Estudiante

INICIALES 21x27:Maquetación 1 11/6/10 10:11 Página 1
Nombre:
Curso:
Escuela o Liceo:

INICIALES 21x27:Maquetación 1 11/6/10 10:11 Página 2
El material didáctico Matemática 5º,
para Quinto Año de Educación Básica, es una obra colectiva,
creada y diseñada por el Departamento de Investigaciones Educativas
de Editorial Santillana, bajo la dirección de:
MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVA
COORDINACIÓN DEL PROYECTO
EUGENIA ÁGUILA GARAY
COORDINACIÓN ÁREA MATEMÁTICA
VIVIANA LÓPEZ FUSTER
EDICIÓN:
AUTORAS:
VIVIANA LÓPEZ FUSTER
PALOMA FERNÁNDEZ VÁZQUEZ
FRANCISCA MARÍN RODRÍGUEZ
MARÍA ANTONIETA CASTILLO CHIPON
PALOMA FERNÁNDEZ VÁZQUEZ
REVISIÓN DE ESPECIALISTA:
JAVIERA SETZ MENA
CORRECCIÓN DE ESTILO:
ISABEL SPOERER VARELA
ASTRID FERNÁNDEZ BRAVO
DOCUMENTACIÓN:
PAULINA NOVOA VENTURINO
JUAN CARLOS REYES LLANOS
La realización gráfica ha sido efectuada bajo la dirección de:
VERÓNICA ROJAS LUNA
COORDINACIÓN GRÁFICA:
CARLOTA GODOY BUSTOS
COORDINACIÓN LICITACIÓN:
XENIA VENEGAS ZEVALLOS
DISEÑO Y DIAGRAMACIÓN:
MARIELA PINEDA GÁLVEZ
PATRICIA LÓPEZ FIGUEROA
ILUSTRACIONES:
MARTÍN OYARCE GALLARDO
FOTOGRAFÍAS:
ARCHIVO SANTILLANA
CUBIERTA:
XENIA VENEGAS ZEVALLOS
PRODUCCIÓN:
GERMÁN URRUTIA GARÍN
Que dan ri gu ro sa men te pro hi bi das, sin la au to ri za ción es cri ta de los ti tu la res del
"Copy right", ba jo las san cio nes es ta ble ci das en las le yes, la re pro duc ción to tal o
par cial de es ta obra por cual quier me dio o pro ce di mien to, com pren di dos la
re pro gra fía y el tra ta mien to in for má ti co, y la dis tri bu ción en ejem pla res de ella
me dian te al qui ler o prés ta mo pú bli co.
© 2009, by San ti lla na del Pa cí fi co S.A. de Edi cio nes,
Dr. Aní bal Ariz tía 1444, Pro vi den cia, San tia go (Chi le)
PRIN TED IN CHI LE
Im pre so en Chi le por World Color Chile S.A.
ISBN: 978 - 956 - 15 - 1485 - 0
Ins crip ción N° 176.848
www .san ti lla na.cl
Referencias del Texto Matemática 5, Educación Básica, Proyecto punto cl, de los autores: Marcela Guerra Noguera,
María José García Zattera, María José González Clares, Ana María Rodríguez Canessa, David López Gonzáles.
Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones, Santiago, Chile, 2007.

INICIALES 21x27_Maquetación 1 12-08-11 13:05 Página 3
FRANCISCA MARÍN RODRÍGUEZ
PROFESORA DE EDUCACIÓN GENERAL BÁSICA
CON MENCIÓN EN MATEMÁTICA,
LICENCIADA EN EDUCACIÓN,
ESPECIALISTA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA,
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
MARÍA ANTONIETA CASTILLO CHIPON
PROFESORA DE EDUCACIÓN GENERAL BÁSICA
CON MENCIÓN EN MATEMÁTICA,
LICENCIADA EN EDUCACIÓN,
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
PALOMA FERNÁNDEZ VÁZQUEZ
PROFESORA DE EDUCACIÓN GENERAL BÁSICA
CON MENCIÓN EN MATEMÁTICA,
LICENCIADA EN EDUCACIÓN,
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE.

INICIALES 21x27:Maquetación 1 11/6/10 10:11 Página 4
PRESENTACIÓN DEL TEXTO
Te damos la bienvenida a este nuevo año escolar. El texto Matemática 5º te invita a
comprender que la Matemática es parte del mundo que te rodea. A través de sus 6 unidades
te enfrentarás a diversas situaciones en las que podrás explorar, aprender y construir
conceptos relacionados con los números y las operaciones, geometría, datos y azar, y álgebra.
En ellas encontrarás las siguientes páginas y secciones:
Páginas de inicio
• EN ESTA UNIDAD PODRÁS…
En esta sección conocerás los
principales objetivos que se
espera que logres con el
desarrollo de la unidad.
4 Matemática 5
• ¿CUÁNTO SABES?
Podrás resolver ejercicios
y problemas que te
ayudarán a recordar tus
conocimientos que serán
la base para el desarrollo
de la unidad.
• CONVERSEMOS DE…
Encontrarás preguntas
relacionadas con la imagen y
con los contenidos de la
unidad que te permitirán
exponer tus ideas, dar
opiniones y argumentar a
partir de tus experiencias.
Te invitamos a ingresar al
hipertexto donde
encontrarás recursos y
actividades interactivas
que complementarán tu
aprendizaje.
• ¿QUÉ DEBES RECORDAR?
Encontrarás el resumen de los principales
conceptos trabajados en años anteriores y que te
servirán como apoyo para los aprendizajes que
se espera que logres en la unidad.

INICIALES 21x27:Maquetación 1 11/6/10 10:11 Página 5
Páginas de desarrollo
En estas páginas podrás explorar y
construir nuevos conceptos y aplicarlos
para resolver diversas situaciones,
actividades y problemas.
• PARA DISCUTIR
Por medio de preguntas,
explorarás el contenido
matemático que
aprenderás, pondrás en
práctica lo que ya sabes,
compartirás tus ideas y
extraerás conclusiones.
• NO OLVIDES QUE…
Encontrarás
explicaciones,
descripciones o
definiciones que
destacan y precisan lo
que vas aprendiendo.
• DATO INTERESANTE
Conocerás algunas
relaciones o
aplicaciones
interesantes del
contenido que se está
desarrollando.
• EN EQUIPO
Desarrollarás en grupo
entretenidas e interesantes
actividades que te permitirán
progresar en tu aprendizaje.
• EN TU CUADERNO
Resolverás variadas
actividades para ir
construyendo los
conceptos y reforzar
así tu aprendizaje.
Presentación del texto
5

INICIALES 21x27:Maquetación 1 15/6/10 11:20 Página 6
• AYUDA
Te recuerda un
contenido o
procedimiento.
6 Matemática 5
• MI PROGRESO
Resolverás
actividades que
te permitirán
evaluar tu
progreso en el
logro de los
aprendizajes.
• ESTRATEGIA MENTAL
Encontrarás diversas
estrategias de cálculo
mental e imaginación
espacial.
• HERRAMIENTAS
TECNOLÓGICAS
Aprenderás a
ocupar la
calculadora para
resolver diversos
ejercicios y a
utilizar planillas de
cálculo o
programas
computacionales.

INICIALES 21x27:Maquetación 1 11/6/10 10:11 Página 7
Páginas de cierre
• BUSCANDO ESTRATEGIAS
Observarás un problema
resuelto paso a paso a
través de una determinada
estrategia, podrás
aprender y practicar la
estrategia utilizada y
buscar otras que te
permitan encontrar la
solución.
• CONEXIONES
A partir de una
noticia o tema
desarrollarás
en equipo una
actividad que
te permitirá
aplicar lo que
aprendiste en
la unidad.
• ¿QUÉ APRENDÍ?
En estas dos
páginas
responderás
preguntas de
selección múltiple
y actividades de
desarrollo para
evaluar lo que has
aprendido en la
unidad.
• SÍNTESIS
Podrás organizar y
sintetizar lo
aprendido
utilizando una
técnica de estudio.
Además, aclararás
los conceptos
trabajados
respondiendo
preguntas sobre
ellos y sus
relaciones.
• ¿QUÉ LOGRÉ?
Evaluarás y
reflexionarás
sobre los
aprendizajes
que adquiriste
en esta unidad.
Además, en el texto se incluyen tres talleres de evaluación con actividades que integran los
contenidos trabajados y que permitirán evaluar el progreso de tu aprendizaje.
Presentación del texto
7

INICIALES 21x27:Maquetación 1 17/6/10 15:44 Página 8
ÍNDICE
10
12
40
42
76
78
80
Unidad 1: Números naturales
¿Cuánto sabes?
8 Matemática 5
14
16
18
20
22
24
26
30
Lectura y escritura de números
Valor posicional
Descomposición aditiva
Números en la recta numérica
Orden y comparación de números
Redondeo y estimación
Adición y sustracción
Propiedades de la adición
Unidad 2: Múltiplos, divisores y operaciones
¿Cuánto sabes?
44
46
50
52
56
60
Unidad 3: Fracciones
¿Cuánto sabes?
64
66
68
Taller de evaluación 1
82
84
86
88
90
92
94
Múltiplos
Factores y divisores
Factores primos
Mínimo común múltiplo y máximo común divisor
Multiplicación y división
Multiplicación y sus propiedades
Lenguaje algebraico
Expresiones algebraicas
Igualdades y ecuaciones
Lectura y escritura de fracciones
Tipos de fracciones
Fracciones equivalentes
Orden y comparación de fracciones
Fracciones y números naturales en la recta numérica
Adición y sustracción de fracciones con igual
denominador
Adición y sustracción de fracciones con distinto
denominador
34
36
37
38
70
72
73
74
96
98
99
100
Buscando estrategias
Conexiones
Síntesis
¿Qué aprendí?
Buscando estrategias
Conexiones
Síntesis
¿Qué aprendí?
Buscando estrategias
Conexiones
Síntesis
¿Qué aprendí?

INICIALES 21x27:Maquetación 1 17/6/10 15:47 Página 9
102
104
124
126 Unidad 5: Geometría
128
160
162
184
186
205
Unidad 4: Decimales
¿Cuánto sabes?
¿Cuánto sabes?
130
132
Unidad 6: Datos y azar
¿Cuánto sabes?
106
164
168
172
Lectura y escritura de decimales
108 Relación entre decimales y fracciones
112
Decimales, fracciones y números naturales
en la recta numérica
114 Orden y comparación
116
Taller de evaluación 2
Taller de evaluación 3
Solucionario
Bibliografía
134
138
140
142
144
148
152
Adición y sustracción de números decimales
Clasificación de ángulos
Medición de ángulos usando el transportador
Unidades de medida de longitud y de superficie
Perímetro de triángulos
Perímetro de cuadrados y rectángulos
Perímetro y área de cuadrados y rectángulos
Área de triángulos
Área de figuras compuestas
Variaciones de perímetros y áreas
Lectura e interpretación de información
Construcción de gráficos
Tendencia de variables
174
Probabilidad de ocurrencia de un evento
(seguro, posible, imposible)
176 Probabilidad de ocurrencia de un evento
(probable, improbable)
118
120
121
122
154
156
157
158
178
180
181
182
Buscando estrategias
Conexiones
Síntesis
¿Qué aprendí?
Buscando estrategias
Conexiones
Síntesis
¿Qué aprendí?
Buscando estrategias
Conexiones
Síntesis
¿Qué aprendí?
Índice
9

U1 10-25:Maquetación 1 17/6/10 15:50 Página 10
UNIDAD
1
EN ESTA UNIDAD PODRÁS...
10
Unidad 1
Números naturales
Leer, escribir, estimar y redondear números naturales de más
de 6 dígitos para interpretar y comunicar información.
Representar números naturales en la recta numérica y
establecer relaciones de orden entre ellos.
Resolver situaciones aplicando procedimientos de cálculo de
adiciones y sustracciones.
Reconocer propiedades de la adición y utilizarlas para
simplificar los cálculos.
Interpretar expresiones matemáticas en las que se emplean
letras para representar números o cantidades.

U1 10-25:Maquetación 1 17/6/10 15:50 Página 11
CONVERSEMOS DE...
Nuestro planeta tiene aproximadamente 6134 millones de
habitantes, según datos de la Organización de las Naciones Unidas
(ONU). Solo en América habitan cerca de 900 000 000 de personas
en alrededor de 45 000 000 km 2 . Es decir, por cada 1 km 2 , viven
cerca de 20 personas. En cambio, en 1 cm 2 de piel humana existen
aproximadamente 3 millones de células.
¿Alguna vez te imaginaste la cantidad de habitantes que vive en
nuestro planeta o la cantidad de células hay en 1 cm 2 de piel
humana?
¿Qué opinas de los datos anteriores?
Comenta acerca de la posibilidad de utilizar números de más de
6 cifras para nombrar la cantidad de:
- personas que viven en un edificio,
- estrellas en nuestra galaxia,
- personas que asisten a un concierto en un estadio,
- litros de agua en los océanos,
- pelos de la cabeza.
¿En qué otras situaciones ocupamos números con más de 6 cifras?
Números naturales
11

U1 10-25:Maquetación 1 17/6/10 15:50 Página 12
¿CUÁNTO SABES?
12 Unidad 1
Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve los
siguientes ejercicios en tu cuaderno.
1. Descubre los números correspondientes a las pistas dadas. Luego
escríbelos en tu cuaderno.
a)
b)
c)
d)
Es un número de 4 cifras formado por 9 unidades,
7 centenas, 4 decenas y 3 unidades de mil.
Es un número de 6 cifras formado por 5 unidades de mil,
7 decenas y 8 centenas de mil.
El mayor número que se puede formar utilizando una
sola vez los dígitos 2, 3, 5, 6 y 8.
El menor número que se puede formar utilizando una
sola vez los dígitos 2, 0, 4, 7, 5 y 9.
< > =
2. Completa con , o , según corresponda.
a) 943 005 495 099 d) 490 493 940 943
b) 209 843 208 934 e) 628 481 682 418
c) 439 840 284 048 f) 966 999 966 345
3. Busca los dígitos que faltan en los siguientes ejercicios.
5 3 4 5 1
+ 6 9 0 2
¿?
¿?
¿?
¿?
0 6 1 6
5 5 6 3 9
¿?
– 0 4 1
7 5 4 8
4. Según el último censo poblacional realizado en nuestro país (año 2002), en
Puerto Montt hay aproximadamente 153 118 habitantes. Determina cuál
de las siguientes descomposiciones expresa la cantidad mencionada.
A. 1 100 000 + 5 10 000 + 3 1000 + 1 100 + 8
B. 100 000 + 50 000 + 3000 + 100 + 10 + 8
C. 5 DM + 1 C + 1 D + 8 U + 1 CM
D. 1 CM + 5 DM + 3 UM + 1 C + 1 D + 1 U
¿?
¿?
¿?
¿?

U1 10-25:Maquetación 1 17/6/10 15:50 Página 13
5. Resuelve las siguientes actividades redondeando los números destacados,
según estimes conveniente. Luego, explica el criterio que usaste para
hacer el redondeo.
a) Don José se ganó $ 790 000 en un concurso. Si ya ha gastado
$ 310 000, ¿cuánto dinero le queda aproximadamente del premio a
don José?
b) Andrés desea comprar un CD que cuesta $ 8970 y un DVD a
$ 13 540. Aproximadamente, ¿cuánto dinero necesita Andrés para
comprar el CD y el DVD?
c) Según el censo del año 2002, en Chile 169 776 hombres y 200 458
mujeres nunca asistieron a alguna institución educacional.
Aproximadamente, ¿cuántas personas en Chile nunca han asistido a
una institución educacional?
6. Lee la situación, inventa dos preguntas que se puedan responder a partir
de los datos y luego respóndelas en tu cuaderno.
Según datos publicados en el Instituto Nacional de Estadísticas (INE) en la
región del Maule hay 946 722 habitantes. De ellos, 168 251 presentan
alguna discapacidad. Del total de discapacitados, 5803 corresponden a
menores de 15 años.
Compara tus respuestas con tus compañeros y compañeras. ¿Te
equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve
correctamente el ejercicio.
¿QUÉ DEBES RECORDAR?
Nuestro sistema de numeración es decimal, porque utiliza agrupaciones de 10 en 10.
En él, una centena de mil equivale a 10 decenas de mil y a 100 000 unidades; una decena
de mil equivale a 10 unidades de mil y a 10 000 unidades; una unidad de mil equivale a
10 centenas y a 1000 unidades.
En una recta numérica los números están ordenados. Al construir una recta numérica se
debe elegir el número de inicio y de término asimismo decidir la graduación, según los
datos que se desean representar.
Los símbolos < (menor que), > (mayor que) e = (igual a) se utilizan para comparar
números.
La adición es una operación aritmética cuyos términos se llaman sumandos y su
resultado, suma.
La sustracción es una operación aritmética cuyos términos se llaman minuendo y
sustraendo, y su resultado, resta o diferencia.
Números naturales
13

U1 10-25:Maquetación 1 11/6/10 11:51 Página 14
14 Unidad 1
NO OLVIDES QUE...
Lectura y escritura de números
La cédula de identidad es un documento de registro que identifica a
todas las personas del país. El RUN (Rol Único Nacional) es un
número único que identifica a cada chilena y chileno.
“Mi RUN es: 15.432.978–1 y se lee:
“quince millones cuatrocientos treinta y dos mil
novecientos setenta y ocho, guión uno”.
Toda persona mayor de 18 años tiene la obligación de tener su
cédula. Esta contiene la foto, firma e impresión dactilar, y algunos
datos como el nombre completo, RUN, sexo, nacionalidad, fecha de
nacimiento, entre otros.
PARA DISCUTIR
¿Tienes cédula de identidad?, ¿cuál es tu RUN?
Si no tienes cédula todavía, ¿en qué situaciones crees que la vas a
necesitar?
Averigua el RUN de tres personas y escríbelos en tu cuaderno en una
tabla como la siguiente:
RUN Se lee
Los números sirven para expresar distinto tipo de información y pueden usarse para
identificar, ordenar o cuantificar.
Para leer los números lo hacemos empezando por la cifra de la izquierda. Por ejemplo, el
número 397 147 332 se lee: trescientos noventa y siete millones ciento cuarenta y siete
mil trescientos treinta y dos.
EN TU CUADERNO
responde en tu cuaderno
responde en tu cuaderno
1. Busca en diarios o revistas 10 noticias o anuncios que contengan números mayores que un millón,
en un contexto determinado. Pégalos en tu cuaderno y escribe cómo se lee cada número.
2. Reúnete con un compañero o compañera, compartan la información que recogieron anteriormente
y clasifíquenla según la cantidad de cifras de los números y el tipo de información que comunican
(distancias, precios, pesos, habitantes, etc.).

U1 10-25:Maquetación 1 11/6/10 11:51 Página 15
3. Observa la siguiente tabla con datos de los últimos dos censos realizados en Chile,
y luego responde.
a) ¿Cómo se lee la población de hombres en el
país, según el censo de 1992?
b) ¿Cómo se lee la población de mujeres, según
el censo de 2002?
P O B L A C I Ó N S E G Ú N S E X O
Censo Hombres Mujeres
c) La población de hombres registrada en el
1992 6 533 254 6 795 147
censo de 2002, ¿es mayor o menor que la
2002 7 447 695 7 668 740
registrada en 1992?, ¿cómo lo supiste? Fuente: http://www.ine.cl
(consultado en septiembre de 2007).
4. Escribe con palabras las siguientes cantidades:
a) 3 791 468 c) 27 434 654 e) 436 053 999
b) 9 037 586 d) 59 000 371 f) 888 888 888
5. Escribe el número que corresponda en cada caso.
a) Treinta y cinco millones doscientos ochenta y tres mil ciento nueve.
b) Ocho millones cuatrocientos noventa y uno.
c) Seiscientos veintiocho millones trescientos noventa y nueve mil ciento cuarenta y cinco.
d) Doscientos ocho millones cuatrocientos setenta y seis mil veinticuatro.
e) Novecientos nueve millones noventa y nueve mil novecientos nueve.
f) Novecientos noventa millones setecientos mil quinientos sesenta y ocho.
g) Novecientos noventa y nueve millones ochocientos mil setenta y tres.
6. Forma cinco números distintos con los siguientes dígitos: 4, 8, 0, 2, 5, 6, 7 y 1.
a) Escribe cómo se lee cada uno.
b) ¿Cuál es el mayor número que podrías haber formado utilizando solo una vez todos
los dígitos?, ¿cómo lo supiste?
EN EQUIPO
En esta actividad deberán construir una tabla con la población y la superficie de cinco países.
Formen grupos de 3 integrantes y sigan las instrucciones:
1. Investiguen en diversas fuentes (enciclopedias, Internet, etc.) acerca de la población mundial.
2. Escriban en una tabla la cantidad de habitantes y la superficie de al menos 5 países, de un
continente elegido por ustedes.
3. Escriban cómo se leen los datos anteriores.
4. Discutan sobre la cantidad de habitantes de cada uno de los países escogidos con relación a su
superficie.
5. Expongan sus opiniones al resto de sus compañeros y compañeras.
Números naturales
15

U1 10-25:Maquetación 1 11/6/10 11:51 Página 16
D ato interesante
Se estima que en el
año 2050 nuestro
planeta estará
habitado
aproximadamente
por 9 075 900 000
habitantes.
Fuente:
http://www.un.org
(consultado en
septiembre de 2007).
16 Unidad 1
Valor posicional
Según datos de la Organización de las Naciones Unidas (ONU), en el
año 2006 el continente asiático tenía una población aproximada de
3 950 600 000 habitantes.
Se estima que en el año 2050, la población de Asia será de
aproximadamente 5 217 200 000 habitantes.
CMMi DMMi UMMi CMi DMi UMi CM DM UM C D U
Centenas
de miles
de millones
Decenas de
miles de
millones
Unidades de
miles de
millones
5 000 000 000
PARA DISCUTIR
Centenas
de millón
200 000 000
¿Cómo se leen los números anteriores?
En el número 3 950 600 000, ¿qué valor representa el dígito 5?
En el número 5 217 200 000, ¿qué valores representa el dígito 2,
según sus posiciones?
En el número correspondiente a la población de Asia en el año 2006,
¿qué valor representa el dígito 6?, ¿y el dígito 9?
El valor posicional de cada dígito en el número 5 217 200 000 (cinco
mil doscientos diecisiete millones doscientos mil), lo puedes observar
en la siguiente tabla:
Decenas
de millón
10 000 000
Unidades
de millón
7 000 000
Centenas
de mil
200 000
Decenas
de mil
0
Unidades
de mil
5 2 1 7 2 0 0 0 0 0
NO OLVIDES QUE...
Por ejemplo, el dígito 5 en el número anterior está en la posición
de las unidades de miles de millones y representa 5 000 000 000
(cinco mil millones).
El valor que representa cada dígito que forma un número, según la posición que ocupa,
se denomina valor posicional. Por ejemplo, en el número 3 467 862 000 el dígito 4 está en
la posición de las centenas de millón y su valor posicional es 400 000 000.
0
Centenas
0
Decenas
0
Unidades
0

U1 10-25:Maquetación 1 11/6/10 11:51 Página 17
EN TU CUADERNO
1. Averigua la cantidad de habitantes de Chile y escríbelo en una tabla como la de la página anterior.
2. Los siguientes números corresponden a la distancia aproximada que hay entre el Sol y los planetas
mencionados. Identifica la posición y el valor que representa el dígito 9 en cada caso. Luego, escribe
cómo se leen esas distancias.
Mercurio Marte Neptuno
57.895.000 km 227.990.000 km 4.496.976.000 km
3. Escribe la posición y el valor posicional del dígito 2 en cada caso.
a) El diámetro del Sol es 1 392 000 km.
b) América tiene aproximadamente 902 700 000 habitantes.
c) La distancia de Saturno al Sol es 1 427 034 400 km.
4. Escribe el valor que representa el dígito destacado en cada número.
Ejemplo: 3 457 000 el dígito destacado representa 400 000.
a) 36 456 754
b) 23 345 600
c) 19 567 789
5. Señala, en cada caso, qué ocurre con el número si intercambiamos los dígitos indicados.
Ejemplo: 1 394 678 intercambiando el 9 y el 3. El número aumenta en 540 000 unidades.
a) 9 126 807 intercambiando el 1 y el 6.
b) 805 156 412 intercambiando el 6 y el 4.
c) 23 461 089 intercambiando el 3 y el 8.
6. Escribe, en cada caso, tres números que cumplan las siguientes condiciones:
a) Tiene 5 cifras, 3 unidades de mil y 7 decenas.
d) 300 453 123
e) 524 834 967
f) 125 982 000
b) Tiene 8 cifras, 4 unidades de millón y 9 decenas de mil.
c) Tiene 9 cifras, 2 decenas de millón, 8 unidades de mil y 1 centena.
d) Tiene 9 cifras, 2 centenas de millón y más de 5 unidades de millón.
e) Tiene 9 cifras, 6 decenas de mil y no tiene decenas de millón.
Números naturales
17

U1 10-25:Maquetación 1 11/6/10 11:51 Página 18
SERIE 08C-52
9721134
OFICINA BANDERA
Bandera 312 - Stgo.
PAGUESE A
LA ORDEN DE
LA CANTIDAD DE
A yuda
1 CM = 10 DM
1 DM = 10 UM
1 UM = 10 C
18 Unidad 1
32-127627-01
Cecilia González Pérez
PESOS M/L
BANCO DEL MUNDO
*0956754* 1845*34567*987* 01
Descomposición aditiva
$
87 315
de del año 20
012-0230
012
Stgo. 24 septiembre 09
ochenta y siete mil trecientos quince
Cecilia González P.
O AL PORTADOR
8 billetes de $ 10 000 7 billetes de $ 1000 3 monedas
de $ 100
PARA DISCUTIR
La señora Teresa fue al banco a cobrar el cheque
correspondiente a su pensión.
El cajero le cambió su cheque por los siguientes
billetes y monedas:
$ 80 000 $ 7 000 $ 300 $ 10 $ 5
EN TU CUADERNO
$ 2 485 031
$ 7 083 172
$ 11 197 391
1 moneda
de $ 10
5 monedas
de $ 1
¿Es correcta la cantidad de dinero que entregó el cajero?
¿Cómo representarías esa cantidad de dinero utilizando otras
cantidades de billetes y monedas?
¿Cómo cambiaría el cajero un cheque por $ 873 105 utilizando la
menor cantidad de billetes y monedas?
1. Escribe el número que corresponde a las siguientes descomposiciones.
a) 70 000 000 + 3 000 000 + 100 000 + 80 000 + 4000 + 500 + 60 + 9
b) 5 000 000 + 500 000 + 50 000 + 5000 + 500 + 50
c) 3 000 000 000 + 60 000 000 + 300 000 + 700 + 2
2. Completa con la menor cantidad de monedas y billetes que se puedan pagar las siguientes cantidades.
responde en tu cuaderno
responde en tu cuaderno

U1 10-25:Maquetación 1 11/6/10 11:51 Página 19
3. Completa la tabla con el dígito ubicado en la posición indicada y su valor posicional correspondiente.
Observa el ejemplo.
4. Escribe el número que corresponde a cada descomposición.
a) 7 UMi + 6 CM + 3 DM + 2 UM + 8 D + 7 U
b) 9 UMi + 8 C + 5 U
Número Escribe el dígito de: Su valor posicional es:
234 645 376 DMi: 3 30 000 000
798 300 577 UMi:
926 834 582 DM:
12 309 867 UM:
c) 7 DMi + 3 CM + 3 DM + 3 UM + 1 C + 9 D + 9 U
d) 9 CMi + 7 DM + 9 UM + 6 D + 8 U
5. Encuentra el error en cada una de las siguientes descomposiciones. Luego, corrígelas en tu cuaderno.
a) 58 780 200 = 5 CMi + 8 UMi + 7 CM + 8 DM + 2 C
b) 92 652 860 = 90 DMi + 2 UMi + 6 CM + 5 DM + 2 UM + 8 C + 6 D
c) 609 792 003 = 6 CMi + 9 DMi + 7 CM + 9 DM + 2 UM + 3 U
Descomponer aditivamente un número consiste en expresar ese número como una
adición de dos o más términos.
Una forma de descomponer aditivamente un número es expresarlo como una adición
en que los términos corresponden a la multiplicación de cada uno de sus dígitos por 1,
10, 100, 1000, etc., según su valor posicional. Por ejemplo:
130 407 560 = 1 100 000 000 + 3 10 000 000 + 4 100 000 + 7 1000 + 5 100 + 6 10
El signo “ ” se usa para expresar una multiplicación.
MI PROGRESO
NO OLVIDES QUE...
responde en tu cuaderno
La señora Isabel pagó $ 49 017 por el último dividendo de su casa. En total
pagó $ 13 840 738 por su casa.
1. Señala ¿cómo se pagaría la última cuota, utilizando la menor cantidad de
billetes de $ 10 000 y $ 1 000, y de monedas de $ 10 y de $ 1.
2. Escribe, con palabras, el valor total de la casa.
3. Señala las posiciones del dígito 8 en el valor total de la casa, y el valor
posicional, en cada caso.
Números naturales
19

U1 10-25:Maquetación 1 11/6/10 11:51 Página 20
Año
Un número natural que está ubicado a la izquierda de otro en la recta numérica es
siempre menor que él.
Un número natural que está ubicado a la derecha de otro en la recta numérica es
siempre mayor que él.
Para construir una recta numérica debemos:
Elegir el número de inicio y de término.
Decidir la graduación (de 10 en 10, de 100 en 100, de 1000 en 1000, etc.), según los
datos que se desean representar.
20 Unidad 1
Abonados
a nivel nacional
Fuente: http://www.subtel.cl
(consultado en septiembre de 2007).
Números en la recta numérica
La tabla muestra la cantidad total de abonados a teléfonos móviles
en Chile desde el año 2000 al 2007.
Mes
2000 3 401 525 diciembre
2001 5 100 783 diciembre
2002 6 244 310 diciembre
2003 7 268 281 diciembre
2004 9 261 385 diciembre
2005 10 569 572 diciembre
2006 12 450 801 diciembre
2007 12 734 083 marzo
Ubica, aproximadamente, estas cantidades en la recta numérica y luego
contesta:
3 000 000 5 000 000 7 000 000 9 000 000 11 000 000 13 000 000
NO OLVIDES QUE...
PARA DISCUTIR
Abonados a
nivel nacional
14 000 000
12 000 000
10 000 000
8 000 000
6 000 000
4 000 000
2 000 000
0
2000
2001
El número 12 450 801, ¿lo ubicaste más cerca del 12 000 000 o del
13 000 000?, ¿y el 12 734 083?, ¿por qué?
¿Qué número es mayor: 12 450 801 ó 12 734 083?, ¿cómo puedes
utilizar la recta numérica para comparar números?
¿Qué puedes deducir sobre la cantidad de abonados a teléfonos
móviles? En el año 2012, ¿crees que habrá mayor o menor cantidad de
abonados que en el año 2007?, ¿cuál o cuáles podrían ser las causas?
2002
Abonados a teléfonos
móviles en Chile
2003
2004
2005
2006
2007
Año

U1 10-25:Maquetación 1 11/6/10 11:51 Página 21
EN EQUIPO
En esta actividad construirás una recta numérica para representar las superficies aproximadas de
algunos países de América. Para esto reúnete con dos compañeros o compañeras y utilicen la
siguiente tabla:
País Superficie (km2 )
Argentina 3 761 000
Bolivia 1 099 000
Brasil 8 512 000
Chile 2 006 000
Ecuador 256 000
Paraguay 406 000
Perú 1 285 000
Uruguay 176 000
1. Construyan una recta numérica con los datos de la tabla.
EN TU CUADERNO
1. Andrés desea comprarse un vehículo por la menor cantidad de dinero posible y cotizó algunos
modelos. Observa.
a) Construye una recta numérica y ubica los precios en ella.
b) Decide qué tipo de vehículo debe comprar.
Fuente: Almanaque mundial 2006.
2. Conversen acerca de los beneficios de comunicar datos empleando la recta numérica.
3. Respondan las siguientes preguntas:
a) ¿Cuál es el país con mayor superficie?, ¿y cuál es el con menor superficie?
b) ¿Cómo es la distribución de las superficies en la recta construida?
Vendo Camioneta
$ 4 459 000
Vendo Van
$ 4 250 000
Vendo Station
$ 4 990 000
c) Si ese modelo estuviese agotado, ¿cuál debería comprar?, ¿por qué?
Vendo Sedan
$ 4 780 000
d) Comenta con tus compañeros y compañeras las respuestas e identifiquen las semejanzas y
diferencias entre las rectas construidas.
Números naturales
21

U1 10-25:Maquetación 1 11/6/10 11:51 Página 22
Concepción
Arica
Iquique
Antofagasta
Copiapó
La Serena
Valparaíso
Valdivia
Talca
Temuco
Puerto Montt
22 Unidad 1
Santiago
Rancagua
Coyhaique
Punta Arenas
Orden y comparación de números
Con las reformas constitucionales aprobadas en 2005, el Gobierno
inició la redacción de los proyectos de ley para crear dos nuevas
regiones: región de Los Ríos y región de Arica-Parinacota.
Observa la tabla que indica la población de Chile por regiones.
Región Habitantes
Arica-Parinacota 189 692
Tarapacá 238 902
Antofagasta 493 984
Atacama 254 336
Coquimbo 603 210
Valparaíso 1 539 852
Metropolitana 6 061 185
O’Higgins 780 627
Maule 908 097
Biobío 1 861 562
Araucanía 869 535
Los Ríos 356 396
Los Lagos 716 739
Magallanes 150 826
Aisén 91 492
PARA DISCUTIR
Fuente: diario
El Mercurio, cuerpo C,
20 de diciembre de
2006
¿Qué región tiene la menor cantidad de habitantes?, ¿y cuál la mayor
cantidad?, ¿cómo lo supiste?
¿De qué otra forma podrías presentar estos datos?
Si tuvieses que representar la cantidad de habitantes de la región del
Biobío en la recta numérica, ¿la ubicarías más cerca de 1 800 000 o de
1 900 000?, ¿por qué?
Para saber qué región tiene mayor cantidad de habitantes (sin
considerar la región Metropolitana), Paulina comparó la cantidad de
habitantes de Valparaíso y Biobío, y dijo que el número mayor era el
1 861 562. ¿Por qué crees que comparó solo estas regiones y no
otras?
Para estar segura de su respuesta, los escribió en el siguiente cuadro
y comparó los dígitos según su posición, comenzando por los de
mayor valor.
UMi CM DM UM C D U
1 5 3 9 8 5 2
1 8 6 1 5 6 2

U1 10-25:Maquetación 1 11/6/10 11:51 Página 23
EN TU CUADERNO
1. Utiliza el procedimiento anterior para comparar las siguientes parejas de números. En cada caso
coloca >, < o =, según corresponda.
a) 780 627 780 937
b) 48 286 607 48 268 607
c) 908 346 987 908 364 987
2. Utilizando, solo una vez, los dígitos dados forma los números que se especifican:
a) Forma el mayor número de 8 cifras con: 0 - 1 - 4 - 7 - 3 - 5 - 3 - 9
b) Forma el menor número de 9 cifras con: 3 - 6 - 5 - 5 - 0 - 1 - 1 - 0 - 7
c) Forma el mayor número de 9 cifras con: 7 - 6 - 7 - 2 - 4 - 0 - 1 - 8 - 9
3. Observa el cuadro que nos muestra las distancias al Sol (en kilómetros) de los planetas, y luego
responde en tu cuaderno.
a) ¿Cuáles son los planetas cuya distancia al Sol está entre 200 000 000 y 800 000 000 kilómetros?
b) Nombra los planetas que están a una distancia del Sol mayor que mil millones de kilómetros.
c) ¿Cuál es el planeta que se encuentra más cerca del Sol?, ¿cómo lo supiste?
d) Ordena en una tabla los planetas, de menor a mayor, según su cercanía al Sol.
NO OLVIDES QUE...
Planetas Distancia al Sol (km)
Marte 228 000 000
Mercurio 58 000 000
Venus 108 000 000
Urano 2 870 000 000
Tierra 149 000 000
Neptuno 4 497 000 000
Júpiter 778 000 000
Saturno 1 427 000 000
Fuente: Atlas de Chile y el mundo. 2007
Al comparar dos números naturales podemos decir que es menor el que tiene menor
cantidad de cifras. Si tienen igual cantidad de cifras, se comparan los dígitos de ambos
números que están en la misma posición, partiendo del que se ubica en la posición de
mayor valor.
Números naturales
23

U1 10-25:Maquetación 1 11/6/10 11:51 Página 24
Según el censo de 1992, la cantidad de bicicletas era
aproximadamente 1 000 000. ¿A qué número aproximarías la cantidad
de bicicletas del censo de 2002?, ¿por qué?
La diferencia de automóviles y stations entre ambos censos es de
aproximadamente 400 000. ¿Cómo se obtiene ese valor?
Entre 1992 y el 2002, la cantidad de motos o motonetas en los
hogares aumentó aproximadamente en 200 000 vehículos. ¿Estás de
acuerdo con la afirmación?, ¿por qué?
¿Por qué crees que aumentó la cantidad de personas con vehículo en
los últimos años?
Al redondear, lo hacemos aproximando a los múltiplos de 10, 100, 1000, 10 000, etc. que
estén más cercanos, dependiendo de la exactitud que necesitamos que tengan nuestros
datos. Ejemplo: podemos redondear a la decena de millón más cercana.
24 Unidad 1
NO OLVIDES QUE...
Redondeo y estimación
Observa la tabla que contiene datos de los últimos dos censos
realizados en Chile. En ella se muestra la cantidad de vehículos de
uso personal en cada vivienda.
VEHÍCULOS DE USO PARTICULAR EN EL HOGAR
Censo 1992 Censo 2002
Bicicleta 1 147 629 1 922 693
Moto o motoneta 38 263 65 553
Automóvil, station 519 724 915 961
Camioneta, van, jeep 149 734 353 470
Sin vehículo 1 814 155 1 680 387
PARA DISCUTIR
872 632 345 870 000 000
872 632 345
870 000 000 880 000 000
Fuente: http://www.ine.cl (consultado en septiembre de 2007).
Si ubicamos la cantidad de camionetas, vans y jeeps, según el censo de
2002, en la recta numérica podemos observar que 353 470 se
encuentra entre 300 000 y 400 000, pero más cerca de 400 000.
353 470
300 000 350 000 400 000
Entonces, podemos aproximar 353 470 a 400 000. En este caso, hemos
redondeado a la centena de mil más cercana.
2 058 000 512 2 060 000 000
2 058 000 512
2 050 000 000 2 060 000 000

U1 10-25:Maquetación 1 11/6/10 11:51 Página 25
EN TU CUADERNO
1. Redondea a la unidad de mil los datos de la tabla de la página 24. Dibuja una tabla similar para
ello.
2. Redondea cada número a la unidad de millón más cercana y calcula el resultado aproximado. Luego,
con ayuda de una calculadora obtén el resultado exacto.
a) 12 315 960 + 4 000 000 =
b) 5 127 463 + 82 400 002 =
3. Compara el resultado aproximado con el exacto de cada ejercicio anterior. ¿Qué ventajas tiene
redondear números?, ¿y qué desventajas? Explícalas.
4. Redondea el precio de cada casa, según el valor que consideres adecuado.
a) ¿Más o menos cuánto dinero se necesita para comprar la casa A?, ¿y para la B?
b) Aproximadamente, ¿cuánto más cara es la casa C que la casa B?
c) ¿En cuánto calculas la diferencia de precio entre la casa B y la casa A?
d) ¿Alrededor de cuánto dinero se necesita para comprar las tres casas?
MI PROGRESO
c) 77 375 760 + 4 220 500 =
d)193 016 019 + 1 078 080 =
CASA A CASA B CASA C
$ 17 150 123 $ 28 120 300 $ 49 823 000
La tabla muestra la cantidad de turistas
que ingresaron a Chile desde el 2001 al 2005.
1. Responde:
a) Aproximadamente, ¿en cuánto ha variado la
cantidad de turistas que ingresaron a Chile entre
el año 2001 y el 2005?
b) ¿En cuál de estos años ingresó a Chile mayor
cantidad de turistas?, ¿y en cuál la menor cantidad?
Año N° de turistas
2001 1 723 107
2002 1 412 315
2003 1 613 523
2004 1 785 024
2005 2 027 082
Fuente: Compendio
estadístico 2006. INE.
2. Redondea cada una de las cantidades a la centena de mil y luego
estima la cantidad total de turistas desde el año 2001 hasta el 2005.
3. Representa en una recta numérica todas las cantidades aproximadas.
Números naturales
25

U1 26 - 39:Maquetación 1 11/6/10 11:52 Página 26
26 Unidad 1
Adición y sustracción
La siguiente tabla de datos presenta la cantidad aproximada de
habitantes de cada región de América en el año 2006.
PARA DISCUTIR
Región Año 2006
América del Sur 380 300 000
América central 149 200 000
América del Norte 333 700 000
Fuente: http://www.un.org
(consultado en septiembre de 2007).
¿Cuál es el resultado de 380 300 + 149 200? Entonces, ¿cuál es la
suma de 380 300 000 y 149 200 000?
¿Cuál es resultado de 380 300 + 149 200 + 333 700?, ¿cómo lo
calculaste?
Según los datos de la tabla, ¿a qué corresponde el valor 863 200 000?
¿Cuál es el resultado de 380 300 – 333 700? ¿Qué número obtenemos
al hacer la sustracción de 380 300 000 y 333 700 000?
Observa cómo calculamos con los datos anteriores la cantidad de
habitantes que había en total en América del Norte y América central.
Al realizar la adición:
333 700 000 habitantes de América del Norte
+ 149 200 000 habitantes de América central
482 900 000
En América del Norte y central había 482 900 000 habitantes en el año
2006.
Si quisiéramos saber cuántos habitantes más había en América del Sur
que en América central, en el año 2006, podemos realizar la siguiente
sustracción:
380 300 000 habitantes de América del Sur
– 149 200 000 habitantes de América central
231 100 000
América del Sur tenía aproximadamente 231 100 000 habitantes más
que América central.

U1 26 - 39:Maquetación 1 11/6/10 11:52 Página 27
EN TU CUADERNO
1. Observa los siguientes ejercicios. ¿Están bien resueltos?, ¿por qué?
a) 6 346 538 b) 10 098 011 c) 136 854 123
+ 5 673 402 – 1 309 932 – 7 976 234
11 020 030 8 799 079 122 877 889
Resuélvelos correctamente y explica paso a paso las estrategias que utilizaste.
2. Completa cada cuadro con el dígito que falta.
a)
+
5 3 2 4
1 2 5 5 1 3
6 9 1 2 3
4. Encuentra el término que falta para que se cumpla cada igualdad.
a) 1 528 089 – = 703 423
b) + 68 570.000 = 123 600 000
b)
–
6 9 1 2
1 2 5 1 9
7 3 2 8 4
3. Completa el término que falta en cada caso. Explica paso a paso el procedimiento utilizado.
a)
+
3 497 819
14 079 615
b) c)
d) 53 198 014
+ 29 047 616 – 2 579 688 –
46 902 857
3 605 605
41 492 348
5. Resuelve los siguientes problemas y compara tus estrategias con tus compañeros y compañeras.
a) El volcán más alto de Chile es el nevado Ojos del Salado de 6893 m de altura, sobrepasando
por 1343 m al volcán Tupungato. ¿Cuál es la altura del volcán Tupungato?
b) Si el total de una adición es 89 570 648 y uno de los sumandos es 26 047 216, ¿cuál es el otro
sumando?
c) Si el sustraendo es 7 423 548 y la diferencia es 8 579 026, ¿qué valor tiene el minuendo?
d) Si la diferencia en una sustracción es de 1 312 575 y el minuendo es 8 658 020, ¿cuál es el valor
del sustraendo?
e) La suma de 3 números es 38 659 542. El primer sumando es 11 912 346 y el segundo es
4 825 650 unidades mayor que el primero. ¿Cuál es el tercer sumando?
6. Resuelve primero la operación que está entre paréntesis y luego calcula el resultado.
a) (920 400 – 123 155) + 48 273 =
b) (6 000 000 – 9295) + (5 218 324 – 8649) =
c) (375 418 + 94 219) – (215 327 – 695) =
c) – 2 973 931 = 10 000 000
d) 9 503 270 + = 148 000 952
Números naturales
27

U1 26 - 39:Maquetación 1 11/6/10 11:52 Página 28
Como la adición y sustracción son operaciones inversas, a cada adición se le pueden
asociar dos sustracciones.
En una adición, cuando se conoce solo un sumando y la suma, para encontrar el otro
sumando se resta a la suma el sumando conocido.
En una sustracción, cuando se conoce solo el sustraendo y la diferencia, para encontrar
el minuendo se suman el sustraendo con la diferencia.
En una sustracción, cuando se conoce solo el minuendo y la diferencia, para encontrar
el sustraendo se resta al minuendo la diferencia.
28 Unidad 1
NO OLVIDES QUE...
Los términos de una adición se llaman
sumandos y su resultado, suma.
suma
sumandos
EN EQUIPO
a + b = c
a + b = c
Los términos de una sustracción se llaman minuendo,
sustraendo y su resultado, resta o diferencia.
a – b = c
minuendo resta o diferencia
sustraendo
c – a = b
c – b = a
En esta actividad realizarán cálculos y comparaciones con números de más de seis cifras.
Para esto formen un grupo de tres integrantes y lean la siguiente información:
Según datos de la ONU, se estima que en América del Sur el año 2050 habrá 526 900 000
habitantes; en América del Norte, 438 000 000 habitantes y en América central, 209 600 000
habitantes. En Chile, la cantidad de habitantes registrada en el 2006 fue de aproximadamente
16 500 000 y se proyecta que en el año 2050 será de aproximadamente 20 700 000 habitantes.
1. Según esta información y los datos de la tabla de la página 26, respondan.
a) ¿Cuántos habitantes más que el año 2006 tendrá Chile en el año 2050?
b) ¿Qué consecuencias podría traer el aumento de habitantes en Chile, si consideramos que la
superficie se mantiene?
2. Cada integrante elija una de las tres regiones de América. Calcule la diferencia de habitantes
que tendrá la región escogida en el año 2050, respecto del año 2006.
a) Considerando los datos de la página 26, ¿en qué región aumentará más la población?
b) Conversen sobre el aumento de población en esas regiones. Para realizar ese análisis,
supongan que su curso es la población de América del Sur en 2006 y su sala de clase es la
superficie de la región.

U1 26 - 39:Maquetación 1 11/6/10 11:52 Página 29
ESTRATEGIA MENTAL
Observa las estrategias para resolver algunas adiciones y sustracciones mentalmente.
2 000 000 + 3 000 000 2 + 3 = 5 2 000 000 + 3 000 000 = 5 000 000
7 000 000 – 4 000 000 7 – 4 = 3 7 000 000 – 4 000 000 = 3 000 000
1. Practica la estrategia anterior para resolver las siguientes adiciones:
a) 2 000 000 + 5 000 000 2 + 5 = 2 000 000 + 5 000 000 =
b) 3 000 000 + 7 000 000 + = 3 000 000 + 7 000 000 =
c) 4 000 000 + 9 000 000 + = 4 000 000 + 9 000 000 =
d) 6 000 000 + 9 000 000 + = 6 000 000 + 9 000 000 =
2. Practica la estrategia anterior para resolver las siguientes sustracciones:
a) 5 000 000 – 3 000 000 5 – 3 = 5 000 000 – 3 000 000 =
b) 8 000 000 – 2 000 000 – = 8 000 000 – 2 000 000 =
c) 10 000 000 – 9 000 000 – = 10 000 000 – 9 000 000 =
d) 11 000 000 – 5 000 000 – = 11 000 000 – 5 000 000 =
3. Calcula mentalmente:
a) 15 000 – 5000 = e) 54 000 000 – 16 000 000 =
b) 24 000 + 25 000 = f) 99 000 000 + 32 000 000 =
c) 220 000 + 500 000 = g) 105 000 000 – 4 000 000 =
d) 350 000 – 250 000 = h) 873 000 000 – 773 000 000 =
4. Redondea los siguientes números a la unidad de mil más cercana y estima mentalmente cada
suma y resta.
a) 13 140 + 12 927 = d) 92 800 + 15 100 =
b) 24 060 – 14 080 = e) 38 555 – 26 140 =
c) 18 990 + 3999 = f) 97 980 – 36 249 =
5. Redondea los siguientes números a la decena de millón más cercana y luego calcula
mentalmente los resultados aproximados.
a) 58 113 140 + 90 512 927 = d) 92 765 800 + 15 075 100 =
b) 22 100 039 – 17 055 780 = e) 38 555 192 – 26 209 140 =
c) 456 224 060 – 214 909 080 = f) 45 976 000 – 21 457 000 =
Números naturales
29

U1 26 - 39:Maquetación 1 11/6/10 11:52 Página 30
30 Unidad 1
Propiedades de la adición
PARA DISCUTIR
Andrea, Carmen, Raúl y Guillermo trabajan
como vendedores en una corredora
de propiedades. Todos ellos venden
departamentos de un edificio del
centro de la ciudad.
En la siguiente tabla aparecen los valores de
los tipos de departamentos que ellos venden.
Tipo de departamento Precio (en pesos)
Un dormitorio 24 851 044
Dos dormitorios 31 749 673
Tres dormitorios 39 028 098
• Para calcular el total de su venta del viernes, Andrea planteó la
siguiente adición: 24 851 044 + 39 028 098, y Carmen resolvió
39 028 098 + 24 851 044. ¿Quién planteó bien la adición para obtener
la venta del viernes?, ¿por qué? ¿Qué resultado obtuvo cada una?
• Carmen hizo una nueva venta y realizó el siguiente cálculo:
(39 028 098 + 24 851 044) + 31 749 673. ¿Qué tipo de departamento
vendió ahora Carmen? ¿Cuánto es el total de las ventas de Carmen
con este departamento?, ¿cómo lo calculaste?
• Raúl plantea el siguiente ejercicio para calcular sus ventas:
39 028 098 + (24 851 044 + 31 749 673). ¿Qué departamentos vendió
Raúl? ¿Cuánto es el total de las ventas de Raúl? ¿En qué se parece el
cálculo que hizo Raúl con el que hizo Carmen?, ¿en qué se diferencia?
• Si en la mañana del viernes Guillermo vendió un departamento con tres
dormitorios pero durante la tarde tuvo mala suerte y no vendió nada,
¿cómo representarías el dinero que obtuvo Guillermo por sus ventas,
en ese día, con una adición?

U1 26 - 39:Maquetación 1 11/6/10 11:52 Página 31
HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS
Con ayuda de una calculadora, realiza las siguientes operaciones. Luego, responde.
a) 9 041 343 + 3 905 782 = 10 009 999 + 9 009 990 =
3 905 782 + 9 041 343 = 9 009 990 + 10 009 999 =
80 486 023 + 79 638 288 = 50 802 789 + 41 028 978 =
79 638 288 + 80 486 023 = 41 028 978 + 50 802 789 =
Observa cada recuadro, ¿en qué se parecen y en qué se diferencian ambas adiciones?
A partir de los resultados que obtuviste, ¿qué ocurre con la suma al cambiar el orden de los
sumandos?, ¿ocurrirá lo mismo con cualquier par de números naturales? Da tres ejemplos.
b) (40 035 + 73 082 991) + 5 295 381 = 6909 + (1 670 002 + 908) =
40 035 + (73 082 991 + 5 295 381) = (6909 + 1 670 002) + 908 =
(805 399 + 29 400 581) + 11 111 111 = 3 578 410 + (1002 + 10 050) =
805 399 + (29 400 581 + 11 111 111) = (3 578 410 + 1002) + 10 050 =
Observa cada recuadro, ¿en qué se parecen y en qué se diferencian ambas adiciones?,
A partir de los resultados que obtuviste, ¿qué ocurre con la suma al agrupar los sumandos de
diferente manera?, ¿ocurrirá lo mismo con cualquier grupo de números naturales?
Da tres ejemplos.
EN TU CUADERNO
1. Resuelve mentalmente las siguientes adiciones y, luego, responde.
a) 597 391 000 + 0 = c) 0 + 10 000 001 = e) 99 919 708 + 0 =
b) 0 + 6 891 999 666 = d) 90 101 + 0 = f) 0 + 12 432 330 =
A partir de los resultados que obtuviste, ¿qué ocurrió al sumar cero a los números anteriores?,
¿ocurrirá lo mismo al sumar cero a cualquier número natural? Da dos ejemplos.
Números naturales
31

U1 26 - 39:Maquetación 1 11/6/10 11:52 Página 32
2. Sustituye los valores correspondientes y completa con el resultado en cada caso.
32 Unidad 1
a b c a + b b + a (a + b) + c a + (b + c) a + 0 0 + b c + 0
4 9 11
38 51 90
600 492 222
1973 7100 5000
responde en tu cuaderno
responde en tu cuaderno
a) ¿Qué observas en los resultados de las columnas de igual color? ¿ocurrirá siempre lo mismo?
b) Propone tres nuevos valores para a, b y c, dentro de los números naturales, y verifica que se
cumplan tus predicciones anteriores al sustituir las letras con estos nuevos valores.
c) A partir de lo anterior, ¿qué puedes concluir?
3. Considerando que X, Y y Z son números naturales, escribe la expresión matemática que representa la
propiedad dada, utilizando estas letras para representar números. Guíate por el ejemplo.
a) En una adición, al cambiar el orden de
los sumandos, la suma no cambia.
b) En una adición, al agrupar los sumandos
de diferentes maneras, la suma no cambia.
c) La adición entre un número y cero da como
resultado el mismo número.
• Compara tus respuestas con las de un compañero o compañera y explica cada expresión con
tus palabras.
4. Verifica que se cumplan las igualdades anteriores para los siguientes valores de X, Y y Z. Para ello, en
cada expresión, sustituye las letras por los valores correspondientes y resuelve usando la calculadora.
a) X = 3 b) X = 1003 c) X = 35 200
Y = 12 Y = 3249 Y = 5670
Z = 35 Z = 7775 Z = 9000
Ejemplo: X + Y = Y + X
3 + 12 = 12 + 3
15 = 15
Se cumple que X + Y = Y + X
para X = 3 e Y = 12
X + Y = Y + X

U1 26 - 39:Maquetación 1 17/6/10 18:00 Página 33
En una adición entre números naturales, al cambiar el orden de los sumandos,
la suma no cambia.
En general, si a y b son dos números naturales: a + b = b + a
Esta es la propiedad conmutativa de la adición.
En una adición entre números naturales, al agrupar los sumandos de diferentes
maneras, la suma no cambia.
En general, si a, b y c son tres números naturales: (a + b) + c = a + (b + c)
Esta es la propiedad asociativa de la adición.
La adición entre un número natural y cero da como resultado el mismo número.
El elemento neutro en la adición es el cero. En general, si a es un número natural:
a + 0 = 0 + a = a
MI PROGRESO
NO OLVIDES QUE...
1. La familia Miranda está participando en un programa de concursos en
televisión. El animador les muestra los siguientes ejercicios y pregunta:
¿en cuál se obtiene el mayor resultado?
6 839 235 + 6 000 840
(7 191 284 + 4 566 730) + 1 082 061
6 000 840 + 6 839 235
Luego, la madre de la familia responde que todos tienen igual resultado.
a) ¿Estás de acuerdo con la respuesta de la mamá?, ¿por qué?
12 840 075 + 0
7 191 284 + (4 566 730 + 1 082 061)
b) Determina en cuáles ejercicios se pueden observar las propiedades
aprendidas y explica cómo las identificaste.
c) Si en la primera parte del concurso llevaban ganados $ 1 250 000 y al
término de este se ganaron $ 4 100 000, ¿cuánto dinero ganaron después
de la primera parte del concurso?, ¿cómo lo calculaste?
2. Identifica que propiedad está presente en cada expresión y verifícala usando
números. Luego, explica con tus palabras esa propiedad.
a) m + n = n + m b) (p + q) + r = p + (q + r) c) s + 0 = 0 + s = s
Números naturales
33

U1 26 - 39:Maquetación 1 17/6/10 15:57 Página 34
BUSCANDO ESTRATEGIAS
La superficie de Brasil es 7 755 014 km 2 mayor que la de Chile. Si la superficie de Chile es
756 950 km 2 , entonces, ¿cuál es la superficie de Brasil?
Comprender
¿Qué sabes del problema?
La superficie de Chile es 756 950 km 2
La superficie de Brasil es 7 755 014 km 2
mayor que la de Chile.
¿Qué debes encontrar?
La superficie de Brasil.
Planificar
¿Cómo puedes resolver el problema?
Calculando la suma de la superficie de Chile con la diferencia
entre la superficie de Brasil y la de Chile.
¿Qué operación puedes utilizar?
Una adición.
Resolver
Responder
34 Unidad 1
7 755 014 Diferencia entre la superficie de Brasil y la de Chile
+ 756 950 Superficie de Chile
8 511 964 Superficie de Brasil
La superficie de Brasil es 8 511 964 km 2
Revisar
¿Cómo puedes comprobar tus resultados?
8 511 964 Superficie de Brasil
– 756 950 Superficie de Chile
7 755 014 Diferencia entre la superficie de Brasil y de Chile.

U1 26 - 39:Maquetación 1 17/6/10 15:57 Página 35
1. Resuelve los siguientes problemas, aplicando la estrategia de la página anterior.
a) La población de una ciudad aumentó en 17 892 su número de habitantes el año pasado,
tomando en cuenta el número de nacimientos y defunciones. Si hubo 929 fallecimientos,
¿cuántos nacimientos se registraron?
Números naturales
Unidad 1
b) Francisca compró un refrigerador por $ 195 870, es decir, $ 29 530 menos de lo que lo había
visto en otra tienda. ¿Cuál era el precio del refrigerador en la otra tienda?
c) La señora Carmen había ahorrado $ 4 394 509 para poder comprar su casa. Ella ganó un
premio en un juego de azar de $ 750 000, y enseguida lo depositó en su cuenta de ahorro
para la vivienda. ¿Cuánto dinero tiene ahorrado ahora para adquirir su casa?
d) Andrés compró un auto usado que costaba $ 1 590 000, pero gastó $ 1 389 000 en pintarlo
y desabollarlo. ¿Cuánto gastó en total en el auto?
e) La familia de Nicolás ganó $ 45 875 000 en un juego de azar. Si con esa cantidad de dinero
deciden comprar una casa que cuesta $ 33 872 000 y el resto ahorrarlo, ¿cuánto dinero
podrán ahorrar?
2. Ahora resuelve el problema de la página anterior utilizando otra estrategia de resolución, explícala
paso a paso y compárala con las usadas por tus compañeros y compañeras.
3. Resuelve los siguientes problemas utilizando la estrategia que tú quieras. Compara el
procedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?,
¿por qué?
a) Un avión ha pasado de una altitud de vuelo de 4391 metros a otra de 8025 metros. ¿Cuántos
metros se ha elevado?
b) Para un recital se han vendido 39 048 entradas y aún quedan 10 952 entradas sin vender.
Entonces, ¿cuál es la capacidad del estadio?
c) Hernán, papá de Laura, recibió una herencia por $ 97 873 452. Lo primero que hizo Hernán
fue comprar una casa que costaba $ 42 000 000. Laura y sus hermanos le pidieron a su padre
que comprara un auto. Él gastó $ 3 800 000 en una camioneta usada. ¿Cuánto ha gastado el
papá de Laura?, ¿cuánto dinero de la herencia le queda a Hernán? ¿Cuántas casas de
aproximadamente $ 12 000 000 se podrían comprar con el total de la herencia?
35

U1 26 - 39:Maquetación 1 17/6/10 18:00 Página 36
CONEXIONES
36 Unidad 1
El masivo uso de teléfonos celulares
Después de ser
considerado por
varios años como
un producto “de
lujo” y al alcance
de unos cuantos
ejecutivos, hoy en
día los nuevos
planes de pago y lo accesible de los aparatos
ha hecho que sea un objeto al alcance de todo
el que requiera comunicación instantánea
desde cualquier lugar.
Según cifras entregadas por la SUBTEL
(Subsecretaría de Telecomunicaciones), en el
año 2004 había nueve millones doscientos
sesenta y un mil trescientos ochenta y cinco
celulares en nuestro país; en el año 2005 esta
cifra llegó a diez millones quinientos sesenta y
ACTUALIDAD
Cuando caminamos por las calles de nuestra ciudad, generalmente vemos a muchas personas
hablando por celular. La ajetreada vida de algunas ciudades en Chile ha hecho que el teléfono
celular sea indispensable para facilitar el diario vivir.
Fuente: http://www.subtel.cl (consultado en septiembre de 2007, adaptación).
nueve mil quinientos setenta y dos
equipos; a su vez, en el 2006, la
cantidad aumentó en un millón
ochocientos ochenta y un mil
doscientos veintinueve, en
comparación con el año anterior.
Se estima que en el 2010, la
cantidad de celulares será
equivalente a la cantidad de habitantes.
El celular tiene bastantes ventajas, pero la
proliferación masiva de estos ha generado
nuevos tipos de problemas que nadie
imaginaba hace algunos años. Riesgos al
manejar, radiaciones peligrosas e
interrupciones indeseadas en lugares públicos
suelen verse ahora con frecuencia cuando se
abusa de la tecnología y de los teléfonos
celulares.
Formen un equipo de trabajo, y desarrollen las siguientes actividades:
1. Examinen la información e identifiquen la idea central.
2. Extraigan las afirmaciones u opiniones que se expresan en torno a la idea central.
3. Construyan una tabla de datos y un gráfico de barras que represente el aumento en la
cantidad de celulares a partir del año 2004, incluyendo la proyección hacia el 2010.
4. Aproximadamente, ¿cuántos equipos celulares habrá el año 2010?
5. Averigüen tres planes para contratar un servicio de telefonía celular, de compañías diferentes.
Comparen los datos e indiquen cuál de los planes elegirían y por qué.

U1 26 - 39:Maquetación 1 17/6/10 15:57 Página 37
SÍNTESIS
Durante esta unidad has aprendido a entender y comunicar números tan grandes como
los miles de millones. A continuación te presentamos un modelo de una técnica de
estudio, llamada resumen, que consiste en reproducir un texto leído o la materia de
estudio, utilizando tu vocabulario y tu estilo.
MODELO:
Unidad 1
Lectura y escritura: para escribir números se hacen grupos de 3 cifras, empezando por la
derecha y separándolos por un espacio, y para leerlos lo hacemos empezando por la cifra
de la izquierda.
Ejemplo:
3 910 399 403
1. Realiza un resumen de los siguientes conceptos, siguiendo el modelo anterior.
Valor posicional.
Descomposición aditiva.
Orden de números.
Comparación de números.
Tres mil novecientos diez millones
trescientos noventa y nueve mil
cuatrocientos tres.
Redondeo y estimación.
Adición y sustracción.
Propiedades de la adición.
2. Compara tu resumen con el de tus compañeros y compañeras. ¿Te faltó alguna idea
importante?, ¿cuál?
3. Comenta en tu curso las siguientes preguntas, según lo realizado anteriormente:
a) ¿En qué contextos pueden utilizar números de más de seis cifras?
b) ¿Qué reglas conocen acerca de la escritura y lectura de números?
c) ¿Cómo se puede descomponer un número?
d) ¿De qué depende el valor de cada uno de los dígitos de un número?
e) ¿En qué debemos fijarnos al construir una recta numérica?
f) ¿Qué utilidad tiene ubicar los números en una recta numérica?
g) ¿Qué procedimientos podemos realizar para comparar y ordenar dos o más cantidades?
h) ¿Qué significa redondear un número?, ¿en qué situaciones es conveniente redondear
una cantidad?, ¿cómo la redondeamos?
i) ¿En qué deben poner atención al sumar y restar dos o más números?
j) ¿Cuáles son las propiedades de la adición?, ¿en qué consiste cada una
de ellas?
k) ¿Qué pasos deben realizar en un ejercicio de planteamiento de
problema?
Números naturales
37

U1 26 - 39:Maquetación 1 17/6/10 15:57 Página 38
¿QUÉ APRENDÍ?
Marca, en tu cuaderno, la alternativa que consideres correcta en las
actividades 1 a la 8.
1. Joaquín ganó $ 13 456 901 en un juego de azar.
Este número se lee:
A. trece mil millones cuatrocientos cincuenta y
seis mil novecientos uno.
B. trece millones cuatrocientos mil novecientos
uno.
C. trece millones cuatrocientos cincuenta y seis
mil novecientos uno.
D. trece mil cuatrocientos cincuenta y seis
novecientos uno.
2. El número que tiene un 9 en la posición de la
unidad de mil es:
A. 48 799 125
B. 24 893 912
C. 196 791
D. 7916
3. El número 9 239 557 015 corresponde a:
A. 9 UMMi + 2 CMi + 3 DMi + 9 UMi + 5 CM
+ 5 DM + 7 UM + 1 D + 5 U
B. 9 UMMi + 2 CMi + 3 DMi + 9 CM + 5 DM
+ 7 UM + 1 D + 5 U
C. 9 UMMi + 2 CMi + 3 DMi + 9 UMi + 5 CM
+ 5 DM + 7 UM + 1 C + 5 U
D. Ninguna de las anteriores.
4. Felipe recorre 878 000 metros el primer día de
su viaje y 297 000 metros el segundo día. ¿Cuál
es la mejor estimación de los kilómetros totales
recorridos por Felipe?
A. 1000 km
B. 1100 km
C. 1200 km
D. 1400 km
38 Unidad 1
5. Al ordenar los números 49 967 274, 49 975 834
y 49 976 274, de mayor a menor, se obtiene:
A. 49 976 274 > 49 975 834 > 49 967 274
B. 49 967 274 > 49 975 834 > 49 976 274
C. 49 975 834 > 49 967 274 > 49 976 274
D. 49 975 834 > 49 976 274 > 49 967 274
6. Si al número 5 691 208 le agregamos tres
unidades de mil, se obtiene:
A. 5 693 208
B. 5 694 000
C. 5 694 208
D. 5 991 208
7. Si en una casa comercial se vendió $ 17 934 071
en una semana, y a la semana siguiente,
$ 21 734 893. ¿Cuánto más se vendió en la
segunda semana? Puedo resolver esta situación
con una:
A. adición.
B. sustracción.
C. adición y sustracción.
D. Ninguna de las anteriores.
8. Si redondeamos 8 247 406 a la decena de mil
más próxima se obtiene:
A. 8 000 000
B. 8 250 000
C. 8 300 000
D. 8 500 000

U1 26 - 39:Maquetación 1 17/6/10 15:57 Página 39
9. Los datos presentados en la tabla corresponden a las llamadas desde el extranjero,
recibidas en nuestro país, durante los años 2000 al 2005.
Año
Minutos
a) Ubica en una recta numérica los datos de la tabla.
Fuente: http://www.subtel.cl (consultado en septiembre de 2007).
b) Compara y calcula en cuánto aumentaron o disminuyeron las llamadas recibidas
cada año.
c) Calcula el total de minutos de llamadas recibidas en nuestro país desde el
extranjero durante los años 2000 al 2005.
10. Si a = 235 830, b = 569 012 y c = 1 679 012, verifica si se cumplen las igualdades.
a) a + b = b + a
c) b + 0 = b
b) (c + b) + a = c + (b + a)
d) 0 + c = c
¿QUÉ LOGRÉ?
1. Marca según tu apreciación.
Lectura y escritura de números.
Valor posicional.
Descomposición aditiva.
Números en la recta numérica.
Orden y comparación de números.
Redondeo y estimación.
Adición y sustracción.
2. Reflexiona y responde.
2000 2001 2002 2003 2004 2005
288 388 362 106 395 584 471 710 572 385 561 442
Compara tus respuestas con tus compañeros y compañeras.
¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y
resuelve correctamente el ejercicio.
Propiedades de la adición.
Resolución de problemas.
No lo
entendí
a) ¿Qué dificultades tuviste en la unidad?, ¿cómo las superaste?
b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la unidad?, ¿por qué?
c) Vuelve a la página 10 y revisa el recuadro “En esta unidad podrás…”,
¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Comenta.
Lo
entendí
Puedo
explicarlo
responde en tu cuaderno
responde en tu cuaderno
Unidad 1
Números naturales
39

U2 40-75:Maquetación 1 17/6/10 16:00 Página 40
UNIDAD
2
EN ESTA UNIDAD PODRÁS...
40 Unidad 2
Múltiplos, divisores
y operaciones
Reconocer múltiplos, divisores y factores primos de números naturales.
Formular y verificar algunas propiedades de los números naturales.
Calcular multiplicaciones y divisiones de números naturales.
Resolver problemas usando adiciones, sustracciones, multiplicaciones y
divisiones de números naturales.
Interpretar expresiones matemáticas en las que se emplean letras para
representar números o cantidades.
Determinar el valor de estas expresiones matemáticas.

U2 40-75:Maquetación 1 17/6/10 16:00 Página 41
CONVERSEMOS DE...
Daniel visitó al doctor porque se sentía cansado. Luego de hacerle
algunas preguntas, el doctor le comentó que todos los seres
humanos necesitamos alimentarnos adecuadamente y, que
probablemente, si aumentaba el consumo de frutas y verduras,
carnes blancas, lácteos, legumbres y líquido, disminuiría la
cantidad de grasas y se sentiría mejor.
Daniel, considerando la sugerencia del doctor, fue a la feria que se
muestra en la imagen y compró: 3 kg de manzanas, 2 kg de
naranjas, 1 kg de papas, 3 kg de tomates, 4 lechugas y 6 pepinos.
Luego fue a un supermercado y compró 12 L de leche, 7 L de agua
mineral y 1 kg de lentejas.
Según los datos anteriores y la información de la imagen,
responde:
¿Cuánto dinero gastó Daniel en la feria?, ¿cómo lo calculaste?
Si en el supermercado el litro de leche estaba a $ 649, el de agua
mineral a $ 519 y el kilogramo de lentejas a $ 759, ¿cuánto
dinero gastó Daniel aproximadamente en el supermercado?,
¿cómo lo calculaste?
De los alimentos que consumes habitualmente, ¿cuáles crees que
no favorecen tu salud?, ¿por qué?
¿Qué alimentos debieras incluir en tu alimentación diaria?
Elabora una lista con los alimentos saludables que comprarías en
una feria, almacén o supermercado, estima sus valores y calcula
cuánto gastarías aproximadamente.
Múltiplos, divisores y operaciones
41

U2 40-75:Maquetación 1 17/6/10 16:00 Página 42
¿CUÁNTO SABES?
42 Unidad 2
Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve los siguientes
ejercicios en tu cuaderno.
1. Expresa en forma de multiplicación las siguientes adiciones:
a) 3 + 3 + 3
b) 5 + 5 + 5 + 5
2. Calcula mentalmente y escribe el resultado en tu cuaderno:
a) 5 9
b) 7 8
c) 15 4
d) 130 3
e) 95 100
3. Completa las tablas con los términos que faltan:
Factor Factor Producto
5 4500
9 72
1000 36 000
12 144
6 42
9 9000
9 6
4. Calcula las siguientes multiplicaciones y divisiones. Explica los procedimientos
utilizados.
a) 230 5
b) 1569 9
c) 9546 25
d) 13 242 34
e) 25 438 50
c) 9 + 9 + 9 + 9 + 9
d) 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10
f) 120 : 6
g) 250 : 2
h) 1800 : 3
i) 8500 : 10
j) 56 000 : 100
f) 5125 : 5
g) 567 : 3
h) 2580 : 9
i) 6712 : 4
Dividendo Divisor Cociente Resto
47 7
540 6
72 2
104 8
105 9
16 300 10
100 000 100
j) 32 136 : 6
responde en tu cuaderno
5. Catalina fue al cine. Tenía $ 6300 y gastó de ida $ 380 en locomoción. Si después
de pagar la entrada al cine, le quedan $ 3520, ¿cuánto le costó la entrada?

U2 40-75:Maquetación 1 17/6/10 16:00 Página 43
6. Pedro y su familia entraron a comer a un lugar en el que había el
siguiente cartel:
Pasteles Postres Helados
Pastel relleno con manjar $ 850 Flan de vainilla $ 390 Simples $ 550
Pastel con crema $ 790 Flan de caramelo $ 210 Dobles $ 735
Pastel con mermelada $ 645 Mouse de manjar $ 420
a) ¿Cuánto deben pagar por 3 pasteles rellenos con manjar,
2 flanes de caramelo y 3 helados dobles?
b) Si contaban con $ 5000, ¿les alcanzó para pagar lo que
consumieron?, ¿cuánto les sobró o les faltó?
c) Si la familia de Pedro está compuesta por 8 personas y todos
quisieran pedir un pastel relleno con manjar, ¿les alcanza con el
dinero que tenían?
Compara tus respuestas con tus compañeros y compañeras. ¿Te
equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve
correctamente el ejercicio.
¿QUÉ DEBES RECORDAR?
Mouse de chocolate $ 670
Los términos de la multiplicación se llaman factores y su resultado, producto.
10 8 = 80
Factores Producto
En una división de números naturales, sus términos se llaman dividendo y divisor y su
resultado, cociente. Si la división no es exacta, se obtiene un resto que es menor que el
divisor y distinto de cero.
Dividendo
Divisor
15 : 5 = 3
–15
0 Resto
División exacta
Cociente
Dividendo
Divisor
18 : 7 = 2 Cociente
–14
4 Resto
División inexacta
La multiplicación y la división son operaciones inversas. A una multiplicación se le
pueden asociar dos divisiones. Ejemplo: 15 4 = 60 60 : 4 = 15 60 : 15 = 4
Múltiplos, divisores y operaciones
43

U2 40-75:Maquetación 1 11/6/10 13:36 Página 44
A yuda
Para representar una
multiplicación de dos
números cualesquiera
a y b, utilizamos la
expresión
a b y se lee a por b.
44 Unidad 2
Múltiplos
Pedro vende choclos en la feria y los guarda en sacos para llevarlos a
su puesto. Él echa cada vez tres choclos en el saco y los va contando.
PARA DISCUTIR
3, 6, 9, 12…
¿Cuántos choclos hay dentro del saco después de echar 5 grupos de
choclos?, ¿y después de echar 6 grupos? ¿Cómo lo calculaste?
Si él está contando el total de choclos que va teniendo en el saco cada
vez y lleva 12 veces, ¿cuáles serán los próximos cinco números que
dirá?
Si siempre echa de a 3 choclos, ¿puede haber en algún momento 38
choclos en el saco?, ¿y 39 choclos? ¿Cómo lo supiste?
Si el saco tiene capacidad para 100 choclos, ¿cuántas veces echará los
grupos de a 3 choclos, 33 ó 34?, ¿por qué?
EN EQUIPO Materiales:
60 palos de
En esta actividad deberán trabajar con material concreto y contar colecciones
de objetos haciendo diferentes agrupaciones.
Para esto formen un grupo de 3 integrantes y sigan las instrucciones.
1. Pongan todos los palos de helado sobre la mesa.
helado
1 bolsa
2. Uno de los integrantes los guarda, echando cada vez dos palos de helado en la bolsa, mientras
otro integrante va contando cuántos palos hay en total en la bolsa cada vez que se echa un
nuevo grupo.
3. El tercer integrante anota la secuencia que se forma con los números que va contando su
compañero o compañera.
4. Repitan estos pasos, pero echando a la bolsa grupos de 4, 5 y 10 palos de helado cada vez.
5. Observen las secuencias que escribieron y respondan:
a) ¿En qué se parecen las secuencias que escribieron?
b) ¿Cuál podría ser la regla de formación de cada una de estas secuencias?
c) Si hubiesen trabajado con 100 palitos de helado más, ¿cuáles serían los números que
seguirían en cada secuencia?

U2 40-75:Maquetación 1 11/6/10 13:37 Página 45
NO OLVIDES QUE...
Cuando un número lo multiplicamos por cada uno de los números naturales,
obtenemos los múltiplos del número. Por ejemplo:
3 1 = 3 3 2 = 6 3 3 = 9 3 4 = 12 3 5 = 15 3 6 = 18 …
Los múltiplos de 3 son: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24,…
Para obtener múltiplos de un número también podemos formar una secuencia
sumando el mismo número al término anterior. Por ejemplo:
EN TU CUADERNO
+ 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3
3 6 9 12 15 18 21 24
1. Une cada secuencia con el recuadro que indica a los múltiplos de qué número corresponde.
7, 14, 21, 28, 35, 42,… Múltiplos de 3
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,… Múltiplos de 6
6, 12, 18, 24, 30, 36, 42,… Múltiplos de 8
8, 16, 24, 32, 40, 48, 56,… Múltiplos de 7
2. Completa cada afirmación. Guíate por el ejemplo.
24 es múltiplo de 6, porque 6 4 = 24
a) 56 es múltiplo de 7, porque 7 = 56
b) 25 es múltiplo de 5, porque 5 = 25
3. Escribe en tu cuaderno los primeros 10 múltiplos de 9, 10, 11 y 12.
4. Escribe los múltiplos que se indican en cada caso.
a) Múltiplos de 4 que sean menores que 48 y mayores que 8.
b) Múltiplos pares de 5 que sean menores que 50 y mayores que 25.
c) Múltiplos de 8 que sean menores que 120 y mayores que 80.
c) 20 es múltiplo de10, porque 10 = 20
d) 72 es múltiplo de 8, porque 8 = 72
5. En la semana del colegio, Matilde ayuda a llenar bolsas con chocolates para entregar en los distintos
concursos. En cada bolsa debe colocar 5 chocolates.
a) ¿Cuántos chocolates ha repartido en total si ha llenado 16 bolsas?, ¿y si ha llenado 65 bolsas?
b) ¿En algún momento, Matilde podría haber ocupado 46 chocolates para llenar cierta cantidad de
bolsas? Explica.
Múltiplos, divisores y operaciones
45

U2 40-75:Maquetación 1 11/6/10 13:37 Página 46
46 Unidad 2
EN EQUIPO
Factores y divisores
En esta actividad deberán descomponer números en forma
multiplicativa, identificando sus factores.
Formen grupos de tres integrantes y sigan las instrucciones:
1. Calquen en el papel lustre la tarjeta de muestra, según las indicaciones y recórtenlas.
15 de color amarillo
10 de color verde
6 de color rojo
2. Cada integrante elige un color de tarjetas y escribe en la cara de color los
siguientes números:
En las tarjetas amarillas: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26,
28 y 30.
En las tarjetas verdes: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 y 30.
En las tarjetas rojas: 5, 10, 15, 20, 25 y 30.
3. Al reverso de las tarjetas, escriban todas las multiplicaciones posibles de dos factores
cuyos productos sean los números escritos en la cara de color. Por ejemplo:
6
1 6
2 3
3 2
6 1
4. Intercambien sus tarjetas y revisen si las multiplicaciones que escribieron sus compañeros y
compañeras son correctas y si están todas las posibles.
5. Recuerden que los divisores de un número son aquellos que dividen en forma exacta a dicho
número. Considerando esta afirmación, respondan: ¿Los factores en los que se puede
descomponer un número son también divisores de dicho número?, ¿por qué?
PARA DISCUTIR
Materiales:
3 pliegos de papel lustre
(amarillo, verde, rojo)
Tijeras
Plumón delgado
tarjeta
de muestra
Los números que escribieron al reverso:
1, 2, 3 y 6, corresponden a los divisores
del número 6.
¿El 1 es múltiplo o divisor de todos los números escritos en las
tarjetas?, ¿por qué?
¿Qué números tienen como factor el 2?, ¿en qué se parecen estos
números?
¿Qué números tienen como divisor el 5?, ¿en qué se parecen estos
números?
¿Cuántos divisores tiene el número 12?, ¿y cuántos múltiplos?, ¿cómo
lo supiste?

U2 40-75:Maquetación 1 11/6/10 13:37 Página 47
Los factores de un número son los términos en que se puede descomponer
multiplicativamente el número.
Ejemplo: Los factores de 27 son: 1 y 27 ó 3 y 9, porque:
1 27 = 27 ó 3 9 = 27
Todo factor de un número es divisor de él.
Los divisores de un número son aquellos que lo dividen en forma exacta.
Ejemplo: Los divisores de 27 son: 1, 3, 9 y 27, porque:
27 : 1 = 27 27 : 3 = 9 27 : 9 = 3 27 : 27 = 1
De esta forma, 27 es divisible por 1, 3, 9 y 27.
Todo número natural tiene siempre como divisores el 1 y sí mismo.
EN TU CUADERNO
1. Escribe todas las multiplicaciones posibles de dos factores cuyos productos sean los siguientes
números.
a) 36
b) 45
c) 48
NO OLVIDES QUE...
2. Pablo está haciendo un álbum del verano. En total tiene 72 fotografías y está pensando en la
cantidad de páginas que debe tener su álbum para poner exactamente la misma cantidad de fotos en
cada una de ellas.
a) 100
b) 122
d) 50
e) 60
f) 90
a) ¿Puede hacer un álbum de 72 páginas?, ¿cuántas fotografías quedarían en cada página?
b) Si el material que compró le alcanza para hacer un álbum de un máximo de 30 páginas,
¿cuál es la cantidad de páginas que debería tener su álbum? ¿Cuántas fotografías irían en
cada página?
3. Francisca colecciona postales y para mantenerlas ordenadas las guarda en sobres, colocando la
misma cantidad de postales en cada uno. Si no pone una postal en cada sobre ni todas en uno, solo
las puede guardar en cada sobre grupos de 3, de 5 y de 25, ¿cuántas postales tiene Francisca?
4. Escribe todos los divisores de los siguientes números. Puedes utilizar calculadora.
c) 143
d) 144
e) 155
f) 156
g) 168
h) 189
Múltiplos, divisores y operaciones
47

U2 40-75:Maquetación 1 11/6/10 13:37 Página 48
5. Copia la tabla en tu cuaderno y marca un si los números de la primera columna son divisibles
por 2, 3, 5, 6 ó 10 y una en caso contrario. Guíate por el ejemplo.
6. Observa la tabla anterior, comenta y responde:
a) ¿En qué se parecen los números que son divisibles por 2?
b) Suma los dígitos que forman los números que son divisibles por 3, ¿cómo se
relacionan los resultados?
c) Si un número es divisible por 2 y por 3, ¿por cuál otro número es divisible siempre?
d) ¿En qué se parecen los números que son divisibles por 5?, ¿y los números que son
divisibles por 10?
7. Escribe cinco números que sean divisibles por:
a) 2
8. Completa los espacios con el dígito que corresponda, para que se cumpla la afirmación. Puedes
encontrar más de una respuesta.
a) 3 5 es divisible por 3
b) 123 es divisible por 2
c) 19 es divisible por 5
48 Unidad 2
Es divisible por
24
50
65
73
85
96
102
189
234
390
1208
2000
2555
3600
4236
2 3 5 6 10
responde en tu cuaderno
b) 3 c) 5
d) 10
Compara tus respuestas con tus compañeras y compañeros.
responde en tu cuaderno
d) 212 es divisible por 10
e) 6 891 es divisible por 3
f) 12 56 es divisible por 6

U2 40-75:Maquetación 1 11/6/10 13:37 Página 49
9. Los siguientes números son múltiplos de 9. Obsérvalos y luego responde:
a) Suma los dígitos que los forman, ¿qué observas?
b) ¿Son divisibles por 3?, ¿ocurrirá siempre?
c) Si un número es divisible por 3, ¿es siempre divisible por 9?, ¿por qué?
10. Los siguientes números son múltiplos de 4. Obsérvalos y luego responde:
a) Observa los dígitos ubicados en las posiciones de las decenas y unidades de los números
destacados con rojo, ¿qué números forman?, ¿de cuál número son múltiplos?
b) ¿En qué se parecen los números destacados con azul?
c) Si un número es divisible por 4, ¿es siempre divisible por 2?, ¿por qué?
d) Si un número es divisible por 2, ¿es siempre divisible por 4?, ¿por qué?
11. Completa los espacios con el dígito que corresponda, para que se cumpla la afirmación. Puedes
encontrar más de una respuesta.
a) 7 6 es divisible por 6.
c) 192 es divisible por 4.
b) 32 4 es divisible por 9.
12. Utilizando las regularidades que descubriste en las actividades anteriores acerca de la divisibilidad,
encuentra todos los divisores de los siguientes números:
a) 63
b) 124
135 396 1233 2070 9756
342 522 1899 3690
112 452 1360 2080 6948
300 500 7000 10 000
NO OLVIDES QUE...
d) 230 es divisible por 4.
c) 145
d) 250
Un número es divisible por 2 cuando el dígito ubicado en la posición de las unidades es 0, 2,
4, 6 u 8, es decir, si es 0 o un número par.
Un número es divisible por 3 cuando la suma de los dígitos que lo forman es múltiplo de 3.
Un número es divisible por 4 cuando los dígitos ubicados en las posiciones de las decenas y
unidades forman un múltiplo de 4 o ambos son 0.
Un número es divisible por 5 cuando el dígito ubicado en la posición de las unidades es 0 ó 5.
Un número es divisible por 6 cuando cuando lo es por 2 y por 3.
Un número es divisible por 9 cuando la suma de los dígitos que lo forman es múltiplo de 9.
Un número es divisible por 10 cuando el dígito ubicado en la posición de las unidades es 0.
Múltiplos, divisores y operaciones
49

U2 40-75:Maquetación 1 11/6/10 13:37 Página 50
50 Unidad 2
NO OLVIDES QUE...
Factores primos
En un curso de 45 estudiantes se requiere formar grupos con igual
cantidad de integrantes para realizar un trabajo en equipo.
Si revisamos todas las posibles cantidades de integrantes que
pueden tener los grupos, se puede obtener las siguientes
combinaciones:
1 solo grupo de 45 integrantes 1 45 = 45
3 grupos de 15 integrantes 3 15 = 45
5 grupos de 9 integrantes 5 9 = 45
9 grupos de 5 integrantes 9 5 = 45
15 grupos de 3 integrantes 15 3 = 45
45 grupos de 1 integrante 45 1 = 45
Luego, los grupos pueden tener 1, 3, 5, 9, 15 y 45 integrantes.
PARA DISCUTIR
¿Las posibles cantidades de integrantes por cada grupo corresponden a
los múltiplos o a los divisores de 45?
¿Cuántos divisores tiene el número 45?, ¿y el 36?, ¿cómo lo supiste?
Si en otro curso hay 37 estudiantes, ¿cuántas posibilidades existen para
formar grupos?, ¿y cuántos divisores tiene el número 37?
¿En qué se parecen los números 45 y 36?, ¿y en qué se diferencian de
los números 37 y 23?
Si quisieran formar grupos en tu curso con igual cantidad de
integrantes cada uno, ¿cuáles serían las posibilidades?
Los números primos son aquellos números mayores que 1 que tienen solo 2 divisores y
distintos entre sí, el 1 y el mismo número. Aquellos números que tienen más de dos
divisores se llaman números compuestos. Por ejemplo: el número 25 es un número
compuesto porque sus divisores son 1, 5 y 25, en cambio, el 43 es un número primo
porque sus divisores son 1 y 43.
EN TU CUADERNO
1. Escribe, en orden, los números del 1 al 100 y sigue las indicaciones.
a) Encierra en una circunferencia el número 2 y tacha sus múltiplos.
b) Encierra el número siguiente, que aún no se ha tachado, o sea el 3, y tacha sus múltiplos.
c) Encierra el número siguiente, que aún no se ha tachado, o sea el 5, y tacha sus múltiplos.
d) Repite el paso anterior, hasta terminar con todos los números.

U2 40-75:Maquetación 1 11/6/10 13:37 Página 51
2. Comenta y responde, según lo que obtuviste en el ejercicio anterior.
a) ¿En qué se parecen los números encerrados en una circunferencia?, ¿son números primos o
compuestos?
b) ¿En qué se parecen los números tachados?, ¿son números primos o compuestos?
c) ¿Cuál o cuáles no son ni primos ni compuestos?, ¿por qué?
3. Completa con el factor que falta para que se cumpla cada igualdad.
a) 8 = 2 2
b) 10 = 5
c) 26 = 2
4. ¿En qué se parecen los factores de los números del ejercicio anterior? Comenta.
5. Paula dice que los números compuestos se pueden descomponer en factores primos. ¿Estás de
acuerdo con ella? Da 3 ejemplos.
6. Observa y comenta las siguientes estrategias para descomponer un número en sus factores
primos.
12
12 2
6 2
2 6
3 3
2 3
1
Busco dos números cuyo producto sea el
número que deseo descomponer. Repito el
procedimiento con los factores que sean
números compuestos, hasta obtener solo
números primos.
Escribe la descomposición en factores primos de los siguientes números, utilizando una de las
estrategias anteriores.
a) 13
b) 15
c) 18
NO OLVIDES QUE...
d) 25
e) 27
f) 32
d) 28 = 2 7
e) 30 = 2 3
f) 66 = 3 2
En ambas estrategias se obtiene que los factores primos de 12 son 2 y 3.
Divido el número que deseo descomponer por el menor
número primo que sea factor, en este caso el 2, y escribo
el cociente debajo. Repito lo anterior cuántas veces sea
posible y luego continúo, pero con los siguientes
números primos hasta obtener 1 como cociente.
g) 35
h) 42
i) 90
j) 100
k) 120
l) 144
Todo número compuesto se puede escribir como multiplicación de dos o más números
primos, esta se llama descomposición en factores primos.
Múltiplos, divisores y operaciones
51

U2 40-75:Maquetación 1 11/6/10 13:37 Página 52
52 Unidad 2
Mínimo común múltiplo
y máximo común divisor
Dos colegios se organizaron para ayudar a un jardín infantil de
escasos recursos. Uno le entrega alimentos no perecibles cada
2 meses y el otro, materiales escolares cada 3 meses.
El primer colegio recolectó 24 kg de arroz, 40 kg de fideos y 72 kg de
leche en polvo mientras que el segundo reunió 90 cartulinas de
colores, 45 barras de pegamento y 30 paquetes de plasticina. La
entrega de estas donaciones se distribuyó en cajas y bolsas tal como
se observa en las imágenes.
PARA DISCUTIR
¿Cuántas cajas se pueden armar para que contengan la misma
cantidad de cada uno de los alimentos y no sobre nada? Y si tuvieran
que armar la mayor cantidad, ¿cuántas cajas necesitarían?, ¿cómo lo
calculaste?
Los alumnos del segundo colegio, ¿cuántas bolsas pueden armar para
que contengan la misma cantidad de cada uno de los materiales
escolares y no sobre nada? Y si tuvieran que armar la mayor cantidad,
¿cuántas bolsas necesitaría?
Si ambos colegios entregaron juntos en marzo, ¿en cuántos meses más
volverán a coincidir en el mes que entregan?, ¿cómo lo supiste?
Una manera de encontrar todas las posibilidades de colocar la
misma cantidad de cada uno de los alimentos no perecibles en las
cajas es calculando los divisores de 24, 40 y 72.
Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24.
Divisores de 40: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 y 40.
Divisores de 72: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 y 72.
Como puedes observar, los divisores comunes entre los números 24,
40 y 72 son el 1, 2, 4 y 8.
Ahora veamos qué significan estos números en la situación.
1 caja con 24 kg de arroz, 40 kg de fideos y 72 kg de leche en polvo.
2 cajas con 12 kg de arroz, 20 kg de fideos y 36 kg de leche en polvo.
4 cajas con 6 kg de arroz, 10 kg de fideos y 18 kg de leche en polvo.
8 cajas con 3 kg de arroz, 5 kg de fideos y 9 kg de leche en polvo.

U2 40-75:Maquetación 1 11/6/10 13:37 Página 53
Luego, la cantidad máxima de cajas es 8. Observa que el 8
corresponde al mayor de los divisores comunes de 24, 40 y 72 y
recibe el nombre de máximo común divisor (mcd).
Una manera de saber en cuántos meses más coincidirán en la
entrega es calcular los múltiplos de 2 y 3.
Múltiplos de 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,…
Múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15,…
Como puedes observar, los múltiplos comunes entre los números 2 y
3 son el 6, 12,…
Ahora veamos qué significan estos números en la situación.
6 meses después de la primera entrega (marzo) volverán a coincidir
en la entrega, es decir, en septiembre.
12 meses después de la primera entrega (marzo) volverán a
coincidir en la entrega, es decir, en marzo del año siguiente.
Luego, la primera vez que volverán a coincidir en la entrega es en
6 meses después de marzo. Observa que el 6 corresponde al menor
de los múltiplos comunes de 2 y 3 y recibe el nombre de mínimo
común múltiplo (mcm).
EN TU CUADERNO
1. ¿Cuánto es el máximo de bolsas con materiales escolares que puede armar el colegio para que
contengan la misma cantidad de cada uno de los materiales escolares y no sobre nada? Responde
utilizando la estrategia anterior.
2. Responde si estás o no de acuerdo con cada una de las siguientes afirmaciones. Explica el porqué.
a) El mcm entre 4 y 8 es 8. c) El mcm entre 6, 12 y 24 es 48.
b) El mcd entre 4 y 8 es 8. d) El mcd entre 6, 12 y 24 es 6.
3. Calcula el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor entre los siguientes números.
a) 5 y 7 d) 4 y 20 g) 5 y 15 j) 24, 32 y 48
b) 7 y 13 e) 6 y 48 h) 7 y 49 k) 21, 42 y 63
c) 11 y 17 f) 9 y 36 i) 11 y 121 l) 20, 30 y 40
NO OLVIDES QUE...
El mínimo común múltiplo (mcm) es el menor de los múltiplos comunes entre dos o más
números.
El máximo común divisor (mcd) es el mayor de los divisores comunes entre dos o más
números.
Múltiplos, divisores y operaciones
53

U2 40-75:Maquetación 1 11/6/10 13:37 Página 54
4. Daniel y Andrea deben calcular el mcm y el mcd entre los números 45, 90 y 135. Observa cómo lo
hacen y luego responde.
Primero descomponen los números en sus factores primos:
Para calcular el mcm, Daniel considera todos los factores primos que están
en alguna de las descomposiciones: 2, 3 y 5.
Luego, revisa en cuál de las descomposiciones se repite la mayor cantidad
de veces cada uno de estos factores y los multiplica por sí mismo esa
cantidad de veces:
- El 2 aparece solo una 1 vez 2
- La mayor cantidad de veces que aparece el 3 es tres veces 3 3 3
- La mayor cantidad de veces que aparece el 5 es una vez 5
El mcm entre 45, 90 y 135 es 270.
Para calcular el mcd, Andrea considera todos los factores que se repiten:
3 y 5.
Luego, revisa en cuál de las descomposiciones se repite la menor cantidad
de veces cada uno de estos factores y los multiplica por sí mismo esa
cantidad de veces:
- La menor cantidad de veces que aparece el 3 es dos veces 3 3
- La menor cantidad de veces que aparece el 5 es una vez 5
El mcd entre 45, 90 y 135 es 45.
a) ¿Es correcto el cálculo del mcm realizado por Daniel? Verifica utilizando
otra estrategia.
b) ¿Es correcto el cálculo del mcd realizado por Andrea? Verifica
utilizando otra estrategia.
c) ¿Qué opinas de las estrategias utilizadas por Daniel y Andrea?,
¿cuándo sería conveniente utilizarlas?, ¿por qué?
54 Unidad 2
45 3
15 3
5
1
5
90 2
45 3
15 3
5
1
5
135 3
45 3
15 3
5 5
1
5. Calcula el mcm y el mcd entre los siguientes números utilizando la estrategia de Daniel.
a) 12 y 27
b) 45 y 63
c) 28, 42 y 70
d) 25, 50 y 60
e) 32, 48 y 64
f) 27, 54 y 81
g) 15, 25 y 30
h) 140, 210 y 280
El producto de
2 3 3 3 5
es igual a 270.
El producto de
3 3 5
es igual a 45.

U2 40-75:Maquetación 1 11/6/10 13:37 Página 55
6. Resuelve los siguientes problemas, explica paso a paso cómo llegaste a la solución.
a) Don José tiene 2 listones de madera, uno de 72 cm y otro de 48 cm. Si desea
obtener de los dos listones trozos más pequeños pero todos de la misma
medida, ¿de cuánto deberían ser los cortes para que no sobre nada?
b) El médico da la siguiente receta a Vicente: cada 8 horas tomar las gotas para el
dolor de cabeza, cada 6 horas tomar el remedio para el malestar estomacal, y
cada 4 horas el antibiótico. Si Vicente comienza a las 14:00 horas a tomar los
tres medicamentos, ¿a qué hora volverá a tomar los tres medicamentos
juntos?
c) Andrea y Guillermo trabajan en una florería y hoy deben hacer ramos con la
misma cantidad de claveles y rosas. Si tienen 12 claveles y 18 rosas, ¿cuántos
ramos podrán hacer?, ¿cuántos claveles y rosas tendrá cada ramo?
7. Francisco asiste a una escuela de fútbol y tiene entrenamiento a las 16:00 horas. Si
entre cada entrenamiento tiene 2 días de descanso y su primer entrenamiento fue
el 31 de mayo, anota 9 fechas posibles en que Francisco va a la escuela de fútbol.
a) Si Francisco está de cumpleaños el 21 de junio y decide celebrarlo en su casa a
partir de las 15:30 horas, ¿podrá asistir a su entrenamiento?, ¿por qué?
b) Si el entrenador se enferma los días 13, 14 y 15 de junio, ¿Francisco
perderá días de entrenamiento?, ¿cuántos?
8. Piensa, comenta y responde:
a) Daniela dice que el mcm entre dos o más
números primos es el producto entre ellos y
su mcd es 1. ¿Estás de acuerdo?, ¿por qué?
Escribe 3 ejemplos.
b) Carlos dice que cuando calcula el mcm entre
dos números se fija si uno es múltiplo del otro
y, si es así, el mcm es el que es múltiplo del
otro. ¿Qué opinas tú? Da 5 ejemplos.
MI PROGRESO
JUNIO 2009
LUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES SÁBADO DOMINGO
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28
29 30 1 2 3 4 5
Resuelve de dos maneras distintas la siguiente situación y explica paso a paso
cómo la resolviste.
Los cursos de 5° Básico de un colegio van a campamento cada 6 meses y los
cursos 6° Básico cada 4. Este año los cursos 5° y 6° Básico se van de
campamento a la montaña juntos. El profesor decide hacer con ellos grupos
con igual cantidad de estudiantes para ocupar cada carpa.
1. Si el 5° A tiene 24 estudiantes, el 5° B, 36; el 6° A, 25; 6° B, 30. Y cada carpa
tiene una capacidad para 8 personas ¿cuántas carpas utilizarán en los cursos
de 5° Básico?, ¿y cuántas en los cursos 6° Básico?, ¿cómo lo supiste?
2. Si los cursos de 5° y 6° Básico coincidieron este año, ¿en cuántos años más
volverán a coincidir?
Múltiplos, divisores y operaciones
55

U2 40-75:Maquetación 1 11/6/10 13:37 Página 56
Para llenar 100 bolsas
100 12 = 1200
Necesitamos 1200 galletas
Tenemos 300 galletas
300 : 12 = 25
Podemos llenar 25 bolsas
56 Unidad 2
Multiplicación y división
En una pastelería se hacen galletas caseras y se venden en bolsitas que
contienen 12 galletas cada una. Observa.
PARA DISCUTIR
¿Cuántas galletas deben hacer para entregar un pedido de 7 bolsitas?,
¿cómo lo resolviste?
¿Cuántas galletas deben hacer para entregar un pedido de 14 bolsitas?,
¿y de 28?
Al aumentar al doble la cantidad de bolsas de galletas, ¿qué ocurre con
la cantidad de galletas?, ¿y al aumentar al triple la cantidad de bolsitas?
Si se hacen 324 galletas, ¿cuántas bolsitas se pueden llenar?, ¿sobra
alguna galleta?, ¿cómo lo calculaste?
Si se hacen 330 galletas, ¿se pueden armar más bolsitas que con las
324 galletas?, ¿por qué?
Los datos de la situación anterior los podemos registrar en la siguiente
tabla:
N° de bolsas 1 2 3 4 5
Cantidad de galletas 12 24 36 48 60
Observa que la cantidad de galletas que se necesita para llenar cierta
cantidad de bolsas aumenta en forma proporcional, es decir, si
dividimos la cantidad de galletas por el número de bolsas obtenemos
un valor constante, en este caso 12.
Si conocemos el número de bolsas que queremos llenar, bastaría con
calcular el producto entre este número y 12 para conocer cuántas
galletas debemos hacer:
Para llenar 500 bolsas
500 12 = 6000
Necesitamos 6000 galletas
Para llenar 1000 bolsas
1000 12 = 12 000
Necesitamos 12 000 galletas
Si conocemos el número de galletas que tenemos, bastaría con calcular
el cociente entre este número y 12 para conocer cuántas bolsas
debemos llenar:
Tenemos 6000 galletas
6000 : 12 = 500
Podemos llenar 500 bolsas
Tenemos 9000 galletas
9000 : 12 = 750
Podemos llenar 750 bolsas

U2 40-75:Maquetación 1 21/6/10 13:15 Página 57
EN TU CUADERNO
1. Paulina y Manuel tienen una fábrica de muebles y hoy vendieron 126 sillas por $ 41 309 cada una
para un restaurante nuevo. Observa los procedimientos que utilizan para calcular el total de su venta
y responde.
( 40 000 + 1000 + 300 + 9 )
4 000 000
800 000
240 000
100 000
20 000
6 000
30 000
6000
1800
900
180
54
+
5 040 000 + 126 000 + 37 800 + 1134
5 204 934
100 20 6
41 309 126
54
1800
6000
240 000
180
6000
20 000
800 000
+ 4 130 900
5 204 934
a) Si tuvieras que explicarle los procedimientos anteriores a un compañero o compañera, ¿cómo lo
harías?
b) ¿Cuál de los procedimientos anteriores te parece más simple?, ¿por qué?
c) ¿Conoces otro procedimiento para resolver esta multiplicación? Explícalo, paso a paso y
compártelo con tus compañeros y compañeras.
2. Observa cómo resuelve Felipe la multiplicación anterior:
+
41 309 126
247 854
826 180
4 130 900
5 204 934
6
20
100
a) ¿Qué opinas del procedimiento que utiliza Felipe?,
¿por qué?
b) ¿Cómo calcularías el producto de 13 420 231,
utilizando el procedimiento de Felipe? Explícalo,
paso a paso.
3. Resuelve las siguientes multiplicaciones utilizando los tres procedimientos anteriores y decide
cuál es más simple.
a) 12 560 13 b) 45 390 25
4. Resuelve las siguientes multiplicaciones utilizando el procedimiento que desees.
a) 112 003 32
e) 125 1351
b) 11 234 500
c) 13 987 54
d) 65 240 070
f) 112 003 112
g) 298 700 345
h) 111 111 1111
Múltiplos, divisores y operaciones
57

U2 40-75:Maquetación 1 21/6/10 13:16 Página 58
5. Carolina y sus amigos se organizan para la preparación de una cena a beneficio del curso. El menú
contempla entrada (ensalada surtida o crema de verduras), plato de fondo (lasagna o cazuela de ave
o pollo asado con puré) y postre (macedonia o helado o flan). Para saber cuántas combinaciones de
cena diferentes pueden servir Carolina hace el siguiente diagrama:
Menú
a) Si cuentas todas las posibilidades, te darás cuenta que hay 18 posibles combinaciones, ¿cómo
podrías realizar este cálculo utilizando una multiplicación?
b) Si en un restaurante ofrecen un menú que contempla 3 opciones para la entrada, 8 para el plato
de fondo y 5 para el postre, ¿cuántas combinaciones diferentes de menús pueden servir?
6. En una campaña en contra del cigarrillo se repartirán 5350 volantes informativos en 13 colegios
cercanos. Para saber cuántos volantes recibirá cada colegio, si a todos se les reparte la misma
cantidad, se puede resolver la división 5350 : 13. Observa dos maneras diferentes de resolverla.
58 Unidad 2
Ensalada surtida
Crema de verduras
5350 : 13 = 400 + 10 + 1 = 411
– 5200
150
– 130
20
– 13
7
5350 : 13 = 411
– 52
15
– 13
20
– 13
7
a) ¿Cómo explicarías los procedimientos anteriores?, ¿cuál te parece más simple?, ¿por qué?
b) Observa una manera de comprobar el resultado anterior
y explícalo usando los términos de la división (dividendo,
divisor, cociente y resto).
Lasagna
Cazuela de ave
Pollo con puré
Lasagna
Cazuela de ave
Pollo con puré
(411 13) + 7
5343 + 7 = 5350
Macedonia
Helado
Flan
Macedonia
Helado
Flan
Macedonia
Helado
Flan
Macedonia
Helado
Flan
Macedonia
Helado
Flan
Macedonia
Helado
Flan
c) ¿Qué puedes concluir respecto de la relación entre el dividendo, el divisor, el cociente y el resto?
Da tres ejemplos para verificar tu conclusión.

U2 40-75:Maquetación 1 17/6/10 16:02 Página 59
NO OLVIDES QUE...
Cuando resolvemos una división podemos comprobar los cálculos multiplicando
el cociente por el divisor y sumando a este resultado el resto, en el caso de divisiones
con resto distinto de 0.
7. Resuelve las siguientes divisiones utilizando el procedimiento que desees.
a) 4826 : 12 = b) 132 320 : 10 = c) 630 901 : 9 = d) 1 026 325 : 5 =
Comprueba tus resultados empleando el procedimiento aprendido.
8. Completa el factor que falta para que se cumpla la igualdad.
a) 36 = 216 b) 18 = 4680
c) 10 = 5210
9. Resuelve la siguiente situación:
Un computador tiene un valor de $ 550 000. Un colegio desea comprar 16 para la sala de
computación. ¿Cuánto tendrá que pagar el colegio por los computadores? Si el en taller de
computación asisten 48 estudiantes y se ubica la misma cantidad de estudiantes en cada
computador, ¿cuántos estudiantes habrá por computador? Explica los procedimientos utilizados.
ESTRATEGIA MENTAL
Algunas divisiones las puedes resolver suprimiendo ceros. Observa.
1200 : 200
1200 : 200
12 : 2 = 6
2800 : 70
2800 : 70
280 : 7 = 40
Calcula mentalmente utilizando la estrategia anterior.
a) 2100 : 300 = b) 1800 : 600 = c) 1600 : 20 = d) 900 : 30 =
HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS
En algunas calculadoras, si quieres calcular el producto de 14 10 10 10 basta con
digitar las siguientes teclas:
1 4 x 1 0 = = =
x 1 0 = = = = =
y en la pantalla aparecerá el producto buscado 14000 .
1. Elige un número menor que 100, digítalo en la calculadora y luego digita:
2. ¿Se repite lo anterior si en vez de digitar x 1 0 digitas x 1 ?, ¿y si calculas por
x 0 ?, ¿y si digitas –: 0 ? Verifícalo con la calculadora.
Registra en una tabla los números que vas obteniendo
cada vez que digitas = . ¿Qué ocurre con los
productos obtenidos?
Múltiplos, divisores y operaciones
59

U2 40-75:Maquetación 1 21/6/10 13:18 Página 60
En esta actividad deberán realizar multiplicaciones con calculadora para
descubrir regularidades.
Reúnete con un compañero o compañera y sigan las instrucciones.
1. Copien en sus cuadernos las siguientes tablas.
60 Unidad 2
EN EQUIPO
Multiplicación y sus propiedades
Factores Producto
123 562 5 =
89 671 7 =
6 778 916 4 =
Materiales:
Calculadora
2. Cada integrante elige una tabla de un color, calcula los productos usando la calculadora y los
registra en la tabla.
3. Comparen los factores y los productos de cada fila.
a) ¿En qué se parecen los factores?, ¿en qué se diferencian?
b) ¿Cómo son los productos?, ¿ocurrirá siempre lo mismo?
4. Repitan los pasos anteriores con las siguientes tablas.
Factores Producto
(651 16) 487 =
(629 81) 299 =
(15 292) 584 =
PARA DISCUTIR
Factores Producto
5 123 562
7 89 671
4 6 778 916
Factores Producto
651 (16 487) =
629 (81 299) =
15 (292 584) =
¿Qué sucede con el producto al cambiar el orden de los factores?
¿Cuál es el producto de las multiplicaciones si se cambian las
agrupaciones de los factores?

U2 40-75:Maquetación 1 11/6/10 13:37 Página 61
EN TU CUADERNO
1. Sin resolver, ¿cuál de las siguientes multiplicaciones crees que tienen el mismo resultado?
Justifica tus respuestas.
a) 8908 23 c) 56 (2 6) e) 78 111 191 g) (56 2) 6
b) 90 (7 80) d) 23 8908 f) (90 7 ) 80 h) 111 191 78
2. Verifica tu respuesta anterior, resolviendo las multiplicaciones anteriores con la calculadora.
3. Sustituye los valores correspondientes y completa con el resultado en cada caso.
a b c a b b a a c c a (a b) c a (b c)
38 51 90
cuaderno
600 492 222
tu en
1200 3100 2000 responde
responde en tu cuaderno
a) ¿Qué observas en los resultados de las columnas de igual color? ¿ocurrirá siempre lo mismo?
b) Propone tres nuevos valores para a, b y c, dentro de los números naturales, y verifica que se
cumplan tus predicciones anteriores al sustituir las letras con estos nuevos valores.
c) A partir de lo anterior, ¿qué puedes concluir?
4. Considerando que p, q y r son números naturales, escribe la expresión matemática que representa la
propiedad dada, utilizando estas letras para representar números.
a) En una multiplicación, al cambiar el orden de los factores, el producto no cambia.
b) En una multiplicación, al agrupar los factores de diferentes maneras, el producto no cambia.
Compara tus respuestas con las de un compañero o compañera y explica cada expresión
con tus palabras.
5. Verifica que se cumplan las igualdades anteriores para distintos valores de p, q y r dentro de los
números naturales.
Múltiplos, divisores y operaciones
61

U2 40-75:Maquetación 1 11/6/10 13:37 Página 62
En la multiplicación se cumplen las siguientes propiedades:
Propiedad conmutativa: El orden de los factores no altera el valor del producto. Si a y b
son números naturales, entonces a b = b a.
Propiedad asociativa: En el producto de varios factores, no importa cómo los
agrupemos, el valor del producto no varía.
Si a y b son números naturales, entonces (a b) c = a (b c).
62 Unidad 2
NO OLVIDES QUE...
6. Javiera y Francisco conoce la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición
y la utiliza para resolver multiplicaciones. Observa cómo resuelven 12 25 570.
Javiera descompone 25 570. Francisco descompone 12.
12 (20 000 + 5000 + 500 + 70) (10 + 2) 25 570
= 12 20 000 + 12 5000 + 12 500 + 12 70 = 10 25 570 + 2 25 570
= 240 000 + 60 000 + 6000 + 840 = 255 700 + 51 140
= 306 840 = 306 840
a) Si ambos procedimientos son distintos y están correctos, ¿cuál de ellos te parece más sencillo?
b) Calcula el producto entre 17 894 y 21, utilizando uno de los procedimientos anteriores.
7. Verifica que si cumple la siguiente igualdad p (q + r) = (p q) + (p r) para los siguientes valores
de p, q y r.
a) p= 3 b) p= 13 c) p = 200
q= 12 q= 90 q= 5
r=35 r= 7 r= 9
8. A partir de lo anterior, ¿qué puedes concluir? Verifica tu conclusión utilizando otros valores
para p, q y r.
NO OLVIDES QUE...
En la multiplicación se cumple también la propiedad distributiva de la multiplicación
respecto de la adición:
Si se tienen los números naturales a, b y c, siempre se cumple que:
a (b + c) = a b + a c.

U2 40-75:Maquetación 1 11/6/10 13:37 Página 63
HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS
Realiza las siguientes operaciones utilizando la calculadora.
Luego, responde.
a) 4343 1 = c) 789 012 1 = e) 23 456 779 1 =
b) 11 111 1 = d) 1 009 999 1 = f) 999 009 990 1 =
¿Qué tienen en común las operaciones anteriores?
¿Cómo son los productos de estas multiplicaciones?
¿Qué puedes concluir a partir de lo anterior?, ¿ocurrirá siempre lo mismo? Verifícalo si se
cumple tu conclusión con los siguientes números naturales: 6543, 29 057 y 120 098.
Escribe una expresión matemática, utilizando una letra para representar un número natural
cualquiera, que represente tu conclusión anterior. Luego, verifícala sustituyendo la letra por
distintos valores dentro de los números naturales.
El elemento neutro en la multiplicación es el uno.
En general, si a es un número natural: a 1 = 1 a = a
MI PROGRESO
NO OLVIDES QUE...
1. Si sabes que un jugo cuesta $ 370, ¿cuánto cuestan 4, 8, 12 y 24 jugos?,
¿cuántos jugos se compró María si pagó $ 11 100 por ellos?
2. Resuelve las siguientes divisiones y, luego, explica cómo podrías comprobar
cada una de ellas.
a) 7800 : 42 = b) 485 535 : 4 = c) 4 568 974 : 20 =
3. Si x = 6549, y = 5601 y z = 345, verifica si se cumplen las igualdades:
a) x y = y x c) x (y + z) = (x y) + (x z)
b) (x y) z = x (y z) d) x 1 = 1 x = x
Múltiplos, divisores y operaciones
63

U2 40-75:Maquetación 1 11/6/10 13:37 Página 64
64 Unidad 2
NO OLVIDES QUE...
Lenguaje algebraico
Doña Rosa y don Juan planean ahorrar dinero para comprar un auto.
Ellos calcularon que mensualmente pueden ahorrar $ 35 000.
PARA DISCUTIR
Para saber cuánto dinero lograrían reunir luego de 3 meses de ahorro,
doña Rosa calcula 35 000 + 35 000 + 35 000 y don Juan, 3 35 000.
¿Quién planteó correctamente la operación?, ¿por qué? ¿Qué
resultado obtuvo cada uno?
Si utilizamos la letra y para representar la cantidad de dinero que doña
Rosa y don Juan planean ahorrar mensualmente, ¿cómo expresarías la
cantidad de dinero que lograrían reunir luego de 3 meses?, ¿y de
4 meses?, ¿por qué lo harías de esa forma?
Para calcular cuánto dinero lograrían reunir doña Rosa y don Juan
luego de 3 meses, ahorrando mensualmente $ 35 000, podemos
realizar la adición:
35 000 + 35 000 + 35 000, o bien, la multiplicación 3 35 000
(3 veces 35 000 ó 3 por 35 000).
Así: 35 000 + 35 000 + 35 000 = 3 35 000
Si sustituimos 35 000 por la letra y, podemos expresar la cantidad de
dinero que lograrían reunir de la siguiente forma: y + y + y, o bien,
3 y.
Así: y + y + y = 3y (3 veces y ó 3 por y).
El lenguaje algebraico permite representar información matemática utilizando letras, números
y operaciones.
Las letras nos sirven para representar números o cantidades, por ejemplo:
Si m es la edad actual de Mario, entonces se puede representar la edad que tendrá el próximo
año así: m + 1
Si n representa el precio de una revista, entonces se puede representar el precio de dos de estas
revistas así: 2n

U2 40-75:Maquetación 1 11/6/10 13:37 Página 65
EN TU CUADERNO
1. Escribe la expresión que representa la información matemática señalada en cada caso.
a) Si x representa la longitud de un trazo en centímetros:
El doble de la longitud del trazo.
El trazo aumentado en 10 centímetros.
b) Si y representa el precio de un cuaderno:
El precio de 4 de estos cuadernos.
El precio de un cuaderno $ 50 más barato.
2. Responde, interpretando las expresiones dadas.
a) Si x representa el valor de un libro, ¿qué significa x + x + x?, ¿y 3x?
b) Si m representa la cantidad de dinero invertido en un negocio y (2m + 30 000) la cantidad
total de dinero obtenida luego de realizar el negocio, ¿qué puedes afirmar respecto
del negocio realizado?
3. Expresa en lenguaje algebraico las siguientes proposiciones. Guíate por los ejemplos.
El doble de un número: 2x
Un número aumentado en 15 y luego duplicado: (x + 15) 2
a) Un número disminuido en el doble de 2.
b) El triple de un número menos 10.
c) El sucesor de un número.
d) El antecesor de un número.
NO OLVIDES QUE...
Cuando se usa una letra para representar un número o cantidad, se debe usar la misma letra cada
vez que se refiere a ese número o cantidad.
Múltiplos, divisores y operaciones
65

U2 40-75:Maquetación 1 11/6/10 13:37 Página 66
66 Unidad 2
Expresiones algebraicas
Los alumnos y alumnas del 5º Básico A y 5º Básico B de una escuela
quieren hacer un huerto. Ambos cursos proponen hacer el huerto de
forma rectangular, sin embargo, aun no se han puesto de acuerdo en
las medidas que tendrá.
Ellos hicieron el siguiente dibujo para representar el huerto.
Los alumnos y alumnas desean poner una malla de reja alrededor
del huerto.
PARA DISCUTIR
Para determinar el largo de la malla de reja que necesitan para cercar
por completo el huero, un alumno formula la siguiente expresión:
a + b + a + b. ¿Qué significa la letra a esta expresión?, ¿y la letra b?
¿Y qué significa el resultado la expresión?
¿De qué otra forma se podría expresar el largo de malla que se
necesita?
Si a = 2 metros y b = 4 metros, ¿cuál es el largo de la malla que
deberán comprar?, ¿cómo lo sabes?
Como sabes, podemos expresar información matemática utilizando
letras y operaciones.
En la situación anterior, a + b + a + b representa la suma de la medida
de los lados del huerto. Esta expresión también puede representarse
como 2a + 2b, donde 2a es igual a 2 veces a ó 2 por a, y 2b es igual a
2 veces b ó 2 por b.
Así: a + b + a + b = 2a + 2b
Podemos remplazar las letras por los valores numéricos que
representan y luego calcular su resultado.
Por ejemplo, en la situación del huerto, si a = 2 metros y b = 4 metros:
a + b + a + b = 2a + 2b
2 + 4 + 2 + 4 = 2 2 + 2 4
12 = 4 + 8
12 = 12
b
a

U2 40-75:Maquetación 1 11/6/10 13:37 Página 67
EN TU CUADERNO
1. Escribe una expresión equivalente a la dada, sumando o restando los términos que utilicen la misma
letra. Guíate por los ejemplos.
2a + 3a + c = 5a + c b + 2c + 2b = 3b + 2c
a) m + n + 2m d) 3m + m + m g) 6x – 6 + x
b) x + y + 3z – z e) y – y + 3x h) 10r + 2r + 10
c) 20 + y + 2y f) 3p – p + q i) 9s + s – 3s
2. Si a = 34, b = 23, c = 10 y d = 15, calcula el valor de las siguientes expresiones. Guíate por el ejemplo.
Ejemplo: 2a + b – c + 3d = 68 + 23 – 10 + 45 = 91 – 10 + 45 = 126
a) a + b + c + d d) 3a + b + d g) 6d – 10 + b
b) 3a – b e) a – a + 3d h) 10c + 2a – 20
c) 20 + b + 2c f) 4b – a + c i) 9a + c – 3c
3. Eduardo es el hermano mayor de Ana. Si m representa la edad de Eduardo y n la edad de Ana, escribe
la expresión que representa la información pedida.
a) La edad que tenía Eduardo hace 9 años.
b) La edad que tendrá Ana dentro de 3 años.
c) Los años que faltan para que Eduardo cumpla 30 años.
d) Los años de diferencia que existen entre Eduardo y Ana.
e) La edad de la mamá de Eduardo y Ana, si tiene el triple de años que Eduardo más 9 años.
f) La edad que Eduardo tenía hace x años.
g) La edad que tendrá Ana en z años.
Sustituye las variables de las expresiones que formulaste, proponiendo distintas edades
de Eduardo y Ana, y luego calcula.
NO OLVIDES QUE...
Valorizar una expresión algebraica significa remplazar las variables por valores numéricos y luego
calcular su resultado.
Múltiplos, divisores y operaciones
67

U2 40-75:Maquetación 1 11/6/10 13:37 Página 68
68 Unidad 2
NO OLVIDES QUE...
Igualdades y ecuaciones
Don Carlos vende frutos secos al por mayor en su almacén. El usa
una balanza para medir la masa de las bolsas de frutos que él
vende. Observa.
PARA DISCUTIR
La balanza de la ilustración está equilibrada. ¿Qué significa esto?
¿Cuánto crees que pesa la bolsa café?, ¿cómo lo sabes?
Si don Carlos agrega una bolsa de 2 kg al lado derecho de la balanza,
¿qué debe hacer para que se mantenga el equilibrio?
Si don Carlos quita la bolsa café del lado izquierdo de la balanza, ¿qué
debe hacer para que se mantenga el equilibrio?
Si se duplica la masa del lado derecho de la balanza, ¿qué puede hacer
don Carlos para que se mantenga el equilibrio?
En la situación anterior observamos una balanza que estaba en
equilibrio, ya que a ambos lados tenía la misma masa.
Este tipo de situaciones se pueden representar mediante una igualdad,
compuesta por dos expresiones matemáticas relacionadas por el
signo = (igual).
Cuando desconocemos un término de la igualdad estamos frente a una
ecuación. Por ejemplo, podemos representar la situación anterior de la
balanza así: x + 1 = 3
Una ecuación es una igualdad que contiene un valor desconocido llamado incógnita. Esta
incógnita se puede representar mediante una letra. Resolver una ecuación implica encontrar el
valor desconocido, es decir, la solución de esta ecuación. Para comprobar si la solución es correcta,
se debe remplazar la incógnita por el valor correspondiente y verificar si se cumple la igualdad.
Por ejemplo:
x + 1 = 3 x representa la incógnita.
Para saber el valor de x, podemos preguntarnos:
¿qué número sumado con 1 da como resultado 3?
Luego: x + 1 = 3
2 + 1 = 3 x = 2
El número buscado es 2.
1
kg
3 kg

U2 40-75:Maquetación 1 18/6/10 09:40 Página 69
EN TU CUADERNO
1. Las siguientes balanzas están equilibradas. Obsérvalas y determina el valor de x en cada caso.
Guíate por el ejemplo.
x + x + x = 30
3x = 30 ¿Qué número multiplicado por 3 da como resultado 30?
3 10 = 30 x = 10
2. Determina qué ecuación sirve para resolver cada situación.
2x + 6 = 28
(2 6) + x = 28
a) ¿Cuál es la edad de Andrea si se sabe que el doble de su edad más 6 años es lo mismo
que 28 años?
b) Felipe tiene dos sobres de láminas con 6 láminas en cada uno más algunas sueltas.
Si en total tiene 28 láminas, ¿cuántas corresponden a láminas sueltas?
Con un compañero o compañera formulen otro problema que se pueda resolver con cada una
de las ecuaciones dadas. ¿Es esto posible?, ¿por qué?
MI PROGRESO
x
x
x
30 g
a) 2 kg b) 4 kg 5 kg
c)
x
x 6 kg
x
x x
3 kg 1 kg 1 kg
La letra x representa el precio por segundo al llamar desde un celular a otro, y la
letra y el precio por llamar de un celular a un teléfono fijo.
1. Representa por medio de una expresión algebraica:
el precio que se debe pagar por usar 1500 segundos el celular para
llamar a otro celular.
el precio por segundo al llamar a teléfono fijo equivale a 2 veces
el precio por llamar a otro celular.
2. Representa por medio de una ecuación y luego resuelve: Si el precio por
segundo al llamar a otro celular es de $ 10, ¿cuánto valen 500 segundos a un
teléfono fijo?
Múltiplos, divisores y operaciones
x
69

U2 40-75:Maquetación 1 18/6/10 09:41 Página 70
BUSCANDO ESTRATEGIAS
Observa la estrategia que se utiliza para resolver la siguiente situación.
La familia Serrano compró para el invierno 2 frazadas eléctricas por $ 12 000 cada una,
1 estufa eléctrica por $ 9750 y 4 chaquetas por $ 15 590 cada una. Si pagaron con 10
billetes de $ 10 000, ¿cuánto recibieron de vuelto?
Comprender
¿Qué sabes del problema?
Compró: 2 frazadas eléctricas a $ 12 000 cada una; 1 estufa eléctrica a $ 9750 cada una;
4 chaquetas a $ 15 590 cada una.
Pagó con 10 billetes de $ 10 000
¿Qué debes encontrar?
¿Cuánto recibieron de vuelto?
Planificar
¿Cómo puedes resolver el problema?
Calcula el dinero gastado en los productos. Luego, la suma del dinero gastado en los
productos comprados por la familia Serrano y, por último, la diferencia entre la cantidad
de dinero con que pagaron y la suma del dinero gastado en los productos comprados.
Resolver
+
–
Responder
Recibieron $ 3890 de vuelto.
Revisar
Puedes comprobar el resultado sumando el dinero gastado con el vuelto recibido.
96 110 + 3890 = 100 000
70 Unidad 2
12 000 2
24 000
dinero gastado en
2 frazadas eléctricas
24 000
9 750
62 360
96 110
100 000
96 110
3 890
15 590 4
62 360
dinero gastado en
4 chaqueta
dinero gastado en 2 frazadas eléctricas
dinero gastado en 1 estufa eléctrica
dinero gastado en 4 chaquetas
suma del dinero gastado en los productos comprados
9 750 1
9 750
dinero gastado en
1 estufa eléctrica
dinero con que se pagó
suma del dinero gastado en los productos comprados
diferencia entre la cantidad de dinero con que pagaron y el gastado

U2 40-75:Maquetación 1 21/6/10 13:19 Página 71
1. Resuelve los siguientes problemas, aplicando la estrategia de la página anterior.
Unidad 2
a) Antonio tiene una florería en la cual venden distintos tipos de arreglos. Un ramo de 6 rosas
tiene un valor de $ 1200 y un ramo de 9 lilium tiene un valor de $ 2100. Si vendió 5 ramos de
rosas y 4 ramos de lilium, ¿cuánto dinero reunió con la venta?
b) Paulina tiene ahorrados cinco billetes de $ 5000 y diez billetes de $ 2000. ¿Cuánto dinero tiene
ahorrado Paulina?
c) Por la compra de 15 litros de leche de frutilla y 12 litros de leche de chocolate se canceló un
total de $ 15 210. Si un litro de leche de frutilla cuesta $ 550, ¿cuánto costó el litro de leche de
chocolate?
d) Felipe tiene $ 12 000 para comprar azulejos de 20 cm por 20 cm. Si los azulejos se venden por
unidad a un valor de $ 970, ¿le alcanzará el dinero para comprar 12 azulejos?
2. Ahora resuelve el problema de la página anterior, utilizando otra estrategia de resolución. Explícala
paso a paso y compárala con las usadas por tus compañeros y compañeras.
3. Resuelve los siguientes problemas, utilizando la estrategia que tú quieras. Compara el
procedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?,
¿por qué?
a) En el almacén de don Juan hay 632 sacos de yeso. Si compra cada saco por $ 1350 y lo vende
por $ 3500, ¿cuál es su ganancia por la venta de todos los sacos del almacén?
b) En un campo, de 3689 manzanas se han podrido 689. El resto se debe ubicar en cajas de
10 manzanas cada una. ¿Cuántas cajas se necesitan?
c) En una pastelería se producen diariamente 1272 alfajores y 1704 berlines. Cada alfajor se
vende en $ 152 y cada berlín en $ 258. Si se deben envasar en cajas de 12 unidades
respectivamente, ¿cuántas cajas se necesitan para envasarlos? ¿Cuánto dinero recaudan
diariamente si se venden todos los alfajores y todos los berlines?
d) En un vivero de salmones había 1 248 570 salmones. Si se vendieron 648 273, murieron
123 516 y nacieron 213 500, ¿cuántos salmones quedaron en el vivero?
e) Un grupo de papás se organizó para comprar libros para la biblioteca de un colegio.
Ellos decidieron comprar 30 libros de cuentos latinoamericanos por $ 3350 cada uno
y 30 libros de juegos matemáticos por $ 3000 cada uno. ¿Cuánto gastaron en total?
Múltiplos, divisores y operaciones
71

U2 40-75:Maquetación 1 17/6/10 18:01 Página 72
CONEXIONES
72 Unidad 2
Nuevas patentes
Desde 1985 hasta el año 2007, en Chile, las
patentes de los automóviles tenían dos letras
(excluyendo las letras I, M, Ñ, O y Q) y cuatro
dígitos (excluyendo la combinación de
números desde el 0001 al 0999). ¿Cuántas
patentes crees que existían?
Entonces, la cantidad de combinaciones posibles
para las patentes se obtenía al calcular:
22 • 22 • 9 • 10 • 10 • 10, es decir, existían
4 356 000 de patentes. A partir del 3 de septiembre
de 2007 se comenzaron a utilizar nuevas patentes
entregadas por el Registro Civil.
Estas nuevas patentes son similares a las
anteriores, pero están formadas por cuatro letras y
dos dígitos. En estas no se usan vocales, para
impedir palabras que puedan ser consideradas
burlas o menoscabo de su usuario y, al igual que
las anteriores, no se utilizan la Ñ ni la Q, para no
confundirlas con la N y la O, respectivamente.
NACIONAL
Fuente: http://www.emol.com/especiales/infografias/patentes/index.htm
22 22 9 10 10 10
Si se mantiene el ritmo actual de 250 mil patentes
anuales en promedio, no habrá necesidad de crear
otra patente por los próximos 38 años. Su costo
será de $ 15 570 y se debe pagar $ 6000 para
reponerla por extravío o daño.
Reúnete con 2 compañeros o compañeras, comenten y luego redacten una respuesta:
1. ¿Por qué fue necesario la creación de nuevas patentes?
2. ¿Qué opinan del aumento de la cantidad de automóviles?, ¿en qué nos puede afectar?
3. ¿Qué ventajas y desventajas tiene el nuevo sistema de patentes, respecto del antiguo?
4. ¿Cuántas nuevas patentes se crearon en el año 2007?
5. Si sumáramos las patentes antiguas y las creadas el 2007, ¿cuántas habría?
6. Si se necesitara crear un sistema con mayor cantidad de patentes, ¿qué recomendarían:
agregar una letra más o un número?, ¿por qué?, ¿cuántas patentes más se crearían?
Cantidad de letras posibles
Cantidad de letras posibles
Cantidad de dígitos posibles
Cantidad de dígitos posibles
Cantidad de dígitos posibles
Cantidad de dígitos posibles

U2 40-75:Maquetación 1 17/6/10 16:04 Página 73
SÍNTESIS
A continuación se presenta un esquema que relaciona los principales conceptos
trabajados en la unidad. Cópialo en tu cuaderno y complétalo con los siguientes
términos:
Multiplicación
Factores
SUS TÉRMINOS SON
Múltiplos
Mínimo común múltiplo
Números naturales
ALGUNAS SE PUEDEN
DESCOMPONER EN
Operaciones aritméticas
Factores primos
SON
SU RESULTADO
SE LLAMA
SON OPERACIONES INVERSAS
SE UTILIZAN EN LA
División
Producto Cociente
Resolución de problemas
SUS TÉRMINOS SON
Dividendo
Divisor
TIENEN
SE PUEDEN
REPRESENTAR
USANDO
Letras
SU RESULTADO
SE LLAMA
Unidad 2
Divisores
Máximo
común
divisor
Utilizando los contenidos aprendidos en la unidad y apoyándote en el esquema anterior,
comenta con tus compañeros y compañeras las siguientes preguntas:
a) ¿Cuándo un número es múltiplo de otro?, ¿cuál es el primer múltiplo de un número?,
¿cuántos múltiplos puede tener un número?
b) ¿Cómo se calcula el mcm entre dos o más números? ¿Es posible calcular el máximo común
múltiplo?, ¿por qué?
c) ¿Cómo resuelves la multiplicación 13 415 67? Explícalo, paso a paso.
d) ¿Cuándo un número es divisor de otro?, ¿cuál es el número que es divisor de todos los
números?
e) ¿Cómo se calcula el mcd entre dos o más números? ¿Es posible calcular el
mínimo común divisor?, ¿cuál sería?
f) ¿Cómo resuelves la división 5678 : 19? Explícalo, paso a paso.
g) ¿Qué utilidad tienen las ecuaciones en la resolución de problemas?
Múltiplos, divisores y operaciones
73

U2 40-75:Maquetación 1 17/6/10 16:04 Página 74
¿QUÉ APRENDÍ?
Marca, en tu cuaderno, la alternativa que consideres correcta en las
preguntas 1 a la 8.
1. ¿Con cuál de estos dígitos se debe completar
el número 52_ para que sea divisible por 3?
A. 0
B. 4
C. 5
D. 7
2. Una fábrica de chocolates debe empacar
1050 unidades en cajas iguales. Si en cada
caja caben 70 unidades, ¿cuántas cajas con
chocolates se tendrán en total?
A. 14
B. 15
C. 17
D. 18
3. Dos cometas se aproximan al Sol, uno cada
20 años y otro cada 45 años. Si se
aproximaron juntos el año 1980, ¿en qué año
se aproximarán juntos otra vez?
A. 1860
B. 2045
C. 2160
D. 2880
4. ¿Cuáles son los números primos entre 2 y 20?
A. 3, 5, 7, 11, 13, 17
B. 2, 3, 5, 7, 11, 13
C. 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19
D. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19
74 Unidad 2
5. La factorización prima de 30 es:
A. 2 15
B. 3 10
C. 5 6
D. 2 3 5
6. Valentina quiere comprar 15 bebidas para una
fiesta. Si cada una de ellas cuesta $ 980,
¿cuánto gastará en total?
A. $ 4900
B. $ 9800
C. $ 11 300
D. $ 14 700
7. Si x representa el valor de un libro, ¿cuál de
las siguientes expresiones representa el valor
de 4 de estos libros?
A. 4x
B. 4 + x
C. x + 4
D. 4 (x + 4)
8. En la expresión m + 3 = 15, ¿cuál es el valor
de m?
A. 3
B. 12
C. 15
D. 18

U2 40-75:Maquetación 1 17/6/10 16:04 Página 75
9. Descompón en factores primos los siguientes números, utilizando una de las
estrategias vistas en la unidad.
a) 48 b) 60 c) 125 d) 243
10. Calcula el mcm y el mcd entre los siguientes números:
a) 20, 70 y 110 b) 33, 77 y 231
11. En la casa de Catalina compraron 3 juegos de loza para 4 personas por
$ 9990 cada uno, 4 sets de 6 vasos por $ 1490 cada uno y 2 juegos de
cuchillería para 6 personas por $ 14 990 cada uno. Si pagaron con 14 billetes
de $ 5000, ¿cuánto dinero les sobró?
12. Andrés tiene 50 CD de música: 10 de rock, 15 de pop y 25 de salsa. Si quiere
guardarlos en cierta cantidad de cajas de manera que en cada una quede la
misma cantidad de CD de cada tipo de música, ¿cuántos CD puede guardar
en cada caja?, ¿cuántas cajas necesita en total?
Compara tus respuestas con tus compañeros y compañeras.
¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y
resuelve correctamente el ejercicio.
¿QUÉ LOGRÉ?
1. Marca según tu apreciación.
Múltiplos.
Factores y divisores.
Factores primos.
Mínimo común múltiplo y máximo común divisor.
Multiplicación y división de números naturales.
Multiplicación y sus propiedades.
Lenguaje algebraico.
Igualdades y ecuaciones.
Resolución de problemas.
No lo
entendí
2. Reflexiona y responde.
a) ¿Qué dificultades tuviste en la unidad?, ¿cómo las superaste?
b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la unidad?, ¿por qué?
c) Vuelve a la página 40 y revisa el recuadro “En esta unidad podrás…”,
¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Comenta.
Lo
entendí
Unidad 2
Puedo
explicarlo
responde en tu cuaderno
Múltiplos, divisores y operaciones
75

Taller 1:Maquetación 1 11/6/10 12:05 Página 76
Taller de evaluación 1
I. Recuerda lo que aprendiste en las unidades 1 y 2. Contesta, escribiendo en tu cuaderno la
alternativa correcta.
1. El último cómputo de la Teletón, que es el evento
más grande de solidaridad de nuestro país, el
año 2007 fue $ 13 255 231 970. Este número se
escribe en palabras:
A. Trece mil millones doscientos cincuenta y
cinco millones doscientos treinta y un mil
novecientos setenta.
B. Trece mil doscientos cincuenta y cinco
millones doscientos treinta y un mil
novecientos setenta.
C. Trece mil doscientos cincuenta y cinco
doscientos treinta y un mil novecientos
setenta.
D. Trece mil doscientos cincuenta y cinco
millones doscientos treinta y un mil
setecientos noventa.
2. Si en el número 925 061 266 el cinco se cambia
por un tres, el número:
A. aumenta en 2 000 000.
B. disminuye en 2 000 000.
C. aumenta en 200 000.
D. disminuye en 200 000.
3. Isabel fue al banco a cobrar una herencia y le
entregaron 19 billetes de $ 10 000, 7 billetes de
$ 1000 y 9 monedas de $ 100, 8 monedas de $ 10
y 5 monedas de $ 1. Entonces la herencia era de:
A. $ 97 985
B. $ 197 085
C. $ 197 985
D. $ 1 907 985
4. Si (5 208 990 + 13 470 000) + 1 000 003 =
z + (13 470 000 + 1 000 003), el valor de z es:
A. 5 208 990
B. 14 470 003
C. 18 678 990
D. 19 678 993
76 Matemática 5
5. ¿Qué número no es múltiplo de 9?
A. 135
B. 450
C. 560
D. 783
6. ¿Cuántos divisores tiene 48?
A. 8
B. 9
C. 10
D. 12
7. El número que es divisible por 6 y 9 es:
A. 3467
B. 5782
C. 28 890
D. 30 506
8. La descomposición prima de 36 es:
A. 2 2 2 3
B. 2 2 2 2 2
C. 2 2 3
D. 2 2 3 3
9. El mcm entre 32 y 48 es:
A. 8
B. 16
C. 48
D. 96
10. El mcd entre 18, 39 y 75 es:
A. 3
B. 4
C. 5
D. 9
11. Si 678 973 · (325 + 4562) = (y · 325) + (y · 4562),
el valor de y es:
A. 325
B. 4562
C. 4887
D. 678 973

Taller 1:Maquetación 1 11/6/10 12:05 Página 77
II. Desarrolla, en tu cuaderno, paso a paso, las siguientes actividades.
1. En una encuesta, a cierto número de personas se
les preguntó acerca de su estilo de vida. Observa
los datos de la tabla y luego contesta:
a) Construye una recta numérica y ubica las
cantidades en ella.
b) Ordena de mayor a menor las cantidades.
c) Calcula la diferencia entre la cantidad de personas con estilo de vida mala y muy buena.
d) Realiza un cálculo aproximado sobre la cantidad de personas que contestaron la encuesta.
Explica cómo lo realizaste.
e) Pedro resolvió (567 037 + 2 933 337) para hallar la cantidad de personas con estilo de vida mala
y regular. Andrea calculó (2 933 337 + 567 037). ¿Qué resultado obtuvo cada uno?, ¿por qué?
2. Resuelve las siguientes situaciones:
a) Este año, la familia Pérez cosechó de su huerto 81 lechugas, 99 ciruelas y 27 tomates. Si desean
hacer cajas con la misma cantidad de lechugas, ciruelas y tomates para regalarlas a sus
trabajadores, ¿cuál es la mayor cantidad de trabajadores que se pueden beneficiar?
b) Un estudiante está ordenando los libros que hay en la biblioteca de su escuela. Él coloca
120 libros en cada estante y 40 libros en cada repisa. Si ocupa 23 estantes y 15 repisas, ¿cuántos
libros hay en la biblioteca?
c) Un trabajador ahorra $ 15 977 el primer mes, $ 23 940 el segundo y $ 5671 el tercero. Al cabo
del tercer mes, el trabajador decide repartir el dinero ahorrado entre sus tres hijos, en forma
equitativa. ¿Cuánto recibió cada uno?
d) Mi madre tuvo sus hijos cada tres años y mi tía cada cinco, a partir del año 1990. Si mi madre
tuvo 6 hijos y mi tía 4, ¿es posible afirmar que estuvieron embarazadas al mismo tiempo después
de 1990?, ¿en qué año?
3. Si n representa la edad en años de una persona, explica qué significa cada una de las siguientes
expresiones:
a) n + 1 b) n – 1 c) 2n
4. En cada caso explica si la frase es verdadera o falsa y verifica tu respuesta.
a) Si m – 2 es 24 entonces m = 26
b) Si 2p = 10 entonces p = 10
c) Si 6b = 12 entonces b = 2
Estilo de vida N° de personas
Malo 567 037
Regular 2 933 337
Bueno 7 932 053
Muy bueno 536 589
5. Plantea la ecuación que permite resolver la siguiente situación, resuelve la ecuación y explica tus
procedimientos paso a paso.
En una carrera, Raúl corrió 1 km más que el doble de lo que recorrió José. Si José corrió 6 km,
¿cuántos kilómetros corrió Raúl?
Taller de evaluación 1
77

U3 78-91:Maquetación 1 17/6/10 16:06 Página 78
UNIDAD
3
EN ESTA UNIDAD PODRÁS...
78 Unidad 3
Fracciones
Leer y escribir fracciones para comunicar e interpretar
información.
Representar números naturales y fracciones en la recta
numérica y establecer relaciones de orden entre ellos.
Resolver adiciones y sustracciones de fracciones, utilizando la
amplificación o simplificación de fracciones.
Resolver problemas, aplicando procedimientos de cálculo de
adición y sustracción de fracciones.

U3 78-91:Maquetación 1 17/6/10 16:06 Página 79
CONVERSEMOS DE...
Don Pedro tiene un pequeño almacén en el barrio donde vive.
Ofrece muy buenos precios a sus clientes para competir con los
supermercados y con los negocios que hay en el sector.
Todos los días abre de 8:00 a 13:00 horas y de 14:00 a 21:00 horas,
ya que entre las 13:00 y las 14:00 horas cierra para almorzar junto
a su familia.
Cuando compras en un almacén
1
kilogramo de queso, ¿qué
entiendes por
1
2
kilogramo de queso?, ¿un medio es más o
2
menos que un cuarto?
Mira la imagen del negocio de don Pedro, ¿qué fracciones
aparecen?, ¿qué representa cada una de ellas? Compara tus
respuestas con las de tus compañeros y compañeras.
Mira el reloj que hay dentro del almacén, ¿cuánto tiempo falta
para que don Pedro cierre el almacén para ir almorzar?
¿Qué significa un cuarto de hora?, ¿cuántos minutos equivalen a
un cuarto de hora?
¿En qué otras situaciones se pueden utilizar fracciones?
Comenta tus respuestas con tus compañeros y compañeras.
Fracciones
79

U3 78-91:Maquetación 1 17/6/10 16:06 Página 80
¿CUÁNTO SABES?
80 Unidad 3
Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve los siguientes
ejercicios en tu cuaderno.
1. ¿Qué fracción representa la parte pintada en cada caso?
a)
b)
2. ¿Cómo se leen las siguientes fracciones? Escríbelas con palabras.
a) 2
5
b) 3
6
3. Escribe con cifras las siguientes fracciones:
a) Tres cuartos. b) Siete décimos. c) Cuatro octavos. d) Dos sextos.
4. Dibuja una recta numérica como la que aparece a continuación y ubica en ella las
siguientes fracciones.
3
4
5. Observa la siguiente imagen y responde las preguntas.
1
4
c)
d)
c) 4
9
d) 7
8
0 1
¿En qué te fijaste para encontrar su ubicación correcta?
1
2
2
4
e) 5
7
a) ¿Cuántos cuadrados rojos son necesarios para completar el
rectángulo?
b) ¿Qué fracción del rectángulo representa el cuadrado rojo?
c) ¿Qué fracción del rectángulo representa tres cuadrados rojos?
d) ¿Qué fracción del rectángulo representa dos cuadrados rojos?

U3 78-91:Maquetación 1 17/6/10 16:06 Página 81
6. Observa las siguientes imágenes, responde y explica tus respuestas.
a) ¿Qué fracción representa la parte de la torta que se han comido?
b) ¿Qué fracción representa la parte del litro de jugo que se han tomado?
Compara tus respuestas con tus compañeros y compañeras. ¿Te
equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve
correctamente el ejercicio.
¿QUÉ DEBES RECORDAR?
En una fracción
a
se distingue numerador y denominador, donde a es el numerador
b
y b, el denominador.
El numerador es el número de partes que se considera de la unidad o total.
El denominador es el número de partes iguales en que se ha dividido la unidad o total.
Recuerda cómo se leen algunas fracciones:
1
2
1
3
1
4
se lee “un medio”.
se lee “un tercio”.
se lee “un cuarto”.
1
5
1
6
1
7
3
5
partes pintadas
partes en que se dividió el entero
se lee “un quinto”.
se lee “un sexto”.
se lee “un séptimo”.
1
8
1
9
1
10
se lee “un octavo”.
se lee “un noveno”.
se lee “un décimo”.
Fracciones
81

U3 78-91:Maquetación 1 11/6/10 11:55 Página 82
Marcela se comió
1
del chocolate
8
que le regalaron.
82 Unidad 3
NO OLVIDES QUE...
Lectura y escritura de fracciones
Muchas veces hablamos de fracciones o las vemos escritas en algún
lugar. Lo importante es saber qué representa cada fracción en
determinados contextos.
Observa las siguientes situaciones, en cada una aparece la misma fracción.
PARA DISCUTIR
¿En qué situaciones has visto, escuchado o utilizado la fracción
1
?,
8
¿cómo leerías esta fracción?
Si Marcela se hubiese comido la mitad del chocolate, ¿qué fracción
representa lo que se hubiese comido?, ¿qué fracción representa lo que
le quedaría de chocolate?
¿Qué fracción representa la cantidad de flores rojas?, ¿cómo se lee esa
fracción?
La fracción que representa la parte del chocolate que se comió Marcela
1
y la parte del ramo de rosas que son rojas es , pero ¿en ambas
8
situaciones representa lo mismo?, ¿por qué?
Una fracción se puede representar gráficamente como partes consideradas de un entero
(o unidad) o como partes consideradas de una colección de objetos iguales.
4
Por ejemplo, la fracción se puede representar:
10
Partes consideradas
de una región,
entero o unidad.
Un ramo de 8 flores
tiene una amarilla,
es decir,
1
de ellas
8
es amarilla.
Partes consideradas
de una colección de
objetos iguales.

U3 78-91:Maquetación 1 11/6/10 11:55 Página 83
EN TU CUADERNO
1. Copia el cuadro en tu cuaderno y luego completa según corresponda.
Dibujo Numerador Denominador Fracción Se lee…
2. Piensa, relaciona y responde:
a) Si
1
se lee “un séptimo”, ¿cómo se lee la fracción
5
?, ¿y la fracción
15
?
7
7
7
b) Si
1
se lee “un décimo”, ¿cómo se lee la fracción
1
?, ¿y la fracción
1
?
10
100
1000
c) La fracción
1
se lee “un onceavo”, entonces, ¿cómo se leen las fracciones
3
,
4
y
10
?
11
11 11 11
d) La fracción
5
se lee “cinco veinteavos”, entonces, ¿cómo se leen las fracciones
7
,
19
y
23
?
20
20 20 20
3. Escribe la fracción correspondiente en cada caso.
a) Tres novenos.
b) Cinco doceavos.
NO OLVIDES QUE...
responde en tu cuaderno
responde en tu cuaderno
7 10
c) Doce dieciochoavos.
d) Treinta y seis cuarentavos.
Para leer fracciones se lee primero el numerador y luego el denominador.
6
8
responde en tu cuaderno
e) Diez centésimos.
f) Quince milésimos.
Las fracciones con denominador menor que 10 se leen como: medios, tercios, cuartos,
quintos, sextos, séptimos, octavos y novenos, respectivamente.
Las fracciones con denominador mayor que 10 se leen agregando la terminación “avo”.
Ejemplo:
5
se lee: cinco treinta y cuatroavos.
34
Un caso particular son las fracciones con denominador 10, 100 y 1000.
4
2
3
Ejemplo: se lee: cuatro décimos; se lee: dos centésimos y se lee: tres milésimos.
10
100
1000
Fracciones
83

U3 78-91:Maquetación 1 11/6/10 11:55 Página 84
84 Unidad 3
NO OLVIDES QUE...
Tipos de fracciones
PARA DISCUTIR
Existen distintos tipos de fracciones:
Don Marcos y su familia son felices a la hora del té, porque es el
momento en que comparten, conversan y disfrutan de una deliciosa
once con unas ricas marraquetas (pan francés o pan batido).
Las marraquetas están divididas en cuatro trozos similares. Si
suponemos que estos trozos son exactamente iguales, podemos
representar gráficamente lo que come cada integrante de la familia.
Observa.
Don Marcos Señora Inés
Esteban Ignacia
¿Qué fracción representa lo que comió don Marcos, la señora Inés y
Esteban?, ¿de qué otra forma se pueden expresar estas cantidades?
Ignacia se comió menos de dos marraquetas. Don Marcos dice que
Ignacia comió 1
1
marraquetas y la señora Inés dice que comió
3
2
marraquetas, ¿quién está en lo correcto?, ¿por qué?
2
¿Quién comió menos de una marraqueta?, ¿el numerador de la fracción
que representa esta cantidad es menor o mayor que el denominador?
¿Quiénes comieron más de una marraqueta?, ¿el numerador de las
fracciones que representan estas cantidades es mayor o menor que el
denominador respectivo?
Fracción igual a la unidad: es aquella fracción donde el numerador y el denominador
son iguales. Por ejemplo:
2
,
5
,
6
,
10
.
2 5 6 10
Fracción propia: es una fracción menor que la unidad, es decir, el numerador es menor
que el denominador. Por ejemplo:
1
,
1
,
3
,
3
.
2 4 4 8
Fracción impropia: es una fracción mayor que la unidad, es decir, el numerador es
mayor que el denominador. Por ejemplo:
3
,
5
,
8
,
15
.
2 2 2 2
Una fracción impropia se puede escribir como un número natural, si el númerador es
múltiplo del denominador, o bien como número mixto, que se forma con un número
entero y una fracción propia.
4
8
2
2
2
2
3
3

U3 78-91:Maquetación 1 11/6/10 11:55 Página 85
EN TU CUADERNO
1. ¿Qué tipo de fracción está representada en cada caso? Escribe la fracción correspondiente.
a)
b)
c)
2. Representa gráficamente las siguientes fracciones en tu cuaderno y clasifícalas en propias,
impropias o iguales a la unidad.
a) 3
5
b) 6
3
c) 5
5
d) 12
6
3. Copia en tu cuaderno la siguiente tabla y complétala, guiándote por el ejemplo.
d)
e)
f)
e) 15
4
f) 7
10
Representación gráfica Fracción impropia Número mixto
7
3
8
5
responde en tu cuaderno
1
3
responde en tu cuaderno
2
1
1
4
g) 9
9
h) 2
11
Fracciones
85

U3 78-91:Maquetación 1 11/6/10 11:55 Página 86
86 Unidad 3
Fracciones equivalentes
EN EQUIPO Materiales:
3 hojas blancas
En esta actividad descubrirán fracciones equivalentes a partir de su
representación gráfica. Formen grupos de 3 integrantes y sigan las
instrucciones:
1. Cada integrante divide una hoja en 4 rectángulos iguales haciendo dobleces como se muestra
en la figura, y luego pinta uno de los rectángulos obtenidos. ¿Qué
fracción de la hoja representa la parte pintada?
2. Un integrante hace un doblez más para que la hoja quede dividida
en 8 partes iguales.
3. Otro integrante hace dos dobleces más para que la hoja quede
dividida en 16 partes iguales.
4. El otro integrante hace tres dobleces más para que la hoja quede dividida en 32 partes iguales.
5. Cada uno escribe la fracción de la hoja que representa ahora la parte pintada.
NO OLVIDES QUE...
tamaño oficio
Lápices de
colores
PARA DISCUTIR
¿En qué se parecen las fracciones
1
,
2
,
4
y
8
?, ¿y en qué se
4 8 16 32
diferencian?
¿Podrías decir que las fracciones
1
y
4
son fracciones equivalentes?,
4 16
¿por qué?
Las fracciones equivalentes se escriben de forma distinta, pero representan la misma
cantidad, parte o medida. Por ejemplo,
1
=
2
.
2 4
EN TU CUADERNO
1. Escribe las fracciones equivalentes que se han representado por cada par de figuras. Encuentra otra
fracción equivalente en cada caso y explica el procedimiento utilizado.
a) b) c)

U3 78-91:Maquetación 1 11/6/10 11:55 Página 87
2. Marcela obtiene fracciones equivalentes a
8
amplificando, y Felipe, simplificando. Observa sus
12
procedimientos.
3. Encuentra tres fracciones equivalentes en cada caso, amplificando o simplificando. Luego, responde.
a)
Marcela multiplica el numerador y
denominador por el mismo número:
8
,
16
y
48
12 24 72
Son fracciones equivalentes.
Felipe divide el numerador y el
denominador por el mismo número:
8
,
4
y
2
12 6 3
Son fracciones equivalentes.
a) ¿Qué opinas de los procedimientos que utilizan Marcela y Felipe?, ¿cuál es más simple?,
¿por qué?
b) ¿Puedes aplicar el procedimiento de Marcela siempre?, ¿y el de Felipe?, ¿por qué?
c) Para encontrar fracciones equivalentes de
1
,
2
,
4
, ¿utilizarías el procedimiento de
5 3 7
Marcela o Felipe?, ¿por qué?
3
7
b) 2
5
c) 12
36
d) 15
25
¿En qué casos amplificaste?, ¿y en cuáles simplificaste? Comenta.
NO OLVIDES QUE...
e) 18
24
f) 16
48
Amplificar una fracción consiste en multiplicar por el mismo número el numerador y
denominador, para obtener una fracción equivalente.
Simplificar una fracción consiste en dividir por el mismo número el numerador y
denominador, para obtener una fracción equivalente. Para esto se debe encontrar un
número que sea divisor del numerador y del denominador.
Una fracción que no se puede simplificar se llama fracción irreductible.
MI PROGRESO
Claudia todos los meses distribuye su sueldo de la siguiente manera:
1
en
alimentación,
2
en luz, agua y teléfono,
1
en dividendo,
1
6
para otros gastos
y
2
8
3
12
los ahorra.
12
1. Escribe en tu cuaderno cómo se lee cada una de las fracciones de dinero que
gasta Claudia e indica qué tipo de fracción es.
2. Según los datos de la situación, responde. (Puedes ayudarte representando
en un diagrama cómo distribuye Claudia su sueldo).
a) ¿En qué gasta más dinero?, ¿y en qué menos? ¿Con qué fracciones se
representan?
b) ¿En qué gasta la misma cantidad de dinero?, ¿qué fracciones representan
esa misma cantidad de dinero?, ¿cómo son esas fracciones entre sí?,
¿cómo podrías verificar tu respuesta?
Fracciones
87

U3 78-91:Maquetación 1 11/6/10 11:55 Página 88
88 Unidad 3
NO OLVIDES QUE...
Orden y comparación de fracciones
Los siguientes diagramas son de igual forma y tamaño, y están divididos
en partes iguales. Observa las fracciones que representa cada uno.
PARA DISCUTIR
¿En qué se parecen los diagramas que están pintados con amarillo?,
¿en qué se parecen las fracciones
4
y
6
?
9 9
Imagina que colocas el diagrama que representa la fracción
4
sobre el
que representa
6
9
, ¿cuál tiene una mayor superficie pintada?
9
Si comparas los diagramas que representan
4
y
4
, ¿cuál tiene una
3 8
mayor superficie pintada?, ¿qué fracción es mayor,
4
ó
4
?
3 8
Manuel dice que
3
es mayor que
2
, ¿qué opinas tú?
9
3
Claudia dice que
4
es equivalente a 1
3
, ¿estás de acuerdo con ella?,
3
9
¿por qué?
Al comparar fracciones de igual numerador, es mayor la que tiene menor denominador y
menor la que tiene mayor denominador.
Al comparar fracciones de igual denominador, es mayor la que tiene el numerador mayor,
y menor la que tiene el numerador menor.
Para comparar fracciones que tienen distintos denominadores y distintos numeradores,
puedes seguir los siguientes pasos:
1º Encontrar fracciones equivalentes a las fracciones dadas, donde ambas tengan el mismo
denominador.
2º Comparar los numeradores de las fracciones encontradas.
Ejemplo: Para comparar las fracciones
2
y
3
, obtenemos el mínimo común múltiplo entre
5 7
los denominadores que es 35 y amplificamos cada una de las fracciones para que tengan
este denominador:
2
5
7
7
= 14
35
4
9
6
9
3
7
5
5
=
15
35
4
3
4
8
3
9
2
3
Como < , entonces, < .
3
14 15
2
35 35
5 7
1

U3 78-91:Maquetación 1 11/6/10 11:55 Página 89
EN TU CUADERNO
1. Compara las siguientes fracciones, usando los signos o =, según corresponda.
a)
b)
6
9
5
9
6
8
4
9
2. Observa el siguiente procedimiento para comparar fracciones.
Para comparar
5
6
y
7
8
calcula los productos cruzados: 5 8 = 40 6 7 = 42
Como 40 < 42
entonces
5
6
<
7
8
3
11
a) ¿Qué opinas del procedimiento?, ¿es correcto?, ¿por qué?
c)
d)
b) Utiliza este procedimiento para comparar los siguientes pares de fracciones:
4
8
y
6
9
3. Resuelve los siguientes problemas y compara tus respuestas con el curso.
8
12
1
7
y
2
8
5
11
8
9
a) En la pastelería de doña Julia se venden tartas. Todas son del mismo tamaño y se venden por
trozos. El lunes se vendieron
2
de la tarta de frutilla y
5
de la tarta de frambuesa, ¿qué tipo de
8
6
tarta fue la más vendida ese día?
b) Martín se demoró tres cuartos de hora en terminar su tarea y Pablo se demoró media hora en
terminar la misma tarea, ¿quién se demoró menos tiempo en terminarla?
2
3
1
4. En un curso de gimnasia hay 20 personas, de las cuales usan malla, usan buzo y usan
4
10
5
pantalones cortos.
a) ¿Cuántas personas del curso usan malla?, ¿y cuántas usan buzo?, ¿cómo lo calculaste?
b) ¿La mayoría de las personas del curso usan malla, buzo o pantalones cortos?, ¿cómo lo supiste?
5. Una caja tiene 36 lápices, de los cuales
1
son azules,
2
1
son rojos y son verdes. ¿Hay más lápices
9
6
2
azules, rojos o verdes? Compara tu procedimiento con el de tus compañeros y compañeras.
NO OLVIDES QUE...
Para calcular la fracción de un número n, puedes dividir n por el denominador de la fracción
y luego multiplicarlo por el numerador, o bien multiplicar el numerador de la fracción por n
y el resultado dividirlo por el denominador. Por ejemplo:
1
de 8 =
1
8 = 4.
2 2
2
10
y
e)
f)
1
2
9
7
10
16
3
6
5
8
Fracciones
89

U3 78-91:Maquetación 1 11/6/10 11:56 Página 90
90 Unidad 3
NO OLVIDES QUE...
Fracciones y números naturales en la
recta numérica
En las siguientes rectas
numéricas se han ubicado
las fracciones
3
y
4
.
4 3
Observa.
PARA DISCUTIR
0 1 2 3 1
4 4 4
4
4
0 1 2 1
3 3
3
3
¿En cuántas partes se dividió la distancia entre el 0 y el 1 en cada
recta?, ¿con qué se relaciona esta cantidad de partes?
Si
3
es una fracción propia y
4
es impropia, ¿cómo se distingue esto
4
3
en cada recta?
Si cada unidad de la recta en la que se representó la fracción
3
4
estuviese dividida en 8 partes iguales, ¿qué fracción ubicarías en la
misma posición que
3
?, ¿y si estuviese dividida en 12 partes iguales?
4
Si quisiéramos representar las fracciones
3
y
4
en una sola recta, ¿en
4 3
cuántas partes debiéramos dividir una unidad?, ¿por qué?
¿
3
es mayor o menor que
4
?, ¿cómo se observa esta relación en la
4
3
recta numérica?
Al igual que ocurre en los números naturales, una fracción que esté ubicada a la izquierda
de otra en la recta numérica es siempre menor que ella; y una fracción que esté ubicada a
la derecha de otra en la recta numérica es siempre mayor que ella.
Como las fracciones propias son menores a la unidad, siempre se ubican entre 0 y 1.
Para ubicar una fracción en la recta numérica primero se divide la distancia entre dos
números naturales consecutivos (0 y 1, 1 y 2, 2 y 3, etc.)
en tantas partes iguales como indica el denominador
de la fracción. Luego, debes avanzar desde el cero el
número de veces que indica el numerador.
Ejemplo: Para ubicar la fracción
3
, como es una
5
fracción propia, divido en 5 partes iguales la distancia
entre 0 y 1. Luego, avanzo 3 lugares desde el 0.
4
3
0 3
5
5 partes iguales
1
5
3
2
6
3

U3 78-91:Maquetación 1 11/6/10 11:56 Página 91
EN TU CUADERNO
1. Escribe en tu cuaderno la fracción que representa la posición destacada con color rojo en cada recta
numérica.
a)
b)
c)
2. Copia en tu cuaderno cada recta numérica y ubica en ella la fracción o número mixto correspondiente.
a)
b)
2
5
3
3
c) 1 1
6
MI PROGRESO
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1 2
d)
e)
f)
d) 1 4
7
e)
8
3
f) 3 1
2
0 1
0 1
2
0 1
2
0 1 2
0 1 2 3
0 1 2 3 4
Carolina es una niña muy organizada y programa su tiempo de la siguiente
manera para realizar distintas actividades después del colegio:
1
1
hora para practicar su deporte favorito
2
2
de hora para estudiar y hacer sus tareas
3
3
de hora para jugar con sus amigos y amigas
4
1
1
de hora para ver televisión
4
1. Ordena de menor a mayor las fracciones mencionadas.
2. Dibuja una recta numérica y ubica en ella estas fracciones.
3. Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas.
a) ¿En qué actividad ocupa más tiempo?, ¿y en cuál menos tiempo?
b) ¿Ocupa más tiempo en jugar o estudiar?, ¿cómo lo supiste?
c) ¿Ocupa más tiempo en ver televisión o en estudiar y hacer sus tareas?
Fracciones
91

U3 78-91:Maquetación 1 11/6/10 11:56 Página 92
92 Unidad 3
NO OLVIDES QUE...
Adición y sustracción de fracciones con
igual denominador
4
7
En el 5º A, del curso se inscribieron en el taller científico y del
15
15
curso se inscribieron en el taller de pintura. Los talleres se realizan
en el mismo horario, por lo que los alumnos y alumnas no pueden
inscribirse en ambos.
El resto del curso no se inscribió en ningún taller.
Observa el diagrama que representa la situación:
PARA DISCUTIR
En el diagrama, ¿qué representa la parte pintada de verde?, ¿y la de
naranja?
¿Qué fracción representa la parte del curso que participará en alguno
de los talleres?, ¿y cuál la que no se inscribió en ningún taller?, ¿cómo
lo calculaste?
Si el curso tiene 45 alumnos y alumnas, ¿es correcto decir que 9 no se
inscribieron en ningún taller y que 21 en el taller científico?, ¿por qué?
Para obtener la fracción del curso que se inscribió en algún taller
podemos sumar las fracciones que representan a los inscritos en cada
uno.
4
15
7 4 + 7 11
+ = =
15 15 15
Luego,
11
del curso se inscribió en algún taller.
15
Si consideramos que el total del curso se puede representar por la
fracción
15
, para saber qué parte del curso no participó en ningún
15
taller podemos restarle la parte del curso que se inscribió en alguno.
15
–
11
=
15 – 11
=
4
15 15 15 15
Luego,
4
del curso no se inscribió en los talleres.
15
Para resolver una adición de dos o más fracciones con igual denominador se suman los
numeradores y se conserva el denominador. Por ejemplo: + = = .
Para resolver una sustracción de dos fracciones con igual denominador se restan los
numeradores y se conserva el denominador. Por ejemplo: – = = 4
1 2 1 + 2 3
7 7 7 7
7 3 7 – 3
9 9 9 9

U3 78-91:Maquetación 1 11/6/10 11:56 Página 93
EN TU CUADERNO
1. Escribe las fracciones que representan las partes pintadas de cada color. Luego, calcula la fracción
pintada en cada figura usando una adición, y la fracción sin pintar, con una sustracción.
a)
2. Calcula el resultado y simplifica hasta obtener una fracción irreductible.
a)
1
+
3
=
7 7
b)
6
+
6
=
15 15
3. En cada caso, descubre la fracción incógnita para que se cumpla la igualdad.
a)
14
25
+
5
=
25
b)
12
+ =
18
17
18
c) +
16
=
30
d)
9
–
4
=
10 10
4. Resuelve los siguientes ejercicios.
a)
8
–
3
+
3
=
10 10 10
( )
Ejemplo:
( )
b)
18
–
7
+
9
=
25 25 25
c)
4
+
3
=
8 8
d)
2
+
1
=
5 5
23
30
Fracción pintada:
7
+
9
=
16
24 24 24
Fracción sin pintar:
24
–
16
=
8
24 24 24
e)
5
–
1
=
9 9
f)
12
–
2
=
20 20
e) – = 7 17
32 32
f)
12
– =
13
5. Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas, mostrando el desarrollo de cada paso.
a) El huerto de don Hugo está dividido en 8 partes iguales.
3
del huerto está sembrado con
acelgas,
4
8
del huerto está sembrado con tomates y el resto aún no está sembrado. ¿Qué
8
fracción del huerto está sembrada?, ¿qué fracción del huerto falta por sembrar?
b) En el cumpleaños de Martín había una bandeja con 20 pasteles. Si los invitados primero
comieron
9
y luego comieron
8
de los pasteles, ¿qué fracción de los pasteles quedó?
20
20
b)
( ) ( )
10
13
c)
2
+
14
–
7
+
2
=
18 18 18 18
g)
15
–
9
=
10 10
h)
30
–
30
=
60 60
A yuda
Para resolver ejercicios
con operaciones
combinadas de adiciones
y sustracciones, primero
debes desarrollar los
paréntesis y luego, las
adiciones y sustracciones
de izquierda a derecha.
Fracciones
93

U3 78-91:Maquetación 1 11/6/10 11:56 Página 94
94 Unidad 3
NO OLVIDES QUE...
Adición y sustracción de fracciones con
distinto denominador
Los abuelitos de Camila le hicieron en su cumpleaños una gran torta.
2
Con su familia se comieron de la torta y cuando se reunió con sus
5
amigos y amigas se comieron
13
más.
30
PARA DISCUTIR
Si la torta estaba dividida en 30 porciones iguales, ¿cómo
representarías en un diagrama cuánta torta se comieron en total?
¿Cuánto es
2
+
13
?, ¿cómo lo supiste?
5 30
¿Cuál es la fracción de la torta que representa lo que queda después
de que Camila, sus amigos, amigas y familiares comieron torta?,
¿cómo obtuviste el resultado?
¿Cómo resolverías
30
–
2
+
13
?, ¿a qué corresponde el resultado de
30 5 30
este ejercicio en el contexto del problema?
Para sumar o restar fracciones con distinto denominador puedes:
1º Amplificar o simplificar todas o algunas de las fracciones dadas, para obtener fracciones
con igual denominador.
2º Sumar o restar los numeradores, según corresponda, y conservar el denominador.
Recuerda que para expresar los resultados obtenidos como fracción irreductible debes
simplificarlos.
Ejemplo: + = + = + = 11
1 2 1 5 2 3 5 6
3 5 3 5 5 3 15 15 15
EN TU CUADERNO
1. Resuelve mentalmente los siguientes ejercicios y expresa los resultados como una fracción
irreductible. Luego, comprueba tus cálculos por escrito.
a)
1
+
2
=
4 6
b)
7
–
2
=
12 6
c)
4
+
2
=
5 10
d)
10
–
4
=
10 5
( )
e)
7
+
2
=
9 3
f)
7
–
2
=
9 3
g)
1
+
1
=
15 3
h)
1
–
1
=
3 15

U3 78-91:Maquetación 1 11/6/10 11:56 Página 95
2. Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas:
a) Esteban se demora
1
de hora en almorzar y Matías se demora
5
de hora. ¿Cuánto tiempo más
4
8
ocupa Matías en almorzar?
b) Un agricultor cosecha primero
1
del total de sus plantaciones de lechuga y luego cosecha
1
del
5
2
total de sus plantaciones. ¿Qué fracción del total de las plantaciones de lechuga ha cosechado?,
¿cuánto le falta por cosechar?
HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS
Usando una planilla de cálculo, resuelve adiciones y sustracciones de fracciones. Sigue las
instrucciones.
1º En A1 escribe “Fracción 1”, en B1 “Fracción 2”, en C1 “Operación” y en D1 “Resultado”.
En las celdas A2 y B2 anota
3
y
2
, respectivamente.
2 3
2º Para que las fracciones anotadas aparezcan como fracción propia o número mixto, selecciona
todas las celdas (A2 a D3), haz clic en el botón derecho y elige Formato de celdas. Luego,
elige Fracción y Hasta tres dígitos.
3º En las celdas correspondientes a “Operación” escribe la operación que se realizará. Para esto
observa la pantalla. Ejemplo: suma de fracción 1 y fracción 2.
4º Luego, marca la celda D2, haz doble clic en ella y anota =A2+B2. Presiona enter. Así aparecerá
la suma de la “Fracción 1” con la “Fracción 2”.
5º En D3 escribe =A2–B2. Esto te arrojará el valor de la diferencia entre la “Fracción 1” y la
“Fracción 2”. Así, se obtiene:
Escribe una fracción en A2 y otra menor en B2, y observa los resultados que obtienes.
MI PROGRESO
1
Andrea tiene dinero ahorrado, pero ha gastado una parte. Si gastó en un
4
3
regalo para su mejor amiga, luego gastó para comprarse una polera y
1
para
8
8
ir al cine.
1. ¿Qué fracción del total del dinero ahorrado representa lo que gastó Andrea?
2. ¿Qué fracción del dinero le quedó después de estos gastos?
3. Explica los procedimientos utilizados.
Fracciones
95

U3 78-91:Maquetación 1 17/6/10 16:25 Página 96
BUSCANDO ESTRATEGIAS
En la sala del 5º B hay un diario mural. En el curso acordaron que la información que pondrían
en él se distribuirá de la siguiente manera:
2
del diario mural para informaciones del curso.
9
1
del diario mural para noticias nacionales e internacionales.
3
1
del diario mural para informaciones del colegio.
9
El resto para la exposición de trabajos de los alumnos y alumnas del curso.
¿Qué fracción del diario mural
está destinada a la exposición
de trabajos de los alumnos y
alumnas?
Comprender
¿Qué sabes del problema?
La fracción del diario mural destinada a información del curso, información del colegio y
noticias.
¿Qué debes encontrar?
La fracción del diario mural destinada a la exposición de trabajos de los alumnos.
Planificar
¿Cómo puedes resolver el problema?
Para resolver el problema debo conocer la fracción total utilizada por las secciones: noticias,
informaciones del curso y del colegio, para eso se suman las fracciones asignadas a estas
secciones. Luego, este resultado se resta al entero o unidad, que representa todo el diario
mural y se obtiene la fracción que corresponde a la sección para la exposición de trabajos de
los alumnos y alumnas.
Resolver
Primero:
2
+
1
+
1
=
2
+
3
+
1
=
6
=
2
9 3 9 9 9 9 9 3
Segundo: Representamos el diario mural entero con la fracción
3
y le restamos el resultado
3
anterior.
3
–
2
=
1
3 3 3
Responder
Un tercio del diario mural de la sala del 5º B está destinado a la exposición de los trabajos de
sus alumnos y alumnas.
Revisar
Para comprobar la respuesta, suma las fracciones que corresponden a cada una de las
secciones; verifica que el resultado obtenido es 1.
96 Unidad 3

U3 78-91:Maquetación 1 17/6/10 16:25 Página 97
1. Resuelve los siguientes problemas, aplicando la estrategia de la página anterior.
a) En una de las repisas de la biblioteca de un colegio, del total de libros que hay,
3
son de
12
Lenguaje y Comunicación,
4
son de Educación Matemática,
2
son de Ciencias y lo que
12
8
queda es de Inglés. ¿Qué fracción de los libros que hay en la repisa son de Inglés?
Unidad 3
b) Para realizar un proyecto de Educación Tecnológica, Pablo y Carlos deben utilizar género.
Pablo tiene
6
de un metro de género y Carlos tiene
3
de un metro de género. ¿Cuál de los
10
5
dos aportará más género para la realización del proyecto?
c) Francisca compró
5
de kilogramo de pan y su vecina, Martina, compró
2
de kilogramo de
6
3
pan. ¿Cuánto pan compraron entre las dos?, ¿quién compró más pan?, ¿cuánto más?
2. Ahora resuelve el problema anterior, utilizando otra estrategia de resolución, explícala, paso a
paso, y compárala con las usadas por tus compañeros y compañeras.
3. Resuelve los siguientes problemas, utilizando la estrategia que tú quieras. Compara el
procedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?,
¿por qué?
a) Juan Carlos y su hermano, después de jugar en la plaza, sacaron
del refrigerador una botella que contenía
3
de litro de bebida. Si
4
Juan Carlos tomó
2
de litro de bebida y su hermano tomó
1
de
6
3
litro de bebida, ¿qué fracción tomaron en total los dos?, ¿qué
fracción de litro de la bebida queda ahora?
b) Para el cumpleaños de Tadeo dividieron la torta en 10 partes
4
iguales. Si se comieron del total y le enviaron a sus primos
10
del total, ¿qué fracción de la torta les quedó?
c) Doña Lucía pesaba
243
kg y perdió
11
kg después de una enfermedad. Cuando se recuperó,
4
2
aumentó
33
kg. ¿Cuánto pesa al final?
8
d) Un día, Juan durmió
25
horas, leyó durante
11
horas y vio televisión
43
horas. ¿Cuánto
3
4
12
tiempo invirtió en estas tres actividades?, ¿cuántas horas del día le quedan a Juan para otras
actividades?
1
5
D ato interesante
Una fracción impropia
se puede escribir como
número mixto.
19
5
= + = 3 4
15 4
5 5 5
Fracciones
97

U3 78-91:Maquetación 1 17/6/10 16:25 Página 98
CONEXIONES
98 Unidad 3
¡La mitad de los escolares de 10 años hace
las tareas con la TV encendida!
Un estudio de la Universidad de Alicante,
en España, realizado con niños y niñas entre
10 y 12 años, arrojó que más de 1/2 de ellos
hace las tareas, estudia, juega y come, con
la televisión encendida.
Según esta investigación, la mayoría de los
que estudian con la televisión encendida
son las niñas, posiblemente debido a que
TENDENCIAS
ellas son capaces de realizar con eficacia
varias tareas simultáneamente, y a que
tienden a estudiar y a realizar sus tareas en
espacios donde hay otros familiares, como
el living o la cocina. Los niños, en cambio,
prefieren espacios con mayor soledad o
aislamiento.
Fuente: http://www.tercera.cl/medio/articulo/0,0,38035857_165317001_266608341,00.html
(consultada marzo de 2008, adaptación).
En grupos de tres integrantes, desarrollen la siguiente actividad.
1. Realicen un estudio sobre si los niños y niñas entre 10 y 12 años hacen sus tareas con la
televisión encendida.
2. Para esto pregunten a 10 niños y 10 niñas del colegio o que vivan cerca de sus casas y
que tengan entre 10 y 12 años si hacen sus tareas viendo televisión. Las opciones de
respuesta son SÍ o NO. Registren las respuestas en una tabla como la siguiente para las
niñas y otra para los niños:
¿Haces tus tareas viendo TV? SÍ NO
1. Nombre: X
2. Nombre: X
A partir de los datos obtenidos, respondan:
a) ¿Cuántos niños hacen sus tareas viendo televisión?, ¿qué fracción del total de los
niños representa esta cantidad?, ¿y del total de los encuestados?
b) ¿Cuántas niñas hacen sus tareas viendo televisión?, ¿qué fracción del total de las niñas
representa esta cantidad?, ¿y del total de los encuestados?
c) ¿Qué fracción del total de los niños y niñas hace sus tareas viendo televisión?
d) ¿Quiénes ven más televisión cuando hacen sus tareas, los niños o las niñas?
e) ¿De qué manera podrían ayudar a disminuir las cifras mencionadas en el reportaje?

U3 78-91:Maquetación 1 17/6/10 16:25 Página 99
SÍNTESIS
A continuación se presenta un esquema que relaciona los principales conceptos
trabajados en la unidad. Cópialo en tu cuaderno y complétalo con los siguientes
términos:
Número mixto
Fracción igual a la unidad
Fracción propia: menor que la unidad
Fracción impropia: mayor que la unidad
Representaciones
gráficas
Amplificación
y simplificación
Clasificación
FRACCIONES
Cálculos
Fracciones
equivalentes
Con distinto
denominador
Utilizando los contenidos aprendidos en la unidad y apoyándote en el esquema anterior,
comenta con tus compañeros y compañeras las siguientes respuestas.
a) Cuando lees una fracción, ¿qué es lo primero que nombras?
b) ¿Cómo se nombran las fracciones que tienen denominador mayor que 10?
c) ¿De qué otra forma se puede expresar una fracción impropia? Escribe un ejemplo.
d) Si dos fracciones tienen igual numerador, ¿cuál sería la mayor?
e) Si dos fracciones tienen igual denominador, ¿cuál sería la menor?
f) ¿Para qué nos sirve amplificar y simplificar fracciones?
g) ¿Cómo representas una fracción menor que la unidad en la recta numérica?
h) ¿Cuál es el procedimiento para resolver una adición de fracciones con distinto
denominador? Inventa un ejemplo.
Unidad 3
Recta numérica
Adición y sustracción
Lectura
y escritura
Orden y
comparación
Con igual
denominador
Fracciones
99

U3 78-91:Maquetación 1 17/6/10 16:25 Página 100
¿QUÉ APRENDÍ?
Marca, en tu cuaderno, la alternativa que consideres correcta en las
preguntas 1 a la 8.
1. ¿Qué fracción del conjunto de pelotas son de
color verde?
A.
4
9
B.
3
6
C.
4
6
D.
2
9
5
2. La fracción se puede representar de la
4
siguiente manera:
Y como número mixto se escribe:
A. 1
B. 2
4. ¿Qué fracción está representada en el punto A?
A.
B.
5
4
4
4
100 Unidad 3
1
4
1
4
3. ¿Cuál de las siguientes fracciones es
3
equivalente a ?
6
A.
2
3
C.
1
2
B.
1
9
D. 3
9
2
4
3
4
C. 2
D. 1
0 A 1
C.
D.
1
3
2
3
5. “Diez diecisieteavos” corresponde a la lectura
de la fracción:
A.
B.
C.
D.
7
6. ¿Cuál fracción es mayor que ?
12
A.
B.
17
10
10
7
10
17
10
27
3
12
2
4
9
12
5
12
7. ¿Cuál o cuáles de las siguientes relaciones son
correctas?
A. I.
B. I y II.
8. ¿Cuál es el resultado de la siguiente adición?
A..
6
8
8
4
C.
D.
4 4
I. <
II.
6 7
1
4
+
1
4
+
C. II.
D. Ninguna.
3
8
C.
D.
4
8
7
8
7
4
<
4
9

U3 78-91:Maquetación 1 17/6/10 16:25 Página 101
9. Amplifica para encontrar dos fracciones equivalentes a cada fracción dada.
a)
3
4
10. Simplifica para encontrar la fracción irreductible de cada una de las
fracciones dadas.
a) 6
12
Compara tus respuestas con tus compañeros y compañeras. ¿Te equivocaste
en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.
¿QUÉ LOGRÉ?
b) 2
7
b) 12
24
1. Marca según tu apreciación.
Lectura y escritura de fracciones.
Tipos de fracciones.
Fracciones equivalentes.
Orden y comparación de fracciones.
Fracciones y números naturales en la recta numérica.
Adición y sustracción de fracciones con igual denominador.
Adición y sustracción de fracciones con distinto
denominador.
Resolución de problemas.
c) 4
5
c) 3
15
d) 2
3
d) 18
24
11. Resuelve los siguientes ejercicios combinados.
a)
6
+
2
–
2
b)
12 12 6
2
+
6
+
4
–
1
c)
17
+
3
–
1
5 15 5 5 24 ( 6 3
( ) ( ) ( ) )
12. Alicia y Carolina fueron a una confitería y compraron gomitas. Alicia
compró
2
kilogramo de gomitas y Carolina compró
1
kilogramo de
6
8
gomitas. ¿Cuál de las dos compró más gomitas?, ¿cuántos más?
No lo
entendí
Lo
entendí
2. Reflexiona y responde.
a) ¿Qué dificultades tuviste en la unidad?, ¿cómo las superaste?
b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la unidad?, ¿por qué?
c) Vuelve a la página 78 y revisa el recuadro “En esta unidad podrás…”,
¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Comenta.
Unidad 3
Puedo
explicarlo
responde en tu cuaderno
responde en tu cuaderno
Fracciones
101

U4 92-113:Maquetación 1 17/6/10 16:26 Página 102
UNIDAD
4
EN ESTA UNIDAD PODRÁS...
102 Unidad 4
Decimales
Leer y escribir números decimales para interpretar y comunicar
información.
Expresar el resultado de una división no exacta como un
número decimal.
Transformar una fracción en un número decimal, y viceversa.
Representar números naturales, fracciones y números decimales
en la recta numérica, y establecer relaciones de orden entre
ellos.
Utilizar diversos procedimientos para el cálculo de adiciones y
sustracciones de números decimales.
Resolver problemas de distintos contextos, utilizando números
decimales.

U4 92-113:Maquetación 1 17/6/10 16:26 Página 103
CONVERSEMOS DE...
El sobrepeso y la obesidad pueden causar en niñas y niños muchos
problemas de salud: problemas con sus huesos y articulaciones,
dificultad para respirar y cansancio al realizar deportes. Las niñas
obesas pueden entrar antes en la pubertad, como asimismo tener
un colesterol alto. Además, pueden presentar desánimo, depresión,
baja autoestima, y ser discriminadas.
Para prevenir este y otros problemas de salud es importante visitar
periódicamente al pediatra. Como parte del control, el doctor o
doctora medirá tu estatura y tu peso, pudiendo determinar si estos
valores son normales o si tienes, por ejemplo, sobrepeso.
Según la información de la imagen, responde:
¿Quién es más alto, Valentina o Cristóbal?
¿Cuál es la diferencia entre sus estaturas?
¿Quién pesa más?
Si Cristóbal y Valentina pesan 37
1
kg cada uno, ¿es lo mismo decir
2
que pesan 37,5 kg?, ¿por qué?
En el control, el doctor dice que Valentina está muy bien, pero
Cristóbal tiene sobrepeso. ¿Por qué ocurre esto si ambos pesan lo
mismo?, ¿qué puede hacer Cristóbal para tener un peso adecuado
a su edad?
¿En qué otras situaciones ocupamos números decimales?
Valentina tiene 11 años,
mide 142 cm y pesa 37,5 kg,
y Cristóbal tiene 10 años,
mide 135,5 cm y pesa también
37,5 kg.
Decimales
103

U4 92-113:Maquetación 1 17/6/10 16:26 Página 104
¿CUÁNTO SABES?
104 Unidad 4
Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve los siguientes
ejercicios en tu cuaderno.
1. Escribe en tu cuaderno cómo se leen las siguientes fracciones.
a)
2. Compara en tu cuaderno las siguientes fracciones, usando los signos o =.
a)
b)
3. Observa el cuadrado y luego responde en tu cuaderno.
a) ¿Qué fracción del cuadrado es naranja?
b) ¿Qué fracción del cuadrado es morada?
c) ¿Qué fracción del cuadrado es morada
o verde?
d) ¿Qué fracción del cuadrado es verde o
naranja?
4. Escribe en tu cuaderno la fracción indicada en la recta numérica.
a)
b)
4
5
6
10
4
5
b) 3
10
c) 24
100
5. Amplifica por un número apropiado para encontrar una fracción decimal
equivalente en cada caso.
a) 4
5
5
10
12
15
b) 7
2
c)
d)
2
3
10
5
c) 9
25
7
4
10
9
d)
50
1000
0 1
0 1
d) 3
10

U4 92-113:Maquetación 1 17/6/10 16:26 Página 105
6. Simplifica por un número apropiado para encontrar una fracción decimal
equivalente en cada caso.
a) 35
50
b) 36
60
d) 45
c)
300
15
50
e) 28
280
f) 128
400
7. Resuelve los siguientes problemas y explica el procedimiento que
utilizaste en cada caso.
a) En una convivencia del colegio, Luis se tomó
1
de litro de jugo y
4
Carlos se tomó 0,3 de litro de jugo. ¿Quién tomó más jugo?
b) Adriana se compró un chocolate. Si se comió 0,2 del chocolate y
repartió
3
a su familia, ¿qué fracción del chocolate se comieron?,
5
¿qué fracción del chocolate quedó?
Compara tus respuestas con tus compañeros y compañeras. ¿Te
equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve
correctamente el ejercicio.
¿QUÉ DEBES RECORDAR?
h) 168
g)
8000
120
600
Las fracciones que tienen denominadores 10, 100, 1000, etc. se llaman fracciones
decimales.
El décimo y centésimo
Unidad decimal Fracción decimal Número decimal
se llaman unidades
1
Un décimo 0,1
decimales y pueden
10
ser representadas con
1
fracciones.
Un centésimo 100
0,01
Amplificar una
fracción es multiplicar el numerador y denominador de una fracción por el mismo número
natural.
Simplificar una fracción es dividir el numerador y denominador de una fracción por el
mismo número natural.
Las fracciones irreductibles son aquellas que no se pueden seguir simplificando.
Si dos fracciones tienen igual numerador, es mayor la fracción con menor denominador.
Si dos fracciones tienen igual denominador, es mayor la fracción con mayor numerador.
Para comparar dos fracciones con distinto numerador y denominador, debes encontrar
fracciones equivalentes a las dadas, que tengan el mismo denominador y así poder
comparar los numeradores.
Para ubicar fracciones en la recta numérica, debes dividir los segmentos de la recta en
partes iguales, como indica el denominador. Luego, debes avanzar desde el cero las veces
que indique el numerador.
Decimales
105

U4 92-113:Maquetación 1 11/6/10 12:12 Página 106
106 Unidad 4
Lectura y escritura de decimales
Algunos estudiantes del colegio están postulando a un programa para
niños y niñas con talentos académicos. Rindieron varios exámenes para
medir sus habilidades y también su motivación por aprender. Los
puntajes que obtuvieron en total se muestran en la tabla.
PARA DISCUTIR
Estudiante Puntaje Se lee
Laura 21,15 21 enteros 15 centésimos
Ignacio 22,97 22 enteros 97 centésimos
Antonia 26,004 26 enteros 4 milésimos
Gabriel 24,7 24 enteros 7 décimos
Valentina 22,2 22 enteros 2 décimos
Carlos 23,684 23 enteros 684 milésimos
Su profesora sabe que están preseleccionados si el puntaje es igual o
mayor que 24. ¿Quién está preseleccionado?
¿Qué indican las cifras que se encuentran antes de la coma?, ¿y
después de la coma?
¿Por qué las cifras después de la coma no siempre se leen igual?
¿En qué hay que fijarse para leer la parte decimal de un número?
Un número decimal tiene una parte entera y una parte decimal.
Por ejemplo, en el número decimal 2,38: el 2 indica la parte entera y el
38 indica la parte decimal.
Parte entera Parte decimal
Centena Decena Unidad , Décimos Centésimos Milésimos
Para leer números decimales es muy importante la ubicación de la
coma decimal, porque separa la parte entera de la parte decimal.
Observa los siguientes ejemplos:
308 Trescientos ocho.
30,8 Treinta enteros, ocho décimos.
3,08 Tres enteros, ocho centésimos.
0,308 Trescientos ocho milésimos.
Si te fijas, las cifras son las mismas, solo cambia la posición en que está
la coma decimal en cada número.
La parte decimal de un número se lee completa (no por cifras) y
usando la unidad decimal correspondiente a la posición de la última
cifra decimal.
Por ejemplo, 2,38 se lee “dos enteros treinta y ocho centésimos”.

U4 92-113:Maquetación 1 11/6/10 12:12 Página 107
EN TU CUADERNO
1. Copia la siguiente tabla y complétala, guiándote por los ejemplos.
Número
decimal
C D U , Décimos Centésimos Milésimos Se lee
3,7 3 , 7
14,65 1 4 , 6 5
50,239 5 0 , 2 3 9
125,25 ,
2. Escribe con palabras los siguientes números decimales:
a) 0,649
b) 4,054
3. Escribe en tu cuaderno qué valor representa el dígito 3 en los siguientes números decimales. Guíate
por el ejemplo.
a) 3,05
b) 31,7
34,017 3 4 , 0 1 7
4. Escribe con cifras los siguientes números decimales:
,
5 3 , 0 0 5
c) 12,308
d) 2,005
c) 0,387
d) 7,183
a) 11 enteros 12 centésimos
b) 28 centésimos.
NO OLVIDES QUE...
e) 20,02
f) 125,125
e) 8,3
f) 5,139
c) 8 enteros 123 milésimos.
d) 2 enteros 45 milésimos.
g) 64,46
h) 10,042
g) 342,908
h) 2,035
3 enteros,
7 décimos.
14 enteros,
65 centésimos.
50 enteros, 239
milésimos.
286 enteros,
7 décimos.
e) 45 enteros 8 milésimos.
f) 100 enteros 4 décimos.
Las cifras que se encuentran antes de la coma decimal indican la parte entera y las
que se encuentran después de la coma indican la parte decimal del número.
Para leer un número decimal, primero se lee la parte entera y luego la parte
decimal, con la unidad correspondiente a la posición de la última cifra decimal.
Decimales
107

U4 92-113:Maquetación 1 11/6/10 12:12 Página 108
108 Unidad 4
Relación entre decimales y fracciones
Constanza necesita una botellita que le sirva para llevar leche al
colegio. Con su mamá buscan en casa y encuentran varias, de
distintos tamaños: de
1
litro, de
1
litro, de 0,35 litros, y de
4
2
0,45 litros.
PARA DISCUTIR
1
¿La fracción es mayor o menor que 0,35?
4 1
¿Dé qué otra forma podríamos expresar la fracción ?
4
1
¿Es correcto decir que es equivalente al número decimal 0,25?,
4
¿por qué?, ¿cómo podríamos saberlo?
¿Cómo podría comparar Constanza las medidas de las botellas para
tomar una decisión?
Las fracciones y los números decimales son dos formas de representar
un mismo número. Si se necesita comparar fracciones y decimales, hay
que transformar algunos de los números, de modo de tenerlos todos
expresados en decimales o todos expresados en fracciones.
1
La fracción es equivalente al resultado de la división 1 : 4.
4
Al resolverla, determinaremos cuál es el número decimal correspondiente
1
a la fracción . Pero al dividir 1 : 4, el resultado es 0 y el resto es 1.
4
¿Cómo se puede resolver?
La idea es amplificar el resto para poder seguir dividiendo.
El procedimiento es el siguiente:
1º Como 1 es menor que 4, el resultado es 0 y el
resto es 1.
2º Para continuar dividiendo se agrega una coma
decimal a continuación (del 0 en este caso) y un
0 al lado del resto, en este caso 1. Entonces
ahora se transforma en 10 décimos y se divide
10 : 4. El resultado es 2 y el resto es 2.
3º Ahora se agrega un 0 al lado del 2, se
transforma en 20 centésimos y se divide
20 : 4. El resultado es 5 y el resto es 0. Es decir,
la división ya está terminada, 1 : 4 = 0,25.
1
Y la fracción es equivalente a 0,25.
4
1 : 4 = 0,25
10
– 8
20
– 20
0//

U4 92-113:Maquetación 1 11/6/10 12:12 Página 109
Veamos otros ejemplos:
3
¿A qué número decimal es equivalente la fracción ?
9
Siguiendo el procedimiento anterior, resolvemos la división 3 : 9
y obtenemos:
En este caso si continuamos dividiendo, seguiremos obteniendo
3 en las cifras decimales infinitas veces, por lo que es un número
decimal infinito.
A la o las cifras decimales que se repiten infinitamente en la parte
decimal, siguiendo siempre la misma secuencia se le llama período,
y al número obtenido, decimal infinito periódico.
4
¿A qué número decimal es equivalente la fracción ?
15
Siguiendo el mismo procedimiento, resolvemos la división 4 : 15
y obtenemos:
En este caso si continuamos dividiendo, seguiremos obteniendo 6 en
las cifras decimales infinitas veces, por lo que también es un número
decimal infinito; sin embargo en este caso no se repiten todas las
cifras decimales.
A la o las cifras decimales que se encuentran entre la coma decimal
y el período del número, se llama anteperíodo, y al número obtenido,
decimal infinito semiperiódico.
Verifica los resultados anteriores utilizando calculadora. ¿Qué ocurre?
NO OLVIDES QUE...
Toda fracción se puede transformar en un número decimal, calculando la división
entre su numerador y su denominador.
Los números decimales infinitos periódicos o semiperiódicos se pueden representar
con puntos suspensivos, o bien, dibujando una línea sobre las cifras que se repiten.
período
3
4
Ejemplos: = 0,333… = 0, 3 = 0,2666… = 0,26
9
15
anteperíodo
período
3 : 9 = 0,333…
30
– 27
30
– 27
30
– 27
3//
4 : 15 = 0,2666…
40
– 30
100
– 90
100
– 90
100
– 90
10//
En las calculadoras, algunos números periódicos parece que no fueran periódicos,
porque cambia una de sus cifras. Por ejemplo, 11 : 3 = 3,66…; sin embargo,
al ingresarlo en una calculadora se obtiene el número 3,6666667, que solo tiene
7 cifras decimales, y además la última cifra es 7 en lugar de 6. Esto es porque en
los números decimales la calculadora siempre aproxima la última cifra.
Decimales
109

U4 92-113:Maquetación 1 11/6/10 12:12 Página 110
EN TU CUADERNO
1. Transforma las siguientes fracciones a número decimal.
a)
b)
4
5
10
4
2. Descubre qué número es y compara tu resultado con el de tus compañeros y compañeras.
“Soy un número decimal, mi parte entera es impar, mayor que 2 y menor que 4,5. En la posición de
los décimos tengo un número natural mayor que 7 y menor que 9. En la posición de los centésimos
tengo un número natural mayor que 5,2 y menor que 6,3”.
3. Clasifica los siguientes números decimales (finitos, infinitos periódicos, infinitos semiperiódicos).
a) 1,5
b) 2,5
ESTRATEGIA MENTAL
110 Unidad 4
c)
d)
12
600
7
8
c) 0,1666…
d) 126,014
e)
f)
e) 0,12444…
f) 6,111…
g) 4,3232…
i)
j)
h) 6,21333…
Observa la siguiente estrategia para transformar una fracción decimal en el número decimal
correspondiente:
Se escribe solo el numerador de la fracción y se mueve la coma decimal (de derecha a
izquierda) tantas veces como ceros tenga el número del denominador y, en esa posición,
ubicar la coma decimal.
Si la coma se debe mover más lugares que las cifras que tiene el número, se completan
los lugares faltantes con ceros.
Ejemplos:
562
= 5,62
6534
= 0,06534
100
100 000
Ahora, si quieres transformar un número decimal finito (es decir, con una cantidad
limitada de cifras decimales) a fracción, puedes utilizar la siguiente estrategia:
6
24
3
8
11
20
37
100
Se escribe en el numerador el número decimal (sin la coma) y en el denominador, el
número formado por un 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga el
número decimal.
Si es posible, se simplifica la fracción.
Ejemplos: 43,8 =
438
10
0,028 =
28
1000
1. Transforma las siguientes fracciones decimales a número decimal.
a)
9
10
b)
6
100
c)
895
100
d)
78
1000
e)
34
1000
2. Transforma los siguientes decimales a fracción decimal.
a) 0,027 b) 0,006 c) 0,0064 d) 0,895 e) 1,48
g)
h)
9
10
48
100

U4 92-113:Maquetación 1 11/6/10 12:24 Página 111
HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS
Para realizar cálculos con números decimales, a veces, es necesario realizar
aproximaciones. Esta operación resulta bastante más sencilla con la utilización de una
0
00 0 0 0
planilla Excel.
En la barra de herramientas de Excel puedes encontrar los íconos y , los cuales
sirven para agregar o quitar cifras decimales de un número, respectivamente.
Ejemplo: Ingresaremos el número 23,7654 y disminuiremos el número de cifras decimales
haciendo clic en
00
0
. Observa que al disminuir cada cifra decimal, el programa aproxima
por redondeo.
A las décimas:
23,8
A las milésimas:
23,765
A las centésimas:
23,77
Aproxima por redondeo los siguientes números a las milésimas, centésimas y décimas, luego,
ingresa los números en Excel y comprueba tus resultados: 34,6578; 13,24001; 7,5824; 8,9870;
6,009; 234,6277; 45,6568; 4,4; 0,9999.
Decimales
111

U4 92-113:Maquetación 1 11/6/10 12:19 Página 112
112 Unidad 4
Decimales, fracciones y números
naturales en la recta numérica
En el lanzamiento de la pelotita, los atletas disponen de un sector
circular donde está permitido realizar sus lanzamientos. Cada
lanzamiento se mide por separado, desde el punto de partida.
Los lanzamientos obtenidos esta jornada por los niños son:
Como cada uno lanza la pelotita en distintas direcciones, para decidir
quién ganó no basta con ver dónde quedaron las pelotitas. Entonces,
el juez del campeonato ordena los valores obtenidos en una recta
numérica.
PARA DISCUTIR
Marcos 48,28 m
Antonio 51,5 m
Miguel 56,5 m
Iván 53,37 m
Luis 48,82 m
¿Quién lanzó la pelotita más lejos?, ¿quién la lanzó más cerca?
Javier está lesionado, pero dice que él lanza la pelotita por lo menos
1
56 metros. ¿Dónde se ubicaría esa cantidad?, ¿está en la misma
2
posición que otra cantidad?
¿Dónde ubicarías 52,4 metros?, ¿más cerca del 53 o más cerca del
54?, ¿por qué?
El lanzamiento de Iván ¿está más cerca de 53,4 o de 53,3?, ¿por qué?
¿Es cierto que Antonio lanzó su pelotita aproximadamente a 52 metros?
¿Quién lanzó su pelotita más lejos, Luis o Marcos?
Para construir una recta numérica debemos elegir el número de inicio
y de término, y decidir la graduación según los datos que se desean
representar.
Según las magnitudes de los números que se están representando en
la recta numérica, en ocasiones se puede aproximar un número
decimal antes de ubicarlo en la recta numérica. Por ejemplo, 54,38 se
puede aproximar a 54,4 y 54,32 se puede aproximar a 54,3.

U4 92-113:Maquetación 1 11/6/10 12:19 Página 113
EN TU CUADERNO
1. Dibuja para cada caso, una recta numérica y ubica en ella los números que se presentan a
continuación. Luego, compara los resultados con tus compañeros y compañeras.
4 57
0,75 5 4,8 1,2 2,4 3 0,6
10 10
2. La siguiente tabla muestra los promedios de 10 estudiantes en Matemática.
Carolina Denisse Rodrigo Natalia Martín Joaquín Sofía Cristóbal Valentina Andrés
5,7 6,8 4,2 3,8 6,6 6,3 5,5 4,8 5,2 4,0
Dibuja una recta numérica en tu cuaderno, ubica en ella los promedios de estos alumnos y alumnas,
y luego responde.
a) ¿Cuántos estudiantes sacaron nota entre 5,0 y 6,0?
b) ¿Cuál fue el promedio más bajo y el promedio más alto?
c) ¿Cuántos estudiantes obtuvieron promedio sobre 6?, ¿y quién estuvo más cerca de obtener
promedio 7?
NO OLVIDES QUE...
Todo número (naturales, fracción o decimal) puede ser ubicado y asociado con un
punto de la recta numérica.
Un número que está ubicado a la izquierda de otro en la recta numérica siempre es
menor que él, y si está ubicado a la derecha, es mayor que él.
MI PROGRESO
1. Identifica el error en cada una de las equivalencias y corrígelas en tu cuaderno.
a) 1 entero 5 centésimos se escribe 1,005
b) 2 enteros 7 décimos corresponden al número mixto 2
7
100
c) 4,567 se lee 4 enteros 567 décimos
d) 0,89 =
89
1000
2. Representa en una recta numérica los números decimales y las fracciones de la
actividad anterior. Luego, responde en tu cuaderno.
a) ¿Qué números decimales se ubican entre el 0 y el 1?, ¿y qué fracciones?
b) ¿Entre qué números naturales se ubica el número 4,567?, ¿a qué fracción
corresponde este número?
Decimales
113

U4 92-113:Maquetación 1 11/6/10 12:19 Página 114
114 Unidad 4
NO OLVIDES QUE...
Orden y comparación
Todos los años, al comenzar el año escolar, la profesora de Educación
Física mide la estatura y la masa de sus alumnos y alumnas, para tener
un registro de su crecimiento y determinar los ejercicios adecuados. Los
datos de algunos de sus alumnos y alumnas son:
Nombre del alumno Estatura en metros Masa en kilogramos
PARA DISCUTIR
Nicolás 1,67 60,8
Belén 1,55 48
Si observas en la tabla la estatura de los niños y niñas, podemos ver que
todos miden más de un metro. ¿Quiénes miden más de 1
1
metro?
2
¿Hay algún alumno o alumna en la tabla que mida 1
1
metro?
2
¿Cuál de los niños o niñas tiene más masa y cuál tiene menos masa?
¿Quién tiene más masa, Nicolás o Juan Pablo? Justifica tu respuesta.
Si tuvieras que ordenar a los alumnos y alumnas de la tabla, desde el
más alto hasta el más bajo, ¿cuál sería el orden?
Si tuvieras que ordenar a los niños y niñas de la tabla, desde el que
tiene más masa hasta el que tiene menos masa, ¿cuál sería el orden?
Para comparar números decimales puedes comparar las partes enteras de los números
decimales entre sí y luego las cifras decimales según su posición, comenzando por la de
mayor valor (décimos), hasta que una de ellas sea menor o mayor que la otra.
Por ejemplo, comparar 4,36 y 4,32.
Otra forma de comparar números decimales finitos e
infinitos periódicos o semiperiódicos, es
transformando cada número decimal en una fracción y
luego comparar las fracciones como aprendiste en la
unidad anterior.
Paula 1,45 47,4
Juan Pablo 1,5 60,25
Marcelo 1,4 54,5
4,36 4,32
4 = 4
3 = 3
6 > 2
Por lo tanto, 4,36 > 4,32.

U4 92-113:Maquetación 1 11/6/10 12:19 Página 115
EN TU CUADERNO
1. Completa en tu cuaderno con >, < o =, según corresponda.
a) 0,5 –
1,5
b) 1,4 –
14
10
c) 8,0 0,8
d) 3,57 3,56 –
e)
35
100
f) 11,99 12
2. Ordena los siguientes números de menor a mayor.
3. Escribe un número que se encuentre entre los siguientes pares de números.
4. Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas.
28
100
g) 0,003 0,030
h) 5,06
i) 2,3 –
a) 14,2; 15,02 – ; 14,02; 1,52 – ; 14,32 c) 10,04 – ; 10,044; 10,404; 10,004 _ ; 10,444
b) 8,05; 8,005 – ; 8,5 – ; 8,055; 8,55
a) 4 y 5 b) 3,2 y 3,6 c) 1,25 y 1,27 d) 4,357 y 4,365
a) En la clase de Educación Física los alumnos y alumnas deben dar siete vueltas alrededor de una
cancha. Si Marcela se demoró 9,5 minutos, Carlos se demoró 8,9 minutos, Felipe se demoró 9,9
minutos y Victoria se demoró 10,3 minutos, ¿quién se demoró menos tiempo en dar las siete
vueltas?, ¿quién fue el último en llegar?, ¿cuál fue el orden de llegada a la meta?
b) Determina el número decimal que cumpla con las siguientes condiciones.
Es menor que 15,9 y mayor que 15,3.
El dígito de los décimos es el número entero que se encuentra entre 4,25 y 5,2.
El dígito de los centésimos es par y es divisible por 3.
MI PROGRESO
La siguiente tabla muestra la variación del
dólar entre abril de 2007 y marzo de 2008.
Con esta información responde.
1. ¿En qué fecha el dólar alcanzó su mayor
valor?
2. ¿En qué fecha el dólar alcanzó su menor
valor?
3. ¿Hay meses en que el dólar alcanzó el
mismo valor?
4. ¿Por qué en la práctica el dólar se expresa
en cantidades exactas como $ 529?
Comenta tu respuesta con el curso.
Fuente: http://www.economiaynegocios.cl/mercados/monedas.asp (consultado en abril de 2008)
3,2
Decimales
505
100
Fecha Valor (pesos)
Abril - 2007 527,08
Mayo - 2007 527,52
Junio - 2007 527,46
Julio - 2007 523,08
Agosto - 2007 524,63
Septiembre - 2007 511,72
Octubre - 2007 494,64
Noviembre - 2007 508,47
Diciembre - 2007 495,82
Enero - 2008 465,30
Febrero - 2008 458,02
Marzo - 2008 435,60
115

U4 92-113:Maquetación 1 11/6/10 12:19 Página 116
EN TU CUADERNO
116 Unidad 4
Adición y sustracción de números
decimales
Alicia pesaba 56,5 kilogramos y durante su embarazo subió 12,3 kg.
Cuando nació su hijo perdió 6,8 kilogramos.
PARA DISCUTIR
1. Resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios.
a) 0,09 + 1,99 =
d) 3,67 – 2,24 =
b) 4,79 + 12,5 =
c) 3,45 + 7,8 =
¿Cuántos kilogramos pesaba Alicia al término de su embarazo?, ¿y
cuántos después de nacer su hijo?, ¿cómo lo supiste?
Si 2,3 + 4,5 es igual a 6,8, ¿cómo se sumaron estos números?, ¿cuál es
entonces el resultado de 5,3 + 4,6?, ¿cómo lo calculaste?
Si 4,25 + 1,64 es igual a 5,89, ¿cómo se sumaron estos números?,
¿cuál es entonces el resultado de 3,41 + 2,46?, ¿cómo lo calculaste?
Siguiendo el procedimiento anterior, ¿cuántos kilogramos pesaba Alicia
al término de su embarazo?
Si 7,89 – 4,32 es igual a 3,57, ¿cómo se restaron estos números?,
¿cuál es entonces el resultado de 8,64 – 1,23?, ¿cómo lo calculaste?
Siguiendo el procedimiento anterior, ¿cuántos kilogramos pesaba Alicia
cuando nació su hijo?
Para sumar o estar números decimales, ¿se pueden sumar o restar
partes enteras con partes decimales?
Para sumar o restar números decimales debes escribir los números
en forma vertical, de modo que las comas queden en la misma
columna. Si los números no tienen la misma cantidad de cifras
decimales, se añaden a la derecha los ceros necesarios, para que
tengan la misma cantidad de cifras decimales. Luego, se suma o resta
como si fueran números naturales, manteniendo la coma del
resultado en la misma columna.
Observa los siguientes ejemplos:
Adición
0,81 0,8100
+ 0,3222 + 0,3222
1,1322
e) 24,5 – 23,62 =
f) 9,06 – 3,47 =
Sustracción
7,698
– 5,324
2,374
g) (57,3 + 23,15) – 36,29 =
h) (5,008 – 2,078) + 10,06 =
i) 31,025 – (3,17 + 17,38) =

U4 92-113:Maquetación 1 11/6/10 12:19 Página 117
2. Copia en tu cuaderno las siguientes secuencias de operaciones y luego complétalas.
a) 20,4
3. Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno.
a) En una competencia de natación, el primer lugar se demoró 2,43 min y el último lugar se demoró
3,89 min. ¿Cuántos minutos de diferencia hubo entre el primer y el último lugar de la competencia?
b) Si Ricardo compró en la feria 1,5 kg de manzanas, 0,8 kg de cerezas, 2,3 kg de naranjas y 1,5 kg
de plátanos, ¿cuántos kilogramos de fruta compró en total?
c) La diferencia entre la estatura de Claudia y su papá es 0,19 m. Si el papá de Claudia mide 1,78 m
y es más alto que su hija, ¿cuál es la estatura de Claudia?
En esta actividad deberán construir una tabla con sus estaturas y
masas. Formen grupos de 5 integrantes y sigan las instrucciones.
1. Midan la estatura y masa de cada uno de los integrantes.
2. Escriban en una tabla los resultados obtenidos.
MI PROGRESO
+ 3,5 + 3,5 + 3,5 + 3,5
– 0,7 – 0,7 – 0,7 – 0,7
b) 12,5
c) 1
– 0,25 – 0,25 – 0,25 – 0,25
EN EQUIPO
3. Ordenen las estaturas y masas de menor a mayor. ¿Son similares las medidas?, ¿por qué creen
que existen similitudes y/o diferencias entre los alumnos y alumnas de un mismo curso?
Expliquen.
4. Si todos los integrantes del grupo se subieran juntos a una pesa, ¿cuánto marcaría la pesa?
5. Averigüen cuál es la estatura y masa recomendada para los niños y niñas de su edad. Luego,
comparen con las medidas de cada uno de ustedes. ¿Qué pueden concluir?
6. Averigüen de qué factores dependen las medidas de estatura y masa de una persona, y
relacionen con los resultados obtenidos.
Pablo es un deportista muy esforzado. Sale a correr tres veces a la semana. El
lunes corrió 24,5 km, el miércoles 37,2 km y el viernes 28,6 km.
1. ¿Qué día corrió más y qué día corrió menos kilómetros?, ¿cómo lo supiste?
2. ¿Cuál es la diferencia de kilómetros entre el miércoles y el viernes?, ¿entre el
lunes y miércoles?, ¿y entre el lunes y viernes?
3. ¿Cuántos kilómetros recorrió en total?
Materiales:
Huincha de medir
Pesa
Decimales
117

U4 92-113:Maquetación 1 11/6/10 12:19 Página 118
BUSCANDO ESTRATEGIAS
Fernanda midió 48,5 centímetros cuando nació y cada
mes crece aproximadamente 2,7 centímetros.
¿Cuántos centímetros, aproximadamente, medirá
Fernanda cuando tenga seis meses?
Comprender
¿Qué sabes del problema?
Fernanda midió 48,5 centímetros cuando nació y
cada mes crece aproximadamente 2,7 centímetros.
¿Qué debes encontrar?
La estatura aproximada de Fernanda cuando tenga
seis meses.
Planificar
¿Cómo puedes resolver el problema?
Sumando la cantidad de centímetros que crece cada mes (seis veces) y el resultado obtenido
sumarlo a la estatura que tenía Fernanda cuando nació.
¿Qué operación puedes utilizar?
Una adición.
Resolver
2,7 centímetros que crece aproximadamente por mes
2,7
2,7
2,7
2,7
+ 2,7
16,2 centímetros que crece aproximadamente en seis meses.
48,5 centímetros que midió al nacer
+ 16,2 centímetros que crece aproximadamente en seis meses.
64,7 centímetros que medirá aproximadamente a los seis meses.
Responder
Fernanda medirá aproximadamente 64,7 centímetros cuando tenga seis meses.
Revisar
¿Cómo puedes comprobar tus resultados?
Puedes comprobar el resultado restando los centímetros que medirá aproximadamente a los
seis meses con los centímetros que crece aproximadamente en seis meses.
64,7 centímetros que medirá aproximadamente a los seis meses.
– 16,2 diferencia entre la estatura a los seis meses y los 48,5 de
48,5 estatura de Fernanda cuando nació.
118 Unidad 4

U4 92-113:Maquetación 1 11/6/10 12:19 Página 119
1. Resuelve los siguientes problemas, aplicando la estrategia de la página anterior.
a) El diámetro de una naranja en determinado momento es 5,6 cm. Si crece 0,7 cm por
semana, ¿cuál será el diámetro de la naranja al cabo de un mes?
b) El cabello de Andrea mide aproximadamente 38 centímetros y el cabello de las personas
crece aproximadamente 1,5 centímetros por mes. Si no se corta el cabello, ¿cuánto medirá
después de tres meses?
Unidad 4
c) Una persona con problemas de obesidad siguió el tratamiento indicado por su nutricionista y
bajó 1,6 kilogramos por semana. Si al comenzar el tratamiento pesaba 120,78 kg, ¿cuánto
pesaba a las cinco semanas de tratamiento?
2. Ahora resuelve el problema anterior, utilizando otra estrategia de resolución, explícala, paso a
paso, y compárala con las usadas por tus compañeros y compañeras.
3. Resuelve los siguientes problemas, utilizando la estrategia que tú quieras. Compara el
procedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?,
¿por qué?
a) La estatura de un bebé, después de un año de vida, aumentó en 0,32 metros. El año
siguiente, en 0,14 metros. Si su estatura al final de este período es de 0,96 metros, ¿cuánto
midió al nacer?
b) La mamá de Fernando compró frutas y las colocó en una canasta. Si la canasta, incluyendo
1,2 kg de naranjas, 2,5 kg de manzanas y 1,4 kg de plátanos, tiene una masa de 5,85 kg,
¿cuál es la masa de la canasta vacía?
c) Francisca anduvo en bicicleta desde su casa hasta la de su prima y juntas se dirigieron a la
casa de su tía Paula, que se encontraba a 4,2 kilómetros de ahí. Si en total recorrió 12,9 km,
¿cuántos kilómetros anduvo desde su casa hasta la de su prima?
d) De un cordel que mide 7,5 m de largo se corta un trozo de 2,05 m. ¿Cuánto mide el otro
trozo de cordel?
e) En una competencia de atletismo los tiempos de llegada fueron los siguientes:
Claudio: 11,24 segundos Paula: 11,2 segundos Martín: 11,27 segundos
- ¿Cuál es el orden de llegada a la meta?
- Si Martín se hubiese demorado 9 décimas de segundo menos, ¿cuál habría sido el orden
de llegada a la meta?
Decimales
119

U4 92-113:Maquetación 1 11/6/10 12:19 Página 120
CONEXIONES
120 Unidad 4
600 atletas se inscribieron para estar en
forma en el Ironman 70,3 de Pucón
No cabe duda que el deporte de moda en
verano es el triatlón, más aún si la prueba,
que se va a correr en Pucón, dio uno de sus
mayores pasos al convertirse en el nuevo
Ironman 70,3, perteneciendo así a una fecha
de circuito mundial.
Tanto es el éxito de esta competencia, que
son 600 los atletas que se inscriben para
participar, tanto nacionales, como
extranjeros. Han participado atletas
NACIONAL
destacados como el australiano Chris
Mc Cormack, campeón del Ironman Hawai
2006 y el argentino Óscar Galíndez, cuatro
veces campeón de esta prueba.
La primera vez que se corrió esta
competencia fue en el año 1986 y ya van 23
versiones de la competencia. La prueba
considera un recorrido de 1,2 millas de
natación, 56 millas de ciclismo y 13,1
millas de trote.
Fuente: El diario Austral de la Araucanía, deporte y recreación, viernes 11 enero 2008, Carlos
Inostroza http://www.australtemuco.cl/ (consultado en abril de 2008).
Reúnete con dos compañeros o compañeras y desarrollen las siguientes actividades.
1. Ordenen las millas recorridas de cada deporte de menor a mayor.
2. Comenten y luego respondan:
a) ¿Qué parte del triatlón es la más larga?, ¿y cuál es la más corta?
b) ¿Cuántas millas se recorren en total en este triatlón?
c) ¿Por qué el triatlón se llama Ironman 70,3?
d) ¿Por qué creen que es necesario hacer deporte?
e) ¿Por qué creen que Pucón es un buen lugar para realizar competencias de triatlón?,
¿en qué otros lugares de Chile se podría hacer un triatlón?
3. Investiguen nombres de atletas chilenos que han participado en algún triatlón de Pucón,
y cuáles han sido sus mejores resultados.
4. Comenten en su curso:
a) ¿Qué fue lo más difícil de estas actividades?
b) ¿Cómo lo resolvieron?

U4 92-113:Maquetación 1 11/6/10 12:19 Página 121
SÍNTESIS
Unidad 4
A continuación se presentan frases incompletas referidas a los principales conceptos
trabajados en la unidad. Copia las frases en tu cuaderno y complétalas con los siguientes
términos.
Comas
Fracciones decimales
Parte entera
Periódicos
Recta numérica
Posiciones decimales
Números decimales
Semiperiódicos
Unidades decimales
Parte decimal
Las fracciones que tienen denominador 10, 100, 1000, etc. se llaman .
El décimo, centésimo y milésimo son .
Toda unidad decimal puede representarse como una fracción decimal y como un
.
Los números decimales se pueden ubicar en una .
Los números decimales se clasifican en finitos, infinitos e infinitos .
Para leer un número decimal, primero se lee la y luego, la .
Para comparar números decimales se comparan las partes enteras entre sí y luego, las
correspondientes.
Para sumar y restar números decimales es importante ordenar los números de manera vertical,
dejando en la misma columna las .
Utilizando los contenidos aprendidos en la unidad y apoyándote en las frases anteriores,
comenta con tus compañeros y compañeras las siguientes preguntas:
a) ¿En qué situaciones utilizas los números decimales?
b) ¿Qué utilidad crees que tiene el uso de números decimales?
c) ¿Qué relación existe entre los números decimales y las fracciones?
d) ¿Existen equivalencias entre las unidades decimales? Nombra algunas.
Decimales
121

U4 92-113:Maquetación 1 11/6/10 12:19 Página 122
¿QUÉ APRENDÍ?
Marca, en tu cuaderno, la alternativa que consideres correcta en las
preguntas 1 a la 8.
1. De un bidón de cinco litros de agua, primero se
tomaron 2,3 litros y luego 1,8 litros. ¿Cuántos
litros de agua quedan en el bidón?
A.4,1 litros
B. 4,3 litros
C. 0,9 litros
D. 0,8 litros
2. El número decimal 0,08 es igual a la fracción:
A.
B.
C.
D.
9
8
8
10
8
9
8
100
3. ¿Cuál de estos números decimales corresponde
a 3 enteros, 52 milésimos?
A.0,352
B. 52,003
C. 3,052
D. 3,52
4. Tres amigos midieron sus estaturas. Gabriel
mide 1,67 metros, Pedro mide 1,76 metros y
Antonio mide 1,61 metros. ¿En cuál de las
siguientes alternativas los amigos están
ordenados de menor a mayor estatura?
A.Gabriel - Pedro - Antonio
B. Antonio - Pedro - Gabriel
C. Antonio - Gabriel - Pedro
D. Pedro - Antonio - Gabriel
122 Unidad 4
5. El número decimal 2,05 se lee:
A. 2 enteros, 5 décimos.
B. 205 milésimos.
C. 2 enteros, 5 centésimos.
D. 2 enteros, 5 milésimos.
6. ¿Cuál de los siguientes números decimales
podría estar en el recuadro?
4,307 < < 4,37
A. 4,378
B. 4,70
C. 4,306
D. 4, 36
7. ¿Cuál de los siguientes números decimales
es mayor que
23
?
10
A. 0,24
B. 2,30
C. 4,306
D. 0,23
8. Unos gemelos al nacer pesaron muy
poquito, el mayor pesó 2,845 kilogramos y
el menor 2,735 kilogramos. ¿Cuál es la
diferencia entre el peso de ambos
hermanos?
A. 0,11 kilogramos.
B. 0,1 kilogramos.
C. 0,011 kilogramos.
D. 0,01 kilogramos.

U4 92-113:Maquetación 1 11/6/10 12:19 Página 123
9. Sustituye los valores correspondientes y completa con el resultado en cada caso.
a b c a + b a – b b + c c – b (a + b) – c
38,5 18,91 27,18
12,407 7,05 11,508
¿QUÉ LOGRÉ?
1. Marca según tu apreciación.
Lectura y escritura de decimales.
Relación entre decimales y fracciones.
Decimales finitos e infinitos.
Decimales, fracciones y números naturales en la recta
numérica.
Orden y comparación.
Adición y sustracción de números decimales.
Resolución de problemas.
responde en tu cuaderno
10. Un número aumentó en 2,3, luego en 5,4 y, después, disminuyó 3,1. Si finalmente
el número obtenido es 10,7, ¿cuál es el número inicial?
11. La suma de tres números es 50. Si uno de ellos es 15,4 y el otro es 3,7 unidades
mayor que el primero, ¿cuál es la diferencia entre el tercer número y el primero?
Compara tus respuestas con tus compañeros y compañeras. ¿Te equivocaste
en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.
No lo
entendí
2. Reflexiona y responde.
a) ¿Qué dificultades tuviste en la unidad?, ¿cómo las superaste?
b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la unidad?, ¿por qué?
c) Vuelve a la página 102 y revisa el recuadro “En esta unidad podrás…”,
¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Comenta.
Lo
entendí
Unidad 4
Puedo
explicarlo
responde en tu cuaderno
responde en tu cuaderno
Decimales
123

Taller 2:Maquetación 1 11/6/10 12:05 Página 124
Taller de evaluación 2
I. Recuerda lo que aprendiste en las unidades 3 y 4. Contesta, escribiendo en tu cuaderno la
alternativa correcta.
1. La representación de la fracción “siete doceavos”
es:
32
6. La fracción equivale a:
90
A. 0,35
A. 17
C. 12
12
7
B. 7
D. 7
12
2
11
2. La fracción se puede clasificar como:
8
B. 0,32
C. 0,32
D. 0,35
7. ¿Cuál de estos números decimales
corresponde a 2 enteros 25 milésimos?
A. fracción propia
A. 2,25
B. fracción impropia
B. 20,25
C. igual a la unidad
C. 2,025
D. fracción decimal
D. 2,0025
3. La fracción
29
corresponde al número mixto:
7
A. 7
3
7
C. 7
1
4
B. 1
4
7
D. 4
1
7
4. ¿Cuál de las siguientes expresiones no es
7
equivalente a ?
5
A.
28
C.
14
15
10
35
2
B.
D. 1
25
5
5. ¿Cuál de las siguientes alternativas está ordenada
de menor a mayor?
A.
1
,
2 4
, ,
8
,
6
9 9 9 9 9
3 5 7 9 11
B. , , , ,
9 9 9 9 9
9 11 10 8 7
C. , , , ,
9 9 9 9 9
10 9 8 7 6
D. , , , ,
9 9 9 9 9
124 Matemática 5
8. ¿Cuál de estos números decimales es menor
que 6,93?
A. 6,952
B. 6,96
C. 6,929
D. 6,942
9. El resultado de la adición 1,02 + 4,56 es:
A. 1,476
B. 3,54
C. 4,458
D. 5,58
10. Un atleta debe recorrer 46,8 kilómetros.
Si lleva recorrido 21,06 kilómetros, ¿cuántos
kilómetros le faltan por recorrer?
A. 25,74
B. 44,694
C. 48,906
D. 67,86

Taller 2:Maquetación 1 11/6/10 12:05 Página 125
II. Desarrolla, en tu cuaderno, paso a paso, las siguientes actividades.
1. Rodrigo, Luisa, Fernando, Marcela y Andrés compiten en una carrera desde la sala de clases al quiosco
que se encuentra en el patio del colegio. Los tiempos (en segundos) que ellos demoraron fueron los
siguientes:
Rodrigo Luisa Fernando Marcela Andrés
a) Ordena estos tiempos de menor a mayor.
b) ¿Quién ganó la carrera? ¿Quién obtuvo el último lugar?
c) Si Luisa se hubiese demorado 8 segundos menos, ¿cuál será el orden desde el primer
al último lugar?
d) ¿Cuál es la diferencia de segundos entre el primer y el último lugar?
2. Resuelve las siguientes situaciones:
a) Claudia le encargó a una amiga que viajaba fuera del país, que le comprara algunos libros. Si en
total compró 3 libros a US$ 40,5 (40,5 dólares) y dos de ellos le costaron US$ 11 (11 dólares) y
US$ 13,8 (13,8 dólares), respectivamente, ¿cuánto le costó el tercer libro?
b) Felipe recorre 1,3 kilómetros más que Andrés, mientras que Ignacio recorre 0,7 kilómetros más
que Felipe. Si Ignacio recorre 2,5 kilómetros, ¿cuántos kilómetros recorre Andrés?
1
c) Alicia leyó un libro. Primero leyó del libro, después
1
del libro. ¿Qué fracción le falta por leer?
8
2
1
3
d) Ignacio gastó de sus ahorros en libros, en juegos para su computador y el resto lo guardó
10
10
para regalos de cumpleaños. ¿Qué fracción de sus ahorros gastó? ¿Qué fracción de sus ahorros
guardó para los regalos?
28,5 31,2 26,4 21,8 30
2
e) Carolina y Alejandra rindieron una prueba de Matemática. Si Carolina demoró del tiempo total
3
8
y Patricia del tiempo, ¿quién demoró más tiempo en rendir la prueba? ¿Cuánto tiempo más
12
se demoró?
Taller de evaluación 2
125

U5 116-159:Maquetación 1 17/6/10 16:27 Página 126
UNIDAD
5
EN ESTA UNIDAD PODRÁS...
126 Unidad 5
Geometría
Clasificar ángulos según su medida y medirlos con
transportador o herramientas tecnológicas, empleando
el grado como unidad de medida.
Interpretar fórmulas para calcular el perímetro de un triángulo,
de un cuadrado o de un rectángulo.
Determinar y aplicar fórmulas para calcular áreas de cuadrados,
rectángulos y triángulos.
Determinar y aplicar fórmulas para calcular áreas de figuras
que pueden ser descompuestas en triángulos, cuadrados
y rectángulos.
Identificar y usar el milímetro, centímetro y metro como
unidades de longitud; y el milímetro cuadrado, centímetro
cuadrado y metro cuadrado como unidades de superficie.
Resolver problemas en situaciones variadas que implican
el cálculo de perímetros y de áreas.

U5 116-159:Maquetación 1 17/6/10 16:27 Página 127
CONVERSEMOS DE...
Al planificar una nueva vivienda, el arquitecto debe considerar:
las dimensiones del terreno disponible.
los requerimientos de la familia a la que está destinada la
vivienda: cuántos dormitorios se necesitan, cuántos baños, o si
se considera un escritorio, terrazas, etc.
las dimensiones de los distintos sectores de la vivienda:
dormitorios, baños, sala de estar, comedor, cocina, clóset, etc.
En consecuencia, el arquitecto debe asegurarse de que la vivienda
sea confortable para vivir, es decir, tenga un tamaño adecuado,
proteja a la familia de la lluvia, el viento, la humedad, los cambios
de temperatura, la luz del sol, etc. A su vez debe decidir qué tipo
de materiales puede adquirir, considerando el presupuesto
estimado para la construcción.
Observa el plano de la página 126 y responde:
¿Cuál es el largo total de la vivienda?
¿Cuál es el ancho de la vivienda?
¿Cuál es la superficie de los dormitorios?
Si la alfombra que se piensa utilizar en los dormitorios cuesta
$ 1250 por metro cuadrado, ¿cuál sería el costo de alfombrarlos?
¿Cuál es la superficie del baño más grande?
Si con 16 baldosas se cubre 1 metro cuadrado, ¿cuántas baldosas
se necesitan para cubrir el piso del baño?
¿Cuál es la superficie total de la vivienda, aproximadamente?
Geometría
127

U5 116-159:Maquetación 1 17/6/10 16:28 Página 128
¿CUÁNTO SABES?
128 Unidad 5
Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve los siguientes
ejercicios en tu cuaderno.
1. Escribe en tu cuaderno la unidad de medida que utilizarías para expresar:
a) el largo de una pestaña.
b) las dimensiones de tu sala de clases.
c) la longitud de un lápiz.
d) la distancia entre Santiago y Puerto Montt.
e) la cantidad de harina necesaria para un pastel.
f) la cantidad de líquido en una botella.
g) la masa de dos marraquetas.
2. Completa, en tu cuaderno, las siguientes equivalencias:
a) 1 m equivale a cm.
b) 1 L equivale a mL.
c) 1 kg equivale a g.
d) 1 km equivale a m.
3. Piensa y responde:
a) ¿Qué tipos de triángulos conoces?, ¿qué características tiene cada uno?
b) ¿Qué tipos de cuadriláteros conoces?, ¿qué características tiene cada uno?
4. Copia la siguiente tabla en tu cuaderno y complétala, marcando una X donde
corresponda.
Figura
geométrica
Nombre
Todos sus
lados son de
igual medida
responde en tu cuaderno
Sus lados
opuestos son
de igual
medida
Todos sus
ángulos son
rectos
No tiene
ángulos
rectos
responde en tu cuaderno
a) ¿En qué se diferencia un cuadrado y un rombo?
b) ¿Cuál es la diferencia entre un rectángulo y un romboide?
c) ¿Qué semejanzas existen entre un cuadrado y un rectángulo?, ¿y entre un
rombo y un romboide?

U5 116-159:Maquetación 1 17/6/10 16:28 Página 129
5. Resuelve las siguientes multiplicaciones.
a) 0,03 10
b) 60,5 100
c) 54,32 100
d) 101,43 100
e) 26,03 1000
f) 0,05 1000
g) 238,1 1000
h) 400,01 10 000
i) 5 10 000
Compara tus respuestas con tus compañeros y compañeras.
¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve
correctamente el ejercicio.
¿QUÉ DEBES RECORDAR?
Un ángulo es la porción de un plano limitada por dos semirrectas
que comparten un mismo origen llamado vértice.
Los triángulos son polígonos de 3 lados y se pueden clasificar
según:
- la medida de sus lados en: equiláteros, isósceles y escalenos.
- la medida de sus ángulos en: rectángulos, acutángulos
y obtusángulos.
- el número de ejes de simetría que tenga: 0, 1 ó 3 ejes
de simetría.
Los cuadriláteros son polígonos de 4 lados y se clasifican
en paralelogramos, trapecios y trapezoides.
Los paralelogramos son polígonos que tienen sus lados
opuestos paralelos y de igual medida. Se clasifican
en cuadrados, rectángulos, rombos y romboides.
Un cuadrado es un paralelogramo que tiene todos sus lados
de igual medida y todos sus ángulos interiores son rectos.
Un rectángulo es un paralelogramo que tiene sus lados opuestos
de igual medida y todos sus ángulos interiores son rectos.
Los cuadriláteros pueden tener 0, 1, 2 ó 4 ejes de simetría.
Algunas equivalencias entre unidades de medida son:
UNIDADES DE LONGITUD
UNIDADES DE MASA
UNIDADES DE SUPERFICIE
UNIDADES DE VOLUMEN
Triángulo
equilátero
vértice
Cuadrado
Rectángulo
Romboide
Triángulo
isósceles
Triángulo
escaleno
Rombo
Un kilómetro (1 km) 1000 metros
Un metro (1 m) 100 centímetros
Un centímetro (1 cm) 10 milímetros
Una tonelada (1 t) 1000 kilogramos
Un kilogramo (1 kg) 1000 gramos
Un metro cuadrado (1 m 2 ) 10 000 centímetros cuadrados
Un litro (1 L) 1000 centímetros cúbicos
Geometría
129

U5 116-159:Maquetación 1 11/6/10 11:59 Página 130
130 Unidad 5
EN EQUIPO
Clasificación de ángulos
En esta actividad deberán clasificar ángulos, según sus medidas.
Formen parejas y luego, sigan las instrucciones:
1. Observen los siguientes ángulos:
A B C D
E F G H
Materiales:
Escuadra
2. Utilizando la escuadra, clasifiquen los ángulos y registren en sus cuadernos la información en
una tabla como la siguiente.
A yuda
Los ángulos pueden
nombrarse utilizando
letras griegas. Por
ejemplo:
α: alfa
β: beta
γ: gamma
δ: delta
ε: épsilon
A α
Así, el ángulo interior se
puede nombrar como
BAC o bien, α.
B
C
Tipos de ángulos Ángulos
Ángulos menores
que el ángulo recto.
Ángulos rectos.
Ángulos mayores
que el ángulo recto.
PARA DISCUTIR
responde en tu cuaderno
¿Entre qué valores se hallan las medidas de los ángulos menores que el
ángulo recto?
¿Entre qué valores se hallan las medidas de los ángulos mayores que el
ángulo recto?
Un ángulo mayor que el recto ¿puede medir 91,5°?
Un ángulo ¿puede medir 193°? Justifica.
Si un ángulo mide 90,2°, ¿es recto o mayor que el ángulo recto?
Si un ángulo que mide 17° aumenta su amplitud en 66°, ¿sigue siendo
menor que el ángulo recto?

U5 116-159:Maquetación 1 11/6/10 11:59 Página 131
EN TU CUADERNO
1. Clasifica los siguientes ángulos, según sus medidas.
a)
b)
c)
NO OLVIDES QUE...
Los ángulos que miden más de 0º y menos de 90º se denominan ángulos agudos.
Los ángulos que miden 90º se denominan ángulos rectos.
Los ángulos que miden más de 90º y menos de 180º se denominan ángulos obtusos.
Los ángulos que miden 180º se denominan ángulos extendidos o llanos.
67°
172°
22° f) 180°
2. Observa los siguientes ángulos y luego, responde:
197°
220°
d)
e)
93°
135°
a) ¿Podrías clasificar alguno de estos ángulos en agudos, rectos u obtusos?, ¿por qué?
b) ¿Cómo son sus medidas respecto a los ángulos anteriores?
c) ¿Existe la posibilidad de representar ángulos de más de 360°?
NO OLVIDES QUE...
315°
360°
Los ángulos que miden más de 180° y menos que 360° se denominan ángulos cóncavos.
Los ángulos que miden 360° se denominan ángulos completos.
Geometría
131

U5 116-159:Maquetación 1 11/6/10 11:59 Página 132
A yuda
Medir un ángulo
significa determinar su
amplitud y, para hacerlo,
generalmente se utiliza
el transportador.
A yuda
Un transportador es un
instrumento de forma
circular o semicircular y
graduado angularmente.
132 Unidad 5
NO OLVIDES QUE...
Medición de ángulos usando
el transportador
Felipe tiene un transportador circular e Ismael uno semicircular. Ellos
midieron algunos ángulos con sus transportadores. Observa.
El primero es agudo
porque mide 50 y el
segundo obtuso
porque mide 130 .
PARA DISCUTIR
¿Cuál de los dos niños está en lo cierto?, ¿cómo lo supiste?
¿Por qué crees que se produjo la diferencia entre los valores de los
ángulos obtenidos por cada uno?
¿En qué debes fijarte para no cometer errores al medir ángulos?
Para medir ángulos utilizando el transportador semicircular debes:
1º Colocar el trazo recto del transportador sobre uno de los lados del ángulo.
2º Hacer que el punto medio de ese trazo coincida con el vértice del ángulo.
3º Observar el otro lado del ángulo y su valor según la escala angular del transportador. Si el
ángulo está abierto hacia la izquierda debes fijarte en la escala externa y si está abierto
hacia la derecha en la escala interna.
Para medir ángulos utilizando el transportador circular debes:
1º Colocar uno de los lados del ángulo frente al 0°.
2º Hacer coincidir el centro de la circunferencia con el vértice del ángulo.
3º Observar el otro lado del ángulo y su valor según la escala angular del transportador.
No, ambos son
obtusos porque
miden 130 .

U5 116-159:Maquetación 1 11/6/10 11:59 Página 133
EN EQUIPO
En esta actividad deberán construir ángulos de diferentes medidas,
utilizando el transportador.
Formen grupos de tres integrantes y sigan las instrucciones:
1. Cada uno de los integrantes dibuje una recta.
2. Sobre cada una de ellas marquen un punto A, que será el vértice del ángulo.
Materiales:
Hojas
Lápiz mina
Transportador
3. Coloquen el transportador de manera que su trazo recto coincida con la recta y el punto
medio de ese trazo con el punto A.
4. Dibujen tres ángulos de diferentes medidas: 60°, 110° y 90°.
5. Si desean que el ángulo se “abra” hacia la izquierda, deben buscar la medida en la escala
externa, de lo contrario, deben buscarla en la escala interna.
6. Ahora, cada integrante debe construir los siguientes ángulos: 34°, 71°, 118° y 156°, y luego
comparar su construcción con la del resto del equipo.
HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS
Puedes construir ángulos dada su amplitud, para esto ingresa al sitio
http://www.geogebra.at/webstart y realiza los siguientes pasos.
1º Activa las opciones del siguiente botón .
2º De ellas selecciona “Ángulo dada su amplitud”.
3º Haz clic en la hoja de trabajo para determinar dos puntos: el punto lateral y el vértice.
4º En la sección ángulo de la ventana “Ángulo dada su amplitud”, ingresa 65° (sentido
antihorario) y luego aplica.
5º Luego, activa las opciones del siguiente botón y selecciona “Semi–recta que pasa
por dos puntos”.
6º En la hoja de trabajo, haz clic en el vértice y uno de los puntos laterales, después realiza
la misma acción con el vértice y el otro punto lateral.
Puedes construir ángulos con otras medidas, para esto, en el paso 4º, ingresa la medida
que desees.
MI PROGRESO
Mide los siguientes ángulos, usando el transportador. Luego, clasifícalos.
a)
b) c)
Geometría
133

U5 116-159:Maquetación 1 11/6/10 11:59 Página 134
134 Unidad 5
NO OLVIDES QUE...
Unidades de medida de longitud
y de superficie
Los alumnos y alumnas de 5° Básico se harán una polera con los
nombres de todos los integrantes del curso. Para saber de qué tamaño
deben ser, la profesora les pidió que midieran con una cinta métrica el
largo de sus brazos, de su tronco y el contorno a la altura del pecho.
PARA DISCUTIR
El largo de tu
brazo mide
42 cm y el
contorno de
tu pecho,
78 cm.
El largo de tu
brazo mide 45 cm
y el contorno de
tu pecho, 84 cm.
¿Cuánto mide el brazo de Javiera?, ¿podrías expresarlo de otra forma?
¿Es correcto decir que el brazo de Javiera mide 420 mm?, ¿por qué?
¿Cuántos centímetros más mide el brazo del Miguel que el de Javiera?,
¿cómo lo calculaste?
¿Cuántos milímetros más mide el contorno del pecho de Miguel que el
de Javiera?, ¿cómo lo calculaste?
El sistema métrico decimal, también llamado sistema métrico, es un conjunto de patrones
de medida que permiten comparar lo que se desea medir con una unidad básica. En este
sistema hay unidades de longitud, superficie y masa, entre otras.
La unidad de medida universal que se utiliza para las longitudes es el metro (m), pero
existen múltiplos que son el kilómetro (km), hectómetro (hm) y decámetro (dam) y los
usamos para expresar longitudes más grandes; y los submúltiplos, como el decímetro (dm),
centímetro (cm) y milímetro (mm), que usamos para medir longitudes más pequeñas.
La unidad de medida universal que se utiliza para las superficies es el metro cuadrado (m 2 ).
Sus múltiplos son: kilómetro cuadrado (km 2 ), hectómetro cuadrado (hm 2 ) y decámetro
cuadrado (dam 2 ); y los submúltiplos son: decímetro cuadrado (dm 2 ), centímetro cuadrado
(cm 2 ) y milímetro cuadrado (mm 2 ).

U5 116-159:Maquetación 1 11/6/10 11:59 Página 135
EN TU CUADERNO
1. Encierra en un círculo la medida más adecuada, según la longitud que estimes conveniente
en cada caso.
a) El largo de una llave es: 1 m 6 cm 20 mm
b) El ancho de mi escritorio mide: 60 cm 5 mm 3 m
c) El alto de un poste de luz es: 10 cm 10 m 10 mm
2. Estima y completa con las palabras mayor o menor.
a) La medida del largo de mi cuaderno es que un centímetro.
b) La medida de mi estatura es que un metro.
c) La medida de mi zapato es que un milímetro.
d) La medida del largo de un camión es que un metro.
e) La medida del largo de mi regla es que un centímetro.
3. Indica qué unidades (mm 2 , cm 2 y m 2 ) te parecen más apropiadas para medir:
a) La superficie de tu escritorio.
b) La superficie de una fotografía tamaño carné.
c) La superficie de una frazada.
d) La superficie de una pared de tu pieza.
4. Considerando las siguientes equivalencias entre medidas de longitud, completa.
Medida Equivalencia en metros
1 km 1000 m
1 hm 100 m
1 dam 10 m
1 m 1 m
1 dm 0,1 m
1 cm 0,01 m
1 mm 0,001 m
a) 13 m = cm
b) 200 dm = m
c) 32 m = cm
d) 500 cm = m
e) 2 hm = cm
f) 50 mm = cm
g) 5 m = cm
h) 12 dam = cm
i) 9000 m = km
¿Qué procedimiento utilizaste para completar las igualdades? Compáralo con el de tus compañeros y
compañeras.
Geometría
135

U5 116-159:Maquetación 1 11/6/10 11:59 Página 136
5. Considerando las siguientes equivalencias entre medidas de superficie, completa.
6. Completa la tabla con las equivalencias entre las unidades de medida de longitud.
7. Completa la tabla con las equivalencias entre las unidades de medida de superficie.
136 Unidad 5
Medida Equivalencia en metros
1 km 2 1 000 000 m 2
1 hm 2 10 000 m 2
1 dam 2 100 m 2
1 m 2 1 m 2
1 dm 2 0,01 m 2
1 cm 2 0,0001 m 2
1 mm 2 0,000001 m 2
a) 5 m 2 = cm 2
b) 40 cm 2 = mm 2
c) 17 m 2 = cm 2
d) 12 m 2 = mm 2
e) 0,032 hm 2 = m 2
f) 0,32 dam 2 = m 2
g) 35 km 2 = m 2
h) 46 m 2 = cm 2
i) 36 000 mm 2 = cm 2
j) 1,5 mm 2 = m 2
¿Qué procedimiento utilizaste para completar las igualdades? Compáralo con el de tus
compañeros y compañeras.
Milímetros (mm) Centímetros (cm) Metros (m)
4500
12,5
responde en tu cuaderno
25
Milímetro
cuadrado (mm 2 )
720
3750
Centímetro cuadrado
(cm 2 )
1600
responde en tu cuaderno
22 500
196
0,27
10,8
Metro
cuadrado (m 2 )
0,25
9,6

U5 116-159:Maquetación 1 11/6/10 11:59 Página 137
8. Resuelve las siguientes situaciones y explica, paso a paso, el procedimiento utilizado en cada una.
a) Adriana mide el largo de su pierna y dice: “Mi pierna mide 60 mm”. ¿Crees que es correcto lo
que dice Adriana?, ¿por qué?
b) El juez de una competencia le dio el primer lugar a Felipe porque corrió 35 metros y 45 cm en
1 minuto, el segundo lugar a Cristóbal que corrió 35 metros y 750 mm, y el tercer lugar se lo dio
a Pablo que corrió 35 metros, 40 cm y 70 mm. ¿El juez de la competencia distribuyó
correctamente los lugares? Explica por qué.
c) Javier se compró un departamento que tiene en total una superficie de 48 m 2 y Andrea uno con
2 dormitorios de 12 m 2 cada uno, un baño de 6 m 2 , una cocina de 8 m 2 , una terraza de 10 m 2 y
una loggia de 22 500 cm 2 . ¿Cuál de los dos departamentos es más grande?, ¿cuánto más?
d) La superficie de la cancha del Estadio Nacional es 7140 m 2 . ¿A cuántos kilómetros cuadrados
corresponde esta superficie?
ESTRATEGIA MENTAL
Si te fijas, las unidades de longitud
aumentan o disminuyen de 10 en
10, y las de superficie de 100 en 100,
como se muestra en los diagramas.
Utilizando los diagramas
anteriores podemos encontrar
equivalencias fácilmente.
Observa:
300 cm = (300 : 10 : 10) m = 3 m
0,25 m = (0,25 10 10) cm = 200 cm
500 m 2 = (500 : 100 : 100 : 100) mm 2 = 0,0005 mm 2
8,16 m 2 = (8,16 100 100) cm 2 = 81 600 cm 2
10 10 10 10 10 10
km hm dam m dm cm mm
: 10 : 10 : 10 : 10 : 10 : 10
100 100 100 100 100 100
km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2
: 100 : 100 : 100 : 100 : 100
Longitud
Superficie
1. Calcula mentalmente y completa la tabla con las equivalencias de longitudes correspondientes.
mm 2500 32 22 500
cm 250 75
m 2,5 0,000125 1,4
2. Calcula mentalmente y completa la tabla con las equivalencias de superficies correspondientes.
mm 2 32 22 500
cm 2 160 000 75
m 2 0,000125 1,4
: 100
Geometría
137

U5 116-159:Maquetación 1 11/6/10 11:59 Página 138
A yuda
• Un triángulo equilátero
tiene todos sus lados de
igual medida.
• Un triángulo isósceles
tiene dos lados de igual
medida.
• Un triángulo escaleno
tiene todos sus lados de
distinta medida.
138 Unidad 5
NO OLVIDES QUE...
Perímetro de triángulos
PARA DISCUTIR
¿Cómo podemos saber cuántos metros de malla necesitará don Hugo?,
¿qué operación debemos realizar?, ¿por qué?
Don Hugo sumó 6 m + 8 m + 10 m, ¿es correcto lo que realizó?, ¿por
qué?, ¿cuál es el resultado de esa operación?
Entonces, ¿cuántos metros de malla necesitará para cercar la huerta?
Si su huerta triangular tuviera lados que miden 7 m, 7 m y 9 m, ¿cuál
sería el resultado?, ¿qué operación realizaste?, ¿de qué otra forma se
podría calcular?
Si todos los lados de la huerta midieran 5 m, ¿cuál sería el resultado?,
¿qué operación realizaste?, ¿de qué otra forma se podría calcular?
En el último caso, ¿sería correcto multiplicar 3 5 para conocer la
cantidad de metros que necesita para cercar su huerta?, ¿por qué?
El perímetro de una figura es la medida total de su frontera o contorno, expresada
en la misma unidad de longitud. Lo simbolizamos con la letra P.
Para expresar el perímetro de figuras pequeñas utilizamos generalmente el
milímetro o el centímetro; cuando son figuras más grandes (como el ancho de una
pared) utilizamos el metro y cuando son más grandes aún (como la distancia entre
dos ciudades) utilizamos el kilómetro. Pero recuerda que no son las únicas.
EN TU CUADERNO
Don Hugo tiene una huerta de forma triangular donde tiene plantados
diferentes tipos de verduras para el consumo familiar. Para protegerla
quiere cercarla con una malla. ¿Cuántos metros de malla necesitará
para cercar su huerta?
1. Observa la figura formada por triángulos equiláteros y responde.
a) ¿Cuánto mide el perímetro de uno de los triángulos pequeños?
8 m
b) ¿Cuánto mide el perímetro del triángulo más grande?
6 m
c) ¿Cuántos triángulos equiláteros puedes contar en la figura?,
¿cuáles son sus perímetros?
10 m
2 m

U5 116-159:Maquetación 1 11/6/10 11:59 Página 139
2. Observa los siguientes triángulos:
a) Expresa el perímetro de cada
triángulo como la suma de la
medida de sus lados.
b) ¿Cómo son las medidas de los
lados de los triángulos de color
rojo?, ¿y las de los de color
verde?, ¿y los de color azul?
¿Qué tipo de triángulos son?
c) ¿Podrías expresar el perímetro de los triángulos de color rojo y verde de otra manera?, ¿cómo?,
¿y el de los triángulos de color azul?, ¿por qué?
d) Si una persona calcula el perímetro de un triángulo equilátero de lado 7 cm, multiplicando
3 7, ¿estaría correcto su procedimiento?, ¿cómo lo supiste?
e) ¿Cómo expresarías el perímetro de los siguientes triángulos?
a
a
a
3. Si a, b y c son los lados de un triángulo, responde:
a) Si a = 4 cm, b = 6 cm y c = 70 mm, ¿cuál es su perímetro?
b) Si a = b = 20,6 mm y su perímetro es 71,15 mm, ¿cuál es la medida de c?
c) Si a = 9 mm, c = 11 mm y su perímetro es 25 mm, ¿cuál es la medida de b?
d) Si a = 16 m, b = 21 m y c = 29 m, ¿cuál es su perímetro?
4. Dos lados de un triángulo miden 17 mm cada uno y su perímetro mide 50 mm, ¿cuánto mide el tercer
lado? ¿A qué tipo de triángulo corresponde? Explica, paso a paso, cómo lo resolviste.
NO OLVIDES QUE...
a
4 cm
b
El perímetro de un triángulo escaleno de lados a, b y c se puede calcular utilizando la
siguiente fórmula:
P = a + b + c
4 cm
El perímetro de un triángulo isósceles de lados a y base b se puede calcular utilizando la
siguiente fórmula:
P = a + a + b, es decir, P = 2 a + b
El perímetro de un triángulo equilátero de lado a se puede calcular utilizando la siguiente
fórmula:
P = a + a + a, es decir, P = 3 a
a
4 cm
5 cm
3 cm 3 cm
4 cm
4 cm
3 cm
3 cm
b
3 cm
5 cm
c
6 cm
3 cm
3 cm
2 cm
3 cm
a
Geometría
2 cm
139

U5 116-159:Maquetación 1 11/6/10 11:59 Página 140
NO OLVIDES QUE...
El perímetro de un cuadrado, cuyos lados miden a, se puede calcular utilizando la
siguiente fórmula:
El perímetro de un rectángulo, cuyos lados miden a y b, se puede calcular utilizando
la siguiente fórmula:
140 Unidad 5
b
a
a
Perímetro de cuadrados y rectángulos
El municipio de la comuna donde vive Patricia quiere inaugurar un
centro recreacional con juegos y dos piscinas: una con forma cuadrada
de 6 m por lado y otra con forma rectangular de dimensiones 9 m y 4 m.
Por seguridad se quiere colocar rejas alrededor de las piscinas. Observa.
PARA DISCUTIR
6 m
6 m
¿Cuántos metros de reja se necesitan para cerrar la piscina cuadrada?,
¿cómo lo calculaste?, ¿de qué otra forma se podría calcular?
¿Cuántos metros de reja se necesitan para cerrar la piscina rectangular?,
¿cómo lo calculaste?, ¿de qué otra forma se podría calcular?
¿Cuántos metros de reja se necesitan para cerrar las dos piscinas?,
¿qué operación matemática realizaste?
Para saber cuántos metros de reja se necesitan para cerrar la piscina
cuadrada se puede calcular 6 + 6 + 6 + 6. ¿De qué otra forma se
podría calcular?, ¿y cómo calcularías los metros de reja que se
necesitan para la piscina rectangular?
La empresa encargada de cerrar las piscinas afirma que necesita 24 m
de reja para cerrar la piscina cuadrada y 52 m de reja para cerrar la
piscina rectangular. ¿Estás de acuerdo con ellos?, ¿por qué?
9 m
P = a + a + a + a, es decir, P = 4 a
P = a + a + b + b, es decir, P = 2 a + 2 b
4 m

U5 116-159:Maquetación 1 11/6/10 11:59 Página 141
EN TU CUADERNO
1. Calcula el perímetro de las siguientes figuras, utilizando las fórmulas dadas anteriormente.
2. Si a y b son las medidas de los lados de rectángulos, responde:
a) Si a = 170 mm y b = 12 cm, ¿cuál es el perímetro del rectángulo?
b) Si a = 18 m y el perímetro del rectángulo es 60 m, ¿cuál es la medida de b?
c) Si a = 50 mm y b = 2a, ¿cuál es el perímetro del rectángulo?
3. Si el perímetro de un cuadrado es 49 cm, ¿cuánto miden sus lados?
4. Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas y explica, paso a paso, el procedimiento utilizado.
a) El perímetro de un terreno cuadrado mide 100 m, ¿cuánto miden sus lados?
b) Calcula el perímetro de una mesa cuadrada cuyos lados miden 1,4 m.
c) Se quiere cercar un terreno de forma rectangular de 50 m de ancho y 75 m de largo. Si se debe dejar
un portón de 4 m de ancho, ¿cuántos metros de malla se necesitan para cercar todo el terreno?
d) Si la medida del lado de un cuadrado se duplica, ¿el perímetro también se duplica? Justifica tu
respuesta con un ejemplo.
MI PROGRESO
6 cm
2 cm
5 cm
a) 2 cm b) 3 cm c)
6 cm
d)
Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas y explica el procediminto
utilizado en cada uno.
1. El perímetro de un triángulo equilátero es igual al perímetro de un cuadrado.
Si este es igual a 36 cm, ¿cuál es la medida de los lados del triángulo equilátero
y del cuadrado?
2. El perímetro de un cuadrado es 16 cm. Si el ancho de un rectángulo mide lo
mismo que el lado del cuadrado y su perímetro es 34 cm, ¿cuánto mide el largo
del rectángulo?
3. Las canchas de básquetbol tienen dimensiones máximas de 29 m de largo y
15 m de ancho; y dimensiones mínimas de 22 m de largo y 13 m de ancho.
a) ¿Cuál es el máximo y mínimo perímetro que puede tener la cancha?
7 cm
b) Si en la etapa de calentamiento un jugador debe dar 4 vueltas alrededor de
la cancha, ¿qué distancia recorre si esta cancha tiene las dimensiones
máximas?
Geometría
141
4 cm

U5 116-159:Maquetación 1 11/6/10 12:00 Página 142
A yuda
Recuerda que
1 dm = 10 cm.
142 Unidad 5
NO OLVIDES QUE...
Perímetro y área de cuadrados y
rectángulos
Don Humberto trabaja colocando cerámicas. Para calcular cuántas
cerámicas necesita, antes de hacer cada trabajo, él hace un dibujo y
cuenta las cerámicas. Ahora debe colocar cerámicas en una cocina en
cuatro sectores diferentes. Observa lo que dibujó.
PARA DISCUTIR
A
B
¿Cuántas cerámicas necesita para cubrir cada superficie? Si cada
cerámica es cuadrada y mide 1 dm 2 , ¿cuánto mide cada una de las
superficies en las que debe colocar cerámicas?, ¿y si midieran 1 cm 2 ?,
¿cómo lo calculaste?
¿Qué relación observas entre las medidas de los lados de las figuras A y
B y las medidas de sus superficies?, ¿ocurre lo mismo en las figuras C y
D?, ¿por qué?
Si sabes que el ancho de la superficie C es 50 cm y el largo 70 cm,
¿cuánto mide su perímetro?, ¿cómo puedes calcular la medida de esta
superficie?
Los lados de un cuadrado miden a, ¿cómo podrías expresar la medida
de la superficie?
El largo y ancho de un rectángulo miden a y b cm, respectivamente,
¿cómo podrías expresar la medida de la superficie?
El área es la medida de la superficie de una figura.
Para expresar el área de superficies pequeñas utilizamos generalmente el milímetro
cuadrado o el centímetro cuadrado; cuando son superficies más grandes (como la de
una pared) utilizamos el metro cuadrado y cuando son más grandes aún (como la de
una ciudad) utilizamos el kilómetro cuadrado. Pero recuerda que no son las únicas
que existen.
El área de un cuadrado de lado a es igual al producto de la medida de su lado por sí
mismo.
Á = a a
El área de un rectángulo de lados a y b es igual al producto de la medida de su largo
por su ancho.
Á = a b
C
D

U5 116-159:Maquetación 1 11/6/10 12:00 Página 143
EN TU CUADERNO
1. Completa las siguientes tablas utilizando las fórmulas aprendidas para el cálculo de perímetros y de
áreas. Luego responde:
Cuadrado
de lado a
6 mm
9 cm
10 m
Perímetro Área
responde en tu cuaderno
a) ¿Cómo puedes calcular el perímetro de un cuadrado sabiendo que la medida de su lado es a?, ¿y
la de un rectángulo de lados a y b?
b) ¿Cómo puedes calcular el área de un cuadrado sabiendo que la medida de su lado es a?, ¿y la de
un rectángulo de lados a y b?
c) Si el área de un cuadrado es 64 cm 2 , ¿cuánto mide su lado?
2. Resuelve los siguientes problemas y explica paso a paso el procedimiento que utilizaste.
a) El área de un cuadrado es de 81 cm 2 . ¿Cuánto mide cada lado?
b) Determina la medida de los lados de un rectángulo, sabiendo que su área es 180 cm 2 y su
perímetro es 54 cm.
c) Si el área de un rectángulo es 28 cm 2 y el ancho es 3 cm más corto que su largo, ¿cuál es la
3. ¿Cuántos cuadrados o rectángulos diferentes de área 36 cm 2 se pueden encontrar? Dibújalos y
comenta con tu compañera o compañero.
4. Si en un cuadrado la medida de su lado se duplica, ¿cómo varía su perímetro?, ¿y su área?, ¿y si se
triplica? Compara tu respuesta.
EN EQUIPO Materiales:
Cinta
En esta actividad deberán calcular áreas en su sala de clases.
Formen grupos de tres integrantes y sigan las instrucciones:
Rectángulo de lados:
a b
7 cm 3 cm
9 mm 2 mm
5 cm 4 cm
Perímetro Área
responde en tu cuaderno
métrica
1. Con la cinta métrica, cada uno mide las dimensiones de una pared y el piso de la sala de
clases.
2. Cada integrante calcula el área de cada pared y del piso de su sala. Luego, comparen los
procedimientos utilizados.
Geometría
143

U5 116-159:Maquetación 1 11/6/10 12:00 Página 144
En esta actividad deberán determinar el área de diferentes triángulos.
Formen grupos de 3 integrantes y sigan las instrucciones.
1. Cada integrante recorte en el papel lustre una de las siguientes figuras, con las medidas
especificadas.
2. Calculen el área de cada figura y completen, en conjunto, la siguiente tabla.
3. Cada integrante realice los siguientes dobleces en su figura para obtener triángulos a partir de
ella. Luego, respondan en sus cuadernos.
a) ¿Cuántos triángulos se formaron en el cuadrado?, ¿cómo son éstos entre si? ¿y qué parte
del cuadrado representa cada uno ellos?
b) ¿Cuántos triángulos iguales se formaron en el rectángulo A?, ¿qué parte del rectángulo
representa cada uno de los triángulos?, ¿y qué parte representan dos triángulos?
c) ¿Cuántos triángulos iguales se formaron en el rectángulo B?, ¿cómo son éstos entre si?,
¿y qué parte del rectángulo B representa cada uno ellos?
144 Unidad 5
EN EQUIPO
Cuadrado
Lado: 10 cm
Área de triángulos
PARA DISCUTIR
Rectángulo A
Ancho: 10 cm
Largo: 20 cm
Rectángulo B
Ancho: 10 cm
Largo: 20 cm
Materiales:
3 hojas blancas
Regla
Tijeras
Figura Cuadrado Rectángulo A Rectángulo B
Área responde en tu cuaderno responde en tu cuaderno
Considerando las áreas del cuadrado y los rectángulos, ¿cuál es el área
de cada uno de los triángulos que formaste a partir del ellos?, ¿cómo
lo sabes?
Conocer al área de un cuadrado y de un rectángulo, ¿de qué manera
puede ayudar a conocer el área de otras figuras?

U5 116-159:Maquetación 1 11/6/10 12:00 Página 145
Como sabes, para calcular el área de un cuadrado debes calcular
el producto de la medida de su lado por sí mismo. En la actividad
anterior:
Podemos formar dos triángulos iguales al hacer un doblez en el
cuadrado anterior. Así:
El área de cada triángulo formado es la mitad de 100 cm 2 , es decir,
50 cm 2 .
De modo similar, para calcular el área de un rectángulo debes
calcular el producto de la medida de su largo por su ancho. En la
actividad anterior:
10 cm
10 cm
Podemos formar triángulos iguales al hacer distintos dobleces
en el rectángulo anterior. Así:
El área de cada triángulo
formado es un cuarto de 200 cm 2 ,
es decir, 50 cm 2 .
NO OLVIDES QUE...
10 cm
20 cm
Á = (10 10) cm 2
Á = 100 cm 2
Á = (10 20) cm 2
Á = 200 cm 2
El área de cada triángulo
formado es la mitad de 200 cm 2 ,
es decir, 100 cm 2 .
Puedes calcular el área de triángulos a partir del área de cuadrados o rectángulos.
Geometría
145

U5 116-159:Maquetación 1 11/6/10 12:00 Página 146
EN TU CUADERNO
1. Si cada lado del mide 10 cm, calcula el área de los siguientes triángulos usando la calculadora.
a) Explica paso a paso el procedimiento que empleaste para calcular el área de los triángulos
anteriores y compáralo con el de un compañero o compañera. ¿Qué procedimiento te parece
más sencillo?, ¿por qué?
2. Observa dos procedimientos para calcular el área del triángulo ABC y responde.
C
A
a) Explica paso a paso cada procedimiento.
b) ¿Cuál te parece más sencillo?, ¿por qué?
3. Observa los siguientes triángulos y luego responde.
146 Unidad 5
B
3 cm 4 cm
D
4 cm
Área ABC = Área ADC – Área BDC
= (7 4) : 2 – (4 4) : 2
= 14 – 8
= 6 cm 2
1 unidad
1 unidad
A
B
3 cm 4 cm
Área ABC = (3 4) : 2
= 12 : 2
= 6 cm 2
4 cm
a) ¿Qué tienen en común todos
los triángulos anteriores?
b) Estima el área de cada triángulo,
¿cómo son entre sí sus áreas?
c) ¿Pueden existir otros triángulos que
cumplan las mismas condiciones?
Justifica.
C
D

U5 116-159:Maquetación 1 11/6/10 12:00 Página 147
HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS
Los geoplanos permiten estudiar más acerca de los polígonos. Ingresa a la página de Internet
http://www.santillana.cl/futuro/geo5.htm.
Allí encontrarás un geoplano que te ayudará a realizar la siguiente actividad.
1º Construye en el geoplano todos los triángulos posibles que tengan la misma área.
a) ¿Qué elementos tienen en común todos los triángulos que construiste?
b) ¿Todos los triángulos que construiste tienen el mismo perímetro?, ¿cómo lo sabes?
2º Construye el triángulo de mayor área que te permita el geoplano y compáralo con tus
compañeros o compañeras. ¿Todos construyeron un triángulo similar?
MI PROGRESO
1. Observa los anuncios que aparecieron en un diario.
ECONÓMICOS SE VENDE
70 cm
70 cm
4 UF el m 2
140 cm
3 UF el m 2
35 cm
a) Determina el área de cada
terreno y explica, paso
a paso, el procedimiento
que empleaste.
b) ¿Qué terreno es más
barato?, ¿cómo lo sabes?
Geometría
147

U5 116-159:Maquetación 1 11/6/10 12:00 Página 148
3 m
3 m
148 Unidad 5
NO OLVIDES QUE...
Área de figuras compuestas
En un edificio se venden dos tipos de departamentos con las
dimensiones que se muestran en los siguientes planos.
PARA DISCUTIR
Observando los planos anteriores, ¿qué departamento crees que tiene
mayor área?, ¿por qué?
¿Cómo podrías calcular el área de cada departamento?
Descompón el plano del departamento A en cuadrados y rectángulos.
¿Cuántos cuadrados y rectángulos hay?, ¿cuál es el área de cada uno?,
¿cuál es el área total?
Ahora, descompón el plano del departamento B y calcula su área.
¿Qué departamento tiene mayor área?, ¿cuánto más?
Para calcular el área de una figura compuesta podemos seguir los siguientes pasos:
1° Descomponer la figura en triángulos, cuadrados y/o rectángulos.
2° Calcular el área de cada una de estas nuevas figuras.
3° Sumar las áreas de las nuevas figuras. La suma corresponde al área total de la
figura original.
EN TU CUADERNO
4 m
3 m
9 m
1 m
A 8 m
B
1. Calcula el área de las siguientes figuras, considerando que el área de cada equivale a 1 a 2 :
12 m
a) b) c) d)
4 m
4 m
3 m
4 m

U5 116-159:Maquetación 1 17/6/10 18:03 Página 149
2. Calcula el área de las siguientes figuras:
a) b)
c) d)
5 cm
e) f)
9 m
2 cm
Sector
adultos
4 m
2 cm 2 cm
1 cm
2 cm
2 cm
3 cm
Sector
niños y niñas
4 m
2 cm
2 cm
4 cm
2 cm
3. En un centro deportivo se quiere construir una piscina de 36 m 2 .
4 m
1 cm
4 cm
4 cm
2 cm
2 cm
6 cm
2 cm
3 cm
4 cm
2 cm
2 cm
3 cm
3 cm
a) Si la piscina fuera rectangular, ¿cuál puede ser
el largo y ancho de la piscina? Nombra todas
las posibilidades.
b) ¿Es posible que la piscina sea cuadrada?, ¿cuál
sería la medida de su lado?
c) Si finalmente deciden hacer una piscina con
un sector más profundo para los adultos y otro
con menor profundidad para los niños y niñas
como se muestra en la figura, ¿cuánto mide
la superficie que necesitarían para construir de
esta manera la piscina?
Compara tus respuestas y procedimientos con los de un compañero o compañera.
Geometría
149

U5 116-159:Maquetación 1 17/6/10 16:32 Página 150
4. Don Ricardo quiere calcular el área de su jardín. Para ello hizo un dibujo y tomó algunas medidas.
a) ¿Cuál es el área del jardín de don Ricardo? Explica, paso a paso, cómo lo supiste.
b) Si don Ricardo decide embaldosar en un tercio del jardín, ¿cuántos metros cuadrados de baldosas
deberá comprar?
5. Descompón cada figura en polígonos de área conocida. Después, calcula el área de cada una
considerando que cada mide 1 cm 2 .
6. Valeria está calculando el área del siguiente romboide. Para ello, lo decompuso en otros polígonos.
Observa y responde.
a) ¿En qué polígonos descompuso Valeria el romboide?
150 Unidad 5
4 m
3 m
4 m
6 m
a) b)
c)
d)
4 m
2 m

U5 116-159:Maquetación 1 17/6/10 16:32 Página 151
HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS
Los pentominos son figuras que se forman con 5 cuadrados que van unidos uno a uno por al menos
un lado. Las siguientes figuras son algunos pentominos:
Ingresa a la página de Internet http://www.santillana.cl/futuro/geo5.htm. Encontrarás un geoplano
que te ayudará a realizar la siguiente actividad.
1. Construye todos los pentominos que puedas (existen 12 pentominos diferentes).
2. Una vez construidas las figuras, responde las siguientes preguntas considerando que:
a) ¿Cómo son entre sí las áreas de tus pentominos? Justifica.
1 unidad
b) ¿Qué pentomino tiene el mayor perímetro? Fundamenta.
3. Imprime y recorta tus figuras. Utiliza todos tus pentominos para construir rectángulos, sin que
queden espacios vacíos entre ellos.
MI PROGRESO
Isabel hizo un esquema de su patio. Ella quiere hacer una terraza con baldosas
(rojas) y sembrar pasto (verde). Para ello hizo un dibujo de su patio en el cual cada
lado de un representa un metro.
1. Aproximadamente, ¿cuál es el área total de patio de Isabel?
2. Si el m 2 de pasto cuesta $ 4000 y el m 2 de baldosas cuesta $ 12 000,
aproximadamente, ¿cuánto gastará Isabel en arreglar su patio?
Geometría
1 unidad
151

U5 116-159:Maquetación 1 17/6/10 18:03 Página 152
EN TU CUADERNO
152 Unidad 5
Variaciones de perímetros y áreas
Jorge representó tres cuadrados en una cuadrícula. Un cuadrado de
lado 2 cm (cuadrado A), otro de lado 4 cm (cuadrado B) y uno de lado
6 cm (cuadrado C).
PARA DISCUTIR
Cuadrado A Cuadrado C
Medida de lado 2 cm 6 cm
Perímetro 8 cm 24 cm
Área 4 cm 2 36 cm 2
A
Luego, Jorge registro en una tabla la medida de los lados, el perímetro
y el área de los cuadrados A y B. Observa.
B
¿Cómo es el medida del lado del cuadrado B respecto de la medida
del lado del cuadrado A?
¿Cómo son los perímetros de ambos cuadrados entre sí?, ¿y el área?
¿Cómo varía el perímetro y área de un cuadrado si se duplica la
medida de sus lados?
C
Cuadrado A Cuadrado B
Medida de lado 2 cm 4 cm
Perímetro 8 cm 16 cm
Área 4 cm 2 16 cm 2
1. Observa la siguiente tabla considerando los cuadrados del dibujo anterior. Luego, responde.
a) ¿Cómo es la medida del lado del cuadrado C respecto de la medida del lado del cuadrado A?

U5 116-159:Maquetación 1 11/6/10 12:01 Página 153
NO OLVIDES QUE...
Si se duplica la medida de los lados de un cuadrado, su perímetro de duplica y su
área se cuadriplica.
Si se triplica la medida de los lados de un cuadrado, su perímetro de triplica y su
área es nueve veces el área original.
2. Completa los recuadros de las siguientes tablas según corresponda. Luego, responde.
Medida del lado del cuadrado (cm) 1 2 4 5 10
Perímetro (cm)
Área (cm 2 )
EN EQUIPO
En esta actividad descubrirán cómo varía el área y el perímetro al variar
las medidas de los lados de rectángulos. Formen grupos de 3 integrantes
y sigan las instrucciones.
responde en tu cuaderno
Si la medida del lado de
un cuadrado es 3 cm se:
triplica cuadruplica quintuplica sextuplica
Perímetro (cm)
Área (cm2 en tu cuaderno
)responde
Materiales:
Cuaderno y lápiz
Regla
1. Cada integrante dibuje un rectángulo y los que se obtienen al duplicar y triplicar las medidas
originales. Luego, calcule el perímetro y área de cada rectángulo.
2. Cada uno complete una tabla como la siguiente con los resultados obtenidos.
Rectángulo
Original
Duplicado
Medida
del ancho (cm)
Medida
del largo (cm)
Triplicadoresponde en tu cuaderno
responde en tu cuaderno
a) Si la medida del lado de un cuadrado se cuadruplica, ¿su área también se cuadruplica?
Fundamenta.
b) Si la medida del lado de un cuadrado se quintuplica, ¿su área también se quintuplica?
Fundamenta.
c) Si la medida del lado de un cuadrado se triplica y luego ésta se duplica, ¿el perímetro y el área
Perímetro (cm) Área (cm 2 )
responde en tu cuaderno
3. Comparen los resultados obtenidos y concluyan: ¿cómo varían el perímetro y el área de un
rectángulo si sus medidas se duplican?, ¿y si se triplican?
Geometría
153

U5 116-159:Maquetación 1 17/6/10 16:35 Página 154
BUSCANDO ESTRATEGIAS
Observa la estrategia que se utiliza para resolver la siguiente situación.
Don Carlos quiere poner baldosas en el piso de una habitación. La superficie que debe cubrir
es un rectángulo de 5 metros de largo por 3 metros de ancho y las baldosas son cuadrados de
25 cm de lado. ¿Cuántas baldosas necesitará?
Comprender
¿Qué sabes del problema?
El piso de la habitación es un rectángulo de 5 metros de
largo y 3 metros de ancho. Las baldosas son cuadrados de
25 cm de lado.
¿Qué debes encontrar?
El número de baldosas necesarias para cubrir el piso.
Responder
Don Carlos necesitará en total 240 baldosas.
Revisar
Puedes utilizar una calculadora para comprobar si los cálculos están bien realizados.
154 Unidad 5
500 : 25 = 20 300 : 25 = 12
cantidad de baldosas a lo largo cantidad de baldosas a lo ancho
20 12 = 240 baldosas
25 cm
25 cm
25 cm
25 cm
Planificar
¿Cómo puedes resolver el problema?
Como la longitud del largo y ancho de la habitación están dadas en metros y la longitud de
las baldosas en centímetros, primero debemos expresar todas las medidas en la misma
unidad. Por lo tanto, calculamos a cuántos centímetros corresponden 5 y 3 metros,
respectivamente.
Luego, calculamos cuántas baldosas cuadradas, de 25 cm, caben a lo largo y ancho de la
habitación.
Resolver
1 metro equivale a 100 cm.
3 metros equivalen a 300 cm.
5 metros equivalen a 500 cm.
5 m
3 m

U5 116-159:Maquetación 1 17/6/10 16:35 Página 155
1. Resuelve los siguientes problemas, aplicando la estrategia de la página anterior.
a) En un colegio le pidieron a los alumnos que tejieran cuadrados de lana de 20 cm de lado.
Juntando los cuadrados que traen los alumnos se pueden confeccionar frazadas que luego
se regalarán a los abuelitos. ¿Cuántos cuadrados se necesitan para tener una frazada de
2 metros de largo y 1 metro y 40 centímetros de ancho?
b) La superficie de un terreno es de 144 m 2 . Si cada baldosa tiene una medida de 30 cm por
lado, ¿cuántas baldosas se necesitan para cubrir todo el terreno?
c) Jaime compró 60 baldosas cuadradas de 20 cm de lado para el baño de su casa. Si el baño
mide 2 metros y 20 cm de largo, y 1 metro y 60 cm de ancho, ¿son suficientes las baldosas
que compró Jaime?, ¿cuántas faltan o sobran?
2. Ahora resuelve el problema de la página anterior, utilizando otra estrategia de resolución,
explícala, paso a paso, y compárala con las usadas por tus compañeros y compañeras.
3. Resuelve los siguientes problemas, utilizando la estrategia que tú quieras. Compara el
procedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?,
¿por qué?
a) La familia Pérez tiene su casa alfombrada. Aburridos de la suciedad, los Pérez decidieron
cambiar la alfombra por azulejos. Si la casa tiene 100 m 2 , ¿cuántos azulejos cuadrados de
25 cm de lado deben comprar?
b) Sofía quiere cubrir una pared de su pieza con papeles de colores de 10 cm de lado. Si su
pared tiene 4 metros de ancho, y 2 metros y 30 cm de largo, ¿con cuántos papeles cubrirá
Sofía la pared de su pieza?
c) En un marco de fotos de 30 cm de largo por 20 cm de ancho quiero colocar fotos
cuadradas de 10 cm de lado. ¿Cuántas fotos me caben en el marco?
d) Con 20 baldosas cuadradas de 30 cm de lado se cubrió la cocina de una casa. ¿Cuántos
metros cuadrados tiene la cocina?
e) ¿Cuántas cerámicas cuadradas de 40 cm de lado se necesitan para cubrir una terraza de
8 metros y 40 cm de largo, y 4 metros y 80 cm de ancho?
f) Se ha unido un cuadrado a un rectángulo de tal manera que forman una figura similar a
una L. Si la medida del lado del cuadrado es 4 cm y las medidas del ancho y largo del
rectángulo son, respectivamente, 6 cm y 10 cm, ¿cuál es el área de la figura que falta para
que se forme un cuadrado de lado 10 cm?
Unidad 5
Geometría
155

U5 116-159:Maquetación 1 17/6/10 16:35 Página 156
CONEXIONES
156 Unidad 5
El fútbol, deporte más popular
en nuestro país
En Chile, el fútbol es sin duda el deporte
más importante y el que goza de mayor
popularidad. Cada fin de semana, miles y
miles de personas asisten a estadios a lo
largo de todo Chile para ver en acción a sus
equipos y jugadores favoritos. En nuestro
país existen dos divisiones profesionales: la
Primera A (que cuenta con 20 equipos) y la
Primera B (que tiene 12).
Entre los estadios más importantes de Chile
están el Estadio Nacional de Santiago, el
Sausalito de Viña del Mar, el Carlos
DEPORTE
Dittborn de Arica y El Teniente de
Rancagua, que fueron las sedes donde se
jugaron los partidos del único mundial que
ha organizado nuestro país en su historia, el
de 1962.
A nivel internacional existen reglas y
medidas oficiales preestablecidas. Una
cancha de fútbol debe ser un rectángulo que
mida: un mínimo de 100 metros y un
máximo de 110 metros de largo y un
mínimo de 64 metros y un máximo de 75
metros de ancho.
Fuente: http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/proyectos/algolritmo_pri2006/01activ_e5_a2.htm
Reúnete con 2 compañeros o compañeras, comenten y
luego redacten una respuesta:
1. Calculen el área máxima y mínima de una cancha de
fútbol.
2. Piensen, comenten y respondan:
a) ¿Cuántos metros cuadrados hay de diferencia entre
el área máxima y mínima de una cancha de fútbol?
b) ¿Cuál es el largo y ancho del “área grande o
penal” de una cancha de fútbol?, ¿qué sucede en
esta área?
c) ¿Cuál es el largo y ancho del “área chica o de
meta” de una cancha de fútbol?, ¿qué sucede en
esta área?
d) ¿Cuál es la superficie del “área grande o penal”?,
¿y la del “área chica o de meta”?
e) ¿Cuál es la diferencia entre el área grande y la
chica?
f) ¿Cuánto mide el área de la cancha que no es ni
área grande ni área chica?
5,5 m
90 m
11 m 16,5 m
40,32 m
9,15 m 120 m
9,15 m
11 m

U5 116-159:Maquetación 1 17/6/10 16:35 Página 157
SÍNTESIS
Unidad 5
A continuación te presentamos otra manera de hacer un resumen. Se trata de que seas
capaz de explicar con tus palabras a un compañero o compañera los conceptos y dar
ejemplos. Copia la tabla en tu cuaderno y complétala utilizando lo que has aprendido en
la unidad. Luego, compártela con un compañero o compañera.
Concepto Explicación Ejemplo
Unidades de medida de longitud.
Unidades de medida de superficie.
Ángulos.
Perímetro de triángulos.
Perímetro de cuadrados
y rectángulos.
Área de triángulos, cuadrados
y rectángulos.
Área de figuras compuestas
por triángulos, cuadrados y rectángulos.
Las medidas de longitud más
utilizadas son: milímetro (mm),
centímetro (cm)
y metro (m).
1 m = 100 cm
1 cm = 10 mm
1 m = 1000 mm
responde en tu cuaderno
responde en tu cuaderno
Utilizando los contenidos aprendidos en la unidad y apoyándote en el resumen anterior,
comenta con tus compañeros y compañeras las siguientes preguntas:
a) ¿Qué unidad de medida se utiliza para expresar la amplitud de los ángulos?
b) ¿Qué unidades de medida de longitud conoces?, ¿y de superficie?, ¿cuáles usas comúnmente?
c) ¿Cuántos milímetros hay en un centímetro?, ¿y en un metro?
d) ¿Cuántos centímetros hay en un metro?
e) ¿Cuántos milímetros cuadrados hay en un centímetro cuadrado?, ¿y en un metro cuadrado?
f) ¿Cuántos centímetros cuadrados hay en un metro cuadrado?
g) ¿Qué entiendes por perímetro de una figura?, ¿y por área?
h) ¿Qué fórmulas conoces para calcular el perímetro de triángulos, cuadrados y
rectángulos?, ¿y para calcular el área de cuadrados y rectángulos?
i) ¿Cómo calculas el área de figuras compuestas por cuadrados y rectángulos?
El largo de mi cama
tiene 2 m.
Mi lápiz mide 15 cm.
Geometría
157

U5 116-159:Maquetación 1 17/6/10 16:35 Página 158
¿QUÉ APRENDÍ?
Marca, en tu cuaderno, la alternativa que consideres correcta en las
preguntas 1 a la 8.
1. El perímetro de un triángulo isósceles se
puede expresar como:
A. (a + b) cm
B. (a + c) cm
C. (2a + b) cm
D. 3a cm
2. Se va a cercar un terreno rectangular con 74 m
de malla. Si el largo del terreno mide 25 m,
¿cuánto mide el ancho?
A. 12 m
B. 24 m
C. 25 m
D. 49 m
3. Cierto terreno rectangular tiene una superficie
de 700 m 2 . Si uno de sus lados mide 20 m,
¿cuánto mide el otro lado?
A. 17 m
B. 35 m
C. 330 m
D. 340 m
4. El perímetro de un cuadrado es 20 cm.
Entonces su área es:
A. 16 cm
B. 16 cm2 C. 25 cm
D. 25 cm2 158 Unidad 5
5. El patio del colegio tiene forma cuadrada y su
área es de 144 m 2 . ¿Cuál es la medida de sus
lados?
A. 14 m
B. 12 m
C. 10 m
D. 9 m
6. ¿Cuánto mide el área del tríángulo?
A. 9 cm 2
B. 10 cm 2
C. 18 cm 2
D. 20 cm 2
8 cm
5 cm
2 cm
4 cm
7. ¿Cuánto mide el área de la parte pintada?
A. 6 cm 2
B. 8 cm 2
C. 16 cm 2
D. 32 cm 2
4 cm 40 mm
40 mm
120 mm
4 cm
8. El perímetro y área de la figura son:
A. 40 cm y 84 cm2 B. 46 cm y 84 cm 2
C. 84 cm y 46 cm 2
D. 96 cm y 126 cm 2

U5 116-159:Maquetación 1 17/6/10 16:35 Página 159
9. Construye en tu cuaderno ángulos con las siguientes medidas.
a) 73°
c) 216°
b) 107°
10. Completa las siguientes equivalencias:
a) 30 cm = mm c) 8 m 2 = cm 2
b) 15 m = cm d) 15 cm 2 = mm 2
11. Doña Ester quiere cercar su jardín para que los conejos no se coman sus plantas.
¿Cuántos metros de alambre necesitará para cercarlo si el jardín tiene forma
rectangular y mide 15 m de largo y 7 m de ancho?, ¿cómo lo resolviste?
12. Si una cancha mide 30 m de largo y 12 m de ancho, ¿cuántos metros cuadrados de
pasto se necesitan para cubrir la mitad de su superficie?
13. Si un bosque de forma rectangular mide 7 km de largo y 3 km de ancho, ¿cuál es
el área del bosque?
¿QUÉ LOGRÉ?
1. Marca según tu apreciación.
Clasificación de ángulos.
Medición de ángulos usando el transportador.
Unidades de medida de longitud y de superficie.
Perímetro de cuadrados, rectángulos y triángulos.
Perímetro y área de cuadrados, rectángulos y triángulos.
Área de figuras compuestas por cuadrados, rectángulos
y triángulos.
Variación de perímetros y áreas
Resolución de problemas.
d) 25°
Compara tus respuestas con tus compañeros y compañeras. ¿Te equivocaste
en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.
No lo
entendí
Lo
entendí
2. Reflexiona y responde.
a) ¿Qué dificultades tuviste en la unidad?, ¿cómo las superaste?
b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la unidad?, ¿por qué?
c) Vuelve a la página 126 y revisa el recuadro “En esta unidad podrás…”,
¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Comenta.
Unidad 5
Puedo
explicarlo
responde en tu cuaderno
responde en tu cuaderno
Geometría
159

U6 160-183:Maquetación 1 11/6/10 12:04 Página 160
UNIDAD
6
EN ESTA UNIDAD PODRÁS...
160 Unidad 6
Datos y azar
Leer e interpretar información entregada en tablas.
Leer e interpretar información entregada en gráficos de barras
comparadas y en gráficos de líneas.
Construir gráficos de barras comparadas y de líneas.
Usar tablas y gráficos, y analizar las variables.
Conocer la probabilidad de ocurrencia de un evento.

U6 160-183:Maquetación 1 11/6/10 12:04 Página 161
CONVERSEMOS DE...
La lectora de las noticias está hablando de un tema muy común en
estos días: el precio de algunos productos de consumo básico en los
hogares chilenos. Ya habrás escuchado hablar sobre el alza de la
mayoría de los precios, principalmente de productos alimenticios y
combustibles. Los factores que afectan estas alzas de los precios son
variados.
Analiza la información entregada por la imagen y luego responde:
En la pantalla que acompaña a la lectora de noticias aparece un
gráfico, ¿qué información está entregando ese gráfico?, ¿es fácil
de comprender?
¿Consideras que el gráfico es una buena forma de presentar algún
tipo de información?
Da ejemplos de temas que hayan sido explicados con gráficos,
puedes buscar en revistas o diarios.
La lectora de noticias dice que los expertos afirman que es muy
probable que las alzas de los precios sigan en aumento. ¿Qué
entiendes, cuando se dice que algo es muy probable?, ¿en qué se
basarán para decir que algo es muy probable o improbable?
Da un ejemplo de algo que sea improbable que ocurra.
¿Por qué crees que el alza de los precios es un tema tan importante
para nuestra sociedad?
Datos y azar
161

U6 160-183:Maquetación 1 11/6/10 12:04 Página 162
¿CUÁNTO SABES?
162 Unidad 6
Recuerda lo que aprendiste anteriormente y resuelve los siguientes ejercicios en tu
cuaderno.
1. La siguiente tabla muestra el número de salas de cine y el número de funciones
dadas en algunas regiones durante el año 2004. Analiza los datos y luego
responde.
Región Nº de salas Nº de funciones
Antofagasta 12 18 273
Coquimbo 7 9418
Valparaíso 41 44 069
Maule 13 12 501
Biobío 24 32 580
Araucanía 11 10 621
Metropolitana
de Santiago
175 277 443
Fuente: http://www.ine.cl/canales/chile_estadistico/encuestas_
consumo_cultural/pdf/cutura2004.pdf (consultado en abril de 2008)
De las regiones presentadas en la tabla:
a) ¿Cuál es la que tiene el menor número de salas de cine?
b) ¿Cuál es la que tiene el mayor número de salas de cine?
c) ¿Cuáles son las dos que tienen el menor número de funciones de cine?
d) ¿Puedes afirmar que mientras mayor es el número de salas de cine, mayor
será el número de funciones? Justifica tu respuesta.
2. De la tabla de datos presentada en la pregunta anterior, construye en tu
cuaderno un gráfico de barras que represente el número de salas de cine por
región.
3. A partir de la siguiente tabla de datos construye un gráfico de barras.
Año
Precio promedio kilogramo
de pan corriente ($)
2007 676
2006 597
2005 578
2004 573
2003 571
2002 526

U6 160-183:Maquetación 1 11/6/10 12:04 Página 163
4. El siguiente gráfico de barras nos muestra los valores promedios
alcanzados por el litro de leche líquida durante los meses del año 2007.
Valor en pesos
Precio promedio del litro de leche
700
600
500
400
300
200
100
0
enero
febrero
marzo
abril
mayo
junio
julio
agosto
septiembre
octubre
noviembre
diciembre
a) ¿Cuál o cuáles son los meses en que el litro de leche estuvo más caro?
b) ¿Cuál o cuáles son los meses en que el litro de leche estuvo más barato?
c) ¿Entre qué meses ocurrió la mayor alza en el valor de la leche?
d) En relación al precio de la leche en el año 2007, ¿qué podrías concluir?
5. El siguiente gráfico de barras fue construido a partir de
una encuesta realizada a 45 niños de un 5º Básico, en la
que se les preguntó por la actividad que más les gusta
realizar cuando están en sus casas. Los resultados se
muestran en el siguiente gráfico de barras. A partir de él,
completa en tu cuaderno la tabla de datos.
Actividad Nº de niños
responde en tu cuaderno
Compara tus respuestas con tus compañeros y compañeras.
¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y
resuelve correctamente el ejercicio.
¿QUÉ DEBES RECORDAR?
Meses
Número
de niños
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
Valor promedio litro
de leche líquida
Actividades preferidas por
los niños del 5º Básico A
salir a
la calle
ver
televisión
escuchar
música
leer
Datos y azar
Actividades
Casi todo tipo de información puede organizarse en una tabla de datos y ser representada
en algún tipo de gráfico.
El gráfico de barras se utiliza para representar información recogida desde una tabla de
datos.
El gráfico de barras nos permite analizar información numérica y comparar categorías.
163

U6 160-183:Maquetación 1 11/6/10 12:04 Página 164
Dinero
reunido ($)
40 000
35 000
30 000
25 000
20 000
15 000
10 000
5000
0
mayo
164 Unidad 6
junio
julio
agosto
Lectura e interpretación de información
En una escuela ubicada en el norte de Chile, hay dos 5º Básicos. Ambos
cursos se propusieron juntar dinero realizando diferentes actividades,
como vender queques en los recreos y hacer bingos, entre otras, para
hacer una fiesta de fin de año en conjunto.
A continuación podrán ver un gráfico de barras comparadas que
muestra el dinero reunido por cada curso en cada mes.
Dinero
reunido ($)
35 000
30 000
25 000
20 000
15 000
10 000
5 000
0
Dinero reunido durante el año 2008
por el 5º Básico A y el 5º Básico B
mayo junio julio agosto septiembre octubre
5º A
5º B
Ahora podrán ver para cada curso un gráfico de líneas que muestra la
evolución del dinero reunido durante el año 2008.
Dinero reunido durante el
año 2008 por el 5º Básico A dinero
septiembre
octubre
Meses
reunido
en el mes
Dinero reunido durante el
año 2008 por el 5º Básico B
Dinero
reunido ($)
40 000
35 000
30 000
25 000
20 000
15 000
10 000
5000
0
mayo
junio
julio
agosto
septiembre
octubre
Meses
Meses

U6 160-183:Maquetación 1 11/6/10 12:04 Página 165
NO OLVIDES QUE...
PARA DISCUTIR
Según la información que se presenta en el gráfico de barras
comparadas, ¿en qué meses, el 5º Básico A reunió más dinero que el 5º
Básico B?, ¿y en qué meses, el 5º Básico B reunió más dinero que el 5º
Básico A?
¿En qué mes se presenta la mayor diferencia de dinero entre ambos
cursos?, ¿cómo puedes determinar esto a partir del gráfico de barras
comparadas?
Si observan los gráficos, ¿cuál de los dos cursos reunió más dinero?,
¿cómo lo calcularon?
Si observan el gráfico, ¿pueden saber con exactitud el total del dinero
reunido por cada curso?
Si analizan los gráficos y comparan la cantidad de dinero ganado
respecto del mes anterior, ¿en qué meses hubo un aumento?, ¿y en
cuáles hubo una baja?, ¿cómo lo averiguaron?
¿En qué mes se reunió menos dinero en ambos cursos?, ¿por qué creen
que ocurrió esto?
El gráfico de barras comparadas es también conocido como gráfico de barras doble, nos
permite relacionar y comparar dos o más categorías de datos similares.
El gráfico de líneas se utiliza para mostrar la tendencia de una variable en un determinado
período de tiempo.
EN TU CUADERNO
1. La doctora Gabriela recibió cuatro
pacientes de 11 años, para ayudarlos a
bajar de peso. Observa en el gráfico
los resultados que obtuvo.
a) ¿Cuál o cuáles de los pacientes pesaba al
inicio del tratamiento más de 100 kg?, ¿y
cuál logró bajar más de peso durante el
tratamiento?, ¿cómo puedes saberlo?
b) ¿Cuál de los pacientes bajó menos de
peso durante el tratamiento?
c) Según los datos del gráfico, construye
una tabla de datos y compárala con la de
tus compañeros y compañeras.
d) ¿Se puede representar esta información
en un gráfico de barras simples? Justifica.
120
110
100
Peso
en kg
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Resultados en
tratamiento para bajar
de peso
Domingo Tomás Francisco Pedro
Peso inicial
Peso final
Pacientes
Datos y azar
165

U6 160-183:Maquetación 1 11/6/10 12:04 Página 166
2. Los siguientes gráficos representan la evolución que tuvo cada paciente en el transcurso del
tratamiento.
Evolución de Domingo
Peso
en kg
120
110
100
90
80
70
60
50
0
120
110
100
90
80
70
60
50
Peso
en kg
0
enero
a) Al analizar este tipo de gráficos en el tratamiento de cada niño, ¿qué tendencia observas en cada
uno de ellos?
b) Si una persona se somete al tratamiento y en vez de bajar de peso, sube, ¿cómo sería la gráfica?
c) ¿Para representar los datos entregados en cada gráfico, se podría haber utilizado un gráfico de
barras simple?, ¿por qué?
d) Para ver claramente cómo varía el peso de cada paciente, de un mes a otro, qué será mejor: ¿un
gráfico de barras o de líneas?
3. Piensa y responde según lo que observaste en el desarrollo de las actividades anteriores.
a) ¿Qué semejanzas hay entre un gráfico de barras comparadas y uno de líneas? Justifica.
b) ¿En qué se diferencian los tipos de gráficos trabajados en estas páginas?
166 Unidad 6
febrero
marzo
abril
Meses en
tratamiento
registro
del peso
Peso
en kg
120
110
100
90
80
70
60
50
0
enero
Evolución de Tomás
Evolución de Francisco Evolución de Pedro
enero
febrero
marzo
abril
Meses en
tratamiento
registro
del peso
120
110
100
90
80
70
60
50
Peso
en kg
0
enero
febrero
febrero
marzo
marzo
abril
abril
Meses en
tratamiento
Meses en
tratamiento

U6 160-183:Maquetación 1 11/6/10 12:04 Página 167
4. Observa el gráfico de líneas y luego responde.
Temperatura (ºC)
Índice
TEMPERATURAS REGISTRADAS DURANTE 6 HORAS
30
25
20
15
10
5
14
12
10
8
6
4
2
0
21/07
22/07
10 11 12 13 14 15
a) ¿Qué tem pe ra tu ra se regis tró a las 11 de la maña na?
b) ¿A qué hora se regis tra ron 25 gra dos?
c) ¿A qué hora se regis tró la tem pe ra tu ra más baja?
d) ¿Cuál es la tem pe ra tu ra pro me dio de las últi mas 5 horas?
23/07
24/07
Extremo
Muy alto
6
Alto
5 5 5 5 5 5 5
4
Moderado
25/07
Bajo
Días
26/07
27/07
28/07
29/07
30/07
Tiempo
(horas)
e) Construye una tabla de fre cuen cias que resu ma la infor ma ción del grá fi co.
5. Observa el siguien te grá fi co que mues tra el índi ce de radia ción UV (ultravioleta) en Iquique duran te
10 días y luego, responde:
a) ¿Qué día se regis tró el mayor índi ce UV?
b) ¿A qué tipo de grá fi co corres pon de?
c) ¿En qué valor del índi ce se man tie ne la ten den cia?
Datos y azar
167

U6 160-183:Maquetación 1 11/6/10 12:04 Página 168
EN TU CUADERNO
168 Unidad 6
Construcción de gráficos
En un colegio se realizaron las elecciones para el centro de alumnos.
Las listas presentadas fueron: lista A1 y lista B2.
El equipo encargado de contar, ordenar y presentar el conteo final,
está muy complicado en dar a conocer los resultados en un gráfico, por
lo que inicialmente construyeron la siguiente tabla de datos.
PARA DISCUTIR
1. Observa el siguiente gráfico y luego responde.
Lista 8º Básico 1º Medio 2º Medio 3º Medio Total
A1 44 47 58 37 186
B2 36 33 22 43 134
¿Cuál sería el tipo de gráfico más apropiado que utilizarías para graficar
la información entregada en la tabla?
Según lo revisado en la unidad, júntate con dos compañeros y
compañeras y elijan el tipo de gráfico que consideren más adecuado.
Constrúyanlo.
¿Cómo construyeron el gráfico?, ¿en qué cosas se fijaron para hacerlo?
Presenten al curso sus gráficos y comparen lo que hicieron con el resto
de sus compañeros y compañeras.
En una encuesta que fue realizada a niños, jóvenes y adultos, se les preguntó: ¿Le gusta la comida
chatarra? Los resultados fueron ordenados en la siguiente tabla, y luego, presentados en un gráfico.
a) ¿Fue construido correctamente? Justifica.
¿Le gusta la comida chatarra?
b) ¿Puedes representar estos datos en un gráfico circular? Explica.
c) ¿Qué puedes decir de la tendencia de la cantidad de personas que les gusta la comida chatarra?
Justifica.
d) ¿Qué elementos faltan en este gráfico? Justifica por qué son necesarios para interpretar
correctamente el gráfico.

U6 160-183:Maquetación 1 11/6/10 12:04 Página 169
2. Observa la siguiente tabla y el gráfico correspondiente, y luego responde:
En una encuesta que fue realizada a niños, jóvenes y adultos, se les preguntó: ¿Cuál es su lugar
favorito para pasar las vacaciones? Los resultados fueron ordenados en la siguiente tabla, y luego
presentados en un gráfico.
Lugares favoritos para
Lugar Frecuencia absoluta
las vacaciones
Mar 240
250
Lago
Campo
120
200
200
150
100
Montaña 160
50
Desierto 80 0
a) Según los datos de la tabla, ¿el gráfico fue construido correctamente? Justifica.
b) ¿Faltan elementos en este gráfico? Explica.
c) Construye en tu cuaderno un gráfico de barras que represente los datos de la tabla. ¿En qué se
diferencia del gráfico construido aquí?
d) ¿Qué se necesita corregir en el gráfico para que represente fielmente los datos de la tabla?
3. El uso del computador, se ha hecho cada vez más necesario y acceder a él es ahora más fácil. A
continuación, podrás ver una tabla de datos que muestra el promedio del precio de un computador
en el transcurso de 5 años.
Año 2003 2004 2005 2006 2007
Precio promedio
de un computador
a) ¿Cuál sería el gráfico que utilizarías para representar los datos de la tabla anterior?
b) Construye el gráfico y luego, compáralo con los realizados por tus compañeros.
4. En la siguiente tabla, se muestran los resultados sobre el tiempo destinado a las vacaciones por los
jóvenes chilenos el verano de 2003.
a) ¿Qué tipo de gráfico es el más adecuado para
representar esta información?
b) Construye el gráfico. Recuerda incluir todos
los elementos necesarios para interpretarlo
correctamente.
mar
250 000 222 000 208 000 186 000 157 000
lago
campo
montaña
desierto
Duración de las vacaciones Cantidad
Menos de una semana 46
Una semana 83
Dos semanas 112
Tres semanas 54
Un mes 58
Más de un mes 62
Datos y azar
169

U6 160-183:Maquetación 1 11/6/10 12:04 Página 170
HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS
Para la construcción de cualquier tipo de gráfico, podemos utilizar un programa computacional que
tiene múltiples aplicaciones. A continuación aprenderemos a utilizar una de ellas:
Construcción de gráficos.
PASOS PARA CONSTRUIR UN GRÁFICO DE BARRAS COMPARADAS EN EL PROGRAMA EXCEL:
1º Al ingresar a esta planilla de cálculo, copia los datos entregados en la tabla de la página 168.
2º Selecciona los datos de tu tabla y luego presiona el ícono , el cual te llevará a una pantalla
que te pedirá elegir el tipo de gráfico, en este caso elegiremos el primero: Columnas.
3º Luego presiona la opción Siguiente, ingresarás a una pantalla que te mostrará el Rango de
datos que has seleccionado. Puedes elegir la Serie que sea mostrada, haciendo clic en
Siguiente.
4º Pasarás así a la nueva pantalla que te permitirá escribir el Título del gráfico, y nombrar el Eje
vertical y Eje horizontal. Esta pantalla te permitirá eliminar o añadir Líneas de división,
disponer la Leyenda en distintas posiciones, Rotular los datos y poner o no la Tabla de
datos en la gráfica.
5º Por último, al presionar Siguiente tendrás la opción de elegir si el gráfico se inserta dentro del
documento donde tienes tus datos como un objeto, o bien agregarlo a una nueva hoja.
170 Unidad 6

U6 160-183:Maquetación 1 11/6/10 12:04 Página 171
NO OLVIDES QUE...
Para construir un gráfico de barras comparadas o lineal, puedes seguir estos pasos:
Paso 1: Escribir el título del gráfico.
Paso 2: Dibujar el eje horizontal y vertical. Luego, nombrarlos.
Paso 3: Indicar la escala de las cantidades correspondientes (eje vertical) y los valores de las
variables (eje horizontal).
Paso 4: En un gráfico de barras comparadas: simbolizar las subcategorías, con algún color.
En un gráfico de líneas: marcar con un punto la posición que corresponda.
Paso 5: En un gráfico de barras comparadas: representar los datos de una tabla en un
gráfico.
En un gráfico de líneas: unir con líneas rectas cada uno de los puntos en forma consecutiva.
Por ejemplo,
votos
60
50
40
30
20
10
0
8º
Básico
MI PROGRESO
Gráfico de barras comparadas Gráfico de líneas
Precio promedio
votos lista A1 de un computador
votos lista B2
300 000
1º
Medio
2º
Medio
3º
Medio
Cursos
200 000
100 000
La siguiente tabla muestra la cantidad vendida de 2 tipos de cuadernos por cuatro
tiendas.
Tipo de cuaderno Tienda 1 Tienda 2 Tienda 3 Tienda 4
Cuadriculado 35 20 40 35
Composición 30 30 20 10
1. ¿Qué tipo de gráfico es el más apropiado para representar esta información?
Justifica y luego construye el gráfico.
2. ¿Qué tienda fue la que vendió más cuadernos en total?, ¿cuál fue la que vendió
la mayor cantidad de cuadernos cuadriculados?, ¿y la que vendió la menor
cantidad de cuadernos de composición?
0
2003
2004
2005
2006
2006
precio
promedio
Año
Datos y azar
171

U6 160-183:Maquetación 1 11/6/10 12:04 Página 172
172 Unidad 6
Tendencia de variables
La siguiente tabla muestra la población mundial estimada en ciertos
períodos de tiempo.
Continente
o región
PARA DISCUTIR
Población estimada por continente y regiones
Años 1800 a 1990 (en millones de personas)
Año
1800
Año
1850
Año
1900
Año
1950
Año
1990
Asia 631 790 903 1393 3113
Europa 146 209 295 395 498
América 24 59 165 330 724
África 102 102 138 219 624
Rusia 49 79 127 180 289
Oceanía 2 2 6 13 26
Total 954 1241 1634 2530 5292
Fuente: Livo-Bacci, M., A concise History of world population (Oxford, 1992). En McNeil, W.
“La demografía y la urbanización”, en Historia Oxford del Siglo XXI (Ed. Planeta, 1999).
Según la información que se presenta en la tabla anterior, ¿en qué
continente o región hubo mayor cantidad de población el año 1990?
En Asía, ¿entre qué períodos hubo un aumento en la población?,
¿y en cuáles hubo una baja?, ¿y en América?
¿Ocurre lo mismo en el resto de los continentes y regiones que
aparecen en la tabla?
Al analizar los datos de la tabla, ¿qué tendencia observas en la
población de cada continente o región?, ¿por qué crees que ocurre esto?
¿Es posible conjeturar sobre la posible población que se espera para
cada continente o región el año 2050?, ¿por qué?
¿Es posible conjeturar sobre la posible población mundial que se
espera para el año 2050?, ¿por qué?
¿Entre qué rangos es posible que se encuentre el número de
habitantes del mundo el año 2050?, ¿en qué basas esa predicción?

U6 160-183:Maquetación 1 11/6/10 12:04 Página 173
EN TU CUADERNO
1. Andrés comenzó a construir un gráfico con los datos de la tabla anterior referidos a la población
mundial. Solo le falta completar algunos datos de su gráfico. ¿Cuál de los siguientes crees que
es el gráfico que está construyendo Andrés?
a)
c)
b)
Población (millones)
Población (millones)
5000
4000
3000
2000
1000
5000
4000
3000
2000
1000
¿En qué te fijaste para determinar cuál era gráfico que estaba construyendo Andrés? Comenta con
tus compañeros o compañeras.
2. Completa el gráfico que comenzó a construir Andrés, en tu cuaderno, a partir de los datos de la tabla
de la página anterior y responde.
a) ¿Cuántos habitantes crees que corresponden a la población mundial el año 2000?
b) ¿Cuántos habitantes estimas que tendrá la población mundial el año 2050? Completa el gráfico
con esta estimación y compáralo con el de tus compañeros y compañeras.
MI PROGRESO
Total aproximado
de conexiones
300 000
1800 1850 1900 1950
250 000
200 000
150 000
100 000
50 000
0
El siguiente gráfico muestra las conexiones de Internet móvil a nivel nacional.
Conexiones a internet móvil
agosto
septiembre
octubre
noviembre
diciembre
enero
febrero
marzo
Fuente: www.subtel.cl (consultado en agosto de 2009).
1990 Años
1800 1850 1900 1950 1990 Años
d)
Población (millones)
Población (millones)
5000
4000
3000
2000
1000
5000
4000
3000
2000
1000
1800 1850 1900 1950 1990 Años
1800 1850 1900 1950 1990 Años
Meses
1. ¿Qué tendencia observas en
las conexiones de Internet móvil
a nivel nacional?
2. ¿Cuántas conexiones de
Internet móvil a nivel nacional
estimas que habrá en diciembre
de 2010?, ¿por qué?
Datos y azar
173

U6 160-183:Maquetación 1 11/6/10 12:04 Página 174
EN TU CUADERNO
174 Unidad 6
Probabilidad de ocurrencia de un evento
(seguro, posible, imposible)
En el colegio de Mariana se celebró una kermés familiar, donde hubo
diferentes entretenciones. A Mariana le gustó el local en el que había
juegos de azar (juegos en los cuales no se puede predecir el resultado).
El juego que atrajo a más personas fue la ruleta de colores. Consistía en
un círculo dividido en 4 partes iguales. Cada parte estaba pintada de
un color distinto: amarillo, azul, verde y rojo.
Mariana jugó mucho rato en la ruleta, ganando distintos tipos de
premios.
PARA DISCUTIR
¿Conoces juegos de azar? Menciona aquellos que conozcas.
Si Mariana juega una vez en la ruleta, ¿qué color es más probable que
acierte?
¿Es posible que Mariana acierte al color blanco en la ruleta? Justifica.
Si las cuatro partes de la ruleta son de color rojo, ¿podemos afirmar
que con seguridad que acertará en ese color?, ¿por qué?
1. Dibuja la siguiente ruleta en tu cuaderno, con sus respectivos colores, y luego responde.
a) ¿Cuántos son los resultados posibles al tirar la ruleta?
¿Cuáles son estos?
b) ¿Se puede afirmar que al lanzar la ruleta una primera
vez, la flecha atinará en el color azul?
c) Al lanzar la ruleta una vez, ¿podemos decir que es
seguro, posible o imposible que la flecha atine en el
color amarillo? Justifica.
d) ¿Es posible que la flecha acierte en el color rojo?, ¿por
qué?
e) Compara tus respuestas con las de tus compañeros y
compañeras.
2. Dibuja tres ruletas similares a esta, en tu cuaderno. Píntala, según lo
pedido en las claves, de modo que al lanzar una vez la flecha acierte en el
color rojo.
a) seguro
b) imposible
c) posible

U6 160-183:Maquetación 1 11/6/10 12:04 Página 175
3. Copia las siguientes afirmaciones en tu cuaderno y complétalas con alguna de las siguientes palabras:
seguro, posible o imposible, según corresponda.
a) Al lanzar un dado, es que el resultado sea un número par.
b) Al lanzar un dado, es que el resultado sea 6.
c) Al lanzar un dado, es que el resultado sea 7.
d) Al lanzar una moneda, es que el resultado sea cara.
e) De una bolsa con 10 fichas rojas y 5 fichas verdes, es sacar una ficha café.
f) De una caja donde hay solo tiza blanca, es sacar tiza blanca.
g) En un partido de fútbol entre Colo–Colo y U. de Chile, es que gane el Colo–Colo.
h) En una prueba de Matemáticas, es que te saques un 7,5.
i) Si juegas al loto es que ganes.
4. Una bolsa contiene 5 bolitas rojas, 6 verdes y 7 amarillas. Determina en cada caso si el evento es
seguro, posible o imposible.
NO OLVIDES QUE...
a) Sacar dos bolitas del mismo color.
b) Sacar tres bolitas rojas.
c) Sacar una bolita azul.
d) Sacar una bolita de cualquier color.
e) Sacar dos bolitas de distinto color.
f) Sacar una bolita que no sea negra.
Cuando se habla de probabilidad, nos referimos a la posibilidad de que una situación,
suceso o evento ocurra.
Cuando un suceso o evento es seguro, quiere decir que ese resultado siempre ocurrirá.
Cuando se habla de un suceso o evento posible, quiere decir que ese resultado puede
ocurrir como no.
Cuando un suceso o evento es imposible, quiere decir que ese resultado nunca ocurrirá.
Datos y azar
175

U6 160-183:Maquetación 1 11/6/10 12:04 Página 176
EN TU CUADERNO
176 Unidad 6
En un concurso de televisión, que regala un auto cero kilómetros, el
finalista tiene dos posibilidades de escoger de entre 10 llaves
numeradas en un tablero. Su nerviosismo es grande y el público del
estudio le dice que elija la llave 5. Él la elige y lamentablemente pierde.
En su segunda opción, angustiado, le pide al animador que lo ayude. El
animador solo le dice que el número de la llave ganadora es un
número par. El concursante elige la llave número 2 y se juega su última
posibilidad de ganar el automóvil.
PARA DISCUTIR
¿Qué “tan probable” es que el concursante se gane el auto? Justifica tu
respuesta.
Si el concursante elige un número impar, en vez de elegir el número 2,
¿es probable que gane el auto?
Una vez que el concursante eligió la llave número el 5, y no acertó, si el
animador le hubiera dicho que la llave correcta era un número impar,
¿era más o menos probable que ganara el auto?
1. Al lanzar un dado tienes 6 diferentes posibilidades de resultados, es decir, te puede salir 1, 2, 3, 4, 5 ó
6. Determina si es “improbable”, “más probable”, “menos probable” o “igualmente
probable”, en cada caso.
a) Obtener un número menor que 6.
b) Obtener el 1.
c) Obtener un número impar.
NO OLVIDES QUE...
Probabilidad de ocurrencia de un evento
(probable, improbable)
d) Obtener un número par.
e) Obtener un número mayor que 0.
f) Obtener el 8.
La probabilidad de que ocurra un evento, también se puede interpretar como que el
evento es probable, improbable o imposible.
Se dice que un evento o suceso es imposible, cuando no puede ocurrir.
Se dice que un evento es probable, cuando existe la probabilidad de que ocurra.
Cuando se habla que un suceso o evento es probable, podemos decir que es más probable,
cuando hay más posibilidades de que ocurra; que es menos probable, cuando hay menos
posibilidad de que ocurra, o que es igualmente probable, cuando existe la misma
posibilidad de que ocurra como de que no ocurra.

U6 160-183:Maquetación 1 11/6/10 12:04 Página 177
EN EQUIPO
En esta actividad deberán describir y fundamentar la
probabilidad de un evento o suceso. Formen grupos de 3
integrantes y sigan las siguientes instrucciones.
1. Recorten siete cuadraditos de 2 cm de lado de color rojo,
cuatro de color azul y una de color verde (cada cuadradito
corresponde a una ficha).
Materiales:
Hojas de papel lustre
color rojo, azul y verde
Tijeras
Pegamento
Una bolsa pequeña de
color oscuro.
2. Introduzcan las fichas recortadas dentro de la bolsa y muévanla, para que las fichas se mezclen.
3. Cada uno, en orden, saca una ficha, anota el resultado y luego la devuelve a la bolsa. Repetir
este procedimiento 5 veces cada uno. Analicen los resultados y luego respondan:
a) ¿Cuál de las fichas es la que tiene más posibilidades de ser extraída de la bolsa?, ¿y la que
tiene menos posibilidad? Justifica en cada caso.
b) ¿Se puede afirmar que existe la misma posibilidad de sacar una ficha roja, azul o verde de la
bolsa?
c) Escriban un suceso en el que extraer una ficha sea improbable.
d) Escriban un suceso en el que sacar una ficha sea seguro.
e) ¿Cómo debería ser el juego de fichas, para que sea igualmente probable sacar una ficha de
cada color?
MI PROGRESO
Responde en tu cuaderno.
1. ¿Cuál de los siguientes eventos es imposible? Justifica en cada caso.
a) Que una persona que juega ajedrez gane.
b) Que al lanzar una moneda, dé como resultado cara.
c) Que de una caja solo con fichas rojas se saque una ficha verde.
2. Se tiene una bolsa con 3 pelotitas amarillas, 2 pelotitas moradas y 3 pelotitas
rojas. Dada esta situación, escribe:
a) un suceso improbable.
b) un suceso probable.
c) un evento que tenga igual posibilidad de ocurrir.
d) un evento seguro.
Datos y azar
177

U6 160-183:Maquetación 1 11/6/10 12:04 Página 178
BUSCANDO ESTRATEGIAS
Observa la estrategia que se
utiliza para resolver la siguiente
situación.
El siguiente gráfico muestra la
población según el censo del
2002 en cuatro regiones de
nuestro país, dividida por sexo.
Pedro, un estudiante de Geografía, necesita saber el número aproximado de habitantes de
cada región, para lo cual decidió ordenar la información en una tabla.
Comprender
¿Qué sabes del problema?
El número aproximado de habitantes de cada región diferenciado por sexo.
¿Qué debes encontrar?
El número aproximado de habitantes de cada región.
Planificar
¿Cómo puedes resolver el problema?
Calcular el número aproximado de hombres y mujeres por región (te puedes ayudar con
el uso de una regla). Ordenar los datos en una tabla y luego, sumar el número de
hombres y mujeres para obtener el número total de habitantes en cada caso.
Resolver
Número de habitantes aproximado:
Región Hombres Mujeres Total
Antofagasta 255 000 240 000 495 000
Valparaíso 420 000 455 000 875 000
La Araucanía 430 000 440 000 870 000
Los Lagos 540 000 535 000 1 075 000
Fuente: http://www.ine.cl/canales/chile_estadistico/censos_población_vivienda/censo2002/mapa_interactivo/mapa_interactivo.htm
Responder
El total aproximado de habitantes de cada región es: Antofagasta: 495 000; Valparaíso:
875 000; La Araucanía: 870 000; Los Lagos: 1 075 000
Revisar
Puedes comprobar ingresando al sitio web http://www.ine.cl/canales/chile_estadistico/censos
_población_vivienda/censo2002/mapa_interactivo/mapa_interactivo.htm (consultado en
mayo de 2008) y verificar los valores obtenidos.
178 Unidad 6
700 000
600 000
500 000
400 000
300 000
200 000
100 000
0
Habitantes
Antofagasta
Población (censo 2002)
Valparaíso La
Araucanía
Los Lagos
Hombres
Mujeres
Regiones

U6 160-183:Maquetación 1 11/6/10 12:04 Página 179
1. Resuelve los siguientes problemas, aplicando la estrategia de la página anterior.
a) El siguiente gráfico muestra el número de alumnos y alumnas que entró a la universidad el año
2007 y 2008 de un colegio de Santiago que tenía cuatro cuartos medios. Determina el número
total de alumnos y alumnas del colegio que ingresaron a la universidad en cada año.
Número de alumnos
y alumnas
Nº de alumnos y alumnas que ingresó a la universidad
40
30
20
10
30 29
26
35 34
28
2007
2008
0
4º A 4º B 4º C 4º D
Cuartos medios
b) El siguiente gráfico muestra los kilos de pan corriente y especial que venden en una panadería
de lunes a viernes. Determina el total de kilos de pan que se venden en una semana.
Kilos de pan Kilogramo de pan que vende la panadería
31
40
30
20
10
0
25
11
31
15
lunes martes miércoles jueves viernes
corriente
especial
2. Ahora resuelve el problema de la página anterior, utilizando otra estrategia de resolución,
explícala, paso a paso, y compárala por las usadas por tus compañeros y compañeras.
3. Resuelve el siguiente problema, utilizando la estrategia que tú quieras. Compara el procedimiento
que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué?
El siguiente gráfico muestra el número de asistentes a una obra de teatro en la función de la
mañana y de la noche, los días martes, jueves y viernes, en los que se representa la obra.
Determina el número total de asistentes en una semana.
80
60
40
20
38
0
28 25
Asistentes a una obra
39
61
30 25
30
42
32 28
59
70
martes jueves viernes
Días
tarde
noche
Unidad 6
Datos y azar
179

U6 160-183:Maquetación 1 11/6/10 12:04 Página 180
CONEXIONES
180 Unidad 6
Recomendaciones para disminuir el
consumo de agua en la casa
En tiempos en que los factores climáticos
están afectando la disponibilidad y acceso
al agua, tomar conciencia de que cada uno
debe aportar al cuidado de este recurso, es
vital para nuestra sociedad. Por esta razón,
aplicar algunas medidas tales como:
reutilizar el agua, “duchas cortas”, no dejar
“correr el agua” al regar o lavar la loza,
entre otras, son medidas que ayudarían a
reducir el consumo de agua doméstico,
TENDENCIAS
Fuente: Miércoles 5 de marzo de 2008, La Segunda Internet.
aliviarían el presupuesto familiar y sería un
real aporte para nuestro país.
De acuerdo a cifras entregadas por la
Comisión Nacional del Medio Ambiente,
CONAMA, el consumo de agua de Chile es
el más alto de América Latina, con 15 000
litros diarios por persona.
La siguiente tabla, muestra el consumo
diario de agua potable de una persona que
vive en ciudad.
En la ducha (cinco minutos) 100 litros
En la descarga del baño 50 litros
En lavado de ropa 30 litros
En lavado de loza 27 litros
En el jardín 18 litros
En lavar y cocinar alimentos 15 litros
Otros usos (como beber o lavarse las manos) 10 litros
Fuente: http://www.explora.cl/otros/agua/consumo2.html (consultado en abril de 2008).
Reúnete con 2 compañeros y compañeras, comenten y luego respondan.
a) ¿Qué medidas se podrían tomar para ayudar al cuidado del agua potable?
b) Construyan un gráfico de barras con los datos que se presentan en la tabla anterior, y luego
respondan: ¿en qué actividades consumimos más agua potable?, ¿cómo podemos
contribuir a que este nivel de consumo disminuya?
c) Si analizan una cuenta de agua potable, en ella podrán observar un gráfico de barras que
indica los niveles de consumo mensual, comparen al menos dos cuentas. ¿En qué meses se
consume más agua potable?, ¿por qué creen que ocurre esto?
d) ¿Consideran probable o improbable que el agua potable en los próximos años sea un
recurso muy escaso? Justifiquen.

U6 160-183:Maquetación 1 11/6/10 12:04 Página 181
SÍNTESIS
Unidad 6
A continuación se presenta un esquema que relaciona los principales conceptos trabajados en
esta unidad. Cópialo en tu cuaderno y complétalo con los siguientes términos:
Probable
Líneas
DATOS Y AZAR
LA INFORMACIÓN
PUEDE SER EXPRESADA EN
Tablas Gráficos
Papel, regla y lápiz
Excel
Computador
ESTOS PUEDEN SER
SE PUEDEN CONSTRUIR CON
UTILIZANDO EL PROGRAMA
Utilizando los conceptos aprendidos en la unidad y apoyándote en el esquema anterior,
comenta con tus compañeros y compañeras las siguientes preguntas:
a) ¿Puedes construir un gráfico a partir de una tabla?
b) ¿Puedes construir una tabla de datos a partir de un gráfico? Justifica.
c) ¿Qué diferencias se dan entre un gráfico de barras comparadas y un gráfico lineal?
d) Si deseas graficar la variación de un dato a lo largo del tiempo, ¿qué tipo de gráfico es
conveniente construir?
e) Explica los pasos que seguirías para construir un gráfico de barras comparadas en el programa
Excel.
f) ¿Un evento puede ser seguro e imposible a la vez?, ¿por qué?
Barras comparadas
Posible
SE ESTUDIA LA
Probabilidad
de un evento
QUE PUEDE SER
g) ¿Qué características debe tener un suceso para que sea seguro?
Seguro
Imposible
Improbable
Datos y azar
181

U6 160-183:Maquetación 1 11/6/10 12:04 Página 182
¿QUÉ APRENDÍ?
Marca, en tu cuaderno, la alternativa que consideres correcta en
las actividades 1 a la 8.
1. ¿Quién obtuvo el mejor promedio en Lenguaje?
A. Paula.
B. Vania.
C. Natalia.
D. Verónica.
2. ¿Quién obtuvo mejor promedio en Matemática?
A. Paula.
B. Vania.
C. Natalia.
D. Verónica.
3. ¿Quién tiene el más bajo rendimiento?
A. Paula.
B. Vania.
C. Natalia.
D. Verónica.
4. Para graficar la variación del precio de la bencina
en los últimos cinco años, ¿qué tipo de gráfico es
conveniente utilizar?
A. Circular.
B. De barras comparadas.
C. De líneas.
D. De barras simples.
182 Unidad 6
Lenguaje
Matemática
Promedio
de notas
7
6
5
4
3
2
1
0
Paula
Vania
Natalia
Verónica
Alumnas
5. El siguiente gráfico muestra el número de
celulares (en miles) en Chile.
3600
Fuente: www.ine.cl 0
(consultado en
agosto de 2009)
¿Qué valor representa mejor el número de
celulares que se espera para mayo del 2010?
A. 15 700 000
B. 16 700 000
C. 21 500 000
D. 14 779 000
Nº de celulares
(miles)
18 000
14 400
10 800
7200
Número de celulares (miles)
en Chile
mayo 2005
mayo 2006
mayo 2007
mayo 2008
mayo 2009
Fecha
6. Al lanzar un dado, es más probable que salga:
A. Un número par.
B. El número 6.
C. Un número menor que 7.
D. Un número menor que 6.
7. Si lanzas una moneda, se podría decir que la
probabilidad que dé como resultado cara es:
A. Seguro.
B. Improbable.
C. Igualmente probable que salga sello.
D. Imposible.
8. Tienes una bolsa con diez caramelos.
¿Qué tendría que ocurrir para que sea seguro
que salga un caramelo rojo?
A. Nada, porque son caramelos.
B. Que 8 sean de color rojo.
C. Que todos sean rojos.
D. Que ninguno sea rojo.

U6 160-183:Maquetación 1 11/6/10 12:04 Página 183
9. Don Ricardo tiene un taller mecánico. Su especialidad son autos y
camionetas. Necesita saber cuántos autos y camionetas ha arreglado en los
últimos seis meses, para así determinar los meses de más ganancias y
trabajo.
A continuación observa la tabla que elaboró don Ricardo con la información:
Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio
Nº de autos 15 8 28 22 20 18
Nº de camionetas 9 3 25 17 18 12
a) Construye en tu cuaderno un gráfico de barras comparadas con los datos
presentados en la tabla.
b) ¿En qué mes se repararon más autos y camionetas en total?, ¿y menos?
c) Ordena los meses de menor a mayor, según la cantidad de arreglos de autos
en total (autos y camionetas).
Compara tus respuestas con tus compañeros y compañeras.
¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y
resuelve correctamente el ejercicio.
¿QUÉ LOGRÉ?
1. Marca según tu apreciación.
Lectura e interpretación de información.
Construcción de gráficos.
Tendencia de variables.
Probabilidad de ocurrencia de un evento (seguro,
posible, imposible).
Probabilidad de ocurrencia de un evento (probable,
improbable).
Resolución de problemas.
No lo
entendí
2. Reflexiona y responde.
a) ¿Qué dificultades tuviste en la unidad?, ¿cómo las superaste?
b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la unidad?, ¿por qué?
c) Vuelve a la página 160 y revisa el recuadro “En esta unidad podrás…”,
¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Comenta.
Lo
entendí
Unidad 6
Puedo
explicarlo
responde en tu cuaderno
Datos y azar
183

Taller 3 21 x 27:Maquetación 1 11/6/10 12:06 Página 184
Taller de evaluación 3
I. Recuerda lo que aprendiste en las unidades 5, 6 y 7, y marca en tu cuaderno la alternativa
correcta.
1. ¿Qué opción corresponde al perímetro de un
triángulo equilátero?
A. a + b + c
B. a + 2b
C. a + a + c
D. 3a
2. El rectángulo 1 mide 5 cm de largo y 9 cm de
ancho, y el rectángulo 2 mide 15 cm de largo
y 3 cm de ancho. ¿Qué relación existe entre
sus áreas?
A. El área del rectángulo 1 es mayor que la del 2.
B. El área del rectángulo 1 es menor que la del 2.
C. Son iguales
D. No existe relación
3. Si el área de un rectángulo es 56 cm2 y su
perímetro 30 cm, ¿cuál es la medida de sus
lados?
A. 6 cm y 9 cm
B. 7 cm y 8 cm
C. 3,5 cm y 4 cm
D. 5 cm y 6 cm
184 Matemática 5
4. Para graficar los datos recogidos en una
encuesta sobre preferencias de programas de
TV de hombres y mujeres, ¿qué tipo de gráfico
es conveniente utilizar?
A. De líneas.
B. Circular.
C. De barras comparadas.
D. De barras simples.
5. En una reunión de apoderados se vendieron
40 números para una rifa. Si el señor Pérez fue el
que compró más números, compró un total de 10,
la probabilidad de que gane el señor Pérez es:
A. Segura.
B. Igualmente probable que los demás
apoderados.
C. Imposible.
D. Más probable que los demás apoderados.
6. ¿Qué porcentaje falta en el siguiente gráfico
circular?
A. 38%
B. 28%
C. 35%
D. 23%
28%
15%
22%

Taller 3 21 x 27:Maquetación 1 11/6/10 12:06 Página 185
II. Desarrolla, en tu cuaderno, paso a paso, las siguientes actividades.
1. Mide con el transportador y clasifica los siguientes ángulos, según su medida:
2. Matilde quiere cambiar el piso de su sala de juegos por baldosas de forma cuadrada que miden 20 cm
por lado. El piso tiene forma rectangular cuyo ancho mide 2,2 m y el largo mide 3 m.
a) ¿Cuál es el área del piso en cm 2 ?
b) ¿Cuántas baldosas debe utilizar para cubrir todo el piso?, ¿cómo lo calculaste?
c) Si se utilizan baldosas de forma cuadrada de 30 cm de lado, ¿se cubre todo el piso sin cortar
ninguna? Explica.
3. Si cada mide 1 cm, calcula el área de los siguientes triángulos, usando la calculadora y explica,
paso a paso, el procedimiento que empleaste para calcular el área cada triángulo.
4. La siguiente tabla de datos muestra el número de chalecos y mantas que vendió la señora Yolanda en
su negocio de La Ligua durante un fin de semana largo.
Días Chalecos Mantas
Jueves 7 5
Viernes 8 7
Sábado 15 12
Domingo 10 8
a) Construye un gráfico de barras comparadas
con los datos presentados en la tabla.
b) ¿Qué día se vendieron más prendas (chalecos
y mantas) en total?
c) ¿Qué día se vendieron menos prendas (chalecos
y mantas) en total?
d) Ordena de menor a mayor los días, según la
cantidad de ventas de chalecos.
e) Ordena de menor a mayor los días, según la
cantidad de ventas de mantas.
Taller de evaluación 3
185

Solucionario 21 x 27:Maquetación 1 11/6/10 12:07 Página 186
Solucionario
Página 12
¿CUÁNTO SABES?
1. a) 3749 c) 86 532
b) 805 070 d) 204 579
2. a) > b) > c) > d) < e) < f) >
3.
4. B
Unidad 1: Números naturales
5 3 4 5 9 1
+ 6 9 0 2 5
6 0 3 6 1 6
5 5 6 3 8 9
– 8 1 0 4 1
4 7 5 3 4 8
Página 13
5. a) $ 500 000. Cada número fue redondeado a la centena
de mil más próxima.
b) $ 22 500. $ 8970 fue redondeado a la unidad de mil
más próxima y $ 13 450 fue redondeado a la centena
más próxima.
c) 370 000. 169 776 fue redondeado a la decena de mil
más próxima y 200 458 fue redondeado a la centena
de mil más próxima.
6. Pregunta abierta
Página 14
1. y 2. Preguntas abiertas
Página 15
3. a) Seis millones quinientos treinta y tres mil doscientos
cincuenta y cuatro.
b) Siete millones seiscientos sesenta y ocho mil
setecientos cuarenta.
c) Mayor, porque 7 000 000 es mayor que 6 000 000
4. a) Tres millones setecientos noventa y un mil cuatrocientos
sesenta y ocho.
b) Nueve millones treinta y siete mil quinientos ochenta
y seis.
c) Veintisiete millones cuatrocientos treinta y cuatro mil
seiscientos cincuenta y cuatro.
d) Cincuenta y nueve millones trescientos setenta y uno.
e) Cuatrocientos treinta y seis millones cincuenta y tres
mil novecientos noventa y nueve.
f) Ochocientos ochenta y ocho millones ochocientos
ochenta y ocho mil ochocientos ochenta y ocho.
5. a) 35 283 109 e) 909 099 909
b) 8 000 491 f) 990 700 568
c) 628 399 145 g) 999 800 073
d) 208 476 024
186 Matemática 5
6. a) Pregunta abierta
b) 87 654 210. Los números se deben ubicar de mayor
a menor, porque los valores de las posiciones
disminuyen de izquierda a derecha.
EN EQUIPO
1. a 5. Preguntas abiertas
Página 17
1. La cantidad de habitantes de Chile, según el último censo
es 15 116 435 (pueden encontrar otro dato, pero deben
citar la fuente).
2. Mercurio: decena de mil; 90 000; cincuenta y siete
millones ochocientos noventa y cinco mil Marte: centena
de mil; 900 000; decena de mil; 90 000; doscientos
veintisiete millones novecientos noventa mil Neptuno:
centena de mil; 900 000; decena de millón; 90 000 000;
cuatro mil cuatrocientos noventa y seis millon
novecientos setenta y seis mil.
3. a) unidad de mil; 2000
b) unidad de millón; 2 000 000
c) decena de millón; 20 000 000
4. a) 6 000 000 d) 300 000 000
b) 300 000 e) 20 000 000
c) 10 000 000 f) 100 000 000
5. a) aumenta 495 000 unidades
b) disminuye 1800 unidades
c) aumenta 4 999 950 unidades
6. a) a e) Preguntas abiertas
Página 18
1. a) 73 184 569 b) 5 555 550 c) 3 060 300 702
2.
$ 2 485 031
$ 7 083 172
$ 11 197 391
248
708
1119
Página 19
3.
Número
Escribe el
dígito de:
Su valor
posicional es:
234 645 376 DMi: 3 30 000 000
798 300 577 UMi: 8 8 000 000
926 834 582 DM: 3 30 000
12 309 867 UM: 9 9 000
5
3
7
0
1
3
3
7
9
1
2
1

Solucionario 21 x 27:Maquetación 1 11/6/10 12:07 Página 187
4. a) 7 632 087 c) 70 333 199
b) 9 000 805 d) 900 079 068
5. a) 5 DMi b) 9 DMi c) 9 UMi
MI PROGRESO
1. 4 billetes de $ 10 000, 9 billetes de $ 1000,
1 moneda de $ 10, 7 monedas de $ 1.
2. Trece millones ochocientos cuarenta mil setecientos
treinta y ocho.
3. 8 centenas de mil = 800 000 y 8 unidades = 8
Página 21
EN EQUIPO
1.
176 000
2. Pregunta abierta.
3. a) El país con mayor superficie es Brasil y el con menor
superficie es Uruguay.
b) La superficie de Uruguay se encuentra a la izquierda
1. a)
256 000
1 099 000
406 000 2 006 000
1 285 000
3 761 000
de la superficie de Brasil, porque es menor.
4 459 000
4 250 000
4 990 000
4 780 000
b) Debe comprar la Van que cuesta $ 4 250 000.
c) Debería comprar la camioneta que cuesta $ 4 459 000.
d) Pregunta abierta.
Página 23
1. a) < b) > c) <
Planetas Distancia al Sol (km)
Mercurio 58 000 000
Venus 108 000 000
Tierra 149 000 000
Marte 228 000 000
Júpiter 778 000 000
Saturno 1 427 000 000
Urano 2 870 000 000
Neptuno 4 497 000 000
8 512 000
2. a) 97 543 310 b) 100 135 567 c) 987 764 210
3. a) Marte y Júpiter
b) Saturno, Urano y Neptuno
c) Mercurio, porque es el que tiene menos cifras, y por lo
tanto es el menor.
d)
Fuente:
Atlas de Chile
y el mundo.
2007
Página 25
1.
5 7 3 6 2 8 4
+ 1 2 5 5 1 3 9
6 9 9 1 4 2 3
Valores
aproximados
censo 1992
Valores
aproximados
censo 2002
Bicicleta 1 148 000 1 923 000
Moto o motoneta 38 000 66 000
Automóvil, station 520 000 916 000
Camioneta, van, jeep 150 000 353 000
Sin vehículo 1 814 000 1 680 000
2. a) 16 000 000; 16 315 960
b) 87 000 000; 87 527 465
c) 81 000 000; 81 596 260
d) 194 000 000; 194 094 099
3. Una ventaja es que puedes realizar un cálculo rápido,
y una desventaja es que el valor no es exacto.
4. a) Para comprar la casa A se necesita aproximadamente
$ 17 000 000 y para comprar la casa B se necesita
aproximadamente $ 28 000 000.
b) La casa C es aproximadamente $ 22 000 000 más cara
que la casa B.
c) La diferencia de precio aproximada es
$ 11 000 000.
d) Para comprar las tres casas se necesita
aproximadamente $ 95 000 000
MI PROGRESO
1. a) Aumentó en 300 000 turistas.
b) mayor cantidad de turistas en 2005 y menor en 2002.
2. 1 700 000; 1 400 000; 1 600 000; 1 800 000;
2 000 000. En total 8 500 000
3.
1 400 000
Página 27
1. a) 12 019 940 b) 8 788 079 c) 128 877 889
2.
1 600 000
1 800 000
1 700 000 2 000 000
6 9 9 1 4 2 3
– 1 2 5 5 1 3 9
5 7 3 6 2 8 4
3. a) 10 581 796. Se realizó una sustracción entre
14 079 615 y 3 497 819.
b) 17 855 241. Se realizó una sustracción entre
46 902 857 y 29 047 616.
Solucionario
187

Solucionario 21 x 27:Maquetación 1 11/6/10 12:07 Página 188
c) 6 185 293. Se realizó una adición entre
3 605 605 y 2 579 688.
d) 11 705 666. Se realizó una sustracción entre
53 198 014 y 41 492 348.
4. a) 824 666 c) 12 973 931
b) 55 030 000 d) 138 497 682
5. a) 5550 m. d) 7 345 445
b) 63 523 432 e) 10 009 200
c) 16 002 574
6. a) 845 518 b) 11 200 380 c) 255 005
Página 28
EN EQUIPO
1. a) 4 200 000 b) Pregunta abierta.
2. a) América del Sur. b) Pregunta abierta.
Página 29
ESTRATEGIA MENTAL
1. a) 2 + 5 = 7; 7 000 000 c) 4 + 9 = 13; 13 000 000
b) 3 + 7 = 10; 10 000 000 d) 6 + 9 = 15; 15 000 000
2. a) 5 – 3 = 2; 2 000 000 c) 10 – 9 = 1; 1 000 000
b) 8 – 2 = 6; 6 000 000 d) 11 – 5 = 6; 6 000 000
3. a) 10 000 e) 38 000 000
b) 49 000 f) 131 000 000
c) 720 000 g) 101 000 000
d) 100 000 h) 100 000 000
4. a) 26 000 d) 108 000
b) 10 000 e) 13 000
c) 23 000 f) 62 000
5. a) 150 000 000 d) 110 000 000
b) 0 e) 10 000 000
c) 250 000 000 f) 30 000 000
Página 31
1. a) 597 931 000 d) 90 101
b) 6 891 999 666 e) 99 919 708
c) 10 000 001 f) 12 432 330
Al sumar 0 a cualquier número natural se obtiene siempre
el mismo número.
Página 32
2. a + b b + a (a + b) + c a + (b + c) a + 0 0 + b 0 + c
13 13 24 24 4 9 11
89 89 179 179 38 51 90
1092 1092 1314 1314 600 492 222
9073 9073 14 073 14 073 1973 7100 5000
188 Matemática 5
a) - Los resultados en las columnas de igual color son iguales.
- Siempre ocurre lo mismo, porque son propiedades
de la adición de números naturales.
b) y c) Preguntas abiertas
3. b) X + ( Y + Z ) = ( X + Y ) + Z
c) X + 0 = X
4. a) X + Y = Y + X = 15;
X + ( Y + Z ) = ( X + Y ) + Z = 50;
X + 0 = 3
b) X + Y = Y + X = 4252;
X + ( Y + Z ) = ( X + Y ) + Z = 12 027;
X + 0 = 1003
c) X + Y = Y + X = 40 870;
X + ( Y + Z ) = ( X + Y ) + Z = 49 870;
X + 0 = 35 200
Página 33
MI PROGRESO
1. a) Sí, porque el resultado de todos los ejercicios es
12 840 075
b) La propiedad conmutativa de la adición:
6 839 235 + 6 000 840 = 6 000 840 + 6 839 235
La propiedad asociativa de la adición:
(7 191 284 + 4 566 730) + 1 082 061 =
7 191 284 + (4 566 730 + 1 082 061)
La propiedad del elemento neutro de la adición:
12 840 075 + 0 = 12 840 075
c) $ 2 850 000.
Se calcula restando $ 4 100 000 – $ 1 250 000.
2. a) Propiedad conmutativa de la adición.
b) Propiedad asociativa de la adición.
c) Propiedad del elemento neutro de la adición
y propiedad conmutativa de la adición.
Página 35
BUSCANDO ESTRATEGIAS
1. a) 16 963 nacimientos d) $ 2 979 000
b) $ 225 400 e) $ 12 003 000
c) $ 5 144 509
2. Pregunta abierta.
3. a) 3634 m
b) 50 000 personas.
c) El papá de Laura ha gastado $ 45 800 000. Le queda
$ 52 073 452. Podría comprar 8 casas.
Página 38
¿QUÉ APRENDÍ?
1. C 3. A 5. A 7. B
2. A 4. C 6. C 8. B

Solucionario 21 x 27:Maquetación 1 11/6/10 12:07 Página 189
Página 39
9. a)
Página 42
¿CUÁNTO SABES?
1. a) 3 3 c) 5 9
b) 4 5 d) 6 10
2. a) 45 c) 60 e) 9500 g) 125 i) 850
b) 56 d) 390 f) 20 h) 600 j) 560
3.
288 388
b) Aumentaron en 73 718 minutos; aumentaron en
33 478 minutos; aumentaron en 76 126 minutos;
aumentaron en 100 675 minutos; disminuyeron en
10 943 minutos.
c) 2 651 615 minutos.
10. a) 804 842
b) 2 483 854
c) 569 012
d) 1 679 012
362 106
395 584
Factor Factor Producto
5 900 4500
8 9 72
36 1000 36 000
12 12 144
7 6 42
9 1000 9000
9 6 54
Dividendo Divisor Cociente Resto
47 7 6 5
540 6 90 0
72 2 36 0
104 8 13 0
105 9 11 6
16 300 10 1630 0
100 000 100 1000 0
4. a) 1150 f) 1025
b) 14 121 g) 189
c) 238 650 h) 286 y resto 6
d) 450 228 i) 1678
e) 1 271 900 j) 5356
471 710
572 385
561 442
Unidad 2: Múltiplos, divisores y operaciones
5. $ 2400
Página 43
6. a) $ 5175
b) no les alcanza para pagar, les falta $ 175
c) no les alcanza porque deberían pagar $ 6800 y sólo
tienen $ 5000.
Página 44
EN EQUIPO
5. a) Todas tienen una regularidad: 2 en 2, 4 en 4, 5 en 5 ó
10 en 10. Además los grupos de 2 y 4 así como los
grupos de 5 y 10, tienen elementos comunes.
b) 2 1, 2 2, 2 3, 2 4, 2 5, 2 6, ...
4 1, 4 2, 4 3, 4 4, 4 5, 4 6, ...
5 1, 5 2, 5 3, 5 4, 5 5, 5 6, ...
10 1, 10 2, 10 3, 10 4, 10 5, 10 6, ...
La regla sería multiplicar el tipo de grupo (2, 4, 5 ó 10)
por cada uno de los números naturales. Como los
números naturales son infinitos, estas secuencias
también son infinitas.
c) 102, 104, 106, 108, 110, ...
104, 108, 112, 116, 120, ...
105, 110, 115, 120, 125, ...
110, 120, 130, 140, 150, ...
Página 45
1.
7, 14, 21, 28, 35, 42,... son múltiplos de 7.
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,... son múltiplos de 3.
6, 12, 18, 24, 30, 36, 42,... son múltiplos de 6.
8, 16, 24, 32, 40, 58, 56,... son múltiplos de 8.
2. a) 7 8 = 56 c) 10 2 = 20
b) 5 5 = 25 d) 8 9 = 72
3.
9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90
10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100
11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110
12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120
4. a) 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44
b) 30, 40
c) 88, 96, 104, 112
5. a) 80 chocolates; 325 chocolates
b) No podrá haber ocupado 46 chocolates, porque 46 no
es múltiplo de 5.
Página 46
EN EQUIPO
5. Los factores de un número también son sus divisores,
porque dividen al número en forma exacta.
Solucionario
189

Solucionario 21 x 27:Maquetación 1 11/6/10 12:07 Página 190
Página 47
1. a) 1 36, 2 18, 3 12, 4 9, 36 1, 18 2,
12 3, 9 4, 6 6
b) 1 45, 3 15, 5 9, 45 1, 15 3, 9 5
c) 1 48, 2 24, 3 16, 4 12, 6 8, 48 1,
24 2, 16 3, 12 4, 8 6
d) 1 50, 2 25, 5 10, 50 1, 25 2, 10 5
e) 1 60, 2 30, 3 20, 4 15, 5 12, 6 10,
10 6, 12 5, 15 4, 20 3, 30 2, 60 1
f) 1 90, 2 45, 3 30, 5 18, 6 15, 9 10,
10 9, 15 6, 18 5, 30 3, 45 2, 90 1
2. a) Sí, 1 foto por página.
b) 24 páginas; 3 fotos por página.
3. Francisca tiene 75 postales.
4. a) 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100
b) 1, 2, 61, 122
c) 1, 11, 13, 143
d) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144
e) 1, 5, 31, 155
f) 1, 2, 3, 4, 6, 26, 39, 52, 78, 156
g) 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 14, 21, 24, 28, 42, 56, 84, 168
h) 1, 3, 7, 9, 21, 27, 63, 189
Página 48
5.
Es divisible por 2 3 5 6 10
24 x x
50 x x
65 x x x x
73 x x x x x
85 x x x x
96 x x
102 x x
189 x x x x
234 x x
390
1208 x x x x
2000 x x
2555 x x x x
3600
4236 x x
190 Matemática 5
6. a) El dígito que está ubicado en la posición de las
unidades es 0 ó un número par.
b) La suma de los dígitos es un múltiplo de 3.
c) Un número divisible por 2 y por 3, siempre es divisible
por 6.
d) El dígito que está ubicado en la posición de las
unidades es 0 ó 5; el dígito que está ubicado en la
posición de las unidades es 0.
7. a) Algunas opciones podrían ser: 2, 4, 6, 8 y 10.
b) Algunas opciones podrían ser: 3, 6, 9, 12 y 15.
c) Algunas opciones podrían ser: 5, 10, 15, 20 y 25.
d) Algunas opciones podrían ser: 10, 20, 30, 40
y 50
8. a) 315, 345, 375
b) 1230, 1232, 1234, 1236, 1238
c) 190, 195
d) 2120
e) 60 891, 63 891, 66 891, 69 891
f) 12 564
Página 49
9. a) La suma de los dígitos es un múltiplo de 9.
b) Sí, son divisibles por 3. Siempre un número que es
divisible por 9 es divisible por 3, porque todos los
múltiplos de 9 son múltiplos de 3.
c) No todos los números divisibles por 3 son divisibles
por 9, porque no todos los múltiplos de 3 son
múltiplos de 9.
10. a) 12, 52, 60, 80, 48. Son múltiplos de 4.
b) Los dígitos ubicados en las posiciones de las decenas y
unidades son 0.
c) Sí, porque todos los múltiplos de 4 son múltiplos de 2,
y por lo tanto son divisibles por 2.
d) No, porque no todos los múltiplos de 2 son múltiplos
de 4, por lo tanto, no todos son divisibles por 4.
11. a) 726, 756, 786
b) 3204, 3294
c) 1920, 1924, 1928
d) 2300, 2304, 2308
12. a) 1, 3, 7, 9, 21, 63
b) 1, 2, 4, 31, 62, 124
c) 1, 5, 29, 145
d) 1, 2, 5, 10, 25, 50, 125, 250

Solucionario 21 x 27:Maquetación 1 11/6/10 12:07 Página 191
Página 50
1. a) a
d)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Página 51
2. a) Los números encerrados en una circunferencia son
primos.
b) Los números tachados son compuestos.
c) El 1, porque sólo tiene un factor
3. a) 2 2 2 d) 2 2 7
b) 2 5 e) 2 3 5
c) 13 2 f) 2 3 11
4. Todos los factores de los números del ejercicio anterior
son números primos.
5. La afirmación de Paula es correcta. Algunos ejemplos
podrían ser:
70 = 2 5 7
50 = 2 5 5
165 = 3 5 11
6. a) 1 13 g) 5 7
b) 3 5 h) 2 3 7
c) 2 3 3 i) 2 3 3 5
d) 5 5 j) 2 2 5 5
e) 3 3 3 k) 2 2 2 3 5
f) 2 2 2 2 2 l) 2 2 2 2 3 3
Página 53
1. El máximo sería 15 bolsas.
2. a) De acuerdo, porque 8 es el primer múltiplo en común
que tienen 4 y 8.
b) En desacuerdo, porque 8 no es divisor de 4.
c) En desacuerdo, porque el mínimo común múltiplo
es 24.
d) De acuerdo, porque 6 es el mayor divisor en común
que tienen 6, 12 y 24.
3. a) mcm = 35, mcd = 1
b) mcm = 91, mcd = 1
c) mcm = 187, mcd = 1
d) mcm = 20, mcd = 4
e) mcm = 48, mcd = 6
f) mcm = 36, mcd = 9
g) mcm = 15, mcd = 5
h) mcm = 49, mcd = 7
i) mcm = 121, mcd = 11
j) mcm = 96, mcd = 8
k) mcm = 126, mcd = 21
l) mcm = 120, mcd = 10
Página 54
4. a) Es correcto el cálculo del mcm realizado por Daniel.
b) Es correcto el cálculo de mcd realizado por Andrea.
c) Es conveniente utilizar estas estrategias cuando
necesitamos calcular el mcm y el mcd de números
grandes, porque hacer listas de múltiplos y de divisores
requiere mucho tiempo.
5. a) mcm = 108, mcd = 3
b) mcm = 315, mcd = 9
c) mcm = 420, mcd = 14
d) mcm = 300, mcd = 5
e) mcm = 192, mcd = 16
f) mcm = 162, mcd = 27
g) mcm = 150, mcd = 5
h) mcm = 840, mcd = 70
Página 55
6. a) Pueden ser de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ó 24 cm
b) A las 14:00 horas del día siguiente.
c) 6 ramos, con 2 claveles y 3 rosas.
7. Las fechas en que Francisco va a la escuela de fútbol son:
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 y 30 de junio.
a) No, porque el entrenamiento comienza a las
16.00 horas y no alcanzará a llegar.
b) Sí, perderá un día: el 15 de junio.
8. a) Es correcto lo que dice Daniela.
b) Es correcto lo que dice Carlos.
MI PROGRESO
1. El 5º A utilizará 4 carpas, el 5º B, 6 carpas, el 6º A, 5
carpas y el 6º B, 5 carpas.
2. Volverán a coincidir en un año más.
Página 57
1. y 2. Preguntas abiertas.
3. a) 163 280 b) 1 134 750
Solucionario
191

Solucionario 21 x 27:Maquetación 1 11/6/10 12:07 Página 192
4. a) 3 584 096 e) 168 875
b) 2 579 500 f) 12 544 336
c) 755 298 g) 103 051 500
d) 15 604 550 h) 123 444 321
Página 58
5. a) 2 3 3 = 18 combinaciones
b) 3 8 5 = 120 combinaciones
6. Preguntas abiertas
Página 59
7. a) 402 y resto = 2 c) 70 100 y resto = 1
b) 13 232 y resto = 0 d) 205 265 y resto = 0
8. a) 6 b) 260 c) 521
9. $ 8 800 000 y habrá 3 estudiantes por computador
Página 59
ESTRATEGIA MENTAL
7. a) 7 c) 80
b) 3 d) 30
Página 60
EN EQUIPO
1. Factores Producto
123 562 5 617 810
89 671 7 627 697
6 778 916 4 27 115 664
Factores Producto
5 123 562 617 810
7 89 671 627 697
4 6 778 916 27 115 664
2. Instrucciones de la actividad
3. a) Son iguales, pero están en distinto orden.
b) Los productos son iguales. Siempre ocurre lo mismo,
porque son propiedades de la multiplicación.
4.
Factores Producto
(651 16) 487 5 072 592
(629 81) 299 15 233 751
(15 292) 584 2 557 920
Factores Producto
651 (16 487) 5 072 592
629 (81 299) 15 233 751
15 (292 584) 2 557 920
Página 61
1. a) y d), b) y f), c) y g), e) y h)
192 Matemática 5
2. Las multiplicaciones a) y d) son iguales a 204 884
Las multiplicaciones b) y f) son iguales a 50 400
Las multiplicaciones c) y g) son iguales a 672
Las multiplicaciones e) y h) son iguales a 8 672 898
3.
a b b a a c
1938 1938 3420
295 200 295 200 33 200
3 720 000 3 720 000 2 400 000
c a (a b) c a (b c)
3420 174 420 174 420
133 200 65 534 400 65 534 400
2 400 000 7 440 000 000 7 440 000 000
a) En las columnas de igual color los resultados son
iguales. Se cumple la propiedad conmutativa y la
propiedad asociativa de la multiplicación.
b) y c) Preguntas abiertas
4. a) p q = q p b) p ( q r ) = ( p q ) r
5. Pregunta abierta.
Página 62
6. a) Pregunta abierta. b) 375 774
7. a) 141 b) 1261 c) 2800
8. a) Pregunta abierta.
Página 63
MI PROGRESO
1. $ 1480, $ 2960, $ 4440, $ 8880, compró 30 jugos
2. a) 185 y resto = 30 c) 228 448 y resto = 14
b) 121 383 y resto = 3
Se puede comprobar multiplicando el cociente con el
divisor y luego, sumarle el resto. El resultado debe ser
igual al dividendo.
3. a) 36 680 949 c) 38 940 354
b) 12 654 927 405 d) 6549
Página 65
1. a) 2 x ó 2x, x + 10 b) 4 y ó 4y, y – 50
2. a) En ambos casos significa el valor de 3 libros.
b) Fue un negocio exitoso ya que la cantidad de dinero
obtenido fue $ 30 000 más que el doble de la cantidad
de dinero invertido.
3. a) x – 2 2 c) x + 1
b) 3x – 10 d) x – 1

Solucionario 21 x 27:Maquetación 1 11/6/10 12:07 Página 193
Página 67
1. a) 3m + n d) 5m g) 7x – 6
b) x + y + 2z e) 3x h) 12r + 10
c) 20 + 3y f) 2p + q i) 7s
2. a) 82 d) 140 g) 103
b) 79 e) 45 h) 148
c) 63 f) 68 i) 286
3. a) m – 9 d) m – n g) n + z
b) n + 3 e) 3 m + 9
c) 30 – m f) m – x
Página 69
1. a) x = 4 kg b) x = 3 kg c) x = 3 kg
2. a) 2x + 6 = 28 b) (2 6) + x = 28
MI PROGRESO
1. 1500x; y = 2x
2. x = 10; $ 20 000
Página 71
BUSCANDO ESTRATEGIAS
1. a) $ 14 400
b) $ 45 000
c) $ 580
d) Le alcanza el dinero para comprar 12 azulejos, porque
cuestan $ 11 640.
3. a) Gana $ 1 358 800
b) Se necesitan 300 cajas
c) 106 cajas para los alfajores y 142 cajas para los
berlines. Recaudan diariamente $ 632 976
d) 690 281 salmones
e) $ 190 500
Página 74
QUÉ APRENDÍ
1. C 3. C 5. D 7. A
2. B 4. D 6. D 8. B
Página 75
9. a) 2 2 2 2 3 c) 5 5 5
b)2 2 3 5 d) 3 3 3 3 3
10. a) mcm = 1540, mcd = 10 b) mcm = 231, mcd = 11
11. Le sobró $ 4090
12. Puede guardar 10 CD: 2 CD de rock, 3 CD de pop y
5 CD de salsa. Necesita en total 5 cajas.
Página 76
Taller de evaluación 1
1. B 3. C 5. C 7. C 9. D
2. B 4. A 6. C 8. D 10. A
11. D
Página 77
II.
1. a)
567 037
536 589
2 933 337
Unidad 3: Fracciones
Página 80
1. a)
3
6
5
b)
8
3
c)
4
d)
2. a) Dos quintos d) Siete octavos
b) Tres sextos e) Cinco séptimos
c) Cuatro novenos
3
3. a) b)
7
c)
4
d)
2
4
10
8
6
4.
0 1
4
5. a) 6 b)
1
c)
1
d)
6
2
Página 81
1
2
2
4
6. a) b) 2
3
4
3
3
4
8
8
1
3
Solucionario
7 932 053
b) 7 932 053 , 2 933 337 , 567 037 , 536 589
c) 30 448 personas
d) 12 000 000 personas aproximadamente
e) Ambos obtuvieron 3 500 374, porque aplicaron la
propiedad conmutativa de la adición.
2. a) 9 trabajadores
b) 3360 libros
c) Cada uno recibe $ 15 196.
d) Ambas estuvieron embarazadas en el año 2005
3. a) La edad que la persona tendrá en un año más.
b) La edad que tenía la persona hace un año.
c) El doble de la edad de la persona.
4. a) Verdadera b) Falsa porque p = 5 c) Verdadera
5. Raúl corrió 13 km
1
193

Solucionario 21 x 27:Maquetación 1 11/6/10 12:07 Página 194
Página 83
Dibujo Numerador Denominador Fracción Se lee…
194 Matemática 5
4 4
6 8
4 8
7 10
4
4
6
8
4
8
7
10
Cuatro
cuartos
Seis
octavos
Cuatro
octavos
Siete
décimos
2. a) Cinco séptimos, quince séptimos
b) Un centésimo, un milésimo.
c) Tres onceavos, cuatro onceavos, diez onceavos.
d) Siete veinteavos, diecinueve veinteavos, veintitrés
veinteavos.
3. a) 3
c)
12
e)
9
18
b)
5
d)
36
f)
12
40
Página 85
2
1. a) Fracción propia, .
3
10
b) Fracción impropia, .
6
8
c) Fracción igual a la unidad, .
8
6
d) Fracción impropia, .
2
6
e) Fracción igual a la unidad, .
6
11
f) Fracción impropia, .
6
2. a) Fracción propia.
b) Fracción impropia.
c) Fracción igual a la unidad.
d) Fracción impropia.
e) Fracción impropia.
f) Fracción propia.
g) Fracción igual a la unidad.
h) Fracción propia.
10
100
15
1000
3.
Página 86
Representación gráfica
1. a) 12 , 4 , 2 , por ejemplo.
18 6 3
b)
5
, 4 , 2 , por ejemplo.
10 8 4
c)
6
, 2 4
, , por ejemplo.
15 5 10
Fracción
impropia
7
3
8
5
5
2
5
3
5
4
6
2
Número
mixto
1
2
3
3
1
5
1
2
2
2
1
3
1
1
4
Página 87
2. a) Pregunta abierta.
b) El de Marcela sí, el de Felipe no siempre, porque a
veces las fracciones no se pueden simplificar más.
c) Utilizaría el procedimiento de Marcela, porque estas
fracciones no se pueden simplificar más.
6 9 30
3. a) , , , por ejemplo
14 21 70
4 12 10
b) , , , por ejemplo
10 30 25
3 6 2
c) , , , por ejemplo
9 18 6
3 30 45
d) , , , por ejemplo
5 50 75
3 9 6
e) , , , por ejemplo
4 12 8
1 3 8
f) , , por ejemplo
3 9 24
MI PROGRESO
1. Un sexto, fracción propia; dos octavos, fracción propia;
un tercio, fracción propia; un doceavo, fracción propia;
dos doceavos, fracción propia.
3

Solucionario 21 x 27:Maquetación 1 11/6/10 12:07 Página 195
2. a) Gasta más dinero en dividendo. Gasta menos dinero
en otros gastos y ahorro.
1 2
b) En alimentación y en ahorro. y . Son fracciones
6 12
equivalentes.
Página 89
1. a) < c) < e) >
b) > d) < f) =
2. a) Pregunta abierta.
4 6 1 2 2 1
b) < ; < ; <
8 9 7 8 10 2
3. a) La tarta de frambuesa
b) Pablo
4. a) 10 personas usan malla. 6 personas usan buzo.
b) La mayoría de las personas usan malla.
5. Hay más lápices verdes.
Página 91
1. a) 1
5
c)
4
8
4
e)
3
2. a)
6
3
b) d) f)
7
11
MI PROGRESO
1. 2 , 3 , 1 1 , 1 1
3 4 4 2
2.
b)
c)
0 2 1
5
3
3
0 1
0 11
1 2
6
0 1 1 2
0 2 3 1 1 1
2
1 1
3 4
4 2
3. a) Ocupa más tiempo en practicar deporte y menos
tiempo en estudiar.
b) En jugar.
c) En ver televisión.
Página 93
1. a) En morado:
6
4
, en celeste: , fracción pintada:
14
14
, fracción sin pintar: 4
10
14
14
d)
e)
f)
4
7
8
5
0 1 2 8 3
0 1 2 3 3 4
3
1
2
3
3
6
b) En morado: , en celeste: , fracción pintada: ,
8
8
8
fracción sin pintar: 2
8
4 7
4
2. a) c) e) g)
7 8
9
4 3
1
b) d) f) h) 0
5 5
2
19
7
3. a) c) e)
25
30
5
5
b) d) f)
18
10
2
20
4. a) b) c)
10
25
5. a)
7
del huerto está sembrado.
1
del huerto falta por
8
8
sembrar.
b) Quedó
3
de los pasteles.
20
Página 94
7
13
1. a) c) 1 e) g)
12
9
24
32
2
13
7
18
1 1
1
4
b) d) f) h)
4 5
9
15
Página 95
2. a) 3 de hora.
8
b) Ha cosechado
7
, falta por cosechar
3
total de las
10
10
plantaciones de lechuga.
MI PROGRESO
3
1
1. 2. 3. Pregunta abierta.
4
4
Página 97
BUSCANDO ESTRATEGIAS
1
1. a)
6
b) Ambos aportarán lo mismo
1
c) Entre las dos compraron 1 de kilogramo de pan.
2
1
Francisca compró más, de kilogramo más.
6
2. Pregunta abierta.
3
5
2
5
Solucionario
195

Solucionario 21 x 27:Maquetación 1 11/6/10 12:07 Página 196
3. a) Entre los dos tomaron
4
,queda
1
de la bebida ahora.
6 12
4
b) Quedó de la torta. c) 59
3
Kg.
10
8
d) 14
2
horas; 9
1
horas
3 3
Página 100
1. A 3. C 5. C 7. D
2. D 4. B 6. C 8. C
Página 101
9. a) 6 , 12 , por ejemplo.
8 16
b) 4 , 6 , por ejemplo.
14 21
10. a)
1
1
b)
2
2
11. a)
1
3
b) c)
12. Alicia compró más gomitas, de kilogramo más.
7
5
7
8
5
24
Unidad 4: Decimales
Página 104
1. a) Cuatro quintos c) Veinticuatro centésimos
b) Tres décimos d) Cincuenta milésimos
2. a) > b) = c) < d) >
12
3. a)
100
52
b)
100
88
c)
100
48
d)
100
4. a)
3
10
8
b)
25
5. a)
8
10
b)
35
10
c)
36
100
d)
30
100
Página 105
6. a)
7
10
c)
3
10
e)
1
10
g)
2
10
6
b)
10
15
d)
100
f)
32
100
21
h)
1000
7. a) Carlos
4
1
b) Se comieron del chocolate, quedó .
5
5
Página 107
1. Número decimal C D U , Décimos Centésimos Milésimos Se lee
3,7 3 , 7 3 enteros, 7 décimos.
14,65 1 4 , 6 5 4 enteros, 65 centésimos.
50,239 5 0 , 2 3 9 50 enteros, 239 milésimos.
125,25 1 2 5 , 2 5 125 enteros, 25 centésimos.
34,017 3 4 , 0 1 7 34 enteros, 17 milésimos.
286,7 2 8 6 , 7 286 enteros, 7 décimos.
53,005 5 3 , 0 0 5 53 enteros, 5 milésimos.
196 Matemática 5
c)
40
,
20
, por ejemplo.
50 25
d) 6 , 8 , por ejemplo.
9 12
1
3
c)
d)
5
4
2. a) Seiscientos cuarenta y nueve milésimos.
b) Cuatro enteros, cincuenta y cuatro milésimos.
c) Doce enteros, trescientos ocho milésimos.
d) Dos enteros, cinco milésimos.
e) Veinte enteros, dos centésimos.
f) Ciento venticinco enteros, ciento venticinco milésimos.
g) Sesenta y cuatro enteros, cuarenta y seis centésimos.
h) Diez enteros, cuarenta y dos milésimos.
3. a) 3 unidades. e) 3 décimos.
b) 3 decenas. f) 3 centésimos.
c) 3 décimos. g) 3 centenas.
d) 3 milésimos. h) 3 centésimas.
4. a) 11,12 d) 2,045
b) 0,28 e) 45,008
c) 8,123 f) 100,4
Página 110
1. a) 0,8 e) 0,25 h) 0,37
b) 2,5 f) 0,375 i) 0,9
c) 0,02 g) 0,55 j) 0,48
d) 0,875
2. 3,86
3. a) Finito. e) Semiperiódico.
b) Finito. f) Periódico.
c) Semiperiódico. g) Periódico.
d) Finito. h) Semiperiódico.
ESTRATEGIA MENTAL
1. a) 0,9 d) 0,078
b) 0,06 e) 0,034
c) 8,95

Solucionario 21 x 27:Maquetación 1 11/6/10 12:07 Página 197
2. a)
27
d)
1000
Página 113
1.
2.
6
b) e)
1000
c)
64
10 000
4
10
0,75
3,8
1,2
895
1000
148
100
4 4,8 5,5
4,2
a) Tres alumnos.
b) Más abajo: 3,8, más alto: 6,8.
c) Tres estudiantes, Denisse.
2,4 4,8
5,2
3 5
MI PROGRESO
1. a) Se escribe 1,05. c) Se lee 4 enteros, 567 milésimos.
7
b) Corresponde a 2
10
d)
89
100
89
2. a) 0,89; b) Entre 4 y 5;
100
6,3
Página 115
1. a) < d) > g) <
b) < e) > h) >
c) > f) < i) <
2. a) 1,52 _ ; 14,02; 14,2; 14,32; 15,02 _ ;
b) 8,005 _ ; 8,05; 8,055; 8,55; 8,5 _
5,7 6,6
4567
1000
c) 10,004 _ ; 10,044; 10,04 _ ; 10,404; 10,444
3. a) 4,2, por ejemplo. c) 1,26, por ejemplo.
b) 3,4, por ejemplo. d) 4,36, por ejemplo.
4. a) Carlos se demoró menos, Victoria fue la última.
El orden fue: Carlos, Marcela, Felipe y Victoria.
b)15,56
MI PROGRESO
1. En mayo de 2007.
2. En marzo de 2008.
3. No
4. Porque los pesos chilenos actualmente no tienen centavos.
Página 116
1. a) 2,08 d) 1,43 g) 44,16
b) 17,29 e) 0,88 h) 12,99
c) 11,25 f) 5,59 i) 10,475
57
10
6,8
Página 117
2. a) 23,9; 27,4; 30,9; 34,4 c) 0,75; 0,5; 0,25; 0
b) 11,8; 11,1; 10,4; 9,7
3. a) 1,46 minutos. c) Claudia mide 1,59 m.
b) 6,1 kilogramos.
MI PROGRESO
1. El miércoles corrió más y el lunes corrió menos.
2. 8,6 kilómetros, 12,7 kilómetros, 4,1 kilómetros.
3. 90,3 kilómetros.
Página 119
BUSCANDO ESTRATEGIAS
1. a) 8,4 cm b) 42,5 cm c) 112,78 kg
2. Pregunta abierta.
3. a) 0,50 m d) 5,45 m
b) 0,75 kg e) Paula, Claudio, Martín; Martín,
c) 8,7 km Paula, Claudio.
Página 122
1. C 3. C 5. C 7. C
2. D 4. C 6. D 8. A
Página 123
9. a + b a – b b + c c – b (a + b) – c
10. 6,1
11. 0,1
57,41 19,59 46,09 8,27 30,23
19,457 5,357 18,558 4,458 7,949
Página 124
Taller de evaluación 2
I. 1. B 5. B 8. C
2. B 6. D 9. D
3. D 7. C 10. A
4. A
Página 125
II. 1. a) 21,8; 26,4; 28,5; 30; 31,2;.
b) Marcela ganó, Luisa obtuvo el último lugar.
c) Marcela, Luisa, Fernando, Rodrigo y Andrés.
d) 9,4 segundos.
2. a) US$ 15,7
b) 0,5 km
c) 3
8
4
6
d) Gastó de sus ahorros, guardó .
10
10
e) Son iguales.
Solucionario
197

Solucionario 21 x 27:Maquetación 1 11/6/10 12:07 Página 198
Unidad 5: Geometría
Página 128
1. a) mm c) cm e) kg g) g
b) m d) km f) L
2. a) 100 cm c) 1000 g
b) 1000 mL d) 1000 m
3. a) Pregunta abierta. b) Pregunta abierta.
4.
Nombre
Todos sus
lados son de
igual medida
Sus lados
opuestos
son de igual
medida
Todos sus
ángulos son
rectos
cuadrado x x x
rectángulo x x
No tiene
ángulos
rectos
rombo x x x
romboide x x
a) En la medida de sus ángulos.
b) El rectángulo solo tiene ángulos rectos, el romboide
no tiene ángulos rectos.
c) Tanto el cuadrado como el rectángulo tienen todos
sus ángulos rectos. Ni el rombo ni el romboide
tienen ángulos rectos.
Página 129
5. a) 0,3 d) 10 143 g) 238 100
b) 6050 e) 26 030 h) 4 000 100
c) 5432 f) 50 i) 50 000
Página 131
EN TU CUADERNO
1. a) Agudo c) Agudo e) Obtuso
b) Obtuso d) Obtuso f) Extendido
2. a) No, porque sus ángulos son mayores que 180º
b) Mayores c) No
Página 133
MI PROGRESO
1. a) 40º, Agudo c) 135º, Obtuso e) 130º, Obtuso
Página 135
1. a) 6 cm b) 60 cm c) 10 m
2. a) mayor c) mayor e) mayor
b) mayor d) mayor
3. a) cm 2 b) mm 2 c) m 2 d) m 2
4. a) 1300 cm d) 5 m g) 500 cm
b) 20 m e) 20 000 cm h) 12 000 cm
c) 3200 cm f) 5 cm i) 9 km
198 Matemática 5
Página 136
5. a) 50 000 cm 2 f) 32 m 2
b) 4000 mm 2 g) 35 000 000 m 2
c) 170 000 cm 2 h) 460 000 cm 2
d) 12 000 000 mm 2 i) 360 cm 2
e) 320 m 2 j) 0,0000015 m 2
6.
7.
Milímetros
(mm)
Centímetros
(cm)
Metros
(m)
125 12,5 0,125
4500 450 4,5
270 27 0,27
10 800 1080 10,8
37 500 3750 37,5
25 2,5 0,025
Milímetro cuadrado
(mm 2 )
Centímetro cuadrado
(cm 2 )
Metro cuadrado
(m 2 )
160 000 1600 0,16
720 7,2 0,00072
250 000 2500 0,25
9 600 000 96 000 9,6
19 600 196 0,0196
22 500 225 0,0225
Página 137
a) No es correcto, porque 60 mm equivale a 6 cm, y eso
no corresponde a la medida de una pierna.
b) No, el orden correcto de los lugares es Cristóbal, Pablo
y Felipe.
c) El departamento de Andrea es más grande,
2,25 m 2 más grande.
d) 0,00714 km 2
ESTRATEGIA MENTAL
1.
mm 2500 32 0,125 1400 750 22 500
cm 250 3,2 0,0125 140 75 2250
m 2,5 0,032 0,000125 1,4 0,75 22,5
2.
mm 2 16 000 000 32 125 1 400 000 7500 22 500
cm 2 160 000 0,32 1,25 14 000 75 225
m 2 16 0,000032 0,000125 1,4 0,0075 0,0225
Página 138
1. a) 6 m b) 18 m
c) 13 triángulos equiláteros (9 chicos, 3 medianos y
1 grande), 6 m los chicos, 12 m los medianos y
18 m los grandes.
Página 139
2. Pregunta abierta.
3. a) 17 cm b) 29,95 mm c) 5 mm d) 66 m

Solucionario 21 x 27:Maquetación 1 11/6/10 12:07 Página 199
4. El tercer lado mide 16 mm, corresponde a un triángulo
isósceles.
Página 141
1. a) 8 cm c) 24 cm
b) 16 cm d) 22 cm
2. a) 58 cm b) 12 m c) 300 mm
3. Cada lado mide 12,25 cm
4. a) 25 m b) 5,6 m c) 246 m d) Sí
MI PROGRESO
1. El lado del triángulo equilátero mide 12 cm y el del
cuadrado mide 9 cm.
2. 13 cm.
3. a) máximo 88 m, mínimo 70 m b) 352 m
Página 143
EN TU CUADERNO
1.
Cuadrado
de lado a
Perímetro Área
6 mm 24 mm 36 m2 9 cm 36 mm 81 m 2
10 m 40 m 100 m 2
Rectángulo de lados:
a b
Perímetro Área
7 cm 3 cm 20 cm 21 cm2 9 mm 2 mm 22 mm 18 mm 2
5 cm 4 cm 18 cm 20 cm 2
a) Pregunta abierta. b) Pregunta abierta. c) 8 cm
d) Una posible respuesta es 16 cm y 4 cm. Existe más de
una posibilidad.
2. a) 9 cm b) 12 cm y 15 cm c) 7 cm y 4 cm
3. Pregunta abierta.
4. Su perímetro se duplica y su área se cuadriplica. Cuando
la medida del lado se triplica, su perímetro se triplica y su
área es nueve veces la del área original.
Página 144
EN EQUIPO
2. Figura Cuadrado Rectángulo A Rectángulo B
Área 100 cm 2 200 cm 2 200 cm 2
3. a) Se forman dos triángulos congruentes. Cada triángulo
corresponde a la mitad del cuadrado.
b) 4 triángulos iguales. Cada triángulo corresponde a la
cuarta parte del rectángulo. Dos triángulos representan
la mitad del rectángulo.
c) Se forman 2 triángulos congruentes. Cada uno
representa la mitad del rectángulo.
Página 146
EN TU CUADERNO
1. De izquierda a derecha: 1250 cm 2 , 750 cm 2 , 2000 cm 2 ,
750 cm 2 , 750 cm 2
a) Pregunta abierta.
2. Pregunta abierta.
3. a) Todos los triángulos tienen la misma longitud de la
base y de la altura.
b) Las áreas son iguales a 18 unidades.
c) Si, cualquier triángulo con la misma base y la misma
altura va a tener siempre la misma área.
d) Pregunta abierta.
Página 147
MI PROGRESO
1. a) El área de ambos terrenos es 2450 cm 2
b) Es más barato el terreno que cuesta 3 UF el m 2
Página 148
1. a) 12 a 2 c) 10 a 2
b) 13 a 2 d) 13 a 2
Página 149
2. a) 20 cm 2 c) 12 cm 2 e) 12 cm 2
b) 14 cm 2 d) 13 cm 2 f) 14 cm 2
3. a) El largo y ancho de la piscina puede ser: 36 m y 1m,
18 m y 2 m, 12 m y 3 m, 9 m y 4 m, respectivamente
(sin considerar números decimales para las medidas
de los lados de la piscina).
b) Sí, la medida de su lado sería 6 m.
c) 52 m 2
Página 150
4. a) 33 m 2 b) 11 m 2
5. a) 10 cm 2 b) 13 cm 2 c) 12 cm 2 d) 20 cm 2
6. a) Dos triángulos y un rectángulo
b) 12 cm 2
Página 151
1. 20 m 2
2. $ 200 000
Página 152
3. a) La medida del lado del cuadrado C es el triple de la
medida del lado del cuadrado A.
b) Si se triplica la medida del lado de un cuadrado, el
perímetro aumenta al triple y el área equivale a 9 veces
el área original.
Solucionario
199

Solucionario 21 x 27:Maquetación 1 11/6/10 12:07 Página 200
Página 153
2.
Medida del lado del cuadrado (cm) 1 2 4 5 10
Perímetro (cm) 4 8 16 20 40
Área (cm 2 ) 1 4 16 25 100
Si la medida
del lado de
un cuadrado
es 3 cm se:
triplica cuadruplica quintuplica sextuplica
Perímetro 36 48 60 72
Área 81 144 225 324
a) No, su área equivale a 16 veces el área original.
b) No, su área equivale a 25 veces el área original.
c) El perímetro es equivalente al séxtuple del perímetro
original pero el área equivale a 36 veces el área original.
Página 155
1. a) 70 cuadrados
b) 1600 baldosas
c) No, faltan 28 baldosas.
2. Pregunta abierta.
3. a) 1600 azulejos
b) 920 papeles de colores.
c) 6 fotos
d) 1,8 m 2
e) 252 cerámicas
f) 24 cm 2
Página 158
1. C 3. B 5. B 7. B
2. A 4. D 6. B 8. B
Página 159
10. a) 300 mm e) 80 000 cm 2
b) 1500 cm f) 1500 mm 2
11. 44 m
12. 180 m 2
13. 21 km 2
200 Matemática 5
Unidad 6: Datos y Azar
Página 162
¿CUÁNTO SABES?
1. a) Coquimbo
b) Metropolitana de Santiago
c) Coquimbo y Araucanía
d) Pregunta abierta
2.
3.
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
800
700
600
500
400
300
200
100
0
Número
de salas
Antofagasta
Precio ($)
2007
Página 163
4. a) Agosto
b) Enero
Coquimbo
2006
Valparaíso
c) Entre abril y julio
d) Pregunta abierta
2005
Maule
2004
Biobío
Araucanía
Precio promedio
de pan corriente ($)
2003
Metropolitana
2002
Región
Año

Solucionario 21 x 27:Maquetación 1 11/6/10 12:07 Página 201
5.
Actividad
Número
de niños
Salir a la calle 12
Ver televisión 17
Escuchar música 10
Leer 6
Página 165
1. a) Pedro; El que logró bajar más de peso fue Domingo.
b) Pedro
c)
Inicio (kg) Término (kg)
Domingo 100 60
Tomás 90 60
Francisco 100 70
Pedro 110 90
d) Pregunta abierta.
Página 166
2. a) Las gráficas son descendentes.
b) Ascendente.
c) Pregunta abierta.
d) Pregunta abierta.
3. a) Pregunta abierta.
b) Pregunta abierta.
Página 167
4. a) 20 ºC
b) A las 13 horas.
c) A las 10 y a las 12 horas
d) 22,5 ºC
e)
Tiempo (horas) Temperatura (0º C)
5. a) el 28 de julio
b) Gráfico de líneas
b) en 5
.
10 15
11 20
12 15
13 25
14 30
15 30
Página 168
1. a) No.
b) No.
c) Ahora, nada, porque el gráfico no entrega toda la
información necesaria
d) Falta la escala de las cantidades correspondientes, los
valores de las variables y la indicación de a qué
corresponde cada color.
Página169
2. a) No, porque las alturas de las barras están con errores.
b) Sí, falta nombrar las variables que corresponden
a cada eje.
c) Pregunta abierta.
frecuencia
absoluta
300
250
200
150
100
50
0
Mar
Lago
d) Las alturas de las barras.
3. a) Pregunta abierta.
b)
Precio promedio
Precio ($)
de un computador
300 000
250 000
200 000
150 000
100 000
50 000
0
2003
2004
4. a) Pregunta abierta.
Lugares favoritos
para las vacaciones
Campo
2005
Montaña
2006
Desierto
2007
lugar
Año
Solucionario
201

Solucionario 21 x 27:Maquetación 1 11/6/10 12:07 Página 202
b)
120
100
80
60
40
20
0
Página 171
MI PROGRESO
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
Menos de una
semana
Tienda 1
Una semana
1. Pregunta abierta.
2. La tienda 1, la tienda 3 y la tienda 4.
Página 173
1. El gráfico C.
2. a) Pregunta abierta.
b) Pregunta abierta.
MI PROGRESO
1. Aumenta
2. Pregunta abierta.
Página 174
1. a) Dos, puede acertar en el color azul o en el color
amarillo.
202 Matemática 5
Duración de las
vacaciones
Cuadernos vendidos
Tienda 2
Dos semanas
Tres semanas
Tienda 3
Un mes
Más de
un mes
Tienda 4
b) No, porque también puede acertar en el color amarillo.
c) Posible.
d) No, porque ningún sector de la ruleta es de color rojo.
e) Pregunta abierta.
2. Pregunta abierta.
Página 175
3. a) Posible. f) Seguro.
b) Posible. g) Posible.
c) Imposible. h) Imposible.
d) Posible. i) Posible.
e) Imposible.
4. a) Posible. d) Seguro.
b) Posible. e) Posible.
c) Imposible. f) Seguro.
Página 176
1. a) Más probable.
b) Menos probable.
c) Igualmente probable.
d) Igualmente probable.
e) Más probable.
f) Improbable.
Página 177
MI PROGRESO
1. a) No
b) No
c) Sí
2. Pregunta abierta.
Página 179
1. a) En 2007 entraron a la universidad 131 alumnos y
alumnas. En 2008 entraron a la universidad
120 alumnos y alumnas.
b) En una semana se venden 250 kilogramos de pan.
2. Pregunta abierta
3. Asisten a la obra 301 personas.
Página 182
1. B 5. B
2. D 6. C
3. C 7. C
4. C 8. C

Solucionario 21 x 27:Maquetación 1 11/6/10 12:07 Página 203
Página 183
9. a)
30
25
20
15
10
5
0
b) En marzo, en febrero
c) Febrero, enero, junio, mayo, abril, marzo.
Página 184
Taller de evaluación 3
I.
1. D 4. C
2. C 5. D
3. B 6. C
4.
16
14
12
10
8
6
4
2
0
Número de autos y camionetas
reparados en un taller mecánico.
Enero
Jueves
Febrero
Viernes
Marzo
Abril
Sábado
Mayo
Domingo
Junio
Número
de autos
Número de
camionetas
Página 185
II.
1. 90º, ángulo recto, 120º, ángulo obtuso y 50º, ángulo
agudo, respectivamente.
2. a) 66 000 cm 2
b) 165 baldosas.
c) No Exactamente, habría que cortar alguna.
3. De izquierda a derecha: 7,5 cm 2 ; 15 cm 2 y 6 cm 2
b) El día sábado.
c) El día jueves.
d) Jueves, viernes, domingo, sábado.
e) Jueves, viernes, domingo, sábado.
Chalecos
Mantas
Solucionario
203

Solucionario 21 x 27:Maquetación 1 11/6/10 12:07 Página 204
204 Matemática 5
Bibliografía
Mineduc. Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios de la
Educación Básica. Ministerio de Educación de Chile, 2001.
Mineduc. Propuesta Ajuste Curricular. Objetivos Fundamentales y Contenidos
Mínimos Obligatorios. Ministerio de Educación de Chile, septiembre 2007.
Material CRA
Artigue, Michéle y otros. Ingeniería didáctica en educación matemática. Grupo
Editorial Iberoamérica, México, 1995, 1ª ed.
Profundiza uno de los aspectos característicos de la escuela francesa de didáctica
de las matemáticas: la ingeniería didáctica, que desarrolla el área de la educación
matemática con una doble función, la investigación que ha utilizado
metodologías externas a la clase y la metodología de la investigación específica.
Cedillo, Tenoch. Calculadoras: Introducción al Álgebra. Grupo Editorial
Iberoamérica, México, 1997.1ª ed. [r. 1996]
Las actividades propuestas están orientadas a la enseñanza del código algebraico
como herramienta para expresar generalizaciones y resolver problemas, e introducir
la noción de función a partir de la construcción e interpretación de gráficas.
Guzmán, Miguel de. Para pensar mejor. Ediciones Pirámide, España, 1995, 2ª ed.
El objetivo de la obra es mostrar cómo la exploración de los propios métodos de
pensamiento es una tarea que puede mejorar la calidad del pensar y los aportes
de la Matemática en este ámbito.
Hitt, Fernando. Investigaciones en Matemática Educativa. Grupo Editorial
Iberoamérica, México, 1996, 1ª ed.
Reúne un conjunto de artículos sobre diversas investigaciones que tratan la
problemática de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas desde el nivel
básico hasta el universitario.
Orobio, H. y Ortiz, M. Educación Matemática y desarrollo del sujeto. Magisterio,
Colombia, 1997, 1ª ed.
El autor propone una estrategia pedagógica que implica la comprensión del
desarrollo de los sujetos, el proceso de construcción y estructuración lógica de
los conceptos y de los saberes específicos abordados con los alumnos y alumnas.
Rodríguez, José y otros. Razonamiento matemático. International Thompson
Editores, México, 1997, 1ª ed.
Organizado en cinco capítulos, el texto trata el modelo de Polya y presenta
estrategias utilizadas para resolver problemas, conceptos de álgebra relacionados
con ecuaciones de primer grado, interpretación gráfica y las matemáticas de
finanzas.
Steen, Lynn. La enseñanza agradable de las matemáticas. Editorial Limusa,
México, 1998, 1ª ed.
Pretende mostrar que es posible desarrollar el pensamiento matemático
mediante experiencias informales a muy temprana edad, mucho antes de que los
niños lleguen al punto de poder comprender fórmulas algebraicas.
Varios autores. Enseñanza efectiva de las Matemáticas. Grupo Editorial
Iberoamérica, México, 1995, 1ª ed.
Guía básica que sugiere técnicas y habilidades para la enseñanza de las
matemáticas; incluye aspectos que abarcan desde la preparación y desarrollo de
una clase hasta la elaboración y aplicación de pruebas y exámenes.

Solucionario 21 x 27:Maquetación 1 11/6/10 12:07 Página 205
Libros
Artigue, M. “Una introducción a la didáctica de la matemática”, en Enseñanza
de la Matemática. Selección bibliográfica, traducción para el PTFD, MCyE, 1994.
Arenas Fernando y equipo. Geometría Elemental. Ediciones Universidad Católica
de Chile, Santiago,1993.
Bermeosolo, J. Metacognición y estrategias de aprendizaje e instrucción.
Documentos de apoyo a la docencia, proyecto FONDECYT 1940767, Santiago,
1994.
Brousseau, Guy. Fundamentos y Métodos de la Didáctica de la Matemática.
Traducción realizada por Dilma Fregona (FaMAF), Universidad de Córdoba, y
Facundo Ortega, Centro de Estudios Avanzados, UNC, Argentina, 1993.
Corbalán, Fernando. La matemática aplicada a la vida cotidiana. Graó, Barcelona,
1995.
Coxeter, H.S.M.; Greitzer, S.L. Geometry Revisited. The Mathematical Association
of America, EE.UU., 1967.
Chevallard Y. La transposición didáctica. Del saber sabio al saber enseñado.
Aique, Buenos Aires, 1991.
Chevallard, Y., Bosch, M. y Gascón, J. Estudiar matemáticas. El eslabón perdido
entre enseñanza y aprendizaje. Horsori, Barcelona, 1997.
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Dickson, L. Brown, M. y Gibson, O. El aprendizaje de las Matemáticas. Ed. Labor,
Barcelona, 1991.
Enzensberger, Hans Magnus. El diablo de los números. Ediciones Siruela, España,
1998.
E.T. Bell. Los grandes matemáticos. Editorial Losada S.A., Buenos Aires, 1948.
Eves, H. Estudio de las Geometrías. Vol I, II. Unión Tipográfica Editorial Hispano
Americana, México, 1969.
Figueroa, Lourdes. “Para qué sirve medir”. Cuadernos de Pedagogía, Nº 302,
España, 2001.
Flavell, John. El desarrollo cognitivo y el aprendizaje. Visor, Madrid, 1985.
Gardner, Martin. Carnaval matemático. Alianza Editorial, Madrid, 1980.
Gardner, Martin. ¡Ajá! Paradojas. Paradojas que hacen pensar. Labor S.A.,
Barcelona, 1989.
Guedj, Denis. El imperio de las cifras y los números. Ediciones B S.A., Barcelona,
1998.
Guzmán R., Ismenia. Didáctica de la matemática como disciplina experimental.
Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Chile, 2002.
Jouette André. El secreto de los números. Ediciones Robinbook, Barcelona, 2000.
Julius, Edgard. Matemáticas rápidas. Norma, Bogotá, 2002.
Linares, Salvador. Fracciones, la relación parte-todo. Síntesis, Madrid, 1988.
Mateos, Mar. Metacognición y educación. Aique, Buenos Aires, 2001.
Miguel de Guzmán y otros. Matemáticas Bachillerato 3. Editorial Anaya, Madrid,
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Moise, E.; Downs, F. Geometría Moderna. Addison Wesley, EE.UU., 1966.
Moise, E. Geometría Elemental desde un punto de vista Avanzado. Compañía
Editorial Continental, S.A., México, 1980.
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Bibliografía
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National Council of Teachers of Mathematics. Principios y Estándares para la
Educación Matemática. Sociedad Andaluza, Sevilla, 2003.
Novak, J. Aprendiendo a aprender. Ediciones Martínez Roca S.A., Barcelona,
1988.
Ontoria A. Mapas conceptuales. Editorial Nancea, 2ª edición, España, 1993.
Perelman, Yakov. Matemáticas recreativas. Ediciones Martínez Roca S.A.,
Barcelona, 1987.
Perero, Mariano. Historia e historias de matemáticas. Grupo Editorial
Iberoamericano, México, 1994.
Pozo, J. L. Teorías cognitivas del aprendizaje. Morata, Madrid, 1990.
R. David Gustafson . Álgebra Intermedia. International Thomson Editores,
México, 1997.
Rencoret, María del Carmen. Iniciación matemática - Un modelo de jerarquía de
enseñanza. Editorial Andrés Bello, Santiago, 2002.
Sternberg, R., Apear-Swerling L. Enseñar a pensar. Aula XXI, Santillana, España,
1996.
Stewart, Ian. Ingeniosos encuentros entre juegos y matemáticas. Gedisa,
Barcelona, 1990.
Vygotski, L. El desarrollo de los procesos psicológicos superiores. Libergraf, S.A.,
Barcelona, 1995.
Winston H. Elphick D. y Equipo. 101 Actividades para implementar los Objetivos
Fundamentales Transversales. Lom Ediciones, 2001.
RECURSOS TECNOLÓGICOS
Software educativos
SÚPER MIX MAT 3 - 4
Es un programa para apoyar la enseñanza de la Matemática. La metodología que
utiliza este software, se sustenta en principios didácticos basados en la actividad
y la libre experimentación.
http://www.enlaces.cl/doc/catalogo_sw/Web_97/Ficha28.html
MATEMATIX
Es una herramienta creada para el estudio y comprensión de la Matemática.
Funciona como un laboratorio, lo que nos permite organizar, clasificar,
cuantificar, analizar y asimilar la información dispersa. Pretende dotar y capacitar
a los estudiantes de las herramientas que permiten que puedan desenvolverse
satisfactoriamente en el mundo científico y tecnológico.
http://www.enlaces.cl/doc/catalogo_sw/Web_97/Ficha30.html
¿CÓMO EVALUAR EL PENSAMIENTO?
Niveles Educativos: NM1 -– NM2 - NM3 - NM4
Desarrolla los OFT.
http://www2.redenlaces.cl/webeducativos/pensamiento/menu.htm

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Páginas webs
Ministerio de Educación de Chile
http://www.mineduc.cl
La Red Maestros cuyo propósito es fortalecer la profesión docente, mediante el
aprovechamiento de las capacidades de los profesionales previamente
acreditados como docentes de excelencia, contribuyendo así al desarrollo
profesional del conjunto de los docentes de aula.
http://www.rmm.cl
Portal de Centro de Perfeccionamiento Experimentación e Investigaciones
Pedagógicas.
http://www.cpeip.cl
Centro Comenius. Software educativos, en especial de matemáticas, recursos y
muchas cosas más. Patrocinado por la USACH.
http://www.comenius.usach.cl
El Paraíso de las Matemáticas
http://www.matematicas.net
Enlaces a matemáticas básicas para niños, publicaciones y programas educativos.
Debate, entretenimiento (juegos matemáticos) y bibliografía.
http://www.arrakis.es/~mcj
Entretenimiento, recursos y enlaces. Software, libros, Escher, Fibonacci: el
Número de Oro. Problemas: taller de matemáticas. IRC: canal sobre educación.
http://platea.pntic.mec.es/~aperez4
Recursos matemáticos Redemat
http://www.recursosmatematicos.com/redemat.html
Base de datos de documentos para Educación.
http://www.cide.cl/campos/profes/setreduc.htm
REDUC: Red Latinoamericana de información y documentación en educación.
Contiene base de datos sobre investigaciones, textos completos, recortes de prensa.
http://www.reduc.cl
Sociedad de Matemática de Chile
http://www.mat.puc.cl/~socmat
Recursos matemáticos Redemat
http://www.recursosmatematicos.com/redemat.html
La Sociedad Europea de Matemáticas (EMS) ofrece en este web una gran
cantidad de información sobre matemáticas, desde congresos a los que te
puedes apuntar por correo electrónico hasta monográficos de autores famosos
que tratan sobre la materia.
http://www.emis.de
Sitio que incluye unidades didácticas, aplicaciones y experiencias en Matemática
respecto de los contenidos que se trabajan en Enseñanza Media.
http://www.cnice.mecd.es/Descartes
Buscador recomendado
Sitio educativo con diversos recursos, planificaciones e información de todas las
áreas. Incluye buscador.
http://www.educarchile.cl/home/escritorio_docente
Bibliografía
207

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