3.- Generación de números aleatorios

3.- Generación de números aleatorios
Una vez construido un modelo, debemos experimentar sobre él y para poder ejecutarlo
necesitamos dar valores a las variables de tipo exógeno. De esta forma podremos obtener valores de
salida y pasaremos a realizar un análisis de los mismos. Algunas de las variables de entrada son de
tipo aleatorio por lo que se tendrán que generar valores que simulen dichas entradas. Para generar
variables aleatorias que sigan determinadas funciones de probabilidad necesitamos partir de series de
números que cumplan ciertas características de aleatoriedad. La generación de dichos números es lo
que se va a abordar en este tema.
3.1.- Introducción
Es grande la necesidad de usar números aleatorios y son muchas las aplicaciones que
requieren de ellos, tales como:
• Simulación: para simular las entradas de aquellas variables aleatorias (no
determinísticas).
• Juegos o teoría de decisiones.
• Cálculo numérico: por ejemplo en la resolución de integrales.
• Teoría del muestreo: aquellos casos en los que sea demasiado costoso realizar la
muestra.
• Programación: generación de entradas para realizar las pruebas de los algoritmos y
programas.
Antes se ha hecho referencia a “número aleatorio”, en realidad no se puede hablar de la
aleatoriedad o no aleatoriedad de un número aislado, sino de éste en relación con otros, es decir, la
aleatoriedad es una característica que posee o no una serie de números. A partir de esta aclaración

Generación de números aleatorios
siempre que nos refiramos a un número aleatorio estaremos hablando de un número perteneciente a
una serie aleatoria.
3.2.- Generadores de números. Tipos
Las características deseables para los generadores de números aleatorios son las siguientes:
• Los números generados no se deben repetir frecuentemente (en ciclos).
• Las series generadas deben ser reproducibles.
• Rapidez en la obtención de los números.
• Almacenamiento mínimo. Tanto el propio generador como los números por el
generados.
• Los números generados han de estar uniformemente distribuidos (todos deben tener la
misma probabilidad de salir).
• Los valores generados deben ser independientes unos de otros, es decir, que la
obtención de cierto valor no esté condicionado por los valores obtenidos anteriormente.
Vamos a ver distintos métodos y para cada uno evaluaremos cuáles de las características
descritas arriba cumple y cuáles no.
1) Manual. Por ejemplo, lanzar un dado o realizar extracciones con reemplazamiento de
bolas numeradas dentro de una urna.
Ventajas:
- Las series obtenidas son realmente aleatorias.
Inconvenientes:
- Lentitud.
- Las series obtenidas son irreproducibles.
- Requieren gran cantidad de almacenamiento ya que habría que almacenar la serie
obtenida.
2) Tablas. (De hasta 100000 números).
Ventajas:
- Las series obtenidas son reproducibles.
Inconvenientes:
- Lentitud.
- Requieren gran cantidad de almacenamiento.
52

Generación de números aleatorios
3) Computación analógica. Las series se obtienen mediante fenómenos físicos.
Ventajas:
- Las series obtenidas son realmente aleatorias.
- Rapidez.
Inconvenientes:
- Las series obtenidas son irreproducibles.
4) Computación digital. Dada una función y una semilla, se van generando los números
aleatorios.
Ventajas:
- Rapidez.
- Pocos requerimientos de almacenamiento.
- Las series obtenidas son reproducibles.
Inconvenientes:
- Los números obtenidos no son independientes.
Nosotros, nos vamos a centrar en la utilización de éstos últimos. Por tanto, vamos a entender
por Generador de números aleatorios, un código al que vamos a llamar cada vez que necesitemos una
aproximación a un número aleatorio.
En 1946, Von Neumann propuso un método para obtener números aleatorios de k-cifras, a
partir de una semilla. Dicho método es conocido como Método de los cuadrados centrales.
El método consiste en partir de una semilla y elevarla al cuadrado, el siguiente número de la
serie se obtendría como resultado de extraer las k-cifras centrales del cuadrado obtenido y así
sucesivamente.
El problema que presenta este método es que los ciclos se producen rápidamente.
3.3.- Generadores congruenciales lineales
Nos vamos, pues, a centrar en los métodos de computación digital. A los números obtenidos
mediante dichos métodos se les conoce como números pseudoaleatorios, dado que, como se ha
mencionado más arriba, los números obtenidos están uniformemente distribuidos pero no son
independientes. Vamos a generar números uniformemente distribuidos en el intervalo (0,1) (U(0,1)),
dado que es fácil pasar desde ellos a otros que estén en otro intervalo.
53

3.3.1.- Introducción
Generación de números aleatorios
Hacia 1949, Lehmer introduce un método de generación de números aleatorios mediante el
cual un término de la serie se obtiene como función del término inmediatamente anterior (xn=f(xn-1)).
La función aplicada es la siguiente:
xn + 1 = ( ax n + c)
mod m,
siendo 0 ≤ xn
< m ∀n
En el generador distinguimos cuatro elementos:
• x0, es el valor inicial o semilla.
• a, multiplicador, siendo 0 ≤ a < m .
• c, incremento, siendo 0 ≤ a < m .
• m, módulo.
Se llama periodo a la subcadena, dentro de la serie generada, en la que no hay repeticiones de
números y longitud de periodo al número de elementos de dicha subcadena.
La repetición de números en la serie puede ser aleatoria, pero dado el método utilizado para la
generación de las mismas, en el momento en el que se repite un valor ya empieza a repetirse todo el
periodo, por lo que interesan métodos que garanticen longitudes de periodo grandes.
3.3.2.- Tipos de Generadores congruenciales lineales
Podemos distinguir dos tipos de estos generadores que se diferencian en el valor del
incremento.
• G.C. Multiplicativos. En ellos el incremento, c, es 0. Este tipo de generadores fueron los
introducidos por Lehmer, aunque mencionó como posibilidad la idea de tomar c≠0.
xn 1 axn
mod m
= +
• G.C. Mixtos. En ellos el incremento es distinto de 0. Fueron introducidos por Thomson
hacia 1958.
xn+ 1 = ( axn
+ c)
mod m
Los primeros presentan la ventaja de ser más rápidos, al tener que realizar menos operaciones
en el cálculo de los elementos. Sin embargo, la longitud de periodo que se alcanza en las series
generadas por ellos son menores que la alcanzadas en las series generadas por los segundos.
Los valores de a=0 y a=1, producen series no aleatorias.
Supongamos a=0, nos quedaría el generador de la forma c mod m
siempre saldría la constante c.
xn 1 = +
, es decir, que
Si a=1, el generador es = ( x + c)
mod m .Desarrollando algunos de los elementos que se
van obteniendo, tenemos:
xn + 1 n
54

x = x + c)
mod m
1
( 0
x = x + c)
mod m = (( x + c)
mod m)
mod m = ( x + 2c)
mod m
2
( 1
0
0
x = x + 3c)
mod
3
( 0
m
Generación de números aleatorios
y así para todos los términos. Vamos obteniendo que un término es siempre la semilla más un múltiplo
de c y todo módulo m, y esta serie no es aleatoria.
Puede interesarnos dotar de más independencia a los valores obtenidos. Esto lo podemos
conseguir no obteniendo todos los valores consecutivos de una serie sino obteniendo valores de k en k
posiciones, es decir a partir de un elemento xn no obtenemos el elemento xn+1 sino el elemento xn+k.
Para ello tendremos que elegir:
x0 ’ =x0
a ’ =a k
k
a −1
c'=
c
a −1
m’=m
Demostración: tenemos que xn + 1 = ( ax n + c)
mod m , obteniendo nuevos
2
términos: ( ax + c)
mod m = (( a(
ax + c)
mod m)
+ c)
mod m = ( a x + ac + c)
mod m
x
n+
3
= ( a
= ( axn+
3
x
n
xn+ 2 = n+
1
n
n
+ a
En general
2
2
+ c)
mod m = (( a(
a(
ax + c)
mod m)
+ c)
mod m)
+ c)
mod m =
x
n
+ ac + c)
mod m
n
k
k k−1
k−
2
k a − 1
xn+
k = ( a xn
+ a c + a c + L + ac + c)
mod m , operando queda: xn
+ k = ( a xn
+ c)
mod m ,
a − 1
Esto también se puede utilizar para paralelizar la obtención de los términos. Si tenemos un
ordenador con procesamiento paralelo, podemos, partiendo de la semilla asignar a cada procesador la
generación de una subsecuencia de términos. Por ejemplo con tres procesadores se irían generando los
términos de la siguiente forma:
x 0
x 1 x 2 x 3
x 4 x 5 x 6
.........................
55

Generación de números aleatorios
Así a partir de un número no tenemos que generar el siguiente término sino el que hay kposiciones
después de él.
3.3.3.- Elección del módulo
Nuestro objetivo es generar series con el mayor número posible de elementos, es decir series
con máxima longitud de periodo. Para ello, el módulo que se elija para el generador ha de ser grande
dado que ∀ x elemento de la serie se cumple que 0≤x

Generación de números aleatorios
Para evitar este inconveniente, si nos interesa que las cifras más bajas se comporten de forma
más aleatoria, podemos tomar como módulo:
⎧m
, nº
primo talquem
< w ó
⎨ e
⎩ m = 2 ± 1
para que así se tengan pocos divisores que son los que dan los problemas.
En la mayoría de las aplicaciones, los bits menos significativos no son importantes y es buena
una elección de m=2 e =w.
3.3.4.- Elección del multiplicador e incremento
En esta sección vamos a estudiar las propiedades de a y c para que su elección nos garantice la
obtención de un periodo máximo, lo cual no implica que la serie obtenida sea aleatoria.
Si tomamos m de la forma m=P1∗P2 ∗....∗Pn (siendo Pi factor primo de m), sólo se obtendrá
periodo máximo con a=1, valor con el que quedaba demostrado que la serie obtenida no era aleatoria.
k1
k 2
Se buscará un módulo de la forma m = P ∗P
∗L∗
P
de a y c.
Teorema 1.
1
2
k r
r
, lo cual nos permitirá jugar con los valores
Para que un generador congruencial lineal mixto genere series con longitud de periodo
máximo m, se deble cumplir:
1) c y m sean primos relativos (c

Generación de números aleatorios
Vemos que tomar módulos de esta forma no interesa. Por el mismo razonamiento no interesa
un módulo de la forma m=P.
Por lo anterior nos vamos a centrar en módulos de la forma
k1
k 2
k r m = P1
∗ P2
∗L∗
Pr
Pm
∗L
∗
P . Si esto es así, entonces debe cumplirse por la segunda
n
condición del teorema a − = k(
P ∗ P ∗L
∗ P ∗ P ∗ P ) , por otro lado sabemos que a-1

Generación de números aleatorios
Las posibilidades de elección de x0 para que se cumpla la primera condición del teorema son
Teorema 3.
n
( ) ∏ ( 1)
− = ϕ m Pi
P
i=
1
Sea m=p e , a es raíz primitiva módulo m sii
1) si p=2 ⇒ si:
• e=1⇒ a debe ser impar.
• e=2⇒ a mod 4 debe ser 3.
• e=3⇒ a mod 8 debe ser 3, 5 ó 7.
• e≥4⇒ a mod 8 debe ser 3 ó 5.
2) si p es impar ⇒ si:
•
•
⎧a
≠ 0 mod p
⇒#
⎨ p 1
⎩a
≠ 1mod
p
e = 1 − / q
3.4.- Otros métodos
⎧ #
⎨ 1
⎩a
≠ 1mod
p
e >⇒ p − 2
con
ei
−1
i
3.4.1.- Generadores Cogruenciales Cuadráticos
q divisor primo de
p −1
2
Son del tipo = ( dx + ax + c)
mod m . La longitud de periodo máxima que se alcanza
xn+ 1 n n
con ellos es m, igual que en el caso del G.G.L mixto y sin embargo ha de realizar más operaciones que
éste.
Teorema 4.
Para obtener longitud máxima de periodo (m) en un generador congruencial cuadrático, se ha
de cumplir:
1) c y m deben ser primos relativos.
2) d y a-1 han de ser múltiplos de todos los factores primos impares de m. (Si m=2 e ⇒a-
1=d=1).
3) Si:
•
⎧d ≡ ( a −1)
mod 4
m = k4
⇒ ⎨
⎩d
debe ser par
59

•
4) Si m=k9 ⇒
⎧d ≡ ( a −1)
mod 2
m = k2
⇒ ⎨
⎩d
debe ser par
⎧o
bien d ≡ 0 mod 9
⎪
⎨ ⎧ a ≡ 1mod
9
ó
⎪ ⎨
⎩ ⎩cd
≡ 6 mod 9
Se puede definir también el G.C.L. generalizado como
xn ( 1 n−
1 2 n−2
k n−k
= a x + a x + L + a x ) mod m .
Generación de números aleatorios
La filosofía de dicho método consiste en utilizar más de un elemento de la sucesión para
generar un nuevo término.
3.4.2.- Métodos Aditivos
Hasta ahora hemos visto generadores que producían números en los que cada término depende
del anterior. Ahora vamos a ver otro tipo de generadores en los que para generar un nuevo término se
utilizan dos elementos anteriores.
En este caso la longitud máxima de periodo que se puede alcanzar es mayor, dado que para
que se produzca un ciclo es necesario que se repitan parejas de números.
xn
= xn+
k ⎫
2
⎬ ⇒ longitud máx ima de periodo = m
xn−1
= xn−1+
k ⎭
El primer generador de este tipo fue creado en los años 1950 y es la sucesión de Fibonacci:
xn+ 1 = ( xn−1
+ xn
) mod m
Ofrece una longitud de periodo mayor que m, pero los test han demostrado que los números
producidos no son satisfactoriamente aleatorios.
Green introdujo el siguiente generador:
xn+ 1 = ( xn
+ xn−k
) mod m
Demostró que para k≤15 dicho generador no pasaba bien los test de aleatoriedad pero que para
k≥16 sí se portaba bien.
Mitchell y Moore (1958) introdujeron el siguiente generador:
Se ha de cumplir:
xn + 1 = ( xn−24
+ xn−55
) mod
m;
n ≥ 55
60

• m debe ser par.
Generación de números aleatorios
• Se han de generar de forma aleatoria 55 semillas, desde x0 hasta x54, de forma que todos
ellas no sean pares.
Este método tiene una longitud de periodo grande y al ser simplemente aditivo y no utilizar
multiplicadores, es rápido.
Son muchas las posibilidades para implementar este método. Una de ellas utiliza un array con
55 elementos:
Para n=1 hasta 54 hacer
Y[n]x55-n
Fin_para
j24; k55
Mientras no fin
Y[k](Y[k]+Y[j]) mod 2e
Salida Y[k]
jj-1
kk-1
Si j=0
Entonces j55
Si k=0
Entonces k55
Fin_mientras
Este algoritmo utiliza el array como si tuviese forma circular, de este modo siempre se tienen
guardados los 55 valores que son necesarios para ir calculando los siguientes. Este es un generador
bastante bueno.
3.4.3.- Métodos Mixtos
Estos métodos generan series de números aleatorios a partir de otras dos series:
Zn n n
= ( X + Y ) mod m .
Sea L1 la longitud de periodo de la serie Xn (Lp(Xn)) y L2 la longitud de periodo de la serie Yn,
si se cumple que mcd(L1 , L2)=±1⇒ (Lp(Zn))= L1*L2.
Utilizando este método el hecho de que se repita un número no implica que la serie empiece a
ciclar, tal y como ocurría con los G.C.L., ya que ahora interviene otro número de otra serie.
No es conveniente utilizar el mismo método para generar las dos series de partida.
3.4.4.- Métodos de Mezcla
Este tipo de métodos intentan desorganizar los elementos de una serie generada, de forma que
se pueda eliminar la posible dependencia entre términos.
61

Vamos a ver dos de estos métodos:
3.4.4.1.- Mezcla I
Generación de números aleatorios
Fue introducido por Mclaren y Marsaglia. Este método utiliza dos series de números
aleatorios. La idea es utilizar un generador para permutar la salida producida por otro generador. De
esta forma se consigue enmascarar la dependencia funcional que existe entre un número y el siguiente
dentro de una serie generada. Dados dos métodos (o series ya generadas) {Xn} e {Yn} el método
produce una sucesión más aleatoria mediante permutaciones en la primera ocasionadas utilizando la
segunda (se obtienen los valores de la primera pero en un orden diferente).
Proceso:
Partimos de dos series {Xn} e {Yn} y vamos a desordenar a primera con la ayuda de la
segunda.
El módulo tomado para la generación de las series no tiene por qué ser el mismo. Vamos a
suponer que el módulo utilizado para la generación de la primera es m y para la generación de la
segunda es m’, por lo que 0≤xi

Generación de números aleatorios
En la mayoría de las situaciones de interés, la sucesión resultante es más aleatoria que la
original {Xn}, y además la longitud de periodo de la nueva serie es el mínimo común múltiplo de las
longitudes de periodo de {Xn} e {Yn}.
3.4.4.2.- Mezcla II
Fue introducido por Carter Bays y Durham. Es un método parecido al anterior a diferencia de
que sólo utiliza una serie de números {Xn}. Mejora la aleatoriedad de la serie original con un costo
muy pequeño.
Proceso:
En este caso partimos de sólo de una serie {Xn} y vamos a desordenarla utilizando los
elementos de la misma serie.
0≤xi

jj+1
V[h]xj
Fin_mientras
3.5.- Apéndice. Teoría de números
1) Se dice que a es divisible por b si ∃ c tal que a=bc
•
a = b (a es múltiplo de b)
b/a (b es divisor de a)
2) p es primo si sólo es divisible por ±1 y por ±p.
Generación de números aleatorios
3) Dados a, b ∈ Z + se llama mcd(a,b)=c (máximo común divisor) tal que c/a y c/b y si ∃ d ∈
Z + tal que d/a y d/b ⇒ d/c.
4) Dados a, b ∈ Z + se llama mcm(a,b)=c (mínimo común múltiplo) tal que a/c y b/c y si ∃ d
∈ Z + tal que a/d y b/d ⇒ c/d.
5) Dados a, b ∈ Z + se dicen que son primos relativos si mcd(a,b)=1.
6) Se define ψ(m) (Phi de Euler) de m, como la función que nos dice el número de primos
relativos con m. ψ(m)=m-1 para m primo.
7) Cualquier m∈Z + , se puede escribir como producto de potencias de números primos:
8) Dado cualquier m
m =
n
∏
i=
1
e
Pi
con P
i ,
n
∏
i=
1
primo
ei
−1
i
ϕ ( m)
= ( P − 1)
P ,
9) a es congruente con b módulo m (a≡b) si a − b = m
10) Propiedades de los módulos:
a) ((a mod m)+b) mod m=(a+b) mod m
b) (a (b mod m)) mod m=(ab) mod m
c) (a mod m) mod m= a mod m
d) ((a mod m)+(b mod m)) mod m= (a+b) mod m
e) Si d/m⇒ (a mod m) mod d= a mod d
i
•
64

Generación de números aleatorios
11) Llamamos orden de a módulo m al menor λ∈Z + que hace cierto a λ ≡1modm. Se llama
orden de m (λ(m)) al máximo de los órdenes de los posibles a’s. Se dice que a es raíz
primitiva módulo m cuando su orden coincide con el orden de m.
12) Cálculo de λ(m):
a) Si m=P e , con P primo impar ⇒ λ(m)=(P-1)P e-1
b) λ(2)=1, λ(4)=2 y λ(2 e )=2 e-2 ∀ e≥ 3
k
1
k
2
1 2
kr
1
kr
c) Si m =
P ∗ P ∗L
∗ P ⇒ λ( m)
= mcm(
λ ( P ), L,
λ(
P ))
r
k
1
r
65