Aplicaciones de ED de segundo orden - Canek - UAM

6 Ecuaciones diferenciales ordinarias
Para resolver este sistema usamos el método de Cramer:
0:1 1
1:94 0:2
0:02 1:94
c1 D
1 1
D
0:2 C 5
5 0:2
1 0:1
5 1:94
c2 D
1 1
D
5 0:2
1:94 0:5
0:2 C 5
D 1:92
4:8
D 1:44
4:8
D 0:3:
D 0:4I
1. Con estos resultados, obtenemos la posición, y derivando la velocidad y la aceleración de la masa en
el tiempo t 0,
x.t/ D 0:4e 5t C 0:3e t
5 mI
v.t/ D 2e 5t
0:06e t
5 m/sI
a.t/ D 10e 5t C 0:012e t
5 m/s 2 :
2. Observe que la masa cruza por la posición de equilibrio cuando
La velocidad en este tiempo es
x.t/ D 0 ) 0 D 0:4e 5t C 0:3e t
5 ) 0:4e 5t D 0:3e t
) 0:4
0:3
D e5t
) t D 5
24 ln
t
5 D e 24t
5 ) 24t
4
3
v.0:0599/ D 2e 5.0:0599/
0:0599 s:
5
D ln
4
3
)
0:06e 0:0599
5 1:4228 m/s:
3. La máxima separación de la posición de equilibrio se obtiene cuando la velocidad es cero; esto ocurre
cuando
5 )
v.t/ D 0 ) 0 D 2e 5t
0:06e t
5 ) 2e 5t D 0:06e t
5 )
) 2 24t
D e 5 )
0:06 24t
2 100
D ln D ln )
5 0:06 3
) t D 5
24 ln
100
0:7305 s.
3
En este tiempo, la posición está dada por
Y la aceleración es
x.0:7305/ D 0:4e 5.0:7305/ C 0:3e 0:7305
5 0:2489 m.
a.0:7305/ D 10e 5.0:7305/ C 0:012e 0:7305
5 0:2489 m/s 2 :
En efecto, como la aceleración es negativa, se tiene un máximo en la posición.