Tema 3: Contenidos. Búsqueda heurística. Introducción. - dccia

Fundamentos IA 3. Búsqueda Heurística
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Tema 3: Contenidos.
• Búsqueda heurística. Introducción.
• Búsqueda A * . Búsqueda óptima.
• Propiedades formales.
• Terminación.
• Admisibilidad.
• Nivel de información heurístico.
• Ejemplos de heurísticas.
• Relajación de la restricción de
optimalidad.
• Ajuste de pesos
• Admisibilidad-∈
• Técnicas de medida basicas.
• Problemas.
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Búsqueda heurística.
Introducción.
• Completitud
• Admisibilidad
• Dominación
• Un algoritmo A 1 es dominante sobre A 2 si
cada nodo expandido por A 1 es también
expandido por A 2 .
• Optimalidad
• Un algoritmo es el óptimo de un conjunto de
algoritmos si es el dominante sobre todos los
algoritmos del conjunto.
• La solución del problema vendrá dada
por el camino de menor coste entre el
estado inicial s y cualquier estado
objetivo.
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Búsqueda A * . Búsqueda
óptima.
• g * (n) = c(s, n)
– Coste del camino de coste mínimo desde el
nodo inicial s al nodo n.
– Estimada por g(n)
• h * (n)
– Coste del camino de coste mínimo de todos
los caminos desde el nodo n a cualquier
estado solución t j
– h * (n) = min k(n, t j).
• f * (n)
• C *
– Esta función va a ser estimada por h(n).
– Coste del camino de coste mínimo desde el
nodo inicial hasta un nodo solución
condicionado a pasar por n.
– Definimos f * (n) = g * (n) + h * (n).
– Esta función va a estar estimada por f(n).
– Coste del camino de coste mínimo desde el
nodo inicial a un nodo solución.
– Coincide con h * (s).
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Búsqueda A * . Búsqueda
óptima.
• g(n) ≥ g * (n).
• Si tenemos una función h(n) = 0 y el
coste de cada regla es unitario, estamos
realizando una exploración en anchura.
• f * (s) = h * (s) = g * (t j ) = f * (t j ) = C * ∀t j ∈Γ
• Si el nodo n * se encuentra en un camino
óptimo desde el nodo inicial s hasta un
nodo solución t j , entonces se satisface
que f * (n * ) = C * .
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Búsqueda A * . Búsqueda
óptima.
• Una función heurística h(n) se dice que
es admisible cuando se cumple:
h(n) ≤ h * (n) ∀n
• Una función que es admisible garantiza
la obtención de un camino de coste
mínimo hasta un objetivo.
• Decimos entonces que un algoritmo A
que utiliza una función heurística
admisible es un algoritmo A* .
• Cuanto más correctamente estimemos
h(n) menos nodos de búsqueda
generaremos. Pero se nos presenta un
problema: si nuestra función heurística
nos devuelve un valor superior a para
algún nodo, no se puede garantizar
que encontremos la solución óptima.
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Búsqueda A * . Búsqueda
óptima.
• Infraestimación de la función heurística
• Sobreestimación de la función
heurística.
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Propiedades formales.
Admisibilidad y optimalidad
• Demostración de terminación.
A*siempre termina para cualquier
grafo.
• A* termina para grafos finitos.
• Si un estado meta es alcanzable desde el
estado inicial, A* termina incluso para
grafos infinitos.
• Demostración de admisibilidad
• Lema 1. En cualquier momento antes de que
A* termine, existe en la lista de frontera un
nodo m que está en un camino óptimo desde
el estado inicial hasta un estado solución,
para el que se cumple que f(m) ≤ C * .
– El nodo m debe existir en la lista de frontera,
puesto que todos los caminos son
desarrollados. Ahora, por pertenecer a un
camino óptimo se tiene que cumplir que
g(m) = g * (m). Como además h * (m) ≥ h(m)
tenemos:
» f(m) = g(m)+h(m) = g * (m)+h(m) ≤ g * (m) +
h * (m) = f * (m)
= C *
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Propiedades formales.
Admisibilidad y optimalidad
• A* es admisible.
– por reducción al absurdo.
– Supongamos que termina devolviendo un
nodo de frontera t cuya función de
evaluación sea f(t) = g(t) > C * .
– únicamente comprueba las condiciones de
terminación una vez que éste ha sido
seleccionado para expandir (recordad ciclo de
control). Cuando t fue seleccionado para
expandir satisfacía la condición:
» f(t) ≤ f(n) ∀n ∈ LF
– Consecuencia de la Ecuación condicion es
que inmediatamente antes de comprobar la
condición de terminación todos los nodos de
la lista de frontera satisfacían la condición:
» f(n) > C * ∀n ∈ LF
– lo que presenta una contradicción con
el lema1, por lo que la suposición inicial es
incorrecta y A* es admisible.
• Cualquier nodo n seleccionado A*para
su expansión por cumple: f(n) ≤ C * .
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Nivel de información heurístico
• Una función heurística h 2 estará más
informada que otra h 1 si ambas son
admisibles y h 2 (n) > h 1 (n) ∀n.
• Similarmente un algoritmo A*que
utilice la heurística h 2 estará más
informado que otro que utilice h 1 .
• Si A 1 y A 2 son dos versiones de A* tales
que A 2 está mejor informado que A 1 , al
terminar sus exploraciones sobre un
grafo que posea un camino desde el
nodo inicial hasta uno objetivo, todo
nodo expandido por A 2 ha sido
también expandido por A 1 (A 1
expande, al menos, tantos nodos como
A 2 ).
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Nivel de información heurístico
• Dem. por reducción al absurdo
suponiendo que existe un nodo m que
se genera en A 2 y no se genera en A 1 .
• Sea p el padre que genera el nodo m.
Cuando A 2 selecciona el nodo p para
expandir se cumple que f 2 (p) ≤ C * .
Como hemos supuesto que A 1 no
selecciona el nodo p también se tiene
que cumplir que f 1 (p) ≥ C * por lo que:
→ f2 (p) ≤ C * ≤ f1 (p)
→ f2 (p) ≤ f1 (p)
→ Pero por definición:
→ f 2 (p) = g(p) + h 2 (p) > g(p) + h 1 (p) = f 1 (p)
→ f 2 (p) > f 1 (p)
• Lo que es un absurdo y por lo tanto
todo nodo generado por A 2 ha sido
generado también por A 1 .
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Nivel de información heurístico
• En general el nivel de información de
las heurísticas permite encontrar antes
la solución, pero tiene la desventaja de
requerir un mayor coste computacional
para su cálculo. La figura muestra los
límites de la admisibilidad en los
algoritmos tipo A:
• h(n) = 0
• h(n) ≤ h * (n)
• h(n) > h * (n)
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Problemas de camino mínimo
• Problemas de los denominados de
camino mínimo.
→ El problema de encontrar un camino
mínimo no implica trabajar necesariamente
con distancias.
• Búsqueda del camino más corto dentro
de una rejilla regular Este problema es
el más sencillo: Estamos situados en las
coordenadas (0, 0) y tenemos que llegar
a las coordenadas (m, n).
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Problemas de camino mínimo
• Coste actual óptimo
→ g * ((x, y)) = |x| + |y|
• Heurística admisible
→ h 1 ((x,y)) = √[((m-x) 2 + (n-y) 2 )]
• Heurística óptima
→ h * ((x,y)) = |m-x| + |n-y|
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Problemas de camino mínimo
• Búsqueda con obstátulos
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Relajación de la restricción de
optimalidad
• El mantenimiento de la admisibilidad fuerza
al algoritmo a consumir mucho tiempo en
discriminar caminos cuyos costes no varían
muy significativamente
• Cuestiones cuando abordamos un problema
de búsqueda:
– Puede ser más interesante minimizar el coste
de búsqueda que el coste de la solución. ¿Es
entonces f = g + h una función de evaluación
apta para tal fin?.
– Aún cuando el valor de la solución es
importante, las características
combinatoriales del problema hacen que la
aplicación de sea inviable. ¿Es posible
aumentar la velocidad del algoritmo a costa
de una pérdida acotada de calidad?.
– Es muy difícil encontrar una heurística muy
informada que además sea admisible. ¿Cómo
se ve afectada la búsqueda por el uso de una
heurística no admisible?.
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Relajación de la restricción de
optimalidad
• Técnica de ajuste de pesos
El objetivo de esta técnica es definir una
función f() ponderada, fw (), como
alternativa a la utilizada en A*
fw (n) = (1-w)g(n)+w h(n)
• donde:
• g(n)
» Proporciona la componente en anchura de la
búsqueda.
• h(n)
» Nos indica la proximidad al objetivo.
Variando de forma continua w dentro del
rango 0 ≤ w ≤ 1 obtenemos estrategias
mixtas intermedias.
• Si h(n) es admisible tenemos que:
• En el rango 0 ≤ w ≤ 1/2, A * con f w (n)
también es admisible.
• Dependiendo de la diferencia existente entre
h(n) y h * (n), A * con f w (n) puede perder la
admisibilidad en el rango 1/2 < w ≤ 1
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Relajación de la restricción de
optimalidad
• Técnica de la admisibilidad-ε
• El objetivo que buscamos al aplicar estas
técnicas es aumentar la velocidad de
búsqueda a costa de obtener una solución
subóptima.
• Un algoritmo es admisible-ε cuando para
cualquier grafo termina siempre dando
como resultado una solución cuyo coste no
excede del coste óptimo, C * , por un factor
1+ε:
f(sol) ≤ (1+ε)C *
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Relajación de la restricción de
optimalidad
• Técnica de ponderación dinámica o
APD
f(n) = g(n)+h(n)+ε[ 1- d(n)/N ] h(n)
• donde d(n) es la profundidad del nodo n y
N nos proporciona la profundidad de un
nodo solución (se supone conocida).
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Relajación de la restricción de
optimalidad
• Demostración de la admisibilidad-ε del
APD:
• debemos demostrar que esta técnica
consigue un camino con coste f(sol) ≤
(1+ε)C *
• Ya hemos demostrado que en cualquier
momento en la lista de frontera tenemos un
nodo n′ perteneciente a un camino óptimo.
Con esta premisa tenemos que,
– f(n′) ≤ g * (n′) + h * (n′) + ε[ 1- d(n′)/N ] h * (n′)
≤ C * + εh * (n′)
≤ (1+ε)C *
• Por lo tanto, el algoritmo no puede acabar
conun estado solución cuyo coste supere
(1+ε)C * , puesto que se selecciona siempre el
estado con menor coste.
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Relajación de la restricción de
optimalidad
• Algoritmo de estimación de coste de
búsqueda A ε * .
Utiliza una lista adicional denominada
Lista_focal (L f ). Esta lista es una sublista de
Lista_Frontera (LF) que contiene
únicamente aquellos nodos cuya f(n) no
excede del mejor valor de cualquier f(n)
dentro de la Lista_Frontera por un factor
(1+ε):
• L f = {n: f(n) ≤ (1+ε) min(f(m))}
m ∈ LF
A * ε opera de forma idéntica al algoritmo A *
salvo que selecciona aquel nodo de
Lista_focal con menor valor de H f (n), una
segunda heurística, además de h(n), que
estima el coste computacional requerido
para completar la búsqueda a partir del
nodo n.
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Relajación de la restricción de
optimalidad
• Cuando ε = 0 este algoritmo se reduce a A * .
• Generalmente H f (n) puede contener
información relativa a la estructura del grafo
de búsqueda que parte de n (longitud, grado
de ramificación aproximado, etc.).
• H f (n) puede sobreestimar el coste de
computación necesario sin comprometer la
admisibilidad-ε de A * ε .
• A ε * es admisible-ε.
• n 0 , nodo en LF con menor valor de f.
• t, nodo solución (elegido para expansión y
que cumple las condiciones de terminación).
• n 1 , nodo en LF dentro de un camino óptimo.
• C(t) = f(t) = g(t), coste de la solución
encontrada.
– Entonces tenemos:
– f(n 1 ) ≤ C * porque h es admisible.
– f(n 0 ) ≤ f(n 1 ) porque LF está ordenada con
respecto a f.
– f(t) ≤ f(n 0 )(1+ε) porque t es elegido de L f .
– Queda: C(t) = f(t) ≤ f(n 1 )(1+ε) ≤ C * (1+ε)
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Relajación de la restricción de
optimalidad
• Comparación de algoritmos
• El algoritmo de ponderación dinámica es
más sencillo, pero únicamente es aplicable a
problemas donde se conoce la profundidad
en la cual nos va a aparecer la solución, o
disponemos de una cota superior de dicha
profundidad. Sólo en estos casos se
garantiza la admisibilidad-ε.
• En cuanto al algoritmo A ε * la separación en
dos heurísticas permite incorporar
estimaciones de coste no capturables con las
funciones g(n) y h(n) (por ejemplo,
proximidad a la solución).
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Técnicas de medida básicas
• El esfuerzo de computación global se
define como la suma del coste de
búsqueda o de aplicación de las reglas
(número de nodos generados) y del
coste de control o de selección de
reglas (función de evaluación y
cálculos auxiliares).
• El coste óptimo se obtiene en el punto
de equilibrio de ambos costes
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Técnicas de medida básicas
• Penetrabilidad
• Se define como la relación entre la longitud
de avance en profundidad y la longitud de
avance en otras direcciones:
P = L/T
• L =Longitud del camino desde el estado
inicial al objetivo.
• T =Número total de nodos generados
durante la exploración.
• P

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Técnicas de medida básicas
• Factor de ramificación efectivo B
• Se define como el número constante de
sucesores que debería tener cada uno de los
T nodos de un árbol de profundidad L.
• La relación de B con L, T y P viene dada por:
T = B+B 2 +…+B L = B(B L -1)/(B-1)
P = L(B-1)/B(B L -1)
• Con B

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Técnicas de medida básicas
• Representación de P frente a L para
valores de B
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Desarrollo de un problema
completo
• Viajante de comercio
• Trata de encontrar el camino de coste
mínimo que recorre una serie de ciudades
(puntos en el espacio), pasando un sola vez
por cada ciudad.
• Asociado a cada par de ciudades tenemos
un coste, que en algunos casos puede ser
infinito.
• Una restricción adicional es que debemos
partir de una ciudad determinada, que es en
la que se encuentra el viajante y la
etiquetaremos con V0 28

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Desarrollo de un problema
completo
• Sistema de producción
• Espacio de estados. Tenemos dos alternativas
en la representación del espacio de estados.
Éstas son:
– Cada estado es una lista de ciudades. En esta
opción cada estado simboliza un recorrido
parcial del problema.
– Cada estado se corresponde con una ciudad.
Es equivalente a la anterior pero debe
incorporar información de control para que
no se produzcan ciclos.
• Vamos a optar por la primera opción. El
espacio inicial es el que contiene únicamente
la ciudad etiquetada con v 0 . Los estados
finales son aquellos que contengan todas las
ciudades y la ciudad de partida, v 0 , al
principio y al final. El número total de
posibles soluciones viene dado por: S = {(v 0 ,
Π, v 0 )|Π= permutación de V - {v 0 }}. En
nuestro caso 3! = 6 soluciones posibles.
• La pregunta que se nos plantea ahora es:
¿cuál es la solución óptima?, es decir, ¿cuál
de estos caminos tiene una función de
evaluación menor?.
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Desarrollo de un problema
completo
• Sea N = número de vértices-1, vamos a
definir la función objetivo que va a ser la
que proporcione el coste del camino
Hamiltoniano:
N-1
f(v 0 , i 1 , i 2 , …, i N , v 0 ) = c[v 0 , i 1 ] +∑ c[i j , i j+1 ] + c[i N , v 0 ]
j=1
donde i k ∈ V-{v 0 } k = 1, 2, …, N-1.
• El camino de menor coste se obtiene
encontrando aquél que tenga menor f.
• sol = arg min f(s)
s ∈ S
• donde S es el conjunto de todos los posibles
caminos.
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Desarrollo de un problema
completo
• Los nodos interiores nos van a representar
soluciones parciales. Por ejemplo
η = (a0 , a1 , …, ak ) k ≤ N
• expresa que hemos recorrido k ciudades, o
lo que es lo mismo
η = (a0 , a1 , …, ak, xk+1 , …, xN , a0 )
\xj ∈ V - {a0 , a1 , …, ak }, k+1 ≤ j ≤ N
El espacio de estados total viene dado por:
En nuestro ejemplo:
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Desarrollo de un problema
completo
• Reglas de producción
Rkl:vk → vl Si vl no es la ciudad de partida, es decir, vl ≠ v0,
incorporamos la nueva ciudad al recorrido (visitamos esa ciudad).
Precondición: vk = ak (última ciudad visitada) y vl no alcanzado (no
se tiene que encontrar en la lista de ciudades visitadas del estado).
Postcondición: Insertar vl como última ciudad visitada en el
conjunto de ciudades visitadas del estado.
Rk0:vk → v0 Vamos a la ciudad inicial. Todas las ciudades se han
tenido que visitar.
Precondición: vk = ak (última ciudad visitada) y v0, v1, …, vn todas
visitadas.
Postcondición: Insertar v0 como última ciudad visitada en el
conjunto de ciudades visitadas del estado.
• En la Figura se puede observar todo el
espacio de estados desarrollado:
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Desarrollo de un problema
completo
• Para realizar la búsqueda vamos a utilizar
una estrategia de control tipo primero el mejor
haciendo uso del algoritmo A*.
• Vamos a mostrar el resultado de aplicar una
búsqueda en anchura y comparar este
resultado con el proporcionado al
incorporar dos nuevas heurísticas.
• Demostraremos la admisibilidad de las
heurísticas y demostraremos que una de
ellas se aproxima más a que la otra a h*(n).
• Podemos observar que siempre habrán dos
caminos óptimos, correspondientes a
realizar el recorrido en un sentido y en el
contrario. Por ejemplo, si el camino óptimo
fuera (v0 , v1 , v2 , v3 , v0 ) también el camino
(v0 ,v3 , v2 , v1 , v0 ) es óptimo.
• La función c[ai , aj ] nos proporciona el coste
de ir de la ciudad ai a la ciudad aj .
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Desarrollo de un problema
completo
• Aplicación de heurísticas
• Vamos a realizar una consideración
adicional: ante igualdad de valor de f(n) el
algoritmo selecciona el nodo más profundo
y entre los de la misma profundidad escoge
aquél antes generado.
• Calcular equivale a resolver el problema, es
decir, es tan costoso calcular como encontrar
la solución. nos proporciona el coste del
camino mínimo hasta el objetivo
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Desarrollo de un problema
completo
• Otra consideración que vamos a realizar es
que comprobaremos las condiciones de
terminación cuando generemos los estados y
no cuando se seleccionen.
• Búsqueda de coste uniforme
• Primero vamos a comprobar como se
realizaría la búsqueda dentro del espacio de
estados del problema sin utilizar ninguna
heurística: h(n) = 0.
f(n) = g(n)=∑c[ai ,ai+1 ]
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Desarrollo de un problema
completo
• Primera heurística
h 1 (n) = ∑ c[a, m(a)]
a ∈ V-{a 0 , …,a k }
• donde m(a) significa la ciudad más cercana a
a. Esta heurística proporciona la suma de las
distancias de los nodos aún no alcanzados a
sus vecinos más cercanos. Nótese que m(a)
puede pertenecer o no al conjunto de
ciudades visitadas.
• La demostración formal de la admisibilidad
– Tenemos la heurística h 1 (n). También
tenemos la definición h*(n). Sabemos que
c[x i , x i+1 ] ≥ c[x i , m(x i )].
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Desarrollo de un problema
completo
• Resultado de aplicar la heurística h 1 (n)
• Segunda heurística
h 2 (n) = spanning(V-{a 0 , …,a k-1 })+min c[a, a 0 ]
a ∈ V-{a 0 , …,a k-1 }
– La función spanning(), devuelve el coste de
conectar de forma óptima un conjunto de
nodos.
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Desarrollo de un problema
completo
– Comparación del camino formado por
spanning
→ Demostración formal de la admisibilidad
de h 2 (n):
N-1
min (c[a k ,x k+1 ] + ∑ c[x i , x i+1 ])
x k+1 , …,x n
i = k+1
≥
spanning(V-{a 0 , …,a k-1 })
También:
min c[a, a 0 ] ≤ c[x n , a 0 ], ∀x n ∈ V-{a 0 , …,a k }
a ∈ V-{a 0 , …,a k-1 }
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Desarrollo de un problema
completo
Por último:
→ Resultado de aplicar la heurística h 2 (n)
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completo
• Potencia heurística
h1 (n) ≤ h * (n), h2 (n) ≤ h * (n) (ya dem.)
Además: h2 (n) ≥ h1 (n)
– La explicación es que el más cercano a una
ciudad puede pertenecer al conjunto de
ciudades ya visitadas mientras que en el caso
del spanning no, salvo ak . La necesidad de
conectividad que requiere el spanning
implica un coste mayor. Con el spanning
calculamos el mínimo de lo que queda por
recorrer.
– figura la heurística en ambos casos se aplica
al estado (v0 , v1 ):
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Desarrollo de un problema
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Por otro lado:
min c[a, a0 ] ≥ c[a0 , m(a0 )]
a ∈ V-{a 0 , …,a k-1 }
Y:
∑ c[a, m(a)] = ∑ c[a, m(a)] + c[ak , m(ak )]
a ∈ V-{a 0 , …,a k-1 } a ∈ V-{a 0 , …,a k }
h 2 (n) ≥ ∑ c[a, m(a)] + min c[a, a 0 ]
a ∈ V-{a 0 , …,a k-1 } a ∈ V-{a 0 , …,a k-1 }
≥ ∑ c[a, m(a)] + min c[a 0 , m(a 0 )]
a ∈ V-{a 0 , …,a k-1 }
≥ ∑ c[a, m(a)] = h 1 (n)
a ∈ V-{a 0 , …,a k }
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• Evaluación de las heurísticas
Heurística h(n) = 0 h(n) = h1(n) h(n) = h2(n)
Nodos generados 13 10 7
P 0.25 0.3 0.43
B 1.8 1.72 1.56
Nivel de información 3 2 1
Coste computacional ∅ O(n 2 ) O (nlogn)
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