A invenção do cálculo por Newton e Leibniz e sua evolução para o ...

Outro aspecto importante que pode ser observado na demonstração é a idéia central dateoria das seqüências de diferenças.Leibniz, usando a fórmula citada acima, e usando a substituição do w por várias espécies,deduz várias outras formulas de maneira puramente analítica, sem o uso de figuras. Fazendo xw= az, temos w = az / x. Substituindo na fórmula acima temos:omn. az, ח ult.x, omn.az/x., - omn.omn.az/xFazendo agora xw = a, temos: w = a / x. Substituindo na fórmula temos:omn. a, ח ult.x, omn.a / x., - omn.omn.a / xObserve que, nesta segunda substituição, y = a / x é equação da hipérbole retangular e omn. a/x éa quadratura da hipérbole. Essa quadradura é um logaritmo, onde diríamos que:∫ (a / x )dx = log x em uma base qualquer.E que omn.omn. a / x é a soma dos logaritmos, já que, omn. a / x é a integral de a / x que se tratade um logaritmo e omn.omn. a / x, é a integral dupla de a / x. Na primeira integral temos umlogaritmo e na segunda integral, a soma do logaritmo. Logo, em termos de quadratura dahipérbole, a fórmula expressa a soma dos logaritmos.Dias depois de Leibniz ter reunido as idéias anteriores em uma série de estudos, elepercebeu que existia uma diferença entre escrever omn.xy com, Omn.x multiplicado por omn. y.Decidiu então por adotar uma simbologia própria usando, ∫ (sestilizado usado por calígrafos)cujo significado é suma (soma), no lugar de omn.E usou ∫ ∫ no lugar de omn.omn., salientandoque as diferenças entre os termos são infinitamente pequenas. Leibniz começa a escrever simplesrelações de quadraturas no novo simbolismo, tais como:∫ x = x²/ 2 ; ∫ x² = x³/ 3. E denota:Se ∫ l for dado, também l o será: porém, se l for dado, ∫ lnão será dado. Em todos os casos ∫ x = x²/2.Todos esse teoremas são verdadeiros para séries nas quaisas diferenças dos termos impõem aos próprios termos umarazão que é menor do que uma quantidade qualquerdeterminável∫ x² = x³/ 3. [1,vol 3 , pág. 55 ]37