modelizaci´on y métodos para la optimizaci´on y eficiencia

MODELIZACIÓN Y MÉTODOS PARA LA OPTIMIZACIÓN
Y EFICIENCIA DE LA PROGRAMACIÓN DE HORARIOS
FERROVIARIOS
Autor: Laura Paola Ingolotti Hetter
Directores: Dr. D. Federico Barber Sanchís
Dra. Da. Pilar Tormos Juan
Departamento de Sistemas Informáticos y Computación
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE VALENCIA
Valencia, España
FEBRERO 2007

A mi familia.
iii

Tabla de Contenidos
Tabla de Contenidos V
Lista de Tablas IX
Lista de Figuras X
Agradecimientos XV
Acrónimos, Notación y Lista de Variables XVII
Resumen XXIII
Abstract XXVII
Resum XXIX
1. Introducción 1
1.1. Introduccíón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. El problema de Scheduling tipo Job Shop y su Formulación como un
CSOP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3. Marco de Trabajo: Generación Optimizada de Horarios. Aplicación a
Horarios Ferroviarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1. Introducción al Problema de Optimizar y Programar horarios
para Trenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4. Motivaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5. Objetivos de la Tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6. Esquema de la Tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2. Métodos para resolver Problemas tipo Job Shop 17
2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2. El Problema de Scheduling tipo Job Shop . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3. Formulación de un Job Shop utilizando Programación Matemática . 21
v

2.4. Métodos de Optimización Exacta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.1. Programación Dinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.2. Branch and Bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.3. Branch and Bound y la Relajación Lagrangiana . . . . . . . . 30
2.4.4. Branch and Cut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.5. Branch-and-price . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5. Métodos Heurísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5.1. Desplazar el Cuello de Botella . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5.2. Reglas de Procesamiento Básico . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5.3. Reglas de Procesamiento Compuesto . . . . . . . . . . . . . . 37
2.6. Formulación de un Job Shop como un CSOP . . . . . . . . . . . . . 38
2.6.1. Búsqueda: Algoritmo Backtracking . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.6.2. Inferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6.3. Inferencia + Búsqueda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.6.4. Estrategias Look Back . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.6.5. Ordenamiento de Valores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.6.6. Ordenamiento de Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.7. Métodos Heurísticos Genéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.7.1. Búsqueda Beam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.7.2. Simulated Annealing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.7.3. Búsqueda Tabú . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.7.4. Algoritmos Genéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.8. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3. Optimizar y Planificar Horarios para Trenes, un problema CSOP 69
3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2. El Problema OPT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.3. Conceptos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.4. Formulación del Problema como un CSOP . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.4.1. Variables y Dominios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.4.2. Restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.4.3. Función Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.5. El problema OPT, un problema de Scheduling tipo Job Shop . . . . . 105
3.6. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4. Revisión de Métodos para la Generación de Horarios 111
4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.2. Estado del Arte en la Formulación del Problema . . . . . . . . . . . 113
4.3. Estado del Arte - Métodos de Solución . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.3.1. Relajación Lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.3.2. Branch and Bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
vi

4.3.3. Búsqueda Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.3.4. Algoritmo de Descomposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.3.5. Algoritmo Genético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.3.6. Búsqueda Tabú . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.3.7. Problema de Scheduling de Eventos Periódicos . . . . . . . . 140
4.3.8. Heurísticas para Job Shop y el Problema OPT . . . . . . . . . 142
4.3.9. Técnicas CSP y el Problema OPT . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.4. Conclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5. Un Procedimiento heurístico basado en ordenación (PBO) 151
5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.2. Aplicación de las técnicas CSP en el método de solución propuesto . 153
5.3. Esquema General del Método de Solución propuesto . . . . . . . . . 158
5.4. El Problema OPT como un Problema de Scheduling tipo Job Shop . . 169
5.5. Consideraciones en la Aplicación del método al problema OPT . . . . 172
5.5.1. La Periodicidad en Salida es incluida en el conjunto de Restricciones
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
5.5.2. La Periodicidad en Salida NO es incluida en el conjunto de
Restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
5.6. Descripción detallada del Método de Solución aplicado al Problema
OPT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.6.1. Primera Etapa: Siguiente Operación . . . . . . . . . . . . . . 178
5.6.2. Segunda Etapa: Asignación de Horario Factible . . . . . . . . 187
5.6.3. Tercera Etapa: Evaluación de Solución Parcial . . . . . . . . 196
5.7. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
6. Evaluación Computacional 203
6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
6.2. Implementación del Sistema de Evaluación . . . . . . . . . . . . . . . 205
6.3. Descripción de los Casos de Prueba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
6.4. Complejidad de los Casos de Prueba . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
6.5. Coste de cada solución en función de la parametrización < α, ɛ > . . 211
6.5.1. Backtracking en la búsqueda de soluciones . . . . . . . . . . . 213
6.6. Comportamiento Anytime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
6.7. Casos particulares y descripción de las Soluciones obtenidas . . . . . 218
6.7.1. Baja Interrelación entre los Trenes de la Línea . . . . . . . . 220
6.7.2. Alta Densidad de tráfico en la Línea Ferroviaria . . . . . . . 223
6.7.3. Resultados cuando se requiere Periodicidad en Salidas . . . . 229
6.7.4. Simulación de cambios de infraestructura . . . . . . . . . . . 232
6.8. Algunos ejemplos de instancias complejas . . . . . . . . . . . . . . . 235
6.9. Estudio sobre la Robustez de Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . 242
vii

6.10. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
7. Conclusiones 249
7.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
7.2. Contribuciones de este trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
7.3. Trabajo Futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
7.4. Publicaciones relacionadas con la Tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
7.4.1. Otros artículos relacionados con esta Tesis . . . . . . . . . . . 259
7.5. Conclusiones Finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
A. Sistemas desarrollados para la Generación y Optimización de horarios
Ferroviarios 263
A.1. Sistemas Software relacionados con la Planificación de Horarios Ferroviarios
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
A.2. MOM: Módulo Optimizador de Mallas . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
A.2.1. Especificación y Parametrización de una Instancia . . . . . . 272
A.2.2. Parametrización de Restricciones Comerciales . . . . . . . . . 279
A.2.3. Parametrización de la Infraestructura Ferroviaria . . . . . . . 283
A.2.4. Parametrización de la Optimización . . . . . . . . . . . . . . 291
A.2.5. Usos de la Aplicación MOM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
Bibliografía 297
viii

Índice de cuadros
1.1. Niveles de Planificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
6.1. Descripción de 13 instancias del problema OPT . . . . . . . . . . . . . 208
6.2. Dimensiones del Modelo para cada Caso de Prueba . . . . . . . . . . 209
6.3. Valor de la Función de Coste Global en función de ε y α . . . . . . . 212
6.4. Valor de la Función de Coste Global en función de ε y α . . . . . . . 213
6.5. Características de la Línea Ferroviaria . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
ix

Índice de figuras
1.1. Ordenación de tareas y recursos establecidos para cada trabajo de un
problema de scheduling tipo Job Shop . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Ordenación de tareas y recursos establecidos para cada trabajo de un
problema de scheduling tipo Flow Shop . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Grafo Dirigido para Job Shop con el makespan como el objetivo . . . 5
1.4. Proceso de Planificación Jerárquica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1. Esquema de los Métodos estudiados para resolver un Job Shop . . . 17
2.2. Esquema de Técnicas utilizadas en la resolución de CSPs . . . . . . 18
2.3. Grafo Dirigido para Job Shop con el makespan como el objetivo . . . 20
2.4. Flujo de los Trabajos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5. Relación entre los sub problemas al aplicar Programación Dinámica
hacia adelante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6. Orden en la obtención de la solución óptima de cada sub problema . 25
2.7. Relación entre los sub problemas al aplicar Programación Dinámica
hacia atrás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.8. Orden en la obtención de la solución óptima de cada sub problema . 26
2.9. Aplicación del método Branch and Bound a un determinado problema 30
2.10. Árbol de Búsqueda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.11. Algoritmo de Backtracking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.12. Algoritmo VES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.13. Algoritmo de Forward Checking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.14. Algoritmo MAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
x

2.15. Secuencia de Operaciones características de un Algoritmo Genético
standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.1. Clasificación del Problema considerado en la Tesis . . . . . . . . . . 74
3.2. Retraso del Tiempo de Recorrido Real con respecto al Tiempo Ideal
del mismo tren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3. Banda de Mantenimiento en un Tramo de Vía Única . . . . . . . . . 77
3.4. Banda de Mantenimiento en un Tramo de Vía Doble . . . . . . . . . 78
3.5. Terminología del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.6. Sucesión en un tramo con Bloqueo Automático, menor velocidad para
el primer tren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.7. Sucesión en un tramo con Bloqueo Automático, menor velocidad para
el segundo tren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.8. Sucesión en un tramo con Bloqueo Manual . . . . . . . . . . . . . . 88
3.9. Ocupación de una dependencia durante un determinado intervalo de
tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.10. Adelantamiento del tren tj al tren ti en la estación lk. . . . . . . . . 93
3.11. Satisfacción de Recepción y Expedición considerando que ti llega
primero a la estación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.12. Satisfacción de Recepción y Expedición considerando que tj llega
primero a la estación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.13. Un ejemplo de aplicación de demora por parada no prevista . . . . . 98
3.14. Retraso del Tiempo de Recorrido Real con respecto al Tiempo Ideal
del mismo tren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.15. Dos grupos de trenes, cuyas salidas iniciales deben satisfacer un de-
terminado periodo de tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.16. Correspondencia entre las propiedades de un Job Shop y el Problema
OPT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.1. El problema OPT como un problema tipo Job Shop . . . . . . . . . . 120
4.2. Valor de makespan puede no ser suficiente en la función objetivo del
problema OPT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
xi

4.3. Técnica branch and bound propuesta por Higgins et al. [64] . . . . . 123
4.4. Recorrido Ideal de 4 Trenes, cuyo horario se desea Programar . . . . 125
4.5. Arbol de Soluciones para la instancia P del problema OPT . . . . . . 125
4.6. Makespan mínimo para una instancia del problema de programación
de horario para trenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.7. Primera máquina seleccionada con un orden determinado de operaciones143
4.8. Makespan modificado cuando se considera márgenes de seguridad . . 144
4.9. Ordenamiento de Variables en el problema OPT . . . . . . . . . . . . 149
5.1. Dominio de una variable siendo asignada filtrado a partir de deter-
minadas restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.2. Dominio filtrado a partir de la restricción sobre periodicidad en sali-
das consecutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.3. Ordenación de Variables y Valores en la construcción de una solución 157
5.4. Una instancia del problema de scheduling tipo Job Shop . . . . . . . 159
5.5. Esquema del Método de Optimización y Satisfacción de Restricciones
para un Problema tipo Job Shop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.6. Evaluación Solución Parcial decide sobre la poda de una rama del
árbol de búsqueda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.7. Correspondencia entre las propiedades de un Job Shop y el Problema
OPT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.8. Algoritmo para planificar horarios de Trenes Cadenciados . . . . . . 175
5.9. Implementación del Método propuesto al problema OPT que incluye
la restricción sobre Periodicidad en Salida . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.10. Algoritmo para la Asignación de Horarios a Trenes No Periódicos . . 177
5.11. Estaciones de Referencia para el grupo Gi de trenes . . . . . . . . . 180
5.12. Un Ejemplo de Partición de Recorridos . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
5.13. Algoritmo para Seleccionar un Tren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
5.14. Arbol de Búsqueda para el Problema de Programación de Horarios . 186
5.15. Asignación de horarios válidos para Gi en una partición j de su recorrido188
5.16. Asignación de Horarios a Trenes Consecutivos . . . . . . . . . . . . . 189
xii

5.17. Resolución de Conflictos durante la Asignación de Horarios a Trenes
Consecutivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
5.18. Asigación de Prioridades en un Tramo . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
5.19. Cálculo de Γi. Se relaja el problema por considerar que T = {ti} ∪ T C 198
5.20. Retraso del tren ti con respecto a su tiempo de referencia Γi . . . . . 199
6.1. Arquitectura de la herramienta software que implementa el método
PBO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
6.2. Coste Promedio en función de α para diferentes valores de ε . . . . . 214
6.3. Un ejemplo donde se aplica Backtracking . . . . . . . . . . . . . . . 214
6.4. Función Objetivo por Caso de Prueba y por Unidad de Tiempo . . . 217
6.5. Valor Promedio de Función Objetivo por Tiempo, < α = 3, ε =
0.05 > y < α = 1, ε = 0.05 > . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
6.6. Instancia del Problema OPT de baja complejidad . . . . . . . . . . . 222
6.7. Datos de la Línea Ferroviaria 14100-14223 . . . . . . . . . . . . . . . 224
6.8. Solución para una instancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
6.9. Causa del retraso del tren ty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
6.10. Causa del retraso del tren ty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
6.11. Causa del retraso del tren ty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
6.12. Causa del retraso del tren ty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
6.13. Causa del retraso del tren ty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
6.14. Periodo de tiempo entre salidas iniciales consecutivas: 20 minutos . . 230
6.15. Periodo de tiempo entre salidas iniciales consecutivas: 30 minutos . . 231
6.16. Periodo de tiempo entre salidas iniciales consecutivas: 40 minutos . . 232
6.17. Periodo de tiempo entre salidas iniciales consecutivas: 60 minutos . . 233
6.18. Causa del retraso del tren ty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
6.19. Causa del retraso del tren ty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
6.20. Línea ferroviaria compuesta por Trenes Cadenciados y Trenes sin Ca-
denciar de diferentes operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
6.21. Línea con la mayor parte de sus tramos en vía doble . . . . . . . . . 239
6.22. Trenes Cadenciados superpuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
6.23. Ejemplo de aplicación de la métrica SSHR en un tramo . . . . . . . 244
xiii

6.24. Ejemplo de aplicación de la métrica SSHR en un tramo . . . . . . . 245
A.1. Datos recibidos por MOM correspondientes al conjunto de trenes y
línea ferroviaria seleccionada por el planificador . . . . . . . . . . . . 273
A.2. Especificar criterios para visualizar un subconjunto de los trenes con-
siderados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
A.3. Elección y Confirmación de los trenes cuyos horarios se deberán op-
timizar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
A.4. Trenes considerados durante la Optimización utilizando cierta línea
ferroviaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
A.5. Trenes considerados durante la optimización, cuyos días de circulación
incluyen Sábado y Domingo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
A.6. Cruce entre 3 Trenes sin días de circulación en común . . . . . . . . 278
A.7. Opciones para gestionar una Parada no prevista en una estación . . 278
A.8. Edición de los parámetros para especificar Periodicidad en Salida . . 282
A.9. Solución que satisfacen una determinada periodicidad en salida . . . 283
A.10.Dos valores para el tiempo de recorrido de cada tren en cada tramo
de su recorrido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
A.11.Modificación del tipo de Dependencia para un determinado tren . . 286
A.12.Solución en la cual la dependencia 79601 no se considera Estación . 287
A.13.Solución obtenida considerando las Bandas de Mantenimiento . . . . 288
A.14.Solución obtenida sin considerar las Bandas de Mantenimiento . . . 289
A.15.Edición de atributos correspondientes a dependencias de una línea . 290
A.16.Edición de atributos correspondientes a tramos de una línea . . . . . 291
A.17.Edición de los parámetros incluidos en las restricciones y en el proceso
de optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
A.18.Resumen de las principales Funcionalidades de las Aplicaciones Com-
erciales estudiadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
xiv

Agradecimientos
A mis directores de Tesis, el Dr. Federico Barber Sanchís y la Dra. Pilar Tormos
Juan, en primer lugar por haberme proporcionado la oportunidad de ser su alumna
de tesis, y por haberme ayudado desde el inicio de este trabajo y durante toda la
realización del mismo. Han leído pacientemente cada capítulo de este trabajo, y no
se han cansado de indicarme modificaciones, demostrando la mejor voluntad para
que este trabajo saliera adelante de la mejor forma posible. Mil gracias.
Quisiera agradecer al Dr. Antonio Lova por todos sus consejos, ideas, conocimientos,
experiencia, y lo más importante constante apoyo para llevar a cabo cada uno
de los pasos durante la implementación del método de solución.
Mil gracias a mi esposo Carlos, a mis padres Yuyo y Emilce y a mis hermanas
Andre y Cati, por su apoyo incondicional, por estar siempre a mi lado, por la confianza.
Son mi referencia y ejemplo, son mi motivo de superación.
A mi querida amiga Adri, quien me permitió llegar hasta el Grupo de Planificación
y Scheduling. Gracias porque siempre me ha demostrado su amistad, me
ha brindado su ayuda en todos los momentos que la necesité, y me ha permitido
compartir con ella hermosos momentos.
A todos mis queridos amigos, sin querer olvidar a ninguno, quisiera agradecer
especialmente a la Su por ser siempre como una hermana para mi, a Lili por su
apoyo incondicional, a Oscaring por todo lo que me ayudó apenas llegué a Valencia
con los programas en su querido C++, y con su espectacular forma de ser que espero
no cambie nunca. Agradecer también a las chicas del laboratorio, por ser tan buenas
compañeras de trabajo.
Por último, agradecer a las Instituciones Españolas por el apoyo económico que
brindan a las investigaciones, y a aquellas personas que directamente o indirectamente
me han ayudado a llevar a cabo este trabajo.
Valencia, España Laura Paola Ingolotti Hetter
Febrero, 2007
xv

Acrónimos, Notación y Lista de
Variables
CSOP - Problema de Optimización y Satisfacción de Restricciones . . . . . . . . . . . . . 3
OPT - Optimizar y Programar horario para Trenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
(i, j) - procesamiento del trabajo j en la máquina i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
pij - tiempo de procesamiento del trabajo j en la máquina i . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Cmax - makespan del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
yij inicio de la operación (i, j) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
R - red de restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
X - conjunto finito de variables en un CSOP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39
D - conjunto finito de dominios en un CSOP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39
C - conjunto finito de restricciones en un CSOP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Ci - definición de la restricción i de un CSOP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
xvii

xviii
Fi - componente funcional que evalúa a valores reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Qi - ámbito del componente funcional Fi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
ā - asignación factible a las variables del conjunto X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
ai - asignación de las variables xj ∈ X, 1 ≤ j ≤ i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39
xi variable, elemento de X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
C - red de costos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
F C - conjunto de funciones que forman la función de costo de un CSOP . . . . 40
li - identificador de una dependencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Ni - cantidad de vías en la dependencia li de la línea L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
N Pi - cantidad de vías con andén en la dependencia li de la línea L . . . . . . . . . 76
HCi - horario de cierre de la dependencia li . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
A i j - inicio del intervalo de cierre j de la dependencia li . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
B i j - fin del intervalo de cierre j de la dependencia li . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
type i j - tipo de cierre correspondiente al intervalo j en la dependencia li . . . . . . 76
AC - tipo de cierre Apto para Circulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

NC - tipo de cierre NO Apto para Circulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77
xix
li → li+1 - sección de vía entre las dependencias li y li+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
L - línea ferroviaria, secuencia ordenada de dependencias . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
S - conjunto de estaciones en la línea ferroviaria L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
seci - secuencia de secciones de vía entre dos estaciones consecutivas . . . . . . . . 79
T - conjunto de trenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80
T C - conjunto de trenes en circulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Tnew - conjunto de trenes nuevos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
l j
i
- dependencia i del recorrido del tren j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80
Ji - recorrido del tren ti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
T D - trenes que viajan en sentido ida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
T U - trenes que viajan en sentido vuelta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
TnewD
TnewU
- trenes nuevos que viajan en sentido ida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
- trenes nuevos que viajan en sentido vuelta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
C j
i - parada comercial de tj en la dependencia l j
i
ϕ dep
x,k
de su recorrido . . . . . . . . . . . 81
- mínimo tiempo de sucesión requerido entre las salidas de trenes consecu-
tivos de la dependencia lk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

xx
ϕarr - mínimo tiempo de sucesión requerido entre las llegadas de trenes consecu-
x,k
tivos a la dependencia lk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Si,j - estaciones comunes a los recorridos de ti y tj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Tti - trenes de T que tienen alguna dependencia en común con ti . . . . . . . . . . 88
TUj
Γi
- trenes de T que viajan en sentido vuelta y tienen alguna dependencia en
común con tj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
- cantidad en la que aumenta el tiempo de recorrido de un tren ti en un
tramo cuando existe una parada no prevista en las dependencias adyacentes
97
Ri - mínimo tiempo de recepción requerido por ti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
pj prioridad asignada a tj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93
Ei - mínimo tiempo de expedición requerido por ti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
[I i L, I i U] - intervalo de tiempo en el cual es factible que ti parta de la estación origen
de su recorrido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98
[F i L, F i U] - intervalo de tiempo en el cual es factible que ti llegue a la estación final de
su recorrido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99
D max
i
- retraso máximo permitido a ti con respecto a su tiempo de recorrido ideal
99
τi - tiempo de recorrido ideal del tren ti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Λi
Gi
tiempo de recorrido real empleado por el tren ti para realizar su recorrido
completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99
- grupo de trenes consecutivos entre los cuales debe cumplirse un determi-
nado periodo de tiempo entre sus salidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
[P i L, P i U] - intervalo de tiempo al que debe pertenecer el periodo exigido entre las
salidas de trenes consecutivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Speriodo i
xxi
- conjunto de estaciones en las que debe cumplirse una determinada frecuen-
cia de salida de los trenes que forman el grupo Gi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
- variables que denotan instantes de llegada/salida de trenes que viajan en
XI sentido ida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103
- variables que denotan instantes de llegada/salida de trenes que viajan en
XV sentido vuelta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Γ i ref - mejor tiempo que se puede obtener para el tren ti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
δ(ādir, i) retraso de ti con respecto al tiempo promedio de los trenes que viajan en
sentido dir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
ωexc
ωdesv
- peso proporcionado al retraso promedio de los trenes en la función de costo
global del CSOP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
- peso proporcionado a la desviación standard de los retrasos promedio de
cada sentido de viaje con respecto al retraso promedio total . . . . . . . . . . . 105
ti - identificador de un tren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
arr i j+1 instante de llegada del tren ti a la dependencia j + 1 de su recorrido . . 148
dep i j instante de salida del tren ti de la dependencia j de su recorrido . . . . . . 149
∆ i j→j+1 - tiempo que emplea ti en ir desde l i j hasta li j+1
Topen
Sec i done
ρi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
conjunto de trenes nuevos que aún no tienen un horario en todo su recorrido
182
tramos pertenecientes al recorrido de ti en los que se ha especificado un
horario factible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
probabilidad de que el siguiente tramo del recorrido de ti sea seleccionado
para la asignación de horario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .183
δ i partial
δmin
retraso del tren ti con respecto al tiempo de referencia Γi teniendo en cuenta
los tramos a los que se ha asignado hasta entonces un horario . . . . . . . . . 183
- retraso parcial mínimo entre los retrasos parciales de los trenes nuevos, en
un determinado instante de tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

xxii
- parámetro que representa un valor muy pequeño, utilizado para que ningu-
ε
na probabilidad ρi sea igual a cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
- parámetro que se utiliza para escalar una probabilidad. Cuanto mayor es
α este valor la diferencia entre las probabilidades también aumenta en forma
exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Jij partición j del recorrido Ji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .187
Jij partición j del recorrido Ji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .187

Resumen
Los problemas de optimización y satisfacción de restricciones son extraordinaria-
mente complejos y variados. Al mismo tiempo, son problemas de alto interés, tanto
en el aspecto científico-técnico como en el aplicado. Por ello, poder disponer de
soluciones algorítmicas eficientes y flexibles supone un alto valor añadido en muy
diferentes entornos de aplicación.
Entre los más típicos problemas de este tipo, se encuentran los problemas de
scheduling, que implican la ejecución de acciones que requieren recursos cuya disponi-
bilidad está limitada y por tanto deben asignarse de modo eficiente. Problemas de
este tipo aparecen en numerosos contextos, entre los que se encuentran la generación
optimizada de horarios. Concretamente, el problema considerado en esta tesis cor-
responde a la generación optimizada de horarios ferroviarios. Este problema puede
asimilarse a un problema de scheduling tipo Job Shop, aunque con unas característi-
cas particulares y especialmente complejas.
Se han publicado muchos trabajos en relación al problema de scheduling tipo Job
Shop genérico, la mayoría de ellos modelando el problema mediante programación
entera mixta y resolviéndolo mediante la utilización de métodos matemáticos. En
otros casos, se ha considerado la aplicación de técnicas CSPs híbridas, donde se
fuerza la consistencia de las restricciones hasta un determinado nivel, combinando
el procedimiento con búsqueda heurística.
Sin embargo, en todos los trabajos revisados se considera un subconjunto re-
ducido de las restricciones del problema que consideramos en esta Tesis. Esto clara-
mente disminuye la complejidad del problema, razón por la cual en los métodos
matemáticos puede utilizarse la relajación Lagrangiana o los planos de corte para
xxiii

xxiv
disminuir el espacio de búsqueda. Sin embargo, cuando se incorporan los comple-
jos tipos de restricciones que aparecen en los contextos reales, la programación
matemática ya no es viable, pues los métodos de solución matemáticos se vuelven
impracticables. Por otra parte, en el caso de los métodos basados en técnicas CSPs,
es necesaria una adecuación de las mismas para disminuir el espacio de búsqueda.
De lo contrario, el tiempo empleado para prevenir o realizar backtrackings, o para
ordenar variables o valores en la búsqueda, hace inviable su aplicación en el complejo
entorno propuesto. En resumen, es necesario adecuar y ampliar las técnicas citadas,
desarrollando nuevos métodos y heurísticas que permitan una resolución eficiente
ante los problemas reales y complejos como el que se plantea en esta Tesis, de for-
ma que pueda desarrollarse un sistema computacional de utilidad en una variada
tipología de problemas.
Nuestro objetivo es obtener una asignación optimizada de recursos en un com-
plejo problema de scheduling tipo Job Shop. Particularmente, hemos diseñado y de-
sarrollado nuevos métodos para un problema de asignación de horarios (timetabling)
en el contexto del transporte ferroviario.
En primer lugar, realizamos una modelización formal del problema, original en
su ámbito, especificando el conjunto de variables, dominios y restricciones que lo
definen. Tras la revisión de propuestas previas, orientadas a la resolución de estos
problemas, y análisis de sus carencias, proponemos un nuevo método de solución que
considera todas las restricciones propias de un contexto real. Se describen nuevas
heurísticas para la ordenación de variables, así como procedimientos que fuerzan
la consistencia entre restricciones sin que sea necesaria la previa ordenación de los
valores en sus dominios. Se introducen métodos para llevar a cabo el backtracking
sin tener que deshacer más asignaciones que las necesarias, así como una heurística
de poda de soluciones parciales que no conduzcan a soluciones mejores que la ac-
tualmente conseguida. Los métodos desarrollados disponen adicionalmente de una
funcionalidad de respuesta anytime.
Los métodos y procedimientos presentados se evalúan sobre diversas instancias
del problema, todas ellas obtenidas de casos reales. Se han seleccionado casos de
estudio de diferente complejidad que nos han permitido concluir la eficiencia de los

métodos desarrollados en cuanto a tiempo de respuesta y calidad se refiere.
xxv

Abstract
Constraint Satisfaction and Optimization Problems are extraordinarily complex
and varied. At the same time, these problems have a high interest, as well in the
scientific-technic aspect, as in the applied aspect. Thus, having efficient and flexible
algorithmic solutions supposes a high extra value in different contexts of application.
Scheduling problems are one of the more typical problems of this type, which
imply the execution of actions that requiere resources whose availability is limited,
and therefore it must be assigned efficiently. Problems of this type appear in numer-
ous contexts, for example the optimized generation of timetables. Concretely, the
considered problem in this thesis corresponds to the optimized generation of railway
timetables. We consider this problem as a specialization of the Job Shop Scheduling
Problem, although with a complex and specific characteristics.
Many works related to the generic Job Shop scheduling problem have been pub-
lished. Most of them model the problem using mixed integer programming and
solving it using mathematical procedures. In other cases, the application of hybrid
CSP techniques have been considered, where the enforcing consistency of constraints
is employed until a given level, combining the procedure with heuristic search.
However, in all the reviewed works are considered a reduced subset of constraints
with respect to the set of constraints that we consider in this thesis. This reduces
considerably the problem complexity and allows the use of mathematical methods
such as the Lagrangian relaxation or the cut planes, that are used to minimize the
search space. But, when complex types of constraints, suitable for real contexts,
are incorporated, the mathematical methods are not viable. These methods become
impracticable. In the other hand, in the case of CSP techniques based methods,
xxvii

xxviii
is necessary its adaptation in order to reduce the search space. If this adaptation
is not performed, the time employed to prevent, perform backtracking, and order
variables or values during the search, implies an impracticable process of search in
the complex domain that we propose. In summary, it is necessary to adapt and to
extend the reviewed techniques, developing new methods and heuristics that allow
and efficient solving considering real and complex problems, such as the proposed in
this thesis. In this way, will be possible implement a practical computational system
for diverse problem types.
Our objective is to obtain an optimized assignment of resources in a complex
Job Shop scheduling problem. In particular, we have designed and developed new
methods to solve the optimization and generation of timetables problem in the
railway transport context.
First, we model the problem formally specifying the variable set, domains and
constraints that define it. After a review of previous proposals, oriented to solve
these problems, and after an analysis of their deficiencies, we propose a new method
of solution that considers all the constraints suitable for a real context of applica-
tion. New heuristics for variable ordering, as well as procedures for the consistency
enforcing of constraints without a previous value ordering are described. New tech-
niques to perform backtracking are introduced, where the minimal undo operations
are carried out, and a procedure to estimate the cost of each partial solution is used
to discard it if its cost is equal or worse than the best solution obtained until this
time. The new methods have additionally a response functionality anytime.
The proposed methods and procedures are evaluated using diverse instances
of the problem, all them have been obtained from real cases. Cases of study with
different complexity have allowed us conclude on the new methods efficiency regards
to response time and quality are concerned.

Resum
Els problemes d’optimització i satisfacció de restriccions són extraordinàriament
complexos i variats. Al mateix temps, són problemes d’alt interés, tant en l’aspecte
cientificotècnic com en l’aplicat. Per això, poder disposar de solucions algorítmicas
eficients i flexibles suposa un alt valor afegit en molt diferents entorns d’aplicació.
Entre els més típics problemes d’este tipus, es troben els problemes de schedul-
ing, que impliquen l’execució d’accions que requerixen recursos la disponibilitat dels
quals està limitada i per tant han d’assignar-se de manera eficient. Problemes d’este
tipus apareixen en nombrosos contextos, entre els que es troben la generació op-
timitzada d’horaris. Concretament, el problema considerat en esta tesi correspon
a la generació optimitzada d’horaris ferroviaris. Este problema pot assimilar-se a
un problema de scheduling tipus Job Shop, encara que amb unes característiques
particularsment i especialment complexes.
S’han publicat molts treballs en relació al problema de scheduling tipus Job Shop
genèric, la majoria d’ells modelant el problema per mitjà de programació sencera
mixta i resolent-ho per mitjà de la utilització de mètodes matemàtics. En altres ca-
sos, s’ha considerat l’aplicació de tècniques CSPs híbrides, on es força la consistència
de les restriccions fins a un determinat nivell, combinant el procediment amb busca
heurística.
No obstant això, en tots els treballs revisats es considera un subconjunt reduït
de les restriccions del problema que considerem en esta Tesi. Açò clarament dis-
minuïx la complexitat del problema, raó per la qual en els mètodes matemàtics pot
utilitzar-se la relaxació Lagrangiana o els plans de talle per a disminuir l’espai de
busca. No obstant això, quan s’incorporen els complexos tipus de restriccions que
xxix

xxx
apareixen en els contextos reals, la programació matemàtica ja no és viable, perquè
els mètodes de solució matemàtics es tornen impracticables. D’altra banda, en el cas
dels mètodes basats en tècniques CSPs, és necessària una adequació de les mateixes
per a disminuir l’espai de busca. De el contrari, el temps emprat per a previndre o
realitzar backtrackings, o per a ordenar variables o valors en la busca, fa inviable
la seua aplicació en el complex entorn proposat. En resum, és necessari adequar i
ampliar les tècniques citades, desenvolupant nous mètodes i heurístiques que per-
meten una resolució eficient davant dels problemes reals i complexos com el que es
planteja en esta Tesi, de manera que puga desenvolupar-se un sistema computacional
d’utilitat en una variada tipologia de problemes.
El nostre objectiu és obtindre una assignació optimitzada de recursos en un
complex problema de scheduling tipus Job Shop. Particularment, hem dissenyat i
desenvolupat nous mètodes per a un problema de assignació d’horaris (timetabling)
en el context del transport ferroviari.
En primer lloc, realitzem una modelització formal del problema, original en el seu
àmbit, especificant el conjunt de variables, dominis i restriccions que ho definixen.
Després de la revisió de propostes prèvies, orientades a la resolució d’estos problemes,
i anàlisi de les seues carències, proposem un nou mètode de solució que considera
totes les restriccions pròpies d’un context real. Es descriuen noves heurístiques per
a l’ordenació de variables, així com a procediments que forcen la consistència en-
tre restriccions sense que siga necessària la prèvia ordenació dels valors en els seus
dominis. S’introduïxen mètodes per a dur a terme el backtracking sense haver de
desfer més assignacions que les necessàries, així com una heurística de poda de solu-
cions parcials que no conduïsquen a solucions millors que l’actualment aconseguida.
Els mètodes desenvolupats disposen addicionalment d’una funcionalitat de resposta
anytime.
Els mètodes i procediments presentats s’avaluen sobre diverses instàncies del
problema, totes elles obtingudes de casos reals. Se han seleccionat casos d’estudi de
diferent complexitat que nos han permés concloure l’eficiència dels mètodes desen-
volupats en quant a temps de resposta i qualitat es referix.

Capítulo 1
Introducción
1.1. Introduccíón
Los problemas de optimización y satisfacción de restricciones son extraordinar-
iamente complejos y variados. Al mismo tiempo se trata de problemas de un alto
interés, tanto en el ámbito científico-técnico como aplicado. Disponer de soluciones
algorítmicas eficientes y flexibles supone un alto valor añadido en muy diferentes
entornos de aplicación.
Entre estos problemas, se encuentran los de scheduling que implican, en términos
generales, la secuenciación de tareas que requieren para su ejecución, la asignación de
recursos escasos. Esta asignación de recursos debe hacerse de modo que se optimicen
determinados criterios de eficiencia.
Muchos problemas que se presentan en la práctica son problemas de scheduling.
Entre ellos se encuentran los problemas de generación optimizada de horarios de
ferrocarril . De hecho, el desplazamiento de pasajeros y mercancías (movilidad) ha
crecido de forma continuada en España a lo largo de los pasados años y está previsto
que esta tendencia continúe. Teniendo en cuenta que algunos de los sistemas de
transporte se están utilizando al límite de su capacidad (carreteras, ferrocarriles y
sistemas de transporte aéreo), este crecimiento supone un importante reto para las
partes implicadas, tales como gestores de infraestructuras, operadores de transporte
de pasajeros y operadores de mercancías.
En particular, en el transporte ferroviario actual, una expansión ilimitada de
la infraestructura ferroviaria ya no se ve como una solución para el problema de
1

2 1. Introducción
la movilidad por una serie de razones, incluyendo el impacto medioambiental: la
solución debe venir de un uso racional de las infraestructuras existentes en com-
binación con una expansión limitada de las mismas. Parte del crecimiento de la
movilidad deberá ser facilitado por el sistema de ferrocarriles. Sin embargo con el
fin de adecuar este crecimiento o incluso un incremento del mercado compartido del
sistema de ferrocarril, deben llevarse a cabo mejoras en la calidad de los servicios
y eficiencia de los sistemas. Estos últimos también son necesarios por la entrada de
la competencia de mercados libres de ferrocarril por las regulaciones recientes de
la Comisión Europea: los operadores de ferrocarril deberán operar como organiza-
ciones comerciales y únicamente es responsabilidad de los gobiernos la gestión de
las infraestructuras ferroviarias. La generación automática de horarios optimizados
supone una mejora relevante tanto en la calidad del servicio ofrecido al usuario como
del uso de la infraestructura ferroviaria existente.
El problema de generación de horarios optimizados es un problema combinatorio
de optimización. Es un problema combinatorio porque puede existir más de una
combinación factible de valores que corresponda a una solución al mismo. Por otra
parte, es un problema de optimización porque, de entre todas las combinaciones
de valores factibles, se requiere hallar la mejor, o una suficientemente optimizada,
según un determinado criterio de optimización.
Visto como un problema de scheduling, los problemas de generación de horarios
constan de un determinado conjunto de operaciones que deben ser ejecutadas. Cada
una de estas operaciones requiere utilizar un determinado tipo de recurso para lle-
var a cabo su objetivo. Existe un conjunto de restricciones que debe ser satisfecho
simultáneamente por las asignaciones realizadas para que estas sean consideradas
factibles y por ende una solución del problema. De esta forma, el objetivo es hallar
un instante de inicio y un instante de finalización para cada operación, satisfaciendo
el conjunto de restricciones correspondiente y optimizando una determinada función
objetivo.
Como veremos más adelante, el problema considerado en esta tesis corresponde
a un particular problema de scheduling tipo Job Shop. En consecuencia, hemos
revisado los trabajos previos sobre dichos problemas, analizando sus características
y las principales técnicas desarrolladas para resolver un problema de este tipo. En
algunos trabajos, se utiliza la programación matemática para la modelización de

1.2. El problema de Scheduling tipo Job Shop y su Formulación como un CSOP 3
estos problemas. En otros, la formulación del problema se realiza mediante técnicas
de programación de restricciones, tratándolo como un Problema de Optimización y
Satisfacción de Restricciones (CSOP, siglas en inglés).
Sin embargo, ciertos tipos de restricciones del problema de generación de horar-
ios que tratamos, son muy difíciles de modelar tanto en forma matemática como
en el lenguaje de la programación de restricciones. Ello conduce a que los méto-
dos genéricos que resuelven modelos matemáticos o bien que utilizan técnicas para
resolver CSOPs no puedan ser utilizados directamente para la modelización de las
restricciones existentes en el problema.
Por otra parte, las restricciones a tratar dan lugar a una gran complejidad com-
putacional, ya que su presencia implica mayor número de alternativas que estudiar.
De esta forma, obtener una solución rápida y de buena calidad puede requerir un
excesivo tiempo de cálculo, lo cual no es viable en los entornos de aplicación reales.
En consecuencia, tras la revisión de los modelos y métodos orientados hacia
la resolución del tipo de problema planteado, es necesario el desarrollo de nuevo
métodos que permitan modelar adecuadamente las restricciones existentes y puedan
obtener soluciones optimizadas de forma eficiente. El resultado obtenido es descrito
en esta Tesis.
En las siguientes secciones de este capítulo se introduce el tipo de problema
que se plantea resolver en esta tesis, su marco como un problema de scheduling
tipo Job Shop y su formulación como un problema CSOP. También se detallan las
motivaciones que condujeron al desarrollo de esta tesis, los objetivos concretos de
la misma y un esquema de los capítulos que contiene.
1.2. El problema de Scheduling tipo Job Shop y su For-
mulación como un CSOP
Scheduling es el problema de asignar a un conjunto de tareas, un conjunto de re-
cursos, sujeto a un conjunto de restricciones. Ejemplos de restricciones de scheduling
incluyen: deadlines (el trabajo i debe ser completado antes que se cumpla el instante
t), limitada cantidad de recursos (existen cuatro taladros), restricciones de prece-
dencia (una pieza debe ser pulida antes de ser pintada), prioridades sobre las tareas

4 1. Introducción
(terminar el trabajo j cuanto antes), entre otras.
Uno de los criterios utilizados para clasificar los problemas de scheduling es el
patrón de flujo, el cual consiste en la secuencia de ordenación de las operaciones.
Teniendo en cuenta este criterio el problema de scheduling puede ser:
Job Shop (J-S). Por cada trabajo se establece una ordenación determinada
entre sus tareas. En la Figura 1.1 se muestra un ejemplo de este tipo de
problema, donde Ti - 1 ≥ i ≥ 4 es un trabajo, y Rj - 1 ≥ j ≥ 5 es el recurso
que emplea la tarea j que lo compone. 12
Figura 1.1: Ordenación de tareas y recursos establecidos para cada trabajo de un
problema de scheduling tipo Job Shop R R2
Flow Shop (F-S). Todos los trabajos tienen la misma secuencia de ordenación
de las operaciones. Es un caso particular del J-S. En la Figura 1.2 se muestra un
ejemplo de este tipo de problema. Como puede verse, existen cuatro trabajos y
en todos ellos se requiere utilizar los recursos del problema en el mismo orden. 11
T4 T2
T3 T4 T 2 12
T2
4 R R5 R4 R4 R 1 R5 R 5 R
T 1 3 R1 T3
5 R R
R4R3R3
R2 R3
3 R 5 R 1 R 3 R4 R 2 R 5 R R 3 R 5 R 1 R 3 R4 R 2 R
Figura 1.2: Ordenación de tareas y recursos establecidos para cada trabajo de un
problema de scheduling tipo Flow Shop R5
R
Permutation Flow Shop (P). Hay una ordenación determinada de las opera-
ciones para cada uno de los trabajos, y también hay un orden de uso de cada
uno de los recursos por parte de las operaciones.
Open Shop (O). No hay ninguna restricción de ordenación.
R R4 R R4

1.2. El problema de Scheduling tipo Job Shop y su Formulación como un CSOP 5
En particular, el problema objeto de esta tesis es un problema de scheduling que
corresponde a un tipo específico de Job Shop.
En un problema de scheduling tipo Job Shop existen n trabajos, cada uno for-
mado por una secuencia ordenada de operaciones que visita un número de máquinas
siguiendo una ruta pre determinada. En algunos modelos de Job Shop, un trabajo
puede visitar una determinada máquina a lo sumo una vez, en otros modelos una
misma máquina puede ser visitada más de una vez por un mismo trabajo. En el
último caso se dice que el trabajo está sujeto a re circulación. El procesamiento del
trabajo j en la máquina i es referido como una operación (i, j) y su duración es pij
. El objetivo es minimizar el makespan Cmax . En general, en un Job Shop cada
máquina puede procesar como máximo una operación a la vez.
En el trabajo publicado por Dechter en [32], el problema de minimizar el makespan
en un Job Shop sin re circulación es representado por medio de un grafo disyuntivo.
Se considera un grafo dirigido G con un conjunto de nodos N y dos conjuntos de
arcos A y B. , 1 1 , 2 1 , 3 1
, 1 3 , 2 , 2 2 , 1 2 , 4 2 , 3 U V 0 3
Figura 1.3: Grafo Dirigido para Job Shop con el makespan como el objetivoTerminal
Origen
Los nodos N corresponden a todas las operaciones (i, j) que deben ser llevadas
a cabo en los n trabajos.
Los arcos del conjunto A, llamados arcos conjuntivos representan las rutas de
los trabajos. Si el arco (i, j) → (h, j) es parte de A, entonces el trabajo j tiene que
ser procesado en la máquina i antes de ser procesado en la máquina h. Esto significa
que la operación (i, j) precede a la operación (h, j). Dos operaciones, que pertenecen
42 p43 23 p 00
a dos trabajos diferentes y que deben ser procesadas por la misma máquina, están
43 p p
3 , 4 2

6 1. Introducción
conectadas una a otra por los llamados arcos disyuntivos en direcciones opuestas.
El conjunto de arcos disyuntivos B forma m cliques de arcos dobles, un clique
por cada máquina. Todos los arcos, conjuntivos o disyuntivos, saliendo de un nodo
tienen como longitud el tiempo de procesamiento de la operación representada por
el nodo.
Además hay un nodo origen U y un nodo terminal V , los cuales son nodos
artificiales. El nodo origen U tiene n arcos conjuntivos que parten del mismo hacia
las primeras operaciones de los n trabajos, y el nodo terminal V tiene n arcos
conjuntivos entrantes desde las últimas operaciones. Los arcos salientes del nodo U
tienen longitud cero, ver Figura 2.3. Este grafo es denotado por G = (N, A, B).
Una de las aproximaciones empleadas para modelar este tipo de problemas con-
siste en formularlo como un CSOP, el cual es definido por una cuadrupla de: (i)
variables, (ii) dominio de las variables, (iii) restricciones y (iv) función objetivo.
En un CSOP el objetivo es asignar un valor a cada variable de tal forma que
dicho valor pertenezca al dominio de la variable y que la asignación simultánea de
las variables del problema satisfagan el conjunto de restricciones considerado. De
ser así, una solución es obtenida. La calidad de la misma es medida por la función
objetivo, cuyo dominio de aplicación es la asignación realizada.
Al modelar un Job Shop como un CSOP, las variables son el instante de inicio
y el instante de fin de cada operación definida en el Job Shop. El conjunto de
restricciones está formada por los requerimientos de precedencia entre operaciones
de un mismo trabajo, requerimientos de capacidad de un recurso o centro de trabajo,
así como cualquier otro requerimiento que se desee establecer entre las operaciones
o entre los trabajos que componen el Job Shop. El dominio de las variables es el
conjunto de valores que pueden servir como unidad de tiempo y la función objetivo
puede ser minimizar el makespan, minimizar la demora de determinados trabajos,
minimizar el uso de determinados recursos, o cualquier otra función que signifique
optimización dentro del dominio en el que se aplica el problema.
Se ha realizado una revisión de los métodos y técnicas para resolver problemas
de scheduling tipo Job Shop genéricos así como problemas formulados como CSP.
Podemos indicar que los principales problemas abiertos consisten en que muchas de
las restricciones, necesarias para que la solución sea viable en un entorno real, no son
tenidas en cuenta en los trabajos publicados. Al agregar estas restricciones muchos

1.3. Marco de Trabajo: Generación Optimizada de Horarios. Aplicación a Horarios Ferroviarios7
métodos, específicamente los que conllevan programación matemática no pueden
ser aplicados. Otros métodos basados en heurísticas dejan de ser eficientes, ya que
consideran que el backtracking no es necesario, o bien proveen formas de evitar el
mismo que al ser aplicados elevan la complejidad temporal de cada generación junto
con su complejidad espacial, debido a las estructuras de datos que proponen para
recordar cada incumplimiento que implica un backtracking.
1.3. Marco de Trabajo: Generación Optimizada de Ho-
rarios. Aplicación a Horarios Ferroviarios
El Problema de Optimizar y Programar horarios para Trenes (OPT) puede ser
considerado como un problema de scheduling tipo Job Shop. Esta corresponden-
cia es detallada en el Capítulo 3. Sin embargo, el problema reúne un conjunto de
características que agregan tal complejidad que las aproximaciones existentes re-
sultan inadecuadas, ya sea por la imposibilidad de formular el problema o por la
degradación en la eficiencia del método de solución.
El problema OPT es uno de los problemas que deben ser resueltos a la hora de re-
alizar una planificación dentro del sector ferroviario. El sistema de tráfico ferroviario
es muy complejo, por lo que el proceso de planificación es dividido en varios pasos
(Bussieck, [16]). En la Figura 1.4 se muestra un diagrama de esta descomposición
jerárquica. En un primer paso, se estima la cantidad de pasajeros deseando ir desde
ciertos puntos origen hasta ciertos puntos destino. A partir de dicha información se
planifican las líneas, empezando por la infraestructura necesaria y continuando por
los tipos de trenes que operarán en cada línea, y la frecuencia que deberá existir
entre los trenes según el tipo al que correspondan. La siguiente tarea consiste en
determinar el horario que se asociará a cada tren en cada línea. Es este el proble-
ma para el cual proponemos un método de solución en este trabajo, y para el cual
proporcionamos una modelización que lo define formalmente. Finalmente se debe
realizar una asignación de las máquinas y vagones a cada tren así como del personal
que se deberá incluir en cada tren. Cada paso único en este proceso es una tarea
difícil. Una descripción más detallada de cada uno es proporcionada por Thomas
Lindner en [113].

8 1. Introducción
de Análisis Línea de ión PlanificacDemanda
Material de ión Planificac Personal de Manejo Rodante
Figura 1.4: Proceso de Planificación Jerárquica
Planificac
Otro clásico punto de vista es la partición del proceso de planificación en plani-
ficación estratégica, táctica y operacional [113]. Ver Tabla 1.1.
para Horarios de ión Trenes
Nivel de Planificación Horizonte de Tiempo Objetivo
Estratégica 5 - 15 años Adquisición de Recursos
Táctica 1 - 5 años Asignación de Recursos
Operacional 24h - 1 año Decisiones diarias
Cuadro 1.1: Niveles de Planificación
En el nivel de planificación estratégica, se examinan posibles inversiones de
infraestructura. El objetivo es decidir acerca de la adquisición de recursos. Tales
proyectos pueden tener una duración de 5 - 15 años, y por lo tanto la visión de
futuro juega un papel muy importante. El análisis de la demanda de pasajeros y el
diseño de las líneas pertenecen a este nivel de planificación. También es posible ex-
aminar horarios de trenes en este punto de la planificación, para examinar el efecto
de una cierta propuesta de infraestructura en el tiempo de viaje.

1.3. Marco de Trabajo: Generación Optimizada de Horarios. Aplicación a Horarios Ferroviarios9
La planificación táctica está enfocada a la asignación de recursos a medio plazo.
En esta etapa, el patrón general de flujo de tráfico es derivado de la infraestructura
invariable y de los datos acerca de las demandas de clientes. Se realiza una plani-
ficación de líneas y horarios de trenes más detallados así como patrones generales
para la circulación de material rodante y manejo del personal.
Decisiones diarias constituyen el nivel de planificación operacional. En esta etapa
de la planificación, partes de un horario o parte de la planificación de material
rodante y personal deben ser re planificados, debido a eventos inesperados como
averías, requerimiento de trenes especiales, o cambios en la infraestructura por cortos
periodos de tiempo , causados por la construcción en ciertos sitios.
El método de solución que proponemos en esta Tesis podrá ser utilizado tan-
to para llevar a cabo una Planificación Táctica como Operacional en cuanto a la
asignación de horarios se refiere.
1.3.1. Introducción al Problema de Optimizar y Programar horar-
ios para Trenes
En el Problema de Optimizar y Programar horarios para Trenes (OPT) se consid-
era un conjunto de trenes y una línea ferroviaria, la cual está formada por una secuen-
cia ordenada de dependencias (apeaderos, estaciones, bifurcaciones, cargaderos, ...,
etc.). Cada tren tiene definido un recorrido sobre la misma, que no tiene por qué ser
el mismo para todos. Se deberá asignar un horario factible, según un determina-
do conjunto de restricciones, a cada tren, optimizando una determinada función
objetivo.
El orden entre las dependencias determina el orden en el cual deben ser visitadas
por los trenes que viajan en un determinado sentido, al cual denominamos ida.
Cuando los trenes viajan en el sentido opuesto, decimos que viajan en sentido vuelta.
Las restricciones, que deben ser satisfechas por la programación de horarios
entregada, tienen en cuenta la capacidad de la infraestructura ferroviaria, el tráfico
que existe en la línea, las condiciones de mantenimiento, el servicio propuesto al
cliente, y las condiciones establecidas por el planificador de horarios para guiar
hacia un tipo de resultado la solución que se obtenga.
La infraestructura ferroviaria está dada por el número de vías en la dependencia

10 1. Introducción
y entre dependencias consecutivas, así como por el tipo de señalización que existe
en cada tramo. Las restricciones que tienen en cuenta el mantenimiento de la línea
incluyen los horarios de cierre en las estaciones y los intervalos de tiempo corre-
spondientes a las operaciones de mantenimiento. En cuanto a las restricciones de
tráfico, se debe considerar que puede existir más de un tren en la línea, por lo tanto
se deberá evitar colisiones entre ellos o cualquier otro tipo de operación que pon-
ga en riesgo al vehículo y a sus ocupantes. En cuanto al servicio al cliente, puede
ser requerida una determinada frecuencia de salida entre trenes consecutivos de de-
terminadas estaciones, o una mínima parada comercial que permita el ascenso y
descenso de pasajeros en determinadas estaciones o apeaderos. Además, el planifi-
cador podrá especificar por cada tren, un intervalo de instantes de tiempo factibles
para que el tren parta de su estación origen y podrá restringir el instante de llegada
a su estación destino a un determinado intervalo de tiempo. Otro requerimiento que
puede ser añadido es el de un máximo retraso permitido con respecto a un tiempo
de referencia para el tren.
En cada dependencia se especifica un número total de vías y la cantidad de es-
tas vías que poseen andén. Un tren no podrá llegar a una dependencia en la cual
no exista por lo menos una vía disponible. Además, deberá poseer andén si el tren
que llega tiene previsto realizar una parada comercial en ella. Otro de los atributos
asociados a una dependencia es el horario de cierre, formado por un conjunto de
intervalos de tiempo, que señalan cada uno, los instantes en los que dicha depen-
dencia permanece cerrada. Consideramos dos tipos de cierre: apto para circulación
y no apto para circulación. Si se da el primer caso, significa que mientras dure el
cierre, solo una vía de la dependencia estará disponible, lo cual a su vez significa
que no podrá ser ocupada al mismo tiempo, por más de un tren. Si el cierre es del
segundo tipo, significa que ningún tren podrá pasar por la dependencia mientras
dure el cierre especificado para la misma.
Entre dos dependencias consecutivas pueden existir una o dos vías de circulación.
Si existe una sola vía de circulación, entonces tanto los trenes que viajan en sentido
ida como los trenes que viajan en sentido vuelta deberán utilizar la misma vía para
ir de una dependencia a otra. En este caso se deberá tener en cuenta que dos trenes
viajando en sentido opuesto no podrán utilizar dicho tramo al mismo tiempo, para
evitar una colisión entre los mismos. Cuando dos trenes que viajan en sentido opuesto

1.3. Marco de Trabajo: Generación Optimizada de Horarios. Aplicación a Horarios Ferroviarios11
tienen la posibilidad de ocupar un mismo tramo al mismo tiempo, se deberá decidir
cuál de ellos lo ocupará primero, haciendo que el otro tren espere hasta que el tramo
sea liberado. La decisión que sea tomada cada vez que aparece un conflicto de este
tipo, condiciona la calidad de la programación de horarios.
Cuando dos trenes que viajan en sentidos opuestos llegan a una misma estación,
desde tramos que constan de única vía, es importante que exista un mínimo tiempo
entre sus llegadas (tiempo de recepción) así como entre la llegada de un tren y la
salida del tren con sentido de viaje opuesto (tiempo de expedición). Estos tiempos
aseguran que no se produzcan colisiones entre trenes que viajan en sentidos opuestos,
a la entrada o a la salida de una estación que posea una única vía de salida o de
llegada.
Cuando existen dos vías de circulación entre dos dependencias consecutivas, se
dedica cada vía a la circulación en un determinado sentido, de tal forma que dos
trenes viajando en sentido opuesto no utilizarán la misma vía de circulación en dicho
tramo.
Cuando dos trenes viajan en el mismo sentido y son consecutivos entre sí, por ra-
zones de seguridad se requiere que exista una diferencia de tiempo entre ellos. Según
sea el sistema de señalización empleado en un tramo, a esta diferencia de tiempo la
denominamos sucesión automática o sucesión manual. En el primer caso se requiere
que exista una mínima cantidad de tiempo entre las salidas y las llegadas de los
trenes consecutivos de y a las estaciones del tramo. En el segundo caso, el tramo no
podrá ser ocupado al mismo tiempo por dos trenes. El segundo tren deberá esperar
hasta que el primero llegue a la siguiente estación abierta y se produzca el aviso
de llegada. Es necesario que la estación a la cual llegue el primer tren se encuentre
abierta para que un operario pueda avisar por teléfono al segundo tren que ya puede
salir. Si los dos trenes necesitan realizar una parada en alguna estación común a sus
recorridos, siempre que ambos trenes puedan salir al mismo tiempo de la estación,
deberá salir primero aquel tren que hubiera llegado primero a la misma, es decir, en
estos casos no se permite adelantamientos entre trenes consecutivos.
Existen intervalos de tiempo en los que se prevé mantenimiento para un determi-
nado tramo. En los instantes de tiempo pertenecientes a dicho intervalo se considera
que el número de vías para circulación en el tramo, disminuye en uno. Es decir, si
el tramo consta de una sola vía de circulación, no podrá pasar ningún tren por el

12 1. Introducción
tramo mientras dure el mantenimiento. Si el tramo consta de dos vías, el tramo
quedará reducido a un tramo de única vía mientras dure el mantenimiento.
Por cada tren se especifica una velocidad promedio por tramo, sin embargo
cuando el tren debe detenerse en una estación en la cual no tenía previsto parar,
la velocidad promedio del tramo previo a la estación y la velocidad promedio del
tramo posterior a la misma deberá disminuir con respecto a la velocidad previamente
especificada, ya que el tren deberá frenar y posteriormente deberá ponerse en marcha
para continuar su viaje. Siendo así, se deberá incrementar el tiempo de recorrido
inicialmente especificado para el tren en los tramos anterior y posterior a la estación
donde se produce la parada no prevista.
El intervalo de tiempo dentro del cual se lleva a cabo la optimización es un
parámetro del problema. El intervalo máximo permitido es el correspondiente a un
día de planificación, [0, 86400] segundos.
Los trenes pueden pertenecer a diferentes tipos, esto es diferentes velocidades,
diferentes recorridos, diferentes paradas especificadas en las estaciones,...etc.
Se considera la posibilidad de que la línea ferroviaria ya se halle ocupada por
otros trenes, a los cuales se denomina trenes en circulación porque ya tienen un
horario determinado el cual no podrá ser modificado para introducir a los nuevos
trenes. El horario de los nuevos trenes deberá tener en cuenta la ocupación que
realicen los trenes en circulación de los tramos y las estaciones consideradas.
1.4. Motivaciones
La asignación optimizada de horarios es un problema que supone un reto en
el desarrollo de sistemas computacionales, por lo que ha sido objeto de estudio de
diversos trabajos en el área. Los trabajos realizados proponen distintos métodos
de solución para problemas de asignación, contemplando determinados conjuntos
de restricciones. Sin embargo, el conjunto de restricciones que consideran resulta
incompleto para algunos dominios de aplicación, como el problema de optimización
de horarios ferroviarios que se plantea en esta tesis.
Más concretamente, en este problema subyacen restricciones muy complejas para
las que no se han desarrollado métodos capaces de gestionarlas adecuadamente. El
problema planteado corresponde a un problema real en el que se deben tratar las

1.5. Objetivos de la Tesis 13
restricciones que realmente subyacen en el mismo.
La revisión de métodos de solución para problemas relacionados al considera-
do, así como de aquellas técnicas generales más referenciadas, tanto en el campo
de la Investigación de Operaciones como en el campo de la Inteligencia Artificial,
nos ha permitido distinguir aquellas propiedades que son necesarias, así como aque-
llas características que nos impiden utilizarlos como tales en la resolución de este
problema.
En consecuencia, el diseño y desarrollo de sistemas capaces de contemplar las
complejas restricciones que subyacen en un problema real de asignación optimizada
de horarios en un entorno ferroviario supone un importante reto científico.
Además, desde un punto de vista práctico, para que estas soluciones sean utiliz-
ables, es deseable una resolución eficiente de los problemas de forma que se encuen-
tren soluciones optimizadas en un tiempo razonable.
Por todo lo anterior, la motivación principal de esta tesis consiste en desarrollar
un método que resuelva el problema planteado de forma eficiente, considerando un
conjunto de restricciones que es necesario tratar para la obtención de soluciones
factibles para dicho problema. De esta forma se obtendrían soluciones viables en el
contexto de aplicación real correspondiente.
Bajo otro punto de vista, ofrecer una solución de alta calidad al problema OPT
responde a una necesidad real ya que hoy en día la planificación del transporte fer-
roviario es una tarea altamente compleja. Muchos objetos, que interactúan unos con
otros, deben ser manejados simultáneamente. Existen varios sub problemas de difer-
ente naturaleza tales como el diseño de red, scheduling, planificación de líneas, etc.
y las soluciones para algunos de estos sub problemas dependen de las soluciones del
resto de sub problemas considerados. La programación de horarios es una de las tar-
eas que deben ser llevadas a cabo dentro del proceso de planificación. Consideramos
que llevarla a cabo de forma eficiente, tanto en tiempo como en utilización de recur-
sos, contribuye a que el proceso de planificación completo tenga buenos resultados,
lo cual tiene un interés en el sector socio económico y en el sector ambiental.
1.5. Objetivos de la Tesis
Los principales objetivos de esta Tesis son los siguientes:

14 1. Introducción
1. Definir formalmente el problema de generación y optimización de horarios
ferroviarios, considerando las variables, restricciones y criterios que subyacen
en el contexto real de aplicación.
En primer lugar, es necesario identificar el problema como un problema de
scheduling Job Shop. Posteriormente, se deberán incorporar nuevas restric-
ciones a las comúnmente contempladas en los problemas genéricos de schedul-
ing Job Shop. Para ello, deberán identificarse y formalizarse las específicas
y complejas restricciones que subyacen en el problema de generación y opti-
mización de horarios ferroviarios.
La identificación del problema como un problema de scheduling tipo Job Shop
nos permitirá evaluar las aproximaciones realizadas para la modelización y res-
olución de problemas Job Shop genéricos. Es necesario identificar las ventajas
e inconvenientes de su aplicación, analizando su viabilidad y adecuación. Ello
nos permitirá además justificar la necesidad de desarrollar nuevos modelos y
métodos más adecuados a la tipología del problema planteado.
2. Diseñar y desarrollar nuevos métodos de solución para el problema de gen-
eración y optimización de horarios ferroviarios.
El objetivo es desarrollar un método que permita obtener soluciones opti-
mizadas de forma eficiente. Para ello, será necesario diseñar nuevas heurísticas
capaces de guiar el proceso de búsqueda hacia soluciones que optimicen la
función objetivo. Se deberán desarrollar heurísticas, para una adecuada or-
denación de variables, valores de instanciación y generación eficiente de solu-
ciones. El objetivo es obtener las mejores soluciones en el menor tiempo posible.
Como paso previo, se deberán analizar las técnicas CSP y de programación
matemática, revisando su adecuación y/o aplicabilidad al problema.
3. Evaluación de los métodos desarrollados. Diseño de casos de prueba.
La evaluación de los métodos desarrollados se debe llevar a cabo utilizando
instancias reales del problema considerado, más que problemas-tipo de labo-
ratorio. Ello requerirá el desarrollo de un sistema software que incorpore los
métodos diseñados y facilite la parametrización de los casos de pruebas y la
evaluación de los resultados obtenidos.

1.6. Esquema de la Tesis 15
1.6. Esquema de la Tesis
Asumiendo que el problema de generación y optimización de horarios es un prob-
lema de scheduling Job Shop con determinadas características adicionales, hemos
estudiado este tipo de problema, así como los modelos y métodos de solución que
han sido publicados en la literatura. En el capítulo 2 proporcionamos el resulta-
do de este estudio. Indicamos las características de un problema de scheduling Job
Shop, la programación matemática y la programación de restricciones como las
dos aproximaciones que han sido más utilizadas para modelar el tipo de proble-
ma considerado. Entre los métodos de optimización exacta se destacan aquellos
que aprovechan las propiedades matemáticas de los modelos formulados mediante
programación matemática. Entre los métodos heurísticos se distingue entre los que
utilizan las propiedades de CSPs para proponer heurísticas, los que están basados
en las propiedades de un Job Shop y aquellos propuestos para resolver problemas
de optimización combinatorios genéricos.
En el capítulo 3, describimos formalmente el problema que se considera en esta
Tesis. Lo formulamos como un Problema de Satisfacción de Restricciones, iden-
tificando las variables, dominio de las mismas, restricciones y función objetivo,
para posteriormente realizar una correspondencia entre el mismo y el problema
de scheduling Job Shop, indicando aquellas características que aumentan su com-
plejidad y que hacen necesario la búsqueda de nuevos métodos que lo resuelvan más
eficientemente.
En el capítulo 4, se describen los modelos y métodos de solución relacionados.
También se proporciona un análisis sobre los mismos y la justificación de por qué su
utilización no sería factible.
En el Capítulo 5, se propone y se describe en detalle un nuevo método de solución,
que además de considerar todas las restricciones necesarias en este tipo de problema,
es capaz de obtener soluciones optimizadas de modo eficiente. El método se basa en la
ordenación de variables para lo cual utiliza una heurística basada en el estado actual
el problema, y en la función objetivo del problema. Es un método de ordenación
de variables dinámico. Se propone además de una heurística de ordenación, una
heurística para podar soluciones parciales que se estima serán peores o iguales a al
mejor solución obtenida hasta entonces. El procedimiento propuesto es un método

16 1. Introducción
que construye una solución en cada iteración y devuelve la mejor solución hasta
el momento en que se cumple la condición de parada. Este capítulo junto con el
capítulo 3 contienen las principales aportaciones de este trabajo.
En el capítulo 6, se proporcionan los resultados obtenidos a partir de la evalu-
ación del método de solución. Para ello se han utilizado instancias reales del prob-
lema.
En el capítulo 7, se presentan las conclusiones y posibles líneas de trabajos
futuros.
En el Apéndice final de esta tesis se describe el sistema software que hemos de-
sarrollado y al cual hemos denominado Módulo Optimizador de Mallas (MOM). Se
trata de una herramienta software implementada para evaluar la aplicación de los
métodos y técnicas desarrollados en esta Tesis sobre datos reales. Dicha herramien-
ta se contrasta con otros sistemas similares, desarrollados en centros tecnológicos
internacionales, comparando sus funcionalidades y adecuación al problema.

Capítulo 2
Métodos para resolver
Problemas tipo Job Shop
2.1. Introducción
El problema de scheduling tipo Job Shop es descrito formalmente en numerosos
trabajos utilizando generalmente modelos matemáticos o redes de restricciones.
En este capítulo se presentan las dos aproximaciones más utilizadas para for-
mular este tipo de problema así como algunos de los métodos más representativos
para resolverlo. Se ha realizado un estudio acerca de los mismos con el objetivo de
determinar su aplicabilidad al tipo de problema considerado.
P
Figura 2.1: Esquema de los Métodos estudiados para resolver un Job Shop
rogramació
A partir del estudio que hemos realizado, clasificamos los métodos para resolver
Métodos Exacta Optimizaci Métodos Constructi Mejora Métodos and BranchCut and BranchP and Branch ricea
Heurístic Shop os Job ón un
Botella de Cuello Desplazar Beam Búsqueda Annealing SimulatedTabú BúsquedaGenético
de resolver para usados Métodos
Alg de eglasP R to rocesamien Dinámica n Bound De Métodos vos oritmo RelajaciónLagrangian
el problema. En primer lugar, se realiza una clasificación de lo métodos de resolución
17

18 2. Métodos para resolver Problemas tipo Job Shop
en la que se diferencia entre métodos de optimización exacta y métodos heurísticos
(Figura 2.1). Los métodos de optimización exacta a los cuales se hace referencia
en dicha figura son empleados generalmente para resolver problemas que han sido
modelados mediante programación matemática. Entre los métodos heurísticos de
la misma figura se puede diferenciar entre aquellos cuya heurística está basada en
las propiedades de un Job Shop (Desplazar Cuello de Botella y Reglas de Proce-
samiento), y entre aquellos que son comunes a la resolución de cualquier problema
de optimización combinatorio. de to Ordenamienad. Falla, que primero Ej Dinámico Estático Valores de to Ordenamienad. (ES), Solutions Estimated (MD), Domain Maximum (MC), Conflict Variables
+ de Inferencia : Híbrido Variables Asignación
Forward (VES) Eliminatio Variable : Ej Inferencia Aleatoried El : ng BacktrackiBásico Aleatoried Minimum :
ng Backtracki e. Aprendizaj de Algoritmosg,
Backmarking,
Backjumpin : Ej Búsqueda Checking(FC)
Búsqueda
Ej
Figura 2.2: Esquema de Técnicas utilizadas en la resolución de CSPs
CompletaLocal Search n o Incompletaia Consistenc Nodo ia Consistenc Arco ia ng Backtrackimejorado
Si se consideran los métodos para resolver CSPs, el criterio de clasificación se MaintaininConsistenc
puede basar en la relación que existe entre el proceso de búsqueda y las técnicas,
que utilizando propiedades de un CSP, buscan disminuir el espacio de búsqueda
(Figura 2.2). Un CSP también puede ser resuelto por un procedimiento heurístico
de búsqueda local, tales como los citados en la Figura 2.2.
gArc
y (MAC)
CaminoConsistenc
El análisis crítico de los métodos presentados en este capítulo, respecto a su
aportación al problema tipo planteado en esta tesis, se llevará a cabo en un capítulo
posterior a la descripción formal del problema OPT, de tal forma que se conozca con
mayor detalle todos los requerimientos que debe satisfacer la solución del mismo y
así se puedan realizar las comparaciones con mayor claridad.

2.2. El Problema de Scheduling tipo Job Shop 19
2.2. El Problema de Scheduling tipo Job Shop
En esta sección indicamos en qué consiste el problema de scheduling tipo Job
Shop, según lo establecido por el área de Investigación de Operaciones. Se indican
los conceptos que definen esta tipología de problema con el objeto de establecer
posteriormente un paralelismo con las características del problema, para el cual
proponemos una solución en esta tesis.
Como hemos visto en la Sección 1.2 del Capítulo 1, Job Shop es uno de los
tipos de scheduling que existe, si consideramos al patrón de flujo como criterio de
clasificación. En un problema de scheduling tipo Job Shop existen n trabajos, cada
uno formado por una secuencia ordenada de operaciones. Cada operación consiste
en realizar una determinada tarea utilizando una de las M máquinas existentes
en el problema. Se utiliza el concepto de máquina para representar un recurso en
general. En algunos modelos de Job Shop, un trabajo puede utilizar una determinada
máquina a lo sumo una vez, en otros modelos una misma máquina puede ser utilizada
más de una vez por un mismo trabajo. En el último caso se dice que el trabajo
está sujeto a re-circulación. El procesamiento del trabajo j en la máquina i es referido
como una operación (i, j) y su duración es pij . El objetivo es minimizar el makespan
(tiempo transcurrido desde el instante en que se inicia el primer trabajo y el instante
en que finaliza el último trabajo) Cmax .
La capacidad de cada máquina es un factor a tener en cuenta. Cuando la capaci-
dad es n, la máquina puede ser utilizada a lo sumo por n operaciones simultánea-
mente. En general, en un Job Shop cada máquina puede procesar como máximo una
operación a la vez (máquina con capacidad n = 1).
En [32], Dechter representa el problema de minimizar el makespan en un Job
Shop sin re-circulación por medio de un grafo disyuntivo. Se considera un grafo
dirigido G con un conjunto de nodos N y dos conjuntos de arcos A y B. Un ejemplo
de este tipo de grafo es mostrado en la Figura 2.3.
Los nodos N corresponden a todas las operaciones (i, j) que deben ser llevadas
a cabo en los n trabajos.
Los arcos del conjunto A, llamados arcos conjuntivos representan las rutas de
los trabajos. Si el arco (i, j) → (h, j) es parte de A, entonces el trabajo j tiene que
ser procesado en la máquina i antes de ser procesado en la máquina h. Esto significa

20 2. Métodos para resolver Problemas tipo Job Shop
que la operación (i, j) precede a la operación (h, j). Dos operaciones, (i, j), (i, k),
que pertenecen a dos trabajos diferentes, j y k, y que deben ser procesadas por la
misma máquina i, están conectadas una a otra por los llamados arcos disyuntivos
en direcciones opuestas.
El conjunto de arcos disyuntivos B forman m cliques 1 de arcos dobles, un clique
por cada máquina. Todos los arcos, conjuntivos o disyuntivos, saliendo de un nodo
tienen como etiqueta el tiempo de procesamiento de la operación representada por
el nodo.
Además hay un nodo origen U y un nodo terminal V , los cuales son nodos
artificiales. El nodo origen U tiene n arcos conjuntivos que parten del mismo hacia
las primeras operaciones de los n trabajos, y el nodo terminal V tiene n arcos
conjuntivos entrantes desde las últimas operaciones. Los arcos salientes del nodo U
tienen etiqueta cero. En el grafo G = (N, A, B) de la Figura 2.3, se representa un
problema de scheduling tipo Job Shop con cuatro máquinas y tres trabajos. En la
Figura 2.4 se indica la secuencia de operaciones que componen cada trabajo, y la
máquina requerida por cada una de estas operaciones.
1
,
Figura 2.3: Grafo Dirigido para Job Shop con el makespan como el objetivo Terminal Origen
1 , 2 1 , 3 2 , 2 2 , 1 2 , 4 2 , 3 U V 0 1
, 1 3 , 00 42 3
Figura 2.4: Flujo de los Trabajos 12
p43
43 p p
3 , 4 2
1 Un clique en un grafo es el menor conjunto de vértices, donde todos son adyacentes entre si
23
p
1231234 2143 TrabajoMáquina

2.3. Formulación de un Job Shop utilizando Programación Matemática 21
2.3. Formulación de un Job Shop utilizando Progra-
mación Matemática
La programación matemática es uno de los métodos más comunmente utilizados
para modelar un problema tipo Job Shop. En esta sección proporcionaremos un
modelo que formula el problema representado por el grafo G en la sección previa.
Obtener una solución para un problema de scheduling corresponde a la selección
de uno de los arcos disyuntivos por cada par existente en el grafo, de tal forma que
el mismo resulte finalmente en un grafo dirigido acíclico. Tal selección determina la
secuencia en la cual las operaciones van a ser llevadas a cabo sobre cada máquina.
Si D denota el subconjunto de los arcos disyuntivos seleccionados en la solución
del problema y el grafo G(D) es definido por el conjunto de arcos conjuntivos y el
subconjunto D, entonces D corresponde a una solución si y solo si G(D) no contiene
ningún ciclo dirigido.
El makespan de una solución es determinado por el camino más largo en G(D)
desde el nodo origen U al nodo terminal V . Este camino más largo está formado por
un conjunto de operaciones, donde la primera de ellas empieza en el instante cero, y
la última finaliza en el instante del makespan. Cada operación en este camino está in-
mediatamente seguida ya sea por la siguiente operación sobre la misma máquina o
por la siguiente operación del mismo trabajo en otra máquina. El problema de min-
imizar el makespan es reducido a encontrar una selección de arcos disyuntivos que
minimice la longitud del camino más largo (esto es, el camino crítico).
Hay varias formulaciones de programación matemática para job shop sin re-
circulación, incluyendo un número de formulaciones de programación entera. Sin
embargo, la formulación usada más frecuentemente es la llamada formulación de pro-
gramación disyuntiva. Esta formulación de programación disyuntiva está relacionada
cercanamente con la representación del job shop por medio de grafos disyuntivos.
Para presentar la formulación de programación matemática, consideremos que
la variable yij denota el inicio de la operación (i, j). Teniendo en cuenta que N es el
conjunto de nodos del grafo G y A es el conjunto de arcos (i, j) → (h, j), el siguiente
modelo matemático minimiza el makespan.
En esta formulación, el primer conjunto de restricciones asegura que la operación
(h, j) no puede ser iniciada antes de que la operación (i, j) sea completada. El tercer

22 2. Métodos para resolver Problemas tipo Job Shop
minimize Cmax
subject to
yhj − yij ≥ pij for all (i, j) → (h, j) ∈ A (1
Cmax − yij ≥ pij for all (i, j) ∈ N (2
yij − yik ≥ pik ∨ yik − yij ≥ pij for all (i, k) and (i, j), i = 1, ..., m (3
yij ≥ 0 for all (i, j) ∈ N (4
conjunto de restricciones agrupa a las llamadas restricciones disyuntivas, mediante
las cuales se asegura que exista algún ordenamiento en medio de las operaciones
de diferentes trabajos que tienen que ser procesadas sobre la misma máquina. De-
bido a estas restricciones, esta formulación es referida como una formulación de
programación disyuntiva.
Que un problema de scheduling pueda ser formulado como un programa disyunti-
vo no implica que haya procedimientos de solución standard disponibles que siempre
trabajen satisfactoriamente. Minimizar el makespan en un job shop es un problema
muy difícil y procedimientos de solución están basados ya sea en procedimientos
enumerativos o en procedimientos heurísticos. La complejidad de un problema de
scheduling tipo Job Shop es NP-hard (Garey et. al [44]).
2.4. Métodos de Optimización Exacta
En esta sección describimos algunos de los métodos empleados para resolver
problemas de optimización combinatorios modelados mediante la programación matemática,
obteniendo la solución óptima del problema si este tiene solución.
2.4.1. Programación Dinámica
El término Programación Dinámica fue acuñado por Richard Bellman [10] en
la década de 1950. El término programación en ese entonces no se refería a la pro-
gramación en ordenadores, era utilizado para denotar planificación (programación
lineal, mixta,..,etc. tienen una etimología similar). La programación dinámica fue
creada con el objetivo de planificar en forma óptima procesos multi-etapas. En el
trabajo realizado por Dasgupta [30], se explican varios ejemplos de este tipo de
procesos, resueltos utilizando Programación Dinámica.

2.4. Métodos de Optimización Exacta 23
Este método es un paradigma algorítmico, basado en el principio de optimali-
dad de Bellman ”Cualquier sub secuencia de decisiones de una secuencia óptima de
decisiones que resuelve un problema, también debe ser óptima respecto al sub prob-
lema que resuelve”. Para resolver un problema utilizando Programación Dinámica,
es necesario identificar tanto los sub problemas que lo forman, como la relación que
existe entre ellos. La relación establece un orden para resolver los sub problemas,
ya que la solución de uno es necesaria para resolver otro. Así, el sub problema más
pequeño es aquel que no requiere de la solución de ningún otro, sin embargo, su
solución sí es necesaria para el siguiente sub problema en el orden. El sub problema
más grande, es aquel cuya solución requiere la solución del resto de sub problemas
identificados. Resolviendo el último sub problema, el problema original es resuelto.
El método Programación Dinámica está caracterizado por tres tipos de ecua-
ciones, particularmente:
(i) condiciones iniciales,
(ii) relación recursiva, y
(iii) una función del valor óptimo.
En scheduling se puede seleccionar entre programación dinámica hacia delante
y programación dinámica hacia atrás, las cuales son analizados a continuación.
Formulación de Programación Dinámica hacia adelante
Se dice que el método de Programación Dinámica se aplica hacia adelante, cuan-
do la ecuación que establece la relación entre un sub problema j y un sub problema
j + 1, es definida de tal forma, que la solución óptima de j depende de la solución
óptima de j + 1.
Como ejemplo, describiremos la forma en que un determinado problema es re-
suelto utilizando programación dinámica hacia adelante.
El problema que consideramos es el problema de la mochila M(1, n, C). En este
problema se debe decidir si el objeto i, 1 ≤ i ≤ n será introducido o no en la mochila,
cuya capacidad máxima es igual a C. Cada objeto i ocupa una capacidad igual a
pi en la mochila y el beneficio de su utilización es igual a bi. Considerando que xi
indica la fracción del objeto i introducida en la mochila, y que los objetos no pueden
ser fraccionados, a continuación se especifica el problema de la mochila mediante un

24 2. Métodos para resolver Problemas tipo Job Shop
modelo matemático.
maximize n
bixi
i=1
subject to
n
pixi ≤ C (1
i=1
bi > 0 for all 1 ≤ i ≤ n (2
xi ∈ {0, 1} for all 1 ≤ i ≤ n (3
Cada sub problema j consiste en hallar una solución a M(j, n, c). Esto quiere
decir que se debe tomar una decisión sobre incluir o no los objetos i, j ≤ i ≤ n,
considerando que la capacidad restante en la mochila es igual a c y que el conjunto
de decisiones debe producir el máximo beneficio.
Así, el sub problema j = 1 consiste en hallar la solución óptima al sub problema
M(1, n, C). En este caso, el sub problema 1 es el problema original y el sub problema
j = n es el sub problema más pequeño.
Considerando que el sub problema es M(j, n, c), la ecuación que establece la
relación recursiva entre los sub problemas es fj(c) = max{fj+1(c), fj+1(c − pj) +
bj}. Como puede verse en la expresión, el máximo beneficio obtenido en cada sub
problema j depende de la decisión de incluir o no el objeto j en la mochila y de las
decisiones que se lleven a cabo en el resto de sub problemas. Si no se incluyera el
objeto j en la mochila, entonces el beneficio asociado al problema j correspondería
al obtenido a partir de las decisiones llevadas a cabo en el resto de sub problemas. Si
por el contrario, se decidiera incluir el objeto j, entonces bj sería parte del beneficio
obtenido, pero en este caso la capacidad de la mochila a la hora de decidir sobre
el siguiente objeto j + 1 estaría disminuida en pj unidades. Hemos considerado que
fn+1(c) = 0 y que fj(0) = 0, 1 ≤ j ≤ n.
En la Figura 2.5 se representa la relación de dependencia que existe entre un
sub problema y otro a través de la expresión que define la relación existente entre
ellos. En la Figura 2.6 se describe cómo el problema original es resuelto desde el sub
problema más pequeño al sub problema más grande. Para ello hemos utilizado una
instancia del problema de la mochila, tal que el número de objetos sea igual a 3, la
capacidad máxima de la mochila sea igual a 15 (esto es M(1, 3, 15)), el beneficio de
utilizar cada objeto esté dado por (b1, b2, b3) = (38, 40, 24), y la capacidad ocupada
por cada objeto sea (p1, p2, p3) = (9, 6, 5).

2.4. Métodos de Optimización Exacta 25
( ) max{
( ) , ( − ) + }
( ) max{
( ) , ( − ) + } ( ) max{
( ) , ( − ) + }
( ) max{
( ) , ( − ) + }
( ) max{
( ) , ( − ) + } (
( ) { ( ) ( )
f
}
38 9
− +
4=
15
max ,
(
40
4= (
6 40 6 6 6 2 f
4= 4= ( 4= 4= ( 6 3 f 15 15 2 f 6 1 6 15 24 f 3 996
f 3 15 15524
f 0)0
f f f 24 f 10 f 15)0
= f f
4 4 15
= f f
= ff
( 9)0
3 159 4 4 3
f(
)0
0 0 )0 9 10)0
= f f
3)0
2 2 15
= ff
( 6)0
= ff
3 3 6
4 4 6
3= f0)0
Figura 2.5: Relación entre los sub problemas al aplicar Programación Dinámica hacia
adelante
( ) = max{
, + =
( ) = max{
, + =
( ) = max{
, + =
( ) = max{
, + =
( ) = max{
, + = ( 38
4=
40
( 4=
64
( ) {
15 1 f
= max , + =
(
}40 40 0 24 6 2 f
4= 4= ( }24 24 0 0 6 3 }64 40
}78
3 f3
15 0024}24
f2
15 24 24
f f 9 24}24
f f 15)0
4= ( f
3)0
4= f
f( 6)0
0)0
3= f0)0
Figura 2.6: Orden en la obtención de la solución óptima de cada sub problema
Formulación de Programación Dinámica hacia atrás
Cuando se aplica Programación Dinámica hacia atrás, el sub problema inicial
representa el estado final del problema original. Por lo tanto, la ecuación que es-
tablece la relación entre los sub problemas es tal, que el sub problema j requiere de
la solución hallada al sub problema j − 1.
En el caso del problema de la mochila, utilizado en el apartado anterior, si el
primer sub problema es considerado el estado en el cual se ha decidido acerca de
todos los objetos y solo falta por decidir la acción a tomar sobre el objeto n, entonces
se estaría resolviendo el mismo problema hacia atrás.
En la Figura 2.7 se indica la expresión que relaciona en este caso, a los sub prob-
lemas. En la Figura 2.8 se muestra cómo la solución óptima de cada sub problema

26 2. Métodos para resolver Problemas tipo Job Shop
genera finalmente la solución óptima al problema original, en este caso aplicando
Programación Dinámica hacia atrás.
( ) max{
( ) , ( − ) + } f 3 15 15524
= f f
15
( ) max{
( ) ( − ) }
,
+
max , − +
( ) max{
( ) , ( − ) + }
( ) max{
( ) , ( − ) + }
max , − + 38 9 10 10 1 f f 2 10 10640
f 1 999
38 f 1 38 f 2
= f f
6)0
0 0 15
= ff
) { ( ) ( ) }
=
( f f )0 9 00
9
(
(
0= ( 0= ( 0= 0= ( 0= ( 0= (
Figura 2.7: Relación entre los sub problemas al aplicar Programación Dinámica hacia
atrás
( ) = max{
, + =
( )
)0
= max{
,
10
+
f
=
)0
(
1
)
f
=
)0
max{
, + =
(
15
) = max{
f
,
f
+
f
=
f
( ) = max{
, + =
) {
40 78 15
= max , + =
3 }40 40 0 38 10 2 f
}38 38 0 0 10 1 24}78
1 15 0038}38
f2
15 38 3840}78
f
1 9 0038}38
f( 15)0
0= ( f
1 19
15 15 15
6)0
(
0= f
f( 9)0
0= ( f
0)0
2 2 40 6 15 15
0)0
0= f
( ) { ( ) ( ) }
= f f
= f f
1 1 10 0 0 10
f( 10)0
0= ( f
1)0
(
0= f
1= f4)0
1= f4)0
Figura 2.8: Orden en la obtención de la solución óptima de cada sub problema

2.4. Métodos de Optimización Exacta 27
2.4.2. Branch and Bound
El método Branch and Bound (B & B) fue introducido en 1960 por Land y Doig
[79], en un trabajo en el cual describían al nuevo método como una aproximación
para hallar soluciones óptimas a problemas de optimización discretos y combinato-
rios.
Los problemas de optimización discretos son problemas en los cuales las variables
de decisión asumen valores discretos desde un conjunto específico; cuando este con-
junto es el conjunto de los números enteros, se tiene un problema de programación
entera. Los problemas de optimización combinatorios, por otro lado, son problemas
en los cuales se debe elegir la mejor combinación factible de valores para las variables
del problema, de tal forma que la función objetivo sea evaluada al valor óptimo.
Un procedimiento B&B básico se inicia resolviendo el modelo matemático origi-
nal sin las restricciones que obligan a instanciar determinadas variables únicamente
con valores enteros (restricciones de integralidad). Al modelo sin las restricciones
de integralidad se denomina relajación LP (Linear Program) de un problema IP
(Integer Program). Denominamos X 0 = (< x1, a1 >, ..., < xn, an >) a la asignación
de las n variables del problema, mediante la cual se obtiene el valor óptimo de la
función objetivo. Si la solución de la relajación LP es una solución entera, es decir
los valores asignados a las variables enteras son valores pertenecientes al conjun-
to de números enteros, entonces esta solución es óptima para el programa original
también (problema en el cual se incluyen las restricciones de integralidad). Si x 0 no
es entera, entonces el valor de la solución óptima de la relajación LP, CX 0 sirve
como un límite inferior, el objetivo es minimizar, o un límite superior, el objetivo es
maximizar, para el valor de la solución óptima al programa entero original.
Si una de las variables en X 0 , no es entera, por decir xj = r, entonces el pro-
cedimiento branch and bound procede como sigue. El problema de programación
entera es dividido en dos sub problemas SP(1), SP(2), por agregar dos restricciones
mutuamente exclusivas y mutuamente exhaustivas. En el sub problema SP(1), el
programa entero original es modificado por agregar la restricción adicional
xj ≤ ⌊r⌋,
donde ⌊r⌋ denota el entero más grande más pequeño que r, mientras que en el sub
problema SP(2), el programa entero original es modificado por agregar la restricción

28 2. Métodos para resolver Problemas tipo Job Shop
adicional
xj ≥ ⌈r⌉,
donde ⌈r⌉ denota el entero más pequeño más grande que r.
El procedimiento branch and bound ahora considera la relajación LP de uno
de los sub problemas, por decir de SP(1), y lo resuelve. Si la solución es entera,
entonces esta rama del árbol ya no tiene que ser explorada posteriormente, ya que
esta solución es la óptima para la versión de programación entera de SP(1). Si por el
contrario, la solución no es entera, SP(1) tiene que ser dividido en dos sub problemas,
SP(1,1) y SP(1,2), a través de la adición de restricciones mutuamente exclusivas y
exhaustivas. Desde cada nodo que corresponde a una solución no entera ocurre una
ramificación a otros dos nodos y así sucesivamente. Si una solución en un nodo es
no entera, entonces este valor proporciona un limite inferior (ó superior según se
minimice o maximice) para todas las soluciones de sus descendientes.
El procedimiento branch and bound finaliza cuando todos los nodos del árbol o
bien tienen una solución entera o bien tienen una solución no entera que es mayor
a las soluciones enteras de otros nodos. El nodo con la mejor solución entera provee
una solución óptima al programa entero original.

2.4. Métodos de Optimización Exacta 29
Considere como ejemplo el siguiente programa entero:
maximize 8x1 + 11x2 + 6x3 + 4x4
subject to
5x1 + 7x2 + 4x3 + 3x4 ≤ 14 (1
xi ∈ {0, 1} for all 1 ≤ i ≤ 4 (2
Empezamos por eliminar el grupo de restricciones de integralidad, en el ejemplo
son las restricciones del grupo 2 del modelo matemático previo. Resolvemos este
modelo relajado y obtenemos 22 como valor de la función objetivo y la asignación
X 0 = (< x1, 1 >, < x2, 1 >, < x3, 0.5 >, < x4, 0 >). La solución obtenida incumple
la restricción de integralidad del problema original, por lo tanto no es factible. En
este caso a partir del problema relajado actual, se generan dos nuevos sub problemas,
SP(1) y SP(2). En SP(1) se agrega la restricción x3 = 0 y en SP(2) se agrega la
restricción x3 = 1.
Al resolver los sub problemas se obtiene como solución de SP(1) X 0 = (< x1, 1 >
, < x2, 1 >, < x3, 0 >, < x4, 0.667 >) y como solución de SP(2) X 0 = (< x1, 1 >
, < x2, 0.714 >, < x3, 1 >, < x4, 0 >), siendo 21.65 y 21.85 el valor de la función
objetivo de SP(1) y SP(2), respectivamente. Dado que ninguna de las dos soluciones
es factible, se vuelve a generar a partir del sub problema SP(2) (es el que proporciona
mayor valor de función objetivo) dos sub problemas SP(2,1) y SP(2,2). En el primero
se agregará la restricción x2 = 0 y en el segundo, la restricción x2 = 1. La solución
obtenida para SP(2,1) es X 0 = (< x1, 1 >, < x2, 0 >, < x3, 1 >, < x4, 1 >), siendo
18 el valor de la función objetivo. Al resolver el problema SP(2,2) se obtiene como
solución X 0 = (< x1, 0.6 >, < x2, 1 >, < x3, 1 >, < x4, 0 >), asignación no factible
para el problema original (la asignación de x1 no es entera). Luego, la solución para
el problema original es la solución del problema relajado SP(2,1). La Figura 2.9
muestra el proceso B&B utilizado para resolver el problema del ejemplo, mediante
una estructura de árbol, en donde cada nodo representa una versión relajada del
problema original.
Con el método branch and bound se intenta eliminar un nodo por determinar un
límite inferior para el valor de la función objetivo de todos las soluciones correspon-
dientes a la descendencia de dicho nodo. Si el límite inferior obtenido es mayor al
valor de la función objetivo de una solución ya obtenida previamente, entonces ese
nodo y toda su descendencia es descartada de la búsqueda. El árbol es podado. Sin

30 2. Métodos para resolver Problemas tipo Job Shop
( )
(
=
= , ,
= . XxSP X 3 65
0=
=
( , , , , , . )
1 ( , , , , , . , )
)
=
= , ,
= . X 3
Factible No
( , . , , , , )
, 5 0 1 1 4 3 2 X C x x x x X 22 0
1 1 2 4 3 2 1 0
23=
C x x x x 21 0
1 0 1 2 4 3 2 1 0 X C x x x x 2 4 3 2 1 0 C x x x x 1 18
XxSP 23 X XxSP
( , )
( , )
=
=
=
=
= ( , , , , , , , ) = , .
= .
667 0 0 1 1 0 1 4 3 2 1 0 C x x x x 85 714 0 1 XxSP Factible No Factible No 21
01
1
11
2
8 ( , , , , , , )
Figura 2.9: Aplicación del método Branch and Bound a un determinado problema SOLUCIÓN
embargo, aún cuando es posible podar un árbol de búsqueda utilizando el método
branch and bound, el número de nodos a evaluar en un problema real puede ser
muy elevado. La ventaja de este método es que luego de que todos los nodos que no
NoFactible
hayan sido descartados, han sido evaluados, garantiza que la solución obtenida sea
la óptima.
2.4.3. Branch and Bound y la Relajación Lagrangiana
0 1 1 6 0 21
La Relajación Lagrangiana (RL), también conocida como Descomposición La-
grangiana, fue introducida al inicio de la década de 1970 por medio del trabajo
pionero de Held y Karp [62], [63]. Utilizaron el problema del vendedor viajante
como marco de trabajo.
RL es una técnica de descomposición dirigida por la función de optimización.
Magnanti y Wong han denominado a esta técnica Directiva del coste [87]. En primera
instancia, esta técnica reduce y simplifica el problema por relajar determinadas
restricciones. Muchos problemas de optimización combinatorios consisten en un
problema fácil complicado por determinadas restricciones. Aplicar Relajación La-
grangiana a estos problemas incluye identificar estas restricciones que aumentan la
complejidad del problema, eliminarlas como restricción del problema, y absorverlas

2.4. Métodos de Optimización Exacta 31
en la función objetivo, penalizándolas con un factor al cual se denomina multi-
plicador de Lagrange. El siguiente objetivo consiste en hallar un límite inferior o
superior, según la función de optimización, lo más cercano al valor óptimo. Para
alcanzar este objetivo se procede a resolver iterativamente, una secuencia de sub
problemas modificados.
Considerando el proceso que define la Relajación Lagrangiana, Beasley en [9]
indicó que la Relajación Lagrangiana requiere dirigir dos aspectos importantes; uno
es un aspecto estratégico, y el otro es un aspecto táctico. En el primero incluyó la
clasificación y relajación de las restricciones, en el segundo, la selección de una buena
técnica para actualizar los multiplicadores de Lagrange.
Han habido dos técnicas principalmente, que han sido aplicadas para hallar val-
ores a los multiplicadores de Lagrange en una amplia variedad de problemas. Estos
son Optimización del Subgradiente y Ajuste del Multiplicador.
En el trabajo realizado por Poojari et. al [101] se realiza una descripción detallada
de cómo es llevada a cabo la selección de restricciones que se deberán relajar así como
también el método de optimización del sub gradiente para hallar los valores más
adecuados de los multiplicadores de Lagrange.
2.4.4. Branch and Cut
Los métodos Branch and Cut son una combinación de Branch and Bound y
Planos de Corte. Son utilizados para resolver problemas de programación entera
mediante la relajación de las restricciones de integralidad (Branch and Bound) y
mediante la acotación del espacio de búsqueda para impedir soluciones no enteras
(planos de corte).
Los planos de corte son desigualdades válidas, esto es, cualquier desigualdad
π T x ≤ π0 que sea satisfecha por los puntos factibles del programa entero original.
Al espacio convexo de todas las soluciones del problema de programación entera se
denomina poliedro. Los algoritmos de Plano de Corte fueron propuestos inicialmente
por Gomory [56], y en esa primera aproximación no eran muy eficientes porque no
acotaban suficientemente el espacio de búsqueda, por lo tanto la convergencia a
soluciones enteras era muy lenta. En la década de 1980, se produjo el desarrollo de

32 2. Métodos para resolver Problemas tipo Job Shop
la teoría de poliedros y la especificación de planos de corte específicos para deter-
minados tipos de problemas, mediante los cuales los métodos de planos de corte
resurgieron como técnicas para acotar el espacio de búsqueda de un problema rela-
jado.
Los planos de corte obtenidos según la descripción realizada por Gomory [56]
y Chvátal [28] fue denominada Planos de Corte Gomory-Chvátal. Estos planos de
corte eran obtenidos por combinar desigualidades del problema original y explotar el
requerimiento de integralidad de determinadas variables. Se puede ver el desarrollo
de un ejemplo en el trabajo de Mitchell [88].
Por otro lado, existen varios trabajos, Applegate [4], Grötschell y Holland [58],
Padberg y Rinaldi [96], Caprara y Fischetti [19], Jünger et. al [70], o Nemhauser y
Wolsey [93], en los cuales se han desarrollado desigualdades válidas para determina-
dos tipos de problemas, como por ejemplo el problema de la mochila, o el problema
del vendedor viajante. En estos trabajos se ha combinado la técnica para gener-
ar planos de corte Gomory-Chvátal con la teoría de poliedros que proporciona un
método para obtener desigualdades que definan una de las caras del poliedro que
representa el conjunto de soluciones del problema relajado.
2.4.5. Branch-and-price
Si consideramos la representación vectorial de un modelo matemático, donde
cada fila representa una restricción y cada columna una variable, la principal difer-
encia entre Branch and Price y Branch and Cut es que, con el objeto de relajar el
problema original, en el primero se eliminan columnas y en el segundo, sin embargo,
se eliminan filas. El término Branch-and-Price fue utilizado por primera vez en el
trabajo de Savelsbergh [108] y descrito con mayor detalle en el trabajo de Barnhart
et. al [8].
Al igual que los métodos previos, Branch-and-price es frecuentemente utilizado
para resolver programas enteros que tienen un alto número de variables (columnas).
Un algoritmo branch-and-price siempre trabaja con un problema restringido en el
sentido que únicamente un subconjunto de las variables es tenido en cuenta; las
variables fuera del subconjunto son fijadas a cero y las columnas correspondientes
son ignoradas. Si después de resolver este problema para hallar una solución óptima,

2.5. Métodos Heurísticos 33
cada variable que no está incluida en el problema restringido tiene un ahorro poten-
cial negativo, entonces se halla una solución óptima para el problema original. Sin
embargo, si alguna de las variables no consideradas en el problema restringido tiene
un ahorro potencial positivo, entonces debe ser incluida en el problema restringi-
do. La idea principal por detrás de la generación de columnas es que la existencia
de variables con ahorro potencial positivo no es verificada por enumerar todas las
variables, sino más bien por resolver un problema de optimización.
Vanderbeck et. al [115] proporcionan una importante fuente de información, en
la cual se discuten varios esquemas generales de ramificación y acotación o poda.
Desrosiers et. al [35] describen este método y proporcionan resultados de su apli-
cación a problemas de planificar rutas y scheduling.
2.5. Métodos Heurísticos
En esta sección se describe un número de técnicas de propósito general que han
probado ser útiles en los sistemas de scheduling industriales. La mayoría de estos
métodos no garantizan típicamente la solución óptima; su objetivo es encontrar
una solución razonablemente buena en un periodo de tiempo relativamente corto.
Aunque existen muchas de tales técnicas, se resumen las más representativas.
2.5.1. Desplazar el Cuello de Botella
Adams et. al [2] propusieron la heurística Desplazar el Cuello de Botella, en la
cual M denota el conjunto de las m máquinas consideradas en el job shop. En la
descripción de una iteración de la heurística es asumido que en iteraciones previas
ha sido fijado un orden de utilización sobre determinadas máquinas de M, las cuales
están agrupadas en el subconjunto M0.
Una iteración resulta en la inclusión de una máquina del conjunto M \ M0 al
conjunto M0 y de la secuencia en que serán procesadas las operaciones que requieran
de la misma. Para determinar qué máquina de M \M0 debería ser incluida, se analiza
cuál de ellas es la que causa en un sentido o en otro el trastorno más severo. Para
determinar esto, el grafo dirigido original G es modificado borrando todos los arcos
disyuntivos de las máquinas pertenecientes a M \ M0 y manteniendo únicamente

34 2. Métodos para resolver Problemas tipo Job Shop
los arcos disyuntivos relevantes de las máquinas en M0 (uno de cada par). El grafo
resultante es denominado G ′ . Borrar todos los arcos disyuntivos de una máquina
específica implica que todas las operaciones en esta máquina, las cuales originalmente
deben ser realizadas una tras otra, ahora pueden ser realizadas en paralelo (como si
la máquina tuviera capacidad infinita, o lo que es igual, que cada operación tuviera
su propia máquina). El grafo G ′ tiene uno o más caminos críticos que determinan
el correspondiente makespan. A lo que se llama Cmax(M0).
Se considera cada una de las máquinas en M \ M0 como un problema de una
sola máquina con instantes de inicio mínimo (release date) e instantes de finalización
(due date) y con la demora máxima que debe ser minimizada. El mínimo valor de
Lmax en el problema de única máquina correspondiente a la máquina i es denotado
por Lmax(i) y es una medida de lo crítico que resulta el procesamiento en la máquina
i.
Después de resolver todos estos problemas de única máquina, la maquina i con
la mayor demora mínima Lmax(i) es elegida. A esta máquina se la etiqueta h, a su
máxima demora Lmax(h) y la secuencia de operaciones a ser procesadas es dada por
la solución del problema de máquina única asociada, cuyo costo fue Lmax(h). Si los
arcos disyuntivos que especifican la secuencia de las operaciones en la máquina h
son insertados en el grafo G, entonces el makespan de la solución parcial actual se
incrementa en al menos Lmax(h), esto es: Cmax(M0 ∪ h) ≥ Cmax + Lmax(h)
Antes de empezar la siguiente iteración y determinar la siguiente máquina a ser
programada, un paso adicional debe ser realizado dentro de la iteración actual. En
este paso adicional todas las máquinas en el conjunto original M0 son re secuenciadas
una a una para ver si el makespan puede ser reducido. Esto es, una máquina, por
decir la máquina l es retirada del conjunto M0 y un grafo G ′′ es construido por
modificar el grafo G ′ a través de la inclusión de los arcos disyuntivos que especifican
la secuencia de operaciones en la maquina h y la exclusión de los arcos asociados
con la máquina l. La máquina l es re secuenciada por resolver el correspondiente
problema de demora máxima para única máquina con el instante de inicio y de
finalización determinados por los caminos críticos en el grafo G ′′ . Resecuenciar cada
una de las máquinas en el conjunto original completa la iteración.
En la siguiente iteración el procedimiento completo es repetido y otra máquina
es agregada al conjunto actual M0 ∪ h.

2.5. Métodos Heurísticos 35
La estructura de la heurística Desplazar el Cuello de Botella muestra la relación
entre el concepto de cuello de botella y los conceptos más combinatorios tales como el
camino crítico (camino más largo) y la demora máxima. Un camino crítico indica la
ubicación y el timing de un cuello de botella. La máxima demora da una indicación de
la cantidad en la que es incrementado el makespan cuando una determinada máquina
es añadida al conjunto de máquinas ya programadas. Esta heurística no garantiza
que la solución generada sea la solución óptima. En [99], Pinedo y Singer proponen
un método utilizando esta heurística para minimizar el retraso total ponderado.
2.5.2. Reglas de Procesamiento Básico
Una regla de procesamiento es una regla que asigna prioridades a todos los traba-
jos que están esperando ser procesados por una máquina. El esquema de prioridades
puede tomar en cuenta los atributos del trabajo, los atributos de la máquina así como
el instante de tiempo actual. Siempre y cuando una máquina ha sido liberada, una
regla de procesamiento selecciona, entre los trabajos esperando por dicha máquina,
aquel trabajo con la mayor prioridad. En los trabajos de Lawrence [82] y de Holthaus
[67] se proporciona una descripción de varias reglas para asignar prioridades.
Reglas de procesamiento pueden ser clasificadas de varias formas. Por ejemplo,
una distinción puede ser realizada entre reglas de procesamiento estáticas y reglas de
procesamiento dinámicas. Las reglas de procesamiento estáticas no son dependientes
del tiempo, son una función de los datos relacionados al trabajo y/o a la máquina.
Un ejemplo de regla dinámica es la regla de la Mínima Holgura primero (MS) la
cual ordena trabajos según la holgura restante de los mismos. La holgura restante es
definida como max(dj − pj − t, 0) donde dj es el instante de finalización del trabajo
j, pj su tiempo de procesamiento, y t el instante de tiempo actual. Esto implica que
en algún instante de tiempo el trabajo j puede tener mayor prioridad que el trabajo
k y en otro instante de tiempo puede darse lo contrario.
Una segunda forma de clasificar las reglas de procesamiento es según la informa-
ción sobre la cual están basadas. Una regla local únicamente considera información
perteneciente ya sea a la cola donde el trabajo está esperando o a la máquina donde
el trabajo está en cola. Las reglas globales usan información relacionadas con otras
máquinas. A continuación se enumeran algunas reglas de procesamiento básico.

36 2. Métodos para resolver Problemas tipo Job Shop
Regla de Servicio en Orden Aleatorio primero (SIRO): el siguiente trabajo
es seleccionado en forma aleatoria de entre los trabajos esperando utilizar la
máquina.
Regla de Instante de Inicio más Temprano primero (ERD): selecciona al tra-
bajo que llega primero a la máquina.
Regla de Instante de Finalización más Temprano primero (EDD): selecciona
el trabajo cuyo instante de finalización (due date) es más próximo.
Regla de Mínima Holgura primero (MS): aquel trabajo con la mínima holgura
es el siguiente trabajo seleccionado para usar la máquina.
Regla de Tiempo de procesamiento Ponderado más Corto primero (WSPT):
los trabajos son seleccionados en orden decreciente según el valor de wj/pj,
siendo wj el peso asignado al trabajo j en la función objetivo y pj su tiempo
de procesamiento en la máquina considerada.
Regla de Tiempo de Procesamiento más Largo primero (LPT): se selecciona
primero aquel trabajo con tiempo de procesamiento mayor en la máquina
considerada.
Regla de Tiempo de Setup más Corto primero (SST): siempre y cuando una
máquina es liberada el siguiente trabajo pasa a ser aquel con el tiempo de
configuración más corto.
Regla de Trabajo menos Flexible primero (LFJ): esta regla es utilizada en el
caso que existan máquinas no idénticas en paralelo. Cada trabajo j puede ser
procesado por un subconjunto Mj de las máquinas en paralelo. Aquel trabajo
que pueda ser procesado por el menor subconjunto Mj es el siguiente trabajo
seleccionado.
Regla de Camino Crítico (CP): aquel trabajo cuyo tiempo de procesamien-
to total considerando únicamente las actividades precedentes a la actual, es
mayor, es el trabajo que es seleccionado primero.
Regla de Número Mayor de Sucesores (LNS): selecciona como siguiente tra-
bajo aquel que tenga el mayor número de trabajos siguiéndolo.

2.5. Métodos Heurísticos 37
Regla de Cola más Corta en la Siguiente Operación (SQNO): siempre y cuando
una máquina es liberada el trabajo con la cola de trabajos más corta en la
siguiente máquina es seleccionado.
2.5.3. Reglas de Procesamiento Compuesto
Las reglas de procesamiento básico son útiles cuando uno intenta encontrar
una solución razonablemente buena con respecto a un único objetivo tal como el
makespan, la suma de los instantes en que los trabajos han sido completados, o la
máxima demora.
Sin embargo, en la práctica los objetivos son mucho más complicados. Un ob-
jetivo realista puede ser una combinación de varios objetivos y puede ser también
una función del tiempo o una función del conjunto de trabajos esperando ser proce-
sados. Según Dechter en [32], ordenar los trabajos en base a uno o dos parámetros
puede conducir a soluciones no aceptables. Reglas de procesamiento más elaboradas
que consideran un número de parámetros pueden dirigir mejor cuando se utilizan
funciones objetivos más complicadas.
Una regla de procesamiento compuesto es una expresión en la cual se combina
ciertas reglas de procesamiento básico, cada una con un peso determinado. La me-
dida en la que un determinado atributo afecta a la prioridad total de un trabajo
es determinada por la regla de procesamiento básico que lo utiliza y un parámetro
de escala. Cada regla básica en la regla compuesta tiene su propio parámetro de
escala que es utilizado según la contribución que se desee de la regla básica a la
expresión de ranking total. El parámetro de escala puede ser fijado por el diseñador
de la regla o puede ser variable y una función del conjunto de trabajos particular a
ser programado.
Un ejemplo de una regla de procesamiento compuesto es la regla Costo del Retra-
so Aparente (ATC), es una regla para una máquina y n trabajos (todos disponibles
en el instante cero), siendo la suma de los retrasos de cada trabajo wjTj el objeti-
vo. En [98], Pinedo proporciona más detalles acerca de esta regla de procesamiento.
Vepsalanen y Morton han realizado en [116] un estudio y pruebas de varias reglas
de procesamiento tales como EDD, WSPT, COVERT, y ATC.

38 2. Métodos para resolver Problemas tipo Job Shop
2.6. Formulación de un Job Shop como un CSOP
En un problema tipo Job Shop están presentes determinadas restricciones que
son obligatorias para que un problema sea considerado de ese tipo, por ejemplo, la
precedencia entre una operación y otra de un trabajo o el ordenamiento secuencial
que debe existir en el uso de una misma máquina entre los diferentes trabajos que
la requieran. Pero además de estas restricciones, pueden existir otras que sean nece-
sarias para obtener una asignación de recursos factible de aplicación en el dominio
considerado. Muchas de estas restricciones pueden ser difíciles de modelar mediante
la programación matemática o pueden significar aumentar el modelo con un gran
número de variables de decisión binarias. Los Problemas de Satisfacción de Restric-
ciones (CSPs), muy estudiados en el campo de la Inteligencia Artificial, ofrecen otra
alternativa para formular problemas, así como técnicas para realizar la búsqueda de
una o más soluciones. Consideramos que un Job Shop puede ser modelado mediante
un CSP, el cual es descrito brevemente en esta sección.
Los problemas de satisfacción de restricciones, en general, constan de dos com-
ponentes principales, las variables con sus correspondientes dominios, y las restric-
ciones. Las variables son objetos o items que pueden tomar una variedad de valores.
El conjunto de posibles valores para una variable determinada es considerado su
dominio. Por ejemplo, si tratamos de encontrar una disposición adecuada para los
asientos en una cena, las variables pueden ser las sillas y el dominio de cada una, la
lista de invitados.
El segundo componente es el conjunto de restricciones. Las restricciones son
reglas que imponen una limitación sobre los valores que pueden ser asignados a
una variable o a una combinación de variables. Considerando el ejemplo anterior, si
los dueños de casa deben estar sentados en los extremos de la mesa, entonces sus
elecciones de asientos están restringidas. Así como si dos invitados están enemistados
entre sí, no pueden sentarse uno junto a otro, ni uno frente a otro. Esta sería otra
restricción para el problema del ejemplo.
Un modelo que incluya variables, sus dominios y restricciones es llamado una
red de restricciones o también un problema de restricciones. Una solución es una
asignación de un único valor a cada variable, tal que dicho valor pertenezca al
dominio de la variable y satisfaga simultáneamente con el resto de valores asignados

2.6. Formulación de un Job Shop como un CSOP 39
el conjunto de restricciones del problema.
Formalmente, una red de restricciones R consiste de un conjunto finito de vari-
ables X = {x1, .., xi, .., xn} con sus respectivos dominios D = {D1, ..., Dn} los cuales
listan los posibles valores para cada variable Di = {v1, ..., vk}, y un conjunto de re-
stricciones C = {C1, ..., Ct}. Así, una red de restricciones puede ser vista como una
tupla de tres elementos (X, D, C).
Una restricción Ci es una relación definida sobre un subconjunto de variables
Si , Si ⊆ X. La relación Ci denota las asignaciones legales simultáneas realizadas
al conjunto de variables Si. Si es el ámbito de la relación. Si Si = {xi1 , ..., xir},
entonces Ci es un subconjunto del producto cartesiano Di1 × ... × Dir. El conjunto
de ámbitos S = {Si, ..., St} es denominado red de esquemas. La aridad de una
restricción Ci se refiere a la cardinalidad |Si| de su ámbito. Una red de restricciones
binaria tiene únicamente restricciones unarias y/o restricciones binarias. Cuando
deseamos especificar explícitamente el ámbito Si de una restricción Ci, utilizamos
la notación CSi , propuesta por Dechter en [32].
Las tareas típicas sobre una red de restricciones son determinar si una solución
existe, encontrar una o todas las soluciones, encontrar si una instanciación parcial
puede ser extendida a una solución completa. Cada una de estas tareas son referidas
como un Problema de Satisfacción de Restricciones ó CSP.
Cuando la tarea a llevar a cabo sobre una red de restricciones consiste en en-
contrar una solución óptima relativa a un determinado criterio, el cual es modelado
mediante una función de optimización, se la conoce como un Problema de Opti-
mización y Satisfacción de Restricciones (CSOP). La solución de un CSOP consiste
en una asignación factible de valores a todas las variables, satisfaciendo el conjunto
de restricciones y optimizando una función de optimización global.
Sea
X = {x1, ..., xn} un conjunto de variables,
Fi, 1 ≤ i ≤ l componentes funcionales que evalúan a valores reales, definidas
sobre los ámbitos Qj, 1 ≤ j ≤ l, Qj ⊆ X,
ā = (a1, ..., an), donde ai está en el dominio de xi, y
ai la asignación de valores a las primeras i variables de ā.

40 2. Métodos para resolver Problemas tipo Job Shop
La función de optimización global es definida por
F (ā) = l
j=1 Fj(ā)
donde Fj(ā) significa que Fj es aplicada a las asignaciones en ā restringido al ámbito
de Fj. Esto es, Fj(ā) = Fj(ā[Qj]).
Se puede ver a un problema de optimización de restricciones como un problema
definido sobre una red de restricciones extendida llamada una red de optimización.
Una red de optimización es una 4-tupla C = {X, D, C, F C}, donde (X, D, C) es una
red de restricciones y F C = {FQ1 , ..., FQl } es un conjunto adicional de componentes
de optimización definidos sobre los ámbitos Q1, ..., Ql, Qi = {xi1, ..., xil }, FQi :⊲⊳l j=1
Dij → Reales+ (números reales no negativos). Funciones en F C son llamadas re-
stricciones blandas. La tarea de optimización es encontrar ā 0 = (a1, ..., an), satisfa-
ciendo todas las restricciones, tales que, F (ā 0 ) = maxāF (ā) o F (ā 0 ) = mināF (ā).
En un problema de scheduling tipo Job Shop el conjunto X de variables está for-
mado por los instantes de inicio y por los instantes de finalización correspondientes
a cada operación del problema. Los dominios de estas variables, pueden estar for-
mados por el conjunto de números naturales, o si se desea mayor precisión por el
conjunto de números reales positivos.
Considere que el trabajo j consta de la siguiente secuencia de operaciones (i1, j), ..., (in, j).
Denominamos sikj al instante en el que se inicia la operación (ik, j). El tiempo de
procesamiento asignado a cada operación es igual a pikj.
El conjunto de restricciones está formado por:
Restricción sobre el tiempo de inicio. Por cada operación se establece el mínimo
y el máximo instante de tiempo en el cual es factible el inicio y la finalización,
respectivamente, de la operación. Sea sij el mínimo instante de tiempo en
el cual es factible el inicio de la operación (i, j) y eij el máximo instante de
tiempo en el cual es factible que (i, j) finalice. La siguiente expresión establece
la ventana de tiempo dentro de la cual es factible el inicio de la operación
(i, j), de tal forma que también sea factible el instante en que esta finalice.
.
sij ≤ sij ≤ eij − pij

2.6. Formulación de un Job Shop como un CSOP 41
Restricción sobre la duración de una operación. Una determinada cantidad de
tiempo es especificada por cada operación indicando la duración de la misma.
Esta restricción indica que una operación (i, j) cuyo instante de inicio es sij
debe finalizar en el instante eij. El cual es obtenido según lo indica la siguiente
expresión:
eij = sij + pij
Restricción de precedencia: La restricción mediante la cual se establece un
ordenamiento entre las operaciones de un mismo trabajo está dada por la
expresión:
sik+1j ≥ sikj + pikj
Restricciones de Capacidad: para establecer que como máximo una operación
podrá utilizar cada recurso en un mismo instante de tiempo se considera la
restricción especificada mediante la siguiente expresión:
sij > sik + pik ∨ sik > sij + pij
Como un ejemplo, considere el problema tipo Job Shop representado mediante las
Figuras 2.3 y 2.4. En este caso el siguiente conjunto de restricciones modela el
ordenamiento que debe existir entre las operaciones del trabajo 2.
s12 ≥ s22 + p22
s42 ≥ s12 + p12
s32 ≥ s42 + p42
El siguiente conjunto de restricciones indica que una misma máquina o recurso no
puede ser utilizado por más de un trabajo a la vez. En este caso, los trabajos 2 y
3 requieren utilizar la máquina 4. La utilización de la misma no podrá realizarse al
mismo tiempo, sino en forma secuencial.
s42 ≥ s43 + p43 ∨ s43 ≥ s42 + p42
En la literatura existen numerosos trabajos donde se formula el problema de
scheduling como un problema de satisfacción de restricciones, Dhar y Ranganathan

42 2. Métodos para resolver Problemas tipo Job Shop
[37], Fox [41], Sadeh et. al. [107], Garrido et. al [45], Prosser [102]. Se aplican heurísti-
cas para reducir el espacio de búsqueda tales como métodos de clausura, heurísticas
para el ordenamiento de variables y valores, mejoras en el backtracking o en técnicas
look-ahead. En las siguientes secciones de este capítulo se describirán las aproxima-
ciones algorítmicas estudiadas para resolver CSPs. En la Figura 2.2 se proporciona
un resumen de estos métodos.
2.6.1. Búsqueda: Algoritmo Backtracking
El algoritmo Backtracking es un método propuesto por Gaschnig [46] en 1977
para resolver CSPs. Consiste en explorar el espacio de estados del CSP hasta: en-
contrar una o más soluciones, demostrar que no existe solución, o agotar los recursos
computacionales. La búsqueda que realiza este algoritmo puede ser completa, si el
recorrido del espacio de estados es sistemática, o incompleta, si se utilizan estrate-
gias de búsqueda local. Posteriormente han sido propuestas numerosas heurísticas
para acelerar la búsqueda de forma significativa. Una descripción de las mismas es
realizada por Larrosa y Meseguer en [81].
Para describir este algoritmo se emplea un árbol de búsqueda. En la Figura 2.10
se muestra un árbol de búsqueda en el cual cada nodo representa la asignación de
una variable. Al recorrer las ramas del árbol, recorremos el espacio de estados del
problema. )
,
,
(− − −
(− −
(− ) , , 1 ) , 0 , 0 ) , 1 , 1 ) 0 , 0 , 00,
, )
(− −
Figura 2.10: Árbol de Búsqueda
(−
En el trabajo de Barber y Salido [7] se ha encontrado una descripción del árbol
de búsqueda como representación del espacio de búsqueda de un CSP. Siendo n el
) 1 , 1 , 1 ( ) 0 , 1 , 1 ( ) 1 , 0 , 1 ( ) 0 , 0 , 1 ( ) 1 , 0 , 0 (
) 0 , 1 , 0 (
) 1 , 1 , 0 ( (

2.6. Formulación de un Job Shop como un CSOP 43
número de variables del problema, si se asume que el orden de las variables es estático
y no cambia durante la búsqueda, entonces el nodo en el nivel k del árbol representa
un estado donde las variables x1, ..., xk están asignadas y el resto xk+1, ..., xn no lo
están. Cada nodo del árbol representa una asignación de variables, definida por el
camino que une el nodo con la raíz. La raíz del árbol de búsqueda representa la tupla
vacía, donde ninguna variable tiene asignado valor alguno y los nodos en el nivel n,
que son las hojas del árbol, son n − tuplas, donde cada una es una asignación de las
n variables del problema. Cada nodo hoja es un elemento del producto cartesiano
D1 ×...×Dn, siendo Di, 1 ≤ i ≤ n el dominio de la variable xi del problema. De esta
manera si una n−tupla es consistente, entonces es solución del problema. Este árbol
se puede recorrer de varias formas. A menudo se utiliza la búsqueda en profundidad,
ya que tiene una complejidad espacial lineal y el árbol tiene profundidad acotada
debido al número finito de variables del problema.
Según la descripción realizada por Dechter en [32], Bitner y Reingold en [13], o
Larrosa y Meseguer en [81], el algoritmo Backtracking cruza el espacio de estados
de instancias parciales de una forma primero en profundidad. Backtracking tiene
dos fases. La primera es una fase hacia delante durante la cual las variables son
seleccionadas en secuencia, y una solución parcial actual es extendida por asignar
un valor consistente, si existe uno, a la siguiente variable. La segunda fase es hacia
atrás en la cual cuando no existe ninguna solución consistente para la variable actual,
el algoritmo vuelve a la variable cuyo valor fue asignado previamente. La Figura 2.11
describe el algoritmo Backtracking de Gaschnig.
El algoritmo mostrado en la Figura 2.11 finaliza cuando encuentra una solución,
pero puede ser modificado para que encuentre todas las soluciones al problema o
bien que finalice cuando encuentre un número determinado de ellas.
Este algoritmo no especifica el orden de las variables en una rama ni el orden
en que se seleccionan los valores para una variable. Estos aspectos se resuelven por
medio de heurísticas de selección de variable y selección de valor. Estos criterios son
descritos en las sub secciones 2.6.5 y 2.6.6.

44 2. Métodos para resolver Problemas tipo Job Shop
Function 1
2.6.2. Inferencia
Backtracking
SelectValu D ii
xi
i
i D i i
inconsiste {
X,D,C
( R= ( ) )
=
D=
'
While ≤i≤
=
e
If is NULL
Else
+
D=
'
End If
End While
Else
i x n
If =
11
return
return } valorese
End If
End Function
Function SelectValu
While ≠ ∅ os instanciad 0 i=i
a∈
nte
i= Then returna'
i D x
End While
return NULL
de
End Function 'i D arbitrario elemento , de a ai
n
1 − i=i
If Consistent( ) xa
Figura 2.11: Algoritmo de Backtracking
El problema de la existencia de soluciones en una red de restricciones es NP-
1 x,...,
Completo, Bessière [12]. Dada esta complejidad, se ha estudiado formas de propagar
las restricciones de los CSPs en una sub red, obteniendo mediante ello información
sobre la consistencia de dicha sub red. A este proceso se denomina inferencia.
La inferencia en una red de restricciones consiste en deducir nuevas restricciones
a partir de las existentes. Estas nuevas restricciones son redundantes con las an-
r selecciona eliminar y un
1 r −,
teriores, en el sentido de que no incorporan nuevo conocimiento. La deducción de
restricciones se puede ver como el proceso de hacer explícitas ciertas restricciones
que están implícitas en la red. En el límite, la inferencia trata de sintetizar una
D'i

2.6. Formulación de un Job Shop como un CSOP 45
única restricción global como conjunción de todas las restricciones explícitas de la
red. Dicha restricción reemplaza a todas las restricciones explícitas, que capturan el
conocimiento contenido en cada una de ellas. Obviamente, las tuplas que la satis-
facen son las soluciones de la red. Para más información ver el trabajo presentado
por Larrosa y Schiex en [81].
El proceso de sintetizar una única restricción global se denomina inferencia com-
pleta. Si la restricción global es diferente a vacío, se garantiza la consistencia global.
Posterior a la obtención de la restricción, las soluciones se obtienen de forma directa.
Otras formas de inferencia están agrupadas bajo la etiqueta de consistencia local.
Se trata de métodos de inferencia incompleta, capaces de hacer aflorar restricciones
implícitas, pero que no sintetizan la única restricción global, y por ello no generan
de forma directa las soluciones. Normalmente, la inferencia incompleta se ha de
combinar con búsqueda para resolver una red de restricciones.
Sintetizar una única restricción global que capture el conocimiento contenido en
todas las restricciones del problema es conceptualmente simple. Basta con calcular
la restricción n-aria ⊲⊳ci∈C ci 2 en donde todas las tuplas que la satisfacen son las
soluciones del problema. Sin embargo, calcular esa restricción es costoso en tiempo y
en espacio (exponencial en n), y es más de lo necesario para resolver el problema sin
búsqueda. Un problema inicialmente más asequible es el de resolver subredes de un
tamaño prefijado, por ejemplo, subredes de una variable, subredes de dos variables,
etc.
Formalmente, una subred (X ′ , D ′ , C ′ ) de una red de restricciones (X, D, C),
está definida por un subconjunto de variables X ′ = {x1, ..., xk}, X ′ ⊂ X, sobre
los dominios originales D ′ = {D1, ..., Dk}, bajo el conjunto de restricciones C ′ =
{Ci\Ci ∈ C ∧ Si ⊆ X ′ }. Encontrar la solución de una subred no garantiza que el
problema tenga solución. Sin embargo, los resultados negativos encontrados en este
proceso sí se pueden aplicar a la red inicial. Si resolviendo una subred se encuentra
que ciertos valores o combinaciones de valores no aparecen en ninguna solución de
la subred, estos tampoco aparecerán en las soluciones de la red. La justificación es
directa: todas las restricciones de la subred están presenten en la red inicial C ′ ⊂ C,
luego todos los valores o combinaciones prohibidos por la subred también lo serán
2 El operador ⊲⊳ es utilizado por Dechter en [32] para expresar la operación join entre dos
restricciones

46 2. Métodos para resolver Problemas tipo Job Shop
por la red inicial. Si la subred no tiene solución, la red no tiene solución.
Con este proceso, denominado de consistencia local no se encuentra la solución
del problema pero se deducen nuevas restricciones que se añaden al problema y
permiten acelerar la búsqueda de la solución global. Si se deduce la restricción vacía,
el problema no tiene solución.
Los niveles de consistencia más utilizados son nodo consistencia, arco consisten-
cia, y camino consistencia. Los niveles se diferencian en el tamaño de la sub red
para la cual garantizan la consistencia.
Nodo-Consistencia (NC)
Una variable xi es nodo consistente si y solo si todo valor de su dominio Di
satisface las restricciones unarias en cuyos ámbitos se incluye a xi.
Una red de restricciones es nodo consistente si y solo si toda variable es nodo
consistente:
Arco-Consistencia (AC)
∀xi ∈ X, ∀C j{x} ∈ C, ∃a ∈ Di : (a) ∈ Ci
Dada una red de restricciones R = (X, D, C), con C k{xi,xj} ∈ C, una variable xi
es arco-consistente relativo a xj si y solo si por cada valor ai ∈ Di existe un valor
aj ∈ Dj tal que (ai, aj) ∈ C k{xi,xj}. La subred (alternativamente, el arco) definido
por {xi, xj} es arco-consistente si y solo si xi es arco-consistente relativo a xj y xj es
arco-consistente relativo a xi. Una red de restricciones es llamado arco-consistente
si y solo si todos sus arcos (ej: subredes de tamaño 2) son arco-consistentes:
∀xi, xj ∈ X, ∀C k{xi,xj} ∈ C, ∃ai ∈ Di, ∃aj ∈ Dj : (ai, aj) ∈ Ck
Camino-Consistencia (PC)
Dada una red de restricciones R = (X, D, C), un conjunto de dos variables
{xi, xj} es camino-consistente relativo a la variable xk si y solo si por cada asig-
nación consistente (〈xi, ai〉, 〈xj, aj〉) hay un valor ak ∈ Dk tal que la asignación
(〈xi, ai〉, 〈xk, ak〉) sea consistente y la asignación (〈xk, ak〉, 〈xj, aj〉) sea consistente.
Alternativamente una restricción binaria C z{xi,xj} es camino consistente relativo a

2.6. Formulación de un Job Shop como un CSOP 47
xk si y solo si para cada par (ai, aj) ∈ C z{xi,xj}, donde ai y aj pertenecen a sus
respectivos dominios, hay un valor ak ∈ Dk tal que (ai, ak) ∈ C z{xi,xk} y (ak, aj) ∈
C z{xk,xj}. Una subred sobre tres variables {xi, xj, xk} es camino-consistente si y solo
si para cualquier permutación de (i, j, k), C z{xi,xj} es camino-consistente relativo a
xk. Una red es camino-consistente si y solo si para cada C z{xi,xj} (incluyendo rela-
ciones binaria universal) y para cada k = i, j C z{xi,xj} es camino-consistente relativo
a xk:
∀xi, xj ∈ X, ∀xk ∈ X, ∀C z{xi,xj} ∈ C, ∀C z ′ {xi,xk} ∈ C, ∀C z ′′ {xk,xj} ∈ C
∃ai ∈ Di, ∃aj ∈ Dj, ∃ak ∈ Dk : (ai, aj) ∈ Cz ∧ (ai, ak) ∈ C ′ z ∧ (ak, aj) ∈ C ′′
z
Diversos métodos, que implementan las propiedades de arco consistencia y camino
consistencia, han sido publicados. Entre las propiedades de inferencia, la arco consis-
tencia es la más utilizada. Waltz [118] desarrolló un algoritmo de búsqueda utilizando
AC para resolver problemas de visión por ordenador. A partir de este trabajo, ha
sido estudiado por varios autores, entre ellos, Mackworth y Freuder [85], [86] (AC-3),
Mohr y Henderson [90]. Estos últimos han propuesto un algoritmo cuya complejidad
temporal en el peor caso es O(ed 2 ), donde e es el número de restricciones y d es
la cardinalidad del dominio del problema con mayor número de elementos. En [11],
Bessière ha extendido su uso a redes de restricciones dinámicas. Van Hentenryck,
Deville and Teng [36], [114] han propuesto un algoritmo genérico el cual puede ser
implementado con todas las técnicas conocidas, y han extraído clases de redes so-
bre las cuales existen algoritmos corriendo arco consistencia con complejidad O(ed).
En 1992, Perlin [97] ha dado propiedades de arco consistencia sobre relaciones fac-
torables. El algoritmo AC-6 es propuesto por Bessière en [12]. El autor del mismo
indica que aunque mantiene la misma complejidad temporal de AC-4 para el peor
caso O(ed 2 ), la complejidad espacial de AC-6 es O(ed) y en promedio la complejidad
temporal es menor que la de AC-4.
Entre otros, ejemplos de algoritmos de búsqueda que implementan la propiedad
de camino consistencia son: PC-2 Mackworth [85], PC-3 Mohr y Henderson [90],
PC-4 Han y Lee [59], PC-5 Sing [111].
Partiendo del trabajo de Freuder [42] sobre problemas libres de backtracking,
Dechter y Pearl han propuesto el algoritmo ADC (adaptive consistency) [33]. Este
algoritmo usa un orden estático de variables. Para cada variable, el algoritmo infiere

48 2. Métodos para resolver Problemas tipo Job Shop
una nueva restricción que reemplaza el efecto de la variable en el resto del proble-
ma. Dicha variable se sustituye por esa nueva restricción obteniendo un problema
equivalente con una variable menos. Este proceso, denominado eliminación de vari-
ables se repiten eliminado una variable cada vez hasta que el problema se resuelve
trivialmente. Si no se ha encontrado la restricción vacía, el problema tiene solución,
la cual se construye de formad directa, sin búsqueda.
2.6.3. Inferencia + Búsqueda
Esquemas Look-ahead son invocados siempre y cuando el algoritmo se está preparan-
do para seleccionar la siguiente variable o el siguiente valor. Estos esquemas buscan
descubrir, mediante una cantidad restringida de propagación de restricciones (con-
sistencia local), cómo decisiones actuales acerca de la selección de variable y valor
afectarán a futuras búsquedas. Específicamente, la decisión para aceptar o rechazar
un valor de la variable actual está basada en el impacto que la asignación tiene cuan-
do la propagación de restricciones es aplicada a las variables futuras no instanciadas.
Una vez se completa cierta cantidad de razonamiento a través de la propagación de
restricciones, el algoritmo puede usar los resultados para decidir qué variable será la
siguiente a instanciar, si el orden no está pre determinado, y qué valor asignar a
dicha variable.
Estrategias Look-ahead incurren en un costo extra para cada pedido de instan-
ciación, pero pueden proveer importantes beneficios. Por ejemplo, si todos los valores
de una variable no instanciada son eliminados del conjunto de valores posibles por
aplicar el procedimiento Look-ahead, entonces la actual instanciación no puede ser
parte de una solución y el algoritmo sabe que debe aplicar backtracking y selec-
cionar otro valor para la variable actual. Consecuentemente, dead-ends ocurren más
temprano en la búsqueda, y porciones mucho más pequeñas del espacio de búsqueda
necesitan ser exploradas. En general, cuanto más fuerte es el nivel de propagación
de restricciones usada por el look-ahead, menor es el espacio de búsqueda explorado
y mayor es la sobre carga computacional.
Finalmente, por eliminar de los dominios de cada variable futura todos los valores
inconsistentes con la instanciación parcial actual, via propagación de restricciones,
se elimina la necesidad de verificar la consistencia de valores de la variable actual

2.6. Formulación de un Job Shop como un CSOP 49
con los valores de las variables previamente instanciadas.
El desafío es encontrar un equilibrio práctico entre la efectividad de acotar los
dominios por aplicar una propagación de restricciones previamente y la sobre carga
computacional que esto implica.
Variable Elimination Search (VES)
Como ejemplo de combinación de búsqueda completa e inferencia completa
está el algoritmo V ES (variable elimination search) descrito en detalle en el trabajo
presentado por Larrosa en [80]. Eliminar una variable, que es el paso básico de la
inferencia completa, tiene un coste espacial y temporal exponencial en la anchura
de la variable (número de variables restringidas con ella y anteriores en el orden).
Cuando la anchura de la variable es pequeña, este proceso se puede realizar, pero
si la anchura es grande el coste es prohibitivo. Por otra parte, asignar una variable
modifica la topología del grafo una vez propagado el efecto de la asignación, por lo
que se puede utilizar para disminuir la anchura de ciertas variables.
El algoritmo V ES combina estas ideas, usando un orden estático de variables.
Este algoritmo es dado en la Figura 2.12. Se trata de la función booleana
VES(S, k, P, F, E, D, C), que recibe como parámetros el procedimiento S de búsque-
da, el parámetro k, las variables pasadas P , las variables futuras F , las variables
eliminadas E, los dominios actuales D y las restricciones actuales C.
Esta función devuelve TRUE si existe una solución, en otro caso devuelve FALSE.
Si el conjunto F es vacío, se ha encontrado una solución. Sino, se escoge la última
variable xi de F y se calcula su anchura. Si esta es menor o igual que k, se elimina la
variable con la función varelim. Sino, se realiza la búsqueda sobre los valores de la
variable con la función varbranch. Cuando se realizan con éxito, ambas funciones
llaman a las funciones VES con el sub problema que queda.

50 2. Métodos para resolver Problemas tipo Job Shop
( ) D E F P k C
Function VES , , , , , ,
IfF=
= ∅ Then return TRUE
Else
xultima( )
= ∈ \ ∈
IfBi≤
Then
, , , , , , ,
Else
, , , , , , ,
End If
End If
End Function
, , , , , ,
F
,
Bj
=
k
∪
S
S−
i
{ }
Si
R>< R
Si
AA⎜⎝⎛RS ∈⎟⎠⎞ Bji
Si
{ } i S j
return varelim( ) D E F P x k C
return varbranch( ) R C D E F P x k CxS
i
Function varelim ( ) D E F P x k C
= π
Forward Checking
If = ∅ R A
F P k SSi i D Si NewD NewD E x x k S i F i P
Then return FALSE
Else return VES , , , − { } , ∪ { } , , ∪ { }
End Function
For eacha∈
, , , , , , ,
do
=
, , , , ,
If ≠ ∅ Then
return VES
End If
End For
return FALSE
, , ∪ { } , − { } , , ,
End Function
i j A
x S R
i B j S∈j
( ) i A
Function varbranch( ) D E F P x k C
NewDlookahead ( ) F P a x C
( ) C
Figura 2.12: Algoritmo VES
R C D x E xi
El algoritmo Forward Checking ha sido introducido por Haralick y Elliot en [61].
Este algoritmo combina el proceso de búsqueda del algoritmo backtracking con el
método inferencial de arco consistencia. El objetivo de este método es reducir el

2.6. Formulación de un Job Shop como un CSOP 51
dominio de las variables futuras por eliminar de los mismos aquellos valores incon-
sistentes con las variables asignadas e identificar dead-ends sin tener que probarlos
a través del proceso de backtracking.
Considerando un árbol de búsqueda en el cual cada nodo representa una variable
instanciada, el algoritmo Forward Checking sigue una búsqueda en profundidad,
realizando en cada nodo un proceso de arco consistencia entre la variable actual y
variables futuras (aún no instanciadas). En el caso de restricciones binarias, tras
asignar una variable, se eliminan de los dominios de las variables futuras los valores
incompatibles con aquella recién asignada, según las restricciones que las incluyen
en su ámbito.
( ) n
FC { }
D Past i i aD
Function , , = ,...,
For eacha∈
do
C ij ij cf cf n i n x 1 NewD NewD x Past i+1 Ifi= Then
return TRUE
Else
= \ ∈ , < NewDAC = ( { ,..., } , { } , + ,..., } , )
If ≠ ∅ Then
If FC ( , ∪ { i, } ) Then return TRUE
End If
End If
End For
End Function
xi=n
{ } i C c c j
Figura 2.13: Algoritmo de Forward Checking
En la Figura 2.13 se representa el algoritmo Forward Checking para CSPs bina-
rios con una función boolena FC(i, P ast, D = {Di, ..., Dn}). La función recibe como
D Di
parámetros el índice i, que identifica la variable actual, el conjunto de variables
asignadas P ast, y el conjunto de dominios de las variables futuras, D.
La función FC devuelve TRUE si para cada variable ha sido posible hallar un valor
de su dominio, tal que la variable actual haya sido arco consistente en relación a
cada variable incluida en P ast y en relación a cada variable futura. De no ser así,
la función FC devuelve FALSE.
C D D a x i
Si xi es la ultima variable, significa que se ha hallado una solución, ya que los

52 2. Métodos para resolver Problemas tipo Job Shop
valores de su dominio son arco consistentes con las variables previamente asignadas.
Si no es la última variable, la función AC({xi, ..., xn}, {{a}, Di+1, ..., Dn}, Ccf ) realiza
un proceso de arco consistencia considerando el subconjunto de restricciones Ccf =
{cij\cij ∈ C, i < j}, formado por aquellas restricciones que conectan la variable
actual con las futuras. Como resultado, se obtienen los nuevos dominios futuros
NewD, eliminando aquellos valores arco inconsistentes con el recién asignado.
Si ningún dominio futuro resulta vacío, se realiza la llamada recursiva, incluyendo
xi en P ast con los nuevos dominios NewD. Si se han probado todos los valores de
xi sin éxito, no existe solución que incluya a P ast.
Bacchus y Grove, en [5] realizan un estudio teórico del algoritmo Forward Check-
ing. Dent y Mercer describen una modificación posible al algoritmo Forward Check-
ing en [34], de tal forma que se realicen menos verificaciones de arco consistencia,
con el riesgo de que un mayor backtracking pueda ocurrir.
MAC: Manteniendo Arco Consistencia
El algoritmo MAC (acrónimo de Maintaining Arc Consistency) propuesto por
Sabin y Freuder en [106], mantiene la arco consistencia en los sub problemas que
genera. Nos referimos a sub problemas, porque al menos el dominio de una variable
ha sido modificado a un solo valor antes de realizar la operación de arco consistencia.
Dicha modificación es llevada a cabo para comprobar si el único valor es consistente
con las asignaciones posibles del resto de variables.
En la Figura 2.14 se describe el algoritmo MAC por medio de la función booleana
MAC(i, D), la cual recibe como parámetros el índice i de la variable actual y el vector
D = [D1, ..., Dn], correspondiente a todos los dominios del problema.
La función MAC(i, D) devuelve TRUE si existe una solución entre los valores de D,
de no ser así, devuelve FALSE.
En este algoritmo, asignar una variable es equivalente a reducir su dominio a
un solo valor. Inicialmente, el algoritmo realiza una copia de cada dominio Dj de
las variables futuras xj (aún no instanciadas), al conjunto de valores auxiliar D ′ j ,
i < j ≤ n. La función MAC(i, D) va probando los valores posibles de xi. Para cada
valor a de xi, el algoritmo considera dos posibilidades:
1. D ′ i = {a} (xi toma el valor a). Si xi es la última variable, hemos encontrado

2.6. Formulación de un Job Shop como un CSOP 53
( ) D D D n
{ i n i j jD a
Function MAC = { ,..., }
For each
'
= doD=
For eacha∈
Di= { }
do NewDAC
+ ... 1 j
i 1 NewD 1 a D Di iD i 1 NewD
Ifi=
Then return TRUE
Else
= , =
'
'
1− ,..., , ,..., } ,
IfNewDThen
≠ ∅
If MAC( i, + ) Then return TRUE
End If
i− { }
D=
' NewDAC = , =
'
'
{ 1− ,..., , ,..., } ,
IfNewDThen ≠ ∅ break
Else
End If
End If
each = + Dj= [ ]
End For
End For
return FALSE
End Function
'n
,1
=i
i
D
( ) D D D D D X n i C
( ) D D D D D X n i C
For do i n
Figura 2.14: Algoritmo MAC
... 1 j
' j
una solución. Si no es la última variable, la función AC(X, D, C) realiza un
proceso de arco consistencia sobre el conjunto C de todas las restricciones del
problema, considerando D = [D1, ..., Di−1, D ′ i , ..., D′ n], los dominios actuales de
las variables. Como resultado, se obtienen los nuevos dominios futuros NewD,
eliminando aquellos valores arcos inconsistentes. Si no hay un dominio futuro
vacío, se realiza la llamada recursiva, con los nuevos dominios NewD. Si esta
llamada devuelve TRUE, significa que se ha encontrado una solución por lo que
devuelve TRUE a su vez. Si no, se continúa con la segunda opción.
2. D ′ i = Di − {a} (xi no puede tomar el valor a). Tanto si existe un dominio
vacío en NewD como si la llamada recursiva retorna FALSE, a ya no es un
valor posible para xi. Se realiza arco consistencia AC(X, D, C) sobre el nuevo
dominio de xi. Como resultado AC calcula los nuevos dominios futuros NewD,
eliminando aquellos valores arco inconsistentes. Si no hay un dominio futuro
vacío, se copian los nuevos dominios futuros en D ′ j
y se continúa el bucle. En

54 2. Métodos para resolver Problemas tipo Job Shop
caso contrario, hay que salir del bucle, no hay solución en la rama actual que
incluya un valor de D ′ i . Cuando se sale del bucle, se han probado todas las
opciones para xi sin éxito, por lo que no hay solución en la rama actual.
2.6.4. Estrategias Look Back
Esta sección introduce otra clase de esquemas de mejora que intenta contrar-
restar la propensión del backtracking para re descubrir repetidamente las mismas
inconsistencias y éxitos parciales durante la búsqueda. Estos esquemas son invoca-
dos cuando el algoritmo llega a un dead-end y se prepara para deshacer una o varias
asignaciones realizadas previamente. Colectivamente, son llamados esquemas look-
back, y pueden ser divididos en dos categorías principales. El objetivo del primer
tipo es mejorar sobre la política standard de retroceder solo un paso hacia atrás
cuando se encuentra un dead-end. Analizando las razones del dead-end, puntos de
backtracking sin relevancia pueden ser evitados frecuentemente y hacer que el algo-
ritmo retroceda directamente al origen del fallo, en lugar de retroceder solamente
hasta la variable anterior según el ordenamiento que se sigue. El objetivo del segundo
tipo del esquema look-back llamado almacenamiento de restricciones o aprendizaje
incorrecto es guardar las razones por las que se produjeron el dead-end en la forma
de nuevas restricciones, tal que los mismos conflictos no aparezcan otra vez más
tarde en la búsqueda. En esta sección se describirán varios algoritmos que ejempli-
fican algunas de las muchas formas en las cuales estas dos categorías de esquemas
de mejora pueden ser implementadas.
Backmarking
El algoritmo Backmarking es descrito en detalle en los trabajos publicados por
Gaschning en [46], Dechter en [32], o por Prosser en [104].
Al producirse un dead-end el algoritmo backtracking retrocede, por lo tanto la
asignación de una misma variable puede ser realizada más de una vez. Considere que
se desea asignar un valor a la variable xi, y dicha asignación no es la primera vez que
se realiza durante la búsqueda. La asignación de xp es anterior a la asignación de xi
y entre las variables que han sido modificadas desde la última asignación de xi, xp
es la variable que aparece más temprano en el ordenamiento. Mediante la técnica

2.6. Formulación de un Job Shop como un CSOP 55
Backmarking no se verificarán las restricciones que involucren a xi y cualquier vari-
able anterior a xp en el ordenamiento, ya que la verificación de restricciones dará el
mismo resultado que en asignaciones previas. Backmarking lleva un rastro de los
valores que incumplen determinadas restricciones entre una variable y otra, de tal
forma que cuando se deba volver sobre la misma variable, se conoce cuáles son las
restricciones que ya no necesitan ser verificadas, siempre y cuando la asignación de
la otra variable que aparece antes en el ordenamiento no haya sido modificada.
Si en asignaciones previas la asignación 〈xi, y〉 ha incumplido una o más re-
stricciones R {i}∪S, S ⊂ X del problema, y ninguna de las variables en S han sido
modificadas desde entonces, cuando se vuelve a asignar un valor a xi no se asigna
el valor y sino el último valor válido asignado, ya que este deberá ser igualmente
válido. Con ello se evita realizar nuevamente la verificación de restricciones entre
ciertas variables del problema cuando se regresa de un backtracking.
Backjumping
Esquemas Backjumping son una de las herramientas primarias para reducir la
desafortunada tendencia de los algoritmos de backtracking a repetir los mismos
dead-ends. Un dead-end ocurre si a xi no le quedan valores en su dominio que
permitan una asignación consistente con respecto a la solución parcial actual, en
cuyo caso el algoritmo de backtracking retrocederá a la variable xi−1. Suponga que
un nuevo valor para xi−1 existe y que no existe ninguna restricción en cuyo alcance
se encuentren las variables xi y xi−1. En este caso xi−1 no puede ser la causa del
dead-end en xi, por lo que un dead-end será alcanzado nuevamente en xi por cada
valor de xi−1 hasta que todos los valores de xi−1 hayan sido probados.
Esta situación puede ser mejorada por identificar la variable inculpada respon-
sable del dead-end, y luego inmediatamente saltar hacia atrás y re instanciar la
variable inculpada, en lugar de instanciar repetidamente la variable previa cronológi-
camente. La identificación de variables inculpadas está basada en la noción de con-
juntos de conflicto.
Entre las variantes de Backjumping, se encuentran Backjumping de Gaschnig
[47], Backjumping basado en grafos descrito por Dechter en [31], y Backjumping
dirigido por conflictos descrito por Prosser en [103].

56 2. Métodos para resolver Problemas tipo Job Shop
Algoritmos de Aprendizaje
Una determinada combinación no factible de valores asignada a determinadas
variables, cuya asignación es realizada en base a un cierto ordenamiento, es de-
nominado el conjunto de conflictos. Esta asignación puede ser repetida varias veces
durante la búsqueda si el algoritmo explora diferentes caminos dentro del grafo de
búsqueda. Si se restringe de forma explícita, la combinación que causó el conflicto
o dead-end a medida que aparecen, se evitaría repetir la asignación. A la técnica de
introducir nuevas restricciones en el modelo, con el objetivo de evitar repetir asigna-
ciones que producen dead-end, se conoce como registro de restricciones o aprendizaje
de restricciones.
La oportunidad de saber qué restricción se debe agregar se presenta siempre y
cuando el algoritmo backtracking encuentra un dead-end, esto es, cuando la instan-
ciación actual ai tiene un conflicto con xi+1. Si el ai contiene uno o más subconjuntos
que están en conflicto con xi+1, registrar estos conjuntos de conflictos más pequeños
como restricciones puede resultar útil durante lo que quede de la búsqueda, estados
futuros pueden contener estos conjuntos de conflictos, así como también excluirían
conjuntos de conflictos más grandes que lo contengan.
En los algoritmos de aprendizaje, el ahorro producido por una búsqueda que
poda los caminos que llevan a un dead-end debe estar equilibrado con la sobre carga
de procesar en cada generación de un nodo un conjunto más grande de restricciones.
Los algoritmos de aprendizaje pueden estar caracterizados por la forma en la
cual identifican los conjuntos de conflictos más pequeños. El aprendizaje puede ser
profundo o superficial. El primero insiste en registrar únicamente restricciones que
evitan obtener los conjuntos de conflictos mínimos, lo cual requiere de un análisis más
costoso. El segundo registra restriccione aunque estas no representen el conjunto de
conflictos mínimos que se desee evitar. Los algoritmos de aprendizaje también están
caracterizados por la forma en que limitan la aridad de las restricciones generadas.
Las restricciones cuyo ámbito incluye a muchas variables, son generalmente menos
aplicables.
Existen tres tipos primarios de aprendizaje: graph-based learning (Dechter [31])
deep learning, y jumpback learning (Frost [43]). Cada uno de estos puede ser re-
stringido por limitar la cantidad de restricciones que va agregando, lo cual es referido
como aprendizaje acotado. Estos algoritmos ejemplifican las principales alternativas,

2.6. Formulación de un Job Shop como un CSOP 57
aunque existen numerosas variaciones posibles.
2.6.5. Ordenamiento de Valores
También es posible utilizar la información reunida de la propagación de restric-
ciones para construir un ranking ordenado de valores prometedores que no han sido
rechazados mediante la estimación de sus correspondientes probabilidades de con-
ducir hacia una solución. En el trabajo de Dechter [32] se enumeran las siguientes
heurísticas como ejemplo de heurísticas de ordenación de valores.
Mínimo Conflictos (MC). Elige el valor que elimina el menor número de valores
de los dominios de variables futuras. Particularmente, considera cada valor en
el dominio de la variable actual y le asocia el número total de valores en los
dominios de variables futuras con las que tiene algún conflicto pero que son
consistentes con la asignación parcial actual. Los valores de la variable actual
son luego seleccionados en orden creciente teniendo en cuenta el valor de este
contador.
Dominio de Tamaño Máximo (MD). Está inspirada por la intuición de que
es más probable que un sub problema que incluya variables con dominios
pequeños sea inconsistente. Esta heurística prefiere el valor de la variable ac-
tual que cree el dominio mínimo de mayor tamaño entre los dominios mínimos
de las variables futuras. Por ejemplo, si después de instanciar xi con valor a el
min j∈{i+1,...,n}|D ′ j | es 2, y con xi = b, el mínimo es 1, entonces a será preferida.
Soluciones Estimadas (ES). La heurística ES intenta estimar el número de
soluciones en cada sub problema potencial. ES calcula un límite superior para
el número de soluciones multiplicando el tamaño de los dominios de las vari-
ables futuras, luego de eliminar de los mismos aquellos valores que producen
inconsistencia con el valor asignado a la variable actual. El valor que con-
duce al límite superior más alto sobre el número de soluciones es seleccionado
primero.

58 2. Métodos para resolver Problemas tipo Job Shop
2.6.6. Ordenamiento de Variables
Una red de restricciones puede tener diferentes espacios de búsqueda, dependi-
endo del ordenamiento de las variables. Ya que el espacio de búsqueda incluye todas
las soluciones, una forma de evaluar si su tamaño es excesivo es contando el número
de dead-ends que deja. El ordenamiento de variables puede ser:
Estático: en el cual el orden de las variables es especificado antes que se inicie
la búsqueda, y no es cambiado mientras esta se realiza, o bien
Dinámico:en el cual la elección de la siguiente variable a ser considerada en
algún punto de la búsqueda depende del estado actual de la misma. Haralick
y Elliot en [61] así como Purdom en [105] describen las propiedades y las
ventajas de un ordenamiento dinámico de variables.
Cuando se determina en forma dinámica el ordenamiento de las variables du-
rante la búsqueda, una heurística conocida como el primero que falla es descrita
en el trabajo de Haralick y Elliot en [61]. Consiste en seleccionar como la siguiente
variable aquella que más restrinja el espacio de búsqueda. Siendo iguales todos los
otros factores, la variable con el menor número de valores viables en su dominio
actual tendrá el menor número de sub árboles cuyas raíces corresponderán a estos
valores, y por lo tanto el menor espacio de búsqueda bajo ellos. Bacchus y Van Run
proponen en [6] la heurística MRV para realizar un ordenamiento dinámico de vari-
ables. En esta heurística, la siguiente variable a ser seleccionada es aquella en cuyo
dominio exista la menor cantidad de valores consistentes considerando las variables
previamente instanciadas. Otras heurísticas de ordenamiento dinámico son: BZ [14],
GEL [48], KP [49].
Debido a que el ordenamiento de valores y variables puede tener un efecto
dramático en la eficiencia de un algoritmo de backtracking, y considerando también
que hallar una heurística que trabaje bien en todos los casos es poco probable, una
estrategia alternativa explora la aleatoriedad en la selección de variables y valores.
Por ejemplo, cuando el algoritmo necesita seleccionar una variable, puede utilizar
una heurística para la selección de la siguiente variable, pero puede romper los em-
pates en forma aleatoria. Lo mismo puede darse para la selección de valores de una
variable, puede ser seleccionado en forma aleatoria, o puede utilizarse la aleatoriedad

2.7. Métodos Heurísticos Genéricos 59
para romper empates entre valores luego de aplicar alguna de las heurísticas para
seleccionar valores para una variable.
2.7. Métodos Heurísticos Genéricos
2.7.1. Búsqueda Beam
Los métodos branch and bound enumerativos son actualmente uno de los méto-
dos más utilizados para obtener soluciones óptimas a problemas de scheduling NP-
hard. La desventaja del branch and bound es que puede ser un método que consuma
mucho tiempo cuando el número de nodos a explorar es elevado. El método Beam
Search es un derivado del branch and bound, el cual trata de eliminar ramas de
forma inteligente, tal que no todas las ramas del árbol deban ser exploradas para
hallar una solución al problema. El tiempo de computo es menor pero no garantiza
que la solución hallada sea la solución óptima.
Con la búsqueda Beam únicamente los nodos más prometedores del nivel k son
seleccionados para ser expandidos. Los nodos restantes en ese nivel son descartados
permanentemente.
Se denomina anchura beam al número de nodos seleccionados en el nivel k para
ser expandidos en los siguientes niveles. El proceso que decide qué nodos seleccionar
es un componente crucial de este método. Evaluar cada nodo cuidadosamente, para
obtener una estimación lo más exacta posible del potencial de todos sus descen-
dientes, puede consumir una cantidad de tiempo muy elevada. Debe haber una
negociación entre una predicción rudimentaria, que puede ser muy rápida, pero
también puede descartar soluciones buenas, y entre una predicción muy minuciosa,
que aunque puede dar mejores resultados, puede consumir una cantidad de tiempo
muy elevada.
En [98], Pinedo propone una aproximación de dos etapas. En la primera, se
realiza una estimación rudimentaria. A partir de estos resultados se seleccionan n
nodos, y con los n nodos seleccionados se realiza una estimación más minuciosa y
según estos segundos resultados son seleccionados los m nodos cuyas ramas serán
generadas. El número de nodos seleccionados en la primera etapa se conoce como la
anchura de filtrado. La anchura de filtrado debe ser mayor a la anchura beam.

60 2. Métodos para resolver Problemas tipo Job Shop
Este método no realiza una búsqueda completa, por lo tanto la solución óptima
no puede ser garantizada. A cambio, propone una buena solución en un periodo de
tiempo menor. Consideramos que la calidad de la solución dependerá fundamental-
mente de la heurística empleada para seleccionar el sub conjunto de estados que
serán revisados durante la búsqueda. Es un método práctico, ya que una búsqueda
completa en muchos problemas combinatorios no es viable, pero como todo método
de búsqueda local, la clave del éxito en su implementación se basa en la elección
correcta de aquellos nodos que serán expandidos, y de aquellas ramas del árbol de
búsqueda correspondiente, que nunca serán generadas.
2.7.2. Simulated Annealing
El algoritmo Simulated Annealing es un algoritmo del tipo mejora que es con-
ceptualmente diferente a los algoritmos del tipo constructivo. Ha sido introducido
en la literatura por Cerny en [24] y por Kirkpatrick en [73].
Este método selecciona en forma arbitraria una solución e intenta mejorarla me-
diante determinadas modificaciones realizadas en la misma. Los procedimientos de
búsqueda local son una importante clase de algoritmos tipo mejora. Un procedimien-
to de búsqueda local no garantiza una solución óptima. Usualmente intenta encon-
trar una solución mejor que la actual por explorar su correspondiente vecindario.
Dos soluciones son vecinas si una de ellas puede ser obtenida a través de modifica-
ciones bien definidas de la otra. En cada iteración un procedimiento de búsqueda
local lleva a cabo una búsqueda dentro del vecindario y evalúa las soluciones hal-
ladas. El procedimiento acepta o rechaza una solución candidata para ser la siguiente
solución considerada referencia en la búsqueda (esto significa que a partir de dicha
solución se creará el vecindario), basándose en un criterio de aceptación/rechazo.
Los procedimientos de búsqueda local pueden ser comparados sobre los siguientes
criterios de diseño:
(i) La representación de la solución que sea apropiada para el procedimiento.
(ii) El diseño del vecindario.
(iii) El proceso de búsqueda dentro del vecindario.
(iv) El criterio de aceptación/rechazo.
El procedimiento Simulated Annealing va a través de un número de iteraciones.

2.7. Métodos Heurísticos Genéricos 61
En la iteración k del procedimiento, existe una solución a la cual denominamos Sk y
una solución que corresponde a la mejor solución obtenida hasta entonces, a la cual
denominamos S0. Considere que G(Sk) y G(S0) denotan los correspondientes valores
de la función objetivo para la solución Sk y para la solución S0, respectivamente y
que G(Sk) ≥ G(S0) (función objetivo consiste en minimizar). En la iteración k,
una búsqueda para una nueva solución es conducida dentro del vecindario de Sk.
Primero, una solución a la cual se denomina solución candidata, Sc, es seleccionada
del vecindario. Esta selección de una solución candidata puede ser realizada en forma
aleatoria o en forma organizada, posiblemente secuencial. Si G(Sc) < G(Sk), la
siguiente solución de referencia pasará a ser Sc, esto es Sk+1 = Sc. Si G(Sc) < G(S0),
entonces S0 = Sc. Sin embargo si G(Sc) ≥ G(Sk), la solución candidata Sc pasará a
ser la solución de referencia en la siguiente iteración con probabilidad
P (Sk, Sc) = exp( G(Sk) − G(Sc)
)
Con probabilidad 1 − P (Sk, Sc) la solución candidata Sc es rechazada en favor de la
solución de referencia actual Sk, estableciendo Sk+1 = Sk. Los valores
βk
β1 ≥ β2 ≥ ... > 0
son parámetros de control referidos como parámetros de enfriamiento. Frecuente-
mente βk pasa a ser a k para algún valor de a entre 0 y 1.
Están permitidos los movimientos a soluciones peores. La razón para permitir
estos movimientos es dar al procedimiento la oportunidad de salir de un mínimo local
y encontrar una mejor solución en iteraciones posteriores. Debido a que βk decrece
con k, la probabilidad de aceptación de una solución que no mejore la actual es
más baja a medida que aumenta el número de iteraciones del proceso de búsqueda.
La definición de la probabilidad de aceptación también asegura que si un vecino
es significativamente peor, su probabilidad de aceptación es muy baja y es poco
probable que el movimiento a esta solución sea realizado.
Varios criterios de parada son usados para este procedimiento. Una forma es
dejar al procedimiento correr por un número específico de iteraciones. Otro criterio
es dejar al procedimiento correr hasta que ninguna mejora sea obtenida en un número
determinado de iteraciones sucesivas.

62 2. Métodos para resolver Problemas tipo Job Shop
2.7.3. Búsqueda Tabú
La búsqueda Tabú es en muchas formas similar al método Simulated Annealing,
por ejemplo, también es posible el movimiento desde una solución a otra peor. Por
cada solución S se define un vecindario, esto es: conjunto de soluciones que pueden
ser generadas a partir de S a través de modificaciones bien definidas realizadas
en la misma. Un aspecto importante del método es la forma en que se realiza la
búsqueda de un vecino dentro del vecindario, como un candidato potencial para ser
la siguiente solución a la cual se mueva el procedimiento. El siguiente vecino puede
ser elegido en forma aleatoria o en forma organizada. La diferencia básica entre
Simulated Annealing y búsqueda Tabú descansa en el mecanismo que es utilizado
para aceptar o rechazar una solución candidata. En la búsqueda Tabú el mecanismo
no es probabilístico sino más bien determinista. En cualquier etapa del proceso, es
mantenida una lista tabú de mutaciones, las cuales no están permitidas en el proceso.
La lista tabú tiene un número fijo de entradas lo cual depende de la aplicación. Cada
vez que se realiza un movimiento en la solución actual, se ingresa el movimiento
inverso en el tope de la lista tabú; el resto de entradas son movidas una posición
menos en la lista, y el último elemento es eliminado de la misma. El movimiento
inverso es puesto puesto en la lista tabú para evitar volver a un mínimo local que
haya sido visitado antes. Este método de búsqueda fue propuesto por Glover en [50].
Tutoriales acerca de este método han sido publicados posteriormente por Glover en
[51] y junto con Talliard en [53]. Glover y Laguna presentan un trabajo en el cual
describen las principales características y aplicaciones de este método en [52].
2.7.4. Algoritmos Genéticos
Los algoritmos genéticos han sido introducidos por John Holland en 1975 [66].
Posteriormente Goldberg [54], [55], uno de sus estudiantes también colaboró para
que pudieran ser utilizados en la resolución de problemas más complejos.
Un algoritmo genético (o AG para abreviar) es una técnica de programación
que imita a la evolución biológica como estrategia para resolver problemas. Dado
un problema específico a resolver, la entrada del AG es un conjunto de soluciones
potenciales a ese problema, codificadas de alguna manera, y una métrica llamada
función de aptitud que permite evaluar cuantitativamente a cada candidata. Estas

2.7. Métodos Heurísticos Genéricos 63
candidatas pueden ser soluciones que ya se sabe que funcionan, con el objetivo de
que el AG las mejore, pero se suelen generar aleatoriamente.
Luego el AG evalúa cada candidata de acuerdo con la función de aptitud. En
un acervo de candidatas generadas aleatoriamente, por supuesto, la mayoría no
funcionarán en absoluto, y serán eliminadas. Sin embargo, por puro azar, unas pocas
pueden ser prometedoras -pueden mostrar actividad, aunque sólo sea actividad débil
e imperfecta, hacia la solución del problema.
Estas candidatas prometedoras se conservan y se les permite reproducirse. Se
realizan múltiples copias de ellas, pero las copias no son perfectas; se introducen
cambios aleatorios durante el proceso de copia. Luego, esta descendencia digital
prosigue con la siguiente generación, formando un nuevo acervo de soluciones can-
didatas, y son sometidas a una ronda de evaluación de aptitud. Las candidatas que
han empeorado o no han mejorado con los cambios en su código son eliminadas de
nuevo; pero, de nuevo, por puro azar, las variaciones aleatorias introducidas en la
población pueden haber mejorado a algunos individuos, convirtiéndolos en mejores
soluciones del problema, más completas o más eficientes. De nuevo, se seleccionan y
copian estos individuos vencedores hacia la siguiente generación con cambios aleato-
rios, y el proceso se repite. Las expectativas son que la aptitud media de la población
se incrementará en cada ronda y, por tanto, repitiendo este proceso cientos o miles
de rondas, pueden descubrirse soluciones muy buenas del problema.
Antes de que un algoritmo genético pueda ponerse a trabajar en un problema, se
necesita un método para codificar las soluciones potenciales del problema de forma
que un ordenador pueda procesarlas. Un enfoque común es codificar las soluciones
como cadenas binarias: secuencias de 1s y 0s, donde el dígito de cada posición
representa el valor de algún aspecto de la solución. Otro método similar consiste
en codificar las soluciones como cadenas de enteros o números decimales, donde
cada posición, de nuevo, representa algún aspecto particular de la solución. Este
método permite una mayor precisión y complejidad que el método comparativamente
restringido de utilizar sólo números binarios, y a menudo está intuitivamente más
cerca del espacio de problemas (Fleming y Purshouse [40]).
Esta técnica se utilizó, por ejemplo, en el trabajo de Steffen Schulze-Kremer,
que escribió un algoritmo genético para predecir la estructura tridimensional de una
proteína, basándose en la secuencia de aminoácidos que la componen (Mitchell [89]).

64 2. Métodos para resolver Problemas tipo Job Shop
Un tercer método consiste en representar a los individuos de un AG como cadenas
de letras, donde cada letra, de nuevo, representa un aspecto específico de la solución.
Un ejemplo de esta técnica es el método basado en codificación gramática de Hiroaki
Kitano, en el que a un AG se le encargó la tarea de evolucionar un sencillo conjunto
de reglas llamadas gramática libre de contexto, que a su vez se utilizaban para
generar redes neuronales para una variedad de problemas.
La virtud de estos tres métodos es que facilitan la definición de operadores que
causen los cambios aleatorios en las candidatas seleccionadas: cambiar un 0 por
un 1 o viceversa, sumar o restar al valor de un número una cantidad elegida al
azar, o cambiar una letra por otra. Otra estrategia, desarrollada principalmente por
John Koza, de la Universidad de Stanford, y denominada programación genética,
representa a los programas como estructuras de datos ramificadas llamadas árboles
(Koza et. al. [74]). En este método, los cambios aleatorios pueden generarse cambiado
el operador o alterando el valor de un cierto nodo del árbol, o sustituyendo un
subárbol por otro.
Es importante señalar que los algoritmos evolutivos no necesitan representar
las soluciones candidatas como cadenas de datos de una longitud fija. Algunos las
representan de esta manera, pero otros no; por ejemplo, la codificación gramatical de
Kitano, explicada arriba, puede escalarse eficientemente para crear redes neuronales
grandes y complejas, y los árboles de programación genética de Koza pueden crecer
arbitrariamente tanto como sea necesario para resolver cualquier problema que se
les pida.
Un algoritmo genético puede utilizar muchas técnicas diferentes para seleccionar
a los individuos que deben copiarse hacia la siguiente generación, a continuación se
listan algunos de los más comunes.
Selección elitista: se garantiza la selección de los miembros más aptos de cada
generación. (La mayoría de los AGs no utilizan elitismo puro, sino que usan
una forma modificada por la que el individuo mejor, o algunos de los mejores,
son copiados hacia la siguiente generación en caso de que no surja nada mejor).
Selección proporcional a la aptitud: los individuos más aptos tienen más prob-
abilidad de ser seleccionados, pero no la certeza.
Selección por rueda de ruleta: una forma de selección proporcional a la aptitud

2.7. Métodos Heurísticos Genéricos 65
en la que la probabilidad de que un individuo sea seleccionado es proporcional
a la diferencia entre su aptitud y la de sus competidores. (Conceptualmente,
esto puede representarse como un juego de ruleta -cada individuo obtiene una
sección de la ruleta, pero los más aptos obtienen secciones mayores que las
de los menos aptos. Luego la ruleta se hace girar, y en cada vez se elige al
individuo que posea la sección en la que se pare la ruleta).
Selección escalada: al incrementarse la aptitud media de la población, la fuerza
de la presión selectiva también aumenta y la función de aptitud se hace más
discriminadora. Este método puede ser útil para seleccionar más tarde, cuando
todos los individuos tengan una aptitud relativamente alta y sólo les distingan
pequeñas diferencias en la aptitud.
Selección por torneo: se eligen subgrupos de individuos de la población, y los
miembros de cada subgrupo compiten entre ellos. Sólo se elige a un individuo
de cada subgrupo para la reproducción.
Selección por rango: a cada individuo de la población se le asigna un rango
numérico basado en su aptitud, y la selección se basa en este ranking, en lugar
de las diferencias absolutas en aptitud. La ventaja de este método es que puede
evitar que individuos muy aptos ganen dominancia al principio a expensas de
los menos aptos, lo que reduciría la diversidad genética de la población y podría
obstaculizar la búsqueda de una solución aceptable.
Selección generacional: la descendencia de los individuos seleccionados en ca-
da generación se convierte en toda la siguiente generación. No se conservan
individuos entre las generaciones.
Selección por estado estacionario: la descendencia de los individuos selecciona-
dos en cada generación vuelven al acervo genético preexistente, reemplazando
a algunos de los miembros menos aptos de la siguiente generación. Se conservan
algunos individuos entre generaciones.
Selección jerárquica: los individuos atraviesan múltiples rondas de selección
en cada generación. Las evaluaciones de los primeros niveles son más rápidas
y menos discriminatorias, mientras que los que sobreviven hasta niveles más

66 2. Métodos para resolver Problemas tipo Job Shop
altos son evaluados más rigurosamente. La ventaja de este método es que
reduce el tiempo total de cálculo al utilizar una evaluación más rápida y menos
selectiva para eliminar a la mayoría de los individuos que se muestran poco
o nada prometedores, y sometiendo a una evaluación de aptitud más rigurosa
y computacionalmente más costosa sólo a los que sobreviven a esta prueba
inicial.
Algunos de estos métodos son mutuamente exclusivos, pero otros pueden utilizarse
en combinación, algo que se hace a menudo.
Una vez que la selección ha elegido a los individuos aptos, éstos deben ser al-
terados aleatoriamente con la esperanza de mejorar su aptitud para la siguiente
generación. Existen dos estrategias básicas para llevar esto a cabo. La primera y
más sencilla se llama mutación. Al igual que una mutación en los seres vivos cambia
un gen por otro, una mutación en un algoritmo genético también causa pequeñas
alteraciones en puntos concretos del código de un individuo. El segundo método se
llama cruce, e implica elegir a dos individuos para que intercambien segmentos de su
código, produciendo una descendencia artificial cuyos individuos son combinaciones
de sus padres. Este proceso pretende simular el proceso análogo de la recombinación
que se da en los cromosomas durante la reproducción sexual. Las formas comunes
de cruce incluyen al cruce de un punto, en el que se establece un punto de intercam-
bio en un lugar aleatorio del genoma de los dos individuos, y uno de los individuos
contribuye todo su código anterior a ese punto y el otro individuo contribuye todo
su código a partir de ese punto para producir una descendencia, y al cruce uniforme,
en el que el valor de una posición dada en el genoma de la descendencia corresponde
al valor en esa posición del genoma de uno de los padres o al valor en esa posición
del genoma del otro padre, elegido con un 50 % de probabilidad.
En la Figura 2.15 se indica a alto nivel la secuencia de las operaciones que
distinguen a un algoritmo genético y que se repiten iteración tras iteración hasta
que una determinada condición de fin se cumpla. Los gráficos mostrados junto a
cada operación en la Figura 2.15 representan el resultado de aplicar las operaciones,
indican cómo de una población de individuos se puede obtener la siguiente generación
mediante un proceso de selección, reproducción y mutación.

2.8. Conclusiones 67
GA( nto Procedimie )
Población Generar individuo cada a iente correspond Fitness el Evaluar Inicial
Individuos r Selecciona Repetir
de Operador Aplicar Mutación Cruce
Población
8, Población 105
Inicial
6 Inicial 15
Población 10 15 615 Intermedia Población Intermedia
NuevaGeneración Nueva9
Generación
16
Operador individuo a correspond el de Aplicar
la se Hasta
Figura 2.15: Secuencia de Operaciones características de un Algoritmo Genético
standard nto Procedimie Fin GA 148 quecumplacondición
de Evaluar Fitness ientecada
finalización
2.8. Conclusiones
Se han revisado diversos métodos para resolver un problema tipo Job Shop,
analizando al mismo tiempo su adaptación y conveniencia para resolver el problema
OPT. En particular, los métodos de optimización exacta no pueden ser utilizados
para resolver el problema OPT ya que el espacio de soluciones de una instancia real
de este problema es muy grande aún cuando se permita la relajación o la poda en los
diversos métodos. Debido a la naturaleza del problema, es preferible obtener varias
soluciones con una calidad aceptable en poco tiempo que una solución óptima que
se demore un tiempo no factible para fines prácticos. En el caso de la Programación

68 2. Métodos para resolver Problemas tipo Job Shop
Dinámica además se debería hallar un particionamiento del problema que cumpla
con la hipótesis principal de este método que es hallar la solución óptima para cada
sub problema supone hallar la solución óptima para el problema completo. Hallar
la forma de dividir el problema completo en sub problemas que cumplan con esta
hipótesis de la programación dinámica en un problema OPT es muy difícil, ya que
las actividades están fuertemente interrelacionadas.
En el caso de los métodos heurísticos constructivos se obtendría una única solu-
ción basándose en aspectos locales de la solución parcial. Las heurísticas empleadas
tanto para decidir qué nodos descartar en una búsqueda beam, o para decidir el
orden en que deben ejecutarse un conjunto de actividades en las reglas de proce-
samiento, deben ser muy potentes como para que la única solución entregada sea
lo suficientemente buena que no justifique una nueva búsqueda en otra región del
espacio de soluciones. Sin embargo, es muy complicado de obtener una heurística
muy potente en un problema OPT que considere únicamente aspectos locales como
es el caso en los métodos heurísticos.
Debido al tamaño del espacio de soluciones y la interrelación que existe entre
las actividades que utilizan diferentes máquinas dentro del job shop, consideramos
que las propiedades de los métodos heurísticos de mejora pueden ser utilizadas
para obtener un proceso de solución que se adapte a las características de Job
Shop del problema OPT así como a las características propias del dominio de este
problema. Asignar un horario a cada tren en forma factible, requiere de poco tiempo
computacional, aún cuando la solución obtenida no sea cercana a la óptima, los
métodos de mejora permiten moverse de una región de soluciones a otra. Si se
consigue obtener una buena guía para esos movimientos, se podría alcanzar una
mejora en un tiempo computacional aceptable.

Capítulo 3
Optimizar y Planificar Horarios
para Trenes, un problema CSOP
3.1. Introducción
En los capítulos previos se ha hecho una revisión acerca de los problemas de
scheduling tipo Job Shop, se han identificado aquellas propiedades que son comunes
a todo problema de este tipo, así como los modelos y métodos de solución genéricos
que existen en la literatura. El objetivo de este capítulo es describir el problema OPT,
marco de trabajo de esta tesis, con el suficiente nivel de detalle y de formalidad,
necesarios para establecer que es una especialización de problemas de scheduling
tipo Job Shop, con características específicas del dominio al que pertenece, y que su
complejidad es NP-hard.
La descripción de OPT se inicia en la Sección 3.2, en la cual introducimos el
problema tratando de dar una visión global del mismo, en cuanto a sus elementos,
requerimientos y complejidad se refiere, dejando para las secciones posteriores una
descripción más detallada y formal de cada uno de estos puntos.
Antes de iniciar la especificación formal del problema, en la Sección 3.3 se pro-
porciona el significado dado a determinados términos empleados para definir a OPT,
junto con sus sus principales características, las cuales deberán ser tenidas en cuenta
en el momento de formular el problema. Al tiempo que se presentan los diferentes
elementos del problema OPT, también se indica la correspondencia entre estos y los
elementos de un problema de scheduling tipo Job Shop (trabajo, operación, recurso).
La descripción formal del problema OPT es proporcionada en la Sección 3.4 donde
69

70 3. Optimizar y Planificar Horarios para Trenes, un problema CSOP
el mismo es modelado mediante una red de optimización (X, D, C, F C) y formulado
como un Problema de Optimización y Satisfacción de Restricciones (CSOP). Se
identifican las variables (X) y el dominio de las mismas (D), las restricciones (C),
y la función objetivo (F C) de OPT.
Finalmente, en la Sección 3.5 y a partir de la formulación realizada de OPT, se
agrupan sus características y elementos, proporcionando a cada grupo un significado,
que permite clasificarlos como propiedades típicas de un problema de scheduling tipo
Job Shop.
3.2. El Problema OPT
En el Problema de Optimizar y Programar horarios para Trenes (OPT) se consid-
era un conjunto de trenes y una línea ferroviaria, la cual está formada por una secuen-
cia ordenada de dependencias (apeaderos, estaciones, bifurcaciones, cargaderos, ...,
etc.). Cada tren tiene definido un recorrido sobre la misma, que no tiene por qué ser
el mismo para todos. Se deberá asignar un horario factible, según un determina-
do conjunto de restricciones, a cada tren, optimizando una determinada función
objetivo.
El orden entre las dependencias determina el orden en el cual deben ser visitadas
por los trenes que viajan en un determinado sentido, al cual denominamos ida.
Cuando los trenes viajan en el sentido opuesto, decimos que viajan en sentido vuelta.
Las restricciones, que deben ser satisfechas por la programación de horarios
entregada, tienen en cuenta la capacidad de la infraestructura ferroviaria, el tráfico
que existe en la línea, las condiciones de mantenimiento, el servicio propuesto al
cliente, y las condiciones establecidas por el planificador de horarios para guiar
hacia un tipo de resultado la solución que se obtenga.
La infraestructura ferroviaria está dada por el número de vías en la dependencia
y entre dependencias consecutivas, así como por el tipo de señalización que existe
en cada tramo. Las restricciones que tienen en cuenta el mantenimiento de la línea
incluyen los horarios de cierre en las estaciones y los intervalos de tiempo corre-
spondientes a las operaciones de mantenimiento. En cuanto a las restricciones de
tráfico, se debe considerar que puede existir más de un tren en la línea, por lo tanto

3.2. El Problema OPT 71
se deberá evitar colisiones entre ellos o cualquier otro tipo de operación que pon-
ga en riesgo al vehículo y a sus ocupantes. En cuanto al servicio al cliente, puede
ser requerida una determinada frecuencia de salida entre trenes consecutivos de de-
terminadas estaciones, o una mínima parada comercial que permita el ascenso y
descenso de pasajeros en determinadas estaciones o apeaderos. Además, el planifi-
cador podrá especificar por cada tren, un intervalo de instantes de tiempo factibles
para que el tren parta de su estación origen y podrá restringir el instante de llegada
a su estación destino a un determinado intervalo de tiempo. Otro requerimiento que
puede ser añadido es el de un máximo retraso permitido con respecto a un tiempo
de referencia para el tren.
En cada dependencia se especifica un número total de vías y la cantidad de es-
tas vías que poseen andén. Un tren no podrá llegar a una dependencia en la cual
no exista por lo menos una vía disponible. Además, deberá poseer andén si el tren
que llega tiene previsto realizar una parada comercial en ella. Otro de los atributos
asociados a una dependencia es el horario de cierre, formado por un conjunto de
intervalos de tiempo, que señalan cada uno, los instantes en los que dicha depen-
dencia permanece cerrada. Consideramos dos tipos de cierre: apto para circulación
y no apto para circulación. Si se da el primer caso, significa que mientras dure el
cierre, solo una vía de la dependencia estará disponible, lo cual a su vez significa
que no podrá ser ocupada al mismo tiempo, por más de un tren. Si el cierre es del
segundo tipo, significa que ningún tren podrá pasar por la dependencia mientras
dure el cierre especificado para la misma.
Entre dos dependencias consecutivas pueden existir una o dos vías de circulación.
Si existe una sola vía de circulación, entonces tanto los trenes que viajan en sentido
ida como los trenes que viajan en sentido vuelta deberán utilizar la misma vía para
ir de una dependencia a otra. En este caso se deberá tener en cuenta que dos trenes
viajando en sentido opuesto no podrán utilizar dicho tramo al mismo tiempo, para
evitar una colisión entre los mismos. Cuando dos trenes que viajan en sentido opuesto
tienen la posibilidad de ocupar un mismo tramo al mismo tiempo, se deberá decidir
cuál de ellos lo ocupará primero, haciendo que el otro tren espere hasta que el tramo
sea liberado. La decisión que sea tomada cada vez que aparece un conflicto de este
tipo, condiciona la calidad de la programación de horarios.
Cuando dos trenes que viajan en sentidos opuestos llegan a una misma estación,

72 3. Optimizar y Planificar Horarios para Trenes, un problema CSOP
desde tramos que constan de única vía, es importante que exista un mínimo tiempo
entre sus llegadas (tiempo de recepción) así como entre la llegada de un tren y la
salida del tren con sentido de viaje opuesto (tiempo de expedición). Estos tiempos
aseguran que no se produzcan colisiones entre trenes que viajan en sentidos opuestos,
a la entrada o a la salida de una estación que posea una única vía de salida o de
llegada.
Cuando existen dos vías de circulación entre dos dependencias consecutivas, se
dedica cada vía a la circulación en un determinado sentido, de tal forma que dos
trenes viajando en sentido opuesto no utilizarán la misma vía de circulación en dicho
tramo.
Cuando dos trenes viajan en el mismo sentido y son consecutivos entre sí, por ra-
zones de seguridad se requiere que exista una diferencia de tiempo entre ellos. Según
sea el sistema de señalización empleado en un tramo, a esta diferencia de tiempo la
denominamos sucesión automática o sucesión manual. En el primer caso se requiere
que exista una mínima cantidad de tiempo entre las salidas y las llegadas de los
trenes consecutivos de y a las estaciones del tramo. En el segundo caso, el tramo no
podrá ser ocupado al mismo tiempo por dos trenes. El segundo tren deberá esperar
hasta que el primero llegue a la siguiente estación abierta y se produzca el aviso
de llegada. Es necesario que la estación a la cual llegue el primer tren se encuentre
abierta para que un operario pueda avisar por teléfono al segundo tren que ya puede
salir. Si los dos trenes necesitan realizar una parada en alguna estación común a sus
recorridos, siempre que ambos trenes puedan salir al mismo tiempo de la estación,
deberá salir primero aquel tren que hubiera llegado primero a la misma, es decir, en
estos casos no se permite adelantamientos entre trenes consecutivos.
Existen intervalos de tiempo en los que se prevé mantenimiento para un determi-
nado tramo. En los instantes de tiempo pertenecientes a dicho intervalo se considera
que el número de vías para circulación en el tramo, disminuye en uno. Es decir, si
el tramo consta de una sola vía de circulación, no podrá pasar ningún tren por el
tramo mientras dure el mantenimiento. Si el tramo consta de dos vías, el tramo
quedará reducido a un tramo de única vía mientras dure el mantenimiento.
Por cada tren se especifica una velocidad promedio por tramo, sin embargo
cuando el tren debe detenerse en una estación en la cual no tenía previsto parar,
la velocidad promedio del tramo previo a la estación y la velocidad promedio del

3.2. El Problema OPT 73
tramo posterior a la misma deberá disminuir con respecto a la velocidad previamente
especificada, ya que el tren deberá frenar y posteriormente deberá ponerse en marcha
para continuar su viaje. Siendo así, se deberá incrementar el tiempo de recorrido
inicialmente especificado para el tren en los tramos anterior y posterior a la estación
donde se produce la parada no prevista.
El intervalo de tiempo dentro del cual se lleva a cabo la optimización es un
parámetro del problema. El intervalo máximo permitido es el correspondiente a un
día de planificación, [0, 86400] segundos.
Los trenes pueden pertenecer a diferentes tipos, esto es diferentes velocidades,
diferentes recorridos, diferentes paradas especificadas en las estaciones,...etc.
Se considera la posibilidad de que la línea ferroviaria ya se halle ocupada por
otros trenes, a los cuales se denomina trenes en circulación porque ya tienen un
horario determinado el cual no podrá ser modificado para introducir a los nuevos
trenes. El horario de los nuevos trenes deberá tener en cuenta la ocupación que
realicen los trenes en circulación de los tramos y las estaciones consideradas.
En un marco global, el problema considerado corresponde al tipo de problemas
combinatorios de optimización. Decimos que es combinatorio porque puede existir
más de una combinación factible de valores que corresponda a la solución del mismo,
y es un problema de optimización porque entre todas las combinaciones de valores
factibles se requiere hallar la mejor, según un determinado conjunto de criterios, que
evalúan cada solución a través de una función objetivo definida para el problema.
Además de las características expresadas previamente, este problema, consta de
un conjunto determinado de operaciones que deben ser ejecutadas. Cada una de estas
operaciones requiere utilizar un determinado tipo de recurso para llevar a cabo su
objetivo. Existe un conjunto de restricciones que debe ser satisfecho simultáneamente
por las asignaciones realizadas, para que estas sean consideradas factibles y por ende
una solución del problema, es decir el objetivo es hallar un instante de inicio y un
instante de fin para cada operación satisfaciendo dicho conjunto de restricciones y
optimizando una determinada función objetivo. Luego, el problema considerado es
un problema de scheduling tipo Job Shop.
La Figura 3.1 indica al problema OPT como una especialización de problemas
de asignación de horarios para trenes, que a su vez son considerados problemas de
scheduling tipo Job Shop y por ende problemas combinatorios de optimización.

74 3. Optimizar y Planificar Horarios para Trenes, un problema CSOP
Figura 3.1: Clasificación del Problema considerado en la Tesis OPT
3.3. Conceptos Básicos
Optimizaci de ios Combinator ProblemasShop Job tipoScheduling de Problemas Trenes paraHorarios
de ión Planificac ón
Esperando facilitar la lectura de este trabajo, en esta sección se proporciona el
significado que hemos asignado a ciertos términos y cierta notación general, utilizada
en el mismo. La notación específica a determinadas secciones o capítulos será definida
previo uso, en la sección o capítulo correspondiente.
El problema de asignar horarios para trenes puede ser un problema con muchas
variantes según las características que se consideren. En este apartado propor-
cionaremos el significado que hemos dado tanto a determinados elementos que for-
man el problema OPT así como a la notación utilizada para formalizar dicho prob-
lema. Para introducir estos conceptos hemos establecido su correspondencia con los
componentes del problema Job Shop.
Recursos
En el problema OPT, los recursos están formados por las vías ferroviarias, nece-
sarias para que el tren pueda movilizarse y cumplir con un determinado recorrido.
Si consideramos a las vías, como las máquinas de un problema de Scheduling, a
continuación proporcionaremos las características de los centros de trabajo en los
cuales se hallan dichas máquinas. En el problema OPT encontramos dos tipos de
centros de trabajo, a uno de ellos se lo conoce como Dependencia y al otro como
Tramo Dependencia.
li - Dependencia.

3.3. Conceptos Básicos 75
Es un espacio físico situado en una determinada posición geográfica, constru-
ido con el objeto de llevar a cabo determinadas operaciones ferroviarias, ya
sean comerciales o técnicas. Una dependencia además de ser un lugar por
donde pasan trenes, cumple con funciones específicas tales como: señalización,
posición donde se produce un cambio en las propiedades del tramo, ascen-
so y descenso de pasajeros, lugar donde un tren puede apartarse, posición
donde una línea ferroviaria se divide, etc. Dependiendo de las características
y funcionalidades de cada dependencia, estas son agrupadas por tipo.En este
trabajo clasificamos las dependencias en dos tipos:
• Estación, y
• Otros (Bifurcación, Apeadero, Apartadero, Cargadero,etc.).
= Δ
+
+ Δ
=
+ Δ
+ Δ
→
→ 2
→
→ iC2
SALii
iC v 2 1 1 1 0 1 i i C C i l0i l1i l2i
i i dep0
l4i
i C2 l3i Tecnica Parada Tecnica Parada Tecnica Parada 1 v 2 v 3 l5i C5i
C4i +
= + Δ → 3
i v 4 3 3 3 2 2 i i C v 5 4 4 i
C4i
= + + + Mi
6−0
arr
3 2 l6 i i i dep 4
Λ
=
= + Δ → 4
i C v 6 5 5i
i C5 i
Figura 3.2: Retraso del Tiempo de Recorrido Real con respecto al Tiempo Ideal del
mismo tren
v4
v
v v v v arr6
Un tren puede detenerse en una dependencia para llevar a cabo una operación
1
comercial (parada comercial), para la cual se ha reservado previamente una

76 3. Optimizar y Planificar Horarios para Trenes, un problema CSOP
determinada cantidad de tiempo.
Un tren también puede detenerse en una dependencia obligado por las condi-
ciones del tráfico en la línea, habiendo o no previsto parada comercial en ella.
En este caso, hablamos de una parada técnica, la cual consiste en el tiempo que
un tren permanece en una dependencia, a partir del instante en que su parada
comercial ha sido cumplida (ver Figura 3.2). Este tipo de parada surge para
evitar conflictos con otros trenes en un tramo siguiente, o bien por limitaciones
de infraestructura en otras dependencias del recorrido de un tren.
En el problema OPT, una parada técnica es posible solo en dependencias tipo
Estación. Sin embargo, paradas comerciales son posibles tanto en estaciones
como en apeaderos. Los demás tipos de dependencias permitirán únicamente
el paso de trenes.
En el problema OPT por cada dependencia se consideran los siguientes atribu-
tos:
• Tipo: el tipo que corresponde a cada dependencia determina la factibili-
dad de realizar determinadas operaciones en la misma.
• Ni - Cantidad total de vías en li.
• N Pi
- Cantidad de Vías con andén en una dependencia li.
• HCi - Horario de Cierre de la dependencia li.
El horario de cierre de cada dependencia está definido por un conjunto de
elementos de la forma HCi = {(A i j, B i j, type i j )} 1 ≤ j ≤ Mi, donde A i j es
el instante en que se inicia el cierre de la dependencia i, B i j es el instante
en que finaliza el cierre de la dependencia i, y type i j
es el tipo de cierre.
Pueden definirse Mi intervalos de cierre para cada dependencia cada uno
con un tipo determinado.
Si HCi = ∅, la dependencia li permanece abierta 24 horas. De lo contrario,
se definen Mi ≥ 1 intervalos de tiempo. El límite inferior del intervalo
A i j indica el instante en el que se inicia el horario de cierre j en li, y
el límite superior B i j, indica el instante en el que este cierre finaliza. Si
type i j
= ’AC’, el cierre durante este intervalo es Apto para Circulación, lo
cual implica que durante este intervalo el número de vías en li será igual

3.3. Conceptos Básicos 77
a uno. Si por el contrario type i j
= ’NC’, el cierre durante el intervalo j
es No apto para Circulación, lo cual implica que durante este intervalo el
número de vías en li será igual a cero.
L - Línea Ferroviaria.
Es definida como una secuencia ordenada de N dependencias, L = {l0, l1, ..., l N−1}.
Cada dependencia li es nombrada de tal forma que el sub índice i indica la
posición que esta ocupa con respecto al resto de dependencias, en el trayecto
que realiza un tren cuando utiliza la línea L. Así, si un tren debe llegar a li+1,
0 ≤ i < N − 1, y está utilizando la línea L, solo existen dos dependencias en L
desde las cuales puede partir, li ó li+2, el tren deberá pasar previamente por
una de estas dos dependencias antes de alcanzar la dependencia li+1 dependi-
endo del sentido que corresponda al viaje del tren.
S - Estaciones.
Subconjunto de L. Secuencia finita y ordenada de dependencias cuyo tipo es
Estación.
+ l Unica Vía vías sin (Y) asdependenci
i
M+ i
li → li+1 - Tramo Dependencia.
( 1)
11
M+ 1 ( i)
Mi2
li , ) (y x
Figura 3.3: Banda de Mantenimiento en un Tramo de Vía 2 Mi 1
Única
tiempo(X)

78 3. Optimizar y Planificar Horarios para Trenes, un problema CSOP
Considerando la línea ferroviaria L = {l 0, l1, .., l N−1}, definimos un tramo de-
pendencia como la sección de vía existente entre dos dependencias consecutivas
li y li+1, 0 ≤ i < N − 1. Según la definición de línea, decimos que li y li+1 son
dependencias consecutivas en L, ya que un tren que utiliza la línea ferroviaria
L y va desde li a li+1, o viceversa, no pasa por ninguna otra dependencia en
L.
Por cada tramo dependencia de una línea L, al cual representamos por medio
de li → li+1, 0 ≤ i < N − 1, se consideran los siguientes atributos:
• Ni→i+1 - Cantidad de vías entre la dependencia li y la dependencia li+1.
Puede ser un tramo de vía única o un tramo de vía doble.
• Tipo de bloqueo: según sea el tipo de bloqueo, automático ó manual, en
el tramo li → li+1 se obtiene la distancia temporal que debe existir entre
dos trenes consecutivos en dicho tramo.
• Banda de Mantenimiento: en un tramo li → li+1 se define un conjunto
finito de bandas de mantenimiento, que puede ser un conjunto vacío, lo
que significaría que no se prevé mantenimiento para dicho tramo.
+ li
M+
M+ i
l Doble Unica Vía i (Y) asdependenci
1 Vía
1 ( i (X) ) 11
Figura 3.4: Banda de Mantenimiento en un Tramo de Vía Doble
Mi ( 1)
Mi2 2
tiempo

3.3. Conceptos Básicos 79
Trabajos
Una banda de mantenimiento determina la sección de vía que se encuen-
tra bajo mantenimiento por cada instante de tiempo de un determinado
intervalo, lo cual implica disminuir en uno la cantidad de vías en dicha
sección. Esto significa que en ese instante de tiempo una sección de vía
doble se convierte en una sección de vía única y una sección de vía única
queda sin vías.
En las figuras 3.3 y 3.4 se observa un ejemplo. En ellas, las regiones de
color gris representan gráficamente a una de las bandas de mantenimiento
asociadas al tramo li → li+1.
La figura 3.3 muestra el caso de un tramo de vía única, en el cual las
posiciones y quedan sin vías en los instantes x si y solo si (x, y) pertenece
a la región definida por la banda de mantenimiento (región coloreada con
gris). En la misma figura puede verse que ningún tren pasa por los puntos
(x, y) pertenecientes a la región, ya que en el instante x no existen vías
en la posición y.
En la figura 3.4, es posible el paso de trenes porque de las dos vías queda
habilitada una, sin embargo no pueden existir en las secciones de vía
definidas por la banda de mantenimiento, dos trenes viajando en sentido
opuesto al mismo tiempo.
seci - Tramo Estación.
Considerando que L = {l 0, l1, .., l N−1}, S = {s0, s1, .., s M}, si = lx y si+1 = lx+a,
seci = {lj\lj ∈ S ∩ L ∧ x ≤ j ≤ x + a} es un tramo estación en L, el
cual está formado por las estaciones si, si+1, y las dependencias no estación
(lj, x < j < x + a), que deben ser visitadas para ir desde si hasta si+1.
El recorrido que debe realizar cada tren constituye un Trabajo en el problema
OPT. Por cada tren son considerados determinados atributos que regulan en parte
la realización de cada trabajo. A continuación estos atributos son descritos pro-
porcionando previamente una clasificación entre los trenes del problema, la cual es
realizada a partir de ciertos atributos comunes a todos los trenes pertenecientes al
mismo conjunto.

80 3. Optimizar y Planificar Horarios para Trenes, un problema CSOP
T - Trenes en el Problema.
T C - Trenes en Circulación.
Conjunto de trenes que ya se encuentran en circulación en L en el momento
que se desea asignar horarios a nuevos trenes. El horario de estos trenes no
puede ser modificado. T C ⊂ T, |T C| ≥ 0.
Tnew - Trenes Nuevos.
Conjunto de trenes a los que se debe asignar un horario factible en L, teniendo
en cuenta a los trenes en circulación que existen en la misma. Note que
Tnew ∩ T C = ∅ y Tnew ∪ T C = T.
ti - Identificador de un tren.
Operador. Según las características de cada tren: velocidad promedio, tipo de
vagones, tipo de motor, equipamiento, recorrido, peso, funcionalidad,...,etc., se
le asigna un determinado operador. En OPT hemos clasificado a los operadores
en dos grupos. A uno de ellos hemos denominado Viajeros y al otro Mercancías.
En adelante nos referiremos a estos grupos como tipos de trenes.
l j
i
- Dependencia por Recorrido.
Dependencia que ocupa la posición i dentro de la secuencia ordenada de de-
pendencias que forman el recorrido de un tren tj. En adelante para abreviar
utilizaremos dependencia i del recorrido del tren.
Ji - Recorrido.
Sea Ji = {l i 0, l i 1 , ..., li mi } el recorrido de un tren ti. Esta secuencia ordenada de
elementos determina las dependencias que deberá visitar en su trayecto y el
orden en el que deberá hacerlo. El orden establecido por Ji determina que ti
no podrá alcanzar la dependencia l i j+1 desde otra dependencia que no sea li j ,
siendo 0 ≤ j < mi. La dependencia li 0 y la dependencia li mi son el origen y el
destino del recorrido de ti, respectivamente. Considere que: ti ∈ T → Ji ⊆ L
T D - Trenes que viajan en sentido ida.
A cada tren ti en T le corresponde un sentido de viaje, el cual puede ser: o
bien ida, o bien vuelta. Si ti ∈ T y ti viaja en sentido ida entonces ti pertenece

3.3. Conceptos Básicos 81
al conjunto T D, el cual es definido como:
T D = {ti\ti ∈ T ∧ (∀l i j ∈ Ji \ {l i mi }, ∃lk ∈ L \ {lN−1} : l i j = lk ↔ l i j+1
T U - Trenes que viajan en sentido vuelta.
= lk+1)}.
Si ti ∈ T y ti viaja en sentido vuelta entonces ti pertenece al conjunto T U, el
cual es definido como:
T U = {ti\ti ∈ T ∧ (∀l i j ∈ Ji \ {l i mi }, ∃lk ∈ L \ {l 0} : l i j = lk ↔ l i j+1
TnewD
TnewU
Operaciones
- Trenes nuevos que viajan en sentido ida.
- Trenes nuevos que viajan en sentido vuelta.
= lk−1)}.
Considerando que un trabajo consiste en que un tren lleve a cabo el recorrido
asignado, se considera una operación, tanto la visita de un tren a una dependencia,
incluyendo la cantidad de tiempo que deba estar detenido en la misma, como el
recorrido que realice el tren desde una dependencia a la siguiente, según el recorrido
que le ha sido asignado.
Las operaciones son realizadas en forma ordenada, según las relaciones de prece-
dencia establecidas por el recorrido de cada tren. Si la operación a ser llevada a cabo
consiste en visitar una dependencia, se exige un mínimo tiempo de procesamiento
al cual se denomina Parada Comercial C j
i , este tiempo de procesamiento puede ser
extendido para evitar conflictos ocasionados por el tráfico en la línea, en este caso la
parada se vuelve técnica. El tiempo de procesamiento cuando la operación consiste
en ir desde una dependencia a la siguiente del recorrido lo constituye el tiempo de
recorrido del tren ∆ j
i→(i+1) , calculado según la velocidad promedio establecida para
el tren en el tramo y la distancia entre una dependencia y otra.
En la figura 3.5 se señalan los principales términos definidos en esta sección.
Considerando las características de los diferentes tipos de scheduling, según el
patrón de flujo de cada uno (Sección 1.2), se puede observar que OPT es un problema
de scheduling que pertenece al tipo Job Shop ya que por cada tren (trabajo) se
especifica un recorrido (secuencia de tareas) que no tiene por qué ser el mismo para
todos.

82 3. Optimizar y Planificar Horarios para Trenes, un problema CSOP
a Ferroviari LíneaL
s=
= 10
s= 2
s= 3
s= 4
s= 5
s= 6
s= s7
l1 l30
(Y) l2
asdependenci
l7 l8
l4 l6 l5
l l9
t1 3 04
de Cierre de Horario l EstaciónVuelta
Sentido Ida de Comercial Parada t 200
Figura 3.5: Terminología del problema
Dependenci Tramo 0
Tramoa
t t2
0 de Recorridot t
l 05 3 de Recorridot 30 l
35 l Sentido de Técnica Parada tl
tiempo(X)
3.4. Formulación del Problema como un CSOP
En esta sección se proporciona un modelo para el problema OPT, el cual es formu-
lado como un problema tipo CSOP. Se considera que OPT = (X, D, C, F C), siendo:
X = {x1, x2, ..., xm} el conjunto de variables del problema,
D = {D1, .., Dm} el conjunto de dominios Di correspondiente a cada variable
xi ∈ X,
C = {C1, C2, .., Cn}, el conjunto de restricciones del problema, y
FC = {FQ1 , ..., FQl } el conjunto de funciones de coste del problema.
Luego, el problema OPT consiste en encontrar una solución que además de propor-
cionar un valor para cada variable xi ∈ X, que pertenezca al dominio Di y satisfaga
toda restricción Ci ∈ C, debe optimizar la función objetivo F , definida a partir de
las funciones de coste en F C.

3.4. Formulación del Problema como un CSOP 83
Habiendo definido en qué consiste cada conjunto de la 4-tupla (X, D, C, F C para
un problema CSOP, en las siguientes sub secciones pasaremos de la formulación gen-
eral de un CSOP a la formulación específica para el problema OPT, proporcionando
el significado de cada elemento a partir del contexto sobre el cual se desarrolla este
problema.
3.4.1. Variables y Dominios
En el problema OPT, cada variable xi ∈ X representa un instante, de salida o de
llegada, correspondiente a un tren ti ∈ T en una determinada dependencia li j de su
recorrido Ji. Las variables, elementos del conjunto X en un problema CSOP, quedan
definidas por: X = {arr i j \ti ∈ T ∧ l i j ∈ (Ji \ {l i 0 })} ∪ {depi j \ti ∈ T ∧ l i j ∈ (Ji \ {l i mi })}
para el problema OPT.
Los valores posibles para estas variables están expresados en segundos, por lo
tanto hemos definido el conjunto de números naturales como el dominio corre-
spondiente a cada variable del problema. Esto quiere decir que: ∀Di ∈ D : Di =
{0, 1, 2, ..., 86400}.
Las variables dep i j y arri j
representan al instante de salida y al instante de llegada
de un tren ti ∈ T, de/a una dependencia l i j , respectivamente. Si ti ∈ T C, las variables
dep i j y arri j
son tratadas como constantes en el modelo del problema OPT, ya que el
horario de ti es un dato conocido para el problema y no una incógnita de su solución.
3.4.2. Restricciones
En esta sub sección se describe en qué consiste cada restricción del conjunto C
para el problema OPT. Cada restricción es descrita de forma cualitativa y modelada
mediante una expresión matemática. El conjunto de restricciones para el problema
OPT ha sido definido en base a los requerimientos establecidos por la Administración
de Infraestructura Ferroviaria Española, ADIF, de tal forma que la solución pro-
porcionada sea considerada viable a efectos prácticos. Por lo tanto, se destaca que
el problema, marco de trabajo de esta Tesis, corresponde a un problema real.
Las restricciones obedecen a diferentes requerimientos dentro de una red fer-
roviaria, las hemos agrupado según la naturaleza de éstos requerimientos en:
1. Restricciones de Infraestructura,

84 3. Optimizar y Planificar Horarios para Trenes, un problema CSOP
2. Restricciones de Mantenimiento,
3. Restricciones de Tráfico,
4. Restricciones del Tren, y
5. Restricciones Comerciales.
Restricciones de infraestructura
C1 - Tiempo de sucesión: es la mínima cantidad de tiempo que debe existir
entre las salidas/llegadas (tiempo de sucesión en salida/tiempo de sucesión
en llegada), de dos trenes consecutivos, que parten/llegan de/a una misma
estación.
Considerando que:
• ti y tj son dos trenes consecutivos en T, donde por lo menos uno de ellos
pertenece a Tnew,
• Si,j = {lk\lk ∈ S ∧ lk ∈ Ji ∩ Jj} es el conjunto de estaciones comunes a
los recorridos de ti y tj,
• ϕ dep
x,k es el tiempo de sucesión en salida especificado para el tren tx en el
tramo que se inicia con la estación lk.
• ϕ arr
x,k es el tiempo de sucesión en llegada especificado para el tren tx en el
tramo que finaliza con la estación lk,
la restricción C1 es descrita formalmente mediante la expresión 3.4.1.
∀{ti, tj} ⊂ T, ∀{lk, lk+1} ⊂ Si,j :
(({ti, tj} ⊆ T D ∨ {ti, tj} ⊆ T U) ∧ {ti, tj} T C ∧ l i k ′ = lk ∧ l j
k ′′ = lk) →
((dep j
k ′′ − dep i k ′ ≥ ϕdep
i,k ∧ arrj k ′′ − arr i k ′ ≥ ϕarr i,k )
∨(dep i k ′ − depj k ′′ ≥ ϕ dep
j,k ∧ arri k ′ − arrj
k ′′ ≥ ϕ arr
j,k )) (3.4.1)
Dados dos trenes consecutivos, ti y tj, y un determinado tramo seck, el tiempo
de sucesión que deberá existir entre sus salidas y entre sus llegadas, respecti-
vamente, dependerá del tipo de tren que parta primero y del tipo de bloqueo
que corresponda al tramo seck, cuya estación inicial es lk.

3.4. Formulación del Problema como un CSOP 85
En el problema OPT consideramos dos tipos de bloqueo, Automático y Manual.
Para todo tramo estación seck cuyo tipo de bloqueo es Automático se define
un valor constante para ϕ dep
x,k
tren tx (Viajeros ó Mercancías).
y para ϕarr
x,k , según sea el tipo que corresponda al
En las Figuras 3.6 y 3.7 se describen dos ejemplos, en el cual dos trenes consec-
utivos, ti y tj, circulan por un determinado tramo, seck = {lk, lk+1, lk+2, lk+3},
cuyo tipo de bloqueo es Automático.
dep' dep'
+
+ k l3
k l1 k ik j k'j
t l2 k arr3 j k arr3 i tiempo(X)
l
+ k
ϕ
i,
k dep
asdependenci
Figura 3.6: Sucesión en un tramo con Bloqueo Automático, menor velocidad para
el primer tren
(Y)
En ambos ejemplos, el horario de los trenes satisfacen la restricción sobre
tiempo de sucesión. En la Figura 3.6 el tren ti, cuya velocidad en el tramo es
i
t
menor que la de tj, parte antes que tj de la estación lk, por lo que tj deberá ser
el tren que espere por lo menos ϕ dep
i,k
'+
ϕ
i,
k arr
'
+
unidades de tiempo antes que pueda salir
de la misma estación lk. Debido a que ti es más lento, tj no puede salir apenas
se cumpla ϕ dep
i,k unidades de tiempo desde la salida de ti, ya que de ser así no
cumpliría con el tiempo de sucesión en llegada ϕ arr
i,k .
Si, por el contrario consideramos la Figura 3.7 en la cual es tj el tren que
parte primero de lk, vemos que ti puede partir apenas se cumpla el tiempo de
sucesión establecido para tj, y aún así llega en un instante superior al mínimo

86 3. Optimizar y Planificar Horarios para Trenes, un problema CSOP
+ k
+ l2 k l3
l1k
+ k
dep' ' dep' j kj
ϕj,
depk
'+
+ t i k j k arr3tarrk
i
'
ik (Y) asdependenci
Figura 3.7: Sucesión en un tramo con Bloqueo Automático, menor velocidad para
el segundo tren arr3 tiempo(X)
l
ϕ
permitido por el tiempo de sucesión en llegada establecido para tj. Con estas
figuras se ha querido dar un ejemplo de cómo puede afectar el ordenamiento
de los trenes que viajan en un mismo sentido en cuanto a la satisfacción del
tiempo de sucesión se refiere.
Tanto en la Figura 3.6 como en la Figura 3.7 se utiliza un rectángulo sombreado
para indicar los instantes de tiempo en los que no es factible que un tren
consecutivo al tren que va delante parta de la estación lk en el caso del bloqueo
automático. Así mismo, en la parte inferior de la misma figura se señala con
otro rectángulo sombreado los instantes de tiempo en los cuales no es factible
la llegada de un tren consecutivo al tren que va delante a la estación lk+3.
Como puede verse en estas figuras, al ser un bloqueo Automático es posible
que dos trenes ocupen el mismo tramo en un mismo instante de tiempo, aunque
cumpliendo con una distancia de seguridad entre ellos impuesta por el tiempo
de sucesión en salida y en llegada, establecidos según el tipo de tren que va
delante.
Por otro lado, cuando el tipo de bloqueo de un tramo seck es Manual, la
cantidad de tiempo asignada a ϕ dep
x,k
j,
debe ser tal que dos trenes, viajando en

3.4. Formulación del Problema como un CSOP 87
el mismo sentido, no puedan ocupar el mismo tramo seck durante el mismo
tiempo.
Así, si tj parte detrás de ti de la estación lk, e inicia un tramo cuyo tipo de
bloqueo es Manual, entonces tj podrá salir de lk una vez que ti haya llegado a la
siguiente estación abierta del recorrido y el aviso de llegada se haya producido.
Luego, el tiempo asignado a ϕ dep
i,k
es el tiempo que transcurre entre la salida
de ti de lk, y su llegada la siguiente estación abierta de su recorrido más el
tiempo necesario para realizar el aviso de llegada.
Cuando decimos que un tren llega a una estación abierta, nos referimos al
hecho de que el instante de llegada del tren a dicha estación no pertenece a
ninguno de los intervalos que componen el horario de cierre de la misma.
En la Figura 3.8, el tipo de bloqueo del tramo seck es manual, por lo tanto
no pueden recorrer dicho tramo dos trenes del mismo sentido en un mismo
instante de tiempo. En este caso el tiempo de sucesión en salida entre dos
trenes, es igual al tiempo que demora el primer tren en recorrer el tramo
considerado más el tiempo que se demora en dar aviso al segundo tren que
el primero ha llegado (E unidades de tiempo). El tren tj de la Figura 3.8
cumple con esta restricción ya que parte de la estación lk luego de que hayan
transcurrido E unidades de tiempo de la llegada de ti a la siguiente estación
abierta lk+3.
C2 - Dependencias con Capacidad Limitada: una dependencia no deberá ser
ocupada en forma simultánea, por más trenes que el número de vías especifi-
cado para la misma.
La expresión 3.4.2 define formalmente la restricción C2. En ella se especifica
que un tren ti, perteneciente a Tnew, podrá llegar a una dependencia li j ∈ Ji
si y solo si existe por lo menos una vía disponible en li j , que deberá poseer
andén si ti tiene previsto parada comercial mayor a cero segundos en la misma
(C i j > 0). Como se ha indicado en la Sección 3.3, cada dependencia li ∈ L
tiene asignadas Ni vías, de las cuales N Pi
∀ti ∈ Tnew, ∀lk ∈ Ji :
tj∈Tt i
poseen andén.
Meet(ti, tj, lk) +
MeetP(ti, tj, lk) < Nk
tj∈Tt i

88 3. Optimizar y Planificar Horarios para Trenes, un problema CSOP
+ l2 ik
+
+
ik
ϕ arr3 tiempo(X)
i
t
ϕ
kdep
likik
j k depj t (Y) dep
k l1 asdependenci E
k i l3 arr ik
+
+ arr3
Figura 3.8: Sucesión en un tramo con Bloqueo Manual
Considerando que:
∧C i k
> 0 →
tj∈Tt i
Meet P(ti, tj, lk) < N Pk
kj
(3.4.2)
• el conjunto Tti = {tj/tj ∈ T ∧ Jj ∩ Ji = ∅} como el conjunto de trenes tj,
cuyo recorrido tiene alguna dependencia en común con el recorrido del
tren ti
• La función Meet(ti, tj, lk), definida por la expresión 3.4.3, devuelve 1 si
el tren ti y el tren tj coinciden en la dependencia lk en algún instante y
si el otro tren, en este caso tj no realiza parada comercial (C j
k = 0).
⎧
⎪⎨
Meet(ti, tj, lk) =
⎪⎩
1 if [arr i k , depi k
∧∄tx ∈ Tti
(arr i k < depx k
0 else
] ∩ [arrj k , depj k ] = ∅ ∧ Cj
k = 0
< arrj k ∨ arrj k < depx k < arri k )
(3.4.3)
• La función Meet P(ti, tj, lk) devuelve 1 si los trenes ti y tj coinciden en la
dependencia lk en algún instante y si el tren tj realiza parada comercial

3.4. Formulación del Problema como un CSOP 89
en lk. Ver expresión 3.4.4.
⎧
⎪⎨
MeetP(ti, tj, lk) =
(vías) en DisponibleCapacidad kl123
0 (Y)
⎪⎩
1 if [arr i k , depi k
∧∄tx ∈ Tti
(arr i k < depx k
0 else
] ∩ [arrj k , depj k ] = ∅ ∧ Cj
k > 0
< arrj k ∨ arrj k < depx k < arri k )
z t (X) t z t t
tiempo(X)
(3.4.4)
ty tiempo x
t y (Y) asDependencik l
Figura 3.9: Ocupación de una dependencia durante un determinado intervalo de
tiempo
x
En la Figura 3.9 se proporcionan dos gráficos. En la parte inferior de la figura,
se utiliza un gráfico espacio-tiempo para indicar el instante de llegada y el
instante de salida de tres trenes, tx, ty y tz a una dependencia lk. En dicho
gráfico se describe el tiempo que permanecen estos trenes en lk. Considerando
que lk posee 3 vías, en el gráfico superior de la Figura 3.9 se representa la

90 3. Optimizar y Planificar Horarios para Trenes, un problema CSOP
capacidad disponible de lk durante el intervalo de tiempo que tx, ty y tz ocupan
lk.
En el intervalo de tiempo considerado, la capacidad disponible de lk va cam-
biando conforme se modifica su ocupación por los trenes que van llegando y
saliendo de la misma. Dada la restricción C2, ningún tren podrá llegar a lk en
el intervalo de tiempo en el cual el número de vías disponibles es cero (y = 0
en el gráfico superior de la Figura 3.9), esto es durante el tiempo en el cual
los tres trenes tx, ty y tz permanezcan en lk.
Restricciones de Mantenimiento
En este apartado definimos aquellas restricciones que sean debidas a opera-
ciones de mantenimiento especificadas en determinados tramos o dependencias
de la línea considerada.
C3 - Horario de Cierre: ningún tren podrá pasar por una dependencia durante
un determinado intervalo de tiempo, si este pertenece al horario de cierre de
la misma, siempre y cuando el tipo de cierre en dicho intervalo de tiempo
sea No Apto para Circulación. Si por el contrario, el tipo de cierre es Apto
para Circulación, se deberá considerar y respetar que el número de vías en la
dependencia, mientras dure el cierre, es igual a uno.
Con el objeto de dar una especificación formal a esta restricción se considera
que por cada dependencia li en L se especifica un conjunto de intervalos de
tiempo HCi, que determinan los horarios de cierre de li. Si li permanece abierta
durante todo el día, HCi = ∅.
Cada intervalo de tiempo, en un horario de cierre HCi, tiene asignado un tipo,
typei j , el cual puede ser: o bien ’AC’ o bien ’NC’. Durante dicho intervalo de
tiempo, se considera que el número de vías en li es uno si type i j
se considera que el número de vías es cero.
= ’AC’, si no,
Considerando estas condiciones para cada dependencia li cuyo horario de cierre
HCi = ∅, la restricción C3 queda definida mediante las expresiones 3.4.5 y
3.4.6, según sea el tipo de cierre del intervalo considerado.
∀tj ∈ Tnew, ∀li ∈ Jj, ∀(A i k , Bi k , typei k ) ∈ HCi :

3.4. Formulación del Problema como un CSOP 91
tx∈Tt j
(l j
i ′ = li ∧ dep j
i ′ > A i k ∧ arrj i ′ < B i k ) →
Meet(tj, tx, li) +
tx∈Tt j
Meet P(tj, tx, li) < 1 (3.4.5)
∀tj ∈ T new, ∀li ∈ Jj, ∀(A i k , Bi k , typei k ) ∈ HCi : l j
i ′ = li ∧(arr j
i ′ ≥ B i k ∨depj
i ′ < A i k )
(3.4.6)
C4 - Bandas de Mantenimiento: el número de vías en un tramo disminuye en
uno mientras duren las operaciones de mantenimiento en el mismo.
Formalmente, una banda de mantenimiento en un tramo dependencia li → li+1
está dada por los intervalos de tiempo [Mi1, Mi2] establecidos en la dependencia
li, y por el intervalo de tiempo [M (i+1)1, M (i+1)2], establecido en la dependencia
li+1 (Figuras 3.3 y 3.4).
El número de vías en li → li+1 es disminuido en uno en la región delimitada
por las bandas de mantenimiento. Por lo tanto la restricción C4 es modelada
por las expresiones 3.4.7 y 3.4.8.
Considerando que BMi = [Mi1Mi2] ∩ [M (i+1)1, M (i+1)2], y
T Uj = {tk\|Jj ∩ Jk| ≥ 2 ∧ tj = tk ∧ tk ∈ T U} es el conjunto de los trenes
que viajan en sentido vuelta y tienen por lo menos un tramo dependencia en
común con el tren tj.
∀tj ∈ TnewD , ∀tk ∈ T Uj , ∀li ∈ Jj \ {l j mj } : Ni→i+1 = 2 →
l k i ′′ = lj
i ′ = li ∧ [dep j
i ′, arr j
i ′ +1 ] ∩ [depki ′′, arrk i ′′ +1 ] BMi (3.4.7)
∀tj ∈ Tnew, ∀li ∈ Jj \ {l j mj } : Ni→i+1 = 1 → (l j
i ′ = li ∧ [dep j
i ′, arr j
i ′ +1 ] BMi
(3.4.8)
Restricciones de Tráfico
Hemos agrupado en restricciones de tráfico aquellas restricciones que regulan las
condiciones de seguridad de un tren con respecto al resto de trenes que se hallan en

92 3. Optimizar y Planificar Horarios para Trenes, un problema CSOP
una misma línea o en una misma estación. Las condiciones de seguridad son estable-
cidas por cada tren según las características del mismo, las cuales son diferenciadas
por el tipo de operador al que pertenece el tren.
C5 - Cruce: si el número de vías entre dos dependencias es igual a uno, no
será factible que dos trenes, que viajen en sentidos opuestos, ocupen dicho
tramo en un mismo instante de tiempo.
Dado un tren cualesquiera tj perteneciente al conjunto T D se define el conjunto
TUj = {tk\|Jj ∩ Jk| ≥ 2} como el conjunto de trenes que viajan en sentido
vuelta y que tienen por lo menos un tramo dependencia en común con el tren
tj. Luego, la restricción C5, es definida por la expresión 3.4.9.
∀tj ∈ T D, ∀tk ∈ T Uj , ∀li, li+1 ∈ Jj ∩ Jk :
arr j
i+1 < depki+1 ∨ arr k i < dep j
i
(3.4.9)
C6 - Alcance: no se considera factible que dos trenes, viajando en el mismo
sentido, ocupen una misma posición dentro de la línea ferroviaria, en un mismo
instante de tiempo. Esta restricción es establecida para evitar un alcance entre
dos trenes que realizan su trayecto en el mismo sentido.

3.4. Formulación del Problema como un CSOP 93
∀tj ∈ Tnew, ∀tk ∈ T : (({tj, tk} ⊆ TD ∨ {tj, tk} ⊆ TU) ∧ {l j
i , lj
i+1 } ⊆ Jj ∩ Jk) →
(dep j
i < depk i ↔ arr j
i+1 < arrk i+1) (3.4.10)
C7 - Adelantamiento: un tren solo podrá adelantar en una estación a otro tren
que viaje en el mismo sentido si tiene una prioridad mayor. Considerando que
pj y pi son las prioridades asignadas a cada tren tj y ti, respectivamente, se
formula la restricción C7 mediante la expresión 3.4.11.
∀ti, tj ∈ T, ∀l i k ∈ Ji ∩ Jj :
{ti, tj} TC ∧ pj ≤ pi → (dep j
k < depik → arrj k < arri k ) (3.4.11)
Considerando la Figura 3.10, si tj es un tren perteneciente a Tnew y su prior-
Tren
i
t
j
t
l Estaciónk
Figura 3.10: Adelantamiento del tren tj al tren ti en la estación lk.
Tren
idad es inferior o igual a la del tren ti, entonces decimos que no es factible el
adelantamiento realizado por tj al tren ti en la estación lk. Luego, la restricción
C7 es incumplida y por lo tanto el horario es no factible.
C8 - Tiempo de recepción: es el mínimo tiempo que debe existir entre las
llegadas de dos trenes, que viajan en sentidos opuestos, a una misma estación.
Ri es el tiempo de recepción establecido por cada tren ti ∈ T, especifica la
distancia temporal que debe existir entre las llegadas de dos trenes, a una
misma dependencia. Se considera que los trenes viajan en sentidos opuestos.

94 3. Optimizar y Planificar Horarios para Trenes, un problema CSOP
El tiempo de recepción es dado por motivos de seguridad y depende de cuál
sea el tipo de tren. ias)(dependencY
+ l1 ik i lik
Dado un tren cualesquiera ti ∈ Tnew, el conjunto TSi (tiempo) X=
{tj\tj ∈ T ∧ tj =
ti ∧ Ji ∩ Jj = ∅ ∧ {ti, tj} TI ∧ {ti, tj} TV} es definido como el conjunto de
j t
Figura 3.11: Satisfacción de Recepción y Expedición considerando que ti llega
primero a la estación
t
trenes que viaja en sentido opuesto a ti y tiene por lo menos una dependencia
en común con el recorrido de dicho tren. Al asignar un horario a un tren
ti ∈ Tnew, el tiempo de recepción asignado al mismo y al resto de trenes en T
debe ser tenido en cuenta, según lo especifica la siguiente expresión.
arr i k
∀ti ∈ Tnew, ∀tj ∈ TSi , ∀li k ∈ (Ji ∩ Jj) \ {l i 0} :
≤ arrj k → arrj k − arri k ≥ Ri ∨ arr j
k ≤ arri k → arri k − arrj k ≥ Rj (3.4.12)
En la figura 3.11, el tramo entre las dependencias li k y li k+1
vía de circulación. Si los trenes ti y tj salen en cuanto pueden de las estaciones
i
R
j
E
consta de una sola
li k y de li k+1 , respectivamente, se produciría un cruce entre ellos, lo cual no es
factible. Para evitar el conflicto se decide detener a ti en li k , hasta que tj libere
el tramo li k → li k+1 . Habiendo llegado ti primero a li k , el mínimo tiempo que

3.4. Formulación del Problema como un CSOP 95
debe transcurrir desde que llega ti, hasta que llega tj, está dado por Ri, que
es el tiempo de recepción establecido para todos los trenes del mismo tipo que
ti (Viajeros o Mercancías, asignado según el operador de ti).
En la Figura 3.12 se decide resolver el conflicto, descrito previamente, retrasan-
do la salida de tj de l i k+1 hasta que el tramo li k → li k+1 sea liberado por ti. En
este caso, el instante de llegada de ti será factible, una vez haya transcurrido
Rj unidades de tiempo desde la llegada de tj. El tiempo de recepción consid-
erado depende del tipo de tren al que pertenece tj, ya que es este el tren que
llega primero a la estación donde se gestiona el cruce.
C9 - Tiempo de Expedición: es el mínimo tiempo que debe transcurrir desde la
llegada de un tren a una determinada estación para que se considere segura la
salida de otro tren de la misma estación. Se considera que estos trenes viajan
en sentidos opuestos y el número de vías en el tramo utilizado, por el tren que
llega a la estación y por el tren que sale de la estación, respectivamente, es
igual a uno.
Ei es el tiempo de expedición establecido para cada tren ti ∈ T. Especifica la
distancia temporal que debe existir entre la salida y la llegada de dos trenes,
en una misma dependencia. Se considera que dichos trenes viajan en sentidos
opuestos.
Dado un tren cualesquiera ti ∈ Tnew, el conjunto TSi = {tj\tj ∈ T ∧ tj =
ti ∧ Ji ∩ Jj = ∅ ∧ {ti, tj} T I ∧ {ti, tj} T V} es definido como el conjunto de
trenes que viaja en sentido opuesto a ti y tiene por lo menos una dependencia
en común con el recorrido de dicho tren. Considerando que N k→(k+1) es el
número de vías en el tramo dependencia l i k → li k+1 , la restricción C9 sobre
tiempo de expedición es definida mediante la expresión 3.4.13.
∀ti ∈ Tnew, ∀tj ∈ TSi , ∀li k ∈ (Ji ∩ Jj) \ {l i mi
(N k→(k+1) = 1 ∧ dep i k
, lj 0 } :
≥ arrj k ) → depik − arrj k ≥ Ej (3.4.13)
En la Figura 3.11 el tren ti espera en li k que tj libere el tramo li k → li k+1 . Una
vez que tj llega a li k , ti debe esperar por lo menos Ej unidades de tiempo hasta
que pueda partir de li k . Es el tiempo que se considera necesario para que tj,

96 3. Optimizar y Planificar Horarios para Trenes, un problema CSOP
+
ias)(dependencY ik
i E j X(tiempo)
Ri j t
Figura 3.12: Satisfacción de Recepción y Expedición considerando que tj llega
primero a la estación
t
por el tipo de tren al que pertenece, libere el tramo de salida de la estación l i k
y no se produzca una colisión entre ambos trenes a la salida de la misma.
En la Figura 3.12, el tiempo de expedición depende del tipo de tren de ti, ya
que tj es el tren que se halla esperando en la estación l i k+1 y ti es el que llega
l1 lik
en segundo término. Una vez que llega ti, tj debe esperar por lo menos Ei
unidades de tiempo como para que su salida se considere segura considerando
la llegada de ti a la misma estación.
Restricciones del tren
Ciertas propiedades son establecidas por tipo de tren, según las características de
cada uno (longitud, motor, peso, capacidad de frenado, ...,etc.). Las restricciones
que se citan en este apartado son establecidas para que dichas propiedades sean
tenidas en cuenta al asignar un horario, de tal forma que este sea viable.
C10 - Tiempo de Recorrido: por cada tren y por cada tramo de su recorrido,
se determina la cantidad de tiempo que el tren debe emplear para ir desde el
inicio hasta el final de un tramo de su recorrido.
Siendo Ji = {l0, l1, .., lmi } el recorrido correspondiente a un tren ti cualesquiera

3.4. Formulación del Problema como un CSOP 97
perteneciente a Tnew, se establece que, ti debe emplear ∆ i k→(k+1)
unidades de
tiempo para ir desde l i k hasta li k+1 , donde 0 ≤ k < mi. El tiempo de recorrido
∆ i k→(k+1) es establecido por cada tren ti y por cada tramo dependencia l i k →
l i k+1
de su correspondiente recorrido. Este tiempo solo puede ser modificado
durante la búsqueda de una solución si el tren realiza una parada no prevista
en alguna dependencia de su recorrido. Para más detalles sobre este punto en
particular ver la restricción C11.
La expresión 3.4.14 formula la restricción C10 sobre el tiempo de recorrido
asignado a un tren ti en un tramo dependencia l i k → li k+1
correspondiente.
∀ti ∈ Tnew, ∀l i k ∈ Ji \ {l i mi } : arri k+1 = depi k + ∆i k→(k+1)
de su recorrido
(3.4.14)
C11 - Demora por parada no prevista: por cada tren se establece en cada tramo
de su recorrido una determinada cantidad de tiempo que este debe emplear
para recorrerlo (restricción C10). Sin embargo si el tren se debe detener en una
estación, en la cual no estaba prevista su parada, debe realizar un frenado en
el tramo previo a la estación, lo cual significaría un aumento del tiempo de
recorrido especificado en dicho tramo, ya que su velocidad no será la prevista
en todo el tramo, deberá ir disminuyendo hasta lograr el frenado.
Lo mismo ocurre en el tramo posterior a la estación donde se produce la parada
técnica, el tren se pone en marcha y va aumentando su velocidad hasta llegar
a la velocidad especificada en el tramo, esto también supone un aumento del
tiempo de recorrido originalmente previsto para dicho tramo.
Para especificar formalmente esta restricción hemos utilizado la expresión
3.4.15. En dicha expresión se considera que un tren ti que pertenece a Tnew se
detiene en una estación l i k
fue prevista (C i k
de su recorrido, en la cual ninguna parada comercial
= 0), entonces debe incrementarse el tiempo de recorrido del
tren tanto en el tramo anterior (se considera el tiempo que emplea el tren en
detenerse) como en el tramo posterior a l i k
el tren en alcanzar la velocidad promedio del tramo).
(se considera el tiempo que demora
El incremento realizado en el tiempo de recorrido se denomina demora por
parada no prevista, Γi. Su valor es conocido y es establecido por cada tipo de

98 3. Optimizar y Planificar Horarios para Trenes, un problema CSOP
operador presente en el problema OPT.
∀ti ∈ Tnew, ∀l i k ∈ Ji \ {l0, lmi } : (Cik = 0 ∧ depik − arri k > 0) ↔
(arr i k = depi k−1 + ∆i (k−1)→k + Γi ∧ arr i k+1 = depi k + ∆i k→(k+1) + Γi) (3.4.15)
En la Figura 3.13 se puede ver un ejemplo de la aplicación de la demora Γi en
el tiempo de recorrido de un tren ti por una parada no prevista en l i k .
+ l1
)(asdependenciY l1 −ik likik
Solución− i t ik lik l1 ik l1 Cruce Conflicto i t de técnica Parada tj
t j t i
−
+
+
lik l1 −ik l1 ik
−
Γ
Γ Solución i i t
Γ
= 0
Figura 3.13: Un ejemplo de aplicación de demora por parada no prevista
Restricciones Comerciales
A continuación se describen las restricciones en que permiten establecer en el horario
t j i Demora de Aplicación i
de un tren las condiciones del servicio que se ofrece al cliente.
C12 - Intervalo de Salida: por cada tren se establece un intervalo de tiempo al
cual debe pertenecer su instante de salida inicial. La expresión 3.4.16 define
formalmente esta restricción.
∀ti ∈ Tnew : I i L ≤ dep i 0 ≤ I i U
Cik
(tiempo X )
(3.4.16)
Todo tren ti, tal que ti ∈ Tnew, debe partir de su estación origen l i 0, en un
instante de tiempo perteneciente al intervalo de salida inicial [I i L, I i U]. Este
intervalo es especificado por cada tren ti ∈ Tnew.

3.4. Formulación del Problema como un CSOP 99
C13 - Intervalo de Llegada: por cada tren se especifica un intervalo de tiempo
al cual debe pertenecer su instante de llegada. La expresión 3.4.17 define esta
restricción formalmente.
F i L ≤ arr i mi ≤ Fi U
(3.4.17)
Todo tren ti, tal que ti ∈ Tnew, debe llegar a su estación destino li mi , en un
instante de tiempo perteneciente al intervalo [Fi L, Fi U], el cual es definido por
cada tren ti ∈ Tnew.
C14 - Retraso máximo: por cada tren se establece el máximo retraso permitido
con respecto a su tiempo de recorrido ideal.
Considerando que ti ∈ Tnew, el tiempo que emplea ti en completar su recorrido
Ji, desde su estación origen l i 0 hasta su estación destino l i mi
está limitado por
el retraso máximo, Dmax i , establecido con respecto a su tiempo de recorrido
ideal τi.
El tiempo de recorrido ideal τi es el mínimo tiempo que puede emplear ti
para completar su recorrido desde su estación origen hasta su estación destino
cumpliendo con el tiempo de recorrido establecido por cada tramo, y con la
parada comercial especificada por cada dependencia. Así, ti demora τi unidades
de tiempo en realizar su recorrido si y solo si no realiza parada técnica alguna
durante el mismo. La expresión 3.4.18 define el tiempo de recorrido ideal para
ti.
τi =
mi−1
j=0
∆ i j→j+1 + C i j
(3.4.18)
Teniendo en cuenta que Λi = arr i mi − depi 0 es el tiempo empleado por ti en
realizar su recorrido Ji, satisfaciendo todas las restricciones en C, medimos
el retraso de este tren con respecto a su tiempo ideal de recorrido según la
expresión 3.4.19.
(∀ti) Tnew (Di = Λi − τi
τi
) (3.4.19)
La restricción C14 determina que el retraso de cada tren con respecto a su
tiempo ideal de recorrido no puede ser mayor a Dmax i . Esta restricción es

100 3. Optimizar y Planificar Horarios para Trenes, un problema CSOP
definida mediante la expresión 3.4.20.
= Δ
+
+ Δ
=
∀ti ∈ Tnew : Di ≤ D max
i
+ Δ
+ Δ
→
→ 2
→
→ iC2
SALii
iC v 2 1 1 1 0 1 i i C C i l0i l1i l2i
i i dep0
l4i
i C2 l3i Tecnica Parada Tecnica Parada Tecnica Parada 1 v 2 v 3 l5i C5i
C4i +
= + Δ → 3
i v 4 3 3 3 2 2 i i C v 5 4 4 i
C4i
= + + + Mi
6−0
arr
3 2 l6 i i i dep 4
Λ
=
= + Δ → 4
i C v 6 5 5i
i C5 i
(3.4.20)
Figura 3.14: Retraso del Tiempo de Recorrido Real con respecto al Tiempo Ideal
del mismo tren
v4
v
v v v v arr6
En la figura 3.14 se muestra la posición del tren t en función del tiempo en dos
1
situaciones distintas, en la primera, se asigna un horario al tren de tal forma
que su tiempo de recorrido sea el ideal, sin considerar el resto de trenes en
T (línea más clara), y en la segunda situación, se asigna un horario al tren t
satisfaciendo todas las restricciones en C (línea más oscura). En el segundo
caso el tiempo de recorrido es mayor debido a las paradas técnicas necesarias
para satisfacer ciertas restricciones. Pues bien, la restricción sobre el Retraso
Máximo limita el exceso que pueda tener el tiempo de recorrido dado por un
horario válido sobre el tiempo de recorrido ideal del mismo tren.
C15 - Salidas Periódicas: En un problema OPT pueden ser especificados 0 ≤
N ≤ |Tnew|
2
subconjuntos de Tnew, disjuntos entre si. Cada subconjunto es

3.4. Formulación del Problema como un CSOP 101
especificado con el objetivo de identificar a los trenes, cuyos instantes de sal-
ida deben cumplir con determinadas condiciones, cuando se trate de salidas
consecutivas de una misma estación. A cada subconjunto denominamos grupo
Gi, 1 ≤ i ≤ N.
Cada grupo Gi tiene asociado los siguientes atributos:
• Intervalo del Periodo. Por cada grupo Gi es determinado un intervalo de
tiempo [P i L, P i U], el cual define los valores válidos para el periodo de tiempo
que debe existir entre las salidas de trenes consecutivos pertenecientes a
Gi, y
• Estaciones con Periodo. Considerando que Ji es el recorrido de los trenes
en Gi, Speriodo i es el conjunto de estaciones, subconjunto de Ji, en las
cuales debe cumplirse un periodo de tiempo determinado entre las salidas
de los trenes consecutivos pertenecientes a Gi.
En un problema puede ser especificado más de un grupo para permitir estable-
cer diferentes valores a sus correspondientes atributos. Además en un mismo
problema OPT pueden existir trenes con diferentes recorridos o diferentes senti-
dos de viaje, por lo tanto, aunque compartan valores para sus atributos, deben
ser agrupados en subconjuntos distintos.
Si N > 0, cada grupo Gi en OPT, siendo 1 ≤ i ≤ N, debe satisfacer la restricción
C15 ∈ C, la cual es definida mediante la expresión 3.4.21. Si N = 0, entonces
C15 /∈ C.
(dep ty
k
∀tx ∈ Gi, ∀ty ∈ Gi, ∀l i k ∈ Speriodo i :
> deptx k ∧ (∄t′ ∈ Gi : dep t′
k > deptx k ∧ dept′ k
P i L ≤ dep ty
k
< depty k )) →
− deptx
k ≤ Pi U (3.4.21)
En la Figura 3.15 se describe una instancia del problema OPT, en la cual se
han especificado dos grupos de trenes. Los trenes cuyo recorrido en función
del tiempo está representado por líneas oblicuas continuas, forman el grupo
G1. El grupo G2 está formado por los trenes cuyo recorrido en función del
tiempo está dado por líneas oblicuas de puntos. Los trenes pertenecientes a

102 3. Optimizar y Planificar Horarios para Trenes, un problema CSOP
+ k
+ l2
asdependenci(Y)
kl1
k
+
+ l4 k l5 l6 k l3
+ k
+ k
+ k l l7
1
P 1
P 1
P 1
P 1
P 1
P 1
P
Figura 3.15: Dos grupos de trenes, cuyas salidas iniciales deben satisfacer un determinado
periodo de tiempo P2
P
G1 parten de su estación inicial cada P1 unidades de tiempo, y los trenes de G2,
cada P2 unidades de tiempo, es decir [P1, P1], y [P2, P2] son los intervalos de
periodo para G1 y para G2, respectivamente. En esta instancia de OPT se exige
el periodo de tiempo entre las salidas de trenes consecutivos únicamente en
las estaciones iniciales del recorrido considerado. Es por ello que se considera
factible el instante de salida del último tren del grupo G2 de la estación lk+1.
P 2 P 2 P 2 P 2 2
El tren sale en cuanto puede y no espera hasta satisfacer el periodo de tiempo
tiempo(X)
de salida P2, ya que en dicha estación no es requerida la periodicidad en salida
para los trenes que pertenecen a G2.
C16 - Parada Comercial: cada tren ti, que pertenezca al conjunto Tnew, debe
permanecer en cada dependencia l i j de su recorrido, por lo menos Ci j unidades
de tiempo. El valor de C i j es un valor constante, establecido por cada tren ti
en Tnew y por cada dependencia l i j de su recorrido. Si Ci j > 0 significa que

3.4. Formulación del Problema como un CSOP 103
ti requiere realizar operaciones comerciales en la dependencia li j , por ejemplo:
el ascenso y descenso de pasajeros. Siendo, Ji = {li 0 , li 1 , .., li mi } el recorrido
correspondiente al tren ti, la expresión 3.4.22 modela la restricción C16 ∈ C.
3.4.3. Función Objetivo
∀ti ∈ Tnew, ∀l i j ∈ Ji \ {l i 0, l i mi } : depi j − arr i j ≥ C i j
(3.4.22)
Habiendo descrito en qué consisten las componentes X, D y C del problema OPT=
(X, D, C, F C), resta por definir la componente F C. Para ello, empezaremos por
considerar la definición dada en [32]. Un problema de optimización de restricciones
es una red de restricciones (X, D, C) aumentada con una función de optimización
global F . Considerando que:
X = {x1, ..., xn},
F1, ..., Fl son componentes funcionales que retornan valores reales, definidos
sobre los ámbitos Q1, ..., Ql, Qj ⊆ X, y
ā = (a1, ..., an), donde ai está en el dominio de xi.
La función de optimización global F es definida por
F (ā) =
l
Fj(ā)
j=1
donde Fj(ā) significa Fj aplicada a las asignaciones en ā restringidas al ámbito de
Fj. Esto es Fj(ā) = Fj(ā[Qj]). La componente F C = {FQ1 , ..., FQl } es un conjunto
de componentes de optimización, adicional a la red de restricciones (X, D, C).
Cada función de optimización FQi está definida sobre el ámbito Qi = {xi1, ..., xil},
FQi :⊲⊳l j=1 Dij → Reales+ .
En el problema OPT, hemos considerado tres funciones, F1, F2, y F3 como los
elementos del conjunto F C, cuyos ámbitos son Q1, Q2 y Q3, respectivamente. A
continuación especificamos cuáles son las variables de X que corresponden a cada
uno de los ámbitos considerados en OPT.
Q1 = X I, es el conjunto de variables del problema correspondientes al horario
de los trenes que viajan en sentido ida. Considere que X I = {xj\(xj = arr i k+1 ∨
xj = dep i k ) ∧ ti ∈ TnewD ∧ li k ∈ Ji \ {lmi }}

104 3. Optimizar y Planificar Horarios para Trenes, un problema CSOP
Q2 = X V, es el conjunto de variables del problema correspondientes al horario
de los trenes que viajan en sentido vuelta. Considere que X V = {xj\(xj =
arr i k+1 ∨ xj = dep i k ) ∧ ti ∈ TnewU ∧ li k ∈ Ji \ {lmi }}
Q3 = X, es el conjunto de variables que representan el horario de los trenes
pertenecientes a Tnew.
La componente F C del problema OPT es definida como F C = {F1, F2, F3},
F1(ā) = F1(ā[X I]), F2(ā) = F2(ā[X V]) y F3(ā) = F3(ā[X]).
Considerando que ā = ā I ∪ ā V, donde ā I es el conjunto de valores asignados a
cada variable xi ∈ X I, y ā V es el conjunto de valores asignados a cada variable
xi ∈ X V, las funciones F1 y F2 son definidas por las expresiones 3.4.23 y 3.4.24,
respectivamente.
F1(ā I) =
ti∈Tnew D
|TnewD |
δ(ā I, i)
(3.4.23)
La función F1 mide el retraso promedio de los trenes que viajan en sentido ida.
δ(āV, i)
F2(ā V) =
ti∈Tnew U
|TnewU |
(3.4.24)
La función F2 mide el retraso promedio de los trenes que viajan en sentido vuelta.
La asignación ādir, i = (ai1, ..., aini ) indica que el valor aij ha sido asignado a la
variable xij, la cual a su vez corresponde al instante de llegada o al instante de salida
de un tren ti en una determinada dependencia de su recorrido. Se considera que el
tren ti viaja en sentido dir (dir = ida o dir = vuelta). Es decir, ādir,i representa un
horario factible asignado a un tren ti ∈ Tnew.
A partir de un horario factible, la función δ(ādir, i), mide el retraso del tren ti
con respecto al tiempo de referencia Γi ref . El tiempo de referencia es calculado por
cada tren como el mínimo tiempo que emplearía ti para ir desde l i 0 hasta li mi
si los
únicos trenes en la línea considerada fueran {ti} ∪ T C y todas las restricciones en C
fueran satisfechas. Es decir, para calcular el tiempo de referencia de un tren ti, se
ignora el resto de trenes nuevos Tnew \ {ti}. Luego el retraso promedio de un tren
con respecto a su tiempo de referencia Γ i ref
δ(ādir, i) = arri mi − depi 0 − Γ i ref
Γ i ref
es definido por la expresión 3.4.25
× pi
(3.4.25)

3.5. El problema OPT, un problema de Scheduling tipo Job Shop 105
Siendo E(ā) = F1(ā I) + F2(ā V), la función F3, definida por la expresión 3.4.26,
mide la desviación standard de los retrasos promedios por sentido (F1 y F2) con
respecto al retraso promedio total (E).
F3(ā) =
[F1(ā I) − E(ā)] 2 + [F2(ā V) − E(ā)] 2
2
(3.4.26)
Habiendo especificado en qué consiste cada función de optimización en el prob-
lema OPT, definimos su función de optimización global como
F (ā) = ωexc × (F1(ā I) + F2(ā V)) + ωdesv × F3(ā) (3.4.27)
Tanto el retraso promedio de los trenes que viajan en sentido ida como el retraso
promedio de los trenes que viajan en sentido vuelta es multiplicado por un valor
constante ωexc. Este valor corresponde al peso dado en la función de optimización
global al retraso promedio de los trenes. Es un valor especificado para el problema
y puede ser definido por cada instancia del mismo.
El valor ωdesv corresponde al peso asignado a la función F3 en la función de
optimización global. Es un valor definido por cada instancia del problema OPT.
Luego, la tarea de optimizar, consiste en hallar una asignación factible ā o tal
que F (ā o ) = mināF (ā).
3.5. El problema OPT, un problema de Scheduling tipo
Job Shop
Según hemos visto en el Capítulo 2, un problema de scheduling tipo Job Shop
posee determinadas características, que lo distinguen como un tipo de problema. En
esta sección identificamos estas características en el problema que hemos definido
en este capítulo como marco de trabajo de la tesis.
En el problema OPT un trabajo consiste en el recorrido completo que lleva a
cabo un tren. Las operaciones que forman parte de un trabajo en OPT consisten
en pasar por estaciones y recorrer tramos entre estaciones. Para llevar a cabo cada
operación es necesario utilizar determinados recursos, que en este caso son las vías
en la estación, o las vías en el tramo, según el tipo de operación que se trate.

106 3. Optimizar y Planificar Horarios para Trenes, un problema CSOP
El orden entre las operaciones de un mismo trabajo, lo determina el recorrido de
cada tren y constituyen las relaciones de precedencia de un problema de scheduling
tipo Job Shop. El tiempo de procesamiento de una operación está dada por el
tiempo que un tren permanezca en una estación o por el tiempo que un tren emplee
en recorrer un tramo de su recorrido.
Los trenes que viajan en sentido ida utilizan los recursos siguiendo un determi-
nado orden, y los trenes que viajan en sentido vuelta utilizan una parte o los mismos
recursos, pero siguiendo un orden inverso.
Las restricciones definidas en la sección 3.4.2 determinan las condiciones en las
cuales se considera factible la utilización de los recursos, considerando el conjunto
de operaciones del problema. Así, las restricciones de cruce regulan el uso de aquel-
los recursos que son utilizados por operaciones pertenecientes a trabajos que siguen
un orden inverso. Dichas operaciones no podrán utilizar al mismo tiempo estos re-
cursos e incluso deberá existir un margen de tiempo, considerado como un margen
de seguridad entre el inicio de las operaciones sobre el mismo recurso (tiempo de
recepción) así como entre el intercambio de recursos entre las dos operaciones (tiem-
po de expedición). Esto es equivalente a establecer un orden de prioridades entre
operaciones que pertenecen a diferentes trabajos sobre la utilización de un mismo
recurso.
Por otro lado existen restricciones sobre la utilización de recursos entre opera-
ciones que siguen un mismo orden. Existen recursos que permiten que más de una
operación lo utilice al mismo tiempo siempre y cuando exista una determinada
cantidad de tiempo entre el inicio de una y otra, así como entre el instante de final-
ización de las mismas (sucesión automática). Otros recursos no permiten que dos
operaciones lo utilicen simultáneamente (sucesión manual).
Las estaciones son consideradas centros de trabajo donde existen varias máquinas
que pueden ser utilizadas en paralelo (vías). En estos centros de trabajo no está per-
mitido que se lleven a cabo simultáneamente más operaciones que el número máquinas
disponibles (restricción que determina la capacidad limitada de cada estación).
Las operaciones de mantenimiento, o el horario de cierre de una estación son
otras de las restricciones que limitan el periodo de tiempo que un recurso puede ser
utilizado por una operación, o al menos limitan los periodos de tiempo en los cuales
dichos recursos pueden ser utilizados teniendo en cuenta su capacidad total.

3.5. El problema OPT, un problema de Scheduling tipo Job Shop 107
En este problema de scheduling tipo Job Shop la función objetivo consiste en
minimizar el retraso promedio de cada trabajo con respecto a un tiempo de referencia
y la diferencia entre el retraso promedio correspondiente a los trabajos que siguen
un orden en la utilización de los recursos y el retraso correspondiente a los trabajos
que siguen el orden inverso. A cada criterio se le asigna un peso.
Job tipo Scheduling de problema un de s Propiedade Shop Job tipo Scheduling de Problema al OPT de encia Correspond Shop
un tren por realizado Recorrido destino - origen Operación Tren un por un tramo de Recorrido - a Dependenci una a Tren un de Visita - Recurso en tramos o as dependenci en as ferroviari Vías Trabajo
de Centro Tramo - a Dependenci - a Precedenci de Relación un tren visitar debe que as dependenci de ordenada Secuencia Capacidad de n Restricció
Trabajo
Sucesión -Alcance -Cruce - a dependenci una de Capacidad -
Date) (Due Trabajo un de ón FinalizaciDate) (ReleaseTrabajo
un de Inicio Periódicas Salidas - Salida de Intervalo - Máximo Retraso - Llegada de Intervalo - Manual
aplicación dominio en la d la s s. nes Comercial - no por - de Tiempo - Recepción de Tiempo - ento Adelantami - nto Mantenimie de Bandas - Cierre de Horario - Automática Sucesión - Time) de (Setup recurso del n
el ) solución de factiblida Preparaciópara Expedición (necesaria de Adicionale Tiempo Restriccio - Recepción de Tiempo -
Expedición retraso el y Ida sentido en viajan que trenes de promedio retraso el entre diferencia Minimizar - Trenes los de promedio retraso Minimiar - promedio Demoraparada
prevista Paradadelostrenesqueviajan
en sentido Función Objetivo vuelta
Figura 3.16: Correspondencia entre las propiedades de un Job Shop y el Problema
OPT
En la Figura 5.7 se resumen las propiedades de un problema de Scheduling tipo
Job Shop identificando la correspondencia de las mismas con las propiedades del
problema OPT.

108 3. Optimizar y Planificar Horarios para Trenes, un problema CSOP
3.6. Conclusiones
En este capítulo se ha descrito y formalizado el problema de Optimizar y Programar
Horario para Trenes, OPT, como un problema del tipo CSOP tal que OPT= (X, D, C, F C)
[32]. Las variables, dominios, restricciones y funciones de optimización son definidas
mediante los conjuntos X, D, C, y F C, respectivamente.
El problema es definido por una determinada línea ferroviaria (L), un determina-
do conjunto de trenes (Tnew), cuyo horario debe ser optimizado, y un determinado
conjunto de trenes (T C), cuyo horario es conocido y no puede ser modificado. Cada
uno de estos elementos tiene asociado un conjunto de atributos (recorrido, tipo de
bloqueo, número de vías, ...,etc), cuyos valores son conocidos, y por lo tanto tratados
como constantes en el modelo que formula el problema OPT.
En dicho modelo, cada variable xi en X hace referencia al instante de salida o de
llegada, de un tren ti ∈ Tnew en una determinada dependencia de su recorrido. El
valor correspondiente a cada variable del conjunto X será por lo tanto una unidad
de tiempo, lo cual a su vez establece la granularidad, siendo el conjunto de números
naturales el dominio correspondiente a cada variable del problema. Las restricciones
del problema OPT han sido especificadas de tal forma que el conjunto de horarios
resultante sea viable en una línea ferroviaria, teniendo en cuenta su infraestructura,
el tráfico en la misma, las condiciones de seguridad y de mantenimiento, así como los
requerimientos comerciales establecidos para los trenes considerados. Finalmente, se
han definido las funciones de optimización que forman el conjunto F C, las cuales
determinan que el coste global del problema OPT consiste en medir de forma pon-
derada el retraso promedio de los trenes en Tnew y la desviación que existe entre el
retraso promedio de los trenes que viajan en un sentido y el retraso promedio de los
trenes que viajan en sentido opuesto, con respecto al retraso promedio total.
A partir del modelo resultante se deduce que la solución del problema OPT con-
siste en hallar un instante de salida y un instante de llegada para cada tren ti en
Tnew por cada dependencia de su recorrido. La asignación realizada al conjunto de
variables X debe satisfacer el conjunto de restricciones C y optimizar la función de
optimización global F definida por F C para OPT. Teniendo en cuenta la instancia
del CSOP que nos ocupa, esto quiere decir que la solución resultante consista en
una Programación de Horarios factible que optimice la utilización de los recursos

3.6. Conclusiones 109
empleados.
En el Capítulo siguiente se presenta la revisión de métodos propuestos en la liter-
atura para resolver problemas del tipo Programación de Horarios para Trenes, junto
con el análisis que hemos realizado de cada uno. Posteriormente, en el Capítulo 5 se
describe un nuevo método, el que proponemos en esta tesis para resolver problemas
del tipo OPT de forma eficiente, adaptando ciertas características de métodos ya ex-
istentes e incluyendo nuevas, que ayuden a satisfacer el conjunto de restricciones y
a obtener una solución en el mínimo tiempo posible.

Capítulo 4
Revisión de Métodos para la
Generación de Horarios
4.1. Introducción
En este capítulo revisamos aquellos modelos y métodos de solución, publica-
dos en la literatura, correspondientes a la formulación y solución de problemas de
generación y optimización de horarios, y en particular sobre los que aparecen en
el contexto de horarios de trenes. Proporcionamos las características que hemos
identificado en estos trabajos, junto con un análisis de los mismos, indicando los
inconvenientes que hemos encontrado en aplicar dichos métodos al problema OPT.
Hoy en día existen numerosos trabajos publicados, pertenecientes a diferentes
áreas de investigación (Ciencias de la Computación, Investigación de Operaciones,
Matemática, Inteligencia Artificial), que proponen métodos o técnicas para resolver
alguno de los aspectos que forman el proceso de planificación ferroviaria. Los tra-
bajos que se realizan en este contexto se hallan motivados no solo por el desarrollo
de una teoría válida sino también por la posibilidad de llevarla a la práctica en un
sector que requiere la aplicación eficiente de métodos de optimización. La reciente
liberación del sector público ferroviario en muchas partes del mundo ha incrementa-
do en la conciencia de este sector la necesidad de ofrecer a los clientes un servicio de
calidad. Bajo la presión por mejorar, se han desarrollado herramientas informáticas
para ayudar a los planificadores de horarios a realizar su trabajo más eficientemente
y más rápidamente. En este contexto, la planificación de horarios juega un papel
111

112 4. Revisión de Métodos para la Generación de Horarios
fundamental en el manejo y operación de un sistema de transporte público. Ac-
tualmente, existen herramientas informáticas que ofrecen soporte efectivo para la
construcción de horarios. Muchas de las herramientas propuestas son de la forma
qué pasa si, en las cuales el objetivo es obtener soluciones factibles rápidamente
más bien que obtener una solución óptima. La generación automática de horarios
factibles aún sigue siendo una tarea que consume mucho tiempo, de modo que la
mayoría de las herramientas existentes para generar un horario operacionalmente
viable en realidad son herramientas que modifican un horario particular y verifican
la presencia o no de conflictos a partir de dicha modificación, como puede verse en
el trabajo de Liebchen y Möhring [83].
La planificación de horarios de trenes es una parte del proceso general de planifi-
cación de sistemas de tráfico y que generalmente se divide en varias etapas que deben
ser completadas antes de que el scheduling de trenes pueda ser creado. Estas etapas
son: Planificación de la Red, Planificación de la Línea, Planificación del horario de
trenes, Planificación de los vehículos y el personal. Los problemas relacionados con
el tráfico ferroviario son problemas de elevada complejidad, pertenecen a la clase de
problemas NP-hard y por lo tanto, están justificados los esfuerzos en el desarrollo de
nuevas técnicas con heurísticas exactas y eficientes. Un análisis de algunos modelos
y métodos aplicados para resolver este tipo de problemas es presentado por Bussieck
et. al en [17] y por Cordeau et. al en [29].
En la década de los 80, la aplicación y desarrollo de modelos matemáticos fue
dificultoso debido a las capacidades computacionales insuficientes y a los problemas
de reunir y organizar datos relevantes, tareas que muchas compañías ferroviarias
no podían abordar. Durante la última década, el uso de modelos de optimización
matemática para planificación de transporte ferroviario y por lo tanto para la com-
putación automática de líneas, horarios, personal, etc. se ha incrementado significa-
tivamente (una revisión es realizada por Cordeau et. al en [29]).
La situación ha cambiado considerablemente durante los últimos años. El in-
cremento en la velocidad de procesadores en ordenadores y el progreso en métodos
matemáticos ha permitido el desarrollo y la solución de instancias de problemas más
realistas [16].

4.2. Estado del Arte en la Formulación del Problema 113
4.2. Estado del Arte en la Formulación del Problema
El problema de asignar y optimizar horarios para trenes consiste fundamental-
mente en hallar un horario para un conjunto de trenes, el cual debe ser factible según
un determinado conjunto de restricciones y debe buscar la optimización de criterios
modelados mediante una función objetivo. La especificación de este problema puede
variar en cuanto a los elementos que forman el conjunto de restricciones, los crite-
rios considerados en la función objetivo, y la infraestructura ferroviaria subyacente
al problema.
En la década de los 70, Szpigel [112] fue el primero en formular el problema de
scheduling ferroviario en vía única como un problema de programación matemática
disyuntiva.
Además de la formulación, Szpigel también fue el primero en indicar la similitud
entre el problema de scheduling ferroviario sobre vía única y el problema de job
shop scheduling (cuando la velocidad del tren es fijada a lo largo del tramo). Sigu-
iendo la formulación disyuntiva de Szpigel, Jovanovic [71] presentó una formulación
matemática para el problema de planificar trenes con el objetivo de minimizar el
coste ponderado de los retrasos totales. Jovanovic restringió su algoritmo a resolver
la instancia del problema en el cual existe un ordenamiento pre establecido entre los
trenes que viajan en un mismo sentido, evitando así el adelantamiento entre ellos, lo
cual simplifica de gran forma el problema en cuanto a número de soluciones posibles
se refiere.
La forma en que los trenes son manejados a lo largo de su viaje tiene un gran
impacto en el consumo de combustible que realicen. A la luz de esto, Kraay et. al
[75] propusieron un modelo de programación entera mixta no lineal más detallado.
La red considerada estaba compuesta por tramos de vía única. Además de mantener
los retrasos al mínimo, la función objetivo apuntaba a regular la velocidad de los
trenes para minimizar el consumo de combustible a lo largo del recorrido del tren.
La función de costo de consumo de combustible propuesta por ellos está relacionada
a la cantidad de trabajo para mover el vehículo sobre un tramo y toma en cuenta:
la inclinación del tramo, la resistencia del tramo, la velocidad y masa del vehículo.
En su modelo la velocidad del vehículo es tratada como una variable.
Una mejora sobre el trabajo de Jovanovic combinado con el modelo de Kraay

114 4. Revisión de Métodos para la Generación de Horarios
para ahorrar combustible, es presentado por Higgins, [64]. Su modelo considera
restricciones tales como: un retraso máximo para los trenes, prioridad entre ellos,
mínimo tiempo de distancia entre trenes que viajan en el mismo sentido. A diferencia
del trabajo de Jovanovic, el modelo de Higgins toma como parte del modelo la
restricción para evitar alcances. Se fija un límite inferior y superior para la velocidad
del tren en cada tramo de su recorrido. Esta restricción limita el tiempo de viaje del
tren en cada tramo, y así en el trayecto completo. Como en el trabajo de Jovanovic
todas estas restricciones son implementadas como parte del método resolvedor, es
decir las restricciones se verifican a medida que se construye el horario de cada tren.
La formulación de este tipo de problema es llevada a cabo en la mayoría de los
trabajos estudiados mediante programación entera mixta no lineal (existen restric-
ciones expresadas mediante ecuaciones no lineales, Kray et. al [75], Higgins et. al [64],
[65]) donde las variables de decisión binarias son utilizadas para indicar el orden en el
cual un tramo es utilizado tanto por trenes consecutivos como por trenes que viajan
en sentidos opuestos (tramo formado por una vía para ambos sentidos), o mediante
programación entera lineal (Carey [23], [22]) donde se utilizan variables de decisión
entera para indicar: si un determinado enlace (punto de la red ferroviaria donde n
líneas diferentes se unen, o se bifurcan, comúnmente se denominan n-furcaciones)
forma parte o no de la ruta de un determinado tren, si un tren i precede a un tren j
en un enlace, si está permitido que un tren i preceda a un tren j en un enlace. Otro
de los formalismos empleados son los grafos disyuntivos, (Caprara et. al [20], [21],
Brucker y Strotmann [15]). En estos trabajos se considera el problema de programar
horario para trenes como un Job Shop, donde los nodos representan las operaciones
y los arcos son divididos en dos conjuntos, arcos conjuntivos (restricciones de prece-
dencia) y arcos disyuntivos que restringen la utilización de cada recurso a una única
operación por vez.
Algunas restricciones, tales como:
C1 - Tiempo de Sucesión,
C8 - Tiempo de Recorrido,
C16 - Parada Comercial.
son comunes a todos los trabajos estudiados. Restricciones también consideradas en
el problema OPT, descritas en el Capítulo 3.

4.2. Estado del Arte en la Formulación del Problema 115
El resto de restricciones sin embargo no son consideradas por todos los traba-
jos. Al tratarse de un problema de optimización, existen restricciones que agregan
complejidad al problema porque hacen que aumente el número de soluciones y por
ende el espacio de soluciones donde se debe buscar la mejor solución. Un ejemplo
de este tipo de restricción es la que evita el cruce en un tramo de vía única en-
tre trenes que viajan en sentido opuesto (restricción C5 - Cruce). Algunos de los
trabajos estudiados, como por ejemplo: Carey [23] y Caprara et. al [20], [21], no
incluyen esta restricción, es decir asumen que en cada vía sólo circularán trenes del
mismo sentido, por lo tanto en un mismo instante de tiempo dos trenes viajando en
sentido opuesto podrán ocupar el mismo tramo. No será necesario decidir cuál de
los dos deberá esperar, disminuyendo así considerablemente el número de posibles
soluciones del problema.
Evitar alcance entre dos trenes que viajan en el mismo sentido (restricción C6
- Alcance) también puede ser una restricción que contribuya a la complejidad ex-
ponencial de este problema. Ya que si se permite que un tren adelante a otro en
una estación existen dos formas de evitar que un tren alcance a otro consecutivo
en el tramo. En el trabajo de Cai y Goh [18] se evita el alcance por considerar que
todos los trenes tienen el mismo recorrido y todos los trenes tienen la misma veloci-
dad en cada tramo de sus correspondientes recorridos. Por lo tanto, en este caso la
complejidad es menor.
Otras restricciones aumentan la complejidad temporal correspondiente a la gen-
eración de cada solución, ya que suponen mayor número de operaciones que deben
ser deshechas antes de hallar una asignación válida. Como ejemplo:
C2 - Dependencias con Capacidad Limitada,
C3 - Horario de Cierre,
C4 - Bandas de Mantenimiento
En el problema OPT el número de vías en cada dependencia es un parámetro del
problema, es un valor finito mayor o igual a uno. Durante la generación de una
solución en la cual se debe satisfacer la restricción C2 deberá deshacerse el valor
asignado como instante de llegada a un tren en el caso que dicho instante suponga
la llegada del tren a una estación sin vías disponibles. Ciertos trabajos, Kraay et.

116 4. Revisión de Métodos para la Generación de Horarios
al [75], Cai y Goh [18], Higgins et. al [64], [65], Caprara et. al [20], consideran como
máximo dos el número de vías en cada estación. Otros trabajos consideran el número
de vías como un parámetro (número de vías finito mayor a uno) del problema Cai
y Goh [18], Carey [23], Caprara et. al [21].
Tener en cuenta las operaciones de mantenimiento llevadas a cabo durante un
intervalo de tiempo implica en el trabajo de Caprara et. al [21] prohibir que un tren
llegue a una estación del tramo en un instante perteneciente a dicho intervalo de
mantenimiento. En los demás trabajos estudiados esta restricción no es considerada.
En nuestro trabajo también se considera esta restricción, pero la diferencia con la
formulación realizada en [21] está en el caso que la operación de mantenimiento
se lleve a cabo en un tramo en el que existe más de una vía. En ese caso, en el
problema OPT se utiliza una de las vías para circulación quedando el tramo de vía
doble convertido en un tramo de vía única durante el intervalo de tiempo que dure
la operación de mantenimiento. Esta consideración agrega mayor complejidad, ya
que en ciertos intervalos de tiempo una sección de vía se volverá vía única, si era de
vía doble, y fuera de este intervalo seguirá siendo vía doble. En el caso que la vía
tenga una sola vía, entonces el comportamiento es el mismo que el presentado en
[21].
En cuanto a la función objetivo se considera generalmente minimizar el retraso
promedio de los trenes [75], [64], [65]. En [64], [65], otro criterio utilizado en la
función objetivo es el costo de las operaciones. En [75] cada tren tiene una prioridad
por lo que la suma de retrasos en la función objetivo es ponderada, en este mismo
trabajo se considera además minimizar el consumo de combustible como otro de
los criterios utilizados en la función objetivo. En [23], [22] la función objetivo del
problema consiste en minimizar la suma de costos asociados al instante de salida, al
instante de llegada, al tiempo de recorrido, y al tiempo de parada, por cada tren y
cada enlace utilizado en la ruta del mismo. En el problema OPT la función objetivo
consta de dos criterios, uno de ellos consiste en minimizar el retraso promedio de
los trenes con respecto a un determinado tiempo de referencia y el otro consiste en
minimizar la diferencia de retraso promedio entre los trenes de un sentido y otro.
Cada criterio tiene un peso, el cual es un parámetro más del problema, según sea el
objetivo más importante que se persigue con la solución del problema.
En ciertos trabajos como en [23] y [22] el problema de asignar horarios viene

4.2. Estado del Arte en la Formulación del Problema 117
acompañado del problema de encontrar una ruta para cada tren, esto es secuencia
de estaciones a través de más de una línea ferroviaria unidas por estructuras de-
nominadas nodos, así como la elección de plataformas a utilizar en cada estación
de la ruta seleccionada. En otros trabajos sin embargo, [75], [18], [64], [65], [20],
[21], al igual que en OPT se utiliza una determinada línea ferroviaria, es decir una
determinada secuencia de estaciones, en la que no existen n-furcaciones y el recor-
rido de todos los trenes consiste en un sub conjunto de dicha secuencia. El objetivo
es optimizar el horario de trenes que se desean agregar en una determinada línea
ferroviaria. La ruta de cada tren ya está definida.
Otra de las características común en los trabajos mencionados es la inexisten-
cia de trenes en circulación previamente. Sin embargo, en la práctica es habitual
la consideración de un conjunto de trenes previamente planificados cuyos tiempos
de llegada/salida deben respetarse cuando se considere agregar nuevos trenes a la
misma línea. El objetivo sería entonces encontrar una planificación óptima para los
nuevos trenes que satisfaga el conjunto de restricciones considerado y que además
no modifique el horario de los trenes planificados previamente. Esta posibilidad es
contemplada en OPT y por su parte también la consideran Caprara et. al en [21].
Otra aproximación utilizada para formalizar el problema es la programación de
restricciones. Concretamente en el trabajo de Chiu et. al [27], se describe una es-
trategia de rescheduling para ser usada en PRACOSY (People’s Republic of China
Railway Computing System), un sistema para la automatización de los ferrocarriles
chinos. PRACOSY es un sistema interactivo el cual provee al usuario con la posibil-
idad de sugerir cambios a un dado horario. Estos cambios son considerados por el
sistema de rescheduling como restricciones adicionales para el problema. El principal
objetivo de este sistema es proveer una solución factible al usuario. Cuando esto no
es posible por solo propagar las restricciones del problema, entonces se utiliza un
algoritmo de primero en profundidad para buscar una solución. El usuario puede
interrumpir el proceso de búsqueda en cualquier momento, por ejemplo en el caso
que considere excesivo el tiempo empleado para obtener una solución factible. En
ese caso el usuario deberá reconsiderar sus cambios al horario. Una topología gen-
eral de la red es considerada por el sistema, y seis restricciones son manejadas por
el sistema:
Mínimo Tiempo de Recorrido,

118 4. Revisión de Métodos para la Generación de Horarios
Tiempo de Sucesión,
Tiempo de Recepción,
Diferencia entre Instantes de Salida,
Evitar Alcances,
Evitar Cruces,
Parada Comercial.
Otro trabajo relacionado es el de Kreuger et. al. [76]. Su trabajo está basado en
utilizar Programación Lógica de Restricciones para resolver el problema de schedul-
ing de trenes sobre vía única. Lo considera un problema de scheduling tipo Job
Shop. Su trabajo tiene como objetivo encontrar un scheduling factible por elimi-
nar conflictos entre trenes que son considerados en su problema. No agrega otras
restricciones tales como capacidad de cada estación, horario de cierre en las mis-
mas, tiempos de separación entre trenes que llegan y salen de una misma estación,
que agregan mucha complejidad al problema y hacen que el conjunto de horarios
entregados como solución tengan una probabilidad mayor de ser operacionalmente
válidos. En su trabajo tampoco se indica la cantidad de conflictos que pueden ser
resueltos generalmente, por lo que no se tiene una medida del tamaño de la red y
cantidad de trenes considerados. Tampoco se establece un límite para la cantidad
de tiempo que cada tren deba esperar en una estación para evitar un conflicto, ya
que en la función objetivo este tiempo no está limitado.
Análisis de los Modelos
En la mayoría de los trabajos estudiados se ha utilizado la programación matemática
para modelar el problema de programar horario para trenes, utilizando modelos MIP
(lineal o no lineal) o modelos ILP. En cada uno de estos trabajos se establece el con-
junto de restricciones que se considera para decidir si una asignación es o no factible.
De este conjunto de restricciones depende en gran medida la utilización o no de este
tipo de formulación.

4.2. Estado del Arte en la Formulación del Problema 119
En nuestro caso, debido al conjunto de restricciones considerado en el problema
OPT, la utilización de un modelo matemático implica un gran esfuerzo en la rep-
resentación de ciertas restricciones (Bandas de Mantenimiento, Horarios de Cierre
según el tipo de cierre el comportamiento esperado es distinto, Capacidad limitada
en una estación, Demora por parada no prevista, Sucesión Manual implica que la
siguiente estación debe estar abierta). Además de encontrarnos con una expresivi-
dad limitada en estos modelos, modelar estas restricciones implicaría la utilización
de variables de decisión binarias necesariamente. Luego, el esfuerzo que conlleva
expresar cada una de las restricciones mediante un modelo matemático no se justi-
ficaría si no se utiliza un método para resolver el modelo que utilice alguna de las
propiedades matemáticas, tales como relajación de Lagrange, un procedimiento de
generación de columnas, planos de corte, etc. Aplicar estos métodos resulta en pro-
cedimientos menos eficientes por la gran cantidad de variables binarias que deberían
ser utilizadas para modelar el conjunto de restricciones de OPT en una instancia real
del problema.
Consideramos que la programación de restricciones es el lenguaje que mejor se
adapta a la formulación del problema OPT. Aun cuando no se utilice una técnica
CSP para resolver el modelo, el lenguaje de programación de restricciones permite
utilizar ciertas notaciones que ayudan a formular las restricciones más complejas
teniendo así un modelo sobre el cual se puede plantear, sin ambigüedad, un método
para resolver el problema subyacente.
Otra de las aproximaciones utilizadas en trabajos relacionados es la representación
del problema de programación de horarios utilizando un grafo disyuntivo o un grafo
alternativo, Brucker y Strotmann [15]. En estos trabajos solo se representan dos
tipos de restricciones, las de precedencia y las de exclusividad en el uso del tramo.
No se da ninguna información acerca de cómo representar otras restricciones tam-
bién consideradas en el problema OPT. En el caso que en OPT solo se consideraran
restricciones de precedencia (Tiempo de recorrido) y restricciones de exclusividad
en el tramo (cruce, alcance) el problema OPT podría ser representado por un grafo
similar al mostrado en la Figura 4.1. En el problema OPT determinar la secuencia
de operaciones en una máquina es equivalente a determinar la secuencia en la cual
determinados trenes utilizarán un tramo. En la Figura 4.1 se muestra el recorrido
de dos trenes en una línea ferroviaria compuesta por tres tramos, todos ellos de vía

120 4. Revisión de Métodos para la Generación de Horarios
máquina= trabajo= máquina= trabajo= máquina= 1 1tramo2
2tramo3
3tramo 1 1tren2
2tren 22 tiempo a12
a a31
a21 a V
Figura 4.1: El problema OPT como un problema tipo Job Shop U
estaciones
22 11
a21 a 21 a 11
única. Las actividades aij representan el paso del tren j por el tramo i. Debido a
a a31
que ambos trenes requieren pasar por los tramos 1 y 2, en el grafo de la Figura 4.1
se utilizan arcos disyuntivos para indicar que debe establecerse un orden en el uso
de dichos tramos, ya que solo disponen de una vía.
El problema tipo Job Shop es un problema de optimización, por lo tanto tiene
una función que evalúa cada solución para indicar el nivel de optimalidad de la
misma. Aunque el criterio a ser utilizado no es un criterio fijo, es decir forma parte
de la formulación que se desee hacer del problema, por lo general, el makespan suele
ser una medida muy utilizada para medir la optimalidad de soluciones en este tipo
de problemas. En el caso del problema OPT el valor del makespan puede no aportar
muchos datos acerca de la calidad de la solución entregada, por lo tanto son otros
los criterios que componen la función objetivo utilizada por OPT. En la Figura 4.2
se da un ejemplo de esta situación. Dos trenes compiten por el uso de un tramo,
es decir dos actividades requieren el uso de una misma máquina a la vez. En la
situación 2 se propone un orden de utilización y en la situación 3 se propone un
orden diferente. Según la definición de makespan dada por Pinedo [98], el valor del
makespan es el mismo tanto para la solución entregada en la situación 2 como para la
solución entregada en la situación 3. Sin embargo el retraso promedio es menor en la
situación 2. En el problema que consideramos en esta tesis, uno de los componentes

4.3. Estado del Arte - Métodos de Solución 121
estaciones
estaciones
makespan
makespan
tiempo 1
tiempo
2
Figura 4.2: Valor de makespan puede no ser suficiente en la función objetivo del
problema OPT
3 makespan tiempo estaciones
de la función objetivo no será el makespan, sino el retraso promedio de los trenes.
Una descripción más detallada de la función objetivo utilizada en el problema OPT
es dada en la Sección 3.4.3 del Capítulo 3.
El consumo de combustible es otro criterio utilizado en algunos trabajos como
parte de la función objetivo. Esto es llevado a cabo regulando la velocidad de los
trenes en los tramos. En el caso del problema OPT la regulación de la velocidad,
esto es aceleración/desaceleración, viene dada por otras consideraciones ya fijadas
en cada tramo por el usuario final.
4.3. Estado del Arte - Métodos de Solución
Cada uno de los trabajos estudiados además de formular el problema propone
un método para resolver el modelo correspondiente. Hemos agrupado estos trabajos

122 4. Revisión de Métodos para la Generación de Horarios
según la aproximación utilizada para resolver los correspondientes modelos. En cada
sub sección se proporciona una descripción de los mismos junto con un análisis que
identifica sus características y si cabe, inconvenientes para aplicarlos al problema
OPT.
4.3.1. Relajación Lagrangiana
Caprara et. al [20] utilizan un modelo en el cual asocian multiplicadores de
Lagrange a cada restricción que es relajada. Las restricciones que son relajadas cor-
responden a aquellas que modelan la capacidad del tramo y el tiempo de sucesión.
En la función objetivo se utilizan penalizaciones Lagrangianas para las nuevas vari-
ables. El procedimiento de optimización consiste en aplicar en cada iteración un
procedimiento de optimización del sub gradiente. A partir del resultado obtenido se
programa el horario de cada tren, uno por vez, según el orden en el que cada tren
quedó en el ranking determinado por el beneficio asociado a cada uno.
4.3.2. Branch and Bound
El trabajo realizado por Szpigel, 1972 fue el primero en considerar las restric-
ciones de cruce y alcance. El método de solución empleado estaba basado sobre
programación lineal, incorporado dentro del algoritmo standard branch-and-bound
para problema de scheduling de máquinas. Sin embargo, Szpigel no aplicó ninguna
técnica lower-bound en su método. La eficiencia del método era pobre al resolver
problemas con cinco tramos y diez trenes.
Jovanovic y Harker [72] proponen el sistema SCAN I, el cual considera restric-
ciones para evitar cruce, alcance y mantener una mínima diferencia de tiempo entre
las llegadas y salidas a/de una estación. El sistema empieza por considerar un sched-
ule propuesto, y verifica si dicho schedule incumple o no alguna de las restricciones
consideradas. El problema es modelado mediante un modelo MIP y es resuelto uti-
lizando un procedimiento branch and bound que obtiene una solución factible. No
se considera ninguna función objetivo.
En el trabajo presentado por Higgins et al. se propone una técnica branch and
bound. Cada nodo representa un conflicto (cruce o alcance) que será resuelto al re-
trasar a un determinado tren de los dos que intervienen en el conflicto. Al seleccionar

4.3. Estado del Arte - Métodos de Solución 123
el tren a retrasar, se calcula el costo de la solución sumando al costo por retrasar
los trenes seleccionados hasta el momento una estimación del costo determinado por
los conflictos que faltan por resolver. Cuando todos los conflictos son resueltos se
obtiene el costo de la solución. Si ese costo es mejor que el hasta ahora obtenido en-
tonces pasa a ser el límite superior del problema. Cada vez que se selecciona un nodo
y se estima el costo de esa solución. Si esa estimación es mayor al límite superior,
entonces esa solución es abortada.
Figura 4.3: Técnica branch and bound propuesta por Higgins et al. [64] Mejor
del
Higgins et. al [64] presentan un algoritmo tipo branch and bound para resolver Solución -LímiteSuperior
CostoReal
C, 1 j Inicio
i C, 2 j C, 2 Real Costo costo del Estimación costo i
el problema de asignar horarios a trenes en una línea con vía única. Proponen una
1 Estimación C,
heurística para calcular el valor de un límite inferior, que representa el mínimo
costo que podría tener resolver todos los conflictos restantes a partir de un punto
de la solución. Esto sirve para estimar el costo de una solución siendo generada. Si
este valor es mayor al valor del límite superior obtenido hasta entonces, esto es el
valor de la mejor solución obtenida hasta entonces. Entonces esta solución debe ser
interrumpida o lo que es lo mismo podar la rama del árbol.
En el trabajo de Silva [110], se propone un método heurístico para decidir qué ra-
mas podar en un método tipo branch and bound. En este trabajo se asocia el
problema de programación de horarios con un problema tipo Job Shop. Considera
únicamente un sub conjunto de las restricciones consideradas por OPT.

124 4. Revisión de Métodos para la Generación de Horarios
Análisis de los Métodos matemáticos y el problema OPT
La relajación de Lagrange al igual que otros métodos matemáticos como gen-
eración de columnas, branch and cut o branch and price requieren primeramente
que se cuente con un modelo matemático, sobre el cual se pueda trabajar para re-
lajar aquellas restricciones que implican alternativas de decisión. En nuestro caso
existen muchas restricciones muy difíciles de ser modeladas mediante un modelo
matemático, y en el caso que esto sea posible el modelo aumentaría en gran medida
su complejidad debido al incremento en el uso de variables binarias. En el caso de
la relajación Lagrangiana sería necesario un elevado número de multiplicadores, y
hallar el valor más adecuado para cada uno significaría mucho tiempo de proce-
samiento, que no implicaría necesariamente obtener una solución óptima. En cada
iteración existe una alta probabilidad de que el problema aumente por agregar las
restricciones para hacer que el problema dual se convierta en factible, la conver-
gencia puede ser muy lenta. Consideramos que empleando la misma cantidad de
tiempo se pueden obtener mejores soluciones empleando métodos constructivos que
utilicen heurísticas basadas en el conocimiento del problema para decidir entre las
alternativas que existen en una programación de horarios.
Aplicar el método branch and bound al problema OPT puede ser considerado
como construir un árbol de búsqueda binario, donde en cada nivel se decide acerca de
un conflicto que requiere una decisión entre dos alternativas (cruce, alcance). Cada
decisión implica reconstruir los horarios hasta que aparezca el siguiente conflicto
en el tiempo, sobre el cual debe tomarse la siguiente decisión. Cada rama de este
árbol binario puede ser podada si se relajan todas las restricciones que implican
decisiones binarias y se obtiene un costo superior al mejor obtenido hasta entonces.
La construcción del árbol es realizada de la forma primero en profundidad de tal
forma que se asegure la optimalidad sin repetir soluciones y utilizando la menor
cantidad de espacio computacional. En el caso del problema OPT esto implicaría
recorrer el espacio de soluciones en un orden dado por la forma en que se recorre el
árbol, en este caso por utilizar una aproximación primero en profundidad.

4.3. Estado del Arte - Métodos de Solución 125
Figura 4.4: Recorrido Ideal de 4 Trenes, cuyo horario se desea Programar tramo
1 tramo2 tramo3 estaciones
t2
1
P
t2
t
P 4 t 3 t t
tiempo
t t3
t t t3
3 3 4 t 4 t 4 t 4 t 2 t1 1
Figura 4.5: Arbol de Soluciones para la instancia P del problema OPT
Búsqueda Beam y el Problema OPT
Si modeláramos el problema OPT en función de los cruces, ordenados según el
instante de tiempo en que se producen, para la instancia ”P”del problema OPT
(Figura 4.4) se obtendría el árbol de búsqueda representado en la Figura 4.5.
Cada nivel k de este árbol representa al cruce que aparece en el tiempo en orden
k. Los nodos pertenecientes al nivel k representan a los trenes ti involucrados en
el cruce considerado en dicho nivel. Por ejemplo: en la instancia considerada en
la Figura 4.4 el cruce que se produce en el menor instante de tiempo es entre los
trenes t1 y t2. Por lo tanto en el nivel 1 del árbol existen dos nodos etiquetados t1
y t2 respectivamente. Seleccionar el nodo t1 significaría retrasar al tren t1 el tiempo
mínimo hasta que t2 libere el tramo 2. Si por el contrario se decide retrasar a t2
hasta que t1 libere el tramo 2, se deberá seleccionar el nodo t2 del árbol de búsqueda.
Cada vez que se resuelve un cruce por retrasar uno u otro tren, se comprueban

126 4. Revisión de Métodos para la Generación de Horarios
otras restricciones del problema y se actualiza el estado de la instancia del problema.
Así en la Figura 4.6a se observa el estado actualizado de la instancia del problema
luego de retrasar a t1 para resolver el cruce. En la Figura 4.6b se observa el estado en
el que quedaría la instancia considerada luego de retrasar a t2 para resolver el primer
cruce considerado. Es el estado actualizado el que se considera para determinar el
siguiente cruce a resolver.
tramo(a) En
12
tramo2 tramo3 estaciones
t
el cruce 1 espera el tren t1 t3
t4tiempo
1
t
tramo(b) En
11
tiempo 2
el cruce 1 espera el tren t2 tramo3 tramo2t
estaciones
El árbol de búsqueda correspondiente a la instancia del ejemplo determina siete
soluciones para la misma. Considerando como función objetivo el retraso promedio
de los trenes, en la Figura 4.6a se muestra la mejor solución obtenida, y en la
Figura 4.6b la peor solución para la instancia considerada. Como puede verse en
4 t 3 tt
este pequeño ejemplo la forma en que es resuelto cada cruce determina el estado en
el cual se encontrará una determinada instancia. Prever cuáles serán los siguientes
estados de una instancia a partir de una determinada decisión es un problema muy
complejo y con un alto costo computacional si uno desea predecir un escenario lo
más cercano al real.
estaciones
t(a) Solución Optima 4t4
t
1
t 4 t 3 t 2
1
t
tiempo
estaciones
t
2 t 4 t 3 t
2 3 t tiempo
1
t 3
t
(b) Peor Solución

4.3. Estado del Arte - Métodos de Solución 127
Es por ello que una búsqueda Beam en la cual el aspecto central es el proced-
imiento que decide qué nodos podar en cada nivel, es muy complejo de obtener en
el problema OPT a menos que se opte por un procedimiento menos complejo y se
arriesgue un porcentaje alto de optimalidad.
4.3.3. Búsqueda Local
En el trabajo de Higgins et al. [65] se propone una heurística de búsqueda local
(LSH). Antes de que la heurística sea aplicada se obtiene una solución inicial por
aplicar la técnica de branch and bound publicada en [64].
A partir de la solución inicial, se construye el conjunto CR = {CR1, CR2, ..., CRCO},
donde CRi, 1 ≤ i ≤ CO es la descripción de cómo el conflicto i ha sido resuelto,
CRi = {tren retrasado, tren con derecho a via, tramo donde se produce el conflicto
i}. Los conflictos de CR so numeran según el orden en el que aparecen en el tiempo;
CR1 es el primer conflicto y CRCO es el último.
La heurística LSH está basada en reemplazar repetidamente la solución actual
por una solución vecina mejorada. El vecindario de una solución se obtiene por
desplazar un conflicto y todos los adyacentes al mismo que además tengan un tren
en común. La selección de los conflictos para ser desplazados es realizada en el mismo
orden que aparecen en el tiempo. El nuevo vecindario es definido como sigue: cuando
se considera un conflicto particular (por ejemplo el conflicto c entre el tren de vuelta
i y el tren de ida j), existen cuatro posibles movimientos. Sea DR ⊂ CR el conjunto
de conflictos restantes del tren i además del conflicto c. Uno de los movimientos
consiste en mover cada uno de los conflictos en DR a una estación anterior, otro
de los movimientos sería mover cada uno de los conflictos en DR a una estación
posterior, y los dos movimientos restantes serían iguales, solo que para el tren j. Por
cada uno de estos movimientos se obtiene un vecindario. Se resuelve cada solución
vecina obteniendo el valor de la función objetivo. Si es mejor, reemplaza a la solución
actual.
En el trabajo de Isaai y Singh [68] se describe una heurística híbrida basada en
restricciones y una búsqueda Tabu para resolver el problema de scheduling sobre
una red de una sola línea, el cual está enfocado en encontrar soluciones rápidas
más bien que soluciones óptimas. Para analizar la calidad del scheduling durante

128 4. Revisión de Métodos para la Generación de Horarios
los experimentos se utilizan tres criterios. El primero es el Promedio del Tiempo de
Espera. Para evitar la desventaja de tener muy buenos horarios para algunos trenes
a cambio que otros tengan unos horarios muy malos, se ha utilizado el Promedio
de la Relación del Retraso de un tren con respecto a su tiempo de recorrido ideal.
La tercera función de costo toma en cuenta la importancia de cada tren asignando
un peso a cada uno. En el modelo de Isaai y Singh no se permite que dos trenes
que viajan en el mismo sentido ocupen un mismo tramo, el primero debe llegar a la
siguiente estación para que el siguiente tren pueda salir de la estación anterior. Es
decir solo se considera lo que hemos definido como tiempo de sucesión manual.
Isaai y Singh [68], [69], indican en su trabajo que el problema más grande resuelto
incluye 22 trenes, 51 estaciones, 10 tramos de vía doble y 62 conflictos en los tramos
de vía única. En los trabajos de Isaai se considera que los puntos inicial y final de
un tramo de vía doble es una estación con dos vías en donde en una de ellas un
tren puede apartarse y por la otra pasar un tren. Por lo tanto, si consideramos cada
tramo de vía doble como una abstracción de una estación con capacidad igual a
dos, en sus trabajos la relación de conflictos a estaciones es cercana a uno para el
problema más grande, y de 1:3 por estación en promedio.
En el trabajo de Cai y Goh [18] se considera una línea ferroviaria de largo
recorrido de vía única con varias estaciones dispuestas en forma fija a lo largo de la
línea, N trenes viajando en diferentes sentidos, cada uno con un instante de salida
inicial programado y tienen un instante de llegada máximo a sus respectivos destinos
que debe ser satisfecho. Se asume que en cada estación pueden estar a la vez a lo
sumo dos trenes. El posible cruce entre dos trenes en un tramo de vía única puede
ser gestionado únicamente en estaciones, lo cual consiste en detener a uno de los
trenes involucrados un tiempo mayor al de su parada programada en la estación
que corresponda. El problema consiste en asignar un horario factible de acuerdo a
las restricciones de cruce, alcance e instante de llegada a cada tren minimizando el
costo total debido a los retrasos resultantes de las paradas no programadas para
evitar cruces entre trenes que viajan en sentido opuesto.
La variable entera ξik es definida por
⎧
⎨ 1 si el tren i para en la estación k
ξik =
⎩ 0 si el tren i no para en la estación k
Se dice que el conjunto de variables enteras ξik es factible si el schedule resultante

4.3. Estado del Arte - Métodos de Solución 129
es factible con respecto a las restricciones de cruce y al número de trenes que puede
haber en cada estación en un mismo instante de tiempo.
Las velocidades de todos los trenes viajando en un mismo sentido son iguales
en los tramos comunes. La primera y la última estación son terminales especiales
que pueden mantener tantos trenes como haga falta. Ningún tren puede retroceder,
es decir todos los trenes siguen un determinado sentido desde su estación inicial
hasta su estación final, y no pueden cambiar de sentido durante su recorrido. El
recorrido de todos los trenes está compuesto por el mismo conjunto de estaciones.
Aunque, existen trenes que las recorren en un sentido y otros que las recorren en
el sentido inverso. Debido a que la velocidad de todos los trenes es la misma en
todos los tramos y que además todos recorren el mismo conjunto de estaciones no
es posible que exista adelantamientos, por lo tanto la complejidad del problema se
reduce considerablemente.
Cada conflicto se resuelve de la siguiente manera. Dado dos trenes i y j que
requieran utilizar un mismo tramo de vía única en un mismo instante de tiempo, se
calcula el tiempo que deberá permanecer i en la estación que inicia el tramo según su
recorrido, y el tiempo que deberá esperar j en la estación que inicia el tramo según
su recorrido, de tal forma que no se produzca el cruce entre ellos. Se selecciona aquel
tren cuya parada sea menor.
En el caso que más de dos trenes tengan un conflicto en el mismo tramo se
selecciona el grupo de trenes de un sentido que deberá pasar primero según el mismo
criterio pero en este caso se suman las paradas de todos los trenes participando en
el conflicto por sentido.
Carey señala en [23] que la estrategia básica consiste en seleccionar el camino
que seguirá cada tren a través de la red ferroviaria y asignarle un horario en dicha
ruta tren a tren. Para ello se resuelve el problema de programación entera lineal
un tren a la vez. Esto es, se fija el orden establecido para los trenes seleccionados
previamente sin fijar su horario. Se introducen las variables enteras correspondientes
a las restricciones que involucran al tren, cuyo camino y horario se desea hallar, pero
el resto de variables enteras correspondientes a trenes seleccionados previamente
son incluidas como constantes. El método que utiliza Carey para resolver el modelo
descrito en [22] es el mismo que el utilizado en [23] con la diferencia que en [22] se
debe impedir que dos trenes con sentido opuesto utilicen un mismo enlace al mismo

130 4. Revisión de Métodos para la Generación de Horarios
tiempo (cruce).
Análisis
En el caso de la aproximación presentada por Higgins et al. se propone modificar
un horario en cada iteración por cambiar la forma en que se resuelven determinados
cruces, que se seleccionan en el mismo orden que aparecen en el tiempo. En un prob-
lema de programar horarios para trenes en una línea ferroviaria con tramos de vía
única, la diferencia entre dos resultados radica en la forma en que los cruces fueron
resueltos. Por lo tanto, lo que se busca es la mejor combinación, tren espera, tren
pasa primero, tramo en cada gestión de cruce durante la programación. Esta aproxi-
mación propone ir probando diferentes alternativas por cada conjunto de cruces (un
tren en común, cruces adyacentes). En el caso del problema OPT, donde el número
de cruces es muy elevado llevar a cabo esta aproximación puede suponer emplear un
tiempo de computo elevado hasta encontrar una buena combinación. Consideramos
que es necesaria una heurística más guiada por la función objetivo para determinar
cual es la mejor combinación.
En el caso del trabajo presentado por Cai y Goh, el objetivo principal es obtener
una programación de horarios buena en el menor tiempo posible. Para ello utilizan
una heurística que se basa únicamente en la gestión de cada cruce, sin tener en
cuenta, las decisiones previas ni predicción alguna sobre decisiones futuras. Esta
aproximación genera una única solución. El inconveniente de la misma es que existe
una alta probabilidad de que la decisión realizada sea la mejor para el cruce actual,
pero genere una programación posterior cuyas paradas técnicas sean mucho mayores
a las realmente necesarias.
El trabajo presentado por Carey está centrado en decidir, cuál es la mejor com-
binación de líneas para cada tren en una red ferroviaria. El horario de cada tren se
halla por fijar el ordenamiento de los trenes precedentes y únicamente dejar libre las
variables enteras correspondientes al tren actual. En el problema OPT esto implica
que si un tren tiene prioridad en el uso de un determinado tramo tanto frente a
trenes que viajan en el mismo sentido como frente a trenes que viajan en sentido
opuesto, tendrá también prioridad sobre todo los tramos siguientes de su recorrido.
Con esta aproximación muchas soluciones no podrán ser probadas y por lo tanto es

4.3. Estado del Arte - Métodos de Solución 131
muy probable que buenas soluciones se pierdan.
4.3.4. Algoritmo de Descomposición
Brucker y Strotmann [15] modelan el problema por medio de un grafo disyuntivo.
A partir de dicho grafo se construyen las llamadas áreas locales, es decir un sub-
conjunto de vértices y arcos del grafo completo. Si se alcanza una solución factible
para cada área local, el coordinador construye un grafo para verificar la factibilidad
global. De ser así, una solución es encontrada. En caso contrario el coordinador im-
pone restricciones adicionales a las áreas locales y se repite el proceso hasta que una
solución sea alcanzada.
Análisis
En el trabajo presentado por Brucker y Strotmann [15] se considera una red
ferroviaria. En una red ferroviaria el tráfico en cada línea puede ser considerado en
forma independiente, siendo el instante de llegada a cada punto de unión o nodo de
enlace, los instantes que se deben buscar que minimicen el tiempo de transbordo en
el caso que sean líneas conectadas. En nuestro caso se busca el horario de un conjunto
de trenes en una determinada línea ferroviaria. Por lo tanto es posible descomponer
este conjunto de horarios en partes, aunque en la mayoría de las instancias consid-
eradas supondría por otro lado un esfuerzo al juntar las partes y comprobar si la
factibilidad local continua existiendo. Considero que al utilizar un único procesador
para resolver cada parte del conjunto de horarios se produce un menor esfuerzo com-
putacional por cada parte, sin embargo estas partes no son computadas en forma
paralela, sino en forma secuencial. Además es muy difícil que el resultado obtenido
por cada parte al ser combinado con el resto siga siendo un resultado factible, ya
que en una instancia real el horario de un tren está estrechamente conectado con
el horario de uno o más trenes que utilizan los mismos recursos en un intervalo
de tiempo parecido al del primero. Luego, al tiempo computacional empleado en
resolver cada parte, debe sumarse el tiempo requerido para hacer que cada parte
factible forme un todo factible. Todo este trabajo es necesario para obtener una
solución, si además consideramos que estamos buscando optimizar un resultado, es
muy importante que cada solución sea obtenido de la forma más eficiente posible.

132 4. Revisión de Métodos para la Generación de Horarios
En este caso esta aproximación no presenta dicha característica.
4.3.5. Algoritmo Genético
Otra de las aproximaciones utilizadas para resolver problemas relacionados a la
programación de horarios de trenes son los algoritmos genéticos. Los algoritmos evo-
lutivos constituyen una estrategia adecuada especialmente para problemas CSOP,
como es el caso de los problemas de scheduling, en los que se trata de asignar tiem-
pos de inicio a un conjunto de tareas que están sujetas a una serie de restricciones
temporales, de forma que se minimice alguna medida regular de rendimiento, es
decir, una función no decreciente en el tiempo de finalización de las tareas, Vela et.
al [1].
Para resolver CSPs generales existen algoritmos genéticos genéricos que utilizan
codificaciones binarias, o bien decodifican directamente los valores de las variables
en los cromosomas. Para el caso particular de los problemas de scheduling, se suelen
utilizar algoritmos genéticos con características diferentes a los algoritmos genéticos
genéricos. Por ejemplo no resulta eficiente codificar directamente los valores de las
variables, dado que los dominios son en general muy grandes, incluso infinitos en
algunos casos, con lo que se realizaría una búsqueda en un espacio de soluciones
potenciales mucho mayor del que en la práctica resulta necesario[1]. A continuación
veremos algunos ejemplos de cómo se codifican ciertos problemas para posterior-
mente resolverlos mediante la utilización de un algoritmo genético.
Nachtigall y Voget [92] consideran una red ferroviaria servida periódicamente
donde todos los trenes llegan y salen cada cierto intervalo de tiempo. Compilar ho-
rarios con pequeños tiempos de espera para cambio de pasajeros en puntos de unión
específicos conduce a un ”programa periódico”. En este artículo se dice que méto-
dos de solución exacta (Branch and Bound Nachtigall [91]) a programas periódicos
son únicamente aplicables a problemas de tamaño pequeño. Consideran una red
ferroviaria servida periódicamente dada por un sistema ℓ = L1, ..., Lr de r líneas.
Por una línea entendemos un servicio de transporte donde todos los trenes pasan
por una determinada secuencia de estaciones a intervalos de tiempo constantes y
fijos. Por simplicidad se asume que todas las líneas son servidas con un intervalo de
tiempo común o periodo τ y que el tiempo de recorrido y de parada de todos los

4.3. Estado del Arte - Métodos de Solución 133
trenes pertenecientes a Li están fijados. Así, el scheduling de la línea Li es realizado
completamente por fijar un instante de salida de la estación inicial a un punto de
tiempo πi. Si asumimos una conducta periódica con horizonte infinito, entonces en
cada instante πi + zτ(z ∈ Z) un tren número z de la línea Li empezará su recorrido.
El uso de algoritmos genéticos para el problema abordado es motivado por las
siguientes propiedades:
Para una solución determinada π, la suma con pesos de los tiempos de espera
W (π) puede ser computada rápidamente.
W es una función discontinua.
la restricción 0 ≥ π ≤ τ produce una codificación natural del espacio de
búsqueda.
Los algoritmos de optimización estocástica usualmente necesitan muchas llamadas
de la función objetivo. Especialmente los algoritmos genéticos producen nuevas solu-
ciones las cuales no están en el entorno de los padres. En este caso ninguna informa-
ción acerca del objetivo está disponible para el cálculo del objetivo del hijo. Además
ninguna información acerca de derivados son necesarios porque el paso de produc-
ción mezcla aleatoriamente partes de diferentes soluciones. Este proceso depende
sensiblemente de la codificación del espacio de búsqueda. Se empieza con un con-
junto de 150 individuos desde el espacio de búsqueda Π = {π ∈ Z r |0 ≥ πi ≤ τ − 1}
llamado la población. Tomando la población como una generación inicial se produce
nuevas generaciones iterativamente en la siguiente forma
Desde la generación con número t (Pt) se elige primero aleatoriamente dos
pares de vectores π1 y π2. Tomando cada coordenada separadamente y con
igual probabilidad desde el vector padre 1 o desde el vector padre 2 se con-
struye un nuevo vector πchild.De esta forma diseñamos π offspring
t
soluciones.
de 150 nuevas
Estos individuos son alterados por pequeñas mutaciones. Esto es hecho por
cambiar la coordenada de cada miembro de π offspring
t
probabilidad.
Se seleccionan de los dos conjuntos Pt y P offspring
t
para constituir la población Pt+1
con una determinada
los mejores 150 individuos

134 4. Revisión de Métodos para la Generación de Horarios
Se utiliza como criterio de parada el número de generaciones o un tiempo de
computación límite.
Dadas r líneas, el objetivo de este trabajo es encontrar un instante de salida para
cada línea que minimice el tiempo de espera global de los pasajeros en aquellas
estaciones que son utilizadas como estaciones de cambio entre una línea y otra.
Inicialmente se selecciona aleatoriamente un instante de salida para una de las
líneas cualquiera, elegida arbitrariamente. La siguiente línea cuyo instante de salida
será calculado es seleccionada de tal forma que tenga la mayor dependencia con
el resto de las líneas seleccionadas, y el instante de salida es seleccionado de tal
forma que minimice el tiempo de espera global teniendo en cuenta las líneas selec-
cionadas hasta ese momento. Para las siguientes iteraciones es utilizado un algoritmo
genético. Donde cada individuo es un vector de r instantes de salida, la población
inicial cuenta con 150 individuos. La población inicial es generada con el algoritmo
greedy, Nachtigall y Voget [92]. El resto de generaciones es producida mediante el
cruce, mutación y reducción propios de los algoritmos genéticos.
Este método no explica la forma en que realiza el scheduling de los trenes
pertenecientes a una línea r. Dado un instante de salida para el tren en la línea
r no indica cómo se calcula el horario del tren dentro de r ni las restricciones que
son tenidas en cuenta en cada línea de las r consideradas.
Otro trabajo que utiliza algoritmo genético es el presentado por Higgins et.
al [65]. En este trabajo cada gen de un individuo representa a un conflicto, el cual
está definido por los siguientes atributos: tren que se retrasa, tren que utiliza primero
el tramo, tramo por el cual compiten ambos trenes. Se genera la población inicial
con un tamaño P O. Cada individuo de la población inicial es una solución, la cual
es generada por resolver de forma aleatoria los conflictos según el orden en el que
aparecen en el tiempo. Se proporciona a cada tren involucrado en un conflicto una
determinada probabilidad de ser retrasado.
A cada solución k de una población se le proporciona una probabilidad fk P de
k
fk
ser seleccionada, donde:
Zk es el valor de la función objetivo correspondiente a la solución k,
Cmax = max(Zk), y
fk = (Cmax − Zk) λ , λ = 2.

4.3. Estado del Arte - Métodos de Solución 135
De la población correspondiente a la generación actual se seleccionan P O/2
individuos basándose en la probabilidad de selección de cada individuo. Se lleva
a cabo la mutación sobre las soluciones seleccionadas. Posteriormente se aplica el
operador de cruce. Son eliminados los hijos duplicados y son resueltos los conflictos
generados no existentes en la generación origen. Por cada solución se evalúa la
probabilidad de selección de acuerdo al valor de la función objetivo asignada a cada
solución. Este conjunto de soluciones pasa a ser una nueva generación para la cual
se repite el mismo procedimiento.
El procedimiento finaliza una vez que no se observe un mejoramiento sustancial
en el fitness individual.
Higgins et. al [65] utilizan un algoritmo genético para resolver el problema de
asignación de horarios en una línea ferroviaria con vía única. Los genes representan
la estructura de un conflicto resuelto, y aparecen en el cromosoma en el mismo
orden que aparecen los conflictos en el tiempo. Esta representación tiene algunos
problemas tales como: no todos los cromosomas tienen la misma longitud (en algunas
soluciones hay mayor cantidad de conflictos que en otras), al realizar la operación de
cruce pueden generarse hijos no factibles, por lo tanto a ese hijo debe reemplazarlo
uno de los padres, pueden existir genes duplicados, ya que al realizar la operación de
cruce, pueden venir tanto del padre como de la madre el mismo gen, en este caso se
elimina uno de los genes del cromosoma. Pueden aparecer nuevos conflictos, en este
caso estos son resueltos por retrasar el tren cuya parada técnica sea menor. El gen
que representa el conflicto resuelto debe ser incluido en el cromosoma en el lugar
apropiado según el orden en el que aparece en el tiempo.
La población inicial se genera por identificar los conflictos y resolverlos en el
mismo orden que aparece en el tiempo de forma aleatoria. A cada tren i y j que
participa en el conflicto por el tramo p se le asigna una probabilidad P R p B
i,j = A+B de
ser retrasado A y B son los retrasos que tendrían el tren i y el tren j si son retrasados
para que el otro ocupe primero el tramo p, respectivamente. De esta forma se generan
N soluciones iniciales que formarán la población inicial del algoritmo genético. Como
operador de cruce se utiliza el cruce de un punto con una probabilidad de 0.7. La
mutación se lleva a cabo con una probabilidad de 0.01. Cuando se realiza la mutación
de un gen (descripción de un conflicto) el autor aconseja modificar también los genes
relacionados con el primero, es decir que representen a los conflictos con un tren en

136 4. Revisión de Métodos para la Generación de Horarios
común, ya que se vio que hay mejoras cuando no se cambia solamente un conflicto
sino todos los adyacentes al mismo. Una vez obtenida la población descendiente,
sobre esta población se lleva a cabo la operación de selección para ver cuáles de estos
cromosomas pasarán a formar parte de la nueva generación. Esta selección se realiza
en forma aleatoria, asignando a cada cromosoma una probabilidad determinada de
selección.
Kwan y Mistry [78], describen otra aplicación de algoritmo genético. Consideran
como marco de trabajo una simplificada red ferroviaria del Reino Unido. Distinguen
entre dos tipos de horarios, según la etapa en la que se realicen, Horarios de Plan-
ificación y Horarios Operacionales. El primer tipo corresponde a la etapa inicial
en la cual la compañía encargada de la infraestructura estudia las ofertas de com-
pañías operadoras y propone una planificación inicial, en donde un gran número
de restricciones aún son ignoradas. El segundo tipo de horario es obtenido después
de varias etapas de refinamiento y resolución de conflictos del Horario de Planifi-
cación. El trabajo de Kwan y Mistry consiste en un método para obtener Horarios
de Planificación.
El método que proponen consiste en generar 3 poblaciones. Cada una de ellas
evolucionará según el paradigma de los algoritmos genéticos. Para producir una
solución se combinarán un individuo de cada una de las poblaciones, razón por
la cual denominaron al método Algoritmo Co-evolutivo. Las poblaciones represen-
tan instantes de salida inicial de cada tren Pd, tiempos de recorrido de cada tren
por tramo Pp, y ocupación de cada estación del recorrido Pc, respectivamente. Los
cromosomas de la población Pd consisten en un número entero, que representa la
cantidad de 30 segundos (unidad de tiempo básica) que caben en el instante de
tiempo que representan. El cromosoma de la población Pp está formado por una se-
cuencia de ceros y unos. Existen tantos ceros y unos como número de tramos exista
en el recorrido del tren. El valor 0 indica que se utiliza en el tramo, el mínimo tiempo
de recorrido posible, y un valor 1 indica que se utiliza en el tramo el máximo tiempo
de recorrido posible. El cromosoma de la población Pc también es una secuencia de
ceros y unos. En este caso dos, indicando, por cada estación del recorrido, si la vía
está ocupada (1) o no (0).
Se formulan dos tipos de restricciones, duras y blandas. Forman el primer grupo:
respetar un mínimo tiempo de sucesión, no exceder el número de vías en una estación

4.3. Estado del Arte - Métodos de Solución 137
con la ocupación simultánea de los trenes, y evitar alcance entre dos trenes que
viajan en el mismo sentido. El segundo grupo de restricciones, las restricciones
blandas consisten en: partir/llegar de la estación inicial/final en un instante de
tiempo perteneciente a un determinado intervalo, llegar a determinadas estaciones
dentro de un intervalo de tiempo que minimice el tiempo de espera de los pasajeros
para realizar conexiones, establecer una determinada frecuencia de salida en las
estaciones con parada comercial.
La función objetivo consiste principalmente en cumplir todas las restricciones
duras, para ello se le asigna una penalización de incumplimiento a dichas restric-
ciones. El objetivo es minimizar este valor. Además de este criterio se utiliza también
el fitness producido por la solución obtenida al combinar individuos de las 3 pobla-
ciones.
El algoritmo co evolutivo consiste en utilizar por cada individuo de la población
Pd un individuo de Pp y un individuo de Pc. Posteriormente calcular la función obje-
tivo. El operador genético utilizado para evolucionar los individuos de la población
Pd es el de mutación conocido como Evolution Estrategy (ES), Hansen y Ostermaier
[60], [95]. Para la evolución de las dos poblaciones restantes Pp y Pc se utiliza el
algoritmo genético básico de Goldberg, [54].
4.3.6. Búsqueda Tabú
Como con los métodos de búsqueda local, la heurística Tabu Search general,
Glover y Talliard [51], [53], está basada en el establecimiento de movimientos que
transformen una solución actual en una solución de su vecindario. Esta heurística
escapa del óptimo local por permitir movimientos de no mejora cuando ningún
movimiento de mejora está disponible.
En el trabajo de Higgins et. al [65], a cada movimiento se le asocia una prob-
abilidad en términos de la posibilidad de mejora. La diversificación es utilizada en
búsqueda tabú para forzar la búsqueda en un camino diferente, evitando así buscar
en una misma región por mucho tiempo, porque existe la posibilidad de que sea
una región donde solo existan soluciones pobres. Se aplica diversificación después
de T iteraciones en la cual se escoge una de las mejores soluciones obtenidas hasta
ahora y se reemplaza por esta la solución actual. La diversificación a largo plazo se

138 4. Revisión de Métodos para la Generación de Horarios
lleva a cabo por evitar repetir movimientos a largo plazo. Una forma de hacerlo es
penalizar la función objetivo de la siguiente forma Z∗ = Z + fq t v × Z × CONST
donde fq t v es el número de veces que aparece el movimiento v hasta la iteración t.
Como un resultado de experimentación fue seleccionado el valor 0.01 para CONST.
Movimientos que crean soluciones no factibles son descartados. Si aparecen nuevos
conflictos en una solución vecina estos son resueltos por retrasar el tren que pro-
duce menor parada técnica. La heurística TS finaliza cuando el número máximo de
iteraciones es alcanzado.
En el trabajo presentado por Nõu [94] se presentaron diferentes alternativas para
generar soluciones factibles. Una de ellas fue aplicar una búsqueda tabú al problema
de hallar diferentes combinaciones de trenes que deberían esperar en cada conflicto
a ser resuelto.
Algoritmos Híbridos: GA + LSH
Higgins et. al [65] proponen modificar un cinco por ciento de las mejores pobla-
ciones de una generación utilizando la heurística LSH explicada en [65]. Con esto
el autor pretende eliminar uno de los puntos negativos del algoritmo genético prop-
uesto en [65], que era que converge más lentamente a una buena solución aunque
escapa con mayor frecuencia del óptimo local. Esta modificación se realiza después
de aplicar el operador de cruce.
Algoritmos Híbridos: GA + TS
En [65] se aplica la heurística TS al realizar la operación de cruce. Se elige uno
de los padres utilizando la probabilidad de selección asignada a cada cromosoma
pero el otro padre se elige de tal forma que el hijo resultante no sea un miembro de
la lista tabú.
Análisis de los Algoritmos de Mejora
Los algoritmos de mejora son procedimientos de búsqueda local que en cada
iteración modifican la solución actual buscando mejorarla, en cuyo caso reemplaza
a la solución actual. Consideramos que los algoritmos de mejora pueden producir

4.3. Estado del Arte - Métodos de Solución 139
mejores resultados en la búsqueda de soluciones que los algoritmos que utilicen
únicamente heurísticas guiadas por decisiones tomadas en forma local. Estos al-
goritmos permiten explorar el espacio de soluciones de una forma no determinista
permitiendo además con menor probabilidad seleccionar soluciones de una región
poco prometedora, en cuanto a heurísticas locales se refiere. Como principal incon-
veniente podríamos apuntar que luego de haber realizado algunas pruebas, estos
algoritmos codificados para el problema OPT ofrecen una convergencia más lenta que
otros métodos heurísticos implementados. Otro de los inconvenientes al aplicar este
tipo de algoritmos consiste en que puede dar lugar a un gran número de soluciones
que se repitan en diferentes iteraciones. Por lo tanto, al aplicarlos sería muy conve-
niente encontrar una forma de evitar estas repeticiones, para que el tiempo empleado
en resolver cada configuración sea utilizado para explorar diferentes soluciones y no
malgastado en generar una misma solución que ya fue analizada previamente.
En el caso del problema OPT, cada cromosoma de un individuo estaba formado
por el par (tren, tramo). Se realizaba la verificación de restricciones de un tren en un
tramo en el mismo orden dado por los cromosomas. Cuando aparecía un conflicto,
este era resuelto dando prioridad en el tramo a aquel tren cuyo par (tren, tramo)
aparecía primero en el cromosoma. El schedule vecino, o la siguiente generación
de individuos era obtenida por modificar este orden, de tal forma que se respetara
siempre la precedencia entre los tramos pertenecientes al recorrido de un mismo
tren.
En el caso de la búsqueda tabú el vecindario de un schedule puede estar formado
por más de un schedule vecino, en ese caso el procedimiento que selecciona el sigu-
iente schedule candidato es muy importante, ya que eso determinaría la rapidez con
que se llegue a una solución lo suficientemente buena a partir del schedule inicial. Es
muy importante incorporar en cada uno de los procedimientos utilizados para crear
vecindario, seleccionar candidato y aceptar/rechazar candidato respectivamente, el
conocimiento suficiente acerca del problema y de la función objetivo considerada, de
tal forma a guiar adecuadamente a los procedimientos que determinan las regiones
del espacio de soluciones que serán exploradas.

140 4. Revisión de Métodos para la Generación de Horarios
4.3.7. Problema de Scheduling de Eventos Periódicos
El Problema de programar eventos periódicos (Periodic Event Scheduling Prob-
lem - PESP) es definido como sigue:
Dado:
un conjunto finito N de n eventos periódicos
un conjunto finito A de restricciones periódicas
encontrar un schedule τ(ε) ∈ Φ, para todo ε ∈ N satisfaciendo todas las restricciones
periódicas en A
La presencia de recursos puede complicar el carácter periódico del problema de
programación ya que pueden existir diferentes periodos mT (m ∈ Z) que deben ser
tenidos en cuenta simultáneamente. Por ejemplo, spans del tipo [d − , d + ]mT pueden
estar presentes en el modelo.
Se puede definir el problema extendido de programación de eventos periódicos
de la siguiente forma:
Dado:
un periodo T;
una red (N, A);
enteros positivos m(a), ∀a ∈ A;
spans reales D(a, Z), ∀a ∈ A, ∀z ∈ Z donde D(a, z) = [d − + m(a)zT, d + +
m(a)zT ] también denotado como D(a, z) = [d − , d + ] m(a)T ;
el objetivo es encontrar un potencial µ tal que υ(a) ∈ D(a, z(a)) para alguna z ∈ Z,
para todo a ∈ A. Luego τ(ε) = µ(ε) mod T
Un evento periódico ε es un conjunto de eventos contablemente infinito e(p)
indexado por p ∈ Z, los cuales ocurren en los instantes de tiempo t(e(p)) ∈ R, tal
que por cada p, t(e(p))−t(e(p−1)) = T (Z representa al conjunto de números enteros
y R al conjunto de números reales). T es referido como el periodo y e(p) como la
ocurrencia número p del evento periódico ε. También es definido t(ε) := t(e(p)) mod
T .

4.3. Estado del Arte - Métodos de Solución 141
Una restricción periódica a es una relación que involucra un par ordenado de
eventos periódicos (ε − (a), ε + (a)) y un span propio △(a), requiriendo que (τ(ε + (a))−
τ(ε − (a))) ∈ △(a).
Serafini y Ukovich, [109], proponen un algoritmo para resolver problemas mod-
elados mediante el P ESP . El objetivo del algoritmo es hallar una solución factible
al problema. No tiene en cuenta ninguna función objetivo. Los autores hacen no-
tar que es un algoritmo general, por lo tanto puede ser modificado de tal forma
que tenga en cuenta características o conocimientos del problema particular que se
está modelando para obtener mejores resultados en cuanto a eficiencia se refiere.
Christian Liebchen y Leon Peeters, [84], han publicado un trabajo en el cual
utilizan el modelo P ESP para representar el problema de programación de horar-
ios en una red periódica. Específicamente el modelo utilizado es un digrafo en el
cual restricciones temporales sobre los arcos relacionan periódicamente a eventos
recurrentes. Los métodos de solución están comúnmente basados en programación
entera; el número de variables enteras es igual a número ciclomático del digrafo.
En la programación de horarios la mayor pregunta es cómo ordenar las líneas que
comparten un tramo común. En el trabajo de Liebchen y Peeters se muestra que en
este contexto se puede podar vectores enteros no factibles por agregar únicamente
muchas restricciones en forma polinomial. Otro punto de interés considerado por el
trabajo de Liebchen y Peeters es no construir horarios, que por conseguir tiempos
de espera cortos para los pasajeros, requieran de una elevada cantidad de material
rodante(trenes) para llevar a cabo tal programación.
Análisis
Los problemas de programación horaria considerados en la literatura y modela-
dos con el PESP tienen en cuenta únicamente trenes del mismo tipo, viajan a una
misma velocidad promedio y con una determinada frecuencia de salida. La progra-
mación horaria se repite en cada uno de los periodos de tiempo especificados. El
modelo debe ser modificado para modelar restricciones disyuntivas necesarias para
evitar los cruces, alcances, ocupación excesiva de una dependencia, etc. Los proble-
mas vistos en la literatura modelados por el PESP y resueltos mediante heurísticas
que eliminan gran parte de las variables enteras, son problemas que se centran en

142 4. Revisión de Métodos para la Generación de Horarios
minimizar el tiempo de espera de los pasajeros y en la cantidad de intercambio de
vehículos en las estaciones comunes a dos líneas ferroviarias. Nuestro problema se
diferencia en que tenemos en cuenta una sola línea en la cual pueden existir difer-
entes tipos de trenes con diferentes recorridos, es requerido agregar un grupo de
trenes que pueden ser de diferentes tipos resolviendo una serie de conflictos entre
los nuevos trenes y los que se encuentran en circulación. La periodicidad no es im-
prescindible en todos los casos y en OPT se consideran restricciones como cierre de
estaciones, o bandas de mantenimiento, que no pueden ser modeladas por el PESP
por que impiden el patrón periódico requerido por dicho modelo.
4.3.8. Heurísticas para Job Shop y el Problema OPT
En esta sub sección se proporciona un análisis de algunas heurísticas propias de
un Job Shop aplicadas al problema OPT.
Desplazar el Cuello de Botella y el problema OPT
En la Figura 4.6 se muestra una instancia del problema OPT en la cual se desea
planificar el horario de 4 trenes en una línea ferroviaria formada por tres tramos,
todos de vía única.
estaciones
Figura 4.6: Makespan mínimo para una instancia del problema de programación de
horario para trenes makespan tiempo
tramo2 tramo3
1 1 t 2 t
3 t tramo 4
Hemos considerado que cada tren representa un trabajo (j1, j2, j3, j4), cada
t

4.3. Estado del Arte - Métodos de Solución 143
tramo visitado por un tren una actividad correspondiente a dicho trabajo (aij rep-
resenta que el tramo i es visitado por el tren j) y que cada tramo representa una
máquina. Al aplicar la heurística, la primera máquina seleccionada es la máquina
2 (tramo 2 en la Figura 4.6) y el orden en el cual debe ser utilizada por las activi-
dades es a22, a21, a24, a23. En la Figura 4.7 se observa como aumenta el makespan
con respecto a la Figura 4.6 debido a la espera que debe realizar el tren 3 hasta que
el tramo 2 sea liberado por el tren 4. Sin embargo en el problema OPT el makespan
dado por este orden realmente sería mayor, ya que un tren no puede utilizar un
tramo en el mismo instante que otro deja de utilizarlo, debe esperar un tiempo al
cual se denomina margen de seguridad. Estos márgenes de seguridad necesarios son
señalados en la Figura 4.8 como recepción y expedición. Siendo así, en la Figura
4.7 el margen de seguridad entre el tren 3 y el tren 4 es insuficiente por lo que el
tren 3 debería esperar en la estación previa aumentando así considerablemente el
makespan.
Figura 4.7: Primera máquina seleccionada con un orden determinado de operaciones makespan tiempo
tramo2 tramo3
1 1 t 2 t
3 t tramo 4 estaciones
Otros aspectos que se deben incorporar a la heurística si esta se utiliza para
t
resolver una instancia del problema OPT son:
Capacidad finita de las estaciones. Cuando un tren espera en una estación
que el siguiente tramo sea liberado se debe tener en cuenta el número de
vías disponibles en dicha estación en ese instante de tiempo. Si la estación no
dispone de vías en el instante considerado, el tren debe realizar la espera en la

144 4. Revisión de Métodos para la Generación de Horarios
tramo3 1 2 3 4 estaciones
Figura 4.8: Makespan modificado cuando se considera márgenes de seguridad
exp t recepciónedición tramo2 t t makespan t tiempo tramo
primera estación previa según su recorrido, en la que exista por lo menos una
1
vía disponible.
La capacidad de un tramo puede variar por intervalos de tiempo debido a
operaciones de mantenimiento que también deben ser consideradas. Un tramo
de vía única puede quedarse sin vías a efectos de circulación o un tramo de
vía doble convertirse en un tramo de vía única.
Los trenes que viajan en el mismo sentido pueden estar visitando un mis-
mo tramo en un mismo instante de tiempo. Es decir dos actividades pueden
utilizar una misma máquina. Esto ocurre en el caso de tramos cuyo tipo de
bloqueo no es manual, sino automático, lo cual solamente requiere que exista
una determinada diferencia temporal entre uno y otro tren, pero no impide
que ambos se hallen en el mismo tramo al mismo tiempo.
También es importante notar que la solución entregada por la heurística es única
y no tiene por qué ser la óptima ya que para decidir el orden en una máquina no se
tiene en cuenta el resto de máquinas.
El costo computacional también puede ser muy elevado para problemas reales,
ya que se requiere: calcular el orden en el cual una máquina será utilizada, una vez
seleccionada la siguiente máquina con un orden establecido es necesario recalcular
por cada máquina ya seleccionada previamente un nuevo orden teniendo en cuenta
la máquina que se acaba de agregar. En el caso de instancias del problema OPT

4.3. Estado del Arte - Métodos de Solución 145
el construir un horario puede implicar operaciones de backtracking para satisfacer
restricciones sobre capacidad en estaciones, horarios de cierre, y otros. Generalmente
en una instancia del problema OPT existen 30 trenes a planificar y unos 50 cruces
por gestionar.
Reglas de Procesamiento y el Problema OPT
Las reglas de procesamiento que han sido revisadas toman decisiones basándose
en aspectos locales en cuanto a las operaciones que requieren una máquina y a
la máquina misma. Además debido a la forma determinista en la que estas reglas
asignan prioridades, la aplicación de las mismas conduce a una única solución para
cada instancia de un problema. En el caso del problema OPT, no puede obtenerse
mediante un algoritmo polinomial una solución óptima, entonces se prefiere obtener
en un periodo corto de tiempo varias soluciones y seleccionar entre estas aquella que
mejor satisfaga el criterio de calidad considerado.
Tanto las reglas de procesamiento básico como las reglas de procesamiento com-
puesto se basan en la situación local que existe en el momento de hacer un orde-
namiento. Esto podría ser útil si no se aplicaran las reglas en forma determinista, ya
que lo que puede ser muy bueno para la situación local que se considera, puede traer
consecuencias muy negativas a las situaciones posteriores en las que vaya cayendo
la instancia del problema.
Podemos decir que debido al costo computacional y espacial que supone prever
las consecuencias de cada elección, es muy difícil utilizar reglas procesamiento global,
por lo tanto se desea obtener un procesamiento que utilice el conocimiento anterior
y presente en forma probabilística.
4.3.9. Técnicas CSP y el Problema OPT
En el capítulo 2 se describieron algunas de las técnicas que se utilizan para hallar
soluciones a problemas formulados como un CSP. En esta sub sección indicamos
ciertas características de la aplicación de estas técnicas al problema OPT.

146 4. Revisión de Métodos para la Generación de Horarios
Backmarking
La existencia de backtracking en un algoritmo implica que una misma variable
puede ser instanciada más de una vez. La técnica Backmarking ha sido propuesta
por Gaschnig [46] para evitar verificaciones redundantes cada vez que se instancia
una variable, valiéndose de un recuerdo de instanciaciones previas sobre la misma.
Para ello se utilizan dos tablas, M y low. En la primera existen entradas por cada
variable y por cada uno de los valores de su dominio. En la segunda existe una
entrada por cada variable. En Mi,v se almacena j si la variable xj fue la variable
más temprana en el ordenamiento con la cual xi = av produjo un conflicto. En
la entrada lowi se almacena la variable más temprana modificada desde la ultima
instanciación de xi. Cuando se requiere instanciar la variable xi se descartan todos
los valores av de su dominio, tales que Mi,v < lowi.
Para resolver el problema OPT es necesario utilizar backtracking para resolver
incumplimientos a ciertas restricciones. Aunque consideramos que es necesario uti-
lizar una técnica que evite repetir verificaciones porque se puede conocer de ante
mano su resultado, basándose en instanciaciones previas, también consideramos que
será necesario modificar la técnica de backmarking para poder aplicarla más eficien-
temente al problema OPT. Las modificaciones consisten principalmente en la forma
de almacenar aquellos valores que incumplen determinadas restricciones para ahor-
rar espacio en memoria y en la forma de retroceder cuando se produce un dead-end
durante la instanciación de una variable. A continuación detallamos esas modifica-
ciones incluidas en el procedimiento de resolución de OPT.
Para ahorrar espacio se podría utilizar una lista dinámica por cada variable
xi, en donde se mantengan aquellas variables xj, j > i cuyos valores tuvieron que
ser modificados para ser consistentes con xi. Cuando el valor de xi es modificado,
únicamente las variables xj son instanciadas con valores av menores a los valores que
actualmente poseen, ya que podría ser que dichos valores anteriormente no factibles
a causa de xi sean ahora factibles, ya que xi fue modificada. Por el tipo de problema
que consideramos, un valor menor factible sería mejor, ya que se busca disminuir el
tiempo total de recorrido de los trenes. Para el resto de variables diferentes a xj se
verifican las restricciones a partir del valor actual de cada variable. No se prueban
los valores inferiores, ya que si estos no han sido usados hasta ahora, es porque
dieron lugar a conflictos con otras variables, cuyo valor no ha sido modificado y por

4.3. Estado del Arte - Métodos de Solución 147
lo tanto seguirían dando dicho conflicto. Este procedimiento sería recursivo, es decir
se modifica xi implica modificar xk, entonces también se vuelven a verificar valores
inferiores para todas aquellas variables que tuvieron algún conflicto con xk.
En cuanto a la forma de retroceder cuando se produce un dead-end, consider-
amos que siendo posible conocer la causa del dead-end, es conveniente retroceder
hasta la variable que produjo tal situación, y no a aquella variable inmediatamente
anterior en el ordenamiento, ya que esta variable puede no tener ninguna relación
con el conflicto que originó el backtracking, por lo tanto aunque sea modificada se
llegaría nuevamente a la misma situación. Esto significaría emplear un tiempo en
verificaciones redundantes sin corregir la causa del backtracking.
Forward Checking
La técnica de Forward Checking, introducida por Haralick y Elliot [61], y sus
variantes consisten en que cada vez que se realiza la asignación de una variable
xi se debe propagar esta asignación a todas las variables futuras, eliminando de
sus respectivos dominios aquellos valores que presentan conflicto con la asignación
actual de xi. Si el dominio de alguna variable futura se convierte en un conjunto
vacío, entonces se prueba otro valor para xi.
En el problema OPT aunque el dominio de las variables es discreto, no se prue-
ban los valores uno a uno. Debido a la naturaleza del problema existe un mínimo
valor por el cual se empieza a probar el valor de una variable y está dado por la
restricción sobre el instante de salida inicial (cuando se trata de la variable que
modela el instante de salida desde la estación origen del recorrido), o por la restric-
ción de tiempo de recorrido (cuando se trata de la variable instante de llegada en
una estación intermedia), o por la restricción sobre parada comercial (variable que
modela el instante de salida de una estación intermedia, ya que se conoce el valor del
instante de llegada). A partir de este valor, si existe un conflicto con otra variable,
no se prueba el siguiente valor del dominio, sino el valor que evitará el conflicto
con dicha variable. Por lo tanto se realizan la misma cantidad de verificaciones que
se realizaría si uno deseara eliminar valores no factibles del dominio de variables
futuras.

148 4. Revisión de Métodos para la Generación de Horarios
Manteniendo Arco Consistencia (MAC)
Cada vez que se intente asignar un valor a una variable, este algoritmo requiere
la comprobación de un conjunto de restricciones de tal forma que se verifique si el
problema es arco consistente con el valor candidato. En el caso del problema de
la programación de horarios para trenes, tanto el número de restricciones como el
número de variables es elevado, lo cual implica un costo computacional elevado.
Existen variantes de este método que intentan disminuir el costo computacional
utilizando listas dinámicas, lo cual incorpora un aumento de la complejidad espacial.
Además estas listas deberán estar actualizadas durante la búsqueda.
En el problema OPT la selección de un valor supone elegir el mínimo instante
de salida para cada tren en cada estación de su recorrido. Si ese instante de salida
no es consistente, repararlo, solo consiste en aumentar su valor en una determinada
cantidad. Consideramos que la aproximación de generar un valor y luego verificar
su consistencia permite obtener soluciones en el menor tiempo posible. Dado que se
desea optimizar, es importante que cada solución sea obtenida en forma eficiente.
Ordenamiento de Variables
Considerando que en el problema OPT cada instante de llegada y cada instante
de salida de un tren a una estación de su recorrido es una variable del problema, es
conveniente establecer un ordenamiento previo a la búsqueda entre las variables que
corresponden al horario de un tren. La llegada de un tren a una estación debe ser
anterior o igual a su instante de salida, y si un tren va de la estación i a la estación
i + 1, entonces su instante de llegada a i + 1 debe ser posterior a su instante de
salida de i. Estas restricciones del problema indican un ordenamiento implícito, el
cual es mostrado en la Figura 4.9. El recorrido de las líneas punteadas más oscuras
indican un ordenamiento entre las variables que corresponden al horario del tren t1
y las líneas punteadas más claras un ordenamiento entre las variables del horario
del tren t2.
Consideramos que es conveniente establecer un ordenamiento entre las variables
correspondientes al horario de un mismo tren, ya que las inferencias para acotar
el dominio de variables futuras relacionadas por restricciones de precedencia con la
variable actual requerirán menor cantidad de cálculo. Siendo arr i j+1
el instante de

4.4. Conclusión 149
1
llegada del tren i a la estación j + 1, dep 11
i j
estaciones
Figura 4.9: Ordenamiento de Variables en el problema OPT tiempo
413 dep 5 13 dep
212 arr 312 t IIIIIIIVV VI dep
el instante de salida de i de la estación
j, y las estaciones j y j + 1 dos estaciones consecutivas del recorrido del tren i, la
614 arr arr
restricción de precedencia del problema OPT indica que arr i j+1 = depi j + ∆i j→j+1 .
Por lo tanto para que la propagación de restricciones se lleve a cabo con el menor
número de cálculos posible es conveniente instanciar las variables correspondientes
al horario de un tren en el mismo orden que el tren recorre las estaciones.
Cuando se trata de trenes diferentes, y que además recorren la línea ferroviaria en
sentidos opuestos, el ordenamiento de las variables correspondientes a sus respectivos
horarios determina la solución del problema. Debido a que el problema OPT es un
problema de optimización, nos interesa obtener cuanto antes una solución de buena
calidad (minimizar valor de la función objetivo), por lo tanto el ordenamiento entre
variables que representan horarios de diferentes trenes se lleva a cabo durante la
búsqueda como una decisión de la heurística a emplear.
4.4. Conclusión
El problema de programar horarios para trenes en una línea ferroviaria ha sido
tratado en varios trabajos. Según las restricciones que se consideren, el número de

150 4. Revisión de Métodos para la Generación de Horarios
variables promedio que existan y la función objetivo utilizada, la complejidad del
problema varia en gran medida, y por lo tanto los métodos que sean utilizados para
resolverlo también deben adecuarse para obtener un resultado más eficiente.
Los trabajos descritos en este capítulo, relacionados con el problema OPT, con-
sideran un subconjunto de las restricciones consideradas por OPT, lo cual permite
en algunos casos la utilización de modelos y técnicas matemáticas para resolverlos
y obtener buenos resultados según la definición de los problemas. En otros casos
una técnica enumerativa, tal como branch and bound, obtiene una solución óptima
en un tiempo aceptable ya que el espacio de soluciones es mucho menor al que se
considera en OPT y el tiempo empleado para obtener cada solución también porque
existen menos restricciones que verificar. Los métodos de búsqueda local requieren
de heurísticas que permitan considerar asignaciones futuras y así evitar caer en
óptimos locales. En cuanto a los algoritmos de mejora, como los del tipo algoritmo
genético, consideramos que es importante mejorar la representación de los individ-
uos, así como adaptar las operaciones de cruce, selección y mutación al problema
OPT de tal forma que se acelere la convergencia del algoritmo.
Todos estos métodos pueden ser modificados de alguna forma para que puedan
resolver el problema. Consideramos que en algunos casos estas modificaciones tam-
bién implicarían un empobrecimiento en cuanto a la eficiencia original de los mismos.
Por lo tanto, atendiendo la formulación del problema y teniendo en cuenta las princi-
pales carencias de los métodos existentes, hemos trabajado para diseñar y desarrollar
un nuevo método que permita obtener soluciones de alta calidad en forma eficiente.
El resultado es presentado en el siguiente capítulo.

Capítulo 5
Un Procedimiento heurístico
basado en ordenación (PBO)
5.1. Introducción
En el capítulo 4 se ha hecho referencia a una selección de trabajos relevantes,
que proponen métodos de solución al problema de programar y optimizar horarios
factibles para trenes, el que se ha denotado en esta tesis como OPT. Aunque el
tipo de problema es común a todos estos trabajos, la modelización que realiza cada
uno descubre diferencias en cuanto: (i) al conjunto de restricciones, (ii) la función
objetivo, y (iii) el tamaño de los casos de prueba utilizados.
Una solución dada por el método de solución de uno de estos trabajos, puede no
ser factible en otro, que modele el problema considerando un conjunto de restric-
ciones más amplio. El problema OPT incluye todas las restricciones consideradas en
los trabajos consultados, sin embargo el conjunto de restricciones de OPT no está in-
cluido en ninguno de ellos. En los métodos consultados no se modelan restricciones
sobre el número de vías en estaciones, ni sobre el cierre de las mismas en determi-
nados intervalos de tiempo. Tampoco se restringe la circulación en un tramo que se
halla bajo mantenimiento, ni la diferencia de tiempo que debe existir entre los in-
stantes de salida/llegada de trenes utilizando un mismo recurso. Estas restricciones
son muy complejas de modelar mediante un modelo matemático, y de hacerlo re-
querirían una gran cantidad de nuevas variables binarias, lo cual aumentaría aún
más la complejidad del modelo, que ya consta de binarias para evitar conflictos co-
mo el cruce o el alcance. Si se trataran todas estas restricciones, los métodos que
151

152 5. Un Procedimiento heurístico basado en ordenación (PBO)
han sido descritos en el Capítulo 4 perderían bastante eficiencia, y en algunos casos
no podrían ser implementados. En particular, aquellos métodos de solución que se
basan en las propiedades matemáticas del modelo, como los que utilizan planos de
corte para acotar el espacio de búsqueda. En este caso no sería factible hallar las
ecuaciones, utilizadas como planos de corte, debido a la complejidad de las expre-
siones necesarias para modelar las restricciones mencionadas previamente.
Según el conjunto de restricciones común a todos los trabajos consultados, pode-
mos decir que la complejidad viene dada por: (i) la cantidad de trenes considerados,
(ii) la infraestructura ferroviaria, y (iii) por el número de conflictos (trenes que com-
piten por un mismo tramo). Es necesario un método que sea escalable. Es decir
que su eficiencia no disminuya en la misma proporción con la que aumenta la com-
plejidad del caso de prueba. Debe ser útil tanto para programar el horario de un
único tren como para programar el horario de los trenes que circularán en una línea
ferroviaria cada semana.
Una gran parte de las aplicaciones existentes son del tipo simulación. Esperan que
el usuario introduzca un horario por cada tren, para indicar posteriormente aquellas
restricciones que no han sido cumplidas por la entrada especificada. Algunas de estas
herramientas reparan las restricciones incumplidas, si es posible, otras dejan que el
usuario indique la forma en que esta reparación debe ser realizada. De esta forma,
no generan un horario factible para cada tren a partir de una parametrización, ni
consideran una función objetivo que les permita evaluar la calidad de la solución
entregada.
Así pues, podemos concluir que los métodos de solución, propuestos en los traba-
jos consultados, no pueden ser empleados para resolver el problema OPT que consta
de ciertas restricciones, no consideradas por ninguno de los métodos estudiados. In-
corporar dichas restricciones en sus modelos, o en sus métodos de solución, no es
factible en alguno casos, y en otros implicaría un empobrecimiento en la eficiencia
que no justificaría la adaptación.
En este capítulo proponemos un nuevo método de solución para el el problema
OPT, el cual es un problema de scheduling tipo Job Shop que consta de las restric-
ciones propias de este tipo de problemas y de otras necesarias para asegurar la
factibilidad de la solución en un contexto real.
En la Sección 5.3 se proporciona el esquema general del método de solución

5.2. Aplicación de las técnicas CSP en el método de solución propuesto 153
propuesto describiendo sus principales características. Posteriormente, en la Sección
5.4, se analiza la relación que existe entre problemas de scheduling tipo Job Shop
y el problema OPT, sobre el cual se aplica el método propuesto. Dicha aplicación
presenta dos variantes, según se trate o no la restricción que exige periodicidad en las
salidas de determinados trenes consecutivos (trenes cadenciados). Ambas variantes
se describen en la Sección 5.5 proponiendo la particularización del método para cada
caso. Finalmente, la Sección 5.6 describe la aplicación del método al problema OPT
en detalle, tanto para el caso en el que se requiere trenes cadenciados como para
el caso en el cual dicha restricción no está presente. La Sección 5.7 proporciona las
conclusiones de este Capítulo.
5.2. Aplicación de las técnicas CSP en el método de
solución propuesto
La utilización de una herramienta genérica que resuelva CSPs requiere que las
restricciones del problema deban ser especificadas en el lenguaje utilizado por la
misma, de tal forma que un analizador léxico y un analizador sintáctico puedan
interpretar las restricciones que existen entre las variables del problema, y llevar a
cabo las verificaciones correspondientes durante la aplicación del método de solución.
Por lo tanto para resolver el problema OPT utilizando Técnicas CSPs, se requiere en
primer lugar poder representar las restricciones del problema en el lenguaje especi-
ficado para la herramienta. Esto supone un inconveniente, ya que un gran número
de restricciones importantes del problema OPT son complejas de ser especificadas en
lenguajes como el matemático o el de programación de restricciones comúnmente
utilizado. Esta es una de las razones por las cuales no se ha utilizado alguna de las
herramientas disponibles que resuelven CSPs. En el método de solución propuesto
para hallar soluciones al problema OPT las propias restricciones que se deben verificar
está implícito en el propio método de solución.
En el capítulo 2 se han presentado las técnicas para resolver problemas CSP, más
comúnmente referenciadas en la literatura. Los métodos híbridos, que combinan in-
ferencia y búsqueda, se encuentran entre los métodos más utilizados para resolver
eficientemente problemas CSP complejos, ya que proponen una aproximación para

154 5. Un Procedimiento heurístico basado en ordenación (PBO)
disminuir el número de backtracking y asignaciones innecesarias. Ejemplos de este
tipo de métodos son las técnicas denominadas Forward Checking y MAC. Forward
Checking propaga en forma separada, el efecto de una selección tentativa de valor
a cada variable futura. Si el dominio de una de éstas variables futuras queda vacío,
entonces se rechaza el valor bajo consideración y se prueba el siguiente valor can-
didato (se evita un dead-end). También se consideran las asignaciones previamente
realizadas. En el caso de MAC, la propagación se realiza a variables futuras, pero
a su vez el valor de estas variables futuras se vuelve a propagar en las restricciones
cuyo ámbito las incluyen, siendo mayor el nivel de arco consistencia realizado. Estas
técnicas han sido estudiadas para comprobar si es posible aplicarlas para resolver
el problema OPT, llegando a la conclusión de que si bien es posible una propagación
de ciertas restricciones, la aplicación de los mismos, tal cual han sido formulados
resultaría ineficiente. El tiempo que se emplea en verificar que cada asignación can-
didata no genere un dead-end es mayor que el tiempo empleado en resolver el total
de backtracking que ocurren en una instancia del problema OPT, siempre consideran-
do el caso promedio. Esto ocurre principalmente porque el tipo de problema no es
propicio a que ocurra un dead-end. Es más, esto solo ocurre cuando una dependencia
se queda sin vías en el instante que llega un tren a la misma.
En el método de solución que proponemos, el dominio de la variable siendo
asignada se restringe a determinados valores, obtenidos a partir de la propagación
de ciertas restricciones unarias y binarias del problema, en cuyos ámbitos se halla la
variable siendo asignada. En particular, dado que esta variable representa el instante
de inicio de una tarea perteneciente a un determinado trabajo, se propagarán las
restricciones binarias que la relacionen con el instante de inicio o el instante de
finalización de la tarea que le precede y que pertenece al mismo trabajo.
J2
( ) 1
1 1, ( )
( ) 2
1 2, ( )
3, ( 4, ) 1
2, C
Figura 5.1: Dominio de una variable siendo asignada filtrado a partir de determinadas
restricciones
0 86400
1
) (x Tiempo J

5.2. Aplicación de las técnicas CSP en el método de solución propuesto 155
En la Figura 5.1 se presenta un ejemplo. Han sido asignadas las variables corre-
spondientes a los instantes de inicio y finalización de las tareas (1, 1), (2, 1) y (3, 1)
del trabajo J1 y de la tarea (2, 2) perteneciente al trabajo J2. La siguiente variable
seleccionada para su asignación es x, y representa el instante de inicio de la tarea
(4, 1). Dado que el instante de inicio de la tarea (4, 1) debe ser posterior al instante
de finalización de la tarea (3, 1), los valores de su dominio son restringidos a [C,
86400] y será a partir del mismo desde donde se seleccione el siguiente valor para x. J2
( ) 1
1 1, ( )
1 2, ( )
A+
3, ( 4, ) 1
( 1, ) 2
Figura 5.2: Dominio filtrado a partir de la restricción sobre periodicidad en salidas
consecutivas
Otro ejemplo es mostrado en la Figura 5.2. Debido a la restricción de periodicidad
en salida, la primera tarea del trabajo J2 debe iniciarse necesariamente C unidades
de tiempo después que se haya iniciado la primera tarea de J1. Por lo tanto en este
caso el dominio inicial de x, [0, 86400] es restringido a [C, 86400].
0 86400
1
) (x Tiempo A C C J
El dominio del instante de finalización de una tarea siempre es reducido a un
único valor posible que es el instante de inicio de la tarea a la que corresponde más
su tiempo de procesamiento. Esto proporciona un único valor posible. Cuando este
valor no es factible debido a que existe una restricción que limita a un determinado
intervalo los valores factibles para finalización de una tarea, entonces es cuando se
produce un backtracking, debiendo modificarse el instante de inicio de la misma.
En cuanto a las heurísticas de ordenación de valores consultadas, Mínimo Con-
flicto, Máximo Dominio y Soluciones Estimadas, podemos decir que su aplicación
requiere un gran número de cálculos, ya sea para estimar el número de conflictos
por cada valor candidato, o la cardinalidad del dominio de las variables futuras a
partir de la selección realizada, o bien la estimación del número de soluciones según
la cardinalidad de los dominios correspondientes a las variables futuras. Consider-
amos que estos cálculos son importantes si se desea obtener una medida acerca de
los valores que nos pueden conducir hacia una solución segura sin tener que resolver
numerosos conflictos o numerosos dead-ends. Sobre todo si se desea hallar una única

156 5. Un Procedimiento heurístico basado en ordenación (PBO)
solución, para problemas que buscan factibilidad y no optimalidad. En nuestro ca-
so, el problema que intentamos resolver es un problema de optimización, se requiere
explorar más de una solución, y muchas veces una solución en la cual exista un
mayor número de conflictos o un mayor número de dead-ends, puede dar mejores
resultados. El criterio que utilizamos para seleccionar un valor es aquel que permita
obtener según la ordenación de variables realizada el mejor valor para la función
objetivo. Por lo tanto, el ordenamiento de los valores de un dominio, una vez ha
sido restringido por las restricciones que se propagan, se realiza de menor a mayor,
ya que representan instantes de tiempo y la función objetivo del problema requiere
que cada trabajo sea realizado en el menor tiempo posible. A cada variable se le
asigna el menor valor de su dominio que sea factible con respecto a las restricciones
consideradas y a las asignaciones que le preceden.
En cuanto a la heurística que ordena las variables, por un lado se utiliza un
determinado ordenamiento entre las variables que representan el instante de inicio
o el instante de finalización de tareas que pertenecen a un mismo trabajo y por
otro lado se emplea otro concepto para establecer un orden de selección entre las
variables que representan instantes de inicio o instantes de finalización de tareas
pertenecientes a diferentes trabajos. Cada trabajo está definido por un conjunto de
tareas cuya realización debe llevarse a cabo en un orden determinado. Este es el
mismo orden que se utiliza para asignar valores a los instantes de inicio de cada
una de las tareas que componen un mismo trabajo. Por lo tanto entre las variables
que representan estos instantes de inicio existe un orden estático pre establecido.
Siempre será seleccionada primero la variable que represente el instante de inicio de
aquella tarea que deba ser realizada antes de las demás tareas del mismo trabajo
según el ordenamiento establecido entre ellas. Ahora bien, el ordenamiento que se
establece entre dos variables que hacen referencia a trabajos distintos, es dinámico
y tiene en cuenta el estado de la solución siendo construida. Específicamente, se
asignan probabilidades de selección a las variables que representan el instante de
inicio de cada tarea que aún no ha sido seleccionada. Las probabilidades de selección
aumentan cuanto mayor sea el retraso que lleve el trabajo al que pertenece la tarea,
con respecto a la duración ideal del mismo. Esta heurística es descrita en detalle en
la Sección 5.6.1.
En la Figura 5.3 se representa la ordenación tanto de variables como de valores

5.2. Aplicación de las técnicas CSP en el método de solución propuesto 157
VariablesdeOrden
de Orden 4 x Variable Valores
x Variable 6 x Variable 2
x Variable3
Figura 5.3: Ordenación de Variables y Valores en la construcción de una solución Variablex8
que es necesaria realizar cuando se construye una solución para el problema CSP.
En cada nivel del árbol mostrado en la Figura 5.3 existe un conjunto de valores,
pertenecientes al dominio de la variable seleccionada para ser asignada, uno de estos
valores será elegido. En el método de solución propuesto en esta tesis, y descrito en
este capítulo, según sea la variable seleccionada para ocupar cada nivel del árbol de
búsqueda durante la construcción de una solución, se tendrá un valor u otro en la
función objetivo correspondiente a dicha solución.

158 5. Un Procedimiento heurístico basado en ordenación (PBO)
5.3. Esquema General del Método de Solución prop-
uesto
En esta sección describiremos el procedimiento empleado para asignar una solu-
ción al problema de scheduling tipo Job Shop definido en el Capítulo 3. Cada in-
stancia de este problema consta de una determinada función objetivo y de un con-
junto finito de trabajos, recursos y restricciones. Cada trabajo está formado por
una secuencia ordenada de operaciones, y cada una de estas operaciones necesita un
determinado recurso, del conjunto especificado, para ser llevada a cabo.
En la Figura 5.4 se proporciona un ejemplo de este tipo de problema. Se consid-
era un conjunto compuesto por cuatro trabajos, {J1, J2, J3, J4}, y un conjunto finito
de recursos {m1, m2, m3, m4, m5}. Se ha utilizado la notación (k, i) para especificar
que una operación del trabajo Ji necesita utilizar el recurso mk. En la tabla de la
Figura 5.4 se indica el orden en el cual las operaciones de cada trabajo utilizan los
recursos. Así, en la primera fila de la tabla se indica que el trabajo J1 consta de
tres operaciones, la primera necesita utilizar el recurso m2, la segunda el recurso
m3, y la tercera, que es la última operación de J1, necesita utilizar el recurso m4.
La misma información es proporcionada para el resto de trabajos en las siguientes
filas de la misma tabla. También se indican los instantes de tiempo en los que se
considera factible que se inicie un trabajo. En la Figura 5.4, estos intervalos de tiem-
po son especificados por [I i L , Ii U ] para cada trabajo Ji. Los instantes de tiempo que
corresponden a cada intervalo son representados utilizando regiones rectangulares
paralelas al eje de tiempo x.
El objetivo del método de solución, consiste en asignar a cada operación del
problema, un instante de inicio y un instante de finalización que satisfaga el con-
junto de restricciones especificado y que optimice el valor de la función objetivo
considerada.

5.3. Esquema General del Método de Solución propuesto 159
{
) ( 3, )
Máquinas/R 2 m
(
Trabajo
)
ecursos
J4 2 11
( 3,
ecursos m2 m4
( 4, ) ) ( ) 4 44
} 4 3 2 1 5
= , , , ,
, , , J 3m
m{ } m m 4 3 2 1 mm
Máquinas/R
=
J J J Trabajos
J2 J3 J2
1
J3
( J J4
J4L
1
51
m m3 3 mm4
2, ( 4, ) 1
( )
m2
3
2 1, ( )
3 5, ( )
2 2, ( )
2 3, ( )
4, ( 5, ) 2
3 4, ( )
2, ( 1, ) 4
m5 m m3m1
m 2 m 4 m4
3L I3U I 2L 1L I
3, ( 2, ) 3
( ) Tiempox
Figura 5.4: Una instancia del problema de scheduling tipo Job Shop I1U
I
Volviendo al ejemplo de la Figura 5.4, en ella se indica una solución para la in- I2U
I 4U I
stancia considerada. Se ha asignado un instante de inicio y un instante de finalización
a cada operación (k, i) de tal forma que se satisfaga el conjunto de restricciones con-
siderado, particularmente el instante de inicio, la secuenciación de las operaciones,
y la compartición simultánea de recursos. Así, cuando dos operaciones necesitaron
utilizar un mismo recurso al mismo tiempo, el inicio de una de ellas fue retrasado
hasta que la otra liberó el recurso requerido. Por ejemplo, las operaciones (2, 1) y
(2, 4) pueden utilizar el mismo recurso m2 al mismo tiempo. Sin embargo, esto no
es posible ya que el mismo puede ser utilizado como máximo por una operación a
la vez. Luego, para satisfacer esta restricción se retrasa el inicio de (2, 4) hasta que
(2, 1) finalice la utilización de m2. La operación (2, 4) no inicia la utilización de m2
inmediatamente (2, 1) haya finalizado, porque debe existir un margen de tiempo en-
tre la finalización de una operación y el inicio de otra que utiliza un mismo recurso.
Esta misma situación ocurre entre los pares de operaciones (4, 1), (4, 3), y (3, 2),

160 5. Un Procedimiento heurístico basado en ordenación (PBO)
Solución PrimeraInicio
SiguienteSolución
Siguiente Variables Ordenación Inicio Instante Elección Inicio de Instante Elección Heurística OperaciónSolución
Elección una de de Heurística ón Construcci
Restriccio de de
de ón Verificaci s Prioridade sobre Decisión Heurística Tiempo deIntervalo Asignación nes
sobre Decisión Heurística Restricciones
Poda Evaluación Solución Parcial
Figura 5.5: Esquema del Método de Optimización y Satisfacción de Restricciones
para un Problema tipo Job Shop
Mejor Solución
Función Solución ó Poda SI Proceso Finalizar NO Objetivo
SI NO
Fin

5.3. Esquema General del Método de Solución propuesto 161
(3, 3).
El método propuesto en esta Tesis para la resolución de la tipología de problemas
planteada es un procedimiento iterativo que se basa en cuatro aspectos fundamen-
tales:
(i) Utiliza cada iteración para construir una solución.
(ii) El procedimiento finaliza cuando una determinada condición, número de it-
eraciones, tiempo de ejecución, coste de la función objetivo, es alcanzada.
(iii) La construcción de cada solución se lleva a cabo asignando un horario factible
a cada operación del problema en forma secuencial.
(iv) La construcción de una solución será interrumpida si el procedimiento estima
que su coste será igual o peor que el coste de la mejor solución obtenida
hasta entonces.
En la Figura 5.5 se proporciona un esquema de este procedimiento. En ella se
distingue la siguiente secuencia de etapas:
a) Elección Siguiente Operación (criterio heurístico),
b) Elección de Instante de Inicio (criterio heurístico),
c) Asignación Intervalo de Tiempo,
d) Verificación de Restricciones, y
e) Evaluación Solución Parcial (criterio heurístico).
El marco, señalado con la etiqueta Construcción de una Solución en la Figura
5.5, incluye a las etapas citadas en el párrafo previo, resaltando que su ejecución en el
orden dado, es repetida hasta que se obtenga una solución, o bien hasta que la etapa
Evaluación Solución Parcial decida interrumpir la construcción de la solución actual
(poda). Ambas posibilidades para finalizar una iteración son representadas por el
elemento de decisión etiquetado Poda ó Solución en la Figura 5.5. La construcción
de una solución es interrumpida cuando la etapa Evaluación Solución Parcial estima
que el coste de la misma será igual o peor que el coste de la mejor solución obtenida
hasta entonces. En uno u otro caso, poda ó solución alcanzada, se inicia una nueva
iteración del procedimiento principal, siempre y cuando la condición de parada no
haya sido alcanzada (elemento de decisión etiquetado Fin de Proceso en la Figura
5.5). Si por el contrario la condición de parada ha sido cumplida, el procedimiento
principal proporciona la mejor solución y finaliza.

162 5. Un Procedimiento heurístico basado en ordenación (PBO)
El procedimiento descrito es pues un método constructivo, guiado heurística-
mente. El método busca la construcción de soluciones que cumplan las restricciones
del problema y se basa en criterios heurísticos para lograr la eficiencia en la con-
strucción de la solución y la optimalidad de la misma.
En los siguientes apartados, describiremos en qué consiste cada etapa de la con-
strucción de una solución, según el método de solución propuesto.
a) Elección Siguiente Operación. Heurística para Asignar Prioridades a
cada Operación
Elección Siguiente Operación es la etapa responsable de seleccionar la siguiente
operación del problema a la cual se deberá asignar un instante de inicio y un instante
de finalización factible. En el momento que se debe tomar esta decisión existen dos
conjuntos disjuntos de operaciones. Uno de ellos está formado por las operaciones
ya seleccionadas y el otro por las operaciones aún no seleccionadas, siempre con-
siderando la construcción de una misma solución. Se utiliza un criterio o heurística
para seleccionar uno de los elementos del segundo conjunto. Esta selección se realiza
de forma heurística porque el orden en el cual sean seleccionadas las operaciones de-
terminará el orden de prioridades entre ellas. Si la operación (k, i) fue seleccionada
antes que la operación (k, j), entonces (k, i) tendrá mayor prioridad sobre el recurso
mk que la operación (k, j), en el caso que ambas compitieran por el mismo.
Decimos que dos operaciones compiten por un mismo recurso, cuando requieren
utilizarlo al mismo tiempo y la capacidad del mismo no permite que sea utilizado
por más de una operación a la vez. En ese caso la operación cuya prioridad sea
mayor, utilizará primero al recurso. Por lo tanto, es la ordenación en la selección de
las operaciones la que determina la calidad de una solución, ya que dependiendo de
qué operación sea priorizada se tendrá una u otra solución. La heurística guía al pro-
cedimiento indicándole qué operación entre las no seleccionadas, debe tener mayor
prioridad. Para ello considera la función objetivo y el estado actual del problema.
Si consideramos la Figura 5.4 se puede ver que las operaciones (3, 2) y (3, 3), que
necesitan del mismo recurso m3 para ser llevadas a cabo, lo compartirían si ambas
se iniciaran en el instante de inicio especificado para las mismas. La operación (3, 2)
pertenece al trabajo J2, cuyas operaciones utilizan los recursos en un determinado
orden, y la operación (3, 3) pertenece al trabajo J3, cuyas operaciones utilizan los

5.3. Esquema General del Método de Solución propuesto 163
recursos en el orden inverso al utilizado por J2. Por lo tanto, el recurso m3 no puede
ser compartido por (3, 2) y (3, 3). Debido a esta restricción se retrasa el inicio de
la operación (3, 3) hasta que (3, 2) libere el recurso m3. En este caso la operación
(3, 2) tiene mayor prioridad que la operación (3, 3) porque (3, 2) ha sido seleccionada
previamente a (3, 3).
La heurística utilizada consiste en asignar una probabilidad de selección a cada
operación aún no seleccionada, de tal forma que la suma de probabilidades sea
igual a uno. Esta asignación de probabilidad a cada operación se hace en base a
una ponderación del retraso que lleva el trabajo al cual pertenece, con respecto a su
tiempo ideal. Cuanto mayor sea el retraso, mayor será la probabilidad de selección de
la operación que pertenece al mismo. Es importante notar que cuando existe más de
una operación perteneciente al mismo trabajo entre las operaciones no seleccionadas,
solo es considerada aquella operación cuyo orden de ejecución es el menor. Es decir,
se respeta la relación de precedencia entre las operaciones de un mismo trabajo.
La heurística empleada está basada en el procedimiento ”Regret-Based Biased
Random Sampling (RBRS)”propuesta por Drexl, [38] y [39], quien introdujo el con-
cepto de regrets (en español se ha utilizado el término sesgo) en los procedimientos
que realizan un muestreo aleatorio (random sampling). El valor de sesgo v ′ (j) de un
candidato j mide la consecuencia que podría resultar, en el peor caso, si otro can-
didato fuera seleccionado. Siendo Dn el conjunto de candidatos y V (Dn) el conjunto
de valores de prioridad, v(j), correspondiente a cada candidato, se calcula el valor
de sesgo como
v ′ ⎧
⎨ maxV (Dn) − v(j) si el objetivo es maximizar
(j) =
⎩ v(j) − minV (Dn) si el objetivo es minimizar
Posteriormente el valor calculado es modificado a
v ′′ (j) = (v ′ (j) + ε) α
(5.3.1)
(5.3.2)
donde ε ∈ R + y α ≥ 0, α ∈ R. Habiendo determinado estos valores, la probabilidad
de selección de cada candidato j es derivada de la expresión
p(j) = v′′ (j)
v ′′ (i)
i∈Dn
(5.3.3)

164 5. Un Procedimiento heurístico basado en ordenación (PBO)
En el caso del problema considerado en esta tesis, el conjunto de candidatos
está formado por los trabajos j que tengan por lo menos una operación a la que aún
no se le haya asignado un horario factible. El valor de prioridad v(j) es el retraso que
lleva el trabajo, en el momento que se realiza la elección de la siguiente operación,
con respecto a su tiempo ideal. Para llevar a cabo tal medición solo se consideran
las operaciones del trabajo a las cuales se ha asignado un horario factible.
El valor ε garantiza que v ′′ (j) no sea igual a cero, ya que de lo contrario aquellos
candidatos con un retraso igual a cero no serían seleccionados. El valor de α permite
aumentar o disminuir las diferencias entre los valores de prioridad, según sea α > 1
o α < 1, respectivamente. Si α = 0, el proceso de selección se vuelve completamente
aleatorio, ya que todos los candidatos compartirán la misma probabilidad de ser
seleccionados. Por otro lado cuando α tiende a ∞, el proceso se comporta de forma
determinista, ya que la probabilidad de la operación con probabilidad más alta de
ser seleccionado converge a uno.
Una vez que cada operación tenga asignada una probabilidad de selección p(j),
se obtiene de forma aleatoria, un número entre 0 y 1. Posteriormente, se procede a
sumar, en un orden indeterminado, la probabilidad de selección de cada operación
perteneciente al conjunto de candidatos. La suma finaliza cuando se alcanza un valor
igual o mayor que el número aleatorio obtenido. La operación, cuya probabilidad
de selección sea el último valor agregado a la suma, será la siguiente operación a la
cual se deba asignar un horario factible.
b) Elección del Instante de Inicio
Una vez seleccionada la siguiente operación a la cual se deberá asignar la uti-
lización del recurso así como un horario factible, el siguiente paso consiste en selec-
cionar un instante de inicio para la misma. Cuando se trata de la primera operación
de un trabajo, el instante de inicio de la misma corresponde al instante de inicio
del trabajo al que pertenece. Dado que cada trabajo tiene asignado un conjunto de
valores que corresponden a los instantes de inicio considerados válidos, el instante
de inicio asignado a la primera operación del trabajo debe ser un elemento de este
conjunto. El conjunto de instantes de inicio válidos puede ser dado por un intervalo
de valores (desde las 08:00 hasta las 10:00, ambos inclusive) o bien por un único
valor, que significa que se desea que la operación se inicie en el primer instante igual

5.3. Esquema General del Método de Solución propuesto 165
o posterior a dicho valor que sea factible con respecto al resto de restricciones. Esta
asignación es realizada de tal forma que se cumpla la restricción C12 - Intervalo de
Salida (Sección 3.4.2).
Si por el contrario, no se trata de la primera operación de un trabajo, la asig-
nación del instante de inicio es igual al instante de finalización de la operación previa
a la misma según la ordenación de operaciones correspondiente al trabajo al cual
ambas pertenecen.
c) Asignación Intervalo de Tiempo
Cada operación tiene asignado un tiempo de procesamiento (ver restricciones
sobre tiempo de recorrido C8 y sobre parada comercial C16 en la Sección 3.4.2), por
lo tanto dado un instante de inicio, se suma el tiempo de procesamiento indicado
para la misma y se obtiene un instante de finalización. La siguiente etapa del método
de solución verifica si es factible que el recurso utilizado por la operación sea ocupado
durante el intervalo de tiempo especificado por el horario asignado a la misma.
d) Verificación de Restricciones
Una vez que la operación tiene un instante de inicio y un instante de finalización,
se procede a verificar si el intervalo de tiempo asignado a la misma es válido con
respecto al conjunto de las restricciones consideradas en el problema. Para la verifi-
cación de las restricciones solo se tiene en cuenta aquellas operaciones cuyos horarios
de inicio y de fin han sido asignados previamente, y por lo tanto sus prioridades son
mayores con respecto a la prioridad de la operación siendo asignada actualmente.
Si alguna restricción es incumplida se procede a modificar el instante de inicio
de tal forma que se repare el incumplimiento. Las restricciones no cumplidas por el
horario asignado, se deben principalmente a que los recursos que debería utilizar la
operación actual, ya están siendo utilizados por otras operaciones en el intervalo de
tiempo asignado. Por lo tanto, la reparación consiste en retrasar el instante de inicio
de la operación actual hasta el instante en el que el recurso requerido haya sido
liberado por las operaciones que lo estaban ocupando. Luego, se vuelve a verificar
el conjunto de restricciones.
e) Evaluación Solución Parcial - Posibilidad de Poda

166 5. Un Procedimiento heurístico basado en ordenación (PBO)
A medida que el método construye una solución, existe un proceso que evalúa
las asignaciones realizadas hasta el momento y decide si seguir construyendo dicha
solución o interrumpirla e iniciar la construcción de una nueva.
La evaluación de la asignación parcial es realizada para evitar emplear tiempo de
cómputo construyendo una solución que finalmente no sería mejor que la obtenida
hasta entonces.
La etapa Evaluación Solución Parcial en la Figura 5.5 es la responsable de
evaluar el conjunto de asignaciones realizadas y decidir si se debe interrumpir o no
la construcción actual de una solución.
Este proceso es llamado cada vez que a una operación se le asigna un instante
de inicio y un instante de finalización válidos, es decir que la asignación de recursos
que utiliza dicha operación en el intervalo de tiempo es factible con respecto al resto
de tareas que ya han sido asignadas previamente. En términos de un CSOP, cuando
el proceso evaluador es llamado puede existir un conjunto de variables que no estén
asignadas. En ese caso decimos que la asignación a evaluar es una asignación parcial.
De no ser asi, todas las variables han sido asignadas, decimos que la asignación a
evaluar es una solución del problema.
En el caso que sea una asignación parcial, existirán variables cuyos valores no
han sido asignados, por lo tanto se asume un valor potencial para dichas variables.
El valor potencial para cada variable sin asignar es determinado de tal forma que
cualquier otro valor factible para la misma haría que el valor de la función objetivo
fuese igual o peor que la estimada. Por la forma en que se estiman los valores de
las variables sin asignar decimos que la estimación es conservadora, ya que si se
dejara terminar la construcción de dicha solución el valor real de la función objetivo
correspondiente a la misma siempre sería igual o peor, pero nunca mejor. Por lo
tanto si el valor estimado de la función objetivo de una asignación parcial es peor
que el valor de la función objetivo de la mejor solución obtenida hasta entonces, es
seguro que finalizar la construcción de la asignación parcial solo daría una solución
peor que la mejor obtenida hasta entonces. Por lo tanto, si la estimación indica que
se debe interrumpir, es un ahorro de tiempo que permite obtener un mayor número
de soluciones en menor cantidad de tiempo.
Si consideramos que el árbol de búsqueda de la Figura 5.6 representa el proceso
utilizado para construir las soluciones del problema, podemos considerar el proceso

5.3. Esquema General del Método de Solución propuesto 167
evaluador como el sistema utilizado para podar las ramas del mismo que no aporten
mejores soluciones. Cada rama del árbol representa la construcción de una solución.
Cada nodo de una rama corresponde a una asignación y esto a su vez corresponde
a la ubicación de una operación del Job Shop en el tiempo. El proceso evaluador es
llamado cada vez que una asignación es realizada. Como puede verse en la Figura
5.6, en el instante que este proceso es llamado, puede existir una asignación parcial,
es decir ciertos nodos de la rama actual, aún no han sido generados (nodos, cuya cir-
cunferencia está formada por línea de puntos) o puede existir una solución, situación
que se produce cuando todos los nodos de una rama han sido generados. En una de
las ramas de la Figura 5.6, el evaluador decide interrumpir, por lo cual la rama es
cortada y ningún otro nodo es generado. En otra de las ramas, el evaluador decide
continuar todas las veces que es llamado, hasta el final de la generación de la rama,
momento en el cual produce el valor real de la función objetivo para el conjunto de
asignaciones realizadas, es decir para la solución representada por dicha rama. Este
valor solo puede ser igual o mejor que el valor de la función objetivo correspondiente
a la mejor solución obtenida hasta entonces.

168 5. Un Procedimiento heurístico basado en ordenación (PBO)
. . . . . .
Figura 5.6: Evaluación Solución Parcial decide sobre la poda de una rama del árbol
de búsqueda Fin
Resumiendo, el procedimiento Evaluación Solución Parcial estima el tiempo
que será necesario para llevar a cabo un trabajo, cada vez que se asigna un ho-
rario factible a una operación del mismo. Considerando el conjunto de trabajos del
problema y las estimaciones asociadas a cada uno, se calcula el valor de la función
objetivo. Si el coste obtenido es mayor o igual que el coste de la mejor solución
obtenida hasta entonces, se interrumpe la construcción de la solución actual.
La estimación realizada por el procedimiento Evaluación Solución Parcial consta
de dos partes, g(n) y h(n). La función g(n) proporciona el tiempo empleado por las n
primeras operaciones del trabajo considerado, deducido a partir del horario factible
que ya ha sido asignado a las mismas. Por otro lado, la función h(n) estima el tiempo
que emplearán las operaciones restantes, a las cuales no se les ha asignado horario

5.4. El Problema OPT como un Problema de Scheduling tipo Job Shop 169
alguno. Si consideramos que h ∗ (n) es el tiempo real transcurrido desde que se inicia
la primera operación hasta que finaliza la ultima operación del trabajo considerado,
decimos que el procedimiento Evaluación Solución Parcial es conservador porque el
valor de h(n) siempre será menor o igual que el valor de h ∗ (n). Esto significa que
en ningún caso se interrumpirá la construcción de una solución que de haber sido
completada hubiese sido mejor que la obtenida hasta entonces. En el caso que la
estimación realizada h(n) pudiese ser en ciertos casos mayor que h ∗ (n) aumenta la
posibilidad de que una solución parcial sea interrumpida en una fase más temprana
de su construcción, ya que cuanto mayor sea la sobre estimación realizada por h(n)
mayor debería ser la optimización realizada durante la construcción de una solución,
como para que esta no sea interrumpida. La desventaja de una sobre estimación
es que también aumenta en la misma proporción, la posibilidad de interrumpir
soluciones parciales, que de ser completadas hubiesen sido mejores que la obtenida
hasta entonces.
5.4. El Problema OPT como un Problema de Scheduling
tipo Job Shop
El problema OPT ha sido utilizado como marco del trabajo realizado. Hemos
considerado que es un problema tipo Job Shop, que a su vez puede ser modelado
como un problema CSOP, lo cual ha sido descrito con detalle en el Capítulo 2.
En el problema OPT, un trabajo consiste en el recorrido completo que lleva a
cabo un tren. Las operaciones que forman parte de un trabajo en OPT consisten
en pasar por estaciones y recorrer tramos entre estaciones. Para llevar a cabo cada
operación es necesario utilizar determinados recursos, que en este caso son las vías
en la estación, o las vías en el tramo, según el tipo de operación que se trate.
El orden entre las operaciones de un mismo trabajo, lo determina el recorrido de
cada tren y constituyen las relaciones de precedencia de un problema de scheduling
tipo Job Shop. El tiempo de procesamiento de una operación está dada por el
tiempo que un tren permanezca en una estación o por el tiempo que un tren emplee
en recorrer un tramo de su recorrido.

170 5. Un Procedimiento heurístico basado en ordenación (PBO)
Los trenes que viajan en sentido ida utilizan los recursos siguiendo un determi-
nado orden, y los trenes que viajan en sentido vuelta utilizan una parte o los mismos
recursos, pero siguiendo un orden inverso.
Las restricciones definidas en la sección 3.4.2 determinan las condiciones en las
cuales se considera factible la utilización de los recursos, considerando el conjunto
de operaciones del problema. Así, las restricciones de cruce regulan el uso de aquel-
los recursos que son utilizados por operaciones pertenecientes a trabajos que siguen
un orden inverso. Dichas operaciones no podrán utilizar al mismo tiempo estos re-
cursos e incluso deberá existir un margen de tiempo, considerado como un margen
de seguridad entre el inicio de las operaciones sobre el mismo recurso (tiempo de
recepción) así como entre el intercambio de recursos entre las dos operaciones (tiem-
po de expedición). Esto es equivalente a establecer un orden de prioridades entre
operaciones que pertenecen a diferentes trabajos sobre la utilización de un mismo
recurso.
Por otro lado existen restricciones sobre la utilización de recursos entre opera-
ciones que siguen un mismo orden. Existen recursos que permiten que más de una
operación lo utilice al mismo tiempo siempre y cuando exista una determinada
cantidad de tiempo entre el inicio de una y otra, así como entre el instante de final-
ización de las mismas (sucesión automática). Otros recursos no permiten que dos
operaciones lo utilicen simultáneamente (sucesión manual).
Las estaciones son consideradas centros de trabajo donde existen varias máquinas
que pueden ser utilizadas en paralelo (vías). En estos centros de trabajo no está per-
mitido que se lleven a cabo simultáneamente más operaciones que el número máquinas
disponibles (restricción que determina la capacidad limitada de cada estación).
Las operaciones de mantenimiento, o el horario de cierre de una estación son
otras de las restricciones que limitan el periodo de tiempo que un recurso puede ser
utilizado por una operación, o al menos limitan los periodos de tiempo en los cuales
dichos recursos pueden ser utilizados teniendo en cuenta su capacidad total.
En este problema de scheduling tipo Job Shop la función objetivo consiste en
minimizar el retraso promedio de cada trabajo con respecto a un tiempo de referencia
y la diferencia entre el retraso promedio correspondiente a los trabajos que siguen
un orden en la utilización de los recursos y el retraso correspondiente a los trabajos
que siguen el orden inverso. A cada criterio se le asigna un peso.

5.4. El Problema OPT como un Problema de Scheduling tipo Job Shop 171
Job tipo Scheduling de problema un de s Propiedade Shop Job tipo Scheduling de Problema al OPT de encia Correspond Shop
un tren por realizado Recorrido destino - origen Operación Tren un por un tramo de Recorrido - a Dependenci una a Tren un de Visita - Recurso en tramos o as dependenci en as ferroviari Vías Trabajo
de Centro Tramo - a Dependenci - a Precedenci de Relación un tren visitar debe que as dependenci de ordenada Secuencia Capacidad de n Restricció
Trabajo
Sucesión -Alcance -Cruce - a dependenci una de Capacidad -
Date) (Due Trabajo un de ón FinalizaciDate) (ReleaseTrabajo
un de Inicio Periódicas Salidas - Salida de Intervalo - Máximo Retraso - Llegada de Intervalo - Manual
aplicación dominio en la d la s s. nes Comercial - no por - de Tiempo - Recepción de Tiempo - ento Adelantami - nto Mantenimie de Bandas - Cierre de Horario - Automática Sucesión - Time)
) de (Setup recurso del n
el solución de factiblida Preparaciópara Expedición (necesaria de Adicionale Tiempo Restriccio - Recepción de Tiempo -
sentido en viajan que trenes de promedio retraso el entre diferencia Minimizar - Trenes los de promedio retraso Expedición Demoraparada
prevista Parada Idaretraso
promedio delostrenesqueviajan
en sentido
Figura 5.7: Correspondencia entre las propiedades de un Job Shop y el Problema
OPT
Función vuelta el y Minimiar - Objetivo

172 5. Un Procedimiento heurístico basado en ordenación (PBO)
En la Figura 5.7 se resumen las propiedades de un problema de Scheduling tipo
Job Shop identificando la correspondencia de las mismas con las propiedades del
problema OPT.
5.5. Consideraciones en la Aplicación del método al prob-
lema OPT
El método de optimización descrito en este capítulo construye una solución al
problema, al mismo tiempo que verifica un determinado conjunto de restricciones,
el cual puede incluir o no la restricción sobre periodicidad en salidas consecutivas
(restricción C15 de la Sección 3.4.2).
Cuando se desea que determinados trenes partan de ciertas estaciones con un
periodo de tiempo definido entre sus salidas, se requiere agregar operaciones al
método previamente descrito en la Sección 5.3, de forma que asegure el cumplimiento
de la restricción sobre periodicidad en salida.
Para poder explicar con mayor facilidad cómo se lleva a cabo la satisfacción de
la restricción C15, a continuación describiremos ciertos conceptos que son utilizados
en el método de optimización.
5.5.1. La Periodicidad en Salida es incluida en el conjunto de Re-
stricciones
La restricción C15 especifica que debe existir un periodo de tiempo entre las
salidas consecutivas de determinados trenes. Cada sub conjunto de trenes i, cuyas
salidas consecutivas deben ocurrir cada cierto periodo de tiempo, se denomina Grupo
de Trenes Gi ∈ Tnew. Así, Gi representa el iésimo subconjunto de Tnew para el cual
se exige un determinado periodo entre las salidas de sus trenes, de determinadas
dependencias.
En una instancia del problema pueden existir como máximo N grupos
(0 ≤ N ≤ |Tnew|
2 ). Cuando N = 0 significa que en esa instancia del problema no
se exige periodicidad entre las salidas de los trenes. Luego, la restricción C15 no es
incluida.

5.5. Consideraciones en la Aplicación del método al problema OPT 173
La restricción C15 debe aplicarse tantas veces como grupos, G1, G2, ..., GN exista,
teniendo en cuenta las especificaciones realizadas por cada grupo definido.
Todo grupo Gi reúne las siguientes características:
tiene por lo menos dos elementos (dos trenes), ya que de lo contrario no tendría
sentido definir un periodo entre salidas,
si dos trenes forman parte de un mismo grupo, entonces realizan el mismo
recorrido incluyendo el sentido de viaje (Ida o Vuelta).
si existen dos o más grupos, entonces estos deberán ser disjuntos entre sí.
Estos requisitos, que asumimos debe satisfacer todo grupo de trenes sobre los cuales
se desea establecer la restricción C15, son modelados mediante la expresión 5.5.1,
donde G = {G1, ..., GN} es el conjunto de grupos especificados sobre Tnew.
∀Gi ∈ G : |Gi| > 1 ∧ Gi ⊆ Tnew ∧ (∀Gj ∈ G : i j → Gi ∩ Gj = ∅)∧
(∀tx ∈ Gi, ∀ty ∈ Gi :
(L = |Jx| ∧ M = |Jy|) → (L = M ∧ (∀j ∈ N : 0 ≤ j < |L| → l x j = l y
j ))) (5.5.1)
Por cada grupo Gi, 1 ≤ i ≤ N, se especifica un intervalo [P i L, P i U] que define el
conjunto de valores válidos para el periodo de tiempo (en adelante, periodo) que
debe existir entre las salidas de los trenes consecutivos que lo forman.
La expresión 5.5.2 formula la restricción C15 que debe ser satisfecha por cada
grupo Gi definido en Tnew. En dicha expresión tx y ty son trenes consecutivos en Gi
y Speriodo i es el conjunto de dependencias l i k ∈ Ji, en las cuales todo par de trenes
consecutivos {tx, ty} ⊆ Gi, debe satisfacer un determinado periodo entre sus salidas.
Dicho periodo debe estar comprendido entre P i L y P i U.
El conjunto Speriodo i es definido por cada grupo Gi en una de las dos formas
siguientes:
a)Periodicidad en todas las salidas: Speriodo i = {lk\lk = l i 0 ∨ C i k
> 0}. La peri-
odicidad en la salida de los trenes de Gi deberá cumplirse en la estación inicial
del recorrido Ji y en toda estación de Ji donde haya sido especificada para los
trenes de Gi, una parada comercial Ci k mayor a cero.
b) Periodicidad en Salida Inicial: Speriodo = {l i i 0}. La periodicidad en la salida

174 5. Un Procedimiento heurístico basado en ordenación (PBO)
de los trenes de Gi deberá cumplirse únicamente en la estación inicial de Ji.
∀tx ∈ Gi, ∀ty ∈ Gi, ∀l i k ∈ Speriodo i : (dep ty
k
(∄t ′ ∈ Gi : dep t′
k
> deptx
k
P i L ≤ dep ty
k
∧ dept′
k
> deptx
k ∧
< depty k )) →
− deptx
k ≤ Pi U (5.5.2)
La figura 5.8 muestra el algoritmo empleado para obtener una solución al proble-
ma OPT en el caso que el conjunto de restricciones que deba ser considerado incluya
a la restricción que exige un determinado periodo de tiempo entre las salidas con-
secutivas de determinados trenes. Es decir, para aquellas instancias en las cuales se
haya especificado uno o más grupos Gi de trenes cadenciados.
En este apartado daremos una descripción general del algoritmo presentado en la
Figura 5.8. En la Sección 5.6 se explicará cada paso del algoritmo en detalle así como
la correspondencia del mismo con el método de solución general propuesto en este
capítulo.
Cuando el método de solución propuesto debe ser aplicado al problema OPT,
y en el mismo se han especificado grupos de trenes cadenciados, la asignación de
horarios se realiza seleccionando un grupo de trenes cadenciados y una parte de
sus correspondientes recorridos por vez (ciclo 2 en la Figura 5.8). Una vez todos los
grupos hayan sido seleccionados, se repite el procedimiento para las partes siguientes
de los recorridos (ciclo 1 en la Figura 5.8). El procedimiento finaliza una vez que
todas las partes de cada recorrido hayan sido consideradas o cuando se interrumpe
la iteración actual porque se estima que no conducirá a una solución mejor a la
obtenida hasta entonces (prune =True en la Figura 5.8).
En la Figura 5.9 se indica la correspondencia entre el método de solución general
y su aplicación al problema OPT, cuando se incluye la restricción C15 sobre las salidas
consecutivas de trenes cadenciados.

5.5. Consideraciones en la Aplicación del método al problema OPT 175
=
j∅
=
=
=
=
+
ij
≤ prune And =
=
≤
jδ
1 i1 aFalse prune horarios de conjunto // una de ón construcci la interrumpe se si indica que e // variabl solución
, , , po( DarHoraGru While i i ini prune,G a , ref s a a=j
j 1 i False
best While And False prune G inumPart
WhileG i≤i il s0 ini=1 =i i While End i0 //recorrid del inicial estación la en inicia se grupo cada de parte primera //la en do particiona es grupo cada de recorrido //el Function adenciados ProgramarC ) , , (bestnumPart Timetablin As
hasta desde //van estaciones de secuencia //la ini j i ini i ref s G a hasta desde recorrido su de estaciones las //en de trenes los a factible horario un de signación // 1 //ciclo2
actual secuencia la de final estación la con iniciará se de trenes los //para horarios asignar deberá se estaciones de secuencia//ciclo
rEstRef ) si , , ) ref Selecciona
//siguient i iref
Endprune
a If FalseThen
return
=i Else Function EndWhile
EndWhile =
+
s= ini1
+
= ∅ return i
j (ininumPart
ono
numParts ol
a // i G l grupo e siguiente
Gδ g
, donde
ref s i
ij
aconsiderar
Figura 5.8: Algoritmo para planificar horarios de Trenes Cadenciados

176 5. Un Procedimiento heurístico basado en ordenación (PBO)
=
j∅
=
=
=
= i
i1
=
ij
≤G i prune
=
) , , (bestnumPart Timetablin As Solución Siguiente Inicio
1 aFalse prune WhileG i≤i il s0 ini=1 =i i While End0 i=i1
sij
(ininumPart , , ) ref SeleccionarEstRef
And False While
= + jδ a
s=
+
+
= ∅ return End
Gδ g
Siguiente Recorrido Siguiente Elección salidas sus entre tiempo de periodo det. un exige se que los entre os consecutiv Trenes Grupo Tarea Elección Siguiente
de Asignación grupo del tren cada por tramos de Secuencia Inicio de Instante de Elección Parte
deIntervalo Asignaciónnes Tiempo Horario Factible
Restriccio de ón ) , Verificaci , , po( DarHoraGru best i i ini prune,G a , ref s a
j i iref ini Function Else return Then False If a prune Evaluacion Continuar SI EndWhile
Fin NO SI
NO
Figura 5.9: Implementación del Método propuesto al problema OPT que incluye la
restricción sobre Periodicidad en Salida

5.5. Consideraciones en la Aplicación del método al problema OPT 177
5.5.2. La Periodicidad en Salida NO es incluida en el conjunto de
Restricciones
Cuando en una instancia del problema el número de grupos definidos a partir
del conjunto Tnew es igual a cero, significa que no se exige periodicidad entre las
salidas de ningún par de trenes pertenecientes a dicho conjunto, y por lo tanto la
restricción C15 no es un requerimiento en esta instancia del problema. El hecho de no
verificar que un determinado grupo de trenes satisfaga un periodo entre sus salidas
consecutivas cada vez que la salida de uno de ellos es modificada, permite que sea
empleado un algoritmo diferente al de la Figura 5.8 para la asignación de horarios
a trenes pertenecientes a Tnew.
En la Figura 5.10 se muestra el algoritmo empleado en cada iteración del método
de solución cuando no se incluyen trenes cadenciados. El objetivo del mismo es hallar
una de las soluciones al problema.
Function PlanificarSinPeriodo(δbest) As Timetabling
Topen = Tnew; prune =False
While(Topen ∅ And prune =False)
ti =SeleccionarTren()
sec i j =SeleccionarTramo(ti)
ā = ā ∪ AsignarHoraTrenTramo(ti, sec i j )
If(UltimoTramo(ti, sj)) Then Topen = Topen \ {ti}
δest =EstimarCosto(ā)
If (δest > δbest) Then prune =True
End While
If(prune =False) Then return ā Else return ∅
End Function
Figura 5.10: Algoritmo para la Asignación de Horarios a Trenes No Periódicos
El algoritmo de la Figura 5.10 consta de la siguiente secuencia de acciones:
Seleccionar un tren ti,
Asignar un horario factible al tren ti en el tramo correspondiente de su recor-
rido,

178 5. Un Procedimiento heurístico basado en ordenación (PBO)
Estimar un coste para la solución parcial,
que es repetida hasta que todo tren de Tnew tenga asignado un horario factible
en todas las dependencias de sus correspondientes recorridos, o hasta que el coste
estimado de la solución parcial indique que esta debe ser interrumpida (poda de una
solución).
En las siguientes secciones describiremos con mayor detalle cada una de éstas
acciones que hacen a la búsqueda de una solución.
5.6. Descripción detallada del Método de Solución apli-
cado al Problema OPT
En las secciones previas se ha descrito el esquema general del método de solución
que hemos propuesto para resolver problemas de scheduling tipo Job Shop (Figura
5.5). En esta sección se describirá en detalle su aplicación al problema OPT, distin-
guiendo el caso en el cual se incluyen trenes cadenciados del caso en el que no se
especifica ningún grupo de trenes cadenciados.
En la Figura 5.9 se indica la relación entre las etapas del método de solución
general, descrito en la Sección 5.3, y los procedimientos o pasos que resultan de su
aplicación al problema OPT, específicamente para el caso en el cual se han especificado
trenes cadenciados.
Hemos denominado Proceso Basado en Ordenación (PBO) al método de solución
propuesto. En la siguientes secciones explicaremos cómo se lleva a cabo cada etapa
de este procedimiento cuando es aplicado para resolver el problema OPT.
5.6.1. Primera Etapa: Siguiente Operación
En el problema OPT, elegir la siguiente operación, consiste en elegir el siguiente
tramo del recorrido de un tren. Cuando más de un tramo del recorrido de un mismo
tren carece de horario, no todos estos tramos son candidatos a ser seleccionados,
únicamente el tramo por el cual pasaría primero el tren. La elección realizada en
esta etapa determina el orden de prioridades entre los trenes sobre las vías de un
mismo tramo.

5.6. Descripción detallada del Método de Solución aplicado al Problema OPT 179
El hecho de que un horario satisfaga un conjunto determinado de restricciones
puede implicar resolver conflictos entre trenes que compiten por un mismo tramo,
ya sea trenes del mismo sentido o trenes con sentidos opuestos. La forma en que
estos conflictos sean resueltos determinará la diferencia entre una solución y otra, y
por lo tanto la diferencia entre uno y otro coste de la función objetivo F (ā).
En el método que hemos desarrollado, un conflicto es resuelto según la prioridad
asignada a cada tren. La prioridad a su vez es asignada según el orden en el que
cada tren haya ocupado un determinado tramo. Es por ello que el hecho de asignar
un horario factible a un tren en una parte de su recorrido y no necesariamente en
todo su recorrido antes de seleccionar un siguiente tren, permite que las prioridades
de los trenes sean establecidas por tramos y no por recorridos. De esta forma se
permite que una región mayor del espacio de búsqueda genere soluciones factibles y
con ello mayor posibilidad de encontrar una solución cercana a la óptima.
a) Periodicidad en Salida es incluida en el conjunto de restricciones
En este apartado detallaremos cómo se lleva a cabo la elección de la siguiente
operación, cuando en el problema existen uno o más grupos de trenes cadenciados.
En este caso, no se elige el siguiente tramo correspondiente a un solo tren, sino el
siguiente tramo correspondiente a cada uno de los trenes pertenecientes a un mismo
grupo de trenes cadenciados. Además, puede elegirse más de un tramo del recorrido
de un mismo tren, siempre y cuando sean consecutivos y se respete la relación de
precedencia entre los tramos de un mismo recorrido. Si se eligen n ≥ 1 tramos del
recorrido de un tren que pertenece a un grupo de cadenciados, también deberán ser
elegidos n tramos del recorrido correspondiente al resto de trenes pertenecientes al
mismo grupo.
Como puede verse en la Figura 5.8, el método divide el recorrido de cada grupo en
numP art partes. Cada parte es una secuencia ordenada, subconjunto del recorrido
considerado y por cada una se asigna un horario factible a un grupo por vez.
El hecho de permitir que el horario de un tren sea asignado en una parte de
su recorrido antes de seleccionar un siguiente tren, y no necesariamente en todo su
recorrido de una vez, permite que existan más soluciones diferentes y con ello mayor
posibilidad de obtener mejores soluciones.
A cada parte j de un recorrido Ji denominamos Jij . En los siguientes párrafos

180 5. Un Procedimiento heurístico basado en ordenación (PBO)
describiremos cómo es formada cada una de las partes Jij
solución determinada.
correspondientes a una
El conjunto G = {Gi\1 ≤ i ≤ N} define los N grupos a ser considerados. El
método utilizado selecciona un grupo Gi ∈ G por vez en un orden secuencial desde
i = 1 hasta i = N. Cada vez que selecciona un grupo Gi, debe decidir qué tramos
de Ji formarán parte de la jésima partición que realiza sobre este recorrido.
Por cada grupo Gi se identifica un conjunto de estaciones de referencia
Si = {sj\sj ∈ Ji ∩S} donde cada elemento del mismo es una dependencia de Ji cuyo
tipo es estación. En la figura 5.11 se muestra un ejemplo de conjunto Si para un
grupo Gi.
= = 1 1 0 0 2 1 0 4 3 2 1 0 ; J i y x i 24
l
Figura 5.11: Estaciones de Referencia para el grupo Gi de trenes ty
t
l3 , } , } , , l l lG
t s S l l l l
El número de particiones que se pueden realizar sobre los recorridos Ji es un
x l ss
t s s s { , , { , { ;} 0
parámetro de cada instancia del problema y está representado por la variable numP art
en la Figura 5.8. El conjunto de grupos G es recorrido numP art veces y por cada
vez una parte de Ji es definida.
Cada partición Jij , 1 ≤ j ≤ numP art de un recorrido Ji = {li 0 , li 1 , .., li mi } es
una secuencia ordenada finita de dependencias, subconjunto de Ji. Considere que
Ji0 ∪ Ji1 ∪ .. ∪ JinumP art
l2 l4 l1
= Ji.
Las particiones se forman seleccionando numP art estaciones de Si. A cada una
de ellas se denomina refij , 1 ≤ j ≤ numP art. Teniendo en cuenta que refinumP art =
lmi , podemos definir una partición Jij como la secuencia ordenada de dependencias
{l i x, l i x+1 , .., li x+ni j } donde:
l i x =
⎧
⎪⎨
l i 0
if j = 1,
⎪⎩ refij−1 if j > 1.
=
=
=
⊆

5.6. Descripción detallada del Método de Solución aplicado al Problema OPT 181
l i x+ni j = refij
∀j ∈ N : 1 ≤ j < numP art → Jij ∩ Jij+1 = {refij }
Teniendo en cuenta la definición previa, una posible partición para Ji siendo
numP art = 3 podría ser Ji1 = {li 0 , .., li k }, Ji2 = {li k , .., li n}, y Ji3 = {li n, .., l i mi }.
Cada jésima parte de un recorrido Ji finaliza con una estación refij ∈ Ji ∩
Si a la cual denominamos jésima Estación de Referencia de Gi. La selección de
Estaciones de Referencia para un grupo Gi es realizada en forma independiente del
resto de grupos en G. Si consideramos el ejemplo anterior, las estaciones de referencia
correspondientes a las partes j = 1, j = 2 y j = 3 del grupo Gi son las estaciones
lk, ln y lmi , respectivamente. El hecho de ser li k Estación de Referencia de la parte
j = 1 de un grupo Gi, no implica que deba ser Estación de Referencia de las partes
j = 1 del resto de grupos en G.
En la Figura 5.12 se muestra un ejemplo de cómo se han particionado los recor-
ridos correspondientes a dos grupos de trenes Gi y Gk, siendo numP art = 2. En
este ejemplo, se debe seleccionar dos estaciones de referencia por cada grupo, ya
que el número de particiones es igual a 2. En el caso del grupo Gi, la estación de
referencia es si2 , y en el caso del grupo Gk, las estaciones de referencia son sk2 y
sk4 . El grupo Gi consta de una sola estación de referencia, porque esta estación es
la ultima estación de su recorrido.
La etapa Siguiente Operación selecciona un grupo de trenes, a partir del cual
conoce la estación de referencia que debe utilizar como límite del recorrido a ser
seleccionado. Así, si se selecciona al grupo Gi del ejemplo previo, y se trata de la
primera partición, entonces la estación de referencia es si2 , por lo tanto los tramos
seleccionas en esta etapa son los que se hallan entre la estación origen de cada tren
de Gi y la estación de referencia si2 . Si por el contrario, hubiera sido seleccionado
el grupo Gk, y se tratara de la primera partición de los recorridos, entonces los
tramos seleccionados hubieran sido aquellos comprendidos entre la estación origen
de cada tren de Gk y la estación de referencia sk2 . Cuando vuelva a ser aplicada la
etapa Siguiente Operación durante la construcción de la misma solución, el número
de partición será dos. En este caso, ningún tramo perteneciente al recorrido de
los trenes de Gi serán tramos candidatos de ser seleccionados, ya que a todos les
ha sido asignado un horario. Sin embargo, sí estarán como tramos candidatos los

182 5. Un Procedimiento heurístico basado en ordenación (PBO)
pertenecientes al recorrido de los trenes de Gk que se hallaran entre las estaciones
sk2
y sk4 . Al no haber otro grupo en el problema considerado, serán estos los tramos
elegidos. Posteriormente el conjunto de tramos candidatos quedará vacío. Luego,
será la última vez que esta etapa sea ejecutada antes de que se inicie una nueva
iteración buscando una nueva solución.
=
=
1 k t 1 t
G=
=
=
=
Figura 5.12: Un Ejemplo de Partición de Recorridos Gi
j
, , { , { , } , 4 2 02 01 1 0 k k k k k k i i i i k k k i i i i s s s s s S s s s S t t G t t t 0 i s1 i s2 i s 0 k s1 k s2 k s3 k s4 k s 0 i t 1 i t 2 i t 0 kj
k G
En la Figura 5.8 hemos nombrado como SeleccionarEstRef a la función que 1 02 11
3 { , { } , } , , }
determina la estación refij para cada partición j de un recorrido Ji. Considerando
que si ini = li k y refij = SeleccionarEstRef (siini , j, numP art) =, definimos a esta
función como: refij =
⎧
⎪⎨ l
⎪⎩
i x; k ≤ x ≤ mi ∧ li x ∈ Si if 1 ≤ j < numP art,
li mi
if j = numP art.
b) Cuando la Periodicidad en Salida NO es una restricción del problema
En este apartado al conjunto de operaciones pendientes de ser seleccionadas
se denomina Topen. La elección de una operación consiste en elegir un tramo del
recorrido de un tren en el cual aún no se haya especificado un horario para el
mismo, respetando siempre la relación de precedencia entre los tramos de un mismo
recorrido.
La selección de un tren se realiza a partir de un conjunto de trenes al cual
denominamos Topen. Este conjunto está formado por los trenes pertenecientes a Tnew
cuyos horarios no han sido completamente especificados por la generación actual de
una solución. Es decir, si ti ∈ Topen y Ji = {li 0 , li 1 , .., li mi } es su recorrido, entonces
debe existir una estación l i k ∈ Ji tal que:
un horario factible haya sido asignado en los tramos comprendidos entre l i 0

5.6. Descripción detallada del Método de Solución aplicado al Problema OPT 183
(inicio del recorrido de ti) y l i k ,
reste por asignar un horario factible en los tramos comprendidos entre l i k y li mi
(fin del recorrido de ti), y
l i k = li mi .
Cada tren ti deja de pertenecer al conjunto Topen cuando un horario factible es
asignado al mismo en todas las dependencias de su recorrido, desde li 0 hasta li mi . En
la Figura 5.10 esto equivale a que la función UltimoTramo(ti, seci j ) devuelva el valor
True.
Si especificamos el recorrido Ji de un tren ti en función de los tramos estación que
lo forman (ver definición de tramos en la sección 3.3) tenemos que Ji = {sec i 0, sec i 1 , .., seci ni },
siendo sec i 0 = l i 0 → li x y sec i ni = li mi−ai → li mi . Luego, la función UltimoTramo(ti, sec i j )
es definida como:
UltimoTramo(ti, sec i ⎧
⎪⎨
j) =
⎪⎩ False else.
True if sec i j = seci ni
(5.6.1)
Por cada tren ti ∈ Tnew, se define un conjunto al que hemos denominado Sec i done .
Está compuesto por aquellos tramos sec i k ∈ Ji en los cuales un horario factible ha
sido asignado a ti, por la generación actual. Al iniciarse la generación, cada conjunto
Sec i done , 0 ≤ i < |Tnew| está vacío.
Para llevar a cabo la selección de un tren ti de entre todos los trenes pertenecientes
a Topen se tiene en cuenta la función objetivo del problema (ver Sección 3.4.3). La
función objetivo del problema tiene dos componentes, el retraso promedio de los
trenes y el equilibrio entre el retraso promedio de los trenes que viajan en sentido
Ida y los trenes que viajan en sentido Vuelta. Para elegir el siguiente tren a ser
considerado se tiene en cuenta la primera componente de la función objetivo. Para
ello, se asigna a cada tren ti ∈ Topen una probabilidad ρi de ser elegido. La prob-
abilidad asignada a un tren es directamente proporcional al retraso que este lleve
con respecto a su tiempo de referencia considerando los tramos en los que ya tenga
asignando horario factible. Es decir para realizar este calculo se tiene en cuenta el
tiempo de referencia y el horario asignado a los tramos sec i k ∈ Seci done .
Por cada tren ti ∈ Topen, se calcula cuál es su retraso parcial δ i partial . Si Seci done =
∅ entonces δi partial = 0, en caso contrario si Seci done = {seci0 , .., secij } entonces el

184 5. Un Procedimiento heurístico basado en ordenación (PBO)
retraso parcial de un tren ti queda definido por la siguiente expresión:
δ i partial = arri j − depi 0 − Γ i ref
Γ i ref
(5.6.2)
Considerando el retraso parcial de cada tren ti se obtiene el mínimo retraso parcial
como: δmin = mín ti∈Topen (δi partial ), la probabilidad ρi, de que el tren ti sea selec-
cionado es calculado según la siguiente expresión:
(δ
ρi =
i partial − δmin + ε) α
ti∈Topen (δi partial − δmin + ε) α
(5.6.3)
Dada la expresión 5.6.3, para calcular la probabilidad de selección de cada tren
se utilizan dos valores α y ε. Para la aproximación PBO, estos son valores conocidos,
los cuales son asignados teniendo en cuenta que:
Cuanto mayor sea el valor de α, más determinístico será el proceso de selec-
ción. Es decir, en cada generación de una nueva solución siempre se tenderá a
seleccionar aquel tren que lleve mayor retraso.
Si ε = 0, entonces es posible que aquellos trenes con un retraso cero en el
momento de la selección, también formen parte de los trenes elegibles.
A partir del objetivo que cumplen α y ε en la expresión 5.6.3, se deduce que si
α = 0, entonces la aproximación PBO se convierte en un método constructivo, donde
cada generación de una solución explora una región del espacio de búsqueda elegida
de forma aleatoria sin utilizar ningún criterio de selección. En este caso definimos
como PBO RAND, al método empleado.
Una vez, cada tren tenga asociada una probabilidad de selección entre 0 y 1, el
siguiente paso consiste en seleccionar el tren. La forma en que se selecciona el tren
es dado por el algoritmo de la Figura 5.13
Como puede verse en la Figura 5.13, para seleccionar un tren, no necesariamente
es seleccionado el tren con mayor probabilidad asociada. La selección tiene una
componente aleatoria que es la que permite recorrer diferentes regiones del espacio de
búsqueda. Según el algoritmo SeleccionarTren se selecciona un valor aleatorio que
luego es normalizado entre 0 y 1. RAND_MAX es una constante definida para el mayor
valor que puede devolver la función rand(). Posteriormente se van acumulando las
probabilidades de cada tren hasta que el valor acumulado sea igual o mayor que

5.6. Descripción detallada del Método de Solución aplicado al Problema OPT 185
Function SeleccionarTren() As Train
value =rand()/RAND_MAX
i = 0
indice = −1
sumP rob = 0
While(indice < 0)
sumP rob = sumP rob + ρi
If(sumP rob ≥ value) Then indice = i Else i = i + 1
End While
return tindice
End Function
Figura 5.13: Algoritmo para Seleccionar un Tren
value, al llegar este momento es el tren ti cuyo valor ρi fue el ultimo valor agregado
a sumP rob, el tren seleccionado para que un horario factible sea especificado en un
determinado tramo de su recorrido.
Una vez un tren ti, tal que ti ∈ Topen ha sido seleccionado, el siguiente paso
consiste en especificar el tramo de su recorrido que deberá ser considerado para que la
asignación de un horario factible sea realizada. El horario de cada tren perteneciente
a Tnew es especificado por cada dependencia de su recorrido en forma secuencial en el
mismo orden dado por el recorrido Ji. Es decir, siendo 0 ≤ k < mi, el proceso asigna
un horario factible a ti en la dependencia li k+1
un horario factible al mismo en la dependencia li k .
si y solo si ha asignado previamente
Dado un tren ti, la función SeleccionarTramo(ti) devuelve el tramo sec i k
en el
cual debe asignarse un horario a ti. Esta función es definida mediante la expresión
5.6.4.
⎧
⎪⎨
SeleccionarTramo(ti) =
⎪⎩
sec i 0
if Sec i done
= ∅
sec i k+1 if Seci done = {seci 0 , .., seci k }.
(5.6.4)
Hemos modelado el problema como un árbol de búsqueda cuyo nodo raíz (nodo
inicial) representa la programación de horarios vacía. Por cada nodo donde no exista
ningún sucesor posible existe un nodo artificial terminal (nodo final). Cada nodo
intermedio está compuesto por un par ordenado (ti, seci j ), el cual indica que un

186 5. Un Procedimiento heurístico basado en ordenación (PBO)
horario factible debe ser encontrado para el tren ti ∈ Topen en el tramo sec i j
de su
recorrido. Cada nivel del árbol indica qué parte del horario de cada tren puede ser
generado. El método debe determinar en cada nivel, cuál de los nodos será elegido.
El problema consiste en encontrar un camino en el árbol de búsqueda, (desde el
nodo inicial hasta el nodo final), tal que el orden de prioridades establecido por
este camino produzca el mínimo retraso promedio (Figura 5.14). Un nodo es elegido
según el algoritmo de la Figura 5.13, tal que el tren con mayor prioridad no es
necesariamente el tren elegido, debido a la componente aleatoria del método.
Si el nodo (ti, seci j ) es seleccionado, entonces el siguiente paso consistirá en asig-
nar el horario al tren ti en el tramo sec i j
siguiente sub sección.
t 1 2,s t 4 3,s t 1,s2,s
t 4 3,s t 1,s2,s
t 3 3,s t 1,s
2,s t 2 3,s t2 3,s t 2 1,s t 2 2,s t 2 2,s 3,s t 1,s 1,s
3,s t 1,s t 2 2,s3,s
t 2 2,s 3,s t2 2,s
2 t 12
t 1 1
t 1 t 2 3 t2 t 2
4 t 2 t 1 2
t3 2,s t2,s
final
initial
de su recorrido, lo cual es descrito en la
Figura 5.14: Arbol de Búsqueda para el Problema de Programación de Horarios final
t4
Las restricciones disyuntivas son la principal causa de la complejidad de este
initial

5.6. Descripción detallada del Método de Solución aplicado al Problema OPT 187
problema. Estas restricciones son debido a la competición entre dos trenes por un
mismo recurso ferroviario. Esto es: un tramo o una vía en una estación. Cuando
hay un conflicto entre dos trenes por el mismo recurso, y uno de ellos es un tren
en circulación siempre tendrá mayor prioridad el tren en circulación, y el nuevo
tren será retrasado. Sin embargo cuando el conflicto ocurre entre dos trenes nuevos,
usamos una heurística basada en el orden de selección de los trenes para determinar
cuál de los dos trenes tendrá mayor prioridad sobre este recurso. Cada solución
estará determinada por esta asignación de prioridades.
5.6.2. Segunda Etapa: Asignación de Horario Factible
En el sub procedimiento Asignación de Horario Factible se incluyen los sub pro-
cedimientos Siguiente Operación, Elección Instante de Inicio, y Asignación Intervalo
de Tiempo, descritos en la sección 5.3, como parte del método de solución propuesto
para el problema de scheduling tipo Job Shop.
En esta sub sección describiremos la implementación de estos sub procedimien-
tos según el conjunto de restricciones considerado. Se realiza una implementación
cuando la restricción sobre periodicidad en salida forma parte del conjunto de re-
stricciones (a), y otra en el caso que dicha restricción no sea incluida (b).
a) Periodicidad en Salida es incluida en el conjunto de restricciones
Dado un grupo Gi y una secuencia ordenada de dependencias Jij (jésima partición
del recorrido Ji), en este apartado explicaremos cómo se realiza la asignación
de horarios válidos a cada tren de Gi en las dependencias que forman Jij .
Considerando que Ji = {li 0 , li 1 , .., li mi } es el recorrido de los trenes pertenecientes
a Gi, y Si = {s0, s1, ...sni } es el conjunto de estaciones incluidas en dicho recorrido,
sk, 0 ≤ k ≤ ni, representa la késima estación visitada por cada tren de Gi cuando
este realiza su recorrido Ji. Luego, s0 y sni
respectivamente, del recorrido Ji.
son la primera y la última estación,
En la Figura 5.15 se representa el método utilizado para la asignación de horarios
a los trenes de Gi en el recorrido Jij . Esta operación es realizada mediante la función
DarHoraGrupo, cuyos argumentos son detallados a continuación:
sini y sfin son la primera y la última dependencia de Jij , respectivamente. La

188 5. Un Procedimiento heurístico basado en ordenación (PBO)
partición considerada es definida como Jij = {li k , li k+1 , .., li k+aj }, donde li k = sini
, en
y l i k+aj = sfin. Como vimos en el apartado anterior, si j = 1, sini = l i 0
caso contrario, si j > 1, sini = refij−1 ; por otro lado , sfin = refij ,
δbest, referencia el coste, según la función objetivo del problema, de la mejor
solución hallada hasta el momento,
ā, es el conjunto de horarios que ha sido asignado a cada tren de Tnew en la
iteración actual, desde l i 0 hasta refij considerando cada grupo Gi ∈ G,
prune, es una variable de salida, la cual determina si la presente iteración debe
ser interrumpida (prune =True) o no (prune =False),
Gi, trenes, cuyos horarios deberán ser especificados por esta función en las
dependencias que forman la secuencia Jij .
Function DarHoraGrupo(sini, sfin, δbest, ā, prune, Gi) As Timetabling
j = ini
While (sj sfin And prune =False)
dep =CalcularSalida(sj)
ā = ā ∪ AsignarHorario(sj, dep, Gi)
δest =EstimarCosto(ā)
If (δest > δbest) Then prune =True
j = j + 1
End While
return ā
End Function
Figura 5.15: Asignación de horarios válidos para Gi en una partición j de su recorrido
El grupo Gi = {ti1 , ti2 , .., tci } es una secuencia ordenada de ci trenes. El orden
en el cual deben partir dichos trenes de las estaciones sk ∈ Speriodo i establece el
orden de la secuencia dada por Gi.
Definimos la secuencia ordenada Sij = {sk, sk+1, .., sk+m} como el conjunto de
estaciones incluidas en la partición Jij es decir Sij = Jij ∩ Si siendo sk = sini y
sk+m = sfin.
Consideramos que un tramo es la secuencia de dependencias por las que debe

5.6. Descripción detallada del Método de Solución aplicado al Problema OPT 189
pasar un tren para ir desde una estación sj a la siguiente estación sj+1 de su recor-
rido. Teniendo en cuenta la secuencia de estaciones existente en el recorrido Ji,
secj = sj → sj+1, 0 ≤ j ≤ (n − 1)i, son los tramos existentes en dicho recorrido. En
+ i l2 k
+ ik
+ k i l3
+ k i l4
Figura 5.16: Asignación de Horarios a Trenes Consecutivos
recorido
la Figura 5.16 se muestra un ejemplo donde el tramo secj = sj → sj+1 está formado
0
por la secuencia secj = {lik , lik+1 , lik+2 , lik+3 , lik+4 } donde lik = sj y lik+4 = sj+1.
El método que hemos utilizado considera la secuencia Sij como una secuencia
de tramos seck, 0 ≤ k < m. Se selecciona un tramo por vez en el mismo orden
i l1k
j s
1 t 1 t Conflicto ÚnicaVía Tiempo l
especificado por Sij y por cada tramo seleccionado se busca asignar un horario
factible a todos los trenes de Gi en dicho tramo. El horario es asignado a cada tren
según el orden especificado por Gi.
La forma en que se lleva a cabo la asignación de un horario factible a cada tren
i
P
de Gi en un determinado tramo seck = sk → sk+1 es descrita mediante la siguiente
secuencia de pasos:
1. Asignación de instante de salida al tren tiy en la estación sk (instanciación de
la variable dep iy
k ).
El instante de salida de tiy de la estación sk es calculado según se requiera o
no que los trenes de Gi cumplan con una determinada periodicidad Pi en sus
salidas de sk, y según tiy sea o no el primer tren de la secuencia Gi (y = 0 o
y > 0, respectivamente).
Las siguientes expresiones, 5.6.5 y 5.6.6, modelan las condiciones que se tienen
en cuenta para evaluar el instante de salida de la estación sk correspondiente
+ sj

190 5. Un Procedimiento heurístico basado en ordenación (PBO)
al tren tiy.
sk ∈ Speriodo i → dep iy
k =
⎧
⎪⎨
dep
⎪⎩
iy−1
k + Pi if y > 0,
v\v ∈ [Ii L, Ii U]
arr
if k = 0 And y = 0
iy
sk ∈ Si \ Speriodo i → dep iy
k
k + Ci k if k > 0 And y = 0.
(5.6.5)
= arriy
k + Ci k (5.6.6)
2. Ubicación del tren tiy en el tramo seck en función del tiempo, a partir de un
determinado instante de salida dep iy
k .
Dado el instante de salida dep iy
k calculado en el punto previo, se procede a
calcular el instante de salida y el instante de llegada del tren tiy en cada una
de las restantes dependencias del tramo seck. Se obtiene con ello un horario
provisional ya que aún resta la comprobación de la satisfacción de restricciones
dadas por Ch, por parte de este horario.
∀lx ∈ seck \ {sk+1} : arr iy
x+1 = depiy x + ∆ iy
x→(x+1)
∀lx ∈ seck \ {sk, sk+1} : dep iy
x = arr iy
x + C i x
(5.6.7)
(5.6.8)
La expresión 5.6.7 especifica cómo es calculado el instante de llegada a las
dependencias pertenecientes al tramo seck sin considerar la estación que inicia
el tramo sk. El instante de llegada a sk es calculado cuando se considera el
tramo seck−1 siempre y cuando k > 0. El instante de llegada a sk cuando
sk = s0 no es utilizado ya que es la estación inicial del recorrido Ji.
La expresión 5.6.8 especifica cómo es calculado el instante de salida de cada
dependencia perteneciente a seck, exceptuando las estaciones inicial y final del
tramo, sk y sk+1. El instante de salida de la estación sk es calculado en el punto
previo debido a que el instante de salida en las estaciones que inician un tramo
pueden tener que cumplir restricciones adicionales al resto de dependencias del
tramo. Por otro lado el instante de salida de la estación sk+1 será calculado al
considerar el siguiente tramo seck+1.
3. Verificación del horario provisional según las restricciones dadas en Ch. Se
verifica que cada una de las restricciones dadas en Ch sea satisfecha por el

5.6. Descripción detallada del Método de Solución aplicado al Problema OPT 191
horario provisional asignado en el punto previo. Al realizar la verificación de
las restricciones, el proceso considera la ocupación del tramo considerado según
el horario asignado previamente al resto de trenes en Tnew y al conjunto de
trenes en circulación TC. Si alguna de las restricciones ha sido incumplida el
proceso va al punto siguiente, de lo contrario el proceso va al punto 5.
4. Reparación del horario provisional. Cuando una de las restricciones de Ch es
incumplida se analiza esta restricción para calcular la cantidad de tiempo ∆
que debe ser retrasado el instante de salida de tiy de la estación sk para que
dicha restricción pueda ser satisfecha.
Si la estación sk ∈ Speriodo i significa que los trenes de Gi deben satisfacer una
determinada periodicidad entre sus salidas, por lo tanto se retrasa la salida
del primer tren de Gi en la cantidad de tiempo dada por ∆. Luego se repite
esta secuencia de pasos desde el paso 2 para el tren tiy = ti1
(ver Figura 5.17).
Si sk /∈ Speriodo i entonces, se retrasa la salida del tren siendo considerado, tiy,
en ∆ unidades de tiempo. Luego, se vuelve al paso 2.
+ i l2 l3 k
+ i l4 k
+ ik
+ ik
Figura 5.17: Resolución de Conflictos durante la Asignación de Horarios a Trenes
Consecutivos
retraso
j s 1 ÚnicaVía salida la en recorido
Tiempo t t 1 l
5. Fin de la secuencia para el tren tiy. Si y < ci entonces se selecciona el tren
0
tiy+1
i l1k
y se repite la secuencia desde el paso número 1.
En la Figura 5.18 se muestra un ejemplo de cómo la asignación de horario a un tren
ya sea perteneciente a Tnew o perteneciente a T C determina una región de prioridad
i
P
+ sj

192 5. Un Procedimiento heurístico basado en ordenación (PBO)
+ ik
+ i l4 k
+ ik
+ ik
i t E
Figura 5.18: Asigación de Prioridades en un Tramo
R
en dicho tramo tal que ningún otro tren podrá ocupar. Como un ejemplo, se puede
ver en la Figura 5.18 al tren ti. A dicho tren se le ha asignado un horario según
j s
1 s ÚnicaVía Tiempo t 3 v t i t R 1 v t
l
muestra la figura en cada una de las dependencias del tramo seck. Esta asignación
l2 l3 l1
i recorido i t 1 v t 2 v k
de horarios hace que los trenes que viajan en el sentido opuesto no puedan ocupar
las regiones sombreadas de la figura, ya que podrían violar las restricciones para
evitar cruce o para cumplir con un determinado tiempo de recepción o expedición.
El orden en el que se asigna un horario a los trenes determina la prioridad de los
mismos en cada tramo. Por ello según la forma en que se particionen los recorridos
de cada grupo se determinará el orden en el que los trenes ocupen cada tramo del
recorrido común y con ello la prioridad establecida entre ellos. Cuando las particiones
son seleccionadas de forma diferente, las soluciones son diferentes.
b) Periodicidad en Salida NO es incluida en el conjunto de restricciones
Una vez ha sido seleccionado el tren y el correspondiente tramo de su recorrido,
el siguiente paso consiste en asignar al mismo un horario factible, que le genere el
mínimo retraso posible, en el tramo considerado. El objetivo consiste en determinar
la ocupación del recurso (tramo) satisfaciendo el conjunto de restricciones Ch de tal
forma que la función objetivo sea tenida en cuenta (minimizar el retraso promedio
de los trenes). En la Figura 5.10, la función AsignarHoraTrenTramo(ti, seci j ) lleva a
cabo esta tarea. En esta sub sección explicaremos cómo esta tarea es llevada a cabo
teniendo en cuenta que el tren seleccionado es ti y sec i j
+ j
es el tramo correspondiente
al recorrido de ti, donde un horario factible debe ser especificado para el mismo.

5.6. Descripción detallada del Método de Solución aplicado al Problema OPT 193
Teniendo en cuenta la definición de tramo estación dada en la sección 3.3 del capítulo
3, considere que sec i j = {li x, .., l i x+ci }, siendo li x y l i x+ci
las estaciones que inician y
finalizan el tramo seci j , respectivamente.
Hemos descrito la forma de construir el horario de un tren en un determinado
tramo de su recorrido mediante la siguiente secuencia de pasos:
1. Inicio del Intervalo de Ocupación. Dado el tramo seci j = {li x, .., li x+ci }, el primer
paso de esta secuencia consiste en especificar un posible instante de salida para
el tren ti de la estación que inicia el tramo considerado. Es decir se asigna un
valor de partida a la variable dep i x, siendo l i x la estación que inicia el tramo
seci j . Este valor de partida es calculado según ha sido formulado en la expresión
5.6.9.
dep i x =
⎧
⎪⎨ v\v ∈ [Ii L, Ii U] if x = 0
⎪⎩
arr i x + C i x
if x > 0.
(5.6.9)
Cuando la estación l i x, inicio del tramo, es además la estación inicial del recor-
rido, el valor asignado a dep i x es un valor v que debe pertenecer al intervalo
[I i L, I i U], el cual es definido por cada tren como el intervalo de valores váli-
dos para el instante de salida de la estación inicial de sus correspondientes
recorridos (ver restricción 3.4.16).
Si por el contrario l i x es una estación intermedia del recorrido de ti (x > 0), el
instante de salida de ti de dicha estación es especificado a partir de su instante
de llegada (arr i x). Dado que la construcción del horario se realiza teniendo
en cuenta la función objetivo, y en este caso esta determina que debe existir
el mínimo retraso posible por cada tren, se busca que el tren ti salga de l i x
realizando la mínima parada posible. Esto significa una vez llegue a l i x apenas
transcurra el mínimo tiempo de parada comercial, establecido para dicho tren
en la estación considerada, ya que la restricción 3.4.22 debe ser satisfecha.
El instante de salida establecido en este punto es un valor de partida mediante
el cual se propone mediante el siguiente punto una posible ocupación del tramo
sec i j
por parte del tren ti.
2. Una Propuesta para la Ocupación del recurso. Dado un determinado instante
de salida dep i x, se construye un horario para el tren ti teniendo en cuenta

194 5. Un Procedimiento heurístico basado en ordenación (PBO)
las restricciones sobre tiempo de recorrido y parada comercial, restricciones
3.4.14 y 3.4.22, respectivamente. Así, el instante de salida del tren ti de cada
dependencia l i y, x < y < x + ci es calculado según la expresión 5.6.10.
dep i y = arr i y + C i y
(5.6.10)
El instante de salida correspondiente a ti en la dependencia que inicia el tramo,
es el instante a partir del cual se calculan los instantes de salida y de llegada
correspondientes al resto de dependencias incluidas en sec i j .
Este instante es especificado inicialmente en el punto 1 de esta secuencia.
Sin embargo, puede ser modificado. De ser así, el horario en el resto de las
dependencias se vuelve a calcular de la misma forma, pero a partir de un
nuevo valor para el instante de salida dep i x.
El instante de salida correspondiente a la última estación del tramo (l i x+ci )
no es calculado al ser considerado el tramo seci j , ya que de no ser la última
estación del recorrido su valor será determinado al ser considerado el tramo
sec i j+1 .
El instante de llegada de ti a cada dependencia l i y, x ≤ y < x + ci es calculado
según la expresión 5.6.11.
arr i y+1 = dep i y + ∆ i y→(y+1)
(5.6.11)
El instante de llegada del tren ti a la dependencia l i x fue calculado al ser
considerado el tramo previo sec i j−1 , siempre y cuando li x no fuera la estación
inicial del recorrido. De ser así, este instante no es calculado, ya que el instante
de llegada de un tren a la estación inicial de su recorrido no es un requerimiento
de la solución del problema.
Una vez obtenido un posible horario para el tren ti en el tramo seci j , el siguiente
paso consiste en comprobar su factibilidad según el resto de restricciones
especificadas en Ch.
3. Satisfacción de Restricciones: en este punto se recibe una propuesta de horario
para el tren ti en el tramo sec i j
y se verifica si esta es factible según las restric-
ciones especificadas en Ch. Al realizar la verificación se considera que dicho
tramo está ocupado por todos los trenes en circulación y por aquellos trenes

5.6. Descripción detallada del Método de Solución aplicado al Problema OPT 195
pertenecientes a Tnew cuyos horarios en sec i j
han sido asignados previamente
a ti. Si ninguna restricción es incumplida se pasa al punto 5 de esta secuencia.
Si por el contrario, alguna restricción es incumplida, se intenta reparar el in-
cumplimiento según es descrito en el siguiente punto de esta misma secuencia.
4. Reparación de Restricciones incumplidas. Cuando una restricción es incumpl-
ida, el proceso analiza la restricción para determinar la mínima cantidad de
tiempo ∆ en la que debe ser retrasada la salida de ti de la estación l i x, de tal
forma a reparar la restricción incumplida. Luego, se modifica el valor de dep i x
a dep i x = dep i x + ∆, volviendo posteriormente el proceso al punto 2 de esta
secuencia.
Es en este punto donde se puede notar cómo afecta al proceso empleado el
orden en que son seleccionados los trenes pertenecientes a Tnew para computar
sus horarios en un determinado tramo.
Cuando una restricción es incumplida, se retrasa la salida del tren cuyo horario
se está generando, en este caso ti, es decir si la restricción incumplida involucra
a ti y a otro tren tj, se le asigna mayor prioridad a tj. Esto es debido a que
si se tiene en cuenta el horario de tj cuando se está verificando el horario de
ti, significa que el horario de tj fue asignado previamente, por lo tanto debe
tener mayor prioridad que ti.
5. Fin de Asignación de Tramo. Una vez todas las restricciones han sido veri-
ficadas y cumplidas por el horario asignado a ti en seci j , este es añadido al
conjunto de horarios válidos asignados hasta el momento por la generación
actual. Este conjunto es representado por la variable ā en la Figura 5.10.
El hecho de agregar este nuevo horario al conjunto asignación ā significa que
la ocupación realizada por el tren ti en el tramo seci j , conforme el horario
asignado, se agrega a la lista de ocupación definida hasta el momento para
dicho tramo. Esto a su vez implica que sucesivos horarios a ser asignados
deberán tener en cuenta el horario establecido para ti en sec i j
la correspondiente verificación de restricciones.
cuando se realice
Finalmente, el tramo sec i j del recorrido Ji es agregado como último elemento
de la secuencia ordenada Sec i done
(ver Figura 5.10), ya que de esta manera el

196 5. Un Procedimiento heurístico basado en ordenación (PBO)
proceso lleva seguimiento de cuáles son los tramos del recorrido de un tren, en
el que ya ha sido asignado un horario factible en el orden en que esta asignación
ha sido realizada.
Cada vez que finaliza la asignación de un horario factible a un tren en un tramo
de su recorrido, el siguiente paso del proceso consiste en estimar el coste de la
solución, considerando el conjunto de horarios especificados hasta el momento por
la generación actual. Este procedimiento es descrito en la siguiente sub sección.
5.6.3. Tercera Etapa: Evaluación de Solución Parcial
Una vez asignado un horario factible en un tramo seck, a un tren tiy tal que tiy ∈
Gi, el siguiente paso consiste en estimar el coste que tendría la solución en proceso
de construcción; lo cual es llevado a cabo con el objetivo de interrumpir aquellas
generaciones donde el coste estimado revelase que la solución siendo construida, no
será mejor que la obtenida hasta entonces.
Pueden existir variables en X, cuyos valores no hayan sido determinados por el
proceso de búsqueda, en el momento en que se estima el coste. A éstas variables se
les asigna un valor de tal forma que en el horario determinado por ellas no exista
parada técnica alguna. El valor para el resto de las variables en X, corresponde al
valor asignado hasta ese momento por el proceso de búsqueda correspondiente a la
generación actual. El conjunto de valores, tanto los estimados como los establecidos
por el proceso de búsqueda, para cada variable xi en X, forman parte de la posible
solución āest.
Siendo F (ābest) el coste correspondiente a la mejor solución, ābest, y F (āest,
el coste estimado para la posible solución āest, si F (āest) > F (ābest), entonces la
generación de la solución actual deberá ser interrumpida, ya que sería una pérdida
de eficiencia continuar sabiendo que el menor coste que podría tener la solución
resultante ya es mayor que el coste de la mejor obtenida hasta entonces.
Para evaluar el coste de una solución, ā, correspondiente al problema OPT, se
utiliza la función de coste global F (ā) (sub sección 3.4.3 del capítulo 3). Esta función
mide, a partir de la asignación de horarios ā, el retraso promedio del conjunto de
trenes Tnew, con respecto al tiempo de referencia Γi, calculado por cada tren ti en
Tnew. En esta sección se describirá el proceso empleado para calcular el valor de Γi.

5.6. Descripción detallada del Método de Solución aplicado al Problema OPT 197
Dado un tren ti, tal que ti ∈ Tnew, decimos que Γ i ref
es el límite inferior cor-
respondiente al tiempo que ti puede emplear en realizar su recorrido completo Ji,
satisfaciendo todas las restricciones en Ch. El valor para este límite inferior es cal-
culado utilizando el siguiente algoritmo:
Por cada tramo secj = {l i k , li k+1 , ..., li k+aj }, perteneciente al recorrido Ji de ti se
llevan a cabo los pasos siguientes:
1. se relaja el problema OPT por considerar que T = {ti} ∪ T C
2. se calcula el valor inicial para la variable dep i k , instante de salida de ti de l i k ,
3. se propaga el valor de dep i k a las variables arri x+1 y depi x, mediante las restric-
ciones 3.4.14 y 3.4.22, siendo k ≤ x < k + aj,
4. considerando todas las restricciones en Ch y la relajación realizada sobre el
conjunto T, se verifica que la asignación realizada a cada variable arr i x+1 y
dep i x, k ≤ x < k + aj, sea factible,
5. si alguna restricción Ci perteneciente a Ch es incumplida, entonces se incremen-
ta el valor de la variable dep i k
de la restricción Ci, luego, se vuelve al paso 2,
en la mínima cantidad que permita la satisfacción
6. si ninguna restricción Ci perteneciente a Ch es incumplida, la secuencia de
pasos finaliza para el tramo seci. Si li x+aj = li mi , es decir no es la estación
destino de ti, se selecciona el siguiente tramo seci+1 y se repite la secuencia
de pasos desde el punto 1.
Una vez, todos los tramos seci del recorrido Ji han sido seleccionados, el resultado
consiste en un horario factible para ti, teniendo en cuenta que el problema resuelto
es el problema OPT relajado.
En la Figura 5.19 se muestra un ejemplo en el cual T C = {t1, t2} y Tnew = {ti, t3}.
En este ejemplo, se muestra el horario obtenido para ti, como resultado de aplicar la
secuencia de pasos descrita previamente. Teniendo en cuenta el horario asignado a ti
en la Figura 5.19, Γi es el tiempo empleado por el mismo para completar su recorrido.
El horario asignado a ti satisface todas las restricciones en C si se considera que los
únicos trenes existentes en la línea son ti y los trenes en circulación, lo cual no es

198 5. Un Procedimiento heurístico basado en ordenación (PBO)
t∈TC
l4
l1i l2i l3 i l0i
t∈
t∈ 3
ΓT
2 new T i C 1
)(asdependenciY i t
Figura 5.19: Cálculo de Γi. Se relaja el problema por considerar que T = {ti} ∪ TC i
verdadero si el problema OPT NO es relajado, ya que ti y t3 incumplen la restricción X(tiempo)
3.4.9, sobre cruce. Este incumplimiento es señalado por un círculo en la figura 5.19.
En la Figura 5.20 se muestra el mismo problema OPT considerado en la Figura
5.19, pero esta vez no se lleva a cabo la relajación sobre el mismo. Luego, el horario
asignado a ti satisface todas las restricciones en Ch considerando que T = Tnew ∪T C.
Esto implica resolver el conflicto señalado por un círculo en la Figura 5.19. En la
solución mostrada, se obtiene el horario factible de ti, retrasando la salida del mismo
de la estación l i 2 . En esta solución el tiempo de recorrido real de ti es Λi, lo cual
supone un determinado retraso con respecto a Γi. Otra posible solución para el
mismo problema consistiría en retrasar la salida de t3, lo cual haría que ti no tuviera
un retraso sobre su tiempo de referencia, y t3 sí.
Límite Inferior para el Coste de una Solución
El coste que se estima para la solución siendo construida es un límite inferior
para el coste real que tendría una vez sea completamente construida por el proceso
de búsqueda. Esto es debido a que la función de coste global del problema OPT es
aplicada a la asignación āest, en la cual parte de sus elementos son valores estimados
y no valores hallados por el proceso de búsqueda, ya que en el momento que se
produce la estimación ciertas variables aún no han sido instanciadas. Decimos que
es un límite inferior porque los valores que se estiman para dichas variables hacen

5.6. Descripción detallada del Método de Solución aplicado al Problema OPT 199
t∈
que éstas introduzcan un coste igual a cero en la función de coste global, por lo tanto i X(tiempo)
t∈ 3
t∈ l2i l3i
i C T 1 C T 2 new T i t l0i l4
Γ
l1i
4−
Figura 5.20: Retraso del tren ti con respecto a su tiempo de referencia Γi 0 arrdep i i )(asdependenciY
i
Λ
=
sea cual fuere su valor real, el coste que introduzcan deberá ser necesariamente igual
o mayor que el estimado.
Siendo ti un elemento cualesquiera de Tnew y Ji = {li 0 , li 1 , ..., li mi } su recorrido,
el valor para cada variable depi j y arri j+1 , 0 ≤ j < mi, es un elemento de āest. Si
en el momento de calcular un coste estimado para la solución siendo construida, el
proceso de búsqueda ha asignado un valor a las variables depi j y arri j+1 , 0 ≤ j < k,
entonces el valor de las variables depi j y arri j+1 , k ≤ j < mi, es un valor estimado por
el proceso, de tal forma que el horario que determinan éstas variables no introduzca
parada técnica alguna.
Teniendo en cuenta que la solución estimada para la generación actual es āest,
y que Γ i ref es el límite inferior calculado para el tiempo de recorrido de ti, tal que
ti ∈ Tnew, el coste que se estima para āest está dado por:
donde F1(āestI ) = ωexc ×
F (āest) = F1(āestI ) + F2(āestV ) + F3(āest)
ti∈Tnew, I
δ(āestI, i)
|Tnew, I|
representa el retraso promedio de los

200 5. Un Procedimiento heurístico basado en ordenación (PBO)
trenes que viajan en sentido ida con respecto a Γ i ref , ti ∈ Tnew, I,
F2(āestV ) = ωexc ×
ti∈Tnew,V
|Tnew,V|
δ(āestV, i)
representa el retraso promedio de los
trenes que viajan en sentido vuelta con respecto a Γ i ref , ti ∈ Tnew, V, y
E(āest) = F1(āestI ) + F2(āestV ) es el retraso promedio de todos los trenes en Tnew
con respecto a Γ i ref , ti ∈ Tnew
El retraso de cada tren ti en Tnew con respecto a Γi ref , está dado por
δ(āest dir , i) = arri mi − depi 0 − Γi ref
Γ i ref
× p i
(5.6.12)
Como puede verse en la sección 3.4.3 del capítulo 3, la función objetivo de este
problema tiene dos componentes, una de ellas corresponde al exceso promedio de los
trenes con respecto a sus respectivos tiempos de referencia y la otra, al equilibrio que
existe entre el exceso promedio de los trenes que viajan en sentido ida y el exceso
promedio de los trenes que viajan en sentido vuelta. La primera componente ha sido
estimada por (E)( aest). ¯ La segunda componente de la función objetivo está dada
por
.
F3(āest) = ωdesv ×
[F1(āestI ) − E(āest)] 2 + [F2(āestV ) − E(āest)] 2
2
De esta forma se obtiene el coste para una posible solución, donde parte de la
misma es obtenida por el proceso de búsqueda y parte estimada de tal forma que
la poda sea conservadora, y no sea interrumpida una generación que finalmente
produzca una mejor solución que ābest.
5.7. Conclusiones
En este capítulo se han descrito dos nuevas aproximaciones para resolver el
problema OPT. La diferencia entre ambas aproximaciones consiste en que una de ellas
ha sido desarrollada de tal forma que cumpla eficientemente con el requerimiento
sobre periodicidad en salida. Es decir, además del conjunto de restricciones común a
ambas aproximaciones, una de ellas satisface el requerimiento de que todos los trenes

5.7. Conclusiones 201
que pertenezcan a un determinado grupo deberán satisfacer un periodo de tiempo
entre sus salidas consecutivas. Dependiendo de la parametrización del problema, esta
restricción deberá cumplirse en toda estación con parada comercial, o únicamente
en la estación inicial del recorrido. Ambas aproximaciones se basan en el orden de
instanciación de las variables xi en X y en el conocimiento acerca del problema.
Las aproximaciones descritas son algoritmos anytime constructivos. En cada
iteración se construye el horario de los trenes, diferenciándose una iteración de otra,
en el orden en el cual son dispuestos los trenes en cada uno de los tramos de sus
respectivos recorridos. Es este orden el que determina la prioridad de los mismos en
cada uno de los tramos en caso de conflicto, y con ello sus correspondientes retrasos.
El orden de asignación está dado por medio de una heurística de ordenación de
variables, desarrollada como parte de este trabajo, la cual se basa en el estado
actual de la solución y en los criterios utilizados en la función objetivo. Consta de
una componente aleatoria para evitar los óptimos locales.
La construcción de cada solución es realizada por medio de una propagación de
restricciones, una vez se asigna el instante de salida inicial a cada tren. El back-
tracking es llevado a cabo respetando el orden establecido en la iteración actual. En
ese caso, solo se deshace el horario de aquellos trenes, en los que sea posible que
el retraso originalmente establecido en determinadas estaciones ya no sea necesario,
debido a que el horario del tren causante de las mismas ha sido modificado. De esta
forma, el tiempo ahorrado es considerable, sobre todo cuando la línea consta de un
elevado número de trenes y tramos en cada recorrido.
La forma en que se lleva a cabo la verificación de restricciones aporta una efi-
ciencia fundamental en la construcción de cada solución, ya que esta no es llevada
a cabo entre todos los trenes, sino únicamente entre aquellos entre los que exista
posibilidad de conflicto. Para ello es importante mantener ordenada, por instantes
de salida y de llegada, la ocupación de los trenes en cada dependencia. Por ejemplo,
el tiempo de sucesión entre dos trenes, solo es verificado entre trenes consecutivos,
y no es necesaria la verificación con el resto de trenes del problema.
El horario de un tren se construye tramo a tramo, pudiendo establecerse el
horario de un tren en n tramos seguidos, siendo n una variable cuyo valor es aleato-
riamente obtenido cada vez que se selecciona el siguiente tren a optimizar en una
misma iteración. Esto permite obtener todas las combinaciones factibles de horarios,

202 5. Un Procedimiento heurístico basado en ordenación (PBO)
sin que la forma de construir los horarios descarte ninguna solución. Sin embargo,
esto también agrega mayor complejidad, ya que si existe un backtracking, muchas
veces será necesario deshacer el horario de más de un tren.
En cada iteración es posible estimar el mínimo coste que supondría completar la
construcción de la solución siendo generada. El coste es estimado de tal forma que
si se finaliza la construcción de la solución actual, su coste nunca sería menor que
cualquiera de los estimados durante su construcción. Con ello se evita descartar una
solución parcial que de haber sido completada hubiera sido mejor que la obtenida
hasta entonces. Si el coste estimado es mayor que el coste de la mejor solución
obtenida hasta entonces, la solución parcial es descartada, y se inicia una nueva
iteración. En el capítulo se describe detalladamente la forma en la cual se realiza la
estimación del mínimo coste de la solución parcial.
Con éstas aproximaciones se intenta explorar aquellas regiones del espacio de
soluciones que se estimen más prometedoras en cuanto a la optimización de la fun-
ción de coste global se refiere. En el siguiente capítulo presentamos los resultados
obtenidos con ambas aproximaciones, para diferentes instancias del problema OPT.

Capítulo 6
Evaluación Computacional
6.1. Introducción
En éste capítulo evaluaremos el comportamiento de los algoritmos desarrollados,
tanto al aplicar la aproximación PBO, como al aplicar la aproximación PBO RAND
a diferentes instancias del problema OPT. La aproximación PBO (Procedimiento
Basado en Ordenación) es el método de solución, descrito en el capítulo 5, para el
problema OPT. La diferencia entre este método y el método PBO RAND radica en la
heurística que se emplea en uno y en otro para ordenar las variables a ser asignadas.
En el primero se utiliza una heurística basada en el procedimiento ”Regret-Based Bi-
ased Random Sampling (RBRS)”propuesta por Drexl, [38] y [39], el segundo ordena
las variables pendientes de ser asignadas de forma aleatoria.
Las pruebas, cuyos resultados son mostrados en éste capítulo han sido ejecutadas
en un ordenador con un procesador Pentium IV 3.0 GHz y 512 Mb de memoria
interna, bajo el sistema operativo Windows XP.
Los datos que componen cada caso de prueba fueron provistos por la Admin-
istración de Infraestructura Ferroviaria Española (ADIF). En la sección 6.3 se de-
scriben trece casos de prueba, que han sido resueltos utilizando por un lado la aprox-
imación PBO, y por otro la aproximación PBO RAND. Por cada caso de prueba,
hemos proporcionado el número de variables, restricciones y conflictos que la carac-
terizan y que indican una medida de la complejidad de cada una. Posteriormente,
ya en la sección 6.5, indicamos el valor de la función objetivo obtenida al cabo de
203

204 6. Evaluación Computacional
dos minutos de ejecución para cada uno de los casos de prueba mencionados pre-
viamente. Se obtiene un resultado por cada combinación de parámetros < α, ɛ >,
donde se asigna a α los valores 1, 2, 3, 4 y a ɛ los valores 0.05, 0.15 y 0.3. Además
se lleva a cabo una prueba sobre los 13 casos de estudio considerando α = 0, lo cual
significa que se emplea la aproximación PBO RAND, o lo que es lo mismo el orden
de las variables se lleva a cabo de forma aleatoria. Otro aspecto que se considera en
esta sección es la cantidad de backtracking que lleva a cabo el método durante la
solución de cada uno de los trece casos de prueba considerados. Este dato es pro-
porcionado como parte de los resultados obtenidos, ya que es una consecuencia de
la forma en la cual se implementa la verificación de las restricciones. El número de
backtracking que se realice en cada iteración es un factor que tiene mucha influencia
en la cantidad de tiempo que se demore el procedimiento en obtener cada una de
las soluciones.
Una de las características del método de solución que describimos en este capítu-
lo, mediante los resultados proporcionados, es su comportamiento Anytime. En la
Sección 6.6 hemos proporcionado un ejemplo de esta característica, ejecutando el
método de solución sobre los 13 casos de prueba durante 60 minutos. Los resultados
han indicado que aunque el valor de la función objetivo va mejorando, el método
de solución puede ser interrumpido en un instante de tiempo inferior al límite es-
tablecido (60 minutos) y de igual manera se obtendría una solución. En las pruebas
realizadas, además se puede observar que durante los primeros minutos de ejecu-
ción se obtienen soluciones de alta calidad, si la comparamos con las soluciones
obtenidas una vez haya transcurrido un tiempo considerable de tiempo (40 minutos
por ejemplo).
Hemos seleccionado en la Sección 6.7 dos ejemplos para describir las acciones que
lleva a cabo el método de solución durante la optimización, y la influencia que tiene
sobre el mismo la interrelación que exista entre los trenes y el tipo de infraestructura
de la línea considerada. En el primero, existe baja interrelación entre los trenes de
la línea, lo cual supone una menor complejidad para el método de solución ya que
existe menos posibilidad de conflictos entre ellos, y una mayor posibilidad de que la
asignación de horarios consista únicamente en la propagación de las restricciones.
Sin embargo, en el segundo ejemplo, la interrelación es mayor y el número de vías
tanto en estaciones como en los tramos es menor, lo cual produce una instancia más

6.2. Implementación del Sistema de Evaluación 205
compleja que la del primer ejemplo. En la Sección 6.9 indicamos la importancia de
un horario robusto, considerando la robustez como una medida de la estabilidad que
presenta un horario frente a una incidencia ocurrida durante la ejecución del mismo.
Se proporciona una breve descripción de los trabajos publicados acerca de medidas
que indican un nivel de robustez en los problemas de scheduling. Finalmente, se
proporcionan las conclusiones referentes a este capítulo.
6.2. Implementación del Sistema de Evaluación
Con el objetivo de llevar a cabo la evaluación computacional del método de
optimización PBO, descrito en el Capítulo 5, se ha llevado a cabo su implementación,
utilizando para ello el lenguaje de programación Visual C++ 6.0. El resultado forma
parte de una herramienta software.
Esta herramienta ha sido desarrollada para facilitar la especificación de los difer-
entes casos de prueba, consistentes en instancias diferentes del problema OPT, así co-
mo para facilitar la interpretación de los resultados obtenidos. Consta principalmente
de cuatro módulos: 1) Integración de Datos, 2) Parametrización, 3) Programación
y Optimización de Horarios, e 4) Informe de Resultados.
La modularización ha sido realizada según el objetivo que persigue cada uno.
En la Figura 6.1 se representa la arquitectura del sistema en función de los módulos
citados y de la relación que existe entre ellos.
1) Módulo Integración de datos. Es el responsable de obtener y estructurar la
información mediante la cual se especifica cada caso de prueba o instancia de OPT.
Específicamente, el sistema obtiene los datos correspondientes a determinados atrib-
utos de cada tren, de cada dependencia, y de cada tramo de la línea ferroviaria, sobre
la cual se programarán los horarios de los trenes considerados. Los datos correspon-
den a información real facilitada por la compañía ferroviaria, que el usuario del
sistema software selecciona indicando la línea ferroviaria que desea utilizar. A par-
tir de dicha selección, la herramienta obtiene los datos de los trenes que la ocupan
(el tipo de operador, el recorrido (secuencia ordenada de dependencias por donde
deberá pasar), la parada comercial en cada dependencia de su recorrido, el tiempo
que emplea para recorrer cada tramo de su recorrido, etc.) y los datos referentes a
la secuencia ordenada de dependencias que define la línea ferroviaria seleccionada

206 6. Evaluación Computacional
Trenes× Trenes×Tramo
Interfaz Infraestru Interfaz
ón Optimizaci y ón Programaci Resultados ión Configurac Interfaz ación Parametriz
Principal deHorarios MOM
Interfaz ctura Interfaz Datos de Tramos Trenes Estación Integració
Figura 6.1: Arquitectura de la herramienta software que implementa el método PBO
LTO
Estaciones
de ión Actualizac datos de n LecturaHorarios
(el tipo de la dependencia (permite cruce, o no), número de vías en dependencia y
en tramo, tipo de señalización por tramo, etc.).
2) Módulo de Parametrización. Permite especificar, del conjunto de trenes ex-
istentes en la línea ferroviaria, cuáles serán los trenes cuyos horarios deberán ser
programados y optimizados (Interfaz LTO en la Figura 6.1). Por cada uno de los
seleccionados, es posible indicar valores para los parámetros de las restricciones que
regularán su horario. Por ejemplo, por cada tren se puede establecer un determinado
intervalo de tiempo para su instante de salida inicial ó el máximo retraso que se con-
siderará factible con respecto a su tiempo ideal (Interfaz Principal en la Figura 6.1).
Los atributos de la infraestructura ferroviaria correspondiente a la línea selecciona-
da, también pueden ser modificados una vez hayan sido obtenidos por el módulo
Integración de Datos. Es posible modificar el número de vías en una dependencia,
el tipo de señalización o el número de vías en un tramo, entre otros, pudiendo recu-
perar los valores originales cuando se considere oportuno (Interfaz Infraestructura
en la Figura 6.1). Otros parámetros cuyos valores son especificados por el módu-
lo Parametrización corresponden al método empleado para programar y optimizar
horarios (Interfaz Configuración en la Figura 6.1), tales como: condición de parada
(número máximo de iteraciones o tiempo máximo de ejecución), ponderación de los
criterios utilizados en la función objetivo, aplicar o no poda, clasificación de tipo de

6.3. Descripción de los Casos de Prueba 207
tren por operador, prioridad en los adelantamientos, tipo de optimización (standard
o flexible), etc.
3) Módulo de Programación y Optimización de Horarios. Es el responsable de
obtener una solución para la instancia del problema OPT que haya sido especificada
mediante el módulo Integración de Datos y el módulo Parametrización. La solución
es obtenida mediante la aplicación del método PBO. Una vez se satisfaga la condi-
ción de parada indicada mediante el módulo Configuración, se proporciona la mejor
solución hallada entre aquellas que hayan sido construidas por cada iteración. El
módulo Programación y Optimización de Horarios evalúa cada solución construida
a partir de la función objetivo establecida para el problema OPT. Datos relativos
al tiempo de ejecución, valor de la función objetivo y tiempo promedio de recorri-
do, correspondientes a la mejor solución en cada momento, son valores conocidos
durante el tiempo que se ejecuta la optimización.
4) Módulo de Informe de Resultados. Muestra datos relativos a la mejor solución
hallada tales como: instante de salida/llegada inicial/final por cada tren y diferen-
cia de tiempo con el instante de salida/llegada preferente, tiempo de recorrido total
por cada tren y diferencia con respecto al mejor tiempo que el mismo podría em-
plear, retraso de cada tren en porcentaje. La mejor solución puede ser almacenada
(Actualización de Horarios en la Figura 6.1) para su posterior representación gráfica.
6.3. Descripción de los Casos de Prueba
En ésta sección describimos los aspectos más importantes acerca de cada caso
de prueba considerado para la evaluación computacional, de tal forma que pueda
ser estimada su correspondiente complejidad.
La dimensión que posee cada instancia del problema OPT está dada por el
número de soluciones posibles (espacio de soluciones), así como por la dificultad
que supone obtener cada una de ellas. Estos factores a su vez son determinados por
las propiedades: de la línea ferroviaria (número de estaciones, número de vías por
tramo y estación, tipo de bloqueo por tramo, horarios de cierre, bandas de manten-
imiento,..., etc.), del conjunto de trenes en circulación (ocupación de la línea según
el horario y el recorrido asignado a cada tren en T C), y del conjunto de trenes que se
desea agregar a la línea (recorrido, velocidad por tramo, márgenes necesarios,...,etc.

208 6. Evaluación Computacional
por cada tren en Tnew).
Casos
Infraestructura T. en Circulación Nuevos Trenes
Km. Est. V. Única V.Doble Trenes Tramos Trenes Tramos
1 117.6 12 21 3 0 0 63 243
2 209.1 22 36 0 90 953 26 200
3 177.8 25 37 4 33 253 22 320
4 177.8 25 37 4 0 0 55 573
5 71.6 10 10 0 0 0 52 454
6 189.6 16 39 0 0 0 44 337
7 153.7 18 16 14 0 0 18 146
8 75.7 10 13 0 9 81 19 150
9 286.0 32 39 8 11 97 64 924
10 106.8 14 18 0 69 836 74 608
11 217.0 26 51 0 0 0 42 587
12 271.0 33 51 0 95 1326 37 624
13 75.7 10 13 0 0 0 28 231
Cuadro 6.1: Descripción de 13 instancias del problema OPT
Hemos descrito en cada fila de la Tabla 6.1, un caso de prueba real en términos
de: i) las principales características de la infraestructura de la línea ferroviaria cor-
respondiente, ii) del conjunto de trenes que se encuentran en circulación, T C, y iii)
del conjunto de nuevos trenes a planificar Tnew.
como:
De la infraestructura de la línea ferroviaria hemos proporcionado propiedades
Extensión de la línea (Km.). Longitud de la línea ferroviaria dada en kilómet-
ros.
Número de estaciones (Est.). Determina la cantidad de dependencias en las
cuales un tren puede realizar una parada técnica para evitar conflictos con
otros trenes de la línea. Las paradas técnicas que se deban realizar en una
estación, serán mayores cuanto mayor sea la distancia entre esta estación y la
estación consecutiva en el recorrido del tren.
Número de tramos con vía única (V. Única). Debido a que en un tramo con
vía única no pueden estar dos trenes que viajan en sentido opuesto en un
mismo instante de tiempo, la cantidad de las mismas determina la cantidad

6.3. Descripción de los Casos de Prueba 209
de restricciones necesarias para evitar un cruce entre dos trenes que viajan en
sentidos opuestos.
Número de tramos con vía doble (V.Doble). Permite determinar la proporción
de la línea L en la cual no existirá la competencia de dos trenes, viajando en
sentido opuesto, por un mismo tramo.
Del conjunto de trenes en circulación T C, y del conjunto de trenes nuevos a planificar
Tnew, se proporciona:
Cantidad de trenes.
Suma de tramos. Corresponde al total de tramos en los que se debe asignar
ó verificar un horario.
En el caso de los trenes en circulación, estos datos proporcionan una medida de
la ocupación que existe en la línea, y de la ocupación que resta en ella (columnas
Trenes y Tramos bajo el encabezado T. en Circulación).
En el caso de los trenes que se desean agregar a la línea L, las columnas Trenes y
Tramos bajo el encabezado Trenes Nuevos, proporcionan una medida de la cantidad
de recursos ferroviarios necesarios y del número de conflictos en tramos y estaciones
que deben ser resueltos para que la asignación realizada sea factible.
Casos Var. Rest. Conf. Sol.
1 434 10740 85 3,86E+25
2 668 12378 151 2,85E+45
3 1086 60781 20 1048576
4 1950 120488 56 7,2E+16
5 1636 222604 126 8,50E+37
6 2782 58589 108 3,24E+32
7 536 4774 77 1,51E+23
8 1008 45968 70 1,18E+21
9 982 294859 17 131072
10 1730 17331 71 2,36E+21
11 688 45086 19 524288
12 2402 1148217 129 6,80E+38
13 2046 132061 136 8,71E+40
Cuadro 6.2: Dimensiones del Modelo para cada Caso de Prueba

210 6. Evaluación Computacional
6.4. Complejidad de los Casos de Prueba
Teniendo en cuenta la descripción de la aproximación PBO dada en el capítulo
5 podemos estimar la complejidad de cada caso de prueba basándonos en el número
de variables, número de restricciones y número de conflictos que puedan existir en
cada una de ellas. El valor correspondiente a cada uno de éstos factores es dado
por cada caso de prueba en la Tabla 6.2 bajo las columnas Var., Rest. y Conf.,
respectivamente.
Número de Variables.
Considerando que cada variable del problema OPT corresponde al instante de
llegada o al instante de salida de un tren en una determinada dependencia de
su recorrido, el número de variables correspondiente a cada caso de prueba es
(|Ji| − 1) × 2. Por cada dependencia del recorrido Ji de un tren ti en
ti∈Tnew
Tnew, existen dos variables, instante de llegada e instante de salida, excepto en
la primera y última estación de su recorrido. La suma del conjunto de variables
de cada tren ti en Tnew proporciona el total de variables existente en cada caso
de prueba.
Numero de Restricciones.
A partir de cada restricción definida en la Sección 3.4.2 del capítulo 3, se ha
calculado el número de verificaciones que debe realizar la aproximación PBO
para comprobar que cada asignación es factible. Este cálculo ha sido realizado
teniendo en cuenta cada restricción, así como el alcance de cada una.
Número de Conflictos y Soluciones.
El número de conflictos indicado por cada caso de prueba en la Tabla 6.2
corresponde a la cantidad de pares de trenes que viajan en sentido opuesto y
se estima requieran ocupar al mismo tiempo un mismo tramo que consta de
única vía para circulación. La estimación de este número se lleva a cabo por
ubicar en la línea ferroviaria según su horario ideal (ninguna parada técnica) a
cada uno de los trenes que forman parte del problema. Por cada par de trenes
que ocupan un mismo tramo de vía única al mismo tiempo se suma uno al
número de conflictos. Este valor es muy importante ya que para cada uno de

6.5. Coste de cada solución en función de la parametrización < α, ɛ > 211
estos conflictos existe dos formas de resolverlos, es decir que este valor nos
proporciona la dimensión aproximada del espacio de búsqueda (columna Sol
en la Tabla 6.2).
Otro tipo de conflicto, que aunque no aumenta el espacio de búsqueda, sin
embargo sí incrementa el tiempo que emplea el método en hallar cada solución,
es el conflicto por las vías dentro de una estación. Cuando el instante de llegada
que corresponde a un tren en una estación es tal que en dicho instante no hay
vías disponibles, se debe deshacer el horario asignado en el tramo previo,
llevando a un backtracking, en el horario del tren y en el horario de los trenes
que hayan tenido una parada técnica causada por el mismo.
6.5. Coste de cada solución en función de la parametrización
< α, ɛ >
En ésta sección se muestran los resultados obtenidos por PBO, en número de
iteraciones realizadas así como en el coste de cada solución, cuando el mismo es
ejecutado durante 120 segundos. Estos resultados se comparan posteriormente, con
los obtenidos por la aproximación PBO RAND, el cual es ejecutado durante el
mismo tiempo de ejecución.
El coste de cada caso de prueba viene determinado por la longitud de las paradas
técnicas realizadas por cada tren en Tnew, las cuales son motivadas por la limitación
de recursos disponibles (vías en tramos y estaciones). Dado dos trenes nuevos, compi-
tiendo por un mismo recurso, realizará la parada técnica aquel con menor prioridad
sobre el recurso. Las prioridades se determinan según el orden de asignación de
variables.
Al utilizar la aproximación PBO, el orden de instanciación por cada solución lo
determina la heurística descrita en la Sección 5.6.1 del Capítulo 5, la cual utiliza
dos variables, α y ε, con un valor determinado. Por cada fila de las Tablas 6.3 y
6.4 se muestra el coste de la mejor solución obtenida por PBO, para cada caso de
prueba, al cabo de dos minutos de ejecución, y por cada columna de éstas tablas,
la combinación < α, ε > utilizada. Note que la primera columna de la Tabla 6.3
corresponde a los resultados obtenidos por la aproximación PBO RAND, donde

212 6. Evaluación Computacional
Casos
α = 0 α = 1 α = 2
ε = 0.05 ε = 0.15 ε = 0.30 ε = 0.05 ε = 0.15 ε = 0.30
1 79,15 68,10 71,50 69,50 67,80 71,00 75,50
2 78,69 75,90 67,90 75,90 74,30 70,20 71,50
3 6,2 6,50 6,70 6,50 6,60 6,50 6,80
4 7,76 7,76 7,76 7,76 7,76 7,76 7,76
5 65,6 54,80 57,20 58,00 58,00 51,90 56,00
6 12,6 12,10 13,00 13,00 12,40 12,60 12,80
7 38,8 35,70 35,70 34,40 35,70 34,40 34,40
8 19,1 18,70 19,00 19,10 18,90 19,20 18,70
9 3,6 3,60 3,60 3,60 4,00 4,10 3,60
10 14,5 12,20 13,70 13,20 14,70 13,20 13,80
11 18,9 19,40 18,90 18,80 18,20 18,80 18,20
12 19,1 18,90 17,20 19,60 18,10 18,40 18,20
13 30,7 27,30 25,70 29,50 28,50 28,60 28,00
Prom. 30,37 27,77 27,53 28,37 28,07 27,44 28,10
Cuadro 6.3: Valor de la Función de Coste Global en función de ε y α
α = 0, lo cual significa que el orden de instanciación de las variables en cada caso
de prueba es completamente aleatorio.
En la última fila de las Tablas 6.3 y 6.4 se obtiene el coste promedio, considerando
los 13 casos de prueba, para cada combinación < α, ε >.
Los diferentes casos de prueba han sido seleccionados de modo que cada uno sea
un escenario bastante diferente del resto de casos y así se pueda evaluar la aproxi-
mación PBO para diferentes contextos dentro del mismo problema OPT, asegurando
que no exista una combinación de elementos, línea, trenes nuevos y ocupación, que
favorezca al algoritmo empleado.
Comparando la aproximación PBO con la aproximación PBO RAND, a partir
de los resultados obtenidos, podemos concluir que es mejor utilizar un criterio para el
orden de instanciación de las variables (sección 5.6.1 del capítulo 5), que realizar esa
ordenación en forma completamente aleatoria (α = 0), más aún cuando se dispone
de un tiempo de ejecución mínimo y se requiere que toda solución entregada tienda a
la optimalidad establecida por la función objetivo utilizada. Particularmente, según
los datos proporcionados en las Tablas 6.3 y 6.4, el mejor promedio al cabo de dos
minutos de ejecución lo proporciona la combinación < α = 3, ε = 0, 05 >.

6.5. Coste de cada solución en función de la parametrización < α, ɛ > 213
Casos
α = 3 α = 4
ε = 0.05 ε = 0.15 ε = 0.30 ε = 0.05 ε = 0.15 ε = 0.30
1 65,21 71,60 64,80 71,60 64,20 64,17
2 59,88 71,90 73,10 64,30 64,50 72,91
3 6,55 6,50 6,40 6,70 6,50 6,66
4 7,76 7,76 7,76 7,76 7,76 7,76
5 54,95 52,00 53,60 55,00 52,20 56,34
6 11,84 12,30 11,90 12,80 12,60 12,31
7 34,84 34,50 36,00 36,40 32,90 31,25
8 18,24 19,10 18,00 18,70 19,20 18,27
9 3,62 3,60 4,10 3,60 3,90 4,04
10 13,67 13,60 12,70 14,50 14,40 13,75
11 16,68 19,40 19,40 18,10 17,40 18,96
12 17,53 18,00 19,60 19,50 17,20 17,99
13 25,51 27,30 28,10 27,90 24,50 28,49
Prom. 25,87 27,50 27,34 27,45 25,94 27,15
Cuadro 6.4: Valor de la Función de Coste Global en función de ε y α
Los diferentes promedios obtenidos entre PBO RAND y las diferentes combina-
ciones < α, ε > utilizando PBO, son representados gráficamente en la Figura 6.2.
Cada punto señalado en las líneas de la figura, representa el coste promedio obtenido
con una determinada combinación < α, ε >. Todos los puntos unidos por una misma
línea comparten el mismo valor de α.
6.5.1. Backtracking en la búsqueda de soluciones
Como vimos en la Sección 5.6.2, el método de solución asigna un horario inicial a
un tren en un tramo determinado, y posteriormente verifica que el horario asignado
satisfaga el conjunto de restricciones. Cuando ciertas restricciones son incumplidas
se debe retrasar en una determinada cantidad el instante de salida de la estación
inicial del tramo, como para que dichas restricciones sean cumplidas. Sin embargo,
otras necesitan que se retrase el instante de salida del tramo anterior al considerado
para que sean cumplidas, lo cual provoca que el horario ya asignado en el tramo
previo al considerado deba ser deshecho y vuelto a calcular. La columna Back. en
la Tabla 6.2 proporciona el número de veces en promedio, que ésta operación es

214 6. Evaluación Computacional
31,00
30,50
30,00
29,50
29,00
28,50
28,00
27,50
27,00
26,50
26,00
25,50
Epsilon
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35
Figura 6.2: Coste Promedio en función de α para diferentes valores de ε
alpha=4
Promedio RAND alpha=1 alpha=2 alpha=3 Costo
realizada en cada caso de prueba para obtener cada solución. t1
− k
+ k l l1
)(YLínea 2 t 2
1 time time trenes 3 7 .C rest cumple No 2 ) 1
ng Backtracki
Como un ejemplo considere la Figura 6.3, en ella se muestran tres situaciones, time Tiempo(X)
l1 k
t2
0
k
N
=
) 3 (
Figura 6.3: Un ejemplo donde se aplica Backtracking
(
0(
) 2
2 trenes
que se pueden producir. En la primera, se indica que la estación lk está ocupada
por dos trenes durante el intervalo de tiempo [time0, time1]. En la segunda, se ha
asignado un horario al tren t2 de tal forma que no se cruce en el tramo de vía única
con los trenes t0 y t1 que tienen mayor prioridad. Por lo tanto el horario asignado
time 1 0
k
N
=
k
N
=

6.6. Comportamiento Anytime 215
a t2 requiere de una parada técnica en la estación lk. Esta situación hace que la
estación lk pase a estar ocupada por tres trenes en un determinado instante del
intervalo considerado, lo cual no es posible ya que dicha estación solo cuenta con
dos vías (Nk = 2). Para corregir este incumplimiento se debe retroceder el instante
de salida de t2 en la estación previa lk+1, lo cual significa retroceder un tramo en
la asignación del horario a t2. Este paso es representado por la situación 3 en la
Figura 6.3. Debe tenerse en cuenta además que una vez se deshace el horario de
un tren, puede ser necesario deshacer el horario de otros trenes. Específicamente,
considerando el ejemplo previo, se deberán deshacer los horarios de todos aquellos
trenes a los cuales t2 hubiera ocasionado una parada técnica en los tramos, donde
su horario se ha deshecho.
Aquellos casos de prueba donde existan varias estaciones con un número reducido
de vías (1 ó 2), y donde el número de trenes, así como el número de tramos comunes
entre sus recorridos favorezca a la competencia por recursos, tendrán un número
elevado de backtracking y con ello un tiempo de respuesta mayor para la obtención
de una solución.
6.6. Comportamiento Anytime
El método de solución construye una nueva solución en cada iteración, mante-
niendo siempre aquella solución que proporcione el mejor valor de la función objetivo.
El método de solución puede ser interrumpido en cualquier instante durante su eje-
cución y proporcionará la mejor solución obtenida hasta entonces. Esta propiedad
lo identifica como un algoritmo Anytime.
Por otro lado, si consideramos la formulación del algoritmo PBO, la cual fue
realizada en el capítulo 5, en la que se modela el problema OPT como un árbol de
búsqueda, donde la generación de cada una de sus ramas corresponde a una iteración
del algoritmo, podemos decir que conforme el tiempo de ejecución del algoritmo PBO
aumente, el número de ramas completamente generadas será mayor y la distancia
entre el coste de cada generación y el coste óptimo será menor.
Debido al proceso de poda aplicado en la aproximación PBO, una iteración
finaliza sin ser interrumpida solo si la solución que obtiene genera un coste inferior al
de la mejor solución obtenida hasta ese momento. De no ser así, el proceso de poda no

216 6. Evaluación Computacional
permitirá que la iteración finalice, es decir podará la rama del árbol correspondiente.
Por lo tanto a medida que el tiempo de ejecución aumente, el coste de las soluciones
obtenidas disminuirá.
Esto puede ser visto en la Figura 6.4, donde se proporciona el coste de la función
objetivo del problema OPT correspondiente a la mejor solución obtenida en cada caso
de prueba por cada minuto de ejecución.
En la Figura 6.4 se muestra el coste de la mejor solución obtenida al cabo de
cada minuto de ejecución en cada caso de prueba, cuando el problema OPT es resuelto
utilizando el algoritmo PBO con α = 3 y ε = 0.05.
Por cada minuto de ejecución, se obtiene un promedio de costes teniendo en
cuenta los 13 casos de prueba. En la Figura 6.5 se muestra la evolución de éste
coste promedio conforme aumenta el tiempo de ejecución, desde el minuto 1 hasta
el minuto 60.
Por otro lado, con el objetivo de indicar las implicaciones que tienen en la gen-
eración de soluciones los valores asignados a α y a ε, hemos realizado otra ejecución
del algoritmo PBO con los mismos casos de prueba, pero ésta vez utilizado α = 1 y
ε = 0.05. Se han obtenido resultados por cada caso de prueba y por cada minuto de
ejecución, desde el minuto 1 hasta el minuto 60. El coste promedio considerando los
13 casos de prueba por unidad de tiempo (minuto), es representado gráficamente en
la Figura 6.5.

6.6. Comportamiento Anytime 217
12345678910111213
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'
64,09
64,28
64,29
65,21
'
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' '
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'
58,05
59,88
'
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'
6,29
6,39
6,52
6,55
6,82
'
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7,76
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'
48,40
49,40
51,97
54,95
'
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'
11,84
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'
31,32
32,72
32,85
33,46
34,09
34,84
'
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''
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''
'
16,88
18,24
19,20
'
''
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''
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''
''
''
'
3,60
3,62
3,96
'
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''
'
12,53
13,28
13,67
'
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'
16,68
'
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''
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''
''
'
14,82
17,53
18,81
'
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''
''
''
''
''
''
'
24,81
25,51
52
51
50
49
48
47
46
45
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10987654321
60
59
58
57
56
55
54
53 '
''
''
''
''
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'
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''
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''
'
'
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''
''
''
''
''
'
(min)
Tiempo 05
0
3 ,
, =
= ε
α
Prueba
de
Casos
Figura 6.4: Función Objetivo por Caso de Prueba y por Unidad de Tiempo
Como puede verse, cuando el valor de α es menor, el algoritmo PBO tiene un

218 6. Evaluación Computacional
Costo Promedio (%)
28,50
28,00
27,50
27,00
26,50
26,00
25,50
25,00
24,50
24,00
0 10 20 30 40 50 60 70
Tiempo (minutos)
Figura 6.5: Valor Promedio de Función Objetivo por Tiempo, < α = 3, ε = 0.05 >
y < α = 1, ε = 0.05 >
comportamiento menos determinístico, lo cual es favorable cuando se dispone de
un tiempo de ejecución prolongado, ya que existe mayor probabilidad de que en
cada generación el orden de instanciación sea diferente, y por lo tanto sea mayor el
espacio de soluciones explorado, retrasando así la aparición del óptimo local.
6.7. Casos particulares y descripción de las Soluciones
obtenidas
En esta sección seleccionamos soluciones correspondientes a diferentes instan-
cias del problema OPT. Estas instancias han sido resueltas utilizando el método de
solución al problema OPT, propuesto en esta Tesis. El objetivo en esta sección es de-
scribir los resultados obtenidos, apoyándonos para ello en una representación gráfica
de cada solución, en la infraestructura ferroviaria de cada caso, y en la consideración
hacia las restricciones y la función objetivo del problema. En las sub secciones 6.7.1
y 6.7.2 utilizamos instancias diferentes en cuanto a la complejidad computacional
de cada una. Esto es llevado a cabo con el objetivo de explicar, y no únicamente
Alpha = 1 Epsilon = 1
Alpha = 3 Epsilon = 0,05

6.7. Casos particulares y descripción de las Soluciones obtenidas 219
enumerar, la influencia del número de restricciones, variables, backtrackings, y posi-
bles soluciones, en el tiempo empleado para obtener una solución que tenga un coste
aceptable. El método propuesto en esta tesis está preparado para resolver instancias
muy comunes en el mundo real, de alta complejidad, pero no por ello utiliza más
tiempo del necesario para resolver instancias de menor complejidad computacional.
A continuación proporcionamos el significado de las columnas pertenecientes
a las tablas utilizadas para indicar características consideradas en cada línea fer-
roviaria, perteneciente a las instancias que serán descritas en las sub secciones 6.7.1
y 6.7.2.
Dep.: identificador de la dependencia en la línea,
Km.: distancia en kilómetros desde la dependencia en la misma fila de la tabla
hasta la dependencia que figura en la fila anterior de la misma,
D/U: cantidad de vías en el tramo formado por la dependencia en la misma
fila de la tabla y la dependencia que figura en la fila anterior de la misma,
Bloqueo: tipo de bloqueo, automático o manual, en el tramo,
Vías: cantidad de vías en la estación,
Andén: cantidad de vías con andén en la estación,
Cierre: intervalos correspondientes al horario de cierre en la estación,
Tipo: tipo de cierre en la estación.
En las tablas, los identificadores de las dependencias, cuyo tipo es Estación,
están resaltados en negrita.
En la sub sección 6.7.3 se describen soluciones obtenidas cuando se requiere
satisfacer un determinado periodo de tiempo entre salidas iniciales consecutivas.
Finalmente, en la sub sección 6.7.4 se presentan ejemplos con los cuales se desea
indicar la influencia de las características de una infraestructura ferroviaria, tanto
en el tiempo computacional para obtener cada solución, como en la amplitud del
espacio de soluciones.

220 6. Evaluación Computacional
6.7.1. Baja Interrelación entre los Trenes de la Línea
En esta sub sección describimos una instancia del problema OPT en la cual se
dan características que hacen que el espacio de soluciones sea reducido así como el
tiempo empleado para hallar cada una de estas soluciones.
En la Tabla 6.5 se indican los atributos de la línea ferroviaria correspondiente
a la instancia considerada. Al considerar el recorrido de la línea ferroviaria en un
determinado sentido, la estación origen de la misma es la dependencia 51003 y su
estación destino es la dependencia 43019.
La cantidad de trenes que se desea agregar a la línea ferroviaria 51003 - 43019
es igual a 24, de los cuales 8 trenes tienen el mismo recorrido aunque en sentidos
opuestos. El resto de los trenes tiene un recorrido de longitud menor. Se desea opti-
mizar al mismo tiempo tanto trenes del tipo viajero como trenes del tipo mercancía.
En este ejemplo, por cada tren se ha indicado un instante de salida deseado de
su respectiva estación de origen. Ningún tren podrá salir antes de dicho instante y
el tiempo transcurrido desde el instante deseado hasta el instante de salida asignado
por el método, se considerará una parada técnica y por lo tanto parte del retraso
del tren. En la Figura 6.6 se representa gráficamente en un plano espacio - tiempo
(eje x - eje y) la solución óptima para esta instancia.
Como puede verse en la Tabla 6.5, la mayoría de los tramos de la línea tienen
una sola vía de circulación para ambos sentidos. Razón por la cual los trenes t2,
t4, t5 y t7 deben realizar paradas técnicas en las estaciones señaladas en la Figura
6.6, de tal forma que el tramo de vía única sea liberado por los otros trenes, antes
de que ellos puedan utilizarlos. En este punto podemos señalar que en la instancia
considerada en esta sección existen cuatro conflictos, en cada uno un par de trenes
compiten por un tramo. Cada conflicto entre el tren x y el tren y por un mismo
tramo, puede ser resuelto de dos formas, o espera x o espera y. Por lo tanto existen
2 4 soluciones para esta instancia. Es esta la razón por la que consideramos que el
espacio de soluciones para esta instancia es muy reducido y puede ser fácilmente
obtenido, por lo tanto también la solución óptima puede ser alcanzada fácilmente
por el método descrito en esta Tesis. En este caso la razón del bajo número de
conflictos en una línea ferroviaria donde la mayoría de sus tramos tienen una sola
vía, se debe a la baja densidad de tráfico en la línea durante todo el intervalo de
tiempo considerado.

6.7. Casos particulares y descripción de las Soluciones obtenidas 221
Dep. Km. D/U Bloqueo Vías Andén Cierre Tipo
51003 0 0 - 7 7
B5119 3,1 2 A
B5102 0,9 2 A
B5101 2,2 2 A
B5073 0,8 1 A
43017 1,9 1 A 2 2
B4301 1,4 1 A
43001 2,8 1 A 3 3
43003 14 1 M 2 2 00:00-06:35; 14:25-24:00 AC
D4303 4 1 M
43005 3,9 1 M
43006 9,1 1 M 2 2 00:00-14:35; 22:55-24:00 AC
43007 5,3 1 M
43008 4,9 1 M 2 2
43009 6 1 M 2 2 00:00-24:00 AC
43011 16,8 1 M 2 2
43012 4 1 M
43013 6,4 1 M 2 2 00:00-24:00 AC
43015 1,6 1 M
43016 1,2 1 M
43021 14,3 1 M
43018 0,6 1 M 3 3 00:00-24:00 AC
43023 8 1 M 6 2
43024 0,9 1 M
43019 3,5 1 M 4 4
Cuadro 6.5: Características de la Línea Ferroviaria
Aunque la mayoría de los tramos de la línea ferroviaria, tienen como tipo de
señalización bloqueo manual, esto no afecta al horario de los trenes, ya que los
instantes de salida iniciales de cada uno, hacen que los trenes consecutivos estén lo
suficientemente separados como para que no tengan que esperar en ninguna estación
que el tren anterior abandone el tramo. Por lo tanto no se produce retraso en sus
horarios por esta causa.
El tiempo para generar cada solución depende principalmente del número de
backtrackings que deba realizarse, y del número de restricciones a verificar. En este
caso el número de ambos factores es muy bajo, de los 24 trenes, 16 tienen un recorrido
muy corto, por lo tanto generan muchas menos restricciones que los 8 restantes. De

222 6. Evaluación Computacional
estos 8 trenes restantes no todos comparten el mismo intervalo de tiempo en la
línea, por lo tanto el número de restricciones binarias también es menor. En esta
instancia no se realiza ningún backtracking ya que en ningún momento se incumple
la restricción sobre número de vías, ni siquiera durante los horarios de cierre, una
vez más motivado por el bajo número de trenes por cada instante de tiempo en la
línea.
En menos de un segundo se obtiene un retraso promedio de 3,5 %, la solución
óptima se obtiene en 3 minutos y es igual a 3 %.
Figura 6.6: Instancia del Problema OPT de baja complejidad
Si modificamos la infraestructura de tal forma que en la línea solo existan tramos
con vía doble, entonces obtendríamos un retraso igual a cero en la primera iteración
y por supuesto esta sería la solución óptima. Esto es debido a que en esta instancia
no existe posibilidad de conflicto entre los trenes del mismo sentido, ya que el número
de trenes del mismo sentido por unidad de tiempo es muy bajo, entonces al aumentar
el número de vías en los tramos también eliminamos la posibilidad de conflicto entre

6.7. Casos particulares y descripción de las Soluciones obtenidas 223
los trenes con sentidos opuestos. Por lo tanto, no existen restricciones disyuntivas,
solo restricciones que son satisfechas con la propagación del instante de salida inicial
de cada tren, lo cual es obtenido en la primera solución, como solo existe una posible
solución, esta es la óptima.
6.7.2. Alta Densidad de tráfico en la Línea Ferroviaria
Al igual que en la instancia anterior, por cada tren se indica cuál es el instante
de salida que se desea parta cada tren de su estación origen. En la Figura 6.8, del
conjunto de trenes fueron los señalados por tx, ty y tz los que no han podido salir
en dicho instante. El tren tx ha sido retrasado un minuto, ty 27 minutos y tz 11
minutos. En el caso de tx este retraso es asignado para que satisfaga el tiempo de
expedición igual a un minuto con el tren que viaja en sentido ida y llega antes que
el a su estación de origen.

224 6. Evaluación Computacional
14104 14101
14108 14106 14105 14103 14102 14117 14100 Dep.
14107
14228 14205 D14204 14203 14202 14227 14201 D14200 14114 14113 14112 14111 14109
14234 1423 14233 1422 14115 14110
14206
14207 14208
14221 14219 14218 14216 14213 14210 14209
14230 14231 14237 14220 14217 14236 14215 14214 14212 14211 14232 14235
14223
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
24 76 66 53 57 61 52 74 11 120 Km.
59
,
,
,
,
,
,
,
,
,
261 23 34 449 21 108 07 58 42 56 37 76 49 87 95 65 73
24
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
19 13 24 05 08 06 23 33 64 19 23 32 215 38 31 19 78 09 18
4
,
,
,
,
10
D/U
AM−
Bloqueo
232324 237
Vías
Andén
00 24 45 22 45 06 00 00 00 24 45 23 45 11 00 00 00 02 00 00 00 24 00 00 00 24 00 22 00 14 00 00
: - : ; : - : : - : ; : - : : - : : - : : - : ; : - : Cierre
323232123213232327
Figura 6.7: Datos de la Línea Ferroviaria 14100-14223 54232534
En la Figura 6.8 se señala con la etiqueta Día un tramo que posee una sola vía
AC Tipo
AC

6.7. Casos particulares y descripción de las Soluciones obtenidas 225
Figura 6.8: Solución para una instancia
Día
2
de circulación y se halla ocupado en un mismo instante de tiempo, por dos trenes
Día y
que viajan en sentidos opuestos. A simple vista podemos deducir que el horario de
estos trenes no es factible ya que según la solución mostrada en la Figura se produce
un choque entre los mismos. El método PBO considera entre otros atributos de cada
t z
x
t
t i
t
tren, los días de circulación asignado a cada uno. Considerando nuevamente a los dos
trenes que participan en el conflicto señalado por la etiqueta Día, el tren que viaja
en sentido vuelta tiene como días de circulación lunes, martes, miércoles, jueves,
viernes y domingo. El tren que viaja en sentido ida tiene como días de circulación
sábado. Teniendo en cuenta los días que circula cada uno, ninguno de estos trenes
coincidirá en el tramo señalado, por lo tanto el intervalo de tiempo asignado a cada
uno en dicho tramo es válido con respecto a la restricción de cruce. Sin embargo, el
mismo tren con sentido ida y el tren señalado como ty sí tienen un día en común,
ya que ty circula todos los días de la semana. Es por ello que debe esperar en la
estación 14216 hasta que el tramo que sigue sea liberado. Tampoco tienen días en
común los trenes que viajan en el mismo sentido y están señalados por la etiqueta

226 6. Evaluación Computacional
14219 14220 14218
14221 14231 14237
14223 14230
14.11
14.19 14.35 14.25 1 t 3
y t min. 5 Recepción 14.16 14.22 14.18
5 t t
=
Figura 6.9: Causa del retraso del tren ty
Falta
Día 2. El horario asignado a ambos es el mismo en los mismo tramos. Esto sería un
14.30 14.10
alcance si ambos tuvieran algún día en común.
En la secuencia de Figuras 6.9, 6.10, 6.11, 6.12 y 6.13 se describe el por qué del
retraso final del tren ty con respecto al instante de salida inicial deseado. El instante
de salida inicial deseado para el tren ty ha sido establecido en 14:10 hs. Finalmente
en la solución obtenida por el método PBO al cabo de un minuto de ejecución,
se obtiene el instante 14:37 hs. En ésta solución es obtenido dicho valor porque se
le asigna mayor prioridad a los trenes t1, t3 y t5 frente al tren ty en los tramos
14218 → 14219, 14219 → 14221 y 14221 → 14223, lo cual hace que siempre que
exista un conflicto entre ty y cualquiera de estos trenes en dichos tramos, el tren que
deba esperar sea ty.
En la Figura 6.9 al intentar sacar a ty a las 14:10 hs. de su estación origen,
se incumple la restricción sobre tiempo de recepción entre t1 y ty, ya que al ser
t1 un tren tipo mercancías, ty debe llegar cinco minutos después a la estación en
conflicto, y no dos minutos como sucede en el caso mostrado en la Figura 6.9. Este
incumplimiento es reparado por retrasar 3 minutos la salida inicial de ty, situación
mostrada en la Figura 6.10. En este caso el problema aparece con t3, ya que solo
existe 1 minuto de diferencia entre la llegada de ty y la llegada de t3, lo cual no es
14.40

6.7. Casos particulares y descripción de las Soluciones obtenidas 227
14219 1421814.11
14231
14.19 14.35 14.28
14.21
14.13 1 t
=
t t 5 3
Recepción Falta 3 14.22 min. 14.16 Recepción
para inicial salida en Retraso t satisfacer TiempodeRecepción tren con tOK y
14220 14221 14237
Figura 6.10: Causa del retraso del tren ty 14.30 14.10 14223 14230 1
14.11
14230
14219 14220 14218
14221 14231 14237
14223
1 t 3 t 5 t 14.32
tOK Recepción y X Cruce 14.22 14.16
31
con tren Recepción de Tiempo , con tren Recepción de Tiempo satisfacer para inicial salida en Retraso t 14.17
14.19 14.35
14.25
Figura 6.11: Causa del retraso del tren ty
14.30 14.10
14.40
14.40

228 6. Evaluación Computacional
14.11
14221
14219 14220 14218
14231 14237
14223 14230
14.19 14.35
14.39 t t 5 t 1 3 14.22 y 14.16 t
con tren Cruce , con tren Recepción de Tiempo , con tren Recepción de Tiempo satisfacer para inicial salida en Retrasot t31
3 14.31
Figura 6.12: Causa del retraso del tren ty
14.30 14.10
14219 14220 14218
14221 14231 14237
14223 14230
14.11
t t 14.35 14.19
14.16 14.22 3 1
5 t14.40
Recepción
Figura 6.13: Causa del retraso del tren ty
14.30 14.10
OK
3 31 con tren Recepción de Tiempo , con tren Cruce , con tren Recepción de Tiempo , con tren Recepción de Tiempo satisfacer para inicial salida en Retraso t t t5
14.37
14.46
= Recepción Falta 5min.
14.40
14.45

6.7. Casos particulares y descripción de las Soluciones obtenidas 229
suficiente. Al ser ty un tren tipo viajero requiere tres minutos de diferencia entre
su llegada y la llegada de un siguiente tren a la misma estación. Por lo tanto debe
volver a retrasar su salida lo suficiente como para llegar 3 minutos después que t3 a
dicha estación. Esta situación es mostrada en la Figura 6.11. Nuevamente aparece
un conflicto, un cruce con t3, esto es subsanado según muestra la Figura 6.12. Sin
embargo ty vuelve a incumplir la restricción sobre tiempo de recepción, esta vez con
t5, en lugar de existir 3 minutos de diferencia entre sus instantes de llegada, existe
tan solo un minuto, lo cual no es factible. Esto hace que ty deba ser retrasado lo
suficiente como para llegar cinco minutos después que haya llegado t5 a la estación
en la cual se ha producido el conflicto. Son cinco minutos en lugar de tres, porque t5
es un tren tipo mercancías. Por cada tipo de tren se parametriza el valor asignado
al tiempo de recepción , expedición, sucesión automática, etc.
6.7.3. Resultados cuando se requiere Periodicidad en Salidas
En los ejemplos previos, se han considerado instancias del problema OPT en los
cuales no ha sido requerido que trenes consecutivos partan de sus correspondientes
estaciones iniciales o de determinadas estaciones intermedias satisfaciendo un deter-
minado periodo de tiempo entre sus respectivas salidas. Es decir la restricción C15
- Salidas Periódicas definida en el capítulo 3, no ha formado parte del conjunto de
restricciones considerado para resolver dichas instancias.
En esta subsección mostramos resultados correspondientes a una instancia del
problema OPT en la cual si es requerido que el horario asignado a los trenes de la
instancia considerada satisfaga además del conjunto de restricciones consideradas
en instancias previas, la restricción C15.
Consideramos un conjunto de 33 trenes, todos con el mismo recorrido, aunque
una parte de ellos en un sentido y el resto en el sentido opuesto. La línea utilizada
por estos trenes está formada por 32 dependencias, los tramos pertenecientes a
la línea constan tanto de vía única como de vía doble, y parte de la línea utiliza
bloqueo manual. Mostraremos los resultados obtenidos al resolver esta instancia del
problema en menos de 1 segundo de ejecución. Se realizaron cuatro pruebas con el
mismo conjunto de trenes y la misma línea ferroviaria. La diferencia entre las mismas
consistió en la cantidad de tiempo requerido como periodo de tiempo entre las salidas

230 6. Evaluación Computacional
Figura 6.14: Periodo de tiempo entre salidas iniciales consecutivas: 20 minutos
iniciales de los trenes consecutivos pertenecientes a la instancia considerada.
En la Figura 6.14 se muestra el resultado obtenido cuando el periodo de tiempo
entre las salidas iniciales de los trenes consecutivos debe ser igual a 20 minutos.
Como puede verse el método PBO ha asignado el instante de salida del primer tren
que viaja en sentido vuelta, posterior al instante de llegada del último tren que viaja
en sentido ida. Es importante notar que se había indicado como instante de salida
deseado para el primer tren que viaja en sentido vuelta, el instante 06:26 hs. Como
puede observarse en la solución proporcionada por PBO en la Figura 6.14, el primer
tren que viaja en sentido vuelta parte de su estación origen en el instante 13:05 hs.
Este retraso con respecto al instante de salida deseado es debido a que el método
no ha encontrado un instante de salida anterior al asignado que permita que cada
par de trenes consecutivos salgan posteriormente satisfaciendo, además de todas las
restricciones de OPT, el requerimiento de que debe mantener un periodo de tiempo
igual de 20 minutos con respecto a la salida del tren previo.
Al aumentar el periodo de tiempo requerido entre las salidas iniciales de trenes

6.7. Casos particulares y descripción de las Soluciones obtenidas 231
Figura 6.15: Periodo de tiempo entre salidas iniciales consecutivas: 30 minutos
consecutivos de 20 minutos a 30 minutos, el método PBO obtiene el resultado
mostrado en la Figura 6.15. En este caso sí ha sido posible asignar los instante
de salida deseados, 06:12 hs. para el primer tren que parte de la estación origen
con sentido ida y 06:26 hs. para el primer tren que parte de la estación origen con
sentido vuelta.
El retraso promedio disminuye al aumentar el periodo de tiempo a 40 minutos,
ya que debido al instante de salida deseado para los primeros trenes, y al periodo
aumentado en 40 minutos, el intervalo de tiempo entre una salida y otra aumenta,
por lo cual los tramos son ocupados por menos trenes por unidad de tiempo, en
consecuencia existen menos conflictos por un mismo tramo. Si se comparan los
resultados obtenidos previamente con el periodo de tiempo igual a 30 minutos y el
resultado obtenido con el periodo igual a 40 minutos en la Figura 6.16 se observa
que el número de conflictos es diferente.
Finalmente, en la Figura 6.17 se muestra la solución obtenida cuando el periodo
de tiempo que debe existir entre las salidas iniciales de los trenes consecutivos es

232 6. Evaluación Computacional
Figura 6.16: Periodo de tiempo entre salidas iniciales consecutivas: 40 minutos
igual a 60 minutos.
6.7.4. Simulación de cambios de infraestructura
En esta sub sección consideramos una nueva instancia del problema OPT en la
cual se desean agregar 28 nuevos trenes en el intervalo horario de 00:00 a 08:00 hs.
El recorrido de los trenes comprende estaciones de la línea ferroviaria 50200-50300.
En la Figura 6.18 se muestra el resultado obtenido por el método PBO en el
primer minuto de ejecución para la instancia considerada en esta sub sección. En
la misma figura se señalan las principales características de la línea causantes de
las paradas técnicas más pronunciadas en la solución obtenida. El retraso promedio
obtenido en este resultado es de 64,2 %.
Las estaciones 50204 y 50205 señaladas con un rectángulo formado por línea
de puntos, constan de una sola vía disponible, la otra vía se halla en reparación,
por lo tanto ningún tren puede utilizarla. Debido a que no se pueden gestionar

6.7. Casos particulares y descripción de las Soluciones obtenidas 233
Figura 6.17: Periodo de tiempo entre salidas iniciales consecutivas: 60 minutos
cruces ni alcances en dichas estaciones, esos cruces o alcances son llevados a las
estaciones precedentes, lo cual genera mayores paradas técnicas. Vea parada técnica
en la estación 50206 de la Figura 6.18.
El círculo de la Figura 6.18 señala otra de las causas que generan un mayor
retraso en la solución obtenida. En esos tramos señalados hay mayor cantidad de
trenes por instante de tiempo. Al ser tramos de vía única, esto obliga a que algunos
de ellos deban realizar paradas técnicas necesariamente. El hecho de ser más de dos
trenes los que compiten por un mismo tramo, favorece a una mayor parada técnica
por parte del tren que espera la liberación del tramo.
También señalamos el tipo de bloqueo existente en los tramos de la línea 50200-
50300. Como puede observarse, el tipo de bloqueo manual está asignado en los
tramos que contienen a las estaciones cuyo número de vías es igual a uno. Esto hace
que la capacidad de estos tramos sea aún menor, ya que además del hecho que las
estaciones que forman parte de dichos tramos solo pueden gestionar un tren a la vez,
se suma el hecho de que los tramos tampoco pueden ser ocupados por más de un tren
aún cuando estos viajen en el mismo sentido. Ya que dado dos trenes consecutivos,

234 6. Evaluación Computacional
Congestión
Mayor
Figura 6.18: Causa del retraso del tren ty
Bloqueo Automático Bloqueo
Manual 1Vía 1Bloqueo Automático
el segundo en partir, deberá esperar a que el primero llegue a la siguiente estación
abierta, antes de que este pueda salir de la estación que inicia el tramo con bloqueo
manual.
En esta sub sección deseamos indicar particularmente dos características del
método PBO, una de ellas es que produce resultados en forma eficiente aún cuando
las características de la malla obligan a que el método deba realizar un gran número
de backtrackings hasta lograr obtener en cada iteración un conjunto de horarios
factible. Aún así se obtiene en el primer minuto de ejecución una solución de alta
calidad. Otra de las características que deseamos resaltar en esta sub sección es la
capacidad de simular en poco tiempo diferentes características de infraestructura
para una misma línea ferroviaria y un mismo conjunto de trenes. Lo cual permite
obtener una serie de conclusiones acerca de la infraestructura en muy poco tiempo.
Como ejemplo hemos modificado determinadas características de la línea 50200-
50300 original. Hemos elevado a dos el número de vías en las estaciones señaladas por
el rectángulo de línea de puntos, hemos aumentando en uno el número de vías en los
tramos entre las estaciones 50201 y 50203, señalados por el círculo de línea de puntos
en la Figura 6.19, y finalmente hemos modificado el tipo de bloqueo de manual a
automático en el tramo señalado en la misma figura. Con estas modificaciones se ha
Vía
Unica
Vía

6.8. Algunos ejemplos de instancias complejas 235
Doble
Vía
Figura 6.19: Causa del retraso del tren ty
obtenido un retraso promedio igual a 39,2 %.
2Vías 2 Automático Bloqueo Vías
En la Figura 6.19 se observa el resultado obtenido en forma gráfica. En dicha
figura se puede observar cómo la capacidad de los tramos aumenta al hacer que
todos ellos tengan un bloqueo automático, al igual que permiten una menor parada
técnica para los trenes que compiten por lo tramos entre las estaciones 50204 y
50205. Se puede ver que esto ha influido de gran forma en la disminución del retraso
promedio, ya que los trenes aprovechan dichas estaciones para gestionar en ellas los
cruces. Son tramos de mucho tráfico, por lo tanto es importante que dichas estaciones
estén habilitadas para recibir a más de un tren a la vez. Por lo menos a dos.
6.8. Algunos ejemplos de instancias complejas
Algunos ejemplos de casos de estudio utilizados son mostrados a continuación.
En la Figura 6.20 se proporciona un caso en el que se desea obtener el horario de
los trenes que circulan por una línea ferroviaria en la cual exiten tanto trenes ca-
denciados (entre todas las salidas consecutivas debe existir un determinado periodo
de tiempo) como de trenes no cadenciados. Se puede indicar al método de solución
la prioridad de los mismos. En este caso, se ha indicado que los trenes cadenciados

236 6. Evaluación Computacional
deben tener mayor prioridad que el resto de trenes, por lo tanto al realizar la orde-
nación de variables, aquellas que representan sus instantes de salida son las primeras
en ser seleccionadas. La línea ferroviaria está compuesta en su totalidad por tramos
de vía doble, lo que favorece a la alta densidad de trenes en la misma.

6.8. Algunos ejemplos de instancias complejas 237
Figura 6.20: Línea ferroviaria compuesta por Trenes Cadenciados y Trenes sin Ca-
denciar de diferentes operadores

238 6. Evaluación Computacional
En la Figura 6.21, no toda la línea está formada por tramos de vía doble. Una
parte de la misma consta de vía única. Esto además de hacer que aparezcan nuevos
conflictos, debido a la competencia entre trenes que viajan en sentido opuesto, hace
que el número de soluciones factibles sea mayor, que las que habrían si toda la línea
fuera únicamente de vía doble. Comparando los ejemplos de las Figuras 6.20 y 6.21,
podemos indicar que en la primera se emplea mayor tiempo para obtener cada solu-
ción, ya que consta de mayor número de variables que asignar y de restricciones que
verificar, sin embargo el número de soluciones factibles para la misma es menor, ya
que al no tener tramos con vía única, el conflicto debido a los cruces no está pre-
sente. Por lo tanto, se requieren menor número de iteraciones para explorar mayor
espacio de soluciones.

6.8. Algunos ejemplos de instancias complejas 239
Figura 6.21: Línea con la mayor parte de sus tramos en vía doble

240 6. Evaluación Computacional
El ultimo ejemplo que mostramos en la Figura 6.22, consta únicamente de trenes
cadenciados. Cada grupo de trenes que debe satisfacer una cadencia se superpone
sobre el otro. No todos comparten días de circulación, y la línea ferroviaria consta
de tramos con vía doble. En este ejemplo la principal complicación consiste en
satisfacer un periodo de tiempo determinado entre las salidas consecutivas de un
grupo de trenes, ya que al tener uno de ellos un conflicto con otro tren cualquier del
problema, se debe deshacer el horario del resto de trenes del grupo como para que
la frecuencia de salida se siga satisfaciendo.

6.8. Algunos ejemplos de instancias complejas 241
Figura 6.22: Trenes Cadenciados superpuestos

242 6. Evaluación Computacional
6.9. Estudio sobre la Robustez de Soluciones
Una asignación factible de horarios, ajustada a determinados criterios de calidad,
muchas veces debe ser modificada durante su ejecución debido a incidencias que se
presentan y que no pueden ser previstas durante su planificación.
Una propiedad deseable para los horarios obtenidos es que estas modificaciones
sean las mínimas, produciéndose la menor desviación con respecto a la solución
originalmente obtenida. Consideramos que cuanto menor sea la modificación en una
solución debida a una incidencia, mayor es su robustez.
Una forma de obtener horarios robustos podría ser incorporar como un criterio
más de la función objetivo la medida de robustez de cada solución. Se han publica-
do trabajos que proponen formas de medir, lo que ellos consideran robustez de un
scheduling de determinadas características. Así, la métrica flex seq consiste en contar
el número de pares de actividades de la solución que no están recíprocamente rela-
cionadas (esto es: no están ordenadas una con respecto a la otra por restricciones
de precedencia en POS [100]). Esta métrica provee un análisis de la configuración
de la solución. El razonamiento que se utiliza para ésta medida es que cuando dos
actividades no están relacionadas es posible mover una sin tener que mover la otra
[100].
La métrica flexseq ha sido definida en el trabajo de Aloulou y Portmann [3]
con el objetivo de medir la flexibilidad de una solución para un determinado tipo
de problema. En el trabajo de Aloulou y Portmann se considera el problema de
scheduling con una sola máquina con llegada dinámica de trabajos y la demora
total y el makespan como funciones objetivo. La máquina está sujeta a trastornos
relacionados a la llegada tardía de material y averías en la misma. Se ha propuesto
una aproximación proactiva-reactiva para tratar con posibles perturbaciones. En la
fase proactiva en lugar de proveer un schedule encargado de tomar decisiones, se
presenta un conjunto de schedules predictivos. Este conjunto está caracterizado por
un orden parcial de trabajos y un tipo de schedules asociados, que en éste trabajo
se trata de schedules semi activos. Esto permite disponer de alguna flexibilidad en
la secuenciación de trabajos y flexibilidad en el tiempo que puede ser usada on-line
por el algoritmo reactivo para cubrir contra trastornos no previstos.
Una solución es más flexible a medida que aumente el número de schedules

6.9. Estudio sobre la Robustez de Soluciones 243
correspondientes a la solución [3]. Esto quiere decir que al tener muchos schedules,
sería posible disponer en forma on-line, cada vez que una decisión tiene que ser
tomada, de más de una alternativa. Esta flexibilidad, llamada flexibilidad en la
secuenciación de trabajos (job sequencing), puede ser medida por el numero de
diferentes schedules factibles con respecto al orden parcial. Sin embargo, el problema
de calcular este numero es #P-complete. Es por ello que [3] propone otra medida
flex seq igual al número de ejes no orientados en el grafo transitivo representando el
orden parcial.
Por otro lado, la métrica fldt es tomada del trabajo de Cesta, Oddi & Smith
[25] y está basada en la holgura temporal asociada a cada actividad:
fldt =
h=l
|d(eah , sal ) − d(sal , eah )|
H × Nact × (Nact − 1)
(6.9.1)
En 6.9.1, H es el horizonte de tiempo del problema, Nact es el número de actividades,
y d(tp1, tp2) es la distancia entre dos instantes de tiempo. Esta métrica caracteriza
la fluidez de una solución. Esto es: la habilidad para absorber variación temporal en
la ejecución de actividades. Cuanto más alto sea el valor de fldt, menor es el riesgo
de un efecto dominó.
En [25], el horizonte H es computado por la siguiente expresión:
H = (Njobs − 1) × pbk + Nres
i=1 pi (6.9.2)
la cual ha sido adaptada a partir del trabajo de Cheng & Smith [26], pbk es el tiempo
de procesamiento mínimo de la actividad en el recurso cuello de botella, y pi es el
tiempo de procesamiento mínimo de la actividad en el recurso ri. El recurso cuello
de botella es el recurso con máximo valor de la suma del tiempo de procesamiento
mínimo de las actividades que piden el recurso.
En Cesta et al. se considera una clase extendida de problemas de scheduling
donde los recursos tienen capacidad finita para soportar más de una actividad.
En el trabajo realizado por Vromans, Dekker & Kroon [117] consideran que el
uso compartido de la misma infraestructura por diferentes servicios ferroviarios, con
diferentes orígenes y diferentes destinos, diferentes velocidades y diferentes patrones
de paradas, es probablemente la principal razón para la propagación de retrasos a
través de la red. En [117] se investiga el efecto de la heterogeneidad del horario en

244 6. Evaluación Computacional
la fiabilidad del sistema ferroviario. Se considera que el tráfico ferroviario es het-
erogéneo cuando los trenes tienen grandes diferencias en la velocidad promedio por
tramo, resultante del tiempo de recorrido y de los tiempos de parada. La hetero-
geneidad usualmente conduce a muchos tiempos de sucesión pequeños, los cuales
pueden incrementar la propagación de retrasos en las operaciones. En éste trabajo
se indica que cuando se investiga heterogeneidad, tramos con vía doble son más
relevantes que tramos con vía única.
Una importante desventaja de medir tiempos de sucesión en únicamente una
dependencia es que esto no dice nada acerca de la conducta de los trenes en el tramo
que rodea a la dependencia. Por lo tanto se considera los tiempos de sucesión más
pequeños entre dos trenes consecutivos sobre un cierto tramo en lugar de considerar
una sola dependencia. Cuando los trenes sobre un cierto tramo son completamente
homogéneos, entonces la suma de los tiempos de sucesión más pequeños en éste
tramo es igual al ciclo de tiempo (ciclo de tiempo se llama a la cantidad de tiempo
que pasa hasta que el conjunto de horarios se vuelva a repetir, por ejemplo: 24
horas).
Esto conduce a la primera medida de heterogeneidad propuesta por [117], es
definida como sigue:
con h − i
SSHR = n
1
i=1 h − i
siendo el tiempo de sucesión más pequeño entre los trenes consecutivos i e
i + 1 en el tramo considerado.
= 1
=
= + + + = 91 ...
Figura 6.23: Ejemplo de aplicación de la métrica SSHR en un tramo
SSHR
9 9 distancia 9 21 21 21 21
hora 1 t 2 t 3 hora por trenes frecuencia4 hora ciclo1 444 , 0 91 91 91 9
t 4
t

6.9. Estudio sobre la Robustez de Soluciones 245
=
=
= + + + = 21 2
28 distancia2 1 2 t 3 2 28 t
trenes frecuencia4 hora ciclo14
t
21 21 21 SSHR 28 28
Figura 6.24: Ejemplo de aplicación de la métrica SSHR en un tramo porhora
1hora
Según la medida SSHR la solución mostrada en la Figura 6.23 es menos het-
4 t t
erogénea que la solución mostrada en la Figura 6.24.
Una desventaja de la medida SSHR es que los tiempos de sucesión son penaliza-
dos tan duramente en la salida como en la llegada, aunque según [117] el tiempo de
sucesión en llegada es más importante cuando se trata de medir la heterogeneidad de
una solución. La primera razón es que los retrasos en llegada suelen ser más grandes
que los retrasos en salidas. La segunda razón es que los trenes más rapidos de larga
distancia pueden ser alcanzados por detrás por trenes de corta distancia hacia el
final de una sección ferroviaria. Por lo tanto se propone una segunda medida, la
cual depende únicamente de los tiempos de sucesión en llegada entre cada par de
trenes consecutivos, la Suma de los Recíprocos de Tiempos de Sucesión en Llegada
(SAHR):
siendo h A i
SAHR = n
1
i=1 hA i
el tiempo de sucesión en llegada entre los trenes i e i + 1.
En esta línea de trabajo, el objetivo sería hallar durante la construcción de un
horario una medida que nos guíe hacia una solución que además tenga la propiedad
de poder restablecerse cuanto antes ante una incidencia, o bien que sea posible mod-
ificar el menor número de horarios de operaciones para subsanar ciertos trastornos
que ocurran durante el desarrollo de una programación de horarios.
Sin embargo, estas medidas resultan insuficientes cuando deseamos incorporarlas
en el problema de asignación y optimización de horarios ferroviarios debido a que

246 6. Evaluación Computacional
no tienen en cuenta muchas de las restricciones, que deben ser consideradas en todo
horario factible para este tipo de problema.

6.10. Conclusiones 247
6.10. Conclusiones
A partir de los resultados obtenidos durante la evaluación computacional de
las aproximaciones desarrolladas en este trabajo, indicamos que estas tienen las
siguientes propiedades:
Evitan los óptimos locales. Los métodos desarrollados son capaces de explo-
rar un amplio espacio de búsqueda, dentro del espacio de soluciones de cada
caso de prueba proporcionado, así como también es capaz de obtener mejores
resultados que una aproximación completamente aleatoria en menos cantidad
de tiempo.
Son eficientes. En un minuto de ejecución, PBO proporciona soluciones, cuyo
coste es cercano al obtenido luego de varios minutos de ejecución donde se
exploran otras varias regiones del espacio de búsqueda, lo cual indica que las
primeras regiones seleccionadas en el espacio de búsqueda, son aquellas donde
el criterio heurístico de PBO determina que hay mayor oportunidad de obtener
un bajo coste para la función objetivo.
Son adecuadas para casos reales. Los casos de prueba utilizados son casos
reales del problema OPT. Un gran número de soluciones son factibles para
cada uno y la obtención de cada una implica la verificación de un conjunto
de restricciones amplio y costoso en ciertos casos (número de vías en estación,
horario de cierre, bandas de mantenimiento, demora por parada no prevista,
adelantamientos). Estos factores obligan a buscar métodos que resuelvan el
problema utilizando una heurística, basándose en el conocimiento del problema
que se intenta resolver. Proponemos PBO como ese método por su eficiencia
tanto en tiempo como en optimalidad conseguida.
Pueden ser empleadas como el núcleo de sistemas de soporte de decisiones.
Se pueden implementar aplicaciones que utilicen el método PBO para obtener
informaciones con respecto a la línea ferroviaria tal como su capacidad prácti-
ca, robustez de la línea, mejoras que puedan obtenerse mediante cambios en
la infraestructura, y otros datos que un experto pueda obtener mediante la
obtención de resultados parametrizando un determinado conjunto de trenes y
una determinada línea ferroviaria. Esto es posible debido a que se consideran

248 6. Evaluación Computacional
un conjunto de restricciones que permite obtener horarios que resultan útiles
a nivel práctico en muy poco tiempo de ejecución.
La eficiencia en la resolución de casos de prueba de diversa complejidad, han
probado la validez de las heurísticas de ordenación y poda, así como del proceso de
verificación de restricciones. El resultado es un método que a pesar de la complejidad
computacional del problema, proporciona resultados válidos y de calidad en un
tiempo razonable, permitiendo su aplicación en un entorno real, como es el sector
ferroviario.

Capítulo 7
Conclusiones
7.1. Introducción
En este capítulo resumimos las principales aportaciones realizadas en esta tesis
en relación a los objetivos planteados inicialmente. Estos son:
Definir formalmente el problema de generación y optimización de horarios
ferroviarios, considerando su contexto real de aplicación. Identificación y for-
malización del problema. Análisis de aproximaciones alternativas, de técnicas
CSP y de programación matemática, para su modelización y resolución, con-
cluyendo la viabilidad y adecuación de las mismas.
Diseñar y desarrollar nuevos métodos de solución para el problema de gen-
eración y optimización de horarios ferroviarios que permitan obtener soluciones
optimizadas de forma eficiente. Diseño de nuevas heurísticas para poder obten-
er las mejores soluciones en el menor tiempo posible.
Evaluación de los métodos desarrollados. Diseño y parametrización de los casos
de prueba en base a instancias reales. Desarrollo un sistema software que
incorpore los métodos diseñados permite su evaluación.
Se destacarán las principales contribuciones realizadas al respecto. En particu-
lar, considerando el problema de asignar recursos en el tiempo teniendo en cuenta
un conjunto de restricciones y criterios para evaluar la calidad de cada solución,
proponemos en la sección 7.3, la robustez y la replanificación como líneas de trabajo
249

250 7. Conclusiones
futuro. Finalmente, en las secciones 7.4 y 7.5 citamos las publicaciones que han re-
sultado del trabajo realizado para esta Tesis y las conclusiones finales de la misma,
respectivamente.
7.2. Contribuciones de este trabajo
En esta sección, proporcionamos las principales aportaciones que hemos realizado
a partir del trabajo llevado a cabo en esta Tesis. Las hemos clasificado en dos
aspectos: (i) el de la conceptualización y modelización del problema, y (ii) el del
desarrollo y evaluación de un método computacional para resolverlo.
A) Conceptualización y Modelización del Problema
En esta Tesis hemos considerado un problema combinatorio, de optimización,
cuyas características lo definen específicamente como un problema de scheduling
tipo Job Shop. Sin embargo, ciertos requerimientos adicionales añaden mayor com-
plejidad respecto al problema comúnmente estudiado, tanto en su modelización como
en el proceso de solución.
Es importante destacar que las restricciones consideradas corresponden a un
problema real, para el que no existía una modelización previa en la literatura.
En el capítulo 3 se ha proporcionado la descripción formal del problema de
generación y optimización de horarios para trenes (OPT), identificando los elementos
que lo definen y formulándolo como un problema de Satisfacción y Optimización
de Restricciones (CSOP). Se han descrito formalmente las variables y sus dominios,
las restricciones y la función objetivo, mediante la cual se evalúa la calidad de cada
solución.
El resultado obtenido es una modelización formal de cada una de las restricciones
y de los componentes funcionales de la función objetivo que se consideran en esta
especialización del problema.
Hemos presentado un análisis del estudio realizado sobre aquellas aproximaciones
más referenciadas en la literatura, concluyendo que la programación matemática no
resulta adecuada para modelar el tipo de problema que consideramos en esta tesis.
Ello es debido a la complejidad que supone expresar ciertas restricciones del conjunto

7.2. Contribuciones de este trabajo 251
considerado, como por ejemplo:
Capacidad limitada de un recurso. No podrán utilizarlo más de N operaciones
simultáneamente, siendo N la máxima capacidad del recurso.
Disminución de la capacidad de un recurso durante un determinado intervalo
de tiempo, que puede ser debido a operaciones de mantenimiento, o avería.
Margen de seguridad temporal entre las entradas y las salidas de las opera-
ciones a un determinado centro de trabajo.
Dado dos operaciones que entran a un mismo centro de trabajo y utilizan los
recursos en un mismo orden, debe ser gestionada en primer lugar la operación
que entra primero, siempre y cuando la prioridad de la segunda operación no
sea mayor.
Diferenciar los recursos que pueden ser utilizados por más de una operación
a la vez de aquellos que deben ser utilizados como máximo por una operación
a la vez. En este caso las operaciones deberán pertenecen siempre a trabajos
que utilizan los recursos en el mismo orden.
Podemos concluir por tanto que los métodos que se basan en el modelo matemático
del problema no podrían ser empleados, ya que la modelización matemática del
conjunto de restricciones que consideramos no es conocida aún en la literatura. Por
otra parte, aún restringiendo el conjunto de restricciones a aquellas que pueden ser
modeladas matemáticamente, estos métodos de solución resultan ineficientes debido
al gran número de restricciones y variables binarias necesarias para modelar un
problema del mundo real.
Por otra parte, también presentamos el resultado del estudio realizado sobre
las técnicas CSPs más representativas para resolver problemas formulados mediante
esta aproximación. Dichas técnicas no han podido ser empleadas directamente, ya
que daban lugar a procedimientos poco eficientes. Sin embargo, conceptos como el
ordenamiento de variables, de valores, así como la propagación de restricciones han
sido adaptados al método de solución que hemos desarrollado.
Consideramos que hemos aportado la descripción formal de una especialización
de un complejo problema de scheduling tipo Job Shop, necesaria para muchos prob-
lemas del mundo real, dejando explícitamente establecidas las restricciones que se

252 7. Conclusiones
consideran en este tipo de problemas, así como la complejidad que supone incorporar
cada una de ellas en un método general de solución.
B) Diseño y Desarrollo de nuevos métodos de resolución
Hemos propuesto nuevos métodos que resuelven el problema considerado en esta
Tesis de forma eficiente, obteniendo soluciones de alta calidad en un tiempo razon-
able. Estos métodos consideran el conjunto de restricciones definido para el complejo
problema Job Shop, y es posible incorporar al método nuevas restricciones sin que
ello afecte al método de solución.
El desarrollo de estos métodos, contribuye con nuevas heurísticas para ordenar
variables, para ordenar valores y podar soluciones, agilizando así la construcción de
cada solución y permitiendo con ello la obtención de una solución de alta calidad de
forma eficiente.
La heurística para ordenar las variables consiste en obtener el retraso que lleva
cada trabajo, previamente a la selección de la siguiente variable para asignación. Pos-
teriormente se asigna una probabilidad de selección, que será mayor cuanto mayor
sea el retraso que lleve el trabajo con respecto a un tiempo de referencia, consistente
en el mínimo tiempo que requiere el mismo para ser completado. Así, la heurística
para ordenar las variables que deben ser asignadas, está basada en el estado ac-
tual del problema (retraso promedio de cada trabajo) y en el conocimiento que se
tiene acerca de la función objetivo (minimizar el retraso promedio de los trabajos
y la diferencia entre los retrasos de trabajos que siguen un orden opuesto). Esta
heurística incluye una componente aleatoria, ya que las decisiones se llevan a cabo
basándonos en el estado actual del problema. La componente aleatoria permite huir
de los mínimos locales y evitar dirigir siempre la solución hacia una misma región
del espacio de búsqueda.
Se propone una forma de propagar ciertas restricciones, específicamente aquel-
las que acotan las variables de un único trabajo. Estas son, por ejemplo, aquellas
restricciones que indican que el instante de finalización de una operación debe ser n
unidades mayor al instante de inicio, siendo n el tiempo de procesamiento de dicha
operación. Estas restricciones acotan a un único valor el dominio de las variables que
representan los instantes de finalización de las operaciones. Otra de las restricciones

7.2. Contribuciones de este trabajo 253
que se utilizan para acotar el dominio de una variable es la que establece un margen
sobre el instante de inicio de un trabajo.
Se propone una forma de optimizar el proceso de backtracking. Para ello, se
identifica la causa directa del dead-end que obliga al backtracking, y se corrige.
Posteriormente, no es necesario rehacer las asignaciones de todas las variables cuyo
orden de asignación es posterior a aquella variable modificada para subsanar el dead
end, sino únicamente aquellas variables afectadas, en forma directa o indirecta.
También se introduce una heurística para interrumpir la construcción de una
solución, si estima que el mejor valor que puede adquirir su función objetivo, una
vez ésta sea completada, es peor o igual que el valor de la función objetivo corre-
spondiente a la mejor solución construida hasta entonces. En este caso, la solución
parcial es abortada y se inicia una nueva búsqueda.
Tras el desarrollo de los métodos, en el capítulo 6 se ha realizado un conjunto de
evaluaciones sobre diversas instancias del problema. Cada una de estas instancias son
casos reales que han sido obtenidos mediante la colaboración de la Administración
Española de Infraestructura Ferroviaria (ADIF). Gracias a esta colaboración se ha
podido evaluar la eficiencia y la calidad de las soluciones empleando casos de estudio
que conllevan una elevada complejidad, ya que se deben tener en cuenta aspectos de
la infraestructura ferroviaria que obligan a una elevada cantidad de verificaciones,
así como de combinaciones válidas posibles. La cantidad de verificaciones que se
requiere contribuye a la alta complejidad temporal para obtener cada solución. La
cantidad de combinaciones válidas contribuyen a la elevada complejidad temporal
para recorrer todo el espacio de soluciones. De esta forma, se resalta la importancia
de obtener heurísticas que guíen hacia las regiones más prometedoras del espacio de
soluciones en el menor tiempo posible.
Se ha desarrollado un sistema software que permite integrar la definición de la
infraestructura y de los trenes que se deben considerar al método de optimización.
También permite la parametrización de las restricciones y del procedimiento de
optimización, haciendo que se obtengan diferentes escenarios con solo modificar
determinados parámetros tales como: número de vías en tramos, tipo de bloqueos,
intervalos de salida inicial, intervalos de llegada a destino, considerar o no bandas
de mantenimiento, tiempo límite de ejecución, etc.
Los resultados obtenidos por este sistema software pueden ser visualizados de

254 7. Conclusiones
forma gráfica indicándose la secuencia de estaciones y horarios por los que pasa el
tren. Así, por cada solución obtenida, además de su coste, se puede obtener una
visualización gráfica de la misma, que muchas veces es más intuitiva para el usuario
final.
7.3. Trabajo Futuro
De acuerdo al estudio realizado en el capítulo 6, la generación de horarios opti-
mizados se realiza de forma off-line, previo al proceso propio de aplicación, es decir,
a la ejecución de dichos horarios.
Sin embargo, en la aplicación de los resultados de un proceso de scheduling es
evidente que pueden surgir incidencias, falta de disponibilidad de recursos, retrasos,
etc. que afecten a la programación efectuada y haga necesaria su replanificación.
Con ello, aparecen dos líneas fundamentales a partir del trabajo realizado en esta
tesis: (i) minimizar la afectación de un horario frente a incidencias, y (ii) replanificar
un horario para adecuarlo a las incidencias producidas. El primer punto trata sobre el
concepto de robustez, mientras que el segundo requiere un proceso de re-scheduling.
De esta forma, como áreas de trabajo futuro aparecen las siguientes líneas:
Incorporar Robustez a las soluciones obtenidas. Actualmente la construcción
de cada solución es llevada a cabo satisfaciendo un conjunto de restricciones
y considerando que se desea optimizar una determinada función objetivo, sin
que tengamos en cuenta la robustez de la solución entregada. Es decir, no
medimos cuánto puede afectar a una determinada programación, la aparición
de una incidencia durante el desarrollo de la misma. Esto es, cómo afectan
las incidencias sobre la disponibilidad de recursos o sobre la ejecución de las
operaciones a la programación de horarios realizada inicialmente.
El objetivo futuro consiste en construir soluciones en las cuales se tenga en
cuenta la posible aparición de incidencias durante su aplicación, de forma que
se vean afectados el menor número de trabajos del problema, y que, además,
el trabajo afectado pueda recuperar cuanto antes la programación de horarios
inicial que se haya realizado sobre sus operaciones.

7.3. Trabajo Futuro 255
Replanificación a partir de una incidencia. Además de la construcción de ho-
rarios que incluyan entre sus propiedades la robustez, sería muy interesante
contar con un procedimiento que pueda subsanar de la mejor forma posible
el trastorno producido por una incidencia en una programación de horarios,
y que no haya sido absorbida por la robustez de la planificación. Cuando in-
dicamos que sea de la mejor forma posible, nos referimos al hecho de modificar
únicamente el horario de aquellas operaciones que se vean afectadas en forma
primaria o secundaria por el trastorno producido.
Cuando un conjunto de trabajos lleva a cabo sus operaciones a partir de un
horario establecido para cada una, cabe la posibilidad de que durante el desar-
rollo de las mismas se produzca un evento que obligue a modificar sin remedio
el horario de alguna de ella. A partir de la incidencia, es necesario asignar
un nuevo horario a la operación directamente afectada (operación afectada en
forma primaria). Adicionalmente, suele ser necesaria la modificación de otras
operaciones que, aunque no estén afectadas directamente por la incidencia
ocurrida, sí se vean afectadas (incidencias secundarias) por la modificación de
otras operaciones.
El procedimiento que presentamos en esta Tesis para programar horarios para
trenes puede servir para replanificar horarios, a partir del instante en que se
produce la incidencia. Sin embargo, de esta forma, se estaría replanificando el
horario de todas las operaciones cuyos instante de inicio se hallasen a partir de
aquel en el que se produjo la incidencia. Sería más eficiente diseñar un proced-
imiento en el cual se recorra la línea de tiempo, a partir del instante en que se
produce la incidencia, y se verifiquen los conflictos que aparecen, resolviéndo-
los en ese mismo orden, de menor a mayor instante de tiempo, modificando
únicamente el horario de las operaciones afectadas, y decidiendo en base a una
heurística apropiada a la función objetivo de la replanificación. Dicha heurísti-
ca debería determinar cuál de las dos operaciones futuras que participan en
cada conflicto debería tener mayor prioridad sobre el recurso en competencia.
La función objetivo durante la replanificación podría ser diferente a la de la
función objetivo de la planificación inicial, para el mismo problema, ya que
además de optimizar determinados criterios, propios del problema original, se
pretende modificar el horario de las operaciones de tal forma que los mismos

256 7. Conclusiones
presenten las mínimas diferencias posibles con el horario original.
7.4. Publicaciones relacionadas con la Tesis
En esta sección presentamos las publicaciones que están relacionadas con el tra-
bajo de tesis doctoral. Estas publicaciones las hemos clasificado en: artículos en
revista y capítulos de libro, congresos internacionales y congresos nacionales.
Artículos en Revistas y Post selecciones de Congresos
F. Barber, M.A. Salido, L. Ingolotti, M. Abril, A. Lova, and P. Tormos. An Inter-
active Train Scheduling Tool for Solving and Plotting Running Maps. In R. Conejo
et al., editors, Current Topics in Artificial Intelligence. LNAI, Subseries of Lecture
Notes in Computer Science. Selected from CAEPIA 2003, volume 3040 of ISSN:
0302-9743, ISBN: 3-540-22218-9, pages 646–655, Springer Verlag, 2004.
M.A. Salido, M. Abril, F. Barber, P. Tormos, A. Lova, and L. Ingolotti. Optimization
in Railway Scheduling. 2nd International Conference on Informatics in Control,
Automation and Robotics. Selected from ICINCO’05, ISSN: 0302-9743, ISBN: 972-
8865-29-5, pages 188–195, IOS Press, 2005.
L. Ingolotti, F. Barber, P. Tormos, A. Lova, M.A. Salido, and M. Abril. A Schedul-
ing Order-Based Method to solve Timetabling Problems. In R. Marin et al., editors,
Current Topics in Artificial Intelligence. LNAI, Subseries of Lecture Notes in Com-
puter Science. Selected from CAEPIA 2005, volume 4177 of ISSN: 0302-9743, ISBN:
3-540-35453-0, pages 52–61, Springer Verlag, 2006.
F. Barber, P. Tormos, A. Lova, L. Ingolotti, M.A. Salido, and M. Abril. A Decision
Support System for Railway Timetabling Problem (MOM): the Spanish Case. In C.
Brebbia et al., editors, Computer System Design and Operation in the Railway and
Other Transit Systems. Computer in Railways Series., volume 10 of ISSN: 1746-
4498, ISBN: 1-84564-177-9, pages 235–244, WIT Press, 2006.

7.4. Publicaciones relacionadas con la Tesis 257
Congresos Internacionales
F. Barber, P. Tormos, A. Lova, L. Ingolotti, M.A. Salido, M. Abril. Train Scheduling:
A Real Case. In L. Kroon, D. Wagner, F. Wagner and C. Zaroliagis, editor, in
Proceedings of Dagstuhl Seminar 04261, volume 1 of ISSN: 1862-4405, pages 5.
http://drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2006/471 , 2004.
L. Ingolotti, P. Tormos, A. Lova, F. Barber, M.A. Salido, and M. Abril. A Decision
Suport System (DSS) for the Railway Scheduling Problem. In M. Bramer and
V. Devedzic, editors, Artificial Intelligence Applications and Innovations, ISBN: 1-
4020-8150-2, pages 465–474, Kluwer Academic, 2004.
L. Ingolotti, F. Barber, P. Tormos, A. Lova, M.A. Salido, and M. Abril. An Effi-
cient Method to Schedule New Trains on a Heavily Loaded Railway Network. In
C. Lemaître et al., editors, Advances in Artificial Intelligence. LNAI, Subseries of
Lecture Notes in Computer Science, volume 3315 of ISSN: 0302-9743, ISBN: 3-540-
23806-9, pages 164–173, Springer Verlag, 2004.
F. Barber, M. Abril, L. Ingolotti, A. Lova, M.A. Salido and P. Tormos. MOM, A
Decision Support System for Railway Scheduling. In Proc. of the 17th International
Triennial Conference in OR/MS (IFORS’05), pages 14–15, 2005.
A. Lova, P. Tormos, F. Barber, L. Ingolotti, M. Abril, and M.A. Salido. An Efficient
Heuristic Technique to Schedule New Trains on a High Loaded Network. In Proc. of
the 17th International Triennial Conference in OR/MS (IFORS’05), pages 14–15,
2005.
P. Tormos, A. Lova, F. Barber, L. Ingolotti, M. Abril, and M.A. Salido. Periodic
Single Track Railway Scheduling: A Sequential Approach. In Proc. of the 17th
International Triennial Conference in OR/MS (IFORS’05), pages 14–15, 2005.
M.A. Salido, M. Abril, F. Barber, P. Tormos, A. Lova, and L. Ingolotti. Optimization
in Railway Scheduling. In Proc. of the 2nd International Conference on Informatics

258 7. Conclusiones
in Control, Automation and Robotics ICINCO’05, 2005.
P. Tormos, A. Lova, L. Ingolotti, F. Barber, M. Abril, and M. A. Salido. A Genetic
Approach to Train Scheduling on a High-Traffic Railway Line. In Proceedings of
the 5th Workshop on Algorithmic Methods and Models for Optimization of Railways
ATMOS 2005 in ALGO 2005, Palma de Mallorca, 2005.
L. Ingolotti, F. Barber, P. Tormos, A. Lova, M.A. Salido, and M. Abril. New Heuris-
tics to solve the CSOP Railway Timetabling Problem. In M. Ali and R. Dapoigny,
editors, Advances in Applied Artificial Intelligence. Lecture Notes in Artificial In-
telligence. Subseries of Lecture Notes in Computer Science., volume 4031 of ISSN:
0302-9743, pages 400–409, Springer Verlag, 2006.
Congresos Nacionales
F. Barber, M.A. Salido, L. Ingolotti, M. Abril, A. Lova, and P. Tormos. A Train
Scheduling Tool for Solving and Plotting Running Maps. In Proc. of TTIA 2003.,
volume 2, pages 379–388, San Sebastian, 2003.
A. Lova, P. Tormos, F. Barber, L. Ingolotti, M. Abril, and M.A. Salido. Planificacion
del trafico ferroviario en una red altamente sobrecargada. in Proceedings of the XVIII
Congreso Nacional de Estadistica e Investigacion Operativa, pages 485–486, Cadiz,
2004.
P. Tormos, A. Lova, F. Barber, L. Ingolotti, M. Abril, and M.A. Salido. Un Sis-
tema de ayuda a la toma de decisiones (DSS) para el problema de secuenciación de
trenes periódicos. in Proceedings of the XVIII Congreso Nacional de Estadistica e
Investigacion Operativa, pages 489–490, Cadiz, 2004.
M.A. Salido, F. Barber, M. Abril, L. Ingolotti, A. Lova, P. Tormos, and J. Estrada.
Técnicas de Inteligencia Artificial en Planificación Ferroviaria. In Proc. of TTIA
2005., pages 379–388, Granada, 2005.

7.4. Publicaciones relacionadas con la Tesis 259
L. Ingolotti, F. Barber, P. Tormos, A. Lova, M.A. Salido, and M. Abril. A Scheduling
Order-based Method to Solve the Train Timetabling Problem. In Proc. of XI Con-
ferencia de la Asociación Española para la Inteligencia Artificial (CAEPIA 2005).,
volume 1, pages 343–352, Santiago de Compostela, 2005.
P. Tormos, A. Lova, F. Barber, L. Ingolotti, M. Abril, and M.A. Salido. Un Sistema
Software para la Optimización del Tráfico Ferroviario. In Proc. of XXIX Congreso
Nacional de Estadística e Investigación Operativa., pages 535–536, Tenerife, 2006.
A. Lova, P. Tormos, F. Barber, L. Ingolotti, M. Abril, and M.A. Salido. Técnicas
para la Programación del Tráfico Ferroviario Heterogéneo. In Proc. of XXIX Con-
greso Nacional de Estadística e Investigación Operativa., pages 633–634, Tenerife,
2006.
7.4.1. Otros artículos relacionados con esta Tesis
A continuación se citan otros artículos directamente relacionados con el trabajo
desarrollado en esta Tesis en los que se utilizan, con enfoques específicos, modelos,
métodos o procedimientos aquí propuestos.
M. A. Salido, F. Barber, M. Abril, P. Tormos, A. Lova, and L. Ingolotti. A Topo-
logical Model Based on Railway Capacity to Manage Periodic Train Scheduling.
Applications and Innovations in Intelligent Systems. Selected from AI 2006, ISBN:
1-85233-908-X, volume 12, pages 107–120, Springer, 2004.
M. Abril, M. A. Salido, F. Barber, L. Ingolotti, P. Tormos, and A. Lova. Apply-
ing Topological Constraint Optimization Techniques to Periodic Train Scheduling.
In Proceedings of ECAI 2004 Workshop on Constraint Satisfaction Techniques for
Planning and Scheduling Problems, pages 17–26, 2004.
M. A. Salido, M. Abril, F. Barber, L. Ingolotti, P. Tormos, and A. Lova. Topologi-
cal Constraints in Periodic Train Scheduling. Planning, Scheduling and Constraint

260 7. Conclusiones
Satisfaction: From theory to practice. Frontiers in Artificial Intelligence and Ap-
plications, ISSN: 0922-6389, ISBN: 1-58603-484-7, volume 117, pages 11–20, IOS
Press, 2005.
M. Abril, M. A. Salido, F. Barber, L. Ingolotti, A. Lova, and P. Tormos. A Heuristic
Technique for the Capacity Assessment of Periodic Trains. Artificial Intelligence Re-
search and Development. Frontiers in Artificial Intelligence and Applications, ISSN:
0922-6389, ISBN: 1-58603-560-6, volume 131, pages 339–346, IOS Press, 2005.
M. Abril, F. Barber, L. Ingolotti, M. A. Salido, A. Lova, and P. Tormos. Applying
Analytical and Empirical Methods to the Assessment of Railway Capacity. In Pro-
ceedings of the 5th Workshop on Algorithmic Methods and Models for Optimization
of Railways ATMOS 2005 in ALGO 2005, Palma de Mallorca, 2005.
M. Abril, M. A. Salido, F. Barber, L. Ingolotti, A. Lova, and P. Tormos. A Technique
for the Capacity Assessment of Periodic Trains. In Proceedings of the Vuitè Congrés
Català d’Intel.ligència Artificial (CCIA’05), IOS Press, Cerdeña, 2005.
M. A. Salido, M. Abril, F. Barber, P. Tormos, A. Lova, and L. Ingolotti. Técnicas
Distribuidas para problemas de scheduling a gran escala. In Proceedings of the III
Workshop sobre Planificación, Scheduling y Razonamiento Temporal, pages 51–59,
Santiago de Compostela, 2005.
P. Tormos, M. Abril, M.A. Salido, F. Barber, L. Ingolotti, and A. Lova. Distribut-
ed constraint satisfaction problems to model railway scheduling problems. In A.F.
Rumsey G. Sciutto S. Sone C.J. Goodman J. Allan, C.A. Brebbia, editor, Computer
System Design and Operation in the Railway and Other Transit Systems, volume 10
of Computer in Railways, pages 289–297. 10th Int. Conf. on Computer System De-
sign and Operation in the Railway and Other Transit Systems. Comprail 2006, WIT
Press, 2006.
M. Abril, M.A. Salido, F. Barber, L. Ingolotti, A. Lova, and P. Tormos. Distributed
models in railway industry. In In proc. of the Workshop on Industrial Applications

7.5. Conclusiones Finales 261
of Distributed Intelligent Systems (INADIS 2006), volume 1, pages CD–ROM, 2006.
M. A. Salido, M. Abril, F. Barber, L. Ingolotti, P. Tormos, and A. Lova. Domain-
dependent distributed models for railway scheduling. Journal Knowledge Based
Systems. Selected from AI 2006, ISSN: 0950-7051, Elsevier Science, To Appear.
También cabe destacar los siguientes reconocimientos:
Premio a la mejor aplicación de Inteligencia Artificial (Noviembre 2003). Mejor
artículo de Transferencia de Tecnológica en IA. X Conferencia de la Asociación
Española de Inteligencia Artificial. V Jornada de Transferencia Tecnológica de
IA (CAEPIA-TTIA’03). 11 - 14 Noviembre, 2003. San Sebastián.
Premio al mejor trabajo en Transferencia de Tecnológica en IA (Septiembre,
2005). VI Jornada de Transferencia Tecnológica de IA (TTIA’05), celebradas
en el primer Congreso Español de Informática (CEDI’05). Granada.
Best Refereed Application Paper - Application Stream (Junio 2006). In the
26th SGAI International Conference on Innovative Techniques and Applica-
tions of Artificial Intelligence (AI-2006), Cambridge, UK, 2006.
7.5. Conclusiones Finales
En este trabajo hemos aportado una modelización formal de un complejo proble-
ma combinatorio, de optimización, como un caso especial de problemas de scheduling
Job Shop. Una vez formulado el problema, hemos analizado las técnicas y métodos
ya publicados que se relacionan con el tipo de problema considerado. Estas técnicas
han sido evaluadas, concluyéndose la necesidad de nuevos métodos de solución que
puedan considerar todo el conjunto de restricciones de problemas reales, a la vez
que puedan producir soluciones de alta calidad en el menor tiempo posible.
Proponemos un nuevo método de solución que considera todas las restricciones
propias de un contexto real. Se describen nuevas heurísticas para la ordenación de
variables, así como procedimientos que fuerzan la consistencia entre restricciones sin
que sea necesaria la previa ordenación de los valores en sus dominios. Se introducen

262 7. Conclusiones
métodos para llevar a cabo el backtracking sin tener que deshacer más asignaciones
que las necesarias, así como una heurística de poda de soluciones parciales que
no conduzcan a soluciones mejores que la actualmente conseguida. Los métodos
desarrollados disponen adicionalmente de una funcionalidad de respuesta anytime.
Los métodos y procedimientos presentados se evalúan sobre diversas instancias
del problema, todas ellas obtenidas de casos reales. Se han seleccionado casos de
estudio de diferente complejidad que nos han permitido concluir la eficiencia de los
métodos desarrollados en cuanto a tiempo de respuesta y calidad se refiere.
El trabajo desarrollado plantea claras líneas de ampliación. Se propone el estudio
de la robustez y su incorporación al proceso de planificación de horarios, así como el
desarrollo de un método para replanificar horarios a partir de retrasos e incidencias.
Como conclusión final se destacan las aportaciones respecto a la planificación y
modelización de un complejo problema real y el diseño de métodos computacionales
eficientes y flexibles.
Las aportaciones realizadas suponen claras contribuciones a la formalización y
resolución computacional de un complejo problema de optimización y satisfacción de
restricciones. Por último, cabe destacar su aplicabilidad real y la positiva evaluación
en su entorno de aplicación.

Apéndice A
Sistemas desarrollados para la
Generación y Optimización de
horarios Ferroviarios
En este Apéndice describimos herramientas software desarrolladas para facili-
tar las tareas que se deben llevar a cabo como parte del proceso de planificación
y optimización del uso de una red ferroviaria. Se trata de sistemas desarrollados
en distintas universidades y centros de investigación (algunos de ellos asociados a
compañías ferroviarias), en los que se implementan técnicas y métodos que buscan
principalmente la resolución de problemas de optimización, reducir el espacio de
búsqueda y guiarla hacia las regiones más prometedoras del espacio de soluciones.
También existen herramientas de simulación que permiten al planificador ferroviario
conocer de antemano las consecuencias de determinadas decisiones. En este caso, se
han producido avances tanto en la representación gráfica de los resultados, como en
la manipulación de la información (la administración eficiente de los datos relativos
a la infraestructura ferroviaria y a los trenes es muy importante debido al volumen
que representan).
Por lo general, son sistemas hechos a medida para cada compañía ferroviaria,
ya que cada país o región tiene una infraestructura ferroviaria con requerimientos
particulares.
263

264A. Sistemas desarrollados para la Generación y Optimización de horarios Ferroviarios
A.1. Sistemas Software relacionados con la Planificación
de Horarios Ferroviarios
Actualmente existen diversas herramientas software que proporcionan soporte
en la ejecución de determinadas tareas dentro del proceso de planificación de una
red ferroviaria.
Son herramientas, que por lo general, nacen de requerimientos precisos que las
compañías ferroviarias realizan a institutos tecnológicos, consultoras especializadas,
o universidades. Requerimientos que se originan a partir de las macro tareas (predic-
ción de demanda origen-destino, planificación de infraestructura, planificación de
líneas, programación de horarios, asignación de personal, asignación de material ro-
dante, y operaciones de mantenimiento) que deben ser llevadas a cabo dentro de un
proceso de planificación de red ferroviaria.
Obtener soluciones factibles y alcanzar los objetivos en forma eficiente, opti-
mizando cada uno de los recursos disponibles conlleva una elevada complejidad de-
bido a la amplia diversidad de factores que se deben considerar. Es por ello que se re-
curre a centros de trabajo donde se llevan a cabo investigaciones que pueden aportar
técnicas o métodos que permitan resolver el problema eficientemente. La eficiencia
en la gestión de una red ferroviaria requiere la ayuda que un sistema computacional
puede ofrecer. Hoy en día, gracias a los avances en las diferentes áreas de inves-
tigación relacionadas al problema (informática, inteligencia artificial, matemáticas,
investigación de operaciones), así como en la tecnología de procesadores es posible
obtener resultados muy positivos para el sector ferroviario y apoyar la teoría con
evaluaciones en un entorno real, y sobre todo, con el estímulo que conlleva responder
a una necesidad de un sector muy importante del transporte.
Como ejemplo de herramientas desarrolladas para la gestión y soporte de deci-
siones dentro del sector ferroviario se encuentran:
RAILSYS. Ha sido desarrollado por la Universidad de Hannover y Rail Man-
agement Consultants (RMCon). Consta de varios módulos:
• Base de Datos: en la base de datos se almacenan datos referente a la
infraestructura, a los vehículos y tipos de trenes, a los horarios, y a las
reglas de planificación que utiliza el sistema.

A.1. Sistemas Software relacionados con la Planificación de Horarios Ferroviarios265
• Administrador de Infraestructura. Por cada tramo es posible especificar:
longitud, gradiente, velocidad máxima, super elevación, presencia de túne-
les, electrificación, curvatura. Se puede seleccionar el sistema de señal-
ización a partir de varias disponibles como: ATC, MP, Moving Block,
etc. Su función es modelar los elementos de la estación y los tramos de
la red ferroviaria sobre la que se desea trabajar.
• Administrador de Horarios. Los horarios son ingresados tren a tren. Una
vez estos son ingresados se actualiza tanto la ocupación en las estaciones
como en los tramos de la red. Los datos del horario pueden ser editados
en forma tabular o en forma gráfica. A medida que se introducen los
horarios, el sistema verifica las restricciones a considerar y muestra los
conflictos que aparecen a partir del horario introducido. Tiene en cuenta
toda la red. En este módulo también se elige el tipo de vehículo para cada
tren.
• Administrador de los espacios en estación y tramo. Indica la ocupación
detallada en un determinado instante de tiempo tanto de las estaciones
como de los tramos de la red.
• Simulador de incidencias. Permite introducir incidencias en la red de tal
forma que se conozca el retraso que experimentarán los trenes y cuáles
serán los trenes afectados.
• Administrador de Evaluación.
CADANS. Ha sido desarrollado por el grupo de Optimización Combina-
toria y Algorítmica, perteneciente al Instituto Nacional de Investigación en
Matemáticas y Ciencias de la computación de Holanda, CWI (Centrum voor
Wiskunde en Informatica). La investigación que condujo al desarrollo de esta
herramienta ha sido solicitada por el administrador de infraestructuras fer-
roviarias holandesas RailNed.
CADANS es utilizado para determinar la llegada y la salida de cada tren en las
estaciones que visita tomando en cuenta varias restricciones duras y blandas.
Las restricciones duras deben ser satisfechas en todos los casos, mientras las
blandas pueden ser relajadas en ciertos casos. El modelo CADANS es resuel-
to por un algoritmo basado en la propagación de restricciones y backtracking.

266A. Sistemas desarrollados para la Generación y Optimización de horarios Ferroviarios
Para generar un horario que abarque toda la nación, el modelo requiere de
una a tres horas de tiempo de CPU. Si CADANS puede obtener un horario
factible, este puede ser mejorado. Por ejemplo, por mejorar las conexiones en
las estaciones ferroviarias. Si CADANS no tuvo éxito en construir horarios
que satisfagan todas las restricciones, duras y blandas, reporta cuáles fueron
las restricciones que causaron conflictos. Los planificadores negociarán con las
otras partes involucradas en el proceso de planificación para decidir qué re-
stricciones blandas deberán relajar para llegar así a un horario factible. Si aún
con éstas relajaciones no se produce un horario factible, entonces los usuarios
deben investigar otras posibilidades, tales como modificar el sistema de línea,
o ampliar la infraestructura.
STATIONS. Herramienta desarrollada por Zwaneveld et al. [77], [119]. Ver-
ifica estación por estación si los instantes de llegada y salida puestos por
CADANS a cada tren en una estación son factibles según la infraestruc-
tura interna de la misma (localización de todos los andenes, vías y señales,
y la máxima velocidad de los trenes en las vías, restricciones operacionales,
tiempos de distancia entre los trenes). El modelo subyacente es un modelo
ILP (Integer Linear Problem). Requiere solo un par de minutos para encon-
trar una solución en las estaciones más complejas de Holanda. STATIONS
reporta la factibilidad como la no factibilidad, y sugiere en cuánto deberían
ser modificados los instantes de llegada o salida de los trenes que incumplen
las restricciones para lograr la factibilidad en la estación, si esto es posible.
Luego se debe evaluar si es o no posible realizar tal modificación sugerida.
SImulation MOdel for NEtworks (SIMONE). ProRail Innovation ha
desarrollado junto con la división de Pasajeros de Ferrocarriles Holandeses
(NS) e Incontrol Enterprise Dynamics, el test de estabilidad, una metodología
que utiliza la simulación como eje central. Se evalúan diferentes horarios a
partir de las incidencias introducidas en los mismos. Las incidencias pueden
variar en cuanto a la cantidad y la diferencia temporal en la que se suceden.
SIMONE puede llevar a cabo: determinación de la robustez de un horario
(cuánto puede resistir un conjunto de horarios una serie de incidencias), mejora
del conjunto de horarios por relacionar el diseño standard y la robustez de la

A.1. Sistemas Software relacionados con la Planificación de Horarios Ferroviarios267
solución en la realidad proporcionada por la simulación, seguir el rastro de
cuellos de botella en una red.
Performance Evaluation of Timed Events in Railways (PETER),
Goverde y Odijk [57]). Determinan que los horarios de redes ferroviarias tienen
una estructura intrínseca que es convenientemente modelada mediante el alge-
bra max-plus. Aplican métodos de análisis a estos modelos incluyendo análisis
espectral, métodos del camino más corto y cálculos de matrices. El análisis de
estabilidad produce indicadores de performance del conjunto de horarios que
forman la solución, tales como: tiempo mínimo de ciclo, capacidad, margen de
estabilidad así como resultados acerca de la propagación de retrasos.
ROute MAnagement (ROMAN). Desarrollada por la división Transporta-
tion Systems de SIEMENS, esta herramienta almacena en una base de datos
información sobre la topología del tramo, vehículos y propiedades relacionadas
al personal. A partir de estos datos, calcula el tiempo de recorrido de cada tren
en cada tramo. La interfaz gráfica permite al usuario introducir los horarios
de los trenes y modificarlos conforme la herramienta despliega los conflictos
con los otros trenes de la red. Utiliza simulación, sin soportar optimización ni
la resolución automática de los conflictos detectados.
VIRIATO. Herramienta desarrollada por SMA und Partner AG, Transporta-
tion Engineers, Planners and Economists. Posee un módulo que realiza la ver-
ificación sobre la asignación de vehículos y personal (módulo Rostering). De-
scribe los horarios para cada tren, indicando las operaciones que son realizadas
para evitar cruces y alcances. Proporciona información detallada por cada día
de circulación en el año. Se indican días festivos, días de menor circulación,
días en los cuales se aumenta la frecuencia de los trenes, etc. Detección de
conflictos basada en el algoritmo CAPRES, propiedad del Laboratorio para
Intermodalidad, Transporte y Planificación (LITEP) en Lausanne. El módu-
lo de la ocupación de cada vía en estación incluye: asignación de plataforma
según el sentido de viaje, longitud y horarios disponibles de cada vía, asig-
nación interactiva de plataforma por operaciones drag-and-drop sobre la in-
terfaz gráfica, filtrar la ocupación por día de circulación y periodos de tiempo.
Se puede seleccionar la información relativa al tren que va a ser desplegada,

268A. Sistemas desarrollados para la Generación y Optimización de horarios Ferroviarios
como número de tren, día de circulación, horarios, sentido de viaje. Ofrece la
definición de varios perfiles de velocidad para la misma infraestructura, y el
cálculo de los tiempos de recorrido para diferentes configuraciones de trenes.
CAPRES. Ha sido desarrollado por el Laboratorio de Intermodalidad, Trans-
porte y Planificación (LITEP) del Instituto Suizo de Tecnología Lausanne
(EFPL) en colaboración con los ferrocarriles Federales de Suiza (SBB). Es un
modelo para la elaboración y la saturación de variantes de horarios. CAPRES
evalúa el uso de la capacidad como el número de trenes adicionales que pueden
utilizar la red, cumpliendo con la estrategia de saturación definida por el oper-
ador y las restricciones consideradas. La ocupación de los tramos y estaciones
así como los conflictos son resueltos automáticamente durante la elaboración
y saturación. La saturación consiste en agregar la mayor cantidad de trenes
considerando un conjunto determinado de restricciones. El orden en el que los
nuevos trenes son agregados depende de la estrategia de saturación, lo cual
asigna prioridades a los trenes.
PLANNING TIMETABLE GENERATOR (PTG). Esta herramienta
ha sido desarrollada por AEA Technology Rail. Permite al operador especificar
restricciones comerciales tales como, intervalo de llegada, intervalo de salida,
mejores horarios para la salida, paradas comerciales, entre otros. Además de
estas restricciones, considera restricciones de capacidad y restricciones opera-
cionales teniendo en cuenta tramos con múltiples vías de circulación. Según
estas restricciones proporciona un horario factible. A medida que se modifican
las restricciones comerciales se generan otros horarios proporcionando reportes
donde se comparan varios aspectos de las soluciones entregadas.
FastTrack II. Las consultoras Multimodal y Rail Sciences de Atlanta, Gior-
gia se han unido para desarrollar la herramienta FastTrack II, la cual puede
ser integrada dentro de la herramienta MultiRail de tal forma que los horar-
ios puedan ser importados automáticamente. FastTrack permite evaluar un
horario e indicar si es factible o no según las restricciones que considera. Tam-
bién permite modificar la infraestructura de la línea, y las características de
los trenes para evaluar el impacto de dichos cambios en el horario final. Otra
de sus funcionalidades consiste en realizar un análisis teórico y práctico de la

A.1. Sistemas Software relacionados con la Planificación de Horarios Ferroviarios269
capacidad de la línea.
OPENTRACK. Esta herramienta ha sido desarrollada por el Instituto para
Sistemas y Planificación de Transporte (IVT). Dicho instituto forma parte del
Instituto Federal Suizo de Tecnología (ETHZ).
A partir de los datos de entrada (trenes, material rodante, infraestructura
y horario), esta herramienta determina la ocupación de cada tramo y cada
estación de la red. La simulación puede ser realizada en modo animación,
donde se modifica la posición de cada uno de los trenes por unidad de tiempo.
Entre los resultados que proporciona se hallan: gráfico de la ocupación de las
vías, horario en formato gráfico y estadísticas realizadas sobre los retrasos.
Durante la simulación se pueden introducir incidencias.
Lipari. Aplicación desarrollada por la Sociedad Nacional de Ferrocarriles
Franceses (SNCF - Societe Nationale des Chemins de Fer). Es una herramienta
de simulación que a partir de las incidencias que ocurren durante el periodo
de simulación produce un informe sobre la calidad de los horarios entrega-
dos originalmente y propone las modificaciones necesarias para aumentar la
robustez del mismo.
FASTA. El sistema software ha sido desarrollado por el Laboratorio de Inter-
modalidad, Transporte y Planificación (LITEP) del Instituto Federal Suizo de
Tecnología Lausanne (EPFL), en cooperación con los Ferrocarriles Federales
Suizos (SBB).
Ha sido desarrollado para analizar la conducta de una programación de ho-
rarios a nivel de red ferroviaria, identificando y analizando los retrasos a nivel
de red, indicando las causas de los retrasos, su evolución y su distribución
geográfica. La simulación tiene en cuenta determinadas restricciones tales co-
mo tiempo de sucesión y conexiones entre trenes en estaciones. Puede utilizar
un tiempo de recorrido determinado (modo determinístico) o bien generarlo
utilizando una determinada función (modo estocástico). Utiliza una base de
datos de la cual lee los datos que requiere y en la cual almacena los resultados
obtenidos.

270A. Sistemas desarrollados para la Generación y Optimización de horarios Ferroviarios
DEMIURGE. Es una herramienta que ofrece entre sus funcionalidades: eval-
uar la capacidad de la red para absorber tráfico adicional, localizar cuellos
de botella en la red, asistir en la toma decisiones acerca de inversiones en
infraestructura, optimizar horarios actuales y futuros, calcular la capacidad
residual de un conjunto de horarios. DEMIURGE ha sido desarrollada por el
departamento de investigación de la SNCF.
OPENTIMETABLE. Esta herramienta ha sido desarrollada por el Instituto
para Sistemas y Planificación de Transporte (IVT). Dicho instituto forma parte
del Instituto Federal Suizo de Tecnología (ETHZ).
Entre sus funcionalidades cabe destacar que realiza un análisis y un control
de calidad a una determinada programación de horarios, teniendo en cuenta
las incidencias que han ocurrido y los retrasos que se han producido, utiliza
una representación gráfica, proporciona la distribución de los retrasos y la
distribución de la capacidad.
AFAIG. Se encarga de la planificación de la distribución y de las operaciones
de las principales estaciones de pasajeros. Ha sido desarrollado por el Labo-
ratorio de Intermodalidad, Transporte y Planificación (LITEP) del Instituto
Federal Suizo de Tecnología Lausanne (EPFL) en colaboración con la Com-
pañía de Ferrocarriles Federales Suizos (SBB).
RAILCAP. La aplicación RAILCAP ha sido desarrollada por la compañía
belga STRATEC con el objetivo de evaluar la capacidad de una red, en cuanto
a holguras existentes y cuellos de botella. Para ello utilizan la simulación con
incidencias y la modificación de infraestructura.
TPS/STRAX. Esta aplicación ha sido desarrollada por la compañía alemana
HaCon. Interfaz con otras aplicaciones software (Postcript, Adobe, Microsoft
Office) y con el sistema de información de horarios HAFAS. Optimizado para
operar con tres pantallas por cliente (Editor de Horarios, representación gráfica
de los horarios, editor de infraestructura). Destacan entre sus funcionalidades:
definición de estación y tramo, sistemas de señalización, mantenimiento de los
datos de infraestructura, construcción de horarios con detección de conflictos,
cálculo del tiempo de recorrido, horarios gráficos interactivos, y realización de

A.2. MOM: Módulo Optimizador de Mallas 271
informes.
SImulateur du SYstème FErroviaire - Rail System Simulator (SISYFE).
Es una aplicación desarrollada por el departamento de investigación de la
SNCF. Permite realizar simulaciones precisas de la situación dada en la red
ferroviaria bajo condiciones normales y bajo condiciones en las cuales existen
incidencias afectando a las operaciones. SISYFE se ejecuta sobre los principios
de la simulación de eventos discretos. También permite la evaluación de la ro-
bustez de los diagramas de tráfico (esto es, su capacidad para tolerar eventos
menores no previstos durante las operaciones ordinarias), estudios técnicos-
económicos para nuevos sistemas de control, modificaciones a instalaciones
fijas, definición de estrategias operacionales, y entrenamiento a las personas
que realizan la planificación de horarios y a los controladores.
A.2. MOM: Módulo Optimizador de Mallas
El Módulo Optimizador de Mallas (MOM) es una herramienta software desar-
rollada para evaluar la aplicación de los métodos y técnicas desarrollados en esta
Tesis sobre datos reales. Para ello, el sistema tiene 3 componentes fundamentales: (i)
Adquisición de datos, (ii) Resolución del problema, y (iii) Presentación de resulta-
dos. De esta forma, mediante MOM se podrá especificar instancias del problema OPT
(descripción formal en el Capítulo 3), buscar soluciones a las mismas, y desplegar
informes relativos a la solución hallada.
La especificación de cada instancia del problema OPT se realiza mediante un con-
junto de interfaces proporcionadas por MOM. En ellas se indica el conjunto de trenes
cuyos horarios se deberán programar y optimizar, el conjunto de trenes que ya se
encuentra en circulación, cuyos horarios son conocidos y no podrán ser modificados,
la secuencia de estaciones o línea ferroviaria junto con sus correspondientes atributos
que definen la infraestructura ferroviaria, y la parametrización a las restricciones y
al proceso de optimización.
MOM realiza la búsqueda de soluciones a la instancia especificada utilizando los
métodos descritos en el Capítulo 5. Durante el proceso de búsqueda, son desplegados

272A. Sistemas desarrollados para la Generación y Optimización de horarios Ferroviarios
en la interfaz principal datos relativos al proceso de generación de solución tales co-
mo: el número de soluciones encontradas hasta el momento, el tiempo de ejecución
actual, y el valor de la función objetivo correspondiente a la mejor solución hallada
hasta entonces. La generación de soluciones puede ser interrumpida por el usuario
utilizando un botón de la aplicación, o alcanzando un determinado número de it-
eraciones según el nivel de optimización que haya sido seleccionado previamente, o
cumpliendo el tiempo máximo de ejecución previamente establecido.
Una vez haya finalizado el proceso que genera las soluciones, MOM puede de-
splegar informes relativos a la mejor solución hallada, así como almacenar el horario
de cada tren, definido por dicha solución.
La Figura A.1 representa la integración que existe entre MOM y la base de datos
de la compañía ferroviaria. De la base de datos se obtiene los valores correspondientes
a determinados atributos de la línea ferroviaria y de los trenes empleados en cada
instancia. El planificador selecciona la línea ferroviaria a la cual desea agregar nuevos
trenes, así como el conjunto de trenes a ser considerados, y posteriormente llama a
la aplicación MOM con dicha información. MOM recibe el pedido del planificador
y presenta una interfaz al planificador que le permitirá establecer los valores que
desee a los parámetros utilizados durante el proceso de optimización.
No se pretende que la programación de horarios proporcionada por MOM sea
llevada a la práctica tal cual MOM la entrega, sino que sea una base a partir de la
cual expertos en la programación de horarios (en adelante, planificadores) puedan
tomar ciertas decisiones con mayor facilidad, a partir de una programación factible
y optimizada.
En la sección A.2.1 se describirá cómo se especifica y se parametriza cada in-
stancia del problema, y en la sección A.2.5 se indicarán los diversos usos que pueden
hacerse de MOM, según el objetivo que se persiga. En todos ellos, MOM actúa como
una herramienta de soporte de decisiones.
A.2.1. Especificación y Parametrización de una Instancia
En esta sección se describirá la forma en que una instancia de OPT es definida,
en cuanto a los elementos del problema, trenes y línea ferroviaria, así como a los
recursos, infraestructura, además de los parámetros que pueden ser especificados en

A.2. MOM: Módulo Optimizador de Mallas 273
Ferroviari LíneaTrena
por de de Tramo Tren as de Secuencia vías de DependenciCantidad
andén con vías de Cantidad Tramo por vías de Cantidad Tramo por Bloqueo de Tipo Cierre de Horario Tipodor Identifica Nombre n ID Recorrido Tipo TiempoTren RecorridoTramo
Comercial ParadaCirculació
de Días nto Mantenimie de Bandas Datos de Base Horarios de ión ActualizacOptimizada Solución OPT por
del Datos Problema
Figura A.1: Datos recibidos por MOM correspondientes al conjunto de trenes y línea
ferroviaria seleccionada por el planificador
las restricciones y en los criterios de optimización.
Trenes y Recorrido
Una de las interfaces de MOM, a la cual denominamos LTS (Lista de Trenes Se-
leccionados), permite seleccionar aquellos trenes cuyos horarios se desea programar
y optimizar. Una vez se confirma la elección, los trenes seleccionados desaparecen de
la LTS y pasan a formar parte de la LTO (Lista de Trenes a Optimizar). Los no se-
leccionados permanecen en la LTS, y son considerados trenes en circulación, es decir,
trenes cuyos horarios deberán ser considerados en el momento de la optimización,

274A. Sistemas desarrollados para la Generación y Optimización de horarios Ferroviarios
pero no deberán ser modificados.
La información referente a los trenes de la LTO es desplegada en el diálogo
principal de MOM.
de Tabla Filtradode Criterios Trenes
Figura A.2: Especificar criterios para visualizar un subconjunto de los trenes considerados
Resultado
Para facilitar la tarea de formar la LTO, especialmente en los casos donde el
número de trenes es muy elevado, se proporciona unos criterios mediante los cuales
se filtra del total de trenes desplegados, únicamente aquellos que satisfagan la combi-
nación de criterios indicada por el planificador. Los criterios, señalados en la Figura
A.2 por Criterios de Filtrado son algunas de las características de los trenes como:
tipo de operador, sentido de viaje e identificador. Por ejemplo si el planificador desea
visualizar solo trenes cuyo tipo sea R”(Regionales), entonces bastará con seleccionar
el valor R”del cuadro de operadores, y posteriormente presionar el botón cuya eti-
queta es Aplicar Filtro. Si además se desea agregar la condición que viajen en sentido
”Vuelta”, pues entonces se deberá especificar ambas condiciones y luego presionar

A.2. MOM: Módulo Optimizador de Mallas 275
- 4LTO
visualiza trenes los todos de Elección - 2 dos
la de Creación - 3 LTO
- 1Filtro
Figura A.3: Elección y Confirmación de los trenes cuyos horarios se deberán optimizar
el botón con etiqueta Aplicar Filtro. En la Figura A.2 se muestra un ejemplo en el
cual el planificador ha solicitado se desplieguen en la tabla de trenes, únicamente
aquellos cuyo tipo sea igual a ”L”(Grandes Líneas), su sentido de viaje sea igual a
”Ida”, y su identificador esté formado por la secuencia de caracteres ”006*”(identi-
ficador que empiece con los caracteres ”006”seguidos de cualquier otra secuencia de
caracteres). A continuación, se presiona el botón con la etiqueta Aplicar Filtro y se
obtiene el resultado mostrado en el diálogo inferior de la Figura A.2.
Días de Circulación
Uno de los atributos que se considera por cada tren son los días que este circula
en la línea ferroviaria.
El planificador decide si MOM deberá tenerlos en cuenta o no. En caso afirma-
tivo, MOM verificará las restricciones de tráfico que involucran a dos trenes, sólo

276A. Sistemas desarrollados para la Generación y Optimización de horarios Ferroviarios
entre aquellos que tengan algún día de circulación en común. En el caso que los días
de circulación no sean tenidos en cuenta, dicha verificación de restricciones será ll-
evada a cabo entre todos los pares de trenes que tengan posibilidad de conflicto,
independientemente del día que circulen, es decir, será equivalente a considerar que
todos los trenes circulan todos los días de la semana.
Figura A.4: Trenes considerados durante la Optimización utilizando cierta línea
ferroviaria
En la Figura A.4 se muestra una determinada línea ferroviaria (eje y), con todos
los trenes que serán considerados durante la optimización. Cada uno de estos trenes
tiene asignado un determinado conjunto de días de circulación. Entre ellos existen
trenes que no compartirán tramos de la línea ningún día, por no tener ningún día
de circulación en común. Así, en la Figura A.5 se muestran aquellos trenes de la
Figura A.4 que tienen entre sus días de circulación a los días Sábado y Domingo.
Los trenes que no aparecen en la Figura A.5, son aquellos que no circulan ni sábados
ni domingos.

A.2. MOM: Módulo Optimizador de Mallas 277
Figura A.5: Trenes considerados durante la optimización, cuyos días de circulación
incluyen Sábado y Domingo
En la Figura A.6 se muestra una parte de la solución hallada correspondiente a
la instancia considerada en las figuras previas. Antes de resolver el problema se ha
decidido tener en cuenta los días de circulación de los trenes, por lo tanto los trenes
que son señalados por los círculos 1, 2, y 3 pueden utilizar el mismo tramo al mismo
tiempo, aún cuando los trenes viajan en sentidos opuestos y el tramo consta de una
única vía de circulación. Esto se considera factible y por lo tanto una solución al
problema debido a que los trenes señalados no tienen ningún día de circulación en
común.
Demora por Parada no Prevista
En cada tramo del recorrido de un tren se indica la cantidad de tiempo que el
tren deberá emplear en recorrerlo. El valor asignado tiene en cuenta la distancia
entre una dependencia y otra del tramo, así como la velocidad promedio que el tren
utilizará en el mismo.
Si el tren requiere detenerse en una estación, en la cual no estaba prevista parada
alguna, su velocidad promedio disminuye, tanto en el tramo anterior como posterior
a dicha estación. En el tramo anterior disminuye para lograr el frenado. En el tramo

278A. Sistemas desarrollados para la Generación y Optimización de horarios Ferroviarios
1 23 Figura A.6: Cruce entre 3 Trenes sin días de circulación en común
siguiente disminuye porque se requiere un tiempo para pasar de velocidad cero a la
velocidad promedio establecida inicialmente. MOM ofrece como una opción, tener
en cuenta la disminución de velocidad que se produce, con respecto a la velocidad
inicialmente especificada para el tren en los tramos correspondientes.
k l k l
Figura A.7: Opciones para gestionar una Parada no prevista en una estación
l
parada ocasiona que Conflicto 2 Opción tramo tramo 1 Opción i t j t i tj t i tj t k
Como un ejemplo a lo expuesto en el párrafo anterior, en la Figura A.7 se pro- técnica
porcionan 3 gráficos. Considerándolos de izquierda a derecha, en el primero se indica
que existiría un conflicto entre los trenes ti y tj, si ambos utilizan al mismo tiempo
tramo2 tramo1
tramo2 1
tramo2 1
el tramo 1. Se decide que debe esperar en la estación lk el tren ti. Como puede
verse en el primer gráfico, ti no tenía prevista parada comercial en lk. Por lo tanto,
una vez se decide detener a ti en lk, existen dos opciones: (i) aumentar el tiempo de

A.2. MOM: Módulo Optimizador de Mallas 279
recorrido en el tramo 1 y en el tramo 2, ya que la parada implica una disminución de
velocidad en ambos tramos (Opción 1 en la Figura A.7), o (ii) obviar la parada que
se realiza, y utilizar el mismo tiempo de recorrido que el especificado previamente
para el tren en ambos tramos (Opción 2 en la Figura A.7).
A.2.2. Parametrización de Restricciones Comerciales
Existen ciertas restricciones a las cuales se ha agrupado como restricciones com-
erciales porque tienen que ver directamente con el servicio ofrecido al cliente. Cada
una de estas restricciones tiene un parámetro que es definido por el planificador. A
continuación se indica la forma en que esta parametrización es realizada por MOM.
Intervalos de Salida e Intervalos de Llegada
Por cada tren ti de la LTO es posible especificar un instante de tiempo Si, que
será utilizado por MOM como una referencia para calcular el instante de salida
del tren, de su estación origen. Así mismo, por cada tren de la LTO se especifica
un instante de llegada Li, que será utilizado como referencia para determinar si el
instante de llegada del tren es o no factible.
Además de los instantes de tiempo Si y Li es necesario especificar la tolerancia
sobre Si y la tolerancia sobre Li. Esto es, la diferencia que puede existir entre
los instantes de tiempo dados como referencia, Si y Li, y los instantes de tiempo
asignados por MOM, como parte de la solución entregada. En MOM se distinguen
tres formas de expresar la tolerancia: (i) como un intervalo [m, n], (ii) A Tiempo, o
(iii) Indefinido.
(i) Cuando la tolerancia sobre el instante de salida Si es expresada como un
intervalo [m, n], significa que se considerará factible que el tren salga de su estación
origen en cualquier instante perteneciente a [S−m, S+n], ambos inclusive. Si se trata
de la tolerancia sobre el instante de llegada Li, determina como factibles cualquier
instante de llegada perteneciente al intervalo [L − m, L + n], ambos inclusive. MOM
deberá decidir entre todos los instantes factibles, aquel que produzca el mejor horario
según la función objetivo.
(ii) La tolerancia A Tiempo, sobre el instante de salida inicial de un tren, indica
que si existe un horario factible para el mismo, en el cual parta de su estación inicial

280A. Sistemas desarrollados para la Generación y Optimización de horarios Ferroviarios
en el instante Si, este deberá ser necesariamente el instante de tiempo asignado por
MOM. En caso contrario, la salida inicial del tren deberá ser el menor instante posi-
ble posterior a Si que genere un horario factible para ti. Si se trata de la tolerancia
sobre el instante de llegada, indica que el tren deberá llegar en el instante Li de ser
posible. En caso contrario deberá llegar en el mayor instante de tiempo anterior a
Li, que sea factible.
(iii) Cuando el tipo de tolerancia es Indefinido significa que no se expresa restric-
ción sobre el instante de salida o sobre el instante de llegada, según corresponda.
MOM no permite que la tolerancia sea del tipo Indefinido sobre el instante de salida
y sobre el instante de llegada de un mismo tren.
Retraso Máximo
A cada tren le corresponde un tiempo de recorrido ideal, que es el menor tiem-
po que puede emplear para completar su recorrido. Este tiempo está dado por la
velocidad promedio y la distancia en cada tramo, más las paradas comerciales es-
tablecidas en cada dependencia de su recorrido. Una de las restricciones sobre el
horario impuesto a cada tren consiste en limitar el retraso que pueda llevar el tren
con respecto al tiempo de recorrido ideal. Dado que:
el tiempo de recorrido ideal τi de un tren ti está dado por τi = mi−1
j=0
∆ i j→j+1 +
C i j, y representa el mínimo tiempo que este puede emplear para completar su
recorrido, desde su estación origen hasta su estación destino, cumpliendo con
el tiempo de recorrido establecido por cada tramo, y con la parada comercial
especificada por cada dependencia.
Λi = arr i mi − depi 0 es el tiempo empleado por ti para completar su recorrido,
según el horario asignado por MOM.
El retraso de ti sería Di = Λi−τi . MOM permite especificar el máximo valor permi-
τi
tido para Di. MOM permite que el usuario especifique retraso indefinido para un
tren, sobre el cual no se requiere limitar su retraso con un valor determinado. En
este caso el retraso del tren estará restringido únicamente por la función objetivo del
problema, la cual guía hacia un conjunto de horarios con el menor retraso promedio
posible.

A.2. MOM: Módulo Optimizador de Mallas 281
Periodicidad en Salida
Cuando se requiere un determinado periodo de tiempo entre las salidas de dos
trenes consecutivos, MOM permite especificar el grupo o conjunto de trenes entre
los cuales se desea establecer dicha restricción así como las estaciones en las cuales
deberá ser cumplida.
Para ello es posible formar grupos entre los trenes de la LTO, ya que la restricción
de periodicidad en salida solo afectará a los trenes que formen parte del mismo grupo,
permitiendo además parametrizar la restricción por cada grupo, con valores que no
tienen por qué ser los mismos.
Una vez se establecen el, o los grupos de trenes, por cada uno es necesario
especificar la siguiente información:
el tren de referencia, es decir el tren a partir del cual se calculará el instante
de salida de los siguientes trenes del grupo.
periodo de tiempo que deberá cumplirse entre dos salidas consecutivas. El
periodo de tiempo podrá estar dado por un intervalo, o podrá ser del tipo
Múltiple.
En el primer caso se establece un intervalo [a, b], indicando que el periodo de
tiempo entre las salidas consecutivas deberá pertenecer al mismo, siempre y
cuando el promedio de valores establecidos por MOM sea lo más cercano posi-
ble a a+b
2 . Sin embargo, si se selecciona Múltiple, entonces se pueden especificar
n valores, p1, ..., pn, de tal forma que el periodo de tiempo entre los trenes
consecutivos t i mod n y t i+1 mod n sea igual a pi.
estaciones donde se verificará periodicidad. Se puede indicar la estación inicial,
o bien, la estación inicial y toda estación en la cual se haya especificado parada
comercial para el tren.
Como ejemplo, considere que se han formado dos grupos de trenes a partir
de los trenes de la LTO, con el objetivo de que exista un determinado periodo
de tiempo entre las salidas consecutivas de los trenes de cada grupo. En uno de
los grupos se han incluido a todos los trenes que viajan en sentido ida, y en el
otro a todos los trenes que viajan en sentido vuelta. Posteriormente, utilizando los
diálogos mostrados en la Figura A.8 hemos parametrizado la restricción, asignando

282A. Sistemas desarrollados para la Generación y Optimización de horarios Ferroviarios
a los trenes del primer grupo, periodos de tiempo múltiple, específicamente, de 20,
30 y 40 minutos (diálogo (a) en la Figura A.8). Para los trenes del segundo grupo
se ha seleccionado como periodo de tiempo el intervalo [30, 30] (diálogo (b) en la
Figura A.8), es decir deberá existir entre las salidas de dos trenes consecutivos de
dicho grupo, exactamente 30 minutos. En ambos diálogos, se ha indicado que se
deberá cumplir dicha restricción solo en las estaciones origen de cada uno de los
trenes.
) (a
Figura A.8: Edición de los parámetros para especificar Periodicidad en Salida
(b
)

A.2. MOM: Módulo Optimizador de Mallas 283
En la Figura 3.15 se muestra una de las soluciones obtenidas. En ella se puede
ver que los trenes que viajan en sentido ida salen de la estación origen cada 20, 30
y 40 minutos, repitiéndose esta secuencia cada tres trenes del grupo. Por otro lado,
entre las salidas de los trenes que viajan en sentido vuelta, el tiempo que existe es
exactamente igual a 30 minutos. Como referencia, podemos decir que en la Figura
3.15 existe una línea vertical cada 30 minutos.
Figura A.9: Solución que satisfacen una determinada periodicidad en salida
A.2.3. Parametrización de la Infraestructura Ferroviaria
Otras restricciones son especificadas para que se tenga en cuenta la capacidad
de la infraestructura. Los datos sobre la infraestructura son obtenidos desde la base
de datos de la compañía. Pueden ser utilizados estos datos, o bien, pueden ser
modificados en forma local, según lo describimos a continuación.

284A. Sistemas desarrollados para la Generación y Optimización de horarios Ferroviarios
Tiempo de Recorrido
Por cada tren y por cada tramo de su correspondientes recorrido, MOM obtiene
de la base de datos dos posibles valores que representan el tiempo que el tren de-
berá emplear en recorrerlo. Los denominamos tiempo de recorrido ’tipo 1 ’, y tiempo
de recorrido ’tipo 2 ’, respectivamente. Se especifican dos valores, ya que de esta
forma es posible indicar otro valor además del tiempo teórico. En ciertos casos, el
planificador sabe que en determinados tramos, por alguna razón, obras, inclemen-
cias del tiempo, accidentes, no podrá cumplirse el tiempo teórico, entonces establece
como un segundo valor en el mismo tramo, un determinado tiempo, que según su
experiencia produciría un horario más realista.
En la Figura A.10 se muestra la posición de un mismo tren en función del tiempo,
según emplee como tiempo de recorrido, uno u otro valor especificado como válido en
cada tramo. Las líneas continuas indican la posición del tren en función del tiempo
cuando se emplea el tiempo ’tipo 1’. Las líneas de puntos indican la posición del
mismo tren en función del tiempo, cuando se emplea el tiempo de recorrido ’tipo 2’.
Antes de iniciar el proceso de optimización es necesario que el planificador decida
cuál de los dos tipos de tiempo de recorrido utilizará MOM para calcular el horario
de cada tren. Si se selecciona el tipo 1 para el tren t, entonces MOM utilizará como
tiempo de recorrido en cada tramo del recorrido de t los valores correspondientes al
tipo 1. Es decir, no podrá utilizar el valor correspondiente al tipo 1 para recorrer un
tramo y el valor correspondiente al tipo 2 para recorrer otro.
Aumento y Disminución de Estaciones en una misma Línea
La línea ferroviaria a la cual se deberán agregar nuevos trenes está formada por
una secuencia de dependencias y cada dependencia a su vez consta de determinados
atributos, entre ellos el tipo al cual pertenece. Cuando una dependencia es del tipo
Estación, se considera factible que un tren se detenga en ella, aún cuando no tenga
previsto una parada comercial en la misma. Es decir, es factible la parada de un
tren mientras otro libera el tramo que este también requiere utilizar, o mientras se
libera una de las vías de la siguiente estación de su recorrido, que en el instante
considerado se halla sin vías disponibles. En los demás tipos de dependencias, no se
considera factible este tipo de operaciones, los trenes no pueden detenerse un tiempo

A.2. MOM: Módulo Optimizador de Mallas 285
( )
(
y asDependenci
Figura A.10: Dos valores para el tiempo de recorrido de cada tren en cada tramo de
su recorrido Tiempo Tiempo tipo 2 Tiempo tipo 1
superior al especificado para su parada comercial.
MOM permite modificar el tipo de cada dependencia del recorrido de un tren.
Esta modificación solo afecta al tren para el cual se realiza la parametrización, la
cual es llevada a cabo con dos objetivos diferentes, según sea el cambio realizado.
a) Si el tipo de dependencia se modifica de ’Estación’ a ’NO estación’, el objetivo
es impedir que el tren realice cualquier operación técnica en la misma. Se desea llevar
la operación técnica, que generalmente se haría en dicha estación, a alguna de las
previas, o a alguna de las siguientes.
b) Si la modificación consiste en convertir una dependencia tipo ’NO estación’ a
una dependencia tipo ’Estación’, el objetivo es conocer el impacto que causaría en la
solución global, el incremento de estaciones en la línea, y sobre todo en la ubicación
seleccionada por el planificador.
Esta funcionalidad permite controlar la gestión de cruces y alcances en cuanto
al lugar donde se desea gestionarlos, así como también permiten evaluar ciertos
cambios en la infraestructura, sin que para ello se deba realizar un cambio en la
base de datos central.
) x

286A. Sistemas desarrollados para la Generación y Optimización de horarios Ferroviarios
Figura A.11: Modificación del tipo de Dependencia para un determinado tren
En la Figura A.11, mediante la interfaz proporcionada por MOM se establece que
la Estación 79601 dejará de serlo para el tren 25600, que es el primer tren que viaja
en sentido vuelta en la Figura 3.15. Una vez se ejecuta el proceso de optimización,
el resultado obtenido es el mostrado en la Figura A.12. De esta manera, el sistema
permite comprobar que no existe un horario factible que satisfaga el periodo de
tiempo de 30 minutos entre salidas consecutivas, si la dependencia 79601 no puede
ser utilizada como Estación. Únicamente sería posible si ningún tren de vuelta se
cruza con los trenes que viajan en sentido ida.
Bandas de Mantenimiento
En una línea ferroviaria se indican la posición y los instantes de tiempo en
los cuales se prevén operaciones de mantenimiento. En las Figuras A.13 y A.14 el
conjunto de puntos, posición (eje y) y tiempo (eje x), correspondientes a las bandas
de mantenimiento son señalados mediante las regiones sombreadas, indicando que
en esa posición y en ese instante de tiempo el número de vías disminuye en uno.
En las Figuras A.13 y A.14 se muestra una misma instancia del problema OPT.
Todos los tramos de línea que aparecen en estas figuras son tramos de vía doble. Sin
embargo, si se consideran las bandas de mantenimiento, no podrán ser utilizadas am-
bas vías para circulación en las regiones señaladas por las bandas de mantenimiento,
ya que solo quedará disponible una de ellas durante un periodo de tiempo.
Si se elige optimizar considerando las bandas de mantenimiento especificadas
en la línea, una de las soluciones proporcionadas por MOM es la mostrada en la

A.2. MOM: Módulo Optimizador de Mallas 287
Figura A.12: Solución en la cual la dependencia 79601 no se considera Estación
Figura A.13. En este caso no se permite que dos trenes que viajan en sentidos
opuestos utilicen un mismo tramo al mismo tiempo, si dicho tramo se halla bajo
mantenimiento en el instante considerado.
MOM también puede resolver el mismo problema, obviando las bandas de man-
tenimiento especificadas en la línea. Esto significa que considerará las dos vías de
circulación existentes en el tramo, aún cuando se haya especificado mantenimiento
para el mismo en el instante considerado. En la Figura A.14 se muestra una de las
soluciones obtenidas por MOM para la misma instancia considerada previamente,
cuando el planificador decide obtener soluciones sin tener en cuenta las bandas de
mantenimiento de la línea utilizada.
Parametrización por Dependencia
MOM recibe la especificación de cada dependencia consistente en un conjunto
determinado de atributos con su valor correspondiente. Previamente a cada opti-
mización es posible modificar dicha especificación ya sea para una o más dependen-
cias de la línea ferroviaria considerada.
MOM proporciona la interfaz mostrada en la Figura A.15 que permite editar

288A. Sistemas desarrollados para la Generación y Optimización de horarios Ferroviarios
Figura A.13: Solución obtenida considerando las Bandas de Mantenimiento
por cada dependencia, los valores correspondientes a los siguientes atributos:
Cantidad Total de Vias,
Cantidad de Vías con Andén,
Horario de Apertura, y
Horario de Cierre
Cuando se modifica la cantidad total de vías a un valor inferior al de cantidad
de vías con andén, se modifica automáticamente el valor de este segundo atributo
igualándolo al del primero, ya que no pueden haber menos vías que el número de
vías con andén.
El horario de apertura de una dependencia es editado cuando se desea eliminar
algún intervalo del horario de cierre en la misma. Así, si originalmente se establece
que la dependencia estará cerrada de 00:00 hs a 06:00 hs, pero se requiere hacer una
prueba en la cual el cierre se produzca desde las 04:00 hs, entonces se introduce un
horario de apertura igual a 00:00 hs - 04:00 hs.
El horario de cierre se introduce en una dependencia cuando se desea el efecto
contrario, cerrar por un periodo de tiempo una dependencia que en la especificación
original permanece abierta durante dicho intervalo de tiempo.

A.2. MOM: Módulo Optimizador de Mallas 289
Figura A.14: Solución obtenida sin considerar las Bandas de Mantenimiento
Los atributos considerados por cada dependencia pueden ser re-establecidos a
sus valores originales.
Parametrización por Tramo
Al igual que por cada dependencia, MOM recibe la especificación de cada tramo,
en cuanto a atributos y valores correspondientes a cada uno.
En la Figura A.16 se muestra la interfaz que proporciona MOM para editar los
atributos de cada tramo de la línea ferroviaria considerada.
Por cada tramo y por cada sentido de viaje es posible editar el valor de los
siguientes atributos:
Tipo de Bloqueo: puede ser manual (M ) o automático (A). En el primer caso
no se permite que dos trenes que viajan en el mismo sentido ocupen un mismo
tramo al mismo tiempo. Si el bloqueo es automático, debe existir una deter-
minada diferencia de tiempo entre las salidas y entre las llegadas de los trenes,
al inicio y al final del tramo respectivamente. La cantidad de tiempo para la
sucesión automática es parametrizada según se explica en la sección A.2.4.
Tiempo Adicional: a partir del tipo de tiempo de recorrido que se establece

290A. Sistemas desarrollados para la Generación y Optimización de horarios Ferroviarios
Figura A.15: Edición de atributos correspondientes a dependencias de una línea
para cada tramo de una línea, se obtiene el valor que deberá emplear un tren
en recorrerlo. Es posible aumentar este valor en la cantidad de segundos que se
especifica como valor de este atributo. Así, si consideramos la parametrización
realizada en la Figura A.16 vemos que se ha indicado que los trenes que viajan
en sentido ida deberán emplear 300 segundos más que el tiempo de recorrido
establecido para los mismo en el tramo 64100-B6402.
Tipo de Tiempo de Recorrido: como ha sido descrito en la sección A.2.3, por
cada tramo se especifican dos tipos de tiempo de recorrido (tipo 1 y tipo 2 ).
Mediante la interfaz mostrada en la Figura A.16, es posible indicar cuál de los
dos tipos deberá ser el utilizado por los trenes que viajan en un determinado
sentido.
Por cada tramo también es posible establecer el número de vías, uno o dos, que
se deberán utilizar durante la circulación de los trenes en el tramo. El valor asignado
a este atributo es común a los trenes de ambos sentidos.
Es importante notar, que la especificación de los tramos, llevada a cabo mediante
la interfaz desplegada en la Figura A.16, afectará a todos los trenes del problema,

A.2. MOM: Módulo Optimizador de Mallas 291
Figura A.16: Edición de atributos correspondientes a tramos de una línea
ya que la especificación se realiza por tramo, y para ciertos atributos, por tramo y
por sentido.
A.2.4. Parametrización de la Optimización
En esta sub sección indicamos los parámetros empleados durante la optimización
así como la forma en que estos son especificados por el planificador.
Tiempo de Optimización
MOM posee 3 niveles de optimización dados por el número de iteraciones que
deberá realizar. En cada iteración, MOM busca una solución a la instancia con-
siderada del problema. Cuantas más iteraciones realice, existe más posibilidad de
acercarse a la solución óptima, ya que es mayor el espacio de soluciones explorado.
El planificador decide el nivel de optimización entre Básica, Avanzada, y Máxima. El
número de iteraciones se calcula en función de la complejidad esperada del problema,
fundamentalmente del número de trenes cuyos horarios se deberán optimizar.

292A. Sistemas desarrollados para la Generación y Optimización de horarios Ferroviarios
Ponderación de los criterios empleados en la Función Objetivo
En la función objetivo del problema (sección 3.4.3 del Capítulo 3) se utilizan dos
criterios, el retraso promedio de todos los trenes y la diferencia entre los retrasos
promedios, correspondiente a los trenes que viajan en un sentido y el opuesto. MOM
permite que el planificador especifique el peso que le dará a cada uno de estos crite-
rios, de tal forma que al buscar la solución, busque optimizar los horarios conforme
a la importancia asignada a cada uno.
Márgenes de Seguridad
Hemos denominado márgenes de seguridad a la cantidad de tiempo que debe
existir como mínimo entre las salidas, entre las llegadas, o entre las salidas y las
llegadas de diferentes trenes a, ó de una misma estación. Estos tiempos evitan que
se produzca una colisión entre los trenes cuando estos llegan o salen de una misma
estación.
A estas cantidades, dependiendo de los instantes de tiempo que regulen, se de-
nomina tiempo de recepción, tiempo de expedición, sucesión automática, ó tiempo
de aviso. El significado de cada uno de ellos es dado en la sección 3.4.2 del capítulo
3. Los valores, que representarán la mínima cantidad de tiempo exigida en cada
caso, pueden ser editados. La Figura A.17 muestra la interfaz utilizada para ello en
MOM. Los valores son especificados por tipo de tren (viajeros o mercancías).
Por defecto, la mínima unidad de tiempo es igual a 30 segundos, si el tren es del
tipo viajero. Si el tren es del tipo mercancías, entonces la mínima unidad de tiempo
es igual a 60 segundos.
A.2.5. Usos de la Aplicación MOM
El resultado dado por MOM puede ser utilizado para alcanzar diferentes obje-
tivos. Entre ellos:
Agregar nuevos trenes a una determinada línea ferroviaria. El objetivo princi-
pal de MOM es asignar a cada tren, de un conjunto determinado, un horario
factible según un determinado conjunto de restricciones, optimizando el valor
correspondiente de la función objetivo considerada. Es posible programar el

A.2. MOM: Módulo Optimizador de Mallas 293
de Márgenes Seguridad
tramo ación por
dependenci por ación Parametriza
a tren ación Parametriz tren
Figura A.17: Edición de los parámetros incluidos en las restricciones y en el proceso
de optimizaciónParametriz
horario de todos los trenes que formarán parte de una línea ferroviaria, o bien
agregar nuevos trenes sobre una línea que ya cuente con determinados trenes
en circulación. En el primer caso, se utiliza MOM para la formación de una
nueva línea. En el segundo caso, se construye el horario de determinados trenes
para responder a una necesidad que surge sobre una línea ya planificada.
Re-planificación a partir de una incidencia. La planificación en una línea fer-
roviaria puede verse afectada por la aparición de una incidencia (accidente,
inclemencias meteorológicas, avería en la infraestructura o en el material ro-
dante, etc.) durante la ejecución de la misma, que obligue a retrasar el horario
de uno o más trenes. Será necesario entonces replanificar los horarios en la

294A. Sistemas desarrollados para la Generación y Optimización de horarios Ferroviarios
línea, teniendo en cuenta los retrasos que se han producido. MOM permite
llevar a cabo esta tarea, ya que considera el intervalo de estaciones y de tiem-
po que el usuario le indique. A partir del instante de salida especificado para
cada tren en la estación indicada como origen, MOM planifica los horarios,
optimizándolos de acuerdo a la función objetivo, que en este caso incorpo-
ra un criterio adicional, que el horario planificado se desvíe lo menos posible
del horario originalmente asignado, antes de que se produzca la incidencia.
La replanificación requiere una respuesta rápida, ya que los trenes están en
circulación. Gracias a las heurísticas empleadas por MOM, es posible obtener
soluciones que respondan a las incidencias producidas, en un tiempo aceptable.
Cálculo de la capacidad de una línea. Los horarios resultantes de MOM tam-
bién pueden servir para predecir la capacidad práctica de una línea en un
determinado intervalo de tiempo, y con una determinada ordenación en las
salidas de los trenes. El planificador indica a MOM el orden de salida de los
trenes y MOM realiza su proceso de programación y optimización para el mis-
mo. A partir del horario resultante se conoce si es posible o no, ubicar en la
línea con el orden dado, la cantidad y el tipo de trenes especificado por el
planificador.
Evaluación de cambios en la infraestructura. MOM también puede ser uti-
lizado para evaluar cómo afectarían ciertos cambios en la infraestructura, en
cuanto a la calidad de los horarios asignados. Los cambios son realizados en
forma local mediante la interfaz proporcionada por la aplicación, cambios tales
como: número de vías en un tramo o en una estación, número de vías con andén
en una estación, horarios de cierre en estación, o tipo de señalización en un
tramo. Estos cambios son realizados, y posteriormente se pide que MOM con-
struya los horarios teniendo en cuenta dichas modificaciones. Posteriormente
se evalúa el resultado entregado, conforme los cambios realizados.
En la Figura A.18 hemos indicado las funcionalidades más destacadas con-
siderando todas las aplicaciones revisadas.
Evaluación de horarios: proporciona una medida de determinados criterios,
entre ellos la robustez, de cada solución.

A.2. MOM: Módulo Optimizador de Mallas 295
Análisis de Capacidad: dado un intervalo de tiempo, atributos que definen la
infraestructura ferroviaria, y tipos de trenes, proporciona la cantidad máxima
de trenes que caben. Se tiene en cuenta un conjunto determinado de restric-
ciones.
Simulación: muestra un horario factible para cada tren a partir de la entra-
da determinada por el usuario. En algunos casos, repara los horarios que in-
cumplen con alguna de las restricciones consideradas.
Planificación en la estaciones: Es capaz de planificar el tráfico dentro de las
estaciones, considerando paridad de los trenes, número de vías, plataformas y
señales.
Generación de horarios/Optimización: Construye los horarios para determina-
dos trenes considerando una o más líneas ferroviarias. Considera un conjunto
de restricciones que debe ser satisfecho para que la solución sea considerada
factible. Si además utiliza una función objetivo, entonces, la generación de
horarios se lleva a cabo optimizando el valor de la misma.
Para cada sistema concreto hemos resaltado con un círculo aquellas funcionali-
dades que es capaz de realizar.
De la Figura A.18 se concluye la posición destacada del sistema desarrollado
y su utilidad como un sistema de ayuda a la generación y optimización de mal-
las ferroviarias. Según diversas referencias consultadas, es de los escasos sistemas
computacionales utilizados en entornos reales de explotación.

296A. Sistemas desarrollados para la Generación y Optimización de horarios Ferroviarios
SIMONE:
ROMAN
PTG CADANS AFAIGSTATIONS : DONS SISYFE
BLE OPENTIMETA TPS/STRAX RAILCAP PETER FASTA
LIPARI VIRIATO RAILSYS CAPRESII FASTTRACK
Aplicaciones
Online/ DEMIURGE
Figura A.18: Resumen de las principales Funcionalidades de las Aplicaciones Comerciales
estudiadasHorarios
de Evaluación Simulación MOM (Robustez) Análisis de Capacidad Planificación
en lasEstacionesGeneracióndeHorarios/
Optimizaci ón
Funcionalidades

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