Practica 6

de calor) a través de un elemento de superficie d S cuya normal es ˘n es
J.˘n dS (Ley de Fourier). Suponemos que en todo el interior del sólido
no se genera ni se pierde calor, sino que solo se transmite calor por
conducción. De acuerdo a la interpretación física de la divergencia en
el movimiento de fluidos, la divJ en cada punto es la cantidad de calor
que sale de dicho punto (diferencia entre el flujo saliente y entrante)
por unidad de tiempo y por m3 de espacio. Si consideramos una pequeña
región libre de fuentes de calor con centro en un punto x y volumen dV
limitada por una superficie simple S orientada con normales salientes
tendremos que, en un instante dado t :
(1) Q ′
(t) = J.˘n dS = divJ dV = −K∇ 2 u dV
S
V
que nos da la cantidad de calor que sale de la región por u. de t.
La cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura del sólido
mencionado en ∆u ◦ C es Q = c dm ∆ u y por u. de t. Q ′ = c dm ∂u
∂t .
Entonces en el volumen dV
(2)
V
c δ ∂u
∂t dV
La cantidad de calor saliente es la anterior con un signo - por lo que
(3) − c δ ∂u
dV = −K∇
∂t 2 udV
(4)
(5)
V
V
c δ ∂u
dV − K∇
∂t V
2 udV = 0
V
[c δ ∂u
∂t − K∇2 u]dV = 0
c δ ∂u
∂t − K∇2 u = 0
Si el integrando tiene un valor positivo en P0 su continuidad exige
que en algún entorno de ese punto c δ ∂u
∂t − K∇2 u > 0 con lo que
en ese entorno la integral no puede dar cero. Idem si en algún punto
cδ ∂u
∂t −K∇2 u < 0 Por lo tanto en todo punto del sólido libre de fuentes:
y finalmente
c δut = K∇ 2 u
(6) ut = k ∇ 2 u = k (uxx + uyy + uzz)
donde k = K
c δ
Ejercicio 12. Si en todo el interior del sólido se genera calor a razón
de q unidades por u. de volumen y por unidad de tiempo, la ecuación
(1) del ej. anterior queda:
4
V
V