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Fundamentos IA 5. Satisfacción de Restricciones
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Tema 5
Satisfacción de Restricciones
• Introducción
• Formulación de CSPs como redes de
restricciones
• Esquema backtracking
• Esquema de propagación de restricciones
• Conclusiones
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Introducción
• Gran cantidad de problemas en I.A.
pueden verse como casos especiales del
CSP: visión artificial y análisis de
escenas, planificación, diseño de
circuitos, programación lógica, etc.
• Formulación del problema en términos
de redes de restricciones.
• Métodos de resolución: generación
sistemática y test y backtracking.
• Marco de referencia: análisis de escenas.
Problema: reconocimiento de figuras
(restricciones geométricas).
• Solución a a los problemas del
backtracking: propagación de
restricciones. Caso particular: Algoritmo
de Waltz.
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Definición de CSP
• Conjunto de variables definidas sobre
dominios discretos y finitos y conjunto de
restricciones definidas sobre subconjuntos
de dichas variables.
• CSP= (V,D,ρ)
un conjunto de variables
V = {V 1 , V 2 , …, V n } V={V i } i=1..n
definidas sobre dominios discretos D i
(conjunto finito de posibles valores)
D = {D 1 , D 2 , …, D n } D={D j } j=1..n
un conjunto de restricciones definidas sobre
subconjuntos de dichas variables
ρ = {ρ 1 , ρ 2 , …, ρ n } ρ ={ρ k } k=1..n
Ejemplo:
• X::{1,2}, Y::{1,2}, Z::{1,2}
X = Y, X ≠ Z, Y > Z
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Definición de CSP
• Solución: encontrar asignaciones de valor a
las variables que satisfagan todas las
restricciones.
(X = 2, Y = 2, Z = 1)
Cada restricción tiene asociado un
operador de proyección:
P k ()=
• Solución al problema: ρ sol, la relación naria
que satisface todas las restricciones
de ρ:
ρ sol = {|v i ∈ Di ∧ P k () ∈ ρ k , ∀i, 1≤ i ≤ n , ∀k 1≤ k
≤ m}
• Dependiendo de los requerimientos del
problema hay que encontrar todos los
elementos de ρ sol o bien sólo alguno de
ellos.
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Redes de restricciones
• Un CSP se puede representar como un
grafo.
• Sobre el grafo se puede definir una red de
restricciones:
Quíntupla
V: conjunto de nodos.
E: conjunto de aristas.
c: E → V k , k ≤ n; función de asignación de
aristas a tuplas de nodos.
l: E → ρ; función de asignación de aristas a
restricciones.
a: permutación que define el orden de
selección para resolver el problema.
Solución para la red:
S = {(|v i ∈ D i, ∀ i, 1 ≤ i ≤ n ∧
(∀ e k ∈ E, P k() ∈ l(e k))}
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Variables
CSP binario
V = {V 1 , V 2 , …, V n }
Dominios discretos y finitos
D = {D 1 , D 2 , …, D n }
Restricciones binarias
{R ij }
• Solución : Asignación de valores a cada una de
las variables satisfaciendo todas las restricciones
• Generalidad : Todo problema n-ario se puede
formular como un problema binario
• Ejemplos:
Coloreado de mapas
Asignación de tareas para un robot
N-reinas
Crucigramas
Criptoaritmética
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Ejemplo: Coloreado de mapas
V={V 1 , V 2 , V 3 , V 4 }
D i ={rojo, azul, verde}, ∀ i, 1 ≤ i ≤ 4
E= {e 1 , e 2 , e 3 , e 4 , e 5 }
ρ k (V i , V j )= {| v i ∈ D i, v j ∈ D j, v i ≠ v j },
∀ k, 1 ≤ k ≤ 5
c(e 1 )=, c(e 2 )=,
c(e 3 )=, ...
l(e j )={, ,
, , ,
}
a={V 1 , V 4 , V 2 , V 3 }
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Generación de crucigramas
• Definición: Dada una rejilla y un diccionario,
construir un crucigrama legal,
C
O
Z
O
L
Formulación:
4 palabras de 1 letra
4 palabras de 3 letras
2 palabras de 5 letras
variables : grupo de casillas para una palabra
(slots)
dominios : palabras del diccionario con la
longitud adecuada
restricciones : misma letra en la intersección de
dos palabras
Características :
CSP binario, discreto y finito (dominios
grandes)
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N-reinas
• Definición: posicionar n reinas en un tablero de
ajedrez n×n, de forma que no se ataquen
Formulación: 1 reina por fila
n = 5
variables : reinas, Xi reina en la fila i-ésima
dominios : columnas posibles {1, 2, …, n}
restricciones : no colocar dos reinas en
- la misma columna
- la misma diagonal
Características :
CSP binario, discreto y finito
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Criptoaritmética
• Definición: sustituir cada letra por un dígito
distinto (distinta cifra, distinta letra) de manera que
la suma sea correcta GOTA
GOTA
GOTA
+ GOTA
GOTA
⎯⎯⎯⎯
AGUA
• Formulación:
variables : G, O, T, A, U, C 1, C 2, C 3
(C 1 , C 2 , C 3 variables de acarreo)
dominios : O, T, U ∈ {0, …, 9}
G, A ∈ {1, …, 9}
C 1, C 2, C 3 ∈ {0, …, 3}
restricciones :
• letras distintas G ≠ O, G ≠ T, …, A ≠ U
• suma correcta (unidades) 5*A = 10*C 1 +A
(decenas) 5*T+C 1 = 10*C 2 +U
(centenas) 5*O+C 2 = 10*C 3 +G
(unidades mil) 5*G+C 3 = A
• Características :
• CSP binario, discreto y finito
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Métodos de resolución
• Búsqueda:
Generación y test : generar de forma
sistemática y exhaustiva cada una de las
posibles asignaciones a las variables y
comprobar si satisfacen todas las restricciones.
Hay que explorar el espacio definido por el
producto cartesiano de los dominios de las
variables.
Backtracking : se trata de construir la
solución de forma gradual, instanciando
variables en el orden definido por la
permutación dada
• Inferencia
Consistencia de arco
Consistencia de caminos
K-consistencia
• Algoritmos híbridos
Forward Checking
Maintaining Arc Consistency
Heurísticas
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• Estrategia:
Generación y test
generación y test de todas las asignaciones
totales posibles
Generar una asignación total
Comprobar si es solución. Si es, stop, sino ir a 1
• Ejemplo: 4-reinas
• Eficiencia:
…
es muy poco eficiente
genera muchas asignaciones que violan la
misma restricción
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• Estrategia:
Backtracking
Construir una solución parcial : asignación
parcial que satisface las restricciones de las
variables involucradas
Extender la solución parcial, incluyendo una
variable cada vez hasta llegar una solución
total
Si no se puede extender → backtracking
• cronológico: se elimina la última decisión
• no cronológico : se elimina una decisión
anterior
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Backtracking básico
• Inicialización de la raíz del árbol de búsqueda
i= 0; modo = forward; S = {}
Acciones si el estado actual es consistente
Si modo = forward entonces
FinSi
i=i+1;
(1.1) V + i = nuevo_candidato(S, E, c, l, a)
Si V + i ≠∅entonces
Sino
S= S ∪ expandir(S, V + i )
Si i=n entonces salir_con_éxito
sino ir a
FinSi
modo = backtracking FinSi
Acciones si se detecta inconsistencia
Si modo = backtracking entonces
FinSi
Si i= 0 entonces salir_con_fracaso
Sino
i= i-1
S = cambiar(S, V +
i )
modo = forward
ir a (1.1)
FinSi
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Backtracking recursivo
funcion bt (x variable): booleano
Para todo a ∈ D(x) hacer
x a
si test (x, pasadas)
retorna FALSO
pasadaspasadas + {x}
si bt(siguiente(x)) retorna CIERTO
sino pasadas pasadas – {x}
pasadas: variables ∈ solución parcial, tienen
valor asignado
funcion test (x variable, P conjunto): booleano
para todo y ∈ P hacer
si (val(x), val(y))∉rel(R xy ) retorna FALSO
retorna CIERTO
la función test comprueba que el valor de la
variable actual (x) sea consistente con la
solución parcial
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Generación y test VS Backtracking
• Problema:
X
1
1
1
1
2
2
2
• X::{1,2}, Y::{1,2}, Z::{1,2}
X = Y, X ≠ Z, Y > Z
Generación y test
Y
1
1
2
2
1
1
2
Z
1
2
1
2
1
2
1
test
falla
falla
falla
falla
falla
falla
acierta
X
1
2
Backtracking
Y
1
2
1
2
Z
1
2
1
test
falla
falla
falla
falla
acierta
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Reconocimiento de figuras
Buscar un emparejamiento entre los
parámetros de los datos sensoriales y los
de un modelo de objetos dado.
Modelo Datos
sensoriales
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Reconocimiento de figuras II
• El sistema debe generar el conjunto de
interpretaciones plausibles
(consistentes).
• Objetivo: La geometría de los objetos
es una fuente valiosa de conocimiento
para restringir las configuraciones
candidatas a ser solución.
• Deducir emparejamientos entre las
aristas de los datos f={f 1 , f 2 , f 3 } y las
que describen el modelo F={F 1 , F 2 , F 3 ,
F 4 , F 5 , F 6 }.
• Inicialmente hay que considerar todas
las correspondencias posibles (9 x 10 7 ).
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Reconocimiento de figuras III
•Se puede reducir el número de
posibilidades comprobando si la
correspondencia es consistente con la
geometría del objeto. Dadas m aristas del
modelo y d aristas de datos:
Existen (2m) d correspondencias (1728).
Este número se reduce a m d si
distinguimos entre interior y exterior
(216).
Restricciones geométricas:
• Angulos relativos entre las aristas (12).
• Distancia entre pares de aristas (5).
•A pesar de reducir el espacio de búsqueda
hay que aplicar una transformación
geométrica a la figura para saber si se ajusta
al modelo.
•Sólo hay que aplicar la transformación a
cinco posibilidades
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Reconocimiento de figuras IV
• Red de restricciones
V={f 1, f 2, f 3}
D j={F 1, F 2, F 3, F 4, F 5, F 6} ∀j, 1 ≤ j ≤ 3
E={e 1, e 2, e 3}
ρ k(f i)={ | unaria(F i)}
ρ k(f i,f j)={ | (F i ≠ F j) ∧ binaria(F i ,F j)}
c(e 1)= < f 1, f 2>, c(e 2)=< f 1, f 3 >, c(e 3)=< f 2, f 3 >
l(e k) ⊆{|(i ≠ j) ∧ binaria(F i ,F j) (i,j ∈{1, 2,
3, 4, 5, 6 })} ∀ k = 1, 2 ,3
a= < f 1, f 2, f 3 >
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Espacio de correspondencia
Espacio de posibilidades a explorar para
encontrar una interpretación correcta
(coincide con el producto cartesiano de los
dominios de las variables).
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Arbol de interpretaciones
• Partimos de un nodo raíz que supervisa el
proceso.
• Cada nivel corresponde a una asignación
de valor para una característica de datos.
El orden de descenso viene especificado
por a.
• Cada nodo identifica una posibilidad de
asignación (f i , F j ).
• La solución se construye de forma
incremental de tal forma que cada hoja es
una interpretación.
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Arbol de interpretaciones
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Datos espúreos o solapados
Excluir todas las características de
datos inconsistentes con la
interpretación actual
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Limitaciones del backtracking
• Trashing e inconsistencia de nodo
Restricciones unarias: cuando un dominio
contiene un valor que no satisface una
restricción unaria.
• Inconsistencia de arista
Restricciones binarias: cuando existe una
restricción binaria entre dos variables de tal
forma que para un determinado valor de la
primera variable no existe ninguna asignación
posible para la segunda.
• Dependencia de la ordenación
Se han desarrollado diversas heurísticas: de
selección de variables y de valores.
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Propagación de Restricciones
• Transformar el problema en otro más
sencillo sin inconsistencias de arco.
• Propiedad de consistencia de arista
Una arista dirigida c(e p) = es
consistente si y sólo si para todo valor
asignable a V i existe al menos un valor en V j que
satisface la restricción asociada a la arista.
• Un CSP puede transformarse en una red
consistente mediante un algoritmo
sencillo (AC3) que examina las aristas,
eliminando los valores que causan
inconsistencia del dominio de cada
variable.
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Algoritmo AC3
Q = {c(e p ) = |e p ∈ E, i ≠ j}
Mientras Q ≠ Ø hacer
= seleccionar_y_borrar(Q)
cambio = falso
Para todo v k ∈ D k hacer
Si no_consistente (v k , D m ) entonces
FinSi
FinPara
borrar (v k , D k )
cambio = cierto
Si Dk = Ø entonces salir_sin_solución FinSi
Si cambio = cierto entonces
Q = Q ∪ {c(e r ) = | e r ∈ E, i ≠ k, i ≠ m}
FinSi
FinMientras
• Después del proceso:
✓ No hay solución
✓ Hay más de una solución
✓ Hay una única solución
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{rojo, verde}
Ejemplos de grafos
1
Inconsistente,
sin solución
2
{rojo, verde}
1
{rojo, verde}
3
{rojo, verde}
2
{rojo, verde}
{azul, verde}
3
{rojo, verde}
Consistente,
sin solución
1
{verde}
3
{rojo, verde}
Consistente, con
dos soluciones
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Ejemplo: Etiquetado de escenas
• Asignar etiquetas consistentes a cada una de
las aristas que componen la escena: descubrir
las líneas de frontera que separan objetos, las
aristas cóncavas y convexas.
• Suponemos iluminación uniforme y ausencia
de sombras.
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Etiquetado de escenas II
• Tipos de aristas
Convexas (+): formadas por dos caras que
forman un ángulo agudo
Cóncavas (-): formadas por formadas por dos
caras que forman un ángulo obtuso
Frontera (←, →): arista que separa un objeto
del fondo o de otro objeto
• Figuras compuestas por vértices triédricos.
• Salida: conjunto plausible de etiquetas
asociadas a cada una de las aristas.
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Etiquetado de escenas III
• Existen 4 n etiquetados posibles para una
figura de n aristas.
• Vértices ⇒ sólo existen 4 tipos de
configuraciones de unión: L (2 aristas),
flecha, T, Horquilla (3 aristas cada una).
• Existen 208 posibilidades totales
(3x4 3 +4 2 ) si tenemos en cuenta el máximo
número de combinaciones de cada tipo de
unión.
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Configuraciones de unión
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Configuraciones realizables
físicamente
• Se puede reducir a 18 el número de
configuraciones físicamente realizables si
se incorpora conocimiento sobre el tipo de
objeto y la perspectiva de observación.
+
+
-
Uniones L
-
Uniones
Horquilla
+ +
+
- -
-
-
-
-
Uniones T
+
-
Uniones
Flecha
+
+ +
-
- -
+
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Algoritmo de Waltz
Encontrar todas las aristas de la escena.
Numerar los vértices.
Visitar cada vértice V e intentar etiquetarlo:
Asignar a V todas las etiquetas posibles.
Determinar las etiquetas que pueden
eliminarse en base a restricciones locales
Comprobar la consistencia del arco (V, A) y
eliminar de V las etiquetas inconsistentes.
Utilizar el nuevo conjunto de etiquetas de V
para restringir las etiquetas de los vértices
adyacentes a V ya visitados:
Comprobar la consistencia del arco (A, V) y
eliminar de A las etiquetas inconsistentes.
Si se elimina alguna etiqueta continuar la
propagación examinando los vértices adyacentes a A
ya visitados.
Continuar la propagación hasta que no existan más
vértices adyacentes o no haya ningún cambio en las
etiquetas.
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Ejemplo
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Ejemplo
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