Aplicaciones de ED de segundo orden - Canek - UAM

8 Ecuaciones diferenciales ordinarias
Resolviendo el sistema se obtiene:
c1 D x0 & c2 D v0 C cx0
2m :
Sustituyendo en la ecuación (5.7), obtenemos finalmente que
x.t/ D
x0 C
v0 C cx0
2m
t
e
c
2m t : (5.10)
Ejemplo 5.2.3 Considere un sistema masa-resorte-amortiguador con las constantes siguientes:
c D 4 N s/m; m D 2 kg; k D 2 N/m; x0 D 1 m; v0 D 0 m/s:
Encuentre la posición en el tiempo y elabore una grafica de este movimiento.
H La ecuación diferencial del movimiento es
2 d 2x C 4dx C 2x D 0:
dt 2 dt
Cuya ecuación característica es 2r 2 C 4r C 2 D 0, o sea, r 2 C 2r C 1 D .r C 1/ 2 D 0. Las dos soluciones de
esta ecuación son iguales a r D 1, de forma que la solución de la ecuación diferencial es
Derivando obtenemos la velocidad:
x.t/ D c1e t C c2te t D .c1 C c2t/e t :
v.t/ D c1e t C c2e t
c2te t D .c2 c1/ e t
c2te t :
Las constantes se determinan utilizando las condiciones iniciales x.0/ D 1 & v.0/ D 0. Tenemos en este caso
el sistema de ecuaciones
x.0/ D x0 D 1 ) 1 D c1I
v.0/ D v0 D 0 ) 0 D c2 c1I
de donde c1 D c2 D 1. Sustituyendo en las expresiones de posición y velocidad obtenemos:
Derivando la velocidad obtenemos la aceleración:
x.t/ D .1 C t/ e t mI & v.t/ D te t m/s:
a.t/ D e t C te t D .t 1/ e t m/s 2 :
Observe que en todo tiempo t > 0 la posición es positiva y la velocidad es negativa. Esto significa que la
posición es una función decreciente del tiempo. Por otra parte, la aceleración es negativa cuando 0 < t < 1
y positiva cuando t > 1. Esto es, la gráfica de la función posición tiene un punto de inflexión en t D 1 y la
gráfica de la velocidad tiene un mínimo en t D 1. También tenemos que lím x.t/ D 0, por lo tanto, la recta
t!1
x D 0 es una asíntota horizontal de x.t/. En las figuras siguientes se muestran las gráficas de la posición y
de la velocidad de la masa:
x
1
t
v
1
t