A invenção do cálculo por Newton e Leibniz e sua evolução para o ...

Newton fez as seguintes observações; os coeficientes dos segundos termos, 0. (1/3), 1. (1/3),2.(1/3) e 3.(1/3), aparecem em uma progressão aritmética e já que os primeiros termos têm comocoeficiente o número 1, então os termos a serem intercalados deveriam ter como coeficientes osnúmeros, 1/2. (1/3), 3/2. (1/3) e 5/2. (1/3). para os segundos termos. Os números que aparecemnos denominadores das expressões dadas são, 1, 3, 5 e 7, que também apresentam-se em umaprogressão aritmética. Faltava agora observar os números que apareciam nos numeradores, e talobservação o levou à seguinte conclusão. Os números aparecem na seguinte disposição:11 11 2 11 3 3 1Essa disposição é o triângulo aritmético, conhecido por triângulo de Pascal, figura das potênciasdo número 11, usado por muitos para encontrar os coeficientes binomiais para alguns expoentespositivos e inteiros.11 0 = 1O triângulo aritmético, também conhecido como triângulo dePascal, porém muito familiar na Europa ocidental muito antesde Pascal. É usado para encontrar os coeficientes binomiaispara alguns expoentes positivos inteiros. 1,vol 3, pg. 17]11 1 = 1111 2 = 12111 3 = 133111 4 = 14641Newton investigou como as demais figuras poderiam ser deduzidas a partir das duasprimeiras dadas. Ele percebeu que, colocando m para a segunda figura, as demais surgiriam peloproduto repetido dos termos dessa série.13

( m – 0 ) / 1 . ( m – 1 ) / 2 . ( m – 2 ) / 3 . ( m – 3 ) / 4. .(m – 4 ) / 5.Como exemplo, podemos tomar a 5 a linha do triângulo aritmético, cujos termos são 1 4 64 1. A partir do segundo termo, 4, fazendo seu produto pela representação do 3º termo na série,( m – 1 ) / 2, é possível encontrar o terceiro termo, onde m é o expoente referente à linhaanalisada, no caso m = 4.4 . ( 4 – 1 ) / 2 = 12 / 2 = 6 , onde 6 é o terceiro termo da série;6 . ( 4 – 2 ) / 3 = 12 / 3 = 4 , onde 4 é o quarto termo da série;4 . ( 4 – 3 ) / 4 = 4 / 4 = 1 , onde 1 é o quinto termo da série;1 . ( 4 – 4 ) / 5 = 0 / 5 = 0 , onde termina a seqüência.Em conseqüência disso, já conhecidos os 2º termos das expressões, as curvas desejadas já podiamser interpoladas e assim Newton fez. A primeira é o círculo: (expressões destacadas foraminterpoladas).(1 - x²) 0/2 x – 0 . ( 1/3x ) 3(1 - x²) 1/2 x – 1/2 . ( 1/3x ) 3 ...(1 - x²) 2/2 x – 1 . ( 1/3x ) 3(1 - x²) 3/2 x – 3/2 . ( 1/3x ) 3 ...(1 - x²) 4/2 x – 2 . ( 1/3x ) 3 + 1 . ( 1/5x ) 5(1 - x²) 5/2 x – 5/2 . ( 1/3x ) 3 ...(1 - x²) 6/2 x – 3 . ( 1/3x ) 3 + 3 . ( 1/5x ) 5 – 1 . ( 1/7x ) 7 .A partir da série infinita de termos, foiu possível determinar os demais coeficientes daseqüência. Para a área do segmento circular, se o primeiro termo é 1, o segundo 1/2 e m = 1/2,partindo do segundo termo teremos:14

1/2 . ( m – 1)/2 = 1/2 . ( 1/2 - 1 )/2 = -1/2 / 4 = -1/8 , terceiro termo;-1/8 . ( m – 2 )/3 = -1/8 . (1/2 – 2 )/3 = - (-3/2 / 24 ) = 1/16 , quarto termo;1/16 . ( m – 3 )/4 = 1/16 . ( 1/2 – 3 )/4 = -5/2 / 64 = -5/128 , quinto termo.E assim sucessivamente serão encontrados todos os coeficientes da seqüência m = 1/2. Segueda teoria de Newton, que a área do segmento circular desejada, onde ( 1 – x² ) 1/2 é:x – ((1/2)x 3 )/3 – ((1/8)x 5 )/ 5 – ((1/16)x 7 )/ 7 – ((5/128)x 9 )/ 9. De modo análogo pode ser feitopara as demais curvas, que poderão ser inseridas e ter suas áreas calculadas a partir do mesmoraciocínio. Essa foi a primeira nota de Newton sobre este assunto. Nos moldes do cálculomoderno, o que Newton concluiu foi:x∫ ( 1 - x²) 1/2 dx = x – ((1/2)x 3 )/ 3 – ((1/8)x 5 )/ 5 – ((1/16)x 7 )/ 7 – ((5/128)x 9 )/ 9 ... .0Podemos perceber que áreas de regiões abaixo de curvas que são gráficos de funções sãopolinomiais podem ser obtidas pela soma dos coeficientes de uma linha do triângulo de Pascal,com sinais positivos e negativos alternados. Os expoentes da variável x e os respectivosdenominadores de cada termo são sempre números ímpares e iguais.Exemplo: No triângulo aritmético, temos, na 5 a linha, a seqüência 1 4 6 4 1, Esses números sãoos coeficientes da variável x, com m = 4. A área abaixo da curva y = ( 1 - x²) 4 pode ser dada porx – 4/3x 3 + 6/5x 5 – 4/7x 7 + 1/9x 9 ... , o que implica que:xx∫ ( 1 - x²) 4 dx = ∫ ( 1 – 4x 2 + 6x 4 – 4x 6 + x 8 ) dx = x – (4x 3 )/3 + (6 x 5 )/5 – (4 x 7 )/7 + (x 9 )/9 ... .0 0Após suas primeiras notas, ao examinar seus escritos, Newton percebeu que os termos:(1 - x²) 0/2 = 1(1 - x²) 2/2 = 1 - x²(1 - x²) 4/2 = 1 – 2x 2 + x 4(1 - x²) 6/2 = 1 - 3x 2 + 3x 4 – x 6 15

são polinômios que podem ser interpolados, assim como suas áreas, e nada foi requerido paraisso, a não ser a omissão dos denominadores 1,3 ,5, 7 ,etc, que aparecem nas áreas. Logo aquantidade dos termos a serem desenvolvidos, para cada curva intercalada, poderia serencontrada a partir da série desenvolvida, que permitia encontrar os termos de uma seqüência dotriângulo aritmético, a partir do 2º termo(1 - x²) 1/2 = 1 – 1/2x 2 – 1/8x 4 – 1/16x 6 , ...(1 - x²) 3/2 = 1 – 3/2x 2 + 3/8x 4 + 1/16x 6 , ...(1 - x²) 1/3 = 1 – 1/3x 2 –1/9x 4 – 5/81x 6 , ...Após ter se familiarizado com as extrações de raízes, Newton testou um novo processo,multiplicando 1– 1/2x 2 – 1/8x 4 – 1/16x 6 , ... , por si mesmo. A partir do momento em que aseqüência tendia para o infinito, restava 1 - x², porque os termos que ficavam desapareciam pelacontinuidade da série até o infinito. Da mesma maneira ocorreu quando multiplicou 1 – 1/3x 2 –1/9x 4 – 5/81x 6 , ... , duas vezes por si mesmo, resultando em 1 - x². Newton percebeu, nas sériesformadas, que essas representavam raízes da quantidade 1 - x², e abandonou o método dainterpolação, passando a usar métodos algébricos para extração de raízes, que, segundo ele,tinham fundamentos mais naturais que o método usado na interpolação. Se a raiz da equação y =(1- x²) 1/2 = 1 – 1/2x 2 – 1/8x 4 – 1/16x 6 ... , então a quadratura sob a mesma curva, poderia serobtida substituindo o 1 por x, alternando os sinais em positivos e negativos, somando 1 aosexpoentes da variável x e estes mesmos valores seriam colocados nos denominadores de cadarespectiva variável x. Logo a quadratura sob a curva de equação y = (1 - x²) 1/2 = x – (1/2)x 2+1 +(1/8)x 4+1 - (1/16)x 6+1 + ... + ax (m / n)+1 2+1.4+1 6+1 (m/n)+1(m / n)Posteriormente veremos que Newton aparece sugerindo a quadratura sob a curva y = axcomo sendo nax (m+ n) / n , que é igual a ax (m / n)+1 .m+n(m/n)+116

As séries infinitas foram indispensáveis para Newton no desenvolvimento da quadratura decurvas. Mediante a expansão em série ele foi capaz de calcular a integral de expressões queenvolviam raízes, integrando-as termo-a-termo. Newton, ciente das dificuldades, assume a noçãode convergência de James Gregory, mencionando constantemente a necessidade de assegurar queo tempo deva ser suficientemente pequeno. “Suas opiniões sobre convergência nunca foramfirmemente estabelecidas” [1,vol 3, pg. 17 ]. O desenvolvimento destes conceitos de forma precisa sóserá alcançado muito posteriormente, no século XIX.17

4.2 - As fluxões e os fluentes.Newton experimentou outros tipos de notações e outras formas de demonstrações, antes deescrever o De Analyse. Suas idéias baseavam-se em problemas de geração de curvas pormovimentos, nos quais chamou o espaço percorrido de fluente e a velocidade do móvel defluxão. Essas idéias constituíram o que Newton chamou de método das fluxões, “ publicadas emum pequeno tratado que escreveu em 1666 e posteriormente, desenvolvidas mais completamenteno tratado de 1671”. [1,vol 3,pág. 23]Para explicar a natureza das curvas, Newton propôs, com vistas ao espaço percorrido, qualquermovimento local, fosse este movimento acelerado ou retardado.1) “ Dado o comprimento do espaço percorrido continuamente ( quer dizer, em cada instante detempo), ache a velocidade do movimento num instante qualquer”.2) “ Dada a continuidade do movimento (quer dizer, em cada instante de tempo), ache ocomprimento do espaço percorrido num instante qualquer” .Assim, em uma equação x² = y, y é o espaço percorrido ( Newton também chama defluente), em um instante qualquer. Este espaço também pode ser medido e representado, segundo.Newton, por um segundo espaço x, que cresce com velocidade uniforme. Então 2xx, descreverá. .a velocidade do móvel em determinado instante. Newton adotou a notação x, y, não só para as. .velocidades, mas também para, as fluxões. Na notação atual x = v (velocidade) tal que x = dx/dtou v = ds/dt ( s = espaço percorrido ).t tE se v = ds/dt, ∫ v dt = ∫ ds/dt = s, espaço percorrido.0 0Estes são os dois problemas inversos partir dos quais Newton desenvolveu seu cálculo.Se y = x² e ambas variáveis são espaços em função de t ( tempo ), então dy/dt = 2x dx/dt.Como x aumenta uniformemente, dx/dt = x é uma constante e como o tempo só pode sermedido considerando-se o movimento uniforme,logo dx/dt = x = 1. A variável independentex, que aumenta uniformemente, pode ser usada como uma“medida” de tempo.[1,vol 3, pg. 27,28 ]18

Newton, em suas notações, não decidiu por uma forma padrão, usando pontos até meadosDe 1661 e símbolos como l, m ,n e r para representar as fluxões de v, x, y e z, na versão originaldo tratado de 1671. [1,vol3, pág. 26]19

4.3 – A Relação Entre as Fluxões e os Fluentes.4.3.1 - Como Newton achou uma relação entre as fluxões das quantidades com os seusrespectivos fluentes.Tomando as quantidades infinitamente pequenas dos fluentes, que Newton denominacomo sendo momentos das quantidades fluentes, adicionadas tais quais elas aumentam em umcerto intervalo de tempo (infinitamente pequeno), de modo que cada quantidade infinitamentepequena dos fluentes, possam ser expressas pelo produto da sua respectiva fluxão ( velocidade ),por um intervalo de tempo infinitamente pequeno. Exemplo.Sendo o fluente x, de forma que sua parte infinitamente pequena, pode ser expressa pelo. .(fluxão, x ) por um intervalo de tempo infinitamente pequeno ( o ), onde x.o.Newton logo percebeu que os momentos dos demais fluentes v, y, z, ... , poderiam ser. . . . . .expressos respectivamente por v.o, y.o, z.o, ... , o que mostra que v.o, y.o, z.o, ... estão. . .relacionados com suas fluxões ( velocidades ) v, y, z, ... .. .Assim como os momentos x.o, y.o das quantidades fluentes x e y, são seus incrementos.infinitamente pequenos, para cada intervalo de tempo infinitamente pequeno, teremos x + xo e.y+ yo ( x + Δx e y + Δy ). Para entender como Newton calculava, tomemos como exemplo aequação x³ – ax² + axy – y³ = 0 em um intervalo curto d e tempo, podemos substituir x por. . . . . . .x + xo e y por y + yo, onde teremos: (x + xo)³ - a(x + xo)² + a(x + xo)( y + yo) – (y + yo)³ = 0. . . . . . . . . .x³ + 3x²xo + 3xx²o² + x³o³ – a( x² + 2xxo + x²o² ) + a( xy + xyo +xyo + xyo² ) – ( y³ + 3y²yo +. . . . . . . . .3yy²o²+ y³o³) = 0 logo, x³ + 3x²xo + 3xx²o² + x³o³ – ax² – 2axxo – ax²o² + axy + axyo + ayxo +. . . . .axyo² – y³ –3y²yo – 3yy²o² – y³o³ = 0Pelos cálculos de Newton, fazendo a equação acima menos a equação inicial dada, x³ – ax² +. . . . . . . . . . .axy – y³ = 0, temos 3x²xo + 3xx²o² +x³o³ –2axxo – ax²o² – axyo + ayxo + axyo² – 3y²yo – 3yy²o²= 0. Dividindo tudo pelo tempo “o” e como diz Newton, para um “o” infinitamente pequeno20

(Fica implícita a noção de limite com o → zero, a idéia de convergência que Newton menciona,mas não aprofunda em seus estudos.), os termos onde tem “o” como fator são insignificantes epodem ser desprezados, ficando apenas:. . . . .3x²x –2axx – axy + ayx - 3y²y = 0. . . .Na matemática contemporânea temos a seguinte notação para 3x²x –2axx – axy + ayx –.3y²y = 0: 3x² dx / dt – 2ax dx / dt – ax dy / dt + ay dx / dt - 3y² dy / dt = 0Um caminho longo teria que ser percorrido até que o cálculo conseguisse se desenvolverem bases sólidas durante o século XIX.21

4.4 - De Analyse.Após estudos profundos sobre a geometria de Descartes, Newton teve a idéia de aplicar aálgebra aos estudos de geometria e fez demonstrações (porém não profundas como mencionaem seus escritos), de como calcular a quadratura de regiões sob curvas por uma série infinita determos.Não citarei aqui todas as demonstrações feitas em seus manuscritos, mas algumas que vãoajudar o leitor não só a entender o funcionamento do cálculo de Newton, mas também, comoseus estudos relacionados à área sob curvas foram bem abrangentes.DABEmbasado na geometria de Descartes, Newton chama AB de x e BD de y. Newtontambém adota a, b, c, ... , como quantidades dadas (valores que aparecem como coeficiente dasvariáveis) e m e n, como inteiros. Newton começa estabelecendo regras para calcularquadraturas de curvas simples como as que apresento a seguir:Regra 1. Quadratura de curvas simples.Se y = ax m/n , segundo Newton, então a área da curva abaixo do gráfico na região ABD, é dadapor n.a . x (m+ n) / n . E cita vários exemplos práticos dos quais mencionarei alguns.m + n22

i )“Se y = 4 √ x , então y = 4 x 1/2 “ . Logo a área pode ser definida por: a = 4; m = 1e n = 2.Aplicando a regra prática de Newton, temos: ( 2.4 / 1 + 2) x (1+2)/2 => (8/3)x 3/2 , que é a área soba curva da função dada acima . No cálculo moderno essa operação é definida como integralindefinida, onde: ∫ 4 x 1/2 dx = 4 ∫ x 1/2 dx = (8/3)x 3/2 + c.ii )“Se y = x 2“, então a = 1, m = 2 e n = 1. Logo pela regra prática de Newton temos:(1.1 / 2 + 1) x (2+1)/1 => (1/3) x 3 = x 3 / 3, que é a área em questão. No cálculo contemporâneotemos: ∫ x 2 dx = x 3 / 3 + c.Regra 2. Quadratura de curvas compostas de curvas simples.Se for y composto de vários termos, então a área também será composta das áreasresultantes de cada termo em questão.i )“Se y = x 2 ± x 3/2“, então a área desejada é tomada pela resultante da área de cada termo, combase na regra 1, aplicada separadamente. Onde:(1.1 / 2+1) x (2+1)/1 ± (2.1 / 3+2) x (3+2)/2 => x 3 / 3 ± 2x 5/2 / 5.Atualmente temos: ∫ ( x 2 ± x 3/2 ) dx = ∫ x 2 dx ± ∫ x 3/2 dx => x 3 / 3 ± 2x 5/2 / 5 + c.ii )“ Para y = x -2 + x -3/2 “, temos, conforme a regra 2 (i ), a área - x -1 - 2x -1/2 = αBD e para y = x -2 -x -3/2 ,temos a área - x -1 + 2x -1/2 = αBD.Nesse caso Newton faz a observação, de que, ao mudar o sinal da função, teremos umamesma área αBD em ambos os casos. Para isto é necessário que as curvas estejam situadasinteiramente do lado superior da base ABα, conforme figura abaixo. No cálculo contemporâneo,23

trata-se da mudança dos extremos de integração, onde se muda o sinal da função, mas o valor daárea, permanece inalterada.FDABαMas quando acontecer da curva cruzar a sua base no caso B e ς, conforme figura abaixo, aárea terá o valor da diferença quando a parte inferior for eliminada da parte superior. Nesse casoNewton fez a seguinte observação, se de fato desejar sua soma ache cada área separadamente, eadicione - as.BςA D αmaneira.Área abaixo de curvas significa, uma investigação minuciosa sobre curvas da seguinteSe a curva for do tipo y = ax p , onde p = m/n, a fórmula de Newton n.a . x (m+n)/n , funcionam + nperfeitamente bem (usada inclusive na matemática moderna). Para p = -1 afórmula falha, já que y = ax -1 é uma curva que se estende infinitamente ao longo dos eixos x,y elogo, a área se torna infinita. Neste caso, é adotada nos manuscritos de Newton uma notação queprovavelmente procede de Wallis: temos para a área, (1/0) x1 = ∞, uma notação em desuso24

atualmente. Newton explica com bastante cuidado a importância de limitar a área sob a curva,pois nestes casos, só podemos obter uma parte intermediária dela. Newton, através de umprocesso muito longo de divisão, obteve a série para (1+ x) -1 conhecida como série para oslogaritmos. Sendo assim, para a área da curva limitada em (1+ x) -1 , tem-se log (1+ x).Existe também uma dificuldade para p negativo. Nesse caso, Newton sugere a inversão dosextremos de integração, como na regra 2 (ii ).As dificuldades que surgem na aplicação da fórmula para pnegativo são tratadas pela troca das fronteiras de integração.∞ ∞ xSe y = 1/x², então ∫ 1/x² dx = [ - 1/x ] / = [ 1/x ] /x x ∞[1,vol 3, pg.22 ]Já para f1 (x) → ∞ com x → 0 ( f1 (x) = 1/x² ) e f2 (x) → ∞ com x → ∞ ( f2 (x) = x² ), onde y =f1 (x) + f2 (x), a área só poderá ser obtida dentro de uma fronteira ou, parte intermediária. Se y =bx 2 + x -2 então, ∫ ( x 2 + x -2 ) dx = ( x 3 / 3 – 1 / x ) / é a área descrita e só pode ser definida dentroa a ade um intervalo de integração [ a , b ], já que a área é infinita de ambos os lados.bFDαABObservando que as áreas ficam de lados opostos da linha BD, onde BF = x 2e DF = x -2 , comx 3 /3 = área ABF descrita por BF e – x -1= área DFα descrita por DF. Isso acontecerá quando osexpoentes cuja bases é x estiverem com sinais diferentes e qualquer porção de área dada, já que aárea é infinita em ambos os lados, será encontrada desta forma. Subtraia a área referente à menorbase da área referente a maior base.25

= 2Para b = 2 e a = 1 temos: ( x 3 / 3 – 1 / x ) / = { [ 2 3 / 3 ]+ [ (-1/ 2) ]}- { [ 1 3 / 3 ] + [ -1 ]}a = 1{8/3 –1/2} – {1/3 – 1} = {16/6 – 3/6} – {1/3 – 3/3} = 13/6 - (- 2/3) = 13/6 + 4/6 = 17/6.Newton fez uma demonstração geral da fórmula desenvolvida por ele aplicada emquadratura de curvas simples, tomando as fluxões como a operação inversa aos fluentes, daseguinte maneira.Se a quadratura de uma curva simples ax m/n = y, pode ser dada por,n.a . x (m+n)/n = z, então temos: fazendo (n.a)/ (m+n) = c, m + n = p, temos c.x p/n = z.m+nm + nElevando os dois lados da igualdade por n, temos c n . x (p/n).n = z n , logo c n .x p = z n .Fazendo x = x + o e z = z + oy, substituindo na fórmula acima temos:c n (x +o) p = (z + oy) n => c n (x p +pxo p-1 ... ) = z n + noyz n-1 ... . Ao efetuar o produto teremos:c n .x p + c n .px p-1 o + ... = z n + noyz n-1 + ... . Eliminando os termos equivalentes c n .x p e z n , restanos:c n p x p-1 o = nyz n-1 ; dividindo tudo por “o”, segue c n p x p-1 = nyz n-1 => c n px p-1 = nyz n .z -1 =>c n px p-1 = nyz n (1/z) => c n p x p-1 = nyz n / z. Logo z = c x p/ne z n = c n x p . Fazendo a substituição,temos.c n p x p-1 = ( n y c n x p ) / c x p/n logo, ( c n p x p-1 ) / c n x p = ny / c x p/n => p x -1 = ny / cx p/n=> p x -1 (c x p/n ) = ny, mas conforme no início temos: c = (n/m)a; p = m + n; substituindo nafórmula anterior, veremos que: (m + n)x -1 .[ (n / m+n)a x (m+n)/n ] = ny => na x (m+n/n)-1 = ny =>=> ax (m+ n-n)/n = ny / n => ax m/n = y.Newton, através do método das fluxões, calcula a fluxão (derivada), da quadratura decurvas simples (integral), também chamada por ele de fluente por basear-se em movimento.Newton formulou regras e procedimentos sistemáticos, procurando soluções gerais para amaioria dos problemas relacionados ao cálculo infinitesimal conhecidos na época.26

5 - Das obras de Gottfried Wilhelm Leibniz.Para o desenvolvimento do cálculo, Lebniz partiu de algumas premissas como acharacteristica generalis (características gerais), seqüência de diferenças, triânguloscaracterísticos, a transmutação. Estes estudos foram realizados em seu primeiro período em Parise são de fundamental importância para o desenvolvimento do cálculo, como veremos a seguir.5.1 - As Características gerais.As Características gerais constituem uma linguagem matemática que, através de símbolos,direcionaram os raciocínios de Leibniz, conduzindo-o em todos os seus estudos.Usando símbolos, Leibniz pôde traduzir todos os seus raciocínios e argumentações. Ascaracterísticas gerais tiveram um papel muito importante para o desenvolvimento do cálculo etornaram – se uma ferramenta imprescindível para Leibniz em suas demonstrações. Aspectosimportantes sobre esses símbolos, veremos ao longo deste trabalho.Segundo Leibniz,“uma vez traduzido um problema em linguagem matemática simbólica, aaplicação das regras conduzirá quase mecanicamente a sua solução”[1,vol 3, pg. 43].27

5.2 - Seqüência de diferenças.Huygens, matemático holandês que tornou – se conselheiro de Leibniz em uma de suasvisitas a Paris, “o primeiro cientista natural e matemático da Europa no primeiro período depoisde Galileu e Descartes e antes de Newton” [1,vol 3, pág.40] , propôs a Leibniz que resolvesse oproblema de somar a série cujos termos são os valores recíprocos dos números triangulares.∞“Os números triangulares são 1, 3, 6, 10, 15, ..., r (r + 1 ) / 2, ... . Assim, Huygens pediu a∞Leibniz que calculasse ∑ 2 / r ( r + 1 )” [1,vol 3, pg. 44].r =1Leibniz tinha conhecimento de seqüências de diferenças e, para o problema proposto,formulou a seguinte seqüência de diferenças. Sendo conhecida a seqüência a1, a2, a3, a4, ...,an,an+1, temos a seguinte seqüência das diferenças: b1 = a1 – a2; b2 = a2 – a3; b3 = a3 – a4; ... .Leibniz observou que tem-se:b1 + b2 + b3 + b4 + … = a1 – a2 + a2 – a3 + a3 – a4 + ... + (an–1) – an + an – (an+1) + ... = a1 – an+1, eque, por sorte, a seqüência dos números triangulares recíprocos é a seqüência das diferenças,onde 2 / r (r + 1), pertence à seqüência das diferenças originada pela seguinte seqüência: 2/1,2/2, 2/3, 2/4, 2/5, ... ,2/r, 2/r+1 , ... . Esta seqüência dá origem à seqüência das diferenças. 2/1 –2/2, 2/2 – 2/3, 2/3 -2/4, ... ,2/r –2/(r+1), onde o termo 2/r – 2/(r+1) = 2/r (r+1) e somar os termosdessa seqüência é obter como resposta, 2/1 – 2/(r+1).∞∞Logo ∑ 2 / r ( r + 1 ) = ∑ 2 / r – 2 / ( r + 1 ) = 2 – 2 / (r + 1) = 2 – 2 /( ∞ + 1) = 2r =1 r =1Leibniz realizou várias deduções sobre adição de seqüênciassemelhantes juntando – as ao triângulo harmônico.Em Londres, Leibniz percebeu que tudo que havia deduzidonão era novo, já existia em bibliografias matemáticas da época.Essas deduções lhe deram conhecimentos que foramimportantíssimos ao desenvolvimento do cálculo, como:Somar seqüências e tomar as suas seqüências das diferençassão operações mutuamente inversas num certo sentido.[ 1,vol 3, pg. 45,46 ]28

Após ter aplicado essas idéias em inúmeras séries diferentes, Leibniz aplicou - as tambémà geometria..yY1 y2 y3 y4 y5 y6 y70 1 1 1 1 1 1 1 BxNa visão de Leibniz o problema da quadratura poderia ser estudado como Cavalieri emuitos o fizeram. Tomando as ordenadas de comprimentos y1, y2 y3, ..., eqüidistantes uma dasoutras com o valor igual a 1, ao fazer o somatório das respectivas ordenadas, teríamos um valoraproximado da quadratura da curva ( da área abaixo da curva ). E se tomarmos as diferençasconsecutivas das ordenadas, teríamos valores aproximados da declividade das tangentes. Eleobservou que para distâncias cada vez menores entre as ordenadas, melhor seria a aproximaçãoda quadratura da curva, assim como também da declividade das tangentes à curva.Considerando a parábola y = x² / a, tomamos sucessivamente a/2 e a/3 como unidades edeterminamos a aproximação correspondente para as declividades da tangente em C= (a,a).yy = x² / aaa 4a/3 3a/2 2ax29

Logo temos: a + a/2 = 3a/2 e a + a/3 = 4a/3.No primeiro caso, y = a²/a = a e y = (3a/2)² /a = 9a/4. Fazendo a diferença entre asordenadas temos, 9a/4 – a = 5a/4 = 5/2 . a/2, logo a aproximação da tangente é de 5/2 = 2,5.No segundo caso, y = a e y = (4a/3)² / a = 16a/9, pela diferença das ordenadas, temos16a/9 – a = 7a/9 = 7/3.a/3, logo a aproximação da tangente é de 7/3 = 2,33. Como a declividadeda tangente é 2, podemos observar que para distâncias cada vez menores entre as ordenadas,mais nos aproximamos da declividade da tangente à curva no ponto C = (a,a).Esse foi um dos primeiros trabalhos de Leibniz sobre o cálculo, em que percebeu quetomar as diferenças infinitamente pequenas de termos e somá-las seriam operações inversas.Determinar a área abaixo de uma curva e determinar as tangentes à curva seriam tambémoperações inversas.5.3 - Triângulos Característicos.Após aprofundar seus estudos sobre cálculo infinitesimal, Leibniz encontrou notações nasquais Pascal aplicava o que Leibniz chamou de triângulo característico; acredito ser o triânguloaritmético ou também conhecido triângulo de Pascal, aos círculos. E Leibniz procurou, comêxito, estender a aplicação a curvas diversas.Veja o exemplo extraído do livro História da Matemática vol. 3, Origem eDesenvolvimento do Cálculo.cc’ Cdλg 0 b e30

Seja 0cC uma curva qualquer, onde λ é a tangente a curva em c e o segmento ce a normalem c. Tomando c’ na tangente tal que em uma boa aproximação o segmento cc’ possa coincidircom a curva,o menor triângulo da figura acima, o triângulo cdc’ é o chamado triângulocaracterístico. Esse triângulo é semelhante aos triângulos cbe e cbg, assim temos:cd / cb = dc’ / be = cc’ / ce; e cd / bg = dc’ / bc = cc’ / gcApesar de não ser o primeiro a utilizar tais relações, o que Leibniz queria não erammétodos para buscar um resultado em específico, como havia pesquisado em publicações daépoca. Queria, sim, generalizar de maneira mais abrangente possível, métodos para se calcular aquadratura de curvas.Através do triângulo característico, Leibniz desenvolveu uma regra geral a qualdenominou transmutação.5.4 - Transmutação.A transmutação consiste em uma regra geral que permite transformar uma curva dada emuma outra curva, obtida a partir das tangentes da curva dada em questão. É um métodointeressante quando a curva encontrada pelo regra de transmutação é mais simples que a curvadada. É um processo que reduz a área da curva dada à área de uma outra curva.Para o desenvolvimento deste processo, Leibniz tomou uma curva arbitrária na qual, deposse de uma região limitada abaixo da curva, desenvolveu o seguinte processo.Seja a região limitada da qual quero encontrar a área, a região 0cCB. Essa área pode serdefinida, dividindo a região desejada 0cCB em vários triângulos pequenos tais como na figura.ycc’ C0 B x31

Encontrar a área desejada consiste em somar a área de todos os pequenos triângulos 0cc’,acrescentados também da área do triângulo 0CB. Logo a área desejada é 0cCB = ∑ dostriângulos 0cc’ + o triângulo 0CB.Para isso, Leibniz traça a tangente à curva no ponto c, que intercepta o eixo y em s e oeixo x em g. Em seguida cria um segmento com origem em 0 e extremidade em P tal que osegmento 0P seja perpendicular a tangente em P.Levando em consideração que c e c’ tenham uma aproximação muito boa, são criadostambém dois segmentos paralelos ao eixo y, um com extremidades c e b e outro comextremidades c’e b’. Aparecem assim mais dois segmentos, só que desta vez paralelos ao eixo x.Um com extremos em c e d, que define o triângulo característico cdc’ e outro segmento comextremos s e q’, interceptando o segmento cb em q.Usando semelhança entre triângulos, Leibniz chega à seguinte conclusão: O ∆ cdc’ ésemelhante ao ∆ 0PS, com cc’ / 0S = cd / 0P, logo cc’ x 0P = cd x 0S. Tem-se ainda: área do ∆0cc’ = 1 / 2 ( cc’ x 0P ) = 1 / 2 ( cd x 0S ). Mas como cd = bb’ e 0S = bq, temos que 1 / 2 ( cd x0S ) = 1 / 2 ( bb’x bq ) = área ( bqq’b’) / 2.32

Traçando a tangente referente a cada ponto c da curva, teremos então um ponto q paracada respectivo c. Fazendo a ligação de todos os pontos q, teremos então uma nova curva,0qQB, que Leibniz chamou de transmutação da curva dada.Se a área da figura 0cCB = ∑ dos triângulos 0cc’ + o triângulo 0CB e se a área 0cc’ = 1 / 2(bqb’q’ ), então área 0cCB = ∑ ( bqb’q’ ) / 2 + ∆ 0CB.Contudo, a área da curva desejada é a área da curva transmutada dividida por dois, mais aárea do triângulo 0CB. É um processo complexo e interessante, desde que a curva, depois detransmutada, se transforme em uma curva conhecida.Já o triângulo 0CB surge a partir do momento que a tangente no ponto c, passa a serparalela ao eixo das abscissas.O segmento cg é a tangente à curva em c. Surge então da construção do último segmento oc, otriângulo 0CB.33

Apesar de Leibniz ter deduzido sozinho a regra da transmutação, ela já aparecia emalgumas publicações desconhecidas por ele na época.Essa espécie de regra de transmutação paraquadraturas o corre, por exemplo, nas obras de Barrowe de Gregory. Entretanto, Leibniz a encontrou por simesmo e ficou impressionado com seu poder pararesolver problemas de quadraturas.[1,vol 3, pg. 52 ]Aplicando a regra da transmutação em várias curvas, chegando inclusive a deduzir aquadratura de curvas de ordem superior como a parábola e a hipérbole, Leibniz desenvolveutambém o que ele chamava de “a quadratura do círculo”. Através desse desenvolvimento, surgiua série para π. [1, vol 3,pág.50]Usando as notações utilizadas no cálculo contemporâneo, talvez seja mais fácil para oleitor compreender a regra da transmutação.Conforme a figura anterior, a quadratura da curva 0cCB, segundo a regra da transmutação,pode ser feita tomando o segmento cb como sendo uma equação tal que y esteja em função de x.Conseqüentemente cq = x dy / dx. Fazendo o segmento cb = y e qb = t, temos que o segmentoqb = t = y – x dy/dx. Logo a área da curva desejada pode ser definida como:xo xo xo xo∫ y dx = ½ ∫ t dx + 1/2 xoyo, logo ∫ y dx = ½ ∫ (y – x dy/dx)dx +1/2 xoyo.o o o o34

xo xo yoE ½ ∫ (y – x dy/dx)dx +1/2 xoyo dá origem a ½ ∫ y dx - ½ ∫ x dy +1/2 xoyo.o o oEssa notação moderna que acabamos de ver foi desenvolvida por Leibniz dois anos apóster criado a regra da transmutação. Buscava ele com isso uma maneira de generalizar o uso daregra de uma forma mais ampla possível, como veremos a seguir.5.5 - Os Simbolismos de Leibniz.Ao iniciar seus estudos, Leibniz buscou expressar analiticamente através de fórmulas esímbolos todas as suas idéias. Para tanto, adotou em seus estudos iniciais símbolos introduzidospor Cavalieri. O que veremos a seguir é parte de uma amostra do início dos estudos de Leibniz,extraídos do livro História da Matemática [1] no volume intitulado, Origem e Desenvolvimentodo Cálculo.Para indicar a área de uma curva cuja ordenada é y, o simbolismo adotado é “omn.y”, osímbolo ‏”ח“‏ representa a igualdade, “ult.” significa último termo da seqüência tal que ult.s, é oúltimo termo da seqüência s. Os parênteses utilizados atualmente para separar termos, sãorepresentados por um segmento de reta acima das incógnitas em questão, omn.s.35

Estes simbolismos foram encontrados em manuscritos de Leibniz, datados de 25,26 e 29de outubro de 1675 [1,vol 3, pg. 52] sobre a quadratura da hipérbole retangular.Sejam ordenadas y eqüidistantes e w a diferença de cada respectivo y, entre duas abscissassucessivas. Podemos observar que a área da figura 0DC é a soma de todos os retângulos xw,onde x multiplicado por w aparece nos manuscritos como sendo momento estático de w. A área0DC é a soma dos momentos das diferenças w.A área 0DC é o complemento da área 0BC no retângulo 0BCD e, na terminologia deCavalieri, a área 0BC é a soma de todos os y’s.Pela linguagem simbólica de Cavalieri, adotada por Leibniz, temos:omn. xw, ח ult.x, omn.w., - omn.omn.w(omn. xw,) é a área 0DC;(ult.x, omn.w.,) é a área total do retângulo 0BCD;(omn.omn.w) é a área 0BC.Neste caso os w’s são as diferenças dos y’s, logo cada y pode ser escrito como uma somados w’s, (omn.w). É pegar cada y e dividir em w’s partes. Se a área 0BC, segundo Cavalieri,pode ser escrita como a soma dos y’s (omn.y), então esta mesma área também pode ser escritacomo sendo a soma da soma dos w’s (omn.omn.w), segundo Leibniz.36

Outro aspecto importante que pode ser observado na demonstração é a idéia central dateoria das seqüências de diferenças.Leibniz, usando a fórmula citada acima, e usando a substituição do w por várias espécies,deduz várias outras formulas de maneira puramente analítica, sem o uso de figuras. Fazendo xw= az, temos w = az / x. Substituindo na fórmula acima temos:omn. az, ח ult.x, omn.az/x., - omn.omn.az/xFazendo agora xw = a, temos: w = a / x. Substituindo na fórmula temos:omn. a, ח ult.x, omn.a / x., - omn.omn.a / xObserve que, nesta segunda substituição, y = a / x é equação da hipérbole retangular e omn. a/x éa quadratura da hipérbole. Essa quadradura é um logaritmo, onde diríamos que:∫ (a / x )dx = log x em uma base qualquer.E que omn.omn. a / x é a soma dos logaritmos, já que, omn. a / x é a integral de a / x que se tratade um logaritmo e omn.omn. a / x, é a integral dupla de a / x. Na primeira integral temos umlogaritmo e na segunda integral, a soma do logaritmo. Logo, em termos de quadratura dahipérbole, a fórmula expressa a soma dos logaritmos.Dias depois de Leibniz ter reunido as idéias anteriores em uma série de estudos, elepercebeu que existia uma diferença entre escrever omn.xy com, Omn.x multiplicado por omn. y.Decidiu então por adotar uma simbologia própria usando, ∫ (sestilizado usado por calígrafos)cujo significado é suma (soma), no lugar de omn.E usou ∫ ∫ no lugar de omn.omn., salientandoque as diferenças entre os termos são infinitamente pequenas. Leibniz começa a escrever simplesrelações de quadraturas no novo simbolismo, tais como:∫ x = x²/ 2 ; ∫ x² = x³/ 3. E denota:Se ∫ l for dado, também l o será: porém, se l for dado, ∫ lnão será dado. Em todos os casos ∫ x = x²/2.Todos esse teoremas são verdadeiros para séries nas quaisas diferenças dos termos impõem aos próprios termos umarazão que é menor do que uma quantidade qualquerdeterminável∫ x² = x³/ 3. [1,vol 3 , pág. 55 ]37

Leibniz desenvolve regras como: ∫ al = a . ∫ l , para um a igual a uma constante, assimcomo ∫ (x +y) = ∫ x + ∫ y . Logo em seguida introduz em seus escritos o símbolo d, pararepresentar as diferenças e a operação inversa às quadraturas. Para a diferença dos y’s ele usa anotação y/d, então para:∫ l = ay, temos l = ay/d, onde l é a diferença dos y’s.Como podemos ver no início deste tópico, Leibniz usa as variáveis x,y e w como medidasde segmento, o mesmo acontecendo com o l. Como medidas de segmentos, são valoresunidimensionais. Como o produto de dois segmentos determina uma área, que é uma medidabidimensional, para ∫ l = ay é introduzido um a para igualar as dimensões.O símbolo ∫ significadimensões de um comprimento e ∫ l é uma soma, logo as diferenças dos valores consecutivos ∫ lsão iguais ao l e portanto, l = ay/d. Para Leibniz, se o símbolo d possui a mesma propriedade de ∫,que é retratar as dimensões, então deveria ser escrito no denominador e como ay é uma área, jáque ∫ l = ay, então ay/d é sua diferença, um segmento de reta. Leibniz não se prendeu a estasquestões dimensionais, já que ∫ e d são símbolos operacionais e não variáveis e mais tarde,aparece escrevendo dy no lugar de y/d para indicar a diferença dos y’s, já que l/d tornava afórmula mais complicada. A partir deste período, Leibniz começa a usar notações como as quesão usadas no cálculo moderno, como: ∫ y dy = y²/2, mas para a quadratura abaixo de curvas,ainda continuava escrevendo ∫ y, o que é uma falha aos modos do cálculo moderno.Posteriormente, surgem consistentes notações do tipo: ∫ydx, já que esta área seria o somatório devários retângulos de área y . dx. Neste mesmo período, levando em consideração que asdistâncias entre as ordenadas fossem iguais a 1, onde dx = 1, Leibniz suprime da fórmula o dx epassa a escrever ∫ x = x² / 2. Algum tempo depois, abandona este tipo de notação, adotandoentão ∫ x² dx = x³/ 3.38

Os manuscritos do período de outubro de 1675 apresentavam muitos erros de contas emuitas inconsistências, e passaram-se aproximadamente dois anos até que Leibniz conseguisseeliminá-los. As investigações de Leibniz para o desenvolvimento de um simbolismo adequadopara o cálculo, não pararam por aí , estendendo-se ainda por muitos anos.5.6 - Das descobertas de Leibniz.Das descobertas de Leibniz, surgem vários conceitos dos quais alguns bem interessantes.São conceitos aplicados no cálculo moderno que facilitam o entendimento do leitor.Para uma curva traçada segundo os eixos coordenados x e y, conforme a figura, temos.Leibniz considera as ordenadas y infinitamente próximas, a uma distância dx. Por issotoma dx como sendo as diferenças infinitamente pequenas de x. Então temos, para segmentosparalelos ao eixo x, a uma distância infinitamente pequena, os dy’s, que são as diferençasinfinitamente pequenas de y. Se dx e dy são duas grandezas infinitamente pequenas, sãograndezas desprezíveis e o produto entre elas também será uma grandeza desprezível. Sendoassim,x + dx = x ; adx + dydx = adx ; a + dy = a.39

O triângulo característico dx,dy e ds, onde ds é a diferença infinitamente pequena dacurva s, pode ser formado em cada ponto (x,y) da curva e sendo ds prolongado, teremos então atangente à curva no ponto (x,y).Os triângulos, dx;dy;ds e t;y;r, são semelhantes segundo Leibniz. Logo dx/t = dy/y = ds/r.Desta relação temos dx/t = dy/y donde dy/dx = y/t. Portanto para determinar as tangentes ésuficiente determinar a razão dy/dx. Para que isto seja feito, sabendo que y e x se relacionam emforma de equações, atualmente conhecidas como funções, e que estas equações são conhecidascomo equações das curvas, é preciso achar as diferenças infinitamente pequenas destasequações (conhecidas atualmente como derivadas) para que tenhamos as tangentes desejadas.Para isso deve-se aplicar as seguintes regras:d(a) = 0, se a for uma constante;n n-1d ( u ) = nu du, se n for uma fração ou n for negativo, tal que n ≠ - 1;d (u + v) = du + dv;d (u.v) = u.dv + v.du;d (u/v) = (vdu – udv) / v².Essas regras são provenientes do fato de que as diferenças podem ser desprezadas.d (u.v) = (u + du)(v + dv) – uv = u.dv + v.du + dudv = u.dv + v.du ,onde dudv é desprezível.Depois de muitos anos após o tratado de 1675, continuando as investigações sobre ocálculo e seu simbolismo, Leibniz chegou às conclusões acima citadas. Ele estava convencido deque: d(u/v) não era igual a du/dv e que d(u.v) não era igual a du.dv. Leibniz fizera uma contraprova relacionada ao d(u.v), que apresento a seguir.Se tomarmos u = v = x; e dx = β, temos:d(u.v) = d(x²) = (x + β).(x + β) - x² = x² + xβ + xβ + β² - x² = 2xβ, onde foi suprimido o β² porser uma grandeza infinitamente pequena.40

du .dv = (x + β – x).(x + β – x) = x² + xβ - x² + xβ + β² - xβ - x² - xβ + x² = β² portanto, 2xβ ≠ β²=► d(u.v) ≠ du .dvEm manuscritos posteriores, Leibniz aparece usando a regra udv + vdu, considerada corretae utilizada atualmente no cálculo contemporâneo. Dessas premissas surgem as notações acimamencionadas.O cálculo de Leibniz foi publicado nove anos após sua descoberta. Naquela época, apublicação de alguns artigos para determinar tangentes e uma teoria sobre quadratura de curvasalgébricas fizeram com que Leibniz sentisse a necessidade de publicar seus trabalhos, se assimnão o fizesse, poderia perder a prioridade.Uma das dificuldades que Leibniz tinha para a publicação de seu cálculo era o fato de usarquantidades infinitamente pequenas, um ponto de vulnerabilidade para seu método. Leibniz,então, mudou a definição da diferencial (diferença infinitamente pequena), introduzindosegmentos de reta finitos dx e dy, que satisfazem as condições dy/y = dx/t, de modo que pordefinição, dy = y/t.dx. Leibniz manteve o termo diferença para a nova definição, já que, emambos os casos, as velhas diferenças tinham as mesmas proporções entre si que as novas, ondedy/y = dx/t.Assim Leibniz conseguiu publicar seu cálculo diferencial, evitando problemasfundamentais sobre a natureza das quantidades infinitamente pequenas.41

6 – Comparação Entre os Cálculos de Newton e Leibniz.6.1 - Principais Diferenças.O cálculo foi desenvolvido através do estudo sobre curvas e o que possibilitou estesestudos foi a introdução de métodos algébricos à geometria. Estes métodos foram desenvolvidospor Descartes, permitindo expressar as curvas em forma de equações. Tornou-se possívelestabelecer uma relação entre ordenadas e abscissas; entre ordenadas, abscissas e outrasgrandezas. Estas quantidades são variáveis, vinculadas à curva.Os cálculos de Newton e Leibniz começam por caminhos distintos. O primeiro, porinterpolação de curvas e coeficientes relacionados a tais curvas.O segundo, por perceber quesomar seqüências e tomar as seqüências de diferenças são operações inversas. Foram caminhosbem diferentes, mas que convergiam a um mesmo princípio em comum, a descoberta do cálculo.Dentro deste princípio em comum, as principais diferenças foram na concepção das quantidadesvariáveis e nas formas de notações utilizadas por cada um ao longo de seus estudos.6.1.1 – Diferenças na concepção das quantidades variáveis.Newton considerava as variáveis como dependentes do tempo ou, na linguagem do cálculocontemporâneo, em função do tempo. Chamou as variáveis de quantidades fluentes. Este nomedeve-se ao fato de Newton basear-se em movimentos, conceitos que atualmente são chamadospela física de mecânicos. Os fluentes, neste caso, seriam as distâncias percorridas e o queNewton chamou de fluxões, as velocidades. As velocidades ou fluxões seriam as diferenças entreas concepções de quantidades variáveis, o que corresponde na linguagem do cálculocontemporâneo, à derivada do espaço percorrido. Uma quantidade pequena do espaço percorrido,42

uma variável, poderia ser expressa pelo produto da fluxão pelo tempo, de modo que o tempofosse infinitamente pequeno.Apesar de mencioná-las, Newton hesitou sobre tais quantidades infinitamente pequenas.Mesmo usando-as, afirmou que seu cálculo podia ser dado com base em uma velocidade finita.Não considerarei aqui as quantidades matemáticas como sendocompostas de partes extremamente pequenas, mas como sendogeradas por um movimento contínuo. Linhas são descritas, aodescreve-las são geradas. Não por um alinhamento de partes, maspor um movimento contínuo de pontos. As superfícies são geradaspor movimento contínuo de linhas. Essa gênese está baseada nanatureza e pode ser vista dia a dia no movimento dos corpos.Percebe-se que as quantidades que aumentam em tempos iguais eque são geradas por esse aumento serão maiores ou menores,conforme a sua velocidade, na qual aumentam e são geradas, sejammaior ou menor; esforcei-me para encontrar um método quedeterminasse as quantidades das velocidades, dos movimentos ouincrementos, que as geraram. Chamando de fluxões as velocidades,dos movimentos ou dos aumentos e de fluentes ás quantidadesgeradas, esclareci aos poucos o método das fluxões, que aproveiteiaqui na quadratura de curvas. Isac Newton in [1,vol 3 , pg. 31 ]Leibniz considerava a diferencial como sendo a diferença de dois valores sucessivos deuma seqüência. Estes valores eram considerados por Leibniz como infinitamente pequenos. Porserem valores consecutivos, suas diferenças não podiam ser finitas. Iam se tornando cada vezmenores, quanto mais se aproximava do ponto desejado.Apesar de se basear nesses fatos para o desenvolvimento de seu cálculo, Leibniz conseguiupublicá-lo evitando o uso das quantidades infinitamente pequenas. Baseando-se em doissegmentos de retas finitos que satisfaziam a condição proporcional dy/y = dx/t e tomando pordefinição dy = y/t.dx.Nem Newton com as fluxões, para quem o tempo deveria ser uma grandeza infinitamentepequena; nem Leibniz com as suas quantidades infinitamente pequenas utilizaram estesconceitos para a publicação de seus cálculos, haja vista a dificuldade na época para43

demonstração de tais afirmações. Estas afirmações hoje são facilmente explicadas pela teoria doslimites.6.1.2 – Diferenças nas formas de notação utilizadas.Até o tratado de 1671, Newton não adotou uma forma padrão de notações para seusestudos. Em alguns momentos usou símbolos como l, m, n e r para as fluxões, em outrosmomentos usou pontos para representar as fluxões. A partir do tratado de 1671, passou a usarnovamente os símbolos l, m, n e r. Em 1710 William Jones reescreveu o tratado de 1671,adotando a notação com pontos para as fluxões ( diferenciais ). Já para os fluentes ( integrais ),Newton adotou o uso de poucos simbolismos, tratando-os apenas por x, y, z, e v..Provavelmente devido às deficiências da sua notação, o cálculo deNewton dependeu mais de figuras e de argumentos verbais sobre essasfiguras. No seu desenvolvimento posterior o cálculo newtoniano ficoupróximo da geometria.[1,vol 3, pg. 72 ]Leibniz adotou um simbolismo padrão para seus estudos, desde o início dos seus trabalhos,em princípio usando as notações adotadas por Cavalieri, posteriormente adotando umsimbolismo próprio.Leibniz adotou d para as quantidades infinitamente pequenas (asdiferenciais), e ∫ para a soma de tais quantidades ou para a soma do produto de uma ordenadapela quantidade infinitamente pequena ( ∫ y.dx). Caracterizou, assim, o símbolo ∫ para aquadratura de curvas (as integrais). Leibniz se preocupava muito com os tipos de notações queutilizava, e mesmo depois do tratado de 1675, onde reunia grande parte de seus trabalhos sobretangente e quadratura, continuou a pesquisar sobre a melhor forma a ser adotada para o seusimbolismo.O cálculo de Leibniz superou toda argumentaçãoverbal, traduzindo todos esses argumentos na linguagemde símbolos e fórmulas. Posteriormente o cálculoLeibnizi ano desenvolveu-se cada vez mais em direção àanálise, à manipulação com fórmulas,independentementede figu-ras e de interpretação geométrica.[1,vol. 3, pg.72]44

6.2 - As Semelhanças.Embora não se conhecessem, a busca para o descobrimento do cálculo tornou-se um pontoem comum para Newton e Leibniz. Seguindo caminhos diferentes, com métodos e notaçõesdiferentes, seus trabalhos trilharam para pontos que por mais que não quisessem, surgiam comoque culminantes para o desenvolvimento do cálculo. Entretanto, não poderia ser diferente, hajavista que sendo a matemática uma ciência exata, por mais que trilhassem caminhos diferentes,em algum momento semelhanças deveriam surgir, pois caso isto não ocorresse e por mais quetrocassem farpas, a história não os uniria para sempre.As semelhanças entre Newton e Leibniz começam, quando a um dado momento chegaramao mesmo conceito de que as diferenças deveriam ser infinitamente pequenas; mesmo assim nãoadotaram tal conceito na publicação de seus trabalhos. Logo surge a conclusão de que tangente equadratura eram operações inversas e partem para uma sistematização genérica, em busca dealgoritmos, que pudessem resolver problemas envolvendo tangentes e quadraturas de uma formamais abrangente possível. Para o processo de desenvolvimento de seus algoritmos, tanto Newtonquanto Leibniz adotaram a idéia de que: as variáveis de uma equação deveriam ser substituídaspelas mesmas variáveis somadas aos seus incrementos, dando origem a uma nova equação; estanova equação, por sua vez, deveria ser subtraída da equação anterior e durante a operação, ostermos que contivessem as unidades infinitamente pequenas como fator poderiam serdesprezados dando origem aos algoritmos desejados.Não necessariamente na ordem mencionada acima, mas desta forma ficam explícitas asprincipais semelhanças entre os cálculos de Newton e Leibniz.45

7 - Os cálculos de Newton e Leibniz e o Teorema Fundamental doCálculo.7.1 O Teorema Fundamental do Cálculo.Os dois conceitos matemáticos básicos que estabelecem o cálculo são as derivadas e asintegrais. É a relação entre esses dois conceitos que os tornou fundamentais ao cálculo. Por isso aessa relação denominou-se teorema fundamental do cálculo. O teorema fundamental do cálculotem o seguinte enunciado:“ Se f é uma função contínua num intervalo I que contém o número a e para cada xpertencente a I temos F (x) = ∫ f (t) dt, então F é uma função derivável e F’(x) = f(x) ”[ 6, ,pg. 188 ].Esta é uma teoria estabelecida pelo cálculo contemporâneo, que define F como uma primitiva def.O conceito de integral no cálculo contemporâneo pode ser simplesmente explicado,tomando um intervalo I = {xo, x1, x2, x3, ... , xn – 1, xn} constituído por um número finito depontos e uma função f(x), tal que o intervalo [x0, xn] pertença ao domínio de f. Sendo I umapartição deste intervalo, tomando uma escolha de números, r1, r2, r3 e rn, onde:xo < r1< x1< r2

Atualmente a derivada de f(x) é calculada utilizando a teoria dos limites, tal que:f’(x) = lim f(x + Δx) - f(x) . Para uma função simples do tipo f(x) = x², temos a derivada,Δx → 0 Δxf’(x) = lim (x + Δx)² - x² = x² + 2 xΔx + Δx ² - x² = 2xΔx + Δx ² = 2x + Δx = 2x, logo f’(x) = 2x.Δx → 0 Δx Δx ΔxDesta forma ficam estabelecidas as duas operações inversas aplicadas ao cálculo moderno,e que definem o teorema fundamental do cálculo no que chamo, de cálculo contemporâneo.7.2 O Teorema Fundamental do Cálculo e o Cálculo de Newton.Newton definiu a integração como sendo as quantidades fluentes para as fluxões dadas.Portanto o teorema fundamental do cálculo está contido na definição de integração, onde tomaras fluxões e os fluentes são operações inversas.No capítulo 4 deste trabalho, é possível ver como Newton desenvolveu seu método para osfluentes, integrais, através de um longo processo denominado Método das Séries Infinitas. Asfluxões, derivadas, como pode ser visto ainda no capítulo 4 deste trabalho, foram desenvolvidasatravés de um método utilizado por Newton, bem próximo do que é feito pelo cálculocontemporâneo. Embora naquele período não fosse aceitável a idéia de convergência e nemconhecida a teoria dos limites, fatos estes que foram problemas para a publicação de seutrabalho, tendo em vista a dificuldade da época para essas demonstrações. Newton utilizavamuito a idéia de convergência de James Gregory, assegurando sempre que o tempo fosseinfinitamente pequeno e que as partes que contivessem o tempo como fator fosseminsignificantes e pudessem ser desprezadas.47

7.3 O Teorema Fundamental do Cálculo e o Cálculo de Leibniz.Leibniz definiu a integração como sendo uma somatória, já que as diferenças infinitamentepequenas percorrem uma seqüência. Logo o teorema fundamental não aparece contido nadefinição de integração. No caso do cálculo de Leibniz o teorema fundamental do cálculoaparece na concepção de que somar seqüências e tomar as seqüências de diferenças sãooperações inversas.A integração de Leibniz é baseada em somar seqüências de diferenças, como pode servisto no capítulo 5. Leibniz apóia-se em conceitos de Cavalieri e estende seus estudos àgeometria analítica, buscando sempre uma forma mais geral possível para a aplicação de seusmétodos.A derivada do cálculo contemporâneo, para Leibniz, consistia em formar seqüências dediferenças. Ao aplicá-las à geometria analítica, introduziu ordenadas infinitamente próximas, auma distância dx, como sendo as seqüências de diferenças infinitamente pequenas no eixo x,valendo o mesmo para o eixo y, quando este for tomado como o eixo de referência. Neste casoteríamos eixos das abscissas infinitamente próximas a uma distância dy, como podemos verneste trabalho capítulo 5.Dessa forma, foram estabelecidas as duas operações inversas que estruturaram as teoriasdo cálculo de Leibniz, onde somar seqüências e tomar as seqüências de diferenças sãooperações inversas.48

8 - Dos Cálculos de Newton e Leibniz ao Cálculo Contemporâneo.Até chegar-se ao cálculo contemporâneo, os cálculos de Newton e Leibniz sofrerammudanças consideráveis. Foram vários conceitos e conseqüentemente elementos introduzidos namatemática que mudaram partes da estrutura do cálculo. Alguns conceitos foram reformulados eoutros, novos, introduzidos.As quantidades variáveis ligadas às curvas e que eram relacionadas a outras grandezas taiscomo tangentes e quadraturas, utilizadas por Newton e Leibniz, ganharam um novo conceito, oconceito de função, que estabelece uma relação aplicada entre abscissas e ordenadas. Podemosperceber, portanto que, esse conceito de função abriu as portas para a reestrutura do cálculo.Surgiram várias novas idéias como no século XIX, o conceito de função que estabelece umarelação aplicada entre conjuntos, as funções contínuas, descontínuas e outros novos elementosforam introduzidos no cálculo.As quantidades infinitamente pequenas adotadas por Leibniz e que Newton classificoucomo o tempo (desde que fosse infinitamente pequeno) representaram problemas para apublicação de seus trabalhos, tendo em vista, a dificuldade de provar a existência dasquantidades infinitamente pequenas, naquele período. Atualmente são facilmente explicadas edefinidas como limites. Um novo elemento introduzido no cálculo, o conceito de limites, surgiuem 1765 com Le Rond D`Alembert, um dos precursores do cálculo.Para Newton e Leibniz, associar uma derivada a uma função (cálculo contemporâneo), eraassociar uma velocidade finita (fluxão) a uma variável e uma diferença infinitamente pequena auma variável.49

São inúmeras as modificações sofridas pelo cálculo desde o século XVII até o século XXI.Portanto podemos perceber que aquele cálculo desenvolvido por Leibniz e Newton já não se usamais. O que restou de seus trabalhos são alguns algoritmos ainda empregados no cálculomoderno e muito da notação adotada por Leibniz. Uma coisa é certa, a descoberta de Newton eLeibniz revolucionou a matemática e abriu as portas para intensas pesquisas econseqüentemente, grandes avanços na área do cálculo e da matemática como um todo.50

Referências Bibliográficas.1 – Coleção Curso de História da Matemática (Origem e Desenvolvimento do Cálculo).Margaret E. Baron.Editora Universidade de Brasília, 1985, c1974.Tradução do Professor José Raimundo Braga Coelho.Volume 1 - A Matemática Grega.Volume 2 - Indivisíveis e Infinitésimos.Volume 3 - Newton e Leibniz.2 - História Concisa das Matemáticas.Dirk J. Struik.Editora Tipografia Guerra / Viseu, 1989, c1987.Tradução de João Gomes Santos Guerreiro.3 – Coleção Cálculo a uma Variável.Laci Malta, Sinésio Pesco e Hélio Lopes.Editora PUC-Rio.Edições Loyola, 2003.Volume 1 - Uma introdução ao Cálculo.Volume 2 - Derivada e integral.51