METODOS NUMERICOS 3006907 TALLER 5, SEMESTRE 01 ...

Tema: Interpolación y aproximación polinomial
METODOS NUMERICOS 3006907
TALLER 5, SEMESTRE 01–2013
1. Demuestre que el polinomio que interpola los siguientes datos es de grado 3
x −2 −1 0 1 2 3
f (x) 1 4 11 16 13 −4
2. Aproximar la función f (x)=tan −1
e cos(x2 +1)
para x∈[−3,8] por medio del polinomio interpolante de grado 4
empleando los nodos:
(a) x0 =−3, x1 =−1, x2 = 1
2 , x3 = 5
2 y x4 = 7.
(b) x0 =−1, x1 = 5
2 , x2 =−3, x3 = 7 y x4 = 1
2 .
(c) x0 = 5
2 , x1 = 1
2 , x2 = 7, x3 =−3 y x4 =−1
¿Qué puede concluir?
3. Se llevan a cabo unos experimentos y se determinan los valores de capacidad calorífica a diferentes temperaturas
para un metal
Temperatura, T −50 −20 10 70 100 120
Capacidad, C 0.125 0.128 0.034 0.144 0.15 0.155
Utilice todos los puntos para hallar el polinomio interpolante que permite aproximar la capacidad calorífica para
cualquier temperatura.
4. Considere la función f (x)= x3 + sen(x)
ex y los nodos x0 =−3.5, x1 =−2.8, x2 =−1.1, x3 = 2.4, x4 = 5.1. Encon-
+ 15
trar:
(a) El polinomio interpolante para f usando todos los nodos.
(b) El valor de f [−2.8,−1.1,2.4].
(c) El valor aproximado de f (7.8).
(d) El error relativo cometido al aproximar f (7.8) por medio del polinomio interpolante hallado en a.
5. Considere la función f (x)= cos(x)
ln(e x + 15) y los nodos x0=−3.8, x1=−1.8, x2= 1.1, x3= 2.4, x4= 5.1. Encontrar:
(a) El polinomio interpolante para f usando todos los nodos.
(b) El valor de f [1.1,2.4,5.1].
(c) El valor aproximado de f (−7.6).
(d) El error relativo cometido al aproximar f (−7.6) por medio del polinomio interpolante hallado en a.
6. Considere la nube de puntos dada en la siguiente tabla:
Calcular:
(a) La diferencia dividida f [2.1,3.5,4.8].
(b) El coeficiente de L3(x) que acompaña a x 4 .
x −3 −2.8 −2 −0.8 2.1 3.5 4.8
f (x) 12 1.3 14 1.8 5 −2.3 −6.3

(c) El número de raices que tiene el polinomio interpolante en [−3,4.8].
7. Considere los siguientes datos
Halle:
(a) El polinomio que interpola estos datos.
(b) El valor aproximado de y(1.87).
(c) El polimonio de Lagrange L2(x).
t −4 −3 2.3 3.5 3.75
y(t) −3700 −500 1000 −1800 2800
8. Considere la función f (x)=10 ln(x2 +3)
x2 sen(5x) para x∈[1,8].
(a) Aproximar la función por medio de polinomios interpolantes P2(x), P3(x), P4(x) y P5(x) empleando nodos
equidistantes.
(b) Graficar f (x) vs Pi(x) para i=2,...,5.
(c) Graficar errores, es decir, E(x) = | f (x)−Pi(x)| para i = 2,...,5. ¿Cuál produce menor error? ¿Qué puede
concluir?
(d) Ahora, aproxime la función f (x) para x∈[1,8] por medio del polinomio interpolante P10(x) empleando nodos
equidistantes. Graficar el error. ¿Qué puede concluir?
Sugerencia: Para graficar errores genere un vector xx=linspace(1,8,1000) y grafique con plot el valor absoluto
de f (xx)−Pi(xx). Para evaluar polinomios se utiliza la instrucción polyval.
9. Realizar un proceso similar al propuesto en el ejercicio anterior para f (x)=8e −x2+
sen(3x) para x∈[−10,10].
10. En la siguiente tabla se muestran temperaturas que fueron medidas cada hora, durante un lapso total de 5 horas, en
Sevilla, España, un día 20 de Octubre
Hora 13 14 15 16 17 18
Grados (Celsius) 18 18 17 16 15 14
(a) Construir un polinomio interpolante correspondiente a los valores de la tabla que permita interpolar y extrapolar
las temperaturas en las diferentes horas del día.
(b) Aproximar la temperatura cuando eran las 8:00 a.m. y la temperatura que se espera a las 7:00 p.m.
(c) ¿La temperatura sigue decreciendo a lo largo del día?
11. Considere la nube de puntos dada en la siguiente tabla:
xk −8 −1 0 2 5 9 13 20
yk 7.5 6.8 −2.3 7.8 5.33 2.01 −2.56 −6.58
(a) Hallar el spline cúbico natural que pasa por los puntos de la tabla.
(b) Hallar el spline cúbico sujeto que pasa por los puntos de la tabla donde S ′ (−8)=2 y S ′ (20)=−3.
(c) Hallar el spline cúbico extrapolado que pasa por los puntos de la tabla.
(d) Hallar el spline cúbico con terminación parabólica que pasa por los puntos de la tabla.
(e) Hallar el spline cúbico que pasa por los puntos de la tabla tal que S ′′ (−8)=12 y S ′′ (20)=−1.
12. Un automóvil va por una carretera recta y su velocidad se cronometra en varios puntos. Los datos tomados de las
observaciones aparecen en la tabla adjunta, donde el tiempo se anota en segundos, la distancia en pies y la velocidad
en pies por segundo.
Tempo 0 3 5 8 13
Distancia 0 225 383 623 993
Velocidad 75 77 80 74 72
(a) Use un trazador cúbico sujeto para aproximar la posición del automovil y su velocidad cuando t = 10s.
(b) Use la derivada del trazador para determinar si el automóvil rebasa el límite 55mi/h; de ser así, ¿en qué
momento el automóvil lo excede?
2

(c) ¿Cuál es la velociadad máxima predecible del automóvil?
Ayuda: recuerde que 1pie=0.000189393939millas.
13. Considere la nube de puntos dada en la siguiente tabla:
xk −3 −2 −1 0 1 2 3 4
yk 8.25 7.21 6.62 3.94 2.17 1.35 0.89 0.99
(a) Hallar la recta de regresión para el conjunto de datos.
(b) Hallar los polinomios óptimos de mínimos cuadrados de grado 2 y grado 5 para el conjunto de datos.
14. En general, el área exterior A del cuerpo de un ser humano está relacionado con su peso W, y su altura H. Midiendo
a varios individuos con altura 180 cm. y distintos pesos se obtuvo la siguiente tabla
W (kg) 70 45 77 80 82 84 87 90
A (m 2 ) 2.1 2.12 2.15 2.2 2.22 2.23 2.26 2.3
La ley de potencia A=aW b ajusta los datos razonablemente. Encuentre constantes a y b y prediga el área exterior
de una persona de 95 kg.
15. Considere los siguientes datos
xk -3 -2 -1 0 1 2 3 4
yk 8.25 7.21 6.62 3.94 2.17 1.35 0.89 0.99
Determine la curva y= 1
que mejor se ajusta en el sentido de los mínimos cuadrados para el conjunto de datos.
Ax+B
16. Cuando una población P(t) no puede crecer más allá de un cierto valor límite L, la gráfica de la función P(t) es una
L
curva, llamada curva logística, de ecuación y=
1+Ce At. Calcule A y C para los siguientes datos, siendo L=5000
t 0 1 2 3 4
y 500 1000 1800 2800 3700
L
Ayuda: Use el cambio de variables T = t e Y = ln − 1 para linealizar los datos.
y
17. Para cada una de las siguientes funciones:
f (x)= x3 + sen(x)
ex + 15
g(x)= cos(x)
ln(ex + 15)
h(x)=10 lnx2 + 3
x∈[−10,3], z=−2.6
x∈[−1,9], z=2.9
x 2 sen(5x) x∈[−5,4], z=−1.8
k(x)=8e −x2
+ sen(3x) x∈[−3,3], z=1.78
q(x)=− 15
5+3x 4 x∈[−5,5], z=1.5
(a) Hallar el polinomio interpolante P5(x) para f empleando nodos igualmente espaciados.
(b) Hallar el polinomio interpolante P5(x) para f empleando nodos de Chebyshev.
(c) Hallar el valor aproximado de f (z).
(d) Hallar el error relativo cometido al aproximar la función por medio del polinomio interpolante en z.
(e) Graficar f (x) vs P5(x) y f (x) vs P5(x).
(f) Graficar errores, es decir, E(x)=| f (x)−P5(x)| y E(x)=
f (x)− P5(x)
.
(g) Hallar cotas de error sobre la discretización x=linspace(a,b,5000).
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