¿Cuántas 1-dim-foliaciones con singularidades degeneradas se ...

¿Cuántas 1-dim-foliaciones
con singularidades degeneradas
se encuentran en familias?
Israel Vainsencher
Departamento de Matemática
UFMG–ICEX
Belo Horizonte 30123-970 MG Brasil

I. Vainsencher, Sur le nombre de singularités dégénérées d’une famille de
feuilletages. Math. Res. Lett. 11 (2004), no. 4, 443–451.
P. A. Fonseca Machado,; I. Vainsencher, Les degrés des variétés des matrices
nilpotentes. J. Algebra 288 (2005), no. 2, 485–504.
- resumen
- introducción
- foliaciones
- esquema de singularidades
- comportamiento genérico
- variación en familia
- haz y red
- nilpotencia
- cuestiones

esumen
Apresentamos un par de fórmulas para los números de
miembros de familias de foliaciones con singularidades
degeneradas.
La primera, trata el caso de un haz (pencil) de
foliaciones sobre una variedade proyectiva compleja M y
no es mas que el grado del discriminante.
Cuando M es una superficie, calculamos el número de
singularidades nilpotentes de una red (net).

Introducción
La búsqueda de invariantes numéricos asociados a
foliaciones algebraicas debe sus origenes posiblemente a
Poincaré.
A él interesava la determinación de cotas para el grado
de curvas invariantes en CP 2 .

Los trabajos mas recientes tratan la cuestion intentando
establecer relaciones entre
• los números de singularidades de la foliación y
• algunos números de Chern, sacando provecho de
argumentos de positividad. [2], [5], [6], [7], [13].

foliaciones
F = foliación de dimensión uno sobre
una variedade M (digamos lisa, proyectiva/C)
es definida por una sección holomorfa no nula
O → T M ⊗ L
(a menos de múltiplo constante; se exige también mdc=1...)
en donde L es un fibrado en líneas, el fibrado cotangente.
Si M = CP n , L = O(k − 1), k es dicho el grado.

esquema de singularidades
Las singularidades de F son los ceros de σ,
S = SF.
Su haz de ideales es la imagen de la co-sección,
σ ∨ : (T CP n ⊗ O(k − 1)) ∨ → O
Es bien conocido que si S es finito, entonces S contiene
1 + k + · · · + k n
= cn(T CP n ⊗ O(k − 1))
puntos, contados con multiplicidades naturales.

comportamiento genérico
Si F es eligido bastante general en
entonces
• S es finito y
P H 0 (T CP n ⊗ O(k − 1))
• todas las multiplicidades son iguales a uno.

variando en familias
En una singularidad no degenerada, la jacobiana tiene
rango máximo.
Si la foliación se move en una familia a un parámetro, la
familia de jacobianas en los puntos singulares debe tener
el derecho de degenerarse... al menos un número finito de
veces.
Deseamos contar cuantas veces este derecho será
ejercido!

haz
La familia que vamos a considerar inicialmente es un haz
general de foliaciones.
Teorema A.
S1 = esquema de singularidades degeneradas de un haz
de foliaciones con fibrado cotangente L sobre
M= variedad lisa, proyectiva.
Si el lugar de degeneración, S1 , es finito, entonces
deg(S 1 n
) = n (n + 1 − i) ci · H n−i ,
0
en donde escribimos n = dim M, H = c1L, ci = ciT M.
M

Cuando M = CP n y cogemos una foliación de grado k,
obtenemos
n(n + 1)k n
miembros con una singularidad degenerada.
(En pleno desacuerdo con la respuesta dada por
Gomez-Mont y Luengo, 2(k 2 + k + 1).)

edes
Si tenemos abundancia de parámetros a nuestra
disposición (e.g., una red de foliaciones), esperamos
encontrar, en general, una sub-familia de dimensión (a lo
menos) un de foliaciones que tienen una singularidad
degenerada a moverse con la foliación.
Entonces podemos imponer condiciones adicionales sobre
la parte lineal de la foliación en cada singularidad.

superficies
Por ejemplo, en el caso de superficies, esperamos
encontrar un número finito de singularidades degeneradas
con parte lineal nilpotente.
Damos una fórmula en termos de clases de Chern de la
superficie y del fibrado cotangente de la foliación.

Teorema B. M = superficie proyectiva lisa; T = haz de
foliaciones con fibrado cotangente L.
S 2 = {(t, x) ∈ T × M | x ∈ singFt,
con parte lineal nilpotente.}
Si S2 es finito, entonces
deg(S 2
) = 2
M
(c2 + 3c1 · H + 6H 2 )
puntos, contados con multiplicidades naturales, en
donde denotamos H = c1L, ci = ciT M.

En CP 2 , tenemos
ejemplo
c2 = 3h 2 , c1 = 3h, H = (k − 1)h
y la fórmula simplifica para
3 + 9(k − 1) + 6(k − 1) 2 = 6k(2k − 1),
en donde k denota el grado de la foliación.
(En pleno desacuerdo con ... yo mismo.)

Preliminares
E → M un fibrado vectorial sobre M, de rango r.
Esquema de incidencia asociado a un subconjunto de el
espacio proyectivo de secciones globales:
T ⊂ P H 0 (M, E) .
ST = {(t, x) ∈ T × M | st(x) = 0} .

clase de la incidencia
Si E es un fibrado de rango r engendrado por secciones
globales y
V ⊆ H 0 (M, E)
es un subespacio general, entonces codim S P(V ) = r.
Si T es de Cohen-Macaulay y ST es vacío o si tiene la
codimensión buena, vale la fórmula
[ST] = cr(E ⊗ OV (1)) ∩ [T × M]
en el grupo de Chow A r (T × M) de ciclos de
codimensión r.

Prueba. U = H 0 (M, E).
E engendrado por secciones globales: exactitud en
W >→ U × M ↠ E.
El fibrado W tiene la codimensión correcta, r, en el
fibrado trivial U × M.
Además, S P(U) = P (W ) ⊆ P (U) × M.
Para todo subesquema T de P (U), la imagen inversa por
la applicatión P (W ) → P (U) inducida por proyección se
identifica a ST. Aplicar Bertini. ✷

Partes principales
Fibrado de partes principales,
P 1 M(E).
La fibra sobre x ∈ M es el espacio vectorial
P 1 M(E)x = 2
OM,x mx ⊗ Ex
mx ⊂ OM,x es el ideal de las funciones nulas en x.

Para cada germen de función f ∈ OM,x,
su imagen f en OM,x/m 2 x
es su jet de orden uno: Taylor truncada.
Tenemos la sucesión exacta
2
m mx ⊗ Ex >→ P 1 M(E)x ↠ (Ex)

Por construcción,
(⋆) Ω 1 M ⊗ E >→ P 1 M(E) ↠ E
es una la sucesión exacta. Cada sección σ : O → E
induce una sección σ1 : O → P1 M (E) que hace conmutar
el diagrama
(♦)
OM
σ1 ↓ ↘ σ
(E) ↠ E.
P 1 M

Cuando σx es cero, vemos que σ1 x factorizase por el
nucleo
(Ω 1 M ⊗ E)x = m m 2 x ⊗ Ex.
La flecha inducida en el nucleo es nada mas que la
jacobiana de σ al punto x, via la identificatión habitual
Ω 1 M ⊗ E Hom(T M, E).

(⋆) y (♦) mostran que tenemos el diagrama de
homomorfismos de fibrados vectoriales
(♥)
✏✮ .
js
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
s 1
O
❄
s
Ω 1 M ⊗ E ⊗ OV (1) >→ P 1 M (E) ⊗ OV (1) ↠ E ⊗ OV (1),
en donde la flecha roja existe después de restringirse al
esquema de ceros S de s.

Degeneraciones
Pasemos a S, el esquema de ceros de la sección s.
Ganamos la sección jacobiana
() js : T M −→ E ⊗ OV (1)
(todo sobre el esquema de incidencia, S, por supuesto!)
Entonces podemos imponer condiciones
de rango sobre js. La fórmula de Porteous nos
permite obtener un montón de relaciones numéricas
para las clases de Chern.

El caso de interés aquí es cuando tenemos
r = rang E = n = dimM.
Dado un subesquema T ⊆ P H 0 (E) , definimos el
esquema de degeneraciones S 1 ⊆ S como
esquema de ceros del determinante de la jacobiana,
n
∧js : n
∧T M → n
∧(E ⊗ OV (1)).
S 1 = {(t, x) ∈ T×M | (t, x) ∈ ST con det(jst(x)) = 0}.

caso de un haz
El espacio de parámetros es T=CP 1 .
deg(S 1
) = ((c1E + K) · cn−1E + ncnE)
M
en donde K = c1Ω1 M , la clase canónica.
Hacemos los cálculos, ponendo h = c1OV (1), la clase
hiperplana de CP 1 .
[S] = cn(E ⊗ OV (1)) = cnE + h · cn−1E,
c1( n
∧(E ⊗ OV (1))⊗ n
∧Ω1 M ) = (c1E + nh + K).

en A 1 (S).
[S 1 ] = (c1E + nh + K) ∩ [S]
[S 1 ] = (c1E + K + nh) · (cnE + hcn−1E)
= ((c1E + K) · cn−1E + ncnE) · h
en A 1 (CP 1 × M); aplicar la fórmula de proyección. ✷

Pongamos
con un fibrado lineal L.
E = T M ⊗ L
Ahora las secciones definen foliaciones. (L es el fibrado
cotangente de la foliación definida por una sección no
nula de T M ⊗ L.)

Si L es bastante amplo, entonces para un haz general
V ⊆ H 0 (E),
• el esquema de singularidades S tiene la dimensión buena
• y el lugar de degeneraciones S 1 es finito.
deg(S 1 ) = n
n
(n + 1 − i)
(n = dim M, H = c1L, ci = ciT M.)
0
M
ci · H n−i ,

Ejemplos
(1) M curva proyectiva lisa, género g;
L fibrado en rectas de grado d.
Entonces E = T M ⊗ L tiene grado 2 − 2g + d.
deg(S 1 ) = 2(d + 1 − g).
Esto es el número de divisores en un haz genérico de
L ⊗ K ⋆ que apresentan algun punto doble.

(2) M = CP n . E = T M ⊗ L = T CP n ⊗ O(k − 1).
Escribiendo H = c1OCPn(1), y recordando la clase de Chern total,
cT CP n = (1 + H) n+1 ,
tenemos
(k − 1) n−i
deg(S1 ) = n n 0 (n + 1 − i) n+1
i
= n(n + 1)kn .
Si n = 1 = k, se trata de un haz de campos vectoriales
en CP 1 , i.e., un haz de formas binarias cuadráticas. Hay
entonces dos miembros con raíz doble.

(3) M variedad abeliana de dimensión n;
fibrado tangente T M = O n , trivial,
ci(T M) = 0 ∀i = 0.
H = c1L, d = deg(H n ),
deg(S 1 ) = n(n + 1)d.
Si cogemos n = 1, M inmersa en CP 2 como una cúbica
lisa y L = O(1) |M, sin surpresas, encuentrase el número
de rectas tangentes que pasan por un punto.

más degeneración
Mas parámetros, singularidades de orden superior.
Pregunta hecha por A. Lins y L.G. Mendes en IMPA, en
la ocasión de la alegre fiesta césariana (sexagenaria).
M una superficie. Nos interesan las foliaciones con
expresión local,
˙x = u(x, y) = y+ · · ·
♠(1)
˙y = v(x, y) = · · ·
en donde · · · es nulo mod. 〈x, y〉 2
i.e., la parte lineal vale (
0 1
0 0 ).

De modo invariante, se pide que la parte lineal sea
nilpotente (en general=0).
En términos de la jacobiana js : T M → T M ⊗ L, se
puede hacer la compositión
T M js
−→ T M ⊗ L js⊗L
−→ T M ⊗ L ⊗ L.
Mas atención!!!! No es tan inteligente imponer, sin mas,
la condición
(js ⊗ L) ◦ js = 0.

Con efecto, esta composición es una sección del fibrado
de rango 4,
Hom(T M, T M ⊗ L ⊗2 )
(sobre S).
Sin enbargo, en el espacio de las matrices 2 × 2, el lugar
de las matrices nilpotentes es de codimensión dos:
det = 0 = traza.

Se puede mostrar que el ideal
〈x 2 1 + x2x3, x1x2 + x2x4, x1x3 + x3x4, x2x3 + x 2 4〉
engendrado por la condición ( x1 x2
x3 x4 ) 2 = 0 no es reducido:
su radical es de hecho el ideal (primo) engendrado por
x1 + x4 (=traza) , x1x4 − x2x3 (=det).

• E fibrado de rango dos;
clase de las nilpotentes
• L un fibrado en líneas sobre un esquema
• X, de Cohen-Macaulay y de dimensión pura.
• α : E → E ⊗ L homomorfismo de rango ≥ 1 siempre.
• S 2 = {x ∈ X | ((α ⊗ L) ◦ α)x = 0.}

S 2 es munido de un structura natural de sub-esquema
cerrado y cada componente tiene codimensión al menos
dos.
Si la codimensión es la buena, vale
en el grupo de Chow A 2 X.
[S 2 ] = 2(c1L) 2 ∩ [X]

La aserción sobre la codimensión
sigue de las equaciones locales
det=0=traza.
Para hacer el cálculo de la clase del ciclo de nilpotentes,
vamos a imponer de inicio 2
∧α = 0.
Y := {x ∈ x | 2
∧αx = 0}

viene
Visto que 2
∧α es une sección de
2
∧E ⋆⊗ 2
∧E ⊗ L⊗2 L⊗2 ,
[Y ] = 2c1L ∩ [X].

La hipótesis de rango al menos 1 ⇒
existencia de sub-fibrado F ⊂ E sobre Y ,
de rango un, tal que αY se factoriza por F ⊗ L:
E
todo sobre Y .
α
−→ E ⊗ L α⊗L
−→ E ⊗ L⊗2 ↘ ↑ ↘ ↑
F ⊗ L −→ F ⊗ L⊗2

La condición de nilpotencia se expresa por
la anulación de la flecha inferior,
F ⊗ L −→ F ⊗ L ⊗2 .
Esto se traduce por
[S 2 ] = c1L ∩ [Y ] = 2(c1L) 2 ∩ [X]. ✷

Sabiendose que las singularidades del tipo(♠) 1 imponen
dos condiciones, se espera un número finito de ellas en
una red general CP 2 ⊆ P H0 (M, T M ⊗ L) .
Teorema B: M = superficie proyectiva lisa;
T una red de foliaciones de fibrado cotangent L.
S2 = {(t, x) ∈ T × M | x punto singular de Ft
con parte lineal en x nilpotente(♠). 1
⇒
deg(S2 ) = 2
M (c2 + 3c1 · H + 6H2 )
en donde H = c1L, ci = ciT M.

Ejemplos.
(1) M = CP 2 , ⇒ deg(S 2 ) = 6k(2k − 1),
k = el grado de la foliación (i.e., L = O(k − 1)).
(2) M = superficie abeliana, ⇒ deg(S 2 ) = 12 H 2 .
En particular, para las bien conocidas superficies
inmersas en CP 4 y foliación con fibrado cotangente O(1),
tenemos H 2 = 10. La fórmula provee 120 puntos en lo
ciclo S 2 , todos a clamar por una interpretación clásica....

cuestiones
-imponer un tipo de singularidad al germen.
-familias de dimensión mas grande.
Referencias
[1] W. Bruns, & U. Vetter, Determinantal rings. Lecture Notes in
Mathematics, 1327. Springer-Verlag, Berlin, 1988.
[2] D. Cerveau & A. Lins Neto, Holomorphic foliations in CP 2 having an
invariant algebraic curve, Ann. Inst. Fourier 41, 883-903, 1991.

[3] A. Grothendieck & J. Dieudonné, Éléments de Géométrie
Algébrique III-1, Publ. Math. IHES, 11, 5-167, 1961.(aussi dans
http://www.numdam.org)
[4] A. Grothendieck & J. Dieudonné, Éléments de Géométrie Algébrique
IV-4, Publ. Math. IHES, 32, 5-361, 1967.
[5] E. Esteves, The Castelnuovo-Mumford regularity of an integral variety of
a vector field on projective space, Math. Research Letters, 9, n.1, 1-15, 2002.
[6] E. Esteves & S. Kleiman, Bounds on leaves of one-dimensional
foliations, Bull. Soc. Bras. Matemática, 34, n.1, p.145-169, 2003.
[7] E. Esteves & S. Kleiman, Bounding solutions of Pfaff equations. Comm.
in Algebra, v.31, 3771-3993, 2003.
[8] W. Fulton, Intersection theory, Springer-Verlag, New York, 1985.

[9] R. Hartshorne Algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics, No.
52. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
[10] J.P. Jouanolou, Théorèmes de Bertini y Applications, P.M. 42,
Birkhauser, Boston, 1983.
[11] D. Laksov, The geometry of complete linear maps, Ark. Mat. 26, 231-263,
1988.
[12] H. Poincaré, Sur l’intégration algébrique des équations différentielles du
premier ordre y du premier degré, Rend. Circ. Mat. Palermo 5, 161-191,
1891.
[13] M.G. Soares, Projective varieties invariant by one-dimensional foliations,
Ann. of Math., 152, 369-382, 2000.