são polinômios que podem ser interpola<strong>do</strong>s, assim como <strong>sua</strong>s áreas, e nada foi requeri<strong>do</strong> <strong>para</strong>isso, a não ser a omissão <strong>do</strong>s denomina<strong>do</strong>res 1,3 ,5, 7 ,etc, que aparecem nas áreas. Logo aquantidade <strong>do</strong>s termos a serem desenvolvi<strong>do</strong>s, <strong>para</strong> cada curva intercalada, poderia serencontrada a partir da série desenvolvida, que permitia encontrar os termos de uma seqüência <strong>do</strong>triângulo aritmético, a partir <strong>do</strong> 2º termo(1 - x²) 1/2 = 1 – 1/2x 2 – 1/8x 4 – 1/16x 6 , ...(1 - x²) 3/2 = 1 – 3/2x 2 + 3/8x 4 + 1/16x 6 , ...(1 - x²) 1/3 = 1 – 1/3x 2 –1/9x 4 – 5/81x 6 , ...Após ter se familiariza<strong>do</strong> com as extrações de raízes, <strong>Newton</strong> testou um novo processo,multiplican<strong>do</strong> 1– 1/2x 2 – 1/8x 4 – 1/16x 6 , ... , <strong>por</strong> si mesmo. A partir <strong>do</strong> momento em que aseqüência tendia <strong>para</strong> o infinito, restava 1 - x², <strong>por</strong>que os termos que ficavam desapareciam pelacontinuidade da série até o infinito. Da mesma maneira ocorreu quan<strong>do</strong> multiplicou 1 – 1/3x 2 –1/9x 4 – 5/81x 6 , ... , duas vezes <strong>por</strong> si mesmo, resultan<strong>do</strong> em 1 - x². <strong>Newton</strong> percebeu, nas sériesformadas, que essas representavam raízes da quantidade 1 - x², e aban<strong>do</strong>nou o méto<strong>do</strong> dainterpolação, passan<strong>do</strong> a usar méto<strong>do</strong>s algébricos <strong>para</strong> extração de raízes, que, segun<strong>do</strong> ele,tinham fundamentos mais naturais que o méto<strong>do</strong> usa<strong>do</strong> na interpolação. Se a raiz da equação y =(1- x²) 1/2 = 1 – 1/2x 2 – 1/8x 4 – 1/16x 6 ... , então a quadratura sob a mesma curva, poderia serobtida substituin<strong>do</strong> o 1 <strong>por</strong> x, alternan<strong>do</strong> os sinais em positivos e negativos, soman<strong>do</strong> 1 aosexpoentes da variável x e estes mesmos valores seriam coloca<strong>do</strong>s nos denomina<strong>do</strong>res de cadarespectiva variável x. Logo a quadratura sob a curva de equação y = (1 - x²) 1/2 = x – (1/2)x 2+1 +(1/8)x 4+1 - (1/16)x 6+1 + ... + ax (m / n)+1 2+1.4+1 6+1 (m/n)+1(m / n)Posteriormente veremos que <strong>Newton</strong> aparece sugerin<strong>do</strong> a quadratura sob a curva y = axcomo sen<strong>do</strong> nax (m+ n) / n , que é igual a ax (m / n)+1 .m+n(m/n)+116
As séries infinitas foram indispensáveis <strong>para</strong> <strong>Newton</strong> no desenvolvimento da quadratura decurvas. Mediante a expansão em série ele foi capaz de calcular a integral de expressões queenvolviam raízes, integran<strong>do</strong>-as termo-a-termo. <strong>Newton</strong>, ciente das dificuldades, assume a noçãode convergência de James Gregory, mencionan<strong>do</strong> constantemente a necessidade de assegurar queo tempo deva ser suficientemente pequeno. “Suas opiniões sobre convergência nunca foramfirmemente estabelecidas” [1,vol 3, pg. 17 ]. O desenvolvimento destes conceitos de forma precisa sóserá alcança<strong>do</strong> muito posteriormente, no século XIX.17