Licenciatura en Matemáticas Bloque I. Formalización del ...

Páginas Web de la asignatura
Licenciatura en Matemáticas
CURSO 2002-2003
Prácticas
Dpto. de CIENCIA DE LA COMPUTACIÓN
E INTELIGENCIA ARTIFICIAL
Objetivos: Conocer la información que hay en las páginas Web de la
asignatura.
Recogida de material necesario para prácticas (programa
MyC, programa ADN, interprete SWI-Prolog, ejemplos,
editor, enunciado prácticas, ...)
Al inicio de la primera sesión de prácticas se recorrerán las páginas Web de la asignatura que están
disponibles vía Internet, de forma que el alumno sepa donde encontrar la información que necesite en cada
momento. El interprete SWI-Prolog también lo podemos obtener más fácilmente desde dicha página Web en
la siguiente dirección:
http://www.dccia.ua.es/dccia/inf/asignaturas/LPO-LM
Bloque I.
Formalización del conocimiento:
el Lenguaje de la Lógica de Primer Orden
1. Introducción
EL ENTORNO
Si algo caracteriza este final de siglo ¡y de milenio! ha sido sin duda la introducción en nuestras vidas
de los ordenadores. Tenemos ordenadores que nos ayudan a hacer “casi todo”. En esta línea argumental,
hemos desarrollado una herramienta que favorezca el aprendizaje de la lógica, de forma que “practicando”
lógica sea como aprendamos lógica.
En los últimos años ha habido un creciente interés por la lógica desde el campo de la informática, ya
que esta aporta un método formal para la gestión del conocimiento (tanto en el aspecto de representación
como de razonamiento). Como contrapartida, los informáticos han desarrollado distintos programas que
ayudan a los estudiantes a adquirir estas técnicas formales. Los ordenadores nos proporcionan una excelente
herramienta para entender, de forma práctica, algunas de las nociones fundamentales de la lógica así como la
forma de representar y razonar. El programa Moros y Cristianos (MyC) está basado en el programa Tarski’s
World, entorno desarrollado en la universidad de Stanford que sirve de soporte para una nueva aproximación
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ENUNCIADO DE PRÁCTICAS
pedagógica a la enseñanza de la lógica, permitiendo construir mundos tridimensionales de bloques y
describirlos en el lenguaje simbólico de la lógica de primer orden.
MyC permite introducir fórmulas lógica y evaluarlas sintácticamente determinando si son fbf
(fórmulas bien formadas). Al mismo tiempo se pueden crear mundos (interpretaciones) que nos permitirán
evaluar semánticamente dichas fbf. La ventaja estriba en que estos mundos ya nos son abstractos, sino que
son tangibles y reales, y estarán definidos por el alumno que podrá añadir, quitar y modificar sus
componentes. Estos individuos de nuestros mundos podrán ser moros o cristianos, que a su vez pueden tener
distintas características, como por ejemplo llevar armadura, tener espada y montar a caballo.
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2. Instalación y Requerimientos
Moros y Cristianos (MyC) ha sido desarrollado en el departamento de Ciencia de la Computación e
Inteligencia Artificial de la Universidad de Alicante, bajo la dirección de los profesores Faraón Llorens Largo
y Mª Jesús Castel de Haro, y programado por Eugenio Arjones Cano y Alfredo Soro Busto. Se trata de un
programa didáctico de apoyo a la docencia, dirigido fundamentalmente a los alumnos de las asignaturas
Lógica de Primer Orden de las distintas titulaciones en las que se imparte (Ingeniero Técnico en Informática
de Gestión, Ingeniero Técnico en Informática de Sistemas, Ingeniero en Informática y Licenciado en
Matemáticas). El programa está orientado al análisis de fórmulas lógicas, tanto en el aspecto sintáctico como
en el semántico, en un intento de consolidar los conceptos teóricos y asentarlos mediante un entorno
amigable.
Ilustración 1: Ventana "Acerca de ..."
Los requerimientos técnicos mínimos para que el programa pueda funcionar son:
Windows 95
CPU 486 a 66 MHz o superior
8 Mb de memoria RAM
5 Mb de espacio libre en el Disco Duro
Tarjeta de sonido compatible (opcional)
El programa se encuentra disponible en el sitio web de la asignatura
http://www.dccia.ua.es/dccia/inf/asignaturas/LPO-LM
y se puede utilizar libremente con fines educativos. Para cualquier sugerencia sobre el mismo os podéis dirigir
a la dirección de correo electrónico
logica@dccia.ua.es

3. Manejo del Programa
LÓGICA DE PRIMER ORDEN
El programa permite la introducción de fórmulas lógicas y su análisis sintáctico para determinar si
son fórmulas bien formadas (fbf). Estas fórmulas pueden ser evaluadas semánticamente en mundos formados
por individuos que pueden ser moros o cristianos, y que a su vez pueden tener algunas propiedades (llevar
armadura, tener espada y montar a caballo). Esto permite al alumno que se inicia en el aprendizaje de la
lógica entender de forma práctica los conceptos lógicos, conceptos que por sí solos son de naturaleza
eminentemente abstracta y por ello difíciles de entender.
Ventana de
mundo
Barra de Título
1. Descripción
Barra de Menú Barra de Botones
Ventana de
sentencias Chuletón.
Ventana con la
sintaxis
Ilustración 2: Pantalla principal del programa
Barra de Estado
EL LENGUAJE
En un primer momento vamos a trabajar con el aspecto sintáctico de la lógica. El lenguaje que
vamos a utilizar para representar nuestras sentencias (nuestro conocimiento y visión del mundo en el que
trabajaremos) será el lenguaje de la lógica de primer orden. Adaptaremos y restringiremos el alfabeto a las
características de los posibles mundos que podemos representar (formados por moros y cristianos con sus
respectivas propiedades particulares). El alfabeto a utilizar quedará, por tanto, formado por:
• Símbolos de Términos: representan a los objetos de nuestro mundo, que tomarán valores en el
Universo del Discurso. Estos términos pueden ser
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ENUNCIADO DE PRÁCTICAS
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Constantes : son objetos concretos del universo del discurso. Utilizaremos las letras:
a, a0, a1, ..., a9, b, b0, b1, ..., b9, c, c0, c1, ..., c9
Variables : son objetos cualesquiera del universo del discurso. Utilizaremos las letras:
x, x0, x1, ..., x9, y, y0, y1, ..., y9, z, z0, z1, .., z9
• Símbolos de Predicados: representan las relaciones o propiedades que se pueden dar en nuestro
mundo y que se aplican sobre los términos. En concreto tenemos:
EsCristiano(x) x es cristiano
EsMoro(x) x es moro
LlevaArmadura(x) x lleva una armadura
MontaCaballo(x) x va montado a caballo
TieneEspada(x) x va armado con una espada
MasFuerte(x,y) x es más fuerte que y
MasRapido(x,y) x es más rápido que y
EstaEntre(x,y,z) y está situado entre x y z
• Conectivas: son símbolos lógicos que conectan fórmulas, formando formulas más complejas.
Disponemos de las siguientes conectivas lógicas:
Negación ¬ (Alt+n)
Conjunción ∧ (Alt+y)
Disyunción ∨ (Alt+o)
Implicación → (Alt+i)
• Cuantificadores: son símbolos lógicos que nos permiten expresar la cantidad de objetos que
satisfacen cierta condición. Los cuantificadores lógicos de que disponemos son:
Universal ∀ (Alt+t)
Existencial ∃ (Alt+e)
Combinando adecuadamente los símbolos de nuestro alfabeto podemos formar las palabras de
nuestro lenguaje. A las palabras sintácticamente correctas las llamaremos fórmulas atómicas. Así, definimos:
• Fórmula Atómica: son fórmulas lógicas formadas por un símbolo de predicado seguido de n
argumentos ocupados por los correspondientes términos. Por ejemplo, son fórmulas atómicas:
EsCristiano(x) “x es cristiano”
EsMoro(a) “el individuo a es un moro”
LlevaArmadura(b) “b lleva una armadura”
MontaCaballo(y) “y va montado a caballo”
TieneEspada(c) “c va armado con una espada”
MasFuerte(a,b) “a es más fuerte que b”
MasRapido(x,a) “x es más rápido que a”
EstaEntre(x,a,z) “a está situado entre x y z”
Combinando las palabras de forma adecuada podemos construir las frases de nuestro lenguaje. A las
frases sintácticamente correctas las llamaremos fórmulas bien formadas (fbf). Las reglas para la construcción
de fbf son:
• Fórmula Bien Formada (fbf): son fórmulas lógicas construidas según las siguientes reglas:
1. Toda fórmula atómica es fbf
2. Si F1 y F2 son fbf entonces
(F1) es una fbf
¬F1 es una fbf
F1 ∧ F2 es una fbf

F1 ∨ F2 es una fbf
F1 → F2 es una fbf
3. Si F es una fbf con la variable x libre entonces
∀x F es una fbf
∃x F es una fbf
4. Únicamente son fbf las construidas con los pasos 1 a 3
LÓGICA DE PRIMER ORDEN
Para evaluar sintácticamente las fórmulas (determinar si son fbf) disponemos de la opción de
“Verificar” fórmulas o simplemente pulsando el botón que hay al lado de la sentencia.
2. Ejercicios
Veamos algunos ejercicios que podemos resolver ayudados por el programa MyC.
1. Evaluación Sintáctica de fórmulas sin cuantificación
Escribe las fórmulas bien formadas correspondientes a las siguientes sentencias:
• El individuo a es moro o es cristiano
• a es un moro y b es un cristiano
• a es un moro a caballo con armadura pero que no lleva espada
• El cristiano b es más fuerte o más rápido que el moro a
• Si b es cristiano entonces lleva armadura y espada
• a es moro y además si b es cristiano entonces es más fuerte a que b.
Evalúalas sintácticamente para comprobar que realmente están bien escritas y las guardas en el
fichero “practica1.sen”.
2. Evaluación Sintáctica de fórmulas con cuantificación
Escribe las fórmulas bien formadas correspondientes a las siguientes sentencias:
• Todos son moros o todos son cristianos
• Todos son moros o cristianos
• Al menos existe un moro y un cristiano
• Todos los cristianos sin armadura llevan espada
• Para cada cristiano hay un moro que es más fuerte o rápido que él
• Algún moro es más fuerte que todos los cristianos
Evalúalas sintácticamente para comprobar que realmente están bien escritas y las guardas en el
fichero “practica2.sen”.
3. Traducción de fórmulas a lenguaje natural
Escribe las siguientes fórmulas bien formadas en la ventana de sentencias y las guardas en el fichero
“practica3.sen”. Escribe una frase en lenguaje natural (castellano) para cada una de ellas :
∃x (EsMoro(x) ∧ ∀y ( EsCristiano(y) →MasFuerte(x,y)))
∃x ∀y (EsMoro(x) ∧ ( EsCristiano(y) →MasFuerte(x,y)))
∃x ∀y ((EsMoro(x) ∧ EsCristiano(y)) →MasFuerte(x,y))
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ENUNCIADO DE PRÁCTICAS
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1. Descripción
LOS MUNDOS
Los mundos nos permitirán trabajar con el aspecto semántico de la lógica. Para poder evaluar
semánticamente las fórmulas bien formadas que hemos escrito antes (estudiar el significado y el valor de
verdad de dichas fbf), necesitamos un mundo donde interpretarlas. Para ello, en lugar de trabajar en abstracto,
con cualquier mundo pensable (cualquier dominio o universo del discurso), adoptaremos un enfoque
minimalista de forma que “cerraremos” el mundo donde evaluamos nuestras sentencias. Por tanto asumimos
que los únicos individuos que existen y las únicas propiedades que se cumplen son las que aparecen
explícitamente representadas en el mundo.
Nuestro mundo se limita a un tablero de 8 x 8 posiciones (64 casillas) donde podemos situar a
nuestros individuos. Cada posición vendrá determinada por la fila (de la A a la H) y la columna (del 1 al 8).
Ilustración 3: Ventana de mundo: Tablero
Estos individuos que podremos incluir en nuestro mundo podrán ser exclusivamente moros o
cristianos y podrán tener alguna de las características permitidas (espada, armadura y caballo). La
representación gráfica para los distintos tipos de individuos de que disponemos la podemos ver en la siguiente
figura.
Ilustración 4: Tipos de individuos

LÓGICA DE PRIMER ORDEN
En el tablero podremos insertar un individuo mediante la opción del menú “Insertar pieza”. A dicho
objeto le tenemos que dar obligatoriamente un nombre que lo identifique de manera inequívoca (términos
constantes definidos en el lenguaje) :
a, a0, a1, ..., a9, b, b0, b1, ..., b9, c, c0, c1, ..., c9
Ilustración 5: Insertar una nueva pieza
Ilustración 6: Tablero con pieza
También podemos insertar una nueva pieza haciendo click con el botón derecho del ratón sobre la
casilla deseada, con lo que nos evitamos tener que introducir las coordenadas de la posición en el tablero.
Ilustración 7: Insertar pieza desde tablero
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ENUNCIADO DE PRÁCTICAS
Para modificar las características de cualquier pieza basta con pulsar el botón derecho del ratón sobre
la misma, con lo que abrirá la ventana de insertar nueva pieza con las características que tiene en este
momento. Modificando esta información actualizaremos a los valores nuevos que deseemos.
Podemos cambiar las piezas de posición si pulsamos el botón izquierdo del ratón sobre la pieza y, sin
soltarlo, la desplazamos hasta la nueva casilla. Para eliminar de nuestro mundo un determinado individuo
disponemos de la opción del menú “Quitar pieza” que nos pedirá la posición de la pieza que queremos
eliminar.
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2. Ejercicios
Ilustración 8: Eliminar pieza
Veamos algunos ejercicios que nos permitirán evaluar semánticamente las fórmulas.
4. Inducción de reglas
Prueba con distintos mundos y determina cual es la regla que permite saber cuando un individuo es
más fuerte que otro. Haz lo mismo para el predicado más rápido.
5. Evaluación Semántica de fórmulas sin cuantificación
Abre un mundo nuevo y busca un modelo (interpretación que hace verdadera la fórmula) y un
contramodelo (interpretación que hace falsa la fórmula) para cada una de las sentencias del ejercicio 1 del
apartado anterior ("practica1.sen"). Para ello inserta y/o elimina los individuos que creas necesarios.
¿Puedes encontrar un mundo donde todas sean ciertas al mismo tiempo? Si la respuesta anterior es
negativa, ¿qué sentencias son las que entran en contradicción?
Cambia alguna sentencia para hacer que en dicho mundo todas las sentencias sean verdaderas al
mismo tiempo (que sea modelo del conjunto completo de sentencias) y lo guardas en el fichero
“practica1.mun”.
La sentencia 5 “Si b es cristiano entonces lleva armadura y espada” es cierta ya que en nuestro
mundo hemos incluido un cristiano llamado b que lleva armadura y espada (para que se cumplan las
sentencias 2 y 5); por otro lado nuestro mundo también incluye un individuo a que es moro y no tiene espada
(para que sean ciertas las sentencias 2 y 3). En este mismo mundo ¿qué valor tendría la sentencia “Si a es
cristiano entonces lleva armadura y espada”? (razona la respuesta)

6. Evaluación Semántica de fórmulas con cuantificación
LÓGICA DE PRIMER ORDEN
Abre un mundo nuevo y busca un modelo (interpretación que hace verdadera la fórmula) y un
contramodelo (interpretación que hace falsa la fórmula) para cada una de las sentencias del ejercicio 2 del
apartado anterior ("pratica2.sen"). Para ello inserta y/o elimina los individuos que creas necesarios.
¿Puedes encontrar un mundo donde todas sean ciertas al mismo tiempo? Si la respuesta anterior es
negativa, ¿qué sentencias son las que entran en contradicción?
Cambia alguna sentencia para hacer que en dicho mundo todas las sentencias sean verdaderas al
mismo tiempo (que sea modelo del conjunto completo de sentencias) y guardalo en el fichero
“practica2.mun”.
7. Clasificación semántica de fórmulas
a) ¿Puedes encontrar un contramodelo de la primera sentencia del ejercicio 1 "El individuo a es moro o
cristiano"? ¿Por qué? ¿Cómo calificarías a dicha fórmula?
Escribe una fórmula sin cuantificación que sea CONTRADICCIÓN, una que sea TAUTOLOGÍA y una que
sea INDETERMINACIÓN en los mundos posibles que se pueden crear con este programa.
b) ¿Puedes encontrar un contramodelo de la segunda sentencia del ejercicio 2 "Todos son moros o
cristianos"? ¿Por qué? ¿Cómo calificarías a dicha fórmula?
Escribe una fórmula cuantificada que sea CONTRADICCIÓN, una que sea TAUTOLOGÍA y una que sea
INDETERMINACIÓN en los mundos posibles que se pueden crear con este programa.
8. Análisis semántico de fórmulas
Abre el fichero “practica3.sen” (sentencias introducidas en el ejercicio 3 del apartado anterior).
Analiza las tres fórmulas, estudiando la semejanza o diferencia entre ellas. Para ello te puede ayudar crear
mundos donde evaluarlas. Crea un mundo donde no haya moros, ¿qué ocurre?
∃x (EsMoro(x) ∧ ∀y ( EsCristiano(y) →MasFuerte(x,y)))
∃x ∀y (EsMoro(x) ∧ ( EsCristiano(y) →MasFuerte(x,y)))
∃x ∀y ((EsMoro(x) ∧ EsCristiano(y)) →MasFuerte(x,y))
LA PRÁCTICA
Además de para la evaluación sintáctica y semántica de fórmulas lógicas, este programa nos puede
ayudar a entender y practicar con otros conceptos lógicos: equivalencia de fórmulas, fórmulas
complementarias, concepto semántico de deducción correcta, método del contraejemplo, ... En este apartado
vamos a realizar algunos ejercicios que nos permitan repasar algunas de estas nociones.
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ENUNCIADO DE PRÁCTICAS
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1. Ejercicios de equivalencia de fórmulas
9. Fórmulas sin cuantificación
a) Escribe las fórmulas bien formadas correspondientes a las siguientes sentencias y las guardas en el fichero
“practica4a.sen”. Evalúalas sintácticamente para comprobar que realmente están bien escritas.
• Si b es cristiano entonces lleva espada
• Solo si b es cristiano llevará espada
• O b no es cristiano o lleva espada
• O b es cristiano o no lleva espada
• b es cristiano con espada
• No es cierto que b sea un cristiano que no lleve espada
Abre un mundo nuevo ("practica4a.mun") e inserta los individuos que creas necesarios. Comprueba
qué sentencias son equivalentes. Haz modificaciones en el mundo para ver el efecto sobre el valor de verdad
de dichas sentencias.
b) Escribe las fórmulas bien formadas correspondientes a las siguientes sentencias y las guardas en el fichero
“practica4b.sen”. Evalúalas sintácticamente para comprobar que realmente están bien escritas.
• No es cierto que a sea un moro que monte a caballo
• Ni a es un moro ni monta a caballo
• a es un moro que monta a caballo
• O a no es moro o no monta a caballo
• No es cierto que a sea un moro o que monte a caballo
• O a es moro o monta a caballo
Abre un mundo nuevo ("practica4b.mun") e inserta los individuos que creas necesarios. Comprueba
qué sentencias son equivalentes. Haz modificaciones en el mundo para ver el efecto sobre el valor de verdad
de dichas sentencias.
10. Fórmulas con cuantificación
Escribe las fórmulas bien formadas correspondientes a las siguientes sentencias y las guardas en el fichero
“practica4c.sen”. Evalúalas sintácticamente para comprobar que realmente están bien escritas.
• Todos los individuos son no moros
• No existe ningún individuo que sea moro
• Algún individuo no es moro
• No todos los individuos son moros
• No existe ningún individuo que no sea moro
• No todos los individuos son no moros
Abre un mundo nuevo ("practica4c.mun") e inserta los individuos que creas necesarios. Comprueba
qué sentencias son equivalentes. Haz modificaciones en el mundo para ver el efecto sobre el valor de verdad
de dichas sentencias.

Bloque II.
Sistemas de Demostración:
Asistente para la Deducción Natural (ADN)
1. ADN (Asistente para Deducción Natural)
LÓGICA DE PRIMER ORDEN
El Asistente para Deducción Natural es una herramienta didáctica que asiste al alumno que se inicia en la
técnica de Deducción Natural a elaborar sus propias deducciones. Comprueba si la fórmula es sintácticamente
correcta (fbf) y si se ha obtenido de forma adecuada (reglas básicas). Además, posee las siguientes
herramientas de apoyo: visor de árboles sintácticos de las fórmulas, informe detallado de los errores, visor de
reglas básicas, aconsejador y ayuda en línea. ADN puede ser ejecutado con cualquier navegador, ya que se
trata de un applet escrito en Java. Se encuentra disponible en internet en el sitio web:
http://www.dccia.ua.es/logica/ADN
Ilustración 9: Ventana principal del ADN
En la Ilustración 9 se muestra la pantalla principal del ADN y las partes en las que se divide la misma:
Editor de la fórmula objetivo: nos permite editar la fórmula que será el objetivo de la deducción.
Cuerpo de la deducción (pizarra): en esta zona se irán visualizando los pasos de la deducción. Se pueden
observar tres partes (dispuestas en columnas):
Numeración de las líneas, para poder hacer referencia a ellas.
Fórmulas lógicas que vamos obteniendo. Las sangrías indican que entramos en un nuevo supuesto (hacia la
derecha) o que lo cancelamos (vuelta a la izquierda), configurando lo que llamaremos subpruebas.
Justificación de la fórmula obtenida mediante la aplicación de una regla básica a una o más fórmulas
anteriores.
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ENUNCIADO DE PRÁCTICAS
Editor de fórmulas: se utiliza para insertar nuevas fórmulas dentro de la deducción y decir de qué fórmulas
han derivado las mismas.
Área de opciones del programa: aquí tenemos los botones que acceden a las diferentes funciones del asistente:
Árbol, Aconsejar, Ayuda, Reglas, ...
Ventana de información: en este área se muestra información al usuario.
2. EL LENGUAJE
La lógica pretende formalizar las expresiones del conocimiento humano. Y dicho conocimiento lo adquirimos
y transmitimos por medio del lenguaje. Pero el lenguaje natural que utilizamos es ambiguo y engorroso, y por
ello, para trabajar formalmente con el conocimiento, necesitamos un lenguaje artificial. En el lenguaje que
utilizamos en la Lógica de Primer Orden descomponemos las frases en objetos y relaciones/propiedades,
dando lugar a los conceptos de términos y predicados. ADN utiliza el alfabeto clásico de la Lógica de Primer
Orden y la definición usual de fórmula bien formada (fbf).
Veamos un ejemplo. Sea la sentencia "hay una mujer que gusta a todos los hombres", que utilizando el
lenguaje de la lógica de primer orden se correspondería con la siguiente fórmula bien formada (fbf):
∃y { mujer(y) ∧ ∀x [hombre(x) → leGustaA(x,y)] }
Si utilizamos para los predicados las letras P (ser mujer), Q (ser hombre) y R (le gusta) quedaría:
∃y { P(y) ∧ ∀x [Q(x) → R(x,y)] }
Representar la fórmula en forma de árbol etiquetado nos puede ayudar a ver claramente la estructura
sintáctica de la misma. El árbol sintáctico de la fórmula bien formada P(a) → ∃y P(y), proporcionado por el
programa ADN, lo podemos ver en la Ilustración 10. El árbol sintáctico de una fórmula lógica nos permite
distinguir claramente cuál es el operador principal y las prioridades entre ellos. Esto nos ayudará en la
posterior manipulación sintáctica cuando tengamos que aplicar las reglas de la deducción.
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Ilustración 10 : Árbol sintáctico
3. PASOS DE LA DEDUCCIÓN NATURAL
Uno de los aspectos fundamentales de la lógica es que, además de un lenguaje de representación y
formalización de conocimiento, nos proporciona unas técnicas de razonamiento o inferencia, que nos
permiten obtener nuevo conocimiento a partir del que ya poseemos. Existen distintos métodos para ello.

LÓGICA DE PRIMER ORDEN
Nosotros vamos a trabajar con la Deducción Natural, sistema formal que a partir de unas premisas y con el
único apoyo de unas reglas básicas, obtiene determinadas conclusiones. Así, si asumimos las premisas y cada
paso elemental que damos lo justificamos con una regla básica, iremos obteniendo nuevas fórmulas lógicas
que podemos asumir como conclusiones derivadas de las premisas. Todas las fórmulas lógicas que vamos
introduciendo son visualizadas en la parte central de la ventana de ADN, que llamaremos pizarra. Una
deducción la podemos considerar como un algoritmo que partiendo de unos valores de entrada (premisas)
obtiene unas determinadas salidas (conclusiones) utilizando un conjunto dado de instrucciones (reglas).
a) Reglas básicas
Para determinar las reglas básicas de la Deducción Natural nos basaremos en el cálculo de Gentzen
[Gentzen1934] que propone dos reglas (una de introducción y otra de eliminación) para cada símbolo lógico
(conectivas y cuantificadores). Si la regla básica introduce en su conclusión una conectiva o cuantificador que
no aparece en sus premisas será una regla de introducción; si elimina de su conclusión una conectiva o
cuantificador que aparece en sus premisas será una regla de eliminación. Se intuye que si disponemos de
procedimientos para añadir o quitar los distintos símbolos lógicos, podremos transformar por pura
manipulación sintáctica las premisas en la conclusión. Así, aplicando un punto de vista de ingeniería, se
trataría de desmontar las fórmulas lógicas que tenemos como premisas hasta obtener sus componentes básicas
(fórmulas atómicas) y volver a montarlas en la configuración adecuada (fórmula lógica que queremos obtener
como conclusión). Las reglas serían los instrumentos que nos permitirían montar y desmontar dichas fórmulas
lógicas. En la ventana de reglas básicas visualizamos las reglas de introducción y eliminación correspondiente
al operador lógico que esté seleccionado en la lista superior (Ilustración 11).
Ilustración 11: Ventana de Reglas Básicas
Tendremos un deducción correcta cuando consigamos una secuencia finita de fórmulas, donde cada una de las
fórmulas ha sido obtenida mediante la aplicación de alguna regla de inferencia. En ADN, cada línea de
nuestra deducción (y por tanto la fórmula lógica escrita en ella) estará "justificada" por la aplicación de una
regla básica a alguna o algunas líneas anteriores. Dicha justificación aparece en la columna de la derecha. Por
ejemplo, la justificación de la línea 11 de la Ilustración 9, EE 1,2-10 significa que esa fórmula la hemos
obtenido porque tenemos una fórmula cuantificada existencialmente en la línea 1, suponemos en la línea 2
que un individuo genérico del dominio (b) cumple dicha fórmula y llegamos en la línea 10 a una conclusión
que no depende de la elección, por lo que podemos concluir la fórmula de dicha línea.
b) Subdeducciones
Otro de los aspectos cruciales de la deducción natural es el de las subpruebas (subdeducciones o
subderivaciones). En cualquier paso de nuestra deducción podemos introducir un supuesto provisional, que
debe ser cancelado en alguna línea posterior. Desde el supuesto hasta la cancelación tendremos una
subdeducción. Así, en nuestras deducciones tendremos fórmulas a distintos niveles, que visualizaremos
gráficamente mediante una sangría a la derecha. Los supuestos provisionales son una herramienta muy
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ENUNCIADO DE PRÁCTICAS
potente ya que nos permiten suponer lo que nosotros queramos. Pero debemos pagar un alto precio por ello:
para poder finalizar una demostración deberemos haber cancelado todos los supuestos que hayamos hecho.
Por tanto, la cancelación de supuestos provisionales se convierte en una pieza clave de las deducciones
naturales. Cuando un supuesto es cancelado, sangramos a la izquierda y sombreamos en gris las fórmulas
interiores de la subdeducción. Dichas fórmulas interiores serán inaccesibles a partir de este momento. La
utilización de subdeducciones nos permite "modularizar" nuestras deducciones, planteándonos subobjetivos
más sencillos que el objetivo final, y que en su conjunto nos lleven a la conclusión que buscamos.
4. EL asistente
El ADN dispone de una herramienta muy útil a la hora de realizar una deducción. Está herramienta es el
Aconsejador. El aconsejador analiza las fórmulas de la deducción e intenta guiarnos hacia el objetivo o
decirnos qué reglas podemos aplicar. No nos llevará siempre a la solución, ya que la deducción natural en
lógica de primer orden no es un problema decidible, simplemente es un apoyo. En cualquier momento
podemos poner en marcha el aconsejador, y se puede dejar visible durante toda la deducción, con lo que se irá
actualizando conforme añadamos o eliminemos fórmulas. En la Ilustración 12 se puede ver la ventana del
aconsejador.
Ilustración 12: Ventana del Aconsejador
En la parte superior de la ventana se muestra una sugerencia de lo que podemos hacer y justo debajo da una
pista gráfica con las fórmulas que tenemos en la deducción. Podemos navegar entre todos los consejos
generados mediante los botones de Anterior y Siguiente. En la barra de estado del aconsejador podemos ver
cuantos consejos se han generado (a la derecha) y cuál estamos visualizando actualmente (a la izquierda). El
ADN muestra consejos generados de arriba-abajo (basados en las premisas y fórmulas previas) así como
consejos generados de abajo-arriba (basados en la conclusión).
5. Un ejemplo
En la Ilustración 13 podemos ver un ejemplo de deducción natural realizado mediante el ADN:
∀x P(x) ∨ ∀x Q(x) ⇒ ∀x (P(x) ∨ Q(x))
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6. Ejercicios
Ilustración 13: Ejemplo
1. Deducción Natural sin cuantificación
Ejercicio 1:
Ejercicio 2:
¬P ∨ ¬Q, R → P, S → Q ⇒ ¬R ∨ ¬S
P → Q ⇒ ¬(P ∧ ¬Q)
2. Deducción Natural con cuantificación
LÓGICA DE PRIMER ORDEN
Ejercicio 3:
∃x {P(x) ∧ ∀y [Q(y) → R(x,y)]}, ∀x ∀y [P(x) ∧ S(y) → ¬R(x,y)] ⇒ ∀x [Q(x) → ¬S(x)]
Ejercicio 4:
∀x ∀y ∃z [P(x,y) ∨ Q(z)], ∃x ∃y {¬R(x,y) ∨ [S(x) ∧ T(y)]}, ∀x [S(x) → ∃x ∃y ¬P(x,y)], ¬∃x Q(x) ⇒
⇒ ∃x ∃y ¬R(x,y)
Ejercicio 5:
¬ [ ¬ ∃x ¬P(x) ∧ ¬ ∀x P(x)]
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ENUNCIADO DE PRÁCTICAS
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Bloque III.
Automatización del Razonamiento:
el Lenguaje de Programación Lógica Prolog
Este segundo bloque de la parte práctica de la asignatura se realizará utilizando el lenguaje de
programación lógica Prolog, en concreto SWI-Prolog, para Windows 1 . SWI-Prolog es un interprete Prolog
de dominio público para ordenadores PC desarrollado en el Dept. of Social Science Informatics (SWI) de la
Universidad de Amsterdam. Tanto el software, el manual de referencia (en formato PostScript), como distinta
información sobre el interprete la podemos encontrar en la siguiente dirección:
http://www.swi.psy.uva.nl/projects/SWI-Prolog
Es potente y flexible (permite integración con C), y tiene las ventajas de que, de momento, se
mantiene actualizado y se ejecuta sobre un entorno gráfico más agradable para el usuario. Para ejecutarlo, una
vez iniciado Windows, basta con hacer doble click sobre el icono correspondiente (plwin.exe).
Ilustración 14: Ventana de SWI-Prolog
1. Manejo del Entorno de Trabajo
Este primer apartado corresponde a un nivel introductorio, y por tanto su objetivo es que el alumno
se familiarice y adquiera cierta soltura para desenvolverse en el entorno de trabajo de SWI-Prolog (entrada y
salida del sistema, consulta de programas, edición y modificación de programas, ...), así como con la forma de
funcionamiento y los predicados predefinidos del lenguaje Prolog (cualquier prolog estándar, en general).
Durante las primeras sesiones de prácticas, el profesor o profesora correspondiente impartirá el
seminario de Prolog, mediante clases dirigidas, explicando los distintos conceptos necesarios para trabajar en
Prolog, el entorno de trabajo de SWI-Prolog [Wielemaker96], los predicados predefinidos, ... Se trabajarán los
1 Este documento se ha escrito trabajando en la versión 4.0.9. Esta versión es la que se encuentra instalada en
los ordenadores de los laboratorios de prácticas y se puede encontrar en el sitio web de la asignatura

LÓGICA DE PRIMER ORDEN
ejemplos del Anexo A Prolog del libro [Castel96] y que se encuentran en los ficheros ej01.pl a ej09.pl
del directorio ejemplos.
Entorno SWI-Prolog
El interprete SWI-Prolog posee un sistema de ayuda en línea que se puede consultar mediante los
predicados:
?- help.
?- help(Termino).
?- help(Seccion).
?- apropos(Cadena).
Al estar desarrollado sobre plataforma Unix, reconoce algunas órdenes del sistema operativo que nos pueden ser
de utilidad:
cd cambiar el directorio de trabajo
pwd muestra el directorio de trabajo
ls muestra el contenido del directorio de trabajo
...
?- halt.
Para terminar la sesión y salir del interprete SWI-Prolog utilizaremos el predicado:
Edición de programas
Objetivos: Arranque de SWI-Prolog.
Obtención de ayuda: help
Órdenes del S.O.: pwd, ls, cd, ...
Salir de SWI-Prolog: halt
Más información la podemos encontrar en línea con:
?- help(2-6). Online Help
?- help(3-40). User Toplevel Manipulation
Objetivos: Edición de programas: pfe , bloc de notas o PCE Emacs
Consulta de ficheros: consult
Comentarios en Prolog: /* ... */ o %
Concepto de términos constantes, variables y predicados.
Guardar fichero en disco de trabajo, unidad A:.
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ENUNCIADO DE PRÁCTICAS
En la Ilustración 15 podemos ver un esquema de la forma de trabajo en Prolog. Mediante un editor
de texto escribiremos nuestra Base de Conocimientos compuesta por distintos hechos y reglas que reflejan
nuestro conocimiento acerca del problema a formalizar. Para poder utilizarlo deberemos guardarlo en disco
(disco duro o disquete) 2 .
?- edit(Fichero).
Posteriormente deberemos abrir la ventana de SWI-Prolog y consultar el fichero deseado. Un
programa prolog se puede consultar mediante el predicado consult o encerrado entre corchetes:
?- consult(Fichero).
?- [Fichero].
Ejemplos: ?- consult(practica1).
?- consult(‘practica1.pl’).
?- [practica1].
?- consult(‘a:practica1.pl’).
?- [‘a:practica1.pl’].
Si el nombre del fichero tiene algún carácter distinto de letras o dígitos (espacios, dos puntos, barra,
...) debe ir entrecomillado con comillas simples, para que prolog lo reconozca como un átomo. Por defecto, la
extensión .pl no es necesario escribirla.
Una vez consultada la base de conocimientos correspondiente, estaremos en condiciones de hacer las
preguntas que queramos que resolver. Este ciclo se repetirá continuamente (editar-guardar-consultarpreguntar)
hasta que demos por finalizado nuestro trabajo.
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Consultar
Preguntas
Ilustración 15: Esquema de trabajo en Prolog
Base de Conocimientos:
• Hechos
• Reglas
Guardar
2 Guarda tus programas prolog en un disquete (unidad a:). Si utilizas un directorio temporal de trabajo en el
disco duro, al finalizar cada sesión guarda tus ficheros en el disquete y bórralos del disco duro.

LÓGICA DE PRIMER ORDEN
Todos los programas deberán empezar con los datos de los autores, entre comentarios. Para escribir
un programa Prolog se puede utilizar cualquier editor de texto., como por ejemplo el bloc de notas de
Windows. Cuando escribamos programas de muchas líneas y tengamos que corregir errores, como el
interprete nos da el número de la línea donde este aparece, es conveniente que utilicemos un editor que tenga
numeración de líneas, como por ejemplo pfe ("Programmer's File Editor"). En la Ilustración 16 podemos ver
la ventana de este editor de dominio público. Podemos encontrar más información sobre él en la dirección
electrónica:
http://www.lancs.ac.uk/people/cpaap/pfe/
Ilustración 16: Editores Bloc de notas y pfe
A partir de la versión 4, SWI-Prolog incorpora el editor PCE Emacs, que reconoce la sintaxis de
colores para Prolog y con una barra de menú personalizada para el Prolog, entre otras cosas. Para ello
llamaremos al editor con el predicado:
?- emacs(Fichero).
Ilustración 17: Editor PCE Emacs
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ENUNCIADO DE PRÁCTICAS
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También dispone de un navegador Prolog, que se llama desde el menú Browse -> Prolog Navigator :
Ilustración 18: Navegador Prolog
Más información la podemos encontrar en línea con:
?- help(3-3). Consulting Prolog Source files
2. Base de Conocimientos: gestión universitaria
Este segundo apartado corresponde a un segundo nivel en el cual el alumno/a realiza pequeños
ejercicios que se le van planteando en clase y que al final conformarán una Base de Conocimientos que
recopila información sobre un dominio (problema) dado. Para este curso se ha elegido la representación de la
información correspondiente a la gestión universitaria : asignaturas, profesores, alumnos, notas, ...

Declaración de hechos
LÓGICA DE PRIMER ORDEN
Escribir en Prolog una Base de Conocimientos (“practica.pl”) que permita representar la información
referente a la gestión universitaria : asignaturas, profesores, alumnos, notas, ... Como primer paso, debéis
formalizar y representar la información de las siguientes tablas (y otra que se os ocurra) en forma de hechos
de Prolog.
Código Asignatura Curso Créditos teoría Créditos prácticas
LPO Lógica de Primer Orden 1º 3 1'5
PRO Probabilidad 1º 4'5 4'5
IN2 Informática II 2º 3 1'5
ALO Ampliación de Lógica Lib. Conf 3 1'5
FIA Fundamentos de Inteligencia Artificial Optativa 3 1'5
Alumno Nº Expediente LPO PRO IN2 ALO FIA
Pepe 1 7'5 6 8 9 8'5
Ana 2 3 5'5 6 NM 7
María 3 9 8'5 7'5 8 NP
Jordi 4 4 3 6 NM 6
Clara 5 8 7 7'7 10 9
• Declararemos Hechos que sigan los siguientes esquemas de relación:
asignatura(Cod,Nom,Curso,CrT,CrP)

ENUNCIADO DE PRÁCTICAS
Para representar las relaciones existentes entre distintos objetos podemos utilizar las reglas. Así, por
ejemplo, dos personas serán hermanos si tienen los mismo padres. Define una serie de reglas que reflejen
distintas relaciones entre las informaciones anteriores.
• Definiremos Reglas para obtener los siguientes esquemas de relación:
asignatura(C,N)