NOTAS Y EJERCICIOS PARA EL CURSO: ´ALGEBRAS DE LIE. G ...

2.5. Proposición. Sea g una álgebra de Lie,
(1) Si g es soluble entonces todas sus subálgebras son solubles.
(2) Si g es soluble y φ : g → h es un morfismo de álgebras de Lie, entonces φ(g)
es soluble.
(3) Si h es un ideal soluble de g y g/h es soluble entonces g es soluble.
(4) Si h y m son ideales solubles de g entonces tambien lo es h + m.
Demostración.
1) Si h es una subálgebra de g basta observar que h (i) ⊂ g (i) .
2) Notar que si φ : g → h es un morfismo suprayectivo entonces φ(g (i) ) = h (i) .
3) Supongamos que (g/h) (i) = 0, y llamemosle π : g → (g/h) al morfismo proyección.
Entonces, por ser π suprayectivo, π(g (i) ) = (g/h) (i) = 0, i.e., g (i) ⊂ h = Ker(π).
Pero por ser h soluble existe j tal que h (j) = 0 y como (g (i) ) (j) = g (i+j) ⊂ h (j) = 0
tenemos que g es soluble.
4) Recordar que siempre hay un isomorfismo entre (h + m)/m y h/(h ∩ m). Como h
y m son ideales h ∩m es un ideal en h (y en m). Usando 2) obtenemos que h/(h ∩m)
es la imagen bajo π : h → h/(h ∩ m) por lo que es soluble, aplicando 3) a h + m y
m obtenemos que h + m es soluble.
2.6. Como una aplicación directa de 4) obtenemos que toda álgebra de Lie g
deberá tener un único ideal soluble máximo. A este ideal soluble máximo de g le
llamaremos el radical de g y lo denotaremos por Rad(g).
De manera análoga se puede demostrar (ejercicio!) que:
2.7. Proposición. Sea g una álgebra de Lie,
(1) Si g es nilpotente entonces todas sus subálgebras son nilpotentes.
(2) Si φ : g → h es un morfismo de álgebras de Lie y g es nilpotente, entonces
φ(g) es nilpotente.
(3) Si g/Z(g) es nilpotente entonces g es nilpotente.
(4) Si g es nilpotente y no cero, entonces Z(g) = 0.
III. El Teorema de Engel
3.1. Lema. Sea x ∈ gl(V ) un elemento nilpotente. Entonces ad(x) también es
nilpotente.
3.2. Teorema. Sea g ⊂ gl(V ) una subálgebra y supongamos que V tiene dimensión
finita. Si g consta de elementos nilpotentes y V = 0 entonces existe un
elemento no nulo v ∈ V tal que g(v) = 0 para todo g ∈ g.
La demostración de este teorema se hace usando inducción.
3.3. Teorema (De Engel). Si todos los elementos de g son ad nilpotentes, entonces
g es nilpotente.
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