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1 - Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales

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EXAMEN MARÍTIMO<br />

Theórico Prádico,<br />

o<br />

TRATADO DE MECHANICA<br />

aplicado á la<br />

CONSTRUCCIÓN,<br />

CONOCIMIENTO Y MANEJO DE LOS NAVIOS<br />

y <strong>de</strong>más Embarcaciones.<br />

Por D.JORGE JUAN,<br />

Comendador <strong>de</strong> Aliaga en la Or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> San Juan, Xefe aj<br />

•Esauadra <strong>de</strong> la <strong>Real</strong> Armada, Capitán <strong>de</strong> la Compama <strong>de</strong><br />

Guardias Marinas , <strong>de</strong> la <strong>Real</strong> Sociedad <strong>de</strong> Londres*<br />

y <strong>de</strong> la <strong>Aca<strong>de</strong>mia</strong> <strong>Real</strong> <strong>de</strong> Berlín,<br />

TOMO PRIMERO.<br />

EN MADRID:<br />

En la Imprenta <strong>de</strong> D. FRANCISCO MANUEL ra .MINA «<br />

Calle <strong>de</strong> las Carretas.<br />

M.DCC.LXXI.<br />

Con permiso Superior.<br />

U<br />

*t


AL REY N. SEÑOR.<br />

SEÑOR.<br />

JL/A obligación con que nace un Vasallo<br />

es <strong>de</strong> producir quantas utilida<strong>de</strong>s<br />

<strong>de</strong>pendan <strong>de</strong> él en beneficio <strong>de</strong> su Rey<br />

y <strong>de</strong> su Patria. Las que sé comprehen<strong>de</strong>n<br />

en estos dos Tomos son las quepuedo<br />

ofrecer a los pies <strong>de</strong> V. M.: y<br />

sera mi mayor gloria saber , si, comp<br />

las juzgo tales, logran la dicha <strong>de</strong> serlo.<br />

N.Señor guar<strong>de</strong> la importante vida<br />

<strong>de</strong> V. M. los muchos años que necesita<br />

la Monarquía.<br />

SEÑOR.<br />

A los Pies <strong>de</strong> V.M.<br />

r su mas humil<strong>de</strong> y fiel Vasallo<br />

Jorge Juan.<br />

ra


mi <strong>de</strong>scendunt mare in navwus: fací entes operationem<br />

in aquis multis. _*• f i •<br />

fpsi vi<strong>de</strong>runt opera Domini, W mirabilia ejus<br />

" in profunda. Ps.ioó*.<br />

12<br />

ñzól ' i ÍJ2<br />

gol .M .y<br />

.noív"<br />

PROLOGO.<br />

LA instrucción <strong>de</strong>l Marinero , si exceptuamos;<br />

los cortos principios en que se funda el Pilotage<br />

, se ha consi<strong>de</strong>rado, hasta muy poco tiempo<br />

ha, <strong>de</strong> pura prédica. La fábrica <strong>de</strong>l Navio , y<br />

otras Embarcaciones , y sus maniobras , que es el<br />

modo <strong>de</strong> manejarlas , ha estado siempre en manos;<br />

<strong>de</strong> unos casi meros Carpinteros , y <strong>de</strong> otros puramente<br />

Trabajadores ú Operarios : ninguna <strong>de</strong>peneia<br />

se creyó que tubiesen <strong>de</strong> la Mathemática , sin<br />

embargo <strong>de</strong> no ser el todo sino pura Mechánica:<br />

Ciencia, quizas, la mas difícil y mas intrincada <strong>de</strong>l<br />

mundo \ pero qué mucho *? En el Marinero ,. todo<br />

©cupado al riesgo, al trabajo y á la fatiga , no cabe<br />

quietud para estudio tan dilatado y prolixo $ y el<br />

estudioso , que requiere suma tranquilidad para la<br />

contemplación y no se acomoda al afán y fatiga extrema<br />

<strong>de</strong>l otro ,. únicas maestras que enseñan: con<br />

facilidad las resultas que por solo-theórica fuera casi<br />

imposible <strong>de</strong>scubrir. La dificultad <strong>de</strong> ..unir estas<br />

dos partes , en que consiste perfeccionar estudio tari<br />

manifiestamente útil, le tubo por consiguiente en<br />

tinieblas tantos siglos hace ; pero como en el presente<br />

han florecido con admiración las Mathemáticas,<br />

y se han introducido con beneficio singular en<br />

casi todas las <strong>Ciencias</strong> y Artes , era irregular que<br />

no hubiera logrado <strong>de</strong>l mismo la Marinería,. ó á lo<br />

menos , que no se diese principio á la necesaria.perfección<br />

para que con él se cultivase progresivamente;<br />

En el año <strong>de</strong> ióftj ya nos habia dado el P.Pardies<br />

H<br />

V<br />

su


VI<br />

su Tratado <strong>de</strong> Stática , ó Ciencia <strong>de</strong> las fuerzas<br />

movientes, y en él, por via <strong>de</strong> exemplo , una instancia<br />

ú <strong>de</strong>monstracion <strong>de</strong>l camino que <strong>de</strong>be seguir<br />

la Nave , impelida por un viento lateral. Era ya<br />

un índice que pudo haber servido <strong>de</strong> guía para dilatarse<br />

mas en materia tan abundante; pero sin embargo,<br />

no vimos esten<strong>de</strong>rla, hasta que el año 1689'<br />

nos dio el Cavallero Renau un tomo en oétavo intitulado,<br />

Déla Tbeorie <strong>de</strong> la Man¿euvre <strong>de</strong>sVaisseaux.<br />

Seguía este el primer paso <strong>de</strong>l P. Pardies : ambos<br />

convenían en que el camino directo que hace la Nave<br />

, disminuye <strong>de</strong> aquel que hiciera si por todas<br />

partes rompiera el agua con la misma facilidad , en<br />

la razón <strong>de</strong>l radio al seno <strong>de</strong>l ángulo que forma la<br />

Vela con la Quilla : y el lateral en la compuesta<br />

<strong>de</strong>l radio al coseno, y <strong>de</strong> la resistencia <strong>de</strong>l Costado<br />

á la <strong>de</strong> la Proa 5 pero por <strong>de</strong>sgracia el Cavallero<br />

convenia en que las resistencias eran como ios quadrados<strong>de</strong><br />

las velocida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> los fluidos, y como los<br />

quadrados <strong>de</strong> los senos con que inci<strong>de</strong>n sobre las<br />

superficies : principio que entonces , y hasta ahora,<br />

ha sido admitido casi sin la menor repugnancia <strong>de</strong><br />

los mas célebres Geómetras. Esto bastó para que él<br />

célebre Holandés Christiano Hugenio manifestase<br />

en la Bibliotheca universal é histórica ( año 1693 )<br />

las contradicciones en que habia incurrido el Cava"<br />

llero : hizole ver, que según sus principios, las velocida<strong>de</strong>s<br />

directas <strong>de</strong>l Navio <strong>de</strong>bían ser mucho mayores<br />

, y que el ángulo ventajoso que asignaba á<br />

las Velas para ganar á barlovento , no era el que<br />

legítimamente se <strong>de</strong>ducía. El Cavallero <strong>de</strong>fendía su<br />

opinión [Diario <strong>de</strong> los Sabios 1695) fundado en la<br />

m-<br />

VII<br />

innegable regla <strong>de</strong> la <strong>de</strong>scomposición <strong>de</strong> fuerzas $ á<br />

cuyos argumentos no satisfacía Hugenio : lo que<br />

produxo alternativamente varias réplicas <strong>de</strong> una y<br />

©tra parte, sin que jamas se llegase á la conclusión,<br />

ni al <strong>de</strong>sengaño <strong>de</strong> alguna <strong>de</strong> ellas. Cesó, sin embargo,<br />

la controversia, y quando , por este motivo,<br />

se creyó mas seguro el Cavallero, se vio un escrito<br />

en las Aftas <strong>de</strong> los Eruditos <strong>de</strong> Leipsic <strong>de</strong>l mes <strong>de</strong><br />

Julio <strong>de</strong> 1696, dado por Jacobo Bernoulli, Profesor<br />

<strong>de</strong> Mathemáticas en Groninguey en que, sin embargo<br />

<strong>de</strong> alguna modificación , admitía la opinión<br />

<strong>de</strong> Hugenio 5 pero apartándose <strong>de</strong> este en no consi<strong>de</strong>rar<br />

la velocidad <strong>de</strong>l viento como infinita, respecto<br />

á la <strong>de</strong>l Navio : error en que habían incurrido<br />

los otros dos 5 y por tanto las resultas se hacian en<br />

parte distintas. El Cavallero se conmovió á este segundo<br />

ataque , y le obligó á dar á luz un Libro intitulado<br />

Memoire ou est <strong>de</strong>monstré un principe <strong>de</strong> la<br />

Mecbanique <strong>de</strong>s liqueurs , dont on J' est serví dans la<br />

Tbeorie <strong>de</strong> la Manceuvre <strong>de</strong>s Vaisseaux , & que a<br />

esté conteste'par M.Hughens; pero se reduxo á sostener<br />

su proposición sobre la <strong>de</strong>scomposición <strong>de</strong>l<br />

movimiento , sin satisfacer al cargo que le hacia<br />

Hugenio. Juan Bernoulli , hermano <strong>de</strong> Jacobo , y<br />

también Profesor <strong>de</strong> Mathemáticas en Basiléa , se<br />

arrimó primero á la opinión <strong>de</strong>l Cavallero 5 pero estando<br />

<strong>de</strong>spués mejor informado, dio la razón á Hugenio<br />

, y al Público, en 1^14, un Libro intitulado,<br />

Essai d 1 une novelle tbeorie <strong>de</strong> la manceuvre <strong>de</strong>s Vaisseaux<br />

, que remitió primero á la censura <strong>de</strong> la <strong>Aca<strong>de</strong>mia</strong><br />

<strong>Real</strong> <strong>de</strong> las <strong>Ciencias</strong> <strong>de</strong> París. La mucha y<br />

sublime Geometría <strong>de</strong>l Autor hizo que estendiese<br />

H M<br />

sus


RHE ^UIU. m •<br />

vm<br />

sus cálculos á mucho mas <strong>de</strong> lo que hasta entonces<br />

se habia visto: la disputa entre el Cavallero y Hugenio<br />

quedó <strong>de</strong>cidida al dictamen general <strong>de</strong> losinteligentes<br />

5 porque no solo se <strong>de</strong>claró á favor <strong>de</strong><br />

las velocida<strong>de</strong>s que este habia hallado , sino que<br />

añadida por el Autor una curva que las terminaba,<br />

k hizo <strong>de</strong>cir , que elle <strong>de</strong>ci<strong>de</strong> par consequent la contraerse<br />

en sa faveur , contre la pretensión <strong>de</strong> M.<br />

Renau, Juan Bernoulli no quiso, sin embargo, limitar<br />

las velocida<strong>de</strong>s <strong>de</strong>l viento , como con muy fundada<br />

reflexión lo habia hecho su hermano: y por.<br />

tanto , aun con toda la <strong>de</strong>cisión no pudo <strong>de</strong>terminar<br />

las <strong>de</strong> las Naves con la misma justificación $<br />

atendió , no obstante , á la obliquidad con que eí<br />

viento hiere la Vela., lo que su hermano omitió; y<br />

examinando la equacion dada por Hugenio, para<br />

hallar el ángulo que <strong>de</strong>be formar el viento con aquella<br />

, dado el que forma la Vela con la Quilla, para<br />

ganar lo mas que fuere posible á barlovento , no<br />

solo concluye la misma fórmula , sino que trata como<br />

<strong>de</strong> misterio el haber omitido Hugenio sus cálculos.<br />

Prosiguió <strong>de</strong>spués buscando para lo mismo el<br />

ángulo que <strong>de</strong>be formar la Vela con la Quilla , dado<br />

el que forma la Vela con el viento : y hallado ,<br />

trata <strong>de</strong> <strong>de</strong>ducir el mas ventajoso <strong>de</strong> aquellos , con<br />

el mas ventajoso <strong>de</strong> estos $ pues como para cada<br />

ángulo <strong>de</strong> Quilla y Vela que se tome , hay uno <strong>de</strong><br />

Vela y viento ventajoso, se pue<strong>de</strong> buscar el caso<br />

en que ambos sean ventajosos, y que darán el máximo<br />

andar. Resuelve con la misma <strong>de</strong>streza esta<br />

qüestion 5 pero asi esta , como todas las <strong>de</strong>más, baxo<br />

el supuesto <strong>de</strong> que sea la velocidad <strong>de</strong>l viento<br />

»-<br />

IX<br />

infinita y nula la <strong>de</strong>riva : ambas suposiciones bien<br />

apartadas <strong>de</strong> lo que realmente suce<strong>de</strong> en la práctica.<br />

Los tres <strong>de</strong>duxeron sus cálculos supuesta la<br />

Nave un rectángulo , cuyos lados menores se consi<strong>de</strong>ren<br />

como la Proa y la Popa j pero Juan B¿rnoulli<br />

se estendió á suponerla formada <strong>de</strong> un rombo<br />

, romboy<strong>de</strong>, y <strong>de</strong> segmentos circulares : porque<br />

habiendo notado que todo el cálculo <strong>de</strong>pendía <strong>de</strong><br />

las resistencias supuestas , y estas <strong>de</strong> la figura o<br />

cuerpo <strong>de</strong> la Nave , le pareció necesaria esta atención,<br />

é hizo cargo á Huguenio <strong>de</strong> haber consentido<br />

en que sería cierta la <strong>de</strong>riva que asignó el Cavallero<br />

, quando las resistencias <strong>de</strong> los fluidos fueran<br />

como las simples velocida<strong>de</strong>s , y no como los quadrados.<br />

Se ocupó con esto á examinar las varias<br />

resistencias , particularmente <strong>de</strong> los segmentos circulares<br />

; y llamó exe <strong>de</strong> ellas á la línea que divi<strong>de</strong><br />

en dos partes iguales los exfuerzos <strong>de</strong> las aguas en<br />

toda la longitud <strong>de</strong> la Embarcación <strong>de</strong>s<strong>de</strong> Proa á<br />

Popa: lo que dio motivo para discurrir, que puesto<br />

el palo <strong>de</strong> la Embarcación en dicha línea , la fuerza<br />

<strong>de</strong> la Vela se opondría directamente á la <strong>de</strong> las<br />

aguas, y se lograría un perfecto govierno : i<strong>de</strong>a que<br />

pareció al Autor tan meritoria , como que por ella<br />

dixo , Je ní'etonne que ni M.Renau, ni M.Huguensy<br />

tí 1 ayent point songe a cette qüestion, q¡.i paroit pourtant<br />

assez essentielle a la tbeorie <strong>de</strong> la manauvre <strong>de</strong>s<br />

Vaisseaux. En efecto , esta y todas las <strong>de</strong>más <strong>de</strong>terminaciones<br />

que produxo , hubieran sido <strong>de</strong> la<br />

mayor utilidad , á haber acompañado alguna práctica<br />

á la mucha Geometría que poseía.<br />

Con Obra tan prolixa como perfectamente calcu-<br />

Tom.i. b \Z<br />

44


n r<br />

lada, pues, á mas <strong>de</strong> lo dicho, se estendia á examinar<br />

la curvidad <strong>de</strong> las Velas , sus fuerzas , y el<br />

exe don<strong>de</strong> estas pue<strong>de</strong>n suponerse reunidas , que<br />

llamó Línea <strong>de</strong> la fuerza motriz, parecía que ya <strong>de</strong>bían<br />

haberse concluido las controversias; pero con<br />

todo , el Cavallero Rcnau no quiso darse por vencido<br />

: replicó <strong>de</strong> nuevo , fundado en su <strong>de</strong>scomposición<br />

<strong>de</strong> fuerzas, y argüyó <strong>de</strong> modo, que, sin embargo<br />

<strong>de</strong> la sublime Geometría <strong>de</strong> Bernoulli , no<br />

pudo sati: facer este sino con <strong>de</strong>cir , que no era lo<br />

propio la <strong>de</strong>scomposición <strong>de</strong> movimientos , quando<br />

se hacían en los fluidos , que quando se hacían en<br />

el vacuo. Estos absurdos se siguen <strong>de</strong> principios<br />

ciegamente concevidos 5 pero en fin el Cavallero calló<br />

, mas por pru<strong>de</strong>ncia , ó por el respeto <strong>de</strong>bido á<br />

la autoridad <strong>de</strong> Bernoulli, que por quedar conven*<br />

cido.<br />

Mientras duraron estos <strong>de</strong>bates, Mr. Párente<br />

<strong>de</strong> la <strong>Real</strong> <strong>Aca<strong>de</strong>mia</strong> <strong>de</strong> las <strong>Ciencias</strong> <strong>de</strong> París i¡<br />

dio al Público (año 1713 ) su Obra intitulada ,<br />

Essais & recbercbes <strong>de</strong> Matbematiques & <strong>de</strong> Pbysique<br />

, don<strong>de</strong> (Tom.2. pag.^41.) se encuentra esta<br />

proposición , De la situación, route e? vitesse <strong>de</strong> une<br />

figure plañe quelconque tiree dans un fiui<strong>de</strong>. Los<br />

principios sobre que fundó su cálculo fueron los mismos<br />

que los que usó Jacobo Bernoulli ; pero con todo<br />

, por falta <strong>de</strong> aten<strong>de</strong>r á otros <strong>de</strong> Mechánica muy<br />

precisos , no logró las mismas resultas que este cérlebre<br />

Autor.<br />

Salió asimismo en el propio tiempo (año 1697)<br />

otra Obra en folio mas difusa , que dio el P. Pablo<br />

Hoste , Profesor <strong>de</strong> Mathemáticas en .el Seminario<br />

<strong>Real</strong><br />

H<br />

XI<br />

<strong>Real</strong> <strong>de</strong> Tolón, intitulada Tbeorie <strong>de</strong> la construcción<br />

<strong>de</strong>s Vaisseaux, que por seguir á otra que la prece<strong>de</strong><br />

y acompaña , intitulada Dart <strong>de</strong>s armées navales,<br />

célebremente admitida <strong>de</strong> la Marinería, es muy conocida<br />

<strong>de</strong> esta : y por tanto no podiamos <strong>de</strong>xar al<br />

silencio su mérito. El Padre se esfuerza en ella á<br />

persuadir que las resistencias <strong>de</strong> los fluidos sobre<br />

las superficies que chocan , no son sino como las<br />

simples velocida<strong>de</strong>s , y como los simples senos <strong>de</strong><br />

los ángulos <strong>de</strong> inci<strong>de</strong>ncia : y aunque este es el primer<br />

error que algunos Geómetras le reprehen<strong>de</strong>n ,<br />

ya se verá en el discurso <strong>de</strong> esta Obra , que no es<br />

tanto el perjuicio que <strong>de</strong> él se origina, como la falta<br />

<strong>de</strong> principios sólidos <strong>de</strong> Mechánica en que tropieza<br />

, ya en las resistencias, como en la theórica<br />

<strong>de</strong>l aguante <strong>de</strong> Vela <strong>de</strong>l Navio , cabezadas y <strong>de</strong>mas<br />

acciones <strong>de</strong> este : pudiéramos citar varios pasagés<br />

, pero fuera dilatarnos sin fruto , bastando lo<br />

dicho para que el Lector sepa el mérito que <strong>de</strong>be<br />

darle.<br />

Después <strong>de</strong> las citadas Obras no se vieron por<br />

algún tiempo sino algunas <strong>de</strong> mera práctica ; ninguna<br />

razón fundamental precedía sus reglas, y solo<br />

un pru<strong>de</strong>nte juicio , pero sin cultivo, era el que enmendaba<br />

ó corregía , cayendo muchas veces en errores<br />

mas perjudiciales. La sublime theórica <strong>de</strong>,los<br />

Bernoullis, poco ó nada adaptable á la práctica,,no<br />

produxo sino la Obra que el año 1731 dio á luz<br />

M.Pitot, <strong>de</strong> la <strong>Aca<strong>de</strong>mia</strong> <strong>Real</strong> <strong>de</strong> las <strong>Ciencias</strong> <strong>de</strong><br />

París , con el título La tbeorie da la manceuvre <strong>de</strong>s<br />

Vaisseaux reduite enpraüíque : en efecto , sujeto á<br />

las reglas dadas en aquella theórica, las repite, y<br />

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•<br />

l\\¡ '<br />

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m<br />

da tablas <strong>de</strong> los ángulos que <strong>de</strong>ben formar las Ve*<br />

las; pero, á mas <strong>de</strong> los tropiezos theóricos que en<br />

esta Obra se reconocerán , M. Pitot carecía entera*<br />

mente <strong>de</strong> práctica , k) que le hizo juzgar á arbitrio<br />

<strong>de</strong> las operaciones <strong>de</strong>l Mar y <strong>de</strong> los Marineros, atribuyéndoles<br />

hechos que jamas se han visto.<br />

Quatro años antes ya M. Bouguer , entonces<br />

Hydrógrapho en Havre <strong>de</strong> Gracia, nos habia dado<br />

un Escrito que mereció el premio <strong>de</strong> la <strong>Aca<strong>de</strong>mia</strong><br />

<strong>Real</strong> <strong>de</strong> París, año 1727, intitulado, De la matare<br />

<strong>de</strong>s Faisseaux. Esta Obra, en que florece muy particularmente<br />

la Geometría, concluye con reglas nada<br />

conformes con los <strong>de</strong>seos <strong>de</strong>l Autor , é imposibles<br />

<strong>de</strong> practicarse. Sus i<strong>de</strong>as fueron po<strong>de</strong>r aplicar<br />

á los Navios Velas sumamente mayores <strong>de</strong> las que<br />

llevan, á fin <strong>de</strong> aumentar su marcha , sin riesgo <strong>de</strong><br />

que pa<strong>de</strong>zcan gran<strong>de</strong>s inclinaciones;, pero, por <strong>de</strong>s-»<br />

gracia , este beneficio no se consigue sino en el único<br />

caso <strong>de</strong> ir á Popa: en lo <strong>de</strong>más y aun eí mismo<br />

Autor reconoce la imposibilidad, y por tanto quiere<br />

que se baxen y ensanchen las Velas <strong>de</strong> dos á dos<br />

y media veces la medida que hoy tienen. Por esta<br />

práctica, las Velas y las Vergas estubieran continuamente<br />

anegadas <strong>de</strong>baxo <strong>de</strong>l agua , puesto que<br />

aun en el estada que hoy se hallan, se ve alguna<br />

vez : y á mas <strong>de</strong> otros inconvenientes que se tocafían<br />

en el modo <strong>de</strong> sujetarlas y orientarlas , se verá<br />

en el discurso <strong>de</strong> esta Obra, que fuera casi, sino enteramente,<br />

imposible el que governase el Navio con<br />

semejante aparejo : consi<strong>de</strong>ración que no previno<br />

el Autor, sin embarga <strong>de</strong> su mucha ciencia y perspicacia<br />

; estos son unos hechos que se <strong>de</strong>scubren con<br />

aln<br />

xm<br />

alguna práctica , y que se dificultan sin ella.<br />

En la célebre Obra intitulada , A Treatise of<br />

fiuxions, que el año 1742 dio á luz el gran Geómetra<br />

Colín Mac Laurin , Profesor <strong>de</strong> Mathemáticas<br />

en la Universidad <strong>de</strong> Edimburgo , y Miembro<br />

<strong>de</strong> la <strong>Real</strong> Sociedad <strong>de</strong> Londres, se halla (Tom. 2.<br />

$.922.) resuelto también el problema sobre los ángulos<br />

que <strong>de</strong>ben formar las Velas con la Quilla y<br />

con el viento : la solución es como <strong>de</strong>l gran Maestro<br />

que la produxo : conviene con la dada por Juan<br />

Bernoulli 5, pero los principios en que se funda son ,<br />

que la velocidad <strong>de</strong>l viento es infinita , respecto á<br />

la <strong>de</strong>l Navio , y la <strong>de</strong>riva nula , asi como lo supuso<br />

este : sin ello, y sin los falsos supuestos <strong>de</strong> las resistencias<br />

, como se verá <strong>de</strong>spués, hubiéramos tenido<br />

la perfecta solución que sobre el asunto se <strong>de</strong>-»<br />

seaba.<br />

Todas estas Obras se reducen , sín embargo,<br />

á un limitado número <strong>de</strong> proposiciones sueltas: faltaba<br />

la recopilación <strong>de</strong> todas ellas , la corrección<br />

<strong>de</strong> las erradas , y la adiccion <strong>de</strong> muchas que aun<br />

no se habían ofrecido. Esta Obra quedó para M.<br />

Bouguer, el mismo que en el año 1727 nos dio la<br />

Mature <strong>de</strong>s Vaisseaux, pues en 1746 publicó su segunda<br />

Obra <strong>de</strong> Marina intitulada , Traite du Navire,<br />

<strong>de</strong> sa construcción & <strong>de</strong> ses mouvemens: su extensión<br />

, el particular como prolixo examen <strong>de</strong> la<br />

diversidad <strong>de</strong> asuntos que en ella se tratan, y el<br />

acierto <strong>de</strong> las soluciones geométricas , casi reducidas<br />

al alcance <strong>de</strong> los principiantes, le dieron el honor<br />

que merecía en toda la Europa : lo cierto es,<br />

•pie á haber concurrido en tan digno Autor la prác-<br />

T1CA


H<br />

XIV<br />

tica necesaria para <strong>de</strong>scubrir los errores que resul-i<br />

tan <strong>de</strong> los falsos supuestos theóricos , nada nos hubiera<br />

quedado que apetecer : su eficacia é incesante<br />

tarea era preciso que hubieran producido una<br />

Obra completa. No nos <strong>de</strong>tendremos en citar lo<br />

que en ella será siempre especial, ni lo que evi<strong>de</strong>ntemente<br />

se <strong>de</strong>muestra <strong>de</strong>fectuoso, porque en el discurso<br />

<strong>de</strong> esta Obra se citan los pasages mas notables,<br />

omitiendo , por no dilatarnos , ios <strong>de</strong> menor<br />

momento.<br />

Últimamente (año 1749) Leonardo Éulero, Director<br />

<strong>de</strong> la <strong>Real</strong> <strong>Aca<strong>de</strong>mia</strong> <strong>de</strong> Berlín, nos dio dos<br />

Tomos en quarto con el título <strong>de</strong> Scientia navalis<br />

seu trattatus <strong>de</strong> construendis ac dirigendis navibus.<br />

El especial or<strong>de</strong>n y sublime Geometría con que trata<br />

todos los asuntos tan gran Maestro, es digno <strong>de</strong><br />

admiración : hubiera sido un tesoro <strong>de</strong> la Ciencia,<br />

y par<strong>de</strong>ularmente <strong>de</strong> la Marina, si á semejante <strong>de</strong>streza<br />

hubiera acompañado la práctica que igualmente<br />

<strong>de</strong>seábamos en M. Bouguer , pero en fin sus<br />

soluciones sirven <strong>de</strong> guia para todo lo nuevo que<br />

se pueda proponer y ofrecer, que no es poco beneficio.<br />

Después <strong>de</strong> estas , se han visto algunas pequeñas<br />

Obras mas, ya <strong>de</strong> práctica, ya <strong>de</strong> theórica;<br />

pero po<strong>de</strong>mos asegurar , que lo que no se encuentra<br />

en estos dos célebres Autores , no es lo principal<br />

<strong>de</strong> lo que se ofrece en la theórica <strong>de</strong> la Marina.<br />

Estos han sido los documentos que nos han<br />

servido <strong>de</strong> Norte en lo científico <strong>de</strong> la Marinería:<br />

la práctica por otro lado no es menos maestra, particularmente<br />

si, <strong>de</strong>spués <strong>de</strong> bien examinada y <strong>de</strong>spejada<br />

<strong>de</strong> los acci<strong>de</strong>ntes que puedan hacerla variar,<br />

¿no<br />

XV<br />

no se conforma con la theórica. En este caso , no<br />

hay Científico que no crea, que algún supuesta falso<br />

precedió á esta : es preciso buscarle y corregirle,<br />

porque la práctica no es distinta <strong>de</strong> theórica:<br />

si no concuerdan , alguna <strong>de</strong> las dos está viciada.<br />

De este tenor se encuentran algunos casos <strong>de</strong> los<br />

mas principales <strong>de</strong>l estudio <strong>de</strong>l Marinero, sin etmbargo<br />

<strong>de</strong>l cuidado <strong>de</strong> los Maestros que lo cultivaron;<br />

no por falta <strong>de</strong> la ciencia, sino <strong>de</strong> la confron^<br />

tacion con la práctica. Una <strong>de</strong> las primeras, y aun<br />

mas importantes dudas que se me presentaron en<br />

mis combinaciones fue sobre el andar <strong>de</strong>l Navio.<br />

Según la theórica {a) no pue<strong>de</strong> tomar , aun suponiéndole<br />

<strong>de</strong> los mas veleros , mas velocidad que la<br />

— <strong>de</strong> la que tubiere el viento , y esto navegando<br />

con todo el velamen, y á Popa, ó viento largo, cuyos<br />

dos casos parecen indiferentes para el Autor<br />

(b). La velocidad <strong>de</strong>l viento es quando mas , según<br />

M. Mariote, ( Traite du mouvement <strong>de</strong>s eaux,<br />

part. 1. disc. 3.) <strong>de</strong> 24 pies por segundo , porque<br />

dice, c 1 est la vitesse ordinaire <strong>de</strong>s vents incommo<strong>de</strong>s,<br />

& contre les quels on apaine acaller , repitiendo<br />

lo mismo M. Clares, <strong>de</strong> la Sociedad <strong>Real</strong> <strong>de</strong><br />

Londres, en su Movimiento <strong>de</strong> los fluidos, pag. 261:<br />

y será precisamente el viento que pueda suportar<br />

con mucha dificultad todo el Velamen,segun las experiencias<br />

que yo mismo he practicado, por lasquales<br />

he quedado convencido <strong>de</strong> que , corriendo el<br />

viento <strong>de</strong> 18 á 20 pies, ya se venios Navios, yendo<br />

(a) M. Bouguer, Tratada <strong>de</strong>l Navio, Lib.3. seca. cap. 1.<br />

(A) Se verá que el Navio ancla mucho mas A viemo largo, que á Popa!<br />

y cito sirviendo el mismo velamen en ambos casos.


i<br />

á viento largo , precisados á ir recogiendo Velas<br />

por temor <strong>de</strong> no romper las Vergas ó los Masteleros.<br />

El mismo M.Mariotte repite en el propio Tratado<br />

(Prop. 2. disc. 3.) supposant que le ventfasse<br />

o.\pieds en une secon<strong>de</strong> , comme ilfait quand il est<br />

assez violent a Pordinaire, mais pourtant bien moins<br />

que dans les gran<strong>de</strong>s tempétes & ouragans. En los<br />

mas violentos <strong>de</strong> estos, dice M. Guillermo Derham,<br />

<strong>de</strong> la Sociedad <strong>Real</strong> <strong>de</strong> Londres, quien hizo repetidas<br />

experiencias (Trans. Phylos. n.313.), que no<br />

corre el viento sino 66 pies Ingleses por segundo, y<br />

quando mas <strong>de</strong> 70 á 90 : añadiendo , que algunos<br />

corren 22 , otros 44, otros mas, y que hay viento<br />

que no corre una milla por hora : lo que equivale<br />

á 1 í pies por segundo. Por mis propias experiencias<br />

, ya citadas, hallé , que las Brisas <strong>de</strong> Verano,<br />

que reynan casi diariamente en Cádiz, corren por lo<br />

general 12 pies por segundo, poco mas ó menos:<br />

lo que conviene muy bien con lo que dicen los citados<br />

Autores : y así, suponer que un Navio aguante<br />

todo su Velamen, corriendo el viento 24 pies por<br />

segundo , es quanto se pue<strong>de</strong> suponer; antes <strong>de</strong>be<br />

caber mucha duda en que pueda aguantar tanto.<br />

Esto supuesto , no pudiendo andar, según la theórica<br />

hasta ahora calculada, masque los ^-<strong>de</strong>l viento<br />

, correspon<strong>de</strong>rá en el caso propuesto , que an<strong>de</strong><br />

—- <strong>de</strong> 24, ó 7 - s ~ pies por segundo , que equivalen<br />

á 4 ] millas por hora : quan apartado esté esto<br />

<strong>de</strong> 9 5 I0 y XI millas que suele andar un Navio en<br />

semejantes casos, considérelo qualquiera Marinero<br />

que tenga práctica <strong>de</strong> ello. Tomemos al contrario<br />

el<br />

XVII<br />

el cálculo : supongamos que el Navio an<strong>de</strong> las 11<br />

millas , como efectivamente las anda , que correspon<strong>de</strong>n<br />

á la velocidad <strong>de</strong> ijr ¿ pies, y tendremos,<br />

que para esto el viento dcífíera correr — <strong>de</strong> ijr 'f<br />

pies , ó próximamente 58 pies Franceses, que equivalen<br />

á 62 Ingleses : <strong>de</strong> suerte que, para andar el<br />

Navio las 11 millas que sabemos que anda con todo<br />

Aparejo , casi necesita el uracan observado por<br />

Derham. Estas conseqüencias es suponiendo M<br />

Bouguer la <strong>de</strong>nsidad <strong>de</strong>l ayre — <strong>de</strong> la <strong>de</strong>l viento :<br />

tomándola <strong>de</strong> ^o, aña<strong>de</strong> que la velocidad <strong>de</strong>l Navio<br />

ya no será sino el — <strong>de</strong> la <strong>de</strong>l viento: <strong>de</strong>suer-<br />

te, que las 4 \ millas <strong>de</strong> su andar, ya no <strong>de</strong>ben ser<br />

sino 3 \, ó la velocidad <strong>de</strong>l viento , para que le haga<br />

andar las 11, <strong>de</strong> 77 j pies Ingleses, uracan bastante<br />

completo.<br />

Esta falta <strong>de</strong> correspon<strong>de</strong>ncia me pareció , á<br />

primera vista, que podría <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>r <strong>de</strong> algún error<br />

en el cálculo ; pero formadas nuevas fórmulas, como<br />

se verán en el Cap.i. <strong>de</strong>l Libr.4. Tom,2 <strong>de</strong> esta<br />

Obra , solo sirvieron para confirmarle : <strong>de</strong>duciéndose<br />

asimismo que á bolina solo pue<strong>de</strong> andar el<br />

Navio, con todo su aparejo, By« <strong>de</strong>l viento, y quí<br />

<strong>de</strong>biera correr este fjr} pies Ingleses por segundo<br />

para hacerle andar solo seis millas por hora , como<br />

andan muchos Navios : lo que con mas razón es<br />

imposible, á causa <strong>de</strong> no po<strong>de</strong>r , con mas motivo,<br />

suportar todo su aparejo con tan violento viento.<br />

Sin embargo <strong>de</strong> esto , aun nos faltaba otro examen<br />

que hacer, pues todas estas <strong>de</strong>terminaciones<br />

Tvm.i.. f pen-<br />

\~i h


I*<br />

•<br />

' "V.<br />

pendían <strong>de</strong> suponer que el Navio, andando 11 millas<br />

por hora con todo el aparejo, no fuese sino solo<br />

<strong>de</strong> la acción <strong>de</strong>l viento, que corriese 24 pies por<br />

segundo : cantidad asignada solo por la fe que dábamos<br />

alas observaciones <strong>de</strong> Maríotte y Derham.,<br />

Era preciso ver si esta velocidad no, sena quizas<br />

mavor , en cuyo caso nos acercaríamos mas á las.<br />

<strong>de</strong>terminaciones <strong>de</strong>l cálculo. La experiencia era solamente<br />

la que nos habia <strong>de</strong> sacar <strong>de</strong> esta duda:<br />

para que el Navio an<strong>de</strong> las n millas , es preciso,<br />

que tenga 17 ' pies <strong>de</strong> velocidad por segundo; y si<br />

el viento que -'producía este, efecto no fuese mas que<br />

<strong>de</strong> 24 pies <strong>de</strong> velocidad por segundo, la velocidad<br />

<strong>de</strong> aquel <strong>de</strong>bia ser próximamente los \ <strong>de</strong> la <strong>de</strong> este,,<br />

y no ', como <strong>de</strong>l cálculo se habia <strong>de</strong>ducido.. Para<br />

esto escogí un Bote ,. y mientras que navegando en<br />

él á viento largo se media su velocidad , se estaba<br />

midiendo en tierra la <strong>de</strong>l viento, por medio <strong>de</strong> soltar<br />

pequeñas plumas ligerísimas , y observando con<br />

una muestra <strong>de</strong> segundos el camino que andaban en<br />

«ntiempodado. Después <strong>de</strong> repetir esta experiencia,<br />

algunas veces, diré : que con admiración mía, no<br />

solo reconocí que no podían aumentarse los 24 pies,<br />

sino que <strong>de</strong>bían disminuirse <strong>de</strong> mucho:. el Bote, en<br />

substancia, se encontró que andaba muy poco menos<br />

que el viento : <strong>de</strong> suerte, que corriendo este <strong>de</strong><br />

10 á 1 r pies , sacó el Bote cerca <strong>de</strong> 10 : phencU<br />

rneno bien extmño y para los que creyeron , que la<br />

velocidad <strong>de</strong>l viento era casi infinita , respecto a la<br />

<strong>de</strong>l-Navio ; pero no por ello es menos verda<strong>de</strong>ro.<br />

Esta experiencia -se- pue<strong>de</strong>' repetir diariamente en<br />

qualquiera Puerto don<strong>de</strong> se dé Ja. comodidad <strong>de</strong><br />

pasar los Barcos á la Vela <strong>de</strong> un lado á otro, como<br />

suce<strong>de</strong> en la Bahía <strong>de</strong> Cádiz. De esta Ciudad á la<br />

<strong>de</strong>l Puerto <strong>de</strong> Santa Maria hay cinco millas , ó<br />

30400 pies Ingleses: los Barcos hacen este tránsito<br />

corriendo el viento largo ó fresco, ú <strong>de</strong> 12 pies<br />

por segundo , en | <strong>de</strong> hora, ó 2700 segundos: lo<br />

que , partiendo por ellos los 30400 pies , da 11 /f<br />

<strong>de</strong> velocidad al Barco» De aquí se ve claramente,<br />

que ya no correspon<strong>de</strong> conce<strong>de</strong>r mas <strong>de</strong> 24 pies <strong>de</strong><br />

velocidad ai viento para que an<strong>de</strong> el Navío 17'-,<br />

particularmente suponiendo á este muy velero.<br />

Ya tampoco hay con esto mas asilo : es preciso<br />

y evi<strong>de</strong>nte , que la theórica enseñada sea falsa , ó<br />

por mejor <strong>de</strong>cir , que lo sean los principios ó suposiciones<br />

sobre que se fundó.' Estos se reducían á<br />

sentar , qué la fuerza <strong>de</strong>l viento en las Velas , asi<br />

Como la <strong>de</strong> las aguas en el costado <strong>de</strong>l Navío , son<br />

como las áreas chocadas , como los quadrados <strong>de</strong><br />

las velocida<strong>de</strong>s y senos <strong>de</strong> inci<strong>de</strong>ncia con que las<br />

Chocan los fluidos , y como las <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> estos<br />

: á que podia añadirse haber supuesto las Velas<br />

planas no siéndolo, particularmente en caso <strong>de</strong> viento<br />

fresco. Esta ultima suposición , muy lexos <strong>de</strong><br />

perjudicar era favorable, puesto que con ella se daba<br />

mas fuerza á la Vela que la que efectivamente<br />

tiene 5 y por tanto <strong>de</strong>bia resultar mas velocidad al<br />

Navio, como se <strong>de</strong>seaba. Que la fuerza sea como<br />

las <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> los fluidos, es principio tan evi<strong>de</strong>nte<br />

, que no creo se le haya ofrecido á nadie ponerlo<br />

en duda : y lo mismo parece que <strong>de</strong>biera suce<strong>de</strong>r<br />

en quanto á seguir la razón <strong>de</strong> las áreas chocadas<br />

, como hasta ahora se ha creído. Todo el<br />

error<br />

f 2


•<br />

1<br />

•<br />

XX<br />

error <strong>de</strong>bia recaer, por consiguiente , sobre suponer<br />

que las fuerzas, ó lo que es lo mismo , las resistencias<br />

<strong>de</strong> los fluidos fuesen como los quadrados <strong>de</strong><br />

sus velocida<strong>de</strong>s, y senos <strong>de</strong> inci<strong>de</strong>ncia. Este principio<br />

estaba sin embargo recibido <strong>de</strong> los primeros<br />

Geómetras y Physicos <strong>de</strong> la Europa , ó generalmente<br />

<strong>de</strong> todas las <strong>Aca<strong>de</strong>mia</strong>s creadas en ella , y<br />

con tanta razón y aplauso celebradas: esta consi<strong>de</strong>ración<br />

<strong>de</strong>bia causar eí mayor respeto , y quizas una<br />

entera separación <strong>de</strong> mayores exámenes , á no vernos<br />

autorizados <strong>de</strong> los mismos Geómetras para dudar.<br />

El Cavallero Nenxiton es <strong>de</strong> los que mas esfuerzos<br />

hicieron para asegurarse <strong>de</strong> principio tan<br />

esencial, y para proce<strong>de</strong>r con acierto en la theórica<br />

<strong>de</strong> los proyectiles , <strong>de</strong>spués <strong>de</strong> muchos exámenes<br />

theóricos (Pbilosopbia naturalis lib; 2.) aunque,<br />

solo <strong>de</strong> pura meditación , y no <strong>de</strong> sólidas <strong>de</strong>monstraciones<br />

Geométricas, y <strong>de</strong> atenerse por ellas á<br />

que las resistencias habían <strong>de</strong> ser como los quadrados<br />

<strong>de</strong> las velocida<strong>de</strong>s , quiso, confirmarlo, por experiencias<br />

,. haciendo oscilar Péndulos <strong>de</strong> varias<br />

materias y magnitu<strong>de</strong>s en los fluidos, (a) La resulta<br />

<strong>de</strong> estas es tan apartada <strong>de</strong> lo que habia imaginado<br />

, que mas próximamente concluyen 7 que las<br />

resistencias son como las simples velocida<strong>de</strong>s : lo<br />

que le hizo confesar que no estaba muy confiado <strong>de</strong><br />

sus experiencias , y que <strong>de</strong>seaba se repitiesen. Leo*<br />

nardo Eulero en su Ciencia Naval ya citada (Cap. 5<br />

Prop49) trahe una resolución Geométrica sobre lo<br />

mismo , en que no respira sino su suma habilidad y<br />

<strong>de</strong>s?*<br />

(«0 Véase c! Escolio <strong>de</strong> ¡t Prop. 17. Libr.a. Toma, <strong>de</strong> esta Obra,<br />

u<br />

XXI<br />

<strong>de</strong>streza : la conclusión es , (a) que la fuerza ó resistencia<br />

<strong>de</strong> los fluidos es igual al duplo peso <strong>de</strong><br />

una coluna <strong>de</strong> agua , cuya base es la superficie impehda<br />

, y la altura aquella <strong>de</strong> don<strong>de</strong> fuera necesario<br />

que cayese el cuerpo , para obtener la velocidad<br />

con que se mueve : altura que es como los<br />

quadrados <strong>de</strong> las velocida<strong>de</strong>s5 pero qué disonancia<br />

no causo esta solución al mismo Autor 2 guando<br />

confiesa que la fuerza no pue<strong>de</strong> ser sino igual al peso<br />

<strong>de</strong> una sola cokna, y no <strong>de</strong> dos. En efedo, toda<br />

su <strong>de</strong>mostración se funda en suponer , que al<br />

moverse el cuerpo en el fluido , solo impele <strong>de</strong> este<br />

aquel único que <strong>de</strong>socupa ; sin hacerse cargo <strong>de</strong><br />

que este impele al que tiene <strong>de</strong>lante , este otro al<br />

que se le sigue : y asi sin término , ó sin que sepamos<br />

quanta es la cantidad <strong>de</strong> fluido, que realmente<br />

se mueve, como lo confiesa el mismo Cavallero<br />

K í ^«.tormmlü, bien conocido en la<br />

República literaria , estien<strong>de</strong> aun mas sus cálculos<br />

ib) manifestando la diferencia que resulta <strong>de</strong> ser á'<br />

no ser los cuerpos elásticos ; pero como quiera la<br />

± C duXf k miS ^ ' y SOl ° ""** en el **£<br />

caso dUpia fuerza: <strong>de</strong> suerte, que nos quedan igualmente<br />

las propias ^ Menos estr^o g<br />

hacer tod0 ^ ^ ^ . ^ ^<br />

dol ?r t a S D0 , Se f Up ° ne eL ftukJo si <strong>de</strong>stituido<br />

<strong>de</strong> toda gravedad , y por consiguiente <strong>de</strong> toda<br />

presión <strong>de</strong> unas partículas respecto á las otras 5 to<br />

O) Véase el mismo Escolio; <br />

Oftubre <strong>de</strong>° S * '" ****** * FeK te M. dé Junio ,<br />

4-


1<br />

•i<br />

I:<br />

I<br />

•<br />

que no cabe , ni en nuestro ayre , ni en nuestras<br />

aguas : estos fluidos , quando la velocidad <strong>de</strong> los<br />

cuerpos no es muy gran<strong>de</strong> ,' impelen estos por <strong>de</strong>tras<br />

con la fuerza que <strong>de</strong> su gravitación les queda,<br />

lo que también reconoció el mismo Newton J , y por'<br />

consiguiente se disminuye la resistencia ; al contrario<br />

, si la velocidad es gran<strong>de</strong> , no tiene tanto lugar<br />

la gravitación para actuar <strong>de</strong>tras , y la resistencia<br />

<strong>de</strong>be ser á proporción mayor. Bien han reconocido<br />

algunos <strong>de</strong>spués este efecto, (a) y 'han confesado,<br />

que las resistencias <strong>de</strong> nuestros fluidos no pue<strong>de</strong>n<br />

ser como las theóricas las <strong>de</strong>scriben regularmente.<br />

.<br />

Ya no <strong>de</strong>bemos, pues, extrañar que la velocidad<br />

calculada , y que <strong>de</strong>ben tomar los Navios , esté<br />

tan apartada <strong>de</strong> la que realmente toman : los supuestos<br />

sobre que se fundó son falsos; pero no es<br />

esto aun la peor conseqüencia: si la resulta en lá<br />

velocidad es tan sumamente errónea 5 cómo po<strong>de</strong>mos<br />

asegurar tampoco ninguna <strong>de</strong> las <strong>de</strong>más <strong>de</strong>ducciones<br />

, ya sean <strong>de</strong> los ángulos que <strong>de</strong>ben formar<br />

las Velas, con el viento , el <strong>de</strong>l Timón , ni<br />

tampoco la <strong>de</strong>riva , ni los aguantes <strong>de</strong> Vela , y <strong>de</strong>mas<br />

acciones <strong>de</strong>l Navío ? Todo <strong>de</strong>be estar viciado,<br />

ó á lo menos <strong>de</strong>be discurrirse asi. El asunto pedia<br />

un serio examen, y este es el mismo que me propuse,<br />

sin escusar trabajo ó fatiga.<br />

Era menester empezar por seguras experiencias<br />

, que acreditasen la duda <strong>de</strong> las resistencias:<br />

bus-<br />

f» Benjamín Robins , <strong>de</strong> la Sociedad <strong>Real</strong> <strong>de</strong> Londres , New principies<br />

o/Gunnery. Cap. z. Prop .1.<br />

h<br />

xxm<br />

buscar <strong>de</strong>spués , por vias diversas , ó por las mismas<br />

con que actúa la Naturaleza , otra theórica <strong>de</strong><br />

ellas ; y últimamente examinar si esta convenia, no<br />

solamente con la marcha <strong>de</strong> los Navios , sino 009<br />

todas sus acciones , y asimismo con todos los efectos<br />

ó movimientos que en la Naturaleza se observan.<br />

El.empeño,; aunque arduo , produxo aun mucho,<br />

mas <strong>de</strong> lo que.yo mismo esperaba. La fuerza<br />

<strong>de</strong>l agua corriente sobre una tabla que á ella expur<br />

se , no solo la hallé en ocasiones quatro veces mayor<br />

<strong>de</strong> lo que la asigna Mr.Mariotte {Tratado <strong>de</strong>¡<br />

movimiento <strong>de</strong> las aguas ,'Disc. 3. Part. 2.) sino que<br />

en otras lo era hasta.ocho veces mayor: porque no<br />

solo <strong>de</strong>pendía la fuerza déla magnitud <strong>de</strong>l área,<br />

ó superficie <strong>de</strong> la tabla chocada , como hasta ahora<br />

se ha crcido , sino también <strong>de</strong> su mayor profundidad<br />

en el fluido: <strong>de</strong> suerte que , puesta, la misma<br />

1 área ó tabla cortada en paralelogramq rectángulo ,<br />

con su lado mayor horizontal, pa<strong>de</strong>cía n ucha menos<br />

resistencia, que puesto el propio lado vertical :<br />

es observación útilísima para la Marina , y.que hasta<br />

ahora á nadie se le ha ofrecido ,. no obstante ser<br />

1 conseqüencia clara <strong>de</strong> la gravitación •; pues si esta<br />

* a&ua en las resistencias como acabamos <strong>de</strong> <strong>de</strong>cir,<br />

I siendo aquellas-mayores,á mayores profundida<strong>de</strong>s,,<br />

porque, mayores colunas <strong>de</strong> peso cargan , n¡ yores<br />

<strong>de</strong>ben ser tan bien las resistencias á -mayores profundida<strong>de</strong>s..<br />

Las diferencias que <strong>de</strong> solo csu hecho<br />

resultan son tan excesivas;, que no podia menos <strong>de</strong><br />

variar con extremo todo lo ."hasta, ahora calculado;<br />

si la tabla.tenia.<strong>de</strong> largo quatro veces su ancho, la<br />

resistencia ,. con su lado mayor vertical, era próxima-


I<br />

I<br />

XXIV<br />

mámente dos veces mayor que puesto el mismo lado<br />

horizontal: esto es, próximamente como las raices<br />

quadradas <strong>de</strong> las alturas, ó profundida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> la<br />

tabla en el fluido: y asi, si un Navío tiene sus dimensiones<br />

lineares duplas que otro, que le es semejante<br />

, las áreas chocadas <strong>de</strong> aquel serán quadruplas<br />

<strong>de</strong> las <strong>de</strong> este , y según lo hasta ahora enseñado,<br />

sus resistencias fueran como 4 con 1 ; pero, según<br />

estas observaciones, ya no <strong>de</strong>ben ser sino próximamente<br />

como 5 1 con 1: diferencia, como se ve ,<br />

bastantemente excesiva.<br />

A mas <strong>de</strong> esto manifestaron las experiencias<br />

claramente , que no seguían las resistencias la ley<br />

<strong>de</strong> los quadrados <strong>de</strong> las velocida<strong>de</strong>s , y senos <strong>de</strong><br />

ángulos <strong>de</strong> inci<strong>de</strong>ncia, sino próximamente la <strong>de</strong> las<br />

simples velocida<strong>de</strong>s y senos <strong>de</strong> inci<strong>de</strong>ncia , según<br />

lo manifestaron también las experiencias <strong>de</strong>l Cava*<br />

llero Newton.<br />

Ya se tenia con esto seguridad <strong>de</strong>l error que se<br />

pa<strong>de</strong>cía en las resistencias theóricas establecidas, y<br />

recibidas en general, aunque con las dudas , tropiezos<br />

é imperfectas ilaciones que se han visto. No<br />

bastaba aun esto , era precisa la nueva theórica<br />

que diese iguales conseqüencias, sin ello no se po*<br />

dia introducir en el cálculo y pero parecía á primera<br />

vista que <strong>de</strong>bíamos tener peores <strong>de</strong>duciones : si<br />

las resistencias eran efectivamente mayores , cómo<br />

podían resultar mayores velocida<strong>de</strong>s en los Navios,<br />

según pedia la práctica ? No obstante , consi<strong>de</strong>rando<br />

que si las resistencias <strong>de</strong> las aguas en la Proa<br />

aumentaban , también <strong>de</strong>bían aumentar^ por iguales<br />

razones, las fuerzas <strong>de</strong>l viento en las Velas , no<br />

hu-<br />

4-f<br />

XXV<br />

hubo para qué <strong>de</strong>tenerse. Solicitada la theórica por<br />

medio <strong>de</strong> la relación entre la velocidad con que sale<br />

el fluido por un agujero , y el peso que suportara<br />

la superficie que Jo tapara , ya sea en el casó <strong>de</strong>l<br />

reposo, como en el <strong>de</strong>l movimiento , según se verá<br />

por extenso en el Libro 2 <strong>de</strong> este Tomo , se halló<br />

la mas particular conformidad entre sus fórmulas y<br />

las experiencias ; á lo menos en las relaciones con<br />

que se bacen las fuerzas, ya que no en sus medidas<br />

absolutas. Por está nueva theórica las resistencias<br />

son como las <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> los fluidos , como las<br />

áreas chocadas , como las raices quadradas <strong>de</strong> sus<br />

profundida<strong>de</strong>s en los mismos , y como las simples<br />

velocida<strong>de</strong>s, y senos <strong>de</strong> inci<strong>de</strong>ncia con que se chocan.<br />

Pero no es esto aun el todo , porque este es<br />

solo el caso en que la superficie esté enteramente<br />

sumergida en el fluido , y que la parte anterior <strong>de</strong>l<br />

cuerpo sea semejante á la posterior: quando hubiere<br />

parte <strong>de</strong> aquella fuera , resulta una nueva cantidad<br />

en la resistencia, que no tiene <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ncia alguna<br />

con el área chocada , y que solo resulta <strong>de</strong> la<br />

velocidad , pero no es como las simples velocida<strong>de</strong>s<br />

, ni como sus quadrados , sino como sus quadrados-quadrados.<br />

En ocasiones resulta también<br />

otra tercera cantidad , que es como los quadrados<br />

<strong>de</strong> las velocida<strong>de</strong>s , y como las superficies chocadas<br />

, que correspon<strong>de</strong> precisamente al caso que hasta<br />

ahora se ha dado : y aun en otras otra quarta ,<br />

que ninguna <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ncia tiene <strong>de</strong> las velocida<strong>de</strong>s,<br />

sino solo <strong>de</strong> las áreas chocadas. En general las resistencias<br />

, según esta theórica , <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>n <strong>de</strong> qua-<br />

|ro cantida<strong>de</strong>s distintas, <strong>de</strong> las quales , según las<br />

STww.i.t 4, g&i


XXVI<br />

ocasiones, se <strong>de</strong>svanecen algunas • y por dicha, pa»ra<br />

el asunto <strong>de</strong> la Marina que nos proponemos, quedan<br />

<strong>de</strong> ordinario en solo una, que es la primera <strong>de</strong><br />

las referidas 5 aunque en las ocasiones <strong>de</strong> muchísima<br />

velocidad no po<strong>de</strong>mos escusar el hacer atención á<br />

la segunda : por lo que toca á la tercera , única <strong>de</strong><br />

que se ha hecho caso hasta el presente, es por lo<br />

ordinario inútil.<br />

Ya se tenia con esta confrontación un cimiento<br />

<strong>de</strong>l edificio • pero muchas experiencias en pequeño,<br />

no tienen iguales resultas en lo gran<strong>de</strong> ó extenso^<br />

porque en este caso se hacen mas sensibles los efectos<br />

<strong>de</strong> los acci<strong>de</strong>ntes-, y es lo que precisamente sucedía<br />

en las acciones <strong>de</strong>l Navío , comparadas con<br />

las experiencias que hasta ahora se han practicado.<br />

Pero no tubo iguales resultas nuestra theórica, pues<br />

quando podíamos esperar mayores diferencias , por<br />

el aumento hallado <strong>de</strong> las resistencias , se encontró<br />

la mas perfecta resulta que se podía aguardar. Con<br />

ella se halla , que las Embarcaciones <strong>de</strong>ben andar<br />

precisamente lo que andan , sease á Popa , como á<br />

viento largo y <strong>de</strong> bolina $ per© lo que es mas , que<br />

no solo andan algunas á viento largo casi tanto como<br />

el mismo viento , sino que algunas <strong>de</strong> ellas andan<br />

mas que el propio viento: paradoxa que estrañarán<br />

muchísimos ; pero que sin embargo se verá<br />

<strong>de</strong>mostrada , no en los términos que lo creyó Juan<br />

Bernoulli: (a) esto es, <strong>de</strong> que se pudiera largar casi<br />

infinita Vela , supuesto imposible para la práctica ,¡<br />

sino en términos <strong>de</strong> hecho, ú <strong>de</strong> lo que actualmente<br />

4¡0 Obr^í <strong>de</strong> Juan Bernoulli i Tom.a, N. XCIH,<br />

su-<br />

XXVII<br />

suce<strong>de</strong> con muchas Embarcaciones, como Galeras,<br />

Xabeques, &c.<br />

Hallada esta exacta conformidad <strong>de</strong> nuestra<br />

theórica <strong>de</strong> resistencias con la práctica , asi en pequeñas<br />

superficies , como en las muy amplias <strong>de</strong> los<br />

Navios, se trató también <strong>de</strong> aplicarla , para mayor<br />

verificación, á otros dos casos diversos. El primero<br />

, produciendo una nueva theórica <strong>de</strong> los Voladores,<br />

ó por otro nombre Cometas, que vuelan los Niños<br />

; pues aunque solo sean instrumentos propios<br />

para la común diversión <strong>de</strong> ellos, han sido en este<br />

caso muy a<strong>de</strong>quados para verificar asunto tan importante:<br />

y asi, al fin <strong>de</strong> este Tomo, se da en Apéndice<br />

todo el cálculo , comparándolo con el que resulta<br />

<strong>de</strong>l systhema antiguo, para que se conozca<br />

con evi<strong>de</strong>ncia el verda<strong>de</strong>ro.<br />

El segundo caso á que se aplicó también la<br />

theórica, es á las experiencias que Mr. J* Smeaton<br />

hizo con una Machina propia <strong>de</strong> su invención, para<br />

averiguar la fuerza con que el agua actúa en las ruedas<br />

que mueven , á imitación <strong>de</strong> los Molinos: se<br />

comparan veinte y siete experiencias con las dos<br />

theóricas, la que hasta ahora se ha seguido , y la<br />

nueva que damos, y se halla que correspon<strong>de</strong>n exactamente<br />

con esta, quando se apartan enteramente <strong>de</strong><br />

la otra y cuya resulta no es tanto mas favorable<br />

quantonose pue<strong>de</strong> dudar <strong>de</strong> experiencias agenasj<br />

hechas con tanta anticipación.<br />

Ya teníamos con esto corregido el error <strong>de</strong> principio<br />

: faltaba entrar <strong>de</strong>spués en el examen <strong>de</strong> una<br />

materia dilatadísima , y se pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>cir mas que<br />

nueva, porque <strong>de</strong> ordinario cuesta mas trabaja<br />

dz cor-


xxvm<br />

corregir un vicio , que plantear <strong>de</strong> nuevo la obra.<br />

No se limitaba el error a solo las velocida<strong>de</strong>s , como<br />

hemos visto, era conseqüente que lo hubiese en<br />

la <strong>de</strong>riva , en los ángulos que <strong>de</strong>ben formar las Velas<br />

con la Quilla , y con el viento, y en los aguantes<br />

<strong>de</strong> Vela , porque todo esto <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> la relación<br />

<strong>de</strong> las resistencias, y esta variaba tanto ; particularmente<br />

en lo ultimo , porque se habían <strong>de</strong><br />

equilibrar mayores esfuerzos <strong>de</strong>l viento en las Velas<br />

, con los mismos que sufre el costado. Asimismo<br />

el modo <strong>de</strong> calcular las resistencias <strong>de</strong>bia ser<br />

muy diverso , y los cuerpos que <strong>de</strong>bían pa<strong>de</strong>cer las<br />

mínimas muy distintos , pues una porción <strong>de</strong> costado<br />

próximo á la superficie <strong>de</strong>l agua, yá no pa<strong>de</strong>cía<br />

lo mismo que otros iguales y semejantemente chocados<br />

, colocados á mayor profundidad.<br />

Extra <strong>de</strong> ésto, no eran solo las velocida<strong>de</strong>s <strong>de</strong>l<br />

Navío en lo que se tropezaba : el govierno era otro<br />

asunto en que se veian igualmente algunos errores.<br />

El exe <strong>de</strong> las resistencias , y el <strong>de</strong> la fuerza motriz<br />

<strong>de</strong>bían concurrir, según la theórica hasta ahora dada<br />

, para equilibrar el Navío , y lograr un perfecto<br />

govierno 5 sin embargo, en la práctica el exe <strong>de</strong><br />

las resistencias está próximamente mas á Popa que<br />

el <strong>de</strong> la fuerza motriz, yendo con todo el Velamen,<br />

<strong>de</strong> $ <strong>de</strong> toda la longitud <strong>de</strong>l Navío , y por consiguiente,<br />

<strong>de</strong>bia arrivar este <strong>de</strong> continuo , y con gran<br />

fuerza , según lo enseñado 5 pero al contrario , el<br />

Navío es mas propenso á orzar , particularmente<br />

con viento fresco : es, pues, preciso que haya algún<br />

vicio en esta theórica , ó que se hayan omitido en<br />

ejla algunas consi<strong>de</strong>raciones esencialísimas; en efecto -<br />

: ¿><br />


•I XXX<br />

<strong>de</strong> las olas ó golpes <strong>de</strong> Mar, y parece que los cálculos<br />

no se han propuesto sino para Mares <strong>de</strong> <strong>de</strong>licias.,<br />

no.para lasque pasan por encima.<strong>de</strong> los Navios<br />

,'que los inundan , y que los hacen perecer.<br />

Una Embarcación se eleva con mas facilidad sobre<br />

la ola que otra, quien duda que esta estará mas expuesta<br />

á que la sobrepuge ó inun<strong>de</strong>, y aquella á<br />

romper sus arboladuras ? Es menester consi<strong>de</strong>rar,<br />

por consiguiente, no solo el tiempo en que se dá el<br />

balance , sino su magnitud , y la elevación <strong>de</strong> las<br />

aguas en el costado. A estos acci<strong>de</strong>ntes estaban expuestas<br />

las Proas agudas , ú <strong>de</strong> menor resistencia,<br />

que los Geómetras han <strong>de</strong>seado tanto : precisamente<br />

habían <strong>de</strong> estar <strong>de</strong> continuo sumergidas <strong>de</strong>baxo<br />

<strong>de</strong> las aguas , y no solo corrieran los riesgos <strong>de</strong> un<br />

naufragio, sino que aun nada ganarían en la marcha<br />

, único objeto que <strong>de</strong> ordinario se ha tenido<br />

presente , pues las resistencias crecieran á. medida<br />

que mas se sumergieran é inundaran las-'Proas con<br />

las olas que las chocaran.<br />

De todos estos errores, y algunos mas que, por<br />

no dilatarnos, escusamos referir , hemos procurado<br />

libertar nuestra theórica , pero para exponerla nos<br />

faltaban muchos documentos <strong>de</strong> mechánica , particularmente<br />

sobre la acción y movimiento <strong>de</strong> los<br />

fluidos. Pensamos , pues , por esto en exponerlos<br />

<strong>de</strong>s<strong>de</strong> los principios, incluyendo todo lo que igualmente<br />

conduce á la theórica <strong>de</strong> las Machinas simples<br />

y compuestas , sus fricciones , choques- .<strong>de</strong><br />

cuerpos, y sus acciones , pues todo es propio <strong>de</strong><br />

la Marinería , y conducente á la resolución <strong>de</strong> tan<br />

intrincadas soluciones como las que se verán, i La<br />

i<strong>de</strong>a<br />

I<br />

XXXI<br />

i<strong>de</strong>a que nos hemos propuesto es como se sigue.<br />

El primer Tomo se divi<strong>de</strong> en dos Libros: el<br />

primero <strong>de</strong> estos contiene 9 Capítulos. El primero<br />

trata <strong>de</strong> las Definiciones y Axiomas , ó leyes <strong>de</strong>l<br />

movimiento, con los principios <strong>de</strong>ducidos <strong>de</strong> la<br />

experiencia <strong>de</strong> como actúa en él la gravedad : y el<br />

segundo <strong>de</strong> la composición y <strong>de</strong>scomposición <strong>de</strong>l<br />

mismo movimiento, y <strong>de</strong> las fuerzas que actúan.<br />

El tercer Capítulo contiene todo lo que corresponie<br />

al centro <strong>de</strong> gravedad ú <strong>de</strong> las masas , asi como<br />

leí <strong>de</strong> las potencias ó fuerzas : con las fórmulas <strong>de</strong><br />

¡us velocida<strong>de</strong>s, longitu<strong>de</strong>s que corren , y tiempos<br />

en que las corren. El quarto trata <strong>de</strong> la rotación <strong>de</strong><br />

un systhema qualquiera <strong>de</strong> cuerpos libres , ó ligados<br />

entre sí: <strong>de</strong>l ángulo giratorio ú <strong>de</strong> rotación<br />

que prescriben en virtud <strong>de</strong> qualesquiera potencias<br />

que actúen en él: con la <strong>de</strong>mostración <strong>de</strong> que girará<br />

<strong>de</strong>l mismo modo estando su centro <strong>de</strong> gravedad<br />

fko, que estando libre : y <strong>de</strong> que este ha <strong>de</strong><br />

baxar en qualquiera Machina ó cuerpo lo mas que<br />

íuere posible : agregándose, como conseqüencia <strong>de</strong><br />

aquella theórica, la <strong>de</strong> los Péndulos , y la <strong>de</strong> las<br />

Palancas <strong>de</strong> los tres géneros , no consi<strong>de</strong>rándolas<br />

solamente como hasta aqui en el reposo , sino en el<br />

<strong>de</strong> movimiento, y especulando sus fuerzas, resistencias<br />

que <strong>de</strong>ben tener en sus fibras , y en el todo<br />

<strong>de</strong> sus partes.<br />

El Capítulo quinto trata <strong>de</strong>l exe y radio <strong>de</strong> rotación,<br />

ú<strong>de</strong>l punto sobre que gira un systhema ó<br />

cuerpo , en que se manifiesta que este punto jamas<br />

esta fixo , á menos que no sea el centro <strong>de</strong> gravedad.<br />

El sexto encierra toda la theórica <strong>de</strong> la percu-


XXXII<br />

cusion <strong>de</strong> los cuerpos , en que nos hemos dilatada<br />

algo , por motivo que es el principio <strong>de</strong> los Capítulos<br />

siguientes, y por aclarar una materia que hasta<br />

ahora ha sido el objeto <strong>de</strong> muchas controversias<br />

entre los mas respetables Autores, como es la qüestion<br />

<strong>de</strong> las fuerzas vivas y muertas : se dan fórmulas<br />

en que se hallan los tiempos , las velocida<strong>de</strong>s ,<br />

las acciones , y las longitu<strong>de</strong>s corridas por los cuerpos<br />

en el acto <strong>de</strong>l choque , como también <strong>de</strong> las<br />

fuerzas con que actúan á qualquier tiempo: aplicando<br />

las soluciones á la práctica , y experiencias <strong>de</strong><br />

los Autores <strong>de</strong> Phisica experimental, á fin <strong>de</strong> que<br />

se vea la exacta correspon<strong>de</strong>ncia <strong>de</strong> mi theórica con<br />

la práctica , y los efectos admirables <strong>de</strong>l choque?<br />

concluyendo con aclarar el error en que han estado<br />

varios Autores célebres quando confundían los centros<br />

<strong>de</strong> oscilación y percusión , pues aunque en ocasiones<br />

se unan , no siempre son el mismo.<br />

El Capitulo'séptimo contiene el movimiento <strong>de</strong><br />

los cuerpos que insisten sobre planos inclinados, asi- 1<br />

como por curvas : se da el tiempo <strong>de</strong> su caída por<br />

la cycloi<strong>de</strong> , y se aplica á los Péndulos , hallando<br />

aquel en que estos oscilan , y la longitud que, corren<br />

los cuerpos cayendo vert¡calmente• en igual<br />

tiempo que aquellos terminan una oscilación : concluyendo<br />

con los casos en que giran los cuerpos cayendo<br />

por el plano inclinado, o curva.<br />

El octavo se reduce á una nueva theórica sobre<br />

la fricción ó rozamento :. asunto que hasta ahora no i<br />

se ha visto que corresponda á las experiencias , sin<br />

embargo <strong>de</strong> haberse tratado por los Geómetras <strong>de</strong><br />

la mayor graduación ; se <strong>de</strong>muestra que su fuerza<br />

E«<br />

• xxxm<br />

no es solo proporcional al peso que la causa, como<br />

creyeron Mr. Amontons, y Mr. Bilfinger: y se con-'<br />

cluye manifestando los tropiezos que se ofrecen en<br />

la theórica dada sobre el asunto por el muy célebre<br />

Leonardo Eulero , y el como se concilian todos los<br />

hechos con la nuestra.<br />

Últimamente concluye el primer Libro con el<br />

nono Capítulo, que trata <strong>de</strong> las Machinas simples,<br />

Plano inclinado , Cuña , Hacha , Tornillo , Exe<br />

en peritrochio , Carrucho ó Motón , y Aparejos:<br />

se dan sus theóricas por extenso , atendiendo á la<br />

fricción que pa<strong>de</strong>cen , lo que es preciso para <strong>de</strong>ducir<br />

sus verda<strong>de</strong>ras fuerzas, hallando las máximas y<br />

mínimas <strong>de</strong> éstas, y se aplica el todo á algunos hechos<br />

<strong>de</strong> prá&ica.<br />

El Libro segundo encierra el tratado <strong>de</strong> los<br />

fluidos. En el Capit. i. se <strong>de</strong>termina la acción y<br />

fuerza con que actúan estos sobre los cuerpos en el<br />

caso <strong>de</strong>l reposo , y las condiciones que <strong>de</strong>ben concurrir<br />

para que se efectué este. El Cap. 2. trata <strong>de</strong><br />

la fuerza con que en el movimiento actúan los fluidos<br />

contra una diferencial <strong>de</strong> superficie ó área muy<br />

pequeña : se <strong>de</strong>termina esta fuerza en todos los casos<br />

<strong>de</strong> movimiento horizontal, vertical ,


11*<br />

mi)<br />

XXXIV<br />

los,fluidos, por cansa <strong>de</strong> la <strong>de</strong>snivelación que resulta<br />

en estos: y finaliza explicando una diferencia<br />

que occurre <strong>de</strong> lo expuesto, en una proposición <strong>de</strong> la<br />

Philosophia natural <strong>de</strong>l Cavallero Newton y siguiendo<br />

<strong>de</strong>spués el Cap.. 4. en que se hallan las mismas<br />

fuerzas en la acción contra qualesquiera superficies.<br />

El Cap.. 5. trata <strong>de</strong> las resistencias horizontales<br />

que pa<strong>de</strong>cen los cuerpos movidos, en los fluidos , y<br />

<strong>de</strong> la que. pa<strong>de</strong>cen quando estos se mueven contra<br />

los cuerpos , pues no es el. misma caso , como hasta<br />

ahora se. ha creido :. se combinan las experiencias<br />

para ver como conviene con estas la relación<br />

que <strong>de</strong>termina la theórica. En el Cap.. 6.. se hallan<br />

las resistencias, verticales que igualmente pa<strong>de</strong>cen<br />

los cuerpos , sease movidos estos ó los fluidos: y se<br />

hace ver la gran diferencia que resulta <strong>de</strong> un caso,<br />

al otro. En el jr.Cap. se <strong>de</strong>muestra la alteración en<br />

las resistencias que_ causan las. <strong>de</strong>snivelaciones en<br />

los fluidos que proce<strong>de</strong>n <strong>de</strong>l movimiento <strong>de</strong>. los mismos<br />

cuerpos:. y lo que <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>n aquellas <strong>de</strong> la longitud<br />

<strong>de</strong> estos.. El 8.. trata <strong>de</strong> las líneas y superficies<br />

que. pa<strong>de</strong>cen, la máxima y mínima resistencia,<br />

asi como <strong>de</strong> las que <strong>de</strong>ben cubrir las. bases,, ó que<br />

hayan <strong>de</strong> encerrar un, <strong>de</strong>terminado, cuerpo , logrando<br />

la misma propiedad:: y se concluye con. una Tabla<br />

<strong>de</strong> lasabcisas y or<strong>de</strong>nadas, <strong>de</strong> la. curva que pa<strong>de</strong>cerá<br />

la menor resistencia , comprehendiendo el<br />

mayor espacio..<br />

El Cap. 9. expone las fórmulas <strong>de</strong>. la relación<br />

que hay entre los tiempos ,. espacios, corridos , y<br />

velocida<strong>de</strong>s que toman los cuerpos; en su: movimiento,<br />

progresivo por los fluidos : <strong>de</strong>muestra que no<br />

llc-<br />

•XXXV<br />

llegan í obtener sus máximas velocida<strong>de</strong>s sino <strong>de</strong>s*<br />

pues <strong>de</strong> tiempos y espacios corridos infinitos; pero<br />

que sin embargo á corto tiempo las adquieren muy<br />

poco menores que las máximas : y concluyen con<br />

la theórica <strong>de</strong> las olas , en que se dan sus velocida<strong>de</strong>s<br />

y magnitu<strong>de</strong>s. El 10. trata <strong>de</strong> los momentos<br />

que pa<strong>de</strong>cen los cuerpos en su movimiento progresivo<br />

horizontal, y <strong>de</strong> la estabilidad que <strong>de</strong> ellos se<br />

origina, tanto en el caso <strong>de</strong>l reposo -, como en el <strong>de</strong><br />

movimiento. El 11. <strong>de</strong> la inclinación que en aque«*<br />

líos resulta , impelidos por qualesquiera potencias":<br />

con las varias soluciones que en el mismo caso se<br />

ofrecen , según las figuras <strong>de</strong> los mismos cuerpos 5<br />

á que se aña<strong>de</strong>n algunas prevenciones para evitar<br />

los errores á que pue<strong>de</strong>n conducir las fórmulas hasta<br />

ahora dadas , sino se consi<strong>de</strong>ran con las suposiciones<br />

precisas, manifestando el todo con exemplos.<br />

El Cap. 12» contiene las fórmulas que expresan<br />

los momentos que pa<strong>de</strong>cen los cuerpos quando gi»<br />

ran en los fluidos , sobre un exe que pasa por su<br />

centro <strong>de</strong> gravedad : y el 13 las <strong>de</strong> las velocida<strong>de</strong>s<br />

angulares <strong>de</strong> los mismos , y longitu<strong>de</strong>s <strong>de</strong> los<br />

péndulos que oscilan isochronamente con ellos , co-*<br />

mo asimismo las máximas y mínimas velocida<strong>de</strong>s<br />

que adquieren en sus vibraciones: concluyendo <strong>de</strong>spués<br />

<strong>de</strong> esto el Tomo con los dos Apéndices, sobre<br />

la theórica <strong>de</strong> los Cometas que vuelan los NÍIIJS, y<br />

el <strong>de</strong> la resistencia <strong>de</strong> los fluidos en las Machinas,<br />

para confirmación <strong>de</strong> nuestra theórica <strong>de</strong> las resis-*<br />

tencias, según ya dixímos.<br />

El Tomo segundo trata todo <strong>de</strong> Marina , y se<br />

divi<strong>de</strong> en cinco Libros. El primero contiene lo<br />

ez 'per-


XXXV!<br />

perteneciente al conocimiento y fabrica déla Nave.<br />

El Cap.i. <strong>de</strong> este da una i<strong>de</strong>a general <strong>de</strong> las Embarcaciones<br />

, <strong>de</strong> las propieda<strong>de</strong>s que las convienen,<br />

<strong>de</strong> su figura , <strong>de</strong>l modo <strong>de</strong> governarlas , y <strong>de</strong> la<br />

disposición y pluralidad <strong>de</strong> sus Mástiles y Velas.<br />

El 2. trata <strong>de</strong>l infinito número <strong>de</strong> distintas Embarcaciones<br />

que pue<strong>de</strong>n resultar , y <strong>de</strong> su fábrica , según<br />

el uso práctico mas antiguo : el 3. prescribe la<br />

theórica y modo <strong>de</strong> <strong>de</strong>linear los planos <strong>de</strong> aquellas<br />

fábricas , según el uso <strong>de</strong> varias Naciones. El 4.<br />

enseña el modo <strong>de</strong> <strong>de</strong>linear los planos, según lo<br />

que hoy practican los Constructores mas especulativos<br />

y prácticos <strong>de</strong> las dos Naciones Francesa é Inglesa<br />

: y el 5. un nuevo méthodo geométrico <strong>de</strong><br />

<strong>de</strong>scribirlos , formando el todo <strong>de</strong> las Qua<strong>de</strong>rnas<br />

<strong>de</strong>s<strong>de</strong> un extremo al otro <strong>de</strong> la Embarcación por<br />

arcos <strong>de</strong> círculo , y evitando el mucho número <strong>de</strong><br />

tentativas que en los otros méthodos no son evitables.<br />

El 6. <strong>de</strong>scribe en los planos, por los diversos<br />

modos, las obras muertas: y el 7. concluye el Libro<br />

con igual <strong>de</strong>scripción <strong>de</strong> las cubiertas.<br />

El Libro segundo examina el cuerpo <strong>de</strong>l Navio<br />

y sus centros : sus fuerzas , resistencias y momentos.<br />

El Cap. 1. trata <strong>de</strong> la flotación y línea <strong>de</strong><br />

agua <strong>de</strong>l Navío , <strong>de</strong> su peso total y <strong>de</strong>l <strong>de</strong> su casco<br />

: se da un exemplo <strong>de</strong> la práctica en el cálculo:<br />

se enseña el modo <strong>de</strong> variar la línea <strong>de</strong> agua alterando<br />

el Navío : se dan los volúmenes que ocupan<br />

los <strong>de</strong> diversas clases , con la relación que tienen<br />

dichos volúmenes con las dimensiones lineares <strong>de</strong><br />

los Buques , y el error <strong>de</strong> no reglar los Constructores<br />

el grueso <strong>de</strong> ma<strong>de</strong>ras, según la <strong>de</strong>bida proporción<br />

xxxvn<br />

cion que se necesita. Se dan asimismo reglas fáciles<br />

para <strong>de</strong>terminar la magnitud <strong>de</strong> los Navios , según<br />

la Artillería y variedad <strong>de</strong> pesos que <strong>de</strong>ben<br />

suportar , en atención á que el todo, y aun las Tripulaciones<br />

, siguen próximamente la razón <strong>de</strong> los<br />

cubos <strong>de</strong> sus dimensiones lineares : y se concluye<br />

con la relación en que están, y <strong>de</strong>ben estar los Buques<br />

con el peso total <strong>de</strong> los mismos , <strong>de</strong> sus pertrechos<br />

, y <strong>de</strong>más necesarios que componen el todo<br />

<strong>de</strong>l armamento. El Cap. 2. trata <strong>de</strong>l modo <strong>de</strong> ha«<br />

llar el centro <strong>de</strong>l volumen que el Navío ocupa en<br />

el fluido , aclarando la regla con un exemplo : se<br />

explica la variación que pue<strong>de</strong> tener dicho centro,<br />

no solo por variar la línea <strong>de</strong> agua ú <strong>de</strong> flotación,<br />

sino también por variar el volumen <strong>de</strong>l Buque en<br />

qualquiera <strong>de</strong> sus partes; y se termina con inquirir<br />

fácilmente el mismo centro en otros Navios semejantes<br />

, hallado ya el <strong>de</strong> uno , aunque entre ellos<br />

haya algunas cortas variaciones.<br />

El Cap. 3. enseña el modo <strong>de</strong> hallar la altura<br />

<strong>de</strong>l metacentro sobre el centro <strong>de</strong> volumen, y se da<br />

un exemplo para su fácil inteligencia: añadiendo la<br />

regla y modo fácil <strong>de</strong> hallar lo mismo en los Navios<br />

semejantes , ú <strong>de</strong> muy poca diferencia 5 concluyendo<br />

con hacer iguales exámenes y averiguaciones<br />

por lo que toca <strong>de</strong> Popaá Proa , asi como en<br />

lo primero se hizo para <strong>de</strong> un lado á otro.<br />

En el Cap. 4. se enseña el modo <strong>de</strong> hallar el<br />

centro <strong>de</strong> gravedad <strong>de</strong>l casco , y <strong>de</strong>l todo <strong>de</strong>l Na-*<br />

vio , por medio <strong>de</strong> la colocación y peso <strong>de</strong> todas<br />

sus partes, haciendo manifiesta la regla con un<br />

exemplo. Seda igualmente el modo <strong>de</strong> hallar dicho<br />

cen-


I ....:.<br />

.j..<br />

xxxvm<br />

centro por medio <strong>de</strong> una experiencia fácil , practicada<br />

en otro Navio, atendiendo <strong>de</strong>spués á la diferencia<br />

entre ambos , que expone una pequeña fórmula<br />

, <strong>de</strong> la qual se infieren varios Corolarios , no<br />

solo sobre la variación en altara <strong>de</strong>l centro <strong>de</strong> gravedad<br />

, sirio sobre la distinta inclinación ó aguante<br />

"que tendrá el Navio , siempre que se varié en qualquiera<br />

parte <strong>de</strong> él su volumen y peso. Se aplica<br />

todo esto á varios exemplos <strong>de</strong> otros Navios , y se<br />

<strong>de</strong>muestra últimamente la equivocación en -que cayó<br />

Mr.Bouguer , asegurando , que en el Navío <strong>de</strong><br />

íres puentes se eleva el metacentro sobre el centro<br />

<strong>de</strong> gravedad <strong>de</strong> solo uno ú dos pies.<br />

El Cap. 5. enseña él modo <strong>de</strong> calcular las resistencias<br />

horizontales que pa<strong>de</strong>ce un Navio , tanto<br />

directas, ó por la Proa , como laterales , ó por el<br />

Costado, con el or<strong>de</strong>n en que se <strong>de</strong>ba seguir el cálculo<br />

para evitar confusión. Dos solas cantida<strong>de</strong>s<br />

resultan <strong>de</strong> este -, una que es como las simples velocida<strong>de</strong>s,<br />

y otra que es como los quadrados-quadrados<br />

<strong>de</strong> las mismas, y que <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong>l efecto <strong>de</strong> la.<br />

<strong>de</strong>snivelación <strong>de</strong> las aguas en Proa y Popa : las<br />

otras dos cantida<strong>de</strong>s que ocurren en las resistencias,<br />

son <strong>de</strong>spreciables en la acción <strong>de</strong>l Navío. Se dá<br />

<strong>de</strong>spués el modo <strong>de</strong> calcular la alteración <strong>de</strong> aquellas<br />

resistencias en caso <strong>de</strong> sumergirse el propio<br />

Buque algo mas é menos , ú <strong>de</strong> sacarlo <strong>de</strong> aquella<br />

estiva primera : y se concluye dando fórmulas fáciles<br />

para <strong>de</strong>ducir las mismas resistencias en otros<br />

Navios <strong>de</strong> fondos semejantes, por las ya dadas <strong>de</strong>l<br />

primer Navío , advirtiendo, que la cantidad , que<br />

ts como los quadrados- quadrados, se hace, <strong>de</strong>s-<br />

prc-<br />

XXXIX<br />

preciable en Buques gran<strong>de</strong>s , lo que no en pequeños*<br />

El Cap. 6. enseña el modo <strong>de</strong> calcular los mo-><br />

mento&que pa<strong>de</strong>ce un Navio en sus inclinaciones,,<br />

que llaman los Marineros aguante, <strong>de</strong> Vela ,. tanto<br />

en el caso, <strong>de</strong> hallarse en reposo, como en el <strong>de</strong> hallarse<br />

en movimiento * porque, pue<strong>de</strong>n ser distintos*,<br />

se enseña igualmente- á calcular la variación que en<br />

ellos resulta quando, el Navio se cala mas ó menos<br />

en. el fluido 1 y se dan. fórmulas para hallar fácilmente<br />

los que correspon<strong>de</strong>n k qualquier Navío semejante<br />

en sus fondos.,. por tos ya hallados,para el<br />

primero * y se. concluye manifestando, quanto conduce<br />

para el. buen aguante <strong>de</strong> Vela ,. el que el centro<br />

<strong>de</strong> las resistencias horizontales, está lo mas alto<br />

que fuere, dable , y que los costados <strong>de</strong> los, fondos<br />

en las inmediaciones <strong>de</strong> la superficie <strong>de</strong>l agua, estén<br />

en quanto sea. posible verticales , pues no, <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>n<br />

dichos, aguantes, <strong>de</strong> solo la. sección horizontal <strong>de</strong>l<br />

Navio y hecha por la superficie, <strong>de</strong>l agua , según se<br />

creído y. enseñado, hasta ahora..<br />

En el Cap. 7.. se trata <strong>de</strong> los momentos, que pa<strong>de</strong>ce<br />

la. Nave en su movimiento <strong>de</strong> rotación ,, que<br />

los Marineros llaman virar: se veporellos lo propenso;<br />

que <strong>de</strong>biera ser á¡ arribar,, sino fuera: por otras<br />

fuerzas: que se lo impi<strong>de</strong>n: se. explica la. variación<br />

que resulta en los. mismos, momentos , quando el<br />

Navio esté, mas, ó menos, calado, en el fluido 5 y se<br />

dan fórmulas para hallar los que correspon<strong>de</strong>n á.<br />

qualquiera. Navio, semejante en. los. fondos^ al primero..<br />

El.Cap.8. trata <strong>de</strong>. los momentos.que pa<strong>de</strong>ce la<br />

Nave.


n •<br />

i<br />

•JCL<br />

Nave en su rotación, que los Marineros llaman cabezada<br />

: con la misma extensión y circunstancias<br />

que se especularon los que resultan en el balance;<br />

y se dá fin al Libro 2. con el Cap. 9. que trata <strong>de</strong><br />

los momentos que pa<strong>de</strong>ce la Nave, y que ocasionan<br />

lo que los Marineros llaman quebranto : se <strong>de</strong>muestra<br />

la causa <strong>de</strong> don<strong>de</strong> proce<strong>de</strong> , y que la fuerza <strong>de</strong><br />

un solo costado fuera capaz <strong>de</strong> precaverle casi enteramente<br />

, á no ser por el juego que ordinariamente<br />

resulta en las ma<strong>de</strong>ras y herrages, por cuyo motivo<br />

es preciso precaverle• aunque la principal atención<br />

para evitarle , consiste en la figura <strong>de</strong> los fondos<br />

<strong>de</strong>l Navío , y en recoger lo mas que sea posible<br />

sus diversos pesos hacia el centro <strong>de</strong> gravedad<br />

<strong>de</strong> aquel. Se examinan los mismos momentos en caso<br />

<strong>de</strong> que el Navío esté vacío , y se evi<strong>de</strong>ncia lo<br />

mas que está expuesto en este caso al quebranto:<br />

<strong>de</strong>spués <strong>de</strong> lo qual se trata <strong>de</strong>l que resulta también<br />

<strong>de</strong> un lado al otro , que hasta ahora no se ha consi<strong>de</strong>rado<br />

, sin embargo <strong>de</strong> ser bien eficaz y perjudicial,<br />

mayormente en los Navios <strong>de</strong> Guerra, quando<br />

sus baterías se elevan mucho sobre el centro <strong>de</strong><br />

gravedad: adviniendo el mal or<strong>de</strong>n con que se reparten<br />

, y las reglas que <strong>de</strong>ben seguirse para evitar<br />

las <strong>de</strong>sgracias que por ello suce<strong>de</strong>n con mucha freqüencia.<br />

El Libro tercero trata <strong>de</strong> las Machinas que<br />

mueven y goviernan el Navío. El Cap. 1. se estien<strong>de</strong><br />

sobre las Velas , sobre la figura que toman , y<br />

sobre la fuerza y dirección con que actúa el viento<br />

en ellas. Se halla la curva que forman muy distinta<br />

<strong>de</strong> la ca<strong>de</strong>naria que hasta ahora se ha creído<br />

to*<br />

XLi<br />

tomaban , y se dantas abcisas y or<strong>de</strong>nadas que la<br />

la <strong>de</strong>scriben. Se <strong>de</strong>termina la absoluta fuerza con<br />

que actúan , y se hace ver que esta no <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />

solo el ángulo que forma el viento con las Vergas,<br />

sino también <strong>de</strong> la mayor ó menor curvidad que en<br />

sus extremos tenga la Vela , la qual se altera según<br />

la velocidad <strong>de</strong>l viento, y según la magnitud y calidad<br />

<strong>de</strong> la misma Vela. Se <strong>de</strong>termina asimismo la<br />

dirección en que actúan estas, y el centro <strong>de</strong> sus<br />

fuerzas, que cae siempre mas á Popa que el centro<br />

<strong>de</strong> las mismas Velas , según la curvidad y anchura<br />

que estas tubieren , lo que es uno <strong>de</strong> los motivos<br />

que obligan al Navío á orzar. Se aplica <strong>de</strong>spués la<br />

theórica á varios exemplos prácticos, y se concluye<br />

por ellos la mucha <strong>de</strong>riva que <strong>de</strong>ben pa<strong>de</strong>cer<br />

los Navios, solo por aumentar el viento, y sin aten<strong>de</strong>r<br />

á las olas ó golpes <strong>de</strong> Mar, que ha sido, según<br />

los Marineros , la sola causa <strong>de</strong> ella. Se dan Tablas<br />

<strong>de</strong> los pies quadrados que contiene cada Vela:<br />

<strong>de</strong>l centro <strong>de</strong> gravedad <strong>de</strong> cada una <strong>de</strong> ellas 5 y asimismo<br />

<strong>de</strong> sus momentos, tanto verticales como horizontales<br />

, con extensión a todos los casos que mas<br />

generalmente se ofrecen en la práctica.<br />

El Cap. 2. trata <strong>de</strong>l Timón , <strong>de</strong> sus fuerzas respective<br />

á los diversos ángulos que forme con la<br />

Quilla , tanto por barlovento como por sotavento,<br />

y á su figura , que contribuye muchísimo, sin embargo<br />

que hasta ahora no se ha reconocido esta<br />

circunstancia. Se halla el ángulo en que <strong>de</strong>be hacer<br />

el máximo efecto • pero se reconoce la poca<br />

ventaja que con él se consigue , respecto al que los<br />

Marineros disponen , y las razones por que <strong>de</strong>ben<br />

Tem.i. y? prí-<br />

ft


I<br />

K<br />

privilegiarse estos á los que la Geometría <strong>de</strong>tergí<br />

Cap.*, se extien<strong>de</strong> sobre el Remo,machina<br />

.bien simple en la práctica 5. pero tan complicada<br />

para la theórica , que solo el gran Geómetra L £<br />

nardo fulero nos ha podido dar el legitimo cálenlo<br />

<strong>de</strong> ella: y hubiera igualmente sido el <strong>de</strong> sus verda<strong>de</strong>ras<br />

fuerzas y efedos, á no. ser por la falsa supo.<br />

•sicion sobre la ley con que aduan las resistencias.<br />

•Se da por extenso, todo el cálculo , atendiendo al<br />

mas mínimo momento , y se concluye la velocidad<br />

que <strong>de</strong>be tomar la E.rbarcacion; y que se verifica<br />

con la conformidad <strong>de</strong> los- exemplos ala púdica:.<br />

lo que <strong>de</strong> nuevo autoriza nuestra, theórica <strong>de</strong> resistencia?.<br />

Se advierte lo que importa que la parte exterior<br />

<strong>de</strong>l Remo se aligere: y se halla la fuerza y<br />

velocidad ventajosa con que <strong>de</strong>be actuar el Remero<br />

para que la Embarcación tome la mayor velocidad<br />

posible. Últimamente se inquiere también la<br />

mas ventajosa, relación, que; <strong>de</strong>be haber entre las.<br />

longitu<strong>de</strong>s <strong>de</strong> la parte exterior é interior <strong>de</strong>l Remo:<br />

se hace ver que esta relación no es constante aun<br />

en el mismo. Barco ,. y con los mismos Remeros,<br />

porque <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> la fuerza que estos empleen , y<br />

<strong>de</strong> la que hubiere, entre los tiempos que pasan entre<br />

una palada y otra , y el. que se. mantiene el Remoen<br />

el agua: <strong>de</strong> suerte , que quanto- mayores fueren<br />

dichas cantida<strong>de</strong>s , mayor <strong>de</strong>be ser la longitud <strong>de</strong><br />

la parte exterior <strong>de</strong>l Remo ,: respecto á la interior.<br />

Lo mismo se sigue quando mayor fuere • el numero<br />

<strong>de</strong> Remeros ; y aí contrario quando mayor fuere la<br />

resistencia <strong>de</strong> Proa : <strong>de</strong> suerte, que la mayor Em-<br />

XLIII<br />

barcaclon necesita menos longitud en la parte exterior<br />

<strong>de</strong>l Remo. Se atien<strong>de</strong> también en esto á la<br />

fuerza <strong>de</strong> los Remeros \ pero se concluye por las<br />

atenciones que <strong>de</strong>spués se hacen , con que la mejor<br />

disposición <strong>de</strong>l Remo es , con corta diferencia , la<br />

que estilan los Marineros, aunque tomando algunas<br />

precauciones , según las distintas Embarcaciones:<br />

y se concluye el Libro con un exemplo , aplicado<br />

á una Galera, y con manifestar el poco efecto que<br />

producen algunos momentos.<br />

El Libro quarto trata <strong>de</strong> las acciones y movimientos<br />

<strong>de</strong>l Navio. El Cap. 1. se extien<strong>de</strong> sobre<br />

el andar ó movimiento progresivo que da al Navío<br />

el impulso <strong>de</strong>l viento en las Velas , ,y <strong>de</strong>l rumbo<br />

que le obliga á seguir. Se dan quatro fórmulas que<br />

expresan las quatro velocida<strong>de</strong>s que distinguimos<br />

en el Navío , esto es , la directa ó por la Proa : la<br />

lateral ó perpendicular al costado : la obliqua , que<br />

legítimamente toma la Embarcación; y últimamente<br />

aquella con que sale á barlovento, ó con que directamente<br />

gana en oposición , según la misma línea<br />

<strong>de</strong>l viento : á que se agrega la expresión ó valor<br />

<strong>de</strong>l ángulo <strong>de</strong> la <strong>de</strong>riva. Se examinan <strong>de</strong>spués<br />

las ventajas y conocimientos que ofrecen dichas<br />

fórmulas : manifiestan á primera vista, que las quatro<br />

velocida<strong>de</strong>s fueran exactamente porporcionalcs<br />

a las <strong>de</strong>l viento , á no ser por la curvidad <strong>de</strong> la<br />

Vela , que altera algo esta proporción* Manifiestan<br />

igualmente , que quanto mayor fuere la relación<br />

entre la resistencia <strong>de</strong>l costado , y la <strong>de</strong> la<br />

Proa , mayor será la velocidad directa ó por la<br />

Proa, y menor la lateral : y que para que el Navio<br />

"fz g^<br />

1


XL1V H 1 '<br />

gane barlovento,es preciso que aquella relación sea<br />

mayor que la que tiene la tangente <strong>de</strong>l ángulo que<br />

forma el viento con la Quilla, con la tangente <strong>de</strong>l<br />

ángulo que forma la perpendicular á la Quilla con<br />

la dirección en que aduan las Velas. Del mismo<br />

modo manifiestan , que las quatro velocida<strong>de</strong>s aumentan<br />

, á medida que se largue mas Vela; y que<br />

la direda y obliqua , quando se navega con todo<br />

el aparejo á viento largo , llegan al extremo <strong>de</strong> ser<br />

mayores que la <strong>de</strong>l mismo viento : se explican los<br />

casos en que esto suce<strong>de</strong> , y aunque no correspon<strong>de</strong>n<br />

en los Navios , se verifican en las Galeras y<br />

Xabeques. Se aplican <strong>de</strong>spués las fórmulas á varios<br />

exemplos prácticos , ú <strong>de</strong> la disposición <strong>de</strong> aparejos<br />

que usan los Marineros, ya en Popa como á<br />

viento largo y <strong>de</strong> volina , y se reconoce la perfecta<br />

conformidad <strong>de</strong> la práaica , con las soluciones<br />

que <strong>de</strong> las fórmulas resultan. No suce<strong>de</strong> lo propio<br />

con las que se dan según el otro systhema <strong>de</strong> las resistencias<br />

, porque producen en los Navios velocida<strong>de</strong>s<br />

bien apartadas <strong>de</strong> las que la práaica manifiesta.<br />

El aumento <strong>de</strong> la velocidad direda que proce<strong>de</strong><br />

<strong>de</strong> la mayor razón en que pue<strong>de</strong>n estar las resistencias<br />

lateral y por la Proa, se hace ver que no<br />

se extien<strong>de</strong> á la que resulta <strong>de</strong> aliviar ó calar mas<br />

el Navío , pues aunque efeaivamcnte se halla en<br />

esto alguna diferencia , es tan corta , que no merece<br />

la menor atención. La total expresión <strong>de</strong> la misma<br />

velocidad , reducida á serie , facilita el modo<br />

<strong>de</strong> especular las medidas principales que <strong>de</strong>ben darseles<br />

á las Embarcaciones para que tomen el mayor<br />

andar posible: alargar su longitud , y disminuir á<br />

pro-<br />

XLV<br />

proporción su profundidad, aumenta la velocidad ;<br />

pero esto se verá que tiene sus perjuicios : suce<strong>de</strong><br />

lo propio aumentando la longitud, y disminuyendo<br />

á proporción el ancho ; pero en caso <strong>de</strong> darse la<br />

longitud constante, y <strong>de</strong> variar solamente el ancho<br />

y la profundidad , es ventajoso para ir á Popa , ó.<br />

viento muy largo aumentar aquel, y disminuir esta<br />

', pero al contrario yendo á volina, ó vientos escasos<br />

: particularidad que en la práaica se observa,<br />

y que no produce el antiguo systhema <strong>de</strong> las resistencias.<br />

Después <strong>de</strong> esto se concluye el Capítulo<br />

<strong>de</strong>mostrando por las mismas fórmulas, que con vientos<br />

suaves <strong>de</strong>ben andar las Embarcaciones chicas,<br />

siendo semejantes, mas que las gran<strong>de</strong>s , y al contrario<br />

, que estas andan mas con vientos fuertes.<br />

El Cap. 2. trata <strong>de</strong> los ángulos que <strong>de</strong>ben formar<br />

las Velas y el viento con la Quilla , para conseguir<br />

el máximo andar : asunto que se ha separado<br />

<strong>de</strong>l Capítulo prece<strong>de</strong>nte á que pertenecía, por su<br />

extensión , y particulares circunstancias, y atenciones<br />

que encierra. Se da primeramente una fórmula<br />

que expresa el valor <strong>de</strong>l ángulo que <strong>de</strong>be formar la<br />

Vela con la Quilla, para que el Navío an<strong>de</strong> lo mas<br />

que sea posible , supuesto constante el ángulo que<br />

forme el viento con la misma Quilla. Esta fórmula<br />

manifiesta, que aquel ángulo <strong>de</strong> la Vela no es constante<br />

, ni aun en el propio Navio, como hasta ahora<br />

lo han creído los Geómetras generalmente, porque<br />

no solo <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> la relación entre las resistencias<br />

<strong>de</strong>l costado y <strong>de</strong> la Proa, sino también <strong>de</strong><br />

la cantidad <strong>de</strong> Velamen que se largue, y <strong>de</strong> la curvidad<br />

<strong>de</strong> las Velas : <strong>de</strong> suerte , que quanto mayor<br />

-4<br />

sea


I XLVI , M , t .,<br />

sea aquella razón, y la cantidad <strong>de</strong> velamen , menor<br />

<strong>de</strong>be ser el ángulo , y asimismo quanto menor<br />

sea la curvidad <strong>de</strong> las Velas. Se dan <strong>de</strong> ello algunos<br />

exemplos , y en el <strong>de</strong> ir á bolina un Navio <strong>de</strong><br />

6o Cañones con todo su aparejo , se halla el ángulo<br />

<strong>de</strong> 28 4/ , y si solo fuese con las dos Mayores,<br />

resulta <strong>de</strong> 40 o 42', próximamente el que en todos<br />

casos usan los Marineros. Se busca <strong>de</strong>spués , qué<br />

viento es el que hará andar á un Navío lo mas que<br />

sea posible , y se <strong>de</strong>muestra que no es siempre el<br />

mismo , ni aquel en que vaya en Popa, no obstante<br />

que hasta ahora se ha creido generalmente que lo<br />

era, siempre que sirviesen las mismas Velas; no<br />

habiéndose persuadido nadie á que el viento largo<br />

podia ser mas ventajoso , sino solo porque á Popa<br />

se tapan el viento unas Velas á las otras: se^ halla<br />

la fórmula que expresa el valor <strong>de</strong> dicho ángulo<br />

ventajoso que <strong>de</strong>be formar el viento , y por ella se<br />

manifiesta que es variable , porque <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> la<br />

razón en que estubieren las resistencias <strong>de</strong>l costado<br />

y <strong>de</strong> la Proa <strong>de</strong>l Navío ; como también <strong>de</strong> la cantidad<br />

<strong>de</strong> Velamen que llevare, y <strong>de</strong> la curvidad <strong>de</strong><br />

las Velas : <strong>de</strong> suerte , que quanto mayor sea aquella<br />

razón , y la cantidad <strong>de</strong> Velamen , mas avierto<br />

es el ár.p-ulo <strong>de</strong> viento que se necesita para hacer<br />

andar el Navío lo mas que es posible ; y al contrario<br />

, quanto menor sea la curvidad <strong>de</strong> las Velas<br />

ó violencia <strong>de</strong>l viento. En un Navío <strong>de</strong> 60 Cañones<br />

se halla que no llevando mas que 8065 pies<br />

quadrados <strong>de</strong> Velamen, es el viento en Popa el que<br />

mas le hará andar: que luego que largue mas , ya<br />

no será sino otro viento mas avierto; y que llevando<br />

XLV1I<br />

do 1^680 píes , es el viento avierto <strong>de</strong> 41 o 56' el<br />

que mas velocidad le dará. Se substituyen <strong>de</strong>spués<br />

estos ángulos ventajosos en la fórmula que dá la<br />

velocidad, y se halla la máxima <strong>de</strong> máximas, ó la<br />

mayor que <strong>de</strong> innumerables casos pue<strong>de</strong> resultar:<br />

en un Navío <strong>de</strong> 60 Cañones se halla esta <strong>de</strong> *$ <strong>de</strong><br />

la velocidad <strong>de</strong>l viento : y en un Xabeque, <strong>de</strong> ;¿?<br />

<strong>de</strong> la misma : <strong>de</strong> suerte T que la velocidad <strong>de</strong> este<br />

es,TV5 mayorque la <strong>de</strong>l viento.. Para hallar la máxima<br />

velocidad con que se pue<strong>de</strong> salir á barlovento,,<br />

y la relación entre los ángulos que la <strong>de</strong>ben producir<br />

, resulta una fórmula muy complicada : esta<br />

manifiesta , que los. ángulos no <strong>de</strong>ben ser los mismos<br />

que los que hacen, andar al Navio lo mas que<br />

es. posible , sino distintos , y que <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>n , como<br />

en los <strong>de</strong>más casos, no- solo <strong>de</strong> la relación entre las<br />

resistencias <strong>de</strong>l costado y Proa ,. sino también <strong>de</strong> la.<br />

cantidad <strong>de</strong> Velamen que se largue,, y dé la curvidad<br />

<strong>de</strong> las Velas ó ímpetu <strong>de</strong>l viento.: <strong>de</strong> suerte,<br />

que quanto, mas, Velamen se Heve, y menos fuerza<br />

tenga el viento , mas agudos <strong>de</strong>ben ser los ángulos,,<br />

que han <strong>de</strong> formar el viento y las Velas con la Quilla<br />

, para ganar lo, mas que sea posible barlovento..<br />

Hallados, últimamente , los valores <strong>de</strong>. ettos ángulos<br />

, y substituidos en la fórmula que da la velocidad<br />

con que sale á barlovento , se halla Ja máxima<br />

<strong>de</strong> estas: en el Navio <strong>de</strong> 60 Cañones, se encuentra.<br />

<strong>de</strong>. T'/ZS <strong>de</strong> la. velocidad <strong>de</strong>l Viento > quando en el<br />

méthodo que,usan los Marineros, solo,es <strong>de</strong> 'JJ. ;<br />

j 1000<br />

ae suerte, que se pue<strong>de</strong> gnnar una tercera parte <strong>de</strong>.<br />

mas barlovento, <strong>de</strong> lo que hoy se consigue..<br />

El Cap, 3. se estien<strong>de</strong> sobre la inclinación que.<br />

<strong>de</strong>-<br />

*f1


en tomar las Embarcaciones obligadas por el impulso<br />

<strong>de</strong>l viento en las Velas: pues teniendo ya<br />

examinado en el Cap. 6. <strong>de</strong>l Libr. 2. lo momentos<br />

con que resisten sus costados la inclinación, y en el<br />

primero <strong>de</strong>l Libr. 3. los que el viento causa en las<br />

Velas , la igualación <strong>de</strong> estos , produce la inclinación<br />

que <strong>de</strong>be resultar. Se da, por este medio , la<br />

fórmula que expresa su valor , y aunque se advierten<br />

en ella varias cantida<strong>de</strong>s en el caso <strong>de</strong> algunas<br />

Embarcaciones, se reducen á solo una, por ser <strong>de</strong>spreciables<br />

las <strong>de</strong>más. Se aplica <strong>de</strong>spués esta fórmula<br />

á varios exemplos, y se concluyen las mismas<br />

inclinaciones que en la práaica se observan diariamente.<br />

Al contrario en el antiguo systhema <strong>de</strong> las<br />

resistencias resultan las inclinaciones muy apartadas<br />

<strong>de</strong> la realidad , y manifiestan los absurdos que resultan<br />

<strong>de</strong> sus falsas suposiciones , y aun <strong>de</strong> experiencias<br />

autorizadas. Se explica también lo que se<br />

ha entendido por punto vélico , y la colocación<br />

que se ha <strong>de</strong>seado <strong>de</strong> este para conseguir que el<br />

Navío no se incline, manifestando la imposibilidad<br />

<strong>de</strong> este proyeao. Se da también el cálculo y exemplo<br />

<strong>de</strong>l caso, no bien temido aun , que los Marineros<br />

llaman tomar por alúa , y se <strong>de</strong>muestra el gran<br />

riesgo que en él se tiene <strong>de</strong> perecer. Las fórmulas<br />

que expresan la inclinación que un Navío <strong>de</strong>be tornar,<br />

se extien<strong>de</strong>n <strong>de</strong>spués á los casos en que se le<br />

dé alguna variación al Buque, ya sea en su peso, ó<br />

en su volumen sumergido en el fluido : y <strong>de</strong> ellas<br />

se <strong>de</strong>duce, que el Navío aguantará mas la Vela si<br />

el peso añadido se colocare mas baxo que la superficie<br />

<strong>de</strong>l agua, y al contrario si se colocare mas alto$<br />

0 ' sien-<br />

XLIX<br />

siendo el mayor ó menor aguante proporcional á la<br />

distancia que se colocare <strong>de</strong> dicha superficie: y asimismo<br />

que aguantará mas la Vela , si el volumen<br />

que se le añadiere estubiese mas alto que el que se<br />

le quitare 5 y al contrario : y si fuesen peso y volumen<br />

los que se añadiesen , aguantará mas la Vela ,<br />

si el volumen estubiere mas alto que el peso. Últimamente<br />

se <strong>de</strong>muestra , que en Navios enteramente<br />

semejantes , los aguantes <strong>de</strong> Vela son en razón inversa<br />

<strong>de</strong> sus dimensiones lineares: y que en las inclinaciones<br />

<strong>de</strong> Popa á Proa , muy lexos <strong>de</strong> sumergirse<br />

estas, por la acción ó fuerza <strong>de</strong> las Velas , se<br />

levantan mas sobre el fluido, en el caso <strong>de</strong> los Buques<br />

que hoy se estilan.<br />

El Cap.4. trata <strong>de</strong>l govierno <strong>de</strong>l Navío : esto<br />

es, <strong>de</strong> la combinación <strong>de</strong> las fuerzas que aauan continuamente<br />

á hacer girar el Navío, <strong>de</strong> las quales el<br />

Timón es solo una <strong>de</strong> ellas , y en ocasiones no la<br />

mas eficaz. Se <strong>de</strong>muestra que el exe <strong>de</strong> la fuerza<br />

motriz , supuestas las Velas planas, y el Navío sin<br />

inclinación, no concurre con el exe <strong>de</strong> las resistencias<br />

, y que solo se unen á causa <strong>de</strong> la curvidad<br />

que toman aquellas , y la inclinación que en este<br />

resulta: y como uno y otro <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> la mayor ó<br />

menor violencia <strong>de</strong>l viento , y <strong>de</strong> la mas ó menos<br />

cantidad y altura <strong>de</strong> Jas Velas : se sigue , que variando<br />

qualquiera <strong>de</strong> estas cantida<strong>de</strong>s, varia el exe<br />

<strong>de</strong> la fuerza motriz , y se per<strong>de</strong>rá el equilibrio en<br />

el govierno, que por consiguiente será muy inconstante^,<br />

sin embargo <strong>de</strong> lo que hasta ahora se nos ha<br />

enseñado. Se evi<strong>de</strong>ncian todos los casos en que el<br />

Navio <strong>de</strong>be orzar y arribar , ya porque se altere<br />

TQJH.I,<br />

& 4


el viento , ó porque aumente ú disminuya la altura<br />

ó amplitud <strong>de</strong> las Velas , asi como por qualquiera<br />

variación que se haga en la estiva <strong>de</strong>l Buque , o en<br />

las dimensiones, <strong>de</strong> este, particularmente en sus lanzamentos<br />

, que son una <strong>de</strong> las principales causas <strong>de</strong><br />

que <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> el buen govierno, no obstante que<br />

algunos celebrados Construaores no lo han cre.do<br />

hasta ahora : y por ultimo se trata <strong>de</strong> Ja colocación<br />

<strong>de</strong> los. Palos, en que también consiste el perfeao<br />

govierno en todos los casos que pue<strong>de</strong>n darse<br />

<strong>de</strong> variaciones <strong>de</strong> Velas, y esfuerzos <strong>de</strong>l viento,<br />

verificados con exemplos práaieos ; concluyendo<br />

con la fórmula general que encierra el todo <strong>de</strong><br />

ellos»<br />

El Cap. 5. trata <strong>de</strong>l balance y cabezada , asuntos<br />

en que , aun mas que en otros , se han pa<strong>de</strong>cido<br />

hasta ahora gran<strong>de</strong>s equivocaciones , pues solo se<br />

han consi<strong>de</strong>rado <strong>de</strong>pendientes <strong>de</strong>l estado y disposición<br />

<strong>de</strong>l Buque , y en ninguna manera <strong>de</strong>l volumen<br />

y velocidad <strong>de</strong> la ola, que es la principal causa.<br />

Se dan primero las fórmulas , ó valor, no solo<br />

<strong>de</strong>l tiempo en que da el Navio el balance. * consí-,<br />

<strong>de</strong>rado como un simple péndulo , según se ha hecho<br />

hasta aqui por todos los Autores , sino también<br />

<strong>de</strong> la velocidad , y <strong>de</strong> la acción que en él pa<strong>de</strong>cen<br />

los Palos y Buque.. Se manifiesta que esta<br />

acción s que es la única á que se. <strong>de</strong>be aten<strong>de</strong>r , no<br />

es precisamente en razón inversa <strong>de</strong> los. tiempos,<br />

pues <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> también <strong>de</strong> la magnitud <strong>de</strong>l balance,<br />

y esta , consi<strong>de</strong>rado el Navio como péndulo,( no<br />

resulta en modo alguno, <strong>de</strong>l tiempo ," pero, lo que es<br />

mas a se hace evi<strong>de</strong>nte que la acción <strong>de</strong> los Palos y<br />

LI<br />

el Buque está tan apartada <strong>de</strong> <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>r <strong>de</strong>l tiempo<br />

en que se da el balance , que al contrario la máxima<br />

que -pa<strong>de</strong>cen es precisamente quando ya no se<br />

mueve el Navío , y está ai punto <strong>de</strong> reponerse , ó<br />

<strong>de</strong> volverse á drisar. Se examina <strong>de</strong>spués el balance<br />

que ocasiona la ola , y el tiempo en que esta <strong>de</strong>be<br />

pasar por <strong>de</strong>baxo <strong>de</strong>l Navío : se manifiesta lo<br />

que contribuye la velocidad <strong>de</strong> aquella, y lo poco<br />

que alteran sus eféaos las Velas. Se hace ver que<br />

aquel tiempo es gran<strong>de</strong> con las olas chicas , que<br />

disminuye hasta un mínimo , y que <strong>de</strong>spués vuelve<br />

á aumentar en olas mayores : <strong>de</strong> suerte, que en un<br />

Navío <strong>de</strong> 60 Cañones la ola que pasa mas prontamente<br />

por <strong>de</strong>baxo <strong>de</strong> él, es la <strong>de</strong> poco mas <strong>de</strong> 3<br />

pies <strong>de</strong> alto; todas las <strong>de</strong>más , sean mayores ó menores<br />

, emplean mas tiempo. Se hace ver también<br />

la diferencia que hay entre las olas agitadas por un<br />

viento constante , y las que llaman los Marineros<br />

<strong>de</strong> Leba, que son las que subsisten <strong>de</strong>spués <strong>de</strong> caLmadoel<br />

viento que las causó 5 y se evi<strong>de</strong>ncia el<br />

error á que indugeron estas, haciendo creer á Mr.<br />

Bouguer que los balances que daba la Fragata el<br />

Tritón duraban siempre 4 f segundos. Se <strong>de</strong>muestran<br />

<strong>de</strong>spués los perjuicios que Se siguieran <strong>de</strong> separar<br />

mucho <strong>de</strong>l centro <strong>de</strong> gravedad los varios pesos<br />

<strong>de</strong> que se compone la carga <strong>de</strong>l Navío , para<br />

dilatar el tiempo <strong>de</strong>l balance , por motivo <strong>de</strong> que<br />

con ello se aumenta su velocidad y magnitud : y<br />

también, aunque resulta que fuera conveniente para<br />

lo mismo disminuir la distancia <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el centro <strong>de</strong><br />

gravedad al metacentro , se concluye lo muy perjudicial<br />

que esto seria para que las olas pasaran<br />

gz por<br />

/


Ln<br />

por encima <strong>de</strong> la Embarcación y la anegasen; punto<br />

que hasta ahora no se ha tenido presente, siendo<br />

sin embargo <strong>de</strong> los mas importantes , y que merecen<br />

el mayor cuidado. Con esto se examina <strong>de</strong>spués<br />

la verda<strong>de</strong>ra theórica <strong>de</strong>l balance: se <strong>de</strong>duce<br />

el tiempo legítimo en que <strong>de</strong>be darle el Navio ,<br />

combinando entre sí el que diera como tal péndulo,<br />

y como si sota la ola aauase y y se halla que el verda<strong>de</strong>ro<br />

tiempo toma un medio entre aquellos dos:<br />

el Navío <strong>de</strong> 6o Cañones , por exemplo , se halla<br />

que diera su balance como péndulo en 2 \ segundos<br />

: y que por sola la causa <strong>de</strong> una ola <strong>de</strong> 9 pies<br />

<strong>de</strong> alto , fuera en 3, <strong>de</strong> lo que resulta el verda<strong>de</strong>ro<br />

tiempo en que le dará con la misma ola <strong>de</strong> 2 6 f. Suponiendo<br />

que en el mismo Navío se separaran los<br />

pesos <strong>de</strong>l centro , ó exe sobre que gira el Navío,<br />

<strong>de</strong> \ mas <strong>de</strong> lo que se suponen , solo aumentará el<br />

tiempo <strong>de</strong> medio segundo ; y disminuyendo la distancia<br />

<strong>de</strong>s<strong>de</strong> el metacentro al centro <strong>de</strong> gravedad<br />

á los i, solo aumentará el mismo tiempo <strong>de</strong> {¡ <strong>de</strong><br />

segundo. Se <strong>de</strong>termina <strong>de</strong>spués la magnitud <strong>de</strong>l<br />

balance , y se halla , que en el segundo caso en<br />

que se separasen los pesos , aumentara el balance<br />

<strong>de</strong> j partes mas <strong>de</strong> lo que fuera en el primer caso<br />

: y en el tercero , en que se disminuyera la distancia<br />

<strong>de</strong>s<strong>de</strong> el metacentro al centro <strong>de</strong> gravedad<br />

, aumentará asimismo la magnitud <strong>de</strong>l balance<br />

<strong>de</strong> j mas <strong>de</strong> Jo que fue antes : ambas cantida<strong>de</strong>s ,<br />

que producen mas perjuicio que el beneficio que se<br />

logra por aumentar tan poco el tiempo. En efeao,<br />

hallada <strong>de</strong>spués la fórmula que expresa la acción<br />

que pa<strong>de</strong>cen los Palos en el balance, y por ella la<br />

H<br />

mí-<br />

un<br />

mínima que <strong>de</strong>ben pa<strong>de</strong>cer , variando el tiempo en<br />

que como péndulo pue<strong>de</strong> el Navío oscilar , se halla,<br />

que este tiempo <strong>de</strong>be ser igual al que emplea<br />

la ola en pasar por <strong>de</strong>baxo <strong>de</strong>l Navío , ó en que<br />

diera este el balance por la sola causa <strong>de</strong> la ola.<br />

De esto se infiere, que para ganar esta ventaja fuera<br />

necesario variar la estiva para cada ola , lo que<br />

seria muy expuesto, sino imposible, en la práaica:<br />

por tanto se juzga que conviene disponer la estiva<br />

para un caso medio <strong>de</strong> olas que, por su magnitud,<br />

amenacen las arboladuras. Asi como se buscó la<br />

acción mínima que <strong>de</strong>ben pa<strong>de</strong>cer estas por medio<br />

<strong>de</strong> variar el tiempo en que oscile el Navio como<br />

péndulo, se solicita también por medio <strong>de</strong> variar la<br />

distancia <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el centro <strong>de</strong> gravedad al metacentro,<br />

y se halla, que en esto no hay límite , y que<br />

quanto mayor sea aquella distancia , mas pa<strong>de</strong>cerán<br />

las arboladuras. Esto nos habia <strong>de</strong> inducir á<br />

disminuirla lo mas que fuera posible ', pero á mas<br />

<strong>de</strong> que seria perjudicial para el aguante <strong>de</strong> Vela,<br />

hay también otro inconveniente no menos esencial<br />

á que aten<strong>de</strong>r, y es, que las mares pasaran por encima<br />

<strong>de</strong>l Buque con mas facilidad. En efeao, buscando<br />

<strong>de</strong>spués la altura á que llegarían las aguasen<br />

los costados, se da la fórmula que expresa esta elevación<br />

, y se halla que será mayor, quanto menor<br />

sea la distancia entre el centro <strong>de</strong> gravedad y el<br />

metacentro 5 ó en una palabra , que dichas alturas<br />

serán como los quadrados <strong>de</strong> los tiempos en que los<br />

Navios dieren sus balances : nuevo motivo porque<br />

no se <strong>de</strong>ben aumentar estos con <strong>de</strong>masía. Para el<br />

Navio <strong>de</strong> 60 Cañones, estivado en su regular,. se<br />

halla


1<br />

LIV f _ .<br />

halla que la ola <strong>de</strong> 36 pies <strong>de</strong> alto se elevará sor<br />

bre el costado 15 ¡- pies : apartando los pesos = mas<br />

<strong>de</strong>l exe <strong>de</strong> rotación, se elevará <strong>de</strong> 21 i pies; y disminuyendo<br />

la distancia <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el centra <strong>de</strong> gravedad<br />

al metacentro á los \, se elevarán <strong>de</strong> 19 pies :<br />

con que no teniendo la borda ó costado <strong>de</strong>l Navío<br />

sino solos 16 á 17 pies <strong>de</strong> alto , bien se ve , que en<br />

estos dos últimos casos las aguas pasaran por encima<br />

<strong>de</strong>l Buque, anegándole dé agua cada ola , inconveniente<br />

grandísimo , que se hace forzoso precaver<br />

, renunciando un poco á la mayor seguridad<br />

<strong>de</strong> las arboladuras , pues si estas pi<strong>de</strong>n que el ba*<br />

lance dure 4 ú 5 segundos , la elevación <strong>de</strong> las olas<br />

no lo requieren, quando mas, sino <strong>de</strong> 3. Se halla<br />

que las Fragatas pa<strong>de</strong>cen aun mucho mas estas inundaciones<br />

, y por ello requieren que á proporción<br />

tengan mayor la distancia entre el centro <strong>de</strong> grave*<br />

dad y el'metacentro : sedan exemplos <strong>de</strong> la nin-f<br />

guna atención que á esto se tiene 5 y se concluye<br />

dando reglas para asegurarse en punto tan principal<br />

, y con especificar casos en que pue<strong>de</strong>n ser aun<br />

mucho mas extraordinarios y temibles los mismos<br />

balances. Sigue <strong>de</strong>spués el Capítulo tratando <strong>de</strong> la<br />

cabezada. Con los mismos principios se halla el<br />

tiempo en que <strong>de</strong>be darla el Navío, consi<strong>de</strong>rado<br />

como péndulo, y se encuentra que es casi el mismo<br />

que aquel en que da el balance ; resulta por la qual<br />

parece que <strong>de</strong>bieran inferirse en aquella las mismas<br />

conseqüencias que en este 5 pero en la primera no<br />

fue necesario hacer atención á la velocidad <strong>de</strong>l Navío,<br />

como se hace preciso ahora. Se examina con<br />

ello el verda<strong>de</strong>ro tiempo en que dará la cabezada,<br />

y.<br />

LV<br />

y se halla que esta será menor, quanto mayor sea la<br />

velocidad <strong>de</strong>l Navio : <strong>de</strong> suerte, que el <strong>de</strong> 60, navegando<br />

<strong>de</strong> bolina.con 10 pies <strong>de</strong> velocidad, y<br />

siendo la ola <strong>de</strong> 9 pies <strong>de</strong> alto , dará su cabezada<br />

en una tercera parte <strong>de</strong> tiempo menos que la daria<br />

consi<strong>de</strong>rado como péndulo , y que fuera <strong>de</strong> ¿| segundos.<br />

Se examina también <strong>de</strong>spués la magnitud<br />

<strong>de</strong> la cabezada , su máxima velocidad ., y por fin,<br />

la acción que en ella pa<strong>de</strong>cen los Palos. La mínima<br />

que pue<strong>de</strong>n pa<strong>de</strong>cer es en el caso <strong>de</strong> que^él<br />

tiempo en que el Navío dé su cabezada ,. consií<br />

rado como péndulo , sea igual al tiempo en quería<br />

diera por solo la causa <strong>de</strong> la ola: la mismo que resultó<br />

en el balance $ pero en este, el primer tiempo<br />

se halla menor que el segundo, y en la cabezada al<br />

contrario, el segundo es menor que el primero; por<br />

cuyo motivo, si en aquel se necesita separar los pesos<br />

<strong>de</strong>l exe <strong>de</strong> rotación para aliviar lasarboladuras*<br />

en esta se necesita que se aproximen , aliviando<br />

quanto fuere posible el peso <strong>de</strong> las cabezas. Igualmente<br />

se <strong>de</strong>muestra , que la acción, <strong>de</strong> los. Palos en<br />

las cabezadas es cama los quadrados <strong>de</strong> las; longitu<strong>de</strong>s<br />

<strong>de</strong> los Navios , y por tanto se evi<strong>de</strong>ncia la<br />

necesidad <strong>de</strong> no alargarlos mucho, por solo el fin<br />

<strong>de</strong> que an<strong>de</strong>n algo mas. El disminuir la, distancia<br />

<strong>de</strong>s<strong>de</strong>, el centro, <strong>de</strong> gravedad al metacentro también<br />

conduce para lo propio', pero <strong>de</strong>l mismo modo que<br />

en el balance , las elevaciones <strong>de</strong>. las aguas en la<br />

Proa fueran en tal caso mayores : y tanto mas y<br />

quanto en estas acciones la velocidad <strong>de</strong>l Navío<br />

contribuye mucho á producir mayor efeao. En el<br />

<strong>de</strong> 60 Cañones , navegando <strong>de</strong> bolina con iu pies<br />

<strong>de</strong>


LVI<br />

<strong>de</strong> velocidad , se halla , que una ola <strong>de</strong> 9 pies <strong>de</strong><br />

alto se eleva en la Proa mas <strong>de</strong> 9 pies , quando si<br />

no andará , no llegaría ni á 6. En el mismo caso<br />

, y con ola <strong>de</strong> 36 pies <strong>de</strong> alto , se elevaría el<br />

agua <strong>de</strong> 16 | pies , supuesto el Navío parado ; y<br />

con el andar <strong>de</strong> 15 pies por segundo se elevara hasta<br />

20 ij: esto es, 3 pies mas que toda la altura <strong>de</strong>l<br />

Buque. Esto concluye la necesidad <strong>de</strong> acortar Vela<br />

con vientos forzados, según lo praaican los Marineros<br />

, y la imposibilidad <strong>de</strong> llevar todo el Velamen<br />

, como lo preten<strong>de</strong> Mr. Bouguer. Quando las<br />

olas chocan por la Popa , la velocidad <strong>de</strong>l Navio<br />

aaua todo al contrario , y conduce á disminuir la'<br />

elevación <strong>de</strong> las aguas : en el mismo caso <strong>de</strong> la ola<br />

<strong>de</strong> 36 pies , y velocidad <strong>de</strong>l Buque <strong>de</strong> 15 por segundo,<br />

se halla, que solo <strong>de</strong>bejuelevarselas aguas<br />

<strong>de</strong> 10;. pies 5 quando allá se hallaron 201: cinco<br />

pies <strong>de</strong> mas velocidad en el Navío , solo disminuyeran<br />

lo altura <strong>de</strong> las aguas <strong>de</strong> l T pie y lo que concluye<br />

la poca necesidad que hay yendo á Popa, <strong>de</strong><br />

largar mucha Vela , por solo huir <strong>de</strong> las olas : basta<br />

haber largado la suficiente para llegar á lograr<br />

la velocidad <strong>de</strong> 15 , ó pocos mas pies. De la precisa<br />

mayor elevación <strong>de</strong> las aguas que por estos<br />

motivos han <strong>de</strong> resultar en la Proa, se <strong>de</strong>duce claramente<br />

, que la altura <strong>de</strong>l metacentro sobre el centro<br />

<strong>de</strong> gravedad , correspondiente á la parte <strong>de</strong><br />

Proa, <strong>de</strong>be ser mayor que la correspondiente á la<br />

<strong>de</strong> Popa : ó porque dichas alturas <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>n <strong>de</strong> las<br />

anchuras <strong>de</strong> los extremos , se hace conseqüente la<br />

precisa necesidad <strong>de</strong> que la Proa sea mas amplia ó<br />

voluminosa que la Popa : lo que siempre han prac-><br />

4+<br />

ti-<br />

LVII<br />

ticádo los Marineros , contra el general diaamen<br />

<strong>de</strong> los Geómetras, que siempre han querido Proas<br />

agudas para andar , sin reflexionar que pue<strong>de</strong>n ser<br />

la ruina <strong>de</strong> los Buques , y aun quizás pérdida <strong>de</strong> la<br />

misma perfección que solicitan. Después <strong>de</strong> esto se<br />

concluye el Libro, tratando sobre la colocación <strong>de</strong><br />

la mayor anchura <strong>de</strong>l Navío , y sobre la figura que<br />

<strong>de</strong>ben tener sus Qua<strong>de</strong>rnas, para lograr igualmente<br />

la mayor perfección en los movimientos <strong>de</strong> las<br />

cabezadas. ><br />

El Libro g , y último <strong>de</strong> la Obra , contiene<br />

una recopilación <strong>de</strong> todos los antece<strong>de</strong>ntes, abstracción<br />

hecha <strong>de</strong> cálculos analíticos , á fin <strong>de</strong> poner<br />

el todo , en quanto sea posible, al alcance <strong>de</strong> los<br />

Marineros. El Cap. 1. trata <strong>de</strong> la fortaleza <strong>de</strong> los<br />

Navios , <strong>de</strong>l grueso <strong>de</strong> sus ma<strong>de</strong>ras , y <strong>de</strong> las medidas<br />

principales con que se <strong>de</strong>ben construir : se<br />

<strong>de</strong>muestra la <strong>de</strong>bilidad con que se construyen los<br />

Navios, y la <strong>de</strong>masiada fortaleza que se da á las<br />

Fragatas , sin embargo <strong>de</strong> que á proporción están<br />

aquellos mucho mas sobrecargados <strong>de</strong> Artillería: y<br />

se dan reglas para construir con la <strong>de</strong>bida proporción<br />

5 concluyendo con el méthodo <strong>de</strong> reglar los<br />

gruesos , pesos y fuerzas <strong>de</strong> las ma<strong>de</strong>ras quando se<br />

hicieren <strong>de</strong> distintos materiales.<br />

El Cap.2. trata <strong>de</strong> la magnitud <strong>de</strong> los Navios:<br />

se hace patente lo que se ha aumentado mo<strong>de</strong>rnar<br />

mente sin gran necesidad , y las ventajas que <strong>de</strong><br />

unas y otras medidas resultan ; dando reglas para<br />

proporcionarlas , según la Artillería que <strong>de</strong>ban<br />

montar los Buques : <strong>de</strong> que se infiere lo mucho<br />

que conviene el que esta sea corta y ligera, no solo<br />

Tam.i. h para


::<br />

tendido algunos Marineros theóricos , por sola la<br />

razón <strong>de</strong> que es mayor su aguante <strong>de</strong> Vela. Se inquiere<br />

también la variación <strong>de</strong>l mismo aguante que<br />

<strong>de</strong>be resultar, variando qualesquiera medidas, peso*<br />

© Buque <strong>de</strong>l Navío : y el todo se ilustra con los<br />

exemplos necesarios*<br />

El Cap.4. trata <strong>de</strong>l andar y rumbo que siguen<br />

las Naves: y como las fórmulas por don<strong>de</strong> se <strong>de</strong>dugeron<br />

las <strong>de</strong>mostraciones , resultaron tan complicadas<br />

, se procura explicar el todo por construcciones<br />

geométricas , que se hacen muy fácilmente<br />

inteligibles. El Cap. 5. se estien<strong>de</strong> sobre el govier-r<br />

no , explicando todas, sus fuerzas , como ventajas<br />

en la colocación <strong>de</strong> los Palos con igual méthodo :<br />

y últimamente el 6 trata <strong>de</strong>l balance y cabezada ,<br />

con el aumento <strong>de</strong> varios exemplos , y atenciones<br />

para suavizarlos. Si sobre el todo se cuidare <strong>de</strong><br />

consultar la práaica , se verá patentemente su legítima<br />

correspon<strong>de</strong>ncia con nuestra theórica :. único<br />

medio para acreditar la certeza <strong>de</strong> los principios,<br />

sobre que se funda..<br />

TA-<br />

TABLA<br />

De los Capítulos y asuntos.<br />

LIBRO 1.<br />

CAP ITM LO 1.<br />

D<br />

Pag.<br />

E.las Difiniciones, Axiomas y principios <strong>de</strong>l<br />

movimiento. 1.<br />

Definiciones <strong>de</strong>l lugar <strong>de</strong>l cuerpo 1.<br />

movimiento., 2.<br />

<strong>de</strong> la velocidad |.<br />

<strong>de</strong>l movimiento uniforme y accelerado<br />

3.<br />

espacio corrido ¿. 4.<br />

<strong>de</strong> la masa 4.<br />

. <strong>de</strong>nsidad. 4.<br />

fuerza ó potencia............ y.<br />

fuerza innata,inercia, ó inacción, j.<br />

.cantidad <strong>de</strong> movimiento......... 6.<br />

Axiomas ó leyes <strong>de</strong>l movimiento. .['§.<br />

En el movimiento, uniforme los espacios corridos<br />

•son como los tiempos. g.<br />

En el movimiento uniforme los espacios corridos<br />

en iguales tiempos, son como las velocida<strong>de</strong>s. 10,<br />

En el movimiento uniforme los espacios corridos<br />

son en razón compuesta.<strong>de</strong> los tiempos , y <strong>de</strong><br />

las velocida<strong>de</strong>s. 19.<br />

La velocidad se expresa por el espacio corrido en<br />

un segundo <strong>de</strong> tiempo 11.<br />

Del exceso ó. <strong>de</strong>fecto <strong>de</strong> velocidad con que se<br />

mueve, un cuerpo á qualquier instante <strong>de</strong> su<br />

carrera. ».»..... 12.<br />

De la relación entre el tiempo, velocidad , y potencias<br />

que animan los cuerpos * 2 «<br />

bz Peí


Del espacio que corre un cuerpo eñ el movimiento<br />

aco<strong>de</strong>rado ó retardado 13.<br />

Los espacios corridos <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el reposo, animando<br />

potencias constantes, son como los quadrados<br />

<strong>de</strong> los tiempos ,... 14.<br />

Los espacios corridos <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el reposo, animando<br />

potencias constantes, son como los quadrados<br />

<strong>de</strong> las velocida<strong>de</strong>s adquiridas 16.<br />

Los cuerpos graves corren espacios;queson como<br />

los quadrados <strong>de</strong> los tiempos en que los corren. 16".<br />

Todos los cuerpos graves corren espacios iguales<br />

en ¡guales tiempos. 16".<br />

En los cuerpos graves las potencias son como sus<br />

masas, o como sus <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong>s 17.<br />

Los cuerpos graves corren <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el reposo en un<br />

segundo JÓ pies Ingleses. 17,<br />

. . .<br />

C A P I TU LO i.<br />

Del movimiento compuesto. ip.:<br />

El movimiento por una dirección no altera el movimiento,<br />

por otra. ip*<br />

El cuerpo corre por una dirección media entre<br />

dos por don<strong>de</strong> se dirige ip.-<br />

De la <strong>de</strong>scomposición <strong>de</strong>l movimiento ,. 24..<br />

C AP I TU LO ,3.<br />

Del centro <strong>de</strong> gravedad y movimiento -<strong>de</strong> un systhema<br />

<strong>de</strong> cuerpos 26.<br />

Que sea centro <strong>de</strong> gravedad y <strong>de</strong> masas 34.<br />

Moviéndose todas las masas <strong>de</strong> un systhema por<br />

direcciones paralelas, también se mueve el centro<br />

<strong>de</strong> gravedad paralelamente 34.<br />

La distancia perpendicular <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el centro <strong>de</strong> las<br />

masas á un plano, es igual á la suma <strong>de</strong> los productos<br />

<strong>de</strong> cada masa por su distancia perpendicular<br />

al mismo plano , dividida por la soma<br />

<strong>de</strong><br />

4f<br />

délas masas, 35.<br />

De la relación entre las potencias, masas, veloci- .<br />

da<strong>de</strong>s, y tiempos en un systhema $6.<br />

El centro <strong>de</strong> un cuerpo se mueve <strong>de</strong>l mismo modo<br />

que. sifuera Un systhema <strong>de</strong> cuerpos libres 351.<br />

De la relación entre las potencias, velocida<strong>de</strong>s y<br />

tiempo en.qualquiera numeró.<strong>de</strong> cuerpos-... 3$.<br />

En los cuerpos igualmente <strong>de</strong>nsos, la distancia<br />

perpendicular <strong>de</strong>s<strong>de</strong> su centro <strong>de</strong> las masas á<br />

un plano qualquiera, es igual i la suma, <strong>de</strong> los<br />

producios <strong>de</strong> cada espacio diferencial, por su<br />

-distanciaperpendicular al mismo plano 41.<br />

Hallar el centro <strong>de</strong> las masas. 42.<br />

CAPITULO 4.<br />

De la rotación <strong>de</strong> un systhema, <strong>de</strong> su ángulo giratorio<br />

ú <strong>de</strong> rotación 44.<br />

Hallar el ángulo giratorio, ú velocidad angular,, 45.<br />

De los momentos <strong>de</strong> las potencias, y <strong>de</strong> inercia.. 47.<br />

Del plano giratorio ú <strong>de</strong> la rotación 48.<br />

.Un systhema libre gira <strong>de</strong>l mismo modo que<br />

quando su centro <strong>de</strong> las masas está fixo 5; 5.<br />

Del exe <strong>de</strong> rotación. 58.<br />

Del plano directorio 58.<br />

Expresión, general <strong>de</strong>l ángulo giratorio <strong>de</strong> un.<br />

cuerpo. • • ooy 61.<br />

El centro <strong>de</strong> gravedad en los cuerpos graves que<br />

giran sobre un> punto, han <strong>de</strong> <strong>de</strong>scen<strong>de</strong>r lo mas<br />

. que es posible..» 6$,<br />

De los Péndulos,<br />

Del Péndulo simple. 6q».<br />

Del Péndulo compuesto., .. 6%.<br />

De la longitud <strong>de</strong>l Péndulo simple isochrono con<br />

el compuesto. ........... 6á.<br />

Del centro <strong>de</strong> oscilación.. ............, ........ . 66*<br />

Error<br />

' 44-


•Error-<strong>de</strong> las- fórmulas dadas- por vatios Antoréfi<br />

pa'tahatlarla longitud <strong>de</strong>l péndulo simple....


Hallar la fuerza <strong>de</strong> percusión......... ...... 11 y.<br />

De la relación entre la gravedad y la fuerza <strong>de</strong> percusión<br />

: y aplicación <strong>de</strong> la fórmula á la práctica. 117.<br />

De la fuerza-<strong>de</strong> percusión en el martillo 118.<br />

De la fuerza <strong>de</strong> las cuerdas en los estrechones , ó<br />

tirones que se les <strong>de</strong>n 119.<br />

Hallar el riempó en que se executa el choque.... 121.<br />

El tiempo en que se executa el choque no <strong>de</strong>pen<strong>de</strong><br />

en ninguna manera <strong>de</strong> la velocidad con que<br />

se chocan los cuerpos 125.<br />

El tiempo en que se cumple el choque, quando<br />

solo actúan potencias , es duplo <strong>de</strong>l tiempo<br />

• quando solo aftuan velocida<strong>de</strong>s. .126".<br />

Aplicación <strong>de</strong> las fórmulas para hallar el tiempo<br />

en que se executa el choque á la práctica 118.<br />

Del centro <strong>de</strong> percusión..........-. 130.<br />

Caso en que concurren el centro <strong>de</strong> oscilación y<br />

<strong>de</strong> percusión ¿ .. 1 32.<br />

De loque pa<strong>de</strong>cen las fibras <strong>de</strong> una palanca en la<br />

percusión iff,<br />

Del error en que han caido los mas Geómetras,<br />

suponiendo que el centro <strong>de</strong> percusión y osci- -<br />

lacion son siempre el mismo 134.<br />

CAPITULO 7.<br />

Del movimiento <strong>de</strong> los cuerpos que insisten sobré<br />

.superficies 13;:.<br />

De la relación entre las velocida<strong>de</strong>s, y longitu<strong>de</strong>s<br />

corridas por los cuerpos que insisten sobre superficies.<br />

¿ ....... 157^<br />

Las velocida<strong>de</strong>s que adquieren los cuerpos que<br />

caen por superficies <strong>de</strong> distintas inclinaciones,<br />

son siempre iguales, si las alturas verticales <strong>de</strong><br />

don<strong>de</strong> cayeren fueren iguales 138»<br />

Del tiempo en caen los cuerpos por la eyeloi<strong>de</strong>.. 140.<br />

De la longitud que corren los cuerpos graves<br />

ca-<br />

cayendo libremente, en el tiempo que caen por<br />

el arco <strong>de</strong> la eyeloi<strong>de</strong>, ó que da una oscilación<br />

un péndulo<br />

De la relación entre las longitu<strong>de</strong>s y tiempos en<br />

que oscilan los péndulos.<br />

I 4 2 r<br />

x 45"<br />

Déla verda<strong>de</strong>ra longitud ó medida que corren los<br />

cuerpos cayendo libremente el tiempo <strong>de</strong> un<br />

segundo. *44*<br />

De la rotación <strong>de</strong> los cuerpos que insisten sobre<br />

superficies<br />

I 4^-<br />

CAPITULO 8.<br />

De la fricción. • - 14^*<br />

De la i<strong>de</strong>ntidad entre las fuerzas <strong>de</strong> fricción y <strong>de</strong><br />

percusión 14^*<br />

De la fuerza <strong>de</strong> la fricción 150.<br />

Del punto en que los cuerpos vencen la fricción. .152.<br />

De la razón en que están la fricción, y la potencia<br />

que impele al cuerpo perpendicularmente 15 3*<br />

Del valor <strong>de</strong> la fricción 154<br />

Aplicación <strong>de</strong> las fórmulas i la práctica, y error<br />

<strong>de</strong> lo que hasta ahora se ha creído sobre la<br />

fricción 158»<br />

De los efettos <strong>de</strong>spués <strong>de</strong> estar vencida la fricción. 160.<br />

Del caso en que <strong>de</strong>be pararse el cuerpo <strong>de</strong>spués<br />

<strong>de</strong> vencida la fricción. *.. I6I«<br />

Hallar en la fricción la relación entre el espacio<br />

corrido por el cuerpo, y su velocidad 162,<br />

Hallar en la fricción la relación entre el tiempo,<br />

y el espacio corrido por el cuerpo 162,<br />

Hallar el tiempo y la velocidad que en la carrera<br />

emplea y obtiene el cuerpo. 164.<br />

Dificultad sobre la theórica <strong>de</strong> la fricción dada<br />

por Leonardo Eulero , y satisfecha con la<br />

nuestra i6">.<br />

CAPITULO 9.<br />

Del efecto <strong>de</strong> la fricción en las Machinas simples. J68.<br />

Del plano inclinado * 6 9*<br />

Tom.i. i . Mr-<br />

I


Hallar la. potencia necesaria para vencer la fríe- ,<br />

cion , y hacer subir un. cuerpo por el plano<br />

inclinado. • . • 1 7°-<br />

No es la mayor potencia la que se empleaen su-<br />

• bir el cuerpo verticalmente,. sino, la que se emplea<br />

en un plano inclinado con menor ángulo.. 172.<br />

Hallar la relación, entre la. potencia y k velocidad<br />

con. que. quiera subirse, el cuerpo, por. el.<br />

plano, inclinado............ • «.• •.•.•••• ¡ '.' ' J 7$'-<br />

Hallar el. espacio, que. subitáun. cuerpo por el plano<br />

inclinado, por la relación con su velocidad. 174.<br />

Hallar el espacio que subirá, el. mismo cuerpo, por<br />

su relación con el tiempo.en.que.le subió.,...... 175.,<br />

Hallar la rotación que <strong>de</strong>ben, tomar, los cuerpos,<br />

que parados, insisten sobre, un. plano inclinado. 175..<br />

Hallar la rotación, que <strong>de</strong>ben tomar los cuerpos<br />

quando hubieren Vencido, la.fricción, y estén<br />

en movimiento.. 177*<br />

Del caso en que el cuerpo girará hacia la parte <strong>de</strong><br />

arriba <strong>de</strong>l plano, sin embargo <strong>de</strong> hallarse el centro,<br />

<strong>de</strong> gravedad.en la vertical <strong>de</strong>l apoyo,..... 178..<br />

De la,. Cuña..<br />

La Cuña se reduce al plano inclinado... 179..<br />

Hallar la potencia.necesaria para, poner en. movimiento<br />

la Cuña.«... . . • ••• -. •-•--,• • • • • • • • 1 ° I -<br />

La fuerza.<strong>de</strong> la.Cuña, según la genexalidad.<strong>de</strong> los<br />

Autores, es falsa.. ....... »• • • • • 182..<br />

Relacion.entrelaiuerzaque los. Autores dan á la<br />

Cuña, y la que resulta.segun nuestra theórica. 183.<br />

Determinar: el: caso.en que la Cuña, volverá atrás.. 184.<br />

Que el volver la.Cuña atrás no <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> solo <strong>de</strong><br />

su.ángulo, ... • •-• •••-• • • •-.... • • • 184..<br />

De la Hacha..<br />

El'efecto, <strong>de</strong> la;Hacha_ es proporcional al producto<br />

<strong>de</strong> su masa, por el: quadrado <strong>de</strong> la velocí-<br />

. dad con que choca .• • • 186"..<br />

r<br />

Del<br />

Del Tornillo.<br />

Hallar la potencia necesaria para vencer la fríe-<br />

- cion, y poner en -movimiento el Tornillo. 1*7*<br />

Hallar el caso en que el Tornillo volverá atrás<br />

luego que cese <strong>de</strong> actuar la potencia. ..._ • "P-<br />

Hallar la relación entre la potencia que anima el<br />

TornilIo,y la velocidad con que se moverá este. 189.<br />

Hallar la relación entre el tiempo, la potencia que<br />

anima el Tornillo, y el espacio qué correrá este<br />

. según la dirección <strong>de</strong> su exe. •»•;••<br />

1 9°-<br />

Del exe en peritrochio.<br />

Hallar en el exe en peritrochio la potencia nece-<br />

• saria para vencer la fricción, y poner la machina<br />

en movimiento rp 1 *<br />

La potencia que vence la fricción en el exe en peritrochio<br />

, es siempre proporcional <strong>de</strong> la potencia<br />

que se ha <strong>de</strong>- vencer. .........•••••• rPB*<br />

Hallar la máxima y mínima fuerza que vencen la<br />

fricción en el exe en peritrochio. • • • í 93-<br />

Conviene que en el exe en peritrochio las dos palancas<br />

que actúan coincidan. • IP4*<br />

Error que sobre esto han pa<strong>de</strong>cido generalmente<br />

los Autores • .»•»••-•••••»••. 19®'<br />

Conviene generalmente en la rueda aumentar su<br />

. radio, y disminuir su exe. • 197*<br />

Valor <strong>de</strong> la potencia que mantiene á la rueda ú exe<br />

. en peritrochio con una velocidad constante... 197.<br />

Del Carrucho ó Motón.<br />

Relación entre las potencias que actúan en el motón.<br />

• W<br />

Conviene en el motón que el exe sea lo mas <strong>de</strong>lgado<br />

que posible sea<br />

200,<br />

Por qué en el motón gira la roldana, y no que­<br />

da esta parada.<br />

ao1 *<br />

De la relación entre las dos potencias que actúan<br />

en la soga, y la opuesta que actúa en el mismo<br />

moton ¡I ¿d'


Del motón movible 20,.<br />

Hallar la relación entre las potencias en "el mó- -<br />

ton movible ...<br />

.......,,,..• 203.<br />

De los Aparejos.<br />

Hallar la relación entre la potencia actuante, y la<br />

resistente en los aparejos 2or.<br />

De lo que conduce en los aparejos que sea la fricción<br />

y los exes pequeños,y gran<strong>de</strong>s las roldanas. 206.<br />

De lasque conviene en los aparejos que la potencia<br />

resistente esté opuesta á la tira . 208<br />

Fórmula resultante y fácil para hallar las fuerzas"<br />

en los aparejos... 2Qg<br />

Aplicación <strong>de</strong> las fórmulas á la práctica.'.'.'.'.". *.' 208*<br />

Diferencia entre las resultas <strong>de</strong> estas, y lo qué<br />

hasta ahora se ha creído 2op#<br />

LIBRO 3.<br />

CAPITULO 1.<br />

Del equilibrio <strong>de</strong> los fluidos, y <strong>de</strong> la fuerza con<br />

que aduanen el reposo 2io,<br />

guando toda la masa <strong>de</strong>l fluido está en reposo, la<br />

fuerza que pa<strong>de</strong>cen las partículas <strong>de</strong> ella en<br />

qualquiera dirección es la misma 210-<br />

La fuerza que pa<strong>de</strong>cen las mismas es igual al peso<br />

<strong>de</strong> Ja coluna <strong>de</strong>l fluido que está sobre ellas..... 211<<br />

Quando toda la masa <strong>de</strong>l fluido está en reposo, su<br />

superficie es horizontal, y al contrario 211.<br />

En distintos fluidos que se comunican, las alturas"<br />

<strong>de</strong> ellos es en razón inversa <strong>de</strong> sus <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong>s.. 21 *.<br />

La fuerza que pa<strong>de</strong>ce una diferencial <strong>de</strong> superficie<br />

que encierra fluido, es igual al peso <strong>de</strong> una coluna<br />

<strong>de</strong>l mismo, cuya base es la diferencial,y la<br />

altura la que tubiere el fluido sobre aquella... 213.<br />

La suma <strong>de</strong> las fuerzas horizontales que pa<strong>de</strong>ce un<br />

cuerpo sumergido en un fluido,quando este está<br />

en reposo, es cero,y por tanto el cuerpo queda<br />

. enreposo en quanto al movimiento horizontal. 216.<br />

U<br />

La fuerza vertical que pa<strong>de</strong>ce un cuerpo, quando<br />

este está en reposo, es igual al peso <strong>de</strong>l fluido<br />

que <strong>de</strong>socupa el cuerpo. 216V<br />

Para que un cuerpo en el fluido esté sin movimiento<br />

vertical, es preciso que el peso <strong>de</strong>l cuerpo<br />

sea igual al <strong>de</strong>l fluido que haya <strong>de</strong>socupado<br />

, y que el centro <strong>de</strong> este , y el <strong>de</strong> gravedad<br />

estén en la misma vertical. 217..<br />

CAPITULO 2.<br />

De la fuerza con que en el movimiento actúan los<br />

fluidos contra una diferencial <strong>de</strong> superficie.... 218.<br />

De la velocidad con que el fluido sale por un<br />

-_ a g u J er ° 219.<br />

Hallar la relación entre la fuerza que pa<strong>de</strong>ce una<br />

diferencial, y la velocidad con que por ella saliera<br />

el fluido 220.:<br />

Hallar la fuerza qne pa<strong>de</strong>ce una diferencial <strong>de</strong> superficie<br />

quando se mueve <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong>l fluido... 220*<br />

Hallar la misma fuerza horizontal 224.<br />

Hallar la misma vertical 22?.<br />

Hallar la fuerza horizontal moviéndose la diferencial<br />

<strong>de</strong> superficie horizontalmente 225.<br />

Hallar la fuerza vertical moviéndose la diferencial<br />

<strong>de</strong> superficie verticalmente 2z6.<br />

Hallar la fuerza que pa<strong>de</strong>ce una diferencial <strong>de</strong> superficie<br />

quando esta está en repóso,y es el fluido<br />

el que se mueve. 228.<br />

Dudas que se ofrecen sobre las fuerzas que pa<strong>de</strong>cen<br />

las diferenciales <strong>de</strong> superficies movidas en<br />

. los fluidos , y examen <strong>de</strong> lo que hasta ahora se<br />

ha producido por los mas celebres Geómetras,<br />

y errares en que se ha incurrido 221.<br />

CAPITULO 3.<br />

De las fuerzas que pa<strong>de</strong>cen las superficies planas<br />

movidas en los fluidos 241*<br />

De la <strong>de</strong>snivelación que resulta en la superficie <strong>de</strong>l<br />

fluido, por el movimiento <strong>de</strong> otra <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> él. 243.<br />

De


De la figura que Toma la parte <strong>de</strong>l fluido <strong>de</strong>snivelada<br />

...... 243.<br />

.Hallar la fuerza horizontal que pa<strong>de</strong>ce unasuperficie<br />

plana moviéndose <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong>l fluido..... 245.<br />

Hallar la fuerza horizontal que pa<strong>de</strong>ce una super-<br />

. ficie plana, quando esté muy sumergida en el<br />

fluido en que- se mueve. 250.<br />

.Reducir las fuerzas horizontales á las que pa<strong>de</strong>ce J<br />

una superficieen qualquiera dirección....... 251.<br />

Hallar la fuerza vertical que pa<strong>de</strong>cerá una superfi-'<br />

cié plana movida en el fluido 254.<br />

De la diferente fuerza que pa<strong>de</strong>ce una superficie<br />

quando es esta la que se mueve, <strong>de</strong> la que pa<strong>de</strong>ce<br />

quando es el fluido el movido. 256.<br />

Equivocación en que cayó el Cavallero Newton,<br />

sobre el peso que sufre una superficie plana horizontal,<br />

quando sobre el la cae el fluido verticalmente.<br />

..*... 258.<br />

CAPITULO 4.<br />

De la fuerza con que en el movimiento actúan los<br />

fluidos contra qualesquiera superficies....... 2yp.<br />

Hallar la fuerza horizontal que pa<strong>de</strong>cerá la superficie<br />

formada por la revolución <strong>de</strong> una línea al re<strong>de</strong>dor<br />

<strong>de</strong> un exe horizontal, según el qual se<br />

mueve la superficie. . 2621.<br />

Hallar la fuerza horizontal que pa<strong>de</strong>cerá la super-'<br />

'ficie <strong>de</strong> un cylindro que flota,y se mueve horizontalmenteen<br />

dirección perperidicularásuexe.264.<br />

Hallar la fuerza vertical que pa<strong>de</strong>ce una superficie<br />

qualquiera,mo viéndose en un fluido inmóvil.264.<br />

Hallar la fuerza vertical que pa<strong>de</strong>cerá la superficie<br />

<strong>de</strong> un cylindro que flota,y se mueve horizontalmente<br />

en dirección perpendicular á su exe.... 265.<br />

CAPITULO 5.<br />

De las resistencias horizontales que pa<strong>de</strong>cen los<br />

cuerpos quando se mueven en los fluidos, ó que<br />

. estos se mueven chocando los cuerpos 266.<br />

Ha-.<br />

Hallarla resistencia horizontal que pa<strong>de</strong>ce un ,<br />

cuerpo movido en el fluido 266..<br />

Hallar la resistencia.horizontal que pa<strong>de</strong>ce un paralelepípedo,<br />

rectángulo movido en. el fluido... 267..<br />

Dudas sobre la. theórica <strong>de</strong> las: resistencias : examen<br />

<strong>de</strong> las experiencias, y errores en estas. ¿.. 2Ó9.<br />

Hallar la resistencia horizontal que pa<strong>de</strong>cerá el<br />

paralelepípedo, en otros varios.casos........... 272.<br />

Hallar la resistencia horizontal que pa<strong>de</strong>cerá un<br />

cylindro que fíata,y se mueve horizontalmente.<br />

en dirección perpendicular á su exe 279..<br />

Hallar la resistencia que pa<strong>de</strong>ce una esphera,. cylindro,<br />

y otros cuerpos-.. ,...:..,.. 279..<br />

Hallar la. resistencia que pa<strong>de</strong>ce un-cuerpo, qualquiera.<br />

281..<br />

CAPITULO 6.<br />

De las resistencias, verticales que pa<strong>de</strong>cen los<br />

cuerpos movidos en, los fluidos.. • • • • 284..<br />

Hallar la resistencia vertical que pa<strong>de</strong>cerá, un paralelepípedo<br />

rectángulo ... .... . 284..<br />

De la distinta, resistencia vertical que pa<strong>de</strong>ce el<br />

cuerpo en los dos casos <strong>de</strong> moverse, hacia arribaó<br />

hacia abaxo. ...... 288.<br />

CAPITULO 7.,<br />

De lo que las <strong>de</strong>snivelaciones <strong>de</strong>l fluido, en unas<br />

superficies alteran la,fuerza,y resistencia que<br />

pa<strong>de</strong>cen otras. 290..<br />

Hallar la fuerza horizontal que pa<strong>de</strong>ce una super-t<br />

ficie planalmpelente , atendiendo.á la <strong>de</strong>snivelación<br />

que produce otra.. 292..<br />

Hallar, la fuerza horizontal que pa<strong>de</strong>ce una superficie<br />

plana impelida,,atendiendo.á la <strong>de</strong>snivelación<br />

que produce otra; 295".,<br />

Hallar, la misma fuerza, atendiendo, á la <strong>de</strong>snivelación<br />

que produce-otra;superficie impelen te.... 296..<br />

Hallar las fuerzas horizontales que pa<strong>de</strong>ce una superficie<br />

plana impelente ó impelida, atendiendo.. 3-


•<br />

á la <strong>de</strong>snivelación que produce otra, quando<br />

• • media alguna distancia entre las dos ...301.<br />

Hallar la resistencia que pa<strong>de</strong>ce un paralelepípedo<br />

rectángulo , atendiendo á la fuerza que comunica<br />

á la superficie impelida la <strong>de</strong>snivelación<br />

<strong>de</strong> la impelente *0~<br />

CAPITULO 8.<br />

De las dimensiones y figura que <strong>de</strong>ben tener las líneas<br />

y superficies, para que, movidas en el fluido,<br />

padézcanla máxima ó mínima resistencia.. 306",<br />

Dada <strong>de</strong> magnitud una superficie plana vertical,hallar<br />

la figura que <strong>de</strong>be tener para que experimente<br />

en el fluido la máxima ó mínima resistencia. 307.<br />

Hallar la misma figura atendiendo á la <strong>de</strong>snivelación. 3 08,<br />

Hallar la línea que <strong>de</strong>be terminar un plano hori- -<br />

zontal, para que experimente en el fluido la<br />

máxima ó mínima resistencia 310.<br />

Dada la longitud y anchura <strong>de</strong> un plano horizontal,<br />

hallar el lugar don<strong>de</strong> <strong>de</strong>be colocarse el mayor<br />

ancho, para que la resistencia sea la máxima<br />

ó mínima 2 i$K<br />

Hallar la relación entre la profundidad y anchura<br />

que <strong>de</strong>be tener un cuerpo, para que siendo este<br />

constante pa<strong>de</strong>zca en el fluido la menor resistencia<br />

posible 3 20t<br />

Hallar la línea que <strong>de</strong>be terminar un plano horizontal,<br />

para que comprehendiendo la máxima ó<br />

mínima, experimente también la máxima ó mínima<br />

resistencia horizontal 222«<br />

Tabla <strong>de</strong> las abcisas y or<strong>de</strong>nadas <strong>de</strong> la área, que<br />

encerrando el máximo ó mínimo espacio,experimen<br />

ta la mínima ó máxima resistencia en el fluido. 330<br />

CAPITULO 9.<br />

Del movimiento progresivo horizontal que toman<br />

los cuerpos flotantes 331,,<br />

Hallar la relación entre el tiempo y la velocidad<br />

que tomará, un. cuerpo flotante impelido por<br />

una<br />

una potencia horizontal • 33 1 -<br />

£1 tiempo que .necesita un cuerpo para adquirir<br />

casi su total máxima, velocidad es muy corto;<br />

sin embargo que.para completarle necesita <strong>de</strong><br />

un tiempo infinito - • - • 337?<br />

Hallar la relación entre la velocidad y el espacio<br />

' que coree un cuerpo.flotante,.impelido por una<br />

patencia horizontal, .......... 338.<br />

El espacio que corte, m cuerpo Ilutante es en razón<br />

directa <strong>de</strong> la potencia y la masa j y en inversa<br />

duplicada <strong>de</strong> la constante, que multiplica<br />

las resistencias. 34 0,<br />

Hallar la velocidad <strong>de</strong> Jalólas. 340.<br />

La figura <strong>de</strong> la ola es la <strong>de</strong> la eyeloi<strong>de</strong> '• • 34 r -<br />

dos especies <strong>de</strong> olas que se distinguen...... 342.<br />

Se el" caso en que conviene nuestra theórica <strong>de</strong> las<br />

olas con laque da.el Cavallero Newton...... 342.<br />

CAPITULO 10.<br />

De los. momentos que pa<strong>de</strong>cen los cuerpos en su<br />

movimiento progresivo horizontal 343.<br />

Hallarlos momentos.quepa<strong>de</strong>ce un cuerpo qualquiera<br />

flotante que se mueve horizontal mente. 344.<br />

Hallar la estabilidad <strong>de</strong> un cuerpo 347.<br />

Hallar en general la misma estabilidad quando el<br />

cuerpo está parado 350.<br />

De la distinta estabilidad que resulta en los cuerpos<br />

entre los dos casos <strong>de</strong> hallarse ó no en movimiento. 353<br />

Hallar la estabilidad que pa<strong>de</strong>ce un paralelepípedo<br />

rectángulo 353.<br />

Hallar la misma estabilidad atendiendo á la <strong>de</strong>snivelación<br />

<strong>de</strong>l fluido •.•• 355-<br />

De la causa que reduce á un cuerpo á que no necesite<br />

un tiempo infinito para tomar su máxima<br />

velocidad 358.<br />

Hallar la estabilidad que pa<strong>de</strong>ce el paralelepípedo<br />

estando su base inclinada al horizonte..... 359.<br />

Hallar la estabilidad que pa<strong>de</strong>ce un cylindro 3¿3-<br />

Tom.i. k CA -


CAPITULO U.<br />

De la inclinación que toman los cuerpos flotantes,<br />

impelidos por una ó mas potencias . 36ÓV<br />

Hallar el momento con que actúa un peso que se<br />

le agrega á un cuerpo florante...'. "$66.<br />

Hallar la inclinación que tomará un paralelepípedo<br />

redangulo flotante, á quien se le agrega un<br />

nuevo peso * — • 3^°-<br />

De tres-distintas inclinaciones que <strong>de</strong>be tomar el<br />

mismo paralelepípedo -37 a<br />

De la limitación Con que <strong>de</strong>be enten<strong>de</strong>rse la regla<br />

<strong>de</strong> M.Bouguer, sobre que la estabilidad será en<br />

razón- inversa-<strong>de</strong> la-profundidad que tubiere el<br />

paralelepípedo en el fluido • • • • 373*<br />

De la inclinación que tomará el paralelepípedo<br />

quando su ángulo en la base salga fuera<strong>de</strong>l fluido. 3 74.<br />

Exemplo <strong>de</strong> este caso en que semanifiesta que el<br />

paralelepípedo tomará una inclinación <strong>de</strong> 88°<br />

sin embargo <strong>de</strong> su poca profundidad en el fluido. 3 76<br />

Hallar la inclinación que tomará un cuerpo qualquiera<br />

flotante, á quien se le agregue un peso, 377.<br />

Hallar la inclinación que tomará un cuerpo qualquiera<br />

flotante, impelido por «na potencia horizontal<br />

•• •• 37^<br />

Hallar la inclinación que tomará un cylindro que<br />

flota horizontalmente , impelido por una potencia<br />

horizontal 3°°-<br />

De la distinta inclinación que toman los cuerpos estando<br />

libres, quequando están fixos sobre un exe. 381<br />

C APITULO 12.<br />

De los momentos que pa<strong>de</strong>cen los cuerpos flotan-<br />

. tes quando giran libremente sobre un exe... • 382.<br />

Hallar los momentos que pa<strong>de</strong>ce un cuerpo qualquiera<br />

que gira sobre un exe horizontal, que<br />

• pasa por el centro <strong>de</strong> gravedad. 382.<br />

Reducir aquellos momentos á horizontales y ver-<br />

" ticales , quando el cuerpo tiene dos mita<strong>de</strong>s<br />

iguales y semejantes. 3% 6 -<br />

Reducir los momentos que pa<strong>de</strong>ce un cuerpo que<br />

tiene dos mita<strong>de</strong>s iguales y semejantes, y que<br />

gita sobre un exe vertical, á dos horizontales<br />

perpendiculares entre sí • • • • • • • 3^7»<br />

Hallar los momentos que pa<strong>de</strong>cerá nn cylindro<br />

que flota horizontalmente, y gira sobre un exe<br />

horizontal paralelo á sus lados, y pasa por el<br />

centro <strong>de</strong> gravedad. 389.<br />

CAPITULO 13.<br />

De la velocidad angular • • • • 39 o *<br />

Hallar la velocidad angular con que gira un cuerpo<br />

flotante sobre un exe qualquiera, hallándose<br />

animado por una ó mas potencias. 390.<br />

De la absoluta necesidad quehay <strong>de</strong> que actúen las<br />

resistencias <strong>de</strong>l fluido,en la rotación <strong>de</strong> los cuerpos<br />

, y <strong>de</strong> la imposibilidad <strong>de</strong> po<strong>de</strong>rse prescindir<br />

<strong>de</strong> ellos, según supusieron algunos'Autores.391.<br />

Hallar la longitud <strong>de</strong>l péndulo simple isochrono<br />

con el cuerpo flotante. ., 3^3*<br />

Hallar el tiempo en que oscila el cuerpo flotante. 394.<br />

De la razón entre la estabilidad <strong>de</strong> un cylindro, y<br />

el momento resistente que resulta <strong>de</strong> la rotación. 3 9 5.<br />

De la longitud <strong>de</strong>l péndula simple isochrono con<br />

un cylindro flotante 396.<br />

Del tiempo en que oscila el mismo cylindro..... 397.<br />

Hallar la máxima y mínima velocidad con que giran<br />

los cuerpos flotantes... ,. 397*<br />

De la acción que pa<strong>de</strong>cen las fibras <strong>de</strong> un cuerpo<br />

flotante , por causa <strong>de</strong> la rotación <strong>de</strong> este..... 398.<br />

De la misma acción que pa<strong>de</strong>ce una parte <strong>de</strong>terminada<br />

<strong>de</strong>l mismo cuerpo flotante 39?-<br />

APÉNDICE i* De la theórica <strong>de</strong> los Cometas<br />

que vuelan los Niños... 35*9-<br />

De la equacion <strong>de</strong> la ca<strong>de</strong>naria. .-. 413-<br />

APENDICE 2. Déla aplicación <strong>de</strong> la nueva theórica<br />

<strong>de</strong> la resistencia <strong>de</strong> los fluidos á las experiencias<br />

<strong>de</strong> Mr. J. Smeaton. 425.<br />

-<br />

:<br />

. ;


1<br />

i I 1<br />

(<br />

I<br />

Í-»<br />

10<br />

23<br />

3*<br />

4 2<br />

48<br />

50<br />

64<br />

7i<br />

7Í<br />

101<br />

H3<br />

167<br />

267<br />

173<br />

192<br />

241<br />

245<br />

34 r<br />

402<br />

3°7<br />

C-<br />

linea.<br />

6<br />

i<br />

19<br />

5<br />

!*<br />

8<br />

22<br />

H<br />

15<br />

16"<br />

26<br />

8<br />

13<br />

2<br />

20<br />

18<br />

28<br />

10<br />

2<br />

20<br />

ERRATAS.<br />

corrieren • • corriere<br />

(fa.dty{($dty (f*dty-+-((&dty<br />

W f ^ ^ y ^ ^ c ^<br />

R«<br />

w^f(^^-8c)dg<br />

la suma los<br />

B*<br />

A 1<br />

M<br />

la suma <strong>de</strong> los<br />

: .<br />

GA<br />

CA<br />

Cor.2.Prop.iS. Cor.2. Lema!.<br />

<strong>de</strong><br />

m—%><br />

«—35»<br />

Prop.48.<br />

Cor. 6.<br />

Cor. 10.<br />

Cor. 2.<br />

Cor. 5.<br />

Cor. 5.<br />

Cor.6.<br />

EHIG<br />

Propos.14.<br />

Prop./fi.<br />

G.el centro<br />

conforme<br />

Cor. 5.<br />

FHIG<br />

P ropos. 18.<br />

Pre/>. 48. £;£.!.<br />

C el centro<br />

uniforme<br />

Apéndice 1. pag.409. lin.5.<br />

dice. diga.<br />

-P#)—Pi (A-HÍ) 1<br />

(RUÍ—P¿) : -í-P'(£•+*)* < i< Í;C— Pg)» -*-P'


I<br />

$ Lía. r. CAP. I. Da ros PRINCIPIOS<br />

DEFINICIÓN 2.<br />

1 Lugar absoluto es el que ocupa un cuerpo,-respecto<br />

<strong>de</strong> todo el Universo, y sin relación á los lugares que<br />

o¿upan los <strong>de</strong>más. Lugar relativo es el que ocupa un<br />

cuerpo, respecto <strong>de</strong> los lugares que los otros cuerpos<br />

ocupará En una Embarcación que se mueve, sus cá*<br />

mará* y sus palos ocupan el propio lugar relativameh*te<br />

al todo <strong>de</strong> la Embarcación; pero no relativamente<br />

i la costa, ó tierra: y asi se dice , que el lugar relativo<br />

<strong>de</strong> las cámaras y palos es pl mismo; pero no el absoluto<br />

, porque varía respedo <strong>de</strong>l Universo.<br />

c'- T<br />

DEFINICIÓN 2.<br />

^Movimiento es la translación <strong>de</strong> un cuerpo <strong>de</strong> un<br />

lugar á otro , ó la continua mutación <strong>de</strong>l lugar que tubiere.í<br />

De esta suerte se dice, que un cuerpo sé mueve<br />

, ó que está en movimiento , quando pasa <strong>de</strong> un lugar<br />

á otro, ó que continúa eá mudar <strong>de</strong> lugar. Sí<br />

permanece siempre en el mismo, lugar, se dice, que<br />

está en reposo.<br />

DEFINICIÓN 4.<br />

Como el lugar pue<strong>de</strong> ser absoluto , ó relativo,<br />

también el movimiento pue<strong>de</strong> ser absoluto, ó relativo.<br />

Quando el lugar , respectó <strong>de</strong>l'íqhal se hace el movimiento,<br />

es absoluto , el movimiento es también absoluto<br />

: y si el lugar fuere relativo, también lo seíá*<br />

el movimiento. De esta suerte, un movimiento absoluto<br />

pue<strong>de</strong> ser un reposo relativo. Las cámaras y.,<br />

palbs <strong>de</strong> la Embarcación tienen un movimiento absoluto,<br />

si esta se mueve ; pero están en reposo relativamente<br />

i la misma Embarcacioh.<br />

DE-<br />

DEL MOVIMIENTO. $<br />

DEFINICIÓN 5,<br />

Si él cuerpo se moviere conservándose siempre en<br />

una misma línea re&a , se llama á esta línea, dirección<br />

<strong>de</strong>l movimiento.<br />

DEFINICIÓN 6.<br />

A la prontitud, ó acceleracion, con que executa<br />

su movimiento, se llama velocidad : /y un cuerpo se<br />

dice , que tiene mas, ó menos velocidad, Según se<br />

moviere con mas, ó menos prontitud, ó acceleracion.<br />

DEFINICIÓN 7.<br />

Como la velocidad <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong>l movimiento , y<br />

ieste es absoluto, ó relativo, también la velocidad es<br />

absoluta, ó relativa. Si el movimiento fuere absoluto<br />

, ó se hiciere respe&o <strong>de</strong> un lugar absoluto , la<br />

velocidad será absoluta: y si relativo, relativa. De<br />

suerte , que una velocidad absoluta , pue<strong>de</strong> ser un reposo<br />

relativo , ó ninguna velocidad relativa. Si la velocidad<br />

absoluta <strong>de</strong>l cuerpo A, fuere V, y la <strong>de</strong>l cuerT<br />

po B , en la misma dirección , fuere «, será la velocidad<br />

relativa <strong>de</strong> estos dos cuerpos Vz+zu: el signo negativo<br />

quando se mueven ambos cuerpos hacia la misma<br />

parte, y el positivo quando se mueven hacia partes<br />

opuestas.<br />

DEFINICIÓN 8.<br />

El movimiento se llama uniforme, quando la. velocidad<br />

con que se mueve el cuerpo es siempre la misma.<br />

Se llama accelerado, quando la velocidad v a en<br />

aumento, y retardado3quando disminuye,© va á menos.<br />

A z DH-


4 LiB#t.CAP.I. DE lóswuNcrr-ios<br />

DEFINICIÓN 9.<br />

A la distancia que anduviere ó corriere el cuerpo<br />

con su movimiento ,-se llama espacio corrido. Pue<strong>de</strong><br />

ser en Imea reda ó curva, según las fuerzas que actuaren<br />

sobre el, y le obligaren i ponerse en movimiento<br />

, como se dirá mas a<strong>de</strong>lante.<br />

DEFINICIÓN 10.<br />

Sí el movimiento fuere absoluto , también lo será<br />

<strong>de</strong>spacio corrido, y si relativo, relativo. Que sea B<br />

e espacio corrido por el cuerpo A, y e el corrido por<br />

el cuerpo B ,en una misma dirección ó linca, y tendremos<br />

ftp por el espacio relativo : el signo menos<br />

quando se mueven ambos cuerpos liada lalm¡sma>ar-<br />

»•* y el positivo quando se mueven hacia varíes<br />

opuestas. ^<br />

DEFINICIÓN 11.<br />

A la materia <strong>de</strong> que Consta un cuerpo se dice<br />

masa: y el cuerpo se compone <strong>de</strong> mas, ó menos masa,<br />

según tuviere mas, ó menos materia.<br />

DEFINICIÓN 12.<br />

- .<br />

El cuerpo que , en iguales volúmenes, encierra<br />

iguales cantida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> masa, se llama igualmente <strong>de</strong>nso<br />

: y si dos, o mas cuerpos, encierran la misma masa<br />

en iguales volúmenes, se llaman <strong>de</strong> una misma <strong>de</strong>nsidad.<br />

Mas <strong>de</strong>nso se llama el cuerpo que encierra mas<br />

masa en igual volumen , ó que necesita menos vohí^<br />

men para1 encerrar-la misma cantidad <strong>de</strong> masa : y así,<br />

las <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> ios cuerpos , serán como sus masas,<br />

£ en<br />

DEL MOVIMIENTO; • r ?.<br />

eñ iguales volúmenes : ó en razón inversa <strong>de</strong> los volúmenes<br />

, en iguales cantida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> masa.<br />

DEFINICIÓN '?•<br />

La fuerza que se imprime en qualquiera cuerpo, es<br />

la acción que se exerce en el mismo cuerpo para sacarle<br />

<strong>de</strong>l estado en que se halla: ya sea <strong>de</strong> el <strong>de</strong> reposo<br />

al <strong>de</strong> movimiento , según qualquiera dirección, ú <strong>de</strong><br />

un movimiento á otro mayor o menor, Según la dilección<br />

en que se mueve el cuerpo. A esta fuerza,<br />

qualquiera que sea, se llama potencia. Pue<strong>de</strong> ser constante,<br />

ó variable : positiva, ó negativa.<br />

DEFINICIÓN 14.<br />

Fuerza innata <strong>de</strong> la materia es la propiedad quí<br />

tienen los cuerpos <strong>de</strong> resistir á mudar el estado <strong>de</strong> reposo<br />

, ú <strong>de</strong> movimiento en que se hallan.<br />

Un cuerpo , que está en reposo, no pue<strong>de</strong> ponerse<br />

en movimiento por una fuerza, qualquiera que sea,<br />

sin que se experimente otra opuesta proce<strong>de</strong>nte , como<br />

quiera, <strong>de</strong>l cuerpo. No pudiera aduar la impéleme<br />

sin resistencia, pues sin esta, sobre qué habia<br />

<strong>de</strong> exercerse? El cuerpo se pusiera en movimiento sin<br />

íuerza alguna, ó por. sí mismo; lo que es imposible.<br />

Del mismo modo, no pue<strong>de</strong> aumentarse, ó disminuirse<br />

el movimiento <strong>de</strong> un cuerpo, sin que la fuerza causal<br />

experimente su opuesta, por las propias razones.<br />

La experiencia manifiesta esta fuerza aun mas claramente<br />

:-. no hay mas que impeler , ó tirar un cuerpo,<br />

para sentir una acción semejante á la que exerciera una<br />

fuerza, qualquiera, opuesta. De qualquiera causa que<br />

<strong>de</strong>penda, ú <strong>de</strong> qualquiera suerte que actué , nos consta<br />

que existe , y esto basta para que la tomemos por<br />

principio. El Cavallero Nevtton le aplicó, asimismo,<br />

el


6 LIB.I.CAP.I.DE LOS PRINCIPIOS<br />

el nombre <strong>de</strong> inercia, ú <strong>de</strong> inacción; pero advírtíerido,<br />

que no le conviene propiamente este nombre, sino en<br />

el caso <strong>de</strong> pasar el cuerpo <strong>de</strong>l reposo al movimiento,<br />

en que resiste tomar este , ó en el <strong>de</strong> aumentar qualquiera<br />

que tuviere; no en aquel en que , moviéndose<br />

el cuerpo, una fuerza qualquiera actúa para <strong>de</strong>tenerle<br />

: la materia, en este caso, resiste á disminuir su movimiento<br />

, y por consiguiente , no le correspon<strong>de</strong> la<br />

inacción. En general, esta fuerza innata es <strong>de</strong> resistir<br />

el mudar el estado en que se halla el cuerpo, y es una<br />

efectiva resistencia en caso <strong>de</strong> que al cuerpo se le impela<br />

para darle mayor movimiento; pero, al contrario<br />

, será impulso, quando qualquiera fuerza actué i<br />

disminuir el mismo movimiento.<br />

DEFINICIÓN i y.<br />

La cantidad <strong>de</strong> movimiento es la medida que resulta<br />

<strong>de</strong>l producto <strong>de</strong> la masa movida, por su velocidad. \<br />

Consistiendo el movimiento <strong>de</strong> un cuerpo, en la<br />

translación <strong>de</strong> su masa, quando mayor fuere esta, mayor<br />

será su movimiento. Al mismo tiempo, también<br />

ha <strong>de</strong> ser mayor este , quanto mayor sea la velocidad<br />

con que se moviere : luego será la cantidad <strong>de</strong> movimiento<br />

en razón direda <strong>de</strong> su masa, y <strong>de</strong> su velocidad,<br />

ó como el producto Au, <strong>de</strong>notando A la masa, y<br />

u la velocidad.<br />

. Axioma i.<br />

Todos los cuerpos perseveran en su estado <strong>de</strong> reposo<br />

, ú <strong>de</strong> movimiento uniforme, en la dirección, ó<br />

línea por don<strong>de</strong> se dirigen <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el principio, á menos<br />

que alguna fuerza ó potencia no los obligue á mudar<br />

<strong>de</strong> estado. El cuerpo no pue<strong>de</strong> por sí mismo <strong>de</strong>terminarse<br />

al movimiento , ó producir fuerza alguna para<br />

rao»<br />

DEL MOVIMIENTO. J<br />

moverse si estuviere en reposo; al contrario, (Def.iaS)<br />

resiste al movimiento con su fuerza innata ú <strong>de</strong> inercia.<br />

Del mismo modo, no pue<strong>de</strong> producirla, aun estando<br />

en movimiento, en qualquiera dirección , y la<br />

inercia le conserva en el propio estado , sin aumentar,<br />

ni disminuir su velocidad, ni sin <strong>de</strong>sviarse por la propia<br />

razón <strong>de</strong> la primera dirección : luego <strong>de</strong>be perseverar<br />

en su estado <strong>de</strong> reposo, ú <strong>de</strong> movimiento Unl-r<br />

forme en la dirección ó línea por don<strong>de</strong> se dirige el<br />

cuerpo <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el principio.<br />

Corolario.<br />

•<br />

El cuerpo que se moviere con movimiento accelerado<br />

, ó retardado, será, pues, porque una potencia<br />

qualquiera'acrua sobre él: positivamente, ó según la<br />

dirección <strong>de</strong>l mismo movimiento , en caso <strong>de</strong> ser este<br />

accelerado ; y negativamente , ó. en dirección opuesta<br />

, en caso <strong>de</strong> ser el movimiento retardado : <strong>de</strong> suerte<br />

, que <strong>de</strong>l movimiento accelerado , al retardado , no<br />

hay mas diferencia , que actuar la potencia en el primero<br />

positivamente , y negativamente en el segundo:<br />

ó ser la misma potencia positiva, ó negativa.<br />

Axioma 2.<br />

•<br />

La alteración , ú diferencial <strong>de</strong>l movimiento , es<br />

siempre proporcional al producto <strong>de</strong> la potencia que<br />

la produce, por el tiempo que durare la acción : y se<br />

executa en la dirección que la potencia actúa. Si la<br />

potencia et, actuando la diferencial <strong>de</strong> tiempo dt, altera<br />

la velocidad que tubiere el cuerpo A <strong>de</strong> la diferencial<br />

du , <strong>de</strong> suerte que la alteración, ú diferencial<br />

<strong>de</strong> movimiento sea Adu, otra potencia 2*, producirá<br />

la alteración ú diferencial <strong>de</strong> movimiento lAdu:<br />

porque, por la suposición , la sola o. produce la diferen-<br />

.<br />

• i<br />

/


•fó<br />

8 LIB. i; CAP. I . DE LOS PRINCIPIOS<br />

rencial du, y la otra «t, nueva du relativa i la prin<br />

mera, cuya suma es zdu , y por consiguiente, la alteración<br />

ú diferencial <strong>de</strong> movimiento soeá zAduj<br />

Por igual razón , 3* producirá la alteración , ú diferencial<br />

-$Adu ; y asi en a<strong>de</strong>lante. Del mismo modo<br />

, f* producirá \ Adu, \A, \Adu, y como antes<br />

asi en a<strong>de</strong>lante: luego las alteraciones , ú diferenciales<br />

<strong>de</strong>l movimiento , son siempre proporcionales i<br />

la potencia que las produce. Por otro lado, la diferencial<br />

<strong>de</strong> velocidad du es mayor, ó menor , según el<br />

tiempo dt que la potencia actúa, y lo mismo la alteración<br />

<strong>de</strong> movimiepto Adu: luego será esta alteración<br />

ú diferencial en razón compuesta <strong>de</strong> la potencia<br />

«, y <strong>de</strong>l tiempo dt, ó como el produdo adt. Que<br />

se execute en la dirección por don<strong>de</strong> se dirige la potencia<br />

consta <strong>de</strong>l primer Axioma <strong>de</strong>l movimiento.<br />

Corolario.<br />

Puesto que es Adu proporcional á aJt, tendré*<br />

mos «dtzzAdu.<br />

Escolio 1. . ><br />

Aunque hasta ahora no hayamos <strong>de</strong>ducido sino lá<br />

proporcionalidad entre Adu y adt, se pue<strong>de</strong> formar<br />

perfecta igualación entre las dos cantida<strong>de</strong>s , respédoque,<br />

aunque sea mayor ó menor la potencia, se pue<strong>de</strong><br />

disminuir, ó aumentar , en razón inversa la diferencial<br />

dt. Por la experiencia resulta <strong>de</strong>spués la verda<strong>de</strong>ra rc-i<br />

iacion entre estas cantida<strong>de</strong>s.<br />

Escolio 2.<br />

• -<br />

Hay Autores que ponen en duda la proporciona-»<br />

Udad entre la fuerza, ó potencia aduante , y la diferen.<br />

' DEL MOVIMIENTO; 9<br />

rencial <strong>de</strong> la velocidad, sin embargo que no es necesario<br />

para la evi<strong>de</strong>ncia si no consi<strong>de</strong>rar, como se ha dicho<br />

, que una potencia dupla es preciso que adue como<br />

dos simples , la segunda relativa á la primera. Todo<br />

su fundamento consiste en que se ignora la naturaleza<br />

<strong>de</strong> la causa , y el modo con que se adua. Pero escusaremos<br />

entrar en el examen <strong>de</strong> esta diferencia, pues<br />

los mismos, aunque por distinta via, vienen á concluir<br />

con las propias equaciones que hemos dado , y son el<br />

principio <strong>de</strong> toda la Mechánica.Preten<strong>de</strong>n que el conocimiento<br />

<strong>de</strong> la potencia <strong>de</strong>be resultar <strong>de</strong> los efedos <strong>de</strong><br />

ella ; pero que no pue<strong>de</strong>n concluirse los efedos por<br />

la potencia impulsiva <strong>de</strong>terminada. Se hará, sin embargo,<br />

ver <strong>de</strong> don<strong>de</strong> pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>r el tropiezo.<br />

Axioma 3.<br />

La accíon, y la reacción, son iguales, ó las mutuas<br />

acciones <strong>de</strong> dos cuerpos , uno sobre otro , son iguales,<br />

y se dirigen á partes opuestas. Un cuerpo no pue<strong>de</strong><br />

impeler a otro, sin que este no impela á aquel con igual<br />

fuerza o acción hacia la parte opuesta. Si se impele<br />

con cierta fuerza un obstáculo,este con contraria accio*<br />

impele al agente : y si se tira otro con igual fuerza , el<br />

agente es igualmente tirado por el obstáculo en dirección<br />

contraria: es un Axioma que todos los dias se<br />

prueba con la experiencia.<br />

PROPOSICIÓN 1.<br />

Sí un cuerpo se mueve uniformemente , ó con velocidad<br />

uniforme, los espacios corridos' tienen entre<br />

si la razón direda <strong>de</strong> los tiempos en que se corrieron.<br />

No aumentando, ni disminuyendo el cuerpo su<br />

velocidad, correrá siempre el mismo espacio en el propio<br />

tiempo , duplo en duplo tiempo, triplo en triplo}<br />

Tom.z. B y


I /•<br />

i o CAP. T. DE LOS PRINCIPIOS<br />

y asi en a<strong>de</strong>lante : luego los espacios corridos tendrán<br />

la razón direda <strong>de</strong> los tiempos en que se corrieron.<br />

PROPOSICIÓN 2.<br />

Si las velocida<strong>de</strong>s con que se moviere un cuerno<br />

uniformemente, fueren distintas, estarán los espacios<br />

que en iguales tiempos corrieren ¡i en razón directa <strong>de</strong><br />

las velocida<strong>de</strong>s.<br />

t» Z°^TÍ l T T r? ° C °V e <strong>de</strong>rto es P acio c cierta<br />

velocidad , ha <strong>de</strong> correr duplo con dupla velocidad •<br />

por consistir esta en el mayor espacio corrido en igual<br />

tiempo: correrá triplo espacio con tripla velocidad; y<br />

asi en a<strong>de</strong>lantei: luego los espacias corridos estarán en<br />

razón direda <strong>de</strong> las velocida<strong>de</strong>s.<br />

PROPOSICIÓN u<br />

Los espacios corridos por cuerpos que se mueven<br />

uniformemente , están en razón compuesta direda délos<br />

tiempos que corrieren, y <strong>de</strong> sus velocida<strong>de</strong>s.<br />

i>ean dos cuerpos A y B, que se mueven uniformemente,<br />

aquel con la velocidad «, el tiempo t, y el espacio<br />

a: y este con la velocidad v , el tiempo T, v el<br />

espacio b • y respedo <strong>de</strong> que los espacios corridos en<br />

Iguales tiempos , son como las velocida<strong>de</strong>s, tendremos<br />

»:v~a: —, espacio que corriera el cuerpo B, en el<br />

tiempo t, que corrió el cuerpo A: y porque también<br />

están ios espacios que se corren con iguales velocida<strong>de</strong>s<br />

, en razón direda <strong>de</strong> los tiempos, será t: T— av :b:<br />

luego aTv=btu, ó a: b=tu: Tv: esto es, los espacios<br />

están en razón compuesta directa <strong>de</strong> los tiempos<br />

, y <strong>de</strong> las velocida<strong>de</strong>s.<br />

/ /<br />

CO-<br />

DEL MOVIMIENTO.<br />

Corolario i.<br />

Será, asimismo, -7^j—~- : conque si hacemos<br />

b<br />

y^-—i, suponiendo que sean cantida<strong>de</strong>s constantes<br />

b,T,yv, tendremos i=z— ¡ lo que dá«=:^- : estu<br />

t<br />

to es, la velocidad <strong>de</strong> un cuerpo estará en razón di­<br />

reda <strong>de</strong>l espacio corrido, y en inversa <strong>de</strong>l tiempo.<br />

Corolario i.<br />

Del mismo modo t=z— i esto es, estará el tiem-<br />

po en que corre un cuerpo el espacio a, en razón directa<br />

<strong>de</strong> este espacio , y en inversa <strong>de</strong> la velocidad.<br />

Corolario 3.<br />

» S l Se J XpreSa . d * W ' por se g und °s > y se toma<br />

uno<strong>de</strong> ellos por la unidad, será, en el caso <strong>de</strong> í= 1<br />

ín^tl eSt °i eS J la . velocidad igual al espacio corrido<br />

ZZ* 8U ° <strong>de</strong> ; iem P° : P°* lo que, expresando el<br />

tiemp0 por segundos, la medida <strong>de</strong> la velocidad será<br />

el espacto corrido en un segundo <strong>de</strong> tiempo.<br />

• i."<br />

Corolario 4.<br />

El movimiento accelerado , ó retardado , se pue<strong>de</strong><br />

suponer uniforme por un instante ó diferencial <strong>de</strong><br />

tiempo dt: pues en este instante, la acceleracion <strong>de</strong><br />

velocidad, siendo una diferencial, es cero, respedo <strong>de</strong><br />

ta velocidad adquirida u. Si ñiere, pues, da la diferen-<br />

B z cial<br />

n


1^<br />

i z CAP. I . DE LOS PRINCIPIOS<br />

cial <strong>de</strong>l espacio corrido en este instante <strong>de</strong> tiempo dt,<br />

tendremos (Prop.$. Cor.i.) u~~ j y da=udt.<br />

dt<br />

PROPOSICIÓN 4.<br />

El exceso, ú <strong>de</strong>fedo <strong>de</strong> velocidad, con que se<br />

mueve un cuerpo á qualquiera instante <strong>de</strong> su carrera<br />

•±f«dt.<br />

es:<br />

Que sea V la velocidad primitiva con que se mue-<br />

ve el cuerpo al primer instante <strong>de</strong> la acción ú <strong>de</strong>l tiempo<br />

f. é integrando la igualación ~z=du,(Cor.Ax.z.-)<br />

tendremos—J~«Jt=zu—V: esto es, el exceso, ú <strong>de</strong>­<br />

fedo <strong>de</strong> velocidad, será siemprc=r~ fkdt.<br />

Corolario 1.<br />

Si fuerera potencia * constante, será — =u-—T:<br />

A.<br />

esto es, el exceso, ú <strong>de</strong>fedo <strong>de</strong> velocidad , será en razón<br />

compuesta direda <strong>de</strong> la potencia y el tiempo v<br />

en inversa <strong>de</strong> la masa. *<br />

Corolario a.<br />

Si fuere V=zo '. esto es, si el cuerpo estuviere en<br />

reposo al primer instante <strong>de</strong> tiempo, ó empezare su<br />

carrera <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el reposo , será ~ fadt~u: v si fuere<br />

a.t A J -<br />

a. constante —T zzu<br />

A<br />

CO~<br />

DEL MOVIMIENTO.<br />

Corolario 3.<br />

Si al contrario , el cuerpo, <strong>de</strong>spués <strong>de</strong> puesto en<br />

movimiento, llegare al estado <strong>de</strong>l reposo , como pue<strong>de</strong><br />

suce<strong>de</strong>r en el movimiento retardado , será »—•?;<br />

luego ——=:—V: ó mudando el signo á la potencia,<br />

por ser el movimiento retardado, será'—j zs V.<br />

A<br />

Corolario 4.<br />

La velocidad adquirida en el movimiento acccle-<br />

rado que empieza <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el reposo es « = -— , y la<br />

perdida enteramente en el retardado Vz=.~ : luego<br />

serán estas iguales, si iguales potencias a. aduan el<br />

propio tiempo t, sobre iguales masas A.<br />

13<br />

PROPOSICIÓN 5.<br />

El espacio corrido por un cuerpo <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el primer<br />

instante <strong>de</strong> su carrera, será=Fí-+. -^j-fdtfaJt.<br />

Siendo {.Prop.^.Cor.o^uzzz:—, será también<br />

(Prop.4.)-Lf*dt=^.-V, que dá^=F +<br />

—¿JtJti ó da=Vdt-±-— íidt : é integrando<br />

«rziTí-f- —¿fdt f*df. esto es, el espacio corrido <strong>de</strong>s<strong>de</strong><br />

el primer instante <strong>de</strong> xiemvQ,mi~Vt-^^¿-fdtfidt.


•<br />

CLt*<br />

z~A'<br />

14<br />

CAP.i. DE LOS PRINCIPIOS<br />

Corolario i.<br />

Si la potencia * fuere constante, será a=Vt-{»<br />

Corolario 2. .<br />

Si el cuerpo empezare su carrera <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el reposo,<br />

será Vzzzio, y azzzz—rjdtjadf, ó si fuere * constancia<br />

tea=z—— : esto es, los espacios corridos serán como<br />

2A<br />

los quadrados <strong>de</strong> los tiempos, y al contrario, si los espacios<br />

fueren como los quadrados <strong>de</strong> los tiempos, las<br />

potencias serán constantes.<br />

;<br />

Corolario 3.<br />

CLt<br />

Substituyendo en éste caso uzzzz— , que halla-.<br />

A<br />

mos ,(Prop. 4. Cor. 2.) será también a={tu : esto es,<br />

los espacios corridos <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el reposo, son en razón direda<br />

délos tiempos, y <strong>de</strong> las velocida<strong>de</strong>s adquiridas.<br />

Corolario 4.<br />

El espacio corrido por una velocidad uniforme «,<br />

en el tiempo í, es.(Prop. 3. Cor. 1.) azzzztu :• luego<br />

el espació corrido en el mismo tiempo por una velocidad<br />

uniforme , es duplo <strong>de</strong>l espacio corrido por un<br />

movimiento accelerado que empieza <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el reposo,<br />

quando la velocidad adquirida en este es la misma.<br />

ht<br />

DEL MOVIMIENTO.<br />

Corolario 5.<br />

En el movimiento accelerado, que empieza <strong>de</strong>s<strong>de</strong><br />

el t*<br />

el reposo, siendo la potencia a constante, es az= —:<br />

y en el retardado azzVt' -T , ó si llega este hasta el<br />

ZA<br />

reposo, á causa <strong>de</strong> ser en este caso ( Cor. 4. Prop. 4.}<br />

Tr «tí ctf 1 etí 2 ast~- , .<br />

r=-r,es*=-r-5:r==^:lucgo el espacio<br />

corrido con el movimiento accelerado , que empieza<br />

<strong>de</strong>s<strong>de</strong> el reposo , y el corrido en el retardado, que llega<br />

al mismo reposo, serán iguales si iguales y constantes<br />

potencias et actúan el mismo tiempo t, sobre iguales<br />

cuerpos Á.<br />

PROPOSICIÓN 6.<br />

El espacio corrido por un cuerpo <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el primer<br />

instante <strong>de</strong> su carrera es Al — .<br />

-* a.<br />

Siendo {Cor. 4. Prop. 3.) da -,-=a, y (Cor. Ax.z.)<br />

dt<br />

uJt<br />

-j-zz=zdu}será, multiplicando estas dos igualacio­<br />

nes , —zzzzudu : que di da-zz — udu: y azzAj —r<br />

Corolario 1.<br />

Si la potencia «c. fuere constante , será azzz<br />

H<br />

i*<br />

CO-


i


i\8 LIB. i. CAP. I . DE LOS: PRINCIPIOS<br />

Corolario i.<br />

Midiendo el tiempo <strong>de</strong> las caidas por segundos ,<br />

y los espacios corridos por pies, tendremos para el<br />

caso <strong>de</strong> tzzzi , azzzi6: lo que produce (Cor. 3.<br />

Prin. 2.) i6z= ¡£,ó £=32 == Jr-. Este valor<br />

substituido en las equaciones (Cor. 3. Prin. 2.) las re­<br />

duce áuzzz32tyazzzi6t' =^- : <strong>de</strong> que resultan<br />

Vazzz4tzz=\u, y 8V'azzzuzzzí^zt.<br />

Corolario 2.<br />

Si, mas exáda y generalmente, se supone K igual<br />

al espacio corrido por un cuerpo grave <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el reposo<br />

, cayendo vertícalmente en el tiempo <strong>de</strong> un segundo<br />

, será K=í £ , ó %=zz2K. Este valor substituido<br />

en las equaciones (CV.3. Prin.2.) las reduce á uzzzKi,<br />

azzKt'zz—: <strong>de</strong>que resultaVazz-^c= tVK , y<br />

Escolio.<br />

Ya se <strong>de</strong>ducirá á su tiempo el verda<strong>de</strong>ro espacio<br />

que corren los cuerpos graves cayendo libremente , y<br />

se verá , que es algo mayor .que el asignado <strong>de</strong> los \6<br />

pies Ingleses por segundo; no obstante , como la diferencia<br />

es corta, y no produce error consi<strong>de</strong>rable en<br />

los cálculos que necesitamos, se pue<strong>de</strong> hacer uso <strong>de</strong><br />

este número quadrado, que facilita mucho las operaciones.<br />

;<br />

CA-<br />

M<br />

•DE LUOTI MÍEN T O. *5><br />

CAPITULO 2.<br />

Del movimiento compuesto.<br />

DEFINICIÓN 16.<br />

ovimiento compuesto es el que resulta en un cuerpo<br />

, por la acción <strong>de</strong> dos , ó mas potencias, que<br />

aduan sobre él en distintas direcciones.<br />

PROPOSICIÓN 7.<br />

El movimiento por una dirección, no se altera por<br />

las acciones que se le impriman á un cuerpo , según<br />

qualesquiera otras direcciones : y i cada instante <strong>de</strong><br />

tiempo <strong>de</strong>scribe el cuerpo pequeños espacios, paralelos<br />

á cada una <strong>de</strong> las direcciones.<br />

Si el cuerpo A está sobre un plano EF, pue<strong>de</strong> mo- Fig.r»<br />

verse sobre él en la dirección AG, y al mismo tiempo<br />

moverse el plano según el EH, GI, sin perturbarse<br />

una acción á la otra; porque no suponiéndose potencia<br />

alguna que perturbe el movimiento según AG, <strong>de</strong>be<br />

, en virtud <strong>de</strong> la inercia, continuar sin alteración.<br />

Lo mismo que se dice <strong>de</strong> dos acciones, se pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>cir<br />

<strong>de</strong> muchas mas : luego el movimiento por una dirección<br />

no se altera por las acciones que se le impriman<br />

á un cuerpo , según qualesquiera otras direcciones: y<br />

i cada instante <strong>de</strong> tiempo <strong>de</strong>scribe el cuerpo espacios*<br />

según AG y EH , paralelos á cada una <strong>de</strong> estas direcciones.<br />

PROPOSICIÓN 8.<br />

Si dos potencias aduan á un tiempo en el cuerpo F| g-*'<br />

A, la primera según la dirección AE, y la segunda<br />

Ci<br />

sc -<br />

'!<br />


2o LIB.1. CAP. 2. DEL MOVIMIENTO<br />

según la AF, el cuerpo correrá por una línea medía<br />

AGH: cuya equacion se <strong>de</strong>ducirá <strong>de</strong> la igualación <strong>de</strong><br />

fos valores <strong>de</strong>l mismo tiempo en que corriera el cuerpo<br />

libremente por cada una <strong>de</strong> las dos direcciones.<br />

En qualquiera tiempo <strong>de</strong> su carrera <strong>de</strong>be moverse<br />

el cuerpo paralelamente á AE en virtud <strong>de</strong> la primera<br />

acción , y asimismo paralelamente á AF en virtud <strong>de</strong><br />

la segunda , por espacios GI, IH iguales á KE , LF,<br />

que son las diferencíales <strong>de</strong> los que corriera libremente<br />

con cada acción separada ; pero la suma <strong>de</strong> los KE,<br />

es la abcisa AK, y la suma <strong>de</strong> los LFrrrlH, es la or<strong>de</strong>nada<br />

EH : luego si igualamos los dos valores <strong>de</strong>l<br />

tiempo , por ser el mismo, en que el cuerpo corriera<br />

cada espacio AK,EH libremente, esta igualación nos<br />

dará la equacion á la linea AGH que el cuerpo correrá.<br />

Exemplo i.<br />

Supongamos que el movimiento <strong>de</strong>l cuerpo A se<br />

componga <strong>de</strong> dos que, separados , hubieran resultado<br />

uniformes : uno cuya dirección fuera AE , expresándose<br />

los espacios corridos por a, y la velocidad por »:<br />

y otro cuya dirección fuera AF, expresándose los espacios<br />

corridos por b, y la velocidad por v. Con esto<br />

tendremos (Cor. z. Prop. z.)tzzz——— , que da<br />

avzzzbu , cuya equacion , siendo las velocida<strong>de</strong>s<br />

constantes, por ser en movimientos uniformes , es á la<br />

línea reda : y así el movimiento compuesto que en<br />

este caso tomará el cuerpo será por una línea reda.<br />

Exemplo 2.<br />

Supongamos que el movimiento AF, no fuera uniforme<br />

, sino procedido <strong>de</strong> una potencia constante. En<br />

este.<br />

., ><br />

COMPUESTO. 21<br />

este caso tenemos (Cor.i.Pro.^.)azzzNt-\—-¿-,ó subs-<br />

. * J J «Av» / Vb\ . ,<br />

tituyendo tzzz—,y or<strong>de</strong>nando .í a jzzo*:<br />

equacion á la parábola, cuyo parámetro es :y así<br />

esta será la curva que <strong>de</strong>scribirá el cuerpo con el moví*<br />

miento compuesto.<br />

Corolario 1.<br />

De lo dicho se sigue, que el cuerpo con el movimiento<br />

compuesto correrá en el mismo tiempo la AG,<br />

que corriera la, AK, ó AL, en virtud <strong>de</strong> la acción <strong>de</strong><br />

una sola potencia.<br />

Corolario 2.<br />

# La dirección compuesta AGH <strong>de</strong>be hallarse en el<br />

mismo plano en que están las dos direcciones AK, AL:<br />

porque si <strong>de</strong> qualquiera punto <strong>de</strong> está dirección se tira<br />

•una paralela á la AK, todas estas compondrán el plano<br />

en que se hallan las dos direcciones : y como el cuerpo<br />

<strong>de</strong>be hallarse siempre en estas paralelas, sin po<strong>de</strong>rse<br />

<strong>de</strong>sviar <strong>de</strong> ellas, (Axio. i.) se sigue, que <strong>de</strong>be conservarse<br />

en el plano en que están las dos direcciones.<br />

Corolario 3.<br />

Si fueren tres las acciones y potencias que i un<br />

mismo tiempo concurran en distintas direcciones, la<br />

compuesta será una línea media entre las tres : cuya<br />

equacion se <strong>de</strong>ducirá por la igualación <strong>de</strong> los valores<br />

<strong>de</strong>l mismo tiempo en que correrá el cuerpo libremente<br />

por cada dirección.<br />

Es


zt LIB.i. CAP.a. DEL MOVIMIENTO<br />

Es evi<strong>de</strong>nte , pues, (Cor. 2.) que con dos direcciones<br />

se halla otra media que <strong>de</strong>be resultar , y con<br />

esta y la tercera , la que efectivamente seguirá el<br />

cuerpo.<br />

Corolario 4.<br />

Si las tres direcciones se hallasen en un mismo plano<br />

, también la resultante Se hallará en el mismo plano<br />

: es evi<strong>de</strong>nte <strong>de</strong> lo dicho.<br />

Corolario 5.<br />

Lo mismo que se dice <strong>de</strong> tres, se <strong>de</strong>be enten<strong>de</strong>r <strong>de</strong><br />

quatro•, cinco, ó mas potencias que concurran en actuar<br />

sobre un Cuerpo Con distintas direcciones.<br />

PROPOSICIÓN o.<br />

La diferencial GH <strong>de</strong>l espacio , que el cuerpo A<br />

<strong>de</strong>scribiera en vif tüd <strong>de</strong> la'acción <strong>de</strong> dos potencias «t y<br />

£, que lo animaran, según las dos direcciones AE,rAF,<br />

es=~ UfoJty +(//2¿r) t t=b2(/*ií)(/^í)Cí/2y<br />

expresando 2 el ángulo EAF que forman entre sí las<br />

dos direcciones, siendo el radio la unidad.<br />

Baxese <strong>de</strong>l punto G * sobre la EH , la perpendicular<br />

GN , y será., por los elementos <strong>de</strong> Geometría,<br />

NlrrrGI CofZ, y GH' a= GIVf-IH^ zNl..IH=<br />

GI '-f-lH a rb 2LH.GI CofS,: el signo mas para quando<br />

fuese el ángído EAF obtuso , y el signo menos para<br />

quando fuese agudo.<br />

Substituyanse en-la equacion los valores <strong>de</strong>GI=r<br />

J«= (YM4 Ijjte scriGH '=Ar ÍW +<br />

d -^cfUty± ^*ow«) ¡jm $íÍ : y GH=-<br />

-í<br />

COMPUESTO.<br />

^í(f*dt)yi{&tY^r.* CT^O O? 3 *) c °/ 2 )''•<br />

Escolio 1.<br />

En todo el discurso <strong>de</strong> la Obra , expondremos,<br />

siempre el radio por la unidad, á fin <strong>de</strong>. facilitar el<br />

cálculo.<br />

Corolario i.<br />

Si el ángulo EAF fuere zzz o: esto es r si<br />

dos direcciones AE , AF concurriesen y formasen<br />

una misma dirección , quedará GH =<br />

Ate V dt ,-<br />

4 (Áf*dtY-\-(f*dtyz±LZ (fcLdf) (fm)--jjdt (*r*r % ><br />

Corolario 2.<br />

Si á mas <strong>de</strong> esta condición fuere &zzza., seráGH=:<br />

-j-pLdt, en caso <strong>de</strong> ser el ángulo GIH obtuso, ú diri­<br />

girse las dos potencias hacia la misma parte ; y<br />

QWzzz—r-fdt. ozzzo, en caso <strong>de</strong> ser el ángulo GIH<br />

agudo, ú dirigirse las dos potencias hacia partes opuestas<br />

, ó contrarias direcciones.<br />

Corolario 3<br />

] El cuerpo quedará, pues ,en este ultimo caso, sin<br />

movimiento ovimiento.<br />

Corolario 4,<br />

Si el cuerpo queda sin movimiento, será porque<br />

potencias iguales aduan en opuestas direcciones.<br />

Es-


I •r<br />

I 2<br />

4 LIB. i. CAP.2. DEL MOVIMIENTO<br />

Escolio 2.<br />

Del mismo modo que se halla el valor <strong>de</strong> GH quando<br />

aduan dos potencias, se halla quando aduan tres,<br />

ó mas.<br />

DEFINICIÓN 17.<br />

Descomposición <strong>de</strong>} movimiento es la división que<br />

se hace <strong>de</strong> un movimiento , por suponer que proceda<br />

<strong>de</strong> varias acciones, quando en realidad no proce<strong>de</strong> si*<br />

no <strong>de</strong> una, ú <strong>de</strong> mayor número que el que se supone, i<br />

PROPOSICIÓN 10.<br />

„ Si la acción <strong>de</strong> una potencia * sobre el cuerpo A,<br />

I ^' ? " en la dirección AH, se supone que proceda <strong>de</strong> dos ma,<br />

na. que aduen en las direcciones AE, AF, y que hagan<br />

igual efedo que la sola ct, serán *, ma.y na,, como<br />

AH, AE y AF , líneas terminadas por las paralelas<br />

á las direcciones HE, HF , expresando myn dos<br />

cantida<strong>de</strong>s constantes.<br />

Porque sí dos potencias ma.y na. aduan sobre eí<br />

cuerpo A , según las direcciones AE, AF, y son tales,<br />

que en igual tiempo conducen al cuerpo , la una <strong>de</strong><br />

A á E, yia otra <strong>de</strong> A á F, las dos juntas le conducirán<br />

en igual tiempo <strong>de</strong> A á H, ( Prop. 8. ) que es el<br />

efedo que produce la sola potencia *, aduando en la<br />

dirección AH. Pero (Propos. 5.) e$Mlzzz-~fa.dt,<br />

AEzzzj-Jmadt , yAF=-W»aií : luego serán<br />

dt mdf ndt<br />

AH , AE , y AF, como^-faJt^JUt, y %'jaJt,<br />

ó como 1, w y n: esto es, como a., ma. y »*.<br />

• •<br />

CO-<br />

COMPUESTO.<br />

Corolario 1.<br />

M.<br />

*.AE<br />

La potencia que adua según AE, será pues '„ :<br />

a AF ****<br />

y la que adua según AF,—¡ vv-.<br />

AH<br />

Corolario 2.<br />

Como en el triángulo AEH , los lados AH , AE, y<br />

EHrrz: AF son entre sí, como los senos <strong>de</strong> los ángulos<br />

opuestos, serán también las potencias a,, /na, na,<br />

como estos senos.<br />

Corolario<br />

Como es arbitraria la <strong>de</strong>scomposición <strong>de</strong>l movimiento<br />

, se pue<strong>de</strong>n tomar como quiera las direcciones<br />

AE, AF , y tirando <strong>de</strong> un punto qualquiera H las paralelas<br />

HE , HF, si AH expresa la potencia que adua<br />

electivamente, las AE , AF expresarán las dos en que<br />

se <strong>de</strong>scompone aquella, y que producirán igual efedo.<br />

PROPOSICIÓN 11.<br />

Si la acción <strong>de</strong> una potencia que adua sobre un vi* *<br />

cuerpo A en la dirección AH, sé supone que píOceda S<br />

<strong>de</strong> tres, que haciendo el mismo efedo adueñen las<br />

direcciones AF, AG, AE , serán las quatro potencias<br />

entresi,comoAH,AF,AG,yAE.<br />

Porque si la potencia que adua según AH, se representa<br />

por la misma AH, esta se pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>scompon<br />

r AC r 'J' • Prí, /- I °0 en dos que hagan el mismo efecto<br />

At, AI: y la que adua según AI en otras dos que<br />

l^gan el mismo efedo AG, AE, con lo que se habrá<br />

<strong>de</strong>scompuesto la potencia AH en tres que hacen el mis*<br />

Tom -*' D mo<br />

t


•<br />

26 Lis. i. CAP. 5. DEL CENTRO<br />

mo efedo AF, AG , AE : por lo que las quatro po-'<br />

tencias serán entre sí, como AH, AF, AG, y AE.<br />

Corolario i.<br />

Las tres direcciones AF , AG, AE quedan arbitrarias<br />

(Cor.3. Prop. 10.) : pue<strong>de</strong>n tomarse como quiera,<br />

y tirando <strong>de</strong> un punto qualquiera H, las paralelas HF,<br />

AI, HI, IG, IE , se tendrán las AF, AG y AE , que<br />

expresarán las potencias en que se <strong>de</strong>scompone la primera<br />

AH.<br />

Corolario 2.<br />

De la misma manera se pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>scomponer una<br />

potencia en quatro, cinco, ó las que se quieran, que<br />

hagan igual efedo.<br />

.<br />

CAPITULO V<br />

Del centro <strong>de</strong> gravedad <strong>de</strong> un Systhema <strong>de</strong> cuerpos j<br />

y <strong>de</strong> su movimiento.<br />

A•<br />

Una<br />

DEFINICIÓN 1$.<br />

colección <strong>de</strong> cuerpos, como A, B, C&c se la<br />

ha dado el nombre <strong>de</strong> Systhema <strong>de</strong> cuerpos, por<br />

Ja semejanza que tiene con el Systhema <strong>de</strong>l Mundo,<br />

compuesto <strong>de</strong> varios cuerpos, como el Sol, y Planetas<br />

, cuyos movimientos ha explicado con tanta propiedad<br />

el Cavallero Newton con solos los principios <strong>de</strong><br />

Mechánica, y la ley <strong>de</strong> la atracción general, que cada<br />

día verifica mas y mas la experiencia.<br />

M<br />

PRO-<br />

í<br />

DE GRAVEDAD.<br />

PROPOSICIÓN 12.<br />

Si dos cuerpos ó masas A y B se mueven <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el Fig.rreposo<br />

por dos potencias a, y jS, cuyas direcciones<br />

AE , BF sean paralelas, la diferencial <strong>de</strong>l espacio corrido<br />

por el punto Gen la línea Gg , paralela también<br />

i las direcciones AE, BF <strong>de</strong> las potencias, serizzz<br />

AAdtf&dt-{-BBd.tfaJt , „ „, ,.<br />

Iñ~,} Vi T>Í : expresando A y B las distan-<br />

AD. (/í—f— i»)<br />

cias AG , GB , y t el tiempo.<br />

Tirada la FH, paralela á la BA, llamando a y b í<br />

los espacios corridos por los cuerpos A y B , y siendo<br />

AE y BF dos diferenciales <strong>de</strong> dichos espacios: será<br />

HE=rr«¿x—db : y FH (A+B): HE (da—db)zzz<br />

Fh (B) : hgrrr^ , • (da—db): <strong>de</strong> que se <strong>de</strong>duce Gg,<br />

diferencial <strong>de</strong>l espacio corrido por el punto Ó,-—;<br />

db. B<br />

A+B<br />

(da^.db)z=é± b ±Z^: -~T_—: en cuyaexpre*<br />

sion<br />

substituyendo ( Prop. 5.) db=~^dt, y dazz<br />

dt<br />

ir/*d £ > resulta<br />

Adt<br />

Ggzzz.<br />

AAdtpdt-+-BBdtf*dt<br />

AB.(A+B)<br />

Escolio.<br />

«Im*m*<br />

A+B •<br />

Se supone , por ahora , que la masa <strong>de</strong> cada cuerpo<br />

sea infinitamente pequeña, ó que esté toda congregada<br />

en un punto : y que sobre este se exercite la po-í<br />

tencia.<br />

•*<br />

D2 CO-<br />

.i


•<br />

a3 LIB.I. CAP. 3. DEL CENTRO<br />

Corolario 1.<br />

Si fuere AAzzBB , será Gg, diferencial <strong>de</strong>l espacio<br />

^ dtf(*-\-P>) dt , .<br />

corrido por el punto G— J \ ' ' : pues substitu-<br />

A —(— i3<br />

. Í , •_, AAdtf0dt-{-BBdtfaJt<br />

yendo *B=¿A,es G,g—• ^ ^ ^<br />

• AAdt0dt-^AAdtfa.dt dtf(cL-\-p)dt<br />

-fTm-i-AA) — A-f-B '<br />

Corolario 2.<br />

Como en esta expresión se hallan excluidas las distancias<br />

A y B, no alteran estas el valor <strong>de</strong> la expresión,<br />

que siempre será la misma , disten los cuerpos A y B<br />

lo que se quisiere <strong>de</strong>l punto G, con tal que se mantengan<br />

las distancias A y B en razón inversa <strong>de</strong> las masas<br />

A y B.<br />

Corolario 3.<br />

Pué<strong>de</strong>nse suponer disminuidas al infinito las cantida<strong>de</strong>s<br />

GA , GB; esto es, suponerse iguales á cero, y<br />

quedará la expresión la misma. En este caso los dos<br />

cuerpos estarán unidos en el punto G , y correrán por<br />

la Gg: y lo mismo las dos potencias que aduan como<br />

tina=a.-f-j3 , sobre«1 cuerpo A-f-B : luego el mismo<br />

espacio correrá el punto G en la Gg paralela á las<br />

direcciones AE, BF, quando los cuerpos A y B fueren<br />

animados por las potencias a, y &, que quando los cuerpos<br />

unidos en G fueren animados por la Gg con la potencia<br />

A-i-J¿>.<br />

PROPOSICIÓN 12.<br />

Pig.tf. Si fueren tres los cuerpos ó masas, como A, B, C,<br />

im-<br />

D E G R A V E D A D. 2p<br />

impelidos por las potencias cc.,/3 y y, según las paraleras<br />

AE , BF , CH; la diferencial corrida por el punto<br />

G , tomado <strong>de</strong> suerte que sean A. AP^B.^B y<br />

A-f-15—f-C<br />

Tomado el punto g <strong>de</strong> suerte que sea A.Agr=rB.^R,<br />

la diferencial corrida por el punto g es la misma que<br />

resultara si estando eng el cuerpo A-f-B, fuera animado<br />

por la potencia a. -f-#, según la dirección^,<br />

paralela á las AÉ, BF y CH : conque para el efedo se<br />

reduce el caso al mismo que si los dos cuerpos C y<br />

A-f-B , el uno en C, y el otro en^, fueran animados<br />

por las potencias y,y et-f-£, según las direcciones paralelas<br />

CH, gh: y asi la diferencial corrida por el<br />

punto G en la paralela GI á las otras direcciones, tomado<br />

<strong>de</strong> suerte qüc sea (A+B). gG^=C. GC, ó las<br />

distancias gG, GC en razón inversa <strong>de</strong> las masas A-f-B<br />

y C , será la que expresa la fórmula *&*+fyzt<br />

A-f-B<br />

substituyendo en ella fr<br />

A-j-B-r-C<br />

r 1 •<br />

Corolario 1.<br />

No hallándose tampoco en la expresión<br />

-y)dt<br />

A-qTB+c~ kS distancias A 6 > § B > g G > GC:<br />

se sigue, que tampoco alterarán estas distancias la expresión<br />

5 y que quedará siempre la misma , con tal que<br />

st n A B<br />

^ 8 ' g en razón inversa <strong>de</strong> las masas A y B: y lo<br />

mismo gG, GC en razón inversa <strong>de</strong> las masas A-f-B y C.<br />

CO-


mx<br />

50 LIB.I. CAP. 5. DEL CENTRO<br />

Corolario 2.<br />

Pué<strong>de</strong>nse disminuir las distancias Ag, gB, gG, GC<br />

al infinito, ó quedar cero , sin que se haya alterado el<br />

'1 J 1 • dtf(*.-\-g>-\-y)dt<br />

valor <strong>de</strong> la expresión A / B_?~. • y como en<br />

este caso los tres cuerpos A, B, C quedarían unidos en<br />

G, y lo mismo las tres potencias *, /3 y y: se sigue ,<br />

que el mismo espacio correrá el punto G , en la GI paralela<br />

á las direcciones AE, BF, CH , quando los cuerpos<br />

A, B y C fueren animados por las potencias «.', j8,<br />

y y, que si los tres cuerpos unidos en K fueran animados<br />

por la KI con la potencia a-f-£_f-7<br />

PROPOSICIÓN 14.<br />

fig.7. Sí fueran los Cuerpos ó masas quatro , como A, B,<br />

C, D, impelidos por las quatro potencias *, Q>, y, fr,<br />

cada una á su correspondiente , según las paralelas AE,<br />

BF,CH,DL: la diferencial corrida por el punto G,tomado<br />

<strong>de</strong> suerte que sean A. AgzzB.Bg, (A-f-B)gK=: C.KC,<br />

y (A-f-B+C).KG=D.DG,será^±±bd^.<br />

x<br />

A-f-B-f-C-|-D<br />

La diferencial corrida por el punto K, en virtud <strong>de</strong><br />

las tres potencias «.-f-^-f- y que animan los cuerpos<br />

A, B y C, es, por lo dicho en el número antece<strong>de</strong>nte,<br />

la misma que corriera si los tres cuerpos unidos,en K<br />

fueran animados por la pdtencia et-f-/3-f-ysegunla<br />

dirección KI paralela á las otras: luego para él efedo<br />

se reduce el caso al mismo que si solos dos cuerpos<br />

D y A-f-B-f-C , el uno en D, y el otro en K, fueran'<br />

animados por las potencias fr y «.-f-£-f-y, según las<br />

direcciones paralelas á las otras: y asi, la diferencial<br />

corrida por el punto G, tomado <strong>de</strong> suerte que sea<br />

(B-f-A-f-C). KG=D.DG, ó las distancias KG,<br />

KD<br />

i-<br />

DE G R A VE DA D. 3 r<br />

GD ert razón inversa <strong>de</strong> las masas (A-^-B-f-C) y D,<br />

'• j . . --> dtf(a.-4-l¿)dt ,<br />

será la que expresa la formula —•*--. p , subs-<br />

A—j— x><br />

tituyendo en ella a-J-jg-f-ypor *, A-f-B-f-C por A,<br />

i" por /3, y D por B: será, pues, la diferencial corrida<br />

por el punto G en la paralela GH á las otras direccio-<br />

S ~A+B+C+D-<br />

Corolario i. .<br />

Lo mísmo se concluirá, aunque sean cuíco, seis, ó:<br />

Infinitos los cuerpos ó masas: <strong>de</strong> suerte que,en general,<br />

la diferencial corrida por el punto G, tomado fernsttonA<br />

.^A*-f-jM-y-i-^-f & > f formidad expresada, será:<br />

*.:<br />

A-HB+C-f-D-f-& . '.<br />

la misma que resultará si, unidos todos los cuerpos ó<br />

masasen el punto G , fiíeran animados por la potencia<br />

*^ &-+-//-$-^-+-8c ¡ pues en la expresión no se hallan<br />

las distancias <strong>de</strong> unos cuerpos respedo <strong>de</strong> otros, y<br />

estas se pue<strong>de</strong>n disminuir al infinito , ó hacerlas cero,<br />

Sin-que por ello se altere la expresión.<br />

Corolario i.<br />

Si hacemos la suma <strong>de</strong> las potencias *-f-/3-f-y-f.<br />

£-+-&==* : y la suma <strong>de</strong> las masas A-f-B-f-C-f-<br />

•J^" &==:: ^ : tendrem os también la diferencial corrida<br />

por el punto G, tomando en la conformidad ex-<br />

presada, (Prop.^.iz.^)^^,<br />

- PROPOSICIÓN I?.<br />

01 el punto G está tomado <strong>de</strong> suerte que sea íig.i.<br />

A.


,- '••¡'¡-•'l<br />

32 LIB.I. CAP.3. DEL CENTRO<br />

A. AG =: B.BG : y á un plano qualquiera FE se baxart<br />

las perpendiculares AE , Ge , BF , será gG =<br />

A.A£-f-B.BF<br />

A-f-B<br />

Tirado por G , el piano Hl paralelo al EF, será el<br />

producto A.AEr=:A. (Gg-f-HA) , y el producto<br />

B.BFr=B. (Gg—IB) : con que los dos produdos,<br />

A.AE-f-B.BF serán iguales á (A-f-B).Gg-f-A.HA—<br />

B.IB; pero la semejanza <strong>de</strong> los triángulos AHG, BIG,<br />

dá AG: AH=:GB:: IB : luego IB-—:<br />

AH.GB<br />

AG , cuyo<br />

valor substituido en la equacion antece<strong>de</strong>nte ,' dá<br />

A.AE-f-B.BF=(A-hB).Gg-f-A.HA-?^?;'<br />

que se reduce, poniendo en lugar <strong>de</strong> B.BG.su igual<br />

A.AG,áA.AE-f.B.BF=(A-f-E).Gg-f-A.HA—A.AH<br />

,A , BN^ t V A.AE-T-B.BF<br />

__(A-f-B).Gg: luego gG^—^g—.<br />

Corolario 1.<br />

Sí en lugar <strong>de</strong> las masas A y B , se toman las potencias<br />

a, y /3 <strong>de</strong> suerte que sea a..AG ft.BG , tara-<br />

-f :<br />

•<br />

*4~^<br />

PROPOSICIÓN<br />

16.<br />

Fl g-* Si fueren tres los cuerpos ó masas como A, B, C,<br />

tirado el plano qualquiera FI, y baxadas á él las per-i<br />

pendicularesBF,AE, CI,&, si se tomare el punto<br />

G <strong>de</strong> suerte,, que sean A,Ag=B.Bg,y (A-f-B).gG=<br />

5<br />

Sien-.<br />

1<br />

a<br />

DE GRÁVEDAO. 3 3<br />

Siendo (A-f-B). gGrrzC.CG , es (Prop. IK.)<br />

(A-hB)gK-f-CCl—(A-+-B-f-C). GH : y siendo<br />

A.Ag—B.Bg , es A.AE-f-B.BF=r (A-f-B).gK:<br />

conque, substituyendo en la equacion antece<strong>de</strong>nte este<br />

valor,será A.AE -f-B.BF-f C.CI—(A-f-E-i-Q.GH,<br />

GH<br />

A.AE-f-B.BF-f-C.CI<br />

A-f-B-f-C<br />

Corolario 1.<br />

_ SI en lugar <strong>de</strong> las masas A,B,C,se colocan las potencias<br />

*,0 y y,siendo *.Ag=/3.Bg, y («HH3).gK=y.CG,<br />

también será r,u—^AE+/f BF-f-y.Q<br />

*-f-/H-y<br />

Corolario 2.<br />

_• Lo mismo se <strong>de</strong>monstrará <strong>de</strong> quatro , cinco , ó infinitos<br />

cuerpos y potencias : <strong>de</strong> suerte , que la distancia<br />

perpendicular <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el punto G , tomado como se<br />

previno ( Prop 15. 16.) , á un plano qualquiera , será<br />

siempre igual á la suma <strong>de</strong> los produdos <strong>de</strong> cada cuerpo<br />

o potencia , por su distancia perpendicular al mismoplano,<br />

dividida por la suma <strong>de</strong> los cuerpos ó po-<br />

Corolario 3.<br />

„i,,, SÍ h f st ? nda perpendicular <strong>de</strong> un punto G, á un<br />

planoqualquiera , es igualá la suma <strong>de</strong> los produdos<br />

mo It CUC ÍP?¿í° r SU díStanda r^Pcndicular al mismo<br />

plano, dividida por la suma <strong>de</strong> los cuerpos: el punto<br />

tomado G será el que se previno (PropL,bastí r6)<br />

las P mk^ S! r? ment - - endd laS P r °P ie ^dís asignadasen<br />

las mismas Proposiciones y sus Corolarios.<br />

Tom. 1. I<br />

f-4 <br />

DE


• II<br />

!<br />

Jig.io.<br />

34 LIB. i. CAÍ». 3. DEL CENTRO<br />

D E F I N I C I O N I 9.<br />

Al punto G , tomado <strong>de</strong> la forma que se ha dicho<br />

(Prop, 12, hasta \6) se le dá comunmente el nombre<br />

<strong>de</strong> centro <strong>de</strong> gravedad, ú <strong>de</strong> la gravedad:<br />

Escoli<br />

ÍO.<br />

Esre nombre no le es propio, sino- en tanto que las<br />

potencias que aduan son las graveda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> los cuerpos<br />

ó masas; pero como suelen aduar también sobre el<br />

cuerpo potencias que no son las graveda<strong>de</strong>s , y que los,<br />

centros <strong>de</strong> estas no son los <strong>de</strong> las masas, como se verá<br />

<strong>de</strong>spués, distinguió con acierto Daniel Bernoulli un<br />

centro <strong>de</strong>l otro : llamó al uno centro <strong>de</strong> las potencias, y<br />

al otro centro <strong>de</strong> las masas. Como, en los cuerpos graves<br />

concurren, los dos centros, por ser las potencias ó<br />

graveda<strong>de</strong>s como las masas (Cor.i. Prin. 2.), es propio<br />

llamar, indistintamente á uno ú otro , centro <strong>de</strong> gravedad<br />

: y asi, tratándose <strong>de</strong> esta, la mismo será <strong>de</strong>cir,<br />

centro <strong>de</strong> las masas, que el <strong>de</strong> gravedad.<br />

PROPOSICIÓN 17.<br />

Con qualesquiera y distinta velocidad que se muevan<br />

los cuerpos que componen un systhema, como<br />

todos corran por direcciones paralelas , también se<br />

manrendráel centro délas masas moviéndose por la<br />

misma y paralela dirección.<br />

Que sean A, B, C, &c. los cuerpos que se mueven<br />

en las direcciones AE , BF, CI, paralelas entre sí.<br />

Tómese un plano qualquiera LK paralelo á dichas<br />

direcciones, y siendo G el centro <strong>de</strong> las masas, será<br />

_„ A.Aí-f-B.B/-f-C.C/-f-&c. r<br />

GHz= —. A-f-B-f-C-t-&c,<br />

. „ . V. . o,—• •> En esta expresion<br />

DEGRAVEDAD. 35<br />

sion todas las masas quedan constantes , <strong>de</strong> la misma<br />

suerte que las perpendiculares Ae, B/, O, &c, y esto<br />

con qualquiera ó distinta velocidad que se muevan,<br />

puesto que se suponen dirigirse por paralelas á la LK.:<br />

luego queda constante toda la expresión , y por consiguiente<br />

, la GH , y el centro <strong>de</strong> las masas G , se moverá<br />

paralelamente á las <strong>de</strong>más direcciones.<br />

Corolario i.<br />

Lo mismo suce<strong>de</strong>rá al centro <strong>de</strong> las potencias, si<br />

estas fueren constantes, como suce<strong>de</strong> con la gravedad.<br />

•<br />

Corolario 2.<br />

Según lo dicho, el cenrro <strong>de</strong> las masas <strong>de</strong> un Systhema<br />

<strong>de</strong> cuerpos se dirigirá siempre paralelamente á<br />

las direcciones <strong>de</strong> las potencias, si estas fueren paralelas<br />

entre sí: y la diferencial corrida por aquel (Cor. 2.Prop.<br />

- v . . dtf(ci-\-l¿-t-v-+-£-\-8c)dt<br />

14), será siempre =: •• \T „ ^—¡r—=<br />

1 A-f-B-f-C-f-D-f-&<br />

dtfrrdt ,<br />

—Y— : Ia misma que corriera si, unidos los cuerpos 9<br />

masas en su centro , fueran animados por la suma <strong>de</strong><br />

las potencias TC en la dirección <strong>de</strong> estas.<br />

Corolario 3.<br />

La distancia perpendicular <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el centro <strong>de</strong> las masas<br />

á un plano qualquiera, será (Cor.2.Prop.i6.) igual á<br />

la suma <strong>de</strong> los produdos <strong>de</strong> cada masa, por su distancia<br />

perpendicular al mismo plano, diyidida por la suma<br />

<strong>de</strong> las masas.<br />

Corolario 4.<br />

Asimismo la distancia perpendicular <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el centro<br />

<strong>de</strong> las potencias que aduan em un systhema á un plano<br />

E z qual-<br />

,4-


3 6 LIB. r. CAP. 3. DEL CENTRO<br />

qualquiera, será (Cor. 2. Prop. \6) igual ala suma <strong>de</strong><br />

los produdos <strong>de</strong> cada potencia, por su distancia perpendicular<br />

al mismo plano , dividida por la suma <strong>de</strong><br />

las potencias.<br />

Corolario 5.<br />

Si suponemos el espacio corrido por el centro<br />

<strong>de</strong> las masaszzze , y su velocidadrrzW , será<br />

(Cor. 4 Prop. 3 ,y Cor.x. 2. Prop. 14.) dgzzzWdtzzz<br />

dtf(*+_&+ y -I- JP" -f-&>/í<br />

A-f-B + C-í-D-i-ae —<br />

dtfxdt<br />

M : luego<br />

_fadt 4-f&dt-4-fydt-\-8c<br />

W<br />

A-I-B + C4-&<br />

frrdt<br />

nr ctdt -f- Us -f ydt-\-8c 'Tídt<br />

dW<br />

— M<br />

M~<br />

dtzzz-<br />

MdW MdW<br />

*-f-£-f : y-r-& •ar<br />

Corolario 6\.<br />

Siendo (Cor.^.Prop.3.) dg. W*,óW=£,y<br />

asimismo. (Cor. 5 .),dVJ—<br />

Tcdt<br />

M ' "Al 5<br />

multiplicando estas igualaciones , tendremos también<br />

w¿u/— (*-r-^-r-r-r- JV -t-&)^__^


1<br />

38 LIB. i. CAP. 3. DEL CENTRO<br />

potencias positivas que aduan en un systhema, fuere<br />

igual á la suma <strong>de</strong> las negativas, el centro <strong>de</strong> las masas<br />

quedará inmóvil: porque es a,-\-$-T-y-{-S s -\-8czzo.<br />

Corolario 11.<br />

Como las direcciones <strong>de</strong> las potencias que no son<br />

paralelas se <strong>de</strong>scomponen en otras que lo son , pue<strong>de</strong><br />

ser el espacio corrido por el centro <strong>de</strong> las masas, según<br />

una , ó dos direcciones , cero ; sin embargo que , según<br />

las otras , no lo sea : basta para ello que la suma<br />

<strong>de</strong> las potencias positivas, que aduan según aquella<br />

dirección , sea igual á la suma <strong>de</strong> las negativas al prúvcipio<br />

<strong>de</strong> la acción.<br />

Corolario 12.<br />

Si los cuerpos que componen un systhema, en lugar<br />

<strong>de</strong> hallarse libres , estubieren ligados ó unidos entre<br />

sí por líneas inflexibles, <strong>de</strong> suerte que esto les irapida<br />

correr por la dirección que aduan las potencias,<br />

pue<strong>de</strong>n consi<strong>de</strong>rarse como animados cada uno por dos<br />

potencias , una la que realmente los mueve, y otra la<br />

que proce<strong>de</strong> <strong>de</strong> la tensión ó fuerza con que se tiran<br />

mutuamente los cuerpos ; pero qualquiera <strong>de</strong> estas positiva<br />

tiene su igual negativa , porque la acción y reacción<br />

son iguales : luego , <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el principio <strong>de</strong> la acción,<br />

será a-f-/3-f-y-f-'M _ &=3íi, y el centro <strong>de</strong> las<br />

masas <strong>de</strong>l systema quedará inmóvil, por lo que toca á<br />

las fuerzas con que mutuamente se tiran los cuerpos.<br />

Corolario 13.<br />

Quedará , pues, el movimiento <strong>de</strong>l centro <strong>de</strong> las<br />

masas <strong>de</strong> un systhema como si no aduasen sobre él sí<br />

no las solas potencias que ponen en movimiento los<br />

cuer-<br />

DE GR A VE DA D. ?*<br />

cuerpos, y asi, el centro <strong>de</strong> las masas <strong>de</strong>l systhema se<br />

moverá <strong>de</strong>l mismo modo, estando los cuerpos libres»<br />

que estando ligados entre sí por líneas inflexibles.<br />

Corolario 14.<br />

Un cuerpo qualquiera es lo propio que un systhema<br />

<strong>de</strong> cuerpos infinitamente pequeños ligados entre<br />

sí: con que el centro <strong>de</strong> la masa total <strong>de</strong> un cuerpo<br />

qualquiera se moverá <strong>de</strong>l mismo modo animado <strong>de</strong><br />

qualesquiera potencias, que si cada partícula <strong>de</strong> materia<br />

<strong>de</strong> las que lo componen cstubiera separada y libre :<br />

ó como si fuera un systhema <strong>de</strong> cuerpos libres.<br />

Corolario 15.<br />

Lo mismo se <strong>de</strong>be enten<strong>de</strong>r <strong>de</strong> un systhema <strong>de</strong><br />

cuerpos ligados entre sí, aunque su masa no se consi<strong>de</strong>re<br />

reunida en su centro.<br />

Corolario 16.<br />

Con que tendremos , generalmente , para quaí-<br />

-ouicra cuerpo, ó número <strong>de</strong> cuerpos libres ó ligados<br />

H . , dt(QtdH-0dt-\-íydt-^8c)__ dt r .<br />

entre si,dgzz=- ^—<br />

w=;<br />

dW:<br />

dtzzz<br />

fadt-4-0dt4-fydt+-<br />

M<br />

& l_<br />

=*£/*<br />

adt-\-$dt-\-ydt~\-& icdt<br />

MdW MáW<br />

•xdt<br />

* • = &<br />

•7T<br />

*+/H-r-r-&<br />

W= ~f(*+&+y+*+&) d g=f**<br />

A*-f-Bv-f-&<br />

M<br />

-V<br />

CO<br />

'


m 4°<br />

LIB.I. CA?.3» DEL CENTRO<br />

Corolario 17.<br />

Si fuere Wzzo, será también A»-f-Be/-f-&:=o:<br />

y si el systhema se compusiere <strong>de</strong> los dos cuerpos solos<br />

A y B , aduará el uno positivamente , y el otro negativamente<br />

: <strong>de</strong> suerte que será A»=B# ; ó » :<br />

T, - 1 - 5 -—- - esto es , en qualquiera systhema, ó<br />

A B<br />

machina compuesta <strong>de</strong> dos cuerpos , las velocida<strong>de</strong>s<br />

que estos tienen , quando el centro <strong>de</strong> las masas está<br />

fixo , son en razón inversa <strong>de</strong> las masas.<br />

Corolario 18.<br />

En los cuerpos graves , las potencias son como las<br />

-masas: luego en toda machina don<strong>de</strong> la gravedad actúa<br />

, las velocida<strong>de</strong>s que toman los doscuerpos <strong>de</strong> que<br />

se compone la machina , serán en razón inversa <strong>de</strong> las<br />

potencias ú <strong>de</strong> las graveda<strong>de</strong>s , si el centro <strong>de</strong> gravedad<br />

estubiere fixo. Si al contrario, este centro se moviere<br />

, la razón en que estubieren las potencias no será<br />

igual á la que tubieren las velocida<strong>de</strong>s.<br />

Corolario 19.<br />

Si fuere la suma a,4-j3-|-y-\-8czzzo, será dWzzo,<br />

ó al contrario , para que seadWzzzo , ha <strong>de</strong> ser la suma<br />

<strong>de</strong> las potencias


• 4?<br />

LIE. I , CAP. 3. DEL CENTRO<br />

los planos : porque los produdos <strong>de</strong> los espacios diferenciales<br />

<strong>de</strong> un lado <strong>de</strong> qualquiera <strong>de</strong> los tres planos,<br />

por sus distancias perpendiculares al mismo plano,<br />

serán iguales á los produdos correspondientes <strong>de</strong>l otro<br />

lado : y siendo los unos negativos, y los otros, positivos<br />

, la. suma se <strong>de</strong>struirá, y la. distancia perpendi^<br />

cular <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el centro <strong>de</strong> las masas.al plano , será cero:<br />

ó lo que. es. lo mismo., el centro <strong>de</strong> las masas se hallatá<br />

en el mismo plano-Hallándose también en los otros dos,<br />

por la propia razón, se. hallará, en el concurso <strong>de</strong> ellos..<br />

Corolario 23*<br />

Et centro, <strong>de</strong>- la masa <strong>de</strong> una esphera igualmente<br />

<strong>de</strong>nsa, será pues: su centro <strong>de</strong> magnitud ú. <strong>de</strong> figura:<br />

y <strong>de</strong> la misma manera, el centro <strong>de</strong> la. masa <strong>de</strong> una<br />

elipsoi<strong>de</strong> , <strong>de</strong> un paralelepípedo, <strong>de</strong> un cylindro , y<br />

<strong>de</strong> qualesquiera otros, cuerpos que pue<strong>de</strong>n dividirse<br />

en dos partes iguales por tres planos que se crucen per~pendic.ularmente..<br />

Escolie<br />

Para hallar el centro <strong>de</strong> las masas <strong>de</strong> otro qualquiera<br />

Cuerpo, igualmente <strong>de</strong>nso , no, habrá sino suponer que<br />

pase un plano por qualquiera punto , que llamamos<br />

plano primitivo , dividir, el cuerpo por dosplanos pa-'<br />

ralelos.á aquel, é infinitamente cercanos entre sí, para<br />

que estos, encierren un, espacio diferencial que diste<br />

igualmente portadas partes.<strong>de</strong>l plano, primitivo: multiplicada<br />

la distancia perpendicular <strong>de</strong>s<strong>de</strong> este espacio<br />

diferencial al plano., integrando elprodudo , y dividido<br />

por todo.el: espacio que ocupa el cuerpo, el quociente<br />

será la distancia perpendicular <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el plano al<br />

centro.<strong>de</strong> la: masa total: repetido esto en tres planos<br />

que se crucen perpendieularmente, la común sección,<br />

será el centro <strong>de</strong> la masa total.<br />

Pe-<br />

DE GRAVEDAD. 4?<br />

Pero muchos cuerpos se pue<strong>de</strong>n dividir en dos partes<br />

iguales y semejantes por dos planos perpendiculares<br />

entre sí, ya que no en tres, como son las paraboloi<strong>de</strong>s<br />

, las hyperbolói<strong>de</strong>s , y todos los <strong>de</strong>más formados<br />

por la revolución <strong>de</strong> una curva qualquiera : en este<br />

caso es cierto , por lo dicho (Cor.22.), que el centro<br />

<strong>de</strong> las masas , siendo igualmente <strong>de</strong>nsos los cuerpos<br />

, está en la común sección <strong>de</strong> los dos planos, ó en<br />

el exe <strong>de</strong> la revolución: no habrá, pues, mas para hallar<br />

el preciso puntó ó centro <strong>de</strong> la masa total, que suponer<br />

un plano perpendicular al exe, y obrar como<br />

antes. Pue<strong>de</strong> , para mayor facilidad, suponerse , que<br />

el plano primitivo pasa por el origen <strong>de</strong> las abcisas ó<br />

extremo <strong>de</strong>l exe : y llamando estas x, las or<strong>de</strong>nadas á<br />

la curva y , y la circunferencia <strong>de</strong> un círculo c, siendo<br />

el radio la unidad , tendremos cy por la circunferencia<br />

que <strong>de</strong>scribirá la or<strong>de</strong>nada en su revolución , y \cy %<br />

por el área <strong>de</strong>l círculo ó plano paralelo al que se supone<br />

pasar por el extremo <strong>de</strong>l exe : por lo que {ty'dx<br />

será el espacio diferencial, que disra igualmente <strong>de</strong> dicho<br />

plano primitivo, y icy'xdx el produdo <strong>de</strong>l mismo<br />

espacio por su distancia perpendicular al plano. La<br />

suma <strong>de</strong> los produdos será {cfy'xdx: y siendo \cfy*dx<br />

la suma <strong>de</strong> los espacios ó el cuerpo total, tendremos<br />

la distancia <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el plano, ú <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el extremo <strong>de</strong>l exe<br />

, ii . . 1 ify'xdx fy^xdx k<br />

al centro <strong>de</strong> la masa total = —yFVy rrz 'A t-¡- í<br />

\fy dx fy'dx<br />

fórmula general para hallar el centro <strong>de</strong> las masas <strong>de</strong><br />

todos los cuerpos <strong>de</strong> igual <strong>de</strong>nsidad,que se forman por<br />

la revolución <strong>de</strong> una curva qualquiera al re<strong>de</strong>dor <strong>de</strong><br />

ün exe.<br />

Exemplo 1.<br />

Que se haya <strong>de</strong> hallar el centro <strong>de</strong> la masa <strong>de</strong> una<br />

semiesphera. Su equacion , tomando su centro por<br />

origen, es y' zzr 1 , siendo r su radio. Substitu-<br />

—x' Fa yen-


44 E'B. i. CAP.4. DE I.A ROTACIÓN<br />

yendo este valor <strong>de</strong> y* en la fórmula , será la distancia<br />

<strong>de</strong>s<strong>de</strong> el centro <strong>de</strong> la esphera, ú <strong>de</strong>l origen , al centro<br />

f(r*—x : <strong>de</strong> la masa<br />

)xdx ({r'—lx'}x ,<br />

j(r'-—x')ax r—jx' ' ° po­<br />

niendo xz r, para comprehen<strong>de</strong>r toda la semiesphera,<br />

será esta distancia<br />

' r<br />

-— '- r<br />

Exemplo 2.<br />

. Que se haya <strong>de</strong> hallar también el centro <strong>de</strong> la masa<br />

<strong>de</strong> una paraboloi<strong>de</strong>. Su equacion csy'zzzpx. Substituyendo<br />

este valor <strong>de</strong> y' en la fórmula , será la distancia<br />

<strong>de</strong>s<strong>de</strong> el origen <strong>de</strong> las abcisas al centro <strong>de</strong> la<br />

• fpx'dx {x'<br />

ffxdx f^ 1 —** : asi <strong>de</strong> los<br />

y<br />

<strong>de</strong>mas<br />

cuerpos.<br />

Corolario 24.<br />

De la misma manera se hallará el centro <strong>de</strong> gravedad<br />

<strong>de</strong> las potencias.<br />

CAPITULO 4.<br />

De la rotación <strong>de</strong> ún Systhema.<br />

DEFINICIÓN 20.<br />

notación <strong>de</strong> un Systhema se llama al ado <strong>de</strong> girar es-<br />

J-1 te sobre un punto ó exe qualquiera movible , ó<br />

inmovible \ y\ al ángulo que con este movimiento <strong>de</strong><br />

rotación <strong>de</strong>scribe el systhema se llama ángulo giratorio<br />

, ó <strong>de</strong> rotación.<br />

r<br />

•<br />

&L'¿<br />

DE UN SYSTHEMA. 45<br />

PROPOSICIÓN 18.<br />

Si dos cuerpos A y B , ligados por una linea in- rig.n.<br />

flexible AB , se mueven impelidos por las potencias<br />

* y #, en las direcciones paralelas AF, BG , <strong>de</strong> suerte<br />

que en un instante <strong>de</strong> tiempo dt tomen las situaciones<br />

E y 1, el ángulo giratorio que <strong>de</strong>scribirán en este<br />

instante <strong>de</strong> tiempo será^<br />

M W^-*¿W±{enJZ.<br />

^ 2 A-4-5 ! B<br />

<strong>de</strong>notando A y B las distancias <strong>de</strong>s<strong>de</strong> los cuerpos A y B<br />

al centro <strong>de</strong> las masas N, y 2 el ángulo KAB, que forman<br />

las direcciones con la A B.<br />

Puesto que el centro <strong>de</strong> gravedad N ha <strong>de</strong> seguir<br />

la linca NHM paralela á las direcciones ( Prop.ij.), las<br />

dos distancias HE, HI han <strong>de</strong> ser iguales á NA, NB : y<br />

FE, GI serán los espacios que correrán los cuerpos en<br />

virtud <strong>de</strong> las fuerzas con que se tiran mutuamente ;<br />

pero estas fuerzas exerciendose siempre según las líneas<br />

AB, El que unen los cuerpos, no alreran (Cor. 12,<br />

Prop. 17.) las fuerzas ó potencias que animan estos<br />

cuerpos perpendieularmente á las mismas líneas AB ,<br />

El. Las fuerzas ó potencias según AF, BG son (Cor.2.<br />

Prop. 10.) á las perpendiculares, como el radio ', á'<br />

fen.X : luego la potencia que anima el cuerpo A, perpendieularmente<br />

á AB , será afen.X , y la. que anima<br />

el cuerpo B,/2/¿«.2 : la diferencial <strong>de</strong>l espacio corrido<br />

por el cuerpo A, perpendieularmente á AB , será pues<br />

(Prop.¿.) ^Ja.dtfen.X, y el corrido por el cuerpo B<br />

será B-J$dtfen.X, y el exceso LE <strong>de</strong> uno á otro espa­<br />

cio será ^f^dtfen.X— d tjiidtfen.X.<br />

El ángulo giratorio LIE es , según la Geometría,<br />

J


•<br />

4*<br />

tría,<br />

LIB. i, CAP.4. DE LA ROTACIÓN<br />

LE LE<br />

Li ^g j con que será este ángulo =<br />

-~fkdtfen.X— -gfídtfenX<br />

AB<br />

dt r , , — dt 1-<br />

: ó poniendo ABrrr<br />

-¿^fidt fen.X—^JUdtfen.X<br />

A + B,=<br />

A -f-if<br />

pero<br />

(Corol. 1. Propos. 12. )es AAzzzB^x luego será este<br />

AA-B ~~=<br />

Adt fadt feruX—Bdtf&dt fen.X_<br />

AA. (B-^-A) ~"<br />

Adtfadtfen.X—Bdt.(@dt fen.X<br />

^'A-f-J'B *<br />

DEFINICIÓN 21.<br />

—..,<br />

A este ángulo giratorio <strong>de</strong>scrito en el instante <strong>de</strong><br />

tiempo dt, se ¿uele Uamar también velocidad angular.<br />

Corolario i.<br />

Siendo la diferencial corrida por el cuerpo A (Car<br />

4 Prop. 3.) »¿'=LE: y el ángulo giratorio, ó velocidad<br />

anguhr—^ : será también esta velocidad<br />

angular = ~; y la <strong>de</strong>l cuerpo A, «— ~~z% H.<br />

dt ~~ Ll " dt '<br />

esto es , será la velocidad uzzz i la velocidad angular<br />

multiplicada por -j-,<br />

dt<br />

DEr<br />

•-<br />

D E V N S Y S T H E M A. 47<br />

DEFINICIÓN 22.<br />

A los produdos Aa.,B^,.za., b/3 <strong>de</strong> las potencias.<br />


48 LIB.I. CAP.4. DE LA ROTACIÓN<br />

. . , . , dtfandt—dtfébdt.<br />

en el instante <strong>de</strong> tiempo dtzzz ... piP—•<br />

A'A—f—B i><br />

O porque la línea BQes negativa, respedo <strong>de</strong> la<br />

AO , por estar al lado opuesto <strong>de</strong>l centro <strong>de</strong> las masas<br />

, quedando en variar los signos á las cantida<strong>de</strong>s<br />

que no fueren positivas , será la expresión <strong>de</strong>l ángulo<br />

giratorio ó velocidad angular,producida en el instante<br />

<strong>de</strong> riemnn ádtWl+W)_dtfdtfenX(Aa.+B9>)<br />

<strong>de</strong> tiempo d/_ ^ ^ . g - ^Á+B'B<br />

Escolio.<br />

Se supone , por ahora, que los cuerpos A y B son<br />

infinitamente pequeños , ó que sus masas estén reunidas<br />

enteramente en dichos puntos.<br />

Corolario 2.<br />

Puesto que el ángulo giratorio es—rv<br />

dtfdt fen.X (ACL—B$) dtfdt(za.— b/8)<br />

A : A-\-B ! si <strong>de</strong>s<strong>de</strong><br />

B<br />

A'A-\-B'B<br />

el principio <strong>de</strong> la acción fuese la suma los momentos<br />

AA—BfZzzzo , ó a«—b&zzzo, el systhema no girará.<br />

Corolario 3.<br />

Respedo que los dos cuerpos A y B se suponen<br />

impelidos constantemente según las direcciones AF,<br />

BG , la rotación se hará ( Cor.2. Prop.S. ) por el plano<br />

que coincida con ellas , y con la AB , que pasa por el,<br />

centro <strong>de</strong> las masas.<br />

DEFINICIÓN 25.<br />

A este plano , para mas inteligencia, llamaremos<br />

plano giratorio, ú <strong>de</strong> la rotación.<br />

Le,<br />

DE UN SYSTHEMA. 49<br />

Lema 2.<br />

Sí uno <strong>de</strong> los cuerpos se supone infinito , quedará<br />

sin movimiento , y coincidirá con él el centro délas<br />

masas: quedando asimismo este sin movimiento, o<br />

fixo.<br />

. Siendo B el cuerpo infinito, la equacion -^-j&ltzzdb<br />

manifiesta que su movimiento es cero : y la #--|r »<br />

que su distancia B al centro <strong>de</strong> las masas es también<br />

cero: luego si uno <strong>de</strong> los cuerpos, &c.<br />

Corolario 4.<br />

En este caso , tanto la cantidad BdtfQdt fen.X,<br />

como .B'B <strong>de</strong> la expresión <strong>de</strong>l ángujo giratorio son ce-<br />

Adt fcLdt fen.X dtfadtfen.X<br />

ro : con que quedara en -—r-——— -¡^ *<br />

ó en —&¥'•. esto es, quando un solo cuerpo A está<br />

A z A<br />

obligado á girar sobre un punto fixo , distante <strong>de</strong> él la<br />

cantidad A, el ángulo giratorio, producido en el ias-'<br />

. dtfadt fen.X dtfeudt<br />

tante <strong>de</strong> tiempo dt, será_—— •—^>A •<br />

Corolario 5.<br />

Si fuere una sola la potencia que actuare, y dos Ioscuerpos<br />

: esto es, si fuere. (Izzzo , quedará el ángulo<br />

_ Adtfadtfen.X dt (asdt<br />

giratorio— ¿.A+jB.B —ZFK+B'lV<br />

Tom.i.<br />

U<br />

Co-


5 o LÍB. i. CAP.4. DE tA ROTACIÓN<br />

Corolario 6,<br />

Esta expresión se reduce á Mt f Adt f en - S =<br />

dtfazdt<br />

'(A+£B)<br />

: y es la misma que resultara (Cer.4 )<br />

si supusiéramos que el cuerpo A-f-^-B girara, obligado<br />

<strong>de</strong> la potencia *, sobre un punto fixo distante <strong>de</strong><br />

el la cantidad A : luego el mismo ángulo giratorio<br />

produce la potencia a , moviendo un solo cuerpo<br />

A-f-^i> distante <strong>de</strong> un punto fixo la cantidad A, que<br />

moviendo dos cuerpos AyB, distantes <strong>de</strong>l mismo<br />

punto fixo las contida<strong>de</strong>s AyB.<br />

Corolario 7.<br />

Como se ha <strong>de</strong>svanecido la cantidad Bfen.X, ó<br />

perpendicular b en la expresión /* : se sigue,<br />

A'A—\-B Z D<br />

que es indiferente, para el efedo <strong>de</strong>l ángulo giratorio,<br />

el lugar <strong>de</strong>l cuerpo B , como diste siempre <strong>de</strong>l punto<br />

fixo la cantidad B.<br />

Corolario 8.<br />

Po<strong>de</strong>mos suponer que en lugar <strong>de</strong> dos cuerpos A<br />

y C que agita la potencia * á las distancias A y C <strong>de</strong>l<br />

centro <strong>de</strong> gravedad, es solo el cuerpo A-f--^ C eí<br />

A'<br />

que agita á la distancia A: y puesto su valor en la ex-<br />

. dtfaadt-hdtf&bdt<br />

presión —- or^ig—> en lugar <strong>de</strong> A solo, resul-<br />

,1 ta-<br />

DE WN S V'STH E~MA. T*T<br />

tará el ángulo giratorio que producen , en el mismo<br />

insrante <strong>de</strong> tiempo dt, dos potencias a. y £ , que actúan<br />

sobre tres cuerpos A, B y C, que están en el misdtf*Adt-\-dtfíihdt<br />

rao plano <strong>de</strong> la rotacion=r— —— —<br />

WA-f-^-C)-H?'B<br />

dtf&zdt-{-dtftZbdt \ A /<br />

^A-l-B'B-r-C'C*<br />

Corolario p.<br />

Del mismo modo, el ángulo giratorio que producirá<br />

la sola potencia a. que adue sobre los tres cuerpos A,C<br />

, dtfaiidt _J di fxzdt<br />

'' D ' K ^-A-t-C-C+I.-D-^,^+ClG+D;Dy<br />

el mismo que produgera la propia potencia si aduata<br />

C* D*<br />

sobre el solo cuerpo A-f- -j¡ C-}-., D : cuyo va­<br />

lor puesto en lugar <strong>de</strong> A en la expresión<br />

dtfa.zdt-T-dtf&bdt , , . , .<br />

—¿—-r—r——^—— : se tendrá el ángulo giratorio que<br />

producirán las dos potencias a, y /3 que aduaren sobre<br />

los quatro cuerpos A, B, Cy D, que están en el mismo<br />

. , . dtfcLlLdt-í-dtf&bdt<br />

plano <strong>de</strong> la rotación zz ¿•(A+£C+^D)-H»'B<br />

dtf


5 i L"IB. x. CAP.4. DE LA ROTACIÓN<br />

aduan sobre qualquiera número <strong>de</strong> cuerpos que están,<br />

en el mismo plano <strong>de</strong> la rotación , es== = '<br />

dtfaadt^-dtf&odt<br />

A-a-t-B'b+C*C-j-D'D-T-&'<br />

Corolario 11.<br />

Si fuere solo un cuerpo, y dos las potencias:'•<br />

esto es , si fue Bzzzo , se reducirá la expresión á<br />

dtfa.adt±dtf(Zbdt_ _¿*M.(a-r-;£)<br />

A-A A'A<br />

Corolario ia.<br />

Está misma expresión resultara si la potencia<br />

a-f- -r- £ aduara sobre el cuerpo A á la distancia perpendicular<br />

a <strong>de</strong> la dirección que pasa por el centro <strong>de</strong><br />

las masas : luego el mismo ángulo giratorio producen<br />

dos potencias con direcciones paralelas que aduen á<br />

las distancias perpendiculares a y b <strong>de</strong> la dirección<br />

que pasa por el centro <strong>de</strong> las masas, que una sola pob<br />

tencia *-\— f¡> á la distancia a.<br />

a<br />

Corolario 13.<br />

Po<strong>de</strong>mos poner en la expresión<br />

dt fa&dt-\-dt f&bdt ' , ,<br />

, i— „ ' ^ •. ••., en lugar <strong>de</strong> dos poyí<br />

: A-f-fl'B-f-C s C-f-D 3 D-r-&'<br />

P<br />

tencias a, y y que aduen á las distancias a ye, una<br />

sola potencia a.-f- — 7 que adue á la distancia a: y se<br />

reducirá el ángulo giratorio producido <strong>de</strong> tres potencias<br />

que aduan paralelamente sobre qualesquiera cuerpos<br />

-<br />

DE «N SYSTHEMA. 55<br />

pos que están en el mismo plano que las tres direcciones .<br />

, , . , dt (fa.zdt-+-fycdt)-\-dtf$bdt<br />

<strong>de</strong>hSpotenc.aS,^,A4.B,B_K.,c+ZJ,D+&=-,<br />

dtfa.adt-\-dtf&bdt-T-dtfycdt<br />

ATA+B'B-T-C'C-r-D t D-+-8c<br />

Corolario 14*<br />

Del mismo modo , si colocamos en esta ultima ex­<br />

presión Jkdt. ( *-J—£• ] , en lugar <strong>de</strong>-fazdt solo, ten­<br />

dremos el ángulo giratorio que producen quatro potencias<br />

que actúan paralelamente sobre qualesquiera<br />

cuerpos que están en el mismo plano <strong>de</strong> la rotación^:<br />

dtfo3dt-^-dtf9>bdt-\-dtfyedt-\-dtf^ddt<br />

uí'A-i-Jí'BH-C'C+D'D-Hí<br />

Corolario 15.<br />

Lo mismo se dirá <strong>de</strong> qualquiera número <strong>de</strong> potencias<br />

que aduen paralelamente sobre qualesquiera número<br />

<strong>de</strong> cuerpos que están en el mismo plano <strong>de</strong> la rotacion:<br />

luego , en general, el ángulo giratorio que<br />

producen en el instante <strong>de</strong> tiempo dt, qualesquiera número<br />

<strong>de</strong> potencias que aduan paralelamente sobre qualesquiera<br />

número <strong>de</strong> cuerpos ligados entre sí por líneas<br />

inikxibles que están en el mismo plano <strong>de</strong> la rotación,<br />

spfA dtfa.zdt-\-dtflZbdt-\-dtfycdt-t-dtf£ddt -f-& <<br />

^ l A-r-jrB-f-C : C-f-D l D-f-&<br />

en cuya expresión se pondrán negativas las perpendiculares<br />

a, b, c, d, &, y las potencias «., /S, y, & que<br />

lo fueren.<br />

Corolario 16.<br />

Si llamamos p la distancia perpendicular <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el<br />

cen-<br />

\


i<br />

54 LIB.I. CAP.4. DE LA ROTACIÓN<br />

centro <strong>de</strong> las potencias á la dirección que pasa por el<br />

centro <strong>de</strong> las masas, y -w la suma <strong>de</strong> las potencias,tendremos<br />

(C0.4Pro.17.) ptf :==rac¿-f-b/3-f-cy-T-d^-f-&<br />

suma <strong>de</strong> los momentos : y dtfp^rdízzz--•<br />

dtfdt (att-f-b£-f-cy-T-d^-f-&):. k> que dá el ángulo<br />

giratorio , que producen , en el instante <strong>de</strong> tiempo dt,<br />

qualesquiera número <strong>de</strong> potencias que aduan paralelamente<br />

sobre qualquiera número <strong>de</strong> cuerpos ligados entre<br />

sí por líneas inflexibles que están en el mismoplano<br />

, . dtfp-xdt<br />

<strong>de</strong> rotación - = ií.A+Í i B-r-C I C-|-D^D-r.&-<br />

Corolario 17.<br />

La expresión pw manifiesta que no se alterará la<br />

<strong>de</strong>l ángulo giratorio, aunque se coloquen como quiera<br />

en el mismo plano <strong>de</strong> rotación las potencias particulares,<br />

ni que se dividan, ni unan Como quiera , con tal<br />

que la suma <strong>de</strong> las que se substituyeren en su lugar sea<br />

la misma T , y la distancia perpendicular <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el centro<br />

<strong>de</strong> ellas, á la dirección que pasa por el centro <strong>de</strong><br />

las masas, sea igualmente ía misma p.<br />

Corolario 18.<br />

La expresión <strong>de</strong>l <strong>de</strong>nominador ---^<br />

A>A-f-B 1 B-f-C ! C4-D s D-f-& manifiesta también,.<br />

que no se alterará el valor <strong>de</strong>l ángulo giratorio , porque<br />

se coloquen los cuerpos en otros sitios <strong>de</strong>l plano<br />

<strong>de</strong> rotación , con tal que se conserven á la misma distancia<br />

<strong>de</strong>l centro <strong>de</strong> las masas; ó aunque se varien también<br />

estas <strong>de</strong>l mismo modo que los cuerpos,con tal que<br />

la suma ^ ! A-f-B 1 B-f-C'C-H> l D-f-& se conserve<br />

siempre la misma.<br />

Co-<br />

r>E UN SYSTHEMA. 55<br />

Corolario 10.<br />

Si suponemos que sean los momentos <strong>de</strong> inercia<br />

^'A-f-B s B-f-C 1 C-T-D ! D-f-&=:S , será también<br />

el ángulo giratorio, que producen , en el instante <strong>de</strong><br />

tiempo dt, qualesquiera número <strong>de</strong> potencias , que<br />

aduan paralelamente sobre qualesquiera número <strong>de</strong><br />

cuerpos, ligados entre sí por líneas inflexibles, que es-.<br />

. . . . dtfryíedt<br />

tan en un mismo plano <strong>de</strong> rotación— —-—.-<br />

Corolario 20.<br />

Si llamamos, asimismo, P la distancia <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el<br />

centro <strong>de</strong> las masas al <strong>de</strong> las potencias, y X el ángulo<br />

que formare la línea tirada por estos dos centros con<br />

las direcciones,tendremos i: fenXzzzP: pzzzPfen.X:<br />

luego también podremos expresar el mismo ángulo<br />

giratorio por fdtf-TtdtPfenX • ó si fuere P constante,<br />

Pfdtf-Ttdt fen.X<br />

por<br />

PROPOSICIÓN 19.<br />

El systhema girará <strong>de</strong>l mismo modo estando libre,<br />

que si su centro <strong>de</strong> masas estubiere fixo.<br />

Supóngase, que en el mismo centro <strong>de</strong> las masas<br />

adue una nueva potencia, igual á la suma <strong>de</strong> todas las<br />

<strong>de</strong>más, y en dirección contraria: con esto el centro<br />

<strong>de</strong> las masas (Cor. 10. Prop. 17.) quedará en reposo ó<br />

fixo; pero esta nueva potencia, por estar aplicada en<br />

el centro <strong>de</strong> las masas, no altera el numerador <strong>de</strong>l<br />

ángulo giratorio : luego el systhema girará <strong>de</strong>l mismo<br />

modo estando su centro <strong>de</strong> masas fixo , que quando<br />

esté libre.<br />

PRO-


5 6 LIB. i. CAP.4. DÉLA ROTACIÓN<br />

PROPOSICIÓN 20.<br />

Las expresiones y fórmulas dadas <strong>de</strong>l ángulo giratorio<br />

se extien<strong>de</strong>n aun al caso en que no están todos<br />

los cuerpos y potencias en el mismo piano <strong>de</strong> rotador.<br />

Fie.i*. . * S Jf h l ma <strong>de</strong> Ios tres cuerpos unidos por h-<br />

*•"• neas inflexibles B,C, D, agitados por las tres potencias<br />

j3, y,


'$$ LIB. ii GAP.-4; DE LA ROTACIÓN<br />

DEFINICIÓN 26.<br />

A esta línea HI, sobre que, como fixa, gira eí $y><br />

•íhema, se llama exe <strong>de</strong> ¡a rotación. • -,<br />

Corolario 5.<br />

Si se tira un plano paralelo á las direcciones <strong>de</strong> las<br />

potencias , que coincida con el exe <strong>de</strong> la rotación HI:<br />

y á este se baxan perpendiculares <strong>de</strong> los puntos D , A<br />

y C, serán estas d, a y c, y todas tres iguales entre<br />

si; y iDfen\ £, AfenX, y CfenX : con que substituyendo<br />

en el numerador <strong>de</strong> la fórmula, ú expresión <strong>de</strong>l<br />

ángulo, aquellos valores, en lugar <strong>de</strong> estos, se reducirá<br />

kdtfdt(cy+-d£-\-b(2)<br />

a ' c ; C-r-0 D4-B'B '** UC CS misma dada P^ 3<br />

Jos systhemas <strong>de</strong> cuerpos que están todos en el mismo<br />

plano giratorio AB.<br />

DEFINICIÓN 27.<br />

A este plano tirado paralelo d la dirección <strong>de</strong> las<br />

potencias, y que coinci<strong>de</strong> con el exe , llamaremos<br />

plano direfíoria.<br />

Corolario 6.<br />

Puesto que d, cyb, <strong>de</strong>notan las distancias perpendiculares<br />

<strong>de</strong>s<strong>de</strong> los puntos D, C, y B al plano diredorio<br />

, si llamamos pía distancia perpendicular.<strong>de</strong>s<strong>de</strong><br />

el centro <strong>de</strong> todas las potencias al mismo plano , y<br />

•x la suma <strong>de</strong> las mismas potencias, será la suma <strong>de</strong><br />

los momentos cy-MJ x -f-b£-f-&—p-r: con que<br />

también tendremos la expresión <strong>de</strong>l ángulo girato-<br />

'. : dtfp-Ttdt , „<br />

"C'C-f-D'D-f-B'B . " : o por ultimo, hacienda<br />

v<br />

DE UN S Y STHEM A. 5$<br />

dtfoxdt<br />

C«C-fD I D-H5 : B-r-&=S,serátambien= —§—'<br />

<strong>de</strong>notando S los momentos <strong>de</strong> inercia.<br />

Corolario 7.<br />

Por las fórmulas se pue<strong>de</strong> ver que estas no exigen i<br />

que precisamente hayan <strong>de</strong> estar los centros <strong>de</strong> las masas<br />

<strong>de</strong> cada dos cuerpos, como D y C, en la linea AB,<br />

así como lo supusimos (Propos.20.): pue<strong>de</strong>n suponerse<br />

colocados mas arriba, ó masabaxo, en la misma<br />

línea CD, pues esto no alterará las distancias DH, AG<br />

y CI, y por consiguiente tampoco el <strong>de</strong>nominador<br />

C'C-+-I> l D-f-B'B-f-&, ni el ángulo giratorio. Lo<br />

único que se alterará será el centro <strong>de</strong> las masas G 3 pe<br />

ro siempre se mantendrá en la propia línea ó exe HI.<br />

Corolario 8.<br />

Tampoco exigen las fórmulas que precisamente<br />

hayan <strong>de</strong> estar los centros <strong>de</strong> las potencias <strong>de</strong> cada dos<br />

cuerpos como D y C en la línea AB , ni en el centro<br />

<strong>de</strong> las masas <strong>de</strong> estos , como supusimos (Prop. 20.):<br />

pi<strong>de</strong>n solo que la distancia p <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el centro <strong>de</strong> ellas al<br />

plano diredorio sea,como antesda misma: que esté colocado<br />

dicho centro en K , ó en qualquiera punto <strong>de</strong><br />

la LKN paralela al exe , siempre resultará el mismo<br />

ángulo giratorio; puesto que se conserva y dá el rnisfmo<br />

valor á la p.<br />

•<br />

PROPOSICIÓN 21.<br />

Quando el centro <strong>de</strong> las potencias se hubiese va-riado<br />

<strong>de</strong> suerte , que haya salido <strong>de</strong> la línea ó plano<br />

GA, que , pasando por el centro <strong>de</strong> las masas , es perpendicular<br />

al plano diredorio HI, el systhema ya no<br />

H2 gi"


6o LIB.I. CAP.4. DE LA ROTACIÓN<br />

girará sobre el exe fixo HI, sino sobre otro que , pasando<br />

por el centro <strong>de</strong> gravedad , sea perpendicular<br />

al plano paralelo á la dirección <strong>de</strong> las potencias, que<br />

pase por el centro <strong>de</strong> las masas, y el <strong>de</strong> las potencias.<br />

Que las direcciones <strong>de</strong> las potencias sean perpendiculares<br />

al plano <strong>de</strong> la estampa ó papel, y que el centro<br />

<strong>de</strong> ellas se halle en O. Tírese el plano GO , paralelo<br />

á las direcciones , y <strong>de</strong>l centro G levántese sobre<br />

este plano la perpendicular GQ¿ que será el exe fixo<br />

sobre que girará el systhema. Supóngase que también<br />

pudiera girar sobre la GQ. En este caso los produdos<br />

<strong>de</strong> las potencias <strong>de</strong> una parte y otra <strong>de</strong>l plano GO ,<br />

por su distancia perpendicular al mismo plano, habían<br />

<strong>de</strong> formar el numerador <strong>de</strong> la expresión <strong>de</strong>l ángulo giratorio<br />

; pero estos produdos son todos cero : luego<br />

no pue<strong>de</strong> girar el systhema sobre la GO , ni tampoco<br />

la QT : y por consiguiente será esta el exe fixo sobre<br />

que <strong>de</strong>be girar el systhema.<br />

Corolario 1.<br />

, Tirando un plano que , pasando por QGT, sea<br />

paralelo á las direcciones <strong>de</strong> las potencias, este será el<br />

diredorio : p será igual á la perpendicular baxada <strong>de</strong>s<strong>de</strong><br />

el centro <strong>de</strong> las potencias O sobre el plano directorio<br />

QGT : y GO será el plano <strong>de</strong> rotación que, pagando<br />

por el centro <strong>de</strong> las masas G , y el <strong>de</strong> las poten-:<br />

cias O, es paralelo á las direcciones <strong>de</strong> estas.<br />

Corolario 1.<br />

Como un cuerpo qualquiera se pue<strong>de</strong> dividir en<br />

otros muchos infinitamente pequeños, que por naturaleza<br />

están ligados entre sí: se sigue, que el ángulo<br />

giratorio que, en la diferencial <strong>de</strong> tiempo dt, producirán,<br />

sobre un exe, qualesquiera número <strong>de</strong> potencias,<br />

que<br />

DE UN S Y ST H EM A. 6\<br />

que aduen paralelamente sobre un cuerpo , ser¿=<br />

dtf?Tcdt__Vdtf


•*<br />

G\ LIB. I . Cvp.4. DE LA ROTACIÓN<br />

solo aquel en que, al principio <strong>de</strong> la acción, sea la<br />

diferencial <strong>de</strong>l ángulo giratorio ~c4~ '§ ua i ¿<br />

cero; pero en qualquiera situación que se coloque el<br />

cuerpo, nunca es esta cantidad igual á cero , sino<br />

quando es PfenXzzzGK o , ó 2=o : luego i<br />

este estado ha <strong>de</strong> venir á reducirse para pararse. Este<br />

estado no resulta precisamente , sino consiguiendo el<br />

cuerpo el máximo PCof.Xzzz i la perpendicular GN,<br />

pues, diferenciando, tenemos PdXfenX zzzo, que<br />

dá PfenXzzzo : luego el cuerpo es preciso que no<br />

pueda mantenerse en quietud , sino consiguiendo el<br />

centro G su máxima distancia <strong>de</strong> la horizontal HO , ó<br />

baxando lo mas que le es posible.<br />

De los Péndulos.<br />

DEFINICIÓN 28.<br />

Péndulo simple se llama á un cuerpo infinitamente<br />

Fig. 1 y. pequeño , ó enteramente reunido en el punto A,<br />

sostenido <strong>de</strong> un hilo infinitamente <strong>de</strong>lgado , ó línea<br />

inflexible AC.<br />

DEFINICIÓN 29.<br />

Si estando fixo el punto C , se aparta el cuerpo A<br />

<strong>de</strong> la vertical CB, como á GA, y se suelta, se mueve<br />

el péndulo en virtud <strong>de</strong> la gravedad , que es la potencia<br />

que lo anima, yendo á Ca; <strong>de</strong>spués <strong>de</strong> nuevo i<br />

CA, y asi continuamente. A cada una <strong>de</strong> estas idas y<br />

venidas se llama una oscilación.<br />

Corolario 1.<br />

No hallándose en este systhema ó péndulo simple<br />

sino<br />

rj<br />

"PE UN S Y STH ÉM A.<br />

sino un solo cuerpo, y una sola potencia que io anime<br />

, todcs las cantida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> la expresión <strong>de</strong>l ángulo<br />

giratorio <strong>de</strong>ben ser iguales á cero para este caso , ex-<br />

'fcepto una: con que será el ángulo giratorio <strong>de</strong>l péndtfzadt<br />

PdtfadtfmX<br />

guio-simple"—<br />

A'A A'A<br />

P=CA —J*f' tdt f e "''2-:~<br />

CA.A<br />

, o por ser<br />

Corolario z.<br />

Siendo , en los cuerpos que caen por la acción <strong>de</strong><br />

la gravedad, la potencia a constante, y (Cor.3. Prlnc.<br />

2.)-,-=^:£, será el ángulo giratorio <strong>de</strong>l péndulo<br />

simple zzzi^—I-^—'-—: <strong>de</strong>notando 2 el ángulo BCA<br />

que forma el péndulo con la vertical CB á qualquiera<br />

instanre ó tiempo <strong>de</strong> su oscilación: <strong>de</strong> suerte<br />

, que todo el ángulo , ú oscilación entera , será<br />

22 — í ^fdtfdtfe "enX.<br />

•<br />

DEFINICIÓN ?o.<br />

< •• A qualquiera otro péndulo , en quien el cuerpo ó<br />

-hilo tenga alguna amplitud , ó que se componga <strong>de</strong> l & tS '<br />

varios cuerpos unidos entre sí, como A, B, se llama<br />

péndulo compuesto.<br />

Corolario 1.<br />

Su ángulo giratorio será ( Corolario 3. Lema 3.):=<br />

PfdtfrdtfX . # '„<br />

b>tt+g». ; oporser ^ " ^ M - ? ' =<br />

PQAflifitfX<br />

Tom.i. i Co-<br />

• •


Fig. i;<br />

•<br />

66 LIE. i. CAP.4- DÉ LA ROTACIÓN<br />

Corolario 2.<br />

Si un péndulo simple, y otro compuesto, cumplen<br />

sus oscilaciones al mismo tiempo, y estas fueren iguales<br />

: esto es,*si fuere siempre 2 <strong>de</strong>l uno, igual á 2 <strong>de</strong>l<br />

PfdtfJtfenX PmfdtfUfenX .<br />

otro, tendremos 2— = p*M4-Z '<br />

por ser iguales las cantida<strong>de</strong>s IfdtfdtfenX en uno y<br />

en otro miembro, por la 1 condición <strong>de</strong>l problema,<br />

«eri ¿==y^^'' lo qUe ^ h lon 6 itud <strong>de</strong>l pén "<br />

dúlo simple isochrono con el compuesto CA =r<br />

ÍP 1 M¡±Z_^_V , Z^<br />

PM PM'<br />

Corolario 3.<br />

Substituyendo en lugar dé P'M-f-Z su igual S,<br />

será también la longitud <strong>de</strong>l péndulo simple ísochro-<br />

_ S<br />

no con el compuesto CA= j¡^-<br />

DEFINICIÓN 31.<br />

Si en un péndulo compuesto , se toma un punto<br />

en la línea-que junta el centro <strong>de</strong> gravedad y el exe<br />

fixo, distante <strong>de</strong> este <strong>de</strong> toda la longitud <strong>de</strong>l péndulo<br />

simple , que hace las oscilaciones <strong>de</strong> igual magnitud,<br />

y <strong>de</strong> igual duración que el compuesto , se llama á este<br />

punto, centro <strong>de</strong> oscilación.<br />

Corolario i.<br />

El centro <strong>de</strong> oscilación distari <strong>de</strong> el <strong>de</strong> gravedad<br />

la cantidad ^=P-f- p^-P , diferencia entre las<br />

dis-<br />

• DS un SYSTHEMA. 67<br />

distancias <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el centro <strong>de</strong> oscilación y el <strong>de</strong> gravedad,<br />

hasta el exe fixo.<br />

Corola ano 2.<br />

El centro <strong>de</strong> oscilación distari siempre mas que el<br />

Z<br />

<strong>de</strong> gravedad <strong>de</strong>l exe fix"ó : puesto que es P-hp^> **<br />

PROPOSICIÓN 2$.<br />

La longitud <strong>de</strong>l péndulo simple es , asimismo, :=<br />

(/A4-B-B+C-C+&)faS dcnotando 2 d%.^<br />

AAfenía-\-BBfen.H-{-CCfen.y-{- &<br />

ángulo DCG que forma la vertical CD , ó plano vertical<br />

perpendicular á las direcciones, con la CG que<br />

pasa por el centro <strong>de</strong> gravedad G : y «t, Q>, y, & los<br />

ángulos DCA , DCB , & que forma la misma vertical<br />

ó plano con las líneas tiradas <strong>de</strong>s<strong>de</strong> ©1 punto fixo C, i<br />

qualquiera <strong>de</strong> los cuerpos , cada una i su correspondiente.<br />

Siendo ( Cor.20. Prop.xZ.) PfenXzzzp, ó<br />

_<br />

Pzz<br />

P<br />

fenX<br />

substituyendo este valor en la fórmula (Cor.^.Def.^o.J<br />

será la longitud <strong>de</strong>l péndulo simple rzr —¿j-: ó poniendo<br />

S=±^A-M I B-f-C í C-f-& , y pM =<br />

aAH-bB-f-cC-r-& zzz AAfen.a,-\-BBfen.Q>-\- ------<br />

CC/fí?.y-f-& , serála longitud <strong>de</strong>l péndulo simple :=<br />

. (A'A-+-B I B-\-C*C-\-St)fen.X<br />

AAfen.ci.-+-BBfcn.M-CCfen.y-\-&.'<br />

.'<br />

Corolario.<br />

Si todos los ángulos a,/3,y, & fueren iguales: Fig-*?-.<br />

estjo es, si todos los cuerpos A, B, .& estubjeten en una ' •<br />

... 12 mis-


I<br />

70 LlB. I. CAP.4. DE LA ROTACIÓN<br />

Corolario 6\<br />

Sí <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el principio <strong>de</strong> la acción fuere CR.Ufeii.vzz<br />

CA.cLfenX , ó CS.fczzzBG.a., será el ángulo giratorio<br />

igual á cero, y la palanca quedará sin movimiento,<br />

ó en equilibrio.<br />

Corolario 7.<br />

Lo mismo que se ha dicho <strong>de</strong> dos potencias <strong>de</strong>be<br />

enten<strong>de</strong>rse <strong>de</strong> varias que se apliquen á la palanca: pues<br />

por el (Co.4.Pr. 17.) es p^±=ra«.-f-biS-f-c.y--}-dJ s -f-&,<br />

y por consiguiente el, momento <strong>de</strong> todas estas produce<br />

el mismo efecto que* una sola T, colocada á la* distancia<br />

<strong>de</strong>l hypomochlion p.<br />

c t • o<br />

Corolario 8.<br />

Pudiéndose expresar generalmente en la palanca<br />

su ángulo giratorio por J ^ , siendo -K la potencia<br />

qualquiera que actué d la distancia <strong>de</strong>l hypomochlion<br />

p, y S los momentos <strong>de</strong> inercia que pa<strong>de</strong>zca : y asimismo<br />

(Cor. 1. Prop. 18.) por — , suponiendo «la va»<br />

locidad <strong>de</strong>l punto don<strong>de</strong> se coloque la potencia: será<br />

dtfpvdt udt .,' , '<br />

— r 7j—=-~- , o partiendo por dt, y diferenciando<br />

p'vdtzzzSdu i lo que dá la potencia T = ——.<br />

• ydt • • ,<br />

Corolario o.<br />

Quando una palanca gira sobre un punto qualquiera,<br />

la acción que pa<strong>de</strong>ce es proporcional i Sdu:<br />

será , pues, en razón compuesta <strong>de</strong> los momentos <strong>de</strong><br />

inercia S , y <strong>de</strong> la diferencial du.<br />

. . . "Co-<br />

D-E-TJN SYSTM ¿MA.<br />

Corol;<br />

laño 10*<br />

Puesto que el ángulo giratorio, ó velocidad an-<br />

guler es=; — : será du proporcional á la diferencial<br />

<strong>de</strong> la velocidad angular; por consiguiente también<br />

será la acción que pa<strong>de</strong>zca la palanca en razón compuesta<br />

<strong>de</strong> los momentos <strong>de</strong> inercia S, y <strong>de</strong> la diferencial<br />

<strong>de</strong> la velocidad angular.<br />

Escolio 1.<br />

Quando una palanca esti firme en uno <strong>de</strong> sus puntos<br />

qualesquiera , sin po<strong>de</strong>r girar sobre él, este punto<br />

se <strong>de</strong>be consi<strong>de</strong>rar como el hypomochlion sobre<br />


I<br />

•<br />

yz LIE.i. CAP.4. DE LA ROTACIÓN<br />

que actuare sobre la palanca , y p la distancia perpendicular<br />

<strong>de</strong>s<strong>de</strong> el exe EG á la dirección <strong>de</strong> la misma<br />

potencia. Pero/, en este caso , no solo <strong>de</strong>nota la intensidad<br />

<strong>de</strong> la fuerza, sino el producto <strong>de</strong> esta, por la<br />

amplitud <strong>de</strong> la fibra: si suponemos esta dydx, y la<br />

intensidad que resultare/, será la fuerza <strong>de</strong> cada fibra<br />

fdydx , suponiendo Chzzzx, y FH, paralela al exe<br />

zzzy : será, pues , toda la fuerza <strong>de</strong> la diferencial<br />

Hlzzz/ydx, y su momento —Jyxdx : luego, por lo<br />

dicho, será, en el caso <strong>de</strong> no girar-la p¿üai\cn,ffyxdxzz<br />

pT : ófzzz-y ~r-\ bien entendido, que en fyxdx<br />

BO solo se encierran positivos los momentos <strong>de</strong> las<br />

fibras <strong>de</strong>l segmento GDE, sino también los <strong>de</strong>l segmento<br />

GKE., pues aunque en este sean negativas las<br />

x, también lo son las fuerzas//á* <strong>de</strong> las fibras, porque<br />

se comprimen estas, y no tiran á dilatarse como<br />

en el otro segmento. Los momentos que exercen cada<br />

uno <strong>de</strong> estos son iguales (Cor.3. Prop. 17. ) al producto<br />

<strong>de</strong> su área, por la intensidad/, y por la distancia<br />

<strong>de</strong> su centro <strong>de</strong> gravedad al exe GE: luego, si suponemos<br />

el área GDE=A', la GKEzzza 2 , la distancia<br />

<strong>de</strong>l centro <strong>de</strong> gravedad <strong>de</strong> la primera al exe=K,<br />

y la <strong>de</strong> la segunda =k, será fyxdx zzz KA'-r-ka,";<br />

luegofa V* .<br />

Corolario 11.<br />

J-o mismo se <strong>de</strong>be enten<strong>de</strong>r,aunque la palanca gire<br />

sobre un punto qualquiera , pues la acción que sobre<br />

ella actuare siempre ha <strong>de</strong> resultar sobre ella misma<br />

en qualquiera sección comoKD. ,<br />

Corolario '12.<br />

Siendo , en la rotación <strong>de</strong> la palanca, (Cor. 2.)<br />

DÉ UN SrSTHEM Á\<br />

Sdu<br />

n<br />

* TT , será también en este ;caso fzzz — i<br />

o Sdu<br />

pdt^A'^-kz 1 ) '' eSt ° es ' la accIon


• *¿<br />

74 LIB. í. CAP.4. DE LA ROTACIÓN<br />

será/z=F y p-.r^r:—^ : luego las tuerzas * y 1 ue¿n<br />

este caso es pr—á la distancia <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el exe , en la sección<br />

LM, á la dirección <strong>de</strong> la potencia. Luego si suponemos<br />

la intensidad <strong>de</strong> las fibras en KDrzr F zzz<br />

-~-, y la intensidad en LM z=r/=: ~— : siendo<br />

j' Li / f i_# 1<br />

"Szzzf, como suce<strong>de</strong>rá en una palanca homogénea,<br />

tendremos 7TT z== iyi > °


•<br />

I<br />

m<br />

75 LIB.I. CAP. 5. DEI EXE<br />

esto es, <strong>de</strong>/z Área GDE—-fz. Área GKE, y será mayor<br />

y menor quanto mayor sea z.: luego quanto mayor<br />

sea z, mayor será KA'-f-ka x , ó su igual »L*l, y<br />

por consiguiente menor la expresIon/= • ; -——<br />

».L'I<br />

KA ~r kaI<br />

—<br />

pv<br />

: esto es, menos fuerza necesitan las fibras pa-<br />

r<br />

ra resistir, ó mas resistirán en igual grado <strong>de</strong> fuerza :<br />

luego quanto mayor sea z, ó quanto mas diste el exe<br />

<strong>de</strong>l punto que divi<strong>de</strong> la base KGDEK en dos partes<br />

iguales, tanta mas resistencia tendrá la palanca.<br />

Escolio 3.<br />

En todo lo dicho se ha supuesto que la fuerza <strong>de</strong><br />

las fibras en la sección GKE , es igual á la que excrcen<br />

las <strong>de</strong> la otra sección GDE ; pero aduando en aquellas<br />

por la compresión , y en estas por la dilatación <strong>de</strong><br />

las mismas fibras, no hay seguridad en que obre así<br />

la naturaleza <strong>de</strong> ellas; sin embargo pue<strong>de</strong> suponerse^<br />

hasta que las experiencias manifiesten la verda<strong>de</strong>ra ley<br />

con que exercitan sus fuerzas.<br />

CAPITULO 5.<br />

Del Exe y Radio <strong>de</strong> rotación*<br />

DEFINICIÓN 34.<br />

A La línea fixa en el systhema sobre la qual giran<br />

jf\. todos los cuerpos que la componen , <strong>de</strong>scribiendo<br />

pequeños arcos <strong>de</strong> círculo, aunque no sea sino por<br />

•un instante ú diferencial <strong>de</strong> tiempo , llamamos exe <strong>de</strong><br />

rotación: y á la distancia perpendicular <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el centro<br />

<strong>de</strong> gravedad al exe , radio <strong>de</strong> rotación.<br />

PRCs<br />

H<br />

"Y RADIÓ DE ROTACIÓN. yn,<br />

PROPOSICIÓN 24.<br />

Hallar el exe <strong>de</strong> rotación , ó punto sobre que gíra<br />

el systhema. .. . .<br />

Sea un systhema libre compuesto <strong>de</strong> qualesquiera<br />

número <strong>de</strong> cuerpos ligados entre sí por líneas inflexibles<br />

que gire sobre el mismo plano <strong>de</strong>l papel: C su Fig.*:<br />

centro <strong>de</strong> gravedad que , por la dirección CI, corrió<br />

el espacio CD en un instante ú diferencial <strong>de</strong> tiempo.<br />

Que un cuerpo qualquiera A pase en el mismo instante<br />

<strong>de</strong> A á B , y tiradas las lincas ACE , BDE , hasta<br />

que concurran en E, el ángulo AEB será el giratorio<br />

<strong>de</strong>scrito por el systhema en el mismo instante ú<br />

diferencial <strong>de</strong> tiempo. Tómese EH=zED: tírese la<br />

DH : <strong>de</strong>l punto F, que divi<strong>de</strong> la CD en dos partes<br />

iguales ; levantóse la perpendicular FG , y haciendo el<br />

ángulo CDG=EDH, el punto G será don<strong>de</strong> se halle<br />

el exe , sobre el qual gira todo el systhema en el instante<br />

ú diferencial <strong>de</strong> tiempo que corrió el cenrro <strong>de</strong><br />

gravedad <strong>de</strong> C á D.<br />

Los triángulos HED , CGD son semejantes , por<br />

construcción, y el ángulo HED=CGD. El ángulo<br />

ACI—BDI-l-HEDz^BDI-f-CGD, y el ángulo<br />

1®G—DCG-f-CGD.Sumando estas dos igualaciones,<br />

se tiene ACl-f DCG-f-CGD=BDI-f-CGD-f IDG ¡<br />

esto es, ACI-f-DCG=rBDI-f-IDG, ó ACG=BDG:<br />

<strong>de</strong> suerte, que si con el movimiento se ajusta C sobre<br />

D, A sobre B , y toda la AC sobre la BD, por ser los<br />

ángulos ACG y BDG iguales , también se ajustará la<br />

CG Spbre la DG , y el punto G habrá quedado inmóvil.<br />

A mas <strong>de</strong> esto , los triángulos ACG , BDG siendo<br />

iguales y semejantes, será AG=BG , y por consiguiente<br />

el cuerpo A, en la diferencial <strong>de</strong> tiempo ,<br />

habrá <strong>de</strong>scrito con el radio AG el pequeño arco<br />

Lo


78 LIB.I. CAP. 5. DEL EXE<br />

Lo mismo se <strong>de</strong>mostrará <strong>de</strong> qualquiera otro cuerpo<br />

<strong>de</strong> los que compongan el systhema : luego el punto<br />

G en el plano diredorio , y en la perpendicular FG<br />

d la dirección CI, levantada <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el centro <strong>de</strong> gravedad,<br />

será don<strong>de</strong> se halle el exe <strong>de</strong>.rotación.<br />

Corolario 1.<br />

A cada instante que muda el centro <strong>de</strong> gravedad<br />

<strong>de</strong> lugar , lo muda también el exe <strong>de</strong> rotación : y no<br />

pue<strong>de</strong> este quedar fixo , á menos que no que<strong>de</strong> tan*bien<br />

el centro <strong>de</strong> gravedad, y en tal caso gira sobre<br />

este el systhema.<br />

Corolario 2.<br />

Luego no hay exe fixo en el systhema, no siendo<br />

el que pasa por el centro <strong>de</strong> gravedad , sino por un<br />

instante ú diferencial <strong>de</strong> tiempo.<br />

PROPOSICIÓN 25.<br />

Qualquiera <strong>de</strong> las líneas DG, CG, que es el radío<br />

<strong>de</strong> rotación , es —_ PUfTtdtfenX .<br />

CD<br />

El ángulo CGD= ~s es (Prop.24) ig ual á AED,<br />

. , CO ,CD ?dtfadtfen.X<br />

que es el <strong>de</strong> rotación: luego será ^r^zzz—'—


So LIE. i. CAP. 5. DEL' EXÍ<br />

ni que Impelan con qualquiera ángulo, como no sea<br />

frrdtfen.X , ó fp-7cdtzzzo. Bien cs s verdad que, examinado<br />

mejor el caso , se hace imposible, ó no resuelve<br />

en él nada la fórmula, porque una línea tomada<br />

en rigor es inmaterial, y por consiguiente son en el<br />

caso tanto M , como Sr=ro 5 pero si se admite que ya<br />

no sea una línea,sino un paralelepípedo material,queda<br />

en su fuerza el reparo.<br />

Escoli<br />

10 2.<br />

Juan Bernoulli en el tom.4.dcsus Obras N.CLXXFH.<br />

no <strong>de</strong>termina el centro, ó exe <strong>de</strong> rotación sino en el<br />

caso <strong>de</strong> ser fen.irzzz 1: esto es, <strong>de</strong> ser la línea tirada<br />

<strong>de</strong>s<strong>de</strong> el cenrro <strong>de</strong> las potencias al <strong>de</strong> gravedad, perpendicular<br />

á la dirección: en él se reduce el radio <strong>de</strong><br />

S<br />

rotación á =^, que es la expresión que hallamos (Cor.<br />

3. Def.30,) por la longitud <strong>de</strong>l péndulo simple que<br />

hace las oscilaciones <strong>de</strong> igual • magnitud y durado»<br />

que el péndulo compuesto , ó por la distancia <strong>de</strong>s<strong>de</strong><br />

el exe <strong>de</strong> rotación al centro <strong>de</strong> oscilación <strong>de</strong>l péndulo<br />

ó systhema; lo que le hizo creer que el systhema giraba<br />

sobre su centro <strong>de</strong> oscilación. En efedo si seconsi<strong>de</strong>ra<br />

que gire el systhema sobre su centro <strong>de</strong> gravedad<br />

fixo , y como si fuese un péndulo , su centro <strong>de</strong><br />

oscilación distaría, en este caso , <strong>de</strong>l <strong>de</strong> gravedad <strong>de</strong><br />

la cantidad ^-¡ , aunque <strong>de</strong>l lado opuesto al que asig­<br />

•-Í namos al exe <strong>de</strong> rotación. Mr. Bouguer , en su Maniobra<br />

<strong>de</strong> Navios lib.i. sec. 2. cap. 14,distingue bien que<br />

este punto está al lado opuesto <strong>de</strong> don<strong>de</strong> se coloca la<br />

potencia respedo <strong>de</strong>l centro <strong>de</strong> gravedad ; pero asigna<br />

, por regla general, que la distancia <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el centro<br />

<strong>de</strong> gravedad al exe <strong>de</strong> rotación es en razón inversa<br />

<strong>de</strong> la que hubiere <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el mismo centro á la potencia,<br />

+í<br />

Y RADIO DE ROTACIÓN. 8l<br />

ó como F : quando no es sino como "J—* -<br />

PM PMfxdtfen.X '<br />

que solo conviene con su regla , quando es fen.X = 1<br />

y constante: en todos los <strong>de</strong>más casos será, en razón<br />

inversa déla distancia P, y en la direda <strong>de</strong> —f^' .<br />

f7Cdt fen.X<br />

Esta diferencia proce<strong>de</strong> <strong>de</strong> que , tanto Mr. Bouguer,<br />

como Juan Bernoulli , no indagaron el lugar <strong>de</strong>l centro,<br />

ó exe <strong>de</strong> rotación , sino en el primer instante que<br />

se pone en movimiento el systhema. En este instante<br />

es cierto que se pue<strong>de</strong> suponer fen.X constante,<br />

aunque no lo sea en lo succesivo, lo que reduce<br />

pTrdt . 1 ,<br />

]fadtJenX JbtXT constante > P° r Io que queda la distancia<br />

<strong>de</strong>s<strong>de</strong> el centro <strong>de</strong> gravedad al exe <strong>de</strong> rotación,<br />

solo en razón inversa <strong>de</strong> la distancia P.<br />

CAPITULO 6.<br />

De la Percusión.<br />

DEFINICIÓN 35.<br />

pErcusion es el choque, ó golpe, que se dan los<br />

J- cuerpos, quando, movidos con distintas velocida<strong>de</strong>s,<br />

ó direcciones, se encuentran.<br />

DEFINICIÓN 36.<br />

Si <strong>de</strong>spués <strong>de</strong> cumplido el choque , prosiguen los<br />

cuerpos unidos impeliéndose , no se llama esta acción<br />

, sino presión.<br />

Tom.i. DE-<br />

__


8i LIB. i. CAP. 6. DE LA<br />

DEFINICIÓN 37.<br />

Si alguno <strong>de</strong> los cuerpos en el ado <strong>de</strong>l choque no<br />

se <strong>de</strong>termina á la rotación, se dice centro <strong>de</strong> percusión i<br />

aquel punto en don<strong>de</strong> se executa el choque.<br />

Del mismo modo que en los cuerpos graves se llama<br />

centro <strong>de</strong> gravedad á aquel punto sobre que , apoyado<br />

el cuerpo, queda en equilibrio, sin <strong>de</strong>terminarse<br />

á girar, ni por un lado, ni por otro : así también<br />

en la percusión se llama centro <strong>de</strong> ella al punto en que,<br />

chocado el cuerpo , queda en equilibrio, sin <strong>de</strong>terminarse<br />

á la rotación, ni por un lado , ni por otro.<br />

Axioma 4.<br />

Los cuerpos son impenetrables, ó no pue<strong>de</strong>n penetrarse<br />

ocupando al mismo tiempo el propio lugar.<br />

Aunque veamos que un cuerpo se introduce en<br />

otro, no por ello las partículas <strong>de</strong> materia <strong>de</strong>l primero<br />

ocupan el propio lugar que las <strong>de</strong>l segundo : las <strong>de</strong><br />

este ce<strong>de</strong>n el suyo á las <strong>de</strong> aquel, y cada partícula<br />

ocupa su lugar separado, tanto antes, como <strong>de</strong>spués,<br />

y aun en el mismo tiempo que se executa el choque 5<br />

<strong>de</strong> suerte , que nunca pue<strong>de</strong>n dos partículas ocupar el<br />

propio lugar.<br />

Axioma 5.<br />

La Naturaleza obra por instantes , y por movimientos<br />

succesivos.<br />

Esto es lo que algunos han llamado ley <strong>de</strong> la continuidad.<br />

Un cuerpo que corre por una dirección no<br />

pue<strong>de</strong> pasar <strong>de</strong> un punto á otro, sin pasar antes por<br />

todos los intermedios: no pue<strong>de</strong> pasar <strong>de</strong> una velocidad<br />

á otra mayor ó menor, sin haber tenido antes y<br />

succesivamente las intermedias : y asi <strong>de</strong> otros infinitos<br />

casos. DE-<br />

FERCüSION 1 .<br />

DEFINICIÓN 38.<br />

83<br />

Sí un cuerpo encuentra ó choca á otro, como<br />

(Axio.q.) no se pue<strong>de</strong>n penetrar% y el primero tira,<br />

con su inercia, á mantener su grado <strong>de</strong> velocidad , ha<br />

<strong>de</strong> impeler, poco á poco, y por grados succesivos , al<br />

segundo, que no tiene tanta, y la inercia <strong>de</strong> este ha<br />

<strong>de</strong> exercitarse , con dirección contraria, á cada instante<br />

<strong>de</strong> la acción <strong>de</strong> aquel: <strong>de</strong>be por consiguiente<br />

experimentar cada uno <strong>de</strong> los cuerpos en el punto ó<br />

parage <strong>de</strong>l contado una fuerza ó potencia : <strong>de</strong> reacción<br />

en el impelente , y <strong>de</strong> acción en el impelido ,<br />

igual (Axio. 1.) á la inercia <strong>de</strong> los cuerpos. A esta fuerza<br />

, qualquiera que sea , se llamafuerza <strong>de</strong> percusión.<br />

Escolio 1.<br />

No pudiera el primer cuerpo impeler al segundo,<br />

P ° C ei. pOCO y por 8 rat * os succesivos, si ambos fueran<br />

perfectamente sólidos ú <strong>de</strong>nsos ; esto es, si no tubieran<br />

poros ó intersticios entre las partículas <strong>de</strong> materia<br />

: era preciso entonces que todo el segundo cuerr<br />

po tomara repentinamente toda la velocidad <strong>de</strong>l primero,<br />

lo que seria contra lo dicho (Ax. 5.).<br />

Esta dificultad ha obligado á algunos á no admitir<br />

en la Naturaleza cuerpo pérfidamente sólido 5 pero<br />

la consi<strong>de</strong>ración <strong>de</strong> que en la división continua <strong>de</strong> los<br />

cuerpos es preciso que se llegue á los primeros átomos<br />

<strong>de</strong> que se componen , y que en estos ya no haya poros<br />

, hace que no puedan excluirse <strong>de</strong> la Naturaleza<br />

los cuerpos sólidos. Otras dificulta<strong>de</strong>s se ofrecen también<br />

siempre que se vayan á examinar las propieda<strong>de</strong>s<br />

<strong>de</strong> las primeras partículas <strong>de</strong> la materia 5 pero no es<br />

esto <strong>de</strong> nuestro asunto , porque nos reducimos i .tratar<br />

délos cuerpos ya compuestos <strong>de</strong> aquellas partículas,<br />

L 2 y


II<br />

$4 EIB. I.CAP.¿. DHIÍÍ<br />

y <strong>de</strong> estos no se conoce en la Naturaleza alguno que<br />

no tenga poros ó intersticios.<br />

DEFINICIÓN 39.<br />

Con motivo <strong>de</strong> los poros ó intersticios , ce<strong>de</strong>n las<br />

primeras partículas <strong>de</strong> los cuerpos su lugar al impulso<br />

<strong>de</strong>l golpe ó percusión , y pasan á ocupar los intersticios<br />

mas remotos: en unos ce<strong>de</strong>n menos , y en otros<br />

mas, y es loque hace que los cuerpos se <strong>de</strong>nominen<br />

mas o menos duros, ó blandos; <strong>de</strong> suerte que el cuerpo<br />

será mas duro quanto menos cedieren las partículas<br />

su lugar al impulso <strong>de</strong>l golpe ó percusión.<br />

Escolio 2.<br />

De esto proce<strong>de</strong>n los huecos, cabida<strong>de</strong>s , ó Impresiones<br />

que se forman en los cuerpos por medio <strong>de</strong><br />

los choques , y aun las introducciones, ó por <strong>de</strong>cirlo<br />

asi, penetraciones <strong>de</strong> unos cuerpos en otros, y <strong>de</strong>cimos<br />

, aunque con impropiedad, que una bala penetro<br />

en una pared, un clavo en una tabla, y así <strong>de</strong> otros<br />

cuerpos.<br />

Escolo 3.<br />

Es menester no confundir la dureza <strong>de</strong> los cuerpos<br />

ton la <strong>de</strong>nsidad : el oro es mas <strong>de</strong>nso que el acero;<br />

pero este es mas duro que el oro : el azogue es mas<br />

<strong>de</strong>nso que la plata , y aquel no es duro : y asi <strong>de</strong> otros<br />

muchos cuerpos. No por esto se preten<strong>de</strong> persuadir á<br />

que la dureza esté enteramente in<strong>de</strong>pendiente <strong>de</strong><br />

fci <strong>de</strong>nsidad : el mismo oro batido con el martillo,<br />

y reducido á menor votúmen , y por consiguiente á<br />

mayor <strong>de</strong>nsidad, admite mayor dureza. Si un cuerpo<br />

no rubiera poros, ó fuera infinitamente <strong>de</strong>nso, ninguna<br />

<strong>de</strong> sus partes pudiera ce<strong>de</strong>r al golpe, con que seria<br />

asi-<br />

PERCUSIÓN. g j<br />

asimismo infinitamente duro. Pue<strong>de</strong>, por consiguiente<br />

, <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>r la dureza <strong>de</strong> la <strong>de</strong>nsidad; pero pue<strong>de</strong> asimismo<br />

<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>r <strong>de</strong> la cohesión <strong>de</strong> las mismas partes :<br />

la experiencia es la que por ahora nos pue<strong>de</strong> manifestar<br />

el grado <strong>de</strong> dureza <strong>de</strong> cada uno <strong>de</strong> ellos.<br />

DEFINICIÓN 40.<br />

A los cuerpos que, al ce<strong>de</strong>rlas partes su lugar, no<br />

se separan unas <strong>de</strong> otras , ó. no se rompen, llaman<br />

tenaces: y la tenacidad es mayor, quanto mas resistieren<br />

las partes la separación.<br />

DEFINICIÓN 41.<br />

A los cuerpos que no pue<strong>de</strong>n ce<strong>de</strong>r las partes su<br />

lugar sin romperse, Ihman frágiles - y la fragilidad es<br />

mayor, quanto mas fácilmente se separaren ó rompieren<br />

las partes que reciban el choque.<br />

DEFINICIÓN 42.<br />

Elasticidad es la fuerza que la experiencia ha manifestado<br />

residir en los cuerpos, con la qual las partes<br />

forzadas, o que cedieron al impulso <strong>de</strong> un golpe, ó<br />

presión , tien<strong>de</strong>n á restituirse á su lugar respectivo que<br />

antes <strong>de</strong>l golpe ó presión ocupaban. Esta es la foerza,<br />

con la qual una pelota vuelve á elevarse quando cae<br />

en el suelo: la misma con que un muelle , <strong>de</strong>spués <strong>de</strong><br />

torzado , tien<strong>de</strong> á restituirse ásu primera situación :<br />

con que el arco dispara la flecha; y asi <strong>de</strong> otros mucnos<br />

casos. Esta fuerza permanece en qualquiera <strong>de</strong> las<br />

partículas <strong>de</strong> materia que ce<strong>de</strong>n al impulso <strong>de</strong>l golpe,<br />

a menos que en la acción no se rompan ó separen to-<br />

medL nte -° ? n parte al S unas <strong>de</strong> dlas 5 PU" Por este<br />

mecuo pier<strong>de</strong>n asimismo totalmente ó en parte su<br />

elas-


$6 LIB. I.CAP.6*. DÉLA<br />

elasticidad. Adua esta fuerza á qualquiera instante<br />

<strong>de</strong>l choque , concurriendo con la <strong>de</strong> percusión <strong>de</strong><br />

quien hace la parte ó el todo, y tien<strong>de</strong> á separar los<br />

cuerpos con direcciones opuestas.<br />

Corolario i.<br />

La elasticidad aumenta, según aumentan las partes<br />

forzadas , ó que cedieron al impulso <strong>de</strong>l golpe ; ó<br />

lo que es lo mismo, según aumente la impresión : y<br />

se tendrá la mayor fuerza <strong>de</strong> elasticidad quando se<br />

tenga la mayor impresión, ó impresión total.<br />

Corolario 2.<br />

En este estado <strong>de</strong> la mayor impresión , la fuerza<br />

<strong>de</strong> elasticidad existe, puesto que habiendo ido en aumento,<br />

no pue<strong>de</strong> (Ax.¿.) llegar á <strong>de</strong>svanecerse sin<br />

pasar por todos los grados <strong>de</strong> disminución: con que<br />

el cuerpo impelente <strong>de</strong>be continuar en disminuir su<br />

velocidad , y en aumentarla el impelido hasta que las<br />

partes forzadas regresen enteramente.ó en parte al lugar<br />

que antes ocuparon.<br />

DEFINICIÓN<br />

greso en todo el discurso <strong>de</strong>l choque, el cuerpo no será<br />

clástico. r •<br />

Escolio 4.<br />

La experiencia manifiesta, que el efedo que proce<strong>de</strong><br />

<strong>de</strong> la percusión ó choque, exce<strong>de</strong> mucho al que<br />

pro-<br />

, • PERCUSIÓN.' o_<br />

prodúcela presión. Es muy trivial y manifiesta %-,<br />

experiencia para que no se hiciese eníodo t emPo S?<br />

vo <strong>de</strong> varias disputas. Leibnitz, atendiendo íest^d<br />

paridad <strong>de</strong> efedos, distinguió la fuerza que produce<br />

la percusión <strong>de</strong> la que adua en fe presión • Tlamó<br />

da. Esta distinción ha tenido , y quizas tiene ?""<br />

gran<strong>de</strong>s partidos. Juan Bernoulli /en la^ Definición7z<br />

<strong>de</strong>l cap. 3 <strong>de</strong> su discurso sobre las leyes <strong>de</strong> hi col<br />

mcaaon <strong>de</strong>l movimiento, <strong>de</strong>fine las dos fuerzas en estos<br />

términos La fuerza viva es aquella « X S<br />

gas rr^3^M^¿B?s<br />

««hoque. H P Al e r «hrT^^e^<br />

su D serrac.on sobre la verda<strong>de</strong>ra noción


gg LIB. i. CAP. 6. DE tA<br />

menos han convenido que son las que las produce».<br />

En esto conviene el mismo Bernoulli, pues, en el cap.3.<br />

parr. 3. <strong>de</strong>l discurso ya citado , dice, hablando <strong>de</strong> la<br />

fuerza viva , su naturaleza es enteramente diferente , no<br />

pue<strong>de</strong> ni nacer ni perecer en un instante como la muerta ;<br />

es menester mas ó menos tiempo para producir una fuer-


9o LtB. i. CAP. 6. DE LA<br />

la potencia que adua, sea la que fuere , y las velocida<strong>de</strong>s<br />

que resultaren , los espacios que se corrieren, y<br />

el tiempo que durare la acción serán, tanto <strong>de</strong> un modo<br />

como <strong>de</strong> otro , siempre los mismos. Toda la diferencia<br />

consiste en saber , á qué se <strong>de</strong>be dar el nombre<br />

<strong>de</strong> fuerza viva , cuya dificultad parece que aun existe<br />

entre los que fueron Autores <strong>de</strong> ella. Aquí no enten<strong>de</strong>remos,<br />

según se dlxo (Def. 13.), por fuerza sinoá<br />

una acción ó potencia qualquiera, á fin <strong>de</strong> evitar dudas<br />

: y mas a<strong>de</strong>lante se verá , que si solo por la gran<br />

diferencia <strong>de</strong> efectos se introduxo la fuerza viva, bien<br />

po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>s<strong>de</strong> ahora <strong>de</strong>spren<strong>de</strong>rnos <strong>de</strong> ella, porque<br />

basta la fuerza <strong>de</strong> percusión para satisfacer, como se<br />

<strong>de</strong>monstrará, á quantos phenómenos <strong>de</strong> esta natura-:<br />

leza manifieste la experiencia.<br />

DEFINICIÓN 44.<br />

Llamaremos profundidad <strong>de</strong> la impresión á lo mas<br />

profundo <strong>de</strong> esta, tomada la medida según la dirección<br />

<strong>de</strong>l movimiento : y amplitud <strong>de</strong> la misma impresión<br />

á la mayor sección <strong>de</strong> esta, hecha perpendicularmente<br />

á la dirección <strong>de</strong>l movimiento.<br />

PROPOSICIÓN 26.<br />

La fuerza <strong>de</strong> percusión es en razón compuesta díreda<br />

<strong>de</strong> la dureza <strong>de</strong> los cuerpos, y amplitud <strong>de</strong> las<br />

impresiones.<br />

El cuerpo es mas duro ( Def. 39.) , quanto menos<br />

cedieren sus partículas al impulso <strong>de</strong>l golpe : esto es,<br />

quanto mayor fuere la diferencial <strong>de</strong> la velocidad corrida<br />

en un instante dt <strong>de</strong>l choque. Al mismo tiempo<br />

quando mayor fuere el número <strong>de</strong> partículas chocadas,<br />

ó mayor fuere la amplitud <strong>de</strong> la impresión, también<br />

será mayor la misma diferencial; luego será esta<br />

en<br />

PERctrsrotí. 91<br />

en razón Compuesta direda <strong>de</strong> la dureza <strong>de</strong> los cuerpos<br />

, y amplitud <strong>de</strong> las impresiones; pero la fuerza,<br />

que adua, es (Ax. 2.) como dicha diferencial: luego<br />

también será la fuerza <strong>de</strong> percusión , en razón compuesta<br />

<strong>de</strong> la dureza <strong>de</strong> los cuerpos, y amplitud <strong>de</strong><br />

las impresiones.<br />

Corolario 1.<br />

Luego no cabe en la Naturaleza cuerpo absolutamente<br />

blando : porque no habiendo alteración en el<br />

movimiento, no hay fuerza que resistía; y don<strong>de</strong> no<br />

hay resistencia no hay cuerpo.<br />

Corolario 2.<br />

No cabe tampoco cuerpo que no sea elástico : porque<br />

consistiendo esta fuerza en la reacción <strong>de</strong> una potencia<br />

que pue<strong>de</strong> comprimir el cuerpo, no pue<strong>de</strong> llegar<br />

esta compresión á <strong>de</strong>svanecerse sin pasar por todos<br />

los grados <strong>de</strong> disminución , y por consiguiente sin<br />

dar lugar á las partes forzadas á que se rehagan, según<br />

la' dirección con que impelen en su reacción. Solo pudiera<br />

dificultarse el caso <strong>de</strong> los cuerpos perfectamente<br />

duros; pero ya se ha dicho que estos no caben en caso<br />

<strong>de</strong> duda sino en los primeros átomos, <strong>de</strong> que no><br />

preten<strong>de</strong>mos tratar.<br />

Escolio 1.<br />

No impi<strong>de</strong> para lo <strong>de</strong>monstrado que las bases <strong>de</strong><br />

las impresiones no sean planas y paralelas á las amplitu<strong>de</strong>s<br />

<strong>de</strong> estas : <strong>de</strong> qualquiera manera no caben en la<br />

acción mas puntos que resistan , según el movimiento,<br />

que los comprehendidos en la amplitud: y para resistir<br />

> lo mismo es que todos estén igualmente profundos,<br />

que si no lo estubíeran, con tal que la dureza por<br />

e«e motivo no varíe. M i Es-<br />

• -


9*<br />

LIB. I.CAP. 6. DÉLA'<br />

Escolio 2.<br />

No obstante la facilidad con que se ha <strong>de</strong>monstrado<br />

la razón en que actúa la fuerza <strong>de</strong> percusión, se hace<br />

bien difícil la averiguación <strong>de</strong> su precisa medida :<br />

porque aunque algunos han supuesto generalmente<br />

que la impresión se hace <strong>de</strong> la misma figura <strong>de</strong>l cuerpo<br />

chocante , no pue<strong>de</strong> mantenerse fsta opinión cft los<br />

cuerpos duros y tenaces. En mucho número <strong>de</strong> estos<br />

la amplitud ha.<strong>de</strong> ser siempre mucho mayor. Como si<br />

v¡a ,, el cylindro AB muy duro é incapaz <strong>de</strong> impresión sensíble<br />

, la hace por medio <strong>de</strong>l choque sobre otro cuerpo<br />

CD, esta, en los cuerpos tenaces , no será <strong>de</strong> la<br />

misma figura EFBG <strong>de</strong>l cylindro, sino como HFBI:<br />

porque no rompiéndose con facilidad las partes contiguas<br />

á los puntos F, y B, sin embargo que estos cedan,<br />

es preciso que aquellas también cedan, las inmediatas<br />

á estas también , y asi succesivamente : <strong>de</strong> suerte,<br />

que se forma el hueco HFE.todo al re<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l cylindro<br />

, haciéndose la amplitud <strong>de</strong> la impresión <strong>de</strong>l diámetro<br />

FU , en lugar <strong>de</strong>FB : lo que dificúltala medida<br />

<strong>de</strong> la precisa impresión. Pero no se pue<strong>de</strong> tampoco,<br />

admitir esto sin alguna variación , pues si en lugar <strong>de</strong><br />

cylindro , fuera el cuerpo AB una esphera , un cono,<br />

ú otro cuerpo, cuya base FB no fuese paralela á HI,<br />

pue<strong>de</strong>, en tal caso, disminuir mucho el hueco , y aun<br />

quizas <strong>de</strong>svanecerse enteramente, si el cuerpo CD no<br />

fuere <strong>de</strong> mucha tenacidad y dureza. A mas <strong>de</strong> esto,<br />

aunque el cuerpo chocado sea todo <strong>de</strong> una misma <strong>de</strong>nsidad<br />

ó dureza , esta pue<strong>de</strong> variar con motivo <strong>de</strong><br />

aproximarse mas las partículas superiores á las inferiores<br />

, y contener ya mas número <strong>de</strong> ellas la base FB al<br />

fin <strong>de</strong> la impresión que al principio , particularmente<br />

en los cuerpos tenaces y elásticos : <strong>de</strong> suerte que, por<br />

qualquiera <strong>de</strong> estos motivos, aunque la base FB es<br />

v-\<br />

cons-.<br />

PESCüUON.<br />

PERCUSIÓN.<br />

Constante , y por consiguiente ' :ntc se hubiera creido , sin<br />

ellos, que la fuerza <strong>de</strong> percusión habia <strong>de</strong> serlo tara-.<br />

bien , ya <strong>de</strong>xa <strong>de</strong> ser asi.<br />

PROPOSICIÓN 27.<br />

Hallar la relación entre la fuerza <strong>de</strong> percusión , la<br />

dureza <strong>de</strong> los cuerpos, y amplitud <strong>de</strong> las impresiones. -<br />

- Si expresamos la amplitud <strong>de</strong> la impresión HI por<br />

H , y la dureza <strong>de</strong>l cuerpo CD, á qualquiera instante<br />

dal choque , por D, será la fuerza <strong>de</strong> percusión , como .<br />

DH ; pero esto no cabe , sino en quanto sea el cylindro<br />

AB muy duro, ó incapaz <strong>de</strong> impresión. Si la relación<br />

<strong>de</strong> la dureza <strong>de</strong> este, á la <strong>de</strong>l cuerpo CD , no<br />

es infinita , las partículas <strong>de</strong>l cylindro , en la base FB,<br />

<strong>de</strong>ben ce<strong>de</strong>r también , y la .diferencial <strong>de</strong> la velocidad<br />

<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>rá asimismo <strong>de</strong> la base FB, y <strong>de</strong> la dureza <strong>de</strong>l<br />

cylindro. Llamando aquella H, y esta D, <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>rá<br />

dicha diferencial <strong>de</strong> los produdos DHy DH: ó será<br />

en razón compuesta DHDH <strong>de</strong> los dos ; pero quando<br />

sea DH infinito, respedo <strong>de</strong> DH, ó este cero,<br />

respedo <strong>de</strong> aquel, ha <strong>de</strong> quedar la impresión en DH :<br />

luego será dicha diferencial <strong>de</strong> la velocidad, y por consiguiente<br />

la fuerza <strong>de</strong> percusión, como —„ ,..... ¿,<br />

Dri—j—DH<br />

Escolio 1.<br />

Quando las primeras partículas <strong>de</strong>l cuerpo CD lie- Fig. 14.<br />

gan por su fragilidad á romperse , suelen por su fuerza<br />

elástica, comprimir los lados AG, FB <strong>de</strong>l otro cuerpo<br />

AB, y las escabrosida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> aquel forman en ellos<br />

otras tantas pequeñas impresiones laterales. Estas se<br />

<strong>de</strong>ben consi<strong>de</strong>rar, por lo dicho , como otras tantas pequeñas<br />

amplitu<strong>de</strong>s <strong>de</strong> impresiones , que , unidas con<br />

la <strong>de</strong> la base GB, harán el todo <strong>de</strong> la amplitud H.<br />

Después <strong>de</strong> cumplida la impresión total, la elasticidad,<br />

que adua en la base GB , tien<strong>de</strong> á hacer regresar al<br />

cuer


-r<br />

94 LIB.I. CAP. 6. DÉLA<br />

cuerpo AB ; pero las pequeñas impresiones laterales<br />

resisten al regreso. Esta acción <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>rá, pues , <strong>de</strong>l<br />

exceso <strong>de</strong> la fuerza elástica en GB, sobre la que fuera<br />

necesaria para vencer las pequeñas impresiones laterales<br />

: si aquella fuere mayor que esta, el cuerpo AB regresará;<br />

y si menor, quedará en reposo <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el instante<br />

que hubiere perdido toda su velocidad positiva.<br />

Pero es preciso que la elasticidad en GB, al instante<br />

que el cuerpo AB queda parado , sea mayor que la<br />

fuerza necesaria para vencer las pequeñas impresiones<br />

laterales : porque aquella es igual á la <strong>de</strong> inercia <strong>de</strong>l<br />

cuerpo AB, y esta vence, no solo la resistencia <strong>de</strong> las<br />

partes en GB , sino también la <strong>de</strong> las pequeñas impresiones<br />

: y asi es preciso que el cuerpo AB vuelva siempre<br />

hacia atrás <strong>de</strong>spués <strong>de</strong> quedar parado. Pue<strong>de</strong>, no<br />

obstante , ser ele muy corta cantidad, porque la elasticidad<br />

<strong>de</strong> GB irá disminuyendo al paso que el cuerpo<br />

regrese , y pue<strong>de</strong> llegar el caso en que no sea suficienteparavencer<br />

las pequeñas Impresiones laterales. Lo<br />

mismo se <strong>de</strong>be enten<strong>de</strong>r en los cuerpos conglutinosos,<br />

ya sea porque estos formen también algunas escabrosida<strong>de</strong>s<br />

laterales, ya sea porque la misma conglutina^<br />

cion, ó cohecion <strong>de</strong> las partes, los <strong>de</strong>tenga. Si el cuerpo<br />

AB llegase á penetrar enteramente el CD, el número<br />

<strong>de</strong> las pequeñas impresiones laterales quedará<br />

constante. En este caso , no variando la dureza , ni la<br />

amplitud <strong>de</strong> la impresión principal, ya no pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>xar<br />

<strong>de</strong> ser constante la fuerza <strong>de</strong> percusión.<br />

Escolio 2.<br />

Supondremos generalmente en el cálculo., que los<br />

dos cuerpos que se lian <strong>de</strong> chocar se mueven en la<br />

misma dirección, ó en direcciones opuestas; pues si<br />

se movieren en distintas direcciones, fácil es <strong>de</strong>scomponer<br />

sus movimientos, y hacer el cálculo para cada<br />

fuerza separadamente. Supondremos también , para<br />

ma-<br />

MH^BWlfc<br />

PERCUSIÓN. ge<br />

mayor facilidad , que los cuerpos son igualmente <strong>de</strong>nsos<br />

y regulares , como dos cylindros , dos espheras,<br />

dos paralelepípedos, fice, á fin que , movidos según la<br />

dirección <strong>de</strong> sus exes , la fuerza <strong>de</strong> la percusión ú <strong>de</strong>l<br />

choque, impela en la misma dirección : pues teniendo<br />

los cuerpos igual y semejante figura por todas partes<br />

al re<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l punto don<strong>de</strong> se executa el golpe o choque,<br />

y siendo igualmente <strong>de</strong>nsos , no hay motivo para<br />

que se incline masa un lado que á otro la fuerza <strong>de</strong><br />

percusión, porque por todas partes <strong>de</strong>be ser <strong>de</strong> ¡«ual<br />

longitud la impresión , y por consiguiente igual la<br />

fuerza , y asi no pue<strong>de</strong> producir otra dirección que la<br />

que tienen los cuerpos.<br />

También supondremos, que si algunas potencias<br />

animaren los cuerpos , estén estas colocadas en sus<br />

centros <strong>de</strong> gravedad, á fin que no redun<strong>de</strong> rotación, ó<br />

que el choque se haga en los centros <strong>de</strong> percusión para<br />

evitar lo mismo.<br />

Por ultimo supondremos, que los cuerpos sean <strong>de</strong><br />

suficiente magnitud para que las impresiones no penetren,<br />

o alcancen hasta los centros <strong>de</strong> gravedad , á fin<br />

que el movimiento <strong>de</strong> estos no que<strong>de</strong> alterado,por alterarse<br />

su sitio respedívo á las <strong>de</strong>más partes <strong>de</strong>l cuerpo.<br />

Estableceremos en general , que sean -<br />

AyB los dos cuerpos que se hubieren <strong>de</strong> chocar,<br />

e x las longitu<strong>de</strong>s <strong>de</strong> las impresiones que en ellos se<br />

a,<br />

u<br />

u<br />

a<br />

D<br />

hicieren.<br />

9> las potencias constantes que los animen.<br />

V las velocida<strong>de</strong>s con que empiezen el choque.<br />

v las velocida<strong>de</strong>s á qualquier tiempo <strong>de</strong>l mismo<br />

choque.<br />

b los espacios corridos en el mismo tiempo.<br />

D las <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong>s.<br />

H H las amplitu<strong>de</strong>s <strong>de</strong> las impresiones.<br />

* el tiempo.<br />

* la fuerza <strong>de</strong> percusión = — ~B^L<br />

DH+DH* ^


'"ír<br />

o¿ LIB. i. CAP. 6. DE LA'<br />

Se supone que el cuerpo A siga y choque al B , y<br />

que la velocidad U sea mayorque V; sin ello no se<br />

podría efeduar el golpe , á menos que V no fuese negativa<br />

; pero, para mayor facilidad en el cálculo, pondremos<br />

siempre , tanto las potencias a. y j3 , como las<br />

velocida<strong>de</strong>s U y V positivas , pues es fácil colocar negativa<br />

la cantidad <strong>de</strong> estas que lo fuere.<br />

PROPOSICIÓN 28.<br />

Hallar la relación entre las impresiones, y los espacios<br />

corridos por los cuerpos.<br />

Puesto que el cuerpo A sigue al B , y que en ellos<br />

se forman las impresiones <strong>de</strong> las longitu<strong>de</strong>s z y x , el<br />

espacio a corrido por el cuerpo A , <strong>de</strong>be ser igual al<br />

espacio b corrido por el cuerpo B , con mas las longitu<strong>de</strong>s<br />

z y x <strong>de</strong> las impresiones, que es el espacio que<br />

las partes <strong>de</strong> los mismos cuerpos ce<strong>de</strong>n : será , pues,<br />

azzzb-\-z-\-x , ó a—bzzzx-\-z.<br />

Corolario 1.<br />

Al fin <strong>de</strong> la percusión , si con el motivo <strong>de</strong> casi<br />

una perfeda elasticidad se llegan á separar los cuerpos<br />

<strong>de</strong>spués <strong>de</strong>l choque , es x-\-z-=z^o : luego también<br />

será a—b. o, ó a=.b : esto es , al fin <strong>de</strong> la<br />

percusión <strong>de</strong> los cuerpos casi ó pérfidamente elásticos<br />

, el espacio corrido, durante el choque , por el<br />

cuerpo A, es siempre igual al espacio corrido por el<br />

cuerpo B.<br />

PROPOSICIÓN 29.<br />

Hallar el valor <strong>de</strong> la diferencial <strong>de</strong> tiempo dt.<br />

De la equacion a—bzzzx-^-z , tenemos también<br />

da—dbzzzdx-\-dz; pero (Corol. 4. Propos.2..) son<br />

udtzzzda, y vdtzzzdb , que dan (»—tfdazzzdt—db:<br />

lue-<br />

PBRCVSIO K. 97.<br />

luego («—v)dtzzzdx-^dz : <strong>de</strong>que resulta---<br />

*^*z±zzz,<br />

u—V<br />

corolario.<br />

Al tiempo <strong>de</strong> cumplirse las máximas impresiones<br />

peyz, si en efedo se cumplieren, es dx-\-dzz=. o :<br />

con que será u—vzzzo , o uzzzv : esto es , al cumplirse<br />

las máximas impresiones , los cuerpos correrán<br />

con iguales velocida<strong>de</strong>s.<br />

1 i<br />

PROPOSICIÓN 20.<br />

Hallar la relación entre las velocida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> los<br />

Cüerpos.<br />

Las fuerzas o potencias que animan al cuerpo A,<br />

son «. y 7T , y esta negativa: con que (Cor. Ax. 2.) es<br />

(*—*)dtzz=Adu. '• '<br />

Las dos potencias que animan al cuerpo B, son<br />

hy-K,y ambas positivas, que dan (£-f Tt)dizzzBdv<<br />

„ Sumando esras dos equaciones , tenemos<br />

(


I i<br />

LIB.I. CAP. 6. DÉLA<br />

Corolario 2.<br />

AU-f-BV es la suma <strong>de</strong> los movimientos <strong>de</strong> los 1<br />

cuerpos antes ó al principio <strong>de</strong>l choque, y Au-\-Bv<br />

es la suma <strong>de</strong> los movimientos <strong>de</strong> los mismos cuerpos<br />

á qualquiera instante <strong>de</strong>l choque : luego la suma <strong>de</strong><br />

los" movimientos á qualquiera tiempo <strong>de</strong>l choque , es<br />

igual ála suma délos movimientos antes'ó alprincinir»<br />

<strong>de</strong>l chonue. '<br />

pió <strong>de</strong>l choque.<br />

Escolio I<br />

Esta proposición se dá por general en todas las<br />

Mechánicas; pero yá se vé que no es:cierta, sino quando<br />

(a.-f-jG)í= o , ó quando esta cantidad es <strong>de</strong>spreciable<br />

, respedo <strong>de</strong> U ó V. No habiendo ésta condición<br />

, será AU4-BV+ (* 4-£)í=r A»-f-B» ! don<strong>de</strong><br />

se ve que , habiendo potencias, que aduen, el moví-*<br />

miento , á qualquiera tiempo <strong>de</strong>l choque,, no es el mis­<br />

rp N<br />

ino que antes, ó al principio; <strong>de</strong>l choque; < *<br />

'ESCÓÜO 2.<br />

Se ofrece una qüestion , que ha sido muy controvertida<br />

entre los Philosophos , sobre si se conserva,<br />

ó no , la misma cantidad <strong>de</strong> movimiento. Por lo <strong>de</strong>monstrado<br />

parece que sí.. El <strong>de</strong>fen<strong>de</strong>rse que no , consiste<br />

en que, siendo V negativa, será, suponiendo a. y<br />

fi cero, AU—BV= A«-f-Bw: don<strong>de</strong> se vé ,. que en<br />

este caso la diferencia <strong>de</strong> los dos movimientos AU y<br />

BV.es la igual á la suma <strong>de</strong> A» y Bv 1 luego tomando<br />

BV como positivo, como lo toman los que siguen<br />

este didamen, no, hay duda que será. AU-f-BV ><br />

A» -r-B^= AU—BV; <strong>de</strong> suerte> que la perdida'<strong>de</strong>l<br />

movimiento será 2BV. Esto no. obstante , no quita el<br />

rigor <strong>de</strong> nuestra <strong>de</strong>monstracion , pues quando hablamos<br />

~<br />

1<br />

SERCTJSION. 99<br />

mos <strong>de</strong> la suma <strong>de</strong> los movimientos es habiéndose <strong>de</strong><br />

tomar negativo el que lo fuere , sin suponerle positivo<br />

: y en tal caso la ley ó principio es cierto.<br />

Corolario 3.<br />

Al tiempo <strong>de</strong> suce<strong>de</strong>r la máxima impresión, se<br />

halló (Corol.Propos.29.) u—vzzzo,,óuzzzv. luego<br />

substituyendo uno ú otto valor en la equacion<br />

A«+B»=rr(ct-f-£)H-AU-4-BV, resulta »=wzr=,<br />

(cH-g>-r-AU-f-BV veloddad <strong>de</strong> iQS cuerpos a! úem.<br />

A-f-B<br />

po <strong>de</strong> suce<strong>de</strong>r la máxima impresión.<br />

Corolario 4.<br />

Si la cantidad (a,^-@)t fuere <strong>de</strong>spreciable, respedo<br />

A . J 1 AU4-BV<br />

<strong>de</strong> las otras, quedará »•—


i<br />

loo LIB. i. CAP. 5. DÉLA'<br />

los mas respetables <strong>de</strong> la Europa supone , para poto'<br />

dudar,que dos cuerpos se choquen , estando el uno en '<br />

reposo , y dice : que la mutación ó alteración <strong>de</strong>l mo-'<br />

vimiento <strong>de</strong> este, será, por lo <strong>de</strong>monstrado B«r=Bí>-<br />

AUB<br />

A+B ' su P uest0 V==a, en lo que no tenemos duda<br />

y,convenimos; y aña<strong>de</strong> : que para que el efedo sea<br />

proporcional á la potencia, como se supone en la equa-<br />

. _Adu<br />

cion «. _ ,era preciso que en este caso fuese la cau­<br />

sa que produxola mutación -^^proporcional á esta<br />

misma mutación , quando no se pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>monstrar que<br />

en efecto lo sea. A mi me parece que todo el efedo<br />

producido •£—- - ha <strong>de</strong> ser proporcional á la suma <strong>de</strong><br />

todas las acciones <strong>de</strong> la potencia durante todo el tiempo<br />

<strong>de</strong> la acción } pero no á una sola acción instantánea,<br />

ti efedo que <strong>de</strong>be ser proporcional á esta, es la<br />

diferencial <strong>de</strong> movimiento, ó alteración instantánea<br />

<strong>de</strong> este. Si es el cuerpo A el qu¿ choca al B, la potencia<br />

<strong>de</strong>l primero es su inercia, que es proporcional<br />

a A¿a : con que será en qualquiera instante —Aduzzz<br />

tidv. Integrando será A(U—u)zz=Bv , suponiendo<br />

iV^o : con que luego que se llegue, en la acción hasta<br />

ser uzzzv, quedará uzzz £ K , y B«= ^UB ,<br />

•A - ! - -" A-f-B<br />

esto es , todo el movimiento producido en el cuerpo<br />

a, durante la acción, hasta ser uzzzv , será proporcional<br />

ijg^gi pero esto no prueba que la acción<br />

instantánea Adu no sea proporcional á Bdv; antes at<br />

contrario , prueba que efedivamente lo es , pues<br />

<strong>de</strong> su suposición redunda la verdad que se manifiesta<br />

4<br />

PRO-<br />

PERCUSIO tf. •'"• ior<br />

PROPOSICIÓN ?i.<br />

Hallar la relación entre las diferenciales <strong>de</strong> las velocida<strong>de</strong>s<br />

, y las <strong>de</strong> las impresiones.<br />

De la equacion (a.—ir)dtzzzAdu , tenemos —<br />

&=£*=* y;<strong>de</strong>h(^)*=B^+^íl,:<br />

fa.—-7T jS-f—srN.<br />

restando una equacion <strong>de</strong> otra<br />

V ' A — B \dtzz<br />

du—dv j ó (*B—j8A—w (A-f-B))* zzz AB(du~dv): J<br />

y substituyendo (Propos. .29.) dt=. d *^~ dz .. , será<br />

. u—v<br />

(fcfc-M.--•*(A-T-B))(dx-t-d.z)zzzAB(u—v)(du—dv).<br />

Corolario $-.<br />

- Si se integra la cantidad (oB—M-^(A+B))(¿*^&),<br />

todas las cantida<strong>de</strong>s resultantes se hallarán multipll-r<br />

cadas por x ó z ; pero al fin <strong>de</strong>l choque dé los cuerpos<br />

casi ó perfedamente elásticos, es Jtezzzo, y zzzzo:<br />

luego al fin <strong>de</strong>l choque <strong>de</strong> estos cuerpos es<br />

fAB(m—«j)(dur—dv) - \AB(«—V)'—¿AB(Ur-V)':=;o:<br />

que da IJ—Vzzzv—u,: esto es, en los cuerpos casi ó.<br />

perfedamente elásticos, la velocidad relativa <strong>de</strong> ellos,<br />

antes <strong>de</strong>l choque, es igual á la velocidadrelativa, <strong>de</strong>spués<br />

<strong>de</strong>l choque.<br />

Corolario 2»<br />

Substituyase en la equacion U—Vzzzv—u el valor<br />

fc v hallado (Pr.p.)vzz=^±^±^±Et±t:<br />

B •<br />

y


io2 LH».I.CAP.6\DELA<br />

y tendremos, para el fin <strong>de</strong>l choque <strong>de</strong> los cuernos<br />

casi o perfedamente dísticos, U— V-i-í-<br />

P<br />

(«.-f-^z-f-AU-f-BV-Au ^<br />

B '" dc I" 6 se <strong>de</strong>duce u •.—•<br />

(*+£>-}- U(A—B) 4-2 BV<br />

A-f-B f»'<br />

Corolario 3.<br />

cion^flSv 2 aSÍmÍSn, ° este valor en oon « TJ+V—« !f» equa-<br />

ser¿ ^ y ^ y — __^ ua<br />

(^-f-^-f-UCA-B^BV<br />

A-f-B > que dá v:<br />

(H-£>4^V(B_A)-f-2AU<br />

A-f-B ••<br />

Corolario 4.<br />

Sí la cantidad faere <strong>de</strong>spreciable, respedo<br />

<strong>de</strong> las donas , quedará u zzz U (A-B)-4-2BV<br />

yr,-_V(B-A)4-2AU A-f-B '<br />

Corolario 5.<br />

re.neln I f Sm ° C3S ° <strong>de</strong> Ser <strong>de</strong>s P"*iabie (*-f-/3)f,<br />

respedo <strong>de</strong> las otras cantida<strong>de</strong>s , tendremoTtambien<br />

u> z= U ( A —B)'-f 4BUV(A—B)-f-4B'V<br />

A«'r= A £CA-B)^^BUV(A1B)+4.AB'V«<br />

(A-fin* '<br />

„I=_ VlCB-A)«-4-4AU\^(B - A)-f-4A>U'<br />

lA+B) 7-<br />

TW-BV'(?-A)»+4ABUV(B^4-4A'BU«<br />

CA (A-f-B)' j_n\l ' —•• que dá<br />

~r<br />

AM'<br />

P E K CU SION. 1(>,<br />

Ak >+Bv>- A B A ^?)H^BU^4^^<br />

— AU^A^B^W^A^BV (A+B)l<br />

~(A+Bp := AU a -f-BV= : luc-<br />

PROPOSICIÓN J 2i<br />

locidad con. que sÍSue^n^rí 4 *^^'- 3 ^ C ° m ° Ia Ve "<br />

PROPOSICIÓN ,. ~<br />

. Substituya en u cqilac¡on ( _<br />

Jos<br />


I<br />

104 LIB.I. CAP.6. DETA<br />

los valores <strong>de</strong> ( Proposh. 27.) *•— J???^, y dé<br />

J3H uti-f-DH<br />

(Proposición 32.) dzzzz D¿dx: y quedará<br />

AB(« v)(du~dv): y reduciendo (aB-^A)(—^^)^"<br />

—(A + B)DI-M* r=AB(«—vXdu—dv): é integrando<br />

J.AB((«—x;) s —(U—V)') : ó porque es-<br />

/ (<br />

. ¿H—jdxz=z x+z, substituyendo este valor<br />

(*B—MX^4-^MA-fBybH^==íAB((«-.z;) l -CU—V)')<br />

PROPOSICIÓN 24.<br />

Hallar la velocidad « con que se mueve el cuerpo A<br />

3 qualquiera tiempo <strong>de</strong>l choque.<br />

Dcspégese en la equacion prece<strong>de</strong>nte el valor <strong>de</strong> «—vt<br />

ysed*-zc= HfcU-^-^^r^í^^HA^Bí/DH^V<br />

Substituyase el valor <strong>de</strong> v hallado (P». 20.) v—-<br />

(*±P)t±AV4-BV-Au Au+Bu-AU-BvX+BjT<br />

B > 7 sera _ __-.<br />

-+/m_ V)>'-i-C^+gAXy-fg) (A+B)/DH¿*\»<br />

— v ' " n ; :<br />

¿AB «AB<br />

ATT_Lm/ 1 / 1 m'<br />

Quc di la velocidad *= AU±?V±(i+@f<br />

S<br />

A4-B =*?<br />

r /fU V E<br />

' ~~ >' ^ (* --gA)(y-f*) (A-4B)/DHd*\J<br />

A. fu<br />

- fERc'wsiosr. ' ' JO*<br />

El signo superior, en el caso <strong>de</strong> que no haya aun sucedido<br />

la máxima impresión; y eUnferior <strong>de</strong>spués <strong>de</strong><br />

haber sucedido.<br />

r<br />

•<br />

f T<br />

.<br />

Corolario i.<br />

Si fuere V=-o, v B __<br />

,,


mr~<br />

106. LIB.1. CAP. 6. DEL LÁ<br />

Corolario 5.<br />

Como la potencia * adua negativamente en el regreso<br />

, ó retarda el movimiento <strong>de</strong>l cuerpo A, aun<br />

<strong>de</strong>spués <strong>de</strong> separado <strong>de</strong>l B, llegará á parar aquel, como<br />

se explicó en el movimiento retardado; y volviendo<br />

<strong>de</strong>spués positivamente, executará segundo choque, adquiriendo<br />

(Cor. 4.), al tiempo <strong>de</strong> encontrar <strong>de</strong> nueVo<br />

al cuerpo B, la misma velocidad que tenia quando se<br />

separó <strong>de</strong> él: esto es, una velocidad menor que U,que¡<br />

será como la primitiva para el segundo choque.<br />

Corolario 6\<br />

El origen <strong>de</strong> las x estará también mas profundo<br />

para este segundo choque , puesto que las primeras<br />

partículas <strong>de</strong> los cuerpos no pudieron en el primeroj<br />

regresar á su primera situación.<br />

Corolario 7.<br />

Lo mismo suce<strong>de</strong> en tercero , quarto, Ó mas choques<br />

continuados. En todos disminuye mas y mas la<br />

velocidad primitiva hasta pararse el cuerpo A , haciendo<br />

las ultimas impresiones <strong>de</strong> cada choque <strong>de</strong> cantida<strong>de</strong>s<br />

infinitamente chicas: y quedando (Def. 36.)<br />

la fuerza <strong>de</strong> percusión it\ :«..<br />

PROPOSICIÓN 35.<br />

Hallar la velocidad v con que se mueve el cuerpo<br />

B á qualquiera ti empo <strong>de</strong>l choque.<br />

Substituyase el valor <strong>de</strong> u últimamente hallado en<br />

• /o > (*+/S>-T-AU-r-BV+A«<br />

Ja equacion {Pro. 30.) v zzz „ • ;<br />

o.<br />

y<br />

PERCUSIÓN.<br />

IO.7<br />

__ AU-f-BV-Ka-r-fo<br />

y <strong>de</strong>spués <strong>de</strong> <strong>de</strong>spejar, se hallará v xz<br />

A-f-B<br />

(*B-/2AX*-fr*) (A-r-B)/DHi*<br />

•+• ((U-V)*-<br />

A-f-B Í-AB 'AB *<br />

El signo superior, en el caso <strong>de</strong> no haber sucedido<br />

aun la máxima impresión ; y el inferior <strong>de</strong>spués qu¡p<br />

haya sucedido.<br />

PROPOSICIÓN 26.<br />

Hallar el valor <strong>de</strong> la impresión en caso <strong>de</strong> ser la<br />

dureza D constante.<br />

Puesto que se supone D constante , será/DHiixrrr<br />

DfHdx 5 pero fWdx es el valor <strong>de</strong> la impresión, á<br />

causa que H <strong>de</strong>nota su amplitud, y dx la diferencial<br />

<strong>de</strong> su profundidad : luego substituyendo en la equacion<br />

( Propos. 33. ) DfHdx en lugar <strong>de</strong> fDHdx , y<br />

or<strong>de</strong>nando , en caso <strong>de</strong> ser constante la dureza<br />

D , será el valor <strong>de</strong>. la. impresión fHdxzzz---<br />

.¿AB((U-V)---(«-.;)0-f(aB-gAX^-f-^) ,1¡3 •<br />

— • • : 1 .i<br />

D(A-f-B)<br />

1-1 • " « .<br />

1<br />

úíh'jq<br />

' •<br />

PROPOSICIÓN 2.7.<br />

- — J i<br />

Hallar el valor <strong>de</strong> la máxima impresión ,'e'n caso <strong>de</strong><br />

ser la dureza D constante.<br />

Al suce<strong>de</strong>r.la máxima impresión (Cor. Prop.29.)<br />

es u—vzzzo : substituyendo , pues , este valor en el<br />

<strong>de</strong>-la impresión prece<strong>de</strong>nte, y llamando l la máxima*<br />

será Izzz rAB(U-V)'-f-(aB-gA)(^-f-e)<br />

D(A-f-B)<br />

Corolario 1.<br />

Si el cuerpo B estubiere inmovil,tendremos que co*<br />

locar B = OOJ Vzzzo, y quedará eL valor <strong>de</strong> &<br />

O 2 WÁÚ-


I 108<br />

•,<br />

Liw. GAP, 5. DB ÜA<br />

máxima Impresión I = ¡^1±^±5><br />

D<br />

Corolario 2.<br />

En los cuerpos que caen libremente por la sola acción<br />

<strong>de</strong> la gravedad es ( Cor. i. Princ. 3.) a.= 32A ,<br />

ó Az= —a.. Substituyendo este valor en la cqua-<br />

cion antece<strong>de</strong>nte, se reduce álrrrr -• • '<br />

Pero si llamamos e la altura <strong>de</strong> don<strong>de</strong> cayere el cuerpo,<br />

es (Cor.i. Princ.3.) f=r-i-U 1 : luego substituyendo<br />

1 6a. ° '<br />

este valor, será, en los cuerpos que caen por sola la<br />

acción <strong>de</strong> la gravedad, 1= «+*+*) ^<br />

Corolario 3.<br />

Si las. cantida<strong>de</strong>s x y z fueren <strong>de</strong>spreciables, res-<br />

pedo <strong>de</strong> la ,, quedará I = g = ^ - s ó , substitu­<br />

yendo el valor <strong>de</strong>


tío LIB. I.CAP. ¿.DfiLA<br />

vivas imaginariasjsean también en razón compuesta <strong>de</strong><br />

las masas y <strong>de</strong> los quadrados <strong>de</strong> las velocida<strong>de</strong>s.<br />

Escolio 3.<br />

Puesto que las experiencias, no solo en cuerpos<br />

blandos como la greda , sino en elásticos y duros convienen<br />

con nuestras fórmulas en el caso <strong>de</strong> ser la dureza<br />

D constante , es evi<strong>de</strong>nte que la dureza en estos<br />

casos ha sido á lo menos sensiblemente constante, y<br />

que la po<strong>de</strong>mos suponer asi. Por la misma razón <strong>de</strong><br />

convenir las experiencias con el cálculo , en que supusimos<br />

la impresión <strong>de</strong> la misma figura esphérica <strong>de</strong>l<br />

cuerpo chocante A ; es evi<strong>de</strong>nte, á lo menos en cuerpos<br />

blandos como la greda, que no tubo lugar en estos<br />

casos el hueco HFE. No obstante esto, no pue<strong>de</strong><br />

<strong>de</strong>xar <strong>de</strong> existir en cuerpos mas elásticos: aun en bisados<br />

como la greda,, "dice el mismo Gravesan<strong>de</strong>, §.824,<br />

que quando la amplitud <strong>de</strong> la impresión es muy gran<strong>de</strong>,<br />

respedo <strong>de</strong> su profundidad , las razones en que se<br />

fundó ya no tienen lugar , porque en este caso , <strong>de</strong><br />

qualquiera naturaleza que sea la greda, sus partículas<br />

ce<strong>de</strong>n lateralmente : lo que prueba que el hueco se<br />

forma, aun en cuerpos blandos , cqmo el chocante ño<br />

Sea <strong>de</strong> figura que aumente por grados su amplitud.<br />

PROPOSICIÓN 38.<br />

Determinar la profundidad <strong>de</strong> la impresión, en caso<br />

<strong>de</strong> ser HzzzQx : <strong>de</strong>notando (Tunaconstante.<br />

Substituyase en la equacion (Proposición 36.)<br />

£AB((U—V) S — (a—Vy)-H*&—&A)(x-\-z)<br />

flUx = D(A-fB) —'<br />

Qx por H : intégrese , y quedará .LQ* 1 =---<br />

' 4-AB(( U—V) •—;«—vy |) -f (aü—M) (*+*)<br />

"- ~~D(A+B) — • **<br />

PERCUSIO M. III<br />

suposición <strong>de</strong> ser H = Qx , será también Hzzz Qz,<br />

y DHdx zzzDHdz , cuya equacion se reducirá a<br />

DQxdxzzzDQzdz, que, partiendo por Q^ eintegrando<br />

, di Dx'zzzDz*, y zzzz —¡ x. Substituyase<br />

este valor en la equacion, y resultará ¿Q* 1 ==-<br />

JABD^ ((U—V)' -(u—y)*) -K¿B—MXPH-P*)*..<br />

DD^A-f-B^<br />

J ¿ 3<br />

y <strong>de</strong>spejando x =<br />

(*B—QAyjy+D*)<br />

r - " - 3 -<br />

DD r QXA-f-B)<br />

/((aB-£/ '((«B—jSAXDM-D^)' ] AB((U—V)-— («—vy )\l<br />

\ (DDK<br />

(DD^Q.(A+B)) :<br />

' J # y<br />

DQ.CA4-B)<br />

Corolario i.<br />

En el caso <strong>de</strong> la máxima profundidad , ó impresión,<br />

es u—vz=o: luego quedara Ja maxi-<br />

c A-IA (*B-M)(D'±EL )<br />

ma profundidad #= — :<br />

| , DD^A+B)<br />

é<br />

'/((tB—jeAKDM-D 1 )) AB(U—V) : \ j»<br />

V (DD^Q.(A-r-B)) S DQ.CA+B)/<br />

x<br />

-€^<br />

Corolario a. .<br />

Si fuere V=o ; y Bzzi e*> , quedará la máxima<br />

DD T Q<br />

fl<br />

//


112 LIB-. i. CAP. 6. DB-LA<br />

Corolario 3.<br />

Si, á mas <strong>de</strong> esto, fuere también U=o, queda-<br />

rá la máxima *:=r —i 1 . y : esto es , en razón<br />

DD-^Q. ! .<br />

simple direda <strong>de</strong> la potencia «. , que impele al cuer-<br />

PROPOSICION ¿9.<br />

Determinarla profundidad <strong>de</strong> la impresión„en<br />

caso <strong>de</strong> ser w constante.<br />

Supóngase $ A-hB)=r j—^(A-f-B)»<br />

>Í(ctrW3A), <strong>de</strong>notando» un número qualquiera ¡ y<br />

respedo <strong>de</strong> ser constantes DH yDH, se reducirá Ja<br />

equacion (Prop.$2.) DHdxzzzDHdz, i DHXZZZDHZ,<br />

y DHzzz —-—.Substituyase esté valor en fe primera<br />

z . , DH*(A4-B)<br />

equacion, y quedara ±- '—»(aB—(¿A) ; que<br />

, *B—/3A.<br />

Corolario 4.<br />

Si fuere V=o, y B= ce , quedará la máxima<br />

«-*« = ^AUJ_<br />

PROPOSICIÓN 40.<br />

Hallar el valor <strong>de</strong> la dureza D.<br />

Puesto que se ha hallado esta constante,ó sensiblemente<br />

constante, se reducirá la equacion (Prop. 33.) i<br />

(a.B—(¿AXx+z)--D(A+B)jHdxzz ¿AB((»— */)'—(U—V)*):<br />

^AB((U-V)'-(«-.V)»)H-(ctB-/2A)(*-H:)<br />

que da D— , - , —»<br />

- (A-f-S) füdx<br />

o en el caso <strong>de</strong> la máxima impresionan que es »—w^o,<br />

será D = ^AB(U-V)'-H^B~gAX^-r-^)<br />

(A-hB)I<br />

Tom.i. p Co-<br />

í


I<br />

ii 4<br />

LIB, i. CAP. 6. DE LA<br />

Corolario i.<br />

Si fuere B= oo, y V=o, como en las experiencias<br />

citadas, hechas sobre la greda por Gravesan<strong>de</strong>,<br />

quedará D = = ——- == --——.<br />

1 I ,<br />

Escolio.<br />

Tomemos , por exemplo, la primera experiencia,<br />

que fue'<strong>de</strong>xat caer la esphera <strong>de</strong> menor peso <strong>de</strong> 9 pulgadas<br />

<strong>de</strong> alto, y en que halló el diámetro <strong>de</strong> la impresión<br />

<strong>de</strong> o , siendo el.<strong>de</strong> la esphera <strong>de</strong>-5-.De. esto se<br />

000 o<br />

1<br />

IOO—


•*•<br />

n6 LiB.r. CAP.6. DE IA<br />

en esta equacion el valor <strong>de</strong> Dzzz —jr(Cor¡2.Prop,ú.o):<br />

. , D'HIH DH1H „ ,<br />

y quedará *=-. J W = H T — ^ SubStÍ ~<br />

túyase asimismo en esta equacion el valor <strong>de</strong> D=<br />

* (A+B)T (Prop. ax>.), y será<br />

•71<br />

Htf ^AB(U— V)'-KaB- y I=«K-¿-y): lue S°<br />

será --r- :cx — (T~*) 4-* :que<br />

da la fuerza <strong>de</strong> gravedad á la <strong>de</strong> percusión, como<br />

1 i • ? ^ a ^ En la primera experiencia fue<br />

ezzz -$- , y se halló #=r -^- : luego fvie la fuerza<br />

4 200<br />

<strong>de</strong> gravedad á la <strong>de</strong> percusión , como 1 A ;<br />

(-r+¿rX-T—W ócomolálo9-ZL : <strong>de</strong><br />

i / 1 i \ 3 ° 3<br />

soo \ JÚ íoe/<br />

suerte, que la fuerza <strong>de</strong> percusión , aun en un cuerpo<br />

blando como la greda , y cayendo la esphera <strong>de</strong> solo<br />

9 pulgadas <strong>de</strong> alto, fue 109 veces mayor que la <strong>de</strong><br />

gravedad.


! m~<br />

•<br />

I _ 'l<br />

,t§ LIR, X.CAP. 6. DÉLA<br />

Corolario 4.<br />

SifuereBr=oo,V^=p, DzzzD, y con corta<br />

diferencia H—#, I zzzJ, zzzzx , será<br />

•YcrtfeJL (JAU'-Hs**); y en la caída <strong>de</strong> los cuerpos<br />

2 I H*<br />

por su gravedad m zzz -y- (*+**)•<br />

Corolario ?.<br />

La fuerza <strong>de</strong> gravedad será, pues, en este caso i la<br />

<strong>de</strong> percusión , como 1 á —|- (H-2,*).<br />

Escolio 2.<br />

Quando dos cuerpos muy duros, como <strong>de</strong> hierro,<br />

se chocan, la impresión I, que en ellos se hace , es casi<br />

infinitamente chica , respedo <strong>de</strong> H(f-f-2*) t to*go en»<br />

este caso la fuerza <strong>de</strong> percusión seráeasi infinita, respedo<br />

á la <strong>de</strong> gravedad. Tpmqmos, por exemplo , ,cl<br />

golpe <strong>de</strong> un martillo sobre un yunque : y respedo<br />

que 1 expresa la magnitud <strong>de</strong> la impresión , que ha <strong>de</strong><br />

ser como el producto <strong>de</strong> H, amplitud <strong>de</strong> la misma ,<br />

por una cantidad proporcional á la profundidad <strong>de</strong><br />

cita, que por experiencia sabemos ser cortísima; po<strong>de</strong>mos<br />

poner I=H. -—•, expresando k un número<br />

qualquiera, tal que -r-sea aun menor que la profun­<br />

didad <strong>de</strong> la impresión , que quando mas será <strong>de</strong><br />

1<br />

15000<br />

-— <strong>de</strong> pie. Puesto, pues, este valor en<br />

12000<br />

r<br />

la<br />

1<br />

•<br />

PERCUSIÓN.<br />

la expresión ,.sei¿ la fuerza <strong>de</strong> gravedad a la <strong>de</strong> per-<br />

• H (e-v-ixí—;KH- 2 *)<br />

ll 9<br />

: Ú<br />

eusion , como n- (e-f-2X) ^.rj: /<br />

2H "X<br />

^nreciando la x por cortísima, como i á i-k^. Si la<br />

ve oc d d <strong>de</strong>l nari&o equivaliese á la que romaracayendo<br />

<strong>de</strong> 10 pies <strong>de</strong> altura , y pusiésemos ^lamente<br />

1= 12000 i será la fuerza <strong>de</strong> gravedad a la <strong>de</strong> pee<br />

cnsion <strong>de</strong>l mismo martillo, como i a 60000 i esto s,<br />

será esta fuerza 60000 veces mayor que a <strong>de</strong> grave<br />

dad ve efecto <strong>de</strong>l martillo equivaldrá al que pudiera<br />

caula sobre el mismo punto * ^ ^ «g£<br />

un peso 60000 veces mayor que el <strong>de</strong>l m U°;_* s <br />

basta para no maravillarse ya <strong>de</strong>l prodigioso efedo <strong>de</strong><br />

la fuerza <strong>de</strong> percusión.<br />

Escolio 3.<br />

Esta theórica se pue<strong>de</strong> asimismo aplicará las cuerdas:<br />

pues si estando firme un extremo <strong>de</strong> ellas en b, rig.,f.<br />

hay al otro extremo un peso A que se: <strong>de</strong>xa cae<strong>de</strong><br />

una altura qualquiera, la acción en ja caída totall, quando<br />

se estien<strong>de</strong> enteramente la cuerda, como en EF , es<br />

una verda<strong>de</strong>ra percusión. Para aplicar á este caso as<br />

S a s fórmula^ H <strong>de</strong>notará la ^ f í ^ f £<br />

i la cuerda; D la calidad <strong>de</strong>l materul., o fortaleza<strong>de</strong><br />

éh I el produdo <strong>de</strong> H , por el máximo <strong>de</strong> lo que la<br />

cuerda se alaL en la acción , y x lo que se alargue en<br />

Suicrcaso 8 Siendo, ^ mas <strong>de</strong> esto,e puntoso<br />

ó firme E aquel sobre que se cxercite la^n^ta*»<br />

<strong>de</strong> suponer este un cuerpo infinito ¡ esto es B _ 00 ,<br />

V=o,- D -=o, I=o\ yz=o: por loque la<br />

fórmula q^e conviene á este caso es (Corolario 2.)<br />

*=¿Í-C-AU'-Hi*) : <strong>de</strong>notando U la velocidad


iao LIB,I. CAP.6. DE ÍA<br />

que tubíere el cuerpo A al instante que cumple ía entera<br />

caida; ó suponiendo. 1=HX , <strong>de</strong>notando X todo<br />

lo que la cuerda se pue<strong>de</strong> alargar hasta el caso <strong>de</strong><br />

romper, TTZZZ -^- (^AU'-f-cw?): y en la caída <strong>de</strong> los<br />

cuerpos por la acción <strong>de</strong> su gravedad será también<br />

"t zzz -y- (e-\-x). Quando el cuerpo A se aplica á la<br />

cuerda solo para que le sostenga, sin dar caída alguna,<br />

es *=o: luego en este caso será TT = ~ : y si fue-<br />

X<br />

re tanto el peso , que llegue al punto preciso <strong>de</strong> romper<br />

la cuerda, será#r=rX , y -TTZZZA: estoes, la<br />

fuerza <strong>de</strong> percusión , que en'este caso es <strong>de</strong> presión ,<br />

igual al peso <strong>de</strong>l cuerpo , que po<strong>de</strong>mos llamar P. Llámese<br />

p el que pue<strong>de</strong> sostener la cuerda en caso <strong>de</strong> caída<br />

: y como su fuerza es constante, tendremos para el<br />

preciso punto <strong>de</strong> romperse en la caída P= -£r(H~X):<br />

X<br />

estoes, el peso con que precisamente se romperá la<br />

PX<br />

cuerda en la caida p= ~¿^^v • La cantidad X es proporcional<br />

á la longitud <strong>de</strong> la cuerda, porque cada parte<br />

<strong>de</strong> ella se alarga proporcionalmente : luego si llamamos<br />

/ la longitud <strong>de</strong> la cuerda, y — la razón <strong>de</strong><br />

lo que se alarga respedo <strong>de</strong> su longitud<br />

/ P # será<br />

- p/<br />

= ==<br />

~^~ >yp ^-= —p. No<strong>de</strong>beenten-<br />

' ne-\-l<br />

<strong>de</strong>rse aqui por lo que se alarga una cuerda, lo que<br />

efectivamente se alatga quando nueva, á los primeros<br />

esfuerzos que hace; sino á aquello que <strong>de</strong>spués <strong>de</strong><br />

estos esfuerzos se recoge, y queda para alargarse <strong>de</strong><br />

nue-<br />

ÍERC1ISION.<br />

I S I<br />

nuevo en otras ocasión^: que en substancia no e$<br />

sino lo que la cuerda se alarga y encoge por su e as -<br />

cidad. Una cuerda <strong>de</strong> cáñamo <strong>de</strong> tres pulgadas <strong>de</strong> circunferencia<br />

, siendo buena, aguanta hasta cargarla <strong>de</strong><br />

65 quintales, y se alarga <strong>de</strong> J¿¡ con esto será Vzzp,<br />

y -L—: 2- , ó »=io : lo que dá p= 7££fp<br />

Si kcuerda tubiera, pues, ioo pies <strong>de</strong> largo , y <strong>de</strong>xaran<br />

caer el peso p colgado <strong>de</strong> ella <strong>de</strong> los mismos roo<br />

. c z


12.2 LIB. i. CAP. 6. Dt LA<br />

plicando numerador y <strong>de</strong>nominador por ( rAB }<br />

/ , AR A» .. \' V(A+B)D;<br />

dtzz<br />

/AB(U—V)* (c^Z^A)(x-^z) r N, • "<br />

W\A f-ií) ~*~ D(A-f-B) —J Hdx J<br />

Corolario i.<br />

En el caso <strong>de</strong> ser con corta difeiencia zzzo,ydzzzo,<br />

será dtzz & ^ S ^ ^ ^ ~ ~ ~<br />

^/ABCU-V)' (aB-M> ñ \r<br />

~ \ 2D(A-r-B)" t ~ D(A-f-B)"-y Hi V<br />

Corolario 2.<br />

En el <strong>de</strong> zzzzx , y <strong>de</strong> ¿s^r:^ , dt zzz<br />

/ 2AB \'<br />

s<br />

VD(A-4-B)/ dx<br />

_,_/AB(U-V)' 2QB-M)* r<br />

— VaDCA-r-B)"^ D(A=FB)~-y H ^<br />

Corolario 3.<br />

\ I •<br />

Para <strong>de</strong>ducir <strong>de</strong> este segundo caso el primero, no<br />

t '.P UCS ' nec r" ano sIno Pai-tir la expresión, en que<br />

se hallare-B-M, por dos; y <strong>de</strong>spués el todo <strong>de</strong>l<br />

tiempo asimismo por dos.<br />

Escolio.<br />

No queda que hacer sino integrar para hallar ¿1<br />

valor <strong>de</strong> t. Esta operación <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong>l que se le dé á<br />

H,<br />

PERCUSIÓN. 125<br />

H , y este <strong>de</strong> la figura, disposición, y dureza recíproca<br />

<strong>de</strong> los dos cuerpos chocados. Por lo mismo po<strong>de</strong>mos<br />

suponer fHdx igual á qualquiera función <strong>de</strong> x<br />

con constantes , pues si el caso no se a<strong>de</strong>quare a todos<br />

los cuerpos, como no pue<strong>de</strong> a<strong>de</strong>quarsc , siempre tendrá<br />

alguno ó algunos á que corresponda.<br />

PROPOSICIÓN 44.<br />

Hallar el valor <strong>de</strong>l tiempo en que se executa el<br />

choque quando fuere fHdxzz Qx 1 , zzzx , y dzzzdx:<br />

suponiendo Quna constante.<br />

- La equacion (Prop. 43.) se reduce en este casoá<br />

M_ yp(ÁW)) dx 1<br />

/AB(U-y)»_2(*B-/SA)*<br />

~Qx<br />

"V 2D(A-f-B) D(A-|-B)<br />

partiendo numerador y <strong>de</strong>nominador por QJ, á dt<br />

/ 2AB \i.<br />

*-dx<br />

•<br />

VQP(A-4-B)y<br />

/ ABJU—V)' • 2(ccB—£A)* \<br />

^UOPCA-T-Br QP(A-f-B) )<br />

o<br />

-> Substituyase<br />

_ ABqj-V);^ («B-MX ucdaiátaa<br />

— 2QP(A-r-B) QiD'CA-r-B)'<br />

2AB \£<br />

BJx<br />

R<br />

•«.<br />

! QP(A-r-B)y , . , .<br />

- ^ ¿ — - - ^ — — : e integrando tzzz —<br />

V. V QP(A-r-B) > )<br />

2AB<br />

Ar.fen.y •IB—/3A<br />

-Ar.fen.\ x<br />

DQ_(A-»-B)<br />

a<br />

«,B ^<br />

RDQ_(A-+-B) ' A R RDOjA-Mj)<br />

poreltlempoen que se forma, ó:aumenta la impresión : y tz<br />

2AB \L/_ . etB—J3A . . /# *B—£ A<br />

( DQjAH-B)/ V RDQTA-Í-B) ^R<br />

Q2<br />

. ' •<br />

RPQ,( A -*- B )<br />

por


por el tiempo en que ya disminuye la Impresión , contado<br />

asimismo <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el principio <strong>de</strong>l choque , y <strong>de</strong>notando<br />

C la semicircunferencia <strong>de</strong> un círculo , cuyo radio<br />

es la unidad.<br />

Corolario i.<br />

Estos dos tiempos <strong>de</strong>ben ser iguales al concluirse la<br />

máxima impresión , puesto que a ambos correspon<strong>de</strong><br />

este caso : luego al suce<strong>de</strong>r la máxima impresión , será<br />

„ (x «B—/3A \<br />

Arco feno<br />

R RDQ£A-4-B) /<br />

^ A . fx *B~£A<br />

C - ArC0fem \B-B.DCl(A+B))<br />

Arco feno (~-f¿^k~^) = £ Substitu-<br />

yendo este valor en qualquiera <strong>de</strong> los dos que expresan<br />

el tiempo , se tendrá , por todo el que emplean<br />

los cuerpos en formar la máxima impresión , t •—<br />

/ 2AB \-/_ *B-M \<br />

{bQ¿AW)) K* C+JrC ° fen0 BDQ±A+B))<br />

Corolario 2.<br />

En los cuerpos perfedamente elásticos la impresión<br />

disminuye hasta ser xzzzo : luego substituyendo<br />

este valor <strong>de</strong> *• en la segunda equacion <strong>de</strong>l tiempo,<br />

se tendrá aquel en que se hace todo el choque en<br />

los cuerpos perfedamente elásticos tzzz<br />

(DQ^BJ)'( C + ^^<br />

o<br />

«tB-jSB \<br />

RDQ.(A-hB) y<br />

Corolario 3.<br />

El tiempo que emplean los cuerpos perfedamente<br />

elás-<br />

PERCUSION. 1*5<br />

clásticos en todo el choque es, pues, duplo <strong>de</strong>l que<br />

emplean en hacer la máxima impresión j o el tiempo<br />

que emplean <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el principio <strong>de</strong>l choque hastallcgar<br />

l la máxima impresión , es igual al que emplean <strong>de</strong>s<strong>de</strong><br />

que suce<strong>de</strong> esta máxima impresión hasta concluirse el<br />

choque.<br />

Corolario 4.<br />

Como los cuerpos <strong>de</strong> muy poca ó ninguna elasticidad<br />

sensible , concluyen su choque al suce<strong>de</strong>r<br />

la máxima impresión , será el tiempo que estos<br />

cuerpos emplean en hacer su choque t-— -<br />

r 9 AB W , *B—9>A \<br />

(DO») Wf*& ÑXSS+B)}<br />

Corolario 5.<br />

Si fueren *=o ,y /3=o , quedará el tiempo eri<br />

que suce<strong>de</strong> la máxima impresión, ó en que concluyen<br />

su choque los cuerpos <strong>de</strong> ninguna elasticidad sensible<br />

* ( *AB \ r. »c . y aquel en que lo conclu-<br />

*— \DCL(A-r-B)y<br />

r y 4<br />

ven los cuerpos <strong>de</strong> perfeda, ó sensiblemente perfeda<br />

7 t , / 2AB Vi r<br />

elasticidad t —(vQSÁ+*))'<br />

Corolario 6.<br />

En estas expresiones <strong>de</strong>l tiempo , queda ya excluida<br />

la R, que es la única cantidad que contiene las velocida<strong>de</strong>s<br />

primitivas U y V : luego en los cuerpos que<br />

se chocan sin ser animados por potencias , el tiempo<br />

que emplean en sus choques, no <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> en ninguna<br />

manera <strong>de</strong> las velocida<strong>de</strong>s con que se chocan 5 y será<br />

siempre el mismo , sean estas <strong>de</strong> la magnitud que se<br />

quisieren. ^°~


126 LIBÍI.CAF.6'. DE LA<br />

Corolario 7.<br />

Si ia impresión se formare por sola la presión ó acción<br />

<strong>de</strong> las potencias * y f&, siendo las velocida<strong>de</strong>s<br />

U~o yVr=o,como suce<strong>de</strong> en los cuerpos graves quando<br />

se pone alguno <strong>de</strong> ellos sobre Otro,será Rrr-_-——-_ -:<br />

cuyo valor substituido en la expresión <strong>de</strong>l tiempo<br />

/ 2AB \U . . *B-/3A VJ<br />

'=VjDQíA4^; ^ C + ^^RDa(A+B)><br />

f 2AB \í<br />

Vb^A+B); v c+2 ^- M Rkl+B))' que "<br />

dará aquel en que suce<strong>de</strong> la máxima impresión ; y su<br />

duplo que emplean los cuerpos <strong>de</strong>. casi una perfeda<br />

elasticidad en executar todo el choque, quando fueren<br />

U „ / 2AB \*<br />

: y V<br />

°' =°''=(jDCgA^)<br />

„<br />

C y<br />

- ' '<br />

/ 2AB V<br />

vDQJA-r-B))<br />

. 2C.<br />

Corolario 8.<br />

Los tiempos que emplean los cuerpos en siis choques<br />

, quando solo aduen las potencias , sin concurrir<br />

ningunas velocida<strong>de</strong>s primitivas , es pues duplo<br />

<strong>de</strong>l que emplean los mismos cuerpos quando , sin actuar<br />

ningunas potencias, son las velocida<strong>de</strong>s las que<br />

causan el choque.<br />

Corol ario<br />

Como en las expresiones <strong>de</strong>l tiempo , en caso <strong>de</strong><br />

aduar solo las potencias, quedan estas excluidas, el<br />

tiempo será el mismo, sean estas <strong>de</strong> la magnitud que se<br />

quisieren. Co-<br />

PERCUSIÓN.<br />

Corolario 10.<br />

127<br />

Si suponemos la profundidad <strong>de</strong> la máxima impre­<br />

sión,:—X, será QX'=:1, que dáQ== -^7 5 J (Pro-<br />

•AB(u-vy-K*B-gA)2X<br />

(A-hB)I •<br />

dc<br />

H<br />

pos.áxs.)D:<br />

«sulta DQ.(A+B)= i^V>-+(«)2X<br />

w „,__¿AB(U-V) (dB—íóAy<br />

-• queda<br />

Pongamos R - DQ^+^^D^CA-r-B)'<br />

R^D'Q^CAH-B)^ ^ABDQ(A-f-B)(U—V) : -K«B-£A)'<br />

_jA»B*(U—V)*-4-AB(U—V)»( a B--l8A)X4


128 LIB.I,CAP.6. DB LA<br />

Escolio.<br />

Que sea, v.e., la velocidad respediva U—V , con<br />

que se chocan dos espheras ó bolas <strong>de</strong> un pie por segundo:<br />

y respedo <strong>de</strong> ser C=rr2,i4, quedará tzzzt<br />

3,14 : con que si la profundidad <strong>de</strong> la impresión que<br />

en ellas se hiciere fuere <strong>de</strong> 3,14 <strong>de</strong> pie, ú <strong>de</strong> poco menos<br />

<strong>de</strong> media línea, será tzzz — <strong>de</strong> segundos 36"":<br />

tiempo verda<strong>de</strong>ramente muy corto para que pueda jamas<br />

percibirse. Si la dureza <strong>de</strong> los dos cuerpos fuere<br />

mayor, menor será la profundidad <strong>de</strong> la impresión, y.<br />

por consiguiente mas corto el tiempo : <strong>de</strong> suerte, que<br />

si la dureza fuere casi infinita, casi infinitamente corto<br />

sería el tiempo.<br />

Corolario 12.<br />

Si los cuerpos aduaren solamente por la presión ó<br />

potencias, serán U=o y Vrro , ó U—V==o j<br />

lo que reduce el tiempo en que se hace la máxima impresión<br />

i tzzz (J&ZJZA)** 2 - Siámas<strong>de</strong>ellofiíere<br />

( AX\ *<br />

— ) r C: ó en los cuerpos graves<br />

en que es (Cor.i.Pri.2..) A = —*, t zz í — X ) r C.<br />

Si un cuerpo puesto sobre otro hiciere, pues , la pro-<br />

fundidad <strong>de</strong> la impresión <strong>de</strong><br />

19,7192<br />

, ó poco mas <strong>de</strong><br />

.— <strong>de</strong> línea =<br />

<strong>de</strong> pie, será el tíem-<br />

20 144.2.3,14.3,14<br />

po en que executatá su máxima impresión =<br />

(p^^íí)' 3 ' i4= fe) <strong>de</strong> se r<br />

do, = 37r"".<br />

C °-<br />

I<br />

PERCUSIOK.- * 2 ?<br />

Corolario 13.<br />

Sí fuere B=r 06 , y V=o, quedará el tiempo<br />

en que se haga la máxima impresión-------<br />

en los cuerpos graves en que es Arr —*,y í AU«_«,<br />

expresando e la altura <strong>de</strong> don<strong>de</strong> cayere el cuerpo.<br />

t<br />

Corolario 14.<br />

Sí fuere X <strong>de</strong>spreciable, respedo <strong>de</strong> e, quedará<br />

CX. Si un CUerpo <strong>de</strong> hierro, cayendo sobre un<br />

yunque, hiciere, pues , la profundidad <strong>de</strong> la impresión<br />

<strong>de</strong>-i-<strong>de</strong> pie, ú <strong>de</strong> poco menos <strong>de</strong>-fnedia línea, será<br />

el tiempo en que la haga t = ¿77 «


I 130<br />

LIB.1. CAP. 6. DÉLA<br />

y <strong>de</strong>l mismo modo para otro qualquiera caso, integrando<br />

la expresiqngeneral dada (Prop.ú.*..).<br />

PROPOSICIÓN 45..<br />

Hallar el tiempo, en que se executa el choque, en<br />

caso <strong>de</strong> ser la fuerza <strong>de</strong> percusión ic constante..<br />

Siendo (Propos. 31.) (^A—-7r(A-r-B)<br />

1<br />

Corolario a-<br />

Si fuere V=0 y Bzzz 00, quedará<br />

y en el caso.<strong>de</strong> la máxima impresión tzz<br />

A(«-U).<br />

• - ~ ~ ' - '<br />

AU<br />

7T «.<br />

«t—T<br />

PROPOSICIÓN 46.<br />

Hallar el centro <strong>de</strong> percusión..<br />

1 Supóngase el cuerpo dividido en infinito número<br />

<strong>de</strong> pequeños cuerpos : ó supóngase un systhema com-<br />

Fig.ztf..puesto <strong>de</strong> infinito número A,B,C, & <strong>de</strong> cuerpos pequeños<br />

ligados entre sí:-y- que gire sobre un exe qualquiera<br />

dado y fixoE , con una velocidad angular <strong>de</strong>terminada.<br />

Pongamos que encada uno <strong>de</strong> los pequeños<br />

cuerpos A, B, C, &, haya una potencia et, 0, y, &<br />

que<br />

PERCUSIO Tí. 131<br />

que les retar<strong>de</strong> su movimiento , y que todas aduen<br />

paralelamente según DA, FB, GC, &: que sea P la<br />

distancia <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el exe al plano paralelo al diredorio,<br />

que pase por el centro <strong>de</strong> gravedad: u la velocidad<br />

que perdiere este centro : A, B, C,& las distancias EA,<br />

EB,EC, &, <strong>de</strong>s<strong>de</strong> qualquiera cuerpo como A,B, C,&<br />

al exe: y fr, e, £, & los ángulos EAD, EBF, ECG que<br />

aquellas forman con las direcciones en que aduan las<br />

_ . Au .<br />

potencias. Con esto tendremos P: uzzz A:-p-, velo­<br />

cidad que per<strong>de</strong>rá el cuerpo A según la perpendicular i<br />

EA: y por igual razón ^-, -^-> &, las que per<strong>de</strong>rán<br />

los otros cuerpos según las perpendiculares EB,EC,&:<br />

Au Bu Cu t, 8c, las que <strong>de</strong>ben impri­<br />

Pfen.fr * Pfen.í * P(en,\<br />

mir las potencias para que resulten las primeras. Ten-<br />

« \ AAu a.<br />

dremos pues ( Cor. 2. Prop. 4.) ajzzz Pfen.fr ^^ ... K , w<br />

J*-<br />

BBu<br />

, ytzzz £gL<br />

CCx<br />

&; <strong>de</strong> que ¡* <strong>de</strong>duce<br />

Pfen.t Pfen.Z<br />

« = A BBu<br />

.,&. Su-<br />

A JL 'J^JL. - c —<br />

Ptfen.fr•' * Ptfen.i ' y " Ptfen,^<br />

pongamos ahora que la distancia <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el plano paralelo<br />

al diredorio, en que Se halla el centro <strong>de</strong> percusión<br />

, al exe sea ¡e: y serán x—Afen.fr, *•—Bfen.i,<br />

x—Cfen.%,&. las distancias <strong>de</strong>s<strong>de</strong> cada una <strong>de</strong> las potencias<br />

al mismo plano : y por consiguiente , los momentos<br />

<strong>de</strong> estas, respedo al centro <strong>de</strong> percusión, serán<br />

AAu(x—Afen.fr) BBu(x—Bfen.t CCu(x—Cfe».%)<br />

Ptfen.fr " * Ptfen.t ' Pifen.% T'<br />

y para que no resulte rotación sobre el propio centro<br />

, habrá <strong>de</strong> ser (Cor olor. 2. Lema 1.) la suma <strong>de</strong><br />

estos momentos igual á cero ; ó partiendo por<br />

R2 pt


,132<br />

ETB-. I. CAP.-5. DE LA<br />

u AAX.x--Afen.-fr) BB(x~:BJen.t) CC(x—Cfen^<br />

Pt' fen.fr • >"d'>' fcn.i fen.l<br />

, . AAx BBx CCx,„<br />

+ &=o : esto « _ ^ — + ^ 1 "f- & —<br />

A^<br />

-<br />

: -f-BB 3 -r-CC ! -|-& : que dá #=----<br />

A^'-f-B^ : -t-CC ; -r-& ^5^0^ <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el centro <strong>de</strong><br />

AA . BB , CC '<br />

• r r y~T" c*-<br />

/¡?«.


134 Li B. i. CAP. 7. DE LOS CUERPOS<br />

Escolio.<br />

Hasta ahora se ha enseñado generalmente por los<br />

Autores (a) que han tratado el asunto , que los dos<br />

centros <strong>de</strong> oscilación y percusión son siempre el mismo;<br />

exceptuando Juan Bernoulli que dio alguna i<strong>de</strong>a<br />

<strong>de</strong> po<strong>de</strong>r ser incierto. Para quedar convencidos en este<br />

particular no hay sino consi<strong>de</strong>rar que el centro <strong>de</strong><br />

oscilación <strong>de</strong> un triángulo isósceles, que gira lateralmente<br />

sobre su vértice, dista <strong>de</strong> este la cantidad <strong>de</strong><br />

2 b*<br />

—a-A -, suponiendo ¿ la altura <strong>de</strong>l triángulo, y<br />

4 OA<br />

b su base ; quando el centro -<strong>de</strong> percusión solo dista<br />

3-a: <strong>de</strong> suerte que, si b es mayor que a, el centro<br />

4<br />

<strong>de</strong> oscilación cae fuera <strong>de</strong>l triángulo , y es imposible<br />

que sea el <strong>de</strong> percusión, pues no pue<strong>de</strong> tocarle el óbice<br />

fuera <strong>de</strong> él mismo. Si reducimos el triángulo ámenos<br />

altura, respedo <strong>de</strong> Su base , al paso que aquella<br />

sea menor , disra mas y mas <strong>de</strong>l exe el centro <strong>de</strong> oscilación<br />

; y al contrario el <strong>de</strong> percusión: <strong>de</strong> suerte, que<br />

si la altura es infinitamente pequeña, el centro <strong>de</strong> oscilación<br />

distará Infinitamente <strong>de</strong>l exe •: quando el <strong>de</strong><br />

percusión estará siempre i -$—a, y por consiguiente<br />

en igual disposición para equilibrar el choque.<br />

CA-<br />

(fi) Christiani Wolfii elementa mutíleseos. Tom.j. dt elementa Mechánica.<br />

Cnp. XII. Thco. LXXXI.<br />

dnalysc <strong>de</strong>s infiniment petits. Par Mr. ¿tone. Se¿l¡on VII.<br />

Elementos Matbcmdticos -<strong>de</strong> Philutophla natural por Gravesan<strong>de</strong>.<br />

Tom. t. Lili. 2. Cap. 5. N.*.<br />

Jobannis Bernoulli Opera 'Omnia. Toro.. 4. Remarar.es sur PAnalys*<br />

<strong>de</strong>s infiniments pstits.<br />

QUE INSISTEN SOBRE SUPERFICIES. 135<br />

CAPITULO 7-<br />

Del movimiento <strong>de</strong> los cuerpos que insisten sobre:<br />

superficies..<br />

PRescindiremos, en este Capítulo <strong>de</strong> las impresiones,<br />

que <strong>de</strong>ben formarse en los-cuerpos que se<br />

comprimen por qualesquiera potencias, á fin que resulten,<br />

por ahora, masfaeiles los cálculos. Supondremos,<br />

para lo. propio, que los cuerpos sean iguahnente<br />

<strong>de</strong>nsos , y que las potencias, estén, aplicadas, á los.<br />

centros, <strong>de</strong> gravedad..<br />

PROPOSICIÓN 47.<br />

Hallar los espacios que- corren dos espheras impelidas<br />

por una potencia.<br />

Sidosespheras A y B se tocan en D , y la una A F 'g'**está<br />

impelida en. la dirección: AC por la potencia *<br />

aplicada en su centro, <strong>de</strong> gravedad A , no girará esta<br />

esphera (Cor. 2. Lem. 1..): y la. potencia se pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>scomponer<br />

en dos.,, una que adue según la tangente<br />

DE ,, y otra según la perpendicular AD- que pasa por<br />

los centros <strong>de</strong> las dos. espheras A y B.. Llamando 21 al<br />

ángulo DAE, será la potencia según DBzzz-afen.X'i y<br />

la que adue segua AD zzz a.Cof. 2. Con. esta, potencia<br />

que pasa por los. centros A y B , tiene pues que moverse<br />

precisamente la esphera A en la; dirección AD,<br />

y no pue<strong>de</strong>execurarlo.sinimpelerla.otra B en la misma<br />

dirección, quepasando por el centro^ B:no causará<br />

rotación en esta esphera, y solo.habrá <strong>de</strong> moverla<br />

en la propia dirección: <strong>de</strong> suerte, que ambas espheras<br />

tienen que seguir precisamente la dirección AB, ea<br />

yir-<br />

B*


IJ$6 LIB.I. CAP.7. DE LOS CUERPOS<br />

virtud <strong>de</strong> la potencia aCof.X, sin po<strong>de</strong>rse <strong>de</strong>sviar i<br />

parte alguna, y correr ambas el espacio diferencial<br />

dtfdtcLCoJ.X, ' . . _,<br />

A-J-R—«I-a otra potencia a/i». 2 no tiene que impeler<br />

sino la esphera A, respedo <strong>de</strong> ser su dirección<br />

según la tangente DE , en la qual no pue<strong>de</strong> impeler la<br />

esphera B: por lo que el espacio diferencial que correrá<br />

su cenrro <strong>de</strong> gravedad en la misma dirección^ será:=<br />

dtfa.dtfen.%<br />

A<br />

Corolario i.<br />

SI la esphera B es <strong>de</strong> infinita magnitud, su superficíe<br />

en el punto <strong>de</strong>l contado coinci<strong>de</strong> con el plano tangente<br />

DE : y el espacio que correrán los centros <strong>de</strong><br />

gravedad <strong>de</strong> las dos espheras , según la perpendicular<br />

ArN , dtfdta.Cof2 ,<br />

AD, sera como antes — : y el que correrá<br />

A-f-b<br />

la A , según la tangente ó plano DE , será =<br />

dtfadtfen.X<br />

Corolario 2.<br />

Si la esphera B se supone no solo <strong>de</strong> infinita mag-'<br />

nitud, sino <strong>de</strong> infinita cantidad <strong>de</strong> materia ó masa,<br />

el movimiento <strong>de</strong> su centro <strong>de</strong> gravedad será<br />

dtfdta.Cof.'S, ,<br />

—r~-.— ; — .~r o: por lo que en este caso su super-<br />

A—\— co<br />

ficie ó plano tangente DE quedará inmóvil, y lo mismo<br />

la esphera A por lo que toca á la dirección AD:<br />

solo le quedará á esta el movimiento según la tangen-:<br />

te<br />

__ dtfa.dtfen.%<br />

A<br />

\<br />

CO­<br />

QUE INSISTEN SOBRE SUPERFICIES.<br />

Corolario 3.<br />

137,<br />

Que la esphera A insista sobre una superficie ifh Fig. 5 o.<br />

móvil qualquiera, plana ó curva BC, impelida por la<br />

porencia a., aplicada en su centro <strong>de</strong> gravedad , y según<br />

la dirección EA : tirada la tangente ó plano tangente<br />

FG en el punto <strong>de</strong>l contado C , este plano pue<strong>de</strong><br />

suponerse la superficie <strong>de</strong> una esphera infinita en<br />

magnitud y en masa, sobre que insiste la otra A, con<br />

que no tendrá esta sino el movimiento según la tangente<br />

CG, en virtud <strong>de</strong> la potencia a.fen.'Z, expresando<br />

2 el ángulo AEH que forma la dirección EA con<br />

la perpendicular EH á la tangente.<br />

Corolario 4.<br />

Lo mismo se <strong>de</strong>monstrará <strong>de</strong> qualquiera otro punto<br />

<strong>de</strong> la superficie curva en que se halle la esphera i<br />

con qué tomando el punto B <strong>de</strong> la curva por origen,<br />

las abcisas x en la BL paralela á lá dirección EA , y<br />

llamando a la longitud <strong>de</strong> la curva BC , sefá CMzzdx,<br />

CNzzzda, y el seno <strong>de</strong> AEH =: CNM= fen.X=<br />

dx<br />

•^— : por lo que la potencia que animará la esphera A<br />

según la tangente en todos los puntos <strong>de</strong> la superficie<br />

en que se hallare, ó según los espacios diferenciales en<br />

que estubiere, será zzz~.<br />

da<br />

Corolario f.<br />

Que sea «la velocidad que adquiere la esphera en<br />

qualquiera <strong>de</strong> dichos puntos , y tendremos (CoroL<br />

A* , N "dxdt , J„<br />

) ~Ada~ Z=LÍU; P ero (Cor^Pro.-}-) es uzzz ?JL:<br />

To "«- S tul


Pig.?¡<br />

TjS" J¿IB.i. CAP.7. DE LOS CUERPOS<br />

luego multiplicando estas dos equaciones, será —<br />

adx , , n,_ 2f«-dx , 2jaJx_<br />

-U 1<br />

^zzudu,y u 1 — U' = -^— : ó»<br />

A A<br />

<strong>de</strong>notando U la velocidad que tubo la esphera en el<br />

origen B.<br />

Corolario 6.<br />

Si fuere a. constante , como lo es la gravedad en<br />

las inmediaciones á la superficie <strong>de</strong> la tierra, será<br />

u'zzz^^-V : ó substituyendo (Cor. i. Prin.3.)<br />

A<br />

a.— 3 2 A, u*zzz6ax-\-\¡ z : esto es, la velocidad con<br />

que cayeren los cuerpos graves por las superficies , no<br />

<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>rá en ninguna manera <strong>de</strong> la curva , <strong>de</strong> su mayor<br />

ó menor curvidad , ni <strong>de</strong> su mayor ó menor inclinación<br />

con el horizonte, sino <strong>de</strong> sola la altura x <strong>de</strong><br />

don<strong>de</strong> cayeren , y <strong>de</strong> la yelocidad primitiva U con<br />

que empezaren su caída.<br />

Corolario 7.<br />

VwUJ.uiauu y.<br />

Si esta velocidad primitiva U fuere cero , ó sí empezare<br />

á caer la esphera <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el reposo , quedará<br />

u'zzzóax ; ú uzzzHVx , como se vio (Cor.i. Pr'm.2..)<br />

Corolario o.<br />

Si siendo el origen B, ía esphera ¿«cuerpo grave<br />

hubiere <strong>de</strong> <strong>de</strong>scen<strong>de</strong>r por las varias superficies planas<br />

ó curvas BL, BC , BD, BE con la misma velocidad<br />

primitiva, laque tendrá al llegar á la horizontal LE<br />

será siempre lá misma é zzz ^6AX-\-W : ó si fuere<br />

U—o, =8/*—8/BL.<br />

Co-<br />

QUE INSISTEN SORRE SUPERFICIES.<br />

Corolario o.<br />

1 X<br />

*39,<br />

Si la esphera insistiere sobre el plano DE,. siendo Fíg.ji.<br />

el ángulo DBE redo, será -j-zzz^^: y la equacion<br />

adxdt , . , . , , adt.DB , ,<br />

—¿-T—ZZZ du se reducirá a . „-. zzzdu i y en los<br />

Ada A.DE J<br />

, 2 2Í,DB »T 1 .<br />

cuerpos graves á _ — zzzu—U : <strong>de</strong> suerte, que las<br />

diferencias <strong>de</strong> las velocida<strong>de</strong>s que adquirirá la esphera<br />

en su caida por el plano DE, siendo BE la horizontal,<br />

serán en razón direda <strong>de</strong>l tiempo , y <strong>de</strong> la cantidad<br />

-p\T><br />

í^p, ó seno <strong>de</strong>l ángulo DEB que forma el plano con<br />

la horizontal.<br />

Corolario 10.<br />

Si en la equacion uzzz —¡—, ó udtzzzda substituímos<br />

el valor <strong>de</strong> u hallado (Cor.5.) uzzf-~ j-U* ] r<br />

setídazzzdt^J^Í+V')*-. ó si fuere U—o,<br />

\ A /<br />

, ,2fadxx\ _ , ,<br />

dazzz dt(-——). Sera, pues,-en los cuerpos graves<br />

^ A '<br />

que caen <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el reposo, dazzzSdtVx : y si cayeren<br />

por el plano DE, respedo <strong>de</strong> ser yyp 1 ^—, ó xzzz<br />

a.DB , da .. ,DBN'<br />

Ya<br />

0 /DBs' . i6t*DB<br />

\íw) '' ^ ue a== —fÍF~~ J ^ es , da OJ ,DB,| , . • .<br />

, sera -¡- r=r 2dt {ñf-)<br />

' espacios<br />

corridos por un cuerpo grave que <strong>de</strong>scien<strong>de</strong> <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el<br />

Sz re-<br />

e mte g rando 2 a ==<br />

^


4<br />

•<br />

140 LIB. 1. CAP. 7. DE LOS CUERPOSreposo<br />

sobre un plano , son en razón compuesta <strong>de</strong> los<br />

T-vT><br />

quadrados <strong>de</strong> los tiempos, y <strong>de</strong> la cantidad ?-— ó seno<br />

DE<br />

¿el ángulo DEB que forma el plano con la horizontal.<br />

Corolario 11.<br />

De la equacion antece<strong>de</strong>nte dazzdt *<br />

se <strong>de</strong>duce también dt zzz<br />

da<br />

& * * $ •<br />

A<br />

fV')*<br />

: ó si fuere<br />

da<br />

U=ro, dtzzz : que en el caso <strong>de</strong> los citer-<br />

pos graves se reduce á dtzzz ^ - j o si fuere por el<br />

plano DE que la esphera cayere dtzz —•—— ; é inte-<br />

grandor fc*»¡<br />

Corolario 12.<br />

8"^<br />

Si la esphera o cuerpo cayere cavere lil libre ó verticalmert-<br />

, , , dx , , 1<br />

le , sera, azzzx, y dtzz^-r: o integrando tzz— Yx.,<br />

PROPOSICIÓN 48.<br />

Hallar el tiempo en que caen los cuerpos graves<br />

por la eyeloi<strong>de</strong>. : . • ^= !<br />

fig- 5}. Sea por la eyelói<strong>de</strong> DABE , que la esphera ó cuerpo<br />

grave caiga, siendo FH1E el círculo generatriz<br />

<strong>de</strong> ella, y FÉr=D el diámetro <strong>de</strong> este. Sea A el punto<br />

<strong>de</strong> don<strong>de</strong>-empiece ¿caer el cuerpo <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el reposo:<br />

ii s ¿ FG<br />

QUE INSISTEN SOBRE SUPERFICIES. 141<br />

fGzzzb, y GC=:AÍ. Por la propiedad <strong>de</strong> la eyeloi<strong>de</strong><br />

es su arco BE=2IE: esto es, igual á dos veces<br />

la cuerda LE <strong>de</strong> su círculo generatriz 5 pero por la<br />

<strong>de</strong>l circulóles IE— YD.(D—b—x) : ltiego el arco<br />

BEzzz2VD.(D—b—x) : y su diferencial da zzz--<br />

r dxVU .-que dala<strong>de</strong>larcoBA=^= dxYD ^<br />

Yl±-b-x<br />

YD-b-x<br />

Sera , pues, (Cor. 11. Prop.aq.) en la eyelói<strong>de</strong>, quando<br />

el cuerpo grave empieza á caer <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el reposo, dtzzz<br />

-—====7-: ó multiplicando numerador y <strong>de</strong>oyDx—bx—x<br />

*<br />

nominador por ¿(D—B), ¿¿--1JL_. j(D-b)dx<br />

:r¿. 4(D—¿) YDx—bx—x*<br />

,/n JE<br />

fv<br />

4(D-¿ afD J VDx—bx—x' '<br />

pero<br />

yp—b)dx<br />

, = r es el arco <strong>de</strong> círculo , cuyo diá-<br />

VDx—bx—x 2<br />

metro es D —* = GE > luego si con el diámetro<br />

GE se <strong>de</strong>scribe el círculo GKE, será el arco GK=<br />

tfP—b)dx YD.(Arc.GK)<br />

. — ' y enla eyelói<strong>de</strong> tzz •— > , . f.<br />

YDx—bx-x* 4(D—é)<br />

Corolario 1.<br />

Sí el cuerpo cayere por todo el arco ABE , <strong>de</strong>generará<br />

el arco GKen todo el semicírculo GKE, Y<br />

GKE_ GKE .... - y<br />

D^h == "GE'' sex * la razon <strong>de</strong> la semicircunferencia<br />

al diámetro, ó llamando C la circunferencia <strong>de</strong>l círcu­<br />

lo, cuyo radío es la unidad, será 5^5-1^—_Lc: y<br />

D—b 2 4 7


142 LIB.I. CAP.7.DE LOS CUERPOS<br />

el tiempo t en que caerá el cuerpo por todo el arco<br />

C ^<br />

ABE <strong>de</strong> la eyelói<strong>de</strong> = —vD.<br />

10<br />

• - ' • •<br />

Corolario 2.<br />

Como enesta expresión no se llalla el valor <strong>de</strong> b,<br />

que <strong>de</strong>termina el punto A , se sigue que <strong>de</strong>s<strong>de</strong> qualquiera<br />

punto <strong>de</strong> la eyelói<strong>de</strong> que empiece á caer^el<br />

cuerpo, siempre empleará el mismo tiempo t:<br />

en llegar á E.<br />

'<br />

Corolario 3.<br />

Si en el mismo tiempo cayeren dos cuerpos , uno<br />

por la eyelói<strong>de</strong>, y otro Ubre o vertícalmente. ten-<br />

Cv'D<br />

Ci/D<br />

•dremos (Cor. 12. Prop.itf.) - jtf —• :¿V*,ó • - • •<br />

Yx, que dá xzzz ±;f- : esto es, el espacio que <strong>de</strong>scen<strong>de</strong>rá<br />

un cuerpo grave cayendo libre ó verticalmente<br />

en el mismo tiempo que cayera por el arco <strong>de</strong><br />

una eyelói<strong>de</strong>, cuyo diámetro <strong>de</strong>l circulo generatriz<br />

CD<br />

sea D, sera tezzz -16 •<br />

Corolario 4.<br />

Si las oscilaciones <strong>de</strong> un péndulo son pequeñas,<br />

<strong>de</strong>generan los arcos <strong>de</strong>scritos por el Cuerpo en arcos<br />

<strong>de</strong> eyelói<strong>de</strong> : por lo que las medias oscilaciones <strong>de</strong> un<br />

péndulo se executan en el mismo tiempo en que cayera<br />

el cuerpo por el arco <strong>de</strong> la eyeloi<strong>de</strong> : esto es, en el<br />

tiempo -^~: y las oscilaciones enteras en el tiempo<br />

Cv'D<br />

x *<br />

16<br />

^UE INSISTEN SOBRE SUPERFICIES.<br />

Corolario 5.<br />

*43<br />

Sí un cuerpo cayere libre ó vertícalmente en el<br />

mismo tiempo que <strong>de</strong>scribe el péndulo una oscilación,.<br />

tendremos —¡s— zzzWx; ó —-— zzzYx, que dá<br />

8<br />

CD<br />

x<br />

~ : esto es, el espacio que <strong>de</strong>scen<strong>de</strong>rá un<br />

4<br />

cuerpo grave libre ó vertícalmente en el mismo tiempo<br />

que hiciera una o^ifaci6n c enrerá un péndulo , cuyos<br />

arcos <strong>de</strong>scritos <strong>de</strong>generan en eyelói<strong>de</strong> , que tiene<br />

por diámetro <strong>de</strong>l círculo generatriz la cantidad D,<br />

¿mnm*<br />

4<br />

Corolario 6.<br />

Sea la longitud <strong>de</strong>l péndulo /, ó el diámetro <strong>de</strong>l<br />

círculo que <strong>de</strong>scribe := 2/, y Y2lx será qualquiera<br />

<strong>de</strong> sus cuerdas suponiendo la altura vertical CE que<br />

<strong>de</strong>scienda el péndulo en su media oscilación ; pero<br />

esta cuerda es igual á la <strong>de</strong> la eyelói<strong>de</strong>, puesto que<br />

suponemos que <strong>de</strong>genera el círculo en ella : é igual i<br />

su arco correspondienre BEzzzzYDx por ser infinitamente<br />

pequeños ambos :, luego 2YDxzzzY2¡x , que<br />

daDmzJ-/; cuyo valor substituido en la equacion<br />

CD , Cí *<br />

xzzz , (Cor.$.) la reduce fxzzz -— : esto es, el<br />

4 , .<br />

espacio que <strong>de</strong>scen<strong>de</strong>rá un cuerpo libre ó verticalmente<br />

en el mismo tiempo, que haga una pequeña oscif<br />

lacion entera un péndulo <strong>de</strong> la longitud/, eszz ~vK<br />

Corolario 7.<br />

Si en la equacion tzzz ~ YD (Prop. 48.) substl-<br />

16 tul-<br />

n


*<br />

*<br />

I<br />

L1B.1.CAP.7. DE LOS CUERPOS,<br />

Q<br />

tuimos Drrr íl, será tzzz —-Y~l, ó quadrando t'zzz<br />

C/<br />

—— : esto es, las longitu<strong>de</strong>s <strong>de</strong> los péndulos serán<br />

lo .2<br />

como los quadrados <strong>de</strong> los tiempos en que oscilan.<br />

*, o • ..<br />

Escolio.<br />

La razón <strong>de</strong> la circunferencia al diámetro, ú <strong>de</strong><br />

C C<br />

-—eszz 3,i4i6&¿: luego la <strong>de</strong> -o-será=4,93482528;<br />

lo que da eF espacio [que <strong>de</strong>scen<strong>de</strong>rá el cuerpo 1I-.<br />

bre ó vertícalmente , en el mismo tiempo que haga<br />

una oscilación entera el péndulo <strong>de</strong> la longitud /,<br />

zzzxzzzl.a.,9^0.^ &. La longitud <strong>de</strong>l péndulo simple<br />

que vibra los segundos <strong>de</strong> tiempo al nivel <strong>de</strong>l Mar<br />

varía según las latitu<strong>de</strong>s <strong>de</strong> los lugares. En el equador<br />

es, con corta diferencia, <strong>de</strong> 439 líneas <strong>de</strong>l pie <strong>de</strong> París<br />

: y en el Polo es próximamente <strong>de</strong> 442. Si toma-i<br />

mos un medio 440 , que es poco menos que la longitud<br />

<strong>de</strong>l péndulo simple que vibra los segundos d&<br />

tiempo á la orilla <strong>de</strong>l Mar en España, tendremos_, que<br />

los cuerpos caerán libre ó vertícalmente en España en<br />

el tiempo <strong>de</strong> un segundo ^^^-líneas <strong>de</strong>l pie <strong>de</strong><br />

IOOOO<br />

312<br />

Paris, ó 15 pies no pulgadas n -^— líneas : que ha-<br />

1000<br />

cen 16 pies y 1 pulgada <strong>de</strong>l pie Ingles. En el equador<br />

, don<strong>de</strong> la longitud <strong>de</strong>l péndulo simple es <strong>de</strong> 439;<br />

líneas , caerá el cuerpo en un segundo 16 pies 00 pulgadas<br />

7 líneas: y en el Polo 16 pies 2 pulgadas y 11<br />

líneas: don<strong>de</strong> se vé ; que la diferencia en la calda <strong>de</strong><br />

los cuerpos en las diversas latitu<strong>de</strong>s es corta, pues es<br />

quando ¡ñas <strong>de</strong> una*pulgada y 4 líneas : por cuyo motivo<br />

la establecimos (Princ.*,.) <strong>de</strong> 16 pies justos, cuyo<br />

nú-<br />

O.UE INSISTEN SOBRE SUPERFICIES. 145<br />

numero quadrado se hace cómodo para los cálculos<br />

que necesitamos.<br />

PROPOSICIÓN 49.<br />

Hallarlas potencias perpendicular y paralela ala<br />

tangente, que impelen á un cuerpo qualquiera que insiste<br />

sobre una superficie.<br />

Siendo A el cuerpo qualquiera que insiste sobre Fi g-!4*<br />

la superficie BCG , y a. la potencia que le impélese- Jí '<br />

gun la dirección AD, se pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>scomponer esta en<br />

AC a,<br />

dos , una según AC, que será *••, y otra según la<br />

AL)<br />

tangente FG , que será CD.* La primera AC* se<br />

AD r AD<br />

pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>scomponer también en dos, una según AH,<br />

AH a.<br />

que será -—^-, y otra según la tangente FG, que se-<br />

AD<br />

rá '-, no pudiendó impedir la acción <strong>de</strong> esta el<br />

AD<br />

plano FG , por serle tangente : y asi la suma<br />

CD.o. . HC.a. HD.a. .. . f<br />

——31-7—=: -TíT- será la potencia que anima al<br />

AD AD AD<br />

cuerpo según la tangente : ó llamando , como antes,<br />

2 el ángulo que formare la dirección AD con la perpendicular<br />

AH á la tangente, será dicha potencia asimismo<br />

zzz afen. S. La otra potencia según la perpen-.<br />

dicular AH será --r^-zzz a.Cof.%.<br />

AD<br />

Corolario i. I<br />

Tom.i, T ridq<br />

Puesto que la potencia que anima al cuerpo por Iá<br />

tangente , es la misma que quando es esphérico , las<br />

proprieda<strong>de</strong>s en quanto á la velocidad, y espacio cot-


146 LIB.I. CAP.7. DE LOS CUERPOS<br />

rido por qualquiera cuerpo sobre una superficie plañaó<br />

curva, serán las mismas que las que se hallaron para<br />

los cuerpos esphéricos..<br />

Corolario z*<br />

En virtud <strong>de</strong> la. potencia<br />

cuerpo <strong>de</strong>be girar ,. siendo el. ángulo, giratorio ==,<br />

^-dtfCH.a.dtCofZ^ por(íiie ¡¿¿¿j^ ¿g lap0tenc¡a<br />

*,Cof.Z en el punto C le es igual y contraria , y adua<br />

a. la distancia perpendicular pzzzz±:CH : hiego<br />

(Cor. a~ Prop.. 18.) <strong>de</strong>be producir el ángulo giratorio<br />

zpdt&M**i&f>{& . maSen. el. casa<strong>de</strong>. caer el punto,<br />

H hacia el lado <strong>de</strong> D respecto <strong>de</strong> C , y menos si' cae<br />

al lado opuesto: en el primer caso el cuerpo girará,<br />

moviéndose, hacia D, y en el segundo al, contrario..<br />

Corolario $.«<br />

• Si fuere,. pues,. CH — o :. esto es., si fuere el ángulo<br />

ACH recto , ó coincidiere, la AH con la AC, el<br />

euerpo.no girarán<br />

Corolario- 4*<br />

j¡ ^ Sí el cuerpo A estubiere apoyado, sobre la super-<br />

B " * ficie en dos puntos. Cy F ,. la.potencia aCofX se distribuye<br />

en- estos dos puntos , siendo la parte que se<br />

emplea en. C á la que se emplea, en. F„ por la propriedad<br />

<strong>de</strong>l centro <strong>de</strong> gravedad, como; HF á HC: será,<br />

aEHCof.X .<br />

pues, la parte empleada, en C= ^-—, y la emplea-<br />

f~<br />

QUE INSISTEN SOBRE SUPERFICIES. 147<br />

pleadaenF^^ 0 " ° '•' con *l ue el ^ n S ul ° S*~<br />

FC<br />

ratorio que producirán ambas, será<br />

;,f(^*-^ytcof.z=o.<br />

Corolario 5.<br />

Lo mismo se <strong>de</strong>monstrará aunque sean varios los<br />

puntos en que apoye el cuerpo, con tal que el punto<br />

H cayga entre los puntos <strong>de</strong> apoyo, para que unas<br />

rotaciones sean positivas, y otras negativas.<br />

Corolario 6*<br />

No obstante que la rotación sea cero , siempre<br />

queda la potencia a.fen.'S que adua según DE para<br />

hacer mover el cuerpo por el plano, lo que <strong>de</strong>be executar<br />

por pequeña que sea esta potencia ó ángulo 2.<br />

Escolio.<br />

Estas son las leyes ó reglas generales que todos<br />

los Autores dan sobre el movimiento <strong>de</strong> los cuerpos<br />

por las superficies 5 pero, como hemos visto , están<br />

fundadas prescindiendo <strong>de</strong> las impresiones que sobre<br />

las mismas superficies <strong>de</strong>be hacer la potencia perpendicular<br />

a.CofX: atendiendo á estas , ya varia todo,<br />

como se explica en el siguiente Capítulo.<br />

Tí<br />

CA-


LIB.I. CAP. 8. DÉLA<br />

CAPITULO 8.<br />

De la Fricción , y <strong>de</strong> lo que esta altera el movimiento<br />

<strong>de</strong> los cuerpos que insisten sobre superficies.<br />

DEFINICIÓN 45.<br />

LLámase Fricción á la resistencia que encuentran<br />

los cuerpos al moverse paralelamente á las superficies<br />

sobre que insisten quando se impelen poruña<br />

ó mas potencias.<br />

Escolio.<br />

Fig.?7. El paralelepípedo A animado por una potencia<br />

qualquiera a., cuya dirección AD sea obliqua al plano<br />

BE , <strong>de</strong>be, según lo dicho en el Capítulo antece<strong>de</strong>nte,<br />

ponerse en movimiento , por corto que sea el<br />

ángulo HAD , que llamamos 2: pero esta theórica se<br />

fundó prescindiendo <strong>de</strong> la impresión que sobre el plano<br />

<strong>de</strong>be hacer la potencia a.Cof.X , que se dirige según<br />

AH. Esta comprime al paralelepípedo y al plano,<br />

Kg.38. forma en este la impresión GCFI, y el obstáculo FI,<br />

que es preciso que venza la potencia paralela a.fen.X,<br />

que se dirige según el plano BE para que pueda teñe r<br />

efecto el movimiento. A mas <strong>de</strong> esto , en lo material<br />

y práctico, por mas tersos y lisos que se hagan el plano<br />

y paralelepípedo, siempre les quedan pequeñas escabrosida<strong>de</strong>s,<br />

que se observan claramente con el Microscopio<br />

: estas <strong>de</strong>ben formar en la base otras tantas<br />

pequeñas impresiones en virtud <strong>de</strong> la potencia a.Cof.2,<br />

que , como el obstáculo FI, han <strong>de</strong> resistir al movimiento<br />

según el plano BE. Si se consi<strong>de</strong>ran bien estos<br />

efedos se verá que en nada se diferencian <strong>de</strong> los que<br />

ex-<br />

F R I C C I O N. 'I49<br />

explicamos (Esc.1. Prop.27.) y redundan en el choque<br />

<strong>de</strong> dos cuerpos, quando rompiéndose las primeras<br />

partículas quedan clavados uno en otro. La potencia<br />

*,Cof.X hace aquí el efedo que allí la elasticidad lateral<br />

, y produce las impresiones recíprocas en el plano<br />

y el paralelepípedo, que allí llamamos pequeñas<br />

impresiones laterales : y la potencia a,fen.X equivale<br />

aquí á la que allá expusimos por * , y producia la impresión<br />

total i solo faltan aquí las pequeñas impresiones<br />

en la parte superior <strong>de</strong>l paralelepípedo, y que todo<br />

el lado FK encuentre cuerpo que le resista. En lugar<br />

<strong>de</strong> este se halla solo la elevación ú obstáculo FI ><br />

pero esto no altera las leyes <strong>de</strong> la resistencia , solo sí<br />

la disminuye : <strong>de</strong> suerte , que esta misma resistencia<br />

que la pradica manifestó <strong>de</strong>s<strong>de</strong> que se hicieron las<br />

primeras experiencias , y que vulgarmente se ha Ilamadoyr/'írá»,<br />

en nada se diferencia <strong>de</strong> la fuerza <strong>de</strong><br />

percusión, y es idénticamente la misma cosa. Distinguiremos<br />

dos casos en la fricción : uno aquel en<br />

que el paralelepípedo no hace aun sino forzar las escabrosida<strong>de</strong>s<br />

y obstáculo FI sin vencerlas enteramente,<br />

ni <strong>de</strong>terminarse á correr : y otro aquel, en que ya<br />

forzadas, vencidas , ó rotas aquellas , toma su carrera.<br />

En el primero la fuerza <strong>de</strong> las escabrosida<strong>de</strong>s y obstáculo<br />

será mayor que la máxima fuerza <strong>de</strong> percusión,<br />

ahora <strong>de</strong> fricción : con que es preciso que el paralelepípedo<br />

tome su movimiento, que llegue este al máximo<br />

, que disminuya <strong>de</strong>spués hasta ser uzzzo, que sea<br />

luego negativo, y que llegue el caso <strong>de</strong> que haya equilibrio<br />

entre la potencia y la fricción , ú <strong>de</strong> que cese el<br />

movimiento : esto es, siendo la fricción igual á la potencia<br />

Bfen.X , sea esta compuesta como se quiera.<br />

En el segundo caso , la fuerza <strong>de</strong> las escabrosida<strong>de</strong>s y<br />

obstáculo es menor que la máxima fuerza <strong>de</strong> percusión<br />

ó fricción : con que el paralelepípedo vencerá á aquella<br />

, tomando carrera, y continuando siempre con ella<br />

qus on-


•<br />

ryo LIB. i.CAP. 8. DÉLA<br />

quando fuere a.fen.X>- , ó z-r-tc , y llegando á parar<br />

quando fuere a,fen.X -


1<br />

LIB*. i. CAP. 8. DE LA<br />

Corolario i.<br />

Siendo, pues, $ -< tp , el paralelepípedo no podrí<br />

tomar carrera; solo llegará á formar sobre el obstáculo<br />

y escabrosida<strong>de</strong>s su máxima impresión /, volviendo<br />

<strong>de</strong>spués atrás á causa <strong>de</strong> la elasticidad con velocidad<br />

negativa , hasta que siendo también esta cero , vuelva<br />

el paralelepípedo á tomar la positiva, y vaya asi continuando<br />

con repetidas oscilaciones , que <strong>de</strong>ben disminuir<br />

continuamente al paso que vaya disminuyendo<br />

la elasticidad , y por consiguiente ha <strong>de</strong> llegar el caso<br />

en que que<strong>de</strong> parado el paralelepípedo , según se dixo<br />

(Esc. Def. v.).<br />

Corolario 2..<br />

Al contrarío, sí fuere $ > zzz ->-*£of.X(X.+Z)) 'zzz<br />

I(¿i-+-h/) v '<br />

Y^(¿A\J'fen.X'-4-a.fen.X(x-t-z)y. que partiendo<br />

p0r J^L qUeda ^(TAV*Cof.X'-+-«.Cof.X(X.-*-Z))-«<br />

zzz-^(¿AV*fen.X'+cLfen.X(x-4-zj).<br />

Co*<br />

i:<br />

FRICCIÓN.<br />

Corolario 4.<br />

155<br />

: Habiéndose <strong>de</strong>svanecido en esta equacion las variables<br />

b y h> se sigue que á qualquier instante <strong>de</strong>l<br />

choque se tendrá la igualación <strong>de</strong> las dos fuerzas $ y


- - • • • • - : —_-.•>-•»••' : • ' • • • • -<br />

L54 LlB.-t'.'OAP.'8l DtLA<br />

no muy elásticos , será, pues, en este caso la amplitud<br />

<strong>de</strong> las escabrosida<strong>de</strong>s zzznH , <strong>de</strong>notando w un número<br />

qualquiera que <strong>de</strong>penda <strong>de</strong> la magnitud <strong>de</strong> las mismas<br />

escabrosida<strong>de</strong>s. Suponiendo, d mas <strong>de</strong> esto, que <strong>de</strong>note<br />

/ la longitud <strong>de</strong> la impresión , y k su ancho , será<br />

H=rr/k , lo que da bzz=nlk-+-kX , <strong>de</strong>notando kX la<br />

amplitud <strong>de</strong>l obstáculo : conque tendremos aCof.X:<br />

a.fen.X=z lk: nlk-*-kXzzzl -. »/-HX , ó afen.Xzzz<br />

(nl-*-X)a.Cof.X<br />

-r 7 Corola^ #F- T J -<br />

Quanto mas larga sea la impresión , menor necesita<br />

ser la potencia afen.X que ha <strong>de</strong> vencer la fricción.<br />

^mifediu Corolario o.<br />

Si se suponen los cuerpos sumamente lisos, y por<br />

tanto se prescin<strong>de</strong> <strong>de</strong> las escabrosida<strong>de</strong>s , será nzzzo,<br />

y quedará aCof.X: a.fen.Xzzzl : X : ó a.fen.X~<br />

XaCof.X v ' •'<br />

Escolio i.<br />

De la equacion tufen. X zz=-—^f—*: ó partiendp<br />

H<br />

por a, fen.Xzzz -°¿— , se pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>ducir por las ex-<br />

H<br />

periencias-velívalor^daE fen.X , ú <strong>de</strong> h-; pero como es<br />

mas difícil en laprádica medir el valor <strong>de</strong> b , lo que<br />

no suce<strong>de</strong> con el <strong>de</strong> 2 , que con gran facilidad se<br />

pue<strong>de</strong> notar , se <strong>de</strong>ducirá aquel por la equacion<br />

x\fén.X ... . . . 4 , ,<br />

h= H¿-te5?r No hay sino ir elevando el plano poco<br />

Coj.z,<br />

i poco y con mucha suavidad <strong>de</strong>s<strong>de</strong> su situación hori-<br />

i.<br />

FRICCIÓN. 155<br />

rizontal, hasta que el paralelepípedo tome su carrera<br />

: notar el ángulo <strong>de</strong> esta ultima situación que sera<br />

, Hjen.2, p.<br />

el valor <strong>de</strong> 2 , <strong>de</strong> que <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> el <strong>de</strong> h—: Q^valor<br />

<strong>de</strong> H, siendo el <strong>de</strong> la amplitud <strong>de</strong> la impresión,<br />

se pue<strong>de</strong> medir i muy corta diferencia. De este modo<br />

se pue<strong>de</strong> hallar el valor <strong>de</strong> h, no solo correspondiente<br />

á varias potencias, sino también á varias dimensiones<br />

<strong>de</strong> largos y anchos <strong>de</strong>l paralelepípedo , y formar tablas<br />

<strong>de</strong> ellas, que servirán <strong>de</strong> mucho en la, práctica.<br />

Si entre el plano y el paralelepípedo se coloca otro<br />

cuerpo blando, <strong>de</strong> suerte que , llenando este la impresión<br />

, impida que el paralelepípedo toque al plano,<br />

tanto el obstáculo , como las escabrosida<strong>de</strong>s que hubiere<br />

que vencer , se formarán <strong>de</strong>l cuerpo blando , cuya<br />

resistencia es mucho menor, y por consiguiente<br />

menor potencia se necesita para vencerla. Es conseqüencia<br />

que la experiencia acredita diariamente : y<br />

con tanta mas propiedad, quanto es preciso variar el<br />

cuerpo blando que se <strong>de</strong>be colocar entre los dos chocados<br />

, según la especie y variedad <strong>de</strong> estos. Todo<br />

proce<strong>de</strong> <strong>de</strong> que el cuerpo blando solo <strong>de</strong>be impedir el<br />

contado <strong>de</strong> los dos chocados: para los ligeros y lisos<br />

el aceyte basta; pero para los muy pesados y escabrosos<br />

es preciso grasa ó sebo ,,y aun este se ha <strong>de</strong><br />

templar según los varios cuerpos.<br />

Corolario 10.<br />

Pue<strong>de</strong> proce<strong>de</strong>r la acción <strong>de</strong> dos potencias, <strong>de</strong><br />

que resulta un movimiento compuesto en el paralelepípedo<br />

, una perpendicular al plano , y otra paralela a<br />

este. Que perpendieularmente al plano adue la ponencia*,<br />

con la velocidad primitiva!!: y panadamente<br />

la potencia G , con la velocidad prumtiyaV.<br />

Substituyase, pues, * en lugar <strong>de</strong> *Cof.2


156 LIB.I.CAP.8. DE LA<br />

en la equacion (Proposición50.) , y quedará qizzz<br />

, / ^ty-fi.AU a -+-*(X-+-Z)V Substituyase asimismo<br />

en la equacion (Propos. ¿i.)fen.Xzzz 1 , y V por U, y<br />

quedará *zz=-h^(¿AV*+B(x+z)).<br />

Corolario 11.<br />

El paralelepípedo estará, pues, á punto <strong>de</strong> tomar<br />

su carrera quando sea . ([AU I -+-a(X-+-Z) J•=<br />

~:lAV--*-B(x+zj): ó por ser I :/=H(XH-Z): fc(»^«0<br />

^ AU J H-ct(Xn-Z). _ TAV*-*-B(x-*-z)<br />

quando sea - - lH(X~t-Z) S K M S p fc(^^) b(x-r-z)<br />

Corolario ia.<br />

Si fueren U=o,yV=ro, quedará -^ —f><br />

ó 0— -**- : esto es, la potencia a., que impele al paralelepípedo<br />

perpendieularmente sobre el plano, á la<br />

potencia 6 que véncela fricción , como la amplitud H<br />

<strong>de</strong> la impresión , á la amplitud b <strong>de</strong>l obstáculo y <strong>de</strong> las<br />

escabrosida<strong>de</strong>s: lo mismo que se <strong>de</strong>duxo antes (Cor. 5).<br />

Corolario 13.<br />

. a jAV^x-l-z)<br />

Si solo fuere U==o, quedará -^j-= _^_<br />

¿ • - . - —- 8 : don<strong>de</strong> se ve quanto menor ne-<br />

H 2(X'-*~Z)<br />

césitaser en este caso la potencia 6, que ha <strong>de</strong> vencer<br />

la fricción, i,<br />

Co-<br />

ct ....<br />

* R I C C I O N. «57<br />

Corolario 14.<br />

Si fuere , pues, ^ — -p—r == o, también ?e-<br />

rá 6 = 0 : esto es, el paralelepípedo estará para vencer<br />

la fricción sin necesidad <strong>de</strong> potencia que le impela<br />

paralelamente al plano, y sí sólo por la acción qué<br />

produce la velocidad V.<br />

Corolario 15.<br />

Para que que<strong>de</strong> vencida la fricción , y el paralelepípedo<br />

tome su carrera , no se necesita, pues, si<br />

ha.' AV\ .<br />

no que sea ^ < 2^--6.<br />

Corolario 16,<br />

•<br />

Si el plano estubiere horizontal, y fuere * la gra-<br />

->edad <strong>de</strong> la masa A, se necesitará,. para vencer la frich<br />

V<br />

cion, que sea -£=-


ffl<br />

»!»<br />

LiB.í-.(C?\§.§.rEínrLA<br />

Corolario 18.<br />

Si fuere V=o , en el mismo caso <strong>de</strong> la gravedad,<br />

se necesitará para que el paralelepípedo venza la fricb<br />

8<br />

cion , que sea -JJ •


¡<br />

m •<br />

16*0 LIB. 1. CAP.$. DE LA'<br />

que n expresó la magnitud <strong>de</strong> las escabrosida<strong>de</strong>s. Esto<br />

prueda lo mucho que conviene nuestra theórica<br />

con las experiencias; pero si correspon<strong>de</strong> suponer el<br />

obstáculo como nulo en los cuerpos muy duros , no se<br />

pue<strong>de</strong> hacer esta suposición en los blandos , ó no muy<br />

duros : en estos casos , al contrario , mas bien se <strong>de</strong>ben<br />

suponer las escabrosida<strong>de</strong>s como nulas , respedo<br />

<strong>de</strong>l obstáculo, y por consiguiente menos resistirá el<br />

paralelepípedo por su punta que por su lado mayor. .<br />

De los efe£t.os <strong>de</strong>spués <strong>de</strong> estar vencida<br />

la fricción.<br />

PROPOSICIÓN 52.<br />

J<br />

Hallar la relación entre la velocidad » , y el espacio<br />

corrido por el cuerpo A.<br />

Ya se tiene repetido (Cor.2. Prop.^i.) que siempre<br />

que sea $ >•


1Ó2<br />

LIB.I. CAP. 8. DE LA<br />

Corolario 4.<br />

El punto en que parará el paralelepípedo será,pues,<br />

V AU 2 - AU'<br />

aquel en que sea x— jpp^j — ¿jpgj•<br />

PROPOSICIÓN 5$.<br />

Hallar la relación entre el espacio corrida por el<br />

cuerpo A, y su velocidad.<br />

La equacion que á este caso correspon<strong>de</strong> es (Cor.<br />

* 1 A/U* »*)<br />

1. Prop.2.9.) x+zzzz y > _<br />

J \ que sereduce,subs-<br />

titu vendo •*•=$ , a=8, y z=o , á» —<br />

A(ÚW)__A(UW).; s. fuere e ^ „_.<br />

^_fl) — 2(DA-e)<br />

A(*'-UJ)____A(«'-- U')<br />

X^í—a(ft—Di) '<br />

Corolario.<br />

En el caso <strong>de</strong> haber máximo espacio x, será «=o:<br />

AU 3 AU 1<br />

luego quedará este AT= 2 (^=: 2-^ =Q- )> como<br />

resultó antes (Cor.a* Prop. 52.).<br />

PROPOSICIÓN 54..<br />

Hallar la relación entre el tiempo t, que emplea el<br />

Cuerpo A en su carrera, y su espacio corrido.<br />

, , dx-*-dz ,<br />

. La equacion (Prop. 29.) dt zzz • __ se reduce,en<br />

u v , ,4 dx<br />

este caso <strong>de</strong> ser zzzzo, y vzzzo , a dtzzz —.<br />

Subs-<br />

FRICCIÓN. i^S-<br />

Substituyase en ella el valor <strong>de</strong> u hallado (Prop.¿2.), y<br />

tendremos dt = 2$X<br />

(U'H-2<br />

(A'U'-+-2.Ax(0—Db)f—AU<br />

' A )<br />

f== : e=D6 "<br />

(A ! U'-+-2AA:(9-(í))) ,r —AU<br />

>- 9 , ó 9, hallamos (Cor. 4. Prop. 52.<br />

y Cor. Prop.53.) x:<br />

AU' AU*<br />

-zzz——^ :• cuyo va-<br />

2(Db—B) 2(


xéj¡. En.i. CAP.S.DÉLA<br />

PROPOSICIÓN 56.<br />

Hallar el tiempo t que emplea el cuerpo A en la<br />

Carrera, por su relación con la velocidad.<br />

La equacion que á este cas© correspon<strong>de</strong> es (Cor.2.<br />

Prop.tf.) tzzz • '*"" ': substituyendo 9 por «., y » £w<br />

niccio N.<br />

Escolio.<br />

¡i^y<br />

Leonardo Eulero , en una <strong>de</strong> las Memorias <strong>de</strong> la<br />

<strong>Aca<strong>de</strong>mia</strong> <strong>Real</strong> <strong>de</strong> Berlín <strong>de</strong>l año 1748 , sobre el méthodo<br />

en que se pue<strong>de</strong> concebir la fricción , concluye,<br />

que es esta menor en el caso <strong>de</strong>l movimiento, que en<br />

el <strong>de</strong>l equilibrio ; lo que es enteramente contra nuestras<br />

conclusiones. Para satisfacer esta diferencia bastará<br />

<strong>de</strong>cir, que aquel Dodo Autor no insistió en que<br />

consistiese la fricción en la theórica que expone ; solo<br />

dice que pue<strong>de</strong> servir para concebir sus efedos. Supone<br />

que proce<strong>de</strong> únicamente <strong>de</strong> las escabrosida<strong>de</strong>s<br />

<strong>de</strong>l plano y paralelepípedo ; y en ninguna manera <strong>de</strong>l<br />

obstáculo FI, que ya vimos es preciso resulte en virtud<br />

<strong>de</strong> la potencia perpendicular aCof.X que adua sobre<br />

el mismo paralelepípedo. Supone también que las<br />

escabrosida<strong>de</strong>s sean pequeños planos inclinados ú<br />

dientes , todos semejantes para que puedan en<strong>de</strong>ntarse<br />

ó ajustarse perfedamente los <strong>de</strong>l plano con los<br />

<strong>de</strong>l paralelepípedo. Con esto bien es claro, que siendo<br />

la potencia que adua sobre el paralelepípedo <strong>de</strong> suficiente<br />

magnitud , obligará á este , ó a sus pequeños<br />

dientes , á que suban por los <strong>de</strong>l plano , hasta que estriben<br />

vértices con vértices : pasado este punto caerán<br />

a los dientes siguientes cada uno á su correspondiente<br />

; <strong>de</strong>spués volverán á subir, y continuando así, se<br />

hará la fricción por saltos <strong>de</strong> unos dientes á otros : <strong>de</strong><br />

suerte que á la primera subida se experimenta la fricción<br />

total; y siendo las caídas una acción opuesta ó<br />

negativa, se disminuye la primera fricción , que fue<br />

la <strong>de</strong>l ado <strong>de</strong>l equilibrio. En esta i<strong>de</strong>a , que por fácil<br />

se conciben claramente los efedos que <strong>de</strong>ben redundar<br />

, se perciben también los inconvenientes. Los<br />

dientes no pue<strong>de</strong>n absolutamente llegar á quedar vértice,<br />

esa vértice 2 ni aun muy inmediatos á este estado,<br />

LV<br />

sin<br />

.!-


166 LIB. i. CAP. 8. DE LA<br />

sin haber precedido ó formádose una impresión recíproca<br />

en los mismos dientes, y por consiguiente nuevo<br />

óbice que vencer, sin que jamas pueda llegar el<br />

«caso <strong>de</strong> eme este que<strong>de</strong> nulo, ni <strong>de</strong> que haya caída , y<br />

por lo mismo, que tampoco disminuya la fricción por<br />

el itíovimiento. Una experiencia, dice el mismo Dodo<br />

•\Aufor , que favorece su <strong>de</strong>terminación , y es :. que no<br />

pue<strong>de</strong> conseguirse que el paralelepípedo se mueva sobre<br />

el plano con mucha suavidad por mas que se cui<strong>de</strong><br />

<strong>de</strong> dar á este sola la precisa inclinación para que<br />

corra : d¡ce , que una vez que se ponga en movimiento<br />

, acelera este con gran prontitud , y que por consiguiente<br />

es preciso que la fricción disminuya ; pero<br />

véase que ninguna experiencia conviene mejor coa<br />

nuestra theórica^<br />

La equacion uzzz Ur+rJ 2nt es la que propriamente<br />

correspon<strong>de</strong> d este caso: si substituimos en ella<br />

n F== — > quedará a = U ± í 5 ó si se quiere la mayor<br />

suavidad posible en el ado <strong>de</strong> ir levantando el plano<br />

, pondremos U=ro , y quedará sin embargo aún<br />

uzzzt: esto es, la velocidad » que tomará el cuerpo<br />

A, quando se cui<strong>de</strong> <strong>de</strong> no darle sino la precisa inclinación<br />

para que corra , será aún <strong>de</strong> tantos pies por segundo,<br />

como segundos contenga el tiempo t: <strong>de</strong> suerte,<br />

que al primer segundo <strong>de</strong> tiempo, ya correrá con<br />

la velocidad <strong>de</strong> un pie por segundo : a los dos segundos<br />

<strong>de</strong> tiempo, con la velocidad <strong>de</strong> dos pies por segundo<br />

, y asi en a<strong>de</strong>lante. Solo falta manifestar <strong>de</strong>spués<br />

<strong>de</strong> esto, que el suponer nzzz — es hacer muy<br />

corto movimiento en el plano BE , ó aumentar muy<br />

Fig. 57. P oco el iín g u! o BEL— 2, quando este , ó su inclinación<br />

es la que ya tiene el cuerpo para estar al punto<br />

preciso <strong>de</strong> correr por el plano : en cuyo estado es<br />

a.fen.X zzzq>. Supongamos ahora que se aumente el<br />

án-<br />

FRICCIÓN. Iíy'<br />

ángulo <strong>de</strong> una diferencial dX , y que sea X-i-dX : el<br />

seno <strong>de</strong>l ánguloBEL será igual fen.X-*-dXCof.X , y el<br />

coseno Cof.X - dXfen.X. La potencia que anima al<br />

cuerpo paralelamente será en este segundo caso a.fen.X<br />

-t-aJXCof.X: esto es, mayor que la <strong>de</strong>l primero, <strong>de</strong><br />

aJXCof.X ; y la que animará perpendieularmente<br />

aCof.X -adXfen.X. La potencia, que es capaz <strong>de</strong> vencer<br />

la fricción en este segundo caso , es (Cor. 6. Prop.<br />

rT v haCof.X hadXfen.X . ,.' .<br />

Jl?} —n ?5 • La amplitud h &s, como<br />

el ancho <strong>de</strong>l paralelepípedo, multiplicado por la<br />

profundidad <strong>de</strong> la impresión : y siendo la primera cantidad<br />

constante, será h como la profundidad <strong>de</strong> la<br />

impresión : esto es, (Cor.10.Prop.51.) como la potencia<br />

aCof.X—a.dXfen.X : luego será la potencia , que<br />

es capaz <strong>de</strong> vencer la fricción en el segundo caso,como<br />

-—(Cof.X—dXfen.Xy , ó como ^(Cof.X'-zdXCof.Xfen.X);<br />

y en el primero , en que es dX=zo, como ~ Cof.X'.<br />

Aquella potencia será, pues, menor que esta , <strong>de</strong><br />

-£P 2dXCof.Xfen.X: y la potencia primera total será,<br />

i esta diferencia, como Cof.X', i 2dXCof.Xfen.X 5 pero<br />

la potencia primera total es=zr«./e»,2: luego la<br />

diferencia será = 2 4 ¿ 2 / a 2 " -,. El aumento <strong>de</strong> la po­<br />

Cof.X<br />

tencia que anima paralelamente eszzz adXCof.X, y la<br />

disminución <strong>de</strong> la que vence la fricción— fe 7 —•<br />

,• Cof.X<br />

luego será para el segundo caso 0Lfen.X— 1 dX , _ .<br />

«dXCof.X^-^- : onzzz-^i+fenX>),<br />

ó substituyendo, según Mr. Bilfinger ¿^==L, será<br />

Cof.X<br />

ir


WÍSÜ<br />

• ft*8<br />

i d2(i-<br />

LIB. i. CAP. 8. DE tu<br />

^,ydXzz= El radío siendo la uní-<br />

4^V<br />

Vl ?<br />

144<br />

ad, es la circunferencia ¿2= 3,14, el grado =: ^~9<br />

, - 5» 14 x -<br />

y el minuto =: -——el efeclo <strong>de</strong> la fricción en las Machinas simples*<br />

l<br />

r DEFINICIÓN 46.<br />

SE llama Machina todo instrumento que sirve para<br />

facilitar el movimiento <strong>de</strong> los cuerpos.<br />

DEFINICIÓN 47.<br />

Diví<strong>de</strong>nse las machinas en simples y compuestas.<br />

Estas son las que se componen <strong>de</strong> dos ó mas <strong>de</strong> aquellas.<br />

Las simples se reducen á la Palanca , el Plan»<br />

inclinado, la Cuña, el Tornillo , el Exe en peritrochio^<br />

y el Carrucho, que en la Marina se llama Motón.<br />

Es-<br />

FR.ICCION EN LAS MACHINAS. 169<br />

Escolio.<br />

Ya se habló al fin <strong>de</strong>l Cap.4. <strong>de</strong> la Palanca. En esta<br />

no cabe fricción , por no tener parte alguna que se<br />

mueva insistiendo sobre superficie. Del plano inclinado<br />

se trató casi todo el Cap. 7 , y nos ha servido <strong>de</strong><br />

exemplo para <strong>de</strong>terminar también la fricción j pero<br />

solo nos redugimos al caso en que el cuerpo A es impelido<br />

á <strong>de</strong>scen<strong>de</strong>r: falta ahora resolver aquel en que<br />

ascien<strong>de</strong>, y asimismo la rotación que por la fricción<br />

pue<strong>de</strong> resultar.<br />

Del Plano inclinado.<br />

DEFINICIÓN 48.<br />

Plano inclinado es aquel que no es paralelo ni perpendieular<br />

al horizonte •}•, como si LE <strong>de</strong>nota el horif '£' J7 "<br />

zonte, BE será el plano inclinado.<br />

Escolio.<br />

, En el cuerpo A, que insiste sobre el plano inclinado<br />

, concurre ya una potencia que leimpele., que es<br />

la gravedad , y según la dirección vertical AD. Por la<br />

acción <strong>de</strong> esta potencia, como ya tenemos dicho , el<br />

cuerpo pue<strong>de</strong> solamente <strong>de</strong>scen<strong>de</strong>r, no subir: para<br />

esto es precisa otra potencia que adue sobre él en la<br />

dirección EB, y no solo mayor que la afen.X que se<br />

dirige según BE, sino mayor que esta potencia y la<br />

fricción juntas, puesto que ambas se oponer* al movimiento<br />

<strong>de</strong>l cuerpo según EB. En el Capitulo prece<strong>de</strong>nte<br />

expresamos las potencias que han <strong>de</strong> vencer la<br />

fricción por a.fen,X , y por 9: aquella en el caso <strong>de</strong> no<br />

haber mas potencia que impela al cuerpo A, según la<br />

I


i<br />

lil<br />

170 LIB.I.CÁP.9.DELA<br />

dirección AD, que la a 1 y esta quando fuese la que<br />

resultare para mover el paralelepípedo según BE, que<br />

es asimismo afen.Xen el primer caso : <strong>de</strong> suerte, que<br />

<strong>de</strong> qualquiera modo que sea, conociendo la resulta <strong>de</strong><br />

la potencia ó potencias que aduaren según BE , ó EB,<br />

y Jas que resultaren según AH puestas en lugar <strong>de</strong> las<br />

que se colocaron en los exemplos <strong>de</strong> la fricción que<br />

<strong>de</strong>be vencerse, se tendrán resueltos los casos <strong>de</strong>l movimiento<br />

<strong>de</strong>l cuerpo A según BE.<br />

PROPOSICIÓN 58.<br />

. Hallar la potencia necesaria para vencer la fricción<br />

, y hacer subir un paralelepípedo por un plano<br />

inclinado.<br />

r<br />

Ya vimos (Cor.¿. Prop.51.) que para vencer la fricción<br />

en el caso <strong>de</strong>l plano inclinado , siendo U=ro, es<br />

preciso que sea a.fen.Xzzz'?—^, <strong>de</strong>notando 2 el<br />

H<br />

ángulo HAD, o BEL : ala única potencia que anima<br />

el paralelepípedo según AD: afen.X laque le anima<br />

según BE; y aCof.X la que le anima según AH. Que<br />

una potencia 9 impela ahora al paralelepípedo según<br />

EB, y tendremos 9— afn.X por la potencia resultante<br />

según EB , que substituida , en lugar <strong>de</strong> afen.X, en<br />

la equacion antece<strong>de</strong>nte , tendremos para vencer la<br />

fricción, y caso <strong>de</strong> querer ya subir el paralelepípedo<br />

por el plano B~a.fm.Xzzz í^zz : que da 6= - -<br />


17a L1R.1. CAP.9. DE LA<br />

los valores Hzzzlk, hzzznlk-^-kX hallados (Cor. 7.<br />

Prop.51.), resultará Bzza{fen.X+nCof.X-*-^- Cof.X):<br />

<strong>de</strong>notando n un número qualquiera, que <strong>de</strong>penda <strong>de</strong><br />

la magnitud <strong>de</strong> las escabrosida<strong>de</strong>s : / la longitud <strong>de</strong>l<br />

paralelepípedo, y.X la profundidad <strong>de</strong> la impresión<br />

que este haga en el plano.<br />

Corolario 6,<br />

Si fuere Xr=:o : ó lo que es lo mismo, si el plano<br />

fuere muy duro, <strong>de</strong> suerte que en él no se haga sensible<br />

impresión, quedará Bzzz a,(fen.X- j MtCof.X).<br />

Corolario 7.<br />

En el caso <strong>de</strong> la mayor 9 , es dBzzz<br />

*(dXCof.X—ndXfen. X)=oiófen. Xzzzf—±—\ ? :<br />

don<strong>de</strong> se percibe lo estraño <strong>de</strong> no ser la mayor fuerza<br />

la que se empleare levantando el peso vertícalmente,<br />

sino aquella en que se tirare por un plano inclinado<br />

en que sea/í».2= (~-r)<br />

r -<br />

Corolario 8.<br />

Sí este valor se substituye en Bzzza^fen.X-^-nCof.X),<br />

serálamayor9 = *ViH-»* -. mayor que * según fuere<br />

mayor la », ó las escabrosida<strong>de</strong>s.<br />

Corolario o.<br />

La fórmula no dá la menor 9 sino siendo fen. X negativo<br />

: <strong>de</strong> suerte, que es menor la 9 al paso que es<br />

me-.<br />

y<br />

FRICCIÓN EN LAS MACHINAS. 173<br />

menor fenJX; y pasando <strong>de</strong>spués este seno á ser negativo,<br />

es *(—fen.X-*-n^i—3r)i==Q , ó —fen.Xzzz<br />

ni j- y , quando es 0=o.<br />

•<br />

PROPOSICIÓN 59.<br />

Hallar la relación entre la potencia A y la velocidad<br />

« con que quiera subirse el paralelepípedo por el<br />

plano.<br />

En lo <strong>de</strong>monstrado (Cor. i. Propos. 52.) se halló<br />

/.Tl ia,xfen.X 2Dhx\ l , , . ^<br />

uzzz (U 1 -! - — •—— ] J <strong>de</strong>notando afen.X<br />

\ A A /<br />

la potencia que anima al paralelepípedo paralelamente<br />

al plano. Substituyendo ahora en su lugar A—afen.X,<br />

,- /' 2x(X—afen.X) 2Dbx\'<br />

será uzzz [ U*H -—^ r- ) : expresara<br />

\ A A /<br />

do Ü la velocidad que adquirió el paralelepípedo al<br />

punto <strong>de</strong> vencer la fuerza


Corolario 3.<br />

Quadrando estas igualaciones , y or<strong>de</strong>nando , se<br />

tendrá A= o*<br />

2 )<br />

2MM2-DA) '• — — 2(x-«.fen.X-)<br />

PRO-<br />

Hallar el espacio subido por el paralelepípedo por<br />

su relación con el tiempo en que le subió.<br />

En lo <strong>de</strong>monstrado ( Prop.55.) se halló *•— Uí-tt'(B—Db)<br />

A cu . - 1<br />

—i—-—*: expresando ti la potencia que anima el pa-<br />

2 JTL<br />

ralelepípedo paralelamente al plano. Substituyendo<br />

ahora en su lugar A—afen.X , será xzzzÍJt-*t'(\—a.fen.X<br />

Db) , .- t'(X—afen.X—


••f<br />

•<br />

176 LIB.I. CAP. 9. DE LA<br />

reacción <strong>de</strong> ellas, que es la fricción. La diferencial <strong>de</strong>l<br />

ángulo giratorio que producirán, será, pues,(Pr.i%.y sus<br />

_ . dtfdt(afen.Xr J tT\)AU-±zdtfdtaCof.X.CH<br />

Cor.) = í :mas,<br />

en el segundo término quando la perpendicular AH<br />

cae mas abaxo que el apoyo C ; y menos, quando cae<br />

mas arriba: <strong>de</strong> suerte , que siendo esta cantidad positiva<br />

girará el cuerpo hacia la parte <strong>de</strong> abaxo <strong>de</strong>l apoyo<br />

C > y al contrario si fuere negativa.<br />

Corolario 1.<br />

Que sea A=«*/«í.2,<strong>de</strong>notando n un número qualquiera<br />

mayor ó menor que la unidad: y substituyendo<br />

este valor en la expresión <strong>de</strong>l ángulo giratorio,quedará<br />

dtfdt(iz±zn)afen.X.AHz£:dtfdt.aCof.X.Ctl<br />

esta= — ^ -¿ •.<br />

Corolario 2.<br />

Siendo fen.X : Cof.XzzzDH : AH , ó AHfen.X<br />

tzz DHCof.X : substituyendo esté valor en la ultima<br />

expresión <strong>de</strong>l ángulo giratorio , quedará esta.=<br />

dtf


178 LIB. 1. CAP. 9. DE LA<br />

•d , __ dtfdt(afen.X-A).AH-±LdtfadtCof.X.Ciim<br />

ó substituyendo (Cor.2. Pr.62.) fen.X.AHzzDUCof.X}<br />

. . . , , dtfadtDCCof.X—dtfAdt. AW<br />

y reduciendo,quedaráen ~* '—- ' .<br />

Corol ario 2.<br />

Sí fuere DCrro; ó si la vertical AD , que pasa<br />

por el centro <strong>de</strong> gravedad A , pasare asimismo por<br />

el apoyo C , quedará la expresión <strong>de</strong>l ángulo giratorio<br />

dtfAdt.AH<br />

en<br />

Corolario<br />

El cuerpo girará , pues, hacia la parte <strong>de</strong> arriba,<br />

quando el apoyo esté en movimiento , sin embargo <strong>de</strong><br />

pasar la veatical AD por el mismo apoyo C.<br />

Corolario 4.<br />

No solamente girará el cuerpo <strong>de</strong> la mísma manera<br />

en el caso <strong>de</strong> ser DC=:o, sino en todos aquellos en<br />

que sea A.AH>- aCof.X.DC : <strong>de</strong> suerte, que aun<br />

siendo DC positiva, ó cayendo la vertical AD mas<br />

abaxo que el apoyo C , pue<strong>de</strong> girar el cuerpo negativamente<br />

, ó hacia arriba.<br />

Escolio.<br />

De lo dicho se infiere lo que se equivocaron los<br />

que, no .habiendo examinado los cuerpos en movimiento<br />

, juzgaron que <strong>de</strong>bían girar hacia abaxo siempre<br />

que la vertical AD pasare por mas abaxo que el<br />

apoyo C. '<br />

De<br />

FKICCION EN LAS MACHINAS.<br />

De la Cuña.<br />

DEFINICIÓN 49.<br />

179<br />

A un prisma como mo ABCD ABCD se llama vulgarmen- Btg-j?.<br />

te Cuña.<br />

Escolio.<br />

Si este se coloca entre dos cuerpos AyB, y se in- P¡g-4«troduce<br />

en ellos por medio <strong>de</strong> la percusión , ó por una<br />

potencia que adue en C, y en la dirección CD: se separan<br />

los dos cuerpos , aunque las potencias que los<br />

\inen sean mayores.<br />

PROPOSICIÓN 64.<br />

La cuña se reduce al plano inclinado.<br />

Como para el efedo lo mismo es consi<strong>de</strong>rar los dos<br />

cuerpos AyB fixos , y la cuña en movimiento, que<br />

al contrarío, la cuña fixa, y los dos cuerpos en movimiento<br />

, pues la acción <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> , en uno y otro caso<br />

, <strong>de</strong> la velocidad respectiva : po<strong>de</strong>mos suponer la<br />

cuña fixa, y que una potencia qualquiera aplicada en<br />

los cuerpos adue en la dirección DC; pero este caso<br />

se reduce á hacer subir ó impeler los dos cuerpos A y<br />

B por los dos planos inclinados DI, DL : luego la cuña<br />

se reduce al plano inclinado.<br />

Corolario 1.<br />

Las mismas fórmulas que expresaron los efedos<br />

<strong>de</strong>l plano inclinado, <strong>de</strong>ben por consiguiente expresar<br />

los <strong>de</strong> la cuña.<br />

Z2<br />

£*<br />

ft


Ka<br />

Kg.41.<br />

180 LIB. 1. CAP. 9. DE LA<br />

Escolio I.<br />

Lo ordinario es que los dos cuerpos AyB sean<br />

uno mismo , ó solo cuerpo M, que por medio <strong>de</strong> la<br />

cuña se procura separar ó rajar en dos , aumentando<br />

su hen<strong>de</strong>dura EKF hacia KM. La potencia que resiste<br />

consiste en la unión , cohesión , ó fuerza <strong>de</strong> las partículas<br />

ó fibras <strong>de</strong>l cuerpo en K , que es preciso vencer<br />

ó romper por medio <strong>de</strong> las potencias que se exercieren<br />

en G y H. Como las fibras en K tienen su elasticidad,<br />

dan <strong>de</strong> sí, ó se ponen en movimiento antes <strong>de</strong> romper.<br />

Esto solo suce<strong>de</strong> á un cierto número <strong>de</strong> fibras , y por<br />

consiguiente hay un punto como M , don<strong>de</strong> se mantienen<br />

firmes sin movimiento , y sobre el qual giran<br />

los cuerpos AyB. Las líneas GKM , HKM aduan ,<br />

pues, como dos palancas <strong>de</strong>l segundo genero, fixas en<br />

M , que tiran á vencer la potencia colocada en K , por<br />

medio <strong>de</strong> otras en G y H. La potencia en K será, pues,<br />

i la potencia en G, como MG, á MK: y asimismo á la<br />

colocada en H, como MH, á MK.<br />

Corolario 2.<br />

Si se llamare a la potencia en K , será ——- a. la co-<br />

MK MG<br />

locada en G: y —- a, la colocada en H.<br />

MH<br />

Corolario 3.<br />

La acción <strong>de</strong> estas dos potencias es perpendicular<br />

y MG , MH, porque girando los.cuerpos A y B sobre<br />

M, los puntos G y H se dirigen perpendieularmente<br />

á los radios MG, MH.<br />

Es-<<br />

FRICCIÓN EN LAS MACHINAS.<br />

Escolio 2.<br />

181<br />

Las fibras que resisten en K son varias , y colocadas<br />

á diversas distancias <strong>de</strong>l centro inmóvil M : las<br />

fuerzas que exerceran serán , por consiguiente , distintas<br />

; pero po<strong>de</strong>mos suponer que K es el centro <strong>de</strong> todas<br />

ellas , don<strong>de</strong> , si se reunieran , aduaran con igual<br />

efedo. Lo mismo se <strong>de</strong>be enten<strong>de</strong>r <strong>de</strong> las potencias<br />

en G y H : pues estos puntos <strong>de</strong>ben tomarse como los<br />

<strong>de</strong> reunión <strong>de</strong> todas las fuerzas que aduan en las impresiones<br />

que la cuña hace todo al re<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> G y H,<br />

cuyas amplitu<strong>de</strong>s son H y H.<br />

PROPOSICIÓN 65.<br />

Hallar la potencia necesaria para poner en movimiento<br />

la cuña , vencer su fricción , ó rajar los cuerpos<br />

con ella.<br />

Respedo que la cuña se reduce al plano inclinado<br />

, hemos <strong>de</strong> valemos <strong>de</strong> la equacion (Propos. 58.)<br />

e — < H ^»^bcof.x) j en la qual 6 <strong>de</strong>nota la po_<br />

o<br />

tencia que adua según DI necesaria para vencer la fricción<br />

: todo se reduce á substituir los verda<strong>de</strong>ros valores<br />

<strong>de</strong> 9, * y 2. Que sea x. la potencia que adue sobre<br />

la cuña en C , y según la dirección CD , y tirada<br />

la GO, paralela á la IC, será ^^ . - - =9, <strong>de</strong>notan-<br />

DG' n<br />

do n un número qualquiera mayor que la unidad, á<br />

fin <strong>de</strong> tomar <strong>de</strong> la potencia x. solo la parte — que vence<br />

la fricción <strong>de</strong>l plano ID: y 2 el ángulo DGM,<br />

puesto que en el plano inclinado <strong>de</strong>notó el ángulo que<br />

forma la dirección <strong>de</strong> la potencia en G con la perpendicular<br />

i ID ; tendremos, pues , baxando la perpendi-


•<br />

I<br />

m<br />

182 LIB.I. CAP.9. DÉLA<br />

dicular DN á la GM , ?E -fen.X. La potencia que<br />

adua en G es ( Cor. 2. Prop. 64.) J^. *, y es ia que<br />

<strong>de</strong>be colocarse en lugar <strong>de</strong> * solo. Substituyendo,<br />

pues, todos estos valores en la equacion, tendremos<br />

MR /DN.H NG.M<br />

DO X. MG * V DG "*~"P0 / , X.<br />

DG" n H : °ñ— J ?<br />

^-J^-||(DN.H-HNG.¿). Del mismo modo se<br />

halla que la otra parte { - n ~ 1 ^ fe la potencia x, que<br />

vence la fricción <strong>de</strong>l plano LD, es ( "~ 1 ^ — - - -1<br />

MK-.


184 LIB. 1. CAP. 9. DE LA<br />

MG.H.aa.GO , , v<br />

t— - . j y según nuestra theórica xzzz--t<br />

MG. DO. H<br />

MG.DO.H ' (DN. H-i-NG. h): será diclia fuerza, se-t<br />

gun la generalidad <strong>de</strong> los Autores , á la que ex^<br />

presa * nuestra theórica , como MG . GO . H , á<br />

MK(DN. H-+-NG. b), ó como • • ' • ,á DN-f—-^-:<br />

don<strong>de</strong> se ve quan infinitamente menor pue<strong>de</strong> ser esta<br />

fuerza según nuestra theórica, que según la generalidad<br />

<strong>de</strong> los Autores; y por consiguiente, quanta equivocación<br />

se ha pa<strong>de</strong>cido.<br />

PROPOSICIÓN 66.<br />

Determinar quando la cuña volverá hacia atrás, éti<br />

caso <strong>de</strong> no aduar la potencia x.<br />

Quando la potencia x. no adua, ó es xzzzo, la<br />

fricción se hace negativa, con que la equacion que<br />

exprese el caso en que se vencerá esta , se reduce á<br />

DN.H-NG.* Dq.H-CgLh ; .<br />

MG.DO.H MH.DP.H<br />

hubiere igualdad y semejanza entre las dos mita<strong>de</strong>s<br />

<strong>de</strong> la cuña ICD , LCD , DN.H—NG.¿=o: ó.<br />

DN _h_<br />

NG —H*<br />

Corolario 1.<br />

v o- e DN h . - ,<br />

Siempre que fuere pues »^!> -rr > Ia Cllna V o "<br />

verá atrás luego que cese <strong>de</strong> aduar la potencia x,. „<br />

Corolario 2.<br />

No <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> , pues, como creen generalmenre los<br />

Au-<br />

FRTCCION EN LAS MACHINAS. 13 $<br />

Autotes, el volver la cuña atrás <strong>de</strong> solóla magnitud<br />

<strong>de</strong>l ángulo 1DL, sino <strong>de</strong> este ángulo con las relaa»-<br />

DN<br />

ncs ÑG y H<br />

Escolio.<br />

Hay otros instrumentos que se reducen también i<br />

la cuña y plano inclinado , como el cuchillo , y la hacha<br />

con que se parte la ma<strong>de</strong>ra. La acción <strong>de</strong> esta <strong>de</strong>pen<strong>de</strong><br />

<strong>de</strong> la velocidad con que cae ó choca : y asi la<br />

equacion que exprese su efedo ya no <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> la<br />

que <strong>de</strong>termina el caso en que se vence la fricción, sino<br />

<strong>de</strong> aquella en que ya se supone la fricción vencida, y<br />

se mueve la hacha, cuña o plano indinado con cierta<br />

velocidad.<br />

PROPOSICIÓN 67.<br />

Determinar el efedo <strong>de</strong> la hacha. ><br />

Como la hacha se reduce á la cuña y plano inclinado<br />

, tenemos que valemos <strong>de</strong> la equacion (Prop. 1 ) 9.)<br />

.. — (\i> .^-«-M 2 )- iE*?K En cUa <strong>de</strong>béis—\v<br />

- A A '<br />

mos substituir (Prop.6.) —. = &¡& > Y « higar<br />

<strong>de</strong> * solo — *. A mas <strong>de</strong> esto, la potencia A es en e*-<br />

MG ,<br />

te caso=o , porque la hacha adua por sola la ve-,<br />

locidad U con que vence la fricción. Substituyendo<br />

, pues , todas estas cantida<strong>de</strong>s , quedará u<br />

MK.tt_ DN ,<br />

(U'-'*' MC ' PC ^ J i pero quando la hacha<br />

ha hecho todo su efedo , se para, y es uzzz o: luego<br />

quando la hacha hace todo su efedo , tenernos<br />

iW,i. Aa **<br />

••


fl<br />

Kg-4*<br />

j%6 LIB.I. CAP.9. DE LA<br />

-A.l MCi.DG / MK.DN.tt-t-MG,DG.D*<br />

Como la cantidad x es el espacio corrido por el plano<br />

DI: llamando z al corrido según DC , tendremos<br />

DI.z<br />

x: z = ID : CD, ó # = —-^ : cuyo valor substi-<br />

CD<br />

mido en la equacion , da el espacio corrido por la ha-<br />

, rCí iA.U ; MG.DG.CD .,<br />

cha, o efedo suyo z— 1 D (^. D N.^ MG.DGW<br />

pero por construcción es—' - =DO : luego<br />

I-A.IPMG.DO<br />

MK.DN.*-^MG.DG.D¿<br />

Corolario.<br />

El efedo <strong>de</strong> la hacha será, pues, constantemente<br />

proporcional al produdo <strong>de</strong> la masa A <strong>de</strong> ella , ú <strong>de</strong><br />

su gravedad, por el-quadrado U 1 <strong>de</strong> la velocidad con<br />

que choca al ma<strong>de</strong>ro.<br />

.'Del Tornillo.<br />

DEFINICIÓN 50.<br />

Tornillo es un plano Inclinado , aplicado al re<strong>de</strong>dor<br />

<strong>de</strong> un cylindro cóncavo ABCD, por el qual gira<br />

otro plano inclinado semejante, que circunda otro<br />

cylindro convexo AC.<br />

DEFINICIÓN 51. . '<br />

Al cylindro convexo con su plano, es á lo que vulgarmente<br />

se llama tornillo. Llámase también macho : y¡<br />

al cylindro cóncavo hembra.<br />

. 4«<br />

FRICCIÓN ÉN LAS MACHINAS. 187<br />

!<br />

DEFINICIÓN 52.<br />

A las vueltas <strong>de</strong> los planos se llaman Aspiras, Rostas<br />

, ó Pasos <strong>de</strong>l tornillo.<br />

. Escolio.<br />

SihavmrpesóQ, ó una potencia aplicada en F ;<br />

que se dirija -segur» d exe EF <strong>de</strong>l tornillo : y otra soore<br />

la palanca EP, aplicada en P /impelida segim una<br />

dirección perpendicular al mismo exe t el tornillp efe<br />

£5 levantándose el plano <strong>de</strong>l macho por el <strong>de</strong> lahembra,<br />

y por consiguiente elevará el peso Q¿ o vencerá<br />

la potencia aplicada en F.<br />

Corolario.<br />

De esto se infiere , que el tornillo no <strong>de</strong>biera numerarse<br />

machina simple , puesto que se compone <strong>de</strong> un<br />

nSnclinado, y una palanca; pero lo serl siempre<br />

que la longitud <strong>de</strong> esta no sea mayor que el iadio <strong>de</strong>l<br />

^"^PROPOSICIÓN 68.<br />

Hallar la potencia necesaria para vencer la fricción<br />

, V poner en movimiento el tornillo.<br />

El valor <strong>de</strong> la potencia que adua sobre las roscas<br />

,P ¿V«S o—«ffl&ítíE^l Lapotenciaque,<br />

es (Prop.5 b.) y •— H ^ f • *i<br />

fuerza los dos planos se supone en F , dirigida según<br />

EF : supuesto que esta sea * , el ángulo que forma su<br />

dirección con la perpendicular al plano o roscas , es<br />

el mismo que el que forman las mismas roscas con la<br />

perpendicular al exe EF : conque ,<strong>de</strong>xando los caradores<br />

ct v X., estos <strong>de</strong>notarán la potencia aplicaaa<br />

Aaa.<br />

c "


l^A<br />

188 LIB.I. CAP.9. DE LA<br />

en F, y dirigida según el exe EF, y ángulo que forman<br />

las roscas con la perpendicular al mismo exe. La<br />

potencia v, que <strong>de</strong>be vencer la fricción, se supone colocada<br />

en P, aduando perpendieularmente al exe , y<br />

d la distancia R <strong>de</strong> este; con que su momento sera<br />

K^ : y si llamamos r i la distancia perpendicular<br />

!,, e , xe í las roscas ó radio <strong>de</strong>l tornillo , será rB 2=<br />

ra.(Hfen.X-*-bCof.X) .<br />

• " H '— el momento <strong>de</strong> la fricción , y ten­<br />

dremos para vencerla Rw =r8= ra ( H ft»- 2 ^Co/.S)<br />

qucda-jr= ra.<br />

H<br />

mWen.X+bCof.X).<br />

Corolario 1.<br />

^ Si la potencia


1 9o LIB.I. CAP.9. DÉLA<br />

La fórmula que correspon<strong>de</strong> es (Proposición ¡o )<br />

. fvi>_,zx(*—«-fcn.X) 2DBx\¡ ,<br />

RA<br />

do en ella —- en lugar <strong>de</strong> A solo , supuesto que sea A<br />

la potencia que adue al extremo <strong>de</strong> la palanca P : suponiendo<br />

ahora , como es regular, que la velocidad U<br />

con que empieza á vencer la fricción el tornillo es <strong>de</strong>s-<br />

preciable, óUro, quedará —— — a.fen.X—Db;<br />

ó substituyendo (Cor.2. Prop.52.) ía fuerza <strong>de</strong> la -fric­<br />

ción .p—D*, será— zzz ~—afen.X-á>— --<br />

2X r J J-r—<br />

- afen.X—-^-Cof.X.<br />

PROPOSICIÓN 7i.<br />

_ Hallar la relación entre el tiempo , la potencia qué<br />

anima el tornillo , y el espacio que correrá este según<br />

la dirección <strong>de</strong> su exe.<br />

La fórmula que correspon<strong>de</strong> es (Cor. Propos. 61.)<br />

* = -T-(X—afen.X—Dh) , substituyendo en ella —-<br />

I I . , r<br />

en lugar <strong>de</strong> A sola; pero el espacio x expresa el que<br />

corren los dos planos respedivamente, y esre es al<br />

espacio que corre el tornillo según el exe, y que po<strong>de</strong>mos<br />

llamar z , como 1 i fen.X: luego x fen.X<br />

r<br />

z<br />

t*fen.XyRA<br />

que da z:<br />

fen.X—Db) : -.<br />

2j\ 2A v r J<br />

rfenfXAXK . v ,f-fen.X ,&A , „<br />

H- C *\ 2 ><br />

Del<br />

FRICCIÓN EN LAS MACHINAS. 191<br />

Del exe en peritrochio.<br />

DEFINICIÓN 52.<br />

, 1 Éxe en peritrochio es un exe que gira, obligado <strong>de</strong><br />

una palanca que se le aplica. {<br />

Como el exe AB horizontal, vertical, ú obiiquo, Fig.^.<br />

que sostenido <strong>de</strong> los postes C,D, gira obligado <strong>de</strong> una 44.<br />

potencia aplicada en F sobre la palanca FE perpendicular<br />

al exe , hecha firme en él , y dirigida la potencia<br />

perpendieularmente al exe y ala palanca. Esta<br />

machina <strong>de</strong>be vencer la potencia en Q, dirigida asimismo<br />

perpendieularmente al éxe, y que adua sobre<br />

él, ya sea por una línea flexible QG que se envuelve<br />

en el mismo exe, al paso que este gira, ya sea porque<br />

QG es otra palanca hecha firme en él.<br />

Corolario 1.<br />

' Es indiferente que se repitan las palancas y potencias<br />

que aduen sobre el exe , ó que sea una rueda, como<br />

H1KL, con varias potencias que aduen en ía circunferencia<br />

<strong>de</strong> ella : pues, por lo ya dicho, se pue<strong>de</strong>n<br />

reducir á una sola aplicada a una distancia <strong>de</strong>terminada<br />

<strong>de</strong>l exe.<br />

Corolario %.<br />

I<br />

- El exe en peritrochio es, pues, una palanca <strong>de</strong>l primero,<br />

segundo, ó tercer género , según la situación<br />

y distancia <strong>de</strong>s<strong>de</strong> la potencia situada en Q^, al exe.<br />

PROPOSICIÓN 72.<br />

Hallar en el exe en peritrochio la potencia necesaria<br />

para vencer la fricción, y poner la machina en movimiento.<br />

Sea


192 LIB. i.CAP.9. DÉLA<br />

Fig.4f. Sea GFE el exe, y C su centro. Adue en L, al<br />

extremo <strong>de</strong> la palanca CL, la potencia A, es la dirección<br />

LH , perpendicular á CL. Adue asimismo en A.<br />

al extremo <strong>de</strong> la palanca CA, la potencia *, perpendicular<br />

a CA, y que ha <strong>de</strong> vencer la antece<strong>de</strong>nte. Sea<br />

i. el ángulo con que se cortan las dos direcciones LH,<br />

AI: y tiradas las DB , CD paralelas á ellas y proporcionales<br />

alas mismas potencias A y ct, CB será (Prop.<br />

8.y sus Cor.) la dirección <strong>de</strong> la potencia resultante dé<br />

las dos, y asimismo expresará su valor. Siendo el seno<br />

<strong>de</strong> DCL—Cof.X , será CB, potencia resultante <strong>de</strong> las<br />

dos A y *,== A'-f-a'-tzAaC^S: el signo superior<br />

en la cantidad 2\o.Cof.X , quando el ángulo BDC es<br />

obtuso , y el inferior, quando es agudo. Esta potencia<br />

fuerza al exe , haciéndole apoyar en el punto G <strong>de</strong><br />

su dirección CB, <strong>de</strong>l mismo modo que si apoyara sobre<br />

un plano tangente al exe en el punto G , y á quien<br />

es perpendicular la dirección CB <strong>de</strong> la potencia resultante.<br />

La potencia necesaria para vencer la fricción,<br />

que excrcerá en el punto G , será pues (Corol.6.<br />

Prop.¿i.)zzz ~S\*-t-a. ! z±:2\a.C0fX. La potencia<br />

que adua á girar el exe es A colocada en L i pero reduciéndola<br />

á otra colocada en G, será —A, <strong>de</strong>notando<br />

R la longitud <strong>de</strong> la palanca CL, y r el radio CE<br />

<strong>de</strong>l tornillo. La otra potencia que adua negativamente<br />

esa colocada en A; pero reducida áotra colocada en G,<br />

será —o, <strong>de</strong>notando R la longitud <strong>de</strong> la palanca CA,<br />

Tendremos, pues, para el caso <strong>de</strong>l equilibrio, ó punto<br />

<strong>de</strong> querer Vencerse la fricción —A — — «L —<br />

r r<br />

~¡j-y*-'**-a>'zt:2*-


194<br />

LIB. i. CAP. 9. DB LA<br />

1 /(n<br />

""" n'R'—b'r' "*"<br />

z RR^t-h'r'y H'R'-b'r*<br />

y (n'K'—b'r'y H'K'-b'r*<br />

__ (H t ^z±ib'r*^Hbr(^:é=R))_l^iR^.hr\<br />

: esto<br />

H'K'—h'r'<br />

HBZjZhr<br />

aMR-*-br)<br />

es la mayor A==-^-^-, '-, que suce<strong>de</strong> quando la pa-<br />

tanca CL está á la parte opuesta <strong>de</strong> CA, y forman am-<br />

*(HJ?-t-^)<br />

bas una misma linea: y la menor Azzz -Tt=—-.—,<br />

' HR+w<br />

que suce<strong>de</strong> quando la palanca CL coinci<strong>de</strong> con la CA.<br />

Corolario 1.<br />

Habrá, pues, siempre ventaja en hacer que las dos<br />

palancas coincidan lo mas que se pueda : y si se procura<br />

ó establece esto, la potencia necesaria para vena.(HR-*-hr)<br />

cer la fricción, sera, como antes, A zzz<br />

Corolario 2,.<br />

HR-f&r<br />

Es asimismo ventajoso procurar que sea R> R,<br />

6 que sea la palanca CL lo mayor que sea posible,<br />

pues con ello se hace mayor el <strong>de</strong>nominador <strong>de</strong> la expresión.<br />

Corolario 3.<br />

Si fuere RzzzR, quedará A = Í ^ ^ , don<strong>de</strong><br />

se ve que en el caso <strong>de</strong> coincidir las dos palancas, el<br />

instrumento ó machina ya no da ventaja alguna , y<br />

que produce <strong>de</strong>sventaja en el <strong>de</strong> estar opuestas las<br />

palancas.<br />

;; ....<br />

Co^i<br />

FRICCIÓN EN LAS MACHINAS.<br />

Corolario 4.<br />

195<br />

Si fuere R a.<br />

Corolario ?.<br />

Para saber aquel en que ya no será ventajoso, estando<br />

opuestas las palancas , no hay sino suponer<br />

, . *(H2?-wbr) .<br />

tízzz A en la equacion A= ~——-—, y tendtemos<br />

rlR—hr<br />

HR.—brzzzHR-*-br , que da R = —p , longitud<br />

que ha <strong>de</strong> tener R para que ya no sea ventajosa la<br />

machina en este caso.<br />

Corolario 6.<br />

Habrá asimismo ventaja en disminuir la r, no solo<br />

en el caso <strong>de</strong> ser A=--—-—~-- en que disminuye el<br />

numerador, y aumenta el <strong>de</strong>nominador, sino también<br />

, , aMR+hr) ,. .<br />

en el <strong>de</strong> ser Ar=r -~———^ ; pues aunque disminuya<br />

HR—hr<br />

el <strong>de</strong>nominador, no es en tanta razón como el numerador<br />

, á causa <strong>de</strong> suponerse, para conseguir ventaja,<br />

que es R •;<br />

1 /(H ; RRd=0)^ HVv '~g<br />

V (H'R'—-o) s H'a*— o<br />

aJl<br />

—-r- : en cuyo valor habiéndose <strong>de</strong>svanecido el<br />

Bb2<br />

<strong>de</strong>


196 LIB.I. CAP.9. DE LA<br />

<strong>de</strong> 2 , se sígue , que suponiendo nula la fricción, es<br />

indiferente la situación <strong>de</strong> la palanca CL.<br />

Escoli<br />

10 1.<br />

Por este motivo han pa<strong>de</strong>cido generalmente los<br />

Autores <strong>de</strong> Mechánica el error <strong>de</strong> suponer indiferente<br />

la situación <strong>de</strong> la palanca CL : no menos que<br />

hacer Azrr _- , aunque en esto ya advierten algunos<br />

que es menester aumentar la A lo que la fracción-requiriere<br />

; pero siempre sin advertirnos nada <strong>de</strong> la situación<br />

<strong>de</strong> la palanca GL, que ya hemos visto lo que<br />

altera el valor <strong>de</strong> A.<br />

I<br />

Corolario 8.<br />

Sí en lugar <strong>de</strong> una sola palanca CL , aduasen dos<br />

iguales y opuestas , con potencias iguales aplicadas á<br />

RUS extremos ,'será DB=o; y la potencia qué ftferza<br />

? 1 exe, Y produce la fricción, se reducirá solamente i<br />

h .'" ><br />

a.,. y la que la ha <strong>de</strong> vencer á -YT «t: con que para este<br />

R , & h JJ<br />