A invenção do cálculo por Newton e Leibniz e sua evolução para o ...

1/2 . ( m – 1)/2 = 1/2 . ( 1/2 - 1 )/2 = -1/2 / 4 = -1/8 , terceiro termo;-1/8 . ( m – 2 )/3 = -1/8 . (1/2 – 2 )/3 = - (-3/2 / 24 ) = 1/16 , quarto termo;1/16 . ( m – 3 )/4 = 1/16 . ( 1/2 – 3 )/4 = -5/2 / 64 = -5/128 , quinto termo.E assim sucessivamente serão encontrados todos os coeficientes da seqüência m = 1/2. Segueda teoria de Newton, que a área do segmento circular desejada, onde ( 1 – x² ) 1/2 é:x – ((1/2)x 3 )/3 – ((1/8)x 5 )/ 5 – ((1/16)x 7 )/ 7 – ((5/128)x 9 )/ 9. De modo análogo pode ser feitopara as demais curvas, que poderão ser inseridas e ter suas áreas calculadas a partir do mesmoraciocínio. Essa foi a primeira nota de Newton sobre este assunto. Nos moldes do cálculomoderno, o que Newton concluiu foi:x∫ ( 1 - x²) 1/2 dx = x – ((1/2)x 3 )/ 3 – ((1/8)x 5 )/ 5 – ((1/16)x 7 )/ 7 – ((5/128)x 9 )/ 9 ... .0Podemos perceber que áreas de regiões abaixo de curvas que são gráficos de funções sãopolinomiais podem ser obtidas pela soma dos coeficientes de uma linha do triângulo de Pascal,com sinais positivos e negativos alternados. Os expoentes da variável x e os respectivosdenominadores de cada termo são sempre números ímpares e iguais.Exemplo: No triângulo aritmético, temos, na 5 a linha, a seqüência 1 4 6 4 1, Esses números sãoos coeficientes da variável x, com m = 4. A área abaixo da curva y = ( 1 - x²) 4 pode ser dada porx – 4/3x 3 + 6/5x 5 – 4/7x 7 + 1/9x 9 ... , o que implica que:xx∫ ( 1 - x²) 4 dx = ∫ ( 1 – 4x 2 + 6x 4 – 4x 6 + x 8 ) dx = x – (4x 3 )/3 + (6 x 5 )/5 – (4 x 7 )/7 + (x 9 )/9 ... .0 0Após suas primeiras notas, ao examinar seus escritos, Newton percebeu que os termos:(1 - x²) 0/2 = 1(1 - x²) 2/2 = 1 - x²(1 - x²) 4/2 = 1 – 2x 2 + x 4(1 - x²) 6/2 = 1 - 3x 2 + 3x 4 – x 6 15