Fundamentos del Cálculo - Departamento de Matemáticas ...

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38 Los números reales Ejercicios y problemas del capítulo 1. a) Sean las expansiones A = 2.3458, B = −3.2568 y C = −1.35802. Calcule las expansiones de A + B, A · B, B · C y B − C. b) Escriba la expansión decimal correspondiente a los números racionales siguientes y determine, en cada caso, el bloque de dígitos que se repite: i) 23 7 57 2491 , ii) − , iii) 4 990 . 2. Dé los números racionales cuya expansión decimal es cada una de las siguientes: A = 2.34210, B = 37.28560, C = −13.345. 3. Demuestre que √ 5 y √ 3 no son números racionales. 4. Encuentre la expansión truncada de orden 5 de la suma A + B de los reales A = 1.28288288828888 · · · B = 12.253 5. Encuentre un número irracional entre los números 0.00010 y 0.0010. 6. Demuestre que si A es un número real distinto de cero, entonces A 2 > 0. 7. Sea A = 2.131130, encuentre un racional y un irracional cuya distancia a A sea menor que 1/10 4 . 8. Pruebe que el conjunto de números de la forma a + b √ 2 con a, b ∈ Q forman un campo que contiene a √ 2. 9. Demuestre que entre cada par de números racionales distintos siempre hay un número irracional y que entre cada par de irracionales distintos existe siempre un número racional. 10. Escriba como unión de intervalos ajenos los conjuntos (a) A= {x ∈ R tales que |2x − 4| 6 y |x − 3| > 1 } (b) B= {x ∈ R tales que |x − 3| 2|x| } (c) C = {x ∈ R tales que |2x − 3| > 2 y |x − 5| < 1} (d) D = {x ∈ R tales que |x − 2| < 1 y |2x − 1| > 2} (e) E = {x ∈ R tales que 1 < |3x + 2| 5} (f) F = {x ∈ R tales que x > 0 y |x − 3| > 2|x|}. 11. Demuestre que |A| − |B| |A − B| para todo A, B ∈ R.
2.4 La Recta Real 39 12. Demuestre las siguientes afirmaciones para conjuntos acotados superiormente: (a) Si A ⊂ B ⊂ R entonces sup A sup B, (b) sup(A + B) = sup A + sup B, (c) sup A = − inf(−(A)). 13. Conteste “falso” o “verdadero”. Si A es un número real distinto de cero, existe otro número real tal que A · B = 2. Existe un número real A tal que A 2 + A + 1 = 0. Si A y B son números reales con A < B, entonces A < A + B 2 < B.
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