Teoría y problemas del Tema 2 - OCW Usal

Ejemplo 1.3. Dados los subespacios de R 4
E1 = 〈u1 = (1, −1, 1, 0), u2 = (0, 1, −1, 1), u3 = (2, −1, 1, 1)〉
E2 = {(x, y, z, t) ∈ R 4 : x + y + z = 0, x + z + t = 0}
Calculemos bases y dimensiones de E1 + E2 y de E1 ∩ E2. Para ello calcularemos primero
una base de E1 y otra de E2:
dimR E1 = rg(u1, u2, u3) = 2 y E1 = 〈u1 = (1, −1, 1, 0), u2 = (0, 1, −1, 1)〉.
E2 = {(x, −x−z, z, −x−z) ∈ R 4 } = 〈v1 = (1, −1, 0, −1), v2 = (0, −1, 1, −1)〉 y dimR E2 = 2.
Resulta que
dimR(E1 + E2) = rg(u1, u2, v1, v2) = 3 y E1 + E2 = 〈u1, u2, v1〉
dimR(E1 ∩ E2) = dimR E1 + dimR E2 − dimR(E1 + E2) = 1 y como v2 = −u2 es E1 ∩ E2 = 〈u2〉 .
Definición 1.4. La suma directa de los subespacios E1 y E2 es la suma, E1 + E2, cuando
la intersección es cero, E1 ∩ E2 = {0}. Se representa por E1 ⊕ E2.
En particular, dimk(E1 ⊕ E2) = dimk E1 + dimk E2.
2. Subespacios suma e intersección. Suma directa de subespacios
Definición 2.1. Los subespacios E1 y E2 de E son suplementarios si E1 + E2 = E y
E1 ∩ E2 = {0}, esto es, si E = E1 ⊕ E2.
Proposición 2.2. Sean E1 y E2 subespacios de E. Las proposiciones siguientes son equivalentes:
(a) E1 y E2 son subespacios suplementarios.
(b) Todo vector de E se expresa de modo único como suma de uno de E1 y otro de E2.
(c) Si {u1, . . . , um} es una base de E1 y {v1, . . . , vs} es una base de E2 los vectores
{u1, . . . , um, v1, . . . , vs} forman una base de E.
Demostración.
(a) ⇒ (b)
Por hipótesis E = E1 + E2, luego para todo e ∈ E es e = u + v, con u ∈ E1 y v ∈ E2.
Esta descomposición es única pues si e = u ′ + v ′ es otra, resulta que u + v = u ′ + v ′ , luego
u − u ′ = v ′ − v y por tanto el vector u − u ′ = v ′ − v ∈ E1 ∩ E2, pero E1 ∩ E2 = {0} y se
deduce que u = u ′ y v = v ′ .
(b) ⇒ (c)
Por hipótesis, todo vector e ∈ E se expresa de modo único como suma de uno u ∈ E1 y otro
v ∈ E2, e = u + v.
Si {u1, . . . , um} es una base de E1, u ∈ E1 se expresa de modo único como combinación lineal
u = λ1u1 + · · · + λmum. Análogamente, si v ∈ E2 es v = µ1v1 + · · · + µmvs, con los escalares
µi únicos, siendo {v1, . . . , vs} una base de E2.
Así, se deduce que todo vector e ∈ E se expresa de modo único como combinación lineal
e = λ1u1 + · · · + λmum + µ1v1 + · · · + µmvs, luego por el teorema de caracterización de una
base los vectores {u1, . . . , um, v1, . . . , vs} forman una base de E.
(c) ⇒ (a)
Si {u1, . . . , um} es una base de E1 y {v1, . . . , vs} es una base de E2, por definición de suma,
los vectores {u1, . . . , um, v1, . . . , vs} generan E1 + E2 y como por hipótesis estos vectores
forman una base de E, resulta que E1 + E2 = E. Por último, de la fórmula de dimensión,
dimk(E1 + E2) = dimk E1 + dimk E2 − dimk(E1 ∩ E2), resulta que dimk(E1 ∩ E2) = 0, luego
E1 ∩ E2 = {0}.