Teoría y problemas del Tema 2 - OCW Usal

Álgebra lineal y Geometría I
Gloria Serrano Sotelo
Departamento de MATEM ÁTICAS
1. Subespacios suma e intersección. Suma directa de subespacios
Definición 1.1. Sean E1 y E2 subespacios vectoriales de E. Se definen la suma E1 + E2 y
la intersección E1 ∩ E2 por
E1 + E2 = {e ∈ E : e = u + v , donde u ∈ E1 y v ∈ E2}
E1 ∩ E2 = {e ∈ E : e ∈ E1 y e ∈ E2}
Probaremos que ambos son subespacios vectoriales de E comprobando que son cerrados por
combinaciones lineales:
Si u + v, u ′ + v ′ ∈ E1 + E2 y λ, µ ∈ k el vector λ(u + v) + µ(u ′ + v ′ ) está en E1 + E2
pues λ(u + v) + µ(u ′ + v ′ ) = λu + λv + µu ′ + µv ′ = (λu + µu ′ ) + (λv + µv ′ ) ∈ E1 + E2,
ya que E1 y E2 son cerrados por combinaciones lineales.
Si e, e ′ ∈ E1∩E2 y λ, µ ∈ k, su combinación lineal λe+µe ′ es un vector de E1 y también
de E2, ya que ambos son subespacios y, por tanto, cerrados por combinaciones lineales.
Luego λe + µe ′ es un vector de la intersección E1 ∩ E2.
Es claro que:
• E1 + E2 ⊇ E1 y E1 + E2 ⊇ E2. La suma E1 + E2 es el mínimo subespacio que contiene a
E1 y a E2.
• E1 ∩ E2 ⊆ E1 y E1 ∩ E2 ⊆ E2. La intersección E1 ∩ E2 es el mayor subespacio que
está contenido en E1 y en E2.
• Sistema de generadores de la suma. Si {u1, . . . , ur} es una base de E1 y {v1, . . . , vs} es una
base de E2, los vectores {u1, . . . , ur, v1, . . . , vs} forman un sistema de generadores de E1 +E2.
Teorema 1.2. Se verifica la siguiente fórmula de dimensión
dimk(E1 + E2) = dimk E1 + dimk E2 − dimk(E1 ∩ E2)
Demostración. Sea {e1, . . . , em} una base de E1∩E2 que, por el teorema de Steinitz, podemos
ampliar para formar una base {e1, . . . , em, . . . , er} de E1 y otra {e1, . . . , em, vm+1, . . . , vs} de
E2.
Los r + s − m vectores {e1, . . . , em, . . . , er, vm+1, . . . , vs} generan E1 + E2. Probaremos que
además son linealmente independientes, con lo que quedará demostrado el teorema.
Si λ1e1 + . . . λmem + · · · + λrer + µm+1vm+1 + · · · + µsvs = 0 (∗), despejando se obtiene
µm+1vm+1 + · · · + µsvs = −λ1e1 − . . . λmem − · · · − λrer ,
luego el vector µm+1vm+1 + · · · + µsvs ∈ E2 está también en E1, pues es combinación lineal
de los vectores de una base de E1. Por tanto, el vector µm+1vm+1 +· · ·+µsvs está en E1 ∩E2,
y expresándolo como combinación lineal de los vectores de la base {e1, . . . , em}, se tiene que
µm+1vm+1+· · ·+µsvs = α1e1+· · ·+αmem, de donde α1e1+· · ·+αmem−µm+1vm+1−· · ·−µsvs =
0, luego α1 = · · · = µm+1 = · · · = µs = 0, pues los vectores {e1, . . . , em, vm+1, . . . , vs}
son linealmente indepedientes. Sustituyendo en la combinación lineal inicial (∗) se obtiene
λ1e1 + . . . λmem + · · · + λrer = 0, lo que implica que λ1 = · · · = λm = · · · = λr = 0 ya que
{e1, . . . , em, . . . , er} son linealmente independientes.
1

Ejemplo 1.3. Dados los subespacios de R 4
E1 = 〈u1 = (1, −1, 1, 0), u2 = (0, 1, −1, 1), u3 = (2, −1, 1, 1)〉
E2 = {(x, y, z, t) ∈ R 4 : x + y + z = 0, x + z + t = 0}
Calculemos bases y dimensiones de E1 + E2 y de E1 ∩ E2. Para ello calcularemos primero
una base de E1 y otra de E2:
dimR E1 = rg(u1, u2, u3) = 2 y E1 = 〈u1 = (1, −1, 1, 0), u2 = (0, 1, −1, 1)〉.
E2 = {(x, −x−z, z, −x−z) ∈ R 4 } = 〈v1 = (1, −1, 0, −1), v2 = (0, −1, 1, −1)〉 y dimR E2 = 2.
Resulta que
dimR(E1 + E2) = rg(u1, u2, v1, v2) = 3 y E1 + E2 = 〈u1, u2, v1〉
dimR(E1 ∩ E2) = dimR E1 + dimR E2 − dimR(E1 + E2) = 1 y como v2 = −u2 es E1 ∩ E2 = 〈u2〉 .
Definición 1.4. La suma directa de los subespacios E1 y E2 es la suma, E1 + E2, cuando
la intersección es cero, E1 ∩ E2 = {0}. Se representa por E1 ⊕ E2.
En particular, dimk(E1 ⊕ E2) = dimk E1 + dimk E2.
2. Subespacios suma e intersección. Suma directa de subespacios
Definición 2.1. Los subespacios E1 y E2 de E son suplementarios si E1 + E2 = E y
E1 ∩ E2 = {0}, esto es, si E = E1 ⊕ E2.
Proposición 2.2. Sean E1 y E2 subespacios de E. Las proposiciones siguientes son equivalentes:
(a) E1 y E2 son subespacios suplementarios.
(b) Todo vector de E se expresa de modo único como suma de uno de E1 y otro de E2.
(c) Si {u1, . . . , um} es una base de E1 y {v1, . . . , vs} es una base de E2 los vectores
{u1, . . . , um, v1, . . . , vs} forman una base de E.
Demostración.
(a) ⇒ (b)
Por hipótesis E = E1 + E2, luego para todo e ∈ E es e = u + v, con u ∈ E1 y v ∈ E2.
Esta descomposición es única pues si e = u ′ + v ′ es otra, resulta que u + v = u ′ + v ′ , luego
u − u ′ = v ′ − v y por tanto el vector u − u ′ = v ′ − v ∈ E1 ∩ E2, pero E1 ∩ E2 = {0} y se
deduce que u = u ′ y v = v ′ .
(b) ⇒ (c)
Por hipótesis, todo vector e ∈ E se expresa de modo único como suma de uno u ∈ E1 y otro
v ∈ E2, e = u + v.
Si {u1, . . . , um} es una base de E1, u ∈ E1 se expresa de modo único como combinación lineal
u = λ1u1 + · · · + λmum. Análogamente, si v ∈ E2 es v = µ1v1 + · · · + µmvs, con los escalares
µi únicos, siendo {v1, . . . , vs} una base de E2.
Así, se deduce que todo vector e ∈ E se expresa de modo único como combinación lineal
e = λ1u1 + · · · + λmum + µ1v1 + · · · + µmvs, luego por el teorema de caracterización de una
base los vectores {u1, . . . , um, v1, . . . , vs} forman una base de E.
(c) ⇒ (a)
Si {u1, . . . , um} es una base de E1 y {v1, . . . , vs} es una base de E2, por definición de suma,
los vectores {u1, . . . , um, v1, . . . , vs} generan E1 + E2 y como por hipótesis estos vectores
forman una base de E, resulta que E1 + E2 = E. Por último, de la fórmula de dimensión,
dimk(E1 + E2) = dimk E1 + dimk E2 − dimk(E1 ∩ E2), resulta que dimk(E1 ∩ E2) = 0, luego
E1 ∩ E2 = {0}.

Ejemplo 2.3.
• Los subespacios de R 3 E1 = 〈(1, 2, −1), (3, 1, 2)〉 y E2 = 〈(0, 1, 1), (1, −1, 1)〉 no son suplementarios,
pues dimR E1 + dimR E2 = 2 + 2 = 3 = dimR R 3 .
• Los planos E1 = 〈u1 = (1, 0, −1, 0), u2 = (0, 1, 1, 2)〉 y E2 = 〈v1 = (−1, 0, 1, 1), v2 = (1, −1, 1, 2)〉
son suplementarios, pues {u1, u2, v1, v2} es una base de R 4 ya que rg(u1, u2, v1, v2) = 4.
• Un subespacio suplementario del plano V = 〈v1 = (1, 0, −1), v2 = (0, 1, 1)〉 es la recta
V ′ = 〈u = (2, 1, −2)〉, pues rg(v1, v2, u) = 3. La recta 〈u1 = (0, 2, 4)〉 es otro subespacio
suplementario del plano V .
• Los subespacios de M(n, k) de las matrices simétricas, S(n, k) = {A ∈ M(n, k) : A = A t },
y de las matrices hemisimétricas, H(n, k) = {A ∈ M(n, k) : A = −A t }, son suplementarios
pues toda matriz cuadrada A descompone de modo único en la forma A = 1
2 (A+At )+ 1
2 (A−
A t ), siendo 1
2 (A + At ) una matriz simétrica y 1
2 (A − At ) una matriz hemisimétrica.
3. Problemas propuestos
1. Sea E el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 3 y sean
E1 = {p(x) ∈ E : p(0) = 0} y E2 = {p(x) ∈ E : p ′ (0) = 0}.
(a) Demostrar que E1 y E2 son subespacios de E.
(b) Calcular una base y la dimensión de cada uno de los subespacios siguientes
E1, E2, E1 + E2, E1 ∩ E2
(c) ¿Son E1 y E2 subespacios suplementarios?
2. Sea F el subespacio de R 3 generado por (1, 1, −1) y G el subespacio de ecuaciones
3x − y = 0, 2x + z = 0. Determinar F ∩ G.
3. Determinar en R 3 un subespacio suplementario de cada uno de los subespacios engendrados
por los siguientes vectores:
(a) v1 = (−3, 1, 0)
(b) v1 = (−1, 2, 1), v2 = (2, −4, 3)
(c) v1 = (−1, 2, 1), v2 = (2, 1, −2), v3 = (1, 1, −1)
4. Dados los subconjuntos de R 4
E1 =< (1, 2, −3, 0), (2, 1, 1, 3), (5, 4, −1, 6) > ; E2 = {(x, y, z, t): x − 2y − z = 0, t = 0}
(a) Demostrar que E1 y E2 son subespacios vectoriales y calcular bases y dimensiones de
los mismos.
(b) Calcular bases y dimensiones de E1 + E2 y E1 ∩ E2.
(c) Calcular un suplementario de E2.
5. Sean E y E ′ dos subespacios de R 3 definidos por:
Demostrar que R 3 = E ⊕ E ′ .
E = {(a, b, c): a = b = c} , , E ′ = {(0, b, c): b, c ∈ R}
6. Sean E y E ′ dos subespacios de R 3 definidos por: E = {(x, y, z): x + y + z = 0}, E ′ =
{(t, 2t, 3t): t ∈ R} Demostrar que E y E ′ son subespacios suplementarios.
7. Sean E, E ′ , E ′′ los subespacios vectoriales de R 3
E = {(a, b, c): a + b + c = 0}, E ′ = {(a, b, c): a = c}, E ′′ = {(0, 0, c)}
Demostrar que R 3 = E + E ′ , R 3 = E + E ′′ , R 3 = E ′ + E ′′ . ¿En qué casos se trata de suma
directa?.

8. Sea E = M(2, R) el R-espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2 con coeficientes
en R y sea V el subconjunto de E definido por:
x y
V = ∈ E : 2x − y + t = 0, x = z
z t
(a) Probar que V es un subespacio vectorial de Ey calcular su dimensión y una base.
1 0
(b) Calcular las coordenadas de la matriz ∈ V en la base elegida en el apartado
1 −2
anterior.
(c) Calcular un suplementario de V .
9. Se considera el espacio R 4 y los subespacios E y V generados, respectivamente, por las
parejas de vectores e = (1, 0, 1, 0), e ′ = (0, 1, 0, 1) y v = (0, 0, 1, 3) y v ′ = (1, 0, 0, 1).
Estudiar si R 4 es suma directa de E y V .
10. Sea E1 el subespacio de R 3 generado por (2, 3, 1) y E2 el subespacio generado por (0, 1, 2)
y (1, 1, 1). Probar que R 3 = E1 ⊕ E2 y expresar el vector generado por (1, 0, 1) ∈ R 3 como
suma de un vector de E1 y otro de E2.
11. Sea E = 〈1, x, x 2 , x 3 〉 el R-espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a
3 y sea V = {p(x) ∈ E : p(1) = 0} .
(a) Probar que V es un subespacio de E y calcular su dimensión y una base.
(b) Calcular las coordenadas del polinomio x 2 −3x+2 ∈ V respecto de la base del apartado
anterior.
(c) Encuentra un subespacio suplementario de V .
12. Considérense los siguientes subespacios de R 4 : E1 =< (1, 0, −1, 0), (2, −1, 2, 0), (3, −2, 3, 0) >
y E2 =< (0, 1, 1, 0), (1, 1, 3, 0), (−2, 1, 1, 1) >.
(a) Calcular bases y dimensiones de E1, E2, E1 + E2, E1 ∩ E2.
(b) ¿Se verifica que R 4 = E1 ⊕ E2?
(c) Calcula dos subespacios suplementarios diferentes de E1.
13. Se consideran los subespacios de R 4 generados por los siguientes vectores:
E1 =< (1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 1) >, E2 =< (1, −1, 1, 0), (1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 1) >
Se pide:
(a) Hallar las dimensiones de E1, E2, E1 + E2, E1 ∩ E2.
(b) Estudiar si E1 + E2 = R 4 .
(c) ¿E1 y E2 son subespacios suplementarios?