CÁLCULO DE RAÍCES DE ECUACIONES NO LINEALES

CÁLCULO DE RAÍCES DE
ECUACIONES NO LINEALES
Por Frednides Guillén

MÉTODO DE BISECCIÓN
• Este método consiste en hallar los ceros de una función
continua f(x).
• Primero se debe considerar un intervalo [x i, x s] en el que
se garantice que la función tiene raíz.
• Para ello f(x i) y f(x s) deben ser de diferentes signos. Por
lo tanto debe cumplirse que:
f(x i) • f(x s) < 0
• De acuerdo con el teorema del valor intermedio, existe
un numero x r en [x i, x s] tal que f(x r) = 0

f(x)
MÉTODO DE BISECCIÓN
x

f(x)
f(x i)
f(x s)
MÉTODO DE BISECCIÓN
x i x s x

MÉTODO DE BISECCIÓN
• Si f(x i)=0 --> f(x i) es raíz.
• Si f(x s)=0 --> f(x s) es raíz
• El segmento [x i, x s] se bisecta, tomando el punto de
bisección x r como aproximación de la raíz buscada.
x
r
x
s
• Se determina el signo de f(x r) y se sustituye el extremo
2
cuyo signo coincida y se desecha el resto del intervalo.
x
i

MÉTODO DE BISECCIÓN
• De esta forma se generan intervalos que encierran la
raíz buscada y que son de longitud igual a la mitad de la
longitud del intervalo del paso anterior.
• El método divide a la mitad cada nuevo intervalo que se
genere.

f(x)
f(x i)
f(x r)
f(x s)
MÉTODO DE BISECCIÓN
x i
x r
x s
x

Seudo Código:
• Se define un intervalo [x 1, x 2] de la función f(x), donde la esta es continua y
se verifica que f(x 1)·f(x 2) < 0. Se define la tolerancia ε y el numero máximo
de iteraciones Nitera y hacer Iter=0
• Repetir
– Iter = Iter +1
– Hacer x 3= (x 1+x 2)/2
– Si f(x 3)·f(x 1) < 0
• Entonces x 2 = x 3
• Sino x 1 = x 3
– Fin del Si
• Hasta que |(x 1 - x 3)|< 2 ε o Iter == Nitera
• Imprimir “La raíz es: ” x 3
MÉTODO DE BISECCIÓN

• Cálculo del error:
MÉTODO DE BISECCIÓN
• El error exacto no se puede calcular si no conocemos la
solución exacta (si se conoce, no es necesario el
método iterativo). En la práctica, se estima el error
mediante la distancia entre dos iteraciones
consecutivas.
x
2
Error n
2
x
1
n
x2
x1
ln
Error
ln( 2)

Ejemplo:
MÉTODO DE BISECCIÓN
• Calcular la raíz de f(x) = x 3 + x 2 – 3x – 3 = 0, que está en
el intervalo [1, 2]. Calcular con una precisión de 3
decimales exactos. ¿Cuántos dígitos significativos tiene
la aproximación calculada después de la cuarta
iteración?
• Cuántas iteraciones serán necesarias para alcanzar una
precisión de 6 decimales exactos?

MÉTODO DE BISECCIÓN
Iteración x 1 f(x 1 ) x 2 f(x 2 ) x 3 f(x 3 )
1 1 -4 2 3 1,5 -1,875
2 1,5 -1,875 2 3 1,75 0,171875
3 1,5 -1,875 1,75 0,171875 1,625 -0,943359
4 1,625 -0,943359 1,75 0,171875 1,6875 -0,409424
5 1,6875 -0,409424 1,75 0,171875 1,71875 -0,124786
6 1,71875 -0,124786 1,75 0,171875 1,734375 0,02203
7 1,71875 -0,124786 1,734375 0,02203 1,726563 -0,051755
8 1,726563 -0,051755 1,734375 0,02203 1,730469 -0,014957

Ventajas:
• Es robusto
• De fácil aplicación
MÉTODO DE BISECCIÓN
• No necesita calcular la derivada
Desventajas
• Es lento
• No detecta ceros en mín. o máx. locales
• No detecta un número par de ceros

MÉTODO DE REGULA-FALSI
• Conocido también como método de falsa posición
• Primero se selecciona un intervalo [a, b] tal que
f(a)· f(b) < 0
• Hallar el punto c que divide el intervalo [a, b], al trazar
una recta de f(a) hasta f(b), para ello:
c
a
f
( a)
b
( b)
a
f ( a)
• Elegir, entre [a, c] y [c, b], un intervalo en el que la
función cambie de signo.
• Repetir los pasos 2 y 3 hasta conseguir la precisión
deseada.
f

f(x)
MÉTODO DE REGULA-FALSI
x

f(x)
f(a)
f(b)
MÉTODO DE REGULA-FALSI
a b
x

f(x)
f(a)
f(b)
MÉTODO DE REGULA-FALSI
a b
x

f(x)
f(a)
f(c)
f(b)
MÉTODO DE REGULA-FALSI
a c b
Se hace b = c
La solución está en el
Intervalo [a, c]
x

MÉTODO DE REGULA-FALSI
• El método de Regula Falsi, como él de bisección, parte
de un intervalo en el que la función cambia de signo y lo
divide en dos partes. La diferencia es que los
subintervalos ahora son proporcionales a los valores de
la función en los extremos.
• El método converge generalmente con más rapidez que
la bisección, pero no garantiza que el intervalo de
búsqueda de la raíz se haga pequeño. Típicamente, un
extremo queda fijo mientras que el otro se acerca a la
raíz.

MÉTODO DE REGULA-FALSI
• El criterio de convergencia es diferente al método de
bisección. En este caso se utiliza:
| c actual – c anterior | ε
• También se puede emplear:
| f(c) | ε

Ventajas:
MÉTODO DE REGULA-FALSI
• En algunos casos es más rápido que bisección
• No necesita calcular derivadas
Desventajas
• No detecta un número par de ceros
• No detecta ceros en mínimos locales

• Ejemplo:
MÉTODO DE REGULA-FALSI
• Calcular la raíz de f(x) = x 3 + x 2 – 3x – 3 = 0, que está en
el intervalo [1, 2]. Calcular con una precisión de 3
decimales exactos.
• ¿Cuántos dígitos significativos tiene la aproximación
calculada después de la cuarta iteración?.

MÉTODO DE REGULA-FALSI
Iteracion x1 f(x1) x2 f(x2) x3 f(x3)
1 1 -4 2 3 1,5714 -1,364431
2 1,5714 -1,3644 2 3 1,7054 -0,247745
3 1,7054 -0,2477 2 3 1,7279 -0,039340
4 1,7279 -0,0393 2 3 1,7314 -0,006111
5 1,7314 -0,0061 2 3 1,7320 -0,000946
6 1,7320 -0,0009 2 3 1,7320 -0,000146
7 1,7320 -0,0001 2 3 1,7320 -0,000023
8 1,7320 0,0000 2 3 1,7321 -0,000004

Seudo Código:
MÉTODO DE REGULA-FALSI
• Se define un intervalo [x 1, x 2] de la función f(x), donde la esta es continua y
se verifica que f(x 1)·f(x 2) < 0. Se define la tolerancia ε y el numero máximo
de iteraciones Nitera y hacer Iter=0
• Repetir
– Iter = Iter +1
– Hacer x 3= x 1-f(x 1)(x 2-x 1)/(f(x 2)-f(x 1))
– Si f(x 3)·f(x 1) < 0
• Entonces x 2 = x 3
• Sino x 1 = x 3
– Fin del Si
• Hasta que |f(x 3)|< ε o Iter == Nitera
• Imprimir “La raíz es: ” x 3

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
• El método de Newton Raphson aplica si f(x), f’(x) y f’’(x)
son continuas y es uno de los algoritmos mas útiles y
mejor conocido.
• Se parte de una aproximación inicial x 0 la cual es mejor
si está cerca de la raíz p

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
f(x)
f(x 0)
x 0
x

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
• Luego se obtiene el valor de la función por ese punto y
se traza una recta tangente a la función por ese punto.
• El punto de intersección de esta recta con el eje de las
abscisas (x 1, 0), constituye una segunda aproximación
de la raíz.
• El proceso se repite n veces hasta que el punto de
intersección x n coincide prácticamente con el valor
exacto de la raíz.

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
f(x)
f(x 0)
x 0
x 1
x

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
f(x)
f(x 0)
f(x 1)
x 0
x 1
x

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
f(x)
f(x 0)
f(x 1)
x 0
x 1
x 2
x 3
x

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
• Primero se calcula la pendiente de la recta tangente:
m
0
x
• m es la pendiente de la recta tangente que pasa por el
punto x 0; por lo tanto: m = f’(x 0)
• Igualando las dos ecuaciones anteriores de m y
despejando x 1 se tiene:
x
x
1
0
• Se puede emplear como criterio de convergencia:
1
( f x
x
| (x 0 - x 1)/ x 1 | < ε (Error relativo)
0
0 )
f ( x0)
f '(
x )
0

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
Aunque el método trabaja bien, no existe garantía de convergencia.
X 3
f(x)
X 1
X 0
X 2
X

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
Seudo Código:
• Se define el valor inicial x 0 de la función f(x)
• Se define la tolerancia ε y el número máximo de iteraciones Nitera y se
hace Iter=0
• Repetir
– Iter = Iter +1
– Calcular x 1= x 0-f(x 0)/f’(x 0)
– Calcular error = |x 1 - x 0 |
– Hacer X0 = X1
• Hasta que error < ε o Iter == Nitera
• Imprimir “La raíz es: ” x 1

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
Código en Scilab:
x0=2; tol=1e-5; Niter=30;
for Iter=0:Niter
end
Iter = Iter + 1;
x1 = x0 - (x0^3+x0^2-3*x0-3)/(3*x0^2+2*x0-3);
err = abs(x1-x0);
x0 = x1;
if (err

Ejemplo:
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
• Calcular la raíz de f(x) = x 3 + x 2 – 3x – 3 = 0, que está en
el intervalo [1, 2], utilice x 0=2. Calcular con una precisión
de 3 decimales exactos.
• ¿Cuál es el error absoluto para la cuarta iteración?.

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
Iteración x 0 f(x 0 ) f '(x 0 ) x 1 Error
1 2 3 13 1,769230769 0,130434783
2 1,769230769 0,360491579 9,928994083 1,73292381 0,020951272
3 1,73292381 0,00826691 9,474922419 1,732051306 0,00050374
4 1,732051306 4,71824E-06 9,464107793 1,732050808 2,87832E-07
5 1,732050808 1,53921E-12 9,464101615 1,732050808 9,38406E-14

MÉTODO DE LAS SECANTES
• Consiste en elegir dos puntos iniciales cualquiera x 0, x 1
para los cuales se evalúan los valores de la función:
• Se traza una recta secante a la función por esos dos
puntos.
• El punto de intersección de esta recta con el eje de las
abscisas (x 2, 0) constituye una segunda aproximación
de la raíz.
• El proceso se repite n veces hasta que el punto de
intersección x n coincide prácticamente con el valor
exacto de la raíz.

f (x)
f (x 0)
f (x 1)
f (x 2)
f (x 3)
MÉTODO DE LAS SECANTES
x 0 x 1 x 2
x 3
x

MÉTODO DE LAS SECANTES
• La pendiente de la recta se calcula como:
• La intercepción con el eje x es:
x
x
2
2
x
x
0
m
0
f
f
f(x1
)
x
( x
( x
1
0
0
)
)
f(x
x
f
0
m
0
)
x1
( x )
1
x0
f ( x
0
)

Algoritmo
MÉTODO DE LAS SECANTES
• Entrar los datos x 0, x 1, tol, Nitera, Iter=0
• Repetir
Iter = Iter +1; x 2=x 0-f (x 0)(x 1-x 0)/(f (x 1)-f (x 0))
Hacer x 0=x 1 y x 1=x 2
Error =│(x 0 – x 1) / x 1│*100 (Error Relativo porcentual)
• Hasta que Error ≤ tol o Iter = Nitera
• Imprimir x 2

Ejemplo:
MÉTODO DE LAS SECANTES
• Calcular la raíz de f(x) = x 3 + x 2 – 3x – 3 = 0, que está en
el intervalo [1, 2], utilice x 0=3 y x 1=2. Calcular con una
precisión de 3 decimales exactos.
• ¿Cuál es el error absoluto para la cuarta iteración?.

MÉTODO DE LAS SECANTES
Iteración x 0 x 1 x 2 Error Absoluto
1 3 2 1,857142857 0,076923077
2 2 1,857142857 1,750424448 0,060967161
3 1,857142857 1,750424448 1,733455735 0,009788951
4 1,750424448 1,733455735 1,732067544 0,000801465
5 1,733455735 1,732067544 1,732050823 9,6541E-06
6 1,732067544 1,732050823 1,732050808 8,88175E-09
7 1,732050823 1,732050808 1,732050808 9,73019E-14

MÉTODO DEL PUNTO FIJO
• Considera la descomposición de la función f(x) en una
diferencia de dos funciones: una primera g(x) y la
segunda, siempre la función x.
f(x) = g(x) – x
• La raíz de la función f(x) se da cuando f(x) = 0, es decir,
cuando g(x) – x = 0, por lo que:
x = g(x)
• El punto de intersección de las dos funciones, da
entonces el valor exacto de la raíz.

MÉTODO DEL PUNTO FIJO
• El método consiste en considerar un valor inicial x 0,
como aproximación a la raíz, evaluar el valor de esta
función g(x 0), considerando éste como una aproximación
de la raíz.
• El proceso se repite n veces hasta que g(x) coincide
prácticamente con x.
• Se puede emplear como criterio de convergencia
| (x 0 - x 1)/ x 1 | < ε (Error Relativo)

MÉTODO DEL PUNTO FIJO
Algoritmo:
• Se inicializan las variables x 0, tol, Nitera,
Iter=0
• Repetir
Iter = Iter +1
Hacer x 1= g(x 0)
Error =│(x 0 – x 1) / x 1│ (Error Absoluto)
Hacer x 0 = x 1
• Hasta que Error ≤ tol o Iter = Nitera
• Imprimir x 0

Ejemplo:
MÉTODO DEL PUNTO FIJO
• Calcular la raíz de f(x) = x 3 + x 2 – 3x – 3 = 0, que está en
el intervalo [1, 2], utilice x 0=2. Calcular con una precisión
de 3 decimales exactos.
• ¿Cuál es el error absoluto para la cuarta iteración?.

x
x
g(
x)
3x
3
x
3 2
MÉTODO DEL PUNTO FIJO
Iteración x 0 x 1 Error Absoluto
1 2 1,709975947 0,169607095
2 1,709975947 1,733134316 0,013362132
3 1,733134316 1,731994802 0,00065792
4 1,731994802 1,732053695 3,40019E-05
5 1,732053695 1,732050659 1,75317E-06
6 1,732050659 1,732050815 9,04059E-08
7 1,732050815 1,732050807 4,66195E-09
8 1,732050807 1,732050808 2,40402E-10