, b,c,d 10;4;2;47
I 3;6;7
a, b,c,d 6; 12; 14;75
R
3,5,6, 29 .
2 2 2
a b c
2
Thử lại với d R 19
thì chỉ có trường hợp 6, 12, 14,75
thỏa
4
Câu 34: (Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
A9; 3;5 , Ba;b;c .
phẳng tọa độ Oxy ; Oxz ; Oyz .
Gọi M, N, P lần lượt là giao điểm của đường thẳng AB với các mặt
AN MN NP PB. Giá trị của tổng a b c là
Biết M,N,P nằm trên đoạn AB sao cho
A. -21 B. 15 C. 21 D. -15
Đáp án D.

Vì M Oxy ,
M Oxz ,
M N P
P Oyz z 0, y 0,z 0
Mà M,N,P nằm trên đoạn AB sao cho AM MN NP PB AM MN NP PB
Khi đó
AB 4AM c 5 4 z 5 c 15.
Lại có:
AB 2AN b 3 2 y 3 b 3.
AB 4PB a 9 4 a x a 3 a b c 15.
P
M
N
Câu 35 (Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho
A 1;2; 5 , B 3;0;1 . Viết phương trình mặt cầu S có đường kính là AB.
2 2 2
A. S : x 2 y 1 z 3 14 B.
C. S : x 1 y 1 z 2 14 D.
Đáp án C
2 2 2
S : x 1 y 1 z 2 56
2 2 2
2 2 2
S : x 1 y 1 z 2 56
2 2 2
Gọi I là trung điểm AB I1;1; 2
S : x 1 y 1 z 2 14
Câu 36 (Đặng Việt Hùng-2018): Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi H là hình
chiếu vuông góc của điểm A( 3; 1; 1)
lên mặt phẳng P : 2x y z 4 0. Tìm tọa độ
điểm H
H2;0;0
H1;2;0
A. B. C. H 1;1;1
D.
1
H ;1;2
2
Đáp án C
Ta có H1;1;1
Câu 37 (Đặng Việt Hùng-2018) Cho hai điểm
: 3x y z 2 0.
A0;-1;2 , B4;1;-1
Xét vị trí tương đối của hai điểm AB, và .
và mặt phẳng
A , B
A. A ,B
B.
C. A, B nằm về một phía đối với .
D. A, B nằm về hai phía đối với .
Đáp án D
Ta có
f 3x y z 2 f A .f B
1.8 8 0
A, B nằm về hai phía đối với .

Câu 38 (Đặng Việt Hùng-2018): Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường
x 1 y z 3
thẳng d có phương trình . Viết phương trình mặt phẳng
chứa trục Oy
2 5 4
và song song với đường thẳng d
A. 2x y 0 B. x 2z 0 C. 2x z 0 D. 2x z 0
Đáp án C
Ta có n u Oy, u
d
4;0;2
: 2x z 0
Câu 39: (Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, tính khoảng
cách từ điểm
M(1;3;2)
đến đường thẳng có phương trình
x 1
t
d : y 1 t
z
t
A. 2 B. 2 C. 2 2
D. 3
Đáp án C
Phương trình mặt phẳng
P
đi qua M, vuông góc với d là
P : x y z 2 0
Gọi H là giao điểm của
P và d suy ra H1;1;0
Mà H là hình chiếu vuông góc của M trên d
d M; d MH 2 2
Câu 40: (Đặng Việt Hùng-2018)Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường
x 6 t
x a y 1 z 5
thẳng d có phương trình y 2 5t t .
Xét đường thẳng : , với a
5 12 1
z 1 t
là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của a để đường thẳng d và cắt nhau.
A. a 0
B. 4
C. a 8
D.
1
a
2
Đáp án C
Ta có
x a 5t '
: y 112t ' t '
z 5 t '
giải hệ
6 t a 15t ' 6 t a 15t '
2 5t 112t ' t 3 a 8
1 t 5 t '
t ' 1
Câu 41: (Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm
A a;0;0 , B 0;b;0 ,C 0;0;c , trong đó a 0,b 0,c 0. Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm
I 1;2;3
sao cho thể tích khối tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất. Chọn đẳng thức không
đúng khi nói về a, b, c?

2
A. a b c 12
B. a b c 6 C. a b c 18
D. a b c 0
Đáp án A
x y z
Phương trình mặt phẳng ABC : 1
a b c
1 2 3 6
I ABC 3 abc 162
a b c abc
Vì
3
Thể tích khối tứ diện OABC được tính là
OA.OB.OC abc 162
V 27
6 6 6
Dấu “=” xảy ra khi
a 3
1 2 3 1
b 6
a b c 3
c 9
Kiểm tra thấy phương án A không đúng
: 2x y 2z m 0.
Câu 42 (Đặng Việt Hùng-2018)Cho mặt cầu
2 2 2
S : x 1 y 2 z 3 25 và mặt
phẳng Các giá trị của m để và (S) không có điểm chung là:
A. m 9
hoặc m 21.
B. m 9
hoặc m 21.
C. 9 m 21.
D. 9 m 21.
Đáp án B
Mặt cầu (S) có tâm
I 1;2;3
và bán kính R 5.
2 2 6 m m 6 15 m 21
d I; R 5 .
3
m 6 15
m 9
YCBT
Câu 43: (Đặng Việt Hùng-2018) Cho điểm
A 3;2;4 ,
gọi A,B, C lần lượt là hình chiếu
của M trên trục Ox, Oy, Oz. Trong các mặt phẳng sau, tìm mặt phẳng song song với mặt
phẳng (ABC)
A. 6x 4y 3z 12 0.
B. 3x 6y 4z 12 0.
C. 4x 6y 3z 12 0.
D. 4x 6y 3z 12 0.
Đáp án D.
Ta có A3;0;0 ,
B0;2;0 ,
x y z
C 0;0;4 ABC : 1 4x 6y 3z 12 0.
3
2 4

Câu 44: (Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian với hệ trục Oxyz cho điểm A2;1;3
x 1 y 2 z
và đường thẳng có phương trình d : . Mặt phẳng (P) chứa A và d. Viết
2 1 1
phương trình mặt cầu tâm O tiếp xúc với mặt phẳng (P).
2 2 2
2 2 2
A. x y z . B. x y z 3. C. x y z 6. D.
5
2 2 2 12
x y z .
5
2 2 2 24
Đáp án D.
x 1 y 2 z
d : đi qua B1;2;0 có vecto chỉ phương nd
2; 1;1
2 1 1
Với
BA 1; 1;3 ,
vecto pháp tuyến của (P) là:
BA, u
d
(2;5;1)
P : 2x 2 5y 1 z 3
0 2x 5y z 12 0
Bán kính của mặt cầu cần tìm là
2 30
d O, P
.
5
Câu 45: (Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm
C 2;0; 3 . Điểm M thuộc Oz sao cho 2MA MB MC nhỏ nhất
A1;1;3 ,B0;2;1 ,
có tọa độ là:
0;0;2 .
A. B. 0;0; 1 . C. 0;0;1 . D.
1
0;0; .
2
Đáp án C.
Do M Oz M 0;0;a MA 1;1;3 a ,MB 0;2;1 a ,MC 2;0; 3 a
2MA MB MC 0;4; 4a 4 2MA MB MC 4 a 1 1 4
Do đó tọa độ điểm M là M 0;0;1 .
2
xảy ra khi
a 1
Câu 46: (Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt
phẳng (P) có phương trình
2 2 2 2 2 2 2
1 m 2n.x 4mn.y 1 m 1 n .z 4 m n m n 1 0,
với m, n là tham số
thực tùy ý. Biết rằng mặt phẳng (P) luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định khi m, n thay
đổi. Tìm bán kính mặt cầu đó?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Đáp án D.

Gọi I a, b,c là tâm mặt cầu cố định đó. Rõ ràng d I, P R không đối với mọi m,n .
Với
2 2
2 2
2
4n 1
n
2nb 1 n c 4 n 1
m 1 d I, P R
Với
2 2
2 2
2
4n 1
n
2nb 1 n c 4 n 1
m 1 d I, P R
b 0
2 2 2 2
2nb 1 n c 4n 1 2nb 1 n c 4n 1
2 2
1 n c 4n 1
0
2 2
Rõ ràng 1 n c 4 n 1 0 không thể xảy ra với mọi n suy ra b 0
Với
m n 1 d I, P b 4 R 4.
Câu 47 (Đặng Việt Hùng-2018): Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho
A1;2;3 , B3;4;4 .
mặt phẳng
2x y mz 1 0
Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho khoảng cách từ điểm A đến
bằng độ dài đoạn thẳng AB.
A. m 2
B. m 2
C. m 3
D. m 2
Đáp án A
AB 2;2;1 AB 3
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng
: 2x y mz 1 0
bằng AB nên
2x y mz 1 3m 3
d A; AB 3 3 3 m 1 3 m 5
A A A 2
2 2
m 1 m 5 m 2
2 2 2 2
2 1 m m 5
Câu 48: (Đặng Việt Hùng-2018)Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P : mx 2y z 1 0
2 2 2
S : x 2 y 1 z 9
thực của tham số m
(m là tham số). Mặt phẳng P cắt mặt cầu
theo một đường tròn có bán kính bằng 2. Tìm tất cả các giá trị
A. m 1
B. m 2 5 C. m 6 2 5 D. m 4
Đáp án C

2 2 2
Xét mặt cầu
S : x 2 y 1 z 9 I 2;1;0 ;R 3
Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng
P
là
2m 3
2
d I; P
m 5
Theo giả thiết, Mặt phẳng P cắt mặt cầu
tròn có bán kính bằng r 2
2 2 2
S : x 2 y 1 z 9
theo một đường
Suy ra
2m 3 2
2 2 2 2 2 2
d r R 2 3 m 12m 16 0
2
m 5
m 6 2 5
Câu 49: (Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
2 2 2
S : x y z 2x 4y 6z 11 0 và cho mặt phẳng P : 2x 2y z 18 0. Tìm
phương trình mặt phẳng Q song song với mặt phẳng P đồng thời mặt phẳng Q tiếp xúc
với mặt cầu S.
A. Q : 2x 2y z 22 0
B.
C. Q : 2x 2y z 18 0
D.
Đáp án D
Q : 2x 2y z 28 0
Q : 2x 2y z 12 0
2 2 2
S : x y z 2x 4y 6z 11 0 mặt cầu S
có tâm I1;2;3 ;R 5
Q / / P
Vì phương trình mặt phẳng Q có dạng Q : 2x 2y z m 0 với m 18
Mà Q tiếp xúc với mặt cầu S
2.1 2.2 3
m
d I; Q R 5 m 12
2
2 2
2 2 1
Câu 50: (Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt
phẳng có phương trình. 2x 2y z 8 0. Xét mặt cầu
2 2 2
S : x y z 2x 4y z m 0, với m là tham số thực. Biết mặt phẳng
cắt mặt
cầu S theo giao tuyến là một đường tròn C có bán kính bằng 2. Tìm tất cả các giá trị của m
thỏa mãn điều kiện trên.
21 27
A. m 18
B. m C. m D. m 11
4 2
Đáp án D
2
2 2 2
1 21 1 21
S : x 1 y 2 z m I1; 2; ;R m
2 4 2 4

1
2 4 8
2
2 7 2 2 7
Do đó d d I; P
R 2 m 11
3 2 2
Câu 51 (Đặng Việt Hùng-2018)Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A, B, C lần lượt
thuộc các tia Ox, Oy, Oz (không trùng với gốc tọa độ) sao cho OA a, OB b, OC c.
Giả sử M là một điểm thuộc miền trong của tam giác ABC và có khoảng cách đến các mặt
OBC , OCA , OAB lần lượt là 1, 2, 3. Tính tổng S a b c khi thể tích của khối chóp
O.ABC
đạt giá trị nhỏ nhất
A. S 18
B. S 9
C. S 6
D. S 24
Đáp án A
Dễ dàng suy ra Aa;0;0 ,B0;b;0 ,C0;0;c ,a, b,c 0
vì
M
d M; OBC
d M; Oyz x 1,
tương tự ta có được M 1;2;3
1 2 3 1.2.3 abc
M ABC 33
VO.ABC
27
a b c a.b.c 6
Dấu bằng xảy ra khi 1 2 3 1 a 3;b 6;c 9 a b c 18
a b c 3
Câu 52: (Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho 2 điểm
A( 2;1; 3 ); B( 2;4;1)
. Gọi d là đường thẳng đi qua trọng tâm tam giác ABO sao cho tổng
khoảng cách từ các điểm A, B, O đến đường thẳng d là lớn nhất. Trong các véc tơ sau, véc
tơ nào là một véc tơ chỉ phương của d?
A. u 13;8;6 B. u 13;8;6
C. u 13;8; 6
D. u 13;8; 6
Đáp án D
Điểm
A( 2;1; 3 ), B( 2;4; 1 ),O 0;0;
0
suy ra G là trọng tâm tam giác ABO là
2 5 2
G ; ;
3 3 3
Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu vuống góc cuả A, B, O trên đường thẳng d
Khi đó, khoảng cách d
AM;d
A d B d BN;dO d
OP
Mặt khác
AM
AG
BN
BG
OP
OG
d d d AG BG OG const
A d B d O
d
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng d vuông góc mặt phẳng
ABO
tại G

OA 2;1; 3
Ta có n
13; 8;6
véc tơ chỉ phương của d là
ABO
u 13;8; 6
OB 2;4;1
Câu 53(Đặng Việt Hùng-2018): Trong không gian Oxyz, cho điểm
vuông góc của A trên mặt phẳng
Oyz
là điểm
A 3; 1;1 .
Hình chiếu
M 3;0;0 .
A. B. M 0; 1;1 . C. M 0; 1;0 . D. M 0;0;1 .
Đáp án B.
Câu 54: (Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
x 2 y 1 z
d : . Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là:
1 2 1
A. u 1;2;1
B. u 2;1;0 C. u 2;1;1 D.
1
2
3
u 1;2;0
4
Đáp án A.
u 1;2;1 .
Vecto chỉ phương của đường thẳng d là
Câu 55(Đặng Việt Hùng-2018): Trong không gian Oxyz, cho ba điểm
M 2;0;0 , N0; 1;0
P0;0;2 .
d
và Mặt phẳng MNP có phương trình là:
A. x y z
x y z
x y z
0 B. 1
C. 1
D.
2 1 2
2 1 2
2 1 2
x y z
1
2 1 2
Đáp án D.
x y z
Phương trình mặt phẳng MNP : 1.
2 1 2
Câu 56: (Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian Oxyz cho hai điểm
B 2;1;0 .
Mặt phẳng qua A và vuông góc với AB có phương trình là
A 1;2;1
và
A. 3x y z 6 0. B. 3x y z 6 0. C. x 3y z 5 0. D. x 3y z 6 0.
Đáp án B.
Mặt phẳng đó có vecto pháp tuyến là n AB 3; 1; 1
p
Mà mặt phẳng đó qua A1;2;2 P : 3x y z 6 0.
Câu 57: (Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng
x 3 y 3 z 2
d
1
: x 5 y 1 z 2
, d
2
:
và mặt phẳng P : x 2y 3z 5 0.
1 2 1 3 2 1
Đường thẳng vuông góc với (P) cắt và d có phương trình là
d1
2

x 1 y 1 z x
A. .
B.
2 y 3 z 1
.
1 2 3
1 2 3
x
C. 3 y 3 z 2
.
D.
1 2 3
x 1 y 1 z
.
3 2 1
Đáp án A.
Giả sử đường thẳng d cắt
d
1,d2
lần lượt tại
M, N M 3 t ;3 2t ; 2 t , N 5 3t ; 1 2t ;2 t
Ta có
1 1 1 2 2 2
MN t 3t 2;2t 2t 4; t t 4
1 2 1 2 1 2
và
n 1;2;3
p
Mà d vuông góc với
P
nên
t1 3t
2
2 k t1
2
M 1; 1;0
MN knp 2t1 2t
2
4 2k t 2
1
N2;1;3
t1 t
2
4 3k k 1
x 1 y 1 z
MN 1;2;3 d : .
1 2 3
Ta có
Câu 58(Đặng Việt Hùng-2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M 1;1;2 .
Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục x’Ox, y’Oy, z’Oz lần lượt tại các
điểm A, B, C sao cho OA OB OC 0?
A. 3. B. 1. C. 4. D. 8.
Đáp án A.
x y z
Phương trình mặt phẳng (P) có dạng 1,
với Aa;0;0 , B0;b;0 ,C0;0;c .
a b c
Ta có
1 1 2
OA OB OC a b c và M P
1 (*)
a b c
a b c a b c Suy ra và , mà không thỏa mãn điều kiện (*).
a b c
a b c
a b c
Vậy có 3 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 59: (Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
8 4 8
A2;2;1 , B ; ; . Đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp của tam giác OAB và
3 3 3
vuông góc với mặt phẳng (OAB) có phương trình là
x
A. 1 y 3 z 1
.
B.
1 2 2
x 1 y 8 z 4
.
1 2
2

1 5 11 2 2 5
x y z x y z
C. 3 3 6 . D. 9 9 9 .
1 2 2 1 2 2
Đáp án A.
Ta có OA;OB
k 1; 2;2
Vecto chỉ phương của đường thẳng (d) là
u 1; 2;2 .
Cách 1: Kẻ phân giác
OE E AB
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp
suy ra
OA AE 3 3 12 12
AE EB E 0; ; .
OB BE 4 4 7 7
OAB I OE OI kOE,
với
k 0.
Tam giác OAB vuông tại O, có bán kính đường tròn nội tiếp r 1
IO 2.
AE 15 ;OA 3;cosOAB 3 OE 12 2 suy ra OE 12 OI I 0;1;1 .
7 5 7 7
Mà
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là
Cách 2: Chú ý: Với I là tâm đường tròn nội tiếp
vecto sau
Khi đó, xét tam giác
aIA bIB cIC 0
x 1 y 3 z 1
d :
1 2 2
Tọa độ điểm I thỏa mãn hệ
ABC , có các cạnh a,b,c ta có đẳng thức
x
y
x
ABO Tâm nội tiếp của tam giác là I0;1;1 .
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là
x 1 y 3 z 1
d :
1 2 2
A B C
1
BC CA AB
1
1
BCx CAx ABx
BCy CAy ABy
BC CA AB
BCz CAz ABz
BC CA AB
A B C
A B C
Câu 60(Đặng Việt Hùng-2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm
A1;2;1 , B3; 1;1
S 3
S
và C 1; 1;1 . Gọi là mặt cầu có tâm A, bán kính bằng 2; và
1
là hai mặt cầu có tâm lần lượt là B, C và bán kính đều bằng 1. Hỏi có bao nhiêu mặt
S S
phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu , , ?
1
A. 5. B. 7. C. 6. D. 8.
Đáp án B.
Gọi phương trình mặt phẳng cần tìm là P : by cz d 0.
2
S 3
S 2

Vì d B; P d C; P 1 suy ra mp P / /BC hoặc đi qua trung điểm của BC.
Trường hợp 1: với
2b c d
suy ra d A; P 2
2 2
b c
mpP / /BC a 0 P : by cz d 0
Và
4b c d
b c d 2b c d 2 b c d
d B; P 1
c d 0
2 2
2 2
b c b c d b c
b c d b c
2 2
2 2
b b c c 0 d 0
2 2
3 b b c 2 2
8b c c 2 2b
suy ra có ba mặt phẳng thỏa mãn.
Trường hợp 2: Mặt phẳng (P) đi qua trùng điểm BC P : a x 1 by 1 cz 1
0
Do đó
3 b 2 a
d A; P 2;d B; P
1
2 2 2 2 2 2
a b c a b c
3 b 4 a 3 b 4 a
Suy ra
2 2 2
2 a a b c 3a b c
Chọn a 3 suy ra (*)
2 2 2
(*)
3;4; 11 , 3; 4; 11
b 4
b 4
a;b;c
.
2 2
2
b c 27 c 11
3;4; 11 , 3; 4; 11
Vậy có tất cả 7 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 61 (Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình bình hành
ABCD. Biết A 2;1; 3 , B 0; 2;5
và C( 1;1;3).
Diện tích hình bình hành ABCD là
349
A. 2 87
B. C. 349 D. 87
2
Đáp án A
Giả sử Da;b;c .
Vì ABCD là hình bình hành nên
a 1 2 a 3
CD BA 2;3; 8 b 1 3 b 4
c 3 8
c 5

D 3;4; 5
Ta có AB 2; 3; 8 , AD 1;3; 2
Diện tích hình bình hành ABCD là: S AB, AD
349
Câu 62: (Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp
ABCD.A 'B'C'D'
. Biết A 2;4;0 , B 4;0;0 ,C 6;8;10 . và D' ( 6;8;10).
Tọa độ điểm B là
B' 8;4;10
B' 6;12;0
B' 10;8;6
B' 13;0;17
A. B. C. D.
Đáp án D
D'C' AB 2; 4;0 C' 8;4;10
C'B' CB 5; 4;7 B' 13;0;17
Câu 63 (Đặng Việt Hùng-2018) Cho hai mặt phẳng (P) : x m y 2z m 0 ;
2
(Q) : 2x 8y 4z 1 0, với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hai
mặt phẳng trên song song với nhau.
2 3
A. m 2
B. Không tồn tại m C. m 2
D. m 2
Đáp án D.
Đề 2 mặt phẳng song song với nhau thì
2
1 m 2 3
m m 2.
2 8 4 2
Câu 64: (Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian Oxyz, một vecto pháp tuyến của mặt
phẳng (P) : 2x 4y 3 0 là?
A. n 2; 4;4 . B. n 2;1;0 . C. n 1; 2;0 . D. n 1;2; 3 .
Đáp án C.
n 1; 2;0 .
Ta dễ có
Câu 65(Đặng Việt Hùng-2018): Trong không gian Oxyz, cho
độ trung điểm I của AB.
A3;2;1 , B1;0;5 .
1;1;3 . 2;1;3 . 2;2;6 .
A. B. C. D.
Đáp án A.
3 1 2 0 1
5
I ; ; 1;1;3 .
2 2 2
Ta có
1; 1;1 .
Tìm tọa

Câu 66(Đặng Việt Hùng-2018)Trong không gian với hệ tọa độ, Oxyz mặt cầu tâm
I 1;2; 3 , bán kính R 14 có phương trình là.
2 2 3
A. x 1 y 2 z 3 14. B.
C. x 1 y 2 z 3 14. D.
Đáp án B.
2 2 3
x 1 y 2 z 3 14.
2 2 3
2 2 2
PT mặt cầu cần tìm là:
x 1 y 2 z 3 14.
Câu 67: (Đặng Việt Hùng-2018) Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm
Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho biểu thức
(P) đi qua điểm nào dưới đây?
OA OB OC
2 2 3
x 1 y 2 z 3 14.
M 9;14 ,
A. B. C. D.
Đáp án D.
cắt các tia Ox,
có giá trị nhỏ nhất. Mặt phẳng
0;9;0 . 6;0;0 . 0;0;6 .
0;6;0 .
Do (P) cắt tia Ox; Oy; Oz lần luợt tại A, B, C. Gọi Aa;0;0 ;B0;b;0 ;C0;0;c a;b;c 0
Khi đó
x y z
9 1 4
ABC : 1;OA OB OC a b c (P) qua M 9;1;4 1
a b c
a b c
Áp dụng BĐT:
2 2 2
a b c
x y z
x y z a b c
a b c 9 1 4
31 2 36
a b c
2
2
ta có:
Do đó OA OB OC a b c 36
9 1 4
2 2 2
a b c
x y z
a 18;b 6;c 12 ABC : 1.
9 1 4 18 6 12
1
a b c
Dấu bằng xảy ra
Câu 68: (Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ, Oxyz cho 5 điểm
A3;0;0 , B0;3;0 , C0;0;3 , D1;1;1 và E 1;2;3 .
Hỏi từ 5 điểm này tạo được tất cả
bao nhiêu mặt phẳng phân biệt đi qua 3 điểm trong 5 điểm đó?
A. 5 B. 10 C. 12. D. 7
Đáp án D.
Phương trình mặt phẳng (ABC) là:
x y z
1
hay x y z 3 0.
3 3 3

Dễ thấy D
ABC ;E ABC
do đó có 7 mặt phẳng đi qua đi qua 3 điểm trong 7 điểm đã
cho bao gồm ABC ; EAB ; EBC ; ECD ; EDA ; EAC ; EBD .
Câu 69 (Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường
x 1 y 2 z 2
thẳng d : và mặt phẳng P : 3x y 2z 5 0. Tìm tọa độ giao điểm M
2 1 3
của d và P .
M 5;0;8
M 5; 4; 4
A. B. M 3; 4;4 C. M 3; 4; 4 D.
Đáp án C
Do M d M 1 2t; 2 t;2 3t
mà
M P 31 2t 2 t 22 3t
5 0 t 2
Do đó M 3; 4; 4 .
Câu 70 (Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I 1;2;1
và mặt phẳng P : 2x y 2z 7 0. Viết phương trình mặt cầu S
có tâm I và tiếp xúc
với P
.
2 2 2
A. S : x 1 y 2 z 1 9 B.
C. S : x 1 y 2 z 1 3 D.
Đáp án B
Ta có
2 2 2
S : x 1 y 2 z 1 9
2 2 2
2 2 2
R d I, P 3 S : x 1 y 2 z 1 9.
2 2 2
S : x 1 y 2 z 1 3
Câu 71 (Đặng Việt Hùng-2018) Phương trình mặt phẳng đi qua
n 2;3;4 làm vectơ pháp tuyến là:
A 1;2;3
và nhận
A. 2x 3y 4z 20 0.
B. x 2y 3z 20 0.
C. 2x 3y 4z 20 0. D. 2x 3y 4z 20 0.

Đáp án A.
2x 1 3y 2 4z 3
0 2x 3y 4z 20.
Câu 72Đặng Việt Hùng-2018): Cho điểm
M 2; 6;4
và đường thẳng
x 1 y 3 z
d : . Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với điểm M qua d.
2 1 2
M ' 4;2;0
A. M ' 3; 6;5 B. M ' 4;2; 8 C. M ' 4;2;8 D.
Đáp án D. (Dethithpt.com)
Gọi H 1 2t; 3 t; 2t
là hình chiếu vuông góc của M trên d.
Khi đó
MH 1 2t;3 t; 4 2t . Cho MH.u
d
2 4t 3 t 8 4t 0 t 1
Suy ra H1; 4;2 M ' 4; 2;0 .
Câu 73(Đặng Việt Hùng-2018): Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương
trình x 2y 2z 5 0. Xét mặt phẳng Q : x 2m 1 z 7 0, với m là tham số thực.
Tìm tất cả các giá trị của m để mặt phẳng (P) tạo với (Q) một góc .
4
m 1
m 2
m 2
A. . B. . C. . D.
m 2 m 2 2 m 4
m 4
.
m 2
Đáp án C.
Ta có
1
2 2m 1 1
cos 9 4m 4m 2 2 4m 1
4
2
3 1
2m 1
2
2
2
2 m 1
4m 20m 16 0
m 4
Câu 74(Đặng Việt Hùng-2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
đường thẳng
x 6 4t
d : y 2 t .
z 1 2t
Tìm tọa độ hình chiếu A’ của A trên (d).
A 1;1;1
và
A’ 2;3;1 .
A. B. A’ 2; 3;1 . C. A’ 2;
3;1.
D. A ; .
Đáp án C.
’ 2; 3
1
d
Ta có vecto chỉ phương của là u 4; 1;2 và A ' d A ' 6 4a; 2 a; 1 2a .
d

Vì AA '.u 0 a 1 A ' 2; 3;1 .
d
Câu 75(Đặng Việt Hùng-2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
(P) : 2x 2y z 5 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P), cách
(P) một khoảng bằng 3 và cắt trục Ox tại điểm có hoành độ dương.
A. (Q) : 2x 2y z 4 0.
B. (Q) : 2x 2y z 14 0.
C. (Q) : 2x 2y z 19 0.
D. (Q) : 2x 2y z 8 0.
Đáp án B.
Vì Q / / P nên mặt phẳng (Q) có dạng: 2x 2y z m 0 với m 5
Mặt phẳng (P) đi qua điểm
M 1;1;5 .
Theo đề:
2.1 2.1 5 m m 4
d P , Q 3 d M, Q
3 3
2 2
2 2 1
m 14
Q : 2x 2y z 4 0
Q : 2x 2y z 14 0
2
Mà (Q) cắt trục Ox tại điểm có hoành độ dương nên chọn Q : 2x 2y z 14 0.
Câu 76(Đặng Việt Hùng-2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
x
2t
d
1
: y
t
z 4
và
với cả hai đường thẳng
x 3 t '
d
2
: y
t ' . Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc
z 0
d1
và d
2.
2 2 2
2 2 2
A. S : x 2 y 1 z 2 4. B. S : x 2 y 1 z 2 16.
2 2 2
C. S : x 2 y 1 z 2 4. D.
Đáp án C.
2 2 2
S : x 2 y 1 z 2 16.
Gọi tâm mặt cầu cần tìm là I và H, K lần lượt là hình chiếu của I lên các đường thẳng d
1,d 2.
Ta có: IH IK HK a d ,d . Dấu bằng khi HK là đường vuông góc chung của d
1,d2
và I
1 2
là trung điểm của HK. (Dethithpt.com)
Khi đó:
H 2a,a,4 và K 3 b, b,0 KH 2a b 3;a b;4

d ,d
Đường thẳng có vecto chỉ phương lần lượt là u 2;1;0 và u 1;1;0
nên:
1 2
KH.u 2 2a b 3 a b 0.4 0
1
0
2a b 3 a b 0 a b 1
KH.u 2a b 3 a b 0.4 0
2
0
1
2
Suy ra trung điểm của HK là
I 2;1;2
và bán kính của mặt cầu (S) là
HK
R 2.
2
Câu 77(Đặng Việt Hùng-2018): . Trong không gian toạ độ Oxyz cho 3 điểm
A0;2;1 ;B1;0;2 ;C2;1; 3 .
mặt cầu. Bán kính mặt cầu đó là.
Tập hợp các điểm thoã mãn
2 2 2
MA MB MC 20
6
6
A. R 2
B. R
C. R D. R 2 5
2
3
Đáp án C.
Gọi
Khi đó
G 1;1;0 là trọng tâm tam giác ABC. Ta có GA GB GC 0.
2 2 2
2 2 2
MA MB MC MA MB MC
2 2 2
MG MA MG GB MG GC
3MB 2 MG GA GB GC GA 2 GB 2 GC 2 20
là một
2 2 2
2 20 GA GB GC 3
MG tâm G 1;1;0
3 2
và
6
R .
3
Câu 78(Đặng Việt Hùng-2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
A1;1;1 ,B2;0;1
và mặt phẳng
P : x y 2z 2 0.
Viết phương trình chính tắc của
đường thẳng d đi qua A, song song với mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ B đến d lớn
nhất.
x 1 y 1 z 1
x y z 2
A. d : .
B. d : .
3 1 2
2 2 2
x 2 y 2 z
x 1 y 1 z 1
C. d : .
D. d :
.
1 1 1
3 1 1
Đáp án C.
Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua A và song song với P Q : x y 2z 4 0
Ta có d B;d AB d B,d
max AB d.

Ta có AB 1; 1;0 u AB, n 2; 2;2
Do đó phương trình đường thẳng d là
d
p
x 2 y 2 z
d : .
1 1 1
Câu 79(Đặng Việt Hùng-2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):
2 2 2
x y z 3. Một mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần
lượt tại A, B, C và thỏa mãn
2 2 2
OA OB OC 27.
Diện tích của tam giác ABC bằng
3 3
9 3
A. B. C. 3 3 D. 9 3
2
2
Đáp án B.
2 2 2
Mặt cầu S : x y z 3 có tâm O 0;0;0 và bán kính R 3
Aa;0;0 , B0;b;0 ,
Giả sử C 0;0;c với a,b,c 0 Phương trình mặt phẳng là:
x y z
1 0 . (Dethithpt.com)
a b c
2 2 2 2 2 2
Để ý rằng OA OB OC 27 a b c 27 và vì tiếp xúc mặt cầu
S :
0 0 0
1
a b c
1 1 1 1
d O, R 3 3
2 2 2
1 1 1 a b c 3
2 2 2
a b c
Ta luôn có bất đẳng thức
1 1 1
a b c
2 2 2
a b c 9
2 2 2
với
a,b,c 0.
Dấu bằng khi a b c 3 (Dethithpt.com)
Ta có.
V
O.ABC
OA.OB.OC abc 27
6 6 6
hoặc
ABC
d O, .S 9 3
VO.ABC
S
ABC
.
3 2
Câu 80Đặng Việt Hùng-2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P
: 2x y 3z 1 0. Một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng P
là
A. n 2; 1;3
B. n 2;1;3
C. n 2; 1; 3
D. n 4; 2;6
Đáp án D
1
Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng P
là n
2;1; 3 . 4; 2;6
.
P
2

Câu 81: (Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm
I 2; 2;0 . Viết phương trình mặt cầu tâm I bán kính R 4
2 2 2
A. x 2 y 2 z 4
B.
Đáp án C
2 2 2
C. x 2 y 2 z 16 D.
Ta có
2 2 2 2
S : x 2 y 2 z 4 16.
2 2 2
x 2 y 2 z 16
2 2 2
x 2 y 2 z 4
Câu 82: (Đặng Việt Hùng-2018)Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm
M 0;3; 2 và N 2; 1;0
.Tọa độ của véc tơ MN là
2;2; 2
A. 2; 4;2 B. 1;1; 1
C. 2;4; 2 D.
Đáp án A
MN 2; 4;2
Câu 83(Đặng Việt Hùng-2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm
A( 1;0;l ), B l; 1; l , C 5;0; 2 . Tìm tọa độ điểm H sao cho tứ giác ABCH theo thứ tự đó
lập thành hình thang cân với hai đáy AB, CH .
H1; 2;2
A. H 3; 1;0 B. H 7;1; 4 C. H 1; 3;4 D.
Đáp án C
Ta có
AB 2;1; 2
AB;AC
AB;AC
3;6;6 d C;AB
3
AC 6;0; 3
AB
Gọi M là hình chiếu của B trên HC BM 3.
Tam giác BMC vuông tại M, có
2 2
MC BC BM 3
Suy ra HC AB 2.MC 3 2.3 9 3AB CH 3BA

BA 2; 1;2
Mà
CH x 5; y;z 2
Vậy
H 1; 3;4 .
suy ra
x 5 3. 2 x 1
y 3. 1 y 3
z 2 3.2
z 4
Câu 84: (Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm
I 1; 1;1
: 2x y 2z 10 0
trình là:
và mặt phẳng . Mặt cầu S tâm I tiếp xúc có phương
2 2 2
S x y z
S x y z
A. : 1 1 1 1
B.
C. : 1 1 1 3 D.
Đáp án B
2 2 2
: 1 1 1 9
2 2 2
S x y z
S x y z
2 1
2 10
; 3
4 1
4
Ta có R d I
2 2 2 2
Khi đó
S : x 1 y 1 z 1 R 9
2 2 2
: 1 1 1 1
Câu 85(Đặng Việt Hùng-2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A1;2;3
: 2 0
và hai mặt phẳng P x và Q : y z 1 0 . Viết phương trình mặt phẳng đi qua A
và vuông góc với hai mặt phẳng P , Q .
A. x y z 5 0 B. x z 0 C. y z 5 0 D. x y 5 0
Đáp án C
Ta có n 1;0;0 ; n 0;1; 1
suy ra n
P
Q
;
n n
0;1;1
P Q
Suy ra phương trình mặt phẳng cần tìm là: y z 5 0
Câu 86 (Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng d đi qua
hai điểm M( 2;3;4 ), N( 3; 2;5) có phương trình chính tắc là
x
A. 3 y 2 z 5
B.
1 1 1
x
C. 3 y 2 z 4
D.
1 1 1
x 3 y 2 z 5
1 1 1
x 2 y 3 z 4
1 1 1
Đáp án B

MN 1; 1;1
phương trình đường thẳng MN là
x 3
y 2
z 5
1 1 1
Câu 87 (Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu
2 2 2
S : x y z 4x 2y 6z 2 0.
Mặt cầu S có tâm I với bán kính R là
A. I 2;1;3 ;R 2 3
B. I 2; 1; 3 ,R 12
C. I 2; 1; 3 ,R 4
D. I 2;1;3 ;R 4
Đáp án C
2 2 2
S : x y z 4x 2y 6z 2 0. Suy ra
I 2; 1; 3 , R 4
Câu 88: (Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian với hệ trục Oxyz cho hai điểm
A 1;2;1 , B 3;0;-1 và mặt phẳng P có phương trình x y z 0. Gọi M và N lần lượt là
hình chiếu của A và B trên mặt phẳng
(P). Tính độ dài đoạn MN
4 2
2
A. 2 3
B. C. D. 4
3
3
Đáp án B
3
AB 12;AM d A; P ;BN d B; P
3
3
2 4 6
3
2
MN AB AM BN
Câu 89 (Đặng Việt Hùng-2018) Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm mặt cầu
2 2 2
S : x y z 4x 6y 6z 17 0
và vuông góc với mặt phẳng P : x 2y 2z 1 0.
x 5 4t
x 1
t
x 2 t
A. y 3 3t . B. y 3 7t . C. y 3 2t. D.
z 2 4t
z 2 4t
z 3 2t
x 1
t
y 3 7t .
z 3 2t
Đáp án C.
Mặt cầu (S) có tâm
I 2; 3; 3 , bán kính R 5
Phương trình đường thẳng d là
x 2 t
d : y 3 2t.
z
3 2t

Câu 90 (Đặng Việt Hùng-2018) Cho điểm A 2; 1;0
và đường thẳng
x 1 y 1 z
d : . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với d.
2 1 2
A. P : 2x y 2z 5 0.
B.
C. P : 2x y 3z 3 0.
D.
P : 2x y 2x 3 0.
P : 2x y 2z 3 0.
Đáp án D.
Mặt phẳng (P) qua A 2; 1;0
và nhận u 2;1; 2
là một VTPT
P : 2x 2 y 1
2z 0 2x y 2z 3 0.
d
Câu 91(Đặng Việt Hùng-2018)Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I nằm trên tia Oy, bán
kính R 4 và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz)
2
2 2
A. x y z 2 16.
B.
Đáp án C.
C. x 2 y 4 z 2 16. D.
Ta có IOy I0;i;0 ,i 0.
i
2 2
x y 4 z 16.
2 2
x y 4 z 16.
2 2
Oxz : y 0 d I;Oxz R 4 4 i 4 I 0;4;0 x y 4 z 16.
Câu 92: (Đặng Việt Hùng-2018)Cho đường thẳng
P : 2x y 2z 0.
trình là:
4
x 2 y 1 z 1
d :
1 1 1
và mặt phẳng
Đường thẳng nằm trong (P), cắt d và vuông góc với d có phương
x 1
t
x 1
t
x 1
t
A. y 2 t. B. y 2 . C. y 2 . D.
z
t
z
t
z
t
x 1
t
y 2 .
z
t
Đáp án B.
Gọi A d P At 2; t 1; t 1
2t 2 t 1 2t 1 0 5t 5 0 t 1 A1; 2;0
.

ud
1; 1;1
Ta có
up
2;1; 2
x 1
t
u d;u
p
1;0;1 : y 2 t .
z
t
Câu 93: (Đặng Việt Hùng-2018)Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
x 1 y z 2
P : x 2y z 4 0 và đường thẳng d : . Viết phương trình đường thẳng
2 1 3
nằm trong mặt phẳng (P), đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng d.
x
A. 1 y 1 z 1
.
B.
5 1 3
x 1 y 1 z 1
.
5 1 3
x
C. 1 y 1 z 1
.
D.
5 1 2
x 1 y 3 z 1
.
5 1 3
Đáp án A.
Gọi
M d P
x 2y x 4 0
x 1 y z 2 M 1;1;1
2 1 3
suy ra tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình
Lại có:
d
u
u d;n
P 5;1;3
P Vậy
x 1 y 1 z 1
: .
5 1 3
Câu 94: (Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
A10;6; 2 ,B5;10; 9
và mặt phẳng có phương trình : 2x 2y z 12 0.
thuộc đường tròn
cố định. Hoành độ của tâm đường tròn
là:
Điểm M
di động trên mặt phẳng sao cho MA, MB tạo với các góc bằng nhau. Biết rằng M

9
A. .
B. 2. C. 10. D. 4.
2
Đáp án B.
Gọi M x; y;z AM x 10; y 6;z 2 ;BM x 5; y 10;z 9
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A, B lên
,
có AMH BMK.
Khi đó
AH
sin AMH
MA AH BK
2 2
MA 2MB MA 4MB .
BK MA MB
sin BMK
MB
Suy ra x 10 y 6 z 2 4 x 5 y 10 z 9
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 20 68 68 10 34 34 2
x y z x y z 228 0 S : x y z R .
3 3 3 3 3 3
S
Vậy M C là giao tuyến của và Tâm I 2;10; 12 .
Câu 95 (Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian Oxyz, một vecto chỉ phương của đường
x
2t
thẳng : y 1
t là:
z 1
Đáp án D.
A. m 2; 1;1 . B. m 2; 1;0 . C. m 2;1;1 . D. m 2; 1;0 .
Vecto chỉ phương trình đường thẳng là
m 2; 1;0 .
Câu 96 (Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng
: 2x 4y mz 2 0.
Tìm m để hai mặt phẳng và song song với nhau.
: x 2y z 1 0
và
A. m 1.
B. Không tồn tại m. C. m 2.
D. m 2.
Đáp án B.
2 4 m 2
Để / /
thì không tồn tại m.
1 2 1 1

Câu 97: (Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn véctơ
a 2;3;1 , b 5;7;0 , c 3; 2;4
và d 4;12; 3 . Mệnh đề nào sau đây sai?
A. a,b,c là ba vecto không đồng phẳng. B.
C. a b d c .
D.
Đáp án B.
Ta có: 2a 3b d 2c
2a 3b d 2c.
d a b c.
Câu 98: (Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian Oxyz, cho điểm
của M lên trục Oy là điểm
M 1;2;3 .
Hình chiếu
S0;0;3 . R 1;0;0 . Q0;2;0 .
A. B. C. D.
Đáp án C.
Hình chiếu của M lên trục Oy là Q0;2;0 .
P 1;0;3 .
Câu 99: (Đặng Việt Hùng-2018) Trong không gian Oxyz, cho điểm
đi qua M và chứa trục Ox có phương trình là ?
N 1;0; 1 .
Mặt phẳng
A. x z 0. B. y z 1 0. C. y 0.
D. x y z 0.
Đáp án C.
Mặt phẳng
nhận OM;u
Ox
là một VTPT.
Mà
OM 1;0; 1
uOx
1;0;0
Ox
OM;u 0; 1;0 .
Kết hợp với
đi qua M 1;0; 1 : y 0
0 y 0.
Câu 100: (Đặng Việt Hùng-2018)Trong không gian Oxyz cho các mặt phẳng
P : x y 2z 1 0,
Q : 2x y z 1 0
Gọi (S) là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành, đồng
thời (S) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2 và (S) cắt mặt
phẳng (Q) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng r. Xác định r sao cho chỉ đúng một
mặt cầu (S) thỏa yêu cầu.
3
A. r 3.
B. r 2.
C. r .
D.
2
3 2
r .
2
Đáp án D.

Gọi I a;0;0 là tâm của mặt cầu (S) có bán kính R.
a 1 2a 1
Khoảng cách từ tâm I đến hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt là d
1
;d
2
.
6 6
Theo giả thiết, ta có
a 1 2a 1
2 2
R d 2 d r 4 r
6 6
2 2 2 2 2 2
1 2
2 2 2 2 2
a 2a 25 4a 4a 1 6r 3a 6a 6r 24 0
(*).
Yêu cầu bài toán
* có nghiệm duy nhất ' 3 2 36r 2 24
0 r
3 2 .
2
Câu 101(Đặng Việt Hùng-2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
x 1 y 2 z 3
: 2x y 2z 2 0 và đường thẳng có phương trình d :
và điểm
1 2 2
1
A ;1;1 .
Gọi là đường thẳng nằm trong mặt phẳng ,
song song với d, đồng thời cách
2
d một khoảng bằng 3. Đường thẳng cắt mặt phẳng (Oxy) tại điểm B. Độ dài đoạn thẳng
AB bằng:
7 7 21
A. .
B. .
C. .
D.
3
2
2
Đáp án B.
Dễ thấy
d
và 1; 2; 3 d .
Ta có B Oxy B a;b;0 mà B 2a b 2 0 (1).
Lại có d / / d d ; d B; d 3. Đường thẳng d đi qua M 0;0; 1 , có
u 1;2;2 .
d
2 2 2
BM;u
d 2b 2 1 2a 2a b
Do dó d B; d
3 (2).
u
3
d
3 .
2
Từ (1), (2) suy ra
a;b 2; 2 B2; 2;0
a;b 1;4 B 1;4;0
.
Vậy
7
AB .
2
Câu 102: (Đặng Việt Hùng-2018)Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
2 2 2
S : x 1 y 2 z 1 8 và điểm M 1;1;2 . Hai đường thẳng d ,d qua điểm M
1 2

và tiếp xúc với mặt cầu (S) lần lượt tại A, B. Biết góc giữa và d bằng , với
Tính độ dài đoạn AB .
Đáp án A.
2 2 2
d1
2
3
cos .
4
A. 7. B. 11. C. 5. D. 7
Xét S : x 1 y 2 z 1 8 có tâm I 1; 2; 1 , bán kính R 2 2.
Tam giác MAI vuông tại A, có
2 2 2 2
MA MI IA MI R 14.
Tam giác MAB có 3
2 2
cosAMB AB MA MB 2.MA.MB.cosAMB 7.
4

Câu 1 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm
M ( 1; - 2;3 ),
N ( 3;0; -1)
và I là trung điểm của MN.
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. OI = 4i - 2 j + 2 k.
B. OI = 4i - 2 j + k.
C. OI = 2 i - j + k.
D.
OI = 2i - 2 j + 2 k.
Lời giải. Tọa độ điểm I ( 2; - 1;1)
¾¾® OI = ( 2; - 1;1)
= 2 i - j + k.
Chọn C.
Câu 2 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , điểm M ( 3; 4; -2)
thuộc mặt phẳng nào sau đây ?
A. ( P): x + y + 7 = 0. B. ( Q): x + y + z + 5 = 0. C. ( R): x + y + z - 5 = 0. D.
( S): z - 2 = 0.
Lời giải. Chọn C.
Câu 3 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A( 2;1;1 ),
B( 3;0; - 1 ),
C ( 2;0;3 ).
Mặt phẳng ( a ) đi qua hai điểm A,
B và song song với đường thẳng OC
có phương trình là
A. -3x - 7y + 2z
- 11 = 0. B. 3x + 7y -2z
- 11 = 0. C. 3x + 7y + 2z
- 11 = 0. D.
2x + y + z - 6 = 0.
Lời giải. Mặt phẳng ( a ) được xác định là đi qua điểm A ( 2;1;1)
và có VTPT là n = éAB, OC ù ê ú .
ë û
ìï AB = ( 1; -1;-2)
Ta có ï
í
éAB, OC ù
¾¾® ê ú = (-3;-7;2).
ï OC = ( 2;0;3)
ë û
ïî
Vậy ( a) : -3( x -2)-7( x - 1) + 2( z - 1)
= 0 hay ( a ): 3x + 7y -2z
- 11 = 0. Chọn B.
Câu 4 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng nào
dưới đây song song với mặt phẳng ( a ): x + y + z - 3 = 0 ?
ì x = 1+
2t
ì x = 2 + t
ì x = - 1+
2t
ì x = 3+
t
A. ï
íy
= 1 - t .
B. ï
íy
= - 1 + t . C. ï
íy
= - 1 - t . D. ï
íy
= - 2 t .
ï ïî z = 1-t
ï ïî z = - 1+
t
ï ïî z = -1-t
ï ïî z = t
Lời giải. Mặt phẳng ( a ) có VTPT n
= ( 1;1;1 ).
Để đường thẳng d ( a)
khi d có VTCP u vuông góc với n , đồng thời lấy trên d điểm M
bất kỳ đều không thuộc ( a).
Chọn C.
Câu 5 (Gv Huỳnh Đức Khánh). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tất cả các giá trị
2 2 2
của tham số m để phương trình x + y + z -2x -2y - 4z + m = 0 là phương trình của một mặt
cầu.
A. m < 6.
B. m £ 6 . C. m > 6.
D. m ³ 6.
Lời giải. Từ
2 2 2
ì a = 1
b = 1
x + y + z -2x -2y - 4z + m = 0 ¾¾®í
ï .
c = 2
ï
ïî d = m
2 2 2
Để phương trình đã cho là phương trình của một mặt cầu Û a + b + c - d > 0
2 2 2
Û 1 + 1 + 2 - m > 0 ¾¾® m < 6. Chọn A.
Câu 6. (Gv Huỳnh Đức Khánh) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lấy các điểm
1 1 1
a b c
A( a ;0;0), B( 0; b ;0)
, C ( 0;0; c)
trong đó a > 0 , b > 0 , c > 0 và + + = 2 . Khi a , b , c thay
đổi, mặt phẳng
( ABC ) luôn đi qua một điểm cố định có tọa độ

A. ( 1;1;1 ). B. ( 2;2;2)
. C. æ 1 1 1
; ;
ö ç . D.
çè 2 2 2÷
ø
æ 1 1 1
; ;
ö ç - - - .
çè 2 2 2÷
ø
x y z
a b c
Lời giải. Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng là: + + = 1.
1 1 1
1 1 1 2 2 2
a b c a b c
Từ giả thiết + + = 2 ¾¾® + + = 1. Kết hợp với a > 0 , b > 0 , c > 0 suy ra mặt phẳng
( ABC ) luôn đi qua một điểm cố định có tọa độ là 1 1 1
; ;
ç . Chọn C.
çè 2 2 2÷
ø
Câu 7 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng
( P): x - 2y + 2z
- 3 = 0 và mặt cầu ( S ) có tâm I ( 5; -3;5)
, bán kính R = 2 5 . Từ một điểm A
thuộc mặt phẳng ( P ) kẻ một đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu ( S)
tại điểm B . Tính OA biết
rằng AB = 4 .
A. OA = 6.
B. OA = 3.
C. OA = 11. D. OA = 5.
Lời giải. Gọi A( a; b;
c ). Do A Î( P) ¾¾® a - 2b + 2c
- 3 = 0. ( 1)
ìï 5-2. (- 3)
+ 2.5-3
d é I, ( P)
ù
= = 6
2 2 2
Ta có ï ë û
í 1 + (- 2) + 2 ¾¾® IA = d éI,
( P) ù
ë û
¾¾® IA ^ ( P)
hay A là hình chiếu
ï
2 2 2 2
ïî IA = AB + IB = AB + R = 6
vuông góc của I trên mặt phẳng ( P)
.
Câu 8 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm
A( a;0;0 ), B( 0; b;0 ), C ( 0;0; c ) với a, b,
c dương. Biết A, B,
C di động trên các tia Ox, Oy,
Oz sao
cho a + b + c = 2 . Biết rằng khi a, b,
c thay đổi thì quỹ tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện
OABC thuộc mặt phẳng ( P ) cố định. Khoảng cách từ M ( 2019;0;0)
tới mặt phẳng ( P)
bằng
A. 2018.
2018 2019 2020
B. .
D. .
C. .
3
3
3
Lời giải. Gọi M
a b
là trung điểm AB ¾¾® M æ ç ; ;0
là tâm đường tròn ngoại tiếp
çè 2 2 ÷
DOAB.
ø
Gọi d là đường thẳng qua M
ìï
a
x =
2
b
và vuông góc với mặt phẳng ( OAB) º ( Oxy)
¾¾® d : ï
íy
= .
2
z = t
ï
ïî
c
a OC ¾¾® ( a): z - = 0.
2
Gọi ( ) là mặt phẳng trung trực của đoạn
Khi đó tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là giao điểm của d và ( a)
có tọa độ là nghiệm
của hệ
ìï
a
x =
2
b
ï y =
æa b c ö
í 2 ¾¾® I
; ; .
ç2 2 2÷
è ø
z = t
c ï z - = 0.
ïî 2

Ta có
a b c a + b + c 2
x
I
+ yI + z
I
= + + = = = 1 ¾¾® x
I
+ yI + z
I
- 1 = 0 . Điều này chứng tỏ tâm
2 2 2 2 2
2019-1 é
2018
, ù
ë û
= = .
3 3
I của mặt cầu luôn thuộc mặt phẳng ( P): x + y + z - 1 = 0. Khi đó d M ( P)
Chọn B.
Câu 9 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
2 2 2
( S)
: x + y + z - 2x + 2z
+ 1 = 0
x y -2
z
1 1 1
S T T ¢ H
và đường thẳng d : = = . Hai mặt phẳng ( P ) , ( P ¢ )
-
chứa d và tiếp xúc với ( ) tại và (tham khảo hình vẽ). Tìm tọa độ trung điểm của
TT ¢ .
P
T
H
I
A. H æ 5 ; 1 ;
5ö
5 2 7
ç - . B. . C. . D.
çè 6 3 6÷
H æ ; ;
ö 5 1 5
ç - ø
çè 6 3 6÷
H æ ç- ç ; ;
ö ø
çè 6 3 6÷
ø
7 1 7
H æ ç- ç ; ;
ö .
çè 6 3 6÷
ø
Lời giải. Mặt cầu ( S ) có tâm mặt cầu I ( 1; 0; -1)
, bán kính R = 1 .
ì
ï d ^ IT
¢
ï
ïî d ^ IT ¢
Gọi K = d Ç ( ITT ¢ ). Ta có í Þ d ^ ( ITT ) nên K là hình chiếu vuông góc của I trên d
Þ K ( 0; 2; 0 ).
K
d
IH IH IK R
= = = 2 2
= ¾¾® = ¾¾® - IK IK IK
ç è
6 ÷ ø 6 6 çè 6 3 6÷
ø
2
. æ 1 ö 2
1 1 æ5 1 5ö
Ta có ÷
IH IK H ç ; ; . Chọn A.
T ¢
P ¢
Câu 10. (Gv Huỳnh Đức Khánh) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác
8 4 8
ABC nhọn có H ( 2;2;1 ),
K æ ç- ç ; ; ,
çè 3 3 3÷
ø
O lần lượt là hình chiếu vuông góc của A , B , C trên
các cạnh BC , AC , AB . Đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) có
phương trình là
8 2 2
x - y - z +
x + 4 y + 1 z -1
A. d : = = . B. d :
3
=
3
=
3 .
1 -2 2
1 -2 2
4 17 1
x + y - z -
C. :
9 9 9
x y -6
z
d = = . D. d : = = .
1 -2 2
1 - 2 2
Lời giải. Để giải quyết bài này ta sử dụng hai tính chất sau:
Tâm đường tròn nội tiếp tam giác OHK là trực tâm của tam giác ABC.

Công thức tâm tỷ cự của tâm đường tròn nội tiếp tam giác
HK. IO + OH. IK + OK. IH = 0.
A
OHK
là
K
O
I
B
H
Mặt phẳng ( ABC ) có VTPT n = éOH , OK ù
ê ú = ( 4; -;8;8).
ë û
Ta có OH = 3, OK = 4, HK = 5.
Gọi I là trực tâm của tam giác ABC , suy ra I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OHK .
ì HK. xO + OH. x
K
+ OK.
x
H
x
I
=
HK + OH + OK
ì x
I
= 0
HK. yO OH. yK OK.
y
H
Khi đó tọa độ điểm I được xác định: ï
+ + íyI
= Þ ï
íyI
= 1 , suy ra I ( 0;1;1)
.
HK + OH + OK
ï z
I
= 1
HK. zO + OH. z
K
+ OK.
z ïî
H
ïz
I
=
ïî HK + OH + OK
ì x = 2t
Đường thẳng AH : ï
íy = 1 + t . Điểm A Î AH ¾¾® A( 2 t;1 + t;1 ).
ï ïî z = 1
Ta có OA. OI = 0 ¾¾® A( -4;-1;1)
. Chọn A.
Câu 11 (Gv Huỳnh Đức Khánh). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm
O ( 0;0;0), A ( 1;0;0 ) , B ( 0;1;0 ), và C ( 0;0;1)
. Hỏi có bao nhiêu điểm cách đều các mặt phẳng
( OAB ), ( OBC ), ( OCA ) , ( ABC )?
A. 1. B. 4 . C. 5 . D. 8 .
ìï ( OAB) º ( Oxy)
( ) ( )
Lời giải. Ta có ï
OCD º Oyz
í
. Gọi P ( a; b;
c)
là tọa độ điểm cần tìm.
( CDA) º ( Oxz)
ï
ïî ( ABC ): x + y + z = 1
Theo đề bài, ta cần có
Có tất cả
a = b = c =
a + b + c -1 .
3
trường hợp và đều có nghiệm. Cụ thể:
8
é a = b = c
a = b = -c
● a = b = c ¾¾® .
a = - b = c
ê
êë - a = b = c
C

a + b + c -1
● Mỗi trường hợp trên kết hợp với c =
sinh ra hai trường hợp. Chọn D.
Câu 12. (Gv Huỳnh Đức Khánh) Trong không gian Oxyz , tính khoảng cách d từ điểm
ì x = 1+
t
M ( 1;3;2 ) đến đường thẳng D : ï
íy
= 1 + t .
ï ïî z = -t
A. d = 2.
B. d = 2.
C. d = 2 2.
D. d = 3.
Lời giải. [Dùng công thức] Đường thẳng D đi qua A ( 1;1;0 ) có VTCP u = ( 1;1; -1).
é
u;
AM ù
Suy ra AM = ( 0;2;2 ),
éu; AM ù ê ú
ê ú = ( 4; - 2;2 ).
Vậy d ( M , D ) =
ë û
= 2 2. Chọn C.
ë û
u
Cách 2. Tìm tọa độ hình chiếu H của M trên D . Khi đó d ( M , D ) = MH.
Câu 13. (Gv Huỳnh Đức Khánh) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tìm tọa độ hình
chiếu H của A( - 1;3;2 ) trên mặt phẳng ( P): 2x - 5y + 4z
- 36 = 0.
A. H (-1; - 2;6 ).
B. H ( 1;2;6 ).
C. H ( 1; -2;6).
D.
H ( 1; -2;-6).
Lời giải. Mặt phẳng ( P ) có VTPT n = ( 2; -5;4)
.
P
Gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc với ( P ) nên có VTCP u = n = ( 2; -5;4)
.
x + 1 y -3 z -2
2 -5 4
Suy ra d : = = .
Khi đó tọa độ hình chiếu H ( x; y;
z ) thỏa mãn hệ Þ H ( 1; -2;6)
. Chọn C.
3
ì x + 1 y -3 z -2
ï = =
í 2 -5 4
ï
ïî 2x - 5y + 4z
- 36 = 0
Câu 14 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
A ( 0;1;1)
và B ( 1;2;3)
. Viết phương trình mặt phẳng ( P)
đi qua A và vuông góc với đường
thẳng AB .
A. ( P): x + y + 2z
- 3 = 0.
B. ( P): x + y + 2z
- 6 = 0.
C. ( P): x + 3y + 4z
- 7 = 0.
D. ( P): x + 3y + 4z
- 26 = 0.
Lời giải. Chọn A.
Câu 15 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng d đi
qua điểm M ( 1;2;3)
và song song với trục Oy có phương trình tham số là
ì x = 1+
t
ì x = 1
ì x = 1
A. d : ï
íy
= 2 . B. d : ï
íy = 2 + t . C. d : ï
íy
= 2 . D.
ï ïî z = 3
ï ïî z = 3
ï ïî z = 3+
t
ì x = 1-t
d : ï
íy = 2 + t .
ï ïî z = 3-t
Lời giải. Ta có d song song với Oy nên có VTCP j = ( 0;1;0 ). Chọn B.
Câu 16 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC
với A ( 1;1;1 ) ; B( - 1;1;0 ); C ( 1;3;2 ) . Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC
nhận vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương?
d
P

A. a
= ( 1;1;0 ) . B. b = (-2;2;2)
. C. c = (-1;2;1
) . D.
.
Lời giải. Trung điểm BC có tọa độ I ( 0;2;1)
d = (-1;1;0
)
¾¾® trung tuyến từ A có một vectơ chỉ phương là AI = (-1;1;0
). Chọn D.
Câu 17 (Gv Huỳnh Đức Khánh). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu
( S) : ( x - 1) 2 + ( y - 1) 2 + ( z + 2)
2
= 4 và điểm A( 1;1; -1)
. Ba mặt phẳng thay đổi đi qua A và đôi
một vuông góc nhau, cắt mặt cầu theo thiết diện là ba hình tròn. Tổng diện tích của ba hình
tròn này bằng
A. 3 p.
B. 4 p.
C. 11 p.
D. 12 p.
Lời giải. Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 1;1; -2)
, bán kính R = 2 .
Gọi ba mặt phẳng đôi một vuông góc thỏa mãn bài toán là ( a) ,( b) , ( g)
.
Gọi M , N,
P lần lượt là hình chiếu vuông góc của I trên ( a) ,( b) , ( g ). Suy ra M , N,
P là
tâm của các đường tròn giao tuyến.
M
R a
R
M
I
N
I
A
P
2 2 2
Xét đường tròn giao tuyến nằm trong mặt phẳng ( a)
có: R = R -
a
IM .
2 2 2
Tương tự, ta có R = R - 2 2 2
b
IN và R = R -
g
IP .
Suy ra R 2 + R 2 + R 2 = 3R 2 - éIM 2 + IN 2 + IP 2 ù = 3R 2 - IA
2 = 11 .
a b g
êë
úû
2 2 2
S = R p + R p + R p =
2 2 2
R + R + R p = 11p
( )
Vậy tổng diện tích ba hình tròn: . Chọn C.
a b g a b g
Câu 18 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm E ( 8;1;1)
.
Mặt phẳng ( a)
qua E và cắt các tia Ox, Oy,
Oz lần lượt tại A, B,
C sao cho OG nhỏ nhất với
G là trọng tâm tam giác ABC . Mặt phẳng ( a)
đi qua điểm nào trong các điểm sau đây?
A. ( 4;2;2 ). B. ( 5;2;2 ). C. ( 7;2;2 ). D. ( 8;2;2 ).
Lời giải. Giả sử ( a ) cắt các tia Ox, Oy,
Oz lần lượt tại A( a;0;0 ), B( 0; b;0 ), C ( 0;0; c)
với abc ¹ 0.
Suy ra phương trình ( a ): x + y + z = 1 .
a b c
8 1 1
Vì E Î( a)
¾¾® + + = 1.
a b c
æa b c ö
2 2 2 2
Trọng tâm tam giác ABC là G ç ; ; ¾¾® 9 OG = a + b + c .
çè 3 3 3÷
ø
Bài toán trở thành '' Cho x, y, z > 0 thỏa 8x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
1 1 1
P = + + '' .
2 2 2
x y z

Từ
ì
ïx, y, z > 0 1
í
¾¾® y + x = 1- 8x > 0 « x < .
ï ïî 8x + y + z = 1 8
1 2 1 8 1 8
P ³ .
x + 2 yz
³ x + 2 y + z = 2 x
+ 2 1-8x
2
Ta có
( ) ( )
1 8
Khảo sát hàm f ( x)
= trên , ta được .
x
+ æ 1 ö 0; æ 1 ö 2
( 1 - 8x)
2 ç çè 8 ÷
min f ( x)
= f
ç ø
æ 1ö ç 0; çè 12÷
ø
8
÷
ìï
1 1
=
12 a
ì a = 12
1 1 1
Khi đó y = z = ¾¾® ï
í = Þ ï
íb = 6 ¾¾® ( a)
: x + 2y + 2z
- 12 = 0 . Chọn A.
6 6 b
ï c = 6
1 1 ïî
ï =
ïî 6 c
çè ø÷
Câu 19 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm
M ( 2;0;0), N ( 1;1;1 ) . Mặt phẳng ( P ) thay đổi qua M , N cắt các trục Oy,
Oz lần lượt tại
B( 0; b;0 ), C ( 0;0; c) ( b ¹ 0, c ¹ 0) . Hệ thức nào sau đây là đúng?
1 1
b c
A. bc = 2( b + c)
. B. bc = + . C. bc = b + c . D. bc = b -c
.
x y z
2 b c
Lời giải. Theo giả thiết, ta có: M ( 2;0;0 ), B( 0; b;0 ), C ( 0;0; c ) thuộc ( P ) nên ( P): + + = 1.
1 1 1
2 b c
Lại có N ( 1;1;1 ) Î ( P)
nên + + = 1 Û bc = 2( b + c)
. Chọn A.
Câu 20 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Trong không gian với hệ tọa độ
x - 1 y z + 1
1 1 2
Oxyz , cho điểm A( 1;0;2 )
và đường thẳng d : = = . Viết phương trình đường thẳng D đi qua A,
vuông góc
và cắt d .
x -1 y z -2
1 1 1
x -1 y z -2
D : = = .
1 -3 1
x -1 y z -2
x -1 y z -2
D = =
1 1 - 1
2 2 1
A. D : = = . B. : . C. D : = = . D.
Lời giải. Gọi B = D Ç d , suy ra B Î d nên B( 1 + t; t; - 1+
2t)
.
Khi đó D có VTCP là AB = ( t; t;2t
-3). Đường thẳng d có VTCP u = ( 1;1;2 ).
Theo đề bài: D ^ d Û AB. u = t + t + 4t - 6 = 0 Û t = 1 Þ B( 2;1;1)
.
d
Đường thẳng D cần tìm đi qua hai điểm A,
B nên :
. Chọn B.
x -1 y z -2
D = =
1 1 - 1
d
Câu 21 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng
x -2 y - 1 z + 1
d : = =
3 -1 1
' 3;1; 5 .
và điểm A ( 1;2;3)
. Tọa độ điểm A'
đối xứng với A qua d là
A. A ( - )
B. A' (- 3;0;5 ).
C. A' ( 3;0; - 5 ).
D. A' ( 3;1;5 ).
Lời giải. Đường thẳng d có một VTCP u = ( 3; -1;1)
.
d
n =
a
u = -
d
Gọi ( a)
là mặt phẳng qua A và vuông góc với d nên có một VTPT ( 3; 1;1)
.

Do đó ( a): 3x - y + z - 4 = 0 .
ì x -2 y - 1 z + 1
ï = =
í 3 -1 1
ï
ïî 3x - y + z - 4 = 0
Tọa độ hình chiếu vuông góc H của A trên d thỏa mãn Þ H ( 2;1; -1)
.
Khi đó H là trung điểm của AA ' nên suy ra A' ( 3;0; -5)
. Chọn C.
Câu 22 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz , giao điểm của hai
ì x = - 3+
2t
ì x = 5 + t '
đường thẳng d : ï
íy = - 2 + 3t
và d ' : ï
íy = - 1 - 4 t ' có tọa độ là
ï ïî z = 6 + 4t
ï ïî z = 2-8 t '
A. (-3;- 2;6 ).
B. ( 3;7;18 ). C. ( 5; - 1;20 ).
D. ( 3; -2;1).
ì- 3+ 2t
= 5 + t '
3
Lời giải. Ta giải hệ ï
ì t =
í- 2 + 3t
= -1-4 t ' Þ ï
í .
t ' = -2
ï 6 + 4t
= 2-8 t '
ïî
ïî
Thay t = 3 vào d , ta được ( x; y; z ) = ( 3;7;18)
. Chọn B.
Cách trắc nghiệm: Thay từng đáp án vào hai đường thẳng d và d '.
Câu 23 (Gv Huỳnh Đức Khánh). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
A ( 4;1; -2)
và B ( 5;9;3)
. Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là:
A. 2x + 6y - 5z
+ 40 = 0. B. x + 8y -5z
- 41 = 0. C. x -8y -5z
- 35 = 0. D.
x + 8y + 5z
- 47 = 0.
æ ö
Lời giải. Tọa độ trung điểm của AB là 9 1
M ç ;5;
÷ .
çè 2 2ø
Mặt phẳng cần tìm đi qua M æ ç 9 ;5;
1ö
và nhận làm một VTPT nên có phương trình
çè 2 2÷
AB = ( 1;8;5)
ø
x + 8y + 5z
- 47 = 0 . Chọn D.
Câu 24 (Gv Huỳnh Đức Khánh). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
( P): 3x - z + 2 = 0. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của ( P)
?
A. n = (-1;0; -1)
. B. n = ( 3; -1;2)
. C. n = ( 3; -1;0)
. D. n = ( 3;0; -1)
.
Lời giải. Chọn D.
Câu 25 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm
A( 3;0;0 ), B( 0;2;0 ), C ( 0;0;6)
và D( 1;1;1 ) . Kí hiệu d là đường thẳng đi qua D sao cho tổng
khoảng cách từ các điểm A, B,
C đến d lớn nhất. Hỏi đường thẳng d đi qua điểm nào dưới
đây?
A. M (-1; - 2;1)
. B. N ( 5;7;3)
. C. P ( 3;4;3)
. D. Q ( 7;13;5)
.
Lời giải. Kiểm tra ta thấy D Î ( ABC ): 2x + 3y + z - 6 = 0 .
ìï d [ A,
d ] £ AD
Ta có ï
íd [ B, d ] £ BD Þ d [ A, d ] + d [ B, d ] + d [ C, d ] £ AD + BD + CD.
ï
ïî
d [ C,
d ] £ CD
ì x = 1+
2t
Dấu " = " xảy ra khi d ^ ( ABC ) tại điểm D . Do đó d : ï
íy = 1 + 3t ¾¾® N Î d . Chọn B.
ï ïî z = 1+
t

Câu 26 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A' B ' C ' D ' có điểm A trùng
gốc tọa độ O , các điểm B( m ;0;0),
D( 0; m ;0),
A' ( 0;0; n ) với m, n > 0 và m + n = 4. Gọi M là
trung điểm của CC '. Thể tích tứ diện BDA'
M lớn nhất bằng bao nhiêu?
64 9 4 16
A. .
B. .
C. .
D. .
27
4
3
27
æ nö Lời giải. Từ giả thiết, ta suy ra C ( m; m ;0),
C ¢ ( m; m;
n)
và M ç m; m; là trung điểm .
çè 2 ÷
CC ¢
ø
ìï BA¢ = (-m;0;
n)
2
Ta có ï éBA'; BDù
æ nö í ¾¾® ê ú = (-mn;-mn;-m
) và BM = 0; m; .
ï BD = (-m; m;0)
ë û
ç çè 2÷
ø
ïî
2 2
3 2
1 m . n m ( 4 -m)
- m + 4m
Thể tích khối chóp BDA¢
M là V . BA'; BD . BM
.
BDA¢
= é ù = = =
M
6
êë
úû
4 4 4
3 2
- m + 4m
8 64
Xét hàm f ( m)
= trên khoảng ( 0;4)
, ta được max f ( m)
= f æ ç ö = . Chọn A.
4
( 0;4)
çè 3÷
ø 27
Cách khác. Áp dụng BĐT Côsi, ta có
2
1 1 1
3
2 m n 64
4 = m + n = m + m + n ³ 3 m n ¾¾® £ .
2 2 4 4 27
Câu 27 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm
A( 0;0;0 ), B( 0;1;1 ), C ( 1;0;1). Xét điểm D thuộc mặt phẳng Oxy sao cho tứ diện ABCD là một tứ
diện đều. Kí hiệu D( x0; y0;
z0
) là tọa độ của điểm D . Tổng x0 + y0
bằng
A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 .
Lời giải. Tính được AB = BC = CA = 2 .
Do
D Î( Oxy) ¾¾® D( x ; y ;0). Yêu cầu bài toán
0 0
ìï DA = 2
« DA = DB = DC = 2 « ï
íDB
= 2
ï DC = 2
ïî
ìï 2 2
2 2
x0 + y0
= 2 ì
x0 + y0
= 2
2 2 2
2
ì x0
= 1
Û ï
í x0 + ( y0 - 1)
+ 1 = 2 Û ï
íx0 + ( y0 - 1)
= 1 Û ï
í ¾¾® x0 + y0
= 2.
ï y
2
0
= 1
ïî
2 2
2
ï ( x )
( 0
1)
0
1
0
- 1 + y0
+ 1 = 2 ïî
x - + y =
ïî
Chọn C.
Câu 28 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
( P): 3x + y - 3z
+ 6 = 0 và mặt cầu ( S) : ( x - 4) 2 + ( y + 5) 2 + ( z + 2)
2
= 25 . Mặt phẳng ( P)
cắt mặt
cầu ( S)
theo giao tuyến là một đường tròn. Đường tròn giao tuyến này có bán kính r bằng
A. r = 6
B. r = 5
C. 6
D.
Lời giải. Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 4; -5;-2)
, bán kính R = 5.
3.4 + (-5)- 3. (- 2)
+ 6
Ta có d éI, ( P)
ù
ë û
= = 19 .
2 2
3 + 1 + (-3) 2
r = r = 5
2 2 2
Bán kính đường tròn giao tuyến: r = R - d éI, ( P)
ù
ë û
= 5 - 19 = 6 . Chọn C.
Câu 29 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm
A ( 3;3;1), B ( 0;2;1)
và mặt phẳng ( P): x + y + z - 7 = 0 . Đường thẳng d nằm trong ( P)
sao cho
mọi điểm của d cách đều hai điểm A,
B có phương trình là

ì x = t
ì x = 2t
ì x = t
ì x = -t
A. ï
íy
= 7 + 3t
. B. ï
íy
= 7 - 3t
. C. ï
íy
= 7 - 3t
. D. ï
íy
= 7 - 3t
.
ï ïî z = 2t
ï ïî z = t
ï ïî z = 2t
ï ïî z = 2t
Lời giải. Phương trình mặt phẳng trung trực của AB là ( a ): 3x
+ y - 7 = 0 .
Đường thẳng cần tìm d cách đều hai điểm A,
B nên sẽ thuộc mặt phẳng ( a)
.
ì
ïx + y + z - 7 = 0
í
ï ïî 3x
+ y - 7 = 0
ì
ïz
= 2t
í
ï ïî y = 7-3t
Lại có d Ì ( P)
, suy ra d = ( P) Ç( a)
hay d :
. Chọn x = t , ta được .
Chọn C.
Câu 30 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét mặt phẳng
x y z
( P): 1
a b c
+ + = ( a, b,
c là ba số cho trước khác 0) và đường thẳng d : ax = by = cz . Chọn
khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. d nằm trong ( P).
B. d song song với ( P).
C. d cắt ( P ) tại một điểm nhưng không vuông góc với ( P).
D. d vuông góc với ( P).
æ1 1 1ö 1
Lời giải. Mặt phẳng ( P ) có một VTPT nP
= ç ; ; = ( bc; ac; ab)
.
çè a b c ÷ ø abc
x y z
Đường thẳng d : ax = by = cz Û = = ¾¾® d có một VTCP ud
= ( bc; ac; ab)
.
bc ac ab
Nhận thấy n
P
cùng phương với u
d
. Chọn D.
Câu 31 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho d là đường
thẳng đi qua điểm A ( 1;2;3)
và vuông góc với mặt phẳng ( a ): 4x + 3y - 7z
+ 1 = 0 . Phương trình
tham số của d là
ì x = - 1+
4t
ì x = 1+
4t
ì x = 1+
3t
A. ï
íy
= - 2 + 3 t . B. ï
íy
= 2 + 3 t . C. ï
íy
= 2 - 4 t . D.
ï ïî z = -3-7t
ï ïî z = 3-7t
ï ïî z = 3-7t
ì x = - 1+
8t
ï
íy
= - 2 + 6 t .
ï ïî z = -3-14t
Lời giải. Mặt phẳng ( a ) có một VTPT là n a
= ( 4;3; -7).
Do d ^ ( a)
nên d có VTCP là ud
= n a
= ( 4;3; -7). Chọn B.
Câu 32 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng ( a)
chứa
trục Oz và đi qua điểm P ( 2; -3;5)
có phương trình là
A. ( a ): 2x
+ 3y
= 0. B. ( a): 2x
- 3y
= 0. C. ( a ): 3x
+ 2y
= 0. D.
( a ): y + 2z
= 0.
Lời giải. Mặt phẳng ( a)
chứa trục Oz nên phương trình có dạng Ax + By = 0 với
2 2
A + B ¹ 0.
Lại có ( a ) đi qua P ( 2; -3;5)
nên 2A - 3B = 0 . Chọn B = 2 ¾¾® A = 3 .
Vậy phương trình mặt phẳng ( a) : 3x
+ 2y
= 0 . Chọn C.
Câu 33 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A( 2;1;0 )
2
2 2
và mặt cầu ( S) : x + ( y + 1) + ( z - 2)
= 8. Đường thẳng ( D)
thay đổi qua A và tiếp xúc với ( S)

tại B . Biết khi ( D)
thay đổi thì B thuộc một đường cong ( w)
cố định. Diện tích của hình
phẳng giới hạn bởi đường cong ( w)
bằng
8 .
3 p 3 p.
4 p.
A. 2 p.
B. C. D.
Lời giải. Mặt cầu ( S ) có tâm là I ( 0; -1;2)
và bán kính
R = 2 2 = IB.
Theo đề ta suy ra IB ^ AB và B nằm trên đường tròn ( w)
có tâm
H bán kính HB như hình vẽ.
2 2
Ta tính được IA = 2 3 Þ AB = IA - IB = 2.
Từ đó tính được
IB. AB 2 6
HB = = .
AI 3
Vậy diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đường cong
2 8
S = pHB
= p .
3
Chọn B.
Câu 34 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Trong không gian với hệ tọa độ
( w)
là
Oxyz , cho điểm A( 0;0;2)
ì x = 1+
t
và hai đường thẳng d : 2x = y = z , d ' : ï
íy = 2 - t . Tìm tọa độ của điểm N
ï ïî z = 0
thuộc đường thẳng
d ' sao cho đường thẳng AN cắt đường thẳng d tại một điểm.
A. N ( 0;3;0 ).
B. N ( 2;1;0 ).
C. N ( 1;2;0 ).
D.
N ( 0;0;3 ).
ì x t '
x y z
=
Lời giải. Viết lại d : d : ï
ìï
= = ¾¾® y = 2 t '. Gọi ï
M ( m;2 m;2m)
Î d
í
í
.
1 2 2
ï N ( 1 + n;2 -n;0)
Î d '
ï ïî z = 2 t '
ïî
ìï AM = ( m;2 m;2m
-2)
Suy ra ï
í
éAM , AN ù
¾¾® = ( 2mn -8m - 2n + 4;2mn + 4m -2n -2;-3mn)
.
ï ê ú
AN = ( 1 + n;2 -n;-2)
ë û
ïî
Để AN cắt d tại M ¬¾® ba điểm A, M , N thẳng hàng ¬¾® éAM , AN ù
ê ú = 0
ë û
ì 2mn -8m - 2n
+ 4 = 0 ìï 1
m =
Û ï2mn 4m 2n 2 0
ï
í + - - = « í 2 ¾¾® N ( 1;2;0 ). Chọn C.
ï 3mn
0
ïî - = ïî
n = 0
Câu 35 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng
x - 1 y + 1 z + 2
d :
2 2 1
= = và mặt phẳng ( P): x + 2y + 2z
- 7 = 0 . Gọi I là giao điểm của d và ( P)
.
Tính khoảng cách từ điểm M thuộc d đến ( ) , biết
P IM = 9.
A. 3 2. B. 2 5. C. 15. D. 8.
Lời giải. Đường thẳng d có VTCP u = ( 2;2;1)
. Mặt phẳng ( P ) có VTPT n = ( )
Suy ra sin của góc a tạo bởi d và ( ) bằng
d
P
1;2;2 .
d
P .
M
ud
nP
=
8 .
u . n 9
d
P
Khi đó d éM ,( P)
ù = IM.sin a = 8. Chọn D.
ë û
( P)
I

Câu 36. (Gv Huỳnh Đức Khánh) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
ì x = 1
d : ï
íy = 2 + 3 t . Đường thẳng d đi qua điểm nào dưới đây ?
ï ïî z = 5-t
A. M ( 1;5;4 ). B. M (-1; -2;- 5)
. C. M ( 0;3; - 1)
. D. M ( 1;2; -5).
Lời giải. Kiểm tra ta thấy đáp án A thỏa mãn. Chọn A.
Câu 37 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng
( P): x + 2y - z + 3 = 0 và ( Q) : x - 4 y + ( m - 1)
z + 1 = 0 với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị
của tham số thực m để mặt phẳng ( P ) vuông góc với mặt phẳng ( Q).
A. m = -6.
B. m = -3.
C. m = 1.
D. m = 2.
Lời giải. Ta có VTPT của hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) lần lượt là u
1
= ( 1;2; -1)
và
u2 = ( 1; -4; m -1).
Để ( P) ^ ( Q) Û u1. u2
= 0 Û 1.1+ 2. (- 4) + (-1).( m - 1)
= 0 ¾¾® m = -6.
Chọn A.
Câu 38 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm I ( 1;0; -2)
và mặt phẳng ( P): x + 2y - 2z
+ 4 = 0. Phương trình mặt cầu ( S)
tâm I và tiếp xúc với mặt
phẳng ( P)
là
2 2
2
2
A. ( x + 1) + y + ( z - 2)
= 9.
B. ( x ) y ( z )
2 2
- 1 + + + 2 = 3.
2 2
2
2 2
2
C. ( x - 1) + y + ( z + 2)
= 9.
D. ( x + 1) + y + ( z - 2)
= 3.
Lời giải. Do mặt cầu ( S ) tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) nên có bán kính là R d éI ( P)
ù
2 2
2
Do đó phương trình mặt cầu ( S ) là: ( x - 1) + y + ( z + 2)
= 9. Chọn C.
=
ë
,
û
= 3.
Câu 39 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
x + 2 y - 2 z + 3
A( 1; -2;- 3 ),
B( -1;4;1)
và đường thẳng d : = = . Phương trình nào dưới đây là
1 -1 2
phương trình của đường thẳng đi qua trung điểm đoạn thẳng AB và song song với d ?
A. x y - 1 z + 1
= = . B. x y - 2 z + 2
= = . C. x y - 1 z + 1
= = . D.
1 -1 2
1 -1 2
1 1 2
x y + 1 z -1 = = .
1 -1 2
Lời giải. Trung điểm của đoạn thẳng AB là I ( 0;1; -1)
Phương trình đường thẳng đi qua I và nhận u d
= ( 1; -1;2)
làm VTCP là
x y - 1 z +
= =
1 .
1 -1 2
Chọn A.
Câu 40 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
A( 1;3; - 1)
và B( 3; -1;5).
Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn hệ thức MA = 3 MB.
A. M æ 5 ; 13 ;1 ö 7 1
ç . B. C. D.
çè 3 3 ÷
M æ ç ö ; ;3 .
ø
çè 3 3 ÷
M ( 4; - 3;8 ).
M ( 0;5; -4).
ø

Lời giải. Chọn C.
Câu 41 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A( 4; -4;2)
và mặt phẳng ( P)
có phương trình 2x - 2y + z = 0 . Gọi M là điểm thuộc mặt phẳng ( P)
, N
là trung điểm OM , H là hình chiếu của O trên AM . Biết rằng khi M thay đổi đường thẳng
HN luôn tiếp xúc với mặt cầu cố định. Tính bán kính R của mặt cầu đó.
A. R = 2 3.
B. R = 3 2.
C. R = 3.
D. R = 6.
Lời giải. Mặt phẳng ( P ) có VTPT n = ( 2; - 2;1) OA
= ( 4; -4;2).
Suy ra đường thẳng OA vuông góc với mặt phẳng ( P)
¾¾®D OAM vuông tại O.
Do bài toán đúng với mọi điểm M thuộc ( P)
nên ta chọn một trường hợp đặc biệt để làm
trắc nghiệm cho nhanh. Chọn điểm M sao cho tam giác AOM vuông cân tại O.
A
H
I
( P)
M
N
O
Mà OH ^ AM nên H là trung điểm của AM ; Lại có N là trung điểm OM nên ¾¾® HN AO.
Gọi I là trung điểm của OA
ìIH
^ HN
OA ¾¾®í
ï
ï ïî IH = IA = IO
AM
2
¾¾® HN luôn tiếp xúc với mặt cầu tâm I , bán kính R = = 3 . Chọn C.
Câu 42. (Gv Huỳnh Đức Khánh) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác
ABC với A( 1; -2;1), B( -2;2;1), C ( 1; -2;2).
Hỏi đường phân giác trong góc A của tam giác
ABC cắt mặt phẳng ( Oyz)
tại điểm nào sau đây ?
æ 4 8ö A. 0; ; æ 2 4ö ç - .
B. C. D.
çè 3 3÷
0; ; æ 2 8ö ç - .
ø
çè 3 3÷
0; ; æ 2 8ö ç - .
ø
çè 3 3ø÷
ç 0; ;- .
çè 3 3ø÷
ìï ( 3;4;0)
5
Lời giải. Ta có ï
AB = - ® AB =
í
ï
ïî
AC = ( 0;0;1)
® AC = 1
VTCP của đường phân giác trong góc A của tam giác ABC là
1 1 æ 3 4 ö
u = AB + AC = ç - ; ;1 .
AB AC çè 5 5 ø÷
ìï
3
x = 1-
t
5 4
Phương trình đường phân giác góc A là d : ï
íy = - 2 + t
5
z = 1+
t
ï
ïî

2 8
Đường thẳng d cắt mặt phẳng ( Oyz)
tại M æ ç 0; - ; ö . Chọn C.
çè 3 3÷
ø
Câu 43 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
( P): x + 3y - 2z
+ 2 = 0
x - 1 y + 1 z -4
2 -1 1
B, C a; b;
c C AB.
và đường thẳng d : = = . Đường thẳng qua A( 1;2; -1)
và
cắt ( P),
d lần lượt tại ( ) sao cho là trung điểm của Giá trị của biểu thức
a + b + c bằng
A. -15.
B. -12.
C. -5.
D. 11.
Lời giải. Ta có C Î d ¾¾® C ( 1+ 2 t; -1- t;4 + t)
. Do C là trung điểm của
AB ¾¾® B( 4t + 1; -2t - 4;2t
+ 9 ).
9 7 1
Mà B Î( P) ¾¾® ( 4t + 1) + 3( -2t -4)- 2( 2t + 9)
+ 2 = 0 Û t = - ¾¾® C æ ç -8; ;- ö .
2 çè 2 2÷
ø
7 1
2 2
Suy ra a + b + c = - 8 + - = -5.
Chọn C.
Câu 44 (Gv Huỳnh Đức Khánh). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt
phẳng ( P ) đi qua các hình chiếu của điểm M (-1;3;4
) lên các trục tọa độ là
x y z
1 3 4
x y z
- + - = 1.
1 3 4
x y z
1 3 4
x y z
1 3 4
A. - - = 1. B. - + + = 0. C. - + + = 1. D.
Lời giải. Hình chiếu của M (- 1;3;4 ) lên các trục tọa độ lần lượt là các điểm (- 1;0;0 ),
( 0;3;0)
và ( 0;0;4 ).
x y z
1 3 4
Suy ra phương trình mặt phẳng ( P)
là - + + = 1. Chọn C.
Câu 45 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào
sau đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A( 1;2 - 3)
và B( 3; -1;1)
?
x + 1 y + 2 z -3 .
2 -3 4
x + 1 y + 2 z -3 = = .
-2 3 -4
x + 3 y - 1 z + 1 .
2 -3 4
x -1 y - 2 z + 3 .
-2 3 -4
A. = = B. = = C. = = D.
Lời giải. Đường thẳng AB đi qua điểm A( 1;2 - 3)
và có một VTCP là AB = ( - )
x -1 y - 2 z + 3
2 -3 4
x -1 y - 2 z + 3 .
-2 3 -4
Do đó có phương trình = = hay = = Chọn C.
2; 3;4 .
Câu 46 (Gv Huỳnh Đức Khánh). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm
A ( 1;2;1 ),
B ( 2;1;3 ),
C ( 0;3;2 ).
Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
A. G æ ç 1 ; 2 ; 2ö
.
B. C. D.
çè 3 3 3÷
G ( 3;6;6 ).
G ( 1;2;2 ).
G ( 0;6;6 ).
ø

Lời giải. Tọa độ trọng tâm
ì x
A
+ x
B
+ xC
1+ 2 + 0
xG
= = = 1
3 3
ï y + y + y 2 + 1+
3
í G
= = = 2 Þ 1;2;2 .
3 3
z
A
+ z
B
+ zC
1+ 3+
2
ï
zG
= = = 2
ïî 3 3
A B C
G được xác định y
G ( )
Chọn C.
Câu 47 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz,
cho mặt cầu
( S) : ( x + 1) 2 + ( y - 2) 2 + ( z - 1)
2
= 9 . Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của ( S)
.
A. I (-1;2;1
) và R = 3 . B. I ( 1; -2;-1)
và R = 3 . C. I (-1;2;1
) và R = 9 . D. I ( 1; -2;-1)
và R = 9 .
Lời giải. Chọn A.
Câu 48. (Gv Huỳnh Đức Khánh)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
( P): x + y - z - 3 = 0 và hai điểm A ( 1;1;1 ),
B( -3;-3;- 3 ).
Mặt cầu ( S ) đi qua hai điểm A,
B và
tiếp xúc với ( P ) tại điểm C.
Biết rằng C luôn thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính
R của đường tròn đó.
2 11 .
3
A. R =
B. R = C. 4.
D.
Lời giải. Ta có
AB = (-4;-4;-4),
2 33 .
R = R = 6.
3
ì x = 1+
t
AB : ï
íy = 1 + t .
ï ïî z = 1+
t
ì x = 1+
t
ì x = 3
y 1 t
ï = + í
ï
í
I ( 3,3,3 ).
z = 1+
t
ï
ï z = 3
x + y - z - 3 = 0
ïî
ïî
phương trình đường thẳng
t=
2
Gọi I = AB Ç( P)
¾¾® tọa độ I thỏa mãn ¾¾® y = 3, suy ra
Suy ra IA = 2 3 và IB = 6 3.
2
Theo đề IC tiếp xúc với mặt cầu ( S)
nên IC = IA. IB = 36 ¾¾® IC = 6. Điều này chứng tỏ điểm
C luôn cách điểm I một khoảng bằng 6 (không đổi). Chọn D.
Câu 49 (Gv Huỳnh Đức Khánh). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm
A ( 1;0;3 ),
B( - 3;1;3 ),
C ( 1;5;1 ) và M ( x; y;0 ).
Tìm giá trị nhỏ nhất Tmin
của biểu thức
T = 2 MA + MB + MC .
A. T
min
= 2 35. B. T
min
= 2 37. C.
min
2 38. D.
T = T
min
= 12.
Lời giải. Phải nhận thấy được
M ( x; y;0)
Î mặt phẳng ( Oxy).
I - MB + MC = 2 MI.
Gọi I là trung điểm của BC , suy ra ( 1;3;2 ) . Khi đó
Ta có T = 2 MA + MB + MC = 2 ( MA + MI ).
Vì z
A
= 3 > 0 và z
I
= 2 > 0 ¾¾® A và I nằm về cùng phía đối với mp ( Oxy).
Lấy đối xứng điểm I (- 1;3;2 ) qua mp ( Oxy ), ta được điểm J (-1;3; -2).
Khi đó MI = MJ , suy ra T = 2( MA + MJ ) ³ 2AJ
= 2 38.
1 9
Dấu " = " xảy ra khi M = MJ Ç( Oxy)
¾¾® M æ ç - ö ; ;0 . Vậy Chọn C.
çè 9 5 ÷
T
min
= 2 38.
ø
J
I
M
A

Câu 50 (Gv Huỳnh Đức Khánh). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu
2 2 2
( S) : ( x - a) + ( y - b)
+ z - 2cz
= 0 với a, b,
c là các số thực và c ¹ 0 . Khẳng định nào sau đây
đúng ?
A. ( S ) luôn đi qua gốc tọa độ O.
B. ( S ) tiếp xúc với mặt phẳng ( Oxy).
C. ( S ) tiếp xúc với trục Oz.
D. ( S ) tiếp xúc với các mặt phẳng ( Oyz ) và ( Ozx).
Lời giải. Viết lại ( S) : ( x - a) 2 + ( y - b) 2 + ( z - c)
2 = c
2 .
Suy ra ( S ) có tâm I ( a; b;
c)
, bán kính R = c .
Nhận thấy R = c = d éI,( Oxy)
ù
ë û
¾¾® ( S ) tiếp xúc với mặt phẳng ( Oxy).
Chọn B.
Câu 51 (Gv Huỳnh Đức Khánh). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường
ì x = -t
thẳng d : ï 1 4 x y + 8 z + 3
1 íy = - + t và d2
: = = . Xác định góc a giữa hai đường thẳng d1
và d2
.
1 - 4 - 3
ï ïî z = 3t
0
0
0
0
A. a = 0 .
B. a = 30 .
C. a = 90 .
D. a = 180 .
Lời giải. Đường thẳng d
1
có một VTCP u
1
= (-1;4;3
), d
2
có một VTCP u
2
= ( 1; -4;-3)
.
Nhận thấy u2 = -u1
. Chọn A.
Câu 52 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
x -10 y - 2 z + 2
5 1 1
D : = = . Xét mặt phẳng ( P):10x + 2y + mz + 11 = 0 với m là tham số thực. Tìm
giá trị của m để mặt phẳng ( P ) vuông góc với đường thẳng D.
A. m = -2
. B. m = 2.
C. m = -52
. D. m = 52 .
Lời giải. Đường thẳng D có VTCP u D
= ( 5;1;1 ). Mặt phẳng ( P ) có VTPT n = ( 10;2; m)
.
10 2 m
5 1 1
Để D ^ ( P)
Û u n Û = = Û m = 2. Chọn B.
D
P
Câu 53 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
( P): 3x + 4 y + 2z
+ 4 = 0 và điểm A( 1; -2;3)
. Khoảng cách từ A đến ( P)
bằng
5 5 5
A. .
B. .
C. .
D.
29
29
3
3.1+ 4. (- 2)
+ 2.3+
4 5
Lời giải. Khoảng cách d éA,
( P)
ù = = . Chọn A.
ë
û
3 + 4 + 2
2 2 2
29
P
cho mặt phẳng
5 .
9
Câu 54 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng
x -1 3-
y
d : = = z + 1
2 -1
của d ?
ì x = 1+
2t
ï
íy
= 3 - t .
ï ïî z = -1
ì x = - 1+
2t
ï
íy
= 2 + t .
ï ïî z = - 2 + t
. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình tham số
ì x = 1+
2t
ì x = 1+
2t
A. B. ï
íy
= - 3 + t . C. ï
íy
= - 3 - t . D.
ï ïî z = - 1+
t
ï ïî z = - 1+
t

ì
x = 1+ 2t ì
x = -1
x -1 y - 3 z + 1
cho t=-1
Lời giải. Viết lại d : = = ¾¾® ï
íy = 3+ t ¾¾¾¾® ï
íy
= 2 .
2 1 1
z 1 t ïî
= - + ïî
z = -2
ì x = - 1+
2t
Điều đó chứng tỏ d đi qua điểm có tọa độ (-1;2; -2)
nên d : ï
íy = 2 + t . Chọn D.
ï ïî z = - 2 + t

Câu 1 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác MNP với
I 4;2
I 4;2
I 4; 4
I 4; 2
M 1; 1 , N 3;1 , P 5; 5
. Tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP là:
A. B. C. D.
Đáp án D.
I x;
y
là tâm đường tròn ngoại tiếp
MNP
2 2 2 2
x 1 y 1 x 3 y 1
1 1 5 5
2 2
MI NI
MI PI
x y x y
2 2 2 2 2 2
x y 2 x
4
I 4; 2
x y 6 y
2
Câu 2 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018): Trong không gian Oxy cho ba vecto a 2, 5,3
;
b
b 0, 2, 1
; c 1,7, 2
. Tọa độ của vecto u 4a 3c
là:
3
1 55 1 55 1 55 1 55
A. u 11, , B. u 11, , C. u 11, , D. u 11, ,
3 3
3 3 3 3 3 3
Chọn A.
Ta có: a 2, 5,3 4a
8, 20,12
b 2 1
b 0,2, 1
0, ,
3 3 3
c 1,7,2 3c
3,21,6
Vậy
b 1 55
u 4a 3c
11, ,
3 3 3
Câu 3 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Cho ba vectơ a 3; 1; 2 , b 1;2; m , c 5;1;7
.
Xác định m để c a,
b
A. m 1
B. m 9
C. m 1
D. m 9
Chọn A.

1 2
5 m
4
2 m
3 2
c a b , 1 3m 2
m 1
1 m
3 1
7
1 2
Bình luận: Ta có cách làm nhanh sau:
c a
c a,
b
c b c. b 0 1. 5 2.
1 7m 0 m 1
Câu 4 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Cho mệnh đề:
2
I
x y z
A 1;2;1 , B 0;2; 3
1) Mặt cầu có tâm 1; 0; 1 , đường kính bằng 8 là:
2) Mặt cầu có đường kính AB với là:
2
1
2 2 5
x y 2 z
2
2
4
2 2
1 1 16
O
3) Mặt cầu có tâm 0; 0; 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S) có tâm 3; 2; 4 , bán kính bằng 1
2 2 2
là: x y z
30 2 29
Số mệnh đề đúng là bao nhiêu:
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
Chọn B.
2 2
2
1) x y z
1 1 16
2
1
2 2 5
2) x y 2 z
2
2
4
2 2 2
3) x y z
30 2 29
Chú ý đến tiếp xúc trong và tiếp xúc ngoài của 2 mặt cầu .
Câu 5 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Trong không gian Oxyz cho hai điểm
M
2; 1;7 , N 4;5; 2 . Đường thẳng MN cắt mặt phẳng (Oyz) tại P. Tọa độ điểm P là:
0; 7;16
0;7; 16
0; 5;12
0;5; 12
A. B. C. D.
Chọn A.
M
2; 1;7 , N 4;5; 2 . MN cắt mặt phẳng (Oyz) tại P
P 0; y; z MP 2; y 1; z 7 ; MN 2;6; 9
Ta có: M, N, P thẳng hàng MP cùng phương MN

2 y 1 z 7
y 7
. Vậy P
2 6 9
z
0; 7;16
16
Câu 6 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018). Trong không gian Oxyz cho hai vectơ
a 3; 2;1 , b 2;1; 1
u ma 3 b v 3a 2mb
. Với giá trị nào của m thì hai vectơ và
cùng phương?
2 3
3 2
3 5
A. m
B. m
C. m
D. m
3
2
5
Chọn B.
a 3; 2;1 , b 2;1; 1
u ma 3 b 3 m 6; 2 m 3; m 3
v 3a 2mb 9 4 m; 6 2 m; 3 2m
3m 6 2m 3 m 3
u cùng phương v
9 4m 6 2m 3 2m
3m 6 6 2m 9 4m 2m
3
2 9 3 2
2
m m
2m 3 m 3 6 2m
2 2
Câu 7
(GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Trong không gian Oxyz cho tam giác MNP với
. Góc M của tam giác MNP bằng:
M 1; 0; 0 , N 0; 0;1 , P 2;1;1
0
0
0
0
A. 45
B. 60
C. 90
D. 120
Chọn C.
M 1; 0; 0 , N 0; 0;1 , P 2;1;1
MN 1; 0;1 ; MP 1;1;1
MN. MP 1 0 1
0
cos M 0 M 90
MN . MP 2. 3
Câu 8. (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng
cắt ba trục tọa độ tại 3; 0; 0 , N 0; 4; 0 , P 0; 0; 2
có phương trình là:
M
A. 4x 3y 6z
12 0
B. 4x 3y 6z
12 0
C. 4x 3y 6z
12 0
D. 4x 3y 6z
12 0
Chọn A.
cắt 3 trục tọa độ tại M 3; 0; 0 , N 0; 4; 0 , P 0; 0; 2
x y z
Phương trình mặt phẳng có dạng: 1 4x 3y 6z
12 0
3 4 2
Câu 9 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Đường thẳng (d) vuông góc với
x 1 y 1
mp P : x y z 1 0 và cắt cả 2 đường thẳng d1
: z và
2 1
x 2y z 1 0
d2
:
có phương trình là:
2x y 2z
1 0
2x y 3z
1 0
2x y 3z
1 0
A. B.
x 2y z 0
x
2y z 1 0
5 7
7

x y 3z
1 0
x y 3z
1 0
C.
D.
2x 2y z 1 0
2x 2y z 0
Chọn B.
đi qua A d , B d , VTCP a 2; 1;1
mặt phẳng có VTPT
d1
1 2
B 8 2 t ';6 t ';10 t ' .
Gọi AB 8 2 t ' t; 4 t ' t;14 t ' 2t
là mặt phẳng chứa
và AB u 6 t t ' 16 thì AB u t 6 t ' 26 qua
1 2
6 t t ' 16 t 2
A 2; 0; 0
và có VTPT là I
t 6 t ' 26 t ' 4
B
0;10;6
1;5; 3
Nên phương trình :
P B d2
2 2 2
35 x 1 y 5 z
3
35 A1,1,1 , B 1,2, 0 , C 2, 3,2
2x y z 1 0
x 4y z 7 0
d 2 đi qua có VTCP
2x y z 1 0
x 4y z 7 0
2x y z 1 0
Gọi ABC
là mặt phẳng chứa d 2 và ABC
thì đi qua M và có
x 4y z 7
x, y,
z
0
MA
VTPT MA MB MC
MB
MB
2 2
MC
2 2
x 1 y 1 z 1 x 1 y 2 z
0
nên
x 1 y 1 z 1 x 2 y 3 z
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
4x 2y 2z 2 0
2x y z 1 0
2x 8y 2z 14 0 x 4y z 7 0
d
Vậy đường thẳng vuông góc với cắt cả , là giao tuyến của 2 mặt phẳng M x , y
P
1 2
2x y z 1 0
và có phương trình là: ABC
x 4y z 7 0
Câu 10 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Đường thẳng đi qua
d 1
d d 1 1
I 1;2;3
x 1 y 1
z x 2 y 1 z 1
( d) : và d
' : là:
3 1 1 2 3 5
x 2y z 3 0
y
2z
1 0
A.
B.
27x 7y 15z
32 0
27x 7 y 15z
32 0
y
z 1 0
2x 3y z 5 0
C.
D.
27x 7y 15z
32 0
27x 7 y 15z
32 0
Chọn C.
qua 1; 1; 0 , VTCP v m 2 n,2 n m,
m n ; ' qua
d M
d P
cắt hai đường thẳng

n v n. v 0 VTCP 3 m 2n 2 2n m m n 0
d
2; 3; 3
;
0; 11;11 0;1; 1
là VTPT của
y 2 z 3
0 y z 1 0
Viết phương trình ( P) : x 3y z 12 0 chứa d ' và qua I
Ta có: NI 3; 3; 4 n ' NI; b
27;7;15
là VTPT của
( P) : x 3y z 12 0
M(0,1, 1), N(0, 1, 1)
Viết phương trình chứa và I
Ta có MI a MI n
pt qua I và có VTPT 11x 13 y 5z-19 0 nên có phương trình:
M(0,1,1), N(0,1, 1)
qua I và có VTPT nên có phương trình:
* Đường thẳng 15x 11y 17z
10 0 qua I, cắt cả , ' chính là giao tuyến của 2 mp
d d
y z 1 0
và 15x 11y 17z
10 0 nên có phương trình:
27x 7y 15z
32 0
Câu 11 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt
phẳng P x y z và ( Q) : x 4y 8z
12 0. Mặt phẳng R đi qua điểm M
: 5 2 5 1 0
P
Q
trùng với gốc tọa độ O, vuông góc với mặt phẳng và tạo với mặt phẳng một góc
0
45 . Biết ( R) : x 20y cz d 0. Tính S cd :
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
Chọn D.
Giả sử PT mặt phẳng :
R ax by cz d 0
a 2 b 2 c
2 0
Ta có: ( R) ( P) 5a 2b 5c
0
(1);
0 a 4b 8c
2
cos(( R),( Q)) cos 45 (2)
2 2 2
9 a b c 2
a
c
Từ (1) và (2) 7a 2 6ac c
2 0
c 7a
Với a c
: chọn a 1, b 0, c 1 PT mặt phẳng ( R) : x z 0 (loại)
Với c 7a
: chọn a 1, b 20, c 7 PT mặt phẳng ( R) : x 20y 7z
0 (tm)
Câu 12 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Trong không gian Oxyz, cho các điểm
A2; 3; 0 , B 0; 2; 0
x
t
và đường thẳng d có phương trình y
0 . Điểm C a; b;
c
trên
z
2 t
đường thẳng d sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất. Nhận định nào sau đây sai?
A. a c là một số nguyên dương B. a c là một số âm
C. a b c 2
D. abc 0

Chọn B.
Vì AB không đổi nên tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất khi CA + CB nhỏ nhất.
Gọi C t; 0;2 t d ta có:
2 2 2
CA t 2 3 2 t 2 t 2 3
2 2
2 2
CB t t t
Đặt
2 2 2 1 2
2 2 2
2 2 ; 3 , 2 1 ;2 2;5
u t v t u v
Áp dụng tính chất u v u v , dấu '' '' xảy ra khi u // v ta có:
Dấu
'' ''
xảy ra khi
2 t 2 3 7 7 3
t C ; 0;
2 1 t 2 5 5 5
Câu 13 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Trong không gian hệ trục tọa độ
Oxyz , cho 3 điểm
A2; 2; 3 ; B 1; 1; 3
; C 3; 1; 1
và mặt phẳng P : x 2z
8 0 . Gọi M là điểm thuộc
2 2 2
mặt phẳng P sao cho giá trị của biểu thức T 2MA MB 3MC
nhỏ nhất. Tính khoảng
M : 2 2 6 0
cách từ điểm đến mặt phẳng Q x y z .
4
2
A. 4 . B. 2 . C. . D. .
3
3
2 2 2
2
MA 10 2a b 2 a
3
2 2 2
2
MB 7 2a b 1 a
3
2 2 2
2
MC 5 2a b 1 a
1
T 30a 2 180a 354 6b 2 12b
12
a
b
Vậy T 90 khi a 3; b 1 . Vậy M . Do đó,
min 2; 1; 3
Cách 1: Gọi M P có dạng M 8 2 a; b;
a . Khi đó, ta có:
2 2
30 3 6 1 90 90
d M, Q 4
Cách 2:
Gọi I là điểm thỏa mãn 2IA IB 3IC 0 I 1;1;1
2 2 2
2 2 2
Ta có T 2MA MB 3MC 2 MI IA MI IB 3 MI IC
6MI 2MI 2IA IB 3IC 2IA IB 3IC 6MI 2IA IB 3IC
2 2 2 2 2 2 2 2

Do đó để nhỏ nhất thì là hình chiếu của lên P M 2;1; 3 d M , Q 4. Câu
P M I
14 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của M trên d,
x
2 t
M 1;2; 1 , d : y 1 2t
.
z
3t
H
H
H
A. 2;1;0 B. 0;5;6 C. 1;3;3 D. H 1;7;9
Chọn A.
Do H thuộc d nên H 2 t;1 2 t; 3 t . Từ giả thiết ta có:
MH ^ d Þ MH . u 0 Þ t 0 Þ H 2;1; 0
d
Câu 15 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018). Viết phương trình mặt phẳng P chứa điểm
x
4 2t
A2; 3;1
và đường thẳng d : y 2 3t
.
z
3 t
A. 11x 2y 16z
32 0
B. 11x 2y 16z
44 0
C. 11x 2y 16z
0
D. 11x 2y 16z
12 0
Chọn C.
Lấy A 4;2; 3 d . Mặt phẳng có VTPT là .
1 1
P
n
Từ giả thiết ta có : n A A, u
1 d
11;2; 16 .
Từ đó suy ra phương trình (P) là 11x 2y 16z
0 .
Câu 16 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, một mặt phẳng
M
A a B b
đi qua điểm 1; 3;9 và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại ; 0; 0 , 0; ; 0 , C 0; 0; c với a,
b, c là các số thực dương. Tìm giá trị của biểu thức P a b c để thể tích tứ diện OABC đạt giá
trị nhỏ nhất.
A. P 44
B. P 39
C. P 27
D. P 16
1 1
V OAOB . . OC abc ;
OABC
6 6
Phương trình mặt phẳng đi qua A, B ,C : x y z 1
a b c
1 3 9
Vì M ABC
1
a b c
1 3 9 1 3 9 27.27 1
Áp dụng BĐT Côsi: 1 3 3 . . 1 121, 5
a b c a b c abc 6 abc

1 3 9
1
a 3
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: a b c
b 9 a b c 39
1 3 9
c 27
a b c
Câu 17 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018). Viết phương trình mặt phẳng
thẳng cắt nhau:
x 3t x 1 2t
d : y 1 2 t , d : y 3 2 t .
1
2
z 3 t z 2 3t
A. 4x 7y 2z
12 0
B. 4x 7y 2z
5 0
C. 4x 7y 2z
13 0
D. 2x 7y 4z
12 0
Chọn C.
Lấy A0;1; 3 d1
n
^ u
d2
Gọi VTPT của P là n.
Từ giả thiết cho ta
Þ n u , u 4; 7; 2 .
d d 1 2
n ^ u
d1
Vậy qua A có VTPT là n Þ P : 4x 7y 2z
13 0 .
P
1
P
qua hai đường
Câu 18 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Trong không gian Oxyz cho đường thẳng
x y 2 z 3
d : và hai mặt phẳng
: x 2y 2z 1 0,
: 2x y 2z
7 0 . Mặt
1 1 2
cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng d và (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng và có
bán kính là:
A. 2 12
B. 4 144
C. 2 2 3 D. 2 2
Chọn A.
Gọi I là tâm của mặt cầu (S), I d nên I t;2 t; 3 2t
Vì (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng va` nên d I d I,
5t
11 7t
1
5t 11 7t 1 t 5, t 1
3 3
2 2 2
t x y z
t 5 I( 5;7;13), R 12
x y z
+) 1 1;1;1 , R 2 . Phương trình mặt cầu (S):
+) . Phương trình mặt cầu (S)
1 1 1 4
2 2 2
5 7 13 144
Câu 19
(GV MẪN NGỌC QUANG 2018). Trong không gian Oxyz cho bốn điểm
A1; 0;2 , B 1;1; 0 , C 0; 0;1
và D 1;1;1 .
Phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm là

11
3 1 1
A. R
B. I ; ;
10
3 1 1
C. R
D. I
; ;
4
2 2 2
2
2 2 2
Chọn D.
Phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng:
2 2 2
x y z 2ax 2by 2cz d 0
Do A, B, C, D thuộc (S) nên ta có hệ phương trình:
3 1 1
Giải hệ ta có: a , b , c , d 0
2 2 2
2 2 2
Vậy phương trình mặt cầu (S) là x y z 3x y z 0
2a 4c d 5 0
2a 2b d 2 0
2c
d 1 0
2a 2b 2c d 3 0
3 1 1
Suy ra (S) có tâm là I ; ;
11
và bán kính R
2 2 2
2
Câu 20 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm
A0;1; l , B 3; 0; 1 ,
0;21; 19
2 2 2
C
và mặt cầu S : x 1 y 1 z 1 1 . M a; b;
c là
điểm thuộc mặt cầu (S) sao cho biểu thức T 3MA 2 2MB 2 MC
2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Tính tổng a b c
12
14
A. a b c 0 B. a b c 12 C. a b c D. a b c
5
5
Gọi I x; y;
z là điểm thỏa mãn 3IA 2IB IC 0 I 1; 4; 3
2 2 2
2 2 2
Ta cóT 3MA 2MB MC 3 MI IA 2 MI IB MI IC
2
6MI 2MI 3IA 2IB IC
2
3IA 2
2IB 2 2
IC 6MI 2
3IA 2
2IB 2
IC
Do đó để T nhỏ nhất thì MI nhỏ nhất
Mặt cầu (S) có tâm là K
1;1;1
x 1
I y
1 3t
z 1 4t
8 1
M
1; ;
1
5 5
. Cho KI S
2 9
M
1; ;
2
5 5
14
Tính M I 4; M I 6 M là điểm thỏa mãn YCBT nên a b c
1 2 1
5
Câu 21 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Trong không gian Oxyz, đường thẳng nằm trong
mp : y 2z
0
x
1 t x
2 t
và cắt hai đường thẳng d : y t và
1 d2
: y 4 2t
z
4t
z
1
có phương
trình tham số là:

x
1 4t
x
1 4t
x 1 y z
A. B. y
2t
C. y
2t
D.
4 2 1 z
t
z
t
Chọn: Đáp án B
* Thế phương trình (d 1 ) vào phương trình mp ta có t 8 t 0 t 0
Vậy d
1 A1, 0, 0
* Thế phương trình (d 2 ) vào phương trình mp ta có: 4 2 t 2 0 t 3
Vậy: d
2 B 5; 2;1
* Ta có: AB 4, 2,1
x 1 y z
4 2 1
Vậy phương trình tham số của đường thẳng AB nằm trong mp và cắt d , d là:
1 2
Chú ý: Đề yêu cầu tìm phương trình tham số nên B là đáp án đúng.
x
1 4t
y
2t
z
t
Câu 22. (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho
tam giác MNP biết MN 2;1; 2
và NP 14;5;2 .Biết Q thuộc MP; NQ là đường phân
giác trong của góc N của tam giác MNP. Hệ thức nào sau đây là đúng?
A. QP 3QM
B . QP 5QM
C. QP 3QM
D. QP 5QM
Chọn B.
MN 2;1; 2
MN 9 3 ; NP 14;5;2 NP 196 25 4 15
QP NP 15
NQ là phân giác trong của góc N 5
QP 5QM
QM MN 3
Câu 23 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018). Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba
M N
điểm 1; 0; 0 , 0;2; 0 , P 0; 0; 3 . Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (MNP)
bằng:
3
6
5
9
A. B. C. D.
7
7
7
7
Chọn B.
x y z
M 1; 0; 0 , N 0;2; 0 , P 0; 0; 3
MNP : 1 6x 3y 2z
6 0
1 2 3
6 6
d O,
MNP
36 9 4 7
Câu 24 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu
2 2 2
(S) có phương trình: x y z 2x 6y 4z
2 0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) song
song với giá của véc tơ v (1;6;2) , vuông góc với mặt phẳng ( ) : x 4y z 11 0 và tiếp xúc

với (S).
4x 3y z 5 0
A.
B .
4x 3y z 27 0
3x y 4z
1 0
C.
D .
3x y 4z
2 0
x 2y z 3 0
x 2y z 21 0
2x y 2z
3 0
2x y 2z
21 0
Chọn D.
(S) có tâm I (1; –3; 2) và bán kính R = 4. VTPT của ( ) là n (1; 4;1) .
VTPT của (P) là: n
n, v
(2; 1;2)
PT của (P) có dạng: 2x y 2z m 0 .
P
m
21
Vì (P) tiếp xúc với (S) nên d( I,( P)) 4 .
m 3
: 2 2 3 0
Vậy P x y z hoặc P : 2x y 2z
21 0 .
Câu 25. (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường
x
t
thẳng ( d) : y 1 2t
và điểm A( 1;2; 3) . Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) sao cho
z
1
khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng 3 có vecto pháp tuyến là:
A. n 2;1; 3
B. n 2;1;2 C. n 2; 1; 2
D. n 4; 2;2
Chọn C.
2 2 2
(d) đi qua điểm M(0; 1;1) và có VTCT u (1;2; 0) . Gọi n ( a; b; c)
với a b c 0 là
VTPT của (P) .
PT mặt phẳng (P): a( x 0) b( y 1) c( z 1) 0 ax by cz b c 0 (1).
Do (P) chứa (d) nên: u. n 0 a 2b 0 a 2b
(2)
a 3b 2c 5b 2c
d A P b c b c
2 2 2 2 2
a b c 5b c
2 2
,( ) 3 3 3 5 2 3 5
2
2 2
4b 4bc c 0 2b c 0 c 2b
Từ (2) và (3), chọn b 1a
2, c 2
PT mặt phẳng P : 2x y 2z
1 0 .
Câu 26 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018). Tìm phương trình mặt phẳng R đối xứng với
mặt phẳng qua mặt phẳng với
(3)
Q
P
P : x y z 3 0, Q : x y z 4 0.
A. 7x y 2z
21 0
B. 5x 3y 3z
16 0
C. 5x 3y 3z
1 0
D. 7x y 2z
1 0
Chọn B.
Lấy điểm M 2; 1; 1 Q
H M P M M P
Gọi là hình chiếu của trên mặt phẳng , đối xứng với qua suy ra H là
trung điểm của MM .

Gọi là hình chiếu của trên mặt phẳng P Þ MH P Þ u n .
H M MH P
Phương trình đường thẳng MH qua M có VTCP nP
là:
Tọa độ H MH P
thỏa mãn hệ:
Từ đó suy ra H Þ M
2; 0; 0 2;1;1 .
x
2 t
y
1 t .
z
1 t
x
2 t
y
1 t
Þ t 1.
z 1 t
z y z 3 0
7
x
2
x y z 3 0 1
Gọi d là giao tuyến của P ,
Q suy ra d là:
Û y t u 0; 1;1
d
x y z 4 0
2
z
t
7 1 3 3
Lấy A ; ; 0
d M ' A
; ; 1
5 3 3
M ' A, u ; ; 5; 3; 3
d n
R
2 2 2 2
2 2 2
Phương trình R qua M có VTPT là là: 5x 3y 3z
16 0.
n R
Câu 27 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018).. Trong không gian Oxyz, cho các điểm
x
t
A(2; 3; 0); B(0; 2; 0) và đường thẳng d có phương trình y
0 . Điểm C trên đường thẳng
z
2 t
d sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất là:
7 3
7 17
27 17
7 13
A. C( ; 0; ) B. C( ; 0; ) C. C( ; 0; ) D. C( ; 0; )
5 5
5 5
5 5
5 5
Chọn A. Vì AB không đổi nên tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất khi CA + CB nhỏ nhất.
2 2 2 2 2
OA ( t 2) 3 (2 t) 2( t 2) 3
Gọi C( t; 0;2 t)
d . Ta có
2 2 2 2
CB t 2 (2 t) 2(1 t) 2
Đặt u ( 2( t 2); 3), v ( 2(1 t);2) u v ( 2;5)
Áp dụng tính chất | u | | v | | u v | , dấu “=” xảy ra khi u cùng hướng với v
Ta có: CA CB | u | | v | | u v | 2 25 3 3
2( t 2) 3 7
7 3
Dấu “=” xảy ra khi t . Khi đó C( ; 0; )
2(1 t)
2 5
5 5
Câu 28 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018).. Cho hình hộp ABCD. A' B ' C ' D ' biết
1; 0;1 ; 2;1;2 ; 1; 1;1 ; ' 4;5; 5
A B D C
Tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp là:
.

A. A' 3;5; 6 ;
B ' 4;6; 5 ;
C 2, 0,2 ;
D ' 3, 4, 6 .
B. A' 3, 5, 6 ;
B ' 4, 6, 5 ;
C 2, 0, 2 ;
D
C. A' 3, 5, 6 ;
B ' 4, 6, 5 ;
C 2, 0,2 ;
D ' 3, 4, 6 .
D. A' 3, 5, 6 ;
B ' 4, 6, 5 ;
C 2, 0, 2 ;
D ' 3, 4, 6 .
Chọn A.
Ta có AB 1,1,1
DC x 1, y 1, z 1
C C C
x
1 1
C
với C x , y , z
C C C
Ta có AB DC y 1 1 C 2, 0,2
C
z
1 1
C
' 3, 4, 6 .
CC ' 2, 5, 7
x 2 2
B '
Ta có BB ' x 2, y 1, z 2
; CC ' BB ' 1 5 '
B ' B ' B '
y B
'
4, 6, 5
B
z
2 7
B '
Ta có AA ' CC ' A ' 3, 5, 6 ; DD ' CC ' D ' 3, 4, 6
x y z 3
Câu 29. (GV MẪN NGỌC QUANG 2018). Trong không gian Oxyz, cho d
: ,
2 4 1
điểm 3;2;1 , phương trình đường thẳng đi qua A cắt vuông góc với đường thẳng (d)
là:
A
x 2y 2z
7 0
A.
B.
2x 3y z 4 0
x y 2z
7 0
C.
D.
4x 3 y _2z
5 0
x 1 3t
y
1 5t
z 1 2t
x 3 9t
y
2 10t
z 1 22t
Chọn D.
Ta có đường thẳng (d) đi qua M 0, 0, 3
, VTCP a 2; 4;1
Gọi là mặt phẳng đi qua A, d nên nhận n 2; 4;1 làm VTPT.
a
Phương trình : 2 x 3 4 y 2 1z
1
0
2x 4y z 15 0
x
2t
Phương trình tham số của (d) là: y
4t
z
3 t

6
Thế vào phương trình : 2 2t 4 4t 3 t 15 0 t
7
12 24 15 9 10 22
Vậy d
B ; ; AB ; ;
7 7 7 7 7 7
Vậy phương trình đường thẳng qua A, cắt vuông góc với (d) chính là đường thẳng
x
3 9t
AB : y 2 10t
z 1 22t
B 5;0;7 . Chọn
Câu 30. (GV MẪN NGỌC QUANG 2018). Cho hai điểm 2;4; 1
phát biểu sai:
A. Phương trình tham số của đường thẳng AB là:
B. Phương trình tham số của tia AB là:
x 2 3t
y
4 4t
z
1 8t
x
2 3t
y 4 4t t
z
1 8t
t 0;
x
2 3t
z
1 8t
C. Phương trình tham số của đoạn thẳng AB là: y 4 4t t 0;1
D. Cả 3 phát biểu đều sai.
x
2 3t
z
1 8t
Chọn: Đáp án D
Giả sử M là một điểm bất kì. Khi đó:
M thuộc đường thẳng AB AM t AB, t
M thuộc tia AB AM t AB, t [0; )
AB AM t AB, t 0;1
Phương trình tham số của đoạn thẳng AB là: y 4 4t t 0;1
M thuộc đoạn thẳng
Từ đó suy ra phương trình tham số của đường thẳng AB là:
Phương trình tham số của tia AB là:
x 2 3t
y
4 4t
z
1 8t
t 0;
A và
x
2 3t
y 4 4t t
z
1 8t

Câu 31 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018). Trong không gian Oxyz cho ba điểm A (1;2;3), B
x 1 y 1 z 1
(-1;0;-3), C (2;-3;-1). Điểm M (a;b;c) thuộc đường thẳng : sao cho
2 3 1
biểu thức P MA 7MB 5MC
đạt giá trị lớn nhất. Tính a b c ?
31
11
12
A. B. C. D.
4
3
5
Cách 1: M M 1 2 t; 1 3 t;1
t
MA MB MC t t t
7 5 2 19; 3 14; 20
55
7
2 2 2 12 6411 6411
P 2t 19 3t 14 20 t 14 t
7 7 7
12 55
Dấu “=” xảy ra khi: t a b c
7 7
IA 7IB 5IC 0 I 18;13; 19
P MA 7MB 5MC MI IA 7 MI IB 5 MI IC MI MI
Cách 2: Gọi I là điểm thỏa mãn
Ta có
Do đó để P nhỏ nhất thì M là hình chiếu của I xuống
31 29 5
55
M ; ; a b c .
7 7 7
7
Câu 32. (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Cho ba vectơ a 3; 1; 2 , b 1;2; m , c 5;1;7
2
. Xác định m để c a,
b
A. m 1
B. m 9
C. m 1
D. m 9
Chọn A.
1 2
5 m
4
2 m
3 2
c a b , 1 3m 2
m 1
1 m
3 1
7
1 2
Bình luận: Ta có cách làm nhanh sau:
c a
c a,
b
c b c. b 0 1. 5 2.
1 7m 0 m 1

Câu 33 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt
cầu:
2 2 2
2 2 2
S1 : x y z 4x 2y z 0 , S2 : x y z 2x y z 0
cắt nhau theo một đường tròn (C) và ba điểm A1;0;0 , B 0;2;0
và C 0;0;3
. Hỏi có tất
cả bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa đường tròn (C) và tiếp xúc với ba đường
thẳng AB, AC,BC?
A. 1 mặt cầu B. 2 mặt cầu C. 4 mặt cầu. D. Vô số mặt cầu.
AB 1;2;0 , AC 1;0;3
Nhận xét:
Do AB, AC 0 nên A, B, C không thẳng hàng. Mà A, B, C không thuộc S và
(ABC) không trùng (P).
Gọi P S S
, ta có: A, B,
C P
1 2
Trong mặt phẳng (ABC) có 4 đường tròn ; ;
đường thẳng AB, AC, BC.
Mỗi đường tròn i , 1;4
C C C C thỏa tính chất tiếp xúc với ba
1 2 3 4
C i tương ứng là giao của mặt cầu
S với (ABC).
Tương ứng này là tương ứng 1 1 nên có 4 mặt cầu thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 34. (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Trong không gian Oxyz cho điểm A1; 1;0 và
x 1 y 1
z
đường thẳng d: .
2 1 3
Mặt phẳng (P) chứa A và vuông góc với đường thẳng (d). Tọa độ điểm B có hoành độ
dương thuộc trục Ox sao cho khoảng cách từ B đến mặt phẳng (P) bằng 14 là:
15
A. B
13
; 0; 0 B. B
19
; 0; 0 C. B
; 0; 0 D.
2
2
2
Chọn A.
u 2;1; 3
n 2;1; 3
d có vtcp . Vậy vtpt của (P) là
d
P : 2 x 1 y 1 3z 0 2x y 3z
1 0
B thuộc Ox B b;0;0
Ta có:
p
i
1
B
b
13 / 2
2b
0 3.0 1
d B; P 14 14 2b
1 14
15
2 2
2 1 3 2
b
2
17 ; 0; 0
2
13 13
Vậy với b ;0;0
2 B
2 ; với 15 15
b B
;0;0
2 2
Câu 35. (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm
A(1, 2, 1), B(3,0, 5) .Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
A. x y 2z
3 0 B. x y 2z
17 0 C. x y 2z
7 0 D. x y 2z
5 0
Chọn C.
S 2

Gọi là mặt phẳng trung trực của AB. M là trung điểm của AB M mặt phẳng ()
Ta có: A1;2; 1
; B 3;0; 5
AB 2; 2; 4
M 2;1; 3
là mặt phẳng trung trực của AB mp nhận AB làm vectơ pháp tuyến
x y z
: 2 2 2 1 4 3 0 x y 2z
7 0
Câu 36. (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm
A(1;2; 1)
và mặt phẳng ( P) : 2x y z 3 0 . Đường thẳng d đi qua A , cắt trục Ox và song
song mặt phẳng (P) có tọa độ của VTCP là:
A. ( 1;4; 2)
- B. ( 1; -4;2)
C. (-1; -4;2)
D. (-1;4;2
)
Chọn C.
Gọi E là giao điểm của (d) và Ox
E Ox E a;0;0 AE a
1; 2;1
AE a 1; 2;1
n 2; 1; 1
Đường thẳng (d) qua A và E nhận làm vectơ chỉ phương; mà d
/ / P
vectơ pháp tuyến
p
của mặt phẳng (P) phải vuông góc với AE a
1; 2;1
1
2a 1
2 1 0 2a 1 0 a
2
1
AE
; 2;1 Phương trình (d):
x 1 y 2 z 1
.
2
1 4 2
Câu 37. (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai
M
điểm 2; 4;5 và N 3;2;7 . Điểm P trên trục Ox cách đều hai điểm M và N có tọa độ là:
17
7
9
A. ; 0; 0 B. ; 0; 0 C. ; 0; 0 D.
10
10
10
Chọn A.
M
2; 4;5 , N 3;2;7 ,
P Ox P x, 0, 0
2 2
2 2
MP NP x x
2 16 25 3 4 49
19
; 0; 0
10
17
17
10x
17 x . Vậy P
; 0; 0
10 10
Câu 38 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
(S): x 2 y 2 z 2 2x 4y
4 0 và mặt phẳng (P): x z 3 0 . Viết phương trình mặt
phẳng (Q) đi qua điểm M(3;1; 1)
vuông góc với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu
(S).
2x y 2z
9 0
2x y 2z
7 0
A.
B.
4x 7y 4z
9 0
2x y 2z
5 0

3x 2y 2z
9 0
x y 2z
5 0
C.
D.
x 5y 3z
6 0
x y 2z
3 0
Chọn A.
(S) có tâm I (–1; 2; 0) và bán kính R = 3; (P) có VTPT n (1; 0;1) .
2 2 2
PT (Q) đi qua M có dạng: A( x 3) B( y 1) C( z 1) 0, A B C 0
(Q) tiếp xúc với (S) d( I,( Q)) R 4A B C 3 A 2 B 2 C
2 (*)
( Q ) ( P ) n
. n
0 A C 0 C A
(**)
Q
Từ (*), (**)
P
2 2 2 2
B 5A 3 2A B 8B 7A 10AB
0 A 2B 7A 4B
Với A 2B
. Chọn B = 1, A = 2, C = –2 PT (Q): 2x y 2z
9 0
Với 7A 4B
. Chọn B = –7, A = 4, C = –4 PT (Q): 4x 7y 4z
9 0
Câu 39 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu
(S): x 2 y 2 z 2 4 x – 6y m 0 và đường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P):
2 x – 2 y – z 1 0 , (Q): x 2 y – 2 z – 4 0 . Tìm m để (S) cắt (d) tại 2 điểm M, N sao cho
độ dài MN = 8.
A. m 2
B. m 12
C. m 12
D. m 2
Chọn B.
(S) tâm I (–2;3;0), bán kính R=
13 m IM ( m 13)
MH = 4 IH = d (I; d) = m
3
u;
AI
(d) qua A (0;1;-1), VTCP u (2;1;2) d (I; d) = 3 .
u
P
. Gọi H là trung điểm của MN
Vậy: m
3 = 3 m = –12.
Câu 40. (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho
đường thẳng d đi qua điểm M 0; 1;1
và có véc tơ chỉ phương u (1;2;0) . Phương trình mặt
phẳng (P) chứa đường thẳng d có vecto pháp tuyến là n ( a; b; c)( a 2 b 2 c
2 0) . A, b thỏa
mãn điều kiện nào sau đây?
A. a 2b
B. a 3b
C. a 3b
D. a 2b
Đáp án D.
Đường thẳng d đi qua điểm M (0;-1;1) và có véc tơ chỉ phương u (1;2;0)
2 2 2
Gọi n ( a; b; c)( a b c 0) là véc tơ pháp tuyến của (P)
Do (P) chứa d nên u. n 0 a 2b 0 a 2b
Câu 41. (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt
: 0
phẳng P x y z .

Phương trình mặt phẳng (Q) vuông góc với (P) và cách điểm M 1;2; 1
một khoảng bằng
2 2 2
2 có dạng: Ax By Cz 0( A B C 0) . Ta có kết luận gì về giá trị của A, B, C?
A. B 0 hay 3B
8C
0
B. B 0 hay 8B
3C
0
C. B 0 hay 3B
8C
0
D. 3B
8C
0
Đáp án A.
Từ giả thiết ta có:
(*) B 0 hoặc 3B
8C
0
Bình luận: Kiến thức cần nhớ:
A B C 0
( P) ( Q)
A 2B C
d( M ;( Q)) 2
A B C
2 2 2
Điểm M a, b,
c cách mặt phẳng P : Ax By Cz 0 mộtkhoảng là:
A B C
B 2C
2
2 2
2B 2C 2BC
Aa Bb Cc
A B C
2 2 2
Câu 42. (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Trong không gian Oxyz , cho 3 điểm
3;1;1 , 4;8; 3 , 2;9; 7
: 2 6 0
Q
A
M N P
2(*)
và mặt phẳng Q x y z . Đường thẳng d đi qua G ,
vuông góc với . Tìm giao điểm của mặt phẳng Q và đường thẳng d . Biết G là trọng tâm
tam giác MNP.
A
A
A
A. 1;2;1
B. 1; 2; 1 C. 1; 2; 1 D. A 1;2; 1
Đáp án D.
Tam giác MNP có trọng tâm G (3; 6; -3)
x
3 t
Đường thẳng d qua G, vuông góc với (Q): y
6 2t
z
3 t
x
3 t
y
6 2t
Đường thẳng d cắt (Q) tại A: A1;2; 1
z
3 t
x 2y z 6 0
Câu 42. (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Trong không gian Oxyz, cho hình thoi ABCD
x 1 y z 2
với điểm A1;2;1 , B2;3;2
. Tâm I của hình thoi thuộc đường thẳng d
: .
1 1 1
Biết D có tọa độ âm, vậy tọa độ của đỉnh D là:
D
D
D
D2;1;0
A. 2; 1;0 B. 0;1;2
C. 0; 1; 2 D.
Đáp án A.
Gọi I 1 t; t;2
t d . Ta có IA t; t 2; t 1 , IB t 3; t 3; t
2
Do ABCD là hình thoi nên IA. IB 0 3t 9t 6 0 t 1; t 2
Do C đối xứng với A qua I và D đối xứng với B qua I nên

t 1 I 0;1;1 C 1;0;1 , D2; 1;0
t 2 I 1;2;0 C 3;2; 1 , D0;1; 2
Câu 44. (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt
cầu (S) có phương trình: x 2 y 2 z 2 2x 6y 4z
2 0 . Viết phương trình mặt phẳng
(P) song song với giá của véc tơ v (1;6;2) , vuông góc với mặt phẳng ( ) : x 4y z 11 0
và tiếp xúc với (S).
4x 3y z 5 0
x 2y z 3 0
4x 3y z 27 0
A.
x 2y z 21 0
B.
3x y 4z
1 0
2x y 2z
3 0
3x y 4z
2 0
C.
2x y 2z
21 0
D.
Đáp án D.
(S) có tâm I (1; –3; 2) và bán kính R = 4. VTPT của ( ) là n (1;4;1) .
VTPT của (P) là: n n, v
(2; 1;2)
PT của (P) có dạng: 2x y 2z m 0 .
P
m
21
Vì (P) tiếp xúc với (S) nên d( I,( P)) 4 .
m
3
Vậy: (P):
2x y 2z
3 0
hoặc (P):
2x y 2z
21 0
Câu 45 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018): Cho mệnh đề:
I
x
2
y z
A 1;2;1 , B 0;2;3
1) Mặt cầu có tâm 1;0; 1 , đường kính bằng 8 là:
2) Mặt cầu có đường kính AB với là:
2
1 2 2 5
2 2
1 1 16
x y 2 z 2
2
4
3) Mặt cầu có tâm 0;0;0 và tiếp xúc với mặt cầu (S) có tâm 3; 2;4
, bán kính bằng
2 2 2
1 là: x y z 30 2 29
O
Số mệnh đề đúng là bao nhiêu:
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
Chọn B.
2 2
1) 2
x y z
2)
3)
1 1 16
2
1 2 2 5
x y 2 z 2
2
4
2 2 2
x y z 30 2 29
Câu 46 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Trong không gian
N 0; 3;0 , P 0;0;4 . Nếu MNPQ là hình bình hành thì tọa độ điểm Q là:
Oxyz cho 3 điểm M 2;0;0 ,

2;3;4 . 3;4;2 .
A. B. C. 2; 3;4 . D. 2; 3; 4 .
Chọn A.
2 0 x
Q
xQ
2
MNPQ là hình bình hành MN QP 3 0 yQ
yQ
3 Q2;3;4
0 4 zQ
zQ
4
Câu 47 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018): Trong không gian Oxy cho ba vecto a 2, 5,3
b
; b 0, 2, 1
; c 1,7, 2
. Tọa độ của vecto u 4a 3c
là:
3
1 55 1 55 1 55 1 55
A. u 11, , B. u 11, , C. u 11, , D. u 11, ,
3 3
3 3 3 3 3 3
Chọn A.
Ta có: a 2, 5,3 4a
8, 20,12
b 2 1
b 0,2, 1
0, ,
3 3 3
c 1,7,2 3c
3,21,6
b 1 55
Vậy u 4a 3c
11, ,
3 3 3
Câu 48 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018): Đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng
x
y 1 0 2x
y 1 0
d
và
là:
1
:
d2
:
2x
z 0 z
2 0
x 3y 2z
3 0
A.
B.
2x y 10z
19 0
2x 3y z 3 0
2x
y 10z 19 0
x 3y 2z
3 0
x y 2z
9 0
C.
D.
3x
y 2z 14 0
2x
y 10z 5 0
Chọn A.
Dùng Casio tính tích có hướng của 2 vecto dễ dàng:
n1
1,1,0
d 1 có d1
có VTCP a 1, 1, 2
n2
2,0,1

n1
2,1,0
d 2 có d2
có VTCP b n1 , n
2 1, 2,0
n 0,0,1
2
;
4;2;1 .
Vecto chỉ phương của đường vuông góc chung: u a b
Gọi là mặt phẳng đi qua d1
và // d : Khi đó vtpt của là: n u; a
1; 3;2 .
Đi qua điểm 0;1;0 :
A : x 3y 2z
3 0
Gọi là mặt phẳng đi qua d2
và // d : Khi đó vtpt của là: n u; b
2;1; 10 .
Đi qua điểm 0;1;2 :
B : 2x y 10z
19 0
Vậy phương trình đường vuông góc chung là:
x 3y 2z
3 0
2x y 10z
19 0
Câu 49 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường
x 1 y z 1
thẳng : và mặt phẳng (P): 2x y 2z
1 0 . Mặt phẳng (Q) chứa và
2 1 1
tạo với (P) một góc nhỏ nhất, khi đó góc gần với giá trị nào nhất sau đây?
0
0
0
A. 6
B. 8
C. 10
D.
Q
ax by 2a b
z a b 0 . Gọi P Q
Chọn B. Do nên Q : a x 1 by c z 1 0 và 2a b c 0 c 2a b
0
Vậy (Q):
( ),( ) , 0 ;90
o
n . n 2 2
P Q b 6a 1 b 12ab 36a
Ta có: cos
2 2 2
2 2
n . n 3 a b (2 a b)
3 2b 4ab 5a
Nếu a 0
P
Q
1
cos
3 2
b
Nếu a 0 , đặt t thì ta có:
a
7
t
f ' t
0
10
t 6
2 2 2
b ab a t t
12 36 12 36
f t
2 2 2
2b 4ab 5a 2t 4t
5
. Từ bảng biến thiến ta có thể dễ nhận thấy:
7 53 1 53
maxf t f
10 6 3 6
1 0
cos 8
0
5

Câu 50 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm
A( 1;3; - 2)
và mặt phẳng( P ) có phương trình 2x
- y + 2z
- 1 = 0 . Viết phương trình mặt
cầu ( S ) có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng( P ) .
Tọa độ tiếp điểm là:
7 7 2
A. H ; ;
1 1 2
B. H ; ;
7 7 2
C. H
; ;
D.
3 3 3
3 3 3
3 3 3
H
Chọn A.
R
2 3 4 1
d A, P 2 S x y z
3
Gọi H là tiếp điểm, ta có AH đi qua ( 1;3; 2)
x
1 2t
AH : y 3 t H 1 2 t;3 t; 2 2t
z
2 2t
H ( P) 2 1 2t 3 t 2 2 2t
1 0
2 2 2
: 1 3 2 4
7 7 2
; ;
3 3 3
A - , có véc tơ chỉ phương u 2; 1;2
2 7 7 2
9t
6 0 t H ; ;
3 3 3 3
Câu 51 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A
(2;0;-2), B (3;-1;-4), C (-2;2;0). Điểm D trong mặt phẳng (Oyz) có tung độ dương sao cho
thể tích của khối tứ diện ABCD bằng 2 và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (Oxy) bằng 1
có thể là:
D
D
D
D0;3; 1
A. 0; 3; 1 B. 0;1; 1 C. 0;2; 1 D.
Chọn D.
D ( Oyz) D(0; y ; z ) ,Điều kiện z 0
0.
0 0
Phương trình ( Oxy) : z 0 d( D,( Oxy)) z0 z0
1. Suy ra z 0
1 D(0; y 0
; 1) .
Ta có AB (1; 1; 2), AC ( 4;2;2), AD ( 2; y
0;1)
.
Suy ra AB, AC (2;6; 2) AB, AC
. AD 6y0
6
1
y0
3
VABCD
AB, AC. AD y0
1 2
6
y0
1
Suy ra D (0;3;-1) hoặc D (0;-1;-1) (loại)
Câu 52 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường
x 3 y 3 z
2 2 2
thẳng d: và mặt cầu (S): x y z 2x 2y
4z 2 0 . Lập phương trình
2 2 1
mặt phẳng (P) song song với d và trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S).

2y
z 2 3 5 0
y 2z
3 2 5 0
A.
B.
2y
z 2 3 5 0
y 2z
3 2 5 0
3y
z 1 5 3 0
C.
D.
3y
z 1 5 3 0
4y
z 5 6 0
4y
z 5 6 0
Chọn B.
(S) có tâm I (1; 1; 2), bán kính R = 2. d có VTCP u (2;2;1) .
(P) // d, Ox (P) có VTPT n
u, i
(0;1; 2)
PT của (P) có dạng: y 2z D 0 .
1 4 D
(P) tiếp xúc với (S) d( I,( P))
R 2 D 3 2 5
2 2
1 2
(P): y 2z 3 2 5 0 hoặc (P): y 2z 3 2 5 0.
D
3 2 5
D
3 2 5
Câu 53 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba
điểm A( 1;0;1), B(1;2; 1), C( 1;2;3)
và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính
bán kính R mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz).
A. R 4
B. R 3
C. R 5
D. R 2
Phương trình ( ABC ) : 2x y z 1 0 . Gọi I( x; y; z)
.
IA IB IC x y z 1 0, y z 3 0 (1) ;
I ( ABC ) 2x y z 1 0 (2)
Từ (1) (2) I(0; 2; 1) . Bán kính mặt cầu là R d( I,( Oxz)) 2
Câu 54. (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho
tam giác MNP biết MN 3;0;4 và NP 1;0; 2
. Độ dài đường trung tuyến MI của tam
giác MNP bằng:
9
85
95
A. B. C. D.
2
2
2
Chọn B.
Ta có: MP MN NP 4; 0;2
MN MP 7 49 85
MI ; 0; 3
MI 9
2 2
4 2
Câu 55 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt
: 1 0
phẳng P x y z và hai điểm A 1; 3;0 , B 5; 1; 2 . Điểm M ( a, b, c)
trên mặt phẳng
P sao cho MA MB đạt giá trị lớn nhất. Tính tổng S a b c.
A. 1 B. 11 C. 5 D. 6
Chọn A.
Kiểm tra thấy A và B nằm khác phía so với mặt phẳng P
.
15
2

Gọi B ' x ; y ; z là điểm đối xứng với B 5; 1; 2
Suy ra B ' 1; 3; 4
Lại có MA MB MA MB ' AB ' const
Vậy MA MB đạt giá trị lớn nhất khi M, A, B ' thẳng hàng hay M là giao điểm của đường
thẳng AB ' với mặt phẳng P
AB ' có phương trình
Tọa độ M x; y;
z
Vậy điểm M
x
1 t
y
3
z
2t
là nghiệm của hệ
2; 3;6 S 1
x 1 t t
3
y
3 x
2
z 2t
y 3
x y z 1 0 z
6
A
B’
M
P
B
Câu 1 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018): Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm
A2; 1;0 , B1;2; 1
và C 3;0; 4 .
Viết phương trình đường trung tuyến đỉnh A của tam giác
ABC.

A. x 2 1
y z B.
x 2
y 1
z
1 1 3
1 2 3
x 2 y 1
z x 2 y 1
z
C.
D.
1 2 3
1 2 3
Đáp án B
Phương pháp: Tìm trung điểm M của BC
Viết phương trình đường thẳng AM
Cách giải: Có M 1;1; 3
A
Đường thẳng AM qua 2; 1;0
và nhận AM 1;2; 3
làm VTCP nên có phương trình
x 2 1 2 1
y z x y
z
1 2 3 1 2 3
Câu 2 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
x 1 y z 1
: và ba điểm A3;2; 1
, B3; 2;3
, 5;4; 7
. Gọi tọa độ điểm M a; b;
c
1 2 1
nằm trên sao cho MA MB nhỏ nhất, khi đó giá trị của biểu thức P a b c là:
C
16 6 6
A. P
B.
5
16 12 6
C. P
D.
5
42 6 6
P
5
16 6 6
P
5
Đáp án D
2
M AM t 2;2t 2; t
AM 6t 12t
8
nên M 1 t;2 t; 1 t
2
BM t 4;2t 2; t 4
BM 6t 24t
36
2 2 2 1
2
6 12 8 6 24 36 6 1 2 2
3
f t
MA MB t t t t t t
Áp dụng BĐT Vectơ ta có: f t t t
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 1 t t
2 t
8 3 6
1 2 5
3
13 3 6 16 6 6 3 6 13 16 6 6
Do đó: M
; ;
5 5 5
P
5
2 2
2 1 1
1 2 2 9 2
3 3

Câu 3:
(GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm
A 1;3; 1 , B 2;1;1 , C 4;1;7 . Tính bán kính R của mặt cầu đi qua 4 điểm O, A, B, C
77
83
A. B. R
C. R
D. R
2
2
115
2
Đáp án C
Phương pháp: Viết phương trình mặt phẳng trung trực của OA, OB, OC. Tìm giao điểm I của 3 mặt
phẳng đó I là tâm mặt cầu cần tìm. Có R OI
Cách giải: Trung điểm OA là
1 3 1
A' ; ; .
Mặt phẳng trung trực của OA đi qua A‟ và vuông góc OA nên
2 2 2
1 3 1
11
có phương trình x 3 y z 0 x 3y z 0
2 2 2
2
Tương tự: Phương trình mặt phẳng trung trực của OB: 2x y z 3 0
Phương trình mặt phẳng trung trực của OC: 4x y 7z
33 0
Tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình:
3
11
3 0 x
x y z 2
2
5
2x y z 3 0 y
2
4x y 7z
33 0
7
z
2
3 5 7
83
I ; ; R OI
2 2 2
2
Câu 4 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M 3;3; 2
và
1 2 1 1 2
hai đường thẳng d1 : x y z , d2
: x y
z . Đường thẳng d đi qua M cắt d 1 , d 2 lần
1 3 1 1 2 4
lượt tại A và B. Tính độ dài đoạn thẳng AB ?
A. AB 2
B. AB 3
C. AB 6
D. AB 5
Đáp án B
Phương pháp: iết phương trình mặt phẳng (P) chứa M và
1
Tìm B là giao của (P) và d2
Tìm A là giao MB và d1
d
Cách giải: Có
d
N 1;2;0 d1; u1
1;3;1 là VTCP của
1

2; 1;2 ; ; 7;4; 5
MN nP
MN u1
Phương trình (P) chứa M và d : 7x 4y 5z
1 0
1
Giao của (P) và
d là B1;1;2
2
Gọi
1 ;2 3 ; 1
A t t t d
thì MA 2 t; 1 3 t;2 t; MB 4; 2;4
2 t 1 3t 2 t
4 2 4
t A AB 3
M, A, B thẳng hàng 0 1;2;0
Câu 5 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018): Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz viết phương trình
x 2 y z x y 1 z 2
mặt phẳng (P) song song và cách đều đường thẳng d1
: và d2
:
1 1 1 2 1 1
P : 2x 2z 1 0
P : 2y 2z
1 0
A.
B.
P : 2x 2 y 1 0
P : 2 y 2z
1 0
C. D.
Đáp án B
d
1
có vecto chỉ phương: u1 1;1;1
; tương tự
2
có vecto chỉ phương: u2 2; 1; 1
Do
(P) song song với 2 đường thẳng này nên (P) nhận vecto
u
1,
u u2
0; 3;3 3 0; 1;1
Loại A và C
d
Trên lấy 2;0;0 ; lấy điểm
Câu 6:
1
M
2
d N 0;1;2
Gọi phương trình P : 2y 2z a 0
d
Khoảng cách từ M đến (P) bằng với khoảng cách từ N đến (P)
a 2.1
2.2 a
a a 2 a 1.
2 2 2 2
2 2 2 2
(GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp
A C B D
ABCD.A’B’C’D’ có 1;2; 1 ; 3; 4;1 , ' 2; 1;3
và ' 0;3;5 . Giả sử tọa độ D x; y;
z thì giá trị
của
x 2y 3z
là kết quả nào sau đây
A. 1 B. 0 C. 2 D. 3
Đáp án B
Gọi M là trung điểm của AC nên M 2; 1;0

Gọi N là trung điểm của B'
D'
nên N 1;1;1
M là giao của 2 đường chéo AC và BD. D x; y;
z
1 1
2 2
Ta nhận thấy MD B' D' 2;4;2 1;2;1
Suy S 1;1;1 . Suy ra x 2y 3z
0
Câu 7: (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
1 3
P : 2x 2y z 3 0 và đường thẳng d
: x
y
z . Gọi A là giao điểm của (d) và (P);
1 2 2
gọi M là điểm thuộc (d) thỏa mãn điều kiện MA 2. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P)?
8
3
4
8
A. B. C. D.
9
9
Đáp án C
gọi Aa 1;2a 3;2a
2
9
Thay vào
P : 2 a 1 2 2a 3 2a
3 0. Suy ra
1 5 5 1
a A ; ;
4 4 2 2
Gọi M m 1;2 m 3;2m
;
2 2 2 2
2 1 1 1 1 2
AM 2 2 9 2
m 4 m 2 m 2 m 4
Suy ra
11
m
12
hoặc
5
m
12
23 7 11
Lấy 1 điểm ; ; ; d M ,
12 6 6
23 7 11
2. 2. 3
12 6 6
M P
2 2
2 2 1
8
9
Câu 8:
Khoảng cách từ M đến (P) là:
8
d .
9
(GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét mặt cầu (S) đi qua
A
B3;2;3
: 3 0,
hai điểm 1;2;1 ; , có tâm thuộc mặt phẳng P x y đồng thời có bán kính
nhỏ nhất, hãy tính bán kính R thuộc mặt cầu (S)?
A. 1 B. 2 C. 2 D. 2 2
Đáp án D
I a b c
Gọi I là tâm mặt cầu (S) , , . Suy ra a b 3 0 a b 3 I b 3; b;
c

2 2 2 2 1 2 2 2 3
2
2 2 2 2
IA IB R b b c b b c
Rút gọn ta được c 1
2b
2 2 2 2 2
R b 2 b 2 2b 4b 8 8 R 2 2
min R 2 2 khi b 0
Câu 9:
(GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm
A1; 1;1 ; B2;1; 2 , C 0;0;1
là kết quả nào dưới đây?
. Gọi H x; y;
z là trực tâm của tam giác ABC thì giá trị của x y z
1
A. 1 B. C. 2 D. 3
3
Đáp án A
1;2; 3 ; 2; 1;3 ; 1;1;0
AB BC AC
;
AB BC
3;3;3 n 1;1;1 ABC : x y z 1 0
ABC
1; 1; 1 ; 2; 1; 2 ; ; ; 1
AH x y z BH x y z CH x y z
AH. BC 0 2x y 3z
2
5 4 8
BH. AC 0 x
y 1
H ; ;
9 9 9
H
ABC x y z 1 0
Câu 10 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tứ diện ABCD với
1;2;1 , 0;0; 2 ; 1;0;1 ; 2;1; 1 . Tính thể tích tứ diện ABCD?
A B C D
1
3
2
3
A. B. C. D.
Đáp án D
V 1
. ,
6
AB
AC AD
ta có AB 1; 2; 3 ; AC 1; 2;0 ; AD 3; 1; 2
4
3
8
3
,
AC AD
4;4;4 u AB. u 16
; V
16 8
6 3
Câu 11: (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm
A3;0;0 , B0;2;0 ; C 0;0;6
và D1;1;1 .
Gọi là đường thẳng đi qua D và thỏa mãn tổng khoảng
cách từ các điểm A, B, C đến là lớn nhất đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây?
M 5;7;3
3;4;3
7;13;5
A. 1; 2;1
B. C. D.

Đáp án B
x y z
Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C là: 1
3 2 6
Ta thấy
D 1;1;1
thuộc mặt phẳng (ABC) nên đường thẳng cắt mặt phẳng (ABC) tại D
Gọi hình chiếu của A; B; C lên đưofng thẳng
Tương tự ta cũng có BI BD;
CJ CD
là H; I; J thì ta luôn có AH AD
Vậy để tổng khoảng cách từ A;B;C đến đường thẳng là lớn nhất thì phải vuông góc với (ABC)
tại D
Phương trình đường thẳng đi qua D và nhận VTPT của (ABC) làm VTCP
x 1 1 1
y
z
3 2 6
Khi đó thay lần lượt các đáp án A; B; C; D vào phương trình đường thẳng
Thấy M
5;7;3
thỏa mãn.
Câu 12 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Trong không gian với hệ tọa độ cho hai điểm A 1;2;1 ,
B 3;0; 1
: 1 0
P
MN
Oxyz
và mặt phẳng P x y z . Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của A và B
trên mặt phẳng . Tính độ dài đoạn .
4 2
2
A. 2 3 . B. . C. . D. 4 .
3
3
Đáp án B
d A
Gọi là đường thẳng qua 1;2;1 và vuông góc với mặt phẳng P .
Độ dài đoạn thẳng là khoảng cách từ B 3;0; 1
đến đường thẳng d .
MN
AB nP
AB nP
2; 2; 2 , 1;1; 1 , 4;0;4
,
AB n
16 0 16 4 2
MN P
.
n 111 3
P
Oxyz
P : x 2y 2z 1 0 B A P
AB
Câu 13: (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ cho hai điểm A 1;2;1 và
mặt phẳng . Gọi là điểm đối xứng với qua . Độ dài đoạn thẳng là
4 2
A. 2.
B. .
C. .
D.
3
3
4.
Đáp án B

B A P
là điểm đối xứng với qua nên AB P tại trung điểm đoạn AB .
2 1 4 2 1 4
Độ dài đoạn AB 2 d A,
P
.
1
4 4 3
Câu 14: (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các vectơ
1;2;1 , 2;3;4 , 0;1;2 , d 4;2;0 . Biết d x. a y. b z.
c . Tổng x y z là
a b c
A. 2. B. 3. C. 5. D. 4.
Đáp án A
x 2y 4 x
2
d x. a y. b z. c 2x 3y z 2 y
1
.
4 2 0
x y z z
1
Vậy x y z 2 11 2
Oxyz
Câu 15: (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm A 2;1;3 và
đường thẳng d có phương trình x 1 2
y
z . Mặt phẳng chứa A và d . Viết phương trình
2 1 1
mặt cầu tâm tiếp xúc với mặt phẳng P .
O
A. x 2 y 12 2 z
2 .
B.
5
2 2 2
x y z 3.
2 2 2
C. x y z 6.
D.
2 2 2 24
x y z .
5
Đáp án D
Đường thẳng đi qua điểm 1;2;0 và nhận u 2; 1;1
làm vectơ chỉ phương.
Có: AB 1;1; 3
.
d B
Khi đó: n ;
P
AB u
2;5;1
.
Phương trình mặt phẳng P : 2x 5y z 12 0 .
12
Vì mặt cầu tâm O tiếp xúc với mặt phẳng P
nên: R d
O;
P
.
30
2 2 2 24
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm: x y z .
5

Câu 16 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng
P : 2x y z 1 0 : 2 5 0
và . Khi đó, giao tuyến của và Q có một vectơ
Q x y z P
chỉ phương là:
A. 1;3;5 . B. 1;3; 5 . C. u 2;1; 1 . D.
u
u
Đáp án A
Có n 2;1; 1
và 1; 2;1
P
n Q
Khi đó, vectơ chỉ phương của giao tuyến của P
và Q
là: u ;
nP
nQ
1;3;5
.
u
1; 2;1 .
Oxyz
Câu 17: (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm M 1;2;1 .
Mặt phẳng P thay đổi đi qua M lần lượt cắt các tia Ox, Oy,
Oz tại A, B,
C khác O . Tính giá trị
nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện OABC .
A. 54. B. 6. C. 9. D. 18.
Đáp án C
Gọi
;0;0 , 0; ;0 , 0,0,
A a B b C c với a, b, c 0.
x y z
Phương trình mặt phẳng P
: 1.
Vì:
a b c
1 2 1 M P 1.
a b c
Thể tích khối tứ diện OABC
là:
VOABC
1
abc
6
1 2 1 1 2 1
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 33
.
a b c a b c
2 54
1
Hay 1 33
1 . Suy ra: abc 54 abc 9 . Vậy: V 9 .
abc abc
OABC
6
Câu 18: (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng
x 2 y z
2 2 2
d : và mặt cầu S : x 1 y 2 z 1
2 . Hai mặt phẳng P
và Q
chứa
2 1 4
d và tiếp xúc với S . Gọi M , N là tiếp điểm. Tính độ dài đoạn thẳng MN.
Đáp án B
Mặt cầu
4
A. 2 2. B. . C. 6. D. 4.
3
S có tâm I 1;2;1 , R 2
Đường thẳng nhận u 2; 1;4
làm vectơ chỉ phương
d

Gọi H là hình chiếu của I lên đường thẳng d .
H d H 2t 2; t;4t
Lại có:
IH. u 0 2t 1; t 2;4t
1 . 2; 1;4 0
2 2t 1 t 2 4 4t 1 0 t 0
Suy ra tọa độ điểm H 2;0;0 .
Vậy IH 1 4 1 6
Suy ra: HM 6 2 2
Gọi K là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng HI .
1 1 1 1 1 3
Suy ra: .
2 2 2
MK MH MI 4 2 4
2 4
Suy ra: MK MN .
3 3
Câu 19 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Cho mệnh đề:
I A x y z
1) Mặt cầu có tâm 3; 2;4
và đi qua 7;2;1 là
2) Mặt cầu có tâm 2; 1;3
và tiếp xúc với mp (Oxy) là
2 2 2
3 2 4 41
I
x y z
3) Mặt cầu có tâm 2; 1;3
và tiếp xúc với mp (Oxz) là
2 2 2
2 1 3 9
I
x y z
4) Mặt cầu có tâm 2; 1;3
và tiếp xúc với mp (Oyz) là
2 2 2
2 1 3 1
I
x y z
Số mệnh đề đúng là bao nhiêu:
A. 4 B. 1 C. 2 D. 3
Chọn đáp án D.
2 2 2
2 1 3 4
1) x y z
2 2 2
3 2 4 41
2) x y z
2 2 2
2 1 3 9
3) x y z
2 2 2
2 1 3 1
4) x y z
2 2 2
2 1 3 4
Câu 20 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018): Trong không gian tọa độ Oxyz cho sáu điểm A
(2;0;0), A’ (6;0;0), B (0;3;0), B’ (0;4;0), C (0;0;3), C’ (0;0;4). Tính côsin của góc giữa hai
mặt phẳng mp (ABC) và mp (A'B'C').

18
A. cos B.
375
18
cos C.
374
18
cos D.
376
cos
18
377
Chọn đáp án B.
x y z
Mặt phẳng (ABC) có phương trình theo đoạn chắn là 1 nên có phương trình
2 3 3
tổng quát là: 3x 2y 2z
6 0
n 3;2;2
Mặt phẳng này có vectơ pháp tuyến là:
x y z
Mặt phẳng (A'B'C') có phương trình theo đoạn chắn là 1 nên có phương
6 4 4
trình tổng quát 2x 3y
3z 12 0.
Mặt phẳng này có vectơ pháp tuyến n' 2;3;3
n. n' 6 6 6 18
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng đó, ta có: cos
n . n'
17. 22 374
Câu 21 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018): Cho các mệnh đề sau :
x 2t
2x y z 3 0
1) d
:
phương trình tham số có dạng: y
2 3t
x y z 1 0
z t 1
x y 1 0
2) d
:
có phương trình chính tắc là
4y
z 1 0
d
1 1
:
x
y
z
1 1 4
3) Phương trình chính tắc của đường thẳng (d) đi qua điểm A (2,0,-3) và vuông góc
x 2 y z 3
với mặt phẳng P : 2x 3y 5z
4 0 là d
:
2 3 5
Hỏi bao nhiêu mệnh đề đúng.
A.1 B. 3 C. 2 D. 0
Chọn C
1) Đặt x 2t
, ta có:
2) Sai. Chọn điểm A1,0, 1 d
4t y z 3 0 y 3t
2
2t y z 1 0 z t 1
Gọi
a 1 0 0 1 1 1
là t vtcp của (d), ta có: a , , a 1, 1, 4
4 1 1 0 0 4

qua A
1,0,
: 1 x
:
1 y z
d d
1
vtcp a 1, 1,4
1 1 4
3) Gọi là vtpt của mặt phẳng (P), ta có n
n 2, 3,5
Phương trình chính tắc của đường thẳng (d) là: d
Câu 22:
x 2 y z 3
:
2 3 5
(GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt
phẳng (P): 3 3 2 37 0 các điểm 4;1;5 , 3;0;1 , 1;2;0 . Điểm M a; b;
c
thuộc (P) sao cho biểu thức P MA. MB MB. MC MC.
MA đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó
a b c
bằng:
x y z A B C
A. 1 B. 13 C. 9 D. 10
Chọn A
Gọi M a; b; c MA 4 a;1 b;5 c, MB 3 a; b;1 c, MC 1 a;2 b;
c
. . . 3 2 2 1 2 2 2
5
Khi đó P MA MB MB MC MC MA a b c
Mà M P a b c a b c
3 3 2 37 0 3 2 3 1 2 2 44
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có:
2 2 2
a b c a b c
2 2 2 2
3 2 3 1 2 2 3 3 2 2 1 2
2 2 2
Do đó suy ra a b c
44 2
2 1 2 88
2 2 2
3 3 2
a 2 b 1 c 2
M 4;7; 2 a b c 1
3 3 2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
Câu 23 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường
1 2 1
thẳng d :
x
y
z điểm A2; 1;1
. Gọi I là hình chiếu vuông góc của A lên d.
1 1 2
Viết phương trình mặt cầu (C) có tâm I và đi qua A
2 2
2
x y z
x y z
2
A. 3 1 20
B.
C. 2 1 3 20
D.
2 2
1 2 5
2 2 2
x y z
x y z
Chọn D
Phương pháp
2 2 2
1 2 1 14

+ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, vuông góc (d): nhận VTCP của d (u d )
làm VTPT
+ Tìm giao của (d) và (P), là I
+ Tính R = IA. Viết phương trình mặt cầu
– Cách giải
Phương trình mặt phẳng (P) qua A, vuông góc (d) là x
y 2z 1 0
2
Giao (P) và (d) là I 1;2; 1
. Có IA 14 . Phương trình mặt cầu là
x y z
2 2 2
1 2 1 14
Câu 24 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường
1 3
thẳng
1
: x
y
z
1 1 4
d và d2
:
x
y
z . Viết phương trình mặt phẳng (P)
1 1 3 1 2 5
chứa d 1 và song song với d 2 .
A. x y 2z 7 0
B. x 2y z 1 0
C. x y 2z 7 0
D. x 2y z 1 0
– Chọn D
Phương pháp: Viết phương trình mặt phẳng
song song với d 2 cho trước (d 1 và d 2 chéo nhau)
+ Tìm M d1
bất kì
+ Tính n ;
P
ud u , viết phương trình (P)
1 d2
(P) chưa đường thẳng d1 cho trước và
– Cách giải
Có M 0;1;3 d1. Mặt phẳng (P) đi qua M và nhận n ;
p
ud u 1; 2;1
làm VTPT
1 d2
nên có phương trình x 2y z 1 0 x 2y z 1 0
Câu 25 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường
1 2
thẳng d :
x
y
z và mặt phẳng P : x y 2z
3 0 . Viết phương trình hình
2 2 3
chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng (P).
A. x 2 1 1
y z
B.
x 2
y 1
z 1
1 1 3
3 1 1
C. x 2 1 1
y
z
D.
x 2
y 1 z 1
3 1 1
1 1 3
– Chọn C

Phương pháp: Tìm hình chiếu vuông góc của đường thẳng d (biết phương trình) trên mặt
phẳng (P) (biết phương trình):
+ Tìm giao điểm M của (d) và (P)
+ Tính n ;
ud
np
+ Viết phương trình đường thẳng qua M và nhận u ;
n n p
làm VTCP
– Cách giải
Giao (d) và (P) là M 1;0; 2
n ;
ud
np
1; 7;4
u ;
n n p
18; 6; 6 6 3;1;1
x 1 y z 2 x 2 y 1 z 1
Phương trình đường thẳng cần viết là
3 1 1 3 1 1
Câu 26 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Viết phương trình mặt phẳng P chứa điểm A và
4 2
đường thẳng d. A (2;-3;1) và d:
x t
y
2 3t
z
3 t
.
A. 11x 2y 16z 32 0
B. 11x 2y 16x 44 0
C. 11x 2y 16z 0
D. 11x 2y 16z 12 0
Đáp án C
Lấy A1 4;2;3 d . Mặt phẳng
1
P có VTPT là n .
n
A1 A, u d
11;2; 16 .
Từ giả thiết ta có:
Từ đó suy ra phương trình (P) là: 11x 2y 16z
0 .
Câu 27 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Tìm tọa độ điểm M đối xứng với M qua đường
x
3t
1
thẳng d biết M 2; 4;
1
, d : y t 2 .
z
4t
5
A. M 7; 7;
5
B. M 7; 7;
5
C. 5 3
5 3
M ; ; 3
D. M ; ; 3
2 2
2 2
Đáp án B

Gọi H là hình chiếu của M trên d .
Mặt phẳng qua M vuông góc với d có VTPT là VTCP của đường thẳng d nên
P : 3x y 4z
6 0.
Tọa độ của H là giao điểm của và , ta có hệ:
x
3t
1
y
t 2
P d .
z
4t
5
3x y 4z
6 0
Từ đó suy ra 1 Do là trung điểm nên ta có
2 .
M ' 7; 7; 5 .
t H MM
Câu 28 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018): Trong khong gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp
ABCD. A' B' C ' D'
có A0;0;0 ; B3;0;0 ;
D0;3;0 ; D' 0;3; 3
. Tọa độ trọng tâm của tam giác
A’B’C’ là
2;1; 2
A. 1;1; 2
B. 2;1; 1
C. 1;2; 1
D.
Đáp án D
Từ giả thiết ta có
AB 3;0;0 A 'B' B' 3;0; 3 G 2;1; 2
AA ' DD' 0;0; 3 A ' 0;0; 3
AB3;0;0 DC C3;3;0
Câu 29:
(GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Trong không gian Oxyz cho
mp P : x 2y z 5 0 và đường thẳng
x 1
d : y 1 z 3 . Tính góc giữa đường thẳng d và mp (P).
2
A.
Đáp án C
0
60
B.
0
45
C.
0
30
D.
0
90
Gọi là góc giữa đường thẳng d và mp (P). d có vectơ chỉ phương 2;1;1
p
nên:
u . n
2 2 1 1
vectơ pháp tuyến n 1;2; 1
d P
0
sin
30 .
2 2 2 2 2 2
u
2
d
nP
. 2 1 1 1 2 1
u
d
, (P) có

Câu 31:
(GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường
: 3 0
thẳng nằm trong mặt phẳng x y z đồng thời đi qua điểm M 1;2;0 và
2 2 3
cắt đường thẳng D :
x
y
z . Một vecto chỉ phương của là
2 1 1
A. 1; 1; 2
B. 1;0; 1
C. 1;1; 2
D. u
Đáp án C
u
u
u
1; 2;1
Do nằm trên mặt phẳng và cắt d nên giao điểm của với d sẽ thuộc
Giả sử N là giao điểm của và d N2 2t;2 t;3 t
Mà N 2 2t 2 t 3 t 3 0 t 1
N0;1;2
u NM 1;1; 2
Câu 32 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
x x 3 z
(S) có tâm I thuộc đường thẳng : . Biết rằng mặt cầu (S) có bán kính
1 1 2
bằng 2 2 và cắt mặt phẳng Oxz
theo một đường tròn có bán kính bằng 2. Tìm tọa độ
tâm I
I I
I 1; 2;2 , I 0; 3;0
A. 1; 2;2 , 5;2;10
B.
I I
I 1; 2;2 , I 1;2; 2
C. 5;2;10 , 0; 3;0
D.
Đáp án A
Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng là
Oxz là 2
2 2 2
d R r 2 2 2 2
Điểm
I
t 5 I 1; 2;2
I t; t 3;2t d I; P t 3 2
t 1 I 5;2;10
d
suy ra
Câu 33: (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Cho mệnh đề:
2
I
x y z
A 1;2;1 , B 0;2;3
1) Mặt cầu có tâm 1;0; 1 , đường kính bằng 8 là:
2) Mặt cầu có đường kính AB với là:
2
1 2 2 5
x y 2 z 2
2
4
2 2
1 1 16

O
3) Mặt cầu có tâm 0;0;0 và tiếp xúc với mặt cầu (S) có tâm 3; 2;4
, bán kính bằng
2 2 2
1 là: x y z 30 2 29
Số mệnh đề đúng là bao nhiêu:
A. 2 B. 1 C. 3 D. 0
Đáp án B
2
1) x y z
2 2
1 1 16
2
1 2 2 5
2
4
2) x y 2 z 2
3)
2 2 2
x y z 30 2 29
Câu 34 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
(S) đi qua điểm 2; 2;5 và tiếp xúc với các mặt phẳng : x 1, : y 1, : z 1.
Bán kính của mặt cầu (S) bằng
A
A. 33 B. 1 C. 3 2
D. 3
Đáp án D
Gọi
I a;b;c ta có
d I; d I; d I; suy ra R a 1 b 1 c 1
Do điểm A2; 2;5
thuộc miền x 1; y 1;z 1 nên Ia;b;c cũng thuộc miền
a 1; y 1;z 1
Khi đó IR 1; 1 R;R 1
. Mặt khác
2 2 2 2
IA R R 1 R 1 R 4 R R 3
Oxyz
Câu 35 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018). Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho A 1; 1;
1 ,
B 0; 1; 2
trị nhỏ nhất.
2 2 2
, C 2; 0;
1 P : x y z 1 0 . Tìm điểm N P sao cho S 2NA NB NC đạt giá
1 5 3
3 1
A. N ; ; . B. N 3; 5; 1
. C. N 2; 0;
1
. D. N ; ; 2
.
2 4 4
2 2
Chọn A.
Cách 1.
1 3 3 5
Gọi I là trung điểm BC và J là trung điểm AI . Do đó I 1; ; và J 0; ; .
2 2 4 4

2 2 1 2 2 2 1 2
Khi đó S 2NA 2NI BC 4NJ IJ BC .
2 2
Do đó S nhỏ nhất khi NJ nhỏ nhất.
Suy ra là hình chiếu của trên
N J
1 5 3
P N ; ;
2 4 4
3 5
Cách 2. Gọi I là điểm thỏa mãn 2IA IB IC 0 I 0; ;
4 4
2 2 2
2 2 2
Ta có S 2NA NB NC 2NI IA NI IB NI IC
4NI 2NI 2IA IB IC 2IA IB IC 4NI 2IA IB IC
2 2 2 2 2 2 2 2
Để P đạt giá trị nhỏ nhất thì NI nhỏ nhất hay N là hình chiếu của I lên
1 5 3
P N ; ;
2 4 4

Câu 1(GV Nguyễn Quốc Trí): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
vecto pháp tuyến là n 2; 1;1 . Vecto nào sau đây cũng là vecto pháp tuyến của P ?
A. 4; 2;2 . B. 4;2;3 . C. 4;2; 2 . D.
Đáp án A
(4; 2;2) 2(2; 1;1) (4; 2;2)
là một VTPT của (P)
2;1;1 .
Câu 2 (GV Nguyễn Quốc Trí): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình
chính tắc của mặt cầu có đường kính AB với A B
A. S : x 1 y 1 z 1 4 B.
2;1;0 , 0;1;2 .
2 2
2
S x y z
C. S : x 1 y 1 z 1 4 D.
Đáp án D
2 2 2
: 1 1 1 2
2 2
2
S x y z
Gọi I là trung điểm AB I(1;1;1)
R IA 11 2
2 2 2
( S) : ( x 1) ( y 1) ( z 1) 2
2 2 2
: 1 1 1 2
Câu 3 (GV Nguyễn Quốc Trí) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho
A 0; 1;1 , B 2;1; 1 , C 1;3;2 .
là:
Biết rằng ABCD là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm D
2
A. D
1;1;
B. D1;3;4
C. 1;1;4
D.
3
Đáp án C
D( x; y; z), AB( 2;2; 2), DC( 1 x;3 y;2 z)
AB DC D(1;1;4)
D D1; 3; 2
Câu 4: (GV Nguyễn Quốc Trí) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P : x 2y z 4 0
và đường thẳng
x 1 y z 2
d : .
2 1 3
nằm trong mặt phẳng P
, đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng d.
P
có
Viết phương trình đường thẳng
A. x 1 y 1 z 1 .
B.
5 1 3
x 1 y 1 z 1 .
5 1 3
x 1 y 1 z 1 C. .
D.
x 1 y 1 z 1 .
5 1 3
5 1 2
Đáp án A

n (1;2;1), u (2;1;3) [ n , u ] (5; 1; 3)
P d P d
M d M ( 1 2 t; t; 2 3 t)
M ( P) 1 2t 2t 2 3t 4 0 t 1 M (1;1;1)
x 1 y 1 z 2
:
5 1 3
Câu 5 (GV Nguyễn Quốc Trí) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz có bao nhiêu mặt phẳng
: 3 0,
song song với mặt phẳng Q x y z cách điểm M 3;2;1 một khoảng bằng 3 3
biết rằng tồn tại một điểm
X a; b;
c trên mặt phẳng đó thỏa mãn a b c 2?
A. 1. B. Vô số. C. 2. D. 0.
Đáp án D
( P) / /( Q) ( P) : x y z d 0,( d 3)
d 6
d
3 ( L)
d( M ;( P)) 3 3 d 6 9
3
d
15
( P) : x y z 15 0
X ( a; b; c) ( P) a b c 15 0 a b c 15 2 ( L)
Câu 6 (GV Nguyễn Quốc Trí) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ
a 3; 2;1 , a 2; 1;1 . Tính P ab.
A. P 3.
B. P 12.
C. P 3.
D. P 12.
Đáp án A
a. b 3.( 2) ( 2).( 1) 1.1 3
4;3;1 , 0;4;6 ?
Câu 7 (GV Nguyễn Quốc Trí): Tính cosin góc giữa hai vectơ a b
5 13 5 2 5 26
A. .
B. .
C. .
D.
26
26
26
Đáp án D
cos( a, b)
12 6 9 2
26 52 26
Câu 8 (GV Nguyễn Quốc Trí): Trong không gian Oxyz, cho điểm
vuông góc của A lên mặt phẳng Oyz là điểm:
9 2 .
26
A 3; 1;1 . Hình chiếu
M
N
P
A. 3;0;0 . B. 0; 1;1 . C. 0; 1;0 . D. Q 0;0;1 .
Đáp án B
Gọi N là hình chiếu của
A(3; 1;1) lên (Oyz) N(0; 1;1)

Câu 9
(GV Nguyễn Quốc Trí): Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
x 2 y 1
z
d : . Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là:
1 2 1
A. u1 1;2;1 .
B. u2 2;1;0 .
C. u3 2;1;1 .
D. u4 1;2;0 .
Đáp án A
Câu 10
(GV Nguyễn Quốc Trí): Trong không gian Oxyz, cho ba điểm
M 2;0;0 , N 0; 1;0 , P 0;0;2 .
Mặt phẳng MNP
có phương trình là:
x y z x y z
x y z
x y z
A. 0. B. 1.
C. 1.
D. 1.
2 1 2 2 1 2
2 1 2
2 1 2
Đáp án D
MN( 2; 1;0), MP( 2;0;2) n [ MN, MP] ( 2;4; 2)
x y z
( MNP) : ( x 2) 2y z 0 1
2 1 2
Câu 11
(GV Nguyễn Quốc Trí): Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
A 1;2;1 , B 2;1;0 . Mặt phẳng qua A và vuông góc với AB có phương trình:
A. 3x y z 6 0. B. 3x y z 6 0. C. x 3y z 5 0. D. x 3y z 6 0.
Đáp án B
AB(3; 1; 1)
( P) : 3( x 1) ( y 2) ( z 1) 0 3x y z 6 0
Câu 12
(GV Nguyễn Quốc Trí): Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng
x 3 y 3 z 2
d1
: ; d
1 2 1
P
1 2
2
x 5 y 1 z 2
:
3 2 1
vuông góc với và cắt d , d có phương trình là:
và
P : x 2y 3z
5 0.
Đường thẳng
x 1 y 1
z
A. .
B.
1 2 3
C. x 3 y 3 z 2
.
D.
1 2 3
Đáp án A
x 2 y 3 z 1 .
1 2 3
x 1 y 1
z
.
3 2 1

d d M M (3 m;3 2 m; 2 m)
1
d d2
N N(5 3 n; 1 2 n;2 n)
MN( m 3n 2;2m 2n 4; m n 4)
u n (1;2;3)
d
P
m 3n 3 k m
2
MN kud
2m 2n 4 2k n 1 M (1; 1;0)
m n 4 3k
k
1
x 1 y 1
z
d :
1 2 3
Câu 13
(GV Nguyễn Quốc Trí): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
M 1;1;2 .
' ' '
Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng P đi qua M và cắt các trục x Ox, y Oy,
z Oz lần
lượt tại các điểm A, B, C sao cho OA OB OC 0?
A. 3. B. 1. C. 4. D. 8.
Đáp án A
Gọi pt mặt phẳng cần tìm là: x y z 1
a b c
1 1 2
M (1;1;2) ( P) 1 (*)
a b c
A( a;0;0), B(0; b;0), C(0;0; c) : OA OB OC a b c 0
( a; b; c) {( ; ; ),( ; ; ),( ; ; ),( ; ; ),( ; ; ),( ; ; ),( ; ; ),( ; ;
)}
Thay vào (*) ta thấy chỉ có 3 bộ thỏa mãn: ( ; ; ),( ; ; ),( ; ; )
tương ứng có 3
mặt phẳng thỏa mãn đề bài
Câu 14 (GV Nguyễn Quốc Trí): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
A 8 4 8
2;2;1 , B ; ;
.
Đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp của tam giác OAB và
3 3 3
vuông góc với mặt phẳng
OAB
có phương trình là:
A. x 1 y 3 z 1 .
B.
1 2 2
1 5 11
x y z
C. 3 3 6 .
D.
1 2 2
Đáp án A
8 4 8
OA (2;2;1), OB
( ; ; ) u d
[ OA , OB
] (4; 8;8)
3 3 3
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB
x 1 y 8 z 4
.
1 2 2
2 2 5
x y z
9 9 9 .
1 2 2

OA. xB OB. xC OC.
xA
xI
0
OA OB OC
OA. yB OB. yC OC.
yA
yI
1 I(0;1;1)
OA OB OC
OA. zB OB. zC OC.
zA
zI
1
OA OB OC
x 1 y 3 z 1
d :
1 2 2
Câu 15 (GV Nguyễn Quốc Trí): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm
A1;2;1 , B 3; 1;1 ,
C 1; 1;1 . Gọi là mặt cầu có tâm A, bán kính bằng 2; S
,
S
là
2 3
hai mặt cầu có tâm lần lượt là B, C và bán kính đều bằng 1. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp
xúc với cả ba mặt cầu S S S
, , ?
1 2 3
A. 5. B. 7. C. 6. D. 8.
Đáp án B
A
P
Q
B
C
M
N
AB AC 13, BC 4, d( A, BC) 3. Do R1 2R2 2R3
nên các khoảng cách từ A đến (P)
gấp đôi khoảng cách từ B,C đến (P). gọi M, N lần lượt là điểm đối xứng của A qua B,C. và
P,Q là điểm trên canh AB,AC sao cho
AP 2 BP, AQ 2QC
. Bài toán quy về tìm các mp
(P) chính là các mặt phẳng đi qua MN,MQ,NP,PQ sao cho d( A,( P)) 2
TH1:
d( A, PQ) 2 nên chỉ có duy nhất 1 mp (P) qua PQ sao cho d( A,( P)) 2
TH2:
d( A; MN), d( A, MQ), d( A; NP)
đều lớn hơn 2 nên mỗi TH sẽ có 2 mp qua các cạnh
MN,MQ,NP sao cho khoảng cách từ A đến nó bằng 2
Vậy có tất cả 7 mp thỏa mãn yêu cầu

Câu 16 (GV Nguyễn Quốc Trí) Trong không gian Oxyz, mặt cầu
2 2 2
x y z x y z
2 4 2 3 0
có bán kính bằng:
A. 9. B. 3. C. 3 3. D. 3.
Đáp án B
2 2 2 2 2 2
x y z 2x 4y 2z 3 0 ( x 1) ( y 2) ( z 1) 9
Câu 17 (GV Nguyễn Quốc Trí) Trong không gian Oxyz, cho các điểm
A 2; 2;1 , B 1; 1;3 . Tọa độ của vectơ AB là:
A. 1; 1; 2 . B. 1;1;2 . C. 3; 3;4 . D.
3;3; 4 .
Đáp án B
Câu 18 (GV Nguyễn Quốc Trí)Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm
I 1;2; 1
cắt mặt
: 2 2 1 0
phẳng P x y z theo một đường tròn có bán kính bằng 8 có phương trình là:
2 2
2
x y z
A. x 1 y 2 z 1 9.
B.
C. x 1 y 2 z 1 3.
D.
Đáp án B
2 2 2
1 2 1 9.
2 2
2
x y z
3
d( I;( P)) 1
3
R d r
2 2
1 8 3
2 2 2
( S) : ( x 1) ( y 2) ( z 1) 9
Câu 19:
A
B
1;2; 3 , 2;0; 1 .
2 2 2
1 2 1 3.
(GV Nguyễn Quốc Trí) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
phía so với mặt phẳng x 2y mz 1 0.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hai điểm A, B nằm khác
m
m
A. 2;3 .
B.
m
m
C. ;2 3; .
D.
Đáp án A
P( A) 6 3 m, P( B) 3
m
P( A). P( B) 0 (6 3 m)(3 m) 0 2 m 3
Câu 20:
2;3 .
;2 3; .
(GV Nguyễn Quốc Trí) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
A1;2;1 , B 2; 1;3 .
2 2
Tìm điểm M trên mặt phẳng Oxy sao cho MA 2MB
lớn nhất.
1 3
A. M 0;0;5 .
B. M
; ;0
.
C. M 3; 4;0 .
D.
2 2
3 1
M
; ;0 .
2 2

Đáp án C
Giả sử I là điểm thỏa mãn IA 2IB 0 I(3; 4;5)
2 2 2 2
MA 2 MB ( MI IA) 2( MI IB)
2 2
( MA 2 MB ) min MI min
Suy ra M là hình chiếu vuông góc của I lên (Oxy) I(3; 4;0)
Câu 21: (GV Nguyễn Quốc Trí) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
S J
1
S có tâm I 2;1;1
bán kính bằng 4 và mặt cầu có tâm 2;1;5 bán kính bằng 2. P là mặt phẳng thay
đổi tiếp xúc với hai mặt cầu
2
S
S
, .
1 2
nhất của khoảng cách từ O đến mặt phẳng Giá trị
Đặt M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
M
m
bằng:
A. 8. B. 8 3. C. 9. D. 15.
Đáp án C
Do
IJ 4 R1 R2
Giả sử IJ cắt (P) tại M ta có
nên hai mặt cầu cắt nhau
MJ
MI
R2
2 J là trung điểm của MI
R
M P a x b y c z a b c
2 2 2
(2;1;9) ( ) : ( 2) ( 1) ( 9) 0( 0)
8c
2c
d( I,( P)) 4 4 1
2 2 2 2 2 2
a b c a b c
1
Do đó
c 0 , chọn
c a b
2 2
1 3
Đặt
2a b 9 2a b 9 2 3 sin t 3cost+9
a 3 sin t, b 3cost d(O;(P))=
2 2 2
a b c 2 2
9 15 15 9
Mặt khác
12 3 2 3 sin t 3cost 12 3 d o
2 2
M m 9
Câu 22 (GV Nguyễn Quốc Trí): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu có phương
trình
2 2 2
S : x y z 4x 2y 6z
4 0
có bán kính R là:
A. R 53. B. R 4 2. C. R 10. D. R 3 7.
Đáp án C
2 2 2
( S) : x y z 4x 2y 6z
4 0
2 2 2
( x 2) ( y 1) ( z 3) 10

Câu 23 (GV Nguyễn Quốc Trí): Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm
A1;1;4 , B 2;7;9 , C 0;9;13 .
A. 2x y z 1 0.
B. x y z 4 0.
C. 7x 2y z 9 0.
D. 2x y z 2 0.
Đáp án B
AB(1;6;5), AC( 1;8;9) n [ AB, AC] (14; 14;14)
( P) : ( x 1) ( y 1) ( z 4) 0 x y z 4 0
Câu 24 (GV Nguyễn Quốc Trí): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm
M 3;2;8 , N 0;1;3 ,
P
2; m;4 . Tìm m để tam giác MNP vuông tại N.
A. m 25.
B. m 4.
C. m 1.
D. m 10.
Đáp án D
MN( 3; 1; 5), NP(2; m 1;1)
MN. NP 0 6 m 1 5 0 m 10
Câu 25 (GV Nguyễn Quốc Trí): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC
có
A0;1;4 ,
B
3; 1;1 , C 2;3;2 . Tính diện tích tam giác ABC.
A. S 2 62. B. S 12.
C. S 6.
D. S 62.
Đáp án D
AB(3; 2; 3), AC( 2;2; 2) [ AB, AC] (10;12;2)
[ AB, AC] 248
1
S [ AB , AC ] 62
2
Câu 26 (GV Nguyễn Quốc Trí): Trong không gian có hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm
A0;1;2 , B 0; 2;0 ,
vuông góc với mặt phẳng
C 2;0;1 . Mặt phẳng P
đi qua A, trực tâm H của tam giác ABC và
ABC
có phương trình là:
A. 4x 2y z 4 0.
B. 4x 2y z 4 0.
C. 4x 2y z 4 0.
D. 4x 2y z 4 0.
Đáp án C
( P) ( ABC)
AH
BC AH BC ( P) n BC ( 4;2;1)
P
( P) : 4( x 0) 2( y 1) ( z 2) 0 4x 2y 2z
4 0

Câu 27 (GV Nguyễn Quốc Trí): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm
A
0;0; 6 , B 0;1; 8 ,
C D
1;2; 5 , 4;3;8 .
Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng cách đều
bốn điểm đó?
A. Vô số. B. 1 mặt phẳng. C. 7 mặt phẳng. D. 4 mặt phẳng.
Đáp án A
AB(0;1; 2), AC(1;2;1), AD(4;3;14)
[ AB, AC]=(5;-2;1) [ AB, AC] AD 0
AB, AC,
AD đồng phẳng suy ra tồn tại vô số mặt phẳng cách đều 4 điểm trên
Câu 28(GV Nguyễn Quốc Trí): Trong không gian Oxyz, mặt phẳng
P : 2x y 3z
1 0
có
một vectơ pháp tuyến là:
A. n1 2; 1;3 .
B. n2 2; 1; 1 .
C. n3 1;3; 1 .
D. n4 2; 1; 3 .
Đáp án A
Câu 29(GV Nguyễn Quốc Trí)Trong không gian Oxyz, cho điểm
M
3;2; 1
. Hình chiếu
vuông góc của điểm M lên trục Oz là điểm:
M
M
M
A. 3;0;0 .
3
B.
4
0;2;0 . C. 0;0; 1
.
1
D. M 2
3;2;0 .
Đáp án C
M1 Oz x 0; y 0; z 1
M1 M1 M1
Câu 30: (GV Nguyễn Quốc Trí) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M 2;0;0 , N 0;1;0
P
và 0;0;2 . Mặt phẳng MNP có phương trình là
x y z
x y z
x y z
A. 0 B. 1
C. 1
D.
2 1 2
2 1 2
2 1 2
Đáp án C
Phương trình đoạn chắn
x y z
1
2 1 2
Câu 31: (GV Nguyễn Quốc Trí) Trong không gian với hệ toạ độ Oxy, cho ba điểm
A2; 1;1 , B 1;0;4
và C 0; 2; 1
. Phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với đường
thẳng BC là:
A. 2x y 2z 5 0. B. x 2y 5z 5 0. C. x 2y 3z 7 0. D. x 2y 5z
5 0.
Đáp án D

BC( 1; 2; 5)
( P) : ( x 2) 2( y 1) 5( z 1) 0 x 2y 5z
5 0
Câu 32:
(GV Nguyễn Quốc Trí) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho
A3;2;1 , B 2;3;6
. Điểm M x ; y ; z thay đổi thuộc mặt phẳng (Oxy) . Tìm giá trị
M M M
của biểu thức T x y z khi MA 3MB
nhỏ nhất.
M M M
7
7
A.
B. C. 2 D. 2
2
2
Đáp án B
Giả sử tồn tại I thỏa mãn IA 3IB
0
3
x
3 x 3( 2 x) 0 4
11 3 11 19
2 y 3(3 y) 0 y I( ; ; )
4 4 4 4
1 z 3(6 z) 0
19
z
4
MA 3MB 4MI MA 3MB MI
3 11 14 7
Suy ra M là hình chiếu của I lên (Oxy) M ( ; ;0) T
4 4 4 2
min
min
Câu 33: (GV Nguyễn Quốc Trí) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm
8 4 8
A2;2;1 , B
; ; .
Biết I a; b;
c
là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác OAB. Tính
3 3 3
tổng S a b c.
A. S 1.
B. S 0.
C. S 1.
D. S 2.
Đáp án D
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB
OA 3, OB 4, AB 5
xA. OB xB. OA xC
. AB
xI
0
OA OB OC
yA. OB yB. OA yC.
AB
yI
1 I(0;1;1)
OA OB OC
zA. OB zB. OA zC.
AB
zI
1
OA OB OC

Câu 34: (GV Nguyễn Quốc Trí)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
A
1;2;1 , B 1;2; 3
1 5
và đường thẳng : x
y z
d
. Tìm vectơ chỉ phương u của
2 2 1
đường thẳng Δ đi qua A và vuông góc với d đồng thời cách B một khoảng lớn nhất.
A. 4; 3;2 . B. 2;0; 4 . C. 2;2; 1 . D. u 1;0;2 .
u u u
Đáp án A
Vì d u. u d
0 loại đáp án B,C
x 1 y 2 z 1
u(4; 3;2) :
4 3 2
AB(2;0; 4) [ ud
, AB] ( 12;20;6)
[ ud
, AB]
d( B; ) 2 5
ud
u(1;0;2)
AB(2;0; 4) [ ud
, AB] (0;8;0)
[ ud
, AB] 8
d( B; )
u 5
8
2 5 u(4; 3;2)
5
d
Câu 35 (GV Nguyễn Quốc Trí): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P : y 2z
1 0.
Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của (P)?
A. 1; 2;1 . B. 1; 2;0 . C. 0;1; 2 . D.
n n n n
0;2;4 .
Đáp án C
Câu 36 (GV Nguyễn Quốc Trí): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1 1
d : x
y
z . Điểm nào dưới đây KHÔNG thuộc d ?
1 2 2
E
N
F
M
A. 2; 2;3 . B. 1;0;1 . C. 3; 4;5 . D.
Đáp án D
Thay tọa độ của M ở từng đáp án vào pt đường thẳng ta thấy đáp án D sai
0;2;1 .

Câu 37 (GV Nguyễn Quốc Trí): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M 1;0;4
và đường thẳng d có phương trình
x 1 1
y
z .
1 1 2
Tìm hình chiếu vuông góc H của M lên
đường thẳng d.
H
H
H
H
A. 1;0;1 . B. 2;3;0 . C. 0;1; 1 . D.
Đáp án D
H d H ( t;1 t; 1 2 t) MH ( t 1;1 t;2t
5)
MH. u 0 t 1 t 1 4t 10 0 t 2 H (2; 1;3)
d
2; 1;3 .
Câu 38 (GV Nguyễn Quốc Trí): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
2 2 2
S : x 1 y 2 z 2
9 và mặt phẳng P : 2x y 2z 1 0. Biết P
cắt S
theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r. Tính r.
A. r 3.
B. r 2 2. C. r 3.
D. r 2.
Đáp án B
2 2 4 1
d( I;( P))
1
3
r R d
2 2
9 1 2 2
Câu 39 (GV Nguyễn Quốc Trí): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P : 2x 2y z 0
x 1
y z
và đường thẳng d : . Gọi Δ là một đường thẳng chứa
1 2 1
trong cắt và vuông góc với d. Vectơ u a;1;
b là một vectơ chỉ phương của . Tính
P
tổng S a b.
A. S 1.
B. S 0.
C. S 2.
D. S 4.
Đáp án C
n (2; 2;1), u (1;2; 1) [ n , u ] (0;3;6) 3(0;1;2)
P d P d
S 2
Câu 40 (GV Nguyễn Quốc Trí): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
2 2 2
S : x 1 y 2 z 2 9 và hai điểm M 4; 4;2 , N 6;0;6 .
Gọi E là điểm
thuộc mặt cầu S sao cho EM EN đạt giá trị lớn nhất. Viết phương trình tiết diện của mặt
cầu S tại E.
A. x 2y 2z 8 0. B. 2x y 2z 9 0. C. 2x 2y z 1 0. D. 2x 2y z 9 0.

Đáp án D
Gọi P là trung điểm MN => P (5;-2;4)
2 2 2
2 EM EN MN
)
EP
2 4
2 2 2 2 2
)( EM EN) (1 1 )( EM EN )
EM+EN lớn nhất => EM 2 +EN 2 lớn nhất =>EP lớn nhất
=> Để EP max thì E là giao điểm của PI và mặt cầu
x
2t
1
PI : y 2t
2
z
t 2
E(2t 1; 2t
2; t
2)
Thay điểm E vào mặt cầu => t=
*) E(3;0;2) PE (2; 2;2)
*) E( 1;4;1) PE (6; 6;3)
t
1
t
1
=> Lấy E( 1;4;1)
thỏa mãn để max
n IE
=> Tiếp diện: ( P) : 2x 2y z 9 0
qua E
Câu 41 (Gv Nguyễn Quốc Trí): Trong không gian với hệ trục Oxyz, mặt phẳng đi qua các
điểm
A2;0;0 , B 0;3;0 , C 0;0;4
có phương trình là:
A. 6x 4y 3z
12 0.
B. 6x 4y 3z
0.
C. 6x 4y 3z
12 0.
D. 6x 4y 3z
24 0.

Đáp án C
x y z
( P) : 1 6x 4y 3z
12 0
2 3 4
Câu 42 (Gv Nguyễn Quốc Trí): Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt
: 3 2 2 5 0
phẳng P x y z và Q : 4x 5y z 1 0. Các điểm A, B phân biệt thuộc
giao tuyến của hai mặt phẳng P
và Q.
AB cùng phương với vectơ nào sau đây?
A. w 3; 2;2 . B. v 8;11; 23 . C. a 4;5; 1 . D. u 8; 11; 23 .
Đáp án D
nP
(3; 2;2), nQ
(4;5; 1)
[ n , n ] ( 8;11;23)
P
Q
Câu 43 (Gv Nguyễn Quốc Trí): Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P : x y 2z
3 0
I
và điểm 1;1;0 . Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với P là:
2 2 2 5
A. x 1 y 1 z .
B.
6
C. x 1 y 1 z .
D.
6
Đáp án B
2 2 2 25
x 1 y 1 z .
6
2 2 2 5
2 2 2 5
x 1 y 1 z .
6
11
3 5
R d( I;( P))
6 6
2 2 25
( S) : ( x 1) ( y 1)
6
Câu 44 (Gv Nguyễn Quốc Trí): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm
A1;0;0 , B 0;2;0 ,
điểm trong 5 điểm O, A, B, C, D?
C 0;0;3 , D 2; 2;0 . Có tất cả bao nhiêu mặt phẳng phân biệt đi qua 3
A. 7. B. 5. C. 6. D. 10.
Đáp án B
AB( 1;2;0), AD(1; 2;0), AB AD A, B,
D
thẳng hàng
Cứ 3 điểm không thẳng hàng cho ta một mặt phẳng
Số cách chọn 3 trong 5 điểm trên là
3
C5 10

A,B,D thẳng hàng nên qua 3 điểm này không xác định được mặt phẳng
Số cách chọn 2 trong và điểm A,B,D và 1 điểm trong O và C là:
C . C 6
2 1
3 2
Nếu chọn 2 trong 3 điểm A,B,D kết hợp cùng hai điểm còn lại sẽ ra một số mặt phẳng trùng
nhau. Nên trường hợp này ta chỉ xác định được 2 mặt phẳng phân biệt
Vậy số mặt phẳng phân biệt đi qua 3 điểm O,A,B,C,D là: 10 1 6 2 5
Câu 45 (Gv Nguyễn Quốc Trí): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
S : x 1 2 y 2 2 z 3
2
16
A B
và các điểm 1;0;2 , 1;2;2 . Gọi P là mặt
P
phẳng đi qua hai điểm A, B sao cho thiết diện của mặt phẳng với mặt cầu S có diện
tích nhỏ nhất. Khi viết phương trình P dưới dạng ax by cz 3 0. Tính tổng
T a b c.
Đáp án B
A. 3. B. 3.
C. 0. D. 2.
Gọi J là hình chiếu vuông góc của I lên AB
x
1
t
AB( 2;2;0) AB : y t
z
2
J AB J (1 t; t;2) IJ( t; t 2; 1)
IJ. AB 0 2t 2t 4 0 t 1 J (0;1;2)
Thiết diện của (P) với (S) có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ I đến (P) lớn
nhất khi và chỉ khi d( I;( P)) d( I; AB) IJ
Vậy (P) là mặt phẳng đi qua J và có VTPT IJ
( P) : x ( y 1) ( z 2) 0 x y z 3 0
T 3

Câu 1 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
2 2 2
S : x y z 2y 4z 1 0
có tâm I. Tọa độ tâm I là
A. I 1; 2;0 . B. I 0;1; 2 . C. I 1;0;2 . D. I 0; 1;2 .
Đáp án D
2 2 2
a b c
Mặt cầu ( S)
có phương trình x + y + z + ax + by + cz + d = 0 có tâm I æ ç ; ;
ö .
çè -2 -2 -2ø÷
2 2 2
Do đó mặt cầu ( S)
: x + y + z + 2y - 4z
+ 1= 0 có tâm I ( 0; -1;2)
→ Đáp án D
Câu 2 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
2 2 2
S : x y z 2x 2y 4z m 0 có bán kính R 2 . Khi đó giá trị m bằng bao nhiêu?
A. m = 1. B. m = 2. C. m = 3. D. m = 4.
Đáp án B
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
Viết lại S : x- 1 + y + 1 + z + 2 = 6-m Þ R = 6-m
( với m < 6 )
Khi đó
R = 2 Û 6- m = 2 Û m = 2
→ Đáp án B
Câu 3 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt
phẳng P : x 2y 2z 15 0 và điểm M 1;2; 3
. Mặt phẳng (α) song song với (P) và
cách M một khoảng bằng 2 có phương trình là
bằng bao nhiêu?
ax 4y bz c 0 . Hỏi tổng T a b c
A. T = 6. B. T = 18. C. T = -12. D. T = -36.
Đáp án C
ì a = -2
a 4 b c
Do ( a) / /( P) Û = = ¹ Û ï
í b = -4 Þ ( P)
:- 2x + 4y - 4z + c = 0 ( với
1 -2 2 15
ï
ïî c ¹ - 30
c ¹ -30 )
Ta
( ) c
éc
c¹-30
- 2.1+ 4.2-4. - 3 + = -30
d ( M ,( P)
) = 2 Û = 2 Û c + 18 = 12 Û ¾¾¾® c = -6
2 2 2
2 + 4 + 4
ê
ë c = -6
Suy ra T = a + b + c = -2-4- 6 = -12
→ Đáp án C
có

Câu 4 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Trong không gian với hệ tọa độ O xyz , cho điểm
M 2;2;5
Khi đó giá trị
x y 2 z 1
và đường thẳng : . Gọi M ' đối xứng với M qua .
1 3 2
x0; y
0;z0
T x
0
y0 z0
là
A. T = 0. B. T = -3. C. T = 5. D. T = 8.
Đáp án C.
Δ có vecto chỉ phương là u 1;3;2
. Gọi H (t;2 + 3t;-1 + 2t) là hình chiếu của H lên Δ.
MH t 2;3t;2t 6 MH.u 0 t 2 3.3t 2 2t 6 0 t 1
H1;5;1 M ' 0;8; 3
T 5.
Câu 5 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
2 2 2
S : x 3 y 2 z 1
2017 và mặt phẳng
P : 2x 2y z 9 0 . Biết giao
tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) là một đường tròn có tâm M. Tọa độ điểm M là
M 1;3;5 .
A. M 1;2;3 . B. M 1; 2;11 . C. D. M 1;4;3 .
Đáp án A.
(S) tâm I (3;-2;1). M là hình chiếu của I trên (P). PI nhận vecto pháp tuyến của (P) làm
vecto chỉ phương nên phương trình của PI là:
23 2t 22 2t 1 t 9 0 t 2 M 1;2;3 .
Câu 6 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai
x 2 2t
x 2 y 1 z
đường thẳng 1
: và 2
: y 3 . Mặt phẳng
cách đều hai đường
1 1 2
z
t
thẳng , có phương trình là
1
2
A. : x 5y 2z 12 0.
B. : x 5y 2z 12 0.
C. : x 5y 2z 12 0.
D. : x 5y 2z 12 0.
Đáp án D.
Δ 1 đi qua điểm M (2;1;0) và có vecto chỉ phương u 1; 1;2
.
Δ 2 đi qua điểm N (2;3;0) và có vecto chỉ phương v 2;0;1
.
(α) cách đều Δ 1 và Δ 2 nên (α) có vecto pháp tuyến
của (α) có dạng:
x + 5y + 2z + a = 0.
n u; v 1; 5; 2
phương trình

a 7 a 17
d
d
d
d
a 12
: x 5y 2z 12 0.
1 / 2
/ M/ N/
30 30
Câu 7. (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt
: ax by cz d 0
phẳng với a, b, c, d là các số thực thỏa mãn a 2b 2c d 0 . Gọi
(S) là mặt cầu có tâm là gốc tọa độ O và tiếp xúc với mặt phẳng
của mặt cầu (S).
A. 2. B. 9. C. 3. D. 4.
Đáp án C.
d a 2b 2c 1 2 2 . a b c
. Tính bán kính lớn nhất
2 2 2 2 2 2
BCS
R dO/
R 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c a b c a b c
a b c
R max = 3 b c 2a.
1 2 2
Câu 8 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu (S)
có bán kính R 2 và tâm O có phương trình
2 2 2
A. x y z 2 .
2 2 2
B. x y z 2
2 2 2
C. x y z 4 .
2 2 2
D. x y z 8 .
Đáp án C
I a b c
R
2 2 2 2
Mặt cầu tâm , , , bán kính có phương trình là x a y b z c R .
Câu 9 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho
OM 3i 2k
. Tọa độ điểm M là
A. M (3; 2;0) . B. M (3;0; 2) C. M (0;3; 2) . D. Q( 3;0;2)
.
Đáp án B
Ta có OM 3i 0. j 2k M 3;0; 2
.
Câu 10 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , biết M là
điểm thuộc đường thẳng
bằng 2. Khi đó tọa độ điểm
x y 2 z 1
: 1 1 2
M là
và cách mặt phẳng
( P) : 2x y 2z
5 0
A. M ( 1; 1; 1) . B. M (0; 2;1) . C. (2; 4;5) . D. M 1; 3;3
.
Đáp án D
Giả sử
M t; 2 t;1 2t
. Theo giả thiết
M

t 1
2t 2 t 21 2t 5
7t
1
d M
; P
2
5 .
2
2 2
2 1 2 3 t
7
5 9 3
Do đó có 2 điểm M thỏa mãn yêu cầu là M 1; 3;3
và M
; ;
.
7 7 7
Câu 11. (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt
x 1 y z 2
phẳng ( P) : x y z 3 0 đường thẳng : . Phương trình đường thẳng đi
1 2 3
qua song song với P , vuông góc với đường thẳng là
O
A. x
y
z . B. x 1 y 4 z 3
.
1 4 3
1 4 3
C. x 4y 3z
0. D. x 4y 3z
0 .
Đáp án B
Đường thẳng cần tìm có VTCP là u n , u 1; 4; 3 11;4;3
.
P
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là x 1 y 4 z 3
.
1 4 3
Câu 12 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz , cho hai
x
3t
x 1 y 2 z 1
đường thẳng d1
: ; d2
: y 4 t và mặt phẳng Oxz cắt d lần lượt
3 1 2 1,
d2
z
2 2t
tại các điểm A,
B . Diện tích S của tam giác OAB bằng bao nhiêu?
A. S 5. B. S 3. C. S 6 . D. S 10
.
Đáp án A
Thay y 0 vào phương trình đường thẳng d1,
d
2
ta được tọa độ 2 điểm A,
B là
A
1
AOB
2
5;0; 5 , B12;0;10 . Vậy S OA, OB 5 .
Câu 13 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Trong không gian với hệ tọa độ
2 2
Oxyz , cho mặt
2
cầu s : x y 2 z 1 169
cắt mặt phẳng P : 2x 2y z 10 0 theo
giao tuyến là một đường tròn. Khi đó chu vi đường tròn đó bằng bao nhiêu?
A. 10 . B. 14 . C. 18 . D. 24 .
Đáp án D

Mặt cầu có tâm I 0;2; 1 , R 13. Ta có h d I, P 5.
2 2
Do đó bán kính đường tròn giao tuyến là r R h 12.
Vậy chu vi đường tròn là C d 2 r 24
.
Câu 14 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Trong không gian với hệ tọa độ xyz , cho
2 2 2
x y z m 2
x 2my 2mz m 3 0 là phương trình của mặt cầu . Biết với
mọi số thực thì S luôn chứa một đường tròn cố định. Tìm bán kính r của đường
m
m
tròn đó.
1 4 2 2
A. r .
B. r . C. r .
3
3
3
D. r 3.
Đáp án B
x y z m 2 x 2my 2mz m 3 0, m
2 2 2
Xét
2 2 2
2 2 2 x y z 2x 3 0 S
x y z 2x 3 m
x 2y 2z 1
0, m
x 2y 2z 1 0 P
Đường tròn cần tìm là giao của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P).
2
Mặt cầu S có tâm I 1;0;0 , R 2 . Ta có h d I,
P
.
3
2 2 4 2
Vậy bán kính đường tròn cần tìm là r R h .
3
S m
Câu 15 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018). Trong không gian với hệ tọa độ
( 1;2;3) . Khi đó điểm đối xứng với qua mặt phẳng Oxy có tọa độ là
M M M
Oxyz , cho
A. M (1;2;3) . B. M ( 1; 2;3) . C. M ( 1;2; 3) . D. M (1; 2;3)
.
Đáp án C
Câu 16 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt
cầu ( S)
có tâm là gốc tọa độ O và bán kính bằng 3. Điểm nào sau đây không thuộc mặt cầu
( S) ?
A. M (2; 2; 1) . B. N(0; 3;0) . C. P(1;1; 1) . D. Q(1;2;2)
.
Đáp án C

2 2 2
C
Mặt cầu S : x y z 9 . Thay tọa độ điểm vào phương trình S thấy không
thỏa mãn. Vậy P không thuộc mặt cầu S
.
Câu 17 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)v Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz , cho bốn
điểm
M ( 1;0;1), N(3;1;0), P(1;2;2),
Q(0; 1;1)
. Mặt phẳng song song với mặt phẳng
( MNP)
và cách
Q
một khoảng bằng 1 có phương trình là
A. x 2y 2z
1 0 . B. x 2y 2z
3 0 .
C. x 2y 2z
3 0 . D. x 2y 2z
7 0 .
Đáp án D
Mặt phẳng song song với MNP
có VTPT là MN, MP 3; 6;6 31; 2;2
.
Phương trình
MNP : x 3 2 y 1 2z
0 hay x 2y 2x
1 0
Phương trình có dạng x 2y 2z m 0 , m 1.
4 m
Theo giả thiết d Q,
1 1 m 1loai m 7tm
.
3
: 2 2 7 0
Vậy phương trình x y z .
Câu 18 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt
phẳng song song ( P) : x 2y 2z
1 0 và mặt phẳng ( Q) : x 2y 2z
2 0 . Khoảng cách
h giữa hai mặt phẳng ( P ) và ( Q)
bằng bao nhiêu?
1
2
A. h 1. B. h 3. C. h . D. h .
3
3
Đáp án A
P Q
d P Q d M Q
Lấy M 1;0;0 P . Do / / nên
, , 1.
Câu 19 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn
điểm A( a;1; 2), B(1;0; 1),
C(2; 1;3), D(1;0;2) . Biết thể tích của tứ diện ABCD bằng 1 và
điểm A có hoành dương. Khi đó giá trị a bằng
A. a 1. B. a 3. C. a 2 . D. a 4 .
Đáp án C
1 a
Ta có VA . BCD
DB, DC
DA 1 a 2 ( do )
6
a 0
2

Câu 20 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba
điểm A 1; 1;2 , B 2;0; 1 , C 2; 1;0
và mặt phẳng : x 2y z 3 0 . Biết M là
2 2 2
một điểm thuộc mặt phẳng sao cho 2MA 3MB 4MC
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
điểm M thuộc đường thẳng nào sau đây?
x y z 2
x 1 y z 2
A. . B. .
1 2 1
2 3 1
x 1 y z 2
C. . D. x 2 y 2 z 1
.
1 3 1
1 2 1
Đáp án D
2 2 2
2 2 2
Ta có 2MA 3MB 4MC 2MI I A 3MI I B 4MI IC
Chọn thỏa mãn 2IA 3IB 4IC 0 I 0;2;1 .
I
2 2 2 2
MI 2IA 3IB 4IC 2MI 2IA 3IB 4IC
Khi đó biểu thức đã cho đạt giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I lên
.
x y 2 z 1
Đường thẳng d qua I và vuông góc với
là .
1 2 1
1;0;2
M d M
Câu 21 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
u (1; 2;3)
. Trong các vectơ sau, đâu là vectơ vuông góc với vectơ u ?
A. a (2; 4;6)
. B. b (0;3; 2)
. C. c ( 1;1; 1)
. D. d (2;4;2) .
Đáp án D
u d vì u. d 0
Câu 22 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Trong không gian với trục tọa độ Oxy, cho mặt
2 2 2
phẳng ( ) : 2x 2y z 3 0 và mặt cầu ( S) : x y z 2x 4y 6z
9 0 . Khi đó,
phát biểu nào sau đây đúng?
A. ( ) không cắt ( S)
.
B. ( ) tiếp xúc với ( S)
.
C. ( ) cắt ( S ) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ hơn bán kính của ( S)
.
D. ( ) cắt ( S ) theo giao tuyến là một đường tròn có tâm trùng với tâm của ( S)
.
Đáp án C

S I
2
2 2
có tâm 1; 2;3 và bán kính R 1 2 3 9 5 .
S
Ta có d I, 2 R . Vậy cắt theo 1 đường tròn có bán kính nhỏ hơn bán kính
của S .
Câu 23 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018). Trong không gian với trục tọa độ Oxyz, cho
x 1 y z 2
đường thẳng : và mặt phẳng ( ) : x 2y 2z
3 0 . Đường thẳng đi
2 1 3
qua O, vuông góc với ∆ và song song với mặt phẳng
( )
có phương trình
A. x y z x y z
x 1
y z
. B. . C. . D. x 1
y z .
4 1 3
4 1 3
4 1 3
4 1 3
Đáp án A
Đường thẳng cần tìm có VTCP là u u
, n
4; 1; 3.
Vậy phương trình đường thẳng đó là x
y
z .
4 1 3
Câu 24. (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, trong các
cặp đường thẳng và mặt phẳng sau, đâu là trường hợp đường thẳng song song với mặt phẳng?
x y 3 z 1
x y 4 z 1
A. và x y 3z
6 0 . B. và x y 3z
1 0 .
1 2 1
1 2 1
x y 3 z 1
C. và x y 3z
4 0 . D. x 1 y 3 z 1
và x y 3z
1 0 .
1 2 1
1 2 1
Đáp án C
Các đường thẳng đều có VTCP vuông góc với VTPT của các mặt phẳng Tất cả đều là các
đường thẳng đều song song hoặc nằm trong mặt phẳng.
Lấy
M x0; y0;
z0
đường thẳng song song với mặt phẳng.
bất kì nằm trên đường thẳng thay vào mặt phẳng thấy không thỏa mãn thì
Thử các trường hợp ta chọn được đáp án C thỏa mãn yêu cầu.
Câu 25. (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3
vectơ a 1; m;2
, b m 1;2;1
, c 0; m 2;2 . Điều kiện của m để 3 vectơ đã cho đồng
phẳng là
2
A. m 0 . B.
m
2
5 . C. m 1. D. m .
5
m
1
Đáp án D

2
Ta có a, b c 5m
2 . Để đồng phẳng thì .
a, b,
c
5m
2 0 m
5
Câu 26 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018). Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm
M 2; 1;0
. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng P đi qua M và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt
tại các điểm A, B, C sao cho OA 2OB 3OC
0 ?
A. 4. B. 3. C. 2. D. 8.
Đáp án C
Giả sử Aa;0;0 , B0; b;0 , C 0;0; c ABC : x y z 1.
a b c
2 1 0
a
2b
1 a 2b
Theo đề bài ta có a b c 2b 3c
.
2 b 3 c
a 2 b 3 c
2b 3c
Do a, b, c 0 nên chọn c 1 Có 2 giá trị tương ứng của b và a .
Câu 27 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình
A
C B
hộp ABCD.A'B'C'D' biết 2; 1;2 , 2;3;2 , ' 1;2;1 , D ' 3;0;1 . Khi đó tọa độ điểm
B là
B
B B
A. 1;2;2 . B. 1; 2; 2 . C. 2; 2;1 . D. B 2; 1;2
.
Đáp án A
Gọi , lần lượt là trung điểm của AC, BD I 0;1;2 , J 2;1;1 .
Ta có IJ BB
B 1;2;2
.
I J
Câu 28 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Trong không gian với hệ tọa độ O xyz , cho tam giác
ABC có A(1; 1;0)
, B(2;3;1) , C(3;1; 4)
. Tọa độ tâm G của tam giác ABC là
A. G(6;3; 3).
B. G(4;2; 2).
C. G( 2; 1;1).
D. G(2;1; 1).
Đáp án D.
xA xB xC yA yB yC zA zB zC
xG 2; yG 1;z G
1.
3 3 3
Câu 29 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
A 1;2;0
trình là
và mặt phẳng
P : 2x y 2z 6 0 . Mặt cầu tâm A tiếp xúc với (P) có phương
2 2 2
A. x 1 y 2 z 2.
B.
2 2 2
x 1 y 2 z 4.

2 2 2
C. x 1 y 2 z 2.
D.
Đáp án D.
2 2 2
x 1 y 2 z 4.
Mặt cầu tâm A, tiếp xúc (P) có bán kính:
2.1 2 2.0 6
2 2 2
R dA/ P 2 x 1 y 2
z 4.
2 2 2
2 1 2
Câu 30.
(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
x 1 y z 2 x y 2 z 3
1
: và 2
: . Mặt phẳng (α) chứa 1
và song song với
2 1 1 1 2 3
2
có phương trình là
A. x 7y 5z 11 0.
B. x 7y 5z 11 0.
C. 2x 3y 7z 12 0.
D. 2x 3y z 0.
Đáp án A.
Δ 1 đi qua điểm M (1;0;-2) và có vecto chỉ phương là
là u 1; 2;3
.
2
u 2;1; 1
1
. Δ 2 có vecto chỉ phương
(α) chứa Δ 1 và song song với Δ 2 nên
n u ;u 1; 7; 5
1 2
(α) đi qua điểm M và có vecto pháp tuyến là
→ phương trình mặt phẳng (α) là: 1 (x – 1) – 7 (y – 0) – 5 (z + 2) = 0 x – 7y – 5z – 11
= 0.
Câu 31. (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018) Trong không gian với hệ tọa độ O xyz , cho đường
x 1 y 3 z x y 1 z 2
thẳng d
1
: và d
2
: . Tổng a + b bằng bao nhiêu để d 1 //d 2 ?
a b 4 1 4 2
A. a b 10.
B. a b 10.
C. a b 6. D. không tồn tại.
Đáp án D.
(d 1 ) đi qua điểm M 1 (1;3;0), có vecto chỉ phương là u a;b;4
(d 2 ) đi qua điểm M 2 (0;-1;2), có vecto chỉ phương là u 1;4; 2
(d 1 ) // (d 2 )
Câu 32.
u 1;u2
0
2b 16;4 2a;4a b
0
VN.
u 1;M1M
2
0 2b 16; 4 2a; 4a b
0
(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018) Trong không gian với hệ tọa độ O xyz, cho
A0;3;0
, B 0;0; 1
và C thuộc tia Ox Biết khoảng cách từ C tới mặt phẳng
P : 2x y 2z 1 0
bằng 1. Mặt phẳng (ABC) có phương trình là?
1
2

A. 3x y 3z 3 0.
B. 3x y 3z 3 0.
C. x y 3z 3 0.
D. x y 3z 3 0.
Đáp án A.
2x 1
x 1
Cx;0;0 x 0 dC/ P 1 C1;0;0
3
x 2
n AB;AC
3; 1;3
Mặt phẳng (ABC) có vecto pháp tuyến là
→ Phương trình mặt phẳng (ABC) là 3x y 3
3z 0 3x y 3z 3 0.
Câu 33 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Mặt
phẳng (P) đi qua điểm M 1;27;8 cắt các tia Ox,Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho
AB BC CA
2 2 2
nhỏ nhất có phương trình là
A. 6x 2y 3z 84 0.
B. 6x 2y 3z 24 0.
C. 6x 2y 3z 72 0.
D. 6x 2y 3z 36 0.
Đáp án A.
Gọi A (a;0;0); B (0;b;0); C (0;0;c) (a; b; c > 0) → Phương trình mặt phẳng (P) là:
x y z
1.
a b c
1 27 8
M P
1; AB 2 + BC 2 + CA 2 = 2 (a 2 + b 2 + c 2 ).
a b c
Để tìm giá trị nhỏ nhất của T = a 2 + b 2 + c 2 ta đi tìm giá trị nhỏ nhất của T + 2α
2 2 2 2 54 16 2 2 27 27 2 8 8
T 2 a b c a b c
a b c a a b a c c
27 27 8 8
3 a . . 3 b . . 3 c . . 42
a a b b c c
3
2
3
2
3
2 3 2
Dấu “=” xảy ra
a
2
a
3
a a 14
1 27 8
1
2 27
3 1 27 8
a b c
3
b b 3 1 14 b 42
3 3 3
b 3 2
3
c 2
c 28
2 8
c
c
x y z
P : 1 6x 2y 3z 84 0.
14 42 28
* PS: do a; b; c > 0 nên chỉ có đáp án A thỏa mãn.

Câu 34 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz , cho điểm
( 1;2;4) . Điểm nào sau đây là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng Oyz ?
A
A. M( 1;0;0)
B. N(0;2;4) C. P( 1;0;4)
D. P( 1;2;0)
Đáp án B
A
Oyz
Hình chiếu vuông góc của 1;2;4 trên mặt phẳng là điểm N 0;2;4 .
Chú ý: Hình chiếu vuông góc của điểm
Oxy
M x ; y ;0
+) mặt phẳng là điểm:
+) mặt phẳng là điểm:
0 0
Oyz
N 0; y ; z
+) mặt phẳng là điểm:
0 0
Oxz
P x ;0; z
0 0
A x0; y0;
z0
trên:
Câu 35 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz , cho tam
giác ABC có A (1; 2;3)
, B ( 1;0;2)
và G(1; 3;2)
là trọng tâm tam giác ABC . Tìm tọa độ
điểm C
A. C (3; 7;1)
B. C(2; 4; 1)
C. C(1; 1; 3)
D. C(3;2;1)
Đáp án A
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên ...
Câu 36. (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018) Trong không gian với hệ tọa độ
S có tâm O và bán kính R không cắt mặt phẳng P : 2x y 2z
2 0
định nào sau đây đúng?
2
2
A. R
B. R
C. R 1
D.
3
3
Đáp án B
0 2 2
Do S không cắt P d O,
P
R R R .
2 2
2 1 2
3
2
Câu 37 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Phép tịnh tiến theo
thành điểm
M . Tìm tọa độ
M
A. 4; 3
B. 2; 1
C. 4;3 D.
Oxyz , mặt cầu
. Khi đó khẳng
2
R
3
v 1; 2
biến điểm M 3;1
M
M
M
M 2;1
Đáp án B
Ta có với v a; b 1; 2
. Khi đó ta có biểu thức tọa độ:
T M M
v

xM
xM
a 3 1 2
M 2; 1
.
yM
yM
b 1 2
1
Câu 38 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018). Trong không gian với hệ tọa độ
A
Oxyz , cho hai
điểm 1; 3;2 , B 3;5; 2
. Phương trình mặt phẳng trung trực của AB có dạng
x ay bz c 0 . Khi đó a b c bằng
A. -4 B. -3 C. 2 D. -2
Đáp án A
Ta có
1
AB 2;8; 4 21;4; 2 n( P)
AB 1;4; 2
, trung điểm của AB là I 2;1;0
2
Vậy phương trình mặt phẳng trung trực của AB là P : x 4y 2z
6 0
a 4
b 2 a b c 4
.
c
6
Câu 39 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho
2 2 2
mặt cầu S : x y z 2x 4z 11 0 và mặt phẳng
: x y z 3 0 . Biết mặt cầu
S cắt mặt phẳng theo giao tuyến là đường tròn T . Tính chu vi đường tròn T
A. 2 B. 4 C. 6 D.
Đáp án B
Từ pt mặt cầu (S) suy ra tâm I(1;0; 2)
và bán kính R 4 .
1
2 3
Gọi h là khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng ( )
, ta có h d( I, ) 2 3 .
3
2 2
Gọi r là bán kính đường tròn (T), ta có r R h 2 .
Vậy chu vi đường tròn (T) là C 2
r 4
.
Câu 40. (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Trong không gian với hệ trục tọa độ
A
Oxyz , cho
hai điểm 0; 1; 1
, B 1; 3;1
. Giả sử C,D là 2 điểm di động thuộc mặt phẳng
2 2 1 0
P x y z sao cho CD 4 và A,C,D thẳng hàng. Gọi S1
, S2
lần lượt là diện
tích lớn nhất và nhỏ nhất của tam giác BCD. Khi đó tổng
S S
1 2
có giá trị bằng bao nhiêu?
34
17
11
A. B. C. D.
3
3
3
37
3
Đáp án A

Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng CD, khi đó ta có
1 1
S BCD
BH. CD BH.4 2BH
.
2 2
Do đó yêu cầu bài toán trở thành tìm H để khoảng cách BH là lớn nhất hay nhỏ nhất.
Ta thấy BH nhỏ nhất đúng bằng khoảng cách từ B đến mp (P), ta có
2.( 1) ( 3) 2.11 8
2 1 ( 2)
3
8 16
S2
min S
BCD
2BH
2. . 3 3
BH d B P
2 2 2
min ;( )
Hơn nữa BH lớn nhất chính là khoảng cách từ B đến A, ta có
2 2 2
max ( 1) ( 2) 2 3
S1 max S
BCD
2BH
2.3 6 .
BH AB
16 34
Vậy S1 S2
6 .
3 3
Câu 41 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
M 1;3; 4
. Hình chiếu vuông góc của M trên trục Oz là điểm M . Khi đó tọa độ điểm
M
là
M M
M
A. 1;0;0 . B. 0;3;0 . C. 0;0; 4 . D. M 1;3;0 .
Đáp án C.
Câu 42 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Trong không gian với trục tọa độ Oxyz, cho
0;1; 1 , 1;2;1 , 2;0;3
A B C
. Khi đó diện tích tam giác ABC bằng bao nhiêu?
101
61
A. 101 . B. 61 . C. . D. .
2
2

Đáp án C.
AB 6;BC 17;CA
AB BC CA 6 17 21
21 p
2 2
Heron
p p p AB p BC p CA
6 17 21 6 17 21 6 17 21 6 17 21 101
.
16 2
Câu 43 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018). Trong không gian với trục tọa độ Oxyz, cho mặt
2 2 2
S
cầu S : x y z 2x 4y 6z
2 0. Mặt cầu đồng tâm với mặt cầu S (có tâm trùng
S
M
với tâm mặt cầu ) và đi qua điểm 1;3; 1 . Khi đó, bán kính R của mặt cầu S bằng
bao nhiêu?
A. R 3. B. R 41. C. R 4.
D. R 3.
Đáp án D.
2 2 2
2 2 2
S : x y z 2x 4y 6z 2 0 x 1 y 2 z 3 16
→ (S) có tâm I (-
1;2;-3).
R IM 3.
S'
Câu 44 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai
x
1
x 1 y 2 z
đường thẳng d1
: và d2
: y t . Đường thẳng đi qua M 0;1;1
vuông
3 1 1
z
1 t
góc với và cắt d có phương trình là?
d1
2
x y 1 z 1 x y 1 z 1 x y 1 z 1 A. . B. . C. D.
x 1 y 1 z 1 . .
1 1 4 1 1 2 1 1 2 1 1 2
Đáp án B.
d 1 có vecto chỉ phương là u 3;1;1
1
d 2 đi qua điểm A (-1;0;1), có vecto chỉ phương là u 0;1;1
Δ đi qua M và cắt d 2 nên Δ và d 2 thuộc mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là
n
u
2;AM
1;1; 1
u n;u 2; 2; 4
Δ nằm trên (P) và vuông góc với d 1 nên có vecto chỉ phương là
Phương trình đường thẳng Δ là x y 1 z 1 x y 1 z
1
2 2 4 1
1 2
2
1

Câu 45 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt
x 1 y 1 z 3
phẳng P : 2x 2y z n 0 và đường thẳng : . Biết đường thẳng
2 1 2m
1
nằm trong mặt phẳng (P). Tổng
m n
gần giá trị nào nhất sau đây?
A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
Đáp án D.
(P) có vecto pháp tuyến
là u 2;1;2m 1
n 2; 2;1
. (Δ) đi qua điểm M (1;-1;3) và có vecto chỉ phương
Câu 46 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018). Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho
A4;1;5 , B 3;0;1 , C 1;2;0
S MA. MB MB. MC MC.
MA
. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng Oxy sao cho tổng
đạt giá trị nhỏ nhất.
M
M
M M
A. 2;1;0 . B. 1;2;0 . C. 2;1;0 . D.
Đáp án A.
M x; y;0
MA 4 x;1
y;5 ;MB 3
x; y;1 ;MC 1 x;2 y;0
S MA.MB MB.MC MC.MA
1; 2;0 .
x 3x 4 yy 1 5 x 3x 1 yy 2 x 4x 1 y 1 y 2
2 2
2 2
3x 12x 3y 6y 12 3 x 2 3 y 1 3 3
x 2
Smin
3 M 2;1;0 .
y 1
Câu 47. (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018) Cho hình lập phương ABCD.
ABC D
có
A0;0;0 , B 1;0;0 , D0;1;0
và A 0;0;1 . Gọi P : ax by cz d 0 là mặt phẳng chứa
đường thẳng và tạo với mặt phẳng BBDD
góc nhỏ nhất. Cho T a 2b 3c 4d
.
CD
Tìm giá trị nguyên âm lớn nhất của T biết a là số nguyên.
A. 1.
B. 2.
C. 6.
D. 4.
Đáp án D.

Tọa độ các điểm: A (0;0;0); B (1;0;0); C (1;1;0); D (0;1;0); A’ (0;0;1); B’ (1;0;1); C’
(1;1;1); D’ (0;1;1)
CD' 1;0;1 ;BB' 0;0;1 ;BD 1;1;0 n BB';BD 1; 1;0
BDD'B')
Gọi giao tuyến của (P) và (BDD’B’) là đường thẳng d D' d
Từ C kẻ CH BDD'B' ;HI d CH d P ; BDD'B' CIH
CH CH
tan const I D CD' d
HI HD
u
d
n ;CD'
1;1; 1
BDD'B'
n u P d;CD'
1;2;1
HIHD
min
→ đường thẳng d có vecto chỉ phương là
Mặt phẳng (P) đi qua d và CD’ nên có vecto pháp tuyến là
(P) đi qua điểm C (1;1;0) nên có phương trình là:
1x 1 2y 1 1z 0
0 x 2y z 3 0
a c t
a b c d
t 0 b 2t T a 2b 3c 4d 4t 0 t 0
1 2 1 3
d
3t
T là số nguyên âm lớn nhất → t = 1 → T = -4.

Câu 1: (GV Trần Minh Tiến) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P : 2x 3y 4z 5 0
P ?
và điểm Al; 3;l .
Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng
3
8
8
A. d
B. d
C. d
D.
29
29
9
Đáp án B
Hướng dẫn giải:
Theo SGK, ta dễ dàng có được
d
2.1 3. 3 4.1
5 8
2 2 2
2 3 4 29
8
d
29
Câu 2: (GV Trần Minh Tiến) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
x 4 y 1 z 2
có phương trình d : . Xét mặt phẳng P : x 3y 2mz 4 0, với m
2 1 1
là tham số thực. Tìm m sao cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (P)?
1
1
A. m
B. m C. m 1
D. m 2
2
3
Đáp án A
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d qua A4;1;2 có một VTCP là u 2;1;1
Mặt phẳng có một VTPT là n 1; 3;2m
Yêu cầu bài toán
P
A 4m 3 0
P
4 3.1 2m.2 4 0
1
1 m
u.n 0 2 3 2m 0 m
2
2
Câu 3: (GV Trần Minh Tiến): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm
A 1;2;3 ,B 3;3;4 ,C( l;
l;2) ?
A. thẳng hàng và A nằm giữa B và C B. thẳng hàng và C nằm giữa A và B
C. thẳng hàng và B nằm giữa C và A D. là ba đỉnh của một tam giác
Đáp án A
Hướng dẫn giải:
Dễ dàng ta tính được
AB 2;l;l ; AC 2; l; l ,
suy ra A là trung điểm cúa BC.

Câu 4: (GV Trần Minh Tiến): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm
A l; l;l , B 0;l; 2
và điểm M thay đổi trên mặt phẳng tọa độ (Oxy). Giá trị lớn nhất của
biếu thức
T MA MB
là
A. 6 B. 12 C. 14 D. 8
Đáp án A
Hướng dẫn giải:
Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua mặt phẳng Oxy .
Khi đó B' 0;l;2 và MA MB MA MB' . Ta có MA MB
AB'
Dấu bằng xảy ra khi
M I (giao điểm của AB' với mặt phẳng Oxy ).
2 2 2
Khi đó
MA MB AB' 1 0 11 1 2 6
Bổ trợ kiến thức:
Một số kiến thức toán mà học sinh cần nắm vững
Đường thẳng d đi qua và có vecto chỉ phương u a;b;c có phương trình tham
M x ; y ;z
0 0 0
x x0
at
x x y y z z
số d : y y0
bt t
và phương trình chính tắc d : 0 0 0 abc 0
a b c
z z0
ct
Câu 5: (GV Trần Minh Tiến): Cho phép biến hình F có quy tắc đặt ảnh tương ứng điểm
x ' xM
có ảnh là điểm M ' x '; y' theo công thức F : . Viết phương trình
y ' yM
M x ; y
M
M
2 2
đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn C : (x l) (y 2) 4 qua phép biến hình F?
2 2
2 2
A. C' : x 1 y 2 4
B. (C') : x l y 2 4
2 2
C. C' : x l y 2 4
D.
Đáp án B
Hướng dẫn giải:
Gọi M x ; y C x 1 2 y 2 2
4 *
M M M M
2 2
C' : x l y 2 4
x ' xM
xM
x '
Với Fx M ' x '; y ' ,
theo quy tắc thay vào (*) ta có được:
y' yM
yM
y'
2 2 2 2
x 1 y 2 4 M C : x 1 y 2 4

Bổ trợ kiến thức:
Phép biến hình: Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định
duy nhất M’ của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng. Phép dời hình là
phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì
Bài toán trên có thể giải theo cách khác như sau:
C
I1;2
Đường tròn tâm và A 1;4 C F I I' 1; 2 là tâm C' và
FA A ' 1; 4C'
Vậy đường tròn có tâm I 1; 2
và bán kính R IA
2
C'
2 2
C' : x 1 y 2 4
Câu 6: (GV Trần Minh Tiến): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm
A0;a;0 , B0;0;b , C2;0;0 , Dl;l;l .
Giả sử (Q) là mặt phẳng thay đổi nhưng luôn luôn
đi qua đường thẳng CD và cắt các đường thẳng Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B. Tồn tại
1 1
m a b 0
2 2
sao cho diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhò nhất. Tìm m?
A. m 2
B. m 4
C. m 8
D.
Đáp án A
Hướng dẫn giải:
x y z
Ta có Q
đi qua A, B,C Q : 1, mà
2 a b
1 1 1 1 2 a b ab
2 a b
DQ
1
m 2
Ta có: 1 2 2 2
AB 0; a;b ,AC 2; a;0 AB.AC ab;2b;2a S ab 4a 4b .
2
1 1
2 2
2 2
2 2
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: S ab 4a 4b 9ab
Ta lại có: ab 2a b
4 ab ab 16.
Do đó
S 1 9ab 2
24 tại a b 4
2
Bổ trợ kiến thức:
Một số dạng toán mà học sinh cần nắm vững.
+ Một là biết điểm thuộc mặt phẳng và vectơ pháp tuyến. Mặt phẳng (P) đi qua điểm

M x ; y ;z và có vectơ pháp tuyến là n A;B;C .
Khi đó phương trình mặt phẳng (P) là
0 0 0
A x x B y y C z z 0.
0 0 0
+ Hai là biết điểm thuộc mặt phẳng và cặp vectơ chỉ phương. Mặt phẳng (P) đi qua điểm
M x ; y ;z và có cặp vectơ chỉ phương là a,b. Khi đó nếu ta gọi n
là một vectơ pháp
0 0 0
tuyến của mặt phẳng (P) thì n sẽ bằng tích có hướng của hai vectơ a
và b. Tức là n a, b
.
+ Ba là biết điểm thuộc mặt phẳng và song song với mặt phẳng khác. Mặt phẳng (P) đi qua
điểm
0 0 0
M x ; y ;z
Ax By Cz D 0.
A x x B y y C z z 0.
và song song với mặt phẳng (Q) có phương trình là:
0 0 0
Khi đó mặt phẳng (P) sẽ có phương trình là:
+ Bốn là biết 3 điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng. Mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm không
thẳng hàng A, B, C. Khi đó mặt phẳng (P) có cặp véctơ chỉ phương là AB,AC hoặc AB,BC
hoặc AC, BC ...
Câu 7: (GV Trần Minh Tiến): Cho không gian Oxyz, cho các điểm
A2;3;0 B0; 2;0
C a;b;c
giá trị của a b c?
và đường thẳng d có phương trình
x
t
d : y 0 .
z 2 t
Điểm
trên đường thẳng d sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất. Tính chính xác
A. 2 B. 3 C. 1 D. 4
Đáp án A
Hướng dẫn giải:
Vì AB không đổi nên tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất khi
Gọi
CA CB
2 2
C t;0;2 t . Ta có CA 2t 2 3 ,CB 21 t
2
Đặt
2 2
u
2t t 2 ;3 , v
2 1 t ;2 u
v
2;5
Áp dụng tính chất u v u v
Dấu “=” xảy ra khi u
cùng hướng với v
CA CB u v u v 2 25 3 3
nhỏ nhất.

Dấu “=” xảy ra khi
Bổ trợ kiến thức:
2 t 2 3 7
t a b c 2
2 t 1
2 5
Một số kiến thức toán mà học sinh cần nắm vững
Đường thẳng d đi qua và có vecto chỉ phương u a;b;c có phương trình tham
số
M x ; y ;z
0 0 0
x x0
at
x x y y z z
d : y y0
bt t
và phương trình chính tắc d : 0 0 0 abc 0
a b c
z z0
ct
Câu 8: (GV Trần Minh Tiến) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
2 2 2
S : x y z 4x 6y m 0
P : 2x 2y z 1 0, Q : x 2y 2z 4 0.
tại hai điểm M, N sao cho MN = 8?
và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng
Tìm m để mặt cầu (S) cắt đường thẳng d
A. m = 12 B. m 5
C. m 3
D. m 12
Đáp án A
Mặt cầu (S) có tâm
I 2;3;0
và bán kính R 13 m IM m 13
Gọi H là trung điểm của MN suy ra
MH 4. IH=d I;d m 3.
u, AI
VTCP u 2;1;2 d I;d
3. Vậy m 3 3 m 12
u
* Bổ trợ kiến thức: một số kiến thức toán mà học sinh cần nắm vững.
d qua A có
Phương trình mặt cầu tâm I a;b;c bán kính R là
2 2 2 2
S : x a y b z c R
Trong không gian Oxyz cho phương trình
2 2 2
x y z 2Ax 2By 2Cz D 0
2 2 2
phương trình mặt cầu khi A B C D 0. Khi đó mặt cầu có tâm IA; B; C
và bán kính
2 2 2
R A B C D.
Câu 9: (GV Trần Minh Tiến) Trong không gian Oxyz cho hai điểm E(2;1;5), F(4;3;9).
Gọi ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng P : 2x y z 1 0, Q : x y 2z 7 0.
là
Điểm I(a;b;c) thuộc ∆ sao cho biểu thức
P IE IF lớn nhất. Tính a b c?
A. 4 B. 1 C. 3 D. 2

Đáp án A
Ta có
Xét hệ
x 1 t x 2 t '
: y 5t , EF: y 1
t '
z 3 3t
z 5 2t '
1 t 2 t '
t 0
5t 1 t ' EF
t ' 1
3 3t 5 2t '
cắt tại A(1;0;3)
Trong mặt phẳng (;EF) mọi điểm I thuộc ta có
IE IF EF.
Dấu “=” xảy ra khi
I, E, F thẳng hàng, suy ra I A 1;0;3 , từ đây các en chọn được phương án đúng
trong các phương án trên.
Câu 10(GV Trần Minh Tiến)Trong không gian Oxyz cho đường thẳng
2x 2y z 1 0
d : và mặt cầu
x 2y 2z 4 0
tại hai điểm M, N sao cho MN 8?
2 2 2
S : x y z 4x 6y m 0
. Tìm m để d cắt (S)
A. m 12
B. m 10
C. m 12
D. m 10
Đáp án C
(S) có tâm I2;3;0 , R 13
m
Lập phương trình mặt phẳng (P) qua tâm I và vuông góc với d tại H là trung điểm
MN P : 2x 2 y 3 2z 0
0 2x y 2z 1 0
Tọa độ H là giao điểm của d và (P) là nghiệm của hệ phương trình
x
2t
y 1 t
t 0 H0;1; 1 IH 2; 2; 1
IH 3
z 1 2t
2x y 2z 1 0
Đến đây các em vận dụng hình vẽ, áp dụng các định lí để tìm ra phương án nhanh
nhất.
* Bổ trợ kiến thức: một số kiến thức toán mà học sinh cần nắm vững.
Đường thẳng d đi qua và có vectơ chỉ phương u a;b;c có phương
M x ; y ;z
0 0 0
trình tham số
x x0
at
d : y y0
bt t
z z0
ct
và phương trình chính tắc

x x y y z z
a b c
0 0 0
d : abc 0
Phương trình mặt cầu tâm I a;b;c bán kính R là
2 2 2 2
S : x a y b z c R
Trong không gian Oxyz cho phương trình
.
2 2 2
x y z 2Ax 2By 2Cz D 0 là
2 2 2
phương trình mặt cầu khi A B C D 0. Khi đó mặt cầu có tâm IA; B; C
và bán kính
2 2 2
R A B C D.
Câu 11(GV Trần Minh Tiến): Trong không gian Oxyz cho A(0;1;0), B(2;2;2), C(–
x
2;3;1) và đường thẳng d: 1 y 2 z 3
. Tìm điểm M thuộc d để thể tích tứ diện
2 1 2
MABC bằng 3?
3 3 1 15 9 11
A. M ; ; ;M ; ; B.
2 4 2 2 4 2
3 3 1 15 9 11
C. M ; ; ;M ; ;
D.
2 4 2 2 4 2
Đáp án A
M 1 2t; 2 t;3 2t d.
3 3 1 15 9 11
M ; ; ;M ; ;
5 4 2 2 4 2
3 3 1 15 9 11
M ; ; ;M ; ;
5 4 2 2 4 2
áp dụng công thức để tìm các em nhé.
Câu 12: (GV Trần Minh Tiến) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng
P : 2x 2y z 11 0
và Q : 2x 2y z 4 0 là?
A. 3 B. 5 C. 7 D. 6
Đáp án B
Dễ thấy được
M 0;0; 11 P ,d P , Q d M, Q 5
Câu 13: (GV Trần Minh Tiến) trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1;–1;2), B(3;–
x 2 4t
4;–2) và đường thẳng d : y 6t . Điểm I(a;b;c) thuộc d sao cho IA + IB đạt giá trị
z
1 8t
nhỏ nhất, khi đó
a+b+c
bằng?
43
23
65
A.
B. C. D.
29
58
29
Đáp án B
21
58

Ta có AB2; 3; 4
AB / /d
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua d. Ta có: IA IB IA ' IB A 'B.
Dấu “=” xảy ra khi A’, I, B thẳng hàng, suy ra I A 'B d
Vì AB//d nên I là trung điểm của A’B
Gọi H là hình chiếu của A lên d, suy ra
36 33 15
H ; ; ,
29 29 29
suy ra
43 95 28
A ' ; ;
29 29' 29
Vì I là trung điểm của A’B nên
65 21 43
I ; ;
29 58 29
Vậy là ta hoàn thành bài toán, từ đây các em chọn được phương án đúng trong các
phương án trên.
Câu 14: (GV Trần Minh Tiến) trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng
x 1
t
d : y 1 t
z 2
x 3 y 1 z
và d ': . Điểm Aa;b;c
d
và Bm;n;p
d ' sao cho
1 2 1
đoạn AB có độ dài ngắn nhất, khi đó
a b c m n p
bằng?
A. 4 B. 1 C. 6 D. 5
Đáp án C
Ta có A 1 t; 1 t;2 và B 3 t ';1
2t '; t ' suy ra
AB 2 t t ';2 t 2t '; t ' 2
AB có độ dài nhỏ nhất khi AB là đoạn vuông góc chung của d và d’ hay:
AB.u
d
0
t t ' 0 A 1; 1;2 ,B 3;1;0
AB.u
d'
0
. Vậy là ta hoàn thành xong bài toán!
Câu 15: (GV Trần Minh Tiến) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz , cho đường thẳng
x y z
: , ba điểm A 2;0;1 , B 2; 1;0
, C 1;0;1
và M xM ; yM ; zM
d . Tính
1 2 3
d
MA MB MC ?
2
3 339
2
A. 126
x M
. B. 126xM
54xM
30 .
14 19
2
3 339
3 339
C. 126
x M
. D. 126
x M
.
14 14
14 19
2

Đáp án B.
Hướng dẫn giải: Ta có được: MA 2 x ; y ;1 z
, MB 2 x ; 1 y ; z
MC 1 x ; y ;1
z
ta lại có MA MB MC 5 3 x ; 1 3 y ;2 3z
Mà
M M M
M M M M M M
M M M
xM
t
M xM yM zM d yM
t MA MB MC t t t
zM
3t
; ; 2 5 3 ; 1 6 ;2 9
2 2 2 2
MA MB MC 5 3t 1 6t 2 9t 126t 54t
30
Câu 16: (GV Trần Minh Tiến) Trong không gian với hệ tọa độ
.
do đó dễ dàng
Oxyz , cho mặt phẳng
: 2x 3y 6z
18 0 . Mặt phẳng cắt Ox , Oy , Oz lần lượt tại A , B , C . S
là mặt
cầu ngoại tiếp tứ diện OABC . Bán kính mặt cầu S
là?
9
3 14
3 6
3 21
A. R . B. R . C. R . D. R .
2
2
2
2
Đáp án B.
Hướng dẫn giải: Ta có Ox A A 9;0;0 , Oy B B 0;6;0 ,
Oz C C 0;0;3 .
S O x 2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz 0d
0
Mặt cầu qua nên có dạng
Mặt cầu S đi qua A, B,
C nên có hệ
9
2
9 18a
0
a
2
2
9 3
6 12b 0 b 3 I ;3;
2 2
2
3 6c
0
3
c
2
2 2
9 2 3 3 14
R 3 0 .
2 2 2
Bổ trợ kiến thức: Một số kiến thức toán mà học sinh cần nắm vững:
I a b c
R
2 2 2 2
Phương trình mặt cầu tâm ; ; có bán kính là S : x a y b z c R .
2 2 2
Trong không gian Oxyz cho phương trình x y z 2Ax 2By 2Cz D 0 là phương
2 2 2
trình mặt cầu khi A B C D 0 . Khi đó mặt cầu có tâm I A; B;
C
và bán kính
2 2 2
R A B C D
.

Câu 17: (GV Trần Minh Tiến) Trong không gian , cho hai điểm A 1; 1;2
,
B 2; 2;1
: 3 2 0
Oxyz
và mặt phẳng P x y z . Gọi Q là mặt phẳng trung trực của đoạn
thẳng , là giao tuyến của và . Điểm M a, b,
c thuộc sao cho độ dài đoạn
AB P
Q
thẳng OM là nhỏ nhất, khi đó a b c bằng?
3
3
A. . B. . C. 1. D. 4 .
2
2
Đáp án B.
3 3 3
Hướng dẫn giải: Gọi I là trung điểm của AB suy ra I
; ;
,
2 2 2
3
Q x y z
2
: 0
P
là giao tuyến của và Q suy ra
7
x 2 t
4
7 1
: y t M 2 t; t;
t
4 4
1
z
t
4
OM
2
5 25 25
6t
8 32 32
Dấu “=” xảy ra khi
trong các phương án trên.
t 5 1 5 3
; ; , từ đây các em chọn được phương án đúng
8 M
2 8 8
Bổ trợ kiến thức: Một số dạng toán mà học sinh cần nắm vững:
- Một là biết điểm thuộc mặt phẳng và véc tơ pháp tuyến. Mặt phẳng P đi qua điểm
M x0; y0;
z0
và có véc tơ pháp tuyến là n A; B;
C
. Khi đó phương trình mặt phẳng P
là
A x x B y y C z z
0 0 0
0
.
- Hai là biết điểm thuộc mặt phẳng và cặp véc tơ chỉ phương. Mặt phẳng P đi qua điểm
M x0; y0;
z
0 và có cặp véc tơ chỉ phương là a,
b . Khi đó nếu ta gọi n
là một véc tơ pháp
tuyến của mặt phẳng P thì n sẽ bằng tích có hướng của hai véc tơ a và b
. Tức là
n a,
b
.
- Ba là biết điểm thuộc mặt phẳng và song song với mặt phẳng khác. Mặt phẳng P đi qua
M x y z
điểm ; ; và song song với mặt phẳng Q có phương trình là Ax By Cz D 0
.
0 0 0

P
Khi đó mặt phẳng sẽ có phương trình là A x x B y y C z z .
0 0 0
0
- Bốn là biết ba điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng. Mặt phẳng P đi qua 3 điểm
không thẳng hàng , , . Khi đó mặt phẳng P có cặp véc tơ chỉ phương là AB,
AC hoặc
AB,
BC
hoặc
AC,
BC
A B C
…
Câu 18: (GV Trần Minh Tiến) Trong không gian Oxyz , cho điểm A2;3;4
và mặt phẳng
P : x 2y z 5 0
x 3 y 1 z 3
và đường thẳng d : . Gọi là đường thẳng nằm
2 1 1
P
d P
d
trên đi qua giao điểm và đồng thời vuông góc với . Điểm M a, b,
c thuộc
sao cho độ dài đoạn thẳng AM là nhỏ nhất, khi đó a b c bằng?
13
3
7
A. . B. . C. . D. 0 .
3
2
2
Đáp án A.
Hướng dẫn giải: Dễ thấy được AM ngắn nhất khi và chỉ khi
4
7 4 16
AM AM. u
0 t . Kết luận M
; ;
, từ đây các em chọn được phương
3
3 3 3
án đúng trong các phương án trên.
Bổ trợ kiến thức: Một số kiến thức toán mà học sinh cần nắm vững. Đường thửng d đi qua
M x0; y0;
z0
và có véc tơ chỉ phương u a; b;
c
có phương trình tham số
x x0
at
d : y y0
bt t R
z z0
ct
x x0 y y0 z z0
và phương trình chính tắc d : abc
0
.
a b c
Câu 19(GV Trần Minh Tiến)Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz , cho đường thẳng
x
2 t
x 1 y 1 z 3
d1
: y 4 2t
, d
và mặt phẳng . Trong các
2
: : 2x 2y 3z
9 0
2 1 2
z
1 2t
khẳng định sau, số khẳng định đúng là?
(1) / / . (2) d .
d d
1 2
(3) d1 d2
. (4) 8
cos d1,
d2
.
9
A. 0 . B. 1. C. 3 . D. 2 .
Đáp án D.
1

Hướng dẫn giải: Dễ thấy được (1) u d 1
không cùng phương u
d
, do đó (1) sai.
2
(2) .
ud 1
n 0 , A2;4;1 d1
, A
. Do đó d1
.
(3) u d 1
không cùng phương u
d
, do đó (3) sai và
2
u1. u2
(4)
1.2 2.1
2.2 8
cos d1;
d2
.
2 2 2 2 2 2
u . u 1 2 2 . 2 1 2 9
1 2
Câu 20: (GV Trần Minh Tiến) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz , cho
x y 1 1
:
x
1
t
z
, d : y 1 2t
, D0;1;2
. Tìm M , N d sao cho DM 3DN
?
2 1 1
z
2 t
M N
M
A. 0;1; 1 , 0; 1;1 . B. 0; 1;1 , N 0;1; 1
.
M N
M
C. 0;1; 1 , 0;1;1 . D. 0;1; 1 , N 0;1; 1
.
Đáp án C.
x
2t1
x y 1 z 1
Hướng dẫn giải: Ta dễ dàng có được: : : y
1
t1
, M
2 1 1
z
1 t1
M 2 t1;1 t1; 11t
1 , DM 2 t1; t1; 3 3 t1
. N d N 1 t; 1 2 t;2
t
,
DN 1 ; t 2 2 ; t t . DM 3 DN DM cuøng phöông DN
1 1 1 1 1 1
2 2 t.2t1 t1
1
t
2t t 3 3t 2t t 3 3t
1 t 2 2t t 1 t 2 2t t 2 2 t . 3 3 t1 t1.
t
4 1 t . t1 t1 1
t t1
0
M
2 1 t . 3 3 t t . t t 1
1 1
0;1; 1 , N 0;1;1
Câu 21: (GV Trần Minh Tiến) Trong không gian với hệ toạn độ
.
Oxyz , cho mặt phẳng ( )
có phương trình Ax Dy Cz B 0 và điểm M ( x; y; z)
. Gọi H là hình chiếu của M lên
mặt phẳng
( )
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng:
Ax Dy Cz B
A. MH d M
,
B.
2 2 2
A D C
MH
Ax By Cz D
,
2 2 2
d M
A B C
C. MH d M
,
Axo Dyo Czo
B
2 2 2
A D C
D.
Đáp án A.
MH
Ax By Cz D
o o o
,
2 2 2
d M
A B C

* Hướng dẫn giải: Có
: Ax Dy Cz B 0 d M ,
Ax Dy Cz B
2 2 2
A D C
Câu 22: (GV Trần Minh Tiến) Cho ba điểm A(2; 1;5), B(5; 5;7) và M ( x; y;1)
. Với giá trị
nào của x,
y thì A, B,
M thẳng hàng?
A. x 4, y 7 B. x 4, y 7 C. x 4, y 7
D. x 4, y 7
Đáp án A. x 4, y 7
Hướng dẫn giải: Dễ dàng có được
hàng
x
4
AB; AM
0
y
7
AB 3; 4;2 , AM x 2; y 1; 4 ,A, B, M
Câu 23: (GV Trần Minh Tiến)Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm O ,
A(1;0;0), B(0; 2;0), C(0;0;4) ?
thẳng
2 2 2
A. x y z x 2y 4z
0
B.
2 2 2
C. x y z 2x 4y 8z
0
D.
2 2 2
x y z x y z
2 4 0
2 2 2
x y z x y z
2 4 8 0
Đáp án A.
Hướng dẫn giải:
Phương trình mặt cầu cần tìm có dạng
2 2 2
x y z ax by cz d
2 2 2 0 S
, mặt cầu
S
đi qua bốn điểm O, A, B, C nên ta suy ra được
1
d
0
a
2
1 2a
d 0
b
1
4 4b
d 0 c
2
16 8c
d 0
d 0
Câu 24: (GV Trần Minh Tiến) Cho mặt phẳng ( P) : x 2y 2z
9 0 và điểm A( 2;1;0)
.
Tọa độ hình chiếu H của A trên mặt phẳng
( P)
là?
A. H (1;3; 2) B. H ( 1;3; 2) C. H (1; 3; 2) D. H (1;3;2)
Đáp án B.
* Hướng dẫn giải:
Gọi là đường thẳng đi qua A và P đi qua A 2;1;0 và có VTCP
a n p
1;2; 2
.

x
2
t
x
2
t
y
1 2t
Phương trình : y
1
2t
Ta có: H P
toạ độ H thoả mãn hệ
z 2t
z
2t
x 2y 2z
9 0
Đến đây các em giải tiếp hệ và thay t vào để tìm ra được toạ độ của H.
* Bổ trợ kiến thức: Một số kiến thức toán mà học sinh cần nắm vững. Đường thẳng d đi qua
M x0; y0;
z0
và có vectơ chỉ phương u a; b;
c
, có phương trình tham số
x x0
at
d : y y0
bt t R
z z0
ct
và phương trình chính tắc
d
x x y y z z
a b c
0 0 0
: abc 0
Câu 25: (GV Trần Minh Tiến) Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng
x 1 y 1 z 5
( d) :
2 3 1
(d) và (d’) là?
và
x 1 y 2 z 1
( d) : . Vị trí tương đối của hai đường thẳng
3 2 2
A. Chéo nhau B. Song song với nhau C. Cắt nhau D. Trùng nhau
Đáp án A.
* Hướng dẫn giải: Đường thẳng
có vectơ chỉ phương u 2;3;1 , d có vectơ chỉ
d
phương v 3;2;2 . Vì , không cùng phương nên cắt hoặc chéo
u v d d
d d
x 1 y 1 z 5
2 3 1
Xét hệ phương trình x 1 y 2 z 1
3 2 2
d
Vì hệ vô nghiệm nên ta kết luận được chéo d .
Câu 26: (GV Trần Minh Tiến) Trong không gian
Oxyz
cho đường thẳng
x 1 y 1
z
: và mặt phẳng ( P) : a x by cz 3 0 chứa và cách O một khoảng lớn
1 2 2
nhất. Tính chính xác a b c ?
A. -2 B. 3 C. 1 D. -1
Đáp án C.
* Hướng dẫn giải: Gọi K là hình chiếu vuông góc của O lên , suy ra K 1 t;1
2 t;2t
,
OK 1 t;1
2 t;2t

2 1 2
K ; ;
1 3 3 3
Vì OK nên OK. u
0 t
3
2 1 2
OK ; ;
3 3 3
Gọi H là hình chiếu của O lên
Đẳng thức xảy ra khi H ≡ K.
P
, ta có: d O; P
OH OK 1
P
Do đó cách O một khoảng lớn nhất khi và chỉ khi P đi qua K và vuông góc với OK.
Từ đó ta dễ dàng suy ra phương trình của
P là: 2x y 2z 3 0 a b c 1
* Bổ trợ kiến thức: Một số kiến thức toán học mà học sinh cần nắm vững. Đường thẳng d đi
qua ; ; và có Vectơ chỉ phương u a;b;c có phương trình tham số
M x y z
0 0 0
x x0
at
d : y y0
bt t R
z z0
ct
và phương trình chính tắc
Câu 27: (GV Trần Minh Tiến) Trong không gian
d
x x y y z z
a b c
0 0 0
: abc 0
Oxyz
cho đường thẳng
x 1 y 1
z
: và mặt phẳng ( ) : x 2y 2z
5 0 . Mặt phẳng
1 2 2
(Q) : a x by cz 3 0 chứa ( ) và tạo với một góc nhỏ nhất. Tính chính xác giá trị
của a b c ?
A. -1 B. 3 C. 5 D. 1
Đáp án D.
Hướng dẫn giải: Dùng công thức để giải nhanh:
nên ta có
n
8;20; 16
Q
suy ra:
, ,
n n n n . Áp dụng công thức
Q
Q : 8 x 1 20 y 1 16z 0 2x 5y 4z 3 0 a b c 1
Câu 28: (GV Trần Minh Tiến) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm
A(0;-2;-1) và B(1;-1;2). Tọa độ điểm M thuộc đoạn thẳng AB sao cho: MA = 2MB là?
1 3 1
2 4
A. ; ; .
B. 2;0;5 .
C. ; ;1 .
D.
2 2 2
3 3
Đáp án: C.
Hướng dẫn giải: Kiến thức cơ bản từ SGK Hình học lớp 12, AM = 2MB.
1; 3; 4 .

Bổ trợ kiến thức: Một số kiến thưucs toán mà học sinh cần nắm vững. Đường thẳng d đi
qua và có vectơ chỉ phương u a;b;c có phương trình tham số
M x ; y ;z
0 0 0
x = x
0
+ at
d y = y
0
+ bt t
z = z
0
+ ct
x x y y z
z
và phương trình chính tắc d : 0 = 0 = 0 abc 0 .
a b c
x 1
t
Câu 29(GV Trần Minh Tiến)Trong không gian với hệ toạn độ Oxyz, cho d
1
: y 2 3t,
z 3 t
x 2 2 t
2
d
2
: y
2 t
2
. Nhận xét nào sau đây là đúng về vị trí tương đối của hai đường thẳng đã
z 1 3t
2
cho?
A. Trùng nhau. B. Song song. C. Cắt nhau. D. Chéo nhau.
Đáp án: C.
1 t 2 2 t
2
t 1
Hướng dẫn giải: Dễ thấy được 2 3t 2 t
2 . Do đó hai đường thẳng này
t 2
1
3 t 1 3t
2
cắt nhau. Các em xem lại các vị trí tương đối và điều kiện xảy ra từng trường hợp trong
SGK Hình học lớp 12 cơ bản của NXB GD VN.
Bổ trợ kiến thức: Một số kiến thức toán mà học sinh cần nắm vững. Đường thẳng d đi
qua và có vectơ chỉ phương u a;b;c có phương trình tham số
M x ; y ;z
0 0 0
x = x
0
+ at
d : y = y
0
+ bt t
z = z
0
+ ct
x x y y z
z
và phương trình chính tắc d : 0 = 0 = 0 abc 0 .
a b c
Câu 30: (GV Trần Minh Tiến) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
mặt phẳng
P : x+ 3 y+10z
37 = 0 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
d d,(P) = 110.
A. B.
d d,(P) = 0.
x 1
t
d : y
2 3t và
z 3 t
C. d (P).
D. d và (P) cắt nhau.
Đáp án: B.

Hướng dẫn giải: Ta có u.n = 0,A 1, 2,3 d,A P
. Do đó
d P d d, P 0
Bổ trợ kiến thức: Một số kiến thức toán mà học sinh cần nắm vững. Đường thẳng d đi
qua và có vectơ chỉ phương u a;b;c có phương trình tham số
M x ; y ;z
0 0 0
x = x
0
+ at
x x y y z
z
d : y = y
0
+ bt t
và phương trình chính tắc d : 0 = 0 = 0 abc 0
a b c
z = z
0
+ ct
Câu 31: (GV Trần Minh Tiến) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
x z
3 y
2
d : = =
2 1 1
và hai mặt phẳng
(P) : x 2 y 2 z = 0,
Q : x
2 y+ 3z
5 = 0.
cầu (S) có tâm I là giao điểm của đường thẳng d và mặt thẳng (P). Mặt phẳng (Q) tiếp xúc
với mặt cầu (S). Viết phương trình của mặt cầu (S)?
2 2
A. S : x 2 (y 4) z 3 . B.
7
2 2
C. S : x 2 (y 4) z 3 . D.
7
Đáp án: A.
2 2 2 9
S : x 2 (y 4) z 3 .
14
2 2
2 2
2 2 2 9
S : x 2 (y 4) z 3 .
14
x = 2 t
Hướng dẫn giải: Ta dễ có được d : y = 3+ t t I2 t; t+ 3; t+ 2
.
z = 2 + t
Mà I P 2 t 2 0 t 1
I 2;4;3 .
S
Gọi R là bán kính của , ta có Q tiếp xúc với
S
Mặt
2 2.4 3.3 5 2
d I; Q
= R R
2 2
1 2 3 14
2
.
Kết hợp với S
có tâm I2;4;3 S : x 2 2 y 4 2 z 3
2 4
2 .
14 7
Bổ trợ kiến thức: Một số kiến thức toán mà học sinh cần nắm vững. Phương trình mặt
Ia;b;c
2 2 2 2
cầu tâm bán kính R là S : x a y b z c R . Trong không gian
Oxyz cho phương trình
2 2 2
x + y + z + 2Ax+ 2 By+ 2Cz+ D = 0
là phương trình mặt cầu khi
2 2 2
A + B + C D > 0 . Khi đó mặt cầu có tâm I A; B; C
và bán kính
2 2 2
R = A + B + C D
.

Câu 32: (GV Trần Minh Tiến)Trong không gian với hệ toạn độ Oxyz, cho hai điểm
A( 1;1;0)
và B3;1; 2 .
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trung điểm I của cạnh
AB và vuông góc với đường thẳng AB?
A. x 2z 3 0. B. 2 x y 1 0. C. 2 y 2z 3 0. D. 2 x z 3 0.
Đáp án: D.
1 3 11 0 2
Hướng dẫn giải: Ta có I là trung điểm của cạnh AB I ; ; I1;1; 1
2 2 2
Mặt phẳng qua I 1;1; 1 và nhận AB 4;0; 2
là một VTPT
P
P : 4 x1 0. y1 2 z1 0 P : 4x 2z 6 0 P : 2x z 3 0 .
Bổ trợ kiến thức: Một số dạng toán mà học sinh cần nắm vững.
+ Một là biết điểm thuộc mặt phẳng và vectơ pháp tuyến. Mặt phẳng P đi qua điểm
và có vectơ pháp tuyến là n A;B;C . Khi đó phương trình mặt phẳng
M x ; y ;z
0 0 0
là A x x B y y C z z 0 .
0 0 0
+ Hai là biết điểm thuộc mặt phẳng và cặp vectơ chỉ phương. Mặt phẳng P đi qua điểm
M x 0; y
0;z0
và có cặp vectơ chỉ phương là a,b . Khi đó nếu ta gọi n
là một vectơ pháp
tuyến của mặt phẳng P thì n sẽ bằng tích có hướng của hai vectơ a và b
. Tức là
n a, b
.
+ Ba là biết điểm thuộc mặt phẳng và song song với mặt phẳng khác. Mặt phẳng P
đi qua
M x ; y ;z
điểm và song song với mặt phẳng Q có phương trình là:
0 0 0
Ax+ By+ Cz+ D = 0 . Khi đó mặt phẳng P sẽ có phương trình là:
A x x B y y C z z 0
0 0 0
+ Bốn là biết 3 điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng. Mặt phẳng P đi qua 3 điểm
không thẳng hàng A, B, C. Khi đó mặt phẳng
hoặc AB, BC hoặc AC, BC …
P
có cặp véctơ chỉ phương là
P
AB,AC
Câu 33: (GV Trần Minh Tiến) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 1;3)
và hai đường thẳng
x 4 y 2 z1 x 2 y1 z1
d
1
: ,d
2
: .
1 4 2 1 1 1
Viết phương trình
đưởng thẳng d đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng và cắt đường thẳng d ?
d1
2

x 1 y 2 z 3
A. d :
x 1 y 1 z 3
. B. d :
.
4 1 4
2 1 3
x 1 y 1 z 3
C. d :
x 1 y 1 z 3
. D. d
1
:
.
2 1 1
2 2 3
Đáp án: C.
x 2 t
Hướng dẫn giải: Gọi M d d 2
, ta có d
2
:
y
1 t t M t 2; t 1; t 1
.
z
1 t
Đường thẳng d nhận AM t1; t; t
2
là một VTCP. Đường thẳng d 1
có một VTCP là
u 1;4; 2 .
Ta có d d1
AM.u 0 t 1 4t 2t 2
0 5t 5 0 t 1
AM 2; 1; 1
.
Đường thẳng d qua A 1; 1;3 và nhận AM 2; 1; 1
là một VTCP
x1 y1 z
3
d : .
2 1 1
Bổ trợ kiến thức: Một số kiến thức toán mà học sinh cần nắm vững. Đường thẳng d đi
qua và có vectơ chỉ phương u a;b;c có phương trình tham số
M x ; y ;z
0 0 0
x = x
0
+ at
x x y y z
z
d : y = y
0
+ bt t
và phương trình chính tắc d : 0 = 0 = 0 abc 0
a b c
z = z
0
+ ct
Câu 34: (GV Trần Minh Tiến) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
A(1; 2;1),B(0;2; 1),C(2; 3;1).
giá trị của
P x 2 y 3z ?
2 2 2
M M M
Điểm M thỏa mãn
2 2 2
T MA MB MC
A. P 101.
B. P 134.
C. P 114.
D. P 162.
Đáp án: B.
Hướng dẫn giải: Giả sử
AM x1; y 2;z1
M x; y;z BM x; y 2;z1
CM x 2; y 3;z1
nhỏ nhất. Tính

2 2 2
2 2
2 2
BM = x + y 2 + z1
2
AM = x 1 + y+ 2 + z 1
2
2 2 2
CM = x 2 + y+ 3 + z 1
2
2 2 2 2 2 2 2 2
T x1 y 2 z1 x y 2 z1 x 2 y 3 z1
x1 2 x 2 x 2 2 y 2 2 y 2 2 y 3 2 z1 2 z1 2 z1
2
2 2 2
x 3 4 y 7 32 z 3 8 4 32 8 44
, từ đây các em chọn được
phương án đúng trong các phương án trên.
x 3 y 1
z
Câu 35: (GV Trần Minh Tiến) Tìm giao điểm của d : và (P) :
1 1 2
2x y z 7 0 ?
A. M(3;-1;0) B. M(0;2;-4) C. M(6;-4;3) D. M(1;4;-2)
Đáp án A
Hướng dẫn giải: Ta có được
2x y z 7 0
x
3
x 3 y 1
y
1
M(3;-1;0)
1 1
z
0
x 3 z
1 2
Bổ trợ kiến thức: Một số kiến thức toán mà học sinh cần nắm vững. Đường thẳng d đi
qua M(x ,y ,z ) và có vectơ chỉ phương u( a, b, c)
có phương trình tham số
0 0 0
x x0
at
d : y y0
bt t
z z0
ct
x x0 y y0 z z0
và phương trình chính tắc: d : abc 0 .
a b c
Câu 36: (GV Trần Minh Tiến) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d :
x y 1 z 2
x 1 y z 2
cắt đường thẳng d : sao cho khoảng cách giữa d và
a b c
2 1 1
x 5 y z
:
2 2 1
là lớn nhất. Tính a b c ?
A. -8 B. -1 C. 1 D. 12
Đáp án A
M d d
Hướng dẫn giải: Gọi
M 1 2 t; t;2
t
A0; 1;2
d
, suy ra

ud
AM t t t N u
u
AM
t t t
2
u , AM
. AN 2
t
d d,
3 3 f
2
t
u
, AM 53t
10t
2
2 1, 1; , 5;0;0 , 2; 2;1 , 1;4 1;6
4
t
4 1
Ta có f t 0 37 min f t f ud
29; 41;4 a b c 8
.
37 37
t 2
Bổ trợ kiến thức: Một số kiến thức toán mà học sinh cần nắm vững. Đường thẳng d đi
qua M(x ,y ,z ) và có vectơ chỉ phương u( a, b, c)
có phương trình tham số
0 0 0
x x0
at
d : y y0
bt t
z z0
ct
x x0 y y0 z z0
và phương trình chính tắc: d : abc 0 .
a b c
Câu 37(GV Trần Minh Tiến): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A (2;0;0), B
(0;3;1), C (-3;6;4). Gọi M là điểm nằm trên đoạn BC sao cho MC = 2MB. Độ dài đoạn AM
là?
A. 3 3 B. 2 7 C. 29 D. 30
Đáp án C
Hướng dẫn giải: Dễ dàng tìm được tọa độ điểm M 1;4;2 AM 29 .
Câu 38(GV Trần Minh Tiến): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật
ABCD.ABCD có A O(0;0;0) , B (x; 0; 0), D (0; x; 0), A 0;0; y , x y 0 và mặt
phẳng ABD
vuông góc với (IBD) với I là trung điểm cạnh CC . Giả sử x = 8, tính thể tích
khối tứ diện BDAI
?
1152
A. V = 128 B. V = 64 C. V
D. V = 256
5
Đáp án A
2
Hướng dẫn giải: Ta có AB x;0; y, AD 0; x; y AB,AD
xy; xy;
x ,
y y 3 2
C x; x;0 ,C x; x; y I x; x; AI x; x; AB, AD .AI
x y
2 2
2
2
1 1 3 2 x y
Do đó ta có được V AB, AD .AI . x y .
6 6 2 4
Ta lại có ABD IBD
AB,AD . BI, BD
0
.

2
Mà BI 0; x; y
,BD x;0; y
BI,BD xy ; xy ; x
.
2 2
2 2
Do đó
3 3
2 2 4 x 8
AB,AD . BI, BD
x y x 0 V 128
4 4
Câu 39: (GV Trần Minh Tiến) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng
P : x 2z
3 0 . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của P
?
A. n 1; 2;3
B. n 1;0; 2
C. n 1; 2;0
D. n
Đáp án B
( )
3; 2;1
2 2 2
Hướng dẫn giải: Mặt phẳng ax + by + cx + d = 0 a + b + c > 0 có một VTPT là
n = ( a; b;
c). Dựa vào đó, ta thấy ngay ( P): x- 2z
+ 3 = 0 có một VTPT là
n = ( 1;0; -2)
Câu 40: (GV Trần Minh Tiến) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm
A1;2;3
, B 3;3;4
, C 1;1;2
?
A. thẳng hàng và A nằm giữa B và C. B. thẳng hàng và C nằm giữa A và B.
C. thẳng hàng và B nằm giữa A và C. D. là ba đỉnh của một tam giác.
Đáp án A
Hướng dẫn giải: Dễ dàng ta tính được AB = 2;1;1 ; AC = -2;-1; -1
, suy ra A là
trung điểm của BC
( ) ( )
: 2 1 0
Câu 41: (GV Trần Minh Tiến) Cho mặt phẳng x y z và điểm A 2; 1;3
,
0;0;1. Tìm mặt phẳng ' đi qua hai điểm A,B sao cho góc giữa hai mặt phẳng
và
B
'
là bé nhất?
A. ' : x 4y z 5 0
B.
C. ' : x 4 y z 1 0
D.
Đáp án C
' : 2x 8y 2z
2 0
' : x 4 y z1 0
( - ) Î( ) Þ ( ) ( )
Hướng dẫn giải: Dễ thấy A 2; 1;3 a¢ loại B, D . B 0;0;1 Î a¢ Þ loại A.
Bổ trợ kiến thức: Một số dạng toán mà học sinh cần nắm vững.

+ Một là biết điểm thuộc mặt phẳng và vecto pháp tuyến. Mặt phẳng P đi qua điểm
và có vecto pháp tuyến là n A; B;
C . Khi đó phương trình mặt phẳng P là
M ( x ; y ; z )
( )
0 0 0
( ) ( ) ( )
A x- x + B y - y + C z - z =
0 0 0
0
+ Hai là biết điểm thuộc mặt phẳng và cặp vecto chỉ phương. Mặt phẳng P đi qua điểm
M ( x ; y ; z )và có cặp vecto chỉ phương là a,
b . Khi đó nếu ta gọi n
là một vecto pháp tuyến
0 0 0
của mặt phẳng ( ) thì sẽ bằng tích có hướng của hai vecto và . Tức là
( )
( )
P n a b
n = éa,
bù
ê ë ú û
+ Ba là biết điểm thuộc mặt phẳng và song song với mặt phẳng khác. Mặt phẳng( P)
đi qua
M ( x y z )
( )
điểm ; ; và song song với mặt phẳng Q có phương trình là:
0 0 0
Ax By Cz D
( )
0 . Khi đó mặt phẳng P sẽ có phương trình là:
+ + + = ( )
( ) ( ) ( )
A x- x + B y - y + C z - z =
0 0 0
0
+ Bốn là biết 3 điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng. Mặt phẳng P đi qua 3 điểm
không thẳng hàng A, B, C. Khi đó mặt phẳng P có cặp vecto chỉ phương là AB,
AC hoặc
AB,
BC hoặc AC,
BC …
Câu 42(GV Trần Minh Tiến): Trong không gian Oxyz cho đường thẳng
x 1 y 1
z
: và mặt phẳng : x 2y 2z
5 0 . Mặt phẳng Q:ax+by+cz+3=0
1 2 2
chứa và tạo với
một góc nhỏ nhất. Tính chính xác giá trị của a+b+c?
A. –1. B. 3. C. 5. D. 1.
Đáp án D
Hướng dẫn giải: Dùng công thức để giải nhanh: n
é
( )
n( ) ;
n ;
= é ù n
ù
Q êê
Q
ëë
ú
û ú
û
Áp dụng công thức nên ta có n = -8;20;-16
suy ra:
( ) ( ) ( )
( )
( Q) ( )
Q :-8 x- 1 + 20 y -1 - 16z = 0 Û 2x- 5y + 4z + 3 = 0 Þ a + b + c = 1
( )
Bổ trợ kiến thức: Một số kiến thức toán mà học sinh cần nắm vững.
( )
Phương trình mặt cầu tâm I a; b;
c bán kính R là
( ):( ) ( ) ( )
2 2 2 2
S x- a + y - b + z - c = R
.Trong không gian Oxyz cho phương trình
2 2 2
x + y + z + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 là phương trình mặt cầu khi

2 2 2
A B C D
0 . Khi đó mặt cầu có tâm I -A;-B;-C
và bán kính
+ + - > ( )
2 2 2
R = A + B + C - D
Một số dạng toán mà học sinh cần nắm vững
.
+ Một là biết điểm thuộc mặt phẳng và vecto pháp tuyến. Mặt phẳng P đi qua điểm
và có vecto pháp tuyến là n A; B;
C . Khi đó phương trình mặt phẳng P là
M ( x ; y ; z )
( )
0 0 0
( ) ( ) ( )
A x- x + B y - y + C z - z =
0 0 0
0
+ Hai là biết điểm thuộc mặt phẳng và cặp vecto chỉ phương. Mặt phẳng P đi qua điểm
M ( x ; y ; z )và có cặp vecto chỉ phương là a,
b . Khi đó nếu ta gọi n
là một vecto pháp tuyến
0 0 0
của mặt phẳng ( ) thì sẽ bằng tích có hướng của hai vecto và . Tức là
( )
( )
P n a b
n = éa,
bù
ê ë ú û
+ Ba là biết điểm thuộc mặt phẳng và song song với mặt phẳng khác. Mặt phẳng( P)
đi qua
M ( x y z )
( )
điểm ; ; và song song với mặt phẳng Q có phương trình là:
0 0 0
Ax By Cz D
( )
0 . Khi đó mặt phẳng P sẽ có phương trình là:
+ + + = ( )
( ) ( ) ( )
A x- x + B y - y + C z - z =
0 0 0
0
+ Bốn là biết 3 điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng. Mặt phẳng P đi qua 3 điểm
không thẳng hàng A, B, C. Khi đó mặt phẳng P có cặp vecto chỉ phương là AB,
AC hoặc
AB,
BC hoặc AC,
BC …
( )
( )

Câu 1: (Gv Văn Phú Quốc 2018) (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz cho hai
đường thẳng d và d’ có phương trình lần lượt là x 2 y 4 1 z x
4t
; y
1 6t
; t .
2 3 2
z
1 4t
Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d’.
A. Song song nhau. B. Trùng nhau.
C. Cắt nhau. D. Chéo nhau.
Đáp án A
Đường thẳng d qua M 2; 4;1
và có vectơ chỉ phương là u 2;3;2
Đường thẳng d’ qua M ' 0;1; 1
và có vectơ chỉ phương là u ' 4;6;4
Do u
và u
' cùng phương đồng thời M d ' nên hai đường thẳng đó song song nhau
Câu 2: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
x 1 y 2 z 1
x 2 y 1 z 2
1
: và 2
. Đường vuông góc chung của 1
và 2
2 1 1 4 1 1
đi qua điểm nào trong các điểm sau?
M
N P
A. 3;1; 4 B. 1; 1; 4 C. 2;0;1 D. Q 0; 2; 5
Đáp án A
Gọi A2a 1; a 2; a 1 ; B 4b 2; b 1; b 2
1
2
Suy ra AB 2a 4b 1; a b 3; a b 3
.
Vectơ chỉ phương của và lần lượt có phương trình là u 2;1;1 , u 4;1; 1
Ta có
AB u
AB. u2
0
.
1
0 .
1
2
Giải hệ phương trình ta được a 1; b 1.
Suy ra phương trình đường vuông góc chung là
x
1
t
y
1 t
z
2 3t
Lần lượt thay tọa độ các điểm M ta thu được kết quả đúng là A.
1 2
Câu 2: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz cho
phương trình mặt cầu
S
đi qua hai điểm A; B và có tâm nằm trên trục Oz.
2 2 2
S x 2 y 2
z 2
A. S : x 1 y z 5.
B.
A
1; 2;1 ; B 0;2;0
: 1 5.
. Viết

2
2 2 2
S x y z
C. S : x 2 y 1 z
5 5.
D.
Đáp án B
Tâm nằm trên trục Oz nên có tọa độ I 0;0;
z
Do mặt cầu (S) đi qua hai điểm A; B nên ta có
0
: 1 5.
1 0 2 0 1 0 0 2 0 0
2 2 2 2 2 2
IA IB z z
1 z 2z 1 z z 1
2 2
Vậy 2
2 2
0 0 0 0
S : x y z 1 5
0 0
Câu 4: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba vectơ
a. x 3
a 2;3;1 ;
b 1; 2; 1 ;
c 2;4;3
. Tìm tọa độ vectơ x sao cho b. x 4.
c. x 2
4;5;10 .
A. B. 4; 5;10 . C. 4; 5; 10 . D.
Đáp án B
x x ; x ; x
Gọi
Khi đó
1 2 3
a. x 3 2x2 3x2 x3 3 x1
4
b. x 4 x1 2x2 x3 4 x2
5.
c. x 2 2x1 4x2 3x3
2
x3
10
Vậy x
4; 5;10 .
4;5; 10 .
Câu 5: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A1;2;3
x 1 y z 3
và đường thẳng d : . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A,
2 1 2
vuông góc với đường thẳng d và cắt trục Ox.
A. x 1 y 2 z 3
.
B.
2 2 3
C. x 1 y 2 z 3
.
D.
2 2 3
Đáp án A
Gọi B Ox
. Khi đó B b;0;0
Vì vuông góc với đường thẳng d nên AB ud
.
Ta có AB b 1; 2; 3 , u d
2;1; 2
x 2 y 2 z 3
.
1 2 3
x 2 y 2 z 3
.
1 2 3

Suy ra AB. ud
0 b 1
Do đó AB 2; 2; 3
. Chọn vectơ chỉ phương cho đường thẳng là u
Phương trình đường thẳng là
x 1 y 2 z 3
.
2 2 3
Câu 6: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian
2 2 2
: 2 2 2 0
Oxyz
2;2;3 .
cho mặt cầu
S x y z x z và các điểm A0;1;1 , B 1; 2; 3 , C 1;0; 3
. Tìm điểm
K thuộc mặt cầu
S
sao cho thể tích tứ diện ABCD lớn nhất
D
D
A. 1;2; 1
B. 1;0; 3
C. D 3;0; 1
D.
Đáp án D
(S) có tâm I 1;0; 1
, bán kính R 2
AB 1; 3; 4 , AC 1; 1; 4
7 4 1
D
; ;
3 3 3
Gọi là mặt phẳng chứa 3 điểm A, B, C nhận n AB, AC
8; 8;4
làm vectơ pháp
tuyến nên có phương trình: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
8 x 1 8 y 2 4 x 3 0 2x 2y z 1 0
d I 2 0 11 2
, 2
2 2 2
2 2 1 3
R S
1
Ta có VABCD hD.
S ABC
nên VABCD
lớn nhất hD
lớn nhất
3
Gọi
D1 D2
là đường kính của (S) vuông góc với mặt phẳng
Vì D là điểm bất kì thuộc (S) nên d D, max d D1 , , d D2
,
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi D trùng với một trong hai điểm
D D
1 2
D1
hoặc D2
qua I nhận vectơ pháp tuyến của làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham
x
1
2t
D D : y 2 t , t
z
1 t
số
1 2
Gọi
D 1 2 d ; 2 d ; 1 d D D
0 0 0 1 2
là điểm cần tìm. Khi đó D là nghiệm của phương trình:
(Gv Văn Phú Quốc 2018)
2
1 2d0 4d0 1 d0 2 1 2d0 2 1 d0 2 0 d0
3
2
2
2

2 2
9d0
2 9. 2 9. 2
3
Ta có d D, . Vì 3
2
nên D phải ứng với d0
3 3 3
3
Vậy
7 4 1
D
; ;
3 3 3
là điểm cần tìm
Oxyz
Câu 7: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian , cho điểm H 4;5;6 . Viết
phương trình mặt phẳng P qua H, cắt các trục tọa độ Ox, Oy,
Oz lần lượt tại A, B, C sao cho
H là trực tâm của tam giác ABC
A. 4x 5y 6z 77 0
B. 4x 5y 6z
77 0
C. 4x 5y 6z 77 0
D. 4x 5y 6z
77 0
Đáp án B
Giả sử P Ox Aa;0;0 , P Oy A0; b;0 , P Oz A0;0;
c
Khi đó (P) có phương trình x y z 1
a b c
4 5 6
4;5;6 1
a b c
AH 4 a;5;6 , BH 4;5 b;6 BC 0; b; c , AC a;0;
c
Ta có: (Gv Văn Phú Quốc 2018) H P
Vì H là trực tâm tam giác ABC nên
Giải hệ phương trình
77
4 5 6 1
a
4
a b c
77
5b 6c 0 b
5
4b
6c
0
77
c
6
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là
x y z
1 4x 5y 6z
77 0
77 77 77
4 5 6
AH. BC 0 5b 6c
0
BH. AC 0 4b
6c
0
Câu 8: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu
2 2 2
S : x y z 2x 4y 6z 11 0 và mặt phẳng
: 2x 2y z 17 0 . Viết phương
trình mặt phẳng song song với và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi
bằng 6

A. 2x 2y z 7 0
B. 2x 2y z 7 0
C. 2x 2y z 7 0
D. 2x 2y z 7 0
Đáp án B
Do
/ /
nên : 2x 2y z D 0D
17
Mặt cầu (S) có tâm I 1; 2;3
, bán kính R 5
Đường tròn có chu vi là 6 nên bán kính của đường tròn này là r 3
Ta có
2 2
d I R r D
2 2 2
2.1 2. 2 3 D
D
7
4 5 12
2 2 1
D
17
Nhận giá trị 7 . Vậy có phương trình là 2x 2y z 7 0
D
Câu 9: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz , cho các điểm
A4;0;0 , B 0;4;0
và măt phẳng P : 3x 2y z 4 0
K sao cho KI vuông góc với
P
đồng thời K cách đều gốc O và P
1 1 3 1 1 3 1 1 3
A. K ; ; B. K ; ; C. K ; ; D.
4 2 4 4 2 4 4 2 4
Đáp án C
Ta có I là trung điểm AB I 2;2;0
. Gọi I là trung điểm của AB. Tìm
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là: (Gv Văn Phú Quốc 2018) n 3;2; 1
K
1 1 3
; ;
4 2 4
Vì KI P nên đường thẳng KI qua I nhận n 3;2; 1
làm vectơ chỉ phương nên có
phương trình
x
2 3t
y
2 2t
z
t
K KI K 2 3 t;2 2 t;
t
Theo đề ta có: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
6 9t 4 4t t 4
d K P KO 2 3t 2 2t t
14
2 2 2
2 2 2
14t 20t 4 14 t 1 14t 20t 4 14t 28t
14
3
t
4
1 1 3
Vậy K ; ;
4 2 4
thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 10: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
A0;0;4 , B 2;0;0
: 2 5 0
và mặt phẳng . Lập phương trình mặt cầu S đi
P x y z
qua O, A, B và có khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng
P
bằng
5
6
A.
B.
C.
D.
2 2 2 2 2 2
x y z x z x y z x y z
2 4 0; 2 20 4 0
2 2 2 2 2 2
x y z x z x y z x y z
2 4 0; 2 20 4 0
2 2 2 2 2 2
x y z x z x y z x y z
2 4 0; 2 20 4 0
2 2 2 2 2 2
x y z x z x y z x y z
2 4 0; 2 20 4 0
Đáp án A
Giả sử
S
có phương trình là
2 2 2
x y z 2ax 2by 2cz d 0 . (Điều kiện: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
2 2 2
a b c d 0 )
O S d 0
A 0;0;4 S 16 8c d 0 . Mà d 0 nên suy ra c 2
A 2;0;0 S 4 4a d 0 . Mà d 0 nên suy ra a 1
Với
I 1; b;2
, ta có d I;
P
5 b 5 5 b
0
6 6 6 b
5
Vậy phương trình mặt cầu (S) cần tìm là: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
2 2 2 2 2 2
x y z x z x y z x y z
2 4 0; 2 20 4 0
Câu 11: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz , cho hai mặt phẳng
S
: x y z 0, : x 2y 2z
0 . Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc , bán
kính bằng 3 và tiếp xúc với
tại M biết điểm M Oxz
2 2 2 2 2 2
A. x y z x y z
1 2 3 9; 1 2 3 9
2 2 2 2 2 2
B. x y z x y z
1 2 3 9; 1 2 3 9
2 2 2 2 2 2
C. x y z x y z
1 2 3 9; 1 2 3 9
2 2 2 2 2 2
D. x y z x y z
Đáp án D
1 2 3 9; 1 2 3 9
Gọi M a;0; b Oxz . M a 2b
. Suy ra M 2 b;0;
b

Gọi I là tâm của (S). Do (S) tiếp xúc với
Phương trình đường thẳng
Điểm
I IM nên I 2 b t; 2 t; b 2t
2
IM :
x b
y
z b
1 2 2
tại M nên IM
Mặt khác, I
2b t 2t b 2t 0 t b I b;2 b;3b
9b
d I, R 3 b 1
3
Ta có
Với 1 suy ra I 1;2;3 và R 3 . Do đó phương trình mặt cầu (S) là
b
x y z
2 2 2
1 2 3 9
Với b 1 làm tương tự, ta cũng thu được phương trình mặt cầu (S) là
x y z
2 2 2
1 2 3 9
Câu 12: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ
3;0;0 , B0;3;0
Oxyz , cho hai điểm
A và mặt cầu S : x 1 2 y 2 2 z 3
2
9. Viết phương trình mặt
ABC
phẳng biết C S và ACB 45
A. z 3 0 B. x 3 0 C. y 3 0 D. x y z 3 0
Đáp án A
(S) có tâm
I 1;2;3 và bán kính R 3
Ta có
AB 3 2
Theo định lí hàm số sin ta có
Do đó mặt phẳng
. Gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp
ABC
ABC
AB
AB
2r r 3 R
sin ACB
2sin ACB
đi qua tâm I
Ta có AB 3;3;0 , AI 0;3;0 , AB, BI
0;0;9
Mặt phẳng ABC
qua A1; 1;3
có vectơ pháp tuyến n AB, AI
0;0;9
nên có
phương trình
ABC là z 3 0
Câu 13: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình chóp tam
giác đều . với A 3;0;0 , B 0;3;0 và C Oz
. Tìm tọa độ của điểm biết thể tích khối
chóp S.ABC bằng 9
S ABC
S S
S 3;3;3 , S 1;1;1
A. 3;3;3 , 1; 1; 1
B.

3; 3; 3 , S 1;1;1
C. S 3; 3; 3 , S 1; 1; 1
D. S
Đáp án A
Do S.
ABC là hình chóp tam giác đều nên ABC là tam giác đều cạnh AB 3 2
Điểm C Oz suy ra C 0;0; c với c 0
Ta có AC 3 2 9 c 2 18 c 3 C 0;0;3
Gọi G là trọng tâm
ABC
, suy ra G 1;1;1
Theo giả thiết bài toán, ta có
1 1 18 3
VS
.ABC
S
ABC. SG 9 . . SG SG 2 3
3 3 4
G
Đường thẳng SG qua 1;1;1 và vuông góc với mặt phẳng ABC nên có vectơ chỉ phương
u
AB, AC
9;9;9
. Do đó SG :
x 1
y 1
z 1
1 1 1
S SG S 1 t;1 t;1
t
SG t t t t S S
2 2 2
2 3 2 3 2 3;3;3 , 1; 1; 1
Câu 14: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian
P : x 2y 2z
1 0
Oxyz , cho mặt phẳng
và hai điểm A1;7; 1 , B 4;2;0
. Lập phương trình đường thẳng d là
hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB lên mặt phẳng (P).
x
3 4s
x
3
4s
x
3 4s
A. y
3s
B. y
3s
C. y
3s
D.
z
2 s
z
2 s
z
2 s
Đáp án C
Phương trình tham số của đường
Gọi
M AB P
x
4 3t
AB : y 2 5t
z
t
x
3 4s
y
3s
z
2 s
tọa độ điểm M ứng với tham số t là nghiệm của phương trình
4 3t 22 5t 2t 1 0 t 1 M 7; 3;1
Gọi I là hình chiếu của B lên (P). Dễ dàng tìm được
AB lên (P) là MI
x
3
4s
Vậy phương trình đường thẳng d là y
3s
z
2 s
I
3;0;2
. Hình chiếu d của đường thẳng

Câu 15: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz cho điểm
5;3;1 , 4; 1;3 ,C6;2;4 , 2;1;7
A B D
3MA 2MB MC MD MA MB
. Tìm tập hợp các điểm M sao cho
A.
B.
C.
2 2 2
8 10 1 1
x y z
3 3 3 9
2 2 2
8 10 1 1
x y z
3 3 3 9
2 2 2
8 10 1 1
x y z
3 3 3 9
2 2 2
8 10 1 1
D. x y z
3 3 3 9
Đáp án B
Giả sử tồn tại điểm
Dễ dàng tìm được điểm
Ta có
I x0; y0;
z0
thỏa mãn hệ thức 3IA 2IB IC ID 0
I
8 10 1
; ;
3 3 3
1
3MA 2MB MC MD MA MB MI MI AB
3
Vậy tập hợp các điểm M là mặt cầu tâm
I 8 10 1
; ;
, bán kính
3 3 3
1 1
R AB
3 3
Và phương trình mặt cầu là: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
2 2 2
8 10 1 1
x y z
3 3 3 9
Câu 16: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian
Oxyz , cho mặt cầu
2 2 2 2
S : x y z 4x 2y 2z m 2m
5 0 và mặt phẳng : x 2y
2z 3 0
m để giao tuyến giữa và S là một đường tròn
A. m 4; 2;2;4
B. m 2
hoặc m 4
C. m 4
hoặc m 2
D. m 4
hoặc m 2
Đáp án D
(S) có tâm
I
Giao tuyến của
2;1; 1
và bán kính
và (S) là đường tròn
m
4
d I
R m 1 3
m
2
2
R m m m
2 1 1
. Tìm

Câu 17: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian
Oxyz , cho bốn điểm
A2;0;0 , B 0;4;0 , C 0;0;6 , D2;4;6 . Xét các mệnh đề sau: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
(I). Tập hợp các điểm M sao cho
MA MB MC MD
là một mặt phẳng
(II). Tập hợp các điểm M sao cho MA MB MC MD 4 là một mặt cầu tâm I 1;2;3 và
bán kính R 1
A. Chỉ (I) B. Chỉ (II) C. Không có D. Cả (I) cả (II)
Đáp án D
* Xét mệnh đề (I): (Gv Văn Phú Quốc 2018)
Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB, CD. Khi đó
MA MB MC MD 2MI 2MJ MI MJ
Do đó tập hợp các điểm M là mặt phẳng trung trực của IJ
Vậy mệnh đề này đúng.
* Xét mệnh đề (II): (Gv Văn Phú Quốc 2018)
Gọi G là trọng tâm tứ diện ABCD
Khi đó MA MB MC MD 4
4MG
4 MG 1
Do đó tập hợp các điểm M là mặt cầu tâm
G 1;2;3 và bán kính R 1
Vậy mệnh đề này đúng
Câu 18: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian
Oxyz , cho đường thẳng
x
1
t
d : y 3 3t
z
3 2t
và mặt phẳng
đến bằng 3
: x 2y 2z
1 0
A. 1;3;3 , 0;6;5
B.
. Tìm vị trí của điểm M trên d sao cho khoảng cách từ M
M M
M 10; 24; 15 , M 0;6;5
M 8;30;21 , M 1;3;3
C. M 10; 24; 15 , M 8;30;21
D.
Đáp án C
M d M 1 t;3 3 t;3 2t
Ta có: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
d M
1 t 2 3 3t 2 3 2t
1
3 3
2
2 2
1 2 2

t 9 t 9
Suy ra M 10; 24; 15 , M 8;30;21
Câu 19: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz có 6 mặt phẳng sau
1 : 2x y z 4 0
2 : x z 3 0
1 : 3x
y 7 0
2 : 2x
3z
5 0
1 : x my 2z
3 0
2
: 2x y z 6 0
Gọi , , lần lượt là giao tuyến của các cặp mặt phẳng và ; và
d d d
;
1 2 3
và . Tìm m để d1,
d2
và d3
đồng quy.
2
1
2 1
A. m 2
B. m 2
C. m 1
D. m 1
Đáp án D
Gọi
I d d
1 2
2x y z 4 0
x
z 3 0
I
3x
y 7 0
2y
3z
5 0
d1,
d2
và d3
đồng quy
. Khi đó tọa độ điểm I (nếu có) là nghiệm của hệ phương trình
2;1;1
2 m 2 3 0
I d3
m 1
4 1 1 6 0
Câu 20: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian
P : 2x y 2z
12 0
C
P
2 1
Oxyz , cho mặt phẳng
và hai điểm A1;1;3 , B 2;1;4
. Tìm tập hợp tất cả các điểm
sao cho tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất
x
t
x
t
x
2t
8
8
8
A. y
B. y
C. y
D.
9
9
9
8
8
z
t
8
z t
9
z t
9
9
Đáp án B
x
2t
8
y
9
8
z
t
9

Từ phương trình mặt phẳng (P) ta có: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
điểm C a;2a 2 b;
b
Ta có AB 1;0;1 , AC a 1;2a 2b 13; v 3
Suy ra AB, AC 2a 2b 13; b a 2;13 2a 2b
1 1
2 2
y 2x 2z
12
Do đó S AB, AC
2a 2b 13 b a 2 13 2a 2b
Đặt
ABC
t a b
thì
2 2 2 2 2
ABC
4S 2t 13 t 2 13 2t 9t 100t
342
2 2 2
nên tọa độ
2
50 578 578
30t
3 9 9
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
t
50
9
17 2 50
Do đó min S
ABC
khi t . Vì thế
6 9
8 50
Suy ra C a; ; a
9 9
b a
50
9
x
t
8
9
8
z
t
9
Vậy tập hợp các điểm C là đường thẳng có phương trình y t
Câu 21: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian
C 1; 1; 2
hoành độ dương
và đường chéo
A. A1;2;3 , B 5;2; 2 , D7; 1;1
B. A1;2;3 , B 3;0;0 , D7; 1;1
C. A1;2;3 , B 5;2; 2 , D9;3; 3
D. A1;2;3 , B 3;0;0 , D1;1; 1
Đáp án D
Oxyz , cho hình vuông ABCD có đỉnh
1 1 1
BD :
x
y
z . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, D biết điểm B có
4 1 1
Gọi I là tâm của hình vuông thì I chính là hình chiếu của C lên BD
Ta có: (Gv Văn Phú Quốc 2018) I 1 4 t;1 t; 1 t nên CI 4t 2;2 t; t 1

Vì CI
1
BD nên CI. uBD
0 44t 2 2 t
t 1 0 t
2
Do đó: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
I là trung điểm AC A1;2;3
1 1 3 2
I 1; ; ,
CI
2 2 2
Tọa độ điểm
Ta có IB IC nên
B 1 4 t;1 t; 1
t
với
1
t
4
2 2
2 2
t 0
1 1 9
2 4t t t t t 0
2 2 2
t
1
Tọa độ điểm
B 3;0;0
. Suy ra D1;1; 1
Câu 22: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng
x 1 y 4 z
d : và các điểm
2 1 2
sao cho
MA MB MC
2 2 2
A1;2;7 , B 1;5;2 , C 3;2;4
đạt giá trị lớn nhất
A. 1;4;0 B. 1;3; 2 C. 1;3; 2 D.
Đáp án C
. Tìm tọa độ điểm M thuộc d
M M
M
M 5;6;4
M d M 2t 1; t 4;2t
2 2 2 2
MA MB MC t t t
2
9 18 12 21 9 1 21
Dấu “=” xảy ra khi t 1
Vậy
2 2 2
max MA MB MC khi M 1;3; 2
Câu 23: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian
Oxyz , cho hai điểm
5 5
A1; 2; , B 4;2; . Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng Oxy
sao cho tam giác ABM
2 2
vuông tại M và có diện tích nhỏ nhất
5
A. M
5
;0;0 B. M
1
;0;0 C. M
;0;0 D.
2
2
2
Đáp án A
5 5
Gọi I là trung điểm AB I ;0; ; AB 5
2 2
M
1 ;0;0
2
2 2
5 2 5 25
M thuộc mặt cầu S : x y z
2 2 4

z
0
2 2
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ 5 2 5 25
x y z
2 2 4
Hạ MH AB;
HK Oxy
S ABM
AB / / Oxy HK d AB,
Oxy không đổi mà MH HK nên nhỏ nhất
MH
nhỏ nhất M nằm trên đường thẳng là hình chiếu vuông góc của AB lên mặt phẳng
Oxy
S
Mặt khác tiếp xúc với mặt phẳng Oxy nên M
Vậy
M
5 ;0;0
2
Câu 24: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian
Oxyz , cho mặt cầu
2 2 2
S : x y z 2x 2z
2 0
. Tìm điểm A thuộc mặt cầu sao cho khoảng cách từ A đến
mặt phẳng
P : 2x 2y z 6 0
lớn nhất
7 4 1
A. A1;1; 6
B. A
; ;
C. 3;0;0 D.
3 3 3
Đáp án B
Cách 1: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
2 2
A A0;3;0
2
Ta có S : x 1 y z 1 4 có tâm I 1;0; 1
, bán kính R 2
có vecto pháp tuyến là n 2; 2;1
P : 2x 2y z 6 0
I
Gọi d là đường thẳng đi qua tâm 1;0; 1 và vuông góc với P . Suy ra d có phương trình
là
x
1
2t
y
2t
z
1 t
Tọa độ giao điểm A của d với mặt cầu S có phương trình là: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
7 4 1 1 4 5
2t 2t t 4 t . Suy ra A1 ; ; , A2
; ;
3 3 3 3 3 3 3
2 2 2 2
Dễ dàng tính được
Vậy tọa độ điểm A cần tìm là
Cách 2: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
13 1
d A1 , P d A2
, P
3 3
7 4 1
A
; ;
3 3 3
2 2
2
Giả sử điểm A x y z S x y z
; ; 1 1 4
0 0 0 0 0 0

2x 2y z 6
0 0 0
, P
d A
3
x y z x y z
2
0
1 2
0 0
1 7 2
0
1 2
0 0
1 7
3 3 3
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
2
x y z x y z
2 2
2
0
1 2
0
0
1 9
0
1
0
0
1 9.4 6
13
d A P
3
Suy ra ,
Dấu “=” xảy ra khi
2
x y z
2 2
0
0
0
1 1 4
x0 1 y0 z0
1
2 2 1
Giải hệ phương trình này ta tìm được x
0
7 , y 4 1
0
, z
0
3 3 3
Vậy
13
max d A,
P
3
khi
7 4 1
A
; ;
3 3 3
Câu 25: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng d đi qua
điểm M 0; 1;1
và có vectơ chỉ phương u 1;2;0
. Gọi P
là mặt phẳng chứa đường thẳng d
2 2 2
và có vectơ pháp tuyến là n a; b;
c với a b c 0 . Cho biết kết quả nào sau đây đúng?
A. a 2b
. B. a 3b
. C. a 3b
. D. a 2b
.
Đáp án D
Đường thẳng d đi qua M 0; 1;1
và có vectơ chỉ phương là u 1;2;0
.
Do d P nên u. n 0 a 2b 0 a 2b
.
Câu 47: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm
3;1;1 , 4;8; 3 , 2;9; 7
và mặt phẳng Q : x 2y z 6 0
M N P
Q
. Đường thẳng d qua G
vuông góc với . Tìm giao điểm K của mặt phẳng Q và đường thẳng d. Biết G là trọng
tâm MNP .
K
K K
A. 1;2;1 . B. 1; 2; 1 . C. 1; 2; 1 . D. K 1;2; 1
.
Đáp án D
MNP
có trọng tâm G 3;6; 3
.
Đường thẳng d qua G và vuông góc với Q có phương trình là: (Gv Văn Phú Quốc 2018)

K d Q
x
3
t
y
6 2 t ; t .
z
3 t
tọa độ điểm K ứng với tham số t là nghiệm của phương trình: (Gv Văn Phú
Quốc 2018) 3 t 2 6 2t 3 t 6 0 t 2 K 1;2; 1
.
Câu 26: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz, lập phương trình mặt cầu
qua điểm
M
1;4; 1
và tiếp xúc với ba mặt phẳng tọa độ.
A. 2 2 2
2 2 2
x 3 y 3 z 3 27 . B. x y z 3x 3y 3z
9 0 .
C. 2 2 2
2 2 2
x 3 y 3 z 3 9 . D. x y z 6x 6y 6z
18 0 .
Đáp án C
Phương trình mặt cầu ở đáp án (C) có tâm I 3;3; 3
và bán kính R 3 nên
Do đó
S
R xI yI zI
tiếp xúc với ba mặt phẳng tọa độ.
Hơn nữa M thỏa mãn phương trình nên M S .
.
S
Câu 27 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng P x y z và điểm A 1; 1;2
. Gọi
: 1 0
là đường thẳng đi qua A và vuông góc với . Tính bán kính của mặt cầu S có tâm
P
thuộc đường thẳng , đi qua A và tiếp xúc với P
.
3
3
3
3
A. R . B. R . C. R . D. R .
2
3
4
5
Đáp án A
Do vuông góc với (P) nên có vectơ chỉ phương u n p
1; 1;1
.
x
1
t
Phương trình đường thẳng qua A1; 1;2
là: (Gv Văn Phú Quốc 2018) y
1 t .
z
2 t
Gọi tâm
3
Vậy R .
2
I I 1 t, 1 t,2
t
. Lúc đó
2
3
3t
1
R IA d I, P 3t t
3 2
Câu 28: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối của hai mặt cầu
sau
S
đi

2 2 2
S1 : x y z 4x 8y 2z
4 0 .
2 2 2
S2 : x y z 2x 4y 4z
5 0
Đáp án B
A. Ngoài nhau. B. Cắt nhau. C. Tiếp xúc ngoài. D. Tiếp xúc trong
S
1
có tâm I 2; 4;1 và bán kính R1 5 .
S
2
1
có tâm I2 1;2;2
và bán kính R2 2 .
I1I2 46
.
Để ý rằng cho nên và cắt nhau.
R R I I R R S
1 2 1 2 1 2
1
Câu 29: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
x 1
y z
d : và hai điểm A2;1;0 , B 2;3;2
. Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B
2 1 2
và có tâm thuộc đường thẳng d.
2 2 2
x y z
2 2 2
x y z
A. 1 1 2 17
B.
C. 3 1 2 17
D.
Đáp án A
S 2
1 17
2 2 2
x y z
x y z
Tâm I d I 1 2 t; t; 2 t
2 2
I 1; 1;2
IA IB t 1 .
R IA 17
Vậy phương trình mặt cầu là x 1 y 1 z 2 17
.
S
2 2 2
2 2 2
5 2 4 17
Câu 30: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình
mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng
Q : 4x 3y 12z
1 0
và tiếp xúc với mặt cầu
2 2 2
S : x y z 2x 4y 6z
2 0 .
A. 4x 3y 12z 78 0;4x 3y 12z
26 0
B. 4x 3y 12z 78 0;4x 3y 12z
26 0
C. 4x 3y 12z 78 0;4x 3y 12z
26 0
D. 4x 3y 12z 78 0;4x 3y 12z
26 0
Đáp án D
có vectơ pháp tuyến là n 4;3; 12
.
Q
S
có tâm I 1;2;3 và bán kính R 4 .
P // Q
: 4 3 12 0
nên P x y z d (với d 1).

P
tiếp xúc với S d I,
P
R
4.1 3.2 12.3
d
d
26
4 d 26 52 .
16 9 44
d
78
Vậy P có phương trình 4x 3y 12z 78 0; 4x 3y 12z
26 0 .
Câu 31: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A1;2;3
2 2 3
và đường thẳng
1
:
x
y
z
1 1 1
d và d2
:
x
y
z .
2 1 1 1 2 1
Viết phương trình đường thẳng đi qua A, vuông góc với và cắt d .
d1
2
A. x 1 2 3
y z
B.
x 1
y 2
z 3
1 3 5
1 3 5
x 1 2 3
C. y z
D.
x 1 2 3
y
z
1 3 5
1 3 5
Đáp án C
x
1
t
d 2
có phương trình tham số là y
1 2t
.
z
1 t
d1
có vectơ chỉ phương u 2; 1;1
. Gọi B d d 2
, khi đó
B d2 B 1 t;1 2 t; 1 t AB t;2t 1; t 4 .
Theo giả thiết d d1 AB. u 0 t 1 AB 1; 3; 5
.
Vậy phương trình đường thẳng là x 1 y 2 z 3
.
1 3 5
Câu 32: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm
A
1;1;1
x 1 y z 1
và đường thẳng d : . Viết phương trình đường thẳng đi qua A và
2 2 1
cắt d sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ đến
là nhỏ nhất.
A. x 1 2 1
y
z
B.
x 1
y 2
z 1
1 3 9
1 3 9
Đáp án B
Đường thẳng
nằm trong mặt phẳng (P) qua A và chứa d. Khi đó
P : 3x 2y z 4 0 .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên
P
. Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ

x
3t
y
2t
6 4 2
H ; ; .
z t
7 7 7
3x 2y z 4 0
Gọi K là hình chiếu vuông góc của O lên , khi ấy d O;
OK OH .
d O;
nhỏ nhất K H H .
Đường thẳng qua hai điểm A và H nên có phương trình là
x 1 y 2 z 1
. (Rõ ràng cắt d).
1 3 9
C. x 1 2 1
y
z
D.
x 1
y 2 z 1
1 3 9
1 3 9
Câu 33: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
2 2 2
3 3 2
: 1 1 1 9 và đường thẳng d :
x
y
z .
1 1 2
S x y z
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn
có bán kính nhỏ nhất.
A. x y z 4 0
B. x y z 4 0
C. x y z 4 0
D. x y z 4 0
Đáp án A
S
Mặt cầu có tâm I 1;1;1 và bán kính R 3 .
Gọi K là hình chiếu của I lên
P
giao tuyến của với S .
P,
H
là hình chiếu của I lên d và r là bán kính đường tròn tức
2 2 2 2
Khi đó ta có r R IK R IH .
Dấu “=” xảy ra K H . Từ đó suy ra để cắt S theo một đường tròn có bán kính
nhỏ nhất thì
P
P
phải vuông góc với IH.
x
3
t
Phương trình tham số của d là y 3 t H 3 t;3 t;2 2t
.
z
2 2t
Do IH d nên ta có IH. u 0 t 1
H 2;2;0 .
d

qua 2;2;0 và nhận IH 1;1; 1
làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình
P
H
x y z 4 0 .
Câu 34: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
2 2 2
S : x y z 4x 4y 4z
0
và điểm A 4;4;0 .
OAB
Viết phương trình mặt phẳng , biết điểm B S và tam giác OAB đều.
A. x y z 0, x y z 0 . B. x y z 0, x y z 0 .
C. x y z 0, x y z 0 . D. x y z 0, x y z 0 .
Đáp án B
Cách 1: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
B S
và OAB đều nên ta có hệ phương trình sau: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
2 2 2
xB yB zB 4xB 4yB 4zB
0
2 2
OA
OB
2 2
OA AB
2 2 2
xB yB zB 4 xB yB zB xB yB zB
8
2 2 2
2 2 2
32 xB yB zB xB yB zB
32
2 2 2 2 2
32 4 x 4
2 xB yB zB 8 xB yB
0
B
yB z
B
x 4
B
yB zB
8 zB
2 2 2
2
2
xB yB zB 32 xB yB 2xB yB zB
32
xB yB 4
xB yB
4
xB
0 xB
4
yB
4 hay yB
0
zB
4
zB
4
Trường hợp 1: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
OA
4;4;0 , OB
0;4;4 OA
, OB
16; 16;16
Phương trình mp OAB : x y z 0
Trường hợp 2: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
OA
4;4;0 , OB
4;0;4 OA
, OB
16; 16; 16
.
: 0
Phương trình mp OAB x y z .
Cách 2
S
R
có tâm I 2;2;2 , bán kính 2 3 . Nhận thấy O và A đều thuộc S .

OA 4 2
Tam giác OAB đều, có bán kính đường tròn ngoại tiếp r .
3 3
2 2 2
Khoảng cách d I;
P R r .
3
P
đi qua O có phương trình dạng: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
2 2 2
ax by cz 0; a b c 0 .
P đi qua A, suy ra b a
.
d I;
P
2 2 a b c 2 2c
2
a b c 2a c
2
4c
4
2 2
2a
c 3
2 2 2 2 2
3 3 3
12 8 4
2 2 2 2 2
c a c c a c a
Vậy có hai mặt phẳng cần tìm: (Gv Văn Phú Quốc 2018) x y z 0, x y z 0 .
Câu 35: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
A
1;0;5 , B 2;2;6
x y 2 z 4
và đường thẳng : và mặt phẳng
1 2 1
: 2x y z 3 0 . Tìm điểm M nằm trên mặt phẳng
sao cho MB và
ABM 60
.
3 13
A. M 1; ;
1
. B. M 0;0;3
. C. M 1;1;6
. D. M
;2;6 .
2 2
2
Đáp án A
Ta thấy A ,
A và B .
Áp dụng định lý hàm số Cosin cho tam giác MAB ta có: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
2 2 2 3 6 1 9
MA BA BM 2 BA. BM.cos 60 6 2 6. . .
2 2 2 2
3 2
2 2 2
Suy ra MA . Từ đây ta nhận thấy AB MA MB nên tam giác MAB vuông tại M và
2
có MAB 30 .
Mặt khác: (Gv Văn Phú Quốc 2018) 2 2 1 1
sin ,
, 30 MAB .
6. 6 2
Từ đó suy ra M chính là hình chiếu của B lên mặt phẳng .
x 2 y 2 z 6
Khi đó MB : M 2m 2; m 2; m
6
.
2 1 1
6
2

Vì M thuộc mặt phẳng
nên
1 3 13
22m 2 m 2 m 6
3 0 m M 1; ;
.
2 2 2
3 13
Vậy M
1; ;
.
2 2
Câu 36: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
x
3 2t
: y 1 t t
z
3 t
và mặt phẳng có phương trình : x 2y z 5 0
. Gọi A là giao
điểm của và . Tìm điểm B ,
C sao cho BA 2BC
6 và ABC 60
.
A. B 5 5
3; 1;3 , C ;0;
1 11
hoặc B 1;0;4 , C ;0;
.
2 2
2 2
B. B 5 5
3; 1;3 , C ;0;
1 11
hoặc 1;1;5 , ;0; .
2 2
B C
2 2
C. B 5 5
3; 1;3 , C ;0;
1 11
hoặc B 7; 3;1 , C ;0;
.
2 2
2 2
D. B 5 5
3; 1;3 , C ;0;
1 11
hoặc 3;2;6 , ;0; .
2 2
B C
2 2
Đáp án B
Góc giữa và là . Điểm A 1;0;4 .
30
AB B
Ta có B 3 2 t; 1 t;3
t và 6 nên 3; 1;3 hoặc B 1;1;5 .
Vì BA 2BC
6 và ABC 60
nên tam giác ABC vuông tại C.
Suy ra : (Gv Văn Phú Quốc 2018)
phẳng .
BAC 30
, do đó C là hình chiếu của điểm B trên mặt
Từ đó ta tìm được hai điểm C tương ứng với hai điểm B ở trên là: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
C
5 5
;0;
2 2
1 11
hoặc C
;0;
.
2 2
Câu 37: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian tọa độ cho đường thẳng
x 3 y 2 z 1
d : và mặt phẳng P : x y z 2 0 . Gọi M là giao điểm của d và
2 1 1
P
. Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng P , vuông góc với d đồng
thời thỏa mãn khoảng cách từ M tới bằng 42 .

A. x 5 y 2 z 5 3 4 5
;
x y z
.
2 3 1 2 3 1
B. x 5 y 2 z 5 3 4 5
;
x y z
.
2 3 1 2 3 1
C. x 5 y 2 z 5 3 4 5
;
x y z
.
2 3 1 2 3 1
D. x 5 y 2 z 5 3 4 5
;
x y z
.
2 3 1 2 3 1
Đáp án D
x
3
2t
Ta có phương trình tham số của d là: (Gv Văn Phú Quốc 2018) y
2 t với t .
z
1 t
Suy ra tọa độ điểm M là nghiệm của phương trình: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
.
3 2t 2 t 1 t 2 0 t 1 M 1; 3;0
Lại có VTPT của là 1;1;1 , VTCP của d là u 2;1; 1
.
P
n
p
Vì nằm trong P
và vuông góc với d nên VTCP u ud
, n
p
2; 3;1
.
Gọi N x; y;
z là hình chiếu vuông góc của M trên , khi đó
MN x 1; y 3; z .
Ta có MN vuông góc với nên ta có hệ phương trình: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
2x 3y
z 11 0
u
Lại có N P và MN 42 ta có hệ: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
x y z 2 0
2x 3y z 11 0
2 2 2
x 1 y 3
z 42
x y z
Giải hệ ta tìm được hai nghiệm ; ; là 5; 2; 5 , 3; 4;5
.
x 5 y 2 z 5
- Nếu N 5; 2; 5
ta có phương trình : .
2 3 1
x 3 y 4 z 5
- Nếu N 3; 4;5
ta có phương trình : .
2 3 1
Câu 38: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình thang cân
d
3; 1; 2 , 1;5;1 , 2;3;3
ABCD có AB là đáy lớn, CD là đáy nhỏ và A B C
D của hình thang cân.
. Tìm tọa độ điểm

164 51 48
A. D4; 3;0
. B. D ; ;
1 1 1
. C. D
; ;
. D. D4;3;0
.
49 49 49 2 3 4
Đáp án B
Vì ABCD là hình thang cân nên AD BC 3 .
Gọi
là đường thẳng qua C và song song với AB.
R
Gọi S là mặt cầu tâm A bán kính 3 . Điểm D cần tìm là giao điểm của và S .
Đường thẳng có vectơ chỉ phương AB 2;6;3 nên có phương trình: (Gv Văn Phú
x
2 2t
Quốc 2018) y
3 6t
.
z
3 3t
2 2 2
Phương trình mặt cầu S : x 3 y 1 z 2 9 .
Tọa độ điểm D là nghiệm của phương trình
t
1
2 2 2 2
2t 1 6t 4 3t 5 9 49t 82t
33 0
33 . t
49
+ Với 1 thì D 4; 3;0
: (Gv Văn Phú Quốc 2018) không thỏa vì AB CD 7 .
t
33 164 51 48
+ Với t thì D
; ;
(thỏa mãn).
49 49 49 49
Câu 39: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
2 2 2
S : x y z 4y 2z
4 0 và mặt phẳng : x y 2z
8 0
đúng?
A. cắt (S) theo một đường tròn.
B. tiếp xúc với (S).
C. quâ tâm I của (S).
D. và (S) không có điểm chung.
Đáp án D
(S) có tâm I 0; 2;1
và bán kính R 3 .
2 2 8 4 6
d , R 3.
6 3
Ta có I
Vậy
không cắt mặt cầu (S).
. Mệnh đề nào sau đây

Câu 40: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz, cho hình lập phương
ABCD.A’B’C’D’ sao cho
sau: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
(I).
(II).
x y z a
0
x y z 2a
0
Hãy chọn mệnh đề đúng.
A O0;0;0 , B a;0;0 , D0; a;0 , A' 0;0;
a
là phương trình mặt phẳng (A’BD).
là phương trình mặt phẳng (CB’D).
A. Chỉ (I). B. Chỉ (II).
C. Cả hai đều sai. D. Cả hai đều đúng.
Đáp án D
Thay các tọa độ
(I) đúng.
A' 0;0; a, B a;0;0 , D0; a;0
Tương tự như vậy ta chứng minh được (III) đúng
. Xét các mệnh đề
vào phương trình ở (I) thấy thỏa. Cho nên
Câu 41: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz, cho
A1;1;0 , B 0;2;1
C và vuông góc với mặt phẳng (ABC).
ABC
và trọng tâm G 0;2; 1
. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm
có
x
1
t
x
1
t
x
1
t
A. y
3 t B. y 3 t C. D.
3
z
4
y
t
z
4
z
4 t
Đáp án D
Do G là trọng tâm ABC nên C 1;3; 4
AB 1;1;1 , AC 2;2; 4
Ta có
x
1
t
y
3 t
z
4
Đường thẳng qua G nhận u AB; AC 6; 6;0
nên có phương trình là
x
1
t
y
3 t
z
4
Câu 42: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz, viết phương trình tập hợp các điểm
M sao cho AMB 90
với A2; 1; 3 , B 0; 3;5
2 2
2
x y z
A. x 1 y 2 z 1 18. B.
C. x 1 y 2 z 1 3.
D.
2 2 2
1 2 1 18.
2 2
2
x y z
Đáp án A
Tập hợp các điểm M là mặt cầu đường kính AB.
Tâm I là trung điểm AB I 1; 2;1
Bán kính R IA 3 2
2 2 2
1 2 1 3.

2 2 2
Vậy phương trình mặt cầu nói trên là x 1 y 2 z 1 18
.
Câu 43: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
x 1 y 1 z 2
d : và mặt phẳng P : x 2y z 6 0 . Mặt phẳng (Q) chứa d và cắt (P)
1 1 2
theo giao tuyến là đường thẳng cách gốc tọa độ O một khoảng ngắn nhất. Viết phương
trình mặt phẳng (Q).
A. x y z 4 0
B. x y z 4 0
C. x y z 4 0
D. x y z 4 0
Đáp án C
Gọi H,I lần lượt là hình chiếu vuông góc của O lên (P) và .
Ta có d O,
OI OH . Dấu “=” xảy ra I H .
Đường thẳng OH qua 0;0;0 nhận n 1;2;1 làm vectơ chỉ phương nên có phương trình
x
t
là y
2t
z
t
O
Mặt phẳng (P) có phương trình: (Gv Văn Phú Quốc 2018) x 2y z 6 0 .
Từ hai phương trình trên suy ra t 1
H 1;2;1 .
Khi đó (Q) là mặt phẳng chứa d và đi qua H.
Ta có M 1;1;2 d , vectơ chỉ phương của d là u 1;1; 2 , HM 0; 1;1
.
Suy ra vectơ pháp tuyến của (Q) là n u; HM 1; 1; 1
Hơn nữa (Q) qua điểm M 1;1;2 nên (Q) có phương trình là: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
x y z 4 0

Câu 1:
(MEGABOOK-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường
x 1 y 2 z 3
thẳng d
1
:
x 1
kt
và d
2
: y t . Tìm giá trị của k để d1
cắt d2
.
1 2 1
z 1 2t
A. k 0
B. k 1
C. k 1
D.
Đáp án A
Giả sử
Mà
M d1
M 1 m;2 2m : 3
m
M d1 d2
M d 2 *
M d 2 *
1 m 1
kt 1
2 2m t 2 .
3 m 1 2t 3
m 0
Từ (2) và (3) thay vào (1) được k 0 .
t 2
1
k
2
Câu 2 (MEGABOOK-2018): Trong không gian vỏi hệ tọa độ Oxỵz, cho đường thẳng
x 1 y 2 z
: . Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A2; 3;1
2 1 2
H1; 3;2
A. H 3; 1; 2 B. H 1; 2;0 C. H 3; 4;4 D.
lên
Đáp án D
Ta có
H nên H1
2t; 2 t;2t .
Vì H là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng
Vì AH 3 2t;1 t;2t 1 ,u 2; 1;2
nên
Vậy H1; 3;2 .
nên AH.u 0.
22t 3 t 1 22t 1
0 t 1
Câu 3 (MEGABOOK-2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tất cả các giá
trị của tham số m để phương trình
2 2 2
x y z 4x 2my 6z 13 0
là phương trình của
mặt cầu.
A. m 0
B. m 0
C. m D. m 0
Đáp án B
Để phương trình
2 2 2
x y z 4x 2my 6z 13 0
2 2 2
4 m 3 13 0 m 0 m 0 .
là phương trình của mặt cầu thì

Câu 4 (MEGABOOK-2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxỵz, cho hai mặt phẳng
P : 2x ay 3z 5 0
với nhau.
và Q : 4x y a 4 z l 0. Tìm a để P và Q vuông góc
A. a 1
B. a 0
C. a 1
D.
Đáp án C
n P 2;a;3 , n Q 4; 1;0 a 4 .
Ta có:
P
Để và vuông góc với nhau thì
Câu 5
Q P Q
1
a
3
n .n 0 8 a 3a 12 0 a 1
(MEGABOOK-2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
A 1; 2; 3
và mặt phẳng P : 2x 2y z 9 0 . Đường thẳng d đi qua A và có véctơ chỉ
phương u 3;4; 4
cắt P tại B. Điểm M thay đổi trong P sao cho M luôn nhìn đoạn
AB dưới góc
sau?
90 . Khi độ dài MB lớn nhất, đường thẳng MB đi qua điểm nào trong các điểm
K 3;0;15
J 3;2;7
A. H 2; 1;3 B. I 1; 2;3 C. D.
Đáp án B
Phương trình đường thẳng d là:
Bd B 1 3t;2 4t; 3 4t
x 1
3t
y 2 4t , t
z 3 4t
Mà BP 18t 18 0 t 1 B2; 2;1
Do
MAB
vuông tại
Để MB lớn nhất =>MA nhỏ nhất
2 2
M MB AB MA
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (P)
Xét
AHM
vuông tại H AM AH

Để MA nhỏ nhất M H MBlà giao tuyến của mặt phẳng với mặt phẳng (
P
là mặt phẳng chứa d và vuông góc với mặt phẳng P )
MB P
n
n P, ud
4;5;2 u n ,u 9 1;0;2
x 2 t
Vậy phương trình đường thẳng MB: y 2 .Thấy ngay điểm I1; 2;3
thỏa mãn.
z 1 2t
Câu 6:
(MEGABOOK-2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P : 2x 2y z 6 0.
bằng 3 .
Tìm tọa độ điểm M thuộc tia Oz sao cho khoảng cách từ M đến P
M 0;0;21
M 0;0;3
A. B.
M 0;0; 15
C. M 0;0;3 , M 0;0; 15
D.
Đáp án B
Vì M thuộc tia Oz nên M 0;0;z với z 0 .
M
M
Vì khoảng cách từ M đến mặt phẳng
Vì z 0 nên M 0;0;3 .
M
P
bằng 3 nên ta có
z 6
M
3
z 3
zM
15
M
3 .
Câu 7: (MEGABOOK-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng
x 1 y z 2
d :
2 1 1
và hai điểm
diện tích của tam giác ABC nhỏ nhất.
A 1;3;1 , B 0;2; 1 . Tìm tọa độ điểm C thuộc d sao cho
C1;1;1
C5; 2;4
A. C 1;0;2 B. C. C 3; 1;3 D.
Đáp án B
Ta có: Cd C1 2t; t;2 t
AB 1; 1; 2 , AC 2t; t 3; t 1
AB,AC
3t 7;3t 1; 3t 3
1 1 2 2 2 1 2
S
ABC
AB,AC
3t 7 3t 1 3t 3
27t 54t 59
2 2 2
1
2
2 2
Ta có: S 27t 54t 59 2 2 27t 54t 59 0 t 1 C1;1;1
ABC

Câu 8 (MEGABOOK-2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm
Điểm M thỏa mãn MA.MA 4MB.MB có tọa độ là.
A l;2;3 và B3; 12 .
5 7
1 5
A. M ;0; B. M 7; 4;1
C. M 1; ; D.
3 3
2 4
Đáp án B
2 1 5
M ; ;
3 3 3
4MB
Ta có MA.MA 4MB.MB MA .MB . Khi đó MA, MB cùng hướng.
MA
2 2
4
4
MA.MA 4MB.MB MA.MA 4MB.MB MA 2MB MA 2MB
Mà
Do MA 2MB và MA, MB cùng hướng nên MA 2MB
Gọi
M x; y;z
.Ta có:
1 x 2 3 x x 7
MA 2MB 2 y 2 1 y y 4 M 7; 4;1
3 z 2 2 z z 1
Câu 9 (MEGABOOK-2018)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm
và C3;4; 4 .
Giao điểm M của trục Ox với mặt phẳng ABC
là điểm
A l;l;l , B 2; 1;2
nào dưới đây?
M 1;0;0
M 2;0;0
M 3;0;0
M 1;0;0
A. B. C. D.
Đáp án C
Ta có: AB 1; 2;1 ,AC 2;3; 5 AB,CD
7;7;7 71;1;1
.
Vậy mặt phẳng đi qua điểm và có một VTPT là n 1;1;1 có phương trình
x y z 3 0
Vì
Mà
ABC
A1;1;1
M O x nên đặt M t;0;0
M ABC nên t 0 0 3 0 t 3
Câu 10 (MEGABOOK-2018): Mặt phẳng Oyz cắt mặt cầu
2 2 2
S : x y z 2x 2y 4z 3 0
theo một đường tròn có toạ độ tâm là:
0;1; 2
A. 1;0;0
B. 0; 1;2
C. 0;2; 4 D.
Đáp án A
S
Mặt cầu có tâm I 1;1; 2
, bán kính R 3 , phương trình
Oyz : x 0

Tâm đường tròn giao tuyến chính là hình chiếu của tâm I mặt cầu lên mp
hình chiếu đó là 1;0;0 .
Oyz Tọa độ
Câu 11: (MEGABOOK-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng
đi qua các hình chiếu của điểm
A 1;2;3
trên các trục tọa độ là:
y z
y z
A. x 2y 3z 0 B. x 0 C. x 1
D. x 2y 3z 1
2 3
2 3
Đáp án C
Hình chiếu của
Hình chiếu của
Hình chiếu của
Phương trình mặt phẳng
A1;2;3 lên trục Ox là M 1;0;0
A1;2;3 lên trục Oy là N0;2;0
A1;2;3 lên trục Ox là P0;0;3
P
cần tìm là
y z
x 1
2 3
Câu 12: (MEGABOOK-2018) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi
x y z
P : 1 a 0, b 0,c 0 là mặt phẳng đi qua điểm H1;1;2
và cắt Ox, Oy, Oz
a b c
lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho khối tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất. Tính
S a 2b c.
A. 15 B. 5 C. 10 D. 4
Đáp án A
Ta có: Aa;0;0 ,B0;b;0 ,C0;0,c ,VOABC
Vì
H
P
nên
1 1 1 1 1
a b c
Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương, ta có:
3
1 1 2
a b c 1 1 2
. . 2
3 a b c
Từ (1) và (2), suy ra
S a 2b c 15
1
abc
6
1 1 2 1 1 2
(dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi và 1 )
a b c a b c
2
abc , hay
27
4 4 1 1 2 1
V ;V a b 3,c 6
9 9 a b c 3
P

Câu 13: (MEGABOOK-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng
P : x 2y 2z 0
và điểm M 1;2;3
.Tính khoảng cách d từ M đến
P .
A. 3 B. 1 C. 3
D.
Đáp án B
Khoảng cách từ M đến
P
là:
1
4 6
d
1
2 2
1 2 2
2
1
3
Câu 14: (MEGABOOK-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho
Tọa độ điểm M thỏa mãn MA MB MC 0 là
Al; 1;0 , B0;2;0 , C2;1;3 .
3;2;3
A. 3;2; 3 B. 3; 2;3
C. 3; 2; 3 D.
Đáp án B
Gọi M x; y;z
Ta có MA MB MC 0 BA MC 0 BA CM
CM x 2; y 1;z 3 ,BA 1; 3;0
x 2 1 x 3
y 1 3 y 2 M 3; 2;3
z 3 0
z 3
Câu 15: (MEGABOOK-2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho
OA 2i 2j 2k, B 2;2;0 , C 4;1; 1 . Trên mặt phẳng Oxz , điểm nào dưới đây cách
đều ba điểm A, B, C [§ ­ î cph¸t hµnh bëi Dethithpt.com]
3 1
3 1
3 1
A. M ;0; B. N ;0; C. P ;0; D.
4 2
4 2 4 2
Đáp án C
3 1
Q ;0;
4 2
3 21
A 2;2;2 ,PA PB PC
4
Ta có
Câu 16:
(MEGABOOK-2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P : 2x y z 10 0
lần lượt tại M và N sao cho
x 2 y 1 z 1
và đường thẳng d : . Đường thẳng cắt P
và d
2 1 1
A 1;3;2
là trung điểm MN. Tính độ dài đoạn MN
A. MN 4 33 B. MN 2 26,5 C. MN 4 16,5 D. MN 2 33
Đáp án C

N2 2t;1 t;1
t
Vì N d N d, do đó
Mà
Vì
A 1;3;2
là trung điểm MN nên
xM 2xA x
N xM
4 2t
yM 2yA yN yM
5 t
zM 2zA z
N zM
3
t
M P
M P ,
do đó 24 2t 5 t 3 t
10 0 t 2
Suy ra M 8;7;1 , N6; 1;3
VẬY MN 2 66 4 16,5
Câu 17:
(MEGABOOK-2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm
A1;2; 4 , B1; 3;1 ,C2;2;3 .
Tính đường kính l của mặt cầu S
đi qua 3 điểm trên và có
tâm nằm trêm mặt phẳng Oxy
Đáp án C
A. l 2 13 B. l 2 41 C. l 2 26 D. l 2 11
Gọi tâm mặt cầu Ix; y;0
2 2 2 2 2 2
IA
IB x 1 y 2 4 x 1 y 3
1
IA
IC
x 1 y 2 4 x 2 y 2
3
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
y 2 4 y 3 1
2 2
x 2x 116 x 4x 4 9
10y 10 y 1
2 2 2
l 2R 2 3 1
4 2 26
2y 4 x 2
Câu 18 (MEGABOOK-2018)Tìm khoảng cách từ điểm M 2;3;1 đến đường thẳng
x 2 y 1 z 1
d :
1 2 2
50 2
10 2
200 2
A. B. C. D.
3
3
3
Đáp án B
Đường thẳng d đi qua M0
1; 1;1
có vecto chỉ phương a 1;2; 2
M M 4;2;2 , khoảng cách từ điểm M 2;3;1 đến đường thẳng d là
0
d M,d
a
M0M,a 10 2
3
25 2
3

Câu 19: (MEGABOOK-2018) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M 3;2;l .
Mặt phẳng P đi qua M và cắt các trục toạ độ Ox,Oy,Oz lần lượt tại các điểm A, B, C
không trùng với gốc toạ độ sao cho M là trực tâm của tam giác ABC. Trong các mặt phẳng
sau, tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng (P).
A. 3x 2y z 14 0 B. 2x y 3z 9 0 C. 3x 2y z 14 0 D. 2x y z 9 0
Đáp án A
Gọi Aa,0;0 , B0;b,0 ,C0;0;c
Phương trình mặt phẳng
Vì
P
P có dạng
x y z 1a.b.c 0
a b c
qua M nên
MA a 3; 2; 1 ,MB 3; 2; 1 , BC 0; b;c ,AC a;0;c
Ta có
Vì M là trực tâm của tam giác ABC nên
1
Từ và 2 suy ra
14 14
a , b ,c 14.
3 2
Khi đó phương trình P : 3x 2y z 14 0
Câu 20:
MA.BC 0 2b c
2
MB.AC 0 3a
c
(MEGABOOK-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho đường
x 1 y 2 z 1
thẳng d : ,A2;1;4 .
Gọi Ha,b,c
là điểm thuộc d sao cho AH có
1 1 2
độ dài nhỏ nhất. Tính
3 3 3
T a b c
A. T 8
B. T 62
C. T 13
D. T 5
Đáp án B
x 1
t
z 1 2t
Phương trình tham số của đường thẳng d : y 2 t t
H d H 1 t;2 t;1
2t
2
Độ dài
2 2 2 2
AH 1 t 1 t 2t 3 6t 12t 11 6 t 1 5 5
Độ dài AH nhỏ nhất bằng
5 khi t 1
H2;3;3
Vậy
3 3 3
a 2;b 3;c 3 a b c 62

Câu 21: (MEGABOOK-2018) Cho hình bình hành ABCD với
A2; 4; 2 , B1;1; 3 , C 2;0;5 , D 1;3;4 .
Diện tích của hình bình hành ABCD bằng:
A. 245 đvdt B. 615 đvdt C. 2 731đvdt D. 345 đvdt
Đáp án C
AB 1; 2; 1 ,BC 3; 1;8 , AB, BC
23;11;9 .
Ta có
S 2S AB,BC 2 731.
ABCD
ABC
Câu 22: (MEGABOOK-2018) Trong không gian cho
Phương trình đường thẳng AB là:
x
A. 1 y 1 z 2
x
B.
1 y 1 z 2
1 2 2
1 2 2
x
C. 1 y 1 z 2
x 2 y 1 z
D.
1 2 2
1 2 2
Oxyz,
A 1;1;2 ,B 2; 1;0 .
Đáp án D
Đường thẳng AB qua B 2; 1;0
và véc tơ chỉ phương là AB 1; 2; 2 1;2;2
có
phương trình là x 2 y
1
z .
1 2 2
Câu 23: (MEGABOOK-2018) Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng
P : 2x y z 0, Q : x z 0.
P
Giao tuyến của hai mặt phẳng và Q có một vectơ chỉ
phương là:
A. a 1;0; 1
B. a 1; 3;1
C. a 1;3;1 D.
a 2; 1;1
Đáp án C
P : 2x y z 0
có véc tơ pháp tuyến n1
2; 1;1 ; Q : x z 0 có véc tơ pháp tuyến
n 1;0; 1 .
2
P
Q
Giao tuyến của hai mặt phẳng và có một véc tơ chỉ phương là
u
n
1,n2
1;3;1 .
Câu 24: (MEGABOOK-2018) Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng
P : 3x my z 7 0,
nhau khi m bằng:
Q : 6x 5y 2z 4 0 . Hai mặt phẳng và Q song song với
P
5
A. m 4
B. m C. m 30
D.
2
Đáp án B
5
m 2

3 m 1 7 5
P / / Q m .
6 5 2 4 2
3
Câu 25 (MEGABOOK-2018)Trong không gian Oxyz, cho điểm A ;0;0 và mặt cầu
2
2 2 2
S : x y z 2x 3 0 . M là điểm bất kỳ trên mặt cầu S , khoảng cách AM nhỏ nhất
là:
5
1
3
A. B. C. D.
2
4
2
Đáp án D
S
Mặt cầu có tâm I 1;0;0 và bán kính R 2.
1
2
Ta có:
AI R AM AI R
. Do đó khoảng cách AM nhỏ nhất là:
3
1
AM AI R 1 0 0 2 .
2
2
2
Câu 26 (MEGABOOK-2018)Trong không gian cho điểm A 1;0; 1
và đường
thẳng
Oxyz,
x 1 y 1 z
d : . Tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng d là:
2 2 1
1 2 7
7 2 1
A. A ' ; ; B. A ' 1; 2;1
C. A ' ; ; D. A ' 3;4; 1
3 3 3
3 3 3
Đáp án C
u 2;2; 1 .
Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương
Gọi H 1 2t; 1 2t; t d
là tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên d.
AH 2t; 1 2t; t 1 , AH u 2.2t 2 1 2t 1 t 1 0 9t 3 0
1 5 1 1
t H ; ; .
3 3 3 3
A’ đối xứng với A qua d H là trung điểm của AA’
10 7
1 xA'
xA'
3
3
2 2 7 2 1
0 yA'
yA'
A ' ; ;
3 3 3 3 3
2 1
1 zA'
zA'
3
3
Câu 27 (MEGABOOK-2018)Trong hệ trục toạ độ Oxyz, cho
A l;2;3 ,B l;0; 5 , P : 2x y 3z 4 0. Tìm M P sao cho A, B, M thẳng hàng.

A. M 3;4;11 B. M 2;3;7 C. M 0;1; 1 D. M 1;2;0
Đáp án C
Phương trình
M
x 1
t
qua A1;2;3
AB :
x 2 t , t
VTCP AB 2; 2; 8 21; 1; 4
z 3 4t
P sao cho A, B, M thẳng hàng
M AB P
M AB M 1 t;2 t;3 4t .M P 21 t 2 t 33 4t
0 t 1.
Vậy M 0;1; 1 .
Câu 28: (MEGABOOK-2018) Trong không gian Oxyz, cho ba véctơ
a 1; 10 ,b 1; 1;0 , c 1; 1; 1 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. b c
B. c 3
C. a 2
D. b a
Đáp án A
b.c 2 0 b,c
không vuông góc với nhau.
Câu 29: (MEGABOOK-2018) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng
P : 2x y z 3 0
với
P
là:
và điểm A1; 2;1 .
Phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc
1
2t
x 1
2t
x 2 t
A. y 2 4t B. y 2 2t C. y 1
2t D.
z 1 3t
z 1 2t
z 1 t
Đáp án D
Đường thẳng
x 1
2t
qua A1; 2;1 .
:
y 2 t.
VTCP nP
2; 1;1
z 1
t
x 1
2t
y 2 t
z 1 t
Câu 30 (MEGABOOK-2018)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm
A9; 3; 5 , Ba;b; c .
phẳng toạ độ
Gọi M, N, P lần lượt là giao điểm của đường thẳng AB với các mặt
Oxy , Oxz và Oyz .
Biết M, N, P nằm trên đoạn AB sao cho
AM MN NP PB. Giá trị của tổng a b c là: [§ ­ î cph¸t hµnh bëi Dethithpt.com]
A. 21
B. 15
C. 15 D. 21
Đáp án B

x 9 9 a t
Đường thẳng AB y 3 3 b
t.
z 5 5 c
t
Từ điều kiện M, N, P AB và AM MN NP PB.
M, N, P là trung điểm của AB, AN và BN
9 a 3 b 5 c
9 3 5
9 a 3 b 5 c
N ; ; , M 2 ; 2 ; 2
2 2 2 2 2 2
9 a 3 b 5 c
a b c
M 2 ; 2 ; 2
2 2 2
Mà
5 c
5
2
0
M O xy
2
a 3
3 b
N O xz
0 b 3 .
2
P Oyz
c 15
9 a
a
2
2
Vậy
a b c 15.
Câu 31: (MEGABOOK-2018) Trong hệ tục toạ độ không gian
Oxyz,
A 1;0;0 ,B 0;b;0 ,C 0;0;c , biết b,c 0, phương trình mặt phẳng P : y z 1 0. Tính
M b c biết ABC P ,d O; ABC
Đáp án D
1 5
A. 2 B. C. D. 1
2 2
Phương trình mặt chắn
ABC
là:
1 1
ABC P 0 b c.
b c
1
3
x y z
1.
1 b c
1 1 1
d O; ABC 9 1 2 b c
2 2
1 1
3 b
1
b c
2
cho

1
b , do đó b,c 0 nên
2
1
b c .M b c 1.
2
Câu 32 (MEGABOOK-2018)Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho tứ diện ABCD với
2;3; 2 ,B6; 1 2
A ; ,
sao cho tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất.
C l; 4;3 , D l;6; 5 . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng CD
M 1;1;0
M 1;1; 1
A. B. M 0;1; 1 C. M 1;1; 1 D.
Đáp án B
Ta có:
2
2 2 2 2 2
AC 3 7 1 59, AD 3 7 1 59 ACD
cân tại A
2 2 2 2 2
BC 3 7 5 83, BD 3 7 5 83 BCD
cân tại B
2
Từ đó gọi M là trung điểm của CD ta có AM CD,BM CD. Do đó chu vi ABM
là
p AB AM BM AM BM
min
điểm cuả CD hay M 0;1; 1
min
(vì AB không thay đổi), tức là khi M là trung
Câu 33: (MEGABOOK-2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho vecto
AO 3 i 4j 2k 5j.
Tìm tọa độ điểm A
A3; 2;5
A. A 3;5; 2 B. A 3; 17;2 C. A 3;17; 2 D.
Đáp án B
AO 3 i 4j 2k 5j AO 3i 2k 17j OA 3i 2k 17j A 3; 17;2
Câu 34: (MEGABOOK-2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường
x 1
t
thẳng d : y 2 t t
và mặt phẳng P : x 3y z 1 0. Khẳng định nào sau đây
z 1 2t
đúng?
A. d vuông góc với P
B. d nằm trong
P
C. d cắt và không vuông góc với P
D. d song song với
P
Đáp án D
u
1; 1;2 , n 1;3;1
Ta có
d
Ta có u .n 1 3 2 0
d
P
P

d / / P
Suy ra 1
d P
Mặt khác lấy A 1;2;1 d
thay vào phương trình mặt phẳng P thấy không thảo mãn (2)
Từ (1) và (2) có
d / / P
Câu 35: (MEGABOOK-2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
2 2 2
S : x 2 y 1 z 4
10
tiếp diện của S
tại M 5;0;4 . Tính góc giữa P , Q
và mặt phẳng P : 2x y 5z 9 0. Gọi Q là
A. 60 B. 120 C. 30 D. 45
Đáp án A
Mặt phẳng
P có VTPT n
P 2;1; 5
Mặt cầu có tâm I 2; 1;4 ,R 10. Suy ra nhận IM 3;1;0 làm VTPT
suy ra góc giữa
S
Q
P , Q
và
IM.n
P 6 1 1
cos P , Q cos 60
IM . n P 10. 10 2
Câu 36: (MEGABOOK-2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường
x 3 y 1 z 3
thẳng d : và mặt phẳng P : x 2y z 5 0. Tìm tọa độ giao điểm M
2 1 1
của đường thẳng d và mặt phẳng P
7 5 17
A. M 1;0;4
B. M 1;0; 4
C. M ; ; D.
3 3 3
M 5; 2;2
Đáp án A
Xét hệ
x 3 y 1
2 1
x 3 y 1 z 3
x 2y 1 x 1
x 3 z 3
2 1 1 x 2z 9 y 0 M 1;0;4
2 1
x 2y z 5 0 x 2y 5 0 z 4
x 2y 5 0 z
z

Câu 37: (MEGABOOK-2018) Cho hai mặt phẳng
: x 2y z 4 0,
: x 2y 2z 4 0 và hai điểm M 2;5; 1 , N6;1;7 .
Tìm
điểm I trên giao tuyến hai mặt phẳng , sao cho IM IN nhỏ nhất
62 35 124
A. I ; ; B. I2;3;3
C. I0; 2;0
D. Điểm khác
29 29 29
Đáp án A
Vecto pháp tuyến của : n
1; 2;1 ,
của : n
1;2; 2
VTCP của
là
u n , n
2;3;4
Một điểm trên giao tuyến là K 0; 2;0
Phương trình tham số của
x
2t
: y 2 3t
z
4t
Gọi I là trung điểm của MN, ta có I2;3;3
AM AN 2AI AM AN 2AI.
vậy
AM AN
nhỏ nhất khi AI nhỏ nhất
Mà A
nên AI nhỏ nhất khi AI
A A 2t; 2 3t;4t IA 2t 2;3t 5;4t 3
31
IAu 0 2 2t 2 3 3t 5 4 4t 3 0 t
29
VẬY
62 35 124
A ; ;
29 29 29
Câu 38: (MEGABOOK-2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm
M 2;1;4
x 1
t
và đường thẳng : y 2 t . Tìm điểm H thuộc sao cho MH nhỏ nhất
z 1 2t
H2;3;3
H3;4;5
H1;2;1
H0;1; 1
A. B. C. D.
Đáp án A

H H 1 t;2 t;1
2t
MH t 1; t 1;2t 3
có VTCP n 1;1;2
MH nhỏ nhất MH MH n MH.n 0
Vậy H2;3;3
Câu 39 (MEGABOOK-2018)Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp
ABCD.A’B’C’D’. Biết tọa độ các đỉnh
độ điểm A’ của hình hộp
A 3;2;1 ,C 4;2;0 , B' 2;1;1 ,D' 3;5;4 . Tìm tọa
A ' 3;3;3
A. A ' 3;3;1 B. A ' 3; 3;3 C. A ' 3; 3; 3 D.
Đáp án D
Gọi I là trung điểm
Gọi J là trung điểm
Ta có IJ 0;1;2
1 1
AC I ;2;
2 2
1 5
B'D' J ;3;
2 2
Ta có
xA'
3 0 xA'
3
AA ' IJ yA'
2 1 yA'
3
zA'
1 2
zA'
3
Vậy A ' 3;3;3
Câu 40 (MEGABOOK-2018)Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường
x 3 2t
x 4 y 2 z 4
thẳng 1
y 1
t và 2
: . Khẳng định nào sau đây đúng?
3 2 1
z 1 4t
1
2
1
2
A. và chéo nhau và vuông góc nhau B. cắt và không vuông góc với
C. cắt và vuông góc với D. và song song với nhau
Đáp án C
1
2
1
2

x 4 3t '
Phương trình tham số của 2
y 2 2t '
z 4 t '
Vecto chỉ phương của
Do
1 2
lần lượt là u 2; 1;4 , u 3;2; 1
1,
2
u .u 2.3 1 .2 4 1 0
nên
1 2
1 2
Xét hệ phương trình
3 2t 4 3t ' 2t 3t ' 1
t 1
1 t 2 2t ' t 2t ' 3
t ' 1
1 4t 4 t ' 4t t ' 5
Vậy
1
cắt và vuông góc với 2
Câu 41 (MEGABOOK-2018)Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
x 1 y z 5
d : và mặt phẳng P : 3x
2y 2z
6 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?
1 3 1
A. d vuông góc với P
B. d nằm trong
P
C. d nằm trong và không vuông góc với P
D. d song song với
P
Đáp án C
Ta có u
1; 3; 1 , n 3; 3;2
điểm A 1;0;5
thuộc D
Vì
Vì
d
d
u ,n
d
P
u .n 0
P
P
không cùng phương nên d không vuông góc với
nên d không song song với
P
P [§ ­ î cph¸t hµnh bëi Dethithpt.com]
Vì A d
nhưng không nằm trên P nên d không nằm trong
P
Do đó d cắt và không vuông góc P
Câu 42: (MEGABOOK-2018) Cho mặt phẳng
2 2 2
P : 2x
2y 2z15 0
và mặt cầu
S : x y z 2y 2z
1 0. Khoảng cách nhỏ nhất từ một điểm thuộc mặt phẳng P
đến một điểm thuộc mặt cầu S là
3 3
3
A. B. 3
C. D.
2
2
3
3
Đáp án A

S
Mặt cầu có tâm I 0;1;1 và bán kính R 3.
Gọi H là hình chiếu của I trên
P
và A là giao điểm của IH với
S .
Khoảng cách nhỏ nhất từ một điểm thuộc mặt phẳng P đến một điểm thuộc mặtcầu S là
đoạn
3 3
AH,AH d I, P
R
2
Câu 43: (MEGABOOK-2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P : 3x
4y 2z 4 0 và điểm A1; 2;3 .
Tính khoảng cách d tùe điểm A đến mặt phẳng
P
5
5
5
A. d
B. d
C. d
D.
9
29
29
d
5
3
Đáp án C
d A, P
3.1 4. 2 2.3 4 5
2 2 2
3 4 2 29
Câu 44: (MEGABOOK-2018) Cho tam giác ABC với A1;2; 1 , B2; 1;3 , C4;7;5 .
Độ dài phân giác trong của tam giác ABC kẻ từ đỉnh B là
2 74
2 74
2 73
A. B. C. D.
5
3
3
2 30
Đáp án B
Gọi
D a, b,c
là chân đường phân giác kẻ từ B
Ta có:
2
a
2a 1
a 4 3
BA AD
1 1
11 2 74
AD CD 2b 2
b 7 b BD
BC CD
2 2
3 3
2c 1
c 5 c 1
Câu 45 (MEGABOOK-2018)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng
x y z 1
: x y 2z l và đường thẳng : . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
1 2 1
bằng
A. 30 B. 60 C. 150 D. 120

Đáp án A
n 1;
1;2 , u
1;2; 1
Ta có
1
2 2 1
sin ,
,
30
6 6 2
Suy ra
Câu 46: (MEGABOOK-2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương
trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm
A 1; 2; 3 ,B( 2; 3;l)
.
x 1
t
x 2 t
x 1
t
A. y 2 5t B. y 3 5t C. y 2 5t D.
z 3 2t
z 1 4t
z 3 4t
x 3 t
y 8 5t
z 5 4t
Đáp án D
AB 1; 5;4
Ta có
Đường thẳng AB có vecto chỉ phương
AB 1; 5;4
nên loại đáp án A, B
1 1
t t 0
Hay tọa độ A1; 2; 3
vào đáp án C được 2 2 5t 3 hay điểm A không thuộc
t
3 3 4t
2
đường thẳng ở đáp án C, còn lại đáp án D
Câu 47 (MEGABOOK-2018)Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi I là tâm mặt
cầu đi qua bốn điểm
OI.
A 2; 3; 1 , B 1;2;1 , C 2;5;l , D 3;4;5 . Tính độ dài đoạn thẳng
133
123
A. B. 6
C. D.
2
3
41
3
Đáp án C
Gọi
Ia;b;c
là tâm mặt cầu đi qua 4 điểm A2; 3; 1 ,B1;2;1 ,C2;5;l ,D3;4;5 .
Ta có IA IB IC ID
2 2 2
IA a 2 b 3 c 1
2 2 2
IB a 1 b 2 c 1
2 2 2
IC a 2 b 5 c 1
2 2 2
ID = a 3 b 4 c 5

Từ
Từ
Từ
IA IB 6a 2b 4c 81
IA IC 4b 4c 162
IA ID -2a 2b 12c 363
7 5 7
Giải hệ 1 , 2 , 3
ta được a , b ,c . Vậy
3 3 3
2 2 2
7 5 7 123
OI
3 3 3 3
Câu 48: (MEGABOOK-2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm
M 1;2;3 . Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu của M trên các trục Ox, Oy, Oz. Viết phương
trình mặt phẳng ABC
A. 3x 2y z 6 0 B. x 2y 3z 6 0 C. 2x y 3z 6 0 D.
6x 3y 2z 6 0
Đáp án D
Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu của M trên các trục Ox, Oy, Oz.
Suy ra A1;0;0 , B0, 2,0 ,C0;0;3
x y z
Phương trình ABC : 6x 3y 2z 6 0
1 2 3
Câu 49: (MEGABOOK-2018)Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P : x y z 1 0. Một phần tử chuyển động thẳng với vận tốc không đổi từ Al; 3;0
đến
gặp mặt phẳng (P) tại M, sau đó phần tử tiếp tục chuyển động thẳng từ M đến
B 2;l; 6
với vận tốc như lúc trước. Tìm hoành độ của M sao cho thời gian phần tử chuyển động từ A qua
M đến B là ít nhất
cùng
4
5
16
A. B. C. D.
3
3
9
1
Đáp án C
Ta có A, B nằm cùng phía so với mặt phẳng P
Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua mặt phẳng P

Thời gian phần tử chuyển động từ A qua M đến B là ít nhất khi và chỉ khi
M A 'B P
Phương trình tham số
x 1
t
AA ': y 3 t
z
t
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên
P
Tọa độ H là nghiệm của phương trình
x 1
t
y 3 t
z
t
x y z 1 0
1 4 8 1
1 t 3 t
t 1 0 t H ; ;
3 3 3 3
Phương trình tham số
x 2 t
A 'B : y
1 10t
z 6 20t
M A 'B P
suy ra tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình
x 2 t
y
1 10t
z 6 20t
x y z 1 0
2
9t 2 0 t
9

16
Vậy x
9
Câu 50: (MEGABOOK-2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho
A( 1;2;3 ), B 3; 4;4 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho khoảng cách từ điểm A đến
mặt phẳng
Đáp án B
2x y mz 1 0
bằng độ dài đoạn thẳng AB.
A. m 2 B. m 2
C. m 3
D. m 2
Ta có AB 31 2 4 2 2 4 3 2
31
Khoảng cách từ A dến mặt phẳng P : 2x y mz 1 0
2.1 2 m.31 3m 3
d A; P 2
2 2 2 2
2 1 m 5 m
3m 3
AB d 3 9 5 m 9 m 1 m 2
2
5 m
2
Để 2
Câu 51 (MEGABOOK-2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng
P : x 2y 3z 5 0.
Véc tơ nào sau đây là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng P ?
A. n 1;2;3 B. n 1; 2;3
C. n 1;2; 3
D. n 1;2; 3
Đáp án D
Từ phương trình tổng quát của mặt phẳng P suy ra véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng P là
n 1;2; 3
.
Câu 52 (MEGABOOK-2018): Trong không gian với hệ tọa độ
x 3 t
x 2 y 1 z 3
d
1
: , d
2
: y 6 t . Mệnh đề nào sau đây đúng?
1 2 1
z 3
Oxyz , cho hai đường thẳng
A. d1
và d2
chéo nhau B. d1
và d2
cắt nhau C. d1
và d2
trùng nhau D.
1
song song với
Đáp án B
Đường thẳng
1
đi qua A 2;1; 3 và có một vec tơ chỉ phương là
1
Đường thẳng đi qua B 3;6; 3 và có một vec tơ chỉ phương là u 1;1;0
d
u 1; 2; 1
d
2
u .u 1;1; 1 0, AB 5;5;0 ; u .u . AB 0
Ta có:
1 2 1 2
2
d d2

Vậy và d cắt nhau.
d1
2
x 2 a
x 2 y 1 z 3
Cách 2: Có d
1
: y 1
2a
1 2 1
z 3 a
Xét hệ:
3 t 2 a 5 t a
t 5
6 t 1 2a t 2a 5 .
a 0
3 3 a a 0
Vậy hệ có nghiệm duy nhất.
Câu 53 (MEGABOOK-2018): Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz , cho điểm I1;2;1
và mặt phẳng P : 2x y 2z 7 0. Viết phương trình mặt cầu S có tâm I và tiếp xúc với
P
.
2 2 2
A. S : x 1 y 2 z 1 3 B.
C. S : x 1 y 2 z 1 3 D.
2 2 2
S : x 1 y 2 z 1 9
2 2 2
2 2 2
S : x 1 y 2 z 1 9
Đáp án D
Do mặt cầu S có tâm I và tiếp xúc với P nên
2. 1 1.2 2.1 7
R d I, P
3.
2 2
2 1 2
2
2 2 2
Vậy phương trình mặt cầu
S : x 1 y 2 z 1 9.
Câu 54 (MEGABOOK-2018): Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz , cho hai đường thẳng
x 1 y 2 z 1
d
1
: và mặt phẳng P : 3x y 2z 5 0. Tìm tọa độ giao điểm M của d
2 1 3
và P .
M 5;0;8
A. M 3; 4;4 B. M 5; 4; 4 C. M 3; 4; 4 D.
Đáp án C
Gọi
M a;b;c
là giao điểm của d và
P
a 1 b 2 c 2 a 2b 5 a 3
M d P
2 1 3 3b c 8 b 4
3a b 2c 5 0 3a b 2c 5 0
c 4
Vậy M 3; 4; 4
Cách khác:

Có d : y 2 t M 1 2t;1 2t;2 3t
1
x 1
2t
x 1 y 2 z 2
2 1 3
z 2 3t
M thuộc mặt phẳng
P
nên 31 2t 2 t 22 3t 5 0 t 2 M 3; 4; 4
Câu 55 (MEGABOOK-2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm
. Gọi S
là mặt cầu đường kính AB. Ax, By là hai tiếp tuyến với mặt
A 1;2;0 ,B 2; 3;2
cầu S và Ax By. Gọi M, N lần lượt là điểm di động trên Ax, By sao cho đường thẳng
MN luôn tiếp xúc với mặt cầu
S
. Tính giá trị của
AM.BN.
A. AM.BN 19
B. AM.BN 24 C. AM.BN 38 D. AM.BN 48
Đáp án A
Dựng hình lập phương nhận A, B là tâm của hình vuông của hai mặt đối
diện. Chọn tia Ax, By và M, N như hình vẽ.
AB 2 AB
AM BN .
2 2
Suy ra:
2
AB 38
AM.BN 19
2 2
Câu 56 (MEGABOOK-2018): Cho mặt phẳng
: x 2y mx m 3 0;
: x y 4z 3m 0.
số đo bằng 45 .
Tìm m để góc giữa hai mặt phẳng có
m 2
m 2
m 2
A.
22 B.
C. D.
22
m
22
m
m
7
7
7
Đáp án D
n
1;2;m , n 1; 1; 4 .
Ta có:
n
.n
1 2 4m 1 1
4m 1
cos cos45
2 2
2 2
n
.n
1 4 m . 1116 5 m .3 2
m 2
2
m
7
2 2
1 4m 3 5 m 1 4m 9 5 m 22
m 2
22
m
7

Câu 57 (MEGABOOK-2018). Trong không gian với tọa đọ Oxyz, cho hình chóp
ABCD.A’B’C’D’ có A (0;0;0), B (3;0;0), D (0;3;3) và D’ (0;3;-3). Tọa độ trọng tâm của
tam giác A’B’C’ là:
A. (2;1;-1) B. (1;1;-2) C. (2;1;-2) D. (1;2;-1).
Đáp án C
Gọi A ' a 1;a 2;a 3 , B' b 1;b 2;b 3 , Cc 1;c 2;c3
a1
0
2
a3
3
Do tính chất hình hộp ta có: AA ' DD' a 0 A ' 0;0; 3
b1 3 0 b1
3
BB' DD' b2 0 b2
0 B' 3;0; 3
b3 3
b3
3
c1 3 c1
3
DC AB c2 3 0 c2
3 C' 3;3;0
c3 0
c3
0
Tọa độ trọng tâm G của tam giác A'B'C là G 2;1; 2
Câu 58 (MEGABOOK-2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆
nằm trong mặt phẳng : x y z 3 0 đồng thời đi qua điểm M (1;2;0) và cắt đường
thẳng
x 2 y 2 z 3
d : . Một vectơ chỉ phương của ∆ là:
2 1 1
A. u
= (1;1;-2) B. u (1;0; 1).
C. u (1; 1; 2)
D. u (1; 2;1).
Đáp án A
Cách 1: Gọi A 2 2t;2 t;3 t d
là giao điểm của và d.
MA 1 2t; t;3
t vecto pháp tuyến của là n 1;1;1

MA n 0 1 2t t 3 t 0 t 1
Ta có:
MA1; 1;2 11;1; 2
u 1;1; 2
(Dethithpt.com)
Vậy
d
Cách 2: Gọi B d
Bd B 2 2t;2 t;3 t
B 2 2t 2 t 3 t 3 0 t 1
B0;1;2
BM 1;1; 2 u 1;1; 2
d
Câu 59. (MEGABOOK-2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
(S) đi qua điểm A (2;-2;5) và tiếp xúc với các mặt phẳng : x 1, : y 1,
: z 1.
Bán kính mặt cầu (S) bằng:
A.3. B.1 C.3 2 D. 33 .
Đáp án A
Gọi
I a;b;c
là tâm mặt cầu
Ta có:
a 1 b 1 *
a 1 c 1 **
a 1 2 a 2 2 b 2 2 c 5 2
***
b
c
* , **
b c 2 0
Từ
Xét b c
:
- Từ **
a
c
a c 2
- Với a c thay vào
Tương tự các trường hợp khác
a 4
*** b 4 R a 1 3
c 4
Câu 60. (MEGABOOK-2018)Trong không gian với hệ tọa đọ Oxyz, gọi (α) là mặt
phẳng chứa đường thẳng ∆ có phương trình x 2 y
1 z và vuông góc với mặt phẳng
1 1 2
: x y 2z 1 0 . Giao tuyến của (α) và (β) đi qua điểm nào trong các điểm sau:

Đáp án A
A. A (2;1;1). B. C (1;2;1). C. D (2;1;0) D. B (0;1;0).
Ta có vecto chỉ phương của đường thẳng
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng
là u 1;1;2
là n 1;1; 2
: x y 2z 1 0
x 2 y 1 z
Vì
là mặt phẳng chứa đường thẳng có phương trình và vuông góc
1 1 2
: x y 2z 1 0
với mặt phẳng nên có một vecto pháp tuyến là:
n u,n
4;4;0 41; 1;0 4.a (Dethithpt.com)
Gọi , suy ra d có vecto chỉ phương là ud
a, n
2;2;2 2 1;1;1
d
x 2 y 1 z
Giao điểm của đường thẳng có phương trình và mặt phẳng:
1 1 2
: x y 2z 1 0
là I3;2;2
Suy ra phương trình đường thẳng
Vậy A 2;1;1 thuộc đường thẳng d.
x 3
t
d : y 2 t
z 2 t
Câu 61 (MEGABOOK-2018). Trong không gian với hệ tọa đọ Oxyz, cho điểm M (a;b;c).
Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Điểm M thuộc Oz khi và chỉ khi a=b=0.
B.Khoảng cách từ M đến (Oxy) bằng c.
C. Tọa độ hình chiếu của M lên Ox là (a;0;0).
D. Tọa đọ OM
là (a;b;c).
Đáp án B
Ta có:
d M; Oxy
c
, nên mệnh đề B sai
Câu 62: (MEGABOOK-2018) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm
M 3;0;0 , N0;0;4 .
Tính độ dài đoạn thẳng MN
A. MN 10
B. MN 5
C. MN 1
D. MN 7
Đáp án B

2 2 2
MN 0 3 0 0 4 0 5
Câu 63: (MEGABOOK-2018) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai đường
x 2 y 2 z 1
thẳng d :
x y 4 z 2
và d ': . Mệnh đề nào sau đây đúng?
3 1 2
6 2 4
A. d / /d ' B. d d '
C. d và d’ cắt nhau D. d và d’ chéo nhau
Đáp án A
Đường thẳng d qua điểm M 2; 2; l
và có vectơ chỉ phương u 3;1; 2
Đường thẳng d'
qua điểm N0;4;2
và có vectơ chỉ phương u
' 6; 2;4 .
Ta có 3 1
2 nến
6 2 4
cùng phương. Lại có M( 2; 2;
1)
d '
Vậy d / /d '
Câu 64: (MEGABOOK-2018) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu
2 2 2
S : x y z 2x 4y 4z m 0 có bán kính R 5. Tìm giá trị của m
A. m 16
B. m 16
C. m 4
D. m 4
Đáp án B
a 1, b 2,c 2,d m
Theo giả thiết
2 2 2
R 5 a b c 5 9 m 5 m 16
Câu 65: (MEGABOOK-2018) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu
2 2 2
x 1 y 3 z
S : x y z 2x 4y 4z 16 0và đường thẳng d : . Mặt phẳng nào
1 2 2
trong các mặt phẳng sau chứa d và tiếp xúc với mặt cầu S
A. P : 2x 2y z 8 0
B.
C. P : 2x 11y 10z 35 0
D.
P : 2x 11y 10z 105 0
P : 2x 2y z 11 0
u, u '
Đáp án C
Đường thẳng d đi qua
M l; 3;0 .
Toạ độ điểm M chỉ thoả mãn phương trình mặt phẳng
trong phương án A và C.
Tính khoảng cách từ tâm I l; 2; 2
của (S) và so sánh với bán kính R 5 được đáp án C
đúng

Câu 66: (MEGABOOK-2018) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm
x 1 y 5 z
M 2; 2;1 , A1;2; 3
và đường thẳng d : . Tìm vectơ chỉ phương u
của
2 2 1
đường thẳng đi qua M, vuông góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A một khoảng
bé nhất
A. u 2;1;6 B. u 1;0;2 C. u 3;4; 4
D. u 2;2; 1
Đáp án B
Gọi
(P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với d.Phương trình cùa
P : 2x 2y z 9 0.
A trên
, P .
Ta có: K 3; 2; l
Gọi H,K lần lượt là hình chiếu vuông góc cùa
d A, AH AK Vậy khoảng cách từ A đến
đi qua có vectơ chỉ phương u l;0;2
M,K.
bé nhất khi A
Câu 67: (MEGABOOK-2018) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm
x 1 y 2 z
M 2; 3;1
và đường thẳng d : . Tìm toạ độ điểm M 'đối xứng với M qua d
2 1 2
Đáp án C
M ' 1; 2;0
A. M ' 3; 3;0 B. M ' 1; 3;2 C. M ' 0; 3;3 D.
Ta có phương trình mặt phẳng
P
đi qua M và vuông góc với d
2x 2 1y 3 2z 1
0 2x y 2z 9 0
Gọi I là giao điểm của đường tahửng d và
P ,
khi đó tạo độ I là nghiệm của hệ
x 1 y 2 z
2 1 2 I1; 3;2
2x y 2z 9 0
M’ đối xứng với M qua d thì I là trung điểm của MM’
M ' 0; 3;3

Câu 68: (MEGABOOK-2018) Trong không gian Oxyz, cho điểm I 2;6; 3
phẳng
: x 2 0; : y 6 0; : z 2 0 . Tìm mệnh đề sai?
/ /Oz
và các mặt
A. B. C. / / xOz D. qua I
Đáp án b
Vec tơ pháp tuyến của
là n 0;0;1
Ta có n.k 1 0 . Do đó
và Oz không song song.
k 0;0;1
Vec tơ chỉ phương của Oz là
Câu 69 (MEGABOOK-2018)Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng
P
có phương trình
x 2y z 4 0
và đường thẳng
x 1 y z 2
d : . Viết phương trình chính tắc của
2 1 3
đường thẳng nằm trong mặt phẳng P , đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng d.
x
A. 5 y 1 z 3
x
B.
5 y 1 z 3
1 1 1
1 1 1
x
C. 1 y 1 z 1
x
D.
1 y 1 z 1
5 1 3
5 1 3
Đáp án C
Gọi I là giao điểm của d và
P
. Tọa độ I là nghiệm của hệ:
x 1 y
2 1
x 1 y z 2
x 2y 1 x 1
y z 2
2 1 3 3y z 2 y 1
1 3
x 2y z 4 0 x 2y z 4 0 z 1
x 2y z 4 0
Ta có một vecto chỉ phương của như sau: u
u d;n
P
5; 1; 3
Vậy phương trình
x 1 y 1 z 1
d :
5 1 3
Chú ý: Do cắt d và nằm trong P nên phải đi qua I. Do đó ta có thể chọn được đáp
là C mà không cần tìm VTCP của .
Câu 71 (MEGABOOK-2018)Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với
A1;6;2 , B5;1;3 , C4;0;6 , D5;0;4
, viết phương trình mặt cầu tâm D tiếp xúc với mặt
phẳng ABC .

2
2
x 5 y z 4
A. x 5 y z 4
B.
223
2 2
C. x 5 y z 4
D.
223
2 2 2 4
2
2
x 5 y z 4
Đáp án D
Ta có: AB 4; 5;1
2 8
và
AC 3; 6;4
Khi đó AB,AC 14; 13; 9
Phương trình mặt phẳng
ABC
14x 1 13y 6 9z 2
14x 13y 9z 110 0
là:
2 2 2 8
446
223
14.5 13.0 9.4 110 4
2 2 2
14 13 9 446
Do đó R d D, ABC
Vậy phương trình mặt cầu tâm D tiếp xúc với mặt phẳng
ABC
là
x 5 y z 4
2 2 2 8
223
Câu 71 (MEGABOOK-2018)Trong không gian Oxyz, cho ba điểm
. Viết phương trình mặt phẳng ABC
.
A 2; 1;4 , B 2;2; 6 , C 6;0; 1
A. 5x 60y 16z 16 0
B. 5x 60y 16z 6 0
C. 5x 60y 16z 14 0
D. 5x 60y 16z 14 0
Đáp án C
AB 4;3; 10 ; AC 4;1; 5
Ta có
Do đó AB,AC 5; 60; 16
ABC
Vậy phương trình là: 5 x 6 60 y 0 16 z 1 0 hay 5x 60y 16z 14 0
Câu 72: (MEGABOOK-2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm
A1;0;1 , B1;2;1 , C4;1; 2
cho
MA MB MC
2 2 2
và mặt phẳng P : x y z 0 . Tìm trên P điểm M sao
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó M có tọa độ:
M 1;1;1
M 1;0; 1
A. M 1;1; 1 B. C. M 1;2; 1 D.
Đáp án D
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có G 2;1;0
Ta có
2 2 2 2 2 2 2
MA MB MC 3MG GA GB GC

Từ hệ thức trên ta suy ra: MA MB MC
2 2 2
đạt GTNN
MG đạt GTNN M là hình chiếu vuông góc của G trên P
Gọi d là đường thẳng qua G và vuông góc với P thì d có phương trình tham số là
x 2 t
y 1 t
z
t
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình M 1;0; 1
x 2 t t 1
y 1 t x 1
z t y 0
x y z 0
z 1
Câu 73: (MEGABOOK-2018) Trong không giam Oxyz, cho mặt phẳng
P
có phương
x 1 y z 2
trình 2x y 2z 1 0, đường thẳng d có phương trình . Gọi là góc
1 2 2
giữa đường thẳng d và mặt phẳng
P
. Tính giá trị
cos
6
65
9 65
A. cos
B. cos
C. cos
D.
9
9
65
Đáp án B
n 2;11;2 , u 1; 2;2
Ta có
P
d
2. 1 1. 2 2.2 4
sin cosn P;ud
2 2 2 2 2 2
2 1 2 . 1 2 2 9
4
cos
9
2 4 659
cos 1 sin 1
9
2
x k x k x k
2 2 2 x 2nn
3x m2
3k 4m
k 4n
Vì x 0;2018
0 2n 2018 0 n 1009

Câu 74: (MEGABOOK-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm
A 1;0;0 , B 0; 2;0 ,C 0;0; 5 .
Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt
phẳng ABC ?
1 1 1 1 1 1
A. n1
1; ; B. n2
1; ; C. n3
1; ; D.
2 5
2 5 2 5
Đáp án B
1 1
n4
1; ;
2 5
Cách 1: Ta có
AB 1; 2;0
AB.AC
10; 5; 2
AC 1;0; 5
1 1 1
n AB.AC 1; ;
10
2 5
Cách 2:
x y z
Theo công thức phương trình đoạn chắn ta có phương trình ABC : 1
1 2 5
Suy ra phương trình pháp tuyến của
ABC
là
1 1
n 1; ;
2 5
Câu 75: (MEGABOOK-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
x 1 y 2 z 3
d : và mặt phẳng P : mx 10y nz 11 0. Biết rằng mặt phẳng (P)
2 3 4
luôn chứa đường thẳng d, tính m n
A. m n 33. B. m n 33.
C. m n 21 D. m n 21
Đáp án D
Trên đường thẳng d, có M 1;2;3 ,u 2;3;4
Vì
d
0 d
n .u 0 2m 4n 30 m 27
M m 3n 9 n 6
0
P
P d
P
Vậy m n 21
Câu 76: (MEGABOOK-2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình
nào dưới đây là phương trình của mặt cầu tâm
I 3;2; 4
2
A. x 3 ( y 2) z 4 2. B.
và tiếp xúc với mặt phẳng Oxz
2
2
2 2 2
x 3 y 2 z 4 9

2 2 2
2
x 3 y 2 z 4
C. x 3 y 2 z 4 4
D.
2 2
( ) 16
Đáp án C
Vì mặt cầu tâm
I 3; 2; 4
và tiếp xúc với mặt phẳng Oxz nên R d I,Oxz
2 2
2 2 2
Vậy phương trình của mặt cầu là
x 3 y 2 z 4 4
Câu 77: (MEGABOOK-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình
mặt phẳng (P) đi qua điểm
M 3; 4;7
và chứa trục Oz
A. P : 3x 4z 0. B. P : 4x 3y 0. C. P : 3x 4y 0. D.
Đáp án B
OM 3; 4;7
Ta có
Vecto chỉ phương của trục Oz là k 0;0;1
Mặt phẳng (P) đi qua điểm
Vậy phương trình mặt phẳng
: 4y 3 0
M 3; 4;7
có vecto pháp tuyến n k,OM
4;3;0
P : 4x 3y 0.
P z .
Câu 78: (MEGABOOK-2018) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng
P : 6x 3y 2z 24 0 và điểm A2;5;l .
Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc H của A trên
(P).
H4;2;3
H4;2;3
A. B. H 4;2; 3 C. H 4; 2;3 D.
Đáp án D
Mặt phẳng
P có 1 vecto pháp tuyến n 6;3; 2
Đường thẳng AH qua A và vuông góc vưới P
Suy ra phương trình của đường thẳng AH là
x 2 6t
y 5 3t
z 1 2t
Suy ra H2 6t;5 3t;1
2t
Mà H P 62 6t 35 3t 21 2t
24 0 t 1
Vậy H4;2;3

Câu 79: (MEGABOOK-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
2
: 3mx 5 1 m y 4mz 20 0, m 1;1 . Biết rằng với mọi m 1;1
thì mặt
m
m
S
tâm của mặt cầu S
nằm trên mặt phẳng Oxz
phẳng tiếp xúc với một mặt cầu cố định. Tính bán kính R mặt cầu S biết rằng
Đáp án A
Gọi
A. R 4 B. R 5 C. R 3 D. R 2
Ix ;0;z , R lần lượt là tọa độ âm, bán kính của mặt cầu S
0 0
Ta có d I;
3mx
0
4mz0 20 3mx
0
4mz0
20
m
5
2
2 2
2
3m 5 1 m 4m
Vì tiếp xúc với S nên ta có
m
0 0
3mx
0
4mz0
20
R, m 1;1
5
3mx 4mz 20 5R, m 1;1
R 4
Câu 80 (MEGABOOK-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 điểm
AM
A3;2; 1 , B5;4;3
. M là điểm thuộc tia đối của tia BA sao cho 2 . Tìm tọa độ của
BM
điểm M.
13 10 5 5 2 11
A. 7;6;7
B. ; ; C. ; ; D.
3 3 3 3 3 3
13;11;5
Đáp án A.
M là điểm thuộc tia đối của tia BA sao cho
3
xM
5
2 x 7
2 zM
7
1
z
M
3
2
M
2 yM
4 yM
6 M 7;6;7
AM 2
BM
nên B là trung điểm của AM.

Câu 81: (MEGABOOK-2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P : x y z 1 a 0
cắt ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại 3 điểm A, B, C. Tính diện tích
a 2a 3a
V của khối tứ diện OABC.
3
3
3
A. V a
B. V 3a
C. V 2a
D.
V 4a
3
Đáp án A.
Ta có Aa;0;0 , B0;2a;0 , C0;0;3a OA a, OB 2a, OC 3a.
Vậy
1 1 1
V S
OBC.OA . .OB.OC.OA a
3 3 2
3
Câu 82: (MEGABOOK-2018) Với
2
m 1;0 0;1
, mặt phẳng
P : 3mx 5 1 m y 4mz 20 0 luôn cắt mặt phẳng Oxz
theo giao tuyến là đường
thẳng . Hỏi khi m thay đổi thì các giao tuyến có kết quả nào sau đây?
m
A. Cắt nhau B. Song song C. Chéo nhau D. Trùng nhau
Đáp án B.
2
Pm
có vector pháp tuyến n 3m;5 1
m ;4m
Oxz
có vector pháp tuyến j 0;1;0
m
m 0
cắt Oxz khi và chỉ khi hay
2
1 m 0
P
m
m 1;0 0;1
Suy ra vecto chỉ phương của giao tuyến
u
4m;0; 3m
cùng phương với vecto
m
là
u ' 4;0; 3 , m 1;0 0;1
Vì vecto u ' không phụ thuộc vào m nên các giao tuyến là song song với nhau.
Câu 83: (MEGABOOK-2018) Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho điểm I 0; 3;0
.
Viết phương trình của mặt cầu tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng Oxz .
2
2
2 2
A. x y 3 z 3
B.
2 2
C. x y 3 z 3
D.
Đáp án D.
m
2 2
x y 3 z 3
2
2
2 2
x y 3 z 9

Mặt phẳng
Oxz : y 0 nên d I, Oxz
3.
Vậy phương trình của mặt cầu là 2
2 2
x y 3 z 9
x y z 1
Câu 84: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d : 1 2 1
x 1 y 2 z
và d ' . Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa hai đường thẳng d và d’.
2 4 2
Q
A. Không tồn tại B.
C. Q : x y 2 0
D.
Đáp án B.
Q : y 2z 2 0
Q : 2y 4z 1 0
Ta có: Hai vector chỉ phương của hai đường thẳng là cùng phương nên hai đường thẳng luôn
đồng phẳng. (Dethithpt.com)
M 0;0; 1 d, M ' 1;2;0 d ' MM ' 1;2;1
Vector chỉ phương của đường thẳng d là u 1; 2; 1
Vector pháp tuyến của mặt phẳng Q : n MM ';u 0;2; 4
Phương trình mặt phẳng Q : y 2z 2 0.
Câu 85 (MEGABOOK-2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
: 2x 2y z 3 0 và điểm M 1; 2;13
. Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng
.
4
2
5
A. d M,
B. d M,
C. d M,
D. d M,
4
3
3
3
Đáp án A.
Ta có: d M,
2.1 2 2 13
3 4
4 4 1
3
Câu 86: (MEGABOOK-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
2 2 2
S : x 1 y 1 z 2 4 và điểm A1;1; 1
. Ba mặt phẳng thay đổi đi qua A và
đôi một vuông góc với nhau, cắt mặt cầu (S) theo ba giao tuyến là các đường tròn
C , C , C . Tính tổng diện tích của ba đường tròn C , C , C .
1 2 3
1 2 3

A. 4 B. 12 C. 11 D. 3
Đáp án C.
Mặt cầu
2 2 2
S : x 1 y 1 z 2 4 có tâm và bán kính R 2
Xét ba mặt phẳng thay đổi đi qua A và đôi một vuông góc với nhau, cắt mặt cầu (S) theo ba
giao tuyến là các đường tròn C , C , C lần lượt là P : x 1, P : y 1, P : z 1.
Gọi
r
1, r
2, r3
phẳng P 1, P 2 , P 3 .
1 2 3
1 2 3
lần lượt là bán kính của các đường tròn giao tuyến của mặt cầu (S) với ba mặt
P , P ,
Vì đi qua tâm I 1;1; 2 nên r r R 2, IA P nên
1 2
2 2 2 2
3 3
r R d I, P R IA 4 1 3
1 2 3
Tổng diện tích của ba hình tròn
C 1, C 2 , C3
là
S S S .r .r .r 11
2 2 2
1 2 3 1 2 3

Câu 1 ( Sở GD&ĐT Đà Nẵng2018): Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
A 6; 3; 1
và
B
2; 1; 7 . Phương trình mặt cầu đường kính AB là
2 2
2
x y z
A. x 4 y 2 z 3 42. B.
C. x 4 y 2 z 3 21. D.
Đáp án C.
2 2 2
2 1 4 21.
2 2
2
x y z
2 2 2
8 4 6 42.
2 2 2
Mặt cầu có tâm I 4; 2;3
và bán kính IA 2 1 4 21 nên phương trình mặt cầu
2 2 2
đường kính AB là x y z
4 2 3 21.
Câu 2 ( Sở GD&ĐT Đà Nẵng2018) Trong không gian Oxyz, tìm một véc tơ chỉ phương của
đường thẳng
x 2 y 5 z 8
d : .
5 8 2
A. u 5; 2;8 .
B. u 5; 8;2 .
C. u 8; 2; 5 .
D. u 2; 5;8 .
Đáp án B.
Là các véc tơ cùng phương với véc tơ 5;8; 2 .
Câu 3 ( Sở GD&ĐT Đà Nẵng2018): Trong không gian Oxyz, cho hai véc tơ a
b 3; 1;6 . Tính P a . b
.
2;4; 2
A. P 10.
B. P 40.
C. P 16.
D. P 34.
Đáp án A.
P a. b 2.3 4. 1 2 .6 10.
và
Câu 4 ( Sở GD&ĐT Đà Nẵng2018): Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng đi
qua ba điểm A 0; 1;2 , B 2;0;3 và C 1;2;0 là
A. 7x 5y 3z
1 0
B. 7x 5y 3z
11 0
C. 5x 3y 7z
17 0
D. 5x 3y 7z
11 0
Đáp án D.
AB 2;1;1 ; AC 1;3; 2 . Do đó
n AB; AC
5; 3; 7 .
Phương trình mặt phẳng ABC:
5x 3 y 1 7 z 2 0 5x 3y 7z
11 0.

Câu 5( Sở GD&ĐT Đà Nẵng2018): Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng
P : 3x y 3z
2 0 và Q : 4x y 2z
1 0.
Phương trình đường thẳng đi qua gốc
tọa độ O và song song với 2 đường thẳng (P) và (Q) là:
A. x
y
z . B. x y z x y z
. C. . D.
x
y z .
1 1 6
1 6 1
1 1 6
1 6 1
Đáp án D.
1; 2 3; 1; 3 ; 4;1;2 1;6; 1 .
Đường thẳng đó có véc tơ chỉ phương: u n n
Câu 6: ( Sở GD&ĐT Đà Nẵng2018) Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng
3 2 2 1 1 2
1
: x y z
,
2
:
x y z
d d
2 1 4 3 2 3
và mặt phẳng
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P), cắt và d có phương trình là
d1
2
x 7 y z 6
A. .
B.
1 2 3
C. x 4 y 3 z 1 .
D.
1 2 3
Đáp án B.
x 5 y 1 z 2
.
1 2 3
x 3 y 2 z 2
.
1 2 3
P : x 2y 3z
7 0.
Gọi M 2a 3; 2 a; 2 4a
thuộc
1
và N 1 3 b; 1 2 b;2 3b
thuộc d2
là 2 giao
d
điểm.
Ta có: MN
3b 2a 2;2b a 1;3b 4 a a . Vì MN cùng phương với n 1;2;3 nên
ta có:
3b 2a 2 2b a 1 3b 4a
4 a
1
1 2 3 b
2
M 5; 1;2 , điểm này thuộc đường thẳng ở đáp án B.
P
Câu 7 : ( Sở GD&ĐT Đà Nẵng2018) Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với
A1; 2;3 , B 4;0; 1
và C 1;1; 3
. Phương mặt phẳng (P) đi qua A, trọng tâm G của tam
giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC) là
A. 5x y 2z
3 0. B. 2y
z 7 0. C. 5x y 2z
1 0. D. 2y
z 1 0
Đáp án A.
(P) đi qua A và G nên (P) đi qua trung điểm của BC là điểm
Ta có:
5 5
AM
; ; 5
2 2
cùng phương với véc tơ
1;1; 2
3 1
M
; ;
2 .
2 2

Mặt phằng (ABC) có vác tơ pháp tuyến:
n1 AB; AC
5;2; 4 ; 0;3; 6
0; 30; 15
cùng phương với véc tơ
Vì (P) chứa AM và vuông góc với (ABC) nên (P) có véc tơ chỉ phương:
n( P)
1;1; 2 ; 0;2;1
5; 1;2 .
Ngoài ra (P) qua
A 1; 2;3
nên phương trình (P):
5 x 1 1 y 2 2 z 3 0 5x y 2z
3 0
0;2;1 .
Câu 8: ( Sở GD&ĐT Đà Nẵng2018) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(5;7;6) và
B(2;4;3). Trên mặt phẳng (Oxy), lấy điểm M(a;b;c) sao cho MA + MB bé nhất. Tính
2 3
P a b c
4 .
A. P = 134. B. P 122
. C. P 204
. D. P = 52.
Đáp án A.
Phương trình mặt phẳng (Oxy): z 0 c 0.
Lấy điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng (Oxy). Dễ thấy A
Ta có:
MA MB MA' MB A' B.
' 5;7; 6 .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M nằm giữa A’B, hay M
là giao điểm của A’B với mặt phẳng (Oxy).
Đường thẳng A’B có u 1;1; 3
và qua B 2;4;3 phương trình đường thẳng A’B:
x
2 t
y
4 t .
z
3 3t
M là giao của A’B và (Oxy) nên
M
3;5;0 . Do đó
2 3 4
P 3 5 0 134.
3 2
Câu 9 ( Sở GD&ĐT Đà Nẵng2018): Cho a, b,
c R sao cho hàm số y x ax bx c đạt
y
cực trị tại x = 3, đồng thời có 0 3 và y 3 3 . Hỏi trong không gian Oxyz, điểm
M a; b;
c
nằm trong mặt cầu nào sau đây?
2 2
2
x y z
A. x 2 y 3 z 5 130. B.
2 2
C. x y z 5 90.
D.
2 2 2
1 1 1 40.
2
x y z
2 2 2
5 7 3 42.
Đáp án D.
y
Từ 0 3 và y 3 3 , ta có:
c
3 c
3
27 9a 3b c 3 3a b 9
Hàm số đạt cực trị tại x = 3 nên
2
y ' 3 0 3.3 2 a.3 b 0 6a b 27.

Do đó a 6; b 9; c 3. Do đó: M 6;9;3 nằm trong mặt cầu ở đáp án D.
Chú ý: Điểm M nằm trong mặt cầu tâm I bán kính R khi và chỉ khi IM R.
Câu 10 (Sở GDĐT Bắc Giang -Lần 2)
Trong không gian với hệ tọa độ , mặt phẳng đi qua điểm M 3; 1;1
và vuông góc với
đường thẳng
x 1 y 2 z 3
:
3 2 1
Oxyz
có phương trình là
A. 3x 2y z 12 0. B. 3x 2y z 8 0 . C. 3x 2y z 12 0 .D. x 2y 3z
8 0 .
Đáp án A
Câu 11 (Sở GDĐT Bắc Giang -Lần 2): Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ
a 2;1; 3 , b 2;5;1
. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. a. b 4 . B. a. b 12
. C. a. b 6 . D. a. b 9 .
Đáp án C
Câu 12 (Sở GDĐT Bắc Giang -Lần 2): Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu
2 2 2
S x y z
: 1 2 3 1. Mặt cầu S có tâm I là
I
I
I
A. 1; 2;3
. B. 1;2; 3
. C. 1;2; 3
. D. I 1;2;3 .
Đáp án C
Câu 13 (Sở GDĐT Bắc Giang -Lần 2): Trong không gian , cho điểm A 1; 1;1
và hai
Oxyz
x 1 y z 3 x y 1 z 2
đường thẳng : , ': . Phương trình đường thẳng đi qua
2 1 1 1 2 1
điểm A và cắt cả hai đường thẳng , ' là
A. x 1 1 1
y
z . B.
6 1 7
x 1 1 1
C.
y z
. D.
6 1 7
Đáp án C
x 1 y 1 z 1
.
6 1 7
x 1 1 1
y
z .
6 1 7

Gọi đường thẳng cần tìm là MN
M , N '
M M 1 2 m; m;3
m
N ' N n; 1 2 n;2
n
A, M , N thẳng hàng
AM tỷ lệ
Mà AM 2 m; m 1;2
m
AN n 1; 2 n;1
n
AM
tỷ lệ
AN
AN
2m m 1 2 m
n 1 2n 1
n
2m
m 1
n
1 2n
4 m. n mx n m 1
2m 2 m 2m 2mn 2n mn 2 m
n 1 1
n
5mx m n 1 10mx 2m 2n
2
3mn m 2n 2 3mx m 2n
2
Lấy 2 phương trình trừ đi ta được: 13mn
m
TH1: m 0 AM 0;1;2
vtcp của MN là 0;1;2
m. 13n
1 0
m
0 TH1
1
n TH2
13
không đúng với đáp án loại.

1 12 2 14
TH2: m AN ; ;
13 13 13 13
vtcp của là 6; 1;7
.
MN
Câu 14 (Sở GDĐT Bắc Giang -Lần 2): Trong không gian
Oxyz , cho hai đường thẳng
1 1 2
d :
x
y
z
2 1 2
d
và
và tạo với đường thẳng
1 1
d ':
x
y
z . Phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng
1 2 1
d ' một góc lớn nhất là
A. x z 1 0. B. x 4y z 7 0 . C. 3x 2y 2z
1 0 . D.
x 4y z 7 0 .
Đáp án B
Nhận xét d và d ' có thể chéo nhau.
/ / d, P , d '
Kẻ
d ', d d ',
Lấy
M d ' , kẻ
MH P
d ',P MIH
sin MH
MI
MK
sin
MI
Mà MH MK sin sin

Vậy góc giữa ' và P là đạt GTLN là d ', d
d
2;1;2 . 1;2;1 6 6
cos d ', d
2 2 2 2 2 2
2 1 2 . 1 2 1
3 6 3
6 3
cos d ', P sin d ', P
sin cos 1
3 3
Vậy mặt phẳng
P
2 2
thỏa mãn
P
chứa d P
chứa
P chứa d n . u 0
sin
d ', P
E 1; 1;2
P
d
n . u
3 n . u 3
3 P d ' 3
P
d '
Mặt phẳng
P
thỏa mãn cả 3 điều kiện.
Câu 15 (Sở GDĐT Bắc Giang -Lần 2): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm
A0;1;2
: 4 0
2 2 2
, mặt phẳng x y z và mặt cầu S : x 3 y 1 z 2 16
.
P
A
P
Gọi là mặt phẳng đi qua , vuông góc với và đồng thời cắt mặt cầu S theo
giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tọa độ giao điểm M của P
và trục
x ' Ox
là
1
1
1
A. M ;0;0 . B. M ;0;0 . C. M 1;0;0
. D. M ;0;0 .
2
3
3
Đáp án A
r
nhỏ nhất
d I
S
IH
P
taâm I 3;1;2
:
R 4
lớn nhất
lớn nhất
M
Goi tọa độ có dạng M m;0;0
(vì M Ox
)
mặt phẳng P
chứa AM và
MA m;1;2
nP
3;2 m; m 1
n
1; 1;1
P
A
Mà mặt phẳng đi qua 0;1;2 Phương trình của P là

x m y m z
3 0 2 . 1 1 . 2 0
3x 2 m . y m 1 z 3m
0
3.3 2 m .1 m 1 .2 3m
r nhỏ nhất d I P
m m
2
2 2
3 2 1
lớn nhất
P 2
d I
9
2m
2m
14
lớn nhất
2
2m
2m
14
1 1
nhỏ nhất m ;0;0 .
2 M
2
Câu 16: (Sở GDĐT Bắc Giang -Lần 2)
Trong không gian , cho tam giác có A 2;3;3 , phương trình đường trung tuyến
Oxyz ABC
x
kẻ từ B là 3 y 3 z 2
, phương trình đường phân giác trong của góc C là
1 2 1
x 2 y 4 z 2
. Đường thẳng BC có một vectơ chỉ phương là
2 1 1
A. 2;1; 1
. B. 1;1;0 . C. 1; 1;0
. D. u 1;2;1 .
Đáp án C
u u
u
C thuộc đường CP
tọa độ C có dạng: C 2 2 t;4 t;2
t
x x
Gọi là M trung điểm của AC x A C
M
…
2
7 t 5 t
M t
2; ;
2 2
Thay tọa độ M vào phương trình đường thẳng BM ta được:

7 t 5 t
3 2
t 2 3 2 2
1 2 1
4t
4 t 1
t 1
C 4;3;1 ; M 3;3;2
2t
2 1
t
Cách 1:
AC 2;0; 2
u CP
2; 1; 1
6 3
cos AC,
CP
2 2. 6 2
ĐK: 3
cos BC,
AP .
2
Cách 2:
Tìm H là hình chiếu của A trên CP
Tìm A'
là đối xứng của A qua H A'
BC
Véc tơ chỉ phương của đường BC là CA'
.
Câu 17 ( Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa 2018): Trông không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
hai vecto a ( 1; 2; 0)
và b ( 2;3 ; 1)
. Khẳng định nào sau đây là sai
A. a.b 8
B. a b 1;1; 1
C. b 14 D. 2a 2; 4;0
Đáp án B
a.b 1. 2 2 .3 0.1 8
nên A đúng
Ta có a b 1;1;1
nên B sai
Ta có
Ta có
b 2 3 1 14
2 2 2
2a 2; 4;0
nên D đúng
nên C đúng
Câu 18 ( Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
mặt phẳng
P : z 2x 3 0.
Một vectơ pháp tuyến của P là:
A. u 0;1; 2
B. v 1; 2;3
C. n 2;0; 1
D. w 1; 2;0
Đáp án C
Vectơ pháp tuyến của P là n
2;0; 1
P

Câu 19( Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa 2018): Trong không gian Oxyz, phương trình mặt
cầu tâm
I( 1;0; 2)
và tiếp xúc với mặt phẳng
A. x 1 y 2 z 2 9
B.
P : x 2y 2z 4 0
2 2
2
C. x 1 y 2 z 2 3
D.
Đáp án A
Ta có
2 2
x 1 y z 2 3
2 2
2
1
4 4
d I; P
3
1
4 4
2
2 2
x 1 y z 2 9
2 2
x 1 y z 2 9
Câu 20 ( Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa 2018): Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
Tìm tọa độ độ điểm M thỏa mãn MA=3MB.
A1;3; 1 , B3; 1;5 .
5 13
7 1
A. ; ;1
B. 0;5; 4
C. ; ;3 D.
3 3
3 3
Đáp án D
Ta có
M
1 xM
3 3
xM
3 yM
3 1 y M 4; 3;8
1 zM
3 5 zM
4; 3;8
Câu 21 ( Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa 2018): Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,
cho các mặt cầu S , S , S có bán kính r 1
và lần lượt có tâm là các điểm
1 2 3
A 0;3; 1 , B 2;1; 1 ,C 4; 1; 1 . Gọi S là mặt cầu tiếp xúc với cả ba mặt cầu trên. Mặt
cầu S có bán kính nhỏ nhất là
A. R 2 2 1
B. R 10 C. R 2 2 D. R 10 1
Đáp án D
Mặt cầu tiếp xúc với cả ba mặt cầu trên là mặt cầu tiếp xúc ngoài với cả 3 mặt cầu trên. Gọi I
là tâm và R là bán kính mặt cầu cần tìm
abc
Ta có IA IB IC R 1 R
ABC
R R
ABC
1 1
4S
Mặt khác AB 2; 2;0 , AC 4; 4;0 AB.AC 0 suy ra ABC vuông tại A
Khi đó
BC
R
ABC
10 R 10 1
2
Câu 22 ( Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa 2018): Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,
x
cho điểm A2;-1;-2
và đường thẳng d có phương trình 1 y 1 z 1
. Gọi P là mặt
1 1
1

phẳng đi qua điểm A, song song với đường thẳng d và khoảng cách từ đường thẳng d tới mặt
phẳng P là lớn nhất. Khi đó, mặt phẳng P vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
A. x y z 6 0
B. x 3y 2z 10 0
C. x 2y 3z 1 0
D. 3x z 2 0
Đáp án D
Gọi
H 1 t;1 t;1
t là hình chiếu vuông góc cảu A trên d
AH 1 t;2 t;3 t .u 1 t 2 t 3 t t 0 H 1;1;1
Ta có
Khi dó
d d; P
AH
d
dấu “=” xảy ra
Suy ra
P
AH
P
n AH 1;2;3 P Q : 3x z 2 0
Câu 23 ( Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
4 điểm A7;2;3 , B1;4;3 , C1;2;6 , D1;2;3
và điểm M tùy ý. Tính độ dài OM khi biểu
thức
P MA MB MC 3MD
đạt giá trị nhỏ nhất.
A. OM 3 21 B. OM 26 C. OM 14 D.
4
5 17
OM
4
Đáp án C
Ta có AD 6;0;0 ,BD
0; 2;0 ,CD 0;0; 3 AD, BD,CD đôi một vuông góc
MA.DA MB.DB MC.DC
Khi đó P 3MD MA MB MC 3MD
DA DB DC
MA.DA MB.DB MC.DC DA DB DC
3MD 3MD MD
DA DB DC
DA DB DC DA DB DC
DA DB DC
3MD MD DA DB DC DA DB DC
DA DB DC
2 2 2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M D. Vậy M 1;2;3 OM 1 2 3 14
Câu 24 (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
mặt phẳng
P : 2x z 1 0.
Tọa độ một
P
là
véctơ pháp tuyến của mặt phẳng
A. n 2; 1;1
B. n 2;0;1 C. n 2;0; 1
D. n 2; 1;0
Đáp án C
n 2;0; 1
Ta có
P
Câu 25 (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018)

x 1 y 2 z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : . Mặt phẳng
1 1 2
đi qua điểm
M 2;0;1
và vuông góc với d có phương trình là
A. P : x y 2z 0 B. P : x y 2z 0 C. P : x y 2z 0 D.
Đáp án C
Ta có qua M 2;0; 1
và nhận u 1; 1;2
là một VTPT
P
P : x 2 y 2z 1
0 x 2y 2z 0
Câu 26: (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
vuông góc của điểm M trên mặt phẳng
d
Oyz
là
M 1; 2;3
A. A 0; 2;3 B. C. A 1; 2;3 D.
Đáp án A
P
P : x 2y 2 0
. Tọa độ điểm A là hình chiếu
A1;0;3
A1; 2;0
xA
0
A M
zA
zM
3
Ta có y y 2 A0; 2;3
Câu 27: (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M 2;1;0
và đường thẳng
x 1 y 1 z
: . Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M, cắt và vuông
2 1 1
góc với
là
x 2 t
x 2 t
x 1
t
A. d : y 1 4t B. d : y 1 t C. d : y 1 4t D.
z
2t
z
t
z
2t
Đáp án A
Giả sử d cắt và vuông góc với tại H 1 2t; 1 t; t
MH 2t 1; t 2; t , MH MH.u 2 2t 1 t 2 t 0
Khi đó:
2 1 4 2
6t 4t MH ; ; uMH
1; 4; 2
3 3 3 3
x 2 2t
d : y 1 t
z
t
Vậy
x 2 t
d : y 1 4t
z
2t

Câu 28: (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu
2 2 2
S : x 1 y 1 z 2 16
và điểm
A1;2;3
. Ba mặt phẳng thay đổi đi qua A và đôi một vuông góc với nhau, cắt mặt cầu theo ba
đường tròn. Tính tổng diện tích của ba hình tròn tương ứng đó.
A. 10 B. 38 C. 33 D. 36
Đáp án B
Gọi
R
1, R
2, R
3
lần lượt là bán kính của đường tròn giao tuyến.
Theo bài ra, ta có R 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1
R
2
R
3
R II1 R II2 R III3 3R II1 II2 II3
2 2 2 2
2 2 2
Mà II II II IA ( hình hộp chữ nhật ) suy ra R R R 38 S 38.
1 2 3
Câu 29: (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018)
1 2 3
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
P : x my 2m 1 z 2 m
0,
A 2;1;3
và mặt phẳng
với m là tham số. Gọi điểm Ha;b;c
là hình chiếu
vuông góc của điểm A trên P . Tính a b khi khoảng cách từ điểm A đến P lớn nhất.
1
A. a b B. a b 2 C. a b 0 D.
2
Đáp án D
Ta có P : x my 2m 1 z 2 m 0 x z 2 my 2z 1
0
3
a b
2
P luôn đi qua đường thẳng cố định
x z 2 0
d : .d A; P d A; d
max
y 2z 1 0
x 2 t
Lại có H d : y 1 2t ud
1; 2;1
và H2 t;1
2t; t
.
z
t
1
Suy ra AH.u
d 0 t 4t t 3 0 t . Vậy 3 1
H ;0; .
2 2 2
Câu 30 : (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 1;2; 3
và mặt phẳng
P : 2x 2y z 9 0 . Đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương u 3;4 4 cắt
P
0
tại điểm B. Điểm M thay đổi trong P sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới góc 90 . Khi
độ dài MB lớn nhất, đường thẳng MB đi qua điểm nào trong các điểm sau?
K 3;0;15
I1; 2;3
A. J 3;2;7 B. C. H 2; 1;3 D.

Đáp án D
Phương trình đường thẳng
Mà
B d P
x 1 y 2 z 3
d : . Vì Bd B3b 1;4b 2; 4b 3
3 4 4
suy ra 23b 1 24b 2 4b 3 9 0 b 1 B2; 2;1
x 1 y 2 z 3
2 2 1
Gọi A’là hình chiếu của A trên P A A ': A ' 3; 2; 1
Theo bài ra, ta có
2 2 2 2 2 2 2 2 2
MA MB AB MB AB MA AB A A ' A 'B
x 2 t
M A ' MB : y 2 I 1; 2;3 MB
z 1 2t
Độ dài MB lớn nhất khi
Câu 31(Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
mặt cầu có phương trình
mặt cầu đó
2 2 2
x y z 2x 6y 6 0.
Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của
A. I 1;3;0 ,R 16 B. I 1; 3;0 ,R 16 C. I 1;3;0 ,R 4 D. I 1; 3;0 , R 4
Đáp án C
Tâm I1;3;0 , R 1 9 6 4
Câu 32 (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018): Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho 2
đường thẳng
d
1,d2
lần lượt có phương trình
x 2 y 2 z 3 x 1 y 2 z 1
d
1
: y ;d
2
: y .
2 1 3 2 1 4
d
1,d2
có phương trình là
A. 14x 4y 8z 1 0
B. 14x 4y 8z 3 0
C. 14x 4y 8z 3 0
D. 14x 4y 8z 1 0
Đáp án B
Đường thẳng d1
có vecto chỉ phương u1
2;1;3
qua điểm A2;2;3
Đường thẳng có vecto chỉ phương u 2; 1;4
qua điểm B 1;2;1
d
2
nP
u
1,u2
7; 2; 4 P : 7x 2y 4z m 0
Ta có
Ta có
2
Mặt phẳng cách đều 2 đường thẳng
m 2 m 1 3
d A, P d B, P m
2 2 2 2 2 2 2
7 2 4 7 2 4
Vậy phương trình mặt phẳng đối xứng là 14x 4y 8z 3 0

Câu 33 (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018): Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,
x 1 y z 2
cho mặt phẳng P : x 2y z 4 0 và đường thẳng d : . Viết phương
2 1 3
trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng P , đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng
d.
x
A. 1 y 1 z 1
x
B.
1 y 1 z 1
5 1 3
5 1 3
x 1 y 1 z 1
x
C. D.
1 y 1 z 1
5 1 3
5 1 2
Đáp án A
Ta có d P B1;1;1 , n
1;2;1 ,u 2;1;3
P
d
Do đường thẳng nằm trong mặt phẳng P , đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng d
tại B1;1;1
x 1 y 1 z 1
u
n , u
P d
5; 1; 3 :
5 1 3
Mặt khác
Câu 34 : (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018)
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm
điểm H x; y;z là trực tâm tam giác ABC. Giá trị của S a y z là
A1;2; 1 ,B2;1;1 ,C0;1;2 .
A. 4 B. 6 C. 5 D. 7
Đáp án A
AB 1; 1;2 ;AC 1; 1;3 AB;AC
1;5;2
Ta có
Do đó phương trình mặt phẳng
Mặt khác
ABC
là:
AB.CH x y 1 2z 2
0
2
AC.BH x 2 y 1 3z 1
0
x 5y 2z 9 01
Kết hợp (1) và (2) x 2; y z 1 x y z 4
Câu 35: (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018)
P
Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua điểm B 2;1; 3 , đồng thời
vuông góc với hai mặt phẳng Q : x y 3z 0 và R : 2x y z 0 là
A. 4x 5y 3z 22 0
B. 4x 5y 3z 12 0
Gọi

C. 2x y 3z 14 0
D. 4x 5y 3z 22 0
Đáp án A
n
1;1;3 ;n 2; 1;1
Ta có
Q
P
Khi đó n
n ;n
4;5; 3 ,
lại có mặt phẳng đi qua
P Q R
Do đó P : 4x 5y 3z 22 0
P B2;1; 3
Câu 36 (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018): Trong không gian Oxyz, cho phương trình
x 2 y 2 z 2 2 m 2 x 4my 2mz 5m 2 9 0. Tìm tất cả các giá trị của m để phương
trình trên là phương trình của một mặt cầu
A. m 5
hoặc m 1
B. 5 m 1
C. m 5
D. m 1
Đáp án A
Phương trình trên là phương trình của một mặt cầu khi
2 2 2 2 2 m 1
m 2 4m m 5m 9 0 m 2 0
m 5
Câu 37(Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018): Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng
1
x 3 2t
: y 1
t
z 1 4t
và
x 4 y 2 z 4
2
: . Khẳng định nào sau đây là đúng?
3 2 1
A. và chéo nhau và vuông góc nhau
1
2
B. cắt và không vuông góc với
1
C. và song song với nhau
1
2
D. cắt và vuông góc với
1
2
2
Đáp án D
Ta có u
2; 1;4 ,u 3;2; 1 ; qua điểm A 3;1; 1 và qua điểm
1 2
B 4; 2;4
Suy ra AB 1; 3;5
Dễ thấy u1 ku2
2 đường thẳng đã cho không song song
Mặt khác u .u 0 ; u .u
7;14;7 .AB 0 ;
1
1 2 1 2 1 2 1 2
2
đồng phẳng

Câu 38 : (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018)
Trong không gian với tọa độ Oxyz, cho điểm A 1;2; 3
và mặt phẳng
P : 2x 2y z 9 0. Đường thẳng d đi qua A và có vecto chỉ phương u 3;4; 4
cắt
tại điểm B. Điểm M thay đổi trong P sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới góc 90 .
Khi độ
dài MB lớn nhất, đường thẳng MB đi qua điểm nào trong các điểm sau
K 3;0;15
I1; 2;3
A. J 3;2;7 B. C. H 2; 1;3 D.
Đáp án D
Phương trình đường thẳng
Mà
B d P
x 1 y 2 z 3
d : . Vì
3 4 3
Bd B3b 1;4b 2; 4b 3
suy ra 23b 1 24b 2 4b 3 9 0 b 1 B2; 2;1
x 1 y 2 z 3
2 2 1
Gọi A’ là hình chiếu của A trên P AA ': A ' 3; 2; 1
Theo bài ra, ta có
2 2 2 2 2 2 2 2
MA MB AB AB MA AB AA ' A 'B
x 2 t
M A ' MB : y 2 I 1; 2;3 MB
z 1 2t
Độ dài MB lớn nhất khi
Câu 39 ( Sở Giáo Dục Và Đào Tạo Hà Nội 2018 )Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
A
1;2; 3 ; B 2;0; 1. Tìm giá trị của tham số m để hai điểm A, B nằm khác phía so với mặt
phẳng x 2y mz 1 0
m
m2;3
A. 2;3
B.
m
m;2 3;
C. ;2 3;
D.
Đáp án B
Phương pháp:
-Sử dụng kiến thức về vị trí của một điểm đối với mặt phẳng.
Cho mặt phẳng
P : Ax By Cz D 0
và hai điểm M x ; y ; z , N x ; y ; z
Đặt , ;
1 1 1 2 2 2
f Ax By Cz D f M Ax By Cz D f N Ax By Cz D
1 1 1 2 2 2
Hai điểm M, N nằm khác phía so với mặt phẳng P f M . f N 0 .
Cách làm:
Đặt
f x, y, z x 2y mz 1. Để A, B nằm khác phía so với mặt phẳng x 2y mz 1 0
f A . f B 0 6 3m 3 m 0 2 m 3
Thì
P

Câu 40 ( Sở Giáo Dục Và Đào Tạo Hà Nội 2018 ) Trong không gian Oxyz, mặt cầu
2 2 2
x y z x y z
2 4 2 3 0
có bán kính bằng
A. 9 B. 3 C. 3 D. 3 3
Đáp án B
Phương pháp:
-Sử dụng công thức tìm tâm và bán kính mặt cầu
2 2 2
x y z ax by cz d
2 2 2 0
2 2 2
(Với đk a b c d 0 ) có tâm I a; b;
c và bán kính
Cách làm:
2 2 2
R a b c d
Phương trình
2 2 2
x y z 2x 4y 2z
3 0 có a 1; b 2; c 1; d 3
2 2 2
2 2 2
Và a b c d 1 4 1 3 9 0 nên bán kính mặt cầu là R a b c d 9 3 .
Câu 41 ( Sở Giáo Dục Và Đào Tạo Hà Nội 2018 ): Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm
I 1;2; 1
và cắt mặt phẳng : 2 2 1 0
có phương trình là:
A. x 1 y 2 z 1 3
B.
P x y z theo một đường tròn bán kính bằng 8
2 2
2
x y z
C. x 1 y 2 z 1 9
D.
Đáp án C
2 2 2
1 2 1 9
2 2
2
x y z
Phương pháp:
2 2 2
1 2 1 3
+) Giả sử mặt phẳng (P) cắt mặt cầu tâm I có bán kính R theo giao tuyến là một đường tròn
tâm O có bán kính r.
Khi đó ta có: OI d I;
P
và
R OI r
2 2
+) Phương trình mặt cầu tâm I a; b;
c và có bán kính R có phương trình:
2 2 2 2
x a y b z c R
Cách giải:
Theo đề bài ta có: r 8 .
2.1 2 2. 1 1 3
OI d I; P
1
2 2 2
2 1 2 9
Khi đó ta có:
R OI r
2 2
1 8 3
2 2 2
Ta có phương trình mặt cầu cần tìm là: x y z
1 2 1 9

Câu 42 ( Sở Giáo Dục Và Đào Tạo Hà Nội 2018 ): Trong không gian Oxyz, cho các điểm
A 2; 2;1 , B 1; 1;3
AB
. Tọa độ của vecto là:
1; 1; 2
A. 1;1;2
B. 3;3; 4 C. 3; 3;4
D.
Đáp án A
Phương pháp:
+) Cho hai điểm ; ; ; ; ;
. Khi đó ta có: AB x x ; y y ; z z .
A x y z B x y z
1 1 1 2 2 2
Cách giải:
AB x x ; y y ; z z 1 2; 1 2;3 1 1;1;2
Ta có:
2 1 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1
Câu 43 ( Sở Giáo Dục Và Đào Tạo Hà Nội 2018 ): Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
I
(S 1 ) có tâm 2;1;1 có bán kính bằng 4 và mặt cầu (S 2 ) có tâm J 2;1;5 có bán kính bằng
2. (P) là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với hai mặt cầu (S 1 ) (S 1 ) Đặt M, m lần lượt là giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm O đến (P). Giá trị
M
m
bằng?
A. 8 3 B. 9 C. 8 D. 15
Đáp án B
Lời giải sưu tầm :
Giả sử (P) tiếp xúc với (S1), (S2) lần lượt tại A,B
IA MI
Gọi IJ P
M ta kiểm tra được J là trung điểm IM do 2 suy ra M 2;1;9
.
JB MJ
2 2 2
Gọi n a; b; c , a b c 0 suy ra P : a x 2 b y 1 c z 9 0 .
Ta có:
2 2
d I; P R1 4 c 1 2 2 2 a b
a b 3c
3 1
2 2 2
d J; P R 2
2
2 a b c
c c
2a b 9c 2a b 9c 1 2a b
; 9
a b c 2 c 2 c c
Ta có: d O
P 2 2 2
Đặt t
2a b b 2a
1
t ta được d O; P
t 9
c c c c
2
b 2a
Thay t vào (1) ta thu được
c c
Để phương trình có nghiệm thì
2 2 2
2
2
t 3 5 4 t t 3 0
a a a a
c c c c
2 2
4t 5t 15 0 15 t 15 0 9 15 t 9 9 15
9 15 d O; P 9 15 M 9 15 ; m
9 15
2 2 2 2
Suy ra

Suy ra M m 9
Câu 44 ( Sở Giáo Dục Và Đào Tạo Hà Nội 2018 ): Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
2 2
1;2;1 , 2; 1;3 . Tìm điểm M trên mặt phẳng (Oxy) sao cho MA 2MB
lớn nhất.
A B
3 1
A. M 3; 4;0
B. M
; ;0 C. M 0;0;5
D.
2 2
1 3
M
; ;0
2 2
Đáp án A
Cách giải:
Gọi
M x; y;0Oxy
. Ta có:
2 2
2 2 2 2
MA MB x y x y
2 1 2 1 2 2 2 1 2.9
2 2
Thử lần lượt 4 đáp án thì ta thấy với M 3; 4;0
thì MA 2MB
3 là lớn nhất
Câu 45 ( Liên trường Sở Nghệ An 2018): Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho
điểm I 2; 2;0
. Viết phương trình mặt cầu tâm I bán kính R 4 .
2 2 2
A. x 2 y 2 z 4
B.
C. x 2 y 2 z 16
D.
Đáp án C
2 2 2
x 2 y 2 z 16
2 2 2
2 2 2
x 2 y 2 z 4
Câu 46 ( Liên trường Sở Nghệ An 2018): Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho
hai điểm M 0;3; 2 và N 2; 1;0
. Tọa độ của véc tơ MN là
2;2; 2
A. 2; 4;2 B. 1;1; 1
C. 2;4; 2 D.
Đáp án A
MN 2; 4;2
Câu 47: ( Liên trường Sở Nghệ An 2018)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm
A1;0;1 , B1;1; 1 ,
C 5;0; 2 . Tìm
tọa độ điểm H sao cho tứ giác ABCH theo thứ tự đó lập thành hình thang cân với hai đáy AB,
CH
H1; 2;2
A. H 3; 1;0 B. H 7;1; 4 C. H 1; 3;4 D.
Đáp án C

AB 2;1; 2
AB;AC
Ta có
AB;AC
3;6;6 d C;AB
3
AC 6;0; 3
AB
Gọi M là hình chiếu của B trên HC BM 3
2 2
MC BC BM 3
Tam giác BMC vuông tại M, có
Suy ra HC AB 2MC 3 2.3 9 3AB CH 3BA
Mà
BA 2; 1;2
CH x 5; y;z 2
Vậy
H 1; 3;4 .
suy ra
Câu 48: ( Liên trường Sở Nghệ An 2018)
x 5 3. 2 x 1
y 3. 1 y 3
z 2 3.2
z 4
Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho mặt phẳng
P
P : 2x y 3z 1 0.
Một véctơ
pháp tuyến của mặt phẳng là:
A. n 2; 1;3
B. n 2;1;3
C. n 2; 1; 3
D. n 4; 2;6
Đáp án D

Câu 1: (Chuyên Đại Học Vinh) Trong không gian Oxyz, một véctơ chỉ phương của
x
2t
đường thẳng : y 1
t là
z 1
m 2; 1;1
v 2; 1;0
A.
B.
C. u 2;1;1
D. n 2; 1;0
Đáp án D
Phương pháp:
x x0
at
+ Cho phương trình đường thẳng : y y0
bt. Khi đó ta biết đường thẳng đi qua
z z0
ct
điểm M x 0; y0
và có vVTCP u a;b;c
.
ku k cũng là một VTCP của .
+ Chú ý: Véc tơ là một VTCP của thì
Cách giải:
Ta có VTCP của là: u 2;1;0
n 2; 1;0
cũng là một VTCP của
Câu 2: (Chuyên Đại Học Vinh) Trong không gian Oxyz, cho điểm M 1;2;3 . Hình
chiếu của M lên trục Oy là điểm
A. S0;0;3 B. R 1;0;0 C. Q0;2;0
D. P1;0;3
Đáp ánC
Phương pháp: Điểm M a;b;c
có hình chiếu trên trục Ox, Oy, Oz lần lượt là:
M1 a;0;0 , M2
0;b;0
và
3
M 0;0;c .
Cách giải: Hình chiếu của M lên trục Oy là Q0;2;0
Câu 3: (Chuyên Đại Học Vinh)Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng
: x 2y z 1 0 và : 2x 4y mz 2 0.
và
song song với nhau.
Tìm m để hai mặt phẳng
A. m 1 B. Không tồn tại m C. m 2
D. m 2
Đáp án B

Phương pháp:
Cho hai mặt phẳng:
: a
2x b2y c2z d2
0
: a1x b1y c1z d1
0
.
Khi
đó
a b c d
a b c d
1 1 1 1
/ /
Cách giải:
Để / /
thì
2 2 2 2
2 4 m 2
m 2
m
1 2 1 1
m 2
Câu 4:(Chuyên Đại Học Vinh) Trong không gian Oxyz, cho điểm M 1; 0; 1 .
Mặt
phẳng đi qua M và chứa trục Ox có phương trình là
A. x z 0 B. y z 1 0 C. y 0 D. x y z 0
Đáp án C
Phương pháp:
+) Phương trình đường thẳng đi điểm M x 0; y
0;z 0 và có VTPT n a;b;c
trình:
a x x b y y c z z 0.
0 0 0
có phương
+) Hai vecto u; v cùng thuộc một mặt phẳng thì mặt phẳng đó có VTPT là: n u, v
Cách giải:
Mặt phẳng
chưa điểm M và trục Ox nên nhận n
OM;u Ox là một VTPT.
OM 1;0; 1
0 1 1 1 1 0
Mà
n
OM;u
Ox
0 0
;
0 1
;
1 0 0; 1;0
uOx
1;0;0
Kết hợp với
đi qua điểm M 1;0; 1 : y y 0
0 y 0
Câu 5: (Chuyên Đại Học Vinh) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
x 1 y 2 z 3
d : và mặt phẳng
1 2 1
: x y z 2 0. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng
, đồng thời vuông góc và cắt đường d?

x 5 y 2 z 5
A. 3
:
3 2 1
x 2 y 4 z 4
C. 2
:
1 2 3
Đáp án A
Phương pháp:
Gọi đường thẳng cần tìm là d’
Gọi A d
A d '. Tìm tọa độ điểm A.
nd'
u d;n
là 1 VTCP của đường phẳng d’
Cách giải:
Gọi d’ là đường thẳng cần tìm, gọi A d
A d '
x 1
t
z 3 t
Ta có d : y 2 2t t At 1;2t 2; t 3
Mà A t 1 2t 2 t 3 2 0 A2;4;4
x 2 y 4 z 4
B. 1
:
3 2 1
x 1 y 1 z
D. 4
:
3 2 1
ud
1;2;1
Lại có u d;n
3;2; 1
là một VTCP của d’
n
1;1; 1
Kết hợp với d’ qua
x 2 y 4 z 4 x 5 y 2 z 5
A 2;4;4 d :
3 2 1 3 2 1
Câu 6:(Chuyên Đại Học Vinh) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng
: x z 3 0
và điểm
M 1;1;1 . Gọi A là điểm thuộc tia Oz, B là hình chiếu của A
lên . Biết rằng tam giác MAB cân tại M. Diện tích của tam giác MAB bằng
A. 3 123
2
Đáp án C
Phương pháp:
B. 6 3 C. 3 3
2
D. 3 3
+) Gọi A0;0;a , a 0
viết phương trình đường thẳng AB đi qua A và vuông góc với

+) B AB
tìm tọa độ điểm B theo a.
+) Tam giác MAB cân tại M MA MB, tìm a.
1
+) Sử dụng công thức tính diện tích S
MAB
MA;MB
2
Cách giải:
Gọi A0;0;a a 0 ,
vì AB mp
Phương trình đường thẳng
Mà B AB Bt;0;a t
và
Khi đó
x
t
AB : y 0
z a t
a 3
B mp t a t 3 0 t
2
AM 1;1;;1 a
a 3 a 3
B ;0;
a 1 5 a
2 2
BM ;1;
2 2
2 2
2
AM BM AM BM 2 1 a 1
2
a 2a 2
2
2a 8a 26
4
2 2
2a 18 a 9 a 3a 0
AM 1;1; 2
AM;BM
3;3;3
BM 2;1;1
a 1 5 a
2 2
4
Vậy diện tích tam giác MAB là
S
1 3 3
MA;MB
2 2
MAB
Câu 7: (Chuyên Đại Học Vinh) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
A10;6; 2 ,B5;10; 9
và mặt phẳng : 2x 2y z 12 0. Điểm M di động trên
mặt phẳng
sao cho MA, MB luôn tạo với
các góc bằng nhau. Biết rằng M luôn
thuộc một đường tròn
cố định. Hoành độ của tâm đường tròn
bằng
A. 9 2
B. 2 C. 10 D. 4

Đáp án B
Phương pháp:
+) Gọi M x; y;z
tọa độ các véc tơ AM;BM
+) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A,B lên , có AMH
BMK
+) Tính sin các góc AMH;BMHK và suy ra đẳng thức. Tìm quỹ tích điểm M là một
đường tròn.
+) Tính tâm của đường tròn quỹ tích đó.
Cách giải:
Gọi M x; y;z AM x 10; y 6;z 2 ;BM x 5; y 10;z 9
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A, B lên ,
có AMH BMK
2.10 2.6 2 12 2.5 2.10 9 12
AH d A; P 6;BK d B; P
2 2 2 2 2 2
2 2 1 2 2 1
Khi đó
AH
sin AMH
MA AH BK
MA 2MB MA 4MB
BK MA MB
sin BMK
MB
2 2
Suy ra x 10 y 6 z 2 4 x 5 y 10 z 9
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 20 68 68 10 34 34
x y z x y z 228 0 S : x y z 40
3 3 3 3 3 3
10 34 34
có tâm I ; ;
3 3 3
Vậy M C
là giao tuyến của
và
10 34 34
I ; ;
3 3 3
trên mặt phẳng .
S Tâm K của C
là hình chiếu của
Phương trình đương thẳng đi qua I và vuông góc với
có dạng
10
x 2t
3
34
y
2t
3
34
z
t
3

10 34 34 10 34 34
K 2t; 2t ' t , K
2 2t 2 2t t 12 0
3 3 3 3 3 3
2
9t 6 0 t K 2;10; 12 xK
2
3
Câu 8: (Chuyên Đại Học Vinh) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng
: 2x y 2z 2 0, đường thẳng
x 1 y 2 z 3
d : và điểm
1 2 2
1
A ;1;1 . Gọi là đường thẳng nằm trong mặt phẳng
2
, song song với d đồng thời cách d một khoảng bằng 3. Đường thẳng cắt mặt
phẳng (Oxy) tại điểm B. Độ dài đoạn thẳng AB bằng
A. 7 3
Đáp án B
Phương pháp:
+) Kiểm tra d
B. 7 2
C.
21
2
D. 3 2
+) Gọi B O xy Ba;b;0 B ,
thay tọa độ điểm B vào phương trình
1phương trình 2 ẩn a, b.
+)
d / / d d ; d B; d 3. Sử dụng công thức tính khoảng cách
BM;u
d
d B; d
, lập được 1 phương trình 2 ẩn chứa a, b.
u
d
+) Giải hệ phương trình tìm a,b => Toạn độ điểm B => Độ dài AB.
Dế thấy d
và 1; 2; 3 d
Ta có B O xy Ba;b;0
mà
B 2a b 2 0 b 2 2a
Lại có d / / d d ;
d B; d 3 . Đường thẳng d đi qua M 0;0; 1
u 1;2;2
d
BM a; b; 1
BM;u
2b 2; 1 2a; 2a b
, có

Do đó
2 2 2
BM;u
d 2b 2 1 2a 2a b
d B; d
3
u
3
d
2 2 2 2 2 2
2b 2 1 2a 2a b 81 2 4a 1 2a 4a 2 81
a 1
B1;4;0
1 2a 3 a 1
b 4
1 2a 3
a 2 a 2
B2; 2;0
b 2
2
1 2a 9
Vậy
7
AB 2
Câu9: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình
A ' 0;0;1 . Khoảng
lập phương ABCD.A’B’C’D’ có A0;0;0 , B1;0;0 , D0;1;0 và
cách giữa AC và B’D là
1
A. .
B.
3
Đáp án B.
1 .
6
C. 1. D. 2.
Gọi K AC BD. Gọi H là hình chiếu của K lên B’D. Khi đó KH là
đường vuông góc chung của 2 đường thẳng AC và B’D
KH BB' KH 1 2 1 6
Ta có: KH . .
KD B'D 2 3 2 3 6
2
Câu 10:(Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz cho A 3;0;0 ,
B0;0;3 , C0; 3;0
và mặt phẳng P : x y z 3 0. Tìm
trên (P) điểm M sao cho MA MB MC nhỏ nhất
Đáp án D.
A. M 3;3; 3 .
B. M 3; 3;3 .
C.
M 3;3;3 .
M 3; 3;3 . D.
Gọi
I
là điểm
thỏa
mãn
IA IB IC 0 IA CB 0 IA BC 0; 3;3 I3;3;3
Ta có: MA MB MC MI IA MB IB MI IC MI MI M là hình
chiếu của I trên P : x y z 3 0, dễ thấy
min
I P M I 3;3;3 .
Câu 11: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các
A 0;1;2 ,B 2; 2;0 , C 2;0;1 . Mặt phẳng (P) đi qua A, trực tâm H của tam
điểm

giác ABC và vuông góc với mặt phẳng ( ABC) có phương trình là
A. 4x 2y z 4 0. B. 4x 2y z 4 0.
C. 4x 2y z 4 0. D. 4x 2y z 4 0.
Đáp án C.
Dễ thấy
4.0 2.1 2 4 0suy ra A P : 4x 2y z 4 0.
Câu 12: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho
A 1;0;0 ,
C 0; 3;0 . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là
B0;0;2 ,
14
A. .
3
Đáp án C.
B.
14 .
4
C.
14 .
2
D. 14.
Vì OA 1,OB 2,OC 3 và đôi một vuông góc
2 2 2
OA OB OC 14
R .
2 2
Câu 13: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các
A 0;0; 2 , B 4;0;0 . Mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất, đi qua O, A, B có tâm là
điểm
A. I2;0; 1 .
B. I0;0; 1 .
C.
Đáp án A.
OA
0;0; 2 ,OB 4;0;0
Ta có:
I 2;0;0 . D.
4 2
I ;0; .
3 3
suy ra OA.OB 0 OAB
vuông tại O.
Do đo, mặt cầu (S) có bán kính R
min
và đi qua O, A, B có tâm là trung điểm của AB.
Vậy tọa độ tâm mặt cầu là I2;0; 1 .
Câu 14:(Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho
hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có A0;0;0 ,B2;0;0 ,C0;2;0 ,A' 0;0;2 . Góc giữa
BC’ và A’C bằng
0
A. 90 . B.
Đáp án A.
0
60 . C.
0
30 .
Vì ABC.A’B’C’ là lăng trụ đứng, đáy là tam giác vuông cân
Ta có BC' 2;2;2
và A 'C' 0;2; 2
BC'.A 'C 0 BC' A 'C.
C' 0;2;2 .
Câu 15: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz, mặt phẳng đi qua các điểm A2;0;0 ;B0;3;0 ,C0;0;4 có phương trình là:
A. 6x 4y 3z 12 0
B. 6x 4y 3z 0
C. 6x 4y 3z 12 0
D. 6x 4y 3z 24 0
Đáp án C

Phương trình mặt phẳng đoạn chắn của ABC
là x y z 1
2 3 4
Do đó ABC : 6x 4y 3z 12 0
Câu 16: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz, cho mặt cầu
2 2 2
S : x 1 y 2 z 3
9 tâm I và mặt phẳng
P : 2x 2y z 24 0 . Gọi H
là hình chiếu vuông góc của I lên (P). Điểm M thuộc (S) sao cho đoạn MH có độ dài lớn
nhất. Tính tọa độ điểm M.
A. M 1;0;4 B. M 0;1;2 C. M 3;4;2 D. M 4;1;2
Đáp án C
x 1 y 2 z 3
2 2 1
Phương trình đường thẳng IH : H IH P 5; 4;6
Độ dài MH lớn nhất M
là một trong hai giao điểm của MI và S
2 2 2
Suy ra MI MH , gọi M 1 2t;2 2t;3 tS 4t 4t t 9 t 1
Do đó
M1 3;4;2 M2H 12
MHmax M M2
3;4;2
M2 1;0;4 M2H 34
Câu 17:(Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz, cho mặt phẳng P : x y 2z 3 0 và điểm I 1;1;0 . Phương trình mặt cầu
tâm I và tiếp xúc với (P) là:
2 2 2 5
A. x 1 y 1
z B.
6
2 2 2 5
2 2 2 25
x 1 y 1 z
C. x 1 y 1
z D.
Đáp án B
Ta có:
R
5
6
d I; P
PT mặt cầu là:
6
6
2 2 2 25
x 1 y 1 z
2 2 2 25
x 1 y 1 z
Câu 18: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz, cho mặt cầu
6
6

2 2 2
S : x y z 2x 6y 4z 2 0, mặt phẳng : x 4y z 11 0.
phẳng vuông góc với
(S). Lập phương trình mặt phẳng ( P ).
Gọi
, P
song song với giá của vecto v 1;6;2 và P
A. 2x y 2z 2 0 và x 2y z 21 0
B. x 2y 2z 3 0 và x 2y z 21 0
C. 2x y 2z 3 0 và 2x y 2z 21 0
D. 2x y 2z 5 0 và x 2y 2z 2 0
Đáp án C
Ta có: n
n P ;n
P 2; 1;2 P : 2x y 2z D 0
9 D D 3
I 1; 3;2 ;R 4 d I; P 4 4
4 1
4 D 21
Mặt cầu S
có tâm
Câu 19: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz, điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng
P : x y z 1 0.
Đáp án D
A. K 0;0;1 B. J 0;1;0 C. I1;0;0 D. O0;0;0
P là mặt
tiếp xúc với
Câu 20: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,
cho hai mặt phẳng P : 3x 2y 2z 5 0 và Q : 4x 5y z 1 0. Các điểm A, B phân
biệt thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng P và Q . AB cùng phương với vectơ nào sau
đây?
A. w 3; 2;2
C. a 4;5; 1
B. v 8;11; 23
D. u 8; 11; 23
Đáp án D
Ta có: uAB n P;n
Q
8;11;23
Do đó AB
u 8; 11; 23
phương với véc tơ
Câu 21: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,

2 2 2
cho mặt cầu S : x 1 y 2 z 3
16 và các điểm
A 1;0;2 , B 1;2;2 .
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua hai điểm A, B sao cho thiết diện của mặt phẳng (P) với mặt
cầu (S) có diện tích nhỏ nhất. Khi viết phương trình (P) dưới dạng ax by cx 3 0.
Tính tổng T a b c.
A. 3 B. 3
C. 0 D. 2
Đáp án B
2 2 2
Xét S : x 1 y 2 z 3
16 có tâm
Gọi O là hình chiếu của I trên
mpP . Ta có
Khi và chỉ khi IO IH với H là hình chiếu của I trên AB.
min
I 1;2;3 , bán kính R 4
S d I; P IO
IH
là véc tơ pháp tuyến của mp P
mà IA IB H là trung điểm của AB
H 0;1;2 IH 1; 1; 1 mp P là x y z 3 0
max
max
Câu 22: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho các điểm
A1;0;0 , B0;2;0 , C0;0;3 , D2; 2;0 .
Có tất cả bao nhiêu mặt phẳng phân biệt đi
qua 3 trong 5 điểm O, A, B, C, D ?
A. 7 B. 5 C. 6 D. 10
Đáp án B
Ta có
AB 1;2;0
AD 1; 2;0
AB AD 0 A, B,D thẳng hàng

Do đó, 5 điểm O, A, B, C, D tạo thành tứ diện như hình vẽ bên
Vậy có tất cả 5 mặt phẳng cần tìm đó là:
Mặt phẳng OAC
đi qua 3 điểm O, A, C
Bốn mặt phẳng là các mặt bên của tứ diện O.BCD đi qua 3 điểm trong 5 điểm O,
A, B, C, D
Câu23: ( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
A 1;2; 3 , B 3;2;9 . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là:
A. x 3x 10 0. B. 4x 12z 10 0 C. x 3y 10 0. D. x 3z 10 0.
Đáp án D.
I
1;2;3 , AB 4;0;12
Gọi I là trung điểm của AB. Ta có:
Mặt phẳng trung thực của đoạn thẳng AB có phương trình là:
P : 4 x 1 0 y 2 12 z 3 0 P : x 3z 10 0.
hay
Câu 24:( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi H
x 1 y z 2
hình chiếu vuông góc của M 2;0;1 lên đường thẳng : . Tìm tọa độ
1 2 1
điểm H .
H 0; 2;1 .
H 1; 4;0 .
A. H2;2;3 . B. C. H1;0;2 . D.
Đáp án C.
Vtcp của là: u 1;2;1 .
P :1x 2 2y 0 1z 1
0 hay
Khi đó: P
Phương trình mặt phẳng qua M và nhận u làm vtpt là:
P : x 2y z 3 0.
H tọa độ của H là nghiệm của hệ phương trình
x 1 y z 2
1 2 1 x 1, y 0,z 2 H1;0;2 .
x 2y z 3 0
Câu 25:( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
điểm I1; 2;3 .
Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy là:
2 2 2
A. x 1 y 2 z 3
10. B.
2 2 2
C. x 1 y 2 z 3
8.
D.
Đáp án A.
Ta có: nOy
0;1;0 .
2 2 2
x 1 y 2 z 3 9.
2 2 2
x 1 y 2 z 3 16.
Mặt phẳng (P) qua I và vuông góc với Oy là: P : y 2 0
P Oy E 0; 2;0
bán kính mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy là:
2 2 2
R IE 1 0 2 2 3 0 10 Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc

2 2 2
với trục Oy là:
x 1 y 2 z 3 10.
Câu 26:( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
x 1 y 1 z
điểm M 2;1;0 và đường thẳng d có phương trình d : . Phương trình
2 1 1
của đường thẳng đi qua điểm, M cắt và vuông góc với đường thẳng d là:
A. x 2 y
1
z . B. x 2 y
1
z .
1 4 2
1 4 2
C. x 2 y
1
z .
D. x 2 y
1
z .
1 3 2
3 4 2
Đáp án A.
Gọi I1 2t; 1 t; t d ta có: MI2t 1; t 2; t
2 1 4 2
Giải MI.u
d
4t 2 t 2 t 0 t u
MI ; ;
3 3 3 3
x 2 y 1 z
Suy ra d : .
4 4 2
Câu 27: ( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
M 1;2;3 . Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm Mvà cách gốc tọa độ O một khoảng
điểm
lớn nhất, mặt phẳng (P) cắt các trục tọa độ tại các điểm A,B,C. Tính thể tích khối chóp
O.ABC.
A. 1372 .
9
Đáp án B.
Ta có:
d O; P
OM
B. 686 .
9
C. 524 .
3
Dấu bằng xảy ra OM P P :1x 1 2y 2 3z 3
0
D. 343 .
9
14
Hay P : x 2y 3z 14 0 A14;0;0 ;B0;7;0 ;C0;0;
3
1 686
VO.ABC
OA.OB.OC .
6 9
Câu 28:( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho
a 1; 2;3 . Tìm tọa độ của véctơ b biết rằng véctơ b ngược hướng với véctơ a
véctơ
và b 2 a
b 2; 2;3
Đáp án C
A. b 2; 2;3
B. b 2; 4;6
C. b 2;4; 6
D.

Ta có: b 2a 2;4; 6
Câu 30:( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai
điểm Al;0; 3 , B3; 2; 5 .
Biết rằng tập hợp các điểm M trong không gian thỏa
mãn đẳng thức
cầu S
là:
2 2
AM BM 30 là một mặt cầuS . Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt
A. I2; 2; 8 ;R 3
B.
Đáp án C
I 1; 1; 4 ;R 6
C. I1; 1; 4 ;R 3
D.
2
Gọi I1; 1; 4 ;AB 24 là trung điểm của AB khi đó
2 2
MA MB 30 MI IA MI IB 30
2 2
Suy ra
I 1; 1; 4 ;R
30
2
2 2
AM BM 30
2
2 2 2 2 AB
2MI IA IB 2MIIA IB
30 2MI 30 MI 3.
2
Do đó mặt cầu
S tâm I1; 1; 4 ;R 3
Câu 31: ( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3) Trong không gian với hệ tọ độ Oxyz, cho bốn
điểm A1;0;0 , B0;1;0 ,
C0;0;1 , D0;0;0 . Hỏi có bao nhiêu điểm cách đều bốn mặt phẳng ABC , BCD ,
CDA , DAB ?
A. 4 B. 5 C. 1 D. 8
Đáp án D
Gọi
I a;b;c
là điểm cách đều bốn mặt phẳng
ABC , BCD , CDA , DAB .
Khi đó, ta có
a b c 1
a b c *
3
. Suy ra có 8 cặp
a;b;c thỏa mãn (*).
Câu32: ( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A0;2; 4 , B 3;5;2 .
Tìm tọa độ
điểm M sao cho biểu thức
MA
2MB đạt giá trị nhỏ nhất.
2 2

A. M 1;3; 2
B. M 2;4;0
C. M 3;7; 2
Đáp án B
D.
Gọi M a;b;c
suy ra AM a;b 2;c 4 ,BM a 3;b 5;c 2
3 7
M ; ; 1
2 2
2 2 2
Khi đó MA 2MB a b 2 c 4 2 a 3 b 5 c 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
3a 12a 3b 24b 3c 96 3 a 2 3 b 4 3c 36 36
2 2
Vậy MA 2MB 36.
Dấu “=” xảy ra
min
Câu 33: (Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 )
a;b;c 2;4;0 .
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có phương trình
2 2 2
x 1 y 3 z 16. Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu đó.
A. I1;3;0 ,R 4 B.
C. I1;3;0 ,R 16 D.
Đáp án A
I 1; 3;0 , R 4
I 1; 3;0 ,R 16
Câu 34: (Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 )
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A2;3;4 và B5;1;1 . Tìm tọa độ
véctơ AB.
AB 3;2;3
A.
Đáp án B
B. AB 3; 2; 3
C. AB 3;2;3
D. AB 3; 2;3
Câu 35: (Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 ) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz, cho hai véctơ a 2; 3;1 và b 1;0;4 .
Tìm tọa độ véctơ u 2a 3b.
u 7;6; 10
u 7;6;10
u 7;6;10 u 7; 6;10
A.
B.
Đáp án B
u 2 2; 3;1 3 1;0;4 7;6;10 .
Ta có
C.
D.
Câu 36: (Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 ) Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz, cho tam giác ABC với A1;0;0 , B3;2;4 ,C0;5;4 . Tìm tọa độ điểm M thuộc
mặt phẳng Oxy sao cho MA MB 2MC nhỏ nhất.
A. M 1; 3;0
B. M 1;3;0 C. M 3;1;0 D. M 2;6;0
Đáp án B
IA IB 2IC 0 I 1;3;3 .
Gọi I là trung điểm thỏa mãn
Ta có Mà M Oxy M x; y;0 .
2 2 2
P 4MI 4 x 1 y 3 3 12 MA MB 2MC 12.
Khi đó
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
x 1 .
y 3
Vậy M 1;3;0 .
Câu 37:
(Chuyên
Thái Nguyên
Lần 1) Trong
không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn
véc tơ a 2;3;1 , b 5,7,0 , c 3; 2;4
và d 4;12; 3
. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. a, b,
c là ba vecto không đồng phẳng B. 2a 3b d 2c
C. a b d c
D. d a b c
Đáp án B
Ta có a b 7;10;1 c d 4;12; 3
đúng
2a 3b d 2c
Câu 38: (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
x 1
t
d : y 2 2t. Vecto nào dưới đây là vecto chỉ phương của d?
z 1 t
n 1; 2;1
n 1;2;1
n 1; 2;1
n 1;2;1
A.
Đáp án D
B.
C.
min
D.
Câu 39: (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
A 1; 1;2 ;B 2;1;1 . Độ dài đoạn AB bằng
A. 2 B. 6 C. 2 D. 6
Đáp án B
2 2 2
AB 2 1 11 1 2 6
Câu 40:(Chuyên Khoa Học Tự Nhiên)

Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây nằm trên mặt phẳng P : 2x y z 2 0
A. Q1; 2;2
B. N1; 1;1
C. P2; 1; 1
D. M 1;1; 1
Đáp án B
Đáp án C
Gọi Ax; y ,Bx; y ,Cx y; x y
là các điểm biểu diễn 3 số phức theo đề bài
Ta có
2 2
2 2
2 2
AB x y x y
AC y x
BC x y
2 2 2
AB BC AC
Suy ra tam giác ABC vuông tại
1 1 2 2 2 2
C S
ABC
.AC.BC x y 18 x y 6 z
2 2
Câu 41:(Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Trong không gian Oxyz, cho 2 mặt phẳng
P : x 2y 2z 6 0 Q : x 2y 2z 3 0. Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng (P)
và
và (Q) bằng
A. 1 B. 3 C. 9 D. 6
Đáp án B
0 2.0 2. 3 3
A 0;0; 3 P d P ; Q d A; Q 3
Lấy điểm
2
2 2
1 2 2
Câu 42: (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Trong không gian Oxyz, cho 2 đường thẳng
x 1 y 1 z 1
x 2 y z 3
d
1
: và d
2
: . Mặt cầu có một đường kính là đoạn
2 1 3
1 2 3
thẳng vuông góc chung của d
1
và d
2
có phương trình là
2 2 2
A. x 4 y 2 z 2
3
B.
2 2 2
C.
Đáp án D
2 2 2
x 2 y 1 z 1 12
x 2 y 1 z 1 3
D. Không tồn tại mặt cầu thỏa mãn
Gọi
A1 2t; 1 t; 1 3td 1
B 2 u;2u;3 3u
AB 3 u 2t;2u t;4 3u 3t
Khi đó

1
23 u 2t 1 2u t 3
u
1
4 3u 3t
0
AB.u 0
3
Ta có
AB.u 13 u 2t 21 2u t 34 3u 3t
0 5
2
0
t
3
7 2 7 2 7 2
Suy ra A ; ;4 , B ; ;4
d1
cắt d2
tại điểm ; ;4 do đó không tồn tại mặt
3 3 3 3
3 3
cầu thỏa mãn
Câu 43: (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Phương trình đường thẳng song song với đường
x 1 y 2 z
x 1 y 1 z 2
thẳng d : và cắt hai đường thẳng d
1
: và
1 1 1
2 1 1
x 1 y 2 z 3
d
2
:
là
1 1 3
A. x 1
y 1
z 2 B. x 1 y z
1
1 1 1 1 1 1
C. x 1 y 2 z
3
D. x 1 y z
1
1 1 1
1 1 1
Đáp án B
A 1 2t; 1 t;2 t d ;B 1 u;2 u;3 3u d
Gọi
AB 2 u 2t;3 u t;1 3u t
1 2
2 u 2t 3 u t 1 3u t t 1
do AB / /d
1 1 1 u 1
x 1 y z 1
:
1 1 1
Câu 44: (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
A 5;0;0 , B 3;4;0 . Với C là điểm nằm trên trục Oz, gọi H là trực tâm của tam giác
ABC. Khi C di động trên trục Oz thì H luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính
đường tròn đó là
5
A.
4
Đáp án A
B.
3
2
Gọi K là trực tâm của tam giác OAB
Và M là trung điểm của AB OM AB vì tam giác OAB cân
ABC HK ABC
Mà H là trực tâm của tam giác
Suy ra HK HM H thuộc đường tròn đường kính KM
x
4t
Ta có trung điểm M của AB là M 4;2;0
OM : y 2t
z
0
C.
5
2
D. 3

Lại có K OM K 4t;2t;0 AK 4t 5;2t;0
3 3
AK.OB 0 3 4t 5 4.2t 0 t K 3; ;0
4 2
Suy ra
KM 5
Vậy bán kính đường tròn cần tính R
2 4
Câu 45: (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC
vuông tại C, ABC 60 , AB 3 2. Đường thẳng AB có phương trình
x 3 y 4 z 8
, đường thẳng AC nằm trên mặt phẳng : x z 1 0. Biết B là
1 1 4
điểm có hoành độ dương, gọi a;b;c là tọa độ của điểm C, giá trị của a b c bằng
A. 3 B. 2 C. 4 D. 7
Đáp án C
Vì AB giao mặt phẳng tại A A1;2;0
Điểm BAB Bt 3; t 4; 4t 8 AB t 2; t 2; 4t 8
2 t 1
t 3
Gọi H là hình chiếu của B trên
Mà AB 3 2 AB 18 2t 2 2 4t 8 2
18 B2;3; 4
2 4 1 3 2
Khi đó BH d B;
2 2
Vì
AB
3 2 BC 3 2cos60
3 2
ABC
60
2
Và BHC vuông tại H và BC là cạnh huyền BH BC
3 2
Mà BH BC H C C là hình chiếu của B trên mặt phẳng
2
x 2 t
7 5
phương trình BC y 3 C BC
C ;3; a b c 4
2 2
z 4 t
Câu 46: (Chuyên Lê Hòng Phong- Nam Định)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
A 2;4;2 ,B 5;6;2 ,C 10;17; 7 . Viết phương trình mặt cầu tâm C bán kính AB.
2 2 2
A. x 10 y 17 z 7
8 B.
2 2
2
C. x 10 y 17
8
D.
Đáp án
B
AB 2;2;0 R AB 2 2
Ta có
2 2 2
x 10 y 17 z 7 8
2 2 2
x 10 y 17 z 7 8

Vậy phương trình mặt cầu tâm cần tìm là x 2 y 2 z
2
10 17 7 8
Câu 47:(Chuyên Lê Hòng Phong- Nam Định) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
A 0;0;0 ,B 3;0;0 ,D 0;3;0 ,D' 0;3; 3 . Tọa độ
cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có
trọng tâm của tam giác A’B’C’ là
1;1; 2
2;1; 2
A. B. C. 1;2; 1
D. 2;1; 1
Đáp án B
DD ' BB ' B ' 3;0; 3
Ta có DD ' AA' A' 0;0; 3
Tọa độ trọng tâm G của A' B ' C là G 2;1; 2
AB DC C 3;3;0
Câu 48: (Chuyên Lê Hòng Phong- Nam Định) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
A 0;0;3 ,B 0;0; 1 ,C 1;0; 1 D 0;1; 1 . Mệnh đề nào sau
cho tứ diện ABCD với và
đây là sai?
A. AB BD B. AB BC C. AB AC D. AB CD
Đáp án
C
Ta có: AB 0;0; 4 ; AC 1;0; 4 ; BC 1;0;0 ; BD 0;1;0 ; CD 1;1;0
AB. BD 0 AB BD AB BD
AB. BC 0 AB BC AB BC
AB. AC 16
Mệnh đề C sai.
Câu 49:(Chuyên Lê Hòng Phong- Nam Định)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
D 2;2;2 . Gọi M, N lần lượt là trung
Cho bốn điểm A 2;0;0 ,B0;2;0 ,C0;0;2 và
điểm của S và AB. Tọa độ trung điểm I của MN là:
A. I 1; 1;2 B. I 1;1;0 C.
Đáp án D
1 1
I ; ;1
2 2
D. I 1;1;1

x
xM
y
Áp dụng công thức trung điểm ta có yM
z
zM
xM
xN
xI
2
yM
yN
yI
2
zM
zN
zI
2
xA xB xC xD
xI
1
4
yA yB yC yD
Suy ra yI
1
I 1;1;1
4
zA zB zC zD
zI
1
4
A
A
A
xB
2
y
2
zB
2
B
và
x
y
z
N
N
N
xC
xD
2
yC
y
2
zC
zD
2
D
và
Câu 50:(Chuyên Lê Hòng Phong- Nam Định) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
A 1;2; 1 ,B 2; 1;3 ,C 4;7;5 . Tọa độ chân đường phân giác
cho tam giác ABC có
trong góc B của tam giác ABC là
2 11 11
2 11 1
A. ; ;1
B. ; 2;1 C. ; ;
3 3 3
3 3 3
Đáp án A
Gọi D là chân đường phân giác góc B của
DA DC AB
: DA . DC *
AB
BC BC
AB 1; 3;4 AB 26 BC 6;8;2 BC 104
Với
D.
2;11;1
ABC . Theo tính chất đường phân giác ta có
và
AB 1
k
BC 2
Từ (*) ta có, điểm D chia đoạn thẳng AC theo tỷ số k nên D có toạ độ
xA
kxC
2
xD
1
k 3
yA
kyC
11 2 11
yD
D ; ;1
1 k 3 3 3
zA
kzC
zD
1
1
k
Câu 51:(Chuyên Lê Hòng Phong- Nam Định) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,

cho ba điểm A 0;1;1 ,B3;0; 1 ,C0;21; 19
và mặt cầu
2 2 1
S : x 1 y 1 z1 1. M a,b,c
là điểm thuộc mặt cầu
2 2 2
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng a b
c.
thức T 3MA 2MB MC
14
A. a b c
5
B. a b c 0 C.
Đáp án A
S sao cho biểu
12
a b c D. a b c 12
5
Mặt
cầu
(S) có
tâm
I(1;1;1). Gọi E là điểm thoả
2 2 2 2
3EA 2EB EC 0 E(1;4; 3)
. T 6ME 3EA 2EB EC
T nhỏ nhất khi ME nhỏ nhất M là 1 trong 2 giao điểm của đường thẳng IE và mặt cầu
(S).
IE (0;3; 4)
, EM ( a 1; b 4; c 3)
a
1 0 a
1
IE,
ME cùng phương EM k IE b 4 3k b 3k
4
c 3 4k
c 4k
3
4
k
2 2
5
M ( S) (3k 3) ( 4k
4) 1
6
k
5
4 8 1
208
k M1 1; ; EM1
5 5 5
5
6 2 9
k M
2 1; ; EM
2
6 EM1
(Loại)
5 5 5

8 1
Vậy M
1; ;
5 5
Câu 52:(Chuyên Lê Hòng Phong- Nam Định) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho ABC A 2;0;0 , B 0;2;0 , C 1;1;3 . H x ,y ,z là chân đường vuông góc
biết
hạ từ A xuống BC. Khi đó x y z bằng
0 0 0
A. 38 B. 34
C. 30
9
11
11
Đáp
án B
Có AH ( x 2; y ; z ); BC(1; 1;3); BH ( x ; y 2; z )
o o o o o o
0 0 0
D. 11
34
4
t
11
xo 2 yo 3zo
0
4
x
. 0
o
AH BC xo
t
34
Theo đề bài, có
11
xo yo zo
BH tBC yo
2 t
18 11
y
o
z
3
11
o
t
12
zo
11
Câu 53: ( Chuyên Đại Học Vinh) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho hai vectơ
u
1;2;3
và v5;1;1
. Khẳng định nào đúng?
A. u v
B. u v
C. u v
D. u v
Đáp án B
u. v 1. 5 2.1 3.1 0 u v
Ta có:
Câu 54: ( Chuyên Đại Học Vinh)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho các điểm
2;1; 1 , 3;3;1 , 4;5;3
A B C . Khẳng định nào đúng
A. AB AC
B. A, B,
C thẳng hang
C. AB AC D. O, A, B,
C là bốn đỉnh của một hìnhtứdiện
Đáp án B
AB 1;2;2 , AC 2;4;4
2 AB A, B,
C thẳng hàng
Ta có:
Câu 55: ( Chuyên Đại Học Vinh)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho tam giác
OAB có A 1; 1;0 , B 1;0;0
. Tính độ dài đường cao kẻ từ O của tam giác OAB
A.
1
5
B. 5 C.
5
10
D. 2 5
5

Đáp án A
Ta có: AB 2;1;0 , OB 1;0;0 d O,
AB
AB;
OB
AB
Câu 56: (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho hai mặt phẳng P : x m 1
y 2z m 0 và Q : 2x y 3 0, với m là tham
số thực. Để P và Q vuông góc thì giá trị của m bằng bao nhiêu
A. m 5
B. m 1
C. m 3
D. m 1
Đáp án B
Các vtpt của (P) và (Q) lần lượt là: n1 1;m 1; 2 ,n2
2; 1;0
P Q n .n 0 1.2 m 1 1 2 .0 0 m 1
Để thì
1 2
Câu 57: (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
M 0; 1;2 N 1;1;3 .
P đi qua M, N sao cho
cho hai điểm và Một mặt phẳng
khoảng cách từ điểm K 0;0;2 đến mặt phẳng
pháp tuyến n
của mặt phẳng
n 1; 1;1
A.
Đáp án B
B. n1;1; 1
1
5
P đạt giá trị lớn nhất. Tìm tọa độ véctơ
C. n2; 1;1
D. n2;1; 1
x
t
Ta có MN : y 1 2t . Gọi Ht; 1 2t;2 t
là hình chiếu vuông góc của K lên MN
z 2 t
1
Khi đó KHt; 1 2t; t .MN 1;2;1 0 t 2 4t t 0 t
3
1 1 7
H ; ; . Ta có dK; P
KH dấu “=” xảy ra KH P
3 3 3
1 1 1
1
Khi đó n KH ; ; 1;1; 1
3 3 3
3
Câu 58: (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai
điểm M 2; 3;5 ,N6; 4; 1
và đặt L MN . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
A. L 4; 1; 6
B. L 53 C. L 3 11 D. L
4;1;6
Đáp án B
MN 4; 1; 6 MN 4 1 6 53
Ta có
2 2 2
Câu 59: (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,

cho mặt phẳng P : x 2y 2z 2 0 và điểm I 1;2; 1 .
S có tâm I và cắt mặt phẳng
2 2 2
A. S : x 1 y 2 z1
25 B.
2 2 2
C. S : x 1 y 2 z1
34 D.
Đáp án D
Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng P là
Viết phương trình mặt cầu
P theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 5
2 2 2
S : x 1 y 2 z 1 16
2 2 2
S : x 1 y 2 z 1 34
d d I; P 3
2 2 2 2
Ta có R r d 5 3 34, với R là abns kính mặt cầu S
2 2 2
Phương trình mặt cầu là: S : x 1 y 2 z 1
34
Câu 60: (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
A 1;0;1 ,B 1;2;2 và song song với trục Ox có phương
mặt phẳng chwusa hai điểm
trình là
A. y 2z 2 0 B. x 2z 3 0 C. 2y z 1 0 D. x y z 0
Đáp án A
u 1;0;0 AB 2;2;1
Trục Ox có vecto chỉ phương là
và
0 0 0 1 1 0
2 1 1 -2 2 2
Mà P chứa A, B và P / /Ox nP
u;AB ; ; 0; 1;2
Vậy phương trình mặt phẳng P là y 2z 2 0
Câu 61: (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
P : 4x z 3 0. Véc-tơ nào dưới đây là
cho đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng
một véctơ chỉ phương của đường thẳng d?
A. u 4;1; 1
B. u 4; 1;3 C. u 4;0; 1
D. u 4;1;3
1
Đáp án C
2
Vì d P
suy ra u n
d P 4;0; 1
Câu 62: (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho ba điểm A a;0;0 ,B0; b;0 ,C0;0;c với a,b,c là các số thực dương thay đổi tùy
2 2 2
ý sao cho a b c 3. Khoảng cách từ O đến mặt phẳng
ABC lớn nhất bằng
A. 1 3
Đáp án C
B. 3 C.
3
1
3
D. 1
4

Vì OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau 1 1 1
1
2 2 2 2
d OA OB OC
Với d là khoảng cách từ O mpABC
suy ra 1 1 1
1
2 2 2 2
d a b c
2
x 2 y 2 z
2
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức
x y z
, ta
a b c a
b
c
có
1
Vậy d
max
3
Câu 63: ( Chuyên Thái Bình-Thái Bình-Lần 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz
cho A 1; 1;2 ; B2;1;1
và mặt phẳng
P : x y z 1 0 . Mặt phẳng Q chứa A, B và vuông góc với mặt phẳngP . Mặt
phẳng (Q) có phương trình là:
A. x y 0 B. 3x 2y x 3 0
C. x y z 2 0 D. 3x 2y x 3 0
Đáp án D
Ta có: nP
1;1;1 ;AB 1;2; 1
Do mặt phẳng Q chứa A,B và vuông góc với mặt phẳng
P nQ
n P;AB
3;2;1 .
Do đó Q : 3x 2y z 3 0.
Câu 64: ( Chuyên Thái Bình-Thái Bình-Lần 2)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz
2 2 2
cho mặt cầu có phương trình: x y z 2x 4y 6z 9 0. Mặt cầu có tâm I và bán
kính R là:
A. I1;2; 3
và R 5
B.
I 1; 2;3 và R 5
C. I1; 2;3
và R 5
D.
Đáp án B
Tâm I1; 2;3 ;R 1 4 9 9 5.
I 1;2; 3 và R 5
Câu 65 :( Chuyên Thái Bình-Thái Bình-Lần 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz
cho I1;0; 1 ; A2;2; 3
. Mặt cầu (S) tâm I và đi qua điểm A có phương trình là:
2
A. 2
2
2
x 1 y z 1
3
B.
2 2
x 1 y z 1 3
2
C. 2
2
2
x 1 y z 1
9
D.
2 2
x 1 y z 1 9

Đáp án D
Bán kính mặt cầu R IA 1 4 4 3.
Câu 66: ( Chuyên Thái Bình-Thái Bình-Lần 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz
cho H2;1;1 . Gọi (P) là mặt phẳng đi qua H và cắt các trục tọa độ tại A; B; C sao cho H
là trực tâm tam giác ABC. Phương trình mặt phẳng (P) là:
A. 2x y z 6 0 B. x 2y z 6 0
C. x 2y 2z 6 0 D. 2x y z 6 0
Đáp án A
AB
OC
Ta có: AB OH, tương tự BC OH .
AB
CH
OH ABC n OH 2;1;1
Do đó
ABC
Do đó P : 2x y z 6 0.
Câu 67:: (Viên Khoa Học và Thương Mại Quốc Tế) Trong không gian với hệ tọa độ
3;2; 1
Oxy là điểm
Oxyz , hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng
A. H 3;2;0
B. H 0;0; 1
C. H 3;2; 1
D. H 0;2;0
Đáp án A
Hình chiếu vuông góc của điểm ; ;
Cách giải: Hình chiếu vuông góc của 3;2; 1
m x y z trên mặt phẳng Oxy là M ' x; y;0
A trên mặt phẳng H
Oxy là điểm 3;2;0
Câu 68: (Viên Khoa Học và Thương Mại Quốc Tế) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz , mặt phẳng P :2x 3y z 2018 0 có vector pháp tuyến là:
n 2;3; 1
n 2;3;1
n 2; 3;1
n 2; 3; 1
A.
Đáp án C
B.
Phương pháp:
P : Ax By Cz D 0 A 2 B 2 C
2 .0
Mặt phẳng
C.
D.
có 1 VTPT là n A; B;
C
có 1 VTPT là n 2; 3;1
.
Cách giải: Mặt phẳng P : 2x 3y z 2018 0
Câu 69: (Viên Khoa Học và Thương Mại Quốc Tế) Trong không gian với hệ tọa độ
2;0;0 ; 0;3;0 ; 0;0;4
ABC có phương
Oxyz , cho ba điểm A B C , mặt phẳng
trình:
x y z
x y z
x y z
x y z
A. 1 0 B. 0 C. 0 D. 0
2 3 4
2 3 4
2 3 4
2 3 4
Đáp án D

Phương pháp: Sử dụng công thức viết phương trình mặt phẳng dạng đoạn chắn:
Mặt phẳng ABC đi qua các điểm Aa;0;0 ; B 0; b;0 ; C 0;0;
c có phương trình
x y z
1 .
a b c
x y z
Cách giải: Phương trình mặt phẳng ABC : 1
2 3 4
Câu 70: (Viên Khoa Học và Thương Mại Quốc Tế)Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz , cho mặt phẳng P : x y z 5 0 . Tính khoảng cách d từ M 1;2;1
đến mặt
phẳng P được :
A.
Đáp án C
15
d B.
3
Phương pháp
12
d C.
3
5 3
d D.
3
2 2 2
0; 0; 0 ; : 0 0 ;
M x y z P Ax By Cz D A B C d M P
Cách giải: d M
; P
1
2 1
5 5 3
2 2
1 1 1
3
2
d
4 3
3
Ax By Cz D
0 0 0
A B C
Câu 71: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng
x 1 1 y 2 z
d1
:
x 3 y z 1
và d2
: . Tìm tất cả các giá trị thực của m để
2 m
3
1 1 1
d d được:
1 2
A. m 1
B. m 1
C. m 5
D. m 5
Đáp án A
Phương pháp: d1 d2
u d .u
1 d 0
2
ud
2; m; 3 ;ud
1;1;1 . d d u d .u d 0
Cách giải: Ta có:
1 2
Để
1 2
1 2
2 2 2
2.1 m.1 3.1 0 m 1 0 m 1
Câu 72: (Viên Khoa Học và Thương Mại Quốc Tế) Trong không gian với hệ tọa độ
A 3; 2;6 , B 0;1;0 và mặt cầu
Oxyz , cho hai điểm
S : x 1 2 y 2 2 z 3
2
25 . Mặt phẳng P : ax by cz 2 0
cắt
đi qua A, B và
S theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính T a b c
A. T 3
B. T 5
C. T 2
D. T 4
Đáp án A
Phương pháp:
+) Để mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất thì
d I; P
max
+) Gọi H và K lần lượt là chân đường vuông góc của I trên (P) và trên đường thẳng AB.

Ta có : IH IK
I; P IH IK H K
max
max
Cách giải:
B P b 2 0 b 2
A P 3a 2b 6c 2 0 a 2c 2 a 2 2c
Khi đó mặt phẳng (P) có dạng :
Mặt cầu S
có tâm
I 1;2;3 , bán kính R 5
P : 2 2c x 2y cz 2 0
Gọi H và K lần lượt là chân đường vuông góc của I trên (P) và trên đường
thẳng AB. Ta có : IH IK
Để mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất thì
I; P IH
max max
IK H K
AB 3;3; 6 3 1; 1;2
Ta có:
=>Phương trình đường thẳng AB:
x
t
y 1 t , K AB K t;1 t;2t IK t 1; t 1;2t 3
z
2t
Vì
IK AB IK.IB 0 t 1 t 1 2 2t 3 0 6t 6 0 t 1
K 1;0;2
d I; P IHmax
IK H K H1;0;2 IH 0; 2; 1
là 1 VTPT của (P)
max
IH
và vec tơ pháp tuyến nP 2 2c;2;c
cùng phương
2 2c 0
c 1
nP
k.IH 2 2k a 2 2c 0
k 1
c k
T a b c 0 2 1 3
Câu 73: (Viên Khoa Học và Thương Mại Quốc Tế)Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz , cho mặt cầu 2
2 2
S : x y 2 z 5 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m
x 1 y m z 2m
để đường thẳng : cắt S tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
2 1 3
A, B có độ dài AB lớn nhất.
1
1
1
A. m B. m C. m D. m 0
2
3
2
Đáp án D
Phương pháp: AB lớn nhất d I;
nhỏ nhất.
Cách giải: Mặt cầu (S) có tâm I0; 2;0
và bán kính
R 5

Dễ thấy I
u 2;1; 3 ,M 1; m;2m , IM 1;2 m;2m
IM;u
2
21m 54
f I;
u
14
Ta có:
d I; 21m 54 m 0
2
Để AB lớn nhất
min
Câu 74: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2)Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường
x 1 y 1 z 1
thẳng d :
. Véc tơ nào trong các véc tơ sau đây không là véc tơ chỉ
1 1 1
phương của đường thẳng d?
u 2; 2;2
A.
1
Đáp án D
Phương pháp:
B. u 3;3; 3
1
min
C. u 42; 4;4
1
D. u 1;1;1
x x0 y y0 z z
0
Đường thẳng d : có 1 VTCP là u a;b;c .
Mọi vectơ
a b c
v ku k .
cùng phương với vecto u đều là VTCP của đường thẳng d.
u 1; 1;1
là 1 VTCP. Mọi vecto cùng phương với
Cách giải: Đường thẳng d nhận
vecto u đều là VTCP của đường thẳng d.
u1
1;1;1
u 1;1;1 không làVTCP của đường thẳng d.
Ta thấy chỉ có đáp án D, vecto không cùng phương với u 1; 1;1
1
Câu 75: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
điểm A1;2;3 và hai mặt phẳng P : 2x 3y 0 và Q : 3x 4y 0. Đường thẳng qua
A song song với hai mặt phẳng
x
t
A. y 2
z 3 t
Đáp án D
Phương pháp :
B.
x 1
y 1
z 3
P ; Q có phương trình tham số là:
Đường thẳng qua A song song với hai mặt phẳng
C.
x 1
t
y 2 t
z 3 t
D.
1
x 1
y 2
z
t
P ; Q
nhận u n P;nQ
là 1VTCP.
nên

P ; Q
Cách giải : Ta có nP 2;3;0 ;nQ 3;4;0
lần lượt là các VTPT của
3 0 0 2 2 3
4 0 0 3 3 4
Ta có : n P;n Q ; ; 0;0; 1
u 0;0;1
là 1 VTCP của đường thẳng qua A và vuông góc với cả
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là:
x 1
y 2
z 3 t
P ; Q
Với t 3
ta có đường thẳng đi qua điểm B1;2;0 phương trình đường thẳng cần tìm là :
x 1
y 2
z
t
Câu 76: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2) Trong không gian Oxyz, cho điểm A1;2;2
. Các số a, b khác 0 thỏa mãn khoảng cách từ A đến mặt phẳng P : ay bz 0 bằng
2 2 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. 1 b
B. a 2b
C. b 2a
D. a b
Đáp án D
Phương pháp: Sử dụng công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng.
Cách giải:
2a 2b
2 2 2 2 2
2
d A; P 2 2 a b 2a b a 2ab b 0 a b
0 a b
2 2
a b
Câu 77: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2) Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng
P : 2x y mz 2 0 và
Q : x ny 2z 8 0 song với nhau. Giá trị của m và n lần lượt là :
A. 4
Đáp án A
1
và 2
B. 2
1
và 2
C. 2
Phương pháp : Cho hai mặt phẳng có phương trình lần lượt là :
1
và 4
D. 4
1
và 4

P : A x By Cz D 0, Q : A 'x B' y C'z D' 0 .
Khi đó P và Q
song song với nhau
Cách giải: P
A B C D
A ' B' C' D'
m 4
2 1 m 2
/ / Q 1
1 n 2 8 n
2
Câu 78: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt
cầu (S) đi qua điểm O và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C khác O thỏa
mãn tam giác ABC có trọng tâm là điểm G 2;4;8 . Tọa độ tâm của mặt cầu (S) là
A. 3;6;12 B.
Đáp án A
2 4 8
; ;
3 3 3
C. 1;2;3
D.
4 8 16
; ;
3 3 3
Phương pháp giải: Xác định tọa độ ba điểm A, B, C và gọi tâm I, sử dụng điều kiện cách
đều IA IB IC IO để tìm tọa độ tâm I của mặt cầu
Lời giải:
Gọi Aa;0;0 ,B0;b;0 ,C0;0;c Tọa độ trọng tâm G là
a 6
a b c
; ; 2;4;8
b 12
3 3 3
c 24
2 2 2 2
Gọi tâm mặt cầu S
là Ix; y;z IO IA IB IC IO IA IB IC
2 12 2
I 3;6;12
Vậy tọa độ tâm mặt cầu là
2 2 2 2 2 2 2 2 2
x y z x 6 y z x y 12 z x y z 24 x; y;z 3;6;12
Câu 79: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2)Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có
phương trình tổng quát là
A. x y 2z 1 0 B. x 2y 2z 0 C. x 2y 2z 1 0 D. x 2y 2z 0
Đáp án B
Phương pháp giải: Mặt phẳng trung trực của AB nhận AB làm vectơ chỉ phương và đi
qua trung điểm AB

Lời giải: Ta có AB 1; 1;2
Vì P
và trung điểm M của AB là
1 1
M ; ;0
2 2
AB và P
đi qua M => Phương trình P
là x y 2z 0
Câu 80: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
điểm A( 1; 2 ;3).
Gọi S là mặt cầu chứa A, có tâm I thuộc tia Ox và bán kính 7. Phương
trình mặt cầu (S) là
A. 2 2 2
x 3 y z 49
B. 2 2 2
x 7 y z 49
C. 2 2 2
x 7 y z 49
D. 2 2 2
Đáp án C
Phương pháp giải: Gọi tọa độ tâm I, vì A thuộc mặt cầu nên IA
Lời giải:
x 5 y z 49
Vì I thuộc tia Ox 2
R suy ra tọa độ tâm I
I a;0;0 a 0 AI a 1;2; 3 IA a 1 13
2
Mà A thuộc mặt cầu 2
S : R IA IA 49 a 1 36 a 7
Vậy phương trình mặt cầu (S) là 2 2 2
x 7 y z 49
Câu 81: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
điểm A 2;3;4 .
Khoảng cách từ điểm A đến trục Ox là
A. 4 B. 3 C. 5 D. 2
Đáp án C
Phương pháp giải: Khoảng cách từ điểm Ax 0; y
0;z0
đến trục Ox là
Lời giải:
Gọi H là hình chiếu của A trên Ox H2;0;0 AH 0; 3; 4
2 2
AH 3 4 5
Vậy khoảng cách từ A đến trục Ox là
d y z
2 2
0 0
Câu 82: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1) Trong không gian với hệ trục tọa độ
x 1 y 1 z 2
Oxyz, cho đường thẳng d :
. Đường thẳng d có một VTCP là:
3 2 1
a 1; 1; 2
a 1;1;2
a 3;2;1
a 3; 2;1
A.
Đáp án D
B.
C.
D.

Phương pháp:
x x0 y y0 z z0
Đường thẳng d :
a b c
có 1 VTCP là u a;b;c
Cách giải: Đường thẳng d có 1 VTCP là u 3; 2;1
Câu 83: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1) Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình
2 2 2
x y z 9
và điểm
M 1;-1;1 . Mặt phẳng
(P) đi qua M và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi nhỏ nhất có phương trình
là:
A. x y z 1 0 B. 2x y 3z 0 C. x y z 3 0 D. x y z 1 0
Đáp án C
Phương pháp:
Kiểm tra M nằm trong hay ngoài mặt cầu.
Để giao tuyến là đường tròn có chu vi nhỏ nhất thì bán kính của đường tròn đó là nhỏ
nhất
d O; P OI là lớn nhất M I
Cách giải:
2 2 2
x y z 9
O 0;0;0 .
có tâm
Nhận xét: Dễ dàng kiểm tra điểm M nằm trong (S), do đó, mọi mặt phẳng
đi qua M luôn cắt (S) với giao tuyến là 1 đường tròn.
Để giao tuyến là đường tròn có chu vi nhỏ nhất thì bán kính của đường
tròn đó là nhỏ nhất.
d O; P OI là lớn nhất.
Mà IO OM( Vì OI IM)
IO lớn nhất khi M trùng I hay OM vuông
góc với (P)
Vậy, (P) là mặt phẳng qua M và có VTPT là OM( 1; 1 ;1).
Phương trình mặt phẳng (P) là: 1x 1 -1 y 1 +1. z 1 =0 x y z 3 0
Câu 84: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1)
A. 5x y z 9 0 B. 5x y z 11 0
C. 5x y z 11 0 D. 5x y z 9 0
Đáp án
Phương pháp: Cho u
1,u2
là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng , khi đó
n u 1, u 2
là một vectơ pháp tuyến của
Cách giải:
Gọi mặt phẳng cần tìm là
P : x 3y 2z 1 0 có một VTPT n ( 1;3;-2 ) u
1.
P
Vì P n
n
P

AB n AB ( 1;-2;3)
Khi đó,
1 2
có một vectơ pháp tuyến là: n u ,u 5; 1;1
Phương trình : 5x y z 9 0
Câu 85: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1) Trong không gian với hệ trục tọa
độ Oxyz, cho 3 điểm M 1;1;1 , N1;0;-2 , P0;1;-1 . Gọi
giác MNP. Tính x0 z0
Đáp án
A. 5 B. 5 2
C.
13
D. 0
7
Phương pháp: G là trực tâm tam giác MNP
Cách giải: G x 0; y
0;z 0 là trực tâm tam giác MNP
MN
1; 1;1
0; 1; 3 , NP
G
MNP
MG.NP 0
PG.MN 0
G x ; y ;z là trực tâm tam
0 0 0
G
MNP
MG.NP 0
PG.MN 0
Mặt phẳng (MNP) có một VTPT n MN, NP
2;3; 1
Phương trình (MNP): 2x 3y z 4 0
MN z 4
G x
0; y
0;z0 P 2x0 3y0
0
0 1
MG x 1; y 1;z 1 MG. NP x 1 1 y 1 .1 z 1 .1 0 x y z 1 0 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0
PG x 0; y 1;z 1 . x 0 .0 y 1 . 1 z 1 . 3 0 y 3z 2 0 3
PG MN
0 0 0 0 0 0 0 0
Từ (1),(2),(3), suy ra
5
x0
2x0 3y0 z0
4 0 7
10 13
x0 y0 z0
1 0 y0 x0 z0
7 7
y0 3z0
2 0
8
z0
7
Câu 86: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1) Trong không gian với hệ trục tọa
độ Oxyz, cho điểm A2;1;3 . Mặt phẳng (P) đi qua A và song song với mặt phẳng
Q : x 2y 3z 2 0 có phương trình là

A. x 2y 3z 9 0 B. x 2y 3z 13 0
C. x 2y 3z 5 0 D. x 2y 3z 13 0
Đáp án B
Phương pháp: P / / Q : z
x 2y 3 2 0 P : x 2y 3z m,m 2
Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng (P) và tìm hằng số m
Cách giải:
P / / Q : z
Mà 2;1;3 2 2.
x 2y 3 2 0 P : x 2y 3z m, m 2
P / /A P 1 3.3 2 0 m 13
(thỏa mãn)
x
P : 2y 3z 13 0
Câu 87: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1) Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz, cho hai điểm A B (3; 2;6), (0;1;0) và mặt cầu
2 2 2
S : x 1 y 2 z 3
25. Mặt phẳng
P : ax by cz 2 0 đi qua A, B và
cắt S theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính T a b c
A. T 5
B. T 3
C. T 2
D. T 4
Đáp án B
Phương pháp:
- Đưa phương trình mặt phẳng (P) về dạng chỉ còn 1 tham số.
- (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất d I; P
đó: I là tâm mặt cầu (S).
Cách giải:
max, trong
3a 2b 6c 2 0 b 2
A3; 2;6 ,B0;1;0 P : ax by cz 2 0
b 2 0 a 2 2c
P : 2 2c x 2y cz 2 0
2 2 2
S : x 1 y 2 z 3
25 có tâm
I 1;2;3 và bán kính R 5
- (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất d I; P
đó: I là tâm mặt cầu (S).
Ta có
d I; P
Ta tìm giá trị lớn nhất của
Ta có:
2 2c .1 2.2 c.3 2
2
c 4 c 8c 16
2 2
2
2 2
5c 8c 8
2 2c 2 c 5c 8c 8
2
c 8c 16
2
5c 8c 8
max, trong
2
. Gọi m là giá trị của c 8c 16
với c nào đó.
2
5c 8c 8

2
c 8c 16
2 2 2
m c 8c 16 m 5c 8c 8 c 1 5m 8 1 m c 16 8m 0 *
2
5c 8c 8
2 2 2 2
' 4 4m 1 5m 16 8m 16 32m 16m 16 8m 80m 40m 24m 120m
(*) có nghiệm 0 0 m 5
2 2
c 8c 16 c 8c 16
4 1 m 4 1
5
0 5 max 5 c 1
2 2
5c 8c 8 5c 8c 8
1 5m 1
5.5
Khi đó T a b c 2 2c 2 c 4 1 3
Câu 88: ( Chuyên Tiền Giang-2018) Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có
phương trình 3x z 1 0. Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) có tọa độ là
3;0; 1 3; 1;1 3; 1;0 3;1;1
A. B. C. D.
Đáp án A.
Câu 89: ( Chuyên Tiền Giang-2018) Trong hệ tọa độ Oxyz, cho OA 3k i. Tìm tọa
độ điểm A.
3;0; 1 1;0;3 1;3;0 3; 1;0
A. B. C. D.
Đáp án B.
Câu 90: ( Chuyên Tiền Giang-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
M 1;2;3 ; N 2; 3;1 ;P 3;1;2 . Tìm tọa độ điểm Q sao cho MNPQ là hình bình hành.
A. Q2; 6;4
B. Q4; 4;0
C. Q2;6;4 D. Q4; 4;0
Đáp án C.
MN QP 1; 5; 2 Q 2;6;4 .
Do MNPQ là hình bình hành nên
Câu 91: ( Chuyên Tiền Giang-2018) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng
qua ba điểm A, B, C lần lượt là hình chiếu của điểm M 2;3; 5
xuống các trục
Ox,Oy,Oz.
A. 15x 10y 6z 30 0
B. 15x 10y 6z 30 0
C. 15x 10y 6z 30 0 D. 15x 10y 6z 30 0
Đáp án D.
Phương trình mặt phẳng (ABC) theo đoạn chắn là:
15x 10y 6z 30 0.
x y z
1
2 3 5
Câu 92: ( Chuyên Tiền Giang-2018) Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A2;1;1 và mặt
phẳng P : 2x y 2z 1 0. Phương trình của mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt
phẳng (P) là
2 2 2
A. x 2 y 1 z 1
9
B.
2 2 2
C. x 2 y 1 z 1
4
D.
2 2 2
x 2 y 1 z 1 2
2 2 2
x 2 y 1 z 1 36
hay

Đáp án C.
2 2 2
Bán kính mặt cầu là: R d S; P 2 S : x 2 y 1 z 1
4.
Câu 93: ( Chuyên Tiền Giang-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các
điểm A2;0;0 ;B0;3;0 ;C0;0;4 . Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Tìm phương trình
tham số của đường thẳng OH.
x
4t
x
3t
A. y
3t
B. y
4t
z
2t
z
2t
Đáp án C.
C.
x
6t
y
4t
z
3t
D.
x
4t
y
3t
z
2t
Do H là trực tâm tam giác ABC suy ra được H là hình chiếu vuông góc của O trên mặt
phẳng (ABC) (học sinh tự chứng minh).
x
6t
x y z
Khi đó OH ABC : 1 uOH
6;4;3 .
Do đó OH : y 4t.
2 3 4
z
3t
Câu 95: (Cụm 5 trường chuyên) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
A1;2;3 và mặt phẳng
P : 2x y 4z 1 0. Đường thẳngd
qua điểm A, song song
với mặt phẳng P , đồng thời cắt trục Oz. Viết phương trình tham số đường thẳng d
A.
Đáp án D
x 1
5t
y 2 6t
z 3 t
B.
x 1
t
y 2 6t
z 3 t
C.
x 1
3t
y 2 2t
z 3 t
Phương pháp: Giả sử đường thẳng d
cắt trục Oz tại điểm B0;0;b AB nP
Cách giải:
Giả sử đường thẳng d
cắt trục Oz tại điểm B0;0;b AB1; 2;b 3
d / / P u n 2;1; 4
d P
2 2 4b 3 0 4b 8 0 b 2 B0;0;2
AB 1; 2; 1 1;2;1
D.
x
t
y
2t
z 2 t
Câu 96: (Cụm 5 trường chuyên) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vecto
u x;2;1 v 1; 1;2x
. Tính tích vô hướng của u và v .
và vec tơ
A. 2 x
B. 3x 2
C. 3x 2
D. x 2

Đáp án C
Phương pháp: a x ; y ;z ,bx ; y ;z
a.b x .x y .y z .z
u.v x.1 2. 1 1.2x 3x 2
Cách giải:
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
Câu 97: (Cụm 5 trường chuyên) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương
trình chính tắc của mặt cầu có đường kính AB với A2;1;0 , B0;1;2
2 2 2
A. x 1 y 1 z 1
2
B.
2 2 2
x 1 y 1 z 1 2
2 2 2
C. x 1 y 1 z 1
4
D.
2 2 2
x 1 y 1 z 1 4
Đáp án A
Phương pháp:
Mặt cầu có đường kính AB nhận trung điểm của AB làm tâm và có bán kính
AB
R .
2
Cách giải: Gọi I là trung điểm của AB ta có 2 2 2
I 1;1;1 , AB 2 0 2 2 2
Vậy mặt cầu đường kính AB có tâm I1;1;1 và bán kính
2 2 2
pt : x 1 y 1 z 1 2
AB
R 2
2
Câu 98: (Cụm 5 trường chuyên) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz có bao nhiêu
mặt phẳng song song với mặt phẳng Q : x y z 3 0,
cách điểm
M 3;2;1 một
khoảng bằng3 3 biết rằng tồn tại một điểm Xa;b;c trên mặt phẳng đó thỏa mãn
a b c 2?
A. 2 B. 1 C. Vô số D. 0
Đáp án D
Phương pháp :
Gọi Q : x y z a 0a 3
là mặt phẳng song song với mặt phẳng (P).
Sử dụng công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng.
Cách giải :
Gọi Q : x y z a 0a 3
là mặt phẳng song song với mặt phẳng (P).

6 a
a
3 ktm
d M; Q
3 3 6 a 9
3
a 15
Với a 15 Q : x y z 15 0
Xa;b;c Q a b c 15ktm .
Vậy không có mặt phẳng Q
nào thỏa mãn điều
kiện bài toán.
Câu 99: (Cụm 5 trường chuyên) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
n 2; 1;1
. Vectơ nào sau đây cũng là vectơ pháp tuyến của
P
có vecto pháp tuyến là
P ?
A. 2;1;1 B. 4;2;3
C. 4;2; 2
D. 4; 2;2
Đáp án D
Phương pháp : Nếu n là 1VTPT của P kn k 0
cũng là 1 VTPT của P
Câu 100: (Cụm 5 trường chuyên) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường
thẳng đi qua gốc tọa độ O và điểm I0;1;1 . Gọi S là tập hợp các điểm nằm trên mặt
phẳng Oxy , cách đường thẳng một khoảng bằng 6. Tính diện tích hình phẳng giới
hạn bởi S.
A. 36 2 B. 18 C. 36 D. 18 2
Đáp án A
Phương pháp:
Tính khoảng cách từ 1 điểm M đến đường thẳng : d M;
VTCP của và I là 1 điểm bất kì.
u OI 0;1;1
Cách giải: Đường thẳng nhận
MI;u
với u là 1
u
là 1 VTCP.

OM;u
2 2
b 2a
M a;b;0 O xy d M; 6
u 2
Gọi
a b a b
36 72 6 6 2
2 2 2 2
2 2
b 2a 72 1 1
2
2
Như vậy tập hợp các điểm M là elip có phương trình
2 2
a b
1
2
E
6 6 2
S S ab .6.6 2 36 2
E
Câu 101: (Cụm 5 trường chuyên)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường
x 1
t
x 1 y z
thẳng d
1
: ,d
2
: y 2 t.
2 1 3
z
m
Gọi S là tập hợp tất cả các số m sao cho đường
thẳng d1
và d2
chéo nhau và khoảng cách giữa chúng bằng
của S.
5 .
19
Tính tổng các phần tử
A. 11 B. 12
C. 12 D. 11
Đáp án B
Phương pháp: Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
M1M 2. u 1;u
2
d d 1;d2
u 1;u
2
Với u
1;u2
lần lượt là các VTCP của d
1;d 2;M1 d1M2 d2
Cách giải:
Ta có u 2;1;3 ;u 1;1;0
lần lượt là các VTCP của 1 2
1 2
Lấy M 1;0;0 d ;M 1;2;m d M M 0;2;m
1 1 2 2 1 2
1 2
d ;d .Ta có u ;u 3;3;1
M M . u ;u
6 m 5 m 1
d d
1;d2
S 1; 11
u 19 19 m 11
1;u
2
1 2 1 2

Câu 102: (Cụm 5 trường chuyên) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm
Aa;0;0 , B0;b;0 ,C0;0;c với a,b,c 0. Biết rằng ABC
đi qua điểm
2 2 2 72
S : x 1 y 2 z 3 .
7
Tính 1 1
1
a 2 b 2 c
2
và tiếp xúc với mặt cầu
1 2 3
M ; ;
7 7 7
A. 7 2
B. 1 7
C. 14 D. 7
Đáp án A
Phương pháp:
+) Viết phương trình mặt phẳng ABC
ở dạng đoạn chắn, thay tọa độ điểm M vào pt mặt
phẳng ABC .
+) ABC
tiếp xúc với mặt cầu S
tâm I bán kính R d I; ABC
Cách giải:
x y z
ABC : 1
a b c
1 2 3 1 2 3 1 2 3
M ; ; ABC
1 7
7 7 7
7a 7b 7c a b c
R
ABC
tiếp xúc với mặt cầu
S có tâm I1;2;3 và bán kính R
72
7
1 2 3
1
a b c 72
d I; ABC
R
1 1 1 7
2 2 2
a b c
6 72 1 1 1 14 1 1 1 7
1 1 1
2 2 2
a b c
2 2 2 2 2 2
7 a b c 2 a b c 2
Câu 103: (Chuyên Chu Văn An-2018) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm
A 8;0;0 , B 0;2;0 ,C 0;0; 4 . Phương trình mặt phẳng (ABC) là:
A. x 4y 2z 0 B. x y z 1
4 1 2
C. x y z 0
8 2 4
Đáp án D.
D. x 4y 2z 8 0

Phương pháp: Viết phương trình mặt phẳng (ABC) dạng đoạn chắn.
Cách giải: Phương trình mặt phẳng (ABC): x y z 1 x 4y 2z 8 0
8 2 4
Câu 104: (Chuyên Chu Văn An-2018) Cho mặt phẳng đi qua M 1; 3;4
và song
song với mặt phẳng : 6x 5y z 7 0. Phương trình mặt phẳng
A. 6x 5y z 25 0
B. 6x 5y z 25 0
C. 6x 5y z 7 0 D. 6x 5y z 17 0
Đáp án B.
Phương pháp: Mặt phẳng
Cách giải: Mặt phẳng
là:
đi qua M 1; 3;4
và nhận n 6; 5;1
đi qua M 1; 3;4
và nhận n 6; 5;1
phương trình:
6 x 1 5 y 3 z 4 0 6x 5y z 25 0.
là 1 VTPT.
là 1 VTPT nên có
Câu 105: (Chuyên Chu Văn An-2018) Cho mặt phẳng đi qua điểm M 1; 3;4
song song với mặt phẳng : 6x 2y z 7 0. Phương trình mặt phẳng
là :
A. 6x 2y z 8 0 B. 6x 2y z 4 0
C. 6x 2y z 4 0 D. 6x 2y z 17 0
Đáp án B.
Phương pháp: Mặt phẳng đi qua M 1; 3;4
và nhận n 6;2; 1
là 1 VTPT.
Cách giải: Mặt phẳng đi qua M 1; 3;4
và nhận n 6;2; 1
là 1 VTPT nên có
phương trình: 6x 1 2y 3 z 4
0 6x 2y z 4 0.
Câu 106: (Chuyên Chu Văn An-2018) Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới
x 1
2t
đây là phương trình chính tắc của đường thẳng y 3t ?
z 2 t
A. x 1 y z
2 B. x 1 y z
2
2 3 1 1 3 2
C. x 1 y z
2 D. x 1 y z
2
1 3 2
2 3 1
Đáp án D.
x 1
2t
Phương pháp: Đường thẳng d có phương trình tham số: y
3t có phương trình chính
z 2 t
tắc
và

x x0 y y0 z z0
a b c
Cách giải: Phương trình chính tắc của đường thẳng d là: x 1 y z
2
2 3 1
Câu 107: (Chuyên Chu Văn An-2018) Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng
2 2 2
P : 2x 2y z 4 0 và mặt cầu S : x y z 2x 4y 6z 11 0. Biết rằng mặt
phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C). Tọa độ điểm H là tâm đường tròn (C)
là:
H 1;4;4
H 4;4; 1
A. H3;0;2 B. C. H2;0;3 D.
Đáp án A.
Phương pháp:
Mặt phẳng (P) cắt (S) theo một đường tròn (C) Tâm H của (C) là hình chiếu của H trên
(P).
Cách giải: Mặt cầu (S) có tâm I1;2;3 , bán kính R 5.
Mặt phẳng (P) cắt (S) theo một đường tròn (C) Tâm H của (C) là hình chiếu của H trên
(P).
n P 2; 2; 1 , đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P) có phương trình
Ta có
x 1
2t
y 2 2t d
z 3 t
Khi đó H P d H1 2t;2 2t;3 t .
Thay vào phương trình mặt phẳng (P) ta
có:
2 1 2t 2 2 2t 3 t 4 0 9t 9 0 t 1 H 3;0;2
Câu 108: (Chuyên Chu Văn An-2018) Trong không gian Oxyz cho điểm M 1;3; 2 .
Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục x 'Ox; y 'Oy; z 'Oz lần lượt tại
ba điểm phân biệt A, B, C sao cho OA OB OC 0
A. 3 B. 2 C. 1 D. 4
Đáp án D.
Phương pháp: Gọi Aa;0;0 , B0;b;0 ,C0;0;c a b c , chia các trường hợp để
phá trị tuyệt đối và viết phương trình mặt phẳng (P) dạng đoạn chắn.
A a;0;0 , B 0;b;0 ,C 0;0;c , ta có: OA a ;OB b ;OC c
Cách giải: Giả sử
OA OB OC 0 a b c 0
x y z
TH1: a b c P : 1 x y z a 0
a a a
M ABC 2 a 0 a 2 P : x y z 2 0

x y z
TH2: a b c P : 1 x y z a 0
a a a
M ABC 6 a 0 a 6 P : x y z 6 0
x y z
TH3: a b c P : 1 x y z a 0
a a a
M ABC 4 a 0 a 4 P : x y z 4 0
TH4: x y z
a b c P : 1 x y z a 0
a a a
M ABC 0 a 0 a 0 P : x y z 0
Vậy có 4 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 109: (Chuyên Chu Văn An-2018) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
2 2 2
x 1 y 2 z 1
S : x y z 2x 4y 6z 13 0 và đường thẳng d : . Tọa độ
1 1 1
điểm M trên đường thẳng d sao cho từ M kẻ được 3 tiếp tuyến MA, MB, MC đến mặt cầu
0
0
0
(S) (A, B, C là các tiếp điểm) thỏa mãn AMB 60 ; BMC 90 ; CMA 120 có dạng
M a;b;c với a 0. Tổng a b c bằng:
A. 2 B. -2 C. 1 D. 10 3
Đáp án B.
Phương pháp: Tính độ dài đoạn thẳng IM với I là tâm mặt cầu.
Tham số hóa tọa độ điểm M, sau đó dựa vào độ dài IM để tìm điểm M.
Cách giải : Mặt cầu (S) có tâm I1;2; 3 ,
bán kính R 3 3.
Đặt MA MB MC a.
Tam giác MAB đều AB a
Tam giác MBC vuông tại M BC a 2
0
Tam giác MCA có CMA 120 AC a 3
2 2 2
Xét tam giác ABC có AB BC AC ABC vuông tại B
ABC ngoại tiếp đường tròn nhỏ có đường kính AC
1 a 3
HA AC
2 2
Xét tam giác vuông IAM có:
1 1 1 4 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
HA AM IA 3a a 27 3a 27
a 3 MA
2 2 2 2
IM MA IA 3 27 36
2 2 2 2
2
M d M 1 t; 2 t;1 t IM t 2 t 4 t 4 36 3t 4t 0

t 0 M 1; 2;1
a 1
4 1 2 7 b 2 a b c 2
t M ; ; ktm
3
3 3 3
c 1
Câu 110: (Chuyên Lê Quý Đôn- Quảng Trị -Lần 1)Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz, cho mặt phẳng : 3x 2y z 6 0. Hình chiếu vuông góc của điểm
A2; 1;0
lên mặt phẳng
có tọa độ là
A. 1;0;3
B. 1;1; 1
C. 2; 2;3
D. 1;1; 1
Đáp án B
Phương pháp giải: Viết phương trình đường thẳng vuông góc với mặt và đi qua điểm, tọa
độ giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng chính là tọa độ hình chiếu của điểm
Lời giải:
x 2 y 1 z
AH AH : .
Gọi H là hình chiếu của A trên
Vì H AH H3t 2; 2t 1; t
mà
H 33t 2 22t 1
t 6 0 t 1
Vậy tọa độ điểm cần tìm là H1;1; 1
3 2 1
Câu 111: (Chuyên Lê Quý Đôn- Quảng Trị -Lần 1)Trong không gian với hệ tọa độ
M 1;2; 3
P : x 2y 2z 2 0
Oxyz, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
A. 3 B. 11 3
C. 1 3
D. 1
Đáp án A
Phương pháp giải: Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
P : A x By Cz D 0 là:
Khoảng cách từ điểm
0 0 0
A x By Cz D
0 0 0
d M; P
Lời giải:
A B C
M x ; y ;z đến mặt phẳng
2 2 2
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng P là
1.1 2.2 2. 3 2
d M; P
3
2
2 x
1 2 2
Câu 112: (Chuyên Lê Quý Đôn- Quảng Trị -Lần 1)Trong không gian với hệ tọa độ
x 1 y 2 z 3
Oxyz, cho hai điểm A3; 2;3 ,B1;0;5
và đường thẳng d :
. Tìm
1 2 2
2 2
MA MB đạt giá trị nhỏ nhất.
tọa độ điểm M trên đường thẳng d
để
A. M 2;0;5 B.
Đáp án A
Phương pháp giải:
M 1;2;3 C. M 3; 2;7
D. M 3;0;4

Vì điểm M thuộc d nên tham số hóa tọa độ điểm M, tính tổng MA
sát hàm số để tìm giá trị nhỏ nhất
Lời giải:
AM t 2;4 2t;2t
Vì M d M t 1;2 2t;2t 3
suy ra
BM t;2 2t;2t 2
Khi đó
MB đưa về khảo
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
T MA MB t 2 4 2t 4t t 2 2t 2t 2 18t 36t 28
2 2 2 2
18t 36t 28 18 t 2t 1 10 18 t 1 10 10 MA MB 10
Dễ thấy 2
Vậy Tmin
10
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi t 1
M 2;0;5
Câu 113: (Chuyên Lê Quý Đôn- Quảng Trị -Lần 1) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz, cho ba điểm A1;2;3 ,B3;4;4 ,C2;6;6;
và Ia;b;c
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính S a b c
A. 63
B. 46
C. 31
D. 10
5
5
3
Đáp án B
Phương pháp giải:
Tâm đường tròn ngoại tiếp cách đều 3 đỉnh của tam giác và thuộc mặt phẳng chứa tam
giác
Lời giải:
AB 2;2;1
Ta có AB;AC
2; 5;6
AC 1;4;3
Phương trình
ABC : 2x 5y 6z 10 0
I
mp ABC
Vì Ia;b;c là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC
IA IB IC
Lại có
2 2
2 2 2 2 2 2
IA IB IA IB
a 1 b 2 c 3 a 3 b 4 c 4
2 2
2 2 2 2 2 2
IA IC
IA IC a 1 b 2 c 3 a 2 b 6 c 6
2a 1 4b 4 6c 9 6a 9 8b 16 8c 16
2a 1 4b 4 6b 9 4a 4 12b 36 12c 36
4a 4b 2c 27
2a 8b 6c 62
3 49 46
Kết hợp với 2a 5b 6c 10 0 a ;b 4;c . Vậy S
10 10 5
Câu 114: (Chuyên Lê Quý Đôn- Quảng Trị -Lần 1) Trong không gian với hệ tọa độ
A 1;1;1 ,B 0;1;2 ,C 2;1;4
P : x y z 2 0 .
Oxyz, cho ba điểm và mặt phẳng

Tìm điểm N
P
sao cho
2 2 2
S 2NA NB NC đạt giá trị nhỏ nhất.
4 4
1 5 3
A. N 2;0;1
B. N ;2; C. N ; ;
3 3
2 4 4
Đáp án D
Phương pháp giải: Xét đẳng thức vectơ, đưa về hình chiếu của điểm trên mặt phẳng
Lời giải:
M a;b;c thỏa mãn đẳng thức vectơ 2MA MB MC 0
Gọi
2 1 a;1 b;1 c 0 a;1 b;2 c 2 1;1 b;4 c 0
D. N1;2;1
a 0
4a;4 4b;8 4c 0 b 1 M 0;1;2
c 2
Khi đó
2
2 2 2
2 2
S 2NA NB NC 2NA NB NC 2 MN MA MN MB MN MC
2
2 2 2
4MN 2NM. 2MA MB MC
2MA
MB MC
0
const
2 2 2 2
4MN 2MA MB MC
const
là hình chiếu của M trênP MN P
Suy ra Smin
MNmin
N
x y 1 z 2
1 1 1
Mà m mp P t 1 t t 2 2 0 t 1 N 1;2;1
Phương trình đường thẳng MN là Nt;1 t; t 2
suy ra
2 2 2
Câu 115: (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
B 4;1;9 . Tọa độ của véc tơ AB là
cho hai điểm A2;3; 1
và
A. 6; 2;10
B. 1;2;4
C. 6;2; 10
D. 1; 2; 4
Đáp án A
AB 6; 2;10
Câu 116: (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An) Trong không gian với hệ tọa độ
u 1;3;1
Oxyz,cho đường thẳng d đi qua điểm M 3;3; 2
.Phương trình của d là
và có véc tơ chỉ phương
A. x 3 y 3 z
2
B. x 3
y 3
z 2
1 3 2
1 3 1
C. x 3 y 3 z
1
D. x 1
y 3 z 1
1 3 2
3 3 2

Đáp án B
Câu 117: (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho điểm M a;b;1 thuộc mặt phẳng P : 2x y z 3 0 . Mệnh đề nào dưới đây là
đúng?
A. 2a b 3 B. 2a b 2 C. 2a b 2
D. 2a b 4
Đáp án B
M a;b;1
thuộc mặt phẳng
P : 2x y z 3 0 2a b 1 3 0 2a b 2 0
Câu 118: (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An) Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz, cho M 3;4;5 và mặt phẳng P : x y 2z 3 0 . Hình chiếu vuông góc của M
lên mặt phẳng P
là
A. H1;2;2 B. H2;5;3
C. H6;7;8
D. H2; 3; 1
Đáp án B
Phương trình đường thẳng qua M và vuông góc với P : x y 2z 3 0 là:
x 3
t
y 4 t H3 t;4 t;5 2t ,
z 5 2t
Cho H d 3 t t 4 10 4t 3 t 1
H2;5;3
Câu 119: (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho điểm M 3;3; 2
x 1 y 2 z x 1 y 1 z 2
và hai đường thẳng d
1
: ;d
2
: .
1 3 1 1 2 4
Đường thẳng d qua M cắt d
1,d 2
lần lượt tại A và B. Độ dài đoạn thẳng AB bằng
A. 3 B. 2 C. 6 D. 5
Đáp án A
A 1 t;2 3t; t d ;B 1 u;1 2u;2 4u d
Gọi
1 2

t 2 k u 4
Ta có: MA k.MB 3t 1 k 2u 2
t 2 k 4u 4
Giả hệ với ẩn t; k và
t 0
1
ku k t 0;u 0 A 1;2;0 ;B 1;1;2 AB 3
2
ku 0
Câu 120: (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
x 2 y z
cho đường thẳng d :
2 1 4
mặt phẳng
MN bằng
P và
Q
chứa d và tiếp xúc với
2 2 2
và mặt cầu
S : x 1 y 2 z 1 2 . Hai
S .Gọi M và N là tiếp điểm. Độ dài đoạn
A. 2 2 B. 4 3
3
Đáp án B
C. 2 3
3
D. 4
2 2 2
Mặt cầu S : x 1 y 2 z 1
2 có tâm
I 1;2;1 , R 2
Xét mặt phẳng thiết diện đi qua tâm I, hai tiếp điểm M, N và cắt d tại H.
Khi đó IH chính là khoảng cách từ điểm I1;2;1 đến d.

IK;u
d
K 2;0;0 d IK 1; 2; 1 f I; d 6
ud
Điểm
Suy ra IH 6, IM IN R 2. Gọi O là trung điểm của MN
Ta có
MH.MI 2 4 3
MO MN 2 x MO .
IH 3
3
Câu 121: (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz
cho điểm M 1;2;3 . Gọi P
là mặt phẳng đi qua điểm M và cách gốc tọa độ O một
khoảng cách lớn nhất, mặt phẳng P
cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C. Thể tích
khối chóp O.ABC bằng
A. 1372
9
Đáp án B
B. 686
9
Gọi H là hình chiếu của O trên
C. 524
3
D. 343
9
P d O; P OH OM
H M n P 1;2;3 P : x 2y 3z 14 0
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
A 14;0;0 , B 0;7;0 ,C
0;0; 14
3
Mặt phẳng P
cắt các trục tọa độ lần lượt tại
Vậy thể tích khối chóp OABC là
V
OABC
14
14.7
OA.OB.OC 3 686
6 6 9
Câu 122: (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho đường thẳng
x 3 y 2 z 1
d :
2 1 1
và mặt phẳng
P : x y z 2 0 . Đường
thẳng nằm trong mặt phẳng P , vuông góc với đường thẳng d đồng thời khoảng cách
từ giao điểm I của d với P
đến bằng 42. Gọi M 5;b;c là hình chiếu vuông góc
của I trên . Giá trị của bc bằng
A. 10
B. 10 C. 12 D. 20
Đáp án B

Vì Id I2t 3; t 2; t 1
mà IP t 1 I1; 3;0
Vì M là hình chiếu vuông góc của I trên
Khi đó
d I; d I; P IM 42
b;c 2; 5
M P 5 b c 2 0
b c 7
b;c 8;1
2 2
2 2
2
IM 42
4 b 3 c 42
b 3
c 26
Vậy M 5; 2; 5hoặc
M 5; 8;1 bc 10
Câu 123:( Chuyên Sơn La- Lần 1): Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng
P : 2x y 3z 2 0 . Mặt phẳng (P) có một vecto pháp tuyến là
A. n 1; 1;3
Đáp án B
Phương pháp:
B. n 2; 1;3
2 2 2
Mặt phẳng P : A x By Cz D 0A B C 0
Cách giải:
C. n 2;1;3
D. n 2;3; 2
có 1 VTPT là n A;B;C
Mặt phẳng P : 2 x y 3z 2 0 có một véc tơ pháp tuyến n 2; 1;3
Câu 124: ( Chuyên Sơn La- Lần 1)Trong không gian Oxyz,cho điểm A1;2;3 . Hình
chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (Oxy) là điểm
A. N1;2;0 B. M 0;0;3
C. P1;0;0 D. Q0;2;0
Đáp án A
Phương pháp:
Hình chiếu vuông góc của điểm M x 0; y
0;z0
trên mặt phẳng (Oxy) là điểm
M ' x ; y ;0
0 0
Cách giải:
Hình chiếu vuông góc của điểm A1;2;3 trên mặt phẳng (Oxy) là điểm N1;2;0
Câu 125: ( Chuyên Sơn La- Lần 1) Trong không gian Oxyz, cho điểm A1;3; 2
và

mặt phẳng : x 2y 2z 5 0. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
bằng:
A. 1 B. 2 3
C. 2 9
Đáp án B
Phương pháp: Xét
M x ; y ;z , : A x By Cz D 0.
0 0 0
D. 2 5
5
Khoảng cách từ M đến
Cách giải: Khoảng cách từ A đến
A x By Cz D
0 0 0
là: d M;
là: d M;
A B C
2 2 2
1 2.3 2. 2 5 2
2 2 2
1 2 2 3
Câu 126: ( Chuyên Sơn La- Lần 1) Trong không gian Oxyz, cho điểm A2; 1;1 .
Phương trình mặt phẳng đi qua hình chiếu của điểm A trên các trục tọa độ là
A. x y z 0
2 1 1
B. x y z 0
2 1 1
C. x y z 1
D. x y z 1
2 1 1
2 1 1
Đáp án B
Phương pháp:
Hình chiếu của điểm M x 0; y
0;z 0 trên trục Ox là điểm M1 x 0;0;0
Hình chiếu của điểm M x 0; y
0;z0
trên trục Oy là điểm M2 0; y
0;0
Hình chiếu của điểm M x 0; y
0;z0
trên trục Oz là điểm M3 0;0;z
0
Phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng đi qua 3 điểm
Aa;0;0 , B0;b;0 ,C0;0;c , a, b,c 0
là: x y z 1
a b c
Cách giải: Hình chiếu của điểm A2; 1;1
trên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt là:
2;0;0 , 0; 1;0 , 0;0;1
x y z
Phương trình mặt phẳng
: 1
2 1 1
Câu 127: ( Chuyên Sơn La- Lần 1) Trong không gian Oxyz, cho 2 mặt phẳng

P : x 2y 2z 2018 0,
Q : x my m 1
z 2017 0 (m là tham số thực). Khi hai mặt phẳng (P) và (Q) tạo
với nhau một góc nhỏ nhất thì điểm M nào dưới đây nằm trong (Q) ?
A. M 2017;1;1 B. M 0;0;2017
C. M 0; 2017;0
D. M 2017;1;1
Đáp án A
Phương pháp:
: a1x b1y c1z d1 0, : a
2x b2y c2z d2
0 nhận
n a ;b ;c , n a ;b ;c lần lượt là các VTPT. Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng
Cho
1 1 1 1 2 2 2 2
,
được tính:
cos , cos n ;n
1 2
Với 0 90 min cosmax
Cách giải:
P : x 2y 2x 2018 0 có 1 VTPT: n 1;2; 2
1
n
1.n
2
n . n
1 2
Q : x my m 1
z 2017 0 có 1 VTPT: n 1;m;m 1
Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q):
n
1.n
2
cosP , Q cosn 1;n2
n . n
1 2
1.1 2.m 2. m 1 1 2
2m 2m 2
2 2 2 2 2
2 2 2
1 2 2 . 1 m m 1 2m 1 3
2
0 cosP , Q
m
3
Với 0 90 min cosmax
min
P , Q
khi và chỉ khi
2
2 1
max
cos P ; Q 2m 1 0 m
3 2
1 1
Khi đó, Q : x y z 2017 0 2x y z 4034 0
2 2
Ta thấy: 2. 2017 11 4034 0 M 2017;1;1
Q
,

Câu 128: ( Chuyên Sơn La- Lần 1) Trong không gian Oxyz, cho các điểm
A1; 1;1 ,B 1;2;3 và đường thẳng
x 1 y 2 z 3
d :
. Đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc với hai đường thẳng
2 1 3
AB và d có phương trình là:
A. x 1 y 1 z
1 B. x 1
y 1
z 1
2 4 7 7 2 4
C. x 1 y 1 z
1 D. x 1
y 1
z 1
2 7 4
7 2 4
Đáp án D
Phương pháp:
d
u
u d;AB
AB
Viết phương trình đường thẳng biết điểm đi qua và VTCP.
x 1 y 2 z 3
Cách giải: d :
2 1 3
AB 2;3;2
vuông góc với d và AB AB nhận u 2;1;3
1 VTCP v AB;u 7;2;4
Phương trình đường thẳng
có 1 VTCP u 2;1;3
x 1 y 1 z 1
:
7 2 4
và AB 2;3;2
là cặp VTPT có
Câu 129: ( Chuyên Sơn La- Lần 1) Trong không gian Oxyz, cho điểm M 1;2;3 . Hỏi có
bao nhiêu mặt phẳng (P) đi qua M và cắt trục x’Ox, y’Oy, z’Oz lần lượt tại các điểm A, B,
C sao cho OA 2OB 3OC 0
Đáp án C
Cách giải:
A. 4 B. 6 C. 3 D. 2
Gọi tọa độ các giao điểm : Aa;0;0 B0;b;0 ,C0;0;c ; a;b;c 0

Khi đó phương trình mặt phẳng (P) có dạng đoạn chắn: x y z 1
a b c
M 1;2;3 P 1 2 3 1 1
a b c
Vì OA 2OB 3OC 0 nên
TH1: a 2b 3c
a 2b 3c
a 2b 3c
a 2 b 3 c 0
a 2b 3c
a 2b 3c
1 1 1 6 x y z
P : 1 1 a 6 tm P : 1
a a a a 6 3 2
2 3
TH2: a 2b 3c
1 1 1 2 x y 3z
P : 1 1 a 2tm P : 1
a a a
a 2 1 2
2 3
TH3: a 2b 3c
1 1 1 0
a a a
a
2 3
P : 1 1vo li
TH4: a 2b 3c
1 1 1 4 x y 3z
P : 1 1 a 4tm P : 1
a a a
a 4 2 4
2 3
Vậy, có 3 mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 130: ( Chuyên Sơn La- Lần 1) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm
Aa;0;0 , B0;b;0 ,C0;0;c với a, b, c là những số thực dương thay đổi sao cho
2 2 2
a 4b 16c 49. Tính tổng
lớn nhất.
A.
Đáp án D
51
F B.
5
2 2 2
F a b c sao cho khoảng cách từ O đến (ABC) là
51
F C.
4
49
F D.
5
49
F
4

Phương pháp:
- Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng đi qua 3 điểm Aa;0;0 ,B0;b;0 ,C0;0;c , (
a, b,c khác 0): x y z 1
a b c
- Sử dụng bất đẳng thức:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y
z
a b c
Cách giải:
Aa;0;0 ,B0;b;0 ,C0;0;c ,
x y z
1
a b c
2
x 2 y 2 z
2
x y c , a,b,c, x, y,z 0
a b c a b c
a,b,c 0 . Mặt phẳng (ABC) có phương trình:
Khoảng cách từ O đến (ABC):
h
0 0 0
1
a b c
1
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
a b c a b c
Ta có:
1
2 4 2
1 1 1 1 2 2 4 2 7
2
1
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c a 4b 16c a 4b 16c 49
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
2
a 7
2 2 2 1 2 4 7 7 1 2 7
b
2 2 2 2 2 2
2 2 2 a 4b 16c a 4b 16c 49 7 2
2 7
c
4
2 2 2 7 7 49
F a b c 7 2 4 4
1 2 4
a 4b 16c
a 4b 16c 49
Câu 131: ( Chuyên Trần Phú – Lần 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tính thể
tích tứ diện OABC biết A, B, C lần lượt là giao điểm của mặt phẳng
2x 3y 4z 24 0 với các trục Ox, Oy, Oz.
A. 288 B. 192 C. 96 D. 78
Đáp án C
1
Phương pháp: VOABC
OA.OB .OC
6
Cách giải:

Ta tìm được A12;0;0 ;B0;8;0 ;C0;0; 6
Khi đó ta có : OA 12;0;0 ;OB 0;8;0 ;OC 0;0; 6
OA;OB 8;12; 96
OA;OB
.OC 576
1
Vậy VOABC
OA.OB .OC 96
6
Câu 132: ( Chuyên Trần Phú – Lần 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
M 1; 1;2 , N 3;1; 4 . Viết phương trình mặt phẳng trung trực của MN?
A. x y 3z 5 0 B. x y 3z 1 0
C. x y 3z 5 0 D. x y 3z 5 0
Đáp án C
Phương pháp:
Mặt phẳng trung trực của MN và mặt phẳng vuông góc với MN tại trung điểm của MN.
Cách giải: Gọi I là trung điểm của MN ta có: I2;0; 1
MN 2;2; 6 21;1; 3
=>Mặt phẳng trung trực của MN đi qua I2;0; 1
n 1;1; 3
là 1 VTPT,
và nhận vectơ
do đó có phương trình : 1x 2 1y 0 3z 1
0 x y 3z 5 0
Câu 133: ( Chuyên Trần Phú – Lần 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
A1;1;1 và hai mặt phẳng P : 2x y 3z 1 0, Q : y 0 . Viết phương trình mặt
phẳng R
chứa A, vuông góc với cả hai mặt phẳng P
và Q ?
A. 3x y 2z 2 0 B. 3x 2z 0
C. 3x 2z 1 0 D. 3x y 2z 4 0
Đáp án C
Phương pháp: nR n P;nQ
Cách giải: Ta có:
nP 2; 1;3 ,nQ 0;1;0 nR n P;nQ
3;0;2
là 1 VTPT của mặt phẳng
R .
Vậy phương trình mặt phẳng R : 3x 1 2z 1
0 3x 2z 1 0
Câu 134: ( Chuyên Trần Phú – Lần 2)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết
M 1;3; 2 , cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại
phương trình mặt phẳng P
chứa điểm
OA OB OC
các điểm A, B, C sao cho
1 2 4
A. x 2y 4z 1 0 B. 4x 2y z 8 0
C. 2x y z 1 0 D. 4x 2y z 1 0
Đáp án B

Phương pháp :
A a;0;0 ,B 0;b;0 ,C 0;0;c a;b;c 0 A a;OB b;OC c
Gọi
x y z
Viết phương trình mặt phẳng P : 1
a b c
Cách giải :
A a;0;0 , B 0;b;0 ,C 0;0;c a;b;c 0 OA a;OB b;OC c
Gọi
OA OB OC b c c
4a
a
1 2 4 2 4 b
2a
P là : x y z 1
a 2a 4a
1 3 2
M P
1 a 2
a 2a 4a
Khi đó phương trình mặt phẳng
Vậy phương trình mặt phẳng
P là : x y z 1 4x 2y z 8 0
2 4 8
Câu 135: ( Chuyên Trần Phú – Lần 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết
2 2 2
phương trình mặt phẳng tiếp xúc với S : x y z 2z 4y 6z 2 0 và song song
với : 4x 3y 12z 10 0
4x 3y 12z 26 0
A.
4x 3y 12z 78 0
4x 3y 12z 26 0
C.
4x 3y 12z 78 0
Đáp án D
Phương pháp:
4x 3y 12z 26 0
B.
4x 3y 12z 78 0
4x 3y 12z 26 0
D.
4x 3y 12z 78 0
P / /
Phương trình mặt phẳng P
có dạng 4x 3y 12z D 0D 10
P
tiếp xúc với S
d I; P
R, với I; R là tâm và bán kính mặt cầu S .
Cách giải:
Gọi mặt phẳng P
là mặt phẳng cần tìm.
P / /
Phương trình mặt phẳng P
có dạng 4x 3y 12z D 0D 10
Mặt cầu S
có tâm I1;2;3 , bán kính R 4
P
tiếp xúc với S
d I; P
R
2
D 78
4 3 12
4.1 3.2 12.3 D
4 D 26 52
2 2
D 26
Vậy mặt phẳng P
thỏa mãn yêu cầu bài toán có phương trình
4x 3y 12z 26 0
4x 3y 12z 78 0
Câu 136: ( Chuyên Trần Phú – Lần 2)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các

điểm A1; 2;0 ,B0; 4;0 ,
C0;0; 3
. Phương trình mặt phẳng P
nào dưới đây đi qua A, gốc tọa độ O và cách
đều hai điểm B và C?
P : 6x 3y 5z 0
B.
D.
A.
C. P : 2x y 3z 0
Đáp án B
Phương pháp: P
cách đều
TH1:
TH2:
BC / / P
B,C d B; P d C; P
I P ,
với I là trung điểm của BC.
Cách giải:
OA 1; 2;0
Ta có:
P
cách đều
BC / / P
B,C d B; P d C; P
TH1:
BC 0;4; 3 OA;BC
6; 3; 4 P
VTPT
P : 6x 3y 4z 0 P : 6x 3y 4z 0
I P ,
TH2: với I là trung điểm của BC.
3 3 1
I0; 2; OI 0; 2; OA;OB
6; 3;4
2 2
2
P : 6x 3y 4z 0
P : 6x 3y 4z 0
P : 2x y 3z 0
đi qua O và nhận b 6; 3; 4
Dựa vào các đáp án ta chọn được đáp án B.
Câu 137: (Chuyên Hùng Vương-Gia Lai)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
tam giác ABC với A2;4;1 , B1;1; 6 ,C0; 2;3 .
Tìm tọa độ trọng tâm G của tam
giác ABC.
là 1
A.
1 2
G ;1;
3 3
B. G 1;3; 2
C.
1 2
G ; 1;
3 3
D.
1 5 5
G ; ;
2 2 2
Đáp án A
1 2
G ;1;
3 3
Câu 138: (Chuyên Hùng Vương-Gia Lai) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt
phẳng P : 2x 3y 4z 12 0 cắt trục
Oy tại điểm có tọa độ là

A. 0; 4;0
B. 0;6;0
C. 0;3;0
D. 0;4;0
Đáp án D
Trục Oy có x 0;z 0 y 4
Câu 139: (Chuyên Hùng Vương-Gia Lai) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt
n 2; 5;1
có phương trình
phẳng đi qua điểm A2; 3; 2
và có một vectơ pháp tuyến
là
A. 2x 3y 2z 18 0
B. 2x 5y z 17 0
C. 2x 5y z 12 0
D. 2x 5y z 17 0
Đáp án D
P : 2x 2 5y 3 z 2
0 hay 2x 5y z 17 0
Câu 140: (Chuyên Hùng Vương-Gia Lai) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
điểm I1;2; 5
và tiếp xúc với mặt phẳng P .
và mặt phẳng P : 2x 2y z 8 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm I
2 2 2
A. x 1 y 2 z 5
25 B.
2 2 2
x 1 y 2 z 5 25
2 2 2
C. x 1 y 2 z 5
5
D.
Đáp án A
Ta có:
2 2 2
x 1 y 2 z 5 36
2 4 5 8
2 2 2
R d I; P 5 x 1 y 2 z 5
25
4 4 1
Câu 141: (Chuyên Hùng Vương-Gia Lai) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
A2;4;1 ,B 1;1;3 và mặt phẳng P ; x 3y 2z 5 0. Viết phương trình mặt phẳng
Q
đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng
A. Q : 2y 3z 10 0
B. Q : 2x 3z 11 0
C. Q : 2y 3z 12 0
D. Q : 2y 3z 11 0
Đáp án D
AB 3; 2;2 ;n 1; 3;2
Ta có:
P
Khi đó: AB;n
0;8;12 n
0;2;3
Suy ra Q : 2y 3z 11 0
P
Q
P .

Câu 142: (Chuyên Hùng Vương-Gia Lai)Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông
góc Oxyz, cho mặt phẳng P : 2x y 6z 1 0 và hai điểm A1; 1;0 , B 1;0;1
.
Hình chiếu vuông góc của đoạn thẳng AB trên mặt phẳng P
có độ dài bao nhiêu?
A.
255
61
B.
237
41
C.
137
41
D.
155
61
Đáp án B
Sin góc giữa đường thẳng AB và P
là
u AB.n P
2.2 1. 1 6. 1 3
P
sin
u AB . n
41. 6 246
Hình chiếu vuông góc của AB trên mặt phẳng P
có độ dài là
2 9 237
L AB.cos AB. 1 sin 6
1
246 41
Câu 143: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Trong không gian Oxyz, cho hai mặt
phẳng P : 2x y 3z 1 0 và mặt phẳng Q : 4x 2y 6z 1 0 . Trong các mệnh
đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. (P) và (Q) vuông góc với nhau. B. (P) và (Q) trùng nhau.
Đáp án D
C. (P) và (Q) cắt nhau. D. (P) và (Q) song song với nhau.
Phương pháp: Xét hai mặt phẳng
P : a x b y c z d 0, Q : a x b y c z d 0 :
1 1 1 1 2 2 2 2
a1 b1 c1 d
1
) P Q . Khi đó n
/ /n
P Q
a b c d
2 2 2 2
) P
và Q cắt nhau khi và chỉ khi chúng không song song hay trùng nhau.
) P Q n n n .n 0
P Q P Q
Cách giải: P : 2x y 3z 1 0, Q : 4x 2y 6z 1 0 Ta có:
P và Q
song song với nhau.
2 1 3 1
4 1 6 1

Câu 144: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Trong không gian Oxyz, cho điểm
M 1;0;3 thuộc:
A. Mặt phẳng (Oxy). B. Trục Oy. C. Mặt phẳng (Oyz). D. Mặt phẳng (Oxz).
Đáp án D
Phương pháp: O xy : z 0, Oyz : x 0, O xz : y 0. Trục
Cách giải: M 1;0;3
O xz
x 0
Oy : y
t
z 0
Câu 145: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
d đi qua M 2;0; 1
và có VTCP là
u 2; 3;1
. Phương trình chính tắc của đường thẳng d là:
A. x 2 y z
1
2 3 1
C. x 2
y 3
z 1
2 3 1
Đáp án A
Phương pháp:
B. x 2
y 3
z 1
2 3 1
D. x 2
y 3
z 1
2 1 1
Đường thẳng đi qua M x 0; y
0;z0
và có VTCP là u a;b;c
x x y y z z
a b c
Cách giải:
0 0 0
Đường thẳng d đi qua M 2;0; 1
và có VTCP là u 2; 3;1
tắc: x 2 y z
1
2 3 1
có phương trình chính tắc:
có phương trình chính
Câu 146: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Trong không gian Oxyz, cho tam giác
ABC với A1;0;2 ,B1;2; 1 ,C 3;1;2 . Mặt phẳng P
đi qua trọng tâm của tam
giác ABC và vuông góc với đường thẳng AB là:
A. P : x y z 3 0
B. P : 2x 2y 3z 3 0
C. P : 2x 2y 3z 1 0
D. P : 2x 2y 3z 3 0

Đáp án B
Phương pháp: - Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ được tính:
- Phương trình mặt phẳng đi qua M x 0; y
0;z0
và có 1 VTPT
n a;b;c : a x x b y y c z z 0
0 0 0
Cách giải: Trọng tâm G của tam giác ABC: G
1;1;1
(P) vuông góc với AB => (P) nhận AB2;2; 3
là một VTPT
x
y
z
G
G
G
x x x
3
y y y
3
zA zB zC
3
A B C
A B C
Phương trình mặt phẳng P : 2x 1 2y 1 3z 1
0 2x 2y 3z 3 0
Câu 147: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Trong không gian Oxyz, cho hai đường
x 1 y z 2
thẳng d
1
:
2 1 1
x 1 y 1 z 3
và d
2
: . Đường vuông góc chung của d
1
1 7 1
và d2
lần lượt cắt d
1
, d2
tại A và B. Diện tích tam giác OAB bằng
A.
6
4
Đáp án B
B.
6
2
C. 6 D.
Phương pháp: Công thức tính diện tích tam giác ΔABC trong hệ tọa độ Oxyz là:
S
ABC
1
AB;AC
2
x 1 y z 2
Cách giải: d
1
: có phương trình tham số :
2 1 1
u 2; 1;1
1
x 1 y 1 z 3
d
2
: có phương trình tham số :
1 7 1
x 1
t
2
y 1 7t
2
,
z 3 t
2
Gọi A1 2t ; t ; 2 t , B1 t ;1 7t ;3 t
A d
1, B d2
1 1 1 2 2 2
3
2
x 1
2t1
y t
1
, có 1 VTCP
z 2 t1
có 1 VTCP u 1;7; 1
2

AB t 2t 2;7t t 1; t t 5
2 1 2 1 2 1
AB là đường vuông góc chung của
d ,d
1 2
AB.u
1
0
AB.u
2
0
2 t
2
t1 2 1 7t
2
t1 1 1 t 2
t1 5 0 6t 2
6t1
0
t1 t
2
0
1 t 51t
2
2t1 2 7 7t
2
t1 1 1 t 2
t1
5 0 2
6t1
0
A 1;0; 2 ,B 1;1;3 OA 1;0; 2 ,OB 1;1;3
Diện tích tam giác OAB: S OA;OB
2; 1;1
OAB
1 1 6
2 2 2
Câu 148: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
x 2 y 1 z 1
d :
1 2 2
và hai điểm A3;2;1 ,B2;0;4 . Gọi là đường thẳng qua A,
vuông góc với d sao cho khoảng cách từ B đến là nhỏ nhất. Gọi u 2;b;c
VTCP của . Khi đó , u bằng
A. 17 B. 5 C. 6 D. 3
Đáp án B
AB 1; 2;3
Cách giải:
x 2 y 1 z 1
d :
1 2 2
có 1 VTCP v1; 2;2
là một VTCP của
là một
là đường thẳng qua A, vuông góc với d mặt phẳng qua A và vuông góc d
Phương trình mặt phẳng :1x 3 2y 2 2z 1
0 x 2y 2z 1 0
Khi đó, d B; d B;
min
*) Tìm tọa độ điểm H:
khi và chỉ khi đi qua hình chiếu H của B lên
Đường thẳng BH đi qua
x 2 t
y
2t
z
4 2t
B 2;0;4 và có VTCP là VTPT của
có phương trình:

H BH H 2 t; 2t;4 2t
H 2 t 2 2t 2 4 2t 1 0 9t 9 0 t 1
H 1;2;2
HA 2;0; 1 u 2;b;c u 5
đi qua A3;2;1 ,H1;2;2 có VTCP
Câu 149: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
2 2 2
S : x y z 6x 4y 2z 5 0. Phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt
(S) theo giao tuyến là một đường tròn bán kính bằng 2 là
A. Q : 2y z 0 B. Q : 2x z 0 C. Q : y 2z 0 D.
Đáp án D
Phương pháp:
Trong đó,
2 2 2
d r R
d: khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (P),
r: bán kính đường tròn là giao tuyến của mặt cầu (S)
và mặt phẳng (P),
R: bán kính hình cầu.
2 2 2
2 2 2
Cách giải:
S : x y z 6x 4y 2z 5 0 x 3 y 2 z 1 9
S
có tâm
Q
cắt
I 3; 2;1 , bán kính R 3
S theo giao tuyến là một đường tròn bán kính r 2
2 2 2 2 2 2
Ta có: d r R d 2 3 d 5
n a;b;c , n 0 là một VTPT củaQ .
Khi đó n vuông góc
Gọi
với VTCP u 1;0;0
của Ox
1.a 0.b 0.c 0 a 0
Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua O0;0;0 và có VTPT
n 0;b;c , n 0 là:
0. x 0 by 0 cz 0
0 by cz 0
Khoảng cách từ tâm I đến (Q):
Q : 2y z 0

. 2 c.1
2 2 2 2 2
2
d 5 2b c 5b c b 4ac 4c 0 b 2c
0 b 2c
2 2
b c
c 1 b 2 n 0;2; 1
Cho
. Phương trình mặt phẳng Q : 2y z 0
Câu 150: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Cho ba tia Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc
với nhau. Gọi C là điểm cố định trên Oz, đặt OC 1,
các điểm A, B thay đổi trên Ox, Oy
sao cho OA OB OC. Giá trị bé nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là
A.
6
3
Đáp án C
B. 6 C.
Phương pháp: Sử dụng phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.
Cách giải: Đặt Ax;0;0 ,B0; y;0 , x, y 0
Vì OA OB OC 1 x y 1
Gọi J, F lần lượt là trung điểm AB, OC. Kẻ đường thẳng
qua F song song OJ, đường thẳng qua J song song OC, 2
đường thẳng này cắt nhau tại G.
OAB vuông tại O => J là tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác.
GJ / /OC GJ OAB GO GA GB
GF / /JO, JO OC GF OC, mà F là trung điểm của OC
=>GF là đường trung trực của OC GC GO
GO GA GB GC G là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC
6
4
D.
6
2
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC :
Ta có:
2
2 2 1 2
R OG FJ O F OJ OJ
2
2 2
x y 1
2
2
2 2
AB x y 2 2 2 1 2 3 3 6
min
OJ R R
2 2 2 2 2 2
4
8 8 4

Câu 151: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang )Trong không gian Oxyz, cho mặt
phẳng P : x 2y 3z 1 0. Mặt phẳng P có một vectơ pháp tuyến là
n 2;1;3
n 1;3; 2
n 1; 2;1
n 1; 2;3
A.
Đáp án D
B.
C.
D.
Câu 152: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang )Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho ba điểm M 3;0;0 , N0;-2;0 và P0;0;2 . Mặt phẳng MNP có phương trình là
Đáp án D
A. x y z 1
3 2 2
B. x y z 0
3 2 2
C. x y z 1
3 2 2
D. x y z 1
3 2 2
Câu 153: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho
2 2 2
mặt cầu S : x 5 y 1 z 2 16. Tính bán kính của S)
A. 4 B. 6 C. 7 D. 5
Đáp án A
Câu 154: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho điểm M 3; 1; 2
và mặt phẳng P : 3x y 2z 4 0. Phương trình nào dưới đây là
phương trình mặt phẳng đi qua M và song song với P?
A. Q : 3x y 2z 6 0 B. Q : 3x y 2z 6 0
C. Q : 3x y 2z 6 0
D. Q : 3x y 2z 14 0
Đáp án C
Q : 3x 3 y 1 2z 2 0 Q : 3x y 2z 6 0
Câu 155: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Trong không gian Oxyz, tìm tất cả các
2 2 2
giá trị của m để phương trình x y z 4x 2y 2z m 0 là phương trình của một mặt
cầu.
A. m 6
B. m 6
C. m 6
D. m 6
Đáp án B
Điều kiện 2 2 1 2 1 2 m m 6
Câu 156: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Trong không gian Oxyz, cho điểm
A1; 2;4 .
Hình chiếu vuông góc của A trên trục Oy là điểm
A. P0;0;4 B. Q1;0;0
C. N0; 2;0
D. M 0; 2;4
Đáp án C
Câu 157: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu có tâm I1;2; 1
và tiếp xúc với mặt
phẳng P : x 2y 2z 8 0
2 2 2
2 2 2
A. x 1 y 2 z 1 9
B. x 1 y 2 z 1 9

2 2 2
C. x 1 y 2 z 1 3
D.
Đáp án B
Khoảng cách từ tâm I
mpP
là
2 2 2
x 1 y 2 z 1 3
1.1 2.2 2. 1 8
d I, P
3
2
2 2
1 2 2
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là
2 2 2
x 1 y 2 z 1 9
Câu 158: (Chuyên Đại Học Vinh-2018)Trong không gian Oxyz, đường thẳng
x 3 y 2 z 4
d :
cắt mặt phẳng Oxy
tại điểm có tọa độ là:
1 1 2
A. 3;2;0 B. 3; 2;0
C. 1;0;0
D. 1;0;0
Đáp án D
Phương pháp:
+) Gọi M là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (Oxy). Khi đó tọa độ điểm M
thỏa mãn phương trình đường thẳng d và mặt phẳng (Oxy).
+) Phương trình mặt phẳng O xy : z 0
Cách giải:
Gọi M x 0; y
0;z 0 là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng
0
x 3 y 2 4
1 1 2
x 1
y0
0
0 0
0
M d M 1;0;0
O xy z 0
Câu 159: (Chuyên Đại Học Vinh-2018)Trong không gian Oxyz, điểm M 3;4; 2
thuộc
mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau?
A. R : x y 7 0 B. S : x y z 5 0 C. Q : x 1 0
D.
P : z 2 0
Đáp án A
Phương pháp:
Điểm M x 0; y
0;z 0 thuộc mặt phẳng 0 0 0
Cách giải:
: a x by cz d 0 ax by cz d 0
Thay tọa độ điểm M vào các phương trình của các mặt phẳng ta thấy tọa độ điểm M chỉ thỏa
mãn phương trình mặt phẳng (R)
Câu 160: (Chuyên Đại Học Vinh-2018) Trong không gian Oxyz, cho a 3;2;1
và điểm

A 4;6; 3 . Tìm tọa độ điểm B thỏa mãn AB a .
A. 7;4; 4
B. 1;8; 2
C. 7; 4;4
D. 1; 8;2
Đáp án B
Phương pháp:
x
x
a x ; y ;z b x ; y ;z y y
z
z
Hai vectơ
Cách giải:
1 2
1 1 1 2 2 2 1 2
1 2
Gọi điểm Bx 0; y
0;z0
là điểm cần tìm. Khi đó: AB x 4; y 6;z 3
x0 4 3 x0
1
AB a y0 6 2 y0
8 B1;8; 2
z0 3 1
z0
2
0 0 0
Câu 161: (Chuyên Đại Học Vinh-2018)Trong không gian Oxyz, mặt phẳng
x 5 y z 6
cắt trục Oz và đường thẳng d : lần lượt tại A và
1 2 1
P : 2x 6y z 3 0
B. Phương trình mặt cầu đường kính AB là:
2 2 2
A. x 2 y 1 z 5
36 B.
2 2 2
x 2 y 1 z 5 9
2 2 2
C. x 2 y 1 z 5
9
D.
Đáp án B
Phương pháp:
+) Điểm A thuộc Oz A0;0;0
2 2 2
x 2 y 1 z 5 36
+) Điểm B là giao điểm của đường thẳng d và (P) thì tọa độ điểm B thỏa mãn phương
trình của d và (P).
+) Phương trình mặt cầu tâm Ia;b;c
và bán kính R có phương trình là:
2 2 2 2
x a y b z c R
Cách giải:

x 0
z
t
Phương trình trục Oz : y 0. A Oz A0;0; t
Có P Oz A 2.0 6.0 t 3 0 t 3 A0;0;3
x 5 t '
d : y 2t ' .B d B5 t ';2t ';6 t '
z 6 t '
Có P d B 25 t ' 6.2t ' 6 t ' 3 0 t ' 1 B4; 2;7
Gọi I là trung điểm của AB I2; 1;5
AB
AB 4; 2;4 AB 36 6 IA R 3
2
Có
Vậy đường tròn đường kính AB là:
2 2 2
x 2 y 1 z 5 9
Câu 162: (Chuyên Đại Học Vinh-2018) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
A1;3; 2 ;B3;7; 18
và mặt phẳng P : 2x y z 1 0. Điểm M a;b;c thuộc
P
sao cho mặt phẳng (ABM) vuông góc với
S a b c
A. 0 B. 1 C. 10 D. 13
Đáp án B
Phương pháp:
(P) và
2 2
MA MB 246. . Tính
Từ các giả thiết đã cho, lập hệ 3 phương trình ba ẩn a, b, c. Giải hệ phương trình tìm a, b,
c và tính tổng S.
Cách giải:
M P 2a b c 1 0
AB 2;4; 16 ;AM a 1;b 3;c 2
AB;AM
16b 4c 40; 16a 2c 12; 4a 2b 2
n 2; 1;1
P
2 16b 4c 40 16a 2c 12 4a 2b 2 0
Ta có 12a 30b 6c 66 2a 5b c 11

2 2
MA MB 246
2 2 2 2 2 2
a 1 b 3 c 2 a 3 b 7 c 18 246
2 2 2
a b c 4a 10b 20c 75 0
Khi đó ta có hệ phương trình
2a b c 1 1
2a 5b c 11 2
2 2 2
a b C 4a 10b 20c 75 0 3
1 ; 2
b 2 2a 2 c 1 2a c 1 c 1
2a
Thay vào (3) ta có
2
2 2 2
a 4 1 2a 4a 10.2 20 1 2a 75 0 5a 40a 80 0 a 8a 16 0
a 4 c 7
Vậy S a b c 4 2 7 1
Câu 163: (Chuyên Đại Học Vinh-2018)Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có
A2;3;3 phương trình đường trung tuyến kẻ từ B là x 3
y 3
z 2 , phương trình
1 2 1
đường phân giác trong của góc C là x 2
y 4
z 2 . Đường thẳng AB có vecto chỉ
2 1 1
phương là :
u 2;1; 2
A.
3
Đáp án C
Phương pháp:
B. u 1; 1;0
+) Tam giác ABC có trung tuyến BM và phân giác CD.
2
C. u 0;1; 1
4
D. u1
1;2;1
+) Tham số hóa tọa độ điểm M là trung điểm của AC, tìm tọa độ điểm C theo tọa độ điểm
M.
+) CCD
Tọa độ điểm C.
+) Tìm tọa độ điểm N đối xứng với M qua CD N BC Phương trình đường thẳng
BC.
+) Tìm tọa độ điểm B BM BC , khi đó mọi vector cùng phương với AB đều là VTCP
của AB.
Cách giải:

Tam giác ABC có trung tuyến BM và phân giác CD.
Gọi M 30t;3 2t;2 t BM là trung điểm của AC ta có
2 2t 1 4t 1
2t 2 2t 2 4t
t 0
2 1 1 2 2t 2 4t
M 3;3;1 ;C 4;3;1
C 4 2t;3 4t;1 2t CD
Gọi H là hình chiếu của M trên CD ta có H2 2t;4 t;2 t MH 1 2t;1 t; t
1 7 3
MH uCD
21 2t
1 t t 0 6t 3 t H 3; ;
2 2 2
Gọi N là điểm đối xứng với M qua CD H là trung điểm của MN
N 3;4;1 CN 1;1;0
Do CD là phân giác của góc C nên N BC , do đó phương trình đường thẳng CB là
x 4 t '
y 3 t '
z 1
Ta có B BM CB . Xét hệ phương trình
3 t 4 t '
t 1
3 2t 3 t ' B 2;5;1 AB 0;2; 2 2 0;1; 1
t ' 2
2 t 1
u 0;1; 1
là 1 VTCP của AB
Vậy
4
Câu 164: (Chuyên Đại Học Vinh-2018)Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
x 2 y 1 z 2
d :
4 4 3
song song vớ i
E 2;1; 2 ,
vector chỉ phương u m;n;1 .
và mặt phẳng P : 2x y 2z 1 0. Đường thẳng đ i qua
P đồng thời tạo với d góc bé nhất. Biết rằng có một
Tính
T m n
2 2
A. T 5
B. T 4
C. T 3
D. T 4
Đáp án D
Phương pháp:
) / / P u
n
P

+) Sử dụng công thức cos ;d cosu d;u
+) Để góc giữa và d là nhỏ nhất thì cosu d;u
u d.u
u d . u
max
Cách giải :
Ta có : nP 2; 1;2
/ / P u
n P 2m n 2 0 n 2m 2
Do
Ta có
4m 4n 3 4m 4 2m 2 3 4m 5
cos ;d cosu d;u
41. m 2m 2 1
Để góc giữa và d là nhỏ nhất thì cosu d;u
2 2 2
2 2
41. m n 1 41. 5m 8m 5
max
2
4m 5
2 16m 40m 25
f m max g m f m
max
2
2
5m 8m 5
5m 8m 5
Có
2 2
32m 405m 8m 5
2
16m 40m 25
m 0
10m 8
72m 90m
g ' x
0
2
2
2
2
5
5m 8m 5 5m 8m 5
m
4
Lập BBT ta thấy max g m
5 m 0 n 2
Vậy
2 2
T m n 4
Câu 165: (Chuyên Đại Học Vinh-2018) Trong không gian Oxyz, cho các điểm A, B, C
(không trùng O) lần lượt thay đổi trên các trục Ox, Oy, Oz và luôn thỏa mãn điều kiện : tỉ
số giữa diện tích của tam giác ABC và thể tích khối OABC bằng 3 .
2
(ABC) luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định, bán kính của mặt cầu đó bằng :
A. 3 B. 2 C. 4 D. 1
Đáp án B
Phương pháp:
Chứng minh khoảng cách từ O đến (ABC) không đổi.
Biết rằng mặt phẳng

Cách giải:
Kẻ OH ABH AB ;OK CHK CH
ta có
AB OH
AB OHC AB OK
AB
OC
OK
AB
OK ABC
OK
CH
Ta sẽ chứng minh OK không đổi, khi đó mặt phẳng (ABC) luôn tiếp xúc với mặt cầu tâm
O bán kính OK.
Gọi Aa;0;0 ;B0;b;0 ;C0;0;c ta có:
V
ABC
1
abc
6
1
AB a;b;0 ;AC a;0;c
AB;AC
bc;ac;ab SABC
2
a b b c c a
1 a
2 b
2 2 2 2 2
b c c a
SABC
3
2
V 1
OABC
abc
2
6
2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1
a b b c c a abc a b b c c a a b c
2 2 2
2 4 a b c 4
2 2 2 2 2 2
Xét tam giác vuông OCK có
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
OK 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
OK OC OH OC OA OB x y z 4
Vậy mặt phẳng (ABC) luôn tiếp xúc với mặt cầu tâm O bán kính 2
Câu 166: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
đường thẳng x 3 y z 2
d : và điểm M 2; 1;0 .
Gọi (S) là mặt cầu có tâm I thuộc đường
1 1 1
thẳng d và tiếp xúc với mp (Oxy) tại điểm M. Hỏi có bao nhiêu mặt cầu thỏa mãn ?
A. 2. B. 1. C. 0. D. Vô số.
Đáp án B.
Phương pháp giải: Gọi tọa độ điểm, tính khoảng cách và tìm tọa độ tâm thông qua bán
kính
Lời giải: Ta có
x 3
t
d : y t .
x 2 t
I d T t 3; t; t 2 MI t 1; t 1; t 2 .
Vì
2 2 2 2
IM t 1 t 1 t 2 3t 6

Phương trình mặt phẳng (Oxy): z 0.
Khoảng cách từ tâm I mp Oxy
là d I; Oxy
t 2 .
Theo bài ra, ta có
2 2 2
R IM d I;Oxy 3t 6 t 2 3t 6 t 4t 4 t 1.
Vậy có duy nhất 1 mặt cầu thỏa mãn bài toán.
Câu 167: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
2 2 2
S : x 1 y 2 z 2
9
và mặt phẳng P : 2x y 2z 1 0. Biết (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có
bán kính r. Tính r.
A. r 3. B. r 2 2. C. r 3. D. r 2.
Đáp án B.
2 2
Phương pháp giải: Công thức tính bán kính đường tròn giao tuyến là r R d I; P
Lời giải:
2 2 2
Xét mặt cầu S : x 1 y 2 z 2 9 có tâm I1;2;2 , bán kính R 3.
2.11.2 2.2 1
Khoảng cách từ tâm I mp P
là d I; P
1.
2 2
2 1 2
Vậy bán kính đường tròn giao tuyến là
2
2 2
r R d I; P 2 2.
Câu 168: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
M 1;0;4 và đường thẳng d có phương trình là x y 1 z
1 . Tìm hình chiếu vuông góc
H của M lên đường thẳng d.
A. H1;0;1 . B.
Đáp án D.
H 2;3;0 .
1 1 2
C. H0;1; 1 .
D.
H 2; 1;3 .
Phương pháp giải: Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm và vuông góc với đường
thẳng. Khi đó, tọa độ giao điểm của
d và (P) chính là tọa độ hình chiếu.
d : u 1; 1;2 .
Lời giải: VTCP của đường thẳng
Ta có:
x
t
d : y 1 t .
x 1 2t
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, vuông góc với d là :
x 1 y 0 2z 4
0 x y 2z 9 0.
Vì H d Ht;1 t;2t 1
mà
Vậy H2; 1;3 .
d
d P H t 1 t 2 2t 1 9 0 t 2.
Câu 169: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt
2 2
cầu
2
S : x 1 y 1 z 4 và một điểm M 2;3;1 . Từ M kẻ được vô số các tiếp tuyến tới
(S), biết tập hợp các tiếp điểm là đường tròn (C). Tính bán kính r của đường tròn (C).
A. 2 3
r .
B. r 3 .
3
C. r 2 .
3
D. r
3 .
3
2
Đáp án A.

Phương pháp giải: Dựng hình, xác định tập hợp tiếp điểm
2 2
Lời giải: Xét mặt cầu
2
S : x 1 y 1 z 4 có tâm I1;1;0 , bán kính
R 2.
IM 1;2; 1 IM 6. Gọi A,B là các tiếp điểm.
Ta có
E là tâm đường tròn (C), với bán kính r EA (Hình vẽ bên).
Tam giác MAI vuông tại A, có 2
2 2 2
MA MI IA 6 2 2.
Suy ra MA.IA 2 3
EA
.
Vậy bán kính của (C) là 2 3 .
2 2
MA IA 3
3
Câu 170: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt
phẳng P : 2x 2y z 0 và đường thẳng x 1 y z
d : . Gọi là một đường thẳng chứa
1 2 1
u a;1;b một vectơ chỉ phương của . Tính tổng
trong (P) cắt và vuông góc với d. Vectơ
S a b.
A. S 1. B. S 0. C. S 2. D. S 4.
Đáp án C.
Phương pháp giải: Áp dụng ứng dụng của tích có hướng trong không gian
Lời giải:
Vì P u
nP
và d u
nd
suy ra u u P;ud
0;3;6 30;1;2 .
a 0
Vậy u a;1;b 0;1;2 S a b 2.
b 2
Câu 171: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
2 2 2
S : x 1 y 2 z 2
9
và hai điểm M 4; 4;2 ,
N6;0;6 . Gọi E là điểm thuộc mặt cầu (S) sao cho EM EN đạt giá
trị lớn nhất. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) tại E.
A. x 2y 2z 8 0.
B. 2x y 2z 9 0.
C. 2x 2y z 1 0.
D. 2x 2y z 9 0.
Đáp án D.
Phương pháp giải: Dựng hình, áp dụng công thức trung tuyến để biện luận giá trị lớn nhất
Lời giải:
2 2 2
Xét mặt cầu (S): x 1 y 2 z 2 9 có tâm I1;2;2 , bán kính R 3.
Ta có MI NI 3 5 3 R M, N nằm bên ngoài khối cầu (S).
Gọi H là trung điểm của MN H5; 2;4
và
2
Lại có 2
2 2
2 2
2 MN
EM EN 1 1 EM EN 2
EH .
4
2 2 2
2 EM EN MN
EH .
2 4
Để EM EN EH
max
max
Khi và chỉ khi E là giao điểm của IH và mặt cầu (S).
P
Gọi (P) là mặt phẳng tiếp diện của (S) tại E
n a.EI b.IH b 4; 4;2 .

Dựa vào các đáp án ta thấy ở đáp án D,
1
n 2; 2;1 4; 4;2
2
P
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là 2x 2y z 9 0.
Câu 172: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt
2 2 2
cầu
S : x 3 y 1 z 2 8. Khi đó tâm I và bán kính R của mặt cầu là
A. I3; 1; 2 , R 4
B.
C. I3;1;2 ,R 2 2 D.
I 3;1;2 , R 4
I 3; 1; 2 ,R 2 2
Câu 173: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba
A 1;2; 1 , B 3;4; 2 ,C 0;1; 1 . Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ABC là
n 1; 1;1
n 1;1; 1
n 1;1;0
n 1;1; 1
điểm
A.
B.
C.
Đáp án C
Phương pháp giải:
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chính là tọa độ vectơ tích có hướng
Lời giải:
Ta có AB 2;2; 1 ; AC 1; 1;0
suy ra AB;AC
1;1;0
D.
Câu 174: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
A( 2;1; 3) . Điểm A đối xứng với A qua mặt phẳng Oyz có tọa độ là
A. A ' 2;1;3 B. A ' 2; 1; 3
C. A ' 2;1; 3
D. A ' 2;1; 3
Đáp án D
Phương pháp giải:
Xác định tọa độ hình chiếu trên mặt phẳng và lấy trung điểm ra tọa độ điểm đối xứng
Lời giải:
Hình chiếu của A( 2;1; 3)
trên mặt phẳng Oyz là H( 0;1; 3)
Mà H là trung điểm của AA suy ra tọa độ điểm A ' 2;1; 3
Câu 175: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt
x 1 y 1 z 2
phẳng : x y z 2 0 và đường thẳng d : . Phương trình nào
2 1 1
dưới đây là phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng
.
A. x y z 2 0
B. 2x 3y z 7 0
C. x y 2z 4 0
D. 2x 3y z 7 0
Đáp án B
Phương pháp giải:
Ứng dụng của tích có hướng để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Phương trình mặt
phẳng đi qua 0 0
n a;b;c : a x x b y y c z z 0
M x ; y và có VTPT
0 0 0

Lời giải: Có n 1;1; 1 ;n 2;1;1
Vì
d
d P
ud
nP
n u ;n 2; 3; 1
P
n n
P
Mà d đi qua M( 1; 1;2)
suy ra
P d
M P .
Vậy phương trình mặt phẳng P : 2x 3y z 7 0
Câu 176: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai
mặt phẳng P : 3x y z 5 0 và
và Q có phương trình là
Q : x 2y z 4 0. Khi đó, giao tuyến của P
x
t
x
t
x
3t
A. d : y 1 2t B. d : y 1 2t C. d : y 1 t D.
z 6 t
z 6 5t
z 6 t
x
t
d : y 1 2t
z 6 5t
Đáp án D
Phương pháp giải:
Ứng dụng tích có hướng để tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng giao tuyến và giải hệ
phương trình để tìm tọa độ giao điểm của hai mặt phẳng
n 3;1;1 , n 1; 2;1
Lời giải: Ta có:
P
Gọi d là giao tuyến của P và Q.
ud
nP
Ta có ud n ;n 1; 2;5
P Q
ud
n
Q
Xét hệ
3x y z 5 0
,
x 2y z 4 0
Q
y z 5 0 y 1
x 0
M 0; 1;6 d
2y z 4 0 z 6
chọn
x
t
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là d : y 1 2t
z 6 5t
Câu 177: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
I( 3;4; 2) . Lập phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oz.
2 2 2
A. S : x 3 y 4 z 2
25 B.
2 2 2
C.
2 2 2
S : x 3 y 4 z 2
5
S : x 3 y 4 z 2 20 D.
2 2 2
S : x 3 y 4 z 2 4

Đáp án A
Phương pháp giải:
Khoảng cách từ tâm đến trục Oz chính bằng bán kính R
Phương trình mặt cầu tâm
S : x a y b z c R
Lời giải:
2 2 2 2
I a, b,c và bán kính
x : 0
Phương trình trục Oz: y 0, uOz
0;1;1
z
t
Ta có OI 3;4; 2 OI;u
Oz
4; 3;0
OI;u
Oz 2 2
Khoảng cách từ tâm I Oz là d I;Oz
3 4 5 R
u
Vì S tiếp xúc với trục Oz Phương trình cần tìm là
2 2 2
S : x 3 y 4 z 2 25
Câu 178: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba
8 4 8
điểm M 2;2;1 , N ; ; , E 2;1; 1 .
Đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội
3 3 3
tiếp của tam giác OMN và vuông góc với mặt phẳng OMN. Khoảng cách từ điểm E đến
đường thẳng là
A. 2 17
3
Đáp án A
B. 3 17
5
Oz
C. 3 17
2
D. 5 17
3
Phương pháp giải:
Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN bằng tính chất đường phân giác
Lời giải:
Ta có OM;ON
=k 1; 2;2
Vectơ chỉ phương của OM 2;2;1
OM 3

8 4 8
ON ; ; ON 4
3 3 3
Kẻ phân giác OF F
MN
ta có:
OM MF 3 3 12 12
MF FN F 0; ;
ON NF 4 4 7 7
OMN I OF OI kOF, với k 0
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp
Tam giác OMN vuông tại O, có bán kính đường tròn nội tiếp r=1 IO 2.
15 3 12 2 12
Mà ME= ;OM=3;cosOMN= OF suy ra OF OI I0;1;1
7 5 7
7
x 1 y 3 z 1
Phương trình đường thẳng là
: , có u 1; 2;2 ,
đi qua
1 2 2
I 0;1;1
Khoảng cách từ E đến đường thẳng là
d
EI;u
2 17
u 3
Câu 179: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba
điểm A1;2;1 , B3; 1;1 , C1; 1;1 .
Gọi S
1
là mặt cầu tâm A, bán kính bằng 2; S
2
và
S
3
là hai mặt cầu có tâm lần lượt là B, C và bán kính đều bằng 1. Trong các mặt phẳng
tiếp xúc với cả 3 mặt cầu S 1, S 2 , S 3 có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với mặt
phẳng Oyz?
A. 3 B. 1 C. 4 D. 2
Đáp án A
Phương pháp giải:
Xét vị trí tương đối của mặt phẳng, gọi phương trình tổng quát của mặt phẳng và tính
toán dựa vào điều kiện tiếp xúc
Lời giải:
Gọi phương trình mặt phẳng cần tìm là P : ax+by cz d 0
Vì
suy ra
và mp P vuông góc với mp Oyz
d B; P d C; P 1
Mà BC ( 4 ;0;0)
Với
Và
mp P / / BC hoặc đi qua trung điểm của BC.
mp P / /BC
2b c d
d A; P 2
b c
mp P / /BC a 0 P : by cz d 0 suy ra
2 2
4b c d
b c d 2b c d 2 b c d
d B; P 1
c d 0
2 2
2 2
b c b c d b c
b c d b c
2 2

2 2 2
3 b b c
8b c c 2 2b
suy ra có ba mặt phẳng thỏa mãn
2 2
b b c
c 0 d 0
Câu 180: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai
mặt phẳng Q 1
: 3x y 4z 2 0 và Q 2 : 3x y 4z 8 0. Phương trình mặt phẳng
(P) song song và cách đều hai mặt phẳng Q và Q là:
A. P : 3x y 4z 10 0
C. P : 3x y 4z 10 0
Đáp án B
Phương pháp
1
B.
D.
2
P : 3x y 4z 5 0
P : 3x y 4z 5 0
Phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai mặt phẳng
phẳng song song và nằm chính giữa
Cách giải
1
Q và
Q 2
1
Q và Q
Phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai mặt phẳng Q 1
và Q2
là mặt
phẳng song song và nằm chính giữa Q 1
và Q 2
2 8
Ta có 5 P : 3x y 4z 5 0
2
Câu 181: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5) Một quả cầu (S) có tâm I( 1; 2;1)
và tiếp xúc
với mặt phẳng P : x 2y 2z 2 0 có phương trình là:
2 2 2
A. S : x 1 y 2 z 1
3 B.
2 2 2
C. S : x 1 y 2 z 1
9 D.
Đáp án D
Phương pháp
+) (S) tiếp xúc với (P) nên
d I; P =R
2 2 2
2
là mặt
S : x 1 y 2 z 1 3
2 2 2
S : x 1 y 2 z 1 9
+) Phương trình mặt cầu tâm Ia;b;c , bán kính R là
2 2 2 2
S : x a y b z c R
Cách giải
Ta có
1 2.2 2.1
2
d I; P
= 3 R
1
4 4
2 2 2
Vậy phương trình mặt cầu là:
S : x 1 y 2 z 1 9
Câu 182: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5)Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho
điểm M( 1;2;5). Số mặt phẳng đi qua M và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho

OA OB OC (A, B, C không trùng với gốc tọa độ O) là:
A. 8 B. 3 C. 4 D. 1
Đáp án C
Phương pháp
+) Gọi Aa;0;0 ;B0;b;0 ;C0;0;c a,b,c 0 ,
viết phương trình mặt phẳng (P) đi
qua A, B, C dạng đoạn chắn.
phẳng (P).
+)
M
P
a b c
a b c
OA OB OC a b c
a b c
a b c
+) Ứng với mỗi trường hợp tìm các ẩn a, b, c tương ứng
Cách giải
Thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt
Gọi Aa;0;0 ;B0;b;0 ;C0;0;c a, b,c 0 ,
khi đó phương trình mặt phẳng đi qua A,
x y z
B, C là P : 1
a b c
1 2 5
M P
1 *
a b c
a b c
a b c
Ta có OA OB OC a b c
a b c
a b c
1 2 5 8
TH1: a b c, thay vào (*) có 1 1 a 8 P : x y z 8 0
a a a a
TH2: a b c, thay vào (*) có
1 2 5 2
1 1 a 2 P : x y z 2 0
a a a a
1 2 5 4
TH3: a b c, thay vào (*) có 1 1 a 4 P : x y z 4 0
a a a a
TH4: a b c, thay vào (*) có
1 2 5 6
1 1 a 6 P : x y z 6 0
a a a a
Vậy có 4 mặt phẳng thỏa mãn.
Câu 183:( Chuyên Thái Bình- Lần 5): Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho
A 2;0;0 ;B 0;3;1 ;C 1;4;2 . Độ dài đường cao đỉnh A của tam giác ABC
ba điểm

A. 6 B. 2 C.
Đáp án B
Phương pháp
Đường thẳng d có VTCP u và đi qua điểm M d A;
d
Cách giải
AB 2;3;1 ;BC 1;1;1 ; AB;BC
2;1;1
AB;BC
4 11
d A;d
2
BC 111
Ta cps
3
2
AM;
u
u
D. 3
Câu 184: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho
2 2 2
mặt cầu S : x y z 2x 4y 6z m 3 0. Tìm số thực m để
: 2x y 2z 8 0 cắt S theo một đường tròn có chu vi bằng 8
A. m 3
B. m 4
C. m 1
D. m 2
Đáp án A
Phương pháp
Giả sử mặt phẳng cắt mặt cầu S theo đường tròn có bán kính r
Mặt cầu S có tâm I, bán kính R và
Cách giải
d I;
d ta có
Mặt phẳng cắt mặt cầu S theo đường tròn có bán kính
Mặt cầu S có tâm I( 1;2 ;3),
bán kính R 17 m
2 2 2
R r d
8
r 4
2
2 2 6 8
Ta có d I;
2 d
4 1
4
2 2 2 2 2
Áp dụng định lí Pytago ta có R r d 2 4 20 17 m 20 m 3
Câu 185: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
A 1;4;5 ; B 3;4;0 ; C 2; 1;0
P : 3x 3y 2z 12 0. M a;b;c
và mặt phẳng
Gọi
2 2 2
thuộc (P) sao cho MA MB 3MC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng a b c
A. 3 B. 2 C. 2
D. 3
Đáp án A
Phương pháp
+) Gọi I là điểm thỏa mãn hệ thức IA+IB+3IC 0, tìm tọa độ điểm I.

+) Chứng minh
2 2 2
MA MB 3MC nhỏ nhất MI nhỏ nhất.
+) MI nhỏ nhất M là hình chiếu của I trên (P)
Cách giải
Gọi Ix; y;z là điểm thỏa mãn IA+IB+3IC 0 ta có hệ phương trình:
x 1 x 3 3 x 2 0 x 2
y 4 y 4 3 y 1 0 y 1 I 2;1;1
z 5 z 3z 0
z 1
Ta có:
2 2 2
P MA MB 3MC
P MI +2MI.IA+IA +MI +2MI.IB+IB +3MI 6MI.IC 3IC
2 2 2 2
P 5MI + IA +IB +3IC +2MI. IA IB 3IC
MI IA + MI IB +3MI IC
2 2 2
2 2 2 2 2 2
const
0
Pmin
MI min
Khi đó M là hình chiếu của I trên (P)
Gọi d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P)
x 2 y 1 z 1
d : M 3t 2; 3t 1; 2t 1
3 3 2
1 7 1
M P 33t 2 33t 1 22t 1
12 0 t M ; ;0
a b c 3
2 2 2
Câu 186: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5)Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai
A 3;0;1 ;B 1; 1;3
P : x 2y 2z 5 0. Viết phương trình
điểm và mặt phẳng
chính tắc của đường thẳng d đi qua A, song song với mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách
từ B đến d nhỏ nhất.
x 3 y z 1
x 3 y z 1
A. d : B. d :
26 11 2
26 11 2
x 3 y z 1
x 3 y z 1
C. d : D. d :
26 11 2
26 11 2
Đáp án C
Phương pháp
Gọi H là hình chiếu của B trên mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với (P). Khi đó
d B;d d B; Q d B;d d B; Q H d
Cách giải
min

Dễ thấy A,B
P
Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua A và song song với (P) ta tìm được phương trình mặt phẳng
Q : P : x 2y 2z 5 0, d Q
khi đó
Gọi H là hình chiếu của B trên (Q) ta có
d B;d d B; Q d B;d d B; Q H d
min
Phương trình đường thẳng d’ đi qua B và vuông góc với (Q) là
x 1 y 1 z 3
Ht 1; 2t 1;2t 3
1 2 2
10 1 11 7
H Q t 1 22t 1 22t 3
1 0 t H ; ;
9 9 9 9
26 11 2 1
AH ; ; 26; 11;2
9 9 9 9
x 3 y z 1
Vậy phương trình đường thẳng d cần tìm là d :
26 11 2
Câu187: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho điểm M 1;1;2
và mặt phẳng P : 2x y 3z
1 0 . Đường thẳng đi qua điểm M
và vuông góc với mặt phẳng P có phương trình:
1 1 2
A.
x y z
.
B.
x 2 y 1 z 3
.
2 1 3
1 1 2
x 2 y 1 z 3
C. .
D.
x 1 y 1 z 2
.
1 1 2
2 1 3
Đáp án D
u n 2; 1;3
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là
d
p

Mà đường thẳng d qua M 1;1;2
nên phương trình
x 1 y 1 z 2
d : .
2 1 3
Câu 188: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3)Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
1;1;0 N 3;3;4 . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN có phương trình:
M và
A. x 2y
3z
1 0
B. 2x y 3z
13 0
C. 2x y 3z
30 0 D. 2x y 3z
13 0
Đáp án B
Gọi I là trung điểm của MN I 1;2;3
. Ta có nP
MN 4;2;6
Phương trình mặt phẳng P qua I 1;2;3 P
: 2x y 3z
13 0.
Câu 189: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3)Trong không gian Oxyz cho điểm
x
2 t
A 1;1;6 và đường thẳng : y
1
2t
. Hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường
z
2t
thẳng là:
1;3; 2 11; 17;18 . 3; 1;2 K 2;1;0
Đáp án C
A. N B. H C. M D.
Kẻ AP P t 2;1 2 t;2t AP t 3; 2 t;2t
6
Ta
có
u 1; 2;2 , AP AP. u 0 t 3 4t 2 2t 6 0 t 1 P 3; 1;2
Câu 190: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
x 1 y 1 z 2
cho điểm A1;2; 1
, đường thẳng d : và mặt phẳng
2 1 1
P thỏa mãn đường thẳng AB vuông
P : x y 2z
1 0
. Điểm B thuộc mặt phẳng
góc và cắt đường thẳng d. Tọa độ điểm B là
3; 2; 1
3;8; 3
A. B. C. 0;3; 2
D. 6; 7;0
Đáp án C
HD: Gọi H 1 2 t; 1 t;2
t d là hình chiếu của A trên d
AH 2 t; 3 t;3
t , giải AH. u 0 4t t 3 t 3 0 t 1
Ta có:
Suy ra H 3;0;1
, phương trình đường thẳng AH là
Do đó B AH P
suy ra 0;3; 2
d
B . Chọn C.
x 1 y 2 z 1
1 1 1
Câu 191: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3) Trong không gian Oxyz., cho mặt cầu
S x y z
2 2 2
: 1 2 1 6 tiếp xúc với hai mặt phẳng

P : x y 2z 5 0, Q : 2x y z 5 0 lần lượt tại các điểm A, B. Độ dài đoạn
thẳng AB là
A. 3 2. B. 3. C. 2 6. D. 2 3.
Đáp án A
HD: Phương trình đường thẳng IA và IB lần lượt là:
x 1 y 2 1 1 2 1
;
y z
1 1 2 2 1 1
A IA P 0;1; 3 ; B IB P 3;1;0 AB 3 2 . Chọn A.
Khi đó
Câu 192: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
x 1 y 1
z m
cho đường thẳng d : và mặt cầu
1 1 2
S : x 1 2 y 1 2 z 2 2
9
S tại hai
. Tìm m để đường thẳng d cắt mặt cầu
điểm phân biệt E, F sao cho độ dài đoạn thẳng EF lớn nhất.
1 1
A. m 1. B. m 0. C. m . D. m .
3 3
Đáp án B
IM
0;
u
d
HD: Ta có: EFm
ax
d I;
d (trong đó M
min
0 (1; -1; m))
ud
min
2 2
IM 2
0; u
d m 2 m 2
4 2m
12
Ta có: d I;
d
min
u
11
4 6
Suy ra dmin 2 R 3 khi m = 0. Chọn B.
d
Câu 193: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
x 1 t x 2t
cho hai đường thẳng y 2 t , d
: y 1
t
. Đường thẳng cắt d,
d lần lượt tại các
z t
z 2 t
điểm A, B thỏa mãn độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng là
x 1 y 2 z
x 4 y z 2
A. .
B. .
2 1 3
2 1 3
x y 3 z 1 C. . D.
x 2 y 1 z 1 .
2 1 3
2 1 3
Đáp án D
HD: Để AB nhỏ nhất AB là đoạn vuông góc chung của d, d .
Gọi A d A1 a;2 a;
a và
2 ;1 ;2 2 1; 1; 2
B d B b b b AB b a a b b a .
Vì

2 1 1 2 0
1
. 0
a
AB d AB u b a a b b a
3 2 2 0
d a b
1.
AB d
AB. u 0 22 1
1 2 0
d
b a a b b a 2a 6b 1 0 b
2
Vậy
3 5 1 3 1 x 2 y 1 z1
A2;1;1 , B1; ; AB 1; ; 2; 1; 3 AB : .
2 2 2 2 2 2 1 3
Câu 194: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng : x 2y 3z
1 0 là:
u 3; 2;1 . n 1; 2;3 . m 1;2; 3 . v 1; 2; 3 .
A.
Đáp án B
B.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là n 1; 2;3
C.
D.
Câu 195: (Chuyên Hạ Long – Lần 3) Trong không gian Oxyz , véc tơ nào dưới đây
vuông góc với cả hai véc tơ u 1;0;2 , v4;0; 1
?
w 0; 1;0
w 1;7; 1
Đáp án C
A. w 0;7;1
. B. w 1;7;1
. C. . D.
Câu 196: (Chuyên Hạ Long – Lần 3) Trong không gian Oxyz , phương trình nào dưới
đây không phải là phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A4;2;0 , B 2;3;1
?
2 3 1
A.
y z
.
2 1 1
B.
x
1
2t
C. y
4 t . z
2 t
D.
Đáp án C
x y 4 z 2
.
2 1 1
x
4 2t
y
2 t .
z
t
Câu 197: (Chuyên Hạ Long – Lần 3)Trong không gian Oxyz , cho 2 véc tơ
2
u 1; a;2 , v 3;9;
b cùng phương. Tính a b .
A. 15 . B. 3. C. 0 .D. Không tính được.
Đáp án B
Câu 198: (Chuyên Hạ Long – Lần 3) Trong không gian Oxyz , xác định tọa độ hình
chiếu vuông góc của điểm 2;3;1
5
A. 2; ;3
2
Đáp án C
. B.
M trên mặt phẳng : x 2y z 0
5;4;3 . C. 5 ;2;
3
2 2
.
1;3;5 .
. D.

Câu 199: (Chuyên Hạ Long – Lần 3)Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng
P : 5x my 4z n 0 đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng : 3x 7 y z 3 0
: x 9y 2z
5 0 . Tính m n .
A. 6 . B. 16 . C. 3 . D. 4 .
Đáp án B
Chùm mặt phẳng:
: 3x 7y z 3 0
Xét:
: x 9y 2z
5 0
1 18
Chọn y 0 A ;0;
7 7
31 9
Chọn z 0 B ; ;0
10 10
m
5
Mà A, B P
m n 16
.
m
11
Câu 200:(Chuyên Hạ Long – Lần 3) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu
2 2 2 và các điểm A 2;0; 2 2 , B 4; 4;0
và
S : x 1 y 2 z 4
. Biết rằng tập
2
hợp các điểm M thuộc S và thỏa mãn MA MO. MB 16
là một đường tròn. Tính
bán kính đường tròn đó.
A. 3 2
4 . B. 3 2 . C. 3 7
4 . D. 5 2 .
Đáp án C
Bài giao hai mặt cầu:
Gọi M x, y,
z theo bài:
MA
2
MO. MB 16
2
2 2 2
x 2 y z 2 2 x x 4 y y 4 z 16

2 2 2
x y z 4x 2y 2 2z 2 0 S '
Giao tuyến của S và S ' là nghiệm của hệ phương trình:
2 2 2
S : x y z 2x 4y 1 0, I 1; 2;0
2 2 2
S ' : x y z 4x 2y 2 2z
2 0
2x 2y 2 2z 1 0P
1
d I P IH
4
Ta có: ;
2 2 2 1 3 7
r IM IH R
.
S
16 4
Câu 48: (Chuyên Hạ Long – Lần 3) Trong không gian Oxyz cho mặt cầu
S : x 1 2 y 2 2 z 3
2
27 . Gọi
A0;0; 4 , B 2;0;0
và cắt
đỉnh là tâm của S , đáy là
là mặt phẳng đi qua hai điểm
S theo giao tuyến là đường tròn C sao cho khối nón có
C có thể tích lớn nhất. Biết mặt phẳng có phương
trình dạng ax by z c 0 , khi đó a b c bằng:
A. 4
B. 8 . C. 0 . D. 2 .
Đáp án C
2 2 2
A0;0; 4 , B 2;0;0 ;
: ax by z c 0
S : x 1 y 2 z 3 27 I 1; 2;3 ; R 3 3
a
2
Ta có: A, B
: 2x by z 4 0
c
4
2 2
Ta có: V 1 . 27 r . r
noùn
3
Xét: T 27 r 2 . r 2 T 2 27 r 2 .
r
4
2 2
2 2
3
2 r r
AM GM 4. 27 r r
r
4. 27 . . 4
2 2 27
2
2 r
Dấu ‘=’ xảy ra: 27 r r 3 2
2
2
h 27 r 3
h d I; 3 b 2
Ta có:
a
2
Vậy b
2 .
c
4
Câu 201: (Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,

2 2 2
cho mặt cầu S : x 1 y 3 z 2
9.
A. I1;3;2 ,R 9 B. I1; 3; 2 , R 9 C. I1;3;2 , R 3 D.
Đáp án C
Tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu (S) là
I 1;3;2 , R 3
Tọa độ tâm và bán kính mặt cầu (S): I1;3;2 , R 3
Câu 202: (Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,
A 3; 2;1
P : x y 2z 5 0. Đường thẳng nào sau đây đi qua A và
cho điểm và mặt phẳng
song song với mặt phẳng (P)?
A. x 3 y 2 z
1
B. x 3
y 2
z 1
1 1 2
4 2 1
C. x 3 y 2 z
1
D. x 3
y 2
z 1
1 1 2
4 2 1
Đáp án D
Nhận thấy đường thẳng: x 3
y 2
z 1
đi qua A và song song với (P)
4 2 1
Câu 203: (Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,
P : 2x y 2z 5 0. Khoảng cách từ điểm M đến mặt
cho điểm M(1;0;1) và mặt phẳng
phẳng (P) là
A. 9 2
2
Đáp án D
Áp dụng công thức khoảng cách:
B. 3 2 C. 3 D. 3
d M; P 3
Câu 204: (Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3)Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,
mặt phẳng nào sau đây chứa trục Ox?
A. 2y z 0 B. x 2y 0 C. x 2y z 0 D. x 2z 0
Đáp án A
chứa trục Ox a d 0
2 2 2
Mặt phẳng ax by cz d 0a b c 0
Câu 205: (Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,
cho điểm A1;2;3 . Gọi A1A2A 3
lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các mặt phẳng
Oyz , Ozx , Oxy . Phương trình của mặt phẳng A A A là
1 2 3
A. x y z 0 B. x y z 1
C. x y z 1
D. x y z 1
1 2 3
3 6 9
1 2 3
2 4 6
Đáp án D
Tọa độ các điểm A1;0;3 , A 1;2;0
x y z
1
2 4 6
A 0;2;3 , A A A : 6x 3y 2z 12 0
1 3
1 2 3

Câu 206: (Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,
x 2 y 5 z 2 x 2 y 1 z 2
cho hai đường thẳng d :
,d ':
và hai điểm
1 2 1 1 2 1
A a;0;0 ,A' 0;0;b . Gọi (P) là mặt phẳng chứa d và d; H là giao điểm của đường thẳng AA
và mặt phẳng (P). Một đường thẳng thay đổi trên (P) nhưng luôn đi qua H đồng thời cắt d và
d lần lượt tại B, B. Hai đường thẳng AB, A 'B' cắt nhau tại điểm M. Biết điểm M luôn thuộc
u 15; 10; 1
(tham khảo hình vẽ). Tính
một đường thẳng cố định có véc tơ chỉ phương
T a b
A. T 8
B. T 9
C. T 9
D. T 6
Đáp án D
Ta có d đi qua N( 2;5;2), chỉ phương ud
( 1;2;1 ),
d ' đi qua N '( 2;1;2), chỉ phương
u ( 1 ; 2; 1)
.
d'
Gọi (R) là mặt phẳng chứa A và d, gọi (Q) là mặt phẳng chứa A và d
Từ giả thiết ta nhận thấy điểm M nằm trong các mặt phẳng (R), (Q) nên đường thẳng cố
định chứa M chính là giao tuyến của các mặt phẳng
(R), (Q).
Vậy (R) đi qua N 2;5
u 1;2;1 , u 15; 10;
1
( ;2), có cặp chỉ phương là
d
nP
1;2; 5 R : x 2y 5z 2 0. (R) đi qua Aa;0;0
a 2
Tương tự (Q) đi qua N '( 2;1;2), có cặp chỉ phương ud 1; 2;1 , u 15; 10; 1
n 3;4;5 R : 3x 4y 5z 20 0. (Q) đi qua A0;0;b b 4.
Q
Vậy
a b 6 .
Câu 207: (Chuyên Lương Thế Vinh- Đồng Nai)Trong không gian Oxyz , cho mặt
phẳng ( P ) có phương trình x z 1 0 . Một vecto pháp tuyến của ( P)
có tọa độ là
A. (1;1; 1). B. (1; 1;0). C. (1;0; 1). D. (1; 1; 1).
Đáp án C
Câu 208: (Chuyên Lương Thế Vinh- Đồng Nai) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
(S) có phương trình
2 2 2
x y z 2x 4y 6z11 0
Tọa độ tâm T của (S) là
A. T (1;2;3). B. T (2;4;6). C. T( 2; 4; 6). D. T( 1; 2; 3).
Đáp án A

Câu 209: (Chuyên Lương Thế Vinh- Đồng Nai) Trong không gian Oxyz, phương trình
mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
2 2 2
(S) : ( x 1) ( y 2) ( z 3) 81
tại điểm P( 5; 4;6) là
A. 7x
8y
67 0.
B. 4x 2y 9z 82 0.
C. x 4z 29 0.
D. 2x 2y z 24 0.
Đáp án D
Câu 210: (Chuyên Lương Thế Vinh- Đồng Nai) Trong không gian Oxyz, cho tam giác
ABC với A(8;9;2), B(3;5;1), C (11;10;4) . Số đo góc A của tam giác ABC là
0
A. 150 . B.
Đáp án A
0
60 . C.
0
120 . D.
0
30 .
Câu 211: (Chuyên Lương Thế Vinh- Đồng Nai) Trong không gian Oxyz, phương trình
mặt phẳng qua ba điểm A( 3;0;0), B(0; 2;0), C(0;0;1)
được viết dưới dạng
ax by 6z c 0 . Giá trị của T a b c là
A. 11.
B. 7.
C. 1.
D. 11.
Đáp án C
Phương trình mặt phẳng (ABC) là 2x 3y 6z
6 0 .
Câu 212: (Chuyên Lương Thế Vinh- Đồng Nai) Trong không gian Oxyz, phương trình
mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(1; 7; 8), B(2; 5; 9) sao cho khoảng cách từ điểm
M (7; 1; 2) đến (P) lớn nhất có một vecto pháp tuyến là n ( a; b;4)
. Giá trị của tổng a
+ b là
A. 2. B. 1.
C. 6. D. 3.
Đáp án D
Mặt phẳng cần tìm sẽ vuông góc với (ABM). Một vecto
pháp tuyến của nó là tích
có hướng của vecto pháp tuyến mặt phẳng (ABM) và AB.
Cũng có thể làm như sau: Khoảng cách lớn nhất là MH với H là hình chiếu vuông góc của M
lên đường thẳng AB. Ta tìm được H (3; 3; 10) .
Câu 213: (Chuyên Lương Thế Vinh- Đồng Nai) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
(S) có phương trình
2 2 2
x y z 2x 6y 8z
599 0
Biết rằng mặt phẳng ( ) :6x 2y 3z
49 0 cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C)
có tâm là điểm P( a; b; c ) và bán kính đường tròn (C) là r. Giá trị của tổng
S a b c r là
A. S 13. B. S 37.
C. S 11.
D. S 13.
Đáp án C
Tâm T ( 5; 1; 7) , bán kính r 24

Câu 214: (Chuyên Lương Thế Vinh- Đồng Nai) Trong không gian Oxyz, cho tam giác
OAB với O(0;0;0), A( 1;8;1), B(7; 8;5) . Phương trình đường cao OH của tam giác
OAB là
x
8t
x
6t
A. y 16 t, ( t ).
B. 4 , ( ).
y t t
z
4t
z
5t
x
5t
x
5t
C. y 4 t, ( t ).
D. 4 , ( ).
y t t
z
6t
z
6t
Đáp án D
Để ý rằng OH nằm trong mặt phẳng (OAB)
và OH vuông góc với AB, nên một vecto chỉ
phương của OH là tích có hướng của AB và vecto pháp tuyến của mặt phẳng (OAB).
Câu 215: (Chuyên Thái Bình - Lần 6)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai
A 1; 1;1 .B 3;3; 1 .
là trung trực của đoạn
điểm Lập phương trình mặt phẳng
thẳng AB
A. : x 2y z 2 0
B. : x 2y z 4 0
C. : x 2y z 3 0
D. : x 2y z 4 0
Đáp án B
1
AB 1;2; 1 là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực của AB. I(2;1;0) là trung
2
điểm của AB, khi đó phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là
x 2 2 y 1 z 0 x 2y z 4 0
Câu 216: (Chuyên Thái Bình - Lần 6) Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng
x 1 y 2 z
P : x y 2z 5 0 và đường thẳng : . Gọi A là giao điểm của và
2 1 3
P và M là điểm thuộc đường thẳng sao cho AM 84. Tính khoảng cách từ M đến mặt
phẳng P
A. 6 B. 14 C. 3 D. 5
Đáp án C
MH là khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P).
Đường thẳng có vectơ chỉ phương u ( 2; 1;3 ),
mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến
n 1;1; 2
Gọi H là hình chiếu của M trên P
Khi đó: cos HMA cosu;n
1.2 1.1
2.3 3
11
4. 4 1
9 84

MH 3
Tam giác MHA vuông tại H cos HMA MH MA.cos HMA 84. 3
MA 84
Câu 217: (Chuyên Thái Bình - Lần 6) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt
2 2 2
cầu
S : x 1 y 1 z 11 và hai đường thẳng
x 5 y 1 z 1 x 1 y z
d
1
: ; d
2
: . Viết phương trình tất cả các mặt phẳng
1 1 2 1 2 1
d , d
tiếp xúc với mặt cầu S đồng thời song song với hai đường thẳng
1 2
A. : 3x y z 15 0
B. : 3x y z 7 0
C. : 3x y z 7 0
D. : 3x y z 7 0 hoặc : 3x y z 15 0
Đáp án B
2 2 2
Mặt cầu S : x 1 y 1
z 11 có tâm I( 1; 1 ;0),
bán kính R 11.
Các đường thẳng d 1, d 2 có vectơ chỉ phương lần lượt là: u1 1;1;2 , u2
1;2;1
Mặt phẳng song song với d 1, d2
có vectơ pháp tuyến là: n
u 1, u
2
3; 1;
1
có dạng: : 3x y z d 0. Vì tiếp xúc với S nên: d I;
R
31
d
d 7
11 4 d 11 4 d 11
2 2 2
3 1 1
Nhận thấy điểm 1
phẳng này chứa d
1.
Vậy phương trình mặt phẳng
: 3x y z 7 0
d 15 : 3x y z 15 0
A 5; 11
d cũng thuộc vào mặt phẳng 3x y z 15 0 mặt
thỏa mãn yêu cầu bài toán là: : 3x y z 7 0
Câu 218: (Chuyên Thái Bình - Lần 6) Trong không gian Oxyz cho điểm M( 2;1;5). Mặt
phẳng P đi qua điểm M và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao
cho M là trực tâm của tam giác ABC. Tính khoảng cách từ điểm I(1;2;3) đến mặt phẳng
P
17 30
A.
30
Đáp án D
B.
13 30
30
C.
19 30
30
D.
11 30
30
Kiến thức: Chóp tam giác có 3 cạnh bên đôi một vuông góc với nhau thì hình chiếu của
đỉnh trên mặt đáy trùng với trực tâm của đáy.
Chóp O.ABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, M(2;1;5) là trực
tâm
ABC.

vậy P nhận OM ( 2;1;5 )
OM ABC P ,
làm một vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng P là: 2x 2 y 1 5z 5
0 2x y 5z 30 0
2 2 15 30 11 30
Vậy d I; P
4 1
25 30
Câu 219: (Chuyên Thái Bình - Lần 6) Trong hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng
: 2x y 3z 1 0. Véc tơ nào sau đây là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng
n 4;2; 6
n 2;1; 3
n 2;1;3
A.
Đáp án A
B.
C.
n 2; 1;3 .
Mặt phẳng : 2x y 3z 1 0 có một vectơ pháp tuyến là
1
Vậy vectơ n 4;2; 6
D. n 2;1;3
cùng phương với vectơ n 1
cũng là một vectơ pháp tuyến của
Câu 220: (Chuyên Thái Bình - Lần 6) Cho ba điểm M 0;2;0 , N0;0;1 ,A3;2;1 .
Lập phương trình mặt phẳng MNP , biết điểm P là hình chiếu vuông góc của điểm A lên
trục Ox
A. x y z 1 B. x y z 0 C. x y z 1 D. x y z 1
2 1 3
3 2 1
2 1 1
3 2 1
Đáp án D
Điểm P là hình chiếu vuông góc của A(3;2;1) trên Ox P( 3; 0;0 ).
Phương trình mặt phẳng MNP là: x y z 1
3 2 1
Câu 221: (Chuyên Thái Bình - Lần 6) Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có
A( 2;3;3), phương trình đường trung tuyến kẻ từ B là x 3
y 3
z 2 , phương trình
1 2 1
đường phân giác trong của góc C là x 2 y 4 z 2
. Biết rằng u m;n; 1
là
2 1 1
2 2
một véc tơ chỉ phương của đường thẳng AB. Tính giá trị của biểu thức T m n
A. T 1
B. T 5
C. T 2
D. T 10
Đáp án A
Gọi M là trung điểm của AC, E là chân đường phân giác trong góc C. Ta có:
x 2 2t
x 2 y 4 z 2
CE : y 4 t C2 2t;4 t;2 t .
Mà A( 2;3;3),
2 1 1
z 2 t

7 t 5 t
M 2 t; ; .
Vì M thuộc đường trung tuyến kẻ từ B có phương trình
2 2
x 3 y 3 z 2
1 2 1
7 t 5 t
3 2
2 t 3
; 2 ; 2 t 1
C4;3;1
1 2 1
Kẻ AH vuông góc với CE tại H, cắt BC tại D ACD cân
tại C vậy H là trung điểm của AD.
H CE H2 2m;4 m;2 m AH 2m;1 m; 1
m ,
vectơ chỉ phương của
CE là u1
2; 1; 1
AH.u 0 4m m 1 m 1 0 m 0 H2;4;2 D2;5;1 CD 2;2;0
x 4 2k
4 2k 3 3 2k 3 1
2
y 3 2k M CD BM k 1 D B2;5;1
1 2 1
z 1
AB 0;2; 2 .u m;n; 1
là một vectơ chỉ phương của AB AB
và u cùng
phương.
u 0;1; 1 m 0;n 1.
Vậy
2 2
T m n 1
Câu 222: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang )Trong không gian Oxyz, cho mặt
phẳng P : x 2y 3z 1 0. Mặt phẳng P có một vectơ pháp tuyến là
A. n 2;1;3
B. n 1;3; 2
C. n 1; 2;1
D. n 1; 2;3
Đáp án D
Câu 223: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang )Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho ba điểm và P 0;0;2 . Mặt phẳng MNP có phương trình là
M 3;0;0 , N0;-2;0
x y z
x y z
x y z
x y z
A. 1
B. 0 C. 1
D. 1
3 2 2
3 2 2
3 2 2
3 2 2
Đáp án D
Câu 224: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho
mặt cầu
2 2 2
S : x 5 y 1 z 2 16.
Tính bán kính của S)
A. 4 B. 6 C. 7 D. 5
Đáp án A
Câu 225: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Trong không
gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M 3; 1; 2
và mặt phẳng

P : 3x y 2z 4 0.
Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua M
và song song với P?
A. Q : 3x y 2z 6 0
B.
C. Q : 3x y 2z 6 0
D.
Đáp án C
Q : 3x 3 y 1 2z 2 0 Q : 3x y 2z 6 0
Q : 3x y 2z 6 0
Q : 3x y 2z 14 0
Câu 226: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Trong không gian Oxyz, tìm tất cả các
2 2 2
giá trị của m để phương trình x y z 4x 2y 2z m 0 là phương trình của một
mặt cầu.
A. m 6
B. m 6
C. m 6
D. m 6
Đáp án B
2 2 2
Điều kiện 2 1 1 m m 6
Câu 227: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Trong không gian Oxyz, cho điểm
A 1; 2;4 . Hình chiếu vuông góc của A trên trục Oy là điểm
P0;0;4
Q1;0;0
M 0; 2;4
A. B. C. N 0; 2;0 D.
Đáp án C
Câu 228: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu có tâm I 1;2; 1
và tiếp xúc với mặt
phẳng P : x 2y 2z 8 0
2 2 2
A. x 1 y 2 z 1
9
B.
2 2 2
C. x 1 y 2 z 1
3
D.
Đáp án B
2 2 2
x 1 y 2 z 1 9
2 2 2
x 1 y 2 z 1 3
Khoảng cách từ tâm I mpP
là
2
1 2 2
2 2 2
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là x 1 y 2 z 1
9
1.1 2.2 2. 1 8
d I, P 3
2 2

Câu 1 (Lê Đức Thọ-Hà Tĩnh 2018): Cho 2 điểm
A 1;3;5 , B 1; 1;1 , khi đó trung điểm I
của AB có tọa độ là
I I
I I 1;1;3
A. 0; 4; 4
B. 2;2;6 C. 0; 2; 4
D.
Câu 2 (Lý Thái Tổ-Bắc Ninh 2018): Cho điểm
A2;0;0 , B0;2;0 , C0;0;2 , D2;2;2 .
Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có bán kính là
3
2
A. B. 3
C. D. 3
2
3
Đáp án B
Dễ thấy ABCD là tứ diện đều nên tâm mặt cầu ngoại tiếp trùng với trọng tâm
G 1;1;1
của tứ
diện
Khi đó R GA 3
Câu 3:
(TTLT ĐH DIỆU HIỀN -LẦN 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho hình
hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có A trùng với gốc tọa độ O, các đỉnh
B m;0;0 , D 0;m;0 , A ' 0;0;n với m, n 0 và m n 4 . Gọi M là trung điểm của cạnh
CC'. Khi đó thể tích tứ diện BDA'M đạt giá trị lớn nhất bằng:
245
9
64
A. B. C. D.
108
4
27
75
32
Đáp án là C.
n
+ Tìm được M m; m; .
2
n
2
+ Ta có BM 0; m; ; BD m; m;0 ; BA
m;0;
n
+
mn mn 3
2 2
2
2 2
BM ; BD ; ; m ; BM ; BD BA m n
1 1
6 4
2
VBMDA
BM ; BD BA m n
3 2
mà n 4 m V m m f m
2
f m m m
BMDA
m
0 loai
3
2 0
8 64
4
m f m
3 27
1
4

Câu 4
(Lê Quý Đôn-Hải phòng 2018): Trong không gian cho tam giác ABC đều cạnh
bằng 2 cố định, M là điểm thỏa mãn điều kiện
sau đây đúng ?
2 2 2
MA MB 2MC 12.
A. Tập hợp các điểm M là một mặt cầu có bán kính R 7.
Khẳng định nào
B. Tập hợp các điểm M là một mặt cầu có bán kính
C. Tập hợp các điểm M là một mặt cầu có bán kính
2 7
R .
3
7
R .
2
D. Tập hợp các điểm M là một mặt cầu có bán kính
Đáp án C.
Gắn hệ trục tọa độ Oxyz, với
Khi đó A0; 1;0 ,B0;1;0
và C 3;0;0 .
Gọi M x, y,z AM x; y 1;z ,BM x; y 1;z
Mà
2 7
R .
9
O 0;0;0 là trung điểm của AB OC 3.
2 2
2
và
CM
x 3; y;z .
2 2 2 2 2 2
x y 1 z x y 1 z 2 x 3 2y 2z 12
2 2 2
MA MB 2MC 12
2 2 2 2 2 2
4x 4y 4z 4 3x 4 0 x 3x y z 1 0
2 2
x y z
2
3
7
2
4
Vậy tập hợp các điểm M là một mặt cầu có bán kính
7
R .
2
Câu 5 ( THPT ANHXTANH)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ
a 1; 2;0
và b 2a. Tìm tọa độ của vectơ b
A. b 2;4;2 B. b 2; 4;0
C. b 3;0;2 D. b 2;4;0
Đáp án B
b 2a
2; 4;0
Câu 6
.
( THPT ANHXTANH)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P : 2x 3y 4z 5 0.
Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của P
A. n 2; 3;4
B. n 2;3;4 C. n 2;4;5 D. n 2; 3; 5
1
2
3
4

Đáp án A
Câu 7 ( THPT ANHXTANH)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
A1;1;0 và B0;1;2 .
Tìm tọa độ vectơ AB
A. AB 0;1;0 B. AB 1;1;2 C. AB 1;0; 2
D. AB 1;0;2
Đáp án D
Câu 8:
( THPT ANHXTANH) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
A2; 1;3
và B0;3;1 .
Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là:
2;2;4
A. 1;1;2
B. 2;4; 2 C. 2; 4;2 D.
Đáp án A Dễ thấy tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là điểm.
Câu 9:
A 2;1;1 .
( THPT ANHXTANH)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
Tính độ dài đoạn thẳng OA
A. OA 6
B. OA 5 C. OA 2
D. OA 6
Đáp án D
OA (2;1;1) OA | OA | 6
Câu 10: ( THPT ANHXTANH)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ
a 2; 2; 4 ,b 1; 1;1 . Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. a b 3; 3; 3
B. a b
C. b 3
D. a
và b
cùng phương
Đáp án D
- Kiểm tra từng đáp án.
2 2 4
- Vì nên a và b
cùng phương.
1 1 1
Câu 11:
a 1;1; 2
( THPT ANHXTANH)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ
và b 2;1; 1 . Tính cos a, b
1 5
5
A. cosa, b
B. cosa, b
C. cosa,b
D.
6
36
6
Đáp án C
cos a, b
1
36

1.2 1.1 2 1
Ta có cos a,
b
5
.
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 1
6
Câu 12: ( THPT ANHXTANH) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
2 2 2
S : x 1 y 2 z 9.
Tâm I và bán kính R của (S) lần lượt là
A. I 1; 2;0 ;R 3 B. I 1;2;0 ;R 3 C. I 1; 2;0 ;R 9 D. I 1;2;0 ;R 9
Đáp án A
S
Từ phương trình mặt cầu : x 1 2 y 2 2 z
2 9 suy ra mặt cầu S có
tâm I 1; 2;0
và bán kính R 3.
Câu 13: ( THPT ANHXTANH) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho M 2; 1;1
và
vecto n 1;3;4 . Viết phương trình mặt phẳng P đi qua điểm M và có vecto pháp tuyến
n A. 2x y z 3 0 B. 2x y z 3 0 C. x 3y 4z 3 0 D. x 3y 4z 3 0
Đáp án D
Câu 14
Phương trình mặt phẳng P đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến n là:
x y z
1 2 3 1 4 1 0
x 3y 4z
3 0
( THPT ANHXTANH): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P : 2x y z 1 0.
Điểm nào dưới đây thuộc P
Q1; 3; 4
A. M 2; 1;1 B. N 0;1; 2 C. P 1; 2;0 D.
Đáp án D
Q
Dễ thấy 2.1 3 4 1 0 điểm thuộc P .
Câu 15 (Lê Quý Đôn-Hải phòng 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho
a 2i 3j k,b 2;3; 7 .
Tìm tọa độ của x 2a 3b.
A. x 2; 1;19 . B. x 2;3;19 . C. x 2; 3;19 . D. x 2; 1;19 .
Đáp án C.
x 2 2;3; 1 3 2;3; 7 2; 3;19 .
Ta có:

Câu 16
(Lê Quý Đôn-Hải phòng 2018): Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm
A1;1;4 , B2;7;9 ,C0;9;13 .
A. 2x y z 1 0
B. x y z 4 0
C. 7x 2y z 9 0
D. 2x y z 2 0
Đáp án B.
AB 1;6;5 ;AC 1;8;9
AB.AC 14 1; 1;1
Ta có:
Do đó ABC :x y z 4 0.
Câu 17
A3;2;1 ,B 2;3;6 .
(Lê Quý Đôn-Hải phòng 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho
Điểm M x ; y ;z thay đổi thuộc mặt phẳng (Oxy). Tìm giá trị
M M M
của biểu thức T x y z khi MA 3MB nhỏ nhất.
M M M
7 7
A. .
B. .
C. 2. D. -2.
2
2
Đáp án C.
Ta có: z 0. M
MA 3MB 3 x ;2 y ;1 3 2 x ;3 y ;6 4x 3; 4y 11;19
M M M M M M
MA 3MB 4x 3 4y 11 19 19 MA 3MB 19
M
2 2 2
M
M
yM
3 11
T 0 2.
4 4
Câu 18 (Lê Quý Đôn-Hải phòng 2018): Trong không gian Oxyz cho điểm
x
3
4
11
4
M 3;2;1
. Viết
phương trình mặt phẳng đi qua M và cắt các trục x 'Ox;y'Oy;z'Oz lần lượt tại các điểm A, B,
C sao cho M là trực tâm của tam giác ABC.
A. 3x y 2z 14 0
B. 3x y z 14 0
C. x y z 1.
D.
9 3 6
Đáp án B.
x y z
1.
12 4 4

Do M là trực tâm của tam giác ABC nên: CM AB lại có OC AB AB OM
Tương tự BC OM OM ABC .
Vậy n
OM 3;2;1
ABC
Suy ra (ABC): 3x 2y z 14 0
Câu 19
(Lê Quý Đôn-Hải phòng 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt
phẳng P : x 2y 2z 6 0. Trong (P) lấy điểm M và xác định điểm N thuộc đường
thẳng OM sao cho
ON.OM 1.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Điểm N luôn thuộc mặt cầu có phương trình
2 2 2
1 1 1 1
x y y .
6 3 3 4
2 2 2
1 1 1 1
B. Điểm N luôn thuộc mặt cầu có phương trình x y y .
12 6 6 16
C. Điểm N luôn thuộc mặt phẳng có phương trình là x 2y 2z 1 0.
D. Điểm N luôn thuộc mặt phẳng có phương trình là x 2y 2z 1 0.
Đáp án B.
Gọi N a;b;c
ON a;b;c ON a b c
2 2 2
mà
OM.ON 1.
1 1 2 2 2 1 1
OM . a b c .ON OM .ON
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c a b c a b c a b c
a b c
Suy ra M ; ; , mặt khác nên ta được:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 M P
a b c a b c a b c
2 2 2
a b c 1 1 1 1
2. 2. 6 0 a b c .
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c a b c a b c 12 6 6 16
2 2 2
1 1 1 1
Vậy điểm N luôn thuộc mặt cầu có phương trình x y z .
12 6 6 16

Câu 20: (THPT HẬU LỘC 2-2018) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d:
x 12 y 9 z 1
và
4 3 1
(P): 3x 5y z 20
.
A. (1;0;1) B. (0;0;-2) C. (1;1;6) D. (12;9;1)
Đáp án B.
x 12 y 9 z 1
Đặt t x 12 4 t; y 3t 9; z 1
t
4 3 1
thay vào phương trình của mặt
phẳng ta có
3 12 4t 5 3t 9 1 t 2 0 26t 78 t 3
.
Khi đó thì điểm đó là A0;0; 2
Câu 21: (THPT HẬU LỘC 2-2018)Viết phương trình mặt cầu đường kính AB, biết A
(6;2;-5), B (-4;0;7).
2 2 2
A. ( x 5) ( y 1) ( z 6) 62
B.
2 2 2
( x 5) ( y 1) ( z 6) 62
2 2 2
C. ( x 1) ( y 1) ( z 1) 62
D.
2 2 2
( x 1) ( y 1) ( z 1) 62
Đáp án C.
Mặt cầu này có tâm I là trung điểm của AB và bán kính bằng nửa cạnh AB
1
Vậy I 1;1;1 ; R AB 62 . Vậy phương trình mặt cầu là
2
2 2 2
x 1 y 1 z 1 62 .
Câu 22 (THPT HẬU LỘC 2-2018)Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có
đường kính AB, với A (6;2;-5), B (-4;0;7). Viết phương trình mp (P) tiếp xúc với mặt cầu
(S) tại A.
A. (P): 5x + y – 6z +62 = 0 B. (P): 5x + y – 6z - 62 = 0
C. (P): 5x - y – 6z - 62 = 0 D. (P): 5x + y + 6z +62 = 0
Đáp án B.
Mặt cầu (S) có tâm 1;1;1 . Mặt phẳng (P)đi qua A và nhận IA 5;1; 6
làm vtpt
phương trình của P
là
I
5 x 6 1 y 2 6 z 5 0 5x y 6z
62 0
Câu 23: (THPT HẬU LỘC 2-2018) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A
(1;0;-3), B (3;-1;0). Viết phương trình tham số của đường thẳng d là hình chiếu vuông góc
của đường thẳng AB trên mp (Oxy).

x
0
x
1
2t
x
1
2t
x
0
A. y
t B. y
0
C. y
t D. y
0
z
3 3t
z
3 3t
z
0
z
3 3t
Đáp án C
Hình chiếu của A,B trên mp (Oxy) là A 1;0;0 ; B ' 3; 1;0
. Có AB 2; 1;0
là vtcp của
A’B’ nên phương trình tham số của A’B’ là
x
1
2t
y t
.
z 0
Câu 24 (TTLT ĐH DIỆU HIỀN -LẦN 2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho
a i 2 j 3k . Tọa độ của vectơ a là:
1;2; 3
A. 2; 1; 3 B. 3;2; 1 C. 2; 3; 1 D.
Đáp án là D.
Ta có: a
1;2; 3 .
Câu 25: (TTLT ĐH DIỆU HIỀN -LẦN 2) Cho mặt phẳng (P) đi qua các điểm
. Mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng nào trong các
A 2;0;0 , B 0;3;0 , C 0;0; 3
mặt phẳng sau?
A. x y z 1 0 B. x 2y z 3 0 C. 2x 2y z 1 0 D. 3x 2y 2z 6 0
Đáp án là C.
+ VTPT của P là:
n P
1 1 1
; ;
2 3 3
+ Ta thấy n . n 0, n 2;2; 1
P
3 3
Câu 26: (TTLT ĐH DIỆU HIỀN -LẦN 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn
điểm
ABCD?
A 1;0;2 , B 2;1;3 , C 3;2;4 , D 6;9; 5
. Hãy tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện
2;3;1
2;3;1
A. 2;3; 1 B. 2; 3;1
C. D.
Đáp án là C.

xA xB xC xD
x
2
4
yA yB yC yD
Toạ độ trọng tâm của tứ diện ABCD : y
3
4
zA zB zC zD
z
1
4
Câu 27: (TTLT ĐH DIỆU HIỀN -LẦN 2)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai
điểm A 1;1;2 ,B 1;3; 9
.Tìm tọa độ điểm M thuộc Oy sao cho ABM
vuông tại M .
M 0;1
2 5;0 M 0;2 2 5;0 M 0;1
5;0
A.
B.
C.
D.
M 0;1
2 5;0
M 0;2 2 5;0
M 0;1
5;0
Đáp án là B.
M 0;2 5;0
M 0;2 5;0
Gọi M 0; y;0
Oy
.
AM 1; y 1; 2 ; BM 1; y 3;9 ; AM. BM 1 y 1 y 3 18
Ta có:
2
y 2 2 5
Tam giác ABM vuông tại A y 4y
16 0 . Chọn B
y 2 2 5
Câu 28: (TTLT ĐH DIỆU HIỀN -LẦN 2)Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz, có tất cả bao nhiêu số tự nhiên của tham số m để phương phương trình
2 2 2 2
x y z 2 m 2 y 2 m 3 z 3m 7 0
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
Đáp án là C.
+ Để phương trình đã cho là phương trình mặt cầu thì :
là phương trình của một mặt cầu.
m m
0;1;2;3 .
2
R m 2m 6 0 1 7 m 1
7 ; mà
Câu 29:
điểm
ABC
(TTLT ĐH DIỆU HIỀN -LẦN 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba
A1; 2;2 , B5;6;4 , C0;1; 2
là:
. Độ dài đường phân giác trong của góc A của
3 74
3
2
A. B. C. D.
2
2 74
2 74
Đáp án là D.
+ Gọi H x; y;
z là chân đường phân giác trong góc A của ABC.
2 74
3

HB AB 5 8 2 74
Ta có: 2 HB 2 HC H ; ;0 AH .
HC AC
3 3 3
x 1 y x 1
Câu 30: (TTLT ĐH DIỆU HIỀN -LẦN 2) Cho đường thẳng : và hai
2 3 1
điểm
A1;2; 1 , B3; 1; 5
. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A và cắt đường thẳng
sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d là lớn nhất. Phương trình của d là:
x 3 y z 5 x y 2 z x 2 y z 1
x
A. B. C. D.
1 y 2 z 1
2 2 1 1 3 4 3 1 1 1 2 1
Đáp án là D.
+ Gọi M d M 1 2 t;3 t; 1
t
Ta có:
BA 2;3;4 ; AM 2t 2;3t 2; t
+
+
+
BA AM
t t
2
AM 14t 20t
8
2
; 405 576 228
+ d B;
d
2
405t
5766t
228
2
14t
20t
8
2 2
405t 576t 228 36t 96t
48
2
2
2
14t 20t 8 14t 20t
8
Xét f t f t
t
2
f t
0
2 . Vậy max f
t
f 2
t 2
t
3
+ Đường thẳng đi qua 1;2; 1 và có VTCP AM 2;4; 2 2 1;2; 1
d A
Câu 31: (TTLT ĐH DIỆU HIỀN -LẦN 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt
cầu (S) có phương trình
2 2 2
x 1 y 2 z 1 1, phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục hoành và tiếp xúc
với mặt cầu (S) là
A. Q : 4y 3z 0 B. Q : 4y 3z 1 0 C. Q : 4y 3z 1 0 D.
Đáp án là A.
+ Mặt phẳng chứa Ox có dạng By Cz 0
Q : 4y 3z 0

2B
C
B
0
+ Do mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng nên 1 2 2
B C B
4, C 3
Vậy mặt phẳng cần tìm 4y
3z
0
A
Câu 32 (Lê Đức Thọ-Hà Tĩnh 2018): Cho 2 điểm 0;2;1 và B 2; 2; 3
phương trình
mặt cầu đường kính AB là
2 2
2
x y z
x y z
2
A. 1 1 9
B.
C. 2 2 3 36 D.
Đáp án A
2 2
1 1 6
2 2 2
2
x y z
x y z
2 2
2 1 3
Câu 33 (Lê Đức Thọ-Hà Tĩnh 2018): Cho 3 điểm A B C
Điểm D có tọa độ bao nhiêu để
ABCD là hình bình hành?
A. 2;2;5 B. 1; 1; 2
C. 0;4; 1
D.
1;0;1 , 2;1; 2 , 1;3;2 .
D
D D
D1; 1;1
Đáp án A
Do ABCD là hình bình hành nên AB DC 1;1; 3 D 2;2;5
Câu 34 (Lê Đức Thọ-Hà Tĩnh 2018): Mặt cầu S I;
R có phương trình
2 2
2
x 1 y z 2 3. Tâm và bán kính của mặt cầu là
I R I R I R I
A. 1;0;2 , 3 B. 1;0; 2 , 3 C. 1;0; 2 , 3 D.
1;0;2 , R 3
Đáp án B
Câu 35 (Lê Đức Thọ-Hà Tĩnh 2018): Diện tích mặt cầu được xác định bởi công thức nào?
2
A. S 3 R B. S 4 3
C. D.
3 R 2
S R S 4 R
Đáp án D
Diện tích mặt cầu bán kính R là S 4 R
2
Câu 36 (Nguyễn Đăng Đạo-Bắc Ninh-2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho
mặt phẳng
pháp tuyến của P ?
P : x 2y
z 4 0
2
. Trong các vec tơ sau vec tơ nào không phải là véc tơ
1 1
A. n 1; 2;1
B. n 1;2;1
C. n 2; 4; 2
D. n ;1;
2 2
Đáp án A

Câu 37 (Nguyễn Đăng Đạo-Bắc Ninh-2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho
A 1;2;3 , B 0; 2;1 , C 1;0;1 . Gọi D là điểm sao cho C là trọng tâm tam giác ABD . Tính
tổng các tọa độ của D
7
A. 1 B. 0 C. D. 7
3
Đáp án A
1 0 a 3.1 a
2
Gọi Da; b; c 2 2 b 3.0 b 0 D2;0; 1
tổng các tọa độ của D là 1
3 1 c 3.1
c
1
Câu 38 (Nguyễn Đăng Đạo-Bắc Ninh-2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 2
0;1;2 , 0; 1;2
điểm A B . Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB
A. z 2 0 B. x z 2 0 C. x 0
D. y 0
Đáp án D
Trung điểm của là: I
0;0;2 ; n IA 0;1;0 PT mặt phẳng trung trực của đoạn
AB
AB qua I và vuông góc với AB có PT là: y 0
Câu 39 (Nguyễn Đăng Đạo-Bắc Ninh-2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho
vec tơ u 1;2;0
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. u 2i j B. u i 2 j C. u j 2k
D. u i 2k
Đáp án B
u 1;2;0 i 2 j
Câu 40 (Nguyễn Đăng Đạo-Bắc Ninh-2018): Trong không gian với hệ toại độ
Oxyz , cho
ba điểm A 1;2; 3 , B 2;0;1 , C 3; 1;1 . Gọi M là điểm di động trên mặt phẳng Oyz .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 3 MB MC 2 MA 2MB
42
A. B. 42 C. 3 82
D.
6
Đáp án C
5 1
Gọi I là trung điểm của BC I ; ;1
và E thỏa mãn
2 2
Khi đó P 3 MB MC 2 MA 2MB 3 2MI 2 3ME 6MI ME
82
2
EA 5 2 1
2 EB 0 E ; ;
3 3 3

Dễ thấy I,
E nằm cùng phía với mặt phẳng Oyz
(Dethithpt.com)
F E
Gọi là điểm đối xứng qua mp
Do đó
Câu 41
Oyz 5 2 1
F ; ;
3 3 3
P 6 MI ME 6 MI MF 6IF
3 82 . Vậy Pmin 3 82
(Lương Thế Vinh-Hà Nội 2018): Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu:
2 2 2
S : x 2 y 1 z 2 4 và mặt phẳng P : 4 3y 0. Tìm tất cả các giá trị
thực của tham số m để mặt phẳng P và mặt cầu S có đúng 1 điểm chung.
A. m 1
B. m 1
hoặc m 21
C. m 1
hoặc m 21
D. m 9
hoặc m 31
Đáp án C
S
Mặt cầu tâm I 2; 1; 2
và bán kính R 2. . Để mặt phẳng P và mặt cầu S có đúng 1
4.2 3 1 m m 1
điểm chung thì d I; P
R 2 .
2 2
4 3
m 21
Câu 42 (Lương Thế Vinh-Hà Nội 2018)Trong không gian Oxyz, cho véc tơ a
của các véc tơ đơn vị là a 2i k 3j . Tọa độ của véc tơ a
là:
A. 1;2; 3
B. 2; 3;1
C. 2;1; 3
D.
Đáp án B
a 2i 3j
k
1; 3;2
biểu diễn
Câu 43 (Lương Thế Vinh-Hà Nội 2018): Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt
phẳng (P) đi qua điểm B 2;1; 3 , đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng
Q : x y 3z 0, R : 2x y z 0
A. 4x 5y 3z 22 0
B. 4x 5y 3z 12 0
C. 2x y 3z 14 0
D. 4x 5y 3z 22 0
Đáp án D
Các vtpt của và
lần lượt là: n 1;1;3
và n 2; 1;1
là:
Q
R
1 2
=> vtpt của P
là: n n ;n 4;5; 3
P : 4x 2 5y 1 3z 3 hayP : 4x 5y 3z 22 0.
1
2

Câu 44 (Lương Thế Vinh-Hà Nội 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt
phẳng (P) đi qua điểm M 1;2;3 và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C
(khác O). Viết phương trình mặt phẳng (P) sao cho M là trực tâm của tam giác ABC.
x y z
A. 6x 3y 2z 6 0 B. x 2y 3z 14 0 C. x 2y 3z 11 0 D. 3
1 2 3
Đáp án B
Vì OA, OB, OC đôi một vuông góc và M là trực tâm ABC OM ABC
Suy ra mp ABC
nhận OM
làm véc tơ pháp tuyến và đi qua điểm M 1;2;3
Vậy phương trình mpP :1. x 1 2. y 2 3. z 3
0 x 2y 3z 14 0
Câu 45
điểm
(Lương Thế Vinh-Hà Nội 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba
A2;3;1 , B2;1;0
và
C 3; 1;1 . Tìm tất cả các điểm D sao cho ABCD là hình thang có đáy AD
và
S 3S .
ABCD
ABC
D 8; 7;1
D 8;7; 1
A. D8;7; 1
B.
C.
D.
D12;1; 3
D12; 1;3
D 12; 1;3
Đáp án D
Vì ABCD là hình thang AD / /BC u u
AD BC 5; 2;1
=>Phương trình đường thẳng AD là D5t 2; 2t 3; t 1
x 2 y 3 z 1
5 2 1
Ta có SABCD 3S ABC
S ABC
S ACD
3S ABC
S ACD
2S
ABC
(Dethithpt.com)
1 341
Mà diện tích tam giác ABC là S
ABC
AB;AC
S
ACD
341
2
2
Mặt khác
2 1
D 12; 1;3
2 t 2
AD;AC
341t 341t 341
2
t 2
D 8;7; 1
Vì ABCD là hình thang D12; 1;3
Câu 46
(Lương Thế Vinh-Hà Nội 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba
2 2 2
điểm A 0;0; 1 , B 1;1;0 , C 1;0;1 . Tìm điểm M sao cho 3MA 2MB MC đạt giá
trị nhỏ nhất.
3 1
3 1
3 3
A. M ; ; 1
B. M ; ;2
C. M ; ; 1
D.
4 2
4 2
4 2
3 1
M ; ; 1
4 2

Đáp án D
Gọi
3 1
Ix I; y
I;zI
thỏa mãn điều kiện 3IA 2IB IC 0 I ; ; 1
4 2
2
2 2 2
P 3MA 2MB MC 3 MI IA 2 MI IB MI IC
2 2
Ta có
4MI 2MI 3IA 2IB IC 3IA 2IB IC 4MI 3IA 2IB IC
Suy ra
2 2 2 2 2 2 2 2
P MI min M
min
0
trùng với điểm I. Vậy
3 1
M ; ; 1
4 2
Câu 47 (Lương Thế Vinh-Hà Nội 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
A 1; 6;1
và mặt phẳng
P : x y 7 0.
Điểm B thay đổi thuộc Oz, điểm C thay đổi thuộc mặt phẳng
rằng tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất. Tọa độ điểm B là
(P). Biết
B0;0;1
B0;0;2
A. B. B 0;0; 2 C. B 0;0; 1 D.
Đáp án A
Gọi M, N lần lượt là hai điểm đối xứng với A qua Oz và mặt phẳng (P) ( hình vẽ bên:
Điểm A nằm giữa Oz, (P) vì O, A cùng phía với (P) và d Oz; P d A; P .
Khi đó
Suy ra
C ABC
AB BC AC BM BC CN
min
BM BC CN B,C,M, N
thẳng hàng.
Hay B là hình chiếu của A trên Oz, Vậy B0;0;1

Câu 48 (Trần Hưng Đạo-TP Hồ Chí Minh 2018): Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz, cho ba điểm A(2;2; 2)
, B( 3;5;1)
, C(1;1; 2).
Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác
ABC ?
A. G(0;2; 1).
B. G(0;2;3). C. C(0; 2; 1).
D. G(2;5; 2).
Đáp án A.
2 3 1 2 5 1 2 1
2
G ; ; 0;2; 1 .
3 3 3
Câu 49 (Trần Hưng Đạo-TP Hồ Chí Minh 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,
cho hai vectơ a(0;3;1) và b(3;0; 1)
. Tính cos(a,b).
1
1
1
A. cos(a, b) . B. cosa, b . C. cos(a,b) . D.
100
100
10
Đáp án C.
a.b 1
Ta có: cosa;b .
a . b 10
1
cosa,b .
10
Câu 50 (Trần Hưng Đạo-TP Hồ Chí Minh 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,
cho tam giác ABC có
ABC.
Đáp án D.
A0;1;4 , B3; 1;1 ,
C 2;3;2 .
A. S 2 62. B. S 12
C. S 6. D. S 62.
Ta có: AB 3; 2; 3 ;AC 2;2; 2
1 1
SABC
AB;AC 10;12;2 62.
2
2
Do đó
Tính diện tích S của tam giác
Câu 51 (Trần Hưng Đạo-TP Hồ Chí Minh 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho ba điểm M 3;2;8 , N 0;1;3 và P 2;m;4 . Tìm m để tam giác MNP vuông tại N.
A. m 25.
B. m 4
C. m 1.
D. m 10.
Đáp án D.
Ta có:
m 10.
NM 3;1;5
NP2;m 1;1
do đó tam giác MNP vuông tại N khi
NM.NP 6 1. m 1 5 0

Câu 52 (Trần Hưng Đạo-TP Hồ Chí Minh 2018): Trong không gian với hệ tọa độ, Oxyz
A0;0;6 ,
cho bốn điểm B 0;1; 8 , C 1;2; 5 và D 4;3;8 . Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt
phẳng cách đều bốn điểm đó ?
A. Vô số. B. 1 mặt phẳng. C. 7 mặt phẳng. D. 4 mặt phẳng.
Đáp án A.
Ta có AB 0;1; 2 ;AC 1;2;1 AB;AC
5; 2; 1
Suy ra phương trình mặt phẳng (ABC) là 5x 2y z 6 0.
Do đó, điểm
D 4;3;8
thuộc mặt phẳng (ABC).
Vậy có vô số mặt phẳng cách đều bốn điểm đã cho.
Câu 53 (Quảng Xương 1- L2 -Thanh Hóa 2018): Trong không gian Oxyz, cho
a 1;2;1 , b
1;1;2 , c x;3x; x 2 . Nếu 3 véc tơ a, b, c đồng phẳng thì x bằng
A. 1
B. 1 C. 2
D. 2
Đáp án D
a,b,c đồng phẳng khi a;b
c 0 x 2
Câu 54 (Quảng Xương 1- L2 -Thanh Hóa 2018): Trong không gian O xyz, cho a, b tạo
với nhau 1 góc 120 và a 3; b 5. Tìm T a b .
A. T 5
B. T 6
C. T 7
D. T 4
Đáp án C
2
2 2
T a b 2a.b 9 25 2.3.5cos120 49 T 7
Câu 55 (Quảng Xương 1- L2 -Thanh Hóa 2018): Trong không gian Oxyz, cho
OA 3i 4j 5k. Tọa độ điểm A là
A3;4;5
A3;4;5
A. A 3;4; 5 B. C. A 3; 4;5 D.
Đáp án A
Câu 56 (Quảng Xương 1- L2 -Thanh Hóa 2018): Trong không gian Oxyz, cho
A1;2;0 , B3; 1;1 và C1;1;1 .
Tính diện tích S của tam giác ABC.
1
A. S 1
B. S 3
C. S D. S 2
2
Đáp án B

Câu 57 (Quảng Xương 1- L2 -Thanh Hóa 2018): Trong không gian Oxyz, cho
A1; 1;2 , B2;0;3 , C0;1; 2. M a;b;c
là điểm thuộc mặt phẳng Oxy
sao cho biểu
thức S MA.MB 2MB.MC 3MC.MA đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó T 12a 12b c có giá
trị là
A. T 1
B. T 3
C. T 3
D. T 1
Đáp án A
1 1 1
Gọi I là điểm sao cho 4IA 3IB 5IC 0 I ; ;
6 12 3
MA.MB 2MB.MC 3MC.MA IA IMIB IM
2IB IMIC IM 3IC IMIA IM
IA.IB 2IB.IC 3IC.IA I M 4IA 3IB 5IC 6IM
2
Do IA.IB 2IB.IC 3IC.IA là hằng số và IM 4IA 3IB
5IC
0 Nên
S khi IM M là hình chiếu của I lên mặt phẳng
min
min
1 1
O xy
M ; ;0
T 2 1 1
6 12
Câu 58 (Lê Quý Đôn-Đà Nẵng 2018): Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S có
phương trình
2 2 2
x y z 2x 4y 6z 0. Tính diện tích mặt cầu S .
A. 42 B. 36 C. 9 D. 12
Đáp án B
Ta có:
2 2 2
S : x 1 y 2 z 3 9 S có bán kính R 3
2
Diện tích mặt cầu S là: 4 .3 36
.
Câu 59 (Lê Quý Đôn-Đà Nẵng 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình
bình hành ABCD. Biết
là
Đáp án C
A 2;1; 3 ,
349
A. 2 87 B. C. 349 D. 87
2
Giả sử D a;b;c .Vì ABCD là hình bình hành nên
B 0; 2;5 và C 1;1;3 . Diện tích hình bình hành ABCD

a 1 2 a 3
CD BA 2;3; 8
b 1 3 b 4
c 3 8
c 5
D 3;4; 5 . Ta có: AB 2; 3;8 ,AD 1;3; 2
Diện tích hình bình hành ABCD là: S AB,AD
349.
Câu 60 (Lê Quý Đôn-Đà Nẵng 2018): Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz, cho hình hộp
ABCD. A 'B'C'D'. Biết A2;4;0 , B4;0;0 , C1;4; 7 và D' 6;8;10 .
Tọa độ điểm B'
là
B' 8;4;10
B' 6;12;0
B' 10;8;6 B' 13;0;17
A. B. C. D.
Đáp án D
D'C' AB 2; 4;0
C' 8;4;10 .C'B' CB 5; 4;7 B' 13;0;17
Ta có:
Câu 61 (Lê Quý Đôn-Đà Nẵng 2018): Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz , cho
a 2;3;1 ,b 1;5;2 ,c 4; 1;3
và x 3;22;5 . Đẳng thức nào đúng trong các đẳng
thức sau?
A. x 2a 3b c
B. x 2a 3b c
C. x 2a 3b c D.
Đáp án C
Ta có:
2m n 4p 3 m 2
x m.a n.b p.c 3m 5n p 22 n 3 .
m 2n 3p 5
p 1
x 2a 3b c
Câu 62 (Lê Quý Đôn-Đà Nẵng 2018): Trong không gian với hệ trục tọa độ
điểm
A2; 3;7 ,B0;4;l ,
sao cho biểu thức
Oxyz , cho bốn
C 3;0;5 , D 3;3;3 . Gọi M là điểm nằm trên mặt phẳng Oyz
MA MB MC MD
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó tọa độ M là
M 2;1;0 M 0;1;4
A. M 0;1; 4 B. C. M 0;1; 2 D.
Đáp án D
Gọi Ia;b;c
thỏa mãn IA IB IC ID 0 I2;1;4
Khi đó
Suy ra
MA MB MC MD 4MI IB IC ID 4 MI 4MI
MImin
M là hình chiếu của I trên Oyz M 0;1;4
0

Câu 63 (Lê Quý Đôn-Đà Nẵng 2018): Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz , cho ba
2 2 2
điểm A 1;0;0 ,B 0;2;0 ,C 0;0;3 . Tập hợp các điểm M thỏa MA MB MC là mặt
cầu có bán kính
A. R 2
B. R 3
C. R 3
D. R 2
Đáp án D
2 2 2
2 2 2
2 2 2
Ta có: MB MC MA MB MC MA MI IB MI IC MI IA
MI 2MI IB IC IA IB IC IA
2 2 2 2
Gọi I là điểm thỏa mãn IB IC IA 0 I1;2;3
Suy ra
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
MB MC MA MI IB IC IA 0 MI IA IB IC 2
Câu 64 (Thạch Thành 1-Thanh Hóa 2018): Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm
và điểm M m; m; m , để MB 2AC đạt giá trị nhỏ
A2;5;1 , B 2; 6;2 ,C1;2; 1
nhất thì m bằng
A. 2 B. 3 C. 1 D. 4
Đáp án A
AC1; 3; 2 MB2 m, 6 m,2 m
2 2 2 2
2
MB 2AC m m m 6 3m 12m 36 3 m 2 24
Để MB 2AC nhỏ nhất thì m 2 .
Câu 65 (Thạch Thành 1-Thanh Hóa 2018): Trong không gian Oxyz, cho 2 điểm
B 1; 2; 3 , C 7; 4; 2 . Nếu E là điểm thỏa mãn đẳng thức CE 2EB thì tọa độ điểm E là
8 8
8 8
8
1
A. 3; ; B. 3; ; C. 3;3;
D. 1;2;
3 3
3 3
3
3
Đáp án A
E x; y;z , từ
x 3
8
CE 2EB y
3
8
z
3
Câu 66 (Thạch Thành 1-Thanh Hóa 2018)Ba đỉnh của một hình bình hành có tọa độ là
1; 1; 1 , 2;3;4 , 7;7;5 . Diện tích của hình bình hành đó bằng

A. 2 83 B. 83 C. 83
D.
Đáp án A
Gọi 3 đỉnh theo thứ tự là A, B,C
AB 1;2;3 ,AC 6;6;4
hbh
S 2S AB.AB.sin A 2 83
ABC
Câu 67 (Thạch Thành 1-Thanh Hóa 2018): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba
điểm
A 3; 2; 2 , B 3;2;0 ,
C 0;2;1 .
83
2
Phương trình mặt phẳng (ABC) là:
A. 2x 3y 6z 0 B. 4y 2z 3 0 C. 3x 2y 1 0 D. 2y z 3 0
Đáp án A
AB 0;4;2 , AC 3;4;3
ABC qua A3; 2; 2
và có véc tơ pháp tuyến AB,AC 4; 6;12 22; 3;6
ABC : 2x 3y 6z 0
Câu 68 (Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình 2018)Trong không gian Oxyz, đường thẳng
x 1 y 2 z 3
d :
đi qua điểm
3 4 5
3; 4; 5
A. 1;2; 3 B. 1; 2;3
C. 3;4;5 D.
Đáp án B.
Câu 69 (Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình 2018) Trong không gian Oxyz, cho điểm A 4;2;1
B 2;0;5 . Tọa độ vecto AB là:
1;1; 2
A. 2;2; 4 B. 2; 2;4 C. 1; 1;2 D.
và
Đáp án B.
Câu 70
(Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình 2018): Trong không gian Oxyz, mặt phẳng
P : x 2y 3z 3 0
có một vecto pháp tuyến là:
1;2;3
A. 1; 2;3
B. 1;2; 3
C. 1;2; 3 D.
Đáp án B.

Câu 71
(Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình 2018): Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng
P : 2x 2y z 5 0.
Đáp án A.
Ta có:
Câu 72
Khoảng cách từ điểm M 1;2; 3
đến mp (P) bằng:
4 4 2
A. B. C. D.
3 3 3
2
4
9
2. 1 2.2 3
5 4
d M; P
.
2 2
2 2 1
3
(Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình 2018): Trong không gian Oxyz ,cho ba điểm
A 1;1;1 , B 1;2;0 ,C 2; 3;2 .
đường thẳng d. Phương trình tham số của d là
Tập hợp tất cả các điểm M cách đều ba điểm A, B, C là một
x 8 3t x 8 3t x 8 3t
A. y
t
B. y
t
C. y
t
D.
z 15 7t
z 15 7t
z 15 7t
Đáp án A.
AB 2;1; 1 ;AC 1; 4;1
Ta có:
Do đó
u
d
AB;AC
3;1;7
(loại B và D).
2 2 2
Xét đáp án A ta có d qua M 8;0;15 MA 278 MB MC .
x 8 3t
y
t
z 15 7t
Câu 73 (Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai
x 1 y 5 z
điểm A1;2;1 ,B1;2; 3
và đường thẳng d : . Tìm vectơ chỉ phương u
2 2 1
của đường thẳng đi qua A và vuông góc với d đồ ng thời cách B một khoảng lớn nhất.
A. u 4; 3;2 . B. u 2;0; 4 . C. u 2;2; 1 . D. u 1;0;2 .
Đáp án A.
Gọi u a;b;c
là vecto chỉ phương của đường thẳng .
Vì d suy ra u
d.u 0
2a 2b c 0.
Khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng là d B;
AB;u
u
Mà
AB 2;0; 4
AB;u
4b; 4a 2c;2b
suy ra
d B;
2 2
4a 2c 20b
a b c
2 2 2

2
8a 4b 20b
2 a
Mặt khác c 2a 2b suy ra d
20 (chia b , đặt t )
2 2
2
a b 4 a b
b
2 2
Dấu bằng xảy ra a 4
Chọn b 3 a 4 và c 2. Vậy u 4; 3;2 .
b 3
Câu 74
(Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
điểm A 1;0; 1
và mặt phẳng P : x y z 3 0. Mặt cầu (S) có tâm I nằm trên mặt
phẳng (P), đi qua điểm A và gốc tọa độ O sao cho chu vi tam giác OIA bằng 6 2.
Phương trình mặt cầu (S) là
2 2 2
A. x 2 y 2 z 1 9 và
B. x 3 y 3 z 3 9 và
2 2 2
x 1 y 2 z 2 9.
2 2 2
2 2 2
x 1 y 1 z 1 9.
2 2 2
2 2
2
C. x 2 y 2 z 1 9 và x y z 3 9.
2 2 2
D. x 1 y 2 z 2 9 và
Đáp án D.
Ta có
P OIA
OI IO OA 2R 2 6 2 R 3.
2 2 2
x 2 y 2 z 1 9.
2 2
IA IO
IA IO
Vì IP Ia;b;a b 3
mà suy ra
2
IA 3
IA 9
2 2 2
a 1;b 2 I 1;2; 2
2 2 2
a 1 b a b 2 a b a b 3 9 .
a 2;b 2 I 2;2;1
2 2 2
x 1 y 2 z 2 9
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là
2 2 2 .
x 2 y 2 z 1
9
Câu 75 (Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai
điểm M 0;1;3 , N 10;6;0 và mặt phẳng P : x 2y 2z 10 0. Điểm I 10;a;b
thuộc
mặt phẳng (P) sao cho IM IN lớn nhất. Khi đó tổng T a b bằng
A. T 5.
B. T 1.
C. T 2.
D. T 6.
Đáp án C.
Đặt f x, y,z x 2y 2z 10, ta có f M .f N 0 suy ra M,N cùng phía so với (P).
Do đó
IM IN MN.
Dấu bằng xảy ra khi I là giao điểm của MN và (P).
Phương trình đường thẳng MN là x y 1 z
3 .
10 5 3

Điểm I MN I10t;5t 1;3 3t
mà IP 10t 25t 1 23 3t
10 0
t 1.
a 4
I 10; 4;6 10;a;b T 4 6 2.
b 6
Vậy
Câu 76 (Lý Thái Tổ-Bắc Ninh 2018): Cho mặt phẳng : 2x 3y 4z 1 0. Khi đó, một
véc- tơ pháp tuyến của
A. n 2;3;1
B. n 2;3; 4
C. n 2; 3;4
D. n 2;3;4
Đáp án D
Câu 77 (Lý Thái Tổ-Bắc Ninh 2018)Cho hai mặt phẳng
: 3x 2y 2z 7 0,
: 5x 4y 3z 1 0.
O đồng thời vuông góc với cả ( )
và là:
Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ
A. 2x y 2z 0 B. 2x y 2z 0 C. 2x y 2z+1 0 D. 2x y 2z 0
Đáp án D
Gọi mặt phẳng cần tìm là P . Khi đó P nhận vtpt của ( )
và là cặp vtcp
P
Ta có u 3; 2;2 ,u 5; 4;3 n
u ;u 2;1; 2
P : 2x y 2z 0
Câu 78 (Lý Thái Tổ-Bắc Ninh 2018): Cho tam giác ABC với
A2; 3;2 , B1; 2;2 , C1; 3;3 .
Gọi A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A,
B, C lên mặt phẳng : 2x y 2z 3 0. Khi đó, diện tích tam giác A’B’C’ bằng
3
1
A. 1 B. C. D.
2
2
Đáp án C
AB 1:1: 0 , AC 1: 0 :1 AB;AC
1;1;1
Ta có
Suy ra phương trình mặt phăng (ABC) là x y z 1 0.
3
2
1 3
Diện tích tam giác ABC là SABC
AB;AC
2 2
Góc giữa hai mặt phăng (ABC) và
ABC
là cosABC ,
n .n 3
n . n 3
ABC

Khi đó diện tích tam giác
ABC
là
1
SA'B'C'
S
ABC.sos ABC ;
2
P
Chú ý lý thuyết: Nếu đa giác H trong mặt phẳng có diện tích S, đa giác H trong
H
mặt phẳng là hình chiếu vuông góc của có diện tích S', là góc giữa P , P ' thì
S' S.cos
Câu 79
(Lý Thái Tổ-Bắc Ninh 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
3 3 1
A1;2; 3 ,B ; ; ,C1;1;4 ,D5;3;0 ,
2 2 2
S 2
S
, S
1 2
là mặt cầu tâm B bán kính bằng
đồng thời song song với đường thẳng đi qua 2 điểm C D, .
3 .
2
S 1
Gọi là mặt cầu tâm A bán kính bằng 3,
Có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với 2 mặt cầu
A. 1 B. 2 C. 4 D. Vô số
Đáp án A
Gọi phương trình mặt phẳng cần tìm là P : ax by cz d 0
Vì CD / / P n P.CD 0 4a 2b 4c 0 2a b 2c 0 1
Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng
P
P
a 2b 3c d
là d1 R1
3 2
2 2 2
a b c
3a 3b c 2d 3
là d2 R
2 2 2
2
3
2 a b c 2
Từ
1 , 2 , 3
suy ra
a 2b 2c 0 a
b a;c ;d 2a
a 2b 3c d 3a 3b c 2d 2
2 2 2 b 2a;c 2a;d 8a
a 2b 3c d 3 a b c
a
Với b a;c ;d 2a
suy ra phương trình P : 2x 2y z 4 0 loại vì chứa C, D
2
Với
b 2a;c 2a;d 8a
suy ra phương trình P : x 2y 2z 8 0
Vậy chỉ có duy nhất 1 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán
Câu 80
P : 2x y 3z 1 0
1
(Phan Chu Trinh-Đắc Lắc 2018): Trong không gian Oxyz, mặt phẳng
có một vectơ pháp tuyến là:
A. n 2; 1;3
B. n 2; 1; 1
C. n 1;3; 1
D. n 2; 1; 3
Đáp án A
2
3
4

Câu 81 (Phan Chu Trinh-Đắc Lắc 2018): Trong không gian Oxyz , cho ba điểm
M 2;0;0 , N 0;1;0 và P 0;0;2 . Mặt phẳng (MNP) có phương trình là
A. x y z
x y z
x y z
0 B. 1
C. 1
D.
2 1 2
2 1 2
2 1 2
Đáp án C
x y z
1
2 1 2
Câu 82 (Phan Chu Trinh-Đắc Lắc 2018): Trong không gian Oxyz, cho điểm M 3;2; 1 .
Hình chiếu vuông góc của điểm M lên trục Oz là điểm:
M 3;0;0
M 0;2;0
M 3;2;0
A. B. C. M 0;0; 1 D.
3
Đáp án C
Câu 83:
điểm
4
(Phan Chu Trinh-Đắc Lắc 2018) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba
A2; 1;1 ,B1;0;4
đường thẳng BC là:
và C 0; 2; 1 .
1
Phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với
A. 2x y 2z 5 0 B. x 2y 5z 5 0 C. x 2y 3z 7 0 D. x 2y 5z 5 0
Đáp án D
Ta có: CB 1;2;5 . Phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng BC là:
1x 2 2y 1 5z 1
0 hay x 2y 5z 5 0
Câu 84 (Phan Chu Trinh-Đắc Lắc 2018): Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho
C4;2;5 .
ba điểm A 2; 3;7 , B 0;4; 3 ,
Biết điểm M x ; y ;z nằm trên mp (Oxy)
0 0 0
sao cho MA MB MC có giá trị nhỏ nhất. Tổng P x y z có giá trị bằng
0 0 0
A. P 0
B. P 6
C. P 3
D. P 3
Đáp án C
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC G 2;1;3
Khi đó
Suy ra
MA MB MC 3MG GA GB GC 3 MG 3MG
MGmin
M là hình chiếu của G trên mpO xy M 2;1;0
0
Câu 85 (Phan Chu Trinh-Đắc Lắc 2018): Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho
8 4 8
hai điểm A2;2;1 ,B ; ; Biết Ia;b;c
là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác
3 3 3
OAB. Tính tổng S a b c.
2

A. S 1
B. S 0
C. S 0
D. S 2
Đáp án D
Cách 1 (Véc tơ đơn vị). Ta có OA 3, OB 4, AB 5 OAB
vuông tại O.
Đặt
OA 2 2 1 OB 2 1 2
OA OB AB
e
1
; ; ,e 2
; ; mà S
OAB
.r r 1
OA 3 3 3 OB 3 3 3
2
Gọi H, E là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp OAB với các cạnh OA, OB.
OH e
1
Ta có OH OE r 1
OI OH OE 0;1;1
OE e2
OA AE 3 3 12 12
Cách 2. Kẻ phân giác OE E
AB
suy ra AE EB E 0; ;
OB BE 4 4 7 7
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp OAB I OE OI kOE, với k 0
Tam giác OAB vuông tại O, có bán kính đường tròn nội tiếp r 1
IO 2
Mà
15 3 12 2 12
AE ;OA 3;cosOAB OE suy ra OE OI I0;1;1
7 5 7
7
Câu 86 (Yên Định 2-Thanh Hóa 2018): Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho
A0; 1;1 ,B2;1; 1 ,C1;3;2 .
là:
Biết rằng ABCD là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm D
2
A. D
1;1; B. D1;3;4 C. D.
3
Đáp án C.
D 1;1;4 D1; 3; 2
Vì ABCD là hình bình hành nên DC AB 1 x ;3 y ;2 z 2;2; 2
x 1; y 1;z 4 D 1;1;4 .
D D D
D D D
Câu 87 (Thanh Chương 3 – lần 1 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết
P
phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A 2;1;3 ,B 1; 2;1
và song song với đường
thẳng
x 1
t
d : y
2t
z 3 2t
A. 2x y 3z 19 0
B. 10x 4y z 19 0
C. 2x y 3z 19 0
D. 10x 4y z 19 0
Đáp án B

Ta có: uAB
1; 3; 2
VTPT của mặt phẳng cần tìm là: n u AB;u
d
10; 4;1
Suy ra P :10x 4y z 19 0
Câu 88 (Thanh Chương 3 – lần 1 2018)Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm
qua điểm
A 1;1;2
có pt là:
2 2 2
A. x 1 y 1 z 2 2
B.
C. x 1 y 2 z 3 2 D.
2 2 2
x 1 y 2 z 3 2
2 2 2
2 2 2
x 1 y 1 z 2 2
I 1;2;3
đi
Đáp án B
Ta có: R IA 2
Câu 89
A 2;6; 3
(Thanh Chương 3 – lần 1 2018)Lập phương trình của mặt phẳng đi qua
và song song với (Oyz).
A. x 2
B. x z 12
C. y 6
D. z 3
Đáp án A
n i 1;0;0 P : x 2
Oyz
Câu 90 (Thanh Chương 3 – lần 1 2018)Cho đường thẳng đi qua điểm M 2;0; 1
và
có vectơ chỉ phương a 4; 6;2
. Phương trình tham số của đường thẳng là:
x 2 2t
x 2 4t x 4 2t
A. y
3t B. y
6t C. y 6 3t D.
z 1 t
z 1 2t
z 1 t
Đáp án A
1
a 2; 3;1
2
x 2 2t
y
3t
x 1 t
Câu 91 (Thanh Chương 3 – lần 1 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường
x y 1 z 2
thăng : và mặt
1 1 1
phẳng P : x 2y 2z 4 0. Phương trình đường thăng d nằm trong P sao cho d cắt và
vuông góc với đường thẳng là
x 3 t
A. d : y 1 2t t
B.
z 1 t
x
3t
z 2 2t
d : y 2 t t

x 2 4t
x 1
t
C. d : y 1 3t t
D. d : y 3 3t t
z 4 t
z 3 2t
Đáp án C
Ta có: P M 2; 1;4
d qua M và có VTCP u u ;n
P
4;3; 1
x 2 4t
z 4 t
Vậy d : y 1 3t t
Câu 92 (Thanh Chương 3 – lần 1 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường
thẳng d và mặt cầu (S) lần lượt có
x 3 y z 1
2 2 2
phương trình là: d : ; S : x y z 2x 4y 2z 18 0. Biết d cắt (S)
1 2 2
tại hai điểmM, N thì độ dài đoạn MN là:
30
20
16
A. MN
B. MN
C. MN D. MN 8
3
3
3
Đáp án B
Ta có:
Gọi
S
có tâm
H 3 t;2t; 1
2t
I 1; 2; 1 ,R 24
là hình chiếu của I trên d
4
IH 4 t;2t 2;2t .u
d
1;2;2 0 4 t 4t 4 4t 0 t
9
Ta có:
Suy ra
Câu 93
2 39 2 2 20
IH MN 2 R IH
3 3
(Thanh Chương 3 – lần 1 2018): Trong không gian Oxyz, cho
và mp P : 3x 8y 7z 1 0. Có bao nhiêu điểm C trên mặt phẳng
A 0;0; 3 , B 2;0; 1
(P) sao cho ABC đều.
A. vố số B. 1 C. 3 D. 2
Đáp án D
Phương trình mặt phẳng trung trực của AB là : x z 1 0
Vì tam giác ABC đều
xC
3
xC zC 1 0 yC
C
mà CP
2 4
3xC 8yC 7zC
1 0
zC
xC
1

Mặt khác
2
BC AB BC 8
suy ra
Vậy có 2 điểm C thỏa mãn yêu cầu bài toán.
11
2 46
2 xC
2 xC
11
2
18
xC
xC
8
2 4 11
2 46
xC
18
Câu 94 (Đặng Thực Hứa-Nghệ An 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt
cầu
cầu S?
2
2 2
S : x y 1 z 2.
Trong các điểm được cho dưới đây, điểm nào nằm ngoài mặt
M(1;1;1) N0;1;0
P1;0;1
Q1;1;0
A. B. C. D.
Đáp án C
2
2 2
Điểm nằm ngoài mặt cầu S : x y 1 z 2 tâm I 0;1;0 ,R 2 thỏa mãn
IM0
2
Câu 95 (Đặng Thực Hứa-Nghệ An 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai
A1;2;2 ,B3;-2;0 .
điểm
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là
A. u 1;2;1
B. u 1;2; 1
C. u 2; 4;2
D. u 2;4; 2
Đáp án A
AB 2; 4; 2 2 1;2;1
Câu 96 (Đặng Thực Hứa-Nghệ An 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương
trình nào được cho dưới đây là phương trình mặt phẳng Oyz?
A. z y z B. y z 0 C. y z 0 D. x 0
Đáp án B
Câu 97 (Đặng Thực Hứa-Nghệ An 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai
điểm
A1;2;2 ,B3;-2;0 .
Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB
A. x 2y 2z 0 B. x 2y 2 1 0 C. x 2y z 0 D. x 2y z 3 0
Đáp án D
Câu 98 (Đặng Thực Hứa-Nghệ An 2018): Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng
x 4 y 1 z 5 x 2 y 3 z
1
: và 2
: . Giả sử M 1, N 2
sao cho MN là
3 2 1
1 3 1
đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng 1
và . 2
Tính MN
A. M N 5; 5;10
B. MN 2; 2;
4 C. MN 3; 3;
6 D. MN 1; 1;
2

Đáp án B
Gọi M 4 3t;1 t; 5 2t ; N2 u; 3 3u;u
MN 2 u 3t; 4 3u t;u 2t 5
MN 2; 2;
4
Suy ra
Câu 99:
(Đặng Thực Hứa-Nghệ An 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai
điểm A( 0;2; 2)
và B( 2;2; 4) . Giả sử I a;b;c là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB.
Tính
a b c
2 2 2
A. T 8
B. T 2
C. T 6
D. T 14
Đáp án A
Do OA;OB
41;1;1 OAB : x y z 0
Ta có
IO IA
a 2
2 2 2 2
2 2
a b c a b 2 c 2
2 2 2
2 2 2
IO IB a b c a 2 b 2 c 4 b 0
I OAB
a b c 0
c 2
Câu 100
(Đặng Thực Hứa-Nghệ An 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho
x 1 y z 2
đường thẳng d : , mặt phẳng P : x y 2z 5 0 và A( 1; 1;2)
. Đường
2 1 1
thẳng
cắt d và P lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN . Một
vectơ chỉ phương của là:
A. u 2;3;2 B. u 1; 1;2
C. u
3;5;1 D. u 4;5; 13
Đáp án A
Gọi M 1 2t; t;2 t N2x x ;2y y ;2z z
A M A M A M
Suy ra N 3 2t; 2 t;2 t , do N P 3 2t 2 t 4 2t 5 0 t 2
M 3;2;4 AM 2;3;2 u
Câu 101 (Đặng Thực Hứa-Nghệ An 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai
điểm A 0;2;2 , B 2;-2;0 . Gọi I1( 1;1; 1)
và I2( 3; 1;1) là tâm của hai đường tròn nằm trên
hai mặt phẳng khác nhau và có chung một dây cung AB. Biết rằng luôn có một mặt cầu S đi
qua cả hai đường tròn ấy. Tính bán kính R của S.

Đáp án A
219
129
A. R B. R 2 2 C. R D. R 2 6
3
3
x 1
5t
Ta có I1A;I1B
10;4;2 / / 5;2;1
d
1
: y 1
2t là trục đường tròn tâm I
1,
đi qua A, B
z 1 t
x 3 t
Lại có I2A;I2B
2; 4;10 / / 1; 2;5
d
2
: y 1
2t là trục đường tròn tâm I
2,
đi qua
z 1 5t
A, B
Tâm mặt cầu (S) chứa cả 2 đường tròn có tâm
Bán kính mặt cầu cần tìm là
8 5 2
I ; ;
3 3 3
2 2 2
là giao điểm của
8 5 2 129
R IA 2 2
3 3 3 3
d
1,d2
Câu 102 (Lục Ngạn 1-Bắc Giang 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt
phẳng (P) đi qua điểm A 1; 1;2 và có một véc tơ pháp tuyến n 2;2; 1 . Phương trình
của (P) là:
A. 2x 2y z 6 0 B. 2x 2y z 2 0 C. 2x 2y z 6 0 D. 2x 2y z 2 0
Đáp án B
Phương trình của
P
là 2x 2y z 2 0
Câu 103
(Lục Ngạn 1-Bắc Giang 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương
trình mặt cầu đi qua hai điểm
A 3;1;2 ; B 1;1; 2
2 2 2
A. x y z 2y 11 0
B.
và có tâm thuộc trục Oz là:
2 2 2
2
2 2
C. x y 1 z 11
D.
Đáp án D
Gọi tam của mặt cầu là
t 1 I 0;0;1 ;R IA 11
x 1 y z 11
2 2 2
x y z 2z 10 0
2 2
I 0;0; t ta có: IA IB 9 1 t 2 11 t 2
Do đó PT mặt cầu là:
2
2 2
x y z 1 11hay
2 2 2
x y z 2z 10 0

Câu 104
(Lục Ngạn 1-Bắc Giang 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt
phẳng P : x 2y 3z 3 0 . Trong các véc tơ sau véc tơ nào là véc tơ pháp tuyến của P ?
A. n 1;2; 3
B. n 1;2;3
C. n 1;2;3 D. n 1; 2;3
Đáp án D
Câu 105 (Lục Ngạn 1-Bắc Giang 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
a 3; 2; 1 , b 2;0; 1 . Độ dài a b là:
A. 2 B. 3 C. 1 D. 2
Đáp án B
a b 1; 2; 2 a b 1 4 4 3
Câu 106
(Lục Ngạn 1-Bắc Giang 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai
điểm A 1;0;1 ;B 2;1;2 và mặt phẳng P : x 2y 3z 3 0. Phương trình mặt phẳng
đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng P
là: _
A. x 2y z 6 0 B. x 2y 3z 6 0 C. x 2y z 2 0 D. x 2y 3z 6 0
Đáp án C
Ta có: AB1;1;1 n
AB;n
P 1; 2;1
: x 2y z 2 0
Câu 107
(Lục Ngạn 1-Bắc Giang 2018): Tâm I và bán kính R của mặt cầu
2 2 2
S : x 1 y 2 z 3 9
là:
A. I 1;2; 3 ;R 3 B. I 1; 2;3 ;R 3 C. I 1;2; 3 ;R 3 D.
I 1; 2;3 ;R 3
Đáp án C
Câu 108
(Lục Ngạn 1-Bắc Giang 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
A4;0;0 , B0;4;0 ; C0;0;4 .
Bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC bằng:
4
3
4
A. B. C. D.
6 2 3
6 2 3
3 3
Đáp án A
1 32
Ta có: VOABC
OA.OB.OC . Tam giác ABC đều cạnh 4 2
6 3
5
6 2 3
1 r. S S S S V
3
Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp khối chóp khi đó
OAB OAC OBC ABC OABC

3V 32 4
r
S
2
OAB
SOAC SOBC SABC
4 2 3 6 2 3
8 8 8
4
Câu 109
A2;0;0 ;M 1;1;1 .
(Lục Ngạn 1-Bắc Giang 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
Mặt phẳng (P) thay đổi qua AM cắt các tia Oy; Oz lần lượt tại B, C .
Khi mặt phẳng (P) thay đổi thì diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
A. 2 6 B. 4 6 C. 3 6 D. 5 6
Đáp án B
x y z
Gỉa sử B0;b;0 ;C0;0;c b,c 0 ,
phương trình mặt phẳng ABC
là 1
2 b c
Do
ABC
qua điểm 1 1 1 1
2 2 2 2
M 1;1;1 .S 1
ABC
AB;AC
b c 4b c
b c 2 2 2
Mặt khác
Vậy SABCmin
4 6
bc
2
2 2
b c 2 bc bc 16;b c 2bc 32
Câu 110 (Lục Ngạn 1-Bắc Giang 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
M 2; 3;4 .
(ABC) là:
Gọi A, B, C là hình chiếu của M trên các trục tọa độ. Phương trình mặt phẳng
A. 6x 4y 3z 12 0
B. 6x 4y 3z 1 0
C. 6x 4y 3z 1 0
D. 6x 4y 3z 12 0
Đáp án A
Ta có: A2;0;0 ;B0; 3;0 ;C0;0;4
Do đó PT đoạn chắn của mặt phẳng
Suy ra ABC : 6x 4y 3z 12 0
ABC
là:
x y z
1
2 3 4
Câu 111 (THANH CHƯƠNG NGHỆ AN 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt
P
phẳng chứa trục Oy và đi qua điểm M 1;1; 1
có phương trình là
A. x z 0 B. x y 0 C. x z 0 D. y z 0
Đáp án A

Gọi N0;1;0 là điểm thuộc trục Oy MN 1;0;1
Gọi u 0;1;0 là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng Oy.
Ta có
u;MN
1;0; 1 n 1;0;1
Suy ra phương trình mp
là một véc tơ pháp tuyến của
P là x 1 z 1
0 x z 0
P
Câu 112 (THANH CHƯƠNG NGHỆ AN 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
đường thẳng d có phương trình
1
1
x 1
2t
y
t
z 2 t
. Gọi d’là hình chiếu vuông góc của đường thẳng
d trên mặt phẳng (Oxy). Đường thẳng d’ có một véc tơ chỉ phương là
A. u 2;0;1 B. u 1;1;0 C. u 2;1;0
D. u 2;1;0
Đáp án D
Gọi M 1
2t; t;2 t là giao điểm của d và
Oxy : z 0 2 t 0 t 2 M 5;2;0 d '
N1;0;2
O xy
Gọi là điểm thuộc d. Hình chiếu của N lên là I 1;0;0
Ta có IM 4;2;0 u1
2;1;0 là một véc tơ chỉ phương của d’
Câu 113 (THANH CHƯƠNG NGHỆ AN 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho ba điểm
A1;0;0; , B0;1;0 ,C0;0; 2
1
. Véc tơ nào dưới đây là véc tơ pháp tuyến của
mặt phẳng ABC ?
A. n4
2;2;; 1
B. n3
2;2;1
C. n1
2; 2; 1
D.
1
n2
1;1; 2
Đáp án A
AB 1;1;0
Có
AB;AC
2; 2;1 n4
2;2; 1
là véc tơ pháp tuyến của
AC 1;0; 2
ABC
Câu 114
(THANH CHƯƠNG NGHỆ AN 2018)Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng
x 1 y 2 z 3 x y 1 z 6
d
1
: ;d
2
:
1 1 1 1 2 3
thẳng
d
1;d2
có phương trình là
x
A. 1 y 2 z 3
x
B.
1 y 1 z 1
5 4 1
5 4
1
chéo nhau. Đường vuông góc chung của hai đường

x
C. 1 y 1 z 3
x
D.
1 y 1 z 3
5 4 1
3 2 1
Đáp án C
A1 t; 2 t;3 td1
2
Gọi
và B u;1 2u;6 3u d
AB u t 1;3 2u t;3 3u t
Theo giả thiết ta giải hệ điều kiện :
u 1
AB.u
d1
0 u t 1 3 2u t 3 3u t 0
1
AB.u u t 1 23 2u t 33 3u t
0 t
d2
0
3
5 4 1
3 3 3
Khi đó B1; 1;3 , AB ; ; u 5; 4;1
Vậy PT đường vuông góc chung là
AB
x 1 y 1 z 3
AB :
5 4 1
Câu 115 (THANH CHƯƠNG NGHỆ AN 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho hai điểm
A 1; 3;0 , B 5;1;2 .
Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB
là
A. 3x 2y z 5 0
B. 3x 2y z 5 0
C. 3x 2y z 5 0
D. 3x 2y z 1 0
Đáp án B
Ta có: AB 6;4;2 23; 2; 1 ,
trung điểm của AB là 2; 1;1
Mặt phẳng trung trực của AB qua điểm 2; 1;1
và có VTPT là n 3; 1; 1
Suy ra
X : 3 x 2 2 y 1 z 1 0 hay 3x 2y z 5 0
Câu 116 (THANH CHƯƠNG NGHỆ AN 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho mặt phẳng P : x 2y 8 0 và ba điểm A 0; 1;0 , B 2;3;0 ,C 0; 5;2 . Gọi
là điểm thuộc mặt phẳng P
sao cho MA MB MC. Tổng
M x ; y ;z
bằng
0 0 0
S x0 y0 z0
A. 12
B. 5
C. 12 D. 9
Đáp án D
Phương trình mặt phẳng trung trực của AB là : x 2y 3 0
Phương trình mặt phẳng trung trực của AC là : 2y z 7 0

Chọn
x 1, ta có
1 2y 3 0 y 1
2y z 7 0 z 9
N1;1;9
Phương trình đường thẳng giao tuyến của và là
x 1 y 1 z 9
d :
2 1 2
Vì MA MB MC M M d M 2t 1; t 1;2t 9
Mà
M P
suy ra 2t 1 2t 1 2t 9 8 0 t 2 M 5; 1;5
Câu 117 (THANH CHƯƠNG NGHỆ AN 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
mặt phẳng P : x y z 1 0 và điểm A 1;0;0 P . Đường thẳng đi qua A nằm trong
mặt phẳng và tạo với trục Oz một góc nhỏ nhất. Gọi M x ; y ;z là giao điểm của
P
0 0 0
đường thẳng với mặt phẳng Q : 2x y 2z 1 0 . Tổng S x0 y0 z0
bằng
A. 5
B. 12 C. 2
D. 13
Đáp án D
x 1
at
Gọi phương trình đường thẳng là y bt , với u a;b;c
z
ct
Vì nằm trong mặt phẳng P n P .u 0 a b c 0 c a b
Góc giữa hai đường thẳng
và Oz là
cos
u .u
Oz
2 2 2
u . uOz
a b c
c
Ta có
2 2 2 2
a b c 3c 3c 6
2 2 2 2 3
2 2 2 2 2
a b a b c cos c :
6
Khi cos lớn nhất nhỏ nhất và bằng arccos . Xảy ra khi
3
b 2
c
2a
x 1 y z
Do đó, phương trình đường thẳng là . Vậy
1 1 2
M 4;3;6
Câu 118 (THANH CHƯƠNG NGHỆ AN 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
: x y z 4 0,
2 2 2
cho mặt phẳng mặt cầu S : x y z 8x 6y 6z 18 0 và điểm
M 1;1;2
. Đường thẳng d đi qua M nằm trong mặt phẳng và cắt mặt cầu S tại
hai điểm phân biệt A, B sao cho dây cung AB có đọ dài nhỏ nhất. Đường thẳng d có một véc
tơ chỉ phương là
A. u1
2; 1; 1
B. u3
1;1; 2
C. u2
1; 2;1
D. u4
0;1; 1

Đáp án C
2 2 2
Xét S : x 4 y 3 z 3 16 có tâm I 4;3;3 , bán kính R 4
x 1
at
Gọi phương trình đường thẳng d có dạng y 1 bt mà d
a b c 0
z 2 ct
I M;u
2 2
6 8a 8ab 9b
Khoảng cách từ tâm I đến d là d
2 2
u 2 a ab b
Ta có
2
2 AB 2 2 2 2 2
d I; d R AB 4 R d I; d 64 4d I; d
2
Để
Khi đó
AB d I; d f t
2 2 2
2
8a 8ab 9b 8t 8t 9
min
2 2
max
2
a ab b
t t 1
max
1 a 1
t b 2a
và c a ud
1; 2;1
2 b 2
lớn nhất , với
a
t
b
Câu 119 (QUẢNG XƯƠNG 2 2018): Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC, biết
A1; 2;4 ,B0;2;5 ,C5;6;3 .
Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là
G 2;2;4
G 4;2;2
G 3;3;6
G 6;3;3
A. B. C. D.
Đáp án A
Câu 120 (QUẢNG XƯƠNG 2 2018)Điểm nào sau đây thuộc cả hai mặt phẳng
mặt phẳng P : x y z 3 0
M 1;1;0
N0;2;1
P0;0;3
Q2;1;0
A. B. C. D.
Oxyz
và
Đáp án D
Mặt phẳng Oxy có phương trình là: z 0. Vậy điểm Q 2;1;0 thuộc cả hai mặt phẳng
Câu 121 (QUẢNG XƯƠNG 2 2018)Cho mặt phẳng có phương trình:
2x 4y 3z 1 0, một vecto pháp tuyến của mặt phẳng
là
A. n 2;4;3 B. n 2;4; 3
C. n 2; 4; 3
D. n 3;4;2
Đáp án B

Câu 122 (QUẢNG XƯƠNG 2 2018): Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A 5;4;3 .
Gọi
phẳng
là mặt phẳng đi qua các hình chiếu của A lên các trục tọa độ. Phương trình của mặt
là:
A. 12x 15y 20z 10 0
B. 12x 15y 20z 60 0
C. x y z 1
D.
5 4 3
Đáp án C
Gợi A’, B’ C’ hình chiếu của A lên Ox, Oy, Oz. Ta có:
x y z
A ' 5;0;0 ,B' 0;4;0 ,C' 0;0;3 PT
: 1
5 4 3
Câu 123
x y z
60 0
5 4 3
(QUẢNG XƯƠNG 2 2018): Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm
A1;2;3 ,B2;1;0 ,C4; 3; 2 , D3; 2;1 ,E 1;1; 1 .
đều 5 điểm trên?
Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng cách
A. 1 B. 4 C. 5 D. không tồn tại
Đáp án C
AB 1; 1; 3 ,DC 1; 1; 3 ,AD 2; 4; 2 ABCD là hình bình hành
AB.AD .AE 12 E.ABCD
5 điểm là
+ Mặt phẳng qua 4 trung điểm của 4 cạnh bên
+ Mặt phẳng qua 4 trung điểm lần lượt là AD, EC, AD, BC
+ Mặt phẳng qua 4 trung điểm lần lượt là EC, EB, DC, AB
+ Mặt phẳng qua 4 trung điểm lần lượt là EA, EB, AD, BC
+ Mặt phẳng qua 4 trung điểm lần lượt là EA, ED, AB, DC
Câu 124
M 2;0;0 , N1;1;1 .
là hình chóp đáy hình bình hành nên các mặt phẳng cách đều
(QUẢNG XƯƠNG 2 2018)Trong không gian tọa độ Oxyz, cho
Mặt phẳng
B 0;b;0 ,C 0;0;c b 0,c 0 .
(P) thay đổi qua M, N và cắt các trục Oy, Oz lần lượt tại
Hệ thức nào dứoi đây là đúng?
1 1
A. bc 2b c
B. bc C. D.
b
c
b c bc
bc b c
Đáp án A
MN 1;1;1 , MB 2;b;0 , MC 2;0;c

Theo giả thiết 4 điểm M, N, B, C đồng phẳng nên MB;MC
.MN 0
Câu 125
A 0;0; 2
bc 2 b c
(QUẢNG XƯƠNG 2 2018): Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm
x 2 y 2 z 3
và đường thẳng : . Phương trình mặt cầu tâm A, cắt tại
2 3 2
hai điểm B và C sao cho
BC 8
là:
2
2 2
2
2 2
A. x y z 2 16
B. x y z 2 25
2 2 2
2 2 2
C. x 2 y 3 z 1 16 D.
Đáp án B
x 2 y z 25
2
BC 2
M 2;2; 3 , AM 2;2; 1 , AM;u
7;2; 1 d A; 3;R
mc
d A;d
5
4
2 2
vậy phương trình mặt cầu cần tìm là 2
x y z 2 25
Câu 126 (QUẢNG XƯƠNG 2 2018): Trong không gian tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết
A1;0; 1 , B2;3; 1 , C2;1;1
. Phương trình đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại
tiếp cảu tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng ABC .
x
A. 3 y 1 z 5
x y 2 z
B.
3 1 5
3 1 5
x 1 y z 1
x
C.
D.
3 y 2 z 5
1 2 2
3 1 5
Đáp án A
Ta có
2 2 2
AB 10, BC 24, AC 14 ABC
vuông tại A
Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của BC, I0;2;0 .
Đường thẳng d qua tâm I và vuông góc mặt phẳng
ABC
qua I 0;2;0
x y 2 z x 3 y 1 z 5
1
PT :
Vtcp : u AB, AC 3; 1;5
3 1 5 3 1 5
2
Vậy phương trình của d là x 3
y 1
z 5
3 1
5
đưuọc xác định

Câu 1: (Chuyên Đại Học Vinh) Trong không gian Oxyz, một véctơ chỉ phương của
x
2t
đường thẳng : y 1
t là
z 1
m 2; 1;1
v 2; 1;0
A.
B.
C. u 2;1;1
D. n 2; 1;0
Đáp án D
Phương pháp:
x x0
at
+ Cho phương trình đường thẳng : y y0
bt. Khi đó ta biết đường thẳng đi qua
z z0
ct
điểm M x 0; y0
và có vVTCP u a;b;c
.
ku k cũng là một VTCP của .
+ Chú ý: Véc tơ là một VTCP của thì
Cách giải:
Ta có VTCP của là: u 2;1;0
n 2; 1;0
cũng là một VTCP của
Câu 2: (Chuyên Đại Học Vinh) Trong không gian Oxyz, cho điểm M 1;2;3 . Hình
chiếu của M lên trục Oy là điểm
A. S0;0;3 B. R 1;0;0 C. Q0;2;0
D. P1;0;3
Đáp ánC
Phương pháp: Điểm M a;b;c
có hình chiếu trên trục Ox, Oy, Oz lần lượt là:
M1 a;0;0 , M2
0;b;0
và
3
M 0;0;c .
Cách giải: Hình chiếu của M lên trục Oy là Q0;2;0
Câu 3: (Chuyên Đại Học Vinh)Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng
: x 2y z 1 0 và : 2x 4y mz 2 0.
và
song song với nhau.
Tìm m để hai mặt phẳng
A. m 1 B. Không tồn tại m C. m 2
D. m 2
Đáp án B

Phương pháp:
Cho hai mặt phẳng:
: a
2x b2y c2z d2
0
: a1x b1y c1z d1
0
.
Khi
đó
a b c d
a b c d
1 1 1 1
/ /
Cách giải:
Để / /
thì
2 2 2 2
2 4 m 2
m 2
m
1 2 1 1
m 2
Câu 4:(Chuyên Đại Học Vinh) Trong không gian Oxyz, cho điểm M 1; 0; 1 .
Mặt
phẳng đi qua M và chứa trục Ox có phương trình là
A. x z 0 B. y z 1 0 C. y 0 D. x y z 0
Đáp án C
Phương pháp:
+) Phương trình đường thẳng đi điểm M x 0; y
0;z 0 và có VTPT n a;b;c
trình:
a x x b y y c z z 0.
0 0 0
có phương
+) Hai vecto u; v cùng thuộc một mặt phẳng thì mặt phẳng đó có VTPT là: n u, v
Cách giải:
Mặt phẳng
chưa điểm M và trục Ox nên nhận n
OM;u Ox là một VTPT.
OM 1;0; 1
0 1 1 1 1 0
Mà
n
OM;u
Ox
0 0
;
0 1
;
1 0 0; 1;0
uOx
1;0;0
Kết hợp với
đi qua điểm M 1;0; 1 : y y 0
0 y 0
Câu 5: (Chuyên Đại Học Vinh) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
x 1 y 2 z 3
d : và mặt phẳng
1 2 1
: x y z 2 0. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng
, đồng thời vuông góc và cắt đường d?

x 5 y 2 z 5
A. 3
:
3 2 1
x 2 y 4 z 4
C. 2
:
1 2 3
Đáp án A
Phương pháp:
Gọi đường thẳng cần tìm là d’
Gọi A d
A d '. Tìm tọa độ điểm A.
nd'
u d;n
là 1 VTCP của đường phẳng d’
Cách giải:
Gọi d’ là đường thẳng cần tìm, gọi A d
A d '
x 1
t
z 3 t
Ta có d : y 2 2t t At 1;2t 2; t 3
Mà A t 1 2t 2 t 3 2 0 A2;4;4
x 2 y 4 z 4
B. 1
:
3 2 1
x 1 y 1 z
D. 4
:
3 2 1
ud
1;2;1
Lại có u d;n
3;2; 1
là một VTCP của d’
n
1;1; 1
Kết hợp với d’ qua
x 2 y 4 z 4 x 5 y 2 z 5
A 2;4;4 d :
3 2 1 3 2 1
Câu 6:(Chuyên Đại Học Vinh) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng
: x z 3 0
và điểm
M 1;1;1 . Gọi A là điểm thuộc tia Oz, B là hình chiếu của A
lên . Biết rằng tam giác MAB cân tại M. Diện tích của tam giác MAB bằng
A. 3 123
2
Đáp án C
Phương pháp:
B. 6 3 C. 3 3
2
D. 3 3
+) Gọi A0;0;a , a 0
viết phương trình đường thẳng AB đi qua A và vuông góc với

+) B AB
tìm tọa độ điểm B theo a.
+) Tam giác MAB cân tại M MA MB, tìm a.
1
+) Sử dụng công thức tính diện tích S
MAB
MA;MB
2
Cách giải:
Gọi A0;0;a a 0 ,
vì AB mp
Phương trình đường thẳng
Mà B AB Bt;0;a t
và
Khi đó
x
t
AB : y 0
z a t
a 3
B mp t a t 3 0 t
2
AM 1;1;;1 a
a 3 a 3
B ;0;
a 1 5 a
2 2
BM ;1;
2 2
2 2
2
AM BM AM BM 2 1 a 1
2
a 2a 2
2
2a 8a 26
4
2 2
2a 18 a 9 a 3a 0
AM 1;1; 2
AM;BM
3;3;3
BM 2;1;1
a 1 5 a
2 2
4
Vậy diện tích tam giác MAB là
S
1 3 3
MA;MB
2 2
MAB
Câu 7: (Chuyên Đại Học Vinh) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
A10;6; 2 ,B5;10; 9
và mặt phẳng : 2x 2y z 12 0. Điểm M di động trên
mặt phẳng
sao cho MA, MB luôn tạo với
các góc bằng nhau. Biết rằng M luôn
thuộc một đường tròn
cố định. Hoành độ của tâm đường tròn
bằng
A. 9 2
B. 2 C. 10 D. 4

Đáp án B
Phương pháp:
+) Gọi M x; y;z
tọa độ các véc tơ AM;BM
+) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A,B lên , có AMH
BMK
+) Tính sin các góc AMH;BMHK và suy ra đẳng thức. Tìm quỹ tích điểm M là một
đường tròn.
+) Tính tâm của đường tròn quỹ tích đó.
Cách giải:
Gọi M x; y;z AM x 10; y 6;z 2 ;BM x 5; y 10;z 9
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A, B lên ,
có AMH BMK
2.10 2.6 2 12 2.5 2.10 9 12
AH d A; P 6;BK d B; P
2 2 2 2 2 2
2 2 1 2 2 1
Khi đó
AH
sin AMH
MA AH BK
MA 2MB MA 4MB
BK MA MB
sin BMK
MB
2 2
Suy ra x 10 y 6 z 2 4 x 5 y 10 z 9
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 20 68 68 10 34 34
x y z x y z 228 0 S : x y z 40
3 3 3 3 3 3
10 34 34
có tâm I ; ;
3 3 3
Vậy M C
là giao tuyến của
và
10 34 34
I ; ;
3 3 3
trên mặt phẳng .
S Tâm K của C
là hình chiếu của
Phương trình đương thẳng đi qua I và vuông góc với
có dạng
10
x 2t
3
34
y
2t
3
34
z
t
3

10 34 34 10 34 34
K 2t; 2t ' t , K
2 2t 2 2t t 12 0
3 3 3 3 3 3
2
9t 6 0 t K 2;10; 12 xK
2
3
Câu 8: (Chuyên Đại Học Vinh) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng
: 2x y 2z 2 0, đường thẳng
x 1 y 2 z 3
d : và điểm
1 2 2
1
A ;1;1 . Gọi là đường thẳng nằm trong mặt phẳng
2
, song song với d đồng thời cách d một khoảng bằng 3. Đường thẳng cắt mặt
phẳng (Oxy) tại điểm B. Độ dài đoạn thẳng AB bằng
A. 7 3
Đáp án B
Phương pháp:
+) Kiểm tra d
B. 7 2
C.
21
2
D. 3 2
+) Gọi B O xy Ba;b;0 B ,
thay tọa độ điểm B vào phương trình
1phương trình 2 ẩn a, b.
+)
d / / d d ; d B; d 3. Sử dụng công thức tính khoảng cách
BM;u
d
d B; d
, lập được 1 phương trình 2 ẩn chứa a, b.
u
d
+) Giải hệ phương trình tìm a,b => Toạn độ điểm B => Độ dài AB.
Dế thấy d
và 1; 2; 3 d
Ta có B O xy Ba;b;0
mà
B 2a b 2 0 b 2 2a
Lại có d / / d d ;
d B; d 3 . Đường thẳng d đi qua M 0;0; 1
u 1;2;2
d
BM a; b; 1
BM;u
2b 2; 1 2a; 2a b
, có

Do đó
2 2 2
BM;u
d 2b 2 1 2a 2a b
d B; d
3
u
3
d
2 2 2 2 2 2
2b 2 1 2a 2a b 81 2 4a 1 2a 4a 2 81
a 1
B1;4;0
1 2a 3 a 1
b 4
1 2a 3
a 2 a 2
B2; 2;0
b 2
2
1 2a 9
Vậy
7
AB 2
Câu9: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình
A ' 0;0;1 . Khoảng
lập phương ABCD.A’B’C’D’ có A0;0;0 , B1;0;0 , D0;1;0 và
cách giữa AC và B’D là
1
A. .
B.
3
Đáp án B.
1 .
6
C. 1. D. 2.
Gọi K AC BD. Gọi H là hình chiếu của K lên B’D. Khi đó KH là
đường vuông góc chung của 2 đường thẳng AC và B’D
KH BB' KH 1 2 1 6
Ta có: KH . .
KD B'D 2 3 2 3 6
2
Câu 10:(Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz cho A 3;0;0 ,
B0;0;3 , C0; 3;0
và mặt phẳng P : x y z 3 0. Tìm
trên (P) điểm M sao cho MA MB MC nhỏ nhất
Đáp án D.
A. M 3;3; 3 .
B. M 3; 3;3 .
C.
M 3;3;3 .
M 3; 3;3 . D.
Gọi
I
là điểm
thỏa
mãn
IA IB IC 0 IA CB 0 IA BC 0; 3;3 I3;3;3
Ta có: MA MB MC MI IA MB IB MI IC MI MI M là hình
chiếu của I trên P : x y z 3 0, dễ thấy
min
I P M I 3;3;3 .
Câu 11: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các
A 0;1;2 ,B 2; 2;0 , C 2;0;1 . Mặt phẳng (P) đi qua A, trực tâm H của tam
điểm

giác ABC và vuông góc với mặt phẳng ( ABC) có phương trình là
A. 4x 2y z 4 0. B. 4x 2y z 4 0.
C. 4x 2y z 4 0. D. 4x 2y z 4 0.
Đáp án C.
Dễ thấy
4.0 2.1 2 4 0suy ra A P : 4x 2y z 4 0.
Câu 12: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho
A 1;0;0 ,
C 0; 3;0 . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là
B0;0;2 ,
14
A. .
3
Đáp án C.
B.
14 .
4
C.
14 .
2
D. 14.
Vì OA 1,OB 2,OC 3 và đôi một vuông góc
2 2 2
OA OB OC 14
R .
2 2
Câu 13: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các
A 0;0; 2 , B 4;0;0 . Mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất, đi qua O, A, B có tâm là
điểm
A. I2;0; 1 .
B. I0;0; 1 .
C.
Đáp án A.
OA
0;0; 2 ,OB 4;0;0
Ta có:
I 2;0;0 . D.
4 2
I ;0; .
3 3
suy ra OA.OB 0 OAB
vuông tại O.
Do đo, mặt cầu (S) có bán kính R
min
và đi qua O, A, B có tâm là trung điểm của AB.
Vậy tọa độ tâm mặt cầu là I2;0; 1 .
Câu 14:(Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho
hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có A0;0;0 ,B2;0;0 ,C0;2;0 ,A' 0;0;2 . Góc giữa
BC’ và A’C bằng
0
A. 90 . B.
Đáp án A.
0
60 . C.
0
30 .
Vì ABC.A’B’C’ là lăng trụ đứng, đáy là tam giác vuông cân
Ta có BC' 2;2;2
và A 'C' 0;2; 2
BC'.A 'C 0 BC' A 'C.
C' 0;2;2 .
Câu 15: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz, mặt phẳng đi qua các điểm A2;0;0 ;B0;3;0 ,C0;0;4 có phương trình là:
A. 6x 4y 3z 12 0
B. 6x 4y 3z 0
C. 6x 4y 3z 12 0
D. 6x 4y 3z 24 0
Đáp án C

Phương trình mặt phẳng đoạn chắn của ABC
là x y z 1
2 3 4
Do đó ABC : 6x 4y 3z 12 0
Câu 16: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz, cho mặt cầu
2 2 2
S : x 1 y 2 z 3
9 tâm I và mặt phẳng
P : 2x 2y z 24 0 . Gọi H
là hình chiếu vuông góc của I lên (P). Điểm M thuộc (S) sao cho đoạn MH có độ dài lớn
nhất. Tính tọa độ điểm M.
A. M 1;0;4 B. M 0;1;2 C. M 3;4;2 D. M 4;1;2
Đáp án C
x 1 y 2 z 3
2 2 1
Phương trình đường thẳng IH : H IH P 5; 4;6
Độ dài MH lớn nhất M
là một trong hai giao điểm của MI và S
2 2 2
Suy ra MI MH , gọi M 1 2t;2 2t;3 tS 4t 4t t 9 t 1
Do đó
M1 3;4;2 M2H 12
MHmax M M2
3;4;2
M2 1;0;4 M2H 34
Câu 17:(Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz, cho mặt phẳng P : x y 2z 3 0 và điểm I 1;1;0 . Phương trình mặt cầu
tâm I và tiếp xúc với (P) là:
2 2 2 5
A. x 1 y 1
z B.
6
2 2 2 5
2 2 2 25
x 1 y 1 z
C. x 1 y 1
z D.
Đáp án B
Ta có:
R
5
6
d I; P
PT mặt cầu là:
6
6
2 2 2 25
x 1 y 1 z
2 2 2 25
x 1 y 1 z
Câu 18: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz, cho mặt cầu
6
6

2 2 2
S : x y z 2x 6y 4z 2 0, mặt phẳng : x 4y z 11 0.
phẳng vuông góc với
(S). Lập phương trình mặt phẳng ( P ).
Gọi
, P
song song với giá của vecto v 1;6;2 và P
A. 2x y 2z 2 0 và x 2y z 21 0
B. x 2y 2z 3 0 và x 2y z 21 0
C. 2x y 2z 3 0 và 2x y 2z 21 0
D. 2x y 2z 5 0 và x 2y 2z 2 0
Đáp án C
Ta có: n
n P ;n
P 2; 1;2 P : 2x y 2z D 0
9 D D 3
I 1; 3;2 ;R 4 d I; P 4 4
4 1
4 D 21
Mặt cầu S
có tâm
Câu 19: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz, điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng
P : x y z 1 0.
Đáp án D
A. K 0;0;1 B. J 0;1;0 C. I1;0;0 D. O0;0;0
P là mặt
tiếp xúc với
Câu 20: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,
cho hai mặt phẳng P : 3x 2y 2z 5 0 và Q : 4x 5y z 1 0. Các điểm A, B phân
biệt thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng P và Q . AB cùng phương với vectơ nào sau
đây?
A. w 3; 2;2
C. a 4;5; 1
B. v 8;11; 23
D. u 8; 11; 23
Đáp án D
Ta có: uAB n P;n
Q
8;11;23
Do đó AB
u 8; 11; 23
phương với véc tơ
Câu 21: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,

2 2 2
cho mặt cầu S : x 1 y 2 z 3
16 và các điểm
A 1;0;2 , B 1;2;2 .
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua hai điểm A, B sao cho thiết diện của mặt phẳng (P) với mặt
cầu (S) có diện tích nhỏ nhất. Khi viết phương trình (P) dưới dạng ax by cx 3 0.
Tính tổng T a b c.
A. 3 B. 3
C. 0 D. 2
Đáp án B
2 2 2
Xét S : x 1 y 2 z 3
16 có tâm
Gọi O là hình chiếu của I trên
mpP . Ta có
Khi và chỉ khi IO IH với H là hình chiếu của I trên AB.
min
I 1;2;3 , bán kính R 4
S d I; P IO
IH
là véc tơ pháp tuyến của mp P
mà IA IB H là trung điểm của AB
H 0;1;2 IH 1; 1; 1 mp P là x y z 3 0
max
max
Câu 22: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho các điểm
A1;0;0 , B0;2;0 , C0;0;3 , D2; 2;0 .
Có tất cả bao nhiêu mặt phẳng phân biệt đi
qua 3 trong 5 điểm O, A, B, C, D ?
A. 7 B. 5 C. 6 D. 10
Đáp án B
Ta có
AB 1;2;0
AD 1; 2;0
AB AD 0 A, B,D thẳng hàng

Do đó, 5 điểm O, A, B, C, D tạo thành tứ diện như hình vẽ bên
Vậy có tất cả 5 mặt phẳng cần tìm đó là:
Mặt phẳng OAC
đi qua 3 điểm O, A, C
Bốn mặt phẳng là các mặt bên của tứ diện O.BCD đi qua 3 điểm trong 5 điểm O,
A, B, C, D
Câu23: ( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
A 1;2; 3 , B 3;2;9 . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là:
A. x 3x 10 0. B. 4x 12z 10 0 C. x 3y 10 0. D. x 3z 10 0.
Đáp án D.
I
1;2;3 , AB 4;0;12
Gọi I là trung điểm của AB. Ta có:
Mặt phẳng trung thực của đoạn thẳng AB có phương trình là:
P : 4 x 1 0 y 2 12 z 3 0 P : x 3z 10 0.
hay
Câu 24:( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi H
x 1 y z 2
hình chiếu vuông góc của M 2;0;1 lên đường thẳng : . Tìm tọa độ
1 2 1
điểm H .
H 0; 2;1 .
H 1; 4;0 .
A. H2;2;3 . B. C. H1;0;2 . D.
Đáp án C.
Vtcp của là: u 1;2;1 .
P :1x 2 2y 0 1z 1
0 hay
Khi đó: P
Phương trình mặt phẳng qua M và nhận u làm vtpt là:
P : x 2y z 3 0.
H tọa độ của H là nghiệm của hệ phương trình
x 1 y z 2
1 2 1 x 1, y 0,z 2 H1;0;2 .
x 2y z 3 0
Câu 25:( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
điểm I1; 2;3 .
Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy là:
2 2 2
A. x 1 y 2 z 3
10. B.
2 2 2
C. x 1 y 2 z 3
8.
D.
Đáp án A.
Ta có: nOy
0;1;0 .
2 2 2
x 1 y 2 z 3 9.
2 2 2
x 1 y 2 z 3 16.
Mặt phẳng (P) qua I và vuông góc với Oy là: P : y 2 0
P Oy E 0; 2;0
bán kính mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy là:
2 2 2
R IE 1 0 2 2 3 0 10 Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc

2 2 2
với trục Oy là:
x 1 y 2 z 3 10.
Câu 26:( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
x 1 y 1 z
điểm M 2;1;0 và đường thẳng d có phương trình d : . Phương trình
2 1 1
của đường thẳng đi qua điểm, M cắt và vuông góc với đường thẳng d là:
A. x 2 y
1
z . B. x 2 y
1
z .
1 4 2
1 4 2
C. x 2 y
1
z .
D. x 2 y
1
z .
1 3 2
3 4 2
Đáp án A.
Gọi I1 2t; 1 t; t d ta có: MI2t 1; t 2; t
2 1 4 2
Giải MI.u
d
4t 2 t 2 t 0 t u
MI ; ;
3 3 3 3
x 2 y 1 z
Suy ra d : .
4 4 2
Câu 27: ( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
M 1;2;3 . Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm Mvà cách gốc tọa độ O một khoảng
điểm
lớn nhất, mặt phẳng (P) cắt các trục tọa độ tại các điểm A,B,C. Tính thể tích khối chóp
O.ABC.
A. 1372 .
9
Đáp án B.
Ta có:
d O; P
OM
B. 686 .
9
C. 524 .
3
Dấu bằng xảy ra OM P P :1x 1 2y 2 3z 3
0
D. 343 .
9
14
Hay P : x 2y 3z 14 0 A14;0;0 ;B0;7;0 ;C0;0;
3
1 686
VO.ABC
OA.OB.OC .
6 9
Câu 28:( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho
a 1; 2;3 . Tìm tọa độ của véctơ b biết rằng véctơ b ngược hướng với véctơ a
véctơ
và b 2 a
b 2; 2;3
Đáp án C
A. b 2; 2;3
B. b 2; 4;6
C. b 2;4; 6
D.

Ta có: b 2a 2;4; 6
Câu 30:( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai
điểm Al;0; 3 , B3; 2; 5 .
Biết rằng tập hợp các điểm M trong không gian thỏa
mãn đẳng thức
cầu S
là:
2 2
AM BM 30 là một mặt cầuS . Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt
A. I2; 2; 8 ;R 3
B.
Đáp án C
I 1; 1; 4 ;R 6
C. I1; 1; 4 ;R 3
D.
2
Gọi I1; 1; 4 ;AB 24 là trung điểm của AB khi đó
2 2
MA MB 30 MI IA MI IB 30
2 2
Suy ra
I 1; 1; 4 ;R
30
2
2 2
AM BM 30
2
2 2 2 2 AB
2MI IA IB 2MIIA IB
30 2MI 30 MI 3.
2
Do đó mặt cầu
S tâm I1; 1; 4 ;R 3
Câu 31: ( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3) Trong không gian với hệ tọ độ Oxyz, cho bốn
điểm A1;0;0 , B0;1;0 ,
C0;0;1 , D0;0;0 . Hỏi có bao nhiêu điểm cách đều bốn mặt phẳng ABC , BCD ,
CDA , DAB ?
A. 4 B. 5 C. 1 D. 8
Đáp án D
Gọi
I a;b;c
là điểm cách đều bốn mặt phẳng
ABC , BCD , CDA , DAB .
Khi đó, ta có
a b c 1
a b c *
3
. Suy ra có 8 cặp
a;b;c thỏa mãn (*).
Câu32: ( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A0;2; 4 , B 3;5;2 .
Tìm tọa độ
điểm M sao cho biểu thức
MA
2MB đạt giá trị nhỏ nhất.
2 2

A. M 1;3; 2
B. M 2;4;0
C. M 3;7; 2
Đáp án B
D.
Gọi M a;b;c
suy ra AM a;b 2;c 4 ,BM a 3;b 5;c 2
3 7
M ; ; 1
2 2
2 2 2
Khi đó MA 2MB a b 2 c 4 2 a 3 b 5 c 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
3a 12a 3b 24b 3c 96 3 a 2 3 b 4 3c 36 36
2 2
Vậy MA 2MB 36.
Dấu “=” xảy ra
min
Câu 33: (Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 )
a;b;c 2;4;0 .
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có phương trình
2 2 2
x 1 y 3 z 16. Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu đó.
A. I1;3;0 ,R 4 B.
C. I1;3;0 ,R 16 D.
Đáp án A
I 1; 3;0 , R 4
I 1; 3;0 ,R 16
Câu 34: (Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 )
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A2;3;4 và B5;1;1 . Tìm tọa độ
véctơ AB.
AB 3;2;3
A.
Đáp án B
B. AB 3; 2; 3
C. AB 3;2;3
D. AB 3; 2;3
Câu 35: (Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 ) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz, cho hai véctơ a 2; 3;1 và b 1;0;4 .
Tìm tọa độ véctơ u 2a 3b.
u 7;6; 10
u 7;6;10
u 7;6;10 u 7; 6;10
A.
B.
Đáp án B
u 2 2; 3;1 3 1;0;4 7;6;10 .
Ta có
C.
D.
Câu 36: (Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 ) Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz, cho tam giác ABC với A1;0;0 , B3;2;4 ,C0;5;4 . Tìm tọa độ điểm M thuộc
mặt phẳng Oxy sao cho MA MB 2MC nhỏ nhất.
A. M 1; 3;0
B. M 1;3;0 C. M 3;1;0 D. M 2;6;0
Đáp án B
IA IB 2IC 0 I 1;3;3 .
Gọi I là trung điểm thỏa mãn
Ta có Mà M Oxy M x; y;0 .
2 2 2
P 4MI 4 x 1 y 3 3 12 MA MB 2MC 12.
Khi đó
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
x 1 .
y 3
Vậy M 1;3;0 .
Câu 37:
(Chuyên
Thái Nguyên
Lần 1) Trong
không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn
véc tơ a 2;3;1 , b 5,7,0 , c 3; 2;4
và d 4;12; 3
. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. a, b,
c là ba vecto không đồng phẳng B. 2a 3b d 2c
C. a b d c
D. d a b c
Đáp án B
Ta có a b 7;10;1 c d 4;12; 3
đúng
2a 3b d 2c
Câu 38: (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
x 1
t
d : y 2 2t. Vecto nào dưới đây là vecto chỉ phương của d?
z 1 t
n 1; 2;1
n 1;2;1
n 1; 2;1
n 1;2;1
A.
Đáp án D
B.
C.
min
D.
Câu 39: (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
A 1; 1;2 ;B 2;1;1 . Độ dài đoạn AB bằng
A. 2 B. 6 C. 2 D. 6
Đáp án B
2 2 2
AB 2 1 11 1 2 6
Câu 40:(Chuyên Khoa Học Tự Nhiên)

Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây nằm trên mặt phẳng P : 2x y z 2 0
A. Q1; 2;2
B. N1; 1;1
C. P2; 1; 1
D. M 1;1; 1
Đáp án B
Đáp án C
Gọi Ax; y ,Bx; y ,Cx y; x y
là các điểm biểu diễn 3 số phức theo đề bài
Ta có
2 2
2 2
2 2
AB x y x y
AC y x
BC x y
2 2 2
AB BC AC
Suy ra tam giác ABC vuông tại
1 1 2 2 2 2
C S
ABC
.AC.BC x y 18 x y 6 z
2 2
Câu 41:(Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Trong không gian Oxyz, cho 2 mặt phẳng
P : x 2y 2z 6 0 Q : x 2y 2z 3 0. Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng (P)
và
và (Q) bằng
A. 1 B. 3 C. 9 D. 6
Đáp án B
0 2.0 2. 3 3
A 0;0; 3 P d P ; Q d A; Q 3
Lấy điểm
2
2 2
1 2 2
Câu 42: (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Trong không gian Oxyz, cho 2 đường thẳng
x 1 y 1 z 1
x 2 y z 3
d
1
: và d
2
: . Mặt cầu có một đường kính là đoạn
2 1 3
1 2 3
thẳng vuông góc chung của d
1
và d
2
có phương trình là
2 2 2
A. x 4 y 2 z 2
3
B.
2 2 2
C.
Đáp án D
2 2 2
x 2 y 1 z 1 12
x 2 y 1 z 1 3
D. Không tồn tại mặt cầu thỏa mãn
Gọi
A1 2t; 1 t; 1 3td 1
B 2 u;2u;3 3u
AB 3 u 2t;2u t;4 3u 3t
Khi đó

1
23 u 2t 1 2u t 3
u
1
4 3u 3t
0
AB.u 0
3
Ta có
AB.u 13 u 2t 21 2u t 34 3u 3t
0 5
2
0
t
3
7 2 7 2 7 2
Suy ra A ; ;4 , B ; ;4
d1
cắt d2
tại điểm ; ;4 do đó không tồn tại mặt
3 3 3 3
3 3
cầu thỏa mãn
Câu 43: (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Phương trình đường thẳng song song với đường
x 1 y 2 z
x 1 y 1 z 2
thẳng d : và cắt hai đường thẳng d
1
: và
1 1 1
2 1 1
x 1 y 2 z 3
d
2
:
là
1 1 3
A. x 1
y 1
z 2 B. x 1 y z
1
1 1 1 1 1 1
C. x 1 y 2 z
3
D. x 1 y z
1
1 1 1
1 1 1
Đáp án B
A 1 2t; 1 t;2 t d ;B 1 u;2 u;3 3u d
Gọi
AB 2 u 2t;3 u t;1 3u t
1 2
2 u 2t 3 u t 1 3u t t 1
do AB / /d
1 1 1 u 1
x 1 y z 1
:
1 1 1
Câu 44: (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
A 5;0;0 , B 3;4;0 . Với C là điểm nằm trên trục Oz, gọi H là trực tâm của tam giác
ABC. Khi C di động trên trục Oz thì H luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính
đường tròn đó là
5
A.
4
Đáp án A
B.
3
2
Gọi K là trực tâm của tam giác OAB
Và M là trung điểm của AB OM AB vì tam giác OAB cân
ABC HK ABC
Mà H là trực tâm của tam giác
Suy ra HK HM H thuộc đường tròn đường kính KM
x
4t
Ta có trung điểm M của AB là M 4;2;0
OM : y 2t
z
0
C.
5
2
D. 3

Lại có K OM K 4t;2t;0 AK 4t 5;2t;0
3 3
AK.OB 0 3 4t 5 4.2t 0 t K 3; ;0
4 2
Suy ra
KM 5
Vậy bán kính đường tròn cần tính R
2 4
Câu 45: (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC
vuông tại C, ABC 60 , AB 3 2. Đường thẳng AB có phương trình
x 3 y 4 z 8
, đường thẳng AC nằm trên mặt phẳng : x z 1 0. Biết B là
1 1 4
điểm có hoành độ dương, gọi a;b;c là tọa độ của điểm C, giá trị của a b c bằng
A. 3 B. 2 C. 4 D. 7
Đáp án C
Vì AB giao mặt phẳng tại A A1;2;0
Điểm BAB Bt 3; t 4; 4t 8 AB t 2; t 2; 4t 8
2 t 1
t 3
Gọi H là hình chiếu của B trên
Mà AB 3 2 AB 18 2t 2 2 4t 8 2
18 B2;3; 4
2 4 1 3 2
Khi đó BH d B;
2 2
Vì
AB
3 2 BC 3 2cos60
3 2
ABC
60
2
Và BHC vuông tại H và BC là cạnh huyền BH BC
3 2
Mà BH BC H C C là hình chiếu của B trên mặt phẳng
2
x 2 t
7 5
phương trình BC y 3 C BC
C ;3; a b c 4
2 2
z 4 t
Câu 46: (Chuyên Lê Hòng Phong- Nam Định)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
A 2;4;2 ,B 5;6;2 ,C 10;17; 7 . Viết phương trình mặt cầu tâm C bán kính AB.
2 2 2
A. x 10 y 17 z 7
8 B.
2 2
2
C. x 10 y 17
8
D.
Đáp án
B
AB 2;2;0 R AB 2 2
Ta có
2 2 2
x 10 y 17 z 7 8
2 2 2
x 10 y 17 z 7 8

Vậy phương trình mặt cầu tâm cần tìm là x 2 y 2 z
2
10 17 7 8
Câu 47:(Chuyên Lê Hòng Phong- Nam Định) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
A 0;0;0 ,B 3;0;0 ,D 0;3;0 ,D' 0;3; 3 . Tọa độ
cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có
trọng tâm của tam giác A’B’C’ là
1;1; 2
2;1; 2
A. B. C. 1;2; 1
D. 2;1; 1
Đáp án B
DD ' BB ' B ' 3;0; 3
Ta có DD ' AA' A' 0;0; 3
Tọa độ trọng tâm G của A' B ' C là G 2;1; 2
AB DC C 3;3;0
Câu 48: (Chuyên Lê Hòng Phong- Nam Định) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
A 0;0;3 ,B 0;0; 1 ,C 1;0; 1 D 0;1; 1 . Mệnh đề nào sau
cho tứ diện ABCD với và
đây là sai?
A. AB BD B. AB BC C. AB AC D. AB CD
Đáp án
C
Ta có: AB 0;0; 4 ; AC 1;0; 4 ; BC 1;0;0 ; BD 0;1;0 ; CD 1;1;0
AB. BD 0 AB BD AB BD
AB. BC 0 AB BC AB BC
AB. AC 16
Mệnh đề C sai.
Câu 49:(Chuyên Lê Hòng Phong- Nam Định)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
D 2;2;2 . Gọi M, N lần lượt là trung
Cho bốn điểm A 2;0;0 ,B0;2;0 ,C0;0;2 và
điểm của S và AB. Tọa độ trung điểm I của MN là:
A. I 1; 1;2 B. I 1;1;0 C.
Đáp án D
1 1
I ; ;1
2 2
D. I 1;1;1

x
xM
y
Áp dụng công thức trung điểm ta có yM
z
zM
xM
xN
xI
2
yM
yN
yI
2
zM
zN
zI
2
xA xB xC xD
xI
1
4
yA yB yC yD
Suy ra yI
1
I 1;1;1
4
zA zB zC zD
zI
1
4
A
A
A
xB
2
y
2
zB
2
B
và
x
y
z
N
N
N
xC
xD
2
yC
y
2
zC
zD
2
D
và
Câu 50:(Chuyên Lê Hòng Phong- Nam Định) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
A 1;2; 1 ,B 2; 1;3 ,C 4;7;5 . Tọa độ chân đường phân giác
cho tam giác ABC có
trong góc B của tam giác ABC là
2 11 11
2 11 1
A. ; ;1
B. ; 2;1 C. ; ;
3 3 3
3 3 3
Đáp án A
Gọi D là chân đường phân giác góc B của
DA DC AB
: DA . DC *
AB
BC BC
AB 1; 3;4 AB 26 BC 6;8;2 BC 104
Với
D.
2;11;1
ABC . Theo tính chất đường phân giác ta có
và
AB 1
k
BC 2
Từ (*) ta có, điểm D chia đoạn thẳng AC theo tỷ số k nên D có toạ độ
xA
kxC
2
xD
1
k 3
yA
kyC
11 2 11
yD
D ; ;1
1 k 3 3 3
zA
kzC
zD
1
1
k
Câu 51:(Chuyên Lê Hòng Phong- Nam Định) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,

cho ba điểm A 0;1;1 ,B3;0; 1 ,C0;21; 19
và mặt cầu
2 2 1
S : x 1 y 1 z1 1. M a,b,c
là điểm thuộc mặt cầu
2 2 2
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng a b
c.
thức T 3MA 2MB MC
14
A. a b c
5
B. a b c 0 C.
Đáp án A
S sao cho biểu
12
a b c D. a b c 12
5
Mặt
cầu
(S) có
tâm
I(1;1;1). Gọi E là điểm thoả
2 2 2 2
3EA 2EB EC 0 E(1;4; 3)
. T 6ME 3EA 2EB EC
T nhỏ nhất khi ME nhỏ nhất M là 1 trong 2 giao điểm của đường thẳng IE và mặt cầu
(S).
IE (0;3; 4)
, EM ( a 1; b 4; c 3)
a
1 0 a
1
IE,
ME cùng phương EM k IE b 4 3k b 3k
4
c 3 4k
c 4k
3
4
k
2 2
5
M ( S) (3k 3) ( 4k
4) 1
6
k
5
4 8 1
208
k M1 1; ; EM1
5 5 5
5
6 2 9
k M
2 1; ; EM
2
6 EM1
(Loại)
5 5 5

8 1
Vậy M
1; ;
5 5
Câu 52:(Chuyên Lê Hòng Phong- Nam Định) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho ABC A 2;0;0 , B 0;2;0 , C 1;1;3 . H x ,y ,z là chân đường vuông góc
biết
hạ từ A xuống BC. Khi đó x y z bằng
0 0 0
A. 38 B. 34
C. 30
9
11
11
Đáp
án B
Có AH ( x 2; y ; z ); BC(1; 1;3); BH ( x ; y 2; z )
o o o o o o
0 0 0
D. 11
34
4
t
11
xo 2 yo 3zo
0
4
x
. 0
o
AH BC xo
t
34
Theo đề bài, có
11
xo yo zo
BH tBC yo
2 t
18 11
y
o
z
3
11
o
t
12
zo
11
Câu 53: ( Chuyên Đại Học Vinh) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho hai vectơ
u
1;2;3
và v5;1;1
. Khẳng định nào đúng?
A. u v
B. u v
C. u v
D. u v
Đáp án B
u. v 1. 5 2.1 3.1 0 u v
Ta có:
Câu 54: ( Chuyên Đại Học Vinh)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho các điểm
2;1; 1 , 3;3;1 , 4;5;3
A B C . Khẳng định nào đúng
A. AB AC
B. A, B,
C thẳng hang
C. AB AC D. O, A, B,
C là bốn đỉnh của một hìnhtứdiện
Đáp án B
AB 1;2;2 , AC 2;4;4
2 AB A, B,
C thẳng hàng
Ta có:
Câu 55: ( Chuyên Đại Học Vinh)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho tam giác
OAB có A 1; 1;0 , B 1;0;0
. Tính độ dài đường cao kẻ từ O của tam giác OAB
A.
1
5
B. 5 C.
5
10
D. 2 5
5

Đáp án A
Ta có: AB 2;1;0 , OB 1;0;0 d O,
AB
AB;
OB
AB
Câu 56: (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho hai mặt phẳng P : x m 1
y 2z m 0 và Q : 2x y 3 0, với m là tham
số thực. Để P và Q vuông góc thì giá trị của m bằng bao nhiêu
A. m 5
B. m 1
C. m 3
D. m 1
Đáp án B
Các vtpt của (P) và (Q) lần lượt là: n1 1;m 1; 2 ,n2
2; 1;0
P Q n .n 0 1.2 m 1 1 2 .0 0 m 1
Để thì
1 2
Câu 57: (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
M 0; 1;2 N 1;1;3 .
P đi qua M, N sao cho
cho hai điểm và Một mặt phẳng
khoảng cách từ điểm K 0;0;2 đến mặt phẳng
pháp tuyến n
của mặt phẳng
n 1; 1;1
A.
Đáp án B
B. n1;1; 1
1
5
P đạt giá trị lớn nhất. Tìm tọa độ véctơ
C. n2; 1;1
D. n2;1; 1
x
t
Ta có MN : y 1 2t . Gọi Ht; 1 2t;2 t
là hình chiếu vuông góc của K lên MN
z 2 t
1
Khi đó KHt; 1 2t; t .MN 1;2;1 0 t 2 4t t 0 t
3
1 1 7
H ; ; . Ta có dK; P
KH dấu “=” xảy ra KH P
3 3 3
1 1 1
1
Khi đó n KH ; ; 1;1; 1
3 3 3
3
Câu 58: (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai
điểm M 2; 3;5 ,N6; 4; 1
và đặt L MN . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
A. L 4; 1; 6
B. L 53 C. L 3 11 D. L
4;1;6
Đáp án B
MN 4; 1; 6 MN 4 1 6 53
Ta có
2 2 2
Câu 59: (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,

cho mặt phẳng P : x 2y 2z 2 0 và điểm I 1;2; 1 .
S có tâm I và cắt mặt phẳng
2 2 2
A. S : x 1 y 2 z1
25 B.
2 2 2
C. S : x 1 y 2 z1
34 D.
Đáp án D
Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng P là
Viết phương trình mặt cầu
P theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 5
2 2 2
S : x 1 y 2 z 1 16
2 2 2
S : x 1 y 2 z 1 34
d d I; P 3
2 2 2 2
Ta có R r d 5 3 34, với R là abns kính mặt cầu S
2 2 2
Phương trình mặt cầu là: S : x 1 y 2 z 1
34
Câu 60: (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
A 1;0;1 ,B 1;2;2 và song song với trục Ox có phương
mặt phẳng chwusa hai điểm
trình là
A. y 2z 2 0 B. x 2z 3 0 C. 2y z 1 0 D. x y z 0
Đáp án A
u 1;0;0 AB 2;2;1
Trục Ox có vecto chỉ phương là
và
0 0 0 1 1 0
2 1 1 -2 2 2
Mà P chứa A, B và P / /Ox nP
u;AB ; ; 0; 1;2
Vậy phương trình mặt phẳng P là y 2z 2 0
Câu 61: (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
P : 4x z 3 0. Véc-tơ nào dưới đây là
cho đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng
một véctơ chỉ phương của đường thẳng d?
A. u 4;1; 1
B. u 4; 1;3 C. u 4;0; 1
D. u 4;1;3
1
Đáp án C
2
Vì d P
suy ra u n
d P 4;0; 1
Câu 62: (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho ba điểm A a;0;0 ,B0; b;0 ,C0;0;c với a,b,c là các số thực dương thay đổi tùy
2 2 2
ý sao cho a b c 3. Khoảng cách từ O đến mặt phẳng
ABC lớn nhất bằng
A. 1 3
Đáp án C
B. 3 C.
3
1
3
D. 1
4

Vì OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau 1 1 1
1
2 2 2 2
d OA OB OC
Với d là khoảng cách từ O mpABC
suy ra 1 1 1
1
2 2 2 2
d a b c
2
x 2 y 2 z
2
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức
x y z
, ta
a b c a
b
c
có
1
Vậy d
max
3
Câu 63: ( Chuyên Thái Bình-Thái Bình-Lần 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz
cho A 1; 1;2 ; B2;1;1
và mặt phẳng
P : x y z 1 0 . Mặt phẳng Q chứa A, B và vuông góc với mặt phẳngP . Mặt
phẳng (Q) có phương trình là:
A. x y 0 B. 3x 2y x 3 0
C. x y z 2 0 D. 3x 2y x 3 0
Đáp án D
Ta có: nP
1;1;1 ;AB 1;2; 1
Do mặt phẳng Q chứa A,B và vuông góc với mặt phẳng
P nQ
n P;AB
3;2;1 .
Do đó Q : 3x 2y z 3 0.
Câu 64: ( Chuyên Thái Bình-Thái Bình-Lần 2)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz
2 2 2
cho mặt cầu có phương trình: x y z 2x 4y 6z 9 0. Mặt cầu có tâm I và bán
kính R là:
A. I1;2; 3
và R 5
B.
I 1; 2;3 và R 5
C. I1; 2;3
và R 5
D.
Đáp án B
Tâm I1; 2;3 ;R 1 4 9 9 5.
I 1;2; 3 và R 5
Câu 65 :( Chuyên Thái Bình-Thái Bình-Lần 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz
cho I1;0; 1 ; A2;2; 3
. Mặt cầu (S) tâm I và đi qua điểm A có phương trình là:
2
A. 2
2
2
x 1 y z 1
3
B.
2 2
x 1 y z 1 3
2
C. 2
2
2
x 1 y z 1
9
D.
2 2
x 1 y z 1 9

Đáp án D
Bán kính mặt cầu R IA 1 4 4 3.
Câu 66: ( Chuyên Thái Bình-Thái Bình-Lần 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz
cho H2;1;1 . Gọi (P) là mặt phẳng đi qua H và cắt các trục tọa độ tại A; B; C sao cho H
là trực tâm tam giác ABC. Phương trình mặt phẳng (P) là:
A. 2x y z 6 0 B. x 2y z 6 0
C. x 2y 2z 6 0 D. 2x y z 6 0
Đáp án A
AB
OC
Ta có: AB OH, tương tự BC OH .
AB
CH
OH ABC n OH 2;1;1
Do đó
ABC
Do đó P : 2x y z 6 0.
Câu 67:: (Viên Khoa Học và Thương Mại Quốc Tế) Trong không gian với hệ tọa độ
3;2; 1
Oxy là điểm
Oxyz , hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng
A. H 3;2;0
B. H 0;0; 1
C. H 3;2; 1
D. H 0;2;0
Đáp án A
Hình chiếu vuông góc của điểm ; ;
Cách giải: Hình chiếu vuông góc của 3;2; 1
m x y z trên mặt phẳng Oxy là M ' x; y;0
A trên mặt phẳng H
Oxy là điểm 3;2;0
Câu 68: (Viên Khoa Học và Thương Mại Quốc Tế) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz , mặt phẳng P :2x 3y z 2018 0 có vector pháp tuyến là:
n 2;3; 1
n 2;3;1
n 2; 3;1
n 2; 3; 1
A.
Đáp án C
B.
Phương pháp:
P : Ax By Cz D 0 A 2 B 2 C
2 .0
Mặt phẳng
C.
D.
có 1 VTPT là n A; B;
C
có 1 VTPT là n 2; 3;1
.
Cách giải: Mặt phẳng P : 2x 3y z 2018 0
Câu 69: (Viên Khoa Học và Thương Mại Quốc Tế) Trong không gian với hệ tọa độ
2;0;0 ; 0;3;0 ; 0;0;4
ABC có phương
Oxyz , cho ba điểm A B C , mặt phẳng
trình:
x y z
x y z
x y z
x y z
A. 1 0 B. 0 C. 0 D. 0
2 3 4
2 3 4
2 3 4
2 3 4
Đáp án D

Phương pháp: Sử dụng công thức viết phương trình mặt phẳng dạng đoạn chắn:
Mặt phẳng ABC đi qua các điểm Aa;0;0 ; B 0; b;0 ; C 0;0;
c có phương trình
x y z
1 .
a b c
x y z
Cách giải: Phương trình mặt phẳng ABC : 1
2 3 4
Câu 70: (Viên Khoa Học và Thương Mại Quốc Tế)Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz , cho mặt phẳng P : x y z 5 0 . Tính khoảng cách d từ M 1;2;1
đến mặt
phẳng P được :
A.
Đáp án C
15
d B.
3
Phương pháp
12
d C.
3
5 3
d D.
3
2 2 2
0; 0; 0 ; : 0 0 ;
M x y z P Ax By Cz D A B C d M P
Cách giải: d M
; P
1
2 1
5 5 3
2 2
1 1 1
3
2
d
4 3
3
Ax By Cz D
0 0 0
A B C
Câu 71: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng
x 1 1 y 2 z
d1
:
x 3 y z 1
và d2
: . Tìm tất cả các giá trị thực của m để
2 m
3
1 1 1
d d được:
1 2
A. m 1
B. m 1
C. m 5
D. m 5
Đáp án A
Phương pháp: d1 d2
u d .u
1 d 0
2
ud
2; m; 3 ;ud
1;1;1 . d d u d .u d 0
Cách giải: Ta có:
1 2
Để
1 2
1 2
2 2 2
2.1 m.1 3.1 0 m 1 0 m 1
Câu 72: (Viên Khoa Học và Thương Mại Quốc Tế) Trong không gian với hệ tọa độ
A 3; 2;6 , B 0;1;0 và mặt cầu
Oxyz , cho hai điểm
S : x 1 2 y 2 2 z 3
2
25 . Mặt phẳng P : ax by cz 2 0
cắt
đi qua A, B và
S theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính T a b c
A. T 3
B. T 5
C. T 2
D. T 4
Đáp án A
Phương pháp:
+) Để mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất thì
d I; P
max
+) Gọi H và K lần lượt là chân đường vuông góc của I trên (P) và trên đường thẳng AB.

Ta có : IH IK
I; P IH IK H K
max
max
Cách giải:
B P b 2 0 b 2
A P 3a 2b 6c 2 0 a 2c 2 a 2 2c
Khi đó mặt phẳng (P) có dạng :
Mặt cầu S
có tâm
I 1;2;3 , bán kính R 5
P : 2 2c x 2y cz 2 0
Gọi H và K lần lượt là chân đường vuông góc của I trên (P) và trên đường
thẳng AB. Ta có : IH IK
Để mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất thì
I; P IH
max max
IK H K
AB 3;3; 6 3 1; 1;2
Ta có:
=>Phương trình đường thẳng AB:
x
t
y 1 t , K AB K t;1 t;2t IK t 1; t 1;2t 3
z
2t
Vì
IK AB IK.IB 0 t 1 t 1 2 2t 3 0 6t 6 0 t 1
K 1;0;2
d I; P IHmax
IK H K H1;0;2 IH 0; 2; 1
là 1 VTPT của (P)
max
IH
và vec tơ pháp tuyến nP 2 2c;2;c
cùng phương
2 2c 0
c 1
nP
k.IH 2 2k a 2 2c 0
k 1
c k
T a b c 0 2 1 3
Câu 73: (Viên Khoa Học và Thương Mại Quốc Tế)Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz , cho mặt cầu 2
2 2
S : x y 2 z 5 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m
x 1 y m z 2m
để đường thẳng : cắt S tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
2 1 3
A, B có độ dài AB lớn nhất.
1
1
1
A. m B. m C. m D. m 0
2
3
2
Đáp án D
Phương pháp: AB lớn nhất d I;
nhỏ nhất.
Cách giải: Mặt cầu (S) có tâm I0; 2;0
và bán kính
R 5

Dễ thấy I
u 2;1; 3 ,M 1; m;2m , IM 1;2 m;2m
IM;u
2
21m 54
f I;
u
14
Ta có:
d I; 21m 54 m 0
2
Để AB lớn nhất
min
Câu 74: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2)Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường
x 1 y 1 z 1
thẳng d :
. Véc tơ nào trong các véc tơ sau đây không là véc tơ chỉ
1 1 1
phương của đường thẳng d?
u 2; 2;2
A.
1
Đáp án D
Phương pháp:
B. u 3;3; 3
1
min
C. u 42; 4;4
1
D. u 1;1;1
x x0 y y0 z z
0
Đường thẳng d : có 1 VTCP là u a;b;c .
Mọi vectơ
a b c
v ku k .
cùng phương với vecto u đều là VTCP của đường thẳng d.
u 1; 1;1
là 1 VTCP. Mọi vecto cùng phương với
Cách giải: Đường thẳng d nhận
vecto u đều là VTCP của đường thẳng d.
u1
1;1;1
u 1;1;1 không làVTCP của đường thẳng d.
Ta thấy chỉ có đáp án D, vecto không cùng phương với u 1; 1;1
1
Câu 75: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
điểm A1;2;3 và hai mặt phẳng P : 2x 3y 0 và Q : 3x 4y 0. Đường thẳng qua
A song song với hai mặt phẳng
x
t
A. y 2
z 3 t
Đáp án D
Phương pháp :
B.
x 1
y 1
z 3
P ; Q có phương trình tham số là:
Đường thẳng qua A song song với hai mặt phẳng
C.
x 1
t
y 2 t
z 3 t
D.
1
x 1
y 2
z
t
P ; Q
nhận u n P;nQ
là 1VTCP.
nên

P ; Q
Cách giải : Ta có nP 2;3;0 ;nQ 3;4;0
lần lượt là các VTPT của
3 0 0 2 2 3
4 0 0 3 3 4
Ta có : n P;n Q ; ; 0;0; 1
u 0;0;1
là 1 VTCP của đường thẳng qua A và vuông góc với cả
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là:
x 1
y 2
z 3 t
P ; Q
Với t 3
ta có đường thẳng đi qua điểm B1;2;0 phương trình đường thẳng cần tìm là :
x 1
y 2
z
t
Câu 76: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2) Trong không gian Oxyz, cho điểm A1;2;2
. Các số a, b khác 0 thỏa mãn khoảng cách từ A đến mặt phẳng P : ay bz 0 bằng
2 2 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. 1 b
B. a 2b
C. b 2a
D. a b
Đáp án D
Phương pháp: Sử dụng công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng.
Cách giải:
2a 2b
2 2 2 2 2
2
d A; P 2 2 a b 2a b a 2ab b 0 a b
0 a b
2 2
a b
Câu 77: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2) Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng
P : 2x y mz 2 0 và
Q : x ny 2z 8 0 song với nhau. Giá trị của m và n lần lượt là :
A. 4
Đáp án A
1
và 2
B. 2
1
và 2
C. 2
Phương pháp : Cho hai mặt phẳng có phương trình lần lượt là :
1
và 4
D. 4
1
và 4

P : A x By Cz D 0, Q : A 'x B' y C'z D' 0 .
Khi đó P và Q
song song với nhau
Cách giải: P
A B C D
A ' B' C' D'
m 4
2 1 m 2
/ / Q 1
1 n 2 8 n
2
Câu 78: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt
cầu (S) đi qua điểm O và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C khác O thỏa
mãn tam giác ABC có trọng tâm là điểm G 2;4;8 . Tọa độ tâm của mặt cầu (S) là
A. 3;6;12 B.
Đáp án A
2 4 8
; ;
3 3 3
C. 1;2;3
D.
4 8 16
; ;
3 3 3
Phương pháp giải: Xác định tọa độ ba điểm A, B, C và gọi tâm I, sử dụng điều kiện cách
đều IA IB IC IO để tìm tọa độ tâm I của mặt cầu
Lời giải:
Gọi Aa;0;0 ,B0;b;0 ,C0;0;c Tọa độ trọng tâm G là
a 6
a b c
; ; 2;4;8
b 12
3 3 3
c 24
2 2 2 2
Gọi tâm mặt cầu S
là Ix; y;z IO IA IB IC IO IA IB IC
2 12 2
I 3;6;12
Vậy tọa độ tâm mặt cầu là
2 2 2 2 2 2 2 2 2
x y z x 6 y z x y 12 z x y z 24 x; y;z 3;6;12
Câu 79: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2)Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có
phương trình tổng quát là
A. x y 2z 1 0 B. x 2y 2z 0 C. x 2y 2z 1 0 D. x 2y 2z 0
Đáp án B
Phương pháp giải: Mặt phẳng trung trực của AB nhận AB làm vectơ chỉ phương và đi
qua trung điểm AB

Lời giải: Ta có AB 1; 1;2
Vì P
và trung điểm M của AB là
1 1
M ; ;0
2 2
AB và P
đi qua M => Phương trình P
là x y 2z 0
Câu 80: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
điểm A( 1; 2 ;3).
Gọi S là mặt cầu chứa A, có tâm I thuộc tia Ox và bán kính 7. Phương
trình mặt cầu (S) là
A. 2 2 2
x 3 y z 49
B. 2 2 2
x 7 y z 49
C. 2 2 2
x 7 y z 49
D. 2 2 2
Đáp án C
Phương pháp giải: Gọi tọa độ tâm I, vì A thuộc mặt cầu nên IA
Lời giải:
x 5 y z 49
Vì I thuộc tia Ox 2
R suy ra tọa độ tâm I
I a;0;0 a 0 AI a 1;2; 3 IA a 1 13
2
Mà A thuộc mặt cầu 2
S : R IA IA 49 a 1 36 a 7
Vậy phương trình mặt cầu (S) là 2 2 2
x 7 y z 49
Câu 81: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
điểm A 2;3;4 .
Khoảng cách từ điểm A đến trục Ox là
A. 4 B. 3 C. 5 D. 2
Đáp án C
Phương pháp giải: Khoảng cách từ điểm Ax 0; y
0;z0
đến trục Ox là
Lời giải:
Gọi H là hình chiếu của A trên Ox H2;0;0 AH 0; 3; 4
2 2
AH 3 4 5
Vậy khoảng cách từ A đến trục Ox là
d y z
2 2
0 0
Câu 82: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1) Trong không gian với hệ trục tọa độ
x 1 y 1 z 2
Oxyz, cho đường thẳng d :
. Đường thẳng d có một VTCP là:
3 2 1
a 1; 1; 2
a 1;1;2
a 3;2;1
a 3; 2;1
A.
Đáp án D
B.
C.
D.

Phương pháp:
x x0 y y0 z z0
Đường thẳng d :
a b c
có 1 VTCP là u a;b;c
Cách giải: Đường thẳng d có 1 VTCP là u 3; 2;1
Câu 83: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1) Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình
2 2 2
x y z 9
và điểm
M 1;-1;1 . Mặt phẳng
(P) đi qua M và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi nhỏ nhất có phương trình
là:
A. x y z 1 0 B. 2x y 3z 0 C. x y z 3 0 D. x y z 1 0
Đáp án C
Phương pháp:
Kiểm tra M nằm trong hay ngoài mặt cầu.
Để giao tuyến là đường tròn có chu vi nhỏ nhất thì bán kính của đường tròn đó là nhỏ
nhất
d O; P OI là lớn nhất M I
Cách giải:
2 2 2
x y z 9
O 0;0;0 .
có tâm
Nhận xét: Dễ dàng kiểm tra điểm M nằm trong (S), do đó, mọi mặt phẳng
đi qua M luôn cắt (S) với giao tuyến là 1 đường tròn.
Để giao tuyến là đường tròn có chu vi nhỏ nhất thì bán kính của đường
tròn đó là nhỏ nhất.
d O; P OI là lớn nhất.
Mà IO OM( Vì OI IM)
IO lớn nhất khi M trùng I hay OM vuông
góc với (P)
Vậy, (P) là mặt phẳng qua M và có VTPT là OM( 1; 1 ;1).
Phương trình mặt phẳng (P) là: 1x 1 -1 y 1 +1. z 1 =0 x y z 3 0
Câu 84: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1)
A. 5x y z 9 0 B. 5x y z 11 0
C. 5x y z 11 0 D. 5x y z 9 0
Đáp án
Phương pháp: Cho u
1,u2
là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng , khi đó
n u 1, u 2
là một vectơ pháp tuyến của
Cách giải:
Gọi mặt phẳng cần tìm là
P : x 3y 2z 1 0 có một VTPT n ( 1;3;-2 ) u
1.
P
Vì P n
n
P

AB n AB ( 1;-2;3)
Khi đó,
1 2
có một vectơ pháp tuyến là: n u ,u 5; 1;1
Phương trình : 5x y z 9 0
Câu 85: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1) Trong không gian với hệ trục tọa
độ Oxyz, cho 3 điểm M 1;1;1 , N1;0;-2 , P0;1;-1 . Gọi
giác MNP. Tính x0 z0
Đáp án
A. 5 B. 5 2
C.
13
D. 0
7
Phương pháp: G là trực tâm tam giác MNP
Cách giải: G x 0; y
0;z 0 là trực tâm tam giác MNP
MN
1; 1;1
0; 1; 3 , NP
G
MNP
MG.NP 0
PG.MN 0
G x ; y ;z là trực tâm tam
0 0 0
G
MNP
MG.NP 0
PG.MN 0
Mặt phẳng (MNP) có một VTPT n MN, NP
2;3; 1
Phương trình (MNP): 2x 3y z 4 0
MN z 4
G x
0; y
0;z0 P 2x0 3y0
0
0 1
MG x 1; y 1;z 1 MG. NP x 1 1 y 1 .1 z 1 .1 0 x y z 1 0 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0
PG x 0; y 1;z 1 . x 0 .0 y 1 . 1 z 1 . 3 0 y 3z 2 0 3
PG MN
0 0 0 0 0 0 0 0
Từ (1),(2),(3), suy ra
5
x0
2x0 3y0 z0
4 0 7
10 13
x0 y0 z0
1 0 y0 x0 z0
7 7
y0 3z0
2 0
8
z0
7
Câu 86: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1) Trong không gian với hệ trục tọa
độ Oxyz, cho điểm A2;1;3 . Mặt phẳng (P) đi qua A và song song với mặt phẳng
Q : x 2y 3z 2 0 có phương trình là

A. x 2y 3z 9 0 B. x 2y 3z 13 0
C. x 2y 3z 5 0 D. x 2y 3z 13 0
Đáp án B
Phương pháp: P / / Q : z
x 2y 3 2 0 P : x 2y 3z m,m 2
Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng (P) và tìm hằng số m
Cách giải:
P / / Q : z
Mà 2;1;3 2 2.
x 2y 3 2 0 P : x 2y 3z m, m 2
P / /A P 1 3.3 2 0 m 13
(thỏa mãn)
x
P : 2y 3z 13 0
Câu 87: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1) Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz, cho hai điểm A B (3; 2;6), (0;1;0) và mặt cầu
2 2 2
S : x 1 y 2 z 3
25. Mặt phẳng
P : ax by cz 2 0 đi qua A, B và
cắt S theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính T a b c
A. T 5
B. T 3
C. T 2
D. T 4
Đáp án B
Phương pháp:
- Đưa phương trình mặt phẳng (P) về dạng chỉ còn 1 tham số.
- (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất d I; P
đó: I là tâm mặt cầu (S).
Cách giải:
max, trong
3a 2b 6c 2 0 b 2
A3; 2;6 ,B0;1;0 P : ax by cz 2 0
b 2 0 a 2 2c
P : 2 2c x 2y cz 2 0
2 2 2
S : x 1 y 2 z 3
25 có tâm
I 1;2;3 và bán kính R 5
- (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất d I; P
đó: I là tâm mặt cầu (S).
Ta có
d I; P
Ta tìm giá trị lớn nhất của
Ta có:
2 2c .1 2.2 c.3 2
2
c 4 c 8c 16
2 2
2
2 2
5c 8c 8
2 2c 2 c 5c 8c 8
2
c 8c 16
2
5c 8c 8
max, trong
2
. Gọi m là giá trị của c 8c 16
với c nào đó.
2
5c 8c 8

2
c 8c 16
2 2 2
m c 8c 16 m 5c 8c 8 c 1 5m 8 1 m c 16 8m 0 *
2
5c 8c 8
2 2 2 2
' 4 4m 1 5m 16 8m 16 32m 16m 16 8m 80m 40m 24m 120m
(*) có nghiệm 0 0 m 5
2 2
c 8c 16 c 8c 16
4 1 m 4 1
5
0 5 max 5 c 1
2 2
5c 8c 8 5c 8c 8
1 5m 1
5.5
Khi đó T a b c 2 2c 2 c 4 1 3
Câu 88: ( Chuyên Tiền Giang-2018) Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có
phương trình 3x z 1 0. Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) có tọa độ là
3;0; 1 3; 1;1 3; 1;0 3;1;1
A. B. C. D.
Đáp án A.
Câu 89: ( Chuyên Tiền Giang-2018) Trong hệ tọa độ Oxyz, cho OA 3k i. Tìm tọa
độ điểm A.
3;0; 1 1;0;3 1;3;0 3; 1;0
A. B. C. D.
Đáp án B.
Câu 90: ( Chuyên Tiền Giang-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
M 1;2;3 ; N 2; 3;1 ;P 3;1;2 . Tìm tọa độ điểm Q sao cho MNPQ là hình bình hành.
A. Q2; 6;4
B. Q4; 4;0
C. Q2;6;4 D. Q4; 4;0
Đáp án C.
MN QP 1; 5; 2 Q 2;6;4 .
Do MNPQ là hình bình hành nên
Câu 91: ( Chuyên Tiền Giang-2018) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng
qua ba điểm A, B, C lần lượt là hình chiếu của điểm M 2;3; 5
xuống các trục
Ox,Oy,Oz.
A. 15x 10y 6z 30 0
B. 15x 10y 6z 30 0
C. 15x 10y 6z 30 0 D. 15x 10y 6z 30 0
Đáp án D.
Phương trình mặt phẳng (ABC) theo đoạn chắn là:
15x 10y 6z 30 0.
x y z
1
2 3 5
Câu 92: ( Chuyên Tiền Giang-2018) Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A2;1;1 và mặt
phẳng P : 2x y 2z 1 0. Phương trình của mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt
phẳng (P) là
2 2 2
A. x 2 y 1 z 1
9
B.
2 2 2
C. x 2 y 1 z 1
4
D.
2 2 2
x 2 y 1 z 1 2
2 2 2
x 2 y 1 z 1 36
hay

Đáp án C.
2 2 2
Bán kính mặt cầu là: R d S; P 2 S : x 2 y 1 z 1
4.
Câu 93: ( Chuyên Tiền Giang-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các
điểm A2;0;0 ;B0;3;0 ;C0;0;4 . Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Tìm phương trình
tham số của đường thẳng OH.
x
4t
x
3t
A. y
3t
B. y
4t
z
2t
z
2t
Đáp án C.
C.
x
6t
y
4t
z
3t
D.
x
4t
y
3t
z
2t
Do H là trực tâm tam giác ABC suy ra được H là hình chiếu vuông góc của O trên mặt
phẳng (ABC) (học sinh tự chứng minh).
x
6t
x y z
Khi đó OH ABC : 1 uOH
6;4;3 .
Do đó OH : y 4t.
2 3 4
z
3t
Câu 95: (Cụm 5 trường chuyên) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
A1;2;3 và mặt phẳng
P : 2x y 4z 1 0. Đường thẳngd
qua điểm A, song song
với mặt phẳng P , đồng thời cắt trục Oz. Viết phương trình tham số đường thẳng d
A.
Đáp án D
x 1
5t
y 2 6t
z 3 t
B.
x 1
t
y 2 6t
z 3 t
C.
x 1
3t
y 2 2t
z 3 t
Phương pháp: Giả sử đường thẳng d
cắt trục Oz tại điểm B0;0;b AB nP
Cách giải:
Giả sử đường thẳng d
cắt trục Oz tại điểm B0;0;b AB1; 2;b 3
d / / P u n 2;1; 4
d P
2 2 4b 3 0 4b 8 0 b 2 B0;0;2
AB 1; 2; 1 1;2;1
D.
x
t
y
2t
z 2 t
Câu 96: (Cụm 5 trường chuyên) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vecto
u x;2;1 v 1; 1;2x
. Tính tích vô hướng của u và v .
và vec tơ
A. 2 x
B. 3x 2
C. 3x 2
D. x 2

Đáp án C
Phương pháp: a x ; y ;z ,bx ; y ;z
a.b x .x y .y z .z
u.v x.1 2. 1 1.2x 3x 2
Cách giải:
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
Câu 97: (Cụm 5 trường chuyên) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương
trình chính tắc của mặt cầu có đường kính AB với A2;1;0 , B0;1;2
2 2 2
A. x 1 y 1 z 1
2
B.
2 2 2
x 1 y 1 z 1 2
2 2 2
C. x 1 y 1 z 1
4
D.
2 2 2
x 1 y 1 z 1 4
Đáp án A
Phương pháp:
Mặt cầu có đường kính AB nhận trung điểm của AB làm tâm và có bán kính
AB
R .
2
Cách giải: Gọi I là trung điểm của AB ta có 2 2 2
I 1;1;1 , AB 2 0 2 2 2
Vậy mặt cầu đường kính AB có tâm I1;1;1 và bán kính
2 2 2
pt : x 1 y 1 z 1 2
AB
R 2
2
Câu 98: (Cụm 5 trường chuyên) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz có bao nhiêu
mặt phẳng song song với mặt phẳng Q : x y z 3 0,
cách điểm
M 3;2;1 một
khoảng bằng3 3 biết rằng tồn tại một điểm Xa;b;c trên mặt phẳng đó thỏa mãn
a b c 2?
A. 2 B. 1 C. Vô số D. 0
Đáp án D
Phương pháp :
Gọi Q : x y z a 0a 3
là mặt phẳng song song với mặt phẳng (P).
Sử dụng công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng.
Cách giải :
Gọi Q : x y z a 0a 3
là mặt phẳng song song với mặt phẳng (P).

6 a
a
3 ktm
d M; Q
3 3 6 a 9
3
a 15
Với a 15 Q : x y z 15 0
Xa;b;c Q a b c 15ktm .
Vậy không có mặt phẳng Q
nào thỏa mãn điều
kiện bài toán.
Câu 99: (Cụm 5 trường chuyên) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
n 2; 1;1
. Vectơ nào sau đây cũng là vectơ pháp tuyến của
P
có vecto pháp tuyến là
P ?
A. 2;1;1 B. 4;2;3
C. 4;2; 2
D. 4; 2;2
Đáp án D
Phương pháp : Nếu n là 1VTPT của P kn k 0
cũng là 1 VTPT của P
Câu 100: (Cụm 5 trường chuyên) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường
thẳng đi qua gốc tọa độ O và điểm I0;1;1 . Gọi S là tập hợp các điểm nằm trên mặt
phẳng Oxy , cách đường thẳng một khoảng bằng 6. Tính diện tích hình phẳng giới
hạn bởi S.
A. 36 2 B. 18 C. 36 D. 18 2
Đáp án A
Phương pháp:
Tính khoảng cách từ 1 điểm M đến đường thẳng : d M;
VTCP của và I là 1 điểm bất kì.
u OI 0;1;1
Cách giải: Đường thẳng nhận
MI;u
với u là 1
u
là 1 VTCP.

OM;u
2 2
b 2a
M a;b;0 O xy d M; 6
u 2
Gọi
a b a b
36 72 6 6 2
2 2 2 2
2 2
b 2a 72 1 1
2
2
Như vậy tập hợp các điểm M là elip có phương trình
2 2
a b
1
2
E
6 6 2
S S ab .6.6 2 36 2
E
Câu 101: (Cụm 5 trường chuyên)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường
x 1
t
x 1 y z
thẳng d
1
: ,d
2
: y 2 t.
2 1 3
z
m
Gọi S là tập hợp tất cả các số m sao cho đường
thẳng d1
và d2
chéo nhau và khoảng cách giữa chúng bằng
của S.
5 .
19
Tính tổng các phần tử
A. 11 B. 12
C. 12 D. 11
Đáp án B
Phương pháp: Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
M1M 2. u 1;u
2
d d 1;d2
u 1;u
2
Với u
1;u2
lần lượt là các VTCP của d
1;d 2;M1 d1M2 d2
Cách giải:
Ta có u 2;1;3 ;u 1;1;0
lần lượt là các VTCP của 1 2
1 2
Lấy M 1;0;0 d ;M 1;2;m d M M 0;2;m
1 1 2 2 1 2
1 2
d ;d .Ta có u ;u 3;3;1
M M . u ;u
6 m 5 m 1
d d
1;d2
S 1; 11
u 19 19 m 11
1;u
2
1 2 1 2

Câu 102: (Cụm 5 trường chuyên) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm
Aa;0;0 , B0;b;0 ,C0;0;c với a,b,c 0. Biết rằng ABC
đi qua điểm
2 2 2 72
S : x 1 y 2 z 3 .
7
Tính 1 1
1
a 2 b 2 c
2
và tiếp xúc với mặt cầu
1 2 3
M ; ;
7 7 7
A. 7 2
B. 1 7
C. 14 D. 7
Đáp án A
Phương pháp:
+) Viết phương trình mặt phẳng ABC
ở dạng đoạn chắn, thay tọa độ điểm M vào pt mặt
phẳng ABC .
+) ABC
tiếp xúc với mặt cầu S
tâm I bán kính R d I; ABC
Cách giải:
x y z
ABC : 1
a b c
1 2 3 1 2 3 1 2 3
M ; ; ABC
1 7
7 7 7
7a 7b 7c a b c
R
ABC
tiếp xúc với mặt cầu
S có tâm I1;2;3 và bán kính R
72
7
1 2 3
1
a b c 72
d I; ABC
R
1 1 1 7
2 2 2
a b c
6 72 1 1 1 14 1 1 1 7
1 1 1
2 2 2
a b c
2 2 2 2 2 2
7 a b c 2 a b c 2
Câu 103: (Chuyên Chu Văn An-2018) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm
A 8;0;0 , B 0;2;0 ,C 0;0; 4 . Phương trình mặt phẳng (ABC) là:
A. x 4y 2z 0 B. x y z 1
4 1 2
C. x y z 0
8 2 4
Đáp án D.
D. x 4y 2z 8 0

Phương pháp: Viết phương trình mặt phẳng (ABC) dạng đoạn chắn.
Cách giải: Phương trình mặt phẳng (ABC): x y z 1 x 4y 2z 8 0
8 2 4
Câu 104: (Chuyên Chu Văn An-2018) Cho mặt phẳng đi qua M 1; 3;4
và song
song với mặt phẳng : 6x 5y z 7 0. Phương trình mặt phẳng
A. 6x 5y z 25 0
B. 6x 5y z 25 0
C. 6x 5y z 7 0 D. 6x 5y z 17 0
Đáp án B.
Phương pháp: Mặt phẳng
Cách giải: Mặt phẳng
là:
đi qua M 1; 3;4
và nhận n 6; 5;1
đi qua M 1; 3;4
và nhận n 6; 5;1
phương trình:
6 x 1 5 y 3 z 4 0 6x 5y z 25 0.
là 1 VTPT.
là 1 VTPT nên có
Câu 105: (Chuyên Chu Văn An-2018) Cho mặt phẳng đi qua điểm M 1; 3;4
song song với mặt phẳng : 6x 2y z 7 0. Phương trình mặt phẳng
là :
A. 6x 2y z 8 0 B. 6x 2y z 4 0
C. 6x 2y z 4 0 D. 6x 2y z 17 0
Đáp án B.
Phương pháp: Mặt phẳng đi qua M 1; 3;4
và nhận n 6;2; 1
là 1 VTPT.
Cách giải: Mặt phẳng đi qua M 1; 3;4
và nhận n 6;2; 1
là 1 VTPT nên có
phương trình: 6x 1 2y 3 z 4
0 6x 2y z 4 0.
Câu 106: (Chuyên Chu Văn An-2018) Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới
x 1
2t
đây là phương trình chính tắc của đường thẳng y 3t ?
z 2 t
A. x 1 y z
2 B. x 1 y z
2
2 3 1 1 3 2
C. x 1 y z
2 D. x 1 y z
2
1 3 2
2 3 1
Đáp án D.
x 1
2t
Phương pháp: Đường thẳng d có phương trình tham số: y
3t có phương trình chính
z 2 t
tắc
và

x x0 y y0 z z0
a b c
Cách giải: Phương trình chính tắc của đường thẳng d là: x 1 y z
2
2 3 1
Câu 107: (Chuyên Chu Văn An-2018) Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng
2 2 2
P : 2x 2y z 4 0 và mặt cầu S : x y z 2x 4y 6z 11 0. Biết rằng mặt
phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C). Tọa độ điểm H là tâm đường tròn (C)
là:
H 1;4;4
H 4;4; 1
A. H3;0;2 B. C. H2;0;3 D.
Đáp án A.
Phương pháp:
Mặt phẳng (P) cắt (S) theo một đường tròn (C) Tâm H của (C) là hình chiếu của H trên
(P).
Cách giải: Mặt cầu (S) có tâm I1;2;3 , bán kính R 5.
Mặt phẳng (P) cắt (S) theo một đường tròn (C) Tâm H của (C) là hình chiếu của H trên
(P).
n P 2; 2; 1 , đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P) có phương trình
Ta có
x 1
2t
y 2 2t d
z 3 t
Khi đó H P d H1 2t;2 2t;3 t .
Thay vào phương trình mặt phẳng (P) ta
có:
2 1 2t 2 2 2t 3 t 4 0 9t 9 0 t 1 H 3;0;2
Câu 108: (Chuyên Chu Văn An-2018) Trong không gian Oxyz cho điểm M 1;3; 2 .
Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục x 'Ox; y 'Oy; z 'Oz lần lượt tại
ba điểm phân biệt A, B, C sao cho OA OB OC 0
A. 3 B. 2 C. 1 D. 4
Đáp án D.
Phương pháp: Gọi Aa;0;0 , B0;b;0 ,C0;0;c a b c , chia các trường hợp để
phá trị tuyệt đối và viết phương trình mặt phẳng (P) dạng đoạn chắn.
A a;0;0 , B 0;b;0 ,C 0;0;c , ta có: OA a ;OB b ;OC c
Cách giải: Giả sử
OA OB OC 0 a b c 0
x y z
TH1: a b c P : 1 x y z a 0
a a a
M ABC 2 a 0 a 2 P : x y z 2 0

x y z
TH2: a b c P : 1 x y z a 0
a a a
M ABC 6 a 0 a 6 P : x y z 6 0
x y z
TH3: a b c P : 1 x y z a 0
a a a
M ABC 4 a 0 a 4 P : x y z 4 0
TH4: x y z
a b c P : 1 x y z a 0
a a a
M ABC 0 a 0 a 0 P : x y z 0
Vậy có 4 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 109: (Chuyên Chu Văn An-2018) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
2 2 2
x 1 y 2 z 1
S : x y z 2x 4y 6z 13 0 và đường thẳng d : . Tọa độ
1 1 1
điểm M trên đường thẳng d sao cho từ M kẻ được 3 tiếp tuyến MA, MB, MC đến mặt cầu
0
0
0
(S) (A, B, C là các tiếp điểm) thỏa mãn AMB 60 ; BMC 90 ; CMA 120 có dạng
M a;b;c với a 0. Tổng a b c bằng:
A. 2 B. -2 C. 1 D. 10 3
Đáp án B.
Phương pháp: Tính độ dài đoạn thẳng IM với I là tâm mặt cầu.
Tham số hóa tọa độ điểm M, sau đó dựa vào độ dài IM để tìm điểm M.
Cách giải : Mặt cầu (S) có tâm I1;2; 3 ,
bán kính R 3 3.
Đặt MA MB MC a.
Tam giác MAB đều AB a
Tam giác MBC vuông tại M BC a 2
0
Tam giác MCA có CMA 120 AC a 3
2 2 2
Xét tam giác ABC có AB BC AC ABC vuông tại B
ABC ngoại tiếp đường tròn nhỏ có đường kính AC
1 a 3
HA AC
2 2
Xét tam giác vuông IAM có:
1 1 1 4 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
HA AM IA 3a a 27 3a 27
a 3 MA
2 2 2 2
IM MA IA 3 27 36
2 2 2 2
2
M d M 1 t; 2 t;1 t IM t 2 t 4 t 4 36 3t 4t 0

t 0 M 1; 2;1
a 1
4 1 2 7 b 2 a b c 2
t M ; ; ktm
3
3 3 3
c 1
Câu 110: (Chuyên Lê Quý Đôn- Quảng Trị -Lần 1)Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz, cho mặt phẳng : 3x 2y z 6 0. Hình chiếu vuông góc của điểm
A2; 1;0
lên mặt phẳng
có tọa độ là
A. 1;0;3
B. 1;1; 1
C. 2; 2;3
D. 1;1; 1
Đáp án B
Phương pháp giải: Viết phương trình đường thẳng vuông góc với mặt và đi qua điểm, tọa
độ giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng chính là tọa độ hình chiếu của điểm
Lời giải:
x 2 y 1 z
AH AH : .
Gọi H là hình chiếu của A trên
Vì H AH H3t 2; 2t 1; t
mà
H 33t 2 22t 1
t 6 0 t 1
Vậy tọa độ điểm cần tìm là H1;1; 1
3 2 1
Câu 111: (Chuyên Lê Quý Đôn- Quảng Trị -Lần 1)Trong không gian với hệ tọa độ
M 1;2; 3
P : x 2y 2z 2 0
Oxyz, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
A. 3 B. 11 3
C. 1 3
D. 1
Đáp án A
Phương pháp giải: Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
P : A x By Cz D 0 là:
Khoảng cách từ điểm
0 0 0
A x By Cz D
0 0 0
d M; P
Lời giải:
A B C
M x ; y ;z đến mặt phẳng
2 2 2
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng P là
1.1 2.2 2. 3 2
d M; P
3
2
2 x
1 2 2
Câu 112: (Chuyên Lê Quý Đôn- Quảng Trị -Lần 1)Trong không gian với hệ tọa độ
x 1 y 2 z 3
Oxyz, cho hai điểm A3; 2;3 ,B1;0;5
và đường thẳng d :
. Tìm
1 2 2
2 2
MA MB đạt giá trị nhỏ nhất.
tọa độ điểm M trên đường thẳng d
để
A. M 2;0;5 B.
Đáp án A
Phương pháp giải:
M 1;2;3 C. M 3; 2;7
D. M 3;0;4

Vì điểm M thuộc d nên tham số hóa tọa độ điểm M, tính tổng MA
sát hàm số để tìm giá trị nhỏ nhất
Lời giải:
AM t 2;4 2t;2t
Vì M d M t 1;2 2t;2t 3
suy ra
BM t;2 2t;2t 2
Khi đó
MB đưa về khảo
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
T MA MB t 2 4 2t 4t t 2 2t 2t 2 18t 36t 28
2 2 2 2
18t 36t 28 18 t 2t 1 10 18 t 1 10 10 MA MB 10
Dễ thấy 2
Vậy Tmin
10
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi t 1
M 2;0;5
Câu 113: (Chuyên Lê Quý Đôn- Quảng Trị -Lần 1) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz, cho ba điểm A1;2;3 ,B3;4;4 ,C2;6;6;
và Ia;b;c
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính S a b c
A. 63
B. 46
C. 31
D. 10
5
5
3
Đáp án B
Phương pháp giải:
Tâm đường tròn ngoại tiếp cách đều 3 đỉnh của tam giác và thuộc mặt phẳng chứa tam
giác
Lời giải:
AB 2;2;1
Ta có AB;AC
2; 5;6
AC 1;4;3
Phương trình
ABC : 2x 5y 6z 10 0
I
mp ABC
Vì Ia;b;c là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC
IA IB IC
Lại có
2 2
2 2 2 2 2 2
IA IB IA IB
a 1 b 2 c 3 a 3 b 4 c 4
2 2
2 2 2 2 2 2
IA IC
IA IC a 1 b 2 c 3 a 2 b 6 c 6
2a 1 4b 4 6c 9 6a 9 8b 16 8c 16
2a 1 4b 4 6b 9 4a 4 12b 36 12c 36
4a 4b 2c 27
2a 8b 6c 62
3 49 46
Kết hợp với 2a 5b 6c 10 0 a ;b 4;c . Vậy S
10 10 5
Câu 114: (Chuyên Lê Quý Đôn- Quảng Trị -Lần 1) Trong không gian với hệ tọa độ
A 1;1;1 ,B 0;1;2 ,C 2;1;4
P : x y z 2 0 .
Oxyz, cho ba điểm và mặt phẳng

Tìm điểm N
P
sao cho
2 2 2
S 2NA NB NC đạt giá trị nhỏ nhất.
4 4
1 5 3
A. N 2;0;1
B. N ;2; C. N ; ;
3 3
2 4 4
Đáp án D
Phương pháp giải: Xét đẳng thức vectơ, đưa về hình chiếu của điểm trên mặt phẳng
Lời giải:
M a;b;c thỏa mãn đẳng thức vectơ 2MA MB MC 0
Gọi
2 1 a;1 b;1 c 0 a;1 b;2 c 2 1;1 b;4 c 0
D. N1;2;1
a 0
4a;4 4b;8 4c 0 b 1 M 0;1;2
c 2
Khi đó
2
2 2 2
2 2
S 2NA NB NC 2NA NB NC 2 MN MA MN MB MN MC
2
2 2 2
4MN 2NM. 2MA MB MC
2MA
MB MC
0
const
2 2 2 2
4MN 2MA MB MC
const
là hình chiếu của M trênP MN P
Suy ra Smin
MNmin
N
x y 1 z 2
1 1 1
Mà m mp P t 1 t t 2 2 0 t 1 N 1;2;1
Phương trình đường thẳng MN là Nt;1 t; t 2
suy ra
2 2 2
Câu 115: (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
B 4;1;9 . Tọa độ của véc tơ AB là
cho hai điểm A2;3; 1
và
A. 6; 2;10
B. 1;2;4
C. 6;2; 10
D. 1; 2; 4
Đáp án A
AB 6; 2;10
Câu 116: (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An) Trong không gian với hệ tọa độ
u 1;3;1
Oxyz,cho đường thẳng d đi qua điểm M 3;3; 2
.Phương trình của d là
và có véc tơ chỉ phương
A. x 3 y 3 z
2
B. x 3
y 3
z 2
1 3 2
1 3 1
C. x 3 y 3 z
1
D. x 1
y 3 z 1
1 3 2
3 3 2

Đáp án B
Câu 117: (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho điểm M a;b;1 thuộc mặt phẳng P : 2x y z 3 0 . Mệnh đề nào dưới đây là
đúng?
A. 2a b 3 B. 2a b 2 C. 2a b 2
D. 2a b 4
Đáp án B
M a;b;1
thuộc mặt phẳng
P : 2x y z 3 0 2a b 1 3 0 2a b 2 0
Câu 118: (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An) Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz, cho M 3;4;5 và mặt phẳng P : x y 2z 3 0 . Hình chiếu vuông góc của M
lên mặt phẳng P
là
A. H1;2;2 B. H2;5;3
C. H6;7;8
D. H2; 3; 1
Đáp án B
Phương trình đường thẳng qua M và vuông góc với P : x y 2z 3 0 là:
x 3
t
y 4 t H3 t;4 t;5 2t ,
z 5 2t
Cho H d 3 t t 4 10 4t 3 t 1
H2;5;3
Câu 119: (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho điểm M 3;3; 2
x 1 y 2 z x 1 y 1 z 2
và hai đường thẳng d
1
: ;d
2
: .
1 3 1 1 2 4
Đường thẳng d qua M cắt d
1,d 2
lần lượt tại A và B. Độ dài đoạn thẳng AB bằng
A. 3 B. 2 C. 6 D. 5
Đáp án A
A 1 t;2 3t; t d ;B 1 u;1 2u;2 4u d
Gọi
1 2

t 2 k u 4
Ta có: MA k.MB 3t 1 k 2u 2
t 2 k 4u 4
Giả hệ với ẩn t; k và
t 0
1
ku k t 0;u 0 A 1;2;0 ;B 1;1;2 AB 3
2
ku 0
Câu 120: (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
x 2 y z
cho đường thẳng d :
2 1 4
mặt phẳng
MN bằng
P và
Q
chứa d và tiếp xúc với
2 2 2
và mặt cầu
S : x 1 y 2 z 1 2 . Hai
S .Gọi M và N là tiếp điểm. Độ dài đoạn
A. 2 2 B. 4 3
3
Đáp án B
C. 2 3
3
D. 4
2 2 2
Mặt cầu S : x 1 y 2 z 1
2 có tâm
I 1;2;1 , R 2
Xét mặt phẳng thiết diện đi qua tâm I, hai tiếp điểm M, N và cắt d tại H.
Khi đó IH chính là khoảng cách từ điểm I1;2;1 đến d.

IK;u
d
K 2;0;0 d IK 1; 2; 1 f I; d 6
ud
Điểm
Suy ra IH 6, IM IN R 2. Gọi O là trung điểm của MN
Ta có
MH.MI 2 4 3
MO MN 2 x MO .
IH 3
3
Câu 121: (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz
cho điểm M 1;2;3 . Gọi P
là mặt phẳng đi qua điểm M và cách gốc tọa độ O một
khoảng cách lớn nhất, mặt phẳng P
cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C. Thể tích
khối chóp O.ABC bằng
A. 1372
9
Đáp án B
B. 686
9
Gọi H là hình chiếu của O trên
C. 524
3
D. 343
9
P d O; P OH OM
H M n P 1;2;3 P : x 2y 3z 14 0
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
A 14;0;0 , B 0;7;0 ,C
0;0; 14
3
Mặt phẳng P
cắt các trục tọa độ lần lượt tại
Vậy thể tích khối chóp OABC là
V
OABC
14
14.7
OA.OB.OC 3 686
6 6 9
Câu 122: (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho đường thẳng
x 3 y 2 z 1
d :
2 1 1
và mặt phẳng
P : x y z 2 0 . Đường
thẳng nằm trong mặt phẳng P , vuông góc với đường thẳng d đồng thời khoảng cách
từ giao điểm I của d với P
đến bằng 42. Gọi M 5;b;c là hình chiếu vuông góc
của I trên . Giá trị của bc bằng
A. 10
B. 10 C. 12 D. 20
Đáp án B

Vì Id I2t 3; t 2; t 1
mà IP t 1 I1; 3;0
Vì M là hình chiếu vuông góc của I trên
Khi đó
d I; d I; P IM 42
b;c 2; 5
M P 5 b c 2 0
b c 7
b;c 8;1
2 2
2 2
2
IM 42
4 b 3 c 42
b 3
c 26
Vậy M 5; 2; 5hoặc
M 5; 8;1 bc 10
Câu 123:( Chuyên Sơn La- Lần 1): Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng
P : 2x y 3z 2 0 . Mặt phẳng (P) có một vecto pháp tuyến là
A. n 1; 1;3
Đáp án B
Phương pháp:
B. n 2; 1;3
2 2 2
Mặt phẳng P : A x By Cz D 0A B C 0
Cách giải:
C. n 2;1;3
D. n 2;3; 2
có 1 VTPT là n A;B;C
Mặt phẳng P : 2 x y 3z 2 0 có một véc tơ pháp tuyến n 2; 1;3
Câu 124: ( Chuyên Sơn La- Lần 1)Trong không gian Oxyz,cho điểm A1;2;3 . Hình
chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (Oxy) là điểm
A. N1;2;0 B. M 0;0;3
C. P1;0;0 D. Q0;2;0
Đáp án A
Phương pháp:
Hình chiếu vuông góc của điểm M x 0; y
0;z0
trên mặt phẳng (Oxy) là điểm
M ' x ; y ;0
0 0
Cách giải:
Hình chiếu vuông góc của điểm A1;2;3 trên mặt phẳng (Oxy) là điểm N1;2;0
Câu 125: ( Chuyên Sơn La- Lần 1) Trong không gian Oxyz, cho điểm A1;3; 2
và

mặt phẳng : x 2y 2z 5 0. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
bằng:
A. 1 B. 2 3
C. 2 9
Đáp án B
Phương pháp: Xét
M x ; y ;z , : A x By Cz D 0.
0 0 0
D. 2 5
5
Khoảng cách từ M đến
Cách giải: Khoảng cách từ A đến
A x By Cz D
0 0 0
là: d M;
là: d M;
A B C
2 2 2
1 2.3 2. 2 5 2
2 2 2
1 2 2 3
Câu 126: ( Chuyên Sơn La- Lần 1) Trong không gian Oxyz, cho điểm A2; 1;1 .
Phương trình mặt phẳng đi qua hình chiếu của điểm A trên các trục tọa độ là
A. x y z 0
2 1 1
B. x y z 0
2 1 1
C. x y z 1
D. x y z 1
2 1 1
2 1 1
Đáp án B
Phương pháp:
Hình chiếu của điểm M x 0; y
0;z 0 trên trục Ox là điểm M1 x 0;0;0
Hình chiếu của điểm M x 0; y
0;z0
trên trục Oy là điểm M2 0; y
0;0
Hình chiếu của điểm M x 0; y
0;z0
trên trục Oz là điểm M3 0;0;z
0
Phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng đi qua 3 điểm
Aa;0;0 , B0;b;0 ,C0;0;c , a, b,c 0
là: x y z 1
a b c
Cách giải: Hình chiếu của điểm A2; 1;1
trên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt là:
2;0;0 , 0; 1;0 , 0;0;1
x y z
Phương trình mặt phẳng
: 1
2 1 1
Câu 127: ( Chuyên Sơn La- Lần 1) Trong không gian Oxyz, cho 2 mặt phẳng

P : x 2y 2z 2018 0,
Q : x my m 1
z 2017 0 (m là tham số thực). Khi hai mặt phẳng (P) và (Q) tạo
với nhau một góc nhỏ nhất thì điểm M nào dưới đây nằm trong (Q) ?
A. M 2017;1;1 B. M 0;0;2017
C. M 0; 2017;0
D. M 2017;1;1
Đáp án A
Phương pháp:
: a1x b1y c1z d1 0, : a
2x b2y c2z d2
0 nhận
n a ;b ;c , n a ;b ;c lần lượt là các VTPT. Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng
Cho
1 1 1 1 2 2 2 2
,
được tính:
cos , cos n ;n
1 2
Với 0 90 min cosmax
Cách giải:
P : x 2y 2x 2018 0 có 1 VTPT: n 1;2; 2
1
n
1.n
2
n . n
1 2
Q : x my m 1
z 2017 0 có 1 VTPT: n 1;m;m 1
Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q):
n
1.n
2
cosP , Q cosn 1;n2
n . n
1 2
1.1 2.m 2. m 1 1 2
2m 2m 2
2 2 2 2 2
2 2 2
1 2 2 . 1 m m 1 2m 1 3
2
0 cosP , Q
m
3
Với 0 90 min cosmax
min
P , Q
khi và chỉ khi
2
2 1
max
cos P ; Q 2m 1 0 m
3 2
1 1
Khi đó, Q : x y z 2017 0 2x y z 4034 0
2 2
Ta thấy: 2. 2017 11 4034 0 M 2017;1;1
Q
,

Câu 128: ( Chuyên Sơn La- Lần 1) Trong không gian Oxyz, cho các điểm
A1; 1;1 ,B 1;2;3 và đường thẳng
x 1 y 2 z 3
d :
. Đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc với hai đường thẳng
2 1 3
AB và d có phương trình là:
A. x 1 y 1 z
1 B. x 1
y 1
z 1
2 4 7 7 2 4
C. x 1 y 1 z
1 D. x 1
y 1
z 1
2 7 4
7 2 4
Đáp án D
Phương pháp:
d
u
u d;AB
AB
Viết phương trình đường thẳng biết điểm đi qua và VTCP.
x 1 y 2 z 3
Cách giải: d :
2 1 3
AB 2;3;2
vuông góc với d và AB AB nhận u 2;1;3
1 VTCP v AB;u 7;2;4
Phương trình đường thẳng
có 1 VTCP u 2;1;3
x 1 y 1 z 1
:
7 2 4
và AB 2;3;2
là cặp VTPT có
Câu 129: ( Chuyên Sơn La- Lần 1) Trong không gian Oxyz, cho điểm M 1;2;3 . Hỏi có
bao nhiêu mặt phẳng (P) đi qua M và cắt trục x’Ox, y’Oy, z’Oz lần lượt tại các điểm A, B,
C sao cho OA 2OB 3OC 0
Đáp án C
Cách giải:
A. 4 B. 6 C. 3 D. 2
Gọi tọa độ các giao điểm : Aa;0;0 B0;b;0 ,C0;0;c ; a;b;c 0

Khi đó phương trình mặt phẳng (P) có dạng đoạn chắn: x y z 1
a b c
M 1;2;3 P 1 2 3 1 1
a b c
Vì OA 2OB 3OC 0 nên
TH1: a 2b 3c
a 2b 3c
a 2b 3c
a 2 b 3 c 0
a 2b 3c
a 2b 3c
1 1 1 6 x y z
P : 1 1 a 6 tm P : 1
a a a a 6 3 2
2 3
TH2: a 2b 3c
1 1 1 2 x y 3z
P : 1 1 a 2tm P : 1
a a a
a 2 1 2
2 3
TH3: a 2b 3c
1 1 1 0
a a a
a
2 3
P : 1 1vo li
TH4: a 2b 3c
1 1 1 4 x y 3z
P : 1 1 a 4tm P : 1
a a a
a 4 2 4
2 3
Vậy, có 3 mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 130: ( Chuyên Sơn La- Lần 1) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm
Aa;0;0 , B0;b;0 ,C0;0;c với a, b, c là những số thực dương thay đổi sao cho
2 2 2
a 4b 16c 49. Tính tổng
lớn nhất.
A.
Đáp án D
51
F B.
5
2 2 2
F a b c sao cho khoảng cách từ O đến (ABC) là
51
F C.
4
49
F D.
5
49
F
4

Phương pháp:
- Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng đi qua 3 điểm Aa;0;0 ,B0;b;0 ,C0;0;c , (
a, b,c khác 0): x y z 1
a b c
- Sử dụng bất đẳng thức:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y
z
a b c
Cách giải:
Aa;0;0 ,B0;b;0 ,C0;0;c ,
x y z
1
a b c
2
x 2 y 2 z
2
x y c , a,b,c, x, y,z 0
a b c a b c
a,b,c 0 . Mặt phẳng (ABC) có phương trình:
Khoảng cách từ O đến (ABC):
h
0 0 0
1
a b c
1
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
a b c a b c
Ta có:
1
2 4 2
1 1 1 1 2 2 4 2 7
2
1
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c a 4b 16c a 4b 16c 49
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
2
a 7
2 2 2 1 2 4 7 7 1 2 7
b
2 2 2 2 2 2
2 2 2 a 4b 16c a 4b 16c 49 7 2
2 7
c
4
2 2 2 7 7 49
F a b c 7 2 4 4
1 2 4
a 4b 16c
a 4b 16c 49
Câu 131: ( Chuyên Trần Phú – Lần 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tính thể
tích tứ diện OABC biết A, B, C lần lượt là giao điểm của mặt phẳng
2x 3y 4z 24 0 với các trục Ox, Oy, Oz.
A. 288 B. 192 C. 96 D. 78
Đáp án C
1
Phương pháp: VOABC
OA.OB .OC
6
Cách giải:

Ta tìm được A12;0;0 ;B0;8;0 ;C0;0; 6
Khi đó ta có : OA 12;0;0 ;OB 0;8;0 ;OC 0;0; 6
OA;OB 8;12; 96
OA;OB
.OC 576
1
Vậy VOABC
OA.OB .OC 96
6
Câu 132: ( Chuyên Trần Phú – Lần 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
M 1; 1;2 , N 3;1; 4 . Viết phương trình mặt phẳng trung trực của MN?
A. x y 3z 5 0 B. x y 3z 1 0
C. x y 3z 5 0 D. x y 3z 5 0
Đáp án C
Phương pháp:
Mặt phẳng trung trực của MN và mặt phẳng vuông góc với MN tại trung điểm của MN.
Cách giải: Gọi I là trung điểm của MN ta có: I2;0; 1
MN 2;2; 6 21;1; 3
=>Mặt phẳng trung trực của MN đi qua I2;0; 1
n 1;1; 3
là 1 VTPT,
và nhận vectơ
do đó có phương trình : 1x 2 1y 0 3z 1
0 x y 3z 5 0
Câu 133: ( Chuyên Trần Phú – Lần 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
A1;1;1 và hai mặt phẳng P : 2x y 3z 1 0, Q : y 0 . Viết phương trình mặt
phẳng R
chứa A, vuông góc với cả hai mặt phẳng P
và Q ?
A. 3x y 2z 2 0 B. 3x 2z 0
C. 3x 2z 1 0 D. 3x y 2z 4 0
Đáp án C
Phương pháp: nR n P;nQ
Cách giải: Ta có:
nP 2; 1;3 ,nQ 0;1;0 nR n P;nQ
3;0;2
là 1 VTPT của mặt phẳng
R .
Vậy phương trình mặt phẳng R : 3x 1 2z 1
0 3x 2z 1 0
Câu 134: ( Chuyên Trần Phú – Lần 2)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết
M 1;3; 2 , cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại
phương trình mặt phẳng P
chứa điểm
OA OB OC
các điểm A, B, C sao cho
1 2 4
A. x 2y 4z 1 0 B. 4x 2y z 8 0
C. 2x y z 1 0 D. 4x 2y z 1 0
Đáp án B

Phương pháp :
A a;0;0 ,B 0;b;0 ,C 0;0;c a;b;c 0 A a;OB b;OC c
Gọi
x y z
Viết phương trình mặt phẳng P : 1
a b c
Cách giải :
A a;0;0 , B 0;b;0 ,C 0;0;c a;b;c 0 OA a;OB b;OC c
Gọi
OA OB OC b c c
4a
a
1 2 4 2 4 b
2a
P là : x y z 1
a 2a 4a
1 3 2
M P
1 a 2
a 2a 4a
Khi đó phương trình mặt phẳng
Vậy phương trình mặt phẳng
P là : x y z 1 4x 2y z 8 0
2 4 8
Câu 135: ( Chuyên Trần Phú – Lần 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết
2 2 2
phương trình mặt phẳng tiếp xúc với S : x y z 2z 4y 6z 2 0 và song song
với : 4x 3y 12z 10 0
4x 3y 12z 26 0
A.
4x 3y 12z 78 0
4x 3y 12z 26 0
C.
4x 3y 12z 78 0
Đáp án D
Phương pháp:
4x 3y 12z 26 0
B.
4x 3y 12z 78 0
4x 3y 12z 26 0
D.
4x 3y 12z 78 0
P / /
Phương trình mặt phẳng P
có dạng 4x 3y 12z D 0D 10
P
tiếp xúc với S
d I; P
R, với I; R là tâm và bán kính mặt cầu S .
Cách giải:
Gọi mặt phẳng P
là mặt phẳng cần tìm.
P / /
Phương trình mặt phẳng P
có dạng 4x 3y 12z D 0D 10
Mặt cầu S
có tâm I1;2;3 , bán kính R 4
P
tiếp xúc với S
d I; P
R
2
D 78
4 3 12
4.1 3.2 12.3 D
4 D 26 52
2 2
D 26
Vậy mặt phẳng P
thỏa mãn yêu cầu bài toán có phương trình
4x 3y 12z 26 0
4x 3y 12z 78 0
Câu 136: ( Chuyên Trần Phú – Lần 2)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các

điểm A1; 2;0 ,B0; 4;0 ,
C0;0; 3
. Phương trình mặt phẳng P
nào dưới đây đi qua A, gốc tọa độ O và cách
đều hai điểm B và C?
P : 6x 3y 5z 0
B.
D.
A.
C. P : 2x y 3z 0
Đáp án B
Phương pháp: P
cách đều
TH1:
TH2:
BC / / P
B,C d B; P d C; P
I P ,
với I là trung điểm của BC.
Cách giải:
OA 1; 2;0
Ta có:
P
cách đều
BC / / P
B,C d B; P d C; P
TH1:
BC 0;4; 3 OA;BC
6; 3; 4 P
VTPT
P : 6x 3y 4z 0 P : 6x 3y 4z 0
I P ,
TH2: với I là trung điểm của BC.
3 3 1
I0; 2; OI 0; 2; OA;OB
6; 3;4
2 2
2
P : 6x 3y 4z 0
P : 6x 3y 4z 0
P : 2x y 3z 0
đi qua O và nhận b 6; 3; 4
Dựa vào các đáp án ta chọn được đáp án B.
Câu 137: (Chuyên Hùng Vương-Gia Lai)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
tam giác ABC với A2;4;1 , B1;1; 6 ,C0; 2;3 .
Tìm tọa độ trọng tâm G của tam
giác ABC.
là 1
A.
1 2
G ;1;
3 3
B. G 1;3; 2
C.
1 2
G ; 1;
3 3
D.
1 5 5
G ; ;
2 2 2
Đáp án A
1 2
G ;1;
3 3
Câu 138: (Chuyên Hùng Vương-Gia Lai) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt
phẳng P : 2x 3y 4z 12 0 cắt trục
Oy tại điểm có tọa độ là

A. 0; 4;0
B. 0;6;0
C. 0;3;0
D. 0;4;0
Đáp án D
Trục Oy có x 0;z 0 y 4
Câu 139: (Chuyên Hùng Vương-Gia Lai) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt
n 2; 5;1
có phương trình
phẳng đi qua điểm A2; 3; 2
và có một vectơ pháp tuyến
là
A. 2x 3y 2z 18 0
B. 2x 5y z 17 0
C. 2x 5y z 12 0
D. 2x 5y z 17 0
Đáp án D
P : 2x 2 5y 3 z 2
0 hay 2x 5y z 17 0
Câu 140: (Chuyên Hùng Vương-Gia Lai) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
điểm I1;2; 5
và tiếp xúc với mặt phẳng P .
và mặt phẳng P : 2x 2y z 8 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm I
2 2 2
A. x 1 y 2 z 5
25 B.
2 2 2
x 1 y 2 z 5 25
2 2 2
C. x 1 y 2 z 5
5
D.
Đáp án A
Ta có:
2 2 2
x 1 y 2 z 5 36
2 4 5 8
2 2 2
R d I; P 5 x 1 y 2 z 5
25
4 4 1
Câu 141: (Chuyên Hùng Vương-Gia Lai) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
A2;4;1 ,B 1;1;3 và mặt phẳng P ; x 3y 2z 5 0. Viết phương trình mặt phẳng
Q
đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng
A. Q : 2y 3z 10 0
B. Q : 2x 3z 11 0
C. Q : 2y 3z 12 0
D. Q : 2y 3z 11 0
Đáp án D
AB 3; 2;2 ;n 1; 3;2
Ta có:
P
Khi đó: AB;n
0;8;12 n
0;2;3
Suy ra Q : 2y 3z 11 0
P
Q
P .

Câu 142: (Chuyên Hùng Vương-Gia Lai)Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông
góc Oxyz, cho mặt phẳng P : 2x y 6z 1 0 và hai điểm A1; 1;0 , B 1;0;1
.
Hình chiếu vuông góc của đoạn thẳng AB trên mặt phẳng P
có độ dài bao nhiêu?
A.
255
61
B.
237
41
C.
137
41
D.
155
61
Đáp án B
Sin góc giữa đường thẳng AB và P
là
u AB.n P
2.2 1. 1 6. 1 3
P
sin
u AB . n
41. 6 246
Hình chiếu vuông góc của AB trên mặt phẳng P
có độ dài là
2 9 237
L AB.cos AB. 1 sin 6
1
246 41
Câu 143: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Trong không gian Oxyz, cho hai mặt
phẳng P : 2x y 3z 1 0 và mặt phẳng Q : 4x 2y 6z 1 0 . Trong các mệnh
đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. (P) và (Q) vuông góc với nhau. B. (P) và (Q) trùng nhau.
Đáp án D
C. (P) và (Q) cắt nhau. D. (P) và (Q) song song với nhau.
Phương pháp: Xét hai mặt phẳng
P : a x b y c z d 0, Q : a x b y c z d 0 :
1 1 1 1 2 2 2 2
a1 b1 c1 d
1
) P Q . Khi đó n
/ /n
P Q
a b c d
2 2 2 2
) P
và Q cắt nhau khi và chỉ khi chúng không song song hay trùng nhau.
) P Q n n n .n 0
P Q P Q
Cách giải: P : 2x y 3z 1 0, Q : 4x 2y 6z 1 0 Ta có:
P và Q
song song với nhau.
2 1 3 1
4 1 6 1

Câu 144: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Trong không gian Oxyz, cho điểm
M 1;0;3 thuộc:
A. Mặt phẳng (Oxy). B. Trục Oy. C. Mặt phẳng (Oyz). D. Mặt phẳng (Oxz).
Đáp án D
Phương pháp: O xy : z 0, Oyz : x 0, O xz : y 0. Trục
Cách giải: M 1;0;3
O xz
x 0
Oy : y
t
z 0
Câu 145: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
d đi qua M 2;0; 1
và có VTCP là
u 2; 3;1
. Phương trình chính tắc của đường thẳng d là:
A. x 2 y z
1
2 3 1
C. x 2
y 3
z 1
2 3 1
Đáp án A
Phương pháp:
B. x 2
y 3
z 1
2 3 1
D. x 2
y 3
z 1
2 1 1
Đường thẳng đi qua M x 0; y
0;z0
và có VTCP là u a;b;c
x x y y z z
a b c
Cách giải:
0 0 0
Đường thẳng d đi qua M 2;0; 1
và có VTCP là u 2; 3;1
tắc: x 2 y z
1
2 3 1
có phương trình chính tắc:
có phương trình chính
Câu 146: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Trong không gian Oxyz, cho tam giác
ABC với A1;0;2 ,B1;2; 1 ,C 3;1;2 . Mặt phẳng P
đi qua trọng tâm của tam
giác ABC và vuông góc với đường thẳng AB là:
A. P : x y z 3 0
B. P : 2x 2y 3z 3 0
C. P : 2x 2y 3z 1 0
D. P : 2x 2y 3z 3 0

Đáp án B
Phương pháp: - Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ được tính:
- Phương trình mặt phẳng đi qua M x 0; y
0;z0
và có 1 VTPT
n a;b;c : a x x b y y c z z 0
0 0 0
Cách giải: Trọng tâm G của tam giác ABC: G
1;1;1
(P) vuông góc với AB => (P) nhận AB2;2; 3
là một VTPT
x
y
z
G
G
G
x x x
3
y y y
3
zA zB zC
3
A B C
A B C
Phương trình mặt phẳng P : 2x 1 2y 1 3z 1
0 2x 2y 3z 3 0
Câu 147: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Trong không gian Oxyz, cho hai đường
x 1 y z 2
thẳng d
1
:
2 1 1
x 1 y 1 z 3
và d
2
: . Đường vuông góc chung của d
1
1 7 1
và d2
lần lượt cắt d
1
, d2
tại A và B. Diện tích tam giác OAB bằng
A.
6
4
Đáp án B
B.
6
2
C. 6 D.
Phương pháp: Công thức tính diện tích tam giác ΔABC trong hệ tọa độ Oxyz là:
S
ABC
1
AB;AC
2
x 1 y z 2
Cách giải: d
1
: có phương trình tham số :
2 1 1
u 2; 1;1
1
x 1 y 1 z 3
d
2
: có phương trình tham số :
1 7 1
x 1
t
2
y 1 7t
2
,
z 3 t
2
Gọi A1 2t ; t ; 2 t , B1 t ;1 7t ;3 t
A d
1, B d2
1 1 1 2 2 2
3
2
x 1
2t1
y t
1
, có 1 VTCP
z 2 t1
có 1 VTCP u 1;7; 1
2

AB t 2t 2;7t t 1; t t 5
2 1 2 1 2 1
AB là đường vuông góc chung của
d ,d
1 2
AB.u
1
0
AB.u
2
0
2 t
2
t1 2 1 7t
2
t1 1 1 t 2
t1 5 0 6t 2
6t1
0
t1 t
2
0
1 t 51t
2
2t1 2 7 7t
2
t1 1 1 t 2
t1
5 0 2
6t1
0
A 1;0; 2 ,B 1;1;3 OA 1;0; 2 ,OB 1;1;3
Diện tích tam giác OAB: S OA;OB
2; 1;1
OAB
1 1 6
2 2 2
Câu 148: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
x 2 y 1 z 1
d :
1 2 2
và hai điểm A3;2;1 ,B2;0;4 . Gọi là đường thẳng qua A,
vuông góc với d sao cho khoảng cách từ B đến là nhỏ nhất. Gọi u 2;b;c
VTCP của . Khi đó , u bằng
A. 17 B. 5 C. 6 D. 3
Đáp án B
AB 1; 2;3
Cách giải:
x 2 y 1 z 1
d :
1 2 2
có 1 VTCP v1; 2;2
là một VTCP của
là một
là đường thẳng qua A, vuông góc với d mặt phẳng qua A và vuông góc d
Phương trình mặt phẳng :1x 3 2y 2 2z 1
0 x 2y 2z 1 0
Khi đó, d B; d B;
min
*) Tìm tọa độ điểm H:
khi và chỉ khi đi qua hình chiếu H của B lên
Đường thẳng BH đi qua
x 2 t
y
2t
z
4 2t
B 2;0;4 và có VTCP là VTPT của
có phương trình:

H BH H 2 t; 2t;4 2t
H 2 t 2 2t 2 4 2t 1 0 9t 9 0 t 1
H 1;2;2
HA 2;0; 1 u 2;b;c u 5
đi qua A3;2;1 ,H1;2;2 có VTCP
Câu 149: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
2 2 2
S : x y z 6x 4y 2z 5 0. Phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt
(S) theo giao tuyến là một đường tròn bán kính bằng 2 là
A. Q : 2y z 0 B. Q : 2x z 0 C. Q : y 2z 0 D.
Đáp án D
Phương pháp:
Trong đó,
2 2 2
d r R
d: khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (P),
r: bán kính đường tròn là giao tuyến của mặt cầu (S)
và mặt phẳng (P),
R: bán kính hình cầu.
2 2 2
2 2 2
Cách giải:
S : x y z 6x 4y 2z 5 0 x 3 y 2 z 1 9
S
có tâm
Q
cắt
I 3; 2;1 , bán kính R 3
S theo giao tuyến là một đường tròn bán kính r 2
2 2 2 2 2 2
Ta có: d r R d 2 3 d 5
n a;b;c , n 0 là một VTPT củaQ .
Khi đó n vuông góc
Gọi
với VTCP u 1;0;0
của Ox
1.a 0.b 0.c 0 a 0
Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua O0;0;0 và có VTPT
n 0;b;c , n 0 là:
0. x 0 by 0 cz 0
0 by cz 0
Khoảng cách từ tâm I đến (Q):
Q : 2y z 0

. 2 c.1
2 2 2 2 2
2
d 5 2b c 5b c b 4ac 4c 0 b 2c
0 b 2c
2 2
b c
c 1 b 2 n 0;2; 1
Cho
. Phương trình mặt phẳng Q : 2y z 0
Câu 150: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Cho ba tia Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc
với nhau. Gọi C là điểm cố định trên Oz, đặt OC 1,
các điểm A, B thay đổi trên Ox, Oy
sao cho OA OB OC. Giá trị bé nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là
A.
6
3
Đáp án C
B. 6 C.
Phương pháp: Sử dụng phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.
Cách giải: Đặt Ax;0;0 ,B0; y;0 , x, y 0
Vì OA OB OC 1 x y 1
Gọi J, F lần lượt là trung điểm AB, OC. Kẻ đường thẳng
qua F song song OJ, đường thẳng qua J song song OC, 2
đường thẳng này cắt nhau tại G.
OAB vuông tại O => J là tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác.
GJ / /OC GJ OAB GO GA GB
GF / /JO, JO OC GF OC, mà F là trung điểm của OC
=>GF là đường trung trực của OC GC GO
GO GA GB GC G là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC
6
4
D.
6
2
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC :
Ta có:
2
2 2 1 2
R OG FJ O F OJ OJ
2
2 2
x y 1
2
2
2 2
AB x y 2 2 2 1 2 3 3 6
min
OJ R R
2 2 2 2 2 2
4
8 8 4

Câu 151: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang )Trong không gian Oxyz, cho mặt
phẳng P : x 2y 3z 1 0. Mặt phẳng P có một vectơ pháp tuyến là
n 2;1;3
n 1;3; 2
n 1; 2;1
n 1; 2;3
A.
Đáp án D
B.
C.
D.
Câu 152: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang )Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho ba điểm M 3;0;0 , N0;-2;0 và P0;0;2 . Mặt phẳng MNP có phương trình là
Đáp án D
A. x y z 1
3 2 2
B. x y z 0
3 2 2
C. x y z 1
3 2 2
D. x y z 1
3 2 2
Câu 153: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho
2 2 2
mặt cầu S : x 5 y 1 z 2 16. Tính bán kính của S)
A. 4 B. 6 C. 7 D. 5
Đáp án A
Câu 154: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho điểm M 3; 1; 2
và mặt phẳng P : 3x y 2z 4 0. Phương trình nào dưới đây là
phương trình mặt phẳng đi qua M và song song với P?
A. Q : 3x y 2z 6 0 B. Q : 3x y 2z 6 0
C. Q : 3x y 2z 6 0
D. Q : 3x y 2z 14 0
Đáp án C
Q : 3x 3 y 1 2z 2 0 Q : 3x y 2z 6 0
Câu 155: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Trong không gian Oxyz, tìm tất cả các
2 2 2
giá trị của m để phương trình x y z 4x 2y 2z m 0 là phương trình của một mặt
cầu.
A. m 6
B. m 6
C. m 6
D. m 6
Đáp án B
Điều kiện 2 2 1 2 1 2 m m 6
Câu 156: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Trong không gian Oxyz, cho điểm
A1; 2;4 .
Hình chiếu vuông góc của A trên trục Oy là điểm
A. P0;0;4 B. Q1;0;0
C. N0; 2;0
D. M 0; 2;4
Đáp án C
Câu 157: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu có tâm I1;2; 1
và tiếp xúc với mặt
phẳng P : x 2y 2z 8 0
2 2 2
2 2 2
A. x 1 y 2 z 1 9
B. x 1 y 2 z 1 9

2 2 2
C. x 1 y 2 z 1 3
D.
Đáp án B
Khoảng cách từ tâm I
mpP
là
2 2 2
x 1 y 2 z 1 3
1.1 2.2 2. 1 8
d I, P
3
2
2 2
1 2 2
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là
2 2 2
x 1 y 2 z 1 9
Câu 158: (Chuyên Đại Học Vinh-2018)Trong không gian Oxyz, đường thẳng
x 3 y 2 z 4
d :
cắt mặt phẳng Oxy
tại điểm có tọa độ là:
1 1 2
A. 3;2;0 B. 3; 2;0
C. 1;0;0
D. 1;0;0
Đáp án D
Phương pháp:
+) Gọi M là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (Oxy). Khi đó tọa độ điểm M
thỏa mãn phương trình đường thẳng d và mặt phẳng (Oxy).
+) Phương trình mặt phẳng O xy : z 0
Cách giải:
Gọi M x 0; y
0;z 0 là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng
0
x 3 y 2 4
1 1 2
x 1
y0
0
0 0
0
M d M 1;0;0
O xy z 0
Câu 159: (Chuyên Đại Học Vinh-2018)Trong không gian Oxyz, điểm M 3;4; 2
thuộc
mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau?
A. R : x y 7 0 B. S : x y z 5 0 C. Q : x 1 0
D.
P : z 2 0
Đáp án A
Phương pháp:
Điểm M x 0; y
0;z 0 thuộc mặt phẳng 0 0 0
Cách giải:
: a x by cz d 0 ax by cz d 0
Thay tọa độ điểm M vào các phương trình của các mặt phẳng ta thấy tọa độ điểm M chỉ thỏa
mãn phương trình mặt phẳng (R)
Câu 160: (Chuyên Đại Học Vinh-2018) Trong không gian Oxyz, cho a 3;2;1
và điểm

A 4;6; 3 . Tìm tọa độ điểm B thỏa mãn AB a .
A. 7;4; 4
B. 1;8; 2
C. 7; 4;4
D. 1; 8;2
Đáp án B
Phương pháp:
x
x
a x ; y ;z b x ; y ;z y y
z
z
Hai vectơ
Cách giải:
1 2
1 1 1 2 2 2 1 2
1 2
Gọi điểm Bx 0; y
0;z0
là điểm cần tìm. Khi đó: AB x 4; y 6;z 3
x0 4 3 x0
1
AB a y0 6 2 y0
8 B1;8; 2
z0 3 1
z0
2
0 0 0
Câu 161: (Chuyên Đại Học Vinh-2018)Trong không gian Oxyz, mặt phẳng
x 5 y z 6
cắt trục Oz và đường thẳng d : lần lượt tại A và
1 2 1
P : 2x 6y z 3 0
B. Phương trình mặt cầu đường kính AB là:
2 2 2
A. x 2 y 1 z 5
36 B.
2 2 2
x 2 y 1 z 5 9
2 2 2
C. x 2 y 1 z 5
9
D.
Đáp án B
Phương pháp:
+) Điểm A thuộc Oz A0;0;0
2 2 2
x 2 y 1 z 5 36
+) Điểm B là giao điểm của đường thẳng d và (P) thì tọa độ điểm B thỏa mãn phương
trình của d và (P).
+) Phương trình mặt cầu tâm Ia;b;c
và bán kính R có phương trình là:
2 2 2 2
x a y b z c R
Cách giải:

x 0
z
t
Phương trình trục Oz : y 0. A Oz A0;0; t
Có P Oz A 2.0 6.0 t 3 0 t 3 A0;0;3
x 5 t '
d : y 2t ' .B d B5 t ';2t ';6 t '
z 6 t '
Có P d B 25 t ' 6.2t ' 6 t ' 3 0 t ' 1 B4; 2;7
Gọi I là trung điểm của AB I2; 1;5
AB
AB 4; 2;4 AB 36 6 IA R 3
2
Có
Vậy đường tròn đường kính AB là:
2 2 2
x 2 y 1 z 5 9
Câu 162: (Chuyên Đại Học Vinh-2018) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
A1;3; 2 ;B3;7; 18
và mặt phẳng P : 2x y z 1 0. Điểm M a;b;c thuộc
P
sao cho mặt phẳng (ABM) vuông góc với
S a b c
A. 0 B. 1 C. 10 D. 13
Đáp án B
Phương pháp:
(P) và
2 2
MA MB 246. . Tính
Từ các giả thiết đã cho, lập hệ 3 phương trình ba ẩn a, b, c. Giải hệ phương trình tìm a, b,
c và tính tổng S.
Cách giải:
M P 2a b c 1 0
AB 2;4; 16 ;AM a 1;b 3;c 2
AB;AM
16b 4c 40; 16a 2c 12; 4a 2b 2
n 2; 1;1
P
2 16b 4c 40 16a 2c 12 4a 2b 2 0
Ta có 12a 30b 6c 66 2a 5b c 11

2 2
MA MB 246
2 2 2 2 2 2
a 1 b 3 c 2 a 3 b 7 c 18 246
2 2 2
a b c 4a 10b 20c 75 0
Khi đó ta có hệ phương trình
2a b c 1 1
2a 5b c 11 2
2 2 2
a b C 4a 10b 20c 75 0 3
1 ; 2
b 2 2a 2 c 1 2a c 1 c 1
2a
Thay vào (3) ta có
2
2 2 2
a 4 1 2a 4a 10.2 20 1 2a 75 0 5a 40a 80 0 a 8a 16 0
a 4 c 7
Vậy S a b c 4 2 7 1
Câu 163: (Chuyên Đại Học Vinh-2018)Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có
A2;3;3 phương trình đường trung tuyến kẻ từ B là x 3
y 3
z 2 , phương trình
1 2 1
đường phân giác trong của góc C là x 2
y 4
z 2 . Đường thẳng AB có vecto chỉ
2 1 1
phương là :
u 2;1; 2
A.
3
Đáp án C
Phương pháp:
B. u 1; 1;0
+) Tam giác ABC có trung tuyến BM và phân giác CD.
2
C. u 0;1; 1
4
D. u1
1;2;1
+) Tham số hóa tọa độ điểm M là trung điểm của AC, tìm tọa độ điểm C theo tọa độ điểm
M.
+) CCD
Tọa độ điểm C.
+) Tìm tọa độ điểm N đối xứng với M qua CD N BC Phương trình đường thẳng
BC.
+) Tìm tọa độ điểm B BM BC , khi đó mọi vector cùng phương với AB đều là VTCP
của AB.
Cách giải:

Tam giác ABC có trung tuyến BM và phân giác CD.
Gọi M 30t;3 2t;2 t BM là trung điểm của AC ta có
2 2t 1 4t 1
2t 2 2t 2 4t
t 0
2 1 1 2 2t 2 4t
M 3;3;1 ;C 4;3;1
C 4 2t;3 4t;1 2t CD
Gọi H là hình chiếu của M trên CD ta có H2 2t;4 t;2 t MH 1 2t;1 t; t
1 7 3
MH uCD
21 2t
1 t t 0 6t 3 t H 3; ;
2 2 2
Gọi N là điểm đối xứng với M qua CD H là trung điểm của MN
N 3;4;1 CN 1;1;0
Do CD là phân giác của góc C nên N BC , do đó phương trình đường thẳng CB là
x 4 t '
y 3 t '
z 1
Ta có B BM CB . Xét hệ phương trình
3 t 4 t '
t 1
3 2t 3 t ' B 2;5;1 AB 0;2; 2 2 0;1; 1
t ' 2
2 t 1
u 0;1; 1
là 1 VTCP của AB
Vậy
4
Câu 164: (Chuyên Đại Học Vinh-2018)Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
x 2 y 1 z 2
d :
4 4 3
song song vớ i
E 2;1; 2 ,
vector chỉ phương u m;n;1 .
và mặt phẳng P : 2x y 2z 1 0. Đường thẳng đ i qua
P đồng thời tạo với d góc bé nhất. Biết rằng có một
Tính
T m n
2 2
A. T 5
B. T 4
C. T 3
D. T 4
Đáp án D
Phương pháp:
) / / P u
n
P

+) Sử dụng công thức cos ;d cosu d;u
+) Để góc giữa và d là nhỏ nhất thì cosu d;u
u d.u
u d . u
max
Cách giải :
Ta có : nP 2; 1;2
/ / P u
n P 2m n 2 0 n 2m 2
Do
Ta có
4m 4n 3 4m 4 2m 2 3 4m 5
cos ;d cosu d;u
41. m 2m 2 1
Để góc giữa và d là nhỏ nhất thì cosu d;u
2 2 2
2 2
41. m n 1 41. 5m 8m 5
max
2
4m 5
2 16m 40m 25
f m max g m f m
max
2
2
5m 8m 5
5m 8m 5
Có
2 2
32m 405m 8m 5
2
16m 40m 25
m 0
10m 8
72m 90m
g ' x
0
2
2
2
2
5
5m 8m 5 5m 8m 5
m
4
Lập BBT ta thấy max g m
5 m 0 n 2
Vậy
2 2
T m n 4
Câu 165: (Chuyên Đại Học Vinh-2018) Trong không gian Oxyz, cho các điểm A, B, C
(không trùng O) lần lượt thay đổi trên các trục Ox, Oy, Oz và luôn thỏa mãn điều kiện : tỉ
số giữa diện tích của tam giác ABC và thể tích khối OABC bằng 3 .
2
(ABC) luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định, bán kính của mặt cầu đó bằng :
A. 3 B. 2 C. 4 D. 1
Đáp án B
Phương pháp:
Chứng minh khoảng cách từ O đến (ABC) không đổi.
Biết rằng mặt phẳng

Cách giải:
Kẻ OH ABH AB ;OK CHK CH
ta có
AB OH
AB OHC AB OK
AB
OC
OK
AB
OK ABC
OK
CH
Ta sẽ chứng minh OK không đổi, khi đó mặt phẳng (ABC) luôn tiếp xúc với mặt cầu tâm
O bán kính OK.
Gọi Aa;0;0 ;B0;b;0 ;C0;0;c ta có:
V
ABC
1
abc
6
1
AB a;b;0 ;AC a;0;c
AB;AC
bc;ac;ab SABC
2
a b b c c a
1 a
2 b
2 2 2 2 2
b c c a
SABC
3
2
V 1
OABC
abc
2
6
2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1
a b b c c a abc a b b c c a a b c
2 2 2
2 4 a b c 4
2 2 2 2 2 2
Xét tam giác vuông OCK có
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
OK 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
OK OC OH OC OA OB x y z 4
Vậy mặt phẳng (ABC) luôn tiếp xúc với mặt cầu tâm O bán kính 2
Câu 166: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
đường thẳng x 3 y z 2
d : và điểm M 2; 1;0 .
Gọi (S) là mặt cầu có tâm I thuộc đường
1 1 1
thẳng d và tiếp xúc với mp (Oxy) tại điểm M. Hỏi có bao nhiêu mặt cầu thỏa mãn ?
A. 2. B. 1. C. 0. D. Vô số.
Đáp án B.
Phương pháp giải: Gọi tọa độ điểm, tính khoảng cách và tìm tọa độ tâm thông qua bán
kính
Lời giải: Ta có
x 3
t
d : y t .
x 2 t
I d T t 3; t; t 2 MI t 1; t 1; t 2 .
Vì
2 2 2 2
IM t 1 t 1 t 2 3t 6

Phương trình mặt phẳng (Oxy): z 0.
Khoảng cách từ tâm I mp Oxy
là d I; Oxy
t 2 .
Theo bài ra, ta có
2 2 2
R IM d I;Oxy 3t 6 t 2 3t 6 t 4t 4 t 1.
Vậy có duy nhất 1 mặt cầu thỏa mãn bài toán.
Câu 167: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
2 2 2
S : x 1 y 2 z 2
9
và mặt phẳng P : 2x y 2z 1 0. Biết (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có
bán kính r. Tính r.
A. r 3. B. r 2 2. C. r 3. D. r 2.
Đáp án B.
2 2
Phương pháp giải: Công thức tính bán kính đường tròn giao tuyến là r R d I; P
Lời giải:
2 2 2
Xét mặt cầu S : x 1 y 2 z 2 9 có tâm I1;2;2 , bán kính R 3.
2.11.2 2.2 1
Khoảng cách từ tâm I mp P
là d I; P
1.
2 2
2 1 2
Vậy bán kính đường tròn giao tuyến là
2
2 2
r R d I; P 2 2.
Câu 168: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
M 1;0;4 và đường thẳng d có phương trình là x y 1 z
1 . Tìm hình chiếu vuông góc
H của M lên đường thẳng d.
A. H1;0;1 . B.
Đáp án D.
H 2;3;0 .
1 1 2
C. H0;1; 1 .
D.
H 2; 1;3 .
Phương pháp giải: Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm và vuông góc với đường
thẳng. Khi đó, tọa độ giao điểm của
d và (P) chính là tọa độ hình chiếu.
d : u 1; 1;2 .
Lời giải: VTCP của đường thẳng
Ta có:
x
t
d : y 1 t .
x 1 2t
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, vuông góc với d là :
x 1 y 0 2z 4
0 x y 2z 9 0.
Vì H d Ht;1 t;2t 1
mà
Vậy H2; 1;3 .
d
d P H t 1 t 2 2t 1 9 0 t 2.
Câu 169: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt
2 2
cầu
2
S : x 1 y 1 z 4 và một điểm M 2;3;1 . Từ M kẻ được vô số các tiếp tuyến tới
(S), biết tập hợp các tiếp điểm là đường tròn (C). Tính bán kính r của đường tròn (C).
A. 2 3
r .
B. r 3 .
3
C. r 2 .
3
D. r
3 .
3
2
Đáp án A.

Phương pháp giải: Dựng hình, xác định tập hợp tiếp điểm
2 2
Lời giải: Xét mặt cầu
2
S : x 1 y 1 z 4 có tâm I1;1;0 , bán kính
R 2.
IM 1;2; 1 IM 6. Gọi A,B là các tiếp điểm.
Ta có
E là tâm đường tròn (C), với bán kính r EA (Hình vẽ bên).
Tam giác MAI vuông tại A, có 2
2 2 2
MA MI IA 6 2 2.
Suy ra MA.IA 2 3
EA
.
Vậy bán kính của (C) là 2 3 .
2 2
MA IA 3
3
Câu 170: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt
phẳng P : 2x 2y z 0 và đường thẳng x 1 y z
d : . Gọi là một đường thẳng chứa
1 2 1
u a;1;b một vectơ chỉ phương của . Tính tổng
trong (P) cắt và vuông góc với d. Vectơ
S a b.
A. S 1. B. S 0. C. S 2. D. S 4.
Đáp án C.
Phương pháp giải: Áp dụng ứng dụng của tích có hướng trong không gian
Lời giải:
Vì P u
nP
và d u
nd
suy ra u u P;ud
0;3;6 30;1;2 .
a 0
Vậy u a;1;b 0;1;2 S a b 2.
b 2
Câu 171: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
2 2 2
S : x 1 y 2 z 2
9
và hai điểm M 4; 4;2 ,
N6;0;6 . Gọi E là điểm thuộc mặt cầu (S) sao cho EM EN đạt giá
trị lớn nhất. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) tại E.
A. x 2y 2z 8 0.
B. 2x y 2z 9 0.
C. 2x 2y z 1 0.
D. 2x 2y z 9 0.
Đáp án D.
Phương pháp giải: Dựng hình, áp dụng công thức trung tuyến để biện luận giá trị lớn nhất
Lời giải:
2 2 2
Xét mặt cầu (S): x 1 y 2 z 2 9 có tâm I1;2;2 , bán kính R 3.
Ta có MI NI 3 5 3 R M, N nằm bên ngoài khối cầu (S).
Gọi H là trung điểm của MN H5; 2;4
và
2
Lại có 2
2 2
2 2
2 MN
EM EN 1 1 EM EN 2
EH .
4
2 2 2
2 EM EN MN
EH .
2 4
Để EM EN EH
max
max
Khi và chỉ khi E là giao điểm của IH và mặt cầu (S).
P
Gọi (P) là mặt phẳng tiếp diện của (S) tại E
n a.EI b.IH b 4; 4;2 .

Dựa vào các đáp án ta thấy ở đáp án D,
1
n 2; 2;1 4; 4;2
2
P
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là 2x 2y z 9 0.
Câu 172: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt
2 2 2
cầu
S : x 3 y 1 z 2 8. Khi đó tâm I và bán kính R của mặt cầu là
A. I3; 1; 2 , R 4
B.
C. I3;1;2 ,R 2 2 D.
I 3;1;2 , R 4
I 3; 1; 2 ,R 2 2
Câu 173: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba
A 1;2; 1 , B 3;4; 2 ,C 0;1; 1 . Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ABC là
n 1; 1;1
n 1;1; 1
n 1;1;0
n 1;1; 1
điểm
A.
B.
C.
Đáp án C
Phương pháp giải:
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chính là tọa độ vectơ tích có hướng
Lời giải:
Ta có AB 2;2; 1 ; AC 1; 1;0
suy ra AB;AC
1;1;0
D.
Câu 174: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
A( 2;1; 3) . Điểm A đối xứng với A qua mặt phẳng Oyz có tọa độ là
A. A ' 2;1;3 B. A ' 2; 1; 3
C. A ' 2;1; 3
D. A ' 2;1; 3
Đáp án D
Phương pháp giải:
Xác định tọa độ hình chiếu trên mặt phẳng và lấy trung điểm ra tọa độ điểm đối xứng
Lời giải:
Hình chiếu của A( 2;1; 3)
trên mặt phẳng Oyz là H( 0;1; 3)
Mà H là trung điểm của AA suy ra tọa độ điểm A ' 2;1; 3
Câu 175: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt
x 1 y 1 z 2
phẳng : x y z 2 0 và đường thẳng d : . Phương trình nào
2 1 1
dưới đây là phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng
.
A. x y z 2 0
B. 2x 3y z 7 0
C. x y 2z 4 0
D. 2x 3y z 7 0
Đáp án B
Phương pháp giải:
Ứng dụng của tích có hướng để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Phương trình mặt
phẳng đi qua 0 0
n a;b;c : a x x b y y c z z 0
M x ; y và có VTPT
0 0 0

Lời giải: Có n 1;1; 1 ;n 2;1;1
Vì
d
d P
ud
nP
n u ;n 2; 3; 1
P
n n
P
Mà d đi qua M( 1; 1;2)
suy ra
P d
M P .
Vậy phương trình mặt phẳng P : 2x 3y z 7 0
Câu 176: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai
mặt phẳng P : 3x y z 5 0 và
và Q có phương trình là
Q : x 2y z 4 0. Khi đó, giao tuyến của P
x
t
x
t
x
3t
A. d : y 1 2t B. d : y 1 2t C. d : y 1 t D.
z 6 t
z 6 5t
z 6 t
x
t
d : y 1 2t
z 6 5t
Đáp án D
Phương pháp giải:
Ứng dụng tích có hướng để tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng giao tuyến và giải hệ
phương trình để tìm tọa độ giao điểm của hai mặt phẳng
n 3;1;1 , n 1; 2;1
Lời giải: Ta có:
P
Gọi d là giao tuyến của P và Q.
ud
nP
Ta có ud n ;n 1; 2;5
P Q
ud
n
Q
Xét hệ
3x y z 5 0
,
x 2y z 4 0
Q
y z 5 0 y 1
x 0
M 0; 1;6 d
2y z 4 0 z 6
chọn
x
t
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là d : y 1 2t
z 6 5t
Câu 177: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
I( 3;4; 2) . Lập phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oz.
2 2 2
A. S : x 3 y 4 z 2
25 B.
2 2 2
C.
2 2 2
S : x 3 y 4 z 2
5
S : x 3 y 4 z 2 20 D.
2 2 2
S : x 3 y 4 z 2 4

Đáp án A
Phương pháp giải:
Khoảng cách từ tâm đến trục Oz chính bằng bán kính R
Phương trình mặt cầu tâm
S : x a y b z c R
Lời giải:
2 2 2 2
I a, b,c và bán kính
x : 0
Phương trình trục Oz: y 0, uOz
0;1;1
z
t
Ta có OI 3;4; 2 OI;u
Oz
4; 3;0
OI;u
Oz 2 2
Khoảng cách từ tâm I Oz là d I;Oz
3 4 5 R
u
Vì S tiếp xúc với trục Oz Phương trình cần tìm là
2 2 2
S : x 3 y 4 z 2 25
Câu 178: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba
8 4 8
điểm M 2;2;1 , N ; ; , E 2;1; 1 .
Đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội
3 3 3
tiếp của tam giác OMN và vuông góc với mặt phẳng OMN. Khoảng cách từ điểm E đến
đường thẳng là
A. 2 17
3
Đáp án A
B. 3 17
5
Oz
C. 3 17
2
D. 5 17
3
Phương pháp giải:
Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN bằng tính chất đường phân giác
Lời giải:
Ta có OM;ON
=k 1; 2;2
Vectơ chỉ phương của OM 2;2;1
OM 3

8 4 8
ON ; ; ON 4
3 3 3
Kẻ phân giác OF F
MN
ta có:
OM MF 3 3 12 12
MF FN F 0; ;
ON NF 4 4 7 7
OMN I OF OI kOF, với k 0
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp
Tam giác OMN vuông tại O, có bán kính đường tròn nội tiếp r=1 IO 2.
15 3 12 2 12
Mà ME= ;OM=3;cosOMN= OF suy ra OF OI I0;1;1
7 5 7
7
x 1 y 3 z 1
Phương trình đường thẳng là
: , có u 1; 2;2 ,
đi qua
1 2 2
I 0;1;1
Khoảng cách từ E đến đường thẳng là
d
EI;u
2 17
u 3
Câu 179: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba
điểm A1;2;1 , B3; 1;1 , C1; 1;1 .
Gọi S
1
là mặt cầu tâm A, bán kính bằng 2; S
2
và
S
3
là hai mặt cầu có tâm lần lượt là B, C và bán kính đều bằng 1. Trong các mặt phẳng
tiếp xúc với cả 3 mặt cầu S 1, S 2 , S 3 có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với mặt
phẳng Oyz?
A. 3 B. 1 C. 4 D. 2
Đáp án A
Phương pháp giải:
Xét vị trí tương đối của mặt phẳng, gọi phương trình tổng quát của mặt phẳng và tính
toán dựa vào điều kiện tiếp xúc
Lời giải:
Gọi phương trình mặt phẳng cần tìm là P : ax+by cz d 0
Vì
suy ra
và mp P vuông góc với mp Oyz
d B; P d C; P 1
Mà BC ( 4 ;0;0)
Với
Và
mp P / / BC hoặc đi qua trung điểm của BC.
mp P / /BC
2b c d
d A; P 2
b c
mp P / /BC a 0 P : by cz d 0 suy ra
2 2
4b c d
b c d 2b c d 2 b c d
d B; P 1
c d 0
2 2
2 2
b c b c d b c
b c d b c
2 2

2 2 2
3 b b c
8b c c 2 2b
suy ra có ba mặt phẳng thỏa mãn
2 2
b b c
c 0 d 0
Câu 180: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai
mặt phẳng Q 1
: 3x y 4z 2 0 và Q 2 : 3x y 4z 8 0. Phương trình mặt phẳng
(P) song song và cách đều hai mặt phẳng Q và Q là:
A. P : 3x y 4z 10 0
C. P : 3x y 4z 10 0
Đáp án B
Phương pháp
1
B.
D.
2
P : 3x y 4z 5 0
P : 3x y 4z 5 0
Phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai mặt phẳng
phẳng song song và nằm chính giữa
Cách giải
1
Q và
Q 2
1
Q và Q
Phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai mặt phẳng Q 1
và Q2
là mặt
phẳng song song và nằm chính giữa Q 1
và Q 2
2 8
Ta có 5 P : 3x y 4z 5 0
2
Câu 181: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5) Một quả cầu (S) có tâm I( 1; 2;1)
và tiếp xúc
với mặt phẳng P : x 2y 2z 2 0 có phương trình là:
2 2 2
A. S : x 1 y 2 z 1
3 B.
2 2 2
C. S : x 1 y 2 z 1
9 D.
Đáp án D
Phương pháp
+) (S) tiếp xúc với (P) nên
d I; P =R
2 2 2
2
là mặt
S : x 1 y 2 z 1 3
2 2 2
S : x 1 y 2 z 1 9
+) Phương trình mặt cầu tâm Ia;b;c , bán kính R là
2 2 2 2
S : x a y b z c R
Cách giải
Ta có
1 2.2 2.1
2
d I; P
= 3 R
1
4 4
2 2 2
Vậy phương trình mặt cầu là:
S : x 1 y 2 z 1 9
Câu 182: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5)Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho
điểm M( 1;2;5). Số mặt phẳng đi qua M và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho

OA OB OC (A, B, C không trùng với gốc tọa độ O) là:
A. 8 B. 3 C. 4 D. 1
Đáp án C
Phương pháp
+) Gọi Aa;0;0 ;B0;b;0 ;C0;0;c a,b,c 0 ,
viết phương trình mặt phẳng (P) đi
qua A, B, C dạng đoạn chắn.
phẳng (P).
+)
M
P
a b c
a b c
OA OB OC a b c
a b c
a b c
+) Ứng với mỗi trường hợp tìm các ẩn a, b, c tương ứng
Cách giải
Thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt
Gọi Aa;0;0 ;B0;b;0 ;C0;0;c a, b,c 0 ,
khi đó phương trình mặt phẳng đi qua A,
x y z
B, C là P : 1
a b c
1 2 5
M P
1 *
a b c
a b c
a b c
Ta có OA OB OC a b c
a b c
a b c
1 2 5 8
TH1: a b c, thay vào (*) có 1 1 a 8 P : x y z 8 0
a a a a
TH2: a b c, thay vào (*) có
1 2 5 2
1 1 a 2 P : x y z 2 0
a a a a
1 2 5 4
TH3: a b c, thay vào (*) có 1 1 a 4 P : x y z 4 0
a a a a
TH4: a b c, thay vào (*) có
1 2 5 6
1 1 a 6 P : x y z 6 0
a a a a
Vậy có 4 mặt phẳng thỏa mãn.
Câu 183:( Chuyên Thái Bình- Lần 5): Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho
A 2;0;0 ;B 0;3;1 ;C 1;4;2 . Độ dài đường cao đỉnh A của tam giác ABC
ba điểm

A. 6 B. 2 C.
Đáp án B
Phương pháp
Đường thẳng d có VTCP u và đi qua điểm M d A;
d
Cách giải
AB 2;3;1 ;BC 1;1;1 ; AB;BC
2;1;1
AB;BC
4 11
d A;d
2
BC 111
Ta cps
3
2
AM;
u
u
D. 3
Câu 184: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho
2 2 2
mặt cầu S : x y z 2x 4y 6z m 3 0. Tìm số thực m để
: 2x y 2z 8 0 cắt S theo một đường tròn có chu vi bằng 8
A. m 3
B. m 4
C. m 1
D. m 2
Đáp án A
Phương pháp
Giả sử mặt phẳng cắt mặt cầu S theo đường tròn có bán kính r
Mặt cầu S có tâm I, bán kính R và
Cách giải
d I;
d ta có
Mặt phẳng cắt mặt cầu S theo đường tròn có bán kính
Mặt cầu S có tâm I( 1;2 ;3),
bán kính R 17 m
2 2 2
R r d
8
r 4
2
2 2 6 8
Ta có d I;
2 d
4 1
4
2 2 2 2 2
Áp dụng định lí Pytago ta có R r d 2 4 20 17 m 20 m 3
Câu 185: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
A 1;4;5 ; B 3;4;0 ; C 2; 1;0
P : 3x 3y 2z 12 0. M a;b;c
và mặt phẳng
Gọi
2 2 2
thuộc (P) sao cho MA MB 3MC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng a b c
A. 3 B. 2 C. 2
D. 3
Đáp án A
Phương pháp
+) Gọi I là điểm thỏa mãn hệ thức IA+IB+3IC 0, tìm tọa độ điểm I.

+) Chứng minh
2 2 2
MA MB 3MC nhỏ nhất MI nhỏ nhất.
+) MI nhỏ nhất M là hình chiếu của I trên (P)
Cách giải
Gọi Ix; y;z là điểm thỏa mãn IA+IB+3IC 0 ta có hệ phương trình:
x 1 x 3 3 x 2 0 x 2
y 4 y 4 3 y 1 0 y 1 I 2;1;1
z 5 z 3z 0
z 1
Ta có:
2 2 2
P MA MB 3MC
P MI +2MI.IA+IA +MI +2MI.IB+IB +3MI 6MI.IC 3IC
2 2 2 2
P 5MI + IA +IB +3IC +2MI. IA IB 3IC
MI IA + MI IB +3MI IC
2 2 2
2 2 2 2 2 2
const
0
Pmin
MI min
Khi đó M là hình chiếu của I trên (P)
Gọi d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P)
x 2 y 1 z 1
d : M 3t 2; 3t 1; 2t 1
3 3 2
1 7 1
M P 33t 2 33t 1 22t 1
12 0 t M ; ;0
a b c 3
2 2 2
Câu 186: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5)Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai
A 3;0;1 ;B 1; 1;3
P : x 2y 2z 5 0. Viết phương trình
điểm và mặt phẳng
chính tắc của đường thẳng d đi qua A, song song với mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách
từ B đến d nhỏ nhất.
x 3 y z 1
x 3 y z 1
A. d : B. d :
26 11 2
26 11 2
x 3 y z 1
x 3 y z 1
C. d : D. d :
26 11 2
26 11 2
Đáp án C
Phương pháp
Gọi H là hình chiếu của B trên mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với (P). Khi đó
d B;d d B; Q d B;d d B; Q H d
Cách giải
min

Dễ thấy A,B
P
Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua A và song song với (P) ta tìm được phương trình mặt phẳng
Q : P : x 2y 2z 5 0, d Q
khi đó
Gọi H là hình chiếu của B trên (Q) ta có
d B;d d B; Q d B;d d B; Q H d
min
Phương trình đường thẳng d’ đi qua B và vuông góc với (Q) là
x 1 y 1 z 3
Ht 1; 2t 1;2t 3
1 2 2
10 1 11 7
H Q t 1 22t 1 22t 3
1 0 t H ; ;
9 9 9 9
26 11 2 1
AH ; ; 26; 11;2
9 9 9 9
x 3 y z 1
Vậy phương trình đường thẳng d cần tìm là d :
26 11 2
Câu187: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho điểm M 1;1;2
và mặt phẳng P : 2x y 3z
1 0 . Đường thẳng đi qua điểm M
và vuông góc với mặt phẳng P có phương trình:
1 1 2
A.
x y z
.
B.
x 2 y 1 z 3
.
2 1 3
1 1 2
x 2 y 1 z 3
C. .
D.
x 1 y 1 z 2
.
1 1 2
2 1 3
Đáp án D
u n 2; 1;3
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là
d
p

Mà đường thẳng d qua M 1;1;2
nên phương trình
x 1 y 1 z 2
d : .
2 1 3
Câu 188: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3)Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
1;1;0 N 3;3;4 . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN có phương trình:
M và
A. x 2y
3z
1 0
B. 2x y 3z
13 0
C. 2x y 3z
30 0 D. 2x y 3z
13 0
Đáp án B
Gọi I là trung điểm của MN I 1;2;3
. Ta có nP
MN 4;2;6
Phương trình mặt phẳng P qua I 1;2;3 P
: 2x y 3z
13 0.
Câu 189: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3)Trong không gian Oxyz cho điểm
x
2 t
A 1;1;6 và đường thẳng : y
1
2t
. Hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường
z
2t
thẳng là:
1;3; 2 11; 17;18 . 3; 1;2 K 2;1;0
Đáp án C
A. N B. H C. M D.
Kẻ AP P t 2;1 2 t;2t AP t 3; 2 t;2t
6
Ta
có
u 1; 2;2 , AP AP. u 0 t 3 4t 2 2t 6 0 t 1 P 3; 1;2
Câu 190: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
x 1 y 1 z 2
cho điểm A1;2; 1
, đường thẳng d : và mặt phẳng
2 1 1
P thỏa mãn đường thẳng AB vuông
P : x y 2z
1 0
. Điểm B thuộc mặt phẳng
góc và cắt đường thẳng d. Tọa độ điểm B là
3; 2; 1
3;8; 3
A. B. C. 0;3; 2
D. 6; 7;0
Đáp án C
HD: Gọi H 1 2 t; 1 t;2
t d là hình chiếu của A trên d
AH 2 t; 3 t;3
t , giải AH. u 0 4t t 3 t 3 0 t 1
Ta có:
Suy ra H 3;0;1
, phương trình đường thẳng AH là
Do đó B AH P
suy ra 0;3; 2
d
B . Chọn C.
x 1 y 2 z 1
1 1 1
Câu 191: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3) Trong không gian Oxyz., cho mặt cầu
S x y z
2 2 2
: 1 2 1 6 tiếp xúc với hai mặt phẳng

P : x y 2z 5 0, Q : 2x y z 5 0 lần lượt tại các điểm A, B. Độ dài đoạn
thẳng AB là
A. 3 2. B. 3. C. 2 6. D. 2 3.
Đáp án A
HD: Phương trình đường thẳng IA và IB lần lượt là:
x 1 y 2 1 1 2 1
;
y z
1 1 2 2 1 1
A IA P 0;1; 3 ; B IB P 3;1;0 AB 3 2 . Chọn A.
Khi đó
Câu 192: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
x 1 y 1
z m
cho đường thẳng d : và mặt cầu
1 1 2
S : x 1 2 y 1 2 z 2 2
9
S tại hai
. Tìm m để đường thẳng d cắt mặt cầu
điểm phân biệt E, F sao cho độ dài đoạn thẳng EF lớn nhất.
1 1
A. m 1. B. m 0. C. m . D. m .
3 3
Đáp án B
IM
0;
u
d
HD: Ta có: EFm
ax
d I;
d (trong đó M
min
0 (1; -1; m))
ud
min
2 2
IM 2
0; u
d m 2 m 2
4 2m
12
Ta có: d I;
d
min
u
11
4 6
Suy ra dmin 2 R 3 khi m = 0. Chọn B.
d
Câu 193: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
x 1 t x 2t
cho hai đường thẳng y 2 t , d
: y 1
t
. Đường thẳng cắt d,
d lần lượt tại các
z t
z 2 t
điểm A, B thỏa mãn độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng là
x 1 y 2 z
x 4 y z 2
A. .
B. .
2 1 3
2 1 3
x y 3 z 1 C. . D.
x 2 y 1 z 1 .
2 1 3
2 1 3
Đáp án D
HD: Để AB nhỏ nhất AB là đoạn vuông góc chung của d, d .
Gọi A d A1 a;2 a;
a và
2 ;1 ;2 2 1; 1; 2
B d B b b b AB b a a b b a .
Vì

2 1 1 2 0
1
. 0
a
AB d AB u b a a b b a
3 2 2 0
d a b
1.
AB d
AB. u 0 22 1
1 2 0
d
b a a b b a 2a 6b 1 0 b
2
Vậy
3 5 1 3 1 x 2 y 1 z1
A2;1;1 , B1; ; AB 1; ; 2; 1; 3 AB : .
2 2 2 2 2 2 1 3
Câu 194: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng : x 2y 3z
1 0 là:
u 3; 2;1 . n 1; 2;3 . m 1;2; 3 . v 1; 2; 3 .
A.
Đáp án B
B.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là n 1; 2;3
C.
D.
Câu 195: (Chuyên Hạ Long – Lần 3) Trong không gian Oxyz , véc tơ nào dưới đây
vuông góc với cả hai véc tơ u 1;0;2 , v4;0; 1
?
w 0; 1;0
w 1;7; 1
Đáp án C
A. w 0;7;1
. B. w 1;7;1
. C. . D.
Câu 196: (Chuyên Hạ Long – Lần 3) Trong không gian Oxyz , phương trình nào dưới
đây không phải là phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A4;2;0 , B 2;3;1
?
2 3 1
A.
y z
.
2 1 1
B.
x
1
2t
C. y
4 t . z
2 t
D.
Đáp án C
x y 4 z 2
.
2 1 1
x
4 2t
y
2 t .
z
t
Câu 197: (Chuyên Hạ Long – Lần 3)Trong không gian Oxyz , cho 2 véc tơ
2
u 1; a;2 , v 3;9;
b cùng phương. Tính a b .
A. 15 . B. 3. C. 0 .D. Không tính được.
Đáp án B
Câu 198: (Chuyên Hạ Long – Lần 3) Trong không gian Oxyz , xác định tọa độ hình
chiếu vuông góc của điểm 2;3;1
5
A. 2; ;3
2
Đáp án C
. B.
M trên mặt phẳng : x 2y z 0
5;4;3 . C. 5 ;2;
3
2 2
.
1;3;5 .
. D.

Câu 199: (Chuyên Hạ Long – Lần 3)Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng
P : 5x my 4z n 0 đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng : 3x 7 y z 3 0
: x 9y 2z
5 0 . Tính m n .
A. 6 . B. 16 . C. 3 . D. 4 .
Đáp án B
Chùm mặt phẳng:
: 3x 7y z 3 0
Xét:
: x 9y 2z
5 0
1 18
Chọn y 0 A ;0;
7 7
31 9
Chọn z 0 B ; ;0
10 10
m
5
Mà A, B P
m n 16
.
m
11
Câu 200:(Chuyên Hạ Long – Lần 3) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu
2 2 2 và các điểm A 2;0; 2 2 , B 4; 4;0
và
S : x 1 y 2 z 4
. Biết rằng tập
2
hợp các điểm M thuộc S và thỏa mãn MA MO. MB 16
là một đường tròn. Tính
bán kính đường tròn đó.
A. 3 2
4 . B. 3 2 . C. 3 7
4 . D. 5 2 .
Đáp án C
Bài giao hai mặt cầu:
Gọi M x, y,
z theo bài:
MA
2
MO. MB 16
2
2 2 2
x 2 y z 2 2 x x 4 y y 4 z 16

2 2 2
x y z 4x 2y 2 2z 2 0 S '
Giao tuyến của S và S ' là nghiệm của hệ phương trình:
2 2 2
S : x y z 2x 4y 1 0, I 1; 2;0
2 2 2
S ' : x y z 4x 2y 2 2z
2 0
2x 2y 2 2z 1 0P
1
d I P IH
4
Ta có: ;
2 2 2 1 3 7
r IM IH R
.
S
16 4
Câu 48: (Chuyên Hạ Long – Lần 3) Trong không gian Oxyz cho mặt cầu
S : x 1 2 y 2 2 z 3
2
27 . Gọi
A0;0; 4 , B 2;0;0
và cắt
đỉnh là tâm của S , đáy là
là mặt phẳng đi qua hai điểm
S theo giao tuyến là đường tròn C sao cho khối nón có
C có thể tích lớn nhất. Biết mặt phẳng có phương
trình dạng ax by z c 0 , khi đó a b c bằng:
A. 4
B. 8 . C. 0 . D. 2 .
Đáp án C
2 2 2
A0;0; 4 , B 2;0;0 ;
: ax by z c 0
S : x 1 y 2 z 3 27 I 1; 2;3 ; R 3 3
a
2
Ta có: A, B
: 2x by z 4 0
c
4
2 2
Ta có: V 1 . 27 r . r
noùn
3
Xét: T 27 r 2 . r 2 T 2 27 r 2 .
r
4
2 2
2 2
3
2 r r
AM GM 4. 27 r r
r
4. 27 . . 4
2 2 27
2
2 r
Dấu ‘=’ xảy ra: 27 r r 3 2
2
2
h 27 r 3
h d I; 3 b 2
Ta có:
a
2
Vậy b
2 .
c
4
Câu 201: (Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,

2 2 2
cho mặt cầu S : x 1 y 3 z 2
9.
A. I1;3;2 ,R 9 B. I1; 3; 2 , R 9 C. I1;3;2 , R 3 D.
Đáp án C
Tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu (S) là
I 1;3;2 , R 3
Tọa độ tâm và bán kính mặt cầu (S): I1;3;2 , R 3
Câu 202: (Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,
A 3; 2;1
P : x y 2z 5 0. Đường thẳng nào sau đây đi qua A và
cho điểm và mặt phẳng
song song với mặt phẳng (P)?
A. x 3 y 2 z
1
B. x 3
y 2
z 1
1 1 2
4 2 1
C. x 3 y 2 z
1
D. x 3
y 2
z 1
1 1 2
4 2 1
Đáp án D
Nhận thấy đường thẳng: x 3
y 2
z 1
đi qua A và song song với (P)
4 2 1
Câu 203: (Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,
P : 2x y 2z 5 0. Khoảng cách từ điểm M đến mặt
cho điểm M(1;0;1) và mặt phẳng
phẳng (P) là
A. 9 2
2
Đáp án D
Áp dụng công thức khoảng cách:
B. 3 2 C. 3 D. 3
d M; P 3
Câu 204: (Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3)Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,
mặt phẳng nào sau đây chứa trục Ox?
A. 2y z 0 B. x 2y 0 C. x 2y z 0 D. x 2z 0
Đáp án A
chứa trục Ox a d 0
2 2 2
Mặt phẳng ax by cz d 0a b c 0
Câu 205: (Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,
cho điểm A1;2;3 . Gọi A1A2A 3
lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các mặt phẳng
Oyz , Ozx , Oxy . Phương trình của mặt phẳng A A A là
1 2 3
A. x y z 0 B. x y z 1
C. x y z 1
D. x y z 1
1 2 3
3 6 9
1 2 3
2 4 6
Đáp án D
Tọa độ các điểm A1;0;3 , A 1;2;0
x y z
1
2 4 6
A 0;2;3 , A A A : 6x 3y 2z 12 0
1 3
1 2 3

Câu 206: (Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,
x 2 y 5 z 2 x 2 y 1 z 2
cho hai đường thẳng d :
,d ':
và hai điểm
1 2 1 1 2 1
A a;0;0 ,A' 0;0;b . Gọi (P) là mặt phẳng chứa d và d; H là giao điểm của đường thẳng AA
và mặt phẳng (P). Một đường thẳng thay đổi trên (P) nhưng luôn đi qua H đồng thời cắt d và
d lần lượt tại B, B. Hai đường thẳng AB, A 'B' cắt nhau tại điểm M. Biết điểm M luôn thuộc
u 15; 10; 1
(tham khảo hình vẽ). Tính
một đường thẳng cố định có véc tơ chỉ phương
T a b
A. T 8
B. T 9
C. T 9
D. T 6
Đáp án D
Ta có d đi qua N( 2;5;2), chỉ phương ud
( 1;2;1 ),
d ' đi qua N '( 2;1;2), chỉ phương
u ( 1 ; 2; 1)
.
d'
Gọi (R) là mặt phẳng chứa A và d, gọi (Q) là mặt phẳng chứa A và d
Từ giả thiết ta nhận thấy điểm M nằm trong các mặt phẳng (R), (Q) nên đường thẳng cố
định chứa M chính là giao tuyến của các mặt phẳng
(R), (Q).
Vậy (R) đi qua N 2;5
u 1;2;1 , u 15; 10;
1
( ;2), có cặp chỉ phương là
d
nP
1;2; 5 R : x 2y 5z 2 0. (R) đi qua Aa;0;0
a 2
Tương tự (Q) đi qua N '( 2;1;2), có cặp chỉ phương ud 1; 2;1 , u 15; 10; 1
n 3;4;5 R : 3x 4y 5z 20 0. (Q) đi qua A0;0;b b 4.
Q
Vậy
a b 6 .
Câu 207: (Chuyên Lương Thế Vinh- Đồng Nai)Trong không gian Oxyz , cho mặt
phẳng ( P ) có phương trình x z 1 0 . Một vecto pháp tuyến của ( P)
có tọa độ là
A. (1;1; 1). B. (1; 1;0). C. (1;0; 1). D. (1; 1; 1).
Đáp án C
Câu 208: (Chuyên Lương Thế Vinh- Đồng Nai) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
(S) có phương trình
2 2 2
x y z 2x 4y 6z11 0
Tọa độ tâm T của (S) là
A. T (1;2;3). B. T (2;4;6). C. T( 2; 4; 6). D. T( 1; 2; 3).
Đáp án A

Câu 209: (Chuyên Lương Thế Vinh- Đồng Nai) Trong không gian Oxyz, phương trình
mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
2 2 2
(S) : ( x 1) ( y 2) ( z 3) 81
tại điểm P( 5; 4;6) là
A. 7x
8y
67 0.
B. 4x 2y 9z 82 0.
C. x 4z 29 0.
D. 2x 2y z 24 0.
Đáp án D
Câu 210: (Chuyên Lương Thế Vinh- Đồng Nai) Trong không gian Oxyz, cho tam giác
ABC với A(8;9;2), B(3;5;1), C (11;10;4) . Số đo góc A của tam giác ABC là
0
A. 150 . B.
Đáp án A
0
60 . C.
0
120 . D.
0
30 .
Câu 211: (Chuyên Lương Thế Vinh- Đồng Nai) Trong không gian Oxyz, phương trình
mặt phẳng qua ba điểm A( 3;0;0), B(0; 2;0), C(0;0;1)
được viết dưới dạng
ax by 6z c 0 . Giá trị của T a b c là
A. 11.
B. 7.
C. 1.
D. 11.
Đáp án C
Phương trình mặt phẳng (ABC) là 2x 3y 6z
6 0 .
Câu 212: (Chuyên Lương Thế Vinh- Đồng Nai) Trong không gian Oxyz, phương trình
mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(1; 7; 8), B(2; 5; 9) sao cho khoảng cách từ điểm
M (7; 1; 2) đến (P) lớn nhất có một vecto pháp tuyến là n ( a; b;4)
. Giá trị của tổng a
+ b là
A. 2. B. 1.
C. 6. D. 3.
Đáp án D
Mặt phẳng cần tìm sẽ vuông góc với (ABM). Một vecto
pháp tuyến của nó là tích
có hướng của vecto pháp tuyến mặt phẳng (ABM) và AB.
Cũng có thể làm như sau: Khoảng cách lớn nhất là MH với H là hình chiếu vuông góc của M
lên đường thẳng AB. Ta tìm được H (3; 3; 10) .
Câu 213: (Chuyên Lương Thế Vinh- Đồng Nai) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
(S) có phương trình
2 2 2
x y z 2x 6y 8z
599 0
Biết rằng mặt phẳng ( ) :6x 2y 3z
49 0 cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C)
có tâm là điểm P( a; b; c ) và bán kính đường tròn (C) là r. Giá trị của tổng
S a b c r là
A. S 13. B. S 37.
C. S 11.
D. S 13.
Đáp án C
Tâm T ( 5; 1; 7) , bán kính r 24

Câu 214: (Chuyên Lương Thế Vinh- Đồng Nai) Trong không gian Oxyz, cho tam giác
OAB với O(0;0;0), A( 1;8;1), B(7; 8;5) . Phương trình đường cao OH của tam giác
OAB là
x
8t
x
6t
A. y 16 t, ( t ).
B. 4 , ( ).
y t t
z
4t
z
5t
x
5t
x
5t
C. y 4 t, ( t ).
D. 4 , ( ).
y t t
z
6t
z
6t
Đáp án D
Để ý rằng OH nằm trong mặt phẳng (OAB)
và OH vuông góc với AB, nên một vecto chỉ
phương của OH là tích có hướng của AB và vecto pháp tuyến của mặt phẳng (OAB).
Câu 215: (Chuyên Thái Bình - Lần 6)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai
A 1; 1;1 .B 3;3; 1 .
là trung trực của đoạn
điểm Lập phương trình mặt phẳng
thẳng AB
A. : x 2y z 2 0
B. : x 2y z 4 0
C. : x 2y z 3 0
D. : x 2y z 4 0
Đáp án B
1
AB 1;2; 1 là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực của AB. I(2;1;0) là trung
2
điểm của AB, khi đó phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là
x 2 2 y 1 z 0 x 2y z 4 0
Câu 216: (Chuyên Thái Bình - Lần 6) Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng
x 1 y 2 z
P : x y 2z 5 0 và đường thẳng : . Gọi A là giao điểm của và
2 1 3
P và M là điểm thuộc đường thẳng sao cho AM 84. Tính khoảng cách từ M đến mặt
phẳng P
A. 6 B. 14 C. 3 D. 5
Đáp án C
MH là khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P).
Đường thẳng có vectơ chỉ phương u ( 2; 1;3 ),
mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến
n 1;1; 2
Gọi H là hình chiếu của M trên P
Khi đó: cos HMA cosu;n
1.2 1.1
2.3 3
11
4. 4 1
9 84

MH 3
Tam giác MHA vuông tại H cos HMA MH MA.cos HMA 84. 3
MA 84
Câu 217: (Chuyên Thái Bình - Lần 6) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt
2 2 2
cầu
S : x 1 y 1 z 11 và hai đường thẳng
x 5 y 1 z 1 x 1 y z
d
1
: ; d
2
: . Viết phương trình tất cả các mặt phẳng
1 1 2 1 2 1
d , d
tiếp xúc với mặt cầu S đồng thời song song với hai đường thẳng
1 2
A. : 3x y z 15 0
B. : 3x y z 7 0
C. : 3x y z 7 0
D. : 3x y z 7 0 hoặc : 3x y z 15 0
Đáp án B
2 2 2
Mặt cầu S : x 1 y 1
z 11 có tâm I( 1; 1 ;0),
bán kính R 11.
Các đường thẳng d 1, d 2 có vectơ chỉ phương lần lượt là: u1 1;1;2 , u2
1;2;1
Mặt phẳng song song với d 1, d2
có vectơ pháp tuyến là: n
u 1, u
2
3; 1;
1
có dạng: : 3x y z d 0. Vì tiếp xúc với S nên: d I;
R
31
d
d 7
11 4 d 11 4 d 11
2 2 2
3 1 1
Nhận thấy điểm 1
phẳng này chứa d
1.
Vậy phương trình mặt phẳng
: 3x y z 7 0
d 15 : 3x y z 15 0
A 5; 11
d cũng thuộc vào mặt phẳng 3x y z 15 0 mặt
thỏa mãn yêu cầu bài toán là: : 3x y z 7 0
Câu 218: (Chuyên Thái Bình - Lần 6) Trong không gian Oxyz cho điểm M( 2;1;5). Mặt
phẳng P đi qua điểm M và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao
cho M là trực tâm của tam giác ABC. Tính khoảng cách từ điểm I(1;2;3) đến mặt phẳng
P
17 30
A.
30
Đáp án D
B.
13 30
30
C.
19 30
30
D.
11 30
30
Kiến thức: Chóp tam giác có 3 cạnh bên đôi một vuông góc với nhau thì hình chiếu của
đỉnh trên mặt đáy trùng với trực tâm của đáy.
Chóp O.ABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, M(2;1;5) là trực
tâm
ABC.

vậy P nhận OM ( 2;1;5 )
OM ABC P ,
làm một vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng P là: 2x 2 y 1 5z 5
0 2x y 5z 30 0
2 2 15 30 11 30
Vậy d I; P
4 1
25 30
Câu 219: (Chuyên Thái Bình - Lần 6) Trong hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng
: 2x y 3z 1 0. Véc tơ nào sau đây là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng
n 4;2; 6
n 2;1; 3
n 2;1;3
A.
Đáp án A
B.
C.
n 2; 1;3 .
Mặt phẳng : 2x y 3z 1 0 có một vectơ pháp tuyến là
1
Vậy vectơ n 4;2; 6
D. n 2;1;3
cùng phương với vectơ n 1
cũng là một vectơ pháp tuyến của
Câu 220: (Chuyên Thái Bình - Lần 6) Cho ba điểm M 0;2;0 , N0;0;1 ,A3;2;1 .
Lập phương trình mặt phẳng MNP , biết điểm P là hình chiếu vuông góc của điểm A lên
trục Ox
A. x y z 1 B. x y z 0 C. x y z 1 D. x y z 1
2 1 3
3 2 1
2 1 1
3 2 1
Đáp án D
Điểm P là hình chiếu vuông góc của A(3;2;1) trên Ox P( 3; 0;0 ).
Phương trình mặt phẳng MNP là: x y z 1
3 2 1
Câu 221: (Chuyên Thái Bình - Lần 6) Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có
A( 2;3;3), phương trình đường trung tuyến kẻ từ B là x 3
y 3
z 2 , phương trình
1 2 1
đường phân giác trong của góc C là x 2 y 4 z 2
. Biết rằng u m;n; 1
là
2 1 1
2 2
một véc tơ chỉ phương của đường thẳng AB. Tính giá trị của biểu thức T m n
A. T 1
B. T 5
C. T 2
D. T 10
Đáp án A
Gọi M là trung điểm của AC, E là chân đường phân giác trong góc C. Ta có:
x 2 2t
x 2 y 4 z 2
CE : y 4 t C2 2t;4 t;2 t .
Mà A( 2;3;3),
2 1 1
z 2 t

7 t 5 t
M 2 t; ; .
Vì M thuộc đường trung tuyến kẻ từ B có phương trình
2 2
x 3 y 3 z 2
1 2 1
7 t 5 t
3 2
2 t 3
; 2 ; 2 t 1
C4;3;1
1 2 1
Kẻ AH vuông góc với CE tại H, cắt BC tại D ACD cân
tại C vậy H là trung điểm của AD.
H CE H2 2m;4 m;2 m AH 2m;1 m; 1
m ,
vectơ chỉ phương của
CE là u1
2; 1; 1
AH.u 0 4m m 1 m 1 0 m 0 H2;4;2 D2;5;1 CD 2;2;0
x 4 2k
4 2k 3 3 2k 3 1
2
y 3 2k M CD BM k 1 D B2;5;1
1 2 1
z 1
AB 0;2; 2 .u m;n; 1
là một vectơ chỉ phương của AB AB
và u cùng
phương.
u 0;1; 1 m 0;n 1.
Vậy
2 2
T m n 1
Câu 222: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang )Trong không gian Oxyz, cho mặt
phẳng P : x 2y 3z 1 0. Mặt phẳng P có một vectơ pháp tuyến là
A. n 2;1;3
B. n 1;3; 2
C. n 1; 2;1
D. n 1; 2;3
Đáp án D
Câu 223: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang )Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho ba điểm và P 0;0;2 . Mặt phẳng MNP có phương trình là
M 3;0;0 , N0;-2;0
x y z
x y z
x y z
x y z
A. 1
B. 0 C. 1
D. 1
3 2 2
3 2 2
3 2 2
3 2 2
Đáp án D
Câu 224: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho
mặt cầu
2 2 2
S : x 5 y 1 z 2 16.
Tính bán kính của S)
A. 4 B. 6 C. 7 D. 5
Đáp án A
Câu 225: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Trong không
gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M 3; 1; 2
và mặt phẳng

P : 3x y 2z 4 0.
Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua M
và song song với P?
A. Q : 3x y 2z 6 0
B.
C. Q : 3x y 2z 6 0
D.
Đáp án C
Q : 3x 3 y 1 2z 2 0 Q : 3x y 2z 6 0
Q : 3x y 2z 6 0
Q : 3x y 2z 14 0
Câu 226: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Trong không gian Oxyz, tìm tất cả các
2 2 2
giá trị của m để phương trình x y z 4x 2y 2z m 0 là phương trình của một
mặt cầu.
A. m 6
B. m 6
C. m 6
D. m 6
Đáp án B
2 2 2
Điều kiện 2 1 1 m m 6
Câu 227: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Trong không gian Oxyz, cho điểm
A 1; 2;4 . Hình chiếu vuông góc của A trên trục Oy là điểm
P0;0;4
Q1;0;0
M 0; 2;4
A. B. C. N 0; 2;0 D.
Đáp án C
Câu 228: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu có tâm I 1;2; 1
và tiếp xúc với mặt
phẳng P : x 2y 2z 8 0
2 2 2
A. x 1 y 2 z 1
9
B.
2 2 2
C. x 1 y 2 z 1
3
D.
Đáp án B
2 2 2
x 1 y 2 z 1 9
2 2 2
x 1 y 2 z 1 3
Khoảng cách từ tâm I mpP
là
2
1 2 2
2 2 2
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là x 1 y 2 z 1
9
1.1 2.2 2. 1 8
d I, P 3
2 2