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L2: Simetría y geometría cristalinas Contenido
Capítulo 2
Simetría cristalina, grupos espaciales y
descripción de la estructura de un cristal periódico
Redes cristalinas. Elementos de simetría en un cristal periódico. Celdillas primitivas
y centradas. Grupos espaciales. Tablas internacionales de cristalografía. Descripción
cristalográfica de un cristal. Geometría básica del cristal. Ejemplos de estructuras
cristalinas.
c○ Víctor Luaña, 2002 (50)

L2: Simetría y geometría cristalinas Red cristalina
Red cristalina
Un cristal periódico resulta de la convolución de una red de puntos (retículo, malla, etc) con un
motivo molecular:
+ Motivo
molecular
Red de puntos Cristal
Convolución de dos funciones 1D: h(x) = f ⋆ g(x) =
Ω
f(t) g(x − t) dt.
El retículo es una estructura invariante por traslación. Si elegimos un punto arbitrario y seleccionamos
un conjunto mínimo de vectores que unen el punto con sus vecinos, todos los puntos de la red se
visitan mediante traslaciones primitivas
t = n1a + n2 b + n3c, (54)
donde {a, b,c} se eligen para que (n1, n2, n3) sean números enteros Z.
c○ Víctor Luaña, 2002 (51)

L2: Simetría y geometría cristalinas Red cristalina
Celda unidad: Los vectores a, b y c determinan un paralelepípedo,
que se repite por traslación para formar la red de puntos
completa.
La elección de celda no es única, sino que hay infinitas posibilidades.
Celda primitiva: se dice de una celda unidad que tiene el mínimo
volumen posible o, lo que es lo mismo, comprende un único punto
de red.
Las celdas no primitivas o centradas tienen un volumen que es
múltiplo entero del volumen de una celda primitiva y comprenden
un número entero de puntos de la red.
Alternativamente: si empleamos una celda primitiva, todos los puntos de la red se generan mediante
una traslación primitiva de su único punto reticular. En cambio, empleando celdas centradas se
necesitan traslaciones con índices fraccionarios:
τ = q1a + q2 b + q3c con q1, q2, q3 ∈ Q. (55)
Siempre es posible describir el cristal utilizando una celda primitiva pero, a menudo, se recurre a
celdas centradas para mostrar claramente la simetría intrínseca.
c○ Víctor Luaña, 2002 (52)

L2: Simetría y geometría cristalinas Red cristalina
β
a
c
α
γ
b
En cristalografía se utiliza una celda paralepipédica caracterizada
por tres vectores {a, b,c} que pueden ser ortogonales
o no, según convenga a la simetría del cristal.
Parámetros de celda: Los seis parámetros (a, b, c, α, β, γ)
definen completamente la celda unidad.
Coordenadas cristalográficas: La posición de un punto arbitrario
se describe por el vector
⎛ ⎞
ri = xia + yi b + zic =
a b c
⎜
⎝
xi
yi
zi
⎟
⎠ = ã xi . (56)
Celda principal: lugar geométrico de los puntos de coordenadas 0 ≤ xi, yi, zi < 1. El cristal
completo se obtiene mediante traslaciones primitivas de la celda principal.
Producto escalar de dos vectores: debemos tener en cuenta la matriz métrica de la celda unidad:
ri · rj = t (ã x i ) · (ã x j ) = t x i t ã ã xj = t x i G x j . (57)
⎛
a · a
⎜
G = ⎜
⎝
a · b · a
b
b · b a · c
b · c
c · a c · ⎞
⎟
⎠
b c · c
=
⎛
a
⎜
⎝
2 ab cos γ
ab cos γ
b
ac cos β
2 bc cos α
ac cos β bc cos α c2 ⎞
⎟
⎠
c○ Víctor Luaña, 2002 (53)
(58)

L2: Simetría y geometría cristalinas Red cristalina
Volumen de la celda: el determinante de la matriz métrica nos proporciona el cuadrado del volumen
de la celda:
V 2
= det G = G
=⇒ V = abc 1 − cos2 α − cos2 β − cos2 γ + 2 cos α cos β cos γ. (59)
Si α = β = γ = 90 ◦ esta fórmula se reduce al volumen habitual de un ortoedro, V = abc.
Distancia entre átomos: Sean ri y rj los vectores de posición de ambos puntos. El vector que va
del punto i al j es rij = rj − ri, y su módulo es la distancia requerida:
|rij| = rij =
txij G x ij con x ij = x j − x i . (60)
Ángulo entre tres átomos: El ángulo que forman tres átomos ijk, con j actuando como vértice, se
obtiene utilizando el producto escalar de los vectores rji = ri − rj y rjk = rk − rj:
rji · rjk = t x ji G x jk = rjirjk cos θijk. (61)
c○ Víctor Luaña, 2002 (54)

L2: Simetría y geometría cristalinas Sistemas cristalinos y redes de Bravais
Sistemas cristalinos y redes de Bravais
Existen siete sistemas cristalinos, que surgen de imponer condiciones de simetría sobre los vectores
de la celda unidad.
Si consideramos celdas primitivas o centradas en cada uno de estos sistemas aparecen catorce
diferentes posibilidades, denominadas redes de Bravais.
Sistema Simetría Parámetros de celda R. Bravais
Cúbico cuatro ejes C3(3) a = b = c, α = β = γ = 90 ◦ P, I, F
Hexagonal un eje C6(6) o un S3(¯6) a = b, α = β = 90 ◦ , γ = 120 ◦ P
Trigonal (H) un C3(3) o un S6(¯3) a = b, α = β = 90 ◦ , γ = 120 ◦ P
Trigonal (R) un C3(3) o un S6(¯3) a = b = c, α = β = γ R
Tetragonal C4(4) ó S4(¯4) a = b, α = β = γ = 90 ◦ P, I
Ortorrómbico tres C2(2) ó S2(¯2) ⊥ α = β = γ = 90 ◦ P, I, F. C
Monoclínico Un C2(2) ó S2(¯2) α = β = 90 ◦ ó α = γ = 90 ◦ P, B ó C
Triclínico E(1) ó i(¯1) ninguna P
Romboédrico: celda hexagonal centrada en (2/3, 1/3, 1/3) (obversa) o en (1/3, 2/3, 1/3) (reversa).
c○ Víctor Luaña, 2002 (55)

L2: Simetría y geometría cristalinas Sistemas cristalinos y redes de Bravais
Redes (celdas) de Bravais: Pueden ser P: primitivas; I: centradas en el cuerpo (Inner); F: centradas
en todas las caras del paralelepípedo (Face); A (B ó C): centradas en las caras perpendiculares al
eje a ( b ó c); R: primitiva romboédrica.
Cúbica P
(sc)
Cúbica I
(bcc)
Cúbica F
(fcc)
Orto. P Orto. I Orto. F Orto. C
Hex. P Trigonal R Tetrag. P Tetrag. I
Mono. P Mono. B
Tric. P
c○ Víctor Luaña, 2002 (56)

L2: Simetría y geometría cristalinas Sistemas cristalinos y redes de Bravais
Todas las celdas de Bravais se pueden convertir a una forma primitiva:
F: I: C:
aP (a + c)/2 (a + b − c)/2 (a − b)/2
bP (a + b)/2 (−a + b + c)/2 (a + b)/2
cP ( b + c)/2 (a − b + c)/2 c
a
c P
a P
c
b P
b
a
c P
c
a P
b P
c
c = P
aP P
a
b
c○ Víctor Luaña, 2002 (57)
b
b

L2: Simetría y geometría cristalinas Sistemas cristalinos y redes de Bravais
Celdas de Wigner-Seitz (WS):
No es obligatorio que las celdas sean paralepipédicas, aunque sí lo son las que se emplean en
cristalografía. Las celdas de WS, muy usadas en física del estado sólido, se obtienen uniendo cada
punto reticular con todos sus vecinos mediante segmentos y trazando el plano perpendicular a cada
segmento que pasa por su punto medio. El volumen interior a todos los planos forma la celda WS,
una celda primitiva que muestra claramente la simetría local de cada punto de red.
fcc
bcc
Las celdas WS rellenan el cristal sin huecos. Además, los vértices, aristas y caras de estas celdas
guardan íntima relación con las posiciones de simetría especial dentro del cristal.
c○ Víctor Luaña, 2002 (58)

L2: Simetría y geometría cristalinas Simetría cristalina
Simetría cristalina
En la descripción de la simetría molecular hemos empleado el sistema creado por Schönflies. En
cristales se acostumbra a utilizar el método de Hermann-Mauguin o notación internacional (IUCr).
La principal diferencia entre ambos es que Schönflies emplea la rotación-reflexión para crear las
rotaciones impropias, mientras que Hermann-Mauguin utilizan la rotación-inversión.
Hermann-Mauguin: n (= 1, 2, 3, 4, . . .) es un eje de rotación propia de orden n; m es un plano de
reflexión; n|m es un plano perpendicular a un eje n, mientras que nm indica n planos verticales que
contienen al eje; ¯n es un eje de rotación-inversión de orden n.
H-M (IUCr) 1 n m n|m nm ¯1 ¯2 ¯3 ¯4 ¯5 ¯6 . . .
Schönflies E Cn σ Cn y σh Cn y nσv i σ S6 S4 S10 S3 . . .
1
6
2
5
3
4
3
1
4
3
6
5
2
6
c○ Víctor Luaña, 2002 (59)
1
S 3
4
5
2
3
6
1
S 6
2
6
3
5
4

L2: Simetría y geometría cristalinas Simetría cristalina
Grupos puntuales cristalográficos:
La invariancia traslacional inhibe la presencia de ejes propios de orden 5 y de orden ≥ 7. Sólo 32
grupos puntuales son compatibles con la red cristalina. La notación HM emplea reglas definidas
para decidir qué elementos de simetría se indican y cuáles son redundantes.
Sistema Esencial N ◦ Notación: Schönflies (HM-IUCr)
Cúbico 4 × 3 (C3) 4 T (23), Td(¯43m), Th(m3), O(432), Oh(m3m).
Tetrag. 4 (C4) 7 S4(¯4), C4(4), C4v(4mm), C4h(4|m), D2d(¯42m), D4(422),
D4h(4|mmm).
Hexag. 6 (C6) 6 C6(6), C6v(6mm), C6h(6|m), D6(622), D6h(6|mmm), S6(¯3).
3 (C3) 6 C3(3), C3v(3m), C3h(¯6), D3(32), D3h(¯6m2), D3d(¯3m).
Ortor. 222 ó mm 3 D2(222), D2h(mmm), C2v(2mm).
Monoc. 2 ó m 3 C2(2), Cs(m), C2h(2|m).
Tric. – 2 C1(1), Ci(¯1).
El motivo molecular aislado sí puede tener ejes C5 pero no así la red. Ej: C60 y muchos bacteriófagos
presentan simetría local Ih. Los cuasicristales, que carecen de verdadera simetría traslacional,
también tienen simetría local pentagonal.
c○ Víctor Luaña, 2002 (60)

L2: Simetría y geometría cristalinas Simetría cristalina
Una breve nota sobre cuasicristales: No es posible embaldosar el suelo empleando sólo baldosines
pentagonales, pero Roger Penrose descubrió en los 70’s un teselado aperiódico de simetría
pentagonal. Aún más sorprendente, no se puede rellenar el espacio sólo con poliedros de simetría I
ó Ih pero Shechtman et al. descubrieron en 1984 (Phys. Rev. Lett. 53 (1984) 1951–1953) una
aleación de Al-Mn, enfriada rápidamente, cuyo patrón de difracción presentaba simetría local de
orden 5. Desde entonces se han descubierto cientos de cuasicristales aperiódicos similares.
Por ello, en 1991 la IUCr decidió redefinir el término cristal como cualquier sólido que presente un
diagrama de difracción esencialmente discreto, distinguiendo entre cristales periódicos y cristales
aperiódicos.
c○ Víctor Luaña, 2002 (61)

L2: Simetría y geometría cristalinas Simetría cristalina
Operaciones de simetría espacial (Operadores de Seitz):
Una operación de simetría en un cristal comprende una parte de rotación y otra de traslación.
Un operador de Seitz es una representación de la operación que actúa sobre las coordenadas
cristalográficas de los puntos del cristal:
⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
{ ˆ R|ˆt} ri = R x i + t =
⎜
⎝
r11 r12 r13
r21 r22 r23
r31 r32 r33
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎝
xi
yi
zi
⎟
⎠ +
⎜
⎝
tx
ty
tz
⎟
⎠ . (62)
Si sólo empleáramos redes primitivas tx, ty, tz ∈ Z, pero el empleo de redes centradas hace necesario
tx, ty, tz ∈ Q.
• Rotación pura: { ˆ R|ˆ0}. Puede ser una rotación propia o impropia.
• Traslación pura: {ˆ1|ˆt}.
• Producto de operaciones: { ˆ R|ˆtR}{ ˆ S|ˆtS} = { ˆ R ˆ S|ˆtR + ˆ RˆtS}.
• Operación unidad (neutra): {ˆ1|ˆ0} =⇒ {ˆ1|ˆ0}{ ˆ R|ˆtR} = { ˆ R|ˆtR}{ˆ1|ˆ0} = { ˆ R|ˆtR}.
• Operación inversa: { ˆ R|ˆtR} −1 = { ˆ R −1 | − ˆ R −1ˆtR}.
• Operación nula (aniquilador): {ˆ0|ˆ0} =⇒ {ˆ0|ˆ0}{ ˆ R|ˆtR} = { ˆ R|ˆtR}{ˆ0|ˆ0} = {ˆ0|ˆ0}.
c○ Víctor Luaña, 2002 (62)

L2: Simetría y geometría cristalinas Simetría cristalina
Operaciones no simórficas: Combinan una rotación, propia o impropia, con una traslación no
primitiva: 0 < tx, ty, tz < 1 (tx, ty, tz ∈ Q).
• Ejes helicoidales o de rotación-traslación. Una operación nk representa una rotación de 2π/n
seguida de una traslación de k/n unidades de celdilla a lo largo del eje de rotación.
Ej: 32[0, 0, 1] = {3[0, 0, 1]|τ(0, 0, 2/3)}.
Posibilidades: 21, 31, 32, 41, 42, 43, 61, 62, 63, 64 y 65.
• Planos de deslizamiento: La reflexión en un plano es seguida por una traslacción fraccionaria,
que puede ser:
axial (a, b, ó c): la traslación es a/2, b/2 ó c/2, contenida en el plano de reflexión (ab, bc
ó ac). Ej: {m[100]|τ(0, 1/2, 0)}.
diagonal (n): deslizamiento a lo largo de la diagonal de una cara: (a + b)/2, ( b + c)/2
ó (c + a)/2. Ej: {m[001]|τ(1/2, 1/2, 0)}.
diamantina (d): ocurren en cristales cúbicos y tetragonales, y las direcciones de traslación
pueden ser (a ± b)/4, ( b ± c)/4, (c ± a)/4, ó (a + b + c)/4.
c○ Víctor Luaña, 2002 (63)

L2: Simetría y geometría cristalinas Simetría cristalina
Grupo espacial de un cristal y grupos relacionados:
El conjunto de todas las operaciones de simetría de un cristal representados, p. ej., mediante
operadores de Seitz constituye un grupo espacial, G. Este grupo contiene infinitas operaciones, unas
simórficas { ˆ R|ˆt} y otras posiblemente no simórficas { ˆ R|ˆτ}.
Otros grupos relacionados con G son:
Grupo de traslación, T: formado por las infinitas traslaciones primitivas {ˆ1|ˆt}.
Grupo factor, G/T: formado por un número finito (h ≤ 48) de operaciones de forma { ˆ R|ˆτ}, donde
τ = q1a + q2 b + q3c es una traslación de índices fraccionarios 0 ≤ q1, q2, q3 < 1. El grupo
espacial se obtiene como producto directo de los grupos factor y de traslación: G = (G/T)⊗T.
Grupo puntual, GP : Siempre es posible establecer un isomorfismo entre el grupo factor y un
grupo puntual cristalográfico. Ambos tendrán el mismo número de operaciones y su tabla de
multiplicar será equivalente. Todas las operaciones del grupo puntual son rotaciones puras,
propias o impropias. Las operaciones de GP no tienen por qué estar contenidas en el grupo
espacial G. Podemos obtener GP a partir del símbolo del grupo espacial reemplazando ejes
helicoidales por ejes propios del mismo orden y planos de deslizamiento por planos de simetría.
Ej: P ¯421c tiene como grupo puntual ¯42m (D2d).
En general, el grupo factor es el más útil en cristalografía, y cuando hablemos de las propiedades
del grupo espacial hablaremos, normalmente, de las propiedades de su grupo factor.
c○ Víctor Luaña, 2002 (64)

L2: Simetría y geometría cristalinas Simetría cristalina
Grupos espaciales:
En 1891 A. M. Schönflies y E. S. Fedorov completaron, independientemente, la lista de los 230
grupos espaciales cristalográficos. De estos 230 grupos:
• 73 aparecen al combinar los 32 grupos puntuales con las 14 redes de Bravais: grupos simórficos.
• 157 grupos requieren operaciones con traslaciones fraccionarias: grupos no simórficos.
Sistema N ◦ Números Grupos ...
Triclínico 2 1–2 P 1, P ¯1
Monoclínico 13 3–15 P 2, P 21, B2, . . .
Ortorrómbico 59 16–74 P 222, P 2221, P 212121, . . .
Tetragonal 68 75–142 P 4, P 41, P 42, . . .
Trigonal 25 143–167 P 3, P 31, P 32, . . .
Hexagonal 27 168–194 P 6, P 61, P 62, . . .
Cúbico 36 195–230 P 23, F 23, I23, . . .
Los 230 grupos espaciales y sus principales propiedades están tabulados en las International
Tables for Crystallography. Información relevante en Internet: Bilbao Crystallographic Server
(http://www.cryst.ehu.es).
c○ Víctor Luaña, 2002 (65)

L2: Simetría y geometría cristalinas Simetría cristalina
Página de las Tablas
Internacionales (IU-
Cr)
Sistema
cristalino
Vectores
de centrado
Posiciones
de Wyckoff
Grupo puntual
Grupo Espacial
Extinciones
sistematicas
c○ Víctor Luaña, 2002 (66)

L2: Simetría y geometría cristalinas Simetría cristalina
La acción de las operaciones de simetría de un grupo sobre las cordenadas de un punto genera todas
las posiciones equivalentes del mismo. Por ejemplo, un punto genérico (x, y, z) en el grupo P 42/m
(núm. 84) tiene 8 equivalentes:
(x, y, z)
⏐
m⏐
(x, y, ¯z)
42
−−−−−→ (¯y, x, z + 1/2)
⏐
m⏐
42
−−−−−→ (¯y, x, 1/2 − z)
42
−−−−−→ (¯x, ¯y, z)
⏐
m⏐
42
−−−−−→ (¯x, ¯y, ¯z)
42
−−−−−→ (y, ¯x, z + 1/2)
⏐
m⏐
42
−−−−−→ (y, ¯x, 1/2 − z).
Por ello, se dice que el punto (x, y, z) tiene una multiplicidad 8 en este grupo. En este contexto
¯x = −x.
La multiplicidad de una posición general es la misma que el orden h del grupo factor G/T. En
cambio, si un punto se encuentra situado sobre algún elemento de simetría, varias operaciones
diferentes darán lugar a la misma posición equivalente. Así, por ejemplo, en el mismo grupo P 42/m:
(x, y, 0)
⏐
m⏐
(x, y, 0)
42
−−−−−→ (¯y, x, 1/2)
⏐
m⏐
42
−−−−−→ (¯y, x, 1/2)
42
−−−−−→ (¯x, ¯y, 0)
⏐
m⏐
42
−−−−−→ (¯x, ¯y, 0)
42
−−−−−→ (y, ¯x, 1/2)
⏐
m⏐
42
−−−−−→ (y, ¯x, 1/2),
sólo se generan cuatro posiciones equivalentes, distintas entre sí, del punto (x, y, 0): la multiplicidad
de la posición especial (x, y, 0) es 4, la mitad del orden del grupo factor.
c○ Víctor Luaña, 2002 (67)
(63)
(64)

L2: Simetría y geometría cristalinas Simetría cristalina
En cada grupo espacial tiene gran importancia la lista de todas las posiciones especiales o posiciones
de Wyckoff . Por ejemplo, en el grupo P 42/m:
Wyckoff Sim. local Posiciones equivalentes
8k 1 (x, y, z), (¯y, x, z + 1/2), (¯x, ¯y, z), (y, ¯x, z + 1/2), (x, y, ¯z),
(¯y, x, 1/2 − z), (¯x, ¯y, ¯z), (y, ¯x, 1/2 − z).
4j m.. (x, y, 0), (¯x, ¯y, 0), (¯y, x, 1/2), (y, ¯x, 1/2).
4i 2.. (0, 1/2, z), (1/2, 0, z + 1/2), (0, 1/2, ¯z), (1/2, 0, 1/2 − z).
4h 2.. (1/2, 1/2, z), (1/2, 1/2, z + 1/2), (1/2, 1/2, ¯z), (1/2, 1/2, 1/2 − z).
4g 2.. (0, 0, z), (0, 0, z + 1/2), (0, 0, ¯z), (0, 0, 1/2 − z).
2f ¯4.. (1/2, 1/2, 1/4), (1/2, 1/2, 3/4).
2e ¯4.. (0, 0, 1/4), (0, 0, 3/4).
2d 2|m.. (0, 1/2, 1/2), (1/2, 0, 0).
2c 2|m.. (0, 1/2, 0), (1/2, 0, 1/2).
2b 2|m.. (1/2, 1/2, 0), (1/2, 1/2, 1/2).
2a 2|m.. (0, 0, 0), (0, 0, 1/2).
Atención: si alguna de las coordenadas de un punto se sale de los límites 0 ≤ x, y, z < 1 siempre
podemos devolverla a la celda principal sumando o restando un número entero. Por ejemplo, en
P 42/m la posición 4j con x = 0.2, y = 0.3 da lugar a (0.2, 0.3, 0), (−0.2, −0.3, 0) = (0.8, 0.7, 0),
(−0.3, 0.2, 0.5) = (0.7, 0.2, 0.5), y (0.3, −0.2, 0.5) = (0.3, 0.8, 0.5).
c○ Víctor Luaña, 2002 (68)

L2: Simetría y geometría cristalinas Simetría cristalina
Cuando la celda es centrada podemos reducir la lista de posiciones equivalentes mediante una
sencilla argucia. Definimos una lista de vectores de centrado que se deben añadir a las posiciones
que se listan. Estos vectores son:
P ó R † I F A B C R ‡ (H)
(0, 0, 0) (0, 0, 0) (0, 0, 0) (0, 0, 0) (0, 0, 0) (0, 0, 0) (0, 0, 0)
(1/2, 1/2, 1/2) (1/2, 1/2, 0) (0, 1/2, 1/2) (1/2, 0, 1/2) (1/2, 1/2, 0) (2/3, 1/3, 1/3)
(1/2, 0, 1/2) (1/3, 2/3, 2/3)
(0, 1/2, 1/2)
R † : celda trigonal con ejes romboédricos. R ‡ (H): celda trigonal con ejes hexagonales.
Ej: Para el grupo R32 (N ◦ 155) descrito con ejes hexagonales, las Tablas Internacionales listan
Wyckoff Sim. local Posiciones equivalentes
18f 1 (x, y, z), (¯y, x − y, z), (y − x, ¯x, z), (y, x, ¯z), (x − y, ¯y, ¯z), (¯x, y − x, ¯z)
9e .2 (x, 0, 1/2), (0, x, 1/2), (¯x, ¯x, 1/2)
9d .2 (x, 0, 0), (0, x, 0), (¯x, ¯x, 0)
6c 3. (0, 0, z), (0, 0, ¯z)
3b 32 (0, 0, 1/2)
3a 32 (0, 0, 0)
La lista completa de posiciones equivalentes se obtiene añadiendo los tres vectores de centrado
a las posiciones de la tabla. P. ej.: 3b está formado por (0, 0, 1/2), (2/3, 1/3, 1/2 + 1/3 = 5/6), y
(1/3, 2/3, 1/2 + 2/3 = 1/6).
c○ Víctor Luaña, 2002 (69)

L2: Simetría y geometría cristalinas Simetría cristalina
Ejemplo: CaF2, estructura tipo fluorita (C1)
Cúbico, F m¯3m (225), a = 5.4626 ˚A, Z = 4.
Ca 4a (0, 0, 0)
F 8c (1/4, 1/4, 1/4)
De las Tablas Internacionales de
Cristalografía:
Wyckoff Sim. Posiciones equivalentes
4a m¯3m (0, 0, 0)
8c
¯43m (1/4, 1/4, 1/4), (1/4, 1/4, 3/4)
Vectores de centrado
(0, 0, 0), (1/2, 1/2, 0), (1/2, 0, 1/2), (0, 1/2, 1/2)
¿Volumen de la celda? ¿Densidad? ¿Distancias
entre vecinos? ¿Atomos en la celda
unidad?
c○ Víctor Luaña, 2002 (70)

L2: Simetría y geometría cristalinas Simetría cristalina
Algunas estructuras cristalinas: agrupadas por símbolos de estructura (Strukturberichte symb.)
(Otras alternativas en http://cst-www.nrl.navy.mil/lattice/).
A1 Cu, Cúbica, a = 3.609 ˚A, F m¯3m, Z = 4.
fcc Cu (4a) (0, 0, 0).
A2 Li, Cúbica, a = 3.46 ˚A, Im¯3m, Z = 2.
bcc Li (2a) (0, 0, 0).
A3 Be, Hexag., a = 2.2860, c = 3.5843 ˚A, (hcp ideal: c/a ≈ 1.63) P 63/mmc, Z = 2.
Be (2c) (1/3, 2/3, 1/4).
A4 C (diamante), Cúbica, a = 3.5667 ˚A, F d3m, Z = 8.
C (8a) (1/8, 1/8, 1/8).
A9 C (grafito), Hexag., a = 2.456, c = 6.696 ˚A, P 63/mmc, Z = 4.
C (2b) (0, 0, 1/4); C (2c) (1/3, 2/3, 1/4).
B1 NaCl, Cúbica, a = 5.6402 ˚A, F m¯3m, Z = 4.
Na (4a) (0, 0, 0); Cl (4b) (1/2, 1/2, 1/2).
B2 CsCl, Cúbica, a = 4.123 ˚A, F m¯3m, Z = 1.
Cs (1a) (0, 0, 0); Cl (1b) (1/2, 1/2, 1/2).
B3 β-ZnS (blenda), Cúbica, a = 5.4060 ˚A, F ¯43m, Z = 4.
Zn (4a) (0, 0, 0); S (4c) (1/4, 1/4, 1/4).
B4 ZnO (zincita, wurtzita), Hexag., a = 3.2495, c = 5.2069 ˚A, P 63mc, Z = 1.
Zn (2b) (1/3, 2/3, z ≈ 0); O (2b) (1/3, 2/3, z ≈ 0.345).
c○ Víctor Luaña, 2002 (71)

L2: Simetría y geometría cristalinas Simetría cristalina
A1: Cu A2: Li A3: Be A4: diamante A9: grafito
B1: NaCl B2: CsCl B3: ZnS (blenda) B4: ZnO (wurtzita)
c○ Víctor Luaña, 2002 (72)

L2: Simetría y geometría cristalinas Ejercicios
Ejercicios
1. Para cada uno de los siete sistemas cristalinos: (1) escribe la forma particular de su matriz
métrica; (2) encuentra una fórmula específica para el volumen de su celda unidad; (3) construye
una regla particular para el cálculo del producto escalar de dos vectores.
2. Partiendo de la descripción de la posición general del grupo P 42/m construye los operadores
de Seitz para las operaciones de este grupo y úsalos para obtener la tabla de multiplicar del
grupo.
3. Determina el grupo puntual que corresponde a cada uno de los siguientes grupos espaciales:
P 63/mmc, P 42/m, P 4212, P 4222, P 42nm, Immm, I4132, Abm2. Determina la
multiplicidad de la posición general de cada grupo sabiendo que esta multiplicidad equivale
al producto del orden del grupo puntual por el número de puntos reticulares en la celda de
Bravais.
4. Para cada uno de los cristales siguientes determina la matriz métrica, el volumen de la celda
unidad en ˚A 3 , la densidad en g/cm 3 , la distancia entre primeros vecinos y los ángulos más
representativos entre vecinos enlazados. Los cristales, cuya descripción cristalográfica ha
aparecido anteriormente, son: Cu, Li, Be, diamante, grafito, NaCl, CsCl, ZnS, ZnO y CaF2.
5. Transforma la descripción del cristal ZnS al uso de una celda primitiva. Construye la matriz
métrica de dicha celda primitiva. Determina cómo puedes pasar las coordenadas de un punto
arbitrario descritas en la celda F a la celda primitiva y viceversa. Utiliza este resultado para
convertir la descripción del cristal de CaF2 a una celda primitiva.
c○ Víctor Luaña, 2002 (73)