NOTAS Y EJERCICIOS PARA EL CURSO: ´ALGEBRAS DE LIE. G ...

1.4. Lema (de Schur). (2a. versión) Si ρ es una representación irreducible de
g y T ∈ Endg(V ) entonces T = λ IdV .
Demostración. Como el campo es algebraícamente cerrado existe un valor propio
λ con vector propio v, entonces Ker(T − λ IdV ) es un subespacio invariante no nulo
para ρ. Pero ρ es representación irreducible, por tanto Ker(T − λ IdV ) = V o lo
que es lo mismo T − λ IdV ≡ 0.
Sea de nuevo ρ : g → gl(V ) una representación lineal de g en V . Si V se descompone
como suma de subespacios invariantes que a su vez ya no admiten subespacios
invariantes no triviales, entonces decimos que la representación es totalmente reducible.
En este caso V admite una descomposición del tipo
V = W1 ⊕ W2 ⊕ · · · ⊕ Wk
y ademas ρi = ρ : g → gl(Wi) es una representación irreducible para cada i ∈
1, 2, . . . , k y ademas se satisface que
ρ = ρ1 ⊕ · · · ⊕ ρk
1.5. La métrica de Cartan-Killing.
Sea de nuevo ρ : g → gl(V ) una representación lineal de g en V , entonces podemos
definir
Bρ : g × g → F
(x, y) ↦→ Tr(ρ(x) ◦ ρ(y))
de la definición podemos observar que Bρ es una forma bilineal y simétrica. Además
satisface que:
Bρ([x, y], z) = Bρ(x, [y, z])
1.6. A las formas bilineales que satisfacen la igualdad anterior se les llama formas
bilineales invariantes en g.
De forma más general, si B : V × V → F es una forma bilineal y ρ : g → gl(V ) es
una representación, decimos que B es invariante (por la acción de g) si
B(ρ(x)u, v) + B(u, ρ(x)v) = 0
La forma bilineal invariante que nos interesa estudiar es la que se obtiene cuando
elegimos ρ = ad, en este caso la denotamos por
K(x, y) = Tr(ad(x) ◦ ad(y))
y la llamamos la forma de Cartan-Killing. Cuando dicha forma sea no-degenerada
entonces le llamaremos la métrica de Cartan-Killing. En este caso no necesariamente
solicitamos que K sea definida positiva. Más aún, en la mayoría de los casos
no será definida positiva ni definida negativa.
Nota: Recuerde que por el ejercicio 26 de la tarea pasada el subespacio vectorial
de g que consta de los elementos x ∈ g tal que
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