Practica 6

PRÁCTICA 6. ECUACIONES DIFERENCIALES DE LA
FÍSICA
Ejercicio 1. Sean U y F conjuntos de funciones. Una función
L : U → F
se denomina operador. El operador es lineal si L es lineal.
Diga cuales de los siguientes operadores son lineales:
1. U = {u/u : A ⊆ R 2 → R, A abierto tal que existe ∂ 2 u
∂x 2 }
F = {f/f : A ⊆ R 2 → R}
L(u) = ∂ 2 u
∂x 2
Escriba: L = ∂
∂x 2
2. U = {u/u : A ⊆ R 2 → R, A abierto tal que u ∈ C 2 }
F = {f/f : A ⊆ R 2 → R}
L(u) = ∇2u = ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 Escriba: L = ∇ 2 =
∂ 2
∂x 2 +
∂ 2
∂y 2
3. U = F = {u/u : A ⊆ R 2 → R}
L = f.u donde f ∈ U
Escriba: L = f.
4. U = {u/u : A ⊆ R 3 → R, A abierto tal que u ∈ C 1 }
F = {f/f : A ⊆ R 3 → R 3 }
L(u) = ∇u
Escriba: L = ∂ ∂ + ∂x ∂y
5. U = {u/u : A ⊆ R 2 → R, A abierto tal que existen ∂u
∂x
F = {u/u : A ⊆ R 2 → R}
L(u) = ∂ 2 u
∂x 2
2 + ∂ 2 u
∂y 2
2
y ∂u
∂y }
Ejercicio 2. Demuestre el principio de superposición: si cada una de
las funciones u1, u2, ....un satisface una e.d.l.h. o c.c.l.h. Lu = 0, entonces
la c.l. n i=1 ciui tambien satisface la e.d. o c.c.
Ejercicio 3. Extienda formalmente el principio de superposición para
una sucesión {un} ∞ n=1 de funciones que satisfacen una e.d.l.h. o c.c.l.h.
Ejercicio 4. La cuerda vibrante Una cuerda tensamente estirada
cuya posición de equilibrio es algún intervalo del eje x vibra en el plano
xy. Sea:
a) (x, 0): coordenada de un punto en la posición de equilibrio
b) y(x, t):desplazamiento transversal de dicho punto en cada instante t
c) τ = (H, V ): tensión de la cuerda en cada punto. [τ] =
1
g cm
s 2

d) δ : densidad lineal [δ] = g
cm
Hagamos las siguientes hipótesis:
1. τ es tangente a la cuerda en cada punto (se desprecian los momentos
flectores)
2. la componente horizontal de τ , H. es constante en cada punto
y en el tiempo (es decir no hay desplazamientos en la dirección
del eje x)
3. los desplazamientos y(x, t) son pequeños con respecto a la longitud
de la cuerda.
4. todas las fuerzas exteriores (peso, rozamiento etc) se consideran
despreciables
Consideremos una porción de cuerda que no incluya un extremo. Tomaremos
como sentido positivo para las componenetes los sentidos positivos
de los ejes. Como las componentes verticales de los desplazamientos
se desprecian, la masa del elemento de cuerda es δ∆x
De la figura se observa que tg α = V/H = yx(x, t). La fuerza neta que
ejerce la cuerda sobre el elemento considerado es:
δ∆xytt = V (x + ∆x, t) − V (x, t)
Obtenga ahora la ecuación de ondas para la cuerda vibrante:
ytt = a 2 yxx
donde a 2 = H/δ > 0. Indique también las unidades de a.
Ejercicio 5. Repita el ejercicio anterior suponiendo que sobre la cuerda
actúa una fuerza vertical, siendo F la fuerza por unidad de longitud,
(que puede ser función de x, de y o de t y/o de las derivadas de y) y
deduzca que la ecuación de la cuerda en este caso se escribe:
ytt = a 2 yxx + F/δ
Si F es el peso de la cuerda, es decir: F = δg la ecuación queda:
ytt = a 2 yxx − g
Si la fuerza exterior por unidad de longitud es una fuerza amortiguadora
proporcional a la velocidad en la dirección del eje y, entonces
F = −Byt donde B es un coef. de amortiguamiento, resulta
donde b = B/δ
ytt = a 2 yxx − byt
Ejercicio 6. En el problema de la cuerda vibrante establezca la apropiada
condición de contorno si:
1. El extremo x = 0 de la cueda permanece fijo ∀t ≥ 0
2. Se permite a dicho extremo resbalar sobre el eje y siendo su
desplazamiento sobre dicho eje f(t)
3. Si ambos extremos en x = 0 y x = c se mantienen fijos
2

Ejercicio 7. El operador diferencial lineal para funciones de dos variables
C2 es:
A ∂2 ∂2 ∂2 ∂ ∂
+ B + C + D + E + F x
∂x2 ∂x y ∂y2 ∂x ∂y
Identificar las funciones A, B, C, D, E, F en cada una de las e.d. y en
las condiciones de contorno de las ecuaciones diferenciales de los ejercicios:
1, 2, 3, 4 y 5
Ejercicio 8. En la ecuación de ondas
ytt = a 2 yxx
haga el cambio de variables u = x − at
y = v − at
y demuestre que la solución de la e.d. se puede escribir como
y(x, t) = Γ(x − at) + Φ(x + at)
Si la cuerda tiene como posición inicial una función f(x) y como velocidad
inicial una función g(x), demuestre que:
y(x, t) = 1
1
f(x − at) + f(x + at)] +
2
2a
Aplicar ahora con f(x) = cos x ; g(x) = sin x
x+at
x−at
g(ξ) dξ
Ejercicio 9. Idem ejercicio anterior para una cuerda semiinfinita que
tiene su extremo izquierdo fijo en x = 0, con posición inicial f(x) y
velocidad inicial g(x). Aplicar con f(x) = 0 y g(x) = sin x
Ejercicio 10. Una cuerda tensamente estirada pende bajo la acción de
su propio peso. Los extremos de la cuerda están en (0, 0) y (2c, 0). Plantear
el correspondiente problema de contorno y mostrar que la cuerda
pende formando un arco parabólico de ecuación:
(x − c) 2 = 2a2
g
gc
y + 2
Demostrar que la flecha del arco varía directamente con δ y c 2 e inversamente
con H
Ejercicio 11. La ecuacion del calor. A los efectos de la teoría de la
conducción del calor en un sólido, es conveniente suponer que el calor es
un fluído que se transmite desde las zonas de temperatura mas elevada
a las mas frías. Por eso se define un vector que se denomina flujo de
calor como: J = −K∇u donde K es la llamada conductividad térmica
del sólido, dependiente del material del mismo, y u la temperatura en
cada punto del mismo, que es una función de la posición del punto y del
tiempo. Es decir: u(x, y, z, t). Las unidades de [J] = cal
m2 por lo que
seg
[K] = cal
mseg◦ . La cantidad de calor que se transmite por u. de t. (flujo
C
3
2a 2

de calor) a través de un elemento de superficie d S cuya normal es ˘n es
J.˘n dS (Ley de Fourier). Suponemos que en todo el interior del sólido
no se genera ni se pierde calor, sino que solo se transmite calor por
conducción. De acuerdo a la interpretación física de la divergencia en
el movimiento de fluidos, la divJ en cada punto es la cantidad de calor
que sale de dicho punto (diferencia entre el flujo saliente y entrante)
por unidad de tiempo y por m3 de espacio. Si consideramos una pequeña
región libre de fuentes de calor con centro en un punto x y volumen dV
limitada por una superficie simple S orientada con normales salientes
tendremos que, en un instante dado t :
(1) Q ′
(t) = J.˘n dS = divJ dV = −K∇ 2 u dV
S
V
que nos da la cantidad de calor que sale de la región por u. de t.
La cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura del sólido
mencionado en ∆u ◦ C es Q = c dm ∆ u y por u. de t. Q ′ = c dm ∂u
∂t .
Entonces en el volumen dV
(2)
V
c δ ∂u
∂t dV
La cantidad de calor saliente es la anterior con un signo - por lo que
(3) − c δ ∂u
dV = −K∇
∂t 2 udV
(4)
(5)
V
V
c δ ∂u
dV − K∇
∂t V
2 udV = 0
V
[c δ ∂u
∂t − K∇2 u]dV = 0
c δ ∂u
∂t − K∇2 u = 0
Si el integrando tiene un valor positivo en P0 su continuidad exige
que en algún entorno de ese punto c δ ∂u
∂t − K∇2 u > 0 con lo que
en ese entorno la integral no puede dar cero. Idem si en algún punto
cδ ∂u
∂t −K∇2 u < 0 Por lo tanto en todo punto del sólido libre de fuentes:
y finalmente
c δut = K∇ 2 u
(6) ut = k ∇ 2 u = k (uxx + uyy + uzz)
donde k = K
c δ
Ejercicio 12. Si en todo el interior del sólido se genera calor a razón
de q unidades por u. de volumen y por unidad de tiempo, la ecuación
(1) del ej. anterior queda:
4
V
V

S
J.˘n dS +
=
V
V
q dV =
−K∇ 2
u dV +
V
V
V
divJ dV +
q dV = −
2
− K∇ u + q dV = −
V
V
V
c δ ∂u
∂t dV
q dV =
c δ ∂u
∂t dV
[c δ
V
∂u
∂t − K∇2 u + q]dV = 0
Hacer ahora valer las condiciones de continuidad de u y sus derivadas
para obtener la ecuación del calor:
∂u
∂t = k∇2 u + q
Ejercicio 13. Escribir las ecuaciones del calor para un sólido si no
hay flujo de calor:
a) en la dirección del eje z (flujo bidimensional)
b) en la dirección de los ejes y y z (flujo unidimensional)
Ejercicio 14. Si el calor se está transmitiendo en un sólido limitado
por una superficie cilíndrica generada por una recta vertical que se
mueve paralelamente al eje z apoyada en una curva simple cerrada C
en el plano z = 0 que limita una región D simplemente conexa en dicho
plano y la temperatura en la superficie cilíndrica es independiente de z
es lógico suponer que no hay flujo de calor en la dirección del eje z, es
decir que el flujo será bidimensional, paralelo al plano x,y. Entonces J
es un campo vectorial plano con lo que se lo puede estudiar como un
campo en R 2 y el problema es equivalente a estudiar el flujo de calor
en una placa plana representada por una región D simplemente conexa,
que solo puede intercambiar calor con el exterior a través de la curva
C. El flujo del vector J en la dirección del eje z es cero mientras que el
flujo a través de la curva C es, por el Teorema de Gauss en el plano:
C
= −
J.˘n ds =
obteniendose:
J.˘n ds = −K
C
D
D
∇ 2
u dx dy =
D
divJ dx dy =
D
∇ 2
u dx dy =
y se completa la demostración para obtener
5
c δ ∂
u dx dy
∂t
D
c δ ∂
u dx dy
∂t

c δ ∂u
∂t = K∇2 u
∂u
∂t = k ∇2 u
con k = K
c δ , donde ∇2 u = uxx + uyy
Ejercicio 15. Para describir el flujo de calor en el interior de una barra
en el eje x de sección A constante cuya superficie lateral está aislada de
modo tal que no puede intercambiar calor con el medio ambiente salvo
por sus extremos en el eje x, considere una trozo de la barra limitado
por las secciones x y x + ∆x. El flujo de calor es unidimensional, en
la dircción del eje x. Ahora la divJ = ux(x, t). Demuestre que si ∆x es
pequeño, aproximadamente es:
A[−Kux(x, t) + Kux(x + ∆x, t)] = cA∆xut(x, t)
y obtener la ecuación del calor para un flujo unidimensional:
ut(x, t) = k uxx(x, t)
Ejercicio 16. Suponga que una barra delgada está ubicada sobre el eje
x con una distribución de temperaturas u(x, t) y que la barra no está
aislada sino que puede intercambiar calor con el medio ambiente por
su superficie lateral. Si la cantidad de calor que se transmite hacia el
medio ambiente es h[u(x, t) − T0] siendo T0 la temperatura del medio,
considerada constante, y h el coeficiente de convección (que supondremos
tambien constante) que depende del material con que está hecha
la barra y del medio ambiente, utilizar el procedimiento del problema
anterior para probar que:
ut = kuxx − h(u − T0)
Ejercicio 17. Optativo.Vibraciones longitudinales en las barras.
La misma ecuación de ondas deducida en el ejrcicio 1) sirve para representar
otros sistemas vibratorios. Por ejemplo, las vibraciones en una
barra.
Sea una barra elástica homogénea cuya sección tiene area constante A,
a la que suponemos apoyada en el eje x con su extremo izquierdo en el
origen de coordenadas, que vibra en la dirección del eje x. Supondremos
que:
1. Los extremos y secciones de la barra se mueven en la dirección
del eje x ante desplazamientos o velocidades del la barra cuando
estas son dirigidas en la dirección del eje de la barra y son
uniformes sobre cualquier sección transversal de modo que las
secciones permanecen planas despues de haber sido desplazadas.
2. Desplazamiento longitudinal de cada sección en cada instante t:
h(x, t)
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3. La extensión o compresión de cada elemento de la barra son
suficientemente pequeños y satisfacen la ley de Hooke:
E = σ
ɛ
donde σ es la tensión sobre la cara lateral de la barra σ = F
A y
ɛ = ∆L
L
el estiramiento de la barra por unidad de longitud.
4. Los efectos de la inercia se desprecian
5. Sobre la barra no actúan otras fuerzas exteriores longitudinales
que las de los extremos
Consideremos en el mismo instante t dos secciones vecinas de absisa
original x y x + ∆x respectivamente. Entonces el estiramiento neto de
la porción de barra comprendido entre esas dos secciones es:
h(x+∆x, t)−h(x, t). Entonces, la fuerza neta ejercida sobre el elemento
de barra considerado es:
h(x + ∆x, t) − h(x, t)
−AE
∆x
donde E es el módulo de Young o módulo de elasticidad del material.
Para estimar la fuerza longitudinal ejercida sobre el extremo izquierdo
de la sección en el instante t hacemos tender ∆x a cero, obteniendo:
F (x, t) = −AEhx(x, t)
La corespondiente fuerza en el extremo derecho es
F (x, t) = AEhx(x + ∆x, t)
Sea δ la densidad volumétrica de la barra. Por la segunda ley de
Newton
F (x, t) = δAhtt(x, t) = −AEhx(x, t) + AEhx(x + ∆x, t)
Dividiendo por δ A ∆x queda
donde hamos llamado: a2 = E
δ
htt(x, t) = a 2 hxx(x, t)
. Si se considera una columna de aire
(como la que hay en un tubo de órgano) la ecuación sigue siendo válida
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