Practica 6

S
J.˘n dS +
=
V
V
q dV =
−K∇ 2
u dV +
V
V
V
divJ dV +
q dV = −
2
− K∇ u + q dV = −
V
V
V
c δ ∂u
∂t dV
q dV =
c δ ∂u
∂t dV
[c δ
V
∂u
∂t − K∇2 u + q]dV = 0
Hacer ahora valer las condiciones de continuidad de u y sus derivadas
para obtener la ecuación del calor:
∂u
∂t = k∇2 u + q
Ejercicio 13. Escribir las ecuaciones del calor para un sólido si no
hay flujo de calor:
a) en la dirección del eje z (flujo bidimensional)
b) en la dirección de los ejes y y z (flujo unidimensional)
Ejercicio 14. Si el calor se está transmitiendo en un sólido limitado
por una superficie cilíndrica generada por una recta vertical que se
mueve paralelamente al eje z apoyada en una curva simple cerrada C
en el plano z = 0 que limita una región D simplemente conexa en dicho
plano y la temperatura en la superficie cilíndrica es independiente de z
es lógico suponer que no hay flujo de calor en la dirección del eje z, es
decir que el flujo será bidimensional, paralelo al plano x,y. Entonces J
es un campo vectorial plano con lo que se lo puede estudiar como un
campo en R 2 y el problema es equivalente a estudiar el flujo de calor
en una placa plana representada por una región D simplemente conexa,
que solo puede intercambiar calor con el exterior a través de la curva
C. El flujo del vector J en la dirección del eje z es cero mientras que el
flujo a través de la curva C es, por el Teorema de Gauss en el plano:
C
= −
J.˘n ds =
obteniendose:
J.˘n ds = −K
C
D
D
∇ 2
u dx dy =
D
divJ dx dy =
D
∇ 2
u dx dy =
y se completa la demostración para obtener
5
c δ ∂
u dx dy
∂t
D
c δ ∂
u dx dy
∂t