Teoría y problemas del Tema 2 - OCW Usal

8. Sea E = M(2, R) el R-espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2 con coeficientes
en R y sea V el subconjunto de E definido por:
x y
V = ∈ E : 2x − y + t = 0, x = z
z t
(a) Probar que V es un subespacio vectorial de Ey calcular su dimensión y una base.
1 0
(b) Calcular las coordenadas de la matriz ∈ V en la base elegida en el apartado
1 −2
anterior.
(c) Calcular un suplementario de V .
9. Se considera el espacio R 4 y los subespacios E y V generados, respectivamente, por las
parejas de vectores e = (1, 0, 1, 0), e ′ = (0, 1, 0, 1) y v = (0, 0, 1, 3) y v ′ = (1, 0, 0, 1).
Estudiar si R 4 es suma directa de E y V .
10. Sea E1 el subespacio de R 3 generado por (2, 3, 1) y E2 el subespacio generado por (0, 1, 2)
y (1, 1, 1). Probar que R 3 = E1 ⊕ E2 y expresar el vector generado por (1, 0, 1) ∈ R 3 como
suma de un vector de E1 y otro de E2.
11. Sea E = 〈1, x, x 2 , x 3 〉 el R-espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a
3 y sea V = {p(x) ∈ E : p(1) = 0} .
(a) Probar que V es un subespacio de E y calcular su dimensión y una base.
(b) Calcular las coordenadas del polinomio x 2 −3x+2 ∈ V respecto de la base del apartado
anterior.
(c) Encuentra un subespacio suplementario de V .
12. Considérense los siguientes subespacios de R 4 : E1 =< (1, 0, −1, 0), (2, −1, 2, 0), (3, −2, 3, 0) >
y E2 =< (0, 1, 1, 0), (1, 1, 3, 0), (−2, 1, 1, 1) >.
(a) Calcular bases y dimensiones de E1, E2, E1 + E2, E1 ∩ E2.
(b) ¿Se verifica que R 4 = E1 ⊕ E2?
(c) Calcula dos subespacios suplementarios diferentes de E1.
13. Se consideran los subespacios de R 4 generados por los siguientes vectores:
E1 =< (1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 1) >, E2 =< (1, −1, 1, 0), (1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 1) >
Se pide:
(a) Hallar las dimensiones de E1, E2, E1 + E2, E1 ∩ E2.
(b) Estudiar si E1 + E2 = R 4 .
(c) ¿E1 y E2 son subespacios suplementarios?