ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES

Análisis Numérico II
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales
ECUACIONES DIFERENCIALES EN
DERIVADAS PARCIALES
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ECUACIONES DIFERENCIALES EN
• Ecuaciones Tipo
• Clasificación
Análisis Numérico II
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales
DERIVADAS PARCIALES
• Condiciones de Borde
2/24

Dx
U
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales
Ecuaciones Tipo
Ecuación de Advección
c(x,t)
(Hiperbólica)
c(x+Dx,t)
Q e
c e
U
x
c c
U t x
0
3/24

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales
Ecuaciones Tipo
Ecuación de Advección
(Hiperbólica)
U c( x, t) f ( x Ut)
4/24

Dx
F(x,t)
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales
Ecuaciones Tipo
Ecuación de Difusión
c(x,t)
(Parabólica)
c(x+Dx,t)
Q e
c e
F(x+Dx,t)
x
2
c c
D
t x
2
5/24

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales
Ecuaciones Tipo
Ecuación de Difusión
(Parabólica)
x
c( x, t) Aerf
2Dt
x2
x1
6/24

c3(y)
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales
Ecuaciones Tipo
Ecuación de Laplace
(Elíptica)
c2(x)
2
c
2
c
0
2 2
x y
c1(x)
c4(y)
7/24

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales
Ecuaciones Tipo
Ecuación de Laplace
(Elíptica)
ny nx L
c( x, y) Ae
y
sen
Lx
8/24

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales
Clasificación
Problema de 2º Orden
2 2 2
u u u
A( x, y) 2 B( x, y) C(
x, y)
2 2
x xy y
Condiciones
de borde:
u u
Dx, y, u, ,
x y
, u
u
n
9/24

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales
Clasificación
Calculo Primera Derivada
dX dY dY dX
t , ; n,
dt dt dt dt
u
u dX u
dY
t x dt y
dt
u u dY u
dX
n x dt y
dt
u u
,
x y
2 2
dX dY
D 1
dt dt
10/24

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales
Clasificación
Calculo Segunda Derivada
2
dX dY
u d u
0 2
dt dt
x dt x
2
dX dY u d u
0
dt dt
xy dt y
A 2B
C 2
u D
2
y
2 2
dY dX dY dX
D A 2B
C
dt dt dt dt
11/24

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales
Clasificación
Curvas Características
D
0
2
dy B B AC
dx A
x, y cte; x, y cte
Si A, B, C ctes.:
x, y y c x cte; x, y y c x cte
1 2
12/24

Tipo
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales
Clasificación
Clasificación
2
d BAC Curvas
características
Hiperbólicas d > 0 Reales
Elípticas d < 0 Complejas
Parabólicas d = 0
Reales, pero
coincidentes
13/24

Hiperbólicas:
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales
Clasificación
Formas Normalizadas
v
2
2
2 2
d u u u u
D , , , ,
2 2
h v w u
A wv v w
w
Coeficientes con signo opuesto
14/24

Elípticas:
v
2
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales
Clasificación
Formas Normalizadas
2 2
d u u u u
D , , , ,
2 2
e v w u
A wv v w
w
Coeficientes con igual signo
2i
15/24

Parabólicas:
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales
Clasificación
Formas Normalizadas
v wx 2
u u u
A D , , , ,
2 p vwu w v w
Un coeficientes nulo
16/24

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales
Clasificación
Más de dos Variables
Tipo
Hiperbólicas
Elípticas
Independientes
Coeficientes de derivada de
mayor orden
Todos no nulos y uno tiene
signo distinto a los demás
Todos no nulos y del mismo
signo
Parabólicas Al menos uno nulo
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Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales
Condiciones de Borde
Ecuaciones Hiperbólicas
Forma normal:
Forma elemental:
2
u u u
G , , u,
,
2
u
0
u( , ) f ( ) g(
)
18/24

Solución:
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales
Condiciones de Borde
Ecuaciones Hiperbólicas
Sobre borde:
u( t) f ( ) g(
)
u
df dg
() t
n
d n d n
19/24

Ejemplo:
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales
Condiciones de Borde
Ecuaciones Hiperbólicas
2 2
u 1 u
0
2 2 2
xct u( x, t 0) a(
x)
u
( x, t 0) b(
x)
t
xct 1 1
u( x, t) a( x ct) a( x ct) b( ) d
2 c xct
20/24

Solución:
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales
Condiciones de Borde
Ecuaciones Hiperbólicas
Condiciones de
Cauchy sobre PA
Condiciones de
Dirichlet o
Neumann sobre PB
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Ejemplo:
u u
x y
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales
Condiciones de Borde
Ecuaciones Elípticas
Condiciones de
Cauchy sobre
contorno abierto
2 2
0
2 2
(Forma normal)
u( x, y 0) uo(
x)
u
( x, y 0) No ( x)
y
u( x, t) Re u ( x iy) i N ( ) d
xiy
o o
0
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Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales
Condiciones de Borde
t x
2
u 2 u
a 2
Ejemplo: (Forma normal)
Condiciones de
Dirichlet sobre
contorno abierto
Ecuaciones Parabólicas
1
si x 0
u( x, t 0) b( x)
0
si x 0
x/ t
2a
u x t e d t
2
4a
( , ) ,
0
2
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Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales
Condiciones de Borde
Condiciones de Contorno
Tipo Frontera Condiciones
Hiperbólicas abierta
CI Cauchy
CB Dirichlet/Neumann
Elípticas cerrada Dirichlet o Neumann
Parabólicas abierta
CI Dirichlet
CB Dirichlet/Neumann
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