Fundamentos del Cálculo - Departamento de Matemáticas ...

2.2 El Sistema de los Números Reales 31
El valor absoluto de un número real tiene las propiedades que se enuncian en la
proposición siguiente.
Proposición 2.2 Los enunciados siguientes son verdaderos:
1. |A · B| = |A||B| para cualesquiera A, B ∈ R.
2. Si |B| < A, entonces −A < B y B < A; recíprocamente, si −A < B y B < A
y A > 0, entonces |B| < A;
3. Si |B| > A, entonces A < B ó B < −A; recíprocamente, si A < B o B < −A,
entonces |B| > A.
4. |A + B| |A| + |B|, para todos A, B ∈ R. (Desigualdad del triángulo)
Demostración.La demostración de los puntos 1, 2 y 3 se sigue directamente de
la definición de valor absoluto. La demostración del punto 4 (la desigualdad del
triángulo) es como sigue. Primero, tenemos que para cualesquiera A, B ∈ R
−|A| A |A|, −|B| B |B|.
Enseguida, sumando término a término, tenemos
lo cual significa, en virtud de 2, que
como se afirma en 4.
−(|A| + |B|) A + B |A| + |B|,
|A + B| |A| + |B|,
La distancia, d(A, B), entre dos números reales A y B se define como el valor
absoluto de la diferencia de los dos números, esto es
d(A, B) = |A − B|.
De las propiedades del valor absoluto se deducen las siguientes propiedades para la
distancia entre los números reales:
Para cualesquiera números reales A, B y C se cumple:
(a) d(A, B) 0 y d(A, B) = 0 si y sólo si A = B (Positividad definida)
(b) d(A, B) = d(B, A) (Simetría)
(c) d(A, B) d(A, C) + d(C, B) (Desigualdad del triángulo)
Enseguida presentamos dos ejemplos sobre la aplicación de las propiedades del
valor absoluto de un número.