mediciones e incertezas - Facultad de Ingeniería - UBA
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Física I – Turno 14 Trabajo Práctico Nº 1.<br />
F. Perez Quintián – A. Alcaraz – L. Ciocci – M. Pereyra Mediciones e <strong>incertezas</strong><br />
TRABAJO PRACTICO Nº 1 - MEDICIONES E INCERTEZAS<br />
Objetivos:<br />
Determinar el volumen y la <strong>de</strong>nsidad <strong>de</strong> un cilindro realizando <strong>mediciones</strong> directas e indirectas.<br />
Comparación <strong>de</strong> resultados.<br />
Introducción teórica<br />
En toda medición intervienen:<br />
1) La magnitud física que se quiere medir<br />
2) El instrumento con el que se mi<strong>de</strong><br />
3) El método <strong>de</strong> medición<br />
4) El experimentador<br />
La experiencia nos <strong>de</strong>muestra que cuando se repite una medición se pue<strong>de</strong>n obtener distintos valores aunque no<br />
exista ninguna equivocación por parte <strong>de</strong>l experimentador. La variación en los resultados <strong>de</strong> cada medición pone <strong>de</strong><br />
manifiesto la incerteza en la <strong>de</strong>terminación <strong>de</strong>l resultado <strong>de</strong> la medición. Las <strong>incertezas</strong> pue<strong>de</strong>n <strong>de</strong>berse tanto al<br />
instrumento o a los procesos <strong>de</strong> medición como al experimentador. También pue<strong>de</strong>n aparecer fluctuaciones cuando la<br />
magnitud a medir no es exactamente estable o no está perfectamente <strong>de</strong>terminada. Suponiendo que la magnitud a<br />
medir está perfectamente <strong>de</strong>terminada y no varía durante el proceso <strong>de</strong> medición, las <strong>incertezas</strong> se <strong>de</strong>berán en general<br />
tanto al instrumento <strong>de</strong> medición como al experimentador.<br />
Lo que se <strong>de</strong>sea en toda medición es establecer las cotas <strong>de</strong> las <strong>incertezas</strong> <strong>de</strong> la magnitud X. Es <strong>de</strong>cir establecer un<br />
intervalo X0 - ∆X ≤ X ≤ X0 + ∆X (Fig. 1) don<strong>de</strong> podamos <strong>de</strong>cir que se encuentra el mejor valor <strong>de</strong> la magnitud X.<br />
Xo - ∆X Xo<br />
Xo + ∆X<br />
Fig.1 Intervalo asociado a la medición.<br />
El valor X0 es el valor representativo <strong>de</strong> nuestra medición y ∆X es la incerteza o error absoluto. La manera habitual<br />
<strong>de</strong> presentar el resultado <strong>de</strong> la medición <strong>de</strong> la magnitud X es:<br />
X = X 0 ± ∆X<br />
Mediciones Directas<br />
Las <strong>mediciones</strong> directas son aquellas que se hacen leyendo el resultado <strong>de</strong> una medición en un instrumento. En<br />
otras palabras, no media relación funcional entre la magnitud medida y los datos numéricos obtenidos <strong>de</strong>l instrumento<br />
<strong>de</strong> medición.<br />
Frente a una medición directa hay que consi<strong>de</strong>rar que la misma <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>rá <strong>de</strong> la magnitud a medir, <strong>de</strong> las<br />
condiciones experimentales, <strong>de</strong>l tipo <strong>de</strong> experimento, <strong>de</strong>l tiempo <strong>de</strong>l que dispone el experimentador para <strong>de</strong>terminar el<br />
valor <strong>de</strong> la magnitud, <strong>de</strong> la posibilidad o no <strong>de</strong> repetir el experimento bajo las mismas condiciones, etc. Algunas veces<br />
sólo es posible medir una vez o pocas veces, otras se pue<strong>de</strong>n medir muchas.<br />
Uno <strong>de</strong> los aspectos a tener en cuenta es que los instrumentos utilizados son fuente <strong>de</strong> <strong>incertezas</strong>:<br />
a) Si suponemos inicialmente un instrumento i<strong>de</strong>al midiendo un objeto i<strong>de</strong>al, sólo habrá in<strong>de</strong>terminaciones<br />
<strong>de</strong>bido a la coinci<strong>de</strong>ncia <strong>de</strong>l cero y la resolución <strong>de</strong>l instrumento. Este conjunto constituye lo que se<br />
<strong>de</strong>nomina error o in<strong>de</strong>terminación <strong>de</strong> lectura ε L<br />
b) Si suponemos ahora un instrumento real midiendo un objeto i<strong>de</strong>al, a<strong>de</strong>más se <strong>de</strong>be agregar el error <strong>de</strong> clase<br />
εC, en general especificada por el fabricante y fijada por la calidad <strong>de</strong> sus elementos constitutitos (estabilidad<br />
térmica, estabilidad mecánica, ajuste , rozamiento, ..)<br />
Aplicando un criterio <strong>de</strong> mayoración, para ponernos <strong>de</strong>l lado <strong>de</strong> la seguridad tendremos que la incerteza <strong>de</strong>bida al<br />
instrumento es:<br />
εI = εL + εC<br />
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Un instrumento bien construido es aquél que εL es <strong>de</strong>l mismo or<strong>de</strong>n que el εC: puesto que no tendría sentido<br />
colocar una escala grosera en un instrumento <strong>de</strong> buena calidad constructiva (εL >> εC), ni minimizando los errores <strong>de</strong><br />
lectura en un instrumento <strong>de</strong> calidad mediocre (ε L
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f0 = F(X0,Y0)<br />
La incerteza ∆f <strong>de</strong> f0 se calcula por medio <strong>de</strong>:<br />
⎡∂ F( X , Y ) ⎤ ⎡∂ F( X , Y ) ⎤<br />
∆ f = ⎢ ⎥ ∆ X + ⎢ ⎥ ∆Y<br />
⎣ ∂ X ⎦ ⎣ ∂ Y ⎦<br />
X0 , Y0 X0 , Y0<br />
Pasos a seguir en el Laboratorio:<br />
Se calculará el volumen y la <strong>de</strong>nsidad <strong>de</strong> un cilindro macizo <strong>de</strong> bronce :<br />
1 Con calibre (medición indirecta)<br />
2 Con regla (medición indirecta)<br />
3 Con probeta graduada (medición directa <strong>de</strong>l volumen)<br />
1 Cálculo <strong>de</strong>l volumen y la <strong>de</strong>nsidad <strong>de</strong> un cilindro con calibre<br />
1.1 Medición <strong>de</strong>l volumen<br />
Calibre marca: Precisión <strong>de</strong>l instrumento:<br />
d<br />
Fig.2 Esquema <strong>de</strong>l objeto a medir.<br />
a) Medir varias veces la altura h y el diámetro d, <strong>de</strong>terminando en cada caso la incerteza <strong>de</strong> la medida.<br />
h ± ∆h d ± ∆d<br />
b) Determinar el valor representativo <strong>de</strong> h y d con sus respectivos errores.<br />
h0 ± ∆h0 = d0 ± ∆d0 =<br />
c) Determinar el valor representativo <strong>de</strong>l volumen <strong>de</strong>l cilindro V0 con su error.<br />
El valor representativo <strong>de</strong>l volumen <strong>de</strong>l cilindro V0, <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> los valores representativos <strong>de</strong> d0, h0 y la<br />
constante irracional π.<br />
2<br />
V0 πd<br />
0h<br />
0/4<br />
=<br />
Utilizando criterios <strong>de</strong> propagación <strong>de</strong> errores se obtiene:<br />
εV = επ + 2εd + εh<br />
El término 2εd + εh está <strong>de</strong>terminado por el método <strong>de</strong> experimentación. El término επ es posible<br />
minimizarlo hasta hacerlo <strong>de</strong>spreciable frente al anterior. Esto se logra incrementando la cantidad <strong>de</strong> dígitos<br />
en la aproximación <strong>de</strong>l número irracional π. El criterio para <strong>de</strong>spreciar επ es:<br />
10επ < 2εd + εh<br />
Una vez <strong>de</strong>terminado el valor representativo <strong>de</strong> la constante irracional π, expresar<br />
V 0 ± ∆V 0 =<br />
h<br />
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1.2 Medición <strong>de</strong> la masa con balanza electrónica:<br />
M0 ± ∆M0 =<br />
1.3 Cálculo <strong>de</strong> la <strong>de</strong>nsidad <strong>de</strong>l cilindro:<br />
Determinar el valor representativo <strong>de</strong> la <strong>de</strong>nsidad con su error<br />
δ 0 = M 0/V 0 =<br />
δ 0 ± ∆δ 0 =<br />
2 Cálculo <strong>de</strong>l volumen y la <strong>de</strong>nsidad <strong>de</strong> un cilindro con regla<br />
Aproximación <strong>de</strong> la regla:<br />
Seguir los pasos establecidos en 1 y mediante una regla <strong>de</strong>terminar:<br />
V0 ´ ± ∆V0 ´ =<br />
M0 ´ ± ∆M0 ´ =<br />
δ0 ´ ± ∆δ0 ´ =<br />
3 Cálculo <strong>de</strong>l volumen y la <strong>de</strong>nsidad <strong>de</strong> un cilindro con probeta graduada:<br />
a) Medición <strong>de</strong>l volumen<br />
Se llena una probeta graduada hasta un cierto nivel X1; luego se introduce el cilindro y se lee el nuevo nivel<br />
alcanzado X2. El volumen queda <strong>de</strong>terminado por la diferencia <strong>de</strong> esas dos lecturas (volumen <strong>de</strong>l líquido<br />
<strong>de</strong>splazado).<br />
X 1 = X 01 ± ∆X 1 =<br />
X2 = X02 ± ∆X2 =<br />
V0´´= X02 - X01 =<br />
Determinar V 0´´± ∆V 0´´ =<br />
b) Medición <strong>de</strong> la masa con balanza electrónica:<br />
M0 ´´ ± ∆M0´´ =<br />
c) Cálculo <strong>de</strong> la <strong>de</strong>nsidad <strong>de</strong>l cilindro:<br />
δ0 ´´ = M0 ´´ /V0 ´´<br />
δ0 ´´ ± ∆δ0 ´´ =<br />
Recomendaciones para el informe:<br />
Lea PAUTAS PARA LA ELABORACIÓN Y PRESENTACIÓN DE INFORMES DE LABORATORIO<br />
Para realizar el análisis <strong>de</strong> los resultados obtenidos conviene graficarlos <strong>de</strong> manera que sea posible compararlos.<br />
Coloque en un apéndice el cálculo utilizado para <strong>de</strong>terminar las <strong>incertezas</strong> <strong>de</strong> las magnitu<strong>de</strong>s <strong>de</strong>terminadas<br />
mediante <strong>mediciones</strong> indirectas.<br />
En un manual <strong>de</strong> ingeniería busque la <strong>de</strong>nsidad <strong>de</strong>l latón y <strong>de</strong>l bronce indicando las in<strong>de</strong>terminaciones obtenidas<br />
<strong>de</strong> los valores <strong>de</strong> la tabla y compárelas con la medida obtenida en la práctica.<br />
¿Pue<strong>de</strong> establecer el tipo <strong>de</strong> material que está construido el cilindro <strong>de</strong> la práctica?<br />
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