GUIAS DE GEOMETRIA-4TO-BIMESTRE I-2011

TEMA: ANGULOS – REPASO
1. Si S es el suplemento y C es el
complemento, calcula:
SC50º −SS139º
CCC89º
A) 0,5 B) 1 C) 1,5 D) 2 E) 3
2. En un ángulo AOC se traza su bisectriz
OB tal que m ∠ AOB = x + 40º y m ∠
BOC = 2x + 10º.Calcula m ∠ AOC.
A) 150° B) 100° C) 120º D) 130º E) 140º
3. En la figura, calcula X:
8α
3α X
A) 152° B) 162° C) 172º
D) 82º E) 126º
4. En los ángulos consecutivos AOB, BOC,
COD se cumple que m ∠ AOC + m ∠
BOD = 140º, además m ∠AOD = 114°.
Encontrar m ∠ BOC.
A) 24º B) 26º C) 30º D) 32º E) 42º
5. En los ángulos consecutivos AOB, BOC,
COD se cumple que m ∠ COD = 3 m
AOC, además m ∠ BOD – 3 m ∠ AOB =
60º. Calcula la medida del ángulo BOC.
A) 14° B) 18° C) 15º D) 24º E) Ninguna
6. En los ángulos consecutivos AOB, BOC,
COD se cumple que m ∠ AOB = m ∠
BOD y m ∠ AOC – m ∠ COD = 54º.
Encuentra m ∠BOC.
PROGRAMA DE COMPLEMENTACION ACADEMICA
4TO DE SECUNDARIA
GEOMETRIA – GUIA Nº1
1
BIMESTRE I
A) 28° B) 24° C) 30º D) 27º E) 32 º
7. Dados los ángulos consecutivos AOB y
BOC en los cuales se traza OF bisectriz
del ángulo BOC tal que m ∠AOC + m
∠AOB = 140º, además m ∠AOB – m
∠BOF = 20º, Calcula m ∠AOC
A) 85° B) 95° C) 75º D) 70º E) 80º
8. Halla X si el complemento de φ más el
suplemento de θ es igual a 70º.
φ
X
A) 140° B) 150° C) 160º D) 120º E) 130º
9. La suma de las medidas de 2 ángulos es
80º, el complemento del primer ángulo es
el doble del segundo. Halla la diferencia
entre los ángulos.
A) 30º B) 35º C) 45º D) 60º E) 90º
10. El complemento del suplemento de la
medida de un ángulo, más el suplemento
del complemento del ángulo, es igual al
suplemento del doble de la medida del
ángulo. Halla la medida del ángulo.
A) 45° B) 15° C) 30º D) 60º E) 90º
11. Por un punto de una recta y a un mismo
lado, se trazan cuatro rayos formándose
5 ángulos consecutivos que se
encuentran en progresión aritmética.
Halla el ángulo que forman las bisectrices
del menor y del mayor de los 5 ángulos
A) 135° B) 144° C) 145º D) 130º E) 150º
θ

12. En la figura: a – x = 28º. Calcula x
A) 70º B) 76º C) 72º D) 74º E) 78º
13. Sí: AB // DE. Halla x
115º
A B
x L1
a L2
A) 95º B) 100º C) 105º D) 110º E) 120º
14. Si L1 // L2, PR = RQ, PS = ST. Halla X
P X
A) 80º B) 90º C) 120º D) 75º E) 95º
15. El doble del complemento de un ángulo,
más el triple del suplemento del mismo,
es 500. Halla el ángulo.
A) 44° B) 42° C) 46° D) 48° E) 52°
16. Dos ángulos adyacentes suplementarios
están en relación de 3 a 5. Calcula la
medida del ángulo menor.
A) 30,5º B) 45º C) 67,5º D) 75º E) 53º
C
45º
x
D E
R Q L1
S T L2
2
17. Halla la medida de un ángulo sabiendo
que la diferencia entre su suplemento y
su complemento es seis veces la medida
de dicho ángulo.
A) 30º B) 45º C) 60º D) 75º E) 15º
18. Sí: L1 // L2. Halla x
L1
L2
x
α α
β β
A) 60º B) 100º C) 110º D) 80º E) 90º
19. Sí: L1 // L2. Calcula: α+β
35º
105º
α
35°
A) 60º B) 80º C) 100º D) 120º E) 110º
20. El complemento del suplemento del
complemento de un ángulo es igual a
17°. Halla la medida del ángulo.
A) 16° B) 15° C) 17º D) 18º E) 20 º
β
L1
55º L2

TEMA: ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
I. Definición de ángulo trigonométrico:
Es aquel ángulo formado por la rotación
de un radio vector desde una posición
inicial a una posición final.
A
Lado C
Final r
α
O Lado Inicial
Donde “r” representa el radio vector: ⎯→ ⎯
OC
II. Conceptos Básicos
A. Ángulos Coterminales: Son aquellos
ángulos que tienen el mismo lado inicial y
final. La diferencia de dos ángulos
coterminales siempre es una cantidad
entera de vueltas.
β
Si: α ∧ β son coterminales entonces se
cumple: α - β = k.(1 Vuelta), k∈Z.
B. Ángulos en posición normal: Son aquellos
ángulos trigonométricos cuyo lado inicial
coincide con el semieje positivo de las
abscisas y su vértice con el origen de
coordenadas cartesianas.
β
y
• “α” esta en posición normal.
• “β” no esta en posición normal.
α
GEOMETRIA – GUIA Nº2
B
α
ρ x
3
• “ρ” no esta en posición normal.
BIMESTRE I
C. Ángulos cuadrantales: Son aquellos
ángulos múltiplos de los 90º (ángulo
recto) y que si están en posición normal
coinciden en la ubicación exacta de los
ejes cartesianos.
III. Sistemas de medición angular:
A. Sistema Sexagesimal: Conocido también
con el nombre de sistema inglés, su
unidad es el grado sexagesimal (1º) y una
vuelta equivale a 360º.
• 1 vuelta 〈〉 360º
• 1º 〈〉 60’
• 1’ 〈〉 60’’
• 1º 〈〉 3600’’
B. Sistema Centesimal: Conocido también
con el nombre de sistema francés, su
unidad es el grado centesimal (1 g ) y una
vuelta equivale a 400 g .
• 1 vuelta 〈〉 400 g
• 1 g 〈〉 100 m
• 1 m 〈〉 100 s
• 1 g 〈〉 10 000 s
90º
180º 0º
360º
270º
C. Sistema Radial: Conocido también con el
nombre de sistema circular, Su unidad es
el radian (1 rad.). Un radian es el ángulo
central de una circunferencia que
subtiende un arco de circunferencia igual
al radio.

• 1 rad. 〈〉 57º17’44,81’’ (Aproximadamente)
π
• rad.
〈〉 90º
2
• π rad. 〈〉 180º
3π
• rad.
〈〉 270º
2
• 2π 〈〉 360º
II. Formula de relación entre sistemas
angulares:
S
180º
“S”, ”C” y ”R” representan la medida de un
mismo ángulo en los sistemas
sexagesimal, centesimal y circular
respectivamente.
PROBLEMAS
1. Indica verdadero (V) o falso (F)
I. El concepto de ángulo geométrico es
diferente que el de ángulo
trigonométrico
II. Una vuelta se puede expresar como
un ángulo negativo
III. 270º pertenece en al cuarto
cuadrante
IV. Para poder adicionar dos ángulos
trigonométricos estos deben tener el
mismo sentido
A. FVFV C. VVFV E. VVFF
B. FVVF D. FFVV
2. Determina un ángulo canónico
coterminal con 90º
A. - 450º C. - 200º E. - 500º
B. 300º D. - 100º
3. Indica un coterminal de 30º
A. 150º C. 330º E. 430º
B. 60º D. 390º
4. El valor de “θ” es:
C
=
200
θ
y
=
g π
R
rad.
-160º
x
4
A. 240º C. 300º E. 140º
B. 200º D. 160º
5. Un satélite ubicado Sobre el océano
atlántico en la línea del ecuador, demora
dos días para recorrer 5/6 de vuelta.
Si de su ubicación demora medio día en
llegar a una posición sobre Corea del
norte. ¿Qué ángulo en radianes debe
recorrer?
A. .
24 rad
π
π
B. .
12 rad
C.
5π rad.
12
D.
5π rad.
24
3π E. rad.
5
6. Indicar la medida del ángulo “φ” en el
siguiente gráfico:
φ
A. 240º C. - 240º E. -220º
B. 120º D. - 120º
7. ¿Cuál es el menor ángulo cuadrantal
positivo cuya cuarta parte resulta otro
ángulo cuadrantal?
A. 240º C. - 480º E. 720º
B. 360º D. - 120º
8. ¿Cuál es el ángulo trigonométrico
negativo mayor que una vuelta negativa
cuyas dos terceras partes son
coterminales con 270º?
A. -135º C. - 60º E. - 720º
B. -450º D. - 120º
Y
120º
9. Indica la diferencia positiva de los
ángulos trigonométricos mostrados:
A. 20º28’54’’
α
341º21’16’’
B.
C.
D.
9º20’17’’
18º38’44’’
25º16’45’’
E. 32º25’14’’
X

10. Indicar el valor de α + θ - β en el
siguiente gráfico:
A. 240º C. - 480º E. 720º
B. 360º D. - 120º
11. Pasar: 60 g ∧ 120º a radianes
12. Calcula la suma de los ángulos de un
triángulo en radianes.
13. Hallar la suma en grados sexagesimales
π
g
de: rad.
+ + 80 +
+ 420'
9
A. 86 C. 94 E. 93
B. 99 D. 88
14. En la siguiente figura calcular el valor de
“x” en el sistema circular.
A. 7π/20 C. 4π/3 E. 7π/4
B. 7π/3 D. 4π/7
15. ¿Cuáles de los siguientes ángulos son
coterminales?
I.
A
76π
II.
5
α
θ β
72º
50 g x
B C
83π
III.
5
92π
5
5
A. I y II C. II y III E. Ninguno
B. I y III D. Todos
16. La suma de dos ángulos es 6480’, si
uno de ellos mide 70 g . hallar el valor del
otro
A. 20 g C. 60 g E. 25 g
B. 50 g D. 40 g
17. Dos ángulos de un triángulo miden 3π/5
y 50 g . halla el tercer ángulo en el
sistema sexagesimal
A. 20º C. 23º E. 25º
B. 27º D. 30º
π
rad.
150º
18. Reducir: + 4
10º
π
rad.
12
A. 18 C. 25 E. 27
B. 36 D. 15
1'
1º
2º
19. Reducir: + +
1''
1'
30'
A. 124 C. 120 E. 150
B. 240 D. 100
20. En la figura mostrada, calcula la longitud
del arco AB.
A
x+1 x rad.
x+9
O x+1 B
A. 2u. C. 7u. E. 8u.
B. 10u. D. 12u.

TEMA: TRIANGULOS - REPASO
TEOREMAS BÁSICOS :
1. La suma de las medidas de los ángulos
interiores es 180º
2. La medida de un ángulo exterior es igual
a la suma de los ángulos interiores no
adyacentes.
3. La suma de las medidas de los ángulos
exteriores es 360º.
4. Dado un triángulo, a mayor lado se
opone mayor ángulo.
5. Dado un triángulo isósceles, a lados
iguales se oponen ángulos iguales.
6. En un triángulo, cualquier lado es mayor
que la diferencia de los otros dos y
menor que su suma.
7. En un triángulo ABC, el ángulo formado
por las bisectrices interiores de ∠A y ∠C
es igual a 90º más la mitad de ∠B.
8. En un triángulo ABC, el ángulo formado
por las bisectrices exteriores de ∠A y ∠C
es igual a 90º menos la mitad de ∠B.
9. Dado un triángulo ABC, el ángulo
formado por la bisectriz interior de ∠A y
la bisectriz exterior de ∠B es igual a la
mitad de ∠C.
10. En todo triángulo rectángulo ABC, recto
en B, el ángulo entre la altura y la
mediana trazadas a partir del vértice B
es igual a la diferencia de los ángulos
agudos A y C
11. En todo triángulo, el ángulo entre la
bisectriz y la altura trazadas de un
vértice, es igual ala semidiferencia de los
otros 2 ángulos.
12. En todo triángulo la longitud del
segmento que une los puntos medios de
2 lados es paralelo al 3er lado y mide la
mitad de dicho lado.
13. En todo triángulo rectángulo la mediana
relativa a la hipotenusa mide la mitad de
la hipotenusa.
PROBLEMAS.
1. La medida del ángulo B de un triángulo
ABC mide 78º. Halla la medida del ángulo
que forman las bisectrices interiores de A
y C al intersecarse.
PROGRAMA DE COMPLEMENTACION ACADEMICA
4TO DE SECUNDARIA
GEOMETRIA - GUIA Nº 3
6
BIMESTRE I
A) 129º B) 131º C) 151º
D) 100º E) 63º
2. En un triángulo ABC, las alturas BH y AE
forman 37º. Halla la medida del ángulo C.
A) 18,5º B) 24º C) 30º D) 37º E) 53º
3. En un triángulo ABC el ángulo A mide 30°
y el ángulo C mide 70°. Halla el ángulo
que forman las bisectrices exteriores de A
y C.
A) 40° B) 50º C) 60º D) 45º E) 55º
4. En un triángulo isósceles ABC ( AB = BC,

A) 50º B) 10º C) 20º D) 25º E) 15º
9. En el triángulo rectángulo ABC, el ángulo
A mide 32°, se traza la mediana BM y la
altura BH. Halla el ángulo entre BH y BM.
A) 26° B) 24° C) 27° D) 32° E) 37°
10. Halla el ángulo agudo menor en un
triángulo rectángulo donde la mediana
relativa a la hipotenusa es perpendicular a
la bisectriz interior de uno de los ángulos
agudos.
A) 60° B) 30° C) 15° D) 20° E) 37°
11. En el triángulo ABC recto en B se toman
los puntos medios M y N de los catetos. Si
la hipotenusa mide 18. Halla la medida del
segmento que une B con el punto medio
de MN.
A) 9 B) 4,5 C) 8,15 D) 2,25 E) 12
12. Los ángulos agudos de un triángulo
rectángulo están en la relación de 3 a 5.
Halla la medida del ángulo que forman la
mediana y la altura que parten del vértice
del ángulo recto.
A) 21,5° B) 22,5° C) 23,5 °
D) 24,5° E) Ninguna
13. En un triángulo ABC el ángulo A mide
36º. Halla el ángulo que forman la
bisectriz de A y la mediatriz de AC.
A) 72º B) 68º C) 74º D) 54º E) 65º
7
14. En un triángulo rectángulo ABC, AB = 12.
Se traza la mediatriz de BC que interseca
a AC y BC en M y N respectivamente.
Halla MN.
A) 6 B) 5 C) 4 D) 10 E) 8
15. Si AB = BD = DC. Halla la medida del
ángulo A. (BD es bisectriz)
B
A D C
A) 36º B) 54º C) 18º D) 24º E) 72º
16. En el triángulo rectángulo ABC, halla el
valor del ángulo X
B
α
A) 50º B) 55º C) 60º D) 65º E) 70º
X
α 20º
A C

GEOMETRIA – GUIA Nº4
TEMA: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
I. Definición: Es el cociente entre las
longitudes de dos de los lados de un
triángulo rectángulo con respecto a uno
de sus ángulos agudos.
Para el siguiente triángulo rectángulo
ABC (B=90º) se observa lo siguiente:
b
C
A c B
Cateto Opuesto
Sen A =
Hipotenusa
Cateto Adyacente
Cos A =
Hipotenusa
Cateto Opuesto
Tg A =
Cateto Adyacente
Cateto Adyacente
CtgA =
Cateto Opuesto
Hipotenusa
Sec A =
Cateto Adyacente
Hipotenusa
Csc A =
=
Cateto Opuesto
II. Teorema de Pitágoras: En todo triángulo
el cuadrado de la longitud de la
hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de las longitudes de los
catetos.
b
a
a
a
b
c
b
a
c
c
a
b
c
Del triángulo de la parte (I) se obtiene:
a 2 + c 2 = b 2
III. Razones Trigonométricas Recíprocas:
Son aquellas razones cuyo producto
resulta uno.
=
Sen A. Csc A = 1
Cos A . Sec A = 1
=
=
=
=
PROGRAMA DE COMPLEMENTACION ACADEMICA
4TO DE SECUNDARIA
8
Tg A . Ctg A = 1
BIMESTRE I
IV. Intervalos de las razones
trigonométricas: A continuación se
muestra el intervalo al cual pertenecen los
valores de las razones trigonométricas
obtenidas de los ángulos agudos de los
triángulos rectángulos.
0 < Sen A < 1 0 < Cos A < 1
0 < Tg A < +∞ 0 < Ctg A < +∞
1 < Sec A < +∞ 1 < Csc A < +∞
V. Co – razones: Si: A + C = 90º, se
obtienen razones trigonométricas de igual
valor.
Sen A = Cos C Ctg A = Tg C
Cos A = Sen C Sec A = Csc C
Tg A = Ctg C Csc A = Sec C
Observación:
Si se conoce una RR.TT de un ángulo
agudo, entonces se puede calcular el
valor de las restantes construyendo un
triángulo rectángulo.
PROBLEMAS
1. En el siguiente triángulo, determina la
TgA.
x + 2
B x C
A. 4/3 C. 5/3 E. 3
B. 3/4 D. 5/4
A
x – 2

2. Calcular: Senα
α
10x – 3
B 9x – 1 C
A. 14/35 C. 12/37 E. 12/35
B. 35/17 D. 35/37
Senα
+ Tgα
3. Si Cosα = 5/6, calcular: R = ,
Senα
− Tgα
donde “α” es un ángulo agudo.
A. 11/5 C. 11 E. - 11
B. 1 D. 6
4. De la figura calcular “M” si:
M = Senx + Cosx + 3/5
7k+3 7k+4
x
7k+5
A. 1 C. 1/2 E. 3/2
B. 2 D. 2/3
5. Calcular el valor de “x” (ángulo agudo), si:
Cos(60º - x) = Sen(70º - 3x)
A. 5º C. 10º E. 25º
B. 15º D. 20º
6. Si: Cos5x.Sec40º = 1, calcular el
complemento de “x” en radianes.
A.
45π
11
C.
21π
91
E.
51π
90
17π 41π
B. D.
90
90
7. Si: Sen(Tg20º).Csc(Ctgx) = 1; encuentra
el valor de “x/2”
A. 30º C. 70º E. 50º
B. 35º D. 45º
8. Calcular el valor de “x” en:
1
Sen(3x + 10º) =
Sec( 98º
−5x)
A. 17º C. 11º E. 9º
B. 14º D. 8º
A
3x
9
9. En un triángulo rectángulo la hipotenusa
es el triple de un cateto. Calcular el
cuadrado del coseno del menor ángulo
agudo del triángulo
P.U.C.P. 2005 – I
A. 1/9 C. 8/9 E. 2 /9
B. 1/3 D. 9/8
10. Si se cumple que en un triángulo
rectángulo CscC = 3, además la
superficie de dicho triángulo es de
200 2 cm 2 , determina la mediad de uno
de sus catetos.
A. 20 C. 10 2 E. 1/ 2
B. 10 D. 2 2
11. En la siguiente figura AM es mediana
del triángulo rectángulo
TgA = 1. Calcular: Ctga + Csc 2 a
A. 7/2 C. 13/2 E. 7
B. 7/4 D. 13/4
12. Si: Senx = 3/5, calcular: Tg(x/2)
A. 1/3 C. 7/3 E. 1/5
B. 1/4 D. 5/4
13. Si: Senx = 12/13, calcular: Tg(x/2)
A. 1/2 C. 1/3 E. 2/3
B. 1/5 D. 1/4
14. Si se tiene que “θ” es agudo y además
Tgθ = 21/20; calcule el valor de:
E = 1/3Senθ + 4Cosθ
A. 1 C. 2 E. 3
B. 4 D. 5
15. Si se cumple que x≠0 y además:
Tg(x 7 – 8Senθ ).Ctg(x 2 + 5Senθ ) = 1, calcula el
valor de: K = 5Secθ - Tgθ
A. 7 C. 4 E. 2
B. 5 D. 6
B
M
a
A C

GEOMETRIA – GUIA Nº5
TEMA: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO – II
EJERCICIOS
1. Indica los valores de las razones
trigonométricas con ayuda del triángulo
rectángulo.
Sen 30 º = = Cos 60 º
30º
3 2
60º
1
Cos 30 º =
Tg 30
º =
Ctg 30 º =
Sec 30 º =
Csc 30 º =
= Sen 60 º
= Ctg 60 º
Tg 60
= Csc 60 º
= Sec 60 º
2. Indica los valores de las razones
trigonométricas con ayuda del triángulo
rectángulo.
45º
1 2
45º
1
Sec 45 º =
3. Indica los valores de las razones
trigonométricas con ayuda del triángulo
rectángulo.
S e n 1 6 º = = C o s 7 4 º
16º
24 25
74º
7
Sen 45 º =
Tg 45 º =
=
º
= Cos 45 º
= Ctg 45 º
= Csc 45 º
C o s 1 6 º = = S e n 7 4 º
T g 1 6 º = = C tg 7 4 º
C tg 1 6 º = = T g 7 4 º
S e c 1 6 º = = C s c 7 4 º
C s c 1 6 º = = S e c 7 4 º
PROGRAMA DE COMPLEMENTACIÓN ACADÉMICA
4TO DE SECUNDARIA
10
BIMESTRE I
4. Indica los valores de las razones
trigonométricas con ayuda del triángulo
rectángulo.
S e n 3 7 º = = C o s 5 3 º
37º
π/3
4 5
PROBLEMAS
π
1. Si: a = ; calcular: “N”
6
N = Sena.Cos2a + (Tg2a) Csca
A. 3 C. 13/4 E. 1
B. 11/4 D. 13/6
π π
Tg + Sen
2. Reducir: H =
6 3
2 π
1 + Sec
4
A. 6 C. 5/6 E. 4/3
B. 6/5 D. 2/5
3. Reducir:
53º
3
C o s 3 7 º = = S e n 5 3 º
T g 3 7 º = = C tg 5 3 º
C tg 3 7 º = = T g 5 3 º
S e c 3 7 º = = C s c 5 3 º
C s c 3 7 º = = S e c 5 3 º
⎛ ⎛ π π π ⎞
⎞
R = = ⎜ ⎜Sen . Cos . Tg
6 4 3
⎟⎟
⎟
⎝ ⎝ ⎠
⎠
π π
+
+ Sec . Csc
6 3
A. 41/24 C. 7/24 E. 11/24
B. 17/24 D. 3/29
4. Hallar “x”, si: Tg(2α + 20º).Tg(3α - 40º) = 1
siendo: 0º < α < 45º
A. 22º C. 24º E. 42º
B. 32º D. 36º
2

5. Si: x = 15º. Calcula:
L = Senx.Sen2x.Sen3x.Sen4x.Sec5x
A. 6 C. 6/5 E.
6
8
B. 0 D. 2
6. De la figura, calcular la longitud de AC si
EF mide: 2 3 . CEPREPUC 2004 – II
A. 2( 3 + 3)
D. 4
B. 2( 1 + 3)
E. 6
C. 2( 1 + 2 3)
7. Siendo: α = = ( 15) +
+ ( 15)
n = Tg n. º + Ctg n.
º ,
hallar: Sn = α2 + α3 - α4
A. 3 C. 12 + 4 3 E. 2
B. 3 D.
12 + 4 3
3
8. Siendo: Secx = Csc30º
halle el valor de: E = Tg 2 x + Secx
A. 1 C. 3 E. 5
B. 2 D. 4
9. Calcular el valor de:
M = Sen(a - π/12) + Cos(a + π/12)
siendo “a” un ángulo agudo, de modo que:
Sen(a + b)Csc(b + π/4) = 1
A. 1 C. 1,2 E. 1,5
B. 1,6 D. 1,8
10. Si “α” y “β” son agudos y se cumple:
Sen α + + + 20º =
= Sen30º
A.
( )
2
( β + + + ) = = +
+
Tg 5º Tg45º Sec 45º
Hallar: Sec(β - α)
3
2
B
C.
B. 1 D.
45º D
E
60º
A F C
3
4
3
3
E.
2 3
3
11
11. Reducir la siguiente expresión:
2 π
2Sen30º
+ Tg
F =
3
5.
Sen53º
a) 4 c) 2 e) 0
b) 5 d) 1
12. Reducir la siguiente expresión:
H = Tg37º
+ Ctg37º
. Sec60º.
Ctg30
( ) º
a) 4 c) 8 e) 10
b) 5 d) 15
13. Reducir la siguiente expresión:
M = 12( Cos16º
−Sen16º
) Sec 37 º. Csc 37º
, e
indicar la suma de las cifras del resultado.
a) 8 c) 12 e) 17
b) 9 d) 15
Sen16º
+ Cos16º
14. Reducir: U =
Sen37º.
Cos37º
a) 31/12 c) 7/5 e) 9/13
b) 5/7 d) 217/5
15. Indicar el valor de “H”.
( ) 2
Sen30º
+ Tg37º
H =
Sen45º
a) 5/8 c) 3/2 e) 3/4
b) 5/2 d) 4/3
16. El perímetro de un triángulo rectángulo es
“p” y uno de sus ángulos es 60º, el valor
de la hipotenusa es:
U.N.M.S.M. 2005 – II
A. ( 3-1 ) .p D. ( ) p
3- 3 .
3
B. ( 3+ 3 ) .p E. ( ) p
3+ 3 .
3
C.
3 .p
3
17. Si: “θ” es agudo y además: Senθ
= Sen30º.Cos37º.Tg45º
calcula el valor de la expresión:
E = 21 Tgθ
+ Secθ
( )
a) 7 c) 3 e) 7
b) 21 d) 14

15
A
37º
B C
GEOMETRIA – GUIA Nº6
TEMA: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
1. Calcular la altura en el siguiente triángulo.
C
x
B m A
a) m.Cosx c) m.Secx e) m.Ctgx
b) m.Tgx d) m.Senx
2. Si se conoce que tgx = m, determina la
medida deBC
C
x
B a A
a) a/m c) a.m e) 1
b) m/a d) a 2 .m
3. Calcular el valor de AB , en el siguiente
grafico:
B
a) m.Senθ.Cscα b) m.Tgθ.Cscα
c) m.Cosθ.Cscα d) m.Tgθ.Ctgα
e) m.Senθ.Secα
4. En la figura mostrada calcular el valor de
BC + AC .
m
α θ
A C
a) 45 c) 55 e) 49
PROGRAMA DE COMPLEMENTACION ACADEMICA
4TO DE SECUNDARIA
12
b) 50 d) 40
BIMESTRE I
5. De la figura mostrada calcular el valor de
Tgθ.
a) 3/4 c) 3/10 e) 4/3
b) 5/7 d) 4/5
6. Determina el perímetro del rectángulo:
a) 4a
b) 2a(Senθ + Cosθ)
c) a.Senθ.Cosθ
d) a 2 (Senθ + Cosθ)
e) a(Senθ + Cosθ)
7. Calcular la hipotenusa: CA
C
a) h.Secθ
b) h.Cscθ
c) h 2 .Cscθ.Secθ
d) 2h.Cscθ.Secθ
e) h.Cscθ.Secθ
50m.
θ 37º
A B
80m.
C
θ
h
θ
a
B A

8. De la figura, hallar BC en términos de “α”
si: AB = 4m.
y A = 150º.
a) 2Tgα c) 4Senα e) 3Secα
b) 3Tgα d) 2Ctgα
9. Determina el área de la figura sombreada
a) (a+b)(Senα+Cosα)
b) 0,5abSenCosα
c) (a+b)SenαCosα
d) 0,5(a+b)Senα.Cosα
e) (a – b)SenαCosα
10. Determina el perímetro del rectángulo:
α
A
150º
α
4m.
D C
a
m
a) m 2 (Secα + Cscα)
b) 2m(Senα + Cosα)
c) m(Tgα + Ctgα)
d) 2m(Secα + Cscα)
e) 2m + 2Secα + 2Cscα
11. En el triángulo ABC, calcular el valor de
“x” en función de “m”.
b
α
B
13
a) mCos 3 α c) mTgα e) m 2 Tg 3 α
b) mSen 4 α d) mTg 4 α
12. En la figura hallar “x”
x
U.N.M.S.M. 2003
a) K.Sec 5 θSenθ b) K.Sec 6 θTgθ
c) K.Sec 7 θCtgθ d) K.Cos 6 θTgθ
e) K.Sec 5 θCosθ
13. En el triángulo ABC, calcular el valor de
“x” en función de “m” si AH = m .
a) m 2 .Sen 3 α.Secα
b) m.Sen 3 α.Secα
c) m.Sen 4 α.
d) m.Sen 3 α.Cosα
e) m.Sen 3 α.Ctgα
x
θ
k
C
α
A m B
H
x
C
α
A B

GEOMETRIA – GUIA Nº7
TEMA: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS VERTICALES
1. Un niño de estatura de 1,5m. esta
ubicado a 6m. de la base de una torre. El
niño observa la parte más alta con un
ángulo de elevación de 53º. ¿Cuál es la
altura de la torre?
a) 6,5m. c) 9,5m. e) 10m.
b) 11m. d) 7,5m.
2. Si desde un punto ubicado a 20m. de la
base de un edificio se observa la parte
más alta de este con un ángulo de
elevación de 37º. Calcula la altura del
edificio.
a) 18m. c) 28m. e) 12m.
b) 15m. d) 30m.
3. Calcula la altura de un árbol sabiendo
que si se le corta a 8m sobre el suelo, al
caer la punta forma con el suelo un
ángulo de 53º.
a) 16m. c) 18m. e) 10m.
b) 15m. d) 20m.
4. Desde un punto de tierra se observa lo
alto de un edificio con ángulo de
elevación de 37º, si la visual mide 30m.
determina la altura del edificio.
a) 3m. c) 12m. e) 15m.
b) 18m. d) 24m.
5. A 240m de la base de un edificio se
observa la parte más alta de éste con un
ángulo de elevación de 37º. Calcula la
altura del edificio
a) 160m. c) 180m. e) 190m.
b) 150m. d) 200m.
6. En la pared de un edificio se ha apoyado
una escalera de 30 m de longitud, cuyo
pie está a 15m del cimiento del edificio.
¿Cuál es el ángulo que forma la escalera
con piso?.
a) 45º c) 30º e) 75º
b) 60º d) 15º
PROGRAMA DE COMPLEMENTACION ACADEMICA
4TO DE SECUNDARIA
14
BIMESTRE I
7. Determina la altura de un edificio si a
40m. de su base se puede observar la
parte más alta con un ángulo de
elevación de 37º.
a) 40m. c) 20m. e) 100m.
b) 50m. d) 30m.
8. Desde un cierto punto ubicado a 30m. de
la base de un edificio se observa su parte
superior con un ángulo de elevación de
30º. Luego de acercarse a la base hasta
que el nuevo ángulo de elevación es de
60º ¿Qué distancia se acerco a la base?,
¿Cuál es la altura del edificio?
a) 20m. y 20 3 m. d) 5m. y 10 3 m.
b) 25m. y 25m. e) 20m. y 10 3 m.
c) 10 3 m. y 15m.
9. Desde un edificio de 12m. de altura
observa un automóvil con ángulo de
depresión “θ”. Luego se observa un
semáforo más cerca del edificio con un
ángulo de depresión de 45º. Determina la
distancia entre el semáforo y el automóvil.
1
Además se conoce que: Tg θ =
3
a) 10m. c) 12m. e) 36m.
b) 18m. d) 24m.
10. Se observa un poste con ángulo de
elevación “θ”, nos acercamos “L” y el
ángulo de elevación es de 45º. Si la altura
del poste es “2L” determinar Tgθ.
a) 1/3 c) 2/3 e) 1
b) 1/2 d) 3/2
11. Desde un punto del suelo se observa la
parte superior de un edificio con un
ángulo de elevación de 15º. Acercándose
36m. hacia el edificio el nuevo ángulo de
elevación es el doble del anterior calcular
la altura del edificio.
a) 6 3 m. c) 9m. e) 12 3 m.
b) 18m. d) 72m.

12. Desde dos puntos separados 42m. se
observa la parte más alta de un poste
que se encuentra entre ellos con ángulos
de elevación de 37º y 45º. Determina la
altura del poste.
a) 12m. c) 18m. e) 30m.
b) 15m. d) 24m.
13. Desde un muro de 6m. de altura se
observa la parte más alta y baja de un
poste con ángulos de elevación y
depresión 60º y 30º respectivamente.
Determina la altura del poste.
a) 15m. c) 24m. e) 30m.
b) 36m. d) 48m.
14. Desde el punto medio de la distancia
entre los pies de dos torres, los ángulos
de elevación de sus extremos superiores
son 30º y 60º respectivamente. Calcula el
cociente entre las alturas de dichas
torres.
a) 1/3 c) 1/4 e) 1/5
b) 2 d) 5
15. Desde la base y la parte superior de una
torre se observa la parte superior de un
edificio con ángulos de elevación de 60º y
30º respectivamente. Si la torre mide
36m. calcula la altura del edificio.
a) 36m. c) 60m. e) 72m.
b) 48m. d) 54m.
16. Desde lo alto de un faro, se observan dos
barcos al mismo lado del faro, con
ángulos de depresión de 45º y 37º. Si la
altura del faro es de 96m. ¿Cuál sería la
distancia entre los barcos?
a) 32m. c) 40m. e) 64m.
b) 28m. d) 48m.
17. Desde un punto en tierra se divisa lo alto
de una torre con un ángulo de elevación
“α”. Si el observador se acerca 20m. el
ángulo de elevación sería “β”. Calcular la
altura de la torre, si además se sabe que:
Ctgα - Ctgβ = 0,25
a) 10m. c) 80m. e) 120m.
b) 240m. d) 70m.
18. Desde un punto que se encuentra a 48m.
del pie de una torre, se observa la parte
más alta con un ángulo de elevación de
45º. ¿Cuánto debe acercar dicho punto
15
para que el nuevo ángulo de elevación
sea de 53º?
a) 12m. c) 10m. e) 14m.
b) 11m. d) 8m.
19. Desde un punto del suelo se observa la
parte superior de un poste con un ángulo
de elevación “α” acercándose 5m. hacia
el poste el nuevo ángulo de elevación es
el complemento de “α”. Si el poste mide
6m. calcular “Tgα”.
a) ½ c) 2/3 e) 3/4
b) 3/2 d) 2
20. Se observa un edificio con ángulo de
elevación “α”, nos acercamos “x.m” y el
ángulo de elevación es “θ”, si la altura del
edificio también es “x.m”.
Calcula: E = Ctgα – Ctgθ
a) 3 c) 1/3 e) 1
b) 2 d) 1/2
21. Una persona observa la parte superior de
un edificio con un ángulo de elevación
“x”; después de caminar 10m. hacia el
edificio, el nuevo ángulo de elevación es
“θ”. Si la altura del edificio es de 30m;
entonces el valor de la expresión:
W = Tgx(Ctgθ + 1/3)
a) 1/2 c) 2/3 e) 3/4
b) 1 d) 5/3
22. Desde la parte superior de una torre se
observan dos piedras en el suelo con
ángulos de depresión de 37º y 53º; si la
altura de la torre es de 12m. y las piedras
están en línea recta y a un mismo lado de
la torre, calcula la distancia entre las
piedras.
a) 4m. c) 12m. e) 6m.
b) 7m. d) 10m.
23. Desde el quinto piso de un edificio de
nueve pesos de igual altura se observa
en el suelo un objeto con un ángulo de
depresión “Q”, y desde la parte superior
del edificio se observa el mismo objeto
con una depresión angular que es el
complemento de “Q”. calcular: “Ctgθ”.
a) ½ c) 2/3 e) 3/4
b) 2 d) 3/2