Aplicaciones de ED de segundo orden - Canek - UAM

Ecuaciones diferenciales ordinarias 5 3
De la ecuación (5.2), tenemos que
r2 r1 D
p
c2 4mk
:
m
Esto nos permite simplificar la ecuación (5.6) de forma que
x.t/ D
x0m r1t
p .r2e
c2 4mk
r1e r2t / D
x0m r2t
p .r1e
c2 4mk
r2e r1t /:
Ejemplo 5.2.1 Considere un sistema masa-resorte-amortiguador con las constantes siguientes:
c D 5 N s/mI m D 2 kgI k D 2 N/mI x0 D 1 mI v0 D 0 m/s:
Resuelva la ecuación diferencial y grafique la posición en el tiempo.
H En este caso la ecuación diferencial por resolver es
cuya ecuación característica es
2 d 2x C 5dx C 2x D 0;
dt 2 dt
2r 2 C 5r C 2 D 0:
Como las dos raíces de esta ecuación cuadrática son
r1;2 D 5 ˙ ⎧
⎪⎨
25 4.2/.2/
D
2.2/ ⎪⎩
2I
1
2 :
la solución general de la ecuación diferencial es
x.t/ D c1e 2t C c2e 1
2 t :
Para determinar las constantes, necesitamos calcular la velocidad y utilizar las condiciones iniciales. La
velocidad se obtiene derivando la posición y está dada por
v.t/ D 2c1e 2t 1 t
c2e 2 :
2
Si ahora utilizamos las condiciones iniciales x0 D 1 & v0 D 0, obtenemos el sistema de ecuaciones siguiente:
1 D c1 C c2I
0 D 2c1
1
2 c2:
De la segunda ecuación se tiene c2 D 4c1. Sustituyendo en la primera resulta c1 D 1
. Finalmente
3
c2 D 4
. Así se obtiene que la posición en todo tiempo está dada por la expresión
3
x.t/ D 1
3 e 2t C 4 t
e 2 m;
3
de donde es posible determinar tanto la velocidad como la aceleración, derivando una y dos veces:
v.t/ D 2 2t 2
e
3
t
e 2 m/s & a.t/ D
3 4
Algunas observaciones interesantes son las siguientes:
3 e 2t C 1
3
e t
2 m/s 2 :