Aplicaciones de ED de segundo orden - Canek - UAM

16 Ecuaciones diferenciales ordinarias
cuyas soluciones son
r D 12 ˙ .12/ 2 4.6:5/ 2
2.6:5/
D 12 ˙ p 144 169
13
D 12 ˙ p 25
13
Entonces la solución general de la ecuación diferencial es
x.t/ D e 12
13 t
c1 cos 5
13 t C c2 sen 5
13 t
I
de donde se tiene que
v.t/ D x 0 .t/ D 1 12
e 13
13 t
Aplicando las condiciones iniciales:
D
12 ˙ 5i
13
. 5c1 12c2/ sen 5t
13 C .5c2 12c1/ cos 5t
:
13
x.0/ D 0:1 ) e 0 .c1 cos 0 C c2 sen 0/ D 0:1 ) c1 D 0:1 :
v.0/ D 0 ) 1
13 e0 Œ. 5c1 12c2/ sen 0 C .5c2 12c1/ cos 0 D 0 )
Por lo tanto la posición de la masa es
y su velocidad es
v.t/ D 12 12
e 13
13 t
) 5c2 12c1 D 0 ) c2 D 12
5 c1 D 12
5 .0:1/ ) c2 D 0:24 :
x.t/ D e 12
13 t
0:1 cos 5
5
t C 0:24 sen
13 13 t
mI
D 12 5
˙
13 13 i:
0:1 cos 5
5
t C 0:24 sen
13 13 t
C e 12
0:5 5 1:2 5
13 sen t C cos
13 13 13 13 t
D
D 1 12
e 13
13 t . 3:38/ sen 5t
12
D 0:26e 13
13 t sen 5
t m/s:
13
Luego, en t D 2 seg se tiene que
x.2/ D e 24
13
0:1 cos 10
10
C 0:24 sen m 0:04 m:
13 13
v.2/ D 0:26e 24
13 sen 10
m/s 0:029 m/s:
13
2. Para determinar los tiempos donde la masa alcanza sus valores extremos, necesitamos calcular los
instantes en los que la velocidad se anula. Esto sucede cuando,
v.t/ D 0 ) 0:26e 12
13 t sen 5
5t
t D 0 ) sen D 0 )
13 13
Para estos instantes la posición está dada por
x.t/ D e 12
“
13
13 5 n
) 5t
D n ; con n-entero
13
) t D 13
n ; con n D 0; 1; 2; 3; : : :
5
”
5
0:1 cos
13
13
5 n
D e 12
5 n Œ0:1 cos n C 0:24 sen n D
5
C 0:24 sen
13
D .0:1/e 12
5 n cos n I con n D 0; 1; 2; 3; : : :
Algunos de los valores extremos de la posición son los siguientes:
13
5 n
D